Apostila Cálculo II
-
Upload
tonio-dias-sebastiao -
Category
Documents
-
view
94 -
download
3
description
Transcript of Apostila Cálculo II
-
Instituto Superior para as Tecnologias de Informacao e
Comunicacao - ISUTIC
Disciplina: Calculo IICreditos:(Inatel)
Prof Renan Sthel DuqueProf Melquisedec Francisco da Silva
-
Sumario
Lista de Figuras 3
1 Sequencias e Series 41.1 Sequencias infinitas (ou sucessoes) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.2 Definicao de uma sequencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.3 Limite de uma sequencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.4 Propriedades do limite de sequencias . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2 Limites que aparecem com frequencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3 Series numericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.1 Definicao e conceitos iniciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.3.2 Series convergentes e divergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.3.3 Series geometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.3.4 Propriedades das series infinitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.3.5 Series-p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4 Series de termos nao negativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.4.1 Teste da integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.4.2 Teste da comparacao direta (ou criterio de Gauss) . . . . . . . . . . 211.4.3 Teste da comparacao no limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.4.4 Teste da razao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.4.5 Teste da raiz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.5 Series alternadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.5.1 Teste para series alternadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.5.2 Convergencia absoluta e convergencia condicional . . . . . . . . . . 28
1.6 Resumo dos testes de convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.7 1a Serie de exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.8 Respostas da 1a serie de exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341.9 2a Serie de exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351.10 Respostas da 2a serie de exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381.11 Series de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.11.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401.11.2 Definicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401.11.3 Teorema da convergencia para series de potencias . . . . . . . . . . 43
1.12 Expansao de funcoes em series de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . 441.12.1 Diferenciacao e integracao de series de potencias . . . . . . . . . . . 441.12.2 Series de Taylor e series de Maclaurin . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.13 3a Serie de exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
1
-
1.14 Respostas da 3a serie de exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2 Equacoes diferenciais ordinarias 522.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.2 Definicao de equacoes diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.3 Classificacao das equacoes diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.3.1 Classificacao quanto ao tipo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.3.2 Classificacao quanto a` ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.3.3 Classificacao quanto a` linearidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.4 Origem das equacoes diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552.4.1 Problemas geometricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562.4.2 Problemas fsicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562.4.3 Primitivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.5 Solucoes gerais e particulares de uma equacao diferencial . . . . . . . . . . 572.5.1 Solucao geral de uma equacao diferencial . . . . . . . . . . . . . . . 582.5.2 Solucao particular de uma equacao diferencial . . . . . . . . . . . . 59
2.6 4a Serie de exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592.7 Equacoes diferenciais de primeira ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.7.1 Problema de valor inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602.7.2 Forma normal e forma diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602.7.3 Solucao do problema de valor inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612.7.4 Formas de equacoes diferenciais de 1a ordem . . . . . . . . . . . . . 61
2.8 Aplicacoes dos diversos tipos de equacoes diferenciais . . . . . . . . . . . . 672.9 Equacoes diferenciais lineares de ordem superior . . . . . . . . . . . . . . . 70
2.9.1 Definicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 702.9.2 Propriedades do operador diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . 712.9.3 Smbolos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.10 Equacoes diferenciais lineares homogeneas de ordem n com coeficientes cons-tantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 732.10.1 Definicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 732.10.2 Equacao caracterstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 742.10.3 Princpio da Superposicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 742.10.4 Solucao da equacao diferencial linear homogenea de coeficientes cons-
tantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 762.11 Equacoes diferenciais nao-homogeneas de ordem n com coeficientes constantes 80
2.11.1 Definicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 802.11.2 Solucao da equacao diferencial nao-homogenea de ordem n com coe-
ficientes constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 802.12 5a Serie de Exerccios: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 892.13 Aplicacoes das equacoes diferenciais homogeneas na analise de circuitos eletricos 91
2
-
Lista de Figuras
1.1 Grafico da sequencia {an} = n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Limite de uma sequencia {an} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3 120 primeiros termos da sequencia {an} = 1
n. . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Faixa de convergencia da sequencia {an} = 1npara = 0, 01. . . . . . . . . 8
1.5 20 primeiros termos da sequencia {an} = nn+ 1
. . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.6 Faixa de convergencia da sequencia {an} = nn+ 1
para = 0, 1. . . . . . . 9
1.7 Funcao para demonstracao do teste da integral. . . . . . . . . . . . . . . . 191.8 Funcao para demonstracao do teste da integral. . . . . . . . . . . . . . . . 201.9 Demonstracao do teste da razao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.10 Demonstracao do teste da raiz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.11 Demonstracao do teste das series alternadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.12 Resumo dos testes de convergencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.13 Grafico do exemplo 31. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401.14 Grafico do exemplo 32 c). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421.15 Intervalo de convergencia de uma serie de potencias. . . . . . . . . . . . . . 43
2.1 Famlia de curvas integrais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582.2 Circuito RL e RC serie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 682.3 Circuito RLC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 912.4 Circuito LC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3
-
Captulo 1
Sequencias e Series
1.1 Sequencias infinitas (ou sucessoes)
1.1.1 Introducao
Quando dizemos que uma colecao de objetos forma uma sequencia, significa que estacolecao esta ordenada de forma que possui um primeiro elemento, um segundo elementoe assim por diante. Do ponto de vista da matematica, uma sequencia e uma funcao cujodomnio e o conjunto dos numeros inteiros positivos e a imagem e dada por um conjuntode valores que seguem uma lei de formacao. Utilizamos a notacao:
n 1, 2, 3, 4, 5, . . ., n, . . . domnio
an a1, a2, a3, a4, a5, . . ., an, . . . imagem
1.1.2 Definicao de uma sequencia
Uma sequencia de numeros reais e uma funcao f : N R, que associa a cada numeronatural n um numero real {an} ou f(n).
Exemplo 01: A sequencia f(n) = n ou {an} = n, mostrada no grafico da Figura 1.1,e dada por a0 = 0, a1 = 1, a2 = 2, a3 = 3, . . . , an = n, . . .
Observacoes:
1) Os termos a0, a1, a2, . . . , an sao chamados de termos da sequencia.
2) Em alguns casos e conveniente considerar o primeiro termo da sequencia como a0.Neste caso, a sequencia assume a forma
a0, a1, a2, a3, . . . , an, . . . (1.1)
3) Conhecendo os primeiros termos da sequencia, e possvel representa-la pelo seu termogeral.
4
-
0 2 4 6 8 100
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
n
f(n)
Figura 1.1: Grafico da sequencia {an} = n.
Exemplo 02:
a) 1,1
2,1
3,1
4, . . .
O termo geral desta sequencia e dado por an =1
n, n 1.
b) 1, 1 1, 1,1, . . .
O termo geral desta sequencia e dado por an = (1)n, n 1.
4)Uma regra de formacao ou equacao para o n-esimo termo de uma sequencia e sufici-ente para especifica-la.
Exemplo 03: Indique os quatro primeiros termos e o decimo termo das sequencias aseguir, considerando a1 como sendo o primeiro termo da sequencia:
a) {an} = nn+ 1
b) {bn} = n2
2n 1c) {cn} = (1)n+1 n
2
3n 1d) {an} = 4
5
-
1.1.3 Limite de uma sequencia
Um numero real L e limite de uma sequencia {an}, ou a sequencia {an} converge parao valor L se a seguinte condicao for satisfeita: > 0, existe um ndice M N tal que
|an L| < , n > M. (1.2)Isto significa que
< an L < , (+L)L < an < L+ (1.3)
Este resultado e mostrado no grafico da Figura 1.2.
Figura 1.2: Limite de uma sequencia {an} .
A definicao dada na equacao (1.2) diz que a partir de um determinado ndice M (n >M), todos os termos da uma sequencia que converge para o valor L se encontram dentroda faixa mostrada no grafico. E importante notar que:
1. Se a sequencia {an} converge para um valor L, apenas uma quantidade finita determos (M termos) ficara fora da faixa compreendida entre as retas y = L + ey = L .
2. O ndice M para o qual a sequencia {an} comeca a convergir depende do valor de .3. Todos os termos da sequencia {an} a partir do termo de ordem M estao dentro do
intervalo aberto (L , L+ ).
6
-
Exemplo 04:
1) Sabemos que limn
1
n= 0. Neste caso, a sequencia cujo termo geral e dado por
an =1
nconverge para o valor L = 0. Utilizando a definicao dada na equacao (1.2), vamos
considerar = 0, 01. A definicao diz que
|an L| < n > M, (1.4)ou seja, 1n 0
< 0, 01 (1.5)Sendo n um inteiro positivo, temos
1
n< 0, 01 (1.6)
Para que isto ocorra devemos ter n > 100. Logo, M = 101 satisfaz a definicao (1.2),que indica que todos os termos da sequencia {an}, n > 100 se encontram dentro dointervalo aberto (0, 01; 0, 01).
O grafico da Figura 1.3 mostra os 120 primeiros termos desta sequencia e o graficoda Figura 1.4 mostra a mesma sequencia, porem com uma visualizacao que permite ob-servar que a partir do 101o, todos os termos da sequencia se encontram dentro da faixa(0, 01; 0, 01).
0 20 40 60 80 100 1200
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
n
f(n)
Figura 1.3: 120 primeiros termos da sequencia {an} = 1n.
7
-
95 100 105 110 1150.015
0.01
0.005
0
0.005
0.01
0.015
n
f(n)
Figura 1.4: Faixa de convergencia da sequencia {an} = 1npara = 0, 01.
2) Dada uma sequencia de termo geral an =n
n+ 1, verificamos que
limn
n
n+ 1= 1 (1.7)
Adotando um valor > 0, observamos que
|an L| < n > M, (1.8)ou seja, nn+ 1 1
< , (1.9)n n 1n+ 1 < , (1.10)
1
n+ 1< , (1.11)
n+ 1 >1
(1.12)
e finalmente
n >1
1 (1.13)
Esta desigualdade nos sugere que, dado um valor , devemos escolher M como sendo o
primeiro numero natural maior que1
1. Qualquer valor de ndice n > M atende a` de-
finicao de convergencia da sequencia. Por exemplo, para = 0, 1, temos1
1 = 1
0, 11 = 9
e M = 10 e o primeiro ndice a partir do qual os termos da sequencia se encontram dentroda faixa de convergencia (0, 9; 1, 1). Fora deste intervalo existem exatamente 9 termos dasequencia.
8
-
O grafico da Figura 1.5 mostra os 20 primeiros termos desta sequencia e o grafico daFigura 1.6 mostra a mesma sequencia, porem com uma visualizacao que permite observarque a partir do 10o, todos os termos da sequencia se encontram dentro da faixa (0, 9; 1, 1).
0 5 10 15 200
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
n
f(n)
Figura 1.5: 20 primeiros termos da sequencia {an} = nn+ 1
.
0 5 10 15 200.7
0.8
0.9
1
1.1
1.2
n
f(n)
Figura 1.6: Faixa de convergencia da sequencia {an} = nn+ 1
para = 0, 1.
Teorema 01: Limite de uma sequencia.
Se os termos de uma sequencia coincidem com os valores de uma funcao f(x) que possuilimite quando x , entao esta sequencia converge para este mesmo limite. Em outraspalavras:
Seja f(x) uma funcao de variavel real tal que limx
f(x) = L. Se a sequencia {an} e talque f(n) ={an} n inteiro positivo, entao lim
nan = L.
9
-
Sequencias que possuem limites L finitos (para n) sao chamadas de convergentes,ao passo que sequencias que nao possuem limites sao chamadas de divergentes. O teorema01 permite a utilizacao da Regra de LHopital para calcularmos limites de sequencias.
Exemplo 05: Determine o limite da sequencia {an} =(1 +
1
n
)n.
Teorema 02: Teste da razao para sequencias.
Para uma sequencia {an} de termos positivos, se limn
an+1an
< 1, esta sequencia tende
para zero.
Exemplo 06: Verifique se o teorema 02 e satisfeito para as sequencias a seguir:
a) {an} = n!nn
b) {bn} =rn
n!, r > 0
c) {cn} = n!1 3 5 . . . (2n 1).
d){an} =np
2n
1.1.4 Propriedades do limite de sequencias
Se limn
an = A, limn
bn = B e c R, entao:
1. limn
(an bn) = A B.
2. limn
c an = c A.
3. limn
an bn = AB.
4. limn
anbn
=A
B, bn 6= 0 e B 6= 0.
5. Se |a| < 1, entao limn
an = 0.
6. Se |a| > 1, entao limn
an = e {an} diverge.
10
-
1.2 Limites que aparecem com frequencia
1. limn
ln(n)
n= 0.
2. limn
nn = 1.
3. limn
x1n = 1, (x > 0).
4. limn
xn = 0, (|x| < 1).
5. limn
(1 +
x
n
)n= ex, x R.
6. limn
xn
n!= 0, x R.
Exemplo 07: Determine se as sequencias a seguir convergem ou divergem:
a) {an} = [3 + (1)n]
b) {bn} =(
n
1 2n)
c) {cn} =(
2n
5n 3)
d) {an} =(5n
e2n
)
e) {an} =(
n2
2n 1)
Exemplo 08: Encontre o n-esimo termo das sequencias a seguir e verifique se as mes-mas convergem ou divergem.
a) 0,1
2,2
3,3
4, . . .
b) 0, 2, 0, 2, 0, 2, . . .
c) 2,5
2,10
3,17
4, . . .
d)2
3,3
6,4
9,5
12, . . .
11
-
e) 1, 9, 25, 49, 81, 121, . . .
f) 2,4
3,8
5,16
7,32
9, . . .
g)1
3,8
9,27
27,64
81, . . .
De acordo com os exemplos anteriores, e preciso conhecer a lei de formacao de umasequencia para identificarmos sua convergencia ou sua divergencia.
Exemplo 09: Determine se as sequencias a seguir convergem ou divergem. Se con-vergem, calcule o limite das mesmas.
a)
{n2 + 2n 1n2 + 3n+ 4
}
b)
{2n
3n+1
}
c){sen
(npi2
)}
d)
{n3 + 5n
7n2 + 1
}
e)
{n3 + 3n+ 1
4n2 + 2
}
f){nsen
( pi2n
)}
g)
{1
nsen(pin)
}
h){
n+ 1n}
12
-
1.3 Series numericas
1.3.1 Definicao e conceitos iniciais
Uma serie infinita e definida como sendo a soma dos termos de uma sequencia infinita,ou seja,
{an} = a1, a2, a3, a4, a5, . . . sequencia (1.14)
n=1
an = a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + . . . serie (1.15)
Embora nao possamos somar um numero infinito de termos, como proposto na equacao(1.15), e necessario definir o significado de uma soma infinita. Para tal, iremos definirinicialmente uma sequencia de somas parciais.
Dada uma serie
an, a sequencia de somas parciais e definida por
{Sn} = S1, S2, S3, S4, . . . , Sn, . . . (1.16)onde
S1 = a1
S2 = a1 + a2 = S1 + a2
S3 = a1 + a2 + a3 = S2 + a3 (1.17)
S4 = a1 + a2 + a3 + a4 = S3 + a4...
Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + . . .+ an = Sn1 + an
1.3.2 Series convergentes e divergentes
Dada uma serie infinita
an, a sua n-esima soma parcial e dada por
Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + . . .+ an (1.18)
Se a sequencia {Sn} diverge, isto significa que a serie
an diverge. Se {Sn} convergepara um valor L, isto significa que a serie
an converge para o mesmo valor.
Exemplo 10:
a) A serien=1
1
2n=
1
2+
1
4+
1
8+
1
16+ . . . possui as somas parciais
13
-
S1 =1
2
S2 =1
2+
1
4=
3
4
S3 =1
2+
1
4+
1
8=
7
8
S4 =1
2+
1
4+
1
8+
1
16=
15
16...
Sn =1
2+
1
4+
1
8+ . . .+
1
2n=
2n 12n
Como limn
2n 12n
= limn
2n ln(2)
2n ln(2)= 1, conclumos que esta serie converge e sua soma
e igual a 1.Observacao: Do exemplo acima, conclumos que determinar a soma S de uma serie
significa achar o limite da sequencia de somas parciais {Sn}, ou seja,
S = limn
Sn (1.19)
b)n=1
1
n(n+ 1)
Expandindo o termo geral desta serie em uma soma de fracoes parciais, encontramos
S =n=1
1
n(n+ 1)=
n=1
(1
n 1n+ 1
)=
(1 1
2
)+
(1
2 1
3
)+
(1
3 1
4
)+ . . . (1.20)
Observamos que
Sn = 1 1n+ 1
e
limn
Sn = limn
(1 1
n+ 1
)= 1
Logo, a serie converge e sua soma e igual a 1.
Observacao: a serie do ultimo exemplo dado e chamada serie telescopica, pois assumea forma:
S = (b1 b2) + (b2 b3) + (b3 b4) + . . .+ (bn1 bn) + . . . (1.21)Sua n-esima soma parcial e dada por
Sn = b1 bn (1.22)Uma serie telescopica converge se, e somente se bn possui limite finito quando n,
e sua soma e dada por
14
-
S = limn
Sn = b1 limn
bn (1.23)
Exemplo 11: Calcule a soma da serie telescopican=1
2
4n2 1
1.3.3 Series geometricas
Se a sequencia {an} e uma progressao geometrica (PG) cuja razao e dada por r eprimeiro termo e dado por ak = cr
k 6= 0, a soma dada pela equacao (1.24) a seguir e umaserie geometrica.
n=k
an =n=k
crn = crk + crk+1 + crk+2 + crk+3 + . . .+ crk+n1 + crk+n + . . . (1.24)
onde c e uma constante real.
Teorema 03: Convergencia de uma serie geometrica.
Uma serie geometrica de razao r diverge se |r| 1.
Se |r| < 1, a serie converge e sua soma e igual a
S =n=k
an =n=k
crn =ak
1 r =crk
1 r (1.25)
onde ak = crk corresponde ao primeiro termo da serie geometrica.
Demonstracao do teorema: Tomando os n primeiros termos da serie geometrica dadapela equacao (1.24), temos:
Sn = crk + crk+1 + crk+2 + crk+3 + . . .+ crk+n1 (1.26)
Multiplicando (1.26) pela razao r, obtemos
rSn = crk+1 + crk+2 + crk+3 + . . .+ crk+n1 + crk+n (1.27)
Subtraindo a equacao (1.27) da equacao (1.26), obtemos
Sn rSn = crk crk+n (1.28)
Sn(1 r) = crk(1 rn) (1.29)
Sn =crk(1 rn)
1 r =ak(1 rn)
1 r (1.30)
15
-
A equacao (1.30) representa a n-esima soma parcial de uma serie geometrica, indepen-dente da mesma ser convergente ou divergente, uma vez que Sn e o resultado da soma deuma quantidade finita de termos. Observando esta equacao, para |r| > 1, temos rn quando n e por consequencia a serie geometrica diverge. Para |r| < 1, temos rn 0quando n e entao
S = limn
Sn = limn
[ak(1 rn)
1 r]=
ak1 r limn(1 r
n) =ak
1 r (1.31)
Exemplo 12: Analise a convergencia das series geometricas a seguir:
a)n=0
3
2n
b)n=0
(3
2
)n
Observacao: Uma dzima periodica pode ser expressa como uma serie geometrica.
Exemplo 13: Expresse cada uma das dzimas periodicas a seguir como a razao dedois inteiros.
a) 0, 080808080808 . . .
b) 1, 414414414414 . . .
c) 1, 24123123123 . . .
1.3.4 Propriedades das series infinitas
As propriedades a seguir sao derivadas das propriedades dos limites de sequencias. Sean = A,
bn = B e c e uma constante real, as series a seguir convergem para as somas
indicadas:
1.(an bn) = AB
2.
can = cA
3. Se retirarmos um numero finito de termos de uma serie, sua convergencia ou di-vergencia nao e alterada, ou seja, as series
n=1
an = a1 + a2 + a3 + . . . e
16
-
n=k
an = ak + ak+1 + ak+2 + ak+3 + . . .
ambas convergem ou ambas divergem.
Exemplo 14: Encontre a soma da serien=1
[1
8n+
1
n(n+ 1)
]
Teorema 04: Limite do n-esimo termo de uma serie convergente.
Se uma serie infinitan=1
an converge, entao limn
an = 0.
Observacao: A recproca nao e verdadeira, ou seja, nao podemos afirmar que uma serie
converge se limn
an = 0. Isto ocorre com a serie harmonica divergenten=1
1
n, que sera
estudada a seguir. Do teorema 04 podemos enunciar o teorema 05 a seguir.
Teorema 05: Criterio do termo geral para a divergencia de series.
1. Se limn
an nao existe ou se limn
an existe e e diferente de zero, entao a serie
an e
divergente.
2. Se limn
an = 0, a princpio nada pode ser afirmado a respeito da convergencia da seriean.
Exemplo 15: Analise o n-esimo termo das series a seguir para determinar se as mes-mas divergem.
a)n=0
2n
b)n=1
n
n+ 1
c)n=1
n!
2n! + 1
Exemplo 16: Sabendo quen=1
2n
n!converge, encontre lim
n
2n
n!.
Exemplo 17: Uma bola, jogada de uma altura de 6 metros, comeca a quicar ao atingiro solo. A altura maxima atingida pela bola a cada batida no solo e igual a 3/4 da alturada queda correspondente. Calcule a distancia vertical total percorrida pela bola.
17
-
Exemplo 18: Encontre a serie infinita que produz as sequencias de somas parciaisdadas. Analise a natureza destas series.
a) {Sn} = nn+ 1
b) {Sn} = 2 12n1
1.3.5 Series-p
Uma serie-p e uma serie que assume a forma
n=1
1
np=
1
1p+
1
2p+
1
3p+
1
4p+ . . .+
1
np+ . . . , (1.32)
onde p e uma constante real.
No caso p = 1, a serie e chamada serie harmonica e e dada pela equacao (1.33).
n=1
1
n= 1 +
1
2+
1
3+
1
4+ . . . (1.33)
Teorema 06: Convergencia das series-p.
Uma serie-p converge se p > 1 e diverge se p 1. A prova deste teorema sera dadamais adiante.
Exemplo 19: De acordo com o teorema 06,
a) A serien=1
1
n= 1 +
1
2+
1
3+
1
4+ . . . , (p = 1) e divergente.
b) A serien=1
1
n2= 1 +
1
22+
1
32+
1
42+ . . . , (p = 2) e convergente.
1.4 Series de termos nao negativos
Dada uma serie
an, temos duas perguntas:
1. A serie converge?
2. Se ela converge, qual e a sua soma?
18
-
Estudamos ate entao algumas series conhecidas, como a serie telescopica, a serie geometricae a serie-p, que possuem caractersticas proprias que permitem a aplicacao de determina-dos testes de convergencia. Porem, se estas caractersticas sofrerem pequenas alteracoes,os testes vistos deixam de ser validos. Isto pode ser observado no exemplo a seguir.
Exemplo 20:
a)n=0
1
2ne uma serie geometrica, mas
n=0
n
2nnao e.
b)n=1
1
n3e uma serie-p, mas
n=1
1
n3 + 1nao e.
Veremos a seguir alguns criterios para o estudo da natureza das series.
1.4.1 Teste da integral
Seja {an} uma sequencia de termos nao negativos. Suponha que {an} = f(n), onde fe uma funcao de x contnua, positiva e decrescente para todo x M , onde M N .
Entao, tanto a serie
n=M
an quanto a integral
M
f(x)dx convergem ou tanto uma
quanto a outra divergem.
Demonstracao: Supondo uma funcao f decrescente com f(n) = an n, como mostradona Figura 1.7. Os retangulos da Figura 1.7, de areas a1, a2, a3, . . . , an englobam coleti-vamente uma area maior que a area sob a curva y = f(x) de x = 1 a x = n + 1, istoe, n+1
1
f(x)dx a1 + a2 + a3 + . . .+ an (1.34)
1a
2a3a
na
y
y
x
...
0 1 2 3 4 n
= )( xf
n+ 1
Figura 1.7: Funcao para demonstracao do teste da integral.
19
-
A Figura 1.8 traz o grafico da mesma funcao f(x), porem com os retangulos voltadospara a esquerda. Desconsiderando o primeiro retangulo na Figura 1.8, vemos que a somadas areas dos retangulos restantes e menor que a area sob a curva f(x) para x = 1 atex = n, ou seja,
a2 + a3 + a4 + . . .+ an n1
f(x)dx (1.35)
1a
2a
3a
na
y
x
...4a
0 1 2 3 4 n
y= )( xf
n -1
Figura 1.8: Funcao para demonstracao do teste da integral.
Somando a1 nos dois membros da equacao (1.35), temos
a1 + a2 + a3 + a4 + . . .+ an a1 + n1
f(x)dx (1.36)
Combinando as equacoes (1.34) e (1.36), encontramos n+11
f(x)dx a1 + a2 + a3 + a4 + . . .+ an a1 + n1
f(x)dx (1.37)
Fazendo n, conclumos que:
(i) Se
1
f(x)dx e finita, o lado direito da desigualdade (1.37) mostra que
an e finita.
(ii) Se
1
f(x)dx e infinita, o lado esquerdo da desigualdade (1.37) mostra que
an
e infinita.
Consequentemente, a serie
n=M
an e a integral
M
f(x)dx sao ambas convergentes ou
ambas divergentes.
Exemplo 21: Estude a natureza das series-p utilizando o teste da integral.
20
-
Exemplo 22: Estude a natureza das series a seguir utilizando o teste da integral.
a)n=1
nen2
b)n=1
3
4n+ 3
c)n=1
1
n2 + 1
d)n=2
1
n[ln(n)]14
e)n=1
nen
1.4.2 Teste da comparacao direta (ou criterio de Gauss)
Este teste consiste em comparar uma serie com outra de natureza conhecida. Seja
anuma serie de termos nao negativos.
(i)
an converge se existe uma serie convergente
bn, com an bn para todo n > M ,M N.
(ii)
an diverge se existe uma serie divergente
bn, com an bn para todo n > M ,M N.
Observacoes:
1. Como a natureza de uma serie nao e afetada pela remocao de um numero finito determos, as condicoes an bn e an bn sao exigidas somente a partir de um termoqualquer de ordem M .
2. Uma serie
dn domina uma serie
cn se 0 < cn < dn, n N. Logo, de acordo coma condicao (i), uma serie dominada por uma serie convergente e tambem convergente,e de acordo com a condicao (ii), uma serie que domina uma serie divergente e tambemdivergente.
21
-
Exemplo 23: Estude a natureza das series a seguir, utilizando o teste da comparacaodireta.
a)n=2
1
n 1
b)n=1
1
3n + 1
c)n=1
1
n!
d)n=2
3n 1
e)n=2
1
ln(n)
Pelo exemplo 23, conclumos que devemos ter em maos uma lista de series conhecidas,para que possamos utilizar o teste da comparacao direta.
1.4.3 Teste da comparacao no limite
Este teste tambem consiste na utilizacao de uma serie de natureza conhecida para oestudo da natureza de outra serie. Seja duas series
an e
bn, cujos termos gerais sao
dados por an > 0 e bn > 0, respectivamente, para todo n M , onde M N.
(i) Se limn
anbn
= c, 0 < c 0, pela definicao dada na equacao (1.2), existe um numero
inteiro M tal que para todo n > M , anbn c < c2 (1.38)
Entao, para n > M , temos
22
-
c2 M, (1.43)ou
L < an+1an
< L+ n > M (1.44)
Ja que L+ = L+(rL) = r, observando o lado direito da inequacao (1.44), conclumosque
an+1an
< r n > M, (1.45)ou
an+1 < anr n > M (1.46)
24
-
Portanto,
aM+1 < aMr
aM+2 < aM+1r < aMr2 (1.47)
aM+3 < aM+2r < aMr3
e assim por diante. De fato, aM+k < aMrk se verifica para todo inteiro positivo k. Portanto,
a serie geometricak=1
aMrk domina a serie
k=1
aM+k. Sabendo que 0 < r < 1, a serie
geometrica converge, da,
k=1
aM+k =
n=M+1
an (1.48)
converge pelo teste da comparacao direta. Pela propriedade 3 da Secao 1.3.4, conclumos
quen=1
an converge, quando o resultado do teste da razao for L < 1.
Exemplo 25: Estude a natureza das series a seguir, utilizando o teste da razao. Casoo teste seja insuficiente para determinar a natureza da serie, utilize outro teste.
a)n=1
n+ 1
2n
b)n=1
2
5n+ 1
c)n=1
n4en2
d)n=1
n
n2 + 1
e)n=1
1
n!
f)n=1
2n + 1
3n + n
25
-
1.4.5 Teste da raiz
Seja
an uma serie de termos positivos e suponha que limn
nan = L.
Entao,
(i) A serie converge se L < 1.
(ii) A serie diverge se L > 1 ou se L.
(iii) Se L = 1, nada pode ser afirmado a respeito da natureza da serie.
Demonstracao: Suponha que limn
nan = L < 1. Escolhamos um numero r, com
L < r < 1. Seja = r L, observando que > 0, como mostrado no esquema da Figura1.10.
Figura 1.10: Demonstracao do teste da raiz.
Uma vez que limn
nan = L, pela definicao dada pela equacao (1.2), existe um inteiro
positivo M N tal que
| nan L| < n > M, (1.49)isto e,
< nan L < n > M, (1.50)ou
L < nan < L+ n > M (1.51)Mas = rL, de forma que r = L+ . Observando o lado direito da inequacao (1.51),
conclumos que
nan < r n > M, (1.52)
ou
an < rn n > M (1.53)
Como r < 1, observamos que a serie geometrica convergente
rn domina a serie
an.Logo, pelo teste da comparacao direta, a serie
an e convergente quando lim
nnan < 1.
26
-
Exemplo 26: Estude a natureza das series a seguir, utilizando o teste da raiz. Caso oteste seja insuficiente para determinar a natureza da serie, utilize outro teste.
a)n=1
23n+1
nn
b)n=1
[ln(n)]n
nn2
c)n=1
1
nn
d)n=1
(n
n+ 1
)n2
e)n=1
n
2n
1.5 Series alternadas
Toda serie na qual os termos sao alternadamente positivos e negativos e uma seriealternada.
Exemplo 27: A serien=1
(1)n+1 1n= 1 1
2+
1
3 1
4+
1
5 . . . e uma serie alternada
(serie harmonica alternada).
1.5.1 Teste para series alternadas
A serie alternadan=1
(1)n+1an = a1 a2 + a3 a4 + . . . converge se
(i) Os termos an forem todos positivos (an > 0).
(ii) an+1 an, n M , onde M N.
(iii) limn
an = 0.
27
-
Supondo que as tres condicoes acima sejam satisfeitas, a demonstracao da convergenciapara series alternadas pode ser facilmente observada na Figura 1.11.
Figura 1.11: Demonstracao do teste das series alternadas.
Exemplo 28: Estude a natureza das series alternadas a seguir.
a)n=1
n
(2)n1
b)n=1
(1)n nln(2n)
c)n=1
(1)n+1(3n+ 2
4n2 3)
d)n=1
(1)n1 1n
e)n=1
(1)n1 n(n+ 1)3
f)n=1
(1)n1 2n4n 3
1.5.2 Convergencia absoluta e convergencia condicional
Uma serie alternada
an e absolutamente convergente se a serie |an| e convergente.
Uma serie alternada
an e condicionalmente convergente se a serie
an converge, mas aserie
|an| diverge.
28
-
Exemplo 29:
a) A serie geometrica 1 12+
1
4 1
8+ . . . converge absolutamente, pois a serie de
valores absolutos correspondente 1 +1
2+
1
4+
1
8+ . . . converge.
b) A serie harmonica alternada 1 12+
1
3 1
4+ . . . converge condicionalmente, pois
a serie de valores absolutos correspondente 1 +1
2+
1
3+
1
4+ . . . diverge.
Exemplo 30: Estude a natureza das series a seguir. Verifique se as series convergentessao absolutamente ou condicionalmente convergentes.
a)n=1
(1)n1 1n2
b)n=1
(1)n(n+1)23n
c)n=0
(1)n n!2n
d)n=1
(1)nn
e)n=1
sen(n)
n2
29
-
1.6 Resumo dos testes de convergencia
A Figura 1.12 e a Tabela 1.1 trazem um resumo dos testes de convergencia para series.
Figura 1.12: Resumo dos testes de convergencia.
30
-
TESTE SERIE CONVERGENCIA OU DIVERGENCIA
n-esimo termo
an Diverge se limn
an 6= 0
Serie Geometrica
n=k
an =
n=k
c rn(i) Converge para S =
ak
1 r se |r| < 1
(ii) Diverge se |r| 1
Serie-p
n=1
1
np
(i) Converge se p > 1(ii) Diverge se p 1
Integral
n=k
an
an = f(n)
(i) Converge se
k
f(x)dx converge
(ii) Diverge se
k
f(x)dx diverge
Comparacao
anbn
onde
an > 0 e
bn > 0
(i) Se
bn converge e an bn para todo n,entao
an converge
(ii) Se
bn diverge e an bn para todo n,entao
an diverge
(iii) Se limn
(an
bn
)= c > 0, ambas as series
convergem ou ambas divergem
Razao
an
Se limn
an+1an = L, a serie
(i) Converge se L < 1(ii) Diverge se L > 1(iii) Se L = 1, nada pode ser afirmado.
Raiz
an
Se limn
n
|an| = L, a serie
(i) Converge se L < 1(ii) Diverge se L > 1(iii) Se L = 1, nada pode ser afirmado.
Series Alternadas
(1)nanan > 0
Converge se ak ak+1 para todo k e limn
an = 0
|an| an Se |an| converge, entao an converge absolutamente.Tabela 1.1: Resumo dos testes de convergencia.
31
-
1.7 1a Serie de exerccios
1. A sequencia cujo n-esimo termo e
an =
(n+ 1
n 1)n
converge? Em caso afirmativo, encontre limn
an
2. Mostre utilizando a Regra de LHopital que a sequencia a seguir converge para ovalor ex
{an} =(1 +
x
n
)n3. Encontre uma formula para o n-esimo termo das sequencias.
a) 0, 3, 8, 15, 24, . . .b) 1, 5, 9, 13, 17, . . .
4. Quais das sequencias {an} a seguir convergem e quais divergem? Encontre o limitede cada sequencia convergente.
a) an = 2 + (0, 1)n
b) an = 1 + (1)n
c) an =n
2n
d) an = sen
(pi
2+
1
n
)
e) an =ln(n+ 1)
n
f) an = ln(n) ln(n+ 1)
g) an =n!
106n
h) an =
(1
n
) 1ln(n)
i) an =3n 6n2n n!
j) an = arctan(n)
5. Diga se cada serie converge ou diverge. Se converge, calcule a soma dela.
a) 1 12+
1
4 1
8+ . . .+
(12
)n1+ . . .
b)pi
2+pi2
4+pi3
8+ . . .
32
-
6. Expresse a dzima periodica 5, 232323 . . . como razao de dois inteiros, usando umaserie geometrica.
7. Verifique se cada serie a seguir converge ou diverge. Se converge, calcule sua soma.
a)n=1
(1)n+1
b)n=1
n2n+ 5
c)n=1
3n1 16n1
d)n=1
4
2n1
e)n=0
(12
)n
f)n=0
(2)n
g)n=0
cos(npi)
5n
h)n=1
ln
(1
n
)
i)n=0
( epi
)n
j)n=1
nn
n!
8. Calcule a soma das series convergentes a seguir:
a)n=0
(1
2n+
(1)n5n
)
b)n=0
(2n+1
5n
)
c)n=1
2n+ 1
n2(n+ 1)2(Dica: Expanda o termo geral da serie em uma soma de fracoes par-
ciais.
d)n=1
(1
ln(n+ 2) 1
ln(n+ 1)
)
9. Encontre uma formula para a n-esima soma parcial de cada serie e use-a para en-contrar a soma da serie, se ela convergir:
33
-
a) 2 +2
3+
2
9+
2
27+ . . .+
2
3n1+ . . .
b)9
100+
9
1002+
9
1003+ . . .+
9
100n+ . . .
c) 1 12+
1
4 1
8+ . . .+ (1)n1 1
2n1+ . . .
d)1
2 3 +1
3 4 +1
4 5 + . . .+1
(n+ 1) (n+ 2) + . . .
1.8 Respostas da 1a serie de exerccios
1. A sequencia converge e limn
an = e2.
2. Fazer limn
[ln(an)] para encontrar uma indeterminacao do tipo 0/0 e depois apli-
car a regra de LHopital. Mesmo procedimento adotado no exerccio 1.
3.a) {an} = n2 1.b) {an} = 4n 3.
4.a) Converge para L = 2.b) Diverge.c) Converge para L = 0.d) Converge para L = 1.e) Converge para L = 0.f) Converge para L = 0.g) Diverge.h) Converge para L = e1.i) Converge para L = 0.
j) Converge para L =pi
2.
5.
a) Converge e sua soma e igual a S =2
3.
b) Diverge.
6. 5, 232323... = 5 +n=0
23
102
(1
102
)n= 5 +
23
99=
518
99.
7.a) Diverge.b) Diverge.
34
-
c) Converge e S =4
5.
d) Converge e S = 8.e) Converge e S =
2 + 2.
f) Diverge.
g) Converge e S =5
6.
h) Diverge.
i) Converge e S =pi
pi e .j) Diverge.
8.
a) S =17
6.
b) S =10
3.
c) S = 1.
d) S =1ln(2)
.
9.
a)Sn = 3
[1
(1
3
)n]e S = 3.
b)Sn =1
11
[1
(1
100
)n]e S =
1
11.
c)Sn =2
3
[1
(12
)n]e S =
2
3.
d)Sn =1
2 1n+ 2
e S =1
2.
1.9 2a Serie de exerccios
1. Series de termos nao negativos - Quais das series a seguir convergem e quais di-vergem? Lembre-se de que pode existir mais de uma forma de determinar a convergenciaou a divergencia de uma serie. Utilize o teste que achar mais adequado.
a)n=1
en
1 + e2n
b)n=2
ln(n)n
c)n=1
1n(n+ 1)
35
-
d)n=1
1
n[1 + ln2(n)]
e)n=1
sen2(n)
2n
f)n=1
(n
3n+ 1
)n
g)n=1
3
n+n
h)n=1
1 + cos(n)
n2
i)n=2
1
ln2(n)
j)n=1
ln2(n)
n3
k)n=1
n2
2n
l)n=1
n!en
m)n=1
n2en
n)n=1
n10
10n
o)n=1
[ln(n)]n
nn
p)n=1
(1
n 1n2
)n
q)n=2
n
[ln(n)]n
r)n=1
(n!)n
(nn)2
2. Quais das seriesn=1
an definidas pelas formulas a seguir convergem e quais divergem?
a) a1 = 2, an+1 =1 + sen(n)
nan
b) a1 =1
3, an+1 =
3n 12n+ 5
an
36
-
c) a1 =1
3, an+1 = n
an
3. Sen=1
an e uma serie convergente de termos nao negativos, pode-se dizer algo so-
bren=1
ann? Justifique.
4. Series alternadas - Quais das series alternadas a seguir convergem e quais diver-gem?
a)n=1
(1)n+1 1n2
b)n=1
(1)n+1( n10
)n
c)n=2
(1)n+1 1ln(n)
d)n=2
(1)n+1 ln(n)ln(n2)
e)n=1
(1)n+1 1n
32
f)n=1
(1)n+1 ln(n)n
5. Convergencia absoluta x convergencia condicional - Quais das series a seguirconvergem absolutamente, quais convergem condicionalmente e quais divergem?
a)n=1
(1)n+1(0, 1)n
b)n=1
(1)n 1n+ 1
c)n=1
(1)n+1 nn3 + 1
d)n=1
(1)n 1n+ 3
e)n=1
(1)n+13 + n5 + n
f)n=1
(1)n sen(n)n2
g)n=1
(1)nn2(2
3
)n
37
-
h)n=1
(100)nn!
i)n=1
(1)n1n2 + 2n+ 1
j)n=1
cos(npi)
nn
k)n=1
(1)n(n+ 1)n(2n)n
1.10 Respostas da 2a serie de exerccios
1.a) De acordo com o teste da integral, a serie converge.b) De acordo com o teste da comparacao direta, a serie diverge.c) De acordo com o teste da integral, a serie diverge.d) De acordo com o teste da integral, a serie converge.e) De acordo com o teste da comparacao direta, a serie converge.f) De acordo com o teste da raiz, a serie converge.g) De acordo com o teste da comparacao direta, a serie diverge.h) De acordo com o teste da comparacao direta, a serie converge.i) De acordo com o teste da comparacao no limite, a serie diverge.j) De acordo com o teste da comparacao no limite, a serie converge.k) De acordo com o teste da razao, a serie dada converge.l) De acordo com o teste da razao, a serie dada diverge.m) De acordo com o teste da razao, a serie dada converge.n) De acordo com o teste da razao, a serie dada converge.o) De acordo com o teste da raiz, a serie converge.p) De acordo com o teste da raiz, a serie converge.q) De acordo com o teste da raiz, a serie converge.r) De acordo com o teste da raiz, a serie diverge.
2.a) De acordo com o teste da razao, a serie converge.b) De acordo com o teste da razao, a serie diverge.c) De acordo com o teste do n-esimo termo, a serie diverge.
3. Pelo teste da comparacao direta, a serie e convergente.
4.a) A serie converge.b) A serie diverge.c) A serie converge.
38
-
d) A serie diverge.e) A serie converge.f) A serie converge.
5.a) A serie e absolutamente convergente.b) A serie e condicionalmente convergente.c) Pelo teste da comparacao no limite, a serie e absolutamente convergente.d) A serie e condicionalmente convergente.e) Pelo teste do n-esimo termo, a serie e divergente.f) Pelo teste da comparacao direta, a serie e absolutamente convergente.g) Pelo teste da razao, a serie e absolutamente convergente.h) Pelo teste da razao, a serie e absolutamente convergente.i) Pelo teste da comparacao direta, a serie e absolutamente convergente.j) A serie e absolutamente convergente.k) Pelo teste da raiz, a serie e absolutamente convergente.
Observacao: Os testes foram mencionados nos exerccios apenas como suges-tao, pois mais de um teste pode ser aplicado a uma serie para o estudo de suanatureza.
39
-
1.11 Series de potencias
1.11.1 Introducao
O objetivo principal deste estudo e representar as funcoes elementares do calculo comoseries de potencias, que sao aquelas cujos termos contem potencias de uma variavel x.
Exemplo 31: O conhecimento de series geometricas nos afirma que
n=0
xn = 1 + x+ x2 + x3 + x4 + . . .+ xn + . . . =1
1 x para|x| < 1 (1.54)
Este resultado e comprovado na Figura 1.13, onde a curva contnua corresponde ao
grafico da funcao f(x) =1
1 x e a curva tracejada corresponde ao grafico da soma dos 11
primeiros termos da serien=0
xn.
5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 510
8
6
4
2
0
2
4
6
8
10
x
1/(1
x)
Figura 1.13: Grafico do exemplo 31.
Pelo grafico podemos observar que fora do intervalo 1 < x < 1 a serie de potenciasdiverge.
1.11.2 Definicao
Se x e uma variavel, entao uma serie infinita da forma
n=0
Cnxn = C0 + C1x+ C2x
2 + C3x3 + . . .+ Cnx
n + . . . (1.55)
oun=0
Cn(x a)n = C0 + C1(x a) + C2(x a)2 + . . .+ Cn(x a)n + . . . (1.56)
40
-
e uma serie de potencias de x ou de (x a), respectivamente, onde C0, C1, C2, . . . sao oscoeficientes da serie e a e uma constante chamada centro da serie.
Observacoes:
1. A serie dada pela equacao (1.56) possui centro a e a serie dada pela equacao (1.55),que e caso particular da serie (1.56), possui centro a = 0.
2. Nas series de potencias admitimos x0 = 1 e (x a)0 = 1, mesmo quando x = 0 ex = a, respectivamente. Isto e feito para simplificar o termo geral da serie.
Exemplo 32:
a)n=0
xn
n!= 1 + x+
x2
2!+x3
3!+ . . . +
xn
n!+ . . . e uma serie de potencias com centro em
a = 0 e coeficientes dados por Cn =1
n!.
b)n=1
1
n(x 1)n = (x 1) + 1
2(x 1)2 + 1
3(x 1)3 + . . . e uma serie de potencias com
centro em a = 1 e coeficientes dados por Cn =1
n.
c)n=0
(12
)n(x 2)n = 1 1
2(x 2) + 1
4(x 2)2 1
8(x 2)3 + . . . e uma serie de
potencias centrada em a = 2 e coeficientes dados por Cn =
(12
)n. Esta e uma serie
geometrica, cujo primeiro termo e dado por a0 = 1 e razao r = 12(x 2). Esta serie
converge paraa0
1 r se |r| < 1, ou seja,
x 22 < 1
1 < x 22
< 1
2 < x 2 < 20 < x < 4
Dentro deste intervalo obtido, a serie de potencias dada converge para
S =a0
1 r =1
1 + x22
=1
2+x22
=2
x
Assim, conclumos que
1 12(x 2) + 1
4(x 2)2 1
8(x 2)3 + . . .+
(12
)n(x 2)n + . . . = 2
x, 0 < x < 4
41
-
A Figura 1.14 ilustra este exemplo, onde a curva contnua corresponde ao grafico da
funcao f(x) =2
xe a curva tracejada corresponde ao grafico da soma dos 11 primeiros
termos da serie.
10 8 6 4 2 0 2 4 6 8 105
4
3
2
1
0
1
2
3
4
5
x
2/x
Figura 1.14: Grafico do exemplo 32 c).
Pelo grafico podemos observar que fora do intervalo 0 < x < 4 a serie de potenciasdiverge. Podemos observar tambem que o centro da serie a = 2 esta localizado no centrodeste intervalo de convergencia.
No exemplo anterior, vimos que uma serie de potencias pode ser considerada uma funcaode x.
f(x) =n=0
Cn(x a)n, (1.57)
onde o domnio de f(x) e o conjunto de todos os valores de x para os quais a serie converge.Observando a equacao (1.57), conclumos que toda serie de potencias converge em seu centro(x = a), para o valor C0.
f(a) =n=0
Cn(a a)n = C0 + 0 + 0 + 0 + . . . = C0 (1.58)
Todavia, este nao e o unico valor de x para o qual a serie converge. Existem outrosvalores de x que tornam a serie convergente, e estes valores formam um intervalo chamadode intervalo de convergencia da serie, cujo centro e o ponto x = a (Figura 1.15).
42
-
Figura 1.15: Intervalo de convergencia de uma serie de potencias.
1.11.3 Teorema da convergencia para series de potencias
Dado que toda serie de potenciasn=0
Cn(x a)n possui um raio de convergencia R,a serie converge absolutamente quando |x a| < R e diverge quando |x a| > R. Esteresultado pode ser observado na Figura 1.15.
Observacoes:
1. A serie pode ou nao convergir nos extremos do intervalo de convergencia x = a Re x = a+R.
2. Se R = 0, a serie converge somente no ponto x = a (centro).
3. Se R, a serie converge para qualquer valor de x.
O intervalo de convergencia R pode ser encontrado atraves do teste da razao ou testeda raiz. Para estudar a convergencia da serie nas extremidades x = a R e x = a + R,utilizamos os demais testes vistos (teste da comparacao, comparacao no limite, integral,etc.).
Exemplo 33: Para quais valores de x as series de potencia a seguir convergem?
a)n=1
(1)n1xn
n
b)n=1
(1)n1 x2n1
2n 1
c)n=0
xn
n!
d)n=0
n!xn
43
-
Exemplo 34: Encontre o centro a, o raio de convergencia R e o intervalo de con-vergencia das series de potencias a seguir. Estude a convergencia das mesmas nas extremi-dades do intervalo de convergencia.
a)n=1
1
2nxn
b)n=0
(x 5)2nn!
c)n=1
3n(x 4)2nn2
d)n=0
n!(x+ 2)n
e)n=1
nn(x 3)n
f)n=0
x2n+1
(4)n
g)n=1
(x+ 5)n1
n2
1.12 Expansao de funcoes em series de potencias
1.12.1 Diferenciacao e integracao de series de potencias
Se
Cn(x a)n converge para a R < x < a + R para algum raio de convergenciaR > 0, isto define uma funcao f(x).
f(x) =n=0
Cn(xa)n = C0+C1(xa)+C2(xa)2+C3(xa)3+ . . . , aR < x < a+R(1.59)
Esta funcao possui derivadas de todas as ordens dentro do intervalo de convergencia.Estas derivadas sao obtidas atraves da derivacao da serie dada pela equacao (1.59) termoa termo, obtendo as series dadas pelas equacoes (1.60) e (1.61).
f (x) =n=0
nCn(xa)n1 = C1+2C2(xa)+3C3(xa)2+. . . , aR < x < a+R (1.60)
44
-
f (x) =n=0
n(n 1)Cn(x a)n2 = 2C2+6C3(x a)+ . . . , aR < x < a+R (1.61)
Por outro lado, esta funcao tambem e integravel dentro do intervalo de convergencia.
f(x)dx =
n=0
Cn(x a)n+1n+ 1
+ C, aR < x < a+R (1.62)
Exemplo 35: Encontre as series para f (x) e f (x) se f(x) =1
1 x = 1 + x2 + x3 +
. . .+ xn + . . . =n=0
xn, 1 < x < 1.
Exemplo 36: Identifique a funcao f(x) atraves de sua derivacao e posteriormente in-tegracao.
f(x) = x x3
3+x5
5 x
7
7+ . . . =
n=1
(1)n+1 x2n1
2n 1 , 1 < x < 1
1.12.2 Series de Taylor e series de Maclaurin
Seja f(x) uma funcao com derivadas de todas as ordens em algum intervalo contendo acomo um ponto interior. Desta forma, a serie de Taylor gerada por f em x = a e dada por
f(x) =n=0
f (n)(a)
n!(x a)n, (1.63)
onde f (n)(a) corresponde a` derivada de ordem n de f(x) calculada no ponto x = a.
Demonstracao: Suponha que a serie de potencias
Cn(x a)n tenha um raio deconvergencia dado por R. Entao, a n-esima derivada de f(x) existe para |x a| < R e,derivando a serie de potencias sucessivas vezes, obtemos
f (0)(x) = C0 +C1(x a) +C2(x a)2 +C3(x a)3 +C4(x a)4 +C5(x a)5 + . . . (1.64)
f (1)(x) = C1 + 2C2(x a) + 3C3(x a)2 + 4C4(x a)3 + 5C5(x a)4 + . . . (1.65)
f (2)(x) = 2C2 + 6C3(x a) + 12C4(x a)2 + 20C5(x a)3 + . . . (1.66)
f (3)(x) = 6C3 + 24C4(x a) + 60C5(x a)2 + . . . (1.67)
45
-
f (4)(x) = 24C4 + 120C5(x a) + . . . (1.68)
f (n)(x) = n!Cn + uma soma de termos com potencias de (x a) como fator comum.(1.69)
Calculando cada uma destas derivadas em x = a, obtemos
f (0)(a) = C0 = 0!C0 (1.70)
f (1)(a) = C1 = 1!C1 (1.71)
f (2)(a) = 2C2 = 2!C2 (1.72)
f (3)(a) = 6C3 = 3!C3 (1.73)
f (4)(a) = 24C4 = 4!C4 (1.74)
f (n)(a) = n!Cn (1.75)
Desta forma,
Cn =f (n)(a)
n!(1.76)
e
f(x) =n=0
Cn(x a)n =n=0
f (n)(a)
n!(x a)n
= f(a) +f (a)
1!(x a) + f
(a)
2!(x a)2 + f
(a)
3!(x a)3 + . . .
(1.77)
A serie encontrada na equacao (1.77) e chamada de serie de Taylor. No caso especiala = 0, a funcao f(x) assume a forma
f(x) =n=0
f (n)(0)
n!xn = f(0) +
f (0)
1!x+
f (0)
2!x2 +
f (0)
3!x3 + . . . , (1.78)
chamada de serie de Maclaurin.
Exemplo 37: Obtenha a serie de Taylor para f(x) = ln(x) centrada em a = 1. Paraque valores de x esta serie e valida?
46
-
Exemplo 38: Ache as series de Maclaurin para as funcoes a seguir. Encontre o inter-valo de convergencia das series obtidas.
a) f(x) = ex
b) f(x) = sen(x)
c) f(x) =1
1 xd) f(x) = ex
2
e) f(x) = cos(x)
1.13 3a Serie de exerccios
1. Determine o centro, o raio de convergencia e o intervalo de convergencia das series depotencias a seguir.
a)n=0
xn
b)n=0
(2x)n
c)n=0
(x 2)n10n
d)n=0
nxn
n+ 2
e)n=1
(x 1)nn
f)n=0
3nxn
n!
g)n=0
x2n+1
n!
h)n=1
(1 +
1
n
)nxn
i)n=1
ln(n)xn
j)n=0
(2)n(n+ 1)(x 1)n
47
-
2. Determine o intervalo de convergencia das series de potencias a seguir e, dentrodeste intervalo, a soma das series como uma funcao de x.
a)n=0
(x 1)2n4n
b)n=0
(x+ 1)2n
9n
c)n=0
(x
2 1)n
d)n=0
(x2 + 1
3
)n
e)n=0
(x2 1
2
)n3. Para quais valores de x a serie
1 12(x 3) + 1
4(x 3)2 + . . .+
(12
)n(x 3)n + . . .
converge? Qual e a sua soma? Qual serie voce obtem se derivar a serie dada termo atermo? Para quais valores de x a nova serie converge? Qual e a sua soma?
4. Dada a serie f(x) =n=0
(x2
)n, pede-se:
a) O intervalo de convergencia de f(x) e a soma da serie neste intervalo.b) Idem para f (x).c) Idem para f (x).
5. Encontre os cinco primeiros termos nao nulos da serie de Maclaurin para as funcoes aseguir e ache a serie em notacao de somatorio. Qual e o intervalo de convergencia paracada serie encontrada?
a) f(x) = ex
b) f(x) = eax
c) f(x) = ln(1 + x)
d) f(x) = cos(x)
48
-
6. Encontre os quatro primeiros termos nao nulos da serie de Taylor em torno de x = apara as funcoes a seguir e ache a serie correspondente em notacao de somatorio. Qual e ointervalo de convergencia para cada serie encontrada?
a) f(x) = ex, a = 1
b) f(x) = ex, a = ln(2)
c) f(x) = ln(x), a = 1
7. A funcao ln(x) admite uma representacao em serie de Maclaurin? E a funcao x1?Justifique.
8. Encontre a serie de Maclaurin para as funcoes a seguir. Defina o intervalo de con-vergencia das mesmas.
a) f(x) = e4x
b) f(x) = x2sen(x)
9. Desenvolva as funcoes dadas em series de Taylor. Encontre o intervalo de convergenciada serie obtida para cada item a seguir.
a) f(x) = sen(kx) em torno de x = a e depois desenvolva paraa.1) f(x) = sen(2x) a = 0a.2) f(x) = sen(pix) a = 1/2
b) f(x) = ln(kx) em torno de x = a e depois desenvolva para f(x) = ln(x/3), a = e
10. Em estatstica a funcao E(x) =2pi
x0
et2
dt leva o nome de Funcao Erro. En-
contre a serie de Maclaurin da funcao E(x).
1.14 Respostas da 3a serie de exerccios
1.a) Centro a = 0, raio R = 1 e intervalo de convergencia 1 < x < 1.b) Centro a = 0, raio R = 1/2 e intervalo de convergencia 1/2 < x < 1/2.c) Centro a = 2, raio R = 10 e intervalo de convergencia 8 < x < 12.d) Centro a = 0, raio R = 1 e intervalo de convergencia 1 < x < 1.e) Centro a = 1, raio R = 1 e intervalo de convergencia 0 x < 2.f) Centro a = 0, raio R = e intervalo de convergencia x R.g) Centro a = 0, raio R = e intervalo de convergencia x R.h) Centro a = 0, raio R = 1 e intervalo de convergencia 1 < x < 1.i) Centro a = 0, raio R = 1 e intervalo de convergencia 1 < x < 1.j) Centro a = 1, raio R = 1/2 e intervalo de convergencia 1/2 < x < 3/2.
49
-
2.
a) f(x) =4
4 (x 1)2 , intervalo de convergencia 1 < x < 3.
b) f(x) =9
9 (x+ 1)2 , intervalo de convergencia 4 < x < 2.
c) f(x) =2
4x , intervalo de convergencia 0 < x < 16.
d) f(x) =3
2 x2 , intervalo de convergencia 2 < x 0, tem-se
f(tx, ty) = tnf(x, y), (2.24)
onde n e um numero real.
Exemplo 20: Verifique a homogeneidade das funcoes a seguir.
a) f(x, y) = x2y 4x3 + 3xy2
b) f(x, y) = xexy + ysen
(yx
)c) f(x, y) = x+ y2
d) f(x, y) =x
2y+ 4
e) f(x, y) = x2 3xy + 5y2
Definicao de equacao diferencial homogenea
Uma equacao diferencial dada na forma diferencial
M(x, y)dx+N(x, y)dy = 0 (2.25)
e homogenea se M e N sao funcoes homogeneas de mesmo grau.Se a equacao diferencial M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 e homogenea, entao ela pode ser
transformada em uma equacao diferencial de variaveis separadas, adotando a mudanca devariavel
y = vx (2.26)
dy = xdv + vdx (2.27)
Isto reduzira qualquer equacao diferencial homogenea a` forma
P (x, v)dx+Q(x, v)dv = 0, (2.28)
onde as variaveis x e v sao separaveis. Depois da integracao, v e substitudo pory
xpara
voltar a`s variaveis originais.
63
-
Exemplo 21: Encontre a solucao geral das equacoes diferenciais a seguir.
a) 2xyy y2 + x2 = 0
b) (x2 + y2)dx+ (x2 xy)dy = 0
c) xy2dy (x3 + y3)dx = 0
d) (x2 y2)dx+ 3xydy = 0
e) y =2xy
x2 y2f) xsen
(yx
)(ydx+ xdy) + y cos
(yx
)(xdy ydx) = 0
g) xdy (y +x2 y2)dx = 0
h) (1 + 2ey
x )dy + 2ey
x
(1 y
x
)dx = 0
Equacoes diferenciais lineares
Sao equacoes diferenciais da forma
dy
dx+ yP (x) = Q(x), (2.29)
onde a derivadady
dxe a variavel dependente y sao do primeiro grau e P (x) e Q(x) sao
funcoes contnuas de x.
Exemplo 22:
a)dy
dx+ ysen(2x) = x P (x) = sen(2x) Q(x) = x
b)dy
dx+ x2y = x3 P (x) = x2 Q(x) = x3
c) tg(x)dy
dx+ y = sec(x) P (x) = cotg(x) Q(x) = cossec(x)
d)dx
dy+ y2x = 2 P (y) = y2 Q(y) = 2
e)dy
dx+ 3xy2 = sen(x) Esta equacao nao e linear.
Solucao da equacao diferencial linear
Com a ajuda de um fator de integracao apropriado, ha uma tecnica padrao para resolveruma equacao diferencial linear de primeira ordem da forma
64
-
dy
dx+ P (x)y = Q(x) (2.30)
em um intervalo onde as funcoes coeficientes P (x) e Q(x) sejam contnuas. Adotando umfator de integracao
= eP (x)dx (2.31)
e multiplicando a equacao (2.30) por este fator de integracao, obtem-se
eP (x)dx dy
dx+ P (x)e
P (x)dxy = Q(x)e
P (x)dx (2.32)
O primeiro membro da equacao (2.32) corresponde a` derivada do produto
y(x)eP (x)dx, (2.33)
de modo que (2.32) e equivalente a
d
dx
[ye
P (x)dx
]= Q(x)e
P (x)dx (2.34)
Integrando os dois membros da equacao (2.34), resulta
yeP (x)dx =
Q(x)e
P (x)dxdx+ C (2.35)
Finalmente, a solucao geral y da equacao diferencial linear de primeira ordem e
y = eP (x)dx
[Q(x)e
P (x)dxdx+ C
](2.36)
A equacao (2.36) nao deve ser memorizada. Em um problema mais especfico e geral-mente mais simples usar o metodo com que a mesma foi deduzida.
Exemplo 23: Encontre a solucao geral das equacoes diferenciais a seguir.
a)dy
dx 3y = e2x
b) y 2xy = x
c)dy
dx+
(4
x
)y = x4
d) y + y = sen(x), y(pi) = 1
65
-
e) (x2 + 1)dy
dx+ 3xy = 6x
f) y = (1 y) cos(x), y(pi) = 2
g) (x+ yey)y = 1 Dica: considere y como sendo a variavel independente.
h) cos2(x)sen(x)dy + (y cos3(x) 1)dx = 0
i)dy
dx+ y =
1 e2xex + ex
j) (1 + x)y xy = x+ x2
k)dy
dx+ y = x2
l) (x 2)dydx
= y + 2(x 2)3
m)dy
dx+
x
1 x2y =2x
1 x2
n)dy
dx+ ycotg(x) = 5ecos(x)
Equacoes diferenciais redutveis a` linear - Equacoes de Bernoulli
Sao equacoes diferenciais da forma
dy
dx+ P (x)y = Q(x)yn, (2.37)
onde P (x) e Q(x) sao funcoes de x ou constantes.
Exemplo 24:
a)dy
dx+ ysen(x) = y3 cos(x) P (x) = sen(x) Q(x) = cos(x)
b) xydy
dx+ y2 = x2y4 (xy)
dy
dx+y
x= xy3 P (x) =
1
xQ(x) = x
Solucao da equacao diferencial de Bernoulli
Uma equacao diferencial de Bernoulli se reduz a` linear, pela multiplicacao de ambos osmembros da equacao (2.37) pelo fator yn, obtendo
66
-
yndy
dx+ P (x)y1n = Q(x) (2.38)
Adotando uma substituicao de variaveis da forma
z = y1n = dzdx
= (1 n)yn dydx, (2.39)
tem-se
yndy
dx=
1
1 ndz
dx(2.40)
Substituindo (2.39) e (2.40) em (2.38), obtem-se
1
1 ndz
dx+ P (x)z = Q(x), (2.41)
logo:
dz
dx+ (1 n)P (x)z = (1 n)Q(x), (2.42)
que e uma equacao diferencial linear em z, cuja solucao e dada pelo metodo de resolucao deequacoes diferenciais lineares visto anteriormente. Apos a obtencao da solucao da equacaoem z, deve substituir na mesma a relacao dada por (2.39) para expressar a solucao comouma funcao y(x).
Exemplo 25: Encontre a solucao geral para as equacoes diferenciais a seguir.
a) y + 3y = 2y2
b)dy
dx+ 2xy + xy4 = 0
c) xdy = {y + xy3[1 + ln(x)]}dx
d)dy
dx+
1
3y =
1
3(1 2x)y4
e)dy
dx+y = y2[cos(x)sen(x)] Dica: na integral
exsen(x)dx fazer u = sen(x) e dv =
exdx
2.8 Aplicacoes dos diversos tipos de equacoes diferen-
ciais
Os exemplos a seguir mostram aplicacoes de equacoes diferenciais originadas de umproblema geometrico, problemas fsicos, como taxa de crescimento e decrescimento de po-
67
-
pulacao, tempo de meia vida, etc.
Exemplo 26: O grafico de y = f(x) passa pelo ponto (9, 4). A reta tangente ao grafico,em qualquer ponto (x, y), apresenta inclinacao igual a 3
x. Determine f(x).
Exemplo 27: Uma partcula desloca-se sobre o eixo OX de modo que, em cada instantet, a velocidade e o dobro da posicao. Qual a equacao diferencial que rege o movimento? Equal a funcao da posicao x(t)?
Exemplo 28: A taxa de crescimento de uma populacao de moscas da fruta e pro-porcional ao tamanho da populacao em qualquer instante t. Se a populacao era de 180moscas ao final do segundo dia de experiencia, e de 300 moscas ao final do quarto dia, qualo tamanho da populacao original?
Exemplo 29: Sabendo que a populacao de uma cidade dobra em 50 anos, em quantosanos ela sera o triplo, admitindo que a razao de crescimento e proporcional ao numero dehabitantes?
Exemplo 30: A Lei de Resfriamento de Newton diz que a taxa de variacao da tempe-ratura de um objeto e proporcional a` diferenca entre sua temperatura e a temperatura domeio ambiente, isto e,
dT
dt= k(T Tm). (2.43)
Suponha que um comodo seja mantido a uma temperatura constante de 220C e que umobjeto neste comodo leve 45 minutos para resfriar de 1500C a 500C. Quanto tempo vailevar para este objeto atingir a temperatura de 270C?
Exemplo 31: Considere os circuitos simples, contendo um indutor ou um capacitorem serie com um resistor, como mostrado na Figura 2.2.
L
R
E
C
R
E
Figura 2.2: Circuito RL e RC serie.
Tem-se:
- R resistencia dada em ohms [].- L indutancia dada em henries [H].
68
-
- C capacitancia dada em farads [F ].- E tensao da fonte dada em volts [V ].- i(t) corrente no circuito serie em funcao do tempo, dada em amperes [A].- q(t) carga em um capacitor em funcao do tempo, dada em coulombs [C].
A carga q(t) se relaciona com a corrente i(t) atraves da expressao
i(t) =dq(t)
dt(2.44)
e a tensao e(t) se relaciona com a corrente i(t) da forma mostrada a seguir para cada ele-mento de circuito:
- Resistor e(t) = Ri(t) = Rdq(t)dt
.
- Indutor e(t) = Ldi(i)dt
= Ld2q(t)
dt2.
- Capacitor e(t) = 1Cq(t).
A 2a lei de Kirchhoff diz que a soma das quedas de tensao em uma malha fechada deum circuito e nula, ou seja,
Ldi
dt+Ri = E (2.45)
para o circuito RL e
Rdq
dt+
1
Cq = E (2.46)
para o circuito RC.
Vale notar que as equacoes (2.45) e (2.46) sao equacoes diferenciais lineares de 1a ordem.Baseado nessas informacoes, pede-se:
a) Uma bateria de 12 volts e conectada a um circuito em serie no qual a indutancia ede 1/2 henry e a resistencia de 10 ohms. Determine a expressao para a corrente no circuitoi(t) sabendo que a corrente no instante inicial e zero.
b) Encontre a corrente i(t), sabendo que esta corrente satisfaz a equacao diferencial
Ldi
dt+Ri = sen(2t), onde R e L sao constantes nao nulas.
69
-
Exemplo 32: Tempo de duplicacao e meia vida
Se uma quantidade y possuir um modelo de crescimento exponencial, entao o temponecessario para a quantidade inicial dobrar e chamado de tempo de duplicacao, e se y pos-suir um modelo de decaimento exponencial, entao o tempo requerido para a quantidadeinicial se reduzir pela metade e chamado de meia vida. O tempo de duplicacao e meia vidadependem somente da taxa de crescimento ou decaimento e nao da quantidade presenteinicialmente.
Suponha que y = y(t) possui um modelo de crescimento exponencial dado por
y = y0ekt (2.47)
e seja T o tempo requerido para y dobrar seu tamanho. Desta forma, no tempo t = T ovalor de y sera duas vezes y0 e portanto
2y0 = y0ekT ekT = 2 ln(ekT ) = ln(2) T = ln(2)
k(2.48)
Baseado nestas informacoes, pede-se:
A taxa de decomposicao do elemento radio e proporcional a` quantidade presente emum dado instante. Sabendo que a meia vida do radio e de 1600 anos, encontre o percentualde radio que permanece apos 25 anos.
2.9 Equacoes diferenciais lineares de ordem superior
2.9.1 Definicao
Uma equacao diferencial linear de ordem n tem a forma geral representada por
a0dny
dxn+ a1
dn1y
dxn1+ a2
dn2y
dxn2+ . . .+ an1
dy
dx+ any = f(x), (2.49)
onde a0 6= 0, a1, a2, . . . , an sao constantes ou funcoes de x somente.
Por conveniencia, a equacao (2.49) pode ser representada na forma de um polinomio,atraves da utilizacao de um operador diferencial D, onde
D =d
dx(2.50)
Assim,dy
dx= Dy,
d2y
dx2= D2y,
d3y
dx3= D3y,
dny
dxn= Dny. Portanto, a equacao (2.49)
pode ser escrita na forma
70
-
a0Dny + a1D
n1y + a2Dn2y + . . .+ an1Dy + any = f(x) (2.51)
ou
[a0Dn + a1D
n1 + a2Dn2 + . . .+ an1D + an]y = f(x) (2.52)
A expressao entre colchetes de (2.52) e chamada de operador polinomial e e represen-tada por F (D), ou seja,
F (D) = a0Dn + a1D
n1 + a2Dn2 + . . .+ an1D + an (2.53)
e a equacao (2.49) pode ser escrita na forma
F (D)y = f(x) (2.54)
Exemplo 33: Representar a equacao diferencial a seguir utilizando o operador dife-rencial D.
d3y
dx3 d
2y
dx2 4dy
dx+ 4y = 0
2.9.2 Propriedades do operador diferencial
P1) D[ky(x)] = kD[y(x)]
P2) D[k1y1(x) k2y2(x)] = kD[y1(x)] k2D[y2(x)]P3) Dm[Dny(x)] = Dm+n[y(x)]
P4) [D2 (a+ b)D + ab]y(x) = (D a)(D b)y(x)
2.9.3 Smbolos
1. O simbolo Dn[f(x)] significa que a funcao f(x) deve ser derivada n vezes.
Exemplo 34: Obtenha:
a) D(x2 + 2x+ 1)
b) (D 2)(D 2)ex
c) D2(x3 + e2x)
d) D3[D2(sen(x))]
2. O smbolo1
Dnf(x) = Dnf(x) significa que a funcao f(x) deve ser integrada n vezes.
71
-
Seja a equacao diferencial
dy
dx= f(x) dy = f(x)dx (2.55)dy =
f(x)dx (2.56)
y =
f(x)dx (2.57)
Escrevendo a equacao (2.55) utilizando o operador diferencial D e comparando o resul-tado com a equacao (2.57), tem-se:
dy
dx= f(x) Dy = f(x) (2.58)
y =1
Df(x) (2.59)
1
Df(x) =
f(x)dx (2.60)
1
D2f(x) =
f(x)dx2 (2.61)
1
D3f(x) =
f(x)dx3 (2.62)
Generalizando:
1
Dnf(x) =
. . .
f(x)dxn (2.63)
Exemplo 35: Obtenha:
a)1
D[tg(x)]
b)1
D[x+ ex]
c)1
D[sen(x)]
d)1
D[x2 + xex]
3. O smbolo1
(D r1)(D r2) . . . (D rn)f(x) significa que deve-se operar com1
D r1em f(x), em seguida com
1
D r2 no resultado encontrado e assim sucessivamente, ate o-
perar1
D rn no ultimo resultado.
72
-
Exemplo 36: Seja a equacao diferencial linear
dy
dx r1y = f(x) P (x) = r1 Q(x) = f(x) (2.64)
A solucao geral desta equacao e
y = eP (x)dx
f(x)e
P (x)dxdx (2.65)
y = er1dx
f(x)e
r1dxdx (2.66)
Escrevendo (2.64) em funcao do operador diferencial D, tem-se
Dy r1y = f(x) (2.67)
(D r1)y = f(x) (2.68)
y =1
D r1f(x) (2.69)
Comparando (2.66) e (2.69) conclui-se que
1
D r1f(x) = er1dx
f(x)e
r1dxdx (2.70)
Exemplo 37: Obtenha:
a)1
D 2ex
b)1
D + 4(0)
c)1
(D + 1)(D + 2)ex
2.10 Equacoes diferenciais lineares homogeneas de or-
dem n com coeficientes constantes
2.10.1 Definicao
Sao equacoes diferenciais da forma
dny
dxn+ a1
dn1y
dxn1+ a2
dn2y
dxn2+ . . .+ an1
dy
dx+ any = 0 (2.71)
73
-
Dny + a1Dn1y + a2D
n2y + . . .+ an1Dy + any = 0 (2.72)
F (D)y = 0, (2.73)
onde os coeficientes a1, a2, . . . , an sao constantes.
Observacao: A equacao
dny
dxn+ a1
dn1y
dxn1+ a2
dn2y
dxn2+ . . .+ an1
dy
dx+ any = g(x), (2.74)
onde g(x) 6= 0 e chamada nao-homogenea.
Tomando o polinomio F (D) e fatorando-o, obtem-se
F (D) = (D r1)(D r2)(D r3) . . . (D rn) (2.75)Dessa forma, a equacao (2.73) fica
(D r1)(D r2)(D r3) . . . (D rn)y = 0 (2.76)
2.10.2 Equacao caracterstica
E a equacao
F (D) = (D r1)(D r2)(D r3) . . . (D rn) = 0, (2.77)onde r1, r2, r3, . . . , rn sao chamadas razes caractersticas.
Exemplo 38: Encontre a equacao caracterstica e as razes caractersticas das equacoesdiferenciais a seguir.
a) y y 4y + 4y = 0
b) y + y 12y = 0
c) y + 2y 3y = 0
d) 2y 3y + y = 0
2.10.3 Princpio da Superposicao
Se as funcoes y1(x), y2(x), y3(x), . . . , yn(x) sao solucoes de uma equacao diferencialhomogenea, entao a combinacao linear
74
-
y(x) = C1y1 + C2y2 + C3y3 + . . .+ Cnyn (2.78)
tambem e uma solucao, onde y1, y2, y3, . . . , yn sao funcoes linearmente independentes. Dessaforma, a equacao (2.78) representa a solucao geral ou completa da equacao diferencial linearhomogenea.
Dependencia linear
As funcoes y1(x), y2(x), y3(x), . . . , yn(x) possuem dependencia linear quando uma ex-pressao pode ser escrita na forma
C1y1(x) + C2y2(x) + C3y3(x) + . . .+ Cnyn(x) =ni=1
Ciyi(x), (2.79)
onde C1, C2, C3, . . . , Cn sao constantes arbitrarias.
As funcoes y1(x), y2(x), y3(x), . . . , yn(x) sao linearmente independentes se a equacao
C1y1(x) + C2y2(x) + C3y3(x) + . . .+ Cnyn(x) = 0 (2.80)
e satisfeita somente quando C1 = C2 = C3 = . . . = Cn = 0. Caso contrario, as n funcoessao ditas linearmente dependentes.
Exemplo 39: As funcoes y1 = ex e y2 = e
x sao linearmente independentes, poisC1e
x + C2ex = 0 somente quando C1 = C2 = 0.
Exemplo 40: As funcoes y1 = ex, y2 = 2e
x e y3 = ex sao linearmente dependentes,
pois C1ex + 2C2e
x + C3ex = 0 nao somente quando C1 = C2 = C3 = 0, e sim para uma
infinidade de valores, como C1 = 2, C2 = 1 e C3 = 0; C1 = 2, C2 = 1 e C3 = 0; etc.
Assim, e interessante usar um metodo mais pratico para estabelecer uma condicao ne-cessaria e suficiente para a confirmacao da dependencia linear entre funcoes. Isto podeser realizado atraves do determinante de Wronski (ou Wronskiano), que e formado na suaprimeira linha pelas funcoes em estudo, e da segunda linha em diante por suas funcoesderivadas de primeira ordem ate a de ordem (n 1), como mostrado a seguir.
W =
y1(x) y2(x) y3(x) . . . yn(x)y1(x) y
2(x) y
3(x) . . . y
n(x)
y1(x) y2(x) y
3(x) . . . y
n(x)
......
... . . ....
y(n1)1 (x) y
(n1)2 (x) y
(n1)3 (x) . . . y
(n1)n (x)
(2.81)
Da teoria dos determinantes, pode-se concluir que
75
-
- Se W = 0, as funcoes sao linearmente dependentes.
- Se W 6= 0, as funcoes sao linearmente independentes.
Exemplo 41: Estudar a dependencia linear das funcoes a seguir:
a) y1 = ex, y2 = e
2x
b) y1 = ex, y2 = 2e
2x
c) y1 = x, y2 = x+ 1, y3 = x+ 2
d) y1 = sen(ax), y2 = cos(ax)
e) y1 ln(x), y2 = x ln(x), y3 = x2 ln(x)
2.10.4 Solucao da equacao diferencial linear homogenea de coe-ficientes constantes
A solucao geral de uma equacao diferencial linear homogenea de coeficientes constantese dada de acordo com a forma assumida pelas razes da equacao caracterstica. Existem 4casos de razes da equacao caracterstica.
10 Caso: Razes da equacao caracterstica reais e distintas
Considerando a equacao
dy
dx r1y = 0 (D r1)y = 0, (2.82)
sua solucao e dada por
y = C1er1x (2.83)
Considerando a equacao
(D r1)(D r2)y = 0, (2.84)onde r1 6= r2, sua solucao e dada por
y = C1er1x + C2e
r2x (2.85)
Generalizando para uma equacao diferencial de ordem n, tem-se como solucao
76
-
y = C1er1x + C2e
r2x + C3er3x + . . .+ Cn1e
rn1x + Cnernx, (2.86)
onde as funcoes er1x, er2x, er3x, . . . , ern1x, ernx sao linearmente independentes.
Exemplo 42: Encontre a solucao geral das seguintes equacoes diferenciais:
a)d3y
dx3 d
2y
dx2 4dy
dx+ 4y = 0
b) (D3 + 2D2 5D 6)y = 0
c) (D2 +D 6)y = 0
20 Caso: Razes da equacao caracterstica reais e iguais
Considerando a equacao
(D r1)(D r2)(D r3) . . . (D rk)(D rk+1)(D rk+2) . . . (D rn)y = 0, (2.87)e supondo que a equacao caracterstica possui k razes reais iguais e as razes restantes reaisdistintas, ou seja,
r1 = r2 = r3 = . . . = rk (2.88)
e
rk 6= rk+1 6= rk+2 6= . . . 6= rn (2.89)No caso da equacao caracterstica admitir razes reais multiplas, ou seja, razes de mul-
tiplicidade k e k n, onde n e a ordem da equacao diferencial, a solucao geral da mesmaassume a forma
y = (C1 + C2x+ C3x2 + . . .+ Ckx
k1)erkx + Ck+1erk+1x + . . .+ Cne
rnx, (2.90)
onde as funcoes erkx, xerkx, x2erkx, . . . , xk1erkx, erk+1x, . . . , ernx sao linearmente independen-tes.
Exemplo 43: Encontre a solucao geral das seguintes equacoes diferenciais:
a) (D3 3D2 + 3D 1)y = 0
b) (D2 + 6D + 9)y = 0
77
-
c) (D 2)3(D + 3)(D 1)2y = 0
30 Caso: Razes da equacao caracterstica complexas e distintas
Sabe-se que se a equacao caracterstica F (D) = 0 possui uma raiz complexa da forma + j, o conjugado j tambem e raiz da mesma.
Supondo que a equacao caracterstica apresenta n razes, onde duas razes sao + j, j e as razes restantes sao reais e distintas, a equacao diferencial linear homogeneaapresentara como solucao geral:
y = K1e(+j)x +K2e
(j)x + C3er3x + C4e
r4x + . . .+ Cnernx, (2.91)
onde atraves da utilizacao das relacoes de Euler
ejx = cos(x) + jsen(x) (2.92)
e
ejx = cos(x) jsen(x) (2.93)e apos algumas manipulacoes algebricas, a equacao (2.91) fica
y = [C1 cos(x) + C2sen(x)]ex + C3e
r3x + C4er4x + . . .+ Cne
rnx (2.94)
Novamente, as funcoes presentes na solucao da equacao diferencial sao linearmente in-dependentes.
Exemplo 44: Encontre a solucao geral das seguintes equacoes diferenciais:
a)d2y
dx2 2dy
dx+ 10y = 0
b) (D3 + 4D)y = 0
40 Caso: Razes da equacao caracterstica complexas e iguais
Neste caso, basta fazer a combinacao do 20 e 30 casos. Supondo que a equacaocaracterstica F (D) = 0 de uma equacao diferencial apresenta n razes, onde 4 delas cor-respondem a 2 pares de razes conjugadas e as demais razes sao reais e distintas. Assim:
r1 = r3 = + j (2.95)
r2 = r4 = j (2.96)
78
-
r1 6= r2 6= r5 6= r6 6= . . . 6= rn (2.97)A solucao geral para esta equacao diferencial e dada por
y = [(C1 + C2x) cos(x) + (C3 + C4x)sen(x)]ex + C5e
r5x + C6er6x + . . .+ Cne
rnx
(2.98)Novamente, as funcoes presentes na solucao da equacao diferencial sao linearmente in-
dependentes.
Exemplo 45: Encontre a solucao geral das seguintes equacoes diferenciais:
a) y 4y = 0
b) y 16y = 0
c)d4y
dx4 4d
2y
dx2= 0
d) y 2y + 10y = 0
e)d2y
dx2 3dy
dx+ 4y = 0
f)d4y
dx4+ 2
d2y
dx2+ y = 0
g) yiv + 4y + 4y = 0
h) yiv 8y + 16y = 0
i) (D2 +D + 1)3(D2 + 9)2(D + 4)2(D 7)y = 0
Exemplo 46: Encontre a solucao das equacoes diferenciais a seguir, levando em contaas condicoes iniciais dadas:
a) y 4y + 3y = 0 y(0) = 7 y(0) = 11
b) 9y + 6y + 4y = 0 y(0) = 3 y(0) = 4
c) 3y + 2y = 0 y(0) = 1 y(0) = 0 y(0) = 1
79
-
2.11 Equacoes diferenciais nao-homogeneas de ordem
n com coeficientes constantes
2.11.1 Definicao
Sao equacoes diferenciais da forma
dny
dxn+ a1
dn1y
dxn1+ a2
dn2y
dxn2+ . . .+ an1
dy
dx+ any = f(x) (2.99)
Usando o operador diferencial, esta equacao fica:
(Dn + a1Dn1 + a2D
n2 + . . .+ an1D + an)y = f(x) (2.100)
F (D)y = f(x) (2.101)
Escrevendo F (D) na forma fatorada, obtem-se
F (D) = (D r1)(D r2)(D r3) . . . (D rn) (2.102)Assim, (2.100) fica:
(D r1)(D r2)(D r3) . . . (D rn)y = f(x) (2.103)
2.11.2 Solucao da equacao diferencial nao-homogenea de ordemn com coeficientes constantes
Considerando a equacao diferencial homogenea
(D r1)(D r2)(D r3) . . . (D rn)y = 0 (2.104)associada a` equacao (2.103).
A equacao (2.104) possui uma solucao yh(x), chamada de solucao homogenea, que pos-sui constantes arbitrarias. A equacao diferencial nao-homogenea dada por (2.103) possuitambem uma solucao yp(x), chamada de solucao particular, livre de constantes arbitrarias.
Dessa forma, a solucao geral da equacao diferencial nao-homogenea com coeficientesconstantes e dada por
y(x) = yh(x) + yp(x), (2.105)
onde
80
-
- yh(x) solucao homogenea ou funcao complementar, que no estudo de circuitos cor-responde ao regime transitorio.
- yp(x) solucao particular ou integral particular, que no estudo de circuitos correspondeao regime permanente.
- y(x) solucao geral, que no estudo de circuitos corresponde a` resposta completa domesmo.
Sabe-se que a solucao geral possui n constantes arbitrarias devido a` presenca da solucaohomogenea. Assim,
F (D)y = F (D)[yh + yp] = F (D)yh + F (D)yp = 0 + f(x) (2.106)
A equacao (2.106) indica que a solucao homogenea da equacao diferencial (2.103) eaquela que se substituda na equacao, o resultado sera nulo; e a solucao particular e aquelaque se substituda na equacao, ira gerar a funcao f(x). Foi visto anteriormente como pro-ceder no calculo da solucao homogenea. Para o calculo da solucao particular existem doismetodos principais:
- Metodo abreviado
- Metodo dos coeficientes a determinar
Metodo abreviado
A solucao particular de uma equacao diferencial F (D)y = f(x) com coeficientes cons-tantes e dada por
yp(x) =1
F (D)f(x) (2.107)
Sabe-se que para uma equacao diferencial de primeira ordem, tem-se:
yp(x) =1
F (D)f(x) =
1
D r1f(x) = er1x
f(x)er1xdx (2.108)
Para uma equacao diferencial de ordem n tem-se:
yp(x) =1
F (D)f(x) =
1
(D r1)(D r2) . . . (D rn)f(x) (2.109)
yp(x) = er1x
e(r2r1)x
e(r3r2)x . . .
e(rnrn1)x
f(x)ernxdxn (2.110)
E facil notar em (2.110) que o calculo da solucao particular e uma tarefa trabalhosa,porem, este calculo facilita bastante quando a funcao f(x) assume formas conhecidas como
81
-
- f(x) = K
- f(x) = ex
- f(x) = xn
- f(x) = xnex
- f(x) = ex cos(x)
- f(x) = exsen(x)
onde n Z e , R.
10 Caso: f(x) = ex F (D)yp = ex, onde e sao constantes arbitrarias.
Neste caso a solucao particular e dada por
yp(x) =1
F (D)f(x) =
1
F (D)ex
D=
, F () 6= 0 (2.111)
Exemplo 47: Encontre a solucao geral das equacoes diferenciais a seguir:
a) (D 1)(D 3)(D + 2)y = e4x
b) (D 1)(D 3)(D + 2)y = (e2x + 3)2
c) (D 1)(D 3)(D + 2)y = e3x
d) y 3y + 2y = 3e2x
e) (D 1)2(D 2)y = 3ex + 2ex
20 Caso: f(x) = ksen(ax+ b) ou f(x) = k cos(ax+ b), onde k, a, b R.
A equacao diferencial tera a forma
F (D)yp = ksen(ax+ b) (2.112)
ou
F (D)yp = k cos(ax+ b) (2.113)
Neste caso a solucao particular e dada por
82
-
yp(x) =1
F (D)ksen(ax+ b)
D2=a2
(2.114)
ou
yp(x) =1
F (D)k cos(ax+ b)
D2=a2
, (2.115)
onde F (a2) 6= 0.
Exemplo 48: Determinar a solucao geral das equacoes diferenciais a seguir:
a) y y = 2sen(x)
b) (D2 + 4)y = cos(3x)
c) yiv + y = sen(2x)
d) y 3y + 2y = 2sen2x
e) y + 3y 4y = sen2x
Observacao: Se no calculo da solucao particular para este caso F (D) = 0 paraD2 = a2, deve-se resolver a equacao diferencial pelo metodo dos coeficientes a determi-nar, que sera visto posteriormente.
30 Caso: f(x) = xm F (D)yp = xm, onde m Z+.
Neste caso a solucao particular e dada por
yp(x) =1
F (D)xm = (a0 + a1D + a2D
2 + a3D3 + . . .+ amD
m)xm, a0 6= 0, (2.116)
onde o polinomio (a0+a1D+a2D2+a3D
3+ . . .+amDm) e obtido ao fazer a divisao
1
F (D),
desprezando-se todos os termos alem de Dm, pois D(m+1)[xm] = 0.
Exemplo 49: Encontrar a solucao geral das equacoes diferenciais a seguir:
a) y + 4y = x
b) y 4y = x 1
c) (D2 4D + 3)y = x2 + 2x+ 1
83
-
d) (D3 4D2 + 3D)y = x2
40 Caso: f(x) = ezxQ(x) F (D)yp = ezxQ(x), onde z R e Q(x) e uma das funcoesestudadas nos casos 2 e 3, ou seja,
Q(x) = xm (2.117)
ou
Q(x) = ksen(ax+ b) (2.118)
ou
Q(x) = k cos(ax+ b) (2.119)
Neste caso, a solucao particular da equacao diferencial e dada por
yp(x) =1
F (D)ezxQ(x) = ezx
1
F (D + z)Q(x) (2.120)
Exemplo 50: Encontre a solucao geral para as equacoes diferenciais a seguir:
a) (D2 4)y = x2ex
b) (D2 +D 6)y = e5xsen(x)
c) (D2 D + 4)y = xe3x
Metodo dos coeficientes a determinar
Semelhante ao metodo abreviado, a aplicacao deste metodo se limita a`s equacoes dife-renciais lineares nao-homogeneas com coeficientes constantes da forma
F (D)y = f(x), (2.121)
onde f(x) apresenta uma das formas mostradas abaixo ou e uma combinacao linear dasmesmas:
f(x) =
k k Rxm m Z+ex R
sen(ax) a Rcos(ax) a R
(2.122)
84
-
Exemplo 51: A funcao f(x) poderia assumir as formas:
a) f(x) = 10
b) f(x) = x2 + 5x
c) f(x) = 8x 6e2x
d) f(x) = sen(2x) 5xsen(3x) + 3x2ex
O metodo dos coeficientes a determinar nao se aplica a`s equacoes diferenciais cu-jas funcoes f(x) sao diferentes das formas citadas, como por exemplo, f(x) = ln(x),f(x) = x1, f(x) = tg(x) ou f(x) = sec(x).
As famlias de funcoes conhecidas (constantes, exponenciais, polinomios, senos e cosse-nos) possuem a seguinte propriedade:
Se as somas e os produtos destas funcoes forem derivadas sucessivas vezes, o resul-tado obtido continuara sendo somas e produtos destas mesmas funcoes.
Exemplo 52: Seja f(x) = (x3 + 3x2)e4x + e2xsen(x)
Nota-se que f(x) possui um produto de um polinomio por uma exponencial e um pro-duto de um seno por uma exponencial. Derivando esta funcao em relacao a x, obtem-se:
f (x) = (3x2 + 6x)e4x + (x3 + 3x2)(4e4x) + 2e2xsen(x) + e2x cos(x)Como dito na propriedade, o resultado f (x) consiste em somas de produtos das mesmas
funcoes, ou seja, ao produto de exponenciais por polinomios e ao produto de exponenciaispor funcoes senoidais.
Tomando esta propriedade e sabendo que uma equacao diferencial linear nao-homogeneade coeficientes constantes e uma combinacao linear entre a funcao y(x) e suas derivadas,pode-se concluir que a solucao particular yp(x) que gera a funcao f(x) possui a mesmaforma de f(x).
Exemplo 53: Encontrar a solucao geral de
y + 4y 2y = 2x2 3x+ 6 (2.123)A solucao homogenea e determinada a partir das razes da equacao caracterstica. As-
sim:
(D2 + 4D 2) = 0 (2.124)
85
-
As razes da equacao caracterstica sao r1 = 2 +6 e r2 = 2
6. Logo, a solucao
homogenea e
yh = C1e(2+
6)x + C2e
(26)x (2.125)
Para determinar a solucao particular, uma vez que f(x) assume a forma de um po-linomio do segundo grau, admite-se que yp tambem assume a forma de um polinomio dosegundo grau. Assim:
yp = Ax2 + Bx+ C (2.126)
Para encontrar a solucao particular, os valores de A, B e C devem ser calculados, deri-vando a equacao (2.126) duas vezes e substituindo os resultados em (2.123). Assim:
yp = 2Ax+B (2.127)
yp = 2A (2.128)
Substituindo estes resultados em y + 4y 2y = 2x2 3x+ 6, vem:
2A+ 8Ax+ 4B 2Ax2 2Bx 2C = 2x2 3x+ 6 (2.129)
2Ax2 + (8A 2B)x+ 2A+ 4B 2C = 2x2 3x+ 6 (2.130)Comparando os dois membros de (2.130), conclui-se que
2A = 2 A = 1 (2.131)
8A 2B = 3 B = 52
(2.132)
2A+ 4B 2C = 6 C = 9 (2.133)Assim, a solucao geral da equacao diferencial dada e
y = yh + yp = C1e(2+
6)x + C2e
(26)x x2 5
2x 9 (2.134)
Exemplo 54: Encontre a solucao da equacao diferencial y y + y = 2sen(3x)
Dica: Sabendo que derivacoes sucessivas de sen(3x) geram termos com sen(3x) e cos(3x),uma escolha sensata para a solucao particular e:
yp = Asen(3x) + B cos(3x)
86
-
Exemplo 55: Encontre a solucao da equacao diferencial y2y3y = 4x5+6xe2x
Dica: Sabendo que f(x) e composta por uma funcao polinomial do primeiro grau so-mada com o produto de um polinomio do primeiro grau com uma exponencial, a solucaoparticular assume a mesma forma:
yp = Ax+ B + (Cx+D)e2x
Exemplo 56: A tabela a seguir traz alguns exemplos de f(x). Complete esta tabelacom as escolhas apropriadas para a solucao particular yp(x):
f(x) Solucao particular yp(x)
1
5x+ 7
3x2 2x3
sen(4x)
e5x
(9x 2)e5xx2e5x
e3x cos(4x)
5x2sen(4x)
xe3x cos(4x)
O exemplo a seguir mostra que algumas vezes o metodo dos coeficientes a determinardeve sofrer uma pequena modificacao no momento de adotar a solucao particular, ao ob-servar a forma de f(x).
Exemplo 57: Encontre a solucao geral para a equacao diferencial y 2y = 4e2x.
A solucao homogenea obtida a partir da raiz da equacao caracterstica (D 2) = 0 e
yh = C1e2x (2.135)
Observando a funcao f(x) = 4e2x, uma escolha inicial para a solucao particular e:
yp = Ae2x (2.136)
Derivando (2.136), vem:
yp = 2Ae2x (2.137)
87
-
Substituindo estes resultados na equacao diferencial dada, vem:
2Ae2x 2Ae2x = 4e2x (2.138)
0 = 4e2x (2.139)
Isto ocorre devido ao fato da solucao particular adotada yp = Ae2x est