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‘Matemática – Aritmética

Divisibilidade-II – Obs

Autoria: Prof. Maurício Ary Jalom

Professôr Estadual e Municipal do Ensino Médio e Fundamental

de Matemática.

Professôr do Curso Unipré – Preparatório para as Fôrças Armadas.

E-Mail: carioca432@globomail.com

Data: 06/08/2014 Nova Edição

Divisibilidade - II – Obs

O objetivo desta parte do trabalho é demonstrar, detalhar e dar exercícios sobre os critérios de divisibilidade por 3, 9, 7, 11, 17 e 19.

As demonstrações terão suas explanações bastante facilitadas, pois na parte anterior deste trabalho (Peculiaridades da Divisibilidade – I), explicou-se detalhadamente o critério de divisibilidade por 13, e aí o leitor compreenderá com facilidade e rapidêz o desenvolvimento desta parte do trabalho, pois já se frisou que a linha de pensamento da estratégia da demonstração do critério de divisibilidade por 13, é a mesma para os nºs dessa parte do trabalho.

I) Critério de Divisibilidade por 3 e 9

Antecedentes

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1º) Tôdo nº que fôr mult9, também será mult3, isto porque, quando se divide um nº por 9, se faz duas divisões sucessivas por 3, logo se o nº fôr divisível por 9, também deverá ser duplamente divisível por 3.

Exemplo

36 ÷ 9 = (36 ÷ 3) ÷ 3 = 12 ÷ 3 = 4, por isto é que 36 ÷ 9 = 4

2º) Um nº que fõr mult3 póde ou não ser mult9.

Exemplo

42 é mult3, pois 42 ÷ 3 = 14 que não admie uma 2ª divisão por 3, daí 42 é mult3, mas não é mult9.

3º) 47 não é mult3, logo também não será mult9.

Vamos então agora estabelecer:

I) critério de divisibilidade por 9

Consideremos um nº natural com 7 algarismos, que será o suficiente para resguardar a generalização do critério.

Assim teremos:

r.stw.xyz nos quais as letras simbolizam seus algarismos.

Vamos decompor este nº numa soma de parcelas, nas quais os coeficientes (fatôres que acompanham cada algarismo, de acôrdo com o valôr relativo de cada algarismo.

Assim teremos:

z + 10y + 102x + 103w + 104t + 105s + 106r

Façamos agora 10 = 9 + 1 e aí por substituição teremos:

z + (9 + 1)y + (9 + 1)2x + (9 + 1)3w + (9 + 1)4t + (9 + 1)5s + (9 + 1)6r

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Vamos desenvolver a adição dessas parcelas da decomposição, que nos dará como total, a representação fiel do nº inicialmente considerado.

Lembremos ainda que o nosso objetivo é esclarecer se o nº inicialmente considerado, é ou não divisível por 9, ou o que é o mesmo, se é ou não um mult9.

Vamos no decorrer do desenvolvimento da adição das parcelas da decomposição, desprezar o nº 9 de tôdo binômio-fatôr da fórma (9 + 1), isto porque durante os cálculos, o nº 9 fará sempre resultar em mult9 o resultado de sua intervenção nas multiplicações, e sabemos que na adição das parcelas da decomposição do nº considerado, êsses mult9 não vão ter influência nenhuma no esclarecimento de que o total seja ou não um mult9.

Daí, os coeficientes (fatôres que acompanham cada algarismo do nº considerado, conforme o valor relativo de cada um), serão os seguintes, já efetuadas as simplificações citadas:

1, 12, 13, 14, 15 e 16. Então se conclue que se tôdos sâo iguais a 1, a decomposição terá como total simplificado, simplesmente a adição dos algarismos d nº considerado;pois ficamos com o seguinte:

z + 1y + 12x + 13w + 14t + 15s + 16r isto corresponde simplesmente ao seguinte:

z + y + x + w + t + s + r

Conclusão:

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Um nº é mult9 quando a adição de seus algarismos der um total também mult9.

Exemplos:

1) 42813 é mult9 pois a soma de seus algarismos perfaz

4 + 2 + 8 + 1 + 3 = 18 que é mult9.

O leitor deve ficar ciente que o total da decomposição, representa fielmente a condição do nº ser ou não mult9.

2) 742 não é mult9, pois 7 + 4 + 2 = 13 que também não é mult9 .Nêsse caso podemos achar o resto da divisão por 9 através do total simplificado da decomposição que foi 13, e podemos dividir 13 por 9, e achar mentalmente o resto 4; mas podemos também fazer 13 – 9 = 4Assim subtraímos do total 13, o maior mult9 nêle contido.Podemos também observar que os restos possíveis na divisão por 9, vão de 1 a 8, e 8 é o maior resto possível da divisão por 9.

II) Critério de Divisibilidade por 3

Supomos um nº de 7 algarismos: r.stw.xyz e vamos decompô-lo numa soma de parcelas que sejam potências de 10, assim:

z + 10y + 102x + 103w + 104t + 105s + 106r e façamos

10 = 3 + 7, e por substituição teremos para expressão da decomposição, o seguinte:

z + (3 + 7)y + (3 + 7)2x + (3 + 7)3w + (3+7)4t + (3 + 7)5s + (3 + 7)6r

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Agora desprezando 3 em tôdos os binômios – fatôres do tipo (3 + 7), pelo mesmo motivo do que foi feito nos critérios anteriormente abordados, isto é, porque o algarismo 3 ocasionará nos cálculos, sempre mult3, que não influirão no fato do total da decomposição ser ou não mult3.

Então as parcelas da decomposição do nº considerado, ficarão simplificadas, e ficarão assim:

z + 7y + 72x +73w + 74t + 75s + 76r, mas notemos que 7 = 6 + 1

Então por substituição teremos;

z + (6 + 1)y + (6 + 1)2x + (6 + 1)3w + (6 + 1)4t + (6 + 1)5s + (6 + 1)6r

Vamos agora excluir o nº 6 em tôdos os binômios – fatôres, porque 6 é mult3, e no transcorrer dos cálculos provocará o aparecimento de inúmeros mult3 desnecessários para o esclarecimento se o total simplificado obtido é ou não mult3.

Observe-se que mesmo que cada uma das parcelas da decomposição não sejam mult3, ao adicioná-las o total obtido póde ou não ser mult3.

Exemplo

41 + 17 + 91 + 86 + 5 = 240 que é mult3 embora nenhuma das parcelas o seja.

Continuemos com o raciocínio:

Excluído o 6 dos binômios –fatôres, êstes se transformaram em monômios , e assim os coeficientes da decomposição, ficaram sendo:

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1, 1, 12, 13, 14, 15 e 16 então a decomposição tomou a forma:

1z + 1y + 1x + 1w + 1t + 1s + 1r = z + y + x +w + t + s + r

Daí chegamos à mesma conclusão do critério de divisibilidade por 9.

Conclusão:

Um nº inteiro é mult3 quando a soma de seus algarismos o fôr.

Se o nº não fôr mult3, o resto da divisão por 3 será obtido através do total simplificado da decomposição, dividindo-o por 3 mentalmente ou dêle subtraindo o maior mult3 nêle contido.

Exemplos

1) 723 é mult3 pois 7 + 2 + 3 = 12 que é mult3

2) 1247 não é mult3 pois 1 + 2 + 4 + 7 = 14 que não é mult3.

O resto da divisão de 1247 por 3, será o mesmo que o da divisão do total simplificado 14 por 3, e aí subtraímos o maior mult3 contido em 14, e teremos:

14– 12 = 2 que será o resto da divisão por 3.

III) Critério de Divisibilidade por 7

Usaremos a estratégia costumeira usada para a demonstração de todos os critérios.Consideremos um nª natural com 7 algarismos:

7

r.stw.xyz e vamos decompô-lo em parcelas cujos coeficientes de cada algarismo, serão potências de 10 adequadamente aplicadas:z + 10y + 102x + 103w + 104t + 105s + 106rO critério é sobre a divisibilidade por 7, então façamos10 = 7 + 3 e por substituição obtemos:z + (7 + 3)y + (7 + 3)2x + (7 + 3)3w + (7 + 3)4t + (7 + 3)5s + + (7 + 3)6rAgora como já sabemos, vamos desprezar o 7 existente em tôdos os binômios fatôres, para evitar a presença nos cálculos, os têrmos que fôrem mult7, pois não influirão no fato do total da decomposição, ser ou não mult7.Então a decomposição fica bastante simplificada, e passa a ter por expressão:z + 3y + 32x + 33w + 34t + 35s + 36r daí vamos analisar parcela por parcela:1ª parcela: z2ª parcela: 3y3ª parcela: 32x = 9x = (7 + 2)x = 7x + 2x e desprezando 7x que é mult7, ficaremos com a 3ª parcela sendo 2x.

Obs: Saiba o leitôr que doravante para acharmos o coeficiente subsequente de cada têrmo, basta multiplicar cada coeficiente por 3, mesmo que já esteja simplificado, pois os coeficientes sucedem-se em potências de base 3, com expoentes sucessivamente crescentes de uma unidade cada um; daí teremos:

4ª parcela: 3.2w = 6w mas 6 = 7 – 1 e daí vem6w = (7 – 1)w = 7w – w mas desprezemos 7w por ser mult7, e ficamos com -w para a 4ª parcela.

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5ª parcela:3(- 1)t = - 3t

6ª parcela: 3.(- 3s) = - 9s

Note o leitor que multiplicamos cada coeficiente por 3, para obter o coeficiente subsequente, mas a letra correspondente ao algarismo do têrmo ou parcela subsequente está presente.

Continuemos:

Vamos procurar simplificar ainda o coeficiente - 9 fazendo

- 9 = - 7 - 2 e teremos - 9s = (- 7 - 2)s = - 7s - 2s e desprezando -7s por ser mult7, ficamos com -2s sendo a 6ª parcela.

Temos até aí um “sextêto” de coeficientes que são

{ 1. 3, 2, -1, -3, -2 } que de agora em diante irão se repetindo sucessiva e infinitamente da forma seguinte:

[ 1, 3, 2, -1, -3, -2, 1, 3, 2, -1, -3, -2,....} “fechando” o raciocínio para este critério de divisibilidade.

Note o leitor por exemplo, que se fôssemos tentar prosseguir no raciocínio, e procurar a 7ª parcela, teríamos:

3(-2r) = - 6r mas -6 = -7 +1 e desprezando -7 ficamos novamente com o coeficiente da 1ª parcela que é 1.

A decomposição tomou a fórma:

z + 3y + 2x – w – 3t – 2s + r e assim poderemos aplicar o critério para nºs com qualquer número de algarismos, pois note o leitor que o coeficiente do 7º termo r já é o mesmo que o do 1º têrmo z.

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ExemploVerificar se o nº 41.278.926 é ou não um mult7.Usaramos um quadro , para facilitar:

4 1 2 7 8 9 2 6 sequência dos algarismos do nº

3 1 -2 -3 -1 2 3 1 coeficientes em ordem inversa

acompanhando o seu algarismo correspondente, conforme seu valôr relativo e sua ordem.

A seguir adicionamos os produtos obtidos pela multiplicação de cada coeficiente por seu algarismo correspondente; e daí teremos:

1.6 + 3.2 + 2.9 + (-1).8 + (-3).7 + (-2).2 + 1.1 + 3.4 =

= 6 + 6 + 18 – 8 – 21 - 4 + 1 + 12 =

= 30 – 33 + 13 = 43 – 33 = 10

O total 10 da decomposição representa fielmente o que ocorrerá com o nº inicialmente considerado 41.278.926, em relação a ser ou não mult 7, daí conclue-se que 10 não é mult7 e o resto de sua divisão por 7 será 3 ; e repetimos que o mesmo ocorrerá com o nº 43.278.926.

Obs: Caso o total da decomposição fornecer um nº negativo como -3 por exemplo, adicionaríamos a -3, o menor mult7 que o torne um nº positivo, que será o resto procurado.

Nêsse caso faríamoa -3 + 7 = 4 que é o resto procurado.

Exercício

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Dado o nº 4x.286, determine o valor do algarismo x de modo que o nº seja mult7.

Resolução

Façamos o mesmo quadro usual do exercício anterior. e fazendo o mesmo desempenho:

4 x 2 8 6 algarismos

-3 -1 2 3 1 coeficientes

Daí faremos:

1.6 + 3.8 + 2.2 + (-1)x + (-3).4 = mult7

= 6 + 24 + 4 – x – 12 = mult7

22 – x = mult7

Como x sendo algarismo do nº, deverá ser um nº natural

{ 0. 1. 2. 3. 4 ....9}, daí os valôres convenientes de x serão

1 e 8, para que resulte nos mult7 21 e 14.

Resposta

x = 1 e o nº será 41.286

x = 8 e o nº será 48.286.

Iv) Critério de Divisibilidade por 11

Vamos estabelecer a estratégia costumeira:

Consideremos um nº natural com 7 algarismos:

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r.stw.xyz e vamos decompô-lo em 7 parcelas, com coeficientes (fatôres que acompanham cada algarismo) que sâo potências de 10 adequadas ao valor relativo do algarismo correspondente.

Assim teremos:

z + 10y + 102x + 103w + 104t + 105s + 106r

Façamos 10 = 11 – 1, e por substitução teremos:

z + (11 – 1)y + (11 - 1)2x + (11 – 1)3w + (11 – 1)4t +(11 – 1])5s + (11 – 1)6r

Vamos agora desprezar todo nº 11 que fizer parte de qualquer dos binômios - fatôres do tipo (11 – 1), então a decomposição do nº ficará bastante simplificada, e tomará a fórma:

z + (-1)y + (-1)2x + (-1)3w + (-1)4t + (-1)5s + (-1)6r então isto equivale à expressão:

z – y + x – w + t – s + r onde se nota que podemos ter

(z + x + t + r) – (y + w +s) o que significa que a decomposição ficou sendo igual a (SI – SP) sendo:

SI Soma dos algarismos de ordem impar

SP Soma dos algarismos de ordem par

Esta conclusão se aplica a qualquer nº com qualquer número de algarismos.

Então se o total da decomposição do nº foi (SI – SP) então essa expressão é que decidirá se o nº inicialmente dado será ou não um mult11, conforme o seu valôr também fôr ou não um mult11.

Obs: O leitôr deve saber que SI (soma dos algarismos de ordem impar) são os algarismos ocupantes da 1ª, 3ª. 5ª ...etc ordens da direita para a esquerda na leitura dos algarismos do nº.

SP (soma dos algarismos de ordem par) são os algarismos ocupantes da

2ª, 4ª, 6ª ....etc ordens da direita para a esquerda na leitura dos algarismos do nº.

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Quando o total de SI – SP não totalizar um mult11, então já sabemos que o nº considerado também não o será, mas êste total simplificado nos fornecerá o resto da divisão por 11; mas ressalve-se que de dér um nº maior que 11, então o resto é obtido dividindo-se esse total simplificado por 11

Se o total dér um nº negativo, quando SI < SP, então obteremos o resto da divisão por 11, adicionando-se a esse total negativo, tantos mult11 que forem necessários afim de torná-lo o menor nº positivo possível.

Daremos exemplos do que foi afirmado:

1) Verifique se o nº 72458 é divisível por 11.ResoluçãoSI – SP = (8 + 4 + 7) – (5 + 2) = 19 – 7 = 1212 não é mult11, então o nº 72.458 também não o será.Quanto a resto, dividindo 12 por 11 encontra-se o resto 1, que também seria obtido subtraindo-se de 12 o maior mult11 nêle contido, e assim farámos 12 – 11 = 1 que é o resto da divisão por 11 tanto do total 12, como do nº considerado 72.458.

2) Verifique se o nº 418 é mult11.ResoluçãoSI – SP = (8 + 4) -1 = 12 – 1 = 11 que é mult11; então o mesmo ocorrerá com o nº considerado 418.É lógico que o resto da divisão por 11 será zero.

3) Verifique se o nº 1.789.653 é mult11. ResoluçãoSI – SP = (3 + 6 + 8 +1) – (5 + 9 + 7) = 18 – 21 = - 3Conclui-se que nem -3 nem o nº 1.789.653 são mult11.Como o total simplificado da decomposição do nº deu -3 que é um nº negativo, para achar o resto da divisão por 11, adicionaremos ao total -3, um mult11 que o torne o menor nº positivo possível, e assim faremos -3 + 11 = 8 que é o resto da divisão do nº considerado 1.789.653 por 11.

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Exercício -1Determine o valôr do algarismo x do nº 32.x15, de modo que o nº seja mult11.ResoluçãoSI – SP = (5 + x + 3) – (1 + 2) = 8 + x – 3 = 5 + xOra sabemos qe x sendo algarismo do nº só poderá ser um nº positivo com valores tais que 0 ≤ x ≤ 9, e como o nº deve se tornar mult11 deveremos ter x = 6.RespostaX = 6 e o nº será 32.615.

Exercício-2Detemine o valôr do algarismo x do nº 81.x27 de modo que o nº seja mult11.ResoluçãoSI – SP = (7 + x + 8) – (2 + 1) = 15 + x -3 = 12 + xOra, como o nº deve ser mult11 e 0 ≤ x ≤ 9, concluímos queEsse exercício não tem solução, pois o menor mult11 possível maior que 12 seria 22, e aí x deveria valer 10, o que é impossível.Resposta Impossível

Exercício -3Verifique se o nº 7.238.409 é mult11.ResoluçãoSI – SP = (9 + 4 + 3 + 7) – (0 + 8 + 2) = 23 – 10 = 13Logo o nº não é mult11 e o resto da divisão por 11 é 13 – 11 = 2Resposta7.238.409 não é mult11, e o resto de sua divisão por 11 é 2.

V) Critério de Divisibilidade por 17Usaremos a estratégia costumeira para a demonstração dêsse critério: Consideremos um nº inteiro com 7 algarismos: r.stw.xyz que decompôsto usando potências de 10, dará:

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z + 10y + 102x + 103w + 104t + 105s + 106rFaçamos 10 = 17 – 7 e por substituição obtemos:z + (17 – 7)y + (17 – 7)2x + (17 – 7)3w + (17 – 7)4t + (17 – 7)5s ++ (17 – 7)6rDesprezando o nº 17 nos binômios – fatôres (17 – 7), ficamos com monômios como coeficientes:1, -7, (-7)2, (-7)3, (-7)4, (-7)5, (-7)6 e a decomposição toma a forma z + (-7)y + (-7)2x + (-7)3w + (-7)4t + (-7)5s + -7)6rVamos ver como ficam os coeficientes quando simplificados:1º coeficiente: 12º coeficiente: -73º coeficiente: (-7)2 = 49 mas 49 = 51 -2 e aí desprezamos 51 por ser mult17 e ficamos com o 3º coeficiente da decomposição, sendo -2.

É preciso que o leitor de acostume com os múltiplos de 17 mais usuais:{ 0, 17, 34, 51, 68, 85, 102,....}Continuemos:De agora em diante, achado um coeficiente mesmo simplificado, encontramos o seu coeficiente subsequente, multiplicando-o por 7 , pois a sequência dos coeficientes é constituída por potências de base 7, com expoentes sempre crescentes, aumentando 1 unidade por vêz.

4º coeficiente: -2.(-7) = 14 mas 14 = 17 - 3 e aí desprezamos 17, e ficamos com o 4º coeficiente igual a -3.

5º coeficiente: -3.(-7) = 21 mas 21 = 17 + 4 aí desprezamos 17 e ficamos com o 5º coeficiente da decomposição, sendo 4.

O leitor perguntará como parar a procura dos coeficientes? Nós responderemos que a procura continuará até identificarmos que haverá uma eterna repetição da

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sequência de coeficientes; foi assim quando abordamos critérios de divisibilidade anteriores, e assim será para os critérios de divisibilidade posteriores.

Continuemos:6º coeficiente: 4.(-7) = -28 mas -28 = -34 + 6 e desprezando -34, ficamos com o 6º coeficiente sendo 6.

7º coeficiente: 6. (-7) = -42 mas -42 = -34 -8 e desprezando -34, ficamos com -8.

8º coeficiente: -8. (-7) = 56 mas 56 = 51 + 5 e desprezando 51, ficamos com 5.

9º coeficiente: 5.(-7) = -35 mas -35 = -34 -1 e desprezando -34. Ficamos com -1.

10º coeficiente: -1.(-7) = 7

11º coeficiente: 7.(-7) = -49 mas -49 = -51 + 2 e aí desprezando -51 ficamos com 2.A partir daí já sabemos o que vai acontecer: Ao continuarmos a rotina da procura; haverá ao tôdo um grupo de 16 coeficientes que se repetirão contínua e infinitamente, conforme o nº de algarismos possuídos pelo nº considerado; Sendo formados 2 grupos de 8 coeficientes com o mesmo módulo e sinais contrários.Assim teremos:{1, -7, -2. -3, 4, 6, -8, 5, -1, 7, 2, 3, -4, -6, 8, -5, ....}

Exercícios

1) Verifique se o nº 113.982.042 é mult17.

Resolução

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1 1 3 9 8 2 0 4 2 algarismos do nº

-1 5 -8 6 4 -3 -2 -7 1 coeficientes da decomposição

Façamos:

1.2 + (-7).4 + (-2).0 + (-3).2 + 4.8 + 6.9 + (-8).3+ 5.1 + (-1).1=

2 – 28 + 0 – 6 + 32 + 54 – 24 + 5 - 1 =

= 93 – 59 = 34 que é mult17 e o resto da divisão por 17 será

zero.

Resposta

O nº 113.982.042 é mult17, e o resto de sua divisão por 17 será zero.

2) Verifique se o nº 81.807 é mult17.

8 1 8 0 7 algarismos do nº4 -3 -2 -7 1 coeficientes da decomposição

Faremos:

1.7 + (-7).0 + (-2).8 + (-3).1 + 4.8 =

7 + 0 – 16 - 3 + 32 = 39 – 19 = 20 que não é mult17, então o nª 70.818 também não será mult17;

O resto será 20 – 17 = 3 pois basta subtrair do total simplificado da decomposição, que é 20, o maior mult17 nêle contido que é 17; então o resto será 3.

Resposta

O nº 81.807 não é mult17; e o resto de sua divisão por 17 é 3.

3) Exercício (Vide enunciado na página seguinte)

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3º Exercício

Determine o algarismo x do nº 1.05x.298, para que seja mult17.

Resolução

1 0 5 x 2 9 8 algarismos do nº

-8 6 4 -3 -2 -7 1 coeficientes da decomposição

Faremos:

1.8 + (-7).9 + (-2).2 + (-3)x+ 4.5 + 6.0 + (-8)1 =

8 – 63 – 4 – 3x + 20 + 0 – 8 = 28 – 75 - 3x = - 3x – 47

Daí - 3x – 47 = mult17 ora, sabemos que 0 ≤ x ≤ 9 daí o valôr conveniente de x será 7 , pois -3x – 47 = -3.7 – 47 = -21 - 47 - =

= - 68 que é mult17.

Resposta

x = 7 e o nº ficará sendo 1.057.298.

4º Exercício

Determine os valôres de x e y, de modo que o nº 8xy.042 seja

mult17.

Resolução

Faremos:

8 x y 0 4 2 algarismos do nº

6 4 -3 -2 -7 1 coeficientes da decomposição

Faremos:

1.2 + (-7).4 + (-2).0 + (-3).y + 4x + 6.8 =

2 – 28 + 0 – 3y + 4x + 48 = 50 – 28 – 3y + 4x = 22 – 3y + 4x

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Daí deveremos ter 4x – 3y + 22 = mult17

Sabemos que 0 ≤ x ≤ 9 e também 0 ≤ y ≤ 9 pois x e y são algarismos do nº considerado.

Achemos os valôres máximo e mínimo que póde assumir o trinômio

4x – 3y + 22 e consequentemente também o valor do 2º membro da equação, que é mult17.

Valôr máximo Para x = 9 e y = 0 4.9 – 3.0 + 22 = 58

Valôr mínimo Para x = 0 e y = 9 4.0 – 3.9 + 22 = - 5

Seguimos êsse raciocínio porque observamos que 4x > 0 e - 3y < 0

Visto isto concluímos que -5 ≤ mult17 ≤ 58, então os valores de mult17 a serem usados no exercício são 0, 17, 34, e 51.

Então teremos um sistema de 4 equações com 2 incógnitas, mas, o que facilita, é que as incógnitas x e y têm valores limitados.

Então, vejamos:

1ª equação: 4x – 3y + 22 = 0

4x – 3y = 22 testando os valores de x de 0 a 9 concluímos que

Se y = (4x + 22) ÷ 3 dos 10 valôres de x , nenhum servirá, e a equação será impossível.

2ª equação:

Analisemos novamente dos 10 valôres que x póde assumir, se há algum que satisfaça à equação 4x – 3y + 22 = 17

4x – 3y = -5 e aí, y = (4x + 5) ÷ 3 e aí servem os valores de x

x 1 e 4 e aí y 3 e 7.

3ª equação: 4x – 3y + 22 = 34 e aí 4x – 3y = 12 e teremos:

y = (4x – 12) ÷ 3 e aí teremos 3 duplas de soluções:

x 3, 6 e 9 e aí y 0, 4 e 8.

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4ª equação: 4x – 3y + 22 = 51 e aí 4x – 3y = 29, então,

y = (4x – 29) ÷ 3 e aí vale a dupla x = 8 e aí y = 1.

Haverão então 2 soluções da 2ª equação, 3 soluções da 3ª equação e 1 solução da 4ª equação.

A 1ª equação não tem solução adequada.

Resposta

1) x = 1 e y = 3 e o nº será 813.042.2) x = 4 e y = 7 e o nº será 847.0423) x = 3 e y = 0 e o nº será 830.0424) x = 6 e y = 4 e o nº será 864.0425) x = 9 e y = 8 e o nº será 898.0426) x = 8 e y = 1 e o nº será 881.042.

VI) Critério de Divisibilidade por 19

Consideremos um nº inteiro com 7 algarismos r.stw.xyz e vamos decompô-lo pelo sistema decimal de numeração, e teremos:

z + 10y + 102x + 103w + 104t + 105s + 106r façamos agora 10 = 19 – 9 e por substituição obteremoe:

z + (19 – 9)y + (19 – 9)2x + (19 – 9)3w + (19 – 9)4t + (19 – 9)5s + (19 – 9)6r

Vamos excluir 19 de tôdos os binômios – fatôres (19 – 9), porque só fazem resultar no decorrer dos cálculos, inúmeros mult19, que em nada influem na identificação do total da decomposição do nº no sentido de ser ou não mult19; isto sim, trará uma grande simplificação no total da decomposição, sem fazer com que êle perca a fiel representatividade do nº inicialmente dado para concluir ao objetivo do critério de divisibilidade utilizado.

A decomposição simplificada toma a forma:

z + (-9)y + (-9)2x + (-9)3w + (-9)4t + (-9)5s + (-9)6r

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Vamos procurar familiarizar o leitor com alguns mult19 que podem ser utilizados:

{ 0, 19, 38, 57, 76, 95, 114....} ressaltando-se que poderemos trabalhar com uma infinidade de mult19 positivos ou negativos.

Vamos à determinação dos coeficientes simplificados da decomposição que serão utilizados nêste critério de divisibilidade por 19, para a obtenção do total da decomposição do nº inicialmente considerado:

1º coeficiente: 1

2º coeficiente: -9

3º coeficiente: (-9)2 = 81 mas 81 = 76 + 5 e excluindo 76 por ser mult19, ficaremos com 5.

Para facilitar os cálculos, doravante não será necessário calcular a infinidade de potências de 9 com expoentes sempre crescentes sempre seguidamente aumentadas de uma unidade, bastará multiplicar cada coeficiente simplesmente por -9, para obter o seu coeficiente subsequente.

Assim teremos:

4º coeficiente: 5.(-9) = -45 mas -45 = -38 – 7 e excluindo -38 por ser mult19, ficamos com -7.

5º coeficiente: -7.(-9) = 63 mas 63 = 57 + 6 e excluíndo 57 por ser mult19, ficamos com 6.

6º coeficiente: 6 . (-9) = -54 mas -54 = -57 + 3 excluíndo -57 por ser mult19, ficaremos com o coeficiente 3.

7º coeficiente: 3.(-9) = - 27 mas -27 = -19 - 8 e excluíndo -19 por ser mult19, ficamos com o coeficiente - 8.

8º coeficiente: - 8.(-9) = 72 mas 72 = 76 - 4 excluíndo -76 ficamos com o coeficiente - 4.

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9º coeficiente: - 4.(- 9) = 36 mas 36 = 38 - 2 e excluíndo 38 por ser mult19, ficamos com o coeficiente - 2.

Daquí em diante, fazendo os cálculos rotineiros, chegaremos a mais nove coeficientes com o mesmo módulo, mas com sinais contrários;

Fato semelhante ocorrido em outros critérios já ventilados.

Assim ficamos com um grupo de 18 coeficientes, que irão se repetindo contínua e infinitamente, conforme o nº de algarismos do nº considerado.

Êsse grupo de 18 coeficientes é o seguinte:

{ 1. -9. 5. -7. 6. 3. -8. -4, -2. -1. 9. -5, 7. -6. -3. 8. 4. 2. ......}

Podemos só para confirmar, calcular o 19º coeficiente:

2. (-9) = -18 mas -18 = -19 + 1 e aí excluímos -19 por ser mult19, e ficaremos com 1, e aí se repetiu o 1º co c eficiente.

Exercícios

1) Verifique se o nº 1.846.016.307 é divisível por 19.Resolução

1 8 4 6 0 1 6 3 0 7 algarismos do nº

-1 -2 -4 -8 3 6 -7 5 -9 1 coeficientes da decomposição

Faremos o seguinte:

1.7 + (- 9).0 + 5.3 + (- 7).6 + 6.1 + 3.0 + (- 8).6+ (- 4).4 + (- 2).8+ (- 1).1 =

7 + 0 + 15 – 42 + 6 + 0 – 48 – 16 -16 - 1 =

28 – 123 = - 95 êsse total simplificado da decomposição é mult19, ocasionando ser o nº dado 1.846.016.307 também mult19.

Resposta

O nº 1.846.016.307 é mult19.

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Obs: Ao calcular 28 – 123 que é 28 + (- 123) poderíamos simplificar essas duas parcelas, descontando os mult19 nelas contidos, assim:

(19 + 9) + ( -133 + 10) excluíndo 19 e -133 que sâo mult19, ficaríamos com 9 + (+ 10) = 9 + 10 = 19 comprovando a divisibilidade do nº considerado por 19.

2º Exercício

Verifique se o nº 387.245 é divisível por 19.

Resolução

3 8 7 2 4 5 algarismos do nº

3 6 -7 5 -9 1 coeficientes da decomposição do nº

Calculemos:

1.5 + (-9).4 + 5.2 + (-7).7 + 6.8 + 3.3 =

5 – 36 + 10 – 49 + 48 + 9 = 72 – 85 = - 13 que não é mult19, e o mesmo acontece com o nº inicialmente dado.

Para calcular o resto da divisão do nº dado, por 19; faremos com que o total da decomposição se torne o menor nº positivo possível, isto é, vamos adicionar-lhe o menor mult19 que assim o fará; então faremos: -13 + 19 = 6 êste será o resto da divisão procurado.

Resposta

O nº 387.245 não é mult19, e o resto de sua divisão por 19 é 6.

3º Exercício

Determine o algarismo x do nº x.104.477, para que o mesmo se torne mult19.

Resolução

x 1 0 4 4 7 7 algarismos do nº dado

-8 3 6 -7 5 -9 1 coeficientes da decomposição do nº dado

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Calculemos:

1.7 + (-9).7 + 5.4 + (-7).4 + 6.0 + 3.1 + (-8).x =

7 – 63 + 20 – 28 + 0 + 3 – 8x = 30 – 91 – 8x = - 61 – 8x

Daí devemos considerar - 61 – 8x = mult19

Então testando os valores possíveis de x tais que 0 ≤ x ≤ 9 para que satisfaçam à equação considerada, teremos:

x = 9 é o único valor de x que satisfaz ao problema, pois substituindo na equação considerada, êste valôr de x, encontraremos: - 61 – 8x = - 61 – 72 = - 133 que é mult19.

Resposta

x = 9 e o nº fica sendo 9.104.477

4º Exercicio

Determine os valores dos algarismos x e y do nº 17.x68.y47, para que o mesmo seja mult19.

Resolução

1 7 x 6 8 y 4 7 algarismos do nº dado

- 4 – 8 3 6 -7 5 -9 1 coeficientes da decomposição do nº

Dado.

Calculemos:

1.7 + (-9).4 + 5y + (-7).8 + 6.6 + 3x + (-8).7 + (-4).1 =

7 – 36 + 5y – 56 + 36 + 3x - 56 – 4 =

43 – 152 + 5y + 3x = 3x + 5y – 109 daí deveremos ter:

3x + 5y – 109 = mult19

Consideremos o trinômio 3x + 5y – 109 e achemos:

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Simplifiquemos o nº 109, pois -109 = -114 + 5 e aí -114 sendo mult19, vamos excluí-lo dos cálculos e ficarmos com 5, daí teremos:

3x + 5y + 5 = mult19

Cobsideremos agora o trinômio 3x + 5y + 5 e acharemos:

Valôr máximo para x = y = 9 3.9 + 5.9 + 5 =

= 27 + 45 + 5 = 77

Valôr mínimo para x = y = 0 3.0 + 5.0 + 5 = 5

Então procuraremos 5 ≤ mult19 ≤ 77 daí usaremos:

Mult19 { 19, 38, 57, 76} daí teremos 4 equações:

1ª equação : 3x + 5y + 5 = 19

3x + 5y = 14 daí, y = (14 – 3x) ÷ 5 e pesquisemos agora para

0 ≤ x ≤ 9 quais os valores de x que formarão uma dupla {x,y}

que satisfarão à equação.

Achamos então as seguintes duplas {x,y} :

{3, 1} dupla única para esta equação.

Vejamos agora a 2ª equação: 3x + 5y + 5 = 38

3x + 5y = 33 daí y = (33 – 3x) ÷ 5 e procuremos dentre os valôres

0 ≤ x ≤ 9 aquêles que formarão as duplas {x,y} que satisfarão à equação, lembrando que deveremos ter 0 ≤ y ≤ 9 para achar as duplas coerentes; daí achamos:

{1, 6}, {6, 3}.

Vejamos agora a 3ª equação : 3x + 5y + 5 = 57

3x + 5y = 52 e daí, y = (52 – 3x) ÷ 5 e aí achamos as duplas {x,y} que satisfazem à equação:

{4, 8}, {9, 5}.

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Vejamos agora a 4ª equação : 3x + 5y + 5 = 76

3x + 5y = 71 e aí, y = (71 – 3x) ÷ 5 e aí acharemos as duplas {x,y} que satisfarão à 4ª equação:

Nenhuma dupla encontrada.

Resposta:

Haverão 5 duplas {x,y} que satisfazem ao que foi pedido:

1) x = 3 e y = 1 correspondendo ao nº 17.368.1472) x = 1 e y = 6 correspondendo ao nº 17.168.6473) x = 6 e y = 3 correspondendo ao nº 17.668.3474) x = 4 e y = 8 correspondendo ao nº 17.468.8475) x = 9 e y = 5 correspondendo ao nº 17.968.547

5º ExercícioDetermine qualquer nº de 5 algarismos, que seja mult19.ResoluçãoConsideremos o nº sendo tw.xyz , e teremos:t w x y z algarismos do nº considerado.6 -7 5 -9 1 coeficientes da decomposição do nº Considerado.Calculemos então, o seguinte:z - 9y + 5x – 7w + 6t que deverá ser mult19; daí a equação:z – 9y + 5x – 7w + 6t = mult19Observemos que qualquer algarismo do nº considerado só poderá ter valôres naturais de zero a 9.Haverá uma infinidade de valôres (nºs inteiros) para os mult19.Mas o enunciado do problema, nos faculta para usar nºs aleatórios, desde que satisfaçam as condições de serem algarismos do nº considerado ( valôres naturais de zero a 9), e naturalmente a infinidade de valôres dos mult19, deverão ser escolhidos dentre os nºs do conjunto: { .....-57, -38, -19, 0 , 19, 38, 57,......}.

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Então podemos escolher dentro de nossas limitações, os seguintes valôres:t = 2, w =0, x= 4 e mult19 = 38, então o nº fica sendo:20.4yz = 38 e teremos a seguinte equação válida:z – 9y + 5x – 7w + 6t = mult19 e aí vem:z – 9y + 5.4 – 7.0 + 6.2 = 38z – 9y + 20 - 0 + 12 = 38z – 9y = 6 e aí, y = (z – 6) ÷ 9 então vamos variar os valôres de z, obedecendo à condição 0 ≤ z ≤ 9, para encontrarmos as duplas {z,y} que satisfaçam às condições do exercício.Então achamos:{6, 0} a única dupla que satisfaz dentre as condições estabelecidas.

RespostaPara determinar um dos nºs procurados, teremos:t = 2, w . 0, x = 4, y = 0, z = 6 correspondendo ao nº 20.406

Fim de Divisibilidade – II – Obs

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