Die Grundlagen der Pretty-Big-Step Semantik · 2014. 2. 11. · 2 Inhalt 1. Einleitung 2. Big-Step...

Fabian Nack

Seminar Programmiersprachen WS13/14

Freie Universität Berlin

Die Grundlagen der

Pretty-Big-Step Semantik

Semantik von Programmiersprachen

2

Inhalt

1. Einleitung

2. Big-Step Semantik

- Grundlagen und Probleme

3. Pretty-Big-Step Semantik

- Die Big-Step Semantik des Lambda-Kalküls

- Schrittweise Umwandlung in das P.-B.-S. Pendant

4. Eigenschaften der Pretty-Big-Step Semantik

5. Zusammenfassung

Die Grundlagen der Pretty-Big-Step Semantik Seminar Programmiersprachen

3

EINLEITUNG


4

Aspekte von Programmiersprachen

Syntax• Lexikalische und grammatikalische Struktur

Semantik• Bedeutung der Sprachkonstrukte

Pragmatik• Zweck und Gebrauch der Sprache


5

Formalisierungsmethoden

Klassifizierung in drei Gruppen:

1. Operationelle Semantiken

• Zustandsveränderungen durch Überführungsfunktionen

2. Denotationelle Semantiken

• Mathematische Formalisierung der Effekte von Sprachkonstrukten

3. Axiomatische Semantiken

• Transformation von Bedingungen über den Zustandsraum


6

Operationelle Semantiken

• Beschreibung der Ausführung von Programmen auf abstrakten Maschinen

• Fokus auf Zustandsänderungen

• Zustandsüberführungen mit einer Überführungsfunktion

Zwei traditionelle Ansätze

Big-Step und Small-Step


7

DIE BIG-STEP SEMANTIKGrundlagen und Probleme


8

Big-Step Semantik

• Beschreibt wie das Endresultat eines Programms entsteht:

„How to execute a program?“

• Relation zwischen Anfangsstatus und Endstatus einer Ausführung

• Semantik besteht aus einer Menge von Regeln der Form:


9

Premises, Conditions und Conclusion

Für jede Regel:

• Genau eine Conclusion

• Beliebige Anzahl Prämissen und Conditions

• Prämissen und Conclusion bilden Term mit Anfangsstatus auf Endstatus ab

Überführungsfunktion:

• Bedingungen müssen zur Anwendung einer Regel erfüllt sein


10

Big-Step Regelbeispiel

Zum besseren Verständnis exemplarisch die Regeln für eine einfache While-Schleife

Unterscheide zwei Fälle, daher zwei Regeln:

(1) wird „false“

(2) wird „true“


11

Anwendungsbeispiel: Derivation Trees

• Auswertung der Regeln für Terme als Bottom-Up Baum möglich

Blätter: Regeln ohne Prämisse (Axiome)

Ursprungswurzel: Überführungsregel für Gesamtterm

Conclusion

Prämisse 1 Prämisse 2

Prämisse 2.1 Prämisse 2.2


12

Exceptions und Divergence

• Regeln betrachten bisher nur korrekt terminierende Ausführungen

• Nun sollen auch Exceptions und Divergence betrachtet werden

Regeln müssen erweitert werden

Induktives Judgement und Koinduktives Judgement


13

Regeln für Exceptions und Divergence


14

Probleme der Erweiterung

Die Erweiterung zeigt die Probleme der Big-Step Semantik:

• Schon für simples While-Konstrukt eine Vielzahl neuer Regeln

• Regeln für Exceptions und unendliche Ausführung sehr ähnlich

• Prämissen teilweise in mehreren Regeln dupliziert, z.B.:

Beweis auf Basis dieser Semantik sehr kompliziert!


15

Regeln für Exceptions und Divergence


16

Lösung: Die Pretty-Big-Step Semantik

• Entwicklung der Pretty-Big-Step Semantik durch Arthur Charguéraud

Ziele:

• Vermeidung von Duplikaten

• Verringerung der Komplexität

Dazu eine schrittweise Umwandlung einer Big-Step Semantik:

(1) Dekomposition komplexer Regeln

(2) Einführung von Zwischentermen

(3) Verwendung von Outcomes und Behaviours zur Abbildung von



17

DIE PRETTY-BIG-STEPSEMANTIK

Schrittweise Anpassung der Big-Step Semantik


18

Der Lambda-Kalkül

• Umformung einer Big-Step Semantik am Beispiel des Lambda-Kalküls

Reminder:

• Lambda-Kalkül besteht aus Termen und Transformationsregeln

Wichtige Konstrukte:

• Variablen

• Konstanten

• Lambda-Abstraktion

• Lambda-Applikation


19

Abstraktion und Applikation

Abstraktion

• Beschreibt Funktion, die Eingabe x erhält und auf den Term t abbildet

• Beispiel:

Applikation

• Beschreibt Funktionsaufruf der Form

• Beispiel:

Identitätsfunktion

Applikation der Identitätsfunktion


20

Big-Step Semantik des Lambda-Kalküls

• Simple Grammatik des Lambda-Kalküls:

• Big-Step Semantik auf Basis dieser Grammatik formulierbar

• Auswertung von Termen t nach Values v:


21

Schritt 1: Dekomposition der Regeln

• In Schritt 1 erfolgt die Zerlegung der existierenden Regeln

• Ziel sind Regeln, die maximal einen Subterm auswerten

Zerlege

1 2 3


22


(1)

Aus der Zerlegung resultieren drei neue Regeln:

(2)

(3)


23


• Problem: Neue Regeln sind nicht eindeutig

• Beispiel:

• sowohl durch Regel 1 als auch Regel 2 reduzierbar

• Regel 1 unendlich anwendbar

Argumentation, dass der Term divergiert möglich

• Deshalb wird die Einführung von Zwischentermen notwendig


24

Schritt 2: Einführung von Zwischentermen

• Erweiterung der Grammatik:

• Zugehöriges Evaluation Judgement:

• Anpassung der Semantikregeln erfolgt entsprechend der Grammatik


25

Zwischenfazit

• Grammatik nach Schritt 2

• Semantikregeln nach Schritt 2


26

Schritt 3a: Behandlung von Exceptions

• Erweitere Grammatik um Behaviours

• Ein Behaviour bildet entweder einen Wert, oder eine Exception ab

Anpassung des Evaluation Judgements nach

• Als Zusatz werden auch folgende Terme eingeführt:

• Eine Try-Catch-Anweisung zum Exceptionhandling

• Eine Throw-Anweisung für Exceptions


27


Die neue Vorschrift erfordert die Anpassung der bestehenden Regeln


28


Zusätzlich ist die Einführung weiterer Regeln notwendig:


29

Schritt 3b: Behandlung von Divergence


• Behandlung von unendlichen Ausführungen erfordert koinduktives Judgement

• Erweitere Grammatik um Outcome

• Ein Outcome beschreibt, dass ein Term entweder mit Behaviour b terminiert

oder unendlich divergiert

Anpassung des Evaluation Judgements nach

Grammatikanpassung:

30

Finale Pretty-Big-Step Semantik

Entsprechend der Grammatik können die finalen Semantikregeln aufgestellt werden:


31

EIGENSCHAFTEN DERPRETTY-BIG-STEP SEMANTIK


32

Äquivalenz mit der Big-Step Semantik

• Automatisierter Nachweis der Äquivalenz zur Big-Step Semantik möglich

• Äquivalenz gilt für:

• Induktive evaluierte terminierende Terme

• Koinduktiv evaluierte divergierende Terme

• Formalisierung durch folgendes Theorem:

Theorem:

Für bel. Term t und beliebiges Behaviour b gilt


33

Erweiterbarkeit um generische Fehlerregeln

• Ziel: Nicht-auswertbare Terme sollen in einem Fehler resultieren

• Nützlich beispielsweise für Type Soundness Proofs:

„Wenn die Auswertung des Terms nicht in einem Fehler resultiert, ist er korrekt getypt!“

• Grobes Vorgehen zur Erweiterung ist die Einführung einer generischen Fehlerregel:


34

Erweiterbarkeit um Traces

• Ein Trace bezeichnet eine Aufzeichnung der Interaktionen eines Programms mit

seiner Ausführungsumgebung

• In Traces werden beispielsweise I/O-Operationen festgehalten

• Grobes Vorgehen zur Erweiterung:

• Führe den Trace jedes Terms während seiner Evaluierung mit

• Konkateniere Traces bei der Zusammenführung geeignet

• Beispielregeln für Read-Operationen:


35

ZUSAMMENFASSUNG


36

Zusammenfassung I

• Die Big-Step Semantik ist eine operationelle Formalisierungsmethode

für Programmiersprachen

• Problem der Big-Step Semantik:

Ineffiziente Betrachtung von Exceptions und Divergence

• Die Pretty-Big-Step Semantik behebt dieses Problem durch:

• Vermeidung von Duplikaten

• Verringerung der Komplexität


37

Zusammenfassung II

• Überführung einer Big-Step Semantik in ihr Pretty-Big-Step Pendant möglich

• Dazu: Schrittweise Umwandlung

(1) Dekomposition komplexer Regeln

(2) Einführung von Zwischentermen

(3) Verwendung von Outcomes und Behaviours zur Abbildung von


• Pretty-Big-Step Semantik ermöglicht bspw.:

• Komfortable Umsetzung von Traces

• Generische Fehlerregeln


38

Danke für eure

Aufmerksamkeit!


39

Quellen


Die Grundlagen der Pretty-Big-Step Semantik · 2014. 2. 11. · 2 Inhalt 1. Einleitung 2. Big-Step...

Documents

Transcript of Die Grundlagen der Pretty-Big-Step Semantik · 2014. 2. 11. · 2 Inhalt 1. Einleitung 2. Big-Step...