Música y matemáticas. Caminos paralelos que para los historiadores no dejan de estar llenos de...

Música y matemáticas.Caminos paralelos

El pensamiento, cuanto más puro, tiene su número, su medida y su música.

Zambrano

Música es la ciencia de la armonía medida.

San Isidoro

Prof. Dr. Félix García MerayoVicepresidente de ACTA

AUTORES CIENTÍFICO-TÉCNICOS Y ACADÉMICOS

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➠1. Introducción

“Transactions of the Royal Society era una mezcla notable deinsensateces e ideas soberbias; de magia, matemáticas, lógica…”. Estecomentario pertenece a un prólogo a la sección “Las Matemáticas enla Literatura” de un trabajo dedicado al mundo de las matemáticas.Parece que el escritor irlandés y clérigo anglicano Jonathan Swift(1667-1745), autor de los Viajes de Gulliver (1726), leyó y examinócon detenimiento la citada publicación con una visión crítica pero a lavez humorística y, sobre todo, con la intención de reunir material parasus escritos. En Transactions, Swift podía encontrar estudios de todotipo, desde comentarios y viajes extraños hasta la teoría de la músicay su relación con las matemáticas. La analogía entre la música y lasmatemáticas fue estudiada por el famoso matemático y sacerdoteinglés John Wallis (1616-1703), perteneciente al grupo fundador pre-cisamente de la Royal Society y por uno de los virtuosos, el musicólo-go reverendo Thomas Salmon. Existe un escrito del primero titulado“La teoría de la música reducida a progresiones aritméticas y geomé-tricas”.

Todo lo anterior sucede en una época a caballoentre los siglos XVII y XVIII. Por tanto, en aquellos tiem-pos tan alejados de nosotros ya se comentaba y escri-bía sobre la interacción y dependencia entre la músi-ca y las matemáticas. Pero encontramos otras épocas,aún más pretéritas, en las que ya se afirmaba que losnúmeros y las proporciones constituían la esencia delsonido para producir la música. Es decir, una y otra,matemática y música, vienen caminando juntasdesde los tiempos más remotos. Y siempre ha ocurri-do lo mismo: se trata de un matrimonio muy bienavenido, matrimonio que aún permanece unido.

En la historia de las matemáticas encontramosalgunos ejemplos. Arquitas, nacido en Tarento (428-347 a.C.), ciudad del sur de Italia, fue un pitagóricoque mantuvo relaciones con filósofos de Atenas comoPlatón del que se dice que en cierta ocasión influyópara salvarle la vida. Además de geómetra, Arquitas

fue uno de los primeros que se atrevió a escribir sobremecánica, siendo muy hábil en la construcción dejuguetes y modelos de madera. En música, dio lasrazones numéricas para los intervalos del tetracordio,conjunto de cuatro notas. Sostenía que el sonido delas notas más altas correspondían a movimientos másrápidos transmitidos al aire y las más bajas a movi-mientos más lentos. Hoy utilizamos otro lenguaje mástécnico para decir las mismas cosas que enunciabaArquitas.

En el fragmento de las teclas de un piano repre-sentado en la figura, se han anotado las frecuenciasde cada nota. Es evidente, entonces, la relación direc-ta entre números y notas, relación que ha existidodesde siempre. Por eso hablamos del paralelismoentre música y números.

Comenzamos así nuestro caminar histórico por elrumbo de la música y dejando patentes los estrechoslazos con las matemáticas de las que ha nacido y conlas que se ha criado. El camino es largo y lo iniciare-mos en el momento en que aparecen los primerosvestigios e informaciones del paralelismo aludido.

Pitágoras. La Escuela de Atenas, detalle.

➠2. Los inicios. Siglo VI a.C.

Pitágoras fue discípulo de Tales en la ciudad deMileto y más tarde miembro de la escuela jónica. Fueuno de los que ejerció mayor influencia en las gene-raciones que le siguieron. Nació en la isla de Samosalrededor de 570 a.C., isla situada a unos 50 kilóme-tros al noroeste de Mileto, donde vivió varios años,pero debido a sus ideas políticas hubo de trasladarsehacia 532 a Crotona, colonia griega situada en el surde Italia, en la Magna Grecia. Allí se convirtió en el

ACTAACTAMúsica y matemáticas. Caminos paralelos

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La Escuela de Atenas. Rafael, Vaticano.

Fragmento de teclado de piano con sus respectivas frecuencias. Wikipedia, Enciclopedia libre.

artífice de una escuela de matemáticas y filosofía. Fueun jefe religioso considerado, sobre todo, moralista yprofeta sin dejar de ser, en todo momento, un cientí-fico. Su campo de sabiduría iba desde la filosofía a lapolítica, pasando por las matemáticas, la música y laética. Por ello, Bertrand Russell dijo de él que intelec-tualmente fue uno de los hombres más importantesque hayan existido nunca. Más tarde, hacia 496,hubo de exilarse a Metaponto donde muere hacia480 a.C.

Pitágoras. Museo Capitolino, Roma.

Al no haber quedado escrito alguno de Pitágorassino sólo los testimonios que nos han llegado transmi-tidos por sus discípulos y luego por los filósofos ára-bes, tanto las fechas de su vida como los viajes que sedice realizó en su juventud a Babilonia, Fenicia, Egip-to, y por el resto de los países mediterráneos, sonhechos que para los historiadores no dejan de estarllenos de incógnitas y conjeturas. Por tanto, son discu-tibles, el año de su nacimiento, su muerte violenta ono en Metaponto y la cronología de sus viajes.

Según nos ha transmitido la tradición, Pitágorasera de costumbres vegetarianas; nunca usó vestidosde lana y llevaba los pies desnudos. Tenía la creenciade que el alma podía salir del cuerpo de forma pasa-jera o permanente pudiendo introducirse en el cuer-po de otro (reencarnación), lo que conducía al “eter-no retorno”.

En cuanto a los números se refiere (para Pitágoras“todo era número” y la estética musical también loera) desarrolló con sus discípulos una teoría basadaen las siguientes observaciones:

1. Existe una relación matemática entre las notasde la escala musical y la longitud de una cuer-da o una columna de aire en vibración, de tal

forma que los números constituyen el soportede los intervalos musicales.

2. La segunda concierne a los triángulos rectán-gulos. La debió aprender en Egipto o en Babi-lonia y se refiere a la regla de los números 3,4, 5 ó 6, 8, 10, relativa a las medidas que lostres lados de un triángulo deben cumplir paraser rectángulo.

3. Existe una relación numérica determinadaentre los tiempos necesarios (período) paraque los distintos cuerpos celestes describan suórbita alrededor de la Tierra. Esto le conducea considerar que el Universo está gobernadotambién por números y que la Tierra es redon-da.

Por todo ello, Aristóteles decía de los pitagóricosque suponían que los números eran los elementosconstitutivos de todas las cosas y los cielos se compo-nían de una escala musical y un número. En su Meta-física agregaba que estos filósofos notaron que todoslos modos de la armonía musical y las relaciones quela componen se resuelven con números proporciona-les.

Y ya limitándonos a la música, Alfred N. White-head, matemático y filósofo británico contemporá-neo, decía que Pitágoras descubrió la importancia detratar con abstracciones y, en particular, llamó la aten-ción sobre el número como característica de las perio-dicidades de las notas musicales.

Aristóteles.La Escuela de Atenas, Rafael, detalle.

La filosofía practicada por los pitagóricos, en loreferente a la música, nos lleva a considerar, comotambién lo hicieron ellos, que la música es una cues-tión de proporciones ya que su belleza reside en losnúmeros que son la base para constituir los interva-


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los, distancia que separa una nota de otra en unaescala musical. Ese pensamiento coincide con el quetuvieron más tarde los filósofos árabes. Con los pita-góricos nació, por tanto, la escala musical y con elladieron respuesta a los criterios tanto numéricos comoestéticos de la música. Era la consecuencia, primerode asociar la realidad de un fenómeno físico, el soni-do, con los conceptos matemáticos de las frecuenciasde las vibraciones, y después de relacionar entre sí lasdiferentes frecuencias.

A Pitágoras le debemos también la propia palabramatemáticas (mathema, conocimiento) y su divisiónen dos ramas: las discretas, que estudian los “cuán-tos” (multitud), y las continuas, que tratan del “cuán-to” (magnitud). Bajo la rama de discretas, se encuen-tran la aritmética y la música, y pendientes de la otrarama, la geometría y la astronomía. Estas cuatro últi-mas especialidades dieron origen al Quadrivium pita-górico. Todo ello nos lleva a considerar y resaltar lapreocupación por el estudio de la música que ya tení-an los pitagóricos.

El Quadrivium pitagórico.Fragmento del códice de Nicolo da Bologna,

Biblioteca Ambrosiana, Milán.

Cuenta la leyenda que cierto día Pitágoras pasabapor delante de una herrería. Se puso a observar yescuchar el martilleo del herrero al percutir con susmartillos el hierro que estaba forjando. El sonido quese producía dependía totalmente del tamaño, y portanto del peso, del martillo que empleaba en cadamomento. La relación entre los pesos respectivos delos martillos era 12/9/8/6. Más adelante volveremos y

Pauta. Renglón formado por líneas paralelas, enlas cuales, y en los renglones que comprenden, seescriben las notas musicales ubicadas según sualtura (frecuencia).

Pentagrama. Pauta formada por cinco líneas.

Ritmo. Combinación de sonidos con el movimien-to y el tiempo.

Tono. Cualidad del sonido que depende de la fre-cuencia de la onda transmisora del mismo. Exis-ten tonos graves (bajos) si su frecuencia es baja yagudos (altos) cuando su frecuencia es alta. Cuan-do se golpea ligeramente un diapasón tipo, éstepuede vibrar con una frecuencia, por ejemplo, de440 vibraciones por segundo (440 hertzios, Hz)produciéndose entonces la nota la.

CONCEPTOS MUSICALES BÁSICOS

Acorde. Se produce cuando dos notas suenansimultáneamente. Su sonido puede ser agradableo menos agradable.

Armonía. Producción de sonidos simultáneos.

Compás. Medio con el que se mide y divide lamúsica en fracciones iguales. Sin el compás falta-ría el ritmo. En el pentagrama, cada compás estáseparado del siguiente por medio de una líneavertical. De línea a línea hay la misma unidad detiempo.

Escala. Sucesión de notas correlativas ascenden-tes o descendentes. Los griegos empleaban laescala musical pentatónica de cinco tonos onotas; los pitagóricos, la de siete, heptatónica odiatónica, que corresponde a las teclas blancasdel piano; la escala cromática contiene docetonos y corresponde a las teclas blancas y negrasdel piano.

Frecuencia. Representa la rapidez con la que seproducen las vibraciones en un medio, como porejemplo, en una cuerda de guitarra, de violín, enun diapasón, etc., y se mide por el número devibraciones por segundo (Hz, hertzios).

Intervalo. Distancia que separa una nota musicalde otra en una determinada escala musical. Loshay ascendentes, cuando la primera nota es másgrave que la segunda, y descendentes, cuandosucede lo contrario.

Melodía. Concurrencia de sonidos sucesivos.

Música. Reunión de sonidos emitidos por un ins-trumento o voz humana con arreglo a un métodobasado en la melodía, la armonía y el ritmo.

Notas. Son los siete monosílabos DO, RE, MI, FA,SOL, LA, SI.


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profundizaremos sobre estas relaciones poniéndolesnombres, como ya hiciera Pitágoras.

Nicómaco de Gerasa (Jordania), filósofo y mate-mático neoplatónico que vivió en el siglo II d.C., dejóevidencia en su obra Enchiridion harmonices de quelo relatado sobre los martillos era sólo eso, una leyen-da. No obstante, como veremos, la parte material deeste relato tiene una cierta similitud con el instrumen-to que Pitágoras empleaba para estudiar los sonidosde las notas musicales y mostrar sus teorías a los dis-cípulos de su escuela, aparato que no era otro que unrudimentario monocordio.

Los martillos de Pitágoras. Wikipedia, Enciclopedia libre.

El monocordio fue un antepasado de los instru-mentos de cuerda percutida. Fue descrito por Eucli-des en el siglo IV a.C., lo que nos indica que tambiénEuclides, gran geómetra, vinculaba la música con lasmatemáticas. Pero trescientos años antes ya lo cono-cía, como hemos dicho, Pitágoras. Realmente, enaquel tiempo no era un instrumento musical sino másbien un útil con el que demostrar las leyes básicas dela armonía, así como para enseñar las escalas y losintervalos entre las notas musicales.

Está formado por una caja de resonancia deforma rectangular estrecha y alargada. Tiene dospuentes sobre los que se tiende una cuerda tensadapor medio de una clavija. Con un tercer puente movi-ble a mano se consiguen distintas longitudes en lacuerda que al ser percutida producía notas distintas.

Monocordio. Museo Nacional Germánico, Nüremberg.

Fue Pitágoras quien descubrió los intervalos utili-zando para ello este instrumento. La nota emitida alpercutir la cuerda tensada dependía de la longitud de

la misma. A cada longitud le atribuyó un número yestudió la relación existente entre esa longitud y elsonido armonioso producido: nacía la relación entrelas longitudes de las cuerdas y los números enteros.

Pitágoras, igual que le ocurriría a cualquier otroteórico de la música, se percató de que al utilizar elmonocordio, cuanto más larga era la longitud de lacuerda tanto más grave era el sonido producido, y alcontario, el sonido era tanto más agudo cuanto máscorta era la cuerda. Además, si dividía la cuerdavibrante mediante el puente movible en dos partesiguales, cada mitad producía el mismo sonido, esdecir, vibraban al unísono. (Nosotros decimos hoyque esos sonidos son de la misma frecuencia). Larazón, por tanto, de ambas frecuencias es 1/1.

Por otra parte, esos dos sonidos se parecíanmucho al producido por la cuerda completa, aunqueeran más agudos. Descubrieron la octava, separacióno intervalo existente con el sonido inicial o, lo que esequivalente, separación entre el punto medio de lacuerda y el anclaje de la misma. Como la frecuenciacon la que vibra cada mitad es el doble de la frecuen-cia con la que vibra la cuerda completa, las frecuen-cias de los sonidos que estaban separados una octa-va estarán en la relación 1/2.

Pitágoras dividió después la cuerda en tres partes,poniendo la separación a 2/3 de un anclaje y a 1/3del otro, resultando una parte de doble longitud quela otra. Al hacer vibrar las partes, de nuevo una deellas (la más larga) lo hizo con una frecuencia dobleque la otra (la más corta). El intervalo resultante entrelos dos sonidos obtenidos al hacer vibrar la cuerda delongitud 2/3 y la total (de longitud 1) constituye laquinta, y la relación entre sus respectivas longitudes yfrecuencias es (2/3)/1=2/3.

CONCEPTOS ARITMÉTICOS BÁSICOS

Media aritmética. Media aritmética de dos núme-ros a y b, es la semisuma de sus valores, es decir,(a + b) / 2.

Media geométrica. Media geométrica de dosnúmeros a y b, es la raíz cuadrada de su produc-to, es decir, √−(a ·b). También recibe el nombre demedia proporcional entre a y b.

Media armónica. Media armónica de dos númerosa y b es la inversa de la media de los inversos deesos números, es decir, 2/(1/a+1/b) = 2a·b/(a+b).


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Estas ideas tan simples fueron suficientes para quelos pitagóricos crearan con ellas su escala musical.Observamos que esta base numérica con la que tra-bajaban estaba soportada por sólo los números ente-ros 1, 2 y 3. No podía ser más simple.

Monocordio, relaciones y proporciones.Wikipedia, Enciclopedia libre.

Volviendo a la cuerda del monocordio, si la divi-dimos ahora en 4 partes y tomamos las 3 primerasdesde uno de los anclajes, obtendremos una divisiónde longitudes 3/4 y 1/4. El intervalo entre los dossonidos producidos por la cuerda completa y la delongitud 3/4 constituye la cuarta y la relación entre susrespectivas longitudes o frecuencias, será (3/4)/1=3/4.Así nació la primera escala musical de la historia, laescala pitagórica.

Pitágoras denominó tono a la nota que producíala cuerda completa, diapasón a la octava, diapente ala quinta y diatesarón a la cuarta.

Hemos hablado de la escala musical pitagórica.Ampliemos el concepto. Para esa escala, aquellossonidos que diferían en un número entero de octavas,formaban una nota. Teniendo en cuenta todo lodicho, con sólo los enteros 1 y 2, no podía obtenersemás que una octava, lo que daba lugar a una escalamusical minimalista ya que los únicos sonidos quepodrían obtenerse corresponderían a longitudes de laforma (1/2)n, con n entero. Ello conduciría a unasucesión monótona de octavas y solo octavas.

Utilizando el 3, es decir, introduciendo la quinta,ya era posible obtener un sonido situado entre elsonido base (toda la cuerda) y su octava siguientesuperior, es decir, se obtiene una nueva nota.

Dividiendo la octava con la ayuda de un pequeñonúmero de sonidos intermedios se consigue una esca-la musical. Eso es lo que hicieron los pitagóricos.

SOBRE ESCALAS MUSICALES

La distancia entre, por ejemplo, un do y el siguien-te es un intervalo de una octava. Una escala esuna progresión de notas en sentido ascendente odescendente desde una nota cualquiera hasta suoctava. La palabra “escala” sugiere un paralelismoentre las notas musicales y los peldaños de unaescalera.

Existen varios tipos de escalas: la escala pentató-nica, formada por cinco sonidos o notas; la hindú,denominada sa-grama; la escala árabe, de 17tonos. La escala fundamental europea es la diató-nica, que la forman una serie de tonos y semito-nos dentro de una octava.

Si se tocan todas las teclas blancas del pianodesde el do central hasta el siguiente do, se obtie-ne la escala mayor. También, una escala es mayorcuando el intervalo entre el primer grado o notade la escala y el tercero es de dos tonos, es decir,de una tercera mayor.

Si se tocan en el piano todas las notas, tanto lasblancas como las negras, a partir de cualquier dohasta su octava, se obtiene una sucesión queconsta de 12 semitonos. Es la escala cromática.


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Esquema de las relaciones en la escala musical pitagórica.

Tomando la quinta como punto inicial, considerarondespués la quinta de la quinta, y luego la quinta de laquinta de la quinta, y así sucesivamente, es decir,hicieron un encadenamiento de quintas y de octavas:partían de un sonido (una nota) y tomaban primerosu quinta, multiplicando su frecuencia por 3/2, luegola quinta de la quinta y así sucesivamente hasta quecompletaban el número de sonidos que deseaban.

Resumiendo: Pitágoras se había percatado de queal dividir la cuerda en tres partes, se obtenía un soni-do (la quinta) que se acoplaba bien (resultaba armo-nioso) con el sonido fundamental y que con unasucesión de quintas obtenía una docena de intervaloso sonidos con retorno al fundamental.

La correspondencia de tono, cuarta, quinta yoctava con los nombres de las notas musicales talcomo las conocemos actualmente es, respectivamen-te, do, fa, sol y do. Esta escala es la escala pitagóricadiatónica.

Los pitagóricos aún hicieron otras cosas con losnúmeros. Introdujeron y manejaron varios tipos demedias. Tenían conocimiento, entre otras, de lamedia aritmética, de la geométrica y de la armónica,aunque no las llamaban así. Fueron conscientes deque la relación 3/4, cuarta, era la media aritmética de1, tono, y 1/2, octava: 3/4=[(1+1/2)/2]. De igualmanera, 2/3, quinta, resultaba de tomar la mediaarmónica entre esos mismos valores, 1 y 1/2, así,2/3=2/[(1/1)+1/(1/2)].

¿Y qué ocurrió con la media geométrica? Al que-rerla emplear se encontraron con un número que lesresultaba desconocido ya que no era entero y sí irra-cional inconmensurable. Esa media daba lugar alresultado de √

−2·1 = √

−2. Equivalía a colocar el puen-

te movible del monocordio a una longitud del origende 1/√

−2, entre 3/4 (cuarta) y 2/3 (quinta). Hoy sabe-

mos que esa longitud de cuerda da lugar a la notafa#, fa sostenido, nota que corresponde a la escalamusical cromática.

Apoyándose en los mismos hechos, los griegosdescubren los primeros términos de la serie armónicade frecuencias sucesivas. Designando por f la frecuen-cia de la cuerda entera, a medida que se subdividíaen partes iguales, se obtenía la serie de frecuenciassucesivas, f, 2f, 3f, 4f, de notas cada vez más agudas.

Volviendo a las teorías pitagóricas sobre la rela-ción entre la vibración producida (frecuencia) y lalongitud de la cuerda pulsada sucede que, al comen-zar con una cuerda que produzca la nota C, al pulsarotra cuerda mitad se volvía a producir la misma notaC pero una octava más alta, es decir, más aguda ycon una frecuencia doble. De esta manera, los pitagó-ricos descubrieron que todas las notas de la escala serelacionaban entre sí mediante números enteros.

varemos que algunas de las teclas blancas tienenintercaladas entre ellas otras negras, mientras queotras no. Vemos, entonces, que entre dos teclasblancas consecutivas se dan unas veces otrasnegras y otras veces ninguna negra.

Lo anterior indica que la distancia entre blancas esa veces más larga (ninguna negra) que otras (unanegra). Las distancias más largas se denominantonos enteros o simplemente tonos y las máspequeñas, medios tonos o semitonos.

Distancia en semitonos entre las notas musicales de una octava.

El semitono es, pues, el intervalo más pequeño enla música occidental, con lo que la octava se com-pone de doce semitonos. De igual forma, unaquinta (por ejemplo, do-sol) se compone de sietesemitonos.

TONOS Y SEMITONOS

En la primera figura se ha representado una partedel teclado de un piano. La primera tecla blancaseñalada con una s corresponde a un do. Tocandosólo las teclas blancas, por ejemplo, desde ese doal siguiente, hay ocho notas sucesivas ascenden-tes, do, re, mi, fa, sol, la, si, do. Habremos tocadouna octava. Si ahora tocamos la misma octavapero incluyendo también las teclas negras, obser-


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Al modificar la longitud de la cuerda mediante relacio-nes enteras se producen las notas de la escala diatónica.

Efectivamente, comenzando con una cuerda queprodujera la nota C, llamémosla C alta, Ca, otra cuer-da con una longitud 16/15 de la primera (un pocomás larga), produciría la nota B (más grave), y otracuerda 6/5 de la C (un poco más larga aún que laanterior), producía la A; 4/3 de C produce la G; 3/2de C daría lugar a la F; 8/5, produce la E; 16/9 de Cda la D y 2/1 de C produce de nuevo una C, Cb, baja.Se conseguía así una sucesión de notas cada vez másgraves. La nota Cb es el doble de grave que la Ca.

Notamos lo siguiente. Las frecuencias con las quevibran las sucesivas cuerdas están en una relacióninversa con las relaciones numéricas (fracciones)anteriores. Así, Cb vibra con una frecuencia de 261 Hz y cuando se pulsa una cuerda de longitudmitad de Ca, ya se ha dicho que se produce una octa-va más alta que Cb, siendo entonces la frecuencia de522 Hz. Resumiendo, las longitudes son inversamen-te proporcionales a las frecuencias de sus vibraciones:la relación de longitudes es Cb/Ca = 2/1, mientras quela relación de sus frecuencias es f Cb/f Ca =264/528=1/2.

Las relaciones pitagóricas entre las notas handado lugar a la escala diatónica utilizada durante másde 2.000 años en el mundo occidental. No obstante,Pitágoras se percató de que su sistema consistente endividir la octava mediante relaciones entre númerosenteros, daba lugar a ciertas discrepancias; pero alestar comprometidos sólo con los números enteros,prefirieron su empleo a tener que utilizar relacionesno racionales. Este problema surgido se conoce comocoma pitagórica y puede percibirse cuando se tocandos notas simultáneamente: la ligera discrepancia sepresenta en la sintonía de ciertas notas pertenecientesa octavas altas y bajas. Empleando un lenguaje pococientífico, musicalmente hablando, algunos definen lacoma pitagórica como la diferencia entre el semitonomayor y el semitono menor, diferencia que también

fue advertida por Aristóxenes en el 235 a.C. La comano es percibida nada más que por un oído sumamen-te delicado.

Para poner fin a las teorías pitagóricas, añadire-mos unas ideas sobre la música del Universo. Lospitagóricos creían también en la existencia de unaspecto musical del cielo o, como ellos decían, músi-ca de las esferas o armonía de las esferas, ideacomentado también por Platón en La República yque se apoyaba en las matemáticas de los sonidos yen una perfecta sintonía con el estudio de los perío-dos de los planetas. Esta teoría trataba al universocomo si de un instrumento más se tratase. Aristóteles,en clara referencia a los pitagóricos, decía (De Caelo,Libro II.9) que suponían que el movimiento de loscuerpos celestes debe producir sonido, dado que en laTierra el movimiento de los cuerpos de mucho menortamaño produce dicho efecto. Y a partir de este argu-mento y de la observación de que sus velocidades (lade los astros) medidas por sus distancias, guardanigual proporción que las consonancias musicales, ase-veran que el sonido proveniente del movimiento cir-cular de las estrellas corresponde a una armonía.

¿Y cómo es que no somos capaces de percibir talsonido? Así lo justifica Pitágoras: al ser un sonido per-manente desde el mismo instante en que nacemos,no es distinguible del silencio. Aristóteles considerabaincreíble esta teoría, pero lo cierto es que permanecióentre nosotros casi veinte siglos, hasta la época deKepler.

➠3. Nombres para las notas

Actualmente, cada una de las siete notas musica-les, en razón de su duración recibe un nombre y tieneuna representación oval blanca o negra, según seindica en la figura que sigue.

Denominación de las notas según su duración.Ottó Károlyi, Los grandes Compositores, Salvat.

Esas duraciones temporales de los sonidos siguenla siguiente serie geométrica, 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16,1/32, 1/64, es decir, (1/2)n, desde n=0 a n=6 quecorresponden, respectivamente, a la redonda, blanca,


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negra, corchea, semicorchea, fusa y semifusa, lo quequeda recogido en el esquema que se acompaña. Enél se ve que la duración de una redonda, equivale ala duración de dos blancas y por tanto, la relación deesas duraciones es 1 a 1/2. Lo mismo con las demásnotas.

Duración relativa de las notas.Ottó Károlyi, Los Grandes Compositores, Salvat.

De nuevo nos encontramos que las relaciones for-madas por enteros siguen siendo la base matemáticade la música actual.

Los antiguos griegos (también los romanos) utili-zaban letras de su alfabeto para representar las notasde su escala musical. La altura (frecuencia) de lossonidos se indicaba por las primeras siete letrasmayúsculas del abecedario. Pero por razones históri-cas, esta sucesión no comenzaba por la A (nuestranota la), sino por la C (corresponde a do), quedandode la siguiente manera: C, D, E, F, G, A y B, termi-nando otra vez con la C y produciendo así un inter-valo de C a C de ocho notas que se corresponden conlas notas blancas del piano.

➠4. Claudio Ptolomeo

Ptolomeo nació en Tolemaida Herminia, AltoEgipto, c.100, y murió en Cánope, c.170. Fue unmatemático greco-egipcio, además de astrónomo ygeógrafo. Es posible que sus trabajos y estudios losrealizara en la biblioteca de Alejandría. En su obraMegale Syntaxis o Constructio mathematica, desarro-llada en 13 libros conocidos con el nombre genéricode Almagesto, explica la teoría matemática (geocén-trica) de los movimientos del Sol, la Luna y de otrosplanetas. Estas teorías fueron desechadas al irrumpirlas teorías heliocéntricas de Copérnico en 1543.Almagesto, en griego, viene a significar algo así comouna sintaxis o resumen matemático, lo que tiene sen-tido de compilación astronómica y geométrica.

Ptolomeo, según un grabado alemán del siglo XVI.

Se interesó por la música, escribiendo un tratadode teoría musical titulado Harmonicas, aparecido enlatín en Venecia (1562) y más tarde en griego enOxford (1682) en el que manifiesta la opinión, comoPitágoras y Platón, de que las matemáticas regíantanto los sistemas musicales como los cuerpos celes-tes y que ciertas notas de la escala musical se corres-pondían con determinados planetas, las distanciasentre ellos y sus propios movimientos. Volvemos conello a rememorar la música de las esferas.

NOTACIÓN PARA LOS SONIDOS MUSICALES

La pauta aparece por primera vez alrededor delsiglo IX. Comenzó con una sola línea horizontal decolor, a la que más tarde se le agregó una segun-da línea. Guido d’Arezzo, monje benedictino italia-no, planteó el empleo de tres e incluso de cuatrolíneas, esquema que aún se utiliza en el canto gre-goriano.

La pauta de cinco líneas (pentagrama) apareciópor vez primera en el siglo XI, pero no fue hasta elsiglo XVI cuando se llegó a una aceptación gene-ral sobre su empleo.

Para indicar la altura de los sonidos musicales, seemplea el sistema silábico de tradición latina: do,re, mi, fa, sol, la, si. Su origen es debido tambiéna Guido d’Arezzo y se encuentra en un himno alpatrón de los músicos, San Juan Bautista, cuyasestrofas dicen así:

Ut queant laxis Resonare fibris

Mira gestorum Famuli tuorum

Solve polluti Labii reatum

Sancte Iohannes

Ut, que aún se conserva en Francia, se ha sustitui-do luego por do.


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➠5. La música y las matemáticasorientales

La ciudad de Bagdad se convierte en la capital dela ciencia en el año 772 de nuestra era, cuando elsegundo califa de la dinastía árabe de los Abasíes(750-1258), al-Mansur, la elige como capital de sureino. Bagdad se convirtió en el centro del saber y dela promoción de la ciencia y del conocimiento engeneral, durante más de ocho siglos. Un sabio árabede aquella época y de aquel lugar, se distinguía portener un enciclopédico conocimiento de matemáti-cas, astronomía, física, medicina y también de histo-ria, geografía o música.

El proceso de expansión del Islam significó entraren contacto con otras culturas como la bizantina, lamesopotámica, la persa o la egipcia, que tenían supropia música o que ya conocían la tradición musicalgriega a la que ya nos hemos referido. Todas esasaportaciones fueron pronto estudiadas en las cortesomeyas de Damasco y en las abasidas de Bagdad,como veremos a continuación.

Dos son los sabios de la escuela de Bagdad exper-tos en matemáticas y música: Al-Kindi y Al-Farabi.

El filósofo árabe al-Kindi (800-c. 873) nació alfinal del reinado del abasí al-Rashid. El sucesor deeste último, al-Mamum, funda la Bayt al-Hikma oCasa de la Sabiduría, centro en el que se reúnenexpertos de diferentes disciplinas y donde se les ofre-ce toda clase de recursos para sus investigaciones,como biblioteca, observatorio, etc. Al-Kindi fue unode sus directores y es considerado como el primer filó-sofo del Islam.

Al-Kindi.

Llevó a cabo la traducción y el análisis de ciertosescritos griegos de Euclides, Arquímedes, Aristóteles,Ptolomeo y otros. Su influencia se deja notar en el

sentido de que gracias a sus trabajos de traducción hasido posible que muchas de las obras griegas de losautores aludidos hayan llegado hasta nuestros días. Elhecho de haber profundizado en disciplinas tan diver-sas, le dio la posibilidad de convertirse en un granfilósofo a la vez que matemático y experto en música.

Siguiendo la escuela de Platón, al-Kindi piensacomo él y, en ese sentido, considera que la geometría,los números, la astronomía y los sonidos musicales seconectan entre sí mediante relaciones simples. Unaserie de circunstancias le han valido la consideraciónde primer gran teórico de la música árabe: sus refle-xiones sobre las connotaciones cosmológicas de lamúsica; notación alfabética para cada octava; lapublicación de quince tratados sobre teoría musical;la redacción del Kitab al Musiqi al Kabir, El gran librode la música.

Su sistema de tonos musicales ha llegado hastanuestros días en las escuelas de música árabe.

El verdadero nombre de al-Farabi es Abu NasrMuhammad ibn Muhammad al Farabi (c. 870-c.950). Profesor en Bagdad, fue un destacado traduc-tor de Aristóteles y redactor de obras de filosofía,medicina y matemáticas. Trató de demostrar la con-cordancia de los pensamientos de Platón y Aristóte-les. De acuerdo con este último, consideraba que losconceptos matemáticos son abstracciones de las pro-piedades de las cosas reales. No obstante, su obramusical está por encima de su obra matemática.Tomó como base los conceptos musicales de Pitágo-ras, enriqueciéndolos.

Instrumento musical.Ilustración de un libro de música debido a Al-Farabi.

El sistema de tonos musicales árabes estaba liga-do a la posición de los trastes metálicos transversalescolocados sobre el mástil de un instrumento árabe delsiglo IX predecesor del laúd y semejante a él. Al-Fara-bi dividió la octava en 25 intervalos desiguales (24cuartos de tono) de los que sólo algunos se corres-


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ponden con las quintas pitagóricas. De esa manera,al-Farabi consigue una escala musical de siete tonos.

Laúd árabe, vistas anterior y posterior.Wikipedia, Enciclopedia libre.

Pasado un largo período de tiempo en el que losprincipios y las teorías de la música árabe así como suexpresión matemática permanecieron en el olvido,todo ello volvió a resurgir en el siglo XIX gracias a laal-Nadna por la que acaeció un renacimiento tantoliterario como musical árabe motivado, en parte, porla expedición de Napoleón a Egipto en 1798. Uno delos protagonistas de este resurgimiento musical fue ellibanés Miguel Meshaga (1800-1889), que en una desus obras nos dejó un procedimiento matemático quepermitía encontrar la longitud de los intervalos suce-sivos sobre el mástil de un laúd. Téngase en cuentaque el laúd, símbolo de la música árabe utilizadodesde el siglo X, no contenía, en general, traste algu-no, tanto en su versión primitiva de dos cuerdas comoen las más contemporáneas de cuatro o cinco.

Por último, citaremos a al-Ghazali, sunnita nacidoen Gazala en 1058, actualmente en Irán, y fallecidoen 1111. Es otro personaje dedicado a la teoría musi-cal habiéndonos dejado un tratado escrito en persa yen el que declaraba que el éxtasis es el estado causa-do por escuchar música.

Al-Ghazali.

Por último, ibn al-Munajim, discípulo de otro trata-dista de la música, Ishaq al-Mausili, escribió en lasegunda mitad del siglo IX la obra titulada El libro refe-rente a la música, en el que se pone de manifiesto unavez más que la escala musical árabe tiene mucha seme-janza con la pitagórica y, por consiguiente, con losnúmeros enteros y las relaciones entre ellos.

➠6. Guido d’Arezzo

Guido d’Arezzo nació en Arezzo c. 995. Fue unteórico de la música. Monje benedictino en el monas-terio de Pomposa, cercano a Ferrara, donde ingresócuando sólo contaba ocho años. Fue un innovadoren la enseñanza del canto eclesiástico. Como ya se hadicho, fue el inventor de los nombres de las notasmusicales que después se utilizaron en los países lati-nos, así como también del pautado musical de cuatrolíneas en el que se fijaba la entonación de las notasmusicales.

Guido d’Arezzo, por Nencini.Pórticos de los Oficios, Florencia.

En aquel tiempo el estudio del canto era muycomplicado por la dificultad que entrañaba el apren-der la entonación de los sonidos. Guido logró dar conuna regla o escala de entonaciones diatónicas que eraprecisa, invariable y fácil de retener. Advirtió que elcanto del himno de san Juan formaba una escala per-fecta ascendente con la primera sílaba de sus seis ver-sos. Estos seis sonidos que hasta el siglo XI se repre-sentaban, como se ha dicho, por seis letras delalfabeto latino fueron aplicados por Guido a las síla-bas que había adoptado, con la correspondencia queya se ha comentado anteriormente. La sílaba si, quecorresponde a la letra B, se escogió más tarde for-mándola con las primeras letras de las dos últimaspalabras de dicho himno.


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Tanto el sistema de puntos como también el delíneas y claves eran conocidos antes de Guido, pero aéste le cabe la gloria de haberlos regulado mediantereglas fijas.

Guido d’Arezzo ideó también un algoritmo, esdecir, un conjunto de reglas con las que crear piezasmusicales a partir de un texto latino determinado.Para ello, construía una secuencia con las letras voca-les a medida que iban apareciendo en el texto al quedeseaba poner música. Ideó luego la forma de conec-tar el texto a la música disponiendo las vocales en elorden en el que aparecían en el texto. Hacía luegouna correspondencia entre la secuencia de vocales ylas notas de dos octavas.

C D E F G A B C1 D1 E1 F1 G1 A1 B1 C1a e i o u a e i o u a e i o u

Diseño que hace corresponder a cada vocal tres posibles notas.

Nuevamente encontramos en este modo de traba-jar la influencia de las matemáticas en la composiciónmusical. El algoritmo anterior ofrecía al compositordistintas alternativas para realizar las más variadascomposiciones.

Guido d’Arezzo falleció hacia 1050.

➠7. De la composición musical

El ejemplo que acabamos de ver marca una vezmás la influencia que las matemáticas tienen sobre lacomposición musical. En el siglo XVII, Blas Pascal yPierre de Fermat dieron nacimiento a la teoría de lasprobabilidades, teoría desconocida para los antiguos,aunque sí intuida ya por Cardano y por Galileo. Pas-cal mantuvo una abundante correspondencia con losmatemáticos de su tiempo, y especialmente con Fer-mat. Es en 1654 cuando ambos se ocupan de dar unasolución al problema de los repartos consistente endeterminar la parte de una suma apostada (puesta enjuego) que debería entregarse a cada jugador cuandoel juego se interrumpía por abandono de uno deellos. Además, se dice que utilizaron el juego de losdados cuando se trataba de determinar la probabili-

dad que se tenía de ganar o perder en tal juego. Puesbien; años más tarde, algunos músicos se preocupa-ron por esta parte de las matemáticas para hacerintervenir en algunas de sus composiciones los con-ceptos y la teoría de las probabilidades.

Así, por ejemplo, W. A. Mozart, dotado de ungenio matemático poco común en una persona dedi-cada a la música, escribió en 1777, a los 21 años, laobra titulada Musikalische Wurfelspiel, Juego dedados musical… para escribir valses con la ayuda dedos dados sin ser músico ni saber nada de música. Setrata de un generador de valses breves de 16 compa-ses. Su intención era, como se advierte en el títulodesarrollado de su obra, que personas sin ningunabase musical pudieran acceder a la composición deobras musicales. Con el lanzamiento de dos dados,contando con el resultado aleatorio de puntos obteni-dos y ayudado por dos tablas de doble entrada cons-tituidas por números enteros, compuso un total de176 compases para los minuetos y 96 para los tríos,catalogados como K. 294 (número Köchel), compa-ses que están sueltos. El juego está basado precisa-mente en componer cada vals escogiendo algunos deesos compases.

Tablas originales de Mozart para componer los minuetos.

Cada minueto y cada trío estaba constituido por16 compases y con ellos se componen los valses cor-tos de Mozart. El algoritmo asociaba el resultado de lasuma de puntos de cada tirada de los dos dados, de2 a 12, con un conjunto de notas a través de las doscitadas tablas: la primera sirve para escribir losminuetos y la segunda para los tríos. En la primeratabla, las filas están numeradas del 2 al 12 (los onceresultados posibles), mientras que en la segunda senumeran de 1 al 6 (resultados posibles con un solodado). Las columnas indican el número de orden delcompás correspondiente.


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Escala de Guido d’Arezzo.

Supongamos que tiramos los dos dados por prime-ra vez y el resultado fuera 8. Entonces el número del pri-mer compás se tomará de la intersección de la fila 8 conla columna 1 (tabla de minuetos), es decir, 152. A con-tinuación se tomará de la tabla de música de Mozart elcompás 152. Se volverían a lanzar los dos dados y seobservará de la misma tabla el número correspondien-te que se encuentre en la segunda columna. Ese será elsegundo compás. Y así sucesivamente.

Para componer los tríos, haríamos lo mismo peroutilizando un único dado y la tabla de tríos.

¿Y cómo sonará la composición conseguida deeste modo? El resultado será completamente armóni-co dado que Mozart tuvo la habilidad de que los com-pases que correspondían a una misma columna eranvariaciones sobre una misma base armónica, y esasbases armónicas formaban una frase armónicamentecoherente.

El número total de minuetos posibles a conseguircon este procedimiento es aproximadamente de 46mil millones. El total de tríos, de unos 3 billones. Enconsecuencia, el total de valses es de unos 1,2x1029,es decir, de 12 seguido de 28 ceros.

Minueto de 16 compases con la probabilidad más alta de entre todos los posibles.


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Tablas reales para minuetos y tríos.De Música o Matemáticas, Guía didáctica, Sinfónica de Galicia.

Tabla de música de Mozart con 48 compases.

En 1955, D.A. Caplin comenzó a utilizar el orde-nador para procesar un programa que aplicaba direc-tamente la tabla de Mozart. Hemos llegado así a lacomposición musical en la que se reemplaza la inspi-ración por el azar. ¿Qué pensaría de esto Beethoven?

Este ejemplo de Mozart sobre la composición essólo uno entre varios encontrados en esta línea y quedemuestran que el sonido y la música están bajo elparaguas de las matemáticas y los compositores ymúsicos en general han empleado las matemáticaspara formular y experimentar con esquemas y algorit-mos matemáticos.

El empleo, por ejemplo, de las transformacionesgeométricas, como son la traslación, la simetría y elgiro, han servido, no sólo a las artes plásticas sinotambién a la música. La traslación consiste en despla-zar una figura o modelo cualquiera paralelamente a símismo, sin variar su forma o el espacio que ocupa. Lasimetría, en el caso de la música, supone obtener unacopia de una partitura original de tal forma que inter-pretada el original de origen a fin suene igual que lainterpretación de la copia desde el final al origen. Conel giro se consigue una copia de un modelo originalpero rotada un número determinado de grados. Heaquí algunos ejemplos y no precisamente de compo-sitores perdidos en la memoria del tiempo.

Mozart obtuvo una línea musical diferente de otraoriginal simplemente rotando esta última. Por ejemplo,la línea 1 era la primera de una pieza escrita porMozart. Al girarla 180º, se obtenía la línea 2. Entonces,en una pieza musical de 12 líneas compuesta porMozart, la 1 es la primera interpretada por un músico,mientras que la versión girada 2 era la última líneainterpretada por otro músico. Mozart había escrito lapieza para que dos músicos pudieran interpretarla deforma simultánea. Para ello, dispuso de dos hojas pau-tadas de manera que cada una tenía una versión gira-da con respecto a la otra. De esa manera, los dos intér-pretes partían de extremos diferentes. Debido a que lacomposición constaba, como se ha dicho, de un núme-ro par de líneas, los músicos nunca tocaban la mismalínea. Sonaba perfectamente como un dueto.

Palíndromo, es una palabra o frase que se leeigual de izquierda a derecha que de derecha a izquier-

da, RAE. Así, radar, anilina o dábale arroz a la zorrael abad, son algunos ejemplos gramaticales. El con-cepto se extiende también a la aritmética: 43.534 o1.234.321 son cantidades políndromas. El término hatenido tanta difusión que se ha aplicado también a lamúsica.

Ejemplo de un palíndromo musical.

Joseph Haydn compone su sinfonía nº 47, bauti-zada como Das Palindrom, El palíndromo, de talforma que la segunda parte del tercer movimiento(minueto al reverso) coincide con el revés de los diezprimeros compases de la primera parte.

Das Palindrom, Minueto de la Sinfonía nº 47, J. Haydn.

J. S. Bach fue otro amante de utilizar la simetríaen la composición musical. En su Arte de la fuga, nosha dejado dos versiones (rectus e inversus) de la Fugaa cuatro voces nº 16. No faltan expertos que están deacuerdo en considerar que la música de Bach, enmuchas de sus composiciones, se ha inspirado en lasmatemáticas o ha incluido en ellas transposicionesnuméricas de letras. Podemos encontrar esta afirma-ción en los programas de conciertos así como en loslibrillos que acompañan a los CD. Otro ejemplo de lainteracción entre matemáticas y música lo encontra-mos en la utilización que hace en alguna de sus obrasdel número 14=2+1+3+8, derivado de su nombreB (2) A (1) C(3) H (8).

Mozart escribió para guitarra un canon palíndro-mo a dos voces, utilizando para ello una sola partitu-


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ra, de forma tal que la pudieran interpretar los músi-cos sin más que sentarse en lados opuestos de lamesa sobre la que reposaba la partitura.

Dúo de la Mesa, canon palíndromo, Mozart.

Existen otras composiciones musicales basadas enotras ideas matemáticas de las que no hemos habla-do, como la sucesión numérica de Fibonacci, la pro-porción áurea y, más recientemente, los fractales. Así,Béla Bartók (1881-1945) utilizó la serie de Fibonacciy la proporción áurea en algunas de sus obras. El físi-co y compositor moderno Gyorgy Ligeti empleó losfractales deliberadamente en algunas de sus compo-siciones, como en la titulada Estudios para piano.

➠8. Ingeniería de los sonidos

Jean de Guerlande escribía allá por 1275: la músi-ca es la ciencia del número llevado al sonido. En lorelativo a la composición musical, nuestro contempo-ráneo Xenakis dijo en una entrevista con MoniqueSicart que los músicos han utilizado la teoría de gru-pos de manera empírica antes incluso de que losmatemáticos la hubieran formulado. Por ejemplo, enla armonía clásica se enseñan las cuatro formas quepuede tomar la melodía […] y esas cuatro formas sonlos elementos de un grupo de Klein empleado porBach en el “clavecín bien temperado”.

Élisabeth Busser, profesora francesa de matemáti-cas, nos dice: Nacida del cálculo y de la poesía, la

música de Xenakis puede suscitar admiración orechazo, pero no deja a nadie indiferente: algunos desus elementos constituyen una auténtica arquitecturamusical.

Hasta su muerte el 4 de febrero de 2001, IannisXenakis, compositor de origen griego nacido enRumanía en 1922, nacionalizado francés en 1965,fue siempre un rebelde. De la misma forma que actuóen la resistencia contra las invasiones de Grecia, tantode los italianos (1941) como de los ingleses (1945),así también perteneció a la resistencia intelectual con-tra todo academicismo musical. Después de estudiaren la Escuela Politécnica de Atenas, Iannis repartió suactividad entre la arquitectura y la música, esta últimabajo la dirección del maestro Olivier Messiaen.Durante doce años se convierte en un colaborador deLe Corbusier, con el que participa en importantes tra-bajos de arquitectura, entre otros, el pabellón Philipsde la Exposición Universal de Bruselas en 1958 o elconvento de La Tourette. Debido a las actividadespolíticas en las que estuvo involucrado, y tras serencarcelado, fue exilado de Grecia trasladándose aParís donde se nacionalizó francés.

En relación con la música, Iannis intenta una sín-tesis entre dos mundos, el de la lógica y el de la emo-ción artística. De ahí su dedicación a la creación deespectáculos musicales, los polytopos, en los que laestética visual, la luz, se emparenta con el entornosonoro: las matemáticas se hacen omnipresentes en elespacio sonoro de Xenakis, ligazón que, como ya seha dicho, nos viene de los pitagóricos. Xenakis creauna auténtica matemática musical. Ejemplo de ello, laanimación musical llevada a efecto en el pabellón deFrancia en la Exposición Universal de Montreal en1967.

Iannis Xenakis (1922-2001).

En el año 1955 aparece la música estocástica, quese basa en la probabilidad, es decir, en el azar. Xena-


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kis comienza a trabajar en este tipo de música intro-duciendo las probabilidades en la composición musi-cal. Ello le lleva a tener que manejar conceptos muymatemáticos como son las leyes de probabilidad dePoison, normal de Gauss, exponencial, de Student,etc. Y de aquí a la teoría matemática de juegos, haysólo un paso.

Xenakis necesitaba obtener un conocimiento rápi-do de cómo trabajar con un ordenador. Se presentóante Jacques Barraud, entonces jefe de los serviciosinformáticos de la compañía Shell y de él son estasfrases: me hizo una petición relativamente sencilla deconceder: presentarle a ciertas personas de IBM paraobtener la autorización de trabajar en un auténticocoloso de aquella época como era el ordenador 7090.Este ordenador le sirvió para desarrollar los primerosprogramas de composición de música instrumental.

Más tarde, Xenakis crea el CeMaMu, Centro deMatemáticas Musicales, con el objetivo de acercar elordenador a la composición musical. Se le considera elcompositor contemporáneo más reconocido del mundo.

Y finalizamos con otras palabras de Busser: Xena-kis inventó paisajes sonoros que el oyente puedetocar casi físicamente. En este sentido, dotó la músicade una estructura universal creando una forma nuevade escribirla, de concebirla y también de escucharla.

➠9. Conclusión

En ocasiones, las matemáticas se definen como laciencia de los esquemas. Eso ocurre también en lamúsica: está formada mediante la repetición deesquemas constituidos por la secuencia de notas deuna canción o por los temas de un movimiento. Deigual manera que la matemática ha creado su propiolenguaje y su notación escrita, así también lo hahecho la música, de forma tal que las matemáticashan influido en su lenguaje escrito, en su estructura yen sus creaciones. Y lo que es más importante: lasmatemáticas continúan teniendo una gran influenciaen la evolución de las formas musicales.


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➠Bibliografía

Culture Maths, Science Ouverte, Éditions du Seuil, París, 2008.

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Los Grandes Compositores, Salvat S. A. de Ediciones, Pamplona, 1981.

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Math Stuff, Theoni Pappas, Wide World Publishing/Tetra, San Carlos, CA, 2004.

Música y matemáticas. De Schoenberg a Xenakis, Íñigo Ibaibarriaga, KURAIA, Bilbao.

Pithagore et les Pithagoriciens, Que sais-je?, nº 2732, París, 1983.

➠Páginas Web

www.sinfonicadegalicia.com/subido/Didactica_musica_o Matematicas

www.tiopetrus.blogia.com

www.elementos.buap.mx/num44/htm/21.htm

www.sangakoo.com/blog/musica-y-matematicas/

Música y matemáticas. Caminos paralelos que para los historiadores no dejan de estar llenos de...

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