APLIKASI TRANSFORMASI LAPLACE PADA PERSAMAAN …

APLIKASI TRANSFORMASI LAPLACE PADA

PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE DUA UNTUK

PENDULUM SEDERHANA DAN PENDULUM FISIS

Rizqona Maharani

STAIN Kudus, Jawa Tengah, Indonesia

[email protected]

Abstract

The purpose of this paper is to determine the solution of second-

order linier differential equation for simple and physical

pendulum motion. Based on the analysis of force components,

the pendulum motion forms a homogeneous second-order linier

differential equation with constant coefficients denoted by 𝜃′′ +𝑔

𝐿𝜃 = 0 . The method used to solve the second-order linier

differential equation is the Laplace Transform. The choice of

method is based on the ease of solving the initial value problems

by changing domain t with domain s using algebraic equations

or using tables that contain laplace transform. The result of this

study is solution of second-order linier differential equation by

using laplace transform which in form

𝜃(𝑡) = ℒ−1{𝜃(𝑠)} = ℒ−1 {𝑠𝐴

𝑠2 + 𝜔2}

Then, the solution can be used to determine the equation of

pendulum motion which include the equation of displacement,

velocity, and acceleration of the simple and physical pendulum.

Keywords: Second-Order differential equation, Laplace

Transform, and Pendulum

Abstrak

Tujuan paper ini adalah untuk menentukan penyelesaian

persamaan diferensial linier orde dua gerak pendulum

sederhana dan fisis. Berdasarkan analisis komponen gayanya,

maka gerak pendulum membentuk persamaan diferensial

linier orde dua homogen dengan koefisien konstan yang

dinyatakan dengan 𝜃′′ +𝑔

𝐿𝜃 = 0. Metode yang digunakan

APLIKASI TRANSFORMASI LAPLACE PADA PERSAMAAN...

2 Journal of Mathematic Teaching

untuk menyelesaikan persamaan linier orde dua tersebut

adalah transformasi laplace. Pemilihan metode didasarkan

atas kemudahan dalam menyelesaikan masalah nilai awal

dengan mengubah domain t dengan domain s menggunakan

persamaan aljabar atau menggunakan tabel yang memuat

Tranformasi Laplace. Hasil dari penelitian ini adalah solusi

persamaan diferensial linier orde dua dengan menggunakan

transformasi laplace yang berbentuk:

𝜃(𝑡) = ℒ−1{𝜃(𝑠)} = ℒ−1 {𝑠𝐴

𝑠2 + 𝜔2}

Sehingga solusi tersebut dapat digunakan untuk menentukan

persamaan gerak pendulum yang meliputi persamaan

perpindahan, kecepatan, dan percepatan pendulum sederhana

dan fisis.

Kata Kunci: Persamaan diferensial orde dua, transformasi

laplace, dan pendulum.

A. PENDAHULUAN

Matematika merupakan ilmu pengetahuan yang digunakan

secara luas dalam berbagai bidang kehidupan, termasuk dalam m

enyelesaikan permasalahan di bidang teknik, fisika, ekonomi dan

yang lainnya. Permasalahan pada bidang tersebut kemudian

diidentifikasi, dirumuskan, dan dimodelkan untuk dapat ditentukan

solusinya. Adapun pemodelan yang menggunakan simbol

matematika dan logika untuk menyajikan permasalahan objek

disebut pemodelan matematika atau pemodelan simbolik (Susanta,

2008: 1.6).

Tujuan dari pemodelan matematika adalah untuk

memberikan diskripsi terkait keadaan, sifat, maupun perilaku objek

agar mudah dikenali, diperlajari, dan dimanipulasi (Susanta, 2008:

1.4). Hal yang perlu dilakukan saat menyusun model matematika

pada suatu permasalahan adalah mengidentifikasi semua besaran

yang terlibat dalam masalah tersebut, memberi lambang pada semua

besaran, menentukan satuan untuk semua besaran, menentukan

besaran konstanta dan variabel, menentukan hubungan variabel dan

konstanta sehingga terbentuk model matematika, mencari solusi

Rizqona Maharani

3 Jurnal KONSTANTA _ Vol. 1 No. 1 Juli-Desember 2017

model berdasarkan teori-teori dalam matematika, dan

menginterpretasikan solusi model sehingga diperoleh solusi

permasalahan.

Adapun model matematika yang dapat dirumuskan dari

suatu permasalahan adalah berbentuk persamaan diferensial linier

orde dua homogen dengan koefisien konstan. Untuk menentukan

penyelesaian persamaan tersebut, dapat diterapkan transformasi

laplace. Hal ini dikarenakan, transformasi laplace dapat mereduksi

persamaan diferensial ke masalah aljabar. Aljabar tersebut dapat

menjadi rumit pada suatu kejadian dan dapat dengan mudah jika

diselesaikan dengan menggunakan transformasi laplace dari pada

diselesaikan dengan menggunakan persamaan diferensial secara

langsung. Dengan menggunakan transformasi laplace, suatu masalah

nilai awal dapat diselesaikan dengan mengubah domain t dengan

domain s menggunakan persamaan aljabar atau menggunakan tabel

yang memuat Tranformasi Laplace (Nagle et al, 2004: 349). Bentuk

umum dari Transformasi Laplace dari 𝐹(𝑡) yang dinyatakan oleh

𝐿{𝐹(𝑡)}, didefinisikan sebagai : 𝐿{𝐹(𝑡)} = 𝑓(𝑠) = ∫ 𝑒−𝑠𝑡∞

0𝐹(𝑡)𝑑𝑡.

Sejalan dengan Suyono (2003: 1), persamaan diferensial

merupakan cabang dari matematika yang digunakan untuk

memecahkan masalah-masalah dalam bidang sains dan teknologi,

sehingga transformasi Laplace pada persamaan diferensial menjadi

sangat penting untuk dipelajari karena membantu mempermudah

penyelesaian model matematika, salah satunya adalah permasalahan

untuk menentukan persamaan gerak pada osilasi. Osilasi terjadi bila

sebuah sistem diganggu dari posisi kesetimbangannya sehingga akan

bergerak secara periodik atau secara berulang dalam selang waktu

yang sama (Tipler, 1998: 425). Adapun tipe dasar osilasi adalah

gerak harmonik sederhana. Gerak ini menunjukkan adanya suatu

partikel yang bergerak berulang kali bolak balik di sekitar sumbu x

(Halliday et al, 2010: 416). Selain itu, gerakannya juga mengabaikan

kehadiran gaya gesekan diasumsikan bahwa sudut simpangan sangat

kecil. Salah satu contoh gerak harmonik sederhana yang mudah

dikenali dalam kehidupan sehari-hari adalah gerak sebuah pendulum

atau bandul yang terdiri dari bandul sederhana, bandul fisis, dan

bandul puntir. Ketiga jenis bandul tersebut mempunyai persamaan



gerak yang menunjukkan perpindahan, kecepatan, dan percepatan

partikel saat malakukan osilasi.

Berdasarkan latar belakang yang sudah dipaparkan, maka

tujuan paper ini adalah untuk mengetahui aplikasi transformasi

laplace pada persamaan diferensial linier orde dua homogen dengan

koefisien konstan dalam menentukan persamaan gerak pendulum

yaitu pada pendulum sederhana dan fisis.

B. PEMBAHASAN

Persamaan Diferensial Linier Orde Dua Homogen dengan

Koefisien Konstan

Persamaan diferensial adalah persamaan yang memuat

fungsi yang tidak diketahui dan derivatifnya. Persamaan diferensial

ditinjau dari banyaknya variabel bebas dari fungsi yang tidak

diketahui, dikelompokkan menjadi persamaan diferensial biasa dan

persamaan diferensial parsial. Persamaan diferensial biasa adalah

persamaan diferensial dimana fungsi yang tidak diketahui adalah

fungsi dari satu variabel bebas. Sedangkan persamaan diferensial

parsial adalah persamaan diferensial yang memuat derivatif parsial

fungsi yang tidak diketahui terhadap dua atau lebih variabel bebas

(Suyono, 2003: 1-2). Sedangkan orde dari persamaan diferensial

ditunjukkan oleh derivatif tertinggi yang muncul dalam persamaan

tersebut (Boyce, 2001: 18).

Selain itu, persamaan diferensial juga dikelompokkan

menjadi persamaan linier atau nonlinier. Persamaan diferensial biasa

yang dinyatakan ke dalam bentuk 0),...,,,( )(' nyyytF merupakan

linier jika F merupakan fungsi linier dari variabel-variabel )(' ,...,, nyyy . Definisi tersebut juga berlaku untuk persamaan

diferensial parsial. Persamaan diferensial linier orde n adalah

persamaan yang berbentuk:

a0(t)dny

dtn + a1(t)dn−1y

dtn−1 + ⋯ + an−1(t)dy

dt+ an(t)y = g(t) ...(1)

Koefisien-koefisien an(t), an−1(t), … , a1(t), a0(t) dan fungsi g(t)

adalah fungsi-fungsi yang kontinu pada suatu interval I (bilangan

Rizqona Maharani


real) dan koefisien pertama a0(t) ≠ 0 untuk setiap t ∈ I, y adalah

fungsi dalam t, sedangkan y(n) adalah turunan ke-n dari PD. Bila

semua koefisien an(t), an−1(t), … , a1(t), a0(t) adalah tetap,

persamaan tersebut disebut persamaan diferensial linier orde n

dengan koefisien konstan, sedangkan jika nilainya tidak tetap maka

disebut persamaan diferensial linier orde n dengan koefisien variabel

(Boyce, 2001: 19). Menurut Boyce (2001:130), Persamaan diferensial

linier dikatakan homogen jika fungsi g(t) pada persamaan (1) adalah

nol untuk setiap t. Sehingga persamaan diferensial linier homogen

dengan koefisien konstan dapat dinyatakan dalam bentuk umum:

a0dny

dtn + a1dn−1y

dtn−1 + ⋯ + an−1dy

dt+ any = 0 ...(2)

Dengan a0, a1, ..., an konstan dan ≥ 2

(Suyono, 2003: 34)

Dari persamaan (2) maka persamaan diferensial linier orde

dua dengan koefisien konstan dapat dinyatakan dalam bentuk:

a0𝑑2𝑦

𝑑𝑥2 + a1𝑑𝑦

𝑑𝑥+ a2𝑦 = 0 ...(3)

Dengan a0 ≠ 0, dan a0, a1, a2 adalah konstan real (Boyce, 2001: 131).

Transformasi Laplace

Definisi 1 Transformasi Laplace dari fungsi F(t) didefinisikan sebagai

berikut:

ℒ{𝐹(𝑡)} = 𝑓(𝑠) = ∫ 𝑒−𝑠𝑡𝐹(𝑡)𝑑𝑡𝑥

0 ...(4)

Definisi 2 (Kekontinuan bagian demi bagian) Suatu fungsi dikatakan

kontinu bagian demi bagian dalam suatu selang 0 ≤ t ≤ β bila selang

ini dapat dibagi-bagi kedalam sejumlah berhingga selang-selang di

mana dalam setiap selang ini fungsinya kontinu dan memiliki limit-

limit kanan dan kiri yang berhingga.

Definisi 3 (Orde Eksponensial) Jika terdapat konstan real 𝑀 > 0 dan

𝛾 sehingga untuk semua 𝑡 > 𝑁 berlaku, |𝑒−𝛾 𝑡𝐹(𝑡)| ≤ 𝑀 atau |𝐹(𝑡)| ≤



𝑀𝑒−𝛾 𝑡. Maka dikatakan bahwa 𝐹(𝑡) adalah suatu fungsi eksponensial

berorde 𝛾 apabila 𝑡 → ∞.

Teorema 1 (Syarat cukup untuk keujudan transformasi laplace) Jika

𝐹(𝑡) adalah kontinu secara bagian-bagian dalam setiap selang

berhingga 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑁 dan eksponensial berorde 𝛾 untuk 𝑡 > 𝑁, maka

transformasi Laplace nya 𝑓(𝑠) ada untuk semua 𝑠 > 𝛾.

Bukti:

Untuk setiap bilangan positif N didapat

𝑓(𝑠) = ℒ{𝐹(𝑡)} = ∫ 𝑒−𝑠𝑡𝐹(𝑡)𝑑𝑡 =∞

0 ∫ 𝑒−𝑠𝑡𝐹(𝑡)𝑑𝑡 +𝑁

0

∫ 𝑒−𝑠𝑡𝐹(𝑡)𝑑𝑡∞

𝑁

Karena 𝐹(𝑡) adalah kontinu secara sebagian-sebagian dalam setiap

selang berhingga 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑁, maka ∫ 𝑒−𝑠𝑡𝐹(𝑡)𝑑𝑡𝑁

0 ada

Akan ditunjukkan ∫ 𝑒−𝑠𝑡𝐹(𝑡)𝑑𝑡∞

𝑁 ada

Karena 𝐹(𝑡) adalah eksponensial berorde 𝛾 untuk 𝑡 > 𝑁 atau dapat

ditulis dengan

|𝐹(𝑡)| ≤ 𝑀𝑒𝛾𝑡 sehingga:

|∫ 𝑒−𝑠𝑡𝐹(𝑡)𝑑𝑡∞

𝑁| ≤ ∫ 𝑒−𝑠𝑡|𝐹(𝑡)|𝑑𝑡

∞

𝑁

≤ ∫ 𝑒−𝑠𝑡𝑀𝑒𝛾𝑡𝑑𝑡∞

𝑁

≤ 𝑀 ∫ 𝑒−𝑠𝑡𝑒𝛾𝑡𝑑𝑡∞

𝑁

≤ 𝑀 [1

−(𝑠−𝛾)𝑒−(𝑠−𝛾)𝑡]

𝑁

∞

= −𝑀𝑒−(𝑠−𝛾)𝑁

−(𝑠−𝛾) , untuk 𝑠 > 𝛾

Jadi ∫ 𝑒−𝑠𝑡𝐹(𝑡)𝑑𝑡∞

0 ada untuk semua 𝑠 > 𝛾

Definisi 4 (Invers Transformasi Laplace) Jika ℒ{F(t)} = f(s), maka

F(t) disebut suatu invers transformasi Laplace dari f(s) dan secara

simbolis ditulis F(t) = ℒ−1{𝑓(𝑠)}.

Teorema 2 (Ketunggalan invers transformasi Laplace) Andaikan

fungsi-fungsi 𝐹(𝑡) dan 𝐺(𝑡) memenuhi syarat-syarat keujudan

Rizqona Maharani


transformasi Laplace sehingga 𝑓(𝑠) dan 𝑔(𝑠) ada, jika 𝑓(𝑠) = 𝑔(𝑠)

untuk 𝑠 > 𝛾 maka 𝐹(𝑡) = 𝐺(𝑡) pada selang kekontinuannya.

Bukti:

𝑓(𝑠) = ∫ 𝑒−𝑠𝑡𝐹(𝑡) 𝑑𝑡∞

0 ada, jadi konvergen

𝑔(𝑠) = ∫ 𝑒−𝑠𝑡𝐺(𝑡) 𝑑𝑡∞

0 ada, jadi konvergen

𝑓(𝑠) = 𝑔(𝑠) maka ∫ 𝑒−𝑠𝑡𝐹(𝑡) 𝑑𝑡∞

0= ∫ 𝑒−𝑠𝑡𝐺(𝑡) 𝑑𝑡

∞

0

Atau ∫ 𝑒−𝑠𝑡𝐹(𝑡) 𝑑𝑡∞

0− ∫ 𝑒−𝑠𝑡𝐺(𝑡) 𝑑𝑡

∞

0= 0

Karena kedua integral tak wajar ini konvergen maka

∫ 𝑒−𝑠𝑡𝐹(𝑡) 𝑑𝑡∞

0= ∫ 𝑒−𝑠𝑡𝐺(𝑡) 𝑑𝑡

∞

0

∫ 𝑒−𝑠𝑡𝐹(𝑡) 𝑑𝑡∞

0− ∫ 𝑒−𝑠𝑡𝐺(𝑡) 𝑑𝑡

∞

0= 0

𝑒−𝑠𝑡 ≠ 0 maka 𝐹(𝑡) − 𝐺(𝑡) = 0

Jadi 𝐹(𝑡) − 𝐺(𝑡) dalam selang kekontinuannya

Teorema 3 (sifat linier) Jika c1 dan c2 adalah sebarang konstan

sedangkan F1(t) dan F2(t) adalah fungsi-fungsi dengan transformasi-

transformasi Laplace nya masing-masing f1(s) dan f2(s) maka

ℒ{𝑐1𝐹1(𝑡) + 𝑐2𝐹2(𝑡)} = 𝑐1ℒ{𝐹1(𝑡)} + 𝑐2ℒ{𝐹2(𝑡)} = 𝑐1𝑓1(𝑠) +

𝑐2𝑓2(𝑠) ...(5)

Bukti:

Misalkan ℒ{𝐹1(𝑡)} = 𝑓1(𝑠) = ∫ 𝑒−𝑠𝑡𝐹1(𝑡)𝑑𝑡𝑥

0 dan

ℒ{𝐹2(𝑡) } = 𝑓2(𝑠) = ∫ 𝑒−𝑠𝑡𝐹2(𝑡)𝑑𝑡𝑥

0

Maka ℒ{𝑐1𝐹1(𝑡) + 𝑐2𝐹2(𝑡)} = ∫ 𝑒−𝑠𝑡{𝑐1𝐹1(𝑡) + 𝑐2𝐹2(𝑡)} 𝑑𝑡 ∞

0

= ∫ 𝑒−𝑠𝑡𝑐1𝐹1(𝑡) 𝑑𝑡 ∞

0+ ∫ 𝑒−𝑠𝑡 𝑐2𝐹2(𝑡)𝑑𝑡

∞

0

= 𝑐1 ∫ 𝑒−𝑠𝑡𝐹1(𝑡) 𝑑𝑡 + 𝑐2 ∫ 𝑒−𝑠𝑡 𝐹2(𝑡)𝑑𝑡 ∞

0

∞

0

= 𝑐1ℒ{𝐹1(𝑡)} + 𝑐2ℒ{𝐹2(𝑡)}

= 𝑐1𝑓1(𝑠) + 𝑐2𝑓2(𝑠)

Dengan cara yang sama jika ℒ−1{𝑓(𝑠)} = 𝐹(𝑡) maka

ℒ−1{𝑐1𝑓1(𝑠) + 𝑐2𝑓2(𝑠)} = 𝑐1ℒ−1{𝑓1(𝑠)} + 𝑐2ℒ−1{𝑓2(𝑠)}

= 𝑐1𝐹1(𝑡) + 𝑐2𝐹2(𝑡)



Teorema 4 (Transformasi laplace dari turunan-turunan) Jika

ℒ{𝐹(𝑡)} = 𝑓(𝑠) maka ℒ{𝐹′(𝑡)} = 𝑠𝑓(𝑠) − 𝐹(0) bila 𝐹(𝑡) adalah

kontinu untuk 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑁 dan eksponensial berorde untuk 𝑡 > 𝑁

sedangkan 𝐹′(𝑡) adalah kontinu secara sebagian-sebagian untuk 0 ≤

𝑡 ≤ 𝑁.

Bukti:

ℒ{𝐹′(𝑡)} = ∫ 𝑒−𝑠𝑡𝐹′(𝑡)𝑑𝑡𝑥

0

= lim𝑎→∞

∫ 𝑒−𝑠𝑡𝐹′(𝑡)𝑑𝑡𝑎

0

= lim𝑎→∞

{[𝑒−𝑠𝑡𝐹(𝑡)]0𝑎 + 𝑠 ∫ 𝑒−𝑠𝑡𝐹(𝑡)𝑑𝑡

𝑎

0}

= 0 − 𝐹(0) + 𝑠 ∫ 𝑒−𝑠𝑡𝐹(𝑡)𝑑𝑡𝑎

0

= 𝑠𝑓(𝑠) − 𝐹(0)

Teorema 5 Jika ℒ{𝐹(𝑡)} = 𝑓(𝑠) maka ℒ{𝐹′′(𝑡)} = 𝑠2𝑓(𝑠) − 𝑠𝐹(0) −

𝐹′(0), bila 𝐹(𝑡) dan 𝐹′(𝑡) kontinu untuk 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑁 dan eksponensial

berorde untuk 𝑡 > 𝑁 sedangkan 𝐹′′(𝑡) adalah kontinu secara

sebagian-sebagian untuk 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑁.

Bukti:

Menurut Teorema 4 ℒ{𝐺(𝑡)} = 𝑠ℒ{𝐺(𝑡)} − 𝐺(0) = 𝑠𝑔(𝑠) − 𝐺(0)

Misalkan 𝐺(𝑡) = 𝐹′(𝑡), maka:

ℒ{𝐹′′(𝑡)} = 𝑠ℒ{𝐹′(𝑡)} − 𝐹′(0)

= 𝑠[𝑠ℒ{𝐹(𝑡)} − 𝐹(0)] − 𝐹′(0)

= 𝑠2ℒ{𝐹(𝑡)} − 𝑠𝐹(0) − 𝐹′(0)

= 𝑠2𝑓(𝑠) − 𝑠𝐹(0) − 𝐹′(0)

Teorema 6 Jika ℒ{𝐹(𝑡)} = 𝑓(𝑠) maka ℒ{𝐹𝑛(𝑡)} = 𝑠𝑛𝑓(𝑠) −

𝑠𝑛−1𝐹(0) − 𝑠𝑛−2𝐹′(0) − ⋯ − 𝑠𝐹(𝑛−2)(0) − 𝐹(𝑛−1)(0), bila

𝐹(𝑡), 𝐹′(𝑡), … , 𝐹(𝑛−1)(𝑡) adalah kontinu untuk 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑁 dan

eksponensial berorde untuk 𝑡 > 𝑁 sedangkan 𝐹𝑛(𝑡) adalah kontinu

secara sebagian-sebagian untuk 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑁.

Bukti:

Menurut Teorema 4 ℒ{𝐺(𝑡)} = 𝑠ℒ{𝐺(𝑡)} − 𝐺(0) = 𝑠𝑔(𝑡) − 𝑔(0)

Misalkan 𝐺(𝑡) = 𝐹𝑛(𝑡) dimana 𝑛 = 1, 2, 3, …, maka:

Rizqona Maharani


ℒ{𝐹′(𝑡)} = 𝑠ℒ{𝐹(𝑡)} − 𝐹(0) = 𝑠𝑓(𝑠) − 𝐹(0)

ℒ{𝐹′′(𝑡)} = 𝑠ℒ{𝐹′(𝑡)} − 𝐹′(0) = 𝑠2𝑓(𝑠) − 𝑠𝐹(0) − 𝐹′(0)

ℒ{𝐹′′′(𝑡)} = 𝑠ℒ{𝐹′′(𝑡)} − 𝐹′′(0

= 𝑠3𝑓(𝑠) − 𝑠2𝐹(0) − 𝑠𝐹′(0) − 𝐹′′(0)

ℒ{𝐹(4)(𝑡)} = 𝑠ℒ{𝐹′′′(𝑡)} − 𝐹′′′(0) = 𝑠4𝑓(𝑠) − 𝑠3𝐹(0) − 𝑠2𝐹′(0)

−𝑠𝐹′′(0) − 𝐹′′′(0)

.

.

.

ℒ{𝐹(𝑛−2)(𝑡)} = 𝑠ℒ{𝐹(𝑛−3)(𝑡)} − 𝐹(𝑛−3)(0) = 𝑠𝑛−2𝑓(𝑠) − 𝑠𝑛−3𝐹(0)

−𝑠𝑛−4𝐹′(0) − ⋯ − 𝑠𝐹(𝑛−4)(0) − 𝐹(𝑛−3)(0)

ℒ{𝐹(𝑛−1)(𝑡)} = 𝑠ℒ{𝐹(𝑛−2)(𝑡)} − 𝐹(𝑛−2)(0) = 𝑠𝑛−1𝑓(𝑠) − 𝑠𝑛−2𝐹(0)

−𝑠𝑛−3𝐹′(0) − ⋯ − 𝑠𝐹(𝑛−3)(0) − 𝐹(𝑛−2)(0)

ℒ{𝐹(𝑛)(𝑡)} = 𝑠ℒ{𝐹(𝑛−1)(𝑡)} − 𝐹(𝑛−1)(0) = 𝑠𝑛𝑓(𝑠) − 𝑠𝑛−1𝐹(0)

−𝑠𝑛−2𝐹′(0) − ⋯ − 𝑠𝐹(𝑛−2)(0) − 𝐹(𝑛−1)(0)

Adapun langkah-langkah dalam menerapkan Transformasi Lapace

untuk memecahkan persamaan diferensial linier orde dua dengan

koefisien konstan yang kondisi awalnya telah diberikan adalah:

1) Menghitung bayangan Laplace dari kedua ruas persamaan

2) Menggunakan sifat-sifat transformasi Laplace dan kondisi awal

untuk mencari persamaan bayangan Laplace dalam

penyelesaiannya.

3) Menyelesaikan persamaan dalam bayangan Laplace yang

diperoleh.

Menentukan invers bayangan Laplace dengan menggunakan

tabel atau metode yang sesuai. Berikut invers bayangan laplace

dinyatakan pada Tabel 1.

Tabel 1. Transformasi Laplace Invers

No 𝒇(𝒔) 𝓛−𝟏{𝒇(𝒔)} = 𝑭(𝒕)

1. 1

𝑠 1

2 𝑛!

𝑠𝑛+1

𝑡𝑛 ; (𝑛 = 1,2,3, … )

3 1

𝑠−𝑎 𝑒𝑎𝑡

4 𝑠

𝑠2 + 𝑎2 cos 𝑎𝑡



5 𝑎

𝑠2 − 𝑎2 sin 𝑎𝑡

6 𝑠

𝑠2 − 𝑎2 cosh 𝑎𝑡

7

𝑎

𝑠2 − 𝑎2

sin 𝑎𝑡

(Spiegel, 1993)

Persamaan Gerak pada Pendulum Sederhana

Gerak osilasi yang populer adalah gerak osilasi pendulum

(bandul). Pada pendulum sederhana terdiri dari seutas tali ringan

dan sebuah bola kecil (bola pendulum) bermassa 𝑚 yang

digantungkan pada ujung tali. Pada gerak pendulum biasa, gaya

gesekan udara akan diabaikan dan massa tali sangat kecil sehingga

dapat diabaikan relatif terhadap bola.

Gambar 1 Sistem Bandul Sederhana

Gaya yang bekerja pada bola pendulum adalah gaya berat 𝑤 dan gaya

tegangan tali 𝐹𝑇. Bila Tali membuat sudut 𝜃 terhadap vertikal, berat

memiliki komponen-komponen 𝑤 cos 𝜃 sepanjang tali dan 𝑤 sin 𝜃

tegak lurus tali dalam arah berkurangnya 𝜃. Karena tidak ada gaya

gesek udara, maka pendulum melakukan osilasi sepanjang busur

lingkaran dengan besar amplitudo tetap sama. Sehingga hubungan

Rizqona Maharani


antara panjang busur 𝑥 dengan sudut 𝜃 dinyatakan dengan

persamaan 𝑥 = 𝐿𝜃. Bandul tersebut melakukan Gerak Harmonik

Sederhana berarti gaya pemulihnya adalah komponen tangensial

gaya gravitasi 𝑤 sin 𝜃 atau 𝑚𝑔 sin 𝜃 yang bekerja dengan arah

menuju 𝜃 = 0, berlawanan dengan arah simpangannya. Oleh

karenanya gaya tegang tali 𝐹𝑇 bernilai −𝑚𝑔 sin 𝜃. Sehingga menurut

hukum kedua Newton, percepatan yang dihasilkan oleh pendulum

sederhana jika dihubungkan dengan gaya tegang tali dapat

dinyatakan dengan:

𝐹𝑇 = 𝑚𝑎

−𝑚𝑔 sin 𝜃 = 𝑚𝑎 = 𝑚𝑑2𝑥

𝑑𝑡2 … (1.1)

Dengan,

𝑚: massa benda (kg)

𝑔 : percepatan gravitasi (𝑚/𝑠2)

𝑎 : percepatan (𝑚/𝑠2)

Pada gerak bandul tersebut akan mendekati gerak harmonik

sederhana jika mempunyai simpangan kecil. Dengan demikian untuk

sudut yang kecil, akan digunakan pendekatan sin 𝜃 ≈ 𝜃, sehingga

persamaan (1.1) menjadi:

−𝑚𝑔 sin 𝜃 ≈ −𝑚𝑔𝜃 = 𝑚𝑑2𝑥

𝑑𝑡2 … (1.2)

Mengingat 𝑥 = 𝐿𝜃, maka 𝑑2𝑥

𝑑𝑡2 = 𝐿𝑑2𝜃

𝑑𝑡2 . Sehingga persamaan (1.2) dapat

dinyatakan dengan:

−𝑚𝑔𝜃 = 𝑚𝐿𝑑2𝜃

𝑑𝑡2

−𝑔𝜃 = 𝐿𝑑2𝜃

𝑑𝑡2

𝑑2𝜃

𝑑𝑡2 = −𝑔

𝐿𝜃

𝑑2𝜃

𝑑𝑡2 +𝑔

𝐿𝜃 = 0

𝜃′′ +𝑔

𝐿𝜃 = 0 … (1.3)



Persamaan (1.3) adalah persamaan diferensial linear homogen

dengan koefisien konstan. Pada permasalahan gerak sebuah

pendulum ini, akan diberikan syarat awal yang harus dipenuhi

sehingga tidak dapat diselesaikan secara langsung. Oleh karenanya

akan digunakan transformasi Lapace. Syarat awal tersebut adalah

saat pendulum berada pada simpangan tertentu dengan kecepatan

awal nol.

Persamaan (1.3) akan disusun kembali ke dalam bentuk aljabar,

sehingga persamaannya menjadi:

𝜃′′ +𝑔

𝐿𝜃 = 0

𝜃′′ + 𝜔2𝜃 =

0 … (1.4)

Dengan 𝜔 adalah frekuensi sudut, 𝜔 = √𝑔

𝐿

Jika diberikan syarat awal 𝜃(0) = 𝐴, 𝜃′(0) = 𝐵 = 0, ℒ{𝜃} = 𝜃(𝑠)

maka dengan menggunakan transformasi Laplace pada kedua ruas

dari persamaan (1.4) diperoleh:

ℒ{𝜃′′ + 𝜔2𝜃} = ℒ{0}

ℒ{𝜃′′} + ℒ{𝜔2𝜃} = 0

ℒ{𝜃′′} + 𝜔2ℒ{𝜃} = 0

[𝑠2ℒ{𝜃} − 𝑠𝜃(0) − 𝜃′(0)] + 𝜔2ℒ{𝜃} = 0

𝑠2𝜃(𝑠) − 𝑠𝐴 − 𝐵 + 𝜔2𝜃(𝑠) = 0

𝑠2𝜃(𝑠) − 𝑠𝐴 − 𝐵 + 𝜔2𝜃(𝑠) = 0

(𝑠2 + 𝜔2)𝜃(𝑠) = 𝑠𝐴 + 𝐵

𝜃(𝑠) =𝑠𝐴+0

𝑠2+𝜔2

𝜃(𝑠) =𝑠𝐴

𝑠2+𝜔2

Rizqona Maharani


Untuk mendapatkan persamaan gerak bandul, dikenakan

transformasi Laplace invers pada kedua ruas dari persamaan

pembantu tersebut.

ℒ−1{𝜃(𝑠)} = ℒ−1 {𝑠𝐴

𝑠2+𝜔2}

𝜃(𝑡) = ℒ−1 {𝑠𝐴

𝑠2+𝜔2}

= 𝐴ℒ−1 {𝑠

𝑠2+𝜔2}

= 𝐴 cos 𝜔𝑡

𝜃(𝑡) = 𝐴 cos(𝜔𝑡 + 0)

𝜃(𝑡) = 𝐴 cos(𝜔𝑡 + ∅)

Berdasarkan persamaan perpindahan gerak pendulum yang sudah

diperoleh, maka dapat persamaan kecepatan dan percapatan

angularnya adalah

𝜔(𝑡) =𝑑𝜃

𝑑𝑡=

𝑑(𝐴 cos(𝜔𝑡 + ∅))

𝑑𝑡= −𝐴 𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡 + ∅) 𝑟𝑎𝑑/𝑠

Dan

𝛼(𝑡) =𝑑𝜔

𝑑𝑡=

𝑑(−𝐴 𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡 + ∅))

𝑑𝑡= −𝐴𝜔2 cos(𝜔𝑡 + ∅) 𝑟𝑎𝑑2/𝑠

Persamaan Gerak pada Pendulum Fisis

Sebuah benda tegar yang digantung dari suatu titik yang bukan

merupakan pusat massanya akan berosilasi ketika disimpangkan

dari posisi kesetimbangannya.



Gambar 2.2 skema bandul fisis

Titik 𝑂 adalah sumbu ayun pada benda yang sering dinamakan pivot,

𝑃 adalah pusat massa, 𝐿 adalah panjang benda, sedangkan ℓ adalah

jarak 𝑂 ke 𝑃. Dan yang menyebabkan benda berayun adalah momen

gaya atau torsi pemulih (Restoring torque).

Pada gambar bangun datar yang digantung pada sebuah titik

berjarak ℓ dari pusat massanya dan disimpangkan dari

kesetimbangan sebesar sudut 𝜃. Momen gaya yang bekerja terhadap

titik gantung bernilai 𝑚𝑔ℓ sin 𝜃 dan cenderung mengurangi 𝜃.

Percepatan sudut 𝛼 yang dihasilkan pada pendulum fisis tersebut

dihubungkan dengan momen gaya oleh:

𝜏 = 𝐼𝛼 = 𝐼 𝑑2𝜃

𝑑𝑡2 … … … (2.1)

Dengan:

𝜏: momen gaya

𝐼: momen inersia

𝛼: percepatan sudut

Karena momen gaya berlawanan dengan arah simpangan dan

cenderung mengurangi 𝜃, sehingga momen gaya bernilai −𝑚𝑔ℓ sin 𝜃.

Dengan mensubtitusikan −𝑚𝑔ℓ sin 𝜃 untuk momen gaya total pada

persamaan (2.1) diperoleh:

−𝑚𝑔ℓ sin 𝜃 = 𝐼 𝑑2𝜃

𝑑𝑡2 … … … (2.2)

Gerak pada bandul fisis mendekati gerak harmoni sederhana jika

simpangan sudutnya kecil sehingga digunakan pedekatan sin 𝜃 ≈ 𝜃.

Oleh karenanya dari persamaan (2.2) diperoleh:

Rizqona Maharani


−𝑚𝑔ℓ sin 𝜃 = 𝐼 𝑑2𝜃

𝑑𝑡2

−𝑚𝑔ℓ𝜃 = 𝐼 𝑑2𝜃

𝑑𝑡2

−𝑚𝑔ℓ𝜃

𝐼=

𝑑2𝜃

𝑑𝑡2

𝑑2𝜃

𝑑𝑡2 +𝑚𝑔ℓ𝜃

𝐼= 0

𝜃′′ +𝑚𝑔ℓ

𝐼𝜃 = 0

𝜃′′ + 𝜔2𝜃 = 0 … (2.3)

Dengan 𝜔 adalah frekuensi sudut yang bernilai√𝑚𝑔ℓ

𝐼

Bentuk persamaan (2.3) adalah termasuk persamaan diferensial

linear orde dua homogeny dengan koefisien konstan. Sama halnya

dengan permasalahan bandul sederhana, pada bandul fisis ini akan

diberikan syarat awal yang harus dipenuhi dan akan diselesaikan

dengan transformasi Laplace.

Jika diberikan syarat awal 𝜃(0) = 𝐴, 𝜃′(0) = 𝐵 = 0, ℒ{𝜃} = 𝜃(𝑠)

maka dengan menggunakan transformasi Laplace pada kedua ruas

dari persamaan (2.3) diperoleh:

ℒ{𝜃′′ + 𝜔2𝜃} = ℒ{0}

ℒ{𝜃′′} + ℒ{𝜔2𝜃} = 0

ℒ{𝜃′′} + 𝜔2ℒ{𝜃} = 0

[𝑠2ℒ{𝜃} − 𝑠𝜃(0) − 𝜃′(0)] + 𝜔2ℒ{𝜃} = 0

𝑠2𝜃(𝑠) − 𝑠𝐴 − 𝐵 + 𝜔2𝜃(𝑠) = 0

𝑠2𝜃(𝑠) − 𝑠𝐴 − 𝐵 + 𝜔2𝜃(𝑠) = 0

(𝑠2 + 𝜔2)𝜃(𝑠) = 𝑠𝐴 + 𝐵

𝜃(𝑠) =𝑠𝐴+0

𝑠2+𝜔2

𝜃(𝑠) =𝑠𝐴

𝑠2+𝜔2

Untuk mendapatkan persamaan gerak bandul, dikenakan

transformasi Laplace invers pada kedua ruas dari persamaan

pembantu tersebut.

𝜃(𝑡) = ℒ−1{𝜃(𝑠)}



= ℒ−1 {𝑠𝐴

𝑠2+𝜔2}

= 𝐴ℒ−1 {𝑠

𝑠2+𝜔2}

= 𝐴 cos 𝜔𝑡

𝜃(𝑡) = 𝐴 cos(𝜔𝑡 + 0)

𝜃(𝑡) = 𝐴 cos(𝜔𝑡 + ∅)

Berdasarkan analisis komponen-kompenen gaya yang

bekerja pada pendulum biasa dan fisis diperoleh pemodelan

matematika yang berbentuk persamaan diferensial linier orde dua

yang diberikan syarat awal tertentu. Kemudian dengan

menggunakan metode transformasi laplace diperoleh persamaan

gerak pendulum biasa dan fisis, yaitu 𝜃(𝑡) = 𝐴 cos(𝜔𝑡 + ∅). Kedua

pendulum tersebut memiliki persamaan perpindahan yang sama

sehingga untuk persamaan kecepatan dan percepatannya juga sama.

Akibatnya jika kedua pendulum diberikan simpangan dan 𝜔𝑡 yang

sama, maka diperoleh besar magnitudo perpindahan, kecepatan, dan

percepatan yang sama pula.

C. KESIMPULAN

Berdasarkan pembahasan terkait aplikasi transformasi laplace pada

permasalahan pemodelan matematika dalam mencari persamaan

gerak pendulum sederhana dan fisis yang berupa PD linier orde dua

homogen dengan koefisien konstan dapat dilakukan dengan

menganalisis terlebih dahulu komponen-komponen yang bekerja

pada pendulum sederhana dan pendulum fisis, sehingga terbentuk

persamaan diferensial homogen dengan syarat awal. Bentuk umum

persamaannya adalah 𝜃′′ + 𝜔2𝜃 = 0 . Ambil transformasi Laplace

dari persamaan diferensial dan gunakan syarat awalnya sehingga

terbentuk ℒ{𝜃} = 𝜃(𝑠) . Selanjutnya, digunakan transformasi Laplace

dari 𝜃(𝑠) sehingga terbentuk 𝜃(𝑡) = ℒ−1{𝜃(𝑠)}. Akibatnya, diperoleh

persamaan gerak pendulum sederhana dan fisis 𝜃(𝑡) = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 +

∅). Hal itu berarti jika simpangan dan 𝜔𝑡 kedua pendulum sama,

maka besar magnitudo perpindahan, kecepatan dan percepatan

pendulum juga sama.

Rizqona Maharani


DAFTAR PUSTAKA

Boyce, William E. Diprima, Richard C. (2001). Elementary Differential

Equations and Boundary Value Problems. United States of

America :John Wiley & Sons, Inc

Halliday, D. Resnick, R. & Walker, J. (2010). Fisika Dasar Edisi 7.

Jakarta :Erlangga

Nagle, R. Kent, Edward B. Saff &Arthur David Snider. (2004).

Fundamental of Differential Equations and Boundary Value

Problems Fourth Edition. United States of America: Pearson

Adison Wesley

Spiegel, Murray R.(1993). Transformasi Laplace. Jakarta: Erlangga.

Susanta, B. (2008). Cara Mudah menyelesaikan Matematika dengan

Mathematica. Yogyakarta. Universitas Terbuka

Suyono. (2003). Persamaan Diferensial. Surakarta: Sebelas Maret

University Press

Tipler, Paul. A. (1998). Fisika Untuk Sains dan Teknik. (jilid

1).Terjemahan Lea Prasetyo, Rahmad W. Adi. Jakarta:

Erlangga.

APLIKASI TRANSFORMASI LAPLACE PADA PERSAMAAN …

Documents

Transcript of APLIKASI TRANSFORMASI LAPLACE PADA PERSAMAAN …