เอกสารแนะแนวทางที่ 1€¦ · Web viewม เป...

1

เอกสารแนะแนวทางท 1รายวชาคณตศาสตรพนฐาน (ค 32102) เรอง ลำาดบ*****************************************************

***************************ความหมายของลำาดบ1) ใหนกเรยนพจารณาความสมพนธของแบบรปตอไปน

1.1

รปท 1 รปท 2 รปท 3 รปท 4 รปท 5ในแบบรปขางตนพบวา ลำาดบของรปและจำานวนจดในรป มความสมพนธกนดงน

รปท 1 2 3 4 5จำานวนจด

จากตารางความสมพนธของลำาดบของรปและจำานวนจดคอ …………………………………ความสมพนธทไดเปนฟงกชนหรอไม…………………………………………………………..มโดเมนคอ และมเรนจคอ …………………………………

……………………………………1.2

1 2 3 4

ในแบบรปขางตน ลำาดบของรปและจำานวนพนทในรปมความสมพนธกนดงน

รปท 1 2 3 4จำานวน

พนท(ตารางหนวย)

เอกสารประกอบการเรยน รายวชา ค 32102 คณตศาสตรพนฐาน เรองลำาดบ และอนกรม (ครจตร)

2

จากตารางความสมพนธของลำาดบของรปและจำานวนพนทคอ …………………………………เปนฟงกขนหรอไม ………………………….มโดเมนคอ และมเรนจคอ………………………………… ………………………………

2) ใหนกเรยนพจารณาแบบรปของจำานวน 2, 5, 8, 11, …, 3n – 1, …ในแบบรปขางตน เขยนความสมพนธระหวางลำาดบทของจำานวน และจำานวนแตละจำานวนไดดงน

ลำาดบท 1 2 3 4 5 …จำานวน 2

จ า ก ต า ร า ง ค ว า ม ส ม พ น ธ ข อ ง ล ำา ด บ ท แ ล ะ จ ำา น ว น ค อ ………………………………………………เปนฟงกชนหรอไม ……………………………………..มโดเมนค อ…………………………………….และม เรนจค อ ……………………………………

ฟงกชนทมโดเมนเปนเซตของจำานวนเตมบวก เชนเดยวกบฟงกชนในขอ 1.1 , 1.2 และขอ 2 เรยกวา ลำาดบ

ลำาดบคอ ฟงกชนทมโดเมนเปนเซตของจำานวนเตมบวก n ตวแรก หรอ

ลำาดบคอ ฟงกชนทมโดเมนเปนเซตของจำานวนเตมบวกทเรยงจากนอยไปหามาก โดยเรมตงแต 1


3

ใบความรท 1รายวชาคณตศาสตรพนฐาน (ค 32102) เรอง ลำาดบจำากด และลำาดบอนนต*****************************************************

***************************ลำาดบ คอฟงกชนทมโดเมนเปนเซตของจำานวนเตมบวก n ตวแรก

หรอเซตของจำานวนเตมบวกทเรยงจากนอยไปหามากโดยเรมตงแต 1เชน 1. เปนลำาดบ

ม เปนเซตของจำานวนเตมบวก 4 ตวแรก2. เปนลำาดบ ม เปนเซตของจำานวนเตมบวก 10 ตว

แรก3. เปนลำาดบ ม เปนเซตของจำานวนเตมบวกทเรยงจาก

นอยไปหามากโดยเรมตงแต 1


4

4. เปนลำาดบ ม เปนเซตของจำานวนเตมบวกทเรยงจาก

นอยไปหามาก โดยเรมตงแต 1 เรยกลำาดบทมโดเมนเปน เชนเดยวกบลำาดบในขอ 1 และ 2 วา ลำาดบจำากด และเรยกลำาดบทมโดเมนเปน เชนเดยวกบลำาดบในขอ 3 และ 4 วา ลำาดบอนนต

ลำาดบจำากด คอ ฟงกชนทมโดเมนเปนเซตของจำานวนเตมบวก n ตวแรก

ลำาดบอนนต คอ ฟงกชนทมโดเมนเปนเซตของจำานวนเตมบวกทเรยงจากนอยไปหามาก

โดยเรมตงแต 1

แบบฝกกจกรรมท 1รายวชาคณตศาสตรพนฐาน (ค 32102) เรอง ลำาดบ*****************************************************

***************************


5

1. จงพจารณาวา ขอใดเปนลำาดบหรอไมเปนลำาดบ โดยเขยนเครองหมาย ใหตรงคำาตอบทถกตอง

ขอ

ฟงกชนโดเมนของ

ฟงกชนลำาดบ

เปน ไมเปน1 {(1,1) , (2,4) , (3,9)}2 {(0,2) , (1,3) , (2,4) ,

(3,5)}3 {(2,4) , (4,8) , (6,12) ,

(8,16) , …}4 {(1,a) , (3,b) , (5,c) ,

(7,d)}5 {(1,x) , (2,y) , (3,z) ,

(4,w)}6 {(1,-1) , (2,-2) , (3,-3) ,

(4,-4) , …}789102. ขอใดเปนลำาดบจำากด และขอใดเปนลำาดบอนนต โดยเขยนทำา

เครองหมาย ใหตรงชองลำาดบทถกตองขอ

ฟงกชน โดเมนของฟงกชน

ลำาดบจำากด

ลำาดบอนนต

1 {(1,3) , (2,4) , (3,5) , (4,6)}

2 {(1,1) , (2,2) , (3,4) , (4,8) , …}

3 {(1,5) , (2,25) , (3,125) , …}

4 {(1,0.1) , (2,0.01) , (3,0.001)}

5 {(1,3) , (2,4) , (3,5) , … , (n,n+2) , …}

6 {(1,1) , (2,4) , (3,8) , … , }

78 เมอ

91


6

ขอ

ฟงกชน โดเมนของฟงกชน

ลำาดบจำากด

ลำาดบอนนต

0

ลำาดบจำากด คอลำาดบทมโดเมน ………………………………………………………………...

ลำาดบอนนต คอลำาดบทมโดเมน .………………………………………………………………

ใบความรท 2รายวชาคณตศาสตรพนฐาน (ค 32102) เรอง การเขยนลำาดบ*****************************************************

***************************การเขยนลำาดบ เขยนได 2 แบบคอ เขยนโดยการแจงพจนและเขยน

เฉพาะพจนทวไปในการเขยนลำาดบโดยการแจงพจน จะเขยนเฉพาะสมาชกของเรนจ

เรยงกนไป กลาวคอ ถา a เปนลำาดบ a = {(1,a(1)) , (2,a(2)) , (3,a(3)) , … , (n,a(n)) } การเขยนลำาดบ จะเขยนเฉพาะสมาชกของเรนจ(คาของฟงกชน)เรยงกนไปในรป a(1) , a(2) , a(3) , … , a(n) หรอ a1 , a2 , a3 , … , an a(n) หรอ an หมายถงพจนท n ของลำาดบ

ในกรณทเปนลำาดบอนนตจะเขยนแทนดวย a(1) , a(2) , a(3) , … , a(n) , …

หรอ a1 , a2 , a3 , … , an , …เรยก a1 วา พจนท 1 ของลำาดบ

a2 วา พจนท 2 ของลำาดบa3 วา พจนท 3 ของลำาดบ


7

an วา พจนท n หรอพจนทวไป (General Term) ของลำาดบ

การเขยนลำาดบโดยการแจงพจนเชน a = {(1,1) , (2,4) , (3,9) , (4,16) , (5,25)}

เขยนลำาดบโดยการแจงพจนได 1, 4, 9, 16, 25 เปนลำาดบจำากด

ม a1 = 1 , a2 = 4 , a3 = 9 , a4 = 16 , a5 = 25 และ an = n2

หรอ a = {(1,1) , (2,2) , (3,4) , (4,8) , (5,16) , …} เขยนลำาดบโดยการแจงพจนได 1, 2, 4, 8, 16, … เปน

ลำาดบอนนตม a1 = 1 , a2 = 2 , a3 = 4 , a4 = 8 , a5 = 16

และ an = 2n-1 การเขยนลำาดบนอกจากจะเขยนโดยการแจงพจนแลวอาจจะเขยน

เฉพาะพจนทวไปพรอมทงระบสมาชกในโดเมน ถาไมระบสมาชกในโดเมน ถอวาลำาดบนนเปนลำาดบอนนต

เชน ลำาดบ 1, 4, 9, 16, 25เขยนเฉพาะพจนทวไปได an = n2 เมอ n { 1, 2, 3,

4, 5} ลำาดบ 1, 2, 4, 8, 16, …

เขยนเฉพาะพจนทวไปได an = 2n-1 เมอ n เปนจำานวนเตมบวก หรอ an = 2n-1

หมายเหต ในกรณทกำาหนดลำาดบโดยพจนทวไป ถาไมไดระบสมาชกในโดเมน ใหถอวา ลำาดบนนเปนลำาดบอนนต

การหาพจนทตองการของลำาดบ เมอกำาหนดพจนทวไปของลำาดบให

ตวอยางท 1 จงหาสพจนแรกของลำาดบ

วธทำา an =

a4 = = 10

ดงนน สพจนแรกของลำาดบน คอ 1 , 3 , 6 , 10เอกสารประกอบการเรยน รายวชา ค 32102 คณตศาสตรพนฐาน เรองลำาดบ และอนกรม (ครจตร)

8

ตวอยางท 2 จงหา 3 พจนแรกของลำาดบ = 3n+1 แลวเขยนลำาดบนโดยการแจงพจนวธทำา an = 3n+1

a1 = 3(1)+1 = 4a2 = 3(2)+1 = 7a3 = 3(3)+1 = 10

ดงนน ลำาดบนคอ 4, 7, 10, … 3n+1 , …

ตวอยางท 3 จงหาพจนถดไปอกสองพจนของลำาดบทกำาหนดใหตอไปน 2 , 8 , 32 , 128วธทำา พจารณาความสมพนธของพจนในลำาดบ

2 8 32 128

x4 x4 x4จะเหนวาพจนทอยถดไปจะเปน 4 เทาของพจนทอยขางหนา ดงนน

สองพจนถดไปของลำาดบคอ 512 และ 20482 8 32 128 512 2048

x4 x4 x4 x4 x4

ตวอยางท 4 จงหาพจนถดไปอกสองพจนของลำาดบ 100 , 98 , 94 , 88วธทำา พจารณาความสมพนธของพจนในลำาดบ

100 98 94 88

-2 -4 -6จะเหนวาพจนทอยถดไปของลำาดบนจะลดลง 2 , 4 , 6 ตามลำาดบ

ดงนน พจนสองพจนถดไปของลำาดบนจะลดลง 8 และ 10 ตามลำาดบ จะได 80 และ 70 เปนพจนสองพจนถดไปของลำาดบทกำาหนดให

100 98 94 88 80 70

-2 -4 -6 -8 -10

แบบฝกกจกรรมท 2


9

รายวชาคณตศาสตรพนฐาน (ค 32102) เรอง ลำาดบ*****************************************************

***************************1. จงเขยนลำาดบทกำาหนดใหแบบแจงพจน โดยเตมลงในชองวางทกำาหนด

ให

ลำาดบแบบพจนทวไป ลำาดบแบบแจงพจน1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. n – 3 เมอ

n < 3 2n + 5 เมอ n 3

2. จงเขยนสพจนแรกของลำาดบทกำาหนดใหตอไปน2.1วธทำา

……………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………..

ดงนนสพจนแรกของลำาดบทกำาหนดใหคอ ………………………………………………

2.2


เมอ n

เปนจำานวนค n เมอ n เปนจำานวนค

10

วธทำา …………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………..

ดงนน ………………………………………………………………………………………

3. จงเขยนลำาดบทกำาหนดใหตอไปนแบบแจงพจน โดยเตมคำาตอบทถกตองลงในชองวางทกำาหนดให3.1วธทำา ถา n = 1 แลว = = …………………..

ถา n = 2 แลว = ………… = …………………..

ถา n = 3 แลว = ………… = …………………..

ถา n = 4 แลว …………………………………………………………………

เขยนลำาดบทกำาหนดใหแบบแจงพจนไดเปน ………………………

……………………….

3.2 เมอ


11

วธทำา……………………………………………………………

……………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………..

เขยนลำาดบทกำาหนดใหแบบแจงพจนไดเปน ………………………………………………

3.3

วธทำา = ………………………………………………………………

……………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………..

เขยนลำาดบทกำาหนดใหแบบแจงพจนไดเปน ………………………………………………..

4. จงหาอกสองพจนถดไปของลำาดบทกำาหนดใหตอไปน4.1 2 , 4 , 6 , 8 , …

…………………………………………………………………………


n –3 เมอ n < 42n + 5 เมอ n 4

12

4.2 , , , …

…………………………………………………………………………4.3 14 , 10 , 6 , 2

…………………………………………………………………………4.4 1 , 2 , 8 , 48

…………………………………………………………………………

แบบฝกกจกรรมท 3รายวชาคณตศาสตรพนฐาน (ค 32102) เรอง การหาพจนทวไปของลำาดบ*****************************************************

***************************

1. จงเขยนลำาดบทกำาหนดใหแบบพจนทวไป โดยเตมลงในชองวางทกำาหนด

ให

ลำาดบแบบแจงพจน ลำาดบแบบพจนทวไป1. 2. 0.2 , 0.02 , 0.002 , 0.0002 , …3. 4. 5. 2 , 5 , 8 , 11 , …6.

2. จงหาพจน ทวไปของลำาดบตอไปน2.1 2 , 4 , 6 , 8วธทำา พจารณาความสมพนธของพจน และลำาดบทของแตละพจนดงน

a1 = 2 = 2 x 1


13

a2 = 4 = …………..a3 = 6 = …………..a4 = 8 = …………..

จะไดพจนทวไปหรอ = ……………………………………………….

2.2 -1 , 0 , 3 , 8 , 15วธทำา พจารณาความสมพนธของพจน และลำาดบทของแตละพจนดงน

a1 = -1 = -1 x 1 = ( 1 – 2 ) 1a2 = 0 = … x 2 = ……………..a3 = 3 = …… 3 = ……………..a4 = 8 = ……… = ……………..a5 = 15 = ……… = ……………..

จะไดพจนทวไปหรอ = ……………………………………………….

2.3 5 , 10 , 15 , 20 , ……………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………


14

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

2.4

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………


15

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

เอกสารแนะแนวทางท 2รายวชาคณตศาสตรพนฐาน (ค 32102) เรอง การหาพจนทวไปของลำาดบ โดยการใชฟงกชนพหนาม*****************************************************

***************************คำาชแจง ใหนกเรยนเตม จำานวน ขอความ หรอประโยคสญลกษณทถกตองลงในชองวางใหถกตอง1)จงหาพจนทวไปของลำาดบ -5 , -3 , -1 , 1 , 3

วธทำา จากลำาดบทกำาหนดให หาผลตางระหวางสองพจนทอยตดกนไดดงน

-5 -3 -1 1 3

2 2 2 2จะเหนวาผลตางครงท 1 คงทและมคาเทากบ 2ใหพจนทวไปของลำาดบนอยในรป

จาก


16

จะได = a + b = -5 (1)= 2a + b = -3 (2)= 3a + b = …… (3)= ……... = …… (4)= ……... = …… (5)

แกระบบสมการเชงเสนเพอหา a , b จาก (1) จะได a = -5 - b

แทนคา a = -5 - b ใน (2) จะได 2(-5-b)+b = -3

……… = ……………… = ……………… = ……………… = ………

จาก a = -5 – b แทนคา bจะได a = ………

= ………

แทนคา a = ……. , b = …….. ในฟงก ชนพหนาม

จะได = ………ด ง น น พ จ น ท ว ไ ป ห ร อ = ……… เ ม อ

………………………………

2)จงหาพจนทวไปของลำาดบ 1 , 3 , 7 , 13 , …วธทำา จากลำาดบทกำาหนดให หาผลตางระหวางสองพจนทอยตดกนไดดงน

1 3 7 13ผลตางครงท 1

2 4 6ผลตางครงท 2

2 2จะเหนวาผลตางครงทสองคงท และมคาเทากบ 2ใหพจนทวไปของลำาดบนอยในรป

จาก


17

จะได = a + b + c = 1(1)

= 4a + 2b + c = ….(2)

= …………… = ……(3)

= …….……... = ……(4)

แกระบบสมการเชงเสนเพอหาคาของ a , b และ c(2) – (1) จะได …………… = ……

(5)(3) – (2) จะได …………… = ……

(6)(6) – (5) จะได …………… = ……

…………… = ……แทนคา a = ……. ใน (5) จะได b = ……แทนคา a = … และ b = …ใน(1) จะได ….. = ……

= ……………….เมอแทน n ดวย 1 , 2 , 3 จะได , , , เทากบคาท

กำาหนดใหแสดงวา = ……………….. เป นพจนท วไปของ

ลำาดบทกำาหนดให



18

รายวชาคณตศาสตรพนฐาน (ค 32102) เรอง การหาพจนทวไปของลำาดบ โดยการใชฟงกชนพหนาม*****************************************************

***************************1. จงเตมฟงกชนพหนามลงในชองวางทกำาหนดให

การหาพจนทวไปของลำาดบ โดยการใชฟงกชนพหนามวธการ หาผลตางระหวางสองพจนทอยตดกน ถาผลตางครงท 1 มคาคงตวทไมเทากบศนย พจนทวไปของลำาดบอยในรป ……………………….ถาผลตางครงท 2 มคาคงตวทไมเทากบศนย พจนทวไปของลำาดบอยในรป ………………………ถาผลตางครงท 3 มคาคงตวทไมเทากบศนย ใหพจนทวไปของลำาดบอยในรป ……………………

2. จงหาพจนทวไปของลำาดบ –1 , -4 , -7 , -10 , -13………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………


19

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3. จงหาพจนทวไปของลำาดบ 2 , 5 , 9 , 14 , 20 , 27………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………


20

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………


21

แบบฝกทกษะท 1รายวชาคณตศาสตรพนฐาน (ค 32102) เรอง การหาพจนทวไปของลำาดบ โดยการใชฟงกชนพหนาม*****************************************************

***************************

1. จงหาพจน ทวไปของลำาดบ 5 , 9 , 16 , 26 , 39 , …วธทำา ………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………


22

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………


23

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

2. จงหาพจน ทวไปของลำาดบ 1 , 4 , 10 , 20 , 35 , 56 , …วธทำา

………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………


24

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………


25

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

แบบฝกกจกรรมท 5รายวชาคณตศาสตรพนฐาน (ค 32102)

เรอง ลำาดบเลขคณต*****************************************************

***************************


26

ลำาดบเลขคณต คอ ลำาดบซงผลตางของ มคาคงทเสมอ คาคงทนเรยกวา ผลตางรวม (Common Difference ) เขยนแทนดวย d

จากบทนยาม จะได

1. จงเตมคำาตอบลงในชองวางใหถกตองสมบรณ

ขอ

ลำาดบผลตางรวม

ลำาดบเลขคณตเปน

ไมเปน

1 2, 4, 6, 8, 10 4 – 2 = 2

6 – 4 = 2

8 – 6 = 2

2

2 1, 9, 25, 49, 9 – 1 = 8

25 – 9=16

49 – 25=24

ไมม

3 1, 4, 9, 16, 25, …

4 1, 4, 7, 10, 13, …

5 3, 6, 12, 24, …6 2, 6, 10, 14, …7 3, 4, 5, 6, …, 2

+ n , …8 4, 9, 14, 19, …,

5n -1, …9 6, 16, 26, …,

10n-4, …10

5, 10, 20, 40, …, , …

2. ใหนกเรยนเตมชองวางใหสมบรณตามแนวทางทกำาหนดใหพจารณาการหาพจนท n ของลำาดบเลขคณต 2 , 5 , 8 , 11 , 14

a1 = 2 = 2+(1-1)(3)a2 = ….. = 2 + 3 = 2+(2-1)(3)a3 = ….. = …….. = ………………….a4 = ….. = …….. = ………………….a5 = ….. = …….. = ………………….

= …………………………


27

ในกรณทวไป ถา a1 , a2 , a3 , . . . , , … เปนลำาดบเลขคณตจะไดผลตางรวม คอ d = a2 - a1 = a3 - a2 = … =

ดงนน a2 = a1 + da3 = a2 + d = (a1 + d) + d

= a4 = a3 + d = ……..……..=

………….

= …..………. = …………….= ………….ดงนน ลำาดบเลขคณตจะเขยนไดดงน

, . . .นนคอ พจนท n ของลำาดบเลขคณต หรอ = …………

………….


28



***************************1. จงเตมคำาตอบลงในชองวางทกำาหนดให

1.1 ลำาดบเลขคณตคอ ลำาดบทมผลตางของ …………. กบ ………….. มคาคงทเสมอ

1.2 คาคงทจากขอท 1.1 เรยกวา เขยนแทน……………………ดวยสญลกษณ ………..

1.3 ลำาดบเลขคณตมผลตางรวมคอ ……….. = ……………………..

1.4 ลำาดบเลขคณตม = ………………..1.5 ลำาดบเลขคณต x , y , z ผลตางรวมคอ ……………….

= ……………..1.6 กำาหนดลำาดบ a , b , c และ b – a = c – b แลว a , b ,

c เปนลำาดบ ……….………….1.7 กำาหนดลำาดบ a , b , c , 4 , 2 เปนลำาดบเลขคณตแลว b –

a = …… , a = …… และ b = ……

2. จงหาพจนท n ของลำาดบ ทมพจนท 1 และผลตางรวมตามทกำาหนดให โดยเตมคำาตอบลงในชองวางทกำาหนดให

d = 3 2

-10 5-6


29

4 -36 4

3. จงเตมคำาตอบลงในชองวางทกำาหนดใหd n =

6 2 10-4 3 12

917 -6 -97

11

4. จงหาพจนท 18 ของลำาดบเลขคณต 3 , 7 , 11 , ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

5. จงหาพจนท 25 ของลำาดบเลขคณต , , , …เอกสารประกอบการเรยน รายวชา ค 32102 คณตศาสตรพนฐาน เรองลำาดบ และอนกรม (ครจตร)

30

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………



31

รายวชาคณตศาสตรพนฐาน (ค 32102) เรอง การหาจำานวนพจนของลำาดบเลขคณต*****************************************************

***************************จากสตรการหาพจนท n

= ……………………………………= ……………………………………

nd = …………………………………… n = ……………………………………

= ……………………………………นนคอ การหาจำานวนพจนของลำาดบเลขคณต จะตองใชสตรการหา

พจนท n เขาชวยดงตวอยางตอไปน1. ลำาดบเลขคณตชดหนง คอ 7, 12, 17, 22, … , 282 จงหาวาลำาดบ

นมกพจนวธทำา จากโจทยกำาหนดให จะได = ………. , d = ……… , = ……….

จากสตร = + ( n – 1 ) dจะได ……………. = ………………………..

……………. = ………………………..……………. = ………………………..……………. = ………………………..

หรอ จากโจทย จะได = …………….. , = ……………. , d = …………….

จาก n = …………………………..= …………………………..= …………………………..= …………………………..= …………………………..

ดงนน ลำาดบเลขคณตชดนมทงหมด ……………. พจน

2. กำาหนดจำานวนเตม 10 ถง 1,000 จงหาวา จำานวนทหารดวย 12 ลงตว มกจำานวนวธทำา จำานวนเตม 10 ถง 1,000 ทหารดวย 12 ลงตวไดแก

เปนลำาดบเลขคณต…………………………………ม = ………… , d = ………… , และ

= ………..จากสตร = + ( n – 1 ) d หรอ n =


32

จะได ………….. = ……………………. = ………………………

………….. = ……………………. = ………………………

………….. = ……………………. = ………………………

………….. = ……………………. = ………………………

ดงนน จำานวนเตม 10 ถง 1000 มจำานวนท 12 หารลงตวทงหมด ………. จำานวน

ใบสรปผลพฒนาความรความเขาใจรายวชาคณตศาสตรพนฐาน (ค 32102)


***************************

1. อฐกองหนงวางซอนกนในแนวระดบเปนชน ๆ แตละชนมจำานวนอฐนอยกวาชนถดไปอย 2 กอน ถาชนบนสดมอฐ 1 กอน ชนลางสดทอยตดดนม 121 กอน แลวอฐกองนมกชน

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………


33

2. จงหาลำาดบเลขคณตทม 21 พจน โดยผลบวกของ 3 พจนกลางเทากบ 129 ผลบวกของ 3 พจนทายเทากบ 237

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………


เรอง ลำาดบเรขาคณต*****************************************************

***************************เอกสารประกอบการเรยน รายวชา ค 32102 คณตศาสตรพนฐาน เรองลำาดบ และอนกรม (ครจตร)

34

1. จากลำาดบทกำาหนดให จงตอบคำาถามตอไปนก. เปนลำาดบเลขคณต หรอลำาดบเรขาคณต หรอไมเปนทงสองอยางข. หาผลตางรวม หรออตราสวนรวมค. หาสองพจนถดไปของแตละลำาดบ

1)4 , 7 , 10 , 13 , … 5) 3 , 9 , 27 , 81 , … ก. เปนลำาดบ …………………….. ก. ………

……………………ข. ………………………………… ข. ………

……………………ค. สองพจนถดไปคอ……………… ค. ………

……………………

2) 1 , , 2 , , …. 6) , , , , …ก. ………………………………….. ก. …

…………………………ข. ………………………………….. ข. …

…………………………ค. ………………………………….. ค. …

…………………………

3) 1 , -1 , 1 , -1 , … 7) 16 , 8 , 4 , 2 , …

ก. ………………………………… ก. ……………………………ข. ………………………………… ข. …

…………………………ก. ………………………………….. ค. …

…………………………

4)3 , 4 , 6 , 9 , 13 , … 8) 4 , 2 , 0 , -2 , …ก. …………………………………. ก. …

…………………………ข. …………………………………. ข. …

…………………………


35

ค. ………………………………….. ค. ……………………………9) 5 , 5 , 5 , 5 , … 10) 0 , 0 , 0 , 0 ,

…ก. …………………………………. ก. …

…………………………ข. …………………………………. ข. …

…………………………ค. ………………………………….. ค. ………

……………………

2. จงเตมคำาตอบลงในชองวางทกำาหนดให1) ถาพจนแรกของลำาดบเรขาคณตคอ อตราสวนรวมคอ r แลว =

…………..2) ถาลำาดบเรขาคณตม = 8 , แลว = ……………. และ

= ……………..3) ถาลำาดบเรขาคณตม , แลว ………, ……….,

……..เขยนลำาดบเรขาคณตแบบแจงพจนไดเปน ………………………………………………………….

4)กำาหนดลำาดบเรขาคณตม ม แลว พจนทวไปของลำาดบนคอ …………

5)ลำาดบเรขาคณตม มอตราสวนรวม แลว ……………………….

6)ลำาดบเรขาคณตม มอตราสวนรวม แลว -384 เปนพจนท …….ของลำาดบน


36

แบบฝกกจกรรมท 9รายวชาคณตศาสตรพนฐาน (ค 32102) เรอง การหาพจนตางๆ ของลำาดบเรขาคณต*****************************************************

***************************1. ลำาดบเรขาคณตมพจนท n คอ จงหาสพจนแรกและอตราสวน

รวมวธทำา ……………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………….


37

…………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………….

2. จงหาพจนท 5 ของลำาดบเรขาคณต ซงมพจนแรกเปน 2 และ เปนอตราสวนรวมวธทำา ……………………………………………………………

………………………….

…………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……………………………3. พจนท 7 ของลำาดบเรขาคณตเทากบ อตราสวนรวมคอ จงหาพจนแรกของลำาดบน

วธทำา ……………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………เอกสารประกอบการเรยน รายวชา ค 32102 คณตศาสตรพนฐาน เรองลำาดบ และอนกรม (ครจตร)

38

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………4. จงหาพจนท n ของลำาดบเรขาคณต , , , . . .

วธทำา ……………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……………………………

แบบฝกทกษะท 2รายวชาคณตศาสตรพนฐาน (ค 32102)

เรอง ลำาดบเรขาคณต*****************************************************

***************************1. ลำาดบเรขาคณตมพจนท 7 เทากบ 16 และพจนท 10 เทากบ 1024

จงหา และ r ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………เอกสารประกอบการเรยน รายวชา ค 32102 คณตศาสตรพนฐาน เรองลำาดบ และอนกรม (ครจตร)

39

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2. พจนท 6 และพจนท 9 ของลำาดบเรขาคณตคอ 3 และ –81 ตามลำาดบ จงเขยนลำาดบเรขาคณตนแบบแจงพจน………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………


40

3. ลำาดบเรขาคณต ม 3 พจนแรกรวมกนได 26 และคณกนได 216 จงหาลำาดบเรขาคณตน ถาอตราสวนรวมมคามากกวา 1 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

4. จงหาจำานวนระหวาง 6 กบ 16 ซงทำาใหจำานวนทงสามเรยงกนเปนลำาดบเรขาคณต

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………


41

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

5. จงหาลำาดบเรขาคณตสพจนเรยงกน โดยมสองพจนแรกรวมกนได 8 สองพจนถดไปรวมกนได 72 และอตราสวนรวมมคามากกวา 0

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

แบบฝกทกษะท 3รายวชาคณตศาสตรพนฐาน (ค 32102) เรอง โจทยปญหาลำาดบเรขาคณต*****************************************************

***************************1. นายโชคตงใจไววา เขาจะบรจาคเงนใหแกมลนธเดกพการในวนเกดของเขาทกปตดตอกน 10 ป โดยบรจาคครงแรกเปนเงน 500 บาท และสญญา


42

วาจะบรจาคเพมขนเปน 2 เทาของเงนบรจาคของปทผานมาไปเร อย ๆ จงหาวาในปท 10 นายโชคบรจาคเงนใหแกมลนธเทาใด

วธทำา………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2. รถจกรยานยนตคนหนงราคา 40,000 บาท ถามลคาของรถคนนลดลงปละ 10 % ใหหาพจนทวไปของราคารถจกรยานยนตคนน และหามลคาของรถคนนในปท 5………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..


43

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………3. แอนสงการดอวยพร 4 ใบ ถงเพอน 4 คน เมอทกคนไดรบแลว หลงจากนน 1 สปดาห จะตองสงการดอวยพรคนละ 2 ใบไปถงเพอนอก 2 คน โดยคนทไดรบการดจะตองปฏบตเชนนเร อย ๆ ไป จงหาวาในสปดาหท 10 จะมการดสงอวยพรกใบ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

4. ปจจบนเงนเดอนของพนกงานทำาความสะอาดถนนเทากบ 4,000 บาท และพนกงานทกคนจะไดรบเงนเดอนเพมขนปละ 10 % ของเงนเดอนทผานมาในแตละป จงหาวาอก 10 ปขางหนา เงนเดอนของพนกงานแตละคนเปนเทาใด


44

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

5. ในป พ.ศ. 2548 ประชากรตำาบลหนงม 1,000 คน ถาประชากรของตำาบลนเพมขนปละ 5 % จงหาจำานวนประชากรในป พ.ศ. 2560……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………เอกสารประกอบการเรยน รายวชา ค 32102 คณตศาสตรพนฐาน เรองลำาดบ และอนกรม (ครจตร)

45

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………


เรอง อนกรม(Series)*****************************************************

***************************ใหนกเรยนศกษาเรองอนกรม แลวทำาแบบฝกหด

กรอบความร

กำาหนดลำาดบ เรยก วา อนกรม


46

ดงนน อนกรม หมายถง ผลบวกของพจนทกพจนของลำาดบและเรยก วา พจนท 1 ของอนกรม เรยก วาพจนท 2 ของอนกรม เรยก วาพจนท n ของอนกรม

อนกรมทเกดจากลำาดบจำากด เรยกวา อนกรมจำากดอนกรมทเกดจากลำาดบ อนนต เรยกวา อนกรมอนนตอนกรมทเกดจากลำาดบ เลขคณต เรยกวา อนกรมเลขคณตอนกรมทเกดจากลำาดบ เรขาคณต เรยกวา อนกรมเรขาคณต

แบบฝกหด1. จงเขยนอนกรมพรอมทงบอกวา เปนอนกรมจำากดหรออนกรมอนนตขอท

ลำาดบ อนกรม อนกรมจำากดหรออนกรม

อนนต1 2 , 4 , 6 , 8 ,

102 6 , 7 , 8 , 9 ,

10 , …3 -3 , -2 , -1 , 0

, 1 , …4 8 , 6 , 4 , 2 ,

0 , -2 , -45 -2 , -4 , -6 ,

… , -2n6 1 , 3 , 5 , … ,

2n – 1 , …2. จงเตมคำาตอบลงในชองวางใหถกตองขอท

ลำาดบ อนกรม อนกรมเลขคณต

หรอเรขาคณต

d หรอ r

1 5 , 8 , 11 , 14 , 17 , …

2 3 , -6 , 12 , -24 , …

3 4 , 2 , 1 , , , …


47

4 4 , 9 , 14 , 19 , 24

5 7 , 3 , -1 , … , 11 - 4n , …

6 4 , 1 , , , … ,


เรอง อนกรม(Series)*****************************************************

***************************

ใหนกเรยนศกษาเรองอนกรมเลขคณตจากกรอบความร และศกษาผลบวก n พจนแรกของอนกรมเลขคณตจากขอ 2 โดยเตมคำาตอบทถกตองลงในชองวางทกำาหนดให1. กรอบความร

อนกรมทไดจากลำาดบเลขคณต เรยกวา อนกรมเลขคณต และผลตางรวมของลำาดบเลขคณต จะเปนผลตางรวมของอนกรมเลขคณตดวย

ผลบวก n พจนแรกของอนกรมเลขคณตให เปนลำาดบเลขคณต ผลบวกของ n พจนแรกของอนกรมเลขคณต เขยนแทนดวย ม

ความหมายดงน= (ผลบวกของ 1 พจนแรก)= (ผลบวกของ 2 พจนแรก)= (ผลบวกของ 3 พจนแรก)

= (ผลบวกของ n พจนแรก)

การหาผลบวกของ n พจนแรกของอนกรมเลขคณต2.1 การหาผลบวกของพจนทกพจนของลำาดบเลขคณต 2 , 4 , 6 , 8 , … , 100

พจารณาการหาผลบวกของพจนทกพจนของลำาดบเลขคณตกำาหนดให


48

2, + 4, + 6, + 8, + . . . , + 94, + 96, + 98, + 100

102 ……..……….

…………จำานวนค 2 ถง 100 มอย จำานวน หรอ …… …….. คผลบวกของแตละคดงแบบรป จะมคาเทากบ ……….ดงนน ผลบวกของพจนทกพจนของลำาดบ คอ

2 + 4 + 6 + 8 + … + 100 = ………………….= ………………….

2.2 ในทำานองเดยวกนกบ 2.1 เราสามารถหาผลบวกของพจนแรกของอนกรมเลขคณตไดดงน

+ + + + . . . , + + + +

…… …………

อนกรมมทงหมด ……. พจน หรอ ………. คผลบวกของแตละคดงแบบรปมคา = …………….ดงนน ผลบวก n พจนแรกของอนกรม = …………….นนคอ =

……………………………เนองจาก =

…………………………...และ =

……………………………แทนคา จะได =

…………………………….=

…………………………….


49

สรป ผลบวก n พจนแรกของอนกรมเลขคณต

หรอ

จากสตรของ ทสรปไดจะหา จาก เมอทราบคาใดบาง

ต อ บ ……………………………………………………………..

แ ล ะ จ ะ ห า จ า ก เ ม อ ท ร า บ …………………………………..


เรอง อนกรมเลขคณต*****************************************************

***************************1. จงหาผลบวกของอนกรมเลขคณต 1 + 2 + 3 + … + 300

วธทำา……………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………


50

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2. จงหาผลบวกของ 20 พจนแรกของอนกรมเลขคณต 5 + 9 + 13 + …วธทำา

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3. อนกรมเลขคณตม และ จงหาผลบวกของ 5 พจนแรกของอนกรมเลขคณตน

วธทำา……………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………


51

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………



***************************

1. กำาหนด d = 5 , จงหา และ 2. กำาหนด , d = 3 จงหา และ………………………………………………………………………………………………………………....………………………………………………………………………………………………………………...………………………………………………………………………………………………………………...………………………………………………………………………………………………………………...………………………………………………………………………………………………………………...………………………………………………………………………………………………………………...………………………………………………………………………………………………………………...………………………………………………………………………………………………………………...………………………………………………………………………………………………………………...………………………………………………………………………………………………………………...เอกสารประกอบการเรยน รายวชา ค 32102 คณตศาสตรพนฐาน เรองลำาดบ และอนกรม (ครจตร)

52

………………………………………………………………………………………………………………...………………………………………………………………………………………………………………..

3. กำาหนด d = 4 , จงหา และ 4. กำาหนด ,จงหา d และ

………………………………………………………………………………………………………………...………………………………………………………………………………………………………………...………………………………………………………………………………………………………………...………………………………………………………………………………………………………………...………………………………………………………………………………………………………………...………………………………………………………………………………………………………………...………………………………………………………………………………………………………………...………………………………………………………………………………………………………………...………………………………………………………………………………………………………………...………………………………………………………………………………………………………………...………………………………………………………………………………………………………………...

5. กำาหนด จงหา 3 พจนแรก 6. กำาหนด จงหา

ของลำาดบเลขคณตน ผลบวกของ n พจนแรกของลำาดบเลขคณต

ตามขอมลทกำาหนด


53

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

7. กำาหนด จงหา 3 พจนแรก 8. จงหาผลบวกของ n ของลำาดบเลขคณตน พจนแรกของลำาดบเลขคณตตามขอมลทกำาหนด………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………


54

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

แบบฝกกจกรรมท 12รายวชาคณตศาสตรพนฐาน (ค 32102) เรอง โจทยปญหาอนกรมเลขคณต*****************************************************

***************************

1. ซอรถจกรยานยนตราคา 60,000 บาท โดยผอนสงเงนตนใหบรษทเดอนละ 2,000 บาท เทากนทกเดอน และตองชำาระเงนคาดอกเบยรอยละ 1 ตอเดอนของยอดเงนทยงไมไดช ำาระพรอมกบเงนตนทก ๆ เดอน การชำาระเงนงวดแรกเร มตนภายหลงหนงเดอนของวนทไดตกลงซอขายกนแลว จงคำานวณวาจะตองจายเงนใหบรษท เทาใดจงจะไดรถจกรยานยนตเปนกรรมสทธของตนเองโดยสมบรณภายใน 30 เดอน………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………เอกสารประกอบการเรยน รายวชา ค 32102 คณตศาสตรพนฐาน เรองลำาดบ และอนกรม (ครจตร)

55

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………


56

2. จดวางเลมเทยนเปนแถว ๆ เพอประกอบพธในวนวสาฆบชา โดยจดเรยงเปนรปสามเหลยม ใหเทยนในแถวบนนอยกวาเทยนในแถวลางทอยตดกนหนงเลมเสมอ ถาแถวบนสดมเทยนเพยงเลมเดยว ซงอยในตำาแหนงของจดยอดของสามเหลยมพอด และมเทยนอยทงหมด 190 เลม จงหาวาเทยนในแถวลางสดมกเลม………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………


57

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3. อานตและวรภาพตงใจเดนการกศล เพอหารายไดสมทบทนอาหารกลางวนใหแกเดกผดอยโอกาสของ โรงเรยนแหงหนง อานตและวรภาพอยหางกน 255 กโลเมตร และจะเดนทางมาพบกน โดยตงตนเดนทางพรอมกน อานตเดนทางวนแรก 1 กโลเมตร วนทสอง 3 กโลเมตร วนทสาม 5 กโลเมตรเชนนเรอย ๆ ไป สวนวรภาพเดนทางวนแรก 20 กโลเมตร วนทสอง 19 กโลเมตร วนทสาม 18 กโลเมตรเชนนเรอย ๆ ไป จงหาวาในเวลากวนเขาทงสองจงจะพบกน………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………


58

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………


59

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

4. เรอประมงสองลำาออกเดนทางไปหาปลาพรอมกนจากจดเดยวกน และไปทศทางเดยวกน เรอลำาแรกเดนทางชวโมงแรกได 74 ไมล ชวโมงทสองได 72 ไมล ชวโมงทสามได 70 ไมล เชนนเรอย ๆ ไป สวนเรอลำาทสองเดนทางชวโมงแรกได 2 ไมล ชวโมงทสองได 6 ไมล ชวโมงทสามได 10 ไมล เชนนเรอย ๆ ไป จงหาวาเรอลำาทสองเดนทางไปทนเรอลำาแรกเมอเรอทงสองลำาอยหางจากจดเรมตนกไมล ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………เอกสารประกอบการเรยน รายวชา ค 32102 คณตศาสตรพนฐาน เรองลำาดบ และอนกรม (ครจตร)

60

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………


61

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………



***************************

1. จงเตมคำาตอบลงในชองวางในแตละขอใหถกตองสมบรณ

ขอ

กำาหนด และ r อนกรมเรขาคณต 4 พจน ผลบวกของ 5 พจนแรก

1 234

2. จงหาผลบวกของอนกรมเรขาคณตตามเงอนไขทโจทยกำาหนดให

ขอ

โจทย สตร แทนคา

12345


62



***************************อนกรมเรขาคณตม และ จงหาผลบวกของสพจน

แรกของอนกรมเรขาคณตน………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………


63

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………



***************************เอกสารประกอบการเรยน รายวชา ค 32102 คณตศาสตรพนฐาน เรองลำาดบ และอนกรม (ครจตร)

64

เลขจำานวนหนงซงเมอนำามาบวกกบทกจำานวนตอไปน 1 , 9 และ 33 แลวทำาใหจำานวนทเกดขนใหมเรยงลำาดบกนเปนลำาดบเรขาคณต จงหา 1. จำานวนทนำามาบวก และจำานวนสามจำานวนทเกดขนใหม

2. ผลบวกของ 6 พจนแรกของอนกรมเรขาคณตซงไดจากสามจำานวนในขอ 1 เปนสามพจนแรก………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………


65

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………



***************************

1. จงเตมคำาตอบในชองวางทกำาหนดใหผลบวก n พจนแรกของอนกรมเรขาคณต = ……………………………………………

= ……………………………………………

2. ใหแสดงวธทำา2.1 ถาผลบวก 6 พจนแรกของอนกรมเรขาคณตเปน 9 เทาของผลบวก 3 พจนแรก จงหาอตราสวนรวม

………………………………………………………………………………………………………………....………………………………………………………………………………………………………………...…………………………………………………………………………เอกสารประกอบการเรยน รายวชา ค 32102 คณตศาสตรพนฐาน เรองลำาดบ และอนกรม (ครจตร)

66

……………………………………...………………………………………………………………………………………………………………...………………………………………………………………………………………………………………...………………………………………………………………………………………………………………...………………………………………………………………………………………………………………...………………………………………………………………………………………………………………...………………………………………………………………………………………………………………...………………………………………………………………………………………………………………...………………………………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………...………………………………………………………………………………………………………………...………………………………………………………………………………………………………………...………………………………………………………………………………………………………………...………………………………………………………………………………………………………………...………………………………………………………………………………………………………………...………………………………………………………………………………………………………………...………………………………………………………………………………………………………………...………………………………………………………………………………………………………………...………………………………………………………………………………………………………………...………………………………………………………………………………………………………………...………………………………………………………………………………………………………………...………………………………………………………………………………………………………………...………………………………………………………………………………………………………………...…………………………เอกสารประกอบการเรยน รายวชา ค 32102 คณตศาสตรพนฐาน เรองลำาดบ และอนกรม (ครจตร)

67

……………………………………………………………………………………...………………………… 2.2 อนกรมเรขาคณตมผลบวกเทากบ 240 พจนแรกเปน 6 อตราสวนรวมมคาเทากบ 3 จงหาจำานวนพจนของอนกรม………………………………………………………………………………………………………………...………………………………………………………………………………………………………………...………………………………………………………………………………………………………………...………………………………………………………………………………………………………………...………………………………………………………………………………………………………………...………………………………………………………………………………………………………………...………………………………………………………………………………………………………………...………………………………………………………………………………………………………………...………………………………………………………………………………………………………………...………………………………………………………………………………………………………………...………………………………………………………………………………………………………………...………………………………………………………………………………………………………………...………………………………………………………………………………………………………………...……………………………………………………………………………………...………………………………………………………………………………………………………………...………………………………………………………………………………………………………………...…………………………

2.3 ถาพจนท 2 ของลำาดบเรขาคณตเทากบ 6 และพจนท 5 เทากบ จงหาผลบวกของ 6 พจนแรก

………………………………………………………………………………………………………………...………………………………………………………………………………………………………………...


68

………………………………………………………………………………………………………………...………………………………………………………………………………………………………………...………………………………………………………………………………………………………………...………………………………………………………………………………………………………………...………………………………………………………………………………………………………………...………………………………………………………………………………………………………………...………………………………………………………………………………………………………………...………………………………………………………………………………………………………………...………………………………………………………………………………………………………………...………………………………………………………………………………………………………………...………………………………………………………………………………………………………………...……………………………………………………………………………………...………………………………………………………………………………………………………………...………………………………………………………………………………………………………………...………………………………………………………………………………………………………………...………………………………………………………………………………………………………………...…………………………2.4 อนกรมเรขาคณตชดหนงม และ จงหาผลบวกตงแต

ถง ………………………………………………………………………………………………………………...………………………………………………………………………………………………………………...………………………………………………………………………………………………………………...………………………………………………………………………………………………………………...………………………………………………………………………………………………………………...เอกสารประกอบการเรยน รายวชา ค 32102 คณตศาสตรพนฐาน เรองลำาดบ และอนกรม (ครจตร)

69

………………………………………………………………………………………………………………...………………………………………………………………………………………………………………...………………………………………………………………………………………………………………...………………………………………………………………………………………………………………...………………………………………………………………………………………………………………...………………………………………………………………………………………………………………...………………………………………………………………………………………………………………...………………………………………………………………………………………………………………...………………………………………………………………………………………………………………...………………………………………………………………………………………………………………...………………………………………………………………………………………………………………...………………………………………………………………………………………………………………...………………………………………………………………………………………………………………...………………………………………………………………………………………………………………...………………………………………………………………………………………………………………...………………………………………………………………………………………………………………...………………………………………………………………………………………………………………...………………………………………………………………………………………………………………...………………………………………………………………………………………………………………...………………………………………………………………………………………………………………...………………………………………………………………………………………………………………...………………………………………………………………………………………………………………...


70

………………………………………………………………………………………………………………...………………………………………………………………………………………………………………...……………………………………………………………………………………...………………………………………………………………………………………………………………...………………………………………………………………………………………………………………...………………………………………………………………………………………………………………...………………………………………………………………………………………………………………...………………………………………………………………………………………………………………...…………………………

แบบฝกกจกรรมท 14รายวชาคณตศาสตรพนฐาน (ค 32102) เรอง โจทยปญหาอนกรมเลขคณต*****************************************************

***************************

1. แรง ๆ หนงทำาใหวตถเคลอนทไปในทางตรง โดยทแตละวนาท วตถจะเคลอนทไดครงหนงของระยะทางทวตถนนเคลอนทไปไดในวนาทกอนหนานน ถาวนาทแรกวตถเคลอนทไปได 10 เมตร จงหาวา ถาเวลาผานไป 10 วนาท วตถจะเคลอนทไปไดประมาณกเมตร………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………


71

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………


72

2. องคณาเกบเงนใสกระปกออมสน เพอซอของขวญวนแมใหคณแมของเธอ โดยเรมเกบเงน 1 บาทในวนท 1 สงหาคม วนท 2 เกบเงนเปน 2 เทาของวนท 1 วนท 3 เกบเงนเปน 2 เทาของวนท 2 ทำาเชนนเรอย ๆ ไปจนถงวนท 10 สงหาคม องคณาจะมเงนซอของขวญวนแมเทาไร………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………เอกสารประกอบการเรยน รายวชา ค 32102 คณตศาสตรพนฐาน เรองลำาดบ และอนกรม (ครจตร)

73

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3. ในการกำาจดศตรพช เมอฉดยาทำาลายครงหนง จะกำาจดศตรพชไดเพยง 75 % ของปรมาณศตรพชทมอยในขณะนนเสมอ จงคำานวณหาวา เมอฉดยาครบ 5 ครง จะกำาจดศตรพชไดกเปอรเซนตของทมอยกอนกำาจด………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………เอกสารประกอบการเรยน รายวชา ค 32102 คณตศาสตรพนฐาน เรองลำาดบ และอนกรม (ครจตร)

74

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………เอกสารประกอบการเรยน รายวชา ค 32102 คณตศาสตรพนฐาน เรองลำาดบ และอนกรม (ครจตร)

75

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

4. การระดมเงนทนของธนาคารแหงหนง เสนอใหประชาชนฝากเงนแบบประจำา โดยธนาคารจายดอกเบยปละครง ในอตราดอกเบย 3 % ตอป แบบไมหกภาษเงนไดจากดอกเบย ถานายออมทรพยฝากเงนทก ๆ ตนปปละ 100,000 บาท โดยไมถอนเงนตนและดอกเบย จงหาวา เมอครบ 5 ป นายออมทรพยจะมเงนเทาไร………………………………………………………………………………………………………………....………………………………………………………………………………………………………………...………………………………………………………………………………………………………………...………………………………………………………………………………………………………………..………………………………………………………………………………………………………………....………………………………………………………………………………………………………………...………………………………………………………………………………………………………………...………………………………………………………………………………………………………………..………………………………………………………………………………………………………………....………………………………………………………………………………………………………………...………………………………………………………………………………………………………………...………………………………………………………………………………………………………………...…………………………………………………………………………


76

……………………………………....………………………………………………………………………………………………………………...………………………………………………………………………………………………………………...……………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………....………………………………………………………………………………………………………………...………………………………………………………………………………………………………………...………………………………………………………………………………………………………………...………………………………………………………………………………………………………………....………………………………………………………………………………………………………………...………………………………………………………………………………………………………………...………………………………………………………………………………………………………………...………………………………………………………………………………………………………………....………………………………………………………………………………………………………………...………………………………………………………………………………………………………………...………………………………………………………………………………………………………………...………………………………………………………………………………………………………………

5. การเชาซออาคารสงเคราะหหลงหนง ปแรกจะตองเสยเงนคาเชาเดอนละ 2,000 บาท ปทสองเสยคาเชาลดลง 10 % ปทสามเสยคาเชาลดลงอก 10 % ของปทสองเชนนเรอย ๆ ไป เมอครบกำาหนด 10 ป จะไมตอง


77

เสยคาเชาซออาคารสงเคราะหหลงนอก รวมแลวอาคารสงเคราะหหลงนราคาเทาใด………………………………………………………………………………………………………………....………………………………………………………………………………………………………………...………………………………………………………………………………………………………………...………………………………………………………………………………………………………………...………………………………………………………………………………………………………………....………………………………………………………………………………………………………………...………………………………………………………………………………………………………………...………………………………………………………………………………………………………………...………………………………………………………………………………………………………………....………………………………………………………………………………………………………………...………………………………………………………………………………………………………………...………………………………………………………………………………………………………………...………………………………………………………………………………………………………………..………………………………………………………………………………………………………………...………………………………………………………………………………………………………………...………………………………………………………………………………………………………………....………………………………………………………………………………………………………………...………………………………………………………………………………………………………………...………………………………………………………………………………………………………………...……………………………………………………………………………………………………………… ..…………………………………………………………………………เอกสารประกอบการเรยน รายวชา ค 32102 คณตศาสตรพนฐาน เรองลำาดบ และอนกรม (ครจตร)

78

……………………………………...………………………………………………………………………………………………………………...………………………………………………………………………………………………………………....………………………………………………………………………………………………………………...………………………………………………………………………………………………………………...………………………………………………………………………………………………………………...……………………………………………………………………………………………………………… ..………………………………………………………………………………………………………………...………………………………………………………………………………………………………………...………………………………………………………………………………………………………………....………………………………………………………………………………………………………………...………………………………………………………………………………………………………………...………………………………………………………………………………………………………………...……………………………………………………………………………………………………………...


เอกสารแนะแนวทางที่ 1€¦ · Web viewม เป...

Documents

Transcript of เอกสารแนะแนวทางที่ 1€¦ · Web viewม เป...