Algebra - 1 Bim - Aful

Líne

a de

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331 a

.C.

212 a

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264 a

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Falle

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l 212

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.

Educamos para la VIDA y también para la UNIVERSIDAD

I Bim. / ÁLGEBRA / 5TO. AÑO CHICLAYO - LAMBAYEQUE - FERREÑAFE

128

3-2 = =

-2-3 = = -

(Observa que el exponente (-3) afecta a 2)

a : base a ∈ R n : exponente n ∈ Z P : potencia P ∈ R

Leyes de Exponentes y

RadicalesPotenciación

Exponente natural : Si a ∈ R y n ∈ Z.

42 = 16

Exponente

Base

Potencia

Exponente cero : Si a ∈ R ; a ≠ 0.

an = P

Ejemplo:

DEFINICIÓN 1

an = a . a . a . ... . a“n” factores

Ejemplos:

x . x . x = x3

(-3)2 = (-3)(-3) = 9

-32 = -(3)(3) = -9 (Observa que el exponente afecta a 3)

(-3)3 = (-3)(-3)(-3) = -27

DEFINICIÓN 2

Ejemplos:

30 = 1

a0 = 1

¿CÓMO CONTAR LOS GRANOS DE ARENA QUE CABEN EN EL UNIVERSO?

Arquímedes (287 - 212 a.C.) nació y murió en Siracusa, actual Italia. Fue sin duda el mayor matemático de la antigüedad. En una obra titulada Psammites (El Cálculo de los Granos de Arena, más conocida en español como El Arenario) se jactaba que podía enumerar los granos de arena necesarios para llenar el universo, utilizando para ello números gigantescos expresados mediante exponentes. Arquímedes comienza, basándose en los trabajos del astrónomo Aristarco (310 - 230 a.C.), con ciertas estimaciones relativas a los tamaños de la Tierra, la Luna y el Sol, y a las distancias de la Luna, el Sol y las estrellas fijas; demostrando que el diámetro del universo usual hasta la distancia del Sol es menor que 1010 estadios (un estadio es igual a 147,8 metros). A continuación supuso que 10 000 granos de arena ya superaban a una semilla de adormidera, que el diámetro de una de ellas era menor o igual que 1/40 del ancho de un dedo, y a su vez un estadio es menor que 10 000 dedos. Con estas desigualdades, Arquímedes llegó a la conclusión que se necesitaban 1051 granos de arena para llenar la esfera del universo, generalmente aceptada aquel tiempo.

Recreación de la Muerte de Arquímedes durante la II Guerra Púnica. “No tangeré cir-cues meos” (No toques mis círculos), exclamó

Arquímedes en su mal latín cuando uno de los soldados pisó sus figuras. En respuesta, el soldado traspasó con su espada el cuerpo del anciano Arquímedes (De la vida del general

romano Marcelo, según Plutarco).

(- 2)0 = 1

-50 = -1 (Observa que el cero afecta a 5)

530 = 51 = 5

Exponente negativo : Si a ∈ R; a ≠ 0.

DEFINICIÓN 3

a-n = 1an

Ejemplos:

132

19

18

-123


CHICLAYO - LAMBAYEQUE - FERREÑAFE I Bim. / ÁLGEBRA / 5TO. AÑO

129

Exponente fraccionario : Si m/n ∈ Q.

DEFINICIÓN 4

Ejemplos:

34/5 = 5 34

1. am . an = am+n

2. = am-n

3. (a . b)n = an . bn

4. =

5. (am)n = am.n

6. n ab = n a . n b

7. =

8. cn acm = n am

9. m n a = mn a

am/n = n am

Teoremas

am

an

an

bnab(

n

(

ab

nn an b

Son aquellas donde las incógnitas aparecen como exponente o también como base y exponente a la vez.

Ecuaciones Exponenciales

A. BASES IGUALES

am = an ⇒ m = n

Ejemplo:

Resuelve: 23x+1 = 210 3x + 1 = 10 ⇒ x = 3

B. FORMAS ANÁLOGAS

xx = aa ⇒ x = a

Ejemplo:

xx = 27 ⇒ xx = 33 ⇒ x = 3

1. Reduce:

S =

a) x10 b) x5 c) 1d) x-5 e) x-10

Resolución:

S = =

extraemos:

S = = x10

x3 . x3 . x3 . ... . x3

3 x2 . 3 x2 . 3 x2 . ... . 3 x2

30 veces

20 veces

( x3)20

(3 x2)30 x60

3 x60

x30

x20

3. Si 9x + 3x+3 = 28, calcula “x”.

a) 3 b) 1 c) 0d) 2 e) 6

Resolución:

(32)x + 3x+3 = 28 32x + 3x+3 = 283x(3x + 33) = 283x(3x + 33) = 28

3x(3x + 27) = 1(1 + 27)\ 3x = 1 x = 0

Rpta.: c

Rpta.: a

Rpta.: c

4. Simplifica:

a) a+b+c b) ab + ac + bc c) abcd) a-1 + b-1 + c-1

e) an + bn + cn

Resolución:

ancn + anbn + bncn

a-n + b-n + c-nn

anbncn(b-n + c-n + a-n)a-n + b-n + c-n

n

Factorizando an + bn + cn en el numerador:

n anbncn = abc

Resolución:

5. El exponente de “x” que resulta al simplificar:

E = 1+1/2 1+1/3 1+1/4 1+1/5 ... 1+1/n xn es:

a) n2/2 b) n/2 c) 2/nd) 2 e) 2n/n+1

Rpta.: d

2. Calcula: E =

a) 2 b) 4 c) 8d) 16 e) 32

Resolución:

E =

E = 641/2 + 271/3 + 6251/4

E = 64 + 3 27 + 4 625

E = 8 + 3 + 5

E = 16

164( (+ 1

27( (+ 1625( (

-2-1 -3-1 -4-1

164( (+ 1

27( (+ 1625( (

-2-1 -3-1 -4-1

Operando las fracciones tenemos:

E = 3/2 4/3 5/4 6/5 ... (n+1)/n x

E = 3/2 4/3 5/4 6/5 ... (n+1)/n xn

E = (n+1)/2 xn

E = xn/[(n+1)/2]

E = x2n/(n+1)

Rpta.: c



130

Nivel I

1) Simplifica:

a) 2 b) 1/6 c) 5/6d) 4/3 e) 3/8

105 . 65 . 24

(23)8 . 154 . 68(22)3

2) Sea x > 1 y además xx = 2, calcula x3x

a) 2 b) 3 c) 8d) 7 e) 5

3) Simplifica:

; n ∈ N

a) 2 b) 3 c) 1/3d) 1/2 e) 1/5

2n+4 - 2 . 2n+2

2 . 2n+3

4) Si xy ≠ 0, simplifica:

a) b)

a) x2 + y2 ; 2x4y-6

b) x + y ; x3/y2

c) x - y ; x3/yd) x + y ; x/ye) x + y ; x3/y5

x-2 + y-2

(xy)-28x3y-4

4x-1y2

5) Si el exponente final de x es 7/4 en xn . x x ; x > 0.

calcula n.

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

6) Calcula el valor de x en: 2x . 2 = 3 4x

a) 2 b) -3/2 c) 1/2d) 1/4 e) 5/3

7) Si xy = 2, calcula: (xy)xy

. (x3)-y . (4y2)y-2

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

8) Efectúa: a) 2 . 3 2 . 6 2

b)

a) 2; 3 b) 5; 2 c) 7; 2d) 1; 2 e) 4; 2

6 9 . 4 9 . 3 920 9 . 5 9

9) Simplifica:

a) 20 b) 84 c) 12d) 30 e) 90

104 . 303 . 423

54 . 250 . 602 . 702

10) Sea: xx2

= 5, halla (xx)2x

a) 20 b) 35 c) 25d) 28 e) 40

11) Simplifica:

a) 287 b) 281 c) 235d) 123 e) 435

12( (

-(1/2)-1

+ 13( (

-(1/3)-1

+ 14( (

-(1/4)-1

12) Halla el exponente final de x: ; x ≠ 0

a) 1 b) 2 c) 3d) 8 e) 5

(xa)bc . (xbc)a . xac . xac ... xac . x((x3a)b)c

13) Sabiendo que: 2x-3 = 3, halla 21-x

a) 1/12 b) 1/2 c) 3/4d) 3/7 e) 8/3

14) Calcula A + B, siendo: A = {(1/2)-3 + (2/5)-2 + (4/7)-1}0,5

B = {8(4/5)-2 - (2/3)-3 - (8/9)-1}(1/3)

a) 20 b) 9 c) 4d) 6 e) 5

15) Calcula: ( 3 4 33 3 34)24/25

a) 2 b) 9 c) 27d) 3 e) 5

17) Resuelve: 1632x-2

= 22x+2

a) 2/5 b) 3/2 c) 5/2d) 2 e) 5

Nivel II

16) Reduce:

E =

a) 10 b) 5 c) 6d) 7 e) 9

28

25210

43(-2)3+

18) Reduce: E = (-2)2 2-2 (-2)-2 + 2-2

a) 1 b) 2 c) 4d) 1/2 e) 1/4

b veces



131

32) Resuelve la ecuación: 2792x-1

= 381

y calcula el valor de 4x - 3.

a) 6 b) 5 c) 4d) 3 e) 2

19) Reduce:

E =

a) 1 b) x c) x3

d) x e) 3 x

x . 3 x . 4 x12 x

20) Reduce:

S =

a) x10 b) x5 c) 1d) x-5 e) x-10

x3 . x3 . x3 . ... . x3

3 x2 . 3 x2 . 3 x2 . ... . 3 x2

30 veces

20 veces

21) Reduce:

P =

a) 1 b) 5 c) 25d) 3 5 e) 5 5

5 253 . 15 5 . 3 253 5 . 5 125

22) Halla “x” si:

a) 3 b) 4 c) 1/4d) 1/3 e) 1

62x-4

144x-2116

=

23) Efectúa:

E =

a) 1 b) x c) x32

d) x-32 e) x-1

(x3)-2 . x-210 . (x-4)2

(x-5)-1 . x(-3)2 . (x-1)-2

24) Calcula:

E =

a) 2 b) 4 c) 8d) 16 e) 32

164( (+ 1

27( (+ 1625( (

-2-1 -3-1 -4-1

25) Reduce:

J =

a) x b) x2 c) x3

d) x4 e) x5

xm+3 . xm+3 . xm+3 . ... . xm+3

(xmn . xmn . xmn . ... . xmn)n-1

(m+4) veces

(m+1) veces

26) Simplifica:

P =

a) -1/2 b) -1 c) 1/2d) 1 e) 2

2n+90 + 2n+91

2n+91 + 2n+92

27) Halla “x” si:

(0,01)x27-3-1 = 0,0001

a) 1 b) 2 c) 4d) 6 e) 8

28) Luego de resolver la ecuación:

94x+1 = 383

indica el valor de R = x-1 x + 1

a) 2 b) 3 c) 4d) 1 e) 0

29) Reduce:

S =

a) 326 b) 526 c) 1526

d) 4526 e) 7526

458 . 7511 . 2257

315 . 518

30) Simplifica:

R =

a) 0 b) 1 c) 2d) 4 e) 8

2n+1 . 8n+2 - 16n+1

(4n+1)2

Nivel III

31) Si: 3x = 7y, calcula el valor de:

P =

a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4

3x+1 - 7y+1 + 3x

7y - 7 . 3x + 3 . 7y

33) Si ab = 1, calcula el valor de: M = (ab)a (ba)b ((aa)b)a ((bb)a)a

a) 1 b) a c) bd) ab e) a/b

34) Resuelve la ecuación: 9x + 3x+3 = 28

a) 3 b) 1 c) 0d) 2 e) 6

35) ¿Qué valor de “x” hace que la relación:

5 2 5 x

= 32125

sea correcta?

a) 3 b) 1 c) 0d) 2 e) 6

36) Halla “x” en: 8x+3 = 4 323x+1

a) 13/9 b) 9/13 c) 1/3d) 1/5 e) 1/6

37) Simplifica: P = -80 + (50 + 876)1-871-60

+ (-8)0

a) -1 b) 0 c) 2d) 1 e) -2

38) Simplifica:

W =

a) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) 9

5 . 2x+2 - 2x+4 + 6 . 2x-1

2x+5 - 15 . 2x - 2 . 2x+3

39) Reduce:

R = 3 642-1 + 162-2

- 83-1

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

40) Calcula el exponente final de “x” en:

F(x) = 3 x 3 x 3 x 3 x ... (n radicales)

a) b) c)

d) e)

3n + 13n

3n + 12 . 3n

3n - 12n

3n - 13n

3n - 12 . 3n



132

41) Simplifica:

a) a + b + cb) ab + ac + bcc) abcd) a-1 + b-1 + c-1

e) an + bn + cn

ancn + anbn + bncn

a-n + b-n + c-nn

42) Después de simplificar:

E =

resulta:

a) 1 b) 2 c) 1/2d) 4 e) 1/4

164( (

-2-1 (-27)-3-1

43) D e s p u é s s i m p l i f i c a r l a expresión:

E =

resulta:

a) 5 b) 2,5 c) 2d) 1,25 e) 0,5

252n - 402n

202n - 322n

2-n

4n2 + 16n2

16n2 + 64n2n

44) Al simplificar:

E=

resulta:

a) 1 b) n c) nn

d) n-n e) nn-1

1n( (

-(1/n)(1/n)...(1/n)(1/n)(1/n)(1/n)(1/n)...(1/n)(1/n)-(1/n)-1(n-1) veces

(n-1) veces

45) El valor de:

E = [x-x-x-x-x]

xx-x-x

es igual a:

a) x b) 1/x c) xx

d) 1/xx e) 1

47) El exponente de “x” que resulta al simplificar:

E = 1+1/2 1+1/3 1+1/4 1+1/5 ... 1+1/n xn

es:

a) n2/2 b) n/2 c) 2/nd) 2 e) 2n/n+1


E =

se obtiene:

a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 7

32x/(x-y) + 6 . 32y/(x-y)

x-y 3x+y

46) La expresión simplificada de:

E =

es:

a) xa b) xa-1 c) xa+1

d) 1 e) x

a2+a+1 xa3-1 1+a x2a+2

[1-a xa2-1]-1

Desde que la escritura se utilizó como medio de comunicación, surgió la necesidad de comunicarse manteniendo una cierta privacidad.

Los códigos criptográficos fueron muy usados en la antigüedad para comunicarse durante las guerras, y los reinos requirieron de los matemáticos más notables para ayudarles.

Francois Viète (1540 - 1603), matemático francés, fue un eximio descifrador de códigos. Se cuenta que en la guerra entre Francia y España descifró un código secreto español que contenía centenares de símbolos, pero su contribución más importante a las matemáticas fue en ser el primero en sintetizar todos los símbolos conocidos en su tiempo. Entre 1584 y 1589, se dedicó enteramente a las matemáticas, estudiando las obras de Cardano, Tartaglia, Bombelli, Stevin y Diofanto. De esta manera escribió en 1591 su obra Isagoge in Artem Analyticam, que se considera el primer libro.


se obtiene:

a) n-3 3 b) n-3 24 c) 3d) 1/3 e) 9

n-2 32n+5 - 9 . 32n+1

24 . 3n+4

50) La expresión simplificada de:

E =

es:

a) n x b) xn c) xm

d) m x e) 1

mn-1 n x . n x2 . n x3 ... n xm

x m xm2

Líne

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1835

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134

Polinomios

Monomio

M(x, y) = x3y4 Monomio M(x, y, z) = x5y3z5 Monomio M(x, y, z) = x4y3z6 Monomio

x2/y3 No es monomio x4y1/2 No es monomio x6y2/3z No es monomio

Término algebraico de exponentes enteros y positivos para todas sus variables (expresion racional entera).

Ejemplos:

Polinomio

P(x,y) = 6x4y2 - 5x2 + 3xy3 + y4

Polinomio de 4 monomios

P(x,y,z) = 3x2y3z - 5x3y5 + 3y4


P(x,y,z) = 2xy - 5xy2z4


Es la suma limitada de monomios no semejantes.

Ejemplos:

Está dado por el exponente de la variable indicada.

M(x, y, z) = 4x2y4z5

GR(x) = 2; GR(y) = 4; GR(z) = 5

1. GRADO RELATIVO DE UN MONOMIO (G.R.)

Grados

¿cÓMO EVITAR ERRORES?

Para elegir los mate-riales ade-cuados, en cuanto a calidad y cantidad, para construir un puente, los ingenieros analizan las variables que intervienen antes de llevar a la práctica su proyecto, como la geología del terreno, resistencia al viento, cambio de temperatura y fluidez del tráfico automovilístico. Estas variables son expresadas matemáticamente mediante polinomios para así poder hacer los cálculos respectivos y no cometer errores imprevistos.

Está dado por la suma de los exponentes de las variables.

M(x, y, z) = 32x4y5z7

G.A. = 4 + 5 + 7 = 16

2. GRADO ABSOLUTO DE UN MONOMIO (G.A.)

Está dado por el mayor exponente de la variable referida.

P(x, y) = 2x4y2 + 6x3y5 + 7x7

GR(x) = 7 ; GR(y) = 5

Q(x, y) = 6x4y5 - 2x5y3 - y6

GR(x) = 5 ; GR(y) = 6

3. GRADO RELATIVO DE UN POLINOMIO (G.R.)

Está dado por el monomio de mayor grado.

P(x, y) = 4x3y2 - 2x2y5 + 6x4y6

5 7 10

G. A. (P) = 10

4. GRADO ABSOLUTO DE UN POLINOMIO

Es aquél donde los exponentes de la variable van aumentando o disminuyendo.

Polinomios Especiales

Término algebraico de exponentes enteros y positivos para todas sus variables (expresion racional entera).

1. POLINOMIO ORDENADO

P(x, y) = x16 - 2x10 + x2 + 1Polinomio Ordenado Descendente.

Q(x, y) = 2 + x4 + 5x7 + x10

Polinomio Ordenado Ascendente.

Ejemplos:

UN TREN DE MONOMIOS

Un polinomio está conformado por monomios d e l a m i s m a forma que un tren lo está por vagones. Por ejemplo: si sumas los monomios x3, x2, x, 7, lo que se obtiene es x3 + x2 + x + 7; un polinomio.



135

Es aquél donde aparecen todos los exponentes de la variable, desde el mayor hasta el término independiente (exponente cero).

2. POLINOMIO COMPLETO

P(x) = 6x2 + 2x + 3x3 + 5 tiene 4 términos

Q(x) = 2 + x + 3x2 + 5x3 + 4x4

tiene 5 términos

Ejemplos:

Sea:P(x) = 2x2 + 5x + 1

tiene 3 términos 3 = 2 + 1

En todo polinomio completo se cumple:

# Términos = Grado + 1

Nota

El término independiente es un término de grado cero, así:

4 = 4x0

Observación

Polinomio Completo y Ordenado

P(x) = x3 - 2x2 + 5x - 4

Observa que cumple con las dos condiciones anteriores.

Es aquél donde todos sus términos tienen el mismo grado absoluto.

3. POLINOMIO HOMOGÉNEO

2.1. Propiedad

P(x,y) = 6x2 + xy - y2

2.º 2.º 2.º

Ejemplos:

Q(x,y) = 2x4y2 + 3x3y3 + y6

6.º 6.º 6.º

Son aquéllos que tienen el mismo valor númerico para un mismo valor de variable. Es decir, tienen los mismos coeficientes en términos homólogos.

4. POLINOMIOS IDÉNTICOS

2x + 3 ≡ 3 + 2x

5x3 + 2x - 1 + 4x2 ≡ 4x2 - 1 + 2x + 5x3

Ejemplos:

Nota

El símbolo ≡ significa que los polinomios son idénticos.

Es aquél donde para cualquier valor asignado a su variable, el resultado es siempre cero. Es decir, sus coeficientes son todos ceros.

5. POLINOMIO IDÉNTICAMENTE NULO

P(x) ≡ 0x3 + 0x2 + 0x + 0 P(x) ≡ 0

Ejemplo:

1. Halla el coeficiente de M(x, y) = (1/2)n9mx3m+2ny5m-n

cuyo grado es 20 y el grado relativo de “x” es 14.

a) 16/81 b) 81/16 c) 9/16d) 16/9 e) 81/8

Resolución:

GA = 3m + 2n + 5m - n = 20GR(x) = 3m + 2n = 14 8m + n = 20 3m + 2n = 14

\ 16m + 2n = 40 -3m - 2n = -14 13m = 26

Rpta.: b

m = 2 ⇒ n = 4

\ coeficiente = (1/2)4 92 = 81/16

2. Si P(x + 2) = x + P(x) y P(3) = 1 calcula el valor de P(5) + P(1).

a) -4 b) 0 c) 1d) 2 e) 4

Resolución:

En P(x + 2) = x + P(x)

\ x = 1 P(3) = 1 + P(1)

1 P(1) = 0 \ x = 3 P(5) = 3 + P(3) P(5) = 3 + 1 P(5) = 4

\ P(5) + P(1) = 4 + 0 = 4

Rpta.: e

3. Si el término independiente del polinomio:

P(x) = 2(x-3)2 (x-2)3 (x-m)2 (x+1)3 es -576, halla el valor de m2.

a) 1 b) 4 c) 9d) 16 e) 25

Resolución:

Sabemos que P(0) = término independienteP(0) = 2(-3)2 (-2)3 (-m)2 (1)3 = -576 = 2 . 9 . (-8)(m2) = -576 m2 = 4

Rpta.: b

4. En el polinomio homogéneo: P(x, y) = xm + yn+p + xnyp + xpyn +

xqyr + xryq la suma de todos sus exponentes es

54. Halla el valor de: E = m + n + p + q + r

a) 12 b) 15 c) 18d) 27 e) 36



136

10) Halla a + b en: P(x, y) = 5x2aya+b+1 + 12xa-by2b-1

si GR(y) = 9 y GA = 19.

a) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) 9

Resolución:

Por homogeneidadm = n + p = q + r = k\ 6k = 54 k = 9

\ m = 9 , n + p = 9 , q + r = 9

E = 9 + 9 + 9 = 27

Rpta.: d

5. Si el polinomio:P(x) = a(x - 3)(x + 1) + (b - 2) (x + 1)

(x - 2) + (c + 3)(x - 3)(x - 2) es idénticamente nulo. Halla

a + b + c.

a) 0 b) -1 c) 2d) 3 e) -3

Resolución:

Evaluamos:P(3) = (b - 2)(4)(1) = 0 ⇒ b = 2P(2) = a(-1)(3) = 0 ⇒ a = 0P(-1) = (c+3)(-4)(-3) = 0 ⇒ c = -3

⇒ a = 0 , b = 2 , c = -3 a + b + c = -1

Rpta.: b

Nivel I

1) Siendo 3ax2a+1 ; 2bx3b; 3cx2c-1; 12x9

cuatro términos semejantes, halla a + b + c.

a) 13 b) 12 c) 11d) 10 e) 9

2) Halla la suma de los siguientes términos semejantes:

A = (a + 3b + c)xa-5yb+c+8

B = (2b + 4c + 3)x3y10

a) 15x3y10 b) 18x3y10 c) 20x3y10

d) 16x3y10 e) 21x3y10

3) Si P(x) = x2 - x + 3, calcula

P(-2).

a) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) 9

18

94

4) Si P(2x - 1) = 3x, calcula P(5).

a) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) 9

5) Si P(x) = 2x2 + 5x + 2 y Q(x) = 6x + 1, halla P(Q(1)).

a) 125 b) 63 c) 117d) 135 e) 119

6) El término independiente y la suma de los coeficientes de

P(x) = x5 - 3x + ax + b son -2 y 3, respectivamente. Halla 2a + b.

a) 15 b) 16 c) 17d) 18 e) 19

7) Si el término independiente del polinomio:

P(x) = 3(x - 1)2(x - a) es -81, el valor de “a” es:

a) 15 b) 61 c) 27d) 18 e) 9

8) Calcula m . n si P(x, y) = 4xm+1yn-2 + 6xm+2yn-1

+ 7xm+3yn-2 es de GA = 20 y GR(x) = 8.

a) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) 9

9) Calcula el GA del polinomio P(x, y) si se sabe que es de GR(x) = 7 y GR(y) = 10

P(x, y) = 7xa-5yb+5 + 3xa+2yb+8

a) 15 b) 16 c) 17d) 18 e) 19

11) Si P(x, y) = xm+2y5 + 7x10yn +

2xm+3yp es homogéneo, con grado de homogeneidad 11, halla “m + n + p”.

a) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) 9

12) Si el polinomio P(x, y) = 5xm+5yn-1 + 7xm-2y3n-4,

es homogéneo de GA = 16, halla m - n.

a) 0 b) 2 c) 4d) 6 e) 10

13) Dado el polinomio: P(x) = 2xc+d-1 - 3xb-c+1 + 5xa+b-4

+ 2xa-3

c o m p l e t o y o r d e n a d o descendentemente, halla el valor de a + b + c + d.

a) 1 b) 3 c) 5d) 7 e) 9

14) Calcula A + B + C + D, para que el polinomio

P(x) = Ax3 + 2x2 - 3x3 + 2Cx2 + 8 - 3Bx + D + 9x, sea idénticamente nulo.

a) 1 b) -1 c) -2d) 2 e) -3

15) Halla el valor de A + B si: 15 - 4x ≡ A(2 - x) + B(1 + x)

a) 26/3 b) 16/3 c) 7/3d) 8/3 e) 19/3



137

31) Calcula m . n si P(x, y) = 2xm+1yn-2 - 5xm+2yn-1

+ 7xm+3yn-3 es de GA = 20 y de GR(y) = 8.

a) 19 b) 90 c) 20d) 80 e) 81

Nivel III

16) Si: P(x, y) = (a - 2b)xa+byb-a

Q(x, y) = (5a - 2b + 7)x13-bya-1

son términos semejantes, halla la suma de sus coeficientes.

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

Nivel II

17) Si P(x) = 3(x5 + x4) - 2(x3 + x + 1),

halla P(-1).

a) 1 b) -1 c) 2d) -2 e) 3

18) Calcula P(1/2) + P(3/2) si: P(x) = (x + 0,5)2 + (x - 0,5)2

a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 10

19) Si P(x) = ax2 + 2x - 1 y P(-2) = 7,

el valor de “a” es:

a) -3 b) -2 c) 1d) 2 e) 3

20) Si P(x) = x4 + ax2 + bx; P(2) = 36

y además la suma de sus coeficientes es igual a la suma de sus exponentes, halla a + b.

a) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) 9

21) Calcula P(P(0)) si: P(x) = x2 - x + 1

a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4

22) Si P(x) = x2 + 3x + 1, halla P(x + 1)

y da como respuesta la suma de los coeficientes del polinomio resultante.

a) 6 b) 8 c) 10d) 11 e) 12

23) Si P(x + 2) = x + P(x) y P(3) = 1,

calcula el valor de P(5) + P(1).

a) -4 b) 0 c) 1d) 2 e) 4

24) Si la suma de coeficientes del polinomio:

P(x) = (4x3 + 3) . (5x7 - 7)n-4 + (8x - 9)10 es 449, entonces el valor de “n” es:

a) 5 b) 6 c) 8d) 10 e) 12

25) Dado el polinomio: P(x) = (x + 1)n + (3x + 1)

n + (5x - 1)n + b con término independiente 5 y suma de coeficientes 38. Halla P(-1).

a) 36 b) 38 c) 40d) 42 e) 44

26) Si el término independiente del polinomio:

P(x) = 2(x - 3)2 . (x - 2)3 . (x - m)2 . (x + 1)3 es -576, halla el valor de m2.

a) 1 b) 4 c) 9d) 16 e) 25

27) Señala e l coef ic iente del monomio:

M(x, y) = 15axa+1y2, sabiendo que es de octavo grado.

a) 15 b) 25 c) 35d) 55 e) 75

28) Halla “c” en el monomio P(x, y) = 5xp+cy8-c, si se sabe que

es de séptimo grado respecto a “x”, y que su GA es 12.

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

29) Halla el coeficiente de

M(x, y) = . 9mx3m+2n . y5m-n

cuyo grado es 20 y el grado relativo a “x” es 14.

a) 16/81 b) 81/16 c) 9/16d) 16/9 e) 81/8

12( (

n

30) Calcula el grado de P(x, y, z) = 8xaybzc, sabiendo que:

GA - GR(x) = 11, GA - GR(y) = 12 GA - GR(z) = 13.

a) 16 b) 17 c) 18d) 19 e) 20

32) En el polinomio: P(x, y) = 3xa+2y2a+1 + 4xay3a+b,

se sabe que GR(x) = 16 y GR(y) = 50. Calcula a - b.

a) 30 b) 35 c) 36d) 42 e) 45

33) Dada la expresión algebraica: R(x, y) = 6xm-2yn+5 + 3xm-3yn -

8xm-1yn+6, halla mn si su grado absoluto es 17 y el grado relativo de “x” es 6.

a) 30 b) 35 c) 36d) 42 e) 45

34) Sabiendo que los grados de los polinomios A, B y C son 15, 30 y 40, respectivamente, halla el grado del polinomio:

P =

a) 85 b) 55 c) 45d) 65 e) 75

A3 (B + C)2

C - A2



138

35) En el polinomio homogéneo: P(x, y) = xm+2y3 + xn-1ym + xn+3y,

encuentra el valor de 2m - n.

a) -7 b) -1 c) 0d) 4 e) 7

36) En el polinomio homogéneo: P(x, y) = xm + yn+p + xnyp

+ xpyn + xqyr + xryq la suma de todos sus exponentes es 54. Halla el valor de:

E = m + n + p + q + r

a) 12 b) 15 c) 18d) 27 e) 36

37) Dado el polinomio: P(x) = 7xd-1 + 9xc-3 - 5xb+1 +

2xa-2

c o m p l e t o y o r d e n a d o descendentemente, encuentra el valor de a + b + c + d.

a) 10 b) 11 c) 12d) 13 e) 14

38) Si el polinomio: P(x) = 3xn+3 - xn+2 + xn+1 + ... + 3 completo, ordenado y tiene 38

términos; el valor de “n” es:

a) 33 b) 34 c) 37d) 39 e) 40

39) Encuentra el valor de a + b en la siguiente igualdad:

27 - 6x ≡ a(x - 2) + b(x + 1)

a) -8 b) -6 c ) -4d) -2 e) 0

40) Si el polinomio: P(x) = a(x - 3)(x + 1) + (b - 2)

(x + 1)(x - 2) + (c + 3)(x - 3) (x - 2) es idénticamente nulo, halla “a + b + c”.

a) 0 b) -1 c) 2d) 3 e) -3

41) Determina el valor de “k” si la expresión

P(x, y) = xa2+a+k - 2xb2/5ya+1 + 3y(b2+20)/5 nos representa un polinomio homogéneo, donde además a < b < 9.

a) -1 b) -2 c) -3d) -4 e) -5

42) Si P(2x - 1) = 4x + 1, además P[F(x) + G(x)] = 6x + 21 P[F(x) - G(x)] = 2x + 9, calcula

P[G(x)/F(x)].

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

43) ¿Cuál es el valor de “a” para que la expresión:

M =

sea de grado 64? (a > 2)

a) 6 b) 3 c) 2d) 5 e) N.A.

(xa+5 + xa+3 + 5)a (xa+1 - xa-2 + 1)a-1

(xa - x2 + 3)2

44) Si

g(x) = - x2 - x - 1,

halla: g(g...g(g(x))) =

a) b) c)

d) e) N.A.

x(1 + x2)x - 1

ax + b + 1ax - b + 1

2n+1 veces

1a - b

2a - b

1a + b

2a + b

45) Calcula A + B + C si:

(x + 1)[A(x + 2) + B(x - 2) - 3x] + 15x = (x - 2)[3x + c(x + 2)]

se verifica para todo “x”.

a) 23 b) 22 c) 20d) 24 e) N.A.

46) Sabiendo que:(a - b)x3 + (b - c)y3 ≡ (c - a)(x3 + y3),

calcula:

S =

a) -4 b) -5 c) -3d) 3 e) 2

a + 2b + 3ca - 2b - 3c

47) Siendo: P(x, y, z) = 3axa+2yb+2 +

2bya+1z c+3 + 5cxb+4z c un polinomio homogéneo de grado “m + 2”, calcula:

a) 4 b) 5 c)2d) 3 e) N.A.

an + bn + cn

(a + b + c)n1+n

48) Sea: F(x) ≡ x2 + 2F(x) ∀ x ∈ R,

tal que F(x) > 2, calcula el valor numérico de:

2000 - F( 19992 - 1)

a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4

49) Sabiendo que P(x) es un p o l i n o m i o d e g r a d o “ n” completo y ordenado en forma descendente, donde además se cumple que la suma en cada término del coeficiente con su exponente respectivo es “n + 1”, además el término independiente es “n + 1”. Halla el polinomio evaluado en “K” si:

K =

a) n d)

b) (n+2)(n-1) e)

c)

a2

(a-b)(a-c)b2

(b-c)(b-a)c2

(c-a)(c-b)+ +

(n+1)(n+2)2

n(n+1)2

n - 32

50) Si: f(tx+y) = f(tx) . f(ty) f(ta) = f(tb) . e

a-b

donde {x, y, a, b} ⊂ Z+ ∧ 2 < e < 3 f(t0) = 1. Calcula:

f(t0) + f(t1) + ... + f(tn)

a) b) c)

d) e e) 0

en+1-1e - 1

en-1e

en-1+1e + 1



139

Mientras nosotros representamos las magnitudes por letras que se sobrentiende son números (conocidos o desconocidos) con los cuales operamos usando las reglas del Álgebra, hace más de 2000 años los griegos representaban las magnitudes como segmentos de línea recta y las operaban según las reglas de la geometría.Tenían el Libro II de los Elementos de Euclides (matemático griego que vivió en el siglo IV a.C.) que es un Álgebra geométrica que les servía más o menos para los mismos fines que nuestra Álgebra simbólica. La proposición 4 del Libro II, “si una línea recta se corta de una manera arbitraria, entonces el cuadrado construido sobre el total es igual a los cuadrados sobre los segmentos y dos veces el rectángulo contenido por ambos segmentos”, es una manera larga de decir que (a +b)2 = a2 + 2ab + b2, pero su evidencia visual es mucho más impactante que su contrapartida algebraica moderna. He aquí la demostración:

El área del cuadrado mayor es (a + b)2. Esta área también se puede calcular adicionando las áreas de los cuadrados y rectángulos interiores.Luego:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Productos Notables

Son los resultados de multiplicar dos o más polinomios, en forma directa sin necesidad de realizar la operación.

Trinomio Cuadrado Perfecto

(x + 3)2 = x2 + 2(3)x + 32

(x - 4)2 = x2 - 2(4)x + 42

(5x + y)2 = (5x)2 + 2(5x)(y) + y2

Ejemplos:

1. CONCEPTO

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a - b)2 = a2 - 2ab + b2

Identidades de Legendre

(x + 3)2 + (x - 3)2 = 2(x2 + 32)

(x + 2)2 - (x - 2)2 = 4(x)(2)

Ejemplos:

(a + b)2 + (a - b)2 = 2(a2 + b2)(a + b)2 - (a - b)2 = 4ab

Nota

Desarrollando:x2 - 2xy + y2 = y2 - 2yx + x2

(x - y)2 = (y - x)2

a b

a

b ab b2

a2 ab

= a2

ab

ab

b2+ +

Reduce:

N =

Solución.-

Por Legendre:

(a+ b)2 - (a - b)2 = 4ab

⇒ = 4 = 2

(a + b)2 - (a - b)2

ab

4(ab)ab

Diferencia de Cuadrados

Calcula : M = 46 . 44 - 452

Solución.-

Haciendo x = 45

(a + b)(a - b) = a2 - b2

Ejemplo:



140

(

Si :

(x+y)2=4xy x2+2xy+y2=4xy x2 - 2xy+y2= 0 (x - y)2 = 0 ⇒ x=y

Remplazando en "E"

Ejemplo:

1. Si : x2 + 1 = 3 , x2

calcula: x6 + 1 x6

a) 0 b) 3 c) 2 3 d) 3 3 e) 3

Resolución:

Rpta.: a

La operación se convierte en:M = (x + 1) (x - 1) - x2

Aplicando productos notables: M = x2 - 1 - x2

Reduciendo términos semejantes:

M = -1

(x + 3)(x + 4) = x2 + 7x + 12

(x+a)(x+b)= x2+(a+b)x+ab

(x + y + 3)2 = x2 + y2 + 32 + 2(x)(y) + 2(y)(3) + 2(x)(3)

⇒ (x + y + 3)2 = x2 + y2 + 9 + 2xy + 6y + 6x

Producto de dos Binomios con un Término Común

Desarrollo de un Trinomio al Cuadrado

(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc

Ejemplo:

x2+1 3

x2( (= 3 3

x6 + +3x2. 1x6

1x2

x2+1 x2( = 3 3

x6 + = 0 1x6

x6 + +3( 3) 1x6

= 3 3

2. Si : M = 2 + 3 ; N = 2 - 3

calcula (M+N)2

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

Resolución:

K = ( 2+ 3+ 2 - 3)2

K = 2+ 3 2

+2( 2+ 3 )( 2- 3 ) + 2 - 3

2

K = 2+ 3+2 ( 2+ 3 )( 2- 3 )+2- 3

K = 4+2 22- 32

K = 4+2 1

K = 6 Rpta.: d

3. Si :

calcula:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

x+y 2

2( (=xy ,

E= 6 x - 2 y 4 xy

Resolución:

(x+y)2

4=xy

E= 6 x - 2 x 4 x2

E= 4 x x

E= 2

Rpta.: b

Geométricamente la identidad de Stevin se demuestra así:

Según sus áreas:(x + a)(x + b) = x2 + bx + ax + ab

= x2 + (a + b)x + ab

x a

x

b= x2 + bx + ax + ab

bx ab

x2 ax



141

x3+y3+z3-3xyz=(x+y+z)(x2+y2+z2- xy-xz-yz)

0 -3xyz=(x+y+z)(x2+y2+z2-x2-y2-z2-3) -3xyz = -3(x+y+z) ⇒ xyz = x+y+z

Elevando al cubo: x3y3z3=x3+y3+z3+3(x+y)(y+z)(z+x) Reemplazando: x3y3z3=3(x+y)(y+z)(z+x)

\ x3y3z3

(x+y)(x+z)(y+z)= 3

1) Si: x - y = 4, xy =3; halla x3-y3

a) 70 b) 72 c) 74d) 76 e) 78

10) Si la suma de dos números es 7, y su producto es 10. Calcula la suma de sus cuadrados.

a) 29 b) 49 c) 109d) 39 e) 69

4. Si : (x - y)2+(x - z)2+(y - z)2 = 0

calcula:

a) -2 b) -1 c) 0 d) 1 e) 2

E= 3 x + 2y + 4 x2+z2

2x +y 2xz

Resolución:

Si (x - y)2+(x - z)2+(y - z)2 = 0 ⇒ x - y = x - z = y - z = 0

\ x = y = z

Remplazando en "E"

E= 3 x + 2x + 4 x2+x2

2x +x 2x2

E= 3 1 + 4 1

E= 2Rpta.: e

5. Si : x3+y3+z3=0; x2+y2+z2+3=xy+xz+yz

Calcula: x3y3z3

(x+y)(x+z)(y+z) a) 1 b) 4 c) 2

d) 5 e) 3

Resolución:

Rpta.: e

Nivel I

2) Si: a+b=3 y ab=2; el valor de

a2+b2 es:

a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 7

3) Si: m+m-1=5 calcula m3+m-3.

a) 95 b) 100 c) 105d) 110 e) 115

4) Si: x2+x-2=4 calcula x6+x-6.

a) 32 b) 42 c) 52d) 62 e) 72

5) Si: x+x-1=2 calcula x2+x-2.

a) 1 b) 2 c) 6d) 8 e) 7

6) Efectúa:

(x10+1)(x10+10)-(x10+15)(x10-4)

a) 30 b) 40 c) 50d) 60 e) 70

7) Efectúa:

(p5+5)(25+p10- 5p5) - 125

a) p5 b) p10 c) p15

d) p20 e) p25

8) Reduce:

(xn+8)(xn+2)-(xn+3)(xn+7)

a) -3 b) -4 c) -5d) -6 e) -7

9) La suma de dos números es 12 y su producto es 5. Halla la suma de sus cuadrados.

a) 114 b) 124 c) 134 d) 144 e) 156

11) El cuadrado de la suma de dos números es 10 y la suma de sus cuadrados es 6. Calcula el producto de dichos números.

a) 4 b) 3 c) -2d) 2 e) 1

12) Halla la diferencia positiva de dos números, sabiendo que la suma de sus cuadrados es 15 y su producto es 3.

a) 3 b) 2 c) 1d) 6 e) 5

13) La suma de dos números es 10 y su producto es 22, calcula la suma de sus cubos.

a) 311 b) 64 c) 81d) 340 e) 310

14) La suma de dos números es 12 y la suma de sus cubos es 576, halla el producto de dichos números.

a) 22 b) 44 c) 64d) 32 e) 50



142

Nivel III

15) Si m+1/m=4 calcula m3+1/m3.

a) 52 b) 54 c) 56d) 60 e) 64

Nivel II

16) Si: x2+ 1 = 3 x2

calcula el valor de x6 + 1 x6

a) 0 b) 3 c) 2 3d) 3 3 e) 3

17) Si: (a+b)2 = 2(a2+b2) calcula el valor

de:

a) 13 b) 14 c) 15d) 16 e) 17

a2+13b2 23a - 17b ab 2a

E= +

18) Si x2+ = 5 calcula E=x -

a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 7

1x

1x2

19) Si: R = ( 2 +1)2+( 2 - 1)2 M = ( 3 +2)2+( 3 - 2)2

calcula R+M.

a) 16 b) 17 c) 18d) 19 e) 20

20) Si: a + b =10 y a2 + b2=50, calcula el valor de a3+b3.

a) 250 b) 200 c) 150d) 100 e) 95

21) Si: a+b+c=10 y a2+b2+c2=38, calcula el valor de P=ab+bc+ac.

a) 31 b) 41 c) 51d) 61 e) 71

22) Si a2+b2+c2=50 y a+b+c= 12, halla P =(a+b)2+(b+c)2+ (a+c)2.

a) 132 b) 146 c) 145d) 164 e) 194

23) Efectúa: (x-2)2(x+2)2(x2+4)+32x4 - 256

a) x2 b) x4 c) x6

d) x8 e) x16

24) Si x+x-1=3 calcula x4+x-4.

a) 47 b) 49 c) 51 d) 79 e) 81

26) Efectúa:

E=4 1+(x-1)(x+1)(x2+1)(x4+1)

a) x b) x2 c) x4

d) x6 e) x8

27) Efectúa:

R = 24 1+26.(33+1).(36+1).(312+1) a) 3 b) 9 c) 27 d) 81 e) 243

28) Sabiendo que:

[6+ 36 - a2].[6- 36 - a2]=8, halla a4.

a) 4 b) 8 c) 16 d) 32 e) 64

29) Si: A = 2+ 3 B = 2 - 3 calcula (A+B)2

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

30) Simplifica:

E = 3 m m - m3-n6 . 3 m m+ m3-n6 a) n b) n2 c) n3

d) n4 e) n6

31) Simplifica:

E = + 2+ -

2

2

- 4 2-

2

2

a) 36 b) 24 c) 15

d) 16 e) 72

( (a b[ b

a( a b (] [ ( a

b ( ] b a

b a ( (

32) Si - = 1 calcula:

S = +1

2

+ - 1 2

a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

x y

y x

( (x y ( y

x (

33) Si 2= xy calcula:

E =

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

x+y 2( (

6 x - 2 y 4 xy

34) Si + + calcula:

J = +

a) 3/2 b) 1/2 c) 5/2

d) 7/2 e) 9/2

1 m

1 n

4 m+n

4m+n 4m- 2n

m2+n2 mn

35) Si (a+b)3=a3+b3, además a, b≠ 0; señala el valor de .

a) -2 b) -1 c) 0

d) 1 e) 2

a b

25) Efectúa:

J= 5+2 6 . 5 - 2 6 a) 5 b) 1 c) 5 d) 6 e) 4

( (( (



143

36) Simplifica la expresión:

E = 12 (x2+1)(x6-1)(x24+x12+1)(x4-x2+1)+1

a) 1 b) x2 c) x3

d) x6 e) x12

37) Efectúa:

R = ( x + 3 ) ( x2 - 3x + 9) ( x - 3 ) (x2+ 3x + 9 ) + 729

a) x3 b) x6 c) x8

d) x10 e) x12

38) Reduce a su mínima expresión:

[(a+2)4. (a2 - 2a + 4)4 . (a3+8) . (a3-8)5] 0.2 +64

a) a b) a2 c) a3

d) a4 e) a6

39) Si (x - y)2+(x - z)2+(y - z)2=0 calcula:

E = 3 + 4

a) -2 b) -1 c) 0

d) 1 e) 2

x + 2y 2x+y

x2 +z2 2xz

40) Calcula el valor de a+b+c si a2+b2+c2=2

(a+b+c)(1+ab+bc+ac)=32

a) 2 b) 4 c) 8

d) 32 e) 64

41) Dada la siguiente igualdad:

4 = + + ,

calcula el valor mumérico de :

R =

a) 9 b) 7 c) 5

d) 8 e) 6

x yz

y xz

z xy

x( x+yz)+y(y+xz)+z(z+xy) x(x - yz)+y(y - xz)+z(z - xy)

42) Si se sabe que:

calcula el valor de:

E= +

a) 18 b) 17 c) 16

d) 15 e) 14

2x y

1 +xy 1 - xy=

2x+y 2x - y

2x - y 2x+y ()

2x+y 2x - y

2x - y 2x+y () - .(4x2- y2)

43) Si a3+b3+c3=0 y (a - b)2+(a - c)2

+(b - c)2=12, a; b; c ≠ 0. calcula:

A = + +

a) 1/2 b) -2 c) 3/2

d) 2/3 e) -1/2

1 bc

1 ac

1 ab

44) Calcula:

T=

∀ a; b; c; d ≠ 0 si:

a) -6 b) -5 c) -4

d) -3 e) -7

7(3 a2+3 b2+3 c2+3 d2) 2(3 ab+3 ac+3 ad+3 bc+3 bd+3 cd)

3 a2(3 a+3 c+3 d)+3 b2( 3 b +3c+ 3 d) = 3 abc+3 abcd

45) Si:

a= ,

b= y

a4 +b4 =382 Calcula el valor de 19(a2-b2) a) 180 b) 181 c) 182 d) 185 e) 186

q3+q2 - q3+q2 - 1-1 q3+q3 -1

3 q3+q3 -1-1

46) Si:

∀ a; b; c; d ∀ R - {0} calcula:

a) 4 b) 5 c) 3

d) 2 e) 1

1 a2

1 b2+ 1

c21 d2

1 ab

1 cd

1 ac

1 bd

+ + + + +=

1024(a5+b5+c5+d5)-(a+b+c+d)5 256abcd(a+b+c+d)

47) Si x3+y3+z3 = 0 ∧ x2 +y2+z2+3 = xy+xz+yz,

calcula:

a) 1 b) 4 c) 2

d) 5 e) 3

x3y3z3

(x+y)(x+z)(y+z)

48) Si a3 +b3+c3 = 86; ab + ac + bc =3 y abc = 2. calcula a+b+c. a) 5 b) 4 c) 3

d) 2 e) 1

49) Siendo: a≠b≠c≠0 y a-1+b-1+c-1=(abc)-1

calcula:

B = (1+a2)(1+b2)(1+c2)

a) a+b+c+abc d) a+b+c b) a+b+c-abc e) N.A c) abc

50) Si: 3(x12 + y12 + z12)(x6 +y6 +z6) = 2 ( x 1 8 + y 1 8 + z 1 8 ) - 6 x 6 y 6 z 6 ;

(xy)12+(xz)12 = 25

calcular B= x24+y24+z24

a) 49 b) 48 c) 100

d) 98 e) 50



144

Repaso

3. ¿Cuál es el grado del siguiente trinomio?

P(x) = x5-n + xn-3 + xn-1

Resolución:

Por definición de polinomios :5 - n ≥ 0 ⇒ 5 ≥ nn - 3 ≥ 0 ⇒ n ≥ 3n - 1 ≥ 0 ⇒ n ≥ 1

Veamos qué valor(es) cumple(n) la condición de ser “trinomio” :Si n = 3 ⇒ P(x) = 2x2 + 1Si n = 4 ⇒ P(x) = 2x + x3

Si n = 5 ⇒ P(x) = 1 + x2 + x4 (cumple)∴ GA(P) = 4

3 ≤ n ≤ 5n = {3; 4; 5}

4. Halla el término independiente del polinomio completo y ordenado descendentemente.

P(x) = x20 + xa + ... + xb + x5 + ... + 2ba-17

Resolución:

Condición : completo y ordenado descendentemente.

P(x) = x20 + xa + ... + xb + x5 + ... + 2ba-17

Reemplazando:P(x) = x20 + x19 + ... + 72

término independiente

los exponentes descienden consecutivamente

a=19 b=6

1. Simplifica:

Resolución:

En el numerador y denominador se extrae la base común de menor exponente:

Al cancelar los paréntesis se obtiene:

Dividiendo bases iguales, tenemos:

3x-1-x+4 = 33 = 27

3x-1 + 3x + 3x+1

3x-4 + 3x-3 + 3x-2

3x-1 (30 + 31 + 32)3x-4 (30 + 31 + 32)

3x-1

3x-4

2. Resuelve:

8132x = 2742x

Resolución:

Logremos bases iguales M.A.M

(34)32x = (33)42x

Aplicando potencia de potencia:

34.32x = 33.42x

A bases iguales, exponentes iguales:

4 . 32x = 3 . 42x

Transponiendo términos:

A bases iguales, exponentes iguales:2x = 1 ⇒ x = 1/2

32x

42x

34

=

34

=2x

( )34

1

( )

5. Si a + b + c = 4 y a2 + b2 + c2 = 16, calcula: M = (a + b)2 + (b + c)2 + (a + c)2

Resolución:

De la condición : a + b + c = 4

tenemos :a + b = 4 - cb + c = 4 - aa + c = 4 - b

Reemplazando : M = (4 - c)2 + (4 - a)2 + (4 - b)2

efectuando y agrupando convenientemente :M = 3(16) - 8(a+b+c) + (a2+b2+ c2)M = 48 - 8(4) + 16M = 32



145

Nivel I

1) Calcula :

a) 12 b) 13 c) 14d) 15 e) 16

812. 83

67

7n+2 - 7n+1

7n-1

2) Simplifica :

N =

e indica la suma de cifras de ‘‘N’’.

a) 13 b) 14 c) 15d) 16 e) 17

3) Calcula :

a) 1 b) 5 c) 4d) 0 e) 1

-1/3 -1/3 -1 0,5

( )127

+1

125( ) 117( )+

4) Halla “x” en :

23x-5 = 64x/6+3,5

a) 13 b) 6 c) 7d) 10 e) 9

6) Halla ‘‘a+b’’, sabiendo que P(x) es ordenado:P(x) = x4 + x2b+1 + xa-3 + x + 1

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

7) Halla el valor de la suma de coeficientes de P(x), sabiendo que es un polinomio completo:P(x) = 4x + 2x4 + 6mxm-5 - 3x3 - 4

a) 41 b) 27 c) 26d) 38 e) 43

8) Halla la suma de coeficientes en el siguiente P(x), sabiendo que es homogéneo:P(x;y) = 2ax7ya+3 + 3x8y12 - 5aya+10

a) 27 b) 13 c) -27d) 10 e) 12

9) Halla el grado del siguiente monomio:

-3 7 [x2y3]4 z2

a) 11 b) 25 c) 22d) 27 e) 32

10) Calcula el valor de ‘‘n’’ si:P(x) = (xnn

)(xn)(x)es de grado 7.

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

1x

1x2

12) Si x - = 4 ,

calcula x2 +

a) 18 b) 16 c) 14d) 13 e) 4

13) Efectúa :

a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 7

( 5+1)( 5-1) + ( 3+1)( 3-1)( 2 + 1)( 2 - 1)

P =

14) Efectúa :E = (x + 2y)2 - (x - 2y)2 - 4xy

a) xy b) 3xy c) 4xyd) 6xy e) 9xy

15) Efectúa :

(ax+a-x)(a4x+a-4x)(a2x+a-2x)(ax-a-x)+a-8x

a) a4x b) a6x c) a-8x

d) a8x e) ax

2x+2 . 2x-2

4x-2

16) Calcula :

R =

a) 1 b) 2 c) 4d) 1/2 e) 8

Nivel II

17) Resuelve :

2x . 23x-5 . 25x-9 = 25

a) 1 b) 2 c) 19/9d) 3 e) 6

5) Efectúa : M =

a) x30 b) x31 c) x32

d) x33 e) x34

x2 . x3 . x4 . x5. ... x32

x . x2 . x3 . x4 . ... x31 1x

1x2

11) Si x + = 6 ,

calcula x2 +

a) 32 b) 17 c) 34d) 36 e) 6



146

21) Calcula el grado absoluto del polinomio: P(x,y) = xn-2y - 4xny3/n + y5-n

a) 8 b) 9 c) 10d) 12 e) 15

22) Halla a + b si el polinomio es homogéneo.

P(x,y) = axaa-5 + bya3

+ 8xba+1

a) 8 b) 9 c) 10d) 11 e) 2

23) Halla a + b si : ax2 + bx + 7 ≡ k(3x2 - 2x + 1)

a) -3 b) -2 c) 1d) 3 e) 5

24) Calcula m + 2n (m>n) si : m(x + n) + n(x + m) ≡ 3x - 56

a) -3 b) -2 c) 1d) 3 e) 5

25) Halla a + b si el polinomio es homogéneo:

P(x,y) = 3x2a-5y4b + 5x2a-4by3 + x4y9

a) 8 b) 9 c) 10d) 7 e) 5

31) Calcula el valor de “m” en :

7 3 (3 m)2 3 m 21

= mm

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

( )

28) Si (x + y)2 = 4xy, calcula el valor de :N = x2000 - y2000 +

a) x/2 b) x c) 2xd) x/3 e) 5 + x/2

xyx + y

29) Reduce :(x + 1)(x - 2)(x + 3)(x + 6) - [(x2 + 4x)2 - 9x(x + 4)]

a) 36 b) -36 c) 30d) -30 e) -48

30) Si (a + b + c + d)2 = 4(a + b)(c + d),

calcula : S = 3(a + b) 27c+d

a) 1 b) 2 c) 3 3d) 3 e) 3 2

32) Halla “x” en :

a) 4 b) 6 c) 8d) 10 e) 16

2x + 3x

2-x + 3-x= 64

33) Calcula el exponente final de “x” en :

E = 7 x 3 x 7 x 3 x ... ∞

a) 1/2 b) 1/3 c) 1/5d) 1/7 e) 1/21

15 factores

34) Calcula :

M = 3 4 . 3 4 . 3 4 ... 3 4 - 322

a) 0 b) 1 c) 16d) 64 e) 128

Nivel III

35) Calcula :

P = (1/2) 2 2 2 - 8 22

a) 16 b) 0,25 c) 0,5d) 1 e) 4

( )

36) Simplifica :

L = [8m+1 4

m-1 3]

25m+4

a) 3 b) 3 c) 9d) 27 e) 81

4 4 5 5 4 54 5 4 5

37) Calcula :

a) 5 b) 52 c) 5 5d) 5-1 e) 1

38) Simplifica :

a) 2a b) 2b c) ad) b/2 e) a/2

(2b)a-2 (b2)b-a

(2-bb2)-a 2bS =

18) Resuelve :

2x+5 + 2x+4 + 2x+3 = 28

a) -2 b) -1 c) 1d) 2 e) 3

19) Si 3x = 5y, halla :

E = x+y 15x

a) 3 b) 5 c) 15d) 1 e) 10

63 . 124 . 156 . 59

1011 . 313 . 54

20) Simplifica :

a) 2 b) 3 c) 1d) 5 e) 6

xyx2 + y2

x2 - y2

xy

(x + y)2

x2

26) Si (x + y)2 = 4xy, calcula :

E = + +

a) 5/2 b) 7/2 c) 0d) 9/2 e) 1

27) Luego de efectuar :A = (x2+ x + 4)(x2+ x + 5) - (x2+ x +3)(x2+ x +6)indica lo correcto.

a) A + 1 = 3 d) A2 + 1 = 5b) 0 < A < 1 e) A es imparc) 3 A + 7 = 3



147

39) Si el polinomio es completo y ordenado.

P(x) = abxc + bcxa + acxb + abc, calcula el término independiente.

a) 12 b) 6 c) 8d) 9 e) 15

40) Si el polinomio se anula para cualquier valor de ‘‘x’’

P(x) = (a + b -3)x2 + (b +c - 2)x + c + a - 1, calcula (a + b + c)2.

a) 4 b) 25 c) 16d) 9 e) 36

41) Calcula el grado absoluto del polinomio.

P(x,y) = xa-2y2 - 4xa2y3/a + y5-a

a) 1 b) 9 c) 10d) 12 e) 15

42) Dado el polinomio:

P(x,y) = xa+2yb-5+2xa+3yb-4+5xayb-1

donde G.R.(x) = 4 y G.A. = 7, calcula (a + b)a.

a) 9 b) 0 c) 14d) 19 e) 8

43) Si el polinomio es homogéneo.

P(x,y) = x5y7+2x3a-5yb+3+5x2a+3y3, calcula (a - b)2.

a) 1 b) 25 c) 16d) 4 e) 0

44) Reduce:

F=(a+b - c)3+(a - b+c)3+ 6a(a+b - c)(a - b+c)

a) 8a2 b) 8b2 c) 8c2

d) 3abc e) 0

45) Si x3 = 1 y además x≠1. calcula.

F=

a) 1 b) 2 c) 1/2d) -1/2 e) -2

x8+x4

x6+1

46) Siendo x; y ∈ R que verifican x2+y2+10 = 6x +2y, calcular xy

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

47) Siendo a+b+c=0, reduce:

L= + +

a) 6 b) 0 c) -6d) 3 e) 12

a2+b2-c2

abb2+c2-a2

bca2+c2-b2

ac

49) Si x + y + z =0

calcula

a) 6 b) 3 c) 9d) 4 e) 4,5

x-yz +

y-zx +

z-xy

= 12,

xz +

zy +

yz

50) Si:

x = 3 2 + 1 - 3 2 - 1, halla M = x3+3x+8

a) 10 b) 12 c) 14d) 16 e) 18

EUCLIDES (330 a.C. - 275 a.C.)

Matemático griego. Es el matemático más famoso de la antigüedad. Enseñó en Alejandría, donde alcanzó un gran prestigio en el ejercicio de su magisterio durante el reinado de Ptolomeo I Sóter. La tradición ha conservado una imagen de Euclides como hombre de notable amabilidad y modestia, y ha transmitido así mismo una anécdota relativa a su enseñanza, recogida por Juan Estobeo: un joven principiante en el estudio de la geometría le preguntó qué ganaría con su aprendizaje; Euclides, tras explicarle que la adquisición de un conocimiento es siempre valiosa en sí misma, ordenó a su esclavo que diera unas monedas al muchacho, dado que éste tenía la pretensión de obtener algún provecho de sus estudios.Euclides fue autor de diversos tratados, pero su nombre se asocia principalmente a uno de ellos, los Elementos, que rivaliza por su difusión con las obras más famosas de la literatura universal, como la Biblia o el Quijote. Se trata, en esencia, de una compilación de obras de autores anteriores (entre los que destaca Hipócrates de Quíos), que las superó de inmediato por su plan general y la magnitud de su propósito.

48) Reduce:

a) 2 b) 4 c) 6d) 1 e) 8

x+y+zy+z( ) ( )

3

+ - 6 +6( )xy+z

23 y-x+zy+z

Líne

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Nac

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epti

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lia, P

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Ruf

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1765

1815

1803

1814

Fa

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M

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1816

1817

1818

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grad

o

Ru

ffin

i e

s n

om

br

ad

o re

cto

r d

e la

u

niv

ersi

dad

de

Mód

ena.



149

División Algebraica

Monomio Entre Monomio

Ejemplos:

Nos remit imos a la Ley de Exponentes.

15x7y4z5

3x2yz3

1001x9w15

91x3w12

= x7-2y4-1z5-3

= 5x5y3z2

= x9-3w15-12

= 11x6w3

( )153

( )100191

Polinomio Entre Monomio

Nos remit imos a separar el polinomio término por término y utilizar lo visto anteriormente.

Observa...

Residuo

Cociente

Divisor

Dividendo

D(x) = d(x) q(x) + r(x)

Ejemplos:

15x7w8 + 21x6w3 - 3x5w2 entre 3x3w

5x4w7 + 7x3w2 - x2w

15x7w8

3x3w21x6w3

3x3w3x5w2

3x3w-+

Polinomio Entre Polinomio

Sólo coeficientes. Polinomio completo y ordenado.

1. MÉTODO DE HORNER

ivisor

d

Cociente Residuo

D i v i d e n d o

LíneaDivisoria

Ten en cuenta

a) El grado del dividendo debe ser mayor o igual que el grado del divisor.

b) El grado del residuo debe ser menor al grado del divisor.

Observa...

2 5 0 2 -36

-1

-3 -35 15

-9

-1

-3

-51 12

÷

÷÷

43

6x4 + 5x3 + 2x - 3 entre 2x2 + x+ 3

La línea divisoria corre 2 espacios de izquierda a derecha pues el divisor es de grado 2.

PAOLO RUFFINI

(1765 - 1822)

Físico y matemático italiano. Nació en Valentano, entonces perteneciente a los Estados Po n t i f i c i o s , e s t u d i ó e n l a Universidad de Módena, donde fue profesor de matemáticas y, en 1814, rector.

Ruffini fue el primero que realizó un intento, con éxito parcial (probablemente en 1803 ó 1805), de demostrar la imposibilidad de resolver mediante procesos e lementa les de á lgebra las ecuaciones generales de grado superior a cuatro. Esta formulación fue demostrada definitivamente por el matemático noruego Niels Henrik Abel. Ruffini murió en Módena en 1822.



150

Resolución:

Resolución:

Resolución:

1. Determina “A + B”, en la siguiente división exacta.

Por las características del divisor, el método a utilizar es el de W. Horner.

Haciendo el esquema :

del esquema :A - 1 = 0 ⇒ A = 1B - 1 = 0 ⇒ B = 1

∴ A + B = 2

Ejemplos:

q(x) = 3x2 + x - 5

r(x) = 4x + 12

2. MÉTODO DE RUFFINI

DIVIDENDO(RAÍZ DEL

DIVISOR)

COCIENTE RESIDUO

q(x) = x3 + 2x2 - x - 2

r(x) = 0

El resto que resulta de dividir un polinomio determinado, por el binomio “x - a”, es igual al valor numérico del polinomio dividendo, en el cual se ha efectuado la sustitución de x por a.

Veamos: D(x) = (x - a)q(x) + R

Evaluemos en x = a D(a) = (a - a)q(a) + R

cero

Ten en cuenta

Si el divisor es de la forma ax + b, entonces su raíz será -b/a.

Observa...

x4 - x3 - 7x2 + x + 6 entre x - 3

x - 3 = 0x = 3

-1 -7 1 61

3 6 -3 -6

2 -1 -2 01

Teorema del Resto

D(a) = R

Halla el resto de dividir: 4x4 - 3x3 + 5x2 - 6x + 4 entre x - 2

x - 2 = 0 x = 2 R = 4(2)4 - 3(2)3 + 5(2)2 - 6(2) + 4 R = 52

6x4 + 5x3 - x2 + Ax + B2x2 + 3x + 1

2 5 -1 A B6

-3

-1 2-3 -1

-3

6

-9

1-2 0

división exacta

Se utiliza para casos en que el divisor es de primer grado.

D(a) = V.N. del dividendo cuando x = a

Ten en cuenta

R es un número, pues su grado debe ser 0; ya que el grado del divisor es 1.

2. En la siguiente división :

determina el valor de “AB” si tiene como residuo 3x + 10.

Por las características del divisor, el método a utilizar es el de W. Horner.

Haciendo el esquema :del esquema :

4x4 + 23x3 + 24x2 + Ax + Bx2 + 5x + 2

1 23 24 A B4

-5

-2 -6-5 -2

-8

-15

-20

13 10

residuo

A - 11 = 3 ⇒ A = 14B - 2 = 10 ⇒ B = 12

∴ AB = 168

3. Divide:

e indica la suma de coeficientes del cociente.

Por las características del divisor, el método a utilizar es el de P. Ruffini.

Haciendo el esquema :Cociente: Q(x) = x3 - 2x2 + x - 3

2x4 - 5x3 + 4x2 - 7x + 92x - 1

∑ de coeficientes = Q(1) = -3

Divisor2x - 1

diferente de launidad

1/22 -5 4 -7 9

1 -2 1 -32 -4 2 -6 6

÷ 21 -2 1 -3

03

4 3



151

4. Halla el residuo de la siguiente división :

Como el grado del dividendo es muy elevado y sólo nos piden el residuo, entonces utilizaremos el “Teorema del resto”.

Regla práctica :x + 6 = 0

x = -6

Reemplazando en el dividendo :R = (-6 - 3) (-6 + 7)60 + 7

R = -2

Resolución:

Resolución:

(x - 3) (x + 7)60 + 7x + 6

5. Halla el residuo de la división :

Como en el dividendo los términos son potencia del término del divisor (x10), haremos un cambio de variable.

Sea : x10 = y

Como sólo nos interesa el residuo, entonces aplicamos el “Teorema del resto”.

Regla práctica :y + 1 = 0

y = -1

Reemplazando en el dividendo :R = (-1)9 + (-1)8 + (-1)6 + (-1)2 + 4

R = 6

x90 + x80 + x60 + x20 + 4x10 + 1

y9 + y8 + y6 + y2 + 4y + 1

4x4 + 13x3 + 28x2 + 25x + 124x2 + 5x + 6

1) Halla el cociente de la siguiente división:

a) x + 5 b) x2 + 3 c) x + 3d) -10x + 14 e) 10x - 14

x3 + 5x2 - 7x + 5x2 + 2x - 3

x4 - 3x3 + 2x2 + x - 5x2 - 3x + 1

2) Halla el residuo de la división:

a) x2 + 1 b) 4x - 6 c) -2d) -6 e) 4x

3) Al efectuar la siguiente división:

indica su cociente.

a) x2 + 2x + 3 d) x2 + 2x - 3b) x2 - 2x + 3 e) x2 + 3x + 2c) x2 - 3x + 2

4) Del problema 3, indica su residuo.

a) 2x + 6 b) -2x + 6 c) -2x - 6d) 2x - 6 e) x - 2

5) Del problema 3, el término inde-pendiente del cociente es:

a) 2 b) 2 c) 3d) -2 e) -3

6) Del problema 3, el coeficiente del término lineal (“x” de grado uno) del cociente es:

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

7) El producto de términos del cociente del problema 3 es:

a) 6x b) 6x2 c) 2x2

d) 15x3 e) 6x3

4x4 - 5x3 - 2x2 + 3x - 1x2 - 2x - 1

8) Calcula la suma de coeficientes del residuo de dividir:

a) -27 b) 29 c) 21d) 19 e) 11

x5 - 3x2 + x + 1x2 + x - 1

9) Luego de dividir

halla el residuo de la división.

a) 9x - 5 b) 2 c) 7x - 4d) 10x - 6 e) 6x - 11

2x4 + 5x3 - 2x2 + 4x + 82x2 + x - 2

10) Halla la suma de coeficientes del cociente de la siguiente división:

a) 2 b) 5 c) 7d) 9 e) 4

3x6 + 2x5 + x4 + 2x + 3x3 - x + 1

11) Luego de efectuar:

indica el cociente.

a) 3x3 + 2x2 + 4x - 1 b) 3x2 + 2x - 1 c) 3x2 + 4x - 1d) x3 + 2x2 + 1 e) x3 - 3x - 1

Nivel I



152

Nivel II

2x3 + x2 - 6x + 42x - 3

3x3 + 2x2 + x + 1x + 1

5421

a-1 -4b

-2

d22

c 7

-41 23 9

12) En la siguiente división por Horner

halla la suma de “a + b + c + d”

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 12

abaa

cb cb

b

cbb

b a

cc c2

d e

13) Halla el divisor del esquema de Horner en función de “x”.

a) x2 + x + 1 d) 2x2 + x + 3b) x2 - x + 1 e) x2 - x - 1c) 2x2 - x - 3

14) Divide e indica el cociente de:

a) 2x2 + x + 1 d) 3x2 - x + 1b) 5x2 - x + 2 e) 3x2 - x + 2c) 2x2 + 3

3x4 + 2x2 - 3x - 3x - 2

15) Divide y calcula la suma de coeficientes del cociente:

a) 20 b) 21 c) 22d) 23 e) 48

16) Halla el cociente al dividir:

a) x2 + 2x d) x2 - 3x + 2b) x2 + x + 1 e) x2 + 1c) x2 - x + 1

17) Divide y calcula la suma de coeficientes del cociente:

a) 3 b) 4 c) 5d) 21 e) 7

3x4 - 2x3 + 9x2 +3x + 63x - 2

2x3 + 3x2 - 5x + 6x + 2

18) Halla el resto al dividir:

a) 10 b) 11 c) 12d) 13 e) 14

2x8 - 3x6 + 3x4 + 2x2 + 2


a) 50 b) 60 c) 70d) 80 e) 90

x4 - 2x3 + 3x2 - x + 1x - 2


a) 11 b) 12 c) 13d) 14 e) 15


a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

(x3+x2+4)2m+(x3+x2+3)n + x3 + x2 + 6x3 + x2 + 3

3x4 - 4x3 + 3x2 + ax2 + 2x - 2x2 - x + b

22) Calcula a - b si el resto de

es 8x - 2; además a ∧ b ∈ R+.

a) 13 b) 18 c) 5d) 10 e) 16

2x4 + 5x3 + ax + ax2 - x + 1

23) La división:

da como resto un polinomio de grado cero. ¿Cuál es?

a) -1 b) -3 c) 2d) 8 e) 4

mx4 + nx3 + px2 + 6x + 62x2 - 5x + 2

24) Calcula (m + p)n si el resto de la división

es -5x + 8 y la suma de los coeficientes del cociente es 4.

a) 34 b) 35 c) 36d) 37 e) 38

9x4 + 6ax3 + (a2 + 3b)x2 - abx - 9a2

3x2 + ax - b

3a2 + b2

12

25) En la división:

el resto obtenido es -2abx+b2.

Calcula

a) -b/a b) 3a/b c) -2b/ad) ab e) a2

Halla “n” si las siguientes divisiones indicadas generan cocientes notables.

xn - an

x - a26) ; (8 términos)

a) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) 9

27) ; (16 términos)

a) 16 b) 32 c) 8d) 64 e) 24

x2n - a2n

x4 - a4

29) ; (9 términos)

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

x3n + 1x + 1

30) ; (7 términos)

a) 2 b) 6 c) 7d) 4 e) 3

x3n+1 - 1xn-1 - 1



153

31)

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

x2 - 4x - 2

Halla el número de términos si las siguientes divisiones generan cocientes notables.

32)

a) 15 b) 16 c) 17d) 18 e) 19

x162 - 1x9 + 1

33)

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

x40 - 240

x10 + 1024

34)

a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 7

x20 - 1x4 - 1

35)

a) 19 b) 20 c) 21d) 22 e) 23

x180 - 1x9 - 1

36) Calcula “n” si el cociente de:

es notable.

a) 1 b) 5 c) 7d) 8 e) 10

x2n+1 - yn+3

xn-4 - yn-5

a2m+3 + b3m-3

a2m-3 - b3m-5

37) Halla “m” para que la expresión genere un cociente notable.

a) 3 b) 5 c) 6d) 7 e) Nunca es C.N.

x13m+1 - y8m+2

xm+1 - ym

38) Indica cuántos términos posee el cociente de:

,

sabiendo que es notable.

a) 2 b) 5 c) 9d) 13 e) 28

x6n+3 - y6n-22

( x)n-6 - ( y)n-8

39) Si la siguiente división:

da un cociente notable, halla el número de términos.

a) 5 b) 10 c) 15d) 2 e) 25

xm - y5m-8

x2 - y9

40) Halla el tercer término del cociente de:

si es notable.

a) x15y27 b) x8y9 c) x10y18

d) x7y6 e) xy9

x3 - y12

x + y2

41) Calcula el segundo término en el desarrollo de:

a) x2y b) -x2y2 c) x3y4

d) xy5 e) -xy

x10 + x8 + x6 + x4 + x2 + 1x4 + x2 + 1

42) Efectúa:

a) x6 + x b) x6 - x c) x6 - 1d) x6 + 1 e) x

x15 - x12 + x9 - x6 + x3 - 1x6 - x3 + 1

43) Efectúa:

a) x9 - x b) x9 + x c) x9 + 1d) x9 - 1 e) x6

x8 - 1xm - 1

44) Si el cociente notable de ;

tiene 4 términos, calcula:m9 + m8 + m7 + ... + m + 1

a) 1022 b) 1023 c) 1024d) 1025 e) 1026

45) Indica el grado del décimo término del cociente notable que se obtiene al dividir:

a) 56 b) 60 c) 57d) 59 e) 54

x38 + y57z19

x2 + y3z

x6m-3 - y8m+3

46) Calcula el grado del término central del desarrollo de:

si es notable.

a) 9 b) 24 c) 26d) 15 e) 18

x72 + x66 + x60 + ... + 1x36 + x33 + x30 + ... + 1

47) Indica el cociente de dividir:

a) x36 + x33 + x30 + ... + 1 b) x36 - x33 + x30 - ... + 1 c) x36 + x30 + x24 + ... + 1d) x36 - x30 + x24 - ... - 1 e) x36 + x35 + x34 + ... + 1

ab - 1a - 1

= 111

48) Calcula “a + b” si se cumple que:

(a, b ∈ N)

a) 12 b) 13 c) 14d) 15 e) 16

(x + 3)36 - x36

2x + 3

49) Halla el valor numérico del término 29 en el desarrollo de:

para x = -1.

a) 16 b) 32 c) 64d) 128 e) 256

x2 - 2x20 x - 1 - 1

50) Encuentra el vigésimo término que se obtiene al desarrollar:

usando C.N.

a) x - 1 b) 5 x - 1 c) 10 x - 1d) x - 1 e) 1

Nivel III



154

Factorización I

Factor oDivisor

Se seleccionan convenientemente los

términos, de tal manera que generen un factor común.

Factor Algebraico

Factor Primo

Todo polinomio que divide en forma exacta a otro polinomio.

Todo polinomio de grado no nulo que divide en forma exacta a otro polinomio.

CONCEPTOS

PREVIOS

CRITERIOS DE FACTORIzACIÓN

FactorComún

Agrupación

Se eligen las bases comunes afectadas por el

menor exponente.

P(x; y) = 3x4y6 + 2x3y4

Factor Común: x3y4

P(x; y) = x3y4(3xy2 + 2)

Ejemplo:

Identidades

Es la aplicación inmediata de algunos Productos Notables.

P(x; y) = xy2

Sus divisores son:

* P1(x; y) = 1

* P2(x; y) = x

* P3(x; y) = y

* P4(x; y) = xy

* P5(x; y) = y2

* P6(x; y) = xy2

No es un factor algebraico

Únicos factores primos

Consiste en transformar un polinomio en otro equivalente, expresado como una multiplicación de factores primos sobre un determinado campo numérico.

• Factor Común

• Agrupación de Términos

• Identidades

• Método del Aspa Simple

FACTORIzACIÓN Criterios de Factorización

* a2 - b2 = (a + b)(a - b)* a3+b3=(a+b)(a2 - ab+b2)* a3-b3 = (a - b)(a2+ab+b2)* a2 + 2ab + b2 = (a + b)2

* a2 - 2ab + b2 = (a - b)2

P(a;b;c;d)= ab+cd+ad+cbAgrupando 1.º con 3.º y 2.º

con 4.ºa(b + d) + c(b + d)(a + c)(b + d)

Admite por divisores a 1 y a sí mismo.



155

Resolución:

Resolución:

Resolución:

2. Factoriza :

P(x, y) = (x2 - y)2 - (x - y2)2

Reconocemos que se trata de una "Diferencia de cuadrados".

P(x,y) = (x2-y+x-y2)(x2-y-x+y2)

Agrupamos convenientemente el primer paréntesis.

P(x,y)=[(x+y)(x-y)+(x-y)](x2-x-y +y2)

Extraemos el factor común:

P(x,y)=(x-y)(x+y+1)(x2-x-y+ y2)

1. Factoriza :

P(x, y) = x3y2 + x2y + x2y3 + xy2

Extraemos las letras comunes con menor exponente de cada término.

P(x,y) = xy (x2y + x + xy2 + y)

Agrupamos convenientemente los términos del paréntesis.

P(x,y) = xy [(x+y) + xy (x + y)]

Extraemos el factor común:

P(x,y) = xy (x + y) (1 + xy)

Resolución:

FACTORIZACIÓN DE COLORES

Básicamente factorizar consiste en reconstruir el origen de un polinomio, es decir, encontrar l o s f a c t o r e s p r i m o s q u e multiplicados originaron a un polinomio dado. Para los que se inician en las matemáticas, el proceso de factorizar es más entendible cuando se realiza una comparación o paralelo, por ejemplo, en el campo de la ciencia o en la formación de imágenes de monitores los colores rojo, verde y azul son conocidos como colores primarios aditivos, pues, si se mezclan en distintos porcentajes originan un número infinito de colores, por tanto, si cualquier color que observes en la pantalla del televisor o la computadora se pudiera factorizar, resultaría que todos ellos tendrían por origen a los colores rojo, verde y azul.

La luz blanca está formada por 3 colores básicos: rojo

intenso, verde y azul violeta. Por ejemplo, en el caso de

un objeto de color rojo, éste absorbe el verde y el azul, y refleja el resto de la luz que es interpretado por nuestra retina como color rojo. Este fenómeno fue descubierto en

1666 por Isaac Newton.

3. Factoriza :

P(x) = x4 y - 2x3 y2 + x2 y3

Extraemos el factor común de cada término.

P(x,y) = x2y (x2 - 2xy + y2)

Reconocemos en el paréntesis un "Trinomio cuadrado perfecto".

P(x,y) = x2y (x - y)2

de donde, los factores primos son:

x ; y ; (x - y)

4. Factoriza :

P(x) = xm+3 + xm + x5 + x2 - x3 - 1

Agrupamos convenientemente por parejas, ya que la división en los tres grupos da x3.

P(x) = (xm+3+xm)+(x5+x2)-(x3+1)

Extraemos el factor común en cada paréntesis.

P(x) = xm (x3+1)+x2 (x3+1)-(x3+1)

al extraer el factor común se obtiene:

P(x) = (x3 + 1) (xm + x2 - 1)

Por suma de cubos, tenemos:

P(x) = (x+1) (x2-x+1) (xm+x2-1)



156

Resolución:

2) Factoriza: F(a, b) = 5a9b3+15a6b7; e indica

el número de factores primos.

a) 3 b) 9 c) 10d) 1 e) 8

1) Halla un factor primo de: 6x2y + 3x2y3

a) 2 - y2 b) 2 + y2 c) 6xd) x2 + y e) 2x + y2

5. Factoriza :

P(x,y) = x2 - y2 - 8x + 16

Se agrupa el trinomio cuadrado perfecto:

P(x,y) = (x2 - 8x + 16) - y2

Obteniéndose una expresión de la forma:

P(x,y) = (x - 4)2 - y2

Aplicando la diferencia de cuadrados.

P(x,y) = (x - 4 + y)(x - 4 - y)

15) Factoriza: A(m,n) = mn4-5m2n3+4m 3n2-

20m4n; e indica el número de factores

primos.

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

14) Luego de factoriza: F(a) = a2 + 2a + ab + b + 1 indica un factor.

a) a + 4 b) a+b+1 c) a - 1d) a e) ab + 1

13) Factoriza: F(x, y) = x5y4 - x2y3 + x3y - 1;

e indica el número de factores primos.

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

12) Factoriza: F(x)=(x+1)7(x2+1)10-(x+1)5(x2 + 1) 11

indicando un factor primo.

a) x - 1 b) x + 2 c) x2 + 1d) x2 - 2 e) x + 4

11) Factoriza: F(x, y) = x5y5 - 2x6y4 + x7y3; e

indica un factor primo.

a) x + y b) x - y c) x - 2yd) x + 2y e) x5

10) Factoriza: P(x;y;z)=x8y10z8-2x7y11z8+ x6y12z8


a) x2 + y2 b) x - y c) x + 2yd) x - 2y e) x + 8y

9) Factoriza 8x3 + 27; e indica el factor primo de mayor suma de coeficientes.

a) 2x - 3 d) 9x2 - 6x + 4 b) 3x + 2 e) 4x2 - 6x + 9c) 2x + 3

8) Factoriza: P(x, y) = (x + 1)2 - (y - 2)2; y

halla un factor primo.

a) x + y - 1 b) x - y - 2 c) x-y-3d) x - y - 4 e) x - y - 7

7) Factoriza: F = (a - b)2 - (c - d)2

e indica la suma de factores primos.

a) 2a b) 2b c) 2(a - b)d) 2(a+b) e) a2 - b

6) Halla un factor primo de: x2 + 10x + 25

a) x + 2 b) x + 3 c) x - 5d) x + 5 e) x - 3

5) Factoriza: L(a, b, c, x) = a (x-1) - b (1 - x) + cx - c; y da un factor primo.

a) x + 1 d) x - 2 b) a + b - c e) a - b + 2cc) a + b + c

4) Factoriza: F(a, b) = a3 + a2b + ab2 + b3

a) (ab + 1) (a + 1) b) (a2 + 1) (b2 + 1) c) (a2 + b2) (a + b)d) (a + b)2 e) (a2 + b) (a + b2)

Nivel I

3) xa + yb + xc + ya + xb + yc

a) a + b b) b + c c) a+ cd) x + a e) a + b + c

Factorizar e indicar un factor



157

Nivel III

16) Factoriza: K(x, y) = (9x2 - 4y2)x2 + 25y2

(4y2 - 9x2); e indica la suma de factores

primos.

a) 1x b) 2x c) 3xd) 4x e) 8x

Nivel II

17) Factoriza: P(x) = x6-x2+2x(x4 - 1) + (x4 - 1) e indica el factor primo que más

se repite.

a) x2 + 1 b) x - 1 c) x + 1d) x + 2 e) x + 7

18) Factoriza:

S(n)=(n+3)(n+2)(n+1)+(n+2)(n+1)+(n+1) e indica el factor que más se

repite.

a) n + 4 b) n + 1 c) n + 2d) n + 3 e) n + 8

19) Factoriza: P(x; y) = x7 + x4y3 + x3y4 + y7


a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 8

20) Indica un factor primo de: P(a, b, c, d) = a2 + b2 + 2ab - c2 - d 2 - 2cd

a) a + b - c + d b) a + b + c +d c) a - b + c - dd) a + b + c - d e) a - b - c - d

21) Factoriza: P(x) = 9x4 - 9x2 + 6x - 1 e indica un término de un factor

primo.

a) 2x b) 3x c) -2xd) -6x e) 10x

22) Factoriza: P(a) = (8a3 - 27) (8a3 + 27) e indica el número de factores

primos.

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 6

23) Indica uno de los factores primos de:

a(b2 + c2) + b(c2 + a2).

a) 2a+b b) 2a - b c) a+bd) 3(a+b) e) 2a - 3b

24) Señala un factor primo de 2.º grado.

a(1 - b2) + b(1 - a2)

a) 1 + a2 b) 1 + ab c) ab - 1d) a2 + b2 e) 1 - ab

25) Factoriza: ab(x2 - y2) + xy(a2 - b2) e indica el número de factores

primos.

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) Ninguno

26) ¿Cuántos factores primos presenta la siguiente expresión?

P(x, y, z, w) = wy+wz - wyz - xy - xz + xyz

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

27) Halla la suma de los términos independientes de los factores primos de:

x2 - 2x - xy + y + 1

a) -1 b) -2 c) -3d) -4 e) -5

28) Factoriza: 2ab + b2 + c2 + 2ac + 2bc e indica la suma de los factores

primos.

a) a + b + c d) 2b+2c+2a b) 2a+2b+c e) 3a+3b+3cc) a + b - c

29) Factoriza:

P(x; y) = 36x4 - 109x2y2 + 25y4


a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 6

30) Factoriza: P(x;y)=xm+n+ym+n+(xy)m+ (xy)n

e indica un factor primo.

a) xn+yn b) xn+ym c) xn - ym

d) x+y e) x - y

31) Factoriza: P(x; y; z) = (x3+y3+z3)3-x9-y9-z9


a) 1 b) 2 c) 3d) 6 e) 8

32) Halla uno de los factores primos de:

ac(a+c)+ab(a - b) - bc(b+c)

a) b + c b) 2b + c c) 2a - bd) a - 2b e) a + 2c

33) Factoriza:

P(x) = (x2-1)(x2-2)(x2-3)+(x2-1)(x2-2)+1-x2


a) x2 + 1 b) x2 - 7 c) x2 - 5

d) x2 - 3 e) x2 - 10



158

34) Factoriza: F(x;y;z) = x6y + x4z3 - x6z + y6z - x4y2z-x2y5-y4z3+ x2 y4 z


a) x4 - y4 d) x2 + z2 b) x2 - yz - z2 e) x2 + y8

c) y - z

35) Factoriza: P(x)= (x-1)(x+1)(x-2)(x-4)-112 e indica un término de un factor

primo.

a) 4x b) -4x c) -3xd) -3x2 e) 6

36) La suma de los factores primos de:(x3 + 3x)2 - (3x2 + 1)2

es:

a) 2x b) x + 1 c) x - 1d) 2 e) Hay 2 respuestas

37) Factoriza: M(x) = x2 - b2 + 2ax + a2; e

indica un factor primo.

a) x + a b) x + a - b c) x-a+bd) x + b e) x + a - 2b

38) Factoriza: 4x2 - 1 + 12xy + 9y2 e indica un factor primo.

a) 2x + 3y d) 2x + 3y + 2b) 2x + 3y - 1 e) 2x + 3y + 4c) 2x + 3y + 5

39) Factoriza: (m + n)(m - n) + 4(m + 1) e indica un factor.

a) m + n + 2 d) n + 2b) m + 2 e) n - 1c) m - 2

40) Factoriza: x2 - z2 + y2 - 2xy + 2z - 1 e indica un factor primo lineal.

a) x + y - z + 1 d) x - y + z - 1b) x + y + z - 1 e) x - y + z + 1c) x - y - z - 1

41) Factoriza: R(a, b, c) = a3b2 + b3c2 - a3c2 - b5; e indica un factor primo.

a) b + c b) a + b c) a2-ab+b2

d) 2b + c e) a - b + c

42) Factoriza: P(a, b, c) = a(a2+bc)+c(a2+b2)- b3; e indica un factor primo.

a) a+b+c b) a2+b2 c) b2+c2

d) a-b+c e) a2+bc

43) Factoriza: P(a, b, c) = (a+b+c) (a-b+c) - (a + b) (a - b) e indica un factor primo.

a) a b) c c) 2a - cd) 2a + b e) a + c

44) Factoriza: S(x, y) = 4(x + 3y)2 - 9(2x - y)2


a) 8x+3y b) 8x-3y c) 8x+6yd) 8x - y e) 4x - y

45) Factoriza: P(x) = x14 - x2 - 6x - 9; e indica

la suma de factores primos.

a) 2x 7 - 6 b) 2x7 c) x + 6d) x7 + x e) 2x + 7

46) Calcula la suma de factores primos de:

T(x, y) = (xy + 1)2 - (x + y)2

a) x + y b) 2x + 2y c) x - yd) 2x - 2y e) xy

47) Factoriza: P(x) = 1 + x (x+1) (x+2) (x+3); e indica un factor primo.

a) x + 1 d) x2 + 3x + 1 b) x2 + 1 e) x + 3c) x

48) Factoriza:

S(x)=(x+1)4+(x+2)3+(x+3)2 - 7(x+ 2) + 2 e indica el factor que más se

repite.

a) x + 2 b) x + 1 c) x - 1d) x - 2 e) x + 8

49) Factoriza e indica como respuesta el número de factores primos de:

P(x) = x32 - 1

a) 4 b) 6 c) 10d) 8 e) 11

50) Factoriza: P(a, b, c, d) = 4(ad + bc)2 - (a2- b2- c2+d2)2


a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5



159

Factorización II

Aspa simple

Aplicable a polinomios de la forma:

P(x;y)= ax2m+bxmyn+cy2n

(m;n ∀ Z+) Caso particular: Para trinomios de una sola variable. P(x)= ax2n+bxn+c

Ejemplos:

OJO POR OJO DIENTE POR DIENTE

Las leyes son un conjunto de normas establecidas que se deben obedecer obligatoriamente.Actualmente en todos los países existen leyes que reglamentan a la sociedad para así evitar el caos. En las matemáticas, particularmente en el álgebra, existen muchas leyes que nos indican cómo debemos proceder ante algún problema; por ejemplo las leyes de exponentes nos indican cómo debemos operar los exponentes, para ello se utilizan dos operaciones: LA POTENCIACIÓN y LA RADICACIÓN.

Estela donde se hallan grabadas las 282 leyes del Código de Hammurabi. En la parte superior, el rey Hammurabi (en pie) recibe las leyes de manos del dios Shamash. La estela fue encontrada en Susa, de donde fue llevada como botín de guerra en el año 1200 a. C. por el rey de Elam Shutruk–Nakhunte.

Actualmente se conserva en el Museo del Louvre (París).

1. Factoriza: P(x,y)= 10x2 - 7xy - 12y2

Se descomponen los términos extremos, tal que la suma de los productos cruzados dé el término central:

P(x,y)= 10x2 - 7xy - 12y2

5x +4y +8xy 2x - 3y -15xy - 7xyLos factores se generan en forma horizontal: P(x,y)= (5x+4y)(2x - 3y)

2. Factoriza: P(x)= 2x4 - 5x2+3

Se descomponen los términos extremos:

P(x)= 2x4 - 5x2 + 3 2x2 - 3 -3x2

x2 - 1 -2x2

-5x2

Generamos los factores así: P(x;y)= (2x2 - 3)(x2 - 1)El 2do factor aún es factorizable: P(x)= (2x2 - 3)(x+1)(x - 1)

Durante el gobierno del Rey Hammurabi de Babilonia se elaboró el primer código de leyes escritas que se conoce en la historia de la humanidad. El código de Hammurabi, conocido por la célebre sentencia ‘‘Ojo por ojo, diente por diente’’, está conformado por 282 leyes y decretos. Algunas de las sentencias de este código son:

* Si un ciudadano acusa a otro de homicidio, pero no puede demostrarlo, entonces el que lo acusó será muerto.

* Si un niño ha pegado a su padre, a ese niño se le cortarán las manos.

* Si un hombre ha destruido el ojo a un hombre libre, a él también se le destruirá un ojo.

* Si ha roto un hueso al otro, a él se le romperá un hueso.

Se utiliza para factorizar polinomios de grado mayor o igual a 3.

Factoriza:P(x) = x3 + 2x2 - x - 2

1) Determina los posibles valores que anulan al polinomio.

a) Si el polinomio es mónico se trabaja con:

± (divisores del término independiente)

b) Si el polinomio no es mónico se trabaja con:

± Divisores del Término IndependienteDivisores Coeficiente Principal( )

Divisores Binómicos

Ejemplo:

Ejemplo: +1; -1; +2; -2



160

Determinemos los posibles ceros del polinomio:

x = ± 1 , , , , ,

Si x = - ⇒ P(- ) = 0

de donde (x + ) es divisor de P(x).

Dividimos:

Por Ruffini:

Dividendo por el método de Ruffini

Esquema:

P(x) = (x + 1) (x2 + x - 6)P(x) = (x + 1) (x + 3) (x - 2)

2) En base a estos valores se realiza evaluaciones en el polinomio, hasta conseguir el valor que logre anularlo; este valor genera un factor de 1.er grado.

P(1) = 13 + 2(1)2 - 1 - 2 = 0como x=1 ∀ factor: (x - 1)

3) Para conseguir otro factor se repite el proceso las veces que sea necesario.

Ejemplo:

Ejemplo:

P(-1) =(-1)3+2(-1)2- (-1) - 2 = 0

P(-2) =(-2)3+2(-2)2- (-2) - 2 = 0∀ P(x) =(x + 1) (x - 1) (x + 2)

1. Factoriza: P(x) = (x2+3x)2+6x(x+3)+8

Resolución:

Introduciendo el factor "x" en el segundo paréntesis se tiene:

P(x) = (x2+3x)2+6(x2+3x)+8

Aplicando "aspa simple":

P(x) = (x2+3x)2+6(x2+3x)+8 (x2+3x) 4 (x2+3x) 2

P(x) = (x2+3x+4)(x2+3x+2) Aplicando "aspa simple" en el

segundo paréntesis:

P(x) = (x2+3x+4) (x2+3x+2) x 2 x 1

P(x) = (x2+3x+4)(x+2)(x+1)

3. Factoriza:

P(x)= (x+3)4 - 7(x+3)2+6

Resolución:

Aplicando "aspa simple", tenemos:

P(x)= (x+3)4 - 7(x+3)2+6 (x+3)2 - 6 (x+3)2 -1

P(x;y)=[(x+3)2- 6][(x+3)2- 1]

Aplicando "diferencia de cuadrados" en el segundo corchete:

P(x)=(x2+6x+9- 6)(x+3+1)(x+3-1) P(x)=(x2+6x+3)(x+4)(x+2)

Resolución:

Aplicando convenientemente leyes de exponentes y la ley distributiva:

P ( x ; y )= ( x 2+ x y ) 2- 8 ( x 2+ x y )y2+12y4 Por "aspa simple", obtenemos:

P(x;y)=(x2+xy)2- 8(x2+xy)y2+12y4

(x2+xy) - 2y2

(x2+xy) - 6y2

P(x;y)=(x2+xy- 2y2)(x2+xy- 6y2)

Aplicando "aspa simple" en cada paréntesis:

P(x;y)=(x2+xy- 2y2)(x2+xy- 6y2) x +2y x +3y x -y x -2y

P(x;y)=(x+2y)(x- y)(x+3y)(x- 2y)

x3 + 2x2 - 5x - 6x + 1

R = 0

1 2 - 5 - 6- 1 - 1 - 1 6 1 1 - 6 0

4. Factoriza:

P(x,y)= x3 + 2x2 - 5x - 6

Resolución:

5. Factoriza:

P(x,y)= 12x3 + 16x2 + 7x + 1

Resolución:

12

13

14

16

112

12

12

12

12x3 + 16x2 + 7x + 1

x + .12

12

12 16 7 1

- - 6 - 5 - 1

12 10 2 0

P(x)=(x + ) (12x2+10x + 2)

P(x)=(2x + 1)2 (6x2 + 5x + 1) 2

P(x)=(2x +1) (2x + 1) (3x + 1)

P(x) = (2x + 1)2 (3x + 1)

12

2. Factoriza:

P(x;y)=x2(x+y)2 - 8xy2(x+y)+12y4

Determinemos los posibles ceros del polinomio:x = ± 1, 2, 3, 6Si x = -1 ⇒ P(-1) = 0De donde, (x + 1) es divisor de P(x).



161

Nivel I

1) Factoriza e indica un factor primo:

x2 - 5x - 84

a) x - 7 b) x+12 c) x-12d) x+42 e) x+14

11) Factoriza:

P(x) = x4 - 20x2+64


a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

2) Luego de factorizar, señala el factor primo de mayor suma de coeficientes.

P(x)=12x2 - 29x+15

a) 3x - 5 b) 3x+5 c) 4x+3d) 4x -3 e) 6x+5

3) Factoriza:

P(x;y)=54x6y2+38x3y2-16y2

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

4) Factoriza:

x3 - 8x2 + 13x - 6

e indica un factor primo

a) x + 6 b) x - 6 c) x - 3d) x + 5 e) x - 10

5) Factoriza:

x3 - 2x2 - 5x + 6

e indica la suma de factores primos.

a) 3x b) 3x + 2 c) 3x - 2d) 2x + 3 e) 2x - 3

6) Factoriza:

P(x) = x3 - 6x2 + 11x -6, e indica un factor primo.

a) x + 1 b) x - 1 c) x + 2d) x + 6 e) x + 3

7) Factoriza: x3 - x2 - 2x - 12,

e indica el factor lineal.

a) x + 3 b) x - 3 c) x + 4d) x - 4 e) x - 1

8) Factoriza: P(r, m) = 10r2 + 21m2 + 29mr


a) 2r + 3m d) r +7m b) 2r - 3m e) r - 2m c) 2r - m

9) Factoriza: P(x;y) = 6x2-31xy-30y2

e indica la suma de coeficientes de uno de los factores primos.

a) 11 b) 7 c) 21d) 4 e) 21

10) Factoriza: P(x) = x4-15x2 + 44


a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

12) Factoriza:

P(a) = 36a4 - 61a2+25


a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 8

13) Halla la suma de los factores primos de:

x4 - 26x2+25 a) 4x + 10 d) 4x b) 4x - 12 e) 12 c) 4x + 12

14) Dado el siguiente polinomio:

P(x) = 16 + 4x4 - 65x2

señala uno de los siguientes polinomios que divide exactamente a P(x).

a) 4x + 1 d) x + 8b) 4x - 1 e) x - 8c) 2x+1



162

Nivel III

15) Factoriza:

P(x) = 6x2n+1+5xn+1 - 6x e indica un factor primo.

a) xn+3 b) 2xn+7 c) 2x3n+1d) 2xn+3 e) xn - 2

Nivel II

16) Factoriza:

P(x;y)=(x - y)3-(x - y)2-2(x - y)


a) x-y+3 b) x-y+2 c) x-y+1d) x-y-8 e) x

17) Factoriza:

M(x) = (x - 1)4+(x - 1)2- 6

e indica la suma de coeficientes de un factor primo.

a) 1 b) -2 c) 5d) 6 e) -4

18) Factoriza:

P(x) = (x+1)4 - 5(x +1)2+4 e indica un factor primo.

a) x b) x + 7 c) x + 8d) x + 9 e) x + 12

19) Factoriza: P(x) = x3 - 13x + 12, y reconoce un factor.

a) x + 1 b) x - 2 c) x + 4d) x + 3 e) x - 4

20) Factoriza: x3+6x + 14x+15 e indica un factor primo.

a) x + 2 b) x - 21 c) 3 - xd) x + 3 e) x - 3

21) Factoriza:

x3+5x2 - 18x+8 e indica un factor primo.

a) x + 2 b) x+1 c) x - 2 d) x - 1 e) x - 3

22) Factoriza:

P(x) =x3- 3x2 + 4x - 4 y halla la suma de factores pri-

mos.

a) x2 + 2x d) x2- xb) x2 e) x2 + 2x - 4c) x2 - 5x

23) Factoriza y señala un factor primo de:

F(x) =x3- 4x2 - 13x - 8

a) x + 1 d) x + 4b) x + 2 e) x + 5c) x + 3

24) Factoriza:

P(x) =x3- 14x2+47x+8, e indica un factor primo.

a) x + 8 d) x - 10b) x + 9 e) x + 12c) x - 8

25) Factoriza:

P(x)=(x2+8)2+15x(x2+8)+54x2


a) x + 3 d) x +10b) x + 5 e) x + 8c) x + 7

26) Factoriza:

P(x)= x2(x+7)+4x(x+7)+4x+28 indicando un factor primo.

a) x + 1 d) x +8b) x + 2 e) x + 9c) x + 3

27) Halla un factor lineal de: x6 + 28x3 + 27

a) x + 9 b) x - 1 c) x - 3d) x - 9 e) x + 3

28) ¿Cuántos factores primos se obtiene al factorizar P(x)?

P(x) = x8 + x4 - 2

a) 1 b) 2 c) 4d) 6 e) 8

29) Para el polinomio del problema anterior, ¿cuál de los polinomios siguientes lo divide exacta-mente?

a) 2x + 1 b) 2x - 1 c)x+2d) x2 + 1 e) x - 2

30) ¿Cuántos factores primos se obtiene al factorizar P(x)?

P(x) = x3(8x3 - 61) - 2(x3 + 4)

a) 2 b) 4 c) 5d) 6 e) 1

31) Factoriza:

M(x)= x(x +2)(x-1)+ 4(x2-6) e indica un factor primo.

a) x+5 b) x+10 c) x+9d) x+4 e) x+7

32) Factoriza:

P(x) = x(x -1)2+ 2(2x2-3x-3) indicando la suma de coeficien-

tes de un factor primo.

a) -3 b) 0 c) 2d) -4 e) 1



163

33) Factoriza:

2x3+ x2+x -1 e indica el factor lineal.

a) x-1/2 b) 2x+1 c) x+1/2d) 2x - 1 e) x+2

34) Factoriza: 6x3 - 23x2 - 6x +8 e indica el factor primo.

a) 3x-1 b) 3x+1 c) 2x+1d) 3x+2 e) 4x+1

35) Factoriza:

P(x,y)=25x4 - 109x2y2 +36y4, indicando la suma de sus factores

primos.

a) 10x d) 10y b) 12x+10y e) 5x-3yc) 12x

36) Factorizar:

P(x)=(x2+5)2+13x(x2 +5)+42x2

e indicando la suma de

coeficientes de un factor primo.

a) 2 b) 4 c) 6d) 3x+2 e)Hay dos respuestas.

37) Factoriza: mnx2 + (m2 + n2)x + mn; y

halla un factor primo.

a) mx + m d) mx+nb) x + 1 e) x+2c) nx + n

38) Factoriza:

a2x2 + (a3 + a2 b + 1)x + a +b; e indica un factor primo.

a) x + a + b d) x + bb) ax + 1 e) x + 1c) x + a

39) Dado el siguiente polinomio: x2 + (2a + 7)x + a2 + 7a + 10, señala uno de los factores.

a) x - a - 2 d) x + a + 2b) x - a + 5 e) x - 2a + 1c) x - a - 5

40) Factoriza:

3(x2 + 2xy + y2) - 4x - 4y + 1, e indica un factor primo.

a) 3x+3y+1 d) 3x + 3yb) x + y + 1 e) x + yc) x + y - 1

41) Factoriza:

P(x,y)=(x+3y)2(x2+6xy+4y2)+4y4, y señala la suma de los factores

primos lineales.

a) 4x+12y d) 2x+yb) 2x+6y e) 4yc) 2x+4y

42) Factoriza e indica el factor primo que más se repite.

P(a;b)=(a2+b2)2-3(a2+b2)ab -10a2b2

a) a2+b2 d) a2-b2

b) a+b e) a2+a+b2

c)(a+b)2

43) Factoriza:

P(x)= x4+3x3 - x2 - 5x - 6 y señala la suma de los factores

primos lineales. a) 2x - 1 d) 3x + 2

b) 2x+1 e) 4x+3c) 3x - 2

44) Después de factorizar:

P(x)= 2x4+3x3 - 3x2 - 5x - 6

calcula la suma de coeficientes del factor primo de mayor grado.

a) 3 b) -3 c) -1d) 4 e) 5

45) Señala la suma de los factores primos de:

M(a;b;c)= a4- 2(b2+c2)a2+(b2 - c2)2

a) 2a b) 4a c) 2bd) 3c e) 5b

46) Factoriza: (x - 1)! (x - 5)! y señala la suma de términos

lineales de los factores.

a) -x b) -2x c) -3xd) -5x e) -8x

-120

47) Factoriza:

x8 + x4 + 1 e indica un factor primo.

a) x4 - x2 + 1 d) x2 + 1b) x4 - x + 1 e) x - 1c) x4 + 1

48) Factoriza:

P(x;y)=12(x+3)(y+3)(x+y+3)+x2y2

e indica el número de factores

primos.

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

49) Factoriza:

F(x) = (x3+1)(x3-1)-(x+2)(x+3) (x+4)(x+5)

e indica la suma de coeficientes de un factor primo.

a) 20 b) 18 c) 0d) 4 e) 10

50) Factoriza: P(x)= x7+x5-1,

e indicar un término de un factor primo.

a) x4 b) 2x4 c) 3x4

d) 4x4 e) 8x4



164

Repaso

Nivel I

1) Luego de dividir:

indica verdadero(V) o falso(F). ( ) El cociente es Q(x)= 2x2-2x+1 ( ) El residuo es R(x) = 3 x+4 ( ) El coeficiente principal del

resto es -3.

a) VVV b) VFV c) VFFd) FVV e) FFV

4x5-2x4+3x-5x2+12x3+x2-3

2) Si el polinomio: P(x) ≡ x4 - ax3+bx2+bx+9 es divisible por(x2-1), calcula: E = (a+b)(a - b)

a) 10 b) - 20 c) 0d) 1 e) - 1

3) A partir del esquema de Horner:

4 a b 0 c d -m+2 m+1

5 m n p q

calcula: (a- m)+(b- n)+(c- p)+(d- q)

a) 3 b) - 2 c) 5d) -1 e) 4

4) Divida:

e indique que proposiciones son ciertas:

I. La división es exacta. II. El término independiente del

cociente es 6. III. El término cúbico del cociente

es -2, es (son) verdadera(s):

a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo IIId) II y III e) I, II y III

2x5+3x3 - x2+6x+1

5) Dada la siguiente división:

halla: 3 Resto - 15

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 8

(x-3)5+(x+1)3+x4+x3+8x+13x - 2

6) Calcula el resto de la división:

a) x+1 b) -x -1 c) x -1d) 8x+1 e) x -3

(x2-5)9 - x3+3xx2 - 4

7) ¿Cuántos factores primos de segundo grado tiene la siguiente expresión?

E = x3 y2 - y5

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 1

8) ¿Cuántos factores primos se obtiene al factorizar P(x,y)?

P(x,y) = (x - y) x3 + xy6 - y7

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

9) Dado el siguiente polinomio en x:

P(x) = x8 - x2

¿cuál de los siguientes polinomios no es divisor de P(x)?

a) x b) x-1 c) x+1 d) x2+1 e) x4+x2+1

10) Dado el siguiente polinomio en "a":

P(a) = 7a16 - 7a7

¿Cuál de los siguientes polinomios divide exactamente a P(a)?

a) a - 2 d) a2 - a + 1b) a2 + a + 1 e) a + 1c) a8

11) Dado el siguiente polinomio:

F = (x + y) z3 + x + y

la división F:P debe ser tal que el residuo sea cero. ¿Cuál de los siguientes polinomios puede ser tal expresión P?

a) z2 - z + 1 d) x2 - yb) z - 1 e) z2 + 1c) x - y



165

12) Halla la suma de los términos independientes de los factores primos de 72 + x2 - 17x.

a) 72 b) 15 c) 9d) -17 e) -9

13) ¿Cuántos factores primos se obtiene al factorizar P(x,y)?

P(x,y) = 2x3y - 5x2y - 3xy


14) Indica cuántos factores primos se obtiene al factorizar:

a3bc - a2b2c - 6ab3c

a) 1 b) 2 c) 3d) 5 e) 4

15) Halla la suma de los términos independientes de los factores primos de P(x) si :

P(x) = 4x2 + x4 - 5

a) 1 b) 2 c) 3d) 5 e) 4

Nivel II

16) Uno de los factores que se ob-tiene al factorizar:

5(x4 - 1) - (x2 + 3) es:

a) (x - 2) d) (x3 + 2)b) (x2 + 1) e) (2x + 1)c) (x + 1)

17) Halla cuántos factores primos de segundo grado se obtienen al factorizar:

9y6 + 26y4 - 3y2


18) Halla cuántos factores primos de 3.er grado se obtienen al factorizar

2x6y3 - 13x3y3 - 24y3

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 1

19) Halla cuántos factores primos lineales se obtienen al factorizar:

4x4y + 4y - 17x2y

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

20) Señala uno de los factores de P(x) si:

P(x) = 8x8 + 65x5 + 8x2

a) x - 4 d) 2x - 1b) x + 4 e) x2 - 2x + 4c) x + 1

21) Halla cuántos factores primos se obtienen al factorizar:

x4 - 17x2 + 16


22) De los polinomios mostrados, ¿cuál de ellos divide exacta-mente a P(x)?

P(x) = 9 + 4x4 - 37x2

a) 2x - 1 d) x - 3b) 2x + 1 e) Todosc) x + 3

23) Factoriza:

P(x) = 8x6 + 19x3 - 27

a) (x -1)(x2+x+1)(2x+3)(4x2-6x+9)

b) (x -1)(x2-x-1)(2x3)(4x2+6x+9)c) (x3-1)(8x3-27)d) (x2+1) (x2-1)(x2+x+1)e) (x+2) (x2-2x+4) (2x-1)

(4x2+2x+1)

24) Factoriza:

F(x) = x3 + 4x2 + x - 6

y señala un factor primo.

a) x + 1 b) x - 2 c) x - 3d) x - 1 e) x + 6

25) Factoriza:

F(x) = x3 + 5x2 - x - 5

y señala la suma de los términos independientes de sus factores primos.

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

26) Si la división:

x4+ax3+bx2+cx+d -x2+x+1 es exacta, el valor de (a+c - d) (a+b+d) es:

a) -2 b) 3 c) 6d) 2 e) -6

27) Determina la relación entre "p" y "q" para que x3- px+q, sea divisible entre x2 - mx+1.

a) p2=q+1 b) q2=p+1 c) p2+q2=1 d) p2- q2=1 e) p2+q2=p+q



166

28) Si la división,

es exacta, calcula el valor de: A+C B

a) 1 b) 2 c) -9d) -1/2 e) 1/3

Ax5+Bx4+Cx3+3x2-x+6 x3+4x+3

29) Al dividir:

se obtiene un cociente cuya suma de coeficientes es igual al resto. Calcula el menor valor de "a".

a) 2 b) -2 c) -1d) 1 e) 0

ax4+(a2-1)x3-(a2+1)x+a2

ax-1

30) Si:

tiene como resto R(x)≡ 723 x +735, calcula a+b.

a) 1 b) 2 c) 4d) 5 e) 3

ax6+bx4+3 x2+2x+1

Nivel III

31) Señala uno de los factores de P(x) si:

P(x) = x3 (x3 - 20) - (6x3 + 27)

a) x - 3 d) 3x + 1b) x + 3 e) 2x - 1c) x + 9

32) Dado el siguiente polinomio: P(x) = 27x9 + 26x6 - x3, indica

uno de los polinomios que divide exactamente a P(x).

a) x - 1 d) x2 - 1b) x3 + 1 e) 3x + 1c) x2 + 1

33) ¿Cuál de los siguientes polino-mios divide exactamente a P(a)?

P(a) = 4a5 + 36a - 25a3

a) a+4 d) a + 9b) a - 4 e) a - 9c) 2a - 3

34) ¿Cuántos factores primos se obtiene al factorizar 3x8 -x4 -2?

a) 1 d) 6b) 2 e) 8c) 4

35) En el polinomio del problema anterior, ¿cuál de los polinomios siguientes lo divide exactamente?

a) 2x + 1 d) x2 + 1b) 2x - 1 e) x - 2c) x + 2

36) Factoriza: F(x) = x3 + 2x2 - 5x - 6 e indica el término independiente

de uno de sus factores primos.

a) -1 b) -3 c) 6d) -6 e) -2

37) Factoriza: F(x) = x3 + x2 - 4x - 4

y señala la suma de sus factores primos.

a) 3x + 1 b) 3x c) 3x - 1d) 3x - 6 e) 3x+2

38) Factoriza: F(x) = x3 - 2x2 - 5x+6

e indica la suma de coeficientes de uno de sus factores primos.

a) 1 b) 3 c) 5d) 7 e) 9

39) Al factoriza: F(x) = x3 + 3x2 - 4

el factor primo que más se repite es:

a) x - 2 d) x + 2b) x - 1 e) 3x + 2c) x + 1

40) Al factorizar: F(x) = x3 - 7x - 6, la suma de sus factores primos es:

a) 3x - 2 d) 3x + 1b) 3x - 1 e) 3x + 2c) 3x

41) En la división:

calcula n+3 si la suma de

coeficientes es 22.

a) 3 b) 1 c) 9d) 2 e) 2

n2x5+(n2-1)x3+n2x2+(n-1)x+n-5 nx-1



167

42) Si el resto de dividir:

es 2x+1, calcula el resto de

dividir:

a) 2x+ 1 b) 4x-9 c) 2x+5d) 4x-7 e) x+5

P(x) x2+2

P(x) 2

x2+2

43) Calcula el resto al dividir:

a) 7x -11 b) 5x+10 c) 5x-3 d) -7x+5e) 7x+13

(x - 6)23+(x - 5)26 + 5x x2 - 11x + 30

44) Al efectuar la división:

el resto que se obtiene es:

a) x -1 b) -x +1 c) -x -1 d) x+1e) x

x 2005+1 x2 - x + 1

45) Factoriza:

F(x) = 12x3+16x2+7x+1 e indica la suma de los coeficientes

de un factor primo.

a) 3 b) 5 c) 1 d) 7e) 9

46) Factoriza:

F(x) = 12x3+4x2 - 3x - 1 e indica la suma de los coeficientes

de un factor primo.

a) 2 b) 4 c) 6 d) 8e) 10

47) Factoriza: F(x) = 6x3+7x2-9x + 2

e indica la suma de los factores primos.

a) 5x - 2 b) 6x c) 6x - 4 d) 4x+1e) 3x+1

48) Factoriza:

F(x)= 6x3+17x2-4x- 3

y señala uno de los factores primos.

a) 2x + 1 b) 3x+1 c) 3x - 1 d) x - 3 e) x+2

49) Factoriza: F(x)= 6x3+25x2+3x-4

y señala uno de sus factores primos.

a) 3x+1 b) 2x-1 c) x-4 d) x+4 e) 6x+1

50) Factoriza:

F(x)= 6x3-19x2+15x-2

y señala la suma de los factores.

a) 6x - 4 b) 8x- 4 c) 3x+2 d) 3x+7 e) 4x - 3

NIELS HENRIK ABEL

Matemático noruego, nació el 5 de agosto de 1802 en la isla de Findö en la costa sudoccidental de Noruega.

H i j o d e u n p a s t o r protestante, c r e c i ó

en un ambiente familiar de gran tensión, a causa de las tendencias alcohólicas de sus padres. Enviado junto con su hermano a una escuela de la capital, sus precoces aptitudes para las matemáticas fueron muy apreciadas por uno de sus profesores, Holmboe, quien tras la muerte de su padre le financió sus primeros años en la universidad. La publicación de sus primeros trabajos le granjeó un considerable prestigio, pero, arruinado y aquejado de tuberculosis, apenas pudo consolidar su prometedora carrera académica; murió a los veintisiete años. Sus aportaciones se centran en el estudio de las ecuaciones algebraicas de quinto grado, de las que demostró que eran irresolubles por el método de los radicales, y en el de las funciones elípticas, ámbito en el que desarrolló un método general para la construcción de funciones periódicas recíprocas de la integral elíptica. Falleció el 6 de abril de 1829.

Dos días después de su muerte, una carta de Augusto C r e l l e , a n u n c i a b a q u e la Universidad de Berlín le había nombrado profesor de matemáticas. Gauss y Humboldt solicitarían también una cátedra para Abel. Asimismo Legendre, Poisson y Laplace, escribieron al rey de Suecia para que ingresara en la Academia de Estocolmo.



168

ECUACIONES, GRÁFICOS Y DIAGRAMAS

Desde Galileo, la ciencia, especialmente la física y la química, se han “matematizado”, la obra cumbre de Newton era precisamente Principios matemáticos de la Filosofía Natural, toda una declaración. La forma de expresión matemática, con su carácter simbólico ha pasado a ser básica en el lenguaje de comunicación científica, ya que la universalidad, precisión y concisión del lenguaje matemático no podrá ser igualado por ninguna otra forma de expresión, pero la matemática es una ciencia exacta y su lenguaje es un lenguaje exacto. Las ciencias experimentales no son exactas. Así y todo, la fórmula matemática de un ley física es la forma más clara de expresar esta ley.

Por ejemplo la Ley de Gravitación Universal dice que dos masas puntuales se atraen con una fuerza que es directamente proporcional al producto de estas masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa, si escribimos no sólo se cuantifica el valor de la

F = G (r - r0)Mm

|r - r0|

fuerza de atracción sino que además se da su dirección y sentido y puede ser interpretada por la inmensa mayoría de lectores, independientemente del idioma concreto en que se escriba. Hemos reducido un conjunto de conceptos a una simple “fórmula” matemática más rica que las simples palabras y que además posee carácter “predictivo”.Con ella se puede calcular, predecir, lo que va a suceder. La fórmula gana mucha más expresividad si viene acompañada de un gráfico en que se esquematizarán las variables a que se refiere.

Así entramos en las formas más comunes de expresión simbólica en la física, y en la mayoría de ciencias experimentales: la expresión matemática y el gráfico.

Hay que resaltar que la expresión matemática representa un modelo, no necesariamente la realidad del fenómeno que se pretende describir, y que desde luego, aunque su carácter predictivo es innegable, no hay que olvidar que “calcular no es comprender”.

La utilización de gráficos y esquemas para la materialización y explicación de las ideas es consustancial a toda comunicación científica.

r0

r - r0M

rFmM

FMm

m

Ley de la Gravitación Universal

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