Abstract— The electrical energy must be suplied in enough amount but with adeaquate quality. One of the components of electrical energy quality is the harmonic distortion. In this paper, we show an alternative way to measure distortion, mixing Data Envelopment Analysis (DEA) and Fourier Analysis. The technique here presented is especially useful for comparative analysis.

Keywords— Harmonic análisis, optimization methods, Fourier series.

I. INTRODUCCION NO de los componentes de la calidad de la energía es la proporción de armónicos que componen la señal

eléctrica. Por otro lado, equipos conectados a la red eléctrica introducen armónicos. En la práctica, donde muchos equipos están conectados a la red eléctrica, la señal afectada por los armónicos debe ser clasificada según su pureza. Esta clasificación pretende verificar si las instalaciones son aceptables y decidir en cuales equipos filtros deben ser conectados.

Tradicionalmente a medida de la impureza es realizada a través de la Distorsión Armónica Total – TDH (Total Distortion Harmonic).

En este artículo, se propone otra forma de medir a impureza usando el Análisis Envolvente de Datos (Data Envelopment Analysis – DEA).

El Análisis Envolvente de Datos (DEA) es una técnica matemática basada en programación lineal que tiene por objetivo de medir el desempeño de unidades operacionales o tomadoras de decisión (DMUs), cuando la existencia de múltiples entradas y múltiples salidas hace difícil la comparación. Esa técnica permite hacer una evaluación de la eficiencia relativa de las DMUs, contemplando cada una relativamente a todas las otras que componen el grupo investigado.

El proceso compara las eficiencias de las DMUs por la aptitud en transformar entradas en salidas, midiendo la relación de la salida alcanzada, función de la provisión proporcionada, por la entrada. Al final del análisis, el método es capaz de decir cuales unidades son relativamente eficientes

L.Biondi Neto, Universidad del Estado de Rio de Janeiro, Rio de Janeiro,

Brasil, luiz.biondi@pq.cnpq.br J.C.C.B. Soares de Mello, Universidad Federal Fluminense, Niterói,

Brasil, jcsmello@pq.cnpq.br E.G.Gomes, Embrapa – SGE, Brasília, Brasil, eliane.gomes@pq.cnpq.br L.A. Meza, Universidad Federal Fluminense, Volta Redonda, Brasil

lidia_a_meza@pq.cnpq.br

e ineficientes. En este trabajo se utilizará DEA para comparar los

resultados de formas de onda teóricas, tradicionalmente presentadas en estudios de electricidad. Sin embargo, el modelamiento se realiza de forma no convencional, ya que las entradas considerados (coeficientes de Fourier) no son los mismo para todas las DMUs (formas de onda). Los estudios realizados con ondas teóricas sirven para validar o método e permitir su utilización futura en formas de ondas reales

Este artículo está organizado de la siguiente manera. En la sección II se presenta el Fundamento Matemático del análisis armónico, la determinación de su distorsión, y una introducción al Análisis Envolvente de Datos. La Sección III se muestran las formas de modelamiento de la distorsión armónica. A seguir, en la Sección IV, se pueden observar los resultados del modelamiento inicial, así como también un nuevo modelamiento para obtener resultados más significativos. Finalmente en la Sección V, se encuentran las conclusiones de este artículo

II. FUNDAMENTO MATEMÁTICO En esta sección se muestran las herramientas matemáticas

utilizadas. Así como también se muestra el desenvolvimiento de una función periódica en serie de Fourier, con el cálculo de la distorsión armónica y los fundamentos del Análisis Envolvente de Datos.

A. Análisis armónico El análisis armónico está fuertemente basado en la serie de Fourier (SF). Teniendo en cuenta la función f (t) periódica con periodo T, puede representársela de dos maneras diferentes: En el dominio del tiempo mediante una serie trigonométrica y en el dominio de la frecuencia mediante una serie exponencial. Cualquiera de esas dos maneras diferentes de expresar la misma función expandida de la serie es la SF, sin embargo la segunda representación también sea conocida como una forma compleja de la SF.

La expansión de la función f(t) de las series de Fourier trigonométricas se muestra en (1).

)sincos(21)(

...2sinsin

...2coscos21)(

10

21

210

nwtBnwtAAtf

wtBwtB

wtAwtAAtf

nn

n

∞

=

++=

+++

+++=

(1)

L. Biondi Neto, J. C. C. B. S. de Mello, E. G. Gomes and L. A. Meza

Data Envelopment Analysis and Fourier Series Integrated Use: The Case of The Harmonic

Distortion Evaluation

U

76 IEEE LATIN AMERICA TRANSACTIONS, VOL. 9, NO. 1, MARCH 2011

2,3,...,1n )sin()(2

... 0,1,2,n )cos()(2

,T

2 w:donde

2

2

2

2

==

==

=

−

−

dtnwttfT

B

dtnwttfT

A

T

Tn

T

Tn

π

(1)

Si ( )tf y ( )tf ' son continuas y ( ) ( )tfTtf =+ , entonces la serie converge. A través de la referida serie es posible determinar la magnitud de los armónicos (An y Bn) en función de su orden n ([1], [2] y [3]).

La expansión de la función f (t) a través de la serie de Fourier exponencial se muestra en (2).

dttfT

F

nT

Ftf

FFF

FFFFtf

jnwt

T

Tn

n

jnwtn

njwtn

jwtjwt

njwtn

jwtjwt

−

−

∞

−∞=

−−

−−

−−

=

∞∞

=

=

+++++

+++++=

ε

π

ε

εεεεεε

2

2

221

2210

)(1

e e - entre entero número de valoreslos representa

2 w:donde

)(

......

......)(

(2)

La expansión en SF de una función periódica f (t) en SF es, en última instancia, su descomposición en términos de sus componentes de varias frecuencias, denominado de espectro de frecuencias.

Los coeficientes de la serie trigonométrica se pueden obtener de los coeficientes de la serie exponencial ([2] y [3]). Así pues, dada una función periódica f (t) se puede determinar su espectro de frecuencias y, por otro lado, una vez conocido el espectro de frecuencias se puede reproducir la función f(t) correspondiente, es decir, es posible pasar del dominio del tiempo para el dominio de la frecuencia y viceversa.

B. Determinación del porcentaje de distorsión armónica Una onda contiene componentes armónicos cuando su

espectro de frecuencia y contiene la frecuencia fundamental y algunos de sus múltiples. En este caso, la señal sinusoidal del sistema eléctrico original de las usinas de generación presentan deformaciones.

La distorsión armónica es un componente importante de la calidad de la energía eléctrica. Ondas con grande distorsión armónica se alejan de la forma sinusoidal pura y son perjudiciales a los equipos eléctricos. De forma clásica, la distorsión armónica se mide por el porcentual de distorsión armónica total (THD) que compara el valor eficaz de las amplitudes de las ondas de alta frecuencia armónicos (que corresponde al valor de n 2 en la serie de Fourier) con el

valor eficaz de la amplitud de la frecuencia fundamental (n =1).

La ecuación (3) permite calcular THD, donde H e F representan valores eficaces de los armónicos y la fundamental, respectivamente; los índices se refieren al número del armónico.

1

2

2

100F

HTHD n

n

∞

== (3)

La Fig. 1 (a) (b) (c) muestra la medida de la distorsión armónica total usando el analizador de distorsión con el simulador de Multisim 10.1™ a tres señales distintas, con y sin distorsión. No hay ninguna diferencia cuando se trabaja con señales de voltaje o corriente. En (a) se muestra la medida de la THD para una función sinusoidal pura y por lo tanto el valor medido es cero, es decir, no hay ninguna distorsión. En (b) la onda a probar es un triángulo de igual amplitud y de frecuencia utilizadas en (a), en cuyo caso la medida de distorsión armónica total fue 12,05%, lo que demuestra la existencia de armónicos, además de la fundamental. En (c) utiliza una función cuadrado y la situación se repite con una incidencia aún mayor de armónicos en cuyo caso la medida de distorsión armónica total fue 42,90%.

(a) (b) (c)

0,000 % 12,055 % 42,902 %

Figura 1. Simulação da Medida de THD.

C. Análisis Envolvente de Datos El Análisis Envolvente de Datos (DEA) es un enfoque

matemático, basado en la programación lineal, que tiene por objetivo medir el desempeño de unidades tomadoras de decisión (Decision Making Units – DMUs), cuando la existencia de múltiples entradas (inputs) e múltiples salidas (outputs) torna difícil la comparación entre ellas. Esta técnica permite la evaluación de la eficiencia relativa de las DMUs, contemplando cada una de forma relativa todas las otras que componen el grupo en evaluación.

El modelo introducido por Charnes, Cooper e Rhodes [4], denominado CCR, construye una superficie no paramétrica, linear por partes, sobre los datos y determina la eficiencia técnica de las DMUs sobre esta superficie.

Este modelo fue concebido como un modelo orientado a entradas (minimiza la cantidad de entradas, sin alterar el valor de las salidas) y trabaja con retornos constantes de escala

BIONDI et al.: DATA ENVELOPMENT ANALYSIS AND 77

(CRS), es decir, cualquier variación en las entradas produce variación proporcional en las salidas. El problema se resume a determinar los valores de los pesos uj y vi de forma a maximizar la combinación linear de las salidas (suma ponderada) dividido por la combinación linear (suma ponderada) de las entradas.

El proceso debe ser repetido para cada una de las n DMUs y a través de esos pesos se determina el valor relativo de las eficiencias de cada DMU.

El modelo propuesto para la DMU o, DMU observada, se muestra en (4).

s

j jOj 1

O r

i iOi 1

s

j jkj 1r

i iki 1

j i

u YMax h

v X

sujeto a

u Y1, k 1,...,n

v X

u e v 0 j,i

=

=

=

=

=

≤ =

≥ ∀

(4)

donde: ho – eficiencia de la DMU o r – cantidad total de entradas s – cantidad total de salidas n – cantidad total de DMUs Yjk – cantidad de salida j de la DMU k Xik – cantidad de recurso i de la DMU k uj – peso referente a la salida j vi – peso referente a la entrada i El problema mostrado en (4) es un problema de

programación fraccional. Su linealización se encuentra en (5) y se denomina modelo de los Multiplicadores.

j,i e vu

,...,n, kXvYu

Xv

Yu Max h

ij

r

iiki

s

jjkj

r

iiki

s

jjOjO

∀≥

=≤−

=

=

==

=

=

0

10

1

a sujeto

11

1

1

(5)

El dual de este problema se denomina formulación de la Envolvente. Este modelo proporciona, evidentemente, el mismo valor para las eficiencias y, adicionalmente, referencias (benchmarks) para las DMUs ineficientes. A pesar de que en casos de aplicación gerencial esta sea una información importante, en este caso no tiene el menor sentido, pues las DMUs son entidades matemáticas que, la verdad, no toman ninguna decisión.

Para el caso en estudio, el modelo compara las eficiencias de las DMUs por la aptitud en transformar entradas en salidas, midiendo la relación de la provisión proporcionada (salida), por la entrada. El resultado del análisis permite identificar

cuales de las unidades son relativamente eficientes y cuales las relativamente ineficientes.

DEA también ha sido utilizada para definir metas de distribución de Energía Eléctrica [5], evaluar la eficiencia energética de municipios y regiones ([6] y [7]), o para evaluación de Empresas a través de una doble perspectiva [8].

III. DISTORSIÓN ARMÓNICA Y SU MODELAMIENTO La energía eléctrica tiene características que la diferencian

de los demás insumos industriales. Tiene que ser generada concomitantemente con el consumo; no puede ser almacenada por los consumidores; no puede ser transportada por los medios usuales de transporte; y más importante, su calidad depende tanto del productor cuanto del consumidor. Además, los sistemas eléctricos son cada vez menos electromecánicos, substituidos por los sistemas electro-electrónicos, más propensos a generar armónicos superiores, debido a su no linealidad.

En el escenario actual, más del 50% de la energía eléctrica pasa por equipos electrónicos. Esta transformación, que han contribuido para un aumento de la productividad industrial y para un uso más eficiente de la energía eléctrica, cambió los requisitos de calidad para la energía eléctrica. Mientras que los sistemas electromecánicos son insensibles a interrupciones del suministro de energía del orden de segundos, los sistemas electro-electrónicos son sensibles a interrupciones del suministro del orden de milisegundos, además de la sensibilidad a variaciones de voltaje. En función de esta mayor sensibilidad, aún maniobras típicas en los sistemas eléctricos pueden ocasionar las interrupciones de grandes unidades industriales automatizadas, volviendo así poco eficientes los índices tradicionales de evaluación de la calidad de la energía poco eficientes.

Interrogantes tales como cuales serían estos nuevos índices de calidad de la energía y que medidas deben ser tomadas a fin de mejorar la calidad de la energía aún no fueron respondidas satisfactoriamente. La urgencia para encontrar respuestas rápidas y eficientes para esas cuestiones implica en la instalación de sistemas de gerencia automática y equipos de protección y filtro [9].

Uno de los problemas frecuentemente encontrados en sistemas eléctricos es el aparecimiento de distorsiones armónicas en la corriente o voltaje, ocasionadas por la presencia de cargas especiales, altamente no lineales, como es el caso de cargas electrónicas (conversores, rectificadores, inversores, controladores, etc.). Índices elevados de esas distorsiones pueden causar problemas, como alto índice de fallas en banco de condensadores o quema de fusibles y tiristores, o aún perjuicio al funcionamiento de los propios sistemas electrónicos (como computadores, equipos de medicina etc.), alimentados por la rede deteriorada por los armónicos.

Como soluciones triviales se tienen la reducción del período de operación de esas cargas especiales o la instalación de filtros. La primera implica en pérdidas en la producción por parte del consumidor y la segunda en gastos con equipos. Asi,

78 IEEE LATIN AMERICA TRANSACTIONS, VOL. 9, NO. 1, MARCH 2011

una correcta medida de la distorsión armónica permite que se haga la instalación selectiva de filtros, con la consecuente disminución de gastos.

Aunque este artículo este restricto a la distorsión armónica, el término calidad de la energía es mucho más amplio, tratando también de asuntos relativos a bajas de voltaje, sobrevoltaje, transitorias, variaciones de frecuencia e interrupciones de energía.

Este artículo trata sobre los detalles sólo en el caso de la onda cuadrada con el período 2π y la magnitud de la unidad de punta, otras formas de onda son realizadas de manera similar. Así que si se trabaja con voltaje o corriente son realizados los cálculos a seguir.

Coeficientes de las series de Fourier trigonométricas (6).

0

n

n

1 - t y t 0dt

1 0 t y tA 0

1 - t y t 0cos( nt )dt

1 0 t y tA 0

1 - t y t 0sen( nt )dt

1 0 t y tB

π

−π

π

−π

π

−π

− π < ≤< < π

= =π

− π < ≤< < π

= =π

− π < ≤< < π

= =π

2(cos( n ) 1)n

π −−π

(6)

Así, la expansión de la onda cuadrada en la SF hasta el 10º armónicos se muestra en (7):

104sen(t ) 4 sen(3t ) 4 sen(5t ) 4 sen(7t ) 4 sen(9t )SF

3 5 7 9= + + + +

π π π π π(7)

La Fig. 2 muestra para el caso de onda cuadrada, la forma de onda de la fundamental F1 y armónicos H3, H5, H7 e H9 para - 2π t 2π.

El valor eficaz de la fundamental y los armónicos de orden 3, 5, 7 e 9 se encuentra en (8).

1000,09

229

1286,07

227

1800,05

225

3001,03

223

9003,0221

==

==

==

==

==

π

π

π

π

π

H

H

H

H

F

(8)

Por último, el porcentaje de distorsión armónica total, THD, se encuentra en (9).

8794,421

)9()7()5()3(100

2222

=+++

=F

HHHHTHD (9)

Figura 2. Fundamental y armónicos relativos a la onda cuadrada

La Tabla I muestra la THD de algunas funciones ampliamente utilizadas en ingeniería [10]. Se debe destacar que la ordenación de las formas de onda, en función del porcentaje de la THD, será utilizada posteriormente como base de comparación para verificar los resultados obtenidos con las mismas formas de onda, pero con el uso del Análisis Envolvente de Datos (DEA).

TABLA I. PORCENTAJE DE THD PARA ALGUNAS FORMAS DE ONDA

Forma de onda % de THD Triangular 12,05

Rectificación de media onda 21,75 Rectificación de onda completa 22,48

Cuadrada 42,88 Diente de Serra 74,15

Rectificación controlada 107,60

IV. CÁLCULO CON EL USO DE DEA Con el modelo DEA CRS mostrado en (4) y (5) y calculado

con el software SIAD [12], se obtuvieron, inicialmente, los resultados mostrados en la Tabla II. En este modelo, la salida fue el valor eficaz de la frecuencia fundamental (F1), y las entradas, los valores eficaces de los armónicos hasta la décima orden (H2 a H10) [11] y [12].

Así, para calcular el valor de la eficiencia para la función de onda triangular, el problema de programación linear resuelto es el mostrado en (10).

t t t

2t 2t 3t 3t 10t 10t

t t 2t 2t 3t 3t 10t 10t

t mo 2t 2mo 3t 3mo 10t 10mo

t oc 2t 2oc 3t 3oc 10t 10oc

t c 2t 2c 3t 3c 10t 10c

t ds

Maximizar h =u Fsujeito av H v H ... v H 1u F v H v H ... v H 0u F v H v H ... v H 0u F v H v H ... v H 0u F v H v H ... v H 0u F

+ + + =− − − − ≤

− − − − ≤− − − − ≤

− − − − ≤− 2t 2ds 3t 3ds 10t 10ds

t rc 2t 2rc 3t 3rc 10t 10rc

t 2t 3t 10t

v H v H ... v H 0u F v H v H ... v H 0u ,v ,v ,...,v 0

− − − ≤− − − − ≤

≥

(10)

donde: ht: la eficiencia está dada por la función objetivo utFt; ut: el peso de la fundamental para a onda triangular; v2t, v3t, ..., v10t: los pesos del segundo, tercero, ..., décimo

armónicos de la onda triangular;

BIONDI et al.: DATA ENVELOPMENT ANALYSIS AND 79

Ft: el valor eficaz del componente fundamental de la onda triangular;

1t 2t 10tH ,H ,...,H : los valores eficaces del segunda, tercero, ..., décimo armónicos de la onda triangular;

Fmo, Foc, Fs, Fds, Frc son los valores de los componentes fundamentales de las ondas Rectificación de la Media Onda, Rectificación de la Onda Completa, Rectificación de la Onda Cuadrada, Rectificación de la Onda Diente de Sierra y Rectificación Controlada, respectivamente.

Para las otras ondas el problema de programación linear es análogo, así para este caso de estudio se resuelven cinco problemas adicionales. En esos problemas apenas se cambia la función objetivo y la primera restricción.

Los resultados preliminares revelan que:

– Existen muchas variables de entradas para pocas DMUs; – Existen armónicos nulos debido a la paridad de la función y otros factores, lo que provoca distorsión de lo resultados;

– Existen muchas entradas nulas y todos los pesos inciden sobre la mayor relación entrada

salida , lo que es consecuencia

de que DEA sea un modelo benevolente con las unidades evaluadas.

TABLA II. DADOS Y RESULTADOS PRELIMINARES DEL MODELO DEA CCR

Inputs Output DMUs H2 H3 H4 H5 H6 H7 H8 H9 H10 F1 Eficiencia

(%) Rectificación

de media onda 0,1500 0,0000 0,0300 0,0000 0,0128 0,0000 0,0071 0,0000 0,0045 0,7070 100,00

Rectificación de onda completa

0,0000 0,0000 0,0600 0,0000 0,0257 0,0000 0,0142 0,0000 0,0090 0,3000 100,00

Cuadrada 0,0000 0,3000 0,0000 0,1800 0,0000 0,1280 0,0000 0,1000 0,0000 0,9000 99,97 Diente de

sierra 0,7070 0,4710 0,3530 0,2820 0,2530 0,2020 0,1760 0,1570 0,1414 1,4140 16,38

Rectificación controlada 0,1670 0,1120 0,0610 0,0370 0,0390 0,0370 0,0280 0,0220 0,0220 0,2090 11,29

Triangular 0,0000 0,1000 0,0000 0,0360 0,0000 0,0183 0,0000 0,0111 0,0000 0,9003 100,00

Para superar estos problemas, que impiden una adecuada

clasificación de las ondas en relación a la distorsión armónica, existe una variada gama de métodos en la literatura sobre DEA, tales como evaluación cruzada ([13] y [14]), frontera invertida ([15], [16], [17], [18] y [19]), varios tipos de restricciones a los pesos ([20]) y selección de un conjunto restricto de variables para entrar en el modelo ([21] y [22]).

Dado que el primer método implica en un modelo de pesos fijos ([18]) que descaracteriza el método DEA, la frontera invertida se perjudica por el gran número de variables con valor de peso nulo, y las restricciones a los pesos envuelven subjetividades no deseadas, se restringió a la disminución del número de variables constantes del modelo. En este artículo se realiza un cambio en relación a los modelos DEA tradicionales, que usan las mismas variables para todas las DMUs. Se resolvió utilizar como entradas apenas los armónicos relevantes en cada onda investigada. Así, se escogieron los dos primeros armónicos no nulos de cada onda como entradas que ahora se denotaran por h1 e h2, manteniéndose como salida la fundamental, F1.

Luego o problema de programación linear para a onda triangular es el mostrado en (11).

t t t

1t 1t 2t 2t

t t 1t 1t 2t 2t

t mo 1t 1mo 2t 2mo

t oc 1t 1oc 2t 2oc

t c 1t 1c 2t 2c

t ds 1t 1ds 2t 2ds

t rc 1t 1rc 2t 2rc

t 1t 2t

Maximizar h´ =u Fsujeito av h v h 1u F v h v h 0u F v h v h 0u F v h v h 0u F v h v h 0u F v h v h 0u F v h v h 0u ,v ,v 0

+ =− − ≤

− − ≤− − ≤

− − ≤− − ≤− − ≤

≥

(11)

donde las variables son análogas a las del problema (10) con excepción a los h´s. h1t e h2t representan los valores eficaces del armónico de mayor amplitud y del armónico de segunda mayor amplitud de la onda triangular, respectivamente. Así, en la Tabla II se verifica que el h1t de este problema es igual al H3 del modelo anterior, que es igual a 0,1000, y el h2t de este problema es igual al H5 del problema anterior, que es igual a 0,0360. Para las otras ondas el procedimiento es análogo. La segunda y tercera columnas de la Tabla III muestran los mayores valores de los armónicos para cada onda.

Esta selección de variables puede parecer incoherente con el modelamiento DEA tradicional. De hecho, DEA considera que las DMUs usan el mismo conjunto de entradas, para producir el mismo conjunto de salidas. Entretanto, se debe considerar que, en primer lugar, las formas de onda no son

80 IEEE LATIN AMERICA TRANSACTIONS, VOL. 9, NO. 1, MARCH 2011

DMUs en el sentido normal de la palabra. Además, las entradas son vistos como el precio a pagar (en valor eficaz de armónicos) para obtenerse la salida (valor eficaz del fundamental). Por lo tanto, tiene sentido considerar, para cada onda, los armónicos que realmente provocan distorsión, y, en especial, los de orden más baja. En la mayoría de las series convergentes, estos muestran los mayores valores.

Los resultados de ese segundo modelo se muestran en la Tabla III. Estos resultados son más realistas, pues eliminan los problemas referidos anteriormente y permiten una total ordenación de las formas de onda con relación a la distorsión.

Entre las ondas estudiadas se verifica que la onda triangular es la que muestra menor distorsión. La eficiencia de 100% no significa que no tenga distorsión (apenas la sinusoidal pura no tiene distorsión), pero sí es la mejor entre las consideradas. De hecho, visualmente, una onda triangular es la que se parece más con una sinusoidal. La rectificada de media onda aún muestra una baja distorsión. Todas las otras formas de onda muestran una gran distorsión (baja eficiencia), con énfasis en la rectificada controlada. Colocar una onda de esas en un circuito de distribución ciertamente provocará varios perjuicios, caso no sean usados filtros.

TABLA III: DATOS Y RESULTADOS DEL SEGUNDO MODELO DEA CCR.

Inputs Output DMUs h1 h2 F1 Eficiencia (%)

Rectificación de media onda 0,1500 0,0300 0,7070 94,24 Rectificación de onda completa 0,0600 0,0275 0,3000 55,54

Cuadrada 0,3000 0,1800 0,9000 33,32 Diente de sierra 0,7070 0,4710 1,4140 22,21

Rectificación controlada 0,1670 0,1200 0,3090 13,90 Triangular 0,1000 0,0360 0,9003 100,00

La Tabla IV trae una comparación entre los valores de la

THD y de la eficiencia DEA-CCR. Los dos resultados muestran la misma ordenación de las

DMUs, lo que valida el uso del abordaje propuesta en este artigo.

TABLA IV: COMPARACIÓN ENTRE LOS VALORES DE THD Y DE LA EFICIENCIA

POR DEA. Forma de onda % de THD Eficiencia DEA CCR (%)

Triangular 12,05 100,00 Rectificación de media onda 21,75 94,24

Rectificación de onda completa 22,48 55,54 Cuadrada 42,88 33,32

Diente de Sierra 74,15 22,21 Rectificación controlada 107,60 13,90

V. CONCLUSIONES El empleo del Análisis Envolvente de Datos – DEA como

forma alternativa para medir la distorsión, combinada con análisis de Fourier se mostró extremamente útil, en especial para análisis comparativos.

Aunque los dos métodos, THD y DEA, muestren resultados prácticamente iguales, por lo menos en este caso teórico, existen razones que justifican el uso de DEA en vez de la THD. La primera, es que DEA permite cálculos automáticos extremamente rápidos, en especial cuando se usa algoritmos basados en redes neuronales ([12] y [23]). En segundo lugar, DEA es un método comparativo, lo cual

permite disminuir la cantidad de filtros usados para corrección de la distorsión armónica, indicando a cada instante cuales son los equipos que deben ser filtrados.

El índice TDH tiene ventajas cuando se calcula para cada onda separadamente, mientras que DEA necesita un conjunto de ondas para realizar una medición. En contrapartida, el resultado obtenido con TDH no permite una evaluación inmediata de la calidad comparada, mientras que DEA permite esa evaluación debido a que es una medida relativa. Se debe llamar la atención para el hecho de un valor alto obtenido por el modelo DEA significa una onda con baja distorsión, mientras que un valor alto obtenido pelo TDH significa una onda con alta distorsión.

Por último, se necesita una comparación matemática entre los dos métodos. Mientras que DEA es un modelo fraccional de linealización trivial, THD es un modelo no lineal, pues considera una raíz cuadrada de una suma de cuadrados. Sin embargo, las diferencias encontradas se muestras empíricamente poco importantes. Del punto de vista teórico, cabe resaltar que las dos funciones de medición (DEA e THD) muestran ciertas semejanzas. En primer lugar, ambas proporcionan siempre valores positivos. Por otro lado, DEA, en su forma linealizada, es una función homogénea de grado 1. El numerador de la THD, por ser la raíz cuadrada de una función homogénea de grado dos, también es una función homogénea de grado 1. Así, en las dos formas de medida, los numeradores muestran proporcionalidad entre variables y valores calculados. Queda acrecentar que la forma no linear (fraccional) de DEA es una función homogénea de grado cero, tal como el resultado final de la THD. Así, las dos medidas muestran una cierta semejanza matemática, a pesar de que una es comparativa y no diferenciable (DEA) y la otra es absoluta y diferenciable (THD). Una forma comparativa de THD mostraría varias de las propiedades de una frontera DEA suavizada ([24] , [25] y [26]) para el problema en cuestión.

VI. REFERENCIAS [1] J. Brown and R. V. Churchill, Fourier Series and Boundary Value

Problems: USA: MacGraw-Hill Science Engineering, 2006. [2] J. R. Hanna and J. H. Rowland, Fourier Series, Transforms, and

Boundary Value Problems: USA: Dover Publications, 2008. [3] R. T. Seeley, An Introduction to Fourier Series and Integrals: USA:

Dover Publications, 2006. [4] A. Charnes, W. W. Cooper, and E. Rhodes, "Measuring the efficiency of

decision-making units," European Journal of Operational Research, vol. 2, pp. 429-444, 1978.

[5] J. F. M. Pessanha, R. C. Souza, and L. d. C. Laurencel, "Um modelo de análise envoltória de dados para o estabelecimento de metas de continuidade do fornecimento de energia elétrica." vol. 27: scielo, 2007, pp. 51-83.

[6] L. Angulo-Meza, J. C. C. B. Soares de Mello, E. G. Gomes, and A. J. Fernandes, "Selecção de variáveis em DEA aplicada a uma análise do mercado de energia elétrica," Investigação Operacional, vol. 27, pp. 21-36, 2007.

[7] J. C. C. B. Soares de Mello, L. Angulo-Meza, E. G. Gomes, A. J. S. Fernandes, and L. Biondi Neto, "Estudo não paramétrico da relação entre consumo de energia, renda e temperatura," IEEE LATIN AMERICA TRANSACTIONS, vol. 6, pp. 153-161, 2008.

BIONDI et al.: DATA ENVELOPMENT ANALYSIS AND 81

[8] M. P. E. Lins, M. K. V. Sollero, G. M. Caloba, and A. C. M. Silva,

"Integrating the regulatory and utility firm perspectives, when measuring the efficiency of electricity distribution," European Journal of Operational Research, vol. 181, pp. 1413-1424, 2007.

[9] A. Lima, F. Ferro, J. Martins, R. Roncolatto, and N. Santos, "Custos da Qualidade de Energia em Grandes Consumidores Industriais," in XII Seminário Nacional de Distribuição de Energia Elétrica, 1994, pp. 16-21.

[10] G. B. Folland, Fourier Analysis and its Applications. USA: Wadsworth and Brooks, 1992.

[11] L. Biondi Neto, J. C. C. B. Soares de Mello, and E. G. Gomes, "Método Fourier-DEA na medição de um componente da qualidade de energia elétrica," in XXIII Encontro Nacional de Engenharia de Produção Ouro Preto, 2003.

[12] L. Biondi Neto, "Neuro-DEA: Nova metodologia para determinação de eficiência relativa de unidades tomadoras de decisão," in Engenharia de Produção. vol. D.Sc. Rio de Janeiro: COPPE/UFRJ, 2001.

[13] T. R. Sexton, Measuring Efficiency: An assessment of Data Envelopment Analysis. New Directions For Program Evaluation. San Francisco: Jossey-Bass, 1986.

[14] J. Doyle and R. H. Green, "Efficiency and cross-efficiency in DEA derivations, meanings and uses," Journal of the Operational Research Society, vol. 45, pp. 567-578, 1994.

[15] Y. Yamada, T. Matui, and M. Sugiyama, "New analysis of efficiency based on DEA," Journal of the Operations Research Society of Japan, vol. 37, pp. 158-167, 1994.

[16] T. Entani, Y. Maeda, and H. Tanaka, "Dual models of interval DEA and its extensions to interval data," European Journal of Operational Research, vol. 136, pp. 32-45, 2002.

[17] M. P. E. Lins, L. F. D. Novaes, and L. F. L. Legey, "Real estate appraisal: A double perspective data envelopment analysis approach," Annals of Operations Research, vol. 138, pp. 79-96, 2005.

[18] T. R. Anderson, K. Hollingworth, and L. Inman, "The Fixed Weighting Nature of A Cross-Evaluation Model," Journal of Productivity Analysis, vol. 17, pp. 249-255, 2002.

[19] J. C. C. B. Soares de Mello, E. G. Gomes, L. Angulo-Meza, and F. R. Leta, "DEA Advanced Models for Geometric Evaluation of used Lathes," WSEAS Transactions on Systems, vol. 7, pp. 500-520, 2008.

[20] R. Allen, A. Athanassopoulos, R. G. Dyson, and E. Thanassoulis, "Weights restrictions and value judgements in data envelopment analysis: evolution, development and future directions," Annals of Operations Research, vol. 73, pp. 13-34, 1997.

[21] M. P. E. Lins and M. C. B. Moreira, "Método I-O Stepwise para Seleção de Variáveis em Modelos de Análise Envoltória de Dados," Pesquisa Operacional, vol. 19, pp. 39-50, 1999.

[22] L. F. A. d. C. Senra, L. C. Nanci, J. C. C. B. Soares de Mello, and L. Angulo-Meza, "Estudo sobre métodos de seleção de variáveis em DEA," Pesquisa Operacional, vol. 27, pp. 191-207, 2007.

[23] L. Biondi Neto, M. P. E. Lins, E. G. Gomes, J. C. C. B. Soares de Mello, and F. S. Oliveira, "Neural data envelopment analysis: A simulation," International Journal of Industrial Engineering: Theory Applications and Practice, vol. 11, pp. 14-24, 2004.

[24] J. C. C. B. Soares de Mello, M. P. E. Lins, and E. G. Gomes, "Construction of a smoothed DEA frontier," Pesquisa Operacional, vol. 28, pp. 183-201, 2002.

[25] J. C. C. B. Soares de Mello, E. G. Gomes, L. Biondi Neto, and M. P. E. Lins, "Suavização da Fronteira DEA: O caso BCC tridimensional," Investigação Operacional, vol. 24, pp. 89-107, 2004.

[26] F. B. Nacif, J. C. C. B. Soares de Mello, and L. Angulo-Meza, "Choosing weights in optimal solutions for DEA-BCC models by means of a n-dimensional smooth frontier," Pesquisa Operacional, vol. 29, pp. 623-642, 2009.

Luiz Biondi Neto nació en la ciudad de Rio de Janeiro, Brasil. Hizo graduación en Ingeniería Eléctrica en la Universidad Gama Filho, Maestría en Ingeniería Eléctrica en la Pontificia Universidad Católica de Rio de Janeiro y Doctorado en Ingeniería de Producción (área de Investigación Operativa) en la COPPE, de la Universidad Federal de Rio de Janeiro. Fue Jefe del Departamento de Ingeniería Electrónica e Telecomunicaciones de la Universidad del Estado de Rio

de Janeiro e también Director de la Facultad de Ingeniería de la misma

universidad. Actualmente es profesor de la mencionada universidad y también de la Post Graduación del Instituto Politécnico de Rio de Janeiro. El profesor Biondi Neto tiene artículos publicados en periódicos nacionales e internacionales en las áreas de Análisis Envolvente de Datos e Inteligencia Computacional Decisión y es bolsista de Productividad e Investigación del CNPq.

João Carlos C. B. Soares de Mello nació en Lisboa, Portugal. Hizo graduación en Ingeniería Mecánica y Maestría en Matemáticas en la Universidad Federal Fluminense, Brasil. Hizo doctorado en Ingeniería de Producción, área de Investigación Operativa en la Universidad Federal de Rio de Janeiro, Brasil. Fue Jefe de departamento de Matemática Aplicada en la Universidad Federal

Fluminense y actualmente es profesor del Departamento de Ingeniería de Producción y de la Post Graduación en Ingeniería de Producción de la misma universidad. El profesor Soares de Mello tiene artículos publicados en las áreas de Análisis Envolvente de Datos e Auxilio Multicritério a la Decisión y es bolsista de Productividad e Investigación del CNPq.

Eliane Gonçalves Gomes nació en la ciudad de Rio de Janeiro, Brasil. Hizo graduación en Ingeniería Química y Maestría y Doctorado en Ingeniería de Producción (área de Investigación Operativa) en la COPPE, de la Universidad Federal de Rio de Janeiro, Brasil. Actualmente es investigadora de la EMBRAPA en el área de Métodos Cuantitativos en Investigación y Desarrollo.

La investigadora Gomes tiene artículos publicados en periódicos nacionales e internacionales en las áreas de Análisis Envolvente de Datos e Auxilio Multicritério a la Decisión y es bolsista de Productividad e Investigación del CNPq.

Lidia Angulo Meza nació en Lima, Perú. Hizo graduación en Investigación Operativa, en la Universidad Nacional Mayor de San Marcos – UNMSM (Perú), Maestría y Doctorado en Ingeniería de Producción, Área de Concentración de Investigación Operativa en la Universidad Federal de Rio de Janeiro, Brasil. Actualmente es Jefe del Departamento de Ingeniería de Producción del Polo Universitario de Volta Redonda de

la Universidad Federal Fluminense y colaboradora de la Post Graduación en Ingeniería de Producción de la misma universidad. La profesora Angulo Meza tiene artículos publicados en las áreas de Análisis Envolvente de Datos y Programación Lineal Multiobjetivo y es bolsista de Productividad e Investigación del CNPq.

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