Capitolul I

Dr.CiprianChiru Matematic i Statistic

Capitolul I Elemente de matematic liniar 1.1. Matrice i determinani

1.2. Sisteme de ecuaii liniare

1.3. Inegaliti liniare i sisteme de inegaliti liniare

-----------------------------------------------------------------------------------

1.1. Matrice i determinani n aceast seciune vor fi predate definiii i proprieti din algebra matriceal.

Definiia 1. Se numete matrice o mulime de nm numere aranjate ntr-un tablou dreptunghiular avnd m linii i n coloane.

=

mnmm

n

n

aaa

aaaaaa

A

MLLLL

MM

21

22221

11211

,

unde njmiaij KK ,1,,1, == se numesc elementele matricei A. O matrice cu m linii i n coloane se numete matrice de tip ( )nm, sau matrice de ordinul

nm . ( )RM nm, reprezint mulimea matricelor de tip ( )nm, , avnd toate elementele din R. 1.1.1. Cazuri particulare:

1. O matrice de tip ( )1,m se numete matrice coloan (vector coloan). EXEMPLU:

.

1

21

11

=

ma

aa

A M

2. O matrice de tip ( )n,1 se numete matrice linie. EXEMPLU:

( ).aaa 1n1211 L=A


3. O matrice de tip ( )nn, se numete matrice ptratic de ordin n. EXEMPLU:

=

nnnn

n

n

aaa

aaaaaa

A

MLLLL

MM

21

22221

11211

.

Elementele nnaaaa K,,, 332211 formeaz diagonala principal a matricei. 4. O matrice de tip ( )nm, avnd toate elementele egale cu zero se numete matrice nul. Se noteaz cu O . 5. O matrice patratic ale crei elemente care nu se afl pe diagonala principal sunt toate nule se numete matrice diagonal.

EXEMPLU:

=

nna

aa

A

MLLLL

MM

00

0000

22

11

.

6. O matrice diagonal pentru care 1332211 ===== nnaaaa K se numete matrice unitate de ordin n. Matricea unitate se noteaz cu nI sau nE .

EXEMPLU:

.100010001

3

=I

Definitia 2. Dou matrice de acelai tip nmA , i nmB , sunt egale dac elementele lor sunt respectiv egale: .,1,,1, njmiba ijij KK === Notm BA = .

1.1.2. Operaii cu matrice

1. Adunarea matricelor

Definiia 3. Fie ( )RMBA nm,, avnd ( )ija elementele matricei A i ( )ijb elementele matricei B . Definim adunarea matricelor A i B ca fiind matricea ( )RMC nm, cu elementele ( ) njmicij KK ,1,,1 == unde ijijij bac += . Proprietile adunrii matricelor:


1. Asociativitate Oricare ar fi matricele ( )RMCBA nm,,, implic ( ) ( )CBACBA ++=++ . 2. Comutativitate Oricare ar fi matricele ( )RMBA nm,, implic ABBA +=+ . 3. Element neutru Exist matricea nul ( )RMO nm, astfel nct ( )RMA nm, are loc AAOOA =+=+ . 4. Opusa matricei Oricare ar fi matricea ( )RMA nm, exist matricea ( ) ( )RMaA nmij ,= astfel nct are

loc relaia ( ) ( ) OAAAA =+=+ . EXEMPLU:

=

+

209171

826132

623041

.

2. nmulirea matricelor

Definiia 4. ( )RMA nm, i ( )RMB pn, , cu elemenentele ( )ijaA = i ( )jkbB = . Definim produsul matricelor BA (n aceast ordine) ca fiind matricea ( )RMBAC pm,= cu elementele ( )ikcC = unde nkinkikin

jjkijik babababac +++==

=...2211

1.

Observaie. Produsul BA a dou matrice se poate efectua doar dac numrul de coloane a matricei A este egal cu numrul de linii a matricei B.

EXEMPLU:

( )( ) ( ) ( )

=

++++++++=

610

81211422013412

231021033011

2013

21

142301

.

Proprietile nmulirii matricelor: 1. Asociativitate

Oricare ar fi matricele ( )RMA nm, , ( )RMB pn, , ( )RMC pm, are loc relaia ( ) ( )CBACBA = .

2. Element neutru la nmulire Exist matricea unitate nI astfel nct oricare ar fi matricea ptratic de ordin n ( )RMA n are loc relaia AAIIA nn == .

3. Distributivitatea la stnga a nmulirii fa de adunare Fie matricele ( )RMCBA n,, atunci are loc relaia ( ) CABACBA +=+ .

4. Distributivitatea la dreapta a nmulirii fa de adunare Fie matricele ( )RMCBA n,, atunci are loc relaia ( ) CBCACBA +=+ .


1.1.3. nmulirea cu un scalar

Definiia 5. Definim produsul matricei ( )RMA nm, cu scalarul R ca fiind matricea ( )RMB nm, cu elemenetele ijij ab = . Putem scrie == AAB .

EXEMPLU:

=

0230

42

012130

421

aaaaaaa

a .

Proprieti ale nmulirii cu scalari: 1. ,1 AA = 2. ( ) ,AAA +=+ 3. ( ) ,BABA +=+ 4. ( ) ( ),AA = 5. ( ) ( ) ,BABA = unde ( )RMBA nm,, i R , .

1.1.4. Transpusa unei matrice

Definiia 6. Numim transpus a matricei ( )RMA nm, cu elementele ( )ija matricea notat ( )jiT aA = care are drept linii, respectiv coloanele matricei A i drept coloane respectiv liniile matricei A .

Exemplu: Transpusa matricei

=

987654321

A este matricea

=

963852741

TA .

Definiia 7. Spunem c matricea ptratic ( )RMA n este simetric dac matricea transpus este egal cu matricea iniial AAT = adic jiij aa = oricare ar fi nji L,1, = i antisimetric dac AAT = adic jiij aa = oricare ar fi nji L,1, = .

1.1.5. Determinani

Definiia 8. Fie ( ) ( )RMaA nij = o matrice ptratic. Se numete determinantul lui A numrul det A definit prin relaia:

( )( ) = n nnaaaA

L

L,,

21321

211det unde n K,, 21 sunt elementele { }nK,3,2,1 , iar suma

cuprinde toate permutrile posibile ale acestora i 0= dac permutarea este par i 1= dac permutarea este impar. Notaia:


nnnn

n

n

aaa

aaaaaa

A

MLLLL

MM

21

22221

11211

det = .

1.1.6. Rangul unei matrice

Definiia 9. Fie ( )RMA nm, o matrice de tipul ( )nm, . Dac n matricea A alegem la ntmplare k linii i k coloane (unde { }nmk ,min ) atunci elementele care se gsesc la intersecia acestor linii i coloane formeaz o matrice ptratic de ordinul k. Determinantul acestei matrice se numete minor de ordin k al matricei A.

Definiia 10. Fie ( )RMA nm, o matrice nenul. Spunem c matricea A are rangul r dac matricea A are un minor de ordin r nenul i toi minorii de ordin superior, dac exist, sunt nuli. Notaia rang A = r.

1.1.7. Matrice inversabile

Definiia 11. O matrice ptratic se numete singular dac determinantul su este nul i se numete nesingular dac determinantul su este nenul.

Definiia 12. Fie A o matrice ptratic de ordin n. Spunem c matricea A este inversabil dac exist o matrice ptratic de ordin n, notat 1A , astfel nct are loc relaia:

nIAAAA == 11 . Teorem 1. Fie o matrice A ptratic de ordin n. Matricea este inversabil dac i numai dac

ea este nesingular, adic 0det A .

Definiia 13. Numim transformri elementare asupra matricei A aplicarea uneia din urmtoarela operaii:

T1: nmulirea unei linii (coloane) cu un numr diferit de zero; T2: Adunarea unei linii (coloane) la alt linie (coloan) element cu element; T3: Schimbarea a dou linii (coloane) ntre ele.

Observaie. Dac asupra unei matrice A aplicm transformri elementare rangul acesteia nu se schimb.

EXEMPLU:

Fie matricea

=

113112

102A . Verificai dac matricea este inversabil i calculai rangul

matricei A .


Rezolvare: Verificm dac matricea este inversabil, utiliznd Teorema 1:

( ) ( ) ( ) ( ) =++== 102211113310112112

113112

102det A

01023022 =++++= deci matricea este nesingular i deci inversabil.

Avnd n vedere c determinatul de ordin 3 este diferit de zero i alt minor cu grad mai mare nu avem rezult ca rangul matricei este egal cu 3.

1.2. Sisteme de ecuaii liniare Multe fenomene din viaa real se pot modela cu ajutorul sistemelor de ecuaii liniare.

Acest curs este dedicat cunoaterii sistemelor de ecuaii algebrice de gradul nti cu mai multe necunoscute i a metodelor de rezolvare a acestor sisteme.

Definiia 14. Se numete sistem liniar de m ecuaii cu n necunoscute ansamblul de ecuaii liniare:

=+++

=+++=+++

.

,,

2211

22222121

11212111

mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxabxaxaxa

LLLLLLLLLLLL

LL

(1)

unde Raij , Rbi , unde njmi 1,1 , variabilele Rxxx n ,,, 21 K se numesc necunoscutele sistemului, constantele Raij se numesc coeficienii sistemului, iar Rbi se numesc termenii liberi.

Observaie: a) Coeficienii sistemului formeaz o matrice de tip ( )nm, denumit matricea sistemului.

=

mnmm

n

n

aaa

aaaaaa

A

MLLLL

MM

21

22221

11211

.

Dac adugm coloana termenilor liberi obinem matricea extins a sistemului, notat A .


=

mmnmm

n

n

baaa

baaabaaa

A

MLLLLL

MM

21

222221

111211

.

b) Sistemul (1) se poate scrie sub forma:

=

=n

jijij bxa

1 unde mi K,1= . (2)

Dac pentru necunoscute i termeni liberi se folosesc vectorii coloan:

=

nx

xx

X M2

1

i

=

nb

bb

B M2

1

,

atunci sistemul (1) se poate scrie sub forma matriceal:

BXA = . (3) Un sistem liniar se numete omogen dac coloana termenilor liberi este format numai

din valori nule, iar n caz contrar se numete neomogen.

Definiie 15. Se numete soluie a unui sistem liniar de forma (1) un n-uplu ( )nxxx ,,, 21 K care verific simultan toate cele m ecuaii ale acestuia.

Sistemul (1) se numete compatibil dac are cel puin o soluie i se numete incompatibil n caz contrar.

Un sistem compatibil se numete compatibil determinat dac are o singur soluie i compatibil nedeterminat dac admite mai multe soluii.

Observaie: problema fundamental n legtur cu un sistem liniar este determinarea mulimii S a soluiilor sale, adic a tuturor n-uplurilor care verific simultan toate ecuaiile.

Teorem (Kronecker1 - Capelli2) Un sistem de m ecuaii liniare cu n necunoscute este compatibil determinat dac i numai

dac rangul matricei sistemului este egal cu rangul matricei extinse a sistemului. Dac nkArangArang === (n - numrul necunoscutelor) atunci sistemul este unic

determinat. Dac nkArangArang


1.2.1. Rezolvarea sistemelor de ecuaii:

1. Sistem CRAMER3 Un sistem algebric liniar pentru care nmr == (rangul matricei este egal cu numrul de

linii i de coloane) se numte sistem Cramer. Formula general este

=

=n

jijij bxa

1 unde ni K,1= unde 0det A . (4)

Acest sistem este compatibil unic determinat i soluia sa se obine cu formula lui Cramer:

AA

x jj detdet= unde nj K,1= (5)

unde jA se obine din matricea A prin nlocuirea coloanei j cu coloana termenilor liberi. EXEMPLU:

Fie sistemul:

=++=+=

.2,723,924

321

321

321

xxxxxxxxx

Pentru a verifica dac acest sistem poate fi rezolvat cu metoda Cramer trebuie s calculm determinantul lui i s observm dac este diferit de zero.

( ) 0262834134111231124

=+=

= .

n acest caz rangul matricei este 3 egal cu numrul necunoscutelor i cu numrul ecuaiilor deci este sistem Cramer:

Pentru determinarea necunoscutelor 321 ,, xxx vom calcula determinanii corespunztori acestor soluii 321 ,, xxx astfel: pentru 1x vom nlocui prima coloan din determinant cu coloana termenilor liberi. n mod analog i pentru ceilali determinani. Necunoscutele se vor

gsi prin fomula: =

== 332211 ,, xxxxxx .

3GabrielCramer(17041752)matematicianelveian,doctoratla18aniinmatematic,contribuii:regulaluiCramer,paradoxulluiCramer;


52141868727112237129

1 =+=

=x ,

26916718228121271194

2 =++=

=x ,

264282714924211731924

3 =+++=

=x ,

12626,1

2626,2

2652 3

32

21

1 ==

=====

== xxxxxx .

Rezolvnd sistemul folosind regula lui Cramer se obine soluia 1,1,2 321 === xxx . 2. Metoda eliminrii pariale GAUSS4 (metoda eliminrilor succesive)

Aceast metod const n transformri elementare succesive ale sistemului iniial ntr-un sistem de ecuaii echivalent, eliminnd pe rnd cte o variabil din toate ecuaiile sistemului cu excepia unei singure ecuaii n care coeficientul variabilei s fie egal cu unitatea.

Procesul de calcul ce va urma se numete PIVOTAJ i se realizeaz efectund transformri elementare asupra liniilor din sistem.

Fie sistemul:

=+++

=+++=+++

.

,,

2211

22222121

11212111

mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxabxaxaxa

LLLLLLLLLLLL

LL

Dac 011 a atunci pentru variabila 1x putem s avem coeficientul egal cu 1 dac se mparte prima linie la 11a . Dac 011 =a atunci putem facem o transformare elementar i anume s schimbm linia 1 cu oricare alt linie n care coeficientul lui 1x este diferit de zero.

Elementul 11a se numete pivot. Prin aceast operaie elementar prima ecuaie devine:

4CarlFriedrichGauss(17771855)mathematician,fizician,astronomgerman,directorulobservatoruluiastronomicdinGottingen;


=+++

=+++=+++

.

,

,

2211

22222121

11

1

11

12

11

121

mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxaabx

aa

xaax

LLLLLLLLLLLL

L

L

Pentru a elimina necunoscuta 1x din celelalte ecuaii rmase 2, 3, 4, ..., m vom nmuli prima ecuaie pe rnd cu 13121 ,,, maaa K i se scade din ecuaia 2, apoi din ecuaia 3 pn la ecuaia m. n final vom obine urmtoarele ecuaii echivalente unde necunoscuta 1x se gsete doar n prima ecuaie.

Ecuaia 1 ,11

1

11

13

11

132

11

121 a

bxaa

xaa

xaax n

n =++++ L

Ecuaia 2 ,0 2111

1221

11

12321

11

1323221

11

1222 aa

bbxaaaaxa

aaaxa

aaa nnn =

++

+

+ L

.

Ecuaia m .0 111

11

11

131

11

13321

11

122 mmnm

nmnmmmm aa

bbxaaa

axaaa

axaaaa =

++

+

+ L

La pasul urmtor dac 2x are coeficientul nenul n ecuaia a doua se va alege acesta drept pivot i se folosete aceai schem de eliminare a necunoscutei 2x din toate ecuaiile cu excepia ecuaiei 2 n care va avea coeficientul egal cu 1.

Dac coeficientul lui 2x este zero atunci putem facem o transformare elementar i anume s schimbm linia 2 cu oricare alt linie n care coeficientul lui 2x este diferit de zero.

Algoritmul continu pn cnd nu vom mai putea elimina nici o variabil prin aceast schem de calcul.

Prin aceste transformri elementare efectuate numai asupra liniilor matricei extinse A se va obine forma (6).

=+

m

r

r

n

n

n

q

qq

qpqppqppp

P

MLLMLLLLL

MLML

LMLLLLLMLMLML

0000

00001000

10010

1

1

33

2223

111312

cu ripij ,,1,0 L= . (6)

Sistemul (1) este echivalent cu sistemul care are drept matrice extins matricea P. Observaie: a) Dac nmr == sistemul (1) este compatibil unic determinat; b) Dac mr < sistemul (1) este compatibil dac i numai dac 021 ==== ++ mrr qqq L ;


c) Dac nr < atunci sistemul este compatibil nedeterminat i admite o infinitate de soluii.

Soluia sistemului se citete ncepnd cu necunoscuta r.

.,

,

131321211

111

=

==

nn

nnrrn

rn

xpxpxpqx

xpqxqx

LLLLLL (7)

EXEMPLU:

S se rezolve urmtorul sistem, folosind metoda eliminrii pariale:

=++=+=

.2,723,924

321

321

321

xxxxxxxxx

Pas 1. Scriem matricea extins a sistemului. Stabilim pivotul n acest caz 4:

=

211172319124

A .

Pas 2. Facem ca valoarea pivotului s fie 1. mprim linia 1 cu 4:

2111723149

41

211

.

Pas. 3. Contruim zerouri pe restul coloanei n afar de pivot. Adunm la linia 2 linia 1 nmulit cu (-1) i adunm la linia 3 linia 1 nmulit cu (-1). Notm ( )112 + LL i ( )113 + LL . Obinem:

41

45

230

419

49

250

49

41

211

.


Pas 4. Se repet procedeul pentru o coloana a doua. Alegem pivotul pentru coloana a doua pe

25 . Facem ca valoarea pivotului s devin 1. nmulim linia

2 cu 52 :

41

45

230

1019

10910

49

41

211

.

Pas. 5. Folosind metoda eliminrii pariale trebuie s facem numai elementul de sub pivot pe

coloana 2 s fie zero.

+2323 LL :

513

51300

1019

10910

49

41

211

.

Matricea anterioar este corespunztoare urmtorului sistem de ecuaii:

=

=

=

.5

135

13

,1019

109

,49

41

21

3

32

321

x

xx

xxx

Se poate calcula imediat valoarea lui x3 =1.

Apoi nlocuim valoarea aflat n ecuaia 2 a sistemului pentru a afla x2:

==+=

=

.1

,1109

1019

,49

41

21

3

2

321

x

x

xxx

Apoi nlocuim valoarea aflat n ecuaia 1 a sistemului pentru a afla x1:


==

=+=

,1;1

241

42

49

3

2

1

xx

x

deci soluia sistemului va fi:

==

=

1;1

2

3

2

1

xxx

3. Metoda eliminrii totale (GAUSS - JORDAN5)

Fie sistemul:

=++=+=

.2,723,924

321

321

321

xxxxxxxxx

(8)

Rezolvnd sistemul folosind regula lui Cramer se obine soluia 1,1,2 321 === xxx . Cu alte cuvinte sistemul (8) este echivalent cu sistemul:

==

=

.1,1

,2

3

2

1

xx

x (9)

Se pune problema cum s-ar putea face trecerea sistemului (8) la sistemul (9), aplicnd transformri elementare.

Metoda acioneaz asemntor cu metoda eliminrii pariale (GAUSS) asupra matricei extinse A .

3333231

2232221

1131211

baaabaaabaaa

LLLLLLLLLLL

3

2

1

100010001

xxx

(10)

FORM INIIAL TRANSFORMRI ELEMENTARE SOLUIE

Generalizarea pentru sisteme de tip ( )nm, este simpl: ideea central a metodei eliminrii

complete este de a aduce matricea extins a sistemului la o form care s conin n partea

5WilhelmJordan(18421899)geodesistgerman;


stng numrul maxim posibil de coloane ale matricei unitate. Metoda se aplic ncepnd cu prima coloan i la fiecare pas se obine o nou coloan a matricei unitate.

Observaii: 1. Dac n urma transformrilor elementare pe una din linii s-au obinut numai zerouri n

zona coeficienilor sistemului i o valoare diferit de zero pe poziia termenului liber atunci etapele pivotajului se ntrerup sistem incompatibil.

2. Dac pe una din linii s-au obinut numai zerouri n zona coeficienilor sistemului i o valoare egal cu zero pe poziia termenului liber atunci linia respectiv poate fi eliminat pentru c ecuaia corespunztoare ei este o combinaie liniar a celorlalte ecuaii din sistem i se va continua rezolvarea sistemului rmas dup eliminarea ei.

EXEMPLU:

S se rezolve urmtorul sistem, folosind metoda eliminrii totale:

=++=+=

.2,723,924

321

321

321

xxxxxxxxx

Pas 1. Pas 2. Pas. 3. Pas. 4. Sunt identici cu cei de la exemplul anterior, deosebirea apare deoarece dup stabilirea pivotului i aducerea lui la forma 1 se vor face zerouri pe toate locurile de pe coloana pivotului (i deasupra i sub pivot).

Pas. 5. Facem astfel nct celelalte elemente de pe coloana 2 s fie zero.

+2121 LL i

+2323 LL :

513

51300

1019

10910

1013

10701

.

Pas. 6. Repetm procedeul pentru coloana a treia. Obinem pivotul 5

13 , mprim linia 3 la 5

13

(pivot):

11001019

10910

1013

10701

.


Pas. 7. Facem astfel nct celelalte elemente de pe coloana 3 s fie zero.

+10931 LL i

+10732 LL :

11001010

2001.

Observm n partea stng a matricei extinse apariia matricii unitate i n partea dreapt cele trei soluii 1,1,2 321 === xxx . Definiie 16. Se spune c un sistem de ecuaii liniare este explicitat dac matricea sistemului conine toate coloanele matricei unitate de ordin egal cu numrul ecuaiilor sistemului.

Definiie 17. Fie un sistem de ecuaii liniare adus la o form explicit. Variabilele care corespund coloanelor matricei unitate se numesc variabile principale sau variabile de baz, iar celelalte variabile se numesc variabile secundare sau nebazice.

Un sistem compatibil determinat nu are dect variabile principale. n aceast form soluia sistemului poate fi citit direct de pe ultima coloan, cea corespunztoare termenilor liberi. Deci poate fi compatibil determinat doar un sistem cu numrul de linii egal cu numrul de coloane.

De un interes deosebit pentru elementele de programare liniar care vor fi abordate n capitolele urmtoare sunt sistemele compatibile nedeterminate.

Un astfel de sistem are rangul egal cu numrul ecuaiilor, iar numrul ecuaiilor este mai mic dect numrul necunoscutelor (m < n). El va avea m necunoscute principale i n m necunoscute secundare.

Variabilele principale se exprim n funcie de variabilele secundare care pot primi orice valori reale i astfel se obine nfinitatea de soluii.

Definiie 18. Se numete soluie de baz a sistemului liniar de m ecuaii cu n necunoscute orice soluie a sistemului obinut n cadrul unei forme explicite prin egalarea cu zero a variabilelor secundare.

Observaie: Este posibil ca n urma egalrii cu zero a variabilelor secundare s rezulte i printre variabilele principale unele soluii egale cu zero. Se poate face o nou clasificare dat de definiia urmtoare.

Definiie 19. Dac o soluie de baz are exact m componente nenule ea se numete nedegenerat, iar dac ea are mai puin de m componente nenule se numete degenerat. Fiind dat un sistem liniar de m ecuaii cu n necunoscute, avnd m < n, cu cele n variabile ale sistemului se pot forma mnC grupuri diferite de m variabile.


Teorema 2. Dac un sistem liniar de m ecuaii cu n necunoscute admite cel puin o form

explicit atunci el admite cel mult mnC forme explicite.

Observaie: Fiecrei forme explicite a sistemului i corespunde o unic soluie de baz.

Teorema 2. Dac un sistem liniar de m ecuaii cu n necunoscute are cel puin o soluie de baz

atunci el va admite cel mult mnC soluii de baz.

Definiie 20. Dac pentru o soluie de baz toate variabilele au valoare nenegativ atunci soluia se numete admisibil sau fezabil.

Orice form explicit a sistemului are m variabile principale i n - m variabile secundare. Formele explicite difer ntre ele tocmai prin grupul de variabile principale. Atunci cnd se face trecerea de la o form explicit la alta prin pivotaj una din variabilele secundare devine principal sau de baz, iar una din variabilele principale devine secundar (sau nebazic), pentru c numrul de m variabile principale rmne constant.

Se spune c, prin pivotaj, o variabil secundar ntr n baz, iar o variabil principal iese din baz.

O justificare riguroas a acestor expresii va apare n capitolul urmtor prin prisma structurilor algebrice care se numesc spaii liniare (spaii vectoriale).

1.2.2. Calcularea inversei unei matrice folosind metoda eliminrii complete

Metoda eliminrii complete ofer o modalitate comod de calculare a inversei unei matrice. Amintim din definiia 12 (paragraf 1.1.7.) c o matrice ptratic de ordinul n este inversabil dac exist 1A astfel nct nIAAAA == 11 , unde nI este matricea unitate de ordinul n.

Vom exemplifica metoda pe o matrice ptratic de ordinul 2, generalizarea la o matrice de ordin n fiind imediat.

Fie ( )RMA 2 pe care o presupunem inversabil.

=

2221

1211

aaaa

A .

Calcularea inversei nseamn determinarea elementelor necunoscute ale matricei

=

2221

12111

xxxx

A astfel nct 211 IAAAA == ,

adic

=

1001

2221

1211

2221

1211

xxxx

aaaa

.

Dezvoltm expresiile i obinem:


=

++++

1001

2222122121221121

2212121121121111

xaxaxaxaxaxaxaxa

,

din care obinem sistemele:

=+=+

=+=+

10

01

22221221

22121211

21221121

21121111

xaxaxaxa

xaxaxaxa

. (11)

Matricele extinse ale sistemelor (11) sunt:

10

01

2221

1211

2221

1211

aaaa

aaaa

.

Ambele sisteme se pot rezolva prin metoda eliminrii complete

22

12

21

11

1001

1001

bb

bb

,

adic:

==

==

2222

1212

2121

1111

bxbx

bxbx

,

de unde rezult:

=

=

2221

1211

2221

12111

bbbb

xxxx

A .

Sistemele (11) au ambele aceai matrice a coeficienilor de aceea ele pot fi rezolvate simultan, scriind mpreun cele dou matrice extinse:

1001

2221

1211

aaaa

.

n acest fel se poate calcula 1A , plecnd de la tabloul n care matricea A ocup partea stng i matricea unitate partea dreapt. Se aplic metoda eliminrii complete pn cnd se ajunge la tabloul care are n stnga matricea unitate moment n care n partea dreapt apare matricea 1A :

2221

1211

1001

xxxx

.

Dac nu se obine un tablou final aa cum am precizat se trage concluzia c matricea nu este inversabil.

EXEMPLU:


=

113112

102A .

Se construiete tabloul urmtor:

=

100113010112001102

A .

Pas. 1. se alege pivotul i se aduce la valoarea 1:

100113010112

0021

2101

.

Pas. 2. se construiesc zerouri sub pivot. 12 )2( LL + i 13 )3( LL + :

1023

2510

011210

0021

2101

.

Pas. 3. Alegem al doilea pivot care are valoare 1 i construim zerouri 23 )1( LL + :

1121

2100

011210

0021

2101

.

Pas. 4. Aleg pivot pe linia 3 i nmulim linia 3 cu -2:

221100011210

0021

2101

.

Pas. 5. Construim zerouri deasupra pivotului 31 )21( LL + i 32 )2( LL + :

221100451010

110001.


de unde aflm forma matricei inverse:

=

221451

1101A .

1.3. Inegaliti liniare i sisteme de inegaliti liniare

n aplicaiile metodelor matematice n lumea real apar adesea situaii n care anumite etape ale unui fenomen se modeleaz nu prin ecuaii liniare, ci prin inegaliti liniare. O inegalitate liniar se obine dac n expresia formei generale a unei ecuaii se nlocuiete semnul egal cu unul dintre semnele .,,, >< Definiie 21. Se numete inegalitate liniar sau inecuaie liniar n dou variabile x i y expresia

.,,,

cbyaxcbyaxcbyaxcbyax

++>+


- Dac expresia rezultat dup efectuarea calculelor este logic corect atunci soluia inecuaiei este reprezentat de ntreg semiplanul n care se afl punctual testat, iar n caz contrar soluia este reprezentat de cellalt semiplan. Un set de inegaliti liniare formeaz un sistem de inegaliti (sau inecuaii) liniare.

Pentru sistemele n dou variabile este posibil rezolvarea grafic prin determinarea interseciei semiplanelor care reprezint soluiile inecuaiilor.

EXEMPLU: Fie sistemul de inegaliti liniare

+

.62,1,93

yxyxyx

(13)

S rezolvm sistemul folosind metoda grafic (Figura 1). Pentru prima inecuaie ecuaia ataat este: 93:1 = yxd pentru care obinem punctele

de intersecie cu axele: cnd 90 == yx de unde punctul ( )9,0 A i pentru 30 == xy de unde punctul ( )0,3B .

Pentru a doua inecuaie ecuaia ataat este: 1:2 = yxd pentru care obinem punctele de intersecie cu axele: cnd 10 == yx de unde punctul ( )1,0C i pentru 10 == xy de unde punctul ( )0,1D .

Pentru a treia inecuaie ecuaia ataat este: 62:3 =+ yxd pentru care obinem punctele de intersecie cu axele: cnd 30 == yx de unde punctul ( )3,0E i pentru

60 == xy de unde punctul ( )0,6F . Soluia obinut dup intersectarea semiplanelor este haurat si reprezint triunghiul

MNP. Pentru determinarea coordonatelor punctelor M, N i P se rezolv sistemele de dou

ecuaii cu dou necunoscute formate de dreptele 1d i 2d , 1d i 3d respectiv 2d i 3d .

==

.1,93

:),(yxyx

yxP

=+=

.62,93

:),(yxyx

yxM

=+=

.62,1

:),(yx

yxyxN


Figura 1 - Rezolvarea grafic a sistemelor de inegaliti

Capitolul I

Documents

Transcript of Capitolul I