ANALISA VEKTORK-3

VektorVektor memiliki besaran dan arah. Beberapa besaran fisika yang dinyatakan dengan vektor seperti : perpindahan, kecepatan dan percepatan. Skalar hanya memiliki besaran saja, contoh : temperatur, tekanan, energi, massa dan waktu.

Penjumlahan Vektor

& & & s ! a b

Mengikuti hukum : Komutatif :

& & & & a b ! b a

Assosiatif :

& & & & & & (a b ) c ! a (b c )

& Vektor b adalah vektor yang memiliki & besaran yang sama dengan vektorb tetapi berlawanan arah, bila dijumlahkan akan menghasilkan :

& & (b ) (b ) ! 0

Komponen vektor merupakan proyeksi vektor pada sumbu sistem koordinat

& Komponen vektor : a ax ! a cos U dan a y ! a sin Udisebut komponen skalar

& Besar vektor a:

a!

a a

2 x

2 y

dan

ax tan U ! ay

& & Khusus untuk penjumlahan 2 vektor (a dan b), &besar vektor s dapat dicari dengan rumus :

s ! a b 2ab cos UDalam perhitungan vektor dibutuhkan rumus trigonometri : Dalil cosinus : a 2 ! b 2 c 2 2 bc cos Eb 2 ! a 2 c 2 2 ac cos F c 2 ! a 2 b 2 2 ab cos KDalil sinus :

2

2

a b c ! ! sin E sin F sin K

Vektor satuan: Vektor satuan pada arah positif sumbu x, y dan z j diberi tanda : i , dan k

& & Kita dapat tulis vektor a dan b sebagai berikut :

& a ! ax i a y j & b ! bx i by j

disebut komponen vektor

Penjumlahan vektor dengan komponen& & & & s ! a b , setiap komponen s sama dengan& & komponen a b

s x ! a x bx s y ! a y by s z ! a z bz

Perkalian vektor : Perkalian vektor dengan skalar : & Jika vektor a dikalikan dengan skalar s akan menghasilkan vektor baru dengan besar nilai & absolute s dengan arah a jika s positif, dan & berlawanan arah jika s negatif. Vektor a dibagi & dengan s berarti kita mengkalikan a dengan 1/s. Perkalian vektor dengan vektor :Menghasilkan skalar : Scalar Product Dikenal sebagai : Dot product

& & a.b ! ab cos J

Dituliskan secara komponen bagian sebagai berikut :

&& a.b ! (a cos J )(b) ! (a)(b cos J )Scalar product berlaku hukum komutatif

&& && a.b ! b .aJika ditulis dalam vektor satuan, maka perkalian scalar :

&& a.b ! (ax i a y az k ).(bx i by bz k ) j jDiperoleh hasil akhir sebagai berikut :

&& a.b ! ax bx a y by az bz

Menghasilkan vector : Vector Product Dikenal sebagai : Cross Product

& & & a xb !cDengan besar c adalah :

c ! ab sin J& & Besaran a x b& & ditulis a x b ! 0 jika

& & a // b

& & dan maksimum jika a B b

& Arah dari vektor ctegak lurus bidang yang berisi vektor

& & a dan b dikenal sebagai hukum tangan kanan.

& & & & b x a ! ( a x b )

Penulisan dalam vektor satuan :

& & a x b ! (axi a y az k ) x (bxi by bz k ) j j ax i x bx i ! ax bx (i x i ) ! 0 j axi x by ! ax by (i x ) ! axby k jHasil akhir :

& & a x b ! (a y bz by az )i (az bx bz ax ) (axby bx a y )k j

Latihan soal :& & Dua buah vektor a dan b bertitik tangkap sama

& saling mengapit dengan sudut E . Jika besar vektor a& dua kali vektor b dan a b ! 3 a b , hitung E ! a b ! a 2 b2 2 ab cosE Jawab :a b ! a 2 b2 2 ab cosEa 2 b 2 2 ab cos E ! 3 a 2 b 2 2 ab cos E

16 b 2 cos E ! 10 b 2

E ! 51, 320

Dua buah vektor yang besarnya 8 dan 15 satuan saling mengapit dengan sudut 45. Hitung besar resultannya dan sudut antara resultan dengan vektor pertama. Jawab : 2 2 r ! v1 v2 2 v1v2 cos 450r! 458, 7 r ! 21, 4 satuan

Sudut antara resultan dengan vektor pertama dapat dicari dengan 2 cara : dalil cosinus atau dalil sinus2 Dalil Cosinus : v2 ! v12 r 2 2v1r cos E

297, 7 ! 342, 4 cos E E =29,60Dalil Sinus :

v2 r ! sin E sin 1350 15(0, 707) sin E ! E =29,7 0 21, 4

& j Diketahui 3 buah vektor a ! 1 i 3 4 k & b ! 1 i 2 2 k j & c ! 3 i 1 3 k j & Hitung besar vektor r dan sudut antara vektor ini dengan sumbu z & & & & & & jika r ! 2a b c. Hitung juga sudut antara vektor a dan b ! Jawab : & r ! (2)i (7) (13) k r ! (2) 2 (7)2 (13)2 ! 14,9 satuan j & Sudut antara r dengan sumbu z : men dot kan dengan vektor & & satuan arah sumbu z. r . k ! (2)i .k (7) .k (13) k .k j r k cos K ! 13 cosJ = 13 J =29.30 14.9

& & Sudut antara a dan b diperoleh dengan men dot kan keduanya. && a. b ! 1.( 1) ( 3).( 2) 4.(2) a b cos J ! 13 cosJ = 13 26 9 J =31,80

Suatu vektor a dalam bidang xy mempunyai besar 5 satuan dan arahnya 2520 terhadap sumbu x positif. Vektor b mempunyai besar 4 satuan dan arahnya searah sumbu y. Hitung besar perkalian titik dan perkalian silang kedua vektor tersebut. Jawab : Sudut terkecil antara kedua vektor tersebut adalah:2520 900 ! 1620

Sehingga diperoleh :& & a . b ! ab cos J ! (5)(4) cos1620 ! 19 satuan& & a x b ! ab sin J ! (5)(4) sin1620 ! 6,18 satuan

X = F.d sin U = Fr sin U = F x r = M

Contoh

-

TURUNAN VEKTOR

Operator laplace

Gradien (divergensi)