6

6

BAB II

TINJAUAN PUSTAKA

Pada Bab II akan dibahas konsep-konsep yang menjadi dasar dalam

penelitian ini yaitu analisis regresi, analisis regresi multilevel, model regresi dua

level, model regresi tiga level, penduga koefisien korelasi intraclass, pendugaan

parameter dalam pemodelan multilevel, pengujian signifikansi parameter,

pemilihan model terbaik dalam pemodelan multilevel, koefisien determinasi, dan

faktor-faktor yang memengaruhi hasil belajar.

2.1 Analisis Regresi

Suatu peubah pada umumnya bersifat memengaruhi peubah lainnya,

peubah pertama disebut peubah bebas (dependent variabel) dan peubah kedua

disebut variabel respon (independent variabel). Apabila diketahui nilai variabel

bebas, hubungan antara variabel bebas dan variabel terikat secara kuantitatif dapat

dimodelkan dalam suatu persamaan matematik yang sering disebut dengan

analisis regresi (Sumertajaya & Mattjik, 1998). Berdasarkan variabel penjelas

yang terlibat, analisis regresi dibedakan menjadi dua yaitu regresi linear sederhana

dan regresi berganda.

2.1.1 Regresi Linear Sederhana

Regresi linear sederhana adalah persamaan regresi yang menggambarkan

hubungan antara satu variabel bebas yang biasa disimbolkan dengan 𝑋, dan satu

variabel respon yang biasa disimbolkan dengan 𝑌. Hubungan keduanya dapat

7

digambarkan sebagai suatu garis lurus, sehingga hubungan kedua variabel tersebut

dapat dituliskan dalam bentuk persamaan:

𝑌𝑖 = 𝛽0 + 𝛽1𝑋1 + 𝜀𝑖 (2.1)

dengan 𝑌𝑖 adalah nilai variabel respons pada amatan ke- 𝑖, 𝛽0 adalah parameter

yang merupakan intersep, dan 𝛽1 adalah parameter yang merupakan slope garis

regresi yaitu perubahan rataan sebaran peluang bagi 𝑌 untuk setiap kenaikan 𝑋

satu satuan (Sumertajaya & Mattjik, 1998).

Selanjutnya untuk kasus lebih dari satu variabel bebas yang

mempengaruhi variabel respon, digunakaan analisis regresi berganda.

2.1.2 Regresi Berganda

Persamaan regresi berganda adalah persamaan regresi dengan lebih dari

satu peubah bebas (𝑋1,𝑋2, … ,𝑋𝑝) yang memengaruhi satu variabel respon (𝑌).

Hubungan antara variabel-variabel tersebut dapat dirumuskan dalam bentuk

persamaan:

𝑌𝑖 = 𝛽0 + 𝛽1𝑋𝑖1 + 𝛽2𝑋𝑖2 + ⋯+ 𝛽𝑝𝑋𝑖𝑝 + 𝜀𝑖 ; 𝑖 = 1,2,… , 𝑛 (2.2)

Dalam notasi matriks, model regresi linear umum (2.2) adalah

𝒀𝒏×𝟏 = 𝐗𝒏×𝒑 𝜷(𝒑+𝟏)×𝟏 + 𝜺𝒏×𝟏 (2.3)

dengan 𝒀 adalah vektor respons, 𝜷 adalah vektor parameter, 𝐗 adalah matriks

konstanta, dan 𝜺 adalah vektor peubah acak normal bebas dengan nilai harapan

𝐸 𝜀 = 0 dan matriks ragam-peragam 𝑣𝑎𝑟 𝜀 = 𝜍2𝑰. Bentuk matriks dari

persamaan di atas dapat dinyatakan sebagai berikut:

8

𝑌1

𝑌2

⋮𝑌𝑛

=

11⋮1

𝑋11

𝑋21

⋮𝑋2𝑛

⋯⋮⋮⋯

𝑋1𝑝

𝑋2𝑝

⋮𝑋𝑛𝑝

𝛽0

𝛽1

⋮𝛽𝑃

+

𝜀1

𝜀2

⋮𝜀𝑛

(2.4)

dengan 𝛽𝑖 adalah parameter 𝑘𝑒 − 𝑖 (𝑖 = 1,2,… ,𝑛), 𝑌𝑖 adalah nilai variabel respon

dalam amatan ke-𝑖, 𝑋𝑖1,𝑋𝑖2 ,… ,𝑋𝑖𝑝 adalah variabel bebas, dan 𝜀𝑖 adalah galat

saling bebas dan menyebar normal 𝑁 (0,𝜍2) untuk 𝑖 = 1, 2,… ,𝑛. (Neter et al.,

1997).

Selanjutnya, untuk analisis yang melibatkan kelompok dan data yang

dianalisis dibedakan pada beberapa level, digunakan analisis regresi multilevel.

2.2 Analisis Regresi Multilevel

Pemodelan multilevel adalah pemodelan yang digunakan untuk

menganalisis data dengan struktur data hirarki. Analisis regresi multilevel adalah

struktur analisis yang mengindikasikan bahwa data yang dianalisis berada pada

beberapa level, dengan data pada level yang rendah tersarang pada data yang

levelnya lebih tinggi. Variabel respon pada analisis regresi multilevel diukur pada

level terendah, sedangkan variabel bebas dapat didefinisikan pada setiap level.

Analisis regresi multilevel melibatkan kelompok yang akan menghasilkan garis

regresi sesuai banyaknya kelompok dan juga keragaman dalam kelompok serta

interaksi yang mungkin terjadi pada peubah yang berbeda (Hox, 2010), model

regresinya sebagai berikut:

𝑌𝑖𝑗 = 𝛽0𝑗 + 𝛽1𝑗𝑋𝑖𝑗 + 𝑒𝑖𝑗 (2.5)

dengan 𝑌𝑖𝑗 adalah skor individu pada variabel bebas pada level satu, 𝑋𝑖𝑗 adalah

variabel bebas pada level satu, dan 𝛽0𝑗 adalah intersep yang nantinya akan

9

menjadi variabel dependen pada level dua, 𝛽1𝑗 adalah koefisien regresi (slope),

dan 𝑒𝑖𝑗 adalah galat prediksi pada level satu. Setiap kelompok j memiliki

parameter 𝛽0 dan 𝛽1 sendiri-sendiri. Misalnya dimiliki dua kelompok maka

persamaan regresinya adalah

Kelompok 1 𝑌𝑖1 = 𝛽01 + 𝛽11𝑋𝑖1 + 𝑒𝑖1

Kelompok 2 𝑌𝑖2 = 𝛽02 + 𝛽12𝑋𝑖2 + 𝑒𝑖2

Dari kelompok 1 dan 2, didapatkan dua persamaan regresi yang dapat

menghasilkan dua garis regresi. Dalam analisis regresi multilevel setiap subjek ke-

𝑖 dapat dituliskan bentuk matriks dan vektor sebagai berikut:

𝒀𝒊 = 𝐗𝒊𝜷 + 𝒁𝒊𝑼𝒊 + 𝜺𝒊 (2.6)

dengan 𝑋𝑖𝛽 adalah efek tetap dan 𝑍𝑖𝑈𝑖 + 𝜀𝑖 adalah efek acak, 𝒀𝒊 adalah vektor

variabel respon, 𝐗𝒊 adalah matriks variabel bebas untuk parameter tetap, 𝜷 adalah

vektor parameter efek tetap, 𝐙𝐢 adalah matriks variabel bebas untuk parameter

acak, 𝑼𝒊 adalah vektor efek acak menyebar 𝑁 (𝑂,𝐷), 𝜺𝒊 adalah vektor galat

menyebar 𝑁 (𝑂,𝑅𝑖),𝐃 adalah matriks ragam-koragam untuk setiap efek acak

dalam 𝑢𝑖 , dan 𝐑𝒊 adalah matriks koefisien korelasi untuk setiap efek acak dalam 𝜀𝑖

(Hox, 2010).

2.2.1 Model Regresi Dua Level

Regresi dua level merupakan model regresi multilevel yang paling

sederhana, karena datanya hanya terdiri dari dua level saja. Level satu pada model

regresi dua level diartikan sebagai level terendah dan level dua sebagai level

tertinggi.

10

Misal dalam model regresi dua level terdapat data yang memiliki 𝑗

kelompok dan 𝑛𝑗 sebagai individu pada kelompok, dengan variabel respon 𝑌𝑖𝑗 ,

pada level terendah variabel bebas adalah 𝑋𝑖𝑗 serta pada level kedua (kelompok)

variabel bebas adalah 𝑆𝑗 . Persamaan regresi untuk setiap kelompok dapat

dinyatakan sebagai:

𝑌𝑖𝑗 = 𝛽0𝑗 + 𝛽1𝑗𝑋𝑖𝑗 + 𝑒𝑖𝑗 (2.7)

Koefisien regresi 𝛽0 dan 𝛽1 pada persamaan (2.7) mengindikasikan adanya

keragaman kelompok antar koefisien regresi. Keragamaan kelompok antar

koefisien regresi ini dapat dimodelkan dengan variabel bebas dan sisaan acak pada

level kelompok yaitu:

𝛽0𝑗 = 𝛾00 + 𝛾01𝑆𝑗 + 𝑢𝑜𝑗 , (2.8)

𝛽1𝑗 = 𝛾10 + 𝛾11𝑆𝑗 + 𝑢1𝑗 . (2.9)

Dengan menstubtitusikan persamaan (2.8) dan (2.9) ke persamaan (2.7),

maka diperoleh persamaan (2.10):

𝑌𝑖𝑗 = 𝛾00 + 𝛾10𝑋𝑖𝑗 + 𝛾01𝑆𝑗 + 𝛾11𝑆𝑗𝑋𝑖𝑗 + 𝑢1𝑗𝑋𝑖𝑗 + 𝑢0𝑗 + 𝑒𝑖𝑗 . (2.10)

Dari persamaan (2.7), didapatkan persamaan model regresi dua level. Pada

umumnya ada lebih dari satu variabel bebas pada level terendah dan juga pada

level yang lebih tinggi. Jika diasumsikan 𝑚(𝑚 = 1,2,… ,𝑝) variabel bebas dalam

𝑋 di level terendah dan 𝑞 sebanyak 𝑛(𝑛 = 1,2,… , 𝑞) variabel bebas dalam 𝑆 di

level yang lebih tinggi, maka dari persamaan (2.10) didapatkan persamaan yang

lebih umum lagi sebagai berikut:

𝑌𝑖𝑗 = 𝛾00 + 𝛾𝑚0𝑋𝑚𝑖𝑗 + 𝛾0𝑛𝑆𝑛𝑗 + 𝛾𝑚𝑛 𝑆𝑛𝑗𝑋𝑚𝑖𝑗 +𝑚𝑛𝑛𝑚 𝑢𝑚𝑗 𝑋𝑚𝑖𝑗 +𝑚

𝑢0𝑗 + 𝑒𝑖𝑗 (2.11)

11

dengan 𝑖 = 0 1,2,… ,𝑛𝑗 , 𝑗 = 0, 1, 2,… , 𝑜. Indeks 𝑛𝑗 merupakan banyaknya siswa

di kelas 𝑘𝑒 − 𝑗, γ adalah koefisien regresi, 𝑢 adalah sisaan pada level kelompok

dan 𝑒 merupakan sisaan pada level individu (Hox, 2010).

2.2.2 Model Regresi Tiga Level

Untuk data tiga level pada analisis regresi multilevel, model regresinya

dinamakan model regresi tiga level. Sebagai contoh penerapan tiga level, jika 𝑌𝑖𝑗𝑘

merupakan variabel respon dalam siswa ke-i, kelas ke-j, dan sekolah ke-k, maka

model regresi tiga level dapat dituliskan sebagai (Hox, 2010):

Model level satu (siswa)

𝑌𝑖𝑗𝑘 = 𝛽0𝑗𝑘 + 𝛽1𝑗𝑘𝑋𝑖𝑗𝑘 + 𝑒𝑖𝑗𝑘 . (2.12)

Model level dua (kelas)

𝛽0𝑗𝑘 = 𝛾00𝑘 + 𝛾01𝑘𝑆𝑖𝑗 + 𝜇0𝑗𝑘 , (2.13)

𝛽1𝑗𝑘 = 𝛾10𝑘 + 𝛾11𝑘𝑆𝑖𝑗 + 𝜇1𝑗𝑘 . (2.14)

Model level tiga (sekolah)

𝛾00𝑘 = 𝛾000 + 𝛾001𝑉𝑡 + 𝑤00𝑘 , (2.15)

𝛾0𝑗𝑘 = 𝛾010 + 𝛾011𝑉𝑡 + 𝑤01𝑘 , (2.16)

𝛾10𝑘 = 𝛾100 + 𝛾101𝑉𝑡 + 𝑤10𝑘 , (2.17)

𝛾11𝑘 = 𝛾110 + 𝛾111𝑉𝑡 + 𝑤11𝑘 . (2.18)

Dengan menstubtitusikan persamaan pada model level tiga dan model

level dua kepersamaan model level satu, maka diperoleh persamaan regresi tiga

level sebagai berikut:

12

𝑌𝑖𝑗𝑘 = 𝛾000 + 𝛾001𝑉𝑡+𝛾010𝑆𝑖𝑗 + 𝛾011𝑉𝑡𝑆𝑖𝑗 +𝛾100𝑋𝑖𝑗𝑘 +𝛾010𝑉𝑡𝑋𝑖𝑗𝑘 + 𝛾110𝑆𝑖𝑗𝑋𝑖𝑗𝑘 +

𝛾111𝑉𝑡𝑆𝑖𝑗𝑋𝑖𝑗𝑘 + 𝑤01𝑘𝑆𝑖𝑗 + 𝑤10𝑘𝑋𝑖𝑗𝑘 +𝑤11𝑘𝑆𝑖𝑗𝑋𝑖𝑗𝑘 + 𝜇1𝑗𝑘𝑋𝑖𝑗𝑘 +

𝑤00𝑘+ 𝜇0𝑗𝑘 + 𝑒𝑖𝑗𝑘 (2.19)

dengan 𝑖 = 0 1,2,… ,𝑛𝑗𝑘 , 𝑗 = 0, 1, 2,… ,𝑛𝑘 , 𝑘 = 0,1,2, . . ,𝑕. Indeks 𝑛𝑗𝑘 merupakan

banyaknya siswa di kelas 𝑘𝑒 − 𝑗, di dalam sekolah 𝑘𝑒 − 𝑘, dan 𝑛𝑘 merupakan

banyaknya siswa dalam kelas 𝑘𝑒 − 𝑘.

2.3 Penduga Koefisien Korelasi Intraklas pada Model Multilevel

Menurut Steenbergen & Jones (2002) model regresi multilevel dapat

diasumsikan menyebar normal dengan ketentuan sebagai berikut:

1. Rata – rata sama dengan nol atau 𝐸 µ𝑜𝑗 = 𝐸 µ1𝑗 = 𝐸 𝑒𝑖𝑗 = 0.

2. Ragam galat pada level satu adalah 𝑒𝑖𝑗 = 𝜍𝑒2 , ragam galat pada level dua

adalah 𝑉𝑎𝑟 µ𝑜𝑗 = 𝜍𝜇02 , dan ragam galat pada level tiga adalah

𝑉𝑎𝑟 𝑤𝑜𝑗 = 𝜍𝑤02 .

3. 𝐶𝑜𝑣 ( µ𝑜𝑗 , 𝑒𝑖𝑗 ) = 𝐶𝑜𝑣 ( µ , 𝑒𝑖𝑗 ) = 0.

Regresi multilevel dapat digunakan untuk memberi nilai dugaan bagi korelasi

intraclass (𝜌), apabila data yang dimiliki adalah data dengan struktur hirarki yang

sederhana. Korelasi intraclass yaitu korelasi antara dua unit level satu dalam level

dua yang sama. Dalam data struktur hirarki dua unit level satu pada level dua yang

sama cenderung mempunyai karakteristik yang hampir mirip dibandingkan

dengan dua unit level satu pada level dua yang berbeda. Semakin tinggi nilai

korelasi menunjukkan semakin miripnya dua unit level satu dari unit level dua

yang sama dibandingkan pada unit level dua yang berbeda. Korelasi intraclass

13

menunjukkan proporsi keragaman yang dijelaskan oleh struktur kelompok dalam

populasi, yang dapat juga diinterpretasikan sebagai korelasi harapan antara dua

unit yang dipilih secara acak yang berada dalam kelompok yang sama (Hox,

2010). Model yang digunakan adalah model yang tidak memiliki variabel bebas

dalam setiap levelnya, yang dikenal sebagai model yang hanya memilliki intersep.

Jika tidak ada peubah bebas dalam level terendah pada model regresi dua

level maka persamaan (2.7) menjadi :

𝑌𝑖𝑗 = 𝛽𝑜𝑗 + 𝑒𝑖𝑗 . (2.20)

sedangkan persamaan (2.8) menjadi:

𝛽𝑜𝑗 = 𝛾00 + µ𝑜𝑗 . (2.21)

Dengan mensubtitusikan persamaan (2.21) ke persamaan (2.20) dihasilkan

persamaan:

𝑌𝑖𝑗 = 𝛾00 + µ0𝑗 + 𝑒𝑖𝑗 . (2.22)

Berdasarkan persamaan (2.22) korelasi intraclass pada dua level dapat

dituliskan sebagai:

𝜌 =𝜍𝜇 0

2

𝜍𝜇 02 + 𝜍𝑒

2 . (2.23)

dengan 𝜍𝜇02 adalah ragam dari galat level kedua (kelompok) dan 𝜍𝑒

2 adalah ragam

dari galat level satu (individu).

Jika tidak ada variabel bebas dalam level terendah pada model regresi tiga

level maka model dengan hanya intersep untuk persamaan (2.19) menjadi (Hox,

2010):

𝑌𝑖𝑗𝑘 = 𝛾000 + 𝑤0𝑗𝑘 + µ𝑜𝑗𝑘 + 𝑒𝑖𝑗𝑘 . (2.24)

14

Korelasi intraclass pada tiga level dapat dituliskan sebagai:

Korelasi intraclass sekolah (level tiga):

𝜌𝑠𝑒𝑘𝑜𝑙𝑎 𝑕 =𝜍𝑤0

2

𝜍𝑤02 +𝜍𝜇 0

2 + 𝜍𝑒2 . (2.25)

Korelasi intraclass kelas (level dua) yang tersarang pada level tiga:

𝜌𝑘𝑒𝑙𝑎𝑠 =𝜍𝑤0

2 + 𝜍𝜇 02

𝜍𝑤02 +𝜍𝜇 0

2 + 𝜍𝑒2 . (2.26)

Pada regresi level dua nilai korelasi intraclass sama dengan keragaman

variabel respon yang dapat dijelaskan pada struktur kelompok, namun dalam

regresi tiga level proporsi keragaman level dua didefinisikan sebagai:

𝜌𝑘𝑒𝑙𝑎𝑠 =𝜍𝜇 0

2

𝜍𝑤02 +𝜍𝜇 0

2 + 𝜍𝑒2 . (2.27)

2.4 Pendugaan Parameter dalam Pemodelan Multilevel

Maximum likelihood (ML) adalah salah satu metode pendugaan parameter

yang sering digunakan pada pemodelan multilevel. Estimasi ML diperoleh dengan

memaksimalkan fungsi kemungkinan. Fungsi ML (𝛽 dan 𝜃) dibangun dengan

mengacu pada fungsi marginal dari variabel respon 𝑌𝑖 . ML dalam analisisnya

mengestimasi koefisien regresi, dan komponen varians fungsi tersebut dapat

didefinisikan sebagai (West et al., 2007):

𝑓 𝑌𝑖|𝛽,𝜃 = (2𝜋)−1

2 det(𝑉𝑖)−

1

2 exp −0,5 × 𝑌𝑖 − 𝑋𝑖𝛽 ′𝑉𝑖

−1 𝑌𝑖 − 𝑋𝑖𝛽 . (2.28)

Prosedur ML menghasilkan penduga yang bias dari parameter acak. Hal

ini menjadi penting dalam sampel yang kecil, dan dapat menghasilkan penduga

yang tak bias apabila digunakan Restricted Maximum Likelihood (REML)

(Goldstein, 1989). Estimasi 𝜃 dalam REML didasarkan pada optimalisasi dan

15

mengikuti fungsi REML log- likelihood. Fungsi tersebut dapat didefinisikan

sebagai (West et al., 2007):

𝑙𝑅𝐸𝑀𝐿 𝜃 = −0,5 × 𝑛 − 𝑝 × 𝑙𝑛2𝜋 − 0,5 × ln 𝑑𝑒𝑡 𝑉𝑖 − 0,5 ×𝑖

𝑟𝑖 ′𝑉𝑖−1

𝑖 𝑟𝑖 – 0,5 × ln det 𝑋𝑖 ′𝑉𝑖−1𝑋𝑖 𝑖 . (2.29)

2.5 Pengujian Signifikansi Parameter

Pengujian signifikansi parameter ini bertujuan untuk mengetahui ada

tidaknya pengaruh dari variabel bebas terhadap variabel respon, baik secara

serentak maupun parsial. Pengujian signifikansi parameter 𝛽 secara serentak

menggunakan uji F, dan pengujian signifikansi parameter 𝛽 secara parsial

menggunakan uji t, seperti dibahas berikut ini.

2.5.1 Pengujian Signifikansi Parameter Secara Serentak (Simultan)

Pengujian signifikansi parameter secara serentak menggunakan uji F, yang

bertujuan untuk mengetahui adanya hubungan linear antara variabel respon

dengan seluruh variabel bebas (𝑥1,𝑥2,… , 𝑥𝑘 ) secara bersamaan (Neter et al.,

1997), hipotesis uji adalah:

𝐻0 ∶ 𝛽1 = ⋯ = 𝛽𝑘= 0 (tidak ada satupun dari sekumpulan variabel bebas

berpengaruh signifikan terhadap variabel respon)

𝐻1 ∶ 𝛽𝑖 ≠ 0; 𝑖 = 1,2,… , 𝑘, (minimal ada satu variabel bebas yang berpengaruh

signifikan terhadap variabel respon)

Statistik uji yang digunakan adalah

𝐹0 =𝐾𝑇𝑅

𝐾𝑇𝐺 . (2.31)

16

dengan F0 adalah nilai F hitung, KTR adalah kuadrat tengah regresi, dan KTG

adalah kuadrat tengah galat. 𝐻0 ditolak apabila 𝐹𝑕𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 > 𝜒𝛼(𝑘)2 dengan k adalah

banyaknya variabel bebas yang ada di dalam model.

2.5.2 Pengujian Signifikansi Parameter Secara Parsial

Pengujian secara parsial dilakukan apabila pengujian variabel bebas secara

simultan tidak berpengaruh signifikan. Pengujian signifikansi parameter 𝛽 secara

parsial menggunakan statistik uji t (Neter et al., 1997), dengan hipotesis uji:

H0: 𝛽𝑘 = 0 (tidak ada pengaruh signifikan antara variabel bebas dengan variabel

respon)

H1: 𝛽𝑘 ≠ 0 ; 𝑘 = 1,2,… ,𝑝 (ada pengaruh signifikan antara variabel bebas dengan

variabel respon)

Statistik uji yang digunakan adalah

𝑡𝑕𝑖𝑡 = 𝑡0 = 𝛽𝑘

𝑆𝐸 (𝛽𝑘) (2.32)

dengan 𝛽𝑘 adalah nilai taksiran parameter 𝛽𝑘 , dan 𝑆𝐸 (𝛽𝑘) adalah standar deviasi

dari 𝛽𝑘 .

Kriteria untuk pengujian parameter secara parsial adalah apabila 𝐻0 benar

maka statistik uji t akan mengikuti distribusi normal baku Z, sehingga pengujian

secara individual bisa dilakukan dengan membandingkan nilai statistik uji tersebut

dengan nilai Ztabel, sedangkan jika 𝑡𝑕𝑖𝑡 > Ζα 2 maka 𝐻0 ditolak.

2.6 Pemilihan Model Terbaik dalam Model Regresi Multilevel

Menurut Hox (2010) dalam pembentukan model regresi multilevel

terdapat beberapa langkah, yaitu:

1. Menyusun model tanpa variabel bebas (intersep acak).

17

2. Memilih struktur efek tetap (fixed effect) yaitu menyusun model

dengan menambahkan seluruh variabel bebas pada setiap levelnya

pada model.

3. Memilih efek kemiringan (slope) acak yang berpengaruh pada model.

4. Menyusun model dengan menambahkan interaksi variabel antar level

yang signifikan

2.7 Koefisien Determinasi

Nilai koefisien determinasi dalam analisis regresi multilevel dapat

diperoleh pada setiap level (Hox, 2010). Kisaran nilai koefisien determinasi mulai

dari 0% sampai 100% semakin besar nilai koefisien determinasi berarti model

semakin mampu menerangkan perilaku variabel respon.

Koefisien determinasi pada level satu dapat dirumuskan sebagai:

𝑅12 =

𝜍 𝑒02 − 𝜍 𝑒𝑝

2

𝜍 𝑒02 (2.31)

dengan 𝜍 𝑒𝑝2 adalah penduga ragam galat level satu dengan 𝑝 variabel bebas, dan

𝜍 𝑒02 adalah penduga ragam galat pada level satu tanpa variabel bebas.

Koefisien determinasi pada level dua dapat dirumuskan sebagai:

𝑅22 =

𝜍 µ 02 − 𝜍 µ 0𝑝

2

𝜍 µ 02 (2.32)

dengan 𝜍 𝑢02 adalah penduga ragam galat level dua tanpa variabel bebas, dan 𝜍 𝑢0𝑝

2

adalah penduga ragam galat level dua dengan 𝑝 variabel bebas.

Koefisien determinasi pada level tiga dapat dirumuskan sebagai:

𝑅32 =

𝜍 𝑤02 − 𝜍 𝑤𝑝

2

𝜍 𝑤02 (2.32)

18

dengan 𝜍 𝑤02 adalah penduga ragam galat level tiga tanpa variabel bebas, dan 𝜍 𝑤𝑝

2

adalah penduga ragam galat level tiga dengan 𝑝 variabel bebas.

2.8 Faktor-Faktor yang Memengaruhi Hasil Belajar

Menurut Dulyono (1997) ada dua faktor yang dapat memengaruhi hasil

belajar antara lain faktor internal dan faktor eksternal. Faktor internal (faktor yang

berasal dari dalam diri) yaitu kesehatan, cara belajar, minat, motivasi, Intelegensi,

dan bakat dan faktor eksternal (yang berasal dari luar diri) adalah keluarga,

sekolah, masyarakat, dan lingkungan sekitar.

1. Faktor internal (faktor yang berasal dari dalam diri) yaitu kesehatan, cara

belajar, minat, motivasi, kecerdasan, dan bakat. Cara belajar yang tidak

memperhatikan teknik, faktor fisiologis, psikologis dan ilmu kesehatan

akan memperoleh pengetahuan yang kurang. Minat dan motivasi juga akan

turut memengaruhi hasil belajar. Minat timbul karena adanya daya tarik

dari luar dan juga dari dalam sanubari sedangkan motivasi adalah daya

penggerak. Seseorang yang mempunyai intelegensi yang baik akan mudah

dalam proses belajar dan hasilnya akan baik dengan membuat seseorang

menemukan bakatnya dalam proses belajar yang dilakukan.

2. Faktor eksternal (yang berasal dari luar diri) yaitu keluarga, sekolah,

masyarakat, dan lingkungan sekitar. Orang tua yang ada dalam suatu

keluarga dapat memengaruhi anak dalam proses pembelajaran serta hasil

belajar. Keadaan dari lingkungan serta masyarakat sekitar juga dapat

mempengaruhi seperti di sekolah yang merupakan salah satu tempat

pendidikan formal sangat mempengaruhi tingkat keberhasilan anak.

19

Kualitas guru dengan metode pengajaran yang baik serta fasilitas yang

baik akan turut mempengaruhi tingkat keberhasilan anak. Bila disekitar

tempat tinggal keadaan masyarakat terdiri dari orang-orang yang

bependidikan maka anak-anak akan termotivasi untuk belajar lebih giat

lagi.