Cap 3 ley de gauss

,

CAPíTULO 3

LEY DE GAUSS

1.1 Flujo del Campo Eléctrico

1.2 Ley de Gauss

La ley de Gauss, que se aplica a cualquie r superficie hipotética cerrada, llamada también ·Superficie Gaussiana" (S.G .), establece una relación entre Cll E para la superficie y carga encerrada por la superficie gaussiana. El vector ds as perpendicular a la super

ficie.

1.3 Algunas recomendaciones para la aplicación de la Ley de Gauss:

Al escoger la superficie gaussiana se debe tener en cuenta la simetrla de la distribución de carga, para poder evaluar fácilmente la integral de superticie.

Se puede establecer el ángulo formado por E y ds dibujando dichos vecloros.

La carga neta encerrada se considera con su respectivo signo.

En un conductor la carga se encuentra localizada en su superficie; lo cual quiere decir que dentro del conductor la carga neta ( qr>Ola) es CERO, por lo tanto E '" O

1.4 Densidad de Carga:

'.4.1 En un alambre, la densidad de carga lineal es;

47

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48

,

~ · A : ~ ~' m

1.4.2 En una lámina. la dens idad de carga supc rticial es:

e : (J :~

m

1.4.3 En un malerial no conductor, la densidad de carg a volumétrica es :

p o:: q volumen

e ; p: '(ñT



,

=========LEY DE GAUSS

1. Calcular $ E a través de un hemisferio de radio R. El campo E es uniforme y paralelo al eje de la semiesfera.

2.

Sofución:

Tomando nuestra superficie gaussiana al mismo

hemisferio más la tapa de la base y considerando

que (1) E en una superficie cerrada es cero cuando

no existen fuentes ni sumideros dentro de la su·

perficie cerrada ( S.G ).

S.G.

Entonces e l flujo eléctrico a través de la superficie

del hemisferio es numéricamente igua l al flujo eléc

trico a travé s de la tapa de la base {circulo de radio R l .

. . . ( 1 )

Tenemos que: E y ds tienen la misma dirección

Porlolanloen( l): I ([) E=E pdS =E(7tR 2)

Una red para cazar mariposas se encuentra en un campo eléctrico uniforme, como S9 muestra en la figura. El aro de la red, que es un circulo de rad io "a", es perPendicular al campo. Determinar el flujo eléctrico a través de la red.

==-+-/ f

Solucl6n:

,

, . '(,

Sabemos que el flujo eléctrico en una superficie cerrada es Igual a cero cuando no hay fuentes ni sumideros. '

Entonces el f lujo eléctrico a través de la red es numéricamente Igual al flujo en el aro de la red. Por lo tanto:

49



, Pero: ds es paralela a E

Luego: c])E""TEdS

Además E es uniforme y sale de la integral: <I)E = E f ds = E (n a 2)

I (1.l E = 71: a 2 E 1

3. Calcular <IJ E en un cilindro de tal forma que su eje sea perpendicular al campo eléctrico,

E.

Solución:

SG ;- r---

f' V V V

, , ,

E

1\

Aplicando la ley de Gauss sabemos que:

donde q es la carga neta encerrada dentro de la superf icie gaussiana ( S.G. ): en este caso no existe, por lo tanto:

NOTA: La superf icie gaussiana es la superficie misma del cilindro .

4.

50

En un conductor aislado, descargado desde el origen se produce una separación de carga acercando una barra cargada positivamente, tal como se muestra en la figura. ¿Qué se puede decir del fl ujo, a partir de la ley de Gauss, en las cinco superficies gaussianas que se muestran? La carga negativa inducida en el conductor es igual a la carga pos itiva de la barra.

SolucIón:

De la f igura:

,-----------------

La ca rga neta de la barra. es +q y la carga nela del conductor es cero.

Para S1 la carga neta encerrada es +q. ,----------,



,

Para 52 la carga neta encerrada es -q.

rl-"'-,-, -----q-, E-' o'

Para 53 la carga neta encerrada es +q.

rl-"-e-,-q-,-,-o-'

Para 54 la carga nOla encerrada es +q - q ::: O

¡ «) E "" O

Para Ss la carga nela encerrada es +q -q + q '" +q

I <!Ie "' q/Eo

5. Una esfera conductora cargada un iformemente y de 1 ,O m de diámelro tiene una densi · dad de carga superticial de 8,0 G/m'!. ¿Cuál es el flu jo total que salo de la superticie de la esfera?

Solución:

\/-L~,/ , ,

\ \ e--

\ I

S.G . ./- " (1 ,/

/"-rJ~

QNo<. Aplicando la ecuación : <I) E = -

'o

Tenemos:

Reemplazando valo res tenemos:

<" _ _ ' c,' o;!-[ 4","~( 0,,, 5;-1 '-,1 E ~ 8,85.101 2

6. La intensidad del campo eléctrico terrestre cerca de su supertICie es aproximadamente 130 N/C y apunta hacia aba¡o. ¿Cuál es la carga de la Tierra, suponiendo que este campo sea causado por tal carga?

Solución :

Sabemos que:

S.G.

, ( , 1

5 1



,

También: (bE=pE:·dS . ( 2 )

Igualando ( 1 1 y (2): ~ = TE:· ds .. (3)

Como E y ds forman un ángulo de 1800 (vectores opuestos) te nemos en (3 ):

Q - = -E (4 1t R2r) """> Q = - (o E ( 4 1t R2T) 'o

Reemplazando valores: Q =.( 8,85.10.12 ) (130) [4rr (6,37. 106 )2J

I Q=-6.1OS C !

7. En uno de los vértices de un cubo de arista "a~ se coloca una carga puntual "q ~. ¿Cuál

es el flujo <1lE a través de las caras del cubo? (Sugerencia: ut ilizar la ley de Gauss y

argumentos de simetrfa).

Solución:

,

,

En primer lugar debemos observar que el flujo de la carga "q" se distribuye en tres cargas del cu bo. Además imaginemos que la carga "q" mostrada, debe quedar en el cent ro de un cubo más grande, para lograr ésto tendrfamos que dibujar siete cubos más aparte del que se muestra en la figura. Por lo tanto la carga "q~ estarla en el centro de ocho cubos co mo los de la figura puesto que con los ejes x (+), y (+) y Z (+) se construyen cuatro cubos y co n los ejes x (-l, y (o) y z (-l los cu atro restantes.

En ,?onclusi6n al estar en el centro de los OCHO cubos , el / lujo total es "qlco "pero como queremos el flujo sobre un cubo,éste será la octava parte del total.

El flujo sobre el cubo de la figura será:

8. Las componentes del campo eléctrico en la figura son E. = b. Xl12

, Ey = E, = O, en donde b =- 800 NI( C.mll2). Calcular:

y

/ , a) El flujo ¡PE a través del cubo . / b} la carga que se encuentra dentro del cubo.

Supongase que a = 10 cm.

, , , , , -."... - - - -

Solución:

a) Sabemos: q) E '" TE. ds ..... ( 1 )

, , V, , , ~ , .. ,

52



• Ter.3mos: E '" ( E.: E, ; E, ) '" ( bX'I2; O; O ) Y

V·E = ( aOx; iJdy : :1 ).(bXIl2 ;0;0)

V.E = ~X -V2 2

.... (21

Por el leo rema de la divergencia de Gauss:

"' E = f E ds = Jff O E d,

• ..... (31

b J'J'J" Reemplazando ( 2 ) en ( 3 ) tenemos: <I)e = '2 o o o X

Resolviendo: b J'f'[ " j" lJ)e=- 2x d y dz 2 o o 3

= - (2.f2a ~ 2,Ja1 dy dz b J'J' 2 , o

= ~(2.f2a - 2,Jala' 2

$E= ~ (2[2 _ 2)a 5/2

2

112dxdydz

Reemplazando datos obtenemos: N m'

O' E = 1 047 -', e

Obtenemos:

e 2 . 1047 N .m

2

N.m2 ' e

I q = 9 266 10"2 e r>e!a ' •

9. Un conductor aislado tiene u'na carga lotal de + 10.10 6 C. Dentro del conductor hay una cavidad en la cu al se encuentra una carga puntual O de +3,O.lO,e C. ¿Cuál es la carga?

al En la pared de la cavidad.

b) En la superticie externa del conductor.

53



,

Solu ci6n :

q" La carga tolal de +10.10 6 C está distribuIda en su supert icie externa. La carga puntual colocada en el interior de la cavidad de Q :. +3,0.10-6 e induce en la pared de la cavidad una carga de q' = ·3,0.10-6 C de tal forma que la carga en la superl icle extema del conductor es: q" '" + 13.10.6 e puesto que siempre:

q' + q" = +tO.IO·eC

Por lo tanto la respuesta en:

10. La figura muestra una carga puntual de 1,0.10 1C , en el centro de una cavidad esférica de 3,0 cm de radio en una pieza metálica. Utilizar la ley de Gauss para encontrar el campo eléctrico.

a) En el punto "a"', que se encuentra a la mitad de la distancia del centro de la superticie.

b) En el punto "b~.

Soluci6n:

De la ley de Gauss sabemos:

Eo fE' ds = qNETAENCERRADA •• ••• ( 1 )

Además , como E y ds forman 00

pE. ds .. E( s ) '" E ( 4 1t r2)

a) ·3,O. 10-6 C

donde E es uniforme y S es la superf icie gaussiana esférica de radio r.

luego en ( 1 ):

E=-'- . q 41t Co rz ...... ( 2 )

a) Para el punlo "a": r . "" rfl., entonces

En (2):

Reemplazando valores: E '" 9.10~ N.m:! 1.1 0- 7 e ~. (1,5.1 0 2)2 m2 IE :c 4.106 N/e I



b) Para el punto "b": la carga "q" induce la superficie de la cavidad esférica ".q" por lo tanto qNET AENCERHADiI == O.

Luego de ( 2 ) concluimos que:

11. La figura muestra un casquete esférico no conductor cargado con una densidad de carga uniforme P (C/m3). Trazar una gráfica de E como función de la distancia r, medida desde el centro de la esfera, cuando su valor varía desde O hasta 30 cm. Supóngase que:

., ,~.

P =1,O.10 6 C/mJ , a", 10cm y b=20cm

Solu ción :

Determinamos los va lores de "E" para las diversas distancias del centro sabiendo que:

.... ( 1 )

Para r < a:

Tomando la superticie gaussiana esférica de radio menor que "a" tenemos:

qNo1a E ""o,,~da = O ~ I E = O I

Para a < r < b:

Tomando la S.G. de rad io "r"' tenemos que:

En ( t ): P ("-a' ] E---- 3 E r 2 o

Para b < r:

En forma análoga tenemos:

4 q=-n(b3-a~) p y S=4nr2

3

P (b'-a'] E- -- 3 E r2

o En (1):

Luego la gráfica es la siguiente: E 10' N/C)

33

o 10 " 30 r(cm)

u na e<..ela hUf'Cd, metálica, de paredes delgadas, descargada, liene una carga puntual "q" en su centro. Obtener las expresiones de l campo eléctrico, ut ilizando la ley de Gau$s:

55



, a) En el interior de la esfera y. b) En el exterior de la esfera. el ¿Altera en algo la esfera el campo debido a "q"? d) ¿Produce la carga "q" algún efecto en la esfera? e) Si se co loca una segunda carga en el exterior de la esfera, ¿experimenta asta carga

externa alguna fuerza? j) ¿Siente la carga interna alguna fuerza? g) ¿Existe, en este caso, alguna contradicción con la tercera ley de Newton?

Solución:

al Por la ley de Gauss: f - - q E·ds = - = , •

q E( 4 11 r2 ) '" -'.

. entonces:

IE =-' c'l-I 4 ¡¡; <:0 t

Con r < R obtenemos lo mismo que en (a) ya que E y ds forman un ángu lo de O°. b) Para r > R obtenemos lo mismo que en (a) ya que "q" (carga neta encerrada) es

la misma. el No, porque no posee carga. d) Si, se inducen cargas en las superficies. e) Si, debido a "q". j) No, porque no interactúa con otras cargas. g) No, porque no existe ninguna fuerza.

13. Una esfera metálica hueca de paredes delgadas y de radio "a" t iene una carga qa.

56

Concéntrica con ella hay otra esfera metálica hueca de paredes delgadas de radio b (b > a ), con una carga qb. Utilizar la ley de Gauss para encontrar el campo eléctrico en puntos que se encuenfran a una distancia "r" del centro de las esferas cuando:

a) r < a b) a < r < b e) r > b d) ¿Cómo se distribuye la carga de cada esfera entre su superf icie Intern a y externa?

SolucIón :

Para todos los casos tomamos la S.G. esférica de radio r. q.

a) Para r < a q N.E . • O ""> B b) Para a < r < b qN.E • q. y S ", 47t r2

Luego en: f - - q. E· ds .. -'.

obtenemos:



,

el Para r > b q~.E' = ~ + <\, y S = 4 n r2

luego: ! E. ds = q" + qb obtenemos: r l:o

d) Esfera de radio ~a" : superl lcie externa: q"

Esfera de radio b: Superlicie interna: -qa } Superlio::ie externa: qa + <\, 1 Carga neta", q, I

14. Una esfe ra no co nductora de radio "a" está colocada en el centro de una esfera conductora hueca cuyo radio interno es "b" y cuyo radio externo es "c', tal como se muestra on la figura. En la esfera interna esta distribuida uniformemente una carga +Q (con una densidad de carga · P " en C/m3 ) . l a carga de la esfera externa es -O. Determinar Ew

al dentro de la esfera inlerna ( r < a ), b) entre la esfera interna V [a externa ( a < r < b 1, e) enlre las superlicies de la eslera hueca ( b < r < e ) y d) fuera de las esferas externa ( r > e ) el ¿Cuáles so n las cargas sobre las superficies interna y

externa de la esfera hueca?

Soluc·ión : a) Aplica ndo la ley de Gauss para r < a:

! E . d s = Q Nela Enoerr.>da

r & .

..... ( 1 )

Pero: o 30

p=--= - -4 3 4xa 3 3'·

Como es un ifo rme. Enlonces E tiene el rpismo valor en todos los puntos de la

superlk:ie gaussi ana y es paralelo a dS

Luego en (1 ) :

¡ E.d s = p (vofumen) r & .

5 7



15.

58

,

f Ed'=[/"~,]( 43',:']

El" ~) = ~ I~- Q . ( ~ L_-_4_'_'_._d_'_~

b) Para a <: r <: b se liene:

J E.ds '" QNftU 8001'1rr3d3

r '. Q

el Para b < r < c;

,( E.ds '" ON<>Ia E""""Ma

J '. Pero 0Nota EOOI'IIIada es cero, porque en r '" b se tiene -O.

Enlonces: E = O

d) Para r :> e:

el La carga en la superficie interna en la esfera hueca es . Q inducida por +Q y en la superficie externa es cero para que asl la carga neta sea . Q en la esfera hueca.

Un conductor de forma irregular t iene una cavidad irregular. El conductor se carga con +q, pero dentro de la cavidad no hay carga. Demostrar que:

al dentro de la cavidad E = O b) no hay carga en la pared de la cavidad .

Sofución:

Graficando el conduclor:

Sabemos que en todo conducto r cargado, la carga se distribuye en la superf icie externa.

al Para S.G. esférica de radio r tenemos:

qN.E.= O ~ I E=O I

q

+

h) Suponiendo que existe una carga ql en la superficie de la cavídad.

+ +

+ +



, 1) Si ql es positivo <=:> la carga total del conductor será q + ql"

11 ) Si q, es negativo =e. la carga total del conduclor será q • q, .

De ( I ) Y ( 11 ) concluimos que q, debe ser cero ya que la carga lolal del conductor esq.

16. la reglón esférica caracterizada por a < r < b tiene una carga por unidad de volumen p = Alr, en donde A es una constante. En el centro de la cavidad ( r". O ) hay una carga puntual Q. ¿Cuál debe ser el valor de A para que el campo eléctrico en la región a < r < b tenga una magnitud constante?

Solución:

Aplicando la ley de Gauss:

f - - Q-E·ds = --

' o

,,' ,

,'~'" , ',', \ SG . ',' Q '. ~ .' . " , ,

, , ¡IY

E es radial puesto que la distribución de carga también es radial luego E y ds tienen

el mismo sentido; además E tiene el mismo valo r a una distancia "r" por depender s610 de .'". En segundo lugar la carga neta encerrada por la superficie gaussiana es:

5'" 0 Nti ... '" O + P dv , ..

donde: A

p = r

dv '" 4 1t r2dr y O carga ubicada en el eenlro ( r '" O , .

Luego en ( 1 ): E{ 4 1t r2) '"

E •

( r' a ' 1 O+ 41tA "2-2

41t Ecr2 E •

Ahora como E debe ser constante en toda región' donde ( a < r < b ) entonces se debe cumplir que E( •• a) . E(, . b) , de donde se tiene que:

O O + 4 1t A ( b2;a

2)

41t Eo a 2 = 4 1tEo b 2

59



, Operando tenemos que:

17. Una esfera sólida. no conduClora, l lene una carga por unidad de volumen uniforme

60

Sea r el vector que va del centro de la esfera a un punto arbitrario P dentro de la misma.

a) Demostrar que el campo eléctrico en P está dado por E = P rl ( 3 Eo l.

b) En la esfera se practica una "cavidad" esférica como se muestra en la figura. Demostrar utilizando los conceptos de superposición, que el campo eléctr ico en todos los puntos de la cavidad es:

E = P al (3 (o ) (un campo uniforme), en donde a es el vector que va del cent ro de la esfera al centro de la cavidad. Nótese que los dos resultados son independientes de los rad ios do la esfera y de la cavidad .

Solución : a) o

S G ~, ~ -~ , R

' ;~'" , , p~' , !_ , '

Aplicando la ley de Gaus se tiene:

¡, - - Q...., r E.ds ", --' o

Pero como r es unilorma, E también lo es en todos los puntos de la superficie gaussiana

y para lolo a ds , luego:

EI 4 .~) =

b) Al practicar una cavidad esférica de radio ro. Podemos determinar la contribución al campo eléctrico de la esfe ra de radio r~ y densidad volumétrica unllorme p.

Aplicando la l ey de Gauss idént ico al caso ( a ) se obtiene :

E '. -P- ' r ' 3 '0

luego por superposición el campo en la cavidad estérlca practicada es:

Eo = E· E' .. _P- tr · r' ) . 3 Eo

pero: r - r' '"' a distancia del centro d.3 la eslera al centro de la cavidad.

Finalmente: 1 Eo = ~. a I

Como a es constante, entonces Ea es uniforme.

, , ( ,



, 18, La figura muestra la sección de un tubo metálico largo, de paredes delgadas y de radio R,

que en su supcrt,cia una carga por unidad de longitud ) .. Encontrar una expresión de E para diferentes distancias r medidas desde el eje, considerando tanto que: al r:> R como, b) r < A

Representar gráficamente los resul tados en el in-tervalo que va de r ", O hasta r '" 5 cm, suponiendo que: l. :lE 2.0.10-11 G/m y que R '" 3,0 cm.

Solución:

Tomamos la S.G. cil!nd rica de radio r concéntrica al tubo y aplicando:

rE d S = q NE· ... . . (I) 'o

al r :> R:

En ( 1 ): (o f E' ds:; q N.E ;; 1.. L

Co E (21tr ) L = I. L

b ) r < A:

qN,E. '" O

Entonces en ( 1 ):

Graflcando: E

B

\ , 3 5 '

19. En la figura se muestra la secclOn transversal de un cilindro conduclor largo con una carga lolal +q, rodeado por un tubo cilfndrico Con una carga total -2q. Utilizar la ley de Gauss para encontrar:

a) el campo eléctrico en aquellos puntos luera del tubo ciHndrlco,

b) la distribuci6n de carga en el tubo cilíndrico y c) el campo eléctrico en la reg i6n Intermedia entre los<

cilindros. .

Solucl6n:

:~++\ + + + + + R + + +

+ '----------"~~+~++

S:'pcniendo la longUue! de los condu::tores l , tom3.mos la S.G. clUndrica de radio · r~ y

longitud l concéntrica a ambos conductores.

61



,

qN,¡;= q·2q "' -q

Luego: Eo f E·ds::: - q =::> [o (2 1t r ll :::-q

lE . 2':0 " 11.): md;almenle hac;a adenlm.

b) En la superficie interior es inducida: -q, en la superficie exterior es: -q, ya que la carga neta del tubo cilfndrico es -2q.

c) r1 < r < r2 :

qNE '" +q

luego: [o § E.d$" '" + q ={) [o (2 n r l) = + q

I E= ":0" 20. l os radios de dos cilindros concéntricos cargados son 3,0 y 6,0 cm. La carga por unidad

de longitud del cilindro inlerno es da 5,0.1 0-6 Glm y la del cilindro externo es de -7,0.10-6 e/m Encontrar el campo eléctrico en:

62

al r '" 4,0 cm y b) r = 8.0 cm.

Solución:

al Aplicando la ley de Gauss para: a < r < b

b "\ .. ' ~- - -- -----------,1-;-,

, , , . . . , > ~-

\ J ",, ----- ----..l¡-..l-- ' Pero: 0Netl'" i... ( i ) Y E es un iforme y parale

lo a ds por ser J.... constante .

Entonces: f A.Il) E 2n: rd/ =--

' o A. 1')

E(21'C f l )'-' - - ~

'o Reemplazando valores para r • 4 cm, se tiene:

5,O.10 -t

E·21t( 4 .1O-2) (8 ,85. 10-12)



I E = 22.48.105 N/e

b) Apl icando la ley de Gauss para (r > b):

1'1 (_""-' _+ _Á,"C1-,-1_' E (2 11 r 1) '" -

"

,

Reemplazando valores para r = 8 cm se tiene:

E= I{S.10 S ~ 710 6 )1

211 Ea (8.10 '2 )

E = 4,5.105 N/e

2 1. La figura muest ra la sección de dos ci lindros concéntricos largos de radios a y b. Los cilindros tienen cargas po r unidad de longitud A , iguales y opuestas Uti lizando la ley de Gauss demostra r:

al que E == O si r > b Y si r <: a y b) que el valor de E entre los c il indros está dado por:

1 Á E - --

- 2 Jl lOo ~-" ~ + //a~" + ,', ""i , l'

,:+ ' . ,I0b+!,' .. \, _ .. " .. . .. "' +_". +J Soluc ión:

Sabemos que por la ley de Gauss: ro p E ds -'" qNt¡ta

a) Para r > b:

Como: Aa = - Ab ---::> =--

De donde: qa = -qlJ

luego la carga neta encerrada es: qa + qb = O

Para r < a:

La carga neta encerrada es ce ro:

b) Para a <: r <: b :

La carga neta es qa = A. f

63



,

Además: Eo fEdS ,," A f

IE--' ~ 1 ~ 2 It (' o r

22, A lo largo de un cilindro infinito de radio R se distribuye uniformemente una carga.

a) Demostrar que E, para distancias r medidas desde el eJo del cil indro (r < R l. está dada por:

en donde P es la densidad de carga. b) ¿Cuál seria el resultado esperado para r > R?

Solución:

Graflcando el ci lindro:

Superficie Gaussiana: cilindro concentrico de radio r.

al Sabemos que: Eo f E ds '" qr-.O!a . ¡ 1 I

Además: p =_q_ =:,;. q "' pn: r 2

n r 2 / ¡, ¡ RI

En ( 1 ):

b) Pa ra r > A la carga neta es: q :: p re R 2 I

Luego en ( 1 ): Eo E(2nr f ) = pr.:R 2 ¡ - >

23. Dos grandes láminas metálicas están colocadas como se muestra en la figura y sus superficies Internas están cargadas con una densidad do carga superficial + (J y - (J,

respectivamente. c,Cuál es el valor de E en los puntos que se encuentran:

64

a) A la izquierda de las láminas, b) entre ellas y c) a la derecha de las láminas.

No se consideran los puntos cercanos a las orillas de las láminas. sólo aquellos cuya distancia a la lámina es pequeña en comparación con las dimensiones de ésta. -o + 0



, Solución:

al Por la ley de Gauss: . .... ( 1 )

Pero o '" O en las superficies exteriores de las placas :

Luego en ( 1 ): Ea f E·dS Ea y ds no pueden ser cero. entonces concluimos que:

b) Como E es uniforme, tenemos que'

t: o f EdS ~ o.S f o E.S == 0.$

hacia la izqu ierda

24. Dos grandes láminas no conductoras con carga positiva estan colocadas como S8 muestra en la figura. ¿Cuál es el valor de E en los punlos que se encuentra:

a) a la izquierda de las láminas . b) entre las láminas y c) a la derecha de las láminas?

Supóngase que las dos láminas l lenen la misma densidad superficial de carga o. No se consideren punlos que se encuentren cerca de las orillas de las láminas y sólo aquellos cuya d istancia a la lámina es poqueña en comparación con las dimensiones de ésta. (Sugerencia: E

+ + + +

+ +

+ +

+ +

en un punto cualquiera es la suma vectoria l de los campos eléctricos individuales debidos a cada una de las láminas).

Solución:

Analicemos una de las láminas. considerando la S.G. un cilindro para aprovechar su simetría.

De:

podemos expresarlo así:

s, 0 s, 0 0 :.E.. E 0

0 0 0

f - - q E d s =-

" - (j s,

dS J :=--

" .. . . ( 1 )

de la figura: S, '" S2'" área de la base del cilindro.

S3 = área lateral del cilindro.

Entonces: E . ds = o

Luego en ( 1 ):

65



O .S, E.S 1 + ES! = --

" Juntando las dos láminas, tendremos:

o o o

•

E - - - +----1-2f 2 Eo ( e

hacia la izquierda

o o o E =--+---

I11 2( 0 2f o tOo hacia la derecha.

~ ~

, , , - .-

25. Una placa no conductora do espesor ~d ' l ieno una densidad dc carga volumétrica P unllorme. Determinar la magmtud dcl campo eléctrico'

a) dentro. b) luera de la placa

Solución:

a) Grallcando la placa:

Aplicamos la ley dc Gauss para el interior de la placa:

b)

f-- f ; rAd' E n d s "" L-__ ,

E ( $) "" p.A.x

" Notar Que para x = d '

E

P :- SG , -'-L '-, ñ

0-- ' ->0 . --d--H

,

'-i'"'-'cY-"c-,.,-, 5.G - :

Aplicamos la ley de Gauss para puntos exteriores a la placa:

, l'

-E : ~

~d_1

E ,-

¡ -- f-- pdA :r E n ds + E n ds = _. -.-c,

E A + E.A o- p. d .A ....:.>

" 26. Una pequeña eslera cargada de masa "m· y carga "q" está suspendido de un hilo de

seda que lonna un ángulo ·0" con respecto de una gran superl icie conduclora, plana y

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• cargada, tal como se muestra en la figura Determinar la densidad superficial de carga (J de la lámina.

Solución:

O.C.L. de la esfera:

Sabemos que de la placa:

E - ~ , , ( 1 )

y para la esfera:

F = q . E .... (2)

De ( 1 ) Y ( 2 ):

. . ( 3 I

DeIO.C.L. :

F Tg O = - '-.> F = mg . Tg O ( 4 )

mg

Reemplazando ( 4 ) en ( 3 ): I O c mgc~ T90

27 Demostrar que es imposible lograr el eqUilibrio estable por la acción única de fuerzas electrostáticas. (Sugerencia : Supongase que al colocar una carga +q en cierto punto P en un campo E, ésta queda en equ ilibrio estable -lo cual ocurre-o Trace una superficie gaussiana esférica en torno a P; imagínese el sentido en el que debe apuntar E sobre esta superficie y aplíquese la ley de Gauss).

Solucióll:

Recordemos el concepto de equilibrio estable' "Cuando un cuerpo en equilibrio es desplazado ligeramente, los valores, sentidos y líneas de acción de las fuerzas que actúan sobre él pueden cambiar. Si las fuerzas en la posición desplazadas son tales que hacen volver al cuerpo a su posic ión inicial, el equilibno es estable".

> SG .r ~

, ,

¡ •

Ahora al colocar la carga +q en el punto P del campo E, inicialmente. ésta queda en equilibrio estable, luego al aplica r la ley de Gauss. a ésta carga. hallamos que:

f c C q

fo Eds = q =-) E = 2 4 r.: 100 r

Entonces. debe existir un campo "restituyente" lo cual es imposible crear, por lo que es imposible lograr el equ ilibrio estable por la acción única de fuerzas electrostáticas.

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Cap 3 ley de gauss

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