Cap´ıtulo10 Magnetost´atica - fis.ita.br · 150 CAP´ITULO 10. MAGNETOSTATICA´...

Capıtulo 10

Magnetostatica

10.1 Campo Magnetico

Por meio de experimentos, notou-se que os portadores de carga sofriam in-

fluencias de outra forca, fora aquela resultante da acao do campo eletrico.

Tal forca dependia nao so da posicao da partıcula mas tambem da velocidade

de seu movimento, e ela recebeu o nome de forca magnetica.

Portanto, Em todo ponto do espaco temos duas quantidades vetoriais que

determinam a forca resultante que atua sobre uma carga:

• A primeira delas e a forca eletrica, a qual fornece uma componente

da forca independente do movimento da carga. E possıvel descreve-la,

como ja foi visto, em termos do campo eletrico.

• A segunda quantidade e uma componente adicional a forca denominada

forca magnetica, que sera apresentada a seguir.

Foi visto que o campo eletrico pode ser definido como a forca eletrica por

unidade de carga:

�E =�Fe

q(10.1)

149

150 CAPITULO 10. MAGNETOSTATICA

Isso pode ser feito devido a existencia de monopolos eletricos. Porem o

ser humano nao observou, ate hoje, monopolos magneticos: Todos os corpos

magnetizados possuem um polo Norte e um polo Sul. Por causa disso, o

campo magnetico deve ser definido de outra maneira.

Observando o movimento de cargas eletricas em campos magneticos,

notou-se que:

• A forca magnetica e proporcional a carga da partıcula:

Fm ∝ q

• A forca magnetica e sempre perpendicular ao sentido de deslocamento

da partıcula:�Fm · �v = 0

• Se o deslocamento da partıcula e paralelo a uma direcao fixa, a forca

magnetica e nula. Caso contrario, a forca magnetica e proporcional

a componente da velocidade que e perpendicular a essa direcao. Em

sıntese: sendo θ o angulo entre o vetor velocidade (�v) e essa direcao

fixa:

Fm ∝ v sin θ (10.2)

Todo esse comportamento pode ser descrito por meio da definicao do vetor

campo magnetico �B1, cuja direcao especifica simultaneamente a direcao fixa

mencionada e a constante de proporcionalidade com a velocidade e a carga.

�Fm = q��v × �B

�(10.3)

Utilizando as equacoes 10.1 e 10.3, demonstra-se que a forca resultante

1Unidade do campo magnetico:��B�

= T (tesla). 1T = 104G (gauss)=wb

m2(weber)

10.2. FORCA MAGNETICA EM FIOS 151

aplicada sobre uma carga eletrica e dada por:

�F = �Fe + �Fm (10.4)

�F = q��E + �v × �B

�(10.5)

A equacao 10.5 representa a Forca de Lorentz, um dos axiomas da teoria

eletromagnetica. Sua importancia advem do fato dela ser a ponte entre a

dinamica e o eletromagnetismo.

Observacao: A forca magnetica NAO realiza trabalho, pois ela e sempre

perpendicular ao deslocamento da partıcula.

dW = �Fm · d�l = q��v × �B

�· �v dt = 0

Segue que a forca magnetica nao pode alterar apenas a direcao da veloci-

dade da carga (�v). Fica entao a pergunta: Como um ıma pode mover outro?

Veremos isso mais adiante.

10.2 Forca magnetica em fios

Vamos considerar um condutor pelo qual passa uma corrente eletrica I,

imerso em um campo magnetico �B. Pode-se dizer que a quantidade de carga

que passa pela seccao transversal do fio em um tempo dt e:

dq = I dt (10.6)

De acordo com a equacao 10.3, a forca magnetica aplicada nesse elemento

de carga e:

d �Fm = dq��v × �B

�(10.7)

Substituındo 10.6 em 10.7, temos:


d �Fm = I dt��v × �B

�

d �Fm = I��v dt× �B

�

d �Fm = I�d�l × �B

�(10.8)

Onde �dl possui a mesma direcao e sentido da corrente. Entao integrando

a equacao 10.8 ao longo do comprimento do fio, encontramos a forca aplicada

nesse corpo:

�Fm =

�

Γ

I�d�l × �B

�(10.9)

Figura 10.1: Fio imerso em campo magnetico

Como exemplo, facamos uma analise para o caso no qual a corrente e o

campo sao constantes.

Como I e �B nao variam, a integral apresentada em 10.9 fica da seguinte

maneira:

�Fm = I

�

Γ

�d�l�× �B

(10.10)

Se somarmos todos os vetores elementares de comprimento ( d�l) de um

fio, obtemos como resultado o vetor �l, que liga as duas extremidades desse

10.3. TORQUE EM ESPIRAS 153

objeto. Portanto, a equacao 10.10 torna-se:

�Fm = I��l × �B

�(10.11)

Nota-se que, para fios fechados (espiras), o vetor �l e nulo, portanto a forca

magnetica resultante e zero.

Figura 10.2: Forca resultante na espira fechada e nula

Observacao: A forca magnetica resultante e nula, mas o torque nao o e!

10.3 Torque em espiras

Considere uma espira retangular imersa em um campo magnetico �B de tal

forma que seus fios estejam paralelos aos vetores do campo, como mostrado

na figura 10.3. Vamos calcular a forca em cada lado da espira:

Figura 10.3: Espira retangular


Lado 1:�F1 = I

��l1 × �B

�= 0

Lado 2:�F2 = I

��l2 × �B

�= IBa

�−i× j

�

�F2 = −IBak

Lado 3:�F3 = I

��l3 × �B

�= 0

Lado 4:�F4 = I

��l4 × �B

�= IBa

�i× j

�

�F4 = IBak

Agora e possıvel calcular o torque das forcas �F2 e �F4 em relacao ao eixo que

passa pelo centro da espira e e perpendicular aos fios 1 e 3, como mostrado

na Figura 10.4.

Figura 10.4: Calculo do torque

Lado 2:

�τ2 = �r2 × �F2 =

�

−b

2j

�

×�−IBak

�

�τ2 =IBab

2i

Lado 4:

�τ4 = �r4 × �F4 =

�b

2j

�

×�IBak

�

10.3. TORQUE EM ESPIRAS 155

�τ4 = −IBab

2i

Entao, o torque total e:

�τ = �τ2 + �τ4 = IBabi

Nota-se que o produto ab e a area da propria espira. Pode-se estender

o resultado acima para uma espira qualquer de area A percorrida por uma

corrente I. Sendo �A um vetor normal a superfıcie da espira com modulo igual

a A, o torque nesse objeto e dado por:

�τ = I �A× �B (10.12)

Para uma espira com N voltas, temos:

�τ = NI �A× �B (10.13)

Observando-se a importancia do primeiro fator do membro direito da

equacao 10.13 , define-se o momento de dipolo magnetico �µ como sendo:

�µ = NI �A (10.14)

Logo a equacao 10.13 pode ser escrita como2:

�τ = �µ× �B (10.15)

Exercıcio 10.1. Em um dado instante, percebeu-se que uma bobina de N

voltas imersa em um campo magnetico �B apresentou uma aceleracao angular

de rotacao igual a α. Sendo I seu momento de inercia, calcule a area da

bobina. Considere θ como sendo o angulo entre o plano da bobina e o vetor�B

Podemos calcular o torque de duas maneiras:

2analogia com a equacao do momento de dipolo para a eletrostatica


Figura 10.5: Espira imersa no campo magnetico

τ = Iα

�τ = �µ× �B

Logo:

Iα =��µ× �B

�� (10.16)

Calculando o momento de dipolo magnetico:

µ = i �A = NiA�n (10.17)

Substituındo 10.17 em 10.16 :

Iα = NiAB��n×�j

��

Iα = NiAB cos θ

Entao a area e:

A =Iα

NiB cos θ

10.4. O MOVIMENTO CYCLOTRON 157

10.4 O Movimento Cyclotron

Um dos mecanismos utilizados em aceleradores de partıculas emprega campos

magneticos para que elas descrevam movimentos circulares. Tais aceleradores

sao conhecidos como Cyclotrons.

Uma partıcula lancada em um campo magnetico �B com uma velocidade �v

perpendicular a �B, como mostrado na Figura 10.6, realizara esse tipo de mo-

vimento, no qual a forca magnetica desempenha o papel de forca centrıpeta.

Pode-se dizer entao que:

Figura 10.6: Movimento de uma partıcula no Cyclotron

Fm = qvB =mv2

R(10.18)

Os aceleradores de partıculas permitem a obtencao de certas caracterısticas

importantes desses corpos, tais como o momento linear. Sendo p = mv o mo-

mento linear de uma partıcula, pode-se manipular a equacao 10.18 e chegar

ao seguinte resultado:

p = qBR (10.19)

Desse modo, basta lancar a partıcula no campo e medir o raio de seu


movimento para medir o seu momento linear.

Sabe-se que a frequencia angular do movimento circular e ω = v/R.

Manipulando a equacao 10.18, tambem e possıvel determinar a frequencia

cyclotron:

ω =qB

m(10.20)

Outro aspecto interessante relativo a esse movimento e que, caso a partıcula

apresente uma componente da velocidade paralela ao campo magnetico, ela

descrevera uma trajetoria helicoidal.

Figura 10.7: Movimento helicoidal

Exercıcio 10.2. Um feixe de partıculas transitando por uma regiao com

campo magnetico �B e campo eletrico �E nao sofre aceleracoes. Depois,

retirou-se o campo magnetico, entao as partıculas passaram a executar um

movimento circular uniforme de raio R. De a relacao carga/massa dessas

partıculas

No primeiro caso, as forcas eletricas e magneticas devem equilibrar-se

para que nao haja aceleracoes. Ou seja, a Forca de Lorentz deve ser nula:

�F = q��E + �v × �B

�= 0

�E + �v × �B = 0

E = vB

v =E

B(10.21)

Para o segundo caso, temos um movimento cyclotron. De acordo com

10.5. A AUSENCIA DE MONOPOLOS MAGNETICOS 159

a equacao que fornece o momento linear das partıculas nesse movimento,

temos:

mv = qBR

q

m=

v

BR(10.22)

Encontramos a relacao carga/massa por meio da substituicao de 10.21

em 10.22:

q

m=

E

B2R

Esse foi o processo pelo qual J. J. Thomson descobriu o eletron estudando

o comportamento de raios catodicos, em 1897.

10.5 A Ausencia de monopolos magneticos

Como foi dito anteriormente, nunca observaram-se monopolos magneticos, e

tal fenomeno foi tomado como outro axioma da teoria eletromagnetica. Isso

pode ser descrito matematicamente do seguinte modo, sendo S uma superfıcie

fechada e V o volume delimitado por essa superfıcie:

�

S

�B · d�S = 0

Aplicando o Teorema de Gauss, encontramos que:

�

S

�B · d�S =

�

V

�∇ · �B dV = 0

�∇ · �B = 0 (10.23)

A equacao 10.23 pertence as equacoes de Maxwell. Os principais signifi-

cados contidos nessa equacao sao:


• Ausencia de monopolos magneticos

• As linhas do campo magnetico sempre sao fechadas

Na eletrostatica, vimos que �∇ · �E =ρ

�0

. Conclui-se que nao ha analogo

magnetico para a carga eletrica. Nao ha cargas magneticas por onde o campo

magnetico possa emergir (nunca divergem de nenhum ponto!), pois ele so

surge na presenca de correntes eletricas. Observa-se tambem que as linhas

de campo magnetico sao sempre fechadas. Alem disso, pelo fato de o fluxo

atraves de uma superfıcie fechada ser igual a zero, todas as linhas que entram

nessa superfıcie devem sair. As linhas nunca comecam ou terminam em algum

lugar.

10.6 O Efeito Hall

Em 1979, E.H. Hall tentou determinar se a resistencia de um fio aumentava

quando este estava na presenca de um campo magnetico, uma vez que os

portadores de carga deveriam se acumular num lado do fio. Vamos analisar

tal fenomeno por meio da experiencia ilustrada na Figura 10.8.

Figura 10.8: Efeito Hall

Considere um condutor no qual o sentido da corrente e perpendicular ao

campo magnetico. Os portadores de carga negativa acumular-se-ao em uma

das extremidades do condutor, logo a extremidade oposta apresentara uma

carga positiva, o que resultara no surgimento de um campo eletrico �EH no

interior do condutor. Os eletrons serao deslocados ate que as forcas eletricas

e magneticas entrem em equilıbrio, ou seja:

10.6. O EFEITO HALL 161

�Fe = �Fm

Aplicando as equacoes 10.1 e 10.3, temos:

−e �EH = −e��v × �B

�

�EH = �v × �B (10.24)

Considerando o campo constante no interior do condutor, podemos medir

a diferenca de potencial entre as duas extremidades, denominada ddp Hall,

como sendo:

�H = EHd (10.25)

Nota-se que essa voltagem existe no sentido transversal a corrente.

E possıvel utilizar o Efeito Hall para investigar a natureza dos portadores

de carga no condutor, como mostrado nas Figuras 10.9 e 10.10, uma vez que

podemos prever como as cargas devem se comportar sob acao de campos

magneticos.

Figura 10.9: Efeito Hall para portadores de carga negativa


Figura 10.10: Efeito Hall para portadores de carga positiva

10.7 A Lei de Biot Savart

10.7.1 Introducao

Na eletrostatica, a Lei de Coulomb permite analisar como se da a relacao

entre o campo eletrico e as cargas eletricas. Sera que existe uma lei corres-

pondente para a magnetostatica? A resposta e sim, e ela e conhecida como

a Lei de Biot-Savart, que sera discutida a seguir.

Como foi visto anteriormente, definimos o campo magnetico por meio da

forca magnetica. Agora queremos defini-lo por meio de sua fonte, que e a

corrente eletrica.

Figura 10.11: Movimento da carga em relacao a um ponto P

Observe a Figura 10.11. Experimentalmente, pode-se constatar que:

B ∝qv

r2

�B⊥�v

�B⊥�r

10.7. A LEI DE BIOT SAVART 163

Com base nisso, pode-se dizer que o elemento do campo magnetico produ-

zido por um elemento de de carga em movimento obedece a seguinte relacao:

d �B ∝ dq�v × r

r2(10.26)

d �B ∝ dqd�l

dt×

r

r2

d �B ∝dq

dt

d�l × r

r2

d �B ∝ Id�l × r

r2

d �B =µ0

4πId�l × r

r2

�B =µ0

4π

�

Id�l × r

r2(10.27)

A equacao 10.27 e denominada lei de Biot-Savart.

A escolha da constante de proporcionalidade foi feita de modo a facilitar

os calculos subsequentes. No sistema MKS:

µ0

4π= 10−7 N

A2

Onde µ0 e a permeabilidade magnetica do vacuo.

10.7.2 Formas Alternativas

A Lei de Biot-Savart tambem pode ser escrita em termos da distribuicao de

corrente. Sabendo que I = j dS, a equacao 10.27 fica da seguinte maneira:

�B =µ0

4π

�

jdSd�l × r

r2(10.28)

Vamos aplicar a equacao 10.28 para a situacao ilustrada na Figura ???x.

Neste caso, o sistema Oxyz e um referencial fixo, enquanto o sistema Ox�y�z�


estao situados no elemento de carga em estudo. Observe que �R = �r − �r�.

Como �j e d�l possuem a mesma direcao, podemos dizer que j d�l = �j dl. Alem

disso, sabendo que dl dS = dV , pode-se dizer que a Lei de Biot-Savart fica

da seguinte maneira:

�B (�r) =µ0

4π

� �j��r��× R

R2dv�

Vamos aplicar o divergente em relacao ao sistema Oxyz:

�∇ · �B (�r) =µ0

4π

��∇ ·

�j��r��× R

R2

dv� (10.29)

Aplicando a regra do divergente do produto vetorial3 ao divergente pre-

sente no membro direito da equacao 10.29 :

�∇ ·

�j��r��× R

R2

= −�j��r��· �∇×

�R

R2

�

+R

R2· �∇×�j

��r��

Nota-se queR

R2= �∇

�

−1

R

�

. Logo �∇×

�R

R2

�

= 0 pois o rotacional do

gradiente e sempre nulo. Alem disso �∇ × �j��r��= 0 pois o rotacional esta

aplicado em Oxyz enquanto �j refere-se ao sistema Ox�y�z�. Obtemos entao

que:

�∇ · �B = 0

Isso corrobora a validade da Lei de Biot-Savart.

3�∇ ·�

�A× �B�

= − �A ·�

�∇× �B�

+ �B ·�

�∇× �A�


10.7.3 Aspectos Interessantes

Um resultando interessante pode ser obtido ao combinar a Lei de Biot-Savart

com a equacao 10.3 na seguinte situacao: imagine uma carga q1 movendo-se

com velocidade �v1 tendo ao seu redor uma outra carga q movendo-se com

velocidade �v. Qual a forca magnetica que q imprimira em q1?

A analise inicia-se por meio da integracao da equacao 10.26, empregando,

antes, a constante de proporcionalidade. Encontramos entao que:

�B =µ0

4πq�v × r

r2(10.30)

Substituındo a equacao 10.30 na equacao 10.3 aplicada para a carga q1:

�Fm = q1�v1 × �B = q1�v1 ×

�µ0

4πq�v × r

r2

�

Multiplicando e dividindo o membro direito por µ0:

�Fm = µ0�0�v1 ×

�

�v ×qq1r

4π�0r2

�

Mas, pela Lei de Coulomb:

�Fe =qq1r

4π�0r2

Alem disso, sabendo que c2 = µ−10 �−1

0 , temos:

�Fm =�v1

c×

��v

c× �Fe

�

Se considerarmos v << c, encontramos que:

�Fm ≤vv1

c2�Fe (10.31)

A equacao 10.31 diz que para velocidades pequenas comparadas com a

velocidade da luz, a interacao magnetica sera muito menor que a interacao


eletrica. Como Fm << Fe, pode parecer, a primeira vista, que a forca

magnetica poderia ser desprezada em comparacao com a forca eletrica, porem

existem sistemas de partıculas onde isso nao e assim. De fato, numa corrente

de conducao, onde estao presentes cargas positivas e negativas em iguais den-

sidades, o campo eletrico macroscopico e nulo, porem o campo magnetico das

cargas em movimento nao o e.

Outro aspecto importante que pode ser derivado por meio da Lei de Biot-

Savart e uma relacao entre o campo eletrico e o campo magnetico gerado

por uma mesma partıcula. Multiplicando o numerador e o denominador da

equacao 10.30 por �0:

�B =µ0�0

4π�0

q�v × r

r2

�B =�v × �E

c2

10.7.4 Aplicacoes da Lei de Biot-Savart

Agora vejamos alguns exemplos nos quais se aplica a Lei de Biot-Savart:

Exercıcio 10.3. Calcule, por meio da Lei de Biot Savart, o campo eletrico

nas vizinhancas de um fio reto.

Figura 10.12: Campo gerado por um fio reto


Podemos escrever a Lei de Biot-Savart do seguinte modo:

�B =µ0

4π

�

Id�l × r

r2=

µ0

4π

�

Id�l × �r

r3

Para o fio reto, vale:

d�l = dxi

�r = −xi+ dj

Entao, fazendo as devidas substituicoes:

�B =µ0

4π

l/2�

−l/2

Idxi× r

�−xi+ dj

�

(x2 + d2)3/2

�B =µ0

4π

l/2�

−l/2

Iddx

(x2 + d2)3/2

k

�B =µ0Id

4π

1

d2

x

(x2 + d2)1/2

��

l

2

−l

2

Logo o campo e:

�B =µ0I

4πd

l

�l2

4+ d2

�1/2k

Note que se considerarmos o fio como sendo infinito (l >> d), o campo

sera:


�B =µ0I

2πdk

Exercıcio 10.4. Calcule, por meio da Lei de Biot Savart, o campo eletrico

no eixo de uma espira circular.

Figura 10.13: Campo gerado por uma espira circular

Podemos escrever a Lei de Biot-Savart do seguinte modo:

�B =µ0

4π

�

Id�l × r

r2=

µ0

4π

�

Id�l × �r

r3

Para a espira, vale:

d�l = a dθθ

�r = −ai+ zj

Pela simetria do problema, so teremos campo paralelo ao eixo da espira.

Logo precisamos calcular apenas uma componente do campo gerado por cada

elemento de corrente:

d �B = d �B1 cosα


Onde:

cosα =a

√a2 + z2

Entao, aplicando a Lei de Biot-Savart (para calcular apenas o elemento

de campo):

d �B =µ0

4πId�l × �r

r3cosα

Fazendo as devidas substituicoes:

d �B =µ0

4π

Ia

(z2 + a2)3/2

adθk

Integrando de 0 a 2π para cobrir toda a espira, encontramos o campo

desejado:

�B =µ0Ia

2

2 (a2 + z2)3/2

k

Exercıcio 10.5. Para criar regioes com campos magneticos constantes em

laboratorio, empregam-se as bobinas de Helmholtz, esquematizadas na Fi-

gura 10.14.Calcule o valor do campo ao longo do eixo das bobinas e o ponto

no qual o campo e magnetico e maximo :

O campo gerado por uma espira circular e:

�B (z) =µ0Ia

2

2 (a2 + z2)3/2

k

Entao, usando o princıpio da superposicao para as duas espiras, o campo

ao longo do eixo e:

�B (z) =µ0Ia

2

2

1

(a2 + z2)3/2

+1

�a2 + (2b− z)2

�3/2

k


Figura 10.14: Bobinas de Helmholtz

Para calcular o ponto no qual o campo magnetico apresenta valor maximo,

basta encontrarmos o valor de z tal que a derivada da funcao acima se anula:

d �B (z)

dz=

µ0Ia2

2

−

3

2

2z

(a2 + z2)5/2

−3

2

2 (2b− z) (−1)

�a2 + (2b− z)2

�5/2

k

Vemos que:

d �B (z)

dz= 0⇒ z = b

Agora veremos a condicao para que o campo nesse ponto seja aproxima-

damente constante. Derivando mais uma vez a funcao do campo magnetico:

d2 �B (z)

dz2

��z=b

= 0⇒ a2 − 4b2 = 0⇒ 2b = a

A condicao e que a separacao das bobinas seja igual ao raio.

Fazendo a expansao em series de Taylor, e possıvel calcular o quao proximo

esse campo esta de um campo constante:

10.8. A LEI CIRCUITAL DE AMPERE 171

Sabendo que B��(a/2) = B��(a/2) = 0, a expansao fica:

�B (z) ≈ B�a

2

�+1

24

�z −

a

2

�4 ∂4B

∂z4

��z=

a

2

+ ...

�B (z) = B�a

2

��

1−144

125

�z − a/2

a

�4�

A partir desse resultado, e possıvel inferir que, para |z − a/2| <a/10 ⇒

B (z) �= B (a/2), o campo varia em menos de uma parte e meia em dez mil.

10.8 A Lei Circuital de Ampere

10.8.1 Introducao

As experiencias de Oersted, alem de comprovarem que correntes eletricas

geram campos magneticos ao seu redor, motivou a comunidade cientıfica a

compreeender a relacao entre fenomenos eletricos e magneticos. Apos tais

experimentos, uma semana foi tempo suficiente para que Ampere deduzisse

a apresentasse sua lei. Enquanto que a Lei de Biot-Savart corresponde a Lei

de Coulomb, a Lei de Ampere faz a vez da Lei de Gauss na magnetostatica.

Considere um fio infinito por onde passa uma corrente I, como mostrado

na Figura 10.15. Utilizando a Lei de Biot-Savart, demonstrou-se que o campo

gerado nesse caso e dado por:

Figura 10.15: Fio infinito


�B =µ0I

2πrθ

Calcularemos a circulacao do campo magnetico por meio de varios cami-

nhos ao redor do fio.

Considerando, inicialmente, o caminho como sendo um cırculo:

Figura 10.16: Caminho ao redor do fio para calculo da circulacao

�

Γ

�B · d�l =µ0I

2πr2πr = µ0I

Vamos calcular a circulacao pora outro caminho:


�

Γ

�B · d�l =

�

Γ1

�B · d�l +

�

Γ2

�B · d�l +

�

Γ3

�B · d�l +

�

Γ4

�B · d�l

Como os vetores �B e d�l sao paralelos para os fios 2 e 4, as integrais para

Γ2 e Γ4 sao nulas. Logo temos o seguinte resultado:


�

Γ

�B · d�l =µ0I

2πr1

πr1 + 0 +µ0I

2πr2

πr2 = µ0I

Mais um caminho para calcular:


�

Γ

�B · d�l =

�

Γ1

�B · d�l +

�

Γ2

�B · d�l +

�

Γ3

�B · d�l +

�

Γ4

�B · d�l

A mesma observacao feita para os fios 2 e 4 anteriormente valem para

esse caso. Entao temos:

�

Γ

�B · d�l =µ0I

2πr1

θr1 + 0 +µ0I

2πr2

(2π − θ) r2 = µ0I

Obsevou a semelhanca dos resultados? Entao vamos generaliza-los para

um caminho qualquer.



Em coordenadas cilındricas:

d�l = drr + r dθθ + dzk

Sabendo que �B = Bθ, encontramos que:

�B · d�l = Br dθ =µ0I

2πrr dθ =

µ0I

2πdθ

Fazendo a integral ao redor do fio:

�

Γ

�B · d�l =

�

Γ

µ0I

2πdθ =

2π�

0

µ0I

2πdθ =

µ0I

2π2π

Disso resulta a Lei de Ampere:

�

Γ

�B · d�l = µ0Iint (10.32)

Observacao: Na Lei de Coulomb, utilizavamos SUPERFICIES que en-

volviam as cargas para fazer o calculo do campo eletrico, mas na Lei de

Ampere, precisamos criar CURVAS que envolvam os condutores a fim de

calcular o campo magnetico.

Assim como a Lei de Coulomb, a Lei de Ampere sempre e valida. No

entanto sua maior utilidade se da em casos nos quais e possıvel notar simetria

no campo magnetico, como sera mostrado no exercıcios mais adiante.

10.8.2 A forma diferencial da Lei de Ampere

Aplicando o Teorema de Stokes no membro esquerdo da equacao 10.32:

�

Γ

�B · d�l =

�

S

� ��∇× �B

�· d�S (10.33)

Analisando o membro direito da equacao 10.32:


µ0I = µ0

�

S

��j · d�S (10.34)

Pela propria Lei de Ampere, podemos igualar 10.33 e 10.34, encontrando

que:

�

S

� ��∇× �B

�· d�S = µ0

�

S

��j · d�S

Finalmente, temos a forma diferencial da Lei de Ampere:

�∇× �B = µ0�j (10.35)

Se aplicarmos o divergente na equacao 10.35

�∇ ·��∇× �B

�= µ0

�∇ ·�j

�∇ ·�j = 0

Percebe-se algo importante diante desse resultado: a Lei de Ampere e

valida apenas para correntes estacionarias4

10.8.3 Aplicacoes da Lei de Ampere

Seguem alguns exemplos nos quais e fundamental a aplicacao da Lei de

Ampere para a resolucao dos problemas:

Exercıcio 10.6. Calcule o campo magnetico, em todo o espaco, gerado por

um ciclindro infinito percorrido por uma corrente I.

Devido a simetria cilındrica do problema, podemos escolher amperianas

circulares para calcular o campo no interior e ao redor do fio, pois o campo

magnetico sera constante ao longo de toda a curva, facilitando a integracao.

4corrente estacionaria:dρ

dt= 0


Figura 10.20: Cilindro condutor

• Para r > R (Figura 10.21):

Figura 10.21: Amperiana fora do cilindro

�Γ1

�B · d�l = µ0I → B2πr = µ0I

�B =µ0I

2πrθ

• Para r < R (Figura 10.22):

�Γ2

�B · d�l = µ0Iint → B2πr = µ0Iπr2

πR2

�B =µ0Ir

2πR2θ


Figura 10.22: Amperiana dentro do cilindro

Sintetizando os resultados na forma de um grafico:

Figura 10.23: Campo magnetico gerado por um cilindro infinito

Exercıcio 10.7. Calcule o campo magnetico, em todo o espaco, gerado por

um cabo coaxial percorrido por correntes de mesma intensidade mas de sen-

tidos opostos em cada face.

Vamos dividir o espaco em 4 regioes e aplicar a Lei de Ampere para cada

uma delas:

• Para r < a:

Para determinar a corrente interna a amperiana, vamos considerar que


Figura 10.24: Cabo coaxial

a densidade de corrente ao longo do cabo e constante e igual a j, logo

sendo πr2 a area delimintada pela amperiana:

j =Iint

πr2=

I

πa2

Iint =r2

a2

Aplicando a Lei de Ampere:

B2πr = µ0Ir2

a2→ �B =

µ0Ir

2πa2θ

• Para a < r < b:

A corrente interna a amperiana sera sempre a corrente total que passa

pelo cabo interno, logo pela Lei de Ampere:

B2πr = µ0I → �B =µ0I

2πrθ

• Para b < r < c:

A corrente interna a amperiana sera a corrente total que passa pelo

cabo interno menos a corrente que passa pela porcao do cabo externo


delimitada pela curva. Considerando tambem a densidade de corrente

constante no cabo externo:

Iint = I −r2 − b2

c2 − b2

Aplicando a Lei de Ampere:

B2πr = µ0I −µ0Iπ (r

2 − b2)

π (c2 − b2)θ → �B =

µ0I

2πr

�

1−r2 − b2

c2 − b2

�

θ

�B = µ0I

�c2 − r2

c2 − b2

�

θ

• Para r > c:

A corrente interna a amperiana sera a soma das correntes que passam

pelo cabo interno e pelo cabo externo. Como as duas correntes possuem

a mesma intensidade mas possuem sentidos opostos, a soma sempre sera

nula. Entao, pela Lei de Ampere:

�B = 0

Exercıcio 10.8. Considere dois solenoides infinitos concentricos de raios a

e b. Calcule o campo magnetico em todo o espaco. As correntes de cada

solenoide possuem mesma intensidade mas tem sentidos contrarios.

Primeiro vamos analisar o campo gerado por um solenoide para depois

empregar o princıpio da superposicao

Observa-se que a corrente no interior da amperiana (Figura: 10.26) de-

pende do numero de espiras englobadas:

Iint = NI

Aplicando entao a Lei de Ampere:


Figura 10.25: Solenoides

Figura 10.26: Amperiana no interior do solenoide

�

Γ

�B · d�l =

�

Γ1

�B · d�l

� �� =0pois �B=0

+

�

Γ2

�B · d�l

� �� =0pois �B⊥ d�l

+

�

Γ3

�B · d�l +

�

Γ4

�B · d�l

� �� =0pois �B⊥ d�l

Logo:

�

Γ

�B · d�l = µ0I → Bdentrol = µ0NI → Bdentro = µ0N

lI = µ0nI

onde n =N

lindica a densidade de espiras do solenoide

Agora, facamos uma amperiana para calcular o campo fora do solenoide


(Figura: 10.27) :

Figura 10.27: Amperiana externa ao solenoide

Note que, neste caso, a corrente interna a curva e zero. Portanto o campo

magnetico fora do solenoide infinite e nulo:

Bfora = 0

Agora, vamos usar o princıpio da superposicao para calcular o campo

para os dois solenoides.

• Para r < a :

Neste caso, temos a influencia dos campos dos dois solenoides. Sendo�B1 o campo gerado pelo solenoide interno e �B2 o campo gerado pelo

solenoide externo:

�B = �B1 − �B2 = µ0In1 − µ0In2

�B = µoI (n1 − n2)

• Para a < r < b :

Aqui, temos influencia apenas do solenoide externo


�B = −µ0In2 (10.36)

• Para r > b :

Como estamos fora de ambos os solenoides, o campo neste caso e nulo

�B = 0

Exercıcio 10.9. Considere um cilindro de raio a com uma cavidade cilındrica

de raio b. A distancia entre os centros dos cilindros e d. Sendo j a densidade

de corrente no condutor, qual e o campo magnetico no interior da cavidade?

Figura 10.28: Condutor com cavidade

Considere como sendo �x a posicao do ponto em questao em relacao ao

eixo do condutor e �y como sendo a posicao do ponto em relacao ao eixo da

cavidade:

Para resolver esse exercıcio, sera necessaria a utilizacao do princıpio da

superposicao. Observe que a configuracao final do sistema pode ser obtida se

somarmos dois cilindros com sentidos de correntes opostos, como apresentado

na Figura 10.30 :

Portanto, devemos calcular o campo gerado pelo cilindro maior em um

ponto que dista x do seu eixo e somar com o campo gerado pelo cilindro


Figura 10.29: Posicionamento do ponto

Figura 10.30: Princıpio da superposicao

menor em um ponto que dista y de seu centro.

• Cilindro maior

Figura 10.31: Lei de Ampere para cilindro maior


�

Γ

−→B · d

−→l = µ0Iint

B12πx = µ0jπx2

�B1 =µ0jx

2

−→θ

�Bx =µ0

2

�−→j ×−→x

�

• Cilindro menor

Figura 10.32: Lei de Ampere para cilindro menor

�

Γ

−→B · d

−→l = µ0Iint

B22πy = µ0jπy2

�B2 =µ0jy

2−→ϕ

�B2 =µ0

2

�−→j ×−→y

�

Como os sentidos das correntes sao opostos, o campo resutante sera:

−→B =

−→B 1 −

−→B 2

−→B =

µ0

2

�−→j ×−→x

�−

µ0

2

�−→j ×−→y

�

−→B =

µ0

2

�−→j × (−→x −−→y )

�

Mas a seguinte relacao sempre e valida: �x − �y = �d . Portanto o campo

no interior da cavidade e constante e igual a:

−→B =

µ0

2

�−→j ×

−→d�

10.9. POTENCIAL VETOR 185

Exercıcio 10.10. Calcule o campo no centro da secao circular de um toroide

de N espiras.

Figura 10.33: Toroide

Vamos passar uma amperiana no interior do toroide

Figura 10.34: Amperiana no toroide

Temos que a corrente interna a amperiana sera Iint = NI. Logo

��B · d�l = µ0Iint → B2πr = µ0NI → �B =

µ0NI

2πrθ

10.9 Potencial Vetor

As 4 equacoes que sintetizam a teoria eletromagnetica vistas ate agora sao:

ELETROSTATICA

�∇ · �E =ρ0

�0

(10.37)

�∇× �E = 0 (10.38)


MAGNETOSTATICA

�∇ · �B = 0 (10.39)

�∇× �B = µ0�j (10.40)

Para a eletrostatica, devido a equacao 10.38, percebe-se que o campo

eletrico e um campo conservativo. Logo foi possıvel definir o potencial eletrico

da seguinte forma:

�∇× �E = 0⇒ �E =�−�∇V

�

Aplicando esse resultado a equacao 10.38:

�∇ · �E = �∇ ·�−�∇V

�= −∇2V

Segue que:

∇2V = −ρ0

�0

Sera que e possıvel definir um potencial analogo para o campo magnetico?

Sabe-se que �∇ · �B = 0. A partir disso, pode-se inferir que �B e um campo

rotacional. Em outras palavras, e possıvel encontrar um campo vetorial tal

que seu rotacional resulta no campo magnetico. Esse campo e denominado

potencial vetorial��A�, que e definido do seguinte modo:

�∇ · �B = 0⇒ �B =��∇× �A

�(10.41)

Aplicando esse resultado a equacao 10.40:

�∇× �B = �∇×��∇× �A

�= �∇

��∇ · �A

�−∇2 �A

Como pode-se determinar mais de um campo que satisfaca a equacao

10.41, e permitido escolher adequadamente um campo �A tal que �∇ · �A = 05.

5Denomina-se isso como escolha de calibre, ou escolha de gauge

10.9. POTENCIAL VETOR 187

Segue entao que:

�∇× �B = −∇2 �A

∇2 �A = −µ0�j (10.42)

Observacao: ∇2 �A nao e o operador Laplaciano, pois esta sendo aplicado

a um campo vetorial. Na verdade, temos que:

∇2 �A = �∇��∇ · �A

�− �∇×

��∇× �A

�

Particularmente, para coordenadas cartesianas:

∇2Ax = −µ0jx

∇2Ay = −µ0jy

∇2Az = −µ0jz

Outras formas de expressar o potencial vetor em funcao das densidades

de corrente6 sao:

• Densidade volumetrica

�A (�r) =µ0

4π

� �j��r��dv�

��r − �r�

��

(10.43)

• Densidade superficial

�A (�r) =µ0

4π

� �k��r��ds�

��r − �r�

��

(10.44)

6�r:posicao do ponto em relacao ao referencial fixo. �r�: posicao do ponto em relacao aum elemento de carga. (ver Figura 10.11)


• Densidade linear

�A (�r) =µ0

4π

� �I��r��dl�

��r − �r�

��

(10.45)

Facamos alguns exemplos:

Exercıcio 10.11. Calcule o potencial vetor para um fio finito percorrido por

uma corrente I.

Figura 10.35: Fio finito

Vamos aplicar a equacao que fornece o potencial vetor em funcao da

densidade linear de carga (equacao 10.45 ):

�A =µ0

4π

� �Idzk

r, comr =

√z2 + s2

�A =µ0I

4π

� dz√

z2 + s2k → �A =

µ0I

4πln

�z +

√z2 + s2

��z2

z1

k → �A =µ0I

4πln

�z2 +

�z22 + s2

z1 +�

z21 + s2

�

k

Observe que se aplicarmos o rotacional ao resultado, obtemos o vetor �B:

10.10. CONDICOES DE CONTORNO NA MAGNETOSTATICA 189

�∇× �A =

�∂As

∂z−

∂Az

∂s

�

θ.Assim,

�B = �∇× �A = −∂Az

∂sθ = −

∂

∂s

�µ0I

4πln

�z2 +

�z22 + s2

z1 +�

z21 + s2

��

θ

�B

Exercıcio 10.12. (Griffths, pag , ex: 5.23) Qual densidade de corrente pro-

duziria um vetor potencial �A = k ˆphi, em coordenadas cilındricas (k e cons-

tante)?

Para resolver esse exercıcio, primeiro aplicaramos o rotacional em �A para

determinar o campo magnetico. Depois aplicaremos o rotacional em �B para

determinar a densidade de corrente, de acordo com as equacoes da magne-

tostatica.

Observacao: aplicar o rotacional em coordendadas cilındricas

Aφ = k ⇒ �B = �∇× �A =1

ρ

∂

∂ρ(ρAρ) k =

Aφk

ρ=

k

ρk �B = Bzk

�∇× �B = µ0�J ⇒ �j =

1

µ0

��∇× �B

�=

1

µ0

�

−∂Bz

∂ρ

�

φ = +k

µ0ρ2φ

10.10 Condicoes de Contorno na Magnetostatica

Vimos que existe uma descontinuidade no campo eletrico em de superfıcies

carregadas, no sentido perpendicular a essa superfıcie. Da mesma forma, o

campo magnetico tambem e descontınuo numa superfıcie de corrente. Para

facilitar a analise desse fenomemo, vamos dividı-lo em 3 etapas, uma para

cada componente do campo magnetico7:

7B⊥ = B⊥superficie, B//// = B

//corrente//corrente , B

//⊥

= B//superficie

⊥corrente


10.10.1 Componente perpendicular a superfıcie

Considere uma superfıcie percorrida por uma corrente I, cuja densidade su-

perficial e �k. Vamos envolver uma porcao dessa superfıcie por um retangulo

cujas faces possuem area A, como mostrado na Figura 10.36.

Figura 10.36: Superfıcie fechada para calculo do fluxo de B⊥

Como nao ha monopolos magneticos:

�

S

�B · d�S = 0

Considerando apenas a componente do campo perpendicular a superfıcie,

teremos fluxo apenas na face superior e inferior do retangulo, portanto:

�

S

�B · d�S = B⊥

acimaA− B⊥

abaixoA = 0

B⊥

acima = B⊥

abaixo

Logo essa componente e contınua.

10.10.2 Componente paralela a superfıcie e paralela a

direcao da corrente

Para a mesma superfıcie descrita anteriormente, vamos tracar uma amperi-

ana da forma como esta apresentada na Figura 10.37 .

10.10. CONDICOES DE CONTORNO NA MAGNETOSTATICA 191

Figura 10.37: Amperiana para calculo de B////

Nota-se que a corrente que passa pelo interior da amperiana e nula. Entao,

aplicando a Lei de Ampere (10.32):

�

Γ

�B · d�l = B////acimal − B

////abaixol = 0

B////acima = B

////abaixo

Logo essa componente tambem e contınua.

10.10.3 Componente paralela a superfıcie e perpendi-

cular a direcao da corrente

Agora, ainda na mesma superfıcie, tracaremos uma outra amperiana, desta

vez em outra direcao, como mostrado na Figura 10.38 .

Figura 10.38: Amperiana para calculo de B⊥

//

A corrente que passa pelo interor da amperiana e Iint = kl. Aplicando a


Lei de Ampere (10.32) encontramos que:

�

Γ

�B · d�l = B//⊥acimal − B

//⊥abaixol = µ0Iint

B//⊥acimal − B

//⊥abaixol = µ0kl

B//⊥acima − B

//⊥abaixo = µ0k

�B//⊥acima −

�B//⊥abaixo = µ0

��k × �n

�

Conclui-se que o campo magnetico, na direcao paralela a superfıcie e

perpendicular ao sentido da corrente, e descontınuo.

10.11 Expansao em multipolos

Assim como foi feito para o campo eletrico, buscaremos uma forma de expres-

sar o potencial vetorial em uma serie de potencias de1

r, onde r e a distancia

do multipolo ate o ponto em questao. A ideia e que esta equacao seja util

para analisar o comportamento do campo magnetic a grandes distancias.

Considere a espira apresentada na Figura 10.39 .

Figura 10.39: Posicao do ponto P em relacao a espira

Vimos na Secao 10.9 que o potencial vetor, para densidades lineares, e

dado por:

10.11. EXPANSAO EM MULTIPOLOS 193

�A (�r) =µ0

4π

�

Γ

�I��r��dl�

��r − �r�

��

(10.46)

Podemos reescrever o denominador do integrando da seguinte maneira:

1��−→r −

−→r��=

1√

r2 + r�2 − 2rr� cos θ�=1

r

∞�

n=0

�r�

r

�n

pn cos θ� (10.47)

Onde pn e o Polinomio de Legendre8. Considerando a corrente cons-

tante e substituındo 10.47 em 10.46 , encontramos a expressao de multipolos

magneticos:

�A (�r) =µ0I

4π

∞�

n=0

1

rn+1

�

Γ

(r�)npn cos (θ

�) d�l�

E interessante notar que o termo correspondente ao monopolo (n=0) e1

r

�Γd�l� = 0, o que esta de acordo com os observacoes. Entao, o termo mais

importante da sequencia corresponde ao dipolo magnetico (n=1):

�Adipolo =µ0I

4πr2

�

Γ

�r · �r�

�d�l� =

µ0

4πr2�µ× r

Onde µ e o momento de dipolo magnetico definido na equacao 10.14.

8Pn(x) =1

2nn!

�d

dx

�n �x2 − 1

�n

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