Documents.mx 44 Derivadas Parciales de Funciones de Varias Variables y Su Interpretacion Geometrica

7/26/2019 Documents.mx 44 Derivadas Parciales de Funciones de Varias Variables y Su Interpretacion Geometrica

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, e

vertical

DERIVADAS PARCIALES DE FUNCIONES DEVARIAS VARIABLES Y SU INTERPRETACIN

GEOMTRICA

Recordemos que la grfica de representa una superficie . Si

ntonces el punto est sobre la superficie . El plano

interseca a la superficie en la curva (es decir, es la traza

de la superficie sobre el plano . De manera semejante, el plano vertical

interseca a la superficie en la curva . Ambas curvas pasan por el

punto .

bserve que la curva es la grfica de la funci!n de manera que la

pendiente de su recta tangente en el punto es "a curva

es la grfica de la funci!n as# que la pendiente de su tangente

en el punto es

En las ligas $%er en &D ' "&D), puede arrastrar el punto * sobre la curva +


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cuando

igura - derivada parcial en P respecto a/

$%er en &D ' "&D)$%er en &D ' 0vie1)

igura - derivada parcial en P respectoa 2

$%er en &D ' "&D)$%er en &D ' 0vie1)

*or consiguiente, las derivadas parciales 2 pueden interpretarse

geom3tricamente como las pendientes de las rectas tangentes a las curvas 2

en el punto , respectivamente.

"as derivadas parciales pueden tambi3n ser vistas como razones de cambio. Si

, entonces representa la raz!n de cambio de con respecto a ,

permanece fija. De manera semejante, representa la raz!n de

cambio de con respecto a , cuando permanece fija.

Ejemplo

4allar la ecuaci!n de la recta tangente a la curva que se obtiene de la intersecci!n

del paraboloide 2 el plano , cuando .
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Soluci!

En este caso la pendiente de la recta tangente esta dada por

con lo cual, la recta es , pero pasa por el punto

2 as#

En la figura - se muestra la recta tangente 2 la parbola

"as ecuaciones param3tricas de la recta tangente son

"a grfica del paraboloide, la parbola 2 la recta tangente se muestran en la figura

5.


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igura & 6angente en *$%er en &D ' 0vie1)

igura 7 6angente en *

Ejemplo "

El plano interseca al elipsoide formando una elipse.

Determine las ecuaciones param3tricas para la recta tangente a la elipse el el

punto .

Soluci!

"a ecuaci!n define a impl#citamente como una funci!n de

e , entonces

+on lo cual la pendiente de la recta tangente esta dada por
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*ero como la recta tangente pasa por el punto , entonces

De donde su ecuaci!n es 8 2 sus ecuaciones param3tricas son

igura & 6angente en *

$%er en &D ' 0vie1)

O#$e%&'ci! ( si es una funci!n de dos variables e , entonces sus

derivadas parciales 2 tambi3n son funciones de dos variables, de modo que

podemos considerar sus derivadas parciales 2 , las cuales
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Entonces tenemos que

O#$e%&'ci! ( note que las derivadas parciales mi/tas 2 en el ejemploanterior, son iguales. Esto no es una casualidad 2 en la ma2or#a de los casos

prcticos se da. El siguiente teorema, descubierto por el matemtico franc3s

Ale/is +lairaut (-9-& ' -9:;


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2 al usar el teorema de +lairaut, se puede demostrar que si

estas funciones son continuas.

Ejemplo *+

"as ecuaciones diferenciales en derivadas parciales se usan para e/presar le2es

f#sicas. *or ejemplo, la ecuaci!n diferencial parcial

se conoce como ecuaci!n de "aplace, en =onor a *ierre "aplace (-97> ' -?59


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donde es una constante, describe el movimiento de una onda, que puede

ser una onda de sonido, una onda de luz o una onda que viaja a lo largo de unacuerda vibrante.

Si 2 son funciones de una sola variable dos veces derivables, compruebe quela funci!n

satisface la ecuaci!n de onda.

Soluci!

"as derivadas de con respecto a estn dadas por

"as derivadas de con respecto atestan dadas por

Sustitu2endo obtenemos que


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Ejemplo *-

Si 2 son funciones doblemente derivables de una sola variable, compruebeque la funci!n

satisface la ecuaci!n diferencial parcial

Soluci!

"as derivadas de con respecto a estn dadas por

Sustitu2endo

Ejemplo *.

Si se dijera que e/iste una funci!n cu2as derivadas parciales son


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2 usted lo creer#aB

Soluci!

*or el teorema de +lairaut, puesto que 2 son

continuas en todo debieran ser iguales. *or lo tanto no e/iste tal funci!n.

Ejemplo */

Cna barra de metal de un metro de largo se calienta de manera irregular 2 de

forma tal que a metros de su e/tremo izquierdo 2 en el minutos, su

temperatura en grados cent#grados esta dada por

con

-. 6race la grfica de para 2

5. +alcule 2 +ul es la interpretaci!n prctica (ent3rminos de temperatura< de estas derivadas parcialesB. E/plique por qu3cada una tiene el signo que tiene.

&. +alcule +ul es su signoB. +ul es su interpretaci!n ent3rminos de temperaturaB

Soluci!

-. "a grfica de las funciones 2 se muestran en la figura 5.


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igura :

bserve que la figura nos indica la temperatura inicial en cada punto de la

barra 2 la temperatura despu3s de un minuto. ote que el punto ms

caliente de la barra en cualquier instante est a .; metros del e/tremo

izquierdo (F F


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observe que en este caso tenemos como la derivada parcial es

creciente conforme crece 2 negativa para cualquier valor de ,

concluimos que la temperatura va disminu2endo, pues las pendientes de


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las rectas tangentes a son negativas 2 van siendo ms grandes

conforme aumenta, esto cuando estamos a .? metros del e/tremo

izquierdo. El signo negativo de la derivada nos indica que cuando vamos en

la direcci!n del eje positivo (=acia el e/tremo derec=o de la barra< la

temperatura disminu2e.

"as siguientes tablas de valores 2 la grfica - nos permiten observar con

claridad lo e/plicado antes.

&. "a derivada parcial respecto a est dada por

bserve que para 2 cualquier valor de 2

para 2 cualquier valor de lo cual nos permite

concluir que la temperatura va aumentando desde cero =asta llegar a la

mitad de la barra 2 luego va disminu2endo =asta cero, es decir, que la partems caliente de la barra es la mitad.

E 5;7.-: ;?.99?;- >&.;& 5-.:5&7

5 &7.&>:? 9.>;:7-

& -5.:;&> 5.>5:7-

7 7.:;;-- -.9:;9

; -.9-5;5 .&>:;

E '5;7.-: ;?.99?

- '>&.;& 5-.:5&

5 '&7.&>:? 9.>;:7

& '-5.:;&> 5.>5:7

7 '7.:;;-- -.9:;

; '-.9-5;5 .&>:


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Ejemplo *0

"as ecuaciones

definen a 2 como funciones de las variables independiente e . E/prese

en t3rminos de 2 .

Soluci!

*ara calcular derivemos las ecuaciones (7< respecto a

A=ora usemos la regla de +ramer para =allar


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De donde

Ejemplo *1

+ompruebe que la funci!n satisface la ecuaci!n

diferencial de "aplace en derivadas parciales

Soluci!

+alculemos las derivadas parciales


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2 al sumar (;

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