GÖTEBORGS UNIVERSITET Program i pedagogik med didaktisk inriktning Box 300, SE 405 30 Göteborg

Tal, delar och oändlighet

En studie om avgörande skillnader i undervisning och lärande om decimaltal

Angelika Kullberg

Handledare: Ulla Runesson Examinator: Maj Asplund Carlsson Fördjupningsarbete 10 poäng Mölndal, november 2004

Abstract Arbetets art: Fördjupningsarbete 10 p. Program i pedagogik med didaktisk inriktning Författare: Angelika Kullberg Handledare: Ulla Runesson Examinator: Maj Asplund Carlsson Titel: Tal, delar och oändlighet. En studie om avgörande skillnader i undervisning och lärande om decimaltal Sidantal: 41 Datum: November 2004 ________________________________________________________________________ Bakgrund och syfte: Elevers möjlighet att lära har studerats internationellt (TIMSS video study, Stigler och Hiebert, 2000) och forskarna har genom att jämföra olika länders undervisning kunnat beskriva skillnader och dess betydelse för elevernas lärande (Marton och Morris, 2002). Den här studien syftar till att beskriva skillnader i sättet som lärandets innehåll behandlas under tre olika lektioner och vad de skillnaderna betyder för elevernas lärande. I analysen söker jag kritiska aspekter för elevernas lärande. Uppläggning och metod: Tre lärare har tillsammans med forskare arbetat med att planera undervisning enligt en modell som kallas learning study. Utfallet av de tre lektioner som planerats har analyserats tillsammans med elevernas testresultat före och efter respektive lektion. Min utgångspunkt är att variation är nödvändig för lärande och jag använder variationsteorin (Marton, Runesson och Tsui, 2004) och begrepp från fenomenografiska tankar (Marton och Booth, 2000) om lärande i min analys. Resultat: Lärandets utfall var olika efter de tre lektionerna, d.v.s. eleverna lärde sig i olika grad under de olika lektionerna. Det som var avgörande (de kritsika apekterna) för elevernas lärande som identifierats i den här studien är; • Olika former av rationella tal- Med det menas olika sätt att uttrycka ett rationellt tal i

t.ex. bråkform, procent och decimalform. • Del-helhets förhållandet- Med det menas att man kan ta (delen) t.ex. noll komma

nittiosju av något (helheten) t.ex. linjalen. De variationsmönster som lärarna skapar i undervisningen visar sig vara kritiska för elevernas lärande. Den stora skillnaden mellan lektionerna blir följaktligen att i klass A har eleverna möjligheten att erfara ett möjligt antal tal i intervallet mellan 0,97 och 0,98 . Medan i klass B och C har eleverna möjligheten att erfara ett möjligt antal delar i intervallet. Resultatet visar att de elever som fått erfara möjligt antal delar i intervallet svarar på eftertestet att det finns oändligt många decimaltal.

INNEHÅLLSFÖRTECKNING

BAKGRUND .......................................................................................................................................................1

TEORETISK GRUND........................................................................................................................................2

LÄRANDETS OBJEKT.............................................................................................................................2

VARIATION OCH LÄRANDE.....................................................................................................................4

LEARNING STUDY.................................................................................................................................6

STUDIER OM ELEVERS LÄRANDE AV DECIMALTAL ...................................................................................8

PROBLEMFORMULERING OCH SYFTE..................................................................................................10

METOD .............................................................................................................................................................10

STUDIENS UPPLÄGGNING ...................................................................................................................10

FÖRSÖKSPERSONER..........................................................................................................................11

URVAL ..............................................................................................................................................11

ETIK..................................................................................................................................................11

DATA OCH DATABEHANDLING..............................................................................................................12

ANALYSPROCESSEN ..........................................................................................................................12

TILLFÖRLITLIGHET..............................................................................................................................13

RESULTAT .......................................................................................................................................................15

REDOVISNING AV RESULTAT ...............................................................................................................15

ÖVERGRIPANDE LIKHETER OCH SKILLNADER MELLAN LEKTIONERNA ......................................................15

Tabell 1. Lektionernas övergripande innehåll och struktur ......................................................................16

FÖRSTA LEKTIONEN (KLASS A)...........................................................................................................17

MÖNSTER AV VARIATION OCH INVARIANS (KLASS A) ............................................................................20

ANDRA LEKTIONEN (KLASS B) ............................................................................................................22

MÖNSTER AV VARIATION OCH INVARIANS (KLASS B) ............................................................................26

TREDJE LEKTIONEN (KLASS C) ...........................................................................................................28

MÖNSTER AV VARIATION OCH INVARIANS (KLASS C) ............................................................................31

DIMENSIONER AV VARIATION ..............................................................................................................31

Tabell 2.Sammanfattning av klass A, B och C med avseende på dimensioner av variation......................32

Figur 1. Vad eleverna haft möjlighet att erfara i klass A, B och C. ..........................................................33

ELEVERNAS LÄRANDE ........................................................................................................................34

Tabell 3. Resultat av förtest och eftertest. . ...............................................................................................34

KRITISKA ASPEKTER...........................................................................................................................36

DISKUSSION....................................................................................................................................................37

REFERENSER..................................................................................................................................................40

BILAGA 1...............................................................................................................................................

BILAGA 2...............................................................................................................................................

BILAGA 3...............................................................................................................................................

1

Bakgrund

Vad erbjuds eleverna att lära under en lektion? Läraren har en bild av vad eleverna skall lära sig, men ger undervisningen eleven en möjlighet att lära det? Den här studien kommer att undersöka vad eleverna erbjuds att lära och vad de lär under tre olika lektioner i matematik för att identifiera det som är kritiskt för elevernas lärande. En internationell undersökning av elevers kunskaper i matematik Third International Mathematics and Science Study (TIMSS) (Stigler och Hierbert, 1999) visar att elever från asiatiska länder som t.ex. Japan och Hong Kong lyckas bäst. En uppföljande studie (Stigler och Hierbert, 2000) av videofilmade lektioner, TIMSS videostudy, visar på skillnader som kan förklara resultaten. En förklaring är de sätt lärarna undervisar på. Marton och Morris (2002) menar att de viktigaste skillnaderna mellan amerikanska och japanska matematiklektioner är att i det sistnämnda är eleverna fokuserade på ett problem åt gången och försöker finna lösningar (olika metoder) på det medan elever på amerikanska lektioner får lösa många problem med samma metod. Eleverna får möta olika objekt för lärande (den förmåga som eleven skall lära sig) och har olika möjligheter att lära även om lärarna hade samma objekt för lärande. I det ena fallet så får eleverna lära sig att lösa ett problem genom att de får möta en variation av lösningssätt på problemet och i det andra fallet lära sig en lösningsmetod genom att eleverna får möta en variation av uppgifter som de skall lösa med samma metod. Metoden för lärarnas kompetensutveckling ges av Stigler och Hiebert (1999) som en förklaring till de goda resultaten på TIMSS. I Japan kompetensutvecklar lärarna sig genom att på ett systematiskt sätt diskutera och planera undervisning utifrån de förmågor de vill utveckla hos eleverna och de svårigheter som finns. Metoden de använder kallas lesson study. I en lesson study arbetar lärare i lag med att utveckla undervisningen genom att observera varandra när de undervisar om samma sak och diskutera erfarenheter och resultat. Den här studien kommer att fokusera på vad eleverna erbjuds att lära under en lektion om decimaltal i år 6 och hur tre lärare hanterar detta objekt för lärande. I analysen identifierar jag kritiska aspekter för elevernas lärande. Den metod, learning study, som används i den här studien har stora likheter med den metod som används i Japan. En learning study knyter mer an till forskning om lärande än en lesson study och i en learning study är en forskare är med i processen. Learning study har används som en metod i Hong Kong under några år och har visat på goda resultat för elevernas lärande (Marton, 2003). Learning study är en ny metod i Sverige och denna studie kan ses som en av de första learning studies som gjorts i Sverige. Studien är en delstudie i projektet Lärandets pedagogik1vid Göteborgs Universitet.

1Lärandets Pedagogik är ett projekt finansierat av Vetenskapsrådets utbildningsvetenskapliga kommitté. I

projektet ingår forskare från Högskolan i Kristiandstad, Göteborgs Universitet och Luleå Tekniska Universitet.

Projektledare är Mona Holmqvist, Högskolan i Kristiandstad.

2

Teoretisk grund

Historiskt sett har mycket av den forskning som jag kommer att referera till sina rötter i fenomenografin. Det är forskning om lärande (Marton och Booth, 2000) som under mer än tjugofem år har utvecklat kunskap och begrepp som gör det möjligt att beskriva och analysera lärande. Den teori som Marton (2003) utvecklat ger mig redskapen att analysera undervisning och titta på kritiska aspekter i undervisningen.

Även om vi inte kan kontrollera alla aspekter av miljön, kan vi genom systematisk intervention

och observation erhålla en betydande insikt i förekomsten och naturen av kritiska variabler.

(Marton, 2003 s. 44 )

Den metod som jag använder för att få fram mina data, learning study, har även den grund i fenomenografin. Den teori som jag använder som utgångspunkt för att analysera mina data, variationsteorin är en vidareutveckling av fenomenografiska tankar om lärande. Studien kan emellertid inte ses som fenomenografisk utan bara de begrepp som sprungit fram ur fenomenografin har används som en teoretisk ram för studien. Mitt val av litteratur är tänkt att ge en teoretisk bild av detta fält.

Lärandets objekt

Lärande är centralt i denna studie. Den här studien visar elevers möjlighet till lärande utifrån ett specifikt perspektiv på lärande. Ett sätt att se lärande är att lärande är att erfara saker på ett visst sätt (Marton och Booth, 2000).

Att lära sig erfara olika fenomen, som ur vår synvinkel är den mest grundläggande formen av

lärande, innebär att bli förmögen att urskilja vissa enheter eller aspekter, och att ha förmågan att

vara samtidigt och fokuserat medveten om dessa enheter eller aspekter. (Marton & Both, 2000 s.

161)

Runesson (1999, s. 32) sammanfattar Martons sätt att se på lärande med att lära kan sägas innebära att erfara något på ett nytt sätt. Det vill säga att lärandet innebär en förändring i sättet att erfara något. Marton ser lärande som lärande av något. Det är en förmåga som man vill att eleverna skall lära sig. Marton menar att det är de förmågor som man vill att eleverna skall lära sig som måste vara i fokus när man talar om undervisning.

We firmly belive that teaching and learning cannot be described without reference to what is

being taught and learnt. In other words, teaching and learning is always teaching and learning of

something. In thinking about teaching and learning, it would be grossly inappropriate to make

sweeping statements regarding the effeciveness of particular teaching arrangements (such as

whole-class teaching versus individual instruction, group discussions versus seatwork, etc.).

(Marton et al, 2002 s.3)

3

För att på ett tydligt sätt kunna tala om de specifika förmågor som eleverna skall lära sig använder Marton termen lärandets objekt. Med lärandets objekt menas alltså en förmåga eller förståelse av ett innehåll som eleven skall lära. Ett exempel på ett lärandets objekt kan t.ex. vara att eleverna skall förstå att det finns oändligt många decimaltal. Lärandets objekt kan ses ur lärarens, elevens eller forskarens perspektiv. Marton benämner det lärandets objekt läraren har som mål för elevernas lärande som ”intended object of learning”, det lärandets objekt läraren avsett att eleverna skall få möta i undervisningen.

…the intended object of learning, an object of the teacher´s awareness, that might change

dynamically during the course of learning. This is the object of learning as seen from the

teacher´s perspective, and as such is depicted in this book as being evidenced by what the teacher

does and says. (Marton, Runesson och Tsui, 2004 s. 4)

Ur elevens perspektiv är lärandets objekt, det eleven faktiskt har lärt sig (lived object av learning). ”What they actually learn is the lived object of learning, the object of learning as seen from the learners piont of view, i.e., the outcome or result of learning” (Marton, Runesson och Tsui, 2004 s. 5). Lärandets objekt sett ur forskarens perspektiv är det eleven har möjlighet att lära t.ex. under en specifik lektion och med de speciella förhållanden som fanns under just den lektionen (enacted object of learning).

The enacted object of learning is the researcher´s description of whether, to what extent and in

what forms, the necessary conditions of a particular object of learning appear in a certain setting.

The enacted object of learning is described from the point of view of a certain research interest

and a particular theoretical perspective. (Marton, Runesson och Tsui, 2004 s. 5)

Det lärandets objekt som läraren har i fokus för en lektion (intended object of learning) behöver inte vara det lärandets objekt som eleverna får möjlighet att erfara i undervisningen (enacted object of learning). För varje lärandets objekt finns det aspekter av innehållet i undervisningen som är avgörande, kritiska för elevernas lärande. För att förstå/uppfatta något på ett visst sätt måste vissa aspekter bli urskilda. Dessa aspekter är kritiska för lärandet. De kritiska aspekterna finner man genom att analysera undervisningen om ett speciellt objekt. Genom att studera flera lärare som undervisar om samma sak och vad eleverna lär sig är det möjligt att finna det som kan vara kritiskt i undervisning om ett speciellt lärandets objekt.

The critical features have, at least in part, to be found empirically- for instance through

interviews with learners and through the analysis of what is happening in the classroom- and

they also have to be found for every object of learning specifically, because the critical features

are critical features of specific objects of learning. (Marton, Runesson och Tsui, 2004 s. 24)

4

If we are interesed in how students learn to see certain things in certain ways, we must ask

ourselves what citical features of the object of learning students can possible discern in a

particular classroom situation. (Marton, Runesson och Tsui, 2004 s. 39)

De kritiska aspekterna kan vara olika för olika grupper beroende på elevernas tidigare erfarenheter och kunskaper.

Variation och lärande

Marton och Morris (2002) menar att variation är avgörande för lärande. De menar att man inte kan lära sig färg t.ex. blå om det bara fanns en färg. Det betyder att om man inte kan urskilja något från något annat kan man inte erfara det.

... we cannot discern anything without experiencing variation of that object. There would not be

any gender if there were only one, no color if there were only one color etc. So we belive that

what varies and that is invariant is fundamentally important. (Marton och Morris 2002, s. 20)

Runesson (1999, s. 31) beskriver variationens betydelse för lärande på liknande sätt nämligen för att veta vad något är måste vi veta vad det inte är. Runesson har i sin avhandling studerat hur olika lärare hanterar samma ämnesinnehåll. De sätt varpå lärarna låter olika aspekter variera påverkar vad eleverna erbjuds att lära sig matematik. Även Marton och Morris visar i flera studier att vad som varierar i en undervisningssituation har betydelse för lärandet (Marton och Morris, 2002).

…it is what the teacher varies and what s/he keeps invariant during the lesson that determines

what pupils are likely to learn. (Marton och Morris, 2002 s. 60)

Variation är nödvändigt för att kunna urskilja aspekter av lärandets objekt. I en lärandesituation urskiljer olika människor olika saker. ”Whenever people attend to something, they discern certain aspects of it, and by doing so pay more attention to some things, and less attention, or none at all, to other things” (Marton, Runesson och Tsui, 2004 s. 9). Marton, Runesson och Tsui menar att om den lärande urskiljer kritiska aspekter av lärandets objekt har eleven möjlighet att lära.

What is of decisive importance for the students, is what actually comes to fore of their attention,

i.e., what aspects of the situation they disern and focus on. In the best case they focus on the

critical aspects of the object of learning, and by doing so they learn what the teacher intended.

But they may also fail to disern and focus on some of the critical aspects, or they may disern and

focus on other aspects. (Marton, Runesson och Tsui, 2004 s. 5)

Marton och Morris (2002) och Runesson (1999) menar att genom att låta vissa aspekter urskilja sig mot något annat, är en metod för lärande. Marton, Runesson och Tsui (2004) ger ett exempel på en läkarstuderande som skall lära sig diagnostisera en patient. Hon/han måste erfara en variation och urskilja skillnader.

5

In order to see something in a certain way a person must discern certain features of that thing.

We should also be clear about the diffence between ”discerning” and ”being told”. Medical

students, for instance, might be adviced by their professors to notice different features of their

pations, such as the color of the lips, the moisture of the skin, the ease of breathing, and so on.

This is ”being told”. But in order to follow this advice the students must experience those

features, and the only way to experience them is to experience how they vary. (Marton,

Runesson och Tsui, 2004 s. 10)

I början kanske den läkarstuderande bara kan fokusera och urskilja en aspekt i taget och hur den varierar men för att kunna diagnostisera patienten så måste man kunna urskilja flera aspekter samtidigt. ”In order to experience variation in a certain respect, we have to experience the different instances that vary in that respect simultaneously,...” (Marton, Runesson och Tsui, 2004 s. 17). Runesson (1999) ger ett exempel på betydelsen av urskiljning och samtidighet för lärandet när små barn skall lära sig förstå tal. ”Att ha en utvecklad förståelse för exempelvis talet ”fem” innebär att samtidigt kunna urskilja ”fem” som antal eller som en mängd av en viss storlek, ”fem” som en position i räkneramsan och helheten i ”fem” och relationen till dess delar” (s. 30). För att förstå talet fem måste alla aspekter av talet urskiljas samtidigt. För att kunna urskilja talet fem så behövs en variation av flera andra tal som t.ex. fyra och sex. Variation kan ses i termer av erbjuden variation och erfaren variation. Den erbjudna variationen är det som läraren, andra elever eller till exempel läroboken erbjuder att lära t.ex. en variation av olika aspekter av lärandets objekt. Den erfarna variationen är det som eleven har möjlighet att lära. Att studera undervisning ur ett variationsteoretiskt perspektiv innebär sammanfattningsvis, att studera undervisning i termer av en potentiellt erfaren variation (Runesson, 1999 s. 41).

På samma sätt kan även lärares undervisningshandlingar förstås i termer av erfarande. I en

undervisningssituation, då ett innehåll kommuniceras till eleverna, framställs detta genom att

läraren lyfter fram, fokuserar eller tematiserar vissa aspekter av undervisningsinnehållet och

lämnar andra otematiserade eller icke fokuserade. Därigenom formas, antingen det är av läraren

reflekterade handlingar eller ej, ett undervisningsobjekt som är möjligt för eleverna att erfara.

(Runesson, 1999 s. 17)

Den variation som studeras i denna studie är variation i termer av erbjuden och erfaren variation. Genom att analysera undervisningssituationer kan man finna de mönster av variation som läraren skapar tillsammans med eleverna. Mönster av variation och invarians skapas när vissa aspekter av lärandets objekt varierar och andra är invarianta. Eftersom det bara är möjligt att urskilja det som varierar så är det nödvändigt för lärandet att skapa mönster av variation i undervisningen. ”As learners can only discern that which varies, we must look for the pattern of variation necessary for developing the required capability”

(Marton, Runesson och Tsui, 2004 s. 22).

6

De mönster av variation som skapas i undervisningen utgör dimensioner av variation. En dimension av variation är en aspekt av lärandets objekt. I Runessons (1999) exempel om barn som utvecklar förståelse för tal så måste barnen urskilja talet på olika sätt t.ex. fem som antal, fem som en position i räkneramsan, fem i relationen till dess delar och fem i relation till andra tal. De olika aspekterna kan ses som olika dimensioner av talet som barnen måste erfara samtidigt för att få en förståelse för tal.

Learning study

I rapporten från TIMSS video study (Stigler och Hiebert, 2003) uppmärksammades skillnader i olika länders sätt att undervisa, skillnader som till viss del är kulturellt betingade. De fann även skillnader i synen på kompetensutveckling och skillnader i den tid läraren använder när det gäller undervisningens planering och innehåll. De menar att länder som t.ex. Japan har en tradition av att lärare arbetar tillsammans med planering och utvärdering av lektioner och därigenom har redskap att utveckla undervisningen. En amerikansk/kinesisk studie (Ma, 1999) visar att kinesiska lärare har bättre matematisk begreppsförståelse än sina amerikanska kollegor trots att de inte har lika lång utbildning. De kinesiska lärarna använder mer adekvata termer när de undervisar och har en djupare förståelse för den grundläggande matematiken än sina amerikanska kollegor. De amerikanska lärarna hade oftare en procedurell kunskap. Med det menas t.ex. en ytlig kunskap om en viss metod för att lösa en uppgift utan att förstå varför man gör på ett visst sätt. Lärarna i de olika länderna hade olika sätt att se på de problem som eleverna hade med olika typer av uppgifter. De sätt de tog sig an elevernas problem var knutna till deras egna förståelse.

Among the teachers of both countries, the percentage of those who showed a conceptual

understanding of the topic was slightly higher than those who took a conceptual direction in

helping the students to correct the mistake. On one hand, none of those teachers whose

knowledge was procedural described a conceptually directed teaching strategy. On the other

hand, a few teachers who held a conceptual understanding of the topic would take a procedural

direction in teaching – they did not expect their student´s learning to reach as far as theirs. (Ma,

1999 s. 54) …This suggests that in order to have a pedagogically powerful representation for a

topic, a teacher should first have a comprehensive understanding of it. (Ma, 1999 s. 83)

En förklaring till resultat är de asiatiska lärarnas kontinuerliga kompetensutveckling. Kinesiska lärarna använder mer tid än sina västerländska kollegor till att diskutera och planera undervisningens innehåll (Ma, 1999). I Japan är det vanligt att lärare samlas i grupper och arbetar med att utveckla sin undervisning. De arbetar efter en modell som kallas lesson study (Marton, 2002, Stigler och Hiebert, 2003).

7

During their careers, Japanese taechers engage in a relentless, continuous process of improving

their lessons to improve students´ opportunities to achieve the learning goals. A key part of this

process is their participation in ”lesson study groups”. Small groups of teachers meet regulary,

once a week for about an hour, to plan, implement, evaluate, and revise lessons collaboratively.

Many groups focus on only a few lessons over the course of the year with the aim of perfecting

these. (Stigler och Hiebert, 2003)

Lesson studies är problemlösningsprocesser där lärarna arbetar med frågor som t.ex. hur de skall öka elevernas förståelse i undervisningen om ett speciellt moment eller öka elevernas intresse för något. Med utgångspunkt från Browns och Collins design experiments har Marton (Marton, 2003) tillsammans med kollegor i Hong Kong utvecklat lesson study modellen till en learning study modell. En learning study är ett systematiskt försök att uppnå ett pedagogiskt mål och lära från detta försök (s. 44). Learning study har till skillnad från lesson study en teoretisk grund och i en learning study ingår en eller flera forskare i gruppen. Den teoretiska grunden är över tjugofem års fenomenografisk forskning om lärande (Marton och Booth, 2000) och variationsteorin (Marton, Runesson och Tsui, 2004). Learning study kan beskrivas som praxisnära grundforskning där lärarna står för en stor del av den kunskap som kommer fram genom projektet. En grupp lärare väljer en förmåga eller förståelse (lärandets objekt) de vill att eleverna skall utveckla. Gruppen fördjupar sina kunskaper inom området genom att läsa litteratur och diskutera tidigare erfarenheter. Genom ett förtest eller intervjuer tar gruppen reda på vad eleverna har för förkunskaper. Därefter planerar gruppen tillsammans undervisning som en lärare sedan genomför. Lektionen videoinspelas för att gruppen gemensamt skall kunna analysera hur lektionen fungerade. Någon dag efter lektionen får eleverna göra ett eftertest för att se vad de har lärt sig. Analysen av den videoinspelade lektionen tillsammans med testresultaten ger en bild av vad eleverna har lärt sig och vilka förändringar som bör göras till nästa lektion. Planeringen av lektionen revideras och en annan lärare (eller samma) undervisar den andra lektionen med en ny grupp elever. Processen fortsätter tills alla lärare i gruppen undervisat eller tills gruppen är nöjd med resultatet. Genom att lärarna undervisar om samma sak så kan man jämföra lektionerna med varandra och med vad eleverna har lärt sig och finna det som är avgörande för elevernas lärande, de kritiska aspekterna. I en jämförande studie mellan lessonstudy och learning study gjord i Hong Kong (Marton, 2003 s. 45) studerade man hur metoderna påverkade lärarnas agerande och elevernas lärande. Två grupper av erfarna lärare arbetade efter de olika modellerna. Målet var att få eleverna att förstå och använda begreppet priselasticitet.

8

I den grupp som arbetade med lesson study modellen utvecklade något färre än 30 procent av eleverna en god förståelse för begreppet, medan i den grupp som arbetade med learning study modellen var resultatet över 70 procent. Skillnaderna mellan de bägge gruppernas resultat kunde relateras till skillnaden i hur det aktuella undervisningsinnehållet hanterades i de olika klasserna och hur den aktuella teorin konkretiserades i olika fall.

Studier om elevers lärande av decimaltal

Den här studien beskriver lärares undervisning under en lektion om decimaltal. Decimaltal tillhör tillsammans med bråk och procent de rationella talen (Kilborn, 1999). Ett rationellt tal är motsatsen till ett irrationellt tal. Ett rationellt tal kan skrivas som ett heltal, som bråk, i procent och i decimalform. Ett rationellt tal i decimalform kan skrivas med oändligt många decimaler. I kursplanen för grundskolan står att eleverna i år nio skall ha goda färdigheter i att kunna räkna med tal i decimalform (Skolverket, 2000). Grisward-Sackur och Léonard (1985) betonar i en studie om elevers lärande av decimaltal nyttan av förståelsen för decimaltal.

”It is the most conveinient system of calculating, and has become even more important with the

growing use of calculators. Furthermore, because decimals are used to approximate all other

numbers, the sciences cannot do without them” (s. 158). De visar i sin studie exempel på att

elever räknar med decimaltal på samma sätt som med hela tal. De har lärt sig regler för att

hantera decimaltal men saknar förståelsen för att använda dem på rätt sätt. ”In school, children

usually learn only a rule to deal with the decimalpoint, then calculate as if they were dealing with

whole numbers. But this practice in fact draws attention away from important differences

between whole numbers and decimals” (s. 158).

Moskal och Magone (2000) ger exempel på en sådan generalisering till heltal som är vanligt förekommande hos elever.

For exampel, many students belive that the unclusion of zero in the right most column of the

decimal number results in a value that is ten times greater than the original value (Resnick et

al.,1989, Hiebert and Wearne, 1983) Although this relationship holds true for whole numbers

(eg. 20 is ten times greater than 2), it is not appropriate in the decimal system (e.g. .20 is not ten

times greater than .2). (Moskal och Magone, 2000 s. 316)

Löwing och Kilborn (2002) menar att ett sätt att lösa uppgifter med decimaltal är att byta enhet. Eftersom decimaltal oftast är kopplade till mätning och enheter, så kan man som ett alternativ byta enhet. Om 1,36 meter skall divideras med 2, så är det samma sak som att 136 cm skall divideras med 2 (s. 361). Grisward-Suckur och Léonard (1985) menar att det sättet att hantera decimaltal fungerar i vissa fall men kommer i konflikt med andra regler om decimaltal. Eleverna måste efterhand utöka och modifiera sina kunskaper om decimaltal för att inte hantera decimaltal som heltal.

9

Löwing och Kilborn (2002, s. 361) visar på fördelarna med att använda bråk och decimaltal tillsammans i undervisningen. De menar att genom att tala om t.ex. 1,36 som 136 hundradelar ger man decimaltalet en betydelse. Moskal och Magone (2000) ser också fördelen med att använda bråkform och decimalform tillsammans för att få ökad förståelse. Svårigheten är att eleverna inte upptäcker de samband som lärarna vill att de skall göra.

When students have been exposed to fractions prior to decimals, the students may use this

knowledge to make sense of decimal numbers. Researchers (Hiebert, 1984; Markovits and

Sowder, 1991) have found, however, that many students fail to make this relationship. (Moskal

och Magone, 2000 s. 317)

Hiebert och Wearne (1986) beskriver elevernas möte med decimaltal som ett möte med ett nytt talsystem med nya regler och nya begrepp. ”The decimal symbols are perceived by most students as a new symbolsystem with a new set of rules representing new concepts” (s. 219). De studerade elevers missuppfattningar om decimaltal under två år. I studien deltog cirka 700 elever från 5th, 7th och 9th grade. Genom olika intervjuer försökte forskarna komma åt de uppfattningar eleverna hade. De uppfattningar om decimaltal de såg hos eleverna var att; �

• Eleverna har inte klart för sig vad likheten mellan heltal och decimaltal är och vad som är unikt med hela tal

• Felaktiga generaliseringar till heltal som t.ex. tal med fler siffror är större • Svårigheter att hantera nollans betydelse • Ju fler decimaler desto mindre tal • Ju fler decimaler desto större tal • När man adderar decimaltal flyttar man sig bakåt på tallinjen • När man gör talet tio gånger större lägger man på en nolla t.ex. 437,56 blir 437,560 • Svårt att se att 0,7 och 0,70 är samma tal • Eleverna har svårigheter med att översätta bråk till decimalform t.ex. 3/10 blev 3.10. Här

menar forskarna att språket har stor betydelse när vi talar om decimaltal och bråk

10

Problemformulering och syfte

Studien syftar till att beskriva skillnader i sättet som lärandets objekt behandlas under tre olika lektioner och vad de skillnaderna betyder för elevernas lärande. De frågor som studien avser att besvara är; Hur behandlar lärarna lärandets objekt? Vilka mönster av variation och invarians skapas under respektive lektion? Vad erbjuds eleverna att lära och vad lär de sig? Vilka är de kritiska aspekterna för elevernas lärande?

Metod

Studiens uppläggning

Den här studien, som är en delstudie i projektet Lärandets Pedagogik2, är en kvalitativ studie. I analysen använder jag begrepp från en specifik teori som används som analytiska redskap i dataanalysen. Studien kan även beskrivas som idiografisk eftersom en idiografisk studie inriktar sig på intensiva studier i enskilda fall (Alvesson och Sköldberg, 1994 s. 66). En learning study kan ses som ett sådant enskilt fall och resultaten av studien gäller den grupp och den undervisning som analyserats. I studien analyseras tre lektioner som delvis är olika till sin karaktär och elevernas resultat på två olika tester. Skillnaderna mellan lektionerna är ett resultat av lärarnas gemensamma revidering enligt learning study modellen. I min analys söker jag det som kan sägas vara kritiskt (avgörande) för elevernas lärande under de tre lektionerna. Med det menar jag det i undervisningen som har haft en stor betydelse (är avgörande) för resultatet av undervisningen, det som eleverna under lektionen har haft möjlighet att lära. Learning study är en praxisnära forskningsmetod (Marton, 2003 s. 41) och sker i samarbete mellan praktiker och forskare. De lärare som deltar i projektet vill utveckla sin praktik och sin förståelse av praktiken och av de sammanhang i vilka praktiken ingår.

2 Lärandets Pedagogik är ett projekt finansierat av Vetenskapsrådets utbildningsvetenskapliga kommitté. I

projektet ingår forskare från Högskolan i Kristiandstad, Göteborgs Universitet och Luleå Tekniska Universitet.

Projektledare är Mona Holmqvist, Högskolan i Kristiandstad.

11

Learning study kan ses som en typ av aktionsforskning eftersom det är en praxisnära forskning som bedrivs av lärare och forskare tillsammans. Aktionsforskning är enligt Mc Niff en problemlösningsprocess (Mc Niff, 2000). I en learning study är ”problemet” att utveckla lektioner för att finna det som är kritiskt för elevernas lärande om ett speciellt lärandeobjekt. I den här studien sträckte sig learning study processen över en hel skoltermin (våren 2003). De deltagande lärarna träffades regelbundet vid elva tillfällen för att arbeta enligt den tidigare beskrivna learning study modellen. Lärarna bestämde att de ville arbeta med decimaltal. De hade upplevt att elever ofta kan hantera decimaltal men har svårigheter med att förstå vad de gör och varför. Gruppen läste och diskuterade en artikel av Hiebert och Wearne (1986) för att fördjupa sina kunskaper om elevers förståelse när det gäller decimaltal.

Försökspersoner

De tre deltagande lärarna har själva valt att (efter förfrågan) delta i projektet. De tillhör samma skolområde men arbetar på två olika skolor och undervisar i skolår 6. De är grundskollärare år 4-9 med inriktning på matematik och naturorienterande ämnen eller slöjd och de har mellan fem till tio års lärarerfarenhet. I studien används beteckningarna lärare A, lärare B och lärare C utifrån den ordning som de genomför sin lektion. Det är en kvinnlig och två manliga lärare. De elever (53 stycken) som deltagit i studien är de elever som vanligtvis undervisas av den deltagande läraren.

Urval

Denna studie görs inom ett större projekt. Forskarna har valt att driva projektet på den speciella skolan eftersom man har kännedom om att det finns ett stort intresse för utvecklingsarbete på skolan. Intresserade lärare har fått anmäla sitt intresse för projektet. Därefter har grupper om tre till fyra lärare bildats. En learning study kan genomföras inom olika skolämnen men forskargruppen har valt att inrikta sig på matematik i alla grupper på den aktuella skolan.

Etik

De elever som deltog i den undervisning som videoinspelats har fått skriftlig information om studien och målsmän har givit skriftligt tillstånd för medverkan. Alla namn på elever och lärare i utskrifter av lektionerna har ändrats så att deltagarna i studien ej kan identifieras. Det är viktigt att påpeka att det är lärargruppen som gemensamt ansvarar för alla de genomförda lektionerna genom att ha planerat dem tillsammans. Lärarna har givit tillåtelse till att bilder ur filmen, där de medverkar, får publiceras i denna studie.

12

Data och databehandling

I studien redovisas två typer av datamaterial, videoinspelningar och skriftliga elevtester. De tre lärarna i studien har genomfört en lektion om decimaltal på cirka 60 minuter och lektionerna har filmats med videokamera. Kameran följde läraren vid genomgång och en grupp elever under gruppdiskussion. En lektion har spelats in som tillvänjning för elever och lärare, men den används inte i studien. Videoinspelningarna av lektionerna har transkriberats för analys (totalt 85 sidor text). Transkriptionsnivån är sådan att tal och relevanta händelser transkriberats. Transkriptionerna har tillsammans med filmerna kontrollerats av ytterligare en person för att få högre validitet och reliabilitet. Det bortfall som kan redovisas är när någon elev eller lärare sagt något ohörbart. Detta har då markerats i texten på ett speciellt sätt (…). Text inom parantes är tolkat tal t.ex. när någon säger något som nästan är ohörbart. Tolkningar och förtydligande av vad som händer visas inom klammer [ ]. För att beskriva vad någon gör så används kursiv text. Elevtesterna har konstruerats av forskargruppen och genomförts i klasserna tillsammans med en projektassistent. Förtest och eftertest är inte identiska. Förtestet (bilaga 1) var tänkt att ge en bild av elevernas kunskaper om decimaltal och innehåller flera olika uppgifter. Uppgift 4 på förtestet mäter elevernas kunskap om hur många decimaltal det finns och endast den uppgiften redovisas i den här studien. Jag väljer att inte redovisa hela förtestet eftersom de övriga uppgifterna inte är lika relevanta för den här studien. Eftertestet (bilaga 3) har färre uppgifter och mäter kunskapen om hur många decimaltal som finns och eleverna får även räkna upp decimaltal inom ett visst intervall. Testerna har bearbetats av samma person och svaren har kategoriserats (även i felaktiga svar) för att ge en rikare bild av resultatet än enbart en redovisning av korrekta svar hade givit. Resultatet av förtest och eftertest redovisas i olika svarsfrekvenser i tabell 3. De elever som redovisas i studien är bara de elever som deltagit i studiens tre delar. Det betyder att de elever som inte deltagit i förtest, undervisning och eftertest har tagits bort.

Analysprocessen

Analysen görs utifrån min 11-åriga erfarenhet som grundskollärare och med den didaktiska påbyggnadsutbildning i matematik som jag skaffat mig vid Göteborgs Universitet. I analysen använder jag variationsteorin (Marton och Runesson, 2003) som ett analytiskt redskap. Min utgångspunkt är att variation är nödvändig för lärande. Med variation menas i detta fall inte variation i form av omväxling utan en variation av aspekter inom lärandets objekt. Varje lektion har analyserats utifrån de mönster av variation och invarians som skapas under lektionen och hur lärarna öppnar för en variation av olika dimensioner.

13

Genom att studera hur de olika lärarna hanterar samma lärandets objekt och jämföra med resultat från förtest och eftertest är det möjligt att dra slutsatser om vad som kan ha varit kritiskt (avgörande) för elevernas lärande under de tre lektionerna. Inom varje klass jämförs resultatet på förtest med resultatet på eftertest och på detta sätt kan man studera en eventuell förbättring av elevernas resultat. För att finna det som varit kritiskt för elevernas lärande måste även resultaten jämföras med de andra klassernas testresultat och med de mönster av variation som analyserats fram från lektionerna. Analysprocessen har inneburit en pendling mellan analys av de videofilmade lektionerna, transkripten och testerna. Ett viktigt steg i analysprocessen har varit att presentera analysen för forskare i forskargruppen och diskutera tolkningarna. Diskussionerna har bidragit till revideringar av analysen.

Tillförlitlighet

Studiens validitet handlar om i vilken mån forskaren studerar det hon tror sig studera (Merriam, 1991). Enligt Glauss och Strauss (i Kvale, 1997 s. 219) är valideringen är ingen slutlig verifiering eller produktkontroll; verifieringen är enligt deras sätt att se inbyggd i forskningsprocessen med ständig kontroll av forskningsresultatens trovärdighet, rimlighet och tillförlitlighet. I den här studien används videoinspelningar för att analysera lektioner. Det är en metod som ger en rikare bild än t.ex. observation eller bandupptagning hade gjort. Inspelningarna ger en möjlighet att analysera samma lektion flera gånger för att få högre tillförlitlighet. Transkriptionerna av filmerna som också används i analysarbetet har genomlyssnats av ytterligare en person för att få högre validitet och reliabilitet i data. Reliabilitet handlar om i vilken utsträckning ens resultat kan upprepas (Merriam, 1991) En kvalitativ studie med icke numeriska data bygger på en tolkning av data. En tolkning är gjord utifrån ett särskilt perspektiv och det är inte säkert att andra skulle få precis samma resultat.

Alla utsagor har ett inslag av tolkning … och detta leder till att det är möjligt att ge olika

versioner av samma sak…Det andra problemet är att all redovisning av rådata i litteraturen måste

bygga på en selektion ur verkligheten. När man redovisar olika belägg, faller det ändå alltid

tillbaka på forskarens val av händelser som skall redovisas. (Larsson, 1994 s. 182)

Genom att tydligt redovisa på vilka grunder urvalen och tolkningarna görs får läsaren möjlighet att avgöra rimligheten i analysen. Reliabiliteten har också stärkts genom att analysen har diskuterats med andra personer i forskargruppen för projektet. För att ytterligare öka tillförlitligheten så används olika typer av data. Resultaten av förtest (bilaga1) och eftertest (bilaga 3) används tillsammans med analysen av lektionerna.

14

Det ger en möjlighet att se om analysen av lektionerna pekar på samma sak som resultaten (tabell 3) av testerna. Eftertestet är gjort för att mäta samma förmåga som uppgift fyra på förtestet. Förtest och eftertest inte är identiska. Forskarna tror sig mäta samma förmåga genom att ändra uppgifterna till t.ex. ett annat talområde (se uppgift 4, bilaga 1 och uppgift 1a och 1b, bilaga 3). För att stärka tillförlitligheten i testerna har samma projektassistent har genomfört testerna med de olika klasserna för att utesluta möjligheten att lärarna hade kunnat påverka resultatet. Det har inte förekommit någon matematikundervisning mellan förtestet och den videoinspelade lektionen som kan ha påverkat resultatet av lektionen. Det samma gäller med eftertestet. Tolkningen av resultaten av förtest och eftertest är gjorda flera gånger och alla resultat är tolkade vid samma tillfälle och av samma person. Reliabiliteten i analysen av testerna har stärkts genom att analysen vid något tveksamt fall diskuterats med annan forskare. Det är möjligt att resultatet på eftertestet förbättrats något p.g.a. en återtestningseffekt, d.v.s. att om elever testas flera gånger på samma sak kan resultatet förbättras (eleverna har då inte förbättrats genom undervisning). Det finns även möjlighet till att eleverna kan ha diskuterat ämnesinnehållet med kamrater eller vuxna utanför skolan och det i sin tur kan ha påverkat eftertestets resultat eftersom testet genomfördes någon dag efter undervisningen.

15

Resultat

Redovisning av resultat

Resultatet redovisas i tre steg. Först redovisas de tre lektionerna och de mönster av variation och invarians som respektive lektion skapat. Resultaten sammanfattas genom en tabell som beskriver de dimensioner av variation som lärarna öppnar för under respektive lektion. Därefter beskrivs elevernas lärande genom de tester som eleverna utfört. Sammanfattnings-vis beskrivs de kritiska aspekter för elevernas lärande som analyserats fram genom att knyta samman analysen från lektionerna med resultaten av elevernas lärande.

Övergripande likheter och skillnader mellan lektionerna

Det finns många likheter mellan de tre lektionerna. Medveten om dessa likheter är det möjligt att se skillnader som vid en ytlig analys inte visar sig. Lärarna i studien undervisade om samma sak och under lika lång tid, cirka sextio minuter. Lärandets objekt var det samma under alla lektioner, att eleverna skall förstå att det finns oändligt många decimaltal. Lärarna använde samma uppgift i undervisningen. Uppgiften Jonna påstår att det finns ett tal mellan noll komma nittiosju och noll komma nittioåtta. Pelle säger att det finns inget sådant tal. Vem har rätt och varför? var tagen från förtestet (bilaga 1) som eleverna gjort tidigare. Den variation av svar som elever gav på uppgiften diskuteras under lektionen. Lektionerna hade liknande struktur. En inledande fas där resultatet av förtestet presenterades, en andra fas med grupparbete och en tredje avslutande fas med en gemensam diskussion om uppgiften. Tabell 1 visar en översikt av de tre lektionerna för att få en överblick av lektionernas uppläggning. De skillnader som beskrivs är de skilda sätt lärandets objekt behandlas under respektive lektion och de mönster av variation som skapas. Det leder till att olika dimensioner av variation öppnas för eleverna.

16

Tabell 1. Lektionernas övergripande innehåll och struktur

������������� ���� ������������� ���� ������������� ����

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

• � � �� �� � � � �� � � � � �� � � � � � �� �

� � � � � � � � � � �� � � � �� � � � � � �� � � ��

� � � �� �� � �� � ���� � ��

�

• � � ���� � �� �� � � �� �� � ���� �� ��

�

• � � � � �� � � � �� � �� �� � � � � � ��� � � �

� � � � � � �� � � � � � � �� ! � � � � � �

�� �� "� ��# � � � � � � ��� � � � ��

�

• $ �� � � � � �� � � �� � � � � � � �� � � � � �� � � �

�� �� "� ��"� � � �� ���

�

• � � �� �� � � % � �� � � � � �� � � � ���& � � �

� �� � �� � �� �� ! � � �� �� � �� � ����

�

• � � �� �� � � ��� � � �� � � �� �� � � � ��� � � � � �

�� "� � � ��� � �� �� � �� �� ���� "� � � �� � �� �

� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � ��

' � � � �� � �� � ��� �� � � � �� �� � �� � �����

�

• ( � � � �� �� � �� � �� �� ! �"� � � �� ��

�

• � � �� �� � � � �� � � � � �� � � � � � �� �

� � � � � � � � � � �� � � � �� � � � � � �� � � ��

� � � �� �� � �� � ���� � ��

�

• � � ���� � �� �� � � �� �� � ���� �� ��

�

• � � � � �� � � � �� � �� �� � � � � � ��� � � �

� � � � � � �� � � � � � � �� ! � � � � � �

�� �� "� ��# � � � � � � ��� � � � ��

�

• $ �� � � � � �� � � �� � � � � � � �� � � � � �� � � �

�� �� "� ��"� � � �� ���

�

• ) � �� ��� � � � � �� � � � � �� � �� � � �

�� �� "� � * �� � �� �� � �� � � ���� ��� "� � ����

��� � � � � ���� � � � �� � � � ����� � � � � � � ��

� �� �� �� � �� � ��� � �� � � � � � � � �� � � �

�� � � % �� ��

�

�

• � � �� �� � � % � �� � � � � �� � � � ���& � � �

� �� � �� � �� �� ! � � �� �� � �� � ����

�

• � � �� �� � � ��� � � �� � � �� �� � � � ��� � � � � �

�� "� � � ��� � �� �� � �� �� ���� "� � � �� � �� �

� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � ��

' � � � �� � �� � ��� �� � � � �� �� � �� � ���

�

• ( � � � �� �� � �� � �� �� ! �"� � � �� ��

�

• � � �� �� � � � �� � � � � �� � � � � � �� �

� � � � � � � � � � �� � � � �� � � � � � �� � � ��

� � � �� �� � �� � ���� � ��

�

• � � ���� � �� �� � � �� �� � ���� �� ��

�

• � � � � �� � � � �� � �� �� � � � � � ��� � � �

� � � � � � �� � � � � � � �� ! � � � � � �

�� �� "� ��# � � � � � � ��� � � � ��

�

• $ �� � � � � �� � � �� � � � � � � �� � � � � �� � � �

�� �� "� ��"� � � �� ��

I tabell 1 syns en tydlig skillnad i den inledande fasen mellan klass A och andra sidan klass B och C. (Texten i tabellen är skriven så att det som är lika för klasserna är skrivet på samma rad.) Eleverna i klass B och C får en längre och mer innehållsrik introduktion till gruppuppgiften än klass A får. Det tillägget är ett resultat av lärarnas gemensamma revidering av lektionen. I klass B och C är de flesta moment lika. Det som skiljer är att läraren i klass B visar hur en helhet (linjalen) kan delas in i olika andelar t.ex. i tiondelar, hundradelar o.s.v.

17

Första lektionen (Klass A)

Läraren inleder lektionen med en kort introduktion där hon gör eleverna uppmärksamma på de olika svar eleverna har gett på uppgiften från förtestet (bilaga 1). Därefter arbetar eleverna i grupp med denna uppgift (bilaga 2). De skall enas om ett av alternativen och motivera sitt val. De skall också illustrera sitt svar med hjälp av en tallinje d.v.s. denna skall visa vilka tal som finns i intervallet 0,97 och 0,98. I slutet av lektionen diskuteras alternativen, som är uppsatta på bädderblockspapper på tavlan. Tre grupper har svarat att det finns inga tal i intervallet 0,97 och 0,98 (alternativ e), en grupp har svarat att det finns ett tal (alternativ d) och en grupp har svarat att det finns nio tal (alternativ c). I diskussionen som följer, jämför läraren elevernas tallinjer med varandra. I denna diskussion fokuseras de tal som eleverna har skrivit in i intervallet 0,97 och 0,98 t.ex. 0, 971 (se excerpt 1). Läraren lyfter även fram olika par av decimaltal och jämför dem med varandra t.ex. 0,98 och 0,980 (excerpt 1). Decimaltalen konstrasteras med varandra så att; 1. Samma tal uttryckt med olika antal decimaler jämförs 2. Olika tal med olika antal decimaler jämförs En grupp hade skrivit att det fanns nio tal i intervallet mellan de två decimaltalen. Läraren frågar då vilket det tionde talet är. De uppräknade talen i intervallet var uttryckta med tre decimaler medan det tionde talet var uttryckt med två decimaler (se bild 1). Excerpt 1 Samma tal uttryckt med olika antal decimaler jämförs, 1 (0,980 med 0,98)

1. Putte: Det kan väl i så fall vara noll komma

niohundraåtti.

2. Läraren: Noll komma niohundraåtti. Upprepar

3. Putte: Men vi …ah om man räknar så.

4. Lärare: Det är inte det då? [pekar på noll komma

nittioåtta]

5. Putte: Jo, det är ju det.

6. Läraren: Är det samma?

7. Putte: Ah enligt oss.

Läraren jämför olika par av decimaltal. I excerpt 1 jämförs samma tal uttryckt med olika antal decimaler (0,980 och 0,98). På liknande sätt under lektionen jämförs flera par av decimaltal med varandra (t.ex. 0,97 och 0,975 och 0,5 och 0,50, excerpt 2).

Bild 1. Stillbild från film. Se excerpt 1.

18

Ett exempel är Antons grupp som inte har skrivit några tal i intervallet. Anton (excerpt 2) ser inledningsvis 0,97 och 0,975 som samma tal – Det är liksom samma tal…det är ju bara att sätta en femma bakom, så därför finns det inga tal i intervallet. Excerpt 2 Olika tal med olika antal decimaler jämförs, 2 (0,97 med 0,975) 8. Läraren: Mitten…här där var den. Läraren pekar på Antons grupps blädderblockspapper. Är det alldeles

tomt här…finns ingenting det är liksom bara…luft. Pekar på intervallet mellan 0,97 och 0,98.

9. Anton: (…) Det är liksom samma tal. Niohundranitti eller noll komma nittiosju noll komma eller det är

ju bara att sätta en femma bakom det är ju…

10. Läraren: Hur menar du samma tal?

11. Anton: Typ. Det är som noll komma noll och noll komma fem. Nä men det skiljer ju ganska mycket på

det.

12. Läraren: Så du menar, du menar aha det är så du menar Anton. Du menar att… Läraren skriver på tavlan

noll komma nio sju och med noll komma nio sju fem det är samma tal alltså.

13. Anton: Typ, inte riktigt men.

14. Läraren: Men hur mycket skiljer?

Något senare menar Jennifer att noll komma fem är större än noll komma femtio. Hon menar att ju fler siffror ett tal har desto mindre är det, så därför måste även 0,975 vara mindre 0,97.

15. Läraren: Noll komma fem är större än noll komma femtio. Upprepar det Jennifer sa.

16. Jennifer: Det säger vi i alla fall.

17. Läraren: Ah ah det får du visst, okej det säger du, det är lugnt mm. 18. Putte: Viskar Det är samma sak.

19. Jennifer: Eftersom det är eller ah är så noll komma (…) men dom har tagit från nittiåtta har dom gjort nio

tal och då blir det mycket mindre än nittisju och egentligen ska det vara större än nittiosju.

20. Läraren: Så du menar att det som dom lagt till där gör det blir det gör inte talet större än det talet och det

borde vara större.

21. Jennifer: Mindre blir det. Eftersom ah när det blir mer siffror så blir det ju mindre.

I utdraget (excerpt 2) visar Anton och Jennifer på två olika sätt att förstå decimaltal. Anton menar att 0,97 och 0,975 är samma tal och Jennifer att talet 0,975 är mindre än 0,97 för att talet har fler decimaler. Min tolkning är att Anton ser de fem tusendelarna i talet i 0,975 som att de inte gör talet större. Jennifer däremot ser att de fem tusendelarna gör talet mindre, eftersom tusendelar är ”mindre” delar än hundradelar. Därför är talet 0,97 större än 0,975. Läraren försöker tillsammans med eleverna visa vad femman i talet 0,975 står för, genom att addera de olika decimaltalen 0,5, 0,05 och 0,005 med 0,97. Då jämförs även olika tal med olika antal decimaler med varandra. Vid ett tillfälle pekar läraren på intervallet mellan talen t.ex. 0,971 och 0,972 och frågar eleverna vad det finns där.

19

Då ges eleverna möjlighet att se att intervallet går att dela upp ytterligare. Läraren frågar vad som finns i intervallen mellan de tio talen. – Vad finns det där och där?

Excerpt 3 Intervallet (0,97 och 0,98) kan delas i fler än tio delar

22. Johan: Ja men asså, men i och med att det jag tror

det ska finnas en halv mellan varje sån om

det finns så många tal så.

23. Läraren: Vad blir det då? Vi tar mellan dom två.

24. Johan: Jag tror man kan fortsätta så att talen blir

asså så med tio tal eller med tio siffror.

25. Läraren: Ah det ska vara tio tal bakom decimal-

tecknet.

26. Johan Nej men asså så här nu har vi delat det så att

det blir hälften så kan man säkert dela på

samma på noll nie sju ett och noll nie sju två

där i mellan finns det ju också (nånting)/

27. Läraren: /Du menar hälften hälften hälften. Vad säger ni om det?

28. Elev: Vaddå?

29. Läraren: Vad säger ni om Johans tanke här? Han tänker, han menar så här, nu gjorde jag så här, jag satte

pilen i mitten att man dela i hälften då tänker han ah man kan dela hälften igen så.

Kort därefter

30. Erika: Det måste ju kunna gå hela vägen noll komma nie sju ett ett ett ett ett

31. Läraren: Skriver Noll komma nie sju… där då ett ett ett ett är det så ….

32. Erika: Jag tror det går flera gånger så och (sen på tvåan så)

33. Läraren: Och noll komma nie sju två och vad skulle hamna efter det nästa tal då

34. Erika: (…)

35. Läraren: Ett, ska vi sätta ett där.

36. Erika: Det kommer aldrig ta slut.

37. Läraren: Det kommer aldrig att ta slut, asså nu har det hänt något i den här diskussionen, från att vi hade,

inser ni här nu, från början så hade vi tre grupper som sa att det fanns inga tal och så hade vi en

grupp som sa att det finns nio tal och en grupp som sa att det finns ett tal och nu säger Erika

något, jättespännande hon säger att det kan aldrig ta slut, är det är det förstår jag dig rätt nu?

38. Erika: Mm

39. Läraren: Okej Jennifer

40. Jennifer: Men det, jag menar att det vad heter det man har ju delat upp, dom noll komma nittiosju/

41. Läraren: Ah

42. Jennifer: Till (noll komma nittiofem), så har man delat upp det i nio delar och sen tog man (varje del) och

delar upp den också hela tiden så det tar aldrig slut.

Bild 3. Stillbild från film. Se excerpt 3.

20

Jag tolkar detta så att man försöker att räkna upp (och det blir tydligt i excerpt 3) de tal som finns i intervallet 0,97 och 0,98. Läraren ber eleverna att räkna upp tal i intervallet t.ex. genom att fråga - Och noll komma nie sju två och vad skulle hamna efter det nästa tal då? (rad 33) I excerpt 3 möter vi tre elever som försöker att räkna upp tal. Min tolkning är att Johan menar att det finns tal med fler decimaler (än tre) i intervallet. - noll nie sju ett och noll nie sju två där i mellan finns det ju också (nånting). Erika räknar också upp tal med många decimaler t.ex. 0,9711111. Det finns tal med så många decimaler att- Det kommer aldrig ta slut. Jennifer har ett annat sätt som skiljer sig från Erika och Johan. Hon ser att man kan dela varje del i mindre delar- så har man delat upp det i nio delar och sen tog man (varje del) och delar upp den också hela tiden så det tar aldrig slut. Jennifer ger inga exempel på tal utan talar om en delning av intervallet mellan talen. Lektionen avslutas utan att klassen enats om något slutgiltigt svar, men läraren lovar att de skall fortsätta diskussionen nästa lektion. Vad som framgår av excerpten ovan är att lärare och elever talar under lektionen enbart om de rationella talen i decimalform, d.v.s. man uttalar dem som exempelvis ”noll komma nittioåtta” Någon anknytning till hundradelar, tusendelar o.s.v. förekommer inte under den första lektionen.

Mönster av variation och invarians (Klass A)

Om man beskriver hur lärandeobjektet hanteras i termer av variation och invarians under den första lektionen, finner jag att det är en variation av möjligt antal tal i intervallet som presenteras för eleverna och som därmed är möjligt för dem att erfara. På rad 37 i excerpt 3 visar läraren en variation av möjligt antal tal i intervallet. - Det kommer aldrig att ta slut, asså nu har det hänt något i den här diskussionen, från att vi hade, inser ni här nu, från början så hade vi tre grupper som sa att det fanns inga tal och så hade vi en grupp som sa att det finns nio tal och en grupp som sa att det finns ett tal och nu säger Erika något, jättespännande hon säger att det kan aldrig ta slut, är det är det förstår jag dig rätt nu? Denna variation skapades helt och hållet utifrån de olika svar som eleverna gett på gruppuppgiften; det kan finnas tio tal, eller ett tal, eller inga tal, eller många tal. Under lektionen diskuteras tal mellan 0,97 och 0,98. Intervallet hålls konstant och tal med olika antal decimaler i intervallet varierar. När lärare och elever talar om talen, d.v.s. läser ut talen, sker detta enbart i decimalform. Det betyder att man talar om olika tal, dessa varierar, men de uttrycks i samma form. Talen varierar men decimalformen är konstant.

21

Argumentationen för de olika alternativen (inga tal, tio tal etc.) sker genom att läraren vid flera tillfällen jämför olika decimaltal med varandra. Läraren pekar på likheter och skillnader mellan olika decimaltal. Ett exempel är när samma tal med olika antal decimaler jämförs (0,98 och 0,980) och läraren frågar Är det samma? (excerpt 1) Under lektionen jämförs samma tal med olika antal decimaler (t.ex. 0,98 och 0,980) och olika tal med olika antal decimaler (t.ex. 0,97 och 0,975). Eleverna har då möjlighet att erfara att samma tal kan skrivas med olika antal decimaler samt att olika tal kan skrivas med samma antal decimaler. Variationsmönstret innebär således en kontrastering mellan tal i decimalform. De dimensioner av variation (det som varierar under lektionen) som läraren öppnar för är en variation av tal i decimalform i intervallet och en variation av möjligt antal tal i intervallet mellan 0,97 och 0,98.

22

Andra lektionen (Klass B)

Lärare B inleder lektionen med att uppmärksamma talen 0,97 och 0,98 genom att han låter eleverna uttrycka talen 0,97 och 0,98 i annan form än decimalform. Eleverna uttrycker talen i olika bråkform t.ex. i tiondelar, i hundradelar och i procent (excerpt 1). Läraren låter även eleverna ge förslag på vad man kan ta 0,97 och 0,98 av för något (excerpt 2). Talen 0,97 och 0,98 ses då som andelar av en helhet. Eleverna ger flera förslag på olika helheter t.ex. att pennan kan vara helheten och om man vässar den något så blir det nittiosju hundradelar kvar av pennan. Läraren använder meterlinjalen och fokuserar skillnaden mellan talen 0,97 och 0,98 på linjalen. Han låter eleverna uttrycka skillnaden i annan form än decimalform. Därefter arbetar eleverna i grupp med samma uppgift som klass A (bilaga 2). Eleverna skall enas om ett av alternativen och motivera sitt val. De skall också illustrera sitt svar med hjälp av en tallinje d.v.s. denna skall visa tal som finns i intervallet 0,97 och 0,98. I slutet av lektionen diskuteras alternativen som är uppsatta på blädderblockspapper på tavlan. En grupp har svarat att det finns tio tal i intervallet och tre grupper har svarat att det finns många tal eller att intervallet går att dela upp hur mycket som helst. Läraren lyfter under lektionen fram de rationella talen i annan form än decimalform och talen 0,97 och 0,98 som andelar av en helhet. Decimaltalen kontrasteras mot varandra i annan form än decimalform och som olika andelar av helheter så att; 1. Olika former av de rationella talen 0,97 och 0,98 jämförs 2. Del-/helhets förhållandet av olika helheter jämförs Excerpt 1 visar hur läraren startar lektionen. Det rationella talet 0,97 uttrycks av eleverna på olika sätt i decimalform, bråkform och procent. Siffrornas platsvärde i talet 0,97 diskuteras också. Excerpt 1 Former av talet 0,97 (olika sätt att uttrycka talet 0,97)

Läraren skriver 0,97på tavlan

1. Läraren: Vad står det där?

Elever räcker upp händer.

2. Läraren: Jill?

3. Jill: Noll komma nittiosju.

4. Läraren: Noll komma nittiosju. Står det något mer? Stina!

5. Stina: Eh, vad heter det? Nio tiondelar och sju hundradelar

6. Läraren: Okej, den står för…det var nio tiondelar och den var sju hundradelar?

Han pekar först på nian och sedan på sjuan.

7. Läraren: Mm, nåt mer? [till Ville]

8. Ville: Nittiosju procent.

9. Läraren: Nittiosju procent.

Läraren pekar på Nils.

23

10. Nils: Nittiosju hundradelar.

11. Läraren: Vad står nollan för? Jill?

12. Jill?: De hela?

13. Läraren: De hela…har vi…vi har lite dåligt med såna här då?

Han pekar på nollan.

14. Läraren: Okej, så vad ni säger är att här står egentligen nittiosju hundradelar…

Han skriver 97/100 på tavlan.

…nittiosju procent, noll komma nittiosju, ni har massa olika begrepp. Du ville upp med handen där.

Läraren pekar på Ville.

15. Ville: Nio komma sju tiondelar.

Direkt därpå öppnas för en ny aspekt som en dimension av variation, nämligen del/ helhets-förhållandet. Detta görs genom att läraren låter läraren eleverna ge förslag på olika helheter som andelen (0,97) kan relateras till. Läraren ber eleverna ge förslag på vad man kan ta 0,97 av för någonting. Eleverna svarar t.ex. pingisracket och pennan. Pennan och pingisracket blir då olika helheter som andelen 0,97 är en del av (excerpt 2). Excerpt 2 Del och helhet 16. Läraren: Nio komma sju stycken tiondelar, okej. En mängd av olika förslag på vad det står här…men

vad kan man ta…om vi tittar på de här nittiosju hundradelarna, vad kan man ta nittiosju

hundradelar av för någonting? Vad kan man ta nittiosju hundradelar av? Nils?

17. Nils: Allt!

18. Läraren: Allt? Kan man det?

19. Nils: Joo, för pingi…det här kan man ta nittiosju hundradelar av.

Han visar fram ett pingisracksfodral som läraren tar av honom och håller upp.

20. Läraren: Okej, vi håller upp den här…nittiosju hundradelar av den här, kan man ta det?

21. Elever: Jaa

22. Läraren: Är det här den hela just nu då eller?

23. Elever: Jaa

Lite senare i diskussionen.

24. Läraren: Måns!

25. Måns: Ja, den här pennan kanske inte är hundraprocentig nu. Den kanske är nittiosju hundradelar av

det som var originalet innan.

Läraren använder även meterlinjalen i undervisningen för att beteckna en helhet. Han låter eleverna se sambandet mellan t.ex. nittiosju hundradelar och nittiosju centimeter på linjalen d.v.s. andelen hundradelar kopplas till längdenheten centimeter. Eleverna har då möjlighet att se att helhetens delar kan göras mindre och mindre. En elev uttrycker att intervallet mellan t.ex. 0,97 och 0,98 kan delas hur mycket som helst bara man hade en ”delarmaskin”. I nästa fas använder läraren sig av linjalen för att eleverna skall få möjlighet att se att samma helhet kan delas upp i olika antal andelar.

24

Excerpt 3 Helheten delas i olika antal andelar

26.Ville: Niohundra sjuttiofem tusendelar

27.Läraren: Niohun… jag fattar inte det här riktigt…alltså jag kanske är lite trög, men det kommer in

mycket såna här… här är väl inte tusen delar här emellan? Var kommer… ni sa det här uppe

också… tusendelar och tiotusendelar… men jag fattar inte, här är väl inte tusen delar här? Var

kommer tusendelarna ifrån? Ja!

28.Nils: Jo, när man delar den på hela… på hela metern så delar man den ju i tio här.

29.Läraren: Ja

30.Nils: …sen delar man ju den i centimeter där…

31.Läraren: Ja

32.Nils: man har ju bara gjort en centimeter.

33.Läraren: Jasså, du menar att de här tusendelarna kommer ifrån den här då? Håller upp linjalen.

34.Nils: Ja!

35.Läraren: Hur många såna bitar har vi, om det står … hur många tusendelar har vi i det här talet då?

Pekar på 0,975 på tallinje från grupp1.

36.Håkan: Fem

37.Läraren: Fem stycken? Så… den femman [0,975] är det den femman du menar då?

38.Håkan: Ja

39.Läraren: Den står för fem tusendelar? Som fem millimeter. Ligger vi här borta på linjalen då? Pekar på

fem millimeter från linjalens början. Eller var ligger vi då?

40.Håkan: Där!

41.Läraren: Där [i början av linjalen] det talet [0,975] ligger det där [i början]?

42.Håkan: Nej, där.

43.Läraren: Där? [vid 0,975] okej. Nils!

44.Nils: Du har niohundra sjuttiofem tusendelar.

45.Håkan: Jaha, du menade så..

46.Läraren: Jaha, så fram till… hela linjalen är tusen delar, så har vi niohundra sjuttiofem stycken såna.

Läraren försöker (i excerpt 3 rad 35-44) få eleven att skilja på fem tusendelar och femmans betydelse i talet 0,975. Femmans platsvärde i talet 0,975 kopplas samman med längdenheten millimeter och visas samtidigt som andel (0,005 och 0,975) av en helhet (linjalen). För att åskådliggöra att helheten kan delas upp i olika andelar så ritar läraren upp fyra linjaler under varandra med olika antal delar på tavlan (se bild 4-6). Han delar den första i tio delar (tiondelar), där varje del är en decimeter. Den andra linjalen delas i hundra delar (hundradelar), där varje del är en centimeter. Den tredje linjalen delas in i tusen delar (tusendelar), i millimeter och den sista linjalen i tiotusen delar (i tiotusendelar). Helheten – linjalen delas alltså upp i olika antal delar och talen varierar genom att; 3. Samma tals plats på tallinjen jämförs, t.ex. 0,5/ 0,50/0,500/0,5000 4. Olika tals plats på tallinjen jämförs, t.ex. 0,975 och 0,1111

25

Läraren visar med hjälp av olika linjaler hur den hela (linjalen) kan delas in i olika antal andelar, tio delar, hundra delar, tusen delar och tiotusen delar.

Bild 4. Stillbild från film. Läraren delar in

linjaler i olika antal andelar.

Läraren visar tillsammans med eleverna hur nittiosju hundradelar är lika mycket som niohundrasjuttio tusendelar och niotusen sjuhundra tiotusendelar.

Bild 5. Stillbild från film. Läraren visar var talet

0,97 finns på de olika linjalerna.

I ett annat exempel visar han var talet 0,5 finns på de olika linjalerna. Samma tal uttrycks då på olika sätt (0,5, 0,50, 0,500 och 0,5000) med olika antal decimaler.

Bild 6. Stillbild från film. Visar talet 0,5 på de

olika linjalerna.

Vid ett tillfälle adderar läraren olika delar, en tiondel plus en hundradel plus en tusendel o.s.v. och ber eleverna visa var talet 0,1111 finns i ”verkligheten” på linjalen.

26

Excerpt 4 Helheten delas i olika antal andelar

47.Läraren: Säg att jag tar en sån här tiondel …jag tar en sån där…och sen tar jag en sån där hundradel…

den är lite mindre…och sen tar jag en sån här tusendel och sen så tar jag en sån här liten

tiotusingdel. Jag tar och lägger ihop dom, vad händer då? Kommer den till att vara större än

den här [0,1]?

48.Elever: Ja

49.Läraren: Det kommer den att va? Ja, men okej?

Kort därefter

50.Läraren: Men just det här talet [0,1111] var hamnar det på linjalen? Finns det en speciell punkt för det

talet?

Vad som framgår av excerpten är att lärare och elever under lektionen talar om de rationella talen i decimalform, bråkform och i procentform. Genom att använda linjalen blir sambandet med t.ex. nittioåtta hundradelar som nittioåtta andelar av hundra (en hel) åskådligt för eleverna. Elever och lärare talar om delning av intervallet 0,97 och 0,98 men även om delning av helheten- linjalen i olika andelar.

Mönster av variation och invarians (Klass B)

Om man beskriver hur lärandets objekt hanteras i termer av variation och invarians under den andra lektionen, finner jag att det är en variation av olika antal andelar av en helhet som presenteras för eleverna och därmed är möjligt för dem att erfara. Denna variation skapades vid flera olika tillfällen under lektionen och på olika sätt. I inledningen av lektion skapades en variation kring helheten. Helheten varierade t.ex. pingisracket, pennan och linjalen och talet 0,97 var konstant. När läraren visar hur helheten kan delas i olika andelar har eleverna möjlighet att erfara en variation i antalet andelar av samma helhet. Samma tals (med olika antal andelar t.ex. 0,5 och 0,50) plats på tallinjen jämförs och olika tals ( 0,97 och 0,1111) plats på tallinjen jämförs. Helheten (linjalen) är konstant och antalet andelar varierar. När lärare och elever talar om talen, d.v.s. läser ut talen, sker detta i både i decimalform, bråkform och procent. Det betyder att man talar om samma tal, dessa varierar inte, men de uttrycks i olika form. Talen är konstanta men formen varierar. Argumentationen för de olika alternativen på uppgiften (tio tal, det går att dela upp hur mycket som helst) sker genom att eleverna ser sambandet mellan helheten- linjalen och andelarna. Variationsmönstret som skapas under andra lektionen innebär således en kontrastering mellan olika antal andelar av en helhet.

27

De dimensioner av variation (det som varierar under lektionen) som läraren öppnar för är en variation av formen av rationella tal, helheten, delen, delen utryckt i längdenhet, platsvärdet, och möjligt antal delar i intervallet. Flera av dessa dimensioner varierar samtidigt i undervisningen i klass B (se tabell 2).

28

Tredje lektionen (Klass C)

Lärare C inleder lektionen på liknande sätt som lärare B gör. Han låter eleverna uttrycka talen 0,97 och 0,98 i annan form än decimalform och eleverna svarar i bråkform och procent. Lärare C tar fram en anatomisk modell (torso) och ber eleverna visa hur mycket nittiosju respektive nittioåtta hundradelar är av torson. Torson är då helheten och 0,97 och 0,98 andelar av helheten. Läraren använder även meterlinjalen för att beteckna en helhet och fokuserar skillnaden mellan talen 0,97 och 0,98 på linjalen. Eleverna uttrycker skillnaden mellan talen i t.ex. bråkform och procent. Därefter arbetar eleverna i grupp med samma uppgift som klass A och B (bilaga 2). Eleverna skall enas om ett svarsalternativen och motivera sitt val. De skall också illustrera sitt svar med hjälp av en tallinje d.v.s. denna skall visa tal som finns i intervallet 0,97 och 0,98. I slutet av lektionen diskuteras alternativen som är uppsatta på blädderblockspapper på tavlan. En grupp har svarat att det finns tio tal i intervallet och fyra grupper har svarat att det finns många tal eller oändligt många tal i intervallet. Läraren lyfter på samma sätt som lärare B fram de rationella talen som andra former än enbart decimalform t.ex. nittiosju hundradelar och nittiosju procent. Talen 0,97 och 0,98 ses även som andelar av en helhet. Decimaltalen kontrasteras mot varandra i annan form än decimalform och som olika andelar av helheter genom att; 1. Representation av de rationella talen 0,97 och 0,98 jämförs 2. Del/ helhets förhållandet av olika helheter jämförs Lärare C ber eleverna att uttrycka talet 0,97 på olika sätt. Eleverna svarar i procent och i olika bråkform t.ex. nittiosju hundradelar, nio komma sju tiondelar och niohundrasjuttio tusendelar.

Excerpt 1 Representation av talet 0,97 1.Läraren: Får jag bara fråga, vad står det på tavlan

här? Albin

2.Albin: Noll komma nittiosj

3.Läraren: Ah, noll komma nittiosju. Kan man säga det som

står på något annat sätt kanske? Ah Albin

4.Albin: Nittisju procent

5.Läraren: Nittisju procent skulle man kunna kalla det

också. Skriver upp svaren på tavlan. Något

annat? Malinda

Bild 7. Stillbild från film. Se excerpt

1.

29

Direkt efter att eleverna har uttryckt talen 0,97 och 0,98 i annan form än decimalform tar läraren fram en anatomisk modell (torso). Läraren öppnar för en ny aspekt av decimaltal, del/helhets förhållandet. Eleverna får en möjlighet att se talet 0,97 som en andel av en helhet (torson). Excerpt 2 Del och helhet 6.Läraren: Ah, okej. Om man ska ta nittisju hundradelar av, av det här då Visar på torson. Då skulle man

få kapa någonstans. Mm vad skulle man kapa då?… Vad säger du Elin?

7.Elin: Kapa så att det finns tre procent kvar.

8.Läraren: Tre procent av den här. Var skulle man hamna någonstans då?

Kort därefter

9. Läraren: På samma sätt skulle man kunna använda en linjal

va. Om man skulle ta nittisju hundradelar av denna.

Var skulle man hamna då? Sally

10.Sally: Från nittifemman och två steg (snett) ditåt [höger].

11.Läraren: Där någonstans ja, och nittiåtta hundradelar?

12.Elev: Ett snäpp

13.Läraren: Sanna

14.Sanna: Lite mer åt höger.

Bild 8. Stillbild från film. Läraren använder

linjalen för att visa talen 0,97 och 0,98.

I undervisningen använder lärare C även meterlinjalen för att beteckna en helhet och ber eleverna visa var talen 0,97 och 0,98 finns på linjalen. När elevernas tallinjer diskuteras, jämför läraren tal med olika antal decimaler. Läraren frågar – Vilket är störst? Det sker på ett liknande sätt som lärare A gör. En grupp hade skrivit talet 0,97111111111111…på sitt blädderblockspapper för att visa att man kan skriva ett decimaltal med hur många siffror som helst. Läraren använder elevernas svar för att jämföra två decimaltal med olika antal decimaler. Excerpt 3 Olika tal med olika antal decimaler jämförs (0,9711…. och 0,98) 15.Läraren: Okej… och okej om man jämför det här som står här då vi tar det här exemplet med till

exempel noll komma nittioåtta. Vilket tal är...störst? [0,97111111111111… eller 0,98]

16.Elev: Vad sa du?

17.Läraren: Ja sa om man jämför det här som är skrivit här [Talet med många siffror bakom

decimaltecknet.]med noll komma nittioåtta. Så frågade jag vilket är störst? Kim

18.Kim: Noll komma nittioåtta

19.Läraren: Men…det är massa siffror här ju eller?

20.Elev: Skit samma.

30

21.Läraren: Vad säger du Siri?

22.Siri: Man avrundar det neråt…om man ska avrunda det.

23.Läraren: Ah okej om man ska avrunda det okej. Sune

24.Sune: Men det är nittioåtta i början och nittiosju i början där så då måste det va det.

25.Läraren: Aha

26.Sune: (…) även om det (…) Emil

27.Emil: Man kan säga att det är typ tjugofem siffror efter där noll komma nittiosju. Säg typ att det är

tjugofem stycken så på noll komma nittioåtta kan man lägga på tjugofem nollor så blir det

fortfarande samma tal men med samma antal siffror och då ser man att noll komma nittiosju är

mindre.

I excerptet sammanfattar Emil en generell princip när det gäller decimaltal. ”Man kan säga att det är typ tjugofem siffror efter där noll komma nittiosju. Säg typ att det är tjugofem stycken så på noll komma nittioåtta kan man lägga på tjugofem nollor så blir det fortfarande samma tal men med samma antal siffror och då ser man att noll komma nittiosju är mindre.” Han menar att antalet decimaler inte spelar någon roll för talets storlek. Excerpt 3 visar att lärare och elever nu talar om de rationella talen i decimalform. I excerpt 4 ger eleverna uttryck för ytterligare för en generell princip om decimaltal, nämligen att det finns oändligt många decimaltal och det går inte att räkna upp dem för att det är så många. Läraren frågar hur långt man kan gå i att räkna upp ”delar” i intervallet 0,97 och 0,98 och elevernas svarar t.ex. - Till man inte orkar mer. och - Oändligt långt. Begreppet oändlighet kommer upp både skriftligt (på elevernas tallinjer) och muntligt. Det är eleverna som för in begreppet i diskussionen. Excerpt 4 Begreppet oändlighet 28.Elin: Jag tror vi skrev till noll komma nittiosju komma noll komma

nittisju femtitre tror jag vi skrev.

29.Läraren: Ah okej så ni

30.Elin: Eller ja

31.Läraren: Mm så man skulle

32.Elin: Eller ja det finns ju oändligt så då det finns ju hur många som

helst.

33.Läraren: Det är rätt så fascinerande eller hur.

34.Elin: Men vi skrev till tusendelar gjorde vi va.

35.Nils: Nej tiotusendelar

36.Elin: Tiotusendelar

37.Läraren: Tiotusendelar ah det rätt så fascinerande att det är så.

38.Nils: Vi kan gå ner på tiomiljarderdelar om du vill det.

39.Läraren: Kan man det också?

40.Elin: Ja det är klart man kan.

41.Läraren: Det kan man. Hur långt kan man gå?

42.Elev: //Kan kan man.

31

43.Nils: //Oändligt långt.

44.Elev: Hur långt du vill gå.

45.Läraren: Oändligt. Så långt som man kan.

46.Elev: Till man inte orkar mer.

47.Läraren: Okej

48.Nils: Miljarders miljarder miljarder. Ska jag börja nu blir jag färdig när jag dör.

I utdraget (excerpt 4) talar lärare och elever återigen om delar, hundradelar, tiomiljarderdelar o.s.v. I slutet av lektionen pendlar läraren från att tala om talen i bråkform till decimalform till bråkform igen. Med det menar jag att läraren växlar mellan de rationella talens olika form genom att tala om t.ex. nittioåtta hundradelar och noll komma nittioåtta.

Mönster av variation och invarians (Klass C)

När man beskriver hur lärandeobjektet hanteras i termer av variation och invarians under den tredje lektionen, finner jag att det är en variation av olika antal andelar av en helhet som presenteras för eleverna och därmed är möjligt för dem att erfara. Denna variation skapades genom en variation av helheter t.ex. torson och linjalen där delen t.ex. 0,97 var konstant. När lärare och elever talar om talen, d.v.s. läser ut talen sker detta i decimalform, bråkform och procentform. Talet t.ex. 0,97 är konstant men sätta uttrycka talet varierar. Under lektionen pendlar läraren också från att ha talat om talen i bråkform till att i slutet av lektionen tala om talen i decimalform och bråkform. Argumentationen för de olika alternativen på uppgiften (tio tal, många tal) sker genom att eleverna ser sambandet mellan helheten- t.ex. linjalen och andelarna. Variationsmönstret innebär således en kontrastering mellan olika antal andelar av en helhet.

Dimensioner av variation

Enligt Marton och Booth (2000) är lärande att erfara saker på ett visst sätt. ”Att lära sig erfara olika fenomen, …, innebär att bli förmögen att urskilja vissa enheter eller aspekter, och att ha förmågan att vara samtidigt och fokuserat medveten om dessa enheter eller aspekter.”(Marton och Both, 2000 s. 161). Tabell 2 visar de aspekter av lärandets objekt som lärarna tematiserar i undervisningen och vad som varierar under lektionen, d.v.s. vilka dimensioner av variation som öppnas för eleverna och hur de varieras samtidigt.

32

Tabell 2.Sammanfattning av klass A, B och C med avseende på dimensioner av variation

������ ����������� ������ ���� ��� ������������� �

������

���� �

����������

�� � �� � � � � �� � � � � � � �

�� ��� � ������������� � �� � �� �� � � �� ���� �� • � � ��� � �� � ��� �� �� � �� � �� �� � �

� �>� �� <� �� ! �

� � � " � � # �$ � �� � � � ��� � �

� �� %&' � � �( ����������� �� � � �� � � )

� �� %� � � �� �� ��

• � � ��� � �� � ��� �� �� � �� � �� �� � �

� �>� �� <� �� ! �

� * � + � � � �� � �� �� �� � �� ��

��� � �� �&����������� � �� � �� �� � � �� �* �� • , ( ���- �� �� ��� ��� � �� � �� �.� - � �� ��

���� ����� �� ��� � � ��- �� / - � �� ��

� ����

���� �

����������

�� 0 � �� � # � � � � � � ���$ � � �

� �� �� � �� �� � � � �� � �1

�� �� �

����������� ����!���� � � )

�� � � !����"����� � � �� ����

• 2 � �� � � �� ��� ��� �� �

� � � 3 � � � � - � � � � �� /

� ��� � ) �) � �������!���� �� � ) � ���� ����

������������� � � �� �� ��

• 4 �) �

� * � 0 � �� � ��/ - � �� � �� / �� �� �

�� � � �� � � ) � �� ! �� � �� ���� �#�$���� ��%���� � � �

� � � � �� � �� �� � � ���$ � � ��� � �

����� � �� ) � � �� � �� �� � � � � � �� �

� � � � �

• � �

• 2 � �� � � �� ��� ��� �� �

• � � �� � �� �

� 5 � 0 � �� � ���� �� � � �$ �� �� �� � �

� � � � � � - ���� � �� ��

) � � �� � �� �� �� �� �

&��������#�$���� ��%���� � �

������ ���������� ������� � �� �

��� � �� �� � � � � ��� ) � � �� � �� �

� �� �� ��# ��� 5 �%��

• , ( ���- �� �� �� �� ��� � �� � �� �.

��� � �� ��) � � �� � �� ���� � � �� ��

��� �� � � �� ��� � � ��- �� / - � � �� ��

• 2 � �� � � �� ��� ��� �� �

� %� " � � # �$ � �� � � � ��� � �

� �� %&6 ����� � !����"����� ���

� �����"�����" '�� ��� �� � �� �

���������� ��� �� � �� � � �� �* ��

• 7 �� �� � � �� �

• 2 � �� � � �� ��� ��� �� �

• � �

• � � �� � �� �

����(��

���� �

����������

�� 0 � �� � # � � � � � � ���$ � � �

� �� �� � �� �� � � � �� � �1

�� �� �

����������� ����!���� � � )

�� � � !����"����� � � �� ����

• 2 � �� � � �� ��� ��� �� �

� � � 0 � �� � - � � � � �� / � ��� �

) �) � �������!���� �� � ) � ���� ����

������������� � � �� �� ��

• 4 �) �

� * � 0 � �� � ��/ - � �� � �� / �� �� �

�� � � �� � � ) � �� ! �� � �� ���� �#�$���� ��%���� � �

� �� � �� �� � � � � �� �� ��

• � �

• 2 � �� � � �� ��� ��� �� �

� 5 � ' � � �( ��� / �� �� � � ��� � � �� �

� � �� � � ��8 � ��� �� � �� ������������ � � �� �* ��� • � � ��� � �� � ��� �� �� � �� � �� �� � �

� �>� �� >� �� ! �

� %� 3 � � � � �� �� # - � � � �

� � � ��- ) ��8 � ��� �� � �� �)" ���'���� � � �� �5 ��� • , ( ���- �� �� �� �� ��� � �� � �� �.

��� � �� ��) � � �� � �� ���� � � �� ��

��� �� � � �� ��� � � ��- �� / - � � �� ��

• 2 � �� � � �� ��� ��� �� �

� 9 � 0 � �� � � � �� �� ��� � ��

� ���$ � � � �� � �# �/ � �� �� � � )

� � �� � ��� �� �

���%���� � ) �������%����

� � � �� �* �5 ��

• 2 � �� � � �� ��� ��� �� �

�

33

Under första lektionen (klass A) varieras endast en dimension av decimaltal nämligen tal i decimalform i intervallet mellan 0,97 och 0,98. Under den andra lektionen (klass B) varieras fler dimensioner av decimaltal och flera varieras samtidigt. I början av lektionen (se tabell 2, aktivitet 1) varieras enbart formen av de rationella talen 0,97 och 0,98. Under lektionen kommer fler och fler aspekter av decimaltal att variera, fler dimensioner av variation öppnas då upp för eleverna. I aktivitet 5 (klass B) varieras fyra dimensioner, platsvärdet, formen av rationella tal, delen och delen uttryckt i längdenhet varieras samtidigt. Under den tredje lektionen (klass C) varieras inledningsvis en dimension i taget men i aktivitet 3 (se tabell 2, klass C) varieras del-helhets förhållandet (delen) och formen av rationella tal samtidigt. Även i klass B (se tabell 2, aktivitet 3) varieras del-helhets förhållandet (delen) och formen av rationella tal samtidigt. Det framgår av tabell 2 att lärarna i klass B och C tematiserar fler aspekter (aspekter visas i fet stil i tabellen) av decimaltal, vilket gör att klass B och C får ett mer utvidgat och rikare variationsrum än klass A. Med det menas att fler dimensioner av variation öppnas för eleverna i klass B och C. Genom att flera aspekter varierar samtidigt har eleverna möjlighet att erfara flera aspekter samtidigt och därmed erfara lärandets objekt på ett visst sätt. Eleverna i klass A har haft möjlighet att erfara lärandets objekt på ett annat sätt än klass B och C. Den stora skillnaden är att i klass A har eleverna möjligheten att erfara ett möjligt antal tal i intervallet d.v.s. inga tal, ett tal, tio tal och oändligt många tal. Medan i klass B och C har eleverna haft möjligheten att erfara ett möjligt antal delar i intervallet; tiondelar, hundradelar, tusendelar, tiotusendelar och oändligt många delar (se figur 1). Enligt min tolkning beror det på att eleverna i klass B och C har fått möjlighet att erfara formen av rationella tal och del-helhets förhållandet samtidigt. Figur 1. Vad eleverna haft möjlighet att erfara i klass A, B och C.

Första lektionen (klass A) 0,97 0,98 Andra och tredje lektionen. (klass B och C) 0,97 0,98

Möjligt antal delar i intervallet

Möjligt antal tal i intervallet

34

Elevernas lärande

Före undervisningen fick eleverna göra ett förtest (bilaga1) och någon dag efter lektionen fick eleverna göra ett eftertest (bilaga 3). Skillnaden mellan hur eleverna lyckades med att lösa ”samma” uppgift på förtest och eftertest kan ses som ett resultat av undervisningens effekt. Den uppgift som undersöker elevernas förståelse för lärandets objekt- att förstå att det finns oändligt många decimaltal - är uppgift fyra på förtestet. Uppgift b (se tabell 3) är en ny uppgift som inte fanns med på förtestet. Vid bearbetningen av förtest och eftertest analyserades elevernas svar fram i kategorier utifrån hur de svarat. Det är elevernas motiveringar på uppgiften som har kategoriserats. De kategorierna var att det fanns många/ eller oändligt många tal (korrekt svar), ett tal, tio tal eller inga tal i intervallet. I kategorin övriga svar finns de elever vars tanke varit svår att tolka. Antalet elever som deltagit i studien är de som deltagit i alla moment; förtest, undervisning och eftertest. Tabell 3. Resultat av förtest och eftertest. Svarsfrekvens i procent (antal).

*!!'�%�� �������� �������� ��������

�+���� ����� �� ����� � ���� ��� ������ ����� ���� �������������������

� � �����: � ��� � � �; � � ��- �� / - � �� �<, / - � �� �

2 �� � � �3 ���� �

� �� �� �

= - � �� �

> � ��- � � � � �

� ���������: � ��� � � �; � � ��- �� / - � �� �<, / - � �� �

2 �� � � �3 ���� �

� �� �� �

= - � �� �

> � ��- � � � � �

,-�����

� �? �5 �

� ? �� �

5 � ? �! �

* � ? �9 �

��-��.��

� ? �� �

5 ? �� �

� �? �5 �

��? �� �

�.-��.��

� � ? �%�

� ? �� �

�! ? �* �

� � ? �%�

/.-���0��

� ? �� �

9 ? ���

� ? �� �

� ? �� �

��-�����

� � ? �%�

9 ? ���

* %? �9 �

�! ? �* �

11-���,��

� ? �� �

9 ? ���

� ? �� �

9 ? ���

�

+� � � � �� ���������! ����� ����! ������������ ����! ��" �" #�

� ����������������������������������: � ��� � � ��

: � ��� � � �� � � � � ��� / � � �� � �� � �

�� � ���� ���

> � ��- � � � � �

,�-���2��

� ? �� �

5 ? �� �

,�-��/�

� � ? �%�

�! ? �* �

30-������

9 ? ���

�! ? �* �

�� � �

35

Uppgift a undersökte elevernas kunskaper om hur många tal det fanns i intervallet mellan två decimaltal. Det framgår av tabellen att få elever svarat korrekt på uppgift a på förtestet. Endast 5% (1/19) i klass A, 24% (4/17) i klass B och 12% (2/17) i klass C svarade korrekt på denna uppgift. Klass B var den klass som hade bäst resultat på förtestet, vilket tyder på att klass B före undervisningen hade något bättre förkunskaper än klass A och C. Tabellen visar att klass C är den klass som förbättrat sitt resultat mest på uppgift a, från 12% (2/17) till 88% (15/17). I klass B har resultatet förbättrats från 24% (4/17) till 94% (16/17) medan klass A förbättrat sig mindre, från 5% (1/19) till 21% (4/19). I klass A har alltså 3/19 elever förbättrat sina resultat till eftertestet, medan i klass B och C har 12/17 respektive 13/17 elever förbättrat sig. Om man närmare studerar hur elevernas svar (svarskategorier) fördelar sig på förtest och eftertest på uppgift a ser man en förändring. I klass A var det ingen elev som på förtestet svarade att det fanns tio tal i intervallet, medan på eftertestet svarar 47% (9/19) d.v.s. nästan hälften av eleverna det. I klass A svarade 42% (8/19) på förtestet (uppgift a) att det inte fanns några tal i intervallet. Efter lektionen, på eftertestet svarar fortfarande 21% (4/19) att inte finns några tal i intervallet. 21% (4/19) av eleverna svarade på förtestet att det fanns ett tal i intervallet, det är dock inga elever som på eftertestet svarar att det finns ett tal. Sammanfattningsvis kan man säga att merparten av eleverna i klass A efter undervisningen, svarar att det finns tio tal i intervallet. I klass B fördelar sig svaren på annat sätt. En skillnad från förtestet är att elevernas svar är spridda över färre kategorier i eftertestet. Efter undervisningen svarar alla elever utom en elev att det finns oändligt många decimaltal. Den eleven svarar att det finns tio tal i intervallet, något som ingen elev i klass B gjorde på förtestet. I klass C svarade 35% (6/17) elever på förtestet (uppgift a) att det inte fanns några tal i intervallet medan efter undervisningen, på eftertestet svarar inga elever det. Det samma gäller de elever som på förtestet svarat att det finns ett tal i intervallet 29% (5/17), på eftertestet svarar inga elever det. Alla elever, förutom två, svarar på eftertestet (uppgift a) att det finns många eller oändligt många decimaltal. En elev svarar på eftertestet att det finns tio tal i intervallet och en elevs svar har varit svårt att tolka. I likhet med klass B så är elevernas svar spridda över färre kategorier i eftertestet. Det framgår av tabellen att eleverna i klass A har lyckats bättre med uppgift b än uppgift a. Uppgift b bestod i att räkna upp tal som finns i intervallet 0,99 och 1,1. Det klarar 53% (10/19), d.v.s. mer än hälften eleverna i klass A. Det betyder att eleverna i klass A är bättre på att hitta tal i intervallet (uppgift b) än att avgöra hur många tal det finns i intervallet (uppgift a).

36

I klass B har 53% (9/17), d.v.s. mer än hälften av eleverna korrekt svar uppgift b. Om man räknar med de elever som svarat med två decimaltecken så har 82% (14/17) klarat uppgiften, d.v.s. nästan alla elever. Att man bara använder ett decimaltecken var inget som diskuterades under lektionen i klass B, men däremot i klass A och C. Ingen elev i klass A och bara en elev i klass C svarar med två decimaltecken på eftertestet. I klass C har 76% (13/17) svarat korrekt på uppgift b. Om man räknar med den elev som svarat med två decimaltecken så har 82% (13/17) klarat uppgiften. Det är lika många som i klass B. Om man räknar med de elever som svarat med två decimaltecken så har något fler elever i klass B och C klarat uppgiften än i klass A.

Kritiska aspekter

Det som enligt min analys verkar ha varit avgörande för elevernas lärande under lektionerna benämner jag kritiska aspekter (Marton och Tsui, 2004). Med kritiska aspekter menar jag huruvida de har presenterats som dimensioner av variation i undervisningen och därmed varit möjliga att erfara. Analysen av lektionerna tyder på att eleverna i klass B och C fått möjlighet att erfara att det finns oändligt många decimaltal genom att en dimension av variation av delar öppnats. De kritiska aspekter som jag funnit varit avgörande för dessa elever att lära sig/ förstå att det finns oändligt många decimaltal är; • Olika former av rationella tal. Med det menas olika sätt att uttrycka decimaltalen som i

olika bråkform och procent. • Del-helhets förhållandet Med det menas att man kan ta (andelen) noll komma nittiosju

av (helheten) något t.ex. linjalen. Det som skiljer klass B från klass C är bl.a. att lärare B visar intervallets delning i olika andelar. Med det menas att eleverna kan se att intervallet mellan decimaltal går att dela upp i mindre och mindre andelar. Genom att visa intervallets delning i olika andelar visar läraren former av rationella tal och del-helhets förhållandet samtidigt. Eleverna får en möjlighet att samtidigt erfara ett decimaltal i olika bråkform som olika andelar av en hel. Ett exempel på det är när lärare B visar talet fem tiondelar i olika andelar (0,5, 0,50, 0,500 o.s.v.) av en hel.

37

Diskussion

Resultaten tolkas utifrån en speciell teori om lärande, variationsteorin. I analysen söker jag efter mönster av variation som berör lärandets objekt och kritiska aspekter för elevernas lärande. Med en annan teoretisk utgångspunkt hade det varit möjligt att analysera studien på ett annat sätt. T.ex. en analys ur ett sociokulturellt perspektiv hade fokuserat mer på interaktionen och samtalet mellan eleverna än vad den här studien gör. Den här studien fokuserar hur lärandets objekt skapas och vilka dimensioner av variation som öppnats upp för eleverna. Flera studier visar att hur läraren hanterar det som skall läras ut har betydelse för det som eleverna lär sig och har möjlighet att lära (Marton, 2003). Det övergripande resultatet från denna studie är att hur läraren behandlar lärandets objekt har avgörande betydelse för elevernas lärande. Under de tre lektioner som studerats har eleverna fått möjlighet att erfara olika saker. Studiens resultat visar att hur lärandets objekt skapas har betydelse för elevernas lärande. Resultatet visar även att de dimensioner av variation som läraren öppnar upp för i undervisningen har betydelse för lärandet. Resultat gäller dock bara den grupp elever som studerats. Undervisning och lärande är mycket komplext och sambandet mellan undervisning och lärande kan inte ses som en kausalitet d.v.s. gör du så här så får du det här resultatet. Den största skillnaden mellan lektionerna finner jag mellan första (klass A) och andra respektive tredje lektionen (klass B och klass C). Eleverna i klass A har enligt min tolkning fått erfara ett möjligt antal tal ( t.ex. tio tal, ett tal, oändligt många tal) i intervallet 0,97 och 0,98. Medan eleverna i klass B och C enligt min tolkning har fått möjlighet att erfara möjligt antal delar i intervallet. Eleverna kan bara erfara det som varierar. ”…it is what the teacher varies and what s/he keeps invariant during the lessons that determines what pupils are likely to learn” (Marton och Morris, 2002 s. 60). Det skapas olika variationsmönster under de tre lektionerna och eleverna lär sig olika saker. Av eleverna i klass A svarade ingen av eleverna före undervisningen att det finns tio tal i intervallet medan efter lektionen svarar nästan hälften att det. Det betyder att hälften av eleverna i klass A har fokuserat och urskilt andra aspekter av decimaltal än det läraren avsett. Undervisningen i klass A var inte tillräcklig i den meningen att den inte kom åt det som var avgörande, kritiskt, för elevernas lärande. Eftertestet visar att eleverna i klass B och C har både lärt sig att räkna upp tal i intervallet och att det finns oändligt många decimaltal. Eleverna i klass A var bättre på att räkna upp tal i intervallet än att avgöra hur många tal det fanns i intervallet.

38

Det tydliga resultatet av eftertesterna gör det möjligt att identifiera vad som kan ha varit kritiskt för elevernas lärande under de tre lektionerna. Med ett otydligare resultat på eftertesterna hade man med mindre säkerhet kunnat uttala sig om detta. Det är viktigt att påpeka att det som anses vara kritiskt för elevernas lärande bara gäller för elever som står ungefär på samma nivå i matematik som de elever som deltog i studien. I andra grupper av elever med andra förkunskaper och erfarenheter kan resultaten se olika ut. Det som jag funnit kritiskt i denna studie för elevernas lärande var att lärarna i klass B och C uttryckte formen av rationella tal på olika sätt i t.ex. bråkform och procent och del-helhets förhållandet. ” Det som här benämns kritiskt är det som är de nödvändiga mönster av variation som behövs för att utveckla en viss förmåga eller förståelse. ”As learners can only disern that which varies, we must look for the pattern of variation necessary for developing the required capability” (Marton, Runesson och Tsui, 2004 s. 22). De dimensioner av variation som lärarna i klass B och C öppnade för var bl.a. en variation av formen av rationella tal och en variation av delen (del/helhet). Lärarna i klass B och C öppnade upp för ett vidare och rikare variationsrum där flera aspekter av decimaltal varierade samtidigt. Min tolkning är att eleverna i klass B och C hade möjlighet att upptäcka samband mellan bråk och decimaltal som Mokal och Magone (2000) menar att elever kan ha svårigheter att upptäcka. Detta reflekteras i deras lärande d.v.s. mätt på eftertestet. Det är möjligt att göra andra tolkningar av resultatet. En annan tolkning kan vara att det avgörande för elevernas lärande i klass B och C var att de fick med sig ett verktyg (representationen i t.ex. hundradelar och del- helhets aspekten i meterlinjalen) in i gruppuppgiften som klass A inte fick. Det betyder att eleverna i klass B och C hade andra förutsättningar att förstå och diskutera uppgiften. Den tolkning som jag presenterat i resultatet bygger på att det avgörande var vad och på vilket sätt eleverna fick möjlighet att erfara och därför anser jag den första tolkningen som mest trovärdig. Gruppuppgiften Jonna påstår att det finns ett tal mellan 0,97 och 0,98. Pelle säger att det inte finns något sånt tal. Vem har rätt och varför? engagerade eleverna i alla klasser. Det finns en möjlighet till att elever kan ha ökat sin förståelse för uppgiften genom att ha talat med varandra eller andra personer efter lektionen. Om man granskar studiens validitet, så kan resultatet på eftertestet ha påverkats av detta. Eftertestet gjorde eleverna dagen efter lektionen och resultatet kan ha påverkats. Detta är inte något som jag har fått några indikationer på av de undervisande lärarna, men möjligheten till påverkan har funnits. En brist är även att elevernas lärande på längre sikt inte har kontrollerats, eftertestet mätte endast elevernas lärande på kort sikt. En eventuell återtestningseffekt d.v.s. att elever förbättrar sitt resultat om de blir testade på samma sak drabbade om så var fallet alla klasser som deltog. I studien ingår ingen kotrollgrupp att jämföra resultaten med. Varje klass är i den här studien är sin egen kontrollgrupp genom att det är resultatet före och efter undervisningen inom samma klass som jämförs. De olika klasserna jämförs även mot varandra och kan även sägas vara varandras kontrollgrupper.

39

Det hade varit intressant att även ha en kontrollgrupp som inte undervisades för att se vilka skillnader i resultat som det hade givit. Tillförlitligheten och generaliserbarheten i elevtestresultaten bör diskuteras då de antal elever som deltar i studien är få. Skälet till att det är så få elever är att det endast är de elever som redovisas som har deltagit i både förtest, undervisning och eftertest. Studien är gjord på en gruppnivå utifrån de klasser eleverna går i. Genom att studera elevernas resultat på en gruppnivå kan man se hur resultatet reflekterar undervisningen. En annan utgångspunkt kunde varit att på individnivå titta på olika individers förbättringar och försämringar i resultat. Gynnade undervisningen de svaga (kunskapsmässigt) eller starka eleverna? kunde varit andra frågeställningar som kunde kopplas till analysen av lektionerna. Studien kan ses som ett ämnesdidaktiskt bidrag för att öka kunskapen om undervisning om decimaltal. Studien kan ha betydelse för lärare och forskare som studerar undervisning eftersom den erbjuder ett sätt att se på undervisning och lärande, genom att identifiera kritiska aspekter i ett innehåll. Learning study modellen kan följaktligen användas i två syften, som en kompetensutvecklingsmodell för lärare men även som en möjlighet för forskare att studera undervisning och kritiska aspekter för elevernas lärande. Genom att studera lärare som undervisar om samma sak är det möjligt att jämföra undervisning. Det gör att man kan analysera vad som kan ha varit kritiskt för elevernas lärande under lektionerna. Resultatet av denna studie visar även på att lärarnas gemensamma planering av ett innehåll, enligt learning study modellen, i detta fall leder till en mycket positiv förändring av elevernas lärande. Lärarna kunde genom gemensam analys och med stöd från forskare komma åt de kritiska aspekterna för elevernas lärande. Lärare i grundskolan uttalar ofta en metodisk syn om att de vill ta en aspekt i taget i undervisningen för att inte ”röra till det” för eleverna. Variationsteorin menar tvärtom att flera aspekter kan (beroende på lärandets objekt) behövas urskiljas samtidigt för att eleven skall kunna urskilja något på ett särskilt sätt (Marton, Runesson och Tsui, 2004). Matematiken kan t.ex. ses som en väv av samband och för att se sambanden så måste flera aspekter synliggöras samtidigt. Variationsteorin ger enligt mitt sett att se lärare ett annat sätt att se på undervisning och på sin roll i en undervisningssituation. Lärarens roll blir att planera undervisningen utifrån genomtänkta mönster av variation som eleverna får möjlighet att erfara samtidigt. Lärare med ett variationsteoretiskt tänkande söker medvetet att öppna dimensioner av variation för att eleverna samtidigt skall kunna urskilja och erfara dem. Lärargruppen i den här studien kommer tillsammans med forskare att genomföra ytterligare två learning studies. Lärarna kommer då att utbildas i variationsteori. Då finns möjligheten att undersöka om lärarnas undervisning förändras när de får kunskap om variationsteorin och hur det i så fall påverkar elevernas lärande.

40

Referenser

Alvesson, M., & Sköldberg, K. (1994) Tolkning och reflektion. Vetenskapsfilosofi och

kvalitativ metod. Lund: Studentlitteratur

Hiebert, J., Stigler, J., & Gallimore, R. (2000). Using video surveys to compare classrooms and teaching across cultures: Examples and lessons from the TIMSS video studies. Educational Psychologist 35(2). Hiebert, J., & Stigler, J. (1999). The teaching gap. New York: The Free Press. Hiebert, J., & Wearne, D. (1986). Procedures over concepts: The acquisition of decimal number knowledge. In J. Hiebert, (Ed.) Conceptual and Procedural Knowledge; The case of Mathematics. Hillsdale, NJ: Erlbaum. Kilborn, W. (1999). Didaktisk ämnesteori i matematik, del 2 Rationella och irrationella tal. Stockholm: Liber. Kvale, S. (1997). Den kvalitativa forskningsintervjun. Lund: Studentlitteratur. Larsson, S. (1994). Om kvalitetskriterier i kvalitativa studier. I B. Starrin och P-G. Svensson (Red.). Kvalitativ metod och vetenskapsteori. Lund: Studentlitteratur. Löving, M., & Kilborn, W. (2002) Baskunskaper i matematik, för skola, hem och samhälle. Lund: Studentlitteratur. Ma, L. (1999). Knowing and Teaching Elementary Mathematics. New Jersey: Erlbaum. Marton, F., Runesson, U., & Tsui M. A. B. ( 2004 ). The space of learning. In F. Marton & A.B Tsui. Classroom discourse and the space of learning. New Jersey: Erlbaum. Marton, F. (2003). Learning Study – pedagogisk utveckling direkt i klassrummet. Forskning av denna världen. Praxisnära forskning inom utbildningsvetenskap. Rapport 2 Vetenskaps-rådet (s.41-46). Stockholm. Marton, F., & Morris, P. (2002). (Eds.) What matters? Discovering critical conditions of classroom learning. Göteborg: Acta Universitatis Gothoburgensis nr. 181. Marton, F., & Booth, S. (2000). Om lärande. Lund: Studentlitteratur.

41

Mc Niff, J. (2000). Action research in organisations. London & New York: Routledge. Merriam, B. S. (1991). Fallstudien som forskningsmetod. Lund: Studentlitteratur. Moskal, M. B., & Magone, E. M. (2000). Making sense of what students know: Examining the referents, relationships and modes students displayed in response to a decimal task. Educational Studies in Mathematics 43 313-335. Runesson, U., & Marton F. (2002). The object of learning and the space of variation. F. Marton. & P. Morris. (Eds.) What matters? Discovering critical conditions of classroom learning (p. 19-37). Göteborg: Acta Universitatis Gothoburgensis nr. 181. Runesson, U. (1999). Variationens pedagogik. Skilda sätt att behandla ett matematiskt innehåll. Göteborg: Acta Universitatis Gothoburgensis nr 129. Sackur-Grisvard, C., & Léonard, F. (1985). Intermediate cognitive organizations in process of learning a mathematical concept: The order of positive decimal numbers. Cognition and instruction. 2(2)157-174. Skolverket (2000). Grundskolans kursplaner och betygskriterier. Stockholm: Fritzes.

42

Bilaga 1

43

Bilaga 2

44

Bilaga 3