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ANÁLISIS DEL USO DEL CONCEPTO DE DERIVADA POR ESTUDIANTES
UNIVERSITARIOS EN EL ESTUDIO DE CONCEPTOS ECONÓMICOS
Ángel Luis Ariza Jiménez
DEPARTAMENTO DE INNOVACIÓN Y FORMACIÓN DIDÁCTICA
ANÁLISIS DEL USO DEL CONCEPTO DE DERIVADA POR ESTUDIANTES
UNIVERSITARIOS EN EL ESTUDIO DE CONCEPTOS ECONÓMICOS
TESIS DOCTORAL
ÁNGEL LUIS ARIZA JIMÉNEZ
ALICANTE, Octubre 2014
ANÁLISIS DEL USO DEL CONCEPTO DE DERIVADA POR ESTUDIANTES
UNIVERSITARIOS EN EL ESTUDIO DE CONCEPTOS ECONÓMICOS
Memoria que presenta D. Ángel Luis Ariza Jiménez
para optar al grado de doctor
Fdo.: Ángel Luis Ariza Jiménez
Trabajo realizado bajo la dirección del Dr. Salvador Llinares Ciscar
Fdo.: Dr. Salvador Llinares Ciscar
Alicante, Octubre de 2014
AGRADECIMIENTOS En primer lugar, quería agradecer al Dr. Salvador Llinares Ciscar, director de
esta tesis, el haberme brindado la oportunidad de realizar una investigación didáctica
enfocada al aprendizaje de la Economía. Gracias también por toda la formación,
contribuciones y comentarios relacionados con la Didáctica de la Matemática, y que han
permitido que este trabajo interdisciplinar entre Matemáticas y Economía sea posible.
Gracias también a todos los componentes del Grupo de Investigación de
Didáctica de la Matemática de la Universidad de Alicante por sus contribuciones en los
distintos seminarios, incluidos los profesores de la Universidad Politécnica de Valencia
por sus aportaciones de la teoría fuzzy. Mi especial agradecimiento a la Dra. Julia Valls,
ya que desde su implicación esta tesis comenzó a ver la luz.
Gracias al Dr. Erno Lehtinen y la Dra. Kaarina Merenluoto de la Facultad de
Educación de la Universidad de Turku (Finlandia), por acogerme en su universidad
durante mi estancia de tres meses en los inicios de esta tesis.
Gracias de igual manera a la Dra. Kerstin Pettersson del Departamento de
Matemáticas y Ciencias de la Educación de la Universidad de Estocolmo (Suecia) por
su colaboración, tiempo y paciencia dedicados en este trabajo para ella desconocido.
Gracias también a la profesora Eva Melby por sus contribuciones en las dudas
relacionadas con la traducción al idioma inglés.
Gracias a mis alumnos matriculados en la materia de Microeconomía durante los
cursos 2010/11 y 2011/12 de la Escuela de Empresariales de la Universidad de Alicante
que participaron en los cuestionarios y las entrevistas.
Y en especial, gracias a Maribel por su apoyo en los momentos más delicados y
difíciles, por soportar tardes y fines de semana dedicados a esta tesis, sin su apoyo no
hubiera sido posible. Relacionado con ella y por último, quiero dedicar esta tesis a
nuestra hija Manuela, cuya existencia me ha dado la ilusión necesaria para poder
finalizar este arduo trabajo, justo en el mismo momento en el que yo le regalo la vida.
ÍNDICE Ángel Ariza Jiménez
i
ÍNDICE
INTRODUCTION…………………………………………………………………
CAPÍTULO 1. PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN……………………………..
1.1. Modelización y contextualización……………………………………………
1.2. La relación entre los conceptos matemáticos y económicos: uso de
diferentes registros…………………………………………………………...
1.2.1. Contextualización económica de modelos matemáticos………………
1.2.2. El uso de diferentes registros en los conceptos matemáticos y
económicos ……………………………………………………………
1.2.2.1. El uso de diferentes registros en los conceptos
matemáticos………………………………………………….
1.2.2.2. El uso de diferentes registros en los conceptos
económicos…………………………………………………..
1.3. La noción de derivada en los contextos de Economía……………………….
1.3.1.Concepto de límite y cociente incremental…………………………….
1.3.2. El concepto de derivada: relación con los conceptos económicos y su
aplicación con diferentes registros……..................................................
1.3.3. Elementos matemáticos del concepto de cambio instrumentalizado a
través de la derivada y aplicado en conceptos
económicos…………………………………………………………….
1.3.4.Conceptos económicos vinculados al concepto de derivada…………..
CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO……………………………………………….
2.1. Teoría sobre los registros de representación de Duval………………………
2.2. Teoría APOE de Dubinsky………………………………………………….
2.2.1. Descomposición genética: formas de conocer y mecanismos de
construcción...………………………………………………………….
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ÍNDICE Ángel Ariza Jiménez
ii
2.3. Propuesta de descomposición genética. ……………………………………..
2.3.1. Elementos del esquema la relación función-derivada en los conceptos
económicos……………………………………………………………
2.3.2. Hipótesis previas sobre el desarrollo de la comprensión del esquema
de la relación función-derivada en conceptos económicos…………...
2.4. Niveles de desarrollo del esquema…………………………………………...
2.5. Preguntas de investigación…………………………………………………...
CAPÍTULO 3. DISEÑO DE INVESTIGACIÓN………………………………….
3.1. Participantes y contexto……………………………………………………...
3.2. Instrumentos de recogida de datos. Diseño e implementación………………
3.2.1.Cuestionario…………………………………………………………...
3.2.1.1 Las tareas del cuestionario………………………….................
3.2.2. Entrevista……………………………………………………………...
3.3. Análisis………………………………………………………………………
3.3.1.Etapa 1. Puntuación………………………………………………….
3.3.2. Etapa 2. Aplicación de la métrica fuzzy para identificar niveles de
desarrollo del esquema de la relación función-derivada en conceptos
económicos. Asignación de niveles de desarrollo…………………...
3.3.2.1 La teoría fuzzy……………………………………................
3.3.2.2 Identificación de los niveles de desarrollo del esquema de la
relación función-derivada en conceptos económicos a través
de la técnica fuzzy…………………………………………..
3.3.2.3 Grado de desarrollo del esquema de la relación función-
derivada en conceptos económicos. Asignación de niveles
de desarrollo…………………………………………………
CAPÍTULO 4. RESULTADOS…………………………………………………...
4.1. Características de los niveles de desarrollo del esquema de la relación
función-derivada en el uso de conceptos económicos………………………
4.1.1.Características del nivel INTRA de desarrollo del esquema la
relación función-derivada en el uso de conceptos económicos.………
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ÍNDICE Ángel Ariza Jiménez
iii
4.1.2.Características del nivel INTER de desarrollo del esquema de la
relación función-derivada en el uso de conceptos económicos……….
4.1.3.Características del nivel TRANS de desarrollo del esquema de la
relación función-derivada en el uso de conceptos económicos.………
4.2.Límite entre niveles: trayectoria sugerida de cambio de nivel………………..
4.2.1 Características de alumnos con medidas fuzzy en el límite entre
niveles…………………………………………………………………
4.2.2 Trayectoria sugerida de cambio de nivel ………………………………
4.3.Tematización del Esquema……………………………………………………
4.3.1. Dificultades en identificar las relaciones función – derivada en
nuevos conceptos económicos presentados en forma cóncava…..........
4.3.2. Característica del esquema de la relación función-derivada en
conceptos económicos: identificar las relaciones función – derivada
en nuevos conceptos económicos, independientemente del tipo de
convexidad…….....................................................................................
CHAPTER 5. DISCUSSION AND CONCLUSIONS…………………………….
5.1. Contributions of the research. Relations with other theoretical perspectives...
5.2. About the thematization of the schema ……………………………………....
5.3. Fuzzy technique: some limitations…………………………………………….
5.4. Implications for further studies………………………………………………..
REFERENCIAS……………………………………………………………………
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Introducción Ángel Luis Ariza Jiménez
- 1 -
INTRODUCTION
Understanding economic concepts necessarily involves mastering the
mathematical concepts and skills on which they are based. In this context, the
mathematical relationship between a function and its derivative is not only implicit in
many economic concepts, but is also one of the most important mathematical
relationships in the study of economics.
Several economic concepts are based on this relationship, such as the demand
curve (function) and the concept of price elasticity of demand (derivative), the total
product (function) and marginal product (derivative), the total cost (function) and
marginal cost (derivative) and the indifference curve (function) and marginal rate of
substitution (derivative). These concepts are involved in the notions of growth,
contraction, concavity and convexity that are inherent in the relationship between a
function and its derivative. In particular, understanding the relationship between a
function and its derivative is essential to make sense of the marginal analysis on which
these economic concepts are based.
This thus raises the need to characterise the role of understanding the function-
derivative relationship in learning these economic concepts. The aim of the research
presented here was to contribute information on this aspect. Given this goal, we
proposed the following research question at the bottom of the first chapter:
• What are the characteristics of microeconomics students' understanding of the
function-derivative relationship when learning economic concepts?
In the second chapter, in order to attempt to answer this research question, we
adopted a cognitive approach to elucidate the role that mathematical concepts play in
Introducción Ángel Luis Ariza Jiménez
- 2 -
learning economic concepts, based on the theoretical frameworks given by Duval and
Piaget. For Duval (1995), access to mathematical knowledge is achieved through the
use of a variety of representation registers. By representation registers, we refer to a
system of symbols employed to represent a mathematical idea or object that allows two
actions: transformation within the same register - treatment - and conversion, which is a
total or partial transformation to another register. Moreover, a key idea from a cognitive
perspective of knowledge construction is the concept of the schema, understood as the
way in which students relate and organise knowledge. Piaget and Garcia (1983-1989)
defined a schema as a coherent set of processes, objects and other schemata which is
developed in three stages: Intra, Inter and Trans. These stages are characterised by the
ability of students to establish relationships between the elements which constitute
ideas. As a means to operationalise this theoretical perspective, Dubinsky (1991) and
colleagues (Arnon et al., 2014) defined the genetic decomposition of a concept as a
structured set of mental constructs that describes how the concept is acquired in the
mind of an individual. Genetic decomposition must be understood as a hypothetical
route through which a student can come to understand the concept. In this study, we
proposed a genetic decomposition of the relationship between a function and its
derivative in the use of economic concepts, based on the results of research on how
students develop an understanding of this relationship. We broke this genetic
decomposition down into 12 elements organised into three nested schemata.
In the third chapter, we describe the methodology followed. Thus, study
participants consisted of 110 students enrolled in the optional subject of
"Microeconomics" offered on the Degree in Business Studies at the University of
Alicante. All participants had previously studied the subjects of Mathematics and
Economics I, and were thus familiar with the calculation of derivatives, integrals and
partial derivatives in economic concepts. Data collection instruments consisted of a
questionnaire comprising 5 tasks with 12 items related to economic concepts in which
the derivative appeared implicitly or explicitly; subsequently, 25 students were
interviewed using semi-structured clinical interviews. Each of the questionnaire items
corresponded to one of the elements of the proposed genetic decomposition
Analysis of the answers was conducted in two stages. In the first stage, the
answers to the questionnaire (and responses in the interview if students had been
interviewed) were scored according to the elements and relationships used to solve tasks
Introducción Ángel Luis Ariza Jiménez
- 3 -
and the explanations given during the interview. The score assigned referred to the
degree of acquisition of the corresponding element in each item. We established five
levels of acquisition (0, 0.25, 0.5, 0.75, 1) for each element considered in the genetic
decomposition of the function-derivative relationship schema in learning economic
concepts. This procedure allowed us to assign each student a tuple of 12 values. In the
second stage, we used fuzzy logic to identify different levels of acquisition of the
function-derivative relationship schema in economic contexts. The fuzzy technique was
selected in order to overcome the limitations involved in assigning students to different
levels of schema acquisition using qualitative analysis. The concepts of fuzzy set and
fuzzy topology (Chang, 1968; Zadeh, 1965) provide a new approach to characterise the
extent of understanding. A fuzzy set is defined by assigning an interval value [0, 1] to
each element of a universe of reference. This value represents the degree of belonging
to that set. This notion introduces the notion of "blurriness" to the idea of belonging to a
set, and can model many real phenomena in which objects do not have a defined
membership criterion. In the present study, the membership function indicated the
extent to which a student had acquired the function-derivative relationship schema in
learning economic concepts, considering the means by which a set of Microeconomics
problems had been solved. To obtain the membership function, we used the notion of
fuzzy metric space described by George and Veeramani (1994), considering the
standard fuzzy metric induced by the Euclidean metric d, of the set X, which is given by
the formula
( )yxdtt
tyxFd ,),,(:
+=
.
This definition means that the fuzzy metric value depends on a contextual
parameter "t", which allows consideration of the uncertainty that characterises the
context of the analysis. The value of t was determined in various stages. Firstly, we
assumed that a student Q, with zero in all elements of the schema, should obtain a
degree of membership score less than or equal to 0.25. This assumption is supported by
the fact that all student participants had demonstrated some knowledge of the necessary
prerequisites for solving the problems. Secondly, once the degree of membership of the
student Q had been established, we obtained a value of "t" for each of the fuzzy sets or
schemata considered (schema 0: from algebraic to graphic, schema 1: meaning and use
Introducción Ángel Luis Ariza Jiménez
- 4 -
of the 1st derivative, and schema 2: meaning and use of the 2nd derivative) (t = 0.66).
From this value of the parameter “t”, each student was assigned a fuzzy score or
distance in each schema, where the fuzzy distance of schema 2 (which integrated the
previous two) would correspond to a given level of acquisition of the function-
derivative relationship schema in economic concepts.
From the conceptual description of the INTRA level, we know that students at
this level do not establish relationships between schema elements, whereas at the
INTER level, they begin to establish relationships between these elements and to
construct the meaning of the relationship between a function and its derivative in the
graphic register. In this case, a student at the INTER level would be able to use the
concept of the 1st derivative in the graphic register and coordinate it with the algebraic
register, for both linear and nonlinear functions. Meanwhile, a student at the TRANS
level would consider the relationship of the concept of the 2nd derivative, which would
enable him or her to pass from the derivative of a function at a point to the derivative of
a (concave or convex) function and explain how to use the meaning of the
concavity/convexity of the economic function. Given this conceptual analysis, two
fuzzy scores were determined as boundary points between the intra-inter levels (Fd =
0.27) and the inter-trans levels (Fd = 0.36).
In the fourth chapter, the analysis procedure employed enabled us to assign a
fuzzy score to each student, which in turn allowed us to characterise the degree of
acquisition of the function-derivative relationship in learning economic concepts
schema
LEVEL Number of students %
INTRA: Fd < 0.27 72 64.45
INTER: 0.27 ≤Fd <0.36 33 30.00
TRANS: 0.36 ≤ Fd 5 4.55
TOTAL 110 100
As the following table shows, some student characteristics can be identified in
each level.
Introducción Ángel Luis Ariza Jiménez
- 5 -
Levels Characteristics
INTRA
• Students can calculate average rates of change between two points and at one
point or estimate the limit using the concept of elasticity in the algebraic
register.
• Students can perform conversions of linear and nonlinear economic functions
from the algebraic to the graphic register.
• Students can only establish relationships between a function and its
derivative in the algebraic register.
INTER
• Students can perform conversions of linear and nonlinear economic
functions from the graphic to the algebraic register.
• Students can establish relationships between a function and its derivative in
the graphic register.
• Students can use the concept of the 2nd derivative in the algebraic
register.
TRANS • Students can use the concept of the 2nd derivative in the algebraic register
and can apply the meaning of concavity/convexity.
By observing the answers to the questionnaire and interviews of the students
assigned close to the boundary points we suggest a hypothetical path of level change.
Thus, in order to be assigned to INTER level, a student from INTRA level has to be
able to:
- Carry out conversions from the graphic to the algebraic register.
- Establish relationships between a function and its derivative in the graphic register.
- Calculate the value of the second derivative in the algebraic register.
In order to be assigned to TRANS level, a student from INTER level has to be
able to:
- Apply the meaning of concavity/convexity by using the second derivative in the
algebraic register.
Finally, one student from the TRANS level thematised the relationships between
the function and its derivative. He reached a higher level of acquisition of the schema,
above TRANS level. This student was able to identify the relationship function –
Introducción Ángel Luis Ariza Jiménez
- 6 -
derivative in new economic concepts independently of which type of convexity function
it was.
In the fifth chapter, we summarise the conclusions of our research and discuss
our results. This chapter is divided into three parts. In the first part, we emphasise what
our research has contributed. In the second part, we point out some ideas related to
thematisation. In the third part, we show some limitations of the fuzzy technique and in
the fourth part we suggest some implications for further studies.
Finally in the Appendix we show three issues. The first one shows the initial
scripts of the interview in every item of the questionnaire. The second issue shows some
examples of students´ answers of each score in each item. And finally we show the
score of each student in each item and their fuzzy measure in every schema.
1. Problema de Investigación Ángel Luis Ariza Jiménez
- 7 -
CAPÍTULO 1. PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN
Nuestra investigación tiene como objetivo describir la relación entre los
conceptos matemáticos y los económicos cuando se resuelven problemas de economía.
El uso de los significados de la idea de derivada en la resolución de problemas de
economía puede ser entendido como un tipo de contextualización de los conceptos
matemáticos usados para construir los conceptos económicos que permiten entender
parte de la realidad económica. Por ello, en este capítulo describimos en un primer
apartado la importancia de la modelización y contextualización en educación
matemática y su aplicación en otras ciencias. Posteriormente, presentamos tres
temáticas de investigación relevantes para comprender las investigaciones sobre la
comprensión de los conceptos económicos y su relación con la comprensión de los
conceptos matemáticos. En primer lugar, describimos algunas investigaciones que han
puesto de manifiesto la interrelación entre los conceptos económicos y matemáticos y
de otras disciplinas científicas. Segundo, describimos algunas investigaciones que
analizan la relevancia de la utilización de diferentes sistemas de representación en el
aprendizaje. Finalmente, nos centramos en investigaciones que han analizado el
concepto de derivada como límite del cociente incremental y su relación con conceptos
económicos considerando los diferentes sistemas de representación.
1. Problema de Investigación Ángel Luis Ariza Jiménez
- 8 -
1.1. Modelización y contextualización
Gran número de disciplinas se apoyan en los conceptos matemáticos para
modelizar sus objetos de estudio (Blum, Galbraith, Henn, y Niss, 2007). En particular,
algunos estudios consideran que la enseñanza de las nociones específicas de la
Economía debería ser vista como procesos de modelización de las variables y relaciones
usando para ello los conceptos matemáticos. Esta situación plantea dos ámbitos de
atención diferentes. Por una parte, los procesos de contextualización en la enseñanza de
las matemáticas, y por otra parte, de qué manera algunas Ciencias Sociales reconocen
en su enseñanza que algunas de sus nociones específicas son modelos matemáticos.
Desde la perspectiva de las matemáticas, el papel de la contextualización de las
matemáticas fue analizado por De Lange (1987) en su libro “Mathematics insight and
meaning”. En él, establece tres usos diferentes de la contextualización en la enseñanza
de las matemáticas. Considera un “Uso de tercer orden” cuando se usa un contexto
determinado para introducir un concepto matemático, y donde la contextualización
adquiere un papel menos relevante. Denomina “uso de segundo orden” cuando la
contextualización se basa en la utilización de problemas de la vida real, en los que se
espera que los estudiantes encuentren los instrumentos matemáticos necesarios para
organizar y resolver el problema. Finalmente, considera que se realiza un “uso de
primer orden” cuando las operaciones matemáticas están integradas en contextos. De
Lange (1987) afirma que la contextualización produce una mayor motivación en los
estudiantes. Sin embargo, enumera una serie de consejos para que no sea utilizada de
forma excesiva, pues en tal caso podría no ser efectiva e incluso resultar desmotivadora
para los estudiantes. Entre dichos consejos indica que no deberían utilizarse contextos
emocionales (guerra, enfermedades, ética…), ni contextos artificiales, ni contextos
demasiado neutrales.
En su análisis del papel de la contextualización de las matemáticas, De Lange
distingue tres modos diferentes de aproximación a los contenidos matemáticos. El modo
empirista que se caracteriza por focalizar la atención en actividades del entorno más que
en operaciones mentales. El modo estructuralista y mecanicista que se caracteriza por
ser un sistema de reglas que les son dadas a los estudiantes, los cuales las verifican y
aplican en problemas similares a los ejemplos previos. Por último, el modo realista o
realístico que es un híbrido de los anteriores, prestando una especial atención tanto al
1. Problema de Investigación Ángel Luis Ariza Jiménez
- 9 -
modo empirista (al que también llama matematización horizontal) como al modo
estructuralista o mecanicista (que denomina matematización vertical).
La distinción entre matemáticas puras y matemáticas aplicadas dada por De
Lange (1987) es relevante aquí dada la temática de nuestra investigación (interrelación
entre un concepto matemático y su uso en otra ciencia social). Según De Lange, el
currículo debería presentar un equilibrio entre ambas concepciones, aunque siempre ha
habido partidarios de incluir matemáticas puras solamente y otros que consideran que
las matemáticas aplicadas son necesarias. El concepto de matemáticas aplicadas, si bien
tiene varias acepciones, se refiere a la idea de hacer matemáticas a través de una
interpretación o modelo ante una situación de la vida real correspondiente a otro campo
o disciplina. Esa otra disciplina puede englobar las ciencias físicas, la biología, ciencias
sociales, estudios empresariales, etc. En el currículo de los diferentes países a lo largo
de los últimos 50 años se han ido introduciendo cada vez más aspectos relacionados con
las matemáticas aplicadas. Numerosos autores como Lesh, Landau y Hamilton (1983)
creen en la aplicación de las matemáticas como herramienta para la solución de
problemas, no solamente cuando el aprendizaje del concepto matemático se ha llevado a
cabo, sino también como contexto con el cual el aprendizaje de las ideas matemáticas
tiene lugar.
Otra distinción que resalta De Lange (1987) en el aprendizaje de las matemáticas
se da entre el entendimiento analógico de las matemáticas y el entendimiento analítico.
El primero está basado en la intuición siendo el uso de símbolos estructurales abstractos
bastante reducido; por su parte, en el analítico predomina el uso de símbolos, y aparece
en una etapa más tardía. Para apoyar sus indicaciones, el autor recoge el experimento
realizado en 40 escuelas de secundaria holandesas por el cual se estableció una
asignatura de matemáticas bajo las características de matemáticas aplicadas. Más de un
80% de los alumnos participantes acogieron positivamente la nueva metodología, y
afirmaron sentirse más preparados no solo para afrontar problemas de matemáticas sino
también de otras asignaturas como biología o economía. Sin embargo, los alumnos
también afirmaron que solamente los profesores más jóvenes estarían dispuestos a
enfocar la enseñanza de las matemáticas desde esta perspectiva contextualizada en
situaciones reales.
Por otra parte y desde la perspectiva de la modelización, Blomoj (2004) aporta
una caracterización de la modelización que consiste en 6 sub-procesos:
1. Problema de Investigación Ángel Luis Ariza Jiménez
- 10 -
- formulación del problema
- sistematización o definición de relaciones
- traducción al lenguaje matemático
- uso de métodos matemáticos para llegar a conclusiones
- interpretación de los resultados
- evaluación del modelo por comparación con otros datos
Elegir las actividades de modelización es un elemento crucial para potenciar el
papel de la modelización en el uso de los conceptos matemáticos para entender y
manejar las situaciones. Blomoj (2004) ilustró este marco de referencia con un ejemplo
en el que estudiantes daneses de octavo grado trabajaron con modelización de
fenómenos reales relativos a su propia existencia, en un proyecto llamado Mañanas
matemáticas. El proyecto consistía en que los estudiantes tenían que modelizar
matemáticamente algún hecho que les ocurriera en sus vidas todas las mañanas. El
proyecto generó resultados interesantes y el nivel de compromiso de los estudiantes fue
alto, dedicaron mucho tiempo en asuntos prácticos, se ayudaron e inspiraron entre ellos
realizando cálculos y representaciones gráficas variadas. El autor completa su trabajo
con tres argumentos a favor de la modelización matemática como elemento central en la
enseñanza de la matemática desde edades tempranas:
- la modelización matemática tiende puentes entre la experiencia de la vida
diaria de los alumnos y la matemática
- en el desarrollo de sociedades altamente tecnológicas las competencias para
analizar modelos matemáticos son de vital importancia
- los modelos matemáticos de distinto tipo y complejidad están jugando roles
importantes en el funcionamiento de sociedades basadas en la alta tecnología
Por último, indica que la teoría puede ser una herramienta para la práctica de la
enseñanza de la modelización matemática, ya que:
- los alumnos encuentran motivador y relevante trabajar con problemas reales
- los contextos construidos para la enseñanza pueden dar soporte para la
construcción de significados
1. Problema de Investigación Ángel Luis Ariza Jiménez
- 11 -
- el conocimiento matemático no es un prerrequisito para las actividades de
modelización
La importancia de la contextualización y la modelización queda también
reflejada en otras investigaciones. Por ejemplo, Gaigher, Rogan y Braun (2007)
mostraron en una investigación realizada en 16 escuelas sudafricanas que los
estudiantes a los que previamente se les exponía en matemáticas una estrategia
estructurada de resolución de problemas alcanzaban una mejor compresión de conceptos
en física, y tendían a utilizar este acercamiento conceptual en la resolución de
problemas. Por su parte, Lesh y Harel (2003) llegaron a la conclusión de que si los
problemas eran presentados a través de la modelización de situaciones reales conocidas
los estudiantes eran capaces de inventar, modificar o ampliar construcciones
matemáticas más sofisticadas que aquellas que se utilizan en los libros de texto y en los
procesos de enseñanza tradicionales y que habían sido incapaces de comprender o
aplicar con anterioridad.
La importancia de contextualizar las tareas-problemas que se usan en la
enseñanza es subrayada por Valverde y Castro (2006) al analizar el papel que juega en
el fomento de la competencia matemática. En su investigación estudian cómo los
estudiantes pueden usar conceptos matemáticos al manejar situaciones en las que este
concepto puede ser útil para modelizar. Los autores se centraron en el tópico de la
proporcionalidad para analizar cómo se desarrollaban las competencias matemáticas
mediante la contextualización en situaciones reales. La competencia matemática a la
que se refieren considera la capacidad de plantear, resolver e interpretar problemas
empleando las matemáticas dentro de una variedad de contextos y situaciones, los
cuales van desde los puramente matemáticos a aquellos que no presentan ninguna
estructura matemática aparente. Así, un estudiante habrá comprendido un cierto
contenido matemático cuando lo aplique eficazmente en la resolución de problemas. La
necesidad de estimular la competencia matemática para responder a las exigencias de un
mundo globalizado, inestable y cargado de información conlleva la búsqueda de
opciones concretas, y una de ellas es la inclusión en el currículo de tales tareas-
problemas contextualizadas que permitan acercar las matemáticas del aula y las
matemáticas del entorno. Esta investigación plantea la relación entre la modelización de
una situación mediante un concepto matemático y la comprensión de dicho concepto.
En cierta medida el énfasis en el uso de situaciones contextualizadas indica que el
1. Problema de Investigación Ángel Luis Ariza Jiménez
- 12 -
objetivo es el desarrollo de la comprensión del concepto matemático, y no tanto el
desarrollo de la competencia de modelizar. Lo que justifica esta aproximación es que, el
concepto de la proporcionalidad en el que basan su trabajo, está relacionado con muchos
otros contenidos matemáticos y con contenidos de otras materias como Física, Química,
Biología, y en las Ciencias Sociales. Los resultados obtenidos indican que el estudiante
puede llegar a ser capaz de usar ese concepto de una manera eficaz en una situación
problemática particular. Desde la misma perspectiva, en la investigación de Roig
(Llinares y Roig, 2008) analizan cómo estudiantes de educación secundaria construyen
y usan los conceptos matemáticos como modelos conceptuales (herramientas) cuando
resuelven problemas. En esta investigación se identificaron cuatro niveles de desarrollo
en la construcción y uso de los modelos matemáticos (conceptos) en los estudiantes
cuando resolvían los problemas. Una de las características en el proceso de construcción
y uso de los modelos matemáticos fue la interacción entre identificar lo general en lo
particular y en usar lo particular en dotar de sentido a lo general. Los resultados de esta
investigación proporcionaron implicaciones relativas al uso por parte de los estudiantes
de los conceptos matemáticos como herramientas conceptuales (modelos) en relación al
desarrollo de la competencia matemática.
Otra perspectiva diferente es la que utilizaron Ortiz y Dos Santos (2011), los
cuales se centraron en el proceso de modelización matemática seguido en la resolución
de problemas del mundo físico y social con un grupo de cinco estudiantes del primer
año de educación secundaria. El estudio se basa en los procesos seguidos y en las
representaciones utilizadas en las que los estudiantes tienden a la estructuración de
respuestas numéricas con las unidades de medidas y de representaciones verbales, y se
observó ausencia de representaciones gráficas en los procedimientos seguidos en la
resolución de problemas, lo cual se justifica porque los profesores no suelen utilizar
diferentes sistemas de representación de un mismo concepto. Los resultados obtenidos
indican que los participantes tienen un sentido intuitivo de la modelización, el cual
podría potenciarse con un profesor que posea una preparación adecuada y utilice
estrategias de modelización en el aula de matemáticas
Font y Ramos (2005) estudiaron el caso de la contextualización del concepto de
función en estudiantes de primer curso de Ciencias Económicas y Empresariales
matriculados en la materia de “Introducción a la Matemática”. Sus resultados indican
que, a pesar de la buena disposición de los docentes a contextualizar el concepto de
1. Problema de Investigación Ángel Luis Ariza Jiménez
- 13 -
función en determinados conceptos económicos, la mayoría de las veces se abusaba de
una enseñanza excesivamente formalista. Esta situación generaba dificultades y
obstáculos a la hora de que los alumnos contextualizaran al ámbito de la Economía las
características aprehendidas sobre el concepto de función.
Por último, Salas (2011) describe a través de ejemplos el papel que juega el
proceso de la modelización y la contextualización activa, dentro de las estrategias
metodológicas que deben ser utilizadas por el docente para lograr un aprendizaje que
perdure en el tiempo. El estudio presenta dos ejemplos de cómo se puede impartir una
lección de matemáticas utilizando como estrategia metodológica la modelización. Los
resultados obtenidos indican que el uso de estas estrategias permiten fomentar actitudes
como aumentar la confianza en relación a la utilidad de las matemáticas, una mayor
participación activa y colaborativa de los estudiantes, y un mayor respeto y disfrute
hacia las matemáticas.
Desde la perspectiva de las Ciencias Sociales que hacen un uso explícito de
modelos matemáticos, éste es todavía un campo abierto. En la revisión bibliográfica
realizada de los estudios sobre enseñanza y aprendizaje de las disciplina en las Ciencias
Sociales que explicitan modelos matemáticos hemos encontrado pocas investigaciones
relevantes. La investigación que presentamos se puede entender desde la perspectiva de
las Ciencias Sociales que usan explícitamente modelos matemáticos, por lo que abrimos
un campo que consideramos relevante para la enseñanza de la Economía: la importancia
que tiene la comprensión de los conceptos matemáticos que modelizan conceptos
económicos. Por otra parte, también podría entenderse desde la perspectiva de la
contextualización en otras ciencias del aprendizaje de las matemáticas. Un concepto
como la derivada ha de aprehenderse contextualizado, y los conceptos económicos para
entenderse han de utilizar modelos matemáticos para ser entendidos. La investigación
que presentamos pretende resaltar la necesaria interacción entre ambas vertientes
(aprendizaje de elementos matemáticos modelizados en otros contextos y aprendizaje de
elementos económicos modelizados matemáticamente) partiendo de una disciplina de
las ciencias sociales como la microeconomía que utiliza la formulación matemática para
la construcción de sus postulados.
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1.2. La relación entre los conceptos matemáticos y económicos: uso de diferentes
registros
En este apartado analizamos las relaciones entre los conceptos matemáticos y los
conceptos económicos desde la perspectiva de la contextualización y modelización. En
primer lugar, presentamos la relación entre algunos conceptos matemáticos y
económicos, y en segundo lugar describiremos el papel que desempeña el uso de
diferentes registros de representación. Esta segunda revisión la haremos distinguiendo
entre investigaciones basadas en conceptos matemáticos e investigaciones basadas en
conceptos económicos.
La Economía es un campo que necesita apoyarse en la modelización
matemática. Como ciencia, la Economía construye sus postulados, teorías y leyes a
través de la elaboración de modelos matemáticos construidos sobre relaciones entre
variables. Por ejemplo, el modelo clásico de la Oferta y la Demanda no es más que la
modelización de la relación entre estas dos variables económicas a través de ecuaciones
que manifiestan su relación con la variable Precio, generalmente en funciones de tipo
lineal. Por otra parte, durante los últimos años se ha empezado a realizar
investigaciones que analizan la relación entre la comprensión de conceptos económicos
y los conceptos matemáticos utilizados en la construcción de modelos económicos
(Ballard y Jonson, 2004; Cohn, Cohn, Hult, Bradley y Balch, 2000; Hey, 2005).
Algunos de los resultados ponen de manifiesto la importancia de utilizar diferentes
sistemas de representación (algebraico, gráfico y numérico) para ayudar a los
estudiantes a comprender ideas económicas a partir de los conceptos matemáticos que
los articulan.
1.2.1. Contextualización económica de modelos matemáticos
La revisión anterior subraya la importancia que desempeña la contextualización
para cualquier disciplina, y por tanto también para el estudio de conceptos económicos.
Destacamos de la literatura reciente dos investigaciones que analizan la necesidad de
contextualizar la microeconomía en otras disciplinas o contextos. Jill (2003) enfatizó la
importancia de enseñar microeconomía a través de la interdisciplinariedad o relación
con otras disciplinas. Este autor, a través de un experimento basado en la enseñanza de
conceptos económicos como las funciones de oferta y demanda, la elasticidad, el coste
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de oportunidad, la frontera de posibilidades de producción, etc., puso en relación la
microeconomía con la ecología y la filosofía. La explicación de los conceptos
económicos se presentó dentro de un esquema de preocupación por la conservación del
medio ambiente, utilizando un ejemplo concreto consistente en la conservación de un
bosque. Se utilizó el análisis gráfico para explicitar las funciones y conceptos
económicos, subrayando el papel de los modelos matemáticos al ser usados para
desarrollar los significados económicos. Los resultados mostraron que el interés por el
estudio de conceptos microeconómicos aumentó entre los alumnos al entender que
ayudaban a comprender aspectos del mundo real. En segundo lugar, Evensky (2004)
indica que la enseñanza de la economía debería ir contextualizada con otras ciencias
sociales (fundamentalmente la política, la ética y la filosofía) y también con las
matemáticas.
Nuestra investigación se centra en la necesaria interrelación entre las
matemáticas y la microeconomía. Numerosos trabajos muestran la importancia de esta
relación. En particular, García, Azcarate y Moreno (2006) analizan la manera en la que
diez profesores relacionan los significados de los conceptos matemáticos con los
conceptos económicos cuando enseñan cálculo diferencial a estudiantes de Ciencias
Económicas. Estos autores constataron que en la enseñanza de la derivada la mayoría
de los profesores enfatizaban los conceptos matemáticos y descuidaban el contenido
económico, por lo que la relación entre los conceptos de cálculo y su significado para
explicar los fenómenos económicos podía resultar poco evidente para los estudiantes.
Por su parte, desde la óptica de los propios alumnos, Ballard y Johnson (2004)
mostraron que existe una correlación directa entre el éxito que presentan estudiantes
universitarios en un curso de introducción a la microeconomía y el manejo de
herramientas matemáticas básicas. Sus resultados indican que existe una correlación
positiva entre el manejo de herramientas matemáticas básicas y el éxito en un curso
introductorio de microeconomía. Butler, Finegan y Siegfried (1998) analizaron los
efectos de un curso semestral adicional de cálculo diferencial en el aprendizaje de la
teoría económica intermedia. Estos autores analizaron grupos de alumnos en cursos
intermedios de Micro y Macroeconomía (MICRO-2 y MACRO-2) que previamente
habían cursado un curso introductorio de ambas (MICRO-1 y MACRO-1). Estos
autores analizaron la correlación entre el rendimiento en MICRO-2 y MACRO-2 tras la
superación previa de al menos un curso semestral de cálculo, que en algunos de los
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alumnos llegó a ser dos semestres. La posibilidad de cursar previamente cursos
adicionales de cálculo quedaba a elección de los propios alumnos, pudiendo elegir entre
otros cursos diferentes como el aprendizaje de idiomas. Se analizó la correlación entre
el éxito en las disciplinas intermedias de micro y macroeconomía con variables como el
género, la puntuación en el test SAT (Scholastic Aptitude Test), que indicaba el nivel de
manejo de operaciones básicas como el cálculo de la pendiente de una recta, el área de
un triángulo o dividir por una fracción), los años cursados de física, química y ciencias
sociales, lenguas extranjeras, etc. Los resultados obtenidos indican que los alumnos con
mayor puntuación en el SAT y más años cursados de matemáticas obtenían mejor
rendimiento en Micro y Macro, así como los que cursaron algún curso de física (no así
de química). Los alumnos con más conocimiento de idiomas no mostraban diferencias
estadísticas relevantes. Posteriormente, se analizó la correlación de los contenidos en
las diferentes asignaturas de matemáticas cursadas previamente, así como el semestre
adicional de cálculo teniendo en cuenta el hecho de que se cursaran con mucha
diferencia de tiempo o no, con las asignaturas de MICRO-2 y MACRO-2. Concluyeron
que existían mejoras en la comprensión de los conceptos que articulan la
microeconomía en aquellos alumnos que previamente habían cursado uno o dos
semestres adicionales de cálculo (ceteris paribus), no siendo así en los conceptos de
macroeconomía. Estas mejoras eran mayores si los alumnos solamente cursaban hasta
dos semestres adicionales de cálculo en lugar de tres o cuatro, en cuyo caso las mejoras
en microeconomía no estaban correlacionadas con cursos tan avanzados de cálculo. Los
autores concluyen que la correlación (ceteris paribus) entre las otras variables
consideradas y el rendimiento en micro y macroeconomía intermedia no eran relevantes.
Con esta misma idea, Lagerlof y Seltzer (2009) examinaron los efectos de un curso de
refuerzo de matemáticas en el rendimiento de alumnos universitarios en cursos de
economía. Formaron dos grupos de estudiantes, los que cursaron un curso de refuerzo
de matemáticas y aquellos que no lo cursaron. Estos autores estudiaron los resultados
de los exámenes previamente al curso de refuerzo de matemáticas y posteriormente al
mismo. Sus resultados confirmaron que no había apenas mejora en el rendimiento en los
cursos de economía para aquellos alumnos que siguieron el curso de refuerzo de
matemáticas; por el contrario, aquellos que en educación secundaria tenían un alto
rendimiento en matemáticas tienen hoy un alto rendimiento en cursos de economía.
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Finalmente von Allmen y George (1998) indicaron que un estudiante de
microeconomía intermedia necesita al menos un curso de cálculo de un semestre de
duración. Sin embargo, muchas veces los estudiantes apenas utilizan el cálculo en el
estudio de microeconomía y tampoco son conscientes de la importancia de dominar
dicha disciplina matemática. Mumford y Oland (2011) analizaron diferencias
significativas de rendimiento y características entre los estudiantes de Principios de
Microeconomía y Microeconomía Intermedia que proceden de otros estudios como
Ingenierías, Matemáticas o Física, y los que proceden de Económicas o Administración
de Empresas. También concluyeron que los alumnos que procedían de disciplinas con
estudios en matemáticas más intensivos obtenían mejores resultados en microeconomía
intermedia si el trabajo realizado en principios de microeconomía había sido bueno, lo
cual puede indicar que la enseñanza de la microeconomía se construye bajo unos sólidos
conocimientos matemáticos, puestos en relación con los conceptos económicos
introductorios de la asignatura de Principios de Microeconomía. Estos resultados
parecen indicar que la variable explicativa no es la cantidad de cursos adicionales de
matemáticas sino posiblemente el enfoque (conceptual o procedimental) dado en dichos
cursos.
Akihito (2006) afirmó que el análisis marginal es fundamental en el estudio de
un curso introductorio de Microeconomía. Sin embargo, según él, muchos libros de
texto no profundizan en este tipo de análisis al no considerar la utilización de la
condición de segundo orden, que en problemas de optimización de funciones
económicas consiste en que se cumpla que la segunda derivada de la función origen sea
positiva. Esta condición de segundo orden indica una medida del crecimiento de la
función. La enseñanza de estos problemas de optimización de funciones obvia en la
mayoría de los casos la concepción de la condición de segundo orden, lo cual obliga a
los alumnos a memorizar la condición de primer orden, es decir, el punto donde la
primera derivada de la función obtiene un valor determinado, sin haber entendido el
concepto e implicaciones de la marginalidad de las funciones económicas. Este hecho
produce que, en muchos ejercicios propuestos que se escapan de la normalidad
memorizada por los alumnos, en donde es necesario entender y aplicar la condición de
segundo orden, aparezcan errores y dificultades. Para entender el análisis marginal, y así
incentivar a los alumnos en el estudio de la disciplina económica (donde el concepto de
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marginal es esencial), se ha de incentivar una enseñanza donde primen los significados
en lugar de la memorización de condiciones.
También existen investigaciones que intentan analizar el efecto contrario, es
decir, la influencia de los estudios de economía en los resultados en los cursos de
matemáticas. En relación a este aspecto, Cohn y sus colegas (2000) indicaron que los
estudiantes mejoraban su éxito en el aprendizaje de las matemáticas hasta en un 40% si
estaban matriculados en un curso de introducción a la economía con respecto a alumnos
matriculados en un curso de psicología. Estos resultados se obtuvieron a través de la
realización de un pre-test y un post-test de conocimiento matemático elaborado a
propósito para este estudio.
Todas las investigaciones que analizan la relación de los conceptos matemáticos
y económicos desde la óptica de los profesores (García, Azcarate y Moreno, 2006),
desde la de los resultados de los propios alumnos, y desde la estructuración de los libros
de texto (Akihito, 2006), indican que algunas veces los conceptos económicos se
manejan sin una buena comprensión de los significados matemáticos que los organizan.
Esta situación implica que las interpretaciones de las situaciones económicas resulten
difíciles de realizar si los estudiantes no poseen una comprensión adecuada de los
conceptos matemáticos que organizan las situaciones económicas. Como consecuencia,
resulta importante empezar a generar información sobre la manera en la que los
estudiantes de Economía comprenden los conceptos matemáticos que son utilizados en
la caracterización de las nociones económicas, y cómo esta comprensión determina sus
interpretaciones económicas de las situaciones.
La revisión anterior de las investigaciones sobre la influencia de la comprensión
de los conceptos matemáticos en la comprensión de los conceptos de Economía se ha
realizado considerando dimensiones generales de lo que se considera la competencia
matemática. Sin embargo el hecho de que algunos conceptos de microeconomía son
modelos matemáticos relativos a la relación entre una función y su derivada, pone de
manifiesto la necesidad de centrar la atención en aspectos particulares relativos al papel
que desempeña la comprensión de los conceptos matemáticos en relación a la
comprensión de los conceptos económicos. En particular, el concepto matemático de
función derivada aparece de forma habitual y frecuente en los conceptos económicos,
especialmente en aquellos pertenecientes al campo de la Microeconomía. Como señaló
Akihito (2006) el análisis marginal es fundamental en la disciplina de la
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Microeconomía, por lo que el protagonismo del concepto matemático de la derivada es
indudable. En este sentido, creemos que muchas de las dificultades que los estudiantes
de Microeconomía presentan tienen su origen en una compresión no adecuada de este
concepto matemático.
1.2.2. El uso de diferentes registros en los conceptos matemáticos y económicos
El importante papel que supone enseñar y aprender los contenidos matemáticos
y económicos utilizando diferentes sistemas de representación ha sido tratado en la
literatura ampliamente. Describiremos algunas investigaciones que han analizado la
importancia de los diferentes registros de representación en el aprendizaje de conceptos
matemáticos, y en una segunda parte analizaremos la importancia de los sistemas de
representación en el aprendizaje de conceptos económicos. Concluiremos el apartado
con la descripción de los resultados de una investigación que analiza la importancia de
dichos sistemas de representación cuando se contextualiza en conceptos económicos.
1.2.2.1.El uso de diferentes registros en los conceptos matemáticos
La literatura existente, así como también nuestra experiencia docente e
investigadora, ponen de manifiesto la importancia que tiene el saber desenvolverse
dentro del registro gráfico. En la docencia y currícula actuales de matemáticas, este
registro permanece discriminado ante la preponderancia del registro algebraico. En este
contexto, la importancia de la investigación de Krutestkii (1976) estriba por un lado en
su distinción entre niveles de comprensión matemática basada en la presencia del
componente lógico-formal en el pensamiento matemático, y por otro en la distinción de
tipos de habilidades matemáticas basada en la preferencia del componente visual en el
pensamiento matemático. Krutetskii (1976) identificó tres tipos de habilidades
matemáticas en el nivel escolar:
• Algebraico: domina el componente lógico-formal.
• Geométrico: domina el componente visual.
• Armónico: existe un equilibrio entre los dos componentes.
o Armónico Abstracto: se es capaz de utilizar el componente visual en la
resolución de problemas matemáticos, pero no es el preferido.
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o Armónico Visual: se es capaz de utilizar el componente visual en la
resolución de problemas matemáticos y además se prefiere hacerlo.
Los estudiantes que muestran preferencias hacia el pensamiento analítico o
algebraico confían más en los procesos lógico-formales y menos en los procesos
visuales. Asimismo, los alumnos que muestran preferencias hacia el pensamiento visual
confían más en los procesos pictórico-visuales y menos en los procesos lógico-formales.
Estos alumnos necesitan interpretar visualmente la expresión de una relación
matemática abstracta o bien proceder mediante esquemas e imágenes visuales, incluso si
el problema puede resolverse con un simple racionamiento y el uso de la visualización
se atisbe innecesario o complicado.
Krutetskii (1976) propone la cuestión: “¿Es un obstáculo para un estudiante con
pensamiento matemático lógico-formal utilizar patrones y esquemas pictórico-
visuales?” Según el autor sí puede ser un obstáculo de cierto grado para un número
limitado de alumnos. Los estudiantes con habilidad Armónica confían igualmente en los
procesos visuales y lógicos, aunque los alumnos representativos de una habilidad
Armónica Abstracta no sienten la necesidad de usar esquemas visuales en la resolución
de problemas, mientras que los alumnos representativos de la habilidad Armónico
Visual manifiestan cierta tendencia a confiar más en los significados visuales. En
general, los programas de enseñanza han prestado poca atención a los aspectos visuales
de las Matemáticas (excepción hecha de los contenidos de tipo geométrico) y se han
centrado casi exclusivamente en su componente analítica. En particular, normalmente el
currículo de Economía presta más atención a aspectos matemáticos formales que a los
visuales.
La necesidad de poner de manifiesto evidencias del papel desempeñado por los
diferentes registros en el desarrollo de la comprensión ha generado una serie de
investigaciones. Así, Haciomeroglu, Aspinwall y Presmerg (2010) mostraron la
importancia de utilizar el registro gráfico y la de tener habilidades para visualizar
gráficamente las funciones y sus derivadas. Estos autores estudiaron de manera
cualitativa el comportamiento de tres alumnos universitarios bajo el marco teórico
descrito por Krutetskii (1976) consistente en la idea de que los alumnos tienen
diferentes habilidades en los distintos registros (así como también diferentes
preferencias sobre los mismos). Constataron que aquellos estudiantes que preferían usar
el registro gráfico se encontraban con dificultades cuando las tareas presentadas les
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exigían la movilización del registro analítico o algebraico, y viceversa, por lo que la
coordinación y buena utilización de ambos registros se convertía en primordial para una
comprensión adecuada de la derivada.
También desde la perspectiva de la importancia del registro gráfico, Van Dooren
y Greer (2010) detectaron la existencia del predominio de las aproximaciones lineales
cuando los estudiantes resuelven problemas no lineales. Admitiendo las ventajas de
presentar y modelizar situaciones lineales para entender fenómenos de la vida real, esa
excesiva “linealización” provoca en estudiantes y profesores una tendencia a buscar
relaciones lineales aunque no sea posible, generando obstáculos y dificultades en el
estudio de situaciones que requieren y comportan relaciones no lineales, tanto en el
registro gráfico como en el algebraico. En la misma línea, Hadjidemetreu y Williams
(2010) mostraron cómo un alto porcentaje de alumnos de entre 14 y 15 años representan
siempre funciones del tipo y = ax + b en dos tests formados por ítems cuyo objetivo era
diagnosticar la “linealidad”. Entre las razones que argumentan los autores destacan el
hecho de que la utilización de modelos lineales es una práctica social y cultural muy
extendida y utilizada en la escuela, especialmente en el registro gráfico, lo cual les lleva
a la necesidad de repensar sobre qué tipo de modelización y contextualización se hace
en matemáticas. Por otra parte, Nathan y Kim (2007) realizaron un estudio longitudinal
con alumnos de sexto a octavo grado centrado en identificar el papel desempeñado por
los diferentes registros en el desarrollo de la comprensión. En las primeras etapas del
estudio los estudiantes mostraron un mejor rendimiento utilizando el lenguaje de las
palabras que el lenguaje de las gráficas. Pero a medida que avanzaban en las diferentes
etapas alcanzaban un mayor rendimiento utilizando conjuntamente las palabras y las
gráficas. Los autores desarrollaron un modelo para conseguir una mayor fluidez en las
representaciones gráficas y en el análisis algebraico. Sus resultados destacan el impacto
que tienen las percepciones procedentes de las representaciones gráficas en el
razonamiento de los estudiantes.
Estas tres investigaciones subrayan el papel que puede llegar a desempeñar el
registro gráfico en el aprendizaje de los conceptos matemáticos. Duval (2006a)
profundizó también en la necesidad de utilizar y coordinar diferentes sistemas de
representación en el aprendizaje de conceptos matemáticos. Los argumentos de Duval
abrieron el camino de la importancia de considerar la coordinación entre diferentes
registros. Los siguientes trabajos analizados así lo muestran. Aznar et al. (2010)
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analizaron la transformación de representaciones de números complejos del registro
gráfico al algebraico en alumnos que cursaban la asignatura de Álgebra en la Facultad
de Ingeniería de la Universidad Nacional de Mar del Plata (Argentina). Bajo el marco
teórico de la teoría de los registros semióticos de Duval (2006a), sus resultados
confirman que a pesar de haber trabajado durante el curso con conversiones desde el
registro algebraico al gráfico, cuando se trata de realizarlas en sentido contrario, los
alumnos muestran numerosos errores y dificultades, lo cual impide que exista una
adecuada coordinación entre registros que permita conceptualizar el objeto matemático
en cuestión, en este caso los números complejos. Los autores concluyen con la
invitación a reflexionar sobre la necesidad de abordar las conversiones en ambos
sentidos, otorgando la misma importancia al registro gráfico que al algebraico y a las
conversiones desde aquél a éste y no solamente al contrario.
Por su parte, Vrancken, Engler, y Müller (2011), construyeron una propuesta
para la introducción del concepto de derivada desde el concepto de variación, bajo la
óptica de la utilización y coordinación de diferentes registros de representación. El
modelo se aplicó en estudiantes matriculados en la asignatura de Matemática II de la
carrera de Ingeniería Agronómica de la Facultad de Ciencias Agrarias de la Universidad
Nacional del Litoral, en Argentina. La propuesta consistió en un conjunto de actividades
que pretendían desarrollar habilidades relacionadas con las variables, las funciones y la
variación. Fueron presentadas en registros diferentes (verbal, algebraico, gráfico y
numérico) y requerían conversiones entre los mismos. Las actividades fueron dadas a
los alumnos para su resolución sin intervención del profesor, tras una breve
introducción por parte de éste sobre los contenidos fundamentales de manera previa a la
explicación formal de los mismos. Un ejemplo del tipo de actividad se muestra en la
figura 1.1:
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¿Cómo se comportan en cada caso los cambios Δs? ¿En qué intervalos los cambios fueron más rápidos? Figura 1.1. Actividad presentada en investigación de Vrancken et al. (2011)
En la actividad (Figura 1.1) se presentan dos funciones definidas gráficamente y
se solicita a los alumnos la medición de los cambios de la variable dependiente y el
análisis del comportamiento de estos cambios. Con respecto a los registros, los
estudiantes deben interpretar los cambios en el comportamiento de la variable
dependiente dado gráficamente. El análisis de las dificultades observadas en las
respuestas de los alumnos permitió a los autores indicar la importancia de analizar el
tratamiento del tema funciones, ya que muchos de los problemas estaban relacionados
con este concepto; en segundo lugar los alumnos mostraron dificultades para relacionar
correctamente los diferentes registros, por lo que consideran necesario promover tareas
que conecten los distintos sistemas de representación, ya que permiten al alumno
acercarse al concepto desde diferentes perspectivas, favoreciendo la visualización de
ideas y la aprehensión de conceptos.
Utilizando también las teorías de Duval, Guzmán (1998) realizó una
investigación con estudiantes de primer año de ingeniería, respecto a nociones relativas
a funciones reales. A través de la consideración de los registros algebraico o formal,
gráfico y del lenguaje natural, se aplicó un cuestionario de 16 ítems a 75 alumnos de
cálculo diferencial. Las preguntas estaban referidas a aspectos conceptuales relativos a
la función continua, función biyectiva, restricciones… La figura 1.2. es un ejemplo del
tipo de preguntas que se propusieron.
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Dé un ejemplo que explique el concepto de continuidad que usted tiene. Con respecto a la siguiente parábola, conteste: Se afirma que f no es una bisección. Explique por qué. Marque una parte de la parábola que representa una bisección. Escriba una fórmula para f
Figura 1.2. Ejemplo de preguntas planteadas en la investigación de Guzmán (1998)
Los resultados de esta investigación muestran que la mayoría de los alumnos
responden utilizando un solo registro o sistema de representación, preferentemente el
algebraico - probablemente porque es el más utilizado en la docencia - poniéndose de
manifiesto su escasa capacidad de visualización. Según el autor, existe además otro
obstáculo consistente en las dificultades que presentan al utilizar el registro del lenguaje
formal, por lo que la traducción de un lenguaje a otro y la coordinación de registros se
presenta como un objetivo explícito de enseñanza.
En el mismo sentido Ruiz, Hernández y Oropeza (2000) realizaron un trabajo de
investigación también con alumnos de ingeniería de cursos superiores, matriculados en
un curso de Cálculo, donde se analizaron los problemas de optimización de funciones.
Elaboraron una propuesta de enseñanza que combina el uso, a través de un software
específico con animaciones flash, de los registros algebraico, gráfico y tabular. La
investigación consistió en una entrevista a 4 profesores antes y después de la aplicación
de la estrategia didáctica, además de un cuestionario con preguntas de valoración y una
tarea matemática a resolver antes y después de implementar la estrategia didáctica. Los
resultados muestran que antes de la aplicación de la estrategia didáctica, los profesores
pensaban que sus alumnos actuaban mecánicamente a través del registro algebraico
principalmente, y creían necesario hacer explícito el lenguaje gráfico en los programas
de optimización. Por su parte, de las preguntas de valoración hechas a los estudiantes, se
obtuvo que apenas un 5 % se apoyaba en el registro gráfico para resolver programas de
optimización, recurriendo la mayoría de ellos al cálculo de primeras y segundas
derivadas. Tampoco usaban el registro tabular, el cual lo ven solo como paso previo
para graficar algo, y dado que solo el 5% se planteaba graficar a la hora de optimizar
quiere decir que aquel registro era muy poco utilizado. Tras la estrategia didáctica de
simulación implementada, los profesores entrevistados afirmaron que ésta permitía
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observar mejor la relación entre los tres registros mencionados, que hubo una mejora al
resolver problemas de optimización, y que el uso de esta tecnología mediante el diseño
de simulaciones permite modificar sus clases y adoptar otras estrategias de enseñanza.
Por su parte, tras la implantación de los programas de simulación, el 80 % de ellos
reconoció haber resuelto los programas de optimización usando los tres criterios, y que
además las gráficas permitían ver los valores máximos y mínimos y que esos puntos
representan en la solución del problema los valores solicitados.
Finalmente, Gatica et al. (2010) realizaron un estudio exploratorio descriptivo
para indagar en las ideas que estudiantes de Ciencias Económicas ponen de manifiesto
cuando se enfrentan a tareas de continuidad matemática en un punto dado, a través del
análisis de los distintos registros escritos que utilizan en su resolución. Se utilizó como
marco teórico la propuesta de Duval. Como instrumento se elaboró un cuestionario ad-
hoc compuesto de preguntas relacionadas con los conceptos de límite, continuidad y
derivada de una función, aunque en dicho trabajo solamente se analizaron las preguntas
relacionadas con continuidad. El cuestionario se aplicó el último día de clase de la
asignatura de Análisis Matemático I de la carrera de Ciencias Económicas de la
Universidad Nacional de San Luis. Se plantearon como objetivos analizar si los
alumnos identificaban la continuidad de una función a partir de distintos registros de
representación, y los errores cometidos por estos a la hora de realizar conversiones entre
los diferentes registros. Una de las tareas (Figura 1.3), que presentaba una
discontinuidad esencial, fue especialmente relevante pues la mayoría de los alumnos la
identificaron como evitable, lo que indica que no entendían bien el concepto.
Figura 1.3. Ejemplo de tarea propuesta en la investigación de Gatica et al. (2010)
La visualización gráfica ayudó a determinar la continuidad de una función, y los
errores mostrados en la conversión al registro gráfico se identificaron como uno de los
factores de equivocación en los alumnos; otro parecía ser la relación con otros
1. Problema de Investigación Ángel Luis Ariza Jiménez
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conceptos matemáticos como son la función y el límite. El estudio destacó el escaso
nivel de comprensión del concepto de continuidad, las dificultades para la graficación
de tales funciones y la incapacidad para identificar tipos de discontinuidad. Los autores
consideran estos hechos de suma gravedad para estudiantes de Ciencias Económicas,
especialmente cuando se manejan con funciones de Coste de naturaleza discontinua. El
estudio concluye con una reflexión hacia el propio profesorado universitario acerca de
las estrategias utilizadas en la enseñanza de estos temas.
Estas investigaciones subrayan la importancia potencial de los diferentes
registros de los conceptos matemáticos y la coordinación de los mismos para favorecer
el aprendizaje.
1.2.2.2.El uso de diferentes registros en los conceptos económicos
En relación a los estudios en los que se analiza la importancia de los registros de
representación en el aprendizaje de conceptos económicos, Hey (2005) concluyó que la
utilización del registro gráfico es esencial para aprender microeconomía, llegando a
afirmar que sólo el registro gráfico es necesario para aprender microeconomía. Este
autor utilizó un software gráfico para la enseñanza de conceptos como Función de
Oferta, Función de Demanda, equilibrio competitivo, caja de Edgeworth, etc. Los
alumnos comienzan estudiando los casos más sencillos a través del software y a partir
de ahí, cambiando datos, se analizan casos más complejos. Posteriormente, convirtió en
análisis puramente gráfico otros contenidos económicos no mostrados inicialmente en el
software y que se encontraban explicados en textos que utilizaban formulaciones
algebraicas relacionadas con temáticas como la econometría o el mercado de trabajo.
Finalmente, evaluó a los estudiantes con tareas que no necesitaban del recuerdo y la
aplicación de fórmulas matemáticas, pero sí necesitaban de la comprensión de los
contenidos a través del análisis gráfico utilizado en todo el experimento. La evaluación
de estas tareas constató un alto grado de éxito de los alumnos sin necesidad de utilizar
en ningún momento ni elementos de álgebra ni de cálculo matemático, aumentando
asimismo su interés hacia la Microeconomía.
Sin embargo, la idea de que el registro gráfico no es tan importante en el
aprendizaje de conceptos económicos también encuentra apoyo en la literatura. Cohn
(2001) se planteó hasta qué punto la utilización de gráficas como instrumento
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matemático en Economía mejoraba el proceso de aprendizaje en alumnos universitarios
que cursaban la materia de Microeconomía. Realizó un experimento con dos grupos de
alumnos que cursaban esta materia, consistente en la enseñanza de conceptos como la
Oferta, la Demanda y la Frontera de Posibilidades de Producción. El experimento
consistió en la exposición y explicación de los conceptos económicos usando solamente
gráficas en uno de los grupos, y sin usar ninguna gráfica en el otro. Dicho experimentó
se realizó en dos fases, primeramente en 1995 y posteriormente en 1997. Utilizaron
como instrumentos un pre-test y pos-test sobre habilidades matemáticas y sobre los
contenidos económicos impartidos, junto con un cuestionario de valoración. Las
preguntas del pre-test y pos-test sobre los contenidos económicos tenían formato de
múltiple elección en las cuales no se presentaban gráficas, aunque su utilización podía
ser eficaz para la elección de la opción correcta. El estudio pretendía contrastar la
hipótesis de que el uso de gráficas mejoraba el rendimiento, el cual se calculó como la
diferencia entre las puntuaciones del post-test y el pre-test. También contrastaron la
hipótesis de que aquellos alumnos con mayores conocimientos matemáticos son más
propensos a mejorar el rendimiento en las tareas de economía con el uso de gráficas.
Sus conclusiones no les permitieron afirmar positivamente ambas hipótesis. Respecto a
la primera hipótesis en el experimento de 1995, el uso de gráficas no solo no mejoró el
rendimiento de los estudiantes si no que lo bajó ligeramente, mientras que en 1997 los
resultados de los dos grupos fueron prácticamente iguales. Los autores consideraron que
algunos aspectos podrían haber distorsionado los resultados. El primero es que la no
utilización de gráficas en el pre-test pudo haber condicionado a los alumnos a no usarlas
en el post-test, y segundo que el post-test fue administrado solamente 5 minutos después
de que los estudiantes repasaran sus apuntes, lo cual indica que el post-test capturó la
visión a muy corto plazo, mientras que lo que permanece en la memoria de los
estudiantes a largo plazo quedó sin capturar.
En contraposición a la idea anterior, encontramos argumentos para pensar que el
registro gráfico es tan importante o más en la enseñanza de la economía como en el de
las matemáticas. Así, Boyd (1998) realizó un experimento con estudiantes de un curso
introductorio de Microeconomía y analizó los efectos en el aprendizaje de los alumnos
de la utilización de un programa informático que enfatizara la utilización de símbolos
gráficos, algebraicos y numéricos. La introducción del software Maple en un curso de
Microeconomía permitió el análisis de la teoría del consumidor desde una perspectiva
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integradora de los registros algebraico, numérico y gráfico, incluso en 3-D. Esta
aproximación permitió a los alumnos centrarse en las conclusiones e implicaciones de
los resultados proporcionados por el software y no tanto en la realización de los
cálculos. La actividad que permitió desarrollar todo el modelo fue “la obtención de la
función de demanda de un bien a partir de unas preferencias dadas del tipo Cobb-
Douglas, cuya representación en 2-D se muestra en la figura 1.4.”
Figura 1.4. Representación en 2D de las preferencias del tipo Cobb-Douglas
El programa permitió trabajar el concepto de la función de demanda de un bien a
partir de las preferencias mostradas en la figura 1.4. y desarrollarlo en 3-D tal como se
muestra en la figura 1.5.
Figura 1.5. Representación en 3D de las preferencias del tipo Cobb-Douglas
La obtención de las expresiones algebraicas se hacía a través de la introducción
de los comandos correctos en el programa, hasta obtener la clásica función de demanda
marshalliana y su expresión algebraica (Figura 1.6.).
La mayoría de los alumnos vio positiva la experiencia ya que el programa
permitía fijarse más en el contenido económico y el análisis gráfico y no tanto en la
formulación matemática que resulta siempre más laboriosa y abstracta. Otros alumnos
1. Problema de Investigación Ángel Luis Ariza Jiménez
- 29 -
lo consideraron un buen instrumento como complemento a la docencia clásica de los
contenidos económicos, y no como substituto.
> utility:=X^a*Y^b; utility:=XaYb
> constraint:= Inc – Px*X – Py*Y; constraint:=Inc – PxX – PyY Next the Lagrangian expression is entered, with λ as the Lagrange multiplier. > maxutility:=utility + lambda*constraint; maxutility:=XaYb = λ (Inc – PxX –PyY) To maximize this expression, first-order conditions involve taking partial derivatives of maxutility with respect to X, Y, and λ. Recall that partial differentiation is performed in Maple with the diff command. > FOC1:=diff(maxutility, X); > FOC2:=diff(maxutility, Y); > FOC3:=diff(maxutility, lambda); FOC3 := Inc – PxX – PyY
Figura 1.6. Función de demanda marshalliana y su expresión algebraica
Finalmente, la investigación de Peralta (2005) combina sistemas de
representación y conceptos matemáticos contextualizados en los conceptos económicos
de Oferta y Demanda. La investigación se compone de dos fases: en la primera se
analizan las dificultades de aprendizaje relacionadas con el concepto de función lineal
detectadas en estudiantes universitarios de segundo semestre en el área económico-
administrativo del Instituto Tecnológico de Sonora (México). En la segunda, el autor
elabora una propuesta de enseñanza para el concepto de función lineal y sus
aplicaciones en contenidos de economía. Haremos mención a las características y
resultados de la primera fase, la cual se elaboró bajo las tesis teóricas de los registros de
representación de Duval. El tema de investigación es abordado bajo el marco de las
aplicaciones de las funciones lineales para resolver problemas relacionados con los
conceptos económicos de la oferta y la demanda, los cuales se modelizan con funciones
lineales. Los errores observados en los alumnos indican, según el autor, que los
estudiantes no han logrado una aprehensión conceptual de la función lineal. Para esta
primera fase de la investigación se elaboró un cuestionario con preguntas relacionadas
1. Problema de Investigación Ángel Luis Ariza Jiménez
- 30 -
con el concepto de función lineal en las que había que poner en juego el cambio entre
las representaciones tabular, algebraica y gráfica. La figura 1.7 muestra algunas de las
tareas que componían el cuestionario.
Figura 1.7. Algunas tareas del cuestionario de Peralta (2005)
Sus resultados revelaron que cuando se trata de funciones lineales, la noción de
pendiente representa un serio obstáculo para la articulación entre registros,
especialmente si el registro de partida es el registro gráfico. Estos errores revelan un
descuido notorio de las actividades de conversión por parte de la enseñanza y una
confianza excesiva de los estudiantes en los procedimientos que han logrado mecanizar,
pero de los que no logran tener una significación clara. Especialmente relevantes fueron
las respuestas a la tarea de identificar qué función se corresponde con y = -3x + 6
(Figura 1.7), donde los estudiantes mostraron que a través de la graficación punto por
punto pueden llegar a la respuesta correcta eludiendo las significaciones gráficas de los
parámetros presentes en la expresión algebraica. Según el autor, puede decirse en
general que los estudiantes no han logrado una aprehensión conceptual del objeto bajo
estudio, por lo que es muy difícil que en estas condiciones puedan usar con éxito la
función lineal como herramienta para resolver problemas de oferta y demanda.
Las investigaciones a las que hemos hecho referencia contienen indicaciones
sobre el papel que desempeñan los diferentes sistemas de representación de conceptos
1. Problema de Investigación Ángel Luis Ariza Jiménez
- 31 -
matemáticos para apoyar la comprensión de los conceptos económicos. Mención aparte
corresponde a la idea de derivada como velocidad de cambio y la manera en la que es
reflejada en los estudios sobre la comprensión de los conceptos de Economía.
1.3. La noción de derivada en los contextos de Economía
La comprensión de las relaciones entre la función y su función derivada está en
el trasfondo de muchos conceptos económicos y es fundamental para entender el
análisis marginal en el que se basa la disciplina económica en general y
microeconómica en particular. En esta sección describiremos las investigaciones
centradas en la caracterización de la comprensión de los estudiantes relativas al
crecimiento y decrecimiento en un intervalo (Cociente Incremental), en un punto
concreto (Derivada en un punto), y a lo largo de todo el dominio de la función o
variable económica modelizada (Función Derivada), al considerar que constituyen la
base sobre la cual la Microeconomía se hace relevante. En este análisis consideramos
importante la comprensión del concepto de derivada en diferentes sistemas de
representación (gráfico y algebraico).
1.3.1. Concepto de límite y cociente incremental
El concepto de límite de una función está estrechamente ligado al de derivada.
Numerosos estudios han demostrado la dificultad del aprendizaje del límite (Cornu,
1991; Tall, 1992; Tall y Vinner, 1981; Merenluoto, 2001; Juter, 2006; Bergsten, 2006;
Valls, Pons y Llinares, 2011), lo cual genera dificultades en el aprendizaje de otros
conceptos de cálculo (Orton, 1983; Heid, 1988; Tall, 1992; Tall y Vinner, 1981).
Un obstáculo en la comprensión del concepto de límite proviene de cierta
predisposición de los estudiantes a usar algoritmos y aprender sus reglas de uso de
memoria sin entender el concepto, incluso desde el momento en que aprenden y
estudian el concepto de número (Merenluoto y Lehtinen, 2004). Según estos autores, los
estudiantes son capaces de tratar el concepto de límite como proceso separado, a través
de los algoritmos aprehendidos, pero no consiguen relacionarlo ni usarlo de modo
coordinado junto con otros como el de función, secante o tangente.
1. Problema de Investigación Ángel Luis Ariza Jiménez
- 32 -
Asiala, Cottrill, Dubinsky y Schwingendorf (1997) señalaron la existencia de
dos tipos de procesos en cuanto al concepto de límite: la tasa de variación media
aproximada a la tasa de variación en un punto, y la pendiente de las secantes
aproximadas a la pendiente de las tangentes. Cottrill et al. (1996) afirmaron que el
concepto de límite de una función consiste en la coordinación de dos procesos. De esta
manera, los procesos de límite inherentes en la derivada son numerosos. Por ejemplo,
las pendientes de las rectas secantes aproximándose a la pendiente de la recta tangente
incluyen la aproximación de un punto a otro y de las rectas a la tangente; otros procesos
de límite que son representados por la derivada incluyen variaciones medias
aproximándose a variaciones en un punto (Repo, 1996; Doorman, 2005), y una
representación numérica del cociente incremental aproximando la derivada.
También la linealidad localizada (Tall, 2003) en una función es un proceso de
límite que implica interpretar la gráfica como una línea recta. Según Tall (2003) todo
proceso de límite supone, en el recorrido de la función, localizar una zona de la función
cada vez más pequeña hasta poder considerar en esa minúscula zona los puntos que
definen una línea recta. Artigue (2005) distinguió otro proceso de límite, en el que se
consideraba la diferencia entre los valores de una función y la recta tangente. Con todo,
en los procesos de límite inherentes a la derivada, el límite se concibe como un concepto
dinámico (Cottrill et al., 1996; Cornu, 1991; Tall y Vinner, 1981). En este sentido,
Valls, Pons y Llinares (2011) indican que la comprensión métrica del límite en términos
de desigualdades se apoya en que los estudiantes sean capaces de coordinar las
aproximaciones en el dominio y en el rango cuando las aproximaciones laterales
coinciden, aunque no sean capaces de esta coordinación cuando las aproximaciones
laterales no coinciden. Así, la concepción métrica del límite se inicia con la
construcción previa de la concepción dinámica en el caso de la coincidencia de las
aproximaciones laterales.
En relación al concepto de derivada, Zandieh (2000) elaboró unas referencias
para caracterizar la comprensión de la derivada considerando los procesos de límite
inherentes a la misma. Además del límite del cociente incremental, también consideraba
como límite la pendiente de la recta secante y la tasa de variación media. Con estas
referencias el concepto de límite en diferentes contextos de representación podía ser
usado como un proceso o pseudo-objeto en términos de Sfard (1992). Zandieh (2000)
consideraba pseudo-objeto porque no incluía necesariamente una estructura interna del
1. Problema de Investigación Ángel Luis Ariza Jiménez
- 33 -
proceso de límite para el alumno, mientras que la consideración de objeto ha de incluir
necesariamente la estructuración interna del/los procesos. Por ejemplo, para un
estudiante el proceso en el contexto gráfico podría ser rectas secantes convirtiéndose en
tangente y el objeto sería la pendiente de la recta tangente a la función en un punto. Por
otra parte, Orton (1983) y Repo (1996) han mostrado las dificultades de los estudiantes
con el proceso de límite indicando que los estudiantes se desenvuelven bien con otros
aspectos del concepto de derivada, pero al tener en cuenta los procesos de límite
aparecen las dificultades.
Hähkiöniemi (2006a) realizó un estudio sobre cómo los estudiantes conectan el
proceso de límite inherente al de derivada con el de límite del cociente incremental. Se
encontró que los estudiantes utilizan varios procesos de límite y los relacionaban o
conectaban de diferentes formas con el de límite del cociente incremental:
• Estudiantes que no utilizan ninguna idea relativa al límite cuando éste aparece
explícitamente en la consideración de una función derivada
• Estudiantes que usan una idea de límite cuando consideran la derivada
• Estudiantes que usan la idea de límite y la relacionan y asocian con la idea de
límite de cociente incremental
• Estudiantes que usan la idea de límite junto con la de límite del cociente
incremental para explicarlas
Para justificar los resultados Häkhiöniemi (2006a) se basó en la distinción de
dos tipos de conocimiento (Hiebert y Lefevre’s, 1986): el conocimiento procedimental,
que consiste en el lenguaje formal de las matemáticas, reglas, algoritmos y
procedimientos dentro de un registro concreto para resolver tareas matemáticas; y el
conocimiento conceptual, que está conectado con las otras piezas del conocimiento y
con otros sistemas de representación. De entre las conexiones correspondientes a los
estudiantes que usan la idea de límite y la relacionan y asocian con la idea de límite de
cociente incremental (forma 3), y a los estudiantes que usan la idea de límite junto con
la de límite del cociente incremental (forma 4), distinguió entre conexiones asociativas
y reflexivas. En las llamadas conexiones asociativas, los estudiantes cambian de un
sistema de representación a otro, mientras que en las conexiones reflexivas usan un
mismo sistema de representación. Uno de los estudiantes que usó conexiones
asociativas, utilizó con habilidad el concepto de límite del cociente incremental; de otra
parte, otro estudiante que realizó conexiones reflexivas tuvo más dificultades usando el
1. Problema de Investigación Ángel Luis Ariza Jiménez
- 34 -
límite del cociente incremental. El estudio de Hähkiöniemi (2006a) consideró el uso de
conexiones asociativas como parte del conocimiento conceptual y el uso de conexiones
reflexivas como parte del conocimiento procedimental.
Finalmente, Haapasalo y Kadijevich (2000) señalaron que el grado de
conocimiento procedimental utilizado en el límite del cociente incremental, quiere decir
fluidez y conocimiento en el desarrollo de algoritmos y en el cálculo de los valores de la
derivada en un punto usando el límite del cociente incremental. Mientras que el grado
de conocimiento conceptual utilizado se refiere a las conexiones que los estudiantes
realizan entre el límite del cociente incremental y otros procesos de límite en otros
registros.
1.3.2. El concepto de derivada: relación con los conceptos económicos y su
aplicación con diferentes registros
Considerando que en Economía mucha información se proporciona desde
representaciones gráficas de relaciones entre variables, y la medida de la variación de
cambio viene dada por la derivada, la manera en la que los estudiantes obtienen
información desde la relación entre una función y la gráfica de su derivada se puede
considerar precursora de la comprensión de determinadas situaciones económicas. En
este sentido, la comprensión gráfica de la idea de derivada y su relación con la función
ha sido identificada como un elemento clave en la comprensión de los estudiantes de la
medida de variación (Elia y Spyrou, 2006; Gagatsis y Shiakalli, 2004; Gagatsis et al.,
2006). Habre y Abboud (2005) señalaron que la conducta de los estudiantes está
dominada por el registro algebraico al resolver determinados tipos de problemas. Estos
estudios están mostrando que la síntesis de los diferentes sistemas de representación es
un aspecto clave en la comprensión de las relaciones entre la idea de función y la
función derivada, y por tanto determinan referencias en la manera en la que los
estudiantes pueden usar el concepto de derivada para modelizar las situaciones
económicas.
Hähkiönemi (2006b) estudió el caso de una alumna a la cual se le plantearon una
serie de tareas que tenían por objetivo ver cómo percibía la derivada de la función desde
su gráfica. La figura 1.8 muestra algunas de las tareas planteadas por el autor.
1. Problema de Investigación Ángel Luis Ariza Jiménez
- 35 -
Figura 1.8. Tarea planteada por Hähkiönemi (2006)
Los resultados observados por el autor en el análisis del caso de esta alumna, le
llevaron a concluir, utilizando la terminología de Tall, que la alumna estaba aprendiendo
el concepto de derivada no solo en el mundo simbólico sino también en el mundo
conceptual. Según Tall (2003, 2004a, 2004b, 2005) existen tres mundos diferentes en
matemáticas:
• Mundo conceptual: consiste en pensar sobre cosas que pueden ser percibidas y
sentidas en el mundo físico y mental.
• Mundo simbólico-procedimental: consiste en el uso de símbolos para calcular
y pensar sobre conceptos.
• Mundo axiomático-formal: basado en axiomas, definiciones, teoremas y
razonamientos deductivos.
Para Tall (2003, 2004a, 2004b, 2005), el aprendizaje ocurre de manera similar
en el mundo simbólico al modo descrito en la teoría APOS (Action, Process, Object,
Scheme), aunque no así tan claramente en el mundo conceptual. Esto significa que antes
de la encapsulación de objetos desde procesos, el concepto ya existe como objeto
conceptual. Por ejemplo, la derivada puede ser percibida desde la gráfica de una función
antes de utilizar cualquier cálculo o manipulación simbólica. Posteriormente, Tall
describió el proceso de aprendizaje en el mundo conceptual como similar al del mundo
simbólico. Seguramente los estudiantes deben aprender en el mundo conceptual a través
del cambio en su atención desde las acciones a los efectos que producen dichas
acciones, lo cual es similar al concepto de transparencia.
1. Problema de Investigación Ángel Luis Ariza Jiménez
- 36 -
La transparencia de una herramienta significa que ésta es visible para adquirir
información detallada de ella misma pero invisible para tener acceso a un fenómeno que
puede ser visto a través de la herramienta. Por ejemplo, un estudiante puede ver una
gráfica como representación de una función, sin embargo, no puede ver la derivada de la
función en la gráfica. Gradualmente, el estudiante podría reconocer por ejemplo dónde
la derivada es positiva y dónde negativa fijándose cuándo la gráfica crece y cuándo
decrece. Finalmente, el estudiante podría ver la gráfica como representación de la
derivada. Esta última perspectiva destaca la importancia de la percepción como este
último ejemplo muestra. Así, Hähkiöniemi (2006b) concluye que la alumna se
encuentra en el principio de su aprendizaje en el mundo conceptual, ya que sigue
prestando más atención a interactuar con las herramientas de la representación que a los
efectos de estas acciones. A pesar de eso, la alumna mostró cierto grado de
conocimiento conceptual al conectar algunas características de la gráfica de la función
con su derivada. El autor concluye afirmando que los profesores no deben disuadir a los
alumnos de realizar actividades relacionadas con la percepción, debiendo considerar las
potencialidades del mundo conceptual.
Consideramos que los trabajos de Tall constituyen un nexo de unión entre la
teoría APOE que usamos en nuestra investigación y que describiremos en detalle en la
siguiente sección y las teorías y trabajos que destacan la importancia de usar diferentes
modos de representación en el aprendizaje de conceptos matemáticos, y también en el
proceso de modelización lo que supone usarlos en la descripción de fenómenos
económicos.
Creemos que el concepto matemático de la derivada necesita ser aprehendido en
el ámbito de uno o varios sistemas de representación para ser comprendido, y así lo
muestran también algunos autores. De esta manera, Zandieh (1997, 2000) consideró
varias representaciones para el concepto de derivada: gráfico, lenguaje verbal, físico y
simbólico. Con respecto a la comprensión del concepto, Harel, Selden y Selden (2006)
afirmaron que era necesario compararlo en diferentes sistemas de representación. Se
asumía por tanto que el significado de los conceptos se construye a través del uso de
diferentes sistemas de signos (D’Amore, 2006; Radford, 2000).
En esta sección analizamos la importancia de los diferentes sistemas de
representación en el uso de la derivada desde tres perspectivas:
1. Problema de Investigación Ángel Luis Ariza Jiménez
- 37 -
• Conexiones registros gráfico - algebraico.
• Conexiones ‘gráfica de la función’ – ‘gráfica de la derivada’
• Conexiones ‘derivada en un punto’ – ‘derivada de la función’.
En lo referente a las conexiones entre el sistema de representación o registro
gráfico y el algebraico, los estudiantes no tienen el mismo nivel de comprensión del
concepto de derivada en el registro gráfico que en el algebraico. En el estudio de las
funciones, el registro algebraico domina el pensamiento de los estudiantes creando
obstáculos en sus mentes (Habre y Abboud, 2006). La construcción de significados que
los estudiantes realizan está ligada a un determinado modo de representación. Dichos
significados aparecen inconexos entre los diferentes registros. Esta característica
subraya la necesidad de establecer conexiones entre los diferentes modos de
representación. Aspinwall, Shaw y Presmerg (1997) analizaron el caso de un estudiante
experto en cálculo. Identificaron dificultades en la comprensión del concepto de
derivada de este estudiante en el registro gráfico que provenían del poder que imágenes
dinámicas y previamente vividas permanecían en su mente y se convertían en
incontrolables, oscureciendo su aprendizaje en lugar de mejorarlo al tratar con otras
imágenes o al intentar construirlas desde expresiones algebraicas. Concluyeron que los
estudiantes están influenciados por el tipo de tareas que acostumbran a resolver y por el
tipo de funciones y sistemas de representación usados por sus profesores.
Por lo que respecta a la segunda perspectiva (conexiones ‘gráfica de una
función’ – ‘gráfica de su derivada’), Asiala et al. (1997) estudiaron la comprensión de
la relación entre la gráfica de una función y la gráfica de su derivada. Construyeron una
trayectoria hipotética de aprendizaje del concepto de derivada a través de una
descomposición genética del concepto descrita como:
• Comprender y saber realizar la gráfica de los puntos de una función en los ejes de coordenadas.
• Comprender e interpretar el concepto de pendiente de una línea.
• Entender el concepto de función y tener una visión bien desarrollada de su imagen.
• Es necesaria una buena coordinación entre los dos registros algebraico y gráfico para construir un esquema de derivada.
Según estos autores, la coordinación entre los diferentes modos de representación
proporciona una manera de entender la encapsulación de procesos en objetos.
1. Problema de Investigación Ángel Luis Ariza Jiménez
- 38 -
Font (2000a) planteó una intervención de enseñanza basado en la coordinación
de los diferentes registros de representación. Esta intervención tiene como hipótesis
principal que la estimación de la derivada desde la función puede ser vista como un
proceso en el cual están implicados a su vez tres sub-procesos, y donde aparecen
también los distintos registros gráfico y algebraico. Estos sub-procesos son:
• Traslaciones entre diferentes formas de representar una función f(x)
• El paso desde una determinada manera de representar f(x) a otra de representar
su derivada f’(x).
• Traslaciones entre los diferentes modos de representación de f’(x)
Este modelo pretendía estimar la derivada de una función usando los siguientes
procesos: el límite del cociente incremental, la pendiente de la recta tangente, y las
tablas de valores. Los resultados de este estudio mostraron que si el proceso de
enseñanza combinaba estos tres procesos, entonces la comprensión de la derivada para
los alumnos resultaba más sencilla.
Finalmente y en cuanto a las conexiones “derivada en un punto – función
derivada”, hemos de decir que a pesar de la importancia que creemos que este tipo de
conexiones presenta, existen pocos trabajos previos que las hayan analizado (Badillo,
2003; Badillo, Azcarate y Font, 2011). Badillo (2003) resaltó el significado diferente
del concepto de derivada en un punto y el de derivada de la función. El conocimiento
gráfico de la función f(x), la derivada en un punto f’(a) y la derivada de la función f’(x)
estaba caracterizado por tres inconsistencias:
• Confusión entre la derivada en el punto x = a, f’(a) y la derivada de la función
f’(x).
• La simplificación de la expresión algebraica de f’(x) en la ecuación de la recta
tangente, y la simplificación de la gráfica f’(x) en la gráfica de la recta
tangente.
• La no justificación del uso de las técnicas de derivación (definidas en términos
de límite y reglas de derivación).
Según Badillo la comprensión de un esquema de derivada implica la relación
entre la perspectiva local (derivada en un punto) y la global (derivada de la función).
En este sentido el trabajo de García, Llinares y Sánchez-Matamoros (2011) también
1. Problema de Investigación Ángel Luis Ariza Jiménez
- 39 -
destaca la necesaria relación entre la derivada en un punto (perspectiva local), la
primera y la segunda derivada de la función (perspectiva global). Además, subrayan el
papel que desempeña la síntesis de los diferentes modos de representación para el
desarrollo del esquema de derivada cuando los estudiantes intentan relacionar los
elementos constitutivos del concepto durante la resolución de problemas.
Esta revisión muestra el papel que desempeñan los diferentes sistemas de
representación en el aprendizaje de la relación entre una función y su derivada. Si
contextualizamos el uso de la relación entre la función y su derivada en el aprendizaje
de conceptos económicos (bajo la óptica de los diferentes sistemas de representación)
podemos analizar cómo son las relaciones entre derivada y conceptos económicos, y
cómo se usan los registros. A continuación, desglosamos cuáles son los contenidos
matemáticos que subyacen al concepto de cambio modelizado a través de la derivada
cuando se usa en conceptos económicos.
1.3.3. Elementos matemáticos del concepto de cambio instrumentalizado a través
de la derivada y aplicado en conceptos económicos
La información proporcionada por las investigaciones sobre la comprensión de
la derivada y su relación con el concepto de función, ha puesto de manifiesto que dicha
comprensión depende de la naturaleza de las relaciones que los estudiantes establecen
entre los diferentes elementos matemáticos que constituyen el concepto de derivada
(Sánchez Matamoros et al., 2008). Este hecho nos lleva a describir cuáles son los
elementos matemáticos inherentes al concepto de cambio en el estudio de conceptos
económicos, considerándolos en los registros gráfico y algebraico. Estos elementos son:
i) El concepto de Cociente Incremental, analíticamente entendido como la variación
media de los valores de la función entre dos puntos ‘x’ y ‘x+h’, de modo que el
Cociente Incremental entre ‘x’ y ‘x+h’es (f(x+h)-f(x))/h. Este concepto indica
cómo es el crecimiento de una función en un intervalo. Desde el punto de vista
gráfico el Cociente Incremental (Figura 1.9) es la pendiente del segmento que une
dos puntos A y B, donde A estaría formado por el par (x, f(x)), y B por (x+h,
f(x+h)).
1. Problema de Investigación Ángel Luis Ariza Jiménez
- 40 -
Figura 1.9. Concepto de Cociente Incremental desde el punto de vista gráfico
ii) Primera Derivada: Derivada en un Punto, entendida en el registro algebraico
como el límite cuando h tiende a 0 de (f(a+h)-f(a))/h. Gráficamente es la pendiente
de la recta tangente a la función en el punto (a, f(a)) (Figura 1.10). La derivada de
la función en un punto nos indica la velocidad de crecimiento de la función en un
punto determinado.
Figura 1.10. Derivada de un punto desde su representación gráfica
iii) Primera Derivada: Función Derivada (f’(x)). La función derivada asocia cada
punto ‘x’ del dominio de una función con el valor de la derivada de la función en
ese punto. Es decir, el conjunto de todos los pares x, lím (f(x+h)-f(x)/h)) cuando h
tiende a 0. Desde el punto de vista gráfico (Figura 1.11) nos ayuda a visualizar las
características del comportamiento de la función (crecimiento, decrecimiento,
concavidad,...)
1. Problema de Investigación Ángel Luis Ariza Jiménez
- 41 -
Figura 1.11. Función derivada desde su representación gráfica
iv) Segunda Derivada: concavidad-convexidad de una función. La utilidad del
concepto de la función derivada en el estudio de los conceptos económicos reside
en la información proporcionada por las abscisas en las cuales la derivada tiene
un cierto valor, la obtención de los tramos donde la función f crece, decrece o
permanece constante (es decir, medición de la velocidad de cambio), y la
concavidad y convexidad de f en relación con el crecimiento y decrecimiento de
f’.
1.3.4. Conceptos económicos vinculados al concepto de derivada
Algunos de los conceptos económicos vinculados a la idea de derivada y que
constituyen conceptos básicos en el estudio de la materia de Economía son:
• Función Producto Total y la función Producto Marginal
• Función Coste Total y función Coste Marginal
• Función de Demanda y concepto de Elasticidad-precio de la Demanda
• Función de Utilidad y la Relación Marginal de Substitución (RMS)
En todos estos conceptos están implicadas las ideas de crecimiento,
decrecimiento, concavidad, convexidad y linealidad inherentes a la función derivada y
su relación a la idea de función. La tabla 1.1. muestra los conceptos económicos que
aparecerán a lo largo de nuestra investigación.
1. Problema de Investigación Ángel Luis Ariza Jiménez
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Tabla 1.1. Conceptos económicos relacionados con los conceptos de función y función derivada
Función Función derivada
Función de Demanda Elasticidad-precio de la Demanda
Función de Producción Función de Producto Marginal
Función Coste Total Función Coste Marginal
Función de Utilidad Relación Marginal de Substitución
A continuación, pasamos a describir las características de cada uno de los cuatro
pares de conceptos económicos:
1. Función de Demanda y Elasticidad-Precio de la Demanda
La Función de Demanda pone en relación la cantidad de un producto que un
consumidor está dispuesto a adquirir en función de la variable Precio. Casi todas las
funciones de demanda tienen una pendiente negativa lo cual muestra la relación inversa
existente entre el precio y la cantidad demandada (a mayor precio, menor demanda). La
magnitud del cambio en la cantidad demandada de un producto con respecto a los
cambios en el precio es medida por el concepto de la Elasticidad-Precio de la Demanda,
que pone en relación la variación porcentual de ambas variables, según la expresión de
la figura 1.12.
Figura 1.12. Expresión que relaciona la variación porcentual de las variables
La expresión de la figura 1.12 permite calcular la magnitud del cambio en la
cantidad demandada con respecto al cambio en el precio entre dos puntos distintos de la
función de demanda, y también en un solo punto (Elasticidad-punto).
2. Función de Producción y Función de Producto Marginal
Un concepto económico relevante es la función que describe la Producción de la
empresa dependiendo del número de trabajadores contratados. Esta idea recibe el
1. Problema de Investigación Ángel Luis Ariza Jiménez
- 43 -
nombre de Función de Producción. La Función de Producción, indica qué variación de
producción ha generado un trabajador (derivada en un punto) o cuál sería la variación de
producción que generaría cualquier “unidad” de trabajador x (función derivada). En
economía esa función recibe el nombre de Producto Marginal, que es la derivada de la
Función de Producción. Se trata en ambos casos de funciones continuas que de modo
general presentan el siguiente comportamiento (y así son presentadas en los planes de
estudio de Microeconomía, Figura 1.13).
Figura 1.13. Gráfica de la Función Producto Total y Producto Marginal,
respectivamente
En el eje de abcisas de la Función Producto Total (Figura 1.13 A) y de la Función
Producto Marginal (Figura 1.13 B) se representa el número de trabajadores y, en el eje
de ordenadas la producción total, Función del Producto Total, y la productividad de los
trabajadores o producto marginal, Función de Producto Marginal. Observamos que
cuando la Función Producto Total crece describiendo una forma convexa significa que
la Producción que es capaz de generar una empresa crece cada vez más deprisa a
medida que contrata más trabajadores; esta fase se corresponde con un tramo creciente
en la Función derivada del Producto Marginal, hasta que alcanza un máximo. Este
máximo se corresponde con un punto de inflexión en la Función del Producto Total, la
cual pasa de crecer describiendo una forma convexa a cóncava, lo cual indica que el
crecimiento de la producción es ahora cada vez menor a medida que se contratan más
trabajadores, lo cual se corresponde con un tramo decreciente en la Función derivada
1. Problema de Investigación Ángel Luis Ariza Jiménez
- 44 -
del Producto Marginal, hasta donde éste corta al eje de abcisas, donde su valor es 0. Es
en este punto donde la Función de Producto Total alcanza un máximo y pasa de crecer a
decrecer, lo cual significa que ahora la empresa es capaz de generar menos producción a
medida que contrata más trabajadores, tramo donde la Función derivada del Producto
Marginal es negativa. Observamos que la relación gráfica (y también algebraica) de las
dos Funciones permite entender su significado económico, y por tanto, es la relación
función-función derivada que consideramos clave para analizar estos conceptos
económicos en casos distintos o no exactamente iguales al presentado.
La figura 1.14 muestra un ejemplo concreto de este par de funciones donde la
Función de Producto Total (Q) es la rama positiva de la parábola Q = L², y la Función
de Producto Marginal (PM), es la recta que pasa por el origen, PM = 2L.
Figura 1.14. Función Producto (Q = L2) y Producto Marginal (PM =2L)
En este caso, la Función crece siempre de forma convexa, lo cual se traduce en
una Función derivada del Producto Marginal estrictamente creciente; en este caso la
empresa siempre incrementa la producción a un mayor ritmo a medida que aumenta el
número de trabajadores.
Otro ejemplo (Figura 1.15) es el de la Función de Producto Total definida por Q
= L½, que es creciente y describe una forma estrictamente cóncava, lo cual se
corresponde con una Función derivada de Producto Marginal, PM = 1/2L½,
estrictamente decreciente, lo que significa que la empresa, a medida que contrata más
trabajadores, genera incrementos de producción cada vez menores aunque siempre
positivos.
1. Problema de Investigación Ángel Luis Ariza Jiménez
- 45 -
Figura 1.15. Función Producto (Q = L1/2) y Producto Marginal (PM =1/2L1/2)
Por último, también podríamos considerar el caso en que la producción siempre se
incrementara lo mismo a medida que se contratan más trabajadores, lo cual se
correspondería con una Función de Producto Total lineal y creciente y una Función
derivada del Producto Marginal constante (Figura 1.16).
Figura 1.16. Función Producto (Q =kL) y Producto Marginal (PM =K)
La relación entre una función y su derivada se constituyen en elementos claves
para comprender gráficamente el comportamiento de estas dos funciones que modelizan
situaciones económicas particulares.
3. Función Cose Total y Función Coste Marginal
El Coste de producción indica el coste que representa para una empresa la
producción de una determinada cantidad de producto. En economía se estudia la
Función Coste Total haciéndola depender de la cantidad producida. En estas situaciones
es importante saber qué variación de Costes genera producir una unidad x adicional
(derivada en un punto) y con ella cualquier unidad x (derivada de la función). Esa
función derivada del Coste Total que indica cómo crece el Coste al aumentar la
1. Problema de Investigación Ángel Luis Ariza Jiménez
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producción es el Coste Marginal. Se trata de funciones continuas que de modo general
presentan el comportamiento (y así se presentan en los planes de estudio de
Microeconomía) que muestra la figura 1.17.
Figura 1.17. Función Coste Total y Coste Marginal, respectivamente
En el eje de abcisas (Figura 1.17) se representa la cantidad producida (Q) mientras
que en el eje de ordenadas representamos los Costes, siendo Costes Totales en el gráfico
de la izquierda y Costes Marginales en el de la derecha. La Función Coste Total no
parte del origen de coordenadas ya que si la empresa no produce siempre va a incurrir
en algún coste, el cual denominamos Coste Fijo (es siempre la misma cantidad). La
parte relevante del Coste de una empresa es la variable (Coste Variable, que depende de
la cantidad producida). Observamos que la Función de Coste Total presenta un primer
tramo creciente y de forma cóncava, que se corresponde con una Función derivada del
Coste Marginal decreciente hasta alcanzar un mínimo; esto significa que la empresa
incrementa cada vez menos los Costes Totales a medida que produce más unidades. A
partir de un punto de inflexión la Función de Coste Total describe una forma creciente y
convexa, que se corresponde con una Función derivada del Coste Marginal creciente, en
este tramo la empresa tiene incrementos de Costes cada vez mayores al fabricar más
unidades.
A continuación, mostramos varios ejemplos en los que observamos, como ocurría
con las Funciones anteriores, que existe una equivalencia entre ambas funciones, (la
función y la función derivada) que puede ser analizada desde ambos registros (gráfico y
algebraico). La figura 1.18 representa las gráficas de la función Coste Total (CT = 3Q +
1000) y la de su derivada, Coste Marginal (CM = 3). En este caso, los Costes Totales de
una empresa se incrementan en la misma proporción a medida que se producen más
unidades.
1. Problema de Investigación Ángel Luis Ariza Jiménez
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Figura 1.18. Función Coste Total (CT = 3Q+100) y Coste Marginal (CM =3)
Al igual que en las funciones anteriores, también podríamos tener el caso de una
Función Coste Total (CT(Q) = Q² + 100 ) estrictamente creciente y convexa, que se
correspondería con una Función derivada de Coste Marginal (CM(Q) = 2Q)
estrictamente creciente (Figura 1.19), que indicaría un mayor incremento de los Costes
empresariales a medida que se incrementa la producción.
Figura 1.19. Función Coste Total (CT=Q2+100) y Coste Marginal (CM=2Q)
Finalmente, para el caso de una Función de Coste Total (CT = Q½ + 100)
estrictamente creciente y convexa, con una Función derivada del Coste Marginal (CM
= 1/2Q½) estrictamente decreciente (Figura 1.20), que indicaría un menor incremento
(aunque siempre positivo) de los Costes empresariales a medida que se incrementa la
producción.
1. Problema de Investigación Ángel Luis Ariza Jiménez
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Figura 1.20. Función Coste Total (CT=Q1/2+100) y Coste Marginal
(CM=1/2Q½)
4. Función de Utilidad y Relación Marginal de Sustitución (RMS)
La curva de indiferencia o Función de Utilidad representa distintas combinaciones
de consumo de dos bienes ‘X’ e ‘Y’ para los cuales el consumidor mantiene constante
su nivel de satisfacción medido por la Función de Utilidad. Se trata de una función
continua que siempre es estrictamente decreciente. La RMS es la tasa en la que el
consumidor intercambia un bien por otro manteniendo constante su utilidad total, esa
tasa suele ser en valor absoluto cada vez menor. Por ejemplo, la figura 1.21 muestra una
Función de Utilidad, Y = 100/X, con RMS = - (100/X²), es decir, una Función derivada
cada vez menos negativa (creciente pero estrictamente negativa).
Figura 1.21. Función Utilidad, Y = 100/X, y RMS = - (100/X²)
También podríamos encontrarnos el caso de que la Función de Utilidad (Y=100-
X²) fuese cóncava, cambiando por tanto también la forma gráfica de la derivada (RMS =
-2X). En este caso, la cantidad a la que renunciamos de Y por X es cada vez mayor en
1. Problema de Investigación Ángel Luis Ariza Jiménez
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valor absoluto, lo cual se corresponde con una Función derivada cada vez más negativa
(Figura 1.22).
Figura 1.22. Función Utilidad, Y = 100 - X², y RMS = - 2X
Finalmente, en el caso de que la Función de Utilidad fuese lineal (Y=100–2X) se
correspondería con una Función derivada RMS constante (y negativa) (RMS = -2)
(Figura 1.23)
Figura 1.23. Función Utilidad, Y = 100 - 2X, y RMS = - 2
Los conceptos del Producto Marginal, Coste Marginal, Elasticidad-precio y RMS
son fenómenos modelizados por la derivada y por la relación con la función de la cual
proceden: Producto Total, Coste Total, Ingreso Total, Función de Demanda, Función de
Utilidad y Función Isocuanta respectivamente.
Hemos centrado nuestra investigación en la necesaria interrelación entre las
matemáticas y la microeconomía. Las investigaciones a las que hemos hecho referencia
en las secciones anteriores muestran la importante relación entre ambas disciplinas y
entre el concepto de función y derivada, así como los diferentes sistemas de
1. Problema de Investigación Ángel Luis Ariza Jiménez
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representación de conceptos matemáticos que pueden ser usados en la modelación de
conceptos económicos. En nuestra investigación consideraremos la existencia de dos
registros diferentes de representación: el algebraico y el gráfico. Dentro del registro
algebraico incluiremos las representaciones del lenguaje natural, las numéricas, así
como las propias expresiones algebraicas de las funciones. Por su parte, dentro del
registro gráfico consideramos las representaciones de los gráficos de las funciones
definidos en un eje de coordenadas cartesianas.
En este estudio pretendemos caracterizar cómo los estudiantes comprenden estas
relaciones entre la función y su función derivada en diferentes registros al estudiar
Microeconomía. El problema de investigación planteado es relativo a la comprensión
del desarrollo de un esquema de la relación entre función y derivada aplicado al uso de
conceptos económicos. Esta caracterización la realizaremos usando el marco conceptual
de Raymond Duval basado en los diferentes sistemas de representación o registros y la
teoría piagetiana APOE descrita por Dubinsky.
2. Marco teórico Ángel Luis Ariza Jiménez
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CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO
En este capítulo presentamos las perspectivas teóricas que fundamentan nuestra
investigación sobre el análisis de la comprensión y uso de los conceptos matemáticos en
conceptos económicos. En primer lugar, describimos la teoría sobre los registros de
representación de Duval que hemos usado para preparar los instrumentos y apoyar
nuestras interpretaciones. En segundo lugar, presentaremos la Teoría cognitiva APOE o
APOS (Acción-Proceso-Objeto-Esquema) de Dubinsky con el objetivo de caracterizar
las construcciones cognitivas que pueden ser requeridas en el estudio del concepto de la
relación entre función y derivada aplicado a conceptos económicos.
Desde estos marcos de referencia hemos elaborado una propuesta de
descomposición genética del esquema de la relación función-derivada en el uso de
conceptos económicos, entendido como los momentos en la construcción de la
comprensión de las relaciones entre los significados matemáticos del concepto de
derivada y función. En ella subyace la idea de utilizar y hacer traslaciones entre los
diferentes modos de representación (Teoría de Duval) como base para avanzar en las
distintas etapas o niveles de desarrollo del esquema de la relación función-derivada
cuando se usa en conceptos económicos (Teoría APOE). La descomposición genética
propuesta está basada en la existencia de tres esquemas que componen el esquema de la
relación función-derivada en conceptos económicos. Cada esquema forma parte del
siguiente, es decir, están integrados uno dentro del otro, y avanzar en la estructura
cognitiva de cada uno supone manejar las relaciones entre una función y su derivada en
una variedad de registros o modos de representación que además han de coordinarse
entre sí.
2. Marco teórico Ángel Luis Ariza Jiménez
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A partir del problema de investigación definido en el capítulo anterior y las
referencias teóricas adoptadas para determinar cómo podemos obtener información
sobre este problema, definimos la cuestión de investigación a abordar de manera
específica en este trabajo.
2.1.Teoría sobre los registros de representación de Duval
Duval (1995) subraya el papel central en la resolución de problemas y la
comprensión de la representación, la conceptualización, el razonamiento
(argumentación, demostración, utilización de lenguajes formales), la interpretación de
figuras y la comprensión de textos. Este autor caracteriza estos procesos cognitivos
desde una perspectiva funcional que le permite defender su hipótesis de base: no hay
noesis (intelección) sin semiosis (producción de representaciones semióticas). Según
Duval (1995, 2006a) la actividad de resolución de problemas recurre a varios registros
semióticos de representación, algunos de los cuales han sido desarrollados
específicamente para efectuar tratamientos matemáticos (por ejemplo el álgebra, sistema
de numeración posicional, etc.). Esto es consecuencia de que los objetos matemáticos
no son accesibles por la percepción, por lo que la designación de los objetos
matemáticos pasa necesariamente por un registro semiótico de representación.
Para Duval (1995), el conocimiento matemático tiene unas características
propias que hace que no sea posible el acceso a este conocimiento sin recurrir a una
variedad de registros de representación (sistemas semióticos de representación). Un
registro está constituido por signos en el sentido más amplio de la palabra: trazos,
símbolos, íconos... Los registros son medios de expresión y de representación
caracterizados por sus respectivos sistemas semióticos. Por registro de representación
se entiende un sistema de signos utilizados para representar una idea u objeto
matemático y que además cumple con las siguientes características: es identificable,
permite el tratamiento, esto es, la manipulación y transformación dentro del mismo
registro, y por último permite la conversión, consistente en la transformación total o
parcial en otro. Duval (2006b) plantea dos preguntas que constituyen el núcleo del uso
de las ideas matemáticas para modelizar determinadas situaciones: ¿Cómo se aprende a
cambiar de registro? y ¿cómo se aprende a no confundir un objeto con la representación
que se propone? Teniendo por tanto en cuenta la existencia de diferentes registros de
2. Marco teórico Ángel Luis Ariza Jiménez
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representación, Duval (2006b) considera que en cualquier actividad matemática se han
de distinguir dos tipos de transformación:
• TRATAMIENTO: trasformación de una expresión matemática manteniendo el
mismo registro o sistema de representación semiótica. Por ejemplo, el proceso
dentro del registro algebraico de despejar la incógnita en la expresión 2x + 3 = 23
→ 2x = 23 – 3 →…….
• CONVERSIÓN: trasformación de una expresión matemática cambiando de
registro de representación pero sin cambiar el objeto al que se hace referencia. Por
ejemplo, obtener la expresión algebraica a partir de los datos numéricos (Tabla
2.1).
Tabla 2.1. Ejemplo de conversión de funciones económicas desde el registro numérico al registro gráfico y analítico
El siguiente cuadro muestra la Oferta interior de la UE(Qs) y la Demanda
interior de la UE de un producto (Qd)
Precio P Qs de la UE Qd de la UE
3 2 34
6 4 28
9 6 22
12 8 16
15 10 10
18 12 4
(a) Representar las funciones de la demanda y la oferta de la Unión Europea.
(b) Calcular las ecuaciones de la demanda y de la oferta interiores de la UE.
Según Duval (2006a, 2006b), estos procesos de transformación suelen darse al
usar las ideas matemáticas para resolver problemas y, por tanto, también cuando se
están resolviendo situaciones económicas. Pero en algunas situaciones, sobre todo en las
correspondientes al registro gráfico, los procesos de tratamiento y conversión pueden
darse de manera interdependiente y/o coordinada para resolver los problemas de manera
razonada y generando nuevo conocimiento. Duval (2006b) considera la conversión
como un proceso crucial para la comprensión de los objetos matemáticos, que en el caso
del estudio de la economía, son usados para modelizar las situaciones económicas. Esta
importancia de la conversión es debido a que:
• los diferentes sistemas de representación semiótica han de ser utilizados incluso si
existe la posibilidad de elegir y usar solamente uno de ellos,
2. Marco teórico Ángel Luis Ariza Jiménez
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• los objetos matemáticos representados no deben ser nunca confundidos con el
contenido del sistema de representación que se use, y
• permite construir puentes cognitivos de conexión entre diferentes registros.
Desde esta perspectiva, la mejor prueba de la comprensión es la capacidad de
transferir lo que se ha aprendido a diferentes registros dentro y fuera del contexto
matemático, y esto implica desarrollar la conversión por lo que es necesario representar
los objetos matemáticos en diferentes registros al mismo tiempo. Un ejemplo, aplicado
al campo de la economía, sería la ejemplificación de la Ley de la demanda en los tres
registros: lenguaje escrito, registro algebraico y registro gráfico (Tabla 2.2.).
Tabla 2.2. La ley de la demanda expresada en tres registros
- Lenguaje escrito: el aumento del precio de un producto genera una disminución de la cantidad demandada del mismo.
- Registro algebraico: Qd = 100/P, donde P es la variable ‘precio del producto’ y Qd es la variable ‘cantidad demandada del producto’.
- Registro gráfico:
Para Duval (2006b), la conversión engloba tres niveles distintos de procesos
cognitivos:
1) Nivel Superficial (Surface level): identificación del objeto representado en dos
registros diferentes.
2) Nivel Intermedio (Intermediate level): encuentro de relaciones de asociación
entre el registro inicial y otro distinto.
3) Nivel Profundo (Deep level): discriminación de diferentes objetos matemáticos
entre dos representaciones dentro del mismo registro que parecen iguales (dos
2. Marco teórico Ángel Luis Ariza Jiménez
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gráficas que visualmente son iguales, dos afirmaciones que usan las mismas
palabras).
Desde esta perspectiva, el máximo nivel de aplicación de un concepto
matemático (entendido en el contexto económico como lo que ayuda a modelizar la
situación) se alcanza cuando se es capaz de realizar tratamientos de dicho concepto en
todos lo registros posibles y de realizar conversiones entre los mismos. Además, la
coordinación entre los diferentes registros de representación genera algo así como una
extensión de la capacidad mental (Duval, 2006-c) de modo que el conocimiento
matemático empieza con la coordinación de registros diferentes. Para lograr esa
coordinación es fundamental la realización de conversiones de registros en todos los
sentidos posibles, y no solamente en uno. Desde un punto de vista puramente
matemático puede ser suficiente un único registro o sistema de representación, pero
desde el punto de vista del conocimiento las actividades matemáticas requieren de al
menos dos registros de representación, en los cuales poder realizar tratamientos y
conversiones con coordinación.
Los registros en que basaremos nuestro análisis serán el algebraico (en el que
integraremos otros como el numérico y el lenguaje natural, para facilitar así la
descripción y el análisis) y el gráfico. De esta manera un “nivel profundo” del proceso
cognitivo de conversión se daría cuando es posible aplicar los significados de la relación
función-derivada en diferentes situaciones económicas tanto en el registro gráfico como
en el algebraico. En este contexto la conversión entre registros diferentes de la relación
entre función-derivada es un aspecto importante ya que en las situaciones económicas,
las funciones particulares que describen determinados fenómenos han sido
contextualizadas como conceptos económicos relevantes para explicar dichas
situaciones.
2.2. Teoría APOE de Dubinsky
Para analizar el desarrollo de la comprensión de la relación función-derivada en
el aprendizaje de conceptos económicos utilizaremos la teoría APOE o APOS (Acción-
Proceso-Objeto-Esquema), basada en la idea de la existencia de varias fases o etapas en
el desarrollo de la comprensión de un concepto.
2. Marco teórico Ángel Luis Ariza Jiménez
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2.2.1. Descomposición genética: formas de conocer y mecanismos de construcción
Dubinsky (1991) desarrolló un marco teórico resultado de la interpretación de la
teoría piagetiana relativa a la “abstracción reflexiva” aplicada al pensamiento
matemático avanzado (APOE). Según Dubinsky, para Piaget la “abstracción reflexiva”
se lleva a cabo mediante actividades que implican la proyección del conocimiento
existente a un plano superior del pensamiento, y mediante actividades que conllevan la
reorganización y reconstrucción del conocimiento en nuevas estructuras. Para
Dubinsky, la abstracción reflexiva permite la construcción de objetos mentales que
denominan acciones, procesos, objetos y esquemas (formas de conocer), y de los
mecanismos constructivos (mecanismos como interiorización, encapsulación,
tematización). Desde esta perspectiva un esquema es una colección de acciones,
procesos, objetos y otros esquemas que ayudan a configurar la manera en la que un
individuo llega a comprender un concepto. Piaget e Inherler (1978) consideran que un
esquema es la estructura o la organización de acciones que se transfieren o se
generalizan con motivo de la repetición de una acción determinada en circunstancias
iguales o análogas. Por otra parte, Asiala et al. (1997) consideran que es posible
tematizar un esquema cuando se reflexiona sobre la comprensión misma de un esquema,
viéndolo como un todo y se es capaz de realizar acciones sobre él convirtiéndose en un
objeto. Igual que cuando un proceso es encapsulado para formar un objeto, cuando un
esquema es tematizado se crean otra clase de objetos, que pueden ser también des-
encapsulados para obtener el contenido original del esquema. De esta manera, Piaget y
García (1983/89) definen la tematización como el pasaje del uso o aplicación implícita
de un concepto o relación a la utilización consciente.
Uno de los objetivos de Dubinsky (1991) es identificar partes de la estructura
cognitiva y dar descripciones explícitas de posibles relaciones entre ellas. Cuando esto
se hace para un concepto particular, Dubinsky y sus colegas (Arnon et. al, 2014) lo
denominan descomposición genética del concepto, y lo define como un conjunto
estructurado de construcciones mentales que describen la trayectoria hipotética de
cómo el concepto se desarrolla en la mente del individuo. La descomposición genética
es el primer paso que realizan los investigadores para desarrollar el análisis teórico de
un concepto matemático en términos de las construcciones mentales que un aprendiz
puede hacer en orden a desarrollar la comprensión del concepto. Por ejemplo, Asiala et
al. (1997) presentaron una descomposición genética del concepto de derivada basada en
2. Marco teórico Ángel Luis Ariza Jiménez
- 57 -
los elementos matemáticos y las relaciones que se deberían dar en el proceso de
construcción del esquema de la derivada. Los principales puntos de la descomposición
genética que ellos proponen son:
- Conocimiento prerrequerido:
a) Representación gráfica de objetos matemáticos
b) Coordinación de representación de puntos con una función
- Representaciones gráfica y analítica de la derivada: hay al menos dos
perspectivas que pueden ser utilizadas en la construcción del esquema de la
derivada: la gráfica y la analítica.
- Interpretación gráfica de la derivada
c) Interpretación gráfica de la derivada en un punto.
d) Interpretación gráfica de la derivada como función
- Uso del concepto de derivada
e) Determinadas coordinaciones para obtener la gráfica de la función f
(pp.21-22)
Desde esta descomposición genética, el uso del concepto de la derivada se
caracteriza por la generación de coordinaciones para la obtención de la gráfica de f. En
caso de tematización del esquema de la derivada, la información de la gráfica de la
derivada se utiliza de forma inversa para obtener información sobre la función.
Nosotros propondremos una descomposición genética que pretende ser una
estructura del esquema de la relación función-derivada cuando se usa en conceptos
económicos. Siguiendo la propuesta de Asiala y sus colaboradores (1997) contará con
unos prerrequisitos, con la doble perspectiva de los registros gráfico y algebraico, y con
la necesidad de contar con la segunda y la primera derivada para obtener información de
la función origen y viceversa.
2.3.Propuesta de descomposición genética
A partir de las referencias teóricas anteriores, en esta sección presentamos
nuestra propuesta de descomposición genética. Esta propuesta es una hipótesis sobre las
diferentes formas de conocimiento que los alumnos han de ir construyendo hasta lograr
2. Marco teórico Ángel Luis Ariza Jiménez
- 58 -
la comprensión de los conceptos económicos considerando la comprensión de la
relación función-derivada. La propuesta de descomposición genética que planteamos
considera los aspectos correspondientes a la teoría APOE y las características de los
sistemas de representación según Duval. En ella distinguiremos,
(a) el conjunto de los elementos matemáticos (y su contextualización en elementos
económicos) que consideramos inherentes a la relación función-derivada en
conceptos económicos, y
(b) las características y evolución de la comprensión de dichos elementos
2.3.1. Elementos del esquema de la relación función-derivada en los conceptos
económicos
A continuación, describiremos los elementos matemáticos que aparecen en el
uso de conceptos económicos. Dicha descripción tiene en cuenta tres aspectos que son
relevantes desde los marcos teóricos adoptados y la descomposición genética que
construimos:
i) el significado de la relación funcional entre variables (pre-requisitos)
ii) la idea de cambio (variabilidad de la relación), y
iii) el significado de la velocidad del cambio, la variabilidad (concavidad y convexidad)
En la caracterización de los elementos hemos considerado tres aspectos, que
permiten caracterizar el modo en la que la comprensión de la relación función-derivada
puede llegar a influir en la comprensión de los conceptos económicos con los que se
modelizan determinadas situaciones económicas. Estos aspectos son:
- el tipo de relación funcional entre las variables (lineal, cóncava o convexa),
- los registros (gráfico y analítico), y
- las relaciones entre los registros (tratamiento y conversión).
i) Consideramos en primer lugar los que llamaremos Pre-elementos. Constituyen lo
que los alumnos han de conocer como prerrequisito para poder usar el concepto de
derivada para entender los conceptos económicos tanto en el registro gráfico como
en el algebraico. Estos pre-elementos están basados en el significado de la relación
2. Marco teórico Ángel Luis Ariza Jiménez
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funcional entre las variables expresadas entre ambos registros (algebraico y gráfico).
Son cuatro pre-elementos:
• E1, se refiere a la capacidad de convertir la relación funcional lineal entre dos
variables económicas desde el registro algebraico al gráfico.
• E5, se refiere a la capacidad de convertir una relación funcional lineal entre
dos variables económicas desde el registro gráfico al algebraico.
• E2, se refiere a la capacidad de convertir una relación funcional no lineal
entre dos variables económicas desde el registro algebraico al gráfico.
• E7, se refiere a la capacidad de convertir una relación funcional no lineal
entre dos variables económicas desde el registro gráfico al algebraico.
ii) En segundo lugar, consideraremos los elementos matemáticos relacionados con la
idea de velocidad de cambio. La variabilidad de una función comienza a
comprenderse cuando se analiza el concepto de Tasa de Variación Media entre dos
de los puntos de la función. Posteriormente este concepto se analiza cuando la
distancia entre los dos puntos es cada vez más pequeña. Estos dos conceptos serán
los elementos
• E3, Tasa de Variación Media entre dos puntos, y
• E4, Tasa de Variación por aproximación al límite.
A continuación la idea de velocidad de cambio necesita de la obtención de la
función derivada y su relación con la función origen o relación funcional inicial
entre las variables económicas. Definimos así los elementos
• E6, significado y obtención de la 1ª derivada en funciones lineales, y
• E8, significado y obtención de la 1ª derivada en funciones no lineales.
iii) En tercer lugar, incluimos los elementos matemáticos que explican el significado de
la velocidad de la variabilidad. La función 2ª derivada expresa el sentido y la
magnitud de la variabilidad entre dos magnitudes cuantificables. Así, definimos el
elemento
• E9, significado y obtención de la 2ª derivada en una función origen convexa, y
• E10, significado y obtención de la 2ª derivada en una función origen cóncava.
2. Marco teórico Ángel Luis Ariza Jiménez
- 60 -
Considerar como dos elementos diferenciados la comprensión de lo que significa
la segunda derivada de funciones convexas y cóncavas es debido al significado
que tienen desde el punto de vista de la interpretación de los fenómenos
económicos que describen.
Por último, creemos necesaria la inclusión de un elemento que contenga y
relacione el proceso que iría desde la medición de la variabilidad entre dos puntos
de una función, pasando por la obtención de la variabilidad en un solo punto, y en
toda la función. Incluimos así el elemento
• E11, desde la derivada en un punto a la función derivada para una función
origen convexa, y
• E12, desde la derivada en un punto a la función derivada para una función
origen cóncava.
Las tablas 2.3, 2.4 y 2.5 resumen todos los elementos. Incluyen además una
referencia a los modos de representación vinculados a los elementos en nuestra
propuesta de descomposición y los nombres de los elementos o conceptos económicos
en que dichos elementos matemáticos se utilizan.
Tabla 2.3. Significado de la relación funcional entre variables (Pre-elementos)
PRE-ELEMENTOS
E1: Conversión de funciones económicas lineales, desde el registro algebraico al gráfico. (Conversión A-G lineal).
E5: Conversión de funciones económicas lineales desde el registro gráfico al algebraico. (Conversión G-A lineal)
E2: Conversión de funciones económicas no lineales desde el registro algebraico al gráfico. (Conversión A-G no lineal)
E7: Conversión de funciones económicas no lineales desde el registro gráfico al algebraico. (Conversión G-A no lineal)
ELEMENTOS MATEMÁTICOS Y MODOS DE REPRESENTACIÓN
ELEMENTOS ECONÓMICOS
E1 y E2 - Funciones lineales/ no lineales - Conversión: desde tabla/registro
algebraico a gráfica
- Equilibrio de Mercado. - Funciones de Oferta y
Demanda.
E5 y E7 - Funciones lineales/ no lineales - Conversión: desde gráficas a
expresiones algebraicas
- Equilibrio de Mercado. - Funciones de Oferta y
Demanda.
2. Marco teórico Ángel Luis Ariza Jiménez
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Tabla 2.4. Elementos correspondientes a la idea de velocidad de cambio (variabilidad de la relación)
ELEMENTOS
E3: Tasa de Variación Media entre dos puntos: cociente incremental entre dos puntos ‘x’ y ‘x+h’. En modo analítico T.V.M. (x, x+h) = (f(x+h)-f(x))/h. Este concepto nos indica cómo es el crecimiento de una función en un intervalo considerado.
E4: Tasa de Variación Media por aproximación al límite: entendido desde el registro algebraico como el límite cuando h tiende a 0 de (f(x+h)-f(x))/h. Nos indica cómo es el crecimiento de la función en un punto de terminado.
E6: 1ª Derivada (funciones lineales): significado y obtención de las expresiones algebraicas y las gráficas de la función y su derivada.
E8: 1ª Derivada (funciones no lineales): significado y obtención de las expresiones algebraicas y las gráficas de la función y su derivada.
ELEMENTOS MATEMÁTICOS Y MODOS DE REPRESENTACIÓN ELEMENTOS ECONÓMICOS
E3 REGISTRO ALGEBRAICO - Relación de los cambios porcentuales
entre 2 variables. - Razón como cociente de la media del
cambio.
Elasticidad-precio de la Demanda entre dos puntos
E4 REGISTRO ALGEBRAICO - Aproximación al límite. - Relación con los conceptos de
pendiente y/o derivada de la función.
Elasticidad-punto de la Demanda
E6 AMBOS REGISTROS - Gráficas de la Derivada y de la
Función económica lineal. - Expresiones algebraicas de ambas
funciones
- Tratamientos y conversiones
- Coste Marginal - Función de Coste Total
E8 AMBOS REGISTROS - Gráficas de la Derivada y la
Función económica no lineal - Expresiones algebraicas de ambas
funciones
- Tratamientos y conversiones
- Función de Producción o Producto Total
- Producto Marginal
2. Marco teórico Ángel Luis Ariza Jiménez
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Tabla 2.5. Elementos correspondientes al significado de la velocidad de la variabilidad (concavidad y convexidad)
ELEMENTOS
E9: 2ª Derivada (Convexidad): significado de la forma convexa de una función económica en ambos registros y su relación con la 2ª derivada. Este concepto hace referencia a cómo es el crecimiento del crecimiento de una función. En funciones convexas la función crece cada vez más, es decir la medida del crecimiento es cada vez mayor (valor de la 2ª derivada es mayor que 0). Para funciones de pendiente negativa, la medida del decrecimiento disminuye en valor absoluto
E10: 2ª Derivada (Concavidad): significado de la forma cóncava de una función económica en ambos registros y su relación con la 2ª derivada. Este concepto hace referencia a cómo es el crecimiento del crecimiento de una función; en funciones cóncavas en las que la función crece cada vez menos, es decir el crecimiento disminuye (valor de la 2ª derivada es menor que 0). Para funciones de pendiente negativa, el decrecimiento crece en valor absoluto.
E11: Derivada en un Punto → Función Derivada: paso desde la derivada en un punto a la derivada de una función económica convexa.
E12: Derivada en un Punto → Función Derivada: paso desde la derivada en un punto a la derivada de una función económica cóncava
ELEMENTOS MATEMÁTICOS Y MODOS DE REPRESENTACIÓN ELEMENTOS ECONÓMICOS
E9 AMBOS REGISTROS - Explicación gráfica de la convexidad. - Cálculo de la 2ª derivada.
- Función de Coste Total - Coste Marginal
E10 AMBOS REGISTROS - Explicación gráfica de la concavidad. - Cálculo de la 2ª derivada.
- Función de Producción o Producto Total.
- Producto Marginal
E11 AMBOS REGISTROS - Derivada en un punto. - Derivada de la Función. - Función convexa.
- Función de Utilidad o Curva de Indiferencia
- Relación Marginal de Sustitución
E12 AMBOS REGISTROS - Derivada en un punto. - Derivada de la Función. - Función cóncava.
- Función de Utilidad o Curva de Indiferencia.
- Relación Marginal de Substitución
2. Marco teórico Ángel Luis Ariza Jiménez
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2.3.2. Hipótesis previas sobre el desarrollo de la comprensión del esquema de la
relación función-derivada en conceptos económicos
A partir de los elementos descritos en la sección anterior realizamos la propuesta
de descomposición genética. La hipótesis es que para alcanzar la comprensión de la
relación función-derivada en la modelización de situaciones económicas se ha de pasar
por tres etapas:
Primera etapa: caracterizada por la realización de acciones, en las que el alumno
calcula tasas de variaciones medias aplicando la fórmula pero sin necesidad de
proporcionar explicaciones conceptuales de lo que esto significa. Se realizan cálculos de
funciones derivadas. El registro de trabajo es el algebraico o numérico y las únicas
conversiones que se realizan se hacen desde el registro algebraico al gráfico.
Ejemplos de acciones serían el cálculo algebraico de una derivada, el cálculo de un
concepto económico, como la elasticidad, en donde se utilizan cálculos de variaciones
medias de variables, o la representación gráfica de una función a partir de su expresión
algebraica o a partir de datos numéricos tabulados, es decir, conversión de una función
desde el registro algebraico al gráfico.
Segunda etapa: la irrupción del registro gráfico debe permitir la posibilidad de que
el estudiante use la relación función-derivada para explicar lo que significa los
diferentes conceptos económicos. En este sentido, el estudiante puede usar el
significado de la primera derivada en relación con la función origen a través de procesos
gráficos. La relación función-derivada entendida como una acción se interioriza en
procesos a través del tratamiento gráfico de la derivada.
El tipo de conversión de funciones que se es capaz de realizar en esta etapa es desde
el registro gráfico al algebraico, es decir, en sentido inverso a la conversión realizada en
la etapa 1. Las conversiones en este sentido inverso (desde el gráfico al algebraico) son
procesos interiorizados por el alumno. Estos procesos de conversión exigen al
estudiante que traslade los significados geométricos del concepto de derivada al registro
algebraico en determinados conceptos económicos.
Este proceso de conversión desde lo gráfico a lo algebraico se desarrolla primero con
funciones lineales (más sencillos) y posteriormente con funciones no lineales. Ejemplos
de estos procesos podrían ser:
2. Marco teórico Ángel Luis Ariza Jiménez
- 64 -
• obtención de la gráfica de una función derivada a partir de la función origen, y
• obtener la expresión algebraica de una función a partir de su representación
gráfica
En esta etapa aparece la coordinación entre registros de los procesos ya
conscientemente realizados. En el contexto de nuestra investigación, la coordinación se
pone de manifiesto cuando el estudiante es capaz de comprobar la coherencia de los
resultados obtenidos en ambos registros (equivalencia entre una expresión algebraica y
su representación gráfica). Por ejemplo, una función lineal creciente dibujada desde el
origen de coordenadas debería corresponderse con una expresión del tipo y = cx, siendo
‘c’ una constante, y un reconocimiento de que la pendiente de la recta viene dada por el
coeficiente que acompaña a la ‘x’. La representación gráfica y la expresión algebraica
de la función constituyen dos procesos que se utilizan para representar y entender la
relación funcional entre las variables. Esta idea teórica está en consonancia con el
concepto de coordinación de Dubinsky descrito anteriormente.
Tercera etapa: el alumno toma conciencia del concepto, y aplica nuevas acciones y
procesos (obtención de segundas derivadas), encapsulando así el objeto (relación
función-derivada). Se produce la transformación de las acciones y procesos utilizados
para la obtención de las primeras y segundas derivadas, de modo que el alumno toma
conciencia de todos los elementos utilizados en la construcción de la relación función-
derivada en conceptos económicos. En esta fase los estudiantes pueden llegar a des-
encapsular el significado de esta relación al poder realizar el proceso inverso obteniendo
información sobre la función origen a partir de lo que se conoce de la segunda derivada.
La coordinación entre el registro gráfico y algebraico está contextualizada en funciones
no lineales realizando conversiones en ambos sentidos. Por último, se llega a la
generalización de la relación función-derivada en conceptos económicos al aplicarse los
esquemas construidos en ambos registros en la obtención de información de la función
origen a partir de las segundas y primeras derivadas, con la intención de abordar una
situación diferente y desconocida: a partir de la derivada en un punto obtener la función
derivada.
Desde el punto de vista conceptual, el desarrollo del esquema que aquí
describimos se tematiza a lo largo de un continuo formado por estas tres etapas: primero
con el dominio algebraico del concepto, fundamentalmente a través del cálculo de
variaciones medias e infinitesimales y utilizaciones de las fórmulas algebraicas de la
2. Marco teórico Ángel Luis Ariza Jiménez
- 65 -
derivada. En segundo lugar, con la relación función-primera derivada en ambos
registros; y, en tercer lugar, a través de la relación entre segunda derivada, primera
derivada y función origen, con la capacidad final de extrapolar o inferir una función
derivada a partir de la derivada en uno de sus puntos.
Para explicar cómo entendemos esta descomposición genética, usaremos como
ejemplo el papel que desempeña la relación función-derivada en la comprensión del
concepto de coste marginal.
En la primera etapa (Figura 2.1.) para una función del Coste de producción de
una empresa que vendría dada por la expresión C (Q) = Q², siendo Q la cantidad
producida y C(Q) el coste que hacemos depender de aquella, el alumno solo podría
obtener (y de modo mecánico) la expresión algebraica del Coste Marginal (que se
obtiene derivando, CM(Q) = 2Q), pero tendría dificultades en determinar el significado
económico, es decir la información sobre el contexto económico que proporciona la
manipulación algebraica realizada. Posteriormente, el estudiante va adquiriendo un
significado consciente del concepto a través de la relación entre la función origen y su
derivada, no solo en el registro algebraico sino también en el gráfico. El estudiante llega
a interpretar el significado del concepto económico a través de esa relación en el
registro gráfico y con coordinación con el registro algebraico manejado en la etapa
anterior. Así, para la misma función anterior del coste marginal, gracias a su forma
gráfica (lineal creciente) y la de la función origen (parábola creciente) el alumno
entendería que a una empresa le cuesta cada vez más cantidad de dinero producir una
unidad de producto adicional.
Figura 2.1. Gráficas de la función origen C(Q) = Q² y su derivada CM(Q) = 2Q
2. Marco teórico Ángel Luis Ariza Jiménez
- 66 -
Por último, en la última etapa, la relación entre las formas gráficas de la segunda
derivada, la primera derivada y la función origen permite comprender el significado del
concepto económico: el hecho de que la derivada de la derivada de nuestro ejemplo sea
una función constante y positiva, permite al estudiante entender que el crecimiento del
crecimiento del Coste de producción para la empresa es positivo, y por tanto asimilar
más claramente el significado económico de esa función de Coste de una empresa. La
relación con el significado de convexidad en este caso (concavidad en otros) permite
inferir cómo se comporta o cuál sería el incremento del coste de producir de una
empresa en cualquier punto. Es decir, pasar de la derivada en un punto a la función
derivada, lo cual supone un avance cognitivo surgido tras una reorganización conceptual
de todos los elementos matemáticos que se han ido utilizando en cada una de estas tres
etapas.
La combinación de los 12 elementos matemáticos descritos en estas tres etapas
permite describir una propuesta de descomposición genética formada por tres esquemas
integrados. Esta descomposición genética es la referencia para la construcción y diseño
de los instrumentos de la investigación, así como para el análisis y los resultados.
El esquema inicial (Esquema 0) se corresponde con la denominada Primera
etapa de la comprensión de la relación función-derivada en conceptos económicos. Es
decir, tratamiento del concepto en el registro algebraico como hemos explicado antes.
Los cuatro elementos matemáticos que hemos considerado en este esquema son las
conversiones desde el registro algebraico al gráfico en funciones lineales y no lineales
(elementos E1 y E2), el cálculo de tasas de variaciones medias e infinitesimales
(elementos E3 y E4). De ahí el nombre dado al Esquema 0: de lo algebraico a lo gráfico
(Tabla 2.6).
Tabla 2.6. Esquema 0 de la descomposición genética propuesta: De lo algebraico a la gráfico
Esquema 0: De lo algebraico a lo gráfico
E1. Conversión de funciones económicas lineales A G E2. Conversión de funciones económicas no lineales A G E3. TVM entre dos puntos E4. TVM por aproximación al límite
La Segunda etapa de la comprensión de la relación función-derivada en
conceptos económicos (Esquema 1), está formada por el esquema anterior (Esquema 0)
y otros cuatro elementos. Es importante reseñar que consideramos el Esquema 0
2. Marco teórico Ángel Luis Ariza Jiménez
- 67 -
incluido como primer elemento del Esquema 1. Como hemos visto en el ejemplo del
Coste de una empresa, para que el alumno comience a entender el significado del coste
marginal, se ha de relacionar la gráfica de la primera derivada y la de la función origen,
y coordinarse con el registro algebraico. Los cuatro elementos adicionales que aquí
hemos considerado son las conversiones de funciones lineales desde el registro gráfico
al algebraico (elemento E5), ya que se hacen necesarias estas conversiones (y no solo
desde el algebraico al gráfico) para afianzar la coordinación entre los dos registros, la
obtención de primeras derivadas en ambos registros y su relación con las funciones
origen lineales (elemento E6), las conversiones de funciones no lineales desde el
registro gráfico al algebraico (elemento E7), y por último la obtención de primeras
derivadas en ambos registros y su relación con las funciones origen no lineales
(elemento E8) (Tabla 2.7).
Tabla 2.7. Esquema 1 de la descomposición genética propuesta: significado y uso de la primera derivada
Esquema 1: Significado y uso de la 1ª derivada
E0- Esquema 0 E5.Conversión de funciones económicas
lineales G A E6. 1ª derivada (funciones lineales):
relaciones entre expresiones algebraicas y las gráficas de la función y su derivada
E7. Conversión de funciones económicas no lineales G A
E8. 1ª derivada (funciones no lineales): obtención de las expresiones algebraicas y las gráficas de la función y su derivada
Por último, la Tercera etapa en la comprensión de la relación función-derivada
en contextos económicos (Esquema 2) está formada por el Esquema 1 más otros cuatro
elementos. El primer elemento del Esquema 2 es el Esquema 1, ya que la relación entre
segunda derivada y función origen en ambos registros se apoya en el significado y uso
de la primera derivada (Esquema 1). Es decir, para que alumno pueda desarrollar el
Esquema 2 ha de entender y usar en ambos registros la primera derivada, lo cual se
adquiere a lo largo del Esquema 1, de ahí la necesidad de integrarlo como primer
elemento del Esquema 2. También hemos considerado en este esquema los cuatro
elementos siguientes: relación entre segunda derivada, primera derivada y función
origen en funciones convexas y cóncavas en ambos registros (elementos E9 y E10
respectivamente), y el paso desde la derivada en un punto a la función derivada en
funciones convexas y cóncavas (elementos E11 y E12). Estos dos últimos elementos
2. Marco teórico Ángel Luis Ariza Jiménez
- 68 -
combinan otros procesos anteriores y acciones para conseguir ser consciente de la
función derivada global desde su valor en un punto, aplicado a un concepto económico,
y por el tratamiento y la coordinación de los dos registros de representación utilizados
(Tabla 2.7).
Tabla 2.8. Esquema 2 de la descomposición genética propuesta: significado y uso de la segunda derivada
Esquema 2: Significado y uso de la 2ª derivada
E1- Esquema 1 E9. 2ª derivada (Convexidad): Explicación en
contexto económico de la forma convexa de una función en ambos registros y su relación con la 2ª derivada
E10. 2ª derivada (concavidad): explicación en contexto económico de la forma cóncava de una función en ambos registros y su relación con la 2ª derivada
E11.Derivada en un punto Función derivada: paso de la derivada en un punto a la derivada de una función económica convexa
E12. Derivada en un punto Función derivada: paso de la derivada en un punto a la derivada de una función económica cóncava
A este Esquema 2 le hemos denominado Significado y uso de la 2ª derivada, y
equivaldría al Esquema de la relación función-derivada en conceptos económicos, al
englobar en sus elementos a los dos esquemas anteriores. Por lo tanto, las conclusiones
sobre el análisis y resultados de nuestra investigación se referirán a lo obtenido en este
Esquema 2 al haber considerado que cada esquema está integrado en los esquemas
siguientes.
La tabla 2.9 y la figura 2.2 muestran visualmente los componentes de cada
esquema, y cómo estos están integrados.
2. Marco teórico Ángel Luis Ariza Jiménez
- 69 -
Tabla 2.9. Propuesta de descomposición genética formada por 12 elementos en 3 esquemas integrados
Esquema 0: De lo algebraico al gráfico
E1. Conversión de funciones económicas lineales A G E2. Conversión de funciones económicas no lineales A G E3. TVM entre dos puntos E4. TVM por aproximación al límite
Esquema 1: Significado y uso de la 1ª derivada
E0- Esquema 0 E5. Conversión de funciones económicas lineales G A E6. 1ª derivada (funciones lineales): relaciones entre
expresiones algebraicas y las gráficas de la función y su derivada
E7. Conversión de funciones económicas no lineales G A
E8. 1ª derivada (funciones no lineales): obtención de las expresiones algebraicas y las gráficas de la función y su derivada
Esquema 2: Significado y uso de la 2ª derivada
E1- Esquema 1 E9. 2ª derivada (Convexidad): Explicación en contexto
económico de la forma convexa de una función en ambos registros y su relación con la 2ª derivada
E10. 2ª derivada (concavidad): explicación en contexto económico de la forma cóncava de una función en ambos registros y su relación con la 2ª derivada
E11. Derivada en un punto Función derivada: paso de la derivada en un punto a la derivada de una función económica convexa
E12. Derivada en un punto Función derivada: paso de la derivada en un punto a la derivada de una función económica cóncava
Figura 2.2.Representación del carácter integrado de los esquemas que conforman el esquema de la relación función-derivada en conceptos económicos
2. Marco teórico Ángel Luis Ariza Jiménez
- 70 -
Esta propuesta de descomposición genética debe ser entendida como una
trayectoria cognitiva hipotética a través de la cual un estudiante puede llegar a
comprender la relación función-derivada en conceptos económicos. Esto es así, ya que
la hipótesis es que el estudiante puede llegar a comprender los conceptos económicos a
través del significado de la relación entre la derivada en un punto y la función derivada,
y del significado de la relación entre la segunda derivada, la primera derivada y la
función económica origen tanto en el registro algebraico como en el registro gráfico.
2.4.Niveles de desarrollo del Esquema
Piaget y García (1983/1989) plantean que un esquema se desarrolla a través de
tres niveles: INTRA, INTER y TRANS. El mecanismo por el cual el individuo se
traslada de un nivel a otro es denominado por Piaget y García (1983/89) “abstracción
reflexiva”. Según Piaget esta abstracción reflexiva ha de entenderse en un doble
sentido:
- La proyección de la existencia de conocimiento dentro de un nivel de
pensamiento superior, esto es, trascender y construir una nueva y más
compleja estructura de conocimiento.
- La reorganización y combinación de elementos estructurales para conseguir
un objetivo dado (organización estructural).
Por lo que hace al primer sentido, el modo en el que la organización estructural
de acciones, procesos y objetos es llevado a cabo a través de un cambio en los usos, o
una aplicación implícita para un objetivo determinado, y conceptualizar es lo que ha
venido en llamarse bajo el término tematización. La transición desde un uso implícito a
un uso consciente de los elementos matemáticos y el establecimiento de algún tipo de
relación entre ellos es lo que se ha llamado una proyección del conocimiento a un nivel
de pensamiento superior en abstracción reflexiva, esto es, el proceso por el cual una
estructura más compleja de conocimiento es construida.
En cuanto al segundo sentido, la reorganización del conocimiento es vista por
estos autores como la posibilidad de que un esquema pueda ser tematizado para
convertir en otro objeto cognitivo a los que acciones y procesos les puedan ser
aplicados. Así, Cooley, Trigueros y Baker (2003) consideran en su estudio que un
2. Marco teórico Ángel Luis Ariza Jiménez
- 71 -
esquema se considera tematizado cuando se convierte en una realidad para el individuo,
alcanza un nivel consciente y puede ser tratado como un concepto nuevo e interesante.
García, Llinares y Sánchez-Matamoros (2011) asumen que los dos sentidos de la
abstracción reflexiva están determinados por las relaciones que los estudiantes son
capaces de hacer conscientemente entre elementos matemáticos, donde la coordinación
mostrada en un nivel debe ser una característica observable en el siguiente nivel. Así, la
manera en que los estudiantes establecen relaciones entre elementos que ayudan a
constituir el esquema son las evidencias de su desarrollo. En particular, y en el contexto
de la relación función-derivada supondría por ejemplo analizar hasta qué punto se
entiende la idea de la derivada en un punto desde su interpretación geométrica y como
el límite del cociente incremental, junto con las condiciones en que una función es
derivable en un punto; o también sobre cómo se obtiene la información en un intervalo
sobre crecimiento, decrecimiento, máximos, mínimos, puntos de inflexión, concavidad,
convexidad de una función…
Los tres niveles de desarrollo de un esquema propuestas por Piaget y García, son
definidos de manera general del siguiente modo:
• INTRA: descubrimiento de una acción operatoria cualquiera, y búsqueda del
análisis de sus diversas propiedades internas o de sus consecuencias inmediatas,
pero sin coordinación con otras operaciones y con errores que se corregirán
progresivamente. Por ejemplo, aplicado al cálculo de la derivada de una función,
en la etapa INTRA un estudiante tiene a su disposición un conjunto de diferentes
reglas: conoce y utiliza la fórmula de tasa de variación media para medir el
crecimiento de una función entre dos puntos.
• INTER: una vez comprendida una operación inicial es posible deducir de ella las
operaciones que están implicadas, o de relacionarlas con otras similares, hasta la
constitución de sistemas que involucran ciertas transformaciones. Existen
limitaciones ya que las composiciones solamente pueden proceder con
elementos contiguos. Siguiendo con el mismo ejemplo, en la etapa INTER el
estudiante reconoce que estas reglas están relacionadas en muchos casos: utiliza
el concepto de límite para ir calculando la tasa de variación entre intervalos cada
vez más pequeños hasta poder calcular la derivada en un punto.
2. Marco teórico Ángel Luis Ariza Jiménez
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• TRANS: se involucran, además de las transformaciones, síntesis entre ellas;
dichas síntesis llegan a la construcción de “estructuras”. Se entiende por
“síntesis” el proceso por el cual a partir de una cosa que se conoce, realizando
operaciones con o sobre ella se llega a la conclusión y a la comprensión de algo
que no se conocía. Aplicado a nuestro ejemplo, en la etapa TRANS el estudiante
considera dichas reglas como casos especiales de la misma regla: es capaz de
obtener la función derivada para cualquier valor de ‘x’, obteniendo una regla
general que permite obtener el valor de la derivada para cualquier caso particular
y usar el significado de la gráfica de la función derivada para obtener
información sobre la función.
Bajo la hipótesis Piagetiana de los niveles INTRA, INTER y TRANS de
desarrollo del esquema algunas investigaciones han estado aportando algunas
características del proceso de desarrollo de y sobre la tematización del esquema. En
relación al esquema de derivada, Clark et al. (1997) particularizaron la propuesta de
desarrollo de un esquema de Piaget y García al cálculo de la deriva de una función y
Sánchez-Matamoros y sus colegas (Sanchez-Matamoros, 2004; Sánchez-Matamoros et
al. 2006, 2013; García, Llinares y Sánchez-Matamoros, 2011) caracterizaron las etapas
de desarrollo del esquema de la derivada a través de la manera en la que los estudiantes
coordinaban el uso de los distintos elementos matemáticos del concepto de derivada, en
uno o varios sistemas de representación. El nivel INTRA se caracteriza por la
realización de acciones considerando de manera aislada los elementos matemáticos, sin
coordinación o aparición de relaciones lógicas entre los mismos, y siempre dentro de un
mismo registro de representación. Por ejemplo, cálculo formal de la expresión de la
derivada de una función en el registro algebraico. En el nivel INTER se establecen
relaciones lógicas entre los distintos elementos generalmente en un registro de
representación. Por ejemplo, la obtención de la representación gráfica de la derivada a
partir de la representación gráfica de la función. Mientras que en el nivel TRANS esas
relaciones se realizan sin restricciones y estableciendo la síntesis (obtención de la
derivada en ambos registros).
En nuestro estudio piloto llevado a cabo con estudiantes bachillerato y
universidad (Ariza y Llinares, 2009) sobre el uso de la derivada en conceptos
económicos, los resultados indican tres niveles de desarrollo del concepto que podrían
equiparse a los niveles INTRA, INTER y TRANS piagetianos. En dicho trabajo se
2. Marco teórico Ángel Luis Ariza Jiménez
- 73 -
concluyó que el registro gráfico era fundamental para avanzar en la comprensión del
concepto de la derivada en conceptos económicos tanto en el tratamiento del registro
gráfico como las conversiones desde éste hacia el algebraico.
En la investigación que aquí presentamos pretendemos identificar características
de los niveles de desarrollo del esquema de la relación función-derivada en conceptos
económicos considerando las relaciones entre modos de representación. Esta
información puede ser relevante para poder identificar mecanismos diferentes de
abstracción reflexiva que sugieran cambios de nivel (INTRA-INTER-TRANS) en el
desarrollo del esquema (Figura 2.3).
Figura 2.3. Fases de desarrollo del esquema relación función-derivada en contextos económicos
2.5.Preguntas de investigación
Esta investigación pretende aportar información sobre el papel que desempeña
la relación entre una función y su derivada en la comprensión de los conceptos
económicos, y cómo estudiantes de Microeconomía intermedia usan el concepto de
derivada en la resolución de problemas en conceptos económicos. En particular nos
hemos planteado la siguiente cuestión de investigación:
• ¿Cuáles son las características de los niveles de desarrollo del esquema de la
relación función-derivada en conceptos económicos?
3. Diseño de investigación Ángel Luis Ariza Jiménez
- 75 -
CAPÍTULO 3. DISEÑO DE INVESTIGACIÓN
Este capítulo está organizado en tres secciones. En la primera sección se
describen las características de los sujetos que participaron en la investigación. En la
segunda sección, se presentan los instrumentos de recogida de datos, su diseño e
implementación. En la tercera sección, se describen las fases del análisis realizado a los
datos.
3.1. Participantes y contexto
Los participantes fueron 110 estudiantes de la Universidad de Alicante de los
155 matriculados en la asignatura de “Microeconomía”, materia optativa de 3º curso de
la Diplomatura de Empresariales, durante los cursos 2010/11 (50 alumnos) y 2011/12
(60 alumnos). Con la elección de alumnos en dos cursos distintos se pretendía
conformar una muestra de al menos 100 alumnos. Las características de los alumnos de
ambos cursos son prácticamente idénticas, en cuanto a formación previa, edades, nivel
académico, preferencia por la materia de Microeconomía, por las matemáticas, etc.
Debido a que esta investigación tiene un carácter cualitativo, el hecho de que procedan
de dos cursos diferentes permite validar los procesos de inferencia de las características
de los niveles de desarrollo del esquema de la relación función-derivada en conceptos
económicos.
Los contenidos desarrollados en la asignatura de Microeconomía (contexto de nuestra
investigación) se muestran en la tabla 3.1.
3. Diseño de investigación Ángel Luis Ariza Jiménez
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Tabla 3.1. Contenidos de la asignatura de Microeconomía
Contenidos
1. Introducción y elementos básicos de la ciencia economía: la demanda y la oferta 2. Las preferencias del consumidor y la recta presupuestaria. 3. La demanda individual y la demanda agregada 4. La producción y los costes 5. La oferta competitiva 6. Análisis de políticas sobre precios y cantidades 7. El poder de mercado 8. Teoría de juegos
La tabla 3.2. muestra los contenidos de las materias troncales Matemáticas y
Economía I del plan de estudios del año 2000 de la Diplomatura de Ciencias
Empresariales, que los participantes cursaron en 1º curso, como asignaturas que
conforman la formación previa de los participantes.
Tabla 3.2. Contenidos de las asignaturas de Matemática y Economía I Contenidos
Matemáticas Economía I
Bloque 1. Cálculo en una variable 1.1 Representación gráfica en el plano: rectas 1.2 Método general para trazar gráficas 1.3 El concepto de límite 1.4 Continuidad 1.5 Derivada de una función 1.6 Derivadas de orden superior 1.7 Derivación implícita 1.8 Aplicaciones de las derivadas: representación gráfica 1.9 Aplicaciones de la derivada: resultados importantes 1.10 Sucesiones y series 1.11 Cálculo integral
Bloque 2. Funciones de dos variables 2.1 Función real de dos o más variables 2.2 Derivadas parciales de orden superior
Bloque 3. Álgebra matricial 3.1 Matrices y vectores 3.2 Determinantes y aplicaciones 3.3 Sistemas de ecuaciones 3.4 Valores y vectores propios de una matriz cuadrada 3.5 Uso de las matrices para la discusión de máximos y mínimos en funciones de varias variables
TEMA1.Principios básicosTEMA 2. El modelo competitivo de oferta y demanda TEMA 3. La política económica TEMA 4. Análisis de sensibilidad TEMA 5. El excedente del consumidor y del productor TEMA 6. Los costes de producción TEMA 7. Competencia perfecta y la curva de oferta TEMA 8. El monopolio TEMA 9. Fallos de mercado
3. Diseño de investigación Ángel Luis Ariza Jiménez
- 77 -
El currículo en términos matemáticos se centra en analizar y representar
funciones de una y de dos variables, realizar estudios de continuidad, cálculo de límites,
cálculo y representación de funciones derivadas y derivadas parciales, así como
operaciones de cálculo integral. Para la materia de Microeconomía se espera que los
alumnos sean capaces de representar funciones de una y de dos variables, analizar
intervalos de crecimiento y decrecimiento de las mismas, así como calcular, representar
e interpretar funciones derivadas y derivadas parciales, siendo éstos últimos los más
habituales y relevantes en el análisis de funciones microeconómicas que se modelizan a
través de los elementos matemáticos.
3.2. Instrumentos de recogida de datos. Diseño e implementación
En esta sección describiremos los instrumentos de recogida de datos usados.
Los instrumentos han sido
• Un cuestionario formado por 5 tareas sobre microeconomía en las que la
relación función-derivada aparece implícitamente.
• Entrevistas clínicas realizadas a 25 de los 110 participantes.
3.2.1. Cuestionario
El cuestionario se diseñó en dos etapas considerando el análisis conceptual en el
que se articula nuestra propuesta de descomposición genética.
En la primera etapa, se identificaron un conjunto de problemas que reflejaban
los contenidos económicos que se explican e imparten en las materias introductorias de
Microeconomía, tomando como referencias los problemas utilizados en el cuestionario
de nuestro estudio piloto elaborado para estudiantes de instituto y universidad (Ariza y
Llinares, 2009) y la descomposición genética inicialmente conjeturada en la que
teníamos en cuenta los tres esquemas
- de lo algebraico a lo gráfico,
- significado y uso de la primera derivada,
- significado y uso de la segunda derivada.
3. Diseño de investigación Ángel Luis Ariza Jiménez
- 78 -
Las tareas se diseñaron incluyendo los diferentes pre-elementos y elementos de
la descomposición genética descrita en el capitulo anterior.
En la segunda etapa se construyó una primera versión del cuestionario a partir
de ligeras modificaciones de las tareas que formaban parte del estudio piloto. El
objetivo de dichas modificaciones fue adaptar el cuestionario al nivel universitario de
los participantes (ahora no participan alumnos de instituto). Esta primera versión fue
evaluada por dos expertos. Un profesor de la materia Matemáticas de 1º curso de la
titulación de Administración de Empresa (ADE), y un profesor de Economía. Los dos
expertos impartían docencia en universidades diferentes, con lo se pretendía tener
perspectivas complementarias al proponer sugerencias enriquecedoras que aumentaran
la potencialidad de las tareas en función de nuestros objetivos. Las tareas fueron
discutidas y analizadas en los seminarios de investigación que realiza mensualmente el
grupo de investigación de Didáctica de la Matemática de la Universidad de Alicante.
A partir de estas evaluaciones se eligieron las tareas y se realizaron
modificaciones con el objetivo de que los estudiantes tuvieran una mejor comprensión
de lo que se exigía en cada tarea, y que la redacción de las mismas fuera acorde con los
objetivos de investigación. Como ejemplo de las sugerencias y modificaciones
realizadas, indicamos
(a) la necesidad de advertir de modo expreso sobre aquellas funciones del cuestionario
que no fuesen lineales;
(b) modificar la expresión tasa de variación infinitesimal por tasa de variación en un
punto concreto, al considerar que la palabra infinitesimal aumentaba, inconscientemente
para los alumnos, la complejidad de lo que se les pedía. La nueva formulación podía
ayudar a los estudiantes a entender mejor lo que la tarea requería.
Con la versión definitiva de las tareas se elaboró la versión final de cuestionario
con 5 tareas. En las tareas se relacionan los conceptos económicos con su significado
matemático (Tabla 3.3)
El cuestionario fue contestado por los alumnos de 3º Empresariales en 2 horas al
final del curso como parte de su evaluación, por lo que los alumnos ya habían tenido
contacto con los conceptos económicos reflejados en el cuestionario. El cuestionario
constituyó el 25% de la nota final de la asignatura. Para poder optar a los 2,5 puntos de
3. Diseño de investigación Ángel Luis Ariza Jiménez
- 79 -
calificación se les exigió que contestaran a todos los ítems de las cinco tareas o en su
defecto manifestaran algún intento de resolución.
Tabla 3.3. Relación de conceptos económicos y matemáticos de las tareas
Tareas Conceptos económicos Traducciones y conversiones
entre los modos de representación Significados matemáticos
T0
Funciones de oferta y demanda
- Del registro numérico al registro gráfico. - De la gráfica de la función al registro algebraico. - Función origen lineal. - Función origen no lineal
T1
Elasticidad-precio de la demanda
Obtención algebraica del cociente incremental entre dos puntos de la función, lineal y no lineal. Obtención algebraica (por aproximación al límite) del cociente incremental en un punto de la función, lineal y no lineal
T2
Relación entre Coste Marginal- y Coste Total Producto Marginal - Función de Producción
De la función derivada a la función mediante representaciones gráficas. Conversión a registro algebraico Función origen lineal Función origen no lineal
T3
Del Producto Total (Función de producción) al Producto Marginal Del Coste Total al Coste Marginal
De la gráfica de la función a la gráfica de la función derivada Relación entre la primera derivada y la segunda derivada en ambos registros Significado de la concavidad-convexidad de la función en relación al crecimiento-decrecimiento de la primera derivada (valor positivo o negativo de la segunda derivada) Relación no lineal
T4
De la Relación Marginal de Substitución a la Función o Curva de Indiferencia
De la derivada en un punto a la función derivada, en ambos registros. Función origen convexa. De la derivada en un punto a la función derivada, en ambos registros. Función origen cóncava.
3.2.1.1. Las tareas
Las cinco tareas del cuestionario hacen referencia a los pre-elementos y
elementos que configuran la descomposición genética planteada. En total hay doce
3. Diseño de investigación Ángel Luis Ariza Jiménez
- 80 -
ítems. Cada uno de los ítems se corresponde con uno de los elementos descritos en la
descomposición genética. La agrupación de los ítems en tareas se hizo considerando la
descomposición genética, procurando que las tareas se vieran de forma independiente
por los alumnos. En la tabla 3.4 aparece la relación entre los ítems de cada tarea y los
elementos matemáticos de la descomposición que aparecen en ellos.
Tabla 3.4. Equivalencia entre los ítems de las tareas con los elementos de la descomposición genética ordenados según los tres Esquemas conceptuales definidos en
la misma
Esquema 0: De lo algebraico al gráfico
E1.Conversión de funciones económicas lineales A G Ítem 0.1
Tarea 0 E2.Conversión de funciones económicas no lineales A G Ítem 0.3
E3. TVM entre dos puntos Ítem 1.1 Tarea 1 E4. TVM por aproximación al límite Ítem 1.2
Esquema 1: Significado y uso de la 1ª derivada
E5. Conversión de funciones económicas lineales G A Ítem 0.2 Tarea 0
E6. 1ª derivada (funciones lineales): relaciones entre expresiones algebraicas y las gráficas de la función y su derivada
Ítem 2.1 Tarea 2
E7.Conversión de funciones económicas no lineales G A Ítem 0.4 Tarea 0
E8. 1ª derivada (funciones no lineales): obtención de las expresiones algebraicas y las gráficas de la función y su derivada
Ítem 2.2 Tarea 2
Esquema 2: Significado y uso de la 2ª derivada
E9. 2ª derivada (Convexidad): Explicación en contexto económico de la forma convexa de una función en ambos registros y su relación con la 2ª derivada
Ítem 3.1
Tarea 3 E10. 2ª derivada (concavidad): explicación en contexto económico de la forma cóncava de una función en ambos registros y su relación con la 2ª derivada
Ítem 3.2
E11. Derivada en un punto Función derivada: paso de la derivada en un punto a la derivada de una función económica convexa
Ítem 4.1
Tarea 4 E12. Derivada en un punto Función derivada: paso de la derivada en un punto a la derivada de una función económica cóncava
Ítem 4.2
La tarea 0 (Figura 3.1) presenta una situación económica a través de tablas de
datos relativas a las funciones económicas de Demanda y Oferta. En la actividad de
traslación entre modos de representación la tarea adopta dos contextos, tabular-gráfico y
3. Diseño de investigación Ángel Luis Ariza Jiménez
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algebraico. En la primera actividad de traslación se consideran relaciones lineales y en
la segunda relaciones no lineales. La tarea está compuesta de cuatro ítems.
El ítem 0.1 hace referencia al primero de los pre-elementos “Conversión de
funciones económicas lineales, desde el registro algebraico al registro gráfico”
(Conversión A-G lineal), y se corresponde con el E1 de la descomposición genética
conjeturada. El ítem 0.2 hace referencia inicialmente a la traslación de numérico al
algebraico, pero como el ítem anterior pedía la representación grafica de las dos
relaciones entre las variables dada en forma tabular, podemos asumir también que los
estudiantes podían tener la representación grafica de las dos relaciones junto con la
representación tabular. Por consiguiente, podíamos asumir que el ítem 0.2 hace
referencia al segundo de los pre-elementos “Conversión de funciones económicas
lineales desde el registro gráfico al registro algebraico” (Conversión G-A lineal) que se
corresponde con el E5 de la descomposición genética propuesta. Los ítem 0.3 y 0.4
hacen referencia a los pre-elementos 3 y 4, respectivamente “Conversión de funciones
económicas no lineales desde el registro algebraico al registro gráfico y viceversa,
respectivamente” (Conversión A-G no lineal) y (Conversión G-A no lineal), los cuales
se corresponden con los E2 y E7 de la descomposición genética.
Figura 3.1. Tarea 0 relativa a las Funciones de Demanda y Oferta
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A continuación, indicamos los objetivos que se pretenden con cada uno de los ítems
en relación con la solución posible más idónea para los mismos:
• El ítem 0.1 pretende que el alumno convierta las relaciones entre los datos tabulados
de las dos funciones al registro gráfico. Por tanto, se espera que dibuje un eje de
coordenadas, donde en abscisas representamos la variable Cantidad y en ordenadas
la variable Precio para representar dos funciones lineales: una creciente - la función
de Oferta (Qs(P) - y la otra decreciente - la función de Demanda (Qd(P) - y que se
cortan en el punto de abscisa Qs=Qd=10 y en la ordenada P = 15, denominado punto
de equilibrio.
• El ítem 0.2 pretende medir la capacidad del estudiante para convertir las formas
gráficas de las funciones lineales en expresiones algebraicas o ecuaciones ya que se
parte de datos en forma tabular que han sido representados gráficamente (ítem 0.1) y
con esta representación de los datos se les pide que generen la expresión algebraica.
Una posible solución a esta tarea es utilizar la expresión genérica de una línea recta
(y = mx + n) mediante la cual se genere un sistema de dos ecuaciones con dos
incógnitas a través de la consideración de dos puntos cualesquiera. Por ejemplo,
para la función de demanda (Qd(P)) si cogemos el punto (P=3; Qd=34) y el punto
(P=6; Qd=28). Asumiendo que la P es la variable y, y la Q la variable x, podríamos
hallar el valor de la pendiente m y el término independiente n mediante la resolución
del sistema de ecuaciones formado por la expresiones 3 = 34m + n y 6 = 28m + n.
De la misma manera para la función Oferta interior (Qs).
• Los ítems 0.3 y 0.4 presentan la variante de que la relación matemática entre los
conceptos económicos de Precio y Cantidad no es lineal, por ello la exigencia para
la conversión desde la tabla de datos a una representación gráfica y a una expresión
algebraica aumenta. Teniendo en cuenta que la función de oferta, Qs(P), se mantiene
idéntica (siendo lineal), estos ítems se centrarían en la función de demanda (Qd(P))
que no es lineal en este caso.
Globalmente considerada, esta tarea tiene como objetivo aportar información
sobre cómo los estudiantes son capaces de realizar conversiones entre los diferentes
modos de representación en ambos sentidos, distinguiendo los casos de variables
económicas que se pueden modelizar con funciones matemáticas lineales y no lineales.
En este sentido la solución del ítem 0.3 es igual que el ítem 0.1 para el caso de la
3. Diseño de investigación Ángel Luis Ariza Jiménez
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función de oferta (Qs(P)) con la salvedad de que la función de demanda (Qd(P))
adquiere ahora forma de hipérbola (y por tanto no lineal), alcanzándose el punto de
equilibrio en el punto P = 6 y Qd = 4. La gráfica de la función Qd(P) en este caso debe
asumirse de forma aproximada y los alumnos se deben apoyar en la “visualización” de
la forma de una hipérbola obtenida de la representación de los distintos puntos. Por lo
que respecta al ítem 0.4 un proceso de solución se apoya en “conocer” que la forma
algebraica de un hipérbola se corresponde con una expresión donde la variable x
aparece como denominador, por ejemplo P = n / Q, siendo n un número positivo.
Probando esta expresión genérica en todos los puntos se llega a la expresión requerida,
P = 24/Q. Por tanto, la exigencia cognitiva del ítem 0.4, que consiste en expresar
algebraicamente la relación tabular de P y Qd, es mayor. En primer lugar porque los
alumnos deben reconocer que los puntos de dicha función Qd(P), al situarlos en los ejes,
permiten “visualizar” una rama hiperbólica y, en segundo lugar porque deben reconocer
que las expresiones algebraicas de las ramas hiperbólicas son de la forma y = n / x.
En la tabla 3.5 presentamos resumida la relación entre cada uno de los ítems de
la tarea 0 y los pre-elementos definidos en nuestro esquema de relación función-
derivada en contextos económicos.
Tabla 3.5. Relación entre los ítems tarea 0 y los pre-elementos
Tarea 0 ÍTEMS
PRE-ELEMENTOS Conversión G-A en función
lineal
Conversión G-A en función
lineal
Conversión A-G en no función
lineal
Conversión G-A en no función
lineal 0.1 X 0.2 X 0.3 X 0.4 X
La tarea 1 (Figura 3.2), presenta una situación económica a través del registro
algebraico. Está formada por dos ítems, el 1.1 y el 1.2. Estos ítems hacen referencia a
los elementos “Tasa de variación media entre dos puntos” y “Tasa de variación media
por aproximación al límite”, correspondientes a los elementos E3 y E4 de la
descomposición genética respectivamente.
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Tarea 1
1.1) Calcula e interpreta el cociente entre la variación de la cantidad demandada y la del precio desde el punto inicial P=6 al punto final P=9 en las funciones de Demanda Qd=10 – P y Qd=81/P ¿Con qué concepto económico asociarías este cociente?
1.2) Calcula e interpreta la tasa de variación de la cantidad demandada con respecto al precio en el punto p=6 en ambas funciones de demanda. ¿Con qué concepto económico asociarías este cálculo?
Figura 3.2. Tarea T1 relativa a la Función de elasticidad
Los objetivos de esta tarea y las soluciones más idóneas posibles son:
• El ítem 1.1 pretende analizar (a) la capacidad de tratamiento del registro algebraico
a través del concepto económico de la elasticidad, (b) la capacidad de coordinar los
cambios porcentuales entre dos variables y la interpretación de la razón del cociente
como medida del cambio al tener el alumno que calcular variaciones porcentuales
(cocientes incrementales). Por otra parte, el ítem también proporciona información
acerca de la dificultad de coordinar variaciones medias de funciones lineales y no
lineales.
Una forma de resolver este ítem es calculando la elasticidad entre los puntos P = 6 y
P = 9 para la función lineal, Qd = 10 – P, y la no lineal, Qd = 81/P, a través de la
segunda igualdad de la figura 3.3., al ser dos puntos concretos. El concepto
económico de elasticidad entre dos puntos estandariza la medida de cambio de
ambas variables (para la función lineal, )69()41(
−− a través de los porcentajes, de ahí la
necesidad de poner en relación dicha medida de cambio con los valores iniciales de
las variables como cocientes
6)69(
4)41(
−
−
), de manera que se comparan porcentajes de
cambio como medidas homogéneas que miden la velocidad de cambio entre dos
variables distintas que inicialmente se miden en unidades de cuenta distintas (Qd en
unidades físicas y P en unidades monetarias). Para la función lineal, Qd = 10 – P,
la elasticidad entre dos puntos es igual a -1.5 y para la función no lineal Qd = 81/P,
es – 0.666666. El hecho de que la función Qd(P) = 81/P sea no lineal exige a los
alumnos identificar de manera explícita el cociente incremental con la noción de
elasticidad.
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Figura 3.3. Expresión que permite calcular la elasticidad entre dos puntos
(donde x1 es la variable cantidad demandada o Qd y p1 es la variable precio o P)
• El ítem 1.2 mide la variación por aproximación al límite en un punto concreto, por
lo que es necesario conocer la expresión algebraica de la función. Este ítem intenta
aportar información sobre (a) cómo el alumno pasa a la función derivada por
aproximación al límite, en el registro algebraico, y cómo relaciona este concepto de
elasticidad-punto con el de función derivada o concepto de pendiente dado que los
alumnos pueden calcular la variación infinitesimal (la elasticidad-punto como
concepto económico) a partir de la pendiente (y por tanto de la derivada); y (b) la
dificultad de coordinar variaciones infinitesimales en funciones no lineales.
En cuanto a la resolución, en este caso, el alumno no tiene la referencia de
variación entre dos puntos, ya que se le pide la variación en un punto (variación
infinitesimal), por lo que se ha de utilizar la tercera igualdad de la expresión de la
figura 3.3., de modo que se necesita conocer la pendiente o la derivada para conocer
el cociente de las variaciones de ambas variables, y multiplicar después por el punto
en cuestión puesto en cociente. Así, para la expresión lineal tendremos que el
resultado sería (-1)*6/4 = - 1.5, donde (-1) es el valor de la pendiente de la recta
dada (∆Qd/∆P) o valor de la derivada de la función Qd(P), mientras que 6
corresponde al punto P = 6, y 4 es el valor asociado a Qd para un valor de P = 6,
según indica la expresión Qd(P) = 10 – P = 10 – 6 = 4.
La tarea 2 (Figura 3.4), se presenta en el registro gráfico. Se proporcionan
representaciones gráficas de las funciones económicas de Coste Marginal y de Producto
marginal que son funciones derivadas de las funciones económicas Coste Total y
Función de Producción o Producto Total. En esta tarea se han de obtener las funciones
origen en ambos registros, primero para una situación de función origen lineal y
posteriormente para una situación donde la función origen es no lineal. La conforman
dos ítems: el ítems 2.1. requiere establecer la relación entre dos funciones económicas
lineales (una función y su derivada). Se corresponde con el elemento “significado de la
1ª Derivada en funciones lineales” (E6) de la descomposición genética. En el ítem 2.2.
3. Diseño de investigación Ángel Luis Ariza Jiménez
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la función origen a obtener, una vez dada la gráfica de la derivada, se corresponde con
una función no lineal (la derivada en este caso no es constante) y hace referencia al
elemento “significado de la 1ª Derivada en funciones no lineales” (E8) de nuestra
descomposición genética.
Tarea 2 2.1) Para la siguiente función de Coste Marginal, dibuja y explica cómo sería
gráficamente la curva del Coste Total, y obtén también posibles expresiones algebraicas para ambas funciones (acordes con la forma gráfica presentada), explicando cómo llegas a ellas
2.2) Para la siguiente función de Producto Marginal (PMg (L)), dibuja y explica cómo
sería gráficamente la Función de Producción, y obtén también posibles expresiones algebraicas de ambas funciones (acordes con la forma gráfica presentada), explicando cómo llegas a ellas.
Figura 3.4. Tarea 2 relativa a la Función Coste Marginal y Producto Marginal
Los objetivos de esta tarea y las soluciones posibles más idóneas son:
• Con el ítem 2.1 pretendemos observar si el estudiante (a) es capaz de obtener la
gráfica de la función a partir de la gráfica de la función derivada, las expresiones
algebraicas de ambas, y cómo coordina la relación entre los registros gráfico y
algebraico; (b) establecer en qué medida relacionan los conceptos económicos con
los significados de la relación entre una función y su derivada. De este modo, una
solución posible es dibujar directamente una línea recta creciente para la función
origen, ya que su derivada es una constante, lo cual quiere decir que la función
origen crece a una tasa constante. Posteriormente, habría que expresar
3. Diseño de investigación Ángel Luis Ariza Jiménez
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algebraicamente ambas funciones, mostrando coordinación entre los dos registros.
Una posible expresión para el Coste Marginal sería cualquier número positivo (o
una constante ‘c’) mientras que para al Coste Total esa constante sería la pendiente
de la recta, más un término independiente. Para ello el estudiante debe establecer las
relaciones entre la gráfica de una función lineal creciente y la gráfica de una función
constante que vienen dadas como una función y su derivada.
• En el ítem 2.2 se pretenden los mismos objetivos que el ítem 2.1., si bien en este
ítem la función origen resultante no es lineal, lo cual añade un grado más de
dificultad a la tarea. Un alumno que dominase el registro gráfico obtendría la gráfica
de la función origen, en este caso el Producto Total, sabiendo que la función
derivada crece a una tasa constante, lo cual quiere decir que la función origen crece
cada vez más. Esto se traduce en una parábola creciente, donde la pendiente es cada
vez mayor (creciente) de ahí que la derivada tenga esa forma lineal creciente. Para
obtener las expresiones algebraicas el alumno debe reconocer en las gráficas de las
funciones lineales el formato de la expresión algebraica y aplicar esta relación al
caso presentado. Así, se parte de la expresión de una línea recta para la derivada y la
forma genérica de una parábola creciente para la función origen, y posteriormente
comprobar la expresión de la derivada calculándola desde la expresión de la función
origen, mostrando así coordinación entre las dos funciones y los dos registros.
La tarea 3 (Figura 3.5) presenta las funciones económicas no lineales (Función
de Producto Total y de Coste Total) en el registro gráfico. Esta tarea la conforman dos
ítems. En estos ítems los estudiantes deben utilizar los conceptos de 1ª y 2ª derivada en
el registro gráfico y algebraico. Los ítems hacen referencia a los elementos relativos a la
2ª derivada, “2ª Derivada Convexidad” y “2ª Derivada Concavidad”, respectivamente,
que son los elementos E 9 y E10 de la descomposición genética.
3. Diseño de investigación Ángel Luis Ariza Jiménez
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Tarea 3
Las Funciones de Coste Total (CT(Q) y Producto Total (o Función de Producción, PT(L)) a las que se enfrenta un empresario en el corto plazo utilizando dos unidades de capital vienen definidas por las siguientes figuras:
3.1) Obtén la gráfica y expresión algebraica del Coste Marginal CM(Q).
Argumenta [utilizando la 2ª derivada, las gráficas y las expresiones algebraicas de la función Coste Total CT(Q) presentada y su CM(Q)] si la función CT(Q) es cóncava o convexa, explicando qué implica una u otra forma.
3.2) Contesta a la misma pregunta respecto a la función Producto Total PT(L) presentada y su Producto Marginal PM(L)
Figura 3.5. Tarea 3 relativa a la Función Producto Total y Coste Total
Los objetivos de investigación de esta tarea y una posible solución son:
• Con los ítems 3.1 y 3.2 pretendemos analizar (a) cómo el alumno traslada de la
expresión gráfica de la función origen (Coste Total y Producto Total) a la expresión
gráfica de la función derivada (Coste Marginal y Producto Marginal) cuando la
función origen es no lineal; b) en qué medida el alumno es capaz de reconocer una
expresión algebraica asociada a la expresión gráfica en cada caso. En este caso el
camino que presenta es inverso al de la tarea 2: si en aquella se presentaban las
funciones derivada y se demandaba obtener las funciones origen, en esta caso, se
presentan las funciones origen y se demanda la función derivada, introduciendo el
concepto de 2ª derivada como elemento que clarifica la obtención de la función
derivada y las características de la función origen.
Para resolver el ítem 3.2, donde la función origen es cóncava, el alumno debe
advertir que la función presentada es siempre creciente pero con una pendiente cada
vez menor, es decir, su crecimiento se ralentiza desde el inicio, por lo que la función
derivada podría dibujarse como una función decreciente, por ejemplo, una hipérbola
con los ejes de coordenadas como asíntotas vertical y horizontal. A partir de ahí, se
podría obtener la expresión de la función origen sabiendo que una parábola creciente
a una tasa cada vez menor se puede corresponder con una expresión en donde la
3. Diseño de investigación Ángel Luis Ariza Jiménez
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exponencialidad de la variable sea menor que 1, por ejemplo, y = √x, o en este caso
PT = √L… A partir de aquí la expresión de la función derivada se puede obtener
aplicando reglas de derivación algebraicas, por ejemplo, PM = 1/(2√L),
comprobando que gráficamente esta expresión tiene pendiente negativa. A
continuación, la introducción del elemento 2ª derivada se puede obtener o bien
algebraicamente derivando la función derivada, en la que se obtendría
PM’=-1/(4√L³), o bien gráficamente a través de la derivada de la hipérbola, la cual
se obtendría sabiendo que el crecimiento de dicha función es siempre negativo (ya
que es decreciente) pero cada vez más pequeño en valor absoluto. Esto equivale a
una gráfica de la función segunda derivada en el cuarto cuadrante (valores positivos
en el eje de abscisas y negativos en el eje de ordenadas) y creciente. Una buena
coordinación mostraría que la expresión dada para PM’ se correspondería con esa
forma gráfica. Además, el hecho de que PM’ sea negativa para cualquier valor en el
eje de abscisas nos indica que la función segunda derivada es negativa, lo que
significa que la función origen es cóncava, y de ahí el alumno puede inferir el
significado matemático y económico. En este caso, al ser la función Producto Total
cóncava, la productividad marginal (PM) de los trabajadores adicionales contratados
es cada vez más pequeña. Es decir, que cada trabajador aporta una cantidad de
producto menor que el anterior, con lo que ello comporta para la decisión final del
empresario de cuántos trabajadores contratar.
Para el caso del ítem 3.1 el procedimiento de solución sugerido es el mismo, con
la salvedad de que la función origen es convexa, la función primera derivada es
creciente y la función segunda derivada es positiva. Esto permitiría inferir en
términos económicos que un incremento de la producción genera en el empresario
un incremento adicional de los costes cada vez mayor, con lo que ello supone para el
empresario sobre la decisión final de qué cantidad producir, sabiendo que los costes
crecen exponencialmente. Así, una expresión algebraica posible para la función
origen sería CT = Q² + 100, la función primera derivada CM = 2Q, y la función
segunda derivada CM’ = 2 >0 → función origen convexa.
La tarea 4 (Figura 3.6) presenta funciones económicas no lineales en el registro
gráfico, con información referida a un punto concreto. La tarea contiene dos ítems. En
los ítems 4.1. y 4.2. se pide calcular la función derivada en su totalidad a partir del
cálculo de la derivada en un punto, teniendo que argumentar su concavidad-convexidad
3. Diseño de investigación Ángel Luis Ariza Jiménez
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a través de la 2ª derivada. Las funciones presentadas en esta tarea (tanto desde el punto
de vista económico como matemático) tienen mayor complejidad que las presentadas
en el resto de tareas. Los ítems hacen referencia a los elementos relativos a la derivada
en un punto, “f convexa→Función Derivada” y “f cóncava→Función Derivada”, que
se corresponden con los elementos E11 y E12 de la descomposición genética.
Tarea 4 4.1.- Un consumidor presenta la siguiente curva de indiferencia respecto de los
bienes de consumo X e Y:
- Calcula la Relación Marginal de Substitución (RMS) en el punto presentado - Dibuja cómo sería la gráfica de la primera derivada de esta función (X en abscisas
y RMS en ordenadas) y argumenta por qué es convexa utilizando el concepto de 2ª derivada (puedes apoyarte en expresiones algebraicas que se correspondan con las formas gráficas de las funciones si lo crees oportuno)
4.2.- Un consumidor presenta el siguiente tipo de curva de indiferencia hacia los bienes X e Y:
Contesta a las mismas preguntas que el apartado anterior
Figura 3.6. Tarea 4 relativa a la Función de Utilidad y Relación Marginal de Sustitución
Los objetivos de esta tarea y las soluciones posibles son:
• Con los ítems 4.1 y 4.2 se pretende obtener información sobre (a) el nivel de uso de
la derivada en conceptos económicos nuevos donde el uso de la derivada no es tan
explícito como en los anteriores conceptos económicos; b) analizar si el alumno
identifica la relación entre los conceptos Curva de Indiferencia y Relación Marginal
de Substitución como una relación entre una función y su derivada. En el item 4.1 la
función origen es convexa y, a diferencia de las funciones presentadas en la tarea 3,
de pendiente negativa. Para calcular la RMS en el punto dado, es decir, el valor de
función derivada en ese punto, el alumno sabe que puede obtener dicho valor como
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cociente de los valores presentados ‘y/x’, ya que este tipo de función se ha
introducido en el currículo. Esto significa que la derivada en ese punto es 4 en valor
absoluto, es decir, -4. Un alumno que domine el registro gráfico podría dibujar toda
la función derivada sabiendo el valor de la misma en el punto, ya que el
decrecimiento en este caso de la función es cada vez menor (la pendiente es negativa
pero con un valor absoluto cada vez menor) lo cual implicaría una gráfica de la
función derivada en el cuarto cuadrante de pendiente positiva. Si utilizamos el
registro algebraico directamente, se llegan a las mismas conclusiones pero se
llegaría desde la función derivada a la derivada en un punto, y no al contrario. Así,
el primer paso sugerido en la solución de esta tarea es la obtención de la expresión
algebraica de la función origen. Con la información disponible, el alumno ha de
saber que estamos ante una función decreciente con pendiente negativa cada vez
menor en valor absoluto. En este tipo de funciones la variable tiene un exponente
negativo, y puesto que conocemos un punto, podemos llegar a que la función
presentada es Y = 100/X. A partir de ahí, algebraicamente se puede obtener la
función derivada y desde ahí obtener el valor de la derivada en el punto en cuestión.
Así, Y’ = - 100/X², siendo Y’ = -4 en X = 5. A partir de aquí la obtención de la
segunda derivada es igual a la que propusimos en la tarea 3, llegando en este caso a
una función segunda derivada Y’’ = 200/X³ >0 → Y convexa.
La solución del ítem 4.2 seguiría el mismo procedimiento, con la salvedad de
que la función origen en este caso es cóncava. El alumno sabe por el tipo de función
que la Relación Marginal de Substitución en ese punto es -3/4. A partir de ahí, se
debe deducir que los siguientes valores de la derivada de esa función son cada vez
mayores en valor absoluto (pendiente negativa cada vez mayor en valor absoluto) lo
cual se correspondería con una gráfica en el cuarto cuadrante y de pendiente
negativa (cada vez más negativa). Apoyándonos en el registro algebraico, la función
origen tendría como expresión posible Y = √(25 - X²), y su derivada Y’ = - X / √(25
- X²), que es una función negativa decreciente, cuyo valor en X = 3 es Y’ = -3/4.
Finalmente la función segunda derivada Y’’ = - 25/√ (25 - X²)³ < 0 → Y cóncava.
En la tabla 3.6 se resume la relación entre los distintos ítems de las tareas 1, 2 3
y 4 del cuestionario y los elementos definidos en nuestro esquema de derivada.
3. Diseño de investigación Ángel Luis Ariza Jiménez
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Tabla 3.6. Relación de las tareas 1 a 4 con los elementos Esquema derivada
Tareas Elementos Económico
s
Elementos matemáticos Cociente
Incremental
1ª Derivada
2ª Derivada
Derivada en un punto a Función
derivada
1 Elasticidad X
2 Coste Total y Marginal X X
3 Producto Total y
Marginal X X X
4 Curva de
Indiferencia y RMS
X X X X
3.2.2. Entrevista
Las entrevistas fueron semiestructuradas. Se elaboró un guión previo (Goldin,
2000) y en todo momento se intentó crear un clima de confianza entre el investigador y
los estudiantes (Hunting, 1997) de modo que no percibieran la entrevista como un
segundo cuestionario, en el que tuvieran que responder adecuadamente, sino como un
medio a través del cual pudieran explicar cómo y por qué habían contestado a los
distintos ítems. Los objetivos de la entrevista fueron a) aclarar respuestas de los
alumnos que en el cuestionario no quedaban claras y que pudiesen aportar información
adicional relevante, y b) utilizar un instrumento distinto al cuestionario, a través de la
observación directa del alumno y de su interacción con las tareas.
Las entrevistas se realizaron durante el mes de junio del curso académico
correspondiente, aproximadamente un mes posterior a la realización de los
cuestionarios.
• Selección de los estudiantes para las entrevistas
La selección de los estudiantes se realizó atendiendo a:
a) su disponibilidad y predisposición para asistir a las sesiones de entrevista,
b) sus respuestas al cuestionario. Seleccionamos aquellas que pudieran estar
incompletas por falta de tiempo, que tuvieran errores por falta de atención, o que
mostraban cierta originalidad, y
3. Diseño de investigación Ángel Luis Ariza Jiménez
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c) variedad en el tipo de calificaciones. Procuramos que los alumnos seleccionados no
fueran ni los que mayor éxito en sus calificaciones en la evaluación de la
asignatura, ni los que menos ya que se pretendía hacer una selección heterogénea.
En total se entrevistaron a 25 alumnos de los 110 participantes (Tabla 3.7).
Tabla 3.7. Selección de estudiantes entrevistados Curso
Académico Calificaciones Total Notable Aprobado Suspenso
2010/11 6 4 2 12 2011/12 4 6 3 13 TOTAL 10 10 5 25
• Guión de las entrevistas
Para cada una de las tareas del cuestionario, se elaboró un guión previo, así
como la respuesta que considerábamos correcta para la pregunta realizada y sugerencias
de preguntas ante posibles respuestas erróneas. Posteriormente y en función de las
respuestas obtenidas el guión inicial fue completado con otro tipo de preguntas, distintas
para cada alumno al producirse estas en función de las respuestas de estos. La totalidad
del guión de las entrevistas realizadas se puede ver en el Anexo, pp. 1-5.
A continuación, presentamos un ejemplo del proceso de entrevista sobre la tarea
2 y la respuesta de los alumnos AL.33 y AL.19. El guión inicial del ítem 2.1 de la tarea
2 y la respuesta correcta esperada, fueron los siguientes:
- ¿Puedes explicar por qué la gráfica del CT(Q) tiene esa forma?
Una respuesta correcta sería del tipo: “la gráfica del CT es una línea recta de
pendiente positiva y constante, ya que el CMg, que es su derivada, es constante, de
modo que la velocidad de cambio del Coste Total es siempre la misma)”.
Ante posibles gráficas erróneas se preguntará por la relación entre ambos conceptos,
de modo que podamos saber si el alumno es capaz de ver esa relación también en el
registro gráfico.
- ¿Cómo llegas a las expresiones algebraicas?
La respuesta debe mostrar coherencia entre las formas gráficas obtenidas y las
expresiones algebraicas. El objetivo es ver que el alumno mantiene la coherencia en
sus respuestas y la coordinación entre los registros. Si se observa un mejor tratamiento
3. Diseño de investigación Ángel Luis Ariza Jiménez
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del registro gráfico se puede preguntar por otras expresiones algebraicas, y si se
observa un mejor tratamiento del algebraico se puede preguntar por otras funciones
gráficas.
A modo de ejemplo, presentamos la respuesta dada por el estudiante AL.33 al
ítem 2.1. (Figura 3.7) y la entrevista realizada en función de esta respuesta.
Figura 3.7. Respuesta del estudiante Al.33 al ítem 2.1 de la tarea 2
En la entrevista al estudiante Al.33, además de una de las preguntas del guión
inicial, se le hicieron cuatro preguntas, motivadas estas por la expresión algebraica que
el alumno planteó para la función coste total, CT = aQ, que siendo correcta, su
representación gráfica no lo es. En consecuencia, se le pidió que representará la
CT = 3Q, que tiene el mismo formato que CT = aQ, para comprobar si el alumno la
representaba con los mismos errores en el registro gráfico o por el contrario advertía y
corregía su error. Una vez que la había representado, se le pidió que la comparara con la
que él había dado en su respuesta.
Inv.: ¿Por qué el CT es horizontal?
AL.33. Porque es la suma del fijo y el variable, y los dos son constantes
Inv.: Representa por ejemplo la función CT = 3Q
AL.33: (La representa correctamente)
Inv.: La expresión que has puesto en el examen (CT = aQ), podría ser la
anterior?
3. Diseño de investigación Ángel Luis Ariza Jiménez
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AL.33: Sí, porque la a sería el 3.
Inv.: ¿Gráficamente es igual que la que has representado en el examen (línea
horizontal)?
AL.33: No, esta no es constante, es creciente
Por su parte, el guión inicial del ítem 2.2 de la tarea 2 y la respuesta correcta,
fueron:
- ¿Puedes explicar por qué la gráfica del Producto Total PT(L) tiene esa forma?
Una respuesta correcta sería del tipo: “al ser el Producto Marginal (PMg) una función
lineal creciente quiere decir que el Producto Total (PT) es una función creciente con
una pendiente cada vez mayor, describiendo una forma de parábola creciente con
pendiente positiva y cada vez más grande”. Lo relevante de esta tarea es que el alumno
perciba que la función es no lineal y de pendiente cada vez mayor (derivada creciente).
Ante respuestas erróneas se planteaban cuestiones que se centraban en el proceso
inverso, es decir, ante funciones parabólicas preguntarles por la derivada, de esa manera
pueden percibir en el registro gráfico la relación entre ambas.
-¿Cómo llegas a las expresiones algebraicas?
La respuesta correcta debe mostrar coherencia entre las formas gráficas obtenidas y las
expresiones algebraicas. El objetivo es ver que el alumno mantiene la coherencia en sus
respuestas y coordinación entre los registros. Si se observara un mejor tratamiento del
registro gráfico, entonces se les preguntaría por otras expresiones algebraicas, en caso
contrario, las preguntas serían por otras funciones gráficas.
Para ejemplificar cómo se desarrolló una entrevista sobre el ítem 2.2 de la tarea
2, presentamos la respuesta dada a este ítem por el alumno AL.19 (Figura 3.8).
3. Diseño de investigación Ángel Luis Ariza Jiménez
- 96 -
Figura 3.8. Respuesta del estudiante AL.19 al ítem 2.2 de la tarea 2
En su respuesta al ítem 2.2. de la tarea 2, el alumno da una función origen
representada gráficamente de forma correcta (una parábola creciente), cuya derivada se
corresponde con la gráfica que presenta el ítem. La expresión algebraica de la función
origen también es correcta, pero no así la de la función derivada. Por ello, en primer
lugar, para comprobar si la representación y expresión algebraica que ha dado de la
función origen no es producto del azar, se le presentan otras funciones con
características distintas que le exigen diferenciar algebraicamente entre parábolas
crecientes (como la del ítem) de las que no lo son. En segundo lugar, se le presenta una
expresión algebraica similar a la función origen, y se le pregunta por la derivada. El
objetivo de esta pregunta es comprobar si es capaz de obtener la derivada en el registro
algebraico o, por el contrario, comete el mismo error que el cometido en la resolución
del ítem 2.2.
3. Diseño de investigación Ángel Luis Ariza Jiménez
- 97 -
Inv.: ¿Las siguientes expresiones podrían corresponderse con la que has
dibujado: PT = L³; PT = L ½; PT = 2L?
AL.19: Pues a ver…la primera sí porque es una parábola…la última no porque
es una línea recta, y luego la de L elevado a ½… esa es como si fuera la raíz
de L, y tampoco sería como la del ejercicio porque iría hacia el otro lado
(dibuja una gráfica creciente y cóncava)
Inv.: ¿Podrías obtener la expresión del PM para la función PT = L² + 5L?
AL.19: Pues si derivo tengo L + 5…no, espera…2L + 5….sí, una línea, pero
sale de 5 y no de 0.
• Procedimiento para la realización de la entrevista
Durante la entrevista los estudiantes disponían de sus cuestionarios ya resueltos.
Las cuestiones inicialmente planteadas en la entrevista se iban modificando o aparecían
algunas cuestiones nuevas en función de sus respuestas y comportamiento, como hemos
dicho anteriormente. Este procedimiento se realizó con el fin de clarificar y profundizar
en sus razonamientos y procedimientos acorde a cómo se habían desarrollado durante la
resolución del cuestionario (Clement, 2000). Además, se pretendía conocer la
valoración de cada una de las tareas. Durante la realización de la entrevista se ayudó a
los estudiantes que no veían clara alguna cuestión o simplemente encontraban
dificultades a la hora de explicar qué y cómo habían contestado (Hunting, 1997).
Las entrevistas tuvieron una duración aproximada de 30 minutos y fueron
grabadas en audio y posteriormente transcritas. La información procedente de estas 25
entrevistas permitió inferir una primera caracterización de la manera en la que los
elementos matemáticos configuraban cada una de los tres esquemas de la relación
función-derivada en conceptos económicos.
3.3. Análisis
El análisis de las respuestas escritas al cuestionario y la transcripción de las
entrevistas realizadas se realizó en dos etapas: de puntuación y de identificación de
niveles o categorización.
3. Diseño de investigación Ángel Luis Ariza Jiménez
- 98 -
3.3.1 Etapa 1: Puntuación de los ítems
En esta etapa se puntuaron conjuntamente las respuestas a los ítems y a las
preguntas de las entrevistas en los casos de los estudiantes entrevistados. Cada respuesta
fue puntuado como 0, 0.25, 0.5, 0.75 y 1 siguiendo el siguiente criterio
Respuesta en blanco o que aporta información que no tiene que ver con la
información planteada. Puntuación 0.
Respuesta errónea, con consideraciones ajenas a la solución, errores algebraicos
graves, aunque aparecen ciertos aspectos relacionados con el elemento.
Puntuación 0.25.
La idea subyacente en la respuesta es correcta pero el proceso de justificación es
pobre o inexistente. Pueden existir errores de cálculo o algebraicos y gráficos
moderados. Puntuación 0.5.
Demuestra una comprensión del elemento bastante completa, aunque la
justificación pueda resultar no del todo convincente, siendo posible la existencia
de leves errores de cálculo o gráficos. Puntuación 0.75.
La respuesta es correcta y el proceso de justificación completo y convincente. .
Puntuación 1.
A continuación, ejemplificamos cómo fue el proceso de codificación a través de
las respuestas de distintos estudiantes al ítem 0.2 que se corresponde con el elemento E5
(Esquema 1: significado y uso de la 1ª derivada), y al ítem 3.2 que se corresponde con el
elemento E10 (Esquema 2: significado y uso de la segunda derivada). La totalidad de
codificaciones para el resto de ítems se puede encontrar en el Anexo, pp. 6-54.
Las figuras 3.9, 3.10, 3.11 y 3.12 muestran distintas respuestas al ítem 0.2. con
puntuaciones 1, 0.75, 0.50 y 0.25, respectivamente. Este ítem muestra la conversión
desde el registro gráfico al algebraico de las funciones de oferta y demanda. Según
nuestra descomposición genética la capacidad de convertir funciones desde el registro
gráfico al algebraico es esencial en la comprensión de las relaciones entre una función y
su derivada en ambos registros.
3. Diseño de investigación Ángel Luis Ariza Jiménez
- 99 -
Figura 3.9. Ejemplo de respuesta con puntuación 1 al ítem 0.2
Explicación de la respuesta
Se obtienen las expresiones algebraicas de las funciones de oferta y demanda
correctamente, con una explicación clara del proceso utilizado. Observamos como
primero obtiene la pendiente de la recta mediante una expresión conocida utilizando dos
puntos, y una vez calculada la pendiente utiliza la expresión anterior para, tomando un
solo punto, llegar finalmente a la expresión algebraica de la función.
Puntuación: 1
Justificación de la puntuación
El proceso utilizado es correcto mostrando comprensión de los conceptos y no existen
errores en los cálculos. El alumno es consciente de cada paso que da para obtener las
expresiones.
3. Diseño de investigación Ángel Luis Ariza Jiménez
- 100 -
Figura 3.10. Ejemplo de respuesta con puntuación 0.75 al ítem 0.2
Explicación de la respuesta
Las expresiones algebraicas obtenidas son correctas (puede aparecer algún error de
expresión), pero el proceso de justificación en la función de demanda no es completo. Sí
que explica el método utilizado para la función de oferta, que por las características de
ésta, es el más fácil, y solo requiere de una cierta habilidad numérica
Puntuación: 0,75
Justificación de la puntuación
El alumno no explica claramente cómo obtiene una de las funciones (sistema de
ecuaciones, cálculo de la pendiente). Aún así obtiene las expresiones correctamente y
justifica una de ellas.
3. Diseño de investigación Ángel Luis Ariza Jiménez
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Entrevista Inv.: ¿Cómo sabes que la oferta es Q=2/3*P? AL: Porque si miras los datos de P y la Oferta ves que hay esa proporción entre los
números. Inv.: ¿Y la de la demanda? ¿Por qué no la has escrito? AL: Es que con los datos de la demanda la relación entre los números es más difícil
de ver…yo no supe sacarla, y mirándolos ahora….(mmm), no sé, no la veo. Inv.: Sin embargo pones la expresión con letras...Qd=a-bx, no sabes cuánto vale ‘a’
para este caso? Y “b”? AL.: A lo mejor mirando en la gráfica… ¿‘a’ puede que sea 40? O sea, el término
independiente, pero el otro no sabría Figura 3.11. Ejemplo de respuesta con puntuación 0.50 al ítem 0.2
Explicación de la respuesta
Solamente se obtiene correctamente una de las expresiones algebraicas y la explicación
de su obtención es completa. El alumno intenta después, como muestra la entrevista,
utilizar el mismo método para obtener la función de demanda, pero no lo consigue.
Puntuación: 0,50
Justificación de la puntuación
El alumno solo obtiene una de las expresiones, y no utiliza explícitamente ningún
método que incluya mención de la pendiente de la recta. El método de comparar
proporciones le permite obtener una de las expresiones, pero no la otra.
3. Diseño de investigación Ángel Luis Ariza Jiménez
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Figura 3.12. Ejemplo de respuesta con puntuación 0.25 al ítem 0.2
Explicación de la respuesta
Las dos expresiones algebraicas obtenidas son erróneas tanto en el resultado como en la
explicación. El método utilizado para su obtención no es correcto, ya que no se ajusta ni
a la expresión algebraica de una línea recta ni a su interpretación gráfica.
Puntuación: 0,25
Justificación de la puntuación
Utiliza el método comentado de comparación de proporciones, que no le permite
obtener correctamente una de las funciones en la que este método podía utilizarse. No
plantea formas alternativas y llega a dos expresiones erróneas.
En segundo lugar, justificamos a través de las figuras 3.13, 3.14, 3.15 y 3.16 las
puntuaciones dadas al ítem 3.2, como ejemplo de la manera de proceder en el Esquema
2: significado y uso de la 2ª derivada. El ítem intenta mostrar la relación entre la gráfica
de una función origen (Producto Total) y la gráfica de la función derivada (Producto
Marginal).
3. Diseño de investigación Ángel Luis Ariza Jiménez
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Entrevista Inv.: Calculas bien el Producto Marginal pero no lo dibujas. AL.: Es que creía que no había que dibujarlo, también me pasó en el otro apartado
de este ejercicio…¿Te la dibujo? Inv.: Sí. AL.: (Dibuja una hipérbola rectangular decreciente). Inv.: ¿Puedes explicar por qué tiene esa forma? AL.: Porque la función 1/2raizL es decreciente, a medida que metemos más
trabajadores la productividad disminuye, por eso tiene esta forma decreciente. Inv.: Tampoco dices si la Función de Producción es cóncava o convexa. AL.: También se me olvidó…es cóncava porque la segunda derivada da negativa, eso
se traduce en que en la gráfica la pendiente es cada vez más pequeña, o sea que la producción crece cada vez menos por lo que hemos dicho antes de la productividad…eso hace que tenga esa forma cóncava.
Figura 3.13. Ejemplo de respuesta con puntuación 1 al ítem 3.2
Explicación de la respuesta
Representación gráfica correcta de la función Producto Marginal y obtención correcta
de su expresión algebraica, poniéndola en relación con una posible expresión para el
Producto Total. Obtiene una segunda derivada negativa lo cual lleva a concluir que la
función es cóncava, explicando las implicaciones en el registro gráfico.
Puntuación: 1
3. Diseño de investigación Ángel Luis Ariza Jiménez
- 104 -
Justificación de la puntuación
El alumno obtiene correctamente una expresión algebraica para la expresión origen
acorde con la forma presentada, lo cual le permite desde el registro algebraico obtener la
primera derivada de modo correcto, también en el registro gráfico. También indica en la
entrevista el proceso de obtención de la segunda derivada, con su expresión algebraica y
sus implicaciones económicas desde el punto de vista de la concavidad de la función
origen. Existe coordinación entre los dos registros y se alcanza la obtención de la
segunda derivada, además de la primera, por lo que puntuamos con 1 punto.
Figura 3.14. Ejemplo de respuesta con puntuación 0.75 al ítem 3.2
Explicación de la respuesta
Representación gráfica correcta de la función de Producto Marginal y obtención
correcta de su expresión algebraica, poniéndola en relación con una posible expresión
para el Producto Total. Obtiene una segunda derivada negativa lo cual lleva a concluir
3. Diseño de investigación Ángel Luis Ariza Jiménez
- 105 -
que la función es cóncava, pero no explica qué implica la concavidad en el registro
gráfico.
Puntuación: 0,75
Justificación de la puntuación
Al igual que el alumno anterior, éste realiza la conversión de la función origen al
registro algebraico correctamente, lo cual le permite obtener en éste registro la primera
derivada, y de ahí también en el registro gráfico, mostrando coordinación en los
resultados en ambos registros. Obtiene también la expresión de la segunda derivada y la
pone en relación con el concepto concavidad, pero no explica qué significa esto en
términos económicos de la función origen, por lo que puntuamos con 0,75.
Figura 3.15. Ejemplo de respuesta con puntuación 0.50 al ítem 3.2
3. Diseño de investigación Ángel Luis Ariza Jiménez
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Explicación de la respuesta
Representación gráfica correcta de la función Producto Marginal y obtención correcta
de su expresión algebraica, poniéndola en relación con una posible expresión para el
Producto Total. No se calcula la segunda derivada ni se habla de concavidad.
Puntuación: 0,50
Justificación de la puntuación
El proceso de obtención de la primera derivada es correcto y describe el camino de las
dos anteriores respuestas, pero se queda ahí y no avanza en la obtención completa de la
segunda derivada, por lo que puntuamos con 0,5.
Figura 3.16. Ejemplo de respuesta con puntuación 0.25 al ítem 3.2
Explicación de la respuesta
La función de Producto Marginal representada presenta graves errores (no se
corresponde con una función monótona decreciente), mientras que las expresiones
algebraicas son erróneas o no se obtienen. No hay cálculo ni referencias a la segunda
derivada.
3. Diseño de investigación Ángel Luis Ariza Jiménez
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Puntuación: 0,25
Justificación de la puntuación
La expresión algebraica de la función origen no es acorde con su gráfica, y el cálculo
de la primera derivada en el registro algebraico es incorrecto, así como también en el
registro gráfico (pues representa una función de PM creciente). Consideramos que son
errores importantes, y que el alumno no muestra coordinación entre los registros, y
puntuamos con 0,25.
3.3.2 Etapa 2: Aplicación de la métrica fuzzy en la caracterización del desarrollo
del esquema de la relación función-derivada en conceptos económicos.
Asignación de niveles de desarrollo
La puntuación dada a las respuestas de cada ítem en la etapa anterior nos ha
permitido obtener información discreta del comportamiento de los estudiantes en los
diferentes ítems en forma de un vector 12-tupla vinculado a cada estudiante, pero no nos
da información sobre la manera en la que podríamos inferir características de las
diferentes fases de desarrollo del esquema de la relación función-derivada en conceptos
económicos, debido al carácter anidado de los esquemas que los conformaban. Para
poder identificar las relaciones que se pueden establecer entre los elementos de cada
uno de los esquemas anidados que constituyen el esquema de la relación función-
derivada en conceptos económicos, debíamos obtener una “medida” de la comprensión
puesta de manifiesto en las respuestas de los estudiantes (y por tanto del desarrollo del
esquema). Esa medida de la comprensión debía reflejar el carácter anidado de los
esquemas derivado del análisis conceptual. Para poder determinar el desarrollo del
esquema de la relación función-derivada en conceptos económicos a partir de la
comprensión de los elementos y las relaciones utilizamos la métrica fuzzy.
El proceso de análisis de esta etapa se realiza en distintos pasos. En primer lugar
presentamos las decisiones metodológicas, basadas en la teoría fuzzy, que hemos
utilizado en esta etapa de análisis y que nos ha permitido, en segundo lugar, caracterizar
los diferentes niveles de desarrollo del esquema de la relación función-derivada en
conceptos económicos (objetivo de investigación) y asignar finalmente a los estudiantes
en los distintos niveles de desarrollo del esquema. Para cumplimentar estos objetivos
nos apoyamos en la idea de “borrosidad de la pertenencia a un conjunto fuzzy”.
3. Diseño de investigación Ángel Luis Ariza Jiménez
- 108 -
3.3.2.1. La teoría fuzzy
En primer lugar definiremos los conjuntos Fuzzy, para considerar el espacio
métrico fuzzy que permite establecer una función de pertenencia. Finalmente,
contextualizamos el espacio métrico fuzzy, es decir, fijamos el grado de pertenencia de
un estudiante “ideal” al conjunto fuzzy definido como “grado de adquisición del
concepto de la derivada en conceptos económicos” y equivalente a un determinado nivel
de desarrollo del esquema de la relación función-derivada en conceptos económicos.
• Conjunto fuzzy
Un conjunto fuzzy (Zadeh, 1965) se define matemáticamente mediante la
asignación a cada elemento de un universo de referencia un valor en el intervalo [0,1]
que representa su grado de pertenencia a dicho conjunto.
“Dado un universo X definido como un espacio de objetos (dominio), un conjunto fuzzy
A de X es un conjunto de pares ordenados, { })( , xXxA Aµ∈= , formados por cada
elemento genérico x X∈ y su grado de pertenencia al conjunto, )(xAµ . El grado de
pertenencia se establece mediante una aplicación [ ]1,0: →XAµ , llamada función
característica o función de pertenencia, que describe perfectamente el conjunto fuzzy”
Esta idea introduce la noción de “borrosidad” a la pertenencia de un conjunto,
ya que, se modelizan muchos fenómenos reales en los que los objetos no tienen un
criterio totalmente definido de pertenencia.
• Espacio métrico fuzzy
En esta investigación, siguiendo la aplicación desarrollada por Boigues
(Boigues, 2010; Boigues et al., 2010), hemos usado la noción de espacio métrico fuzzy
de George y Veeramani (1994) en la que la métrica fuzzy estándar inducida por la
métrica euclídea sobre el conjunto X viene dada por
( )yxdtttyxFd ,
),,(:+
=
La métrica o distancia fuzzy, dF , puede interpretarse como una valoración de la
distancia d(x,y) (métrica clásica Euclidiana que mide el grado de cercanía entre dos
3. Diseño de investigación Ángel Luis Ariza Jiménez
- 109 -
estudiantes) en términos cualitativos. Dado que si d(x,y)= 0, entonces se tiene que
Fd= 1 lo que se interpreta como “cercanía extrema”, mientras que, a medida que ),( yxd
se hace grande, Fd se va acercando a cero, es decir se tiende a la “extrema lejanía”,
valor que se alcanza en el límite cuando ),( yxd tiende a ∞+ , sea cual sea el valor de
t>0.
Cuando usamos la métrica fuzzy para determinar el nivel de comprensión
entendido desde la perspectiva del desarrollo de un esquema cognitivo, intentamos
cuantificar de alguna manera la distancia entre las respuestas dadas por un estudiante
con la respuesta de un estudiante ideal.
• Contextualización de la métrica fuzzy
El valor de la métrica fuzzy depende de un parámetro “t” contextual que permite
considerar la incertidumbre que caracteriza el contexto del análisis. En esta situación,
dado un espacio métrico en X nℜ⊂ , si consideramos un elemento arbitrario, pero fijo,
Xx ∈0 (en el caso del estudio del desarrollo de la derivada en conceptos económicos
este elemento seria la 12-tupla vinculada a un estudiante “ideal” que ha contestado
correctamente a todas las cuestiones propuestas) y fijamos un valor t>0 para cada
esquema considerado, entonces, a partir de la siguiente función
( )xxdtttxxFx d ,
),,()(0
0 +==µ
podemos construir un conjunto fuzzy, { })( , xXxA µ∈= , siendo )(xµ la función de
pertenencia (en nuestro caso X seria los alumnos, y para cada esquema tendríamos un
conjunto fuzzy).
3.3.2.2. Identificación de los niveles de desarrollo del esquema de la relación
función-derivada en conceptos económicos a través de la técnica fuzzy
En primer lugar determinamos los conjuntos fuzzy correspondientes a cada uno
de los tres esquemas que conforman el esquema de la relación función-derivada en
conceptos económicos (Tabla 2.9 y 3.5) y que hemos nombrado igual que estos
esquemas:
3. Diseño de investigación Ángel Luis Ariza Jiménez
- 110 -
Conjunto 0 “de lo algebraico a lo gráfico”;
Conjunto 1 “significado y uso de la primera derivada”, y
Conjunto 2 “significado y uso de la segunda derivada”,
dado que los elementos de estos conjuntos y la función de pertenencia a los mismos
provienen de las puntuaciones obtenidas por los participantes en los ítems de los tres
esquemas.
En segundo lugar, hemos establecido el grado de pertenencia de los estudiantes a estos
tres conjuntos fuzzy y fijado el nivel de compresión del esquema.
• Conjuntos Fuzzy del esquema de la relación función-derivada en conceptos
económicos
Para cada esquema, el conjunto fuzzy está formado por las 110 medidas fuzzy
procedentes de las respuestas a los 4 ítems que conforman cada esquema. La función de
pertenencia depende de la distancia clásica entre el vector de puntuaciones obtenidas
por cualquiera de los alumnos participantes y el vector de puntuaciones correspondiente
al alumno ideal (todas las componentes iguales a uno), así como del parámetro fijo t que
definimos correspondiente a cada uno de los esquemas (y a partir de los tres valores del
parámetro t, consideraremos un valor de t que los englobe).
Para obtener este valor debemos:
• fijar en cada uno de los esquemas, el grado de pertenencia correspondiente a un
vector Q de Rn con todas sus componentes iguales a ceros. Asumimos que el grado
de pertenencia de este vector será inferior o igual a 0.25, asunción basada en las
características de los 110 alumnos participantes (todos los alumnos han contestado al
menos a los ítems de la tarea 0, 1 y alguno más). Esta hipótesis supone
calcular la distancia clásica entre dos vectores de Rn (n=4 en cada esquema), el que tiene
todas las componentes iguales a ceros, Q, y el que las tiene iguales a unos, I.
( )∑ −=n
IQd1
210),(
calcular los parámetro ti = 0,1, 2 para una métrica fuzzy inferior o igual a 0’25
para cada uno de tres conjuntos fuzzy definidos.
3. Diseño de investigación Ángel Luis Ariza Jiménez
- 111 -
( ) 25.0,
),,()( ≤+
==IQdt
ttIQFI dµ
obtener el valor de un parámetro t.
En nuestra investigación hemos distinguido tres conjuntos fuzzy en el esquema
de la relación función-derivada:
Conjunto-0: “de lo algebraico al gráfico”. Este conjunto está formado por las
puntuaciones correspondientes a los ítems del esquema 0. En este esquema los
estudiantes debían manejar la conversión de lo algebraico a lo gráfico de funciones
económicas lineales y no lineales (E1 y E2) y lo relativo a la TVM entre dos puntos y
por aproximación al límite (E3 y E4). En los dos ítems correspondientes a los pre-
elementos los estudiantes han de realizar conversiones desde el registro algebraico al
gráfico (el primero a través de una función lineal y el segundo a través de una función
no lineal). En los dos ítems correspondientes a los elementos los estudiantes usan la
derivada en el registro algebraico con funciones económicas lineales y no lineales a
través del concepto de elasticidad. Los estudiantes tendrán asociado un vector de Rn
(n=4) formado por las puntuaciones obtenidas en los ítems (0.1, 0.3, 1.1, 1.2).
En este conjunto la distancia métrica entre un estudiante con la puntuación
Q = (0, 0, 0, 0) y el estudiante ideal con la puntuación I = (1, 1, 1, 1) es igual a 2. Para
determinar un valor inicial del parámetro t, asumimos que el grado de pertenencia a este
conjunto fuzzy de este estudiante hipotético es inferior o igual a 0,25. Esta hipótesis
significa que el estudiante que no haya sido capaz de resolver los ítems de esta cuestión
no es capaz de: (a) representar gráficamente con todos sus puntos correctos dos
funciones lineales que se intersectan en un punto, (b) representar gráficamente con
todos sus puntos correctos una función no lineal junto con una función lineal que se
intersectan en un punto, (c) calcular correctamente la razón de cambio entre dos puntos
concretos, tanto en funciones lineales como no lineales, y (d) calcular correctamente la
variación infinitesimal de una variable con respecto a otra en un punto si la función es
lineal o no lineal. Por tanto este valor significa una cota de pertenencia en el sentido que
cualquier alumno que haya contestado algo de este ítem puede obtener un valor fuzzy
superior a 0,25 calculado considerando el valor de t obtenido. Con este supuesto,
podremos obtener un valor del parámetro t
3. Diseño de investigación Ángel Luis Ariza Jiménez
- 112 -
25.02
),,( ≤+
=t
ttIQF ,
Como consecuencia de esta hipótesis, obtenemos que to < 0.66
Conjunto-1: “significado y uso de la 1ª derivada”. Este conjunto fuzzy viene definido
por el comportamiento de los estudiantes con los dos pre-elementos de nuestra
descomposición genética que se basan en las conversiones G→A (elementos E5 y E7) y
dos elementos relacionados con la ‘1ª derivada’ (elementos E6 y E8). La configuración
de este conjunto permite la realización de conversiones desde el registro gráfico al
algebraico (G→A) en funciones económicas lineales y no lineales, y, además, el uso del
concepto de 1ª derivada con tratamientos en ambos registros y conversiones en ambos
sentidos (A↔G), también en funciones económicas lineales y no lineales.
En este conjunto fuzzy los estudiantes comienzan a tratar el concepto de
derivada con la introducción del registro gráfico en interacción con el algebraico, y con
relaciones lineales y no lineales. En relación a este conjunto, cada estudiante tendrá
asociado un vector de Rn (n=5) formado por las puntuaciones obtenidas en los ítems
(0.2, 2.1, 0.4, 2.2) más la puntuación t-fuzzy conjunto-0.
Siguiendo con el mismo procedimiento anterior para identificar un valor del
parámetro t que nos muestra un cierto grado de pertenencia al conjunto fuzzy 1
“significado y uso de la 1ª derivada”, consideramos la distancia entre un estudiante
hipotético Q que asumimos tiene un valor de 1 en relación al esquema-0 pero con
puntuaciones de 0 en los ítems del esquema 1. La distancia métrica entre este alumno Q
con la puntuación Q = (1, 0, 0, 0, 0) y el estudiante ideal con la puntuación I=(1,1,1,1,1)
es igual a 2. Asumimos que el grado de pertenencia del alumno Q a este conjunto fuzzy
es inferior o igual a 0,25. Esto significa que un alumno que no ha sido capaz de resolver
los ítems de este esquema y por tanto no es capaz de: (a) utilizar un método adecuado de
conversión de funciones lineales desde el registro gráfico al algebraico que tenga en
cuenta la ecuación genérica de una línea recta (y = mx +n), o el concepto de pendiente,
(b) representar gráficamente una función lineal dada la gráfica de su derivada, ni
calcular su expresión algebraica, (c) obtener la expresión algebraica correspondiente a
una función no lineal, o al menos una expresión que cumpla las características de no
linealidad y crecimiento de la función representada gráficamente, y (d) representar
correctamente una función no lineal dada la gráfica de su derivada ni generar su
expresión algebraica. Bajo esta hipótesis el valor de t viene dado por
3. Diseño de investigación Ángel Luis Ariza Jiménez
- 113 -
25.02
),,( ≤+
=t
ttIQF , obtenemos que t¹ < 0.66
Conjunto-2: “significado y uso de la 2ª derivada”. Este conjunto fuzzy está definido
por el comportamiento de los estudiantes en los dos ítems del elemento ‘2ª derivada’
(E9 y E10) y los dos ítems del último elemento ‘derivada en un punto→función
derivada’ (E11 y E12) de la descomposición genética. La configuración de este
conjunto permite el uso de los conceptos de 1ª derivada y 2ª derivada con tratamientos y
conversiones en ambos sentidos (A↔G), en funciones económicas convexas y
cóncavas. Además, los estudiantes serían capaces de construir funciones derivadas a
través de la derivada en un punto, utilizando y coordinando ambos registros. En este
conjunto fuzzy los estudiantes tratan el concepto de derivada en conceptos económicos
a través de la obtención de la 1ª y 2ª derivadas con la coordinación de ambos registros, y
siendo capaces de obtener funciones derivadas a través de la derivada en un solo punto,
tanto en funciones convexas como en cóncavas.
Los estudiantes tendrán asociado un vector de Rn (n=5) formado por las
puntuaciones obtenidas en los ítems (3.1, 3.2, 4.1, 4.2) más la puntuación t-fuzzy del
conjunto-1.
Siguiendo con el mismo procedimiento anterior, para identificar un valor del
parámetro t que nos muestra un cierto grado de pertenencia al conjunto fuzzy 2
“significado y uso de la 2ª derivada”, consideramos la distancia entre un estudiante
hipotético que tenga un 1 en el conjunto -1 pero 0 en los cuatro ítems del esquema-2,
Q = (1,0,0,0,0) y las de un estudiante ideal, I = (1,1,1,1,1). La distancia métrica entre
estos dos estudiantes es 2. El estudiante Q = (1,0,0,0,0) tiene desarrollado el esquema 1,
de ahí el valor 1 de la primera coordenada del vector. Un estudiante en estas
condiciones no será capaz de: (a) representar correctamente la gráfica de la segunda
derivada dada la gráfica de la función origen, ni generar expresiones algebraicas, ni el
significado del concepto de concavidad ni convexidad, (b) obtener la gráfica de la
función derivada a partir del cálculo de la derivada en un punto determinado de la
función, ni obtener la expresión de la segunda derivada en funciones cóncavas ni
convexas. Igual que antes, asumimos que un estudiante con estas condiciones tendrá un
valor fuzzy en el esquema 2 menor o igual a 0,25.
El cálculo del valor de t,
3. Diseño de investigación Ángel Luis Ariza Jiménez
- 114 -
25.02
),,( ≤+
=t
ttIQF , obtenemos t²≤0,66
La tabla 3.8 muestra los valores del parámetro “ti” de cada uno de los conjuntos
fuzzy establecidos para una distancia fuzzy menor o igual que 0.25, así como el valor t
que nos permitirá obtener el grado de desarrollo del concepto de derivada en su uso en
conceptos económicos.
Tabla 3.8. Tabla de valores de los parámetros t
Como los tres valores del parámetro t obtenidos bajo las hipótesis descritas es el
mismo, consideramos t=2/3 como el valor contextual del parámetro t.
• Grado de pertenencia de los estudiantes a los tres conjuntos fuzzy
determinados
Una vez establecido un parámetro t para contextualizar el grado de pertenencia
de un estudiante a un determinado esquema lo usamos para determinar un valor fuzzy
para cada estudiante a partir de la fórmula:
( )xIdtttxIFx d ,
),,()(+
==µ
siendo 32
=t y d(I, x) la distancia clásica entre los vectores correspondientes a las
puntuaciones obtenidas por los alumnos en los ítems de cada uno de los esquemas, x, y
el vector de puntuaciones del alumno ideal, I. Esta fórmula se aplica a la puntuación de
cada alumno en cada esquema. Por ejemplo, la tabla 3.9 muestra el grado de pertenencia
del alumno AL.2 a los tres conjuntos fuzzy.
De esta manera, a cada estudiante se le asignan tres valores fuzzy. Por ejemplo,
al estudiante AL.2, le corresponde la terna de valores fuzzy (0,385; 0.343; 0,261), uno
3. Diseño de investigación Ángel Luis Ariza Jiménez
- 115 -
por esquema. El valor fuzzy asignado al conjunto fuzzy 2, como engloba a los otros dos
al estar contenidos unos en otros, representará la medida de desarrollo del esquema de
derivada en contextos económicos.
Tabla 3.9. Grado de pertenencia del Alumno Al.2 en los conjuntos fuzzy 0, 1 y 2
Alumno AL.2
Puntuaciones obtenidas en los ítems del Esquema E0
Ítems Distancia Clásica entre los vectores
(0,75;0.5;0,25;0.5) y (1,1,1,1)
)2(0 Aµ
con
32
=t 0.1 0.3 1.1 1.2
0.75 0.50 0.25 0.50 1.06 0.385
Puntuaciones obtenidas en los ítems del Esquema E1
Ítems Distancia Clásica entre los vectores (0,385;0.75;0.75;0,25;0.25)
y (1,1,1,1,1)
)2(0 Aµ
con
32
=t )2(0 Aµ
0.2 2.1 0.4 2.2
0.385 0.75 0.75 0.25 0.25 0.343
Puntuaciones obtenidas en los ítems del Esquema E2
Ítems Distancia Clásica entre los vectores
(0,343; 0.25;0.25;0;0) y (1,1,1,1,1)
)2(2 Aµ con
32
=t )2(1 Aµ
3.1 3.2 4.1 4.2
0,343 0.25 0.25 0 0 1.886 0.261
Lo realizado hasta ahora, nos permite asignar valores fuzzy a cada estudiante.
Colocando estos valores en columnas, la columna final (cuando ponemos estudiantes
por filas y las puntuaciones por columnas) es la medida fuzzy del conjunto 2. Por
ejemplo, el alumno AL.2 y el alumno AL.3 presentan las puntuaciones que se muestran
en la tabla 3.10 según el grado de adquisición de cada elemento de nuestra
descomposición genética
Tabla 3.10. Puntuaciones fuzzy de cada uno de los 3 conjuntos fuzzy o esquemas de desarrollo
Las distancias fuzzy permiten determinar un continuo que nos dan información
sobre el grado de pertenencia de un estudiante a uno de los conjuntos fuzzy definidos
3. Diseño de investigación Ángel Luis Ariza Jiménez
- 116 -
anteriormente que permite asignarle un nivel de desarrollo del esquema
correspondiente. Si tomamos el valor de la medida fuzzy en el conjunto-2 (Esquema 2:
significado y uso de la segunda derivada), puesto que este conjunto integra a los dos
anteriores, dicho valor se corresponderá con el nivel de desarrollo del esquema de la
relación función-derivada en conceptos económicos globalmente considerado (en el
caso de AL2 dicho valor es 0,261). Los valores fuzzy para el esquema 2 así obtenidos
van desde 0,2380 hasta 0,4020 (a excepción del estudiante AL.1 que alcanzó el valor de
1).
El cálculo de las medidas fuzzy en los tres esquemas para los 110 alumnos, junto
con sus puntuaciones en cada uno de los ítems del cuestionario, se recogen en el
Anexo, pp. 55-57.
A partir de aquí se plantean 2 cuestiones:
i) determinar el punto de corte (en particular dos) para identificar los tres
NIVELES DE DESARROLLO del esquema y asignar alumnos a los
distintos niveles.
ii) caracterizar cada uno de los niveles de desarrollo del esquema “relación
función-derivada en conceptos económicos” según los estudiantes que se
hayan situados en cada nivel y su comportamiento en los diferentes ítems,
considerando los comportamientos alrededor de los puntos de corte para
inferir mecanismos que puedan ayudar a caracterizar la transición.
3.3.2.3. Grado de desarrollo del esquema de la relación función-derivada en
conceptos económicos. Asignación de niveles de desarrollo
Debemos determinar dos valores fuzzy que nos indiquen la medida frontera
entre INTRA-INTER y la medida frontera entre INTER-TRANS. Para determinar estos
valores consideraremos las características generales que definen los niveles de
desarrollo de un esquema junto con los elementos de la descomposición genética
descrita en el capitulo anterior del esquema de la relación función-derivada en
conceptos económicos. Para ello conjeturaremos las puntuaciones al cuestionario de un
estudiante que estuviera en la frontera de los niveles de desarrollo. A partir de lo que se
supone seria capaz de hacer en el nivel INTER y que no seria capaz de hacer en el nivel
INTRA. Del mismo modo para el punto frontera INTER-TRANS, conjeturamos las
3. Diseño de investigación Ángel Luis Ariza Jiménez
- 117 -
posibles respuestas que podría dar un alumno que hubiera trascendido el nivel INTER y
empezara a reflejar en sus respuestas las características del nivel TRANS.
• Determinación del punto frontera INTRA-INTER
Desde la descripción conceptual del nivel INTRA sabemos que los estudiantes
en este nivel no establecen relaciones entre las operaciones y cometen errores que se
corregirán progresivamente, mientras que en el nivel INTER, los estudiantes empiezan a
establecer relaciones entre los elementos. Estas características conceptuales aplicadas al
cálculo de derivada en el nivel INTRA se reflejan en el tratamiento mecánico que hacen
los estudiantes del concepto de derivada en el registro algebraico, y las dificultades que
presentan al cambiar al registro gráfico y en usar la relación entre la gráfica de función y
su derivada. Características que se pueden observar en los ítems de la tarea 1 que solo
exige medir la relación de cambio entre dos variables económicas mediante una
expresión o fórmula algebraica aprehendida.
Por otra parte, en el nivel INTER el alumno va construyendo el significado de la
relación entre una función y su derivada en el registro gráfico, lo cual le permite intentar
nuevas construcciones con el uso de la segunda derivada, independientemente de cómo
use el concepto en el registro algebraico de modo aislado. En este caso son los ítems de
la tarea 2 y tarea 3 los que permiten observar estas características. Los ítems de la tarea
2 requieren de un uso del concepto de la derivada en el registro gráfico, en donde se
debe poner de manifiesto la comprensión de la relación entre una función y su derivada,
primero con una función origen lineal y posteriormente con una función origen no
lineal. Los ítems de la tarea 3 requieren al igual que los de la tarea 2 un uso de la
derivada en el registro gráfico a través de su relación con la función origen, y además el
uso de la función segunda derivada y su relación con la primera derivada y la función
origen, de modo que conceptualmente permita explicar la forma cóncava o convexa de
ésta última.
Por tanto, podemos considerar que un alumno hipotético con estas características
tendría una puntuación de (1; 1; 1; 1) en los ítems del esquema 0; una puntuación de (1;
0,5; 0,5; 0,5) en los ítems del esquema 1; y (0,25; 0,25; 0; 0) en los ítems del esquema 2
y, en consecuencia, tendría como medidas fuzzy Fd° = 1 en el esquema 0, Fd¹ = 0,435 en
el esquema 1 y Fd² = 0,27 en el esquema 2 (Tabla 3.11).
3. Diseño de investigación Ángel Luis Ariza Jiménez
- 118 -
Tabla 3.11. Medidas fuzzy en los tres esquemas de un alumno hipotético que se encuentra en la frontera Intra-Inter
Consideramos la medida fuzzy 0.27 del Esquema 2 como el punto que marca la
frontera entre el nivel INTRA y el INTER. La tabla 3.12 muestra puntuaciones de 8
alumnos que encajarían en estas características, cuatro en el nivel Intra (AL.15, 89, 93,
97) y cuatro en el nivel Inter (AL.29, 63, 38, 23). Hemos escogido cuatro alumnos con
medidas fuzzy muy cercanas pero menores a 0.27 y cuatro alumnos con medidas muy
cercanas pero mayores a 0.27, de manera que podamos observar un conjunto de
características suficientes para inferir pautas de comportamiento de cambio de nivel (de
Intra a Inter).
Tabla 3.12. Puntuaciones de estudiantes alrededor del punto de frontera INTRA-INTER
• Determinación del punto frontera INTER-TRANS
De la misma manera que antes, considerando las características que definen a los
niveles INTER y TRANS y los elementos de la descomposición genética del esquema
de la relación función-derivada en conceptos económicos, determinamos una medida
fuzzy frontera.
Consideramos que un estudiante ha alcanzado un nivel de desarrollo suficiente
en relación al esquema 0- “significado de lo algebraico al gráfico” si es capaz de
3. Diseño de investigación Ángel Luis Ariza Jiménez
- 119 -
plantear el cálculo de variaciones medias entre dos puntos e infinitesimales en un punto,
así como de realizar conversiones de funciones económicas lineales y no lineales desde
el registro algebraico al gráfico, y además es capaz de comprender significativamente
los elementos relativos a la conversión de lo algebraico a lo gráfico y los significados de
la TVM aunque con algunos errores derivados de lo que supone tratar con funciones no
lineales y con variaciones infinitesimales en las tareas de traslación de lo algebraico a lo
gráfico. Un alumno hipotético en estas condiciones puede tener puntuaciones (1, 1, 1, 1)
en los ítems del esquema 0. En relación al esquema 1, este alumno hipotético sería
capaz de usar el concepto de 1ª derivada en el registro gráfico coordinando con el
algebraico, tanto en funciones lineales como no lineales, aunque muestre errores leves
de coordinación y dificultades en las funciones no lineales, en consecuencia, podría
tener una puntuación de (1, 0.5, 0.5, 0.5). Por último, en el esquema 2, este alumnos
tendría una comprensión del concepto de 2ª derivada aplicado al uso de conceptos
económicos que le permitiría pasar desde la derivada de una función en un punto a la
derivada de un función (cóncava o convexa) y usar la información procedente de la
segunda derivada para explicar sobre la concavidad/convexidad de la función
económica, por lo que podría tener una puntuación en los ítems de este esquema del tipo
(0.435, 0.5, 0.5, 0.5, 0.5). Por tanto el alumno hipotético tendría Fd° = 1 en el esquema
0, Fd¹ = 0,435 en el esquema 1 y Fd² = 0,36 en el esquema 2 (Tabla 3.13).
Tabla 3.13. Medidas fuzzy en los tres esquemas de un alumno hipotético que se encuentra en la frontera Inter-Trans
La tabla 3.14 refleja las puntuaciones de 8 alumnos alrededor de este punto de
corte entre el nivel INTER y TRANS conjeturado. De igual modo que en el punto-
frontera anterior, hemos seleccionado a cuatro alumnos con medidas fuzzy muy
3. Diseño de investigación Ángel Luis Ariza Jiménez
- 120 -
cercanas pero inferiores a 0.36 y cuatro con medidas fuzzy muy cercanas pero
superiores a 0.36, con el objetivo de observar características que permitan inferir pautas
de comportamiento de cambio de nivel (de Inter a Trans).
Tabla 3.14. Puntuaciones de estudiantes alrededor del punto de frontera INTER-TRANS
La tabla 3.15 muestra la asignación de los alumnos a los niveles Intra, Inter y
Trans considerando los puntos-frontera establecidos considerando las características
conceptuales de los niveles de desarrollo del esquema (INTRA; INTER y TRANS) y los
elementos de la descomposición genética del esquema de la relación función-derivada
en conceptos económicos.
Tabla 3.15 Alumnos encuadrados en niveles de desarrollo del esquema de derivada
NIVEL Nº AL. %
INTRA: F²<0,27 72 64,45
INTER: 0,27≤F²<0.36 33 30,00
TRANS: 0.36≤F² 5 4,55
Una manera de determinar el grado de validez de las decisiones analíticas
tomadas en relación a las hipótesis conceptuales derivadas de la descomposición
genética propuesta - y en particular el carácter anidado de los tres esquemas que
constituyen el esquema de la relación función-derivada en conceptos económicos –
consiste en analizar cómo se distribuyen las puntuaciones fuzzy de los alumnos en cada
uno de los niveles de desarrollo. Así, la Tabla 3.16 determina las puntuaciones mínimas
alcanzadas en cada esquema por los estudiantes asignados a los diferentes niveles de
desarrollo del esquema relación función-derivada en conceptos económicos.
3. Diseño de investigación Ángel Luis Ariza Jiménez
- 121 -
Tabla 3.16. Intervalos de puntuaciones obtenidas en cada uno de los esquemas (en negrilla los puntos frontera considerados desde el análisis conceptual)
Esquema 0- de lo algebraico a lo gráfico [0,301-1] [0,289-1] [0,75-1]
Esquema 1- Significado y uso de la 1ª derivada [0,249-0,392] [0,2639-1] [0,38-1]
Esquema 2- Significado y uso de la 2ª derivada [0,23-0,27[ [0,27-0,36[ [0,36-1]
Nivel INTRA (n=72)
Nivel INTER (n=33)
Nivel TRANS (n=5)
Estos datos reflejan que en general un mayor nivel de desarrollo del esquema 2
viene reflejado por un aumento en las puntuaciones mínimas alcanzadas en cada uno de
los esquemas que lo constituyen, a excepción de las puntuaciones obtenidas en el
esquema 0 “de lo algebraico a lo gráfico” (prerrequisitos necesarios). La puntuación
mínima del esquema 0 en los alumnos situados en los niveles de desarrollo INTRA,
INTER y TRANS del esquema 2 es 0.30, 0.28 y 0.75, respectivamente, lo que supone
un descenso en el nivel INTER. Sin embargo, tanto en el esquema 1 “significado y uso
de la 1º derivada” como en el esquema 2 “Significado y uso de la 2ª derivada” los
valores mínimos alcanzados por los estudiantes van aumentando según se consideran
niveles de mayor desarrollo. Para el esquema 1 se pasa de una medida fuzzy de 0.249 en
el nivel INTRA a una medida de 0.2639 en el nivel INTER y de 0.38 en el nivel
TRANS. Para el esquema 2 que engloba a los dos anteriores se pasa de una medida de
0.23 en el nivel INTRA, a una de 027 en el INTER y de 0.36 en el TRANS. Por tanto,
podemos asumir que los datos empíricos apoyan la hipótesis de la naturaleza encajada
de los esquemas constituyentes del esquema “relación función-derivada en conceptos
económicos”.
Para validar la forma mediante la cual, a priori, se han determinado los puntos
frontera entre niveles de desarrollo, vamos a estudiar en la sección de resultados el
comportamiento de los estudiantes cuya medida fuzzy está situada alrededor de estos
puntos. Así mismo el comportamiento de estos estudiantes podrá aportar información
sobre la transición entre los niveles.
4. Resultados Ángel Luis Ariza Jiménez
- 123 -
CAPÍTULO 4. RESULTADOS
Este capítulo está estructurado en cuatro apartados. En primer lugar,
describiremos las características de los alumnos que quedan asignados en cada uno de
los niveles de desarrollo del esquema de la relación función-derivada en conceptos
económicos como una forma de validar empíricamente las decisiones relativas a la
determinación de los puntos de transición entre los niveles de desarrollo. En segundo
lugar, analizaremos los casos de alumnos en los límites de cada uno de los niveles (con
medidas fuzzy alrededor de los puntos de corte determinados), lo cual nos servirá para
establecer las características cognitivas necesarias para cambiar de un nivel a otro o
definir mecanismos de transición. Por último, describiremos las características del
comportamiento de los estudiantes que podemos considerar que han tematizado el
esquema.
4.1. Características de los niveles de desarrollo del esquema de relación función-
derivada en el uso de conceptos económicos
Para establecer las características de los niveles de desarrollo del esquema de la
relación función-derivada en el uso de conceptos económicos hemos partido de la
asignación de los estudiantes a los tres niveles de desarrollo del esquema en función de
las medidas fuzzy obtenidas y de los puntos de corte establecidos.
4.1.1. Características del Nivel INTRA de desarrollo del esquema de relación
función-derivada en conceptos económicos
En este nivel hemos asignado a 72 alumnos que tienen una medida fuzzy de
desarrollo del esquema de relación función-derivada en conceptos económicos inferior a
0,27.
Estos alumnos realizan las operaciones sobre la tasa de variación (concepto de
variación entre dos variables económicas) que es la primera aproximación que los
4. Resultados Ángel Luis Ariza Jiménez
- 124 -
alumnos tienen al concepto de derivada en el uso de conceptos económicos (Esquema
0). También calculan las expresiones algebraicas en el contexto de la TVM entre dos
puntos y TVM por aproximación al límite de manera correcta. Por su parte, la relación
funcional entre las variables económicas, mostrada inicialmente en el modo numérico o
algebraico, permite empezar a comprender la traslación al modo gráfico para mostrar la
relación funcional entre las variables económicas, pero no hay evidencias de cómo
interpretan los significados entre las variaciones de dicha relación.
En este nivel los alumnos tienen dificultades en interpretar la relación entre la
función y su derivada en el registro gráfico como un modo de entender la medida de la
velocidad del cambio dado por la derivada de la función. Así, los estudiantes no
muestran capacidad para convertir la relación presentada en el registro gráfico al
registro algebraico como una manera de entender la velocidad de cambio a través del
cálculo algebraico de la derivada. Las puntuaciones mostradas en los elementos del
Esquema 1 son por ello bajas (entre 0,249 y 0,392).
Referente a la comprensión de la velocidad de cambio entre las variables
económicas a través de la relación entre la función, la primera y la segunda derivada,
desde el registro gráfico (Esquema 2), los alumnos en este nivel no consiguieron poner
de manifiesto la relación a través de la segunda derivada (puntuaciones entre 0,23 y
0,27).
De modo general las características de este nivel se pueden englobar en torno a
tres perspectivas:
• Conceptos económicos que utilizan: los alumnos obtienen algebraicamente los
conceptos tasas de variaciones medias entre las variables Precio y cantidad
demandada/ofertada a través del uso del concepto económico de la elasticidad.
• Significado de la relación entre la función y su derivada: los alumnos establecen
la relación entre una función y su derivada solamente a través de las expresiones
algebraicas de ambas funciones.
• Modos de representación: el registro en el que se desenvuelven mejor los
alumnos es el registro algebraico. No establecen la relación entre la función y su
derivada en el registro gráfico. Éste solamente se utiliza como visualización de la
relación entre las variables a partir de dicha relación presentada en el registro
numérico o algebraico (solo hacen conversión de funciones desde el registro
algebraico al gráfico)
4. Resultados Ángel Luis Ariza Jiménez
- 125 -
A continuación, mostramos evidencias de estas características del nivel INTRA.
Una evidencia de cómo los alumnos utilizan los conceptos económicos se manifiesta en
el protocolo del AL.90 referente a la tarea 1 (Figura 4.1). La respuesta de AL.90 al ítem
1.1 relaciona las variaciones en las dos variables a través de un cociente. Este estudiante
para comparar la variación en la cantidad demandada en las dos funciones dadas utiliza
porcentajes que obtiene como diferencia entre los valores de las funciones en los dos
puntos dados.
Figura 4.1. Respuesta del estudiante AL.90 a la tarea 1
Por su parte, en el ítem 1.2, para la obtención de la elasticidad-punto, el alumno
AL.90 utiliza la parte final de la expresión
4. Resultados Ángel Luis Ariza Jiménez
- 126 -
A través de la derivada de la función de demanda respecto al precio (∆Qd/∆P),
como multiplicación de ésta por el cociente del punto (P/Q), llega al valor de la
variación infinitesimal o en un punto. Esta expresión aparece en los currículos de
microeconomía como necesaria para el cálculo sencillo del concepto económico de
elasticidad en un punto.
Esta manera de proceder indica que el estudiante calcula las tasas de variación
entre dos puntos (elemento E3) y las tasas de variación media en un punto o por
aproximación al límite (elemento E4) utilizando el concepto y la expresión algebraica
de elasticidad-punto.
Por otra parte, las conversiones desde el registro algebraico o numérico al
gráfico no plantean dificultades a los estudiantes situados en este nivel. Por ejemplo, la
respuesta de AL.3 a los ítems 0.1 y 0.3 (Figura 4.2) muestra correctamente todos los
puntos dados por la tarea y obtiene dos funciones lineales que se cortan en el punto de
equilibrio.
Figura 4.2. Respuesta del estudiante AL.3 a los ítems 0.1 y 0.3 de la tarea 0
4. Resultados Ángel Luis Ariza Jiménez
- 127 -
También AL.3 representa el caso de la función de demanda no lineal, cuya
forma de hipérbola decreciente es correcta, obteniendo un punto de equilibrio distinto.
Esta es una característica de los estudiantes en este nivel que son capaces de representar
gráficamente funciones lineales y no lineales desde el registro algebraico. Es decir,
realizan conversiones desde el registro algebraico o numérico al gráfico de funciones
lineales (elemento E1) y no lineales (elemento E2). Hasta ahora las características que
hemos reseñado de los alumnos del nivel Intra hacen referencia al Esquema 0 (De lo
algebraico a los gráfico), es decir, los alumnos son capaces de establecer conversiones
de lo algebraico a lo gráfico en funciones lineales (E1) y no lineales (E2) y de calcular
la tasa de variación media entre dos puntos (E3) y por aproximación al límite (E4). Sin
embargo, presentan dificultades con el significado y uso de la primera derivada
(Esquema 1).
A continuación, mostramos evidencias de las dificultades que encuentran los
estudiantes del nivel Intra para establecer relaciones entre expresiones algebraicas y las
gráficas de la función lineal y su derivada (elemento E6) y entre la función no lineal y
su derivada (elemento E8) que caracterizan el Esquema 1 de la descomposición
genética. Los estudiantes AL.3 y AL.22, a través de las respuestas a los ítems 2.1 y 2.2
(Figuras 4.3. y 4.4) ponen de manifiesto que no son capaces de obtener la función a
partir de la gráfica de la derivada, lo que evidencia su dificultad en comprender el
significado económico de la función derivada.
Por ejemplo, el estudiante AL.3 en su respuesta al ítem 2.1 de la tarea 2 (Figura
4.3) escribe una expresión algebraica errónea para el Coste Total y proporciona la
expresión CM = 0 la cual es errónea. Su justificación pone de manifiesto la falta de
comprensión de la relación entre las funciones económicas Coste Marginal y Coste
Total. Estos dos conceptos económicos están relacionados por ser derivada y función en
el sentido de que el Coste Marginal es la función que mide la velocidad de cambio de la
función Coste Total. El estudiante AL.3 realiza una representación gráfica de la función
origen errónea al representarla igual que la derivada.
Si consideramos conjuntamente la justificación y las expresiones algebraicas
dadas por el estudiante AL.3 podemos inferir que este alumno sabe implícitamente que
el Coste Marginal (CM) es la derivada del Coste Total (CT), ya que la derivada de una
constante ‘a’ efectivamente es 0, sin embargo, confunde el significado de 0 con el de
‘constante’ en el registro gráfico y parece no entender la relación gráfica entre el CM y
4. Resultados Ángel Luis Ariza Jiménez
- 128 -
el CT, pero ni siquiera a través del registro algebraico y el uso de la herramienta
aprehendida del ‘cálculo de una derivada’.
Figura 4.3. Respuesta del estudiante AL.3 al ítem 2.1 de la tarea 2
Esta falta de comprensión de la relación entre la derivada y la función en el
registro gráfico también se da en el caso de funciones no lineales. El protocolo de la
figura 4.4 muestra que el estudiante AL.22 no entiende la relación entre función y
derivada gráficamente en el contexto dado por la relación entre la función Producto
Marginal y la Función de Producción, cuando el Producto Marginal se da como la
gráfica de una recta de pendiente positiva. En particular, no es capaz de ver que la
gráfica de una recta de pendiente positiva como representación de la derivada implica
una forma exponencial creciente de la función origen. A pesar de ello sí responde de
manera adecuada a la cuestión relativa al registro algebraico, en la que establece la
relación entre ambas funciones a partir de la expresión algebraica de la función origen
que obtiene por integración, dado que la función en el enunciado del problema es la
derivada.
Para que los alumnos comiencen a entender el significado del coste marginal,
han de relacionar la gráfica de la primera derivada y la de la función origen, y
coordinarse con el registro algebraico. Es decir, han de (a) realizar conversiones de
funciones lineales y no lineales desde el registro gráfico al algebraico (elemento E5 y
E7) y (b) obtener primeras derivadas en ambos registros y su relación con las
funciones de origen lineal y no lineal (elemento E6 y E8).
4. Resultados Ángel Luis Ariza Jiménez
- 129 -
Figura 4.4. Respuesta del estudiante AL.22 al ítem 2.2 de la tarea 2
La tabla 4.1 resume las características específicas del uso de la derivada en
contextos económico de los alumnos del nivel INTRA a través de cómo entienden la
relación entre la función y la derivada en el registro algebraico y gráfico en los
contextos económicos particulares de la relación Coste Marginal-Coste Total y
Producto marginal- Función de Producción.
Tabla 4.1. Características del nivel INTRA
Niv
el IN
TR
A
a) Calculan en el registro algebraico las Tasas de Variaciones Medias entre dos
puntos y en un punto o por aproximación al límite utilizando el concepto de
elasticidad.
b) Realizan conversiones de funciones económicas lineales y no lineales desde
el registro algebraico al registro gráfico.
c) Tienen dificultades en usar la relación derivada-función en el contexto
gráfico.
4. Resultados Ángel Luis Ariza Jiménez
- 130 -
4.1.2. Características del NIVEL INTER de desarrollo del esquema de relación
función-derivada en conceptos económicos
En este nivel de desarrollo del esquema “relación función-derivada en conceptos
económicos” se han situado 33 estudiantes que tienen una medida fuzzy de desarrollo
del esquema entre 0,27 y 0,36.
Los alumnos del nivel Inter obtienen puntuaciones moderadas y altas en relación
al concepto de variación entre las variables económicas (Esquema 0). Además, estos
alumnos tienen un grado de desarrollo del Esquema 1 mayor que los alumnos del nivel
INTRA ya que pueden convertir gráficas de funciones lineales y no lineales al registro
algebraico. Además establecen relaciones entre la función económica y su derivada en
conceptos económicos como Producto Total–Producto Marginal y Coste Total–Coste
Marginal. Finalmente, en relación al grado de desarrollo del Esquema 2 (significado y
uso de la 2ª derivada), estos alumnos son capaces de identificar la relación entre la
función y su derivada, obtener cálculos de la segunda derivada aunque sin establecer
explicaciones de su significado y sin construir esas relaciones para los conceptos
económicos de Curva de Indiferencia–Relación Marginal de Substitución, por lo que el
grado de desarrollo del Esquema 2 es moderado o bajo.
Las características de este nivel son:
• Conceptos económicos que utilizan: los alumnos calculan los conceptos de tasas
de variación a través de la expresión de la elasticidad-precio de la demanda. Usan
los conceptos de Producto Total–Producto Marginal para identificar la relación
de función-derivada existente entre ellos, y los conceptos Coste Total–Coste
Marginal viéndolos como relación de función–derivada. Sin embargo, no utilizan
la relación entre los conceptos Curva de Indiferencia y Relación Marginal de
Substitución como función y su derivada.
• Significado de la relación entre la función y su derivada: los alumnos usan la
relación entre una función económica y su derivada tanto en el registro
algebraico como en el gráfico.
• Modos de representación: los alumnos establecen las relaciones entre las
funciones y sus derivadas en los registros algebraicos y gráfico. Son capaces de
realizar conversiones de funciones lineales desde el registro gráfico al algebraico.
4. Resultados Ángel Luis Ariza Jiménez
- 131 -
A continuación, pasamos a mostrar evidencias de estas características. El
estudiante AL.20 en su respuesta al ítem 2.1 (Figura 4.5) particulariza la gráfica dada de
la función de Coste Marginal al caso de CM = 2. Con esta particularización obtiene la
expresión de la función Coste Total como CT = 2 + 2Q. La relación entre estas dos
expresiones algebraicas y las gráficas se establece a través de la derivación de la función
Coste Total. El alumno identifica de manera explícita que la función Coste Marginal
(CM) es la derivada Coste Total (CT).
Figura 4.5. Respuesta del estudiante AL.20 al ítem 2.1 de la tarea 2
En su respuesta al ítem 2.2 el estudiante AL.32 (Figura 4.6) utiliza el cálculo de
la integral para llegar a la expresión de la función origen, representada correctamente
4. Resultados Ángel Luis Ariza Jiménez
- 132 -
mediante una parábola creciente. En esta respuesta AL.32 reconoce que el Producto
Marginal (PM) y el Producto Total (PT) son la función derivada y la función. Además,
el alumno realiza una conversión entre el modo gráfico al algebraico al dar la expresión
algebraica PM(L)=L, señalando que la obtiene “a la vista de la gráfica”del PM dada en
el enunciado del problema. Esta expresión algebraica del PM le permite razonar en el
registro algebraico (tratamiento) mediante la integración, para posteriormente
trasladarse otra vez al registro gráfico y representar gráficamente una parábola creciente
como función PT.
Figura 4.6. Respuesta del estudiante AL.32 al ítem 2.2 de la tarea 2
El análisis de los protocolos mostrados en las figuras 4.5 y 4.6 indica que los
alumnos del nivel Inter son capaces de comprender la relación entre la primera derivada
y la función en el registro gráfico con el apoyo del registro algebraico, en funciones
lineales (elemento E6) y no lineales (elementos E8) en el contexto de las parejas de
conceptos económicos Coste Marginal-Coste Total y Producto marginal-Función de
Producción.
Las respuestas dadas por el estudiante AL.20 a los ítems 0.2 y 0.4 de la tarea 0
(Figura 4.7 y 4.8) muestran la capacidad de los alumnos de este nivel de realizar
4. Resultados Ángel Luis Ariza Jiménez
- 133 -
conversiones desde el registro gráfico al algebraico, superando en este sentido la
limitación de los alumnos del nivel Intra que solamente mostraban conversiones desde
el registro algebraico al gráfico.
El estudiante AL.20 en su respuesta al ítem 0.2 de la tarea 0 (Figura 4.7) con
funciones lineales, utiliza primero el cálculo de la pendiente de la recta y
posteriormente, a partir de uno de los puntos de la tabla de valores dada en el
problema, obtiene el término independiente y con él la expresión algebraica completa de
la función.
Figura 4.7. Respuesta del estudiante AL.20 al ítem 0.2 de la tarea 0
4. Resultados Ángel Luis Ariza Jiménez
- 134 -
En la respuesta del estudiante AL.20 al ítem 0.4 de la tarea 0 (Figura 4.8)
observamos que se apoya en el conocimiento de la expresión algebraica de funciones no
lineales y utiliza un punto dado para llegar a QD(P) = 24/P.
Figura 4.8. Respuesta del estudiante AL.20 al ítem 0.4 de la tarea 0
Hasta ahora las características que hemos reseñado de los alumnos del nivel
Inter hacen referencia al Esquema 0 (De lo algebraico a los gráfico) y al Esquema 1
(Significado y uso de la 1ª derivada) al ser capaces de realizar conversiones de
funciones lineales y no lineales desde el registro gráfico al algebraico (elementos E5 y
E7, respectivamente). Esta característica es importante para justificar el hecho de que en
4. Resultados Ángel Luis Ariza Jiménez
- 135 -
este nivel los alumnos comprenden la relación función-derivada como procesos que
implican tratamientos y conversiones de funciones entre ambos registros y en ambos
sentidos - desde el registro algebraico al gráfico (E7) y desde el gráfico al algebraico
(E8) -. Sin embargo, presentan dificultades con el significado y uso de la segunda
derivada (Esquema 2).
La respuesta del estudiante AL.12 al ítem 3.1 de la tarea 3 (Figura 4.9) pone de
manifiesto las dificultades que presentan los alumnos del nivel Inter en los conceptos
económicos de Coste Total y Coste Marginal en los que interviene la segunda derivada.
Inicialmente el estudiante AL.12 convierte la representación gráfica del Coste Total
(CT) dada en el problema en la expresión algebraica CT = Q² Y el valor de la derivada
(CMg = 2Q) y vuelve a trasladarse al registro gráfico para representar gráficamente la
derivada. En este caso evidencia el reconocimiento de la relación función-derivada en el
caso de Coste Total-Coste Marginal realizando la secuencia conversiones-tratamientos-
conversiones para obtener la gráfica de la función Coste Marginal. Sin embargo, no
calcula la segunda derivada aunque especifica que la función es convexa, pero la
explicación de la convexidad es errónea, ya que el alumno escribe que eso implica un
crecimiento de los costes, cuando lo que significa es que hay un crecimiento
exponencial.
Figura 4.9. Respuesta del estudiante AL.12 al ítem 3.1 de la tarea 3
4. Resultados Ángel Luis Ariza Jiménez
- 136 -
Este alumno fue entrevistado, siendo preguntado por el valor de la segunda
derivada y también por la explicación de la convexidad. En sus respuestas, observamos
cómo el alumno muestra que sabe calcular la segunda derivada y que la pone en
relación con el concepto de concavidad/convexidad, pero económicamente no
comprende qué implica el que la función origen sea en este caso convexa:
Inv.: no has calculado la segunda derivada, ¿puedes hacerlo ahora?
AL.12: pues es 2 porque la derivada de 2Q es 2
Inv.: y tiene alguna relación ese valor con que la función sea convexa
AL.12: sí, si es positiva la segunda derivada entonces es convexa
Inv: como sabías que era convexa si no calculaste la segunda derivada?
AL.12: la tenía calculada pero la borré y luego se me olvidó ponerla, y en el siguiente igual, solo que es cóncava y la segunda derivada es negativa
En el caso del Producto Total, PT(L) y Producto Marginal, PM(L), la respuesta
del estudiante AL.12 al ítem 3.2 de la tarea 3 (Figura 4.10) muestra que comprende la
relación función-derivada, y en cuanto a la 2ª derivada no procede al cálculo de la
derivada de la derivada como había sucedido en el caso de la relación Coste Total-
Coste Marginal, aunque escribe que la función es cóncava con una explicación de nuevo
errónea ya que escribe que la producción cae, cuando lo que ocurre es que la producción
aumenta a un ritmo cada vez menor.
Los protocolos correspondientes a las respuestas del estudiante AL.12 a la tarea
3, ponen de manifiesto que los alumnos del nivel Inter identifican la relación entre
función y función derivada a través de los registros algebraico y gráfico. Sin embargo,
no extrapolan esa comprensión de la relación entre la función y la segunda derivada.
Realizan intentos de cálculo de la 2ª derivada en el registro algebraico, sin tratamiento
en el registro gráfico lo que parece indicar que no comprenden el significado económico
de la 2ª derivada.
4. Resultados Ángel Luis Ariza Jiménez
- 137 -
Figura 4.10. Respuesta del estudiante AL.12 al ítem 3.2 de la tarea 3
La tabla 4.2 presenta las características de los alumnos del nivel INTER en el
uso de la derivada en conceptos económicos.
Tabla 4.2. Características del nivel INTER
Niv
el IN
TE
R
a) Calculan en el registro algebraico las Tasas de Variaciones Medias entre dos puntos y en un punto o por aproximación al límite utilizando el concepto de elasticidad.
b) Realizan conversiones de funciones económicas lineales y no lineales desde el registro algebraico al registro gráfico y desde el registro gráfico al algebraico.
c) Reconocen la relación función-derivada en el registro algebraico y en el gráfico (tratamiento y conversiones en ambos registros) para Coste Total-Coste Marginal y Producto Total-Producto Marginal
d) Tienen dificultades en dotar de significado a la 2ª derivada en los conceptos económicos
4. Resultados Ángel Luis Ariza Jiménez
- 138 -
4.1.3. Características del Nivel TRANS de desarrollo del esquema de relación
función-derivada en contextos económicos
La medida fuzzy 0,36 marca el límite del nivel TRANS. Los 5 alumnos del
nivel Trans obtienen puntuaciones altas en los ítems del Esquema 0 y en los ítems del
Esquema 1. En los ítems del Esquema 2 estos alumnos tienen puntuaciones moderadas
y altas en alguno de sus ítems.
Las características específicas de este nivel englobadas en las 3 perspectivas
mencionadas en los anteriores niveles son:
• Conceptos económicos que utilizan: los alumnos calculan los conceptos de tasas
de variación a través de la expresión de la elasticidad-precio de la demanda.
Comprenden la relación función-derivada de los conceptos de Producto Total –
Producto Marginal y Coste Total – Coste Marginal. Utilizan la relación función y
derivada entre los conceptos Curva de Indiferencia y Relación Marginal de
Substitución.
• Significado de la relación entre la función y su derivada: los alumnos establecen
la relación entre una función económica y su derivada tanto en el registro
algebraico como en el gráfico interpretando el significado de la convexidad de la
función.
• Modos de representación: los alumnos utilizan los registros algebraico y gráfico
para entender las relaciones entre las funciones y sus derivadas. Son capaces de
realizar conversiones de funciones lineales desde el registro gráfico al algebraico.
El aspecto que marca la diferencia con los estudiantes del nivel INTER es el uso
que hacen los estudiantes del nivel TRANS del significado económico de la concavidad
o convexidad de la función.
El protocolo que se muestra en la figura 4.11 corresponde a las respuestas dada
por el estudiante AL.11 al ítem 3.2 de la tarea 3, cuyo objetivo, entre otros, es poner en
relación el concepto de convexidad o concavidad con el cálculo de la segunda derivada
y su interpretación económica. El estudiante AL.11 identifica la gráfica con la expresión
algebraica √L. Una vez identificada la función, calcula la derivada y la representa
gráficamente (decreciente). Desde la expresión algebraica de la derivada, vuelve a
derivar y al obtener un valor negativo concluye que la función es cóncava. Lo que nos
hace considerar este tipo de respuesta en este nivel es su explicación sobre el significado
4. Resultados Ángel Luis Ariza Jiménez
- 139 -
económico de la concavidad, al decir la función de Producción CÓNCAVA, es decir,
con rendimientos decrecientes. Esta justificación se corresponde con el significado de la
concavidad de esa función.
Figura 4.11. Respuesta del estudiante AL.11 al ítem 3.2 de la tarea 3
Este protocolo pone de manifiesto que los alumnos del nivel Trans comprenden
la relación función- primera derivada en ambos registros y entre primera y segunda
derivada en el registro algebraico, lo que les permite relacionar el concepto de
convexidad o concavidad con el cálculo de la segunda derivada y su interpretación
económica. Estos alumnos dan un paso más en el desarrollo del esquema de la relación
función-derivada en conceptos económicos al ser capaces de explicar la forma convexa
o cóncava de una función en ambos registros y su relación con la 2ª derivada (elementos
E9 y E10) del esquema 2.
La tabla 4.3 resume las características del nivel TRANS
4. Resultados Ángel Luis Ariza Jiménez
- 140 -
Tabla 4.3. Características del nivel TRANS
Niv
el T
RA
NS
a) Calculan Tasas de Variaciones Medias entre dos puntos y en un punto o por
aproximación al límite utilizando el concepto de elasticidad en el registro
algebraico.
b) Realizan conversiones de funciones económicas lineales y no lineales desde
el registro algebraico al registro gráfico y desde el registro gráfico al
algebraico.
c) Establecen relaciones entre la función y su derivada en el registro
algebraico y en el gráfico (tratamiento y conversiones en ambos registros)
d) Usan la 2ª derivada en el registro algebraico y aplican el significado de
concavidad/convexidad
En la tabla 4.4 presentamos el carácter integrado de los niveles de desarrollo del
esquema de la relación función-derivada en conceptos económicos indicando cómo se
van incorporando las características al pasar de un nivel al siguiente. Esta información
la utilizaremos en la sección siguiente para tratar los casos de alumnos que se
encuentran en los límites entre niveles y sugerir posibles trayectorias de cambio de
nivel.
Tabla 4.4. Características que aporta cada nivel Niveles Características
INTRA
a) Calculan Tasas de Variaciones Medias entre dos puntos y en un punto o por aproximación al límite utilizando el concepto de elasticidad en el registro algebraico.
b) Realizan conversiones de funciones económicas lineales y no lineales desde el registro algebraico al registro gráfico.
c) Establecen relaciones entre función y derivada solamente en el registro algebraico.
INTER
b) Realizan conversiones de funciones económicas lineales y no lineales el registro gráfico al algebraico.
c) Establecen relaciones entre la función y su derivada en el registro gráfico
d) Usan el concepto de 2ª derivada en el registro algebraico TRANS d) Usan el concepto de 2ª derivada en el registro algebraico y aplican el
significado de concavidad/convexidad
4. Resultados Ángel Luis Ariza Jiménez
- 141 -
4.2. Límite entre niveles: trayectoria sugerida de cambio de nivel
En este apartado hacemos un análisis cualitativo de los comportamientos de los
estudiantes situados alrededor de los puntos frontera de los niveles Intra-Inter e Inter-
Trans.
4.2.1. Características de alumnos con medidas fuzzy en el límite entre niveles
En esta sección presentaremos los comportamientos de los alumnos que
presentan medidas fuzzy que se encuentran en el límite entre niveles. En primer lugar,
los alumnos que se encuentran entre los límites Intra-Inter y en segundo lugar, los
alumnos que se encuentran entre los límites Inter-Trans. Las respuestas de estos
alumnos pueden ayudarnos a comprender mejor el comportamiento de los estudiantes
en la transición de un nivel de desarrollo al siguiente.
• Límite INTRA-INTER
Entre los límites Intra-Inter encontramos ocho alumnos. Cuatro de ellos presentan
medidas fuzzy próximas a 0.27 por la izquierda, asignados al nivel Intra, y otros cuatro
próximas por la derecha, asignados al nivel Inter (Tabla 4.5).
Tabla 4.5. Puntuaciones en los ítems y medidas fuzzy de los esquemas constituyentes de los estudiantes con comportamientos singulares entre los niveles INTRA-INTER
Los cuatro estudiantes asignados al nivel INTRA presentan puntuaciones altas
del Esquema 0 (salvo Al.97), moderadas en el Esquema 1 y bajas puntuaciones en los
ítems del Esquema 2. Estas medidas en estos esquemas determinan que la medida fuzzy
global de dicho esquema (que engloba a los otros dos) sea menor que 0.27 lo que
justifica cuantitativamente su inclusión en el nivel INTRA. Para inferir pautas de
comportamiento necesarias para la transición al nivel Inter, vamos a mostrar
4. Resultados Ángel Luis Ariza Jiménez
- 142 -
características de lo que son capaces de hacer, y posteriormente de lo que no son
capaces de hacer, a través de distintos protocolos.
Las respuestas dadas por los estudiantes AL.15 y AL.89 a los ítems 0.3 (tarea 0)
y 1.1 (tarea 1), respectivamente, correspondientes a la conversión entre la
representación algebraica y gráfica de funciones lineales (elemento E2) y la TVM entre
dos puntos (elemento E3) son paradigmáticas de las altas puntuaciones en el Esquema
0. Por su parte, las respuestas dadas por el estudiante AL.15 a los ítems 0.2 (tarea 0) y
2.1 (tarea 1), correspondientes a los elementos E5 y E6, ponen de manifiesto que estos
alumnos obtienen moderadas puntuaciones en la mayoría de los ítems del Esquema 1.
En las respuestas del estudiante AL.15 al ítem 0.3 (tarea 0) y las del estudiante
AL.89 al ítem 1.1 (tarea 1) (Figuras 4.12 y 4.13), observamos que se representa
correctamente la función lineal y la no lineal, encontrándose estas en un punto de
equilibrio (respuesta ítem 0.3) y que se calcula correctamente la tasa de variación
media de la demanda en los puntos solicitados (ítem 1.1).
Figura 4.12. Respuestas del estudiante AL.15 al ítem 0.3 (tarea 0)
4. Resultados Ángel Luis Ariza Jiménez
- 143 -
Figura 4.13. Respuestas del estudiante AL.89 al ítem 1.1 (tarea 1)
En cuanto a las respuestas a los ítems mencionados del Esquema 1, el estudiante
AL.15 en su respuesta al ítem 0.2 de la tarea 0 es capaz de obtener correctamente la
expresión de las funciones de la oferta y la demanda y, posteriormente, en el ítem 2.1 de
la tarea 2 obtiene también la gráfica de la función origen Coste Total (CT) de modo
correcto (Figura 4.14), aunque no es capaz de obtener sus expresiones algebraicas sí
expresa la relación entre ambos conceptos económicos a través de la expresión
algebraica del cálculo de la derivada, a pesar de confundir el nombre de ambas
funciones. Los otros tres alumnos con puntuaciones cercanas al punto frontera también
presentan puntuaciones y características similares en estos ítems.
4. Resultados Ángel Luis Ariza Jiménez
- 144 -
Figura 4.14. Respuestas del estudiante AL.15 al ítem 0.2 (tarea 0) y 2.1. (tarea 2)
4. Resultados Ángel Luis Ariza Jiménez
- 145 -
Sin embargo, el estudiante AL.15 no es capaz de comprender el significado de la
2ª derivada ni de hacer uso de la misma (Esquema 2), como se pone de manifiesto en
sus respuestas nulas o erróneas al ítem 3.1, correspondiente al elemento E9 (2ª
Derivada-Convexidad) y al item 3.2 correspondiente al elemento E10 (2ª Derivada-
Concavidad), que se muestran en la Figura 4.15. El estudiante AL.15 en sus respuestas
al ítem 3.1 donde la función origen es el Producto Total (PT) y su derivada el Producto
Marginal (PM), y al ítem 3.2 donde la función origen es Coste Total y su derivada el
Coste Marginal (CM), presenta gráficas erróneas de las derivadas sin su correspondiente
expresión algebraica. Tampoco intenta cálculos de segundas derivadas y los conceptos
de concavidad y convexidad se nombran sin sentido ni en correspondencia con las
gráficas obtenidas.
Figura 4.15. Respuestas del estudiante AL.15 a la tarea 3
4. Resultados Ángel Luis Ariza Jiménez
- 146 -
Las respuestas dadas por el estudiante AL.15 muestran las dificultades que tiene
con la 2ª derivada en el registro gráfico y algebraico, además de sus dificultades en
obtener funciones derivadas a partir de la derivada en un punto (en los ítems 4.1 y 4.2
sus respuestas y por tanto sus puntuaciones son nulas). En los ítems 3.1 y 3.2 del
Esquema 2 tampoco trata correctamente la 1ª derivada al ser las funciones no lineales
más complejas que las del Esquema 1. Este comportamiento refleja que no es capaz de
(a) aplicar y utilizar la 1ª derivada en funciones económicas no lineales, a diferencia del
item 2.1 del esquema anterior donde la función origen es lineal, y en la que sí fue capaz
de obtener la función a partir de la 1ª derivada, y (b) realizar conversiones G→A en
funciones no lineales (sus puntuaciones nulas en el item 0.4 correspondiente al elemento
E.7 así lo muestran).
Los otros tres alumnos, AL.89, AL.93 y AL.97, presentan un matiz distinto al
estudiante o alumno AL.15 que les hace estar más cerca del punto frontera 0,27. Dicho
matiz lo observamos en las puntuaciones de estos alumnos en los ítems 3.1 y 3.2. En
alguno de estos ítems los alumnos obtienen una puntuación mayor (0,5) lo cual les hace
obtener una medida fuzzy más cerca del nivel INTER, aunque cuantitativamente sigan
estando en el nivel INTRA. El estudiante AL.89 realiza intentos acertados para obtener
la derivada en el registro gráfico (ítem 3.2.) y erróneos en el item 3.1. Este alumno junto
con los otros dos empiezan a mostrar algún intento de construcción de la relación
función-derivada propio del nivel INTER, como se muestra en las respuestas dadas por
el estudiante AL.89 a los ítems 3.1 y 3.2 de la tarea 3 (Figura 4.16)..
4. Resultados Ángel Luis Ariza Jiménez
- 148 -
En relación a los alumnos situados en el nivel INTER alrededor del punto
frontera, observamos que mejoran notablemente sus puntuaciones en los ítems del
esquema 1 y sensiblemente en los del esquema 2, siendo similares las del esquema 0.
Estos alumnos mejoran sus puntuaciones especialmente en los ítems de la tarea 2, ítem
2.1 (que corresponde al elemento E.6 de la descomposición genética) e ítem 2.2 (que
corresponde al elemento E.8), ambos elementos relativos a la obtención de la función
origen a partir de la representación gráfica de la derivada tal como se evidencia en las
respuestas del estudiante AL.29 a los ítems de la tarea 2 (Figura 4.17.).
Figura 4.17. Respuestas del estudiante AL.29 a la tarea 2
4. Resultados Ángel Luis Ariza Jiménez
- 149 -
Estos alumnos también mejoran las puntuaciones en los ítems que requieren
conversiones entre registros, especialmente en el sentido G→A. La figura 4.18 muestra
como le estudiante AL.63 obtiene las expresiones algebraicas a partir de las
representaciones gráficas de funciones lineales y no lineales
Respuesta
Figura 4.18. Respuestas del estudiante AL.63 a los ítems 0.2 y 0.4 (tarea 0)
4. Resultados Ángel Luis Ariza Jiménez
- 150 -
En cuanto a los ítems del esquema 2, estos alumnos tienen puntuaciones
prácticamente iguales a los tres anteriores del nivel INTRA, salvo el estudiante AL.23
que presenta una puntuación de 0,5 tanto en el ítem 3.1 -2ª Derivada-Convexidad
(elemento E9)- como en el 3.2 -2ª Derivada-Concavidad (elemento E10)- lo que le hace
tener una puntuación más consolidada dentro del nivel INTER.
El estudiante AL.23 obtiene (Figura 4.19) correctamente las gráficas de la
función origen en ambos ítems a partir de las gráficas de las funciones derivadas, así
como las expresiones algebraicas correspondientes, salvo la del CM cuyo error
atribuimos a una confusión en el cálculo. Este alumno también hace un buen tratamiento
del concepto 1ª derivada en ambos registros, e incluso extrapola este tratamiento al
intento de obtener la 2ª derivada en el registro algebraico, si bien tiene dificultades al
pasar de la derivada en un punto a la función derivada (Esquema 2).
Concluyendo, el estudiante AL.23 obtiene correctamente las gráficas de las
derivadas a partir de las gráficas de las funciones dadas, salvo leves errores como el
inicio de la gráfica del Producto marginal (PM) y también la del Coste Marginal (CM)
que debería empezar en el origen de coordenadas. La obtención de expresiones
algebraicas es correcta y coordinada con las gráficas representadas y sus funciones
origen. Sin embargo, la mención que hace sobre el concepto de concavidad o
convexidad es errónea y no lo relaciona con su significado económico. Confunde la
concavidad/convexidad con la forma gráfica de la función segunda derivada. Por tanto,
este alumno, a pesar de tener dificultades en el cálculo algebraico de las derivadas y en
las conversiones de A→G, es capaz de usar y obtener primeras y segundas derivadas
con un cierto nivel de desarrollo.
4. Resultados Ángel Luis Ariza Jiménez
- 151 -
Figura 4.19. Respuestas del estudiante AL.23 a la tarea 3
Terminamos esta apartado poniendo de manifiesto que:
• la transición al nivel INTER desde el nivel INTRA ocurre cuando los alumnos
establecen relaciones entre la función y la derivada también en el registro gráfico y
en funciones lineales y no lineales, y calculan algebraicamente la segunda derivada.
4. Resultados Ángel Luis Ariza Jiménez
- 152 -
• Límite INTER-TRANS
En el límite Inter-Trans encontramos ocho alumnos. Las medidas fuzzy de estos
alumnos se presentan próximas por la derecha a 0.36 (4 alumnos asignados al nivel
Inter) y próximas por la izquierda (4 alumnos asignados al nivel Trans) (Tabla 4.6).
Tabla 4.6. Puntuaciones en los ítems y medidas fuzzy de los esquemas constituyentes de los estudiantes con comportamientos singulares entre los niveles INTER-TRANS
Los cuatro alumnos del nivel INTER tiene altas puntuaciones en el Esquema 0,
diferentes entre si en el Esquema 1 pero compensadas con las puntuaciones en los dos
primeros ítems del Esquema 2 (excepto el estudiante AL.37 que es el más alejado del
punto frontera). Estas puntuaciones indican que estos alumnos usan correctamente el
concepto de 1ª derivada cuando la relación entre la función y su derivada es función →
derivada y no al contrario, derivada → función. Creemos que este hecho puede deberse
a que habitualmente los estudiantes se enfrentan a tareas en las que a partir de una
función origen han de deducir la gráfica de la derivada, y no al contrario. En relación a
las conversiones de funciones entre registros, estos cuatro alumnos tienen éxito a la hora
de pasar del registro algebraico al gráfico dadas sus altas puntuaciones en el esquema 0.
De ahí que el hecho de que alguno de los alumnos usen mejor la derivada en los ítems
del Esquema 2 que en los del Esquema 1 pueda ser debido a una cuestión curricular más
que conceptual ya que se pueden considerar estos ítems más habituales en su currículo.
Las respuestas del estudiante AL.18 al ítem 2.1 donde se pide la gráfica de la
función origen (Coste Total) a partir de la gráfica de la derivada (Coste Marginal), así
como sus expresiones algebraicas (elemento E6), y al ítem 3.2 donde se pide obtener la
gráfica de la derivada (Producto Marginal) a partir de una gráfica de una función
Producto Total no lineal (elementos E10), muestran las características descritas en el
párrafo anterior (Figura 4.20). El estudiante AL.18 responde equivocadamente al ítem
4. Resultados Ángel Luis Ariza Jiménez
- 153 -
2.1, dando una expresión algebraica de CM que no se corresponde con una constante,
confundiendo el valor de la constante para el CM asignándola a la función CT. Además,
en la entrevista no acierta con la representación gráfica correcta del CT:
Inv.: no has dibujado ninguna gráfica del CT, ¿puedes hacerlo ahora?
AL.18: pues si es CT=3 sale una constante, una línea horizontal
Inv.: entonces es igual que el CM?
AL.18: sí, en este caso son las dos constantes, aunque una vale 3 y la otra 0.
En el ítem 3.2 el estudiante AL.18 obtiene correctamente la expresión
algebraica de la derivada, y en la entrevista es capaz de esbozarla gráficamente:
Inv.: has calculado bien la expresión de la derivada pero no la has representado gráficamente, ¿podrías hacerlo? ¿o decirme qué forma tendría?
Al.18: pues al estar L en el denominador es una función decreciente, y quiere decir que la productividad de los trabajadores es cada vez más pequeña por la Ley de rendimientos decrecientes.
También obtiene la expresión algebraica de la función origen, y sin embargo
yerra levemente en el cálculo algebraico de la segunda derivada. Observamos que
construye en este ítem la 1ª derivada en ambos registros mejor que en los ítems
anteriores del Esquema 1.
4. Resultados Ángel Luis Ariza Jiménez
- 154 -
Figura 4.20. Respuesta del estudiante AL.18 al ítem 2.1 (tarea 2) y al ítem 3.2 (tarea 3)
Las evidencias mostradas ponen de manifiesto que los alumnos que presentan
puntuaciones fuzzy del Esquema 2 menores a 0,36 pero muy cerca de este punto
frontera Inter-Trans se caracterizan por comprender mejor la relación entre una función
y su derivada en el sentido función → derivada que en el sentido derivada → función.
Usan la 1ª derivada en funciones lineales y no lineales en el registro algebraico y gráfico
y realizan intentos de usar la 2ª derivada en el registro algebraico.
4. Resultados Ángel Luis Ariza Jiménez
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Por su parte, los cuatro alumnos que hemos clasificado en el nivel TRANS
tienen dificultades en el paso de la derivada en un punto a la función derivada (en
función convexa o cóncava, Esquema 2) como muestran sus puntuaciones. Alguno de
ellos también obtiene bajas puntuaciones (menos de 0,5) en la conversión de funciones
no lineales desde el registro gráfico al algebraico (Esquema 1). Sin embargo, construyen
bien la primera derivada en el Esquema 0 y el Esquema 1 y la primera y segunda
derivadas en el Esquema 2. Es decir, no solo son capaces de establecer las relaciones
entre función y derivada en ambos registros y en los conceptos económicos indicados
antes, y de realizar también conversiones de funciones en ambos sentidos como los del
nivel Inter, sino que además entienden el significado económico de la resolución
algebraica de la segunda derivada, tal como se muestra en la respuesta del AL. 14 a la
relación entre los conceptos PT y PM vistos anteriormente (Figura 4.21). El estudiante
AL.14 representa bien ambas funciones, obtiene sus expresiones algebraicas y además
entiende (a través de la explicación que realiza) que el hecho de que la función PT sea
cóncava (y PM decreciente) quiere decir que la producción que aporta cada trabajador
(concepto de productividad) va aumentando cada vez menos.
Figura 4.21. Respuestas del estudiante AL.14 al ítem 3.2 de la tarea 3
4. Resultados Ángel Luis Ariza Jiménez
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Concluimos esta apartado poniendo de manifiesto que:
• la transición al nivel TRANS desde el nivel INTER ocurre cuando los alumnos
construyen el significado económico de la concavidad/convexidad de una función
a partir del cálculo algebraico de la segunda derivada y de las relaciones
establecidas entre función, primera y segunda derivadas.
4.2.2 Trayectoria sugerida de cambio de nivel
Las características cualitativas observadas en los alumnos situados en los puntos
frontera combinadas con las características generales de los niveles especificadas en la
tabla 4.4 nos permiten identificar pautas de superación de los niveles, definiendo así una
trayectoria de cambio de nivel.
Así, los alumnos del punto-frontera Intra-Inter situados en el nivel Intra han
mostrado su capacidad de realizar tratamientos del concepto de derivada en el registro
algebraico, y dificultades a la hora de realizar tratamientos de los conceptos de 1ª y 2ª
derivada en el registro gráfico. Además, solamente realizan conversiones de funciones
lineales desde el registro algebraico al gráfico como acciones mecánicamente
aprehendidas. Por su parte, los alumnos del punto frontera Intra-Inter situados en el
nivel Inter se caracterizan porque realizan un mejor tratamiento en ambos registros de la
1ª derivada (al hacerlo también en funciones no lineales). También muestran
dificultades en el manejo de la derivada en el registro algebraico cuando no se requiere
el uso del registro gráfico (como muestran algunos alumnos con sus moderadas
puntuaciones en el Esquema 0). En cuanto a las conversiones entre registros, se realizan
con mayor acierto desde el registro gráfico al algebraico en funciones lineales.
En cuanto a los alumnos del punto-frontera Inter-Trans, los situados en el nivel
Inter muestran un buen tratamiento algebraico del concepto de la derivada, además de
usar la primera derivada en ambos registros y en funciones lineales y no lineales,
fundamentalmente en el sentido ‘función origen → función derivada’ más que en el
sentido ‘función derivada → función origen’. Además, realizan intentos de construcción
de la segunda derivada en el registro algebraico. En cuanto a las conversiones, realizan
conversiones de funciones lineales y no lineales desde el registro algebraico al gráfico, y
desde el registro gráfico al algebraico en funciones lineales. Por último, los alumnos
situados en el nivel Trans obtienen altas puntuaciones en el Esquema 0, usan el
4. Resultados Ángel Luis Ariza Jiménez
- 157 -
concepto de la 1ª derivada tanto en el sentido ‘función origen → función derivada’
como en el ‘función derivada → función origen’, usan el concepto 2ª derivada
solamente en el registro algebraico y comprendiendo el significado económico de la
concavidad/convexidad. En cuanto a las conversiones entre registros, realizan
conversión de funciones tanto lineales como no lineales desde el registro algebraico al
gráfico y desde el gráfico al algebraico.
Estas características junto con las características generales de los niveles (Tabla
4.4.) nos indican pautas para avanzar de un nivel a otro, lo que nos permite inferir una
trayectoria de cambio de nivel. Para superar el nivel Intra y situarse en el Inter estas
pautas son:
• los alumnos del nivel INTRA han de aprehender procesos que les permitan tratar
el esquema de la 1ª derivada en el registro gráfico ya que es el registro donde
presentan mayores dificultades. Para ello un primer paso consistirá en abordar
conversión de funciones no solamente desde el registro algebraico al gráfico sin
también en sentido contrario (Realizar conversiones del registro gráfico al
algebraico).
• Para avanzar en el nivel Inter, desde la base del dominio del registro algebraico y
desde el desarrollo de las conversiones de funciones en ambos registros, se
abordarán las relaciones entre la función y la derivada también en el registro
gráfico (Establecer relaciones entre función y derivada en el registro gráfico).
• Finalmente se introducen en las relaciones entre función y derivada el cálculo
algebraico de la segunda derivada.
• Por su parte, para superar el nivel Inter y situarse en el Trans los alumnos deben
aplicar los significados de concavidad y convexidad a las situaciones económicas.
La tabla 4.7 representa un resumen de qué características se incorporan en la
superación de cada nivel.
4. Resultados Ángel Luis Ariza Jiménez
- 159 -
4.3. Tematización del Esquema
Desde la perspectiva teórica de la tematización de Piaget y los modos de
representación de Duval aplicados a nuestra problemática de investigación, la relación
entre una función y su derivada en el uso de conceptos económicos se construye como
un esquema a partir de los elementos de la descomposición genética propuesta, las
relaciones que se establecen entre ellos que se identifican y aplican de manera
consciente en nuevos conceptos económicos.
Para establecer las características del esquema tematizado de la relación función-
derivada en conceptos económicos, hemos analizado las respuestas de los 5 alumnos del
nivel Trans a los ítems 4.1 y 4.2 de la tarea 4 del cuestionario, ítems en los cuales el
concepto de derivada aparece implícito lo que exige a los estudiantes identificar las
relaciones función – derivada en unos conceptos económicos que explícitamente no son
percibidos como una función y su derivada (Curva de Indiferencia y Relación Marginal
de Substitución, RMS).
Los ítems 4.1. y 4.2. se presentan en el registro gráfico y se corresponden con los
elementos Paso de la derivada en un punto a la función derivada en una función
convexa (E11) y Paso de la derivada en un punto a la función derivada en una función
cóncava (E12) de la descomposición genética.
El análisis de las respuestas y las entrevistas realizadas se han centrado en
identificar diferencias en la manera en la que los estudiantes son capaces de identificar
la relación entre los dos conceptos económicos como una relación entre una función y
su derivada (en el caso de ser cóncava y convexa). De este análisis hemos identificado
una característica del esquema de la relación función-derivada en conceptos económicos
tematizado, considerando cómo dotan de significado económico a la
concavidad/convexidad de las funciones económicas. Esta característica es:
- Identificar la relación función – derivada en nuevos conceptos económicos,
independientemente del tipo de convexidad.
4. Resultados Ángel Luis Ariza Jiménez
- 160 -
4.3.1. Dificultades en identificar las relaciones función – derivada en nuevos
conceptos económicos presentados en forma cóncava
Identificar las relaciones función-derivada cuando el concepto económico Curva
de Indiferencia es cóncava plantea desafíos a los estudiantes situados en el nivel Trans
dado que en el currículo de Microeconomía el estudio de este concepto (y su derivada la
Relación Marginal de Substitución) suelen presentarse como funciones convexas por ser
la implicación económica más realista. Por ejemplo, el estudiante AL.21 es capaz de
identificar las relaciones función-derivada cuando el concepto económico Curva de
Indiferencia es convexa (Figura 4.22). Este alumno calcula en primer lugar el valor de
Relación Marginal de Substitución en el punto pedido, posteriormente obtiene una
expresión algebraica de la curva de indiferencia (100/X); a continuación calcula la
derivada, la representa gráficamente y por último calcula la segunda derivada y
concluye que la función es convexa al ser ésta positiva.
Figura 4.22. Respuesta del estudiante AL.21 al ítem 4.1 de la tarea 4
4. Resultados Ángel Luis Ariza Jiménez
- 161 -
Durante la entrevista el estudiante AL.21 pone de manifiesto que entiende el
significado económico de convexidad (que la RMS es cada vez más pequeña ya que el
individuo renuncia a menos cantidad de Y cada una nueva de X …) y matemáticamente
lo corrobora indicando que tendría que dibujar la 2ª derivada.
Inv.: ¿Qué significa económicamente que la C.I. sea convexa? AL.21.: que la RMS es cada vez más pequeña ya que el individuo renuncia a menos cantidad de Y cada una nueva de X Inv.: ¿qué forma tendría la gráfica de la 2ª derivada? AL.21.: pues no sé, así de golpe…tendría que representar dando valores, si no, no sabría
Sin embargo, el estudiante AL.21 no establece relaciones correctas cuando la
función es cóncava como se observa en las respuestas al ítem 4.2 (Figura 4.23).
Confunde el valor de la derivada en un punto con la función derivada completa, al
indicar que 4/3 es el valor de la derivada, lo que le lleva a escribir erróneamente la
función origen como 4/3x.
Figura 4.23. Respuesta del estudiante AL.21 al ítem 4.2 de la tarea 4
En la entrevista el estudiante AL.21 dice que la función es cóncava, si bien lo
hace por eliminación (…imagino que será cóncava porque si la otra es convexa… en
4. Resultados Ángel Luis Ariza Jiménez
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relación a la función del apartado a)), sin dar ninguna explicación ni establecer
relaciones entre función y derivada en ambos registros.
Inv.: ¿En esta dices que la Curva de Indiferencia es 4/3x, ¿crees que esa expresión es no lineal? AL.21.: no, claro que es lineal, pero la gráfica del ejercicio no lo es, ya lo sé…es que era muy rara, no he sabido sacarla…como la RMS me daba 4/3 pues he cogido y he puesto 4/3x para que la derivada dé eso…4/3. Por eso he dibujado una constante Inv.: y luego dices que la segunda derivada es 0 AL.21.: claro, al hacer a 2ª derivada me da 0, pero está claro que eso no es…esa función era muy rara, está claro que no es lineal pero tampoco es convexa como la del apartado a) Inv.: ¿entonces ¿cómo dirías que es? AL.21.: pues es lo contrario, imagino que será cóncava porque si la otra es convexa, pero no te sé decir por qué, ni sé cuál es la ecuación para poder derivarla.
El comportamiento ejemplificado por el estudiante AL.21 muestra de qué
manera la concavidad en un concepto económico crea dificultades en los alumnos
impidiéndoles identificar las relaciones función – derivada. La manera en la que se
realiza esta acción con éxito se describe en la siguiente sección.
4.3.2. Característica del esquema de la relación función-derivada en conceptos
económicos: identificar las relaciones función–derivada en nuevos
conceptos económicos, independientemente del tipo de convexidad
Existen estudiantes capaces de identificar las relaciones función – derivada en
conceptos económicos, independientemente del tipo de convexidad. Estos estudiantes
muestran cierta reorganización y reconstrucción del uso de la derivada en conceptos
económicos. Una característica del comportamiento de estos estudiantes es que son
capaces de identificar los conceptos económicos en los que la derivada está presente de
modo implícito tanto en las funciones (convexas) que habitualmente se utilizan en
Microeconomía como en las funciones (cóncavas) no usadas por su carácter no realista.
Por ejemplo, el estudiante AL.1 obtiene (Figura 4.24) en primer lugar una
expresión algebraica de la función (100/X), a continuación, calcula la derivada y la
dibuja a partir de los valores de la derivada punto por punto. El camino seguido en este
protocolo, podríamos describirlo como: “desde la expresión de la función derivada a la
derivada en punto por punto y de ahí a su forma gráfica”, más que “de la derivada en
un punto a la función derivada”, que muestra que el alumno está entendiendo que la
4. Resultados Ángel Luis Ariza Jiménez
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relación entre esos dos conceptos económicos es una relación entre función y su
derivada, que además representa gráficamente ayudándose del registro algebraico a
través de conversiones. Por último, calcula la segunda derivada y concluye que la
función es convexa al ser ésta positiva.
Figura 4.24. Respuesta del estudiante AL.1 al ítem 4.1 de la tarea 4
En la entrevista el estudiante AL.1 da muestras de que entiende el significado
económico de convexidad (…económicamente quiere decir que la RMS es en valor
absoluto cada vez más pequeña…) y matemáticamente lo corrobora haciendo el cálculo
de la 2ª derivada. No necesita de la representación gráfica de la 2ª derivada para saber
4. Resultados Ángel Luis Ariza Jiménez
- 164 -
que la función es convexa, y en la última respuesta explica desde la representación
gráfica de la función origen qué implica que sea convexa (al decir que la pendiente es
cada vez menor). Es capaz de entender el concepto de convexidad en ambos registros,
pero prefiere el cálculo algebraico para corroborar la convexidad de la función.
Inv.: En el examen dices que la función es convexa porque la 2ª derivada es positiva, pero ¿qué significado económico tiene el que la función sea convexa? AL.1: Bueno…económicamente quiere decir que la RMS es en valor absoluto cada vez más pequeña, porque el individuo está dispuesto a renunciar a cada vez menos cantidad del otro bien, que le es más escaso cada vez que consume más del otro bien, por eso tiene esa forma convexa. Inv: ¿y qué es la RMS? AL.1: pues la tasa a la que el individuo está dispuesto a intercambiar un bien por otro manteniendo la utilidad constante. Inv.: ¿ya, ya, ¿pero matemáticamente qué es? AL.1: la pendiente de la Curva de Indiferencia, no? La derivada…por eso se puede calcular dividiendo las derivadas parciales, o directamente como aquí, derivando 100/x Inv.: ¿sabrías dibujar la representación gráfica de la 2ª derivada? AL.1: bueno, supongo que dando valores a 200/x³ saldría Inv.: ¿crees que teniendo esa gráfica podrías deducir que la Curva de Indiferencia es convexa? AL.1: pues no sé, yo creo que para saber si es convexa es mejor ver directamente si la 2ª derivada es positiva Inv.: ¿y si no tienes la ecuación de la función y no puedes por tanto calcular la derivada? ¿Cómo sabrías entonces si es convexa? AL.1: pues por la forma…está claro que la Curva de Indiferencia es convexa porque la pendiente es cada vez menor…lo que he dicho antes…la RMS en valor absoluto es cada vez más pequeña, pero yo creo que no hace falta hacer la gráfica de la 2ª derivada para verlo.
El estudiante AL.1 también es capaz de realizar las mismas relaciones entre
ambos conceptos económicos cuando la función es cóncava (caso raro en el currículo de
microeconomía). En su respuesta al ítem 4.2. (Figura 4.25.) el estudiante AL.1 no
muestra evidencias de que haya sido capaz de identificar las relaciones entre ambos
conceptos económicos, solo da el valor de RMS y la expresión algebraica de la Curva
de Indiferencia.
4. Resultados Ángel Luis Ariza Jiménez
- 165 -
Figura 4.25. Respuesta del estudiante AL.1 al ítem 4.2 de la tarea 4
En la entrevista el estudiante AL.1 obtiene la derivada en forma gráfica y
algebraica, y entiende el concepto de concavidad a pesar de que económicamente es
extraño en este tipo de conceptos. No llega a calcular algebraicamente la 2ª derivada por
su complejidad y falta de tiempo, pero este alumno parece que podría llegar a ella pues
sabe derivar, y destacamos que vuelve a mencionar la necesidad de que el cálculo sea
negativo para hablar de concavidad, concepto que comprende. De nuevo, a través de los
dos registros, el alumno entiende los conceptos económicos y aplica entre ellos las
mismas relaciones entre función y derivada que en conceptos tradicionales. Y todo ello
partiendo de una situación donde solamente podía obtenerse el valor de la derivada en
un punto.
Inv.: En este último ejercicio no haces nada más que esto… AL.1.: Ya, es que no me dio tiempo, pero creo que sé hacerlo. Inv.: ¿Puedes hallar la derivada y’? AL.1.: (Escribe) Pues sería ½ que multiplica a la raíz de 25 - x² pero en el denominador, por la derivada de lo de dentro que sería 2x…no, no, -2x; así que quedaría –x/raíz (25-x²). Inv.: ¿Cuánto daría la derivada en el punto presentado? AL.1.: Pues nada, se sustituye x por 3…da -3/4. Inv.: ¿Y cómo sería gráficamente la función entera? AL.1.: Pues negativa, y… a ver….sí, cada vez más negativa ya que x está en el numerador, así que sería así (dibuja una función negativa y decreciente). Inv.: ¿Y qué me dices de la concavidad? AL.1: Pues yo sé que es cóncava, supuestamente la segunda derivada es negativa, pero es que la segunda derivada sale bastante compleja…de
4. Resultados Ángel Luis Ariza Jiménez
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todas formas está claro que es cóncava ya que la RMS es cada vez mayor…la pendiente es cada vez más negativa, es todo lo contrario que antes…ahora el individuo quiere renunciar a cada vez más cantidad del bien Y por más del bien X, cosa que no tiene mucho sentido.
El comportamiento del estudiante AL.1 ilustra una característica del esquema
tematizado en conceptos económicos al identificar de manera explícita las relaciones
función – derivada en conceptos económicos, independientemente del tipo de
convexidad como una manifestación de reorganización y reconstrucción de su
conocimiento durante la resolución de los problemas (Figura 4.26)
Figura 4.26. Tematización del Esquema
5. Discusión y conclusiones Ángel Luis Ariza Jiménez
- 167 -
CHAPTER 5. DISCUSSION AND CONCLUSIONS
In this chapter we present some general reflections. Firstly, we emphasise main
contributions of our research and their link to other theoretical perspectives. Secondly,
we suggest some reflections related to function-derivative relationship in learning
economic concepts schema thematization. Thirdly, we point out some limitations of
fuzzy technique to measure the degree of acquisition of the function-derivative
relationship in learning economic concepts schema. Finally we present some questions
for further studies.
5.1. Contributions of the research. Relations with other theoretical perspectives
Our study has elucidated some of the characteristics of understanding of the
function-derivative relationship schema in learning economic concepts. In this
characterisation, the graphic and algebraic registers play an important role in
determining the levels of acquisition of the schema (Intra, Inter and Trans). The results
indicate that some students only use the concept of the derivative in the algebraic
register (Intra level), whilst other students make better use of the derivative when it is
presented in the graphic register than in the algebraic register (Inter level). An economic
understanding of the concept of concavity/convexity and its relationship with the second
derivative in the algebraic register (Trans level) suggests a higher level of acquisition of
the schema. These data indicate that treatment in a register and conversions between the
two registers demonstrate the development of an understanding of economic concepts
that involve the relationship between a function and its derivative. In this respect,
Haciomeroglu, Aspinwall and Presmerg (2010) showed the importance of using the
5. Discusión y conclusiones Ángel Luis Ariza Jiménez
- 168 -
graphic register and the ability to graphically represent functions and their derivatives.
The results reported by Vrancken, Engler and Müller (2011) also confirm the need to
introduce tasks that connect different systems of representation, enhancing the
visualisation of ideas and the comprehension of concepts. However, our results
demonstrate that many students find it difficult to convert nonlinear functions from the
graphic register to the algebraic register and vice versa, due to overuse of linear
functions. An important contribution of our study is that some students are only capable
of establishing the relationship between a function and its derivative in linear cases, and
experience great difficulty when functions are nonlinear.
Moreover, our results underscore the importance of the ability to convert
functions from the graphic to the algebraic register as a characteristic of schema
acquisition (Inter level). In this respect, students' ability to convert functions between
both registers and in both directions is necessary to establish the relationships between a
function and its derivative and thus understand the economic meaning of the first
derivative of a function. Traditionally, the economics curriculum has focused on
conversions of functions from the algebraic to the graphic register whilst placing much
less emphasis on conversions in the opposite direction, which can become an obstacle to
the acquisition of understanding of certain economic concepts.
Our research has highlighted the difficulties students encounter in understanding
the concept of the second derivative beyond the algebraic register. In this regard, one
important characteristic of the Inter level is that few students had difficulties with the
algebraic treatment of a concept, but showed a better understanding when the graphic
register was the point of reference. This supports the suggestion made by Hey (2005)
that the graphic register can contribute to an understanding of the concepts of
microeconomics. The graphic register can further understanding of the idea of
measuring change based on the relationship between a graph of the derivative and that
of the function (Elia, 2006; Gagatsis and Shiakalli, 2004; Gagatsis, Elia and
Mousoulides, 2006).
The results of our research indicate that students would not have achieved much
success in understanding the relationships between a function and the first and second
derivatives without the intervention of the algebraic register or with the sole use of the
graphic register, although use of the graphic register allows them to advance towards the
Trans level of schema acquisition. The tasks included in our research were based on the
5. Discusión y conclusiones Ángel Luis Ariza Jiménez
- 169 -
graphical relationship between a function and its derivative, and they showed that many
students had difficulty solving this. This suggests that integration of the different
systems of representation may be a key aspect in understanding the relationship
between the notion of functions and derivative functions in economic concepts. García,
Llinares and Sánchez-Matamoros (2011) have emphasised the importance of the
relationship between the derivative at a point (local perspective) and the first and second
derivatives of a function (global perspective) in order to acquire a proper understanding
of the relationship between a function and its derivative. In our research, the last two
tasks proposed constituted an example of how to analyse the process of obtaining the
first and second derivative from the item of data used to obtain the derivative at a point.
In our genetic decomposition, this was the most advanced step within the level of
schema acquisition.
Although more research is required, our study provides evidence of the
complementarity that exists between a mathematical understanding of the relationships
established between mathematical concepts and economic concepts. In this respect, the
incorporation of fuzzy metrics to study the acquisition of cognitive schemata is a
complementary perspective that helps us better understands the relationship between
mathematics and understanding of economic concepts.
5.2. About the thematization of the schema
The results point out that the comprehension of several economic concepts
cannot be carried out without the comprehension of the relation between a function and
its derivative. The understanding of the above mentioned relation in the algebraic and
graphical registers allows to understand the economic meaning of one function (that
represents a certain economic concept) and its derivative function (that represents to
another economic concept). In this relation the obtaining of the second derivative is
included, a mathematical concept that must help to improve the comprehension of the
economic concept modelled by a mathematical function origin. The relation between a
function and its derivative is understood by the students from the optics of reference of
the algebraic register. The managing of the relation between the function and the first
derivative is carried out by processing and conversing between both registers taking the
algebraic one as a main reference, even when economic concepts are presented only in
the graphical register. As for the relations with the second derivative, it is obtained only
5. Discusión y conclusiones Ángel Luis Ariza Jiménez
- 170 -
in the algebraic register, and its algebraic value is applied by students to interpret the
meaning of the economic concept shaped by the mathematical function origin.
The application of all the relations between function - derivative and meanings
in other economic concepts (concaves or convexes) indicates that the scheme of the
relation function - derivative in economic concepts is thematised. In order to get the
scheme thematised, students construct the relations between the function and the first
derivative in the algebraic register (level INTRA) first, and later they construct them
using both registers (level INTER). Finally they construct these relations throughout the
second derivative (level TRANS) and its application in new concepts (THEMATISED
SCHEME) represented by convex or concave functions.
5.3. Fuzzy technique: some limitations
In order to quantify the measurement made on the students somehow (across a
few clear scoring criteria of the different items), we have used the fuzzy theory based on
the configuration of three sets. In each of them we have calculated the distance in
qualitative terms between every student and the ideal student who would be the one the
score of 1 in each item. We have departed from the presumption that those students who
do not obtain a degree of sufficient acquisition of the elements of every scheme or set
(score of 0 or 0,25) have a degree of belonging up to same minor or equal to 0,25. Thus
we have generated a fuzzy measure for three schemes in every student, being the
measure fuzzy of the third scheme (Scheme 2) the measure of the global one. At this
moment we take the decision to establish two border-points in the fuzzy measures of the
Scheme 2 to assign them to each of the levels. Certain limitation can exist in the
establishment of court-points a priori. That is the reason why we might consider other
possibilities, for example, the consideration of intervals of values instead of actual
points. Hereby the task of assigning students to one specific level or another when the
score is very close would be avoided. These intervals might be considered to be hybrid
zones between the levels, and thus we would have students who would have
characteristics of both levels, or even of three levels. The latter idea connects with
another possibility to reduce the complexity of the determination of border-points,
which would consist of the measurement of the fuzzy distance across a reduced list of
values. The idea would consist in the fact that every student had three fuzzy measures,
highlighting those of every scheme that would be translated into a certain degree of
5. Discusión y conclusiones Ángel Luis Ariza Jiménez
- 171 -
development from each one from three considered levels (Intra, Inter and Trans). We
would have students who, for example, would reach a degree of development of 80 %
of the level Intra, 60 % of the level Inter and 35 % of the Trans. To make the
implementation of second possible solution it would be necessary to consider the
schemes in a separated way, not as fitted schemes as we have assumed in this research.
The latter ideas might be considered with a view to future research, as we approach in
the following paragraph.
5.4. Implications for further studies
We think that our research opens a field in the didactics of the mathematics,
which has not been very much explored, for example the use of mathematical elements
in other sciences, like Economics. Future research will analyse the characteristics of this
level Trans, not only in the use of the derivative, but also with other elements
proceeding from the Mathematics like concept of function, integral, differential
equations … A new field on Didactics of Economics linked to Didactics of
Mathematics could possibly improve teaching and learning of both disciplines. In this
sense, teaching and learning of both concepts must continue insisting on the importance
of treating them in both graphical and algebraic registers.
We have concluded that the treatment of the relation between a function and its
derivative in the graphical register is basic to overcome the level Intra and to make
progress in the Inter. On the contrary, we do not have to isolate the algebraic register,
since it continues being important. The results of our research show that good treatment
of this concept in the algebraic register has been necessary to overcome the level Inter
and to make progress in the Trans. The coordination between both registers, together
with the complementarity between both disciplines will increase the probabilities of the
students’ success towards the highest level of comprehension of mathematic and
economic concepts. Further research will have to be directed in this determination.
Referencias Ángel Luis Ariza Jiménez
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Reunido el Tribunal que suscribe en el día de la fecha acordó otorgar, por a la
Tesis Doctoral de Don/Doña. la calificación de
Alicante de de
El Secretario,
El Presidente,
UNIVERSIDAD DE ALICANTE
EDUA
La presente Tesis de D. ha sido registrada
con el nº del registro de entrada correspondiente.
Alicante, de de
El Encargado del Registro
La defensa de la tesis doctoral realizada por D/Dª se ha
realizado en las siguientes lenguas: y , lo que unido al
cumplimiento del resto de requisitos establecidos en la Normativa propia de la UA le
otorga la mención de “Doctor Internacional”.
Alicante, de de EL SECRETATIO EL PRESIDENTE