CHINA E INDIALos documentos mas antiguosLas civilizaciones de China y de la India son mas antiguas que las de Grecia y Roma, aunque no mas que las que las que surgieron en los valles de Mesopotamia y del Nilo.Hay puntos de vista que sitúan los orígenes de la civilización China mas cerca del año 1000 a. C. fechar los documentos matemáticos chinos no es fácil y, por ejemplo, las estimaciones que se han hecho acerca del Chou Pei Saun Ching, considerado como el mas antiguo de los clásicos de contenido matemático, difieren entre si en casi 1000 años. Algunos historiadores consideran al Chou Pei como un ejemplo de lo que era la matemática china del 1200 a. C., pero hay otros que sitúan la obra en el primer siglo anterior a nuestra era. La palabra “Chou Pei ” parecen referirse al uso del gnomon (Barra cuya sombra proyectada indica las horas en un reloj de sol) para el estudio de las orbitas circulares en los cielos, incluye también una introducción a las propiedades del triangulo rectángulo, así como algunas cosas sobre el uso de las fracciones. El Chou Pei nos revela que en China lo mismo que nos dice Herodoto de Egipto, la geometría debió surgir de la agrimensura, y que, como pasa en Babilonia, la geometría China se reducía a un ejercicio numérico de aritmética o de algebra. Parece haber algunas indicaciones en el Chou Pei relativas al teorema de Pitágoras, un teorema tratado, en cualquier caso, algebraicamente por los chinos.Los 9 capítulosCasi tan antiguo como el Chou Pei son los 9 capítulos sobre el Arte Matemático, quizá la obra que ejerció una mayor influencia de entre todos los libros matemáticos chinos. Este libro incluye 246 problemas sobre agrimensura, agricultura, compañía ingeniería, impuesto, calculo, resolución de ecuaciones y propiedades de triángulos rectángulos. Los chinos se dedicaban a repetir la vieja costumbre de los babilónicos y los egipcios de coleccionar conjuntos de problemas concretos. Los 9 capítulos nos recuerdan también la matemática egipcia por su método de “falsa posición”, pero lo cierto es que la investigación de este procedimiento parece haber sido independiente de toda influencia occidental.

Hay algunos problemas que están resueltos por medio de regla de tres, y entre otros encontramos raíces cuadradas e incluso cubicas. El capitulo 8 tiene importancia por la resolución de problemas que conducen a sistemas de ecuaciones lineales, utilizando números positivos y negativos; el ultimo problema de este capitulo, por ejemplo, plantea la resolución de un sistema de 4 ecuaciones con 5 incógnitas, y el tema de las ecuaciones indeterminadas va a quedar ya como uno de los favoritos de los pueblos orientales.Los numerales a base de varillasSegún las evidencias encontradas por los historiadores, parece haber existido algún tipo de contacto entre India y China, así como entre China y el Oeste. La tentación natural de ver una influencia babilónica o griega en China, por ejemplo, choca con el problema importante de que los chinos nunca hicieron uso de las fracciones sexagesimales. El sistema de numeración chino permaneció esencialmente decimal, con notaciones diferente de las utilizadas en otros países. En uno de ellos predominaba el principio multiplicativo, mientras que el otro se utilizaba una forma de notación posicional. En el primero había cifras distintas para las cifras de 1 a 10, y otras para las potencias de 10, y en la forma escrita los dígitos que ocupaban una posición impar (de izquierda a derecha o de abajo hacia arriba) se multiplicaban por sus sucesores, así, por ejemplo, 678 se escribía como un 6 seguido del símbolo de 100, después un 7 seguido del símbolo para 10 y por ultimo el símbolo para el 8.En la imagen a continuación se mostraran los símbolos en vertical y los 9 primeros múltiplos de 10 en posición horizontal, en la fila siguiente se mostraran los números negativos, aunque cabe señalar que al igual que los babilónicos, solo de manera tardía apareció un símbolo para representar la posición vacía. En la obra del año 1247 se escribe el numero 1405536 usando el símbolo redondo para el cero que aparece en la tabla.

La época exacta en la que arecieron los numerales a base de varillas no se ha podido determinar, pero es seguro que se utilizaban varios siglos antes de nuestra era, es decir, mucho antes de que se adoptase el sistema de notación posicional en la India.El ábaco y las fracciones decimalesLa palabra latina abacus probablemente se derive de la palabra semítica abq que significa polvo, lo cual nos indicaría que en otros países, lo mismo que en China, este aparato evoluciono a partir de una bandeja llena de polvo o arena y que se utilizaba como tabla de calcular. Es posible que el uso de las tablas de calcular sea anterior en china que en China que en Europa.El ábaco árabe tenia 10 bolas en cada alambre y no tenia barra centra, mientras que el ábaco chino tenia 5 bolas por debajo de la barra central y 2 por encima; cada una de las bolas superiores en un mismo alambre del ábaco chino equivale a 5 de las inferiores, y para registrar el numero se hace deslizar el numero correspondiente de bolas hacia la barra central que las separa unas de las otras.No obstante los chinos conocían las operaciones con fracciones ordinarias, hasta el punto de que en este contexto hallaban el mismo común denominador de varias fracciones. Lo mismo que en Mesopotamia un sistema de medidas básicamente sexagesimal condujo a la numeración sexagesimal, así también en china la adopción de una directriz decimal en los pesos y medidas dio como resultado el que se impulse el habito decimal en el manejo de las fracciones, que puede rastrearse, según dice, tan solo en el tiempo como el siglo XIV a.C.La idea de los números negativos no parece haber ocasionado muchas dificultades a los chinos, puesto que estaban acostumbrados a calcular con 2 conjuntos de varillas uno de color rojo para representar números o coeficientes positivos y uno negro para los negativos. Sin embargo, no aceptaban la idea de que un numero negativo pudiera ser una solución de una ecuación.

Los valores de ∏ (pi) en ChinaEl uso del valor 3 para ∏ para la matemática china apenas puede servir como argumento a favor de una hipotética dependencia de Mesopotamia, especialmente a la vista de que la búsqueda de valores cada vez mas exactos fue mas persistente en china que en ningún otro sitio, desde los primeros siglos de la era cristiana. En el siglo III aparece Liu Hui, importante comentarista de los 9 capítulos, que obtiene el valor 3,14 usando un polinomio regular de 96 lados y la aproximación mucho mejor de 3,24259 considerando un polígono de 3072 lados. Para resolver ecuaciones lineales se utiliza el método de la falsa posición, pero también hay otros resultados algebraicos mas sofisticados tales como la resolución por medio de un esquema matricial de un problema diofántico en el que aparece un sistema de 4 ecuaciones con5 incógnitas.La fascinación que ejerció sobre los chinos el número ∏ alcanzo su punto mas alto en la obra de Tsu Ch’ ung- Chih en la cual llego incluso mas lejos en sus cálculos, ya que dio también 3,1415927 como un “valor por exceso” y 3,1415926 como un “valor por defecto” para ∏.No debemos olvidar, que el grado de exactitud alcanzado en el calculo del valor de ∏ es mas una cuestión de resistencia calculistica que de inteligencia teórica. De hecho, vasta con el teorema de Pitágoras para conseguir una aproximación tan buena como se quiera.El algebra y el método de HornerEl mas importante de los matemáticos Sung fue Chu Shih- Chieh, que floreció en los años 1280- 1303, a pesar de que no se sabe con exactitud la fecha de su nacimiento o de su muerte se sabe que vivió en Yen- shan, cerca de Piking, en plan de sabio errante que se ganaba la vida enseñando matemáticas, a pesar de lo cual encontró el tiempo y la tranquilidad suficiente para escribir 2 tratados; el primero fue escrito en el año de 1299 titulado “introducción a los estudios matemáticos” un libro relativamente elemental que ejerció sin embargo una gran influencia en Corea y en Japón y el segundo fue “Espejo Preciso de los Cuatro Elementos”, escrito en el año de 1303, los 4

elementos a los que se refiere el titulo, que son el cielo, la tierra, el hombre y la materia, representan las 4 incógnitas de una ecuación.Este libro masca la cota mas alta que alcanzo el desarrollo del algebra China, y en él se estudian tanto sistemas de ecuaciones simultanees como ecuaciones individuales de grado tan altos como 14.

Los matemáticos del siglo XIIIEl llamado “método de Honer” era bien conocido en China, como lo demuestra el hecho de que por lo menos otros 3 matemáticos del periodo Sung tardío hicieran uso de procedimientos análogos. Uno de ellos fue Li Chih un matemático que vivo en Peking “Espejo marino de las medidas del circulo” contiene 170 problemas relativos a círculos inscriptos y circunscriptos a un triangulo rectángulo y a las relaciones de cuarto grado. Aunque Li Chih no explica su método de resolución de ecuaciones, todo método de resolución hace pensar que no era muy diferente del ultimo por Horner. Otros 2 matemáticos fueron Ch’in Chiu- Shao y Yang Hui. El primero de ellos escribió el “tratado matemático en 9 secciones” marca el punto culminante del análisis indeterminado chino, con la invención de reglas rutinarias para resolver sistemas de congruencias simultaneas. El mismo procedimiento de Horner fue utilizado por Yang Hui, de cuya vida no sabemos casi nada y cuya obra solo se conserva en parte.El triangulo aritméticoLas obras de Yang Hiu incluían también otros resultados acerca de la suma de series finitas y del llamado “triangulo de pascal” pero estos temas son mas conocidos por aparecer publicados en el espejo precioso de Chu Shih- Chieh, con quien se cierra la Edad de Oro de la matemática china.El Espejo precioso comienza con un diagrama del triangulo aritmético, conocido también en Occidente con el nombre inadecuado de “triangulo de pascal” y en este diagrama figuran los coeficientes de los distintos desarrollos numerales a base de varillas y con un símbolo redondo para el cero. Chu no pretende en absoluto haber sido el autor del descubrimiento de este triangulo, sino que se refiere a él como “el diagrama del viejo método para hallar potencias octavas e inferiores”. Es interesante hacer notas que el descubrimiento estuvo asociado en su origen a la extracción de raíces mas que al calculo de potencias.

Ch’in Chiu- Shao

Yang Hui

La matemática primitiva en la indiaHace milenios el país fue ocupado por los invasores arios procedentes de Irán. Buda, el gran maestro religioso, enseñaba en la india por la época, según dicen, Pitágoras vivió en el país, y algunos aseguran que Pitágoras aprendió el teorema que lleva su nombre de los hindúes. Sin embargo, estudios resientes afirman que es improbable en vista de que los babilónicos ya estaban familiarizados con el teorema por lo menos 1000 años antes.En el año de 476 nació Aryabhata, el autor de uno de los textos matemáticos hindúes mas antiguos que conocemos. La India tubo también, como en Egipto, sus “tensadores de la cuerda” y los conocimientos geométricos primitivos que se fueron desencadenando de la planificación de templos y la construcción de altares, adoptando la forma de un cuerpo de conocimiento conocido como las “reglas de la cuerda”. Mas aun que en china, nos encontramos con una sorprendente falta de continuidad de la tradición en la materia hindú, las contribuciones importantes son acontecimientos episódicos separados por largos intervalos de tiempo sin ningún progreso.Las reglas de la cuerdaSe conservan 3 versiones, de la obra de “Las reglas de la cuerda”, la mas conocida lleva el nombre de Apastamba (la más conocida de las obras indias Sulba-sutras, los Sulba-sutras son varios textos de tipo Sutra, que pertenecen a los rituales śrauta). En esta expresión primitiva, que puede remontarse a la época de Pitágoras nos encontramos con las reglas para la construcción de ángulos rectos por medio de ternas de cuerdas cuya longitudes constituyen ternas pitagóricas. Sin embargo todas estas ternas se pueden derivar fácilmente de las reglas babilónicas para conseguirlas. Mas difícil de explicar es otra de las reglas que da Apastamba que nos recuerda algunos de los teoremas del algebra geométrica que aparece en el libro II de los elementos de Euclides.

El siddhantaAl periodo de las reglas de las cuerdas, que se cierra hacia el siglo II de nuestra era, le sigue la era de los siddhanta (es uno de los primeros libros de arqueo astronomía de los hinduistas) o sistema astronómicos. El Suria-siddhanta o “sistema del sol” escrito en el año 400, es la obra del dios Sol. Las teorías astronómicas principales son evidentemente griegas, pero aparecen mescladas con una gran cantidad del viejo folklore hindú.Los siddhanta aparecen a finales del siglo IV o comienzos del V, pero en cuanto al conocimiento que contiene los historiadores hindúes insisten en la originalidad y la independencia de sus autores. Es probable que provenga en gran parte de la obra del astrónomo Pablo, que vivió en Alejandría poco tiempo antes de que fueran compuestos estos libros. Aunque los hindúes adquiriesen sus conocimientos de trigonometría de Alejandría, el material tomo una nueva forma que fue muy significativa. Mientras que la trigonometría de Ptolomeo se basaba en la relación fundamental entre las cuerdas y los correspondientes arcos o ángulos centrales en una circunferencia, los escritos de los siddhantas transformaron esto para convertirlo en un estudio de correspondencia entre mitad de la cuerda y la mitad del arco. Así fue como nació en la India, el antepasado de la función trigonométrica moderna que conocemos como el seno del ángulo, y la introducción de esta función seno representa la contribución principal de los siddhantas a la historia de la matemáticaAryabhataDurante el siglo sexto, vivieron 2 matemáticos hindúes, el mas viejo y a la vez mas importante fue Aryabhata, cuya obra mas conocida, escrita hacia el 499 y titulada aryabhatiya, es un delgado volumen que cubre diversos temas de astronomía y de matemática con el objeto de suplementar las reglas de calculo utilizadas en la astronomía y en las técnicas de medición matemática, sin relación con la lógica o la metodología deductiva. Una tercera parte aproximadamente de la obra trata de ganitapada, es decir, de matemática; esta sección comienza con los nombres de las potencias de 10 asta el lugar decimo y al continuar formula un conjunto de instrucciones para calcular raíces cuadradas y cubicas de números enteros.

Una parte típica del aryabhatiya es la que trata de progresiones aritméticas, la cual contiene reglas para calcular la suma de los términos de una progresión, y también para hallar el numero de términos de la progresión conocido el primer termino, la obra es una “potpourri” de lo sencillo y lo complicado, a la vez que de lo correcto y lo incorrecto.El sistema de numeración hindúLa segunda mitad del aryabhatiya trata de la medida y calculo de tiempo y de trigonometría esférica, y aquí es donde nos encontramos con un elemento nuevo: el sistema de numeración posicional decimal. No sabemos con exactitud de que manera efectuaban los cálculos, pero si se afirma que de un lugar a otro, cada uno es 10 veces el que le precede. La idea de “valor local o posicional” había sido un elemento absolutamente esencial del sistema de numeración babilónico, y quizás lo que los hindúes hicieron fue darse cuenta de que esta idea era aplicable también al sistema de notación decimal para los números enteros, que ya se estaba usando en la India. Las inscripciones provenientes del periodo cultural mas primitivo de Mohenjo Daro (ciudad de India que se distingue por haber sido una ciudad en la que no existían grandes desigualdades sociales) muestran al principio de un sistema constante simplemente en el so de palotes verticales reunidos en grupos, pero hacia la época de Asoka (siglo III a. C.) se usaba un sistema parecido al herodianico. Se adoptaron a la vez nuevos símbolos para unidades de orden superior, concretamente para 4, 10, 20 y 100. Esta manera de escribir los números, fue evolucionando gradualmente para dar lugar a otro sistema de notación, conocido como el de los caracteres Brahmi a nuestra notación moderna para los números naturales hay que superar 2 breves etapas; la primera consiste en las cifras que representan los 9 primeros números que pueden servir para los múltiplos de 10 o, por la misma razón para representar los múltiplos de cualquier potencia de 10.Es posible también que el nuevo sistema tuviera sus orígenes en los contactos hacia el Este, con China, donde el sistema seudoposicional de barras pudiera hacer sugerido la reducción a 9 cifras.

El símbolo del ceroHay que hacer notas que la referencia a 9 símbolos y no a 10 implica evidentemente que los hindúes no habían superado aun la segunda etapa en la transición hacia el sistema de numeración moderno, es decir, no tenían un símbolo para el 0. “La primera aparición de 0 en la India es en una inscripción del año 876”. No esta demostrado ni siquiera que el número 0 surgiera al mismo tiempo que los otros nueve numerales hindúes. Es muy posible que el cero tuviera su origen en el mundo griego.Los mayas de Yucatán usaban una numeración posicional para representar intervalos de tiempo entre distintas fechas de su calendario generalmente con 20 como base principal y 5 como base auxiliar. Las unidades simples venían representadas por puntos y los grupos de 5 por barras horizontales, los mayas representaban las posiciones vacías por medio de un símbolo que aparece en distintas formas, pero recuerda en todas ellas un ojo semiabierto. La forma del símbolo hindú para el 0, que es también el nuestro. Hubo una época en la que se admitía que esta forma redonda tubo su origen en la letra griega “omicron” que es la inicial de la palabra griega “ouden” o vacio.La trigonometría hindúEl sistema de notación para los números naturales fue sin duda una de las 2 grandes contribuciones mas importante de la India a la historia de la matemática. La otra consistió en la introducción de lo equivalente a la función seno en trigonometría.el método de multiplicación hindúLa trigonometría fue evidentemente una herramienta auxiliar para la astronomía, sin embargo, a los matemáticos hindúes les fascinaban las cuestiones numéricas, la suma y la multiplicación se hacían en la India casi de la misma manera como las hacemos hoy, entre los métodos utilizados para multiplicar había uno que se conoce con barios nombres distintos: multiplicación en celdillas o en cuadrilátero. Para explicar el esquema en que se basa, lo mejor es reducir a un ejemplo: el número 532 aparece multiplicado por 18, el multiplicando esta escrito en la parte superior del retículo y el multiplicador a la izquierda, y los productos parciales ocupan las celdas cuadradas, de manera que la suma de los dígitos de arriba a la izquierda a abajo a la derecha se obtiene el producto 9576 que aparece en la parte inferior y derecha del rectángulo.

Cero maya

La “división larga”Según los estudios realizados es muy probable que provenga de la India el método de “división larga” conocido como el “método de la galera”, por su semejanza con un barco con las velas desplegadas. Para ilustrar este método, supongamos la división de 44977 por 382 en la figura siguiente aparece hecha esta división por el método moderno en la parte de abajo y en la parte de arriba aparece por método de la galera, este se parece mucho al moderno excepto en que el dividendo aparece en el medio, ya que las restas se hacen cancelando los dígitos y poniendo las diferencias encima de los minuendos y no debajo. Así pues, el resto final 283 aparece en la parte superior derecha y no en la parte inferior. Es fácil de seguir (lo dudo mucho) si tomamos en cuenta que los dígitos de un sustraendo dado, como el 2674, o de una diferencia dada, como la 2957, no aparecen necesariamente en la misma fila, y que los sustraendos aparecen escritos por debajo de la línea central y la diferencia por encima; por otra parte, la posición en una columna es importante, pero no la posición en una fila. El calculo de raíces de números probablemente siguió un esquema análogo al de la “galera”, los hindúes nunca daban explicaciones de sus cálculos ni demostraciones de sus reglas, se oye decir a veces que “la prueba de los nueves” es un invento hindú.BrahmaguptaBrahmagupta vivió en la India central algo mas de un siglo después que Aryabhata, Brahmagupta menciona 2 valores de ∏, el “valor practico” 3 y el “valor exacto” 10. En un aspecto si se parece a su predecesor, es en la mescla indiscriminada de respuestas correctas e incorrectas. Brahmagupta calcula el “área bruta” multiplicando la mitad de la base por uno de los lados iguales; para el triangulo escaleno de base 14 y lado 13 y 15 calcula el “área bruta” multiplicando la mitad de la base por la media aritmética de los otros 2 lados. En cambio para calcular el área exacta utiliza la formula de Arquímedes- Herón (ver imágenes siguientes)

Brahmagupta

Formula de Herón para el calculo de la superficie del triangulo escaleno

Formulas de BrahmaguptaLas contribuciones de Brahmagupta al algebra son muchos mas importantes que sus reglas para el calculo de áreas, ya que nos encontramos aquí con soluciones generales de ecuaciones cuadráticas incluyendo las 2 raíces aun en caso en que una de ellas es negativa, además, aunque los griegos tuvieron un concepto de la nada o el vacio, no lo interpretaron nunca como un numero, tal como los hindúes.Los hindúes consideraban igualmente como números las raíces irracionales de otros números, cosa que no hicieron nunca los griegos. Este paso supuso un paso enorme para el álgebra. Ya hemos visto que los matemáticos hindúes carecían de una distinción clara entre los resultados exactos y los inexactos, y en consecuencia era lo mas natural que no tomaran en consideración seriamente las diferencias profundas entre las magnitudes conmensurables y las inconmensurables.La matemática hindú consistió en una mezcla de bueno y malo, pero parte de lo bueno fue extraordinariamente bueno. El álgebra hindú es notable especialmente por su desarrollo del análisis indeterminado, al que Brahmagupta mismo hizo varias contribuciones.La teoría de ecuaciones indeterminadasEs evidente que Brahmagupta amaba la matemática por si mismas, fue el primero en descubrir una solución general a la ecuación diofántica lineal ax+ by = c, con a, b y c, enteros. Para que esta ecuación tenga solución entera, el máximo común divisor de a y b debe dividir a c, y Brahmagupta sabia que si a y b son primos entre si, entonces todas las soluciones de la ecuación vienen dadas por las formulas x = p + mb, y = q– ma, donde m es un entero arbitrario.Es muy notable el merito de Brahmagupta al dar todas las soluciones enteras de la ecuación diofántica lineal, mientras que Diofanto se había contentado con dar una única solución practica de una ecuación indeterminada.

BhaskaraBhaskara fue el matemático mas importante mas importante del siglo XII y el que completo algunos de los huecos de la obra de Brahmagupta, como hizo al dar una solución de la ecuación de Pell y al enfrentar se con el problema de la división por 0. Bhaskara fue el único matemático medieval importante de la India, y su obra representa la culminación de las contribuciones hindúes anteriores a su época. En su tratado mas conocido, el Lilavati, reunió Bhaskara problemas diversos procedentes de Brahmagupta y de otros matemáticos, añadiéndoles nuevas observaciones de su propia cosecha.El LilavatiEl Lilavati contiene numerosos problemas que tratan de los temas favoritos de los hindúes: ecuaciones lineales y cuadraticas, determinadas como indeterminadas, simples problemas de medida de áreas, progresiones aritméticas y geométricas, raíces, ternas pitagóricas y otros. El problema del “bambú roto”, popular también en China e incluido ya por Bhaskara, aparece aquí de la forma siguiente: si un bambú de 32 codos de altura ha sido roto por el viento de tal manera que su extremo superior queda apoyado a una distancia de 16 codos de su base, ¿a que altura sobre el suelo se produjo la fractura?

RamanujanBhaskara murió a fines del siglo XII, durante varios siglos a partir de esa fecha fueron muy pocos los matemáticos de estatura comparable que aparecieron en la India. Sin embargo Srinivasa Ramanujan, el genial matemático hindú del siglo XX, tenia la misma habilidad minuciosa en aritmética y en algebra que nos hemos encontrado en Bhaskara. El matemático ingles G. H. Hardy cuenta que en una de sus visitas a Ramanujan, le comento a su amigo enfermo que había llegado en un taxi con el anodino (que carece de interés o importancia) numero 1729, a lo que contesto si dudarlo Ramanujan que este numero era realmente interesante, porque podía representarse de 2 maneras distintas como la suma de 2 cubos, 1³ + 12³= 1729 = 9³+ 10³. En la obra de Ramanujan encontramos también el aspecto desorganizado, la potencia del razonamiento intuitivo y el desprecio por la geometría que aparece de manera tan relevante en sus predecesores. En resumen, los eclécticos matemáticos hindúes adoptaron y desarrollaron solamente aquellos aspectos que les atraían.La trigonometría de la función seno proviene verosímilmente de la India, y nuestro sistema de numeración actual para los enteros recibe con toda propiedad le nombre de sistema hindú- árabe para indicar su probable origen en la India y su divulgación a trabes de Arabia.