UNIVERSIDAD NACIONAL JOSÉ MARÍA ARGUEDAS

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA AGROINDUSTRIAL

CIRCUITOS Y MÁQUINAS ELÉCTRICAS

TEMA: CIRCUITO RLC .

ESTUDIANTES:

RICRA TITO, Rossel

HERBAS ALHUAY, Henry

BAUTISTA SILVA, Roberth

TALAVERANO DIAS, Abel

PROFESOR: Ing. Guido Nolasco Carvajal.

FECHA: 31 / 06 /20 15

ANDAHUAYLAS – APURÍMAC – PERÚ

ÍNDICEI. INTRODUCCIÓN....................................................................................................................3

II. OBJETIVOS............................................................................................................................4

III. MARCO TEORICO..............................................................................................................4

3.1 Circuito R L C................................................................................................................4

3.2 Circuitos en serie..........................................................................................................4

3.3 Análisis de circuitos RLC en serie..................................................................................6

3.4 Análisis de circuitos RLC en paralelo.............................................................................7

3.5 Relaciones de corriente................................................................................................7

3.6 Ecuación deferencial para circuitos con dos elementos que almacenan energía.........9

3.7 Solución de la ecuación diferencial de segundo orden: respuesta natural.................12

3.8 Respuesta natural del circuito RLC en paralelo, sin excitación...................................14

3.9 Respuesta forzada de un circuito RLC.........................................................................16

3.10 Respuesta completa de un circuito RLC......................................................................17

IV. CONCLUSIÓN..................................................................................................................18

V. BIBLIOGRAFÍA.....................................................................................................................19

I. INTRODUCCIÓN

En el presente informe se describe el análisis de circuitos RLC serie y paralelo,

que da respuesta señales de entrada y salida con respecto a la amplitud

(voltaje). Se analizó el comportamiento de la función de transferencia de cada

uno de los circuitos. En el análisis de las señales de circuitos RLC se aplican

diferentes métodos para su estudio de señal de onda impulso y onda cuadrada.

II. OBJETIVOS.

Permitir estudiar el comportamiento de los circuitos RLC.

Encontrar la importancia del estudio del circuito RLC.

III. MARCO TEORICO

3.1Circuito R L C

Es un circuito lineal que contiene una resistencia eléctrica,

una bobina (inductancia) y un condensador (capacitancia).

Existen dos tipos de circuitos RLC, en serie o en paralelo, según la

interconexión de los tres tipos de componentes. El comportamiento de un

circuito RLC se describen generalmente por una ecuación diferencial de

segundo orden (en donde los circuitos RC o RL se comportan como circuitos

de primer orden).

Con ayuda de un generador de señales, es posible inyectar en el

circuito oscilaciones y observar en algunos casos el fenómeno de resonancia,

caracterizado por un aumento de la corriente (ya que la señal de entrada

elegida corresponde a la pulsación propia del circuito, calculable a partir de la

ecuación diferencial que lo rige). (Floyd, 2007)

3.2Circuitos en serie

Impedancia de circuitos RLC en serie:

Un circuito RLC en serie contiene resistencia, inductancia y capacitancia. Como

la reactancia inductiva y la reactancia capacitiva tienen efectos opuestos en el

ángulo de fase del circuito, la reactancia total es menor que cualquier

reactancia individual. (Floyd, 2007)

En la figura 01 se muestra un circuito RLC en serie. Este circuito contiene

resistencia, inductancia y capacitancia.

Fig. 01. Circuito en serie

Fuente: Floyd, 2007

Como se sabe, la reactancia inductiva (XL) causa que la corriente total se

retrase con respecto al voltaje aplicado. La reactancia capacitiva (XC) tiene el

efecto opuesto: provoca que la corriente se adelante con respecto al voltaje.

Por tanto, XL y XC tienden a contrarrestarse entre sí. Cuando son iguales, se

eliminan y la reactancia total es de cero. En cualquier caso, la magnitud de la

reactancia total en el circuito en serie es:

Xtot=¿XL−XC∨¿

El término |XL- XC| es el valor absoluto de la diferencia de las dos reactancias.

Es decir, el signo del resultado se considera positivo sin que importe cuál

reactancia sea más grande. Por ejemplo, 3 -7 = -4, pero el valor absoluto es:

¿3 –7∨¿4

Cuando XL > XC, el circuito es predominantemente inductivo, y cuando XC >

XL, el circuito es predominantemente capacitivo.

La impedancia total del circuito RLC se establece en forma rectangular en la

ecuación 01, y en forma polar en la ecuación 02

Z=R+Jxl− jXC………………..ec .01

Z=√R2+ (XL−XC )2<∓ tan−1( XtotR

)………………………….....ec. 02

En la ecuación 17-3, √R2+(XL−XC )2 es la magnitud y tan−1( Xtot

R) es el ángulo

de fase entre la corriente total y el voltaje aplicado. Si el circuito es

predominantemente inductivo, el ángulo de fase es positivo; y si es

predominantemente capacitivo, el ángulo de fase es negativo. (Floyd, 2007)

3.3Análisis de circuitos RLC en serie

Recordemos que la reactancia capacitiva varía inversamente con la frecuencia

y la reactancia inductiva varía directamente con la frecuencia. En esta sección,

se examinan los efectos combinados de las reactancias como una función de la

frecuencia.

La figura 02 muestra que en un circuito RLC en serie típico la impedancia total

se comporta como sigue: al empezar a una frecuencia muy baja, XC es alta, XL

es baja, y el circuito es predominantemente capacitivo. Conforme se

incrementa la frecuencia, XC disminuye y XL aumenta hasta que se alcanza un

valor donde XC=XL y las dos reactancias se eliminan, lo cual vuelve al circuito

puramente resistivo. Esta condición se denomina resonancia en serie. A

medida que la frecuencia se incrementa aún más, XL llega a ser mayor que

XC, y el circuito es predominantemente inductivo.

Fig. 02 cómo varía Xc y XL con la frecuencia

Fuente: (Floyd, 2007)

La gráfica de XL es una línea recta y la gráfica de XC es una curva, como se

muestra en la figura 17-3. La ecuación general de una línea recta es y=mx+b,

donde m es la pendiente de la línea y b es el punto de intersección del eje y. La

fórmula XL=2 πfL se ajusta a esta fórmula general de la línea recta, donde

y=XL (una variable), m=2 πL (una constante), x=f (una variable), y b=0 como

sigue: XL=2 πLf +0.La curva XC se llama hipérbola, y su ecuación general es

xy=k. La ecuación de capacitancia reactiva, XC=1/2πfC , puede ser

reordenada como XCf=1/2 πC, donde x=XC (una variable), y=f (una

variable), y k=1/2πC (una constante). (Floyd, 2007)

3.4Análisis de circuitos RLC en paralelo

En un circuito en paralelo domina la reactancia más pequeña porque produce

la mayor corriente de rama

La reactancia capacitiva varía inversamente con la frecuencia, y que la

reactancia inductiva varía directamente con la frecuencia. En circuitos RLC en

paralelo a frecuencias bajas, la reactancia inductiva es menor que la reactancia

capacitiva; por consiguiente, el circuito es inductivo. Conforme se incrementa la

frecuencia, XL aumenta y XC disminuye hasta alcanzar un valor donde XL =

XC. Éste es el punto de resonancia en paralelo. A medida que la frecuencia

aumenta un poco más, XC se vuelve más pequeña que XL, y el circuito se

vuelve capacitivo. (Floyd, 2007)

3.5Relaciones de corriente

En un circuito RLC dispuesto en paralelo, las corrientes que circulan por las

ramas capacitiva e inductiva siempre están desfasadas en 180° entre sí

(omitiendo cualquier resistencia de bobina). Como IC e IL se suman

algebraicamente, la corriente total es en realidad la diferencia de sus

magnitudes. Por tanto, la corriente total que entra a las ramas de L y C en

paralelo siempre es menor que la corriente de rama individual más grande,

como ilustra la figura 03 y el diagrama de forma de onda de la figura 04. Desde

luego, la corriente que circula en la rama resistiva siempre está desfasada en

90° con respecto a ambas corrientes reactivas, según muestra el diagrama

fasorial de la figura 05.

Fig. 03 la corriente que fluye por la combinación en paralelo de C y L es la

diferencia de las dos corrientes de rama

Fuente: Floyd, 2007

Fig. 05 diagrama fasorial de corriente típico para

un circuito RLC en paralelo

Fuente: Floyd, 2007

La corriente total se expresa como

Fig. 04 IC y IL restan efectivamente

Fuente: Floyd, 2007

Itot=√IR2+¿¿

Donde ICL es IC – IL, la corriente total que fluye por las ramas L y C. (Floyd,

2007)

3.6Ecuación deferencial para circuitos con dos elementos que

almacenan energía

En esta sección se hace la descripción de circuitos con dos elementos

irreducibles que almacenan energía; la descripción se hace por medio de una

ecuación de segundo orden. Se usa el término irreducible para indicar que

todas las conexiones en paralelo o en serie, u otras probables combinaciones

de elementos de almacenamiento, se han reducido a su mínima expresión. Así,

por ejemplo todos los capacitores en paralelo se han reducido a un solo Cp.

Véase primero el circuito mostrado en la fig. 06, que consta de un resistor, un

inductor y un capacitor en paralelo. La ecuación nodal en el nodo superior es:

vR

+i+Cdvdt

=if …………………ec .04

La ecuación del inductor es:

v=Ldidt

…………… ..ec .05

Sustituyendo ec. 5 en ec.4

L/R∗di /dt+i+CLd2i /d t2=if

Fig. 06 circuito RLC enparalelo

Fuente: Dorf ,2006

Considere ahora el circuito RLC en serie que se muestra en la fig. 07, y aplique

el método directo para obtener la ecuación diferencial de segundo orden. Se

define X 1=i y X 2=v. Primero se planteara una ecuación para dx 1/dt=di /dt .

Aplicando la ley de voltaje de Kirchoff en torno al lazo se obtiene.

Fig. 07 circuito RLC en serie

Fuente: Dorf ,2006

Ldidt

+v+Ri=vf ……………ec .06

Donde v es el voltaje del capacitor. Esta ecuación se puede escribir como

sigue:

didt

+ vL+ RL∗i= vf

L………… ..ec .07

Se obtendrá una ecuación en función de dX 2/dt , recordando que v=x2. En

vista de que

Cdvdt

=i……………ec .08

Cdx2dt

=x1………… ..ec .09

Ecuación 07 en 06

Cd2 vdt2

+ vL+ RCL

dvL

= vfL…………ec .10

Esta ecuación se puede transformar en la siguiente

d2 vdt2

+ RLdvdt

+ 1LC

v= vfLC

……………..ec .11

El circuito de la fig. 8 tiene dos inductores y puede describirse por las corrientes

de malla que se indican. Las ecuaciones de malla son:

L1di1dt

+R (i1−i2 )=vf …………… ..ec .12

Y

R ( i2−i1 )+ L2di 2dt

=0……………ec .13

Ahora, usando R=1, L1=1H y L2=2H, se tiene

di 1/dt+ i1−i 2=vf

i2−i1+ 2di2dt

=0…………ec.14

Estas ecuaciones pueden reordenarse en términos de i1 e i2 como sigue:

Di1dt

+i1−i2=vf …………ec .15

Y

Fig. 08 circuito con dos inductores

Fuente: Dorf ,2006

−i1+i 2+2di 2dt

=0…… ..ec .16

Utilizando el método operador s=d /dt. Entonces de las ec. 15 y 16 se obtienen

Si1+i1−i2=vf

−i1+i 2+2 s12=0

Reescribiendo

(s+1)i 1−i 2=vf

−i1+(2 s+1) i2=0

Despejando i2

i2= 1vf(s+1 ) (2 s+1 )−1

En consecuencia

(2 s2+3 s)12=vf

Entonces, la ecuación diferencial es

2d2 i2d t2

+ 3di2dt

=vf ……….ec .17

(Dorf ,2006)

3.7Solución de la ecuación diferencial de segundo orden: respuesta

natural

En el circuito anterior se demostró que un circuito con dos elementos

irreducibles que almacenan energía puede representarse por una ecuación

diferencial de segundo orden de la forma

a2d2 x /d t 2+a1dx /dt+a0 x=f (t )

Donde se conocen las constantes a2, a1, a0 y se especifica la función de

excitación f(t)

La respuesta completa x(t) está dada por

X=xn+xf 0

Donde xnes la respuesta natural y xf 0 la forzada. La repuesta natural satisface

la ecuación diferencial con la función de excitación presente.

La respuesta natural de un circuito, xn, satisfacerá la ecuación

a2d2 x /d t 2+a1dx /dt+a0 x=0

Dado que xn y sus derivadas deben satisfacer la ecuación, se postula la

solución exponencial de la que se deben determinar A y s. la exponencial es la

única función que es proporcional a todas sus derivadas e integrales y, por

tanto, es la elección natural para la solución de una ecuación diferencial con

coeficientes constantes.

Xn=A est

(a2 s2+a1 s+a0)=0…………ec.18

Ecuación característica:

sn=dn/dt n

Esta ecuación se obtiene a partir de una ecuación diferencial que describe a un

circuito, asignado a todas las fuentes independientes el valor cero y

suponiendo una solución exponencial.

La solución de la ecuación cuadrática 18 tiene dos raíces, s1 y s2 donde:

Cuando hay dos raíces distintas, existen dos soluciones tales que

Xn=A1es1 t+A2es2 t

Aunque en efecto hay dos soluciones de la ecuación diferencial de segundo

orden, la suma de ellas también es una solución puesto que la ecuación es

lineal. Además la solución general de constar de la misma cantidad de términos

que orden de la ecuación, cada uno con un coeficiente arbitrario, para

satisfacer el teorema fundamental de las ecuaciones diferenciales. Se

pospondrá el análisis de caso especial cuando S1=S2.

Las raíces de la ecuación característica contienen toda la información

necesaria para determinar el carácter de la respuesta natural. (Dorf ,2006)

3.8Respuesta natural del circuito RLC en paralelo, sin excitación

Se considera respuesta natural (no forzada) del circuito RLC en paralelo que se

muestra en la fig 09, se elige este circuito para ilustrar las tres formas de la

respuesta natural. Podría presentarse una discusión análoga RLC en serie,

pero se omite dado que el propósito no es tener la solución de circuitos

específicos sino ilustrar el método general. (Dorf ,2006)

Se aplica LCK en el nodo para obtener

Cuando s1 y s2 no son iguales, la solución de la ecuación diferencial del

segundo orden ec. 20 para t>0 es:

Fig. 09 circuito RLC en paralelo

Fuente: Dorf ,2006

…………Ec. 19

………..Ec. 20

vn=A1es1 t+A2es2t………….ec.21

Ecuación característica

Donde a=12RC

y ω02= 1

LC . Normalmente, ω0 se llama frecuencia resonante o

frecuencia de resonancia.

Las raíces reales de la ecuación característica están sujetas a 3 condiciones

posibles:

Dos raíces reales y diferentes cuando a2>ω02

Dos raíces reales iguales cuando a2=ω02

Dos raíces complejas cuando a2<ω02

Cuando las dos raíces son reales y distintas, se dice que el circuito esta sobre

amortiguado.

Cuando son reales e iguales, se dice que el circuito esta críticamente

amortiguado. Cuando las dos raíces son complejas conjugadas, se dice que el

circuito esta sub amortiguado.

Se determinara la respuesta natural del circuito cuando RLC sobre amortiguado

de la fig. 9 cuando las condiciones iniciales son v(0) e i(0) en el capacitor y el

inductor, respectivamente

Nótese que, como ese circuito no tiene señal de entrada, vn(0) y v (0) indican el

mismo voltaje. La ecuación 21 en t=0 es:

v (0)=A1+A 2

Puesto que se desconocen tanto A1 como A2, se necesita una ecuación más

en t=0. Puede reescribirse la ec. 19

………………….Ec. 22

………………Ec.23

V (0 )R

+i (0 )+Cdv (0 )dt

=0

Dado que se conocen i(0) y v(0), se tiene

dv (0 )dt

=−v (0 )RC

−i (0 )C

………………….ec.24

Así se conoce el valor inicial de la derivada de v en términos de las condiciones

iniciales.

Derivando la ecuación 21 y haciendo t = 0, se obtiene

dvn (0 )dt

=s1 A1+s2 A 2………ec.25

Igualando las dos ecuaciones ultimas ec. 24 y 25:

s1 A1+s2 A 2=−v (0 )RC

−i (0 )C

…….ec .26

(Dorf ,2006)

3.9Respuesta forzada de un circuito RLC

La respuesta forzada de un circuito RCL descrito por una ecuación diferencial

de segundo orden debe satisfacer la ecuación diferencial y no se debe

contener constantes arbitrarias.

Se establece la ecuación diferencial de segundo orden

d2 xd t 2

+ a1dxdt

+a0 x=f (t )…….ec .27

La respuesta forzada xf 0 debe satisfacer la ecuación anterior. Sustituyendo

d2 xfod t 2

+ a1dxfodt

+a0 xfo=f (t )……… ..ec .28

Se necesita determinar una xf 0 tal que esta y sus derivadas primera y segunda

satisfacen la ecuación anterior

Su función de excitación es una constante, es de esperarse que la respuesta

forzada sea también constante, dado que las derivadas de una constante son

cero. Si la función de la excitación es de forma f (t)=Be−at, entonces la

derivada de f(t) son todas exponenciales de la forma Qe−at y se espera que

Xfo=De−at

Si la función de excitación es una función senoidal, puede esperarse que la

respuesta forzada sea una función senoidal. Si f (t)=A sinωot, se intentara con

Xfo=M sinωot+N cosωot=Q sin(ωot+ϑ )

En la siguiente tabla se presentan funciones de excitación seleccionadas y sus

soluciones asociadas. (Dorf ,2006)

3.10 Respuesta completa de un circuito RLC

Se ha conseguido las respuestas natural y forzada de un circuito descrito por

una ecuación diferencial de segundo orden. Ahora se procederá a determinar la

respuesta completa del circuito

Se sabe que la respuesta completa es la suma de la respuesta natural y

forzada y, por tato

x=xn+xf 0

Entonces se puede obtener la respuesta completa junto con sus constantes no

especificadas evaluando x(t) en t=0 y dx /dt en t=0, para determinar dichas

constantes. (Dorf ,2006)

Tabla N° 01

Fuente: Dorf ,2006

IV. CONCLUSIÓN

El circuito RLC tiene un gran uso o aplicación en las

telecomunicaciones, ya que es responsable generar frecuencias,

llamados osciladores.

Los circuitos RLC o resonantes son la base de construcción de

osciladores, temporizadores, informática e infinidad de circuitos

electrónicos.

V. BIBLIOGRAFÍA

Thomas L. Floyd (2007), principios de circuitos eléctricos, ed. 8va, edt.

Pearson, México, pag. 727-730 y 742-743

Richard Dorf- James Svoboda (2006) “circuitos eléctricos” ed. 6ta, edt.

Alfaomega, México, pag. 352-373