Additively Weigthed Voronoi Diagram

8/3/2019 Additively Weigthed Voronoi Diagram

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O c o n t e u d o d o p r e s e n t e r e l a t o r i o e d e u n i c a r e s p o n s a b i l i d a d e d o ( s ) a u t o r ( e s ) .

T h e c o n t e n t s o f t h i s r e p o r t a r e t h e s o l e r e s p o n s i b i l i t y o f t h e a u t h o r ( s ) .

A d d i t i v e l y W e i g h t e d V o r o n o i D i a g r a m

o n t h e O r i e n t e d P r o j e c t i v e P l a n e

G u i l h e r m e A . P i n t o a n d P e d r o J . d e R e z e n d e

f g u i a l b u , r e z e n d e g @ d c c . u n i c a m p . b r

R e l a t o r i o T e c n i c o I C { 0 0 - 0 3

F e v e r e i r o d e 2 0 0 0


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A d d i t i v e l y W e i g h t e d V o r o n o i D i a g r a m

o n t h e O r i e n t e d P r o j e c t i v e P l a n e

G u i l h e r m e A . P i n t o a n d P e d r o J . d e R e z e n d e

f g u i a l b u , r e z e n d e g @ d c c . u n i c a m p . b r

A b s t r a c t

W e c o n s i d e r V o r o n o i d i a g r a m s d e n e d o n t h e o r i e n t e d p r o j e c t i v e p l a n e T

2

. I n t h i s

g e o m e t r y , t h e c l o s e s t a n d f u r t h e s t s i t e d i a g r a m s a r e a n t i p o d a l . W e g i v e a s i m p l e o n - l i n e

i n c r e m e n t a l a l g o r i t h m f o r c o n s t r u c t i n g t h e a d d i t i v e l y w e i g h t e d d i a g r a m . T h i s d i a g r a m ,

w h i c h m a y b e d i s c o n n e c t e d i n E u c l i d e a n p l a n e , i s a l w a y s c o n n e c t e d i n T

2

a n d h a s

e x a c t l y 3 n 6 e d g e s a n d 2 n 4 v e r t i c e s , w h e r e n i s t h e n u m b e r o f s i t e s .

K e y w o r d s : V o r o n o i d i a g r a m s ; o r i e n t e d p r o j e c t i v e p l a n e ; i n c r e m e n t a l a l g o r i t h m

1 I n t r o d u c t i o n

O n e o f t h e p r o b l e m s i n d e s i g n i n g a n d i m p l e m e n t i n g a l g o r i t h m s f o r V o r o n o i d i a g r a m s i s

t h e m a n i p u l a t i o n a n d r e p r e s e n t a t i o n o f t h e e d g e s e x t e n d i n g t o i n n i t y . A l t h o u g h t h i s m a y

n o t b e a d i c u l t p r o b l e m , s o l u t i o n s a r e a r t i c i a l . F o r e x p l i c i t l y c o n s t r u c t i o n o f V o r o n o i

d i a g r a m s w e l i s t t h r e e c o m m o n s o l u t i o n s : b o u n d i n g t h e d i a g r a m w i t h a w i n d o w o r a p o l y g o n

5 ] ; i n t r o d u c i n g \ v i r t u a l e d g e s " c o n n e c t i n g a d j a c e n t i n n i t e e d g e s 1 5 , 1 3 ] a n d i n t r o d u c i n g

a \ v i r t u a l v e r t e x " c o n n e c t i n g a l l i n n i t e e d g e s 1 2 , 6 ] . T h e r s t s o l u t i o n r u l e s o u t i n n i t e

e d g e s . T h e o t h e r t w o u n i f y t h e t o p o l o g i c a l r e p r e s e n t a t i o n o f n i t e a n d i n n i t e e d g e s b u t

i n t r o d u c e m e a n i n g l e s s d a t a .

W e c o n s i d e r V o r o n o i d i a g r a m s c o n s t r u c t e d o n t h e o r i e n t e d p r o j e c t i v e p l a n e T

2

1 4 ] w h i c h

i s c o m p r i s e d o f t w o c o p i e s o f E

2

p l u s o n e l i n e a t i n n i t y . W i t h t h e d e n i t i o n o f E u c l i d e a n

c o n c e p t s l i k e d i s t a n c e a n d p e r p e n d i c u l a r i t y , t h e T

2

i s c a l l e d t h e t w o - s i d e d E u c l i d e a n p l a n e ,

w h e r e w e c a n t r e a t a l l e d g e s o f t h e d i a g r a m u n i f o r m l y . F u r t h e r m o r e , w h e n t h e s i t e s a r e

c o n t a i n e d i n o n e s i d e o f t h e p l a n e , t h e p a r t o f t h e c l o s e s t s i t e d i a g r a m c o n t a i n e d i n t h e o t h e r

s i d e o f t h e p l a n e h a p p e n s t o b e t h e f u r t h e s t s i t e d i a g r a m ( a s w e k n o w i t i n E

2

) a n d v i c e -

v e r s a . I n S e c t i o n 2 w e i n t r o d u c e t h e b a s i c c o n c e p t s o f T

2

a n d s h o w h o w V o r o n o i d i a g r a m s

a p p e a r o n i t .

I n S e c t i o n 3 w e p r e s e n t a n o n - l i n e i n c r e m e n t a l a l g o r i t h m f o r t h e a d d i t i v e l y w e i g h t e d

d i a g r a m . P r e v i o u s a l g o r i t h m s f o r t h e c l o s e s t s i t e d i a g r a m c a n b e f o u n d i n 8 , 1 3 , 4 , 1 5 , 2 , 1 2 ]

a n d f o r t h e f u r t h e s t s i t e d i a g r a m i n 1 2 , 1 1 ] . T h i s d i a g r a m h a s a n a d d i t i o n a l b e n e t f r o m

T

2

: i t i s a l w a y s c o n n e c t e d a n d e v e r y f a c e i s s i m p l y c o n n e c t e d , w h e r e a s i n E

2

t h e c l o s e s t

s i t e d i a g r a m m a y h a v e O ( n ) c o n n e c t e d c o m p o n e n t s 1 3 , 4 ] a n d t h e f u r t h e s t s i t e d i a g r a m

m a y h a v e f a c e s w i t h O ( n ) c o n n e c t e d c o m p o n e n t s 1 1 ] . O u r a l g o r i t h m i s , a s a n y i n c r e m e n t a l

1


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2 G u i l h e r m e A . P i n t o a n d P e d r o J . d e R e z e n d e

a l g o r i t h m f o r p l a n a r V o r o n o i d i a g r a m s , n o t w o r s t c a s e o p t i m a l , b u t i t i s o f p r a c t i c a l i n t e r e s t

f o r b e i n g o n - l i n e a n d v e r y s i m p l e t o i m p l e m e n t . M o r e o v e r , i t s h o w s t h a t w e c a n c o m p u t e

t h i s c o n s t r u c t i o n w i t h o u t d e n i n g d i e r e n t p r o c e d u r e s f o r e a c h s i d e o f t h e p l a n e .

2 O r i e n t e d P r o j e c t i v e P l a n e a n d V o r o n o i D i a g r a m s

I n T

2

a p o i n t w i t h h o m o g e n e o u s c o o r d i n a t e s x ; y ; w i s n o t i d e n t i c a l t o x ; y ; w ] . T h e y

a r e c a l l e d a n t i p o d a l p o i n t s . T h e a n t i p o d e o f p o i n t p i s d e n o t e d b y : p . T h e s e t o f p o i n t s

w i t h w > 0 i s c a l l e d t h e f r o n t s i d e o f t h e p l a n e , a n d t h o s e w i t h w


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A d d i t i v e l y W e i g h t e d V o r o n o i D i a g r a m o n t h e O r i e n t e d P r o j e c t i v e P l a n e 3

W e w i l l n e e d a f u n c t i o n t o a d d a p o i n t i n T

1

a n d a r e a l v a l u e , + : T

1

+

R ! T

1

, d e n e d

a s a + v = a

x

+ v a

w

; a

w

] . Q u a l i t a t i v e l y , w e g e t a b i g g e r p o i n t i f v > 0 a n d a s m a l l e r o n e

i f v 0 ) ;

2 . 1 V o r o n o i D i a g r a m s

W e w i l l r s t d i s c u s s t h e V o r o n o i d i a g r a m o f u n w e i g h t e d p o i n t s , w h i c h i s a s p e c i a l c a s e o f

t h e w e i g h t e d d i a g r a m . L e t S b e a n i t e s e t o f p o i n t s i n T

2

, c a l l e d s i t e s . F o r e a c h p , q 2 S

l e t

H

p q

= f x 2 T

2

d

T

2 ( x ; p )

T

1 d

T

2 ( x ; q ) g

T h e V o r o n o i r e g i o n o f a s i t e p i s

R

p

=

\

q 2 S n f p g

H

p q

W e f o l l o w 1 3 ] a n d d e n e t h e V o r o n o i d i a g r a m D V o r ( S ) t o b e t h e s e t o f p o i n t s w h i c h b e l o n g s

t o m o r e t h a n o n e V o r o n o i r e g i o n . A V o r o n o i e d g e i s t h e i n t e r s e c t i o n o f t w o r e g i o n s a n d a

V o r o n o i v e r t e x i s t h e i n t e r s e c t i o n o f m o r e t h a n t w o r e g i o n s .

W h e n t h e s i t e s a r e c o n t a i n e d i n t h e f r o n t s i d e o f T

2

, t h e p a r t o f t h e d i a g r a m c o n t a i n e d

i n t h e b a c k s i d e o f T

2

i s e q u i v a l e n t t o t h e f u r t h e s t s i t e d i a g r a m . T h i s i s d u e t o t h e f a c t t h a t

d

T

2 ( x ; p )

T

1 d

T

2 ( x ; q ) i f a n d o n l y i f d

T

2 ( : x ; p )

T

1 d

T

2 ( : x ; q ) :

x

1

; w

1

T

1 x

2

; w

2

i m p l i e s

x

1

( w

2

) x

2

( w

1

)

x

1

( w

2

) x

2

( w

1

)

x

1

; w

1

T

1 x

2

; w

2

F i g u r e 2 ( a ) s h o w s t h e D V o r o f S = f p ; q g . P a r t ( b ) s h o w s t h e d i a g r a m a f t e r t h r e e o t h e r

s i t e s w e r e a d d e d t o S . T h e b o l d e d g e s a r e t h e b o u n d a r y o f R

p

L e t n = S , a n d l e t e a n d v b e , r e s p e c t i v e l y , t h e n u m b e r o f e d g e s a n d v e r t i c e s o f D V o r ( S )

A s s u m i n g t h a t S c o n t a i n s n o f o u r c o c i r c u l a r p o i n t s , w e h a v e t h e f o l l o w i n g p r o p e r t i e s , w h i c h

r e v e a l t h e s i m i l a r i t i e s b e t w e e n D V o r a n d t h e V o r o n o i d i a g r a m o n a s p h e r e o f E

3

1 ] :

1 . f o r n = 2 : t h e d i a g r a m i s a l i n e o f T

2

;

2 . f o r n = 3 : v = 2 a n d e = 3 . T h e v e r t i c e s a r e a n t i p o d e s , t h e e d g e s a r e n o t s e g m e n t s o f

T

2

a n d t h e r e g i o n s a r e n o t c o n v e x ( t h e y c o n t a i n t h e a n t i p o d a l v e r t i c e s ) ;

3 . f o r n > 3 : e v e r y e d g e i s a s e g m e n t o f T

2

a n d e v e r y r e g i o n i s c o n v e x .


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y

w

x

q

p

q

p

y

w

xq

p

q

p

(a) (b)

F i g u r e 2 : V o r o n o i d i a g r a m i n T

2

A s w e h a v e n e q u a l t o t h e n u m b e r o f f a c e s o f t h e i n d u c e d p l a n a r s u b d i v i s i o n a n d e v e r y

v e r t e x h a s v a l e n c e 3 , v = 2 n 4 a n d e = 3 n 6

L e t u s t u r n t o t h e a d d i t i v e l y w e i g h t e d d i a g r a m . N o w , e a c h s i t e p h a s a n a s s o c i a t e d

w e i g h t w ( p ) . W e a s s u m e , w i t h o u t l o s s o f g e n e r a l i t y , t h a t a l l w e i g h t s a r e p o s i t i v e a n d r e g a r d

t h e s i t e a s a c l o s e d d i s k w i t h r a d i u s e q u a l t o i t s w e i g h t . F o r e a c h p , q 2 S w e d e n e

H

p q

= f x 2 T

2

d

T

2 ( x ; p ) w ( p )

T

1 d

T

2 ( x ; q ) w ( q ) g ;

a n d c a l l D V o r W t h e d i a g r a m g e n e r a t e d b y H . S o m e o f t h e p r e v i o u s p a p e r s o n t h i s d i a g r a m

u s e d i s t ( x ; p ) + w ( p ) i n s t e a d . T h e d e n i t i o n s a r e e q u i v a l e n t i n t h e s e n s e t h a t w e c a n m u l t i p l y

t h e w e i g h t s o f t h e s i t e s b y 1 t o o b t a i n t h e d i a g r a m g e n e r a t e d b y t h e o t h e r d e n i t i o n .

T h i s i s i n t e r e s t i n g t o n o t e b e c a u s e t h e p a r t o f t h e d i a g r a m c o n t a i n e d i n t h e b a c k s i d e ,

a c t u a l l y , i s e q u i v a l e n t t o t h e f u r t h e s t s i t e d i a g r a m g e n e r a t e d b y t h e o t h e r d e n i t i o n , a s

d

T

2 ( x ; p ) w ( p )

T

1 d

T

2 ( x ; q ) w ( q ) i f a n d o n l y i f d

T

2 ( : x ; p ) + w ( p )

T

1 d

T

2 ( : x ; q ) + w ( q ) :

x

1

; w

1

+ ( v

1

)

T

1 x

2

; w

2

+ ( v

2

)

x

1

v

1

w

1

; w

1

T

1 x

2

v

2

w

2

; w

2

i m p l i e s

( x

1

v

1

w

1

) ( w

2

) ( x

2

v

2

w

2

) ( w

1

)

( x

1

v

1

w

1

) ( w

2

) ( x

2

v

2

w

2

) ( w

1

)

x

1

v

1

w

1

; w

1

T

1 x

2

v

2

w

2

; w

2

x

1

; w

1

+ ( v

1

)

T

1 x

2

; w

2

+ ( v

2

)

T h e i n t e r s e c t i o n o f t w o V o r o n o i r e g i o n s i s k n o w n t o b e o n e b r a n c h o f a n a l g e b r a i c

h y p e r b o l a o p e n e d t o w a r d s t h e s m a l l e s t d i s k a n d t h e r e g i o n s a r e s t a r - s h a p e d w i t h r e s p e c t t o

t h e s i t e s . T h i s d i a g r a m i s m o r e c o m p l e x t h a n t h e D V o r i n t h e s e n s e t h a t i t m a y h a v e n i t e

r e g i o n s w i t h o n l y t w o e d g e s a n d t w o r e g i o n s m a y s h a r e m o r e t h a n o n e e d g e 1 3 ] . F i g u r e 3 ( a )

s h o w s t h e D V o r W o f S = f p ; q g . P a r t ( b ) s h o w s t h e d i a g r a m a f t e r t h r e e o t h e r s i t e s w e r e

a d d e d t o S . N o t e t h a t t h i s e x a m p l e w o u l d b e d i s c o n n e c t e d i n E

2

S h a r i r 1 3 ] s h o w e d t h a t , w h e n t h e d i a g r a m i s d i s c o n n e c t , e v e r y c o n n e c t e d c o m p o n e n t

i s u n b o u n d e d : I f t h e r e c o u l d b e a b o u n d e d c o n n e c t e d c o m p o n e n t K , t h e p o r t i o n E o f a

s u c i e n t l y s m a l l n e i g h b o r h o o d o f K , n o t c o n t a i n e d i n K , w o u l d b e l o n g t o s o m e s i t e m

C l e a r l y , t h e r e w o u l d b e a p o i n t x i n E s u c h t h a t t h e s e g m e n t x m c r o s s e s K , c o n t r a d i c t i n g

t h e f a c t t h a t t h e r e g i o n o f m i s s t a r - s h a p e d .


6/14


y

w

x

y

w

xq

p

(a) (b)

q

p

qp

qp

F i g u r e 3 : A d d i t i v e l y w e i g h t e d V o r o n o i d i a g r a m i n T

2

T h i s a r g u m e n t i s e n o u g h t o s h o w t h a t D V o r W i s a l w a y s c o n n e c t e d , b e c a u s e t h e r e c a n b e

n o u n b o u n d e d c o m p o n e n t i n t h e c o m p a c t t o p o l o g y o f T

2

. H o w e v e r , w e n e e d t o d i s t i n g u i s h

t w o s i t u a t i o n s . W h e n t h e a n t i p o d e o f t h e s i t e m i s n o t c o n t a i n e d i n K , t h e a b o v e a r g u m e n t

a p p l i e s w i t h o u t m o d i c a t i o n s . B u t w h e n : m b e l o n g s t o K , t h e s e g m e n t s x m , x 2 E , d o

n o t c r o s s K . N e v e r t h e l e s s , t h e y c o v e r a l l t h e T

2

n K , s u c h t h a t t h e r e w o u l d b e a s e g m e n t

x m c r o s s i n g s o m e o t h e r c o m p o n e n t o f t h e d i a g r a m , a g a i n c o n t r a d i c t i n g t h e f a c t t h a t t h e

r e g i o n o f m i s s t a r - s h a p e d .

I n t h e n e x t s e c t i o n w e w i l l p r e s e n t a n i n c r e m e n t a l a l g o r i t h m t o c o n s t r u c t t h i s d i a g r a m .

T h e a l g o r i t h m i s b a s e d o n t w o p r i m i t i v e p r o c e d u r e s : t h e c a l c u l a t i o n o f t h e t w o c i r c u n c e n t e r s

o f t h r e e g i v e n s i t e s ; a n d t h e c o u n t e r c l o c k w i s e c i r c u l a r o r d e r p r e d i c a t e o f t h r e e p o i n t s b ; c

a n d d w i t h r e s p e c t t o a f o u r t h p o i n t a . T h e l a t t e r p r o c e d u r e c a n b e i m p l e m e n t e d w i t h t h r e e

c a l l s t o t h e f u n c t i o n c o u n t e r C l o c k W i s e a s f o l l o w s :

F u n c t i o n 2 c o u n t e r C l o c k W i s e O r d e r ( b , c , d , a ) r e t u r n s t r u e i f t h e c o u n t e r c l o c k w i s e

c i r c u l a r o r d e r o f t h e p o i n t s b , c a n d d a r o u n d a i s b c d a n d f a l s e o t h e r w i s e :

b o o l a b c = c o u n t e r C l o c k W i s e ( a , b , c ) ;

b o o l a b d = c o u n t e r C l o c k W i s e ( a , b , d ) ;

b o o l a c d = c o u n t e r C l o c k W i s e ( a , c , d ) ;

r e t u r n ( ( a b c & & ( ! a b d | | a c d ) ) | | ( ! a b d & & a c d ) ) ;

3 A n I n c r e m e n t a l A l g o r i t h m f o r t h e A d d i t i v e l y W e i g h t e d

D i a g r a m

W e a s s u m e , f o r s i m p l i c i t y , t h a t n o t w o d i s k s o f S i n t e r s e c t a n d t h a t t h e r e i s n o f o u r c o c i r c u l a r

s i t e s i n S . T h e a l g o r i t h m , i n f a c t , w o r k s f o r i n t e r s e c t i n g d i s k s a n d f o r n e g a t i v e w e i g h t s a s

w e l l , b u t i t n e e d s s o m e m o d i c a t i o n s i f w e a l l o w o n e d i s k t o b e e n t i r e l y c o n t a i n e d i n a n o t h e r

d i s k . I n t h e c o n c l u s i o n s w e w i l l d i s c u s s t h e s e m o d i c a t i o n s .

G i v e n t h e s e c o n d i t i o n s , w e d e s c r i b e n o w t h e o t h e r p r i m i t i v e p r o c e d u r e o f t h e a l g o r i t h m :

t h e c a l c u l a t i o n o f t h e t w o c i r c u n c e n t e r s a a n d b o f t h r e e g i v e n s i t e s p ; q a n d r . A c i r c u n c e n t e r

i s a p o i n t e q u i d i s t a n t t o t h e t h r e e s i t e s a c c o r d i n g t o t h e d e n i t i o n o f H I n E

2

t h r e e d i s k s

m a y h a v e 0 ; 1 o r 2 c i r c u n c e n t e r s ( s e e 1 2 ] a n d F i g . 4 ( a ) ) . I n T

2

t h e r e a r e a l w a y s t w o s u c h

p o i n t s a s F i g . 4 ( b ) s h o w s , f o r t h e t h r e e p o s s i b l e c o n g u r a t i o n s .


7/14


(a) (b)

F i g u r e 4 : T h e c i r c u n c e n t e r s o f t h r e e s i t e s i n E

2

a n d T

2

F u n c t i o n 3 c i r c u n C e n t e r s ( p , q , r , a , b ) c a l c u l a t e s t h e t w o c i r c u n c e n t e r s o f t h e s i t e s

p q a n d r s t o r i n g t h e m i n p o i n t s a a n d b

T h i s f u n c t i o n a m o u n t s t o s o l v i n g a s y s t e m o f t h r e e q u a d r a t i c e q u a t i o n s a s s u g g e s t e d i n 7 ] .

T h i s c a l c u l a t i o n c a n a l s o b e v i e w e d a s t h e i n t e r s e c t i o n o f t h r e e r i g h t c o n e s i n E

3

a s n o t e d

i n 1 2 ] . T h e d e t a i l s c a n a l s o b e f o u n d i n 9 ] .

3 . 1 C o n t r i b u t o r e d g e s

W e c a l l c l e a r a n c e d i s k a c l o s e d d i s k t a n g e n t t o t w o o r m o r e d i s k s o f S . T w o c l o s e d d i s k s

a r e t a n g e n t i f t h e i r i n t e r s e c t i o n i s a s i n g l e p o i n t . T h e V o r o n o i d i a g r a m c a n t h e n b e d e n e d

a s t h e s e t o f a l l c e n t e r s o f c l e a r a n c e d i s k s o f S ( s e e 1 5 ] ) . W h e n a c l e a r a n c e d i s k i s t a n g e n t

t o m o r e t h a n t w o s i t e s w e c a l l i t s c e n t e r a V o r o n o i v e r t e x . G i v e n t h e d i a g r a m D V o r W ( S )

a n d a n e w s i t e k , t h e i d e a o f t h e a l g o r i t h m i s t o n d t h e v e r t i c e s o f R

k

a n d t h e n u p d a t e t h e

d i a g r a m . C l e a r l y , e v e r y v e r t e x o f R

k

m u s t l i e o n s o m e e d g e o f D V o r W ( S ) a s i t i s t h e c e n t e r

o f a c l e a r a n c e d i s k t a n g e n t t o k a n d t o t w o s i t e s o f S . W e d e n o t e t h e e d g e s o f D V o r W ( S )

w h i c h c o n t a i n a t l e a s t o n e v e r t e x o f R

k

b y c o n t r i b u t o r e d g e s . O n e e d g e e m a y c o n t r i b u t e ,

a t m o s t , t w o v e r t i c e s a s a n y v e r t e x l y i n g o n e m u s t b e t h e c e n t e r o f a c l e a r a n c e d i s k t a n g e n t

t o k a n d t o t h e t w o s i t e s o f S w h i c h g e n e r a t e e a n d a n y t h r e e g i v e n d i s k s m a y h a v e a t m o s t

t w o s u c h p o i n t s ( t h e c i r c u n c e n t e r s ) .

L e t e

l e f t

a n d e

r i g h t

b e t h e s i t e s o f t h e l e f t a n d r i g h t r e g i o n s o f t h e o r i e n t e d e d g e e . T h e

p r e c e d i n g d i s c u s s i o n i m p l i e s t h a t a c i r c u n c e n t e r o f k , e

l e f t

a n d e

r i g h t

i s a v e r t e x o f R

k

i f ,

a n d o n l y i f , i t l i e s o n e . L e t e

o r i g

a n d e

d e s t

b e t h e v e r t i c e s a t t h e o r i g i n a n d d e s t i n a t i o n o f

e . W e k n o w t h a t t h e s u p p o r t i n g h y p e r b o l a o f e i s s t a r - s h a p e d w i t h r e s p e c t t o b o t h e

l e f t

a n d e

r i g h t

. T h i s i m p l i e s t h a t a c i r c u n c e n t e r a o f k , e

l e f t

a n d e

r i g h t

( a a l w a y s l i e s o n t h e

h y p e r b o l a ) i s o n e i f , a n d o n l y i f , t h e c o u n t e r c l o c k w i s e c i r c u l a r o r d e r o f e

o r i g

, a a n d e

d e s t

w i t h r e s p e c t t o e

l e f t

i s e

o r i g

a e

d e s t

( s e e F i g . 5 ) .

A t t h i s p o i n t w e c o u l d c o m e u p w i t h a b r u t e f o r c e a l g o r i t h m n d i n g a l l v e r t i c e s u s i n g t h e

f u n c t i o n c o u n t e r C l o c k W i s e O r d e r t o t e s t e v e r y e d g e o f D V o r W ( S ) . T h e n w e c o u l d c i r c u l a r

s o r t t h e v e r t i c e s a r o u n d k ( R

k

i s s t a r - s h a p e d ) a n d u p d a t e t h e d i a g r a m . F o r t u n a t e l y i f

w e d e n e a m o r e s p e c i c c o n c e p t o f o r i e n t e d c o n t r i b u t o r e d g e w e c a n n d t h e v e r t i c e s

c o n s e c u t i v e l y i n t h e c o r r e c t o r d e r w i t h a v e r y s i m p l e t r a v e r s e p r o c e d u r e i f w e a r e g i v e n


8/14


e

eleft

a eright

eorig

e

dest

F i g u r e 5 : T e s t i n g a n e d g e w i t h t h e o r i e n t a t i o n p r e d i c a t e

a n i n i t i a l o r i e n t e d c o n t r i b u t o r e d g e . T h i s c o n c e p t a n d t h i s p r o c e d u r e a r e p r e s e n t e d i n

s e c t i o n 3 . 3 .

W e n o t e t h a t t h i s c h a r a c t e r i z a t i o n t h r o u g h c o n t r i b u t o r e d g e s c a n n o t b e u s e d i n E

2

, a s

R

k

m a y h a v e n o v e r t e x , t h a t i s , i t s b o u n d a r y m a y b e n o t c o n n e c t e d t o D V o r W ( S ) a t a l l .

3 . 2 T h e b a s e c a s e

T h e b a s e c a s e n = 3 h a s t h r e e p o s s i b l e c o n g u r a t i o n s s h o w n i n F i g . 6 . T h e d i a g r a m i s

a l w a y s t h e s a m e : t h e t w o c i r c u n c e n t e r s a r e c o n n e c t e d b y t h r e e e d g e s s e p a r a t i n g t h e t h r e e

s i t e s i n t h r e e r e g i o n s . T h e f o l l o w i n g f u n c t i o n s c o n s t r u c t t h e b a s e c a s e a l m o s t m e c h a n i c a l l y :

(a) (b) (c)

p

q

r

p

q

r

p

q

ra

b

ab

a

b

F i g u r e 6 : B a s e c a s e s n = 3 f o r D V o r W

F u n c t i o n 4 c r e a t e E d g e ( a , b , p , q ) c r e a t e s o n e e d g e w i t h o r i g i n a , d e s t i n a t i o n b , l e f t

a n d r i g h t r e g i o n s p a n d q a n d r e t u r n s a p o i n t e r t o i t .

F u n c t i o n 5 b a s e C a s e ( p , q , r ) c o n s t r u c t s D V o r W ( S ) f o r S = f p ; q ; r g a n d r e t u r n s a

p o i n t e r t o o n e o f t h e e d g e s o f t h e d i a g r a m :

p o i n t a , b ;

c i r c u n C e n t e r s ( p , q , r , a , b ) ;

i f ( c o u n t e r C l o c k W i s e O r d e r ( p , q , r , a ) ) s w a p ( a , b ) ;


9/14


c r e a t e E d g e ( a , b , p , q ) ;

c r e a t e E d g e ( a , b , q , r ) ;

r e t u r n c r e a t e E d g e ( a , b , r , p ) ;

T h e i f t e s t i s d u e t o a s u b t l e p r o b l e m : a s t h e r e g i o n s h a v e o n l y t w o e d g e s , w e c a n n o t

c i r c u l a r s o r t t h e v e r t i c e s w i t h r e s p e c t t o t h e s i t e s . O u r t e s t t o n d t h e v e r t i c e s o f R

k

,

a l r e a d y s k e t c h e d i n t h e p r e v i o u s s e c t i o n , t h a t w i l l b e u s e d i n t h e i n s e r t i o n o f t h e o t h e r

s i t e s , r e l i e s o n t h e o r i e n t a t i o n o f t h e e d g e s . A s w e c h o o s e o n e o f t h e c i r c u n c e n t e r s f o r t h e

o r i g i n a n d c r e a t e e d g e s h a v i n g l e f t a n d r i g h t r e g i o n s p a n d q , q a n d r , r a n d p , t h e r e i s a

c o r r e c t c i r c u n c e n t e r f o r t h e o r i g i n . C o n s i d e r o n e o f t h e e d g e s e . I f w e c h o o s e t h e w r o n g

c i r c u n c e n t e r , t h e c o u n t e r c l o c k w i s e c i r c u l a r o r d e r o f t h e e

o r i g

, a g e n e r i c p o i n t x l y i n g o n t h e

e d g e a n d e

d e s t

w i l l n o t b e e

o r i g

x e

d e s t

. I t i s i n t e r e s t i n g t o n o t e t h a t , a s t h e e d g e s s e p a r a t e

t h e s i t e s a n d t h e r e g i o n s a r e s t a r - s h a p e d w i t h r e s p e c t t o t h e m , t h e c i r c u l a r o r d e r o f t h e

s i t e s w i t h r e s p e c t t o o n e c i r c u n c e n t e r i s o p p o s i t e t o t h e o t h e r . T h e c o r r e c t o r i g i n f o r t h e

f u n c t i o n c r e a t e E d g e m u s t b e t h e c i r c u n c e n t e r t h a t p e r c e i v e s t h e c o u n t e r c l o c k w i s e c i r c u l a r

o r d e r p r q

3 . 3 T h e t r a v e r s e p r o c e d u r e

F i g u r e 7 ( a ) i n t r o d u c e s t h e e d g e f u n c t i o n s u s e d i n t h e t r a v e r s e p r o c e d u r e , w h i c h i s d e n e d

f o r o r i e n t e d e d g e s . T h e n a m e s c o m e f r o m t h e w e l l - k n o w n q u a d - e d g e d a t a s t r u c t u r e 6 ] . F o r

a g i v e n o r i e n t e d e d g e e : o n e x t ( e ) i s t h e n e x t e d g e i n c o u n t e r c l o c k w i s e d i r e c t i o n w i t h t h e

s a m e o r i g i n ; r p r e v ( e ) i s t h e p r e v i o u s e d g e i n c o u n t e r c l o c k w i s e d i r e c t i o n w i t h t h e s a m e f a c e ;

a n d s y m ( e ) i s t h e o p p o s i t e o r i e n t e d e d g e .

(a) (b) (c)

onext(e)

rprev(e)

sym(e)

ev2

v1

e2k

Rke1 v

vc

kk

F i g u r e 7 : O r i e n t e d c o n t r i b u t o r e d g e s f o r t h e t r a v e r s e p r o c e d u r e

T h e t r a v e r s e p r o c e d u r e t o b e p r e s e n t e d n e e d s o n e r s t c o n t r i b u t o r e d g e . F i g u r e 7 ( b )

s h o w s t h e i n s e r t i o n o f s i t e k i n t h e D V o r W ( S ) , f o r n = 7 . T h e c o n t r i b u t o r e d g e s a r e s h o w n i n

b o l d l i n e s . N o t e t h a t t h e e d g e s c o n t r i b u t i n g o n e v e r t e x h a v e o n e o f t h e i r e n d p o i n t s i n s i d e R

k

a n t h e o t h e r o u t s i d e . T h e e d g e s c o n t r i b u t i n g t w o v e r t i c e s h a v e e i t h e r b o t h e n d p o i n t s i n s i d e

R

k

( e d g e e

1

i n t h e g u r e ) , o r b o t h o u t s i d e R

k

( t h i s c a s e w i l l b e d i s c u s s e d i n s e c t i o n 3 . 3 . 2 ) .

T h e r s t c o n t r i b u t o r e d g e m u s t b e o n e o r i e n t e d s u c h t h a t i t s o r i g i n i s i n s i d e R

k

. I f t h i s i s n o t

t r u e , t h e p r o c e d u r e w i l l f a i l t o n d a l l v e r t i c e s . W e s a y , t h e n , t h a t e d g e e

2

i s a c o n t r i b u t o r ,


10/14


b u t s y m ( e

2

) i s n o t . I f a n e d g e c o n t r i b u t e s o n e v e r t e x , c l e a r l y , t h e c l e a r a n c e d i s k w i t h c e n t e r

i n t h e e n d p o i n t c o n t a i n e d i n R

k

m u s t i n t e r s e c t k a n d t h e o n e w i t h c e n t e r i n t h e e n d p o i n t

o u t s i d e R

k

m u s t n o t . W e n e e d n o t t e s t t h e i n t e r s e c t i o n o f k a n d t h e s e c l e a r a n c e d i s k s t o

d e c i d e w h i c h e d g e i s o r i e n t e d f r o m i n s i d e R

k

t o o u t s i d e . S u p p o s e e d g e e c o n t r i b u t e s o n e

v e r t e x v a s s h o w n i n F i g . 7 ( c ) . T h e b o u n d a r y o f t h e c l e a r a n c e d i s k v

c

w i t h c e n t e r i n v a n d

t a n g e n t t o k , e

l e f t

a n d e

r i g h t

i s d i v i d e i n t o t w o a r c s b y t h e t a n g e n c y p o i n t s i n e

l e f t

a n d

e

r i g h t

. S i t e k i s t a n g e n t t o v

c

i n o n e o f t h e s e a r c s ( t h e g u r e s h o w s t w o p o s s i b l e l o c a t i o n s f o r

k ) . I t i s e a s y t o s e e t h a t t h e c l e a r a n c e d i s k s b e t w e e n v

c

a n d t h e c l e a r a n c e d i s k w i t h c e n t e r

i n t h e e n d p o i n t n o t c o n t a i n e d i n R

k

d o n o t i n t e r s e c t k a n d t h o s e b e t w e e n v

c

a n d t h e o n e

c o n t a i n e d i n R

k

d o i n t e r s e c t . W e c a n t h e n u s e t h e c i r c u l a r o r d e r p r e d i c a t e t o d e c i d e w h i c h

i s t h e c o r r e c t o r i e n t e d c o n t r i b u t o r e d g e . I t i s t h e o n e s u c h t h a t c o u n t e r C l o c k W i s e O r d e r (

e

l e f t

k e

r i g h t

v ) = = t r u e

F o r t h e e d g e s c o n t r i b u t i n g t w o v e r t i c e s w e a l s o u s e t h e c i r c u l a r o r d e r p r e d i c a t e t o

a s s i g n o n e v e r t e x t o e a c h o r i e n t e d e d g e . A n o r i e n t e d e d g e c o n t r i b u t e s t h e r s t e n c o u n -

t e r e d v e r t e x w h e n g o i n g f r o m i t s o r i g i n t o i t s d e s t i n a t i o n . A s s h o w n i n F i g . 7 ( b ) , f o r

e

1

c o u n t e r C l o c k W i s e O r d e r ( e

1

o r i g

v

1

v

2

e

1

l e f t

) = = t r u e , a n d f o r s y m ( e

1

) c o u n t e r

C l o c k W i s e O r d e r ( s y m ( e

1

)

o r i g

v

1

v

2

s y m ( e

1

)

l e f t

) = = f a l s e . T h e n e

1

c o n t r i b u t e s v

1

a n d s y m ( e

1

) c o n t r i b u t e s v

2

O u r t r a v e r s e p r o c e d u r e h a s t h e s a m e g o a l a s t h e o n e i n 5 ] . T h e v e r t e x c o n t r i b u t e d

b y a n e d g e e i s t h e p o i n t w h e r e t h e b o u n d a r y o f R

k

c r o s s e s e l e a v i n g t h e r e g i o n o f e

r i g h t

a n d e n t e r i n g t h e r e g i o n o f e

l e f t

( i n a c o u n t e r c l o c k w i s e d i r e c t i o n ) . W e n e e d t o n d t h e n e x t

v e r t e x ( w h i c h i s t h e p o i n t w h e r e t h e b o u n d a r y l e a v e s t h e r e g i o n o f e

l e f t

) . T h e p r o c e d u r e

t e s t s t h e e d g e s o f e

l e f t

i n c l o c k w i s e d i r e c t i o n f r o m e :

F u n c t i o n 6 e d g e N o t C o n t r i b u t o r ( e ) r e t u r n s t r u e i f e d g e e d o n o t c o n t r i b u t e s t o R

k

a n d

f a l s e o t h e r w i s e :

p o i n t a , b ;

c i r c u n C e n t e r s ( e

l e f t

e

r i g h t

, k , a , b ) ;

r e t u r n ( ! ( c o u n t e r C l o c k W i s e O r d e r ( e

o r i g

, a , e

d e s t

e

l e f t

) | |

c o u n t e r C l o c k W i s e O r d e r ( e

o r i g

, b , e

d e s t

e

l e f t

) ) ) ;

F u n c t i o n 7 t r a v e r s e P r o c e d u r e

f i r s t E d g e = e = f i n d S o m e C o n t r i b u t o r E d g e ( ) ;

d o f

p r o c e s s C o n t r i b u t o r E d g e ( e ) ;

e = o n e x t ( e ) ;

w h i l e ( e ! = f i r s t E d g e & & e d g e N o t C o n t r i b u t o r ( e ) )

e = r p r e v ( e ) ;

g w h i l e ( e ! = f i r s t E d g e ) ;

T h e f u n c t i o n f i n d S o m e C o n t r i b u t o r E d g e d o e s n o t a e c t t h e w o r s t - c a s e c o m p l e x i t y o f

t h e a l g o r i t h m ( O ( n

2

) ) , a s R

k

m a y h a v e O ( n ) e d g e s . I n p r a c t i c e , h o w e v e r , i t m a y b e t h e

m a j o r f a c t o r i n t h e r u n n i n g t i m e . T h e s i m p l e \ w a l k i n g " m e t h o d s u g g e s t e d i n 5 ] c a n b e


11/14

1 0 G u i l h e r m e A . P i n t o a n d P e d r o J . d e R e z e n d e

(a) (b) (c)

kk

F i g u r e 8 : T h e t r a v e r s e p r o c e d u r e u p d a t i n g t h e d i a g r a m

u s e d , b e c a u s e t h e r e g i o n o f t h e s i t e o f S c l o s e s t t o k m u s t h a v e a c o n t r i b u t o r e d g e . M o r e

e l a b o r a t e d s c h e m e s e x i s t ( s e e 3 ] f o r i n s t a n c e ) .

F i g u r e 8 ( a ) s h o w s , i n b o l d l i n e s , t h e e d g e s t r a v e r s e d b y t h e p r o c e d u r e f o r t h e e x a m p l e o f

F i g . 7 ( b ) . T h e f u n c t i o n p r o c e s s C o n t r i b u t o r E d g e i s c a l l e d f o r e v e r y o r i e n t e d c o n t r i b u t o r

e d g e a n d u p d a t e s t h e d i a g r a m . T h e u p d a t e i s v e r y s i m p l e ( s e e F i g . 8 ( b ) a n d ( c ) ) : t h e o r i g i n s

o f t h e o r i e n t e d c o n t r i b u t o r e d g e s a r e c h a n g e d t o t h e c o r r e s p o n d i n g v e r t i c e s ; c o n s e c u t i v e

v e r t i c e s a r e j o i n e d b y a n e w e d g e ; a n d , i n t h e e n d , s o m e e d g e s o f D V o r W ( S ) m a y b e

d e l e t e d .

3 . 3 . 1 C o r r e c t n e s s

T h e c o r r e c t n e s s o f t h e p r o c e d u r e i s b a s e d o n t h e s t a r - s h a p e d p r o p e r t y o f t h e r e g i o n s o f

D V o r W ( S ) . T h e f u n c t i o n f i n d S o m e C o n t r i b u t o r E d g e r e t u r n s a c o n t r i b u t o r e d g e e W e

h a v e a l r e a d y s h o w n t h a t t h e r e m u s t b e c o n t r i b u t o r e d g e s i n D V o r W ( S ) . T h e v e r t e x c o n -

t r i b u t e d b y t h e e d g e e i s t h e p o i n t w h e r e t h e b o u n d a r y o f R

k

c r o s s e s e l e a v i n g t h e r e -

g i o n o f e

r i g h t

a n d e n t e r i n g t h e r e g i o n R

e

l e f t

o f e

l e f t

( i n a c o u n t e r c l o c k w i s e d i r e c t i o n ) . T h e

t r a v e r s e P r o c e d u r e w i l l t e s t a l l e d g e s o f R

e

l e f t

i n c l o c k w i s e d i r e c t i o n . D e n o t e t h e s e e d g e s

b y e

1

; e

2

; : : : ; e

i

a s i n t h e F i g . 9 ( a ) . T h e b o u n d a r y o f R

k

m u s t l e a v e R

e

l e f t

, t h u s , t h e p r o -

c e d u r e w i l l e v e n t u a l l y n d a n o t h e r v e r t e x . N o t e t h a t t h e b o u n d a r y o f R

k

m a y e n t e r a n d

l e a v e o n e r e g i o n s e v e r a l t i m e s , s o t h a t , i t i s n o t o b v i o u s t h a t t h e p r o c e d u r e a l w a y s n d s t h e

c o r r e c t v e r t e x w h e r e t h e b o u n d a r y l e a v e s t h e r e g i o n .

T h e a r g u m e n t , h o w e v e r , i s i n d e e d v e r y s i m p l e . I f t h e b o u n d a r y l e a v e s R

e

l e f t

t h r o u g h e

1

t h e n t h e p r o c e d u r e c o r r e c t l y n d s t h e v e r t e x a s i t i s t h e r s t t e s t e d e d g e . B u t s u p p o s e e

1

c o n t r i b u t e s t w o v e r t i c e s v

1

a n d v

2

( s e e F i g . 9 ( a ) ) . W e s a w t h a t v

1

i s a s s i g n e d t o e

1

. T h i s i s

c o r r e c t b e c a u s e t h e b o u n d a r y c a n n o t l e a v e t h e r e g i o n t h r o u g h v

2

a s i t w o u l d h a v e t o e n t e r

i t s o m e t i m e a g a i n t h r o u g h v

1

a n d w o u l d n o t \ b e a b l e t o l e a v e " i t .

G e n e r a l l y , i f t h e b o u n d a r y l e a v e s R

e

l e f t

t h r o u g h e

k

t h e n n o n e o f t h e e d g e s e

1

; e

2

; : : : ; e

k 1

,

w h i c h a r e t e s t e d b e f o r e e

k

, c a n b e a c o n t r i b u t o r e d g e a n d t h e p r o c e d u r e w i l l r e a c h e

k

. T h i s

i s d u e t o t h e f a c t t h a t e v e r y p a r t o f t h e b o u n d a r y c r o s s i n g R

e

l e f t

i s a p a r t o f t h e b i s e c t o r o f

k a n d e

l e f t

. I f a n y o f e

1

; e

2

; : : : ; e

k 1

c o u l d b e a c o n t r i b u t o r e d g e , t h e n R

e

l e f t

w o u l d b e c o m e

d i s c o n n e c t , w h i c h i s i m p o s s i b l e ( s e e F i g . 9 ( b ) ) . T h i s a l s o i m p l i e s t h a t e v e r y t r a v e r s e d e d g e ,


12/14

A d d i t i v e l y W e i g h t e d V o r o n o i D i a g r a m o n t h e O r i e n t e d P r o j e c t i v e P l a n e 1 1

e x c e p t t h e c o n t r i b u t o r e d g e s , i s e n t i r e l y c o n t a i n e d i n R

k

(a) (b)

v2

v1

Rk

e1

e

e2

e3

eleft

eiei-1

Rk

e1

e

ek-1

eleft

ei

ek

F i g u r e 9 : D e m o n s t r a t i o n o f t h e c o r r e c t n e s s o f t h e t r a v e r s e p r o c e d u r e

W h e n w e d e n e d o r i e n t e d c o n t r i b u t o r e d g e s , w e s a i d t h a t t h e i r o r i g i n s m u s t b e c o n t a i n e d

i n R

k

. W e i n v i t e t h e r e a d e r t h e f o l l o w t h e t r a v e r s e P r o c e d u r e , f o r t h e e x a m p l e o f F i g . 7 ( b ) ,

i f t h e r s t c o n t r i b u t o r e d g e w a s s y m ( e

2

) ( w h i c h h a s i t s o r i g i n o u t s i d e R

k

) . T h e v e r t i c e s

v

1

a n d v

2

, i n t h a t g u r e , a r e j u s t n o t f o u n d . I n t h i s c a s e , t h e a r g u m e n t s a b o v e c a n n o t

b e a p p l i e d b e c a u s e t h e t r a v e r s e d e d g e s a r e n o t i n s i d e R

k

. W e c o u l d , a l t e r n a t i v e l y , t r a v e r s e

t h e r e g i o n s i n c o u n t e r c l o c k w i s e d i r e c t i o n t o n d t h e v e r t i c e s i n c l o c k w i s e d i r e c t i o n . T h e

r e q u i r e m e n t w o u l d , t h e n , b e t h a t t h e c o n t r i b u t o r e d g e s a l w a y s h a v e t h e i r d e s t i n a t i o n s i n s i d e

R

k

3 . 3 . 2 A s p e c i a l c a s e

W h e n R

k

h a s o n l y t w o e d g e s ( a n d t w o v e r t i c e s ) , t h e r e i s o n l y o n e e d g e e o f D V o r W ( S )

c o n t r i b u t i n g t h e t w o v e r t i c e s . T h i s i s a s p e c i a l c a s e , a s t h e t w o o r i e n t e d c o n t r i b u t o r e d g e s

h a v e t h e i r o r i g i n s o u t s i d e R

k

. H o w e v e r , t h e t r a v e r s e p r o c e d u r e c o r r e c t l y n d s t h e t w o

v e r t i c e s . F i g u r e 1 0 ( a ) s h o w s t h e e d g e s t r a v e r s e d b y t r a v e r s e P r o c e d u r e i n a n e x a m p l e .

(a) (b)

k

e

F i g u r e 1 0 : S p e c i a l c a s e w h e n u p d a t i n g t h e d i a g r a m

T h e u p d a t e d i e r s f r o m t h e g e n e r a l c a s e : c h o o s e o n e o r i e n t e d c o n t r i b u t o r e d g e a n d

c h a n g e i t s d e s t i n a t i o n t o t h e c o r r e s p o n d i n g v e r t e x ; c r e a t e s a n e w e d g e f r o m t h e o r i g i n t o

t h e c o r r e s p o n d i n g v e r t e x o f t h e o t h e r o r i e n t e d c o n t r i b u t o r e d g e ; a n d j o i n t h e v e r t i c e s b y t w o

e d g e s s e p a r a t i n g k f r o m e

l e f t

a n d e

r i g h t

. F i g u r e 1 0 ( b ) s h o w s t h e r e s u l t i n g d i a g r a m . T h i s


13/14

1 2 G u i l h e r m e A . P i n t o a n d P e d r o J . d e R e z e n d e

c a s e i s s i m i l a r t o o u r b a s e c a s e , b u t h e r e t h e u p d a t e i s e n t i r e l y m e c h a n i c a l a s t h e o r i e n t a t i o n

o f t h e c o n t r i b u t o r e d g e s a r e a l r e a d y c o n s i s t e n t .

3 . 4 C o m m e n t s o n t h e b a c k p a r t o f t h e d i a g r a m

T h e s u b t l e t y o f t h i s a l g o r i t h m i s t h e f a c t t h a t t h e p r i m i t i v e s e n c a p s u l a t e a l l c o n c e p t s o f

T

2

. T h e f u n c t i o n c i r c u n C e n t e r s r e t u r n s t w o p o i n t s o f T

2

w h i c h a r e u s e d b y t h e f u n c t i o n

e d g e N o t C o n t r i b u t o r i n s i m p l e o r i e n t a t i o n t e s t s ( w h i c h a r e d e n e d f o r a l l p o i n t s i n T

2

)

T h e t r a v e r s e p r o c e d u r e a n d t h e u p d a t e p r o c e d u r e s n e v e r k n o w w h e t h e r t h e y a r e w o r k i n g

w i t h n i t e o r i n n i t e e d g e s , o r w i t h f r o n t o r b a c k e d g e s . T h e p r o c e d u r e f o r i n s e r t i o n o f t h e

s i t e k i n t h e c o n v e x - h u l l o f S i s e x a c t l y t h e s a m e a s f o r k n o t i n t h e c o n v e x - h u l l .

I t i s c l e a r t h a t a n y t o p o l o g i c a l d a t a s t r u c t u r e a b l e t o r e p r e s e n t p a r t i t i o n s o f t h e s p h e r e

c a n b e u s e d t o r e p r e s e n t t h e D V o r W . T h e g e o m e t r y o f t h e e d g e s o f t h e s i m p l e D V o r c a n b e

r e p r e s e n t e d b y t h e c o o r d i n a t e s o f t h e e n d p o i n t s , b e c a u s e t h e y a r e s e g m e n t s o f T

2

. F o r t u -

n a t e l y , t h e g e o m e t r i c r e p r e s e n t a t i o n o f t h e e d g e s o f D V o r W , w h i c h a r e a r c s o f h y p e r b o l a s i n

T

2

, a l s o h a v e a s i m p l e a n d u n i f o r m r e p r e s e n t a t i o n . T h i s s u b j e c t h a s i n d e p e n d e n t i n t e r e s t

a n d a p p e a r s i n 1 0 ] .

4 C o n c l u s i o n

W e h a v e s u c c e s s f u l l y i m p l e m e n t e d t h i s a l g o r i t h m . T h e d e t a i l s a n d s o m e i m a g e s o f t h e

v i s u a l i z a t i o n o f t h e d i a g r a m i n b o t h t h e a t a n d s p h e r i c a l m o d e l s o f T

2

c a n b e f o u n d i n 9 ] .

W e n o t e t h a t t h e c o s t o f t h e e x a c t c o m p u t a t i o n o f t h e t e s t e d g e N o t C o n t r i b u t o r m a y b e

h i g h , a s t h e c o o r d i n a t e s o f t h e c i r c u n c e n t e r s a r e , i n g e n e r a l , i r r a t i o n a l n u m b e r s .

T h e a l g o r i t h m a s s u m e s t h a t n o s i t e i s e n t i r e l y c o n t a i n e d i n a n o t h e r . I f t h i s r e s t r i c t i o n

c a n n o t b e a p p l i e d , a n d w e s t i l l w a n t a n o n - l i n e a l g o r i t h m , s o m e m o d i c a t i o n s a r e n e e d e d :

1 . T h e f u n c t i o n c i r c u n C e n t e r s m u s t b e p r e p a r e d t o h a n d l e t h r e e s i t e s t h a t d o n o t h a v e

a c i r c u n c e n t e r . T h e n f u n c t i o n e d g e N o t C o n t r i b u t o r m u s t r e t u r n t r u e i n t h e s e c a s e s .

2 . T h e f u n c t i o n f i n d S o m e C o n t r i b u t o r E d g e m a y n d n o c o n t r i b u t o r e d g e . T h i s c a n b e

d u e t o t w o c a s e s : s i t e k i s c o n t a i n e d i n s o m e s i t e o f S ; o r s i t e k c o n t a i n s n 1 s i t e s

o f S . T h e i m p l e m e n t a t i o n m u s t b e a b l e t o d i s t i n g u i s h t h e s e c a s e s .

3 . F r o m t h e p r e c e d i n g i t e m w e s e e t h a t t h e i n s e r t i o n k m a y r e d u c e t h e d i a g r a m t o t h e

b a s e c a s e n = 3 o r e v e n t o n = 2 a n d n = 1 w h i c h h a v e n o v e r t i c e s . T h i s a l s o n e e d s

s p e c i a l t r e a t m e n t .

T h i s c h a r a c t e r i z a t i o n t h r o u g h c o n t r i b u t o r e d g e s p r o v e d v e r y u s e f u l f o r D V o r W b u t c a n -

n o t b e u s e d , f o r i n s t a n c e , f o r t h e V o r o n o i d i a g r a m o f l i n e s e g m e n t s , b e c a u s e t h r e e l i n e

s e g m e n t s m a y h a v e n o c i r c u n c e n t e r e v e n i n T

2

. N e v e r t h e l e s s , i t w o u l d s t i l l b e i n t e r e s t i n g

t o c o n s t r u c t t h i s d i a g r a m i n T

2

f o r t h e u n i f o r m r e p r e s e n t a t i o n o f t h e e d g e s .

O n e i n t e r e s t i n g g e n e r a l i z a t i o n i f t h i s c o n s t r u c t i o n i s t h e h i g h e r o r d e r d i a g r a m . F o r

i n s t a n c e , t h e o r d e r 2 d i a g r a m c a n b e d e n e d b y H

p q ; r s

= f x 2 T

2

d

T

2 ( x ; p ) + d

T

2 ( x ; q )

T

1

d

T

2

( x ; r ) + d

T

2

( x ; s ) g . T h e n , i n g e n e r a l , t h e o r d e r k d i a g r a m i s a n t i p o d a l t o t h e o r d e r ( n k )

d i a g r a m .


14/14

A d d i t i v e l y W e i g h t e d V o r o n o i D i a g r a m o n t h e O r i e n t e d P r o j e c t i v e P l a n e 1 3

R e f e r e n c e s

1 ] J . M . A u g e n b a u m a n d C . S . P e s k i n , O n t h e c o n s t r u c t i o n o f t h e v o r o n o i m e s h o n a

s p h e r e , J . C o m p u t . P h y s . , 5 9 ( 1 9 8 5 ) 1 7 7 { 1 9 2 .

2 ] F . A u r e n h a m m e r , P o w e r d i a g r a m s : p r o p e r t i e s , a l g o r i t h m s a n d a p p l i c a t i o n s , S I A M J .

C o m p u t . 1 6 ( 1 ) ( 1 9 8 7 ) 7 8 { 9 6 .

3 ] J - D . B o i s s o n n a t , O . D e v i l l e r s , R . S c h o t t , M . T e i l l a u d a n d M . Y v i n e c , A p p l i c a t i o n s

o f R a n d o m S a m p l i n g t o O n - l i n e A l g o r i t h m s i n C o m p u t a t i o n a l G e o m e t r y . D i s c r e t e &

C o m p . G e o m e t r y 8 ( 1 9 9 2 ) 5 1 { 7 1 .

4 ] S . F o r t u n e , A s w e e p l i n e a l g o r i t h m f o r V o r o n o i d i a g r a m s , A l g o r i t h m i c a 2 ( 1 9 8 7 ) 1 5 3 { 1 7 4 .

5 ] P . J . G r e e n a n d R . S i b s o n , C o m p u t i n g D i r i c h l e t t e s s e l l a t i o n s i n t h e p l a n e , C o m p u t e r

J o u r n a l 2 1 ( 1 9 9 7 ) 1 6 8 { 1 7 3 .

6 ] L . G u i b a s a n d J . S t o l , P r i m i t i v e s f o r t h e m a n i p u l a t i o n o f g e n e r a l s u b d i v i s i o n s a n d t h e

c o m p u t a t i o n s o f V o r o n o i d i a g r a m s , A C M T r a n s c . o n G r a p h i c s 4 ( 2 ) ( 1 9 8 5 ) 7 4 { 1 2 3 .

7 ] M . H e l d , O n t h e C o m p u t a t i o n a l G e o m e t r y o f P o c k e t M a c h i n i n g , L e c t u r e N o t e s o n

C o m p u t e r S c i e n c e 5 0 0 ( 1 9 9 1 ) .

8 ] D . T . L e e a n d R . L . D r y s d a l e , G e n e r a l i z a t i o n o f V o r o n o i d i a g r a m s i n t h e p l a n e , S I A M

J . C o m p u t . 1 0 ( 1 ) ( 1 9 8 1 ) 7 3 { 8 6 .

9 ] G . A . P i n t o , G e n e r a l i z a c ~o e s d o D i a g r a m a d e V o r o n o i c o n s t r u d a s a t r a v e s d e C ^ o n i c a s n o

P l a n o P r o j e t i v o O r i e n t a d o e s u a s V i s u a l i z a c ~o e s , M a s t e r ' s T h e s i s , I n s t i t u t e o f C o m p u t i n g ,

U N I C A M P ( 1 9 9 8 ) .

1 0 ] G . A . P i n t o a n d P . J . d e R e z e n d e , R e p r e s e n t a t i o n o f c o n i c s i n t h e o r i e n t e d p r o j e c t i v e

p l a n e , P r o c . o f t h e X S I B G R A P I , p u b l i s h e d b y I E E E , C a m p o s d o J o r d ~ a o , B r a z i l ( 1 9 9 7 )

7 1 { 7 8 .

1 1 ] D . R a p p a p o r t , A c o n v e x h u l l a l g o r i t h m f o r d i s c s a n d a p p l i c a t i o n s , C o m p u t a t i o n a l

G e o m e t r y : T h e o r y a n d A p p l i c a t i o n s 1 ( 1 9 9 2 ) 1 7 1 { 1 8 7 .

1 2 ] H . R o s e n b e r g e r , O r d e r - k V o r o n o i d i a g r a m s o f s i t e s w i t h a d d i t i v e w e i g h t s i n t h e p l a n e ,

A l g o r i t h m i c a 6 ( 1 9 9 1 ) 4 9 0 { 5 2 1 .

1 3 ] M . S h a r i r , I n t e r s e c t i o n a n d c l o s e s t - p a i r p r o b l e m s f o r a s e t o f p l a n a r d i s c s , S I A M J .

C o m p u t . 1 4 ( 2 ) ( 1 9 8 5 ) 4 4 8 { 4 6 8 .

1 4 ] J . S t o l , O r i e n t e d P r o j e c t i v e G e o m e t r y : A F r a m e w o r k f o r G e o m e t r i c C o m p u t a t i o n s ,

1 s t e d i t i o n , A c a d e m i c P r e s s , I n c . ( 1 9 9 1 ) .

1 5 ] C . K . Y a p , A n O ( n l o g n ) A l g o r i t h m f o r t h e V o r o n o i D i a g r a m o f a S e t o f S i m p l e C u r v e

S e g m e n t s . D i s c r e t e & C o m p . G e o m e t r y 2 ( 1 9 8 7 ) 3 6 5 { 3 9 3 .

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