4 การประยุกต์อนุพันธ์ Applications of Derivative

4.1 ทฤษฎีบทของโรลล์และทฤษฎีบทค่ามัชฌิม ทฤษฎีบทที่เกี่ยวกับค่าอนุพันธ์ที่จุดสูงสุดหรือต่่าสุดสัมพัทธ์

ทฤษฎี 4.1 ทฤษฎีบทของโรลล์ (Rolle Theorem) ให้ เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้บน และมีความต่อเนื่องบน ถ้า แล้วจะมี อย่างน้อยหนึ่งค่าใน ท่ีท่าให้

กรณี เป็นฟังก์ชันคงค่า มีกราฟเป็นเส้นตรงแนวราบตามแนวแกน จะได ้

ดังนั้น ทุกค่าของ

จากทฤษฎี 4.1 ถ้าเปลี่ยน เป็น เพียงพอที่จะได้ข้อสรุปว่า “จะมี อย่างน้อยหนึ่งค่าใน ท่ีท่าให้ ”

ทฤษฎี 4.2 ทฤษฎีบทค่ามัชฌิม (Mean-Value Theorem)

ให ้ เป็นฟังก์ชันที่ต่อเนื่องบน และหาอนุพันธ์ได้บน แล้วจะมีจ่านวนจริง อย่างน้อยหนึ่งค่า โดย ท่ีท่าให้

ทฤษฎี 4.3 (Intermediate Value Theorem)

ถ้า เป็นฟังก์ชันท่ีต่อเนื่องบน และ เป็นจ่านวนใดๆ ระหว่าง และ แล้วจะมีค่า อย่างน้อยหนึ่งค่าในช่วง ท่ีซึ่ง

ตัวอย่าง 4.1 จงใช้ทฤษฎีบทของโรลล์ตรวจสอบว่าสมการ มีรากท่ีเป็นจ่านวนจริงท้ังหมดกี่ราก

ท่า ให้

เนื่องจาก เป็นฟังก์ชันพหุนามท่ีมีความต่อเนื่องทุกค่า ดังนั้น มีความต่อเนื่องใน – จากทฤษฎีค่าระหว่างกลาง จะมี อย่างน้อยหนึ่งค่าที่ท่าให้ ดังนั้น

มีรากเป็นจ่านวนจริงอย่างน้อย 1 ราก ให้ เป็นรากหนึ่งของสมการ

สมมุติว่าม ี เป็นอีกรากหนึ่งของสมการ จะได้ ซึ่งจากทฤษฎีบทของโรลล์เราจะได้ว่าจะต้องมจี่านวนจริง ซึ่ง \

ส่าหรับทุกค่า

ดังนั้นจึงไม่มีจ่านวนจริง ท่ีท่าให้

นั่นคือสมการ มีรากท่ีเป็นจ่านวนจริงเพียงรากเดียว

ตัวอย่าง 4.2 จงหาค่า ท่ีสอดคล้องตามทฤษฎีของโรลล์หรือทฤษฎีค่ามัชฌิม 1. 2.

บทแทรก 4.1 ถ้า ทุกค่าของ ในช่วงหนึ่งแล้วจะได้ว่า เป็นฟังก์ชันคงค่าตลอดช่วงนั้น

บทแทรก 4.2 ถ้า ทุกค่าของ ในช่วงหนึ่งแล้ว ค่าคงที่ทุกค่าของ ในช่วงนั้น

นิยาม 4.1 ฟังก์ชัน เป็นฟังก์ชันเพิ่ม ถ้า มีค่าเพิ่มขึ้นเมื่อ มีค่าเพิ่มขึ้น กล่าวคือ ถ้า แล้ว

นิยาม 4.2 ฟังก์ชัน เป็นฟังก์ชันลด ถ้า มีค่าลดลงเมื่อ มีค่าเพิ่มขึ้น กล่าวคือ ถ้า แล้ว

บทแทรก 4.3 ถ้า เป็นฟังก์ชันท่ีมีความต่อเนื่องบน และมีค่าอนุพันธ์เป็นบวกบน แล้ว จะเป็นฟังก์ชันเพิ่มบนช่วง ถ้า เป็นฟังกช์ันท่ีมีความต่อเนื่องบนช่วง และมีค่าอนุพันธ์เป็นลบบนช่วง แล้ว จะเป็นฟังก์ชันลดในช่วง

4.1.1 จุดวิกฤต, จุดสูงสุดสัมพัทธ์, จุดต่่าสุดสมัพัทธ์, จุดสูงสุดสัมบูรณ์ และจุดต่่าสุดสัมบูรณ ์

นิยาม 4.3 จุดวิกฤต คือจุด ซึ่ง หรือ หาค่าไม่ได้

นิยาม 4.4 จุดสูงสุดสัมพัทธ์ คือจุด ซึ่งมีช่วง , และ ทุกค่าของ

นิยาม 4.5 จุดต่่าสุดสัมพัทธ์ คือจุด ซึ่งมีช่วง , และ ทุกค่าของ

นิยาม 4.6 จุดสูงสุดสัมบูรณ์ คือจุด ซึ่ง ทุกค่าของ

นิยาม 4.7 จุดต่่าสุดสัมบูรณ์ คือจุด ซึ่ง ทุกค่าของ

ทฤษฎี 4.4 First Derivative Test ให้ หาอนุพันธ์ได้บนช่วงเปิดท่ีคลุม ยกเว้นท่ี เมื่อ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง a) ถ้า เปลี่ยนจากบวกไปเป็นลบที่จุด แล้ว จะมีค่าสูงสุดสมัพัทธ์ที่ b) ถ้า เปลี่ยนจากลบไปเป็นบวกที่จุด แล้ว จะมีค่าต่า่สุดสัมพัทธ์ท่ี

ตัวอย่าง 4.3 ให้ จงวาดรูปกราฟของ คร่าวๆ

ทฤษฎีบท 1 Second Derivative Test สมมุติว่า a) ถ้า แล้ว เป็นจุดสูงสุดสัมพัทธ์ของ b) ถ้า แล้ว เป็นจุดต่่าสุดสัมพัทธ์ของ ถ้า จะไม่สามารถสรุปได้ว่าฟังก์ชัน ท่ีจุด ให้ค่าสูงสุดหรือต่่าสุด

ตัวอย่าง 4.4 จงใช้ First Derivative Test เพื่อหาค่าสูงสุดหรือต่่าสุดสัมพัทธ์ของ 1.

2.

3. 4.

ตัวอย่าง 4.5 จงใช้ First Derivative Test หรือรวมทั้ง Second Derivative Test หาจุดสูงสุดและต่่าสุดสัมพัทธ์ พร้อมวาดรูปประกอบคร่าวๆ

1. 2. 3. 4.

4.1.2 ความเว้าของเส้นโค้ง และจุดเปลีย่นเว้าบนเส้นโค้ง

นิยาม 4.8 จุดที่เชื่อมระหว่างเส้นโค้งเว้าขึ้น กับเส้นโค้ง เว้าลง เราเรียกจุดนี้ว่า “จุดเปลี่ยนเว้า”

นิยาม 4.9 ให้ หาอนุพันธ์ได้บนช่วงเปิด กราฟของ จะ”เว้าขึ้น(concave upward)” เมื่อ มีค่าเพิ่มขึ้นบนช่วงเปิด กราฟของ จะ”เว้าลง(concave downward)” เมื่อ มีค่าลดลงบนช่วงเปิด

ทฤษฎี 4.5 ให้ หาค่าได้บนช่วงเปิด ถ้า ส่าหรับทุก แล้วกราฟจะ”เว้าขึ้น”บนช่วงเปิด ถ้า ส่าหรับทุก แล้วกราฟจะ”เว้าลง”บนช่วงเปิด

ทฤษฎี 4.6 ถ้ากราฟของ มีจุดเปลี่ยนเว้า และที่จุดเปลี่ยนเว้านี้หาค่าอนุพันธ์อันดับสองได้ค่าอนุพันธ์อันดับสอง ณ จุดนี้จะมีค่าเป็นศูนย์

คุณสมบัติท่ีส่าคัญท่ีช่วยในการเขียนกราฟ คุณสมบัติ วิธีท่าสอบ

จุดตัดแกน ท่ี

จุดตัดแกน ท่ี

กราฟมีสมมาตรแกน

กราฟมีสมมาตรจุดก่าเนิด

มีจุดสูงสุดสัมพัทธ์ที่ และ เปลี่ยนจากค่าบวกเป็นลบเมื่อผ่าน หรือ และ

มีจุดต่่าสุดสัมพัทธ์ที่ และ เปลี่ยนจากค่าลบเป็นบวกเมื่อผ่าน หรือ และ

เป็นฟังก์ชันเพิ่มบนช่วง ส่าหรับทุก

เป็นฟังก์ชันลดบนช่วง ส่าหรับทุก

กราฟ เว้าขึ้นบนช่วง ส่าหรับทุก

กราฟ เว้าลงบนช่วง ส่าหรับทุก

เป็นจุดเปลี่ยนเว้า เปลี่ยนเคร่ืองหมายเมื่อผ่าน ( )

มีเส้นก่ากับแนวตั้งท่ี หรือ

มีเส้นก่ากับแนวราบท่ี หรือ

ตัวอย่าง 4.6 ให้

จงวาดกราฟของ

ตัวอย่าง 4.7 ให้

จงวาดกราฟของ

4.2 บทประยุกต์ปัญหาค่าสูงสุด-ต่่าสุด (Applied Maximum and Minimum Problems)

ตัวอย่าง 4.8 จงหาพื้นท่ีสี่เหลี่ยมท่ีมากท่ีสุดที่ล้อมรอบด้วยเชือกยาว 100 เมตร

ขั้นตอนของการแก้ปัญหาปัญหาค่าสูงสุด-ต่่าสุด 1. วาดรูปแทนความสัมพันธ์ต่างๆในปัญหา 2. หาสูงที่จะใช้ในการหาค่าสูงสุดหรือต่่าสุด 3. ลดจ่านวนตัวแปร โดยพิจารณาจากเงื่อนไขของปัญหา แปลงปัญหาให้เป็นฟังชันตัวแปรเดียว 4. หาช่วงของค่าท่ีเหมาะสมที่ขึ้นกับปัญหา 5. ใช้อนุพันธ์เพื่อหาค่าสูงสุด ต่่าสุด

x

x

y y เส้นรอบรูป

Area

ตัวอย่าง 4.9 กล่องเปิดด้านบน สร้างจากวัสดุสี่เหลี่ยมผืนผ้ายาว 30 นิ้ว กล้าง 16 นิ้ว โดยการตัดมุมท้ังสี่แล้วพับขึ้น จงหาความยาวที่เหมาะสมในการตัดมุม เพื่อให้ได้ปริมาตรกล่องมากท่ีสุด

x x

x

x x

x x x

16 in.

30 in.

ตัวอย่าง 4.10 จงหารัศมีและความสูงของทรงกระบอกท่ีมีปริมาตรมากท่ีสุดท่ีบรรจุอยู่ภายในทรงกรวยรัศมี 6 นิ้ว สูง 10 นิ้ว

ให้ แทน รัศมีทรงกระบอก และ แทนความสูงทรงกระบอก

ปริมาตรของทรงกระบอก

Relationship between and using similar triangles

or

10 in.

h

r r

h

6 in. 6 in.

10 - h

4.3 กฎของโลปิตาล

ในการหาลิมิต ถ้าแทนค่า ลงใน แล้ว อยู่ในรูปใดรูปหนึ่งต่อไปนี้คือ

ไม่สามารถบอกค่าลิมิตได้ทันที กล่าวว่า มี “รูปแบบท่ียังไม่ก่าหนด(Indeterminate Form)” ท่ี จะเห็นว่ากรณีนี้ หาค่าไม่ได้

ทฤษฎี 4.7 ให ้ และ เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้บนช่วงเปิดที่มี อยู่ โดยที่ ไม่เป็น ศูนย์ทุกค่าของ ในช่วงเปิดนี้ยกเว้นท่ี ถ้า ,

และ

แล้ว

ทฤษฎี 4.8 ให ้ และ เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้บนช่วงเปิดที่มี อยู่ ถ้า

(หรือ ), (หรือ ) และ

แล้วจะได้ว่า

วิธีในการพิจารณาการใช้กฏโลปิตาล เมื่อลิมิตอยู่ในรูปแบบไม่ก่าหนด รูปแบบไม่ก่าหนด วิธีท่า

1.

ใช้ ทฤษฎี 4.8 โดยตรง

2. รวมสองเทอมเข้าด้วยกัน แล้วจัดรูปเป็นแบบ 1

3. แปลง เป็น

หรือ

4. หา และค่าตอบคือ

หมายเหตุ ลิมิตท่ีอยู่ในรูปแบบของ

ไม่จัดอยู่ในรูปแบบไม่ก่าหนด

ตัวอย่าง 4.11 จงหาลิมิตของ 1.

2.

3.

4. 5.

6.

7.

4.4 การประยุกต์อัตราสัมพัทธ์ (Related Rates)

เราจะประยุกต์เอาอนุพันธ์มาใช้ในการหาอัตราการเปลี่ยนแปลงของตัวแปรต่างๆที่มีความสัมพันธ์กันและทั้งหมดขึ้นอยู่กับเวลา

ขั้นตอนในการท่าโจทย์ 1. วาดรูป และก่าหนดตัวแปรต่างๆ ลงบนรูป โดยเฉพาะท่ีโจทย์ให้มา และค่าที่ต้องการหา 2. สร้างสมการความสัมพันธ์ของตัวแปรต่างๆท่ีเราทราบอัตราการเปลี่ยนแปลงกับตัวแปรท่ีเรา

ต้องการหาความสัมพันธ์เหล่านี้ อาจจะเป็นไปตามกฏสามเหลี่ยมคล้าย (Similar Triangles) ทฤษฎีพิธาโกรัส (Pythagorean Theorem) หรือ สมบัติทางตรีโกณมิติ (Trigonometric Identity)

3. หาอนุพันธ์ท้ังสองข้างของสมการเทียบกับเวลา ( ) 4. แก้สมการหาอัตราส่วนการเปลี่ยนแปลงของตัวแปรท่ีต้องการ

ตัวอย่าง 4.12 สมมุติว่าลูกบอลลูนถูกปั้มให้พองด้วยอัตรา 10 cm.3/min. จงหาอัตราการเปลี่ยนแปลงของรัศมี เมื่อบอลลูนมีรัศมีเท่ากับ 5 cm.

ตัวอย่าง 4.13 สมมุติต่อไปว่า ถ้าบอลลูนลูกเดียวกัน เมื่อมีปริมาตรมากกว่า 10 cm.3 จะลดอัตราการ

เปลี่ยนแปลงของปริมาตรลงเป็น

cm.3/min. รัศมีของลูกบอลลูนจะเพิ่มขึ้นด้วย

อัตราเท่าไร เมื่อรัศมีเท่ากับ 2 cm.

ตัวอย่าง 4.14 บันไดยาว 13 ฟุต วางพาดก่าแพง โดยท่ีก่าแพงกับพื้นตั้งฉากกัน ถ้าปลายบันไดด้านท่ีสัมผัสพื้นขยับออกจากก่าแพงด้วยอัตรา 3 ฟุต/วินาที จงหาอัตราความเร็วของปลายบันไดท่ีสัมผัสก่าแพงท่ีก่าลังเลื่อนลง เมื่อปลายด้านสัมผัสพื้นห่างจากก่าแพง 5 ฟุต

ตัวอย่าง 4.15 เปิดก๊อกน้่าให้น้่าไหลลงถ้วยทรงกรวยกลม โดยอัตราการไหลของน่้าเป็น นิ้ว3/วินาที

ถ้าถ้วยนี้สูง 6 นิ้ว และปากถ้วยมีรัศมี 2 นิ้ว จงหาอัตราการเปลี่ยนแปลงของความสูงของระดับน้่า เมื่อน้่าสูง 4 นิ้วจากก้นถ้วย

ตัวอย่าง 4.16 วิลลี่เดินเข้าหาเสาไฟโคมด้วยอัตราความเร็ว 5 ฟุต/วินาที ถ้าเสาไฟสูง 20 ฟุต และวิลลี่สูง 6 ฟุต จงหาอัตราการเปลี่ยนแปลงของความยาวเงาของวิลี่ เมื่อวิลลี่อยู่ห่างจากเสาไฟ 24 ฟุต

ตัวอย่าง 4.17 น้่าไหลออกจากถังน้่าทรงกรวยกลมสูง 50 นิ้ว รัศมีปากด้านบน 30 นิ้ว ตกลงในถังสี่เหลี่ยมลูกบาศก์ ที่มีพื้นท่ีฐาน 400 ตร.นิ้ว อัตราการปล่อยน้่าถูกควบคุมจะแปรผันตรงกับระดับน้่าจากปลายด้านล่างของกรวย (ให้เป็น นิ้ว) โดยความสูงของน้่าจะลดลงด้วยอัตรา นิ้ว/นาที จงหาว่า น้่าในถังสี่เหลี่ยมลูกบาศก์จะสูงขึ้นด้วยอัตราเท่าไร เมื่อน้่าในกรวยสูง 10 นิ้ว

4.5 บทประยุกต์อนุพันธ์ทางการเงิน

4.5.1 การวิเคราะหส่วนเพ่ิม (Marginal Analysis)

ในทางเศรษฐศาสตร์ สิ่งท่ีเป็นท่ีสนใจคือ การเปลี่ยนแปลงของตัวแปรต้น เช่น สินค้าคงคลัง ผลผลิต อุปทาน การโฆษณา และราคา ซึ่งมีผลกระทบกับตัวแปรอื่น เช่น ก่าไร รายได้ อุปสงค์ เงินเฟ้อ และการจ้างงาน ปัญหาเหล่านี้เป็นเร่ืองของการศึกษาโดยใช้การวิเคราะหส่วนเพิ่ม (Marginal Analysis) ค่าว่า “Marginal” ในทางเศรษฐศาสตร์ ก็คือ อัตราการเปลี่ยนแปลง หรือ อนุพันธ์ นั่นเอง

ให้ แทน ต้นทุนสุทธิ (TC) ในการผลิตสินค้า หน่วย ท่ีผลิตในช่วงเวลาหนึ่ง

แทน รายได้สุทธิ (TR) ในการขายสินค้า หน่วย ท่ีผลิตในช่วงเวลาหนึ่ง

แทน ก่าไรสุทธิ (TP) จากการขายสินค้า หน่วย ท่ีผลิตในช่วงเวลาหนึ่ง

โดยท่ี

อนุพันธ์ และ จะถูกเรียกว่า ต้นทุนหน่วยสุดท้าย หรือต้นทุนส่วนเพิ่ม (Marginal Cost), รายรับหน่วยสุดท้าย หรือรายรับส่วนเพิ่ม (Marginal Revenue), ก่าไรหน่วยสุดท้าย หรือก่าไรส่วนเพิ่ม (Marginal Profit) ตามล่าดับ ซึ่งค่าของอนุพันธ์ และ จะแทนอัตราการเปลี่ยนแปลงของก่าไร รายได้ และต้นทุน ในขณะหนึ่ง

ในทางปฏิบัติ มักถูกใช้ในการอธิบายต้นทุนของการผลิตสินค้าชิ้นท่ี แม้ว่าค่าที่ได้จะไม่แม่นตรง แต่ก็เป็นการประมาณที่ดี การอธิบายนี้ใช้เมื่อจ่านวน มีค่ามากๆ ดังนั้น สามารถพิจารณาเทียบกับการหาค่าลิมิตของ

ซึ่ง

ดังนั้น ค่า หมายถึง ต้นทุนหน่วยสุดท้าย มีค่าประมาณ ต้นทุนจริงของการผลิตสินคา้ชิ้นต่อไป ซึ่งเป็น ต้นทุนโดยประมาณของการผลิตสินค้าชิ้นท่ี ท่านองเดียวกัน มักถูกใช้ในการอธิบายรายได้จากการขายสินค้าชิ้นท่ี และ เป็นก่าไรโดยประมาณจากการผลิตและขายสินค้าชิ้นท่ี

ปกติแล้ว ต้นทุนการผลิตจะเท่ากับ โดยท่ี แทน ค่าใช้จ่ายในการด่าเนินการ (Overhead) และ แทนฟังก์ชันต้นทุนการผลิตสินค้า (Manufacturing Cost)

ค่าใช้จ่ายในการด่าเนินการ (Overhead) จะรวมถึง ต้นทุนคงท่ี เช่น ค่าเช่า และค่าประกัน ซึ่งไม่ขึ้นกับจ่านวนการผลิตสินค้า ( ) ส่วน จะรวมถึงค่าวัสดุ ค่าแรง ในการผลิตสินค้าแต่ละชิ้น

Maximum Profit จะเกิดขึ้นเมื่อ Marginal Cost = Marginal Revenue

ตัวอย่าง 4.18 โรงงานผลิตสีได้ค่านวณหาต้นทุน (หน่วยเป็นดอลลาร์) ของการผลิตสีจ่านวน แกลลอนต่อวัน ได้เป็น

1. จงหาต้นทุนหน่วยสุดท้าย เมื่อมีการผลิตสีจ่านวน 500 แกลลอนต่อวัน ต้นทุนหน่วยสุดท้าย ดังนั้น USD

2. จงใช้การวิเคระห์ต้นทุนส่วนเพิ่มประมาณต้นทุนของการผลิตสีแกลลอนท่ี 501 เนื่องจาก ดังนั้นต้นทุนการผลิตสีแกลลอนท่ี 501 เท่ากับ 2 USD

3. จงหาต้นทุนท่ีแท้จริงของการผลิตสีแกลลอนท่ี 501 USD

USD

ดังนั้น ต้นทุนท่ีแท้จริงของการผลิตสีแกลลอนท่ี 501 คือ USD

ตัวอย่าง 4.19 บรษิัทผลิตครีมถนอมผิวยี่ห้อหน่ึงจ่าหน่ายครีมท่ีเขาผลิตในราคาขวดละ 200 บาท ถ้าต้นทุนในการผลิตครีม ขวดคือ และถ้าบริษัทนี้มีขีดจ่ากัดในการผลิตอยู่ท่ี 30,000 ชิ้นต่อช่วงเวลาหนึ่ง บริษัทจะต้องผลิตและจ่าหน่ายครีมถนอมผิวจ่านวนเท่าไรจึงจะได้ก่าไรสูงสุด

หาจุดวิกฤต โดยก่าหนดให้ นั่นคือ

หรือ เราได้

ซึ่งบริษัทมีก่าลังในการผลิตในช่วง เมื่อตรวจสอบค่าท่ีจุดวิกฤตและค่าขอบของช่วง จะได้ผลดังตาราง

0 20,000 30,000

-500,000 700,000 400,000

ตัวอย่าง 4.20 ฝ่ายวิจัยตลาดได้ท่าการวิจัยตลาดของเครื่องเล่น MP3 และเสนอสมการราคาอุปสงค์เป็น หรือเขียนในตัวแปร ได้เป็น

เมื่อ เป็นจ่านวนสินค้าที่ผู้ซื้อต้องการซื้อที่ราคา ยูโรต่อชิ้น ฝ่ายการเงินได้ค่านวณต้นทุนการผลิตเคร่ืองเล่น MP3 ซึ่งแทนด้วยสมการ

เมื่อ ค่าใช้จ่ายคงที่ในการเร่ิมผลิตเป็น 7,000 ยูโร ค่าวัสดุและค่าแรงมีต้นทุน 2 ยูโรต่อชิ้น

1. จงหาโดเมนของฟังก์ชันท่ีนิยามราคาอุปสงค์ 2. จงหาฟังก์ชันต้นทุนหน่วยสุดท้าย (Marginal Cost function) และจงอธิบายผล 3. จงหาฟังก์ชันรายได้ในตัวแปรต้น และหาโดเมนของฟังก์ชันรายได้ 4. จงหารายได้หน่วยสุดท้ายท่ี และ จงอธิบายผล 5. จงวาดรูปกราฟต้นทุนและรายได้และหาจุดตัดของกราฟ และอธิบายผล 6. จงหาฟังก์ชันก่าไรและโดเมนของฟงัก์ชัน 7. จงหาก่าไรหน่วยสุดท้ายท่ี และ จงอธิบายผล

1. เนื่องจาก

นั่นคือ หรือ

ดังนั้นโดเมนของราคาอุปสงค์คือ 2. ต้นทุนหน่วยสุดท้ายเท่ากับ เป็นค่าคงที่ นั่นหมายความว่า การผลิตเคร่ืองเล่น MP3

เพิ่มจะมีค่าใช้จา่ยคงที่ ท่ี 2 ยูโร ต่อชิ้น 3. รายได้ ท่ีบริษัทผู้ผลิตจะได้รับ ในการขายผลิตภัณฑ์จ่านวน ชิ้น ในราคา ยูโร คือ

ซึ่งราคาถูกก่าหนดโดยราคาอุปสงค์ ดังนั้นฟังก์ชันรายได้จะเป็น

และเนื่องจากโดเมนของฟังก์ชันราคาอุปสงค์คือ ดังนั้นโดเมนของฟังก์ชันรายได้เท่ากับ

4. รายได้หน่วยสุดท้าย คือ

ดังนั้นเมื่อผลิตสินค้าจ่านวน และ จะได ้ และ

นั่นหมายความว่า ท่ีการผลิต และ ชิ้น การเปลี่ยนแปลงรายได้ต่อการเปลี่ยนแปลงหน่วยสินค้าในการผลิตคือ 6 ยูโร 0 ยูโรและ -4 ยูโร ตามล่าดับ นั่นคือ ท่ี 2,000 ชิ้น รายได้จะเพิ่มขึ้นเมื่อมีการผลิตเพิ่มขึ้น ท่ี 5,000 ชิ้น รายได้จะไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อการผลิตเพิ่ม และท่ี 7,000 ชิ้น รายได้จะลดลงเมื่อมีการผลิตเพิ่มขึ้น

5. จุดตัดของกราฟรายได้และกราฟต้นทุนคือ Break-Even Points หรือ จุดคุ้มทุน ส่าหรับฟังก์ชันรายได้และฟังก์ชันต้นทุนในตัวอย่างนี้จะได้ว่า

และ

ดังนั้นท่ีจุดคุ้มทุน และ เป็นจุดคุ้มทุน จากรูปกราฟจะเห็นว่า ระหว่าง 0 ถึง 1000 ค่าใช้จ่ายส่าหรับต้นทุนจะสูงกว่ารายได้ เช่นเดียวกับช่วงท่ีมีการผลิต-ขายมากกว่า 7000 และช่วงท่ีมีรายได้มากกว่าต้นทุนคือ การผลิตระหว่าง 1000 กับ 7000 ชิ้น

6. ฟังก์ชันก่าไร คือ

โดเมนของฟังก์ชันต้นทุนคือ และโดเมนของฟังก์ชันรายได้คือ ดังนั้นโดเมนของฟังก์ชันก่าไรคือ จากรูปกราฟ จะสังเกตได้ว่า จุดที่เป็นจุดคุ้มทุนในกราฟก่อนหน้า ก็คือจุดตัดแกน ของกราฟก่าไร นั่นคือ เมื่อรายได้สูงกว่าต้นทุน กราฟก่าไรก็จะเป็นบวก และเมื่อรายได้น้อยกว่าต้นทุน กราฟก่าไรจะมีค่าเป็นลบนั่นเอง

7. ก่าไรหน่วยสุดท้าย คือ

ส่าหรับการผลิตท่ี 1,000 ชิ้น 4,000 ชิ้น และ 6,000 ชิ้น เราได้ และ

นั่นหมายความว่า การผลิตท่ี 1,000 ชิ้น 4,000 ชิ้น และ 6,000 ชิ้น มีการเปลี่ยนแปลงก่าไรต่อหน่วยเทียบกับการเปลี่ยนแปลงจ่านวนการผลิตอยู่ท่ี 6 ยูโร 0 ยูโร และ -4 ยูโร ตามล่าดับ นั่นคือ ท่ี 1,000 ชิ้น ก่าไรจะเพิ่มขึ้นเมื่อมีการผลิตเพิ่มขึ้น ท่ี 4,000 ชิ้น ก่าไรจะไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อการผลิตเพิ่ม และที่ 7,000 ชิ้น ก่าไรจะลดลงเมื่อมีการผลิตเพิ่มขึ้น

4.5.2 ต้นทุนเฉลี่ยส่วนเพิ่ม รายได้เฉลี่ยส่วนเพิ่ม และก่าไรเฉลี่ยส่วนเพิ่ม (Marginal Average Cost, Revenue and Profit)

Marginal Average Cost, Revenue and Profit ถ้าให้ คือจ่านวนหน่วยของสิ้นค้าที่ผลิตในช่วงเวลาหนึ่ง

ต้นทุนต่อหน่วย ต้นทุนเฉลี่ย Average Cost (AC)

ต้นทุนเฉลี่ยหน่วยสุดท้าย Marginal Average Cost (MAC)

รายได้ต่อหน่วย รายได้เฉลี่ย Average Revenue (AR)

รายได้เฉลี่ยหน่วยสุดท้าย Marginal Average Revenue (MAR)

ก่าไรต่อหน่วย ก่าไรเฉลี่ย Average Profit (AP)

ก่าไรเฉลี่ยหน่วยสุดท้าย Marginal Average Profit (MAP)

ตัวอย่าง 4.21 โรงงานผลิตดอกสว่านท่ีใช้ในอุตสาหกรรมปิโตรเลียม มีต้นทุนการผลิตดอกสว่านต่อวันอยู่ท่ี ดอลลาร์

ก. จงหา และ ข. จงหา และ และจงอธิบายผล ค. จงใช้ผลในข้อ ข. ประมาณค่าต้นทุนเฉลี่ยต่อการผลิตดอกสว่าน ท่ีการผลิตระดับ 11 ดอกต่อวัน

ก.

(AC function)

(MAC function)

ข.

ดอลลาร ์

ดอลลาร ์

ท่ีการผลิตดอกสว่าน 10 ดอกต่อวัน ค่าเฉลี่ยของต้นทุนการผลิตต่อชิ้นอยู่ท่ี 124 ดอลลาร์ และต้นทุนนี้จะลดลงในอัตรา 10.10 ดอลลาร์เมื่อมีการผลิตเพิ่มขึ้นแต่ละชิ้น

ค. ถ้าการผลิตเพิ่มขึ้น 1 ชิ้น ค่าเฉลี่ยของต้นทุนจะลดลง 10.10 ดอลลาร์ ดังนั้น เมื่อมีการผลิตชิ้นท่ี 11 ก็จะท่าให้ค่าเฉลี่ยต่อชิ้นของดอกสว่านเป็น ดอลลาร์

ลองเปรียบเทียบ 2 ตัวอย่างต่อไปนี้

ตัวอย่าง 4.22 บริษัทผลิตระบบเกียร์รถยนต์ มีค่าใช้จ่ายในการผลิตระบบเกียร์ต่อสัปดาห์เป็น จงหา

ก. ฟังก์ชันต้นทุนหน่วยสุดท้าย ข. จงหา และอธิบายผลท่ีได้ ค. จงหาราคาท่ีแท้จริงในการผลิตระบบเกียร์ชิ้นท่ี 201 จงอธิบายผลเทียบกับผลที่ได้ในข้อ ข.

ก. ข. ในการผลิตระบบเกียร์ท่ีระดับ 200 ต้นทุนรวมจะเพิ่มขึ้นในอัตรา 300 ดอลลาร์

ต่อชิ้น ดังนั้น ค่าประมาณของการผลิตระบบเกียร์ชิ้นท่ี 201 คือ 300 ดอลลาร์ ค. ซึ่งจะเห็นว่า ต้นทุนหน่วยสุดท้ายในข้อ ข. จะให้ค่าประมาณท่ี

ใกล้เคียงกับต้นทุนจริงในการผลิตระบบเกียร์ชิ้นท่ี 201

ตัวอย่าง 4.23 จงพิจารณาฟังก์ชันต้นทุนสุทธิของการผลิตเครื่องเล่น MP3 ในตัวอย่าง 4.20

ก. จงหา และ ข. จงหา และ และอธิบายผลท่ีได้ ค. จงใช้ผลในข้อ ข. ประมาณค่าต้นทุนเฉลี่ยต่อการผลิตเครื่องเล่น MP3 ท่ีการผลิตที่ระดับ 101

ชิ้นต่อวัน ก.

และ

ข. และ อธิบายได้ว่า ท่ีการผลิตเครื่องเล่น MP3 ในระดับ 100

ชิ้น มีต้นทุนเฉลี่ยต่อชิ้นเท่ากับ 72 ดอลลาร์ และต้นทุนเฉลี่ยนี้จะลดลงในอัตรา 0.70 ดอลลาร์ต่อการผลิตแต่ละชิ้นต่อไป

ค. มีค่าประมาณ ดอลลาร์