Apresentação do PowerPoint - USP · 2016-09-17 · Dinâmica Estocástica Aula 8 Ifusp, setembro...

Dinâmica Estocástica

Aula 8

Ifusp, setembro de 2016

Tânia Tomé - Din Estoc - 2016 1

Equação de Fokker-Planck

1) Caso especial: movimento browniano –superamortecido

2) Método da solução estacionária


3

Tânia Tomé & Mário J de Oliveira, Cap. 3 e Cap. 4

Tânia Tomé - Din Estoc - 2016

Bibliografia básica

Risken, The Fokker-Planck Equation

4Tânia Tomé - Din Estoc - 2016


),(2

),()(),(2

2

txPx

txPxfx

txPt

(1)

Equação de Fokker-Planck Equação de evolução temporal de P(x,t)

Obtivemos na aula passada

A essa equação está associada a equação de Langevin

)()( txfdt

dx (2)

5

)()( txfdt

dx

0)( t

)()()( tttt

(2)

(3)

(4)

Equação de Langevin

em que,

e




0)( xfCaso especial:

7

Solução:

),(2

),(2

2

txPx

txPt

(5)

)2/exp(2

1),( 2 tx

ttxP

(6)

Verificar que a expressão (6) é solução da equação de Fokker-Planck (5)substituindo (6) em (5).

Fazer isso pelo menos uma vez na vida!!!


Equação de Fokker-Planck0)( xfCaso especial:

8

dxtxPxx nn ),(

Obtenção da solução (caso especial f(x)=0)

Portanto:(8)

dxtxP

txx

dt

d nn ),(

),(2

),(2

2

txPx

txPt

Mas,

dxtxP

xxx

dt

d nn ),(2 2

2

(7)



O momento de x de ordem n é definido por:

Derivando com relação a t ambos os membros da Eq. (7) temos:

(6)

9

Portanto: (9)

dxtxP

xxx

dt

d nn ),(2 2

2

dxtxP

xxn n ),(

2

1

dxtxPxnn n ),()1(

2

2

2)1(2

nn xnnxdt

d




(8)

xPeP / se anulampara x

10

Agora a função característica associada a x é (definição):

(9)

2)1(2

nn xnnxdt

d

0 !

)()exp(),(

x

ikikxtkG

0 !

)(),(

x

t

iktkG

t

Portanto, utilizando as equações (9) e (10) obtemos:

(10)Então:

2

212!

)(),(

xik

tkGt

(11)




11

Definindo:

(12)

2

212!

)(),(

xik

tkGt

2

2

2)!2(

)(

x

ik

0

2

0

2

)!(

)(

22)!(

)(

m

mm

m

mm

xm

ikkx

m

ik

2 m

),(2

),( 2 tkGktkGt

Portanto:


Obtenção da solução (caso especial f(x)=0)Equação de Fokker-Planck

(11)

12

),(2

),( 2 tkGktkGdt

d

Solução

)2/exp(),( 2 tktkG

0t 1G

Condição inicial




(13)

(12)

0x 0t

13

Essa é a forma da função característica de uma distribuição de probabilidades gaussiana e de variância

)2/exp(),( 2 tktkG

)( t

)2/exp(2

1),( 2 tx

ttxP


(14)



(13)

Portanto,


(*) Observação. Lembrar que para a gaussiana:

)2/exp(2

1)( 22

2

xxP

)2/exp()( 22kkg

No caso: t2

2 =variância

a função característica também é uma gaussiana.

15

)2/exp(2

1),( 2 tx

ttxP

)4/exp(4

1),( 2 tDx

tDtxP

),(),(2

),(2

2

2

2

txPx

DtxPx

txPt

Ou:

D = constante de difusão

É a solução da equação de Fokker-Planck: (para a condição inicial: t=0, x=0)


(caso especial f(x)=0)


(15)

16

)2/exp(2

1),( 2 tx

ttxP

),(),(2

2

txPx

DtxPt

D = constante de difusão


Caso especial f(x)=0


)4/exp(4

1),( 2 tDx

tDtxP

)(tdt

dx x

)(t

posição da partícula

ruído



)'()'()( tttt 0)( t

RESUMO

2/D


Equação de Langenvin – movimento superamortecido

)(2

2

tFdt

dx

dt

xdm

x

)(t

posição da partícula

ruído


)'()'()( tttt 0)( t

m m

)(tdt

dx

Equação de Langevin para o movimento browniano – movimento superamortecido

= massa desprezível

)(2

2

tFdt

dx

dt

xdm

O termo contendo é desprezado

)(tFdt

dx

Observação sobre o caso especial (f(x)=0)


Solução da equação de Fokker-Planck

Método da solução estacionária

),(2

),()(),(2

2

txPx

txPxfx

txPt

Equação de Fokker-Planck em uma variável

Equação de Langevin em uma variável

)()( txfdt

dx

0)( t )'()'()( tttt

Essa equação de Langevin está associada à equação de Fokker-Planck em uma variável:


20

),(2

),()(),(2

2

txPx

txPxfx

txPt

(1)

Encontrar a solução da equação de Fokker-Planck no regime estacionário


),(2

),()(),( txPx

txPxftxJ

Definição:

),( txJ Corrente de probabilidade

(2)



Corrente de probabilidade

21

),(2

),()(),(2

2

txPx

txPxfx

txPt

(1)Equação de Fokker-Planck

),(2

),()(),( txPx

txPxftxJ

),(),( txJx

txPt

Portanto:

corrente de probabilidade


(2)

(3)



Definição:

),( txJ

(*)

22

),(),( txJx

txPt

Equação de Fokker-Planck (3)

dxtxPt

b

a

),(

Consideremos x no intervalo [a,b]



Integrando com relação a x ambos os membros da Eq. (3):

ba

b

a

txJdxx

txJ),(

),(

Lado esquerdo da equação (3):

Lado direito da equação (3):

(4)

(5)

),( txJ = corrente de probabilidade

23

),(),( txJx

txPt

Equação de Fokker-Planck (3)

),(),(),( tbJtaJdxtxPt

b

a

(6)



dxtxPt

b

a

),(

(4)

ba

b

a

txJdxx

txJ),(

),(

(5)),(),( taJtbJ

24

),( txP

0),(

dxtxP

t

b

a

(7)

Então:

é a densidade de probabilidade e, portanto,

1),( dxtxP

b

a

válida para todo e qualquer instante de tempo t!

(8)



é normalizada , ou seja,

25

0),(

dxtxP

t

b

a


b

a

Mas, já obtivemos que a integração em x da equação de Fokker-Planck fornece:

(8)

Portanto, a partir das Eqs. (6) e (8) temos:

),(),( tbJtaJ para qualquer instante t (7)



(6)

26

),(),( tbJtaJ (Para qualquer instante t)

1),( dxtxP

b

a

Resumo

condições de contorno

),(2

),()(),( txPx

txPxftxJ

),(),( txJx

txPt




Corrente de probabilidade

Normalização


b

a

0),(

dxtxP

t

b

a

27

Consideraremos a condição de contorno refletora:

),(2

),()(),( txPx

txPxftxJ

),(),( tbJtaJ

),(),( txJx

txPt


(9)



0

(3)

28

Regime estacionário

0),(

txP

t


Solução estacionária


Regime estacionário a derivada com relação ao tempo de P(x,t) se anula.

Isto é, a probabilidade P não depende do tempo t no regime estacionário.

29


0),(

txP

t0),(

txJ

x

0),(

txJ

xnão depende de xno estado estacionário),( txJ




(10)

),(),( txJx

txPt

(3)

(3)

A partir da Eq. (10) temos que no regime estacionário:

pois,

30

0),(

txJ

x

0),(),( tbJtaJ(9)

(8 )




Condição de contorno:

não depende de x no estado estacionárioJ

(regime estacionário)

Então, no regime estacionário: 0)()()( bJaJxJ x

qualquer seja t

31

0),(),( tbJtaJ (9)

Então, 0)( xJNo regime estacionário

para todo e qualquer x

(10)




Condição de contorno refletora:

não depende de x no estado estacionárioJ

Resumo

32

Isto é, no regime estacionário,

0)( xJ no regime estacionário,

para todo e qualquer x.(10)

0)(2

)()()(

xP

xxPxfxJ

0)(2

)()(

xP

xxPxf (11)




33

0)(2

)()(

xP

xxPxf (11)

No regime estacionário temos:

)(2

)()( xPx

xPxf

)()(

1)(

2xP

xxPxf




(12)

Ou

34

regime estacionário




(13)

)()(

1)(

2xP

xxPxf

(12)

dxx

xP

xPdxxf

)(

)(

1)(

2

.)(ln)(2

constxPdxxf

Integrando ambos os lados da Eq. (12) temos:

Ou seja:




(13).)(ln)(2

constxPdxxf

CxPdxxf ln)(ln)(2

.ln constC

C

xPdxxf

)(ln)(

2

Ou,

(13)




C

xPdxxf

)(ln)(

2

C

xPdxxf

)()(

2exp

dxxfCxP )(

2exp)(

Portanto,

(14)

.constC

Solução estacionária da equação de Fokker-Planck

Aplicação


38

)()(2

2

tFxFdt

dx

dt

xdm e

dtdx /


Consideremos a seguinte equação de Langevin para o movimento de uma partícula:

)(xFe

)(tF

força de atrito viscoso

força externa

força aleatória


Método da solução estacionária


Aplicação

39

Portanto:

Consideremos que a massa da partícula é desprezível e o meio é altamente viscoso. Nessas condições podemos desprezar o termo do lado direito da equação de Langevin que acabamos de considerar.

Ou:

Portanto:

)()( tFxFdt

dxe

)()( tFxF

dt

dx e

)()( txfdt

dx



(15) /)()( xFxf e (16)

)()(0 tFxFdt

dxe

40

A eq. (15) é a equação de Langevin associada à equação de Fokker-Planck:

)()( txfdt

dx


Equação de Langevin & Equação de Fokker-Planck

(15)

),(2

),()(),(2

2

txPx

txPxfx

txPt

Que pode ser escrita como:

),(),( txJx

txPt

),(2

),()(),( txPx

txPxftxJ

0)( t )'()'()( tttt

(1)

(3)

41


))(2

exp()( dxxfCxP

/)()( xFxf e

x

xUxFe

)()( )(xU energia potencial



(14)

(16)

Consideremos que é tal que . é derivada de um potencial:)(xf )()( xfxFe

(17)

)(xFe

42

x

xUxFe

)()(

dxx

xUdxxf

)(2

)(2




(18)

)()( xfxFe

))(2

exp()( dxxfCxP (14)

A solução estacionária da equação da equação de Fokker-Planck que estamos considerando é:

x

xUxf

)(1)(

Estamos considerando que:

43

dxx

xUdxxf

)(2

)(2

))(2

exp()( xUCxP




))(2

exp()( dxxfCxP

(14)

(19 )

Portanto,

(18)

Mas,

Exemplo: potencial harmônico partícula sujeita a uma força elástica





kxxFe )(

k

xxk

xf

)((20)

(21)

(22)

Portanto a equação de Langevin dada em (15) fica:

)(txdt

dx

(23)

),(2

),(),(2

2

txPx

txxPx

txPt

E a equação de Fokker-Planck fica dada por:

(25)

)()(

xFxf e

46

))(2

exp()( xUCxP




(19)

Portanto,

)()( xUdx

dxFe

(26)

kxxFe )(2

2

1)( kxxU

)exp()(2

kxCxP





Portanto,

(26))exp()(2

kxCxP

k (23)

)exp()(2

xCxP

(27)






)exp()(2

xCxP

(27)

1)(

dxxP

1)exp()(2

dxx

CdxxP

Normalização:

(28)




1)exp(2

dxx

CNormalização:

dxx

)exp(2

adxax

)exp( 2

Integral gaussina:

A equação (28) envolve uma integral gaussina para a qual : /a

(28)

(29)





1)exp(2

dxx

C

Normalização:

dxx

)exp(2

(28)

(29)

C

(30)





Exemplo: partícula sujeita a uma força elástica (potencial harmônico)

C (30))exp()(

2

xCxP

(27)

)exp()(2

xxP

(31)

k

kx

Solução estacionária da equação de Fokker-Planck

Relação com a mecânica estatística

))(2

exp()( xUCxP



(19)

&


53

Da mecânica estatística temos que:

))(2

exp()( xUCxP




(19)

))(

exp(1

)(Tk

xU

ZxP

B

.constZ

(32)

Bk T= constante de Boltzmann = temperatura absoluta

54

))(2

exp()( xUCxP




(19) ))(

exp(1

)(Tk

xU

ZxP

B

/2 TkB

(32)

(33)

Relação entre a intensidade do ruído e a temperatura

Portanto,

TkB

12

Comparando (19) e (32) obtemos:

FIM


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