cap23 - Circuitos Electricos

5/14/2018 cap23 - Circuitos Electricos - slidepdf.com

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Capitulo 23

Circuitos de corriente continua

749

En este capitulo analizaremos algunos circuitos simples formados por baterias,

resistencias y condensadores en combinaciones diversasies decir. determinare-

mas los valores de Vel y otras magnitudes deducidas de estas en distiatos pun-

tas de los circuitos, Estos circuitos se llaman de corriente continua (eel, porque

la corriente en cualquiera de sus puntos circula siempre en la misma direccion,

Enel capitulo 28, discutiremos los circuit os de corriente alterna {ca),en los cua-les la corriente en cualquier punto cambia aItemativamente de direcci6n.

Cuando mediante un conductor se cierra un circuito, un campo electrico se

propaga par los elementos del misrno, originando cambios complicados en el cir-

cu.ito a medida que se establece Ia corriente y la carga se acumula en diversos

puntas. Sin embargo, como el campo electrico se propaga con una velocidad

proxima a la de la \UZ, estos cambios ocurren rapidarnente y el eqnilibrio se esta-

blece con iguaJ rapidez. EI tiempo necesario para este equilibrio depende de la

ccnducrividad de los elementos en el circuito, pero es pracricarnente instantaneo

en la mayor parte de los casos, En el equilibria, la carga ya no se acurnula mas

en puntos del circuito y la corriente es estacionaria. En aquellos circuitos que

contienen condensadores, la corriente puede crecer 0 decrecer lentamente, pero

los cambios apreciables ocurren s610 en tiempos mucho mayores queel necesario

paraalcanzar el equilibrio, En circuitos de este tipo, cada valor sucesivo de la

corriente puede considerarse como un estado de quasi-equilibrio.

Fotografia rnicrosccpica (aumentoaproximadc X 1000) de la porci6ncentral de una microplaqueta dememoria de accese al azar (DRAM)que puede almacenar 256 000 bits dedatos. La rnicroplaqueta es milspequena que un sello de correos yconriene unos 600 000 componenteselectrenfccs=-resistencias,condensadores. diodes y transistores.

Estes componentes se construyensabre una sola lamina de crista] desillce depositando impurezas enregiones perfectamente definidas delcrista!' E l proceso de dep6sito queconstruye los componentes, tambiencrea los cables (100 voces mas finesque un cabello humane) que lesconectan. Este tipo de circuito,

Ilamado circuiro integrado (CI)funciona de iguaJ modo que losclrcuiros formados con eompcnentesdiscretos, Pero los CIs operan conmayor rapidez y consumen menospotencia pues al ser mas pequefios,las corrientes en ellos viajan

disrancias m a s cortas.



750 Capitulo 2J Circuitos de ccrrienre continua

F ig ura 2 3·1 Circuito simple en el queno pueden sustituirse las resistenciasen serie 0 en paralelo par 51.1

r es is t en c i aeq 1 .1 iva le n re . Las

diferenclas de potencial a Lo largo de

las re s istencia 5 R I )l R l no son iguales

debido a la existenci a de la fem t; ypar tanto, no esran en paralelo,Observese tambiim que e s t a s

res istencl a s no es ta n conecr adas en Ire

si par sus extremes. LIS resistenciasno soportan la misma corriente )l,

por tanto, tampoco estan en serie.

Figura 2.3-2 Ilustracion de 13 r egla de

los nudes de Kirchhoff. La corrienteI, e.n el punta II es igual a [a suma

I, + /, de las corrientes que sa l en delpunta II.

23-1 Reglas de Kirchhoff

Aunque los rnetodos discutidos en el capitulo 22 para sustituir las combinaciones

de resistencias en serie y en paralelo por una resistenciaequivalente, son muy

utiles para simplificar rnuchas de las combinaciones posibles, no son suficientespara el analisis de todos los circuitos simples,especialmente aquellos que poseen

mas de una bateria. Por ejemplo, las dos resistencias R , y R l del circuito de la

Figura 23·1 parecen estar en paralelo, pero no es asi, La caida de potencial no

es la misma a traves de ambas resistencias. debido a la presencia de la Iern ~

en serie con R z. Adernas R , y R~no transportan la misrna corriente, pues no es-

ta n en serie.

Existen dos reglas, llarnadas reglas de Kirchhoff, que se apliean a cualquier

circuito en estado estacionario:

1. La suma algebraica de las variaciones de potencial a 10 largo de cual-

quier bucle 0 malla del circulto debe ser igual a cero.

2. En un punto 0 nuda de ramificaci6n de un drcuito en donde puede di-vidirse la corriente, la suma de las corrientes que entran ene! nudo

debe ser iguala la suma de las comentes que salen del mismo.

La regIa 1, Hamada regia de las maIlas,. Sf! deduce a partir del simple heche

de que en el estado estacionario la diferencia de potencial entre dos puntos cua-

lesquiera es constante, En estado estacionario. el campo electrlco en cualquier

punto (fuera de una fuente de fern) es debido a la carga acumulada sobre las su-

perficies de los bornes de la bateria, resistencias, cables, U otros elementos del

circuito ..Como el campo elecrieo es conservative. existe una funci6n potencial

en cualquier punta del espacio (excepto en el interior de una Fuente de Iem), Se-

gun nos desplazarnos a 10 largo de 1a malla del circuito, el potencial puede

aumentaro disminuir en funci6n de que noseneontremos con una resistencia 0

una.bateria. pero una vez recorrida la rnalla y se ha Uega.do at punto desde 1"1que se comenzo, Ia uariacion neta de potencial debe ser igua! a cera. Esta regia

es una consecuencia directa del principle de conservacion de Ia energia. 5i tene-

mos una carga qen un punto donde 1 " 1 potencial es V , la energia potencial de

la carga es qV. Cuando la carga recorre un bude en un cucuito, pierde 0 gana

energia al arravesar resistencias, baterias 1 .1 otros elementos, pero cuando vuelve

a su punto de partida, su energia debe ser de nuevo qV.

Ejercicio

Dibujar un rectangulo que represente un circuito arbitrario y considerar seis

puntos cualesquiera (par ejemplo, los cuatro vertices y otros dos puntos mas)

que llarnarernos a, b, c, d, e, f. Asignar nurneros arbirrarios a cada punto del

diagrama ..Comenzando en el punto a, sumar las diferenciasentre cad a par

de nurneros sucesivos mientras se recorre el circuito, teniendo en cuenca los

signos de las diferencias. LCual e s la suma algebraica de estas diferencias para

un recorrido complete del circuito? (Respuesta: 0)

La segunda regla de Kirchhoff, Hamada regia de los nudes, se deduce de la

conservacion de la carga. Esta regia es necesaria para circuitos de mtiltiples rna-

llas que contienen puntos en los que la corriente puede dividirse. En estado esta-

cionario no hay posterior acumuJaci6n de carga elecerica en ningun punto del

circuito, de tal modo que la. cantidad decarga que enrra en un punto debe ser

igual a la que sale de dicho punro .. La Figura 23-2 rnuestra la uni6n a nudo de

tres conductores que transportan las corrientes 11, I~e '). En un intervale de

tiempo IJ.t, la carga 1 1 6..t flu ye e nr ra nd o en la uni6n por la izquierda. En el mis-mo intervale de tiernpo las .cargas 1 2 fl.t e IJ 6. t salen de la union hacia la dere-

chao Puesto que no existe ninguna causa para que se creen 0 se destruyan cargas

en este punto, la conservacion de la carga implica la regla de los nudos que eneste caso nos da

23-1



La Figura 23-3 muestra un circuito formado par dos baterias con resistencias

internas '1 Y 'l Y tres resistencias externas. Deseamos determinar la corrienteen funci6n de las ferns y resistencias que suponernos conocidas. No podemos

predecir la direcci6n de la corriente a rnenos que sepamos cual de Jas ferns es

mayor, pero no es necesario conocer la direcci6n y sentido de las corrientes an-tes de resolver el problema. Podemos suponer un sentido cualquiera y resolver

el problema can dicha hip6tesis. Si la suposicion fuese incorrecta, obtendria-

mos como valor de la corriente un mimero negative indicando que su sentido

es opuesto al admitido. Supongamos que I circula en el sentido de las agujas

del reloj, segun esta indicado en la Figura, y aplicamos la regia de Kirchhoff de

las maJlas recorriendo el circuito en Ia direcci6n supuesta de la corriente, co-

menzando en el punto a. Los extremes de mayor y menor potencial de las resis-

tencias con la corriente eJegida se indican en J a Figura can 105 signos mas y me-

nos: Las caidas y los movimientos de potencial vienen expresados en la tabla

23-1. Observese que encontramos una calda de potencial al atravesar la fuente

de fern entre f y g. Comenzando en el punto a, la regia de las mallas de Kirch-

hoH nos da:

23-2

Despejando el valor de la corriente I, se obtiene

23-3R,+Rz+ R3+'1 +f2

Observese que si ~ es mayor que ~, se obtiene un mimero negative para la

corriente I indicando que hemos escogido eJ sentido equivocado para 1. En el

caso de que ~ sea mayor que ~ la corriente sera en el sentido contrario de las

agujas del reloj, Por otra parte, si ~ es la fern mayor, obtendrernos un ntimero

positive para I indicando que la direccion y senti do supuestos son correctos, Su-

pongamos en este ejemplo que ~ es la fem mayor. En la bateria 2, la carga flu-

ye del potencial mas alto al mas bajo Par tanto, una carga .1Q saliendo de la

bateria 2 desde el punta c hasta el punta d pierde una energia ~ .1Q. En esta

bateria, se convierte la energia electrica en energia quimica y se almacena en ella;

la bateria 2 esta cargandose.

Podemos tener en cuenta el balance de energia en este circuito multiplicando

cada termlno de la ecuacion 23-2 por lacorriente I:

Pl=fiI+IIR +FR +J2R +Pr +Pr"'1 '"'1 1 2 J 2 1

23-4

EI termino ~J, es la velocidad a la cual la bateria 1 cede energia al circuito.

Esta energia precede de la energia quimica interna de la bateria. El termino & ;1

es la velocidad a la cual la energia electrica se convierte en energia quimica en

la baterla 2. EI termino J 2Rl es la velocidad de produccion de calor por efecto

Joule en la resistencia R 1• Existen terminos semejantes para cada una de las de-mas resistencias,

Ejemplo 23-1

Los elementos del circuito de la figura 23-3 tienen los valores ~=12 V,

s ; , = 4 V, 'l=r2=1 n, R,=Rl=5 n, R.=4 n como indica la Figura 23-4.

Hallar los potenciales en los puntos a hasta g indicados en la figura admitien-

do que el potencial en el punta f es cera y estudiar el balance energeticc del

circuito.

EI analisis del circuito se simplifica usual mente si elegimos un punto como

potencial cero y referirnos a este los potenciales de los restantes puntos.

Como 5610 son irnportantes las diferencias de potencial, cualquier punlo del

circuito puede escogerse como potencial cero. En este ejemplo se ha escogido

el punta f como potencial cero. Esto viene indicado en el circuito per el sim-bolo fen el punta f. Como virnos en la seccion 18-2, la tierra puede con-

siderarse como un conductor muy ancho can un suministro casi ilimitado de

Secci6n 23-1 Reglas de Kirchhoff 751

-.

Figura 23-J Ci.rcuito Forrnado pordos batarias y tres resisrenciasexternas, Los signos mas y rnenossobre las resisrencias nos ayudan arecordar cual extreme de cadaresistencia esra a mayor potencial de

acuerdo con la direccion de lacorriente que hemos supuesto.

Tabla 23-1 Cambios de potenciaJ

entre los puntos indicados

en el drcuito de la Figura 23-3

a......b C ar da JR ,

b ......cC ar da J R:c_. d Calda G :

d .. .. .e Caida lr,

e. . . . . f C alda JR ,

f . . . . . . g Aumetlto I f f ,

g......a CaJda lr,

+5n~ b

+

S f !+

12 V

+In

f o v

Figura 23-4 Circulto de la Figura 23-3

con los valores rnuestra,correspondientes al ejernplo 23-1. EIpotencial se elige igual a cero en el

punto f. Las rres Iineas horizcntalesproximas al punta f indican que estaconectado a tierra.



752 Capitulo 23 Circuitos de corriente continua

12

10

8

b

4

2

II

gabrdcf

Figura. 2J-S Valores del potencial en

los puntos indicados del circuito de[a figura 23-4. E [ potencial es cero en

f y salta a 12 V en g. Disminuye enI R cuando pasa a traves de cadaresisten cia en [a direccion de [a

corriente. AI regresar a f, elpotencial es de nuevo cero,

carga, 1 0 eual signifiea que el potencial de la tierra permaneee esencialmente

constante. Por ello frecuentemente se Ie eonsidera como potencial eero. En

la practica, los eireuitos electricos suelen conectarse .3 tierra a traves de un

punta del circuito. La eubierta metalica extema de una maquina electrica de

lavar. por ejemplo, suele conectarse a tierra uniendola con un cable a un tubo

de circulacion del agua que esta en contactocon la tierra.

Primero hallamos la corriente que circula por el circuitc. A partir de la

ecuaci6n 23-3 tenemos,

12 V -4V/=------------------

50+50+40+10+10

8V-----=0,5 A160

Podernos ahora hallarIes potenciales en (as puntos a hasta g respecto al po-

tencial cero del punto f. Puesto que par definicion la fern mantiene una dlfe-

rencia de potencial constante 6;=12 Ventre el punto g y el punto f, el po-tencial en el punto g es 12 V . EI potencial en. el ' punta Q es m enor que en el

punto g debido a Ia caida de potencial Ir 1 =0,5 A)(l 1 1 . ) =0,5 V. Asi pues,

el potencial en el punto C I es 12 V - 0,5 V=11,5 V. Anaiogarnente la caida

de potencial a rraves de las resistencias R, y R z de 5 n en cada una de ellas

es J R 1 =(0,5 A)(S m=2,5 V. EI potencial en el punto bes entonces 11,5 V-

2,5 V=9 V yen c es 6,5 V. La caida de potencial a traves de G ; es 4 . V. As!

pues, el punto d tiene un potencial de 2,5 V. Puesto que la caida de potencial

atraves de la resisrencia r2 de 1 0, es 0.5 V, el potencial en e es 2 V. La cai-

da de potencial a traves de Ia resistencia RJ de 4 D es JR)=2 V. Esto nos

dice que 1" 1potencial en f es cera, d e a cu erd o can nuestra hip6tesis original.

La Figura 23-5 muestra los potenciales en todos los punros seiiaJados, comen-

zando y terminando con 1" 1punto f.La potencia suminisrrada por la fern o S ; es

P"i = ~/=(12 V)(O,S A)=6,.0 W

La potencia disipada en la resistencia interna de la bareria 1 es

P'j=Pr 1=(0,S A)z(1 m=o,2.S WAs! pues la potencia cedida pOI la bateria 1 a J circuito externo es 6,0 W -

0,25 W=5,7S W. Este valor es tambien iguai a VII, en donde Vj=Vu -V=11,5 V corresponds ala tensi6n en barnes de dicha bateria 1. La poten-

cia total consurnida en las resistencias exrernas del circulto es

La potencia consumida en la bateria 2. que esta siendo cargada. es (V, -

V)J=(6,5 V - 2 V)(0,5 A)=2.2.S W. Parte de esta potencia P'2=Pr 2 = 0,25 W,se disipa en la resistencia interna r2 Y la parte restante, P"l =G;.1=2 W, re-

presenta la velocidad con que se almacena energia en dicha bateria ..

Observese que el voltajeen barnes en la bateria del ejernplo 23-1 que se esta

cargando esigual a V,-V,=4,S V, cuyo valor es mayor que el de la fern de la

bateria. Debido a su resistencia interne una bateria no es completamente reversi-

ble. 5[ la misma bateria de 4 V tuviese que surninistrar 0,5 A a un circuiro exter-

no, su voltaje en bornes seria de 3,.5 V (suponiendo de nuevo queel valor de su

resistencia interna es de 1 m. Si la resisrencia interna es muy pequefta, el voltaje

en bornes de la bateriaes aproximadarnenre igual a su Fem. tanto si cede corrien-

te a un circuito externo como si se esta cargando. Algunas baterias reales, como

los acumuladores utilizados en los caches, son practicamente reversibles y pue-

den recargar facilmente; otros tipos de baterias no 10 son. Si se intenla recargar

una de estas mediante 1 " 1 sistema de hacer pasar corriente a traves de ella desde

su polo pos.tivo al negative, en 1a mayor parte de los casas, sino en todos, la

energia suministrada se disipa en forma de calor y no en energia quimica de Iapila .. y esta puede explotar.



Ejempl6 23~2

Una bateria de autom6vi! en buenas condiciones se conecta mediante cables

a otra bateria debilitada para proceder a su carga, (a ) LA que borne de la ba-

reria debil debemos conectar e J borne positive de Labateria buena? ( . b ) Supo-

ner que esta tiene una fem ~= 12 V rnientras que la debil tiene una fern~=11 V, las resistencias internes de las baterlas son r1 = rz=0,02 {)y la re-

sistencia de los cables 1"5 R=O,Ol {) (rodos estes valores son tlpicos). LCuai

sera la corriente de cargal (c ) I .Y si las baterias se conectan incorrectamente,

cua! seria lacorriente7

(a) Para cargar la bateria debil se conectan entre S I los bornes positives

de ambas baterias, asi como los bornes negativos, a fin de que pueda suminis-

trarse carga a traves de la bateria debi! desde el borne positive al borne nega-

tivo. La figura 23-6 muestrael diagrams de circuito de este proceso.

(b ) La corriente de carga viene dada POf

20 A2 V - 11 V

0,05 {)

(c ) La Iigura 23-7 muestra eJ diagrarna de circuito para 1"1casoen que las

baterias 5 1 " conectan incorrectamente, es deck, los berries positivos con los

negatives .. En este case, la corriente seria

I G 'j + 1 . 2R+r1+r1

460 A2V+I1V

0,05 {)

5i las baterias se conectan de este modo, ambas pueden explotar produciendo

un chaparron de acido hirviente de la bateria. .

Circuitos de multiples mallas

A continuaci6n consideraremos el caso de circuitos que contienen mas de una

malla, Paraanalizar estos circuitos aplicaremos 1a regia de los nudos de Kirch-

hoff en aquellos puntos donde 1a corriente se divide en dos 0 mas partes.

Ejemplo 23-3

(a ) Determiner la corriente en cada parte del circuito mostrado en la Figura

2 3 -8 . (b ) Calcular la energia disipada en 3 5 en la resistencia de 4 Q.

( t I ) Este circuito es e1mismo que el de la Figura 23-1 con ~=12 V, ~=

5 V , R l = 4 Q, R z = 2 I)Y R 3 =3 O. Sea . I la corriente que ci rculaa traves dela bateria de 12 V en el sentido indicado. En el punto b, esta corriente se divi-

de en las corrientes 1 1 e Isegun esta indicado. Hasta que conozcamos la so-

luci6n correspondiente a los valores de las corrientes no podernos estar segu-

ros de su sentido, Por ejemplo, necesitamos saber ellal de los puntos b 0 e

esta a potencial mas elevado con objeto de conocer el senti do de la corriente

a traves de la resistencia de 4 O. Apllcando 1a regla de los nudos al punta b

obtenemos

5i aplicamos la regia de los nudes al punto e se obtiene la misma informa-

cion, ya que las corrientes I, y 1 2 se unen en clicho punto para formar [a co-

rriente I que se dirige al punta f. Existen tres mallas posibJes para aplicar la

regIa 1: las rnallas abe! y bcde, interiores, y la malla abcdef, exterior ..S610

necesitamos dos ecuaciones mas para determiner las tres corrientes inc6gni-tas. Las ecuaciones para dos cualesquiera de las rnallas seran suficientes. (La

Seccion 23·1 Reglas de Kirchhoff 753

E'L~E'R

Figura 23·6 Des baterias conecradas,

de mode que una cargaa la orra .

Como la suma de las resistenclasin ternas de la s baterias y la

resistencia R de los cables de

conexiones muy pequefie, se

obtienencorrientes relatjvamentegrandes incluso cuando las fue.rzaselectrornotrices son casi iguales,

Figura 23-7 Des batarias no

conectadas correctarnente para lacarga, Como la resisrencia total del

circuito es del orden de ceruesimas

de ohm.Ta corriente es muy grande

y la ba teria puedeexplorar.

b

Figura 23-8 Circuito correspcndiente

a J ejempJo 23-3. La dlreccion de Iii

corrienre l, de b a e no se concce

an tes de analizar el circu ito. Los

signos + y - sobre Iii resistencia de

4 (l corresponden a la direcci6n

supuesta dl ! I, de bile.



754 Capitulo 23 Circuitos de corrienta continua

tercera rnalla nos dara entonces una. informacion redundante). Reemplazan-

do I por 11+ II . Y aplicando la regia de las rnallas al circuito exterior (abcdef)

tenernos

12 V - (29)1. - 5 V - (3 m ( 1 , + 1 2)

=0Simplificando estaecuaci6n y dividiendola por 1 n, recordando que 1 V110=1A, resulta ..

23-5

De igual modo, aplicando [a regIa 1 de Kirchhoff a la malla de la izquierda{abef} resulta

o sea,

12 A - 711- 31.=0 23-6

Las ecuaciones 23~5 y 23-6 permiten conjuntamente determinar las intensida-

des de corriente 1 1 y 12, Paraeliminar 12, multiplicamos cada termino de la

ecuaci6n 23-5 por 3 y cada termino de la ecuacion 23-6 par .5 resultando

y

60 A - 3511- 1512=.0

Restando la ecuacion 23-Sa de la ecuaci6n 23-6a se obriene

23-6.a

es decir.

Sustituyendo este valor de I ] en la ecuaci6n 23~5,se obtiene

7 A - 3{I,S A) - 512=0

I =2,5 A =05 A25'

La corriente total a traves de la batsria de 12 V es, par tanto,

1=11+12=1,5 A+O,S A=l,O A

(b ) Como la intensidad de corriente en la resistencia de 4 Oes de 1,5 A,

la potencia disipada en esta resistencia es

P=JjR=(I,S A)2(40)=9 W

La energia total disipadaen la resistencia de 4 n en 3 s es, por tanto,W=Pt=(9 W)(3 5)=27 J

El ejemp]o 23-3 llustra algunas caracteristicas generales del anallsis de circui-

tos con mallas multiples. Consideremos un circulto general que contiene una rna-

Ila exterior y 1 '1 mallas interiores, Existiran n - 1puntos de union donde la co-

rriente se divide y otros 1 '1 - 1untas de uni6n donde lascorrientes se unen.

Para dezerminar las intensidades de las corrientes aplicarernos la regia de las rna-

llas a n bucles y la regia de los nudos a 1 '1 - 1 uniones. Si se aplica la regia de

las mallas a Ia de los nudes a un numero mayorde elementos s610 se obtendrfi

una informacion redundanre. En el ejernplo 23-3, teniamos dos mall as interiores

y par ello, aplicamos la regia de las mallas a dos budes yla regia de los nudesa un punta de union (punta b)' en donde la corriente se divide.



Seccicn 23-1 Reglas de Kirchhoff 755

Eiemplo 23-4

Determinar la intensidad de corriente en cada parte del circuito indicado en

J a f igu ra 23-9.

Observemos en primer lugar que las resisteacias de 3 0 y 6 n en la maltaqueesta situada a la derecha, esean conectadas en paralelo, El analisis sera

mas simple 5 1 re em pla za mo s estas resiste ncia s par la resistencia equivalente

Req ' que se obtiene de laexpresi6n:

__1_= __ 1_·_+~= __3__ = __ 1__.R < ~ 3·Q 60 60 20

en donde

r·12H\8V ... ~21 V

611

Figura 23-9 Circuito correspondienre a] eiernplo 23-4.

E n la Figura 23-10, 51' ha hecho esta sustituci6n y se han eseogido las direc-

ciones de las corrienres, Llamamos I a Laintensidad de corriente que pasa porla bateria de 18 V e 1 1 a Ja que atraviesa la resistencia de 6 n, que supone-

mos dirigida hacia abajc. Observese que hemos aplicado la regla de los nudos

al punta b usando 1'1valor 1 - I, para la corriente dirigida del punta b al

c. Aplicando la regia de las mallas de Kirchhoff en e[ sentido de lasagujas

del rei o] a la malla abe! resulta

18 V - (12 0)1 - (6 0)11=0

Sirnplificando esta ecuaci6n dlvidiendo todos Iosterminos por 6 0 Y pasando

1'1 termino (18 V)/(6 0)=3 A al segundo miembro, se obtiene

23-7

Aplicando la rnisma regia a la malla bcde obtenernos otra ecuaci6n:

ObservesI' que al desplazarnos de e a b encontramos un incremento de volta-

je, ya que la direcci6n supuesta de la corr.iente 1 1 es opuesta a la direccion

en que recorremos fa malla. Combinando terminos, reajustando y dividiendo

los terminos par 1 0, resulta

De las ecuaciones 23-7 y 23-8 pueden obtenerse las intensidades de las co-

rrientes incognitas r I' 1,:1=2 A

y

Figura 23-10 Circuito de la Hgura 23-

9 con R ", = 2 rI reernplazando < I. la

cornbiwacion en paralelo , Los signos

mas y rnenos sabre la resistencia de

6 n corresponden a la direcci6n

supuesta de I,. La regia d e los nudesse aplica inmedlatarnente al punta b

utillzando 1 0 difer·encia (I - [I) para

la corriente de b a c.




EI valor negative de 1 1 significa que nuestra hipotesis previa respecto a

su sentido fue inccrrecta. Es decir. Ja corriente que atraviesa la resistencia de

6 {}se dirige realmente del punto e al .b . La intensidad de corriente a traves

de la bateria de 21 Yes, por tanto,

1- 1}=2 A - (-1 A)=3 A

En el circuito original de la Hgura 23 ..9 ,esta corriente se divide despues de!

punto d en una corriente de 2 A a traves de la resistencia de 3 0 y una corrien-

te de 1 A a traves de la resistencia de 6 n. La fjgura 23~11 muestra el circuito

complete con las magnitudes y direcciones correctas de las corrientes, Un

buen metodo para comprobar la solucion de un problema de circuitos es asig-

nar un potencial cere a un punta del circuito y utilizer los valores de las co-

rrientes deducidas para determinar el potencial en los restantes puntas. En la

figura 23-11 hemos elegido el pun to c como 0 V. Entonces el punto d se en-

cuentra a+21 V, eI punta ea 15 V,ei punta a a 33 V y eI punta b a. 9 V,como se indica. -

Hgura 23-11 Circuito de la Figura 23-9 con las magnitudesy direcciones correctas para las corrientes deducidas en el

ejernplo ZJ-4.

J3 V 2A 9V 3A Ov

b~-'--....._ _ _ ,+ - c

3!1

t- 2 A ,_ 21 V

I A r : ! 1 [ - r n 3 ~ + .+d7e 6U .

lSV_VVV'+ 21 V

lA

15V

M etoda genera l para resolver

clrcuitos de m{lltiples mal/as

Podemos resumir el metoda general para. resolver circuitos con mallas multiples:

1. Reemplazar todas las cornbinaciones de resistencias en serie 0 paralelo per

resistencias equivalentes.

2. Elegir un sentido para la corriente en cada malla delcircuito y designar las

intensidadesen el diagrama. Asignar los signos mas y menos para lndicar los

extremes de alto y bajo potencial de cada Fuente de fern, resistencia 0 capa-cidad, .

3. Aplicar la regla de los nudos a cada uni6n en donde se divide la corriente.

4. En un cireuito formado por n mallas interiores aplicar la regla 1 de Kirchhoff

a las n mallas,

S. Resolver las ecuaciones para obtener los valores de las incognitas.

6. Comprobar los resultados asignando un potencial nulo a un punto de l circui-to y utilizar los valores de las intensidades de corriente deducidas para deter-

minar los pctenciales en otros puntos del circuito ,

Ejemplo23~S

Determinar la intensidad de corriente en cada una de las partes del circuito

indicado en la Figura 23-12a.

Este circuito contiene tees mallas interiores y par tanto, aplicaremos tresveces la regla de las mallas. En Ia figura 23~12a, hemos supuesto una corrien-

te 1 hacia la derecha de la resistencia de :3 !lYhemos aplicado la regIa de tos

nudos en las dos uniones c y e donde Ia corriente se divide. La corriente de

cad es 11, de modo que la corriente de c a h es I - 11 , Deigual modo, la

corriente de .e a f es 1 2 . ' y la corriente de e a h es 1 1 - 1 2, Aplicando la regla



Seccien 23-1 Reglas de Kirchhoff 757

/ -/2 1-11

IIg

4fl

+6V

/2 1/1- 12

f

3f1

II

K C

4f1 6H

+6V 4 ! l

fe d

6!l

(I'!)

3H I I

de las rnallas de Kirchhoff al circuito externo, comenzando en el punte a,tenemos

+42 V - (3 fijI - (4 O)ll - (60)1. - {3 0)/=0

que puede simplificarse en la forma

21 A - 3 J - 21/ - 312=0

De igual modo, aplicando la regIa de las mallas al circuito superior (abchgo),

resulta

+42 V - (3 fl)l - (6 Q )U - 1 1 ) - (4 n)(l - 1.) - (30)1=0

y simplificando

Como tercera malla escogemosel bucle inferior izquierdo (e/ghe). AS I se obtiene

- (60)1.+(40)(1 - 12) - 6 V=O

que se simplifica en laforma

21 - 512 - 3 A =0 23-11

Podemos eliminar II multiplicando todos los terminos de la ecuaci6n 23-9

por.3 y cada termino de laeruacion 23·10 por 2 obtenisndo:

63 A - 9/ - 611 - 9/.=0

42 A - 16/+611 - 412=0

Sumando estas ecuaciones resulta

105 A - 251 - 511=0 23·12

Susti.tuyendo el valor 51,=21-.3 A que resulta de la ecuacion 23-11, enla

ecuacion 23-12 results

105A - 2SI - (21 - 3 A) =0

1= 108 A 4 A27

y segun 1a ecuacion 23~1l,

5[2=21 - 3 A=2.(4 A) - 3 A=5 A

12=1 A

/'

611e d

(/I)

Figu r .a 2 .3-12 (a) C ircuito q ue

contiene rres buclesin teriores segim

los datos del eiemplo Z3-5. (b)Circuiro con las ccrrienres supuestas ..La regia de los nudes SI' aplica en lospuntos eye, en donde lacorriente51 ' divide:



758 Capitulo 2J Circuitos de corrienteccntinua

y segun la ecuacion 23-9 ..

21 A - 3(4 A) - 2 1 1 - 3(1 A)=O

21 A -12 A - 3 A

3A2

En la fjgura 23-13 hemos elegido el potencial nulo en el punta" y se han indi-(ado los valores de las intensidades de corriente deducidas en nuestra solu-

cion. EI potencial en el punto b es 42 V -(4 A) (3 OJ= 30 V. Los potencialesen otros puntos del circuito se han deducido por un razonamiento semejante.

Figura 23-13 Diallramacircuito de la !'igura 23-12 con los

valores de 105 potenciales calculados a partir de lasintensidades de corriente deducidas en 1'1ejernplo 23-5,suponiendo V =0 en el punto o.

611

Figura 23-14 Un circuito complejo de

multiples Tamas. EI circuito puede

simplifies rse constderando que pOT

simetria 1.05 puntos c y d deben estar

III rnlsmo potencial. AI no existir

corriente entre los puntas c y d de la

resitencia de 12 f! . esta resistcncia

puede ser extra ida sin que ello afe(tea la corrienre 0 potencial en

cualquler punto del circuito , As! los

puntos c y d pueden considerarsecomo un solo punto cd .

J2 V

31) V

I>

-IA

IA30 V

II

2 -1 V 60

1/\ 4!!

2A

F I

18 V 1R V

In 4A

3A

q t-----v

H!

12V

Analisis de los circuitos por simetria

Algunos circuitos cornplejos de resistencias pueden analizarse mas f.€!cilmente

utilizando la regla de los nudes y consideraciones de simetria en lugar de la regia

de las mallas. Si dos puntos de un circuito estan al mismo potencial, pueden co-

nectarse con un cable sin que se mcdlfiquen las corrientes 0 potenciales en otros

puntas del circuito. Estes puntas Irecuenremante se ldentifican considerando la

sirnetria del circuito. El circuito puede entonces simpliflcarse conectando estes

puntos y dibujando un -nuevo diagrama.Consideremos el circuito de la Figura 23-14.. Nos proponemos determiner la

intensidad de la corriente en cada una de las partes del circuito al establecer una

diferencia de potencial V.I> entre los puntos a y b. Como este circuito tienecua-

tro mallas interiores. su analisis aplicandola regia de las mallas a cada bucle,

es realmente complicado. Sin embargo, par simetria podemos ver que los puntos

designados c y d se encuentran al mismo potencial, de modo que Ia corriente es-

nula en la resistencia de 12 n que conecta estos puntas. Per tanto, si conectamos

estes puntos par un alambre. la corrienre a su traves seta cero. En la Figura 23-15

se ha dibujado de nuevo el diagrarna con los puntosc y d conectados, Ahara

es posible haJlar la resistencia equivaiente Roqentre los puntos a y V utilizando

los metodos habitualesen combinaciones de resistencias en serie y paralelo dis-

cutidas en el capitulo 22. La intensiciad de corriente total entre a y b es entances

V",/ R~ Y las corrientes en cada parte del circu ito pueden determinarse por los

metodos discutidos previamente en esta secci6n.



Seccion 23-1 Reglas de Kirchhoff 759

8H till

1 1 1 1

1'--+--/'

!If! 6H

( 1 1 )

Ejerclcio

Deterrninar (a ) la resistencla equivalente entre los puntas a y ben e! circuito

de la Figura 23-15 y (b ) ia intensidad de corriente en las resistencias de 10 nsi V"h=12 V. [Respuesta. (0) R<q=6 0, (b ) L«: 1 - AJ

La figura 23-16 muestra 12 resisrencias iguales en las aristas de un cubo y que-

remos determinar Ia resistencia equivalenteentre los vertices opuestos del cuba

designados can las letras a y g, Ana lizar esta red sin usar los principios de sime-

tria seria dificil. Par sirnetrla podemos ver que si aplicamos una diferencia de po-

tencial V.'Ji entre los puntos a y g, los puntas b , d , y e dehen estar rodos ai rnis-

rna potencial Si conectamos estes puntos mediante un alambre tendrernos tres

resistencias en paralelo entre 1 " 1 punta a y el punto comun bde. Tambien vemos

que los puntas c. I y 1 1 estan a igual potencial y podemos, par tanto, conectarlos

mediante un alambre. Existen seis trayectorias en paralelo, cada una de resisten-

cia R entreel punto bde }' el punto clll y tres trayectorias en paralelo desde el

pun to clii al punta g. El diagrarna simplificado de esre circuito se muestra en la

Figura 23-17. La resistencia equivalente entre .a y g es, per tanto,

R<~= i ' R+t R+t R=%R

Existe otra forma de resolver este problema. Sea Ila corriente desde e! punta

a al punto g cuando la diferencia de potencial es V"s ' Por simetria, la corriente

se divide en tres partes iguales en el punta a, de moda que la corriente desde a

a b es 1 - I. En el punto b , la corriente se divide en dos partes iguales, pues los

puntas I y c estaaaigual potencial. Asi pues, Ia corriente de b aces i.f. Final-mente,como existen tres trayectorias simetricas en el punta g, la intensidad de

corriente de c a. ges - t I. Par tanto, si nos desplazamos desde el punta a a [as

puntos b, c y g las caidas de potencial son:

V,,~= tIR +i lR+ t1R ~tlR =IR l'<1a sea

611

( b )

Figura 23-15 (a) Dlagrarna

sirnplificado correspcndiente alclrculto de Iii figura 23-)4 can .105

puntos t: y d ccnectados, Las des

resistencias de 8 flesl~n conectadas

en paralelo y existen tres t rayecrorias

en para 11 '1"desde el punta C r 1 a1

pu.nto b. (vl Diagrarna alternative en

el que los puntas r y d se consideran

como un punto uni<:o.

Figura 23"16 Dace reslstencias iguales

constituyen las aristas de un cubo. EI

diagrarna circui to puede simplif icarse

teniendc en cuenta par simetria que

los puntas b, d ye deben esrar a

igual potencial 10 misrno que 105

puntos c. f y h.

Figura. 23-17 Dlagrarna sirnplificado correspondiente al

circuito de la Figura 23-16 con los puntos b. d Y e conectados.

asi como los pun tos r, r y II. Las seis t rayectorias en paraleloen tre los pu ntos bd e y e[1l son las seis arisras del. cubo, be .

b], de .. dl . • er y eh,I~



760 Capitulo 23 Circuitos decorriente continua

5

C a l

(b )

Figura 23-18 (a ) Condensador de

laminas planoparalelas en serie conun interrupter y una resistencla R.

(b) Diagrama que represents esreeirculro.

23-2 Circuitos RC

Se denomina circuito RC aquelen 1"1que interviene una resistencia y una capacl-

dad. En tal circuito, Ia corriente noes estacionaria, sino que varia can el tiempo.

Ejemplos practices de circuitos RC son los de un disposirivo de flash en una c a -mara fotografica. Antes de tamar la fotograHa, la bateria del flash carga el coo-

densador a traves de una resistencia. Cuando esto se verlfica. el flash esta prepa-

rado. A1 tamar la imagen, el condensador se descarga a traves de la larnpara del

flash. EIcondensador se recarga por acci6n de la bateria y poco tiempo despues,

1" 1flash esta dispuesto para otra fotografia. Mediante las reglas de Kirchhoff, po -

demos obtener unas scuaciones que relacionan la carga Q y la intensidad de eo-

rriente I en funci6n del tiempo, tanto en el proceso de carga como en el de descar-

ga de un condensador a traves de una resistencia.

Descarga de un condensador

La figura 23-18 muestra u.n condensador con una carga inkial +Qo en la placa

superior y -'20 en la placa inferior. Se conecta a una resistencia R y a un inte-

rruptor S queesta abierto para ev itar que la ca rga fluya a craves de 1a resistencia.La diferencia de potencial a traves del condensador es inicialrnente Vo=Qo/c'

siendo CIa capacidad. Puesto que no existe corriente cuando esta abierto el inte-

rruptor. no existe eaida de potencial a traves de la resistencia. Asi pues, exists

tambien una diferencia de potencial Voaplicada a los extremes del interrupter ..

Cerremos el interrup tor en el instante t =O.Puesto que ahara existe una dife-

rencia de potencial entre los ext.remos de la resistencia, debe pasar una corrienre

por la misma. La. corriente inicial es .

I=~=~OR RC

23-13

La corriente se debe al f1ujo de carga que va desde la placa positiva a la negative

pasando por 1a r esistencia y asi, despues de un cierto tiernpo, la carga sabre el

condensador se ve reducida. Como la carga sobreel condensador va decreciendoy estamos tomando como positiva la corriente en e1sentido de las agujas del re-

loj, la intensidad de corriente es igual a Ja disminucion de esa carga por unidad

de tiempo. 5i Q es la. c arga sobre el condensador en un instante cualquiera, la

corriente en dicho momento es

. dQ/=--

dt23-14

Recorriendo el circuito en e1 sentido de 1a corriente, nos encontramos con una

caida de potenciallR en la resistencia y un aumento de potencial QIC entre las

pJacas del condensador, La primers regla de Kirchhoff nos da

_Q _ - IR=OC

23~15

en dondetanto Q como I son funcjones de tiempo y estan relacionadas por 1 .8

ecuacion 23-14. Sustiruyendo 1 por -dQldten Ia ecuaci6n 23-15, tenemos

a sea,

dQ . 1-=--Qdt RC

23-16

La ecuacion 23-16 establece que la variaci6n dela funci6n Q(t) con el tiempo es

proporcional a Ia funci6n QW. Para resolver esta ecuaci6n, separemos las varia-

bles Q y t. MuJtiplicando ambos miembros de la ecuaci6n dtlQ, se obtiene

dQ=_

.s:Q RC 23-17



lntegrando resulta.. tIn Q=- -·-+A

RC

en donde A es una constante de integracion arbitraria que viene determinada par

las condiciones iniciales. Tomando la exponencial de ambos miernbros de esta

ecuaricn, se obtiene

o sea,

Q=Be~t lRC

Podemos obrener laconstante B=eA teniendo en cuenta que en las condiciones

iniciales Q=Qo para t=O. Par tanto

Q(tj = Qoe-<lRC =Q,e- 1/, 23-18

en donde r. lIamada constanre de tiempo, es el tiempo durante el cualla carga

disminuye h~sta lIe de su valor original:

r=RC 23-19

La Figura 23-19 muestra [a carga del condsnsador en. el circuito de Ia Figura

23-18 en funci6n del tiempo. La linea de trazos es la pendiente inicial de Ia funci6nQ(t). Si la carga ccntinuase disminuyendo a un ritmo eonstante, igual a su ritmo

inicial, alcanzaria eJ valor cero para un valor del tiempo iguaJ a la consrante de

tiempo r, Sin embargo, la disminuci6n de Q respecto al tiempo -dQldt. no es

constante, sino que tambien decrece conel tiernpo. Esto es evidente en la ecuacion

23·16 que muestra como esta disminucion temporal de la carga es proporcionalala propia carga ..Despues de un tiempo t=», la carga es Q=<2t,e-1=O,37 Qo'

Despues de un tiempo t=2r, la carga es Q=Qoe-2=O,135 Qo, y asi sucesiva-

mente. Despues de un tiempo igual a varias constantes de tiernpo, Ia carga delcondensador es despreciable. Este tipo de disminuci6n, muy corriente en la natu-

raleza se llama decrecimiento exponencial. Ocurre siempre que la disminuci6n

de una magnitud can el tiempo es proporcional a la propia magnitud. (Va vimos

disminudones exponenciales en el capitulo 11 cuando estudiamos el decrecimien-

to de la presion di d aire con Ia altura y en el capitulo 12 al estudiar Ia disminucion

de energia con el tiempo de un oscllador amortiguado.) La disminucion de carga

en un condensador puede compararse a la disminuei6n de la cantidad de agua

en un vaso que tiene un pequefio agujeroen el fondo. El flujo de agua por el orifi-

cio es proporcionaJ a Ia presion del agua. la cua! es, a su vez, proporcional a

la cantidad de agua existents en el vaso ..

La corriente se obtiene a partir de la ecuaci6n 2.3-14per diferenciaei6n de laecuacion 23-18:

l=- dQ=~ «r=dt RC

o sea.

23·20

en donde lb= QoI RC = VolR 1" 5 la corriente inicial. La corriente tambien dismi-

nuye exponencialmente con el tiempo y llega a valer 11e de su valor inicial des-

Seccion 23-2 Clrcuitos RC 761

Constante de tiempo

1" " 'RC

Figura 13,19 Representacion de la

carga Q situada sobre un

condensadcren funcion del. tiempo ,

para el circuito de la figura 23·11;1

cuando el interruptor se cierra en el

tiempo , = O. La constante detiempo T = RC es eJ t iernpo

necesaric para que la carga decrezca

en e- 1 0..,. Despues de u n tie mp o

igual a des constantes de riempo, la

carga es ",- '0. . , . . E ste e s unejemplo de

decrecimiento exponencia]. L a

constante de tiempo es tambien e t

tiernpo que rardaria e! condensadcren descargarse cornpletarnente si 5U '

velocidad de dsscarga Iuera

constante, como indica 1 0 1 linea

de trazos,



762 Capitulo.23 Circuitos de corrlente continua

pues de transcurrir un tiernp 1= r=RC. Este proeeso se represents en la figura

I 23-20.to

1" =RC

Figura 23·20 Crarlco de Ia inlen,id"d

d~ corricnre en fun ,iim del tiempo

p i! ra e l circ u ito de la F igura 23-18. L a

cu rv a lie ne la r ni sr na f orma que 1.1de

la ligur" 23·19.

5

R

C

(II)

S

T+ +

R

eL- 7 - - - - - ' !

-c+

(/I)

Figura 23-2] Ci rcuito pa ra cargar un

ccndensador hasta una d iferencia de

potencial r , (h i Despues cerrar elinterrupt or ex iste t, na (aida de

porencia Ia t ra v es de la reslstencia y

unacarga sobre eicondensador,

Ejemplo 23-6

Un condensaclor de 4 IlF se carga a 24 V y luego se conecta a una resistenciade 200 O. Determinar (a ) la carga inicia] del condensador, (b) la eorriente ini-

cial a traves de la resistencia de 200 fl, (c) la constante de tiempo y (d) la carga

que posee el condensador despues de 4 ms.

(a ) La carga inicial es Qo=CV=(4 IlF)(24 V)=96 Ile.

(b) La corriente lnicial es 10= VoiR =(24 V)/(200 0)=0,12 A.

(c ) Laconsrante de tiempo es r=RC=(200 0) (4 IlF)=800/is=O,8 ms.

(d) En el tiempo t=4 ms, la carga del condensador es

Q=Qoe "=(96 IlC)e-III',,"1I10.Sm"={96 ~C)e-5=0,647 p.C

Ejercicio

Hallar la corriente a traves de una resistencia de 200 0 para t=4 rns. (Res-puesta: 0,809 rnA)

Carga de un condensador

La figura 23-21a muestra un circuito urilizado para la carga de un condensador.

que admitiremos inicialmente descargado. EI interrupter, abierto inicialmente,

se cierra en el instanre t=O. lnmediatamente empieza a fluir la carga a traves de

Ia resisrencia depositandose sobre [a placa positiva del condensador (figura 23-

21 b). Si la carga del condensador en un instante cualquiera es Q y la corriente

en el circuito es [, la primera regia de Kirchhoff nos da

,r - Vr ( - Vc=O

o sea

23-21

En este circuito la corriente es igual a la variacion con el tiernpo de Ia carga (cre-

cientet enel condensador:

1=+ dQdt

Sustituyendo +dQldt por 1 en laecuaci6n 23-21 se obtiene

If'=R dQ +_Q_dt C

23-22

En el instan te t = 0 la carga es cere y la corriente vale fo=I}R. Laearga, par 10tanto, aumenta y la corriente disminuye como puede verse en 1 3 ecuaci6n 23-21.

La carga alcanza un valor maximo QI = C , 1 " , como resulta de Ja ecuaci6n 23-21.

cuando la corrlente I es igual a cero.

La ecuaci6n 23-22 es un poco mas dificil de resolver que la eeuaci6n 23-16.

Multiplicando los dos miembros por C y reagrupando esta ecuaci6n toma la

forma

RC dQ =CC'- Qdt

Podernos ahora separar las variables Q y t multiplicando ambos miembros par

dtlRC, y dividiendo por Ctf - Q , resulta

dQ dt

RC 23-23CI,"-Q



Seccion 23-2 Circuitos RC 763

lntegrando en ambos miembros resulta

~!n (CG"- Q)=tlRC+A 23-24

en donde Aes una constante arbitrana de integracicn. Pasandoala forma expo-

nential. la ecuaci6n 23-24 se escribe:

a sea,

23-25

en dande B=e-A es otra constante. E! valor de B viene deeerrninado par la con-

dition initial Q = 0 para t = o. Hacienda t = 0 y Q=0 en la ecuacion 23-25 se obtiene

O=CG'~ B

es decir,

B=CG'

Sustituyend 0 B=C G'en la ecuaci6n 23-25, se obtiene final mente para la carga

la ecuacien

23-26

en donde Qr=C6'es Ja carga final. La intensidad de corriente se obtiene deri-

vanda la ecuaci6n 23-26:

J=_dQ=_C~_"II.C (~lIRC)dt

a ta mb ie n

Las figuras 23-22 y 23-23 muestran lacarga y la intensidad de corriente en fun-

cion del tiempo. Observese tambien en la Figura 23-22 que la constante de tiempo

T es el tiempo en el cual el condensador estaria complstamente cargado si la in-

tensidad permaneciera constante en su valor inidal.

Qr=CE

T '" RC T= RC

Figura 23-22 Representacion de la carga de uncondensadoren hmci6n del tiempo en el case del circuito de 101Figura 23-21 despues de cerrar el interrupter en t = O. Despues del

tiempo t = r=RC 101carga en el condensador esO.63 Ct!:donde C t,' es su carga final. Si [a velocidad de carga fuese

constanee elgual a 511 valor inicial, eI condensador se cargariapor completo al cabo de un tiernpo t = T.

Figura 23-2) Gnifico de la corrtente en funcibn del tiempo

para. el circuiro de la figura 23-21. Lacorrienre esinicialmenre rf l R y disminuye expoaencialmente coneltiempo.




Ejercicio

Demostrar que la ecuacion 23-26 satisface lollecuad6n 23-22 sustituyendo en

esta los valores de Q(f) y dQldt.

EjercicioLQueIraccion de l o l l . carga maxima existeen un condensador en proceso de

carga al cabo de un tiempo f=r7 (Respuesta: 0,63)

Ejernplo 23-7

Una bateria de 6 V Y resistencia interna despreciable se utiliza para cargar

un condensador de 2 }LF a traves de una resistencia de 100 n. Hallar (a) la

corriente inicial, (b ) lollcargafinal y (c) el tiempo necesario para obtener un

90 por ciento de lollcarga final.

(a) La corriente inicial es

[0= d Y R=6 V)/(100 O J =0,06 A

(b ) La carga final del condensadores

Q t = tfC=6 V)(2 IIlF)=12 ! - , C

(r) La constante de tiempo de este c.ircuito es 'f = R C = (100 0)(2 /IF) = 200 ps ,

Es de esperar que lollcarga alcance el 90 por ciento de su valor final en un

tiempo del orden de varias constantes de tiempo. Podemos hallar lollsolucion

exacea a partir de la ecuacion 23-26 utilizando Q=0,9 gC:

Q=0,9I.'C= !."C(l - e-·IRC)

0,9=1 - e-' sc

e~"Rc=l - 0,9=0,1

t

In-,'RC=_

-=In 0,1=-2,3R C

Por tanto,

t=2,.3RC=2,3(200 115)=460 ills

Ejempio 23-8

E! condensador del circuito que se muestra en la Flgura 23-24a esta inicial-

mente descargado. Determinar loll.orriente que atraviesa lollbateria (a ) inme-

diatamente despues de cerrar eJ interrupter y (b) un largo tiempo despues de

cerrar el interrupter.

(al Como el condensador esta inicialmente descargado, el potencial en elpunto des el mismo que enel punta c inmediatamente despues de cerrar el

interrupter. No hay corriente inicial a traves de loll.esistencia de 80 entre b

y e. Apticando la regla de las mallas al bucle exterior (abcdefal, se obtiene

12 V - (4 0)10=0

10=3 A

(b ) En tantoel condensador se carga, loll.orriente se divide en el punto

b y lacarga fluye sobre la placa superior y se separa de la inferior ..Despues

de un largo tiempo, el condensador se cargacompietamente y loll.arga deja

de Huir 0 de escapar de las placas, Aplicando lollregla de las mallas al bude

de la izquierda ( a b el a) , se obtiene .

12 V - (40)11 - (8 0)1r=0

1[=1 A



~s

12V_k 't'.L 81 1

f

b c

r d c d

((I) (b )

Vemos pues, que el analisis de este circuito en los tiempos extremes. cuando

el condensador esta descargado 0 totalmente cargado, es simple. Cuando el

condensador esta descargado actua igual que un cortocircuito entre los pun-

tas c y d, es decir, el circuito es equivalente at mostrado en la Figura 23-24b,

en donde se ha reernplazado el condensador par un alambre de resistencia

cera. Cuando el condensador esta totalmente cargado, acnia como elcircuito

abierto indicado en la figura 23-24c.

Durante eJ proceso de carga fluye una carga total QI= G 'C a traves de la ba-

teria. Esta realiza un trabajo,

W=QI o : f . = r J ' 2 C

Laenergia almacenada en el condensador es precisamente [a mitad de esta canti-dad. Segun Ia ecuaci6n 21-16, _

U =:Q V =i~1rf=i- G'lC

Demostrarernos ahora que la otra mitad de energia proporcionada par la bateria

se transforma precisamente en calor par efeeto Joule en la resistencia. La poten-

cia que se cede a la resistencia es

_ d j I V s = J2 R

dt _

Utilizando laecuaci6n 23-27 para el valor de la corriente, tenemos

~= (~ e_IIRC)2 R= tf(l e-2I1RC

d l R R

El calor to tal producido se ob tiene integrando desde t=0 hasta t=00 :

wR=fOO 6 '2 e-2VRC dto R

La integraci6n puede realizarse sustituyendo x=2t!RC. Entonces,

RCdt= -- dx

2

y

puesto que la integral es 1. Esta respuestaes independiente de la resistencia R.Cuando _un condensador se carga mediante una fem constante, la mitad de la

energia proporcionada por la bateria se almacena en el condensador y Ia otra

mitad se transforma en calor independlenternente de la resistencia. Esta energia

termica incluye la porencia disipada en Ia resistencia interna de la bateria.

EjempJo 23-9

Determinar para el condensador del ejempio 23-6 en proceso de descarga, (a ) la

energia initial almacenada en el condensador. (b ) la potencia inicial de entrada

en la resistencia, y (c ) la energia alrnacenada en el tiempo i=0,8 ms=l T.

Section 2J·2 Circuitos nc 765

12V

( e )

Figura 23·24 (Q ) Un condensador enparaIl0 con una resistenci a a tra ve s

de una Fern. EIcondensador 51 "

supone descargado antes de cerrar elinterrupter. (b) lnrnediatarnentedespues de cerrar el interrupt or noexlste caida de potencial a traves delcondensador y, por tanto, btl" puedesusrituirse por un alambre deresistencia cero, (e) Un liempo largo

despues de cerrar el Interrupter, 1"1condensadcresta completamentecargado y toda la carga que entrapor el punto b Huye a traves de laresistencia de 8 a. El.condensadorpuede reemplazarse por un circuite

abierto,




L a Iotografia m ue srra un critron,

dispositive dlsparador de ahavelcctdad, utilizado pa ra descargar

condensadoresen la detonacion deuna bomba atomica, tormada por un

nucleo de uranio rodeado de unacapa de e xplosive s. E I condensador.

accionado por 1"1critron, descarga su

energia a los detonadores que hacene xplotar la capa de explosives, La

e xp lo sio n co rn prime rapida y

sirnetricarnente 1"1nucleo de Ufan lo,1"1cual alcanza la masa crlrica.

desencadena la fisi6n nuclear y

explota. La venta de critrones y

ciertos condensadores especia lizadosesta conrrolada, En 1985 y 1990

lueron el lerna de operaciones decontrabando divulgadas

infructuosarnente.

(ti) En 1"1eiernplo 23·6encontramos que la carga inicia] del condensador

era 96 p . c . La energia inicial almacenada es, por tanto,

u=1..y= 1.. (96 p.CF 1,152 rn]

2 C 2 4p. F

El mismo resultado se obtiene a partir de U=-tQV=i{96 J . l . C ) { 2 4 V)=

1,152 rn],

(b ) La potenc.ia inicial de entrada en la resisteacia es

Po=lijR=(0,12 A )2 (200 n)=2.,88W

en donde hemos utilizado 1"1valor 10=0,12 A obtsnido en 1"1ejemplo 23·6.

(c ) La carga delcondensador al cabo de t=0,8 ms=Tr es

Q=Qoe -lit= {96 p.C)e-1 =35,3 p.C

La energia almacenada en ese memento es, por tanto,

u=l Q2 =1.. (35,3 p.C)2 0,156 rn]

2 C 2 4p. F

Observese que no podiamos utilizar [a expresion U=i-QV, a menos que

determinasemos primero el potencial V, el cual tam bien dlsminuye a medida

que se descarga 1"1condensador.

Ejemplo 23·10

Dernostrar que Ia disminud6n de energia almacenadaen el condensador del

ejemplo 23-9 desde t=O a .t=l-r es igual al calor de joule disipado en la resis-

tencia.

En el ejernplo 23-9, determinarnos que la energia alrnacenada en el con-

densador era L 152 rn] para t = ° yO, 156 mJ para t=Lr. La dism inuci6n de

energia alrnacenada es, por tanto, -

-.LlU=1,152 m] - 0,156 mJ=0,996 m]

La potencia de entrada en la resiseencia es J lR, en donde I viene dada

por Ia ecuaci6n 23-20. Como esta potencia varia con el tiempo, debe integrar-

se desde t = ° a t= 17 para determinar la energia total disipada en la resisten-

cia. Asi tenemos:

W=J'PR df=f'(Ioe-'I1)2 R dt_ 0 ._0

=5 R L e-21/'d t= I 5 R ( _72 ) e . - w I

=15R ( 1 ) (1 - e . - 2)

en donde hemos utilizado 1a expresion

J e . o . Idx= ~ e'"

obtenida de las tablas integrales. Por tanto, como 1 5 R =2,88 W (ejemplo

23,..9)y T=0,8 ms (e jernplo 23·6), resulta

W=(2,88 W)(0,4 ms)(1 - e-2)=0,996 mJ

que coincide con \a disminuci6n de energia almacenada.

Cuesti6n

1. Una piscina se llena mediante un siE6n con agua procedente de un lago proxi-mo. tEn que sentido es este proceso analogo a la carga de un condensador?



Seccion 2,3·3 Amperimetros, voltimetros y ohmimetros 767

23-3 Amperimetros, voltimetrosy ohmimetros

Volvamos ahora a la consideracion de la medida de las magnitudes e[ktricas encircuitos decorriente continua. los dispositivos que miden la corriente, la dife-

rencia de potencial y [a reslstencia sedenorninan amperlmetros, volrimetros y

ohmimetros respectivarnente. A menudo. los tres dispositivos estan lncluidos en

un solo «rnultirnetro», que se conecta segun el usa de cada uno de elias. Cual-

quiera puede usar un voltirnetro para medir la tensi6n entre los bornes de la bate-

ria del.cache 0 un ohmlrnetro para determinar la resistencia entre dos puntas de

un aparato electrico domestico (por ejemplo, un tostador de pan) en el que se

sospecha un cortocircuito 0 un alambre rota. Por todo ello es muy util tener al-

gun conocimiento de las operaciones basicas de estes dispositivos.

Para medir [a intensidad de corriente a traves de la resistencia en el circuito

simple de la Figura 23-25 colocarernos un arnperirnetro en serie can [a resistencia,

segun se indica en la figura. Puesto que el arnperimetro tiene cierta resistencia,

la corriente del circuito se modi fica cuando se induye 1"1amperimetro. En 1"1caso

ideal, el amperimetro debera tener una resistencia rnuy pequefia de modo queintroduzca una variacion muy pequen ..a en la corriente a rnedir.

La diferencia de potencial entre los extremes de [a resistencia se mide colo-

cando un voltimetro en paralelo con Ia misma, segun se indica en la Figura 23-26.

El voltimetro reduce la resistencia entre los puntas .a y b aumentando as! la co-

rrienle total que circula en el circuito y variando la caida de potencial a traves

de la resistencia. Un voltimetro ideal tiene una resistencia may grande, para ha-

cer minima. su influencia sobre el circuito ,

El components principal de uri amperimetro 0 voltimerro es e[ galvan6metro,

aparato que detecta una pequena corriente que pasa a su traves. EIga.lvan6metro

se proyecta de modo que la lectura en Ia escala sea proporcional a la corriente

que pasa por e l . Actualrnente machos de estos medidores poseen una lectura di-

gital en lugar de un indicador y una escala, pero el metodo basico de operaci6n

es semeiante al descrito.

EIgalvan6metro posee dos propiedades irnportantes para su usa como ampe-

rlmetroo como voltimetro. Tales son, la resistencia del galvan6metro R g Y la

intensidad de corriente necesaria para producir una desviaci6n a fondo de escala,

{g . Valores tipicos de estas magnitudes en un galvan6metro portaril de labora-

torio son R~=20 {} e fg=O,5 rnA. La caida de voltaje a traves de este galvan6-

metro para una desviaci6n a fondo de escaJa es, por tanto,

((I)

'O R. +_ A

Figura 23-25 Par a rnedir I;, corriente

que circul a por Ia resist encia R 5 1 . '

coloca un amperirnerro -(~)enserie con ella, de 1 2 0 1 modoquc

transporta la mi~md corrierue que la

reslstencia.

I,

Figura 23-26 Para medir la (aida de

tension entre los extremes de una

rcsistencia, 5(' coloca un vohlmetro-®-cn paralclo con ,,11.1,

de mndo que las caidas de potencial:

a (rave s del voltirnetro y Ia

resisrencia sun las mismas.

(a ) Multimetro analegicc. (b )

Multimetro digital. Generalmente los

rnultirnetros digitales son m.h exactos

y mas caros que los analogicos.



768 Capitulo 23 Circuitos decorrlente continua

•

I!:R p

Arnperi metro

(II)

R , R g

Voltirnerr«

( t . )

Figura 23-27 (a ) Un arnperimetro se

compone de un galvanemetro -@-cuya resistencta es R, y una

resis ten cia peq uefia en par aiel0R •.(b) Un voltimetro se compone de un

galvan6metro -@- y unareslstencia grande en serie R,. En

estos diagram as, la resisrencia del

galvan6met.ro se muestra acontinuacion del simbolo del

galvanometro.

• Para construir un amperimetro mediante un galvan6metro se coloca una re-

sistencia pequefia, denominada resistencia shunt, en paralelo can el galvan6me-

tro. Puesto que la resistencia shunt es normalmente mucho menor que La resis-

tencia del galvan6metro,. la mayor parte de 1a corriente circula porel shunt y

la resistencia efectiva del amperimetro es mucho menor que la resistencia del gal-van6metro. Realmente la resistencia equiva len te deI amperlmetro es aproxima-

damente igual ala resistencia del shunt. Para construir un voltlrnetro se adiciona

en serie con el galvan6metro una gran resistencia de manera que la resistencia

equivalence del voltimetroes mucho mayor que la del galvan6metro solo ..La fi-

gura 23-27 ilustra la construcci6n de un amperimetro y de un voltimetro a partir

de un galvan6metro. En estes dibujos esquematicos se muestra separadamente

l a resistencia del galvan6metro R g, perc realmente forma parte de este ultimo,

pues se debe esencialmentea la resisrencia del arrollamiento del galvan6metro.

Laelecci6n de las resistencias apropiadas para la construccion de un atnperfrne-

tro 0 voltimetro a partir de un galvan6metro, se ilustra mejor mediante unos

ejemplos.

Eje.mplo 23-11

Lltilizando un galvan6metro en una resistencia de 20 0 para el cual una co-

rriente de SX 10-4 A da una desviacien a fondo de escala, proyectar un am-

perimetro que se desvie a fondo de escalacuando la corrlente sea 5 A.

Puesto que la corriente total a traves del amperimetro debe ser 5 A cuan-

do la corrie nte que pasa por el galvan6metro es 5610 SXl 0-4 A, la mayor

p.arte ~e la corriente debe .pasar a trav,es de la r~sistencia shunt. Sea RjJar~-

sistencia shunt e I p la cornente a traves de la rrusrna. Puesto que el ga vano-

metro y el shun! estan en paraielo, tenernos

y

IgRg =lrf tp

Ip+Ig=S A

o sea,

1=S A - I =(5 A) - (5XIO-4 A) "" 5 AP ·8

As! pues, el valor de la resistencia shunt debe ser

R =__1_ R = 5XlO-4

A (20 n)=2X10-J 0p I 8 5 A

.p

Puesro que la resistencia del shunt es rnucho menor que la resistencia del gal-

van6metro, la resistenciaefectiva de la combinaci6n en paralelo es aproxima-

damente igual a la resistencia del shunt.

Ejemplo 23-12

Utilizando el mismo galvanometro del ejernplo 23-11, disefiar un voltimetro

que se desvie a fondo de escala can una diferencia de potencial de 10 V.

Sea R, el valor de la resistencia en serie conel galvan6metro. Debernos es~

coger R. de modo que una corriente de is=5XI0-4 A de una caida de po-

tencial de 10 V. As! puss,

18

(R.,+ R g l =10 V

R +R = 10 V• g 5XlO-4 A

2XI04 n

R.=2XI04 0 - Rg=(2XIO~ III - 20 0

=19,980 11 se 20 kO



Secd6n 2J-J Amperlmetros. vohtmetros y ohmimetros 769

Ejempto 23-13

Se pretende medir una resistencia de 100 {) mediante el circuiro indicado en

la Figura 23-28. La resistencia del voltimetro es 2000 {) Y la del amperirnetro

0,002. o . L Q U e error se comete al calcular R mediante laexpresion VJ], en

donde V es la lectura del voltimetro e I [a del amperirnetro?

En el circuito indicado,eI voItimetro mide ia cafda de potencial a traves

de la resistencia, pero el amperimetro mide la intensidad total de la corriente

en el circulro, incluyendo la que pasa a rraves del volHmetro. La resistencia

equivalents R ' < q del voltlmetro en paralelo con la resistencia es

R ' .= ( 1 + 1 )-'95,238 (l<q 100 n 2000 n

y la resistencia equivalente del circuito complete es

R«l=R,+R~=0,002 n+95,238 n=9S,240 (I

La corriente del arnperirnetro es

12 V 12 V1=-· . --- ..

n; 95,.240n0,126 A

5i Ilamamos I, a la corriente que atraviesa Ia resistencia de 100 n e 1 2 la que

atraviesael voltimetro, se verifies 1001,=2000Il, es decir, 11=0,051,. La in-

tensidad de corriente a traves de la resistencia de 100 n es, por tanto,

a sea,

/ =_1_= 0,126 A 0,120 A

1 1,05 1,05

La caida de tensi6n a traves de la resistencia de 100 n medida por el voltime-

tro es RI1=(100 Q){0,120 A)=12,O V, yel valor medido de la resistencia

sera

VR=-. 1

12,0 V =952 110,126 A ,.

que difiere del valor real aproximadamente en un 5 porciento: Este resultado

es l6gico, ya que la resistencia del voltimetro es 20 veces mayor que R y por

tanto, al conectar el voltirnetro y la resistencia R en paralelo. la intensidad

de la corriente se incrementa en un 5 po r ciento.

La figura 23·29 muestra un circuito mejor para medir esta resistencia con

los medidores utilizados. El amperimetro mide la corriente real que pasa por

la resistencia mas el amperimetro. Como la resistencia del amperlmetro essoloel 0,002 por ciento de R , el error cornetido con este circuito sera 5610

del 0,002 por cienro. 5i la resitencia R fuera 5610 de 0,1 n en lugar de

100 11,el circuito de Ia Figura 23-28 serta preferible.

Un ohmimetro simple para medir resistencias consiste en una bateda conecta-

da en serie con un galvan6metro y una resistencia, como indica la Figura 23-30a.La resistencia R , seelige de modo que cuando los terminales a y b se cortocir-

cuitan (se unen entre si). es decir, cuando no hay resistencia entre ellos, laco-

rriente a traves del galvan6metro es I s . Esta es la intensidad de corriente para

la cual el galvan6metro ofrece una desviaciona fondo de escala, As), una desvia-

ci6n a fondo de escala significa que no hay resistencia entre los terminales a yb, y una desviacion nula indica que existe una resislencia infinita entre los termi-

12 V

R=

ioon

Figura 23·28 Circuiro posible para

medir la resistencia de 100 0 del

ejernplo 23r13.

12 V

R=ioon

+

Figura 23-29 Una alternativa mejor

para rnedir Ill. resistencia de 100 0

con los rnedidores del ejemplo 23-13.

(a)

(b )

Figura 2.3-30 (a ) Ohrnirnetro ferrnado

por una bateria en serie con un

galvanometro y una resistencia R " ,

elegida r'e tal modo que el

galvanomerro se desvia a fondo de

escala cuando los puntos Q y b estan

en cortocircuito. (b) Escala del

galvanometro caiibrada para hacerlecturas en ohrnios.



770 C apitulo 23 C ircuitos de corriente continua

(a )

Los dispositivos que convlerten una

forma de energia en otra ~ e H amantransductores, Los que aqui

mos tra mo s c cn vie rte n e ne rg ia noelectricaen energia electrlca , (a ) Las

ondas senoras transrnitidas a la

camara espiral del oidc interne hacenvibrar ill liquido acuoso. Adheridas a

las paredes de la carna fa estan las

celulas receptoras sensoriales

(rnostradas aqui con un aumento de3500 X aproxirnadamente). EI fluido

vibrante estirnula las celulas

receptoras y hace que la s neuronas.conectadas en su base, transrnitan

impulses e le ctr ic os . L os impulses.

propagandose a 1 .0 largo de una

cadena de neuronas. eventual m enteregistran en 1 '1 cerebra la sensacicn

«sonora". Como este sistemaconvier te la energia sonora enenergia electrica, constit uye la

contrapartlda biologica de un

micr6fono. (b ) Un micr6fono

convierte energia sonora en electrica,E ll el modele que aqui se rnuesrra,

lin anillo de cobre 51" acopla a unam embrana delgada de plastico. Las

ondas senoras al chocar contra Ia

membrana. hacen queesta y 1"1anillo

comiencen a vibrar. E ! anilloesta

manta-do en 1:'1campo de un imiin

perrnanente, Este rnovirniento de

vaivena rraves del campo h ace que1<1.ibraclon induzca una corrientealterna en 1:'1anillo. Esta ccrriente es

causa de que sur]a un campo

magnetico alternative secundario, 1"1

cual a 5U vez crea II. na corriente

alterna secundaria en una bobina de

alarnbre siruada delTas de l anillo le i

Las celulas fotovoltaic3s convier ten

la e .ne r gi a l umino sa enenergiaelectrica, Las celulas se cornponen de

d05 semiconductores, En 13 union de

ambcsserniconductores, estos

interacnian Forrnando un dipole

electrico. La luz absorbida cerca de

la union crea cargas positivas y

negatives, que s1"desvian en

dlrecclcnes opuestas en ~J campo del

(b)

nales, Cuando estos se conectan a rraves de una resistencia incognita R. la inten-sidad de corriente a traves del galvan6metro es manor que [~.Especificamente es

[ 23-28R+R,+R~

Como esta corriente depende de R, la escala puede calibrarse para dar una lectu-

Fa directa de R, como 5e muestra en la Figura 23-30b. Observese que esta escala

no es lineal. Como la exactitud de esta lectura depende de laconstancia de la

fern de la bateria,este tipo de ohmimetro simple no es un lnstrumento de granexactitud. Sin embargo, es muy uti! para una de+erminacion rapida y aproxirna-

da de una resistencia desconocida.

Como el ohmimetro surninistra una corriente a traves de la resistencia a me-

dir, este instrurnento debe manejarse con precaucion. Por eiemplo, consideremos

un ohmimetro construido con una bateria de 1,5 V y un galvan6metro semejante

al de los ejernplos 23-1] y 23-12. La resistencia en serie R. necesaria se derermi-

na de laexpresi6n

o sea

R = 1,5 V _ R.,=3000 a - 20 0=2980 0, 5X 10 ., A C

Supongamos que utilizamos 1"511" ohmimetro para medir la resistencia de un gal-

van6metro de laboratorio muy sensible que responde con una desviaci6n a Fon-

do de escala cuando la intensidad de corrienteque le atraviesa es de 10 5 A y

posee una resistencla de unos 20 O. Cuanclo los terminales a y b se disponen a

craves deeste galvan6metro sensible, la corrienre que circula es ligeramente infe-

rior a 5X10 4 A, pues la resistencia totales de 3020 n. es decir. Iigerarnente su-

perior a 3000 n. Esta intensidad de corrienrees unas 50 veces superior a la nece-

saria para producir la desviaci6n a fondo de escala, EI resulrado seria un

chasquido, un poco de hurno, un gaJvan6metro menos sensible y probablemen-te, una reprimencla del profesor de laboratorio.

Cuestiones

2. LEn que condiciones seria ventajoso utilizar un galvan6metro menos sensible

que el discutido en los ejemplos 23-11 y 23-12, es decir, un galvanomerro que

requiera una corriente mayor 1 9 para la desviacion a fonda de escala?

3 . Cuando 1 0 1 resistencia en serie, R" , se elige apropiadamente para la fern de

un ohmimetro, puede rriedirse cualquier resistencia entre cero e infinito. [Par

que, entonces, los ohrnlmetros practices tienen escalas diferentes para medir

distintos intervalos de resistencia?

4. Un estudiante no muy brillante decide rnedir la resistencia interns de la bate-

ria de su autom6vfl con un ohmimerro del laboratorjo de [isica. LPor que esuna mala idea?



Seccion 23·3 A.mperimel.ros, voltimetros y ohmimet ros 771

(eJ

(P )

dipole. Esta separacion de c.arga crea

una diferencta de potencial entre los

dos semiconductores. Actualrnente.

las rnejorescelulas totovoltaicas

convierren la energia iurninosa en

electrica (on u na e fic ac ia

cornprendida entre 1"12 .0 Y 1'130 par

den to. (d) L o s cri sta II's

piezoelectricos. tales como 1'1cuarzo,la turmalina y 1'1 topacio Sf! polaru ...n

electricarnente cuando 51' comprimen.

doblan 0 se distorsionan de algun

modo. La polanzacion crea una

(aida de volraje a traves d e l c ri st al

deforrnado que puede utilizarse para

producir una corriente el..ectrica. EI

proceso es reverslble.el vo l taje

aplicado a traves de un cristal

piezoelectrico, es causa de una

distorsicn. E I cuarzo piezoelectrico

(rncstrado aqui) se introduce

normal mente en circuiros electricos

oscilanres que poseen

aproxirnadarnente la rnisrna

Irecuencia que la que posee de un

modo natural 1'1cnstal, El resultado

Id)

es que am bos, 1 '1cristal yel circuito

electrico, vibra n con la Irecuencia

natural del crista!' Este efecto puede

u ti li za r 5 1' p ara . e srab i liz ar la

frecuencia de lo s osciladores de radio

y ccnstru ir relo les con un error

inferior a 0,1 5 po r ano, (e) Nuest ro

sentrdo del tacto 1'5 debido a unas

[ibras nerviosas encapsuladasllamadas corpusculos de Meissner

que estan localizadas directamente

bajo la cara exterior de la pie!' A I

toea r la pie! que II'S recubre, 105

corpusculos SI' deJorman y

desencadenan impulses electricos en

las Iibras nerviosas, Un contacto mas

intense produce una m ayor

deformaci6 n y se incrementa la

[recuencia de los im pulses, EI sistem a

constituye, en clerto aspccto, una

ccntrapartida biolegica de un

calibrador per deformacion: en

ambos Ira nsdcctores, la energia de

una tension mecanica se utiliza pa.ra

m odula r cam bios en la conduccionelectrica. ({) Uncal lbrador po r

(/ >

delorrnacion consist!' en una reiilla

de alambre 0 laminas muy finas de

una sustancia como 1'1 carbon que

cambia su resis tencia electrica

cuando se sornete a una deformacion

rnecanica. £ 1 a la rnbre esta unido a un

soporte aislante que se acopla

mediante adh esives a un cbieto. Las

tensiones que distorsionan el obje!o,d efo rr na n ta rn bie n cl calibradordescrito, E I grade de deformacion

viene rnedldo por el carnbio de

resis ten cia de l disposi f ivo, 5 i se

apllca un volta]e Hjo entre los

extremes de l alambre del calibrador,

el carnbio de resisrcncia produce

variacionesen la corrlente.



772 Capltulo.23 Circuitos de ccrriente continua

Resumen

1. las reglas de Kirchhoff son1. Al recorrer un circuito cerrado, la suma algebraica de los carnbios de po-

tencial esigual a cero,

2. En toda union de un circuito, donde la corriente puede dividirse, la suma

de las corrientes entrantes es igual a la suma de las corrientes salienles.

2. Los metcdos generales de analisis de circuitos con multiples bucles pueden re-

sumirse del modo slguiente: .

1. Reemplazar todas las combinaciones de resistencias en serie 0 paralelo por

sus resistencias equivalentes,

2. Elegir un sentido para la corriente en cada rama delcircuito y designar,

pOI ejemplo con letras, las corrientes en e! diagrama correspondiente.

Afiadir signos mas y menos para indicar los extremes de alto y bajo poten-

cial de cada fern, resistencia 0 capacidad ..

.3 . Aplicar la regla de los audos a cada uni6n en que se ?ivicle la corriente.

4. En un circuito que contiene n bucles interiores, aplicar la regla de las rna-

llas a todos el!os.

5. Resolver las ecuaciones para obrener los valores de las incognitas.

6. Cornprobar los resultados asignando un potencial cero a un pUDtOdel cir-

cuito y utilizando los valores de las intensidades de las corr ientes deduci-

das, determinar los potenciales en otros puntas del circuito,

3. Los circuitos 0 redes cornplejas de resistencias, pueden simpltficarse conside-

rando su simetria. Siel potencial de dos puntos esel misrno, estos puntos

puedenconectarse mediante un alambre y obtener asi un diagrama mas

simple.

4. Cuando un condensador se descarga a traves de una resistencia, tanto la car-

ga del condensador como la intensidad de corriente disminuyen exponencial-

mente con el tiempo. La constante de tiempo r=RC es el tiempo que tarda

en aumentar 0 disminuir e-1 =0,37 veces el valor original. Cuando un con-

densador se carga a traves de una resistencia, la carga por unidad de tiempo,

que equivale a la corriente. disminuye exponenclalrnente con el liempo. Des-

pues de un tiempo T = RC, la carga del condensador alcanza el 63 por ciento

de su carga final.

5. Un galvanornetro es un aparato que detecta una pequefia corriente que pasa

a su traves y muestra una desviaci6n de suescala proporcionai a la corrien-

teo Un arnperimetro es un aparato que mide la cor riente. Consta de un

galvan6metro mas una resistencia en paralelo Hamada resistencia shunt.

Para medir la corriente que atraviesa una resistencia se conecta un amperi-metro en serie con dicha resistencia. El amperirnetro tiene una peque.fta

resistencia, de modo que ejerce poccefecto sobre Ia corriente a medir. Un

voltimetro mide diferencias de potencial. Consta de un galvanometro mas

una resistencia grande en serie, Para medir la caida de potencial a traves

de una resistencia se dispone un voltimetro en paralelo con la resistencia.

E\ voltimetro posee una resistencta muy grande, de modo que eierce efeeto

sobre la caida de potencial a meclir. Un ohrnirnetro esun dispositive para

medir resistencias.- Consta de un galvan6metro, una Fuente de fern y una re-

sistencia,



Problemas 773

Sugerencias bibliograficas

Rosenfeld, L.: "Gustav Robert Kirchhoff", T he D iction ary o f

Sc ien ti fi c B iog r cr p h y , vol. 7, Charles C. Gillespie (ed.), Char-les Scribner's Sons, New York, 1973, pag. 379.

L as [ am os as re gla s d e K irc hh off d e lo s c ir cu i/o s e le clr ic os [ue-rOI1 5610 e l primero de unll serie de importal1tes de~cu'br i-mientos_

Revisi6n

A. Objetivos:Una vez estudiado este capitulo, deben poseer-

se los siguientes conccirnlentos:

J. Definir las reglas de Kirchhoff y saber usarlas en 1'1

a n a lisis de distintos circuitos de corriente can ti nua ,

2. Utilizar coneeptos de sirnetria para deterrninar la resis-

tencia equivalente de redes de resistencias cornplejas,

pem simetricas.

3. Representar en un esquema la carga depositada en un

condensador y 1acorriente fen funci6n del tiernpo en 1 0

procesos de carga y descarga del condensador.

4. Saber calcular las resistencias apropiadas en serie 0 en

paralelo para construir un arnperimetrc, un voltlrnetro 0un

ohrnlrnetro. a partir de un determinado galvan6metro, y

dibujar los diagrarnas correspondienres a estes dispositivos,

B. Definir, explicar 0 simplemente identificar:

Reglas de Kirchhoff

RegIa de las rnallasRegia de los nudos

Circuito RC

Constants de tiempo

Disrninucion exponencial

Voltirnetro

Arnperirnetro

Ohmirnetro

Galva.n6metro

Resister-cia en paralelo

o shunt

C. Verdadero 0 also: Si la afirmaci6n es verdadera, explicar

por que 10 es. Si falsa dar un contraejemplo, es decir,un ejemplo que contradiga la afirmaci6n.

1. La variad6n neta de potencial alrededor de un circuito

complete en estado estacionario es cera.

2. La constante de tiempo de un circuito RC es el tiernpo

necesario para descargar cornpletarnente 1'1ccndensador.

3. Para medir la caida de potencial a traves de una resis-

tencia se sit6a un voltirnetro en serie con la resistencia.

Prob1emas

ivel I

23-1 Reglas de Kirchhoff

1. Una bateria de 6 V con una resistencia interna de 0,3 n, seconecta a una resistencia variable R . Hallar la corrienre yla

palencia liberada par Ia bateria cuando R es (a ) 5 n . (b ) 10 n.

2. Se conecta una resistencia variable R a traves de una dife-

rencia de potencial V que permanece constante independlen-

ternente de R . Para un valor R =" la corriente es de 6,0 A.

Cuando R se aumenta hasta R z = R , +10.0 n, la corriente cae

hasta 2,0 A. Hallar (a) R, y (b ) V.

3. Una bateria tiene una fern G'y una resistencia interna r.

Cuanda se conecta una resistencia de 5,0 n entre los term ina-

Ies de la misma, la ccrriente es 0,5 A. Cuando se sustituye

esta resistencia por otra de 11,0 fl, 1acorriente es 0,25 A. Ha-liar (a ) la Fern 6'y (b ) la resistencia interna r.

4. En la Figura 23-31 la fern es de 6 V y R=,5 n . La produc-d6n de calor por elecro Joule en R es 8 W. (a ) I.Cual es la co-

rriente en el circuito? (b ) [Cual es la diferencia de potencial

entre los extremos de R 1 (c) LCuaJ es 1'1 valor de rl

5. En el caso del circuito indicado en la Figura 23-32 hallar.

(a ) la intensidad de corriente, (b) la potencia Iiberada 0absor-

bida por cada fern y (e ) la producd6n de calor par unidad de

tiempo en cada resistencia. (Adrnitir que las baterias tienen

unas resisrencias internas despreciables.)

Figura 23-31 Probl rna 4. Figura 23-32 Problema 5.

2Jl

R

4.0

6. En 1'1 circuito indicado en la Figura 23-33, las baterias tie-

nen unas resistencias internas despreciables y el arnperimetro

tiene una resistencia despreciable. (a ) Hallar la corriente que

pasa a traves del arnperimetro. (b) Hallar la energia surninis-

trada por la bateria de 12 V en 3 S. (e) Hallar el calor totaldisipado en dicho tiempo. (d ) ExpLicar la diferencia en las res-

puestas de las partes (b ) y (c).

Figura 23-33 Problema 6. 20

2ft2



774 Capitulo 23 Clrcuitos de corriente continua

7. En el circuito indicado en la Figura 23~34, las barerias tie-

nen una resisrencia interna despreciable. (a ) Hallar la corrien-

te en cada resistenciarIblIa diferencia de potencial entre los

puntos t1 y b, y k) la potencia surninistrada por cada bareria ..

Figura 23-34 Problema 7.

12V 12 V

8. R epetir el problema 7 en e l c as e del c irc uit o i nd ic ad o enla figura 23-35.

Figura 23·35 Problema 8.

7V

5V

I U

3 ~l

23-2 Circuitos RC

9. Un condensador de 6 ;tFesta cargado inicialmente a 100 V

y luego se unen susarrnaduras a traves de una resistencia de

500 n. (a) LCual es la carga inicial de! condensadorl (b ) Leual

es la corriente inicial enel instante despues de que se conecee

1"1condensador a la resistencia? (c) LCual es la constante de

tiempo de este circuito? (d i Leuanta carga existe sobre el con-

densador despues de 6 ms]

10. (til Enel caso del problema 9. hallar la energia inicial al-

rnacenada en el condensador. (b) Demostrar que 1 0 3 energiaalmacenada en el condensador viene dada por U=U oc "",

en donde Uo es la energia inici 0 3 1 y T=R C es la constante de

tiempo. (cl Hacer un esquema cuidadoso de la energia U en

1"1 condensador en fund6n del tiempo t,

11. A un condensador de 0,12 ~f 51" le ua una carga Q..Despues de 4 s se observa que Sl.l carga es 1Qo. l.Cuat es 1 0 3

resistencia efectiva a traves de este condensadcr'I

U. Un condensador de 1,6 pF inicialmenre descargado se (:0-

necta en sene con una resistencia de 10 kn y una bateria de

5,0 V de resistencra interna despreciable. (a) LCual es la carga

en el cendensador despues de un tiernpo muy largo? (b )

LCuanto tiempo, emplea 1"1 condensador para alcanzar el 99por ciento de su earga final7 .

13. Se conecta una reslstencia de 2 Mn en serie con. un con-

densador de 1,5 .I'FYuna bareria de 6,0 V de resistencia inter-

na despreciable. E! condensador esta inicialrnente descarga-

do. Despues de un tiempo t =T=RC, hallar (a ) I a c ar ga en un

condensador. (b ) 1"1rirrno 0 velocidad conel que esta au men-

tando la carga, (e) la corriente, (d ) la pctencia suministrada

pOT la bateria, (e ) la potencia disipada en la resistencia y

mla velocidad a Ia que esta aurnentandc la energia almacenada

en el condensador.

14. Repetir e! problema 13 para 1"1 case del tiempo 1=2 .1 .

23-3 Amperfmetros, voltimetros y ohmirnetros

15. Un galvanornetro tiene una resistencia de 14.0O. 5e nece-

slta 1,2 rnA para dar una desviaci6n a fondo de escala. (a )

[Que resistencia debera colocarse en paraleio con elgalvane-

metro para tener un amperimerro que sefiale 2 Aa fondo de

escalat (b) LQue reslstencia debera colocarse en serie para ob-

tener un voltimetro que seii.ale 5 V con una desviaci6n a fon-

do deescala 1

16. Los galvanornetros sensibles pueden detectar ccrrientes

tan pequefias como 1pA. L Cuanros electrones pOT segundore pre se n ta esea co rriente1

17. Un gaivanornetro sensible tiene UJ1aresistencia de 1200

Y exige una, corriente de 1, 4 j J . A . para producir una desvlacion

a fondo de escala .. ( t I ) Hallar la resistencia shunt necesaria

para construir un amperimetro que lea 1,0 rnA a Fondo de es-

cala, (b ) LCual es la resistencia del amperirnetro? (c) [QUI! re-

sistencia se necesitara para construir un voltimetro que sefiale

3,0 V a Iondo de escala con esre galvan6metro1

lB. Un galvan6metro de resistencia 90 [l da una desviacion

a fondo de escala cuando su corriente es 1,5 rnA. Se utiliza

para construir un amperimetro cuya lecture a fondo de escala

sea 1,5 A. ( t I . } Hallar la resistencia shunt necesaria, (b) leUa!

es la resistencia del amperimetro 7 (c) Si la resistencia shunt se

compone de un trozo de alarnbre de cobre de calibre 10 (dhl-metro 2,$9 mm), ,cual debera ser SIl longitud?

19. EI galvanometro de! problema 18 se utiliza con una bate-

ria de 1.5 V de una resistencia interna despreciable para cons-

truir un ohmirnetro. (a ) LQue reslstencia R, debera colocarse

en serie con el galvan6metro7 (b ) ,Que resistencia R dara una

desviad6na mitad de escala? (e)LQUI~ resistencia R dara una

desviacion de un decimo de la correspcndiente afondo dees-

cala?

20. En elcaso del ohrnimetro del problema 19, indicar como

debera calibrarse la escala del galvanometro representandola

en una linea recta de una cierta longitud Len donde el exrre-

mo de la linea (x=L) representa la lecturaa fonda de escala

wando R=O . Dividir la linea en 10 divisiones iguales e indi-

car 105 valores de la resisrencia en cada division.

21. Un galvan6metro de 110 0 de resistencia da una lecture

a fondo de escala cuando la corriente es 0,13 mA. Ha de utili-

zarse en un voltirnetro de varias esealas como se indica en la

figura 23-36 en donde las conexiones se refieren a las lecturas

a fondo de escala. Deterrninar RI•R 2 Y R3·

Figura lJ-36 Problema 2].

tV lO V IODV



22. EJ ga lvanernet ro del problema 21 ha de utilizarse en un

arnperirnetro de varias escalas con las lecturas a Fondo de es-

cala indkadas en la figura 23-37. Determinar s; R 2 y RJ.

Hgura 23-37 Problema 22.

10 A IA OIA

Nivel Il

2.3. Dos baterias idenricas con fem &'y resistencia interna r

pueden eonectarse a traves de una resistencla R bien en serieo paralelo. [Que merodo de conexion surninistra la mayor

potencia a R, cuando (a) R < r.• (b ) R > r?

24. Seconecta una bate ria de un ccche pracricamente descar-

gada de 11,4 V de fem y 0,01 11de resistencia interna a una.

carga de 2,0 11.Para ayudar a esta bareria se conerta una se-

gunda bateria de 12,6 V de fem y 0,0111 de resistencia inter-

na, a los bornes de la prirnera rnedianteunos cables adecua-

dos. (a) Dibujae un diagrarna del circuito , (b ) Calcular la

corriente que circula por cada una de las partes del rnismo,

(c) Calcular la potencia cedida par la segunda bateria y discu-

tir en q ue se invierte esta; suponer paraello que en arnbas ba-

terias la fern y la resistencia interna permanecenconstantes.

25. En el cireuito ind.ieado en la figura 23-28 hallar (a ) iaco-

mente en cada resistencia, (b) la potencia suministrada porcada fem y (c ) la potencia disipada en cada resistencia.

Figura 2,3·-JS Problema 25.

1it 4 V 20

r. 60

26. En e] circuito indicado en la figura 23-39, hallar la dife-

rencia de potencial entre 105 puntos a y b.

Figura 2.3-.39Problema 26.

Problemas 775

27. E!espacio existente entre las placas de un ccndensador de

placas paralelasse llena con un dielectrico de constants K y

resistividad p. (a ) Dernostrar que la carga sobre las placas dis-

minuye can la constante de tiernpo r= ~Kp. (b ) Si el dielec-

trico es mica can un valor de K=5,0 y p=9XIOu n'm, ha-liar el tiempo para que la carga disminuya hasra 1Ie l = 14

por cientn de su valor inicial.

18. En el circuito indicado en la Figura 23-40 la bateria tiene

una resistencia interna de 0,0111. Se inserta en el punta .0 un

amperirnetro de resistencia 0,010. (a l LeUa! es la Iectura deJ

amperimetro? (b ) tEn que porcentaje variara la corriente por

la presencia del amperimetro'l (c) Se retira el arnperimetro y

se conecta un voltimetro de 1kl1 de resistencla entre 0 y b.LCual es la lectura del voltimerro? (d ) tEn que porcen taje va-

ria lacaida de potencial entre a y b par la presencia del voltl-

metro?


a

0.7411

29. Se dispo ne de dos barerias una can 1'=9,0 V y r=0,8 (1 Y la otra con #=3,0 V y r=O,4 0, (a) LC6mo deberan

conecrarse para dar la maxima corriente a traves de una resis-

tencia R7 Determiner la corriente para (b ) R=O ,2 0, (c)

R=Q,6 a, (d) R""l,o n y (e ) R=I,5 O.

30. En eJ circuito indicado en al Figura 23-41 !a lectura del

amperirnetroes la misma cuando ambos interruptores esran

abiertos 0 ambos cerrados. Hallar la resistencia R .


100 n

so n

1.5 V

31. Un galvanornetro da una desviacicn a fondo de escala

cuando el vcltaje a su traves es de 10 mV y la corriente que

leatraviesa es de50 /lA. (a) Disefiar un voltimetro que, usan-

do esre galvanometro, de una lectura a. fonda de escala parauna diferencfa de potencial de s o V. (b ) Disefiar un arnperi-

metro que de una lectura a fondo de escala con este galvan6-

metro y una corriente de 10 A.



776 Capitulo 23 Circuiros de corriente continua

32. (a ) Determiner la intensidad de corriente en cada una de

las partes de l circuito de la Figura 23-42. (b) Utili zar los resul-

tados de (Il) para asignar un potencial en cada punto indica-

do, suponiendo que el potencial en el punto a es cero

Figura. 23·42 Problema 32./,

lin

'1 n

3H

J3. (a) Dererrninar la corrienre en cada parte del circuito de

la Figur.a23·43. (b) Urilizar los resultados de (al para asignar

un potencial en cada punto indicado, suponiendo que el po-

tencial en el punto a es cere.


flVd ' "

Hl

sv24 V

34. (II) Lltilizar elconcepto de simetria para dererrninar la re-

sistencia equivalente de la red de l a f igur a 23-44. (h ) LCu.'!1es

la intensidad de corrienteen cada resistencia si R es 10 Q y

una dilerencia de potencial de 80 V se aplica entre a y &1

Hgura 2.3-44 Problema 34.

R

b

35. Nueve reistencias de 100 cada una se conectan como in-

dica la Figura 23-45, y se aplica una diferencia de potencial de

20 Ventre los puntos Q y &. (a ) ,Clla] es la resistencia equiva-

lenre de esta red? (b) Determinar la intensidad de corriente el l

cada una de las nueve resistencias.


R R R

I~ R R

36. Una combinaci6n en paralelo de una resistencia de 8 (I y

una resistencia incognita. R se conectan en serie con una resis-

tencia de 16 Q y una bateria , A continuacion seconectan las

tres reslstencias en serie y la misma bateria, En arnbas ccrnbi-naciones la corriente a traves de la resistencia de 8 nes la mis-rna. LCuanto vale la resistencia incognita R?

37. Una caja cerrada tiene dos rerminales rnetalicos a y b.Dentro de la caja existe una fern cincognita en serie con una

resistencia R. Cuando una di.ferencia de potencial de 21 V se

establece entre a y b. una ccrriente de 1A entra en la caja por

a y sale par b. S i seinvierte esta diferencia de potencial, se

observauna corrienee de 2 A en direcci6n inverse a la situa-

cion anterior. Determ.inar ;: yR.

38. Un vclrimetro posee una resistencia de lO S n. Una bate-

ria de 60 V que posee una. resistencia interna de 10 n se conec-ta a traves de una resistencia de 68 kn y otra de 56 kO conec-

tadas en serie .. (a ) ,Cual es la lectura del voltimetro a traves

de la resistencia debS km (b ) ,Cual es la lecture del voltime-tro a traves de la resistencia de 56 k01 (c) Leu.'!l es .Ia lectura

del voltimetro a traves de la bateria? (d) Expresar el error

porcentual de cada medida de voltaic.

39. Los condensadores del circuito de la figur.a 23-46 estan

inicialrnente descargados.Ta) I.Cuitl es el valor inicial de la co-

rriente suministrada por la bateria cuando se cierra el inte-

rruptor 51 (b ) LCuru es la inrensidad de la corriente de la bate-

ria despues de un tiempo largo? (c) I.Cuales son las cargas

finales sabre los condensadores7


+.~---1

mn S O V

40. E n estado estacionario, la carga sobre eJ condensador de

5 p_Fdel circulto de la Figura 23-47 es de 1000 /J.c.(a) Oetermi-

nar la corrienre de la bateria. (b) Deterrninar las resistencias

R " R 2 y R J•



Figura 13-47 Problema 40,

41. Conslderese el circuito de la Figura 23-48. Determinar (a )

la ccrrienteinicial de la bateria inrnediatamente despues de

cerrar el interrupter: (b ) la corriente estacionaria a traves de

la bateria despues de transcurrido un largo riempo: (c) el '101-

taje maximo a (raves del condensador.

Figura ,23-48 Problema 41.

42. (a ) Deterrninar el voltaic a traves del condensador del cir-

cuito de la Figura 23-49. (b ) Si laobarerta se desconecta, expre-

sar Lacorriente del condensadcr en Funcion del tiempo. (c)

L Cuinto tiempo tardara en descargarse el condensador hast a

que la diferencia de RotenciaI a su traves sea de 1V1

Figura 23-49 Problemas 42 y 59.

+

43_ El circuito de la Figura 23-50 es un puente de WheatstO!l1'

de hllo. Se utiliza para determiner una resistencia incognita

Rx en funei6n de las resisrencias conocidas R !, R z y Ro. Las

resistencias R l y R z comprenden un aiambre de 1 m de longi-

tud. EI punto , n es un ccntacto deslizante que se rnueve a 1 0

largo del alarnbre modificando estas resistencias. La resisten-

cia R l es proporcional a Ja distancia desdeel extrema iz-quierdo del alarnbre (0 cml al punto a, y R 2 es proporcicnai

Problemas 777

a la distancia desdeel punto {I al extreme derecho del alambre

(100 em). Cuando los puntos Il y b estan a igual potencial, no

pasa corrienre par el galvanornetro y el puente 51 ' dice que

e!ita equilibrado. (Como el galvanometro se utilize para de-

tectar la ausencia de corriente, se le llama delector de cero.)

Sila resistencia Fija vale Ro= 200 n, hallar la resistencla in-c6gnita R, si (Il) e.1puente se equilibra en la rnarca de 18 em,

(b ) el puente se equilibra en Ill.marea de 60 em y (c) el puente

51 l equilibra en la marca de 95 em.

Figura .2.3-50 ['rohlem, 4S.

II

44. En el puente Wheatstone del problema 43, 5; R o =200 n,el puente se equilibra en la marca de 98 em. (a ) LCual es la

resistencia ine6rigita7 (b ) ,Que influencia tendria un error de

2 mm sobre el valor medido de la resistencia inc6gnita? (c )

i_C6mo deberia variarse Ro de modo que esta reslstencia in-

cognita diese un punta de equilibria mas proximo a la rnarca

de 50 em?

re-a ut

.45. Suponer en el problema 24 que la fern correspondiente a

la primera bareria se incrementa respecto altiempo con unritrno de 0 ,2 . V /h. pero que la fern de la segunda bateria y las

resistencias internas de arnbas permanecen consrantes. (n )

Calcular en funci6n del tiempo la corriente en cada una de las

partes del circuito. (b) Dibujar un grafico de la pctencla cedi-

daa [a primera bateria en funei6n del tiempo.

46 . . En el amperimetro de la Figura 23-51, el galvanornetro

riene una resistencia de 10 n y se conecta a traves de una res is-

teneia de 90 n. EI valor de la corriente que produce una des-

viaci6n a fondo de escala puede escogerse utilizando las co-

nexiones tlb, ac, ad a tie. (a) LComo debera la resistencia de

90 n de modo que la corriente que produce la desviaci6n a

fonda de escala disminuya en el Iacror de 10 para cada eo-

nexion sucesiva ab, ac, etc.7 (b) L Cual deb era ser la corriente

de desviacion a fondo de escala en el galvaucmerro I~de

modo que este arnperimetro tenga margenes de 1,0 rnA,

10 rnA. 100 mA v 1 A?

Figura 23-51 Problema. Q6 .

47_ La Figura 23-52 muestra dos modes posibles de utilizar

un voltimetro y un amperlmetro para medir una resistencia .



778 Capitulo 23 Circuit as de corriente continua

incognita R. Admitir que la resistencia interna de la bateria

1'5 despreciable y que la resistencia del voltirnetro es 1000 ve-

ces la del amperimetro. R.=looo R,. EI valor de R s e c on si -

dera que es R;=V If, en donde Vel son las lecturas del vol-

tirnetro y amperirnetro. (a) Estudiar que circuito es prelerible

para valores de R en 1'1 intervale comprendido desde 10 R .

hasta 0,9 Rv. tPOT qwn Hallar R; para cada circuito sl

R.=O,1 fl, Rv=l00 0, y (b) R=0,5 0, (e ) R=3 (1 Y (d)

R=80 O.

Figura 23-52 Problemas 47 y 48.

R+t_e_

(II) (b)

48. (al Demostrar en los circuitos de la Figura 23-52 que

R c = V / J estft relacionado con 1'1valor real R por la expresinn

lIRc=l!R+lIR. en 1"1 cirruito (.I y R.=R+R, en el circuito

b. (Vease problema 47.) Si G'=1,5 V, R,=O,Ol n y R.=10 kll, Lpara que intervale de valores de R esta R c denlro del

5 por cienro de R usando (b ) 1"1circuito a y (e ) el circuito b i

49 . Consideremos el circuito de la Figura 23-53 en 1"1cual res

la resistencia interna de la Fuente de fem y R. la resistenciadel amperimetro. (a ) Demostrar que la lectura del arnperime-

tro viene dada por

(b ) Demostrar que si se intercambian 1"1arnperimetro y la

fuente de fern, la lectura del amperimetro es

Observese que si R.= a si ambas son despreciables, la lec-tura es la misma. (Cuando se pueden despreciar R. y r, esta

simetria puede ser de gran utilidad al analizar circuitos con

una sola mente de fern; no es valida en el caso de que haya

mas de un Fuente de fern.)

Figura 2.3-53 Problema 49.

50. En el circuito indicado en la figura 23-54 eJ condensador

esta inicia Irnente descargado estando abierto el interrupter.

En el instante t=O se cierra 1"1nterrupter (a ) ,Cual es la co-

rriente suministrada por la Fuente de fern en el momenta en

que 51' cierra el interrupter] ( b ) LCual es la corriente una vez

transcurrido un tiempo bastante largo despues de haber ce-

rrado 1'1 interrupter] (c) Deducir una expresi6n que nos de la

corrienre que circula a rraves de la fUl'nte de fern durante un

instante cualquiera despues de haber cerrado el interrupter.

(d) Despues de que ha transcurrido un tiempo largo t' se abre

de nuevo el interruptor. LCuanto tiernpo se tarda en que la

carga del condensador disminuya hasta 1".110 par ciento del

valor que tiene en t=t', si R1=R2=5 kl 1 y C=I,O I'F1


e l " - - - - - - - . t ' - - - - - - ' : , f R,

5

51. Dos baterias de ferns ~ y I. i y de resistencias intemas ' 1Y '2 se conectan en paralelo. Demostrar que la reslstencia de

carga 6ptima (para la cesion de una potencia maxima) Reo-

nectada en paralelo con esta combinacien es R =,',/(rl + (1).

52. La figura 23,-55 rnuestra una red plana e infinita de res is-

renclas iguales en dos dirnensiones. Si eJ valor de cada resis-

tencia es R , determinar la resistencia equivalente entre los

puntos a y b.


53. Considerar una red triangular de resistencias peri6dica einfinita de dos dirnensiones. Si el valor de cada resistencia es

R . tcual es la resistencia equivalente a traves de cualquiera de

ellasl

54. Considerar una red de resistencias cubica, pericdica y tri-

dimensional que se extiende al infinito en todas direcciones.

Si R es 1"1valor de cada resistencia, LcuaI 1'5 la resis tencia equi-

valente a traves de cualquiera de elias?

55. Cad a uno de los seis terminales a , b, e, d, e y f de la figu-ra 23-56 esta conectado can los restantes por media de un ca-

ble de resistencia R . Los cables estan aislados, de modo que

5610 hacen contacto electrico con los terminaJes. Utilizar el

concepto de simetria para' determinar la resistencia entre dos

termina le s cualesquiera,



Figura 23-56 .Problema 55.

f /'

56_ (a ) Determinar Ia resisrencia equivalente entre los puntos a

y b del cubo de 12 resistencias de la figura 23-16. (b ) LClJal es Ia

resisrencla equivalente entre a y b si se extrae precisamente

la resistencia que existe directamente entreestos dos puntos1

57_ En la Figura 23-57 se rnuestra una. cadena infinita de resis-

tencias. Determinar 1a.resistencia aquivalenteentre los pun-

tos a y b. Indicacion: La resistencia R,., es la misma que

R .h, S I la secci6n ala izquierda de a' b ' se elirnina. La red si-

gue siendo una cadena inJinita con igualestructura.


R R R R

58_ En la figur.a 23-58 se rnuestra una cadena infini.ta de resis-

tencias. Oeterminar la resistencia de entrada. (Vease proble-ma 57.)

Figur.a 23,-58 Problema 58 .

R R R

R . R R

59 _ 5i el condensador del circuito de 1<1figura 23-49 se reern-

plaza per una resistencia de 30 n, LCllalesson las intensidadesde las corrientes que fluyen por las resistencias?

60_ En el circuito de la figura 23-59, (a) [eual es Ia corriente

inidal de la bateria inmediatamente despues de cerrar el inte-

rruptor 51 (b) LCual es la corriente de la bateria un tiempolargo despues de cerrar el interruptor 57 (c) lC6mo varia la

intensidad de corriente enla resistencia de 600 (} en fund6nde l tiempo?

Figura. 23-59 Problema 60.

600n

Problemas 779

61. En el circuito de la Figura 23-60, (a ) Leual es 121.ntensidad

inicial de la corriente suministrada por la bateria inrnediata-

mente despues de cerrado el interruptor 5 7 (b) L Y 2 1 1 cabo de

un largo tiernpo del cierre de S1 (c) Si el interrupter ha estado

cerrado durante un largo tiempo y luego se abre. deterrninar

la variaci6n de la intensidad de corriente a tra ve s de 121.resis-tencia de 600 kP. en fund6n del tiempo.

Figura. 23-60 Problema 61.

62. Los condensadores C1 Y C2 estan conectados en paralelo

con una resistencia y des interruptores tal como muestra la

Figura 23-61. El condensador Cl esta inicialrnente cargadocan un voltaje v~ y el condensador Clesta sin ruga. Los in-

terruptores S se cierran enronces, (a ) I.Cuftles son las cargas

finales sobre C1Y Cl1 (b) Comparar las energias inicial y fi-nalalmacenadasen el sistema. (c) LCuill es la causa de la dis-

minud6n de la energla almacenada en 105 condensadores1

Figu.ra 23-61 Problema 62.

63. (a) En el problema 62 determinar la intensidad de co-

rriente que circula poe R en funci6n del tiempo despues de ce-

rrar los interruptores 5. (b ) Determinar la energia disipada

en la resistencia en Iuncicn del tiernpo .. (c) Deterrninar la

energia total disipada en la resistencia y ccmpararla con la

perdida de energia almacenada, deducida en 1'1parte (b) del

problema 62 "

64. los condensadores del cireuito de la figura 23-62 estan ini-

cialmente descargados. EI interrupter 5 2 se cierra primero 'Y

despues se cierrael 51 ' (a) LCual es la corriente de la bateria

inmedia!amente despues decerrar 51 ? (b ) LCua] es la corriente

de 1 <1b at er ia u n tiempo largo despues de cerrar ambos interrup-tares? (c) LC ual es el voltaje final 1 1 Ira.ves de C1? (d) LCual

es el voltaje final a traves de Cz? (e ) Despues de un largo tiern-

po, se abre de nuevo el interrupter 51 ' Expresar la intensidadde corriente en 1'1resistencia de 150 fl en funci6n del tiernpo.

Figu ra 23-62 Problema 64.

son s~



780 Capitulo 23 Circuiros de corriente continua

65. Elcondensador del circuito RC de Ia figura 23-63 esta. ini-

cialrnente descargado y el interrupter se cierra en el tiernpo

t=O. (a ) LCua[ es la potencia suministrada por [a bateria en

fund6n del.tiempo] (b ) LCmll lO S la potencia disipada en la re-

sistencia en funci6n del tiempo? (c) Deterrninar el rilmo conque la energia se alrnacena ell el condensador eo funci6n del

tiempo. Representar las respuestas a las partes (11), (b ) y (c)

en funci.6n del tiempo sobreel mismo grafico. (d) Determiner

el ritrno maximo con el que se almacena la energiaen el (on-

densador en hmci6n del voltaje &'de la bareria y la resisrencia

R. LEn q u e instante ocurreeste maximo]

Figu.ra 23-63 Problema 65.

cap23 - Circuitos Electricos

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