คณิตศาสตร์พื�นฐาน ชั�นมธัยมศึกษาปีที� 5

เล่ม 2

สารบัญ

หนา บทที่ 1 สถิติและขอมูล 1 ผลการเรียนรูที่คาดหวัง 1 ขอเสนอแนะ 1 กิจกรรมเสนอแนะ 3 การประเมินผล 8 เฉลยแบบฝกหัด 8 เฉลยแบบฝกหัด 1 8 บทที่ 2 การวิเคราะหขอมูลเบื้องตน 9 ผลการเรียนรูที่คาดหวัง 9 ขอเสนอแนะ 9 กิจกรรมเสนอแนะ 11 ตัวอยางแบบทดสอบประจําบท 18

เฉลยตัวอยางแบบทดสอบประจําบท 20 เฉลยแบบฝกหัด 22 เฉลยแบบฝกหัด 2.1 22

เฉลยแบบฝกหัด 2.2.1 29 เฉลยแบบฝกหัด 2.2.2 32

เฉลยแบบฝกหัด 2.3 35 เฉลยแบบฝกหัด 2.4 37

เฉลยแบบฝกหัด 2.5 41 เฉลยคําถามเพิ่มเติม 48

บทที่ 3 การสํารวจความคิดเห็น 50 ผลการเรียนรูที่คาดหวัง 50 ขอเสนอแนะ 50 กิจกรรมเสนอแนะ 51

การประเมินผล 62 ตารางเลขสุม 63

8

การประเมินผล เนื่องจากในการเรียนการสอนเรื่อง สถิติและขอมูลใหความสําคัญเกี่ยวกับความเขาใจพื้นฐานและการนําไปใช ดังนั้น ในการประเมินผลผูสอนอาจจะประเมินจากผลงานที่ผูเรียนแตละกลุมไปทํากิจกรรมมาโดยพิจารณาจากความถูกตอง ความนาสนใจ ของผลงาน การนําเสนอ การสื่อความหมายใหผูอ่ืนไดรับรูเรื่องราวที่นําเสนอไดอยางถูกตองชัดเจน แทนการใชขอสอบ

เฉลยแบบฝกหัด

เฉลยแบบฝกหัด 1 1. 1) เชิงปริมาณ 2) เชิงปริมาณ 3) เชิงคุณภาพ 4) เชิงคุณภาพ 5) เชิงปริมาณ 6) เชิงคุณภาพ 7) เชิงคุณภาพ 8) เชิงปริมาณ 2. 1) 2) 3) 4)

5) 6) 7) 3. 1) ก 2) ข 4. ข 5. ค

22

6. ขอ 4) 65% ของนักเรียนที่เขาสอบไดคะแนนนอยกวาหรือเทากับคะแนนของนัท 7. คะแนน 84 คะแนนคือคะแนนในตําแหนง P75 นั่นคือ ถามีนักเรียน 100 คน จะมี 75 คนที่ไดคะแนนนอยกวาหรือเทากับ 84

ดังนั้น เมื่อมีนักเรียน 280 คน จะมีนักเรียน 75 280100

× = 210 คนที่ไดคะแนน นอยกวาหรือเทากับ 84 คะแนน

เฉลยแบบฝกหดั

เฉลยแบบฝกหัด 2.1 1. 1)

ยอดเงินที่จาย (บาท) จํานวนลูกคา ต่ํากวา 100 100 – 199 200 – 299 300 – 399 400 – 499 500 – 599 600 – 699

2 4 11 13 14 5 1

2) 400 – 499 บาท 3) มากกวา 1 คน 4) ประมาณจํานวนเงินในชวงต่ํากวา 100 ใหเทากับ 50 บาท หาคากึ่งกลางของ แตละอันตรภาคชั้นและประมาณจํานวนเงินที่ลูกคาจายโดยใชจุดกึ่งกลาง

23

จุดกึ่งกลาง จํานวนลูกคา จํานวนเงิน 50

149.5 249.5 349.5 449.5 549.5 649.5

2 4 11 13 14 5 1

50 × 2 149.5 × 4

249.5 × 11 349.5 × 13 449.5 × 14 549.5 × 5 649.5 × 1

รวม 17,676 ลูกคาทั้ง 50 คนใชเงินในการซื้อสินคาประมาณ 17,676 บาท 2. จากตารางแจกแจงความถี่สะสมที่กําหนดให จะไดตารางแจกแจงความถี่ดังนี้

อายุ (ป) ความถี่ (คน) 10 – 19 20 – 29 30 – 39 40 – 49 50 – 59 60 – 69

2 15 10 5 0 3

รวม 35

1) จากตารางแจกแจงความถี่ที่ได คนที่มีอายุอยูในชวง 10 - 19 ป มี 2 คน ชวง 20 – 29 ป มี 15 คน ชวง 30 – 39 ป มี 10 คน ชวง 40 – 49 ป มี 5 คน ไมมีคนที่มีอายุอยูในชวง 50 – 59 ป และคนที่มีอายุอยูในชวง 60 – 69 ป มี 3 คน

2) 20 – 29 ป

24

3. 1) 80 – 89 คะแนน ม ี8 คน 60 – 89 คะแนน มี 49 คน 2) 3 คน 3) 70 – 79 คะแนน 4) 31 คน 4. 1) เนื่องจากคาต่ําสุดของขอมูลคือ 345 คน และสูงสุดคือ 730 คน สรางตารางแจกแจงความถี่ใหมี 10 อันตรภาคชั้นไดดังนี้

จํานวนประชากร รอยขีด จํานวนหมูบาน 341 – 380 381 – 420 421 – 460 461 – 500 501 – 540 541 – 580 581 – 620 621 – 660 661 – 700 701 – 740

// //// //

//// //// //// //// //// //// / //// //// / //// //// /

/// / /

2 7 5

14 11 11 11 3 1 1

25

2) อันตรภาคชั้น ความถี่ ความถี่สะสม

341 – 380 381 – 420 421 – 460 461 – 500 501 – 540 541 – 580 581 – 620 621 – 660 661 – 700 701 – 740

2 7 5

14 11 11 11 3 1 1

2 9 14 28 39 50 61 64 65 66

(1) 28 หมูบาน (2) 48 หมูบาน (3) จํานวนหมูบานที่มีประชากรอาศัยอยูเกิน 660 คน เทากับ 66 – 64 หรือ 2 หมูบาน ซึ่งคิดเปนรอยละ 2 100

66× หรือประมาณรอยละ 3

5. 1)

เวลา (t นาที) รอยขีด ความถี่ 0 < t ≤ 5

5 < t ≤ 10 10 < t ≤ 15 15 < t ≤ 20 20 < t ≤ 25 25 < t ≤ 30

/ ////

//// //// //// //// //// /

/

1 5 9 10 6 1

รวม 32

26

2) จากตารางนักเรียนจํานวนมากที่สุดใชเวลาเดินทางมากกวา 15 นาที แตไมเกิน 20 นาที

3 ) จากขอมูลขางตนนาจะสรุปไดวา ที่พักของนักเรียนเหลานี้ไมไกลจากโรงเรียนมากนัก (ครูกับผู เรียนอาจอภิปรายเพิ่มเติมจากขอมูลก็ได โดยคําตอบและคําอธิบายที่ใหควรสมเหตุสมผล และอาจเปนประเด็นใหทําการสํารวจขอมูลตอไป)

6. 1) จํานวนเด็ก (คน) รอยขีด ความถี่

(ครอบครัว) 1 2 3 4 5 6 7 8 9

//// //// /

//// //// //// //// //// // //// //

// /// /

5 6

19 7 7 2 3 0 1

รวม 50 2) (1) 19 ครอบครัว (2) 25 ครอบครัว (6 + 19) (3) 11 ครอบครัว (5 + 6) (4) 30 ครอบครัว (19 + 6 + 5) (5) 20 ครอบครัว (50 – 30) (6) 30 ครอบครัว (19 + 6 + 5) 3) (1) 20 100

50× หรือ รอยละ 40 (2) 30 100

50× หรือ รอยละ 60

(3) 20 10050

× หรือ รอยละ 40 (4) 13 10050

× หรือ รอยละ 26

27

7. 1) คะแนน ความถี่ ความถี่สัมพัทธ ความถี่สะสม 30 – 39 40 – 49 50 – 59 60 – 69 70 – 79 80 – 89 90 – 99

2 0 6 6 10 13 8

4.44 0

13.33 13.33 22.22 28.89 17.78

2 2 8 14 24 37 45

2) ชวงคะแนน 80 – 89 คะแนน 3) 13.3% 4) 37 คน 5) 17.8% 8. 1) (1) 2,467,839 คน (2) 38,074 คน (3) 4,954,109 คน (4) 3,794,796 คน 2) (1) 16.53% (2) 1.73% (3) 24.32% (4) 33.24% (5) 31.75% 9. 1) นักเรียนที่ไดคะแนนวิชาคณิตศาสตรตั้งแต 80 ถึง 89 คะแนน มี 8 คน นักเรียนที่ไดคะแนนวิชาคณิตศาสตรตั้งแต 60 ถึง 89 คะแนน มี 58 – 9 = 49 คน 2) นักเรียนที่ไดคะแนนวิชาคณิตศาสตรต่ํากวา 50 คะแนน มี 3 คน 3) ชวงคะแนนที่มีจํานวนนักเรียนไดมากที่สุด คือ ชวง 70 – 79 คะแนน 4) นักเรียนที่ไดคะแนนวิชาคณิตศาสตรตั้งแต 70 คะแนนขึ้นไป มี 60 – 29 = 31 คน

28

10. 1) ระดับคะแนน จํานวนนักเรียน

4 3 2 1

ไมผาน

8 13 10 12 2

รวม 45

2) ระดับคะแนน 3 11. 1)

คะแนนสอบ ความถี่ ความถี่สะสม 701 – 800 601 – 700 501 – 600 401 – 500 301 – 400 201 – 300

4 10 15 18 11 2

60 56 46 31 13 2

2) จํานวนนักเรียนที่ไดคะแนนมากกวา 700 คะแนน ม ี 4 คน จํานวนนักเรียนที่ไดคะแนนต่ํากวา 301 คะแนน มี 2 คน

จํานวนนักเรียนทั้งสองกลุมเทากับ 6 คน คิดเปนรอยละ 6 10060

× หรือ 10% ของจํานวนนักเรียนทั้งหมด

29

กิจกรรม กิจกรรมนี้ผูสอนใหผูเรียนแบงกลุมกันกําหนดระดับคะแนนและใหแตละกลุม มานําเสนอความคิดเห็นของตน เพื่อฝกทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตร โดยใชความรูสถิติในเรื่องที่เรียนมา ทั้งนี้อาจใชคะแนนในโจทยขอ 11 หรือนักเรียนกําหนดคะแนนขึ้นเองก็ได

เฉลยแบบฝกหัด 2.2.1 1. 1) ตารางแจกแจงความถี่ของจํานวนบุหรี่ที่ผูปวยสูบในแตละวัน

จํานวนบุหรี่ (มวน) รอยขีด จํานวนผูปวย (คน) 7 – 9

10 – 12 13 – 15 16 – 18 19 – 21

/ //// //// //// //

1 5 4 4 2

2) ฮิสโทแกรมแสดงจํานวนบุหรี่ที่ผูปวยสูบในแตละวัน

1 0

3 2

5 4

จํานวนบุหรี่ (มวน)

จํานวนผูปวย (คน)

11 8 14 17 20

30

2. 1) ตารางแจกแจงความถี่ของน้ําหนักนักเรียน 50 คน

น้ําหนัก รอยขีด ความถี่ 40 – 44 45 – 49 50 – 54 55 – 59 60 – 64

/// //// //// //// //// //// //// / //// //// /// ////

3 9

21 13 4

2) ฮิสโทแกรมแสดงน้ําหนักนักเรียน

3. 1) นักเรียนที่สูงที่สุด สูง 175 เซนติเมตร นักเรียนที่เตี้ยที่สุด สูง 151 เซนติเมตร ทั้งสองคนมีความสูงแตกตางกัน 24 เซนติเมตร 2) ตารางแจกแจงความถี่แสดงความสูงของนักเรียน

ความสูง รอยขีด จํานวนนักเรียน 150 – 156 155 – 159 160 – 164 165 – 169 170 – 174 175 – 179

//// // //// //// //// /// //// //// //// / //// /// /

7 18 10 6 8 1

3 0

9 6

15 12

น้ําหนัก (กิโลกรัม)

จํานวนนักเรียน (คน)

21 18

42 47 52 57 62

31

3) ฮิสโทแกรมแสดงความสูงของนักเรียน 4. 1) 50 ผล 2) 36 ผล คิดเปน 72% ของจํานวนผลสมทั้งหมด 3)

3 0

9 6

15 12

152 ความสูง (ซม.)

จํานวนนักเรียน (คน)

157 162 167 172

21 18

177

2 0

6 4

10 8

64.5 น้ําหนัก (กรัม) / ผล

จํานวนผลสม (ผล)

74.5 84.5 94.5 104.5

12

114.5 124.5 134.5

32

เฉลยแบบฝกหัด 2.2.2 1. 1) จากขอมูลที่กําหนดใหนํามาจัดเรียงใหมไดดังนี้ 19 24 24 24 23 31 35 36 38 34 38 33 36 44 43 47 44 42 49 48 จากขอมูลที่จัดเรียงขางตนนํามาเขียนแผนภาพตน-ใบ ไดดังนี้ 1 9 2 3 4 4 4 3 1 3 4 5 6 6 8 8 4 2 3 4 4 7 8 9 2) จากแผนภาพตน-ใบ พบวา ในชวง 30 – 39 คะแนนมีจํานวนนักเรียนมากที่สุด 2. 1) จากขอมูลที่กําหนดใหเขียนแผนภาพตน-ใบ ไดดงันี้ 0 7 8 9 1 1 2 3 4 6 7 8 8 9 2 2 2 4 5 3 0 2 2 3 4 5 4 1 3 5 6 5 1 6 6 6 1 2) อายุต่ําสุดของผูเขาชมนิทรรศการ คือ 7 ป อายุสูงสุดของผูเขาชมนิทรรศการ คือ 61 ป 3) ผูเขาชมนิทรรศการมีอายุอยูในชวง 10 – 19 ป มากที่สุด

33

3. 1) 12 3 9 9 13 1 2 5 7 14 4 8 15 0 1 1 3 4 4 8 9 16 0 0 1 6 17 0 5 6 18 0 3 5 9 19 8 20 6 2) คนไขมีความดันโลหิตในชวง 150 – 159 มากที่สุด 4. 1) 9 20 20 60 80 90 10 00 40 11 20 40 50 70 12 40 40 60 60 70 13 00 30 50 60 60 14 00 30 60 80 15 20 50 60 70 16 10 80 17 20 18 19 40 20 00 90

9 20 แทน 920 10 00 แทน 1000

34

2) พนักงานไดรับเงินสมทบในชวง 900 – 990 บาท 1200 – 1290 บาท และ 1300 – 1390 บาท ชวงละ 5 คนเทากัน จึงอาจกลาวไดวาไมมีชวงจํานวนเงินใดที่มีพนักงานจํานวนมากที่สุดไดรับเงินในชวงนั้น

3) พนักงานที่ไดรับเงินสมทบในชวงต่ําสุด มี 5 คน ซึ่งมากกวาพนักงานที่ไดรับเงินสมทบในชวงสูงสุด 3 คน

5. 1) 25 คน 2) เวลาที่นอยที่สุด 41 นาที เวลาที่มากที่สุด 90 นาที 6. มี 11 คน หรือคิดเปน 11 100

25× หรือ 44%

7. 1) 0 5 5 1 0 0 5 5 2 0 0 0 0 0 0 0 0 5 5 5 5 5 5 5 5 3 0 0 0 0 5 4 0 5 5 2) 20 – 29 นาที 8. 1) 9 0 5 8 10 4 4 5 6 11 1 2 3 7 12 2 2 3 4 5 8 8 13 1 2 3 4 5 9 9

2) มี 14 10025

× หรือ 56%

35

9. 1) คาประมาณของความสูงของตนไมที่ประมาณไวสูงมากที่สุด คือ 6.6 เมตร คาประมาณของความสูงของตนไมที่ประมาณไวสูงนอยที่สุด คือ 2.4 เมตร 2) จํานวนนักเรียนที่ประมาณความสูงของตนไมต่ํากวา 4 เมตร มี 12 100

30× = 40%

เฉลยแบบฝกหัด 2.3

1. เนื่องจากมีนักเรียน 9 คน ที่ไดคะแนนสอบนอยกวาหรือเทากับ 25 คะแนน และ คะแนน 25 คะแนนเปนคะแนนในตําแนง P25 ดังนั้น นักเรียน 9 คน คิดเปนรอยละ 25 ของจํานวนนักเรียนที่เขาสอบทั้งหมด ถาใหจํานวนนักเรียนทั้งหมด คือ N คน จะได 25 N

100× = 9 ซึ่งได N = 36

นั่นคือ มีนักเรียนเขาสอบครั้งนี้ทั้งหมด 36 คน หมายเหต ุ อาจมีนักเรยีนบางคนคิดวา P25 คือคะแนนของนักเรียนในตาํแหนงที่ 9 แลว ใชสูตร

เขียนสมการ 25(N +1) = 9100 จะไดวา N = 35 และตอบวามีนักเรียนเขาสอบทั้งหมด

35 คน การตอบเชนนี้ก็ถือวาเปนคําตอบที่ถูกตองเชนกนั เพราะคะแนน 25 ซ่ึงเปนคะแนนของตําแหนง P25 อาจเปนคะแนนของนักเรียนคนที่ 9 หรืออยูระหวางคะแนนของคนที่ 9 และคนที่ 10 ก็ได และถาคะแนน 25 เปนคะแนนของคนที่ 9 ก็จะไดวามีนกัเรียนเขาสอบ 35 คน แตถาคะแนนนั้นเปนคะแนนระหวางคนที่ 9 และคนที่ 10 ก็จะไดวามีนกัเรียนเขาสอบ 36 คน ดังนั้นเมื่อนักเรียนตอบ 35 หรือ 36 คน ก็ถือวาตอบถูกตองทั้งคู ขึ้นอยูวานกัเรียนมีกระบวนการคิดเชนไร

2. คะแนนในตําแหนงเปอรเซ็นไทลที่ 40 เทากับ 78 คะแนน และมีนักเรียน 8 คนที่ไดคะแนนเทากับหรือนอยกวา 78 คะแนน

จาก 40 N 8100

× = จะได N = 20 ดังนั้น จะมีนักเรียนที่ไดคะแนนมากกวา 78 คะแนน อยู 20 – 8 หรือ 12 คน

3. เนื่องจาก 20 10025

× = 80% ดังนั้น คะแนน 92 คะแนนอยูในเปอรเซ็นไทลที่ 80

36

4. 80% ของคนที่สอบวิชาภาษาไทยเหมือนเตาไดคะแนนนอยกวาหรือเทากับคะแนน ที่เตาได

5. 6 คน

6. เนื่องจากรอยละ 68 ของนักเรียนที่เขาสอบทั้งหมด 25 คน เทากับ 68 25100

× หรือ 17 คน ดังนั้น คะแนนที่อยูในตําแหนงเปอรเซ็นไทลที ่68 คือ 88 คะแนน

7. จากขอมูลที่กําหนดให สรางแผนภาพตน-ใบไดดังนี้ 3 0 4 9 4 0 7 9 5 0 0 1 2 2 3 4 4 4 4 5 6 7 8 8 9 6 0 1 3 4 4 9 9 9 7 0 1 จากแผนภาพตน-ใบ 1) นักเรียนตองสอบได 52 คะแนน จึงจะมีนักเรียนที่ไดคะแนนนอยกวาคะแนนนี้ ประมาณรอยละ 30 หรือประมาณ 10 คน จาก 32 คน นักเรียนตองสอบได 56 คะแนน จึงจะมีนักเรียนที่ไดคะแนนนอยกวาคะแนนนี้ ประมาณรอยละ 55 หรอืประมาณ 18 คน จาก 32 คน 2) นักเรียนตองสอบได 54 คะแนน จึงจะมีนักเรียนที่ไดคะแนนนอยกวาคะแนนนี้ ประมาณ 4 ใน 10 หรือประมาณ 13 คน จาก 32 คน นักเรียนตองสอบได 69 คะแนน จึงจะมีนักเรียนที่ไดคะแนนนอยกวาคะแนนนี้ ประมาณ 9 ใน 10 หรือประมาณ 29 คน จาก 32 คน 3) นักเรียนตองสอบได 63 คะแนน จึงจะมีนักเรียนที่ไดคะแนนนอยกวาอยู 3 ใน 4 หรือประมาณ 24 คน จาก 32 คน

37

เฉลยแบบฝกหัด 2.4

1. คาเฉลี่ยเลขคณิต คือ 8 มัธยฐาน คือ 8 ฐานนิยม คือ 8 ขอความที่เปนจริงสําหรับขอมูลชุดนี้คือ ขอความ 2) และขอความ 4)

2. คาเฉลี่ยเลขคณิต คือ 40 มัธยฐาน คือ 40 ดังนั้น ขอความ 2) ถูกตอง

3. ขอมูลทั้งหมด 7 จํานวน มีคาเฉลี่ยเลขคณิต คือ 81 จะได ผลรวมของขอมูลทั้ง 7 จํานวน คือ 81 × 7 = 567 ตัดขอมูลออกไป 1 จํานวน คาเฉลี่ยเลขคณิต คือ 78 จะไดผลรวมของขอมูล 6 จํานวน คือ 78 × 6 = 468 นั่นคือ ขอมูลที่ถูกตัดออกไปมีคา 567 – 468 = 99

4. 1) X = 3 มัธยฐาน = 3 ฐานนิยม = 3 2) X = 3 มัธยฐาน = 2 ฐานนิยม = 1 3) X = 2 มัธยฐาน = 1 ฐานนิยม = 1 4) X = 4 มัธยฐาน = 3 ฐานนิยม = 1 จะได ขอมูลชุด 1) ที่มีคาเฉลี่ยเลขคณิต มัธยฐาน และฐานนิยมเทากัน

5. คาเฉลี่ยเลขคณิตของน้ําหนักนักเรียนสามคน คือ 38 กิโลกรมั จะไดผลรวมของน้ําหนักของนักเรียนสามคน เทากับ 38 × 3 = 114 กิโลกรัม มีนักเรียนหนึ่งคนในกลุมนี้หนัก 46 กิโลกรัม ดังนั้น อีกสองคนที่เหลือมีน้ําหนักรวมกัน 114 – 46 = 68 กิโลกรัม แตสองคนที่เหลือมีน้ําหนักเทากัน จะไดวา แตละคนมีน้ําหนัก 68

2 = 34 กิโลกรัม

38

6. ตองการคาเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบ 4 ครั้งเปน 85 คะแนน จะไดผลรวมของคะแนนสอบ 4 ครั้ง เทากับ 85 × 4 = 340 คะแนน สอบ 3 ครั้ง เจี๊ยบไดคะแนน 78, 89 และ 82 คะแนน ดังนั้น สอบครั้งที่ 4 เจี๊ยบตองไดคะแนน 340 – (78 + 89 + 82) = 91 คะแนน

7. มัธยฐาน คือ 87 ซึ่งตองอยูเปนอันดับที่ 3 ของขอมูลที่เรียงคะแนนจากนอยไปมาก ฐานนิยมคือ 80 ซึ่งนอยกวามัธยฐาน ดังนั้นขอมูลมี 80 อยู 2 จํานวน คาเฉลี่ยเลขคณิตเปน 86 จะไดผลรวมของขอมูลทั้ง 5 จํานวนเปน 86 × 5 = 430 คะแนน นั่นคือ ขอมูลอีก 2 จํานวน ตองมีผลรวมเปน 430 – (87 + 80 + 80) = 183 คะแนน ขอมูลที่อยูถัดจากมัธยฐานไปจะมีคานอยที่สุดที่เปนไปไดคือ 88 คะแนน ดังนั้น คะแนนสอบสูงสุดที่เปนไปไดคือ 183 – 88 = 95 คะแนน

8. คาเฉลี่ยเลขคณิตของจํานวนเต็มบวกหาจํานวน คือ 360 จะได ผลรวมของจํานวนเต็มบวกหาจํานวน เทากับ 360 × 5 = 1800 สองจํานวนสุดทาย คือ 102 และ 99 นั่นคือ ผลรวมของจํานวนเต็มบวกอีกสามจํานวน ที่เหลือจะเปน 1800 – (102 + 99) = 1599 และมีการเรียงลําดับจํานวนจากมากไปนอย นั่นคอื สองจํานวนกอนหนา คะแนนสูงสุด จะมีคานอยสุดที่เปนไปไดคือ 102 กับ 102 ดังนั้น จํานวนมากที่สุดที่เปนไปไดคือ 1599 – (102 + 102) = 1395

9. คาเฉลี่ยเลขคณิตของหาวิชา ตองได 90 เปนอยางนอย จะไดผลรวมของคะแนนหาวิชา อยางนอยตองเทากับ 90 × 5 = 450 คะแนน ผลการสอบ 4 ครั้ง เกงสอบได 85, 89, 87 และ 96 คะแนน

ดังนั้น ครั้งที่ 5 เกงตองไดคะแนนอยางนอย 450 – (85 + 89 + 87 + 96) = 93 คะแนน

10. 1) คาเฉลี่ยเลขคณิต คือ 8 จะได ตัวเลขที่สุมไดที่มากกวาคาเฉลี่ยเลขคณิต คือ 10 กับ 13 ดังนั้น ความนาจะเปน เทากับ 2

6 = 1

3

39

2) มัธยฐานเทากับ 7 82+ = 7.5

จะไมมีตัวเลขที่สุมไดที่มีคาเทากับมัธยฐาน ดังนั้น ความนาจะเปนที่จะสุมไดตัวเลขที่เทากับ มัธยฐานจึงเปน 0

11. คาเฉลี่ยเลขคณิต เทากับ 17 14 11 6 x5

+ + + + = 48 x5+

แยกกรณีพิจารณาคา x กรณีท่ี 1 ถา x ≤ 11 มัธยฐานคือ 11 จะได 48 x

5+ = 11

x = 55 – 48 = 7

กรณีท่ี 2 ถา 11 < x < 14 มัธยฐานคือ x จะได 48 x

5+ = x

48 + x = 5x x = 12

กรณีท่ี 3 ถา x ≥ 14 มัธยฐานคือ 14 จะได 48 x

5+ = 14

x = 70 – 48 = 22 นั่นคือ x มคีาเทากับ 7, 12 และ 22 จะทําใหคาเฉลี่ยเลขคณิตและมัธยฐานของ

ขอมูลมีคาเทากัน

12. 1) ควรใชมัธยฐานเปนตัวแทนของขอมูลชุดนี้ เพราะจากแผนภาพขอมูลสวนใหญ อยูในชวง 3 – 29 และขอมูลมีการกระจายมาก 2) คาเฉลี่ยเลขคณิต คือ 28 มัธยฐาน คือ 22

40

13. 1) แผนภาพตน-ใบ 12 3 9 9 13 1 2 5 7 14 4 8 15 0 1 1 3 4 4 8 9 16 0 0 1 6 17 0 5 6 18 0 3 5 9 19 8 20 6 2) จากแผนภาพควรใชคาเฉลี่ยเลขคณิตเปนคากลางแทนขอมูลชุดนี้ เพราะขอมูล ไมกระจายมาก 3) คาเฉลี่ยเลขคณิต คือ 158.23 มัธยฐาน คือ 154 158

2+ = 156

ขอสังเกต ขอมูลชุดนี้ไมกระจายมาก ดังนั้น คาเฉลี่ยเลขคณิต และมัธยฐาน จึงไมแตกตางกันมาก

14. 1) คาเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนที่คาดวาจะไดควรจะสูงกวาคาเฉลี่ยเลขคณิตของ คะแนนจริง เนื่องจากคะแนนสวนใหญ (16 จาก 21 จํานวน) มีคาอยูระหวาง 30 – 48 คะแนน ในขณะนี้คะแนนจริงที่มีคาระหวาง 30 – 50 คะแนน มี 13 จํานวน จาก 21 จํานวน 2) คาเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนที่คาดวาจะได คือ 36.43 คะแนน คาเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนที่นักเรียนไดจริง คือ 33.05 คะแนน ซึ่งคาเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนที่คาดวาจะไดมีคาสูงกวาคะแนนที่นักเรียนไดจริง

41

15. 1) จํานวนนักเรียนทั้งหมดที่ทําแบบทดสอบ มี 25 คน 2) เวลาที่มากที่สุดที่ใชทําแบบทดสอบ 90 นาที เวลานอยที่สุดที่ใชทําแบบทดสอบ 41 นาที 3) มัธยฐาน คือ 65 นาที ฐานนิยม คือ 71 นาที

16. 1) นักเรียนที่สูงที่สุดสูง 172 เซนติเมตร 2) คาเฉลี่ยเลขคณิตของความสูง คือ 157.6 เซนติเมตร มัธยฐาน คือ 159 เซนติเมตร 3) นักเรียนที่สูงมากกวา 169 เซนติเมตร ม ี20% ของจํานวนนักเรียนทั้งหมด

17. X = 25.04 กิโลกรัม มัธยฐาน = 22 กิโลกรัม ฐานนิยม = 22 กิโลกรัม

เฉลยแบบฝกหักหัด 2.5 1. 1) หาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานโดยใชการประมาณจากพิสัย

จะได s ≈ = 7 24− = 1.25

X = 205

= 4

หาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานจากสูตร s = n

2i

i 1(X X)

n 1=

−

−

∑

จะได s = 4 1 1 9 14

+ + + + = 4 = 2

พิสัย 4

42

2) หาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานโดยใชการประมาณจากพิสัย

จะได s ≈ = 37 204− = 4.25

X = 1505

= 30

หาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานจากสูตร s = n

2i

i 1(X X)

n 1=

−

−

∑

s = 100 25 9 1 494

+ + + + = 46 ≈ 6.78 3) หาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานโดยใชการประมาณจากพิสัย จะได s ≈ 6 1

4−

= 1.25 X = 33

11 = 3

หาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานจากสูตร s = 4 0 1 4 1 9 1 4 1 0 110

+ + + + + + + + + + ≈ 2.60 ≈ 1.61 4) หาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานโดยใชการประมาณจากพิสัย จะได s ≈ 12 2

4− = 2.5

X = 6012

= 5

หาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานจากสูตร s = 4 49 0 1 4 9 1 0 1 0 0 111

+ + + + + + + + + + + ≈ 6.3636 ≈ 2.52

พิสัย 4

43

5) หาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานโดยใชการประมาณจากพิสัย จะได s ≈ 15 54− = 2.5

X = 606

= 10

หาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานจากสูตร s = 25 9 1 1 9 255

+ + + + + ≈ 14 ≈ 3.74 6) หาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานโดยใชการประมาณจากพิสัย จะได s ≈ 95 74

4− = 5.25

X = 5887

= 84

หาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานจากสูตร s = 16 25 121 4 16 64 1006

+ + + + + + ≈ 57.67 ≈ 7.59 7) หาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานโดยใชการประมาณจากพิสัย จะได s ≈ 75 42

4− = 8.25

X = 58010

= 58 หาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานจากสูตร s = 256 169 100 100 16 4 36 144 256 289

9+ + + + + + + + +

= 152.22 ≈ 12.34 8) หาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานโดยใชการประมาณจากพิสัย จะได s ≈ 21 3

4− = 4.5

X = 11010

= 11 หาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานจากสูตร s = 9 100 4 16 25 16 64 9 36 1

9+ + + + + + + + +

= 31.11 ≈ 5.58

44

9) หาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานโดยใชการประมาณจากพิสัย จะได s ≈ 116 994− = 4.25

X = 7637

= 109

หาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานจากสูตร s = 64 36 25 100 9 9 496

+ + + + + + ≈ 48.67 ≈ 6.98 10) หาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานโดยใชการประมาณจากพิสัย จะได s ≈ 2.5 1.6

4− = 0.225

X = 14.77

= 2.1 หาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานจากสูตร s = 0 0.01 0.04 0.25 0.16 0.01 0.09

6+ + + + + +

= 0.0933 ≈ 0.306 2. 1) a 2) c 3) d 4) g 5) b 6) e 7) f 3. พิจารณาความแตกตางคาจากการสังเกตกับคา X ของขอมูลแตละชุดดังนี้ 1) ขอมูล 0, 10, 20, 30, 40 มี X = 20

5

ii 1

X X=

−∑ = 20 + 10 + 0 + 10 + 20

= 60

0 10 20 30 40 × × × × ×

45

2) ขอมูล 0, 0, 20, 40, 40 มี X = 20

5

ii 1

X X=

−∑ = 20 + 20 + 0 + 20 + 20

= 80 3) ขอมูล 0, 19, 20, 21, 40 มี X = 20

5

ii 1

X X=

−∑ = 20 + 1 + 0 + 1 + 20

= 42 พิจารณาจากคา

5

ii 1

X X=

−∑ ของขอมูลแตละชุด พบวา ขอมูลในขอ 2) ควรมี

การกระจายมากที่สุด และขอมูลในขอ 3) ควรมีการกระจายนอยที่สุด และเมื่อหาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานจากสูตรพบวา สวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของขอมูลในแตละขอมีดังนี้

1) s = 15.81 2) s = 20 3) s = 14.16 4. 1) ขอมูล 5, 5, 5, 5, 5, 5 มี X = 5 จะเห็นวา ขอมูลแตละตัวไมแตกตางจากคาเฉลี่ยเลขคณิต ดังนั้น สวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของขอมูลชุดนี้จะเทากับ 0 2) ขอมูล 10, 10, 10, 20, 20, 20 มี X = 15 จะเห็นวา ขอมูลแตละตัวตางจากคาเฉลี่ยเลขคณิต เทากับ 5 และ iX X− = 5

พิจารณาคา 6

ii 1

X X

6=

−∑ ของขอมูลชุดนี้ซึ่งเทากับ 6 5

6× หรือ 5

แสดงวา สวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของขอมูลชุดนี้ควรมีคาใกลเคียง 5 จากการหาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน จากสูตรพบวา s = 5.47

0 10 20 30 40 × × × × ×

0 10 20 30 40 × × × × ×

46

3) ขอมูล 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22 มี X = 14

พิจารณาคา 9

ii 1

X X

9=

−∑ ของขอมูลชุดนี ้ ซึ่งเทากับ

8 6 4 2 0 2 4 6 89

+ + + + + + + + ≈ 4.4 แสดงวา สวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของขอมูลชุดนี้ควรมีคาใกลเคียง 5 จากการหาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน จากสูตรพบวา s = 5.47 4) ขอมูล 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45 มี X = 25

พิจารณาคา 9

ii 1

X X

9=

−∑ ของขอมูลชุดนี ้ ซึ่งเทากับ

20 15 10 5 0 5 10 15 209

+ + + + + + + + = 1009

≈ 11.11 แสดงวา ขอมูลชุดนี้ไมควรมีสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานใกลเคียงกับ 5 จากการหาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน จากสูตรพบวา s = 13.69 5. ขอมูลชุดแรก 16, 23, 34, 56, 78, 92, 93 มี X = 56 ขอมูลชุดที่สอง 20, 27, 38, 60, 82, 96, 97 มี X = 60 พิจารณาความแตกตางคาจากการสังเกตกับคา X ของขอมูลแตละชุดดังนี้ ชุดแรก X 60= ชุดที่สอง

15 25 35 45 55 65 75 85 95 105

X 56=

19 29 39 49 59 69 79 89 99 109

× × × × × × ×

× × × × × × ×

47

จากแผนภาพจะเห็นวา ขอมูลทั้ง 2 ชุด มีการกระจายจากคาเฉลี่ยเลขคณิต ( X ) ในลักษณะที่ใกลเคียงกัน ดังนั้น ถาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของขอมูลชุดแรกมีคา 30 (โดยประมาณ) สวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของขอมูลชุดที่สองควรจะมีคา 30 (โดยประมาณ) ดวย หาคาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของขอมูลทั้งสองชุด โดยใชสูตรไดดังนี้

ขอมูลชุดแรก s = n

2i

i 1(X X)

n 1=

−

−

∑

s = 1600 1089 484 0 484 1296 13696

+ + + + + +

= 63226

≈ 32.46

ขอมูลชุดที่สอง s = n

2i

i 1(X X)

n 1=

−

−

∑

s = 1600 1089 484 0 484 1296 13696

+ + + + + +

= 63226

≈ 32.46 จากการคํานวณคาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานพบวา สวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของ ขอมูลทั้งสองชุดนี้เทากัน 6. 1) X = 201

10 = 20.1

2) s = n

2i

i 1(X X)

n 1=

−

−

∑

= 0.01 0.01 1.21 0.81 0.81 4.41 0.01 3.61 8.41 9.619

+ + + + + + + + +

= 28.99

≈ 1.79

48

3) ถาขอมูลชุดนี้มีคาเฉลี่ยเลขคณิตและมัธยฐานเทากัน ขอมูลชดุนี้ควรจะมีการ กระจายแบบสมมาตร 7. 1) X = 51 และ s = 2.26 2) เนื่องจากการสุมชั่งน้ําหนักมันสําปะหลัง 15 กระสอบ พบวา คาเฉลี่ยเลขคณิตของน้ําหนักมันสําปะหลังหนึ่งกระสอบ คือ 51 กิโลกรัม ดังนั้น ถาใหน้ําหนักของมันสําปะหลังหนึ่งกระสอบ คือ 51 กิโลกรัม รถบรรทุกซึง่บรรทุกน้ําหนักไดไมเกิน 5 ตัน (5,000 กิโลกรัม) จึงควรบรรทุก มันสําปะหลัง ไดไมเกินคันละ 5000

51 หรือ 98 กระสอบ

เฉลยคําถามเพิ่มเติม 1. 1) จากแผนภาพกลองของนักเรียนหอง ม.5/1 คาต่ําสุด คือ 60 คาสูงสุดคือ 100 และ Q1 = 67, Q2 = 75 และ Q3 = 88 ดังนั้น 25% ของนักเรียนหอง 5/1 ที่ไดคะแนนอยูในกลุมต่ําสุด อยูในชวง คะแนน 60 – 67 โดยมีคะแนนต่ําสุด 60 และคะแนนสูงสุด 67 คะแนน 2) จากแผนภาพกลองของนักเรียนหอง ม.5/2

60 67 75 88

100

64 77 85 91

98

49

คาต่ําสุดคือ 64 คาสูงสุดคือ 98 และ Q1 = 77, Q2 = 85 และ Q3 = 91 ดังนั้น นักเรียนหอง ม. 5/2 ที่ไดคะแนนมากกวาหรือเทากับ 91 คะแนน มีประมาณ 25% 3) มีนักเรียนหอง ม. 5/1 อยู 50% ที่ไดคะแนนนอยกวาหรือเทากับ 75 คะแนน 4) มีนักเรียนหอง ม. 5/2 อยู 75% ที่ไดคะแนนมากกวาหรือเทากับ 77 คะแนน 5) ถาผูสอนใหระดับคะแนน 4 แกผูสอบที่ไดคะแนนตั้งแต 80 คะแนนขึ้นไป จากแผนภาพกลองพบวา นักเรียนหอง ม.5/2 มีผูที่สอบไดคะแนน 80 คะแนน ซึ่งไดระดับคะแนน 4 เกิน 50% ในขณะที่หอง ม.5/1 มีนักเรียนที่ไดคะแนน ตั้งแต 80 คะแนนขึ้นไป ไมถึง 50% (เนื่องจาก Q2 เทากับ 75 คะแนน) ดังนั้น หอง ม.5/2 ควรจะมีผูที่ไดระดับคะแนน 4 มากกวาหอง ม.5/1 2. เปนไปไมไดที่แผนภาพที่สามจะแทนคะแนนเฉลี่ยจากการสอบทั้งสองครั้งของ

นักเรียนแตละคนในกลุมนี้ เพราะคะแนนสูงสุดของแผนภาพที่สาม ไมใชคะแนนเฉลี่ยสูงสุดของนักเรียนกลุมนี้ ถึงแมวานักเรียนที่ไดคะแนนสูงสุดจากการสอบทั้งสองครั้งเปนคนเดียวกันก็ตาม

หมายเหตุ ผูสอนอาจใหผูเรียนอภิปรายรวมกันวาถาคะแนนเต็มของการสอบแตละ ครั้งไมเทากัน เหตุผลขางตนยังเปนไปไดหรือไม