MMVCLAB

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第五章 现代谱估计

MMVCLAB

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5.1 引言

MMVCLAB

2015/11/1 2015/11/1 MMVCLAB 3

信号 确定性信号 周期信号 非周期信号

非确定信号 随机信号

确定信号的谱：付立叶变换

随机信号：付立叶变换不存在---》功率谱密度/功率谱

观察到有限个信号样本

估计 功率谱估计

应用：语音信号分析，雷达信号处理，机械振动信号分析等

MMVCLAB

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5.2 离散随机信号及其数字特征

MMVCLAB

2015/11/1 2015/11/1 MMVCLAB 5

一 离散随机信号的分类

随机信号：概率密度函数

统计特征参数[均值，方差，相关函数，协方

差函数，高阶矩等]

平稳随机信号（Stationary)：

1) 弱平稳（广义平稳，wide sense stationary)

一阶和二阶矩与时间无关

各态历经（ ergodicity ): 时间均值等于统计均值

2）强平稳 （严格平稳）

限于讨论各态历经随机信号

MMVCLAB

2015/11/1 2015/11/1 MMVCLAB 6

二 离散随机信号的数字特征

设：x(n)=0,n<0;-----因果实的离散随机信号

1. 平均 各态历经条件下，统计平均等于时间平均

1

0

1( ) lim ( ) [ ( )]

N

x xN

n

m n m x n E x nN

均值:

12 2 2 2

0

1( ) lim [ ( ) ] [( ( ) ) ]

N

x x x xN

n

n x n m E x n mN

方差:

2 2

12 2

0

1( ) lim ( ) [ ( )]

N

x x Nn

m n m x n E x nN

均方值:

MMVCLAB

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2 相关函数和协方差函数

a) 相关函数

离散确定性信号

1 2

3 1 2

1 2

( ) ( ) ( )

m

m

x xx n x m x n m

x x

自相关

互相关

离散随机信号

自相关 1

0

1( ) lim ( ) ( ) =E[ ( ) ( )]

n N

xN

n

R m x n x n m x n x n mN

1* *

0

( )

1( ) lim ( ) ( ) =E[ ( ) ( )]

n N

xN

n

x n

R m x n x n m x n x n mN

若 是复数

( ) ( )x xR m R m 2( )x xR m

MMVCLAB

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互相关 1

0

2

1( ) lim ( ) ( ) =E[ ( ) ( )]

( ) ( ); (0) (0) ( )

n N

xyN

n

xy yx x y xy

R m x n y n m x n y n mN

R m R m R R R m

自协方差

1

0

2

x

1( ) lim [ ( ) ][ ( ) ]

=E[( ( ) )( ( ) )]

=R ( )

n N

x x xN

n

x x

x

C m x n m x n m mN

x n m x n m m

m m

2(0)x xC

互协方差 1

0

1( ) lim [ ( ) ][ ( ) ]

=E{[ ( ) ][ ( )- ]}

( ) ( )

n N

xy x yN

n

x y

xy xy x y

C m x n m y n m mN

x n m y n m m

C m R m m m

20 ( ) ( ), (0) (0)x x x x x xm C m R m R C

MMVCLAB

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5.3 功率谱估计概述

MMVCLAB

2015/11/1 2015/11/1 MMVCLAB 10

一 功率谱密度定义

1 定义 x(n)

( ) ( )

(1)1

( ) ( )2

mj j m

x x

m

j j m

x x

S e R m e

R m S e e d

维纳—辛钦公式

2( ) , 0, ( )

0[ 0, ( )

j

x x x x

x x

R m m S e

m m x n

由于 所以若 不一定收敛.

故一般地假设 若 可通过对 去均值处理]

物理意义：Rx(m)随着m越快衰减，说明该时间序列随时间变化越剧烈；反之则说明该时间序列随时间变化越平缓。故Rx(m)中包含了各种频率成分的功率信息。

MMVCLAB

2015/11/1 2015/11/1 MMVCLAB 11

2

1(2) ( ) lim ( )

2 1

( )

n Nj j n

xN

n N

mj m

x

m

S e E x n eN

R m e

MMVCLAB

2015/11/1 2015/11/1 MMVCLAB 12

2

( )

2

2

1( ) lim ( )

2 1

1lim ( ) ( )

2 1

1lim ( )

2 1

1lim [2 1 ] ( )

2 1

lim

n Nj j n

xN

n N

n N m Nj n j m

Nn N m N

n N m Nj n m

Nn N m N

k Nj k

Nk N

N

S e E x n eN

E x n e x m eN

R n m eN

N k R k eN

2

2

[1 ] ( )2 1

( )

k Nj k

k N

mj m

x

m

kR k e

N

R m e

2

2

( ) [2 1 ] ( )n N m N k N

n N m N k N

f n m N k f k

MMVCLAB

2015/11/1 2015/11/1 MMVCLAB 13

2.功率谱密度的性质

功率谱密度的性质：

为实的偶函数。

。(由定义2）

随机序列的平均功率：

随机序列 到 之间的平均功率为：

1R (0) ( )d

2

j

x xS e

2

1

12* ( )d

2

j

xS e

( )j

xS e

( ) 0j

xS e

( ) ( )

1( ) ( )

2

mj j m

x x

m

j j m

x x

S e R m e

R m S e e d

1 0 2 0

MMVCLAB

2015/11/1 2015/11/1 MMVCLAB 14

3.平稳白噪声序列功率谱密度

平稳白噪声序列：

定义：平稳随机时间序列x(n)不同时刻的随机变量两两不相关。

数字特征：

均值：E{x(n)}=0。

自相关函数：Rx(m) = 2(m)。

功率谱密度： 。 2( )j

xS e

MMVCLAB

2015/11/1 2015/11/1 MMVCLAB 15

二 功率谱估计问题及谱估计方法

1 谱估计问题 x(n)

给定一个随机过程的一个实现中的有限长度数据

x(0)， x(1)，。。。， x(N-1)

来估计：

2 谱估计方法

非参数法谱估计

参数法谱估计

线性谱分析法（经典谱估计）

非线性谱分析法（现代谱估计）

( )j

xS e

周期图法，自相关法

平滑周期图法

最小方差法

时间序列模型

最大熵谱估计法

MMVCLAB

2015/11/1 2015/11/1 MMVCLAB 16

三 统计估计基础回顾

估计量仍是一个随机变量

1）无偏估计

估计偏量（偏差）

0 1 1ˆ ( , ,..., )Na F x x x

( ) [ ]

( ) 0,

B a a E a

B a

若 则称无偏估计

lim ( ) 0,N

B a a a

若 则称 是真值 的渐进无偏估计

例： 1

0

( ) ( ), [ ( )] 0

1( )

[ ] ,

x

N

x

n

x x x x

x n m e n E e n

m x nN

E m m m m

即 是 的无偏估计

[ ]E a aa

( )p a

MMVCLAB

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2）最小方差估计（有效估计）

2 2[ ] {[( ( )] } minaVar a E a E a

ˆ( )xp m

( )xp m

2 2

ˆ x xm m

3）一致估计

2 2 2[ ] {[ ] } min (

[ ]

a

N

MSE a E a a B

MSE a a a

均方误差最小)

若 0,则 是 的渐进一致估计

xm

估计的可信度

MMVCLAB

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4）偏量与方差的折衷

2

, [ ]

:

: [ ] (1 )

[ ] [ ]

x x x

x x

x x

x x

m E m m

m am

B m a m

Var m a Var m

:无偏

令

则

( ) [ ]

[ ]

(1 )

x x x

x x

x x

x

B m m E m

m E am

m am

a m

MMVCLAB

2015/11/1 2015/11/1 MMVCLAB 19

5.4 自相关函数的估计

MMVCLAB

2015/11/1 2015/11/1 MMVCLAB 20

ˆ( ) : (0), (1),..., ( 1) ( ) : ( ), [ ( )] 0x xx n x x x N R m R m E x n 设

一 窗估计法

方法1：

方法2：

1

0

1( ) ( ) ( ), N-1

N m

N

n

R m x n x n m mN

1

0

1( ) ( ) ( ), N-1

N m

N

n

R m x n x n m mN m

( ) ( )N N

N mR m R m

N

[ ( )] ( ) [ ( )] ( )N

N x N x

N mE R m R m E R m R m

N

渐进无偏

[ ( )] ( )N xE R m R m 无偏估计

2[ ( )] ( ) [ ( )] [ ( )]N N N

N mVar R m Var R m Var R m

N

MMVCLAB

2015/11/1 2015/11/1 MMVCLAB 21

二 自相关函数的Rader计算法

1.问题

线性相关可由园周相关计算，此时圆周相关的周期L>=2N+1

1

0

1( ) ( ) ( ),0 N-1

( ) ( ) ,m=-1,-2,...,-N+1

N m

N

n

N N

R m x n x n m mN

R m R m

1

0

*

1( ) ( ) (( ))

1[ ( ) ( )],0 N-1

L

N L

l

R m x l x l mN

IFFT X k X k mN

一般地， ，因此利用上述方法计算量较大 m M N

2.Rader法 2：1分段

MMVCLAB

2015/11/1 2015/11/1 MMVCLAB 22

( ( 1) ),0 1( )

0, 2 1i

x n i M n Mv n

M n M

( ( 1) ),0 2 1

( )0, others

i

x n i M n Mu n

1,2,..., /i K N M

1

1 0

*

1

*

1

1( ) ( ) ( )

1[ ( ) ( )]

1[ ( ) ( )]

K M

N i i

i n

K

i i

i

K

i i

i

R m v n u n mN

IFFT V k U kN

IFFT V k U kN

2

2

( ) [ ( )]

( ) [ ( )]

i M i

i M i

V k FFT v n

U k FFT u n

1

2

21 1

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) ( )

i i i

j MkkM

i i i i i

u n v n v n M

U k V k e V k V k V k

1,2,..., 1i K

( ) ( )K KU k V k而

1

0

1( ) ( ) ( ),0 N-1

N m

N

n

R m x n x n m mN

MMVCLAB

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Rader法算法步骤

2

2 2

1. ( ), 1,2,..., , [ / ], ( ) [ ( )]

2log (2 ) log (2 )

2

i i M iV k i K K N M V k FFT v n

MM N M

N

乘法:M

12. ( ) ( ) ( 1) ( ); 1,2,..., 1;

( ) ( )

k

i i i

K K

U k V k V k i K

U k V k

*3. ( ) ( ) ( ); 1,2,..., ;

: 2 2

i i iX k V k U k i K

NM N

M

乘法1

4. ( ) ( );K

i

i

X k X k

2 2

15. ( ) [ ( )],0 1

2: log (2 ) log (2 )

2

NR m IFFT X k m MN

MM M M

乘法

(2 ) 2M N2总计算量:(N+M)log

MMVCLAB

2015/11/1 2015/11/1 MMVCLAB 24

5.5 传统功率谱估计

（非参数谱估计）

MMVCLAB

2015/11/1 2015/11/1 MMVCLAB 25

一 间接法（BT法，自相关法）

间接法I

间接法II

ˆ( ) ( ) , 1M

j j m

N

m M

S e R m e M N

ˆ( ) ( ) , 1M

j j m

N

m M

S e R m e M N

渐进无偏

渐进无偏

二 直接法（周期图法） 1

0

( ), 0,1,..., 1 ( ) ( )N

j j n

n

x n n N X e x n e

21

: ( ) ( )

( ) ( )

j

N

j

N

I X eN

S e I

定义 周期图

则令:2

1( ) lim ( )

2 1

n Nj j n

xN

n N

S e E x n eN

MMVCLAB

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< 直接法和间接法间的关系> 2

1 1

0 0

1 1( )

0 0

1( ) ( )

1( ) ( )

1( ) ( )

j

N

N Nj k j n

k n

N Nj k n

k n

I X eN

x k e x n eN

x k x n eN

,m k n k n m 令

2

11

( 1) 0

1

( 1)

1( ) ( )

1( ) ( )

( )

j

N

N mNj m

m N n

Nj m

N

m N

I X eN

x n x n m eN

R m e

( ) 1NI N 是间接法I当M 时的功率谱估计

MMVCLAB

2015/11/1 2015/11/1 MMVCLAB 27

三 直接法和间接法估计质量

<均值>

间接法I(M=N-1)

直接法

定义

间接法I(M=N-1)和直接法的均值可统一表示为：

1 1

( 1) ( 1)

ˆ[ ( )] [ ( )] ( )N N

j j m j m

N x

m N m N

N mE S e E R m e R m e

N

1

( 1)

ˆ[ ( )] [ ( )] (1 ) ( )N

j j m

N x

m N

mE S e E I R m e

N

2

2

sin1 , 2( ) ( )

sin0,2

N

B B

Nmm N

w m WNNothers

( )1ˆ[ ( )] ( )* ( ) ( ) ( )2

j j N j N j

B BE S e S e W S e W e d

MMVCLAB

2015/11/1 2015/11/1 MMVCLAB 28

间接法II

<方差>

表达式较为复杂，当x(n)是高斯随机过程时：

ˆ[ ( )] [ ( )]

( )

( ) ( )

( )* ( )

Mj j m

N

m M

Mj m

x

m M

j m

R x

m

j

R x

E S e E R m e

R m e

w m R m e

W S e

1, , 1

0,

sin[ (2 1) / 2]: ( ) , ( )

sin[ / 2]

m M M N

R others R

Mw n W

其中

22

2

sin [ ]ˆ[ ( )] ( ) 1[ sin ]

j j

x

NVar S e S e

N

MMVCLAB

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四 传统功率谱估计的改进

1.平均周期图法

( ), 0,1,..., 1

( ) ( ),0 1,1i

x n n N K

x n x n iM M n M i K

分成 段,每段M个取样,N=KM

21

0

1( ) ( ) ,1

Mi i j n

M

n

I x n e i KM

1

1: ( ) ( )

Ki

x M

i

B IK

定义

: [ ( )] [ ( )] ( )* ( )i j M j

x M x BE B E I S e W e 则2

2

2

1 1 sin [ ]: [ ( )] [ ( )] ( ) 1

[ sin ]

i j

x M x

MVar B Var I S e

K K M

而

有偏渐近一致估计

K个独立同分布随机变量的平均值的方差为单独一个变量方差的1/K

MMVCLAB

2015/11/1 2015/11/1 MMVCLAB 30

2.平滑周期图法（BT谱估计的改进）

11

( 1)

ˆ: ( ) ( ) , 1

( )

Mj j m

N

m M

NM Nj m

N

m N

BT S e R m e M N

R m e

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

N N

j j

N N

m R m R m

S e m R m S e R m

大 估计 所用数据少 估计 不可靠,方差大

的方差大 减少 大的 对 的贡献 对 加权1

( 1)

ˆ ( ) ( ) ( )M

j j m

BT N

m M

S e w m R m e

0 ( ) (0) 1

( ) ( )

( ) 0, , 1

w m w

w m w m

w m m M M N

( ) ( ), ( ) ( ) ( )j j

N Nw m W e R m S e I

ˆ ( ) ( )* ( )j j

BT NS e I W e

MMVCLAB

2015/11/1 2015/11/1 MMVCLAB 31

ˆ[ ( )] [ ( )* ( )]

[ ( )]* ( )]

( )* ( )* ( )

( )* ( )

j j

BT N

j

N

j N j j

x B

M Nj j

x

E S e E I W e

E I W e

S e W e W e

S e W e

( ) ( ),M

jW e

渐近无偏

( 1)2 2

( 1)

1: [ ( )] ( ) ( )

Mj

BT x

m M

Var S S e w mN

而

偏倚与方差之间存在矛盾，一般取M=N/5

MMVCLAB

2015/11/1 2015/11/1 MMVCLAB 32

3.修正周期图求平均法（Welch法）

加窗平滑+分段平均

( ), 0,1,..., 1

( ) ( ),0 1,1i

x n n N K

x n x n iM M n M i K

分成 段,每段M个取样,N=KM

21

0

1( ) ( ) ( ) ,1

Mi i j n

M

n

J x n w n e i KMU

1

2

0

1( )

M

n

U w nM

1

1: ( ) ( )

Kj i

avpd M

i

S e JK

定义

: [ ( )] [ ( )] ( )* ( )* ( )j i j M j j

avpd M x BE S e E J S e W e W e 则2

1

0

1( ) ( )

Mj j n

n

W e w n eMU

21[ ( )] ( )j j

avpd xVar S e S eK

MMVCLAB

2015/11/1 2015/11/1 MMVCLAB 33

4.传统谱估计的主要问题

偏差和方差的折衷 分辨率和可靠性

人为地将观察到的数据以外的数据视为零

MMVCLAB

2015/11/1 2015/11/1 MMVCLAB 34

经典谱估计方法的缺点：

有偏估计：经典谱估计方法无法进一步提高分辨率，存在较严重的旁瓣“泄漏”现象。

方差很大：估计的方差随着采样数目N的增大基本上不减小。

经典谱估计得到的功率谱密度不是一致性估计。

在采样数目N有限的条件下，经典谱估计方法无法较好地调和估计偏差和方差的矛盾。

产生经典谱估计方法缺点的原因分析：

数据长度有限是造成分辨率低和旁瓣“泄漏”的根本原因。

经典谱估计都仅是对提供数据的“简单”利用，没有想办

法挖掘并利用数据间内在的规律性。

( )1ˆ[ ( )] ( )* ( ) ( ) ( )2

j j N j N j

B BE S e S e W S e W e d

22

2

sin [ ]ˆ[ ( )] ( ) 1[ sin ]

j j

x

NVar S e S e

N