CLASE: PROBLEMAS DE CONDUCCION - materias.fi.uba.armaterias.fi.uba.ar/6731/multidim.pdf · La...
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ORGANIZACI ´ ON DE LA C LASE :P ROBLEMAS DE C ONDUCCI ´ ON MULTIDIMENSIONAL EN R ´ EGIMEN E STACIONARIO I NTRODUCCI ´ ON Repaso de la clase anterior La conducci ´ on en flujos multidimensionales bajo un r ´ egimen estacionario. Ejemplificaci ´ on. OBJETIVOS DE LA CLASE ESTUDIO DE LA CONDUCCI ´ ON EN EL CASO DE FLUJOS MULTIDIMENSIONALES Soluciones gr ´ aficas Soluciones a trav´ es de la analog´ ıa el ´ ectrica Soluciones anal´ ıticas para la conducci ´ on bidimensional estacionaria Geometr´ ıa plana: Placa plana rectangular Principio de Superposici ´ on () SEPTEMBER 3, 2012 1 / 14
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ORGANIZACION DE LA CLASE: PROBLEMAS DE
CONDUCCION MULTIDIMENSIONAL EN REGIMEN
ESTACIONARIO
INTRODUCCIONRepaso de la clase anterior
La conduccion en flujos multidimensionales bajo un regimen estacionario. Ejemplificacion.
OBJETIVOS DE LA CLASE
ESTUDIO DE LA CONDUCCION EN EL CASO DE FLUJOSMULTIDIMENSIONALES
Soluciones graficas
Soluciones a traves de la analogıa electrica
Soluciones analıticas para la conduccion bidimensional estacionariaGeometrıa plana: Placa plana rectangularPrincipio de Superposicion
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CONDUCCION MULTIDIMENSIONAL EN REGIMEN
ESTACIONARIO
INTRODUCCIONRepaso de la clase anterior
La conduccion en flujos multidimensionales bajo un regimen estacionario. Ejemplificacion.
OBJETIVOS DE LA CLASE
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Soluciones graficas
Soluciones a traves de la analogıa electrica
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Soluciones graficas
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Soluciones graficas
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Soluciones graficas
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CONDUCCION MULTIDIMENSIONAL EN REGIMEN
ESTACIONARIO
ESTUDIO DE LA CONDUCCION EN EL CASO DE FLUJOSMULTIDIMENSIONALES
Factores de forma de la conduccion
Soluciones para la conduccion tridimensional estacionaria
Solucion a partir de metodos numericosComparacion de los distintos metodosMetodo de Diferencias Finitas
CONCLUSIONES
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ESTACIONARIO
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Factores de forma de la conduccion
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Solucion a partir de metodos numericosComparacion de los distintos metodosMetodo de Diferencias Finitas
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Factores de forma de la conduccion
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Solucion a partir de metodos numericosComparacion de los distintos metodosMetodo de Diferencias Finitas
CONCLUSIONES
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Factores de forma de la conduccion
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Factores de forma de la conduccion
Soluciones para la conduccion tridimensional estacionaria
Solucion a partir de metodos numericosComparacion de los distintos metodosMetodo de Diferencias Finitas
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Factores de forma de la conduccion
Soluciones para la conduccion tridimensional estacionaria
Solucion a partir de metodos numericosComparacion de los distintos metodosMetodo de Diferencias Finitas
CONCLUSIONES
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CONDUCCION MULTIDIMENSIONAL EN REGIMEN
ESTACIONARIO
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Factores de forma de la conduccion
Soluciones para la conduccion tridimensional estacionaria
Solucion a partir de metodos numericosComparacion de los distintos metodosMetodo de Diferencias Finitas
CONCLUSIONES
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LA CONDUCCION EN FLUJOS MULTIDIMENSIONALES
ESTACIONARIOS
La clase pasada vimos que los flujos de calor unidimensionales permiten encontrarsoluciones referentes para problemas mas complicados.
Los problemas bi y tridimensionales son los casos mas complicados a los que hacemosreferencia.
La busqueda de soluciones analıticas para este tipo de problemas tienen sentido solo encontados casos.
Vamos a buscar mayormente soluciones al campo de temperaturas a partir de otrosmetodos donde se destacan los metodos numericos y los ultrarapidos metodos graficos.
OBJETIVOSSon objetivos de esta clase lograr una familiarizacion de los metodos de resolucion que sedisponen en la vida profesional cuando se pretende resolver problemas con geometrıascomplicadas o cuando la conductividad es funcion de la temperatura
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LA CONDUCCION EN FLUJOS MULTIDIMENSIONALES
ESTACIONARIOS
La clase pasada vimos que los flujos de calor unidimensionales permiten encontrarsoluciones referentes para problemas mas complicados.
Los problemas bi y tridimensionales son los casos mas complicados a los que hacemosreferencia.
La busqueda de soluciones analıticas para este tipo de problemas tienen sentido solo encontados casos.
Vamos a buscar mayormente soluciones al campo de temperaturas a partir de otrosmetodos donde se destacan los metodos numericos y los ultrarapidos metodos graficos.
OBJETIVOSSon objetivos de esta clase lograr una familiarizacion de los metodos de resolucion que sedisponen en la vida profesional cuando se pretende resolver problemas con geometrıascomplicadas o cuando la conductividad es funcion de la temperatura
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ESTACIONARIOS
La clase pasada vimos que los flujos de calor unidimensionales permiten encontrarsoluciones referentes para problemas mas complicados.
Los problemas bi y tridimensionales son los casos mas complicados a los que hacemosreferencia.
La busqueda de soluciones analıticas para este tipo de problemas tienen sentido solo encontados casos.
Vamos a buscar mayormente soluciones al campo de temperaturas a partir de otrosmetodos donde se destacan los metodos numericos y los ultrarapidos metodos graficos.
OBJETIVOSSon objetivos de esta clase lograr una familiarizacion de los metodos de resolucion que sedisponen en la vida profesional cuando se pretende resolver problemas con geometrıascomplicadas o cuando la conductividad es funcion de la temperatura
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ESTACIONARIOS
La clase pasada vimos que los flujos de calor unidimensionales permiten encontrarsoluciones referentes para problemas mas complicados.
Los problemas bi y tridimensionales son los casos mas complicados a los que hacemosreferencia.
La busqueda de soluciones analıticas para este tipo de problemas tienen sentido solo encontados casos.
Vamos a buscar mayormente soluciones al campo de temperaturas a partir de otrosmetodos donde se destacan los metodos numericos y los ultrarapidos metodos graficos.
OBJETIVOSSon objetivos de esta clase lograr una familiarizacion de los metodos de resolucion que sedisponen en la vida profesional cuando se pretende resolver problemas con geometrıascomplicadas o cuando la conductividad es funcion de la temperatura
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ESTACIONARIOS
La clase pasada vimos que los flujos de calor unidimensionales permiten encontrarsoluciones referentes para problemas mas complicados.
Los problemas bi y tridimensionales son los casos mas complicados a los que hacemosreferencia.
La busqueda de soluciones analıticas para este tipo de problemas tienen sentido solo encontados casos.
Vamos a buscar mayormente soluciones al campo de temperaturas a partir de otrosmetodos donde se destacan los metodos numericos y los ultrarapidos metodos graficos.
OBJETIVOSSon objetivos de esta clase lograr una familiarizacion de los metodos de resolucion que sedisponen en la vida profesional cuando se pretende resolver problemas con geometrıascomplicadas o cuando la conductividad es funcion de la temperatura
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ESTACIONARIOS
La clase pasada vimos que los flujos de calor unidimensionales permiten encontrarsoluciones referentes para problemas mas complicados.
Los problemas bi y tridimensionales son los casos mas complicados a los que hacemosreferencia.
La busqueda de soluciones analıticas para este tipo de problemas tienen sentido solo encontados casos.
Vamos a buscar mayormente soluciones al campo de temperaturas a partir de otrosmetodos donde se destacan los metodos numericos y los ultrarapidos metodos graficos.
OBJETIVOSSon objetivos de esta clase lograr una familiarizacion de los metodos de resolucion que sedisponen en la vida profesional cuando se pretende resolver problemas con geometrıascomplicadas o cuando la conductividad es funcion de la temperatura
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ESTACIONARIOS
La clase pasada vimos que los flujos de calor unidimensionales permiten encontrarsoluciones referentes para problemas mas complicados.
Los problemas bi y tridimensionales son los casos mas complicados a los que hacemosreferencia.
La busqueda de soluciones analıticas para este tipo de problemas tienen sentido solo encontados casos.
Vamos a buscar mayormente soluciones al campo de temperaturas a partir de otrosmetodos donde se destacan los metodos numericos y los ultrarapidos metodos graficos.
OBJETIVOSSon objetivos de esta clase lograr una familiarizacion de los metodos de resolucion que sedisponen en la vida profesional cuando se pretende resolver problemas con geometrıascomplicadas o cuando la conductividad es funcion de la temperatura
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METODO GRAFICO (CUADRADOS CURVILINEOS)
Es un metodo que permite soluciones rapidas del campo de temperaturas para casosbidimensionales sencillos.
Inicialmente se dibujan lıneas isotermas sobre el dominio, con un incremento arbitrariopero constante entre todas las isotermas.
Luego se dibujan lıneas de flujo de calor que corten a las isotermas en angulo recto.
x1
y1=
x2
y2= 1 → cuadrados curvos
Qi =−λy1
x1(Tn+1−Tn) =−λ
y2
x2(Tn+2−Tn+1) =−λ∆Tj
Q =N
∑i=1
Qi =−λ
N
∑i=1
∆Tj =−λ N(TB −TA)
J
J = numero de incremento de la temperaturaN = numero de tubos de flujo
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METODO GRAFICO (CUADRADOS CURVILINEOS)
Es un metodo que permite soluciones rapidas del campo de temperaturas para casosbidimensionales sencillos.
Inicialmente se dibujan lıneas isotermas sobre el dominio, con un incremento arbitrariopero constante entre todas las isotermas.
Luego se dibujan lıneas de flujo de calor que corten a las isotermas en angulo recto.
x1
y1=
x2
y2= 1 → cuadrados curvos
Qi =−λy1
x1(Tn+1−Tn) =−λ
y2
x2(Tn+2−Tn+1) =−λ∆Tj
Q =N
∑i=1
Qi =−λ
N
∑i=1
∆Tj =−λ N(TB −TA)
J
J = numero de incremento de la temperaturaN = numero de tubos de flujo
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METODO GRAFICO (CUADRADOS CURVILINEOS)
Es un metodo que permite soluciones rapidas del campo de temperaturas para casosbidimensionales sencillos.
Inicialmente se dibujan lıneas isotermas sobre el dominio, con un incremento arbitrariopero constante entre todas las isotermas.
Luego se dibujan lıneas de flujo de calor que corten a las isotermas en angulo recto.
x1
y1=
x2
y2= 1 → cuadrados curvos
Qi =−λy1
x1(Tn+1−Tn) =−λ
y2
x2(Tn+2−Tn+1) =−λ∆Tj
Q =N
∑i=1
Qi =−λ
N
∑i=1
∆Tj =−λ N(TB −TA)
J
J = numero de incremento de la temperaturaN = numero de tubos de flujo
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METODO GRAFICO (CUADRADOS CURVILINEOS)
Es un metodo que permite soluciones rapidas del campo de temperaturas para casosbidimensionales sencillos.
Inicialmente se dibujan lıneas isotermas sobre el dominio, con un incremento arbitrariopero constante entre todas las isotermas.
Luego se dibujan lıneas de flujo de calor que corten a las isotermas en angulo recto.
x1
y1=
x2
y2= 1 → cuadrados curvos
Qi =−λy1
x1(Tn+1−Tn) =−λ
y2
x2(Tn+2−Tn+1) =−λ∆Tj
Q =N
∑i=1
Qi =−λ
N
∑i=1
∆Tj =−λ N(TB −TA)
J
J = numero de incremento de la temperaturaN = numero de tubos de flujo
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METODO GRAFICO (CUADRADOS CURVILINEOS)
Es un metodo que permite soluciones rapidas del campo de temperaturas para casosbidimensionales sencillos.Inicialmente se dibujan lıneas isotermas sobre el dominio, con un incremento arbitrariopero constante entre todas las isotermas.Luego se dibujan lıneas de flujo de calor que corten a las isotermas en angulo recto.
x1
y1=
x2
y2= 1 → cuadrados curvos
Qi =−λy1
x1(Tn+1−Tn) =−λ
y2
x2(Tn+2−Tn+1) =−λ∆Tj
Q =N
∑i=1
Qi =−λ
N
∑i=1
∆Tj =−λ N(TB −TA)
J
J = numero de incremento de la temperaturaN = numero de tubos de flujo
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METODO GRAFICO (CUADRADOS CURVILINEOS)
Es un metodo que permite soluciones rapidas del campo de temperaturas para casosbidimensionales sencillos.Inicialmente se dibujan lıneas isotermas sobre el dominio, con un incremento arbitrariopero constante entre todas las isotermas.Luego se dibujan lıneas de flujo de calor que corten a las isotermas en angulo recto.
x1
y1=
x2
y2= 1 → cuadrados curvos
Qi =−λy1
x1(Tn+1−Tn) =−λ
y2
x2(Tn+2−Tn+1) =−λ∆Tj
Q =N
∑i=1
Qi =−λ
N
∑i=1
∆Tj =−λ N(TB −TA)
J
J = numero de incremento de la temperaturaN = numero de tubos de flujo
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METODO GRAFICO (CUADRADOS CURVILINEOS)
Es un metodo que permite soluciones rapidas del campo de temperaturas para casosbidimensionales sencillos.Inicialmente se dibujan lıneas isotermas sobre el dominio, con un incremento arbitrariopero constante entre todas las isotermas.Luego se dibujan lıneas de flujo de calor que corten a las isotermas en angulo recto.
x1
y1=
x2
y2= 1 → cuadrados curvos
Qi =−λy1
x1(Tn+1−Tn) =−λ
y2
x2(Tn+2−Tn+1) =−λ∆Tj
Q =N
∑i=1
Qi =−λ
N
∑i=1
∆Tj =−λ N(TB −TA)
J
J = numero de incremento de la temperaturaN = numero de tubos de flujo
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METODO GRAFICO (CUADRADOS CURVILINEOS)
Es un metodo que permite soluciones rapidas del campo de temperaturas para casosbidimensionales sencillos.Inicialmente se dibujan lıneas isotermas sobre el dominio, con un incremento arbitrariopero constante entre todas las isotermas.Luego se dibujan lıneas de flujo de calor que corten a las isotermas en angulo recto.
x1
y1=
x2
y2= 1 → cuadrados curvos
Qi =−λy1
x1(Tn+1−Tn) =−λ
y2
x2(Tn+2−Tn+1) =−λ∆Tj
Q =N
∑i=1
Qi =−λ
N
∑i=1
∆Tj =−λ N(TB −TA)
J
J = numero de incremento de la temperaturaN = numero de tubos de flujo
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METODO GRAFICO (CUADRADOS CURVILINEOS)
Es un metodo que permite soluciones rapidas del campo de temperaturas para casosbidimensionales sencillos.Inicialmente se dibujan lıneas isotermas sobre el dominio, con un incremento arbitrariopero constante entre todas las isotermas.Luego se dibujan lıneas de flujo de calor que corten a las isotermas en angulo recto.
x1
y1=
x2
y2= 1 → cuadrados curvos
Qi =−λy1
x1(Tn+1−Tn) =−λ
y2
x2(Tn+2−Tn+1) =−λ∆Tj
Q =N
∑i=1
Qi =−λ
N
∑i=1
∆Tj =−λ N(TB −TA)
J
J = numero de incremento de la temperaturaN = numero de tubos de flujo
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METODO GRAFICO (CUADRADOS CURVILINEOS)
Es un metodo que permite soluciones rapidas del campo de temperaturas para casosbidimensionales sencillos.Inicialmente se dibujan lıneas isotermas sobre el dominio, con un incremento arbitrariopero constante entre todas las isotermas.Luego se dibujan lıneas de flujo de calor que corten a las isotermas en angulo recto.
x1
y1=
x2
y2= 1 → cuadrados curvos
Qi =−λy1
x1(Tn+1−Tn) =−λ
y2
x2(Tn+2−Tn+1) =−λ∆Tj
Q =N
∑i=1
Qi =−λ
N
∑i=1
∆Tj =−λ N(TB −TA)
J
J = numero de incremento de la temperaturaN = numero de tubos de flujo
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ANALOGIAS ELECTRICAS
Cuando dos fenomenos pueden ser descriptos matematicamente por la misma ecuacion,decimos que son analogos, y las variables en un sistema son llamadas variables analogascorrespondientes al otro sistema.
Un ejemplo de ello ocurre con la ecuacion de Laplace. Esta ecuacion rige tanto losfenomenos en un problema estacionario de flujo de calor como de flujo electrico. Enambos los potenciales siguen la ecuacion de Laplace
∇2T = 0 → T : temperatura
∇2φ = 0 → φ : potencial electrico
Parametro estudiado T : temperatura φ : potencial electrico
Ec. general ∇2T = 0 ∇2φ = 0Densidad de flujo o de corriente −→q =−λ∆T
−→j =−γ∇φ
Flujo o Corriente Q =∫−→q −→n dS I =
∫ −→j −→n dS
Conductividad λ γ
Resistencia RT RE
Ley de Ohm ∆T = RT Q ∆φ = RE I
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ANALOGIAS ELECTRICAS
Cuando dos fenomenos pueden ser descriptos matematicamente por la misma ecuacion,decimos que son analogos, y las variables en un sistema son llamadas variables analogascorrespondientes al otro sistema.
Un ejemplo de ello ocurre con la ecuacion de Laplace. Esta ecuacion rige tanto losfenomenos en un problema estacionario de flujo de calor como de flujo electrico. Enambos los potenciales siguen la ecuacion de Laplace
∇2T = 0 → T : temperatura
∇2φ = 0 → φ : potencial electrico
Parametro estudiado T : temperatura φ : potencial electrico
Ec. general ∇2T = 0 ∇2φ = 0Densidad de flujo o de corriente −→q =−λ∆T
−→j =−γ∇φ
Flujo o Corriente Q =∫−→q −→n dS I =
∫ −→j −→n dS
Conductividad λ γ
Resistencia RT RE
Ley de Ohm ∆T = RT Q ∆φ = RE I
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ANALOGIAS ELECTRICAS
Cuando dos fenomenos pueden ser descriptos matematicamente por la misma ecuacion,decimos que son analogos, y las variables en un sistema son llamadas variables analogascorrespondientes al otro sistema.
Un ejemplo de ello ocurre con la ecuacion de Laplace. Esta ecuacion rige tanto losfenomenos en un problema estacionario de flujo de calor como de flujo electrico. Enambos los potenciales siguen la ecuacion de Laplace
∇2T = 0 → T : temperatura
∇2φ = 0 → φ : potencial electrico
Parametro estudiado T : temperatura φ : potencial electrico
Ec. general ∇2T = 0 ∇2φ = 0Densidad de flujo o de corriente −→q =−λ∆T
−→j =−γ∇φ
Flujo o Corriente Q =∫−→q −→n dS I =
∫ −→j −→n dS
Conductividad λ γ
Resistencia RT RE
Ley de Ohm ∆T = RT Q ∆φ = RE I
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ANALOGIAS ELECTRICAS
Cuando dos fenomenos pueden ser descriptos matematicamente por la misma ecuacion,decimos que son analogos, y las variables en un sistema son llamadas variables analogascorrespondientes al otro sistema.
Un ejemplo de ello ocurre con la ecuacion de Laplace. Esta ecuacion rige tanto losfenomenos en un problema estacionario de flujo de calor como de flujo electrico. Enambos los potenciales siguen la ecuacion de Laplace
∇2T = 0 → T : temperatura
∇2φ = 0 → φ : potencial electrico
Parametro estudiado T : temperatura φ : potencial electrico
Ec. general ∇2T = 0 ∇2φ = 0Densidad de flujo o de corriente −→q =−λ∆T
−→j =−γ∇φ
Flujo o Corriente Q =∫−→q −→n dS I =
∫ −→j −→n dS
Conductividad λ γ
Resistencia RT RE
Ley de Ohm ∆T = RT Q ∆φ = RE I
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ANALOGIAS ELECTRICAS
Cuando dos fenomenos pueden ser descriptos matematicamente por la misma ecuacion,decimos que son analogos, y las variables en un sistema son llamadas variables analogascorrespondientes al otro sistema.
Un ejemplo de ello ocurre con la ecuacion de Laplace. Esta ecuacion rige tanto losfenomenos en un problema estacionario de flujo de calor como de flujo electrico. Enambos los potenciales siguen la ecuacion de Laplace
∇2T = 0 → T : temperatura
∇2φ = 0 → φ : potencial electrico
Parametro estudiado T : temperatura φ : potencial electrico
Ec. general ∇2T = 0 ∇2φ = 0Densidad de flujo o de corriente −→q =−λ∆T
−→j =−γ∇φ
Flujo o Corriente Q =∫−→q −→n dS I =
∫ −→j −→n dS
Conductividad λ γ
Resistencia RT RE
Ley de Ohm ∆T = RT Q ∆φ = RE I
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ANALOGIAS ELECTRICAS
Cuando dos fenomenos pueden ser descriptos matematicamente por la misma ecuacion,decimos que son analogos, y las variables en un sistema son llamadas variables analogascorrespondientes al otro sistema.
Un ejemplo de ello ocurre con la ecuacion de Laplace. Esta ecuacion rige tanto losfenomenos en un problema estacionario de flujo de calor como de flujo electrico. Enambos los potenciales siguen la ecuacion de Laplace
∇2T = 0 → T : temperatura
∇2φ = 0 → φ : potencial electrico
Parametro estudiado T : temperatura φ : potencial electrico
Ec. general ∇2T = 0 ∇2φ = 0Densidad de flujo o de corriente −→q =−λ∆T
−→j =−γ∇φ
Flujo o Corriente Q =∫−→q −→n dS I =
∫ −→j −→n dS
Conductividad λ γ
Resistencia RT RE
Ley de Ohm ∆T = RT Q ∆φ = RE I
() SEPTEMBER 3, 2012 5 / 14
SOLUCIONES ANALITICAS - CONDUCCION
BIDIMENSIONAL
∇2T = 0 → ∂ 2T∂x2 +
∂ 2T∂y2 = 0
0 < x < a T (x ,b) = T1
0 < x < a T (x ,0) = 0
0 > y > b T (0,y) = 0
0 > y > b T (a,y) = 0
Aplicamos el metodo de separacion de variables → T (x ,y) = X(x) Y (y)
Reemplazando esta funcion en la ecuacion de Laplace → − 1X
∂ 2X∂x2 =
1Y
∂ 2Y∂y2
Ya que cada miembro es funcion de una sola variable independiente, la igualdad solo ocurre siambos miembros son iguales a una constante. Por lo que debemos resolver
∂ 2X∂x2 + λ
2X = 0∂ 2Y∂y2 −λ
2Y = 0() SEPTEMBER 3, 2012 6 / 14
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∇2T = 0 → ∂ 2T∂x2 +
∂ 2T∂y2 = 0
0 < x < a T (x ,b) = T1
0 < x < a T (x ,0) = 0
0 > y > b T (0,y) = 0
0 > y > b T (a,y) = 0
Aplicamos el metodo de separacion de variables → T (x ,y) = X(x) Y (y)
Reemplazando esta funcion en la ecuacion de Laplace → − 1X
∂ 2X∂x2 =
1Y
∂ 2Y∂y2
Ya que cada miembro es funcion de una sola variable independiente, la igualdad solo ocurre siambos miembros son iguales a una constante. Por lo que debemos resolver
∂ 2X∂x2 + λ
2X = 0∂ 2Y∂y2 −λ
2Y = 0() SEPTEMBER 3, 2012 6 / 14
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∇2T = 0 → ∂ 2T∂x2 +
∂ 2T∂y2 = 0
0 < x < a T (x ,b) = T1
0 < x < a T (x ,0) = 0
0 > y > b T (0,y) = 0
0 > y > b T (a,y) = 0
Aplicamos el metodo de separacion de variables → T (x ,y) = X(x) Y (y)
Reemplazando esta funcion en la ecuacion de Laplace → − 1X
∂ 2X∂x2 =
1Y
∂ 2Y∂y2
Ya que cada miembro es funcion de una sola variable independiente, la igualdad solo ocurre siambos miembros son iguales a una constante. Por lo que debemos resolver
∂ 2X∂x2 + λ
2X = 0∂ 2Y∂y2 −λ
2Y = 0() SEPTEMBER 3, 2012 6 / 14
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∇2T = 0 → ∂ 2T∂x2 +
∂ 2T∂y2 = 0
0 < x < a T (x ,b) = T1
0 < x < a T (x ,0) = 0
0 > y > b T (0,y) = 0
0 > y > b T (a,y) = 0
Aplicamos el metodo de separacion de variables → T (x ,y) = X(x) Y (y)
Reemplazando esta funcion en la ecuacion de Laplace → − 1X
∂ 2X∂x2 =
1Y
∂ 2Y∂y2
Ya que cada miembro es funcion de una sola variable independiente, la igualdad solo ocurre siambos miembros son iguales a una constante. Por lo que debemos resolver
∂ 2X∂x2 + λ
2X = 0∂ 2Y∂y2 −λ
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∇2T = 0 → ∂ 2T∂x2 +
∂ 2T∂y2 = 0
0 < x < a T (x ,b) = T1
0 < x < a T (x ,0) = 0
0 > y > b T (0,y) = 0
0 > y > b T (a,y) = 0
Aplicamos el metodo de separacion de variables → T (x ,y) = X(x) Y (y)
Reemplazando esta funcion en la ecuacion de Laplace → − 1X
∂ 2X∂x2 =
1Y
∂ 2Y∂y2
Ya que cada miembro es funcion de una sola variable independiente, la igualdad solo ocurre siambos miembros son iguales a una constante. Por lo que debemos resolver
∂ 2X∂x2 + λ
2X = 0∂ 2Y∂y2 −λ
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∂ 2T∂y2 = 0
0 < x < a T (x ,b) = T1
0 < x < a T (x ,0) = 0
0 > y > b T (0,y) = 0
0 > y > b T (a,y) = 0
Aplicamos el metodo de separacion de variables → T (x ,y) = X(x) Y (y)
Reemplazando esta funcion en la ecuacion de Laplace → − 1X
∂ 2X∂x2 =
1Y
∂ 2Y∂y2
Ya que cada miembro es funcion de una sola variable independiente, la igualdad solo ocurre siambos miembros son iguales a una constante. Por lo que debemos resolver
∂ 2X∂x2 + λ
2X = 0∂ 2Y∂y2 −λ
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∇2T = 0 → ∂ 2T∂x2 +
∂ 2T∂y2 = 0
0 < x < a T (x ,b) = T1
0 < x < a T (x ,0) = 0
0 > y > b T (0,y) = 0
0 > y > b T (a,y) = 0
Aplicamos el metodo de separacion de variables → T (x ,y) = X(x) Y (y)
Reemplazando esta funcion en la ecuacion de Laplace → − 1X
∂ 2X∂x2 =
1Y
∂ 2Y∂y2
Ya que cada miembro es funcion de una sola variable independiente, la igualdad solo ocurre siambos miembros son iguales a una constante. Por lo que debemos resolver
∂ 2X∂x2 + λ
2X = 0∂ 2Y∂y2 −λ
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BIDIMENSIONAL
Estas ecuaciones tienen como solucion
X = B ·cos(λx) + C ·sen(λx) Y = D ·e−λy + E ·eλy
Aplicando las condiciones de borde surge
x = 0 ⇒ B ·(
D ·e−λy + E ·eλy)
= 0 ⇒ B = 0
y = 0 ⇒ C ·sen(λx) · (D + E) = 0 ⇒ E =−D
x = a ⇒ C ·D ·sen(λa) ·(
e−λy −eλy)
=−2 ·C ·D ·sen(λa) ·senh(λy) = 0 ⇒
sen(λa) = 0 ⇒ λ =n π
a, n ∈ N
Los valores que adopta −2 ·C ·D para cada solucion los llamamos An → autovalores o valorespropios. Entonces la solucion
Tn(x ,y) = An ·sen(λnx) ·senh(λny) → satisface Laplace
Pero como la ecuacion es una ec. dif. lineal tambien la satisface
T (x ,y) = ∑n
Tn(x ,y) = ∑n
An ·sen(λnx) ·senh(λny)
() SEPTEMBER 3, 2012 7 / 14
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Estas ecuaciones tienen como solucion
X = B ·cos(λx) + C ·sen(λx) Y = D ·e−λy + E ·eλy
Aplicando las condiciones de borde surge
x = 0 ⇒ B ·(
D ·e−λy + E ·eλy)
= 0 ⇒ B = 0
y = 0 ⇒ C ·sen(λx) · (D + E) = 0 ⇒ E =−D
x = a ⇒ C ·D ·sen(λa) ·(
e−λy −eλy)
=−2 ·C ·D ·sen(λa) ·senh(λy) = 0 ⇒
sen(λa) = 0 ⇒ λ =n π
a, n ∈ N
Los valores que adopta −2 ·C ·D para cada solucion los llamamos An → autovalores o valorespropios. Entonces la solucion
Tn(x ,y) = An ·sen(λnx) ·senh(λny) → satisface Laplace
Pero como la ecuacion es una ec. dif. lineal tambien la satisface
T (x ,y) = ∑n
Tn(x ,y) = ∑n
An ·sen(λnx) ·senh(λny)
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Estas ecuaciones tienen como solucion
X = B ·cos(λx) + C ·sen(λx) Y = D ·e−λy + E ·eλy
Aplicando las condiciones de borde surge
x = 0 ⇒ B ·(
D ·e−λy + E ·eλy)
= 0 ⇒ B = 0
y = 0 ⇒ C ·sen(λx) · (D + E) = 0 ⇒ E =−D
x = a ⇒ C ·D ·sen(λa) ·(
e−λy −eλy)
=−2 ·C ·D ·sen(λa) ·senh(λy) = 0 ⇒
sen(λa) = 0 ⇒ λ =n π
a, n ∈ N
Los valores que adopta −2 ·C ·D para cada solucion los llamamos An → autovalores o valorespropios. Entonces la solucion
Tn(x ,y) = An ·sen(λnx) ·senh(λny) → satisface Laplace
Pero como la ecuacion es una ec. dif. lineal tambien la satisface
T (x ,y) = ∑n
Tn(x ,y) = ∑n
An ·sen(λnx) ·senh(λny)
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Estas ecuaciones tienen como solucion
X = B ·cos(λx) + C ·sen(λx) Y = D ·e−λy + E ·eλy
Aplicando las condiciones de borde surge
x = 0 ⇒ B ·(
D ·e−λy + E ·eλy)
= 0 ⇒ B = 0
y = 0 ⇒ C ·sen(λx) · (D + E) = 0 ⇒ E =−D
x = a ⇒ C ·D ·sen(λa) ·(
e−λy −eλy)
=−2 ·C ·D ·sen(λa) ·senh(λy) = 0 ⇒
sen(λa) = 0 ⇒ λ =n π
a, n ∈ N
Los valores que adopta −2 ·C ·D para cada solucion los llamamos An → autovalores o valorespropios. Entonces la solucion
Tn(x ,y) = An ·sen(λnx) ·senh(λny) → satisface Laplace
Pero como la ecuacion es una ec. dif. lineal tambien la satisface
T (x ,y) = ∑n
Tn(x ,y) = ∑n
An ·sen(λnx) ·senh(λny)
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Estas ecuaciones tienen como solucion
X = B ·cos(λx) + C ·sen(λx) Y = D ·e−λy + E ·eλy
Aplicando las condiciones de borde surge
x = 0 ⇒ B ·(
D ·e−λy + E ·eλy)
= 0 ⇒ B = 0
y = 0 ⇒ C ·sen(λx) · (D + E) = 0 ⇒ E =−D
x = a ⇒ C ·D ·sen(λa) ·(
e−λy −eλy)
=−2 ·C ·D ·sen(λa) ·senh(λy) = 0 ⇒
sen(λa) = 0 ⇒ λ =n π
a, n ∈ N
Los valores que adopta −2 ·C ·D para cada solucion los llamamos An → autovalores o valorespropios. Entonces la solucion
Tn(x ,y) = An ·sen(λnx) ·senh(λny) → satisface Laplace
Pero como la ecuacion es una ec. dif. lineal tambien la satisface
T (x ,y) = ∑n
Tn(x ,y) = ∑n
An ·sen(λnx) ·senh(λny)
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Estas ecuaciones tienen como solucion
X = B ·cos(λx) + C ·sen(λx) Y = D ·e−λy + E ·eλy
Aplicando las condiciones de borde surge
x = 0 ⇒ B ·(
D ·e−λy + E ·eλy)
= 0 ⇒ B = 0
y = 0 ⇒ C ·sen(λx) · (D + E) = 0 ⇒ E =−D
x = a ⇒ C ·D ·sen(λa) ·(
e−λy −eλy)
=−2 ·C ·D ·sen(λa) ·senh(λy) = 0 ⇒
sen(λa) = 0 ⇒ λ =n π
a, n ∈ N
Los valores que adopta −2 ·C ·D para cada solucion los llamamos An → autovalores o valorespropios. Entonces la solucion
Tn(x ,y) = An ·sen(λnx) ·senh(λny) → satisface Laplace
Pero como la ecuacion es una ec. dif. lineal tambien la satisface
T (x ,y) = ∑n
Tn(x ,y) = ∑n
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Estas ecuaciones tienen como solucion
X = B ·cos(λx) + C ·sen(λx) Y = D ·e−λy + E ·eλy
Aplicando las condiciones de borde surge
x = 0 ⇒ B ·(
D ·e−λy + E ·eλy)
= 0 ⇒ B = 0
y = 0 ⇒ C ·sen(λx) · (D + E) = 0 ⇒ E =−D
x = a ⇒ C ·D ·sen(λa) ·(
e−λy −eλy)
=−2 ·C ·D ·sen(λa) ·senh(λy) = 0 ⇒
sen(λa) = 0 ⇒ λ =n π
a, n ∈ N
Los valores que adopta −2 ·C ·D para cada solucion los llamamos An → autovalores o valorespropios. Entonces la solucion
Tn(x ,y) = An ·sen(λnx) ·senh(λny) → satisface Laplace
Pero como la ecuacion es una ec. dif. lineal tambien la satisface
T (x ,y) = ∑n
Tn(x ,y) = ∑n
An ·sen(λnx) ·senh(λny)
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Estas ecuaciones tienen como solucion
X = B ·cos(λx) + C ·sen(λx) Y = D ·e−λy + E ·eλy
Aplicando las condiciones de borde surge
x = 0 ⇒ B ·(
D ·e−λy + E ·eλy)
= 0 ⇒ B = 0
y = 0 ⇒ C ·sen(λx) · (D + E) = 0 ⇒ E =−D
x = a ⇒ C ·D ·sen(λa) ·(
e−λy −eλy)
=−2 ·C ·D ·sen(λa) ·senh(λy) = 0 ⇒
sen(λa) = 0 ⇒ λ =n π
a, n ∈ N
Los valores que adopta −2 ·C ·D para cada solucion los llamamos An → autovalores o valorespropios. Entonces la solucion
Tn(x ,y) = An ·sen(λnx) ·senh(λny) → satisface Laplace
Pero como la ecuacion es una ec. dif. lineal tambien la satisface
T (x ,y) = ∑n
Tn(x ,y) = ∑n
An ·sen(λnx) ·senh(λny)
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Estas ecuaciones tienen como solucion
X = B ·cos(λx) + C ·sen(λx) Y = D ·e−λy + E ·eλy
Aplicando las condiciones de borde surge
x = 0 ⇒ B ·(
D ·e−λy + E ·eλy)
= 0 ⇒ B = 0
y = 0 ⇒ C ·sen(λx) · (D + E) = 0 ⇒ E =−D
x = a ⇒ C ·D ·sen(λa) ·(
e−λy −eλy)
=−2 ·C ·D ·sen(λa) ·senh(λy) = 0 ⇒
sen(λa) = 0 ⇒ λ =n π
a, n ∈ N
Los valores que adopta −2 ·C ·D para cada solucion los llamamos An → autovalores o valorespropios. Entonces la solucion
Tn(x ,y) = An ·sen(λnx) ·senh(λny) → satisface Laplace
Pero como la ecuacion es una ec. dif. lineal tambien la satisface
T (x ,y) = ∑n
Tn(x ,y) = ∑n
An ·sen(λnx) ·senh(λny)
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Estas ecuaciones tienen como solucion
X = B ·cos(λx) + C ·sen(λx) Y = D ·e−λy + E ·eλy
Aplicando las condiciones de borde surge
x = 0 ⇒ B ·(
D ·e−λy + E ·eλy)
= 0 ⇒ B = 0
y = 0 ⇒ C ·sen(λx) · (D + E) = 0 ⇒ E =−D
x = a ⇒ C ·D ·sen(λa) ·(
e−λy −eλy)
=−2 ·C ·D ·sen(λa) ·senh(λy) = 0 ⇒
sen(λa) = 0 ⇒ λ =n π
a, n ∈ N
Los valores que adopta −2 ·C ·D para cada solucion los llamamos An → autovalores o valorespropios. Entonces la solucion
Tn(x ,y) = An ·sen(λnx) ·senh(λny) → satisface Laplace
Pero como la ecuacion es una ec. dif. lineal tambien la satisface
T (x ,y) = ∑n
Tn(x ,y) = ∑n
An ·sen(λnx) ·senh(λny)
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Estas ecuaciones tienen como solucion
X = B ·cos(λx) + C ·sen(λx) Y = D ·e−λy + E ·eλy
Aplicando las condiciones de borde surge
x = 0 ⇒ B ·(
D ·e−λy + E ·eλy)
= 0 ⇒ B = 0
y = 0 ⇒ C ·sen(λx) · (D + E) = 0 ⇒ E =−D
x = a ⇒ C ·D ·sen(λa) ·(
e−λy −eλy)
=−2 ·C ·D ·sen(λa) ·senh(λy) = 0 ⇒
sen(λa) = 0 ⇒ λ =n π
a, n ∈ N
Los valores que adopta −2 ·C ·D para cada solucion los llamamos An → autovalores o valorespropios. Entonces la solucion
Tn(x ,y) = An ·sen(λnx) ·senh(λny) → satisface Laplace
Pero como la ecuacion es una ec. dif. lineal tambien la satisface
T (x ,y) = ∑n
Tn(x ,y) = ∑n
An ·sen(λnx) ·senh(λny)
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BIDIMENSIONAL
Nos queda por determinar el valor de los An. Para ello recurrimos a la condicion siguiente
T cy=b = T1 = ∑n
An ·sen(λnx) ·senh(λnb) = ∑n
an ·sen(λnx)
Para determinar los An descomponemos esta funcion constante en serie de Fourier. Eldesarrollo de una funcion cualquiera en el intervalo 0 < x < l toma la forma
f (x) =∞
∑n=1
bn ·sen(nπx/l)
donde bn = (2/l) ·∫ l
0f (x) ·sen(nπx/l) dx
Aplicandolo a nuestro caso entre 0 < x < b
T1 = ∑n
bn ·sen(nπx/a) = ∑n
[(2/b) ·
∫ a
0T1 ·sen(nπx/a) dx
]·sen(nπx/a)
Comparando tendremos que
an = bn
An ·senh(xnb) = (2/b) ·∫ a
0T1 ·sen(nπx/a) dx
() SEPTEMBER 3, 2012 8 / 14
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Nos queda por determinar el valor de los An. Para ello recurrimos a la condicion siguiente
T cy=b = T1 = ∑n
An ·sen(λnx) ·senh(λnb) = ∑n
an ·sen(λnx)
Para determinar los An descomponemos esta funcion constante en serie de Fourier. Eldesarrollo de una funcion cualquiera en el intervalo 0 < x < l toma la forma
f (x) =∞
∑n=1
bn ·sen(nπx/l)
donde bn = (2/l) ·∫ l
0f (x) ·sen(nπx/l) dx
Aplicandolo a nuestro caso entre 0 < x < b
T1 = ∑n
bn ·sen(nπx/a) = ∑n
[(2/b) ·
∫ a
0T1 ·sen(nπx/a) dx
]·sen(nπx/a)
Comparando tendremos que
an = bn
An ·senh(xnb) = (2/b) ·∫ a
0T1 ·sen(nπx/a) dx
() SEPTEMBER 3, 2012 8 / 14
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Nos queda por determinar el valor de los An. Para ello recurrimos a la condicion siguiente
T cy=b = T1 = ∑n
An ·sen(λnx) ·senh(λnb) = ∑n
an ·sen(λnx)
Para determinar los An descomponemos esta funcion constante en serie de Fourier. Eldesarrollo de una funcion cualquiera en el intervalo 0 < x < l toma la forma
f (x) =∞
∑n=1
bn ·sen(nπx/l)
donde bn = (2/l) ·∫ l
0f (x) ·sen(nπx/l) dx
Aplicandolo a nuestro caso entre 0 < x < b
T1 = ∑n
bn ·sen(nπx/a) = ∑n
[(2/b) ·
∫ a
0T1 ·sen(nπx/a) dx
]·sen(nπx/a)
Comparando tendremos que
an = bn
An ·senh(xnb) = (2/b) ·∫ a
0T1 ·sen(nπx/a) dx
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Nos queda por determinar el valor de los An. Para ello recurrimos a la condicion siguiente
T cy=b = T1 = ∑n
An ·sen(λnx) ·senh(λnb) = ∑n
an ·sen(λnx)
Para determinar los An descomponemos esta funcion constante en serie de Fourier. Eldesarrollo de una funcion cualquiera en el intervalo 0 < x < l toma la forma
f (x) =∞
∑n=1
bn ·sen(nπx/l)
donde bn = (2/l) ·∫ l
0f (x) ·sen(nπx/l) dx
Aplicandolo a nuestro caso entre 0 < x < b
T1 = ∑n
bn ·sen(nπx/a) = ∑n
[(2/b) ·
∫ a
0T1 ·sen(nπx/a) dx
]·sen(nπx/a)
Comparando tendremos que
an = bn
An ·senh(xnb) = (2/b) ·∫ a
0T1 ·sen(nπx/a) dx
() SEPTEMBER 3, 2012 8 / 14
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Nos queda por determinar el valor de los An. Para ello recurrimos a la condicion siguiente
T cy=b = T1 = ∑n
An ·sen(λnx) ·senh(λnb) = ∑n
an ·sen(λnx)
Para determinar los An descomponemos esta funcion constante en serie de Fourier. Eldesarrollo de una funcion cualquiera en el intervalo 0 < x < l toma la forma
f (x) =∞
∑n=1
bn ·sen(nπx/l)
donde bn = (2/l) ·∫ l
0f (x) ·sen(nπx/l) dx
Aplicandolo a nuestro caso entre 0 < x < b
T1 = ∑n
bn ·sen(nπx/a) = ∑n
[(2/b) ·
∫ a
0T1 ·sen(nπx/a) dx
]·sen(nπx/a)
Comparando tendremos que
an = bn
An ·senh(xnb) = (2/b) ·∫ a
0T1 ·sen(nπx/a) dx
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Nos queda por determinar el valor de los An. Para ello recurrimos a la condicion siguiente
T cy=b = T1 = ∑n
An ·sen(λnx) ·senh(λnb) = ∑n
an ·sen(λnx)
Para determinar los An descomponemos esta funcion constante en serie de Fourier. Eldesarrollo de una funcion cualquiera en el intervalo 0 < x < l toma la forma
f (x) =∞
∑n=1
bn ·sen(nπx/l)
donde bn = (2/l) ·∫ l
0f (x) ·sen(nπx/l) dx
Aplicandolo a nuestro caso entre 0 < x < b
T1 = ∑n
bn ·sen(nπx/a) = ∑n
[(2/b) ·
∫ a
0T1 ·sen(nπx/a) dx
]·sen(nπx/a)
Comparando tendremos que
an = bn
An ·senh(xnb) = (2/b) ·∫ a
0T1 ·sen(nπx/a) dx
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Nos queda por determinar el valor de los An. Para ello recurrimos a la condicion siguiente
T cy=b = T1 = ∑n
An ·sen(λnx) ·senh(λnb) = ∑n
an ·sen(λnx)
Para determinar los An descomponemos esta funcion constante en serie de Fourier. Eldesarrollo de una funcion cualquiera en el intervalo 0 < x < l toma la forma
f (x) =∞
∑n=1
bn ·sen(nπx/l)
donde bn = (2/l) ·∫ l
0f (x) ·sen(nπx/l) dx
Aplicandolo a nuestro caso entre 0 < x < b
T1 = ∑n
bn ·sen(nπx/a) = ∑n
[(2/b) ·
∫ a
0T1 ·sen(nπx/a) dx
]·sen(nπx/a)
Comparando tendremos que
an = bn
An ·senh(xnb) = (2/b) ·∫ a
0T1 ·sen(nπx/a) dx
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Nos queda por determinar el valor de los An. Para ello recurrimos a la condicion siguiente
T cy=b = T1 = ∑n
An ·sen(λnx) ·senh(λnb) = ∑n
an ·sen(λnx)
Para determinar los An descomponemos esta funcion constante en serie de Fourier. Eldesarrollo de una funcion cualquiera en el intervalo 0 < x < l toma la forma
f (x) =∞
∑n=1
bn ·sen(nπx/l)
donde bn = (2/l) ·∫ l
0f (x) ·sen(nπx/l) dx
Aplicandolo a nuestro caso entre 0 < x < b
T1 = ∑n
bn ·sen(nπx/a) = ∑n
[(2/b) ·
∫ a
0T1 ·sen(nπx/a) dx
]·sen(nπx/a)
Comparando tendremos que
an = bn
An ·senh(xnb) = (2/b) ·∫ a
0T1 ·sen(nπx/a) dx
() SEPTEMBER 3, 2012 8 / 14
SOLUCIONES ANALITICAS - CONDUCCION
BIDIMENSIONAL
Nos queda por determinar el valor de los An. Para ello recurrimos a la condicion siguiente
T cy=b = T1 = ∑n
An ·sen(λnx) ·senh(λnb) = ∑n
an ·sen(λnx)
Para determinar los An descomponemos esta funcion constante en serie de Fourier. Eldesarrollo de una funcion cualquiera en el intervalo 0 < x < l toma la forma
f (x) =∞
∑n=1
bn ·sen(nπx/l)
donde bn = (2/l) ·∫ l
0f (x) ·sen(nπx/l) dx
Aplicandolo a nuestro caso entre 0 < x < b
T1 = ∑n
bn ·sen(nπx/a) = ∑n
[(2/b) ·
∫ a
0T1 ·sen(nπx/a) dx
]·sen(nπx/a)
Comparando tendremos que
an = bn
An ·senh(xnb) = (2/b) ·∫ a
0T1 ·sen(nπx/a) dx
() SEPTEMBER 3, 2012 8 / 14
SOLUCIONES ANALITICAS - CONDUCCION
BIDIMENSIONAL
Nos queda por determinar el valor de los An. Para ello recurrimos a la condicion siguiente
T cy=b = T1 = ∑n
An ·sen(λnx) ·senh(λnb) = ∑n
an ·sen(λnx)
Para determinar los An descomponemos esta funcion constante en serie de Fourier. Eldesarrollo de una funcion cualquiera en el intervalo 0 < x < l toma la forma
f (x) =∞
∑n=1
bn ·sen(nπx/l)
donde bn = (2/l) ·∫ l
0f (x) ·sen(nπx/l) dx
Aplicandolo a nuestro caso entre 0 < x < b
T1 = ∑n
bn ·sen(nπx/a) = ∑n
[(2/b) ·
∫ a
0T1 ·sen(nπx/a) dx
]·sen(nπx/a)
Comparando tendremos que
an = bn
An ·senh(xnb) = (2/b) ·∫ a
0T1 ·sen(nπx/a) dx
() SEPTEMBER 3, 2012 8 / 14
SOLUCIONES ANALITICAS - CONDUCCION
BIDIMENSIONAL
Nos queda por determinar el valor de los An. Para ello recurrimos a la condicion siguiente
T cy=b = T1 = ∑n
An ·sen(λnx) ·senh(λnb) = ∑n
an ·sen(λnx)
Para determinar los An descomponemos esta funcion constante en serie de Fourier. Eldesarrollo de una funcion cualquiera en el intervalo 0 < x < l toma la forma
f (x) =∞
∑n=1
bn ·sen(nπx/l)
donde bn = (2/l) ·∫ l
0f (x) ·sen(nπx/l) dx
Aplicandolo a nuestro caso entre 0 < x < b
T1 = ∑n
bn ·sen(nπx/a) = ∑n
[(2/b) ·
∫ a
0T1 ·sen(nπx/a) dx
]·sen(nπx/a)
Comparando tendremos que
an = bn
An ·senh(xnb) = (2/b) ·∫ a
0T1 ·sen(nπx/a) dx
() SEPTEMBER 3, 2012 8 / 14
SOLUCIONES ANALITICAS - CONDUCCION
BIDIMENSIONAL
Finalmente
An =2 ·T1
b ·senh(xnb)
∫ a
0sen(nπx/a) dx =
2 ·T1 · [1− (−1)n]
n ·π ·senh(n ·π ·b/a)
Entonces
T (x ,y) = T1
∞
∑n=1
2 · [1− (−1)n]
n ·π ·senh(n ·π ·b/a)·sen(nπx/a) ·senh(nπy/a)
Esquema de las isotermas →
() SEPTEMBER 3, 2012 9 / 14
SOLUCIONES ANALITICAS - CONDUCCION
BIDIMENSIONAL
Finalmente
An =2 ·T1
b ·senh(xnb)
∫ a
0sen(nπx/a) dx =
2 ·T1 · [1− (−1)n]
n ·π ·senh(n ·π ·b/a)
Entonces
T (x ,y) = T1
∞
∑n=1
2 · [1− (−1)n]
n ·π ·senh(n ·π ·b/a)·sen(nπx/a) ·senh(nπy/a)
Esquema de las isotermas →
() SEPTEMBER 3, 2012 9 / 14
SOLUCIONES ANALITICAS - CONDUCCION
BIDIMENSIONAL
Finalmente
An =2 ·T1
b ·senh(xnb)
∫ a
0sen(nπx/a) dx =
2 ·T1 · [1− (−1)n]
n ·π ·senh(n ·π ·b/a)
Entonces
T (x ,y) = T1
∞
∑n=1
2 · [1− (−1)n]
n ·π ·senh(n ·π ·b/a)·sen(nπx/a) ·senh(nπy/a)
Esquema de las isotermas →
() SEPTEMBER 3, 2012 9 / 14
SOLUCIONES ANALITICAS - CONDUCCION
BIDIMENSIONAL
Finalmente
An =2 ·T1
b ·senh(xnb)
∫ a
0sen(nπx/a) dx =
2 ·T1 · [1− (−1)n]
n ·π ·senh(n ·π ·b/a)
Entonces
T (x ,y) = T1
∞
∑n=1
2 · [1− (−1)n]
n ·π ·senh(n ·π ·b/a)·sen(nπx/a) ·senh(nπy/a)
Esquema de las isotermas →
() SEPTEMBER 3, 2012 9 / 14
SOLUCIONES ANALITICAS - CONDUCCION
BIDIMENSIONAL
Finalmente
An =2 ·T1
b ·senh(xnb)
∫ a
0sen(nπx/a) dx =
2 ·T1 · [1− (−1)n]
n ·π ·senh(n ·π ·b/a)
Entonces
T (x ,y) = T1
∞
∑n=1
2 · [1− (−1)n]
n ·π ·senh(n ·π ·b/a)·sen(nπx/a) ·senh(nπy/a)
Esquema de las isotermas →
() SEPTEMBER 3, 2012 9 / 14
SOLUCIONES ANALITICAS - CONDUCCION
BIDIMENSIONAL
Finalmente
An =2 ·T1
b ·senh(xnb)
∫ a
0sen(nπx/a) dx =
2 ·T1 · [1− (−1)n]
n ·π ·senh(n ·π ·b/a)
Entonces
T (x ,y) = T1
∞
∑n=1
2 · [1− (−1)n]
n ·π ·senh(n ·π ·b/a)·sen(nπx/a) ·senh(nπy/a)
Esquema de las isotermas →
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SOLUCIONES ANALITICAS - CONDUCCION
BIDIMENSIONAL
Finalmente
An =2 ·T1
b ·senh(xnb)
∫ a
0sen(nπx/a) dx =
2 ·T1 · [1− (−1)n]
n ·π ·senh(n ·π ·b/a)
Entonces
T (x ,y) = T1
∞
∑n=1
2 · [1− (−1)n]
n ·π ·senh(n ·π ·b/a)·sen(nπx/a) ·senh(nπy/a)
Esquema de las isotermas →
() SEPTEMBER 3, 2012 9 / 14
PRINCIPIO DE SUPERPOSICION
Sea el problemaEl principio de superposicion establece que
Este principio deja de ser valido si λ = λ(T )
() SEPTEMBER 3, 2012 10 / 14
PRINCIPIO DE SUPERPOSICION
Sea el problemaEl principio de superposicion establece que
Este principio deja de ser valido si λ = λ(T )
() SEPTEMBER 3, 2012 10 / 14
PRINCIPIO DE SUPERPOSICION
Sea el problema
El principio de superposicion establece que
Este principio deja de ser valido si λ = λ(T )
() SEPTEMBER 3, 2012 10 / 14
PRINCIPIO DE SUPERPOSICION
Sea el problema
El principio de superposicion establece que
Este principio deja de ser valido si λ = λ(T )
() SEPTEMBER 3, 2012 10 / 14
PRINCIPIO DE SUPERPOSICION
Sea el problema
El principio de superposicion establece que
Este principio deja de ser valido si λ = λ(T )
() SEPTEMBER 3, 2012 10 / 14
PRINCIPIO DE SUPERPOSICION
Sea el problema
El principio de superposicion establece que
Este principio deja de ser valido si λ = λ(T )
() SEPTEMBER 3, 2012 10 / 14
FACTORES DE FORMA PARA LA CONDUCCION
El calculo del flujo de calor en un sistema bidimensional puede ser resuelto en algunoscasos a partir de la utilizacion de los llamados coef. de forma F . En esos casos
Q = λ F ∆T
Las condiciones que debe cumplir el problema para hacer uso de esta expresion sonAmbas superficies tienen temperaturas uniformesNo existen fuentes de generacion de calor internasLa conductividad es constante
En casos tridimensionales sencillos tambien se puede hacer uso del factor de forma. En elcaso de un recinto tridimensional, ademas de los factores de forma de las paredes, sedeben incluir los correspondientes a las esquinas y las aristas. Entonces
Ftotal = ∑i
(Fpared )i +∑j
(Faristas)j +∑k
(Fesquinas)k
() SEPTEMBER 3, 2012 11 / 14
FACTORES DE FORMA PARA LA CONDUCCION
El calculo del flujo de calor en un sistema bidimensional puede ser resuelto en algunoscasos a partir de la utilizacion de los llamados coef. de forma F . En esos casos
Q = λ F ∆T
Las condiciones que debe cumplir el problema para hacer uso de esta expresion sonAmbas superficies tienen temperaturas uniformesNo existen fuentes de generacion de calor internasLa conductividad es constante
En casos tridimensionales sencillos tambien se puede hacer uso del factor de forma. En elcaso de un recinto tridimensional, ademas de los factores de forma de las paredes, sedeben incluir los correspondientes a las esquinas y las aristas. Entonces
Ftotal = ∑i
(Fpared )i +∑j
(Faristas)j +∑k
(Fesquinas)k
() SEPTEMBER 3, 2012 11 / 14
FACTORES DE FORMA PARA LA CONDUCCION
El calculo del flujo de calor en un sistema bidimensional puede ser resuelto en algunoscasos a partir de la utilizacion de los llamados coef. de forma F . En esos casos
Q = λ F ∆T
Las condiciones que debe cumplir el problema para hacer uso de esta expresion sonAmbas superficies tienen temperaturas uniformesNo existen fuentes de generacion de calor internasLa conductividad es constante
En casos tridimensionales sencillos tambien se puede hacer uso del factor de forma. En elcaso de un recinto tridimensional, ademas de los factores de forma de las paredes, sedeben incluir los correspondientes a las esquinas y las aristas. Entonces
Ftotal = ∑i
(Fpared )i +∑j
(Faristas)j +∑k
(Fesquinas)k
() SEPTEMBER 3, 2012 11 / 14
FACTORES DE FORMA PARA LA CONDUCCION
El calculo del flujo de calor en un sistema bidimensional puede ser resuelto en algunoscasos a partir de la utilizacion de los llamados coef. de forma F . En esos casos
Q = λ F ∆T
Las condiciones que debe cumplir el problema para hacer uso de esta expresion sonAmbas superficies tienen temperaturas uniformesNo existen fuentes de generacion de calor internasLa conductividad es constante
En casos tridimensionales sencillos tambien se puede hacer uso del factor de forma. En elcaso de un recinto tridimensional, ademas de los factores de forma de las paredes, sedeben incluir los correspondientes a las esquinas y las aristas. Entonces
Ftotal = ∑i
(Fpared )i +∑j
(Faristas)j +∑k
(Fesquinas)k
() SEPTEMBER 3, 2012 11 / 14
FACTORES DE FORMA PARA LA CONDUCCION
El calculo del flujo de calor en un sistema bidimensional puede ser resuelto en algunoscasos a partir de la utilizacion de los llamados coef. de forma F . En esos casos
Q = λ F ∆T
Las condiciones que debe cumplir el problema para hacer uso de esta expresion sonAmbas superficies tienen temperaturas uniformesNo existen fuentes de generacion de calor internasLa conductividad es constante
En casos tridimensionales sencillos tambien se puede hacer uso del factor de forma. En elcaso de un recinto tridimensional, ademas de los factores de forma de las paredes, sedeben incluir los correspondientes a las esquinas y las aristas. Entonces
Ftotal = ∑i
(Fpared )i +∑j
(Faristas)j +∑k
(Fesquinas)k
() SEPTEMBER 3, 2012 11 / 14
FACTORES DE FORMA PARA LA CONDUCCION
El calculo del flujo de calor en un sistema bidimensional puede ser resuelto en algunoscasos a partir de la utilizacion de los llamados coef. de forma F . En esos casos
Q = λ F ∆T
Las condiciones que debe cumplir el problema para hacer uso de esta expresion sonAmbas superficies tienen temperaturas uniformesNo existen fuentes de generacion de calor internasLa conductividad es constante
En casos tridimensionales sencillos tambien se puede hacer uso del factor de forma. En elcaso de un recinto tridimensional, ademas de los factores de forma de las paredes, sedeben incluir los correspondientes a las esquinas y las aristas. Entonces
Ftotal = ∑i
(Fpared )i +∑j
(Faristas)j +∑k
(Fesquinas)k
() SEPTEMBER 3, 2012 11 / 14
FACTORES DE FORMA PARA LA CONDUCCION
El calculo del flujo de calor en un sistema bidimensional puede ser resuelto en algunoscasos a partir de la utilizacion de los llamados coef. de forma F . En esos casos
Q = λ F ∆T
Las condiciones que debe cumplir el problema para hacer uso de esta expresion sonAmbas superficies tienen temperaturas uniformesNo existen fuentes de generacion de calor internasLa conductividad es constante
En casos tridimensionales sencillos tambien se puede hacer uso del factor de forma. En elcaso de un recinto tridimensional, ademas de los factores de forma de las paredes, sedeben incluir los correspondientes a las esquinas y las aristas. Entonces
Ftotal = ∑i
(Fpared )i +∑j
(Faristas)j +∑k
(Fesquinas)k
() SEPTEMBER 3, 2012 11 / 14
FACTORES DE FORMA PARA LA CONDUCCION
El calculo del flujo de calor en un sistema bidimensional puede ser resuelto en algunoscasos a partir de la utilizacion de los llamados coef. de forma F . En esos casos
Q = λ F ∆T
Las condiciones que debe cumplir el problema para hacer uso de esta expresion sonAmbas superficies tienen temperaturas uniformesNo existen fuentes de generacion de calor internasLa conductividad es constante
En casos tridimensionales sencillos tambien se puede hacer uso del factor de forma. En elcaso de un recinto tridimensional, ademas de los factores de forma de las paredes, sedeben incluir los correspondientes a las esquinas y las aristas. Entonces
Ftotal = ∑i
(Fpared )i +∑j
(Faristas)j +∑k
(Fesquinas)k
() SEPTEMBER 3, 2012 11 / 14
FACTORES DE FORMA PARA LA CONDUCCION
El calculo del flujo de calor en un sistema bidimensional puede ser resuelto en algunoscasos a partir de la utilizacion de los llamados coef. de forma F . En esos casos
Q = λ F ∆T
Las condiciones que debe cumplir el problema para hacer uso de esta expresion sonAmbas superficies tienen temperaturas uniformesNo existen fuentes de generacion de calor internasLa conductividad es constante
En casos tridimensionales sencillos tambien se puede hacer uso del factor de forma. En elcaso de un recinto tridimensional, ademas de los factores de forma de las paredes, sedeben incluir los correspondientes a las esquinas y las aristas. Entonces
Ftotal = ∑i
(Fpared )i +∑j
(Faristas)j +∑k
(Fesquinas)k
() SEPTEMBER 3, 2012 11 / 14
SOLUCION PARA ALGUNOS CASOS USUALES
C(r/r0) es solucion para un cilindro infinito
P(x/L) es solucion para una placa infinita
S(x) es solucion para un solido semi-infinito
() SEPTEMBER 3, 2012 12 / 14
SOLUCION PARA ALGUNOS CASOS USUALES
C(r/r0) es solucion para un cilindro infinito
P(x/L) es solucion para una placa infinita
S(x) es solucion para un solido semi-infinito
() SEPTEMBER 3, 2012 12 / 14
SOLUCION PARA ALGUNOS CASOS USUALES
C(r/r0) es solucion para un cilindro infinito
P(x/L) es solucion para una placa infinita
S(x) es solucion para un solido semi-infinito
() SEPTEMBER 3, 2012 12 / 14
SOLUCION PARA ALGUNOS CASOS USUALES
C(r/r0) es solucion para un cilindro infinito
P(x/L) es solucion para una placa infinita
S(x) es solucion para un solido semi-infinito
() SEPTEMBER 3, 2012 12 / 14
SOLUCION PARA ALGUNOS CASOS USUALES
C(r/r0) es solucion para un cilindro infinito
P(x/L) es solucion para una placa infinita
S(x) es solucion para un solido semi-infinito
() SEPTEMBER 3, 2012 12 / 14
SOLUCION PARA ALGUNOS CASOS USUALES
() SEPTEMBER 3, 2012 13 / 14
SOLUCION PARA ALGUNOS CASOS USUALES
() SEPTEMBER 3, 2012 13 / 14
CONCLUSIONES
Hemos presentado los metodos mas corrientes para la resolucion de problemas donde elcampo de temperaturas no es funcion de una unica coordenada.
Los metodos que se han hecho mas difundidos han sido los numericos. Sin embargoestos metodos deben ser usados con precaucion y en lo posible evitar que el programasea usado como una caja negra.
Los otros metodos aquı presentados en esta clase, ası como los desarrollados en la clasepasada, deben ser considerados como buenas herramientas para la discusion de losresultados surgidos por vıa de la simulacion numerica.
Es de hacer notar que las bondades de un metodo numerico son puestas de manifiesto alefectuar comparaciones con las obtenidas en forma analıtica.
() SEPTEMBER 3, 2012 14 / 14
CONCLUSIONES
Hemos presentado los metodos mas corrientes para la resolucion de problemas donde elcampo de temperaturas no es funcion de una unica coordenada.
Los metodos que se han hecho mas difundidos han sido los numericos. Sin embargoestos metodos deben ser usados con precaucion y en lo posible evitar que el programasea usado como una caja negra.
Los otros metodos aquı presentados en esta clase, ası como los desarrollados en la clasepasada, deben ser considerados como buenas herramientas para la discusion de losresultados surgidos por vıa de la simulacion numerica.
Es de hacer notar que las bondades de un metodo numerico son puestas de manifiesto alefectuar comparaciones con las obtenidas en forma analıtica.
() SEPTEMBER 3, 2012 14 / 14
CONCLUSIONES
Hemos presentado los metodos mas corrientes para la resolucion de problemas donde elcampo de temperaturas no es funcion de una unica coordenada.
Los metodos que se han hecho mas difundidos han sido los numericos. Sin embargoestos metodos deben ser usados con precaucion y en lo posible evitar que el programasea usado como una caja negra.
Los otros metodos aquı presentados en esta clase, ası como los desarrollados en la clasepasada, deben ser considerados como buenas herramientas para la discusion de losresultados surgidos por vıa de la simulacion numerica.
Es de hacer notar que las bondades de un metodo numerico son puestas de manifiesto alefectuar comparaciones con las obtenidas en forma analıtica.
() SEPTEMBER 3, 2012 14 / 14
CONCLUSIONES
Hemos presentado los metodos mas corrientes para la resolucion de problemas donde elcampo de temperaturas no es funcion de una unica coordenada.
Los metodos que se han hecho mas difundidos han sido los numericos. Sin embargoestos metodos deben ser usados con precaucion y en lo posible evitar que el programasea usado como una caja negra.
Los otros metodos aquı presentados en esta clase, ası como los desarrollados en la clasepasada, deben ser considerados como buenas herramientas para la discusion de losresultados surgidos por vıa de la simulacion numerica.
Es de hacer notar que las bondades de un metodo numerico son puestas de manifiesto alefectuar comparaciones con las obtenidas en forma analıtica.
() SEPTEMBER 3, 2012 14 / 14
CONCLUSIONES
Hemos presentado los metodos mas corrientes para la resolucion de problemas donde elcampo de temperaturas no es funcion de una unica coordenada.
Los metodos que se han hecho mas difundidos han sido los numericos. Sin embargoestos metodos deben ser usados con precaucion y en lo posible evitar que el programasea usado como una caja negra.
Los otros metodos aquı presentados en esta clase, ası como los desarrollados en la clasepasada, deben ser considerados como buenas herramientas para la discusion de losresultados surgidos por vıa de la simulacion numerica.
Es de hacer notar que las bondades de un metodo numerico son puestas de manifiesto alefectuar comparaciones con las obtenidas en forma analıtica.
() SEPTEMBER 3, 2012 14 / 14
