Algebra vectorial 5

Tema 1 ELEMENTOS DE ÁLGEBRA Y CÁLCULO VECTORIAL

Fundamentos de Física Facultad de Ciencias del Mar.

Magnitud escalar. Aquéllas cuya medida queda completamente especificada por un número real y su unidad. Ejemplos: la masa, la temperatura, la presión.

Magnitud vectorial. Aquéllas en las que para su determinación se necesitan tres números reales y su unidad. O equivalentemente, un módulo (definido por una número real positivo y su unidad), una dirección (definida por una recta) y un sentido. Estas magnitudes se pueden representar por una recta orientada también llamada vector.Ejemplos: la velocidad, la fuerza, el campo gravitatorio.

Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.

Álgebra vectorial1.1.

Fundamentos de Física. FCM.

A

'Aa

dirección

sentido

módulo


A

'Aa

dirección

sentido

módulo

Vector. Se denota como . Se define como un segmento orientado caracterizado por:• Un origen o punto de aplicación. Punto A.• Un escalar o módulo, , dado por la longitud del segmento AA’. El módulo es siempre positivo e independiente de la dirección del vector. • Una dirección, recta que contiene al segmento AA’.• Un sentido, que se indica mediante una punta de flecha.

a ó a

aa ó




Suma de vectores.

a

b cd

cbad

a

b

c

Regla del polígono

Regla del paralelogramo

bac

a

b

a

b

c




Vectores opuestos. Vectores con igual módulo y dirección, pero sentidos opuestos. a

a

Diferencia de vectores.

bacbac

b

a

a

b

c

b

Producto de un vector por un escalar.

aa

0

1

a0

1




Propiedades de la suma de vectores y producto de un escalar por un vector.

000 :nulo elemento vii) : vectoresde suma la a respecto producto del vadistributi vi) :escalares de suma la a respecto producto del vadistributi vi)

:producto el para asociativa v) es, esto ,0/ , :suma la para simétrico elemento iv)

0 :suma la para neutro elemento iii) :suma la para aconmutativ ii)

:suma la para asociativa i)

ababaaaa

aaababbaba

aaabba

cbacba




aaua

Vector unitario. Es un vector de módulo unidad. Un vector unitario en la dirección de será:a

Eje. Recta orientada. Se toma un sentido como sentido positivo y se asigna un vector unitario en dicho sentido.

Proyección de un vector sobre un eje.

eu

a

aPe

coscos aaaPe




Triedro de referencia. Tres ejes perpendiculares que se cortan en un punto denominado origen del triedro.

X

Y

Z

pulgar

índice

corazón

Levógiro (mano izquierda)

Y

X

Z

pulgar

corazón

índice

Dextrógiro (mano derecha)

i

jk

dextrógiroTriedro cartesiano

kji

, ,vectores unitarios:



Coordenadas cartesianas

Y

X

Z

yx

z

zyxP ,, zrP ,,

Y

X

Z

r

z

Coordenadas cilíndricas

,,P

Y

X

Z

Coordenadas esféricas


Sistemas de coordenadas.




Componentes cartesianas.

xa Y

X

Z

a

ya

za a

Y

X

Z

xk

j yz

i

zyx aaaa

kaa

jaaiaa

zz

yy

xx

zZz

yYy

xXx

aaPa

aaPaaaPa

cos

coscos

Componentes cartesianas Cosenos directores

aa

aaaa

zz

yy

xx

/cos

/cos/cos




Componentes cartesianas.

zzyyxx aaaaaa cos cos cos

kaajaaiaa zzyyxx

zyx aaaa kajaia zyx

kjia zyx

coscoscos



kjiaau zyxa

coscoscos

),,( zyxzyx aaaaaaa


Suma y diferencia de vectores en términos de las componentes cartesianas.

kajaiaa zyx

kbjbibb zyx

kbajbaibaba zzyyxx



kbajbaibababa zzyyxx

)(

Producto escalar de dos vectores.


cosb

ab

cosabba

Propiedades.

kaajaaiaauaaP

aaaa

ikkjjikkjjii

bababa

baba

bcacbac

abba

zyxee

, , ia,consecuencEn . vii)

vi)

0 ,1 v)

0y 0, si iv)

:escalares a respecto asociativa iii)

:vadistributi ii)

:aconmutativ i)



Producto escalar de dos vectores.

a

cosb

b

cosabba

Producto escalar en términos de las componentes cartesianas.

zzyyxx babababa

Ángulo que forman dos vectores.

abbababa

abba zzyyxx

cos





Y

X

Z

ab

bac

• Vector perpendicular al plano determinado por .

• Sentido el que da la regla de la mano derecha al hacer girar

• Módulo dado por

ba y

ba sobre

senabbac

Propiedades.

bababa

bcacbacbababa

cbacbaabba

|| 0y 0, Si v) :suma la a respecto vodistributi iv)

:escalarun por producto el para asociativo iii) :asociativo-no ii)

:ativoanticonmut i)

c

Producto vectorial de dos vectores.



Producto vectorial de dos vectores.


Producto vectorial en términos de las componentes cartesianas.

kbabajbabaibababbbaaakji

ba zyyxzxxzyzzy

zyx

zyx

Y

X

Z

ab

bac

• Vector perpendicular al plano determinado por .

• Sentido el que da la regla de la mano derecha al hacer girar

• Módulo dado por

ba y

ba sobre

senabbac

c



Producto mixto de tres vectores.


Y

X

Z

a

b

c

ba

cosabcsenbac

Volumen del paralelepípedo formado por los tres vectores

Propiedades.

acbbaccba

:cíclica i)

Producto mixto en términos de coordenadas cartesianas.

zzyyxyzxxzxyzzy

zyx

zyx

zyx

cbabacbabacbababbbaaaccc

bac



Momento de un vector con respecto a un punto.

r a

d

OM

OP

araMO

adarMO sen

El momento de un vector con respecto a un punto no varía al cambiar el punto de aplicación del vector sobre la recta soporte.




ja

límialím yx

00

Cálculo vectorial1.2.

Función vectorial con respecto a un escalar.

1a

2a



kajaiaaa zyx

12 aaa a

aaa

2

1

12


Derivada de una función vectorial con respecto a un escalar.

a

a

a

a

dad

dad

dad

dad

aalímalímdad

00



aaa

aaa



j

dda

iddaj

alímialím

jaa

límiaalím

aalímalímdad

yxyx

yyxx

00

00

00




Derivada de una función vectorial con respecto al escalar tiempo.

dtad

dtad

dtad

kdttdaj

dttda

idttda

talím

dttad zyx

t

0



kdttdaj

dttda

idttda

talím

dttad zyx

t

0



Propiedades.

dbdab

dadba

dd

dbdab

dadba

dd

ddfa

dadfaf

dd

dλbd

dλadλbλa

dλd

:es vectorialfunciones dos de vectorialproducto del Derivada iv)

:es vectorialfunciones dos deescalar producto del Derivada iii)

:escalarun por ctorialfunción ve una de producto del Derivada ii)

: vectoresde suma la de Derivada i)





Algunas consecuencias.

auaa

Si iii)

|| Si ii)

general,En i)

aa

aaa

aa

udad

duda

dadctea

udadu

dda

dadcteu

dudau

dda

dad




Integral de una función vectorial.

2

112

/ , Dadas

dbaa

cdbab

dadba

Propiedades.

1

2

2

1

2

1

2

1

v)

:y Si iv)

:, Si iii)

: Si ii)

:y Si i)

21

dada

dd

dada

dadacte

dadada

dakdakctek

dbdadbabbaa




Integral en función de las componentes cartesianas.

kajaiaa zyx

kdajdaidada zyx

Integral de una función vectorial.

2

112

/ , Dadas

dbaa

cdbab

dadba



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