Biomath paper

Bio Matematika, Juni 2013

1

STABILITAS MODEL SEI

(SUSCEPTIBLE, EXPOSED/LATENTLY INFECTED AND INFECTIOUS)

UNTUK PENYEBARAN PENYAKIT TUBERKOLOSIS1

DIDIN ADRI2, SOPIA KARTIKA

3, ULFI HANUM

4

Jurusan Matematika Program Studi S2 Matematika

Fakultas MIPA Universitas Gadjah Mada, Jogjakarta 2013

Email : [email protected]

Abstrak

Dalam paper ini dibahas model penyebaran penyakit turbekolosis (TB), basic

reproduction ratio ( 0R ) , titik ekuilibrium bebas penyakit dan titik ekuilibrium endemik

(terjadi wabah), membuktikan bila basic reproduction ratio 0 1R maka titik ekuilibrium

bebas penyakit akan stabil asimtotik global dan jika 0 1R maka titik ekuilibrium endemik

akan ada dan stabil asimtotik global.

Keywords: Model endemik tuberkulosis (TB), basic reproduction ratio ( 0R ), fungsi

lyapunov, stabilitas.

1. Pendahaluan

Tuberkulosis merupakan salah satu penyebab kematian di negara-negara berkembang

yang disebabkan oleh bakteri mycobacterium tubercolosis. Bakteri ini pertamakali

ditemukan oleh Robert Koch pada tanggal 24 Maret 1882. Gejala-gejala penderita

tuberkolosis diantaranya batuk-batuk, sakit dada, nafas pendek, hilang nafsu makan, berat

badan turun, demam, kedinginan, dan kelelahan. Menurut data World Health Organization

(WHO), tuberkolusis masih menjadi penyebab utama meningkatnya angka mortalitas

dunia. Penularan penyakit ini karena kontak dengan dahak atau menghirup titik-titik air

dari bersin atau batuk dari orang yang terinfeksi kuman tuberkulosis, anak anak sering

mendapatkan penularan dari orang dewasa di sekitar rumah maupun saat berada di fasilitas

umum seperti kendaraan umum, rumah sakit dan dari lingkungan sekitar rumah.

Dalam mencegah penyebaran bakteri mycobacterium tubercolosis dilakukan

pengobatan kemoprofilaksis efektif yang diberikan kepada individu yang terinfeksi secara

laten dan pengobatan terapi yang diberikan kepada individu terinfeksi dan menularkan.

Penyebaran penyakit tuberkulosis memerlukan penggunaan model matematika untuk

mendapatkan gambaran dinamika penyebaran penyakit dan untuk menentukan strategi

pengendalian yang efektif. Dalam paper ini disajikan model dasar penyebaran penyakit

tuberkulosis, bagaimana memperoleh basic reproduction ratio ( 0R ), menentukan titik

1 Merupakan kajian teori jurnal pada

[2] 2,3,4

Mahasiswa Program Studi S2 Jurusan Matematika FMIPA UGM


2

ekuilibrium dan membentuk fungsi lyapunov untuk menentukan stabilitas asimtotik global

titik ekuilibrium bebas penyakit (non-endemik) dan titik ekuilibrium endemik.

2. Pembentukan Model Matematika Tuberkolosis

Dalam pembentukan model epidemiologi turbekolosis, populasi dibagi menjadi tiga kelas

(subpopulasi) yaitu kelas individu rentan, kelas individu terinfeksi secara laten dan kelas

individu terinfeksi dan menularkan. Ukuran masing-masing kelas dinyatakan dengan S, E

dan I (Lihat Gambar 1).

Dalam pembentukan model penyebaran tuberkolosis digunakan beberapa asumsi berikut:

1. Penambahan populasi hanya terjadi pada kelas individu rentan dengan laju

penambahan populasi , dan besarnya konstan.

2. Penularan penyakit tuberculosis terjadi setelah adanya kontak yang memadai antara

individu yang rentan dengan individu yang terinfeksi dan menularkan. Individu

terinfeksi secara laten tidak menularkan penyakit tuberkolosis.

3. Kematian yang tidak disebabkan oleh penyakit ( kematian alami ) terjadi pada setiap

kelas individu dengan laju kematian alami . Kematian karena penyakit hanya

terjadi pada kelas individu terinfeksi dan menularkan dengan laju kematian karena

penyakit d d .

4. Individu yang rentan memiliki rata-rata kontak βI untuk menerima penyebaran

penyakit. βSI menyatakan tingkat individu rentan menjadi terinfeksi.

5. Sebanyak p bagian dari kelompok individu yang baru terinfeksi diasumsikan

langsung masuk ke kelas yang teinfeksi dan menularkan, sisanya masuk ke kelas

terinfeksi laten (E).

6. Setelah terinfeksi tuberkolosis individu tersebut akan tetap terinfeksi.

7. Jumlah individu kelas terinfeksi secara laten yang menerima pengobatan

kemoprofilaksis yang efektif dinyatakan dengan 1r E.

8. Tingkat terapi yang efektif yang diberikan kepada kelas individu terinfeksi dan

menularkan perkapita dinyatakan dengan 2r .

9. Kemoprofilaksis dari kelas individu yang terinfeksi laten (E) mengurangi tingkat

reaktivasi bakteri tuberkolosis dan terapi yang dilakukan pada populasi terinfeksi

dan menularkan dapat mengubah status aktif individu terinveksi dan menularkan (I )

menjadi kelas individu yang terinfeksi laten (E).

10. Lamanya kelas individu yang terinfeksi secara laten dan tidak menerima pengobatan

kemoprofilaksis yang efektif diamsumsikan berdistribusi eksponensial, dengan

waktu tunggu rata-rata 1k

.

11. Individu kelas terinfeksi secara laten (E) dan tidak menerima pengobatan

kemoprofilaksis yang efektif akan berkurang sebesar 1(1 )k r E, sedangkan individu

kelas terinfeksi dan menularkan (I) menjadi individu kelas terinfeksi dan rentan (E )

dengan tingkatIr2 .


3

Asumsi diatas diilustrasikan dalam diagram transfer model tuberkolosis berikut:

Selanjutnya, diperoleh model epidemi tuberkolosis sebagai berikut:

2 1

1 2

(1 ) [ (1 )]

(1 ) ( )

S S IS

E p IS r I k r E

I k r E pIS r d I

(1)

Diberikan N(t) menyatakan ukuran populasi pada saat t, maka diperoleh

( ) ( ) ( ) ( )N t S t E t I t . Bedasarkan sistem (1) dan persamaan ( ) ( ) ( ) ( )N t S t E t I t diperoleh

laju total populasi saat t yaitu

N N dI

Ketika tidak terjadi endemik pada populasi berarti jumlah populasi yang terinfeksi secara

laten (E) dan jumlah populasi yang terinfensi dan menularkan (I ) sama dengan nol,

sehingga diperoleh

N N (2)

Dari sini diperoleh solusi PD (2) dengan syarat awal 0(0)N N yaitu

0( ) 1 .t tN t N e e

Jika t membesar, maka lim ( )t

N t , berarti jumlah populasi manusia akan menuju

kapasitas batas . Jika N maka N(t) turun monoton menuju kapasitas batas

dan Jika N maka N(t) naik monoton menuju kapasitas batas . Ketika terjadi

endemik maka penyebaran penyakit dalam populasi akan mengurangi jumlah populasi,

yang diharapkan jumlah populasi tersebut akan lebih dari ( N ).

Lemma 1 Didefesinikan daerah fisibel dari sistem PD (1) sebagai berikut

3( , , ) : 0S E I R S E I (3)

Jika himpunan tertutup dan terbatas, maka

merupakan himpunan invarian positif.

Bukti :

Gambar 1. Diagram transfer untuk model tuberkolosis

pI

S

E

I

(1 )p IΛ1(1 )k r

2rd


4

Dari persamaan (3) diperoleh 0S E I , sehingga

dS E I S E I N dI

dt

N

Oleh karena itu, 0d

S E Idt

untuk N , jadi merupakan himpunan invarian

positif.

3. Analisis Model

Pada bagian ini dibahas: analisa sistem PD (1) untuk mendapatkan basic reproduction

ratio( 0R ), kondisi untuk menentukan eksistensi dan ketunggalan titik ekuilibrium non-

trivial dan kondisi kestabilan asimtotik dari titik ekuilibrium.

3. 1 Basic Reproduction Ratio

Titik ekuilibrium bebas penyakit (non-endemik) dari sistem PD (1) yaitu *

0 0( , 0, 0)X S

dengan 0S . Matriks Jacobian dari sistem PD (1) disekitar titik *

0X adalah :

0

1 0 2

1 0 2

0

0 (1 ) (1 )

0 (1 )

S

J k r p S r

k r pS d r

Salah satu nilai eigen dari matriks J yaitu 1 0 dan nilai eigen yang lain dapat

diperloleh dari matriks berikut :

1 0 2

1

1 0 2

(1 ) (1 )

(1 )

k r p S rJ

k r pS d r

sedemikian sehingga matriks yang berukuran 2 × 2 akan stabil jika nilai trace-nya negatif

1( ) 0tr J dan determinannya positif 1det( ) 0J , sehingga diperoleh :

1 0 1 2

1 2 1 0 1 1 2 0

0 1 2 1

0 1

1 2

( ) 0 (1 ) 2 ,

det( ) 0 (1 ) (1 ) (1 ) (1 )

(1 ) ( ) (1 )

(1 )1.

( ) (1 )

tr J pS k r d r

J d r k r pS k r k r r p S

S p k r r d k r

S p k r

d k r r

Karena 1det( ) 0J , diperoleh :

10 2 2 0 2

1

(1 )(1 )

(1 )

k rpS d r r p S d r

k r

dari pertidaksamaan diatas diperoleh 0 2 1( ) (1 )pS d r k r , berakibat

1( ) 0tr J , dan diperoleh basic reproduction ratio yaitu


5

0 1

0

1 2

(1 ).

( ) (1 )

S p k rR

d k r r (5)

persamaan (5) merupakan basic reproduction ratio untuk kelas individu terinfeksi dan

menularkan. Secara epidemiologi jika 0 1R maka tidak akan terjadi epidemik dan jika

0 1R maka akan terjadi epidemik dalam populasi.

3. 2 Eksistensi dan Ketunggalan Titik Ekuilibrium Endemik

Lemma 2 Jika 0 1R , maka sistem PD (1) memiliki titik ekuilibrium yang tunggal yaitu

* * * *

1 ( , , )X S E I dengan * * *, ,S E I masing-masing didefenisikan sebagai

0

0

2

1 0

0

*

1 (1 )* ,

(1 )

1*

SR

R pE r

k r R

RI

(6 )

Bukti:

Misalkan titik ekuilibrium endemik pada sistem PD (1) yaitu * * * *

1 ( , , )X S E I , sehingga

untuk menentukan titik ekuilibrium *X pada sistem PD (1) dibuat 0S , 0E dan 0I ,

sehingga diperoleh

1 2

1 2

* * * 0,

(1 ) * * (1 ) * * 0,

* * (1 ) * ( ) * 0.

S I S

p S I k r E r I

pS I k r E d r I (7)

Dari persamaan (7) baris pertama dan kedua diperoleh

2

1

* (1 )* , *

* (1 ) *

I pS E r

I k r I (8)

Substitusikan persamaan (8) ke persamaan (7) baris ketiga, diperoleh

0* * 1 0.I I R (9)

Dari persamaan (9) diperoleh dua solusi yaitu * 0I yang merupakan titik ekuilibrium

bebas penyakit (non-endemik) dan

0( 1)* ,

RI


6

yang merupakan titik ekuilibrium endemik. Sehingga bila 0 1R , diperoleh * 0I .

Selanjutnya, disubstitusikan nilai *I kepersamaan (7) diperoleh titik ekuilibrium endemik

pada persamaan (6).

3. 3 Stabilitas Global Titik Ekuilibrium Bebas Penyakit

Pada bagian ini akan ditentukan stabilitas global titik ekuilibrium bebas penyakit.

Teorema 3 Jika 0 1R , maka titik ekuilibrium bebas penyakit *

0 ( ,0,0)X stabil

asimtotik global pada .

Bukti :

Didefenisikan fungsi Lyapunov sebagai berikut :

1 1(1 ) (1 ) .V k r E k r I (10)

Dengan menurunkan persamaan (10) terhadap t dan dari sistem PD (1) diperoleh

1 1

1 2 1

1 1 2

(1 ) (1 ) .

(1 ) (1 ) (1 )

(1 ) (1 ) ( ) .

V k r E k r I

k r p SI r I k r E

k r pSI k r E d r I

(11)

Karena 0S S , diperoleh

0 1 2 1

0 1

1 2

0

(1 ) (1 ) ( )

(1 )1

(1 ) ( )

( 1) .

V S p k r r k r d I

S p k rI

k r d r

R I

(12)

Sehingga jika 0 1R ,maka 0V untuk setiap 0( , , ) ( ,0,0)S E I S , menurut teorema

fungsi lyapunov bagian kedua [3]

, titik ekuilibrium *0X stabil asimtotik pada . Lebih

lanjut jika 0 1R , maka diperoleh 0V . Karena titik ekuilibrium *0X stabil pada 0 1R ,

sehingga diperoleh ( ,0,0) merupakan himpunan invarian terbesar dan

0 ( , , ) | 0S E I V , selanjutnya karena himpunan invarian terbesar termuat dalam

0 . Berdasarkan teorema LaSalle diperoleh titik ekuilibrium bebas penyakit *

0X pada

sistem PD (1) stabil asimtotik global.


7

3. 4 Stabilitas Global Titik Ekuilibrium Endemik

Pada bagian ini akan ditentukan stabilitas global titik ekuilibrium endemik .

Teorema 4 Jika 0 1R maka titik ekuilibrium endemik * * * *

1 ( , , )X S E I stabil asimtotik

global pada

Bukti:

Misalkan fungsi lyapunov yang akan digunakan sebagai berikut :

( *ln( )) ( *ln( )) ( *ln( )),U S S S A E E E B I I I (13)

dimana A dan B adalah suatu konstanta positif. Dengan menurunkan persamaan (13)

terhadap t, diperoleh:

2 1

1 2

* * *1 1 1

* *1 1 (1 ) (1 )

*1 (1 ) ( ) .

S E IU S A E B I

S E I

S ESI S A p SI r I k r E

S E

IB pSI k r E d r I

I

(14)

Dari persamaan (7) dan titik ekuilibrium *

1X endemik diperoleh :

1 2

2 1

* * *,

* * *(1 ) (1 ) ,

* *

** (1 ) .

*

S I S

S I Ik r p r

E E

Ed r pS k r

I

(15)

Selanjutnya sistem PD (1) dan persamaan (15) disubtitusi ke persamaan (14), diperoleh

2 2

1 1

2

* * * *1 * * * 1 (1 ) (1 ) * *

* *1 (1 ) * (1 )

( *) * ** * 1 1 1 (1 ) * *

* *

S E E EU S I S SI S A p SI r I p S I r I

S E E E

I IpSI k r E pS I k r E

I I

S S S SI E SIS I A p S I

S S S I E S

2 1

* * *

** 1 * * (1 ) * .

* * * * * * *

E

I E

I E I SI I E Ir I B S I k r E

I E I S I I E I

(16)

Dengan menggunakan persamaan (7) dari titik ekuilibrium endemik *

1X , diperoleh

2

1

1* (1 ) * * *

(1 )E p S I r I

k r


8

Selanjutnya, disubtitusikan *E ke persamaan (16), sehingga 2

1

1

12

( *) * ** * 1 1 (1 ) 1

* * * * *

(1 )(1 )* *1 1

* * * (1 ) * *

(1* 1

* * *

S S S SI E SI EU S I A p

S S S I E S I E

Bk r pI SI I I E IBp

I S I I k r I E I

Bk rE E Ir I A

E E I

1

) *1 .

(1 ) * *

I E I

k r I E I

(17)

Misalkan ( , , ) , ,* * *

S E Ix y z

S E I , maka dari persamaan (17) diperoleh

2

1 1

2

1 1

2

( *) 1 1 1* * 1 1 1 1 1

1 1 11 1 11 * 1 1

1 1

*, , , , (18)

S SU S I xz A p xz y Bp xz z

S x z z

Bk r p Bk ry z r I A z y y z

k r z z k r z

S Sf x y z t

S

dengan

1 2 2

1

1

1

1

2

1

, , * * , , * , ,

1 1, , 1 1 1 1

1 11 11 1

1

11 1, 1 1

1

f x y z S I f x y z r I f y z

f x y z xz A p xz yx z

Bk r pBp xz z y z

z k r z

Bk rf y z A z y y z

z k r z

(19)

Konstanta A dan B akan dipilih dalam bentuk A(p) dan B(p) sehingga fungsi f akan

bernilai non-positif untuk setiap , ,x y z , sedemikian sehingga turunan U(t) terhadap t

akan kurang dari nol. Dipilih

1 1

1 1

1 1dan

1 1

k r k rA B

p k r p k r

(20)

Subtitusi persamaan (20) ke persamaan (19) diperoleh


9

11

1

1 1

2

1

2

1

11 11, , 1 1 1 ,

1 1

1, (21)

1

p k rk r pf x y z xz z xz x z xz z x

x p k r p k r

k r y zf y z

p k r yz

dari persamaan (21), nilai dari fungsi f2 akan kurang dari nol dan akan sama dengan nol

jika y = z . Disamping itu, jika fungsi f1 diturunkan terhadap p diperoleh

1 , , 0f

x y zp

Jika nilai x, y dan z tetap, maka untuk [0,1]p fungsi f 1 akan mencapai maksimal di p =

0 atau p = 1.

Misalkan p = 1. Subtitusikan p = 1 pada fungsi f 1 di persamaan (22) diperoleh

1

1, , 2f x y z x

x (22)

Menggunakan ketidaksamaan nilai rata-rata aritmetik-geometrik diperoleh 1 , , 0f x y z

Analog untuk p = 0 disubtitusi pada fungsi f 1 di persamaan (22) diperoleh :

1

1, , 2f x y z x

x

diperoleh 1 , , 0f x y z , berakibat ( ) 0U t untuk setiap ( , , )S E I , menurut teorema

fungsi lyapunov yang kedua titik ekuilibrium *1X stabil asimtotik pada , lebih lanjut jika

*S S , *E E dan *I I dari persamaan (17) diperoleh 0U sehingga dapat

didefenisikan himpunan * * *

1 ( , , ) | 0 ( , , ) | , ,S E I V S E I S S E E I I

berakibat Bila 0 1R berakibat 1{ *, *, *}S E I merupakan himpunan invarian

terbesar 1 , menurut teorema LaSalle diperoleh titik ekuilibrium bebas penyakit *

1X pada

sistem (1) stabil asimtotik Global.

3.5 Simulasi Numerik

Pada bagian ini akan dilakukan simulasi numerik untuk sistem (1) menggunakan software

Matlab 2009.

3.5.1 Simulasi Untuk 10R

Berdasarkan syarat agar 10R , diberikan nilai parameter sebagai berikut :

01.0dan003.0,006.0,032.0,001.0,2.0,10,015,0 21 rdrkp ,

selanjutnya diperoleh titik kritis : 0,0,*

0X 0,0,50


10

Gambar 1

Gambar 1 menunjukkan perubahan jumlah populasi S , E dan I terhadap waktu. Terlihat

bahwa untuk jangka waktu yang lama populasi E dan I akan mengalami penurunan dan

akan menuju nol, sedangkan populasi S akan mengalami peningkatan hingga mencapai

ambang batas (50). Hal ini berarti jika parameter yang terbentuk memenuhi syarat 10R

maka penyakit tuberkolosis akan dapat dikendalikan.

Gambar 2 : Trajectori untuk Sistem (1) dan kurva akan konvergen ke titik ekuilibrium

bebas penyakit *

0X ketika 10R


11

3.5.1 Simulasi Untuk 10R

Berdasarkan syarat agar 10R , diberikan nilai parameter sebagai berikut :

01.0dan003.0,006.0,52.0,001.0,2.0,10,045,0 21 rdrkp ,

selanjutnya diperoleh titik kritis : 427.4525928,011.65428943,6.88397067*

1X

Gambar 3

Gambar 3 menunjukkan perubahan jumlah populasi S , E dan I terhadap waktu. Terlihat

bahwa untuk jangka waktu yang lama populasi S akan mengalami penurunan dan

selanjutnya akan konstan, populasi E untuk jangka waktu tertentu akan naik, selanjutnya

akan kembali turun dan menjadi konstan. sedangkan populasi I akan mengalami

peningkatan hingga mencapai ambang batas (50). Hal ini berarti jika parameter yang

terbentuk memenuhi syarat 10R maka penyakit tuberkolosis akan mewabah dan tidak

dapat dikendalikan.


12

Gambar 2 : Trajectori untuk Sistem (1) dan kurva akan konvergen ke titik ekuilibrium

endemik *

1X ketika 10R

4. Kesimpulan

1. Pada model penyebaran penyakit tuberkolosis, diperoleh basic reproduction number

yaitu :

1

0

1 2

(1 ).

( ) (1 )

p k rR

d k r r

2. Bila 10R maka titik ekuilibtium 0,0, stabil asimtotik global berarti untuk

jangka waktu yang lama penyakit tuberkolosis akan hilang dari populasi, sedangkan

bila 10R titik ekuilibrium * * * *

1 ( , , )X S E I stabil asimtotik global dengan :

0

0

2

1 0

0

*

1 (1 )* ,

(1 )

1*

SR

R pE r

k r R

RI

Ini berarti untuk jangkan waktu yang lama akan terjadi endemik atau penyakit akan

mewabah sehingga mengakibatakan populasi yang terinfeksi dan menularkan akan

semakin bertambah.


13

REFERENSI

[1] Arrowsmith D.R. dan Place C.M. 1992. Dynamical System Differential Equation.

Maps and Chaotic Behaviour. Chapman & Hall Mathematic. London.

[2] B. Samuel, J. T. Jean, C. K. Jean, Stability analysis of the transmission dynamics of

tuberculosis models, World Academik Union, Cameron, 2011

[3] Olsder G.J 1994. Mathematical system Theory. Delft Uitgevers Maatschappij.

Netherlands.

[4] Perko L. 1991. Differential Equations and Dynamical Systems. Springer-Verlag.

NewYork.

[5] Ross S.L. 1984. Differential Equations 3th

edition. John Wiley & Sons. University of

New Hampshire.

[6] Tri Putra. R. 2011. Jurnal : Kestabilan Lokal Bebas Penyakit Model Endemi SEIR

dengan Kemampuan Infeksi Pada Periode Laten, Infeksi Dan Sembuh, Kampus

Limau Manis, Padang

[7] www.id.wikipedia.com/Tuberkolosis diakses tanggal 19 Mei 2013

http://www.id.wikipedia.com/Tuberkolosis

Biomath paper

Documents

Transcript of Biomath paper