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COMPOSICION AUTOMATICA DE FRAGMENTOS
MUSICALES CON SISTEMAS DINAMICOS CAOTICOS Y
BIFURCACIONES
ANDRES EDUARDO COCA SALAZAR
Universidad Nacional de Colombia
Sede Manizales
Facultad de Ingenierıa y Arquitectura
Departamento de Electricidad, Electronica y Computacion
Manizales, Colombia
2009
COMPOSICION AUTOMATICA DE FRAGMENTOS
MUSICALES CON SISTEMAS DINAMICOS CAOTICOS Y
BIFURCACIONES
Andres Eduardo Coca Salazar
Tesis para optar al tıtulo de
Magister en Automatizacion Industrial
Director
Prof. Gerard Olivar Tost Ph.d
Universidad Nacional de Colombia
Facultad de Ingenierıa y Arquitectura
Departamento de Electricidad, Electronica y Computacion
Manizales, Colombia
2009
AUTOMATIC GENERATION OF MUSIC BY CHAOTIC
DYNAMICAL SYSTEMS AND BIFURCATIONS
by
Andres Eduardo Coca Salazar
A thesis submitted to the Posgraduate Program “Industrial Automation”
in partial fulfillment of the requirements for the Master Degree
Thesis Director
Ph.d Gerard Olivar Tost
National University of Colombia
Faculty of Engineering and Architecture
Department of Electrical, Electronic and Computing Engineering
Manizales, Colombia
2009
A la memoria de mi primera maestra de algebra, mi tıa ing. Dora Lilia Coca Gonzalez
Q.E.P.D (30.11.72-13.05.04)
Dedicado con mucho carino a:
Mi Padre por su gran apoyo y comprension.
Mi Madre por su interminable amor.
Mi hija Valentina por su ternura y alegrıa.
La musica por ser mi fuente de inspiracion.
Andres Eduardo Coca S.
AGRADECIMIENTOS
El autor expresa sus agradecimientos a:
Ph.D. Gerard Olivar Tost por aceptarme, apoyarme y acogerme con mi singular tema de
investigacion despues de haber buscado incansablemente en todo el planeta un director
incondicional para mi propuesta de maestrıa.
Ph.D. Zhao Liang del Instituto de Ciencias Matematicas y de Computacion (ICMC) de la
universidad de Sao Paulo (USP), por invitarme al grupo de investigacion de computacion
bioinspirada (Biocomp) y proporcionarme todas las herramientas necesarias para la profun-
dizacion, perfeccionamiento y divulgacion de los resultados del proyecto durante mi estadıa
en Brasil.
La Coordinacion de posgrados del departamento de ingenierıa electrica, electronica y com-
putacion de la Universidad Nacional de Colombia Sede Manizales, por la adjudicacion de la
exencion de matrıcula y la beca de apoyo a tesis de maestrıa. Al programa de movilidad en
el posgrado de la Red de Macrouniversidades publicas de America Latina y el Caribe, por
financiar mi estadıa de investigacion en la Universidad de Sao Paulo (USP) sede Sao Carlos,
en el perıodo 01.07.09 - 01.10.09.
M.sc. Franklin Alexander Sepulveda por las noches de amistad, ciencia y bohemia compar-
tidas. Maryluz Henao Restrepo por su inagotable amor, profundidad e comprension. Angela
Marıa Maca R. por su carino y admiracion.
A mis amigos Alexander Taborba, Javier Revelo, Monica Valencia, Marcela Lancheros, Diana
Arias, Yannet, Sebastian Solıs y Estrellita Ibanez.
A los estudiantes de las asignatura control I (sem. I-II 2008 y I-2009) y Lp 1- procesamiento
digital de senales (sem. I-II 2008), por tolerar mis tertulias caotico-musicales dentro de clase.
Finalmente a toda la gente de los grupos ABC Dynamics, Control y procesamiento digital
de senales GC&PDS y Biocomp.
“Continuan marchando los dıas y el tiempo avanza dejando su nostalgia, recordando los
suenos del pasado y las esperanzas del nuevo amanecer...”
Nuevamente, gracias Universidad Nacional
Tabla de Contenido
Tabla de contenido V
Lista de Figuras X
Lista de Tablas XII
I Preliminares XIII
Resumen XIV
Abstract XV
Introduccion XVI
Estado del arte XVIII
II Marco teorico XXIV
1 Dinamica no lineal, bifurcacion y caos 1
1.1 Sistemas caoticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Caracterıstica de los atractores caoticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.1 Exponente de Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.2 Analisis del Rango Re-escalado de Hurst . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.3 Dimension fractal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.4 Dimension de correlacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Metodos para el control del caos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.1 Metodo de OGY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.2 Metodo de control de realimentacion por retardo de tiempo (TDAS) . 9
1.3.3 Metodo de induccion al punto fijo (FPIC) . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 Bifurcaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4.1 Clasificacion de las bifurcaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
i
TABLA DE CONTENIDO ii
2 Sistemas dinamicos caoticos 17
2.1 Sistemas dinamicos continuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.1 Modelo de Chua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.2 Modelo de Chen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2 Mapas no lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2.1 Ecuacion logıstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2.2 Mapa cuadratico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2.3 Mapa de Chirikov-Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3 Sistemas dinamicos con ciclos lımites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3.1 Sistema depredador presa de Lotka-Volterra . . . . . . . . . . . . . . 26
2.4 Relacion entre los sistemas caoticos y los sistemas estocasticos . . . . . . . . 27
2.4.1 Generacion de secuencias caoticas Gaussianas . . . . . . . . . . . . . 28
3 Definiciones musicales 29
3.1 Escala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.1.1 Definicion de escala musical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.1.2 Generador de octava . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.1.3 Mapeo a frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.1.4 Escala tonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.2 Notas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.2.1 Definicion de notas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.3 Melodıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.4 Descriptores estadısticos de la melodıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.4.1 Caracterısticas tonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.4.2 Caracterısticas de tonalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.4.3 Caracterısticas de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.4.4 Histograma tonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.5 Algoritmo para determinar la tonalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.6 Indicadores melodicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.6.1 Medida de originalidad melodica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.6.2 Modelo de complejidad melodica basada en la expectativa . . . . . . 35
3.6.3 Grado de melodiosidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.7 Similitud melodica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.8 Segmentacion melodica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.8.1 Modelo de deteccion local de bordes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.8.2 Algoritmo basado en la psicologıa de la Gestalt . . . . . . . . . . . . 38
3.8.3 Segmentacion basada en la probabilidad del tono . . . . . . . . . . . 39
TABLA DE CONTENIDO iii
III Marco experimental 40
4 Algoritmo para la composicion automatica de melodıas caoticas 41
4.1 Algoritmo para la composicion de melodıas con tres dimensiones . . . . . . . 42
4.1.1 Especificaciones musicales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.1.2 Variable para las frecuencias y las notas musicales . . . . . . . . . . . 43
4.1.3 Variable para el ritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.1.4 Variable para las dinamicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.2 Descripcion global del algoritmo principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.3 Composicion automatica de melodıas mediante bifurcaciones . . . . . . . . . 51
4.3.1 Algoritmo para la composicion polifonica . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.3.2 Modulo para la concatenacion de matrices de notas . . . . . . . . . . 53
4.4 Composicion de melodıas con control del caos . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.5 Metodologıa para el control del contorno melodico . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.5.1 Relacion entre la respuesta transitoria y el contorno melodico . . . . . 55
4.5.2 Diseno de un controlador del contorno melodico . . . . . . . . . . . . 57
4.6 Analisis matematico de las escalas y los modos musicales . . . . . . . . . . . 58
4.6.1 Analisis combinatorio de escalas usando tonos y semitonos . . . . . . 58
4.6.2 Analisis combinatorio de escalas con tono y medio . . . . . . . . . . . 59
5 Experimentos y Resultados 62
5.1 Composicion automatica con sistemas caoticos continuos . . . . . . . . . . . 62
5.1.1 Generacion de melodıas con sistemas caoticos con de tres dimensiones 62
5.2 Composicion automatica con sistemas caoticos discretos . . . . . . . . . . . . 71
5.2.1 Generacion de melodıas con mapas no lineales con dos dimensiones . 71
5.3 Composicion de melodıas con ciclos lımite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.4 Composicion de melodıas caoticas microtonales . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.5 Composicion automatica con bifurcaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.5.1 Melodıas con la bifurcacion de Hopf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.5.2 Melodıas con la bifurcacion tipo flip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.6 Fragmentos musicales obtenidos con sistemas caoticos controlados . . . . . . 88
5.6.1 Composicion de melodıas con sistemas continuos controlados con el
metodo Pyragas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.6.2 Composicion de melodıas con sistemas discretos controlados con FPIC 95
5.6.3 Composicion de melodıas con sistemas discretos controlados con OGY 98
5.7 Fragmentos musicales obtenidos con sistemas lineales controlados . . . . . . 103
5.7.1 Composicion de melodıas con SLIT en lazo abierto . . . . . . . . . . 103
5.7.2 Composicion de melodıas con SLIT con trayectoria de control . . . . 105
5.8 Relacion entre caracterısticas caoticas y melodicas . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.8.1 Analisis discriminante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
TABLA DE CONTENIDO iv
5.8.2 Analisis de correlacion canonica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.8.3 Contraste estadıstico entre melodıas clasicas y melodıas caoticas . . . 113
5.9 Aproximacion estocastica de las secuencias caoticas . . . . . . . . . . . . . . 115
5.9.1 Aproximacion a la distribucion normal por medio de GSC . . . . . . 115
IV Conclusiones y trabajo futuro 119
Conclusiones 120
Trabajo futuro 121
V Apendices 122
A Pruebas y metodos estadısticos A–1
A.1 Pruebas para la aleatoriedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A–1
A.1.1 Test de rachas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A–1
A.2 Pruebas para la normalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A–2
A.2.1 Test de Shapiro-Wilks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A–2
A.3 Comparacion entre poblaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A–3
A.3.1 Test de Mann-Whitney . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A–3
A.4 Metodos multivariados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A–5
A.4.1 Analisis discriminante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A–5
A.4.2 Correlacion canonica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A–7
B Experimento realizados con otros modelos A–1
B.1 Modelos continuos con tres dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A–1
B.1.1 Modelo laberinto caotico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A–1
B.1.2 Modelo de Lorenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A–2
B.1.3 Modelo de Rabinovich-Fabrikant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A–3
B.1.4 Modelo de Rossler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A–3
B.1.5 Modelo de Sprott . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A–4
B.2 Modelos continuos con dos dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A–6
B.2.1 Modelo de Bernard-Shaw . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A–6
B.2.2 Modelo de Fitzhugh-Nagumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A–7
B.2.3 Modelo del giroscopio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A–8
B.3 Modelos discretos con dos dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A–9
B.3.1 Mapa de Henon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A–9
B.3.2 Mapa de Ikeda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A–10
B.3.3 Mapa de Zaslavskii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A–11
B.4 Modelos discretos con una dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A–12
TABLA DE CONTENIDO v
B.4.1 Mapa de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A–12
B.4.2 Mapa cubico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A–13
B.4.3 Mapa tent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A–14
B.5 Modelos con ciclos lımite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A–15
B.5.1 Modelo de Duffing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A–15
B.5.2 Modelo de Van der Pol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A–16
B.6 Modelos con estructura fractal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A–17
B.6.1 Modelo de Gingerbreadman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A–17
B.6.2 Modelo de Hopalong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A–17
B.6.3 Modelo de Martin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A–19
B.6.4 Modelo Mira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A–19
B.6.5 Modelo de Tinkerbell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A–20
C Base de datos de obras clasicas A–1
Bibliografıa 2
Lista de Figuras
1.1 Diagrama de bloques del metodo de control de Pyragas . . . . . . . . . . . . . 10
1.2 Diagramas de bifurcacion de las clase silla-node y transcrıtica . . . . . . . . 14
1.3 Diagrama de bifurcacion pitchfork subcrıtica y supercrıtica . . . . . . . . . . 15
1.4 Diagrama de bifurcacion de Hopf subcrıtica y supercrıtica . . . . . . . . . . . 15
2.1 Sımbolo del diodo de Chua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2 Circuito de Chua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3 Caracterıstica lineal a tramos del diodo de Chua . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.4 Retrato de fase del modelo de Chua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.5 Exponente de Hurst de Chua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.6 Dimension de correlacion de Chua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.7 Retrato de fase del modelo de Chen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.8 Exponentes de Lyapunov del modelo de Chen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.9 Exponentes de Hurts del modelo de Chen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.10 Diagrama de bifurcacion del mapa logıstico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.11 Diagrama de bifurcacion del mapa cuadratico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.12 Dinamica del sistema depredador-presa de Lotka-Volterra . . . . . . . . . . . 27
2.13 Retrato de fase del modelo depredador-presa de Lotka-Volterra . . . . . . . . 27
4.1 Vectores de pertenencia de algunas escalas conocidas . . . . . . . . . . . . . 44
4.2 Evolucion temporal y normalizacion de la primera variable del sistema de
Lotka-Volterra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.3 Diagrama de flujo simplificado del algoritmo de composicion caotica . . . . . 52
4.4 Analogo al espacio musical de la respuesta temporal de un SLIT a la entrada
escalon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.1 Mapeo a frecuencia y a notas MIDI de la variable x del atractor de Chen . . 63
5.2 Mapeo de la variable y del atractor de Chen a valores rıtmicos en segundos y
en beats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.3 Mapeo de la variable z del atractor de Chen a valores de dinamicas musicales 64
5.4 Retratos de fase en 2D del atractor de Chen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
vi
LISTA DE FIGURAS vii
5.5 Melodıa generada por el atractor de Chen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.6 Retrato de fase en 3D del atractor de Chen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.7 Retrato de fase modificado del atractor de Chen (X vs Y(Orden)) . . . . . . 67
5.8 Melodıa generada con el retrato de fase modificado del atractor de Chen . . . 67
5.9 Grafica de pianoroll de la melodıa generada con el atractor de Chen . . . . . 68
5.10 Distribucion y transicion de pitch class de la melodıa generada con el atractor
de Chen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.11 Distribucion y transicion de los intervalos de la melodıa generada con el atrac-
tor de Chen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.12 Distribucion y transicion de las duraciones de la melodıa generada con el
atractor de Chen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.13 Mapeo a frecuencia y a notas MIDI de la variable x del mapa de Chirikov-Taylor 72
5.14 Ampliacion de la respuesta de la variable x del mapa de Chirikov-Taylor . . . 72
5.15 Regiones de la variable x del mapa de Chirikov-Taylor . . . . . . . . . . . . . 72
5.16 Mapeo de la variable y del mapa de Chirikov-Taylor a valores rıtmicos en
segundos y en beats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.17 Retrato de fase del Mapa de Chirikov-Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.18 Retrato de fase modificado del mapa de Chirikov-Taylor . . . . . . . . . . . . 74
5.19 Grafica de pianoroll de la melodıa generada con el mapa de Chirikov-Taylor . 75
5.20 Distribucion y transicion de pitch class de la melodıa generada con el mapa
de Chirikov-Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.21 Distribucion y transicion de los intervalos de la melodıa generada con el mapa
de Chirikov-Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5.22 Distribucion y transicion de las duraciones de la melodıa generada con el mapa
de Chirikov-Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5.23 Retrato de fase modificado del mapa de Chirikov-Taylor . . . . . . . . . . . . 77
5.24 Evolucion y transformacion de las variables del sistema de Lotka-Volterra . . 78
5.25 Retrato de fase del modelo de Lotka-Volterra . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.26 Retrato de fase modificado del modelo de Lotka-Volterra) . . . . . . . . . . . 79
5.27 Frases musicales de la melodıa del modelo de Lotka-Volterra . . . . . . . . . 81
5.28 Contorno melodico de las frases musicales del modelo de Lotka-Volterra . . . 82
5.29 Grafica de pianoroll de la melodıa generada con modelo de Lotka-Volterra . . 83
5.30 Segmentacion con el modelo de Lotka-Volterra por tres metodos diferentes . . 83
5.31 Distribucion y transicion de pitch class de la melodıa generada con el modelo
de Lotka-Volterra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.32 Distribucion y transicion de los intervalos de la melodıa generada con el mo-
delo de Lotka-Volterra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.33 Distribucion y transicion de las duraciones de la melodıa generada con el
modelo de Lotka-Volterra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.34 Senal de audio de la melodıa microtonal de Chua . . . . . . . . . . . . . . . 86
LISTA DE FIGURAS viii
5.35 Evolucion y transformacion de las variables del atractor de Chua microtonal 87
5.36 Retratos de fase en 2D del atractor de Chua microtonal . . . . . . . . . . . . 87
5.37 Retratos de fase en 3D del atractor de Chua microtonal . . . . . . . . . . . . 87
5.38 Retrato de fase originales y transformados de la bifurcacion de Hopf . . . . . 88
5.39 Melodıa generada con la bifurcacion de Hopf . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5.40 Melodıa generada con la bifurcacion tipo flip . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.41 Tiempo promedio de perturbacion para diferentes periodos del sistema de Chen 90
5.42 Tiempo promedio de perturbacion para diferentes valores de K del sistema de
Chen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.43 Retrato en 2D del sistema de Chen controlado con Pyragas . . . . . . . . . . 91
5.44 Retrato en 3D del sistema de Chen controlado con Pyragas . . . . . . . . . . 92
5.45 Melodıa generada con el atractor de Chen controlado con Pyragas . . . . . . 92
5.46 Grafica de pianoroll de la melodıa generada con el modelo de Chen controlado 92
5.47 Segmentacion de la melodıa generada con el modelo de Chen controlado con
Pyragas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5.48 Distribucion y transicion de pitch class de la melodıa generada con el modelo
de Chen controlado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5.49 Distribucion y transicion de los intervalos de la melodıa generada con el mo-
delo de Chen controlado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.50 Distribucion y transicion de las duraciones de la melodıa generada con el
modelo de Chen controlado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.51 Evolucion temporal de mapa no lineal cuadratico controlado con FPIC . . . . 96
5.52 Melodıa generada por el mapa no lineal cuadratico controlado con FPIC . . . 96
5.53 Grafica de pianoroll de la melodıa generada con el mapa cuadratico controlado
con FPIC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5.54 Distribucion y transicion de pitch class de la melodıa generada con el mapa
cuadratico controlado con FPIC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.55 Distribucion y transicion de los intervalos de la melodıa generada con el mapa
cuadratico controlado con FPIC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.56 Iteraciones y transformacion del mapa Gaussiano controlado con OGY . . . 99
5.57 Melodıa generada con el mapa Gaussiano controlado con OGY . . . . . . . . 99
5.58 Grafica de pianoroll de la melodıa generada con el mapa Gaussiano controlado
con OGY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5.59 Distribucion y transicion de pitch class de la melodıa generada con el mapa
Gaussiano controlado con OGY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5.60 Distribucion y transicion de los intervalos de la melodıa generada con el mapa
Gaussiano controlado con OGY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.61 Distribucion y transicion de los intervalos de la melodıa generada con el mapa
Gaussiano controlado con OGY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
LISTA DE FIGURAS ix
5.62 Iteraciones y transformacion del mapa gaussiano controlado con OGY en una
orbita de perıodo 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.63 Melodıa generada con el mapa gaussiano controlado con OGY en una orbita
de perıodo 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.64 Tipos de respuesta escalon de SLIT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.65 Melodıa sobreamortiguada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.66 Melodıa con amortiguamiento crıtico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.67 Melodıa subamortiguada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.68 Melodıa oscilatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.69 Melodıa con amortiguamiento negativo polos diferentes . . . . . . . . . . . . 105
5.70 Melodıa con amortiguamiento negativo polos iguales . . . . . . . . . . . . . . 106
5.71 Melodıa generada por el sistema sin controlador . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.72 Diagrama en bloques del sistema controlado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.73 Respuesta escalon del sistema controlado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5.74 Melodıa generada por el sistema con controlador PD . . . . . . . . . . . . . . 108
5.75 Grafico de funciones discriminantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
5.76 Grafico de variables de correlacion canonica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5.77 Grafico de cajas y bigotes de las variables observadas de las melodıas clasicas
y caoticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
5.78 Grafico de medias de las melodıas clasicas y caoticas . . . . . . . . . . . . . . 115
5.79 Funcion de distribucion de probabilidad de la ecuacion logıstica . . . . . . . . 116
5.80 Evolucion temporal de la secuencia caotica Gaussiana . . . . . . . . . . . . . 117
5.81 Histograma de la secuencias caotica Gaussiana . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
5.82 Funcion de distribucion de la secuencias caotica gaussiana y normal . . . . . 117
B.1 Retrato de fase del modelo laberinto caotico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A–1
B.2 Melodıa generada por el modelo del laberinto caotico . . . . . . . . . . . . . . A–2
B.3 Retrato de fase del modelo de Lorenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A–2
B.4 Melodıa generada por el modelo de Lorenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A–2
B.5 Retrato de fase del modelo de Rabinovich-Fabrikant . . . . . . . . . . . . . . A–3
B.6 Melodıa generada por el de Rabinovich-Fabrikant . . . . . . . . . . . . . . . . A–3
B.7 Retrato de fase del modelo de Rossler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A–4
B.8 Melodıa generada por el modelo de Rossler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A–4
B.9 Retrato de fase del modelo de Sprott (caso M) . . . . . . . . . . . . . . . . . A–5
B.10 Melodıa generada por el modelo de Sprott (caso M) . . . . . . . . . . . . . . A–6
B.11 Retrato de fase del modelo de Bernard-Shaw . . . . . . . . . . . . . . . . . . A–6
B.12 Melodıa generada por el modelo de Bernard-Shaw . . . . . . . . . . . . . . . A–7
B.13 Retrato de fase del modelo de Fitzhugh-Nagumo . . . . . . . . . . . . . . . . A–7
B.14 Melodıa generada por el modelo de Fitzhugh-Nagumo . . . . . . . . . . . . . A–8
B.15 Retrato de fase del modelo del giroscopio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A–8
LISTA DE FIGURAS x
B.16 Melodıa generada por el modelo del giroscopio . . . . . . . . . . . . . . . . . A–9
B.17 Retrato de fase del mapa de Henon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A–10
B.18 Melodıa generada por el mapa de Henon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A–10
B.19 Retrato de fase del mapa de Ikeda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A–11
B.20 Melodıa generada por el mapa de Ikeda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A–11
B.21 Retrato de fase del mapa de Zaslavskii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A–12
B.22 Melodıa generada por el mapa de Zaslavskii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A–12
B.23 Retrato de fase del mapa de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A–13
B.24 Melodıa generada por el mapa de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A–13
B.25 Diagrama de bifurcacion del mapa cubico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A–14
B.26 Melodıa generada por el mapa cubico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A–14
B.27 Melodıa generada por el mapa tent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A–15
B.28 Retrato de fase del modelo de Duffing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A–15
B.29 Melodıa generada por el modelo de Duffing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A–16
B.30 Retrato de fase del modelo de Van der Pol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A–16
B.31 Melodıa generada por el modelo de Van der Pol . . . . . . . . . . . . . . . . A–16
B.32 Retrato de fase del modelo de Gingerbreadman . . . . . . . . . . . . . . . . . A–17
B.33 Melodıa generada por el modelo de Gingerbreadman . . . . . . . . . . . . . . A–17
B.34 Escala musical desconocida usada en la melodıa de Hapalong . . . . . . . . . A–18
B.35 Retrato de fase del modelo de Hopalong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A–18
B.36 Melodıa generada con el fractal de Hapalong . . . . . . . . . . . . . . . . . . A–18
B.37 Retrato de fase del modelo de Martin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A–19
B.38 Melodıa generada por el modelo de Martin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A–19
B.39 Retrato de fase del modelo mira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A–20
B.40 Melodıa generada por el modelo mira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A–20
B.41 Retrato de fase del modelo de Tinkerbell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A–21
B.42 Melodıa generada por el modelo de Tinkerbell . . . . . . . . . . . . . . . . . . A–21
Lista de Tablas
1.1 Valores posibles del coeficiente de Hurst . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3.1 Abreviaturas usadas para los descriptores estadısticos . . . . . . . . . . . . . 34
3.2 Abreviaturas usadas para los indicadores melodicos . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.1 Valores de λ segun el sistema de afinacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.2 Modos griegos y factor de desplazamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.3 Valores de los ındices rıtmicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.4 Rangos numericos para las dinamicas musicales . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.5 Caracterısticas analogas entre el contorno melodico y la respuesta temporal . 56
4.6 Intervalos musicales y relacion con el sobrepaso maximo tonal . . . . . . . . 57
4.7 Cantidad total de modos para escalas con unidades intervalicas de t y s . . . 60
4.8 Expresiones para los maximos y mınimos de tm, t, s y n . . . . . . . . . . . 60
4.9 Cantidad total de modos para escalas con unidades intervalicas de tm, t y s . 61
4.10 Cantidad total de modos y escalas posibles en sistema temperado semitonal . 61
5.1 Descriptores estadısticos de la melodıa generada con el atractor de Chen . . . 70
5.2 Indicadores melodicos de la melodıa generada con el atractor de Chen . . . . 70
5.3 Descriptores estadısticos de la melodıa generada con el mapa de Chirikov-Taylor 75
5.4 Indicadores melodicos de la melodıa generada con el mapa de Chirikov-Taylor 76
5.5 Medidas de similitud melodica de contorno de las frases de la melodıa de
Lotka-Volterra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.6 Medidas de similitud melodica de distribucion de las frases de la melodıa de
Lotka-Volterra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5.7 Descriptores estadısticos de la melodıa generada con el modelo de Lotka-Volterra 85
5.8 Indicadores melodicos de la melodıa generada con el modelo de Lotka-Volterra 85
5.9 Descriptores estadısticos de la melodıa generada con el modelo de Chen con-
trolado con Pyragas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.10 Indicadores melodicos de la melodıa generada con el modelo de Chen contro-
lado con Pyragas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
xi
LISTA DE TABLAS xii
5.11 Descriptores estadısticos de la melodıa generada con el mapa cuadratico con-
trolado con FPIC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
5.12 Indicadores melodicos de la melodıa generada con el mapa cuadratico contro-
lado con FPIC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
5.13 Descriptores estadısticos de la melodıa generada con el mapa gaussiano con-
trolado con OGY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.14 Indicadores melodicos de la melodıa generada con el mapa cuadratico contro-
lado con FPIC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.15 Funciones de transferencias con diferentes tipos de respuesta temporal . . . . 103
5.16 Autovalores de las funciones canonicas discriminantes . . . . . . . . . . . . . 109
5.17 Lambda de Wilks de las funciones canonicas discriminantes . . . . . . . . . . 110
5.18 Coeficientes estandarizados de la funciones canonicas discriminantes . . . . 110
5.19 Funciones discriminantes canonicas no tipificadas evaluadas en las centroides
de los grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.20 Matriz de estructura de las funciones discriminantes . . . . . . . . . . . . . . 111
5.21 Matriz de estructura de las funciones discriminantes . . . . . . . . . . . . . . 112
5.22 Coeficientes para las Variables Canonicas de la Primera serie . . . . . . . . . 113
5.23 Coeficientes para las Variables Canonicas de la Segunda serie . . . . . . . . . 113
5.24 Resultados del test de Mann-Whitney para contrastar las caracterısticas entre
melodıas clasicas y caoticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
5.25 Pruebas de aleatoriedad y de normalidad para las secuencias caoticas Gaussiana118
A.1 Tabla de coeficientes an−i+1 para la prueba de Shapiro-Wilks . . . . . . . . . A–3
A.2 Valores de W para la prueba de Shapiro-Wilks . . . . . . . . . . . . . . . . . A–4
B.1 Conjunto de sistemas de Sprott . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A–5
C.1 Melodıas contenidas en la base de datos de obras clasicas . . . . . . . . . . . A–1
Parte I
Preliminares
xiii
Resumen
En este trabajo se presenta el desarrollo de un algoritmo para la composicion automatica
de fragmentos musicales, usando como generadores sistemas dinamicos caoticos continuos,
discretos y sistemas con bifurcaciones. Se aplicaron los metodos para el control del caos
TDAS, FPIC y OGY con el fin de controlar las caracterısticas musicales de la melodıa
generada a partir del atractor caotico. Tambien se desarrollo una metodologıa para el control
del contorno melodico usando sistemas lineales invariante en el tiempo SLIT.
Los resultados obtenidos son caracterizados por medio de descriptores estadısticos y medi-
das musicales de complejidad. Se implemento un analisis discriminante para determinar las
diferencias significativas existentes entre las musica caotica, tanto continua como discreta,
y la musica clasica tomada como referencia. Ademas, se aplico el analisis de correlacion
canonica para relacionar las caracterısticas de los atractores caoticos (maximo exponente de
Lyapunov, coeficiente de Hurst y dimension de correlacion), con las caracterısticas melodicas
resultantes. Se planteo un contraste de hipotesis usando el test no parametrico de Mann-
Whitney para contrastar que las melodıas clasicas provienen de una poblacion diferente al de
las melodıas caoticas segun su complejidad, originalidad melodica y grado de melodiosidad.
Finalmente se utilizo un metodo para transformar la funcion de distribucion de probabilidad
de las secuencias caoticas a la funcion de distribucion normal, esto con el fin de proponer
una transicion de la musica estocastica de Iannis Xenakis a la musica caotica.
Palabras claves: Dinamica no lineal, composicion musical algorıtmica, tecnicas de control,
indicadores melodicos, metodos de estadıstica multivariada.
xiv
Abstract
Present work shows a method for the automatic composition of musical fragments. It is based
on the simulation of continuos as well as discrete chaotic dynamical systems and systems
with bifurcations. For the sake of controlling melodic characteristics, TDAS, FPIC and OGY
techniques were applied for controlling the chaotic attractor. In addition, a method for the
control of the melodic contour by means of linear time invariant systems were developed.
Outcomes are described by statistical and music complexity measures. In order to deter-
mine the differences between chaotic music (continuous as well as discrete) and classical
music (the reference), discriminant analysis procedures were carried out. Chaotic features
like maximum Lyapunov exponent, Hurst coefficient and correlation dimension were esti-
mated. Afterwards, canonical correlation analysis between the features just mentioned and
melodic characteristics were applied.
In addition, for the sake of contrasting chaotic and classical melodies from the perspective
of complexity, originality and melodic grade, the nonparametric Mann-Whitney statistical
test was applied. Finally, a transformation of the probability density function of chaotic
sequences was carried out. It leads us to propose a transition from Iannis Xenakis’ music
to chaotic music. Keywords: Nonlinear dynamical analysis, Automatic music composition,
Control strategies, Melodic scores, Multivariate statistical analysis.
Palabras claves: Chaotic dynamical analysis, Automatic music composition, Control strate-
gies, Melodic descriptors, Multivariate statistical analysis.
xv
Introduccion
Aunque el caos, en terminos generales, ha sido ampliamente estudiado en los ultimos anos,
aun no existe una definicion precisa sobre el comportamiento caotico en los sistemas dinami-
cos, por tal razon, y desde un punto de vista practico, se considera que un sistema dinamico
contiene comportamiento caotico cuando su comportamiento actual es una estado estable
acotado que no se puede describir dentro de los comportamientos dinamicos plenamente
definidos como un punto de equilibrio o una orbita periodica [19]. Este tipo de compor-
tamiento ha despertado gran interes debido a sus caracterısticas particulares, en especial a
la propiedad de comportarse como ruido determinista, esta caracterıstica ha sido explotada
en diferentes aplicaciones desde la encriptacion y desencriptacion de datos [32] hasta la gen-
eracion automatica de variaciones musicales sobre un tema dado [25], ya que permite generar
resultados complejos y siempre iguales para pequenas variaciones de las condiciones iniciales
o de algunos de los parametros [56].
Los sistemas caoticos han sido utilizados para la generacion de musica automatica desde
finales de la decada de los 80’s, debido a que es posible obtener resultados con gran interes
musical al facilitar la manipulacion de la monotonıa melodica y a que permite la creacion
de una gran cantidad de fragmentos musicales diferentes con tan solo variar un poco las
condiciones inciales del sistemas caotico [72]. Sin embargo, no todos los experimentos han
arrojado resultados musicales con valor artıstico y con caracterısticas musicales coherentes
independientes de mero interes experimental. Por otra parte, solo se han empleado algunos
de los muchos sistemas caoticos existentes [10] y por lo general algunos de estos han sido
utilizados de forma recurrente para esta tarea [71], dejando de lado otros sistemas caoticos
que pudiesen generar buenos resultados. Por tal razon, se propone estudiar algunos de los
sistemas caoticos que aun no han sido aplicados en la generacion automatica de musica
como el sistema de Chen y el modelo del giroscopio, dejando ademas la posibilidad de poder
introducir libremente el sistema de ecuaciones de cualquier sistema dinamico conocido o
desconocido.
Este documento se encuentra dividido en tres partes. La parte I esta conformada por las
secciones preliminares. La parte II contiene los fundamentos teoricos sobre la dinamica no
lineal y el caos y las definiciones y los conceptos musicales necesarios, los cuales se encuen-
tran distribuidos en tres capıtulos. El primero, describe la teorıa de los sistemas dinamicos
no lineales haciendo especial enfasis en los sistemas caoticos y en las bifurcaciones y tam-
xvi
bien se describen algunos de los metodos empleados para el control del caos, el segundo
capıtulo contiene la descripcion de los atractores caoticos empleados y analizados en los re-
sultados y el tercer capitulo trata sobre los fundamentos musicales y los indicadores melodi-
cos. La Parte III contiene la descripcion de la metodologıa propuesta para la composicion
automatica de musica caotica y los experimentos y los resultados obtenidos. Se describe de-
talladamente el algoritmo propuesto para la generacion de fragmentos musicales por medio
de atractores caoticos; seguidamente se presentan los experimentos realizados para probar
dicha metodologıa. Finalmente se encuentran las conclusiones, las observaciones, el trabajo
futuro y los apendices.
xvii
Antecedentes y Estado del arte
Antecedentes
La composicion de musica caotica comienza aproximadamente a finales de la decada de los
80’s, epoca en la cual empezaron a aparecer las primeras investigaciones relacionadas con
el analisis de las estructuras fractales contenidas en la musica clasica [48]. Esto se debe en
parte, a las investigaciones realizadas por Mandelbrot a finales de la decada de los 70’s,
algunas de las cuales se encuentran en su libro ”The Fractal Geometry of Nature”[57]. Estas
nuevas teorıas llevaron a despertar el interes por buscar y analizar estructuras fractales en
diferentes areas, dentro de estas la musica [49][27]. Posteriormente y en parte debido a la
relacion existente entre la geometrıa fractal y el comportamiento caotico, a finales de la
decada de los 80’s y principios de los 90’s, algunos investigadores entusiastas de la teorıa
del caos comenzaron a explotar el potencial musical de los sistemas dinamicos no lineales y
especialmente aquellos que presentan comportamiento caotico [72].
Los primeros acercamientos a la musica generada con funciones caoticas tiene sus orıgenes
en los experimentos realizados en musica autosimilar [12], que dio paso a las aplicaciones
de estructuras fractales para la generacion automatica de musica, creando un nuevo genero
musical dentro de la composicion asistida por computador, denominado ”musica fractal”[27].
Uno de los metodos para la generacion algorıtmica de objetos fractales, conocido como
sistemas de funciones iteradas (IFS, por sus siglas en ingles), y un caso particular de estos, los
sistemas-L (debido a su creador el biologo danes Lindenmayer), empezaron a ser explorados
en experimentos musicales [73]. Relacionando todo lo anterior, se empezaron a usar funciones
iteradas en la composicion algorıtmica [38] y junto a estos los mapas no lineales [72]. Los
pioneros en la aplicacion de sistemas dinamicos caoticos en la composicion algorıtmica son:
Jeff Pressing (1988), Michael Gogins (1991), Peter Beyls (1991), Rick Bidlack (1992) y Diana
Dabby (1995).
Uno de los primeros en aplicar y proponer el uso de sistemas dinamicos con comportamien-
to caotico y bifurcaciones en la composicion musical fue Jeff Pressing [72]. En su obra se
expone la implementacion de mapas discretos no lineales como generadores musicales inten-
tando explotar al maximo sus diferentes fenomenos como los puntos fijos, los ciclos lımite,
las bifurcaciones, el caos y los atractores extranos. Para tal fin, utiliza mapas no lineales
con diferentes dimensiones como la ecuacion logıstica, modificaciones del mapa de Metz, el
xviii
modelo depredador presa discreto, el conjunto de Julia discreto y dentro de los sistemas de
alto orden utilizo un mapa en cuatro dimensiones basado en los estudios hechos por Rossler
en hipercaos. Para este ultimo es necesario manejar la teorıa de cuaterniones desarrollada
por Sir William Hamilton. Los datos obtenidos con estos mapas fueron convertidos a un
espacio musical y aplicados a diferentes variables musicales como la altura, la duracion, el
ataque y la dinamica [72]. Los grandes aportes de Pressing, no solo le dan el merito de ser
el pionero de la musica caotica sino tambien, a criterio personal, un gran visionario de la
musica algorıtmica; resaltando ademas, que los ejemplos sonoros presentados son de gran
valor musical.
En el campo de los sistemas de funciones iteradas, Gogins se fundamenta en las teorıa de los
fractales expuestas por Barnsley. Afirma que, en algunos importantes aspectos, este metodo
parece ser mas general y mas poderoso que los metodos previos para generar partituras de
fractales, tales como curvas de Koch , distribuciones 1/f y sistemas dinamicos no lineales
como el conjunto Julia. Defiende el uso de los sistema de funciones iteradas enfatizando en
que estos pueden producir fractales continuos y discontinuos, autosimilares y no autosimi-
lares, y fractales en los cuales parecen contener elementos no fractales. Escribio un programa
denominado IFSMUSIC, en GFA BASIC 2.0 para la computadora Atari 520ST. El programa
genera secuencias de archivos estandar MIDI para ser usados como composicion autoconteni-
da o como material crudo para manipulacion y combinacion con secuenciadores comerciales.
Algunas de las funciones con las que trabajo son: el conjunto de Mandelbrot, el conjunto de
Julia, el triangulo de Sierspinsky y fractales de forma hexagonal [38].
Por su lado, Beyls propuso usar sistemas dinamicos complejos en contraposicion a los meto-
dos de inteligencia artificial (sistemas expertos y reconocimiento de patrones) que se estaban
llevando a cabo en aquella epoca en la computacion musical. Destaca las virtudes del com-
portamiento caotico, subraya el beneficio de experimentar con atractores en lugar de sistemas
basados en reglas. Por tal razon, para la generacion espontanea de patrones implemento y
evaluo varios modelos como los automatas unidimensionales, la simulacion directa de inesta-
bilidades quımicas como las dadas en el la reaccion-BZ y un modelo espacial para explorar
el equilibrio de comportamiento en una sociedad de interaccion de agentes moviendose en
un espacio 2D [9].
En su tesis doctoral de la Universidad de California, Bidlack describe el uso de sistemas
caoticos para generar eventos de notas musicales. El caos es empleado como un algoritmo para
hacer selecciones de los parametros de las notas tales como la altura, el nivel de dinamica,
el ritmo y la instrumentacion. En lugar de visualizar la salida de los sistemas caoticos como
musica concluida, considero mejor tal salida como un material de base potencialmente util,
musicalmente hablando. Hace una distincion clara entre los sistemas conservativos y los
disipativos, y haciendo uso de esta clasificacion, experimenta con sistemas dinamicos caoticos
en dos, tres y cuatro dimensiones. Para el caos en dos dimensiones usa el mapa de Henon y
el mapa estandar: caos en un torus; para el caos en tres dimensiones empleo el atractor de
Lorenz y para el caos en cuatro dimensiones el sistema de Henon-Heiles. Ademas, las secciones
xix
de Poincare de Henon-Heiles tambien fueron mapeadas dentro de un espacio musical [10].
Seguidamente al trabajo realizado por los pioneros, encontramos la polifacetica carrera mu-
sical de Gary Lee Nelson, el cual ha trabajado con algoritmos fractales [61], algoritmos
geneticos [63], sistemas de Lindenmayer [62], sıntesis granular, funciones iteradas y sistemas
caoticos entre otros [64]. Su inicio se remonta al uso de los algoritmos fractales y su fusion con
los algoritmos geneticos. En su obra ”The Voyage of the Golah Iota”de 1993, usa tecnicas de
sıntesis granular y el mapa logıstico de Verhulst, este ultimo es usado como funcion recursiva
para generar patrones musicales que varıan de un evento repetitivo simple a secuencias de
gran complejidad con la variacion de un simple parametro. Conjuntamente con esto, uso una
interpolacion con forma de arco que cubre la duracion total de la pieza para interpolar los
datos dados por la ecuacion logıstica, ademas uso la seccion de oro para determinar la pro-
porcion entre los gestos de subida y de bajada. Los valores de la ecuacion logıstica fueron
escalados y mapeados hacia 7 octavas, en un rango de pitch 1 microtonal de 192 notas por
octava [64].
En su articulo ”Processes in Algorithmic Composition: Chaos and Music”, James Harley
expone el uso de funciones no lineales generativas. Su trabajo se enfoca en el desarrollo de
funciones de proposito general las cuales pueden ser combinadas y aplicadas en varias formas
dependiendo de los parametros musicales requeridos. Escribio el programa CHAOTICS, el
cual consiste de una coleccion de modulos escritos en lenguaje C con una interface de usuario
rudimentaria. Hasta cierto punto, la incompletitud del sistema es intencional, evita imponer,
tanto como sea posible, cualquier restriccion estilıstica o tecnica al usuario [44].
Posteriormente y basandose en la idea de que un mapeo caotico puede proporcionar una
tecnica para generar variaciones musicales de un trabajo original, Diana Dabby en su tesis
doctoral propone el uso de sistemas dinamicos caoticos. Ya que una de las principales carac-
terısticas de los sistemas caoticos es la sensibilidad de la trayectorias caoticas a las condiciones
iniciales, entonces por medio de estas, utilizo los variados y complejos datos de salida del
atractor de Lorenz para producir cambios en las secuencias de las alturas de una pieza orig-
inal de Bach, creando virtualmente un numero ilimitado de posibles variaciones de un tema
dado [25] [50].
Paralelamente a las investigaciones realizadas durante esta epoca tambien se encuentran
aplicaciones de los sistemas caoticos en la creacion de sıntesis sonora [82] [60] y en la creacion
de nuevos instrumentos y senales musicales por medio del circuito de Chua [17] [77] [36].
En cuanto a Colombia las investigaciones que mas se aproximan al tema, son los trabajos
realizados por el compositor Juan Reyes, el cual genera senales musicales usando frecuencias
hapticas para variar senales de control y parametros estimulados por medio de sistemas
dinamicos como el mapa de Henon, el atractor de Lorenz y aplicaciones del filtro de Teager
[76].
Dentro del catalogo de investigaciones realizadas al interior de la Universidad Nacional de
Colombia, aun no se han encontrado tesis o publicaciones relacionadas con el tema. Y al
1Nombre tecnico para denominar un tono musical.
xx
interior de la sede Manizales, hasta la fecha no se ha investigado oficialmente sobre esto.
Inclusive en ninguna universidad de la ciudad se han encontrado hasta la fecha investigaciones
dentro del campo de la musica automatica o composicion algorıtmica, diferentes a las del
autor [22][24]. Todo lo anterior refleja la novedad y la importancia de esta propuesta, ya que
indica que la futura tesis asociada sera una de las primeras en abordar el tema en la region
de una forma estricta y metodologica como lo es el desarrollo de una tesis de maestrıa.
Estado del arte
Aunque se han hecho diversas investigaciones relacionadas con los sistemas caoticos aplicados
a la composicion musical, estas hacen parte de una minorıa dentro de las diferentes areas de
investigacion en ingenierıa, ademas hacen parte de los campos de investigacion mas reciente
y nuevos. Por tal razon, las investigaciones de este tipo son escasas con relacion a otro tipo
de investigaciones y su crecimiento es relativamente bajo. Debido a esto, el estado del arte
presentado a continuacion cubriran un perıodo de 7 anos desde 2001 hasta 2007.
Basandose en el hecho de que una pieza musical es usualmente formada por patrones similares
o frases ordenadas para dar a la composicion estructura, y ademas contiene cierto grado de
incertidumbre para conservar el interes del escucha, en [4] se relacionan estas caracterısticas
musicales con caracterısticas similares propias de los sistemas dinamicos caoticos, conjuntos
fractales y gramaticas, con el fin de modelar estos aspectos y desarrollar algoritmos para
la generacion automatica de musica, enfocandose principalmente en su estructura melodica
y rıtmica. Ademas, por medio del uso de gramaticas se aplican algunas restricciones para
conservar los principios mas basicos de la teorıa musical.
La primera intencion de unificar una teorıa sobre musica caotica se encuentra en [89], aquı se
desarrolla una interesante teorıa sobre melodıas caoticas a partir del resultado de iterar dos
funciones en variable real y compleja. La primera funcion utilizada es f(x) = 1 − rx2 y la
segunda es la conocida ecuacion de Verhulst. Estas funciones son usadas para generar un flujo
de numeros que son escalados y mapeados a numeros de notas MIDI. Ademas se clasifican los
resultados en melodıas simples si las ecuaciones manejan valores reales y complejas si utilizan
variable compleja y se compara ciertos aspectos de la teorıa musical occidental tradicional,
tambien desarrolla un conjunto de funciones en el lenguaje visual Opcode’s Max y por ultimo
se desarrolla un instrumento musical para controlar el caos. Se expresa claramente que solo
se controla la frecuencia, dejando de lado voluntariamente otros parametros como el timbre,
el ritmo y las dinamicas.
Dentro del campo de la composicion de musica electroacustica, Puig [74] utiliza los sistemas
dinamicos no lineales con el objetivo de organizar el material musical para posteriormente
implementar los modelos en software especializado en la composicion asistida por computador
(CAC) y crear tres tipos de patches en el lenguaje Max/MSP. Estos son difundidos a traves
de un sistema cuadrafonico, cuyos altos parlantes son colocados en las aristas de un cuadrado
en el espacio de difusion.
xxi
El primer patch denominado “mar” es utilizado en la composicion Revoada, aquı se imple-
menta una modificacion en la velocidad de reproduccion de pequenas grabaciones de las
ondas del mar a partir de los resultados numericos del sistema de ecuaciones no lineales de
Henon-Heiles. El segundo patch utiliza las mismas ecuaciones pero ahora con el fin de per-
turbar cuatro osciladores en relacion a su frecuencia central y su amplitud, con el cual logra
sintetizar los sonidos de los insectos nocturnos a partir de osciladores de baja frecuencias.
El tercero es utilizado en algoritmos de espacializacion.
El objetivo de utilizar las ecuaciones de Henon-Hailes es emular el movimiento del vuelo de
las palomas, las curvas que describan estas pueden tambien ser utilizadas para modelar este
tipo de trayectorias en un espacio tridimensional.
En los anos recientes la aplicacion de los sistemas dinamicos en la musica, no ha tenido unica-
mente objetivos meramente esteticos, musicales y artısticos, sino que tambien ha entrado en
el mundo de la multidisciplinariedad. Lo anterior se explica mejor describiendo brevemente
el trabajo realizado en [28], en el cual se muestra como la traslacion al espacio sonoro-musical
de algunas caracterısticas cuantitativas del oscilador de Chua ayuda a entender mas facil-
mente la complejidad. Para esto, crearon muchas composiciones acusticas y musicales, la
cuales presentan las caracterısticas del sistema dinamico desde un punto de vista percepti-
vo. Encontraron ademas, que las habilidades cognitivas humanas pueden ser analizadas de
extensos y complicados patrones producidos por el sistema de Chua traducidos a musica,
logrando la economıa cognoscitiva, la coordinacion y la sıntesis de los innumerables datos
que ocurre en la percepcion de eventos dinamicos del mundo real. Demostrando ası, que la
musica puede ser considerada como la semantica de los sistemas dinamicos y que proveen
un metodo poderoso para interpretar la complejidad.
Continuando con las recientes e innovadoras investigaciones interdisciplinarias Baier, Her-
mann y Muller proponen las bases para el analisis de series de tiempo complejas y multi-
variadas como el EEG humano. Estas bases se encuentran en los estudios de la organizacion
rıtmica de osciladores no lineales acoplados. Aquı, osciladores con diferente frecuencia inter-
na son acoplados entre si para generar una gran variedad de patrones rıtmicos periodicos
y caoticos. La sonificacion de estos, produce polirıtmias variadas y complejas que permiten
encontrar la interrelacion con los mismos. Para cada caso de dos osciladores acoplados, la
organizacion de esas polirıtmicas es ejemplificada como una funcion de la razon de frecuen-
cia interna de la fuerza de acoplamiento. El par de osciladores utilizados fue el modelo de
FitzHugh-Nagumo (FHN) [33].
En [20] se presenta una variacion de como la aproximacion dual de usar funciones no lineales
iteradas para generacion algorıtmica en musica y en parametros musicales (microsonido
y sıntesis de parametros), pueden ser usada conjuntamente en un posible modelo para la
generacion de sonido basada fundamentado en las redes dinamicas no lineales. Estas redes
son consideradas como grafos dirigidos de sistemas acoplados de ecuaciones diferenciales
ordinarias. El grupo simetrico de esos sistemas de ecuaciones juega un crucial rol en el
entendimiento de salidas de series de tiempo de nodos particulares de redes y el resultado de
xxii
formacion de patrones. Ellas implican un catalogo de diferentes formas de comportamiento
del cual el comportamiento actual es seleccionado.
El trabajo tradicional de utilizar metodos no lineales en composicion se han centrado en
ajustar un sistema dinamico cuyo parametros son variados y mapeados musicalmente en
tiempo real, una aproximacion bottom-up. El autor aquı considera una metodologıa difer-
ente, considerando un modelo top-down que toma como su punto de partida el catalogo de
soluciones de una red. Las propiedades del grupo de la red fuerzan ese comportamiento a
motivos acordes con las condiciones del parametro local. Ademas, se exploran las periodi-
cidades que surgen en redes acopladas y modelos a traves de los puntos de bifurcacion con
cadenas de Markov [20].
xxiii
Parte II
Marco teorico
xxiv
Capıtulo 1
Dinamica no lineal, bifurcacion y caos
Un sistema no lineal se definen como el sistema dinamico que presenta al menos un compo-
nente no lineal, proveniente de las ecuaciones o de otras caracterısticas. El comportamiento
dinamico de los sistemas no lineales es mucho mas complejo y rico que el de los sistemas
lineales, ya que debido a la carencia de la linealidad y por consiguiente del principio de su-
perposicion, los sistemas no lineales responden a las entradas externas de manera diferente a
los sistemas lineales y tambien poseen comportamientos que unicamente pueden encontrarse
en los sistemas no lineales [6].
Algunos de los diferentes comportamientos que pueden presentar los sistemas no lineales
son: la dependencia de la amplitud de la excitacion, multiples equilibrios aislados, escape de
tiempo finito, ciclos lımites u oscilaciones, dependencia critica de los parametros, existencia
subarmonicos o soluciones cuasi periodicas, caos o dependencia critica de las condiciones
iniciales y bifurcaciones[6].
1.1. Sistemas caoticos
En la literatura matematica se han presentado multiples y variadas definiciones de caos.
Una de las primeras definiciones, fue sugerida por en una conferencia sobre caos realizada en
1986 en Londres: “comportamiento estocastico que ocurre en un sistema determinista”. Esta
definicion provienen del hecho de que un sistema presente un comportamiento aparentemente
aleatorio e irregular, a pesar de provenir de un sistema determinista, lo cual dificulta la
prediccion exacta de valores futuros a partir de la acumulacion de datos pasados [41].
A continuacion se define de una forma matematica y rigurosa un sistema caotico. Una funcion
f es caotica si dado un conjunto V , la relacion f : V → V es:
1. Sensible a las condiciones iniciales: Se dice que una funcion f : V → V tiene
dependencia de las condiciones iniciales si existe un δ > 0 tal que para todo x ∈ V y
cualquier vecindad N de x, existe un y ∈ V y un n ≥ 0 tal que |fn (x)− fn (y)| > δ2.
Es decir, para puntos despues de algunas iteraciones, puntos inicialmente cercanos a x
se separaran como mınimo en un valor positivo δ.
2. Transitividad topologica: Una funcion f : V → V posee transitividad topologica
1
1. Dinamica no lineal, bifurcacion y caos 2
cuando para cualquier par de conjuntos abiertos (U ∧W ) ∈ V existe un k > 0 tal
que fk (U) ∩ W 6= ∅. Equivalente a decir que, es posible encontrar un conjunto de
condiciones iniciales de U despues de ser iteradas conducen a valores de W .
3. Los puntos periodicos son densos en V : Para cualquier condicion inicial x0, existe
otra condicion inicial y0 que es arbitrariamente cercana y periodica.
1.2. Caracterıstica de los atractores caoticos
Una manera de caracterizar un atractor caotico extrano es mediante su dimension y mediante
algunas medidas de cuantificacion de su comportamiento dinamico.
Existen distintas medidas de la dimension, algunas solo intentan estudiar la geometrıa del
objeto, mientras que otras observan la dinamica que tiene lugar en el. En esta seccion se
estudiaran dos tipos de cuantificadores del comportamiento dinamico, los exponentes de
Lyapunov y el coeficiente de Hurst, y tres medidas de la dimension fractal: la dimension de
contado de cajas, la dimension de informacion y la dimension de correlacion.
1.2.1. Exponente de Lyapunov
Una de las principales caracterısticas de los sistemas dinamicos con comportamiento caotico
es la sensibilidad a las condiciones iniciales que origina divergencia de las orbitas a lo largo
de su tiempo de evolucion. La divergencia entre orbitas cercanas produce expansion de
la distancia de separacion entre orbitas cercanas, la tasa de expansion es medida por los
exponentes de Lyapunov. Entonces, los exponentes de Lyapunov son una medida cuantitativa
de la sensibilidad a las condiciones iniciales. Por lo anterior, se deduce que un exponente de
Lyapunov positivo indica divergencia (expansion), uno negativo convergencia (contraccion)
y uno cercano a cero indica simultaneidad de ambas, es decir, divergencia y convergencia,
comportamiento que se presenta en un ciclo lımite o en un punto de equilibrio. Por lo
anterior, se deduce que un exponente de Lyapunov positivo caracteriza a un sistema caotico
y un sistema se considera caotico si tiene como mınimo un exponente de Lyapunov positivo
(la suma de todos los exponentes de Lyapunov debe ser negativa) [19].
El numero de exponentes de Lyapunov de un sistema es igual orden del mismo. Para un
atractor extrano de tercer orden las posibilidades son:
(+,0,-): un atractor extrano
(0,0,-): Torus-2
(0,-,-): ciclo lımite
(-,-,-): punto fijo
1. Dinamica no lineal, bifurcacion y caos 3
Por otro lado, una contraccion debe pesar mas que una expansion, una condicion adicional
sobre caos estable en 3D es λ3 < −λ1.
En sistemas de cuarto orden hay tres posibilidades:
(+,0,-,-): un atractor extrano caotico
(+,+,0,-): atractor extrano hipercaotico, donde el sistema mas conocido es el sistema
Hipercaos de Rossler)
(+,0,0,-): Caos 2-Torus. Este caso aun no ha sido observado.
Determinacion de los exponentes de Lyapunov
Si se tiene un sistema unidimensional de la forma xt+1 = f (xt), y se parte de dos puntos
cercanos x0 y x0 + ε, entonces en cada iteracion las orbitas divergiran una de la otra y al
cabo de varias iteraciones estos puntos, que inicialmente estaban proximos, se encontraran
ahora en fN (x0) y fN (x0 + ε) respectivamente. Suponiendo que la diferencia de separacion
tiene un crecimiento exponencial dependiente del punto de partida x0, se tiene∣∣fN (x0)− fN (x0 + ε)∣∣ = εeλiN (1.1)
Ademas, si se supone que la distancia de separacion inicial tiende a cero ε → 0, que el
numero de iteraciones tiende a infinito N →∞ y se despeja λi de la ecuacion (1.1),
λi = lımN→∞
1
Nlog
∣∣∣∣dfN (x0)
dx0
∣∣∣∣ (1.2)
Ya que fN (x0) es una funcion compuesta, se deriva segun la regla de la cadena, de la siguiente
forma
dfN (x)
d (x)=
N−1∏i=0
f ′ (xi) (1.3)
La cual se reemplaza en la ecuacion (1.2) queda
λi = lımN→∞
1
Nlog
∣∣∣∣∣N−1∏i=0
f ′ (xi)
∣∣∣∣∣ (1.4)
y debido a la propiedad de logaritmo de productos se llega a la expresion final para el calculo
de los exponentes de Lyapunov λi,
λi = lımN→∞
1
N
N−1∑i=0
log |f ′ (xi)| (1.5)
Es importante resaltar que los exponentes de Lyapunov son casi siempre iguales para todas
las condiciones iniciales [3].
1. Dinamica no lineal, bifurcacion y caos 4
Algoritmo de Wolf para el calculo de los exponentes de Lyapunov
El calculo directo de los exponentes de Lyapunov por medio de la ecuacion (1.5) requiere un
tiempo computacional. Por tal razon, desde hace varias decadas se ha desarrollado algoritmos
para facilitar el calculo de dichos exponentes. Dentro de los algoritmos existentes se encuentra
el algoritmo de Wolf [3] que basa en la factorizacion de matrices QR; factorizacion que
es posible lograr por varios metodos siendo el mas conocido la ortogonalizacion de Gram-
Schmidt (GS).
El algoritmo de Wolf es numericamente inestable debido a que la matriz Q se podrıa desviar
de la ortogonalidad debido a la acumulacion de errores de aproximacion. Por tal razon se
han propuesto varios metodos como el Gram-Schmidt modificado (GSM), reortogonalizacion
Gram-Schmidt (RGS) y variantes de los metodos de factorizacion QR como el HQR que
utiliza la transformacion de Householder, que lo hace mas eficiente [1].
Para hallar una aproximacion de todos los exponentes de Lyapunov, se halla la factorizacion
QR del producto de los Jacobianos J de cada iteracion. Se usa secuencialmente la factor-
izacion QR, donde qr [.] denota la factorizacion QR [42].
qr [JmJm−1 . . .J1] = qr [JmJm−1 . . .J2 (J1Q0)] = qr [JmJm−1 . . .J3 (J2Q1)] [R1]
= qr [JmJm−1 . . . (J3Q2)] [R2R1] = . . . =
= qr [JmJm−1 . . . (JiQi−1)] [Ri−1Ri−2 . . .R2R1] = . . . =
= Qm [Rm . . .R2R1] = QmR (1.6)
Comenzando con el Jacobiano inicial Jm−1, en cada iteracion i, se realiza la premultiplicacion
Vi = JiQi−1 = QiRi, donde V es la ecuacion variacional de sistema. La matriz R es el
producto de las matrices Rm . . .R2R1 obtenida de manera secuencial. Los elementos de la
diagonal principal de R, es el producto de los elementos de las diagonales de todos los Ri y
estos estan relacionados con los exponentes de Lyapunov de la siguiente forma
λk =1
m
m∑i=1
ln |Ri (k, k)|, k = 1, 2, . . . , n (1.7)
1.2.2. Analisis del Rango Re-escalado de Hurst
El analisis del rango re-escalado, o analisis R/S, fue propuesto en 1969 por Wallis y posterior-
mente revisado por Mandelbrot. Este tipo de analisis es usado para cuantificar la rugosidad
de un atractor o una serie de tiempo, entendiendose por rugosidad, la dependencia a largo
plazo. El estadıstico R/S, a partir de las sumas parciales de una serie de datos determina el
rango de las desviaciones existente a partir de su media, re-escala por la respectiva desviacion
estandar. La importancia del analisis R/S es que sirve para determinar el exponente de Hurst
[58].
1. Dinamica no lineal, bifurcacion y caos 5
Para estimar el exponente de Hurst a partir del analisis R/S se debe determinar R/S para
diferentes fracciones de la serie de tamano N, y posteriormente obtener mınimos cuadrados
ordinarios, obteniendo
logR
S= a+H log n (1.8)
donde H es el coeficiente de Hurst, el cual varia entre 0 y 1 (Mandelbrot, 1972).
Los posibles valores que puede tomar el coeficiente de Hurst, se interpretan segun la siguiente
tabla.
Hurst Significado0 < H < 0,5 No persistenciaH = 0,5 Independencia
0,5 < H < 1 Persistencia
Tabla 1.1: Valores posibles del coeficiente de Hurst
La persistencia indica que los datos contienen algun tipo de dependencia entre ellos, similar
a un movimiento browniano ordinario o una serie temporal con memoria. Para H = 0,5,
indica que los datos de la serie son independiente, similar al ruido blanco y para valores
entre 0 < H < 0,5, indica antipersistencia, similar al ruido rosa
Para el calculo del coeficiente de Hurst, se determina la distancia que el sistema recorre en
una unidad de tiempo n, que se denomina rango ajustado R (n), se normaliza con respecto
a la media y se expresa en terminos de la desviacion tıpica local (R/S) (este procedimiento
se conoce como re-escalado). Repitiendo este proceso para distintos valores de n, se puede
ajustar a la funcion (R
S
)n
= a · nH (1.9)
Donde a es una constante y H es el exponente de Hurts.
1.2.3. Dimension fractal
En la geometrıa euclidiana, un objeto continuo en el espacio (un punto, una linea, una
superficie o un volumen) posse una dimension euclidiana tal que De ∈ N. Sin embargo
existen objetos que no se satisfacen esta propiedad, ya que poseen una dimension irracional.
En este caso se dice que el objeto posee una dimension fractal Df . Como precedente a la
dimension fractal nos encontramos con la dimension definida por Felix Hausdorff en 1919,
perfeccionada mas tarde por Besicovitch [85].
Para determinar la dimension fractal se parte del siguiente concepto: El numero de objetos
elementales N (L), de longitud L, necesario para cubrir completamente un objeto que ocupa
un espacio de tamano 1, se relaciona con la dimension del objeto de la siguiente manera
1. Dinamica no lineal, bifurcacion y caos 6
N (L) · LD = 1 (1.10)
Donde D, es la dimension del objeto, que para una longitud es igual a 1, para una superficie
igual a 2, para un volumen igual a 3, es decir, para una objeto continuo Df = De. Despejando
de la ecuacion (1.10), se obtiene la dimension fractal Df , que es una generalizacion de la
dimension euclıdea, De.
Df =log (N (L))
log(
1L
) (1.11)
El calculo de la dimension fractal con la ecuacion (1.10) no siempre es facil. Mas aun, cuando
el objeto de estudio es una serie temporal o un atractor. Por tal razon, se han propuesto
algunos metodos para su calculo adaptables al tipo de objeto.
Dimension de conteo de cajas
Este metodo se basa en dividir una region que contenga todo el atractor en N (s) objetos
(lıneas, cajas, cırculos...etc) de tamano s, y contar el numero de veces que esta contenido es
una parte del atractor . Se repite el procedimiento para tamanos menores sj < s , llegando
a la siguiente relacion
N (s) =
(1
s
)Df· LDf (1.12)
Al despejar Df , se encuentra que la dimension fractal por el metodo de conteo de cajas co-
rresponde a la pendiente del grafico de log (N (s)) versus log(
1s
), segun la siguiente expresion
Df = lıms→0
log (N (s))
log(
1s
) (1.13)
El metodo por conteo de cajas trae consigo el problema de tener que adaptar el tamano de
s en cada iteracion, lo que incrementa el numero de iteracion y el tiempo de computo en el
conteo N (s). Ademas, no es posible conocer el numero mınimo de iteraciones requeridas en
el conteo, elevandose considerablemente el tiempo computacional para hallar la dimension
fractal en atractores multidimensionales [41].
Dimension de informacion
Para un atractor comprendido dentro del espacio X, es posible contar el numero de veces
que la orbitas x0, x1, x2, . . . ∈ X, que estan contenidas en el subconjunto B ∈ X. Debido a
que con el incremento de las iteraciones, el numero el numero de orbitas contenidas en B se
estabilizan, entonces se puede definir la siguiente funcion
1. Dinamica no lineal, bifurcacion y caos 7
µ (B) = lımn→∞
1
n+ 1
n∑k=0
ρ (xk) (1.14)
donde ρ (xk) se define como
ρ (xk) =
1, x ∈ B0, x /∈ B (1.15)
y la sumatoria indica el numero de orbitas contenidas en B.
En lugar de utilizar N(s) de la dimension de contado de cajas se utiliza la siguiente funcion:
I (s) =
N(s)∑k=1
µ (Bk) log2
1
µ (Bk)(1.16)
en la que I (s) indica la cantidad de informacion necesaria para especificar un punto del
atractor con una precision de s. Esta cantidad de informacion I (s), se relaciona con la
dimension de informacion Di de la siguiente forma
I (s) ≈ I0 +Di log2
1
s(1.17)
Entonces la dimension de informacion es la pendiente de la lınea del grafico de I (s) vs.
log2 (1/s).
1.2.4. Dimension de correlacion
La dimension de correlacion Dc mide la complejidad de un sistema dinamico, permitiendo
diferenciar el comportamiento determinista del comportamiento caotico.
La dimension de capacidad practica para sistemas con dimension igual o menor a 2, debido
a que para sistemas con mayor dimension se requieren objetos de conteo con dimension igual
a la del sistema (hiperesfera). Para solucionar este inconveniente Grassberger y Procaccia
desarrollaron el concepto de dimension de correlacion Dc, el cual se basa en el uso de la
integral de correlacion Cm (r) [41]. La integral de correlacion determina la probabilidad de
que un par de puntos puntos del sistema se encuentren a una distancia menor que r en la
Dimension m, es decir, determina la probabilidad de que un par de puntos contenidos en
una hiperesfera de m dimensiones y de radio r (Funcion de Heaviside), esten contenidos en
dentro del numero de pares de puntos que conforman el sistema N2. de la siguiente forma,
Cm (r) =1
N2
N∑i,j=1
θ (r − ‖~xi − ~xj‖) (1.18)
donde N es el numero de observaciones del sistema, r es la distancia de umbral, xi y xj son
dos observaciones del sistema y θ (r − ‖~xi − ~xj‖) es la funcion de Heaviside que determina
el numero de puntos del sistema que se encuentran a una distancia menor de r, ası
1. Dinamica no lineal, bifurcacion y caos 8
θ (x) =
1, r − ‖~xi − ~xj‖ > 0
0, r − ‖~xi − ~xj‖ ≤ 0(1.19)
La integral de correlacion es una funcion de probabilidad, que determina la probabilidad
de que numeros par de puntos contenidos en una hiperesfera de m dimensiones y de radio
r (Funcion de Heaviside), esten contenidos en dentro del numero de pares de puntos que
conforman el sistema N2.
Debido a que la integral de correlacion es proporcional a la distancia de umbral r, de la
siguiente forma
Cm (r) = rDc (1.20)
entonces se puede despejar la dimension de correlacion Dc al tomar logaritmos a ambos lados
de la ecuacion (1.20)
Dc =logCm (r)
log r(1.21)
Para una dimension de insercion m podemos calcular la dimension fractal calculando la pen-
diente de logCm versus log r. Pudiendose clasificar un sistema estocastico no lineal de uno
determinista no lineal por medio de su dimension de correlacion, ya que para un sistema
estocastico no lineal la dimension de correlacion aumenta proporcionalmente conforme au-
menta su dimension de insercion, mientras que para un sistema determinista la dimension
de correlacion siempre sera inferior a su dimension de capacidad, independientemente del
numero de dimensiones en las que se inserte al sistema [80].
Se ha demostrado que la dimension de correlacionDc es inferior a la dimension de informacion
Di y a la dimension fractal Df .
Dc ≤ Di ≤ Df (1.22)
1.3. Metodos para el control del caos
1.3.1. Metodo de OGY
El primer metodo para controlar el caos fue propuesto por Ott,Grebogi y Yorke en 1990,
y debido a sus autores se conoce como el metodo OGY. Este metodo utiliza una orbita
periodica inestable (UPO, unstable period orbits) embebida dentro del atractor con el fin
de poder llevar las trayectorias suficientemente cercanas a esta por medio de la aplicacion
de pequenas perturbaciones en algun parametro de control [16]. Considere la familia de
sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden en tiempo continuo dadas
por la siguiente ecuacion
1. Dinamica no lineal, bifurcacion y caos 9
dx
dt= F (x, β) (1.23)
donde x ∈ R3 es el estado, f : Rn → Rn es un campo vectorial suave y β son los parametros
del sistema. El parametro del sistema puede ser variado dentro de un rango pequeno dado por
β∗−∆βmax < β < β∗+ ∆βmax, donde ∆βmax es lımite maximo de variacion de β permitido.
Entonces, es valido suponer que para β = β∗ el sistema presenta comportamiento caotico
[40].
El metodo OGY se fundamenta en determinar un conjunto de orbitas caoticas inestables a
partir de la seccion de Poincare P del atractor del sistema y posteriormente seleccionar una
de estas.
Sea Σ una superficie bidimensional de Poincare, la cual define un mapa de poincare P . Se
denota P (ξ) como el punto en el cual la trayectoria que comienza en ξ interseca Σ por primera
vez. Se selecciona una orbita periodica inestable embebida en el atractor, como objetivo de
control, ası que para un sistema tridimensional se tiene
P : R2 × R (ξ, β)→ P (ξ) ∈ R2 (1.24)
Por simplicidad, se asume que P es diferenciable y que ξF es un punto fijo del mapa P
(orbita de periodo 1) para p = p0 (P (ξF , p0) = ξF ). La aproximacion de primer orden de P
en la vecindad de (ξF , p0), es de la forma
P (ξ) ≈ P (ξF , p0) + A · (ξ − ξF ) + w · (p− p0) (1.25)
donde A es la matriz Jacobiana de P en el punto fijo y w = δPδp
(ξF , p0) es la derivada de P con
respecto a p. La estabilizacion del punto fijo se logra por medio de la siguiente realimentacion
p (ξ) = p0 + cT (ξ − ξF ) (1.26)
El vector c se calcula con la ecuacion (1.27), donde λu es el valor propio inestable y fu es el
vector propio contravariante e inestables de A [18].
c =− λufTu w
fTu (1.27)
1.3.2. Metodo de control de realimentacion por retardo de tiempo
(TDAS)
El metodo de realimentacion por retardo de tiempo TDAS (por sus siglas en ingles, Time-
Delayed Feedback), generalmente conocido como metodo de Pyragas. Fue propuesto en 1992
por el fısico lituano K. Pyragas [78]. En este metodo se considera el problema de estabilizar
una orbita inestable τ -periodica embebida en el sistema no lineal por medio de una simple
ley de control de la forma
1. Dinamica no lineal, bifurcacion y caos 10
u (t) = K (x (t)− x (t− τ)) (1.28)
donde K es el coeficiente de transmision y τ es el tiempo de retardo. Si τ es igual al periodo
de una solucion periodica embebida en la variable x(t) sin ley de control (u = 0), al aplicar
la ley de control la variable convergera hacia esa orbita periodica [59].
Para aplicar el metodo Pyragas se debe retardar la variable y realimentarla al sistema original
de tal forma que se estabilice en la orbita deseada, como se aprecia en el diagrama de bloques
de la figura 1.1.
Figura 1.1: Diagrama de bloques del metodo de control de Pyragas
Este metodo se diferencia del metodo OGY y del FPIC, en que no requiere el conocimiento
previo de la localizacion de los puntos fijos inestable o de las orbitas periodicas inestables
del sistema [46].
1.3.3. Metodo de induccion al punto fijo (FPIC)
El metodo para el control del caos denominado Controlador por Induccion al Punto Fijo
(FPIC, Fixed Point Induced Control), fue propuesto por primera vez en 2004 en [5]. Este
metodo fue especialmente desarrollado para el control en sistemas discretos, y esta basado en
el teorema de la continuidad de los valores propios. Esta tecnica de control posee la gran ven-
taja de que permite estabilizar orbitas de periodo uno y orbitas de periodo superior. Ademas,
es apropiado para sistemas caotico y sistemas inestables. No requiere el conocimiento previo
de alguna variable de estado pero si el conocimiento de los puntos fijos del sistema, siendo
estos, en sistemas caoticos, casi siempre los que corresponden a la orbita que se desea con-
trolar. De no ser posible el conocimiento del punto fijo analıticamente, se puede utilizar un
valor en estado estacionario de la senal de control. Con este valor, se disena una estrategia
de control que conduce al sistema a evolucionar al punto fijo especificado [31].
La tecnica de control FPIC se puede aplicar a sistemas autonomos, no autonomos y sistemas
con un perıodo de atraso. A continuacion se describe la aplicacion de la tecnica en sistemas
autonomos y no autonomos.
1. Dinamica no lineal, bifurcacion y caos 11
Sistemas autonomos
Dado un conjunto de ecuaciones en diferencias que describen un sistema discreto de la
siguiente forma
x (n+ 1) = f (x (n)) (1.29)
donde x ∈ Rn y f : Rn 7→ Rn. Se desea controlar el sistema en una orbita inestable, la cual
tiene un punto fijo x∗ que cumple con las condiciones
x∗ = f (x∗) (1.30)
|λi (J)| =∣∣λi ( δfδx∣∣x∗)∣∣ > 1 ∃i (1.31)
Entonces el sistema puede ser controlado adecuando la ecuacion del sistema,
x (n+ 1) =f (x (n)) +Nx∗
N + 1(1.32)
Con esto se garantiza la estabilizacion del punto fijo para algun N real positivo, que se
determina segun la restriccion
N > max |λi (J)| − 1 (1.33)
Sistemas no autonomos
Se denomina sistema no autonomo a aquel sistema que es excitado con una senal externa
u (x (n)). Sea el sistema no autonomo representado por el conjunto de ecuaciones en difer-
encias de la forma
x (n+ 1) = f (x (n) , u (x (n))) (1.34)
donde x ∈ Nn, u (x (n)) : Rn 7→ Rn y f : Rn+1 7→ Rn.
Si se tiene el punto fijo (x∗, u (x∗)) := (x∗, u∗) y se evalua en el Jacobiano del sistema para
este, se obtiene
J = Jx + Ju =δf
δx
∣∣∣∣(x∗,u∗)
+δf
δu
δu
δx
∣∣∣∣(x∗,u∗)
(1.35)
Ademas, si se cumple la siguiente condicion
|λi (Jx)| =∣∣∣λi ( δf
δx
∣∣(x∗,u∗)
)∣∣∣ < 1 ∀i (1.36)
existe una senal de control u, que garantiza estabilizacion del equilibrio para algun N real
positivo, ası
1. Dinamica no lineal, bifurcacion y caos 12
u =u (x (n)) +Nu∗
N + 1(1.37)
Metodos para el calculo de N en sistema no autonomos
Para calcular el valor de N en la ecuacion (1.37), se puede recurrir a dos metodos. El primer
metodo se basa en la utilizacion del teorema de continuidad de los valores propios y el
segundo en la teorıa de medida de matrices. Para la eleccion de uno de los dos metodos,
se debe considerar que el primer metodo establece un lımite para N muy superior al real,
mientras que el segundo tiene mayor precision pero solo es util en matrices con valores propios
reales.
1. Teorema de continuidad de los valores propios: Si la matriz J es singular, la
condicion para calcular el valor de N esta dada por
N >κ (x) ‖Ju‖
dλ− 1 (1.38)
donde κ (x) = ‖X‖ ‖X−1‖, es el numero de condicion de la matriz X con respecto a la
inversion. Y contienen el conjunto de vectores propios del sistema. La norma 2 de la
matriz Ju, representada por ‖Ju‖2, se calcula como sigue:
‖Ju‖2 =√λmax (J′uJu) := ‖Ju‖ (1.39)
La maxima distancia entre este valor propio mas cercano al circulo unitario y el cırculo
unitario, se denota por dλ.
Si la matriz es no singular la condicion para hallar N se adapta ası:
1
N + 1κ (x)
∥∥J−1x Ju
∥∥ < dλmax |λi|
(1.40)
2. Teorıa de medida de matrices:
Otro metodo para determinar el valor de N en el control de sistemas no autonomos
con FPIC, es el que se basa en el uso del concepto de la medida de una matriz µ. La
cual a su vez, usa el concepto de norma inducida ‖.‖. El calculo de N con este metodo
se logra con la siguiente condicion
N > max
λmax (J′u+Ju)
2− λmax (J′x+Jx)− 1,
λmax (−J′u − Ju)
2− λmax (−J′x − Jx)− 1
(1.41)
Para aplicar este metodo se debe satisfacer la siguiente condicion
1. Dinamica no lineal, bifurcacion y caos 13
−1 < µ (Jx) < 1 ∧ −1 < µ (−Jx) < 1 (1.42)
En esta condicion es necesario calcular la norma inducida µ (−Jx) de la siguiente man-
era
µi (A) = lımε→0+
‖I + εA‖i − 1
ε(1.43)
1.4. Bifurcaciones
Una bifurcacion es una dependencia critica a los parametros. Es decir, si se cambian los
parametros del sistema, cambia el comportamiento de los puntos de equilibrio. Los valores
de estos parametros donde se produce cambio son llamados valores de bifurcacion o valores
crıticos [90]. En otras palabras, el fenomeno de bifurcacion implica que un cambio cuanti-
tativo en los parametros lleva a un cambio cualitativo en el comportamiento. El cambio en
el comportamiento debido a la bifurcacion puede implicar un cambio en la cantidad o en la
estabilidad de puntos de equilibrio [6].
1.4.1. Clasificacion de las bifurcaciones
Las bifurcaciones se clasifican segun la region de operacion que ocupan dentro del plano de
fase en bifurcaciones locales y bifurcaciones globales. Algunos ejemplos para cada clase
son:
Bifurcaciones locales
Esta clase de bifurcaciones involucran regiones del plano de fase, cercanas a la vecindad de
un unico punto fijo. A continuacion se exponen las caracterısticas de las bifurcaciones locales
mas comunes [85].
Bifurcacion silla-nodo o de Fold: La bifurcacion silla-nodo puede identificarse como
el mecanismo basico de creacion-destruccion de puntos fijos conforme el parametro
del sistema varıa. Dos puntos fijos se mueven uno hacia el otro cuando r < 0 (ver
figura 1.2(a)) , colisionan (cuando el parametro toma el valor de bifurcacion r = 0) y
desaparecen para r > 0. El sistema prototipo con una dimensiones es:
x = r + x2 (1.44)
Bifurcacion transcrıtica: En la bifurcacion transcrıtica, los puntos fijos colisionan
igualmente pero no desaparecen sino que intercambian su estabilidad. El diagrama de
bifurcacion describe mejor este comportamiento, ver figura 1.2(b). La ecuac
1. Dinamica no lineal, bifurcacion y caos 14
x = rx∓ x2 (1.45)
(a) Silla-nodo (b) Transcrıtica
Figura 1.2: Diagramas de bifurcacion de las clase silla-node y transcrıtica
Bifurcacion Pitchfork: En la bifurcacion pitchfork, los puntos fijos tienden a aparecer
y desaparecer en pares simetricos. Existen dos clases de bifurcaicones pitchfork cualita-
tivamente diferentes, la pitchfork supercrıtica y la pitchfork subcrıtica. Las ecuaciones
tıpicas para estos casos son 1.46, con el signo menos se crea la supercrıtica y con el mas
la subcrıtica. Igualmente, en la figura 1.3 se muestran los diagramas de bifurcacion de
cada caso.
x = rx∓ x3 (1.46)
Bifurcacion de Andronov-Hopf : En este tipo de bifurcacion un foco estable se
convierte en un foco inestable al variar un parametro y el atractor se vuelve un ciclo
lımite. Hay dos clases de bifurcaciones Andronov-Hopf cualitativamente diferentes,
estas son:
• Bifurcation Hopf supercrıtica: En este caso, el ciclo lımite crece fuera del
punto de equilibrio. Es decir, a la derecha del parametro de bifurcacion de Hopf,
el ciclo lımite tiene amplitud igual a cero y esta amplitud crece conforme los
parametros se muevan mas alla del regimen del ciclo lımite. Una espiral estable
se convierte en una espiral inestable rodeada por un ciclo lımite.
• Bifurcation Hopf subcrıtica: Para este caso, un ciclo lımite inestable rodea el
punto de equilibrio y un ciclo lımite estable rodea a este. El ciclo lımite inestable
se contrae al punto de equilibrio, el cual se vuelve inestable en el proceso. Para
1. Dinamica no lineal, bifurcacion y caos 15
(a) Subcrıtica (b) Supercrıtica
Figura 1.3: Diagrama de bifurcacion pitchfork subcrıtica y supercrıtica
sistemas que comienzan cerca del punto de equilibrio, el resultado es un cambio
subito en el comportamiento de la proximidad a un foco estable.
(a) Hopf subcrıtica (b) Hopf supercrıtica
Figura 1.4: Diagrama de bifurcacion de Hopf subcrıtica y supercrıtica
Bifurcacion de doblamiento de perıodo o de flip
Bifurcaciones globales
Esta clase de bifurcaciones involucran zonas extensas del plano de fases, mas alla de solo la
vecindad de un unico punto fijo. Algunas de las bifurcacion globales mas comunes son:
Bifurcacion Homoclınica
Bifurcacion Heteroclınica
1. Dinamica no lineal, bifurcacion y caos 16
Bifurcacion de Perıodo infinito
Bifurcaciones silla-nodo de 2 ciclos
Las bifurcaciones tambien se clasifican en continuas y discretas dependiendo del tipo de
variables que utilice el sistema dinamico en cuestion. El caso discreto de la bifurcacion de
Hopf, se conoce como la bifurcacion de Neimark-Sacker [55][19].
Capıtulo 2
Sistemas dinamicos caoticos
En este capitulo se describen las caracterısticas principales de los modelos usados en los ex-
perimentos. Para la generacion de material musical, el algoritmo propuesto usa como fuente
generadora de datos transformable un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias o un
sistema de ecuaciones en diferencias. Aunque este sistema de ecuaciones puede ser elegido
libremente, pudiendo ser un sistema de ecuaciones conocido o desconocido; en la experi-
mentacion y validacion del algoritmo se usaron algunos sistemas conocidos y con nombre
propio.
En esta seccion se presentaran los sistemas usados en el marco experimental. Los resultados
obtenidos con otros atractores son mostrados en el apendice B, pero no se expone descripcion
detallada acerca de estos.
Al final del capitulo, se incluye la descripcion de un metodo utilizado para transformar la
funcion de distribucion de probabilidad de un sistema caotico en una funcion de distribucion
de probabilidad conocida, en este caso la distribucion normal.
2.1. Sistemas dinamicos continuos
2.1.1. Modelo de Chua
El modelo de Chua es una de las principales referencias en el estudio de las redes no lineales
con comportamiento caotico. Estas redes utilizan elementos basicos no lineales como resis-
tores, inductancias, condensadores y menristores. Este ultimo tipo de elemento no lineal fue
presentado por Leon Chua en 1971 y hoy en dıa aceptado como un estandar . El circuito de
Chua se basa en el uso del diodo de Chua, el cual es un resistor no lineal cuya curva car-
acterıstica es lineal a tramos y que puede puede ser controlado por tension o por corriente
[52].
El sımbolo y la curva de respuesta de corriente contra tension se muestran en las figuras
2.1.1 y 2.3, respectivamente.
El oscilador de Chua es una aplicacion del diodo de Chua para construir un circuito no
lineal que presenta gran variedad de comportamiento caotico y que por su gran variedad
17
2. Sistemas dinamicos caoticos 18
Figura 2.1: Sımbolo del diodo de Chua Figura 2.2: Circuito de Chua
Figura 2.3: Caracterıstica lineal a tramos del diodo de Chua
de comportamientos (ciclos lımites, doblamiento de periodo, variedad de atractores caoticos
que aparecen y desaparecen dependiendo del cambio en los parametros) que desembocan
en bifurcaciones, se ha convertido en un paradigma en la teorıa del caos y en el estudio de
sistemas electronicos no lineales .
Como se aprecia en la figura 2.1.1, el circuito de Chua esta compuesto por 1 inductor, 1
resistor lineal, dos capacitores y un diodo de Chua. Aplicando analisis de circuitos por varia-
bles de estado, se encuentran tres variables de estado asociadas al voltaje de los capacitores
vc1 y vc2 , y a la corriente entre las terminales del inductor iL [88], obteniendo las ecuaciones
de estado dada por
C1dvc1dt
=vc1−vc1
R− f (vc1)
C2dvc2dt
=vc1−vc2
R+ iL
LdiLdt
= −vc2(2.1)
En la 2.1, la funcion f (vc1) describe la corriente a traves del diodo de Chua (iNR) segun la
curva de respuesta 2.3.
2. Sistemas dinamicos caoticos 19
Figura 2.4: Retrato de fase del modelo de Chua
iNR =
g2vC1 + (g2 − g1) BP1 vC1 < −BP1
g1vC1 BP1 ≤ vC1 ≤ −BP1
g2vC1 + (g1 − g2) BP1 vC1 > BP1
(2.2)
Una simplificacion de las ecuaciones de estado del circuito de Chua, se encuentra en [19] y
es representado con el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales de la ecuacion (2.3).
x = a (y − f (x))
y = x− y + z
z = −byf (x) =
x ≥ 1 m1x+ (m0 −m1)
|x| ≤ 1 m0x
x ≤ −1 m1x− (m0 −m1)
(2.3)
Figura 2.5: Exponente de Hurst de ChuaFigura 2.6: Dimension de correlacion de
Chua
2. Sistemas dinamicos caoticos 20
2.1.2. Modelo de Chen
El sistema de Chen, descubierto por Chen y Ueta en 1999, es un sistema dual al sistema de
Lorenz, ya que para la parte lineal del sistema, A = [aij]3×3, el sistema de Lorenz satisface
la condicion a12a21 > 0 mientras que el sistema de Chen cumple con la condicion a12a21 < 0.
Posteriormente, Lu y Chen encontraron un sistema que satisface la condicion a12a21 = 0
que representa la transicion entre el sistema de Lorenz y el sistema de Chen. Los cuales
pertenecen una clase de atractores denominados la familia generalizada de Lorenz [87].
El sistema de Chen esta descrito por
x = a (x− y)
y = (c− a)x− xz + cy
z = xy − bz(2.4)
donde a > 0, b > 0 y c son los parametros del sistema. Se tiene ademas que (2c > a). Valores
tıpicos de estos parametros son a = 35, b = 3 y c = 28.
Analisis dinamico
El equilibrio del sistema puede ser hallado resolviendo las tres ecuaciones x = y = z = 0, lo
que conduce a
a (y − x) = 0, (c− a)x+ cy − xz = 0, −bz + xy = 0 (2.5)
despejando x de la primera igualdad y z de la ultima, se obtiene x = y y z = x2/b, re-
spectivamente [32]. Las cuales al se reemplazadas en la segunda igual se obtiene el siguiente
polinomio
(2bc− ab)x− x3 = 0 (2.6)
que al ser resuelto se determina que el sistema cuenta con los siguientes tres puntos de
equilibrio,
O1 (0, 0, 0)
O2
(√b (2c− a),
√b (2c− a), 2c− a
)O3
(−√b (2c− a),−
√b (2c− a), 2c− a
) (2.7)
En la figura , se aprecia el retrato de fase del atractor, en el cual las trayectorias externas
son atraıdas dentro de la vecindad del estado estable, y convergen y divergen entre los dos
puntos de equilibrio O2 y O3 [51].
Matriz Jacobiana
La matriz Jacobiana del sistema de Chen es
2. Sistemas dinamicos caoticos 21
Figura 2.7: Retrato de fase del modelo de Chen
Figura 2.8: Exponentes de Lyapunov del mo-
delo de Chen
Figura 2.9: Exponentes de Hurts del modelo
de Chen
J =
−a a 0
c− a− z c −xy x −b
(2.8)
Valores propios
para hallar los valores propios se debe resolver la ecuacion cubica:
λ3 + λ2 (a+ b− c) + λ[a (a+ z + b− 2c) + x2 − cb
]+ [ab (z + a− 2c) + ax (x+ y)] = 0
(2.9)
con a=35,b=3 y c=28 se reduce a
2. Sistemas dinamicos caoticos 22
λ3 + 10λ2 + λ(x2 + 35z − 714
)+ [35x (x+ y) + 105z − 2205] = 0 (2.10)
y los puntos de equilibrio
O1 (0, 0, 0) , O2 (7,93, 7,93, 21) , O3 (−7,93,−7,93, 21) (2.11)
finalmente resolviendo la ecuacion (2.10), evaluada en cada uno de los puntos de equilibrio
2.11 se obtienen los siguientes valores propios,
λO1 =
−3
23,83
−30,83
; λO2 =
−18,42
4,21 + j14,89
4,21− j14,89
; λO3 =
18,42
4,21 + j14,89
4,21− j14,89
(2.12)
la magnitud de un valor propio negativo caracteriza el nivel de atraccion y la magnitud de
uno negativo el nivel de repulsion a lo largo del correspondiente vector propio.
Vectores propios
los vectores propios correspondientes es esos valores propios son:
v1 =
0,7073
−0,07278− 0,7032i
0,0042− 0,0007i
v2 =
0,7073
0,07278 + 0,7032i
0,0042 + 0,0007i
v3 =
0,1682
−0,0286
0,9853
(2.13)
2.2. Mapas no lineales
2.2.1. Ecuacion logıstica
La ecuacion logıstica o mapa logıstico, es el mapa unidimensional mas famoso y mas simple
que se usa como ejemplo prototipo para la observacion del caos y bifurcaciones en mapas
no lineales. Fue introducido en 1845 por P.F. Verhulst para simular el crecimiento de una
poblacion confinada. Este mapa es un modelo idealizado de las variaciones anuales en la
poblacion de animales. Ha proporcionado una representacion clave en el estudio de la teorıa
de caos, y es considerado el ejemplo mas simple de mapa unidimensional que presenta un
gran espectro en el comportamiento dinamico incluyendo el movimiento caotico [69].
xn+1 = rxn (1− xn) (2.14)
El numero de especies xn+1 en el ano n+ 1 es proporcional a la cantidad de individuos que
habıa en el ano previo xn y a la poblacion remanente, la cual es disminuida proporcionalmente
a xn. El parametro r representa la tasa de fertilidad del momento.
2. Sistemas dinamicos caoticos 23
Figura 2.10: Diagrama de bifurcacion del mapa logıstico
Analisis dinamico
Para hallar los puntos fijos del mapa, se iguala la ecuacion (2.14) a xn, con lo que se obtiene
la siguiente ecuacion de segundo grado rx2n + (1− r)xn = 0, y al resolverla se obtienen los
puntos fijos del sistemas
x∗ =
(0,r − 1
r
)(2.15)
Seguidamente, se halla el Jacobiano del sistema J derivando la respectiva ecuacion
J = r − 2rxn (2.16)
Los puntos fijos x∗, son evaluados dentro de la matriz Jacobiana J para calcular una expresion
de los valores propios que caracterizan el sistema
vp = (r, 2− r) (2.17)
El primer valor propio, unicamente es estable dentro del rango −1 < r < −1. El segundo
valor propio es estable unicamente en el intervalo 1 < r < 3. Este ultimo, se puede apreciar
en el diagrama de bifurcacion de la figura 2.10.
2.2.2. Mapa cuadratico
Un mapa cuadratico es una ecuacion cuadratica recurrente de la forma
xn+1 = a2x2n + a1xn + a0 (2.18)
Por lo tanto, se pueden encontrar diferentes formas de la ecuacion (2.18) que conforman la
familia de mapas cuadraticos. En este caso se utilizo la siguiente ecuacion
2. Sistemas dinamicos caoticos 24
Figura 2.11: Diagrama de bifurcacion del mapa cuadratico
xn+1 = b− ax2n (2.19)
Analisis dinamico
Igualando la ecuacion (2.19) a xn se obtienen nuevamente una ecuacion de segundo grado
ax2n + xn − b = 0, que al ser resuelta proporciona los puntos fijos del sistema, ası
x∗ =−1±
√1 + 4ab
2a(2.20)
El Jacobiano del sistema esta dado por
J = −2aXn (2.21)
Con el Jacobiano J y los puntos fijos x∗, se hallan los valores propios que proporcionan
informacion sobre la dinamica del mapa.
vp = 1±√
1 + 4ab (2.22)
2.2.3. Mapa de Chirikov-Taylor
Este mapa fue descubierto por Bray Taylor, y posteriormente, y de manera independiente,
obtenido tambien por Boris Chirikov para modelar lıneas de campo magnetico. Es un mapa
conservativo bidimensional que ha facilitado el estudio de importantes hallazgos dentro de los
sistemas hamiltonianos no integrables que por otro lado serıan muy difıciles de analizar. El
importancia de este mapa radica en que su fundamento teorico dinamico puede ser aplicado
a muchas areas de estudio de la fısica [83].
2. Sistemas dinamicos caoticos 25
El mapa de Chirikov-Taylor, tambien conocido como mapa estandar, es el ejemplo tıpico de
un mapa conservativo, lo que significa que el area del espacio de fase nunca se expande ni
se contrae. Esta propiedad se aprecia analıticamente hallando el determinate del Jacobiano,
que para un sistema de este tipo es igual a 1 [2].
xn+1 = xn + k sin θ
yn+1 = yn + xn+1(2.23)
donde x y y son evaluados usando mod2π y K ∈ R+ y representan la posicion y el momen-
tum de un pendulo con torque igual a k sin θ. K representa la amplitud del torque confiere
la existencia de no linealidad e influencia la mayor parte de caos en la dinamica del sistema.
Analisis dinamico
Igualando las ecuaciones del sistema a xn y yn respectivamente, se obtiene K sin yn = 0 y
xn + K sin yn = 0. Entonces los puntos fijos estan dados por los valores de las variables
yn = (0, π), xn = (0, 0). Concluyendo que el sistema tiene dos puntos fijos x∗1,2 ((0, π) , (0, 0)).
La estabilidad del sistema linealizado se encuentra partiendo de la matriz Jacobiana
J =
[δxn+1
δyn+1
]=
[1 K cos yn1 1 +K cos yn
] [δxnδyn
](2.24)
La ecuacion caracterıstica de la matriz Jacobiana esta determinada por
λ2 − λ (K cos yn) + 1 = 0 (2.25)
La solucion de la ecuacion caracterıstica determina los valores propios del sistema. El mapa
estandar tienen dos valores propios λ1,2
λ1,2 =1
2
[K cos yn + 2±
√(K cos yn + 2)2 − 4
](2.26)
Para determinar la estabilidad del sistema se evaluan los puntos fijos en los valores propios,
obteniendose para el primer puntos fijo x∗ (0, π) la siguiente expresion,
λ(0,π) =1
2
[2−K ±
√K2 − 4K
](2.27)
El sistema es estable si∣∣< (λ(0,π)
)∣∣ < 2, legandose a la inoculacion 12|2−K| < 1, la cual
se cumple para −4 < −K < 0, o equivalentemente el sistema es estable para para el rango
K ∈ [0, 4).
Para el segundo punto fijo x∗ (0, 0), la ecuacion caracterıstica queda dada por
λ(0,0) =1
2
[2 +K ±
√K2 + 4K
](2.28)
La estabilidad del sistema en este punto fijo queda determinada por la siguiente restriccion
2. Sistemas dinamicos caoticos 26
1
2
∣∣∣2 +K ±√K2 + 4K
∣∣∣ < 1 (2.29)
− 4−K <√K2 + 4K < −K (2.30)
Debido a que K es un real positivo, entonces la restriccion 2.30 no es posible, de esta manera
el mapa es inestable para el punto fijo x∗ (0, 0).
2.3. Sistemas dinamicos con ciclos lımites
Un ciclo lımite es una trayectoria cerrada aislada; esto significa que las trayectorias vecinas
no son cerradas, pueden ser espirales o tambien ciclos lımite. Tambien se da el caso en el
que las trayectorias se desprenden de una orbita cerrada, en cuyo caso se dice que se existe
un ciclo lımite inestable. Si por el contrario las trayectorias se aproximan al ciclo lımite se
considera un ciclo lımite estable, y si por un lado repele trayectorias y por el otro atrae,
entonces es un ciclo lımite semi-estable. Un ciclo lımite solo puede ocurrir en sistemas no
lineales, en los sistemas lineales las oscilaciones de trayectorias cerradas son bordeadas por
otras trayectorias cerradas [85].
Si el sistema que presenta ciclos lımites es perturbado, siempre regresara al ciclo lımite. El
estudio de los ciclos lımite es importante porque simulan el comportamiento de oscilaciones
autosostenidas. Los sistemas con ciclos lımite mas conocidos
2.3.1. Sistema depredador presa de Lotka-Volterra
El sistema de Lotka-Volterra es un modelo tıpico de ciclo lımite. Este modelo fue desarrollado
por Alfred Lotka (1880-1949), fundamentandose en los estudio realizados por Vito Volterra
(1860-1940) en la teorıa determinista de la dinamica de poblaciones. El modelo hace parte
del pilar de la ley de crecimiento de poblaciones competitivas.
En la formulacion del modelo se considero que las especies son homogeneas y se encuentran
en un medio confinado y tambien homogeneo. Las unicas dos especies del habitat, inter-
actuan entre sı. Una de ellas (la especie depredadora) se alimenta de la otra, mientras la
segunda (la presa) solo se alimenta de los recursos que encuentra en el habitat. Con estas y
otras consideraciones, se encontro que solo son necesarias dos variables, representando cada
variable el tamano poblacional de la especie. Las ecuaciones que describen el modelo de
Volterra-Lotka son:
x = ax− bxyy = −cy + dxy
(2.31)
donde a es la tasa instantanea de aumento de presas en ausencia de depredadores, c es
la tasa instantanea de disminucion de depredadores en de ausencia de presas, b mide la
2. Sistemas dinamicos caoticos 27
susceptibilidad de la especie presa a la depredacion y d mide la habilidad de depredacion de
esta especie.
La ecuacion (2.31) es un sistema de dos ecuaciones acopladas. En el acoplamiento una variable
interactua con la otra de manera proporcional, esto es, el beneficio de una se ve reflejado
en el perjuicio de la otra. La magnitud del beneficio/perjuicio, es dependiente de el numero
de encuentros por unidad de tiempo y se representa en la ecuacion de Lotka-volterra con el
termino xy, que es el producto algebraico de las densidades poblacionales.
En la figura 2.12 se muestra el como varia con el tiempo, y de manera periodica, el tamano
de la poblacion de la especie presa x y el tamano de la poblacion de los depredadores y.
Ademas se muestra en la figura 2.13 el retrato de fase, donde se aprecia mejor la interaccion
entre las variable acopladas.
Figura 2.12: Dinamica del sistema
depredador-presa de Lotka-Volterra
Figura 2.13: Retrato de fase del modelo
depredador-presa de Lotka-Volterra
2.4. Relacion entre los sistemas caoticos y los sistemas
estocasticos
En esta seccion se describe un metodo para aproximar los datos de un mapa no lineal caotico
a una funcion de distribucion de probabilidad conocida. Esto se hace con el fin de comen-
zar a estudiar la posibilidad de intercambiar las funciones de distribucion de probabilidad
empleadas por el compositor Iannis Xenakis 1 en su musica estocastica [91], por secuencias
1Compositor y arquitecto rumano con ascendencia griega, reconocido por incluir teorıa de probabilidadesy matematica en sus composiciones. Es considerado como unos de los mejores compositores de musicacontemporanea del siglo XX. En sus primeras obras uso la funcion de Poisson para distribuir los eventosmusicales en una matriz de composicion, la distribucion exponencial para calcular las duraciones y la funcion
2. Sistemas dinamicos caoticos 28
caoticas que tenga una funcion de distribucion de probabilidad similar, con la finalidad de
hacer un enlace entre la musica estocastica y la musica caotica.
2.4.1. Generacion de secuencias caoticas Gaussianas
Metodo simple para la generacion aproximada de secuencias caoticas Gaussianas, el cual se
basa en el teorema central de lımite y en la sensibilidad a las condiciones iniciales de los
sistemas caoticos [65].
Segun el teorema central del lımite, bajo ciertas condiciones generales, las funcion de dis-
tribucion de probabilidad (FDP) de la suma de N variables independientes con la misma
distribucion; la media y la varianza convergen a la variable aleatoria Gaussiana cuando
N →∞.
La variable aleatoria Gaussiana tiene media NM y varianza Nσ2.
Si x1 (i)Li=1 , x2 (i)Li=1 , · · · , xN (i)Li=1 son N secuencias caoticas reales generadas con
diferentes condiciones iniciales; entonces estas son independientes y tienes las misma funcion
de distribucion de probabilidad f (x), la misma media Mx y la misma varianza σ2x.
Sea la secuencia caotica Gaussiana (SCG) Y (i)Li=1 dada por,
Y (i) = Bx1 (i) +Bx2 (i) + . . .+BxN (i) , i = 1, 2, · · · , L (2.32)
donde B es una constante para controlar la varianza de Y (i)Li=1. Segun el teorema cen-
tral de lımite, la secuencia Y (i)Li=1 convergera a la funcion de densidad de probabilidad
Gaussiana o Normal si N →∞, con media MY = NMx y varianza σ2Y = NB2σ2
x, esto es
lımN→∞
f Y (i) =1√2πe−(Y−MY )
σ2Y (2.33)
Con este metodo es posible construir una secuencia caotica Gaussiana a partir de cualquier
mapa no lineal.
normal para determinar la velocidad de los glissandos en la cuerdas.
Capıtulo 3
Definiciones musicales
En este capitulo se definiran algunos conceptos fundamentales de la teorıa musical desde
un enfoque puramente formal, siendo estos necesarios en el desarrollo del algoritmo de com-
posicion propuesto. Tambien se describiran algunas herramientas empleadas en el analisis
melodico, que seran usadas en la descripcion cuantitativa del material musical generado y
en las pruebas estadısticas multivariadas realizadas.
3.1. Escala
3.1.1. Definicion de escala musical
Para describir el objeto matematico denominado escala musical, se parte del conjunto de
todos los tonos musicales posibles Γ. Una coleccion de n tonos representada como ξ =
τ1, τ2, · · · , τn donde ξ ⊆ Γ, se denomina escala musical y tiene las siguientes propiedades
[4]:
1. ξ 6= ∅
2. 0 ∈ ξ
3. τ ∈ ξ ⇔ (τ + 12) ∈ ξ
El numero de notas de la escala n se denotara como el operador, n = ρ (ξ).
3.1.2. Generador de octava
El conjunto O = τ ∈ ξ|0 ≤ τ < es llamado generador de octava de ξ, de donde se puede
obtener la escala basica a partir de su generados de octava ası
ξ = τ ∈ | (τ mod 12) ∈ O (3.1)
lo cual permite reconstruir la escala completa para un numero de octavas k [4].
29
3. Definiciones musicales 30
3.1.3. Mapeo a frecuencia
Se define una aplicacion φ entre los elementos de Γ y el conjunto de los numeros reales
positivos R+, de manera que, la imagen fi = φ (τi) para cada uno de los τi es el valor de
la frecuencia correspondiente a cada nota musical de la escala. El conjunto de imagenes
obtenido F ∈ R+ se define como
φ : τ 7→ f ; τ ∈ Γ, f ∈ F (3.2)
El conjunto de todos los intervalos posible se define como
I :i; i ∈ R+, i ≥ 1
(3.3)
donde i es el intervalo existente entre dos frecuencias. Se define la aplicacion δ : Γ× Γ 7→ I,la cual asigna a un par de tonos (τi, τj) un intervalo de I denominado valor del intervalo de
la siguiente forma
δ (τi, τj) =max φ (τi) , φ (τj)mın φ (τi) , φ (τj)
(3.4)
que determina el cociente entre las frecuencias fundamentales de los intervalos considerados
[35].
3.1.4. Escala tonal
La escala ξ puede ser transportada adhiriendo un tono τ determinada a todos los elementos de
la escala basica. De esta forma se obtiene una escala equivalente pero mas aguda o mas grave
que la escala original. El numero constante que es adherido en la transposicion se denomina
raız o tono. Entre tanto, si dos raıces diferentes τ1 y τ2 son modulo 12 congruentes, la escala
transpuesta sera la misma. Por tal razon los valores de transposicion estaran acotados por
el intervalo [0,11] sin perdida de generalidad [4].
Una escala tonal se define como ξ (τ), donde ξ es una escala basica transportada por la raız
τ , tal que 0 < τ < 12.
3.2. Notas
3.2.1. Definicion de notas
Una nota se puede definir formalmente como un conjunto tridimensional η = (f, d, v). Donde
f ∈ R+ es la frecuencia o tono de la nota musical, d ∈ Q+ es la duracion y v ∈ [0, 1] es la
velocidad [4]..
En ocasiones es necesario el conocimiento solo una de las propiedades de la nota η. Si se
tiene una nota η = (f0, d0, v0) sus propiedades estan dadas por las siguientes funciones
3. Definiciones musicales 31
f (η) = f0
d (η) = d0
v (η) = v0
(3.5)
3.3. Melodıa
Una secuencia de notas N esta conformada por un conjunto de notas sucesivas expresada en
la forma N = (η0, η1, . . . , ηk−1), esta es una secuencia ordenada de k elementos, donde k es
el numero de notas que conforman la secuencia [4].
La duracion total de la secuencia esta dado por
d (N) =k−1∑j=0
d (ηj) (3.6)
Se defina una melodıa M como el conjunto M = (ξ, τ,N, r, v) donde (ξ, τ) es una escala
tonal, N = (η0, η1, . . . , ηk−1) es una secuencia de notas, r ∈ Q+ es un conjunto de duraciones
rıtmicas en unidades de tiempo y v ∈ R+ es un conjunto de valores de velocidad.
3.4. Descriptores estadısticos de la melodıa
3.4.1. Caracterısticas tonales
Variedad tonal Vt
Es una medida de la diversidad del conjunto de clases tonales (pitch class set) utilizadas en
la melodıa [37].
Vt =ηdn
(3.7)
Donde ηd es el numero de notas diferentes que componen la melodıa y n es el numero total
de notas.
Rango tonal Rt
El rango tonal se refiere a la extension total usada por la melodıa dentro de su respectivo
registro sonoro y esta definida por la diferencia entre la maxima y la mınima nota de la
secuencia [37].
Rt = max (N)−mın (N) (3.8)
3. Definiciones musicales 32
3.4.2. Caracterısticas de tonalidad
Centrado de tonalidad Ct
Es la proporcion de veces que la tonica o la dominante se ejecutan con la figura de menor
duracion q. Indica que tan fuerte es el sentido de la tonalidad.
Ct =ηprq
(3.9)
Donde ηp es el numero de veces que alguna de las notas primarias de la escala (tonica o
dominante) es ejecutada con la duracion mas corta q y rq es el numero de veces que se
encuentra dicha duracion [37].
Intervalos disonantes Id
Descriptor estadıstico que mide la fraccion de intervalos disonantes de la melodıa 1 [26].
Id =id
n− 1(3.10)
Donde id es el numero de intervalos disonantes que contiene la melodıa.
3.4.3. Caracterısticas de contorno
Perfil melodico
El perfil melodico puede estar caracterizado por un perfil ascendente, descendente o con-
stante. Los descriptores para cada uno de estos perfiles cuantifican el numero de intervalos
ascendentes (iasc), descendentes (idesc) y unısonos (iu) que caracterizan el perfil melodico
[37].
Dasc = iascn−1
; Ddesc = idescn−1
; Digu = iun−1
(3.11)
donde Dasc, Ddesc y Digu, son las densidades de intervalos ascendentes, descendentes y con-
stantes, respectivamente.
Estabilidad de contorno
Es una medida de la estabilidad de la direccion melodica y esta relacionada con la proporcion
de intervalos para los cuales el siguiente intervalo esta en la misma direccion.
Ec =iid
n− 1(3.12)
1En este trabajo se consideraran los intervalos disonantes de segunda menor, cuarta aumentada y septimamayor y menor.
3. Definiciones musicales 33
La variable iid indica la cantidad de intervalos consecutivos moviendose en la misma direc-
cion. Esta conformada por el numero de intervalos ascendentes, descendentes y unısonos
consecutivos, denotados como ias, ids y iis, respectivamente. Se determina la cantidad total
de intervalos iguales consecutivos ası: iid = ias + ids + iis. Tambien es posible hallar tambien
la estabilidad del contorno parcial,
Ecp = iasn−1
; Ecn = idsn−1
; Ecc = iisn−1
(3.13)
Donde Ecp, Ecn y Ecc, significan la estabilidad del contorno positivo, negativo y constante.
Movimientos por paso
Mide la proporcion de intervalos diatonicos conjuntos. Altos valores del descriptor indican
curvas melodicas suaves. Un paso diatonico se entiende como el intervalo conformado por
uno o dos semitonos cromaticos o diatonicos [68].
Mp =ipdn− 1
(3.14)
Donde ipd, indica el numero de intervalos de paso diatonico.
Saltos de retorno
Mide la proporcion de intervalos disjuntos grandes que no son seguidos por un intervalo
de retorno. Se considera que un intervalo disjunto es grande cuando es mayor o igual a 8
semitonos, es decir, una sexta menor [37]. Los intervalos de retorno deben ser como mınimo
1 semitono menor que el intervalo disjuntos grande precedente [37].
Sr =idgridg
(3.15)
Donde idgr, es el numero de intervalos disjuntos grandes no seguidos por un intervalo de
retorno y idg el numero de intervalos disjuntos grandes.
Intensidad del climax
Mide la fuerza del climax Ic, esta definido como el inverso del numero de veces que la nota
climatica es repetida en la melodıa. Cuando la nota climatica (nota mas aguda) es ejecutada
solo una vez, la fuerza de climax es igual a 1 y se disminuye el impacto climatico cuanto mas
veces sea ejecutada la nota climatica [37][68].
Ic =1
ηc(3.16)
3. Definiciones musicales 34
Donde ηc, es el numero de veces que se ejecuta la nota climatica dentro del fragmento musical
de analisis 2.
En la tabla 3.1 se muestran las abreviaturas de los descriptores estadısticos que se emplearan
en el marco experimental.
Nombre Abrv. Nombre Abrv.Densidad de intervalos ascendentes Dasc Variedad tonal Vt
Densidad de unısonos Digu Centrado de tonalidad Ct
Densidad de intervalos descendentes Ddes Densidad de intervalos disonantes IdEstabilidad del contorno Ec Intensidad del climax Ic
Estabilidad de contorno positivo Ecp Movimientos por paso Mp
Estabilidad del contorno negativo Ecn Rango tonal Rt
Estabilidad de contorno constante Ecc Saltos de retorno Sr
Tabla 3.1: Abreviaturas usadas para los descriptores estadısticos
3.4.4. Histograma tonal
Ademas de los descriptores estadısticos, tambien son utiles en el analisis melodico graficas
que representen las caracterısticas o variables musicales de las secuencias. Estas variables
pueden ser la distribucion de pitch class, las proporciones de intervalos o la distribucion
de duraciones, entre otros. Los histogramas de cada una de estas variables son, respectiva-
mente, distribucion de clases tonales (pitch class), distribucion de intervalos y distribucion
de duraciones [29].
Tambien es de gran utilidad la representacion grafica de la transicion de primer orden entre
los valores de las variables. Estos proporcionan informacion sobre la proporcion de cambios
consecutivos que puedan ocurrir en la evolucion melodica o rıtmica, esto son: distribucion de
transicion de clases tonales (pitch class), distribucion de transicion intervalos y la distribucion
de transicion de duraciones [29].
3.5. Algoritmo para determinar la tonalidad
Uno de los primeros algoritmos para determinar la tonalidad fue desarrollado por Krumhansl
y Schmuckler en 1990 [79]. Cada una de las 24 tonalidades mayores y menores tiene una perfil
de tonalidad. El algoritmo primero calcula la correlacion de Pearson entre el histograma del
conjunto de las doce tonalidad contenidas en una muestra musical y cada una de los 24
perfiles de tonalidad, que esta dada por la siguiente ecuacion
R (x, y) =
∑(xn − x) (yn − y)√∑
(xn − x)2∑ (yn − y)2(3.17)
2En este trabajo se tomara como nota climatica la maxima nota de la secuencia N , es decir ηc = max (N)
3. Definiciones musicales 35
donde x es una histograma de conjuntos de pitch (pitch-class) extraıdos de la partitura, y es
una lista de valores ponderados para cada uno de los 12 grados de las escala de una tonalidad
particular, y x, y son las respectivas medias.
Los valores ponderados son predefinidos y fueron derivados experimentalmente por Krumhansl
y Kessler realizando puntuaciones con tonos de prueba. El algoritmo encuentra la tonalidad
de la pieza musical calculando la correlacion maxima entre cada uno de los perfiles de tonal-
idad y el vector de entrada [8],
keyk = arg maxk
R (x, yk) (3.18)
El algoritmo para determinar la tonalidad es necesario en el calculo de algunos descriptores
estadısticos de la melodıa como el Ct.
3.6. Indicadores melodicos
3.6.1. Medida de originalidad melodica
La originalidad melodica esta relacionada con la dificultad o la originalidad de la melodıa. En
los estudios realizados por Dean Keith Simonton entre 1984 y 1994, despues de analizar gran
cantidad de temas clasicos, se concluyo que la originalidad de los temas esta conectada con
su popularidad. La relacion entre popularidad y originalidad tienen forma de U invertida, es
decir, los temas mas populares tienen originalidad alta, mientras que los mas simples y los
mas complejos una originalidad menor. El modelo de Simonton para calcular la originalidad
melodica, esta basado en las probabilidades de transicion de tono. La salida de este modelo
es la inversa de la probabilidad promedio, escalada entre 0 y 10, donde un valor alto indica
mayor originalidad melodica [29].
3.6.2. Modelo de complejidad melodica basada en la expectativa
Otro camino para evaluar la complejidad melodica esta enfocado en la coherencia entre tono
y el acento, y la cantidad de intervalos disjuntos y autosimilaridad de contorno de la melodıa.
Este modelo ha sido denominado modelo basado en la expectativa de la complejidad melodica
porque los componentes del modelo son derivados de la teorıa de la expectativa melodica
[86]. Esta medida tiene como referencia la coleccion de Essen que tiene una complejidad
media de 5 con desviacion estandar de 1 3 [81].
La complejidad melodica puede ser tonal (cbmp), rıtmica (cbmr) o conjunta (cbmo) [29].
Una alternativa para medir la complejidad melodica esta fijada en la medida de continua de
la distribucion de eventos por nota (entropıa). Esta medida crea valores de predictibilidad
3La coleccion de Essen es una bsse de datos de 6.255 canciones folcloricas creada por Helmut Schaffrathen 1995 y editada despues por Ewa Dahlig y David Huron.
3. Definiciones musicales 36
melodica para cada punto en la melodıa. Estos valores han sido encontrados para los corre-
spondientes escalas de predictibilidad dadas por oyentes en experimentos. Esta medida ofrece
una posibilidad para observar las fluctuaciones momento a momento en la predictibilidad
melodica [29].
3.6.3. Grado de melodiosidad
El grado de melodiosidad tambien conocido como grado de suavidad (gradus suavitatis), es
un indicador melodico propuesto por L. Euler (1707-1783) en su obra titulada “Tentamen
novae theoriae musicae” que data de 1739. Segun Euler la melodiosidad esta relacionada
con la complejidad de calculo mental realizado por el oyente. Si el oyente debe realizar pocos
calculos mentales cuando escucha una melodıa, la melodıa se considera mas melodiosa y la
experiencia sera mas placentera [30].
El algoritmo para determinar el grado de melodiosidad utiliza tecnicas numericas basadas
en la descomposicion de numeros naturales en productos de potencias de diferentes numeros
primos. Calcula el valor armonico de dos tonos simultaneos, siendo este valor dependiente
del tamano de los factores primos de la razon de los tonos. Si se asume un entero a ser un
factor primo de la forma
a = pk11 · pk2
2 · . . . · pknn (3.19)
donde pn representa el n-esimo primo y k la cantidad de apariciones. Entonces el valor
armonico de a es:
G (a) =m∑1
(knpn − kn) + 1 (3.20)
El grado de suavidad es bajo, si la descomposicion contiene primos de valor bajo y alto si se
usan primos de valor alto y/o gran cantidad de numero primos [7].
Nombre AbreviaturaComplejidad basada en la esperanza para el pitch cbmpComplejidad basada en la esperanza para el ritmo cbmr
Complejidad basada en la esperanza conjunta cbmoMedida de originalidad melodica mom
Grado de melodiosidad gm
Tabla 3.2: Abreviaturas usadas para los indicadores melodicos
3. Definiciones musicales 37
3.7. Similitud melodica
La similitud melodica es una medida de la similaridad entre motivos, frases o segmentos
melodicos. La distancia puede ser calculada a partir de una representacion melodica como
una distribucion o el contorno melodico, y una medida de distancia (medidas de proximidad)
[47].
La medida de similitud se encuentra escalada en el rango de 0 y 1, donde 0 indica similitud
perfecta, aunque no necesariamente indica similitud absoluta. Esta medida puede realizarse
con respecto a una propiedad de la melodıa como el ritmo, la altura o la dinamica. Por tal
razon, una melodıa podrıa tener gran similitud rıtmica pero baja similitud en la altura.
Las medidas de similitud usadas y su significado se describen a continuacion [86]:
1. Similitud melodica segun el contorno melodico: Mide la similitud existente entre
cada punto de la grafica del contorno melodico.
2. Similitud melodica segun el contorno combinacional: Similar a la similitud de
contorno melodico, pero contrario a la a esta, conserva la relacion entre notas en lugar
de especificar su informacion de altura.
3. Similitud melodica segun la distribucion de pitch class : mide la similitud entre
la notas que conforman el conjunto de pitchclass, este el conjunto de las notas usadas en
la melodıa y la distribucion en el numero de veces que aparece cada nota del conjunto.
4. Similitud melodica segun la distribucion de intervalos: Mide la similitud entre
la frecuencia de aparicion de los intervalos que componen la frase musical.
5. Similitud melodica segun la distribucion de duraciones: Cuantifica la similitud
desde el punto de vista rıtmico sin tener en cuenta la altura; un nombre mas apropiado
serıa similitud rıtmica.
3.8. Segmentacion melodica
La segmentacion melodica para frases musicales es una herramienta fundamental usada co-
mo procesamiento previo en muchas tecnicas de recuperacion de informacion musical (MIR,
Music information retrieval). Algunas de las aplicaciones MIR son la computacion de car-
acterısticas melodicas y la extraccion melodica. El interes por la segmentacion radica en el
hecho de que la frase musical se considera uno de los mas importantes unidades basicas del
contenido musical. Esto es debido principalmente a que la mayor parte del repertorio musical
se encuentra organizado y estructurado en frases, periodos y motivos musicales, puesto que
estos son los pilares de las formas musicales [14].
3. Definiciones musicales 38
Se han desarrollado varias aproximaciones computacionales para la segmentacion melodico,
distinguiendose dos grandes clases, los que se basan en metodos estadısticos y los metodos
basados en reglas [34].
3.8.1. Modelo de deteccion local de bordes
El modelo de deteccion local de bordes (LBDM, The Local Boundary Detection Model) es un
modelo basado en reglas que fue desarrollado por Cambouropoulos en 1997 [15]. Consiste en
asociar bordes a cambios locales segun la magnitud del un intervalo de analisis. La regla de
cambio usada consisten en asignar un borde proporcional al grado de cambio existente entre
dos intervalos consecutivos y una regla de proximidad, la cual determina la magnitud del
borde segun el tamano del intervalo en cuestion [13]. El LBDM opera sobre perfiles melodicos
parametricos independientes Pk = [x1, x2, . . . , xn] donde k ∈ p, r, yo (p representa el pitch,
r los silencio y yo el intervalo de tiempo entre ataque de notas, IOI), xi > 0, i ∈ 1, 2, . . . , ny la fuerza de los bordes en el intervalo xi esta dada por:
si = xi × (ri−1,i + ri+1,i) (3.21)
El grado de cambio entre dos intervalos sucesivos ri, se calcula con
ri+1,i =
|xi−xi+1|xi+xi+1
Sixi + xi+1 6= 0 ∧ xi, xi+1 ≥ 0
0 Sixi = xi+1 = 0(3.22)
Para cada parametro k, el perfil de la magnitud del borde Sk = [s1, s2, . . . , sn] es calculada
y normalizado en el rango [0, 1]. Finalmente, se calcula la suma ponderada de los perfiles
usando pesos derivado por tanteo y error (0.25 para p y r, y 0.5 para yo) y se estima el borde
cuando el perfil combinado excede un valor de umbral predefinido [70].
3.8.2. Algoritmo basado en la psicologıa de la Gestalt
Tambien conocido como TGU (Temporal Gestalt units), fue introducido por Tenney y Polan-
sky en 1980 y se fundamenta en la psicologıa de la Gestalt 4 [53].
Este algoritmo encuentra la localizacion donde ocurren los cambios de intervalos melodicos
amplios e intervalos de entre-ataque de amplitud extensa El algoritmo emplea las medidas de
cambio: intervalo absoluto de pitch en semitonos (API, absolute pitch interval) e intervalos
de entre-ataque (IOI, inter-onset interval) 5. La distancia entre dos eventos es la suma
ponderada de esas medidas. Se estima un borde, y se denominado “clang”, cuando ocurre
4La psicologıa de la Gestalt es una corriente de la psicologıa moderna, surgida en Alemania a principiosdel siglo XX, y cuyos exponentes mas reconocidos han sido los teoricos Max Wertheimer, Wolfgang Kohler,Kurt Koffka y Kurt Lewin. Tomado de wikipedia
5El intervalo IOI (inter-onset interval es el tiempo entre los comienzos o puntos de ataque entre de doseventos musicales sucesivos.
3. Definiciones musicales 39
un maximo local para estas medidas. Entonces un “clang” es caracterizado por us tiempo de
ataque y el pitch promedio. Estos valores son sometidos nuevamente al mismo procedimiento
creando ası segmentos delimitados [66].
3.8.3. Segmentacion basada en la probabilidad del tono
Esta una tecnica de segmentacion que usa las probabilidades derivadas del analisis de colec-
ciones de melodıas . La probabilidad de un borde de cambio de frase es calculada del conjunto
de pitch class, distribucion de intervalos y de la distribucion de duraciones en la segmentacion
de bordes de la coleccion de canciones folcloricas de Essen [81].
Parte III
Marco experimental
40
Capıtulo 4
Algoritmo para la composicion
automatica de melodıas caoticas
En este capitulo se presenta el desarrollo del algoritmo para la composicion automatica
de melodıas a partir de sistemas dinamicos, tanto caoticos como no caoticos. El algoritmo
desarrollado parte primero de la solucion del sistema dinamico. Par el caso continuo, la
solucion es hallada con alguna de las funciones del conjunto de funciones ODE de Matlab,
las cuales tienes como entradas las condiciones iniciales, el intervalo de tiempo de integracion
y los parametros propios del modelo en particular. La respuesta obtenida son las variables
de solucion del sistema. Cada una de las variables devueltas son separadas y se usan para
representar un elemento particular de la melodıa como la altura, el ritmo y las dinamica
musical. Este algoritmo facilita la transformacion de las variables de solucion del sistema a
un espacio musical.
Dependiendo de la dimension del atractor se pueden obtener diferentes posibilidades para la
melodıas. Si el atractor tiene solo una dimension, esta es usada para obtener la frecuencia y
las respectivas notas musicales, si tiene dos dimensiones las segunda variable representa el
ritmo musical y si tiene tres dimensiones la tercera variable representa la dinamica musical.
En la primera seccion se describe el algoritmo para la composicion musical de una melodıa
a partir de un sistema caotico con tres dimensiones. Este es el algoritmo general y completo
usado en la composicion de melodıas caoticas con tres variables (altura, ritmo y dinamicas).
Para sistemas con menos dimensiones se usa el algoritmo general con valores constantes
en las variables musicales restantes. En las siguientes secciones se describe la adaptacion del
algoritmo para la composicion de melodıas a partir de bifurcaciones y tambien el desarrollo de
una metodologıa para el control del contorno melodico usando sistemas lineales e invariantes
en el tiempo SLIT. En la seccion final se describe un analisis matematico sobre las escalas y
los modos musicales, este analisis es usado para expandir los recursos musicales empleados
por el algoritmo.
41
4. Algoritmo para la composicion automatica de melodıas caoticas 42
4.1. Algoritmo para la composicion de melodıas con
tres dimensiones
La primera variable x, es asignada para la extraccion de las altura musicales (frecuencias y
notas MIDI), la segunda variable y es asignada a la duracion de cada nota musical (en segun-
dos y en unidades de tiempo) y la tercera variable z a la velocidad (intensidad y dinamica
musical). El orden en la asignacion de las variables puede ser cambiada incondicionalmente.
La transformacion de los datos de las variables se describiran individualmente.
4.1.1. Especificaciones musicales
El algoritmo tiene como entradas iniciales varias especificaciones musicales, las cuales son
seleccionadas segun los objetivos musicales o restricciones tecnicas.
Especificaciones para de la escala musical
1. Numero de octavas k: Indica el rango de la escala en octavas. Sera representado
como k ∈ N, y se limitara al intervalo 0 ≤ k < 7.
2. Tonica Υτ,o: Es el tono inicial donde se desea comenzar la escala. Se define como la
dupla Υτ,o = Υ (τ, o). Donde, τ : τ ∈ N |1 ≤ τ < 12 es el tono y o : o ∈ N |o < kel numero de la octava de la escala asociada.
3. Modo m0: Es el tono inicial donde va a empezar la escala. Es un valor comprendido
dentro del intervalo 0 < m0 ≤ m, donde m ∈ [0, 11] es el numero maximo de modos
posibles para una escala. Este valor indica el numero de desplazamientos necesarios
para que la escala empiece en la tonica dada por Υτ,o.
4. Nombre o estructura de la escala ψ: Conjunto de generadores intervalicos que
constituyen la arquitectura de la escala musical. Se representa como el conjunto ψ =
(s, t, tm), donde s ∈ [0, 12] es el numero de semitonos, t ∈ [0, 6] es el numero de tonos y
tm ∈ [0, 4] el numero de tonos y medio que conforman la estructura de la escala musical
deseada ξ, conformado por n notas.
5. Division del tono ∆: Esta especificacion es utilizada solo cuando se desea utilizar una
escala cromatica microtonal. Para este caso el numero de divisiones del tono ∆ ∈ N1
debe ser ∆ > 2. Se usa por defecto ∆ = 2 para el sistema temperado estandar.
Especificacion adicional:
1. Frecuencia de muestreo fs: Esta frecuencia sera usada para crear un archivo de
audio de salida con extension wav.
4. Algoritmo para la composicion automatica de melodıas caoticas 43
2. Tempo musical tp: El numero de unidades de tiempo por minuto (BPM) del frag-
mento musical.
4.1.2. Variable para las frecuencias y las notas musicales
La primera variable x, es usada para hallar las frecuencias musicales y a partir de estas las
respectivas notas MIDI. El metodo usado para realizar esto se divide en tres etapas. En la
primera etapa se genera el vector binario de pertenencia y la escala de intervalos de la escala
musical especificada ξ. En la segunda etapa se realiza una normalizacion a la variable x y en
la ultima se realiza el mapeo entre los datos normalizados y la escala de intervalos.
Parte 1: Generacion de la escala
El inverso del numero de divisiones del tono λ = 1/∆ se denomina factor de afinacion
de la escala, y se encuentra dentro del rango λ ∈ (0, 0,5]. Algunos valores tıpicos se pueden
apreciar en la figura 4.1 [21]. Con este factor de afinacion y con el numero de octavas, se
construye un vector S de dimension 1 × (p+ 1). La variable p es el numero de notas que
contiene una escala cromatica en k octavas segun el factor de afinacion dado,
p =6k
λ(4.1)
El vector S contiene una escala de intervalos igualmente temperada generada matematica-
mente con una serie geometrica de la siguiente manera
S(i+1) = 2iλ6 , 0 < i ≤ p (4.2)
Con la estructura ψ = (s, t, tm) se determina el vector de pertenecıa de la escala denominado
V, para el cual sus elementos cumplen con
Vi =
1, Si ξi ∈ S
0, Si ξi /∈ S(4.3)
El vector de pertenencia de la escala V actua como un sobre el vector S, conservando unica-
mente los generadores intervalicos que pertenecen a la escala ξ y eliminando los restantes.
El resultado de esta operacion es el vector E,
Ei = Vi · Si 1 ≤ i ≤ p (4.4)
Como el vector E tienen p elementos y algunos de estos son iguales a cero, entonces se debe
hacer un procedimiento para la eliminacion de estos valores.
E′ = Ei |Ei 6= 0,∀i (4.5)
4. Algoritmo para la composicion automatica de melodıas caoticas 44
Tercios Cuartos Sextos EneavosSistema Semitonos de tono de tono de tono de tono
λ 1/2 1/3 1/4 1/6 1/∆
Tabla 4.1: Valores de λ segun el sistema de afinacion
Figura 4.1: Vectores de pertenencia de algunas escalas conocidas
Obteniendose finalmente el vector E′ con dimension 1 × n, que contienen unicamente los
intervalos generadores propios dados por V.
Para la escala diatonica mayor, la cual tiene la estructura ψ = (2, 5, 0) y siete modos m = 7;
los modos se denominan modos griegos y tienen nombres estandarizados. El valor del modo
m0 puede obtenerse a partir de su nombre como se muestra en la tabla 4.2.
Modo griego Valor del modo m0
Jonico 0Dorico 1Frıgio 2Lıdio 3
Mıxolidio 4Eolico 5Locrio 6
Tabla 4.2: Modos griegos y factor de desplazamiento
Parte 2: Normalizacion de la variable
La variable seleccionada para representar las frecuencias de las notas musicales debe ser
normalizada con relacion al vector de intervalos temperados de la escala E′, ya que los datos
4. Algoritmo para la composicion automatica de melodıas caoticas 45
de la variable x estan dentro de un rango desconocido y diferente a los datos del vector E′.
Este proceso de normalizacion consiste en un escalamiento y una traslacion de los datos de la
variable x hacia los datos del vector E′, obteniendose como resultado la variable normalizada
x′.
El objetivo de esta normalizacion es igualar los valores maximos y los valores mınimos entre
los dos grupos de datos, esto es max (x) = max (E′) y mın (x) = mın (E′), pero conservando
la proporcion de los datos intermedios. Dicha normalizacion esta dada por,
x′ = αx+ β (4.6)
donde α se denomina factor de escalamiento y se calcula con
α =max (E′)−mın (E′)
max (x)−mın (x)(4.7)
Dado que max (E′) = 2k y mın (E′) = 1, el factor de escalamiento se reduce a
α =2k − 1
max (x)−mın (x)(4.8)
De manera similar, la variable β se denomina factor de traslacion y se determina con la
ecuacion
β = −αmın (x) + mın (E′) = −αmın (x) + 1 (4.9)
De esta forma se logra que la variable quede en el intervalo 1 ≤ x′ ≤ 2k sin perder significa-
tivamente 1 sus caracterısticas globales. Este proceso de normalizacion sera definido como
x′ = γ (x,E′) y se usara en otras etapas del algoritmo.
En la figura 4.2, se muestra la normalizacion de la variable x del sistema de Lotka-Volterra.
Parte 3: Mapeo al valor mas proximo VMP
Teniendo la variable normalizada, se procede ahora a determinar para cada valor x′ la asig-
nacion mas cercana con los valores del vector E′, obteniendo una correspondencia de los
datos de x′ con las notas de la escala musical especificada ξ.
Se construye una matriz D con dimensiones cx′ × n, tal que cx′ representa el numero de
columnas de x′.
Esta matriz se construye segun la ecuacion (4.10), para el recorrido de los ındices en el rango
0 < i ≤ cx′ , 0 < j ≤ n.
Dj,i =
0, si
∣∣x′j − E′i∣∣ ≤ µ
x′j si∣∣x′j − E′i
∣∣ > µ(4.10)
1La variable normalizada no siempre es similar a la variable original, el grado de diferencia depende delos valores maximo y minino de los datos de normalizacion, al numero de octavas k y al factor de afinacionλ.
4. Algoritmo para la composicion automatica de melodıas caoticas 46
(a) Variable original (b) Variable normalizada
Figura 4.2: Evolucion temporal y normalizacion de la primera variable del sistema de Lotka-
Volterra
El valor de umbral µ depende del tipo de afinacion de la escala λ y se calcula como
µ = 2λ6 − 1 (4.11)
Luego se crea un vector L de tamano cx′ × 1, en el cual se guarda la posicion de los valores
mınimos para cada fila de la matriz D, ası
Li= min (Di,j), 0 < i ≤ cx′ ; 0 < j ≤ n (4.12)
El conocimiento de Υτ,o es necesario para la conversion de la variable x′ al espacio musical.
Se define la aplicacion ϕ : Υτ,o → fτ,o; Υτ,o ∈ N2; fτ,o ∈ R1, para realizar la conversion a
frecuencia de una tono musical τ en la octava o,
fτ,o = ϕ (Υτ,o) = 55 · 2τ+12o−10
12 (4.13)
De aquı en adelante se representa el mapeo al valor mas proximo VMP con el operador
Φ (·), por ejemplo para el caso anterior se tiene Lx = Φ (x′,E,µ). Con los ındices de L y la
frecuencia de la tonica fτ,o, se calculan las frecuencias de las notas musicales correspondientes
a los datos de la variable x′, de la siguiente forma
Fi = fτ,o · E′Li 0 < i ≤ cx′ (4.14)
Con esto se obtienen las frecuencias de las notas referidas a cada valor de la variable x′ segun
los parametros musicales deseados. Estos valores de frecuencias se utilizan en un proceso de
sıntesis de audio posterior, requerido para la generacion del archivo wav.
Para poder visualizar la partitura de la melodıa, estas frecuencias deben ser convertidas a los
valores de las notas musicales del estandar MIDI (Musical Instrument Digital Interface).
La especificacion MIDI define un numero (en el rango 0–127) para cada nota musical (C,
4. Algoritmo para la composicion automatica de melodıas caoticas 47
C], D,...etc.). Para lograr esta conversion se usa la ecuacion (4.15), donde f ∈ R1 es una
frecuencia en Hz y θ ∈ N1 es el valor del numero MIDI.
θ (f) = 69+12
log 2log
(|f |440
)(4.15)
Haciendo la conversion al estandar MIDI, con los valores de frecuencias F hallados, se obtiene
un vector X de dimension 1× cx′ , que contiene los numeros de los tonos musicales generados
por x. Esta conversion se representa como X = θ (F). El vector X se usa para generar una
archivo mid que contiene la melodıa caotica resultante.
4.1.3. Variable para el ritmo
Esta etapa es similar a la anterior. Aquı se desea relacionar los datos de la variable y con
valores rıtmicos en unidades de tiempo 2 usando el proceso de normalizacion y′ = γ (y,R), el
cual se hace con respecto a un vector R de dimension 1×7 que contiene los valores numerico
apropiados que representan a los figuras rıtmicas musicales.
Antes de proceder con la normalizacion se debe hacer una adecuacion de los valores rıtmicos
en unidades de tiempo para facilitar las operaciones realizadas. Esta adecuacion consiste en
usar valores enteros en lugar de valores racionales, como se aprecia en la tabla 4.3.
Figura Unidades tiempo Potencia de 2 Conversion Indices rıtmicos
Redonda 4 22 26/
24 6Blanca 2 21 25
/24 5
Negra 1 20 24/
24 4Corchea 1/2 2−1 23
/24 3
Semicorchea 1/4 2−2 22/
24 2Fusa 1/8 2−3 21
/24 1
Semifusa 1/16 2−4 20/
24 0
Tabla 4.3: Valores de los ındices rıtmicos
De esta forma se crea el vector R de la siguiente manera,
Rj = j − 1, 0 < j ≤ 7 (4.16)
En esta etapa, la aplicacion del mapeo VMP es superflua, debido a que se logra relacionar la
variable normalizada y′ con los valores rıtmicos, aplicando la funcion de redondeo [39]. Con
el redondeo se obtiene el vector Y de tamano 1× cy′ , como lo muestra la ecuacion (4.17) 3.
2La figura que ocupa un tiempo del compas3La funcion <+∞ (x) = bx+ 1/2c, calcula el entero mas cercano a un numero. Donde bxc es la funcion
piso que devuelve el mayor entero menor o igual que x.
4. Algoritmo para la composicion automatica de melodıas caoticas 48
Y = <+∞ (y′) (4.17)
El vector Y es utilizado en la creacion del archivo mid. Para la creacion del archivo de audio
es preciso convertir los valores rıtmicos contenidos en Y a valores de tiempo en segundos,
puesto que la sıntesis de audio llevada a cabo para tal fin ası lo requiere.
La funcion χ (i) de la ecuacion (4.18) convierte un ındice rıtmico a su equivalente en unidades
de tiempo (beats).
χ (i) =2i
24(4.18)
Finalmente para hallar el valor en segundos de cada figura rıtmica, el cual depende del
tempo musical tp, se aplica la conversion con la ecuacion (4.19) y se obtiene el vector Y′ que
conserva las mismas dimensiones del vector de origen 4.
Y′ =60
tp· χ (Y) (4.19)
4.1.4. Variable para las dinamicas
Para la transformacion de la variable z a valores de velocidad, se sigue un procedimiento
similar al llevado a cabo para las transformaciones anteriores. La normalizacion de la variable
ahora se hace con relacion a ındices de velocidad predefinidos y contenidos en el vector
U, es decir z′ = γ (z,U). El vector U se encuentra inicializado con valores constantes,
que representan los intervalos de velocidad de cada una de las dinamicas musicales que se
muestran en la tabla 4.4.
Valor de dinamica Nombre Sımbolo
109-127 Triple forte fff93-108 Fortısimo fff76-92 Forte fff61-75 Mezzo forte mf46-60 Mezzo piano mp31-45 piano p11-30 Doble piano pp0-10 Pianısimo ppp
Tabla 4.4: Rangos numericos para las dinamicas musicales
U =[
10 30 45 60 75 92 108 127]
(4.20)
4En esta etapa tambien se le agrego al algoritmo una pequena rutina para adherir puntillo y doble puntilloa los valores ya encontrados. Ademas de poderse elegir los puntillos de forma manual o de forma aleatoriousando alguna funcion de distribucion de probabilidad.
4. Algoritmo para la composicion automatica de melodıas caoticas 49
Posterior a la normalizacion se lleva a cabo de nuevo el mapeo VMP entre la variable
normalizada z′ y el vector U, usando como valor de umbral µ = 10; esto se representa
con Lz = Φ (z′,U,µ). Se obtienen los ındices de los mınimos por fila Li y se crea el vector Z
de dimension 1× cz′ que contiene los valores de velocidad generados por la variable z. Este
vector sera usada para crear el archivo .m.
Zi = ULi 0 < i ≤ cz′ (4.21)
Para crear el archivo de audio se normaliza con respecto al maximo
Z′ =Z
max (Z)(4.22)
Para fines practicos se va a definir el operador Ω (·), de tal forma que al aplicar el operador
a las las matrices X, Y y Z, se obtiene una matriz de notas M 5, esto es 6
M = Ω (X,Y,Z) (4.23)
De manera similar se representa el proceso de sıntesis de audio con el operador Θ (·), que
devuelve la matriz adecuada para crear el archivo wav. Aplicando la sıntesis de audio se
obtiene
N = Θ (F,Y′,Z′) (4.24)
4.2. Descripcion global del algoritmo principal
A continuacion mostrara una descripcion global y completa del algoritmo general desarrol-
lado, haciendo uso de la descripcion detallada antes expuesta.
Dadas unas especificaciones musicales y un sistema de ecuaciones (continuas o discretas),
generar una melodıa como sigue:
1. Solucion del sistema
(a) Si el sistema es continuo x = F (x) entonces
(i.) Leer argumentos de entrada:
Parametros propios del sistema r ∈ Np
Condiciones iniciales x (0)
Tiempo de integracion [t0, t1]
5Para crear la matriz de notas se usa el toolboxmidi de Matlab creado por Petri Toiviainen y TuomasEerola pertenecientes al departamento de musica de la universidad de Jyvaskyla, Finlandia [29], junto conuna rutina complementaria desarrollada por el autor para crear matriz de notas no isocronicas.
6De forma abreviada tambien se usara Γ = Ω (H).
4. Algoritmo para la composicion automatica de melodıas caoticas 50
(ii.) Resolver el sistema de ecuaciones diferenciales
Solucion del sistema y separacion variables x = x1 (t) , y = x2 (t) , z =
x3 (t).
(b) Si el sistema es discreto x (k + 1) = f (x (k)) entonces
(i.) Leer argumentos de entrada:
Parametros propios del sistema r ∈ Np
Condiciones iniciales x0
Numero de iteraciones K
(ii.) Iterar el sistema en el intervalo 0 < k ≤ K
Separar las variables x = x1 (k) , y = x2 (k) , z = x3 (k)
2. Generar el vector de frecuencias y valores MIDI
(a) Crear el vector de intervalos de la escala E′
i. Leer ∆ y calcular λ = 1/∆
ii. Si λ 6= 0,5 (Equivalente a ∆ = 2)
Crear el vector de intervalos de la escala cromatica S, de dimension 1×p,donde p = 6k/λ.
Leer la estructura de la escala ψ = (s, t, tm) para la escala deseada ξ y
hallar el vector binario V.
Obtener el modo m0 de ξ y desplazar el vector V, m0 veces hacia la
izquierda.
Calcular el vector de intervalos de la escala E, ası Ei = Vi, ·Si 1 ≤ i ≤ p .
iii. Sino
Crear el vector de intervalos de la escala cromatica S.
Calcular el vector de intervalos de la escala: E = S.
(b) Normalizar x con relacion a E: x′ = γ (x,E).
(c) Mapeo VMC: Lx = Φ (x′,E,µ), con el umbral µ = 2λ6 − 1.
(d) Transformacion de los datos
i. Calcular el vector de frecuencias: F.
Calcular la frecuencia de la tonica: fτ,o = ϕ (Υτ,o).
Calcular el vector de frecuencias: Fi = fτ,o · ELi 1 ≤ i ≤ p .
ii. Calcular el vector de valores MIDI: X = θ (F).
3. Generar un vector de duraciones y figuras rıtmicas
(a) Inicializar el vector de ındices rıtmicos R.
4. Algoritmo para la composicion automatica de melodıas caoticas 51
(b) Normalizar y con relacion a R: y′ = γ (y,R).
(c) Transformacion de los datos
i. Calcular el vector de figuras rıtmicas (beats): Y = <+∞ (y′).
ii. Calcular el vector de duraciones (seg): Y′i = 60tp· χ (Yi).
4. Generar el vector de velocidades
(a) Inicializar el vector de valores de velocidad U.
(b) Normalizar z con relacion a U: z′ = γ (z,U).
(c) Mapeo VMC con z′, U y umbral µ = 10: Lz = Φ (z′,U,µ).
i. Calcular el vector de velocidades (0-127): Zi = ULi 0 < i ≤ cz′ .
ii. Calcular el vector de amplitudes (0-1): Z′ =Z/max (Z)
5. Construir los archivos de salida
(a) Si λ = 0,5,
i. Crear archivo mid
Matriz de notas: M = Ω (X,Y,Z)
Crear archivo midi para (N, tp)
ii. Crear archivo de audio wav
Sıntesis de audio: N = Θ (F,Y′,Z′)
Crear archivo wav para (N, fs)
(b) Sino
i. Sıntesis de audio: N = Θ (F,Y′,Z′)
ii. Crear archivo wav para (N, fs)
El la figura 4.3 se observa el diagrama de flujo del algoritmo desarrollado. Donde se puede
apreciar, conjuntamente con la descripcion anterior, un mejor funcionamiento del mismo.
4.3. Composicion automatica de melodıas mediante bi-
furcaciones
Dentro de las bifurcaciones estudiadas en la seccion 1.4 las mas apropiadas para generar
material musical son: la bifurcacion de Hopf y la bifurcacion flip. No obstante, debido a la
versatilidad del algoritmo de poder manejar cualquier tipo de sistema dinamico continuo o
discreto, se puede usar cualquier tipo de bifurcacion de acuerdo a las pretensiones musicales
buscadas.
Para la bifurcacion de Hopf se opera directamente con el algoritmo propuesto. Para la bi-
furcacion tipo flip se debe unir el algoritmo con una rutina complementaria. Esta rutina
sera expuesta a continuacion.
4. Algoritmo para la composicion automatica de melodıas caoticas 52
Figura 4.3: Diagrama de flujo simplificado del algoritmo de composicion caotica
4. Algoritmo para la composicion automatica de melodıas caoticas 53
4.3.1. Algoritmo para la composicion polifonica
Para la generacion de material musical a partir del diagrama de bifurcacion de doblamiento
de periodo, se deben crear varias melodıas. Una melodıa por cada uno de los conjuntos
de datos obtenidos en la iteracion para diferentes valores del parametro de bifurcacion. En
consecuencia, se debe aplicar un algoritmo para unir todas las melodıas en una sola pieza
musical de caracter polifonico.
Primero se comienza creando una matriz de bifurcacion M, de dimension n× c, que contiene
n iteraciones del mapa no lineal para cada variacion del parametro r. El parametro r se
encuentra en el intervalo [r1, r2] con incrementos de r, ası que el numero de columnas de M
se calcula con
c =r1 − r0
r(4.25)
Despues de obtener la matriz de bifurcacion se procede a generar una melodıa para cada
una de las filas de la matriz. Como cada fila contiene los resultados del mapa para todos
los valores del parametro dentro del rango, la melodıa obtenida recorrera varios estadios
y variaciones melodicas. Para llevar a cabo esto, se crea una matriz de notas para cada
melodıa y se genera una matriz de notas total con la cual se crea el archivo mid que contiene
fragmento musical polifonico.
Se aplica el operador Ω (·) a la matriz de notas M,
Ni = Ω(Mi,j
)0 < i ≤ n ; 0 < j ≤ c (4.26)
obteniendo un conjunto de matrices de notas para cada valor del parametro r, representados
como N : N1,N2, . . . ,Nn. Se debe realizar un proceso para construir una unica matriz
de notas MT con el conjunto de matrices de notas N , conservando el orden existente entre
estas. Para lograr lo anterior se aplica el procedimiento de concatenacion de matrices de
notas descrito a continuacion.
4.3.2. Modulo para la concatenacion de matrices de notas
Este modulo tiene como entrada dos matrices de notas consecutivasNi yNi+1, i = 1, 2...n−1.
Sea ch (N ) una funcion que devuelve el canal de la matriz de notas N .
Para cada par de matrices de notas se hallan el maximo valor del canal y sigue el proced-
imiento descrito abajo.
1. Para i = 1, 2...n− 1
(a) Obtener el canal maximo de Ni y Ni+1
κi = max (ch (Ni))κi+1 = max (ch (Ni+1))
(4.27)
4. Algoritmo para la composicion automatica de melodıas caoticas 54
(i.) Si κi 6= κi+1 entonces
ch (Ni+1) = κi + 1 (4.28)
(ii.) Sino, entonces
ch (Ni) = 1
ch (Ni+1) = 2(4.29)
(b) Concatenar las matrices de notas
N ′ = cat (Ni,Ni+1) (4.30)
2. Ordenar la primera columna de N ′ y almacenar en el vector O.
O = ord(N ′i,1
)(4.31)
3. Crear la matriz de notas total MT
MTi,j = N ′O,j 1 < i < fN ′ ; 2 < j < fN ′ (4.32)
Donde fN ′ representa el numero de filas de la matriz N ′.
4.4. Composicion de melodıas con control del caos
Debido a la versatilidad del algoritmo, es posible generar melodıas con sistemas caoticos
controlados. El interes de este procedimiento radica en que teniendo la variable controla-
da, el material musical correspondiente obtenido con el algoritmo refleja las caracterısticas
dinamicas alcanzadas con la estrategia de control. Estas caracterısticas desde el punto de
vista musical tienen una gran importancia melodica, ya que se obliga a la que melodıa evolu-
cione de un comportamiento “caotico” a una nota sostenida, un intervalo o un arpegio. Esto
depende del periodo de la orbita especificada en el diseno.
El procedimiento consiste en aplicar alguna tecnica para el control del caos directamente al
sistema y despues operar con el algoritmo de composicion.
4.5. Metodologıa para el control del contorno melodico
En esta seccion se presenta la aplicacion de la teorıa clasica del control en la generacion
automatica de melodıas. Se comienza haciendo una relacion entre las caracterısticas de la
respuesta temporal de un sistema lineal invariante en el tiempo SLIT y el contorno melodico.
Posteriormente de describe su forma de aplicacion.
4. Algoritmo para la composicion automatica de melodıas caoticas 55
4.5.1. Relacion entre la respuesta transitoria y el contorno melodi-
co
El objetivo principal de la teorıa clasica de control es poder mantener la salida de un sistema
lo mas cerca posible de una senal de referencia y dentro de unas condiciones temporales o
frecuenciales deseadas [67]. La respuesta en el tiempo se compone de dos partes: la respuesta
en estado estacionario y la respuesta en estado transitorio. La respuesta transitoria con-
tiene algunas caracterısticas que a veces son necesarias mantenerlas dentro de unos rangos
definidos segun los objetivos de diseno. Por su parte, en el estado estacionario, que es parte
de la respuesta que se estabiliza en un valor despues de un tiempo de establecimiento ts, la
caracterıstica principal es la diferencia que tiene este valor de estabilizacion con el valor de
referencia. Esta diferencia se denomina error en estado estacionario ess o error en regimen
permanente. En la teorıa clasica de control se desea disminuir este error y lograr que per-
manezca en una rango pequeno, de tal forma que quede cerca del valor de referencia [54].
Para lograr estos objetivos de diseno se han desarrollado diferentes metodos que varıan segun
el dominio usado y las especificaciones de entrada. Dentro de los metodos mas usados estan
el calculo de controladores y el diseno de compensadores.
En la grafica 4.4 se muestran las caracterısticas de la respuesta temporal de un SLIT y la
relacion definida para el espacio musical.
Figura 4.4: Analogo al espacio musical de la respuesta temporal de un SLIT a la entrada
escalon
Cada una de las caracterısticas transitorias estan relacionada con el contorno melodico como
lo muestra la tabla 4.5.
A partir de la grafica anterior y de los conceptos de control, se expresan las ecuaciones
matematicas de la respuesta temporal de los SLIT en termino del espacio musical consider-
4. Algoritmo para la composicion automatica de melodıas caoticas 56
Variable Contorno melodico Respuesta temporalCr Compas levantamiento Tiempo de levantamiento trCd Compas de retardo Tiempo de retardo tdCp Compas maximo o pico Tiempo pico tpCs Compas de asentamiento Tiempo de establecimiento tsImp Intervalo de sobrepaso maximo Soreimpulso maximo Mp
Iss Intervalo de estado estacionario Error em estado estacionario ess
Tabla 4.5: Caracterısticas analogas entre el contorno melodico y la respuesta temporal
ado.
Tiempos del transitorio
Para relacionar tr, td, tp y ts con su respectivo sımil es necesaria solo la ecuacion (4.33). En la
cual Cx y tx es la pareja de variables relacionada. Por ejemplo, para hallar el ts se reemplaza
en la ecuacion el valor de Cs, teniendo en cuenta que todos los Cx estan en beats y los tx en
segundos.
tx =60 · Cx ·Nut
tp(4.33)
Donde Nut es el numero de unidades de tiempo por compas (en beats) y tp es el tempo.
Sobreimpulso maximo
El sobrepaso maximo Mp (en porcentaje) esta relacionado con el intervalo de sobrepaso
maximo Imp, segun la siguiente ecuacion:
Mp =(
12√
2Imp − 1)· 100 % (4.34)
Error en estado estacionario
El error en estado estacionario ess se relaciona con el intervalo de estado estacionario Iss de
la siguiente forma:
ess =(
12√
2±Iss)
(4.35)
El intervalo de sobrepaso maximo Imp y el intervalo de estado estacionario Iss, se especifican
en semitonos de acuerdo al intervalo requerido. Ademas, puesto que se esta usando el sistema
temperado, entonces sus relativos temporales Mp y ess son discretos.
En la tabla 4.6 se muestran dichos intervalos, el valor en semitonos y la correspondencia con
Mp y con ess.
4. Algoritmo para la composicion automatica de melodıas caoticas 57
Intervalo Notacion Semitonos Mp ( %) ess
Octava 8 12 100 0,5Septima mayor 7M 11 88,77 0,5297Septima menor 7m 10 78,18 0,5612
Sexta mayor 6M 9 68,18 0,5946Sexta menor 6m 8 58,74 0,6674Quinta justa 5J 7 49,83 0,63
Quinta disminuida 5dism 6 41,42 0,7071Cuarta justa 4J 5 33,48 0,7492
Tercera mayor 3M 4 25,99 0,7937Tercera menor 3m 3 18,92 0,8409Segunda mayor 2M 2 12,25 0,8909Segunda menor 2m 1 5,9463 0,9439
Unısono 1J 0 0 1
Tabla 4.6: Intervalos musicales y relacion con el sobrepaso maximo tonal
4.5.2. Diseno de un controlador del contorno melodico
La adaptacion de los conceptos y las ecuaciones de la teorıa de control lineal al espacio
musical, permiten controlar el contorno melodico mediante el diseno de tecnicas apropiadas.
Este diseno se realiza con las caracterısticas temporales obtenidas con la transformacion de
las correspondientes melodicas.
Por ejemplo, es posible disenar un controlador PID para una funcion de transferencias deter-
minada de tal forma que la melodıa obtenida a partir de esta tenga un intervalo de sobrepaso
maximo igual a una una sexta menor (Imp = 8), que se estabilice en el segundo beat del cuarto
compas (Cs = 18) o que el sobrepaso maximo ocurra en la mitad del primer compas (Cp = 2)7.
Sin embargo, los pretensiones de las especificaciones usadas en ingenierıa de control no son
siempre adecuadas a las deseadas para el control de una melodıa. Esto es debido a que en la
teorıa de control se desea disminuir el sobreimpulso maximo, el tiempo de establecimiento
y el error de estado estacionario. Pero disminuir las caracterısticas melodicas relacionadas,
causara que la melodıa sea llana y monotona. Concluyendose que las especificaciones en el
control melodico son conceptualmente contrarias a las del control clasico.
La metodologıa propuesta para el control del contorno melodico, queda a la espera de ser
extendida a otras variables musicales diferentes al aspecto tonal.
7Estos valores corresponde a una signatura de compas de cuatro cuartos
4. Algoritmo para la composicion automatica de melodıas caoticas 58
4.6. Analisis matematico de las escalas y los modos
musicales
En investigaciones anteriores realizadas por el autor [23], se desarrollo un estudio matematico
de las escalas y los modos musicales en el cual se dedujeron las ecuaciones necesarias para
determinar el numero total de escalas y modos posibles usando diferentes combinaciones de
las unidades intervalicas, y el desarrollo de los metodos necesario para construirlas de forma
sistematica.
Los resultados de estas investigaciones se adaptaron en el algoritmo de composicion caotica
para que pueda actuar sobre un espacio musical mayor. De esta forma puede disponer de
todos los modos y escalas posibles para cualquier tipo de sistemas temperado.
4.6.1. Analisis combinatorio de escalas usando tonos y semitonos
El numero de modos posibles para una escala de n notas formada por t tonos y s semitonos
se halla con la combinatoria 8, se usa nCs si se calcula con los semitonos o nCt si se calcula
con los tonos. Se denotara simplemente como m.
m = nCs = nCt (4.36)
Debido a que el numero de tonos o semitonos que conforma una escala esta relacionado con
del numero de notas n, entonces la ecuacion anterior se puede reescribir como,
m = nC2n−12 = nC12−n (4.37)
Esta ecuacion resulta bastante util cuando no se conoce la estructura de la escala ψ =
(s, t, tm), ya que solo depende del numero de notas n.
Se puede hallar el numero total de modos posibles m para diferentes valores de n, esto es
6 ≤ n ≤ 12, adaptando la ecuacion (4.36),
m =k=6∑k=0
6+kC2k =k=6∑k=0
6+kC6−k (4.38)
En esta ecuacion las variables quedaron en funcion del ındice k, de tal forma que n = 6 + k,
s = 2k y s = 6− k.
Puesto que cada modo m puede tener como tonica cada una de las 12 notas de la escala
cromatica entonces el numero total de modos con transposiciones T es
T = 12m (4.39)
8nCr, es la combinatoria de de n elementos tomados de r en r y se calcula con nCr = n!
r!(n−r)!
4. Algoritmo para la composicion automatica de melodıas caoticas 59
Hasta este punto unicamente se han descrito las ecuaciones relacionada con los modos y las
transposiciones, pero no se ha mencionado nada sobre las escalas que generan dichos modos.
El numero de escalas con n notas cada una con m modos, esta dado por
ε =m
n(4.40)
Sin embargo, existen escalas con igual numero de notas n que producen diferentes cantidades
de modos m, lo que conlleva a la realizacion de una generalizacion de la ecuacion (4.40).
Esta excepcion sucede cuando la estructura de la escala esta conformada por grupos simetri-
cos de unidades intervalicas como: tss, stt, sst, tsss, ttss, ttts, . . .. La cantidad de unidades
intervalicas de estos grupos simetricos son multiplos de 2 o de 3, entonces solo los n pares
e impares multiplos de 3 contienen grupos simetricos. Partiendo de este ultimo concepto,
se deduce la ecuacion (4.41) que determina el numero de escalas εj, y su respectivo modo
mj y que sumadas conforman el conjunto total de escalas ε y modos m para un valor de n
especifico.
εj =
(nCs −
i=j−1∑i=0
miεi
)divmj j = 1, 2 . . . (t− 1) (4.41)
Por definicion ε0 = 0. El valor de mj se calcula con
mj =n
((n mod 2) + 2)j−1 (4.42)
Haciendo la sumatoria de los modos discriminados mj, se llega a una ecuacion equivalente a
la ecuacion (4.38),
m =t−1∑j=1
mj (4.43)
De forma similar, se obtiene el total de escalas posibles para varios valores de n,
ε =t−1∑j=1
εj (4.44)
El numero de escalas y sus respectivos modos para cada valor de n con estructura intervalica
conformada por combinaciones de tonos t y semitonos s, se muestran en la tabla 4.7.
4.6.2. Analisis combinatorio de escalas con tono y medio
Cuando se considera el intervalo de tono y medio tm en la estructura de las escala, es necesario
modificar las ecuaciones vistas. Para hallar el numero total de modos sin transposiciones la
ecuacion necesita de dos combinatorias, de la forma
m = nC(tm+s) · (tm+s)Cs (4.45)
4. Algoritmo para la composicion automatica de melodıas caoticas 60
n t s Escala Modo Total modos
6 6 0 1 1 17 5 2 3 7 21
8 88 4 4 1 4 70
1 29 3 6 9 9 84
1 310 2 8 4 10 45
1 511 1 10 1 11 1112 0 12 1 1 1
Total 31 233
Tabla 4.7: Cantidad total de modos para escalas con unidades intervalicas de t y s
Haciendo una reorganizacion y una expansion de la anterior ecuacion se obtiene una ecuacion
para hallar la sumatoria de los modos totales para cada valor de tm.
m =
nmax∑i=nmın
(iC2(i−nmax
2 ) · 2(i−nmax2 )Ctm
)(4.46)
Las expresiones matematicas para hallar nmax y nmın, las cuales dependen de smın y smın
respectivamente, se muestran en la tabla 4.8.
Mınimo Maximotm 1 4t 0 Tmax
s Tm mod 2 1 + 2T
n Tm + T + Smın Tm + Smax
Tabla 4.8: Expresiones para los maximos y mınimos de tm, t, s y n
La tabla 4.47 contiene los valores maximos y mininos posibles para cada una de las unidades
intervalicas y para el numero de notas por escala, a excepcion del tmax que se muestra en la
siguiente ecuacion
tmax =12− (3tm + tm mod 2)
2(4.47)
Aplicando las ecuaciones anteriores se obtiene la tabla 4.9, que reune la cantidad total de
escalas y modos usando combinaciones de t y s y tm.
La tabla 4.10 resumen el numero total de escalas y modos posible en el sistema temperado.
4. Algoritmo para la composicion automatica de melodıas caoticas 61
n tm t s Escalas Modos Total modos
6 1 4 1 5 6 307 1 3 3 20 7 1408 1 2 5 21 8 1689 1 1 7 8 9 7210 1 0 9 1 10 10
5 2 3 0 2 5 106 2 2 2 14 6 90
2 37 2 1 4 15 7 1058 2 0 6 3 8 28
1 4
5 3 1 1 4 5 206 3 0 3 3 6 20
1 2
4 4 0 0 1 1 1
Total 101 694
Tabla 4.9: Cantidad total de modos para escalas con unidades intervalicas de tm, t y s
tm Escalas Modos Esc. transposiciones Modos transposiciones
0 233 31 2796 3721 420 55 5040 6602 233 37 2796 4443 40 8 480 964 1 1 12 12
Total 927 132 11124 1584
Tabla 4.10: Cantidad total de modos y escalas posibles en sistema temperado semitonal
Capıtulo 5
Experimentos y Resultados
En este capitulo se muestran y se describen los experimentos y las pruebas realizadas con
el algoritmo de composicion musical caotico desarrollado y los resultados obtenidos con la
aplicacion de las respectivas pruebas estadısticas planteadas.
En la primera seccion se analizan los fragmentos melodicos generados. Se realiza el analisis
con la evolucion temporal y luego para variables de solucion conjuntamente, es decir con el
retrato de fase. Posteriormente se implementan las tecnicas de control del caos y se anal-
izan los resultados musicales obtenidos, tambien se aplican tecnicas de control clasico para
gobernar las caracterısticas del contorno melodico. En la ultima parte se realizan analisis
y pruebas estadısticas univariadas y multivariadas que permiten caracterizar y contrastar
mejor las melodıas caoticas con relacion a una base de datos de melodıas clasicas tomadas
como referencia.
Se usan escalas, modos y estructuras diversas para mostrar la capacidad del algoritmo y el
potencial del analisis matematico sobre escalas y modos.
5.1. Composicion automatica con sistemas caoticos con-
tinuos
En esta seccion se muestran las melodıas generadas por medio de sistemas caoticos continuos
con tres dimensiones a partir del retrato de fase.
5.1.1. Generacion de melodıas con sistemas caoticos con de tres
dimensiones
Para usar el atractor de Chen como generador musical en el algoritmo de composicion,
primero se deben definir las especificaciones musicales necesarias como argumentos de en-
trada, estas son:
Numero de octavas: 3
Octava principal: 3
62
5. Experimentos y Resultados 63
Escala: escala Do mayor
En la grafica 5.1 se aprecia la evolucion temporal de las variables de solucion del atractor de
Chen, la variable x es mapeada a los valores de las notas musicales, primero se convierten
los valores de la variable a los respectivos valores de las frecuencias estandarizadas de las
notas musicales como se aprecia en la figura de la segunda fila y por ultimo los valores de
las frecuencias se transforman a los valores MIDI asociados con las frecuencias como se ve
en la ultima grafica de la figura 5.1.
Figura 5.1: Mapeo a frecuencia y a notas MIDI de la variable x del atractor de Chen
La variable de solucion x del atractor es continua pero las frecuencias y los valores de las notas
MIDI no; por tal razon cuando se hace el mapeo a la frecuencia se crean discontinuidades.
Ademas de las discontinuidades, la frecuencias se encuentran acotadas dentro de un rango
amplio y posiblemente mayor al de la variable, esto hace que la grafica de trasformacion a
frecuencia tenga una forma similar a la de la variable original y que la curva de transformacion
a notas MIDI sea mas suave y estrecha, ya que se encuentra acotada en un rango menor,
exactamente entre 0-127.
La variable de solucion y aporta las informacion musical rıtmica de la melodıa resultante.
Esto se muestra en la figura 5.2, la primera grafica corresponde a la evolucion temporal de la
variable y del atractor, la segunda a su respectiva transformacion a duraciones rıtmicas en
segundos y la ultima grafica son los valores rıtmicos en beats asociados con las duraciones.
Los valores de estas figuras rıtmicas son relativos segun el tempo musical asignado.
La ultima variable del atractor z es usada para obtener las dinamicas musicales de la melodıa,
estas dinamicas determinan la intensidad sonora de las notas musicales y son tambien valores
discretos como se mostro en la tabla 4.4. Al ser estos valores mas espaciados la variable
transformada queda con mayores discontinuidades como se ve en la figura 5.3.
5. Experimentos y Resultados 64
Figura 5.2: Mapeo de la variable y del atractor de Chen a valores rıtmicos en segundos y en
beats
Figura 5.3: Mapeo de la variable z del atractor de Chen a valores de dinamicas musicales
En las figura 5.4 se muestran los retratos de fase en dos dimensiones del atractor para los
tres pares de combinaciones de variables posibles, x− y,x− z y y − z. En las figuras de las
filas siguientes, los retratos de fase de las variables transformadas. Los retratos de fase de las
variables transformadas revelan la distorsion sufrida por las variables originales en el mapeo,
sin embargo esta distorsion no es relevante en el resultado musical final ya que es producto
de los objetivos musicales.
5. Experimentos y Resultados 65
Figura 5.4: Retratos de fase en 2D del atractor de Chen
El retrato de fase en dos dimensiones muestra el aporte conjunto de dos variables del atractor
e indica el valor que tiene una variable en funcion de la otra. Para el caso de las variables
transformadas que componen la melodıa se puede interpretar en la primera grafica de la
segunda fila de la figura 5.4, que la melodıa empieza con valores rıtmicos cortos y a medida
que va ascendiendo los valores rıtmicos van aumentando lentamente hasta que llega un
punto en el cual estos cambian nuevamente a valores rıtmicos muy cortos en un periodo
de tiempo pequeno mientras los intervalos musicales de la melodıa se hacen mas grandes
hasta alcanzar un registro grave; interpretacion que concuerda con el resultados musical
final obtenido mostrado en la figura 5.5.
Aunque el retrato de fase en tres dimensiones mostrado en la figura 5.6 aporta la misma
informacion que los retratos de fase en dos dimensiones, la interpretacion del retrato de fase
en dos dimensiones es mas rapida y facil de comprender.
Como se menciono antes la variable x es asignada a la frecuencia de las notas musicales y la
variable y a la duracion de las figuras rıtmicas y la grafica que relaciona estas dos variables
es el retrato de fase en dos dimensiones. En este retrato se nota que la curva resultante se
mueve en todos los sentidos, ascendente y descendentemente y hacia adelante y hacia atras,
esto se debe a que una variable queda en funcion de la otra. De lo anterior se puede inferir
5. Experimentos y Resultados 66
Figura 5.5: Melodıa generada por el atractor de Chen
Figura 5.6: Retrato de fase en 3D del atractor de Chen
que la grafica es atemporal, quiere decir que ninguna de las variables relacionadas puede ser
la variable de tiempo. Sin embargo, es posible modificar el retrato de fase en dos dimensiones
de tal forma que se obtenga una grafica que relacione las dos variables y en la cual una de
estas haga de variable temporal relativa. Esto se logra haciendo que la variable y gobierne
el orden en el que deben ocurrir las notas musicales, al hacer esto se obtiene un retrato de
5. Experimentos y Resultados 67
fase modificado como se muestra en la figura 5.7. El resultado musical obtenido a partir de
esta modificacion tiene mayor interes melodico ya que obliga a que la melodıa tenga mayores
picos y valles musicales, evitando ası la monotonıa como se observa en la figura 5.8.
La variable z muestra que la melodıa comienza con una dinamica de pp y va aumentando
gradualmente hasta alcanzar el doble forte ff en el compas 9, luego se desciende al forte
antes de proseguir al triple forte fff en el compas 14 para terminar en doble forte ff desde el
compas 16. Como se ve la dinamicas otorgadas por la variable z del atractor a la melodıa,
aunque son variadas, tiende a predominar en un nivel sonoro alto.
Figura 5.7: Retrato de fase modificado del atractor de Chen (X vs Y(Orden))
Figura 5.8: Melodıa generada con el retrato de fase modificado del atractor de Chen
Las siguientes graficas ayudan a describir mejor, desde diversas perspectivas, la melodıa
obtenida con el atractor. En la parte superior de la figura 5.9 se encuentra la grafica de-
5. Experimentos y Resultados 68
nominada piano roll, donde se muestra la evolucion de las notas musicales en el tiempo y
su duracion. El descenso subito en la grafica corresponde al descenso melodico con figuras
cortas que ocurre en el compas 13. En la parte inferior se encuentra la notacion de piano
roll para de las dinamicas; esta grafica se asemeja a las grafica de transformacion de dicha
variable mostrada en la figura 5.3.
Figura 5.9: Grafica de pianoroll de la melodıa generada con el atractor de Chen
En la figura 5.10 se observa el porcentaje de veces que cada nota musical aparece en la
melodıa, como en este caso se utilizo la escala de Do mayor, entonces las notas de esta escala
son las que contiene una barra de proporcion en la grafica. La tonica de la escala C es la que
contiene la mayor proporcion de apariciones dentro de la melodıa. La grafica inferior indica
la proporcion de transicion entre notas sucesivas, esta proporcion se indica con una escala
de grises. La transicion mas usada en la melodıa es C a C, que corresponde a los primeros
compases de la melodıa.
La grafica superior de la figura 5.11 muestra el histograma de los intervalos de la melodıa de
Chen, aquı se aprecia como el unısono y la segunda mayor predominan. En la grafica inferior
se ve como la transicion entre estos mismos dos intervalos tambien es predominante.
En la figura 5.12 se muestra la distribucion de duraciones y su respectiva transicion. La
barra con mayor altura en la grafica superior indica la predominancia de la corchea y el
cuadro negro en la figura inferior tambien demuestra dicha persistencia en la proporcion de
transiciones.
Ademas, se complementa la descripcion de la melodıa por medio de los descriptores es-
tadısticos y las medidas melodicas. Los valores de los descriptores estadısticos obtenidos se
observan en la tabla 5.1. Se encuentra nuevamente como predominan los unısonos al notar
que la proporcion de intervalos iguales (Digu) es de 0.5 y que la proporcion de intervalos en
5. Experimentos y Resultados 69
Figura 5.10: Distribucion y transicion de pitch class de la melodıa generada con el atractor
de Chen
Figura 5.11: Distribucion y transicion de los intervalos de la melodıa generada con el atractor
de Chen
igual direccion (EC) es relativamente alta 0.641. Tambien que la densidad de intervalos dis-
onantes (Id) es muy baja 0.0781, esto se debe a que unicamente se estan usando las notas de
la escala de Do mayor. El rango tonal (Rt) es de 36 semitonos ya que en la especificaciones
se asignaron 3 octavas. El valor de los saltos de retorno (Sr) es igual a 1 porque no hay
intervalos grandes (mayores a 8 semitonos) que esten seguidos por intervalos de retorno, es
decir intervalos en direccion opuesta con mınimo un semitono menor que el precedente, esto
5. Experimentos y Resultados 70
Figura 5.12: Distribucion y transicion de las duraciones de la melodıa generada con el atractor
de Chen
demuestra la suavidad y la tendencia de la melodıa.
Descriptor Dasc Digu Ddesc Ec Ecp Ecn Ecc
Valor 0.281 0.5 0.219 0.641 0.1429 0.191 0.318
Descriptor Ct Id Ic Mp Rt Sr Vt
Valor 0.33 0.0781 0.25 0.3438 36 1 0.1077
Tabla 5.1: Descriptores estadısticos de la melodıa generada con el atractor de Chen
Finalmente, se muestran los indicadores melodicos de la melodıa en la tabla 5.2. La comple-
jidad basada en la esperanza para el pitch es baja (-0.838σ), para el ritmo es alta (0.921σ)
pero conjuntamente se aproxima mas a la media de referencia (0.492σ). La originalidad
melodica de la melodıa de Chen es muy baja de 0.643. Por ultimo se observa que el grado
de melodiosidad de la melodıa de Chen es bajo.
Abreviatura medida cbmp cbmr cbmo mom gmValor 4.162 5.921 4.508 4.643 4.563
Tabla 5.2: Indicadores melodicos de la melodıa generada con el atractor de Chen