UNIVERSIDAD PRIVADA DEL NORTELaureate International Universities

CALCULO 1

INTEGRANTES:CASTRO CARAY MANUEL A.MALPASO ROMERO JULIANHIDALGO MELENDEZ JESUSMONTERO JIMENEZ KEVIN

PROFESOR: ELMER MARQUINA

TEMA: APLICACIONES DE FUNCIONES

2013

INTRODUCCIÓN

En este presente trabajo de investigaciónaplicativa nuestro grupo se propuso desarrollar einvestigar a la agroindustrias azucarera “SANJACINTO S.A.A”.

Primero, una breve introducción del trabajo adesarrollar.

Segundo, planteamos el problema deinvestigación con los datos, para llegara nuestrosobjetivos utilizamos las funciones aplicadas a lavida real.

Tercero, establecer los objetivos generales yespecíficos.

Cuarto, porque es importante este trabajo deinvestigación, ya que este tema radica en laaplicación de las funciones utilizando lasderivadas para optimizar las funciones productode la modelación matemática.

Quinto, Se plantea las teorías matemáticasnecesarias para fundamentar nuestro proyecto deinvestigación.

Sexto, desarrollo de modelo aplicativo, los pasos yla recolección de datos para esto hallaremos lasfunciones que nos represente cada gráfico.

Para finalizar las conclusiones yrecomendaciones

RESUMEN

PROCESO DE LA ELABORACIÓN DE AZÚCAR

LABORES DE CAMPO Y COSECHA PATIOS Y PICADO DE CAÑA

MOLIENDA Y CLARIFICCIÓN

EVAPORACÓN

CRISTALIZACIÓN

CENTRIFUGACIÓN, SECADO Y

ENFRIAMIENTO ENVASE

El azúcar, finalmente es almacenado por lotes de

producción, para su posterior comercialización, de

acuerdo con las normas establecidas en la certificación

ISO 9001:2000. El azúcar es una fuente natural de sabor

para toda clase de productos de panadería, galletería,

chocolatería, dulcería, jugos, alimentos, bebidas y lácteos.

1. INTRODUCCIÓNDesde 1998 la empresa Agroindustrias

“SAN JACINTO S.A.A”se encuentra

ubicada en San Jacinto perteneciente

al Valle Nepeña, del Departamento de

Ancash. Teniendo como principal

Actividad la de Cultivar y Procesar la

Caña de Azúcar, con el objetivo de ser

líder en la Producción de Azúcar y

derivados de la Caña en el Perú, y a la

vez estando a la vanguardia en la

aplicación de tecnologías de última

generación.

Es por esta razón que escogimos a esta

empresa para realizar nuestra

investigación con el objetivo es analizar

las funciones de ingreso, costos totales

y la utilidad de dicha empresa.

2. FORMULACIÓN DEL PROBLEMALa empresa “AGROINDUSTRIA SAN JACINTO” empezó sus

operaciones desde el año 1998 y como precio base de cada bolsa de

50kg fue de s/.77 soles. Sin embargo, la empresa se vio en la

obligación de incrementar el precio de sus productos según

aumenta el costo de vida en el Perú y el aumento de

competitividad en el rubro, esto da lugar al decrecimiento de su

demanda y así mismo sus utilidades.

¿QUE BENEFICIOS NOS BRINDA AL EMPLEAR LAS MATEMÁTICAS

PARA LOS CALCULOS DE LAS GANANCIAS DE UNA EMPRESA EN LA

VIDA REAL?

Para llegar a esta respuesta vamos a utilizar las funciones aplicadas a

la vida real. Entonces tomando a la empresa “AGROINDUSTRIA SAN

JACINTO” como ejemplo de nuestro trabajo y utilizando los modelos

Matemáticos obtendremos las funciones Ingreso, Costos Total y las

Utilidades. Para esto vamos a evaluar desde el año 1998 hasta 2011.De

esto tenemos el problema de, ¿Qué acciones debería de tomar la

empresa para no ver afectadas sus utilidades?, ¿cuál será una ganancia

optima, para la empresa en el 2013- 2014?

3. OBJETIVOS

Objetivo General:

Aplicar las funciones, en la obtención

de una utilidad óptima de la empresa

“AGROINDUSTRIA SAN JACINTO”.

Objetivos Específicos:

Modelar las funciones costo total, el

ingreso y la utilidad de la empresa de

azúcar “AGROINDUSTRIAS SAN

JACINTO”

Relacionar la demanda con las

funciones de ingreso, costo y utilidad.

usar algunos criterios de derivada

para optimizar las funciones de

ingreso, costo y utilidad.

4.JUSTIFICACIÓN¿Por qué realizamos esta investigación?

Realizamos esta investigación para

obtener conocimientos básicos de los

modelos matemáticos aplicados en una

empresa tal como es los ingresos , costos

y las ganancias de la empresa

AGROINDUSTRIAS SAN JACINTO.

Además aplicaremos las reglas de

derivación en la función resultante a partir

del modelo matemático, esto lo

explicaremos en un lenguaje matemático

sencillo y entendible .

5.FUNDAMENTO TEORICOMODELOS DE LAS FUNCIONES DE COSTO,

INGRESO Y GANANCIAS

C(x) = mx + b

Costo Total = Costos Variables + Costos Fijos

Ingreso Total = (Precio por unidad)(N de unidades vendidas)

Costo total

Ingreso total

I(x) = Px

Utilidad

Ganancia = Ingreso total - Costo total

U(x) = Px-(mx + b)

Modelos de demanda y oferta

Una función (de) demanda

expresa la demanda q (el número

de artículos solicitados) como

una función del precio unidad p

(el precio por artículo). Una

función de oferta expresa la

oferta q (el número de artículos

un proveedor está dispuesto a

llevar al mercado) como una

función del precio unidad p (el

precio por articulo). Es

normalmente el caso que la

demanda disminuye y la oferta

sube a medida que el precio

sube.

La demanda y oferta son iguales

debe de estar en equilibrio, esto

ocurre cuando son iguales.

MARCO TEÓRICO.

Función: es la descripción de la relación que existe entrelos elementos de dos conjuntos.

Definición algebraicaDefinición geométrica

Definición derivada

6. DESARROLLO DE MODELO APLICATIVO

cómo se realizó la investigación?

Realizamos esta investigación con la iniciativa de uno

de nuestros compañeros de clase, quien años atrás

realizo una labor en la empresa “SAN JACINTO

S.A.A”.

Etapas y recolección de datos

Primera etapa: nos informamos e investigamos en la

biblioteca de la universidad como también en internet

para poder fortalecer nuestro tema propuesto por el

profesor.

Segunda etapa: Luego para continuar con nuestra

investigación teníamos que encontrar a una empresa

que nos pueda generar información en la parte de sus

ingresos y costos para poder expresar una función de

demanda, utilidad y punto de equilibrio.

Tercera etapa: expresamos los datos recolectados en

una función y es aplicable para nuestro proyecto

aplicativo.

Por ultimo analizamos y comprobamos la ecuación en

los valores dados

Toma de datos

• Costo variable: este costo varía por cada año de

producción de sacos de azúcar en la industria azucarera

“SAN JACINTO”.

• Costo fijo: este costo no varía en cada año producido cierta

cantidad de sacos de azúcar.

mano de obra

máquinas y

equipo

insumos

Costo variable: Varia por caca año

gastos

administrativos 120000

costo de ventas 48756

gasto de venta 54000

depreciación de

máquina y equipo 17280

pago de luz y

agua 11520

mantenimiento 43200

costo fijo 294756

Datos

AÑOCANTID

ADPRECIO # AÑO

DEMAN

DA

INGRES

O

TOTAL

POR

AÑO(S/.)

COSTO

TOTAL(

S/.)

1998 0.667 77 0 18 51.359 43.725

1999 1.029 77 1 27 79.233 76.682

2000 1.160 78 2 47 90.48 77.567

2001 1.360 78 3 58 106.08 86.634

2002 1.538 79 4 58 121.502 92.685

2003 1.540 79 5 58 121.66 91.898

2004 1.503 80 5 55 120.24 89.689

2005 1.031 82 7 52 84.542 78.764

2006 1.204 81 8 49 97.524 79.127

2007 1.237 81 9 49 100.197 80.598

2008 1.345 82 10 38 110.29 85.678

2009 1.295 82 11 34 106.19 83.562

2010 1.435 81 12 32 116.235 87.895

2011 1.496 82 13 28 122.672 90.145

2012 1.502 82 14 30 123.164 90.358

Gráficas y funciones

• Hallando la función costo total(Cx)

y = 0.261x3 - 0.399x2 + 76.621x - 35.842

0.000

20.000

40.000

60.000

80.000

100.000

120.000

costo total

costo total

Polinómica (costo total)

cantidadcosto

total

0.667 43.725

1.029 71.682

1.16 89.567

1.36 97.634

1.538 106.685

1.54 105.98

1.503 107.689

1.031 77.564

1.204 91.127

1.237 93.598

1.345 98.678

1.295 94.562

1.435 107.895

1.496 109.145

1.502 112.358

A partir del grafico se tiene:

Dónde:

𝑥: Representa la cantidad de azúcar producida de 50

Kg (saco) en un determinado año.

𝐶 𝑥 : Función costo total

𝒚 = 𝑪 𝒙 = 𝟎. 𝟐𝟔𝟏𝒙𝟑 − 𝟎. 𝟑𝟗𝟗𝒙𝟐 + 𝟕𝟔. 𝟔𝟐𝟏𝒙 − 𝟑𝟓. 𝟖𝟒𝟐

Hallando la función ingreso del producto

y = -0.0288x2 + 0.8531x + 75.62

76

77

78

79

80

81

82

83

0 5 10 15 20

precio

precio

Polinómica (precio)

cantidad precio

0.667 77

1.029 77

1.16 78

1.36 78

1.538 79

1.54 79

1.503 80

1.031 82

1.204 81

1.237 81

1.345 82

1.295 82

1.435 81

1.496 82

1.502 82

A partir del grafico se tiene:

𝒚 = 𝑷(𝒙) = −𝟎. 𝟎𝟐𝟖𝟖𝒙𝟐 + 𝟎. 𝟖𝟓𝟑𝟏𝒙 + 𝟕𝟓. 𝟔𝟐

Dónde:

𝑥: Representa la cantidad producida en un determinado año

𝑃(𝑥): Precio del producto.

Hallando la función ingreso de la empresa 𝐼(𝑥):𝐼(𝑥) = 𝑥𝑃(𝑥)⇒ 𝐼(𝑥) = 𝑥𝑃(𝑥) = 𝑥(−0.0288𝑥2 + 0.8531𝑥 + 75.62)

∴ 𝑰 𝒙 = −𝟎. 𝟎𝟐𝟖𝟖𝒙𝟑 + 𝟎. 𝟖𝟓𝟑𝟏𝒙𝟐 + 𝟕𝟓. 𝟔𝟐𝒙

Hallando la función utilidad de la empresa (𝑼 𝑿 )

Como: 𝑈(𝑥) = 𝐼 𝑥 − 𝐶 𝑥

⇒ 𝑈(𝑥) = −0.0288𝑥3 + 0.8531𝑥2 + 75.62𝑥 − (0.261𝑥3 − 0.399𝑥2 + 76.621𝑥 −

35.842)

∴ 𝑼(𝒙)= −𝟎. 𝟐𝟖𝟖𝒙𝟑 + 𝟏. 𝟐𝟓𝟐𝒙𝟐 − 𝟏. 𝟎𝟖𝒙 + 𝟑𝟓. 𝟖𝟒𝟐

Optimizando la utilidad de la empresa:

Criterio de la primera derivada

𝑼(𝑋)′ = −0.864𝑥2 + 2.504𝑥 − 1.08 = 0

=−2.504 ± (−2.504)2−4(−0.864)(−1.08)

2(−0.288)X

⇒ 𝑥1 = 2.381 ; 𝑥2 = 0.621

Reemplazando:

𝑈(2.381) = −0.288 2.381 3 + 1.252 2.381 2 − 1.08(2.381) + 34.842

∴ 𝑈(2.381)= 36.506

∴ 𝑈(0.621)= 35.521

Criterio de la segunda derivada

𝑈(𝑋)′′ = −1.728𝑥 + 2.504 = 0

𝑥 = 1.44

1.44

0.621 2.381

Graficando la utilidad: a partir de los criterios de primera y

segunda derivada

P.I = 1.44,

35.02

∴ 𝑈(2.381)= 36.506

∴ 𝑈(0.621)= 35.521

RESULTADOS

• En el costo total: 𝐶 𝑥

= 0.261𝑥3 − 0.399𝑥2 + 76.621𝑥 − 35.842𝐶 0.621

= 0.261(0.621)3−0.399 0.621 2

+ 76.621 0.621 − 35.842 = 44.08𝐶 2.381

= 0.261(2.381)3−0.399 2.381 2

+ 76.621 2.381 − 35.842 = 112.465

En el ingreso: 𝐼 𝑥 = −0.0288𝑥3 + 0.8531𝑥2 + 75.62𝑥

𝐼(0.621) = −0.0288 0.621 3 +

0.8531 0.621 2 + 75.62 0.621 = 52.381𝐼(2.381)= −0.0288 2.381 3 + 0.8531 2.381 2

+ 75.62 2.381 = 163.0.226

CONCLUSIONES

• Según los resultados obtenidos la

empresa tendrá ganancias; ya que, el

ingreso es mayor que el costo.

• La grafica de la utilidad muestra que

a largo plazo, la empresa va a tener

pérdidas.

• La empresa ha ido mejorando sus

ingresos, con ello sus utilidades, al

transcurrir el tiempo.

• Los resultados muestran que la

empresa, tiene eficiencia

administrativa; ya que en sus años de

vida no ha obtenido perdidas.

RECOMENDACIONES

• A la empresa, se le sugiere cambiar sus modos de

producción, con respecto a su eficiencia; ya que, según la

gráfica de la utilidad, con el tiempo; llegara a obtener

perdidas.

• La empresa tiene que minimizar sus costos de

producción para que la utilidad a largo plazo sea mayor.

• La empresa tiene que modificar o cambiar, procesos que

le generan perdidas

• A la empresa se le sugiera identificar el cuello de botella.