SISTEMAS DE INECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS En esta guía se abordarán los Sistemas de Inecuaciones con dos Incógnitas. Su resolución es una habilidad que te conviene adquirir ya que será indispensable para resolver ejercicios de PROGRAMACIÓN LINEAL. La programación lineal un sistema que sirve para optimizar recursos. Ya fue utilizado con éxitos en el bloque de la URSS a Berlín y mucho antes para conseguir un mayor engorde del ganado con el menor alimento posible. Su desarrollo real comenzó en 1947 cuando G.B. Dantzing formuló un sistema denominado método símplex para la resolución de estos problemas. Para resolver sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas puedes dar los siguientes pasos:

1. Representa gráficamente las inecuaciones como si fuesen rectas. 2. Señala (pinta) el semiplano respuesta según aparazca el signo menor o mayor en

la inecuación. 3. La región común de todos los semiplanos es la región respuesta. 4. Para determinar completamente la solución, se calculan las coordenadas de los

vértices de esa región.

Importante: sé meticuloso en la representación. A continuación se te muestra un ejemplo. .

Ejercicios propuestos

1¿2x+ y ≤3 ; x+ y≥1

2) x≥ 4 ; y≥2

3) x+ y≥0 ;2 x+ y ≥0

4) x+ y≥0 ;2 x− y≥0 ; x≤6

5) 2 x+3 y ≥1 ;−x+2 y ≥−1

EJERCICIOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL1. Disponemos de 210.000 euros para invertir en bolsa. Nos recomiendan dos tipos de acciones. Las del tipo A, que rinden el 10% y las del tipo B, que rinden el 8%. Decidimos invertir un máximo de 130.000 euros en las del tipo A y como mínimo 60.000 en las del tipo B. Además queremos que la inversión en las del tipo A sea menor que el doble de la inversión en B. ¿Cuál tiene que ser la distribución de la inversión para obtener el máximo interés anual?Solución Es un problema de programación lineal.Llamamos x a la cantidad que invertimos en acciones de tipo ALlamamos y a la cantidad que invertimos en acciones de tipo B

inversión rendimientoTipo A x 0,1xTipo B y 0,08y

210000 0,1x+0,08yCondiciones que deben cumplirse (restricciones):

R1 R2 R3 R4 Dibujamos las rectas auxiliares asociadas a las restricciones para conseguir la región factible (conjunto de puntos que cumplen esas condiciones)r1 r2 (paralela a OY) r3(paralela a OX) r4x y x y x y x y0 2100

00130000

0 0 60000

0 0

210000

0 130000

65000

La región factible es la pintada de amarillo, de vértices A, B, C, D y E

A(0, 60000), B(120000, 60000), C(130000, 65000), D(130000, 80000) y E(0, 210000)La función objetivo es;F(x, y)= 0,1x+0,08ySi dibujamos la curva F(x, y) =0 (en rojo) y la desplazamos se puede comprobar gráficamente que el vértice mas alejado es el D, y por tanto es la solución óptima.Comprobarlo analíticamente (es decir comprobar que el valor máximo de la función objetivo, F, se alcanza en el vértice D)2. En una pastelería se hacen dos tipos de tartas: Vienesa y Real. Cada tarta Vienesa necesita un cuarto de relleno por cada Kg. de bizcocho y produce un beneficio de 250 Pts, mientras que una tarta Real necesita medio Kg. de relleno por cada Kg. de bizcocho y produce 400 Ptas. de beneficio. En la pastelería se pueden hacer diariamente hasta 150 Kg. de bizcocho y 50 Kg. de relleno, aunque por problemas de maquinaria no pueden hacer mas de 125 tartas de cada tipo. ¿Cuántas tartas Vienesas y cuantas Reales deben vender al día para que sea máximo el beneficio?Solución En primer lugar hacemos una tabla para organizar los datos:

Tipo Nº Bizcocho Relleno BeneficioT. Vienesa x 1.x 0,250x 250xT. Real y 1.y 0,500y 400y

150 50Función objetivo (hay que obtener su máximo): f(x, y)=250x+ 400y Sujeta a las siguientes condiciones (restricciones del problema):

Consideramos las rectas auxiliares a las restricciones y dibujamos la región factible: Para 0.25x+0.50y=50, ó x + 2y=200x Y0 10

0200 0

Para x + y =150x Y0 15

0150

0

La otras dos son paralelas a los ejes Al eje OY x=125Al eje Ox y =125Y las otras restricciones (x e y mayor o igual a cero) nos indican que las soluciones deben estar en el primer cuadrante La región factible la hemos coloreado de amarillo:

Encontremos los vértices: El O(0,0), el A(125, 0) y el D(0, 100) se encuentran directamente (son las intersecciones con los ejes coordenados)Se observa que la restricción y es redundante (es decir “sobra”)Resolviendo el sistema:

, por reducción obtenemos y=50, x=100Otro vértice es el punto C(100, 50)Y el último vértice que nos falta se obtiene resolviendo el sistema:X+y=150X=125Cuya solución es: X=125, Y=25 B(125, 25)Los vértices de la región son O(0,0), A(125,0), B(125,25) y C(100,50) y D(0,100),Si dibujamos el vector de dirección de la función objetivo f(x, y)=250x+ 400y Haciendo 250x+ 400y =0, y=-(250/400)x=-125x/200x Y0 0200 -125

Se ve gráficamente que la solución es el punto (100, 50), ya que es el vértice mas alejado (el último que nos encontramos al desplazar la rectas 250x+400y=0 )Lo comprobamos con el método analítico, es decir usando el teorema que dice que si existe solución única debe hallarse en uno de los vérticesLa unción objetivo era: f(x, y)=250x+400y, sustituyendo en los vértices obtenemosf(125,0)=31.250f(125,25)=31.250+10.000=41.250f(100,50)=25.000+20.000=45.000f(0,100)=40.000El máximo beneficio es 45.000 y se obtiene en el punto (100, 50) Conclusión: se tienen que vender 100 tartas vienesas y 50 tartas reales. 3. Una escuela prepara una excursión para 400 alumnos. La empresa de transporte tiene 8 autocares de 40 plazas y 10 autocares de 50 plazas, pero solo dispone de 9 conductores. El alquiler de un autocar grande cuesta 80 euros y el de uno pequeño, 60 euros. Calcular cuantos de cada tipo hay que utilizar para que la excursión resulte lo mas económica posible para la escuela. Solución Es un problema de programación lineal, en este caso lo que queremos es hacer mínima la función objetivo.

Llamamos x al nº de autocares de 40 plazas e y al nº de autocares de 50 plazas que alquila la escuela. Entonces se tiene x , yComo sólo hay 9 conductores se verifica que: x +y Como tienen que caber 400 alumnos se debe de verificar:40x +50y , que simplificada quedaría 4 x +5y Por lo tanto las restricciones que nos van a permitir calcular la región factible (conjunto de puntos solución donde se cumplen todas las condiciones) son

La función objetivo es F(x, y)= 60x+ 80y Dibujamos las rectas auxiliares, r1 r2 r3 r4x y x y x y x y8 0 0 10 0 9 0 8

0 9 10 0Así como la de que corresponde a F(x, y)=0 que se dibuja en rojo.Teniendo en cuenta las restricciones ( la de R4 es la parte de arriba y que la R3 es la parte de abajo), se encuentra la región factible. En el dibujo es la parte amarilla.

Los vértices son (0, 8), (0, 9) y el (5, 4), este último es el punto de intersección de las rectas r3 y r4

por reducción restando ambas ecuaciones se tiene x =5 y sustituyendo en la 1ª ecuación, y =4Resolviendo gráficamente se llega a que el punto (5, 4) es la solución del problema. La solución óptima . Comprobarlo sustituyendo en F(x, y) todos los vértices y que este es el que da menor valor (método analítico).4. Una compañía posee dos minas: la mina A produce cada día 1 tonelada de hierro de alta calidad, 3 toneladas de calidad media y 5 de baja calidad. La mina B produce cada día 2 toneladas de cada una de las tres calidades. La compañía necesita al menos 80 toneladas de mineral de alta calidad, 160 toneladas de calidad media y 200 de baja calidad. Sabiendo que el coste diario de la operación es de 2000 euros en cada mina ¿cuántos días debe trabajar cada mina para que el coste sea mínimo?.Solución Organizamos los datos en una tabla:

días Alta calidad

Calidad media

Baja calidad Coste diario

Mina A x 1x 3x 5x 2000xMina B y 2y 2y 2y 2000y

80 160 200La función objetivo C(x, y)=2000x + 2000y

Las restricciones son: La región factible la obtenemos dibujando las rectas auxiliares: r1 x + 2y=80, r2 3x + 2y= 160 y r3 5x + 2y=200 en el primer cuadrante y considerando la región no acotada que determina el sistema de restricciones:

Los vértices son los puntos A(0, 100), B(20, 50), C(40, 20), D(80, 0), que se encuentran al resolver el sistema que determinan dos a dos las rectas auxiliares y (y que estén dentro de la región factible).

r1 r2 que nos da el punto (40, 20) (comprobarlo)

r2 r3 que nos da el punto (20, 50)r1 r3 no hace falta calcularlo pues queda fuera de la región factible.En la gráfica se aprecia que el primer punto que se alcanza al desplazar la recta C(x, y)=0 es el (40, 20). Luego la solución es trabajar 40 días en la mina A y 20 en la B. (método gráfico)Lo comprobamos aplicando el método analítico: C(0, 100)=2000.100=200000C(20, 50)=2000.20+2000.50=40000 + 100000= 140000C(40, 20)= 2000. 40+2000.20=80000 + 40000= 120000 coste mínimoC(80, 0)= 2000.80 =1600005. Se va a organizar una planta de un taller de automóviles donde van a trabajar electricistas y mecánicos. Por necesidades de mercado, es necesario que haya mayor o igual número de mecánicos que de electricistas y que el número de mecánicos no supere al doble que el de electricistas. En total hay disponibles 30 electricistas y 20 mecánicos. El beneficio de la empresa por jornada es de 250 euros por electricista y 200 euros por mecánico. ¿Cuántos trabajadores de cada clase deben elegirse para obtener el máximo beneficio y cual es este? Sea x = nº electricistasy = nº mecánicos

La función objetivo

f (x, y)=250x+ 200y , las restricciones La región factible sería para estas restricciones:

Se aprecia gráficamente (línea en rojo) que la solución óptima está en el punto (20, 20).Por tanto: 20 electricistas y 20 mecánicos dan el máximo beneficio, y este es 9000 euros, ya que f(x, y) =250.20+200.20=90006. Para recorrer un determinado trayecto, una compañía aérea desea ofertar, a lo sumo, 5000 plazas de dos tipos: T(turista) y P(primera). La ganancia correspondiente a cada plaza de tipo T es de 30 euros, mientras que la ganancia del tipo P es de 40 euros.El número de plazas tipo T no puede exceder de 4500 y el del tipo P, debe ser, como máximo, la tercera parte de las del tipo T que se oferten. Calcular cuántas tienen que ofertarse de cada clase para que las ganancias sean máximas.SoluciónSea x el nº que se ofertan de tipo T, y el nº que se ofertan de tipo P.

nº GananciaTurista x 30xPrimera y 40yTotal 5000 30x +40y

La función objetivo es:

f(x, y)=30x +40y

Las restricciones:La región factible:

Los vértices, A(0, 5000), B(3750, 1250), C(4500, 500) y D(4500, 0) (comprueba el punto B resolviendo el sistema correspondiente)El método gráfico nos da que el punto solución es el B (3750, 1250)

Comprueba los resultados usando el método analítico (sustituyendo los puntos vértices en f y viendo q el máximo valor se obtiene en B)

PROBLEMA DEL TRANSPORTELa formulación general de este problema es:

Un cierto producto se elabora en varios centros, n, y en su producción intervienen los productos a1,a2,...,as. Este producto debe ser enviado a m destinos cuyo coste por envío desde cada planta a cada destino son conocidos. Además se deben enviar en cantidades b1,b2,...,bs. El objetivo es minimizar el coste total del transporte.Ejercicio1:

Una fábrica de jamones tiene dos secaderos A y B que producen 50 y 80 jamones por mes. Se distribuyen a tres tiendas de las ciudades M, N y O cuya demanda es 35, 50 y 45 respectivamente. El coste del transporte por jamón en euros se ve en la tabla siguiente:

M N OA 5 6 8B 7 4 2

Averigua cuántos jamones deben enviarse desde cada secadero a cada tienda para hacer mínimo el gasto en transporte.

Solución:

En primer lugar debemos plantear el problema: sean x e y los jamones que salen del secadero A para las tiendas de M y N, en la tabla siguiente mostramos la distribución:

M N OA x y 50-x-y

B 35-x 50-y45-

(60-x-y)

Como todas estas condiciones deben ser positivas se deduce que las restricciones del problema son:

Simplificando queda:

La función coste se obtiene multiplicando los elementos de la tabla de coste por los de la tabla de distribución y simplificando queda C(x,y)=815-8x-8y.

2. PROBLEMA DE LA DIETALa formulación general de este problema es:

Para que una dieta sea equilibrada deben ingerirse n elementos nutritivos básicos en cantidades mínimas b1, b2,..., bs. Estos elementos se encuentran en m alimentos. Conocemos cuál es la cantidad de cada elemento en cada unidad de cada uno de los alimentos y el coste de la unidad de cada alimento. Se debe minimizar el coste de la dieta pero cubriendo las necesidades nutritivas mínimas.Ejercicio 2:

En un hospital se quiere elaborar una dieta alimenticia para un determinado grupo de enfermos con dos alimentos A y B. Estos alimentos contienen tres principios nutritivos: N1, N2 y N3. Una unidad de A vale 1 euro y contiene 2 unidades de N1, 1 de N2 y 1 de N3. Una unidad de B vale 2.40 euros y contiene 1, 3, y 2 unidades de N1, N2 y N3 respectivamente. Un enfermo de este grupo necesita diariamente al menos 4, 6 y 5 unidades de N1, N2 y N3 respectivamente. Se pide:

a) Plantear un problema de programación lineal que permita determinar las cantidades de alimentos A y B que dan lugar a la dieta de coste mínimo.

b) Resolver el problema

Solución:

Organizamos los datos en una tabla de doble entrada

Cantidad de alimento N1 N2 N3 Precio

A x 2x x x xB y y 3y 2y 2.40y

4 6 5El gasto a minimizar es G(x,y)=x+2.40y y las restricciones serán:

Problemas propuestos de programación lineal

1Unos grandes a l macenes e nca rgan a un fab r i cante panta lones y

chaquetas depor t i vas . E l f ab r i can te d i spone pa ra l a con fecc i ón de 750 m de

te j i do de a l godón y 1000 m de te j i do de po l i és te r . Cada pan ta lón pre c i sa 1 m de

a lgodón y 2 m de po l i és te r . Pa ra cada chaqueta se neces i tan 1 .5 m de a lgodón y

1 m de po l i és te r . E l p rec i o de l pan ta l ón se f i j a en 50 € y e l de l a chaqueta en 40

€ . ¿Qué número de pan ta l ones y chaque tas debe sumin i s t ra r e l f ab r i can te a l o s

a lmacenes pa ra que é s tos cons igan una ven ta máx ima?

2Una compañ ía f abr i ca y venden dos mode los de l ámpara L 1 y L 2 . Pa ra su

fab r i cac ión se nece s i ta un t raba jo manua l de 20 m inu tos pa ra e l mode lo L 1 y de

30 mi nu tos pa ra e l L 2 ; y un t raba jo de máqu i na pa ra L 1 y de 10 m inu tos pa ra L 2 .

Se d i spone pa ra e l t r aba jo manua l de 100 ho ras a l mes y pa ra l a máqu i na 80

ho ras a l mes . Sab ie ndo que e l bene f i c io po r un idad es de 15 y 10 eu ros pa ra L 1

y L 2 , r espec t i vamente , p l an i f i ca r l a p roducc ión pa ra ob te ner e l máx imo

bene f i c io .

3Una e mpre sa de t ranspor tes t i e ne dos t i pos de cami one s , l o s de l t i po A

con un espac io re f r ige rado de 20 m 3 y un espac io no re f r ige rado de 40 m 3 . Los

de l t i po B , con igua l cub ica je to ta l , a l 50% de re f r ige rado y no re f r i ge rado . La

cont ra tan pa ra e l t r anspor te de 3 000 m 3 de produc to que nece s i t a re f r ige rac ión

y 4 000 m 3 de o t ro que no l a neces i ta . E l cos te po r k i l ómet ro de un camión de l

t i po A es de 30 € y e l B de 40 € . ¿Cuán tos cami ones de cada t i po ha de u t i l i za r

pa ra que e l cos te t o ta l se a m ín imo?

4En una g ran ja de po l l o s se da una d ie ta , pa ra engordar , con una

compos ic ión m ín ima de 15 un idades de una sus tanc ia A y o t ras 15 de una

sus tanc ia B . En e l mercado só lo se encuent ra dos c lases de compues tos : e l t i po

X con una compos ic ión de una un idad de A y 5 de B , y e l o t ro t i po , Y , con una

compos ic ión de c inco un i dades de A y una de B . E l p rec io de l t i po X es de 10

eu ros y de l t i po Y e s de 30 € . ¿Qué cant idade s se han de compra r de cada t i po

pa ra cubr i r l a s neces idades con un cos te m í n imo?

5Con e l comi enzo de l cur so se va a l anza r unas o fe r tas de mater ia l

esco la r . Unos a lmacenes qu ie ren o f re cer 600 cuadernos , 500 ca rpe tas y 400

bo l íg ra fos pa ra l a o f e r ta , empaque tándo lo de dos fo rmas d i s t in tas ; en e l p r ime r

b loque pondrá 2 cuadernos , 1 ca rpe ta y 2 bo l íg ra fos ; en e l segundo , pondrán 3

cuadernos , 1 ca rpe ta y 1 bo l íg ra fo . Los p rec i os de cada paquete se rán 6 .5 y 7 € ,

r espe c t i vame nte . ¿Cuán tos paquetes l e conv iene pone r de cada t i po pa ra

obtener e l máx i mo bene f i c i o?

6Unos grandes a l macenes desean l i qu ida r 200 camisas y 100 pan ta l ones

de l a temporada ante r io r . Pa ra e l l o l anzan , dos o fe r t as , A y B . La o fe r ta A

cons i s te en un l o te de una cami sa y un pan ta lón , que se ve nden a 30 € ; l a

o fe r ta B cons i s t e en un l o te de t res cami sas y un pan ta lón , que se vende a 50 € .

No se desea o f recer me nos de 20 l o te s de l a o fe r ta A n i me nos de 10 de l a B .

¿Cuántos l o te s ha de ve nder de cada t ipo pa ra max i mi za r l a gananc ia?

7Se d i spone de 600 g de un de te rminado fá rmaco pa ra e labo ra r pas t i l l a s

g randes y peque ñas . Las g randes pesan 40 g y l a s pequeñas 30 g . Se ne ces i tan

a l menos t res pas t i l l a s g randes , y a l menos e l dob l e de pe queñas que de l as

g randes . Cada pas t i l l a g rande p roporc i ona un bene f i c io de 2 € y l a peque ña de 1

€ . ¿Cuán tas pas t i l l a s se han de e labo ra r de cada c lase pa ra que e l bene f i c io sea

máx imo?

8Una e scue l a p repara una excu rs ión pa ra 400 a lumnos . La empresa de

t ranspor te t i ene 8 au tobuses de 40 p lazas y 10 de 50 p l azas , pe ro só lo d i spone

de 9 conduc to res . E l a lqu i l e r de un au toca r g rande cues ta 800 € y e l de uno

pequeño 600 € . Ca l cu la r cuán tos au tobuses de cada t ipo hay que u t i l i za r pa ra

que l a excu rs i ón resu l t e l o más económica pos ib le pa ra l a e scue la .