การวเคราะหขอมลเบองตน

25 Oct 2016

สารบญ

ทบทวนคาเฉลย ........................................................................................................................................................................ 1

ทบทวนมธยฐาน ....................................................................................................................................................................... 3

ทบทวนฐานนยม ...................................................................................................................................................................... 5

ทบทวนการวดต าแหนงขอมล .................................................................................................................................................. 7

ทบทวนการวดการกระจายสมบรณ ...................................................................................................................................... 11

สวนเบยงเบนควอไทล ........................................................................................................................................................... 16

สวนเบยงเบนเฉลย ................................................................................................................................................................ 19

การวดการกระจายสมพทธ ................................................................................................................................................... 22

การวเคราะหขอมลเบองตน 1

ทบทวนคาเฉลย

คาเฉลยเลขคณต �� = 𝑥1+𝑥2+ … +𝑥𝑁

𝑁 =

∑ 𝑥𝑖

𝑁

กรณทขอมลเปนอนตรภาคชนทมชนเปนชวง จะสมมตให “แตละตวในชน มคาเทากบจดกงกลางชน”

ดงนน �� = ∑ 𝑓𝑖𝑑𝑖

𝑁 =

1710

60 = 28.5 คะแนน

แบบฝกหด 1. นกเรยนหองหนงสอบวชาคณตศาสตรไดคะแนนเฉลยเลขคณต เทากบ 40 คะแนน ถานกเรยนชายสอบไดคะแนน

เฉลยเลขคณต 35 คะแนนและนกเรยนหญงสอบไดคะแนนเฉลยเลขคณต 50 คะแนน อตราสวนของนกเรยนชายตอนกเรยนหญงเทากบเทาใด [PAT 1 (ม.ค. 53)/21]

2. ในการสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยนชนมธยมศกษาปท 6 มการแจกแจงดงน ถาคะแนนเฉลยเลขคณตของคะแนนสอบนเขยนในรป 𝑘 +

𝑎

𝑏

เมอ 𝑘, 𝑎 และ 𝑏 เปนจ านวนเตมบวก โดยท 𝑎 < 𝑏 และ

ห.ร.ม. ของ 𝑎 และ 𝑏 เทากบ 1

แลวคาของ 𝑘 + 𝑎 + 𝑏 เทากบเทาใด [PAT 1 (ต.ค. 55)/48]

คะแนน จ านวน (คน) 5 – 9 40

10 – 14 50 15 – 19 30 20 – 24 20

คะแนนสอบ จ านวนนกเรยน (𝑓) จดกงกลางชน (𝑥) ผลรวมคะแนน (𝑓𝑥) 1 - 10 3 5.5 3 × 5.5 = 16.5

11 - 20 12 15.5 12 × 15.5 = 186.0 21 - 30 15 25.5 15 × 25.5 = 382.5 31 - 40 24 35.5 24 × 35.5 = 852.0 41 - 50 6 45.5 6 × 45.5 = 273.0

𝑁 = ∑ 𝑓𝑖 = 60 ∑ 𝑓𝑖𝑥𝑖 = 1710.0

2 การวเคราะหขอมลเบองตน

3. ตารางตอไปน เปนขอมลเกยวกบอายของพนกงานจ านวน 50 คน

ถาอายต าสดของพนกงาน คอ 21 ป แลวคาเฉลยเลขคณตของขอมลชดนเทากบเทาใด [PAT 1 (ม.ค. 55)/22]

อายไมเกน (ป) จ านวน (คน) 25 9 30 17 35 24 40 37 45 43 50 50

การวเคราะหขอมลเบองตน 3

ทบทวนมธยฐาน

ขน 1 : ต าแหนงมธยฐาน =

𝑁+1

2

ขน 2 : หาคาโดยตองเรยงขอมลจากนอยไปมาก (หรอมากไปนอยกได) แลวจมนวไลนบจนกวาจะถงต าแหนงทตองการ ถาต าแหนงทค านวณได ไปตกอยตรงกลางระหวางขอมลสองคา ใหเอาสองคานนบวกกน หารสอง

กรณทขอมลเปนอนตรภาคชนทมชนเปนชวง ใหหาต าแหนงมธยฐานจากสตร 𝑁2

สรางชองความถสะสม หาชนท Med อย แลวใชสตร Med = 𝐿 + (𝑁

2 − 𝐹𝐿

𝑓𝑚) 𝐼

เชน

แบบฝกหด

1. ขอมลชดหนงม 6 จ านวน คอ 2, 3, 6, 11, 𝑎, 𝑏 ถาคาเฉลยเลขคณตของขอมลชดน เทากบ 8

และคามธยฐาน เทากบ 7 แลว |𝑎 − 𝑏| เทากบเทาใด [PAT 1 (ต.ค. 53)/46]

2. ขอมลชดหนงม 99 จ านวน เรยงล าดบจากนอยไปมากไดเปน 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥99 ถาคาเฉลยเลขคณตของขอมลชดน เทากบมธยฐาน แลวขอใดตอไปนถก [PAT 1 (ม.ค. 52)/40]

1.

49

1i

𝑥𝑖 =

99

51i

𝑥𝑖 2.

49

1i

(𝑥50 − 𝑥𝑖) =

99

51i

(𝑥50 − 𝑥𝑖)

3.

49

1i

|𝑥50 − 𝑥𝑖| =

99

51i

|𝑥50 − 𝑥𝑖| 4.

49

1i

(𝑥50 − 𝑥𝑖)2 =

99

51i

(𝑥50 − 𝑥𝑖)2

คะแนนสอบ จ านวนนกเรยน (𝑓) ความถสะสม (𝐹) 1 - 10 8 8 11 - 20 10 18 21 - 30 20 38 31 - 40 12 50

Med อยตวท 50

2 = 25 = ชนท 3

Med = 20.5 + (25−18

20) (10)

= 20.5 + 3.5

= 24

4 การวเคราะหขอมลเบองตน

3. สรางตารางแจกแจงความถของคะแนนการสอบของนกเรยนกลมหนง โดยใหความกวางของแตละอนตรภาคชนเปน 10 แลวปรากฏวามธยฐานของคะแนนสอบเทากบ 57 คะแนนซงอยในชวง 50 - 59 ถามนกเรยนทสอบไดคะแนนต ากวา 49.5 คะแนน อยจ านวน 12 คน และมนกเรยนไดคะแนนต ากวา 59.5 คะแนน อยจ านวน 20 คน จงหาวานกเรยนกลมนมทงหมดกคน [PAT 1 (ก.ค. 53)/44]

การวเคราะหขอมลเบองตน 5

ทบทวนฐานนยม ฐานนยม (Mode) คอ คาทขอมลท “ซ ามากสด”

กรณทขอมลเปนอนตรภาคชนทมชนเปนชวง จะมขนตอนดงน 1. หาอนตรภาคชนท Mode ตกอย โดยดจากชนทความถสงสด

2. ค านวณ “ผลตางความถ” ระหวางชน Mode กบชนทอยตดกบ Mode ทงชนบนและชนลาง 𝑑1 = ความถชน Mode − ความถชนต ากวา

𝑑2 = ความถชน Mode − ความถชนสงกวา

3. ใชสตร Mode = 𝐿 + (𝑑1

𝑑1+𝑑2) 𝐼

เชน

กรณทอนตรภาคชน กวางไมเทากน ใหใช ความหนาแนนของชน = ความถ (𝑓)

ความกวางชน (𝐼) มาวดความนยม และใชในการ

ค านวณ 𝑑 แทนความถ 𝑓 เชน

แบบฝกหด 1. ก าหนดใหขอมลชดหนงมดงน 2 , 4 , 3 , 5 , 12 , 5 , 18 , 6 , 4 , 2 , 9 , 4

ขอใดตอไปนถกตอง [PAT 1 (ม.ค. 56)/24] 1. มธยฐานนอยกวาฐานนยม 2. คาเฉลยเลขคณตมากกวามธยฐาน

3. คาเฉลยเลขคณตเทากบมธยฐาน 4. ฐานนยมมากกวาคาเฉลยเลขคณต

คะแนนสอบ จ านวนนกเรยน (𝑓) 1 - 10 8

11 - 20 10 21 - 30 20 31 - 40 12

ชนท 3 ความถมากสด → Mode อยชนท 3

𝑑1 = 20 − 10 = 10 , 𝑑2 = 20 − 12 = 8 Mode = 20.5 + (

10

10+8) 10

= 20.5 + 5.56

= 26.06

คะแนนสอบ จ านวนนกเรยน (𝑓) ความกวางชน (𝐼) ความหนาแนน 𝑓𝐼

1 – 8 8 8 1 9 – 10 10 2 5

11 – 20 20 10 2 16 – 35 12 15 0.8

ชนท 2 หนาแนนสด = 5 → Mode อยชนท 2

𝐿 = 8.5 , 𝐼 = 2

𝑑1 = 5 – 1 = 4 𝑑2 = 5 – 2 = 3

→ Mode = 8.5 + (4

4+3) 2

= 8.5 + 1.14

= 9.64

หนาแนนสด

6 การวเคราะหขอมลเบองตน

2. ขอมลชดหนงประกอบดวยจ านวน 11, 3, 6, 3, 5, 3, 𝑥 ให 𝑆 เปนเซตของ 𝑥 ทเปนไปไดทงหมด ซงท าให คาเฉลยเลขคณต มธยฐาน และฐานนยม ของขอมลชดน มคาแตกตางกนทงหมด และ ในบรรดาคาเฉลยเลขคณต มธยฐาน และฐานนยม เหลานน ามาจดเรยงกนใหมจากนอยไปมากแลวเปนล าดบเลขคณต จงหาผลบวกของสมาชกทงหมดในเซต 𝑆 [PAT 1 (ม.ค. 55)/42]

3. ถาตารางแจกแจงความถแสดงน าหนกของเดกจ านวน 40 คน เปนดงน น าหนก (กโลกรม) จ านวน

9 – 11 15 12 – 14 5 15 – 17 5 18 – 20 10 21 – 23 5

ถา �� แทนคาเฉลยของน าหนกเดกกลมน แลวขอใดตอไปนถก [PAT 1 (ม.ค. 52)/42] 1. �� = 17.444 และมธยฐานนอยกวาฐานนยม

2. �� = 14.875 และมธยฐานนอยกวาฐานนยม

3. �� = 17.444 และมธยฐานมากกวาฐานนยม

4. �� = 14.875 และมธยฐานมากกวาฐานนยม

4. เงนเดอนของพนกงานจ านวน 50 คนของบรษทแหงหนงมการแจกแจงความถ ดงน

ขอใดถกตองบาง [PAT 1 (ม.ค. 57)/25]

1. ฐานนยมของเงนเดอนเทากบ 39,999.50 บาท

2. มธยฐานของเงนเดอนเทากบ 37,999.50 บาท

เงนเดอน (บาท) จ านวนพนกงาน (คน) 10,000 – 19,999 5 20,000 – 29,999 10 30,000 – 49,999 25 50,000 – 59,999 10

การวเคราะหขอมลเบองตน 7

ทบทวนการวดต าแหนงขอมล

ในการหาคาของ ควอไทล เดไซล และ เปอรเซนไทล จะมขนตอนดงน 1. หา “ต าแหนง”

หมายเหต : ในกรณท 𝑁 + 1 หารดวย 4 , 10 , 100 ไมลงตว อาจอนโลมใหใช 𝑁 แบบไม + 1 แทนได

2. เอาต าแหนงทได ไปหา “คา” โดยตองเรยงขอมลจากนอยไปมาก นบจนถงต าแหนงทตองการ แลวตอบคาขอมล ณ ต าแหนงนน

ถาต าแหนงไมเปนจ านวนเตม ใหประมาณเอาจากสองตวทครอมต าแหนงนนอย เชน ถาตองการหาคาขอมล ตวท 5.62 จะหาไดดงน

เราตองหดใชสตรนใหคลอง เชน ตวท 10.3 = ตวท 10 + 0.3 × (ตวท 11 − ตวท 10)

ตวท 8.03 = ตวท 8 + 0.03 × (ตวท 9 − ตวท 8) ตวท 3.45 = ตวท 3 + 0.45 × (ตวท 4 − ตวท 3) เปนตน

กรณทขอมลเปนอนตรภาคชนทมชนเปนชวง ใหหาต าแหนงมธยฐานจากสตร

สรางชองความถสะสม หาชนของต าแหนงทตองการ แลวใชสตร 𝐿 + (ต าแหนง − 𝐹𝐿

𝑓𝑥) 𝐼

แบบฝกหด

1. ในการสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยน 2 หอง ซงท าคะแนนเฉลยได 60 คะแนน โดยหองแรกมนกเรยนจ านวน 40 คน และหองทสองมนกเรยนจ านวน 30 คน ถาคะแนนสอบในหองแรก เปอรเซนไทลท 50 มคา 64 คะแนนและฐานนยมมคาเปน 66 คะแนน แลวคะแนนเฉลยของนกเรยนหองทสองมคาเทากบเทาใด [PAT 1 (ต.ค. 53)/45]

Q𝑟 → 𝑟

4 ∙ (𝑁 + 1) D𝑟 →

𝑟

10 ∙ (𝑁 + 1) P𝑟 →

𝑟

100 ∙ (𝑁 + 1)

ขอมลตวท 5.62 = ตวท 5 + 0.62 × (ตวท 6 − ตวท 5)

Q𝑟 → 𝑟

4 ∙ (𝑁) D𝑟 →

𝑟

10 ∙ (𝑁) P𝑟 →

𝑟

100 ∙ (𝑁)

8 การวเคราะหขอมลเบองตน

2. ขอมลชดหนงม 5 จ านวนและมคาเฉลยเลขคณตเทากบ 12

ถาควอไทลท 1 และ 3 ของขอมลชดนมคาเทากบ 5 และ 20 ตามล าดบ แลว เดไซลท 5 ของขอมลชดนมคาเทาใด

[PAT 1 (ต.ค. 52)/2-23]

3. จากการแจกแจงขอมลเงนเดอนของพนกงานบรษทแหงหนงพบวา เดไซลท 1 3 5 7 9

เงนเดอน (บาท) 10,000 15,000 20,000 25,000 40,000

ถานายเอกและนายยศมเงนเดอนรวมกนเทากบ 40,000 บาท และมจ านวนพนกงานทไดเงนเดอนมากกวานายยศอยประมาณ 30% ของพนกงานทงหมด แลวเปอรเซนตของจ านวนพนกงานทไดเงนเดอนนอยกวานายเอกเทากบเทาใด [PAT 1 (ก.ค. 52)/42]

4. จากตารางแจกแจงความถตอไปน

ถา 𝑎 เปนคาเฉลยเลขคณตของคะแนนสอบ และ 𝑏 เปน 𝑃88

จงหาคาของ |𝑎 − 𝑏| [PAT 1 (ธ.ค. 54)/21]

คะแนน ความถ 10 - 14 2 15 - 19 5 20 - 24 8 25 - 29 6 30 - 34 4

การวเคราะหขอมลเบองตน 9

5. ก าหนดตารางแจกแจงความถแสดงความสงของนกเรยนในโรงเรยนแหงหนง เปนดงน ความสง (เซนตเมตร) จ านวนนกเรยน (คน)

120 - 129 10 130 - 139 20 140 - 149 40 150 - 159 50 160 - 169 30

ขอใดตอไปนถก [PAT 1 (ก.ค. 52)/41]

1. มธยฐานของความสงมคานอยกวา 149 เซนตเมตร 2. ฐานนยมของความสงมคานอยกวา 147 เซนตเมตร 3. ควอไทลท 3 ของความสงมคามากกวา 150 เซนตเมตร 4. เปอรเซนไทลท 20 ของความสงมคามากกวา 145 เซนตเมตร

6. นกเรยนกลมหนง จ านวน 50 คน มสวนสงแสดงดงตารางตอไปน

ให 𝑎 เปนคาเฉลยเลขคณตของสวนสง และ

𝑏 เปนสวนสง โดยทมจ านวนนกเรยน 75% ของนกเรยนทงหมดทมสวนสงนอยกวา 𝑏

คาของ 𝑎 และ 𝑏 เทากบเทาใด [PAT 1 (ต.ค. 53)/21]

7. โรงงานแหงหนงมพนกงานจ านวน 40 คน และตารางแจกแจงความถสะสมของอายพนกงานเปนดงน อาย (ป) ความถสะสม

11 – 20 21 - 30 31 - 40 41 - 50 51 - 60

6 14 26 36 40

ถาผจดการมอาย 48.5 ป แลว พนกงานทมอายระหวาง คามธยฐานของอายพนกงาน และ อายของผจดการ มจ านวนประมาณกเปอรเซนต [A-NET 49/1-23]

สวนสง(เซนตเมตร) จ านวนนกเรยน(คน) 156 - 160 6 161 - 165 15 166 - 170 21 171 - 175 8

10 การวเคราะหขอมลเบองตน

8. ในการสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยนหองหนง มนกเรยนจ านวน 30 คน ปรากฏวามนกเรยน 17 คน สอบไดคะแนนในชวง 10 – 39 คะแนน มนกเรยน 10 คน สอบไดคะแนนในชวง 40 – 49 คะแนน และมนกเรยน 3 คน สอบไดคะแนนในชวง 50 – 59 คะแนน ถาแบงคะแนนเปนเกรด 3 ระดบ คอ เกรด A เกรด B และเกรด C โดยท 10% ของนกเรยนไดเกรด A และ 20% ของนกเรยนไดเกรด B แลว คะแนนสงสดของเกรด C เทากบกคะแนน

[PAT 1 (ม.ค. 55)/44]

9. ในการสอบวชาคณตศาสตรคะแนนเตม 60 คะแนน มนกเรยนเขาสอบ 30 คน นาย ก. เปนนกเรยนคนหนงทเขาสอบในครงน นาย ก. สอบได 53 คะแนนและมจ านวนนกเรยนทมคะแนนสอบนอยกวา 53 คะแนนอย 27 คน ถามการจดกลมคะแนนสอบเปนชวงคะแนนโดยมอนตรภาคชนกวางเทาๆกน คะแนนสอบของนาย ก. อยในชวงคะแนน 51 - 60 จ านวนนกเรยนทสอบไดคะแนนในชวงคะแนน 51 - 60 น มทงหมดกคน [PAT 1 (ม.ค. 54)/23]

การวเคราะหขอมลเบองตน 11

ทบทวนการวดการกระจายสมบรณ

พสย (Range) = ขอมลมากสด − ขอมลนอยสด

สวนเบยงเบนมาตรฐาน (Standard Deviation: S.D.) หรอเรยกสนๆวา 𝑠 สตรส าหรบหา 𝑠 จะม 2 สตร คอ

ความแปรปรวน 𝑣 = 𝑠2 (หรอกคอ 𝑠 แบบทไมตองถอด √ นนเอง)

ความแปรปรวนรวม

ถา ��1 = ��2 แลว จะได คาเฉลยรวม ��รวม = ��1 = ��2

แตถา ��1 ≠ ��2 แลว จะได คาเฉลยรวม ��รวม = 𝑁1��1+𝑁2��2

𝑁1+𝑁2

แบบฝกหด 1. จากการส ารวจน าหนกของนกเรยนกลมหนงจ านวน 4 คน ม 2 คน น าหนกเทากนและหนกนอยกวาอก 2 คนทเหลอ

ถาฐานนยม มธยฐานและพสยของน าหนกของนกเรยน 4 คนนคอ 45, 46 และ 6 กโลกรม ตามล าดบ แลวความแปรปรวนของน าหนกของนกเรยน 4 คนนเทากบเทาใด [PAT 1 (ม.ค. 53)/43]

𝑠 = √∑(𝑥𝑖−��)2

𝑁 𝑠 = √

∑ 𝑥𝑖2

𝑁− ��2

ความแปรปรวนรวม 𝑆รวม2 = 𝑁1𝑆1

2+𝑁2𝑆22

𝑁1+𝑁2

ความแปรปรวนรวม 𝑆รวม2 = 𝑁1(𝑆1

2+(��1−��รวม)2)+𝑁2(𝑆22+(��2−��รวม)2)

𝑁1+𝑁2

12 การวเคราะหขอมลเบองตน

2. ขอมลชดหนงม 5 จ านวน มมธยฐาน = ฐานนยม = 15 คาเฉลยเลขคณตเทากบ 16 ควอไทลท 1 เทากบ 14

และพสยเทากบ 7 จงหาความแปรปรวนของขอมลชดน [PAT 1 (ธ.ค. 54)/35]

3. ขอมลชดหนงเรยงจากนอยไปหามาก ดงน 𝑎, 3, 5, 7, 𝑏

ถาขอมลชดนมคาเฉลยเลขคณตเทากบ 7 และ สวนเบยงเบนมาตรฐานเทากบ 2√10

แลวคาของ 2𝑎 + 𝑏 เทากบเทาใด [PAT 1 (ม.ค. 57)/40]

4. ขอมลชดหนงมคาสงเกต (𝑥) และรอยละของความถสะสมสมพทธ แสดงดงตารางตอไปน

เมอ 𝑎 เปนจ านวนจรง ถาขอมลชดนมคาเฉลยเลขคณตเทากบ 4 แลวความแปรปรวนของขอมลชดนเทากบเทาใด

[PAT 1 (เม.ย. 57)/40]

คาสงเกต (𝑥) รอยละของความถสะสมสมพทธ 1 20 2 40 𝑎 70 6 90

10 100

การวเคราะหขอมลเบองตน 13

5. ขอมลชดหนงมการแจกแจงปกต โดยมมธยฐานเทากบ 12

สวนเบยงเบนมาตรฐาน เทากบ 8 และ N

i 1 (𝑥𝑖 − 10)2 = 5440 จงหาคาของ 𝑁 [PAT 1 (ธ.ค. 54)/48]

6. ถาความยาวรศมของวงกลม 10 วงมคาเฉลยเลขคณตเทากบ 3 และมความแปรปรวนเทากบ 5 แลวผลรวมของพนทวงกลมทง 10 วงน มคาเทากบเทาใด [PAT 1 (ก.ค. 52)/40]

7. คาเฉลยเลขคณตของคะแนนสอบของนกเรยนกลมหนงเทากบ 72 คะแนน ครามแปรปรวน (ประชากร) เทากบ 600 ถามนกเรยนมาเพมอก 1 คน ซงสอบได 60 คะแนน ท าใหคาเฉลยเปลยนไปเปน 70 คะแนน ความแปรปรวนของขอมลชดใหมเทากบเทาใด [PAT 1 (ม.ค. 53)/42]

14 การวเคราะหขอมลเบองตน

8. มนกเรยน 5 คน รวมกนบรจาคเงน ไดเงนรวม 360 บาท ความแปรปรวน(ประชากร) เทากบ 660 ถามนกเรยนเพมอก 1 คน มารวมบรจาคเปนเงน 60 บาท ความแปรปรวน จะเพมขนหรอลดลงเทาใด [PAT 1 (ก.ค. 53)/21]

9. คะแนนสอบวชาคณตศาสตร ของนกเรยนจ านวน 30 คน มคาเฉลยเลขคณตและสวนเบยงเบนมาตรฐานเทากบ 25

คะแนนและ 5 คะแนน ตามล าดบ ถาน าคะแนนของนายสายชลและนางสาวฟาซงสอบได 20 คะแนนและ 30 คะแนน ตามล าดบ มารวมดวยแลวสวนเบยงเบนมาตรฐานจะเทากบเทาใด [PAT 1 (ม.ค. 55)/20]

การวเคราะหขอมลเบองตน 15

10. ขอใดตอไปนถกตองบาง [PAT 1 (ต.ค. 53)/23] 1. ในการสอบของนกเรยน 3 คน พบวาคาเฉลยเลขคณตของคะแนนสอบเทากบ 80 คะแนน คามธยฐาน เทากบ

75 คะแนน และ พสย เทากบ 25 คะแนน คะแนนสอบของนกเรยนทไดคะแนนต าสดเทากบ 70 คะแนน

2. ขอมลชดทหนงม 5 จ านวน คอ 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , 𝑥4 , 𝑥5 และขอมลชดทสองม 4 จ านวน คอ 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 ,

𝑥4 โดยทคาเฉลยเลขคณตของขอมลทงสองชดเทากน ถา 𝑎 และ 𝑏 เปนสวนเบยงเบนมาตรฐานของขอมลชดท

หนง และชดทสองตามล าดบ แลว 𝑏𝑎

=√5

2

11. ก าหนดให 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑛 เปนขอมลชดท 1 ซงมคาเฉลยเลขคณตเทากบ 6 และสวนเบยงเบนมาตรฐาน เทากบ 2 ให 𝑦1, 𝑦2, 𝑦3, … , 𝑦𝑛 เปนขอมลชดท 2 โดยท 𝑦𝑖 = 𝑎𝑥𝑖 + 𝑏 เมอ 𝑖 = 1, 2, 3, … , 𝑛 และ 𝑎, 𝑏 เปนจ านวนจรง และ 𝑎 > 0 ถาน าขอมลทงสองชดมารวมกน 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛, 𝑦1, 𝑦2, … , 𝑦𝑛 พบวาคาเฉลยเลขคณตเทากบ 7 และความแปรปรวนเทากบ 21 แลวคาของ 𝑎2 + 𝑏2 เทากบเทาใด [PAT 1 (เม.ย. 57)/39]

16 การวเคราะหขอมลเบองตน

สวนเบยงเบนควอไทล

ในคณตศาสตรพนฐาน เราไดเรยนวธวดการกระจายของขอมล ดวย พสย และ สวนเบยงเบนมาตรฐานไปแลว

ในคณตศาสตรเพมเตม เราจะไดเรยนเพมอก 2 คา คอ สวนเบยงเบนควอไทล และสวนเบยงเบนเฉลย

สวนเบยงเบนควอไทล (Quatile Deviation: Q.D.) คอ คาทบอกวา ควอไทลหนงๆ กวางประมาณเทาไหร ซงหาไดจากสตร

ตวอยาง จงหาสวนเบยงเบนควอไทล ของคะแนนสอบวชาคณตศาสตร ซงมขอมลดงน

วธท า ตองหา Q1 กบ Q3 มาเขาสตร ดงนน ตองเรยงขอมลจากนอยไปมากกอน

Q1 อยตวท 14

∙ (10 + 1) = 2.75 = ตวท 2 + 0.75 × (ตวท 3 − ตวท 2)

= 15 + 0.75 × ( 20 − 15 ) = 18.75

Q3 อยตวท 34

∙ (10 + 1) = 8.25 = ตวท 8 + 0.25 × (ตวท 9 − ตวท 8)

= 80 + 0.25 × ( 82 − 80 ) = 80.5

ดงนน Q.D. = 80.5−18.75

2 = 30.875 คะแนน #

ตวอยาง จงหาสวนเบยงเบนควอไทลของอายคนกลมหนง ซงมขอมลดงน

วธท า ความถสะสมชองสดทาย = 40 ดงนน 𝑁 = 40

Q1 อยตวท 14

∙ (40) = 10 → ชนท 2 → Q1 = 19.5 + (10−8

13) (10) = 21.04

Q3 อยตวท 34

∙ (40) = 30 → ชนท 3 → Q3 = 29.5 + (30−21

15) (10) = 35.5

ดงนน Q.D. = 35.5−21.04

2 = 7.23 ป #

แบบฝกหด

1. จงหาสวนเบยงเบนควอไทลของขอมลตอไปน 1.

อาย (ป) 10-19 20-29 30-39 40-49

จ านวน (คน) 8 13 15 4

ความถสะสม 8 21 36 40

Q.D. = Q3−Q1

2

30 95 21 80 20 82 15 75 12 32

12 15 20 21 30 32 75 80 82 95

→ ทงหมด 10 ตว

21 25 29 32 38 44 44 51

การวเคราะหขอมลเบองตน 17

2.

2. ถาตารางแจกแจงความถของคะแนนวชาหนงของนกเรยน 20 คน ของโรงเรยนแหงหนงเปนดงน

ขอใดถกตองบาง 1. คาเฉลยเลขคณตมากกวาคาฐานนยม

2. คาการกระจายของคะแนนทวด โดยสวนเบยงเบนควอไทลเทากบ 10.5 คะแนน

3. ก าหนดขอมล 10 จ านวน ดงน 30 32 28 35 42 45 40 48 50 65

ขอใดถกตองบาง [PAT 1 (เม.ย. 57)/25] 1. ถา D7 แทนขอมลทเปนเดไซลท 7 และ M แทนคามธยฐานของขอมล แลว D7 – M เทากบ 6.5

2. สวนเบยงเบนควอไทล เทากบ 8.6

คะแนนสอบ 1-10 11-20 21-30 31-40

จ านวนนกเรยน 8 12 8 4

คะแนน 31 - 39 40 - 48 49 - 57 58 - 66 67 - 75 76 - 84 85 - 93

จน. นกเรยน 2 3 5 4 3 2 1

18 การวเคราะหขอมลเบองตน

4. ก าหนดตารางแสดงเงนคาอาหารกลางวนทนกเรยนหองหนงไดรบจากผปกครองดงน คาอาหารกลางวน (บาท) จ านวนนกเรยน (คน)

29 - 31 32 - 34 35 - 37 38 - 40 41 - 43

1 4 5 5 5

คาเฉลยเลขคณต คามธยฐาน และสวนเบยงเบนควอรไทล ตามล าดบ มคาเทากบเทาใด [A-NET 51/1-21]

การวเคราะหขอมลเบองตน 19

สวนเบยงเบนเฉลย สวนเบยงเบนเฉลย (Mean Deviation: M.D.) คอ คาทบอกวา ขอมลแตละตว หางจาก �� โดยเฉลยเทาไหร ซงหาไดจากสตร

สตรน อานสตรเขาใจยากนดหนอย ดจากตวอยางจะเขาใจกวา เชน สมมตวาตองการหาสวนเบยงเบนเฉลยของขอมล 2 , 3 , 4 , 5 , 7 , 9 จะมขนตอนดงน

1. หา �� จะได �� = 2+3+4+5+7+9

6 = 5

2. หาผลตางของขอมลแตละตว กบ �� ไดเปน 𝑥𝑖 − ��

เปลยนเครองหมายผลตางทไดใหเปนบวก ไดเปน |𝑥𝑖 − ��|

3. เอาผลในขอ 2 มาหาคาเฉลย แลวตอบ

M.D. = 3+2+1+0+2+4

6 =

12

6 = 2

ในกรณทโจทยใหตารางแบบมอนตรภาคชนเปนชวง ใหสมมตวาขอมลทกตวในชน มคาประมาณจดกงกลางชน

เชน ถาจะหาสวนเบยงเบนเฉลยของ

เราจะสมมตใหอายในแตละชน มคาเทากบจดกงกลางชน แลวลมอนตรภาคชนของเกาไปซะ ขนแรก ตองหา �� ออกมากอน

จะได �� = 284

20 = 14.2

ขนถดไป หา |𝑥𝑖 − ��| แลวเฉลย

ดงนน M.D. = 126

20 = 6.3 #

4

2 3 4 5 7 9

�� = 5

−3 −2 −1 0 2

อาย (ป) 0 - 6 7 - 13 14 - 20 21 - 27

จ านวน (คน) 3 7 5 5

M.D. = ∑|𝑥𝑖−��|

𝑁

จดกงกลางชน (𝑥) จ านวนคน (𝑓) รวมในชน

3 3 9 10 7 70 17 5 85 24 5 120

20 284

จดกงกลางชน (𝑥) |𝑥𝑖 − 14.2| จ านวนคน (𝑓) รวมในชน 3 11.2 3 33.6 10 4.2 7 29.4 17 2.8 5 14.0 24 9.8 5 49.0

20 126.0

ได |𝑥𝑖 − ��| คอ 3 , 2 , 1 , 0 , 2 , 4

20 การวเคราะหขอมลเบองตน

แบบฝกหด

1. จงหาสวนเบยงเบนเฉลยของขอมลตอไปน 1. 2 , 3 , 3 , 5 , 7 2.

2. อณหภมหองท างาน 4 หอง เมอวนจนทรตงไวท 27, 26, 25 และ 24 องศาเซลเซยส และไดปรบอหภมใหต าลง 3

องศาเซลเซยส ส าหรบทกหองในวนองคาร ขอใดถกตองบาง 1. สวนเบยงเบนมาตรฐานของอณหภมหองในวนจนทรมคาต ากวาวนองคาร 2. สวนเบยงเบนเฉลยของอณหภมหองในวนจนทรเทากบวนองคาร และมคาเทากบ 1 องศาเซลเซยส

3. โรงเรยนอนบาลแหงหนงมนกเรยน 80 คน โดยการแจกแจงของอายนกเรยนเปนดงตาราง

อาย (ป) 3.5 4 4.5 5 5.5 6

จ านวนนกเรยน (คน) 𝑎 15 10 20 𝑏 5

ถาคาเฉลยของอายนกเรยนมคา 4.5 ป แลวสวนเบยงเบนเฉลยของอายนกเรยนมคาเทากบเทาใด

[PAT 1 (ม.ค. 52)/41]

คะแนนสอบ จ านวนนกเรยน (คน) 1 - 3 4 - 6 7 - 9 10 - 12

1 5 2 1

การวเคราะหขอมลเบองตน 21

4. ขอมลชดหนงเรยงจากนอยไปมากเปนดงน 1 , 4 , 𝑥 , 𝑦 , 9 , 10

ถามธยฐานของขอมลชดนเทากบคาเฉลยเลขคณต และสวนเบยงเบนเฉลยของขอมลชดนเทากบ 83

แลว 𝑦 − 𝑥 มคาเทาใด [PAT 1 (ต.ค. 52)/2-22]

5. ตารางตอไปนเปนคะแนนสอบวชาหนงของนกเรยน 40 คน คะแนน จ านวนนกเรยน (𝑓𝑖)

10 - 14 15 - 19 20 - 24 25 - 29 30 - 34 35 - 39

4 6 𝑎 8 4 6

โดยมคะแนนเฉลย (𝜇) เทากบ 24.5 และ

3

1i

𝑓𝑖(𝑥𝑖 − 𝜇) = −125

สวนเบยงเบนควอไทลเทา และ สวนเบยงเบนเฉลย มคาเทาใด [A-NET 50/1-23]

22 การวเคราะหขอมลเบองตน

การวดการกระจายสมพทธ ในการเปรยบเทยบการกระจายของขอมล 2 กลม “ความมากของตวเลข” จะมผลในการเปรยบเทยบ

เชน ขอมลชดท 1: 1 , 3 , 4 , 6 , 7

ขอมลชดท 2: 991 , 993 , 994 , 996 , 997 คนสวนใหญจะรสกวา ขอมลชดท 2 เกาะกลมกนมากกวา

หวขอทแลวใชชอวา การวดการกระจาย “สมบรณ” ซงเปนคาทใชเทยบกบใครไมได

ถาเราตองการเทยบการกระจายของขอมล 2 กลม จะตองน าตวเลขแบบสมบรณ มา “ปรบตามขนาดขอมล” กอน

ตวเลขทปรบตามขนาดเรยบรอยแลว จะมค าวา “สมประสทธ” เตมหนาชอเดม จงสามารถน าไปเทยบกนกบขอมลอนได

สตรการวดการกระจายสมพทธ มดงน

หมายเหต : สมประสทธของ S.D. จะมชอเรยกอกชอวา “สมประสทธการแปรผน”

ตวอยาง จงใชสมประสทธของพสย ในการพจารณาวาคะแนนสอบหองไหน กระจายมากกวา

วธท า สมประสทธของพสย หอง 5/1 =

89−11

89+11 =

78

100 = 0.78

สมประสทธของพสย หอง 5/2 = 95−17

95+17 =

78

112 = 0.70

ดงนน หอง 5/1 กระจายมากกวา #

ตวอยาง จงหาสมประสทธการแปรผน ของขอมล 4 , 5 , 6 , 7 , 8

วธท า หา �� กอน จะได �� = 4+5+6+7+8

5 = 6

จะได 𝑠 = √(4−6)2+(5−6)2+(6−6)2+(7−6)2+(8−6)2

5

= √22+12+02+12+22

5 = √2

และสดทาย จะได สมประสทธการแปรผน = 𝑠

�� = √

2

6 #

45 59 18 71 27 42 89 11 25 72 61 33 82 64 71

คะแนนสอบหอง 5/1 17 51 26 84 95 20 69 73 55 48 19 45 33 67 61

คะแนนสอบหอง 5/2

สมประสทธของพสย = 𝑥𝑚𝑎𝑥−𝑥𝑚𝑖𝑛

𝑥𝑚𝑎𝑥+𝑥𝑚𝑖𝑛

สมประสทธของ Q.D. = Q3−Q1

Q3+Q1

สมประสทธของ M.D. = M.D.

��

สมประสทธของ S.D. = S.D.

��

การวเคราะหขอมลเบองตน 23

แบบฝกหด

1. จงหาสมประสทธของสวนเบยงเบนเฉลย ของขอมลชดหนง ซงประกอบดวย 2 , 9 , 11 , 13 , 15

2. ขอมลชดหนง มสมประสทธของสวนเบยงเบนมาตรฐานเทากบ 7.5 สมประสทธของสวนเบยงเบนเฉลยเทากบ 10

ถาสวนเบยงเบนมาตรฐานเทากบ 15 แลว จงหาสวนเบยงเบนเฉลย

3. น าขอมล 3 จ านวนทแตกตางกน มารวมกนมผลรวมเทากบ 195

ถาขอมลชดนมคามธยฐานและสมประสทธของพสยเทากบ 60 และ 0.2 ตามล าดบ

แลวความแปรปรวนของขอมลชดนเทากบเทาใด [PAT 1 (ต.ค. 55)/46]

24 การวเคราะหขอมลเบองตน

4. ถาขอมลชดหนงมสมประสทธของสวนเบยงเบนเฉลยเทากบ 0.12 สวนเบยงเบนเฉลยเทากบ 6 และสวนเบยงเบนมาตรฐานเทากบ 10 แลว สมประสทธของการแปรผนมคาเทากบเทาใด [A-NET 49/2-5]

5. พจารณาขอมลชดหนงซงเรยงล าดบจากนอยไปมาก ดงตอไปน

8 𝑎 12 17 22 𝑏 26 ถาคาเฉลยเลขคณตเทากบ 17 และควอไทลท 1 เทากบ 10 แลว สมประสทธของสวนเบยงเบนเฉลย

และสมประสทธของสวนเบยงเบนควอรไทล ตามล าดบ เทากบเทาใด [A-NET 51/1-22]

6. ในการทดสอบวชาคณตศาสตรพบวา คะแนนสอบของนกเรยนมการแจกแจงปกต สวนเบยงเบนควอไทลเทากบ 6

สมประสทธควอไทลเทากบ 0.6 คะแนนเฉลยของการสอบครงนมคาเทากบเทาใด [A-NET 50/2-9]

การวเคราะหขอมลเบองตน 25

7. นกเรยนชนมธยมศกษาปท 6 จ านวน 20 คน แบงเปน 2 กลมๆละ 10 คน ท าแบบทดสอบวดความถนดฉบบหนงมคะแนนเตม 20 คะแนน ไดคะแนนของนกเรยนแตละคนดงน

ขอใดตอไปนถกตองบาง [PAT 1 (ม.ค. 55)/23] 1. ความสามารถของนกเรยนกลมท 1 มความแตกตางกนมากกวานกเรยนกลมท 2

2. สมประสทธของสวนเบยงเบนควอรไทลของกลมท 1 และกลมท 2 เทากบ 5

14 และ 3

14 ตามล าดบ

8. ครอบครวหนงมสมาชก 6 คน มอายเฉลย 34 ป สวนเบยงเบนมาตรฐานของอายเทากบ 8 ป อก 6 ปตอมามญาตสองคนมาขออยอาศยดวย โดยทญาตทงสองคนนมอายเทากน เทากบอายเฉลยของคนทง 6 คนในครอบครวนพอด สมประสทธการแปรผนของอายของคนทง 8 คนนเทากบเทาใด [PAT 1 (ม.ค. 56)/23]

กลมท 1 7 6 5 8 3 6 9 7 6 10

กลมท 2 6 9 15 12 1 8 7 7 5 6

26 การวเคราะหขอมลเบองตน

9. ขอใดตอไปนถกตองบาง [PAT 1 (ม.ค. 57)/24] 1. ถาขอมลชดหนงมสวนเบยงเบนควอไทลเทากบ 20 และสมประสทธของสวนเบยงเบนควอไทลเทากบ 2

3

แลวสรปไดวารอยละ 50 ของขอมลชดนมคาระหวาง 10 กบ 50

2. ในการสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยนหองหนง มนกเรยนชาย 20 คน และนกเรยนหญง 40 คน นกเรยนชายไดคะแนนสอบคนละ 32 คะแนน สวนคะแนนสอบของนกเรยนหญง มคาเฉลยเลขคณตของคะแนนสอบเทากบ 20 คะแนน และความแปรปรวนของคะแนนสอบเทากบ 90 สรปวาความแปรปรวนของคะแนนสอบของนกเรยนหองนเทากบ 36 คะแนน

การวเคราะหขอมลเบองตน 27

ทบทวนคาเฉลย

1. 2 : 1 2. 28 3. 35

ทบทวนมธยฐาน

1. 10 2. 3 3. 36

ทบทวนฐานนยม

1. 2 2. 22 3. 4 4. 1, 2

ทบทวนการวดต าแหนงขอมล

1. 56 2. 10 3. 30% 4. 7.75

5. 3 6. 166.1, 169.43 7. 35% 8. 43.5

9. 4

ทบทวนการวดการกระจายสมบรณ

1. 6 2. 5.6 3. 21 4. 7

5. 80 6. 140𝜋 7. 520 8. ลดลง 90

9. 5 10. 1, 2 11. 109

สวนเบยงเบนควอไทล

1. 1. 9 2. 7.5

2. 1, 2

�� = 2(−2)+3(−1)+5(0)+4(1)+3(2)+2(3)+1(4)

2+3+5+4+3+2+1 =

13

20 = 0.65 → �� = 0.65×9 + 53 = 58.85

Mode อยในชน 49 – 57 → 1 ถก

Q1 อยตวท 20(1)

4 = 5 → ตวสดทายของชนท 2 พอด → Q1 = ขอบบนชนท 2 = 48.5

Q3 อยตวท 20(3)

4 = 15 → ตวแรกของชน 67 – 75 → Q3 = 66.5 +

1

3(9) = 69.5

QD = 69.5−48.5

2 = 10.5 → 2 ถก

3. - 4. 37.35, 37.5, 3

สวนเบยงเบนเฉลย

1. 1. 1.6 2. 2

28 การวเคราะหขอมลเบองตน

2. 2

การเพมหรอลดขอมลเทาๆกนทกตว จะไมท าใหการกระจายเปลยน → 1 ผด

�� = 25.5 → MD = 1.5+0.5+0.5+1.5

4 = 1 → 2 ถก

3. 11

16 4. 2 5. 5, 6.25

การวดการกระจายสมพทธ

1. 0.36 2. 20 3. 134 4. 0.2

5. 0.35, 0.41 6. 10 7. - 8. √3

10

9. 1

เครดต

ขอบคณ คณ ฐาปกรณ ฐานวฒนกจ

และ คณ Gunta Serikijcharoen

และ คณ Piyawat Kantagowit ทชวยตรวจสอบความถกตองของเอกสารครบ