Chapter 2

結構力學總複習Review of Structural Mechanics

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Contents

2.1. 結構分析問題的定義 Definition of Structural Analysis Problems

2.2. 控制方程式 Governing Equations

2.3. 解題方法：有限元素法 Solution Method: Finite Element Method

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第 2.1 節

結構分析問題的定義Definition of Structural Analysis Problems

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2.1.1 結構分析問題

• 結構分析是一個固態的實體（ body ）承受負載（ loads ）後，求解結構反應（ responses ）的過程

z

Q1 at S1

P2 at S2

D3 = 0 at S3

D4 at S4x

y Body

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2.1.2 Example (1/2)

• Body 樑• Loads 集中力 , 分佈力 , 及拘束• Responses 變形 , 應力 , 應變

P

Q

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2.1.2 Example (2/2)

• Body 樑• Loads 右端變位 D, 左端變位 0• Responses 變形 , 應力 , 應變

D

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2.1.3 loads

結構分析負載分類 SI單位 主要 ANSYS 命令

作用在物體界面

力表面分佈力 Pa SF

點集中力 N F

變位零變位 ( 固定 ) m D

非零變位 m D

作用在物體內部力

慣性力 ( 重力或離心力 ) N/m3 ACEL, OMEGA

其他體積分佈力 ( 靜電力或磁力等 ) N/m3 (none)

熱 溫度變化 K BF

Default boundary condition: zero surface force

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Comparison:Loads in Thermal Analysis

熱分析負載分類 SI單位 主要 ANSYS 命令

作用在物體界面熱流

Heat flux W/m2 SF

Heat flow W F

溫度固定溫度 K D

作用在物體內部 熱源Heat generation W/m3 BF

Default boundary condition: zero heat flux (adiabatic)

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2.1.4 Responses

結構反應 向量符號 分量數目

變位 (displacements) u 3

應變 (strains) 6

應力 (stresses) 6

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2.1.5 Displacements

變形前

(x, y, z)

u(x, y, z)

變形後

zyx uuuu

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2.1.6 Stresses (1/4)

• 應力是用來描述力的密度 (intensity) 及方向 (direction)

• 應力的大小以 SI 單位表示是 N/m2 (Pa)

• 應力需以兩個方向來描述• 數學上稱此種物理量為張量 (tensor)

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2.1.6 Stresses (2/4)

z

x

y

A

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2.1.6 Stresses (3/4)

x

y

x

y

x

y

z

xy

xy

yx

yx

zy

zx

zzyzx

yzyyx

xzxyx

σ

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2.1.6 Stresses (4/4)

zzyzx

yzyyx

xzxyx

σ

xzzxzyyzyxxy , ,

0,0,0 zyx MMM

zxyzxyzyx σ

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2.1.7 Strains (1/3)

• 應變是描述某一質點被拉伸或壓縮 , 及扭曲的程度

• 應變的 SI 單位是 m/m, 相當於無單位• 應變也是需要兩個方向來描述

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2.1.7 Strains (2/3)C’

AB

C

A’B’

B’’

D

B’’’

C’’

C’’’

x

y

AB

BD

AB

BDxyx

,

rad BBAAB

BDxy

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2.1.7 Strains (3/3)

xx

y

x

y

z

xy

xy

yx

yx

zy

zx

zzyzx

yzyyx

xzxyx

ε

y

xzzxzyyzyxxy , ,

zxyzxyzyx ε

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第 2.2 節

控制方程式Governing Equations

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2.2.1 控制方程式

控制方程式是描述此 15 個未知量之間的關係 , 包括 3 個力平衡方程式 , 6 個應變與變位關係 , 及 6 個應力與應變關係 ( 虎克定律 )

zyx uuuu

zxyzxyzyx σ

zxyzxyzyx ε

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2.2.2 力平衡方程式 0,0,0 zyx FFF

0

0

0

zzzyzx

yyzyyx

xxzxyx

fzyx

fzyx

fzyx

zzzyzyxzx

yzyzyyxyx

xzxzyxyxx

Tnnn

Tnnn

Tnnn

由力平衡條件

可以導出 , 在 body 的內部

或是在 body 的表面

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2.2.3 應變與變位關係

z

u

x

u

y

u

z

u

x

u

y

u

z

u

y

ux

u

xzzx

zyyz

yxxy

zz

yy

xx

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2.2.4 應力與應變關係

G

G

G

EEE

EEE

EEE

zxzx

yzyz

xyxy

zyxz

zyxy

zyxx

)1(2

EG

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第 2.3 節

解題方法 : 有限元素法Solution Method: Finite Element Method

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2.3.1 數值解法• 理論上 15 個方程式可以解 15 個未知量• 實務上只有很簡單的問題才有解析解• 大部份的問題必須以數值方式解答• 最普遍的數值方法是有限元素法

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2.3.2 有限元素法 : 基本構想• 將 body 切割成元素 , 元素之間假設僅以節點連接

• 先建立每個元素的方程式

• 再組成整體 body 的方程式

• 最後解出未知量

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2.3.3 自由度Degrees of Freedom

• 自由度是控制方程式的未知量

• 結構分析問題是指節點上的變位量

• 熱分析問題是指節點上的溫度

lz

ly

lx

kz

ky

kx

jz

jy

jx

iz

iy

ix uuuuuuuuuuuud

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2.3.4 形狀函數Shape Functions

形狀函數是用來連接變位場 u和節點變位d間的關係

x

y

未知函數 f(x)

近似函數

Ndu

lkji

lkji

lkji

NNNN

NNNN

NNNN

00000000

00000000

00000000

N

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2.3.5 Order of Element

• 一個元素的 order 是指形狀函數的次數• Order 越高 , 解答的精度越高 (p-method)• 提高精度的另一個方法是將元素切割得更細小 (h-method)

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2.3.6 Stiffness Matrices

元素的力平衡方程式

整體結構的力平衡方程式

fkd

FKD

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2.3.7 FEM Summary輸入

分析模型

建立元素方程式

建立結構方程式

解結構方程式

計算應變及應力