Discrete probability distributions

A. Pengertian

Tiap nilai yang mungkin untuk x pada variable bebas, distribusi peluang diskret

menentukan peluang dari nilai observasi tersebut ketika eksperimen dilakukan.

Syaratnya: f ( x ) ≥0 ,nilai peluang lebih dari0 dan ∑all possible x

p ( x )=1.

Sehingga peluang distribusi diskret dapat didefinisikan sebagai tiap nilai x oleh p(x) =

P(X=x) =

B. Proses Bernoulli

Proses Bernoulli harus memiliki sifat sebagai berikut:

1. Percobaan terdiri dari n buah percobaan terulang (repeated trial).

2. Setiap percobaan menghasilkan suatu hasil yang dapat diklasifikasikan sebagai

sukses atau gagal.

3. Probabilitas keberhasilan, dilambangkan dengan p, tetap konstan dari percobaan

yang satu ke percobaan lainnya.

4. Tiap percobaan terulang merupakan saling bebas.

Pertimbangkan kumpulan dari percobaan Bernoulli dimana tiga item dipilih secara

acak dari proses manufaktur, inspeksi, dan diklasifikasi sebagai defektif dan non defektif.

Item yang defektif sebagai “sukses”. Nilai dari sukses merupakan sebuah variabelk acak X

yang diasumsikan sebagai nilai integral dari 0 – 3. Delapan outcomes yang mungkin dan

nilai yang cocok untuk X adalah

Item-itemnya dipilih secara independen dan kita asumsikan bahwa proses menghasilkan

25% “sukses”, P ( D )=14

, P (N )=34

, sehingga kita dapatkan

Dengan penghitungan yang sama untuk mencari peluang outcomes, kita peroleh

C. Macam-macam

2

BAB IPEMBAHASAN

1. Binomial probability distribution

Jumlah X sukses dalam n kali percobaan Bernoulli dinmakan variable bebas

bernouli dan distribusi peluangnya dinamakan distribusi peluang binomial dan

nilainya dinotasikan dengan b(x; n; p). dimana x = banyaknya sukses yang terjadi

dalam n kali percobaan, n = banyaknya pengulangan, p = peluang “sukses”.

Uji Bernoulli dapat menghasilkan sukses dengan probabilitas p dan kegagalan

dengan probabilitas q = 1-p. Maka distribusi probabilitas binomial variabel acak X,

jumlah sukses dalam n percobaan independen, adalah

Nilai Harapan / rata-rata : E ( x )=μ=np

Varian: Var ( x )=σ2=npq=np (1−p )

Simpangan baku: σ=√σ2=√np (1−p )

2. Hypergeometric probability distribution

Distribusi peluang dari variable bebas hypergeometric X, jumlah sukses jumlah

sampel bebas dipilih dari N item yang mana k merupkan notasi “sukses” dan N – k

notasi dari “gagal” adalah

Dimana: x = banyaknya sukses dalam n kali kejadian

N = banyaknya elemen populasi

n = banyaknya kejadian

k = banyaknya sukses dalam populasi

Range dari x dapat ditentukan oleh tiga koefisien binomial dalam pengertiannya,

dimana x dan n−x ≤ k dan N−k ,dan keduanya≥0. Biasanya jika k dan N – k lebih dari

n, maka x = 0.1, …, n.

Nilai MEAN dan Varian dari distribusi peluang hypergeometrik h(x;N,m,k) adalah

3. Multinomial probability distribution

3

Distribusi multinomial adalah sebuah distribusi dimana percobaan akan

menghasilkan beberapa kejadian.

Misalkan ada k kejadian dalam sebuah percobaan yaitu E1, E2, …, Ek. Jika

percobaan diulang sebanyak n kali dan peluang terjadinya setiap kejadian B adalah

P(E1) = p1, P(E2) = P2, …, P(Ek) = px, dengan jumlahnya masing-masing sebanyak x1, x2,

…, xk, maka fungsi distribusi multinomialnya adalah

p ( x1 , x2 , …, xk ; p1 , p2 ,…, pk )=( nx1 , x2 , …, xk ) p1

x1. p2x2…. pk

xk=( n !x1 ! . x2! … .. xk !

) p1x1 . p2

x2…. pkxk

Dengan ∑i=1

n

x i=ndan∑i=1

n

p i=1

4. Negative binomial distribution

Jiks percobaan terulang dapat menghasilkan sukses dengan dengan peluang p

dan gagal dengan peluang q = 1 – p, kemudian distribusi peluang variable bebas X,

jumlah percobaan yang mana kejadian sukses ke-k terjadi adalah

5. Poisson probability distribution

Sifat percobaan poisson:

- Peluang suatu kejadian adalah sama untuk dua interval yang sama

- Kejadian pada suatu interval saling bebas dengan kejadian pada interval yang

lain

- Terjadinya kejadian sangat jarang terjadi

Fungsi peluang poisson: p ( x )=μx e−μ

x !=¿

Dimana x = banyaknya kejadian pada interval waktu tertentu

μ = rata-rata banyaknya kejadian pada interval waktu

e = 2,71828

Nilai harapan / rata-rata: E ( x )=∑x=0

∞

xp ( x )=μ

Varian: σ 2=μ

Continuous Probability Distributions :

4

Syarat: - f ( x ) ≥0 ,nilai peluang lebih dari0

- ∑i=0

∞

P ( x )=1 , jumlahtotal pada sebuah peluang samadengan1

- peluang dihitunguntuk nilai dalam suatu interval tertentu

- Peluang disuatu titik = 0

- Peluang untuk random variable kontinyu (nilai-nilainya dalam suatu

interval), misalkan antara x1 dan x2 didefinisikan sebagai luas daerah di

bawah kurva (grafik) fungsi peluang antara x1 dan x2.

a. Normal Probability Distribution

Distribusi probabilitas kontinu yang paling penting dalam seluruh bidang statistik

adalah distribusi normal. Grafiknya disebut kurva normal, merupakan kurva

berbentuk. Selain itu, kesalahan dalam pengukuran ilmiah, sangat baik jika didekati

dengan distribusi normal. Pada 1733, Abraham DeMoivre mengembangkan

persamaan matematis dari kurva normal. Ini memberikan dasar dari mana banyak

teori statistik induktif didirikan. Distribusi normal sering disebut sebagai distribusi

Gaussian, untuk menghormati Karl Friedrich Gauss (1777-1855), yang juga berasal

persamaan nya dari studi kesalahan dalam pengukuran ulang dari kuantitas yang

sama.

Persamaan matematika untuk distribusi probabilitas dari variabel normal

tergantung pada dua parameter μ dan σ, mean dan deviasi standar. Oleh karena itu,

kami menyatakan nilai-nilai densitas X dengan n (x; μ, σ). Nilai densitas variable acak

normal X dengan mean μ and variance σ2 adalah

Dimana π=3.14 dan e=2.71828 .

Sifat-sifat distribusi peluang normal adalah

1. Bentuk kurva normal seperti bel dan simetris.

2. Parameter σ, menunjukkan lebar dari kurva normal (semakin besar nilainya,

semakin lebar).

3. Titik tertinggi dari kurva nomal terletak pada nilai rata-rata=median=modus.

5

4. Luas total area di bawah kurva normal adalah 1. (luas bagian di sebelah kiri μ

= sebelah kanan μ).

5. Peluang suatu variabel acak normal sama dengan luas di bawah kurva normal.

b. Student's T Distribution

Misal W variabel acak berdistribusi N(0; 1) dan V variabel acak berdistribusi x2 (r ) .

Misalkan pula W dan V independen sehingga pdf gabungannya adalah perkalian dari

pdf untuk W dan untuk V, yaitu

Untuk −∞<w<∞ ,0<v<∞ dan h (w , v )=0 untuk yang lainnya.

Distribusi dari T dapat dicari dengan teknik perubahan variabel melalui pemisalan

sehingga inversnya …(1)

dengan −∞<t <∞ ,0<u<∞.

Dari persamaan (1) dapat diperoleh Jacobi

Akibatnya, untuk −∞<t <∞ ,0<u<∞, pdf gabungan dari T dan U = V adalah

dan g(t, u) = 0 untuk yang lainnya.

Sementara itu, pdf marjinal untuk T adalah

Jika dimisalkan z = maka

6

Mean dan variansi dari distribusi t: Misal T berdistribusi t dengan derajat bebas r;

sehingga T dapat ditulis sebagai

dengan V berdistribusi N(0, 1) dan W berdistribusi X2(r); dan keduanya independen.

Dari sifat independen ini, maka momen ke-k dari T dapat ditulis

Selanjutnya karena momen ke-k dari distribusi X2(r), adalah

Maka

Akibatnya untuk k = 1; nilai E[T] selalu 0 karena mean dari W adalah 0.

Sementara itu untuk k = 2; momen ke-2 hanya berlaku untuk derajat bebas r > 2:

Karena E[W2]= Var(W) = 1 maka variansi dari T diberikan oleh

Jadi dapat disimpulkan bahwa distribusi t dengan derajat bebas r > 2 mempunyai

mean 0 dan variansi r/(r – 2).

c. Chi-Square Distribution

Jika Z1, …, Zk adalah independen, kemudian jumlah kuadratnya Q=∑i=1

k

(Z i )2

didistribusikan berdasarkan Chi-Square Distribution dengan k derajat bebas. Hal ini

biasanya dinotasikan sebagai Q X2 (k ) atauQ Xk2. Chi-Squared distribution memiliki

satu parameter k yang merupakan bilangan bulat positif.

Fungsi densitas peluang Chi-Squared Distribution (pdf) adalah

f ( x , k )=

xk2−1

e− x2

2k2 Γ ( k

2 )0

x≥0¿

Mean dan Varian dari Chi-Squared Distribution adalah μ=k dan σ2=2k

7

d. F Distribution

Misal U dan V dua variabel acak independen berdistribusi khi-kuadrat dengan

derajat bebas masing-masing r1 dan r2, Karena bersifat independen, pdf gabungan

dari U dan V adalah

untuk 0 < u, v < ∞ dan h(u, v) = 0 untuk yang lainnya. De_nisikan variabel acak baru

dan ingin dicari distribusi dari W.

missal

maka

dengan 0 < w, z < ∞ sehingga J=r1r2

z

akibatnya untuk 0 < w, z < ∞, pdf gabungan dari W dan Z=V adalah

dan g(w,z) = 0 untuk yang lainnya.

Untuk 0<w<∞, pdf marjinalnya adalah

Jika dimisalkan

Maka

Untuk 0<w<∞, dan g1 (w) = 0 untuk w lainnya.

8

Jadi dapat disimpulkan bahwa jika U berdistribusi X2(r1) dan V berdistribusi X2(r2);

dan keduanya independen maka variabel acak

mempunyai pdf seperti pada persamaan (3). Selanjutnya, variabel acak W dikatakan

berdistribusi F dengan parameter r1 > 0 dan r2 > 0, dinotasikan dengan F(r1, r2): Untuk

menyesuaikan dengan nama distribusinya, variabel acak W seringkali ditulis

Contoh Soal

a. Distribusi Binomial

Misalkan sebuah perusahaan asuransi mempunyai 3 calon pelanggan, dan pimpinan

perusahaan yakin bahwa peluang dapat menjual produknya adalah 0,1. Berapa

probabilita bahwa 1 pelanggan akan membeli produknya?

Pada kasus ini, p = 0,1 n = 3 x = 1

P ( x=1 )= 3 !1! (3−1 ) !

0.11 (1−0.1 )3−1= 3!1 ! (2 !)

0.110.92=0.243

Nilai Harapan: E(x) = m = np = 3.(0,1) = 0,3

Varian: Var(x) = s2 = np(1 - p) = 3(0,1)(0,9) = 0,27

Simpangan Baku: s = 0,52

b. Distribusi Multinomial

Pada suatu pemeriksaan hasil pembuatan pipa pada sebuah pabrik memperlihatkan

bahwa 85% produknya baik, 10% produknya tidak baik tapi bisa diperbaiki dan 5%

produknya rusak. Jika diambil sampel berukuran 20, berapa peluang akan terdapat 18

yang baik dan 2 yang tidak baik tapi bisa diperbaiki.

x1 = 18 = banyaknya produk baik

x2 = 2 = banyaknya produk tidak baik tapi bisa diperbaiki

x3 = 0 = banyaknya produk rusak

p1 = 0,85

p2 = 0,19

p3 = 0,05

P (18,2,0 )= 20!(18 !2!1 ! )

0,85180,120.050=0.102

Jadi peluang terambil 18 produk baik dan 2 produk tidak baik tapi bisa diperbaiki

adalah 0,102

c. Distribusi Poisson

Di RS Mercy, rata-rata pasien mendatangi UGD pada akhir minggu adalah 3 pasien

per jam. Berapa peluang ada 4 pasien mendatangi UGD pada akhir minggu?

λ = 3 pasien perjam, x = 4

P (4 )=34 e−3

4 !=0.168

Jadi peluang ada 4 pasien mendatangi UGD pada akhir minggu adalah 0,1680

d. Distribusi Hypergeometrik

Sebuah anggota komite terdiri dari 5 orang, 3 wanita dan 2 laki-laki. Jika dari komite

itu dipilih 2 orang untuk mewakili dalam sebuah pertemuan, maka peluang yang terpilih

1 wanita dan 1 laki-laki adalah :

N = 5 n = 2

r = jumlah wanita = 3

N – r = jumlah laki-laki = 5 – 3 = 2

x = jumlah wanita yang terpilih = 1

n – x = jumlah laki-laki yang terpilih = 2 – 1 = 1

P (1 )=(31)(5−32−1)

(52)=

( 3 !1!2 ! )( 2!

1 !1 ! )( 5!2 !3 ! )

=0,6

Jadi peluang terpilih 1 wanita dan 1 laki-laki adalah 0,6

10

BAB III

KESIMPULAN

Distribusi Peluang adalah deskripsi/gambaran peluang terjadinya setiap nilai dalam sutu

populasi dari percobaan. Ada beberapa macam distribusi peluang, diantaranya:

1. Distribusi Peluang Diskret

2. Distribusi Peluang Kontinyu

Distribusi peluang diskrit dibagi lagi menjadi beberapa macam, seperti:

1. Distribusi Peluang Binomial

2. Distribusi Peluang multinomial

3. Distribusi Peluang hypergeometrik

4. Distribusi Peluang poisson

5. Distribusi Peluang binomial negative

Sedangkan distribusi peluang kontinyu ada beberapa macam, diantaranya:

1. Distribusi Peluang Normal

2. Distribusi Peluang T student

3. Distribusi Peluang Chi-Squared

4. Distribusi Peluang F

Dibawah ini akan diberikan rumus-rumusnya:

1. Distribusi Binomial:

Fungsi peluang binomial : P ( x )= n !x ! (n−x )!

px (1−p )n− x

Nilai Harapan / rata-rata : E ( x )=μ=np

Varian: Var ( x )=σ2=np (1−p )

Simpangan baku: σ=√σ2=√ np (1−p )

2. Fungsi distribusi Multinomial:

p ( x1 , x2 , …, xk )=( n !x1 ! . x2! … .. xk !

) p1x1 . p2

x2…. pkx k

3. Distribusi Poisson

Fungsi peluang poisson: p ( x )=μx e−μ

x !

Dimana x = banyaknya kejadian pada interval waktu tertentu

11

μ = rata-rata banyaknya kejadian pada interval waktu

e = 2,71828

Nilai harapan / rata-rata: E ( x )=∑x=0

∞

xp ( x )=μ

Varian: σ 2=μ

4. Fungsi Peluang hipergeometrik:

p ( x )=(rx)(N−r

n−x )(N

n )Dimana: x = banyaknya sukses dalam n kali kejadian

N = banyaknya elemen populasi

n = banyaknya kejadian

r = banyaknya sukses dalam populasi

5. Persamaan Distribusi Normal adalah f ( x )= 1σ √2π

e−12 ( x−μ

σ )2

Dimana: μ= rata-rata

σ = simpangan baku

π = 3,14159

e = 2.71828

12

Daftar Pustaka

Walpole, Ronald E. 2012. Probability & statistics for engineers & scientists 9th edition. Boston:

Pearson Education, Inc

https://www.google.co.id/url?

sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=10&sqi=2&ved=0CG4QFjAJ&url=http%3A%2F

%2Fnunung.blog.unsoed.ac.id%2Ffiles

%2F2012%2F04%2F35Distribusi_F_dan_t.pdf&ei=rkN-

UdLAJ9CHrAfJuYEg&usg=AFQjCNE0zSPqYFFNYGAs0QF3M9yQO0TbLw&sig2=U9LoAGi5s

VhXNU47a5T_rA&bvm=bv.45645796,d.bmk

http://en.wikipedia.org/wiki/Chi-squared_distribution#Definition

13