Classificadores Bayesianos Introduction to Data Mining (Cap. 5.3) Tan, Steinbach, Kumar

Classificadores Bayesianos

Introduction to Data Mining (Cap. 5.3)

Tan, Steinbach, KumarIrineu Júnior Pinheiro dos Santos

Mirela Ferreira CésarRoberto Ribeiro Castro Menezes

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Sumário Introdução Teorema de Bayes

Teorema de Bayes na Classificação Classificador Naive Bayes

M-Estimate das Probabilidades Condicionais

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Introdução - Conceitos

Classificadores Bayesianos são classificadores estatísticos que tem a função de classificar um objeto numa determinada classe, baseando-se na probabilidade deste objeto pertencer a esta classe.

Em muitas aplicações, a relação entre o conjunto de atributos e a variável classe são não-determinísticos.

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Introdução - Exemplo

Predizer quando uma pessoa tem doença no coração considerando os fatores alimentação saudável e freqüência que pratica exercícios.

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Introdução - Exemplo

Outros Fatores podem ocasionar a doença: fumo,

colesterol elevado e hereditariedade.

Doença no coração?

AlimentaçãoSaudável eExercícios

Relação não determinística

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Teorema de Bayes Fornece o cálculo das probabilidades de que uma

determinada amostra de dados pertença a cada uma das classes possíveis, predizendo para a amostra, a classe mais provável.

Considerando X e Y variáveis aleatórias, uma probabilidade condicional P(Y|X) refere-se a probabilidade de Y assumir um valor determinado, observando-se o valor assumido por X.

)(

)()|()|(

XP

YPYXPXYP

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Teorema de Bayes na Classificação Exemplo:

ID Idade Renda Estudante Crédito Compra_computador1 <= 30 Alta Não Bom Não2 <= 30 Alta Não Bom Não3 31..40 Alta Não Bom Sim4 > 40 Média Não Bom Sim5 > 40 Baixa Sim Bom Sim6 > 40 Baixa Sim Excelente Não7 31..40 Baixa Sim Excelente Sim8 <= 30 Média Não Bom Não9 <= 30 Baixa Sim Bom Sim10 > 40 Média Sim Bom Sim11 <= 30 Média Sim Excelente Sim12 31..40 Média Não Excelente Sim13 31..40 Alta Sim Bom Sim14 > 40 Média Não Excelente Não

Classificar os seguintes valores:X = (Idade <= 30, Renda = Media, Estudante = sim, Crédito = bom)Y = Compra_Computador?

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Teorema de Bayes na Classificação Exemplo:


P(Y=sim) e P(Y=não)P(Y=sim) = 9/14 = 0,643 P(Y=não) = 5/14 = 0,357 = 1-P(Y=sim)

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Teorema de Bayes na Classificação X = (Idade <= 30, Renda = Media, Estudante = sim, Crédito = bom)


Probabilidades:P[Idade <= 30 | Y = sim] = 2/9 = 0,222P[Idade <= 30 | Y = não] = 3/5 = 0,6

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Probabilidades:P[Renda = Media | Y = sim] = 4/9 = 0,444P[Renda = Media | Y = não] = 2/5 = 0,4

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Probabilidades:P[Estudante = sim | Y = sim] = 6/9 = 0,667P[Estudante = sim | Y = não] =1/5 = 0,2

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Probabilidades:P[Credito = bom | Y = sim] = 6/9 = 0,667P[Credito = bom | Y = não] = 2/5 = 0,4

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Teorema de Bayes na Classificação Calculamos isoladamente o valor da probabilidade

condicional de cada atributo, mas para que eles sejam calculado de forma interseccionada, temos:

P[x1, x

2,... x

d | C] = P(x

1| C) * P(x

2| C) * … * P(x

d| C)

Com isso, é possível chegar a uma forma mais geral do Teorema de Bayes:

)(

)|()()|( 1

XP

YXPYPXYP i

di

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Teorema de Bayes na ClassificaçãoTemos:

P(X|Y=sim) = 0,222 * 0,444 * 0,667 * 0,667 = 0,044

P(X|Y=não) = 0,6 * 0,4 * 0,2 * 0,4 = 0,019

Pela lei da probabilidade total:

P(X) = P(X|Y=sim)*P(Y=sim) + P(X|Y=não)*P(Y=não)

P(X) = 0,044*0,643 + 0,019*0,357 = 0,028 + 0,007 = 0,035

P(X|Y=sim) * P(Y=sim) / P(X) = 0,044 * 0,643 = 0,028 / 0,035 = 0,8

P(X|Y=não) * P(Y=não) / P(X) = 0,019 * 0,357 = 0,007 / 0,035 = 0,2

Ou seja, P(X|Y=sim) > P(X|Y=não) O classificador Bayesiano prediz que a tupla X é classificada

na classe Compra-Computador = sim

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Classificador Naive Bayes Um classificador Naive Bayes estima a probabilidade de

classe condicional P(X|Y).

Pré-considerações: Assume-se que os atributos são condicionalmente

independentes (Naive Bayes ingênuo ou simples); As probabilidades condicionais são estimadas para os atributos

de acordo com a sua classificação: Categórico; Contínuo.

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Atributos Condicionalmente Independentes São atributos que apresentam independência estatística

entre si: Dois eventos são estatisticamente independentes se a

probabilidade da ocorrência de um evento não é afetada pela ocorrência do outro evento.

Exemplo: Tamanho do braço x Habilidades de Leitura

Considerando a Idade, a dependência não ocorre.

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Atributos Categóricos É aquele atributo para o qual é possível estabelecer um

conjunto de valores finito.

Exemplo: Sexo: {Masculino, Feminino} Cor da Pele: {Branca, Marrom, Amarela, Preta}

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Atributos Categóricos Para uso no algoritmo Naive Bayes:

Estima-se a fração das instâncias de treinamento de acordo com cada valor da classe.

Exemplo:

Casa Própria Estado Civil Inadimplente

Sim Casado Sim

Sim Solteiro Não

Não Casado Não

Sim Divorciado Não

P(Casa Própria=Sim|Não)

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Atributos Categóricos

Exemplo:

Casa Própria Estado Civil Inadimplente

Sim Casado Sim

Sim Solteiro Não

Não Casado Não

Sim Divorciado Não

P(Casa Própria=Sim|Não) = 2/3

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Atributos Contínuos

São considerados contínuos os atributos que possuem muitos ou infinitos valores possíveis

Exemplo: Idade: Peso:

00R

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Atributos Contínuos Existem duas formas de estimar a probabilidade de

classe condicional para atributos contínuos: Discretização dos atributos; Distribuição Gaussiana.

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Atributos Contínuos Discretização de atributos contínuos:

Os atributos contínuos são divididos em intervalos discretos, que substituem os valores desses atributos.

Esta abordagem transforma os atributos contínuos em atributos ordinais.

A transformação dos atributos contínuos em atributos discretos permite que sejam tratados como atributos categóricos.

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Atributos Contínuos Distribuição Gaussiana:

Assume uma certa forma de distribuição de probabilidade para variáveis contínuas, e estima os parâmetros da distribuição usando os dados de treinamento.

Caracterizada por dois parâmetros: Média (µ) Variância (σ2) da amostra

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Atributos Contínuos

Para cada valor de classe y, a probabilidade da classe condicional para o atributo X é:

n

y

2

2

2exp

2

1)|(

x

yYxXP

1

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n

x

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Classificador Naive Bayes

Registro Casa Própria Estado Civil Renda Anual Inadimplente

1 Sim Solteiro 125K Não

2 Não Casado 100K Não

3 Não Solteiro 70K Não

4 Sim Casado 120K Não

5 Não Divorciado 95K Sim


7 Sim Divorciado 220K Não

8 Não Solteiro 85K Sim



Atributos Categóricos Atributos Contínuos Classe

Exemplo: Dado o seguinte conjunto de treinamento:

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Classificador Naive Bayes Cálculo dos atributos categóricos:













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P(Casa Própria=Não|Não) = 4/7

Cálculo dos atributos categóricos:

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P(Casa Própria=Sim|Sim) = 0


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P(Casa Própria=Não|Sim) = 1


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Média:

µ = (125 + 100 + 70 + 120 + 60 + 220 + 75) / 7 = 110

Variância:

σ2 = (125-110)2 + (100-110)2 + (70-110)2 + (120-110)2 + (60-110)2 + (220-110)2 + (75-110)2 / 6 = 2975

Cálculo dos atributos contínuos:

Para a classe Não

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Cálculo dos atributos contínuos:

Para a classe Sim

Média:

µ = (95 + 85 + 90) / 3 = 90

Variância:

σ2 = (95-90)2 + (85-90)2 + (90-90)2 / 2 = 25

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P(Estado Civil=Solteiro|Não) = 2/7

P(Estado Civil=Divorciado|Não) = 1/7

P(Estado Civil=Casado|Não) = 4/7

P(Estado Civil=Solteiro|Sim) = 2/3

P(Estado Civil=Divorciado|Sim) = 1/3

P(Estado Civil=Casado|Sim) = 0

Para o cálculo da Renda Anual:

Classe Não:

Média: 110 Variância: 2975

Classe Sim:

Média: 90 Variância: 25

Resultado dos cálculos básicos:

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Classificador Naive Bayes Dado o conjunto de treinamento anterior, qual a

classe do seguinte registro de teste:

X = (Casa Própria=Não, Estado Civil=Casado, Renda Anual=120K)

Avaliar qual a maior probabilidade entre as probabilidades posteriores: P(Inadimplente=Não|X) e P(Inadimplente=Sim|X)

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Problema: se a probabilidade da classe condicional de um dos atributos é zero, a probabilidade posterior para a classe inteira, quando avaliado esse atributo, também será.

Pois Lembre-se: P[x

1, x

2,... ,x

k | C] = P(x

1| C) * P(x

2| C) * … * P(x

k| C)

Quando essa condição existe para atributos das duas classes, o algoritmo não é capaz de classificar o registro.

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M-Estimate das Probabilidades Condicionais Exemplo, imagine que o conjunto de treinamento fosse assim:

E agora queremos saber P(X | C) sendo X = (Casa Própria = Sim, Estado Civil = Divorciado, Renda = 120k)












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P(Não) = 6/9 = 0.666

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P(Não) = 6/9 = 0.666

P(Sim) = 3/9 = 0.333

41













P(Não) = 6/9 = 0.666

P(Sim) = 3/9 = 0.333

P(Casa Própria = Sim | Não) = 2/6 = 0.33

42













P(Não) = 6/9 = 0.666

P(Sim) = 3/9 = 0.333


P(Estado Civil = Divorciado | Não) = 0

43













P(Não) = 6/9 = 0.666

P(Sim) = 3/9 = 0.333



P(Renda Anual = 120k | Não) = 0,0072

Média (µ) = 91,66kVariância (σ2) = 732,76

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P(Não) = 6/9 = 0.666

P(Sim) = 3/9 = 0.333



P(Renda Anual = 120 | Não) = 0,0072

P(Casa Própria = Sim | Yes) = 0/3 = 0

45













P(Não) = 6/9 = 0.666

P(Sim) = 3/9 = 0.333




P(Casa Própria = Sim | Sim) = 0/3 = 0

P(Estado Civil = Divorciado | Sim) = 0.333

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P(Não) = 6/9 = 0.666

P(Sim) = 3/9 = 0.333




P(Casa Própria = Sim | Sim) = 0/3 = 0

P(Estado Civil = Divorciado | Sim) = 0.333

P(Renda Anual = 120 | Sim) = 1,2 * 10-9

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Aplicando a fórmula de Bayes:

P(C = Não | X) = α * 0.666 * (0.333 * 0 * 0,0072) P(C = Sim | X) = α * 0.333 * ( 0 * 0.333 * 1,2 * 10-9)

P(C = Não | X) = 0 P(C = Sim | X) = 0 Ou seja, o algoritmo não foi capaz de predizer a probabilidade

neste caso

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É possível contornar o problema utilizando a abordagem M-Estimate para o cálculo das probabilidades condicionais

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Onde: n é o número total de instâncias da classe y nc é o número de exemplos de treinamento da classe y com o valor x m é um parâmetro conhecido como o tamanho de amostra equivalente

m é dito valor de compensação p é um parâmetro especificado pelo usuário

+ ou – a proporção da classe no treinamento

Utilizando m = 3 e p = 2/3 (para a classe “Não”), é possível calcular a probabilidade condicional que anteriormente era zero: P(Estado Civil=Divorciado|Não) = (0 + 3*2/3)/(6+3) = 2/9

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M-Estimate das Probabilidades Condicionais Assumindo p=1/3 para classe “Sim” e p=2/3 para a classe “Não”, as

classes condicionais dos demais atributos são calculadas: P(Casa própria=Sim|Não) = (2 + 3*2/3)/(6 + 3) = 4/9 = 0.444 P(Estado Civil = Divorciado | Não) = 2/9 = 0.222 (calculado na lâmina anterior) P(Renda Anual = 120k | Não) = 0,0072

P(C = Não | X) = α * 0.666 * (0.444 * 0.222 * 0,0072) = 0,004α

P(Casa própria=Sim|Sim) = (0 + 3*1/3)/(3 + 3) = 1/6 = 0,166 P(Estado Civil = Divorciado | Sim) = (1 + 3 * 1/3) / (3 + 3) = 2/6 = 0,333 P(Renda Anual = 120k | Sim) = 1,2 * 10-9

P(C = Sim | X) = α * 0.333 * ( 0,166 * 0.333 * 1,2 * 10-9) = 0,022 * 10-9α

Portanto, o algoritmo de Naive Bayes prediz que para o conjunto de atributos X utilizado, a classe deverá ser NÃO

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Caracteristicas Naive Bayes

Vantagens: São robustos para isolar pontos de ruído, pois tais pontos são

calculados pela média quando estima-se a probabilidades condicionais dos dados.

Atributos irrelevantes não tem impacto na computação da probabilidade posterior.

Desvantagens: Atributos correlacionados degradam a performance de classificadores

bayesianos, pois a independência condicional não é mais assegurada.

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