Algebra Ma Tricia Line 5649

8/18/2019 Algebra Ma Tricia Line 5649

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1

Álgebra matricial

Álgebra de matrizes é amplamente utilizada na estatística..

Matrizes

Matriz: um conjunto de elementos arranjados em linhas e colunas. Exemplo:

3521

!33

231"

#inha 1#inha 2#inha 3

$ o l u

n a 1

$ o l u

n a 2

%&imens'o: 3 x 2(

# i n h

a s

$ o l u

n a s

A =

3231

2221

1211

aa

aa

aa

%3 x 2(

i=1,2,3 (linhas)

j=1,2 (colunas)

)epresentada por letras em negrito* p.e.* A, B, C,β

, ,Ω

,Ψ

, etc.


2/39

2

Matriz quadrada:

333231

232221

1211

aaa

aaa

aaa

13

+3

!

Vetor:

=

1,

!

A -etor linha ou transposto: [ ]5,2515 =B

Matriz transposta (A’):

1,5

3!2

3

1,!

52

(23% (32% x x AA

gualdade de matrizes: mesma dimens'o e todos os correspondenteselementos s'o iguais.

=

=

3

!

(13%

3

2

1

(23% x x

a

a

a

BA

A=B implica: 3!1 === 32 a a a

/0mero de linhas n0mero de colunas.

$ontém apenas uma coluna. ambém s'o representados por letrasmin0sculas em negrito.


3/39

3

Adi!"o e subtra!"o de matrizes:

3

32

21

"3

52

1

(x3%(x3% 22 BA

=

−−

−−

−−

=−

=

++

++

++

=+

2,

2,

2,

"33

3522

211

1,"

"2

"33

3522

211

(3%

(3%

2 x

2 x

BA

BA

4atrizes de mesmadimens'o


4/39

Multiplica!"o de matrizes:

or escalar :

=

=

123"

2

3+

!

24A


5/39

5

4ultiplica6'o de matriz por matriz:

=

++

++=

=

3221

5233

(.1".%(5.1.%

(.5".2%(5.5.2%

5

"

22222214

52AB

/ota: geralmente AB≠BA#

Exercício: 7a6a a multiplica6'o das matrizes:

.

2

5

3

5,

31

AB


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"

$ipos especiais de matrizes

Matriz simétrica: se A=A’ela é dita simétrica. Exemplo:

=

= 35" 52

"1

35" 52

"1

33 AA


7/39 !

Matriz diagonal é uma matriz 8uadrada* cujos elementos 7ora da diagonal s'otodos iguais a zero* por exemplo*

=

3

2

1

a!!

!a!!!a

A

&ois tipos importantes de matrizes diagonal s'o: matriz id"ntidad" " matriz "scalar#

Matriz identidade (): é uma matriz diagonal cujos elementos da diagonal s'otodos iguais a um %1(.

ré multiplicando %ou p9s multiplicando( 8ual8uer matriz A %r x r (* pelaidentidade* a matriz A 7ica inalterada.

=

=

333231

232221

131211

333231

232221

131211

1,,

,1,

,,1

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

A

ara uma matriz A de dimens'o (r x r), temos:

AAA ==


8/39

Matriz escalar: é uma matriz diagonal cujos elementos da diagonal s'o todosiguais. ode ser dada por λ:

λ λ

λ

λ

λ

=

=

1,,

,1,

,,1

,,

,,

,,

Vetores e matrizes com todos os elementos iguais a um (%)

=

=

1..11

.....

.....

1..11

1..11

1.

.

.

11

1 r r r &%


9/39 +

pera6;es importantes:

[ ] [ ] nn1##1 ==

=

1.

.

1

%%

[ ] nn '%% =

=

=

1..1

.... 1..1

1..1

1..1

1

..

1


10/39 1,

ependncia linear e posto de uma matriz

ependncia linear

$onsidere a matriz:

=1153"1,22

1521

A

bser


11/39 11

ortanto* as colunas da matriz A, s'o linearmente dependentes.Elas contém in7orma6;es redundantes %supér7luas(* pois uma

coluna pode ser obtida como uma combina6'o linear dasoutras.

$onsidere c ncia linear como:? 8uando c escalares λ1*...* λc* nem todos iguais a zero* podemser determinados tal 8ue:

*CCC =+++cc

λ λ λ ...2211

⇒ s c


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13/39 13

@egue=se 8ue o posto de uma matriz %r x c) n'o pode exceder o min(r,c)* isto é* omínimo entre r e c. /o caso de uma matriz* por exemplo* $, 8ue é o resultado do produto de duas outras matrizes (A e B), o ran de $ n'o pode exceder o mínimo

entre o ran%A( e o ran%B(.

%&e7ini6'o: o ran* posto ou característica de uma matriz* é o n0mero de linhasn'o nulas na sua 7orma escalonada canFnica(.

Exercício: seja a matriz

=

2,2

,22

22

A encontre o


14/39 1

n/ersa de uma matriz

/a Blgebra de matrizes* a in


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15

+ncontrando a in/ersa.

D in


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1"

1so da matriz in/ersa

@e temos uma e8ua6'o:

CA2 =

Dssumindo 8ue A tem in


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1!

=

1,

2,

13

2

2

1

'

'

D solu6'o do sistema de e8ua6;es é dada por:

=

−

−=

⇒

=

−

2

1,

2,

2.,3.,

.,1.,

1,

2,

13

2

2

1

1

2

1

'

'

'

'


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1

eterminantes

/'o daremos a de7ini6'o geral de determinantes* por ser bastante complicado*mas


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1+

/o caso de uma matriz 3 x 3* o determinante é calculado pela regra de @arrus

332112322311312213

322113312312332211

333231

232221

131211

= aaaaaaaaa

aaaaaaaaa

aaa

aaa

aaa

−−

−++=

+emplo:

15322133232223313223

321

=−−−++= ############

ara matrizes de maiores dimens;es as regras* 8ue n'o


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2,

eterminante de uma matriz singular

oda matriz 8uadrada singular tem determinante nuloJ reciprocamente* é singulartoda matriz de determinante nulo. Dssim a matriz:

,212122

11=−=⇒

= ## A A

K singular*isto é* n'o tem in


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21

3a4zes pr5prias (auto /alores ou 6"ig"nalu"s )

@eja a matriz

=

1,3

32 A

$onsideremos a matriz:

−

−=

−

=−

λ

λ λ λ

1,3

32

1,

,1

1,3

32 * A

omemos agora a e8ua6'o:

,=− * A λ Isto é:

,

1,3

32=

−

−

λ

λ


22/39

22

Ds raízes dessa e8ua6'o s'o* por de7ini6'o* as raízes pr9prias %ou Leigen


23/39

23

e7ini!"o: &ada A(n) real e simétrica* ent'o todo


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2

( )

=−

=+−

=

−

−

=

−

−

Φ=−

,3

,3+

,

,

13

3+

,

,

111,3

312

21

21

2

1

2

1

+ +

+ +

+

+

+

+

+ * A λ

Hm auto


25/39

25

ara λ 2=1* seguindo as mesmas etapas* obtemos o segundo auto


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2"

+emplo:


27/39


28/39

2

istemas de equa!;es lineares

@istemas de e8ua6;es de primeiro grau* com 8ual8uer n0mero de inc9gnitas.or exemplo:

−=−+

=++

=+−

=−

=+

12,

3,

,2

15

23

321

321

321

21

21

+ + +

+ + +

+ + +

+ +

+ +


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30/39

3,

$onsideremos o sistema:

=

− 15

123

2

1

+ +

A B<

@e A é n'o singular* isto é* 8ue tenha in


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32/39

32

Exemplo:

=

−

=++

=+−=++

,

,

,

513

111

211

,53

,,2

3

2

1

321

321

321

+

+

+

+ + +

+ + + + + +


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33

E8ua6;es lineares em 8ue o segundo membro é nulo* se dizem homog>neas.odo sistema de e8ua6;es lineares homog>neas:

Φ= A+

tem solu6'o* isto é* é compatí


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3

ara obter uma solu6'o n'o nula* come6amos por abandonar uma dase8ua6;es e dar a uma das inc9gnitas um


35/39

35

Matrizes de co/arincias e /etores de m>dias

Dmostras multi


36/39


37/39

3!

Matriz de /arincia0co/arincia amostral

=

%% % %

%

%

c##cc

##########

c##cc

c##cc

$

21

22221

11211

nde*

2iii sc =

Esta matriz 8uanti7ica a


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3

Matriz de correla!"o amostral

=

1

1

1

21

221

112

###r r

############

r ###r

r ###r

% %

%

%

Puando as


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Alguns teoremas b?sicos

Em muitas situa6;es temos um

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