C O N T R O L OF S P R A Y C O O L I N G I N

T H E C O N T I N U O U S C A S T I N G OF S T E E L

by

L u i s A n t o n i o d e S o u z a | B a p t i s t a

E n g . M e t . , I n s t i t u t o M i l i t a r d e E n g e n h a r i a , 1 9 7 4

A T H E S I S S U B M I T T E D I N P A R T I A L F U L F I L L M E N T OF

T H E R E Q U I R E M E N T S F O R T H E D E G R E E OF

M A S T E R OF A P P L I E D S C I E N C E

i n

T H E F A C U L T Y OF G R A D U A T E S T U D I E S

D e p a r t m e n t o f M e t a l l u r g i c a l E n g i n e e r i n g

We a c c e p t t h i s t h e s i s a s c o n f o r m i n g

t o t h e r e q u i r e d s t a n d a r d

T H E U N I V E R S I T Y OF B R I T I S H C O L U M B I A

M a r c h , 1 9 79

L u i s A n t o n i o d e S o u z a B a p t i s t a , 1 9 7 9

In presenting th i s thesis in par t i a l fu l f i lment of the requirements for

an advanced degree at the Univers ity of B r i t i s h Columbia, I agree that

the Library shal l make i t f ree ly avai lable for reference and study.

I further agree that permission for extensive copying of th i s thesis

for scholar ly purposes may be granted by the Head of my Department or

by his representatives. It i s understood that copying or publ icat ion

of th i s thesis for f inanc ia l gain shal l not be allowed without my

written permission.

Department O f M e t a l l u r g i c a l E n g i n e e r i n g

The Univers ity of B r i t i s h Columbia 2075 Wesbrook Place Vancouver, Canada V6T 1W5.

5 / 7 / 73

A R S T R A C T

T h e b a s i c p r i n c i p l e s o f s p r a y c o n t r o l d u r i n g c a s t i n g

s p e e d c h a n g e s i n t h e c o n t i n u o u s c a s t i n g o f s t e e l h a v e b e e n

s t u d i e d . T h e n o r m a l s p r a y c o n t r o l p r a c t i c e i n w h i c h w a t e r

f l o w i n t h e s p r a y s i s m a d e p r o p o r t i o n a l t o t h e c a s t i n g s p e e d

h a s b e e n f o u n d t o b e c o m p l e t e l y i n a d e q u a t e f r o m t h e s t a n d p o i n t

o f c o n t r o l l i n g t h e s u r f a c e t e m p e r a t u r e o f t h e s t r a n d . A

c o m p u t e r m o d e l b a s e d u p o n t h e p r i n c i p l e o f c o n t r o l l i n g t h e

s p r a y s a s a f u n c t i o n o f t h e a g e o f t h e m e t a l p a s s i n g t h r o u g h

t h e m a c h i n e h a s b e e n d e v e l o p e d . T h e m o d e l p r e d i c t s b o t h

t h e a v e r a g e l o c a l r e s i d e n c e t i m e a n d w a t e r f l u x i n a s p r a y

z o n e f o r a n y c a s t i n g s p e e d c h a n g e . A n a c c o m p a n y i n g h e a t f l o w

m o d e l h a s a l s o b e e n d e v e l o p e d f o r c h a r a c t e r i z a t i o n o f c o o l i n g

r a t e s a n d s i m u l a t i o n o f t h e e f f e c t s o f s p r a y c o n t r o l p r a c t i c e s

o n t h e s u r f a c e t e m p e r a t u r e o f t h e s t r a n d .

T h e c o n t r o l m o d e l h a s b e e n u s e d f o r t h e d e v e l o p m e n t

o f a n e w s p r a y c o n t r o l p r a c t i c e i n a n i n d u s t r i a l s l a b c a s t e r .

T e s t s h a v e b e e n p e r f o r m e d b o t h u s i n g t h e n e w p r a c t i c e

a n d t h e n o r m a l s p r a y c o n t r o l p r a c t i c e . A l t h o u g h , a c o m p l e t e

v e r i f i c a t i o n h a s n o t b e e n p o s s i b l e a t t h i s t i m e , t h e m o d e l

a p p e a r s t o r e a l i s t i c a l l y p r e d i c t t h e t h e r m a l r e q u i r e m e n t s o f

t h e s t r a n d d u r i n g c a s t i n g s p e e d c h a n g e .

i

T h e n e c e s s i t y f o r a u t o m a t i c c o n t r o l o f t h e s p r a y s h a s

b e c o m e e v i d e n t d u r i n g t h e d e v e l o p m e n t o f t h e p r e s e n t w o r k .

T h e p r i n c i p l e s o f a u t o m a t i c c o n t r o l o f t h e s p r a y s h a v e b e e n

s t u d i e d a n d t h e c o n t r o l m o d e l a d a p t e d f o r t h i s p u r p o s e . I t

h a s b e e n s h o w n t h a t a t r u e a u t o m a t i c c o n t r o l o f s p r a y c o o l i n g

c a n b e a t t a i n e d u s i n g t h e m a t h e m a t i c a l m o d e l f o r s p r a y c o n t r o l .

i i

T A B L E O F C O N T E N T S

P a g e

A B S T R A C T 1

T A B L E O F C O N T E N T S i i i

L I S T O F T A B L E S v l

L I S T O F F I G U R E S v l i

A C K N O W L E D G E M E N T S . . . . . x i i i

C h a p t e r

1 I N T R O D U C T I O N 1

1 . 1 S p r a y C o n t r o l I n t h e C o n t i n u o u s C a s t i n g o f S t e e l 1

1 . 2 O b j e c t i v e s o f t h e P r e s e n t W o r k

2 L I T E R A T U R E R E V I E W . 4

2 . 1 S p r a y P a r a m e t e r s 4

2 . 2 E f f e c t o f S e c o n d a r y C o o l i n g o n S t r a n d D e f e c t s 1 0

2 . 3 M a t h e m a t i c a l M o d e l s o f H e a t F l o w i n t h e C o n t i n u o u s C a s t i n g o f S t e e l ^

2 0 2 . 4 C o n t r o l o f S e c o n d a r y C o o l i n g

3 D E V E L O P M E N T O F T H E M A T H E M A T I C A L M O D E L S 2 6

3 . 1 M a t h e m a t i c a l M o d e l o f H e a t F l o w 2 6

3 . 1 . 1 I n t r o d u c t i o n

3 . 1 . 2 F o r m u l a t i o n o f t h e F i n i t e 2 8

D i f f e r e n c e E q u a t i o n s

3 . 1 . 3 S u r f a c e B o u n d a r y C o n d i t i o n s

3 . 1 . 4 T e s t i n g t h e M o d e l 3 7 i i i

3 . 2 M a t h e m a t i c a l M o d e l f o r C o n t r o l l i n g t h e

S e c o n d a r y C o o l i n g Z o n e : .

3 . 2 . 1 I n t r o d u c t i o n

3 . 2 . 2 R e s i d e n c e - T i m e C a l c u l a t i o n s

3 . 2 . 3 C o m p u t e r P r o g r a m F o r m u l a t i o n

3 . 2 . 4 D e v e l o p m e n t o f t h e C o n t r o l E q u a t i o n s .

P R E D I C T I O N S F O R C A S T I N G S P E E D C H A N G E

4 . 1 I n t r o d u c t i o n

4 . 2 S i n g l e S t e p C h a n g e i n C a s t i n g S p e e d

4 . 3 S e q u e n c e o f S t e p C h a n g e s i n C a s t i n g S p e e d

4 . 4 P r e d i c t i o n s f o r M o r e C o m p l e x C a s t i n g S p e e d C h a n g e s

C O N T R O L O F S P R A Y C O O L I N G C U R I N G A S H R O U D

C H A N G E : A C A S T S T U D Y

5 . 1 I n t r o d u c t i o n

5 . 2 D e v e l o p m e n t o f t h e C o n t r o l E q u a t i o n s

5 . 3 V e r i f i c a t i o n o f t h e C o n t r o l E q u a t i o n s . . . .

5 . 4 D e v e l o p m e n t o f a N e w C o n t r o l P r a c t i c e . . . .

A U T O M A T I C C O N T R O L O F S P R A Y S

6 . 1 I n t r o d u c t i o n

6 . 2 B a s i c F e a t u r e s o f a n A u t o m a t i c S y s t e m

f o r S p r a y C o n t r o l .

6 . 3 F e e d b a c k - C o n t r o l L o o p

6 . 4 S t a b i l i t y o f a F e e d b a c k - C o n t r o l L o o p . . . . i v

C h a p t e r P a g e

6 . 5 A u t o m a t i c C o n t r o l S i m u l a t i o n s . . . . . . . . . . . . 8 5

7 S U M M A R Y A N D S U G G E S T I O N S F O R F U T U R E W O R K 9 0

7 . 1 S u m m a r y 9 0

7 . 2 S u g g e s t i o n s f o r F u t u r e W o r k 9 1

R E F E R E N C E S 9 3

A P P E N D I C E S

A l L i s t i n g o f t h e H e a t F l o w M o d e l P r o g r a m . . . 1 6 5

A 2 L i s t i n g o f t h e C o n t r o l M o d e l P r o g r a m 1 8 6

A 3 S t a b i l i t y A n a l y s i s 1 9 7

A 4 A u t o m a t i c C o n t r o l P r o g r a m 2 0 2

A 5 S y m b o l s a n d U n i t s 2 0 6

v

L I S T O F T A B L E S

T a b l e

I I

I I I

I V

V

V I

V I I

V I I I

I X

S p r a y H e a t T r a n s f e r C o e f f i c i e n t s "» R e f e r e n c e s a n d E x p e r i m e n t a l C o n d i t i o n s . . . .

C o m p a r i s o n o f C e n t r e T e m p e r a t u r e s

A s s u m e d T h e r m o p h y s i c a l P r o p e r t i e s f o r L o w -C a r b o n S t e e l ( A I S I 1 0 1 8 )

A s s u m e d R e l e v a n t C a s t i n g V a r i a b l e s

S e c o n d a r y C o o l i n g Z o n e — I n l a n d S l a b C a s t e r

I n l a n d S l a b C a s t e r - Z o n e W a t e r F l o w s

I n l a n d S l a b C a s t e r - C o o l i n g E f f i c i e n c i e s .

R e c o m m e n d e d S p r a y P r a c t i c e

R e s u l t s o f t h e S t a b i l i t y A n a l y s i s

P a g e

5

3 8

3 9

4 0

6 6

6 7

6 8

7 2

8 5

v i

L I S T O F F I G U R E S

P l o t o f s p r a y h e a t - t r a n s f e r c o e f f i c i e n t a s a f u n c t i o n o f s p r a y w a t e r f l u x . S e e T a b l e I f o r r e f e r e n c e s . . . . . . . .

D e f e c t s i n c o n t i n u o u s l y c a s t s t e e l

M e s h , u s e d i n t h e m a t h e m a t i c a l m o d e l o f h e a t f l o w

P l o t o f h e a t f l u x i n t h e m o u l d r e g i o n f o r t w o m o u l d c o n d i t i o n s

A v e r a g e , o v e r a l l h e a t - t r a n s f e r c o e f f i c i e n t f o r t h e m o u l d a s a f u n c t i o n o f d w e l l t i m e . A f t e r L a i t e t a l . 4 8

C o m p a r i s o n o f c a l c u l a t e d a n d m e a s u r e d h e a t f l u x e s f r o m t h e s u r f a c e o f a c o n t i n u o u s l y c a s t s l a b t o t h e m o u l d a t 2 1 c m b e l o w m e n i s c u s

S u r f a c e - ^ t e m p e r a t u r e p r o f i l e f o r 1-4 x 1 4 c m l o w - c a r b o n s t e e l b i l l e t

L i q u i d - p o o l p r o f i l e f o r 1 4 x 1 4 c m l o w -c a r b o n s t e e l b i l l e t . . .

S c h e m a t i c d i a g r a m o f s t r a n d d i v i d e d i n t o s l i c e s . d i s t h e d i s t a n c e o f t h e K t h s l i c e f r o m t h e m e n i s c u s .

A r b i t r a r y c a s t i n g s p e e d — t i m e p l o t

S u b - d i v i s i o n o f c a s t i n g s p e e d — t i m e p l o t t o c a l c u l a t e l o c a l r e s i d e n c e t i m e o f a s l i c e . . . . .

P r o c e d u r e f o r a v e r a g i n g h e a t t r a n s f e r c o e f ­f i c i e n t s i n a s p r a y z o n e o n l y p a r t l y o c c u p i e d b y t h e s t r a n d

E v a l u a t i o n o f a g e o f s l i c e s p a s s i n g a p o i n t w h i c h i s a d i s t a n c e d B e l o w t h e m e n i s c u s a f t e r a s t e p d e c r e a s e i n c a s t i n g s p e e d

v i i

F i g u r e P a g e ;

1 4 T i m e t o r e a c h , n e w s t e a d y s t a t e a s a f u n c t i o n o f d i s t a n c e B e l o w - t h e m e n i s c u s a f t e r a s t e p c h a n g e i n c a s t i n g s p e e d . . H I

1 5 A r b i t r a r y h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t p r o f i l e i n t h e s p r a y s 1 1 2

1 6 L o c a l r e s i d e n c e t i m e a n d h e a t — t r a n s f e r c o ­e f f i c i e n t a s a f u n c t i o n o f t i m e a f t e r a s p e e d c h a n g e f r o m 2 . 0 t o 1 . 0 c m / s . C o n t r o l p o i n t s 2 a n d 1 0 m B e l o w t h . e m e n i s c u s

1 7 E v a l u a t i o n o f a g e o f s l i c e s p a s s i n g a p o i n t d B e l o w t h e m e n i s c u s a f t e r a s t e p d e c r e a s e - s t e p i n c r e a s e i n c a s t i n g s p e e d : T < 0 ; 0 < T < X a n d x - t < 0

1 8 E v a l u a t i o n o f a g e o f s l i c e s p a s s i n g a p o i n t d B e l o w t h e m e n i s c u s a f t e r a s t e p d e c r e a s e -s t e p i n c r e a s e i n c a s t i n g s p e e d : ( a ) 0 < x - t a n d T < X ; (b\ x - t < 0 a n d X < T

1 9 E v a l u a t i o n o f a g e o f s l i c e s p a s s i n g a p o i n t d B e l o w t h e m e n i s c u s a f t e r a s t e p d e c r e a s e -s t e p i n c r e a s e i n c a s t i n g s p e e d : 0 < T - t < X a n d X < T ; X < T - t : 1 1 6

2 0 C o n t r o l i n t e r v a l a t a p o i n t d B e l o w t h e m e n i s c u s a f t e r a s t e p d e c r e a s e - s t e p i n c r e a s e i n c a s t i n g s p e e d . N o t e , " c a s t i n g s p e e d " i s i n i t i a l s p e e d , V Q , a n d i s t i m e a t l o w s p e e d . . .

2 1 D i f f e r e n c e i n r e s i d e n c e t i m e a s s o c i a t e d w i t h a p o i n t d B e l o w t h e m e n i s c u s a f t e r a s t e p d e c r e a s e - s t e p i n c r e a s e i n c a s t i n g s p e e d 1 1 8

2 2 L o c a l r e s i d e n c e t i m e a n d h e a t - t r a n s f e r c o ­e f f i c i e n t a s a f u n c t i o n o f t i m e a f t e r a s p e e d c h a n g e f r o m 2 . 0 t o 1 . 0 c m / s f o r 4 m i n . C o n t r o l p o i n t s 2 a n d 1 0 m B e l o w t h e m e n i s c u s . .

2 3 A s s u m e d c a s t i n g s p e e d - t i m e p l o t f o r s t a r t - u p . .

2 4 P r e d i c t i o n s o f a v e r a g e l o c a l r e s i d e n c e t i m e a n d s p r a y h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t a s a f u n c t i o n o f t i m e a f t e r s t a r t - u p . M i d - p o i n t o f t h e c o n t r o l l e d z o n e 8 0 c m B e l o w m e n i s c u s . D a s h e d l i n e , s p r a y <* s p e e d

v i i i

P r e d i c t i o n s o f a v e r a g e l o c a l r e s i d e n c e t i m e a n d s p r a y h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t a s a f u n c t i o n o f t i m e a f t e r s t a r t - u p . M i d ­p o i n t o f t h e c o n t r o l l e d z o n e 1 8 0 c m E e l o w m e n i s c u s - . D a s h e d l i n e , s p a r y « s p e e d . .

P r e d i c t i o n s o f a v e r a g e l o c a l r e s i d e n c e t i m e a n d s p r a y h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t a s a f u n c t i o n o f t i m e a f t e r s t a r t - u p . M i d - p o i n t o f t h e c o n t r o l l e d z o n e 4 6 0 c m b e l o w m e n i s c u s . D a s h e d l i n e , s p a r y " s p e e d

P r e d i c t i o n s o f a v e r a g e l o c a l r e s i d e n c e t i m e a n d s p r a y h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t a s a f u n c t i o n o f t i m e a f t e r s t a r t - u p . M i d - p o i n t o f t h e c o n t r o l l e d z o n e 9 6 0 c m b e l o w m e n i s c u s . D a s h e d l i n e , s p r a y « s p e e d

P r e d i c t i o n s o f a v e r a g e l o c a l r e s i d e n c e t i m e a n d s p r a y h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t a s a f u n c t i o n o f t i m e a f t e r s t a r t - u p . M i d - p o i n t o f t h e c o n t r o l l e d z o n e 1 6 6 0 c m b e l o w m e n i s c u s . D a s h e d l i n e , s p r a y = s p e e d

A s s u m e d c a s t i n g s p e e d - t i m e p l o t f o r t u n d i s h c h a n g e

P r e d i c t i o n s o f a v e r a g e l o c a l r e s i d e n c e t i m e a n d s p r a y h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t a s a f u n c t i o n o f t i m e a f t e r t u n d i s h c h a n g e . M i d ­p o i n t o f t h e c o n t r o l l e d z o n e 8 0 c m b e l o w m e n i s c u s . D a s h e d l i n e , s p r a y s p e e d

P r e d i c t i o n s o f a v e r a g e l o c a l r e s i d e n c e t i m e a n d s p r a y h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t a s a f u n c t i o n o f t i m e a f t e r t u n d i s h c h a n g e . M i d ­p o i n t o f t h e c o n t r o l l e d z o n e 1 8 0 c m b e l o w m e n i s c u s . D a s h e d l i n e , s p r a y « . s p e e d

P r e d i c t i o n s o f a v e r a g e l o c a l r e s i d e n c e t i m e a n d s p r a y h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t a s a f u n c t i o n o f t i m e a f t e r t u n d i s h c h a n g e . M i d ­p o i n t o f t h e c o n t r o l l e d z o n e 4 6 0 c m b e l o w m e n i s c u s . D a s h e d l i n e , s p r a y <* s p e e d

i x

F i g u r e P a g e

3 3 P r e d i c t i o n s o f a v e r a g e l o c a l r e s i d e n c e t i m e a n d s p r a y h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t a s a f u n c t i o n o f t i m e a f t e r t u n d i s h c h a n g e . M i d ­p o i n t o f t h e c o n t r o l l e d z o n e 9 6 0 c m b e l o w m e n i s c u s . D a s h e d l i n e , s p r a y « s p e e d

3 4 P r e d i c t i o n s o f a v e r a g e l o c a l r e s i d e n c e t i m e a n d s p r a y h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t a s a f u n c t i o n o f t i m e a f t e r t u n d i s h c h a n g e . M i d ­p o i n t o f t h e c o n t r o l l e d z o n e 1 6 6 0 c m b e l o w 131 m e n i s c u s . D a s h e d l i n e , s p r a y <* s p e e d

3 5 A s s u m e d c a s t i n g s p e e d - t i m e p l o t f o r 132 c a p p i n g - o f f o p e r a t i o n

3 6 P r e d i c t i o n s o f a v e r a g e l o c a l r e s i d e n c e t i m e a n d s p r a y h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t a s a f u n c t i o n o f t i m e a f t e r c a p p i n g - o f f . M i d ­p o i n t o f t h e c o n t r o l l e d z o n e 8 0 c m b e l o w 133 m e n i s c u s . D a s h e d l i n e , s p r a y <* s p e e d

3 7 P r e d i c t i o n s o f a v e r a g e l o c a l r e s i d e n c e t i m e a n d s p r a y h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t a s a f u n c t i o n o f t i m e a f t e r c a p p i n g - o f f . M i d ­p o i n t o f t h e c o n t r o l l e d z o n e 1 8 0 c m b e l o w , „ . m e n i s c u s . D a s h e d l i n e , s p r a y <* s p e e d

3 8 P r e d i c t i o n s o f a v e r a g e l o c a l r e s i d e n c e t i m e a n d s p r a y h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t a s a f u n c t i o n o f t i m e a f t e r c a p p i n g - o f f . M i d ­p o i n t o f t h e c o n t r o l l e d z o n e 4 6 0 c m b e l o w m e n i s c u s . D a s h e d l i n e , s p r a y = s p e e d

3 9 P r e d i c t i o n s o f a v e r a g e l o c a l r e s i d e n c e t i m e a n d s p r a y h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t a s a f u n c t i o n o f t i m e a f t e r c a p p i n g - o f f . M i d ­p o i n t o f t h e c o n t r o l l e d z o n e 9 6 0 c m b e l o w 1 0 ,

• ~ 1 •. -1 . 1 1 J O

m e n i s c u s . D a s h e d l i n e , s p r a y « s p e e d

4 0 P r e d i c t i o n s o f a v e r a g e l o c a l r e s i d e n c e t i m e a n d s p r a y h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t a s a f u n c t i o n o f t i m e a f t e r c a p p i n g - o f f . M i d ­p o i n t o f t h e c o n t r o l l e d z o n e 1 6 6 0 c m b e l o w m e n i s c u s . D a s h e d l i n e , s p r a y « s p e e d

4 1 S u r f a c e - t e m p e r a t u r e p r o f i l e - I n l a n d s l a b - ^ 3 c a s t e r

x

F i g u r e P a g e

4 2 P r e d i c t e d h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t p r o f i l e -1 O Q

I n l a n d s l a b c a s t e r

4 3 P r e d i c t i o n o f s u r f a c e - t e m p e r a t u r e f l u c t u a t i o n d u r i n g a s h r o u d c h a n g e b e t w e e n z o n e s 3 a n d 4 — n o r m a l s p r a y c o n t r o l p r a c t i c e

4 4 A c t u a l s u r f a c e - t e m p e r a t u r e f l u c t u a t i o n b e t w e e n z o n e s 3 a n d 4 d u r i n g a s h r o u d c h a n g e - n o r m a l s p r a y c o n t r o l p r a c t i c e . R u n 4 . 1

4 6 P r e d i c t e d i d e a l s u r f a c e - t e m p e r a t u r e c h a n g e d u r i n g a s h r o u d c h a n g e b e t w e e n z o n e s 3 a n d 4

4 7 P r e d i c t i o n o f s u r f a c e - t e m p e r a t u r e f l u c t u a t i o n b e t w e e n z o n e s 2 a n d 3 d u r i n g a s h r o u d c h a n g e -n o r m a l s p r a y c o n t r o l p r a c t i c e

4 8 A s s u m e d c a s t i n g s p e e d c h a n g e d u r i n g a s h r o u d c h a n g e — t i m e a t l o w s p e e d 4 0 s

4 9 P r e d i c t i o n s o f a v e r a g e l o c a l r e s i d e n c e t i m e a n d w a t e r f l u x a s a f u n c t i o n o f t i m e a f t e r a s h r o u d c h a n g e . Z o n e 1 . D a s h e d l i n e , n o r m a l s p r a y c o n t r o l p r a c t i c e

5 Q P r e d i c t i o n s o f a v e r a g e l o c a l r e s i d e n c e t i m e a n d w a t e r f l u x a s a f u n c t i o n o f t i m e a f t e r a s h r o u d c h a n g e . Z o n e 2 . D a s h e d l i n e n o r m a l s p r a y c o n t r o l p r a c t i c e

5 2 P r e d i c t i o n s o f a v e r a g e l o c a l r e s i d e n c e t i m e a n d w a t e r f l u x a s a f u n c t i o n o f t i m e a f t e r a s h r o u d c h a n g e . Z o n e 4 . D a s h e d l i n e , n o r m a l s p r a y c o n t r o l p r a c t i c e

5 3 P r e d i c t i o n s o f a v e r a g e l o c a l r e s i d e n c e t i m e a n d w a t e r f l u x a s a f u n c t i o n o f t i m e a f t e r a s h r o u d c h a n g e . Z o n e 5 . D a s h e d l i n e , n o r m a l s p r a y c o n t r o l p r a c t i c e

1 3 9

1 4 0

4 5 A c t u a l s u r f a c e - t e m p e r a t u r e f l u c t u a t i o n d u r i n g a s h r o u d c h a n g e b e t w e e n z o n e s 3 a n d 4 - n o r m a l ±kl s p r a y c o n t r o l p r a c t i c e . R u n 5 . 1

1 4 2

1 4 3

1 4 4

1 4 5

1 4 6

5 1 P r e d i c t i o n s o f a v e r a g e l o c a l r e s i d e n c e t i m e a n d w a t e r f l u x a s a f u n c t i o n o f t i m e a f t e r a s h r o u d c h a n g e . Z o n e 3 . D a s h e d l i n e , ^ n o r m a l s p r a y c o n t r o l p r a c t i c e

1 4 8

1 4 9

x i

F i g u r e P a g e

5 4 A c t u a l s u r f a c e - t e m p e r a t u r e f l u c t u a t i o n d u r i n g a s h r o u d c h a n g e b e t w e e n z o n e s 3 a n d 4 — n e w s p r a y c o n t r o l p r a c t i c e . , R u n 4 . 2 1 5 0

5 5 A c t u a l s u r f a c e - t e m p e r a t u r e f l u c t u a t i o n d u r i n g a s h r o u d c h a n g e b e t w e e n z o n e s 3 a n d 4 — n e w s p r a y c o n t r o l p r a c t i c e . R u n 4 . 3 1 5 1

5 6 A c t u a l s u r f a c e - t e m p e r a t u r e f l u c t u a t i o n d u r i n g a s h r o u d c h a n g e b e t w e e n z o n e s 3 a n d 4 — n e w s p r a y c o n t r o l p r a c t i c e . R u n 5 . 2 152

5 7 A c t u a l s u r f a c e - t e m p e r a t u r e f l u c t u a t i o n d u r i n g a s h r o u d c h a n g e b e t w e e n z o n e s 3 a n d 4 - n e w s p r a y c o n t r o l p r a c t i c e . R u n 5 . 3 1 5 3

5 8 F l o w c h a r t f o r a u t o m a t i c c o n t r o l o f s p r a y s . . . . . 15h

5 9 S i m u l a t e d p u l s e t e s t - a s s u m e d c h a n g e i n h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t i n t h e z o n e , a n d p r e ­d i c t e d s u r f a c e - t e m p e r a t u r e r e s p o n s e 1 ^ 5

6 0 P r e d i c t e d t r a n s f e r f u n c t i o n o f t h e p r o c e s s . . . . 156

6 1 B l o c k d i a g r a m o f t h e f e e d b a c k c o n t r o l l o o p . . . . 1 ^ 7

6 2 S c h e m a t i c o f t h e p r o c e s s c o n t r o l s y s t e m 158

6 3 T e s t o f t h e a u t o m a t i c c o n t r o l s y s t e m -s i m u l a t e d c a s t i n g s p e e d c h a n g e l - > 9

6 4 C o m p a r i s o n b e t w e e n t h e a c t u a l c h a n g e i n s e t -p o i n t o f t h e c o n t r o l l e r s a n d t h e i d e a l w a t e r -f l u x c h a n g e . Z o n e 1

6 6 C o m p a r i s o n b e t w e e n t h e a c t u a l c h a n g e i n s e t -p o i n t o f t h e c o n t r o l l e r s a n d t h e i d e a l w a t e r -f l u x c h a n g e . Z o n e 3

6 7 C o m p a r i s o n b e t w e e n t h e a c t u a l c h a n g e i n s e t -p o i n t o f t h e c o n t r o l l e r s a n d t h e i d e a l w a t e r -f l u x c h a n g e . Z o n e 4

6 8 C o m p a r i s o n b e t w e e n t h e a c t u a l c h a n g e i n s e t -p o i n t o f t h e c o n t r o l l e r s a n d t h e i d e a l w a t e r -f l u x c h a n g e . Z o n e 5

1 6 0

6 5 C o m p a r i s o n b e t w e e n t h e a c t u a l c h a n g e i n s e t -p o i n t o f t h e c o n t r o l l e r s a n d t h e i d e a l w a t e r -f l u x c h a n g e . Z o n e 2 X D - L

1 6 2

1 6 3

1 6 4

x i i

A C K N O W L E D G E M E N T S

I w o u l d l i k e t o s i n c e r e l y t h a n k D r . J. K e i t h B r i m a c o m b e

f o r h i s a s s i s t a n c e a n d a d v i c e t h r o u g h o u t m y s t u d i e s a t U . B . C .

I a l s o w i s h t o t h a n k D r . K e n n e t h . L . P i n d e r o f t h e D e p a r t m e n t

o f C h e m i c a l E n g i n e e r i n g f o r h i s i n t e r e s t a n d s u g g e s t i o n s i n

t h e a r e a o f p r o c e s s c o n t r o l . T h e c o - o p e r a t i o n o f I n l a n d

S t e e l C o . a n d t h e m e m b e r s o f i t s R e s e a r c h . L a b o r a t o r i e s i s

g r a t e f u l l y a c k n o w l e d g e d e s p e c i a l l y t h e e f f o r t s o f M r . N o r m a n

M i l l s a n d M r . F r a n k N e s t o r .

T h e f i n a n c i a l s u p p o r t o f t h e C a n a d i a n I n t e r n a t i o n a l

D e v e l o p m e n t A g e n c y a n d t h e B r a z i l i a n N a t i o n a l S t e e l C o . i s

g r e a t l y a p p r e c i a t e d .

F i n a l l y , I w o u l d l i k e t o g i v e a s p e c i a l t h a n k s t o

m y f e l l o w s t u d e n t s , f a c u l t y a n d s t a f f o f t h e ! D e p a r t m e n t o f

M e t a l l u r g i c a l E n g i n e e r i n g , a l l m y f r i e n d s a n d l a s t b u t

n o t l e a s t J a n e m y w i f e , w h o s e c o n s t a n t s u p p o r t a n d e n ­

c o u r a g e m e n t w a s i n v a l u a b l e .

x i i i

C h a p t e r 1

I N T R O D U C T I O N

1.1 S p r a y C o n t r o l i n t h e C o n t i n u o u s C a s t i n g o f S t e e l

T h e m a r k e d i n c r e a s e i n t h e p r o d u c t i o n o f s t e e l i n t h e

w o r l d m a y b e a t t r i b u t e d t o t h e c o n s t r u c t i o n o f l a r g e r p l a n t s

a n d m i l l e q u i p m e n t , w i d e r a p p l i c a t i o n o f t h e c o n t i n u o u s

c a s t i n g p r o c e s s , a n d t h e i n t r o d u c t i o n o f a u t o m a t i o n . P a r t i ­

c u l a r l y , c o n t i n u o u s c a s t i n g , w h i c h i s r e g a r d e d a s t h e s e c o n d

s i g n i f i c a n t t e c h n i c a l i n n o v a t i o n a f t e r t h e a d v e n t o f t h e

o x y g e n s t e e l m a k i n g p r o c e s s , h a s m a d e g r e a t p r o g r e s s i n r e c e n t

y e a r s . W o r l d w i d e , b i l l e t s , b l o o m s a n d s l a b s w i t h l a r g e r

c r o s s s e c t i o n a l d i m e n s i o n s a n d o f a b r o a d r a n g e o f s t e e l

g r a d e s h a v e b e e n c a s t . F u r t h e r m o r e t h e e f f i c i e n c y o f t h e

c a s t i n g i n s t a l a t i o n s h a s b e e n i m p r o v e d b y t h e e x t e n s i v e u s e

o f s e q u e n t i a l c a s t i n g a n d h i g h c a s t i n g s p e e d s . A t t h e s a m e

t i m e , t h e q u a l i t y s t a n d a r d s f o r c o n t i n u o u s c a s t i n g p r o d u c t s

h a v e a l s o b e e n u p g r a d e d ; a n d i n o r d e r t o a c h i e v e s u c h r e s u l t s

i t h a s b e e n n e c e s s a r y t o e s t a b l i s h m o r e p r e c i s e m e t h o d s o f

c o n t r o l l i n g t h e o p e r a t i n g c o n d i t i o n s .

I n d e v e l o p i n g s u i t a b l e m e t h o d s c a p a b l e o f p r o d u c i n g

h i g h q u a l i t y c a s t i n g , i t i s n e c e s s a r y t o u n d e r s t a n d t h e

e f f e c t s o f c a s t i n g p a r a m e t e r s o n t h e q u a l i t y o f t h e s t e e l t o

b e c a s t . O w i n g t o s e v e r a l t h e o r e t i c a l a n d e m p i r i c a l w o r k s

i n t h e c o n t i n u o u s c a s t i n g a r e a , t h e m a j o r f a c t o r s a r e n o w

1

2

r e a s o n a b l y w e l l u n d e r s t o o d . H o w e v e r m a n y f a c t o r s , s u c h , a s

s p r a y c o o l i n g r e q u i r e a t t e n t i o n . I t h a s b e e n s h o w n t h a t

i m p r o p e r s p r a y c o o l i n g i s r e l a t e d t o a l a r g e n u m b e r o f c a s t i n g

d e f e c t s a s d e s c r i b e d i n a f o l l o w i n g s e c t i o n . O n t h e o t h e r

h a n d , t h e s p r a y s y s t e m i s f l e x i b l e a n d t h e h e a t e x t r a c t i o n

r a t e s i n t h e s p r a y c o o l i n g a r e a s c a n b e m o r e e a s i l y c o n t r o l l e d

t h a n , f o r e x a m p l e , i n t h e m o u l d r e g i o n . A s p o i n t e d o u t

b y B r i m a c o m b e , " ' " o n c e o p t i m u m t h e r m a l c o n d i t i o n s h a v e b e e n

d e f i n e d , i t i s r e l a t i v e l y e a s y t o d e s i g n a s p r a y s y s t e m t h a t

w i l l r e a l i s t i c a l l y a c h i e v e t h e s e c o n d i t i o n s .

A l t h o u g h s e v e r a l w o r k s h a v e b e e n p r e s e n t e d d e a l i n g w i t h

2-5 t h e d e v e l o p m e n t o f s p r a y p r a c t i c e s m o s t o f t h e m a s s u m e

t h a t t h e c o n t i n u o u s c a s t i n g o p e r a t i o n i s p e r f o r m e d a t s t e a d y

s t a t e c o n d i t i o n a n d l i t t l e a t t e n t i o n i s g i v e n t o t h e p r o b l e m

o f c o n t r o l l i n g t h e s p r a y s d u r i n g t r a n s i e n t e v e n t s s u c h a s

c a s t i n g s p e e d c h a n g e s . H o w e v e r , a s i s e m p h a s i z e d i n t h e

p r e s e n t w o r k , u n s t e a d y - s t a t e o p e r a t i o n m a y p l a y a v e r y i m ­

p o r t a n t r o l e i n t h e c o n t i n u o u s c a s t i n g c y c l e . I n m o d e r n

c a s t e r s , c a s t i n g o f t e n c o n t i n u e s u n i n t e r r u p t e d f o r m a n y h o u r s

o r e v e n d a y s , a n d s o m e t i m e s l a r g e c h a n g e s i n c a s t i n g s p e e d

a r e r e q u i r e d b e c a u s e o f a l a t e - a r r i v i n g l a d l e , l a d l e o r

t u n d i s h - p o u r i n g p r o b l e m s , t e m p o r a r y m a l f u n c t i o n s o f s o m e

p a r t o f t h e c a s t i n g m a c h i n e , o r v a r i o u s s i m i l a r r e a s o n s .

W h e t h e r o r n o t l o n g , c o n t i n u o u s s t r i n g s o f h e a t s a r e t o b e

c a s t w i t h r e g u l a r i t y , t h e c a s t i n g m a c h i n e m u s t b e a b l e t o

3

r e s p o n d t o t h e s e a n d o t h e r u n a v o i d a b l e d i s t u r b a n c e s w i t h o u t

i n t e r r u p t i o n o f c a s t i n g a n d w i t h o u t s e r i o u s d e g r a d a t i o n o f

p r o d u c t q u a l i t y . T h e l a c k o f k n o w l e d g e i n t h i s a r e a h a s

p r o v i d e d a n i n c e n t i v e f o r t h e p r e s e n t w o r k .

1.2 O b j e c t i v e s o f t h e P r e s e n t W o r k

T h e o b j e c t i v e s o f t h e p r e s e n t w o r k w e r e f o u r f o l d .

T h e f i r s t w a s t o s t u d y t h e b a s i c p r i n c i p l e s o f s p r a y c o n t r o l .

A s a n a u x i l i a r y t o o l , a m a t h e m a t i c a l m o d e l f o r t h e t h e r m a l

f i e l d i n t h e c o n t i n u o u s c a s t i n g p r o c e s s w a s t o b e d e v e l o p e d .

T h i s m o d e l w a s t o b e u s e d t o s i m u l a t e t h e e f f e c t s o f s p r a y

p r a c t i c e s o n t h e t e m p e r a t u r e d i s t r i b u t i o n i n t h e s t r a n d . I t

w a s t o c o m b i n e a r e a s o n a b l e a c c u r a c y a n d f l e x i b i l i t y w i t h

t o l e r a b l e c o m p u t i n g c o s t s . T h e s e c o n d o b j e c t i v e w a s t o u s e

t h e s e p r i n c i p l e s t o d e v e l o p a m a t h e m a t i c a l m o d e l f o r c o n t r o l ­

l i n g t h e s p r a y s . T h e m o d e l w a s t o p r e d i c t t h e t h e r m a l r e ­

q u i r e m e n t s o f a s t r a n d d u r i n g a n y c a s t i n g s p e e d c h a n g e a n d

f o r a n y c a s t i n g m a c h i n e . T h e t h i r d o b j e c t i v e w a s t o u s e t h e

m o d e l i n a n i n d u s t r i a l c a s t i n g i n s t a l a t i o n i n o r d e r t o c o n f i r m

t h e m o d e l r e s u l t s a n d s h o w h o w t h e m o d e l c o u l d b e u s e d a s a n

a i d t o p r o c e s s c o n t r o l . A n d f i n a l l y , t h e f o u r t h o b j e c t i v e w a s

t o s t u d y t h e p r i n c i p l e s o f a u t o m a t i c c o n t r o l o f t h e s p r a y s .

T h i s s t u d y w a s t o b e c o m p l e m e n t e d b y t h e d e v e l o p m e n t o f a b a s i c

a u t o m a t i c c o n t r o l s y s t e m w h i c h c o u l d b e u s e d i n t h e f u t u r e a s

a b a s i s f o r a n i n d u s t r i a l c o n t r o l s y s t e m .

C h a p t e r 2

L I T E R A T U R E R E V I E W

2 .1 S p r a y P a r a m e t e r s

O n c e t h e s t r a n d h a s l e f t t h e m o u l d , s u r f a c e c o o l i n g i s

n o r m a l l y o b t a i n e d b y w a t e r s p r a y i n g . T h e i m p o r t a n c e o f c o n ­

t r o l l e d c o o l i n g f r o m t h e s t a n d p o i n t o f s u r f a c e a n d i n t e r n a l

c r a c k i n g h a s p r o v i d e d a n i n c e n t i v e f o r s e v e r a l s t u d i e s t o

d e t e r m i n e t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n s p r a y p a r a m e t e r s a n d t h e

r a t e o f h e a t e x t r a c t i o n .

T h e m o s t i m p o r t a n t p a r a m e t e r s t h a t h a v e b e e n f o u n d t o

a f f e c t t h e s p r a y h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t a r e :

1. w a t e r f l u x

2. w a t e r i m p a c t v e l o c i t y

3. a n g l e o f i m p i n g e m e n t

4. s i z e o f w a t e r d r o p l e t s

5. s u r f a c e t e m p e r a t u r e

6. s u r f a c e r o u g h n e s s

7. t y p e o f s c a l e o n t h e s u r f a c e

8. i n t e r a c t i o n a m o n g s p r a y n o z z l e s

9. a n g l e , o f t h e s p r a y e d s u r f a c e t o t h e h o r i z o n t a l .

T o u n d e r s t a n d t h e r o l e o f t h e s e p a r a m e t e r s i n s e c o n d a r y c o o l ­

i n g r e q u i r e s b o t h l a b o r a t o r y t e s t s a n d m e a s u r e m e n t s c a r r i e d o u t

4

5

i n p l a n t . S o m e r e l e v a n t r e s u l t s a n d t h e c o n d i t i o n s u n d e r

w h i c h t h e y h a v e b e e n o b t a i n e d a r e s u m m a r i z e d i n F i g . 1 a n d

T a b l e I r e s p e c t i v e l y .

T A B L E I : S p r a y s H e a t T r a n s f e r C o e f f i c i e n t s

R e f e r e n c e s a n d E x p e r i m e n t a l C o n d i t i o n s .

C u r v e # R e f . C o n d i t i o n s

1 12 S u r f a c e t e m p e r a t u r e 6 2 7 ° C

D i s t . N o z z l e - P r o b e 1 2 5 m m

2 11 S t a i n l e s s S t e e l P r o b e

S u r f , t e m p e r a t u r e 1 0 9 3 ° C

D i s t . N o z z l e - P r o b e 2 0 3 mm

3 4 U s e d E q . f r o m R e f . ( 8 ) .

o b t a i n e d i n o r d e r t o m a t c h

w i t h s u r f , t e m p e r a t u r e m e a s u r e ­

m e n t s i n a s l a b c a s t e r .

4 14 S t a i n l e s s S t e e l P r o b e

S u r f . t e m p . 9 0 0 ° C

5 16 D a t a o b t a i n e d f r o m a c e n t r i f u g a l

c a s t e r . L o w c a r b o n s t e e l

6 16 T h e s a m e a s c u r v e 5 b u t w i t h t h e

e f f e c t o f n o - s p r a y e d a r e a s s u b t r a c t e d .

7 1 5 D a t a o b t a i n e d f r o m a s l a b c a s t e r .

L o w c a r b o n s t e e l .

6

The l a b o r a t o r y t e s t s r a n g e f r o m i n d i v i d u a l w a t e r - d r o p 6-9

c o o l i n g e x p e r i m e n t s , t o c a s t e r s i m u l a t i o n s w h i c h i n c l u d e

r o l l s , s p r a y b a n k s and a m o v i n g h o t slab."*"^ S t u d i e s s u c h

as t h a t o f P e d e r s e n i n v o l v i n g s i n g l e w a t e r d r o p l e t s p r o ­

j e c t e d a g a i n s t a h o t s u r f a c e , f o r m t h e b a s i s f o r u n d e r s t a n d i n g

s p r a y c o o l i n g . B e c a u s e w a t e r s p r a y s c o n s i s t o f numerous

d r o p l e t s t h e e f f e c t of a w a t e r s p r a y can be v i s u a l i z e d as

a sum of t h e e f f e c t s o f t h e s e d r o p l e t s . P e d e r s e n h a s shown

t h e e x i s t e n c e o f a d i s t i n c t i v e t r a n s i t i o n f r o m a w e t t i n g

r e g i m e t o a n o n - w e t t i n g r e g i m e as t h e s o l i d s u r f a c e t e m p e r a t u r e

i n c r e a s e s . I n t h e f o r m e r , t h e d r o p l e t s i m p a c t t h e h o t s u r f a c e ,

w h i l e i n t h e l a t t e r t h e d r o p l e t s v a p o r i z e s u d d e n l y upon s t r i k ­

i n g t h e s o l i d s u r f a c e and b r e a k up i n t o many s m a l l e r d r o p l e t s .

The t r a n s i t i o n i s a f f e c t e d by t h e w a t e r i m p a c t v e l o c i t y and

s u r f a c e c o n d i t i o n s . F u r t h e r m o r e , i n t h e n o n - w e t t i n g s t a t e ,

w h i c h i s n o r m a l l y o b t a i n e d i n t h e c o n t i n u o u s c a s t i n g o f s t e e l ,

t h e h e a t t r a n s f e r i n c r e a s e s when t h e s p e e d o f i m p a c t o f t h e d r o p l e t s i n c r e a s e s . A n o t h e r s t u d y , p e r f o r m e d by M c G i n n i s

g

e t a l . has a l s o shown t h a t t h e c o o l i n g e f f i c i e n c y i s a f f e c t e d

by t h e a n g l e o f i m p i n g e m e n t o f t h e d r o p l e t s w i t h t h e s o l i d

s u r f a c e .

The i n v e s t i g a t i o n o f Mizikar"'""'" i s a c l a s s i c a l e x a m p l e

o f l a b o r a t o r y c o o l i n g e x p e r i m e n t s u s i n g i n d u s t r i a l s p r a y n o z ­

z l e s . E m p l o y i n g t h r e e n o z z l e t y p e s M i z i k a r has f i r s t s t u d i e d

t h e e f f e c t o f s p r a y n o z z l e d i s t a n c e and w a t e r p r e s s u r e on t h e

7

w a t e r - f l u x d i s t r i b u t i o n . T h e n t h e s p r a y c h a r a c t e r i z a t i o n

w o r k w a s e x t e n d e d t o i n c l u d e o v e r l a p p i n g s p r a y p a t t e r n s . T o

o b t a i n h e a t t r a n s f e r d a t a , t h e t e m p e r a t u r e r e s p o n s e n e a r t h e

s u r f a c e o f a h o t s t a i n l e s s s t e e l p l a t e w a s m e a s u r e d d u r i n g

s p r a y c o o l i n g . T h e h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t , h , w a s f o u n d

t o i n c r e a s e l i n e a r l y w i t h i n c r e a s e s i n w a t e r f l u x , W . F o r a

w a t e r p r e s s u r e o f 6 2 0 K P a a n d a g i v e n s p r a y n o z z l e , t h i s r e ­

l a t i o n s h i p i s d e s c r i b e d b y E q . ( 1 )

h = 0 . 1 0 W + 0 . 2 2 . . . ( 1 )

T h e w a t e r p r e s s u r e w h i c h a f f e c t s t h e d r o p l e t d y n a m i c s , w a s

a l s o s h o w n t o i n f l u e n c e t h e h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t , i . e . ,

a n i n c r e a s e i n p r e s s u r e , w i t h w a t e r . " f l u x h e l d c o n s t a n t i n c r e a s e s

t h e h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t . A n e x a m p l e o f t h e r e s u l t s

o b t a i n e d f o r a 1 / 4 G G 1 0 s p r a y n o z z l e a n d t w o w a t e r p r e s s u r e s

i s s h o w n i n F i g . 1 .

O t h e r s t u d i e s h a v e s h o w n t h e r a n g e t y p e o f b e h a v i o u r .

1 2

M u l l e r a n d J e s c h a r h a v e m e a s u r e d t h e e l e c t r i c a l e n e r g y

r e q u i r e d t o m a i n t a i n a c o n s t a n t s u r f a c e t e m p e r a t u r e o n a

r e s i s t a n c e - h e a t e d s t e e l p r o b e b e i n g s p r a y e d . T h e y f o u n d t h a t

t h e h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t i s a l i n e a r f u n c t i o n o f b o t h

w a t e r f l u x a n d d r o p l e t i m p a c t v e l o c i t y , V . T h e m e a s u r e m e n t s ,

e x c l u d i n g r a d i a t i o n c a n b e d e s c r i b e d b y E q . ( 2 ) .

h = 0 . 0 1 V + ( 0 . 1 0 7 + 6 . 8 0 x l O " 4 V ) W . . . £2)

T h i s e q u a t i o n i s p l o t t e d i n F i g . 1 ( w i t h r a d i a t i o n i n c l u d e d ,

V = 2 0 m / s ) . W o r k i n g w i t h a c a r b o n s t e e l s l a b s p r a y e d o n

1 3 b o t h f a c e s , M i t s u t s u k a h a s o b s e r v e d t h a t t h e h e a t t r a n s f e r

c o e f f i c i e n t i s i n f l u e n c e d b y t h e s p r a y w a t e r t e m p e r a t u r e ,

- 3 0 , a n d i s a l s o p r o p o r t i o n a l t o ( 1 - C x 1 0 9 ) w h e r e C ,

- 2 - 1

f o r a w a t e r f l u x o f 1 0 . 0 t o 1 0 . 3 £ . m s , a s s u m e s v a l u e s

b e t w e e n 5 a n d 8 . M i t s u t s u k a a l s o f o u n d t h a t t h e r e l a t i o n ­

s h i p b e t w e e n h a n d W i s b e t t e r d e s c r i b e d b y h ' W m w h e r e m

i s a f u n c t i o n o f t h e s t e e l s u r f a c e t e r m p e r a t u r e h a v i n g v a l u e s 1 4

b e t w e e n 0 . 5 a n d 0 . 8 . S a s a k i h a s a l s o s h o w n t h a t a n i n c r e a s e

i n s u r f a c e t e m p e r a t u r e d e c r e a s e s t h e s p r a y h e a t t r a n s f e r c o -

e f f i c i e n t .

A n o n l i n e a r r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e s p r a y h e a t t r a n s f e r

c o e f f i c i e n t a n d w a t e r f l u x h a s b e e n f o u n d i n o t h e r i n v e s t i g a -

1 5 1 6

t i o n s ' w h e r e w i t h i n c r e a s i n g w a t e r f l u x t h e h e a t t r a n s f e r

c o e f f i c i e n t h a s b e e n s e e n t o r e a c h a p l a t e a u a s s h o w n i n F i g .

1 , c u r v e s 1 - 3 . T h i s b e h a v i o u r m a y b e d u e t o t h e f a c t t h a t a t

h i g h w a t e r f l u x e s , t h e d r o p l e t s w h i c h r e a c h t h e v a p o r l a y e r

a d j a c e n t t o t h e h o t s u r f a c e , i n t e r a c t w i t h t h e p r e v i o u s d r o p ­

l e t s a n d p e n e t r a t e t o t h e s u r f a c e l e s s e f f e c t i v e l y .

A l t h o u g h t h e s e s t u d i e s p e r m i t a n e s t i m a t i o n o f t h e

s p r a y p a r a m e t e r s t h a t s h o u l d b e a p p l i e d i n a s p r a y d e s i g n ,

t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n a n a c t u a l s p r a y s y s t e m o n a n o p e r a ­

t i n g c a s t e r a n d t h e e f f i c i e n c y o f c o o l i n g i s s t i l l n o t c o m -

9

p l e t e l y u n d e r s t o o d . I n a n a t t e m p t t o s i m u l a t e t h e c a s t i n g

e n v i r o n m e n t a n d a t t h e s a m e t i m e p e r f o r m e x p e r i m e n t s u n d e r

r e p r o d u c i b l e c o n d i t i o n s , t h e a u t h o r s c i t e d p r e v i o u s l y h a v e

m a d e s e v e r a l s i m p l i f i c a t i o n s s u c h a s t h e u s e o f a s c a l e -

r e s i s t i n g s t e e l p r o b e . T h u s t h e e f f e c t o f s u r f a c e r o u g h n e s s

a n d p r e s e n c e a n d t y p e o f s c a l e o n t h e s u r f a c e a r e n e g l e c t e d .

F u r t h e r m o r e , a s p o i n t e d o u t b y T h a l m a n n , ^ t h e c o o l i n g e f ­

f i c i e n c y i s a f f e c t e d b y w a t e r f r o m n o z z l e s p o s i t i o n e d h i g h e r

i n t h e m a c h i n e r u n n i n g d o w n t h e s t r a n d s u r f a c e . T h e r e f o r e

t h e a n g l e o f t h e s t r a n d s u r f a c e t o t h e h o r i z o n t a l w h i c h c h a n g e s

a l o n g t h e m a c h i n e i n a n a r c - t y p e c o n t i n u o u s c a s t i n g m a c h i n e

a n d t h e s p r a y n o z z l e d i s t r i b u t i o n c o n t r i b u t e t o t h e r e s u l t a n t

s p r a y b e h a v i o u r . T h e s i m u l a t i o n o f t h i s p h e n o m e n o n w i t h

a s m a l l p r o b e a n d a s i n g l e s p r a y n o z z l e i s d i f f i c u l t . A f e w

i n v e s t i g a t i o n s u s i n g a m o r e c o m p l e x a p p a r a t u s h a v e b e e n c a r r i e d

1 0 , 1 8 ^ ^ , , o u t b u t t h e r e s u l t s a r e r e l a t i v e l y q u a l i t a t i v e .

S i n c e l a b o r a t o r y s t u d i e s a r e d i f f i c u l t t o p e r f o r m a n d

t h e r e s u l t s a r e o p e n t o q u e s t i o n , t h e e f f i c i e n c y o f a s p r a y i n g

s y s t e m h a s a l s o b e e n e v a l u a t e d b y i n v e s t i g a t i o n s i n v o l v i n g

1 6 , 1 9 ^ c o n t i n u o u s c a s t i n g m a c h i n e s . F r o m s u r f a c e t e m p e r a t u r e

1 6

m e a s u r e m e n t s , A l b e r n y e t a l . h a v e c a l c u l a t e d t h e h e a t t r a n s f e r

c o e f f i c i e n t a t d i f f e r e n t l e v e l s o f a c o n t i n u o u s c a s t i n g m a c h i n e .

S o m e e x a m p l e s a r e s h o w n i n F i g . 1 b o t h f o r t h e o v e r a l l h e a t

t r a n s f e r c o e f f i c i e n t i n a c o o l i n g z o n e , w h i c h i n c l u d e s d i f ­

f e r e n t h e a t t r a n s f e r m e c h a n i s m s s u c h a s d i r e c t c o n t a c t o f t h e

r o l l s w i t h t h e s t r a n d , r a d i a t i o n o n a r e a s n o t c o v e r e d b y t h e

s p r a y s , e t c . , a n d t h e a c t u a l s p r a y h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t

f o r t h r e e s p r a y n o z z l e a d j u s t m e n t s .

A l t h o u g h t h i s t y p e o f e x p e r i m e n t d o e s n o t r e q u i r e s c a l e -

u p f r o m l a b o r a t o r y e x p e r i m e n t s t h e r e s u l t s o b t a i n e d a r e

o n l y v a l i d f o r a g i v e n s p r a y s y s t e m . T h e e x t r a p o l a t i o n o f

t h e h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t s t o o t h e r s p r a y n o z z l e d i s t r i ­

b u t i o n o r c a s t i n g m a c h i n e i s a v e r y d i f f i c u l t t a s k b e c a u s e n o t

a l l t h e f a c t o r s i n f l u e n c i n g h e a t t r a n s f e r c a n b e c o n t r o l l e d .

4

I n t h e a b s e n c e o f m o r e r e l i a b l e d a t a , N o z a k i e t a l .

h a v e s u g g e s t e d t h e u s e o f t h e E q . ( 3 ) b a s e d o n t h e d a t a o f M i t s u t s u k a , a d j u s t e d b y a n a c c o m m o d a t i o n c o e f f i c i e n t , w h i c h

e x p r e s s e s t h e c o o l i n g e f f i c i e n c y o f t h e s y s t e m .

h = 1 . 5 7 W 0 , 5 5 ( 1 - 7 . 5 x 1 0 ~ 3 0 ) / a . . . ( 3 ) w

a i s a n a d j u s t a b l e p a r a m e t e r t h a t i s b a s e d o n t h e f i t t i n g o f

c a l c u l a t e d s u r f a c e t e m p e r a t u r e s t o m e a s u r e m e n t s m a d e i n p l a n t .

2 . 2 E f f e c t o f S e c o n d a r y C o o l i n g o n S t r a n d D e f e c t s

T h e f o r m a t i o n o f s u r f a c e a n d i n t e r n a l c r a c k s i n a

c o n t i n u o u s l y c a s t s t e e l s t r a n d i s a s s o c i a t e d w i t h t h e r m a l

a n d m e c h a n i c a l s t r e s s e s g e n e r a t e d d u r i n g t h e p r o c e s s . I r ­

r e g u l a r s p r a y i n g h a s l o n g b e e n r e c o g n i z e d a s a m a j o r s o u r c e

o f t h e s e s t r e s s e s , a n d m o r e o v e r b e c a u s e t h e m e c h a n i c a l p r o -

2 0 2 A

p e r t i e s o f s t e e l a r e s t r o n g l y d e p e n d e n t o n t e m p e r a t u r e ,

t h e t e m p e r a t u r e p r o f i l e d i c t a t e d b y a p a r t i c u l a r s p r a y

p r a c t i c e a f f e c t s t h e a b i l i t y o f t h e s t e e l t o w i t h s t a n d s t r e s s

T h e m a j o r d e f e c t s a s s o c i a t e d w i t h s p r a y c o o l i n g a r e s h o w n

s c h e m a t i c a l l y i n F i g . 2 .

2 5

V a n D r u n e n e t a l . h a v e s h o w n t h a t s u r f a c e r e h e a t i n g

o f t h e s t r a n d i s a m a j o r c a u s e o f h a l f w a y c r a c k s a s s e e n i n

F i g . 2 . T h e r e h e a t i n g e x p a n d s t h e s u r f a c e a n d , i n s o d o i n g ,

i m p o s e s a t e n s i l e s t r a i n o n t h e i n t e r i o r o f t h e s o l i d s h e l l

w h i c h i s m o s t s u s c e p t i b l e t o c r a c k i n g . T h i s s u r f a c e r e ­

h e a t i n g o c c u r s w h e n e v e r t h e c o o l i n g r a t e a t t h e s u r f a c e d e ­

c r e a s e s a b r u p t l y s u c h a s b e l o w t h e m o u l d , b e t w e e n s u c c e s s i v e

s p r a y z o n e s o r n o z z l e s , o r a f t e r t h e s e c o n d a r y c o o l i n g z o n e .

A l t h o u g h , u n d e r i n d u s t r i a l c o n d i t i o n s i t i s i m p o s s i b l e t o

e l i m i n a t e r e h e a t i n g a l t o g e t h e r , i t c a n b e k e p t w i t h i n a n

a c c e p t a b l e r a n g e b y c h o o s i n g s u i t a b l e s p r a y p a r a m e t e r s i n

e a c h z o n e . T h e r e f o r e e x c e s s i v e s p r a y c o o l i n g s h o u l d b e • A A 2 6 , 2 7 a v o i d e d .

B u l g i n g o f t h e s h e l l d u e t o f e r r o s t a t i c p r e s s u r e c a n

c a u s e s e v e r a l i n t e r n a l d e f e c t s s e e n i n F i g . 2 , i n c l u d i n g

t r i p l e - p o i n t c r a c k s , ^ c e n t e r l i n e c r a c k s , ^ h a l f w a y c r a c k s ^

2 9

a n d s e g r e g a t i o n . A l t h o u g h a l l t h e s e d e f e c t s a r e b e t t e r

c o n t r o l l e d b y p r o p e r c o n t a i n m e n t o f t h e s t r a n d , a n i n c r e a s e

i n s p r a y c o o l i n g h a s b e e n r e p o r t e d t o d e c r e a s e t h e i r

1 2

s e v e r i t y . ' I n c r e a s i n g s p r a y c o o l i n g h a s a b e n e f i c i a l

e f f e c t b e c a u s e i t r e s u l t s i n a c o o l e r s h e l l t h a t c a n m o r e

e f f e c t i v e l y w i t h s t a n d t h e f e r r o s t a t i c p r e s s u r e .

S e v e r a l i n v e s t i g a t i o n s h a v e s h o w n t h a t l o n g i t u d i n a l

m i d - f a c e c r a c k s ( F i g . 2 ) o r i g i n a t e i n t h e m o u l d r e g i o n d u e

t o n o n - u n i f o r m c o o l i n g , a n d t h e s e v e r i t y o f c r a c k i n g c a n b e

a f f e c t e d b y t h e s e c o n d a r y c o o l i n g a n d s t r a n d s u p p o r t s y s t e m

2 6 3 0 f o l l o w i n g t h e m o u l d . ' G e n e r a l l y t h e c r a c k s a t t h e e x i t

f r o m t h e m o u l d a r e n o t v e r y d e e p o r a r e o n l y s u b - s u r f a c e

3 1

c r a c k s i n h i g h l y s t r a i n e d r e g i o n s . C r a c k p r o p a g a t i o n

o c c u r s t h e n b e l o w t h e m o u l d e i t h e r b y t h e r m a l s t r e s s e s d u e

t o e x c e s s i v e s p r a y c o o l i n g o r b y m e c h a n i c a l s t r e s s e s d u e

t o m i s a l i g n m e n t o r i m p r o p e r r o l l g a p s . T h e i n f l u e n c e o f

t o p z o n e s p r a y c o o l i n g o n l o n g i t u d i n a l m i d - f a c e c r a c k i n g 3 2 3 4

h a s b e e n s h o w n b y s e v e r a l a u t h o r s ' a n d a r e d u c t i o n i n t h e

t o p z o n e s p r a y w a t e r h a s b e e n s u g g e s t e d t o b e a m a j o r f a c t o r

i n c o n t r o l l i n g t h e p r o b l e m .

I t c a n b e s e e n f r o m t h e s e s t u d i e s t h a t t h e s p r a y

p a r a m e t e r s i n t h e t o p s p r a y z o n e a r e c r i t i c a l i n a v o i d i n g

d e f e c t s . I n a d e q u a t e s p r a y i n g c a u s e s r e h e a t i n g , p o s s i b l y

h a l f w a y c r a c k s a n d i n t h e l i m i t a b r e a k - o u t w h i l e e x c e s s i v e

s p r a y i n g g e n e r a t e s t e n s i l e s t r e s s e s i n t h e s u r f a c e w h i c h

c a n c a u s e s u r f a c e c r a c k s .

1 3

T r a n s v e r s e c r a c k s ( F i g . 2 ) o c c u r a l m o s t e x c l u s i v e l y o n

t h e i n n e r - r a d i u s s u r f a c e o f s t r a n d s p r o d u c e d i n a r c - t y p e

c o n t i n u o u s c a s t i n g m a c h i n e s . T h i s d e f e c t i s o f t e n l i t t l e

m o r e t h a n a h a i r l i n e a p p e a r i n g a t t h e b a s e o f o s c i l l a t i o n

m a r k s , s o t h a t i t i s d i f f i c u l t t o r e c o g n i z e o n a n u n s c a r f e d

s u r f a c e .

S e v e r a l a u t h o r s h a v e s u g g e s t e d t h a t t r a n s v e r s e c r a c k s

2 3 3 4

a r e p r o d u c e d o n l y d u r i n g t h e s t r a i g h t e n i n g p r o c e s s . ' '

A l t h o u g h s t r a i g h t e n i n g m u s t b e a m a j o r f a c t o r , t e n s i l e

s t r a i n s g e n e r a t e d b y n o n - u n i f o r m c o o l i n g i n t h e s p r a y c h a m b e r 3 5 3 6

h a v e a l s o b e e n s h o w n t o g i v e r i s e t o t r a n s v e r s e c r a c k s . '

3 6

Y a m a k i e t a l . h a v e e x a m i n e d s l a b s o b t a i n e d f r o m a n i n t e r ­

r u p t e d c a s t a n d s h o w e d t h a t f i n e c r a c k s , p r o b a b l y d u e t o

t h e r m a l s t r e s s e s g e n e r a t e d b y i n t e r m i t t e n t c o o l i n g b e t w e e n

s u c c e s s i v e s p r a y s , a p p e a r o v e r t h e e n t i r e s u r f a c e o f t h e s l a b

b e f o r e t h e s t r a i g h t e n e r . T h e y s u g g e s t t h a t t r a n s v e r s e c r a c k s

o n t h e u p p e r s l a b s i d e a r e g e n e r a t e d w h e n n e t w o r k s o f t h o s e

f i n e c r a c k s g r o w i n s i z e a s a r e s u l t o f t h e n o t c h e f f e c t u p o n

s t r a i g h t e n i n g w h i c h i n d u c e s l o n g i t u d i n a l t e n s i l e s t r e s s e s

o n t h a t f a c e . S t e e l c o n t a i n i n g a l u m i n u m , n i o b i u m , v a n a d i u m a n d o v e r

2 6

1 p e t . m a n g a n e s e i s p a r t i c u l a r l y s u s c e p t i b l e t o c r a c k i n g .

T h e p r e s e n c e o f A l N p r e c i p i t a t e s a t o p e n c r a c k s u r f a c e s

a n d a t a u s t e n i t e g r a i n b o u n d a r i e s i n t h e c r a c k r e g i o n h a s

fc i 2 2 , 3 5 , 3 7 , 3 8 „ b e e n e x t e n s i v e l y r e p o r t e d . S t r a i g h t e n i n g a p p e a r s

t o r e s u l t i n c r a c k f o r m a t i o n i f t h e s u r f a c e t e m p e r a t u r e i s

t o o l o w , p a r t i c u l a r l y i n t h e r a n g e o f 7 0 0 t o 9 0 0 ° C . F r o m

t h e s e o b s e r v a t i o n s i t i s c e r t a i n t h a t t r a n s v e r s e c r a c k i n g i s

r e l a t e d t o t h e " l o w - t e m p e r a t u r e " z o n e o f l o w d u c t i l i t y w h i c h

2 2

h a s b e e n s h o w n t o o c c u r i n s t e e l . S i n c e A 1 N p r e c i p i t a t i o n

i s a t l e a s t p a r t i a l l y r e s p o n s i b l e f o r t h i s b e h a v i o u r , t h e

s o l u t i o n t o t r a n s v e r s e c r a c k i n g i s b a s e d e i t h e r o n t h e p r e ­

v e n t i o n o f t h e p r e c i p i t a t i o n e v e n t o r t h e a v o i d a n c e o f t h e

t e m p e r a t u r e r a n g e o f l o w d u c t i l i t y d u r i n g s t r a i g h t e n i n g .

3 7 I i d a e t a l . h a v e s h o w n t h a t t h e A 1 N p r e c i p i t a t i o n

i s e n h a n c e d b y c o o l i n g - r e h e a t i n g c y c l e s i n t h e 7 0 0 - 9 0 0 ° C r a n g e

4

N o z a k i e t a l . s u p p o r t t h i s f i n d i n g a n d h a v e d e v e l o p e d a

s p r a y p a t t e r n i n w h i c h a l o w c o o l i n g r a t e i s u s e d i n t h e

u p p e r p a r t o f t h e s e c o n d a r y c o o l i n g s y s t e m . T h e h i g h e r s u r ­

f a c e t e m p e r a t u r e t h u s o b t a i n e d p r e v e n t s s u r f a c e c o o l i n g - r e h e a t ­

i n g c y c l e s b e t w e e n s p r a y n o z z l e s f r o m r e a c h i n g t h e c r i t i c a l

A l N p r e c i p i t a t i o n r a n g e a n d t h e r e b y i m p r o v e s t h e d u c t i l i t y

o f t h e s t e e l a t t h e s t r a i g h t e n e r . A s i m i l a r p r o c e d u r e h a s 3 5

b e e n r e p o r t e d b y H a t e r e t a l . R e d u c t i o n o f s p r a y c o o l i n g

i s i n d e e d w i d e l y u s e d t o c o n t r o l t r a n s v e r s e c r a c k p r o b -

4 , 3 5 , 3 9 , 4 0 l e m s .

I n p r a c t i c e , t h e b r i t t l e z o n e

s t r a i g h t e n i n g e i t h e r b y k e e p i n g t h e

h a s b e e n a v o i d e d d u r i n g

s u r f a c e t e m p e r a t u r e a b o v e

o r b e l o w t h e 7 0 0 - 9 0 0 ° C r a n g e . T h e f o r m e r i s a m o r e c o n v e n -

^ u v. . i , . , 2 7 , 3 5 , 3 7 , 4 0 t x o n a l a p p r o a c h a n d h a s b e e n e x t e n s i v e l y r e p o r t e d .

T h e l a t t e r m e t h o d h a s b e e n a d o p t e d b y J a p a n e s e i n v e s t i g a -

3 3 8

t o r s . ' T h e i r m a i n r e a s o n f o r a d o p t i n g s u c h a m e t h o d i s

b a s e d o n t h e f a c t t h a t i t i s d i f f i c u l t t o p r e v e n t t h e t e m p e r a ­

t u r e i n t h e c o r n e r r e g i o n s f r o m d r o p p i n g b e l o w 9 0 0 ° C i n t o t h e

l o w d u c t i l i t y r e g i o n s . T h e r e f o r e t h e y p r o p o s e t h a t t h e b e s t

r e s u l t s a r e o b t a i n e d b y m a i n t a i n i n g t h e t e m p e r a t u r e o v e r

t h e e n t i r e s u r f a c e b e l o w 7 0 0 ° C .

I m p r o v e m e n t i n s u r f a c e q u a l i t y b y i n c r e a s i n g s p r a y

2

c o o l i n g h a s a l s o b e e n r e p o r t e d . S c h m i d t a n d J o s e f s s o n h a v e

s u g g e s t e d t h a t a n i n c r e a s e i n t h e c o o l i n g r a t e i n t h e u p p e r

p a r t o f t h e s e c o n d a r y c o o l i n g z o n e c a u s e s a n o u t e r s u r f a c e

r e g i o n o f f i v e , Y - g r a i n s t o f o r m w h i c h g i v e s r i s e t o a 3

s t r o n g e r s t r u c t u r e . I c h i k a w a e t a l . h a v e a p p l i e d a s p r a y

p a t t e r n i n w h i c h t h e u p p e r p a r t o f t h e s p r a y z o n e e x p e r i e n c e s

h i g h i n t e n s i t y c o o l i n g i n o r d e r t o o b t a i n a l o w s u r f a c e

t e m p e r a t u r e . T h e r e a f t e r i t i s k e p t b e l o w t h e l o w d u c t i l i t y

r e g i o n u p t o t h e s t r a i g h t e n i n g p o i n t . F u r t h e r m o r e t h e y

c l a i m t h a t t h i s p r a c t i c e a l s o h e l p s t o i m p r o v e b u l g i n g

p r o b l e m s t h a t o t h e r w i s e ; t h e y * .o .b t a i n .

2 . 3 M a t h e m a t i c a l M o d e l s o f H e a t F l o w i n t h e

C o n t i n u o u s C a s t i n g o f S t e e l

I n t h e o p e r a t i o n o f c o n t i n u o u s - c a s t i n g m a c h i n e s i t i s

i m p o r t a n t t o u n d e r s t a n d t h e e f f e c t s o f o p e r a t i n g c o n d i t i o n s

o n t h e s o l i d i f i c a t i o n p r o f i l e a n d o n t h e s u r f a c e t e m p e r a t u r e

o f t h e s t r a n d . A s w a s s e e n i n t h e p r e v i o u s s e c t i o n , p r e ­

v a i l i n g t h e r m a l c o n d i t i o n s a r e a d o m i n a n t f a c t o r i n t h e

q u a l i t y o f t h e p r o d u c t . T h u s a n u m b e r o f m a t h e m a t i c a l m o d e l s

b a s e d o n h e a t f l o w , h a v e b e e n d e v e l o p e d t o r e l a t e t h e t h e r m a l

f i e l d t o o p e r a t i n g c o n d i t i o n s .

A l l t h e m o d e l s a r e b a s e d o n t h e u n s t e a d y - s t a t e c o n ­

d u c t i o n o f h e a t f r o m t h e i n t e r i o r o f t h e s t r a n d t o t h e s t r a n d

s u r f a c e . B e c a u s e s t e e l h a s a l o w t h e r m a l c o n d u c t i v i t y , a n d

t h e c a s t i n g r a t e i n a c o n t i n u o u s c a s t i n g m a c h i n e i s h i g h , a l l

41 w o r k e r s w i t h t h e e x c e p t i o n o f M a t h e w a n d B r o d y h a v e

a s s u m e d c o n d u c t i o n i n t h e w i t h d r a w a l d i r e c t i o n t o b e n e g l i ­

g i b l e . M a t h e w a n d B r o d y c l a i m t h a t i n f e r r o u s c o n t i n u o u s

c a s t i n g , a x i a l h e a t t r a n s f e r m a y b e i m p o r t a n t i n t h e m o u l d

e x i t r e g i o n , b u t t h i s a p p e a r s u n f o u n d e d .

42-49 I n m o d e l l i n g a s l a b c a s t e r , s e v e r a l a u t h o r s h a v e

b a s e d t h e i r a n a l y s i s o n u n i d i r e c t i o n a l h e a t t r a n s f e r w h i c h

41 i s v a l i d f a r f r o m c o r n e r s . M a t h e w a n d B r o d y h a v e s t u d i e d

a c y l i n d r i c a l s e c t i o n w h i l e G a u t i e r e t a l . ^ a l s o h a v e

a s s u m e d a c y l i n d r i c a l s h a p e t o s i m u l a t e a s q u a r e b i l l e t c a s t e r

51-55 O t h e r w o r k e r s h a v e a p p l i e d t w o - d i m e n s i o n a l h e a t

c o n d u c t i o n i n t h e m o d e l l i n g o f s l a b , b l o o m a n d b i l l e t c a s t e r s

T h i s a p p r o a c h i s i m p o r t a n t b e c a u s e i t a l l o w s t h e s u r f a c e

b o u n d a r y c o n d i t i o n s t o b e v a r i e d i n t h e t r a n s v e r s e d i r e c t i o n .

T h e v a r i o u s m a t h e m a t i c a l m o d e l s a r e a l s o b a s e d o n

d i f f e r e n t a s s u m p t i o n s , p a r t i c u l a r l y a s r e g a r d s t h e h e a t

t r a n s f e r p r o c e s s e s i n s i d e t h e l i q u i d p o o l , t h e r e l e a s e o f

l a t e n t h e a t a n d t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s a t t h e o u t s i d e s u r ­

f a c e o f t h e s t e e l s h e l l . T o d e s c r i b e t h e t r a n s f e r o f s u p e r ­

h e a t f r o m t h e l i q u i d p o o l t o t h e s o l i d i f i c a t i o n f r o n t , a

u * 4 9 - 5 1 , 5 4 , 5 5 . , ' fc „ n u m b e r o f a u t h o r s h a v e a s s u m e d t h e p o o l t o b e

n+u 4 1 , 4 6 - 4 8 , 5 2 , 5 3 t , , s t a g n a n t . O t h e r s a c c o u n t e d f o r c o n v e c t i o n

c r e a t e d b y t h e i n c o m i n g m e t a l s t r e a m b y r e p l a c i n g t h e t h e r m a l

c o n d u c t i v i t y , K , w i t h a n e f f e c t i v e t h e r m a l c o n d u c t i v i t y ,

K . . . T h e l a t t e r h a s b e e n a s s i g n e d a v a l u e t h a t i s a b o u t e f f °

5 t o 1 0 t i m e s g r e a t e r t h a n t h e l i q u i d c o n d u c t i v i t y a t t h a t

4 5 4 3 t e m p e r a t u r e . H i l l s , a n d M i y a z a w a a n d M u c h ! n e g l e c t e d

t h e r e s i s t a n c e i n t h e l i q u i d p o o l a l t o g e t h e r b y a s s u m i n g

t h a t i t w a s c o m p l e t e l y m i x e d . M o d e l c a l c u l a t i o n s h a v e s h o w n

t h a t , a l t h o u g h t h e s e a s s u m p t i o n s a r e v e r y d i f f e r e n t , t h e y

d o n o t h a v e a l a r g e e f f e c t o n t h e p r e d i c t e d r a t e o f s o l i d i f i c a ­

t i o n s i n c e t h e s u p e r h e a t i s n o r m a l l y o n l y a s m a l l f r a c t i o n o f

t h e l a t e n t h e a t .

T h e r e l e a s e o f l a t e n t h e a t h a s b e e n t r e a t e d i n s e v e r a l

4 5

d i f f e r e n t w a y s : r e l e a s e a t t h e s o l i d u s t e m p e r a t u r e , u n i ­

f o r m l y d i s t r i b u t e d b e t w e e n s o l i d u s a n d l i q u i d u s t e m p e r a t u r e ^ ' ^

1 8

4 8 4 8 a n d p r o p o r t i o n a l t o t h e s o l i d f r a c t i o n f o r m e d . L a i t e t a l .

h a v e s h o w n t h a t t h e e f f e c t s o f t h e l a t e n t h e a t e v o l u t i o n o n

t h e s o l i d u s p r o f i l e a r e a l m o s t n e g l i g i b l e , a n d t h a t t h e d i f ­

f e r e n c e s i n t h e m e t h o d o f c a l c u l a t i o n a r e m o r e c o n s i d e r a b l e

t h a n t h o s e o f l a t e n t h e a t e v o l u t i o n .

T h e f o r m u l a t i o n o f h e a t e x t r a c t i o n f r o m t h e s u r f a c e

o f t h e s t r a n d h a s p o s e d a d i f f i c u l t p r o b l e m , p a r t i c u l a r l y f o r

t h e m o u l d r e g i o n b e c a u s e o f t h e c o m p l e x i t y o f t h e s y s t e m ,

i . e . m o u l d r e c i p r o c a t i o n , l u b r i c a t i o n a n d g a p f o r m a t i o n .

S e v e r a l a p p r o a c h e s h a v e b e e n t a k e n f o r m o u l d h e a t t r a n s f e r .

4 1 4 9 - 5 1

T h e o r e t i c a l l y t h e m o u l d h a s b e e n d i v i d e d i n t o z o n e s ' , v i z

a n u p p e r z o n e w h e r e t h e r e i s g o o d c o n t a c t b e t w e e n t h e s t e e l

a n d t h e m o u l d w a l l , a n d a l o w e r g a p z o n e i n w h i c h t h e s u r ­

f a c e s a r e s e p a r a t e d b y a n a i r g a p . O n t h e e x p e r i m e n t a l s i d e 5 6

S a v a g e a n d P r i t c h a r d h a v e m e a s u r e d m o u l d h e a t f l u x a s a

f u n c t i o n o f r e s i d e n c e t i m e . S u b s e q u e n t l y B r i m a c o m b e e t

a ^ 4 8 , 5 7 w o r j c £ n g w i t h h e a t f l u x d a t a f r o m s e v e r a l c a s t e r s , h a v e s h o w n t h a t a r e l a t i o n s h i p e x i s t s b e t w e e n t h e a v e r a g e

m o u l d h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t a n d d w e l l t i m e i n t h e m o u l d .

4 5

H i l l s h a s a l s o s u g g e s t e d t h a t a c o e f f i c i e n t w h i c h d e c r e a s e s

l i n e a r l y w i t h d i s t a n c e b e l o w t h e m e n i s c u s m i g h t b e m o r e

r e a l i s t i c .

I n t h e s p r a y c o o l i n g z o n e , i t i s d i f f i c u l t t o c h a r a c t e r ­

i z e t h e s p r a y h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t a s a f u n c t i o n o f s p r a y

p a r a m e t e r s a s w a s s e e n i n a p r e v i o u s s e c t i o n . A s a r u l e i t

i s n e c e s s a r y t o u s e e x p e r i m e n t a l d a t a f r o m t h e c a s t e r u n d e r

s t u d y , t o d e f i n e e i t h e r a t e m p e r a t u r e p r o f i l e o r a h e a t

e x c h a n g e p r o f i l e .

T h e s i m p l e s t o f t h e h e a t f l o w z o n e s t o c h a r a c t e r i z e

m a t h e m a t i c a l l y i s t h e r a d i a t i o n c o o l i n g z o n e . H e r e t h e r a t e

o f h e a t e x t r a c t i o n i s g i v e n b y t h e w e l l e s t a b l i s h e d S t e f a n -

B o l t z m a n n e q u a t i o n .

T h e s o l u t i o n o f t h e d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s f o r h e a t

c o n d u c t i o n c a n b e a c h i e v e d b y t h r e e m a j o r m e t h o d s :

a ) a n a l y t i c a l ( a n d e m p i r i c a l ) m e t h o d s ,

b ) i n t e g r a l p r o f i l e m e t h o d , a n d

c ) n u m e r i c a l ( f i n i t e d i f f e r e n c e o r f i n i t e e l e m e n t )

m e t h o d .

42 A l t h o u g h m o r e e l e g a n t , m a t h e m a t i c a l l y a n a l y t i c a l s o l u t i o n s

h a v e l i m i t e d a p p l i c a b i l i t y s i n c e t h e y c a n o n l y b e o b t a i n e d

u n d e r c o n d i t i o n s o f c o n s t a n t . t h e r m o p h y s i ' c a l . p r o p e r t i e s a n d

w i t h n a r r o w l y d e f i n e d b o u n d a r y c o n d i t i o n s . T h e i n t e g r a l 45

p r o f i l e s o l u t i o n h a s b e e n p r e s e n t e d b y H i l l s a n d h a s b e e n 43 44 59

u s e d q u i t e e x t e n s i v e l y . ' ' A l t h o u g h t h i s a p p r o a c h

a s s u m e s c o n s t a n t t h e r m o p h y s i c a l p r o p e r t i e s , a n e g l i g i b l e

f r e e z i n g r a n g e , a n d u n i d i r e c t i o n a l h e a t c o n d u c t i o n , B r i m a -5 9

c o m b e a n d W e i n b e r g h a v e s h o w n t h a t i t p r e d i c t s r e a l i s t i c

2 0

p o o l p r o f i l e s i n p r o b l e m s w h e r e u n i d i r e c t i o n a l h e a t c o n d u c t i o n

c a n b e a s s u m e d .

T h e n u m e r i c a l ( f i n i t e d i f f e r e n c e o r f i n i t e e l e m e n t )

m e t h o d s a r e t h e m o s t v e r s a t i l e s i n c e t h e y p e r m i t t h e u s e o f

a n y b o u n d a r y c o n d i t i o n , a t w o - d i m e n s i o n a l a p p r o a c h , r e l e a s e

o f l a t e n t h e a t o v e r a b r o a d f r e e z i n g r a n g e a n d t e m p e r a t u r e -

d e p e n d e n t t h e r m o p h y s i c a l p r o p e r t i e s . T h u s t h e l a t t e r m e t h o d

h a s b e e n u s e d e x t e n s i v e l y t o p r e d i c t h e a t f l o w i n c o n t i n u o u s

4 1 , 4 6 - 5 5 c a s t m g .

T h e r e a r e t h r e e i m p o r t a n t a p p r o a c h e s f o r t h e f o r m u l a t i o n

o f t h e f i n i t e d i f f e r e n c e e q u a t i o n s :

a ) n o r m a l e x p l i c i t m e t h o d ,

b ) n o r m a l i m p l i c i t m e t h o d , a n d

c ) i m p l i c i t a l t e r n a t i n g d i r e c t i o n m e t h o d o f P e a c e m a n a n d

R a c h f o r d , u s e d f o r t w o d i m e n s i o n a l e q u a t i o n s .

6 0

T h e m e t h o d s a r e d e s c r i b e d b y G a r n a h a n e t a l . A l l t h e

m e t h o d s c a n g i v e s i m i l a r a c c u r a c y b u t t h e c o m p u t a t i o n a l e f f o r t

r e q u i r e d t o a c h i e v e a s o l u t i o n o f t e n d i c t a t e s w h i c h m e t h o d i s

b e s t s u i t e d f o r t h e p r o b l e m u n d e r s t u d y .

2 . 4 C o n t r o l o f S e c o n d a r y C o o l i n g

A s p o i n t e d o u t i n s e c t i o n 2 . 2 , s e c o n d a r y c o o l i n g p r a c t i c e

i s o n e o f t h e m o s t i m p o r t a n t f a c t o r s a f f e c t i n g p r o d u c t q u a l i t y

i n s t r a n d c a s t i n g . I n m o s t c o n t i n u o u s - c a s t i n g i n s t a l a t i o n s ,

t h e w a t e r - s p r a y p a r a m e t e r s n e c e s s a r y t o e n s u r e g o o d p r o d u c t

q u a l i t y a r e e s t a b l i s h e d e x p e r i m e n t a l l y f o r s t e a d y - s t a t e

o p e r a t i o n a n d " c o n t r o l " o f t h e s e c o n d a r y c o o l i n g i s a c c o m p l i ­

s h e d b y v a r y i n g t h e t o t a l a m o u n t o f w a t e r d i r e c t l y a s a

f u n c t i o n o f t h e c a s t i n g s p e e d . A l t h o u g h t h i s p r o c e d u r e i s

r e a s o n a b l e f o r s t e a d y - s t a t e o p e r a t i o n a t t h e n e w c a s t i n g

6 1

s p e e d , i t h a s b e e n s h o w n t h a t l a r g e f l u c t u a t i o n s o f t h e

s u r f a c e t e m p e r a t u r e , a m o u n t i n g t o s e v e r a l h u n d r e d d e g r e e s

c e n t i g r a d e c a n p e r s i s t i m m e d i a t e l y a f t e r a c h a n g e i n c a s t i n g

s p e e d . I n f a c t , b e c a u s e t h e t h e r m a l c h a r a c t e r i s t i c s o f

t h e s t r a n d a t a g i v e n p o i n t a r e a f u n c t i o n o f i t s t h e r m a l

h i s t o r y , t r a n s i e n t - c o o l i n g r e q u i r e m e n t s v a r y w i d e l y a s t h e

d i s t a n c e f r o m t h e m e n i s c u s i n c r e a s e s a n d t h e r e f o r e c a n n o t b e

a c c o u n t e d f o r b y a s i m p l e s p r a y w a t e r / s p e e d r a t i o c o n t r o l .

P r o d u c t i o n c o n s t r a i n t s m a k e c h a n g e s i n c a s t i n g s p e e d

u n a v o i d a b l e . T h e y r e s u l t e i t h e r f r o m n o r m a l o p e r a t i n g p r o ­

c e d u r e s s u c h a s s t a r t - u p ; l a d l e , t u n d i s h o r s h r o u d c h a n g e ; a n d

e n d o f c a s t i n g o r f r o m u n p l a n n e d i n c i d e n t s s u c h a s n o z z l e

b l o c k a g e . T h e u n s t e a d y s t a t e w h i c h f o l l o w s a n y c a s t i n g - s p e e d

c h a n g e m a y o c c u p y a n i m p o r t a n t p a r t o f t h e w o r k i n g c y c l e o f

a c a s t e r . F o r e x a m p l e , c o n s i d e r t h e c a s e w h e r e t h e s e c o n d a r y

c o o l i n g z o n e i s 1 8 m l o n g a n d t h e f i n a l c a s t i n g s p e e d i s 2

c m / s . U n d e r t h e s e c o n d i t i o n s , t h e c a s t e r w i l l b e i n s t e a d y

22

s t a t e o n l y a f t e r a s l i c e o f m e t a l w h i c h w a s c a s t a t t h a t

f i n a l s p e e d l e a v e s t h e m a c h i n e 1 5 m i n . a f t e r t h e e n d o f t h e

s p e e d c h a n g e .

A l t h o u g h v e r y f e w p a p e r s h a v e b e e n p u b l i s h e d i n t h e

_ , 6 1 - 6 4 . . , • . a r e a o r s p r a y c o n t r o l i t s p r a c t i c a l i m p o r t a n c e i s e v i d e n t

f r o m t h e n u m b e r o f p a t e n t s t h a t h a v e b e e n g r a n t e d t o s t e e l

u • • 6 5 - 6 7 c o m p a n i e s a n d r e s e a r c h i n s t i t u t e s .

A s p o i n t e d o u t b y s e v e r a l a u t h o r s ^ ' ^ s u r f a c e - t e m p e r a ­

t u r e c o n t r o l i n c o n t i n u o u s c a s t i n g p o s e s a d i f f i c u l t p r o b l e m

b e c a u s e t h e n o r m a l f e e d b a c k c o n t r o l a p p r o a c h , i . e . , c o n t r o l

o f t h e c o o l i n g v a r i a b l e s a s a f u n c t i o n o f t h e d i f f e r e n c e

b e t w e e n t h e d e s i r a b l e a n d t h e a c t u a l t e m p e r a t u r e , r e q u i r e s

a n a c c u r a t e s u r f a c e t e m p e r a t u r e m e a s u r e m e n t . I n t h e c o n ­

t i n u o u s c a s t i n g o f s t e e l , o p t i c a l p y r o m e t e r s h a v e b e e n u s e d

t o i n d i c a t e a c t u a l s u r f a c e t e m p e r a t u r e b u t t h e h o s t i l e

e n v i r o n m e n t , p r e s e n c e o f s t e a m i n t h e s i g h t i n g p a t h , a n d

s c a l e o n t h e s t r a n d s u r f a c e m a k e t h e r e a d i n g s u n r e l i a b l e f o r

a u t o m a t i c c o n t r o l o f c o o l i n g .

I n o r d e r t o s o l v e t h i s p r o b l e m , t h e c o n t r o l s t r a t e g y

m u s t b e b a s e d o n a p r o c e s s c h a r a c t e r i s t i c w h i c h a l l o w s t h e

a n t i c i p a t i o n o f t e m p e r a t u r e f l u c t u a t i o n s a n d t h e r e f o r e c o n ­

t r o l s t h e c o o l i n g v a r i a b l e s d i r e c t l y f r o m c a s t i n g s p e e d

m e a s u r e m e n t s . A l l t h e c o n t r o l m o d e l s p r e s e n t e d a r e b a s e d

o n t h e a s s u m p t i o n t h a t , f o r s t e e l , a x i a l h e a t f l o w i s n e g l i ­

g i b l e a n d t h e r e f o r e , f o r a t r a n s v e r s e s l i c e o f s t e e l t h e

i m p o r t a n t v a r i a b l e s a r e r e s i d e n c e t i m e i n t h e m a c h i n e a n d

c o o l i n g r a t e d u r i n g t h i s t i m e . T h u s , t h e c o o l i n g v a r i a b l e s

a t a n y p o i n t a r e s e t o n l y a s a f u n c t i o n o f t h e r e s i d e n c e

t i m e o r a g e o f a m e t a l s l i c e p a s s i n g t h r o u g h t h e p o i n t , i . e . ,

t h e t i m e s i n c e t h e m e t a l s l i c e w a s f o r m e d i n t h e m o u l d . T h i s

e n s u r e s t h a t e a c h t r a n s v e r s e s l i c e i s a l w a y s s u b j e c t e d t o

t h e c o r r e c t h e a t e x t r a c t i o n r a t e w h i c h i s e n t i r e l y i n d e p e n d e n t

o f t h e i n s t a n t a n e o u s c a s t i n g s p e e d .

6 2 6 1 D e w a r a n d P a t r i c k , a n d E t i e n n e e t a l . h a v e o b t a i n e d

a r e l a t i o n s h i p b e t w e e n h e a t - t r a n s f e r c o e f f i c i e n t a n d r e ­

s i d e n c e t i m e w h i c h g i v e s t h e c o r r e c t h e a t e x t r a c t i o n r a t e

f r o m m a t h e m a t i c a l m o d e l p r e d i c t i o n s o f h e a t f l o w . T h e d e ­

s i r a b l e p a r a m e t e r s f o r e a c h s p r a y z o n e t h e n h a v e b e e n

c a l c u l a t e d f r o m e m p i r i c a l r e l a t i o n s h i p s d e v e l o p e d f r o m p l a n t

6 4

a n d l a b o r a t o r y e x p e r i m e n t s . E o u s s a l h a s u s e d a u n i q u e

r e l a t i o n s h i p b e t w e e n w a t e r - f l u x a n d t i m e w h i c h i s a d j u s t e d b y

a c o e f f i c i e n t r e p r e s e n t i n g t h e e f f i c i e n c y o f t h e s p r a y z o n e

u n d e r c o n t r o l .

R e s i d e n c e - t i m e c a l c u l a t i o n s a r e c o m p l e x a n d m u s t b e

c a r r i e d o u t c o n s t a n t l y f o r s e v e r a l p o i n t s . P r o c e s s c o m p u t e r s

w i t h r e a l - t i m e c a l c u l a t i o n c a p a b i l i t y h a v e b e e n a p p l i e d i n

o r d e r t o o b t a i n t h e n e c e s s a r y c a l c u l a t i o n s p e e d .

I n g e n e r a l , t h e m o d e l s m a k e u s e o f a n u m e r i c a l p r o c e e d u r e

i n o r d e r t o i n t e g r a t e t h e c a s t i n g s p e e d w i t h r e s p e c t t o t i m e .

T h e f u n c t i o n s d e v e l o p e d w h i c h r e l a t e t h e h e a t t r a n s f e r c o ­

e f f i c i e n t t o t i m e a n d s p r a y p a r a m e t e r s t o t h e h e a t t r a n s f e r

c o e f f i c i e n t f o r e a c h s t e e l g r a d e a n d c a s t i n g s e c t i o n a r e s t o r e d

i n t h e c o m p u t e r a n d f r o m t h e s e , t h e i d e a l s p r a y p a r a m e t e r s

a r e c a l c u l a t e d f o r e a c h p o i n t . I n p r a c t i c e , t h e s e c o n d a r y -

c o o l i n g z o n e i s d i v i d e d a l o n g t h e m a c h i n e i n t o s e g m e n t s i n

o r d e r t o a c h i e v e t h e t h e r m a l r e q u i r e m e n t s o f t h e s t r a n d .

T h e r e f o r e , a n a v e r a g e o f s e v e r a l p o i n t s i n e a c h s e g m e n t i s

u s e d i n o r d e r t o e v a l u a t e t h e w a t e r f l u x r e q u i r e m e n t s o f

t h e r e s p e c t i v e s e g m e n t . T h e v a l u e o b t a i n e d i s t h e n u s e d t o

g e n e r a t e c o n t r o l s i g n a l s w h i c h a d j u s t t h e s e t p o i n t i n t h e

w a t e r f l o w c o n t r o l l e r s .

6 2 D e w a r a n d P a t r i c k h a v e s u g g e s t e d t h a t t h e a v e r a g i n g

o f t h e h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t s i n a s p r a y z o n e s h o u l d b e

p e r f o r m e d o n l y i n t h e r e g i o n a c t u a l l y o c c u p i e d b y t h e s t r a n d .

T h e r e f o r e , d u r i n g s t a r t - u p a n d e n d o f c a s t i n g , t h e m o d e l

m u s t k e e p t r a c k o f t h e h e a d a n d t a i l o f t h e s t r a n d i n o r d e r

t o e v a l u a t e t h e o c c u p i e d r e g i o n i n e a c h c o o l i n g z o n e .

A l o o s e f e e d b a c k c o n t r o l l o o p u s i n g s u r f a c e t e m p e r a t u r e

61 6

m e a s u r e m e n t s f r o m a n o p t i c a l p y r o m e t e r h a s a l s o b e e n u s e d '

i n o r d e r t o a d j u s t t h e h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t r e l a t i o n s h i p

a n d , t h u s t a k e c a r e o f o t h e r f a c t o r s n o t a c c o u n t e d f o r b y t h e

m o d e l . D e w a r a n d P a t r i c k h a v e u s e d a p y r o m e t e r m o u n t e d o n

t h e s t r a i g h t e n e r - r o l l s f r a m e w o r k t o p r o v i d e a c h e c k o n

s u r f a c e t e m p e r a t u r e b u t t h e y f o u n d t h a t t h i s t e m p e r a t u r e o n l y

g i v e s w a r n i n g o f g r o s s m a l f u n c t i o n s o f t h e s p r a y s .

F i n a l l y , s o m e m o d e l s ^ ^ ' ^ ' ^ h a v e b e e n e x p a n d e d t o p r o ­

v i d e f u l l a u t o m a t i o n o f t h e c a s t e r s y s t e m . S o m e o f t h e t a s k s

r e p o r t e d a r e :

- o p t i m i z a t i o n o f s l a b c u t t i n g i n o r d e r t o m e e t r o l l i n g -

m i l l o r d e r s ,

- c o n t i n u o u s c a l c u l a t i o n o f t h e h e a t c a s t i n g s p e e d i n

o r d e r t o m a t c h t h e t a p - t o - t a p t i m e o f t h e B O F s h o p ,

- c o n t r o l o f l a d l e t r e a t m e n t ,

- d a t a l o g g i n g .

C h a p t e r 3

D E V E L O P M E N T O F T H E M A T H E M A T I C A L

M O D E L S

3 . 1 M a t h e m a t i c a l M o d e l o f H e a t F l o w

3 . 1 . 1 I n t r o d u c t i o n

T h e m o d e l i s b a s e d o n u n s t e a d y - s t a t e h e a t c o n ­

d u c t i o n f r o m t h e i n t e r i o r t o t h e s u r f a c e o f t h e s t r a n d . C o n ­

d u c t i o n i n t h e w i t h d r a w a l d i r e c t i o n i s a s s u m e d t o b e n e g l i b i b l e .

M a t h e m a t i c a l l y , t h e t w o - d i m e n s i o n a l h e a t f l o w i s d e s c r i b e d b y :

I n o r d e r t o s o l v e t h i s e q u a t i o n , i n i t i a l a n d b o u n d a r y c o n ­

d i t i o n s , w h i c h a r e c h a r a c t e r i s t i c o f e a c h m a c h i n e , m u s t b e

c o n s i d e r e d .

T h e f o l l o w i n g a s s u m p t i o n s h a v e b e e n a d o p t e d i n t h e

m o d e 1 :

1 . O w i n g t o t w o f o l d s y m m e t r y a c r o s s t h e c e n t e r p l a n e o f

t h e b r o a d f a c e , t h e c a l c u l a t i o n c a n b e c o n f i n e d t o h a l f o f

t h e c r o s s s e c t i o n . S y m m e t r y a c r o s s t h e n a r r o w - f a c e c e n t e r

p l a n e h a s n o t b e e n c o n s i d e r e d i n o r d e r t o a l l o w d i f f e r e n t

c o o l i n g r a t e s o n t h e t w o b r o a d f a c e s a s c o u l d o c c u r i n

. . . ( 4 )

26

2 7

c u r v e d m a c h i n e s . T h e r e f o r e a t t h e c e n t e r p l a n e o f t h e b r o a d

f a c e , a n u l l - h e a t f l u x b o u n d a r y c o n d i t i o n h a s b e e n a s s u m e d

( F i g . 3 ) .

1 5 = 0 f o r a l l t a n d y . . . ( 5 ) 9 x-

2 . I n t h e l i q u i d - p o o l r e g i o n , h e a t f l o w i s d e s c r i b e d b y

a n e f f e c t i v e t h e r m a l c o n d u c t i v i t y , K . . , w h i c h i n c l u d e s t h e e f f

e f f e c t o f c o n v e c t i v e m i x i n g .

3 . O w i n g t o a g e n e r a l l a c k o f q u a l i t a t i v e i n f o r m a t i o n t o

t h e c o n t r a r y , t h e l a t e n t h e a t o f s o l i d i f i c a t i o n h a s b e e n

a s s u m e d t o b e r e l e a s e d l i n e a r l y w i t h i n t h e l i q u i d / s o l i d r e g i o n

b y a n a r t i f i c i a l i n c r e a s e o f t h e C p v a l u e i n t h i s t e m p e r a t u r e

r a n g e .

4 . T h e s u r f a c e b o u n d a r y c o n d i t i o n s a r e e x p r e s s e d a s a h e a t

' t r a n s f e r c o e f f i c i e n t a n d a t e m p e r a t u r e o f t h e s u r r o u n d i n g

m e d i u m

- K |Z = h ( T - T ) . . . ( 6 ) 8.x s a

D u e t o t h e c o m p l e x i t y o f t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s a n d

t h e n e e d t o v a r y t h e t h e r m o p h y s i c a l p r o p e r t i e s , a n u m e r i c a l

m e t h o d h a s b e e n c h o s e n t o s o l v e t h e p a r t i a l d i f f e r e n t i a l

e q u a t i o n . T h e m o d e l d e v e l o p e d w a s t o b e u s e d f o r u n s t e a d y

s t a t e s i m u l a t i o n i n s l a b c a s t e r s w h i c h m e a n s e x t e n s i v e a n d

r e p e t i t i v e r u n s ; t h e r e f o r e t o l e r a b l e c o m p u t i n g c o s t w a s a

2 8

c o n s t r a i n t u p o n t h e c h o i c e o f a n u m e r i c a l m e t h o d . A n a l t e r ­

n a t i v e i m p l i c i t f i n i t e d i f f e r e n c e s c h e m e h a s b e e n f o u n d

a d e q u a t e f o r t h i s p u r p o s e .

3 . 1 . 2 F o r m u l a t i o n o f t h e F i n i t e D i f f e r e n c e E q u a t i o n s

W h e n u s i n g a f i n i t e d i f f e r e n c e t e c h n i q u e t o s o l v e

a p a r t i a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n , t h e r e g i o n o f i n t e r e s t i s

a s s u m e d t o b e s u b d i v i d e d i n t o a s e r i e s o f s m a l l d i s c r e t e

e l e m e n t s . S i n c e t h e s h e l l a t t h e e x i t o f t h e m o u l d i s u s u a l l y

l e s s t h a n 2 c m t h i c k , a s m a l l n o d e s p a c i n g c l o s e t o t h e s u r ­

f a c e o f t h e s t r a n d i s r e q u i r e d t o f o l l o w t h e b e h a v i o u r o f

t h e s h e l l i n t h e e a r l y s t a g e s o f i t s f o r m a t i o n . T h i s s m a l l

s p a c i n g a l s o g i v e s g r e a t e r a c c u r a c y i n t h e s u r f a c e t e m p e r a ­

t u r e p r e d i c t i o n s a l o n g t h e m a c h i n e . H o w e v e r , l a r g e r d i s t a n c e s

b e t w e e n n o d e s h a v e b e e n t a k e n f o r t h e i n t e r n a l p a r t o f t h e

s l a b ( o r b i l l e t ) . T h i s c h a n g e f r o m s m a l l t o l a r g e r n o d e

s p a c i n g c a n c a u s e f i c t i t i o u s f l u c t u a t i o n s o f t e m p e r a t u r e a s

t h e s o l i d i f i c a t i o n f r o n t p a s s e s t h r o u g h n o d e s o f d i f f e r e n t

s p a c i n g ; t h e r e f o r e a n i n t e r m e d i a t e n o d e w i t h a s p a c i n g e q u a l

t o t h e a r i t h m e t i c m e a n o f t h e t w o n o d e s p a c i n g s u s e d , h a s b e e n

i n c l u d e d i n o r d e r t o i n c r e a s e t h e d i s t a n c e o v e r w h i c h t h e

t r a n s i t i o n i s m a d e . T h e m e s h u s e d f o r t h e f i n i t e d i f f e r e n c e

c a l c u l a t i o n s i s s h o w n i n F i g ( 3 ) . I t m a y b e n o t e d t h a t t h i s

n e t w o r k g e n e r a t e s 7 0 d i f f e r e n t t y p e s o f n o d e s .

T h e p a r t i a l d e r i v a t i v e s o f t h e o r i g i n a l d i f f e r e n t i a l

e q u a t i o n a r e t h . e n a p p r o x i m a t e d b y s u i t a b l e f i n i t e - d i f f e r e n c e

e x p r e s s i o n s . S i n c e t h e t h e r m a l c o n d u c t i v i t y i s a f u n c t i o n

o f t h e t e m p e r a t u r e , E q . ( J y ) i s n o n l i n e a r b u t i t m u s t b e

a p p r o x i m a t e d b y a n a l g e b r a i c e q u a t i o n w h i c h , i s l i n e a r i n i t s

u n k n o w n s . T h e f o l l o w i n g a p p r o x i m a t i o n s , s u g g e s t e d b y M y e r s ' '

h a v e b e e n u s e d i n t h e p r e s e n t w o r k .

p C p T ' ( i , ,1 ) - T ( i , j ) = K - T ( l + l , j ) . - T ( i , , j ) A t A x

; ~ A x

K T ( i , i ) - ( T ( 1 - 1 , 1 ) . K ' T ( l , j + 1 ) - T ( i , j ) Z A x J A y

A x A y

K , T ( i,,1) - T ( i,,1-1) A y

...(7) A y

w h e r e t h e t h e r m a l c o n d u c t i v i t i e s K ^ ' j * > a n d a r e

c a l c u l a t e d b y a v e r a g i n g t h e v a l u e s i n t h e a d j a c e n t n o d e s i n

q u e s t i o n a n d C p i s e v a l u a t e d a t T ( i , j ) .

E q . (7) r e p r e s e n t s a n e x p l i c i t f i n i t e d i f f e r e n c e

m e t h o d s i n c e t h e o n l y u n k n o w n i n t h i s e q u a t i o n i s T ' C i » j ) »

t h e f u t u r e t e m p e r a t u r e . A l t h o u g h , t h i s e q u a t i o n i s v e r y

s i m p l e a n d c o n v e n i e n t t o u s e i n a c o m p u t e r p r o g r a m , i t h a s

a n i n h e r e n t d i s a d v a n t a g e . I n o r d e r t o e n s u r e t h e s t a b i l i t y

o f t h e n u m e r i c a l m e t h o d , t h e r e i s a r e s t r i c t i o n o n t h e t i m e -

d e c r e a s e d , t h e t i m e - s t e p m u s t b e d e c r e a s e d a c c o r d i n g l y i n

o r d e r t o e n s u r e a s t a b l e s o l u t i o n . T h i s i n c r e a s e s t h e n u m b e r

o f i t e r a t i o n s a n d h e n c e t h e c o m p u t i n g c o s t .

b y u s i n g a n i m p l i c i t f i n i t e d i f f e r e n c e m e t h o d . E s s e n t i a l l y ,

t h e f u t u r e t e m p e r a t u r e a t a n y p a r t i c u l a r n o d e i s w r i t t e n i n

t e r m s o f f u t u r e t e m p e r a t u r e s a t s u r r o u n d i n g n o d e s r a t h e r t h a n

i n t e r m s o f p r e s e n t t e m p e r a t u r e s . T h i s l e a d s t o t h e f o l l o w ­

i n g e q u a t i o n s :

s t e p t h a t c a n b e u s e d . 60,72 T h e r e f o r e , i f t h e e l e m e n t s i z e i s

I t i s p o s s i b l e t o e l i m i n a t e t h e f o r e g o i n g r e s t r i c t i o n

A t A x

K 2 T ' ( i , j ) - T ' ( i - l , j ) +

K 3 T 1 ( i , , j + l ) - T ' ( i , j )

A x 2

• • • (.8)

H o w e v e r t h i s a p p r o a c h g i v e s r i s e t o t w o n e w p r o b l e m s :

1 . t h e v a l u e s o f t h e t h e r m o p h y s i c a 1 p r o p e r t i e s a r e n o w a

f u n c t i o n o f u n k n o w n f u t u r e t e m p e r a t u r e s a n d ,

2. i n t h e e q u a t i o n t h e r e a r e n o w f i v e u n k n o w n t e m p e r a t u r e s

w h i c h m u s t b e d e t e r m i n e d . T h e a p p l i c a t i o n o f t h i s e q u a t i o n

t o a l l n o d e s i n t h e s e c t i o n l e a d s t o a s y s t e m o f s i m u l t a n e o u s

e q u a t i o n s ; w i t h f i v e u n k n o w n s , t h e s o l u t i o n o f w h i c h m a y b e

e x p e n s i v e i n t e r m s o f c o m p u t i n g c o s t .

T h e m o s t e l e g a n t s o l u t i o n f o r t h e f o r m e r p r o b l e m i s t o

a d a p t a n i t e r a t i v e t e c h n i q u e , i . e . , a p p r o x i m a t e K a n d C p

u s i n g t h e p r e v i o u s t e m p e r a t u r e s a n d e m p l o y t h e n e w t e m p e r a ­

t u r e o b t a i n e d t o e v a l u a t e a m o r e a c c u r a t e v a l u e o f K a n d C p

a n d t h e n r e e v a l u a t e t h e t e m p e r a t u r e f i e l d ; b u t t h i s w o u l d

u n d u l y i n c r e a s e t h e n u m b e r o f i t e r a t i o n s . S i n c e t h e t e m p e r a ­

t u r e d e p e n d e n c e o f K a n d C p a r e n o t v e r y s t r o n g o n l y t h e

f i r s t s t e p h a s b e e n u s e d , i . e . , K a n d C p a r e a p p r o x i m a t e d b y

t h e i r v a l u e s a t t h e p r e v i o u s t i m e - s t e p . T h i s a p p r o a c h w o u l d

l i m i t t h e s i z e o f t h e t i m e - s t e p s i n c e t h e a c c u r a c y i n t h e

v a l u e o f t h e t h e r m o p h y s i c a l p r o p e r t i e s i s a f u n c t i o n o f

A t , h o w e v e r t h e r e s t r i c t i o n i m p o s e d i s l e s s s e v e r e t h a n i n

t h e e x p l i c i t c a s e .

T h e l a t t e r p r o b l e m c a n b e o v e r c o m e b y u s i n g t h e a l t e r n a ­

t i n g - d i r e c t i o n i m p l i c i t m e t h o d d e v e l o p e d b y P e a c e m a n a n d

73

R a c h f o r d . T h i s m e t h o d i n v o l v e s t h e s u b d i v i s i o n o f t h e t i m e

s t e p i n t o h a l v e s . O v e r t h e f i r s t h a l f t i m e - s t e p , t h e e q u a t i o n s

a r e m a d e i m p l i c i t o n l y i n t h e x d i r e c t i o n w h i l e o v e r t h e

s e c o n d h a l f t h e y a r e m a d e i m p l i c i t i n t h e y d i r e c t i o n . T h i s

l e a d s t o t w o e q u a t i o n s a s f o l l o w s :

3 2

T * ( i , . 1 ) - T ( i , . 1 )

A t 2

T * ( i , j ) - T * ( i - l , . 1 )

A x 2

T ( i , j ) - T ( i , . 1 - 1 )

A y 2

T ' ( i , . i ) - T * ( i , . i )

A t 2

T * ( i , . 1 ) - T * ( i - l , . i )

A x 2

T ' ( i , . 1 ) - T ' ( i , _i - 1 )

Ax 2

A y 2

. . . ( 9 a )

A x 2

•3 v , J ' A y 2

( 9 b )

Ay 2

T h e r e f o r e t h e p r o b l e m o f s o l v i n g a s y s t e m o f s i m u l t a n e o u s

e q u a t i o n s w i t h f i v e u n k n o w n s i s r e d u c e d t o s o l v i n g t w o s y s t e m s

o f s i m u l t a n e o u s e q u a t i o n s w i t h t h r e e u n k n o w n s w h i c h c a n b e

r e a d i l y s o l v e d b y a G a u s s i a n e l i m i n a t i o n m e t h o d . H e n c e t h i s

m e t h o d w a s c h o s e n a s t h e b a s i s f o r t h i s m o d e l .

F u r t h e r m o r e , i n o r d e r t o i n t r o d u c e t h e b o u n d a r y c o n ­

d i t i o n s , t h e a p p r o p r i a t e t e r m d e s c r i b i n g h e a t f l o w b y c o n ­

d u c t i o n m u s t b e r e p l a c e d b y a t e r m d e s c r i b i n g h e a t e x c h a n g e

w i t h t h e s u r r o u n d i n g s . F o r a n o d e o n t h e s u r f a c e , E q . ( 7 )

33

b e c o m e s

P C P T ' ( i , j ) - T ( i , . 1 ) = K± T ( i + l , j ) - T ( i , j )

A t A x

+ h ( T , 3 - T ( i , , Q ) + A x

K , T ( i , j ) - T ( i , j - 1 ) ...(10)

H o w e v e r t h i s d i r e c t s u b s t i t u t i o n o f t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n t o

y i e l d E q . (10) i s n o t c o m p l e t e l y s a t i s f a c t o r y , s i n c e t h e

a p p r o x i m a t i o n s f o r t h e d e r i v a t i v e s d o n o t m a t c h , b e i n g a

f u n c t i o n o f A x ( o r A y ) f o r a s u r f a c e n o d e a n d a f u n c t i o n o f

2 2 ( A x ) ( o r ( A y ) ) f o r a n i n t e r i o r n o d e . T h e d i f f e r e n c e i n

e r r o r s c a n b e c o r r e c t e d b y i m a g i n i n g t h e e x i s t e n c e o f a

f i c t i t i o u s e x t e r n a l n o d e a t a d i s t a n c e A x ( o r A y ) f r o m

74

t h e s u r f a c e . T h e h e a t t r a n s f e r r e d b e t w e e n t h e s t r a n d

a n d t h e s u r r o u n d i n g s i s t h e n a s s u m e d t o b e e q u i v a l e n t t o t h e

h e a t t r a n s f e r r e d b y c o n d u c t i o n b e t w e e n t h e i n t e r i o r n o d e

i m m e d i a t e l y a d j a c e n t t o t h e s u r f a c e n o d e a n d t h e i m a g i n a r y

n o d e . T h i s l e a d s t o t h e f o l l o w i n g e q u a t i o n s :

3 4

p C p T ' ( l , j ) - T C l . j ) = K x T ( . 2 , j ) - T C 1 . . 1 ) At Ax

_ K_ T ( l , j ) - T ( . j ) + K „ T ( l , j - 1 ) - T ( l , . 1 )

K T C l . j ) ~ T ( l , . . . ( 1 1 a )

w h e r e T ( j ) c a n b e f o u n d f r o m t h e e x p r e s s i o n f o r t h e b o u n d a r y

c o n d i t i o n .

d i t i o n a n d t h e r m o p h y s i c a l p r o p e r t i e s r e p r e s e n t s b y f a r t h e

m o s t d i f f i c u l t p r o b l e m i n m o d e l l i n g t h e c o n t i n u o u s c a s t i n g

p r o c e s s . D a t a f o r t h e h i g h — t e m p e r a t u r e t h e r m o p h y s i c a l

p r o p e r t i e s o f c o m m e r c i a l s t e e l g r a d e s a r e d i f f i c u l t t o o b t a i n

a n d v a r i a b l e s s u c h a s t h e e f f e c t i v e t h e r m a l c o n d u c t i v i t y i n

t h e l i q u i d p o o l , a n d t h e r e l e a s e o f l a t e n t h e a t d u r i n g

s o l i d i f i c a t i o n , p r e s e n t g r e a t d i f f i c u l t i e s i n e x p e r i m e n t a l

d e t e r m i n a t i o n .

K T ( 2 , j ) - T (1) _ h ( T ( . l , j ) - T .) d

• • • ( H b )

2 A x

T h e p r o g r a m l i s t i n g i s p r e s e n t e d i n A p p e n d i x A l .

3 . 1 . 3 S u r f a c e B o u n d a r y C o n d i t i o n s

T h e u s e o f r e l i a b l e v a l u e s f o r t h e b o u n d a r y c o n -

F o r t u n a t e l y , i t h a s b e e n s h o w n t h a t t h e e x a c t f o r m o f

3 5 4 8

t h e l a t e n t h e a t r e l e a s e a n d t h e e x a c t v a l u e o f t h e e f f e c t i v e

t h e r m a l c o n d u c t i v i t y e m p l o y e d " ' " d o n o t a p p e a r t o a f f e c t t h e c a l ­

c u l a t e d t e m p e r a t u r e f i e l d s i g n i f i c a n t l y . T h e r e f o r e t h e e f f e c t i v e

t h e r m a l c o n d u c t i v i t y i n t h e l i q u i d p o o l h a s b e e n e s t i m a t e d f r o m

t h e l i t e r a t u r e t o b e e q u a l t o s e v e n t i m e s t h e a c t u a l t h e r m a l c o n ­

d u c t i v i t y o f t h e l i q u i d m e t a l a t t h e t e m p e r a t u r e i n q u e s t i o n .

I n t h e m o u l d r e g i o n , o w i n g t o t h e c o m p l e x i t i e s i n t r o d u c e d

b y g a p f o r m a t i o n , t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s h a v e b e e n b e s t d e s c r i ­

b e d b y a h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t w h i c h d e c r e a s e s w i t h t i m e b e ­

l o w t h e m e n i s c u s . F r o m a v a i l a b l e m o u l d h e a t f l u x d a t a ^ i t w a s

f o u n d t h a t t h e h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t i n t h e m o u l d c a n b e e x ­

p r e s s e d b y :

h = C x e - ° ' 0 2 t . . . ( 1 2 )

w h e r e i s a f u n c t i o n o f t h e m o u l d p o w d e r c h a r a c t e r i s t i c s a n d

2 v a r i e s f r o m l . O K W / m K f o r a m o u l d p o w d e r w i t h a h i g h m e l t i n g

2 o

p o i n t t o 1 . 8 K W / m K f o r a p o w d e r w i t h a l o w e r m e l t i n g p o i n t .

T h e p r e d i c t e d h e a t f l u x u s i n g E q . ( 1 2 ) a n d t h e a c t u a l h e a t f l u x

i n t h e m o u l d f o r 2 m o u l d p o w d e r s a r e s h o w n i n F i g . 4 . T h e s e r e ­

s u l t s a r e a l s o i n a g r e e m e n t w i t h t h e w o r k p r e s e n t e d b y B r i m a c o m b e

e t a l w h e r e i t w a s s h o w n t h a t t h e m e a n h e a t t r a n s f e r c o e f f i ­

c i e n t s f r o m d i f f e r e n t m o u l d s c a n b e r e l a t e d . T h e t i m e - a v e r a g e d

f o r m o f t h e E q . ( . 1 2 ) : r - = __1 (.1 - e ) . . . ( . 1 3 )

0 . 0 . 2 t i n

w h e r e t m i s t h e d w e l l t i m e i n m o u l d i s p l o t t e d i n F i g . 5 t o g e t h e r

w i t h , t h e d a t a o f B r i m a c o m b e . I t c a n b e s e e n t h a t t h e s e c u r v e s f o l ­

l o w t h e g e n e r a l b e h a v i o u r o b s e r v e d w h i l e t h e h i g h , a n d l o w v a l u e s

o f f a i r l y l i m i t t h e s c a t t e r i n g o f t h e d a t a o b t a i n e d .

3 6

A l t h o u g h a s i m i l a r r e s u l t c o u l d b e a c h i e v e d b y s p e c i f y i n g

a h e a t - f l u x b o u n d a r y c o n d i t i o n , t h e a p p r o a c h u s e d i n t h i s w o r k

h a s t w o m a i n a d v a n t a g e s . F i r s t l y i t r e d u c e s t h e p r o p a g a t i o n o f

p r e d i c t e d s u r f a c e - t e m p e r a t u r e f l u c t u a t i o n s t h a t m a y a p p e a r w i t h

t h e h e a t - f l u x m e t h o d , a n d s e c o n d l y , a m o r e r e a l i s t i c t r e a t m e n t

o f t h e c o r n e r r e g i o n i s o b t a i n e d . A l t h o u g h E q . ( 1 2 ) h a s a l s o b e e n

u s e d f o r t h e c o r n e r r e g i o n a f a i r a g r e e m e n t w i t h a v a i l a b l e m o u l d

d a t a " ^ h a s b e e n o b t a i n e d f o r t h i s r e g i o n a s s h o w n i n F i g . 6 .

I n t h e s p r a y c o o l i n g z o n e , t h e s p r a y p a r a m e t e r s h a v e b e e n r e ­

l a t e d t o h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t s b y a t e c h n i q u e s i m i l a r t o

4 1 3 t h a t s u g g e s t e d b y N o z a k i e t a l . T h e M i t s u t s u k a e q u a t i o n ,

a d j u s t e d b y a n a c c o m m o d a t i o n f a c t o r a ,

h = 1 . 3 3 W ° - 5 5 / a . • • ( 1 4 )

h a s b e e n u s e d w h e r e t h e c o o l i n g e f f i c i e n c y i n e a c h s p r a y z o n e

e x p r e s s e d b y a , i s e v a l u a t e d f r o m s u r f a c e t e m p e r a t u r e m e a s u r e ­

m e n t m a d e i n p l a n t .

I n t h e r a d i a t i o n c o o l i n g z o n e t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n i s

d e s c r i b e d b y a h e a t - t r a n s f e r c o e f f i c i e n t c a l c u l a t e d f r o m t h e

S t e f a n - B o l t z m a n n e q u a t i o n a n d t h e s u r f a c e t e m p e r a t u r e a t t h e

p r e v i o u s t i m e - s t e p .

h £ a ( T s 4 " T a 4 ) . . . ( 1 5 ) r ( T - T )

s a

w h e r e t h e e m i s s i v i t y e i s a s s u m e d t o b e e q u a l t o 0 . 8 f o r

t h e o x i d i z e d s t e e l s u r f a c e o v e r t h e t e m p e r a t u r e r a n g e i n

3 7

q u e s t i o n .

3 . 1 . 4 T e s t i n g o f t h e M o d e l

I n o r d e r t o v a l i d a t e t h e m o d e l , t w o t e s t s h a v e

b e e n c a r r i e d o u t .

I n t h e f i r s t , a s s u m i n g d i m e n s i o n l e s s d i s t a n c e s , t i m e

a n d t e m p e r a t u r e , a n i n f i n i t e l y l o n g b a r o f t h e r m a l d i f f u s i v i t y

1 w i t h a s q u a r e c r o s s s e c t i o n o f s i d e 2 w a s c o n s i d e r e d . T h e

b a r w a s i n i t i a l l y a t a u n i f o r m t e m p e r a t u r e , 0 , a f t e r w h i c h

i t s s u r f a c e t e m p e r a t u r e w a s r a i s e d s u d d e n l y a n d m a i n t a i n e d

a t u n i t y . T h e c o m p u t e r - p r e d i c t e d r e s u l t s h a v e t h e n b e e n

7 6

c o m p a r e d w i t h t h e k n o w n a n a l y t i c a l s o l u t i o n . T h e t i m e -

s t e p w a s c h o s e n t o b e 0 . 0 5 , t w e n t y t i m e s a s l a r g e a s t h e

m a x i m u m p e r m i s s i b l e i f t h e p r o b l e m h a d b e e n s o l v e d b y a n

e x p l i c i t m e t h o d . T h e c o m p u t e d c e n t r e t e m p e r a t u r e s T a g r e e c

w e l l w i t h t h o s e c o r r e s p o n d i n g t o t h e a n a l y t i c a l s o l u t i o n , a s

s h o w n i n T a b l e I I , e v e n f o r t h i s l a r g e v a l u e o f t i m e - s t e p .

38

T A B L E I I : C o m p a r i s o n o f C e n t r e T e m p e r a t u r e s

T i m e T ( c a l c u l a t e d ) T ( e x a c t )

0 .1 0 .09291 0.09883

0.2 0 . 40104 0 .40354

0 . 3 0 .63166 0.63179

0.4 0 .77547 0.77486

0.5 0.86477 0 . 86252

0 . 6 Q . 91669 0 .91607

0 . 7 0.94924 0 .94877

I n t h e s e c o n d s e t , t h e c a s t i n g o f a 14 x 14 c m b i l l e t

o f l o w c a r b o n s t e e l h a s b e e n s i m u l a t e d . T h e a s s u m e d

t h e r m o p h y s i c a l p r o p e r t i e s ^ , a r e :p r e s e n t e d . i n / . T a . h l e " I ; I I a n d

( t h ; e - h e a t t x a n s ' f e r u c o . e . f f i c i e n t e q u a t i o n ' ••f o r .• t h e i h o u l c d r e g i o n

a n d t h e c a s t i n g v a r i a b l e s u s e d i n T a b l e I V . T h e r e s u l t s

o f s u r f a c e t e m p e r a t u r e a n d s h e l l t h i c k n e s s a t m i d - f a c e a l o n g

t h e m o u l d r e g i o n a r e s h o w n i n F i g s . 7 a n d 8 r e s p e c t i v e l y .

48 T h e s h e l l t h i c k n e s s d a t a c o l l e c t e d b y L a i t e t a l . i n

a b i l l e t c a s t e r u n d e r t h e s e c a s t i n g c o n d i t i o n s a r e a l s o s h o w n

i n F i g . 8. T h e s h e l l t h i c k n e s s p r e d i c t i o n s a g r e e w e l l w i t h

t h e e x p e r i m e n t a l d a t a a n d , a l t h o u g h n o s u r f a c e t e m p e r a t u r e

m e a s u r e m e n t s a r e a v a i l a b l e f o r t h e s e c o n d i t i o n s , t h e s u r f a c e t e m p e r a t u r e a t t h e m o u l d e x i t i s w i t h i n t h e t e m p e r a t u r e r a n g e

, 5 0 r e p o r t e d x n o t h e r w o r k s .

3 9

T A B L E I I I : A s s u m e d T h e r m o p h y s i c a l P r o p e r t i e s

f o r L o w C a r b o n S t e e l ( A I S I 1 0 1 8 )

1 . L i q u i d u s T e m p . 1 5 2 0 ° C

2 . S o l i d u s T e m p . 1 4 9 0 ° C

3 . L a t e n t H e a t 2 7 2 . 1 J . g _ 1

4 . T h e r m a l C o n d u c t i v i t y (W . m . ° K )

T < 4 0 0 ° C K = 5 2 . 3 - 2 . 4 1 x l 0 ~ 2 T

4 0 0 < T < 7 8 0 ° C K = 6 2 . 0 - 4 . 8 5 x l 0 ~ 2 T

7 8 0 < T < 8 5 0 ° C K = 2 4 . 3

8 5 0 < T < 1 4 9 0 ° C K = 1 2 . 1 + 1 . 4 4 x l 0 ~ 2 T

1 4 9 0 < T < 1 5 2 0 ° C K = 3 3 . 5

1 5 2 0 < T K = 3 3 . 5 x F

S p e c i f i c H e a t ( J . g 1 . ° K 1 )

T < 1 4 9 0 ° C C p = 0 . 6 7

1 4 9 0 < T < 1 5 2 0 ° C C p = 9 . 7 6

1 5 2 0 < T C p = 0 . 6 7

D e n s i t y 7 . 3 6 g . c m - 3

4 0

T A B L E I V ; A s s u m e d R e l e v a n t C a s t i n g V a r i a b l e s

S t e e l G r a d e A I S I 1 0 1 8

S i z e o f C a s t i n g ( c m ) 1 4 . 0 x 1 4 . 0

W i t h d r a w a l R a t e ( c m , , s 2 . 6

E f f e c t i v e M o u l d L e n g t h ( c m ) 5 1 . 0

M o u l d W a t e r T e m p . ( ° C ) 2 5 . 0

M o u l d H e a t T r a n s f e r C o e f f . CKW • m ~ 2 . ° K ~ 1 )

, i o - 0 . 0 2 t h = 1 . 8 e

3 . 2 M a t h e m a t i c a l M o d e l f o r C o n t r o l l i n g t h e

S e c o n d a r y C o o l i n g Z o n e

3 . 2 . 1 I n t r o d u c t i o n

T h e m a i n o b j e c t i v e o f t h e c o n t r o l s y s t e m p r o p o s e d

i n t h i s w o r k i s t o a d j u s t t h e w a t e r f l o w r a t e s o f t h e s e c o n d a r y

c o o l i n g z o n e w i t h r e s p e c t t o c a s t i n g s p e e d i n o r d e r t o m a i n t a i n

a g i v e n t h e r m a l h i s t o r y c o n s t a n t d u r i n g t h e c a s t i n g .

A s p o i n t e d o u t i n s e c t i o n 2 . 4 , a s s u m i n g t h e a x i a l h e a t

f l o w i s n e g l i g i b l e , t h e e v e n t s t a k i n g p l a c e i n a t r a n s v e r s e

s l i c e o f s t e e l g o i n g t h r o u g h t h e c a s t e r w i l l b e o n l y a

f u n c t i o n o f i t s c o o l i n g h i s t o r y . T h e r e f o r e t h e d e s i r e d c o n ­

s t a n t t h e r m a l h i s t o r y c a n b e o b t a i n e d b y c o n t r o l l i n g t h e w a t e r

f l u x a t a n y p o i n t i n t h e s p r a y z o n e a s a f u n c t i o n o f t h e

r e s i d e n c e t i m e o f t h e m e t a l p a s s i n g b y t h e p o i n t . T h i s i s

41

s c h e m a t i c a l l y s h . o w n i n F i g . 9 w h e r e t h e s p r a y p a r a m e t e r s

a t t h e p o i n t A s h o u l d b e s e t u p a s a f u n c t i o n o f t h e a g e o f

t h e m e t a l s l i c e K .

T h e m o d e l d e s c r i b e d m a k e s u s e o f a n u m e r i c a l t e c h n i q u e

t o i n t e g r a t e t h e c a s t i n g s p e e d a n d d e t e r m i n e t h e r e s i d e n c e

t i m e a s s o c i a t e d w i t h a g i v e n p h y s i c a l p o s i t i o n i n t h e s p r a y

c h a m b e r .

T w o b a s i c c o n t r o l e q u a t i o n s a r e i n c l u d e d i n t h e m o d e l .

T h e f i r s t i s a r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e r e q u i r e d h e a t t r a n s f e r

c o e f f i c i e n t a n d t h e r e s i d e n c e t i m e , a n d t h e s e c o n d e q u a t i o n

r e l a t e s t h e a v e r a g e h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t f o r a s p r a y

z o n e t o t h e z o n e w a t e r f l u x . T h e e q u a t i o n s a r e u s e d i n t h e

f o l l o w i n g w a y .

T h e s t r a n d i s d i v i d e d i n t o s e v e r a l z o n e s s t a r t i n g a t

t h e m e n i s c u s l e v e l . T h e r e s i d e n c e t i m e o r " a g e " a s s o c i a t e d

w i t h e a c h e l e m e n t i s e v a l u a t e d a n d t h e r e q u i r e d h e a t t r a n s f e r

c o e f f i c i e n t s a r e t h e n o b t a i n e d f r o m t h e f i r s t c o n t r o l e q u a t i o n .

I n i n d u s t r i a l c a s t e r s t h e s e c o n d a r y c o o l i n g z o n e c a n n o t b e

c o n t r o l l e d c o n t i n u o u s l y a l o n g t h e s t r a n d b e c a u s e i t i s d i v i d e d

i n t o c o n t r o l z o n e s w h e r e e a c h z o n e h a s i t s o w n w a t e r - f l o w

c o n t r o l l e r . T h e r e f o r e b e t t e r r e s u l t s a r e o b t a i n e d b y a v e r a g i n g

t h e r e q u i r e d h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t s f o r t h e e l e m e n t s

w i t h i n e a c h s p r a y z o n e . T h e n t h e a v e r a g e h e a t t r a n s f e r c o -

e f f i c i e n t f o r t h e z o n e c a n b e

t h e s e c o n d c o n t r o l e q u a t i o n .

r e l a t e d t o w a t e r f l u x u s i n g

F u r t h e r m o r e , i n o r d e r t o s t u d y t h e c o n t r o l o f s p r a y s

d u r i n g s t a r t - u p a n d e n d o f c a s t i n g , t h e i n t e g r a t e d s p e e d i s

a l s o u s e d t o k e e p t r a c k o f e i t h e r t h e h e a d o r t a i l o f t h e

s t r a n d . T h i s i s n e c e s s a r y b e c a u s e t h e a v e r a g i n g o f h e a t

t r a n s f e r c o e f f i c i e n t s m u s t b e p e r f o r m e d o n l y o v e r t h a t p a r t

o f t h e s p r a y z o n e a c t u a l l y o c c u p i e d b y t h e s t r a n d .

3 . 2 . 2 R e s i d e n c e - T i m e C a l c u l a t i o n s

A t c o n s t a n t c a s t i n g s p e e d , t h e r e s i d e n c e t i m e

a s s o c i a t e d w i t h a g i v e n p o i n t i n t h e s t r a n d ( F i g . 9 ) i s

e a s i l y c a l c u l a t e d b y d i v i d i n g t h e d i s t a n c e f r o m t h i s p o i n t

t o t h e m e n i s c u s , d , b y t h e c a s t i n g s p e e d , V ,

t _ d _ . . . ( 1 6 ) V

o

H o w e v e r i n t h e g e n e r a l c a s e , i t c a n o n l y b e e v a l u a t e d b y

i n t e g r a t i n g t h e c a s t i n g s p e e d f u n c t i o n ( F i g . 1 0 ) .

d = / V ( Q ) d 6 . . . ( 1 7 )

J T - t

T h e v a l u e o f t h e i n t e g r a l i s t h e d i s t a n c e f r o m t h e m e n i s c u s

t o t h e p o i n t i n q u e s t i o n . T h e u p p e r l i m i t i s t h e p r e s e n t

t i m e T , a n d t h e l o w e r l i m i t i s t h e t i m e w h e n t h e e l e m e n t

p a s s i n g b y t h e p o i n t w a s f o r m e d a t t h e m e n i s c u s , i . e . , t h e

p r e s e n t t i m e m i n u s t h e r e s i d e n c e t i m e , x - t . T h e r e f o r e f o r a

g i v e n p o i n t b e l o w t h e m e n i s c u s , t h e v a l u e o f t h e i n t e g r a l

i s f i x e d . T h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e s a r e x a n d t h e c a s t i n g

s p e e d f u n c t i o n , a n d t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e i s t h e l o w e r l i m i t

o r r a t h e r t h e v a l u e o f t .

U n f o r t u n a t e l y t h e r e i s n o g e n e r a l a n a l y t i c a l s o l u t i o n

f o r t h i s e q u a t i o n a n d a s o l u t i o n m u s t b e f o u n d f o r e a c h

c a s t i n g s p e e d f u n c t i o n . T h i s f a c t a n d t h e n e c e s s i t y o f a v e r ­

a g i n g t h e h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t s o v e r s p r a y s e g m e n t s ,

w h i c h r e q u i r e s a l a r g e n u m b e r o f r e p e a t e d o p e r a t i o n s , m a k e

h a n d c a l c u l a t i o n i m p r a c t i c a l . T h e r e f o r e a c o m p u t e r m o d e l

b a s e d o n a n u m e r i c a l t e c h n i q u e h a s b e e n d e v e l o p e d i n o r d e r

t o s o l v e t h e s e p r o b l e m s .

3 . 2 . 3 C o m p u t e r P r o g r a m F o r m u l a t i o n

T h e m o d e l i s b a s e d o n a s i m p l e t r a p e z o i d a l r u l e

i n t e g r a t i o n , i . e . , t h e i n t e g r a l o f t h e c a s t i n g s p e e d i s

a p p r o x i m a t e d b y :

J' V ( 9 ) d Q = A 9 ( V ( x ) + V ( x - A 9 ) + V ( x - 2 A 9 ) + + V ( x - n A 9 ) ) . . . ( 1 8 )

2 2 T - t

E a c h s e g m e n t o f t h e c o o l i n g z o n e

s e v e r a l c o n t r o l p o i n t s . T h e r e s i d e n c e

i s t h e n d i v i d e d i n t o

t i m e f o r e a c h c o n t r o l

4 4

p o i n t i s c a l c u l a t e d b y i n t e g r a t i n g t h e c a s t i n g s p e e d o r

r a t h e r p e r f o r m i n g t h i s s u m m a t i o n , b a c k w a r d s u n t i l i t s v a l u e

i s g r e a t e r t h a n t h e d i s t a n c e f r o m t h e m e n i s c u s t o t h e p o i n t

u n d e r c o n s i d e r a t i o n . A n a p p r o x i m a t i o n o f t h e r e s i d e n c e t i m e

i s t h e r e f o r e o b t a i n e d b y :

t = n A Q . . . ( 1 9 )

T h i s p r o c e d u r e i s s c h e m a t i c a l l y s h o w n i n F i g . 1 1 .

T h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e r e q u i r e d h e a t t r a n s f e r

c o e f f i c i e n t s a n d t h e r e s i d e n c e t i m e i s s t o r e d i n t h e c o m p u t e r

a s a f u n c t i o n s u b p r o g r a m . ( H e n c e t h e r e q u i r e d m e a n h e a t

t r a n s f e r c o e f f i c i e n t f o r a g i v e n s p r a y z o n e i s o b t a i n e d b y

a v e r a g i n g t h e v a l u e s a t t h e p o i n t s w i t h i n t h e z o n e . ) T h e

s e c o n d c o n t r o l e q u a t i o n i s s t o r e d i n t h e f o r m o f t w o f u n c t i o n s

s u b p r o g r a m s . T h e f i r s t d e s c r i b e s a g e n e r a l r e l a t i o n s h i p

b e t w e e n t h e a v e r a g e h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t f o r a s p r a y

z o n e a n d t h e z o n e w a t e r f l u x , w h i l e t h e s e c o n d s u p p l i e s a n

a c c o m m o d a t i o n f a c t o r w h i c h d e s c r i b e s t h e c o o l i n g e f f i c i e n c y

o f e a c h z o n e . T h i s p r o c e d u r e g i v e s t h e p r o g r a m d e s i r e d

f l e x i b i l i t y s i n c e t h e s p e c i f i c c o n t r o l e q u a t i o n s f o r e a c h

c a s e c a n b e r e p l a c e d w i t h o u t a m a j o r c h a n g e i n t h e m a i n p r o ­

g r a m . T h e t i m e v a r i a b l e i s t h e n i n c r e a s e d b y a g i v e n t i m e -

s t e p a n d t h e c a l c u l a t i o n r e p e a t e d .

D u r i n g s t a r t - u p a n d e n d o f c a s t i n g , t h e s p r a y z o n e s

4 5

m a y b e o n l y p a r t l y o c c u p i e d b y t h e s t r a n d a n d t h e r e f o r e t h e

p r o g r a m m u s t d e t e r m i n e t h e p o s i t i o n o f e i t h e r t h e h e a d o r

t a i l o f t h e s t r a n d a t e a c h t i m e - s t e p . F o r e x a m p l e , a t t h e

e n d o f c a s t i n g , t h e s p r a y c o n t r o l i s m a i n t a i n e d i n e a c h z o n e

a s l o n g a s t h e s t r a n d o c c u p i e s s o m e p o r t i o n o f t h a t z o n e .

W h e n t h e t a i l o f t h e s t r a n d c l e a r s a z o n e , t h e w a t e r f l o w

f o r t h e z o n e i s s e t t o z e r o . T h e l o g i c f o r a v e r a g i n g t h e

6 2

h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t s f o r s p r a y s e g m e n t s o n l y p a r t l y

o c c u p i e d b y t h e s t r a n d i s g i v e n s c h e m a t i c a l l y i n F i g 1 2 .

T h i s t a s k i s p e r f o r m e d b y a s e p a r a t e r o u t i n e w h i c h n u m e r i c a l l y

i n t e g r a t e s t h e c a s t i n g s p e e d f r o m t h e m o m e n t t h a t t h e m e t a l

f l o w i s e i t h e r i n i t i a t e d o r i n t e r r u p t e d i n t h e m o u l d .

T h e l i s t i n g o f t h e p r o g r a m i n F o r t r a n i s p r e s e n t e d i n

A p p e n d i x A 2 .

3 . 2 . 4 D e v e l o p m e n t o f t h e C o n t r o l E q u a t i o n s

A s u i t a b l e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n h e a t - t r a n s f e r

c o e f f i c i e n t s a n d t i m e b e l o w t h e m e n i s c u s m u s t b e c h o s e n i n

o r d e r t o o b t a i n t h e d e s i r a b l e s u r f a c e - t e m p e r a t u r e p r o f i l e .

E v e n f o r t h e s a m e t e m p e r a t u r e p r o f i l e , t h i s r e l a t i o n s h i p i s

a f u n c t i o n o f t h e s t r a n d t h i c k n e s s a n d s t e e l g r a d e . T h e r e ­

f o r e a s p e c i f i c c u r v e m u s t b e o b t a i n e d f o r e a c h c a s e u n d e r

s t u d y . T h e m a t h e m a t i c a l m o d e l o f h e a t f l o w d e s c r i b e d i n

t h i s w o r k c a n b e u s e d f o r t h i s p u r p o s e .

4 6

A s p o i n t e d o u t i n s e c t i o n 2 . 1 t h e c h a r a c t e r i z a t i o n o f

t h e e f f e c t s o f s p r a y p a r a m e t e r s o n r a t e s o f h e a t e x t r a c t i o n

p o s e s , b y f a r , t h e m o s t d i f f i c u l t p r o b l e m i n e i t h e r m o d e l l i n g

o r c o n t r o l l i n g t h e c o n t i n u o u s c a s t i n g p r o c e s s . T h e e f f e c t s

a r e f a r f r o m b e i n g s u f f i c i e n t l y k n o w n y e t a n d w i t h i n t h e

o b j e c t i v e s o f t h e p r e s e n t w o r k a n a p p r o a c h s i m i l a r t o

4

N o z a k i ' s i s u s e d t o d e f i n e t h e s e c o n d c o n t r o l e q u a t i o n . T h e

r e l a t i o n s h i p b e t w e e n m e a n h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t i n t h e

z o n e a n d t h e z o n e - w a t e r f l u x i s d e s c r i b e d b y E q . ( 1 4 ) :

h = 1 . 3 3 W ° * 5 5 . . . ( 1 4 ) a

w h e r e t h e a d j u s t a b l e p a r a m e t e r , a , e x p r e s s i n g t h e c o o l i n g

e f f i c i e n c y o f t h e s y s t e m i s e v a l u a t e d f o r e a c h s p r a y z o n e b y

f i t t i n g t h e c a l c u l a t e d w a t e r f l o w r a t e t o t h e a c t u a l w a t e r

c o n s u m p t i o n i n t h e z o n e a t s t e a d y s t a t e .

T h e u s e o f t h e s e t e c h n i q u e s i s d e m o n s t r a t e d i n a f o l l o w ­

i n g c h a p t e r .

C h a p t e r 4

P R E D I C T I O N S F O R C A S T I N G S P E E D

C H A N G E

4 . 1 I n t r o d u c t i o n

A r a t i o n a l s t u d y t o d e t e r m i n e i d e a l s p r a y c o o l i n g

p r a c t i c e d u r i n g c a s t i n g s p e e d c h a n g e s p o s e s a v e r y d i f f i c u l t

p r o b l e m . T h i s i s b e c a u s e e a c h t y p e o f c a s t i n g s p e e d c h a n g e

r e q u i r e s a d i f f e r e n t c h a n g e i n s p r a y p a r a m e t e r s t o a c c o m m o d a t e

t h e t h e r m a l r e q u i r e m e n t s o f t h e s t r a n d . S i n c e t h e c a s t i n g

s p e e d c a n b e c h a n g e d i n a n i n f i n i t e n u m b e r o f w a y s , t h e n u m b e r

o f c a s e s t o b e s t u d i e d i s a l s o i n f i n i t e . M o r e o v e r , i n

i n d u s t r i a l c a s t i n g p r a c t i c e t h e t h e r m a l r e q u i r e m e n t s m u s t b e

a v e r a g e d o v e r s p r a y z o n e s a n d t h e r e f o r e t h e s p r a y d i s t r i ­

b u t i o n u s e d w i l l a l s o a f f e c t t h e r e s u l t s m a k i n g e a c h c a s t e r

a d i f f e r e n t c a s e . T h i s l e a d s t o a d i v i s i o n o f t h e p r e s e n t

w o r k i n t o t w o p a r t s . T h e f i r s t , p r e s e n t e d i n t h i s c h a p t e r ,

i s a s t u d y o f v e r y s i m p l e c a s e s i n o r d e r t o c l a r i f y t h e b a s i c

p r o b l e m s a s s o c i a t e d w i t h s p r a y c o n t r o l a n d a l s o t o e n a b l e

t h e d e v e l o p m e n t o f a f u l l - s c a l e c o m p u t e r m o d e l . T h i s m o d e l

i s a b l e t o h a n d l e m o r e c o m p l e x s i t u a t i o n s f o u n d i n a c t u a l

c a s t i n g p r a c t i c e . T h e s e c o n d p a r t i s p r e s e n t e d i n t h e n e x t

c h a p t e r a s a c a s e - s t u d y w h e r e a s p e c i f i c p r o b l e m i n v o l v i n g

a c a s t i n g - s p e e d c h a n g e i n a n i n d u s t r i a l s l a b c a s t e r i s

s t u d i e d u s i n g t h e m a t h e m a t i c a l m o d e l f o r s p r a y c o n t r o l .

4 7

4 8

D u r i n g n o r m a l c a s t i n g o p e r a t i o n s s u c h a s s t a r t - u p ,

e n d o f c a s t i n g a n d s h r o u d c h a n g e , t h e c a s t i n g s p e e d v a r i a t i o n

c a n b e f a i r l y a p p r o x i m a t e d b y a s t e p c h a n g e o r a s e q u e n c e o f

s t e p c h a n g e s i n c a s t i n g s p e e d . T h i s t y p e o f a p p r o x i m a t i o n

i s p a r t i c u l a r l y s u i t a b l e f o r t h e s i m u l a t i o n o f c a s t i n g s p e e d

c h a n g e s i n m a c h i n e s e q u i p p e d w i t h s l i d e - g a t e n o z z l e s i n t h e

t u n d i s h . I n t h e s e m a c h i n e s a n y c h a n g e i n c a s t i n g s p e e d m u s t

b e p e r f o r m e d i n a d i s c r e t e f a s h i o n b y c h a n g i n g t o a n o z z l e

o f d i f f e r e n t d i a m e t e r . F u r t h e r m o r e , t h e r e s i d e n c e - t i m e

e q u a t i o n a s s o c i a t e d w i t h a s t e p c h a n g e i n c a s t i n g s p e e d i s

e a s i l y s o l v e d a n a l y t i c a l l y . T h e r e f o r e t h i s t y p e o f c a s t i n g

s p e e d f u n c t i o n h a s b e e n c h o s e n f o r t h e i n i t i a l s t u d i e s o n t h e

c o n t r o l p r o b l e m .

4 . 2 S i n g l e S t e p C h a n g e i n C a s t i n g S p e e d

T h i s k i n d o f s i t u a t i o n i s l i k e l y t o o c c u r e i t h e r a t

t h e b e g i n n i n g o f c a s t i n g o r a t a n y t i m e d u r i n g t h e c a s t w h e n

t h e c a s t i n g s p e e d i s e i t h e r i n c r e a s e d o r d e c r e a s e d a n d t h e n

h e l d c o n s t a n t .

A s d e s c r i b e d i n s e c t i o n 3 . 2 t h e a g e o f t h e m e t a l p a s s i n g

b y a g i v e n p o i n t i n t h e s t r a n d i s c a l c u l a t e d u s i n g E q . ( 1 7 ) .

T - t

d Q = d 0 1 7 )

L e t t h e c a s t i n g s p e e d f u n c t i o n b e d e s c r i b e d b y :

V 0 < 0 o

V , 0< Q v c e ) = ° . . . ( 2 0 )

H e n c e , s u b s t i t u t i n g E q . ( 2 0 ) i n t o E q . ( 1 7 )

a ) f o r T < 0

r V C 9 ) d 0 = / V dQ = V [ x - ( x - t ) ] = d

j o o T - t J T - t

t = d _ . . . ( 2 1 ) V

b ) f o r 0'< T a n d x - t < 0

V ( Q ) d Q =/ V q dQ + / .V d Q

T - t J T-t <* 0

V [ 0 - ( T - t ) ] + V . ( x - 0 ) = d

t = d _ + T ( 1 - \ ) . . . ( 2 2 ) V V O Q

c ) f o r 0 < T - t

. T /O T-

V ( 0 ) d Q =

T - t

/ v 1 de = v 1 [x - C x - t ) ]

J T - t

t = d _ . . . ( 2 3 )

T h e s e s i t u a t i o n s a r e s h o w n s c h e m a t i c a l l y i n F i g . 1 3 .

T h e r e f o r e , a f t e r a s t e p c h a n g e i n c a s t i n g s p e e d , t h e

r e s i d e n c e t i m e a s s o c i a t e d w i t h a g i v e n p o i n t i n t h e s t r a n d

c h a n g e s l i n e a r l y f r o m t h e s t e a d y s t a t e v a l u e a t t h e o l d

c a s t i n g s p e e d t o t h e n e w s t e a d y s t a t e v a l u e a t t h e n e w c a s t i n g

s p e e d . T h e n e w s t e a d y s t a t e i s o b t a i n e d w h e n T = t , i . e . ,

s u b s t i t u t i n g i n t o E q . ( 2 2 )

T d _ + T (1 - ^ 1 ) V V

o o

d _ . . . ( 2 4 )

T h e n o m o g r a p h s h o w n i n F i g . 1 4 h a s b e e n d e v e l o p e d i n o r d e r t o

f a c i l i t a t e t h i s c a l c u l a t i o n .

F r o m t h e r e s i d e n c e - t i m e r e s u l t s , t h e h e a t t r a n s f e r c o ­

e f f i c i e n t s c a n b e o b t a i n e d u s i n g a n e x p e r i m e n t a l r e l a t i o n s h i p

b e t w e e n h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t a n d t i m e b e l o w t h e m e n i s c u s

5 1

a s d e s c r i b e d i n s e c t i o n 3 . 2 . F o r s a k e o f a r g u m e n t , t h e

c u r v e p r e s e n t e d i n F i g . 1 5 w i l l b e u s e d f o r t h e e x a m p l e s g i v e n

i n t h i s c h a p t e r . °

F i g . 1 6 s h o w s t h e r e s i d e n c e t i m e a s a f u n c t i o n o f t i m e

a f t e r a c a s t i n g s p e e d c h a n g e f r o m 2 . 0 t o 1 . 0 c m / s f o r a

s e c t i o n 2 m b e l o w t h e m e n i s c u s . A t t h e t o p o f t h e s a m e

f i g u r e i s s h o w n t h e i d e a l c h a n g e i n h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t

r e q u i r e d t o m a i n t a i n a c o n s t a n t t h e r m a l h i s t o r y o f t h e m e t a l

b e i n g c a s t . F i g . 1 6 a l s o s h o w s t h e r e s u l t s u n d e r t h e s a m e

c o n d i t i o n s f o r a s e c t i o n 1 0 m b e l o w t h e m e n i s c u s . A l t h o u g h

t h e t o t a l c h a n g e s i n h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t a r e s i m i l a r

t o t h o s e p r e s c r i b e d b y t h e n o r m a l s p r a y c o n t r o l p r a c t i c e w h i c h

m a k e s t h e s p r a y p a r a m e t e r s p r o p o r t i o n a l t o t h e c a s t i n g s p e e d ,

t h e t i m e s d u r i n g w h i c h t h e c h a n g e s h o u l d b e p e r f o r m e d a r e

c o m p l e t e l y d i f f e r e n t . T h e g r e a t e r t h e d i s t a n c e f r o m t h e

m e n i s c u s a n d t h e l o w e r t h e f i n a l c a s t i n g s p e e d t h e m o r e

g r a d u a l l y s h o u l d t h e s p r a y s b e a d j u s t e d i n o r d e r t o a v o i d

d i s t u r b a n c e s i n t h e s u r f a c e t e m p e r a t u r e .

4 . 3 S e q u e n c e o f S t e p C h a n g e s i n C a s t i n g S p e e d

D u r i n g t h e o p e r a t i o n s o f a c o n t i n u o u s - c a s t i n g

m a c h i n e , s e v e r a l n o r m a l o p e r a t i o n s , s u c h , a s s h r o u d c h a n g e

a n d c a p p i n g - o f f , c a n n o t b e p e r f o r m e d w i t h t h e m a c h i n e r u n ­

n i n g a t f u l l s p e e d . T h e r e f o r e t h e c a s t i n g s p e e d h a s t o b e

r e d u c e d t o a s u i t a b l e v a l u e w h i l e t h e o p e r a t i o n i s p e r f o r m e d

a n d t h e n i n c r e a s e d t o i t s n o r m a l v a l u e . T h . i s p r o c e d u r e c a n

b e a p p r o x i m a t e d b y a s t e p c h a n g e d e c r e a s e t h e n i n c r e a s e i n

c a s t i n g s p e e d . T h e r e s i d e n c e - t i m e e q u a t i o n a s s o c i a t e d w i t h

t h i s f u n c t i o n i s a l s o e a s i l y s o l v e d a n d t h e r e f o r e i s u s e d a s

t h e s e c o n d e x a m p l e i n t h i s w o r k .

L e t t h e c a s t i n g s p e e d f u n c t i o n b e d e s c r i b e d b y

V Q < 0 o

V C Q ) = V 0 < 9 < X . . . ( 2 5 )

V X < 9 o

H e n c e , s u b s t i t u t i n g E q . ( 2 5 ) i n t o E q . ( 1 7 )

a ) f o r x < 0

V ( 9 ) d 9 = / V d 9 = V [ x - ( T - t ) ] = d / o o

T - t J T - t

t = d _ . . . ( 2 6 ) V

b ) f o r 0 < T a n d x - t < 0

T x, 0

V ( f t ) d Q = /

T - t J T - t

V d Q + o

V d Q

= V [ 0 - ( T - t ) ] + V , ( T - 0 ) = d o l

T h e s e s i t u a t i o n s a r e s h o w n s c h e m a t i c a l l y i n F i g . 1 7 .

S u b s e q u e n t l y t w o c a s e s c a n o c c u r :

c ) i f t h e c o n t r o l p o i n t u n d e r s t u d y i s e i t h e r n e a r t h e

m o u l d o r t h e t i m e a t l o w s p e e d , X , i s l a r g e , t h e r e s i d e n c e

t i m e a s s o c i a t e d w i t h t h i s c o n t r o l p o i n t m a y r e a c h t h e n e w

s t e a d y s t a t e a t t h e l o w c a s t i n g s p e e d . T h i s c a s e i s s h o w n

i n F i g . ( 1 8 a ) a n d c a n b e e x p r e s s e d b y :

f o r 0 < T - t a n d x < X

V d O = V [ x - ( t - t ) ] = d

t = d _ . . . ( . 2 8 )

d ) i f t h e s p r a y s e c t i o n u n d e r c o n t r o l i s e i t h e r f a r f r o m

t h e m o u l d o r X i s s m a l l , t h e c a s t i n g s p e e d m a y i n c r e a s e

b e f o r e t h e n e w s t e a d y s t a t e i s a t t a i n e d . T h i s s i t u a t i o n i s

r e p r e s e n t e d i n F i g C 1 8 b ) a n d c a n b e e x p r e s s e d b y :

f o r x - t < 0 a n d X < x

V ( 9 ) d 9 = / V Q d 6 + I V d 9 +

T - t * x - t

+ / V d 9 = V [ 0 - ( T - t ) ] + V , ( X - 0 ) +

O O 1 X

+ V ( T - X ) = d o

1_ + X ( 1 - V l . . . .C29)

I n t h i s c a s e a p s e u d o - s t e a d y s t a t e i s o b t a i n e d w h o s e m a g n i t u d e

a n d t i m i n g a r e i n c o m p l e t e c o n f l i c t w i t h t h e v a l u e s f o r t h e

r e a l s t e a d y s t a t e a t t h e r e d u c e d c a s t i n g s p e e d .

I n b o t h c a s e s t h e o l d s t e a d y s t a t e v a l u e o f r e s i d e n c e

t i m e i s r e s u m e d l i n e a r l y a s i n t h e c a s e o f a s i n g l e s t e p

c h a n g e , i . e . ,

e ) f o r 0 < T - t '< X a n d X < T

,T 0 X a x

V C 6 ) d 9 = / V d 9 + / V Q d 9 =

x - t ' * x - t * X

V , [ X - ( x - t ) ] + V C x - X ) = d 1 o

t = ± _ + ( x _ X ) CI - V . . . ( 3 0 ) • V , v~>

1 1 v.

5 5

f ) f o r X < x - t

x

V ( 9 ) d 9 = / V d 9 = V [ x - ( . T - t ) ] = d J o o :

T - t tf T-t

t = A- . . . ( 3 1 )

v • o

T h e s e s i t u a t i o n s a r e s h o w n i n F i g . 1 9 . F r o m t h i s f i g u r e i t

i s s e e n t h a t t h e c o n t r o l i n t e r n a l , C I , i . e . , t h e t i m e

d u r i n g w h i c h t h e s p r a y r e q u i r e m e n t s a t t h e p o i n t i n q u e s t i o n

a r e d i f f e r e n t f r o m t h e s t e a d y s t a t e v a l u e s , r a n g e s f r o m x = 0

t o X = x - t . I n m a t h e m a t i c a l t e r m s , b a s e d o n E q . ( 3 1 ) :

0 < T- < 'X + A_ . . . ( 3 2 ) o

T h e m a x i m u m i n c r e a s e i n r e s i d e n c e t i m e w i l l d e p e n d o n

w h i c h i n t e r m e d i a t e c a s e i s o b t a i n e d , i . e . , c a s e ( c ) o r ( d ) .

T h e f o r m e r o c c u r s w h e n 0 < x - t a n d x < X . T h e n s u b ­

s t i t u t i n g t f r o m E q . ( 2 8 )

d _ < X . . . ( 3 3 )

V l

I n t h i s c a s e t h e s t e a d y s t a t e a t t h e l o w c a s t i n g s p e e d i s

o b t a i n e d s o t h a t t h e m a x i m u m d i f f e r e n c e i n r e s i d e n c e t i m e ,

A t , i s :

d d v i v 1 o

A t = c i - --•') • • • C34) 1 b

I n t h e l a t t e r c a s e , t h e c a s t i n g s p e e d i n c r e a s e s b e f o r e

t h e s t e a d y s t a t e i s o b t a i n e d . F r o m E q . ( 2 9 ) t h e m a x i m u m

d i f f e r e n c e i n r e s i d e n c e t i m e i s :

A t = X ( l - - ^ 1 . . . . ( 3 5 ) V ;

o

N o m o g r a p h s p r e s e n t e d i n F i g s . 2 0 a n d 2 1 c a n b e u s e d t o

e v a l u a t e t h e c o n t r o l i n t e r n a l a n d t h e m a x i m u m d i f f e r e n c e i n

r e s i d e n c e t i m e r e s p e c t i v e l y f o r t h e s e c a s e s . T w o e x a m p l e s

a r e s h o w n i n o r d e r t o i l l u s t r a t e t h e u s e o f t h e n o m o g r a p h s .

I n b o t h i t i s a s s u m e d t h a t t h e c a s t i n g s p e e d d e c r e a s e s f r o m

2 . 0 t o 1 . 0 c m / s f o r 3 0 0 s .

a ) e x a m p l e 1 - c o n t r o l p o i n t 2 m b e l o w t h e m e n i s c u s .

f r o m F i g . 2 0 C I = 4 0 0 s

s i n c e d _ = 2 0 0 s a n d X = 3 0 0 s ,

V l

d_ < X , t h e r e f o r e d _ i s u s e d i n

V l

F i g . 2 1 , w i t h t h e r e s u l t t h a t | A t = 1 0 0 s

b ) e x a m p l e 2 - c o n t r o l p o i n t 8 m b e l o w t h e m i n i s c u s

f r o m F i g . 2 0 C I = 7 0 0 s

s i n c e d _ =J 8 0 0 s a n d X = 3 0 0 s ,

5 7

d_ < X , t h e r e t o r e X i s u s e d i n F i g 2 1 ,

s o t h a t A t 1 5 0 s

F i g . 2 2 s h o w s a p l o t o f r e s i d e n c e t i m e a s a f u n c t i o n

o f t i m e a f t e r a c a s t i n g - s p e e d c h a n g e f r o m 2 . 0 t o 1 . 0 c m / s

f o r 4 m i n . , a t a p o i n t 2 m b e l o w t h e m e n i s c u s . I n t h e s a m e

f i g u r e i s s h o w n t h e i d e a l c h a n g e i n h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t .

F i g . 2 2 s h o w s t h e r e s u l t s u n d e r t h e s a m e c o n d i t i o n a t a

p o i n t 1 0 m b e l o w t h e m e n i s c u s . A l t h o u g h t h e h e a t t r a n s f e r

c o e f f i c i e n t r e q u i r e m e n t s f o r t h e s e c t i o n 2 m b e l o w t h e m e n i s c u s

g o e s t h r o u g h a c o m p l e t e c y c l e , t h e c h a n g e a t 1 0 m i s a l m o s t

n e g l i g i b l e .

4 . 4 P r e d i c t i o n s f o r M b x e C o m p l e x C a s t i n g S p e e d C h a n g e s

F r o m t h e k n o w l e d g e a c q u i r e d d u r i n g t h e i n i t i a l s t u d i e s ,

t h e m a t h e m a t i c a l m o d e l d e s c r i b e d i n s e c t i o n 3 . 2 h a s b e e n

d e v e l o p e d . I n o r d e r t o p r e s e n t t h r e e m o r e r e a l i s t i c e x a m p l e s

a n d c l a r i f y t h e u s e o f t h e m o d e l , t h e f o l l o w i n g a s s u m p t i o n s

h a v e b e e n m a d e :

1 . t h e s e c o n d a r y - c o o 1 i n g z o n e o f t h e c o n t i n u o u s - c a s t i n g

m a c h i n e u n d e r s t u d y i s 2 0 m l o n g a n d i s d i v i d e d i n t o 5 z o n e s ;

0 . 4 , 1 . 6 , 4 . 0 , 6 . 0 a n d 8 . 0 m i n l e n g t h , r e s p e c t i v e l y f r o m t h e

b o t t o m o f t h e m o u l d ,

2 . t h e m o u l d h a s a w o r k i n g l e n g t h o f 0 . 6 m ,

5 8

3 . t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t s

a n d t i m e b e l o w t h e m e n i s c u s u s e d t h u s f a r ( F i g . 1 5 ) i s r e ­

q u i r e d t o m a i n t a i n t h e d e s i r a b l e s u r f a c e t e m p e r a t u r e p r o f i l e ,

a n d

4 . i n o r d e r t o o b t a i n a c o m p r o m i s e b e t w e e n a c c u r a c y a n d

c o m p u t i n g c o s t , e a c h s p r a y z o n e h a s b e e n d i v i d e d i n t o 2 9

c o n t r o l p o i n t s , o v e r w h i c h t h e t h e r m a l r e q u i r e m e n t s a r e

a v e r a g e d .

I n t h e f i r s t e x a m p l e , a s t a r t - u p o p e r a t i o n i s a s s u m e d

w i t h a m o u l d f i l l i n g t i m e o f 6 0 s , a f t e r w h i c h w i t h d r a w a l

i s c o m m e n c e d a t 0 . 6 c m / s . T h e c a s t i n g s p e e d i s s u b s e q u e n t l y

i n c r e a s e d l i n e a r l y f r o m t h i s l e v e l t o 1 . 5 c m / s i n 4 m i n .

a n d t h e n t o t h e n o r m a l c a s t i n g s p e e d v a l u e o f 2 . 5 c m / s i n 2

m i n . T h i s c a s t i n g s p e e d f u n c t i o n i s p l o t t e d i n F i g . 2 3 .

N o t e t h a t a l t h o u g h t h e z e r o - t i m e r e f e r e n c e i s t h e t i m e a t

w h i c h t h e m e t a l s t a r t s f l o w i n g i n t o t h e m o u l d , t h e c a s t i n g

s p e e d d u r i n g t h e f i r s t m i n u t e i s n o t a s s u m e d t o b e z e r o b e ­

c a u s e t h e s p a c e r e f e r e n c e f o r t h e c a l c u l a t i o n i s t h e m e n i s c u s

l e v e l . D u r i n g m o u l d f i l l i n g t h e m e n i s c u s i s m o v i n g u p i n t h e

m o u l d a t a b o u t t h e s a m e s p e e d a s t h e i n i t i a l w i t h d r a w a l r a t e .

T h e c o m p u t e r r e s u l t s f o r t h i s c a s e a r e s h o w n i n F i g s . 2 4

t o 2 8 f o r t h e 5 z o n e s r e s p e c t i v e l y . T h e d i s t a n c e s . g i v e n i n

t h e p l o t s a r e t h e d i s t a n c e s f r o m t h e m e n i s c u s t o t h e m i d - p o i n t

o f t h e s p r a y z o n e i n q u e s t i o n . I n t h e s a m e f i g u r e s d a s h e d

5 9

l i n e s i n d i c a t e t h e h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t s t h a t w o u l d b e

o b t a i n e d i f t h e s p r a y c o n t r o l i s p r o p o r t i o n a l t o t h e c a s t i n g

s p e e d . I t m a y b e n o t e d t h a t i n t h i s p a r t i c u l a r c a s e , t h e

e r r o r s a r e v e r y s m a l l . T h i s i s a r e s u l t o f t h e g r a d u a l

c a s t i n g s p e e d i n c r e a s e a n d t h e f a c t t h a t t h e l a s t z o n e s a r e

n o t o c c u p i e d w h e n t h e c a s t i n g s p e e d i s i n c r e a s e d . T h i s

e x a m p l e e m p h a s i z e s t h e f a c t t h a t e a c h c a s e i s a d i f f e r e n t

p r o b l e m w h i c h c a n n o t b e g e n e r a l i z e d .

I n t h e s e c o n d e x a m p l e a t u n d i s h c h a n g e d u r i n g a c a s t i n g

o p e r a t i o n i s a s s u m e d . I n o r d e r t o a l l o w t h i s c h a n g e , t h e

c a s t e r m u s t b e k e p t a t a v e r y l o w c a s t i n g s p e e d ( 0 . 2 c m / s )

d u r i n g 9 0 s a f t e r w h i c h t h e n o r m a l o p e r a t i o n i s r e s u m e d i n ,

t w o s t e p s a s s h o w n i n F i g . 2 9 . T h e c o m p u t e r p r e d i c t i o n s a r e

s h o w n i n F i g s . 3 0 t o 3 4 f o r t h e 5 z o n e s r e s p e c t i v e l y .

S i m i l a r l y , t h e c o n v e n t i o n a l p r a c t i c e i s p l o t t e d a s d a s h e d

l i n e s . I n t h i s e x a m p l e , e r r o r s i n s p r a y c o o l i n g a s l a r g e a s

4 5 % r e s u l t i n g i n u n d e r c o o l i n g h a v e b e e n f o u n d d u r i n g t h e

c h a n g e i n c a s t i n g s p e e d . T h i s p r e d i c t e d u n d e r c o o l i n g w o u l d

c a u s e m a j o r d i s t u r b a n c e s o f t h e s u r f a c e t e m p e r a t u r e .

I n t h e l a s t e x a m p l e a c a

T h i s e x a m p l e i s v e r y u s e f u l t o

o n l y p a r t i a l l y o c c u p i e d , s i n c e

s p r a y z o n e c h a n g e s a s t h e t a i l

a s s u m e d c a s t i n g s p e e d f u n c t i o n

p i n g - o f f o p e r a t i o n i s s i m u l a t e d ,

d e m o n s t r a t e t h e e f f e c t o f a z o n e

t h e w o r k i n g r e g i o n o f e a c h

m o v e s t h r o u g h t h e m a c h i n e . T h e

i s s h o w n i n F i g . 3 5 . F i g s . 3 6

t o 4 0 s h o w t h e c o m p u t e r p r e d i c t i o n s f o r t h e 5 z o n e s r e s p e c ­

t i v e l y . A l t h o u g h t h e c a s t i n g s p e e d i s g r e a t e r a f t e r t h e c a p -

o f f t h a n t h e o r i g i n a l s p e e d t h e m e a n r e s i d e n c e t i m e d e c r e a s e s

a n d t h e n i n c r e a s e s b e c a u s e t h e m e a n d i s t a n c e f r o m e a c h z o n e t o

t h e m e n i s c u s i n c r e a s e s a s t h e t a i l m o v e s t h r o u g h t h e z o n e .

S i m i l a r l y , t h e c o n v e n t i o n a l p r a c t i c e i s p l o t t e d a s d a s h e d

l i n e s . E r r o r s o f t h e s a m e m a g n i t u d e o f t h e p r e v i o u s e x a m p l e

a r e a l s o p r e d i c t e d i n t h i s c a s e .

C h a p t e r 5

C O N T R O L O F S P R A Y C O O L I N G

D U R I N G A S H R O U D C H A N G E :

A C A S E S T U D Y

5 . 1 I n t r o d u c t i o n

I n o r d e r t o d e t e r m i n e t h e v a l i d i t y o f t h e m o d e l p r e ­

d i c t i o n s , a c o n t r o l s t u d y h a s b e e n p e r f o r m e d i n c o n j u n c t i o n

w i t h t h e r e s e a r c h l a b o r a t o r i e s o f t h e I n l a n d S t e e l C o m p a n y .

T h i s c o m p a n y h a s a s l a b c a s t e r w h i c h i s a t w o s t r a n d , c u r v e d

m o u l d , D e M a g m a c h i n e w i t h a 1 2 . 2 m r a d i u s . I t i s e q u i p p e d w i t h

t w o t u r r e t l a d l e a r m s w h i c h s u p p o r t t h e 2 3 2 t l a d l e s d u r i n g

t h e c a s t a n d c a n r o t a t e 3 6 0 ° . A s i n g l e t u n d i s h c a r . r o t a t e s a b o u t

t h e s a m e a x i s a s t h e t u r r e t a r m s a n d a l s o p r o v i d e s v e r t i c a l

l i f t f o r t h e t u n d i s h . T h e n o m i n a l c a p a c i t y o f t h e t u n d i s h

i s 2 1 t a n d t h e m e t a l f l o w f r o m t h e t u n d i s h i s c o n t r o l l e d b y

s l i d e - g a t e n o z z l e s . T h e c e r a m i c s h r o u d s u s e d f o r s u b m e r g e d

c a s t i n g a r e a l s o p a r t o f t h e s l i d e - g a t e s y s t e m s o t h a t t h e y

c a n b e c h a n g e d d u r i n g t h e c a s t .

T h i s m a c h i n e i s d e s i g n e d t o c a s t s l a b s f r o m 8 1 3 t o 1 7 0 2

mm i n w i d t h , a n d e i t h e r 2 1 0 mm o r 2 3 5 mm t h i c k .

T h e s e c o n d a r y c o o l i n g s y s t e m i s d i v i d e d i n t o f i v e

s e p a r a t e l y c o n t r o l l e d z o n e s . I n t h e p r e s e n t p r a c t i c e , t h e

6 1

6 2

w a t e r f l o w s i n t h e z o n e s a r e a u t o m a t i c a l l y v a r i e d i n p r o ­

p o r t i o n t o t h e c a s t i n g s p e e d . A d e t a i l e d d e s c r i p t i o n o f t h e

s e c o n d a r y c o o l i n g s y s t e m i s g i v e n i n a f o l l o w i n g s e c t i o n . T h e

s t e e l g r a d e s c a s t a r e m o s t l y l o w c a r b o n f u l l y a l u m i n u m k i l l e d .

S u c c e s s f u l t e c h n i q u e s d e v e l o p e d i n t h e o p e r a t i o n t o

d a t e h a v e e n a b l e d h i g h q u a l i t y - c a s t i n g t o b e a c h i e v e d . H o w ­

e v e r , a s t u d y p e r f o r m e d b y t h e r e s e a r c h l a b o r a t o r i e s h a s s h o w n

t h a t a r o u n d 9 0 % o f t h e f e w d e f e c t s o b s e r v e d ( m a i n l y l o n g i ­

t u d i n a l m i d - f a c e c r a c k s ) c a n b e r e l a t e d t o c h a n g e s i n c a s t i n g

s p e e d . F u r t h e r m o r e , r o l l a n d b e a r i n g p r o b l e m s a l s o a p p e a r t o

b e r e l a t e d t o b u l g i n g p h e n o m e n a o c c u r r i n g d u r i n g i n t e r r u p t i o n

o f a c a s t . T h i s s t u d y l e d t o t h e c o n c l u s i o n t h a t t h e p r e s e n t

s p r a y c o n t r o l p r a c t i c e i s n o t s a t i s f a c t o r y a n d t o t h e j o i n t

s t u d y d e s c r i b e d i n t h i s c h a p t e r .

T h e c a s e o f a s h r o u d c h a n g e h a s b e e n c h o s e n f o r t h e

p r e s e n t w o r k b e c a u s e i t i s t h e u n i q u e c a s t i n g s p e e d c h a n g e

w h i c h i s p e r f o r m e d i n a r e a s o n a b l y r e p e t i t i v e w a y . D u r i n g

t h i s o p e r a t i o n t h e c a s t i n g s p e e d i s d e c r e a s e d t o a v e r y l o w

l e v e l ( a r o u n d 0 . 1 3 c m / s ) d u r i n g 3 0 - 1 0 0 s . T h e m e t a l f l o w

f r o m t h e t u n d i s h i s s t o p p e d a n d t h e c e r a m i c s h r o u d c h a n g e d .

O n c e t h e s h r o u d c h a n g e i s c o m p l e t e d , m e t a l f l o w i s s t a r t e d

a g a i n a n d t h e c a s t i s r e s u m e d a t a n i n t e r m e d i a t e c a s t i n g

s p e e d ( a b o u t o n e - h a l f o f t h e n o r m a l v a l u e ) w h i c h i s m a i n t a i n e d

f o r 2 m i n . a f t e r w h i c h t h e n o r m a l o p e r a t i o n s i s r e s u m e d .

63

T h i s s t u d y h a s b e e n d i v i d e d i n t o t h e f o l l o w i n g s t e p s :

1 . D e v e l o p m e n t o f t h e c o n t r o l e q u a t i o n s . T h i s s t e p i n ­

c l u d e s t h e c h a r a c t e r i z a t i o n o f a n " i d e a l " t h e r m a l h i s t o r y

f o r t h e s t r a n d a n d t h e c h a r a c t e r i z a t i o n o f t h e s p r a y s y s t e m .

2 . P r e d i c t i o n o f t h e i d e a l c h a n g e i n s p r a y w a t e r f l o w s

d u r i n g a s h r o u d c h a n g e .

3 . A p p r o x i m a t i o n o f t h i s i d e a l c h a n g e b y a s i m p l e r c h a n g e

w h i c h c a n b e a t t a i n e d b y m a n u a l l y a d j u s t i n g t h e s e t - p o i n t i n

t h e w a t e r f l o w c o n t r o l l e r s .

4 . C o m p a r i s o n o f s u r f a c e t e m p e r a t u r e m e a s u r e m e n t s d u r i n g

s h r o u d c h a n g e u s i n g n o r m a l a n d s u g g e s t e d p r a c t i c e s .

5 . D e v e l o p m e n t o f a s i m p l e p r a c t i c e w h i c h c o u l d b e u s e d

i n a l o n g t e r m t r i a l .

5 . 2 D e v e l o p m e n t o f t h e C o n t r o l E q u a t i o n s

O w i n g t o t h e e x c e l l e n t q u a l i t y o f t h e s l a b s c a s t d u r i n g

n o r m a l o p e r a t i o n , i t h a s b e e n a s s u m e d t h a t t h e t h e r m a l h i s t o r y

o f t h e m a t e r i a l c a s t u n d e r s t e a d y s t a t e c o n d i t i o n c a n b e u s e d

a s t h e " i d e a l " t h e r m a l h i s t o r y f o r t h e s t r a n d . H e n c e t h e

t e c h n i q u e d e s c r i b e d i n s e c t i o n 3 . 2 h a s b e e n u s e d t o c h a r a c t e r i z e

t h e c o n t r o l e q u a t i o n s .

I n o r d e r t o d e s c r i b e t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n h e a t

t r a n s f e r c o e f f i c i e n t a n d r e s i d e n c e t i m e n e c e s s a r y f o r t h e

c o n t r o l p r o g r a m , e x t e n s i v e s u r f a c e t e m p e r a t u r e m e a s u r e m e n t s

h a v e b e e n t a k e n i n t h e s l a b c a s t e r . T h e r e s u l t s a r e

s u m m a r i z e d ^ i n F i g . 4 1 . I t h a s b e e n f o u n d t h a t t h i s s u r f a c e

t e m p e r a t u r e p r o f i l e i s b e s t d e s c r i b e d b y t h e f o l l o w i n g

e q u a t i o n .

x = 6 8 8 . d + 3 2 4 7 . . . . ( 3 6 )

d + 2 . 8 2

T h i s s u r f a c e t e m p e r a t u r e p r o f i l e h a s b e e n f e d i n t o t h e m a t h e

m a t i c a l m o d e l o f h e a t f l o w a s t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n i n t h e

s p r a y z o n e . T h e m o d e l h a s t h e n b e e n u s e d t o c a l c u l a t e t h e

r e q u i r e d h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t d i s t r i b u t i o n t o o b t a i n

t h i s s u r f a c e t e m p e r a t u r e p r o f i l e . T h e r e s u l t s a r e s h o w n i n

F i g . 4 2 . I t h a s b e e n f o u n d t h a t t h i s d i s t r i b u t i o n i s b e s t

d e s c r i b e d b y t h e f o l l o w i n g e q u a t i o n .

0 . 2 4 1 t + 1 8 8 . 9 . . . ( 3 7 ) h =

t + 2 2 1 .

w h i c h i s , t h e r e f o r e , u s e d a s t h e f i r s t c o n t r o l e q u a t i o n .

c o n t r o l e q u a t i o n i s d e s c r i b e d b y E q . ( 1 4 ) .

1 . 3 3 W 0 - 5 5 . . .C14) a

w h e r e t h e c o o l i n g e f f i c i e n c y f a c t o r , a , h a s b e e n c a l c u l a t e d

f o r e a c h s p r a y z o n e . T h e s e c o n d a r y c o o l i n g s y s t e m w h i c h i s

2 1 . 4 m l o n g i s d i v i d e d i n t o f i v e s p r a y z o n e s . T h e i r m a j o r

T h e s e c o n d

h =

65

c h a r a c t e r i s t i c s a r e g i v e n i n T a b l e V . T h e n o r m a l w a t e r

p r a c t i c e f o r a c a s t i n g s p e e d o f 2.12 c m / s i s g i v e n i n T a b l e

V I a s p e r c e n t a g e s o f t h e m a x i m u m s e t - p o i n t s i n e a c h z o n e .

T h i s t a b l e a l s o i n c l u d e s t h e m i n i m u m f l o w r a t e s a v a i l a b l e

i n e a c h z o n e . T h e s e , l i m i t s a r e a r e s u l t o f t h e w a t e r -

p r e s s u r e r a n g e i n w h i c h t h e s p r a y s c a n w o r k . T h e f o l l o w i n g

e q u a t i o n . i s u s e d t o c a l c u l a t e t h e f l o w r a t e s , W f o r o t h e r n . '

c a s t i n g s p e e d s

W = S P [ (K 7 0 9 x V - 0.5] ...(38) n n c

w h e r e V i s t h e c a s t i n g s p e e d a n d S P i s t h e n o r m a l s e t -c n

p o i n t f o r t h e z o n e .

I t m a y b e n o t e d i n T a b l e V t h a t z o n e 1 u s e s t w o d i f f e r e n t

s p r a y - n o z z l e t y p e s c o n n e c t e d i n t h e s a m e w a t e r l i n e a n d ,

a l t h o u g h t h e b r o a d f a c e s o f z o n e 2 h a v e o n l y o n e w a t e r f l o w

c o n t r o l l e r , t h i s z o n e i s s u b d i v i d e d i n t o t h r e e s u b - z o n e s .

T h e r e f o r e t h e w a t e r f l u x i n t h i s z o n e c a n n o t b e c o n s i d e r e d

u n i f o r m . I n o r d e r t o o v e r c o m e t h e s e p r o b l e m s , i t h a s b e e n

a s s u m e d t h a t t h e p r e s s u r e s i n e a c h s p r a y n o z z l e w i t h i n a

z o n e a r e t h e s a m e . T h e r e q u i r e d w a t e r f l u x i n e a c h s u b - z o n e

w a s t h e n c a l c u l a t e d u s i n g d a t a f r o m t h e s p r a y - n o z z l e m a n u ­

f a c t u r e r .

66

TABLE V: S e c o n d a r y C o o l i n g Zone -

I n l a n d S l a b C a s t e r

ZONE LENGTH(cm) NO. OF NOZZLES TYPE OF NOZZLES

1 - N a r r o w F a c e s 34. 16 A - f u l l cone

1 - B r o a d F a c e s 34 . 60 B - s q u a r e

2 - N a r r o w F a c e s 81 . 16 C - f l a t

2 - B r o a d F a c e s A 41. 74 D - s q u a r e

B 41 . 12 E - f l a t w i d e

C 82 . 24 F - f l a t w i d e

3 - Top 589 . 20 E - f l a t w i d e

3 - B o t t o m 589. 20 E - f l a t w i d e

4 - Top 488. 20 E - f l a t w i d e

4 - B o t t o m 488 . 20 E - f l a t w i d e

5 - Top A 40 5 . 9 E - f l a t w i d e

B 459 . 18 G - f l a t

5 — B o t t o m 864. 18 E - f l a t w i d e

67

TABLE VI: Inland Slab Caster - Zone Water Flows

ZONE MIN . (%) SET(%) 1 - , 57.1 71.4

2 - Narrow Faces 46 .9 62.5

2 - Broad Faces 59 . 5 83.3

3 - Top & Bottom 38.5 96 .1

4 - Top & Bottom 36.9 98.5

5 - Top & Bottom 45 . 8 88.0

The c o o l i n g e f f i c i e n c y f o r each zone (or sub-zone) has

been then c a l c u l a t e d by comparing the a c t u a l mean heat t r a n s f e r

c o e f f i c i e n t over the zone, i . e . , the average of Eq. (37) over

the zone and the mean heat t r a n s f e r c o e f f i c i e n t c a l c u l a t e d

from the mean water f l u x i n the zone using Eq. (14). The r e ­

s u l t s f o r c o o l i n g e f f i c i e n c y are shown i n Table V I I .

5.3 V e r i f i c a t i o n of the C o n t r o l Equations

In order to determine the v a l i d i t y of the c o n t r o l

equations, the mathematical model of heat flow has been used

to p r e d i c t a t y p i c a l mid-face s u r f a c e temperature change using

the normal spray p r a c t i c e (Eq. 38). This p r e d i c t i o n was then

6 8

T A B L E V I I : I n l a n d S l a b C a s t e r - C o o l i n g E f f i c i e n c i e s

Z O N E a

1 5 . 6 6

2 - A v e r a g e 4 . 3 7

2 A 5 . 7 5

2 B 4 . 1 9

2 C 3 . 5 7

3 3 . 4 1

4 3 . 7 2

5 3 . 7 8

c o m p a r e d t o a c t u a l s u r f a c e t e m p e r a t u r e s m e a s u r e d o n t h e c a s t e r .

O w i n g t o o p e r a t i n g p r o b l e m s a t t h a t t i m e , i t h a s o n l y b e e n

p o s s i b l e t o m o n i t o r t h e m i d - f a c e s u r f a c e t e m p e r a t u r e o f t h e

s l a b i n t h e i n n e r - r a d i u s s i d e a t a p o s i t i o n b e t w e e n z o n e s 3

a n d 4 .

F i g . 4 3 s h o w s t h e p r e d i c t i o n o f s u r f a c e t e m p e r a t u r e

c h a n g e a t t h i s p o s i t i o n f o r a t y p i c a l c a s t i n g s p e e d v a r i a t i o n

d u r i n g a s h r o u d c h a n g e . T h e a c t u a l m e a s u r e m e n t s o f m i d - f a c e

s u r f a c e t e m p e r a t u r e a n d c o o l i n g s p e e d d u r i n g t w o s h r o u d

c h a n g e s a r e s h o w n i n F i g s . 4 4 a n d 4 5 . T h e m a g n i t u d e a n d t i m i n g

6 9

o f t h e p r e d i c t i o n o f s u r f a c e t e m p e r a t u r e f l u c t u a t i o n a r e i n

g o o d a g r e e m e n t w i t h t h e o b s e r v e d r e s u l t s , a l t h o u g h i t m a y b e

n o t e d t h a t t h e s u r f a c e t e m p e r a t u r e m e a s u r e m e n t s a r e s u b j e c t

t o e r r o r a n d t h e a c t u a l c a s t i n g s p e e d c h a n g e s a r e n o t t h e

s a m e a s p r e d i c t e d a p r i o r i . A s a c o m p a r i s o n , F i g . 4 6 s h o w s

t h e p r e d i c t e d s u r f a c e t e m p e r a t u r e c h a n g e a t t h i s p o s i t i o n i n

o r d e r t o m a i n t a i n a c o n s t a n t t h e r m a l h i s t o r y .

F i g . 4 7 s h o w s t h e m o d e l p r e d i c t i o n s u n d e r t h e s a m e c o n ­

d i t i o n s f o r a p o s i t i o n b e t w e e n z o n e s 2 a n d 3 . T h i s f i g u r e i s

a n e x a m p l e o f t h e e f f e c t o f t h e m i n i m u m f l o w r a t e c o n s t r a i n t

o n t h e s u r f a c e t e m p e r a t u r e r e s p o n s e . A l t h o u g h z o n e 2 i s a l s o

c o n t r o l l e d p r o p o r t i o n a l l y t o t h e c a s t i n g s p e e d , t h e w a t e r f l o w

i n t h e z o n e c a n o n l y b e r e d u c e d b y 2 9 % o f t h e n o r m a l s e t - p o i n t .

T h e r e f o r e t h e l a r g e r e h e a t i n g o b s e r v e d a f t e r z o n e 3 i s n o t

s h o w n h e r e . H o w e v e r , t h e i n c r e a s e i n w a t e r f l o w w h e n t h e

n o r m a l c a s t i n g s p e e d i s r e s u m e d d o e s c a u s e a s h a r p d e c r e a s e

i n s u r f a c e t e m p e r a t u r e .

5 . 4 D e v e l o p m e n t o f a N e w C o n t r o l P r a c t i c e

U s i n g t h e c o n t r o l e q u a t i o n s d e v e l o p e d p r e v i o u s l y , t h e

m a t h e m a t i c a l m o d e l f o r c o n t r o l l i n g t h e s p r a y s h a s b e e n u s e d

t o p r e d i c t t h e r e q u i r e d c h a n g e i n w a t e r f l o w r a t e i n t h e z o n e s

i n o r d e r t o m a i n t a i n t h e d e s i r a b l e t h e r m a l h i s t o r y o f t h e

s t r a n d . T h e c a l c u l a t i o n s a r e c o m p l i c a t e d b y t h e f a c t t h a t

70

the time during which the c a s t e r i s maintained at low speed

i s not constant because i t depends on the time necessary to

change the ceramic shroud. The average time f o r changing

the shroud i s around 40 s but i t v a r i e s from 30 s to almost

2 min. Therefore, four sets of p r e d i c t i o n s have been generated

i n order to account f o r any u n p r e d i c t a b l e change i n time at

low speed. These correspond to 40, 60, 80 and 100 s at low

c a s t i n g speed. The computer r e s u l t s f o r the 40 s set are

shown as f o l l o w s : F i g 48 - assumed c a s t i n g speed change,

F i g s . 49 to 53 - p r e d i c t i o n s of change i n mean residence-time

a s s o c i a t e d with the zone and recommended change i n water f l u x

f o r zones 1 to 5 r e s p e c t i v e l y . In the same f i g u r e s the normal

spray c o n t r o l p r a c t i c e i s shown as dashed l i n e s .

As expected from the study c a r r i e d out i n the previous

chapter, the change i n water flow requirements f o r a zone i s

a strong f u n c t i o n of the d i s t a n c e of the zone from the meniscus.

The response of zone 1 i s very f a s t and t h e r e f o r e a f a i r con­

t r o l i s obtained by using the normal c o n t r o l p r a c t i c e i n which

water flow i s v a r i e d p r o p o r t i o n a l l y to the c a s t i n g speed. But

the p r e d i c t e d changes i n water requirements f o r the l a s t zones

are almost n e g l i g i b l e and t h e r e f o r e l a r g e e r r o r s i n c o o l i n g

are obtained by c o n t r o l l i n g the sprays p r o p o r t i o n a l l y to the

c a s t i n g speed. In f a c t , t h i s can be observed i n F i g s . 44 and

45 where the s u r f a c e r e h e a t i n g i s caused by the d r a s t i c r e ­

duction i n water flow d i c t a t e d by the normal spray c o n t r o l

7 1

p r a c t i c e .

I t may be n o t e d t h a t t h e recommended c h a n g e s i n w a t e r

f l u x a r e c o m p l e x and c a n n o t be o b t a i n e d by m a n u a l a d j u s t m e n t s

i n t h e s e t - p o i n t o f t h e w a t e r - f l u x c o n t r o l l e r s . T h e r e f o r e ,

i n o r d e r t o t e s t t h e m o d e l , t h e recommended c h a n g e s have been

a p p r o x i m a t e d by s i m p l e r s e q u e n c e s o f s t e p c h a n g e s i n w a t e r

f l o w . T h i s new p r a c t i c e i s s u m m a r i z e d i n T a b l e V I I I . T h i s

t a b l e i s d i v i d e d i n t o t h r e e s u b - t a b l e s e a c h o f w h i c h i s v a l i d

f o r a r a n g e o f t i m e s a t l o w s p e e d .

The new p r a c t i c e d e v e l o p e d u s i n g t h e m o d e l has b e e n

t e s t e d d u r i n g s e v e r a l s h r o u d c h a n g e s and t h e s u r f a c e t e m p e r a ­

t u r e a t a m i d - f a c e p o s i t i o n b e t w e e n z o n e s 3 and 4 m o n i t o r e d .

The r e s u l t s o f c a s t i n g s p e e d and s u r f a c e t e m p e r a t u r e d u r i n g

f o u r r u n s a r e shown i n F i g s . 54 t o 57. A c o m p a r i s o n o f t h e s e

f i g u r e s , b o t h w i t h t h e r e s u l t s o b t a i n e d u s i n g t h e n o r m a l s p r a y

c o n t r o l p r a c t i c e ( F i g s . 44 and 45) and t h e i d e a l s u r f a c e

t e m p e r a t u r e change ( F i g . 46) shows t h a t t h e s u r f a c e r e h e a t i n g

and s u b s e q u e n t o v e r c o o l i n g c a u s e d by t h e n o r m a l s p r a y c o n t r o l

p r a c t i c e a r e a v o i d e d and a r e a s o n a b l e a g r e e m e n t i s o b t a i n e d

w i t h t h e i d e a l s u r f a c e t e m p e r a t u r e c h a n g e .

I n g e n e r a l , t h e r e s u l t s h a v e shown t h a t t h e m o d el can

r e a s o n a b l y p r e d i c t t h e t h e r m a l r e q u i r e m e n t s o f t h e s t r a n d

d u r i n g c h a n g e s i n c a s t i n g s p e e d and t h a t t h e c o n t r o l o f t h e

7 2

T A B L E V I I I ; R e c o m m e n d e d S p r a y P r a c t i c e

C a s t i n g S p e e d - 2 . 3 3 c m / s

Z o n e C o n t r o l I n i t i a t i o n * W a t e r - f l o w ( % ) I n t e r v a l T i m e ( s ) R e d u c t i o n ( m i n . : s )

T i m e a t L o w S p e e d - 3 0 t o 6 0 s

1 1 : 4 5 0 . 2 6 . 1 : 3 0 1 0 5 . 1 5 .

2 3 : 3 0 0 . 2 2 .

3 6 : 3 0 3 0 . 1 5 .

4 9 : 0 0 6 0 . 8 .

.5. 1 4 : 0 0 6 0 . 7 .

T i m e a t L o w S p e e d - 6 0 t o 9 0 s

1 2 : 1 5 0 . 2 6 . 1 : 3 0 1 2 0 . 1 5 .

2 1 : 0 0 0 . 2 2 . 3 : 0 0 5 0 . 2 6 .

3 0 ; 3 0 3 0 . 1 5 . 6 : 3 0 6 0 . 2 2 .

4 9 : 3 0 6 0 . 1 2 .

5 1 4 : 3 0 6 0 . 8 .

T i m e a t L o w S p e e d - 9 0 t o 1 2 0 s

1 1 : 3 0 0 . 2 6 . 1 : 0 0 9 0 . 3 1 . ( m i n . ) 1 : 3 0 1 5 0 . 1 5 .

2 1 : 0 0 0 . 2 2 . 4 : 0 0 6 0 . 2 6 .

3 0 : 3 0 3 0 . 1 5 . 7 : 0 0 6 0 . 2 2 .

4 1 0 : 0 0 6 0 . 1 2 .

. .5. . 1 5 : 0 0 6 0 . 8 .

* T i m e a f t e r t h e i n i t i a t i o n o f a c a s t i n g s p e e d c h a n g e a t w h i c h t h e c h a n g e s i n s p r a y s e t a r e p e r f o r m e d .

73

s p r a y s c a n be l a r g e l y i m p r o v e d e v e n t h o u g h o n l y s i m p l e a p p r o x i ­

m a t i o n s a r e u s e d .

A l t h o u g h t h e t e s t s h a v e b e e n s u c c e s s f u l , two m a j o r p r o b ­

l e m s p r e v e n t t h e u s e o f s i m p l e t a b l e s s u c h as T a b l e V I I I i n

n o r m a l o p e r a t i n g p r a c t i c e . F i r s t l y t h e method r e q u i r e s p r e c i s e

w a t e r f l o w c h a n g e s a t c o n t r o l l e d t i m e i n t e r v a l s w h i c h a r e d i f ­

f i c u l t t o a c h i e v e on a d a i l y b a s i s . S e c o n d l y t h e c a s t i n g s p e e d

v a r i a t i o n d u r i n g a s h r o u d change i s n o t a l w a y s w i t h i n t h e

assumed r a n g e w h i c h i n v a l i d a t e s t h e t a b l e s .

I n o r d e r t o o v ercome t h e s e p r o b l e m s t h e o b j e c t i v e s o f

t h i s s t u d y h a v e b e e n s p l i t i n t o a l o n g t e r m and a s h o r t t e r m

s o l u t i o n . The f o r m e r r e q u i r e s t h e d e v e l o p m e n t o f a t r u e

a u t o m a t i c c o n t r o l s y s t e m w h i c h c a l c u l a t e s t h e t h e r m a l r e q u i r e ­

ments o f t h e s t r a n d i n r e a l t i m e and e n a b l e s a d j u s t m e n t o f

t h e w a t e r - f l o w c o n t r o l l e r s f o r any change i n c a s t i n g s p e e d .

T h i s s u b j e c t i s d i s c u s s e d i n t h e f o l l o w i n g c h a p t e r . The

l a t t e r i s b a s e d on t h e f a c t t h a t t h e p r e d i c t e d change i n

w a t e r f l o w f o r z o n e s 3, 4 and 5 d u r i n g t h e s e s h o r t c h a n g e s

i n c a s t i n g s p e e d a r e v e r y s m a l l and t h e r e f o r e b e t t e r r e s u l t s

s h o u l d be o b t a i n e d by m a i n t a i n i n g t h e w a t e r f l o w i n t h e s e z o n e s

u n c h a n g e d d u r i n g t h e change i n c a s t i n g s p e e d .

I t s h o u l d be n o t e d , h o w e v e r , t h a t t o o low a s u r f a c e

t e m p e r a t u r e a f t e r t h e s e c o n d a r y c o o l i n g zone may c a u s e d i f -

7 4

f i c u l t i e s i n s t r a i g h t e n i n g t h e s t r a n d . T h e r e f o r e t h e m a t h e ­

m a t i c a l m o d e l o f h e a t f l o w h a s b e e n u s e d t o p r e d i c t t h e c h a n g e

i n m i d - f a c e s u r f a c e t e m p e r a t u r e a f t e r z o n e 5 a s s u m i n g t h a t t h e

c o o l i n g c h a r a c t e r i s t i c s i n t h i s z o n e a r e k e p t u n c h a n g e d d u r i n g

a t y p i c a l s h r o u d c h a n g e . T h e m o d e l p r e d i c t s a d e c r e a s e i n

s u r f a c e t e m p e r a t u r e o f l e s s t h a n 3 0 ° C w h i c h p e r s i s t s d u r i n g

a l m o s t 1 9 m i n . S i n c e t h i s c h a n g e i s n e g l i g i b l e t h i s m e t h o d

h a s b e e n a d o p t e d a n d w i l l b e u s e d i n a l o n g t e r m t r i a l t o

g a u g e t h e e f f e c t o f t h i s p r a c t i c e o n p r o d u c t q u a l i t y a n d

m a c h i n e m a i n t e n a n c e .

C h a p t e r 6

A U T O M A T I C C O N T R O L O F S P R A Y S

6 . 1 I n t r o d u c t i o n

T h e i n f o r m a t i o n o b t a i n e d f r o m t h i s w o r k h a s e n a b l e d

o p t i m u m s e c o n d a r y c o o l i n g p a r a m e t e r s t o b e s p e c i f i e d f o r a n y

c a s t i n g c o n d i t i o n , b a s e d o n t h e p r i n c i p l e t h a t t h e h e a t -

e x t r a c t i o n r a t e b e c o n t r o l l e d t o m a i n t a i n a p r e d e t e r m i n e d

t h e r m a l h i s t o r y w i t h i n t h e s p r a y z o n e s . I n o r d e r t o a t t a i n

t h e s e o b j e c t i v e s , t w o a s s u m p t i o n s h a v e b e e n m a d e :

1 . t h e c a s t i n g s p e e d c h a n g e c a n b e p r e d i c t e d , a n d

2 . t h e w a t e r f l o w r a t e i n t h e s p r a y z o n e s c a n b e c o n ­

t r o l l e d i n a m a n n e r s p e c i f i e d b y t h e m o d e l .

T h e f o r m e r p o s e s a h i g h l y r e s t r i c t i v e c o n s t r a i n t o n t h e u s e

o f t h e m o d e l , i . e . , o n l y n o r m a l p r o c e d u r e s s u c h a s s t a r t ­

u p , s h r o u d c h a n g e a n d c a p - o f f o p e r a t i o n s , w h i c h a r e p e r ­

f o r m e d i n a v e r y r e p e t i t i v e f a s h i o n , c a n b e s i m u l a t e d . E v e n

s o , n o r m a l p r o d u c t i o n c o n s t r a i n t s i m p o s e s o m e f l u c t u a t i o n s

a r o u n d t h e s p e c i f i e d c a s t i n g - s p e e d p r a c t i c e w h i c h m u s t b e

c o m p e n s a t e d b y t h e u s e o f c o m p l i c a t e d t a b l e s o r n o m o g r a p h s .

T h e l a t t e r a s s u m p t i o n p o s e s e v e n a m o r e d i f f i c u l t p r o b l e m

t o o v e r c o m e . C o n t r o l o f t h e s e c o n d a r y c o o l i n g w a t e r i s

g e n e r a l l y a c c o m p l i s h e d u s i n g m a n u a l l y s e t c o n t r o l u n i t s ,

75

7 6

e a c h o f w h i c h h a s t o b e p r e s e t b y t h e o p e r a t o r t o s u i t t h e

a n t i c i p a t e d c a s t i n g - s p e e d c h a n g e . T h e i d e a l c h a n g e s i n w a t e r

f l o w f o r e a c h z o n e a r e c o m p l e x a n d , i n p r a c t i c e , c a n n o t b e

f o l l o w e d b y s i m p l e h a n d a d j u s t m e n t s o f t h e s p r a y c o n t r o l s .

T h e r e f o r e o n l y c r u d e a p p r o x i m a t i o n s c a n b e a c h i e v e d .

T h e s e p r o b l e m s c a n b e o v e r c o m e b y a p p l y i n g a u t o m a t i c

c o n t r o l t h e o r y a n d t h e m a t h e m a t i c a l m o d e l d i s c u s s e d e a r l i e r .

T h e s t r u c t u r e o f t h e m a t h e m a t i c a l m o d e l c a n b e e a s i l y a d a p t e d

f o r r e a l - t i m e c a l c u l a t i o n , s o t h a t a s y s t e m w h i c h i s a b l e

t o s u p p l y t h e n e c e s s a r y d a t a t o a d j u s t t h e w a t e f - f l u x c o n ­

t r o l l e r s c a n b e d e v e l o p e d . T h e u s e o f w a t e r - f l o w c o n t r o l l e r s

w h o s e s e t p o i n t s c a n b e a d j u s t e d t h r o u g h e i t h e r a n a n a l o g

o r d i g i t a l s i g n a l f r o m a p r o c e s s c o m p u t e r c o m p l e t e s t h e b a s i c

r e q u i r e m e n t s f o r a t r u e a u t o m a t i c s y s t e m f o r c o n t r o l l i n g

t h e w a t e r s p r a y s . S u c h a s y s t e m w o u l d b e a b l e t o h a n d l e a n y

c a s t i n g s p e e d f l u c t u a t i o n t h a t a r i s e s d u r i n g a c a s t i n g o p e r a ­

t i o n , a n d w i t h i n t h e s y s t e m a c c u r a c y , t o p r o v i d e t h e o p t i m u m

s e c o n d a r y - c o o l i n g c o n d i t i o n s .

6 . 2 B a s i c F e a t u r e s o f a n A u t o m a t i c S y s t e m f o r S p r a y C o n t r o l

T h e a u t o m a t i c - c o n t r o l s y s t e m p r o p o s e d i n t h i s w o r k i s

b a s e d o n t h e m a t h e m a t i c a l m o d e l p r e s e n t e d p r e v i o u s l y . H o w ­

e v e r , t h e m o d e l h a s b e e n a l t e r e d t o e v a l u a t e t h e r e s i d e n c e -

t i m e v a l u e s n e c e s s a r y f o r t h e c o n t r o l r o u t i n e s u n d e r r e a l -

77

t i m e c o n d i t i o n s . T h e t i m e i n t e r v a l i n t h e n u m e r i c a l i n ­

t e g r a t i o n p r o c e d u r e i s t h e r e f o r e r e p l a c e d b y t h e s a m p l i n g

t i m e f o r t h e p r o c e s s c o m p u t e r , i . e . t h e t i m e i n t e r v a l

b e t w e e n c a s t i n g s p e e d m e a s u r e m e n t s . M o r e o v e r t h e e v a l u a t e d

i d e a l w a t e r - s p r a y p a r a m e t e r s a r e u s e d d i r e c t l y t o a d j u s t

t h e s e t p o i n t s i n t h e w a t e r f l o w c o n t r o l l e r s o f e a c h s p r a y

z o n e .

T h e m a i n f e a t u r e s o f s u c h a s y s t e m a r e s h o w n s c h e m a t i ­

c a l l y i n F i g . 5 8 . S i m i l a r t o t h e p r e v i o u s m o d e l , e a c h s p r a y

z o n e i s d i v i d e d i n t o s e v e r a l c o n t r o l s l i c e s . I n p r e p a r a t i o n

f o r a c a s t , t h e o p e r a t o r s t a r t s t h e c o m p u t e r a n d s p e c i f i e s

i n i t i a l d a t a s u c h a s s t e e l g r a d e a n d s e c t i o n s i z e . F r o m

t h e s e d a t a , t h e c o m p u t e r r e a d s i n t h e b a s i c c o n t r o l e q u a t i o n s

f r o m a m a s s m e m o r y d e v i c e a n d s e t s a f l a g * f o r c o m m e n c e m e n t

o f t h e c a s t . A s s o o n a s t h e w i t h d r a w a l b e g i n s t h e c o m p u t e r

c o m m e n c e s i n t e g r a t i o n o f t h e c a s t i n g s p e e d t o d e t e r m i n e t h e

p o s i t i o n o f t h e h e a d i n t h e c a s t e r . T h e a g e o f s t e e l s l i c e s

p a s s i n g e a c h o f t h e c o n t r o l p o i n t s w i t h i n t h e r e g i o n o f t h e

z o n e o c c u p i e d b y t h e s t r a n d i s t h e n c a l c u l a t e d . T h e w a t e r

f l o w r e q u i r e m e n t s f o r e a c h s p r a y z o n e a r e o b t a i n e d f r o m

t h e c o n t r o l e q u a t i o n s a n d t h e s e v a l u e s a r e u s e d t o a d j u s t

t h e w a t e r f l o w c o n t r o l l e r s . T h i s c y c l e i s t h e n r e p e a t e d

u n t i l t h e h e a d l e a v e s t h e m a c h i n e a t w h i c h t i m e t h e c a s t

l e n g t h n o l o n g e r n e e d s t o b e e v a l u a t e d . T h e c o m p u t e r c o n t i n u e s

* i s s u e s a c o m m a n d s p e c i f y i n g c o n d i t i o n s .

78 t o a d j u s t t h e c o n t r o l l e r s f r o m r e s i d e n c e - t i m e c a l c u l a t i o n s u n t i l

t h e o p e r a t o r s e t s a f l a g f o r t h e e n d o f c a s t i n g . A t t h i s p o i n t

t h e c a s t i n g s p e e d i s a g a i n i n t e g r a t e d t o o b t a i n t h e p o s i t i o n o f

t h e t a i l i n t h e s e c o n d a r y c o o l i n g z o n e . A s w i t h d r a w a l c o n t i n u e s ,

s p r a y c o n t r o l i s m a i n t a i n e d i n e a c h z o n e a s l o n g a s t h e r e i s

m e t a l i n s o m e p o r t i o n o f t h e z o n e . W h e n t h e t a i l l e a v e s a z o n e

t h e w a t e r f l o w i s s e t t o z e r o . T h i s c y c l e c o n t i n u e s u n t i l t h e

t a i l l e a v e s t h e m a c h i n e w h e r e u p o n t h e c o n t r o l p r o g r a m s t o p s .

S i n c e a c c u r a t e c a s t i n g s p e e d m e a s u r e m e n t s c a n b e o b t a i n e d

e a s i l y , t h e l i m i t i n g f a c t o r s i n t h i s a p p r o a c h a r e t h e s a m p l i n g

t i m e a n d t h e r e s p o n s e o f t h e w a t e r — f l o w - c o n t r o l l e r s . T h e s a m p l i n g

t i m e s h o u l d b e a s c o n s t a n t a n d s h o r t a s p o s s i b l e b e c a u s e t h e a c ­

c u r a c y o f t h e r e s i d e n t - t i m e c a l c u l a t i o n d e p e n d s o n t h e m . O n t h e

o t h e r h a n d s h o r t s a m p l i n g t i m e m e a n s m o r e a l l o c a t e d s p a c e i n

t h e c o m p u t e r m e m o r y f o r t h e i n t e g r a t i o n p r o c e d u r e a n d a l o n g e r

p r o c e s s i n g t i m e . S i n c e t h i s p r o c e s s i n g t i m e m u s t b e s h o r t e r

t h a n t h e s a m p l i n g t i m e , t h e c o m p u t e r m u s t b e c a p a b l e o f a m i n i m u m

c a l c u l a t i o n s p e e d , i . e . , t h e s y s t e m m u s t b e r e l a t i v e l y l a r g e

a n d e x p e n s i v e . T h e t i m e b e t w e e n a d j u s t m e n t s i n t h e w a t e r -

f l o w c o n t r o l l e r s a n d t h e t i m e n e c e s s a r y t o o b t a i n t h e . r e ­

q u i r e d w a t e r f l o w i n t h e s p r a y z o n e s ( r e s p o n s e t i m e o f t h e

c o n t r o l l e r s ) d o n o t a f f e c t t h e p r e d i c t i o n s b u t t h e y d i c t a t e

h o w c l o s e t h e a c t u a l w a t e r f l o w s - i n t h e s p r a y z o n e s f o l l o w

t h e i d e a l c h a n g e . T h e e v a l u a t i o n o f t h e s e b a s i c p a r a m e t e r s

s h o u l d b e p e r f o r m e d i n a n i n d u s t r i a l e n v i r o n m e n t b u t a s - a n

i n i t i a l

u s i n g a

s u b j e c t

s t e p , a s i m p l e m o c k - u p s y s t e m h a s b e e n d e v e l o p e d

s m a l l p r o c e s s c o m p u t e r l o c a t e d a t U . B . C . T h i s

i s d e s c r i b e d i n a f o l l o w i n g s e c t i o n .

6 . 3 F e e d b a c k - C o n t r o l L o o p

T h e m a i n d r a w b a c k o f a f e e d f o r w a r d c o n t r o l s t r a t e g y ,

s u c h a s t h e c o n t r o l s y s t e m p r o p o s e d , i s t h a t i t c a n n o t t a k e

c a r e o f u n p r e d i c t a b l e v a r i a b l e s . A s p o i n t e d o u t i n s e c t i o n

3 . 2 t h e m o d e l i s b a s e d o n t w o c o n t r o l e q u a t i o n s w h i c h a r e

d e v e l o p e d u n d e r s t a n d a r d c o n d i t i o n s . C h a n g e s i n o t h e r v a r i ­

a b l e s s u c h a s a m b i e n t t e m p e r a t u r e ( d i f f e r e n c e b e t w e e n s u m m e r

a n d w i n t e r ) , r e s p o n s e o f w a t e r f l o w c o n t r o l l e r s a n d s p r a y

n o z z l e s , c a n n o t b e h a n d l e d b y s u c h a s y s t e m . F o r t u n a t e l y

t h e s e c h a n g e s u s u a l l y d e v e l o p s l o w l y a n d t h e r e f o r e t h e y c a n

b e o v e r c o m e b y a p e r i o d i c a d j u s t m e n t o f t h e c o n t r o l e q u a t i o n s

f r o m o p e r a t i o n a l r e s u l t s . T h i s o p e r a t i o n c a n b e i n c l u d e d

i n t h e c o n t r o l s y s t e m b y a d d i n g a l o o s e f e e d b a c k c o n t r o l l o o p .

T h i s a p p r o a c h i s a l s o s h o w n i n F i g . 5 8 .

I n p r a c t i c e t h i s f e e d b a c k c o n t r o l c a n b e p r e s e n t e d

b o t h a s a m a n u a l . c o n t r o l o r i n c l u d e d i n t h e a u t o m a t i c

c o n t r o l s y s t e m . I n t h e f o r m e r , t h e o p e r a t o r c h e c k s t h e

s u r f a c e t e m p e r a t u r e a n d , i f i t i s c o n s i s t e n t l y o u t o f t h e

d e s i r a b l e v a l u e , m a k e s m a n u a l a d j u s t m e n t s i n t h e c o n t r o l

e q u a t i o n s t h r o u g h t h e c o m p u t e r k e y b o a r d . I n t h e l a t t e r t h e

c o m p u t e r I t s e l f h a s t o j u d g e i f t h e c h a n g e s h o u l d b e p e r ­

f o r m e d o r n o t a n d t h i s p o s e s a v e r y c o m p l e x c o n t r o l p r o b l e m .

T h e v e r y n a t u r e o f t h e f e e d b a c k c o n t r o l s c h e m e m a y g i v e r i s e

t o s t a b i l i t y p r o b l e m s b e s i d e s , a s p o i n t e d o u t i n s e c t i o n 2 . 4 ,

t h e s u r f a c e - t e m p e r a t u r e m e a s u r e m e n t s a v a i l a b l e i n i n d u s t r i a l

c a s t i n g p r a c t i c e a r e n o i s y a n d u n r e l i a b l e . A s i m p l e e x a m p l e

o f s t a b i l i t y s t u d y i s p r e s e n t e d i n t h e n e x t s e c t i o n .

I n o r d e r t o m i n i m i z e t h e e f f e c t o f n o i s e o n t h e s u r f a c e

t e m p e r a t u r e s i g n a l , t h e p r o c e s s c o m p u t e r c a n a v e r a g e t h e

s u r f a c e - t e m p e r a t u r e e r r o r f r o m s e v e r a l m e a s u r e m e n t s o v e r a

g i v e n t i m e p e r i o d b e f o r e i t s v a l u e i s u s e d i n t h e f e e d b a c k

c o n t r o l r o u t i n e . T h i s p r o c e d u r e w o u l d r e s u l t i n a s u r f a c e -

t e m p e r a t u r e m e a s u r e m e n t w h i c h i s l o w e r t h a n t h e a c t u a l v a l u e

b e c a u s e t h e n o i s e i s m o s t l y c a u s e d b y t h e p r e s e n c e o f s c a l e

o n t h e s t r a n d s u r f a c e . T h e r e f o r e t h e p e a k s , r a t h e r t h a n t h e

a v e r a g e b e s t r e p r e s e n t t h e s u r f a c e t e m p e r a t u r e . H o w e v e r ,

f o r c o n t r o l p u r p o s e , o n l y c h a n g e s i n t e m p e r a t u r e a r e i m p o r t a n t

a n d t h e r e f o r e t h i s a v e r a g e v a l u e c a n s u p p l y t h e r e q u i r e d r e ­

f e r e n c e s f o r t h e f e e d b a c k c o n t r o l r o u t i n e . H o w e v e r , t h e m o s t

i m p o r t a n t p o i n t i n d e s i g n i n g s u c h a s y s t e m i s t o a v o i d s u d d e n

c h a n g e s i n t h e p a r a m e t e r s w h i c h c o u l d b e c a u s e d b y a f a l s e

s u r f a c e t e m p e r a t u r e r e a d i n g . T h e r e f o r e t h e f e e d b a c k c o n t r o l

m u s t h a v e a l o w g a i n a n d a s l o w r e s p o n s e i n o r d e r t h a t o n l y

l o n g t e r m c h a n g e s w i l l b e a c t e d u p o n .

81

6 .4 S t a b i l i t y o f a Feedback. C o n t r o l Loop

I n o r d e r t o i l l u s t r a t e t h e s t a b i l i t y a n a l y s i s t h a t

s h o u l d be p e r f o r m e d i n d e s i g n i n g t h e a u x i l i a r y f e e d b a c k c o n ­

t r o l l o o p t h e f o l l o w i n g a s s u m p t i o n s h a v e b e e n made:

1. t h e c a s t i n g i n s t a l a t i o n u n d e r s t u d y i s t h e s l a b c a s t e r

u s e d f o r t h e e x a m p l e s i n s e c t i o n 4.4,

2. t h i s i n s t a l a t i o n c a s t s 1550 x 235 mm s l a b s o f low

c a r b o n s t e e l a t 2.3 cm/s,

3. t h e f e e d b a c k c o n t r o l l o o p o n l y a d j u s t s t h e c o e f f i c i e n t s

o f t h e c o n t r o l e q u a t i o n s u s e d i n t h e s p r a y zone 4, and

4. t h e s u r f a c e t e m p e r a t u r e d a t a i s o b t a i n e d a t t h e m i d -

f a c e o f t h e s l a b a t t h e end o f t h i s z o n e , i . e . , 12.6 m b e l o w

t h e m e n i s c u s , w i t h a n e g l i g i b l e measurement l a g .

The s t a b i l i t y a n a l y s i s t e c h n i q u e u s e d i n t h i s s e c t i o n 7 7 78

h a s b e e n d e s c r i b e d e l s e w h e r e . ' I n o r d e r t o a n a l y z e t h e

s t a b i l i t y o f t h e f e e d b a c k c o n t r o l l o o p , t h e d y n a m i c r e s p o n s e

o f t h e s y s t e m t o a change i n t h e m a n i p u l a t e d v a r i a b l e must be

e x p r e s s e d m a t h e m a t i c a l l y . I n a c o m p l e x s y s t e m s u c h as a c o n ­

t i n u o u s - c a s t i n g m a c h i n e , t h i s c a n n o t be a c h i e v e d a n a l y t i c a l l y .

T h e r e f o r e an e x p e r i m e n t a l method f o r d e t e r m i n a t i o n o f t h e

p r o c e s s - t r a n s f e r f u n c t i o n s h o u l d be u s e d . The p u l s e t e s t i n g 79

method p r e s e n t e d by Hougen and W a l s h has b e e n s e l e c t e d f o r t h i s p u r p o s e . B a s i c a l l y , an e x c i t a t i o n p u l s e i s i n t r o d u c e d

82

i n t o t h e m a n i p u l a t e d v a r i a b l e . B o t h t h e m a n i p u l a t e d v a r i a b l e

a n d t h e r e s p o n s e o f t h e s y s t e m t o t h i s d i s t r u b a n c e a r e t h e n

r e c o r d e d . L e t Y ( s ) a n d X ( s ) b e t h e L a p l a c e t r a n s f o r m o f

t h e f u n c t i o n s r e p r e s e n t i n g t h e r e s p o n s e a n d e x c i t a t i o n p u l s e

7 8 r e s p e c t i v e l y . B y d e f i n i t i o n t h e t r a n s f e r f u n c t i o n o f t h e

p r o c e s s , Cs) i s : r - Y Cs) . . . ( 3 9 )

T h e r e f o r e , u s i n g t h e r e c o r d e d d a t a t h e L a p l a c e t r a n s f o r m s

c a n b e e v a l u a t e d n u m e r i c a l l y a n d f r o m t h e r e , t h e p r o c e s s

t r a n s f e r f u n c t i o n c a n b e c a l c u l a t e d f r o m E q . ( 3 9 ) .

I t i s e s s e n t i a l t h a t t h e h e i g h t o f t h e p u l s e b e s u f ­

f i c i e n t l y s m a l l i n o r d e r t h a t o p e r a t i o n i n a l i n e a r r a n g e c a n

b e a s s u m e d . H o w e v e r i t m u s t b e s u f f i c i e n t l y l a r g e f o r t h e

s y s t e m d y n a m i c s t o b e e x c i t e d a n d t h e r e s p o n s e a d e q u a t e l y

r e c o r d e d .

F o r t h e p u r p o s e o f t h i s e x a m p l e , t h e d e s c r i b e d i n -

s t a l a t i o n h a s b e e n s i m u l a t e d b y t h e m a t h e m a t i c a l m o d e l o f

h e a t f l o w . T h i s m o d e l s i m u l a t e s t h e t h e r m a l h i s t o r y o f a

s i n g l e s l i c e o f s t e e l g o i n g t h r o u g h t h e m a c h i n e , b u t t h e

r e q u i r e d d y n a m i c r e s p o n s e i s t h e s u r f a c e t e m p e r a t u r e t a k e n

a t a f i x e d p o s i t i o n i n t h e s p r a y c h a m b e r d u r i n g a g i v e n t i m e

i n t e r v a l . T h e r e f o r e a s e r i e s o f r u n s h a v e b e e n m a d e i n o r d e r

8 3

t o s i m u l a t e c o n s e c u t i v e s l i c e s o f s t e e l p a s s i n g b y t h e m e a s u r e ­

m e n t p o i n t a s t h e c o o l i n g c o n d i t i o n i n t h e s p r a y z o n e i s

c h a n g e d .

I t m a y b e n o t e d t h a t t h i s s i m u l a t i o n a s s u m e s a n i n ­

s t a n t a n e o u s r e s p o n s e o f t h e w a t e r f l o w c o n t r o l l e r s . I n

p r a c t i c e a c h a n g e i n t h e s p e c i f i e d h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t

i s n o t i n s t a n t a n e o u s l y f o l l o w e d b y t h e c o r r e s p o n d e n t c h a n g e

i n s p r a y w a t e r f l o w b u t p r o d u c e s a d y n a m i c r e s p o n s e w h i c h i s

s u p e r i m p o s e d o n t h e s u r f a c e t e m p e r a t u r e r e s u l t s . H o w e v e r

t h i s d r a w b a c k d o e s n o t i n v a l i d a t e t h i s e x a m p l e b e c a u s e t h e

t w o r e s p o n s e s d o n o t n e e d t o b e s e p a r a t e d f o r t h e s t a b i l i t y

a n a l y s i s . T h e r e f o r e i t i s a s s u m e d t h a t t h e t r a n s f e r f u n c t i o n

o b t a i n e d i n t h i s e x a m p l e r e p r e s e n t s t h e w h o l e s y s t e m o f c a s t e r

a n d w a t e r - f l o w c o n t r o l l e r s .

F i g . 5 9 s h o w s b o t h t h e c h a n g e i n a s s u m e d h e a t t r a n s f e r

c o e f f i c i e n t i n z o n e 4 a n d t h e p r e d i c t e d m i d - f a c e s u r f a c e

t e m p e r a t u r e a t t h e e n d o f t h e z o n e , a s a f u n c t i o n o f t i m e a f t e r

t h e b e g i n n i n g o f t h e p u l s e . T h e c o m p u t e r r e s u l t s f o r t h e

p r o c e s s t r a n s f e r f u n c t i o n u s i n g t h e s e c u r v e s i s s h o w n i n F i g .

6 0 . T h e f o l l o w i n g e q u a t i o n h a s b e e n f o u n d t o b e s t d e s c r i b e

t h e r e s u l t s :

0 . 0 8 0 8 5 ... s + 0 . 0 1 8 0 2 . . . C40)

p l S } s + 0 . 0 1 9

84

A s s u m e a s i m p l e p r o p o r t i o n a l c o n t r o l s c h e m e f o r t h e

f e e d b a c k c o n t r o l l o o p , i . e . , a c o n t r o l s c h e m e w h i c h p r o d u c e s

a n o u t p u t s i g n a l w h i c h i s p r o p o r t i o n a l t o t h e e r r o r i n t h e

r e s p o n s e . S u c h a c o n t r o l c a n n o t e l i m i n a t e t h e e r r o r i n t h e

s u r f a c e t e m p e r a t u r e b u t t h e r e d u c t i o n o b t a i n e d i s s a t i s f a c t o r y

f o r t h i s a p p l i c a t i o n . F u r t h e r m o r e , p r o b l e m s i n t h e s u r f a c e

t e m p e r a t u r e m e a s u r e m e n t s w o u l d p r o b a b l y i m p a i r t h e r e s u l t s o f

a m o r e s o p h i s t i c a t e d c o n t r o l s c h e m e . I n s a m p l e - d a t a s y s t e m s

t h e o u t - p u t o f t h e d i s c r e t e c o n t r o l l e r m u s t b e s y n t h e s i z e d i n

c o m b i n a t i o n w i t h a " h o l d " c i r c u i t . * I n t h i s e x a m p l e , a z e r o -

o r d e r h o l d i s a s s u m e d , w h i c h a c c e p t s a n i m p u l s e o f s t r e n g t h K

a n d p u t s o u t a f i x e d c o n s t a n t p u l s e o f v a l u e K b e t w e e n s a m ­

p l i n g s . T h e a s s u m e d f e e d b a c k c o n t r o l l o o p t h e n c a n b e r e ­

p r e s e n t e d b y t h e b l o c k d i a g r a m s h o w n i n F i g . 6 1 .

C h o i c e o f s a m p l i n g f r e q u e n c y i s i n f l u e n c e d b y s t a b i l i t y

f a c t o r s a n d t h e h i g h e s t s i g n i f i c a n t f r e q u e n c y o f t h e r e f e r e n c e

s i g n a l . I n t h e p r e s e n t c a s e o n l y l o n g t e r m c h a n g e s i n s u r f a c e -

t e m p e r a t u r e a r e r e l e v a n t . T h e r e f o r e l o w s a m p l i n g f r e q u e n c i e s

s h o u l d B e c h o s e n s i n c e t h i s a l l o w s a n a d e q u a t e s u r f a c e t e m p e r a ­

t u r e s i g n a l a v e r a g i n g b e t w e e n s a m p l i n g .

T h e s t a b i l i t y a n a l y s i s h a s b e e n p e r f o r m e d f o r s a m p l i n g

* p s e u d o - d e v i c e w h i c h t r a n s f o r m s a d i s c r e t e s i g n a l i n t o a c o n t i n u o u s f u n c t i o n .

t i m e s o f 1 , 2 , 3 a n d 5 m i n . a n d t h e c o r r e s p o n d i n g v a l u e s o f

t h e p r o p o r t i o n a l g a i n f o r b o t h t h e t h r e s h o l d o f s t a b i l i t y a n d

a d a m p i n g r a t i o o f 0 . 5 a r e s h o w n i n T a b l e I X . F o r m o r e

d e t a i l s r e f e r t o A p p e n d i x A3.

T A B L E I X : R e s u l t s o f t h e S t a b i l i t y A n a l y s i s

S a m p l i n g K c

T i m e S t a b i l i t y e = 0.5

x s ( m i n . ) L i m i t

1 2 . 75 0 . 8 8

2 1 . 6 0 0 . 35

3 1.37 0 . 2 4

5 1 . 2 8 0 . 2 0

A l t h o u g h t h e s e r e s u l t s c a n g i v e a n i d e a o f s u i t a b l e

s a m p l i n g t i m e a n d c o n t r o l g a i n f o r t h e d e s i r a b l e f e e d b a c k

c o n t r o l l o o p , a m o r e r e a l i s t i c a n a l y s i s u s i n g a c t u a l c a s t e r

d a t a s h o u l d p r e c e d e t h e p r a c t i c a l u s e o f s u c h a s y s t e m .

6 . 5 A u t o m a t i c C o n t r o l S i m u l a t i o n s

I n o r d e r t o s t u d y t h e b a s i c p r o b l e m s a s s o c i a t e d w i t h

t h e d e v e l o p m e n t o f a n a u t o m a t i c s y s t e m f o r c o n t r o l l i n g t h e

s p r a y s , a s i m p l e m o c k — u p s y s t e m h a s b e e n d e v e l o p e d u s i n g a

8 6

s m a l l p r o c e s s c o m p u t e r l o c a t e d i n t h e D e p a r t m e n t o f C h e m i c a l

E n g i n e e r i n g , U . B . C . . T h i s a p p a r a t u s h a s b e e n b o u g h t f o r

e d u c a t i o n a l p u r p o s e s a n d c o n s i s t s b a s i c a l l y o f t h e f o l l o w i n g

c o m p o n e n t s :

C o m p u t e r ( D i g i t a l E q u i p m e n t C o . )

P D P - 8 e m i n i c o m p u t e r - 1 2 K m e m o r y

A D 8 - E A A / D c o n v e r t e r

A M 8 - E 8 c h a n n e l m u l t i p l e x e r

D R 8 - E A 1 2 c h a n n e l d i g i t a l I / O

D K 8 - E A r e a l t i m e c l o c k

T D 8 - E M d u a l d r i v e D e c t a p e

A S R 3 3 t e l e t y p e

C o n t r o l l e r s ( F o x b o r o I n s t r u m e n t a t i o n )

5 6 2 H M c o n t r o l l e r s w i t h m o t o r - d r i v e n s e t p o i n t .

T h e s y s t e m c o n f i g u r a t i o n i s s h o w n s c h e m a t i c a l l y i n

F i g . 6 2 .

T h i s e q u i p m e n t s a t i s f i e s t h e b a s i c r e q u i r e m e n t s f o r

t h e p r o p o s e d s y s t e m , s i n c e :

1 . i t h a s r e a l t i m e c a l c u l a t i o n c a p a b i l i t y ,

2 . i t c a n r e a d 1 6 a n a l o g i n p u t s i g n a l s , a n d

3 . t h e c o n t r o l l e r s e t p o i n t s c a n b e a d j u s t e d t h r o u g h a

d i g i t a l s i g n a l f r o m t h e c o m p u t e r .

87

H o w e v e r t h e c h a n g e i n s e t - p o i n t i s a v e r y s l o w o p e r a t i o n i n

t h i s t y p e o f e q u i p m e n t a n d t h e m e m o r y c a p a c i t y r e s t r a i n s t h e

n u m b e r o f c o n t r o l p o i n t s w h i c h c a n b e u s e d . F u r t h e r m o r e ,

t h e f i n a l a c t u a t o r s c a n n o t b e s i m u l a t e d a n d t h e r e f o r e t h e

r e s p o n s e o f c o n t r o l l e r s a r e a s s u m e d t o b e n e g l i g i b l e , i . e . ,

i t i s a s s u m e d t h a t w h e n t h e d e s i r a b l e s e t - p o i n t i s a c h i e v e d

t h e c o r r e s p o n d i n g w a t e r f l o w i s a l s o o b t a i n e d . I t m a y b e

n o t e d t h a t t h e s e d r a w b a c k s c a n b e o v e r c o m e e a s i l y w i t h p r o p e r

s e l e c t i o n s o f e q u i p m e n t .

I n t h e d e v e l o p m e n t o f t h e m o d e l , t h e f o l l o w i n g

a s s u m p t i o n s h a v e b e e n m a d e :

1. t h e c o n t i n u o u s c a s t i n g m a c h i n e u n d e r c o n t r o l h a s 5

s p r a y z o n e s w h o s e w a t e r f l o w r a t e s a r e c o n t r o l l e d b y t h e 5 -

6 2 H M a n a l o g c o n t r o l l e r s . T h e d i m e n s i o n s o f t h e s e c o n d a r y

c o o l i n g z o n e a r e t h e s a m e u s e d f o r t h e e x a m p l e s i n s e c t i o n 4.4

2 . E q s . (14) a n d (37) d e s c r i b e t h e r e q u i r e d r e l a t i o n s h i p

b e t w e e n w a t e r f l u x a n d r e s i d e n c e t i m e , w h e r e t h e c o o l i n g -

e f f i c i e n c y f a c t o r , a, i s a s s u m e d t o b e 4 f o r a l l s p r a y z o n e s ,

3. o w i n g t o m e m o r y s i z e c o n s t r a i n t s , t h e c o n t r o l i s p e r ­

f o r m e d o n l y w h e n t h e c a s t e r i s f u l l y o c c u p i e d b y t h e s t r a n d .

T h i s s i m p l i f i e s t h e m o d e l s i n c e i t e l i m i n a t e s t h e n e c e s s i t y

o f b o t h h e a d a n d t a i l p o s i t i o n d e t e r m i n a t i o n ,

4. o n l y 3 c o n t r o l p o i n t s i n e a c h z o n e a r e u s e d , ( e x c e p t

88

f o r z o n e 1 w h e r e o n l y 1 c o n t r o l p o i n t i s u s e d )

5 . t h e c a s t i n g - s p e e d s i g n a l f r o m a t r a n s d u c e r i s s i m u l a t e d

b y a v a r i a b l e v o l t a g e s o u r c e w h i c h c a n b e a d j u s t e d m a n u a l l y ,

a n d

6 . a s i m p l e f e e d b a c k c o r r e c t i o n l o o p h a s b e e n i n c l u d e d .

T h e s u r f a c e t e m p e r a t u r e r e a d i n g f r o m a n o p t i c a l p y r o m e t e r i s

a l s o s i m u l a t e d b y a v a r i a b l e v o l t a g e s o u r c e .

T h e p r o g r a m l i s t i n g i n F O C A L - F * i s p r e s e n t e d i n A p ­

p e n d i x A 4 .

D i f f e r e n t c a s t i n g s p e e d c h a n g e s h a v e b e e n s i m u l a t e d

f o r s e v e r a l s a m p l i n g t i m e s . T h e m a j o r d r a w b a c k f o u n d i n t h i s

a p p a r a t u s i s t h a t t h e s e t - p o i n t s i n t h e c o n t r o l l e r s a r e d r i v e n

b y t h e c o m p u t e r i t s e l f . T h e r e f o r e t h e c o n t r o l r o u t i n e s m u s t

b e i n t e r r u p t e d d u r i n g t h e a d j u s t m e n t s o f t h e c o n t r o l l e r s .

I n t h i s t y p e o f c o n t r o l l e r t h e s e t - p o i n t m o t o r c a n b e s t e p p e d

a t t h e r a t e o f 3 0 s t e p s o f 0 . 1 % p e r s e c o n d o r 3 % o f s c a l e p e r

s e c o n d . T h e r e f o r e a l a r g e c h a n g e i n s e t p o i n t r e q u i r e s a

l o n g i n t e r r u p t i o n i n t h e r e s i d e n c e - t i m e c a l c u l a t i o n r o u t i n e .

T h i s c a n a f f e c t t h e u n i f o r m i t y r e q u i r e d f o r t h e s a m p l i n g

t i m e . I t h a s b e e n f o u n d t h a t f o r t h i s a p p a r a t u s t h e m i n i m u m

s a m p l i n g t i m e t h a t c a n b e u s e d w i t h o u t b e i n g a f f e c t e d b y

t h e s e i n t e r r u p t i o n s i s a r o u n d 1 6 s . A p r i o r i t y h a s b e e n

g i v e n t o the c a s t i n g s p e e d s a m p l i n g a n d t h e c o n t r o l l e r s a d j u s t -

* F 0 ' C A L - ' F i s a c o n v e r s a t i o n a l l a n g u a g e d e s i g n e d b y D i g i t a l E q u i p m e n t s C o .

8 9

m e r i t s a r e p e r f o r m e d i n a r e p e t i t i v e c y c l e w h e n e v e r t h e p r o g r a m

a l l o w s .

T h e r e s u l t s o f t h e s e r u n s h a v e b e e n c o m p a r e d w i t h t h e

i d e a l c h a n g e i n w a t e r f l o w r a t e s c a l c u l a t e d b y t h e m a t h e m a t i c a l

m o d e l f o r c o n t r o l l i n g t h e s p r a y s d e s c r i b e d i n s e c t i o n 3 . 2 . A s

a n e x a m p l e t h e r e s u l t s f o r t h e s i m u l a t i o n o f t h e c a s t i n g s p e e d

c h a n g e r e p r e s e n t e d i n F i g . 6 3 a r e s h o w n i n F i g s . 6 4 t o 6 8 f o r

z o n e s 1 t o 5 r e s p e c t i v e l y . T h e p r e d i c t i o n s f o r b o t h t h e

m e a n r e s i d e n c e t i m e c h a n g e a n d t h e i d e a l w a t e r f l u x c h a n g e

a r e p l o t t e d a s s o l i d l i n e s . T h e p o i n t s s h o w t h e s e t - p o i n t

p r e s c r i b e d b y t h e a u t o m a t i c c o n t r o l s y s t e m w h i c h a l s o i n c l u d e s

t h e t i m e l a g o f t h e c o n t r o l l e r s t o r e a c h t h e i r s e t v a l u e s .

T h i s d e l a y a n d t h e f a c t t h a t , i n t h i s s y s t e m , t h e m a x i m u m

f r e q u e n c y a t w h i c h t h e c o n t r o l l e r s c a n b e a d j u s t e d i s a r o u n d

1 . 2 p e r m i n u t e m a y c a u s e a s e n s i b l e e r r o r i n s p r a y c o o l i n g .

H o w e v e r t h i s e f f e c t c a n b e m i n i m i z e d b y p r o p e r s e l e c t i o n o f

e q u i p m e n t ; a n d e v e n i n t h e p r e s e n t c a s e t h e e r r o r s a r e c o m ­

p l e t e l y n e g l i g i b l e i f c o m p a r e d w i t h t h e e r r o r s i n t r o d u c e d

b y t h e n o r m a l c o n t r o l p r a c t i c e .

I n g e n e r a l , t h e r e s u l t s h a v e s h o w n t h a t a r e a s o n a b l e

c o n t r o l c a n b e o b t a i n e d e v e n w i t h s u c h a r e s t r i c t i v e a p ­

p a r a t u s a n d , w i t h , a s u i t a b l e s e l e c t i o n o f e q u i p m e n t , t h . e

a u t o m a t i c c o n t r o l o f t h e s p r a y c o o l i n g c a n b e p r o p e r l y

a t t a i n e d .

C h a p t e r 7

S U M M A R Y A N D S U G G E S T I O N S F O R

F U T U R E W O R K

7 . 1 S u m m a r y

T h e b a s i c p r i n c i p l e s o f s p r a y c o n t r o l i n t h e c o n t i n u o u s

c a s t i n g o f s t e e l h a v e b e e n a n a l y z e d . A m a t h e m a t i c a l m o d e l

h a s b e e n d e v e l o p e d t o s t u d y t h e t h e r m a l r e q u i r e m e n t s o f t h e

s t r a n d d u r i n g a c a s t i n g s p e e d c h a n g e . E x p e r i m e n t s p e r f o r m e d

o n a s l a b c a s t e r h a v e s h o w n t h a t t h e n o r m a l s p r a y p r a c t i c e ,

i n w h i c h s p r a y w a t e r f l o w i s c o n t r o l l e d p r o p o r t i o n a l l y t o t h e

c a s t i n g s p e e d , i s c o m p l e t e l y i n a d e q u a t e , a n d m a j o r s u r f a c e

t e m p e r a t u r e f l u c t u a t i o n s c a n b e g e n e r a t e d d u r i n g c a s t i n g s p e e d

c h a n g e s . T h e m o d e l h a s b e e n u s e d t o d e v e l o p a n e w s p r a y c o n t r o l

p r a c t i c e . T h i s p r a c t i c e h a s b e e n a p p l i e d t o s e v e r a l c a s t i n g

s p e e d c h a n g e s d u r i n g w h i c h t h e s u r f a c e t e m p e r a t u r e o f t h e

s t r a n d w a s m o n i t o r e d . T h e m o d e l a p p e a r s t o r e a l i s t i c a l l y

p r e d i c t t h e c h a n g e i n w a t e r f l o w n e c e s s a r y t o m a i n t a i n a

g i v e n t h e r m a l h i s t o r y , a l t h o u g h c o m p l e t e v e r i f i c a t i o n i s n o t

p o s s i b l e a t t h i s t i m e . T w o m a j o r u n c e r t a i n t i e s r e m a i n , v i z .

t h e c h a r a c t e r i z a t i o n o f w a t e r - s p r a y s y s t e m s a n d t h e d e f i n i t i o n

o f a n " i d e a l " t h e r m a l h i s t o r y f o r t h e s t r a n d . O b v i o u s l y ,

f u r t h e r w o r k i s n e e d e d i n t h e s e a r e a s .

A d d i t i o n a l l y , a m a t h e m a t i c a l m o d e l o f t h e c o n t i n u o u s

9 0

91

c a s t i n g p r o c e s s b a s e d o n h e a t f l o w h a s b e e n d e v e l o p e d . T h i s

m o d e l h a s g r e a t f l e x i b i l i t y a n d l o w c o m p u t i n g c o s t s . T h e

u s e o f t h i s m o d e l i n t h e c h a r a c t e r i z a t i o n o f t h e s t e a d y - s t a t e

t h e r m a l r e q u i r e m e n t s o f t h e s t r a n d h a s b e e n d e m o n s t r a t e d . I n

a d d i t i o n , a m e t h o d f o r u s i n g t h e m o d e l i n d y n a m i c s i m u l a t i o n s

h a s b e e n d e v e l o p e d .

T h e n e c e s s i t y o f a n a u t o m a t i c c o n t r o l o f t h e s p r a y s

h a s b e c o m e e v i d e n t d u r i n g t h e d e v e l o p m e n t o f t h e p r e s e n t

w o r k . T h e p r i n c i p l e s o f a u t o m a t i c c o n t r o l o f t h e s p r a y s

h a v e b e e n s t u d i e d a n d a b a s i c s y s t e m d e v e l o p e d . T h i s h a s s h o w n

t h a t a t r u e a u t o m a t i c c o n t r o l o f t h e s p r a y c o o l i n g c a n b e

p r o p e r l y a t t a i n e d u s i n g t h e m a t h e m a t i c a l m o d e l f o r c o n t r o l l i n g

t h e s p r a y s d e v e l o p e d i n t h i s w o r k .

7 . 2 S u g g e s t i o n s f o r F u t u r e W o r k

I n o r d e r t o i m p r o v e t h e r e s u l t s o f t h e p r e s e n t c o n t r o l

m o d e l a b e t t e r k n o w l e d g e r e g a r d i n g t h e e f f e c t s o f s p r a y

p a r a m e t e r s o n t h e h e a t e x t r a c t i o n r a t e s i s n e c e s s a r y . L a b o r a ­

t o r y r e s u l t s a r e e x t r e m e l y d i f f i c u l t t o c o r r e l a t e w i t h e v e n t s

t a k i n g p l a c e i n a n a c t u a l c o n t i n u o u s c a s t i n g m a c h i n e . T h e r e ­

f o r e t h e c h a r a c t e r i z a t i o n w o r k s h o u l d b e p e r f o r m e d i n p l a n t .

A n o t h e r a r e a o f f u r t h e r s t u d y i s t h e c h a r a c t e r i z a t i o n o f t h e

b e s t t e m p e r a t u r e p r o f i l e f o r t h e s t r a n d . F i n a l l y , a n a r e a

o f m a j o r p r a c t i c a l i n t e r e s t i s m o s t c e r t a i n l y t h e a u t o m a t i c

c o n t r o l o f s p r a y s . T h . e m o d e l d e v e l o p e d i n t h i s w o r k a p p e a r s

t o B e q u i t e a d e q u a t e f o r t h e i n s t a l a t i o n o f s u c h a s y s t e m

a n d t h . e n e c e s s a r y e q u i p m e n t i s n o w r e a d i l y a v a i l a b l e .

REFERENCES

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Mass T r a n s f e r , 12, ( 1 9 6 9 ) , 95. 9 Holman, J . P . , e t a l . , I n t . J . H e a t Mass T r a n s f e r , 1 5 ,

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93

9 4

1 6 A l b e r n y , R . , e t a l . , C i r . I n f o r m . T e c h n o l , 3, ( 1 9 7 3 ) , 7 6 3 .

1 7 T h . a l m a n n , A . , K l e p z i g F a c h b e r i c h t e , _ 3 3 , M a r c h ( 1 9 6 9 ) , 1 6 8 .

1 8 S u g i t a n i , Y . , U n p u b l i s h e d R e s e a r c h , S u m i m o t o M e t a l

I n d u s t r i e s .

448

1 1 7

1 9 A k i m e n k o , A . D . , e t a l . , S t e e l U . S . S . R . , 2 , ( 1 9 7 2 ) ,

2 0 L a n d f o r d , W . T . , M e t . T r a n s . , _3> ( 1 9 7 2 ) , 1 3 3 1 .

2 1 A d a m s , C . J . , O p e n H e a r t h P r o c , 5_4 , ( 1 9 7 1 ) , 2 9 0 .

2 2 H a s e h e , S . , e t a l . , T e t s u t o H a g a n e , 5_8 , ( 1 9 7 2 ) , 2 2 1 .

2 3 G u e u s s i e r , A . a n d C a s t r o , R . , R e v u e M e t . , 5_7 , ( 1 9 6 0 ) ,

2 4 M a t s u h a r a , K . , T r a n s . I . S . I . J . , 6, ( 1 9 6 6 ) , 1 3 9 .

2 5 V a n D r u n e n , G . , e t a l . , I r o n m a k i n g S t e e l m a k i n g , 2_,

( 1 9 7 5 ) , 1 2 5 .

2 6 B r i m a c o m b e , J . K . a n d S o r i m a c h i , K . , M e t . T r a n s . B . ,

8 B , ( 1 9 7 7 ) , 4 8 9 .

2 7 B a u m a n n , H . G . a n d L o p m a n n , W . J . , W i r e W o r l d I n t . ,

1 6 , ( 1 9 7 4 ) , 1 4 9 .

2 8

O z e k i , R . K . a n d D u k e , J . D . , M e t a l s S o c i e t y / I R S I D C o n f C o n t i n u o u s C a s t i n g P r o c . , B i a r r i t z , ( 1 9 7 6 ) , 2 9 2 .

2 9 M y o s h i , S . , i b i d . , 2 8 6 .

3 0 M o r i , H . , T e t s u t o H a g a n e , 60 , ( 1 9 7 4 ) , 7 8 4 .

3 1 B r i m a c o m b e , J . K . , e t a l . , U n p u b l i s h e d R e s e a r c h . U .

B r i t i s h . C o l u m b i a .

9 5

3 2 I r v i n g , W . R . a n d P e r k i n s , A . , I r o n m a k i n g a n d S t e e l -

m a k i n g , (19 7 7 ) , 2 9 2 .

3 3 L a r s e n , G . L . a n d M o s s , T . E . , O p e n H e a r t h P r o c . , 5 7 ,

( 1 9 7 4 ) , 2 1 1 .

3 4 V o n E n d e , H . a n d V o g t , G . , J . I r o n a n d S t e e l I n s t . ,

2 1 0 , ( 1 9 7 2 ) , 8 8 9 .

3 5 H a t e r , M . , e t a l . , O p e n H e a r t h P r o c , 5 _ 6 , ( 1 9 7 3 ) , 2 0 2 .

3 6 Y a m a k i , M . , e t a l . , T e t s u t o H a g a n e , 6 0 _ , ( 1 9 7 4 ) , S 4 5 5 ,

3 7 I i d a , Y . , e t a l , T e t s u t o H a g a n e , 5_9 , ( 1 9 7 3 ) , S 8 9 .

3 8 S a k a m o t o , E . , e t a l i 5 T e t s u t o H a g a n e , 60>, ( 1 9 7 4 ) , S 3 7 ,

3 9 F a r k o s , S . , e t a l . , O p e n H e a r t h P r o c , j > 4 , ( 1 9 7 1 ) , 6 8 .

4 0 F i s c h e r , K . , e t a l . , M e t a l s S o c i e t y / I R S I D C o n f .

C o n t i n u o u s C a s t i n g P r o c . , B i a r r i t z , ( 1 9 7 6 ) , 2 8 0 .

4 1 M a t h e w , j . a n d B r o d y , H . D . , C o n f . C o m p u t e r S i m u l a t i o n

f o r M a t e r i a l s A p p l i c a t i o n s , G a i t h e r s b u r g , ( 1 9 7 6 ) .

4 2 F a h i d y , T . Z . , J . I r o n S t e e l I n s t . , 2 0 7 , ( 1 9 6 9 ) , 1 3 7 3 .

4 3 M i y a z a w a , K . , a n d M u c h i , I . , T r a n s . I . S . I . J . , 1 5 ,

( 1 9 7 5 ) , 3 7 .

4 4

I r v i n g , W . R . , J . I r o n S t e e l I n s t . , 2 0 5 , ( 1 9 6 7 ) , 2 7 1 .

4 5 H i l l s , A . W . D . , J . I r o n S t e e l I n s t . , 2 0 3 , ( 1 9 6 5 ) , 1 8 .

1 7 4 7 ,

119

4 6 M i z i k a r , E . A . , T r a n s . T . M . S . - A . I . M . E . , 2 3 9 , ( 1 9 6 7 ) ,

4 7 S z e k e l y , J . a n d S t a n e k , V . , M e t . T r a n s . , 1_, ( 1 9 7 0 ) ,

4 8 L a i t , J . E , e t a l . , I r o n m a k i n g a n d S t e e l m a k i n g , _1

C 1 9 7 4 ) , 9 0

9 6

4 9 D o n a l d s o n , J . W . a n d H e s s , M . , M e t . S o c . A . I . M . E .

C o n f . , 4 9 , ( 1 9 6 6 ) , 2 9 9 .

^ G a u t i e r , J . J . , e t a l . , J . I r o n S t e e l I n s t . , 2 0 8 , C 1 9 7 0 ) , 1 Q 5 3 .

" ^ S a r o f f , L . , P r o c . C o n t i n u o u s C a s t i n g S y m p o s i u m , 1 0 2 t h A I M E A n n u a l M e e t i n g , C h i c a g o , ( 1 9 7 3 ) , 3 2 3 .

5 2 P e r k i n s , A . , a n d I r v i n g , W . R . , P r o c . 2 n d I S I C o n f .

M a t h . P r o c e s s M o d e l s A p p l i e d I r o n - a n d S t e e l m a k i n g , A m s t e r d a m , ( 1 9 7 5 ) , 1 8 7 .

5 3 K u n g , E . Y . , a n d P o l l o c k , J . C . , I n s t r u m e n t a t i o n I r o n

S t e e l I n d u s t r y , 1_7, ( 1 9 6 7 ) , 8 - 1 .

5 4 D ' A l t i l i a , G . , M e t . I t a l i a n a , _2_7, ( 1 9 7 2 ) , 3 2 8 .

5 5 G r i l l , A . , e t a l . , M e t . T r a n s . B . , _7jB, ( 1 9 7 6 ) , 1 7 7 .

5 6 S a v a g e , J . a n d P r i t c h a r d , W . H . , J . I r o n S t e e l I n s t . ,

1 7 8 , ( 1 9 5 4 ) , 2 6 7 .

^ B r i m a c o m b e , J . K . , e t a l - . , P r o c . 2 n d I . S . I . C o n f . M a t h . P r o c e s s M o d e l s A p p l i e d I r o n - a n d S t e e l m a k i n g , A m s t e r d a m , ( 1 9 7 5 ) , 1 7 4 .

2 6 9 .

5 8 L a i t , J . E . , e t a l . , O p e n H e a r t h P r o c , 5 6 ^ , ( 1 9 7 3 ) ,

5 9 B r i m a c o m b e , J . K . a n d W e i n b e r g , F . , J . I r o n S t e e l

I n s t . , 2 1 1 . ( . 1 9 7 3 ) , 2 4 .

^ C a r n a k a n , B . , e t a l . , " A p p l i e d N u m e r i c a l M e t h o d s " , ( 1 9 6 9 ) , J o h n W i l e y & S o n s , I n c . , N e w Y o r k .

^ E t i e n n e , A . , e t a l . , P r o c . I n t . M e e t i n g I r o n & S t e e l m a k i n g , B r u s s e l s - D u s s e l d o r f , I j 5 , ( 1 9 7 6 ) , 4 '.> 2 . J 3 .

6 2 D e w a r , W . A . G . , a n d P a t r i c k , B . , i b i d . , 4 . 2 . 1 .

6 3 T i s k u s , J . R . , i b i d . , 4 . 2 . 2 .

97

64 F o u s s a l , J . , R e v u e d e M e t a l l u r g i e , 75_, ( 1 9 7 8 ) , 4 0 3 .

6 5 F e k e t e , K . , e t a l . , U . S . P a t e n t N o . 3 9 1 5 2 1 6 , 2 8

O c t . , 1 9 7 5 .

6 6 T i s k u s , J . R . , e t a l . , B r i t i s h P a t e n t N o . 1 3 0 2 0 4 0 ,

4 J a n . , 1 9 7 3 .

6 7 E t i e n n e , A . , U . S . P a t e n t N o . 4 0 7 3 3 3 2 , 1 4 F e b . , 1 9 7 8 .

6 8 F r a u d i n , G . E . , a n d C h a r l e s , R . E . , I r o n S t e e l E n g . ,

M a r c h ( 1 9 7 0 ) , 7 0 .

69 N a r i t a , S . , e t a l . , T r a n s . I . S . I . J . , 13, ( 1 9 7 3 ) , 4 1 1 .

7 0 N i l l e s , P . , e t a l , O p e n H e a r t h P r o c , 61, ( 1 9 7 8 ) , 3 9 9 .

7 1 M y e r s , G . E . , " A n a l y t i c a l M e t h o d s i n C o n d u c t i o n H e a t T r a n s f e r " , ( 1 9 7 1 ) , M c G r a w - H i l l B o o k C o .

7 2 D o u g l a s J r . , J . , A d v a n c e s i n C o m p u t e r s , ^ , ( 1 9 6 2 ) , 1 .

7 3 P e a c e m a n , D . W . , a n d R a c h f o r d J r . , H . H . , J . S o c . I n d u s t

A p p l . M a t h . , _3> ( 1 9 5 5 ) , 2 8 .

7 4 B a l l a n t y n e , A . S . , P h . D . T h e s i s - U . B . C . , ( 1 9 7 8 ) .

7 ^ S a m a r a s e k e r a , I . V . , U n p u b l i s h e d R e s e a r c h , U . B . C .

7 6 0 1 s o n , F . C . W . , a n d S c h u l t s , O . T . , I n d . E n g . C h e m . , _3_4, ( 1 9 4 2 ) , 8 7 4 .

7 7 G u p t a , S . C . , a n d H a s d o r f f , L . , " F u n d a m e n t a l s o f A u t o m a t i c C o n t r o l " , J o h n W i l e y & S o n s I n c . , N e w Y o r k , ( 1 9 7 0 ) .

7 8 C o u g h a n o w r , D . R . , a n d K o p p e l , L . B . , " P r o c e s s S y s t e m s

A n a l y s i s a n d C o n t r o l " , M c G r a w - H i l l B o o k C o . , N e w Y o r k , ( 1 9 6 5 ) .

7 9 H o u g e n , J . O . , a n d W a l s h . , R . A . , C h e m . E n g . P r o g r . ,

5 7 , N o . 3 , ( 1 9 6 1 ) , 6 9 .

99

I N T E R N A L C R A C K S

1. H a l f w a y

2. T r i p l e - p o i n t

3. C e n t r e l i n e

S U R F A C E C R A C K S

4. L o n g i t u d i n a l , m i d - f a c e

5. L o n g i t u d i n a l , c o r n e r

6. T r a n s v e r s e , m i d - f a c e

7. T r a n s v e r s e , c o r n e r

F i g . 2 D e f e c t s i n c o n t i n u o u s l y c a s t s t e e l

Y = S-Ayl

Ay2

Ayl Y = 0

Ax I Ax2

• • •

X = 0

5

X = L / 2

F i g . 3 M e s h u s e d i n t h e m a t h e m a t i c a l m o d e l o f h e a t f l o w .

101

9 .

o o . m

o • —'CZ)

— r-i. CM

- a

id

3?.

l o

a

a .

CO a .

I D

\ \+

\ +

I

\ a

M O D E L P R E D I C T I O N S

+ L O W M E L T . P O I N T

• H I G H M E L T . P O I N T

D A T A

L O W M E L T . P O I N T

- - - H I G H M E L T . P O I N T

+ N

+ V

Da - tD E |

— i 1 1 1 1 1 r 0.0 10.0 20.0 30.0

T I M E ( S )

40.0 50.0

F i g . 4 P l o t o f h e a t f l u x i n t h e m o u l d r e g i o n f o r t w o

m o u l d c o n d i t i o n s .

F i g . 5 A v e r a g e , o v e r a l l h e a t - t r a n s f e r c o e f f i c i e n t f o r t h e m o u l d a s a

4 8 f u n c t i o n o f d w e l l t i m e . A f t e r L a i t e t a l .

a i n .

a

o -I

a . i n

8-0.0

C ]

-CD-

CD MODEL PREDICTION

• DRTfl FROM N.S.C.

2.0 T T T -| 1 T "

4.0 6.0 8.0 10.0 12.0 DISTRNCE FROM CORNER I CM

14.0 1B.0 F i g . 6 C o m p a r i s o n o f c a l c u l a t e d a n d m e a s u r e d h e a t f l u x e s f r o m t h e s u r f a c e

o f a c o n t i n u o u s l y c a s t s l a b t o t h e m o u l d a t 21 c m b e l o w m e n i s c u s .

o

i n

a m to -

CD &H—i—i—i—i—i—i—i—i—i—i—i— 0.0 10.0 20.0 30.0 40.0 50.0 50

D I S . F R O M M E N I S C U S I C M )

7 S u r f a c e - t e m p e r a t u r e p r o f i l e f o r 1 4 x 1 4 c m l o w -

c a r b o n s t e e l b i l l e t .

105

o

i n .

o

O l .

CO

o

o n "

0.0

—1520-

O DATA

l r i r 10.0 20.0 30.0 40.0 50.0

D I S . F R O M M E N I S C U S I C M )

60.0

F i g . 8 L i q u i d - p o o l p r o f i l e f o r 1 4 x 1 4 c m l o w -

c a r b o n s t e e l b i l l e t .

106

n +

n

n - l

n - 2

k+l

k-1

Mould

-> •> •>

Water ^ sprays

•> •> ->

F i g . 9 S c h e m a t i c d i a g r a m o f s t r a n d d i v i d e d i n t o s l i c e s

d i s t h e d i s t a n c e o f t h e K t h s l i c e f r o m t h e

m e n i s c u s

T3 <D Q) Q. 10

(/> o

o

—

r T

V ( 0 ) d 0 T - t

/

^ S i

I

1 1

l i

~ i ii i i i i 1! 1 1 T-t

Time F i g . 10 A r b i t r a r y c a s t i n g s p e e d - t i m e p l o t

o

o o

T - nA0 T-(n-l)Aa T - 3 A 0 T - t T-

Time F i g . 11 S u b - d i v i s i o n o f c a s t i n g s p e e d - t i m e

r e s i d e n c e t i m e o f a s l i c e .

T-A6 T

2A0

p l o t t o c a l c u l a t e l o c a l

(b)

Head

Zone k Head

(c) (d)

Tail

Head

(e)

Tail

I

2 3 4

5 6 7

Control points

Average heat transfer coeff for zone k HTC(N ) /7 I

F i g . 12 P r o c e d u r e f o r a v e r a g i n g h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t s i n a s p r a y

z o n e o n l y p a r t l y o c c u p i e d b y t h e s t r a n d .

110

" O <D a> a. CO I

A T-t TO Time

t = d / V o

a> a> a. CO

T 7 1 1 T-t 0 T Time

t = d / V o + r ( l - V i / V o )

a> a> Q . CO

0 T-t TTime

t = d / V i

F i g . 1 3 E v a l u a t i o n o f a g e o f s l i c e s p a s s i n g a p o i n t w h i c h

i s a d i s t a n c e d b e l o w t h e m e n i s c u s a f t e r a s t e p

d e c r e a s e i n c a s t i n g s p e e d .

F i g . 1 4 T i m e t o r e a c h n e w s t e a d y s t a t e a s a f u n c t i o n o f " d i s t a n c e b e l o w t h e m e n i s c u s " a f t e r a s t e p c h a n g e i n c a s t i n g s p e e d . i - 1

112

F i g . 15 A r b i t r a r y h e a t

i n t h e s p r a y s .

t r a n s f e r c o e f f i c i e n t p r o f i l e

0.8

2 0.6 o

0.4

0.2

E

- 3 0 0

o

1100 <D

or

i — i — r

2 m

l I I — I — I — I — i — T 10 m

+—I 1—I r i 1 1 r I I O O _

in

900

0 100 200 200 400 600 800 1000

0 )

E

700 w

o c

•g 500 w <o

Time after change ( s )

F i g ' . 1 6 L o c a l r e s i d e n c e t i m e a n d h e a t - t r a n s f e r c o e f f i c i e n t a s a f u n c t i o n o f t i m e a f t e r a s p e e d

c h a n g e f r o m 2 . 0 t o 1 . 0 c m / s . C o n t r o l p o i n t s 2 a n d 1 0 m b e l o w t h e m e n i s c u s .

1 1 4

F i g . 1 7 E v a l u a t i o n o f a g e o f s l i c e s p a s s i n g a p o i n t d

b e l o w t h e m e n i s c u s a f t e r a s t e p d e c r e a s e - s t e p

i n c r e a s e i n c a s t i n g s p e e d : T < 0 ; 0 < T < X a n d

T - t < 0 .

1 1 5

T 3

O . CO

0 T - t

1 = d/V, < X

(a)

Time

T 3 a> o> a. co

T - t 0 T Time

t = d / V Q + X(l - V, / V Q )

(b)

F i g . 1 8 E v a l u a t i o n o f a g e o f s l i c e s p a s s i n g a p o i n t d

b e l o w t h e m e n i s c u s a f t e r a s t e p d e c r e a s e - s t e p

i n c r e a s e i n c a s t i n g s p e e d : C a ) 0 < x - t a n d x < X ;

( > ) x - t < 0 a n d X < x .

1 1 6

T - t Time x T-t T T ime

t = d / V > ( T - X ) ( I -V/V, ) t = d/V„

F i g . 1 9 E v a l u a t i o n o f a g e o f s l i c e s p a s s i n g a p o i n t d

b e l o w t h e m e n i s c u s a f t e r a s t e p d e c r e a s e - s t e p

i n c r e a s e i n c a s t i n g s p e e d : 0 < x - t < X a n d X < x ;

X < T - t .

0.0 50.0 100.0 150.0 200.0 250.0 300.0 350.0 400.0 450.0 500.0 D/V OR TIME AT LOW SPEED (S)

F i g . 21 D i f f e r e n c e i n r e s i d e n c e t i m e a s s o c i a t e d w i t h a p o i n t d b e l o w t h e m e n i s c u s

a f t e r a s t e p d e c r e a s e - s t e p i n c r e a s e i n c a s t i n g s p e e d .

o

O

x

CO

0)

£

0) o c

XJ to

or

0.8

0.6

0.4

0.2

300

200

I 0 0

2m

1 1

0 m

J J 1 200 400 0 200 400

Time after change (s)

650

550

10

tt) E

a> o c

450 -S «/> a>

or 600 800

F i g . 2 2 L o c a l r e s i d e n c e t i m e a n d h e a t - t r a n s f e r c o e f f i c i e n t a s a f u n c t i o n o f t i m e a f t e r a s p e e d c h a n g e

f r o m 2 . 0 t o 1 . 0 c m / s f o r 4 m i n . C o n t r o l p o i n t s 2 a n d 1 0 m b e l o w t h e m e n i s c u s .

1 2 0

a in

a

CO

i a" "I 1 1 1 1 1 1 1 1 1 I 1 1 1 i -]D.D 10.0 30.0 50.D 70.0 90.0, 310.0 130.D

TIME AFTER CHANGE (SJ ( X l O 1 )

F i g . 2 3 A s s u m e d c a s t i n g s p e e d - t i m e p l o t f o r s t a r t - u p .

1 2 1

CC 0.0

IMO.O:

TIME RFTER CHRNGE '(S) CXIO^ ) 140.D

F i g . 2 4 P r e d i c t i o n s o f a v e r a g e l o c a l r e s i d e n c e t i m e

a n d s p r a y h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t a s a

f u n c t i o n o f t i m e a f t e r s t a r t - u p . M i d - p o i n t

o f t h e c o n t r o l l e d z o n e 8 0 c m b e l o w m e n i s c u s ,

D a s h e d l i n e , s p r a y <* s p e e d .

1 2 2

S: O.D i r 20.0 4D.0 60.0 80.0 100.0 120.0

T I M E R F T E R C H R N G E ( S ) (XlO 1 )

140.0

F i g . 2 5 P r e d i c t i o n s o f a v e r a g e l o c a l r e s i d e n c e t i m e

a n d s p r a y h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t a s a

f u n c t i o n o f t i m e a f t e r s t a r t - u p . M i d - p o i n t

o f t h e c o n t r o l l e d z o n e 1 8 0 c m b e l o w m e n i s c u s

D a s h e d l i n e , s p r a y « s p e e d .

1 2 3

C O

— > a

C O Q .

CO. £ O.D

i

F i g . 2 6

1 1

.0 20.0 1 i t i i i i i i 1 1

40.0 60.0 ,80.0 100.0 320.0 1 CX10 1 )

DIS.= 460.0 CM

20.0 40.0 60.0 80.0. 100.0 320.0 TIME AFTER CHANGE (S) (X10* }

P r e d i c t i o n s o f a v e r a g e l o c a l r e s i d e n c e t i m e

a n d s p r a y h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t a s a

f u n c t i o n o f t i m e a f t e r s t a r t - u p . M i d - p o i n t

o f t h e c o n t r o l l e d z o n e 4 6 0 c m b e l o w m e n i s c u s

140.0

140.0

D a s h e d l i n e , s p r a y s p e e d .

1 2 4

5E o.o

F i g . 2 7

1 1 r 20.0 40.0 60.0 80.0

T I M E A F T E R C H A N G E ( S )

i r 120.0

CX10* )

loo.q i i 140.0

P r e d i c t i o n s o f a v e r a g e l o c a l r e s i d e n c e t i m e

a n d s p r a y h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t a s a

f u n c t i o n o f t i m e a f t e r s t a r t - u p . M i d - p o i n t

o f t h e c o n t r o l l e d z o n e 9 6 0 c m b e l o w m e n i s c u s

D a s h e d l i n e , s p r a y <* s p e e d .

1 2 5

CtL 0.0 20.0 40.0 60.0 80.D T I M E A F T E R C H A N G E I S )

loo.fl­oat) 1 )

320.0

F i g . 2 8 P r e d i c t i o n s o f a v e r a g e l o c a l r e s i d e n c e t i m e

a n d s p r a y h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t a s a

f u n c t i o n o f t i m e a f t e r s t a r t - u p . M i d - p o i n t

o f t h e c o n t r o l l e d z o n e 1 6 6 0 c m b e l o w m e n i s c u s

D a s h e d l i n e , s p r a y a s p e e d .

140.0

1 2 6

-1D.D i 1 1 1 1 1 1 1 1 r 1D.D 30.0 50.0 70.0 90.0, 110.0

TIME AFTER CHANGE (S) (XlO 1 )

130.0

F i g . 2 9 A s s u m e d c a s t i n g s p e e d - t i m e p l o t f o r

t u n d i s h c h a n g e .

127

£ -10.D

F i g . 3 0

i 1 1 1 1 1 1 1 1 r 10.D 30.D 50.0 70.0 90,0 110.0 TIME AFTER CHANGEJS) ( X l O 1 )

P r e d i c t i o n s o f a v e r a g e l o c a l r e s i d e n c e t i m e

a n d s p r a y h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t a s a

f u n c t i o n o f t i m e a f t e r t u n d i s h . c h a n g e . M i d ­

p o i n t o f t h e c o n t r o l l e d z o n e 8 0 c m b e l o w

m e n i s c u s . D a s h e d l i n e , s p r a y a s p e e d .

1 2 8

£ -1D.D

F i g . 3 1

i 1 1 1 1 1 1 r 1D.D 30.D 50.0 70.0 90.0 HO.O TIME AFTER CHANGE (S) ( X l O 1 )

P r e d i c t i o n s o f a v e r a g e l o c a l r e s i d e n c e t i m e

a n d s p r a y h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t a s a

f u n c t i o n o f t i m e a f t e r t u n d i s h c h a n g e . M i d '

p o i n t o f t h e c o n t r o l l e d z o n e 1 8 0 c m b e l o w

m e n i s c u s . D a s h e d l i n e , s p r a y = s p e e d .

129

"i 1 1 1 f——r 10.0 30.0 50.0 70.0

T I M E A F T E R C H A N G E ( S )

90,0 (XlO 1 )

u o . o

Pig. 32 P r e d i c t i o n s o f a v e r a g e l o c a l r e s i d e n c e t i m e

a n d s p r a y h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t a s a

f u n c t i o n o f t i m e a f t e r t u n d i s h c h a n g e . M i d ­

p o i n t o f t h e c o n t r o l l e d z o n e 4 6 0 c m B e l o w

m e n i s c u s . D a s h e d l i n e , s p r a y <* s p e e d .

1 3 0

& -JO.D

F i g . 3 3

i 1 1 1 1 1 r 10.0 30.0 50.0 70.0 90.D HO.O TIME AFTER CHANGE (5) ( X l O 1 )

P r e d i c t i o n s o f a v e r a g e l o c a l r e s i d e n c e t i m e

a n d s p r a y h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t a s a

f u n c t i o n o f t i m e a f t e r t u n d i s h - c h a n g e . M i d ­

p o i n t o f t h e c o n t r o l l e d z o n e 9 6 0 c m b e l o w

m e n i s c u s . D a s h e d l i n e , s p r a y « s p e e d .

^ 0 0

X a

- r

~ i r 10.D

- i r 30.0

1 — 90.0

~ i 1 1 r 50.0 , 70.0

C X 1 0 1 )

D I S . = 1 6 6 0 . 0 C M

a°-

COQ . •—"OO

10.0 UO.O

COg-J , , 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 £ -10.D 10.0 30.D 50.0 70.0 9D.D HO.O

T I M E A F T E R C H A N G E V5) f X 1 0 3 )

F i g . 3 4 P r e d i c t i o n s o f a v e r a g e l o c a l r e s i d e n c e t i m e

a n d s p r a y h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t a s a

f u n c t i o n o f t i m e a f t e r t u n d i s h c h a n g e . M i d ­

p o i n t o f t h e c o n t r o l l e d z o n e 1 6 6 0 c m B e l o w

m e n i s c u s . D a s h e d l i n e , s p r a y « s p e e d .

1 3 2

-10. D

F i g . 3 5

i 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 r 10.D 30.0 50 0 /0.0 90.0, 110.0

TIME AFTER CHRNGE (5) ( X l O 1 \ A s s u m e d c a s t i n g s p e e d - t i m e p l o t f o r

c a p p i n g - o f f o p e r a t i o n .

1 3 3

cE -1D.D

F i g . 3 6

HO.Oi

i 1 1 1 1 r 1D.D 3D.D 50.0 70.0 90.0 HO.O; T I M E A F T E R C H A N G E ( S ) (XllU )

P r e d i c t i o n s o f a v e r a g e l o c a l r e s i d e n c e t i m e

a n d s p r a y h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t a s a

f u n c t i o n o f t i m e a f t e r c a p p i n g - o f f . M i d ­

p o i n t o f t h e c o n t r o l l e d z o n e 8 0 c m b e l o w

m e n i s c u s . D a s h e d l i n e , s p r a y « s p e e d .

1 3 4

52 - lo .o

F i g . 3 7

TIME RFTER CHRNGE (S) ( X l O 1 ) uo.o

P r e d i c t i o n s o f a v e r a g e l o c a l r e s i d e n c e t i m e

a n d s p r a y h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t a s a

f u n c t i o n o f t i m e a f t e r c a p p i n g - o f f . M i d ­

p o i n t o f t h e c o n t r o l l e d z o n e 1 8 0 c m b e l o w

m e n i s c u s . D a s h e d l i n e , s p r a y « s p e e d .

C\J

<_)

a

a

•—»<n

cr>a-

£ -1D.D

F i g . 3 8

f

! ! i .

i i i i 10.0 10.0 30

i i i i i 1 i

0 50.0, 70.0 90.0 1 (XlO 1

1

D I S . = 460.0 C M

10.D 30.0 50.0 70.0 9D.0 T I M E R F T E R C H A N G E (5) (X10 f )

.0

HO.O

P r e d i c t i o n s o f a v e r a g e l o c a l r e s i d e n c e t i m e

a n d s p r a y h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t a s a

f u n c t i o n o f t i m e a f t e r c a p p i n g - o f f . M i d ­

p o i n t o f t h e c o n t r o l l e d z o n e 4 6 0 c m B e l o w

m e n i s c u s . D a s h e d l i n e , s p r a y <* s p e e d .

& -10.0 10.0 30.0 50.0 T I M E A F T E R C H A N C F

70.0 (S) (XlO 1 ) ? 0.0

HO.O

UO.O

F i g . 3 9 P r e d i c t i o n s o f a v e r a g e l o c a l r e s i d e n c e t i m e

a n d s p r a y h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t a s a

f u n c t i o n o f t i m e a f t e r c a p p i n g - o f f . M i d ­

p o i n t o f t h e c o n t r o l l e d z o n e 9 6 0 c m b e l o w

m e n i s c u s . D a s h e d l i n e , s p r a y a s p e e d .

137

j2 -1D.D 1D.D 30.0 50 0 70.0 90.0 T I M E A F T E R C H A N C E ( 5 ) ( X 1 0 f 1

u o . o

no .o

F i g . 40 P r e d i c t i o n s o f average, l o c a l r e s i d e n c e t i m e

and s p r a y h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t as a

f u n c t i o n o f t i m e a f t e r c a p p i n g - o f f . M i d ­

p o i n t o f t h e c o n t r o l l e d zone 1660 cm b e l o w

m e n i s c u s . Dashed l i n e , s p r a y = s p e e d .

0.0

F i g

n 1 r 4.0 8.0 32.0 16.0 20.0

D I 5 . F R O M M E N I S C U S C M ) 24.0

4 2 P r e d i c t e d h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t p r o f i l e -

I n l a n d s l a b c a s t e r .

F i g . 43

3.5 5.0 T I M E ( M I N )

P r e d i c t i o n o f s u r f a c e - t e m p e r a t u r e f l u c t u a t i o n d u r i n g a s h r o u d c h a n g e

b e t w e e n z o n e s 3 a n d 4 - n o r m a l s p r a y c o n t r o l p r a c t i c e .

F i g . 44 A c t u a l s u r f a c e - t e m p e r a t u r e f l u c t u a t i o n b e t w e e n z o n e s 3 a n d 4 d u r i n g

a s h r o u d c h a n g e - n o r m a l s p r a y c o n t r o l p r a c t i c e . R u n 4.1.

o

3.5 5.0 T I M E ( M I N )

6 . 5 8.0 9 . 5 11.0

F i g . 4 5 A c t u a l s u r f a c e - t e m p e r a t u r e f l u c t u a t i o n d u r i n g a s h r o u d c h a n g e b e t w e e n

z o n e s 3 a n d 4 - n o r m a l s p r a y c o n t r o l p r a c t i c e . R u n 5 . 1 .

3.5 5.0 T I M E I M I N )

F i g . 4 6 P r e d i c t e d i d e a l s u r f a c e - t e m p e r a t u r e c h a n g e d u r i n g a s h r o u d

c h a n g e b e t w e e n z o n e s 3 a n d 4 .

- 2 . 5

F i g . 4 7

-].D D.5 2.0 3.5 5.0 T I M E ( M I N )

6 . 5 8.D 9 . 5 13.0

P r e d i c t i o n o f s u r f a c e - t e m p e r a t u r e f l u c t u a t i o n b e t w e e n z o n e s 2 a n d 3

d u r i n g a s h r o u d c h a n g e - n o r m a l s p r a y c o n t r o l p r a c t i c e .

U>

1 4 4

-30 10 . 30 . 50 . 70 . 9 0 . , HO, TIME RFTER CHRNGE (S) (XlO 1 )

130.

F i g . 4 8 A s s u m e d c a s t i n g s p e e d c h a n g e d u r i n g a s h r o u d

c h a n g e - t i m e a t l o w s p e e d 4 0 s .

1 4 5

10. 30. 50. 70. 90, 110. T I M E R F T E R C H R N G E I S ) CX103 )

F i g . 4 9 P r e d i c t i o n s o f a v e r a g e l o c a l r e s i d e n c e t i m e a n d

w a t e r f l u x a s a f u n c t i o n o f t i m e a f t e r a s h r o u d

c h a n g e . Z o n e 1 . D a s h e d l i n e , n o r m a l s p r a y

c o n t r o l p r a c t i c e .

146

n r—i 1 1 1 r 10 . 30 . 50 . 70 . 90. H0.

TIME RFTER CHRNGE (S) (XlO 1 )

F i g . 5 0 P r e d i c t i o n s o f a v e r a g e l o c a l r e s i d e n c e t i m e a n d

w a t e r f l u x a s a f u n c t i o n o f t i m e a f t e r a s h r o u d

c h a n g e . Z o n e 2 . D a s h e d l i n e , n o r m a l s p r a y

c o n t r o l p r a c t i c e .

1 4 7

cc - I D

F ± g . 5 1

T 10. 30. 50. 70. 90. 110. TIME RFTER CHRNGE IS) ( X l O 1 )

P r e d i c t i o n s o f a v e r a g e l o c a l r e s i d e n c e t i m e

a n d w a t e r f l u x a s a f u n c t i o n o f t i m e a f t e r

a s h r o u d c h a n g e . Z o n e 3 . D a s h e d l i n e , n o r m a l

s p r a y c o n t r o l p r a c t i c e .

1 4 8

i 1 1 1 r ID. 3D. 50. 70. 90,

TIME AFTER CHANGE IS) (XlO 1 )

F i g . 5 2 P r e d i c t i o n s o f a v e r a g e l o c a l r e s i d e n c e t i m e

a n d w a t e r f l u x a s a f u n c t i o n o f t i m e a f t e r

a s h r o u d c h a n g e . Z o n e 4 . D a s h e d l i n e , n o r m a l

s p r a y c o n t r o l p r a c t i c e .

149

i 1 1 1 1 1 1 1 1 1 r c£ -JO. 10. 30. 50. 70. 90, 310.

TIME RFTER CHRNGE IS) IX101 )

F i g . 53 P r e d i c t i o n s o f a v e r a g e l o c a l r e s i d e n c e time

and w a t e r f l u x as a f u n c t i o n o f time a f t e r

a s h r o u d change. Zone. 5. Dashed l i n e ,

n o r m a l s p r a y c o n t r o l p r a c t i c e .

F i g . 54 A c t u a l s u r f a c e - t e m p e r a t u r e f l u c t u a t i o n d u r i n g a s h r o u d c h a n g e

b e t w e e n z o n e s 3 a n d 4 - n e w s p r a y c o n t r o l p r a c t i c e . R u n 4.2.

On o

o (*•)

F i g . 55 A c t u a l s u r f a c e - t e m p e r a t u r e f l u c t u a t i o n d u r i n g a s h r o u d c h a n g e

b e t w e e n z o n e s 3 a n d 4 - n e w s p r a y c o n t r o l p r a c t i c e . R u n 4.3.

Q

CO'

C O

CJin

LU U J - J R U N 5.2

I - I ° I 1 r i n . cn

fe.5

U a , to

U J a

in-I r- e-e-

a i n . 10

-1.0 0.5 2.0 I 1 1 1 1 1 1

3.5 5.0 6.5 8.0 ~ l 1 1 9.5 11.0

-e-

—I— 0.5 -2.5

F i g . 5 6

-1.0 2.0 3.5 5.0 TIME (MIN)

6.5 8.0 9.5

A c t u a l s u r f a c e - t e m p e r a t u r e f l u c t u a t i o n d u r i n g a s h r o u d c h a n g e

b e t w e e n z o n e s 3 a n d 4 - n e w s p r a y c o n t r o l p r a c t i c e . R u n 5 . 2 .

11.0

O n h o

Q

O

SH 1 — i 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 — -2.5 -1.0 0.5 2.0 3.5 5.0 6.5 8.0 9.5 11.0

TIME (MIN) F i g . 57 A c t u a l s u r f a c e - t e m p e r a t u r e f l u c t u a t i o n d u r i n g a s h r o u d c h a n g e

b e t w e e n z o n e s 3 a n d 4 - n e w s p r a y c o n t r o l p r a c t i c e . R u n 5.3.

Ln

Q START y-RF.AD IN INITIAL DATA

& SET INITIAL CONDITIONS

CASTING SPEED

A/D

INTEGRATE SPEED TO

GET CAST LENGTH

1 5 4

ADJUST COEFF.

READ SURF.

TEMPERATURE

CALCULATE RESIDENCE

TIME FOR F.AC I! SLICE

/lA/D

PYROMETER

CALCULATE REQUIRED "HTC" FOR EACH SLICE

V

DATA (STEEL CRADE, WATER TEMP., POURING TEMP.,ETC.1

Mo

CALCULATE AVERAGE

"HTC" FOR EACH ZONE

CALCULATE WATER FLOWS & SET CONTROLLERS

D/A

/ I

SET END OF CASTING CONDITIONS

/ I Yes

Yes

CONTROLLERS

ERROR

MESSAGE

g . 5 8 F l o w c h a r t f o r a u t o m a t i c c o n t r o l o f s p r a y s .

i 1 1 1 r 100. 140. 180

TIME ( 5 ) F i g . 59 S i m u l a t e d p u l s e t e s t - a s s u m e d c h a n g e i n h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t

i n t h e z o n e , a n d p r e d i c t e d s u r f a c e - t e m p e r a t u r e r e s p o n s e .

i 1 r 0.9 1.2

s (s-n 2.4

F i g . 6 0 P r e d i c t e d t r a n s f e r f u n c t i o n o f t h e p r o c e s s

u ON

1 5 7

F i g . 6 1 B l o c k d i a g r a m o f t h e f e e d b a c k c o n t r o l l o o p .

16 C H A N N E L S

D E C T A P E

CLOCK P D P - 8 e

7^

V

T E L E T Y P E

~ \ CON— / \ / VERTER \ /

MULTI­

PLEXER

Ho

DIGITAL

I/O

LP1 5 C O N T R O L L E R S

F i g . 6 2 S c h e m a t i c o f t h e p r o c e s s c o n t r o l s y s t e m .

159

-10.0

F i g . 6 3

10.0 ^ r 30.0 50.0 70.0 90.0 310 0 TIME RFTER CHRNGE (5) (XlO1 ?

T e s t o f t h e a u t o m a t i c c o n t r o l s y s t e m - s i m u l a t e d

c a s t i n g s p e e d c h a n g e .

13D.0

- J D

CD _

«—*i

X

coQ*. ' — C M L U

CO

• DRTR

— a

&0.D 10.0 - i 1 1 1 1 r 30.0 50.0 , 70.0

(X10 1 ) DI5.= 80.0

- | 1 1 90.0 110.0

CM

Y/f=,n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 oc -10.0 10.0 30.0 50.0 70.0 90.0 110.0

TIME RFTER CHRNGE (5) (X10J J F i g . 64 C o m p a r i s o n between t h e a c t u a l change i n s e t -

p o i n t o f th.e c o n t r o l l e r s and t h e i d e a l w a t e r -

f l u x change. Zone 1.

C \ J 21 -\ —ka • — ' • .

Q

— 1

X

.—.0

' CM

• DRTR

•

1 r 10.0

bo.o

CO,

30.0 T

1 r 90.0

50.0 . 70.0

DIS.= 180.0 CM

110.0

ce -10.0

F i g . 6 5

I I 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 10.0 30.0 50.0 70.0 90,0 110.0

TIME RFTER CHRNGE CS) (X10J )

C o m p a r i s o n b e t w e e n t h e a c t u a l c h a n g e i n s e t -

p o i n t o f t h e c o n t r o l l e r s a n d t h e . i d e a l w a t e r -

f l u x c h a n g e . Z o n e 2.

162

C\J

z :

—Jo

a DRTR

Q -— i

-"4

X

.—.O

L U

BO.O

C O O .

L U

CtL •

1 0 . 0 30.0 T 90.0

~ l 1 1 1 50.0 . 70.0

CX103 J D I 5 . - 460.0 CM

T

~ l 110.0

-10.0

F i g . 6 6

T 1 1 1 10.0 30.0 50.0 70.0 90f0 1L0.D

TIME RFTER CHRNGE IS) CX103 }

C o m p a r i s o n b e t w e e n t h e a c t u a l change i n s e t —

p o i n t o f t h e c o n t r o l l e r s and t h e i d e a l w a t e r -

f l u x c h a n g e . Zone 3.

1 6 3

CO 03

C M

- J o

Q

o -

x

— COQ . — ' i n

E DRTR

o-e—fs—am s a a g in a a a

o.o 10.0 i r 30.0

~i 1 1 1 1— 50.0 , 70.0 90.0

(X103 ) DIS.= 960.0 CM

c c - 3 0 . 0 T T

310.0

T I I 1 1 1 1 1 10 0 30.0 50.0 70 0 90 0 ]in n

TIME RFTER CHRNGE (SJ (X103 ) F i g . 6 7 C o m p a r i s o n b e t w e e n t h e a c t u a l c h a n g e i n s e t -

p o i n t o f t h e c o n t r o l l e r s a n d t h e i d e a l w a t e r -

f l u x c h a n g e . Z o n e 4 .

164

C O 0 3 '

C \ J

fo

~ 3

COQ .

LU

• DRTR

G H B — E S— m m oo a m m m m m m ma m mm mm

bo.o 10.0 30.0 T —r

90. 50.0 . 70.0

( X i o 1 j D I 5 . - 1660.0 CM

[2S-I 1 1 1 1 1 1 1 r ce -10.0 10.0 30.0 50.0 70.0 90,0

TIME RFTER CHRNGE (5) (X101 )

~i 110.0

310.0

F i g . 68 C o m p a r i s o n between the a c t u a l change i n s e t -

p o i n t o f the c o n t r o l l e r s and t h e i d e a l w a t e r -

f l u x change. Zone 5.

A P P E N D I X A l

L I S T I N G O F T H E H E A T F L O W M O D E L P R O G R A M

165

166 C*********************************************************** c C TEMPERATURE FIELD CALCULATION C £ * * * * * * 4 * 4 * 4 4 * * 4 * 4 4 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

COMMON / C I / M T E , T S K 2 0 I , C P R ( 2 0 ) COMMON /C2/ T P R I M E U O C ) , A ( 1 0 0 ) , B ( 1 0 0 ) , C ( I O O ) ,

1 0 ( 1 0 0 1 COMMON /C3/ N3TB, T S 3 I 2 0 ) , T K J 2 0 ) COMMON 7C4/ I T X , I T Y , NX1, NY 1, N(100,5G) COMMON /C5/ T ( 1 C 0 , 5 0 ) , TSTAR(100 ,501, DT REAL K READ ( 5 , 1 4 7 0 ) XL, XLM, Y L , YLM* T I , NX1, NX2, NY1,

1NY2, IFREG» NC READ 15,1510) DT READ ( 5 , 1 4 9 C ) N1TB DO 10 L = 1, N1TB

10 READ ( 5 , 1 5 0 0 ) T S H L ) , C P R ( L ) READ ( 5 , 1 4 9 0 * N3TB CO 20 L = 1, N3TB

20 READ ( 5 , 1 5 0 0 1 T S3 { L ) , T K I L ) DTZ = DT IF = C NC = NC + 5 ICGNT = 0 DX1 = XLM / FLOAT(NX 1) DX2 = (XL - XLM - ( 0 X 1 / 2 . 1 1 / FLOAT(NX2) DY1 = YLM / FLOAT(NY 1 ) DY2 = (YL - 2.*YLM - D Y i J / F L 0 A T ( N Y 2 J ITY = 2 * NY1 + NY2 * 1 ITX = NX1 + NX2 + I DO 30 I = 1, ITX

DO 30 J = 1, ITY 30 T ( I , J ) = T I

P = G. WRITE ( 6 , 4 0 ) XL, XLM, NX1, NX2, DX1, DX2

40 FORMAT C I ' , 2X, •X=', F 5 . 1 , • FNX=«, F 4 . 1 , • NXl=«, 1 1 3 , • NX2=«, 1 3 , • DX1=«, F 5 . 3 , • DX2=«, F 5 . 3 ) WRITE ( 6 , 5 0 ) Y L , YLM, NY 1, NY2, DY i , 0Y2

50 FORMAT (• *, 2 X , «Y=*, F 5 . 1 , • FNY=*, F 4 . 1 , • NY1=«, 1 13, » NY2=', 1 3 , • DY1=', F 5 . 3 , « DY2=», F 5 . 3 , 2 //) CALL NODE

60 CALL P O S ( P , I F , CT, DTZ) ICONT = ICGNT + 1 IF ( I F .EQ- NC) GO TO 1520 00 720 J = 1, ITY

DO 700 I = 1, ITX NBC = 0 IF (Nil»J> .LT. 01 GO TO 70 GO TO 80

70 NBO = I NA = - N ( I , J ) DX = DX2 GO TO 1 1 C '

80 DX = DX2 IF I N ( I , J ) .GT. 100) GO TO 90

GO TO ICC 90 D X = DX1

NA = N U , J ) - 100 GO TO 11G

100 NA = N i l f J l 110 GO TO ( 1 2 0 , 130, 150, 160, 170, 1 8 0 , 190, 2 0 0 ,

1 2 1 0 , 22C, 2 4 0 , 2 5 0 , 2 6 0 , 2 7 0 , 2 9 0 , 3 0 0 , 3 1 0 , 2 3 2 0 , 3 4 0 , 3 5 0 , 3 6 0 , 3 7 0 , 3 8 0 , 3 9 0 , 4 0 0 , 4 1 0 , 3 43G, 4 4 0 , 4 5 0 , 4 6 0 , 4 7 0 , 4 8 0 , 4 9 0 , 5 0 0 , 520, 4 5 3 0 , 5 4 0 , 5 5 0 , 5 6 0 , 5 7 0 , 5 8 0 , 5 9 0 , 6 1 0 , 6 2 0 , 5 6 3 0 , 6 4 0 , 6 5 0 , 6 6 0 , 6 7 0 , 6 8 0 ) , NA

120 TFC1 = ( 2 . * D X 1 * H 1 ( P , J ) * ( T 1 ( P ) - T I I . J ) ) ) / ( K I T H , 1 J l ,T( I , J ) 1 ) • T U + 1,J)

TF10 = ( 2 . * D Y l * H 2 I P , I , J ) * U 2 1 P I - T t l . J l l l / ( K ( T ( 1 I , J i , T ( I , J ) )) + T U , J + 11

A l l ! = 0. 8 ( 1 ) = ( 2 . * R C P U ( 1 , 1 ) )/0T • ( K I T ( 2 , 1 ) , T ( 1 , 1 ) I • K<

1 TI 1,11 , T ( i , l ) I J / U D X l * * 2 ) I + I 2 . * K ( T U , l ) , T U , n )* 2 H H P , J ) ) / ( K ( T U , J ) , T ( I , J ) >*DX1))

C U ) = - ( K I T U + 1 , J ) , T ( I , J ) I + K ( T ( I , J ) , T ( I , J ) ) ) 1 / ( 0 X 1 * * 2 )

0 ( 1 ) = 2. * R C P f T ( l . l ) ) * T C l . i l / DT + K ( T ( 1 , 1 ) , 1 T U . i l ) * 2. * H K P . J I * T U P ) / ( D X 1 * K ( T ( I , J ) , T ( 2 I , J l l )

D I D = 0 ( 1 ) • K ( T ( l , 2 ) , T 4 i ,1) I * I T U , 2 ) - T ( l , l > ) 1 / DY1 ** 2 - K I T U . l ),T< 1, 11 I * ( T ( 1 , U - TF1C) / 2 DY1 ** 2

GO TO 700 130 TFCN = <2.*DX1*H1(P, J I * ( T H P ) - T ( I , J . ) ) I / M T U ,

1 J ) , T ( I , J i ) + T I I + 1 , J | TFNO = ( 2 . * D Y l * H 2 I P , I , J ) * I T 3 I P I - T I I , J ) ) ) / K ( T (

1 I , J ) , T ( I , J ) i + T I I . J - 1) A l l ) = 0. B U I = ( 2 . * R C P I T ( I , J ) l/DT + ( K I T U + L . J ) , T U . J I )

1 * K ( T I I , J ) , T ( I , J ) ) ) / l D X l * * 2 ) + I 2 . * K I T U , J ) , T I I , J) 2 )*H1(P»J))/(K(TU»J),TII,JI)*0X1I I

C U ) = - I K I T U + 1 , J ) , T I I , J ) ) + K I T U ,J) ,T( I , J ) ) ) 1 / ( 0 X 1 * * 2 ) '

D U ) = 2. * R C P ( T ( I , J ) ) * T U . J I / DT • K ( T U , J ) , 1 T U . J I ) * 2. * H K P i J i * T U P ! / I D X 1 * K ( T ( I , J ) , T ( 2 I . J I I )

D U ) = D U ) + KI T U , J I . T U . J 1 ) * (TFNO - T I I . J J ) / 1 DY1 ** 2 - K ( T U , J ) , T U , J - D ) * ( T U . J I - T U , 2 J - 1 ) J / DY1 ** 2

GO TO 700 140 A ( I ) = 0.

TFOJ = ( 2 . * 0 X I * H 1 ( P , J I * ( T 1 ( P I - T ( 1 , J I I I / ( K ( T ( I , 1 J ) , T ( I . J ) ) ) + T ( I + 1,J)

8 ( 1 ) = ( 2 . * R C P ( T ( I . J ) l/DT + ( K ( T ( I + 1»J).TII,J)) 1 + K(TU.J)»T(I»J)))/((DX 1**2) ) + 12.«KITII,JI,TII, 2 JJI*H1(P»JI i / ( K I T U , J I , T U , J I I * D X l ) )

C U ) = - ( K I T U + l , J ) , T ( I , J 3 i + K ( T C I . J ) .T( I . J ) ) ) i / ( 0 X 1 * * 2 )

0 ( 1 1 = 2. * R C P ( T I I . J I ) * T U . J I / DT + K f T ( I . J ) . 1 T ( I , J 1 ) * 2 , * H 1 ( P , J ) * T U P ) / ( D X 1 * K ( T ( I , J ) , T ( 2 I , J i l l

D U ) = D U ) + 2. * K ( T ( I , J + 1 ) , T ( I , J ) ) * ( T ( I , J +

16 8 1 11 - T ( I t J l ) / ( ( D Y L + DYM)*DYM) -2 i T U , J - U I * i T ( I , J I - T ( I , J ~ I H ) 3 *DYM )

GO TO 700 150 DYM = D YI

DYL = ( C Y l DY2) / 2. OYR = DY1 GO TO 140

160 DYM = ( D Y l • DY2) / 2. DYL = DY2 DYR = OY l GO TO 14 C

170 DYM = DY2 DYL = DY2 DLR = ( D Y l 4 DY2) / 2. GO TO 140

180 DYM = DY2 DYL = ( D Y l 4 DY2) / 2. OYR = DY2 GO TO 140

190 DYM = CDYi DY2) / 2. DYL = DY1 DYR = DY2 GC TO 140

200 DYM = DY1 DYL = DY1 DYR = ( C Y l 4 DY2) / 2. GC TO 14 G

210 DYM = D Y l DYL = C Y l DYR = D Y l GO TO 140

220 DYM = DY2 DYL = DY2 DYR = DY2 GO TO 140

2. * ( K ( T ( I , J ) / ((DYR + DYM)

C******LOWER BOUNDARY******************************* U T U •+ U J I = T U - 1, J> ( K ( T ( I , J ) , T ( I - 1 , J ) ) / ( ( 0 X M + DXL I *

+ 2. * M T U + 1,J)

1,J) ) / ((DXM +

230 IF 1N80 .EQ. A i l ) = - 2 . * DXM)i E ( I ) = 2. * R C P ( T ( I , J ) ) / DT T U , J ) ) / ((DXM + DXRI*DXM) B ( I ) = B ( I ) + 2. * K ( T U , J ) , T U -DXL)*DXM) C«I • = - 2 . * ( M T U * I , J J , T ( I , J ) ) / ( ( D X M + DXR)* DXM)) TFIO = 2. * H 2 ( P , I , J > * D Y l * (T2 ( P ) - T(I»JI) / KITUr J ) t T ( I « J ) ) + T ( I t 2 ) D U ) = 2. * R C P ( T ( I , J ) ) * T U , J ) / DT C U ) = 0 ( 1 ) + K ( T U , J 4 1 I , T ( I , J ) I * ( T ( I , J + 1) T U t J M / D Y l ** 2 - K I T O , J ) ,T( I , J ) ) * ( T I I . J I

2 TFIO) / D Y l ** 2 IF (NBO .EQ. 1) A U ) = 2. * A ( I | GO TO 700

240 DXM = DXI CXL = DXI OXR = (DXI 4 DX2) / 2.

250

260

270

C******UPPER 280

GO ¥0 230 DXM = (DXI CXL = DX1 OXR = DX2 GO TO 23 0 CXM = DX2 D XL = {DXI CXR = DX2 GC TC 230 DXM = DX CXL = DX DXR = DX GO TO 230

169 + DX2) / 2

+ DX2 ) / 2

8GUNDARY a * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * IF (NBO .EQ- 1) T ( I + l . J ) = T ( I - 1»J) 4 ( 1 ) = - 2 . * <K(T( I«J I t T ( I - 1»J)I/((DXM • D X L ) * DXM I )

B i l l = 2. * R C P ( T U t J J ) / DT + 2. * K ( T ( I + 1 , J ) , T I I r J H / ((DXM + DXRJ*DXM> B <II = e<I> • 2. * K (T(I«J)«T<I - I , J I J / ((DXM + DXL )*DXMI C ( I i = - 2 . * ( M T U + 1, J ) ,T ( I f J ) )/( (DXM • DX R ) * CXMI) TF I N * 2. * H2(P«ttJ) * DY1 * ( T 3 ( P ) - T ( I , J ) I / K ( T U , J ) , T ( I , J ) ) + T ( I , J - 1) G U I = 2. * R C P ( T ( I , J I ) * T ( I , J ) / DT D U ) * 0 ( 1 ) + K ( T { I , J I , T U , J I ) •* ( T F I N - T ( I , J > ) / 0Y1 ** 2 - K ( T ( I , J ) , T ( I i J - 1)1 * ( T ( I , J ) - T C I t

J - 11 ) / DY1 ** 2 IF (N80 .EQ. 1) A ( I ) = 2. * A l l !

290

300

310

320

GO TC DXM = CXL = DXR = GO TO DXM -DXL = CXR = GC TO DXM * OXL = DXR = GC TO DXM = OXL = CXR = GO TO

700 DXI CXI 40X1 280 (DXI DXI CX2 28C DX2 (DXI DX2 2 80 DX DX DX 280

• DX2I / 2

+ DX2) / 2.

+ 0X2) / 2

C******! N S I D E N O D E * * * * * * * * * * * G E N E R A L C A S E * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 330 I F (NBO . E Q . 1) T ( I • 1 , J ) = T ( I - 1 , J )

A( I ) B I D ( DXM E d ) DXM) c m 0 ( 1 1 D( I )

- ( K ( T ( I , J ) , T ( I -RCP(T( I , J ) I / DT DXR )*DXM) B ( I ) + K ( T ( I , J ) , T I I —

1 , J ) ) / ( ( 0 X M + D X L ) * D X M ) ) + K ( T U + l , J ) , T ( I , J > ) / {

I t J U / ( (DXM + DXL )*

- ( K ( T ( I + 1 , J ) , T ( I , J ) ) / ( ( D X M + DXR)*DXM)) R C P ( T ( I , J ) ) * T(I« J ) / DT D ( I ) + K ( T ( I , J + I t f T I I t J ) ) * ( T ( I , J + 1) -

T( I , J J ) / (0 YM* I DYM + 2 ) * ( T I I . J J • T | I , J - 1 ) 1

IF 1NB0 .EQ • 1) A( I ) = 2. GO TO 7CC

340 DYM = DY1 DYL * (DYI + DY2) / 2. OYR = DYI GO TO 420

350 DYM = ( C Y I DY2) / 2-OYL * DY2 OYR = DYI GO TO 420

360 GYM = DY2 DYL = DY2 DYR = ( D Y I * DY2) / 2. GO TO 420

370 DYM « DY2 DYL = (DYI + DY2) / 2. OYR = DY2 GO TO 420

380 DYM = I 0 Y 1 + DY2I / 2 -OYL = DYI DYR = DY2 GO TO 42 C

390 CYM - DYI DYL = 0Y1 DYR = (DM1 + DY2) / 2. GO TO 420

400 DYM = DYI DYL = CYI DYR = DYI GO TO 420

410 DYM = DY2 DYL = DY2 DYR = DY2

420 DXM * DX1 OXL = 0X1 DXR = (0X1 DX2) / 2. GO TO 33C

430 DYM = DYI DYL = (DYI • DY2) / 2. DYR = DYI GO TO 510

440 OYM = (DYI • DY2 I / 2. DYL = DY2 DYR = DYI GC TO 510

450 DYM = DY2 DYL = CY2 DYR = (DYI •+ DY2 ) / 2. GO TO 510

460 DYM = DY2 DYL = ( D Y I DY2 1 / 2. DYR = DY2 GO TO 510

470 DYM = ( C Y I + DY21 / 2. DYL = DYI

170 D Y L I ) - K ( T ( I , J ) , T ( I , J - 1)

/ IDYM*IDYM + DYR)) * A d )

DYR = DY2 GO TG 510

480 DYM = DYI DYL = DYI DYR = I DYI + DY2) / 2. GO TO 51 G

490 DYM = DYI DYL = DYI DYR = DYI GO TO 510

500 DYM = DY2 DYL = DY2 DYR = DY2

510 DXM = (DX1 • 0X2 J / 2. DXL - DX1 OXR = DX2 GO TG 33 0

520 GYM = DYI OYL = *0Y1 DY2> / 2. DYR = DYI GC TO 600

530 DYM = (DYI • DY2I / 2. CYL = DY2 DYR = DYI GO TO 600

540 DYM = DY2 DYL = DY2 DYR = (DYI • DY2) / 2. GO TO 6 00

550 DYM = DY2 DYL = (DYI DY2 I / 2. DYR = DY2 GG TG 600

560 DYM = (DYI + DY21 / 2. DYL = 0Y1 DYR = DY2 GG TO 600

570 DYM = DYI DYL = DYI OYR = <DY1 + DY2I / 2. GO TO 600

580 DYM = DYI DYL = DYI OYR = DYI GC TO 600

590 DYM = DY2 DYL = DY2 DYR = DY2

600 DXM = DX2 DXL = ( DX1 DX2 i / 2. OXR = DX2 GG TO 330

610 DYM = DYI DYL = (DYI + DY2) / 2. DYR = DYI GG TO 690

620 DYM = (DYI DY2I / 2 ,

CYI = DY2 DYR = CYI GO TO 690

630 DYM = DY2 DYL = DY2 OYR = (DYI + GC TO 690

640 DYM = DY2 DYL = (DYI DYR = DY2 GC TO 690

650 DYM = J D Y i + DYL = DYI DYR = DY2 GO TO 690

660 DYM = DYI DYL = 0Y1 DYR = <DY1 4

GO TO 690 670 DYM = DYI

DYL = D Y i DYR = DYI GC TO 69C

680 DYM = DY2 OYL = 0Y2 DYR = DY2

690 DXM = DX OXL = DX OXR = DX GO TO 330

700 CONTINUE

1 7 2

DY2) / 2-

DY2) / 2-

0Y2I / 2.

DY2I / 2.

CALL TRIDAGC1, ITX) DO 710 I = 1, ITX

710 T S T A R U f J ) = I P R I M E C l ) 720 CONTINUE

DC 1440 I = 1, ITX DO 1420 J = 1, ITY

NBO = 0 IF ( N ( I , J ) .LT. 01 GO TO 730 GO TO 740 NBO = 1 NA * -N( I , J ) DX = DX2 GO TO 770 DX = DX2 IF ( N ( I , J J »GT. 100) GO TO 750 GC TO 760 DX = DX1 NA = N U , J I - 100 GC TO 7 7C NA = N ( I , J ) GC TO ( 7 8 0 i 7 9 0 , 810, 8 2 0 , 830, 840, 850, 8 6 0 ,

1 870, 880, 9 2 0 , 9 3 0 , 9 4 0 , 9 5 0 , 9 9 0 , 1000, 1 0 1 0 , 2 1020, 1060, 1070, 1080, 1090, HOC, 1110, 1 1 2 0 , 3 1130, 1150, 1160, 1170, L 1 8 0 , 1190, 1200, 1 2 1 0 , 4 1220, 1 2 4 0 , 1 2 5 0 , 1260, 1270, 1280, 1290, 1 3 0 0 , 5 1310, 1330, 1 3 4 0 , 1350, 1 3 6 0 , 1370, 1380, 1 3 9 0 ,

730

740

750

760 770

6 1 4 0 0 ) , NA 1 7 3

7 8 0 T F 0 1 S = 2 . * D X I * H H P . J 1 * ( T U P ) - T S T A R ( I , J i ) 1 / K ( T ( I , J ) , T ( I , J ) ) + T S T A R ( 2 , 1 )

A ( 11 = 0 . B ( J ) = 2 . * R C P ( T U r J I ) / DT + ( K (T ( I , J ) , T ( I , J +

1 1 ) ) + K ( T ( I , J ) , T ( I , J ) ) ) / D Y l * * 2 + 2 . * K ( T ( I , J ) 2 , T U , J > > * H 2 ( P , I , J ) / i K (T ( I • J ) » T( I, J ) ) * D Y 1 )

C ( J ) = - ( K ( T ( I , J • 1 ) , T ( I , J ) ) + K ( T ( I , J ) , T ( I , J ) ) ) 1 / ( D Y 1 * * 2 )

D ( J ) = 2 . * R C P ( T ( I , J ) ) * T S T A R ( I , J ) / DT + K ( T ( I , 1 J ) t T ( I t J I ) * 2 , * H 2 ( P , I , J ) * T 2 ( P ) / ( D Y 1 * K ( T ( I , 2 J I , T ( I , J ) J )

C ( J ) = D ( J ) • K ( T ( 2 , 1 ) , T ( 1 , 1 ) I * ( T S T A R ( 2 , 1 ) -1 T S T A R ( l , l | ) / D X I * * 2 - K ( T < 1 , I ) , T ( I , J ) ) * ( 2 T S T A R ( 1 , 1 ) - T F 0 1 S ) / D X I * * 2

GO TO 1 4 2 0 7 9 0 T F O N S = 2 . * D X I * H 1 ( P , J ) * ( T l ( P ) - T S T A R ( I , J ) )

1 / K ( T { I , J ) , T ( I , J ) I + T S T A R 11 + 1 , J » C ( J ) = 0 . B { J ) * 2 . * R C P ( T ( I , J 1 ) / DT + C K 1 T U . J - L ) , T U ,

1 J l ) + K ( T ( I » J ) , T ( I » J ) ) ) / D Y l * * 2 + 2 . * H 2 ( P , I , 2 J ) * K ( T ( I , J ) , T ( I > J | } / ( K ( T ( I , J ) , T ( I , J ) l * D Y l )

A f J I = - ( K ( T U , J - 1 I , T ( I , J ) ) + K ( T ( I , J ) , T ( I , J ) ) ) 1 / ( D Y 1 * * 2 )

D ( J ) = 2 . * R C P ( T I I , J ) ) * T S T A R ( I t J ) / DT + 2 . * 1 H 2 ( P , I , J ) * K ( T ( I , J ) , T ( I, J ) ) * T 3 ( P ) / ( D Y L * K ( T ( I , 2 J ) , T U , J ) ) >

D ( J ) = D ( J ) + K ( T ( I + 1 , J ) , T ( I , J ) ) * ( T S T A R l l + 1 , 1 J l - T S T A R U , J I ) / ( 0 X 1 * * 2 ) - K { T ( I , J I , T ( I, J I I * i 2 T S T A R ( I , J ) - T F O N S ) / ( D X 1 * * 2 )

GO TO 1 4 2 0 8 0 0 A ( J ) = - 2 . * K ( T ( I , J ) , T ( I t J - 1 ) ) / ( D Y M * (DYM +

1 D Y R ) ) T F O J = ( 2 . * 0 X i * H l ( P , J ) * ( T l ( P ) - T l l f J I I I / ( K ( T ( I ,

1 J ) , T ( I* J i I ) -» T ( I + 1 , J J T F O J S = 2 , * D X I * H 1 ( P , J I * ( T l ( P ) - T S T A R ( I . J ) )

1 / K ( T ( I , J ) , T ( I , J ) ) + T S T A R { I + 1 , J ) B ( J I = 2 - * R C P ( T ( I , J ) ) / DT • 2 . * I K ( T ( I , J + 1 1 ,

1 T ( I t J ) J ) / ( D Y M * ( D Y M • D Y L ) I + 2 . * K ( T ( I , J ) , T ( I , 2 J - 1 ) ) / iDYM*(DYM + D Y R ) )

C U ) = - 2 . * K ( T ( I , J + 1 ) , T ( I , J ) ) / ( D Y M * ( D Y M + 1 D Y L i )

0 ( J ) = 2 . * R C P ( T ( I , J ) ) * T S T A R ( I , J ) / DT D ( J ) = D ( J | + K I T U •+ 1 , J ) , T ( I , J ) > * ( T S T AR ( I + 1 ,

1 J ) - T S T A R d t J I I / 0 X 1 * * 2 - K ( T ( I , J I , T{ I, J ) ) * ( 2 T S T A R ( I , J ) - T F O J S I / 0 X 1 * * 2

GO TO 1 4 2 0 8 1 0 DYM = D Y l

D Y L = ( D Y l + D Y 2 ) / 2 . OYR = D Y l GO TO 8 0 0

8 2 0 OYM = ( D Y l + D Y 2 ) / 2 . D Y L = D Y 2 DYR = D Y l GO TO 8 0 0

8 3 0 OYM = D Y 2 D Y L = D Y 2

*Z t CZXO +

*z / i z x a •

•Z / (2X0 •

(c i x o

- wxa O i 3D = yxa = 1X0 = wxa 01 OD = yxa = i x a = wxa 01 09 = yxa = i x a - wxa 01 09 / I (rr

0*6

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026

*1 - D H V i S i -* 'Z - UHXO + j y v i s i ) *

z

xa = wxa os6 a&3 zxa

TXQJ zxa 068 2X0 i x a

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1X0) 1X0 1X0

OZVT + wxa>*wxa)

( r M i a v i s i ) * t«r* i - i n * ( r * m i x WXQ)*WXO) / ( ( r * i » y v i s i - (P*T + i

( ( p * i ) i M r ' T + i m * * *z • m a = c n a I I ( P » I ) 1 M P

*i)i>>i*TAa) / ( d ) z i * ( ( r « m 4 i r ' i ) i ) ) i * tru'diZH * mz + i a / < r « i ) b t f i s i * M P M m d o y * *z = (p?a

Z ** TAG / t ( t r M ) i * t r * m ) » + M P M U M I + r * m m - = t r i o

( ( i p ' i n * t r * i ) i ) ^ * T A O ) / i t p * i ) i ' i p ' n i ) M * t r •I'dlZH * *Z + 2 ** T AO / M IP«I U M P M H I X + MP • I I 1 M 1 + r ' D l l ^ + 10 / M P 4 I ) i > d D « * mZ = M ) 8

II- + P * I ) 1 + M P * I ) i M P * I) 1) N / H P ' I U - fd)Z±) * TAO * (P*I«d)ZH * "Z = O I J i

•o = fP)V y3M01******0

(P'T - 1)1 = (P«T + 1 )1 <p«i - D d v i s i = C P M • n u n s i 006

016 01 OD 006 01 09 U *D3* 08N) -Jl 068

********************************AytfONDOS y3M01******D

016

'Z

•z

003 01 09 ZAO = y A o ZAO = iAa ZAO = rtAO 088 008 01 OD TAO = yAO T AG = 1A0 u a = WAG 018 008 01 39

/ (ZAO TAO) = yAO IAO = 1A0 I AG = WAG 098 008 01 09 ZAO = yAO I AO = iAa

/ (ZAO TAO) = MAO 058 008 01 09 ZAO = HAO

/ (ZAO TAO ) = iAa ZAO = WAO 0*8 008 01 09

/ f ZAO TAO) = y i a

CXL = DX 175 DXR = DX GO TO 890

C******UPPER BOUNDARY***************************** 960 I F (NBG .EG. 1) GG TO 970

GO TO 980 970 TST AR < I + l , J ) = T S T A R d - 1,J)

T ( I + 1,J) = T U - 1,J) 980 TFIN = 2. * H 2 ( P , I , J ) * D Y l * ( T 3 ( P ) - T d , J ) ) /

1 M T U , J ) ,T( I , J ) ) * T U , J - I ) A U ) = - ( M T ( I , J - 1 ) , T ( I , J ) ) + M T ( I , J) ,T( I , J ) ) )

1 / D Y l ** 2 B U I = 2 . * R C P ( T ( I , J I ) / OT • ( K I T ( I ,J) , T ( I , J -

I 11) + K ( T ( I , J ) , T ( I , J ) )) / 0Y1 ** 2 B U I = B U ) + 2. * H 2 ( P , I , J ) * K ( T ( I , J I , T ( I , J ) > /

1 ( D Y 1 * M T ( I , J ) , T ( I . J ) ) I C U ) = C. D ( J ) = 2. * R C P ( T ( I , J ) ) * TST AR ( I »JI / DT + 2. *

1 H 2 ( P , I , J ) * K ( T d , J ) , T ( I . J ) ) * T3(P» / ( D Y l * K ( T ( I , 2 J ) , T ( I , J ) ) I • M T U + l . J l . T U f j n * ( T S T A R d + 1, 3 J l - T S T A R d , J l ) * 2. / (OXM*(DXM + DXR) I - 2. * 4 K ( T d , J ) , T d - 1 , J ) ) * ( T S T A R d , J ) - T S T A R d - 1, 5 J l 1 / (DXM*(DXM «• DXL ) )

GO TO 1420 990 DXM = DXI

DXL = DXI DXR = (DXI + DX2I / 2. GC TO 960

1000 DXM = (DXI DX2) / 2. 0 XL = DXI DXR = 0X2 GO TO 960

1010 DXM = DX2 OXL = (0X1 * 0X2) / 2. DXR = DX2 GC TO 960

1020 DXM « DX CXL = DX DXR = DX GO TO 960

C * * * * * * I N S I D E N0DE***********GENERAL CASE******************* 1030 I F (NBO .EQ. I I GO TO 1040

GO TO 1050 1040 T S T A R d - + 1,J) = T S T A R d — 1 , J |

T ( I + 1,J> = T ( I - 1,J) 1050 A ( J ) = - K ( T ( I , J ) , T ( I , J - 1 ) ) / (DYM*IDYM + DYR))

B ( J ) = R C P ( T ( I , J ) ) / DT + K ( T ( I , J + 1 ) , T ( I , J ) ) / ( 1 (DYM • OYLI*OYMI + K ( T ( I , J I , T ( I , J - I ) ) / ((DYM + 2 DYR )*DYM|

C ( J ) = - K ( T ( I , J + 1 ) * T ( I , J 1 1 / ((DYM • DYL)*DYM) D U ) = R C P ( T ( I , J I I * T S T A R d , J ) / DT C U ) = D ( J ) + M T d + l , J ) , T ( I , J ) ) * ( T S T A R d + 1,

1 J l - T S T A R d , J ) ) / (DXM*(CXM • DXRI) - K ( T ( I , J I , T ( 2 I - 1 , J H * ( T S T A R d , J ) - T S T A R d - 1 , J ) ) / (DXM*( 3 DXM DXL I )

GO TO 1420 1060 DYM = D Y l

OYL = ( C Y I + 0Y2» / 2 . OYR = DYI GO TO 1140

1070 DYM = ( C Y I + DY2) / 2. DYL = DY2 DYR = DYI GC TO 1140

1080 DYM = DY2 DYL = DY2 DYR = (DYI DY2) / 2. GC TO 1140

1090 DYM = DY2 DYL = i CYI 4 DY2) / 2. DYR = DY2 GC TO 1140

1100 DYM = (DY I DY2I / 2. DYL = DYI DYR = DY2 GC TO 1140

1110 DYM = DYI OYL = O Y l DYR = (DYI + DY2) / 2. GO TO 1140

1120 DYM = DYI DYL = DYI DYR = DYI GO TO 1140

1130 DYM = DY2 OYL = DY2 OYR = DY2

1140 DXM = DX1 DXL = D X l OXR = ( D X i + DX2I / 2. GC TO 1030

1150 DYM = DYI DYL = (DYI DY2) / 2. DYR = DYI GO TO 123 0

1160 DYM = ( C Y I • DY2I / 2. DYL = DY2 DYR = DYI GC TO 1230

1170 DYM = DY2 DYL = CY2 DYR = 1DY1 + DY2» / 2. GO TO 1230

1180 DYM = DY2 OYL = ( D Y I , DY2) / 2. DYR = 0Y2 GG TO 1230

1190 DYM = i CYI • DY2 ) / 2-DYL = DYI DYR = DY2 GC TG 1230

1200 DYM = DYI DYL = DYI DYR = I DYI + DY2 1 / 2.

176

GG TO 1230 1210 DYM = D Y l

CYL * D Y l DYR = D Y l GC TO 1230

1220 DYM = DY2 DYL = DY2 CYR ~ 0Y2

1230 DXM = (DXI CXL = DXI DXR = DX2 GO TO 1030

1240 CYM = D Y l DYL = CDY1 + CYR - D Y l GG 70 1320

1250 DYM = ( D Y l + DYL = DY2 DYR = D Y l GO TO 1320

1260 DYM = DY2 CYL = DY2 DYR = CDY1 GC TO 1320

1270 OYM = DY2 DYL = (0Y1 + CYR = CY2 GO TO 1320

1280 DYM = ( D Y l + DYL = D Y l DYR = DY2 GO TO 1320

1290 OYM = D Y l DYL = D Y l DYR = ( D Y l GO TO 1320

1300 DYM = D Y l DYL = D Y l DYR = D Y l GO TO 1320

1310 DYM = DY2 DYL = DY2 OYR = DY2

13 20 DXM = DX2 DXL = ( DXI + CXR = 0X2 GO TO 1030

1330 DYM = D Y l DYL = ( D Y l DYR = D Y l GO TO 1410

1340 DYM = ( D Y l DYL = DY2 DYR = D Y l GO TO 1410

1350 DYM = DY2 DYL = DY2

+ DX2)

• DY2)

+ DY2I

+ DY2I

• DY2)

DX2 )

* DY21

DY2 >

1360

DYR = GC TO DYM = DYL =

( C Y I 1410 DY2 (DYI DY2 1410 I DYI DYI DY2 1410 DYI DYI I DYI 1410 DYI DYI 0Y1 1410 DY2 DY2 DY2 DX DX DX 1030

+

DY2) / 2.

DY2) / 2-

1390

1410

14C0

1370

1380

DYR = GC TO DYM = DYL = DYR = GC TO DYM = OYL = DYR = GC TG DYM -OYL = DYR = GC TG DYM = DYL = DYR = DXM = DXL = D XR = GG TO

+ DY2I / 2,

DY2) / 2,

1420 CONTINUE CALL T R I D A G U , I T Y I OG 1430 J = 1, ITY

1430 T( I . J ) = TPRIME(J) 1440 CONTINUE

IF ( ICONT • NE• IFPEQ) GO TO 60 WRITE ( 6 , 1 4 5 0 ) P

1450 FORMAT I • 1 * , 'AT A TIME T= », F 8 . 2 , /) ICONT = 0 DC 1460 I = 1, ITX

1460 WRITE ( 6 , 1 4 8 C ) ( T ( I , J ) , J = 1 , I T Y ) GC TG 60

1470 FORMAT ( 4 F 1 0 . 6 , F 1 0 . 5 , 2 1 5 , /, 2 1 5 , 13, 14) 1480 FORMAT (• •, 2 0 F 8 , 1 ) 1490 FORMAT ( 1 3 1 1500 FORMAT ( 2 F 1 0 . 5 ) 1510 FORMAT ( F 5 . 2 ) 1520 CONTINUE

STOP END SUBROUTINE T R I D A G I I F , L ) CCMMCN /C2/ V U O O I , A C 1 0 0 J , 8 ( 1 0 0 ) , C ( i O O ) , D 1 I 0 0 ) DIMENSION B E T A ( 1 0 3 ) , GAMMA(103) BETA( IF I = B ( I F ) GAMMAIIF I = DCI F I / BETA! I F ) I F P i = IF + I DO 10 I = I F P I , L

B E T A ( I ) = B ( I I - A ( I ) * C ( I - U / BETA(I - 1) 10 GAMMA(I) = ( D U ) - A(I ) * G A M M A ( I - I ) ) / BETA ( I )

V ( L ) « GAMMA(L) LAST = L - IF DO 20 K = I , LAST

20

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

130

140

150

160

170 1

180 1

190

I = L - K VI I ) = GAMMA(I) - C( I) RETURN END SUBROUTINE POS(A, I , B, C) IF I I . L E . 2 ) B = 0.1

2 .AND 5) B =

179 * V U •+ 1) / 8 E T A I I I

I . L E. 51 B - 0.4 IF il .GT, IF I I .GT, A = A + B 1 = 1 + 1 RETURN END SUBROUTINE NODE COMMON /C4/ I T X , I T Y , NX1, NY 1 1 N(100»50) DC 1390 J = 1, I TV

DO 1390 1 = 1 , ITX IF II .EG- 1) GO TG 10 GG TG 200 IF ( J .EC. 1) GO TO 20 GC TO 30 NC I , J i = 1 GG TO 1390 IF ( J ..EC. NY 11 GO TO 40 GO TO 50 N I I . J 1 = 3 GC TO 1390 IF ( J .EQ. I N Y i + 11) GO TO 60 GO TO 70 M I . J I = 4 GG TO 1390 IF I J .EG. (NY 1 • 211 GO TO 80 GC TO 90 N M , J J = 5 GG TO 1390 IF ( J .EG. CITY - NY 1 - 1)1 GO TO 100 GG TO 110 N C I t J I = 6 GG TO 13S0 IF | J .EQ. CITY - NY1)) GG TO 120 GC TO 18C N ( I , J I = 7 GG TO 1390 IF ( J .EQ. I I T Y - NY1 + I M GG TO 140 GG TO 150 M I , J ) = 8 GO TO 1390 I F <J •EC. I T Y J GG TO 160 GC TO 17C N M , J ) = 2 GO TO 1390 IF ( J - L T . NY 1 .OR. J .GT. ( I T Y - NY1 + 1 ) ) N U , J ) = 9 GO TO 1390 IF ( J .GT. (NY1 + 2 ) •AND. J

GO TG 190 GO TO 130 N l I ,J) = 10

.LT. I I T Y - NY1 I I )

GC TO 1390 180 200 IF ( I . E C NX1) GC TO 210

GO TO 4CC 210 IF ( J .EC. I I GO TO 220

GO TO 230 220 M I » J ) = 11

GC TG 1390 230 IF ( J .EG. N Y l I GO TO 240

GC TG 250 240 N U , J ) = 19

GG TO 1390 250 IF ( J .EC. I N Y i + I I ) GG TG 260

GG TO 270 260 N U-,JI = 20

GO TO 1390 270 IF ( J .EC. (NY1 + 2 ) ) GO TO 280

GO TO 2 9C 280 N ( I , J 1 = 21

GG TO 1390 290 IF ( J .EC. I I T Y - NY1 - 1 ) ) GO TO 300

GC TO 310 300 N C I , J | = 22

GC TO 1390 310 I F I J .EC. I ITY - NY 1 ) 1 GG TG 320

GG TO 330 320 N U , J * = 23

GC TO 1390 330 IF ( J . EC. U T Y - NY1 + i l l GO TO 340

GC TO 350 340 N ( I ,J1 = 24

GC TO 1390 350 IF ( J .EQ. ITY I GO TO 360

GG TO 370 360 N U , J ) = 15

GO TO 1390 370 I F I J .LT. NY1 .OR. J .GT. ( I T Y - NY1 + I I )

1 GG TG 380 GG TO 39C

380 N I I , J I = 25 GC TO 1390

390 IF ( J .GT. (NY1 + 21 .AND. J .LT. ( I T Y - NY 1 - I I ) 1 NCI ,J1 = 26

GO TO 1390 400 I F ( I .EC. CNX1 • D ) GO TO 410

GG TO 60C 410 IF ( J .EC. 1) GO TO 420

GO TO 43C 420 N ( I , J 1 = 12

GC TO 1390 430 I F ( J .EG. N Y I I GO TO 440

GC TO 45G 440 N U . J I = 27

GO TO 1390 450 IF I J ,EC. (NY1 + 11) GO TO 460

GG TO 470 460 N C I , J 1 = 28

GC TO 1390

470 IF ( J .EC. (NY1 + 2 ) 1 GO TO 480 1 8 1

GO TO 4 9 0 480 M I . J ) = 29

GG TO 13SO 490 IF ( J .EG. ( I T Y - NY 1 - 111 GO TO 500

GG TO 510 500 NCItJ) = 30

GO TO 1390 510 IF ( J . EC. ( I T Y - NY 1 ) ) GC TO 520

GC TO 530 520 N i l ,J) = 31

GO TO 1390 530 IF ( J .EG. I I T Y - NY1 + 1)1 GO TO 540

GO TO 550 540 N U f J ) = 32

GG TO 1390 550 I F ( J .EC. ITY} GO TO 560

GO TO 570 560 N U , J I = 16

GG TO 1390 570 IF (J .LT. NY 1 .OR. J .GT. ( I T Y - NY1 + 1 ) )

1 GO TO 58C GO TO 590

580 N(I«J) = 33 GO TO 1390

590 IF ( J .GT. (NY 1 + 21 .AND. J .LT. ( I T Y - NY 1 - 1 ) ) 1 N I I . J I = 34

GO TO 1390 600 IF ( I .EQ. JNX1 • 2 ) ) GO TO 610

GC TO 800 610 I F ( J .EC. 1) GO TO 620

GO TO 630 620 N( I,J) = 13

GO TO 1390 630 IF ( J .EG. NY1) GO TO 640

GO TO 650 640 N U . J I = 35

GO TO 1390 650 IF 1J .EG. (NY1 + 11) GO TO 660

GO TO 6 70 660 M I , J ) = 36

GO TO 1390 670 I F ( J .EC. I N Y i + 2 ) ) GO TO 680

GO TO 690 680 N t l f J ) = 37

GG TO 1390 690 IF ( J .EG* ( I T Y - NY 1 - 1 ) ) GO TO 700

GO TO 710 700 N U , J ) = 38

GG TO 1390 710 IF ( J .EG. ( I T Y - NY 1 ) ) GC TO 720

GG TO 730 720 Nil»J) = 39

GG TO 1390 730 IF ( J .EQ. ( I T Y - NY1 + 111 GO TO 740

GG TO 7 50 740 N(I,J1 = 40

GC TO 1390 1 8 2

750 IF ( J .EC. ITY I GO TO 760 GO TO 7 7 0

760 N l l t J ) = 17 GO TO 1390

770 IF ( J . L T . NY 1 .OR. J .GT. ( I T Y - NY 1 + 1 ) ) 1 GO TG 780

GO TO 790 780 N ( I , J I = 41

GC TO 1390 790 IF ( J .GT. (NY1 • 2 ) .AND. J .LT. ( I T Y - NY1 - 1 ) )

1 N ( I t J I = 42 GG TO 1390

800 I F ( I •EG. ITX) GC TO 810 GO TO 1000

810 I F ( J .EC. 1) GO TO 820 GG TO £3C

820 N 4 I , J ) = -14 GG TO 1390

830 I F ( J .EG. NY 1} GO TO 840 GC TO 8 50

840 N ( I , J ) « - 4 3 GC TO 1390

850 IF ( J .EQ. (NY1 + I I ) GO TG 860 GO TO 87C

860 N i l ,J) » -44 GG TO 1390

870 IF ( J .EC. (NY1 + 2 ) 1 GO TO 880 GG TO 89C

880 N( I t J I = -45 GC TO 1390

890 IF ( J .EG. (ITY - NY1 - I I ) GO TO 900 GC TO 910

900 N ( I , J ) = -46 GO TG 1390

910 IF ( J . EQ. ( I T Y - N Y l l l GO TO 920 GG TO 930

920 N i l , J I = -47 GO TO 1390

930 I F ( J .EQ. ( I T Y - NY1 + I I ) GC TO 940 GC TO 950

940 N ( I , J ) = -48 GO TO 1390

950 IF ( J .EG. ITY) GO TO 960 GG 70 970

960 N ( I , J ) = -18 GC TG 1390

970 IF U .LT. NY 1 .OR. J .GT. ( I T Y - NY 1 + 1 ) ) 1 GO TG 98G

GG TG 990 980 N(IiJ) = -49

GC TO 1390 990 IF ( J .GT. (NY1 + 2) .AND. J .LT. ( I T Y - NY1 - 1 ) )

1 N ( I , J ) = -50 GO TO 1390

1000 IF ( I .LT. N X l l GO TO 1010 GC TO 12CO

1010

1020

1030

1040

1050

1060

1070

1080

1090

1100

1110

1120

1130

1140

1150

1160

1170

1180

1190

1200

1210

1220

1230

1240

1250

1260

1270

1280

1

I F <J .EC. 1) GO TO 1020 183 GC TO 1030 N l l i J I = 114 GC TG 1390 IF ( J .EG. NY1I GO TO 1040 GO TO 1050 N ( I , J I = 143 GO TO 1390 IF iJ .EG. INYI + I M GG TG 1060 GG TO 10 70 N ( I t J ) = 144 GO TO 139C IF ( J .EC. INYI + 2 ) 1 GO TO 1080 GO TO 1C90 N<I,J) = 145 GG TO 1390 IF U •EQ. ( I T Y - NY1 - 1 ) ) GO TO 1100 GC TO 1110 N U * J ) = 1 4 6 GG TO 1390 IF I J .EQ. ( I T Y - NY 1 H GC TG 1120 GG TO 1130 N I I , J I = 147 GO TO 1390 IF ( J ,EC. I I T Y - NY1 • i l ) GC TO 1140 GG TO 1150 N(I»JI = 148 GO TO 1390 IF ( J .EC. I T Y I GO TO 1160 GG TO 1170 N C I . J I = 118 GC TO 1390 I F ( J .LT. NY1 .OR. J .GT. ( I T Y - NY 1 + 1 ) 1

GO TG 1180 GG TO 1190 N C I , J ) = 149 GC TO 1390 I F ( J .GT. (NY1 + 2) .AND. J .LT. ( I T Y - NY1 - 1 ) ) N i l , J I = 150 GO TO 1390 IF ( J .EG. 1) GO TO 1210 GO TO 122C N ( I , J ) = 14 GC TO 1390 IF ( J .EG. NY1) GO TO 1230 GG TO 1240 N ( I . J ) = 43 GG TO 1390 IF ( J .EG. INYI • I I ) GG TG 1250 GG TO 1260 N U , J I = 44 GG TO 1390 IF { J .EC. IN Y I + 211 GO TO 1270 GO TO 1280 N ( I , J I = 45 GO TO 1390 IF ( J .EG. 1ITY - NY1 - 111 GO TO 1290

GC TO 1300 1 8 4

1290 N ( I , J ) = 46 GC TO 1390

1300 IF ( J .EC. I ITY - N Y U ) GO TO 1310 GO TO 1320

1310 N ( I , J ) = 47 GO TO 1390

1320 IF t J .EC. ( I T Y - NY1 + 1 1 ) GC TO 1330 GO TO 1340

1330 N ( l , J ) = 48 GO TO 1390

1340 IF ( J .EC. ITY) GO TO 1350 GO TO 1360

1350 NIIiJI » 18 GO TO 1390

1360 IF ( J .LT. NY 1 .OR. J .GT. ( I T Y - NY1 + 1 ) ) 1 GO TO 1370

GC TO 1360 1370 N<I ,J) = 49

GO TO 1390 1380 IF ( J .GT. (NY 1 + 2) .AND- J .LT. ( I T Y - NY 1 - 1))

1 N ( I , J I = 50 1390 CONTINUE

RETURN END FUNCTION RCP(T) COMMON / C i / NTABLEt X ( 2 0 ) , Z ( 2 0 ) 1 = 2

10 I F ( X ( I ) .GT. T l GO TO 20 IF ( I .EQ. NTABLE) GO TO 20 1 = 1 + 1 GO TC 10

20 RCP = ZCI - I ) • (T - X ( I - 1 ) ) * ( Z ( I I - Z ( I - 1 ) ) / 1 ( X ( I ) - X I I - 1 ) ) RETURN END REAL FUNCTION K i A » B) COMMON /C3/ NTABLE, X I 2 0 ) , Z ( 2 0 ) XSTAR = A IG = 0 GO TO 20

10 XSTAR = B 20 1 = 2 30 IF ( X ( I ) .GT. XSTAR) GO TO 40

IF ( I .EQ. NTABLE) GO TO 40 1 = 1 + 1 GG TO 30

40 K = Z ( I - 1) • (XSTAR - X ( I - 1 ) ) * ( Z ( I ) - Z ( I - 11) 1/ ( X I I ) - X I I - 1 ) ) IF ( IC .EQ. H GO TO 5 0 E A = K IC = 1 GO TO 10

50 K = (K + BA) / 2. RETURN END

FUNCTION H U P , J ) 1 8 5 COMMON /C5/ T i 1 0 0 , 5 0 * t T S T A R 1 1 0 0 , 5 0 ) , DT IF (P .GT. 29.) GG TO 10 H i = 0.043 * E X P ( - 0 . 0 2 0 * P ) RETURN

10 I F (P .GT. 1038.) GO TO 20 HI = 10.00574 * P + 4.51) / (P + 221.) RETURN

20 H i = ( 1 . 3 6 E - 1 2 * . 8 * ( ( T C 1 , J ) + 2 7 3 . ) * * 4 - 2 9 8 . * * 4 ) l / ( T l 1 1 , J ) - 25.1 RETURN END FUNCTION H 2 ( P , I , J ) C C K K C N /C5/ T i l 0 0 , 5 0 ) , T S T A R ( 1 0 0 , 5 0 1 , DT IF ( P .GT. 2 9 . ) GC TO 10 H2 = 0.043 * E X P ( - 0 . 0 2 0 * P ) RETURN

10 IF (P .GT. 1038.) GO TO 20 HI = ( 0 . 0 0 5 7 4 * P + 4.51) / IP + 221.) RETURN

20 H2 = ( L 3 6 E - i 2 * . 8 * ( ( T ( I , J l + 2 7 3 . 1 * * 4 - 2 9 8 . * * 4 ) ) / ( T i I I , J ) - 25.) RETURN END FUNCTION T K P ) T l = 2 5 . RETURN END FUNCTION T 2 I P I T2 = 2 5 . RETURN END FUNCTION T 3 ( P ) 7.3 = 2 5 . RETURN END SUBROUTINE P G S I T I T , F) P = T * 2.12 RETURN-END

A P P E N D I X A2

L I S T I N G O F T H E C O N T R O L M O D E L P R O G R A M

186

187 C $ * * * * * * * * * * # * * * * * * * * * * * * * c C CALCULATE RESIDENCE TIME C C*************************:******************;***************

COMMON / C l / N1TB, T I M E I 5 0 ) , V E L C C 1 5 0 ) COMMON / C 5 / P 4 5 ) DIMENSION D I S 4 1 5 ) , W F (IOOO), X T A U U O O O I , R T 1 5 0 ) ,

1 X D K 5 0 ) , W F Z ( 5 0 ) , H F 4 1 0 0 0 ) , H F Z I 5 0 ) , EXTERNAL SPEED CALL P L C T R L ( 'METR', 1) READ ( 5 , 1 0 ) N 2TB T NEND, NCQEF

10 FORMAT ( 3 1 3 ) DO 20 N = 1, N2TB

20 READ 1 5 , 3 0 ) D I S 4 N ) READ ( 5 , 4 0 ) N1TB

30 FORMAT ( F 7 . 1 ) 40 FORMAT ( 1 3 )

DO 50 L » l i N l T B 50 READ ( 5 , 6 0 ) T I M E ( L ) , V E L O C ( L ) 60 FORMAT 4 F 7 . 1 , F 7 . 3 )

READ ( 5 , 7 0 ) ( P ( I ) , I = 1 , 3 ) 70 FORMAT ( 3 E 1 4 . 7 )

XA = S P E E D ( - 2 . ) I F (XA . L E . C.) GO TO 240 I F (NEND .EQ. 1 ) GO TO 4 9 0 NA = 1

80 S I Z E = D I S I N A + 1 ) - D I S ( N A ) D S I Z E = S I Z E / 6. X D K 1 ) = D I S I N A ) DO 9 0 I = 2 , 7

9 0 X D I I I I - X D I I I - 1) * D S I Z E DT = 1.5 POS = (SPEED1TAU) + SPEED CTAU - D T ) ) * 1.5 / 2. TAU = - 5 0 . I = 1

100 I F (POS .GE. XDI ( I ) ) GO TG U O POS = PCS + ( S P E E 0 4 T A U - DT) + SPEED(TAU - (DT + 1 . 5 ) )

1) * 1.5 / 2. OT — CT + 1.5 GO TG 100

U O R T ( I ) = DT IF ( I .GE. 7 ) GO TO 120 I -= I + 1 GC TG 100

120 HTF = C. DO 1 3 0 I = 1, 7

CQE = C G E F F ( R T 4 1 ) ) 130 HTF = HTF + COE

HTF = HTF / 7. WIF = F L U X I H T F ) * E F F I I N A ) RTF = ( R T ( l ) + R T ( 2 ) + R T ( 3 ) + RT44) + R T ( 5 ) + R T ( 6 ) +

1 R T ( 7 ) ) / 7. C*********PLQT AX I S * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

DX = 1 0 0 . DV = 1 0 0 • XMIN = - 1 0 0 .

YMIN = INT(RTF/10G.> * IOC. 1 8 8

CALL AXPLOTI'TIME AFTER CHANGE ( S ) ; * , O.O, 13., XMIN, 1 DX) CALL AXPLOT(*RES.TIME(S)» *» 9 0 . 0 , 4.0, YMIN, DY)

C********ptCT RESIDENCE TIME AGAINST TAU******************* PTAU = (TAU - XMIN) / DX PRT = I RTF - YMIN) / DY CALL PLCTIPTAU, PRT, 3)

140 TAU = TAU + 2. ITAU = {I NT(TAU) + 5 0 ) / 2 DT = 1.5 PCS = (SPEED(TAU) • SPEED(TAU - DTI I * 1.5 / 2. I = 1

150 I F (PQS .GE. X D I ( I ) ) GO TO 160 PCS = PCS + ISPEED(TAU - DT) + SPEED(TAU - (DT + 1.5))

1) * 1.5 / 2. DT = DT + 1.5 GO TO 150

160 R T ( I ) = DT HFZI 11 = COEFF(CT) IF ( I .GE- 7 ) GO TO 170 I = I + 1 GO TO 150

170 H F ( I T A U ) = ( H F Z ( i ) + HFZC2) + HFZ13J • H F Z ( 4 ) • H F Z ( 5 ) 1 + H F Z ( 6 ) + H F Z ( 7 ) ) / 7. WF(ITAU) = F L U X ( H F ( I T A U ) I * E F F I ( N A ) XTAU( ITAU) = TAU RTI = ( R T ( 1 ) + R T ( 2 ) + R T ( 3 ) + R T ( 4 ) + R T ( 5 ) + R T ( 6 ) +

1 R T I 7 I * / 7. PTAU = (TAU - XMIN) / DX PRTI <RTI - YMIN) / DY CALL PLOT(PTAU, P R T I , 2) IF (TAU . L T . 10.) GO TO 140 IF ( A B S ( R T I - RTF) .GT. 2.) GO TO 140 DO 180 M = 1, 25

TAU = TAU + 2. ITAU = (INTCTAUI + 50) / 2 XTAU( ITAU) = TAU WF( ITAU) = WIF HF( ITAU ) = HTF PTAU = iTAU - XMIN) / DX CALL PLCTIPTAU, PRT, 2)

180 CONTINUE CALL SYMBOL(6., 3.5, 0.356, «DIS.= », 0.0, 6) DAP = D I S ( N A ) • 3. * CSIZE CALL NUMBER(8., 3.5, 0.356, DAP, 0.0, 1) CALL SYMBOL(10., 3.5, 0.356, 'CM', 0.0, 2) I F iNCOEF .EC. I I GO TO 200

C * * 4 * * * * * P L Q j WATER FLUX********************************* CALL AXCTRL1»YORIG«, 5.0) CALL AXPLOT(';«, 0.0, 1 3 . , XMIN, DX) CALL AXPL0TCW.F.CL/M2.S) 9 0 . 0 , 5.0, 0.0, 2.) CALL AXCTRL(*YORIG*, 0.0) CALL PLOTIO.G, 4.0, 3) CALL FLOTIC.C, 5.0, 2 ) CALL P L C T ( 1 3 . 0 , 0.0, 3) CALL P L C T ( 1 3 . 0 , 1 0 . 0, 2)

CALL F L C T ( 0 . 0 , 10.0, 2) 189 PTAU = (-50. - XMINI / DX PWF = (WIF/2.) + 5. CALL F L C K P T A U , PWF, 3) DO 19C N = 1, ITAU

PTAU = (XTAU(N) - XMIN) / DX PWF = ( W F J M / 2 . 1 + 5.

190 CALL PLOT(PTAU, PWF, 2) GC TC 2 30

C********PLOT HEAT TRANSFER C O E F F I C I E N T * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 200 CALL AXCTRLI •YORIG' , 5.01

CALL AXPLOT(«;», 0.0, 1 3 . , XMIN, DX) CALL AXPL0T(«HTC(KW/M2.K) 9 0 . , 5.0, 0.0, 0.2) CALL AXCTRLi'YORIG*, 0.0) CALL P L O T ( 0 . 0 , 4.0, 3) CALL PLGTIO.O, 5.0, ZI CALL P L 0 T ( 1 3 . 0 , 0.0, 3) CALL f L C T ( 1 3 . 0 , 10., 2) CALL PLCTCO.C, 1 0 . , 2) PTAU = (-50. - XMIN) / DX PHTF = iHTF/.2) + 5. CALL PLOT(PTAU, PHTF, 31 DO 210 N = 1, ITAU

PTAU = (XTAU(N) - XMIN) / DX PHTF = ( H F C N I / . 2 I + 5.

210 CALL PLOTIPTAU, PHTF, 2) PTAU = (-50. - XMIN) / DX PHTF = (HTF/.2) + 5. CALL PLOT (PTAU, PHTF, 3) CALL 0ASHLN1C.2, 0.2, 0.2, 0.2) DO 220 1 = 1 , ITAU

TIM = DAP / S P E E D I X T A U ( I ) ) HTC = COEFF(TIM) PTAU = ( X T A U d l - XMINI / OX PHTF = iHTC/.2) * 5.

220 CALL PLOT (PTAU, PHTF, 41 230 N2 = N2TB - 1

IF (NA .GE. N2) GO TO 680 CALL P L O T ( 1 5 . , 0., -31 NA = NA * 1 GG TG 80

240 NA = 1 C**4**NP IS THE NUMBER OF CONTROL POINTS IN EACH ZONE***

NP = 29 250 NS = 1

SIZE = DISINA + I I - D I S ( N A I DSIZE = SIZE / FLOAT!NP - 1) X D K 11 = DIS(NA1 DO 26G I = 2, NP

260 X D I ( I ) = X D K I - I ) + DSIZE RTF = 0. HTF » 0. DC 270 I = 1, NP

R T 1 I I = X D K I ) / SPEED! 5 0 0 . ) RTF = RTF + RT( I ) CGE = C C E F F ( R T 1 1 ) )

270 HTF = HTF + COE

R T F = R T F / F L O A T ( N P I 190 H T F = H T F / F L O A T ( N P I W I F = F L U X ( H T F ) * E F F I ( N A ) T A U = 0 .

2 8 0 J T A U = I N T ( T A U / 2 . ) • 1 X T A U ( I T A U ) = T A U W F ( I T A U ) = 0 . K F ( I T A U ) = 0 . P O S I T = H E A D I T A U ) T A U = T A U + 2 . I F ( D I S ( N A ) . G T . P O S I T ) GO TO 2 8 0

OX = 1 0 0 . DY = 10 0 . X M I N = 0 . R = RTF I F ( R T F . L E . 1 0 0 . ) R = R T F + 1 0 0 . Y M I N * I N T I R / 1 0 0 . ) * 1 0 0 . - 1 0 0 . C A L L A X P L O T ( ' T I M E A F T E R C H A N G E ( S ) ; « , 0 . 0 , 1 4 . , XMIN»

1 D X I C A L L A X P L O T I ' R E S . T I M E t S ) ; • , 9 0 . 0 , 4 . 0 , Y M I N , D Y ) P T A U = ( T A U - X M I N ) / DX C A L L P L O T ( P T A U , 5 . , 3 1

2 9 0 P O S I T = H E A D ( T A U ) 3 0 0 I F ( X C K N S + 1 ) . L T . P O S I T ) GO TO 3 1 0

GO TO 3 2 0 3 1 0 NS = NS + 1

I F ( N S . G E . N P ) GO TO 3 7 0 GO TO 3 0 0

3 2 0 I T A U = ( I N T ( T A U / 2 . ) • 11 DT = 1 . 0 P C S = ( S P E E D ( T A U ) + S P E E D ( T A U - D T ) I * 1 . 0 / 2 . I = 1

3 3 0 I F ( P C S . G E . X D K H ) GO TO 3 4 0 P C S = P C S + ( S P E E C ( T A U - D T ) + S P E E D ! T A U - (DT + 1 . ) ) )

1 * 1 . / 2 . DT = DT + 1 . 0 GO TO 3 3 0

3 4 0 R T( I ) = DT H F Z ( I ) » C C E F F ( D T ) I F ( I . G E . N S ) GO TO 3 5 0 1 = 1 + 1 GC TO 3 3 0

3 5 0 H F ( I T A U I = 0 . X T A U O T A U ) = T A U R T I = 0 . DO 3 6 0 N = 1 , NS

H F ( I T A U ) = H F ( I T A U ) + H F Z ( N ) 3 6 0 R T I = R T I + R T ( M

H F ( I T A U ) = H F ( I T A U ) / F L O A T ( N S ) W F ( I T A U ) = F L U X ( H F ( I T A U ) ) * E F F K N A I R T I = R T I / F L O A T ( N S I P T A U = ( T A U - X M I N ) / OX P R T I = ( R T I - Y M I N ) / DY C A L L P L C T I P T A U , P R T I » 2 ) TAU = T A U + 2 . GC TO 2 9 0

370 ITAU = ( I N T I T A U / 2 . ) + 11 191 DT = 1.0 POS = I SPEED(TAU) + SPEED(TAU - DT)) * 1. / 2. 1 = 1

380 IF (POS .GE. X D I ( I i ) GO TG 390 PCS = PGS + (SPEED(TAU - DT) + SPEED(TAU - (DT + 1 . ) ) )

1 * 1. / 2. DT = DT • 1.0 GG TG 380

390 R T U ) = DT HF21 I ) = CGEFF(DT) IF 1 I .GE. NP) GO TO 400 1 = 1 + 1 GO TO 380

400 H F ( I T A U ) = 0 . XTAU(ITAU) = TAU RTI = 0. DO 410 N = 1, NP

H F I I T A U ) = H F I I T A U ) + HFZIN) 410 RTI = RTI + RT(N)

H F I I T A U ) = H F I I T A U ) / FLOAT(NP) WF(ITAU) = F L U X t H F l I T A U ) ) * EPF I ( N A ) RTI = RTI / FLOAT(NP) PTAU = (TAU - XMIN) / DX PRTI = (RTI - YMIN) / DY CALL PLOT!PTAU, P R T I , 2) TAU = TAU • 2. IF ITAU .LT. 20.) GO TO 370 IF ( A 8 S ( R T I - RTF) .GT. 4.) GC TO 370 PRT = (RTF - YMIN) / DY DC 420 I = 1, 25

ITAU = INTITAU/2.) + 1 XTAU(ITAUI = TAU HFI ITAU ) = HTF WFUTAU) = WIF PTAU = ITAU - XMIN) / DX CALL PLOTIPTAU, PRT, 2) TAU = TAU + 2.

420 CONTINUE CALL SYMBOL(6., 3.5, 0.356, 'DIS.= 0.0, 6) DAP = X D K (NP «• 1 )/2) CALL NUMBER(8.» 3.5, 0.356, DAP, 0.0, 1) CALL SYMBOLUO., 3.5, 0.356, «CM» , 0.0, 2) IF (NCOEF .EQ. 1) GO TO 440

C*****#**PLOT WATER FLUX********************************** CALL AXCTRL( • YCR I G ' , 5.0) CALL A X P L O T I 1 ; * , 0.0, 1 4 . , XMIN, DX) CALL A X P L G T ( • W . F . ( L / M 2 . S ) ; , , 9 0 . , 5.0, 0.0, 2.) CALL AXCTRL('YORIG*, 0.0) CALL P L G T ( 0 . 0 , 4.0, 3) CALL PLCTIO.O, 5.0, 2) CALL P L O T ( 1 4 . 0 , 0.0, 3) CALL P L G T ( 1 4 . 0 , 10.0, 2) CALL FLGTIG.O, 10.0, 2) PTAU = ( 0 . - XMINI / DX PWF = 5. CALL PLGTIPTAU, PWF, 3)

00 43G N = 1, ITAU 1 9 2

PTAU = (XTAU(N) - XMIN) / DX PWF = ( W F { M / 2 . ) + 5.

430 CALL PLOT(PTAU, PWF, 2) GO TO 480

C********PLOT HEAT TRANSFER COEFFICIENT******************* 440 CALL AXCTRL(•YORIG', 5.0)

CALL A X P L O T I * ; * , 0.0, 14., XMIN, DX) CALL AXPL0T('HTC(KW/M2.K) ;*, 9 0 . , 5.0, 0.0, 0.2) CALL AXCTPL('YORIG*, 0.0) CALL P L O T t O . O , 4.0, 3) CALL FLCT(G.O, 5-0, 2) CALL P L O T ! 1 4 . 0 , 0.0, 3) CALL PL0TC14.0, 10., 2) CALL PLOTtO.O, 1 0 . , 21 PTAU = ( 0 . - XMIN) / DX PHTF = 5. CALL FLGT( PTAU, PHTF, 3) DO 4 50 N = 1, ITAU

PTAU = (XTAU(N) - XMIN) / DX PHTF = ( H F ( N ) / - 2 ) • 5.

450 CALL PLOT(PTAU, PHTF, 2* PTAU = ( 0 . - XMIN) / DX PHTF = 5. CALL PLOTIPTAU, PHTF, 31 CALL CASHLN(0.2, 0.2, 0.2, 0.2) 00 4 70 I = 1, ITAU

PTAU = ( X T A U ( I ) - XMIN) / OX SPT = S P E E D t X T A U l I ) ) I F (SPT .LE. 0.) GO TO 460 TIM = X D I ( ( N P + l ) / 2 ) / SPT HTC = COEFF(TIM) PHTF = (HTC/.2) + 5. GO TO 47 0

460 PHTF = 5. 470 CALL PLCT(PTAU, PHTF, 4) 480 N2 = N2TB - 1

IF (NA .GE. N2) GO TO 680 CALL P L O T ( 1 6 . , 0., -3) NA = NA + 1 GO TO 2 50

490 NA = 1 C*****NP IS THE NUMBER OF CONTROL POINTS IN EACH ZONE*****

NP = 29 500 NS = 1

DSIZE = DIS(NA + II - DIS(NA) CSIZE = DSIZE / FLOAT(NP - 1) X D I ( l ) = D I S ( N A ) DO 510 I = 2, NP

510 X D H I ) = XDI ( I - 1 1 + DSIZE RTI = 0. HTF = 0. DO 520 I = I , NP

R T I I ) * XDI j I I / S P E E D I - 2 . ) RTI = RTI + R T I I ) COE = C G E F F ( R T U ) )

520 HTF = HTF + COE

R T I = R T I / F L O A T ( N P ) 193 H T F = HTF / F L O A T ( N P ) h i = F L U X I H T F ) * E P F H NA I

C * * * * * * * * p j _ r _ j AX I S * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * OX = I C O . DY = 1 0 0 . X M I N = - 1 0 0 . R T F = R T I I F ( R T I . L E . 1 0 0 . ) R T F = R T I + 1 0 0 . Y M I N = I N T I R T F / 1 0 0 . ) * 1 0 0 . - 1 0 0 . C A L L A X P L G T ( 1 T I M E A F T E R C H A N G E ( S l ; « , 0 . 0 , 1 2 . , X M I N ,

1 D X ) C A L L A X F L G T ( » R E S . T I M E ( S ) ; • » 9 0 . 0 , 4 . 0 , Y M I N , D Y ) P R T I = ( R T I - Y M I N ) / DY C A L L P L O T ( 0 . 5 , P R T I , 3 ) T A U = 0 .

5 3 0 P O S I T = H E A D ( T A L ) 5 4 0 I F ( P O S I T - G T . X D K N S ) ) GG TO 5 5 0

GO T G 5 6 0 5 5 0 NS = NS + i

I F ( N S . G T . N P ) GG TO 6 1 0 GO TO 5 4 0

5 6 0 I T A U = I N T ( T A U / 2 . ) + 1 DT = 1 . 0 POS = ( S P E E D ( T A U ) + S P E E D ( T A U - D T ) ) * 1 . / 2 . I -« NS

5 7 0 I F ( P O S . G E . X D K I ) ) GO TO 5 8 0 P O S = P C S + ( S P E E D ( T A U - DTI + S P E E D ( T A U - (DT + 1 . ) ) )

1 * 1 . / 2 . DT » DT • 1 , GO TG 5 7 0

5 8 0 R T I I ) = OT H F Z C I ) = C C E F F I D T I I F ( 1 . G E . N P ) GO TO 5 9 0 1 = 1 + 1 GO TO 5 7 0

5 9 0 H F I I T A U I = 0 . X T A U I I T A U I = T A U R T I = 0 . DC 6 0 0 N = N S , NP

H F I I T A U ) = H F I I T A U ) + H F Z ( N 1 6 0 0 P T I = R T I + R T I N l

R T I = R T I / F L O A T ( N P - NS + 1 1 H F I I T A U ) = H F ( I T A U ) / F L O A T ( N P - NS + 1 ) W F ( I T A U ) = F L U X I H F I I T A U ) I * E F F I ( N A ) P T A U = ( T A U - X M I N ) / DX P R T I = ( R T I - Y M I M / DY C A L L P L O T I P T A U , P R T I , 2 ) T A U = T A U + 2 . GG TG 5 3 0

6 1 0 CO 6 2 0 I = 1 , 2 0 I T A U = I N T I T A U / 2 . 1 + 1 X T A U I I T A U ) = T A U H F I I T A U ) = 0 . WF( I T A U I = 0 . P T A U = ( T A U - X M I N ) / DX C A L L P L O T I P T A U , 5 . 0 , 2 )

620 TAU = TAU • 2. 1 9 , CALL SYMBOL(6., 3.5, 0.356, «DIS.= ', 0.0, 6) CAP = X D K (NP + 1 )/2 ) CALL NUMBER(8.» 3.5, 0.356, DAP, 0.0, i J CALL SYMBOL( 10., 3.5, C.356, 'CM*, 0.0, 2) IF (NCOEF .EG. 1) GO TO 640

C********PLCT WATER FLUX******************************** CALL AXCTRL(*YORIG•, 5.0) CALL A X P L O T I * ; * , 0.0, 1 2 . , XMIN, OX) CALL AXPLOT(*W.F.(L/M2.S);•, 9 0 . , 5.0, 0.0, 2.) CALL AXCTRL(*YORIG«, 0.0) CALL PLGTIO.O, 4.0, 3) CALL F L C T I C . C , 5.0, 2) CALL P L 0 T ( 1 2 . 0 , 0.0, 3) CALL P L O T ( 1 2 . 0 , 10.0, 21 CALL PLCTIO.C, 10.0, 2) PTAU = (-50.. - XMIN) / DX PWF = (WI/2.) + 5. CALL PLCT(PTAU, PWF, 3) DO 6 30 N = 1, ITAU

PTAU = IXTAU(N) - XMIN) / DX PWF = (WFINJ/2.) + 5.

630 CALL PLOT(PTAU, PWF, 2) GC TO 670

C***#****PLOT HEAT TRANSFER COEFFICIENT******************* 64G CALL AXCTRL!*YORIG*, 5.0)

CALL A X P L C T C ; * , 0.0, 1 2 . , XMIN, DX) CALL A X P L 0 T ( * H T C ( K W / M 2 . K I , 9 0 . , 5.0, 0.0, 0.2) CALL AXCTRL('YORIG*, 0.0) CALL PLCTIO.C, 4.0, 3) CALL PLCT(O.C, 5.0, 2) CALL P L C T ( 1 2 . 0 , 0.0, 3) CA1L P L C T U 2 . 0 , 10., 2) CALL FLOT(O.G, 1 0 . , 2) PTAU = (-50. - XMIN) / DX PHTF = (HTF/.2) + 5. CALL PLOT IPTAU, PHTF, 3) DO 650 N = 1, ITAU

PTAU = ( X T A U ( M - XMIN) / DX PHTF = ( H F ( N ) / . 2 ) + 5.

650 CALL F L C T ( P T A U , PHTF, 2) PTAU = (-50. - XMIN) / DX PHTF = (HTF/.2) + 5. CALL PLCTIPTAU, PHTF, 3) CALL DASHLN(0.2, 0.2, 0.2, 0.2) DO 660 I = 1, ITAU

PTAU = ( X T A U ( I ) - XMIN) / DX TIM = DAP / S P E E D ( X T A U ( I ) ) HTC = C O E F F i TIM) PHTF = (HTC/.2) + 5.

660 CALL PLCTIPTAU, PHTF, 4) 670 N2 = N2TB - 1

IF (NA .GE. K2I GO TO 680 CALL PLOT( 14., 0., - 3 ) NA = NA • 1 GO TO 500

680 CALL P L O T ( 1 6 . , 0., - 3 )

195 C********PLQT SPEED CHANGE********************************

XMIN = -100.0 CALL AXPLGTI * T I ME AFTER CHANGE ( S ) ; * , 0.0, 14., - 1 0 0 . ,

1 DX I CALL AXPLGT{"CASTING SPEED (CM/S);** 9 0 . 0 , 10., 0.0,

1 0.5) PTAU = (-50. - XMIN) / OX PSP = SPEEDI-50.) / 0.5 CALL PLCTIPTAU, P S P , 3) IT = ITAU - 50 DO 69C N = 1, IT

PTAU = (XTAU(N) - XMIN) / DX TX = XTAUIN) PSP = SPEED(TX) / 0.5

690 CALL PLCTIPTAU* PSP, 21 CALL PLOT(14.t O.C, 3) CALL P L O T ( 1 4 . , 10., 2) CALL P L C T I C . C , 10., 21 CALL PLGTND STCP END FUNCTION HEAC(TAU) HEAD = 0. IF (TAU .EQ. 0.) GO TO 20 ITAU = INTITAU) DO 10 I = 1, ITAU

10 HEAD = HEAD + ISPEED1 FLOAT(I - 1 ) ) + S P E E D ( F L O A T ( I ) ) ) 1* 1. / 2.

20 RETURN END FUNCTION SPEED(T)

C********jNTERPOLATE CASTING SPEED************************ COMMON / C l / NTA8LE, X ( 5 0 ) , Z ( 5 0 1 I = 2

10 I F I X U ) .GT. T) GO TO 20 IF I I .EG. NTABLE) GO TO 20 1 = 1 + 1 GO TO 10

20 SPEED = Z ( I - I I + (T - X ( I - 1 ) ) * ( Z ( I ) - Z ( I - 1 ) ) 1/ ( X I I I - XI I — 111 RETURN END FUNCTION FL U X I T A )

C********CALCULATE WATER FLUX - 2ND CONTROL EQUATION****** FLUX = ITA/1.321 ** 1.82 RETURN ENO FUNCTION CGEFF(T)

C*******CALCULATE HEAT TRANS COEFF - 1ST CONTROL EQUATION** COMMON /C5/ PI 51 COEFF = ( P ( 1 ) * T + P(2I I / (T + P I 3 ) ) * 41.868 RETURN END FUNCTION E F F K N )

C*#******SET COOLING E F F I C I E N C Y * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * GO TO ( 1 0 , 2 0 , 3 0 , 4 0 , 5 0 1 , N

10 E F F I = 5.66 ** 1.82

RETURN 20 E F F I = 4.37 ** 1.82

RETURN 30 E F F I = 3.41 «* 1.82

RETURN 40 E F F I = 3.72 ** 1.82

RETURN 50 E F F I = 3.78 ** 1.82

RETURN END

APPENDIX A3

STABILITY ANALYSIS

197

1 9 8

S t a b i l i t y A n a l y s i s o f a F e e d b a c k

C o n t r o l L o o p

L e t t h e f o l l o w i n g e q u a t i o n s b e t h e t r a n s f e r f u n c t i o n s

f o r t h e c o n t r o l s y s t e m s h o w n s c h e m a t i c a l l y i n F i g . 6 1 .

0 . 0 8 0 8 5 s + 0 . 0 1 8 0 2 . . . C D

s + 0 . 0 1 9

S = 1 ( n o m e a s u r i n g l a g ) . . . ( 2 )

D * = K . . . ( 3 ) c

—• S T u 1 - e s ( z e r o o r d e r h o l d ) . . . ( 4 ) —

T h e f o l l o w i n g e q u a t i o n s c a n b e w r i t t e n d i r e c t l y f r o m t h e b l o c k

d i a g r a m :

T = U + P . H . M * . . . ( 5 )

M * = D * . ( T * - T * s e t ) . . . ( 6 )

E q . ( ; 5 ) c a n b e s a m p l e d a n d t h e s y s t e m o f e q u a t i o n s s o l v e d i n

t e r m s o f T * a s f o l l o w s :

T * = U * + ( P . H ) * . M * . . . ( . 7 )

t h e n

U * - ( P . H ) * . D * . T * s e t . . . ( 8 ) 1 * = = '•

1 - ( P . H ) * D *

a p p l y i n g t h e Z - t r a n s f o r m , t h e c h a r a c t e r i s t i c e q u a t i o n o f

t h e s y s t e m i s :

1 9 9

1 - P H ( z ) D ( z ) = 0 C9) w h e r e

P H (_z) = Z ( - 0 . 0 8 0 8 5 s + 0 . 0 1 8 0 2 . 1 + e " S T s

s + 0 . 0 1 9

T

. S

= 0 . 9 4 8 4 e 5 2 , 6 - 0 . 9 1 4 7 - 0 . 0 8 5 3 z ( 1 0 )

z - e 5 2 . 6

D ( z ) = K • ( I D

t h e r e f o r e t h e c h a r a c t e r i s t i c e q u a t i o n o f t h i s s y s t e m i s

( 1 + 0 . 0 8 0 8 5 K ) z - ( 0 . 9 4 8 4 K + 1 ) e c c

5 2 . 6

+ 0 . 8 6 7 5 K = 0 c . • ( 1 2 )

a ) T - = 1 m i n . = 6 0 s

U s i n g J u r y s t a b i l i t y c r i t e r i o n :

( 0 . 9 4 8 4 K + 1 ) 0 . 3 2 - 0 . 8 6 7 5 K c c

1 + 0 . 0 8 0 8 5 K

< 1

t h e r e f o r e t h e s y s t e m i s s t a h l e f o r

K < 2 . 7 5 c

. • ( . 1 3 )

T h e v a l u e o f f o r a d a m p i n g r a t i o , t; , o f 0 . 5 c a n

b e f o u n d u s i n g t h e f o l l o w i n g e q u a t i o n 7 7

_ ^ ( < 2 )

e " V l - - 5 2

2 0 0

. ( 1 4 )

w h e r e | z ] a n d (_< z ) a r e t h e m o d u l u s a n d a n g l e o f t h e c o m p l e x

r o o t s o f t h e c h a r a c t e r i s t i c e q u a t i o n f o r a g i v e n d a m p i n g r a t i o

S i n c e a l l t h e r o o t s o f t h e c h a r a c t e r i s t i c e q u a t i o n a r e r e a l ,

( < z ) = n . . ( 1 5 )

t h e r e f o r e ,

z = - 0 . 1 6 3 . . . ( 1 6 )

s u b s t i t u t i n g i n E q . ( 1 2 )

K = 0 . 8 7 5 c

. • ( 1 7 )

b ) t o = 2 m i n . = 1 2 0 s

U s i n g J u r y s t a b i l i t y c r i t e r i o n :

( 0 . 9 4 8 4 K + 1 ) 0 . 1 0 2 - 0 . 8 6 7 5 K c c

1 + 0 . 0 8 0 8 5 K < 1

t h e r e f o r e t h e s y s t e m i s s t a b l e f o r

K < 1 . 6 0 c

( 1 8 )

f o r z; = 0 . 5 , u s i n g E q s . (_12) a n d ( . 1 6 )

K = 0 . 3 5 c

C19)

c ) 3 m i n , = 1 8 0 s

U s i n g J u r y s t a b i l i t y c r i t e r i o n :

( 0 . 9 4 8 4 K + l ) 0 . 0 3 3 - 0 . 8 6 7 5 K c c

1 + 0 . 0 8 0 8 5 K < 1

t h e r e f o r e t h e s y s t e m i s s t a b l e f o r :

f o r £ = 0 . 5 , u s i n g E q s . ( 1 2 ) a n d ( 1 6 )

d ) 5 m i n . = 3 0 0 s

U s i n g J u r y s t a b i l i t y c r i t e r i o n ;

( 0 . 9 4 8 4 K + 1 ) 0 . 0 0 3 3 - 0 . 8 6 7 5 K c c

1 + 0 . 0 8 0 8 5 K

< 1

t h e r e f o r e t h e s y s t e m i s s t a b l e f o r

f o r C = 0 . 5 , u s i n g E q s . ( . 1 2 ) a n d ( 1 6 )

2 0 1

K < 1 . 3 7 c

( 2 0 )

K = 0 . 2 4 c

C21)

K < 1 . 2 8 c

(.2 2 )

K = 0 . 1 9 5 c

C23)

APPENDIX A4

AUTOMATIC CONTROL PROGRAM

202

2 0 3

F O C L / F V 7 0 4 / 0 1 / 7 4

0 1 . 0 1 0 1 . 0 5 0 1 . 0 6 0 1 . 0 7 0 1 . 0 8 0 1 . 1 0 0 1 . 1 1 0 1 . 1 7 0 1 . 1 8 0 1 . 1 9 0 1 . 2 5 0 1 . 2 6 0 1 . 2 7 0 1 . 2 8 0 1 . 2 9 0 1 . 3 1 0 1 . 4 5 0 1 . 4 6 0 1 . 4 7 0 1 . 5 0 0 1 . 5 1

S P R A Y C O N T R O L L U I S B A P T I S T A I N I T I A L I Z E C L O C K W = F X C 2 , 3 1 6 2 ) ; S T M = 1 6 W = F X C 4 , 1 , 3 1 6 3 , 3 1 6 3 ) ; " C A S T I N G S P E E D ? " , V E R E A D I N I T I A L S P E E D

V E W F ] D = 1 ; S G = 1 ; S C 0 = 1 B ( 1 ) = V E * T M N = 2 , 8 0 ; D 0 2 0 N = 2 W = F X ( 5 , 1 ) M = M + F X ( 5 , 1 ) ; S T I = M / 1 2 0

3

S M = 0 S W = F X C 2 , 3 1 6 1 ) T !

L M I N S E C " , !

C C S S A C T S S F S S S D O S M = M + F X ( 5 , 1 ) ; S T I = M / 1 2 0 I ( T I - D * T M ) 1 . 2 9 ; S D = D + 1 S L = l l ; D O 2 3 : S V E = A ( L ) ; D O 2 3 ; S V E = 5 * ( V E + A ( L ) ) ; S D I = V E * T M F N = 1 , 8 0 ; D O 2 2 S N = 2 ; D O 3 I C T I - G * 1 2 0 . ) 0 1 . 2 9 ; S G = G + l ; D O 5 ; G O T O 0 1 . 2 9 Q

0 2 . 0 5 C S E T P R I O R I T Y 0 2 . 1 0 S M = M + F X ( . 5 , 1 ) ; S T I = M / 1 2 0 0 2 . 1 5 I ( T I - D * T M ) 2 . . 2 5 ; S D = D + 1 0 2 . 2 0 S L = l l ; D O 2 3 ; S V E = A ( L ) ; D O 2 3 0 2 . 2 1 S V E = 5 * C V E + A ( L ) ) ; S D I = V E * T M 0 2 . 2 2 F N = 1 , 8 0 ; D O 2 2 0 2 . 2 3 S N = 2 0 2 . 2 5 R

0 3 . 0 5 0 3 . 0 6 0 3 . 1 0 0 3 . 1 2 0 3 . 1 5 0 3 . 1 6 0 3 . 1 8 0 3 . 2 0 0 3 . 2 1 0 3 . 2 2 0 3 . 2 3 0 3 . 2 4 0 3 . 2 5 0 3 . 2 6 0 3 . 2 7 0 3 . 2 8 0 3 . 2 9

C S S T S S s s T s s s s T S s s

C A L C U L A T E R T A N D S E T C O N T R O L L E R S D Z = 8 0 ; S J S = l ; D O 4 H T = P ( 1 ) ; D 0 . 2 7 % 5 . 4 , V E , W F , " " ; S D Z = 1 2 7 ; S J S = 1 ; D 0 D Z = 1 8 0 ; S J S = 2 ; D 0 D Z = 2 3 3 ; S J S = 3 ; D 0

S P = W F / 6 . 0 ; S L = 1 0 ; D 0 1 9 ; D 0 2 4 4 4

H T = C P ( 1 ) + P ( 2 ) + P C 3 ) ) / 3 ; D 0 2 7 % t . 4 , V E , W F , " " ; S S P = W F / 5 . 0 ; S L = 8 ; D 0 1 9 : D O 2 D Z = 3 2 7 ; S J S = 1 ; D 0 4 D Z = 4 6 0 ; S J S = 2 ; D 0 4 D Z = 5 9 3 ; S J S = 3 ; D O 4 H T = C P ( 1 ) + P (.2 ) + P C3 ) ) / 3 ; DO 2 7 % 5 . 4 , V E , W F , " " ; S S P = ¥ F / 3 . 0 ; S L = 6 ; D 0 1 9 ; D 0 2 D Z = 7 6 0 ; S J S = 1 ; D O 4 D Z = 9 6 0 ; S J S = 2 ; D O 4 D Z = 1 1 6 0 ; S J S = 3 ; D O 4

2 0 4

0 3 . 3 0 S H.T = ( P C D + P ( 2 ) + P ( . 3 ) ) / 3 ; D 0 2 7 0 3 . 3 1 T % 5 . 4 , V E , W F , " " ; S S P = W F / 2 . 0 ; S L = 4 ; D O 1 9 0 3 . 3 2 S D Z = 1 3 9 3 ; S J S = l ; D O 6 0 3 . 3 3 S D Z = 1 6 6 0 ; S J S = 2 ; D O 6 0 3 . 3 4 S D Z = 1 9 2 7 ; S J S = 3 ; D O 6 0 3 . 3 5 S H T = ( P C L ) + P ( 2 ) + P ( 3 ) ) / 3 ; D O 2 7 0 3 . 3 6 T % 5 . 4 , V E , W F , " " ; S S P = W F / 1 . 4 ; S L = 0 ; D 0 1 8 0 3 . 3 8 R

0 4 . 0 1 C R T 0 4 . 0 5 S N = N + 1 ; I ( N - 8 0 ) 4 . 1 0 . ; S R T = T M * 8 0 ; G O T O 4 . 1 5 0 4 . 1 0 I ( B ( N ) - D Z ) 4 . 0 5 ; S R T = T M * ( ( D Z - B ( N - l ) ) / ( B ( N ) - B ( N - l ) ) + N - 1 ) 0 4 . 1 5 DO 2 6 ; S P ( J S ) = H T 0 4 . 2 0 R

0 5 . 0 5 C F E E D B A C K C O N T R O L 0 5 . 0 8 S L = 2 ; D O 2 3 0 5 . 1 0 . S T E = A ( L ) * 1 0 0 0 0 ; I ( T E - 4 0 0 ) 0 5 . 1 4 0 5 . 1 1 S K F = 0 . 0 0 1 0 5 . 1 2 S C O = 1 - K F * ( . 8 0 0 - T E ) ; G O T O 0 5 ; 1 5 0 5 . 1 4 S C O = l 0 5 . 1 5 R

0 6 . 0 1 C R T 0 6 . 0 2 S N = N + 1 ; I ( N - 8 0 ) 6 . 1 0 ; S R T = T M * 8 0 ; G O T O 6 . 1 5 0 6 . 1 0 I ( B ( N ) - D Z ) 6 . 0 2 ; S R T = T M * ( ( D Z - B ( N - l ) ) / ( B C N ) - B ( N - 1 ) ) + N - 1 ) 0 6 . 1 5 DO 2 1 ; S P ( J S ) = H T 0 6 . 2 0 R

1 8 . 0 5 D O 2 3 ; S A ( L ) = ( A ( L ) - 0 . 1 ) / 0 . 6 2 1 8 . 0 8 S C D = F I T R ( ( A ( L ) - S P ) * 9 9 5 ) 1 8 . 0 9 S T = L 1 8 . 1 0 I C C D ) 1 8 . 1 2 , 1 8 . 1 5 , 1 8 . 1 5 1 8 . 1 2 S C D = - C D ; F U = l , C D ; D O 2 4 1 8 . 1 3 G O T O 1 8 . 2 0 1 8 . 1 5 F U = l , C D ; D O 2 5 1 8 . 2 0 DO 2 3 ; S A ( L ) = ( A ( L ) - 0 . 1 ) / 0 . 6 2 1 8 . 2 2 I ( F A B S ( A ( L ) - S P ) - 0 . 0 1 ) 1 8 . 4 0 , 1 8 . 4 0 , 1 8 . 2 3 1 8 . 2 3 I C A ( L ) - S P ) 1 8 . 2 5 ; D O 2 5 ; G O T O 1 8 . 2 0 1 8 . 2 5 D O 2 4 ; G O T O 1 8 . 2 0 1 8 . 4 0 S M = M + F X C 5 , 1 ) ; S T I = M / 1 2 0 ; S M I = F I T R C T I / 6 0 ) 1 8 . 4 1 ; S S E = T I - M I * 6 0 1 8 . 4 2 T % 3 . 0 , L , " " , M I , % 3 . 2 , S E , ! 1 8 . 4 3 R

1 9 . 0 5 C R E A D A N D M O V E C O N T R O L L E R S 1 9 . 0 7 D O 2 3 ; S A ( L ) = ( A ( L ) - 0 . 2 ) / 0 . 8 1 9 . 0 8 S C D = F I T R ( . C A C L ) - S P ) * 9 8 5 ) 1 9 . 0 9 S T = L 1 9 . 1 0 I ( . C D ) 1 9 . 1 2 , 1 9 . 1 5 , 1 9 . 1 5 1 9 . 1 2 S C D = - C D ; F U = l , C D ; D O 2 4 1 9 . 1 3 G O T O 1 9 . 2 0 1 9 . 1 5 F U = l , C D : D O 2 5

1 9 . 2 0 D O 2 3 ; S A ( L ) = ( A ( L ) - 0 . 2 ) / 0 . 8 1 9 . 2 2 I ( F A B S ( A ( L ) - S P ) - 0 . 0 1 ) 1 9 . 4 0 , 1 9 . 4 0 , 1 9 . 2 3 1 9 . 2 3 I ( . A ( L ) - S P ) 1 9 . 2 5 ; D 0 2 5 ; G 0 T 0 1 9 . 2 0 1 9 . 2 5 D O 2 4 ; G 0 T 0 1 ? . : . ' 2 0 1 9 . 4 0 S M = M + F X ( 5 , 1 ) ; S T I = M / 1 2 0 ; S M I = F I T R ( T I / 6 0 ) 1 9 . 4 1 S S E = T I - M I * 6 0 1 9 . 4 2 T % 3 . 0 , L , " " , M I , % 3 . 2 , S E , ! 1 9 . 4 3 R

2 0 . 0 4 C S E T I N I T I A L C O N D I T I O N S 2 0 . 0 5 S B ( N ) = B ( N - l ) + V E * T M 2 0 . 0 7 R

2 1 . 0 1 C C A L C U L A T E H T C F O R L A S T Z O N E 2 1 . 0 5 S H T = C 0 * ( ( 4 . 7 2 E - 3 * R T + 3 . 8 4 ) 7 ( R T + 1 6 8 ) ) * 4 1 . 8 6 8 2 1 . 1 0 R

2 2 . 0 5 C C A L C U L A T E D I S T A N C E 2 2 . 0 6 S K = 8 1 - N 2 2 . 0 7 S B ( K ) = B ( K - 1 ) + D I 2 2 . 0 9 R

2 3 . 1 5 C R E A D 2 3 . 2 0 S X = F X ( 2 , 3 4 1 6 ) ; S X = F X ( 2 , 3 4 1 7 , L ) 2 3 . 2 5 S X = F X ( 2 , 3 4 1 8 ) ; S A ( L ) = F X ( 2 , 3 4 1 9 ) 2 3 . 3 0 l C A ( L ) - 2 0 0 0 ) 2 3 . 3 5 ; S . A ( L ) = A ( L ) - 4 0 9 5 2 3 . 3 5 S A ( L ) = A ( L ) / 5 1 1 2 3 . 4 0 R

2 4 . 0 5 C M O V E U P 2 4 . 1 0 S V = 2 + ( T + 1 ) 2 4 . 1 5 S X = F X ( 2 , 3 3 9 7 , V ) ; S X = F X ( 2 , 3 3 9 8 , 4 0 9 5 ) 2 4 . 2 0 R

2 5 . 0 5 C M O V E D O W N 2 5 . 1 0 S V = 2 t ( T + 0 ) 2 5 . 1 5 S X = F X ( 2 , 3 3 9 7 , V . ) ; S X = F X ( 2 , 3 3 9 8 , 4 0 9 5 ) 2 5 . 2 0 R

2 6 . 0 1 C C A L C U L A T E H E A T T R A N S F E R C O E F F 2 6 . 0 5 S H T = ( ( 4 . 7 2 E - 3 * R T + 3 . 8 4 ) / ( R T + 1 6 8 ) ) * 4 1 . 8 6 8 2 6 . 1 0 R

2 7 . 0 5 C C A L C U L A T E W A T E R F L O W 2 7 . 0 7 S W F = F E X P ( 1 . 8 2 * F L O G ( H T * 4 / 1 . 3 3 ) ) 2 7 . 1 0 R .

A P P E N D I X A5

S Y M B O L S A N D U N I T S

206

c o e f f i c i e n t i n Eq. C12)

c o n t r o l i n t e r v a l

s p e c i f i c he a t

d i s t a n c e f r o m m e n i s c u s

p r o c e s s t r a n s f e r f u n c t i o n

h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t

t h e r m a l c o n d u c t i v i t y

S — s p a c e v a r i a b l e

n o r m a l s e t - p o i n t i n t h e w a t e r f l o w c o n t r o l l e r s

r e s i d e n c e t i m e

t e m p e r a t u r e

a m b i e n t t e m p e r a t u r e

s u r f a c e t e m p e r a t u r e

d w e l l t i m e i n m o u l d

s p e e d

w a t e r f l u x

L a p l a c e t r a n s f o r m o f t h e e x c i t a t i o n p u l s e

t i m e a t l o w s p e e d

d i s t a n c e ( w i d t h )

d i s t a n c e ( t h i c k n e s s )

L a p l a c e t r a n s f o r m o f t h e r e s p o n s e

Z - s p a c e v a r i a b l e

-2 -1 kW m K

J g"1 K " 1

m ~2 2 -1 C m W

kW m~2 K

W m _ 1 Vi'1

-1

I s -1

C , K

C, K

C

s

cm s -1

n "2 -1 I m s

J m K

m

m

C s

d i m e n s i o n l e

2 0 8

S y m b o l D e s c r i p t i o n U n i t s

a c o o l i n g e f f i c i e n c y d i m e n s i o n l e s s

. . . s A t t i m e s t e p

. s d i f f e r e n c e i n r e s i d e n c e t i m e

A x d i s t a n c e s t e p m

A y d i s t a n c e s t e p m

AQ t i m e s t e p s

e e m i s s i v i t y d i m e n s i o n l e s s

t, d a m p i n g r a t i o d i m e n s i o n l e s s

9 t i m e s

9 w a t e r t e m p e r a t u r e C w

"3 p d e n s i t y g c m

a S t e f a n B o l l z m a n n c o n s t a n t 5 . 7 5 x 1 0

k W m " 2

T p r e s e n t t i m e s

T s a m p l i n g t i m e s

S y m b o l s u s e d i n t h e s t a b i l i t y a n a l y s i s ( F i g . 6 1 a n d A p p e n d i x A3).

D * d i s c r e t e t i m e c o n t r o l l e r

H z e r o o r d e r h o l d

M m a n i p u l a t e d v a r i a b l e ( h e a t - t r a n s f e r c o e f f i c i e n t i n

t h e s p r a y z o n e )

P p r o c e s s

S m e a s u r i n g e l e m e n t

T s u r f a c e t e m p e r a t u r e

* s a m p l e d v a r i a b l e

s e t - p o i n t f o r t h e s u r f a c e t e m p e r a t u r e

d i s t u r b a n c e