Mecnica vectorial para ingenieros:

ESTTICA

Novena edicin

Ferdinand P. BeerE. Russell Johnston, Jr.

Lecture Notes:J. Walt OlerTexas Tech University

CAPTULO

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Centroides y Centros de Gravedad

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Mecnica vectorial para ingenieros

Ninth

Edition

Introduccin

5 - 2

La tierra ejerce una fuerza gravitacional sobre cada una delas partculas que componene el cuerpo. Estas fuerzas puedenser reemplazadas por una nica fuerza W actuando en unpunto llamado: centro de gravedad

El centroide de un rea es anloga al centro de gravedadde un cuerpo. El concepto de primer momento de un rease utiliza para determinar el centroide.

El clculo del rea de una superficie de revolucin o elvolumen de un cuerpo de revolucin est directamenterelacionado con la determinacin del centroide de lalnea o del rea utilizados para generar dicha superficie ocuerpo de revolucin (Teoremas de Pappus-Guldinus.

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Centro de Gravedad de un cuerpo bidimensional

5 - 3

Centro de gravedad de una placa

=

==

=

dWy

WyWyMdWx

WxWxM

y

y

Centro de gravedad de un alambre

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Centroides y Primeros Momentos de reas y Lneas

5 - 4

( ) ( )

x

QdAyAy

y

QdAxAx

dAtxAtx

dWxWx

x

y

eje al respecto momentoprimer

eje al respecto momentoprimer

=

==

=

==

=

=

Centroide de un rea

( ) ( )

=

=

=

=

dLyLy

dLxLx

dLaxLax

dWxWx

Centroide de una lnea

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Primeros Momentos de reas y Lneas

5 - 5

Un rea es simtrica con respecto a un eje BBsipara cada punto P existe u punto Ptal quePPsea perpndicular a BBy BBdivide en dospartes iguales el rea.

El primer momento de un rea respecto a una lnea de simetra es cero

Si un rea tiene una lnea de simetra su centroide est en esa lnea.

Si un rea posee dos lneas de simetra, elcentroide est en la interseccin de dichas lneas.

Un rea es simtrica respecto al centro O sipara cada elemento dA situado en (x,y) existeun elemento dA de igual rea situado en (-x,-y).

El centroide de un rea coincide con el centro de simetria.

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Centroides de reas comunes

5 - 6

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Centroides de reas comunes

5 - 7

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Centroides de lneas comunes

5 - 8

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Placas compuestas y alambres

5 - 9

Placa compuesta

=

=

i

i

WyWY

WxWX

rea compuesta

=

=

ii

ii

AyAY

AxAX

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Ejercicio propuesto

2 - 10

0,40 m

0,60 m

0,80 m

0

,

2

0

m

Determinar el centroide de la chapa de la figura.

Solucin: X=0,43 m ; Y=0,23 m

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Problema ejemplo 5.1

5 - 11

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Problema ejemplo 5.1

5 - 12

33

33

mm107.757

mm102.506

+=

+=

y

x

Q

Q El rea total se determina sumando (crculo reanegativa) cada una de las reas de las formas queconstituyen la placa.

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Problema ejemplo 5.1

5 - 13

23

33

mm1013.828mm107.757

+==

i

ii

AAx

X

mm8.54=X

23

33

mm1013.828mm102.506

+==

i

ii

AAy

Y

mm6.36=Y

Las coordenadas del centroide se calculandividiendo los primeros momentos por elrea del rea compuesta.

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Ejercicio autoevaluacin

2 - 14

Determine el centroide del rea de la placa que se muestra en la figura.

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Problema ejemplo 5.2

5 - 15

La figura mostrada est hecha a partir de un pedazo dealambre delgado y homogneo. Determine la ubicacin de sucentro de gravedad.

24 cm

10 cm

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Problema ejemplo 5.2

5 - 16

24 cm

10 cm

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Problema ejemplo 5.3

5 - 17

Una barra semicircular uniforme de peso W yradio r est unida a un perno en A y descansacontra una superficie sin friccin en B.Determine las reacciones en A y B.

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Problemas propuestos

5 - 18

Localice el centroide del rea plana que se muestra en cada figura.

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Determinacin de Centroides por Integracin

5 - 19

( )

( )ydxydAyAy

ydxx

dAxAx

el

el

=

=

=

=

2

( )[ ]

( )[ ]dxxaydAyAy

dxxaxadAxAx

el

el

=

=

+=

=

2

===

===

dAydydxydAyAy

dAxdydxxdAxAx

el

el Si el elemento de rea dA es un pequeorectngulo de lados dx y dy, la evaluacin de cadauna de estas integrales requiere una integracindoble con respecto a x y respecto a y.

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Problema ejemplo 5.4

5 - 20

Determine por integracin directa la localizacin del centroide de una enjuta parablica.

2

8xy =

4 m

2 m

X=3 m Y=0,6 m

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Problema resuelto 5.4

5 - 21

Utilizando un elemento diferencial vertical4

2

044 4

3

024

2

045 5

3

0

18

1 4 8 8 4 32

1 12 2 8

1 4 1,6 128 5 640

y el

x el

Q x dA xydx x x dx

x m

yQ y dA ydx x dx

x m

= = =

= = =

= = =

= = =

44 42 3 2

00 0

1 1 88 24 3

A ydx x dx x m = = = = 8 1,63 ; 0,6 8 83 3

y xQ QX m Y mA A

= = = = = =

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Problema propuesto

5 - 22

La placa est hecha de acero que tiene una densidad de 7850 kg/m3. Si elespesor de la placa es de 10 mm, determine las componentes horizontal yvertical de la reaccin en el pasador A y la tensin en el cable BC.

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Problema propuesto

5 - 23

La placa est hecha de acero que tiene una densidad de 8000 kg/m3. Si elespesor de la placa es de 5 mm, determine las componentes horizontal yvertical de la reaccin en el pasador A y la tensin en el cable B.

3 m

3 m

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Problema ejemplo

2 - 24

Localice el centroide de la varilla doblada en forma de arco parablico, como se muestra en la figura.

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Solucin arco parablico

2 - 25

0, 410 X m=

0,574 y m=

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Problema ejemplo 5.5

5 - 26

Determine la ubicacin del centroide del arco mostrado.

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Problema ejemplo 5.5

5 - 27

rsenx =

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Problemas propuestos

2 - 28

Determine la distancia X hasta el centro de masa de la barra homogneadoblada en la forma que se muestra. Si la barra tiene una masa por unidadde longitud de 0,5 kg/m, determine las reacciones en el soporte fijo O.

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Problemas propuestos

2 - 29

La barra uniforme est doblada en forma de una parbola y tiene una masa por unidad de longitud de 2,5 kg/m. Determine las reacciones en el soporte fijo A.

3 m

3 m

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Teoremas de Pappus-Guldin

5 - 30

Una superficie de revolucin se genera mediante la rotacin de una curva plana con respecto a un eje fjo.

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Teoremas de Pappus-Guldinus

5 - 31

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Ejercicio propuesto

2 - 32

Mediante los teoremas de Pappus-Guldin, encontrar el centroide de un arco semicircular de radio R

R

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Ejercicio propuesto

2 - 33

Mediante los teoremas de Pappus-Guldin, encontrar el centroide de una placa semicircular de radio R

R

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Problema resuelto 5.7

5 - 34

El dimetro exterior de una polea es 0.8 m y la seccin transversal de su corona escomo se muestra en la figura. Se sabe que la polea est hecha de acero y que ladensidad de dicho material es 7,85 103 kg/m3, determine la masa y el peso de lacorona.

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Problema resuelto 5.7

5 - 35

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Centro de Gravedad de un cuerpo

5 - 36

Centro de gravedad G

( ) = jWjW

( ) ( )[ ]( ) ( ) ( )jWrjWr

jWrjWr

G

G

==

== dWrWrdWW G

Los resultados son independientes de la orientacin,

=== zdWWzydWWyxdWWx

=== zdVVzydVVyxdVVxdVdWVW == and

Para cuerpos homogneos,

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Centroides de cuerpos comunes en tres dimensiones

5 - 37