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BAUTISTA ALGEBRA 6º GRADO

J U N I O


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216


ÁLGEBRA

Expresiones algebraicas* Grado de un término: absoluto y

relativo* Grado de un polinomio* Reducción de términos semejantes

Índice


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217


LGEBRA

nació murió aa

Recherches fonctions elliptiques (Investigaciones en funciones elípticas),


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EXPRESIÓN ALGEBRAICA

Es un conjunto de constantes y variables con exponentes racionales, relacionados a través de las

operaciones de adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación, es un

número finito de veces.

Ejemplos: 4 x 2 + 2 x – 1

x 2 – 2 xy +

2 xy

xy –2 + x –2y + 1

ELEMENTOS DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA

4 x y2 3

VariablesCoeficiente

Exponentes

CLASIFICACIÓN

MONOMIO: Un monomio de una variable es una expresión de la forma:

ax n

Donde a es una consonante (coeficiente del monomio) y n es un entero positivo.

POLINOMIO: Es una expresión algebraica que consta de dos o más términos en una

cantidad finita de estos.

A los polinomios de dos términos se les denomina BINOMIOS, a los de tres términos TRINOMIOS;

a los de cuatro términos TETRANOMIO; en general se les llamará POLINOMIOS.

Ejemplos: x x

x x

x x x

2

3 2

4 2

5 6 Binomio

8 6 Trinomio Polinomio

7 3 6 4 Tetranomio


5/22

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I. GRADOS DE UN MONOMIO

1. GRADO ABSOLUTO DE UN MONOMIO (G.A.)Está dado por la suma de exponentes de sus variables.

2. GRADO RELATIVO DE UN MONOMIO (G.R.)Está dado por el exponente de la variable referida.

Ejemplo:2 55

7 x y z

. . 2 5 1 8

. . 2

. . 5

. . 1

G A

G R x

G R yG R z

II . GRADOS DE UN POLINOMIO (G.A.)

1. GRADO ABSOLUTO DE UN POLINOMIO (G.A.)

Está dado por el MAYOR GRADO ABSOLUTO de los monomios.

2. GRADO RELATIVO DE UN POLINOMIO (G.R.)

Está dado por el MAYOR DE LOS EXPONENTES de la variable referida.

Ejemplos:

A) Dado el polinomio:

3 4 2 4 6 2 45 7 2 13

x y x y x y x y

G.A=7 G.A=6 G.A=8 G.A=5

se sobreentiende queel exponente es uno

G.A.= 8

G.R.( )= 6

G.R.( )= 4

x

y

B) Dado el polinomio:4 5 2 2 4 3 7 2 5

5 6 3

. . 11 G.A. 9 G.A. 14

x y z x y z x y z

G A

. . 14

. . 7

. . 5

. . 5

G A

GR x

GR y

GR z


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220


RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS

Halla:

1 . El grado relativo de cada polinomio con respecto a la variable x .

2 . El grado absoluto de cada polinomio.

Polinomio G.R.(x)

G.A.

6 x3 – x7 – x5246

+

8 – x5 x6 – x11 643 +

7 – y x5 – y x8 – xy2 63425

16 – z y x – z y x3 23423

1b1a22 – b1a2ba y x6 y x5 – y x2 +++ +

b1a8b5a2b3a y x y x6,0 – y x4,0 +++++ +

11 – z xy6 – yz x9 – xyz 8 64389

2332 y x5 – axy9 yax6 +

532643 z y x yz x5 – yz x8 +

3432343 y x4 – y xb7 – ybx3

62423235 z y x – z y x3

1b y x

5

3+

710115109 y x6 y x2 y x3 ++

32486 5 y x4 – y x6 y x3

2+

25432 y x6nxy2 – ymx +

z y x5

7 – y x z y x 32121025 +


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221


RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS Halla:

1 . El grado relativo de cada polinomio con respecto a la variable m.

2 . El grado absoluto de cada polinomio.

a)

b)

c)

d)

e)

f )

g)

h)

i )

j )

k)

l )

m)

n)

o)

Polinomio G.R.( )m G.A.

42246 nm – nmm +

3254 bmmbmb ++

65432 bmbabma5 ++

4234 y x6 – m4m x +

ynmmn – nm7 47724 +

10951074

xab xa4 – mba9 +

4753 abm xma4 ++

765432 nm xynm2 – xnm4 +

987 mnmm ++

ynm – mm9 4779 +

879 xnm6 – xy +

6752226 y x2 y xm y x9 ++

34624 ymxmn – nm +

835974 ba5 – mabmba6 +

455763 y x5mx11 – xbca14 +


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TÉRMINOS SEMEJANTES

Son aquellos que tienen la misma parte variable.

Ejemplo:2 3

7

T1

x y;

4 5

T2

x y;

2 3

T3

x y;

4 4 2

T4

x y;

2 3 8

T5

x y

a) Los términos T 1 , T 3 y T 5 tienen la misma parte variable2 3

x y , por lo

tanto son SEMEJANTES.

b) Los términos T 2 y T 4 no tienen la misma parte variable, por lo tanto NO

SON SEMEJANTES.

REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES

Es un proceso que consiste en transformar dos o más términos semejantes en uno solo, sumando

o restando los coeficientes y escribiendo a continuación del resultado la misma PARTE

VARIABLE que aparece en los términos.

Ejemplos:

Reducir:

1 . 2 2 2 2 28 6 3 (8 6 3) 11 x x x x x

2 . 13 + 6 – 7 – 4 = (13 – 7) + (6 – 4) = 6 + 2m n m n m n m n

3 . 7 + 10 + 2 – 4 = (7 – 4) + (10 + 2) = 3 + 12 x y xy xy x y x y xy x y xy2 7 7 7 2 7 2 7 7 2 7 7


9/22

223



Reduce los siguientes términos semejantes:

1 . 2 x 2y – x 2y + 3 x 2y =

2 . 18 x – 10 x – 7 x =

3 . 14m – 3m + 4m =

4 . n

2

y + 20n

2

y – 19n

2

y =5 . 43 x – 21 x =

6 . 8a + 9a – 16a =

7 . ab2 + 7ab2 + 9ab2 =

8 . m5 + 4m5 + 6m4 – 2m4 =

9 . 3 x m + 5 x m – 6 x m =

10. 26 x 3 – 8 x 3 + 9 x 2 =

11. 7 x 2y + 8 x 3y 4 – 5 x 3y 4 – 6 x 2y =

12. 5m6 + 4m5 – 2m6 =

13. 3m7n + 2m5n4 – m7n – m5n4 =

14. 5a7b2 – 3a7b2 + 10ax 5 – 5ax 5 =

15. 8 x 4y + 7 x 4y 2 – 6 x 4y – 2 x 4y 2 =

16. x 5 + 4 x 6 + 2 x 5 =

17. m5 + m4 + 3m4 =

18. 4 x + 3 x 2 + 5 x 3 + 6 x =

19. 7m8n4 – 5m9n8 + 2m8n –4 =

20. 4 xy 5 + 2 xy 6 – xy 5 =


10/22

224


1 . Hallar el grado relativo con respecto a la variable x .

a) x x x4 5 813 8 12 20 G.R.( x ) = ___________

b) b a b b a x y x x y+ 2 8 5 1 68, 9 G.R.( x ) = ___________

c) x x y z x y z 8 5 3 6 10 5 32 1y5 4

G.R.( x ) = ___________

2 . Hallar el grado absoluto de cada polinomio:

a) mx nxy x y6 5 4 6 3y 5 10 G.A. = ___________

b) x z x z y x y5 12 6 10 3 612 18 G.A. = ___________

c) x y x y x y z 8 5 6 3 10 3 21

3 54

G.A. = ___________

3 . Reduce:

xy x y y x x y8 3 9 8 3 9

10 2 13

4 . Reduce:

x x x x x5 4 5 4 5

10 11 3 3


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J U L I O


12/22

226


ÍndiceÁLGEBRA

Operaciones con expresiones algebraicas* Adición y sustracción

* Multiplicación de binomio por polinomios


13/22

227


LGEBRA

e a

ó

(Mecánicas Analíticas, 1788),

Mecanique analytique


14/22

228


OPERACIONES CON POLINOMIOS

1) ADICIÓN DE POLINOMIOS

* La adición suele indicarse incluyendo los sumandos dentro del paréntesis; así:

Ejemplo: Dado los polinomios:

A x xy y

B x xy y

A B x xy y x xy y

2 2

2 2

2 2 2 2

3 3 5

2 2Hallar A+ B

3 3 5 2 2

Ahora colocamos todos los términos de estos polinomios unos a continuación de

otros con sus propios signos y tendremos:

A + B= x + x y + y + x – x y – y3 3 5 2 22 2 2 2

A+B = 4 x 2 + xy + 3y 2

* En la práctica, suelen colocarse los polinomios unos debajo de otros de modo que

los términos semejantes queden en columna, luego se efectúa la reducción de dichos

términos.

2 2

2 2

2 2

3 3 5

2 2

4 3

A x xy y

B x xy y

A B x xy y

OBSERVACIÓN: Un signo de agrupación del signo (+) se elimina, sin cambiar de

signo a todos los términos escritos dentro del signo de agrupación .


15/22

229


2) SUSTRACCIÓN DE POLINOMIOS

Ejemplo:Dados los polinomios

P = 6 x 4 + 4 x 2 + 4

Q=– 4 x 4 + 2 x 2 + 3

Hallar P – Q

* La sustracción se indica incluyendo el sustraendo en un paréntesis precedido delsigno – así:

P – Q= 6 x 4 + 4 x

2 + 4 – (– 4 x

4 + 2 x

2 + 3)

Ahora dejamos el minuendo con su propio signo y a continuación escribimos el

sustraendo cambiándole el signo a todos sus términos.

P – Q = x + x + + x – x – 6 4 4 4 2 34 2 4 2

P – Q = 10 x 4

+ 2 x 2

+ 1

* En la práctica, suele escribirse el sustraendo con sus signos cambiados debajo del

minuendo, de modo que los términos semejantes queden en columna, luego se efectúa

la reducción de dichos términos.

4 2

4 2

4 2

6 4 4

Q 4 2 3

10 2 1

P x x

x x

P Q x x

OBSERVACIÓN: "Un signo de agrupación precedido del signo (–) se elimina,

cambiando de signo a todos los términos escritos dentro del signo de agrupación".

IMPORTANTE

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )


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230


Ejemplo:

Efectuar 8 x 2 + 7 x + 6 –(–2 x 2 + 5 x – 9).

Solución:8 7 6 2 5 9 x + x + + x – x +

2 2

210 2 15 x x


1 . Dados los polinomios:

A = 5 x 3 + 6 x 2 + 6 x + 9

B = –2 x 3 – 2 x 2 – 4 x + 6

C = x 3 – 3 x 2 + 3 x – 8

Hallar A + B + C.


A = 3 x 4 + 8 x 2 + 2 x 3 + x + 6

B = 6 x 2 – x 3 + 8 + 5 x 4

C = 9 x 4 – 7 x 2 + 13 x – 4

Calcular A + B + C.

3 . Hallar A – B sabiendo que:

A = 4 x 3 + 5 x 2 + x + 8

B = –3 x 2 + 6


17/22

231



A = 10 x 2 – 7 x 4 + 6 x + 9

B = 4 x 2 – 5 + 3 x


A = 3 x 5 + 2 x 4 + 6 x + 16

B = 10 x 4 + 2 x 3 – 5 x + 4

C = 2 x 5 – 8 x 4 + x 3 + 12

Calcular A + B – C .

6 . Elimina los signos de agrupación y halla el resultado:

a) 6 x 4 – (3 x 4 – 2 x + 1) =

b) 2 x 3 – (– 4 x – 2 x 3) =

c) 7 x 4 – ( 6 x – 5 – 2 x 4) =

d) 8 x 3 – 3 x

4 + 1 + (2 x

2 + 3 x

2 + 5) =

e) 5 x 3 – (2 x 3 – 4) + (3 x 2 + 6) =

f) 3 x 4 – [– 3 x 4 + 6 x 2 + x – (2 x 4 + 3)] =

g) 8 x 4 + [– 5 x 4 – (2 x 4 – 3 x + 4)] =


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232


RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS

Resuelve en el cuaderno


A = 3 x 5 + 2 x 4 + 7 x 2 + 8 x + 9

B = 5 x 4 + 8 x 3 – 5 x 2 – 3 x + 4

C = 2 x 5 – 2 x 2 – 6

Hallar:

a) A + B b) A + C c) A + B + C d) A – C


A = 3 x 4 + 2 x 2 + 6 x 3 + 8

B = 7 x 2 + 9 x + 11

C = –7 x + 5 x 3

D = x 2

– 4 x 4

+ 1Hallar:

a) A + B b) B + C c) B + D

d) B – D e) A + B + C f) A – C

3 . Elimina los signos de agrupación y halla el resultado.

a) (a + b) + (b + c ) + (c + d ) + (a – c ) =

b) (5 x + 7y + 8) – (2 x + 3y – 4) =

c) (a + b + c ) + (2a + 2b – c ) =

d) (m2 + 2mn) – (mn + n2) =

e) ( x 3 + 8 xy 2 + y 3) – (5 xy 2 + x 3 – y 3) =

f) (5ab – 3bc + 4cd ) + (2ab – 3cd ) =


19/22

233


MULTIPLICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Para multiplicar expresiones algebraicas, estudiaremos los siguientes casos:

MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS

Se multiplican los coeficientes y las partes variables de cada monomio, si las variables son las

mismas se suman los exponentes.

Ejemplo: Multiplicar: (2a2) (3a3)

(2a2) (3a3) = 2 3 a2 a3 = 6a2+3 = 6a5

MULTIPLICACIÓN DE UN MONOMIO POR UN POLINOMIO

Se multiplica el monomio por cada uno de los términos del polinomio, teniendo en cuenta, en

cada caso, la regla de los signos y se separan los productos parciales con sus propios signos.

Ejemplo: Multiplica:

(3 x 2 – 6 x + 7) (4ax 2)

(3 x 2

– 6 x + 7) (4ax 2

) = 3 x 2

(4ax 2

) – 6 x (4ax 2

) + 7 (4ax 2

)= 12ax 4 – 24ax 3 + 28ax 2

MULTIPLICACIÓN DE UN BINOMIO POR UN POLINOMIO

Se multiplican todos los términos del 1.er factor por cada uno de los términos del 2.º factor; y

SE REDUCEN LOS TÉRMINOS SEMEJANTES.

Ejemplo: Multiplica :

(a2 - 2a + a3) (a3 + 1)Existen 2 formas de desarrollar que son:

Primera forma:

(a2 – 2a + a3) (a3 + 1) =

a2 (a3) + a2 (1) – 2a (a3) – 2a (1) + a3 (a3) + a3 (1) =

a5 + a2 – 2a4 – 2a + a6 + a3

Ordenando:

a5

+ a2

– 2a4

– 2a + a6

+ a3


20/22

234


Segun da forma:

(a2 – 2a + a3) (a3 + 1) =

Ordenando:

a3 + a2 – 2a ×

a3 + 1

__________

+ a3 + a2 – 2a

a6 + a5 – 2a4

________________________

a6

+ a5

– 2a4

+ a3

+ a2

– 2a


Multiplicar:

1 . ( x 2+ xy + y 2) ( x + y ) 2 . (a2+b2 – 2ab) (a + b)

3 . (a2 + b2 + 2ab) (a + b) 4 . ( x 3 – 3 x 2 + 1) ( x + 3)

5 . (a3 – a + a2) (a + 1) 6 . (m4 + m2n2 + n4) (m2 + n2)

7 . ( x 3 – 2 x 2 + 3 x – 1) (2 x + 3) 8 . (3y 3 + 5 – 6y ) (y 2 + 2)


21/22

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RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS

Multiplicar:

1 . (m3 – m2 + m) (am + a)

2 . (3a2 – 5ab + 2b2) (4a + 5b)

3 . (5m4 – 3m2n2 + n4) (3m + n)

4 . (a2 + a + 1) (a + 1)

5 . ( x 3 + 2 x 2 – x ) ( x 2 + 2 x )

6 . ( x 2 + 1 + x ) ( x 2 + x )

7 . (m3 – 4m + m2) (m3 + 1)

8 . (n2 – 2n + 1) (n2 + 1)

9 . (2y 3 + y – 3y 2) (2y + 5)

10. (3 x 3 – a3 + 2ax 2) (2a2 + x 2)


22/22

236


1 . Multiplica m m m an a6 2 3 2 .

2 . Multiplica y y y8 65 2 3 .


x x x3 5

A 6 12 20

5B 5 12 x


x x x4 6 3

A 8 10 3 4

x x x6 4 3

B 2 10 13

x x3 6

C 5 8

Calcular A + B + C.

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