d Engranages

8/18/2019 d Engranages

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Universidad Tecnológica Nacional

Facultad RegionalCórdoba

MECÁNICA IIEspecialidad:

Técnico Superior enMecatrónica

ENGRANAJESEn la transmisión de cuplas mecánicas se utilizaba antiguamentecilindros de fricción . Este

sistema era útil cuando las cargas a transmitir eran pequeñas y se permitían pequeñoresbalamientos. i se aumentaba el valor de !" el resbalamiento se reducía a costa de un p#rdida de potencia mayor debido a una de$ormación mayor de los cilindros de $ricción.

El punto % es el punto de contacto de los cilindros o ruedas primitivas.e pretende que la relación cinemática &' (&) sea constante y que ! sea el mínimo posible. !ara lograr esto se le agregaron dientes a los cilindros" de tal $orma de transmitir cupla a trav#s de los $lancos de #stos. *e esta $orma se obtuvieron lasruedas dentadas lascuales eliminaban el resbalamiento de los cilindros primitivos.

+claración, En los cilindros primitivos e-iste rodamiento puro. Entre los $lancos de losdientes e-iste rodamiento con resbalamiento.

Rueda Dentada

Es un sólido" generalmente de $orma cilíndrica o cónica" que presenta una serie de salientellamadas dientes . /stos se encuentran igualmente distribuidos sobre una de sus super$icies.0a rueda generalmente es solidaria a un árbol que en la mayoría de los casos gira.

Ley General de Engrane LGE!

*etermina las condiciones de los $lancos de los dientes para que la relación cinemática detransmisión sea constante.

+utor, 1ng. 2svaldo 3iordanino


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*onde,4 l y 4 ) 5circun$erencias primitivas6, son las trazas de los cilindros primitivos.2 ' y 2 ), centros de las circun$erencias primitivas.M 5punto de contacto ideal6, es real solamente cuandoN 5punto de contacto real6 pasa porM"$ ' , $lanco solidario a la rueda '.$ ): $lanco solidario a la rueda ).



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0os dos cilindros tienen un punto de contacto idealM"0a rueda# ' arrastra a la 4) a trav#sdel $lanco $ ' en contacto con $ $ en un punto realN"+ trav#s deN se traza una tangente y unanormal a los $lancos. Esta última pasa por el puntoM y se denominanor%al de engrane .

En el puntoM se cumple que, v 7 r ' 8 &l 7 r ) 8 &)

&l ( &) 7 r ) ( r '

donde,

&l (&) condición cinemática

r ) ( r ' condición geom#trica

En N debe suceder algo que me garantice lo que sucede enM"

ρ ' "ρ ), radio de rotación instantáneo" 2l N" 2) N.9 ' , velocidad instantánea del puntoN con respecto a la rueda 2' .9 ), velocidad instantánea del puntoN con respecto a la rueda 2) .

v' 7 &' 8 ρ ' 9 ) 7&) 8 ρ )

+ estas velocidades se las proyecta sobre la normal n:n y sobre la tangente t:t.

9; ' , proyección de 9' sobre n:n 7 &' 8 ρ ' 8 cosϕ ' 9;), proyección de 9) sobre n:n 7 &) 8 ρ ) 8 cosϕ)

u' , proyección de 9i sobre t:t 7 &' 8 ρ ' 8 senϕ 'u), proyección de 9) sobre t:t 7 &) 8 ρ ) 8 senϕ)

!ara garantizar la condición cinemática y geom#trico se debe veri$icar que 9;' 7 9;). iesto no sucede un diente se ale


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=elacionando esta igualdad 5obtenida de analizar el puntoN! con la obtenida de analizarel puntoM&vemos que:.

&'( &) 7 g)( g'7 r ) ( r '

!ara que se cumpla esta condición los triángulos rayados deben ser seme r ' ( r )6 velocidad de desplazamiento relativa

9 7velocidad del punto %.

Utilizando la de$inición de 9*7 u) : u' 5velocidad de arrastre6" la velocidad dedesplazamiento relativa tendrá en el comienzo del engrana6" luedecrecerá ?asta ser nula en el puntoM para terminar en el $in del engrana


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µ ' 7 ω ' 8 ρ ;' 5'6

µ) 7 ω ) 8 ρ ;) 5)6

abiendo que 9 7ω ' 8 r ' ⇒ ω ' 7 9(r ' " se tiene,

ρ ;' 7 r ' 8 senα > A 5B6

+nálogamente" como $ , '- r )&tenemos, ρ ;) 7 r ) 8 senα : A 5C6

*onde A es la distancia entre los puntos N y %.

=eemplazo 5B6 en 5'6" y 5C6 en 5)6 y se tiene,µ ' 7 9 8 senα > A (r ' @µ) 7 9 8 senα : A (r )

µ ' : µ) 7 9 [ senα > A (r ' : 5senα : A (r )6] µ ' : µ) 7 9 5A (r ' : A (r )6 ⇒ 9 * 7 9 8 A (r ' 8 5'>r ' (r )6

9 *(9 7 A (r ' 8 5'>r ' (r )6

9 * , velocidad de desplazamiento.9 , velocidad del punto %.

Engrana.e

Es un con


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!ara disminuir la p#rdida de potencia se debe tener super$icies pulidas y muy buenalubricación. !ara optimizar un mecanismo de engrana


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!ara determinar la posición de n' cuando ' est# en % trazamos un arco de circun$erenciacon centro en 2' y radio '' n2 " lugar de las sucesivas posiciones de n' que gira en torno de 2' "y con centro en % un arco de circun$erencia de radio 'n ' − .

El punto N" en la intersección de ambos arcos" es el punto del plano donde n' tomará

contacto con la con


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#0R'AS #4NJ0GADAS #3#L43DALES .

0as curvas cicloidales se generan como la trayectoria de un punto de una circun$erencia

sobre un recta o sobre otra circun$erencia 5se puede generalizar considerando la recta comocircun$erencia de radio in$inito6

=uleta o 3eneratriz, es la circun$erencia que rueda sin resbalar sobre la circun$erencia

base.4ircun$erencia Gase, es sobre la cual rueda la ruleta.! 7 N%;, radio de curvatura instantáneo 5perpendicular a la cicloide6.

+ la circun$erencia base se la denominaenvoltura, la cual es lugar geom#trico de todos loscentros instantáneos % 5envoltura de la cicloide6. + la ruleta se la denominaevolvente de lacircun$erencia base. Esto se cumple para c 7∞

'6 4icloide, cuando la base se trans$orma en una recta la curva generada se denominacicloide" que se emplea para el trazado de los $lancos de dientes en las cremallera5engrana


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B6 Hipocicloide, la ruleta rueda interiormente sobre la base. e pueden presentar trcasos.a6 )! I =G, es la ?ipocicloide común de las raíces de los dientes. b6 )! 7 =G, la ?ipocicloide degenera en un diámetro de la base. e emplea en

engrana


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0os con


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+claración, para la generación del diente las ruletas giran siempre en igual sentido.

!or conveniencia teórica se trazan ) pares de curvas con


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: 0a recta de acción que se obtiene uniendo el punto de engrane N con el punto primitivo % $orma un ángulo con la tangente común a las primitivas variable dinstante en instante.

: olo con $ines de normalización el adendum y dedendum de un mismo diente está

generados con ruletas de igual diámetro.#ur6as #on.ugadas E6ol6entes

0a evolvente puede concebirse como la trayectoria de un punto de una recta que rueda sinresbalar sobre un círculo o circun$erencia base.

= b es el radio de la circun$erencia base de la evolvente que tiene un punto de arranque en +Una tangente a la circun$erencia base en el punto T corta a la evolvente en +;. *e acuerdo a lde$inición de la evolvente" surgen las siguientes propiedades geom#tricas.

'6 +rco +T 7 segmento +;T0a longitud del arco de la circun$erencia base comprendido entre el punto de arranque d

la evolvente 5+6 y el punto de tangencia 5T6 de una recta tangente a lcircun$erencia" es igual a la longitud del segmento de tangente comprendido entre punto de tangencia 5T6 y el punto en que intercepte a la evolvente 5+;6.

'6 Una recta tangente a la circun$erencia base es normal a la evolvente. 0a tangente a la 4 b puede concebirse como recta generatriz de la evolvente. En la $igura ' la evolvente 5e6 puedgenerarse por la trayectoria del punto 5+;6 de la tangente que rueda sin resbalar sobre lacircun$erencia" en consecuencia 5T6 es centro instantáneo de rotación del movimiento relativ para el instante representado en la $igura ''" y la trayectoria de 5+;6 es normal a la tangente a 4 b.

B6 El segmento de tangente T+; es el radio de curvatura de la evolvente 5e6 en el pun5+6.: 0a 4 b es la evolvente de las normales a la evolvente.: 0a 4 b es la evolvente de la evolvente 5e6. El segmento de la normal a una curva

comprendido entre el punto de intersección y el punto de tangencia con la evolutade la curva es el radio de curvatura de la curva en el punto de intersección.



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: 0a evoluta de una curva es el lugar geom#trico de sus centros de curvatura.

+quí ;gira; el 4 b con valorω. 0a evolvente 5el6 de punto de arranque en 5+6 cortará a latangente en 5+;6" al rodar la base y pasar el punto de arranque a la posición 5G6" la evolve5solidaria a la base6 ocupará la posición5e)6y corta a la tangente $i


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'6 El punto de tangencia de las curvas evolventes en contacto" se ?alla ubicado sobre ltangente común a las circun$erencias bases. !or otra parte la línea de engrane coincidecon la normal común a las curvas con


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i suponemos las evolventes en contacto en una posición determinada" de$inida por udistancia entre centros de las circun$erencias bases" bastará suponer $i


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*e la $igura 'C" teniendo en cuenta la seme = )" es posible determinar = l" = ) α .

4os α 7 5ρ ' > ρ )6 ( 1

= l 7 ρ l ( cosα 7 18 ρ l ( 5ρ ' > ρ )6

= ) 7 ρ ) ( cosα 7 18 ρ ) ( 5ρ ' > ρ )6

#onclusiones

': 0a $orma de las curvas evolventes depende e-clusivamente de los radios 5ρ l6 y 5ρ )6 de lascircun$erencias bases.

): i una evolvente solidaria a su base gira con velocidad angularω l e impulsa a otra

evolvente con la cual se ?alla en contacto solidario tambi#n a su base" le imprime un



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rotación con velocidad angularω ) independiente de la distancia entre centros de giro 2' 2 )

B: 0a relación de la velocidad angular del movimiento transmitido depende solamente de

relación de los radios de las bases.ω ' - ω ) 7 ρ ) (ρ '

C: 0a línea de engrane y recta de acción de 5a $uerza transmitida por la acción de unevolvente sobre otra" es la tangente común a los c b.

O: El 9ngulo de presión es constante" i aumenta 1"α aumenta" disminuyendo el $lancoactivo y el arco de engrane.

P: 0a intersección de la tangente común a las bases con la línea de los centros determina e punto primitivo %.

Q: 0os radios de las c p son directamente proporciónales a los radios de las c b.

ρ l (ρ ) 7 = l ( = )

K: 0as propiedades cinemáticas del engrana


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'6 0a distancia entre los e


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c p 7 circun$erencia primitiva.c b 7 circun$erencia base.ce 7 circun$erencia e-terior.ci 7 circun$erencia interior.

n:n rueda sobre c b generando la evolvente

arco 5+;G;6 7 4* 7 t b 7 paso base 7 cte. 5medido sobre c b6.arco 5+;G;6 7 paso primitivo o paso circun$erencial 7 t p o t.

a 7 adendum5cabeza del diente6.d 7 dedendum 5pie del diente6.= 7 altura del diente. 7 ángulo de presión.< 7 anc?o del diente 5dimensión de la generatriz del diente6.s 7 espesor cordal 5cuerda que tiene el diente a la altura del * p6.

0as condiciones que deben cumplir dos ruedas dentadas para que engranen son lassiguientes,

a6 ue los $lancos de sus dientes sean super$icies con


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Nor%ali(ación de las Ruedas Dentadas

*e la e-presión del paso, t 7 5π 8 *6 ( z ⇒ * 7 5t (π68 z" se deduce que siendo( siempreun número entero" la condición para que el diámetro de la c p sea un número racional" es quetambi#n la sea el cociente 5t (π6" en cuyo casot es un número irracional.

En la práctica no se mide 5t6 sino que se miden los diámetros de las circun$erencia primitivas y e-terior" mediciones que pueden realizarse $ácilmente con e-actitud" por elresulta de inter#s que tales dimensiones sean números racionales.

Estas circunstancias ?an llevado a adoptar en la práctica una unidad o módulo comocaracterística deV dentado" que se estandariza y en $unción de la cual se e-presan ldimensiones de las ruedas dentadas" de manera que el diámetro primitivo resulte siempre unumero racional.

istema m#trico,

%ódulo %#trico, ;Es la $racción de diámetro primitivo cuando se lo divide en tantas partcomo número de dientes 5z6

% 7 %ódulo 7 * p 5mm6 ( z 7 t 5mm6 (π

El valor normalizado del módulo se encuentra entre ")O I % I ')" y varía de ")O en ")Oe mide en milímetros. En base al módulo se de$inen las dimensiones de la rueda dentada.

a 7 % 5adendum6d 7 Q(P % 5dedendum6r 7 '(P % 5radio de acuerdo6

El ángulo de presión tambi#n se normaliza para que" de esta $orma se puedan $abricar las?erramientas.

α 7 'OW" ) W" )CW" B W 5no ?ay ángulos $raccionados6.

*ebido a que *p 7 z : %" tenemos que,

* e 7 * p > )% 7 % 8 5z > )6 @ *i 7 * p : )d 7 % : 5z : )"BB6? 7 a > d 7 )"'P% 7 altura del diente.

4os α 7 * b ( * p ⇒ *b 7 *p 8 cosα

El * b es utilizado para ser comparado con el *i.

i * b I * i → no ?ay problema.i * b J * i → e-iste inter$erencia.



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b 7 ' m 5interviene solo en el cálculo resistente del diente6. El valor es recomendado@no mandatario6.

Notas.e comienza dimensionando con un ángulo de presión 5α 6 ba


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#AL#0L4 DE ENGRANEJES #3L3NDR3#4S DE D3ENTESRE#T4S

0a dirección de las $uerzas que transmiten a trav#s del contacto entre los dientes es normalla super$icie de los $lancos en contacto a lo largo de una generatriz. En las ruedas con diende per$il evolvente el ángulo de presión y la intensidad de la $uerza transmitida se mantienconstante.

!ara el cálculo de los dientes supondremos que el es$uerzo total aplicado por la ruedmotora sobre la conductora se veri$ica a trav#s del contacto de un solo par de dientes" en práctica es común de que el engrane se realice simultáneamente en más de un par de dientes εJ l6" pero previniendo que por errores de trazado ello no suceda en todo instante por razones seguridad se mantendrá esta ?ipótesis.

E-isten dos criterios para el cálculo,

'6 Gasado en la resistencia a la solicitación de $le-ión.)6 Gasado en la resistencia a la solicitación al desgaste.

Método de LE>3S de la 2le?ión!

Está basado en la resistencia a la $le-ión. 0a posición más des$avorable de la $uerza Nnormal a las super$icies de contacto" que una rueda transmite a la otra" tiene lugar cuando

contacto se veri$ica en el e-tremo de la cabeza del diente a calcular.



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!odemos descomponer a la $uerza D N en una componente D= 5radial6, en la dirección del e


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En la práctica Dt se la suele tomar como D que es tangente a la circun$erencia primitiva. i laDt coincidiera con la 4 p,

Dt 7 D 5responsable de la transmisión de potencia6

El m#todo de cálculo de 0e&is Sconsidera el diente Sempotrado en el cuerpo dengrana


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Dt 7 σ 8 b 8 y 8 t → Dórmula de 0e&is

7 5a)6 ( P8 ? 8 t 4oe$iciente de 0e&is o de Dorma.

está tabulado en $unción deα y z 5nW de dientes6. Es independiente del módulo debido que al estar a" ? y t en $unción de #ste se cancela. =uedas con igualα y z son seme


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a 7 coe$. que dependerá de las unidades que se adoptan para e-presar 9.

0a velocidad 9 se calcula en $unción de las rpm y del diámetro de la c p.

9 7 5π 8 Φ p 8 n6 ( P [m (s]i 9 se e-presa en m ( min." entonces queda, 9 7π 8 Φ p 8 n

ϕd 7 P ( 5P > B")K96→ 9 ≤ P m (min.

ϕd 7 ') ( 5') > B")K96 → P < 9 < ')

ϕd 7 QK ( 5QK > '.K'96 → 9 ≥ ')

0a $uerza calculada por 0e&is : Gart? deberá ser igual a la $uerza tangencial D necesari para la transmisión del movimiento. 0a componente tangencial de la $uerza N se calcula comsi actuara en correspondencia del contacto de las c p. En $unción de la potencia transmitida 5N6"número de revoluciones 5rpm6 y del radio primitivo de la rueda 5= p6" se puede calcular el valor de D.

%m 7 %omento motor 7 D8 = p Q'P) 5N ( n6

D5Yg6 7 Q'P) N[H! ] ( n[rpm] 8 =! [cm]

*ebiendo veri$icarse,D b 7 σ a 8 b 8 y 8 % ≥ Dt

*ebe destacarse que la recta de acción de D b en general no será a la c p y en consecuencia nocoincidirá con la recta de acción de D" resultante de la e-presión anterior. El brazo de palancde D b es algo mayor que para D" al adoptar la posición tangente a c p nos colocamos en una posición más segura" por otra parte la di$erencia no es importante y no tiene sentido prácticonsiderarlo.



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!ara el cálculo de D es común adoptar una potencia de cálculo 5Nc6 en general es la potencia necesaria para la trasmisión 5N6 que se obtiene a$ectando esta de un $actor de servique tiene en cuenta el tipo de carga y tipo de servicio.

Nc 7 N 8



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Método de @uc ing=a%

4on este m#todo se puede proyectar y modi$icar GucZing?am basándose en los errores dtrazado de los dientes y luego de una serie de e-periencias muy detalladas llegó a la e-presiónde $órmulas racionales. El m#todo tiene en cuenta,

'6 0os e$ectos dinámicos debidos a los errores de trazado.)6 0os e$ectos de concentración de tensiones.B6 0a variabilidad de las cargas.

'6 E$ecto dinámico debido a errores de trazado,

!ara tenerlos en cuenta en lugar de disminuir la tensión admisible 5tal como se procede e0e&is : Gart?6 se incremento el valor de la carga estática ! 5D6 necesaria para la transmisió0a carga total que soporta el diente 5!d6 a carga dinámica" vale según GucZing?am,

! d 7 ! > ∆!

! 7 $uerza tangencial estática requerida para la transmisión.∆! 7 incremento de carga debido a los e$ectos dinámicos que tienen origen principalment

en errores de maquinado" de paso" de $orma y de monta c b! ⋅+ 6

9 7 velocidad peri$#rico de la c p. [m ( min.\ b 7 anc?o del diente [cm\α 7 coe$iciente de ?omogeneización adimensional que uni$ica las dimensiones! 7 [Yg\c 7 coe$iciente de de$ormación [Yg ( cm)\. /ste depende de los errores 5ε6" del ángulo de presión 5α 6 de los materiales 5E piñon" Erueda6.

0os errores se suman para dar un error total 5ε b6. /stos van a depender de la tecnología de$abricación que se ?alla empleado para su construcción.

4lase de engrana


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+ la velocidad se la acota en $unción del error total.

El error de maquinadoε es de di$ícil evaluación" en t#rminos generales está en $unción de,

: El módulo del diente 5siM aumenta" la tolerancia aumenta6.: 0a clase de maquinado.

0os errores de trazado tolerables en la manu$acturación de engrana


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%ientras 0e&is:Gart? Sveri$ican cargas admisibles" GucZing?am Scalcula la carga paraluego veri$icar tensiones.

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