ESTADISTICA APLICADADistribución de Poisson

Juan Carlos Oruna Lara

Equipo de trabajo

Objetivos Calcular la media y la varianza de la distribución de poissonDescribir las

características de la distribución de probabilidad de poisson

Aproximar una distribución Binomial a una distribución de Poisson.

1. Distribución de probabilidad de una V.A. Poisson

2. Función de Probabilidad de Poisson.

1.1 Características de la distribución de Poisson.

3. Aproximación a la Poisson de la distribución Binomial.

Distribución de probabilidad de Poisson

Ms.C. Juan Carlos Oruna Lara Doctorado en Administración de la

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Distribución de probabilidad de Poisson

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Distribución de probabilidad de Poisson

Mide la probabilidad de un evento aleatorio sobre algún intervalo de tiempo , área o volumen:

Simeón Denis Poisson ( 1781- 1840)

Matemático y Físico Francés

Con frecuencia se utiliza para describir cierto tipo de procesos pueden ser

El número de vehículos que llegan a un grifo en una hora de un día determinado .

El número de manchas en un metro cuadrado de tela.

El número de glóbulos rojos en un 0.01 mm3 de sangre

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Características de la distribución de Poisson

La probabilidad de que un evento ocurra en una unidad dada de tiempo, área o volumen es igual para todas las unidades.

Es necesario dos supuestos para la aplicación de la distribución de Poisson:

El número de éxitos que ocurren en una unidad de tiempo, área o volumen es independiente del número de los que ocurren en otras unidades.

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Función de probabilidad de Poisson

Media y varianza

Donde: X : Número de veces que ocurre el evento λ: Es el número medio de ocurrencias en una unidad de tiempo, área o volumen e: 2.71828

E( X ) = λ Media

V(X) = λ Varianza

La función de probabilidad de Poisson define la probabilidad de exactamente X ocurrencias o “éxitos”, que aparecen por unidad de tiempo o espacio, dado el número medio de ocurrencias en el intervalo de tiempo o espacio y se denota por:

( )!

xeP X x

X

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Ejercicios

1. En una distribución de poisson .λ= 4 , determine las siguientes probabilidades

a) P( x = 0) b) P( x ≤ 2) 2. En una distribución de poisson .λ= 2 , determine las siguientes

probabilidades a) P( x = 3) b) P( x ≤ 3 )

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Ejemplo 1

Un estudio de las filas en las cajas registradoras de un supermercado reveló que, durante un período a la hora de mayor afluencia, el número medio de clientes en espera de que les cobren, fue de cuatro. ¿Cuál es la probabilidad de que durante ese lapso: a) ¿Ningún cliente haya estado esperando? b) ¿Cuatro clientes aguardaran? c) ¿Cuatro o menos estaban en espera?

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Aproximación de una distribución Binomial a la Poisson

En una distribución binomial, cuando “n” es grande ( n ≥30) y si p ≤ 0.05, entonces la distribución Binomial se aproxima a la distribución de poisson con parámetro λ= np, esto es:

( )!

xeP X x

X

( )n

x n x

xP X x p q

tiende a

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Ejemplo 1

1. Consideremos una distribución binomial con p=0.02 y n=100. Calcule P( x = 3)

1003 100 3

3

3 97

( 3)

(0.02) (0.98)

100! (0.02) (0.98)

3!97! 0.1823

nx n x

x

P X p q

2 3

( 3)!

(2.71828) (2) =

3! = 0.1805

xeP X

x

λ= np = 100(0.02)=2

Distribución Binomial Distribución Poisson

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Ejemplo 2

La srta. Isabel está encargada de los préstamos en un banco. Con base en sus años de experiencia, estima que la probabilidad de que un solicitante no sea capaz de pagar su préstamo, es 0.025.

El mes pasado realizó 40 préstamos

1. ¿Cuál es la probabilidad de que 3 préstamos no sean pagados oportunamente?

2. ¿Y cuál es la de que por lo menos 3 préstamos no se liquiden a tiempo

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