Control Automático · Sintonía de reguladores PID por Ziegler-Nichols Condición: La planta es lo...
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Control Automático
Regulador PID y ajuste del PID
Eduardo Interiano
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Contenido
◼ Regulador PID
◼ PID ideal
◼ PID real
◼ Ajuste empírico del PID (Ziegler-Nichols)
◼ Ejemplos
◼ Ejercicios
◼ Referencias
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+
+
+K
s
I
KP
K sD
El PID ideal
◼ El regulador PID en el
dominio del tiempo
◼ Transformando al
dominio S (ideal)
◼ Factorizando la
ganancia KP (estándar)
sKs
KKsK D
IPPID ++=)(
)1
1()( d
i
PPID TssT
KsK ++=
u t K e t K e d Kd
dte tP I
t
D( ) ( ) ( ) ( )= + + 0
e(t)
E(S)
4
Circuito con regulador PID
)1
1()( d
i
PPID TssT
KsK ++=
KPID(s)
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El PID real
◼ Debido a que el regulador PID (PD) ideal es impropio, tiene más ceros que polos, presenta problemas para la simulación y para la realización.
◼ La solución: agregar un polo parásito con una constante de tiempo muy pequeña y ganancia estática unitaria. (Factor 100)
◼ El PID real está constituido entonces por dos polos y dos ceros, de forma similar a un compensador de adelanto y un compensador de atraso con el polo en el origen
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Los casos del regulador PID
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Ejemplo 1: Especificaciones
◼ Sea el sistema con función de transferencia de lazo
abierto
dadas las especificaciones
◼ t5% 1.1 s
◼ MP 5 %
◼ eSS = 0
realizar la síntesis del compensador PID real usando un
compensador de adelanto (PD) y un compensador de
atraso PI en serie.
)3)(1(
10)(
++=
sssG
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Ejemplo 1: PD o compensador
de adelanto
◼ Transformamos las condiciones a:
◼ 0.69
◼ n 2.76
◼ = G(s1) = 138.37° , por lo que el ángulo
faltante es = 180° - = 41.63°
◼ Calculamos un compensador de adelanto, o
PD, por el método de la bisectriz con el punto
s1 = -3.25 j3
)97.5(
)28.3(52.1)(
+
+=
s
ssKPD
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Ejemplo 1: PI o compensador de
atraso
◼ Ubicamos cero del compensador de atraso
con el polo en el origen (PI) en s = -0.95, un
poco a la derecha del polo en s = -1
◼ El compensador PID real queda entonces
s
ssKPI
)95.0()(
+=
s
s
s
ssKPID
)95.0(
)97.5(
)28.3(52.1)(
+
+
+=
10
Ejemplo 1: Lugar de las raíces
11
Ejemplo 1: Respuesta de lazo
cerrado ante escalón
s
s
s
ssKPID
)95.0(
)97.5(
)28.3(52.1)(
+
+
+=
12
Ejemplo 1: Análisis
◼ El sistema original tenía:
◼ Tiempo de estabilización menor a 1.5 s
◼ Sobreimpulso mayor al 12%
◼ Error de estado estacionario del 23%
◼ El sistema compensado posee:
◼ Tiempo de estabilización menor a 0.8 s
◼ Sobreimpulso ligeramente mayor al 4%
◼ Cero error de estado estacionario
Se cumplen las condiciones impuestas
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Conclusiones PID
◼ El regulador PID puede descomponerse en partes para su aplicación de acuerdo a las necesidades.
◼ Por limitaciones técnicas los reguladores PD y PID no pueden ser implementados sin un polo parásito; por lo que se pueden asimilar a otros tipos de compensadores existentes.
◼ El regulador PID puede usarse como si fuera un compensador de adelanto en cascada con un compensador de atraso con el polo en el origen.
◼ Los resultados obtenidos del regulador PID real son los mismos que pueden obtenerse con un compensador de adelanto-atraso con un error de estado estacionario cero; o mejorado en el caso de entradas del orden superior del tiempo.
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Sintonía de reguladores PID
por Ziegler-Nichols◼ Condición: La planta es lo suficientemente
estable como para experimentar con ella
◼ Tipos de plantas adecuadas:
◼ Caso 1: La respuesta, de lazo abierto, al escalón tiene forma de S. (La planta, de segundo orden al menos o primer orden con tiempo muerto, no tiene integradores ni polos dominantes complejos conjugados)
◼ Caso 2: Plantas con integradores, respuesta de lazo cerrado.
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Caso 1: Respuesta al escalón
de lazo abierto
La tangente al punto de inflexión
determina dos puntos:
a) El tiempo muerto, L
b) b) La constante de tiempo más el
tiempo muerto (T+L)
Tenemos además la ganancia estática
K, con entrada escalón de amplitud A
Au
yK t
y(0)-y(t)lim→=
=
Ls
sT
KsG −
+= e
)1*()(
y(t)
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Caso 1: Respuesta al escalón
de lazo abierto: otro método
Los parámetros:)(tT
)(2 %39%63 tt −=
A
TtTK
it
−= →
)(lim
)(%63 +−= id ttt
)1()(
+
=
−
s
eKsG
dts
)( ittA −
iT
it
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Caso 1: Tablas de ajuste Z-N
Tipo de controlador KP Ti Td
P ∞ 0
PI L/0.3 0
PID 2L 0.5L
)1
1()( d
i
PPID TssT
KsK ++=
L
T
K
1
L
T
K
9.0
L
T
K
2.1
18
Caso 1: PID
◼ El PID ajustado por el primer método da:
◼ Consiste de un polo en el origen y dos ceros
en -1/L
s
Ls
TsKPID
21
6.0)(
+
=
19
Caso 2: Respuesta de lazo
cerrado
◼ Se ponen Ti en infinito y Td en cero, se ajusta
KP desde 0 hasta que haya oscilación
sostenida con la ganancia KCR
◼ Se determina el periodo TCR de la oscilación
◼ (si no hay oscilación, el método no se puede
aplicar)
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Caso 2: Oscilación sostenida
◼ La oscilación obtenida con la ganancia Kcr
21
Caso 2: Tablas de ajuste Z-N
Tipo de controlador Kp Ti Td
P 0.5Kcr ∞ 0
PI 0.45Kcr Tcr/1.2 0
PID 0.6Kcr 0.5Tcr 0.125Tcr
)1
1()( d
i
PPID TssT
KsK ++=
23
Caso 2: PID
◼ El PID ajustado por el segundo método da:
◼ Consiste de un polo en el origen y dos ceros
en -4/Tcr
s
Ts
TKsKCR
CRCRPID
2
4
075.0)(
+
=
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Ejercicio
◼ Utilice el método de Ziegler-Nichols para
compensar el sistema con variantes del PID
◼ Investigue sobre variaciones al PID original.
s
ssG 1.0e
)2(
4)( −
+=
25
Ejemplo 2: Experimento
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
Step Response
Time (sec)
Am
pli
tud
e
T=0.9 →
K=0.8 →
s
ssG 1.0e
)19.0(
8.0)( −
+=
Step Response
Time (sec)
Am
pli
tud
e
0 0.5 1 1.5 2 2.50
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
26
Ejemplo 2: Resultado Z-N
( )
( )
( ) 13.5(1 1 / (0.2 ) 0.05 )
( ) 13.5 67.5 / 0.675
13.5 67.5 / 0.675 ( )( )
1 13.5 67.5 / 0.675 ( )
PID s s s
PID s s s
s s G sT s
s s G s
= + +
= + +
+ +=
+ + +
El PI_D
◼ La parte derivativa solo trabaja en la
realimentación
27
( )
( )
( ) 13.5(1 1 / (0.2 ))
( ) 0.675
13.5 67.5 / ( )( )
1 13.5 67.5 / 0.675 ( )
PI s s
D s s
s G sT s
s s G s
= +
=
+=
+ + +
28
Ejemplo 2: Resultado PI_D
( )
( )
( ) 13.5(1 1 / (0.2 ))
( ) 0.675
13.5 67.5 / ( )( )
1 13.5 67.5 / 0.675 ( )
PI s s
D s s
s G sT s
s s G s
= +
=
+=
+ + +
El I_PD
◼ Las partes proporcional y derivativa solo
trabajan en la realimentación
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( )
( )
( ) 13.5 / 0.2
( ) 13.5(1 0.05 )
67.5 / ( )( )
1 13.5 67.5 / 0.675 ( )
I s s
PD s s
s G sT s
s s G s
=
= +
=+ + +
30
Ejemplo 2: Resultado I_PD
( )( ) )(54.0/548.101
)(/54)(
)20(54.0)(
/54)(
sGss
sGssT
ssPD
ssI
+++=
+=
=
31
Ejemplo 2: Resultado REI
( )( ) )(187.1/016.16477.81
)(/016.16)(
187.1477.8)(
/016.16)(
sGss
sGssT
ssPDs
ssIs
+++=
+=
=
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Referencias
◼ Ogata, Katsuhiko. „Ingeniería de Control
Moderna“, Pearson, Prentice Hall, 2003, 4ª
Ed., Madrid.
◼ Kuo, Benjamin C.. „Sistemas de Control
Automático“, Ed. 7, Prentice Hall, 1996,
México.
◼ http://en.wikipedia.org/wiki/PID_controller
◼ http://www.cds.caltech.edu/~murray/amwiki/in
dex.php?title=PID_Control