A KVANTITATIVNI ASPEKTI EKONOMIJE - unvi.edu.ba · „Zbirka zadataka sa rješenjima iz...

Dr. MIODRAG JOVIČEVIĆDr. SAŠA VUJIĆ

KVANTITATIVNI ASPEKTI EKONOMIJE I BIZNISA

KVAN

TITA

TIVN

I ASP

EKTI

EKON

OMIJE

I BIZN

ISA

Dr.

MIO

DR

AG

JO

VIČ

EV

IĆ

D

r. S

AŠ

A V

UJI

Ć

Trav

nik,

201

2.go

d.

9 789958 641053

Dr. MIODRAG JOVIČEVIĆ Dr. SAŠA VUJIĆ


Travnik, 2012.god.

2

"KVANTITATIVNI ASPEKTI EKONOMIJE I BIZNISA" - KNJIGA

IMPRESUM

Autori. Prof. Dr. MIODRAG JOVIČEVIĆ Doc. Dr. SAŠA VUJIĆ

IZDAVAČ: Sveučilište/Univerziteta "VITEZ" Travnik

RECENZENTI: Prof.dr. Nikola Grabovac, Prof.dr. Blagota Lučić,

UNOS TEKSTA: Vesna Ereš

3

- SADRŽAJ -

1.UVOD ......................................................................................... 15

2. MJERE ........................................................................................ 17

2.1. METRIČKI SISTEM ........................................................... 18

2.1.1. MJERE ZA DUŽINU ................................................. 18

2.1.2. MJERE ZA POVRŠINU ............................................ 19

2.1.3. MJERE ZA ZAPREMINU (VOLUMEN) ................. 20

2.1.4. MJERE ZA TEKUČINU ............................................ 20

2.1.5. MJERE ZA TEŽINU .................................................. 21

2.2. MJERE U VELIKOJ BRITANIJI ....................................... 22

2.2.1. MJERE ZA DUŽINU ................................................. 22

2.2.2. MJERE ZA POVRŠINU ............................................ 23

2.2.3. MJERE ZA ZAPREMINU ......................................... 23

2.2.4. MJERE ZA TEŽINU .................................................. 24

2.2.5. MJERE ZA TRGOVAČKU ROBU ........................... 24

2.2.6. MJERE U SAD .......................................................... 27

2.2.7. MJERE ZA PLEMENITE METALE I DRAGO

KAMENJE .................................................................. 27

2.2.8. MJERE ZA TEČNOST I ŽITARICE ......................... 28

3. NOVAC I VALUTE ................................................................... 29

3.1. NOVAC ................................................................................ 29

3.2. KURSNE LISTE .................................................................. 33

3.2.1. PARITET .................................................................... 33

3.2.2. PARITET KOVANOG NOVCA ............................... 34

4

3.2.3. VALUTNI PARITET, KURSNE LISTE ................... 37

4. REZOLVIRANJE I REDUCIRANJE MJERA I NOVCA ... 43

4.1. PRETVARANJE JEDINICE NOVCA ............................... 44

4.2. PRETVARANJE JEDINICA DRUGIH MJERA................ 51

5. PROPORCIJE ........................................................................... 57

5.1. OMJER ................................................................................. 57

5.2. DEFINICIJA PROPORCIJE ............................................... 59

5.3. OSOBINE PROSTIH PROPORCIJA ................................. 60

5.4. PRODUŽENE PROPORCIJE ............................................. 62

5.5. PRAVILO TRAJNO............................................................ 67

6. VERIŽNI RAČUN ..................................................................... 72

7. RAČUN PODJELE .................................................................... 76

8. SREDNJA VRIJEDNOST ........................................................ 79

9. RAČUN SMJESE ....................................................................... 81

9.1. SMJESA OD DVA SASTOJKA .......................................... 83

9.2. SMJESA OD TRI SASTOJKA ............................................ 86

9.3. SMJESA OD ČETIRI SASTOJKA ..................................... 90

10. PROCENTNI RAČUN .......................................................... 95

10.1. PROCENTNI RAČUN OD STO ....................................... 95

10.2. PROCENTNI RAČUN VIŠE OD STO ............................. 99

10.3. PROCENTNI RAČUN NIŽE OD STO ............................ 102

11. KAMATNI RAČUN ............................................................... 107

5

11.1. KAMATNI RAČUN OD STO ......................................... 108

11.2. KAMATNI DIVIZOR ..................................................... 113

11.3. KAMATNI BROJEVI ..................................................... 115

11.4. KAMATA NA VIŠE GLAVNICA .................................. 116

11.5. INTERKALARNA KAMATA ........................................ 118

11.6. KAMATNI RAČUN VIŠE OD STO ............................... 122

11.7. KAMATNI RAČUN NIŽE OD STO .............................. 123

12. ESKONTNI RAČUN ............................................................. 128

12.1. UVOĐENJE U PROBLEM ............................................ 128

12.2. ODREĐIVANJE ESKONTNOG IZNOSA, VRSTE

ESKONTA, ČISTI ESKONT .......................................... 130

12.3. UPOREĐIVANJE MJENICA, EKVIVALENTNE

MJENICE ......................................................................... 135

12.4. ZAMJENA VIŠE MJENICA JEDNOM ......................... 137

12.5. ODREĐIVANJE NOMINALNE VRIJEDNOSTI

MJENICE ........................................................................ 140

12.6. ODREĐIVANJE ESKONTNE STOPE .......................... 142

12.7. IZRAČUNAVANJE BROJA DANA, ROKA

DOSPIJEĆA I DANA ESKONTOVANJA .................... 146

13. TEKUĆI RAČUNI ................................................................ 149

13.1. UVODNE NAPOMENE ................................................ 149

13.2. DIREKTNA METODA, JEDNOSTRUKA KAMATA,

SVE POZICIJE DOSPIJEVAJU..................................... 151

13.3. INDIREKTNA METODA .............................................. 157

6

13.4. STEPENASTA METODA, SVE STAVKE DOSPJELE,

JEDINSTVENA KAMATNA STOPA ........................... 163

14. RAČUN DEVIZA .................................................................. 168

15. RAČUN ZLATA I SREBRA ................................................ 178

16. RAČUN AMORTIZACIJE I BONITETA SREDSTVA ... 187

16.1. POJAM I ZNAČAJ AMORTIZACIJE ........................ 187

16.2. OSNOVICA ZA OBRAČUN AMORTIZACIJE ........ 188

16.3. NAČIN OBRAČUNA AMORTIZACIJE ................... 190

16.4. STOPA AMORTIZACIJE I VIJEK TRAJANJA........ 192

16.5. BONITET SREDSTAVA ZA RAD ............................ 194

17. MJERENJE TRAJANJA OBRTA KAPITALA ................. 195

17.1. POJAVNI OBLICI OBRTNIH SREDSTAVA ........... 195

17.2. MJERENJE TRAJANJA OBRTA ............................... 196

18. MJERENJE LIKVIDNOSTI ............................................... 199

19. MJERENJE STRUKTURE, STATIKE I DINAMIKE

SREDSTAVA ........................................................................ 203

19.1. MJERENJE RADA KOD STALNIH POSLOVNIH

SREDSTAVA ............................................................. 203

19.2.MJERENJE KOD OBRTNIH SREDSTAVA –

PREDMETA RADA ................................................... 208

20. MJERENJE ELASTIČNOSTI POTRAŽNJE .................... 212

20.1. POJAM, VRSTA I ZAKONITOSTI POTRAŽNJE ... 212

7

20.2. MJERENJE CIJENOVNE ELASTIČNOSTI

POTRAŽNJE ............................................................... 217

20.3. MJERENJE UNAKRSNEA ELASTIČNOSTI

POTRAŽNJE .............................................................. 220

20.4. MJERENJE DOHODOVNE ELASTIČNOSTI

POTRAŽNJE ............................................................... 221

21. MJERENJE ELASTIČNOST PONUDE ............................. 224

21.1. POJAM, VRSTA I ZAKONITOSTI PONUDE .......... 224

21.2. MJERENJE ELASTIČNOSTI PONUDE ................... 226

21.3. MJERENJE ODNOSA PONUDE I POTRAŽNJE ..... 229

22. KALKULACIJE ..................................................................... 231

22.1. POJAM I ZNAČAJ KALKULACIJE ......................... 231

22.2. PODJELA KALKULACIJA ....................................... 233

22.3. METODE KALKULACIJE ........................................ 234

22.4. VAŽNIJI POJAVNI OBLICI KALKULACIJE .......... 236

22.5. PRIMJERI KALKULACIJE ....................................... 241

22.6. TEHNIKA IZRAČUNAVANJA MARŽE .................. 248

23. MJERENJE USPJEŠNOSTI POSLOVANJA .................... 250

23.1. POJAM I ZNAČAJ FINANSIJSKOG REZULTATA 250

23.2. POJAM I ZNAČAJ PRODUKTIVNOSTI .................. 252

23.3. MJERENJE EKONOMIČNOSTI ................................ 254

23.4. MJERENJE RENTABILNOSTI ................................. 255

23.5. MJERENJE PRAGA RENTABILNOSTI ................... 256

8

24. MJERENJE ZALIHA SIROVINA I GOTOVIH

PROIZVODA ......................................................................... 260

24.1. POJAM I ZNAČAJ ZALIHA ...................................... 260

24.2. TROŠKOVI ZALIHA I TROŠKOVI NABAVE

ROBE ......................................................................... 263

24.3. VRSTE ZALIHA ......................................................... 264

24.4. RAČUNANJE BROJA NARUDŽBI I

KOLIČINA NABAVKE ............................................. 268

24.5. POLITIKA OBNAVLJANJA ZALIHA ...................... 270

25. METODE FORMIRANJA CIJENA .................................... 273

25.1. FORMIRANJE CIJENA U PROIZVODNJI I

PROMETU .................................................................. 273

25.2. POJAM I ZNAČAJ DIFERENCIRANJA CIJENA .... 277

25.3. UČINCI PROMJENE CIJENE NA OBIM PRODAJE . 279

25.4. ODNOS TROŠKOVA I PRODAJNE CIJENE ........... 283

26. MJERENJE EFEKATA ULAGANJA U EKONOMSKU

PROPAGANDU ..................................................................... 286

27. OBRAČUN PLAĆE I DRUGIH PRIMANJA ..................... 291

27.1. OBRAČUN PLAĆE ....................................................... 292

27.2. OBRAČUN DRUGIH PRIMANJA ............................... 295

9

Sjećanje, Posebna zahvala i sjećanje na jednog od autora knjige i zbirke profesora dr. sci. Miodraga Jovičevića, preminulom tokom izdavanja udžbenika. Nemjerljiv doprinos u kvaliteti knjige i zbirke profesor Jovičević je crpio iz dugogodišnje višedecenijske prakse u radu sa studentima. Hvala.

11

Prof. dr. Nikola Grabovac Redovni profesor - Profesor emeritus RECENZIJA KNJIGA

1. „KVANTITATIVNI ASPEKTI EKNOMIJE I BIZNISA“ 2. „ZBIRKA ZADATAKA SA RJEŠENJIMA IZ „KVANTITATIVNI

ASPEKTI EKNOMIJE I BIZNISA“

Knjiga „Kvantitativni aspekti ekonomije i biznisa“ je rijetka knjiga koja na jednom mjestu obrađuje problematiku kvantificiranja ekonomske i biznis aktivnosti. Studenti u jednoj knjizi i na jednom mjestu uče i obnavljaju svoja znanja koja su parcijalno i djelomično učili na drugim predmetima. Autori knjige, odnosno udžbenika, su na originalan način pristupili obradi pojedinih segmenata poslovne aktivnosti koje se mogu kvantificirati i time utvrditi kvalitet poduzetničkih aktivnosti. Izbjegnuta su teorijska i nepotrebna izlaganja, nego se sve postavlja i uči na konkretnim primjerima, koji su svakodnevno prisutni u praksi i poslovanju organizacije. Autori su na interesantan način prikazali kvanitificiranje raznih ekonomskih pokazatelja koji imaju veliki značaj u:

- Mjerenju rezultata rada - Praćenju izvršenja planskih zadataka - Upoređivanju sa prethodnim periodima poslovanja - Utvrđivanju kvaliteta rada pojedinaca, grupa, sektora i sl. kroz

kvantitativne pokazatelje

Na temelju poznatih kvantifikacija menadžeri dobijaju prave i kvalitetne informacije o:

- Rezultatima poslovanja - Izvršenju planskih zadataka - Realizaciji sistema nagrađivanja - Postavljanju planskih zadataka - Utvrđivanju i definiranju ciljeva poslovanja - Kvalitetu uspješnosti postavljenih zadataka kroz

kvantifikacijske planove

12

Praćenjem kvantifikacijskih aspekata poslovanja izbjegavaju se subjektivne ocjene i paušalne procjene. Time se izbjegavaju neposredni konflikti, a samo kvantifikacijski rezultati su pravi odnos rezultata rada uz uzimanje u razmatranje i okruženja poslovanja. Osnovna knjiga dobija na izuzetnom značaju kroz drugu knjigu „Zbirka zadataka sa rješenjima iz Kvantifikacijskih aspekata ekonomije i biznisa“. Zbirku zadataka u cjelosti prati sadržaj osnovne knjige, s tim da se dodaju novi zadaci dotičnog dijela knjige. Na taj način studentima se omogućava da bolje savladaju određenu oblast . Još veći doprinos kvalitetu knjige i zbirke autori su dali kroz rješavanje svakog zadatka, tako da studenti mogu sami sebi kontrolirati uspješnost riješenih zadataka. Knjiga treba da pomogne studentima da se nakon zapošljavanja mogu odmah upustiti u kvantificiranje rezultata poslovanja sa eknomskog aspekta. Originalan doprinos autori su dali ne samo u teorijskom dijelu, nego i u aplikativnom smislu, koji mogu da uspješno koriste menadžeri pri rukovođenju firmom ili njenim dijelovima. Ova knjiga sa zbirkom sadrži nastavni program koji je predviđen iz ove oblasti i može se uspješno koristiti kao knjiga odnosno udžbenik za studente. Takođe, knjiga može uspješno pomagati uposlenicima i menadžerima koji već rade u firmama. Travnik, 10.04.2012 RECENZENT Prof.dr. Nikola Grabovac

13

Prof. dr. Blagota Lučić Redovni profesor RECENZIJA

Ova recenzija se odnosi na dvije knjige

a) „Kvantitativni aspekti ekonomije i biznisa“i b) „Zbirka zadataka sa rješenjima iz „Kvantitativni aspekti ekonomije i

biznisa“

Ove dvije knjige su usko povezane i obrađuju problematiku kvantificiranja u poslovanju sa aspekta ekonomije i biznisa. Ovom knjigom daje se dominantan značaj primjeni raznih matematičkih pristupa kroz kvantificiranje pojedinih ekonomskih aktivnosti. Tim procesom utvrđuju se egzaktni pokazatelji koji su dominantni nad subjektivnim procjenama kvaliteta rezultata poslovanja. Knjiga je podijeljena u 27 poglavlja i obrađene su oblasti koje se najčešće pojavljuju u ekonomiji i biznisu a mogu se kvantificirati. Posebno ističem neka područja kao npr.:

- račun smjese - račun amortizacije boniteta sredstava

- verižni račun - mjerenje trajanja obrta kapitala

- procentni račun - mjerenje elastičnosti potražnje

- kamatni račun - mjerenje elastičnosti ponude

- eskontni račun - kalkulacije - tekući račun - metode formiranja cijena

Autori knjiga polaze od značaja mjerenja svakog rezultata rada i na temelju tih mjerenja uspostavljanje kvalitetnog planiranja, povećanja

14

ostvarivanja rezultata rada i mogućnosti povećanja efikasnosti pri donošenju odluka. Knjige dobijaju na značaju jer se u cijelosti prožima teorijski pristup određenom pitanju i njegovo kvantificiranje. Da bi aplikativno to potvrdili svaka oblast se prethodno teorijski ukratko obrađuje, a potom se navode konkretna rješenja. Poseban kvalitet knjizi daje dodatno Zbirka rješenja koja ima konkretne zadatke, a u dijelu knjige ti su zadaci riješeni. Na ovaj način olakšava se učenje studentima, jer se sami mogu kntrolisati i vidjeti da li su uspješno riješili zadatak. Knjiga sadrži sve dijelove koji su navedeni u nastavnom programu za ovaj predmet i zadaovoljava sve kriterije da bude univerzitetska knjiga. Sarajevo, 28.03.2012 prof.dr. Blagota Lučić

Redovni profesor

15

1.UVOD

Knjiga „Kvantitativni aspekti ekonomije i biznisa“ namjenjena je studentima i osobama koje rade na ekonomskim poslovima i koji su vezani uz razne analitičke, financijske, komercijalne i računovodstvene izračune. Pored ekonomista ovu problematiku trebaju poznavati i informatičari koji su poslovno povezani sa ekonomskom informatikom ili raznim ekonomskim računicama kao što su kalkulacije, formiranja cijena, izračun pariteta novca, kamatni računi i td. Sadržaj knjige struktuiran je tako što upoznaje zainteresirane sa poslovima vezanim za njihov svakodnevni rad. Iz tog razloga u ovoj knjizi obrađuju se pojmovi mjera i njihova upotreba, novac i kursne liste, proporcije, verižni račun, kamatni račun, tekući račun, račun amortizacije, mjerenje trajanja obrta kapitala, mjerenje likvidnosti, mjerenje elastičnosti ponude i potražnje, pravljenje kalkulacija, mjerenje uspješnosti poslovanja kroz mjerenje produktivnosti, ekonomičnosti i rentabilnosti, mjerenje zaliha, metode formiranja cijena, obračun plaća i td. Pored knjige „Kvantitativni aspekti ekonomije i biznisa“ potrebno je koristiti Zbirku zadataka sa rješenjima vezanim za kvantitativni aspekt ekonomije i biznisa koja kroz konkretne primjere i rješenja olakšavaju učenje. Ova je knjiga nastajala godinama, kao priprema za nastavu na predmetu Kvantativni aspekti ekonomije i biznisa na Sveučilištu/Univerzitetu “VITEZ” Travnik. Posebno se zahvaljujemo prof.dr.sc. Nikoli Grabovcu koji je dozvolio da koristimo neke djelove iz njegovih mnogobrojnih knjiga, i koji je vrlo pažljivo pročitao tekst, i upozorio na neke propuste i dao vrlo vrijedne sugestije, prije svega usmjerene i prilagođene mogućnostima studenata i cjelovitosti studija.

Autori

17

2. MJERE

Posmatrajući svijetsku zajednicu iz današnje perspektive svjedoci smo velike međusobne povezanosti država kao i regija, u okvirima različitih djelatnosti, a naročito na poslovno-ekonomskom planu. Jednu od osnova povezanosti, pored ostalih faktora, čine sistemi mjera. Sistemi mjera odnose se na sve aspekte poslovnih i ekonomskih aktivnosti i obuhvataju kako mjere fizičkih veličina, tako i mjere za plemenite metale i za novac.

Treba napomenuti da su pojedine mjere od uvijek postojale, od najranijih perioda ljudske civilizacije, da bi se tokom vremena razvijale, konsolidovale i internacionalizirale i formirale sisteme mjera u današnjem smislu. U sadašnjem trenutku većina država svijeta primjenjuje sisteme mjera za fizičke veličine (dužina, površina, zapremina, tečnost, težina) i novac koje su zasnovane na dekadskom sistemu računanja. Međutim u praksi nekih za svjetsku ekonomiju važnih država (Velika Britanija, SAD) nije uveden (u potpunosti) dekadski sistem, pa se primjenjuju stare tradicionalne mjere! Ova okolnost nameće potrebu prevođenja (preračunavanja) jednih mjera u druge u cilju obavljanja odgovarajućih poslovno-ekonomskih aktivnosti.

18

2.1. Metrički sistem

Metrički sistem neposredno je zasnovan na primjeni dekadskog sistema računanja. Njegovu osnovu čini jedinica za dužinu koja se zove metar i označava sa 1m. Jedinica 1m utvrđena je odlukom francuske narodne skupštine od 1791. godine, a definiše se kao jedan desetomilioniti dio četvrtine zemljinog meridijana, pri ćemu su mjerenja vršena na njegovom dijelu od Barcelone do Denkverka. Ova jedinica uvedena je u praksu prvo u Francuskoj, da bi je kasnije prihvatile i druge države. Na međunarodnoj konferenciji 1889. godine stvorena je „Međunarodna metarska konvencija“ na kojoj je stvoren međunarodni prototip metra, koji se neznatno razlikuje od prvobitnog metra (izvršena su preciznija mjerenja). Taj prototip izrađen je od platine i čuva se u Sevru-Francuska, a po njemu izrađene kopije koriste se kao jedinica za dužinu.

2.1.1. Mjere za dužinu

Prema konvenciji, sve jedinice koje su veće od metra dobile su ime dodavanjem grčkih riječi deka, hekto i kilo ispred riječi metar. Jedinice manje od metra dobile su naziv dodavanjem latinskih riječi deci, centi i mili. Slično se postupilo i u slučaju jedinica za neke druge fizičke veličine. Tako se dobio skup mjera za dužinu u kojem je odnos

između dviju susjednih jedinica jednak broju 10 ili broju 101 .

Mjere veće od metra su: dekametar (dkm), hektometar (hm), kilometar (km), mirijametar ( µ m) a megametar (Mm). 1 dkm = 10 m; 1 hm = 10 dkm = 100 m

1 km = 10 hm = 100 dkm = 1.000 m

1µ m = 10 km = 10.000 m; 1 Mm = 1.000.000 m

19

Jedinice manje od metra su: decimetar (dm), centimetar (cm) i milimetar (mm).

1 m = 10 dm; 1 dm = 10 cm; 1 cm = 10 mm Vrijedi:

1 m = 10 dm = 100 cm = 1.000 mm

cm 101 mm 1 dm,

101 cm 1 m,

101 dm 1 ===

Stara mjera za dužinu: 1 aršin (lakat) = 66 cm

2.1.2. Mjere za površinu

Osnovna jedinica je jedan kvadratni metar (1 m2). Ona predstavlja površinu kvadrata čija stranica ima dužinu 1m. Manje jedinice su: kvadratni decimetar (1 dm2), kvadratnicentimetar (1 cm2) i kvadratni milimetar (1 mm2). 1 m2 = 100 dm2 = 10.000 cm2 = 1.000.000 mm2

1 dm2 = 100 cm2 = 10.000 mm2

1 cm2 = 100 mm2

Veće jedinice su:

- kvadratni dekametar tj. ar sa oznakom 1 dkm2 tj. 1 a

- kvadratni hektometar tj. hektar sa oznakom 1ha

- kvadratni kilometar 1 km2

Vrijedi:

1 a = 100 m2, 1 ha = 100 a = 10.000 m2

1 km2 = 100 ha = 10.000 a = 1.000.000 m2

20

Odnos dvije susjedne veće i manje jedinice je 100, a obrnuto 100

1 .

Veće jedinice od 1 m2 uglavnom se koriste za mjerenje površine zemljišta. Stare mjere za površinu zemljišta:

1 dunum (od turske riječi „donumi“) = 10 a = 1.000 m2

1 lanac (dan oranja – nije svugdje jednak) ≈5.755 m2

2.1.3. Mjere za zapreminu (volumen)

Osnovna jedinica je 1 kubni metar (1 m3) koja predstavlja zapreminu kocke čija osnovna ivica ima dužinu 1m. Manje jedinice su: kubni decimetar (1 dm3), kubni centimetar (1 cm3) i kubni milimetar (1 mm3).

Odnos jedinica za zapreminu:

1 m3 = 1.000 dm3 = 1.000.000 cm3 = 1.000.000.000 mm3= 103 dm3 =

= 106 cm3 = 109 mm3

1 dm3 = 1.000 cm3 = 1.000.000 mm3= 103 cm3 = 106 mm3

1 cm3 = 1.000 mm3= 103 mm3

2.1.4. Mjere za tekučinu

Osnovna jedinica je jedan litar (1 l), koji zapravo predstavlja zapreminu od 1 dm3. Manje jedinice su: decilitar (1 dcl), centilitar (1 cl) i mililitar (1 ml), dok su veće jedinice dekalitar (1 dkl) i hektolitar (1 hl).

21

Odnos jedinica za tekučinu:

1 l = 10 dcl = 100 cl = 1.000 ml = 102 cl = 103 ml

1 dcl = 10 cl = 100 ml = 102 ml

1 cl = 10 ml

1 dkl = 10 l,

1 hl = 100 l

2.1.5. Mjere za težinu

Osnovna jedinica je kilogram (1 kg), koja predstavlja težinu jednog kubnog decimetra vode na temperaturi od 40 C.

Manje jedinice su dekagram (dkg), gram (g), decigram (dcg), centigram (cg) i miligram (mg), dok veće jedinice pretstavljaju metrička centa ili kvintal (q) i tona (t). Vrijedi: 1 kg = 102 dkg = 103g= 104dcg = 105 cg = 106 mg

1 kg = 100 dkg = 1.000 g = 10.000dcg = 100.000 cg = 1.000.000 mg

1 dkg = 10 g = 100 cg = 10.000 mg

1 g = 10 dcg = 100 cg = 1.000 mg

1 dcg = 10 cg = 100 mg

1 cg = 10 mg

Stare mjere za težinu: 1 oka = 4 litre = 400 drama = 1.282 kg 1 kantar (carigradski) = 44 oke = 56,308 kg

Metrički sistemi mjera za fizičke veličine primjenjuju se u evropskim državama i nizu drugih država. Međutim u Velikoj Britaniji, i djelimično u SAD, nije uveden metrički sistem mjera već se koriste stare mjere. One se, u pogledu naziva i u pogledu njihovih vrijednosti,

22

razlikuju od evropskog sistema mjera. Naime, odnosi između manjih i većih jedinica (ili obrnuto) za istu fizičku veličinu nisu u skladu sa dekadskim sistemom računanja, već za svaku od njih vrijede specifični odnosi utvrđeni na tradicionalan način tokom vremena. Ove odnose je potrebno poznavati jer postoji potreba preračunavanja mjernih brojeva iz jednog mjernog sistema u drugi, a u cilju obavljanja odgovarajućih poslovno – ekonomskih aktivnosti.

2.2. Mjere u Velikoj Britaniji Sistem mjera u Velikoj Britaniji je prvi put određen 1824.godine britanskom uredbom o težinama i mjerama, a unaprđivan je sve do 1959.godine. U narednom djelu teksta će se obraditi mjere za dužinu, površinu, zapreminu, težinu, trgovačku robu, plemenite metale i tečnost i zapreminu. 2.2.1. Mjere za dužinu

1 jard (yard), oznaka – 1 yd (množina yds)

1 stopa (1 foot), oznaka – 1 ft (fts)

1 palac (inch), oznaka – 1 in (ins)

1 crta (lajn), oznaka – 1 l (ls)

Vrijedi: 1 yd = 3 fts = 36 ins = 432 lns = 0,914 cm, 12 yds = 11 m

1 ft = 13

yd = 12 ins = 144 ls = 0,305 m

1 in = 12 ls = 0,025 m

1 l = 0,0021 m = 2,11 mm

23

Prema tome dužina nečega ili nekog objekta izražava se sa 4 mjerna broja a, b, c i d koji se odnose na broj jardi, broj stopa, broj palaca i broj linija. Tu činjenicu označićemo na slijedeći način: yd (a,, b,, c,, d)

To znači da je dužina posmatranog objekta, označit ćemo je sa x, jednaka x a yds b fts c ins d ls= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

odnosno

x a 0,914 m b 0,305 m c 0,025 m d 0,0021 m= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

Veća jedinica je jedna engleska milja (em) za koju vrijedi: 1 em = 1.760 yds = 1.609,34 m. Sem toga koristi se morska milja (Sea mile) koja iznosi 1.852 m.

2.2.2. Mjere za površinu

Jedinica mjere za površinu je kvadratna jarda – skverjard (square yard, oznaka: sqyd). Manje jedinice su kvadratna stopa (oznaka sqft) i kvadratni inč (sqin); a veća jedinica je akr (acre). Vrijedi: 1 sqyd = 9 sqft = 0,83643 m2

1 sqft = 19

sqyd = 0,092936802974 m2 = 9,29368 dm2

1 sqin = 144

1 sqft = 6,46 cm2

1 akr = 4.840 sqyd = 4.047 m2 = 0,405 ha

2.2.3. Mjere za zapreminu

Jedinica mjere je kubna jarda (cubic yara, oznaka–cuyd). Manja jedinica je kubna stopa (cuft). Veće jedinice koriste se za obračun

24

prevoza na brodovima – šiping tona (ton od shipping) odnosno za mjerenje tonaže brodova – registar tona (registartona). Vrijedi: 1 cuyd = 27 cuft = 0,764505 m3

1 cuft = 271 cuyd = 28,315 dm3

1 šiping (brodska) tona = 40 cuft = 1,132 m3

1 registartona = 100 cuft = 2,8315 m3

2.2.4. Mjere za težinu

Za težinu postoje tri vrste mjera koje se odnose na (1) trgovačku robu, (2) plemenite metale i drago kamenje i (3) apotekarska mjerenja. Ovdje ćemo govoriti o mjerama za trgovačku robu i plemenite metale i drago kamenje.

2.2.5. Mjere za trgovačku robu

Jedinica mjere za trgovačku robu je 1 funta ili libra, oznaka 1 lb, za koju vrijedi 1 lb = 0,454 kg

Veće jedinice su: kvarter (1qr), handredvejt (hundredweigt, (1cwt) i engleska tona (1et). Manje jedinice su: unca (ounce (1 oz), dram (1 dr) i gren ili grain (1 gr). Vrijedi: 1 et = 20 cwt = 80 qr = 2.240 lb = 1.016 kg ...(*) 1 lb = 16 oz = 256 dr = 7.000 qr = 0,4536 kg ...(**) Vidimo da engleske jedinice mjera za težinu nisu u decimalnom odnosu. Stoga težina neke količine (veće ili manje) trgovačke robe neće uvijek biti izražena jednim mjernim brojem, već može biti izražena sa više mjernih brojeva. Tako se može desiti, da je količina

25

neke robe koja je predmet trgovine, nakon mjerenja izražena u engleskim tonama (a), hundretvejtima (b), kvarterima (c) i librima (d). Ako tu količinu označimo sa m, tada se piše: m = et (a,, b,, c,, d) što zapravo znači da je m a et b cwt c qr d lb= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

Na primjer neka je m = et (3,, 15,, 24,, 72) tada je m = 3 et + 15 cwt + 24 qr + 72 lb Slično se može desiti da je količina robe izražena u librima (a), uncima (b), dramima (c) i grenima (d). Označimo li tu količinu sa n, biće: n = lb (a,, b,, c,, d) odnosno

n a lb b oz c dr d gr= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

U slučaju da je n = lb (8,, 6,, 23,, 19), biće n = 8 lb + 6 oz + 23 dr + 19 gr.

Želimo li težine roba m, odnosno n, izraziti u kilogramima biće potrebno izvršiti preračun jedinica težine, jednih u druge, i izraziti ih u metričkim jedinicama. Polazi se od jednakosti (*) odnosno (**), dobit će se: 1 cwt = 0,05 et = 4 qr = 112 lb = 50,8 kg

1 qr = 0,0125 et = 0,25 cwt = 28 lb = 12,7 kg

1 lb = 0,0004464 et = 0,0089 cwt = 0,0357 qr = 0,454 kg

1 oz = 0,0625 lb = 16 dr = 437,5 gr = 0,0283 kg

1 dr = 0,0039 lb = 0,0625 dr = 27,344 gr = 0,00177 kg

1 gr = 0,0001429 lb = 0,002286 oz = 0,03657 dr = 0,000065 kg

26

Težine robe m, odnosno n, izražene u kilogramima: m = (3 · 1.016 + 15 · 50,8 + 24 · 12,7 + 72 · 0,454) kg

m = 4.147,488 kg

n = (8 · 0,454 + 6 · 0,0283 + 23 · 0,00177 + 19 · 0,000065) kg

n = 3,843745 kg

Mjere zapremine žitarica: Osnovna jedinica za mjerenje zapremine žitarica je bušel (bushel – 1 bu).

1 bu = 8 gl = 290,781 litara

Veća jedinica za žitarice je kvarter (qvoter – 1 qu)

1 qu = 8 bu = 64 gl = 290,781 litara

Manje jedinice za mjerenje žitarica su

Kvart (kvot) = 41 gl = 1,135 litara

Pint (pt) = 81 gl = 0,568 litara

Gil (gill) = 321 gl = 0,142 litra

Mjere tečnosti:

Za mjerenje tečnosti veće jedinice su

Tun = 252 gl = 1145 litara

Barel = 71 tuna = 36 gl = 163,57 litara

Hohhed = 63 gl = 286,25 litara

27

2.2.6. Mjere u SAD

U SAD primjenjuje se metrički sistem, ali se takođe primjenjuje i tradicionalni sistem sličan sistemu u Velikoj Britaniji.

Mjere za dužinu, površinu i zapremina su iste kao u Velikoj Britaniji, dok u pogledu mjera za žitarice (šupljinu), tečnosti i djelomično za težinu postoje razlike. Stoga se za odgovarajuće mjere uvode druge oznake.

2.2.7. Mjere za plemenite metale i drago kamenje

Jedinica mjerenje plemenitih metala je troi funta (trlb) 1 trlb = 373,242 gr

Manje jedinice su troiunca (1 troz), penivejt (pennyweight – 1 dwt) i gren (Gr). 1 trlb = 12 troz = 240 dwt = 5.760 Gr = 373,242 grama

1 troz = 121 trlb = 20 dwt = 480 Gr = 31,1035 grama

1 dwt = troz201 trlb

2401

= = 24 Gr = 1,555 grama

1 Gr = 1 1 1trlb troz dwt5.760 480 24

= = = 0,0648 grama

Koristi se i jedinica 1 karat koja je jednaka 4 grena.

1 karat = 4 grena = 0,259 grama.

Odnos troifunte i trgovačke funte

1 trlb = 175144 lb = 0,823 lb

28

2.2.8. Mjere za tečnost i žitarice

Osnovna jedinica za mjerenje zapremine tečnosti galon (gallon – 1 gl). 1 gl = 4,54 litara

Osnovna mjera za žitarice (šupljinu) je američki bušel za koji se uvodi oznaka (1 abu). 1 abu = 35,237 litara

Za preračun američkog bušela u engleski bušel koristi se relacija:

33 abu = 32 bu ⇒ 1 abu = 3332 bu i 1 bu =

3233 abu

Osnovna mjera za mjerenje zapremine tečnosti je američko galon. Oznaka – 1 agl. 1 agl = 3,785 litara

Preračunavanje američkog galona u engleski galon izvodi se u skladu sa relacijom:

6 agl = 5 gl ⇒1 agl = 65 gl i 1 gl =

56 agl

Osnovna jedinica za težinu američka funta (1 alb) jednaka je engleskoj funti (1 lb). Dakle 1 alb = 1 lb = 0,454 kg = 454 gr

Veće jedinice za težinu su

1 kvarter (1 qr) = 25 lb = 11,34 kg

1 central = 4 qr = 100 lb = 45,36 kg

1 ton = 20 centrala = 80 qr = 2.000 lb = 907,2 kg

Američka tona je manja od engleske 1 ton = 907,2 kg 1 et = 1.016 kg

29

3. NOVAC I VALUTE

3.1. Novac

Novac je opšti pojam i odnosi se na srestvo plaćanja u procesima ekonomske razmjene. Istorijski gledano novac kao srestvo plaćanja odavno je uveden u praksu da bi se olakšale privredne aktivnosti. U početku se novac javljao u kovanom obliku, napravljen od rijetkih metala a kasnije kao smjesa zlata i bakra ili srebra i bakra, koje je emitovao određeni autoritet. Kasnije, tokom ekonomskog razvoja zlatni, odnosno srebreni novac je postepeno zamjenjivan papirnim novcem koji emituje Centralna banka pojedinih država.

Pod pojmom valuta podrazumjevaju se sredstva koja vrijede ili važe kao novac. Riječ valuta potiče iz talijanskog jezika koja označava novčanu jedinicu neke zemlje. Valuta je efektivni novac koji služi u nekoj državi kao zakonito sredstvo plaćanja, a javljala se u metalnom obliku ili kao papirne novčanice. Nekad je zlatni i srebreni novac bio glavna valuta u prometu. Danas se valutni promet odvija uglavnom putem papirnog novca i supstitutima novca (čekovi, mjenice, uputnice,...).

Valuta kao sredstvo plaćanja ima određenu vrijednost koja je prihvaćena, kako u odgovarajućoj državi, tako i u poslovnom prometu između pojedinih država, kada se vrše međunarodna plaćanja. To se postiglo zadržavanjem novčane funkcije zlata. Naime, u toku 1944.godine osnovan je Međunarodni monetarni fond (MMF) u cilju sređivanja novčanih prilika nakon II svjetskog rata. Cilj MMF je da u saradnji sa svakom od svojih članica utvrđuje paritetnu vrijednost njene valute u čistom zlatu, kao zajedničkom nazivniku, ili u američkim dolarima. Sem toga zadatak MMF je da utvrdi pravila kojih se treba pridržavati da bi se očuvala stabilnost tokom vremena i da izvrši potrebne izmjene pariteta ili drugih uticajnih faktora u slučaju većih poremećaja. Tako na primjer MMF je tokom septembra 1960.godine objavio listu iz koje se vidi paritetna vrijednost valuta pojedinih država izražena u gramima zlata. Iznosimo neke od njih1:

1 Dr Vladimir Vranić, dr Ljubomir Martić: Matematika za ekonomiste, ŠK, 1967

30

Argentina 1 pezo 0,0493706 gr Austrija 1 šiling 0,0341796 gr Belgija 1 franak 0,0177734 gr Danska 1 kruna 0,128660 gr Finska 1 marka 0,277710 gr Francuska 1 novifranak 0,180000 gr Norveška 1 kruna 0,124414 gr SAD 1 dolar 0,888671 gr Velika Britanija 1 funta 2,48828 gr

Vidljivo je da je paritet valute (novca) ustvari mjera valute (novca). Mjera valute je kao i svaka druga mjera relativan pojam. Mjerni broj neke veličine dobija se upoređivanjem te veličine sa dogovorom utvrđenom osnovnom jedinicom, koja je objektivno utvrđena i time je nepromjenjiva u vremenu (npr. Etalon za 1 m predstavlja desetomilioniti dio četvrtine zemljinog meridijana). Mjera valute je broj koji pokazuje koliki je paritet jedinice određene valute izražen u gramima čistog zlata, - što je u osnovi gledano rezultat dogovora (MMF).

Razlika je u tome što se taj paritet, usljed djelovanja mnogih faktora, može mjenjati, pa je potrebno vršiti nova usklađivanja pariteta različitih valuta.

U sistem mjera spada i valuta. Većina valuta ima osnovnu jedinicu i manje dijelove čiji obračun se zasniva na dekadskom sistemu. To znači da se osnovna jedinica – valute, koja ima naziv, sastoji od stotinu jedinica valute nižeg reda, koje takođe imaju svoj naziv. Na primjer osnovna jedinica valute u SAD je 1 dolar koji se sastoji od 100 centi, tj. 1 dolar = 100 centi. To znači da je 1 cent jedinica valute nižeg reda. Vrijednost 1 centa se dobije dijeljenjem pariteta dolara sa 100. Prema priloženoj listi iz 1960. god. ta vrijednost iznosi 0,00888671 grama čistog zlata.

Većina danas postojećih valuta u svijetu je zasnovana na dekadskom sistemu računanja, što olakšava obračune u procesima razmjene interno i eksterno gledano. Izuzetak je Velika Britanija čija osnovna jedinica valute je funta sterlinga (pound sterlin) sa oznakom 1£. Manje

31

jedinice su šiling (shilling), oznaka 1 s (šiling), i peni (peny), oznaka 1p. Vrijedi: 1£ = 20 s = 240 d, 1s = 12 d

Ako je cijena neke robe u SAD p = 47,73$ to znači da je p = 47 dolara + 73 centa. Na drugoj strani ako uzmemo da je u Velikoj Britaniji cijena neke druge robe p = £ (82,, 29,, 61) to znači da je p = 82£ + 29 s + 61 d. Vidljivo je da je cijena robe u SAD, i u drugim državama čija je valuta izražena u skladu sa decimalnim sistemom, izražena jednim (decimalnim) brojem. Na suprot tome u Velikoj Britaniji cijena je izražena preko tri broja (teoretski gledano) što otežava odgovarajuće obračune.

Danas većina država u svijetu ima sopstvenu valutu, pri ćemu osnovna i jedinice nižeg reda imaju svoje nazive. Istina postoji jedan broj država i teritorija koje u svojim okvirima i međunarodnoj razmjeni koriste postojeće valute drugih država. Tako na primjer američki dolar je prihvaćen kao valuta u slijedećim državama: Guam, Američka Samoa, Američki djevičanski otoci, Palau, Ekvador i Istočni Timor. Slično tome se EUR koristi u Andori, Crnoj Gori, Gvadalupe, Martinik, Monako, San Marino i Vatikan.

U Bosni i Hercegovini osnovna valuta je konvertibilna marka (KM) čija je niža jedinica konvertibilni pfening (KF) pri ćemu vrijedi odnos 1 KM = 100 KF ili 1 KF = 0,01 KM.

Evropske države Austrija, Belgija, Cipar, Finska, Francuska, Grčka, Irska, Italija, Luksemburg, Malta, Nizozemska, Njemačka, Portugao, Slovačka, Slovenija i Španija koje obrazuju ekonomsku i monetarnu uniju imaju zajedničku valutu EURO (€) čija je niža jedinica cent, a vrijedi odnos 1 € = 100 centi.

32

Ostale države, članice Evropske unije, koje nisu ispunile kriterije za prijem u ekonomsko monetarnu uniju ili to neće, zadržale su svoju valutu.

U nastavku predstavićemo valute tih država i drugih (ne svih) svjetskih država, kako slijedi:

Država Valuta Oznaka Niža jedinica

Broj dijelova

Bugarska bugarski lev BGN stotinka 100 Češka češka kruna CZK haler 100 Danska danska kruna DKK øre 100 Estonija estonska kruna EEK sent 100 Latvija letonski lats LVL santims 100 Litva litvanski litas LTL centas 100 Mađarska mađarska forinta HUF filler 100 Polska poljski zloti PLN grosz 100 Rumunjska rumunski len RON ban 100 Švedska švedska kruna SEK öre 100 Argentina argentinski pezo ARS centavo 100 Australija australski dolar AUD cent 100 Albanija albanski lek ALL qintar 100 BiH konvertibilna marka BAM fening 100 Brazil brazilski real BRL centavo 100 Crna Gora Euro EUR cent 100 Hrvatska Kuna HRK lipa 100 Island islandska kruna ISK eqrir 100 Japan japanski jen JPY sen 100 Kanada kanadski dolar CAD cent 100 Kina kineski juan CNY jiao 100 Južna Koreja južnokorejski von KRW jeon 100 Makedonija Denar MKD deni 100 Norveška norveška kruna NOK øre 100 Rusija ruski rubalj RUR kopejka 100 SAD Dolar USD cent 100 Srbija srpski dinar RSD para 100 Švicarska švicarski franak CHF rappen 100 Turska nova turska lira TRY novi kurus 100 Ujedinjeno kraljevstvo britanska funta GBP peny 1002 2 U Velikoj Britaniji uveden je 15.II.1971.god. decimalni sistem

33

3.2. Kursne liste

3.2.1. Paritet

Posmatrajmo dva poslovna partnera prodavca, odnosno kupca čiji je predmet poslovanja prodaja odnosno kupovina robe (roba). U slučaju da su partneri u istoj državi tada se naplata kao i plaćanje vrši u zakonskoj valuti (novcu) dotične države na način i u rokovima koje su dogovorili. Međutim ako su partneri u različitim državama koje imaju različite zakonske valute tada se javlja problem naplate odnosno plaćanja za određenu količinu robe koja je predmet poslovanja, kao i načina plaćanja – da li će se ono izvršiti u jednoj ili drugoj valuti ili pak u nekoj trećoj valuti!

Ovdje je bitan iznos plaćanja (naplate). Naime vrijednost kupljene robe je primarno iskazana u valuti zemlje prodavca, pa je iznos naplate (potraživanja) iskazan u toj valuti. Ako se plaćanje vrši u valuti zemlje kupca tada se potraživanje treba iskazati kao određen broj jedinica te valute, koja će predstavljati iznos koji je kupac obavezan da plati. Druga pitanja posla – mjesta, načina i rokova plaćanja kao i isporuke robe, partneri mogu riješiti dogovorom.

Pitanje obračuna vrijednosti prodane/kupljene robe svodi se na njeno iskazivanje u jednoj odnosno drugoj valuti, što se u krajnjoj liniji svodi na problematiku pariteta ne samo tih dviju valuta nego i pariteta različitih valuta općenito.

Problem utvrđivanja pariteta valuta je određivanje zlatnog pariteta – količine (težine) čistog zlata u gramima, određene finoće, koja je sadržana ili pokriva jedinicu valute pojedinih država, pri tome treba obezbjediti i usklađenost pariteta valuta. Upoređivanjem zlatnih pariteta pojedinih valuta dobija se međusobni odnos vrijednosti ili paritetni kurs, od kojega, uz postojanje međunarodne ravnoteže, konkretni kursevi mogu samo privremeno, i u određenim granicama, odstupati. Napomenimo, da se u razvijenoj fazi usklađivanja pariteta on može izraziti i u odnosu na neku konkretnu valutu.

34

3.2.2. Paritet kovanog novca

Pojedine zemlje kovale su zlatnu valutu – zlatnike određenog naziva (npr. napoleondor, sovezenj, imperijal) koje odgovaraju većem broju jedinica odgovarajuće valute (20 franaka, 10 dolara, 1 dunta sterling, 5 rubalja) ili osnovnoj jedinici valute. Pri tome se, za svaki zlatnik, navode podaci o ukupnoj težini, o težini čistog zlata sadržanog u njemu izraženoj u gramima, o finoći3 zlata i o novčanoj stopi. Novčana stopa predstavlja broj jedinica zlatnika koji se može iskovati od 1 kg zlata iste težine.

Na primjer u Austro-ugarskoj je kovan zlatnik od 10 kruna (1 kruna = 100 helera) težina čistog zlata 3,3875 grama. Novčana stopa se dobije dijeljenjem 1.000 gr sa 3,3875 gr. tj.: n.s = 1.000 : 3,3875 = 295,2 Znači, od 1 kg zlata iste finoće može se iskovati 295,2 komada zlatnika od 10 kruna.

Sličan obračun se može izvesti i u odnosu na 1 zlatnu krunu. Jednoj kruni u zlatu odgovara 3,3875 : 10 = 0,33875 grama čistog zlata. Novčana stopa za 1 zlatnu krunu n.s (1 kruna) = 1.000 : 0,33875 = 2.952 Ovo znači da se od 1 kg zlata može iskovati 2.952 zlatnika od 1 krune ili emitovati 2.952 papirnih novčanica od 1 krune svaka od kojih je „pokrivena“ sa 0,33875 gr čistog zlata.

Primjetimo da se novčana stopa za jednu krunu može dobiti množenjem novčane stope za zlatnik od 10 kruna sa 10 tj. n.s (1 kruna) = 10 n.s = 10 · n.s = 10 · 295,2 = 2.952

3 Kovani novac se izrađuje od mješavine zlata i bakra. Finoća zlata pokazuje koliko

jedinica čvrstog zlata se nalazi u 1.000 jedinica mješavine. Npr. finoća 900 znači da se na 1.000 jedinica težine mješavine (zlatnika, zlatnog predmeta – bruto) otpada 900 jedinica čvrstog zlata.

35

Skrenućemo pažnju na još jednu činjenicu vezanu za novčanu stopu. Naime ako je za neku valutu (zlatnik) poznat podatak o novčanoj stopi onda je odgovarajuća težina u zlatu sadržana u njoj jednaka količniku (100 : ns).

Na primjer – Danska, Norveška i Švedska činile su Skandinavrsku uniju i imale zajedničku valutu: 1 kruna = 100 era. Zna se da je 1872.godine novčana stopa za jednu krunu bila 2.480 jedinica iz 1 kg čistog zlata finoće 900!

Jedna kruna sadrži (1.000 : n.s.) grama čistog zlata. Kako je 1.000 : 2.480 = 0,4032258, to je 1872. godine jedna kruna sadržavala 0,4032258 grama čistog zlata finoće 900.

Pored zlatnog novca kovan je i srebreni novac (srebrenjaci) obično manje vrijednosti, za koje se takođe navode podaci o težini srebra, finoći i novčanoj stopi.

Razmotrićemo određivanje pariteta kovanog novca na primjeru Francuske, SAD i Velike Britanije (VB) koje su prije I. Svjetskog rata kovale zlatnike: napoleondr od 20 zlatnih franaka (1 franak = 100.santima), eagl od 10 zlatnih dolara i sovrin od 1 funte sterlinga u zlatu.

Podatke o ukupnoj težini (u.tž), težini čistog zlata (t.čz), finoći (fin) i novčanoj stopi (n.s) u odnosu na zlatnike, odnosno jedinicu valute 1.franak = 1 FR, 1 dolar = $ i 1 funta sterlinga = 1 £ iznijećemo u obliku tabele:

Napoleondar, 20 FR Eagl, 10 $ Sovereign, 1 £ utž u gr 6,45161 16,71813 7,98805 t.č.z u gr 5,80645 15,06432 7,322385 Fin 900 900 900 n.s. 172,22 66,4615 136,5673

1 FR 1 $ 1 £ t.č.z u gr 0,2903225 1,504632 7,322385 n.s. 3.444,4 664,61 136,5673

Ovdje je moguće odrediti paritet između dva i dva zlatnika, odnosno između dvije i dvije osnovne jedinice u zlatu, jer su oni izrađeni od

36

zlata iste finoće. Polazi se od činjenice da paritet pokazuje koliko jedinica jedne valute sadrži istu količinu čistog zlata u gramima (ili pretstavlja istu vrijednost u gramima čistog zlata – što se odnosi na papirni novac) kao određeni broj jedinica druge valute.

Razmotrimo paritet između franka i dolara. Označimo sa x broj franaka koje treba dati za jedan dolar. Prema gornjem stavu formira se jednačina: X · broj grama zlata u 1 FR = broj grama zlata u 1 $

X · 0,2903225 gr = 1,504632 gr ⇒X = 5,18226223

Dobiven broj pretstavlja paritet 1 zlatnog dolara prema franku. Pišemo: 1$ = 5,18226223.

Da bi se odredio paritet 1 zlatnog franka prema dolaru postupa se na isti način, a dovoljno je naći recipročnu vrijednost broja 5,18226233. Dobija se broj 0,1929525, pa pišemo 1 FR = 0,1929525 $.

Po istoj proceduri određuju se ostali pariteti. Dobijene brojeve predstavićemo u obliku matrice, čije vrste predstavljaju paritete posmatranih valuta prije I Svjetskog rata kada je kovani novac (zlatnici i srebrenjaci) bio vidno zastupljen u opticaju.

FR $ £

1 FR - 0,1929525 0,0396486 (1) 1 $ 5,1826223 - 0,2054839 (2) 1 £ 25,221555 4,866562 - (3)

Vrste (1), (2) i (3) sadrže paritete (kurseve) odgovarajuće valute u odnosu na druge dvije.

37

PRIMJER 1. Formirajte matricu pariteta na osnovu podataka o zlatnicima, odnosno osnovnim jedinicama valute slijedećih država – prije I Svjetskog rata. (1) Austrougarski zlatnik

(AUZ) od 20 kruna Ruski zlatnik

(RZ) od 5 rubalja t.č.z 6,09756 gr 6,4516 Fin 900 900 n.s. 164 155

jedinica u zlatu 1 kruna = 100 helera 1 rublja = 100 kopejki (2) Holandija – 1 zlatna forinta 1 forint = 100 centa, n.s. = 1.653,439 forinti, fin 900 (3) Njemačka – 1 zlatna marka 1 marka = 100 pfeninga, n.s. = 2.790 maraka, fin 900 Odredite međusobne paritete osnovne valute za svaku od 4 posmatrane države u odnosu na ostale i formirajte njihove paritetne (kursne) liste, kakve bi bile u periodu prije I. Svj. rata.

3.2.3. Valutni paritet, kursne liste

Kovani novac je od početka I. Svj. rata prestao da cirkuliše u platnom prometu, da bi u svim državama svijeta bio postepeno zamjenjen papirnim novcem (banknotama u vrijednosti osnovne jedinice i njenih većih vrijednosti – 10, 20, 50 100,.....). Zadržao se jedino kovani novac sitnije vrijednosti napravljen od neplemenitih metala, čija je svrha sitnija plaćanja i podkusurivanje!

To dovodi do potrebe da se umjesto pariteta kovanog novca, koji se određivao na osnovu prethodno navedenih podataka za koje je garantovala država, da se definira valutni paritet papirnog novca, koji će biti međunarodno priznat i primjenjen. Već je pomenuto da je

38

MMF osnovan 1944. god. kao međunarodna institucija čiji je zadatak utvrđivanje i usklađivanje valutnih pariteta svojih članica. Preciznije govoreći paritet valuta zemalja članica MMF izvražava se u zlatu prema odgovarajućoj težini i čistoći na dan 1. jula 1944. godine, pri ćemu je data mogućnost da se paritet utvrđuje i u odnosu na dolar (koji ima zlatnu podlogu). Takođe je utvrđeno da se svi valutni poslovi moraju obračunavati na toj osnovi, paritet se može mijenjati radi ispravljanja temeljne neuravnoteženosti poslije savjetovanja sa Fondom i s njegovim odobrenjem.

Valutni paritet pretstavlja zakonsku vrijednost osnovne jedinice valute izražene u gramima čistog zlata određene finoće koja je priznata od strane MMF. Paritet izračunat na temelju zlatnog pariteta je kursni ili tečajni paritet. Kako poslovna praksa često zahtijeva zamjenu jedne valute drugom to se kurs (tečaj) valute tretira i kao cijena valute. Ako je promet zlata slobodan kurs valute se kreće oko zlatnog pariteta u granicama utvrđenim od strane MMF, tj. unutar granica ± 1% oko pariteta.

Valutni kurs se iskazuje za 100 ili 1 jedinicu strane valute koja se mijenja za domaću valutu. Time se utvrđuje koliko jedinica domaće valute treba dati za 100 ili 1 jedinicu strane valute.

Na temelju valutnog kursa (cijene valute) vrši se kupovina i prodaja strane valute koja se obavlja u poslovnim bankama, kako domaćim tako i inozemnim.

Do promjene valutnog kursa može doći usljed porasta odgovarajuće novčane stope, što u stvari znači smanjenje težine čistog zlata koja pokriva jedinicu valute. Ovo je rijeđi slučaj koji nastupa kao posljedica krupnijih ekonomskih poremećaja i s njima povezane (dugotrajnije) krize. Kao primjer navodimo promjene kursa funte sterlinga (£) prema dolaru ($) do kojih je došlo nakon 1960. god – i to:

39

1967.godina (V.B. „snizila“ težinu zlata), 1971.godina (SAD – „snizile“ težinu zlata) i 1973. god. (SAD – snizile težinu zlata). Podatke o težini čistog zlata u gramima i kretanju kursa sadrži tabela4: T.Č.zl 1960. 1967. 1971. 1973. V.B. 2,48828 2,13281 2,13281 2,13281 SAD 0,888671 0,888671 0,818513 0,73670 KURS 1£ = 2,8 $

1$ = 0,357143 £ 1£ = 2,4 $

1$ = 0,416666 $ 1£ = 2,605713 $ 1$ = 0,383772 £

1£ 2,895086 $ 1$ = 0,344129 £

Razumljivo ove promjene kursa najvažnijih svjetskih valuta u tim godinama izazvale su i promjene kursova drugih valuta. Interesantno je iznijeti podatak da je na dan 12.I.2010. godine kurs posmatranih valuta bio5 1 £ = 1,614021 $, odnosno 1 $ = 0,619570 što svjedoči o tome da je takvih promjena bilo i u periodu nakon 1973. godine (1973 funta vrijedi više od 2 dolara, 2010 funta vrijedi manje od 1 dolara – opala je za 24,27%!).

U današnje vrijeme promjene valutnog kursa su tržišnog karaktera i veoma su dinamične. Valutni kursevi se formiraju pod djelovanjem ponude i potražnje valuta na valutnom tržištu. To je organizovano tržište na kojem se trguje valutama i time određuje njihova cijena. Valutni kurs se formira u onoj „tački“ u kojoj su ponuda i potražnja za valutama (i drugih stranih sredstava plaćanja) uravnotežene.

Valutni kurs kao cijena valute se može promjeniti usljed promjene cijena dobara i roba, do čega dolazi usljed promjene odgovarajuće ponude i potražnje. Na primjer promjena ponude sirove nafte na svjetskim tržištima može izazvati promjenu kursa dolara i kursa drugih valuta.

Valutni kurs za neku valutu opada ako opada potražnja za njom ili poveća njena ponuda, a vrijedi i obrnuto. Ovo se odnosi kako na domaću valutu, tako i na stranu valutu. 4 Vidjeti – Luka Sarajić: „Privredna matematika“, knjiga 2, Zavod za izdavanje

udžbenika Sarajevo, 1974.g. str. 227 – 233. 5 Vidjeti: Luka Sarajić, navedeno djelo

40

Posmatrano iz domaće perspektive, veličina tražnje za stranom valutom zavisi od obima domaće potražnje za stranim dobrima i robama, jer implicira ponudu domaće valute. Slično tome, veličina potražnje za domaćom valutom zavisi od potražnje za domaćim dobrima i robama u drugim zemljama, čime se određuje obim ponude strane valute.

Valutni kursevi različitih valuta objavljuju se na kursnim listama u kojima se iskazuju kupovni (niži), srednji i prodajni (viši) kurs za svaku stranu valutu. U praksi se primjenjuju dva načina iskazivanja kurseva:

- direktno kotiranje; koliko jedinica domaće valute treba dati za 1 ili 100 jedinicu strane valute,

- indirektno kotiranje: koliko jedinica strane valute treba dati za jedinicu domaće valute.

Direktno kotiranje se primjenjuje u našoj državi i drugim evropskim državama, a indirektno kotiranje u Velikoj Britaniji.

Kursne liste objavljuju domaće poslovne banke, kao i Centralna banka. One obuhvataju selekciju određenih stranih valuta koje su od značaja za domaću ekonomiju. Kursne liste objavljuju banke u drugim zemljama svijeta. Od posebnog su značaja kursne liste objavljene u važnim svjetskim poslovnim centrima (London, Njujork, Tokio, Pariz, Frankfurt, ....). Kursne liste se objavljuju u dinamici koja prati tržišne promjene – dnevno, svaka dva dana, sedmično.

41

Kao primjer iznosimo kursnu listu objavljenu od strane „Fima“ banke za dan 09.01.2010. god.:

Zemlja Šifra Oznaka Jedinica Kupovni za efektivu

Srednji kurs

Prodajni za

Efektivu Mađarska 348 HUF 100 0,719541 0,726078 0,731885 Rusija 643 RUB 1 0,045606 0,046020 0,046388 Srbija 941 RSD 100 1,993506 2,011610 2,027703 Litvanija 440 LIT 1 0,561350 0,566448 0,570980 Turska 949 TRY 1 0,921649 0,930019 0,937459 Evropska Unija

978 EUR 1 1,948007 1,955830 1,959742

Kanada 124 CAD 1 1,311296 1,323205 1,333791 Švedska 752 SEK 1 0,189549 0,191270 0,192800 Švicarska 756 CHF 1 1.309608 1,320169 1,330730 Australija 036 AUD 1 1.241658 1,252934 1,262957 Danska 208 DKK 1 0,260479 0,262845 0,264948 Norveška 578 NOK 1 0,237251 0,239406 0,241321 Velika Britanija

826 GBP 1 2,169496 2,189199 2,206713

SAD 840 USD 1 1,354543 1,370301 1,383319 Hrvatska 191 HRK 100 26,646698 26,888696 27,103806 Japan 392 JPY 100 1,453380 1,466579 1,478312 Češka Republika

203 CZK 1 0,073666 0,074335 0,074930

Kolona „kupovina za efektivu“ (gotov novac) odnosi se na kupovinu strane valute i njeno plaćanje domaćom valutom – KM. Na primjer, ako se kupuje engleska funda onda je 1£ = 2,169496 KM, a japanski jen tada je 100 jena = 1,453380 KM. Kupovina strane valute u poslovnim bankama povezana je sa ponudom strane valute.

Kolona „prodaja za efektivu“ odnosi se na prodaju strane valute koju vrše poslovne banke za domaću valutu. Na primjer ako se želi kupiti američki dolar, kupovina se odvija prema kursu: 1$ = 1,383319 KM, a za hrvatsku kunu vrijedi 100 kuna = 27,103806 KM.

Prodaja strane valute u bankama, koja se plaća domaćom valutom, uslovljena je domaćom potražnjom za stranom valutom.

42

Kursne liste sadrže važne podatke za planiranje poslovanja pojedinih subjekata, jer njihovim praćenjem u dinamici vremena se mogu uočiti trendovi promjene određenih kurseva.

Poslovne banke objavljuju kursne liste i preko interneta. One često sadrže komparativne podatke o promjeni kursa u dnevnoj dinamici, a može i u mjesečnoj dinamici.

Kao primjer pretstavićemo dio kursne liste koju je objavila „Banque de france“ (francuska banka) na dan 13.01.2010.

06.01.10. 07.01.10. 08.01.10. 11.01.10. 12.01.10. Dolar SAD 1,4350 1,4303 1,4273 1,4528 1,4481 Jen 132,69 133,50 133,36 134,23 132,41 Livra sterlinga 0,8986 0,8996 0,8934 0,8989 0,8972 Norveška kuna 8,1880 8,1980 8,1695 8,1395 - Australski dolar 1,5677 1,5611 1,5610 1,5593 - Kanadski dolar 1,4920 1,479 1,4781 1,4928 1,4959 Ruska rublja 42,85 42,6175 42,50 42,6285 42,6974 Švajcarski frank 1,4823 1,4832 1,4815 1,4755 1,4743

Kursevi se odnose na 1 EURO, vezano za njegovu prodaju u francuskim bankama za navedene valute, i druge valute koje ovdje nisu iznesene.

Vidljivo je da su se kursevi mjenjali dinamično tj. iz dana u dan u odgovarajućem kratkom periodu vremena. Ovo svjedoči da se u današnjem poslovnom svijetu primjenjuju plivajući valutni kursevi kao režim zamjene valuta, koji su rezultat tržišnih promjena. Plivajući kursevi se odnose na valute koje se najčešće koriste: dolar, jen, euro i funta sterlinga.

Međutim, ne prihvata se i da kursevi u potpunosti budu plivajući, jer se mogu desiti velike oscilacije vrijednosti u kratkom roku. Ako se procjeni da takve promjene vrijednosti valute mogu ugroziti ekonomiju zemlje, tada odgovarajuća država interveniše na valutnom tržištu kupujući ili prodajući domaću valutu ili stranu valutu. Sem toga može primjeniti mjere monetarne politike povećavajući ili smanjujući kamatne stope.

43

4. REZOLVIRANJE I REDUCIRANJE MJERA I NOVCA

U poslovnim obračunima često je potrebno jedinice mjere višeg reda pretvarati u jedinice mjere nižeg reda. Da li je neka jedinica – jedinica višeg reda ili jedinica nižeg reda, može biti a ne mora, stvar relativne procjene. Naime ako se radi o tri iste mjere (npr. za dužinu) a, b i c za koje je: a > b > c onda je:

- a jedinica višeg reda u odnosu na b i c - b je jedinica nižeg reda prema a, dok je prema c jedinica višeg reda, - c je jedinica nižeg reda u odnosu na a i b. U slučaju da je a1 < b1 < c1 biće: b1 je jedinica višeg reda prema a1, dok je nižeg reda prema c1.

Na primjer neka se radi o jedinicama za dužinu: m, dm, cm, mm. Vrijedi:

1 dm > 1 cm > 1 mm 1 cm < 1 dm < 1m

Ako se radi o dvije susjedne jedinice relativnosti ocjene u smislu viši red/niži red nema! Pretvaranje jedinica višeg reda u jedinicu nižeg reda zove se rezolviranje. Pretvaranje jedinica nižeg reda u jedinice višeg reda zove se reduciranje. Rezolviranje i reduciranje su dva procesa suprotno orjentisana. Rezolviranje i reduciranje u metričkom sistemu mjera je jednostavna operacija. Međutim, ako se radi o mjerama u Velikoj Britaniji rezolviranje i reduciranje nije jednostavna računska operacija. Isto vrijedi i za britanski novac.

44

4.1. Pretvaranje jedinice novca

Za operaciju pretvaranja jedinica novca važno je znati odnose između njih:

1£ = 20 š = 240 d; 1 š = 201 £, 1 d =

2401 £

1 š = 12 d; 1 d = 121 š

Neka se radi o iznosu m = £ (a,, b,, c), gdje je a – broj funte, b – broj šilinga i c – broj penija. Vrijede ograničenja 0 ≤ b < 20 i 0 ≤ c < 12. Iznos m revolvirati (preračunati) u penije!

m = £ (a,, b,, c) = a £ + bš + cp

= a · 240 d + b · 12 d + cd =

= (240 a + 12 b + c) d

Obračun se izvodi „šematski“ u dva koraka, u prvom se funte pretvaraju u šilinge, a u drugom šilinzi u penije.

(1) a · 20 š = 20 aš + bš = (20 a + b) š (2) = (20 a + b) · 12 d + cd m = (20 a + b) · 12 d + c · d = (240 a + 12 b + c) d

Napominjemo da se ova šematska procedura primjenjuje i za druge mjere (dužina, težina, težina zlata, ....), gdje je potrebno poznavati odnose između pojedinih jedinica mjera! Ovo je operacija rezolviranja.

45

PRIMJER 1. Iznos m = £ (27,, 35,, 49) pretvoriti u penije. Očigledno je:

m = (27 · 240 + 35 · 12 + 49) d = 6.949 d Šematski

(1) 27 £ · 20 = 540 š + 35 š

575 š 575 š · 12 = 6.900 d (2) 575 š · 12 = 6.900 d

+ 49 d m = 6.949 d

Pretstavljanje iznosa m = £ ( a,, b,, c) u decimalnom obliku. U ovom slučaju radi se o operaciji reduciranja. Potrebno je šilinge i penije izraziti preko funte.

m = a · £ + b · š + c · d, 1š = 201 £, 1 d =

2401 £

m = (a + b · 201 + c ·

2401 £

Kako je:

1251 1 5 1 1 1 1253, 12520 20 5 100 240 10.000 3

3

= ⋅ = = = ⋅

dobiće se

m = (a + b c 1255100 10.000 3

⋅ + ⋅ ) £

Prema tome da bi se iznos m = £ (a,, b,, c) pretstavio u decimalnom obliku treba postupiti na slijedeći način:

- broj šilinga b podijeliti sa 100 i dobiveni količnik pomnožiti sa 5

46

- broj penija c podijeliti sa 10.000 i taj količnik pomnožiti sa 3

125

- izvršiti operaciju sabiranja u zagradi prilikom izračunavanja drugog razlomka izvršiti zaokruženje na tri decimale!

PRIMJER 2. Iznos m = £ (47,, 17,, 11) izraziti u decimalnom obliku funte

m = (a + b c 1255100 10.000 3

⋅ + ⋅ ) £

m = (47 + 17 11 1255100 10.000 3

⋅ + ⋅ ) £

Kako je:

17 11 1255 0,85i 0,0458333100 10.000 3

⋅ = ⋅ = , što ćemo zaokružiti

na tri decimale tj. 0,046, Dobiće se:

m = (47 + 0,85 + 0,046) £ = 47,896 £

Isto uraditi za iznos m = (25,, 18,, 17) £!

m = (25 + 18 17 1255100 10.000 3

⋅ + ⋅ ) £ = (25 + 0,9 + 0,071) £

m = 25, 971 £ Moguća je i obrnuta operacija: iznos m napisan u decimalnom obliku funte napisati u obliku £ (a,, b,, c). Ovdje treba voditi računa o tome da se funte pretvaraju u šilinge množenjem sa 20, a šilinzi u penije, množenjem sa 12. Proceduru odgovarajućeg preračuna predstavit ćemo na primjeru uz potrebno analitičko sagledavanje. Uzmimo prethodni primjer m = (47,, 17,, 11) £ koji smo napisali u decimalnom obliku, tj. m = 47,896 £. Treba odgovarati na pitanje: koliko iznos m = 47,896 £ sadrži funti, šilinga i penija?

47

Procedura: (1) m = 47,896 £ = 47 £ + 0,896 £

a = 47 (2) 0,896 £ = 0,896 £ · 20 = 17,92 š = 17 š + 0,92 š

b = 17 (3) 0,92 š = 0,92 š · 12 = 11,04 d

c = 11 m = (47,, 17,, 11)

Procedura preračunavanje se može ubrzati, što ćemo pokazati na primjeru.

PRIMJER 3. Iznos m = 72,977 £ rezolvirati na penije! Ovdje je potrebno, prvo, iznos m napisati u obliku m = (a,, b,, c) £ a zatim ga preračunati u penije.

m = 72,977

(1) a = 72 (2) 0,977 · 20 = 19,54 b = 19 (3) 0,54 · 12 = 6,48, zaokružava se na niže c = 6 m = (72,,19,, 6) £ Preračun u penije (1) 72 £ · 20 = 1.440 š

+ 19 š 1.459 š

(2) 1.459 š · 12 = 17.508 d + 6 m = 17.514 d

Reduciranje iznosa m izračenog u penijima u funte i šilinge6.

m d = £ (a,, b,, c), a = ? , b = ?, c = ?

6 Ovdje se ne radi o „potpunom“ reduciranju jer postoji ostatak

48

Radi jasnoće izlaganja izvršimo dijeljenje 475 : 23. Lako se dobije da je rezultat cio broj 20 i ostatak dijeljenja 15, pa je:

231520

23475

+=

Ako se ova jednakost pomnoži sa 23 dobiće se ekvivalentna jednakost.

475 = 23 · 20 + 15

Označimo cjelobrojni dio djeljenja količnika sa q, tj. q = 20 a ostatak dijeljenja sa r tj. r = 15 dobit ćemo:

475 = 23 q + r Odavde slijedi da je

r = 475 – 23 p. Ovo analitičko sagledavanje primjenit ćemo za efikasno rješavanje pretstavljenog problema reduciranja (nepotpunog)7. Podsjetimo se: broj penija dijeli se sa 12 i dobiva se broj šilinga, a, broj šilinga treba podijeliti sa 20 da bi se dobio broj funti. Dakle procedura reduciranja sastoji se iz dva koraka:

1. Reduciranje na šilinge

12rq

12m 1

1 +=

m = 12 q1 + r1, r1 = m – 12 q1

Ovo u stvari znači da je

m d = 12 · q1 d + r1 d, q1 · 12 d = q1 š m d = q1 š + r1 · d ... (1)

7 Termin reduciranje koristi se radi jednostavnosti izlaganja!

49

2. Sada se šilinzi reduciraju u funte. Dobili smo da je broj šilinga q1. Treba ga podijeliti sa 20 i uočiti ostatak.

20rq

20q 2

21 +=

q1 = 20 q2 + r2, r2 = q1 – 20 q2 Ovo znači da je

q1š = 20 q2 š + r2 š, 20 š · q2 = q2 £ q1š = q2 = q2 £ + r2 š .... (2)

Povezujući jednakosti (1) i (2) za rezultat reduciranja dobiva se da je m d = q2 £ + r2 š + r1 d ....(*) r2 = q1 – 20 q2, r1 = m – 12 q1 ....(**)

Iz (*) i (**) slijedi da je

m d = q2 £ + (q1 – 20 q2) š + (m – 12 q1) d ....(***) PRIMJER 4. Reducirati iznos m = 19.579 d na funte i šilinge

(1) m : 12 = 19.579 : 12 = 1.631,5833 q1 = 1.631, r1 = m – q1 · 12 = 19.579 – 1.631 · 12 = = 19.579 – 19.572 r1 = 7

(2) q1 : 20 = 1.631 : 20 = 81,55

q2 = 81, r2 = q1 – 20 q2 = 1.631 – 20 · 81 = 1.631 – 1.620 = 11 r2 = 11

m = 19.579 d = 81 £ + 11 š + 7 d = £ (81,, 11,, 7)

Ako je iznos m dat u šilinzima, tada ga možemo rezolvirati u penije ili reducirati u funte. U oba slučaja se postupa na već opisani način.

50

PRIMJER 5. Iznos m = 597 š predstaviti u decimalnom obliku funte. Prvo treba vidjeti koliko u datom iznosu ima funti, i koliki je ostatak u šilinzima.

m = 20 q + r, r = m – 20 q

85,2920

59720m

==

q = 29, r = 597 – 20 · 29 = 17, r = 17

Znači: m = 597 š = 29 · 20 š + 17 š

m = £ (29,, 17,, 0); a = 29, b = 17, c = 0

£ (29,, 17,, 0) = (29 + b c 1255100 10.000 3

⋅ + ⋅ £

b 17 0 1255 5 0,85; 0100 100 10.000 3

⋅ = ⋅ = ⋅ =

£ (29,, 17,, 0) = (29 + 0,85) £ = 29,85 £

m = 597 š = 29,85 £

PRIMJER 6. Iznos m = £ (57,, 0,, 13) pretstaviti u decimalnom obliku funte.

m = £ (57,, 0,, 13); a = 57, b = 0, c = 13

b c 125 13 1255 0; 0,054100 10.000 3 10.000 3

⋅ = ⋅ = ⋅ =

m = £ (57,, 0,, 13) = (57 + 0 + 0,054) £ = 57,054 £

51

4.2. Pretvaranje jedinica drugih mjera

Procedure rezolviranja i reduciranja pojedinih jedinica drugih mjera (prema „dolje“ – viših u niže i prema „gore“ – nižih u više) su iste kao one koje su predstavljene za jedinice novca. Moguće je vršiti rezolviranje viših jedinica u niže, odnosno najnižu. Takođe vrši se reduciranje nižih jedinica u višu jedinicu, odnosno najvišu jedinicu. Da bi se to postiglo potrebno je znati omjerne brojeve između dvije susjedne jedinice – više prema nižoj i niže prema višoj. Stoga je korisno da ovdje predstavimo ponovo mjere za dužinu, težinu trgovačke robe i težinu zlata, i njihove odnose.

I. Dužina

engleska

milja yard stopa

feet palac inch

crta lajn

1 em 1 yd 1 ft 1 in 1 l 1 yd = 3 ft = 36 in = 4.32 l = 0,914 m ..... (1)

Osnovna jedinica je 1 yard = 0,914 m, 1 em = 1.760 yd

Iz jednakosti (a) mogu se odrediti potrebni odnosi. Npr.

1 ft = 12 in = 144 l; 1 l = ft121in 1 in,

121

=

1 l = yd4321 ft

1441 in

121

==

Mogući su i drugi odnosi! II. Težina trgovačke robe Jedinice višeg reda od osnovne:

engleska tona hunder wejt

kvater libra (funda)

1 et 1 cwt 1 qr 1 lb 1 et = 20 cwt = 80 qr = 2.240 lb = 1.016 kg .....(2)

Osnovna jedinica: 1 lb = 0,454 kg

52

Jedinice nižeg reda od osnovne: libra (funta)

unza Drem gren

1 lb 1 oz 1 dr 1 gr 1 lb = 16 oz = 256 dr = 7.000 gr = 0,454 kg ....(3)

II. Težina zlata (troj jedinice)

troi libra

troi unza

peni vejt

gren

1 trlb 1 troz 1 dwt 1 Gr 1 trlb = 12 troz = 240 dwt = 5.760 Gr = 373,242 grama ....(4)

Osnovna jedinica: 1 trlb = 373,242 grama Postoji jedinica 1 karat = 4 Gr

Iz jednakosti (2), (3) i (4) određuju se potrebni odnosi – omjerni brojevi potrebni za rezolviranje i reduciranje odgovarajućih jedinica.

Prvo ćemo predstaviti proceduru revolviranja od najviše jedinice mjere (u primjeru) do najniže. PRIMJER 7. Veličinu n = Yd (15,, 2,, 10,, 7) izraziti preko najniže jedinice dužine – lajna (l). Treba obratiti pažnju na jednakost (1)

1 Yd = 3 ft, 1 ft = 12 in, 1 in = 12 l ...(*) n = yd (15,, 2,, 10,, 7)

Prvi korak

yd → ft .... 15 yd = 15 · 3 ft = 45 ft + 2 ft 47 ft

53

Drugi korak ft → in .... 47 ft = 47 · 12 in = 564 in + 10 in 574 in

Treći korak

in → l ..... 574 in = 574 · 12 l = 6.888 l + 7 l n = 6.895 l

Sada ćemo izvesti proceduru reduciranja (nepotpunog) kojom veličinu n = 6.895 l prevodimo u jedinice višeg reda. Procedura se izvodi postepeno. Prvo ćemo lajne prevesti u inče, zatim dobiveni broj inča prevešćemo u fite i konačno fite u jarde. Pri tom se pojedine veličine dijele sa odgovarajućim omjernim brojem (jednakosti (*) i utvrđuju cjelobrojni dio količnika q i ostatak r. Broj q označava broj jedinica višeg reda, a ostatak r se određuje na isti način kao kod preračuna novčanih jedinica i označava broj koji „ostaje“.

n = 6.895 l

Prvi korak l → in ... 6.895 : 12 = 574,583 q = 574, r = 6.895 – 12 · 574 = 7 6.895 l = 574 in + 7 l .... (i)

Drugi korak in → ft 574 : 12 = 47,833 q = 47, r = 574 – 12 · 47 = 10 574 in = 47 ft + 10 in .... (ii)

Treći korak

ft → yd 47 : 3 = 15,666 q = 15, r = 47 – 3 · 15 = 2 47 ft = 15 yd + 2 ft .... (iii)

Konačno se dobije na osnovu (i), (ii), (iii) n = 6.895 l = 15 + d + 2 ft + 10 in + 7 l n = yd (15,, 2,, 10,, 7)

54

PRIMJER 8. Veličinu n = et (27,, 19,, 2,, 23) izraziti u engleskim tonama. Ovdje se radi o (potpunom) reduciranju jer jedinice težine hunder – weite (cwz), kvotere (qr) i libre (lb) treba prevesti u engleske tone.

Kako je 1 et = 20 cwt = 80 qr = 2.240 lb to se: broj cwt dijeli sa 20, broj qr dijeli sa 80 i broj lb dijeli sa 2.240, a zatim se dobiveni količnici (koji se odnose na et) saberu sa brojem et datim u primjeru. Kao rezultat dobiće se ukupan broj et izražen decimalnim brojem sa četri decimale!

n = et (27,, 19,, 2,, 23)

Preračunavanje predstavljamo šematski: 1. et → et ... 27 et = 27,0000 et 2. cwt → et .. 19 cwt = 19 : 20 et = 0,9500 et 3. qr → et ... 2 gr = 2 : 80 et = 0,0250 et 4. lb → et ... 23 lb = 23 : 2.240 et = 0,0103 et n = 27,9853 et

PRIMJER 9. Veličinu n = et (7,, 15,, 3,, 21) izraziti u cwt. Ovdje se radi o kombinaciji: et treba revolvirat u cwt, a qr i et treba reducirati u cwt. Treba znati:

1 et = 20 cwt, 1 cwt = 4 qr, 1 cwt = 112 lb n = et (7,, 15,, 3,, 21) 1. et → cwt .... 7 et = 7 · 20 cwt = 140,0000 cwt 2. cwt → cwt ... 15 cwt = 15,0000 cwt 3. qr → cwt .... 3 qr = 3 : 4 cwt = 0,7500 cwt 4. lb → cwt ... 21 lb = 21 : 112 cwt = 0,1875 cwt n = 155,9375 cwt

Dodatak primjeru. Ako pretpostavimo da je veličina neka količina trgovačke robe čija je cijena p = £ (5,, 17,, 3) za 1 cwt izračunati koliki su troškovi kupovine količine n = et (7,, 15,, 3,, 21).

55

Pošto se cijena odnosi na 1 hunderwejt (cwt) to je potrebno količinu kupljene robe n izraziti u cwt, što je već urađeno. S druge strane potrebno je cijenu robe izraziti u decimalnom obliku funte.

p = £ (5,, 17,, 3); a = 5, b = 17, c = 3

b c 1255 0,85, 0,0125100 1.000 3

⋅ = ⋅ =

p = (5 + 0,85 + 0,0125) £ = 5,8625 £/1 cwt

Troškovi kupovine robe

T = n · p = 155,9375 cwt · 5,8625 £/cwt T = 914,18359 = 914,1836, (zaokruženje na više)

PRIMJER 10. Težina nekog predmeta od zlata iznosi n = Trlb (12,, 7,, 13,, 5). Treba odrediti kolika je njegova težina u gramima.

Treba znati: 1 trlb = 373,242 grama

1 trlb = 12 troz = 240 dwt = 5.760 Gr

Težinu predmeta n = trlb (12,, 7,, 13,, 5) potrebno je izraziti u trlb. 1. trlb → trlb .... 12 trlb = = 12,000000 trlb 2. troz → trlb ..... 7 troz = 7 : 12 trlb = 0,583333 trlb 3. dwt → trlb ... 12 dwt = 13 : 240 trlb = 0,054167 trlb 4. Gr → trlb .... 5 Gr = 5 : 5.760 trlb = 0,000868 trlb n = 12,638368 trlb

Ukupna težina predmeta u gramima je Q = 12,638368 · 373,242 Q = 4.717,1697 grama zlata

56

PRIMJER 11. Koliko iznosi cijena za 1 cwt neke robe ako je za količinu te robe n = cwt (17,, 3,, 19) ukupno plaćeno £ (58,, 17,, 8).

Ovdje je potrebno, prvo količinu kupljene robe n izraziti u cwt, a zatim iznos plaćanja m = £ (17,, 3,, 19) treba prikazati u decimalnom obliku funte. Na osnovu dobivenih podataka lako se određuje tražena cijena.

Dobije se: n = 17,919 cwt, m = 58,883 £ Cijena za 1 cwt robe je

p = m : n = 58,883 : 17,919 p = 3,286 £

57

5. PROPORCIJE Proporcija je omjer između dvije veličine, tj. odnos dva elemenata različitih veličina. 5.1. Omjer

Omjer (razmjer) dva broja ili dvije veličine iste vrste je odnos koji pokazuje koliko puta je jedan broj (veličina) veći ili manji od drugog broja (veličine).

Neka su a i b dva pozitivna broja (a > 0, b > 0), što se može pretpostaviti jer se sve ekonomske veličine koje su predmet analize i odgovarajućeg obračuna izražavaju pozitivnim brojem. Na primjer: cijena robe je pozitivan broj, iznos troškova kao i prihoda i dobiti izražavaju se pozitivnim brojem, isto vrijedi za veličinu potražnje i ponude i tako dalje.

Odrediti omjer brojeva a i b znači izvršiti operaciju dijeljenja tj. a : b, koja ima rezultat k

(k > 0 jer je a > 0, b > 0). Pišemo:

a : b = k ili kba= ... (*)

Brojeve a i b zovemo članovima omjera, dok broj k predstavlja njihov količnik ili vrijednost omjera. Broj a zovemo još prvi član omjera a broj b drugi član omjera. Za vrijednost omjera vrijedi:

k > 1, ili k < 1 k > 0. Ako je k > 1 tada je a > b.

Međutim, ako je 0 < k < 1 tada je a < b.

58

Na primjer posmatrajmo dva omjera:

12 : 4 = 3 i 5 : 10 = 21 .

U prvom slučaju je: k = 3 > 1, a u drugom je k = 21 < 1.

Navedene omjere možemo „pročitati“: 1) broj a = 12 sadrži broj b = 4 tri (3) puta, 2) broj a = 5 sadrži b = 10 „polovinu“ puta. Napomenimo još da jednakosti (*) su ekvivalentne sa jednakosti a = kb. Ovu okolnost pišemo na slijedeći način:

a : b = ba = k ⇔ a = kb

Broj k (količnik) zove se još faktor proporcionalnosti.

Činjenica da se omjer piše u obliku razlomka omogućava da se na računanje sa omjerima primjenjuju pravila računanja sa razlomcima.

Za omjere vrijede pravila: 1).Članovi omjera a i b moraju biti neimenovani brojevi ili istoimeni brojevi8. Ako su a i b raznoimeni brojevi (npr. a se odnosi na metre, b na centimentre) moraju se izraziti u jedinicama iste vrste. Ako se upoređuju dvije veličine iste vrste tada njihovi mjerni brojevi moraju se odnositi na jedinice mjere iste vrste. Na primjer ako je a = 3 dkg i b = 25 grama, tada a i b moraju biti izraženi, oba u dkg ili oba u gramima. Da bi se odredio njihov omjer treba prethodno izvršiti njihovo preračunavanje:

a : b = 3 dkg : 25 gr = 30 gr : 25 gr = 300 : 25 = 1,2 a : b = 3 dkg : 25 gr = 3 dkg : 2,5 dkg = 3 : 2,5 = 1,2

Slično se postupa ako je jedan od brojeva a i b, ili oba, mješovit broj. 8 Istoimeni brojevi imaju označeno ime veličine ili jedinice na koju se odnose

59

Na primjer:

5 : 3 k 34

15205

415:5

43

415

=====

k58

1524

23:

512

211:

522 ====

2).Dva omjera su jednaka kada su im količnici jednaki.

48 : 30 = 58 i 72 : 45 =

58

⇒ 48 : 30 = 72 : 45 =

58 = K

3).Vrijednost omjera tj. količnik razmjere se nemijenja kada se njegovi članovi pomnože ili podijele istim brojem.

24 : 6 = 4, (24 · 3) : (6 · 3) = 4, (24 : 2) : (6 : 2) = 4 24 : 6 = (24 · 3) : (6 · 3) = (24 : 2) : (6 : 2) = 4

Ova osobina je značajna jer se njenom primjenom omjer može uprostiti. Na primjer

=65:

94 (množenjem oba člana sa 18) =

4 5 8( 18) : ( 18) 8 :15 ( K)9 6 5

= ⋅ ⋅ = = =

4) Iz a : b = k, slijedi b : a = K1 , omjer b : a je recipročni omjer.

5.2. Definicija proporcije

Posmatramo dva omjera čiji količnici imaju istu vrijednost: a : b = k i c : d = k (a > 0, b > 0, c > 0, d > 0, k > 0)

Tada se može formirati jednakost

a : b = c : d (= k) koja se zove proporcija.

60

Dakle proporcija pretstavlja jednakost dvije proporcije čiji količnici imaju istu vrijednost.

a : b = c : d (= k)

Brojevi a, b, c i d su članovi proporcije. Brojevi a i d su vanjski članovi, dok su b i c unutrašnji članovi proporcije. Nadalje a i c su prvi vanjski član s lijeve strane i prvi unutrašnji član s desne strane. Slično tome b i d su drugi unutrašnji član s lijeve strane i drugi vanjski član s desne strane. Kazat ćemo da su a i c „odgovarajući“ članovi proporcije (kao prvi članovi proporcije), a takođe su b i d „odgovarajući“ članovi proporcije (kao drugi članovi).

Proporcija koju obrazuju dva omjera iste vrijednosti zove se još prosta proporcija.

5.3. Osobine prostih proporcija

1).a: b = c : d ⇒ a · d = b · c Proizvod vanjskih jednak je proizvodu unutrašnjih članova. Na primjer

12 : 4 = 1 : 44143112

31

=⇒⋅=⋅⇒

Na primjer . Naći x ako je

2 : x = 3 : ⇒43 2 ·

21

233xx3

43

=⇒=⇒= x

2) Proporcija se nemijenja ako se oba člana na lijevoj strani ili oba člana na desnoj strani ili odgovarajući članovi (vanjski i njemu odgovarajući unutrašnji a i c tj. b i d) pomnože (podijele) istim brojem.

a : b = c : d, m > 0 (m · a) : (m · b) = c : d a : b = (m · c) : (m · d) (m · a) : b = (m · c) : d a : (m · b) = c : (m · d)

61

Ilustracija: Posmatra se proporcija 4 : 2 = 2 : 1,

m = 21

(4 · 1:21:21:2212(:)

21

=⇒=⋅

4 : 2 = (2 · 12214

21:12:4)

211(:)

21

⋅=⋅⇒=⇒⋅

(4 · 1:12:21:)212(2:)

21

=⇒⋅=

4 : (2 · 12214

21:21:4)

211(:2)

21

⋅=⋅⇒=⇒⋅=

Ova osobina je korisna jer se njenom primjenom proporcija može pojednostaviti, čime se dobije nova s kojom se lakše računa. PRIMJER 1.

a : b = 35

12:4

15522:

43

= , slijedi

a : b = ( )205

12(:)204

15⋅⋅

= 75 : 60 = (75 : 15) : (60 : 15) = 5 : 4

Proporcija a : b = 3522:

43 je ekvivalentna sa a : b = 5 : 4.

Lako se pokazuje da proporcije a : b = c : d proizilaze slijedeće proporcije:

a : c = b : d (a + b) : (c + d) = a : c = b : d (a – b) : (c – d) = a : c = b : d (a + b) : (c + d) = (a – b) : (c – d) (a + b) : (a – b) = (c + d) : (c – d)

Posmatrati proporciju 2 : 3 = 1 : 1,5 i izvršiti provjeru!

62

5.4. Produžene proporcije

Ako tri ili više omjera imaju isti količnik onda se od njih može napisati produžena proporcija. Ovo ćemo ilustrovati na slučaju četri proporcije. Prethodno napomenimo da je omjer

a : b = k ekvivalentan sa a = k · b Neka je

a1 : b1 = k, a2 : b2 = k, a3 : b3 = k, a4 : b4 = k. Ovi omjeri su ekvivalentni sa

a1 = k · b1, a2 = k · b2, a3 = k · b3, a4 = k · b4 Upoređivanjem se dobije

a1 : a2 : a3 : a4 = (k · b1) : (k · b2) : (k · b3) : (k · b4)

Kada se članovi na desnoj strani podijele sa k (koji pretstavlja njihov zajednički faktor) dobiće se produžena proporcija (sa po četri člana)

a1 : a2 : a3 : a4 = b1 : b2 : b3 : b4 ... (***) Važna napomena: iz proporcije (***) slijedi da je

a1 = kb1, a2 = kb2, a3 = kb3, a4 = kb4 !

Ako je na primjer

a1 : a2 : a3 : a4 = 25:

35:1:

41 , onda je

a1 = 41 · k, a2 = 1 · k, a3 = 3

5 k, a4 = 25 k

Da bi se odredili brojevi a1, a2, a3 i a4 (u slučaju da je to potrebno) mora biti dat dodatni uslov za određivanje koeficijenta proporcionalnosti k.

63

Radi ilustracije uzmimo da je dat uslov: a1 + a2 + a3 + a4 = 130

a1 = 41 k, a2 = k, a3 =

35 k, a4 =

25 k

a1 + a2 + a3 + a4 = 130

Kad se a1, a2, a3 i a4 uvrste u datu jednačinu dobiće se da je:

65 k = 130 pa je

k = 2, odnosno a1 = 21 , a2 = 2, a3 =

310 , a4 = 5.

Na proširene proporcije može se primjeniti osobina jednostavne proporcije kojom se, množenjem svih članova na desnoj strani nekim brojem, dobiva ekvivalentna proporcija pogodnija za računanje.

Pomnožimo članove desne strane posmatrane proporcije brojem m = 12 (koji je najmanje zajednički sadržatelj nazivnika 4, 3 i 2). Dobiće se a1 : a2 : a3 : a4 = 3 : 12 : 20 : 30 ⇒ a1 = 3 k, a2 = k, a3 = 20 k, a4 = 30 k Kada se ovo uvrsti u zadani uslova

a1 + a2 + a3 + a4 = 130 proizilazi da je

65 k = 130 tj k = 2. Posmatrajmo proširenu proporciju

a1 : a2 : a3 = b1 : b2 : b3 Lako se dokazuje osobina

(a1 + a2 + a3) : (b1 + b2 + b3) = a1 : b1 = a2 : b2 = a3 : b3

Produženu proporciju možemo formirati i na druge načine. Razmotrićemo neke od njih.

64

I) Posmatramo tri specifične proporcije (1) a1 : a2 = b1 : b2 ...1. (2) a2 : a3 = b2 : b3 ...2. (3) a3 = a4 = b3 : b4 ...3.

Specifičnost se sastoji u tome da su kod susjednih proporcija (1. i 2. tj. 2. i 3.) neki članovi na lijevoj i na desnoj strani međusobno jednaki. Gledajmo 1. i 2. proporciju. Vidi se da je: (1) lijevi unutrašnji član prve jednak lijevom vanjskom članu druge proporcije i (2) desni unutrašnji član druge jednak desnom vanjskom članu prve proporcije. Isto vrijedi i za 2. i 3. proporcije.

U ovom slučaju formira se proširena proporcija.

a1 : a2 : a3 : a4 = b1 : b2 : b3 : b4

Ilustracija: (1) a1 : a2 = 2 : 3 1. (2) a2 : a3 = 3 : 4 2. (3) a3 : a4 = 4 : 5 3. (4) a1 : a2 : a3 : a4 = 2 : 3 : 4 : 5 4.

Iz proporcije 4. slijedi da je a1 = 2 k, a2 = 3 k, a3 = 5k, a4 = 5 k što zadovoljava proporcije 1., 2. i 3.

Posmatramo proporcije

a1 : a2 = 3 : 4 1. a2 : a3 = 5 : 6 2. a3 : a4 = 1 : 2 3.

Vidimo da članovi na lijevoj strani zadovoljavaju uslov za formiranje proširene proporcije, a članovi na desnoj strani ne zadovoljavaju taj uslov. Pogodnim množenjem članova na desnoj strani to se može postići. Pomnožimo desnu stranu 1. sa 5 a 2. sa 4, dobićemo

a1 : a2 = 15 : 20 ... 1. a2 : a3 = 20 : 24 ... 2. a3 : a4 = 1 : 2 ... 3.

65

Pomnožimo sad desnu stranu 3. sa 24 a1 : a2 = 15 : 20 ... 1. a2 : a3 = 20 : 24 ... 2. a3 : a4 = 24 : 48 ... 3. a1 : a2 : a3 : a4 = 15 : 20 : 24 : 48 ... 4.

Iz produžene proporcije 4. slijedi da je a1 = 15 k, a2 = 20 k, a3 = 24 k i a4 = 48 k – što zadovoljava početne proporcije 1., 2. i 3.!

PRIMJER 1.

a1 : a2 = 4 : 5 (3) ... 1. a2 : a3 = 3 : 2 (5) ... 2. a3 : a4 = 7 : 10 ... 3.

Pokazati da se pogodnim množenjem desnih strana datih proporcija može dobiti produžena proporcija 4.:

a1 : a2 : a3 : a4 = 12 : 15 : 10 : 7

10 ... 4.

koja je ekvivalentna proporciji 5. a1 : a2 : a3 : a4 = 84 : 105 : 70 : 10 ... 5.

Izvršiti probu!

PRIMJER 2. Iz proporcija: a : b = 3 : 4, b : c = 5 : 6, c : d = 7 : 8 naći proporciju a : d! Treba formirati produženu proporciju 4.:

a : b : c : d = 15 : 20 : 24 : 7

192 ... 4.

a = 15 k, b = 20 k, c = 24 k, d = 7

192

a : d = 15 k : 7

192 k = 15 : 7

192 ... 5.

66

Desnu stranu proporcije 5 množimo sa 37

a : d = 35 : 64 (15 ·37 = 5 · 7 = 35;

7192 ·

37 = 64)

II.) Neka su date jednakosti:

a1 · m2 = a2 · m1 i b1 · n2 = b2 · n1 čiji članovi ai, bi, mi, ni (i = 1, 2, 3, 4) su pozitivni brojevi. Od ovih jednakosti mogu se formirati dvije proste proporcije.

a1 : a2 = m1 : m2 ...(1) i b1 : b2 = n1 : n2 ... (2)

Uvedimo oznake:

a1 : a2 = a, b1 : b2 = b, m1 : m2 = m, n1 : n2 = n.

Kako su članovi proporcija (1) i (2) realni pozitivni brojevi to su a, b, m, n takođe pozitivni brojevi. Ako oni zadovoljavaju uslov.

a = m i b = n Možemo formirati proporciju

a : b = m : n Odnosno proširenu proporciju

(a1 : a2) : (b1 : b2) = (m1 : m2) : (n1 : n2) a1 : a2 : b1 : b2 = m1 : m2 : n1 : n2 ... (3)

PRIMJER 3. Formirati proširenu proporciju ako je 7 a1 = 5 i 3 b1 = 4 b2

Date jednakosti su ekvivalentne prostim proporcijama:

a1 : a2 = 5 : 7 i b1 : b2 = 4 : 3, koje su ekvivalentne proširenoj proporciji

a1 : a2 : b1 : b2 = 5 : 7 : 4 : 3 ... (*)

Iz proporcije (*) slijedi da je a1 = 5 k, a2 = 7 k, b1 = 4 k i b2 = 3 k, što očigledno zadovoljava početne jednakosti u primjeru!

67

5.5. Pravilo trojno

Pravilo trojno je metoda rješavanja računskih (privrednih) problema koja se zasniva na primjeni proporcije. U problemima koji se rješavaju obično učestvuje više veličina koje su međusobno povezane. Da bi se problemi mogli rješavati primjenom proporcija veza između veličina mora se ispoljavati kao direktna proporcionalnost ili kao obrnuta (indirektna) proporcionalnost.

Neka su x i y dvije veličine takve da y zavisi od x. Pošto su y i x ekonomske veličine to je x > 0 i y > 0.

Ako su veličine y i x direktno proporcionalne tada se veza između njih iskazuje jednakošću

y = k · x, (k > 0, faktor proporcionalnosti)

Direktna proporcionalnost znači: ako promjenjiva x raste (opada) tada zavisno promjenjiva y raste (opada). To znači da se promjene veličina kreću u istom smjeru – rast (↑) ili opadanje (↓), obje rastu ili obje opadaju.

Direktna proporcionalnost iskazana kao postavljanje pitanja i davanje odgovora: na pitanje „što više (manje) jedne veličine“ odgovor je „to više (manje) druge veličine“! Kada su y i x obrnuto proporcionalne veza između njih se iskazuje jednakošću

y = xk , (k > 0)

Obrnuta proporcionalnost znači: ako promjenjiva x raste (opada) tada zavisno promjenjiva y opada (raste). To znači da se promjene veličina kreću u suprotnim smjerovima – ako jedna raste (↑) druga opada (↓) ili ako jedna opada (↓), druga raste (↑).

U slučaju obrnute proporcionalnosti sistem „pitanje“ – „odgovor“ ima oblik: na pitanje „što više (manje) jedne veličine“ odgovor je „to manje (više) druge veličine“.

68

Ako u problemu učestvuju četri veličine od kojih su tri poznate a jedna nepoznata model rješenja je prosta proporcija iz koje se nalazi nepoznata veličina su dvije i dvije veličine iste vrste između kojih postoji odnos direktne i/ili obrnute proporcionalnosti koje treba utvrditi. Par poznatih veličina različite vrste obrazuju „uslovni red“ a drugi par, među kojima je nepoznata, obrazuje „uslovni red“. Ovi redovi ispisuju se jedan ispod drugog, nakon čega se utvrđuju smjerovi zavisnosti (↑ ili ↓) koristeći sistem „Pitanje – odgovor“. Nakon toga se formira proporcija iz koje slijedi rješenje problema. U ovom slučaju se radi o prostom pravilu trojnom.

Ako u problemu učestvuju šest, osam, ... veličina, od kojih je jedna nepoznata radi se o složenom pravilu trojnom. Problem se rješava modelom koji je razvijen za potrebe privredne matematike9.

I u ovom slučaju formiraju se uslovni i upitni red pa se utvrđuju smjerovi zavisnosti (↑,↓) sistemom „pitanje – odgovor“, pri ćemu pitanje počinje od nepoznate veličine. To znači da se par kojem pripada nepoznata veličina „upoređuje“ sa ostalim parovima bi se utvrdio smjer zavisnosti. Nakon toga rješenje se nalazi jednostavno.

PRIMJER 1. Za 36 kg trgovačke robe plaćeno je 72 KM. Koliko treba platiti za 54 kg iste robe? Označimo sa x iznos plaćanja za 54 kg iste robe. Formiraćemo uslovni i upitni red: Postavićemo pitanje polazeći od upitnog reda!

uslovni 72 KM 36 kg upitni x KM 54 kg

Pri konstantnoj cijene na pitanje „što je veći broj kg kupljene robe“ to je „veći iznos plaćanja“, pa se radi o direktnoj proporcionalnosti (↑). (Veće prema manjem kao veće prema manjem). Može se formirati proporcija

x : 72 = 54 : 36 ⇒ x = 108 KM 9 Vidjeti: dr Vidoje Veselinović: „Privredna matematika“, str. 64 – 67.

69

PRIMJER 2. Neki posao mogu da završe 24 radnika za 32 dana uz radno vrijeme od 8 sati dnevno. Nakon 8 dana 6 radnika je premješteno na drugi posao. Za koliko dana će preostali radnici završiti započeti posao, uz isto radno vrijeme?

Da su svi radnici ostali na poslu trebalo bi im 32 da dovrše taj posao. Međutim sad je na raspolaganju 18 radnika. Zato se postavlja pitanje: za koliko dana će 18 radnika završiti posao koji bi inače 24 radnika izvršili za 32 dana? Označimo broj dana sa x.

uslovni red 24 radnika 32 dana upitni red 18 radnika x dana

Pri konstantnom radnom vremenu, na pitanje „što manji broj radnika“, odgovor je „potreban je veći broj dana da se završi isti posao“, pa se radi o obrnutoj proporcionalnosti (↓). To znači da vrijedi odnos „manje prema većem, kao veće prema manjem“, posmatrajući broj radnika.

18 : 24 = 32 : x ⇒x = 3242

182432

=− radnih dana!

Dodatak:

Koliko je 4232 radnih dana (r.d.). Radni dan je radno vrijeme od 8 h!

Znači:

x = 42 r.d. + 32 r.d.

Treba odrediti koliko je 32 r.d.

Kako je r.d. = 8h = 480 minuta biće

32 r.d. =

32 od 480 minuta = 320 minuta = 5h i 20 minuta

Preciznije govoreći 18 radnika će dovršiti ostatak posla za 42 dana 5 sati i 20 minuta!

70

PRIMJER 3. Za gradnju puta dužine 500 m, širine 6 m i debljine nasipa 40 cm plaćeno je 500.000 KM. Koliko treba platiti za gradnju puta dužine 800 m, širine 5 m i visine nasipa 20 cm? dužina širina visina nasipa cijena Uslov 500 m 6 m 40 cm 500.000 KM Pitanje 800 m 5 m 20 cm x KM Ovdje cijena gradnje puta zavisi od dužine puta, širine puta i visine nasipa. Cijena puta je proporcionalna sa zapreminom izgrađenog nasipa. Sada se treba tri puta primjeniti sistem „pitanje – odgovor“ (za svaku od dimenzija puta).

Pitanja se postavljaju polazeći od upitnog reda!

Pitanje Odgovor

- Što veća dužina To veća zapremina d.p.

(direktna proporcionalnost d.p.)

- Što manja širina To manja zapremina d.p.

- Što manja visina To manja zapremina d.p.

Piše se

800 : 500 x : 500.000 = 5 : 6 20 : 40

x : 500.000 = 406500205800⋅⋅⋅⋅

x = 3

10520000.1406500

205800000.500 ⋅⋅⋅=

⋅⋅⋅⋅⋅ KM

x = 3

000.000.1 KM = 333 333,33 KM

71

PRIMJER 4. Poznato je da 20 radnika radeći 14 dana po 8h dnevno mogu da podignu zid dužine 280m, visine 2,5m i debljine 40 cm. Treba odrediti koliko radnika treba angažovati da bi oni radeći 12 dana po 9 sati dnevno podigli zid dužine 180m, visine 2,7m i širine 50cm?

Broj radnika (označimo ga sa x) zavisi od broja radnih dana, dužine radnog vremena, dužine zida, visine zida i debljine zida. Ta zavisnost se ispoljava kao direktna proporcionalnost (d.p.) ili obrnuta proporcionalnost (o.p.). Broj

Radnika Broj dana

Radno vrijeme

Dužina Visina Debljina

Uslov Pitanje

20 ↑

X

14d ↓ 12d

8h ↓

9h

280m ↑ 180m

2,5m ↑ 2,7m

0,4m ↑ 0,5m

Pitanje Odgovor - Što manje dana To više radnika, o.p.↓ - Što duže radno vrijeme To manje radnika, o.p.↓ - Što manja dužina zida To manje radnika, d.p.↑ - Što veća visina zida To veći broj radnika, d.p.↑ - Što deblji zid To veći broj radnika, d.p.↑

Pitanja se postavljaju polazeći od upitnog reda! x : 20 = 14 : 12

= 8 : 9 =180 : 280 = 2,7 : 2,5 = 0,5 : 0,4

Slijedi

X = 184,05,2280912

5,07,218081420=

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

Napomena: Proporcije se, pored pravila trojnog, primjenjuju u računima podjelem u verižnom računu i procentnom i kamatnom računu.

72

6. VERIŽNI RAČUN

Verižni račun pretstavlja računsku operaciju kojom se utvrđuje odnos između dvije veličine (npr. kilogrami neke robe i novčani iznos) koje se nalaze u međusobnoj zavisnosti, ali ne neposredno, već posrestvom određenog broja drugih veličina (jedinica odgovarajuće mjere, cijena, strana valuta, ....). Značajno je napomenuti da sve veličine koje se javljaju u problemu moraju biti u odnosu direktne proporcionalnosti.

Privredna praksa (tj. privredna matematika) tokom vremena je razvila model pomoću kojeg se, nakon identifikacije svih potrebnih odnosa koji se ispoljavaju kao niz jednakosti, na jednostavan način odredi nepoznata veličina. U toku primjene odgovarajuće procedure o jedinicama mjere na koje se date količine pojedinih veličina odnose (npr. 3m, 4,5yd, 80$,...)!

Razmotrićemo jedan primjer: Za 45yd platna plaćeno je 96 funti sterlinga (£). Koliko košta 144 metara tog platna u konvertibilnim markama ako je kurs funte: 1£ = 2,19 KM?

Problem ćemo prvo riješiti logički. Označimo sa x troškove nabavke 144 metara tog platna, a sa p cijenu platna u KM. Troškovi nabavke jednaki su proizvodu količine (broja metara) i cijene.

x 144m p KM / m= ⋅ tj. x 144 p KM= ⋅

Može se pisati

x KM 144 p KM= ⋅

Treba odrediti cijenu na osnovu datih podataka u zadatku

45yd = 96£, 1yd = 0,914m, 1£ = 2,19 KM 45 1yd 96 1£⋅ = ⋅

45 0,914 1m 96 2,19 KM⋅ ⋅ = ⋅

1m = 914,04519,296

⋅⋅ KM

73

Cijena platna je

p = 914.04519,296

⋅⋅ KM

x = xk x = 736 KM

Korisno je u jednakost za x uvrstiti odgovarajuće jedinice mjere

144m 96£ 2,19KM 1ydx (*)

45yd 0,914m 1£⋅ ⋅ ⋅

= ⋅⋅⋅⋅ ⋅

Vidljivo je da u brojniku i nazivniku figurišu iste jedinice mjere koje možemo „kratiti“, na kraju se dobiju troškovi kupovine 144m platna izraženi u KM.

Jednakost (*) je značajna za utvrđivanje procedure ovakvih problema. U problemu figurišu četri veličine: konvertibilne marke (KM), metri (m), jardi (yd) i funte sterlinga (£). Mogu se formirati četri jednakosti.

x KM = 144m ...(1) 0,914m = 1yd ...(2) 45yd = 96£ ...(3) 1£ = 2,19 KM ...(4)

Dobivene jednakosti omogućavaju da se formira šema – koja se zove verižnik.

x KM 144m 0,914m 1yd 45yd 96£ 1£ 2,19 KM

Verižnik ima četri reda. U prvom redu na lijevoj strani nalazi se nepoznata veličina x sa oznakom svoje jedinice. U prvom redu na desnoj strani nalazi se ekvivalentna vrijednost izražena u metrima. U drugom redu na lijevoj strani figurišu metri a na desnoj strani jardi (yd). Treći red lijevo sadrži jedinicu mjere jard (yd) a na desnoj strani su funte (£). Konačno zadnji red ima obilježje u funtama, a na desnoj

74

strani su konvertibilne marke (KM), sa kojim se počelo formiranje verižnika.

Nepoznata x jednaka je količniku proizvoda brojeva na desnoj strani i proizvoda brojeva na lijevoj strani verižnika:

144m 1yd 96£ 2,19KMx0,914m 45yd 1£⋅ ⋅ ⋅

=⋅ ⋅

Ovo je u stvari jednakost (*) dobivena na brži način. Dakle x = 736 KM

PRIMJER 1. Preduzeće drvne industrije izvozi u EU rezanu građu u standardnom pakovanju, gdje je 1 standardno pakovanje = 4,672m2! Koju cijenu treba ponuditi za 1 pakovanje u BiH ako je njegova cijena 150 KM, a 1€ = 1,95583 KM?

Označimo sa x cijenu standardnog pakovanja u eurima (€). Formiraćemo verižnik: x € 4,672 m2 1 m2 150 KM 1,95583 KM 1€

x = 3,35895583,11

1150672,4=

⋅⋅⋅ €

PRIMJER 2. Cijena 1cwt kafe u Engleskoj je 205,1£ sa 1,75% skonta. Kolika je cijena 1kg kafe u BiH, ako se na ime provizije plaća posredniku 2,5% od cijene umanjene za skonto. Kurs funte je 1£ = 2,19 KM, pri ćemu banka računa 0,5% troškova.

Neka je cijena x cijena kafe u BiH u KM. Zna se da je 1cwt = 50,8kg (*ban.t. – bankarski troškovi)

75

x KM 1kg 50,8kg 205,1£ Bez skonta 100 98,25, nakon odbitka skonta Bez provizije 100 102,5 nakon dodatka provizije 1£ 2,19 KM Bez ban.t 100 100,5 sa ban.t*.

x = 10011001008,50

5,10019,25,10225,9851,201⋅⋅⋅−

⋅⋅⋅⋅⋅ KM

Cijena 1 kg kafe u BiH je

x = 8,95 KM

76

7. RAČUN PODJELE

U privrednom poslovanju često nastaje problem da se neka veličina numerički izražena podijeli na određen broj dijelova prema nekom kriterijumu! Taj kriterijum obično pretstavlja proporcija koju moraju zadovoljavati traženi dijelovi. Ona može biti eksplicitno zadana ili je treba postaviti iz uslova problema.

Radi jednostavnosti izlaganja uzmimo da veličinu x treba podijeliti na tri dijela x1, x2 i x3 koji zadovoljavaju proporciju x1 : x2 : x3 = a : b : c Prema uslovu problema mora biti:

x1 + x2 + x3 = x ...(1) Iz proporcije x1 : x2 : x3 = a : b : c Slijedi:

x1 = k · a, x2 = k · b, x3 = k · c ...(2) Uvrštavanjem jednakosti (2) i jednakost (1) dobija se jednačina iz koje nalazimo koeficijent proporcionalnosti k:

(a + b + c) · k = x

K = cba

x++

Traženi dijelovi su

x1 = a,cba

x⋅

++ x2 = b

cbax

⋅++

x3 = ccba

x⋅

++

Slično se postupa kada veličinu x treba podjeliti na n (n = 2, 3, 4, ...) dijelova x1, x2, ...xn koji zadovoljavaju proporciju: x1: x2 : ... : xn = a1 : a2 : ... : an!

PRIMJER 1. Sumu od 3.080 KM treba podijeliti na tri dijela koji sa direktno proporcionalni brojevima 4, 9, 15

x1 + x2 + x3 = 3.080 x1 : x2 : x3 = 4 : 9 : 15 x1 = 4k, x2 = 9 k, x3 = 15 k

77

28 k = 3.080, k = 110 x1 = 440 KM, x2 = 990 KM, x3 = 1.650 KM

PRIMJER 2. Istu sumu podijeliti na tri dijela koji su obrnuto proporcionalni brojevima 4, 9, 15!

x1 : x2 : x3 = 151:

91:

41

x1 = k41 , x2 = k

91 , x3 = k

151

x1 + x2 + x3 = 3.080

Iz prethodnih jednačina dobije se da je k = 7.200. Slijedi

x1 = 1 7.200 1.8004⋅ =

x2 =1 7.200 8009⋅ =

x3 = 1 4807.20015 3.080

⋅ =

PRIMJER 3. Tri preduzeća imali su zajedničko skladište. Vrijednost uskladištene robe bila je respektivna: za A – 50.000 KM, za B – 80.000 KM, za C – 100.000 KM. Nakon požara u kojem su djelomično uništene odgovarajuće robe osiguravajuće društvo je ukupno isplatilo iznos 108.000 KM na ime odštete (roba je bila osigurana) koji preduzeća trebaju podijeliti!

Podijelu odštetnog iznosa preduzeća će izvršiti srazmjerno vrijednosti uskladištene robe. Dakle, ako je

x1 + x2 + x3 = 108.000

tada mora biti x1 : x2 : x3 = 50.000 : 80.000 : 100.000

78

Otštetnu sumu treba podijeliti u odnosu x1 : x2 : x3 = 5 : 8 : 10

Konačno dobivamo sistem jednačina

x1 + x2 + x3 = 108.000 x1 = 5 k, x2 = 8 k, x3 = 10 k k = 4.695,65 x1 = 23.478,25 KM, x2 = 37.565,20 KM, x3 = 46.956,50 KM

79

8. SREDNJA VRIJEDNOST

Često je potrebno odrediti prosječnu vrijednost neke veličine koja dobiva različite vrijednosti u pojedinim trenucima njene opservacije.

Ako u k trenutaka ta veličina prima vrijednost a1, a2, ..., ax, onda je srednja vrijednost

ā = a1 + a2 + ...+ ak

k

Ovo je jednostavna srednja vrijednost. Ona ustvari pretstavlja aritmetičku sredinu vrijednosti a1, a2, ...., ak. Može se desiti da se u periodu posmatranja vrijednosti te veličine ponavljaju. Neka je registrovano da se vrijednost

- a1 ponavlja n1 puta - a2 ponavlja n2 puta · · · · · · - ak ponavlja nk puta

Tada je prosječna vrijednost veličine određena sa

ā = k2 1

k1211

n ... n nak n ...a na n

+++⋅++⋅+⋅

Ovako obračunata srednja (prosječna) vrijednost zove se složena ili ponderisana srednja vrijednost posmatrane veličine.

Jednostavna srednja vrijednost je specijalan slučaj složene – dobije sa kad je

n1 = n2 = ... = nk = 1!

80

PRIMJER 1. U toku jednog mjeseca na pijaci se registrovana cijena određenog artikla i to: 3 KM, 3,2 KM, 2,7 KM, 3,5 KM i 2,9 KM. Odrediti srednju vrijednost cijene tog artikla. Ovdje se radi o jednostavnoj srednjoj vrijednosti jer se cijene javljaju samo po jedan put. Označimo je sa p !

p = KM 3,08KM5

2,93,52,83,23,05

ppppp 54321 =++++

=++++

PRIMJER 2. Trgovačko preduzeće nabavilo je u tri navrata različit broj kg narandži po različitim cijenama, i to: - prvi put: 300 kg po cijeni 2,5 KM za 1 kg - drugi put: 250 kg po cijeni 2,8 KM za 1 kg - treći put: 400 kg po cijeni 2,2 KM za 1 kg

Treba odrediti srednju vrijednost cijene nabavki narandža. Ovo je složena srednja vrijednost.

p = 32 1

331211

n n np n ...p np n

++⋅++⋅+⋅

p = 300 2,5 250 2,8 400 2,2 2.330 KM KM300 250 400 950

⋅ + ⋅ + ⋅=

+ +

p = 2,45 KM

81

9. RAČUN SMJESE

Račun smjese se odnosi na određivanje količine x1, x2, ...xn sastojaka s1, s2, ..., sn potrebnih da se njihovim mješanjem dobije smjesa S koja će imati unaprijed određeni kvalitet. Sastojci S1, S2, ..., Sn imaju vrijednosna obilježja p2, p2, ...,pn (npr. cijena roba, procenat alkohola u pićima) finoća zlata, broj oktana benzijskih goriva, viskozitet tehničkih ulja, ...) koja se mogu numerički izraziti.

Unaprijed određeni kvalitet smjese S je njeno vrijednosno obilježje p iste vrste koje predstavlja složenu srednju vrijednost obilježja p1, p2, ..., pn obzirom na količine x2, x2, ..., xn odgovarajućih sastojaka. Vrijedi:

p = n2 1

nn2211

x ... xx x p ...y x p x p

+++⋅+⋅+⋅

…(1)

Jednakost (1) je ekvivalentna jednakosti (2)

p1 · x1 + p2 · x2 + ... + pn · xn = p · (x1 + x2 ... + xn) ... (2) Jednakost (2), odnosno (1), zvaćemo osnovnim uslovom smjese.

Osnovni uslov smjese ima odgovarajuće kvalitativno značenje: zbir svih vrijednosti pojedinih sastojaka (p1 . x1 je vrijednost sastojka S1,..., pn · xn je vrijednost sastojka Sn) koji ulaze u sastav smjese S (to je lijeva strana jednakosti (2)) jednak je ukupnoj – vrijednosti smjese (desna strana jednakosti (2)).

Matematički gledano jednakost (2) pretstavlja jednačina sa n nepoznatih x1, x2, ..., xn u kojoj su koeficijenti p1, p2, ..., pn, p poznati i imaju brojnu vrijednost. Ova jednačina ima beskonačno mnogo rješenja do kojih se dolazi odgovarajućom matematičkom procedurom.

Privredna matematika je, uz uvođenje dodatnih pretpostavki tj. pojednostavljenja, razvila model kojim se efikasno određuju nepoznate x1, x2, ..., xn. Ove nepoznate ustvari pretstavljaju minimalne količine xi (i = 1, 2, ..., n) pojedinih sastojaka Si (i = 1, 2, ..., n) da bi

82

se uopšte mješanjem mogla napraviti smjesa S, koja će imati unaprijed određenu vrijednost obilježja p. U tom slučaju se, mješanjem, minimalnih količina xi (i = 1, 2, ..., n) sastojaka Si (i = 1, 2, ..., n) dobije minimalna količina smjese S – to je količina (x1 + x2 + ... + xn)!

Stoga se postojeći problem može proširiti uvođenjem novog zahtjeva da se odrede količine x2, x2, ..., xn, pod zadanim uslovima, sastojaka S1, S2, ..., Sn, tako da se mješanjem dobije unaprijed određena količina m smjese S. U ovom slučaju prošireni problem smjese se iskazuje kao sistem od dvije jednačine sa n nepoznatih:

p1 · x1 + p2 · x2 + ... + pn · xn = p (x1 + x1 + ... + xn) x1 + x2 + ... + xn = m

Ovdje su koeficijenti p2, p2, ..., pn, p i m poznati brojevi, dok su x1, x2, ..., xn nepoznate koje treba odrediti!

Teorijski gledano ovaj problem za n > 2 ima beskonačno mnogo rješenja. Za n = 2 problem ima jedinstveno rješenje. Međutim, i na ovaj problem se primjenjuje model privredne matematike kojim se on efikasno rješava. Taj model se u konačnici svodi na formiranje šeme – tabele na kojoj se nalaze sva potrebna rješenja: za slučaj kada se traže minimalne količine sastojaka min xi (i = 1, 2, ...,n), odnosno minimalna količina smjese S, kao i za slučaj kada treba formirati unaprijed zadanu količinu m smjese S! Model ćemo prikazati za n = 2, n = 3 i n = 4.

83

9.1. Smjesa od dva sastojka

Neka su data dva sastojka S1 i S2 sa obilježjima p1 i p2 od kojih se pravi smjesa S čije je obilježje p. Postavka:

S1 S2 S Obilježja p1 p2 p (p1 < p2) Količine x1 x2 m

Problem ima smisla ako je

p1 0 i p2 – p > 0. Razlike vrijednosti obilježja p – p1 i p2 – p zvaćemo – pozitivne razlike.

Polazi se od osnovnog uslova smjese iz kojeg će se, na osnovu pozitivnih razlika, doći do proporcije koju zadovoljavaju količine x2 i x2.

p1 x1 + p2 x2 = p · (x1 + x2) p1 x1 + p2 x2 = p · x1 + p · x2 p · x1 – p1 x1 = p2 x2 – px2 (p – p1) · x1 = (p2 – p) · x2 x1 : x2 = (p2 – p) : (p – p1) . ....(*)

Proporcija (*) je osnov za određivanje minimalnih količina – min x1 i min x2, potrebnih da bi se mogla formirati smjesa S. Naime iz proporcije (*) dobiva se da je

x1 = k · (p2 – p), x2 = k · (p – ps), k = ? za k = 1 dobiva se da je min x1 = p2 – p, min x2 = p – p1

Količine min x1 i min x2 određuju minimalnu količinu smjese tj. min S.

84

Ako treba formirati određenu količinu m smjese S tada treba odrediti faktor proporcionalnosti k. Koeficijent k je određen količnikom količine m i količine min S, ???

k = Smin

m

Potrebne količine za formiranje količine m smjese S su

x1 = Smin

m · (p2 – p), x2 = Smin

m · (p – p1),

Obilježja Razlike Kraćenje/množenje Potrebne

količine (1) (2) (3) (4) x1 x2

p1 p

p2

p2 – p

p – p1

q1

q2

x1 = k · q1

x2 = k · q2

m m : q = k q = q1 + q2 x1 + x2 = m Objašnjenje:

- U kolonu (1) upisuju se vrijednosti obilježja p1, p, p2 za koja vrijedi p1 0 i p1 – p > 0

- U koloni (2) upisuju se pozitivne razlike – (p2 – p) u „visine“ količine x1, odnosno – (p – p1) u „visini“ x2. Naime treba „gledati“ od „p2 prema p“ i od većeg broja oduzeti manji broj, odnosno od „p1 prema p“ i takođe od većeg broja oduzeti manji broj!

- U koloni (3) upisuje se rezultat kraćenja ili množenja pozitivnih razlika nekim brojem. Cilj ovih operacija je da one dobiju „povoljniji“ oblik. Ako to nije potrebno u ovu kolonu prepisuju se brojevi iz kolone (2).

- U koloni (4) upisuju se količine x1 i x2 potrebne za formirane količine m smjese S.

85

PRIMJER 1. Vino čija je cijena 14 KM za 1 litru i vino čija je cijena 24 KM za 1 litar treba miješati da bi se dobilo vino cijene 20 KM za 1 litar. Koliko litara vina prve i druge vrste treba uzeti da bi se dobilo 450 litara mješavine. Ovdje je:

p1 = 14, p2 = 24, p = 20 (p1 < p < p2) i m = 450

Formiraćemo tabelu rješenja: (1) (2) (3) (4) x1 x2

14 20

24

4

6

2

3

x1 = 2 · 90 = 180 lit

x2 = 3 · 90 = 270 lit

450 450 : 5 = 90 = k q = 5 m = 450

- Minimalne količine su min x1 = 2 l, min x2 = 3 l, min S = 5 l

- - Faktor proporcionalnosti

k = m : min S = 450 : 5 = 90 l - - Da bi se dobilo 450 l mješavine datih vina treba uzeti

x1 = 2 · 90 = 180 l vina prve vrste i x2 = 3 · 90 = 270 l vina druge vrste.

- Proba da je zadovoljen osnovni uslov smjese

- za minimalne količine 2 · 14 + 3 · 24 = 5 · 20

100 = 100 -za zadanu količinu mješavine m = 450

180 · 14 + 270 · 24 = 450 · 20 9.000 = 9.000

86

9.2. Smjesa od tri sastojka

Posmatraju se sastojci S1, S2, S3 čija su obilježja p1, p2, p3 od kojih treba napraviti količinu m smjese S čije je obilježje p.

Postavka:

S1 S2 S3 S Obilježja p1 p2 p3 p Količine x1 x2 x3 m

Moguća su dva odnosa obilježja

p1 < p2 0, p – p2 > 0, p3 – p > 0 Polazi se od osnovnog uslova smjese iz kojeg, slično kao u slučaju n = 2, formira proporcija koja definiše min xi (i = 1, 2, 3 ).

( )1 1 2 2 3 3 1 2 3p x p x p x p x x x⋅ + ⋅ + = ⋅ + +

1 1 2 2 3 3 2 2 3p x p x p x p x p x p x⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ ( ) ( ) ( )3 3 1 1 2 2p – p x p – p x p – p x⋅ = ⋅ + ⋅

Budući da problem ima beskonačno mnogo rješenja naš cilj je da odredimo jedno rješenje koje zadovoljava problem. U tu svrhu problem ćemo pojednostaviti pretpostavljajući da su količine x1 i x2 jednake. Imamo:

(p3 – p) · x3 = (p – p1) · x1 + (p – p2) · x2 x1 = x2

Dobiva se:

( ) ( ) ( )3 3 1 1 2 1p – p x p – p x p – p x⋅ = ⋅ + ⋅

( ) ( ) ( )3 3 1 2 1p – p x p – p p – p x ⋅ = + ⋅

( ) ( )3 3 1 2 1p – p x 2p – p – p x⋅ = ⋅

87

Vidimo da broj (2p – p1 – p2) predstavlja zbir pozitivnih razlika (p – p1) i (p – p2).

Iz posljednje prethodne jednakosti dobiva se proporcija koja definiše minimalne količine x1, x2 i x3:

x1 : x3 = (p3 – p) : (2p – p1 – p2), x1 = x2 min x1 = p3 – p, min x2 = p3 – p, min x3 = 2p – p1 – p2

Ako treba formirati količinu m smjese S tada se uključuje drugi uslov problema

x1 + x2 + x3 = m Slično kao u prethodnom slučaju (k = 2) vrijedi

x1 = k · min x1, x2 = k · min x2, x3 = k · min x3 k = m : min S

Tabela: (1) (2) (3) (4) x1 x2 x3

p1 p2

p p3

p3 – p p3 – p

2p – p1 – p2

q1 q1

q3

x1 = k · q1 x2 = k · q2

x3 = k · q3

m m : q = k q = q1 + q2 + q3 m = x1 + x2 + x3

Objašnjenje: -Na vrhu kolone (2), u „visini“ x1, upisuje se razlika (p3 – p). Kako je x2 = x1 to se u visini x2 upisuje takođe takođe razlika (p3 – p). Na dnu kolone (2) u „visini“ x3 upisuje se zbir razlika: (p – p1) + (p – p2) = 2p – p1 – p2.

- Formalni postupak: treba gledati „ukoso“ od „p3 prema p“ i na vrhu kolone (2) upisati pozitivnu razliku ta dva broja (p3 – p). Taj broj se prepisuje u visini x2, jer je x2 = x1. Slično tome treba gledati „ukoso“ od „p1 prema p“ i od „p2 prema p“ i na dnu kolone (2) u visini x3 upisati zbir pozitivnih razlika (p – p1) + (p – p2) = 2p – p1 – p2.

Formalno gledano pozitivna razlika se dobije kad od većeg broja oduzmemo manji!

88

Ostale oznake imaju isto značenje kao u slučaju smjese od dva sastojka.

Rješenje problema:

min x1 = q1, min x2 = q2, min x3 = q3, min S = q1 + q2 + q3 = q za slučaj da je x1 + x2 + x3 = m x1 = k · min x1, x2 = k · min x2, x3 = k · min x3 k = m : min S = m : (q1 + q2 + q3) = m : q

II. Posmatramo drugi odnos

p1 0, p2 – p > o, p3 – p > 0 U ovom slučaju osnovni uslov smjese transformiše se u oblik

(p – p1) · x1 = (p2 – p) · x2 + (p3 – p) x3 U ovom slučaju uzima se da je x3 = x3. Dobiće se

(p – p1) · x1 = [(p2 – p) + (p3 – p)] x2 (p – p1) · x1 = (p2 + p3 – 2p) · x2

Sad se formira proporcija:

x1 : x2 = (p2 + p3 – 2p) : (p – p1), x2 = x3

Minimalne količine su: min x1 = (p2 + p3 – 2p), min x2 = (p – p1), min x3 = p – p1 min S = min x1 + min x2 + min x3

Ostalo zaključivanje je isto kao u slučaju nejednakosti (1).

Tabela (1) (2) (3) (4)

x1 x2 x3

p1 p

p2 p3

(p3 – p)+(p2 – p)=p2+p3 – 2p

p – p1

p – p1

q1

q2

q2

x1 = k · q1

x2 = k · q2

x3 = k · q2

m m : q = k q = q1 + 2q2 x1 + x2 + x3 = m

89

Objašnjenje: - Uvijek se, prvo, u kolonu (1) upišu vrijednosti obilježja prema

njihovoj vrijednosti (gore veći a dolje manji broj). - Gleda se „ukoso“ od „p3 prema p“ i od „p1 prema p“ pa se na vrhu

kolone (2) upiše zbir pozitivnih razlika (p3 – p) + (p2 – p) = p1 + p3 – 2p

- Gleda se „ukoso“ od „p1 premap“ i u „visini“ x2 upisuje se pozitivna razlika (p – p1). Kako je x2 = x3 taj broj se prepisuje na dno kolone (2) u „visini“ x3.

Ostala zaključivanja su ista kao u prethodnom slučaju.

PRIMJER 1. Preduzeće raspolaže sa tri vrste pirinča čije su cijene za 1 kg p1 = 3 KM, p2 = 3,6 KM, p3 = 5 KM. Mješanjem se želi dobiti 680 kg mješavine pirinča koja se želi prodavati po cijeni p = 4,5 KM za 1 kg. Koliko kilograma pirinča svake vrste treba uzeti da bi se dobilo 680 kg mješavine? Ovdje je

p1 < p2 < p < p3, pa je x1 = x2!

Dovoljno je formirati tabelu: (1) (2) (3) (4) x1 x2 x3

3 3,6

4,5 5

0,5 0,5

2,4

5 5

24

x1 = 20 · 5 = 100 x2 = 20 · 5 = 100

x3 = 24 · 20 = 480

680 680 : 34 = 20 = k q = 34 m = 680 = 100 + 100 + 480

Napomena:

- Gledajući „ukoso“ od „5 prema 4,5“ dobije se pozitivna razlika 5 – 4,5 = 0,5. Ona se upisuje u kolonu (2) i visini x1 i prepisuje u visini x2 !

- Gledajući „ukoso“ od „3 prema 4,5“ i od „3,6 prema 4,5“ nađe se zbir pozitivnih razlika (4,5 – 3) + (4,5 – 3,6) = 2,4 koji se upisuje na dno kolone (2).

- Brojevi u koloni (2) množe se sa 10 i rezultat se upisuje u kolonu (3).

90

Rješenje: (1) min x1 = 5, min x2 = 5, min x3 = 24, min S = 34 = q (2) Faktor proporcionalnosti

k = m : q = 680 : 34 = 20 (3) Da bi se formiralo 680 kg mješavine pirinča čija je cijena

p = 4,5 KM za 1 kg treba uzeti: 100 kg pirinča prve vrste, 100 kg pirinča druge vrste i 480 kg pirinča treće vrste.

PRIMJER 2. Poljoprivrednik raspolaže sa tri vrste jabuka sličnog izgleda a različitog kvaliteta čije su cijene za 1 kg: 2 KM, 3,4 KM i 3,9 KM. On želi pomješati te tri vrste jabuka koje će prodavati po cijeni 2,5 KM za 1 kg. Koliko kg jabuka svake vrste treba uzeti da dobije 495 kg mješavine koju će iznijeti na tržište? Ovdje je:

p1 = 2; p2 = 3,4; p3 = 3,9; p = 2,5; m = 495 Vrijedi odnos

p1 < p < p2 < p3 pa je x2 = x3

(1) (2) (3) (4) x1 x2 x3

2 2,5

3,4

3,9

(3,9 – 2,5) + (3,4 – 2,5) = 2,3

0,5

0,5

23

5

5

x1 = 23 · 15 = 345

x2 = 5 · 15 = 75

x3 = 5 · 15 = 75

495 k = 495 : 33 = 15 q = 33 x1 + x2 + x3 = 495 Rješenje: treba uzeti 345 kg jabuka prve vrste, 75 kg jabuka druge vrste i 75 kg jabuka treće vrste.

9.3. Smjesa od četiri sastojka

Posmatramo sastojke S1, S2, S3, S4 koji imaju vrijednost obilježja p1, p2, p3, p4. Koliku količinu pojedinih sastojaka treba uzeti da bi se dobila količina m smjese S čije obilježje ima vrijednost p?

91

Postavka: S1 S2 S3 S4 S Obilježja p1 p2 p3 p4 p Količine x1 x2 x3 x4 m

Mogući su različiti odnosi između obilježja. Mi ćemo posmatrati odnos

p1 < p2 0, p – p2 > 0, p3 – p > 0, p4 – p > 0 Matematički model problema

p1 ∙ x1 + p2 ∙ x2 + p3 ∙ x3 + p4 ∙ x4 = p (x1 + x2 + x3 + x4) x1 + x2 + x3 + x4 = m

I u ovom slučaju transformisat ćemo osnovni uslov smjese, vodeći računa o pozitivnim razlikama, u oblik iz kojeg se, na osnovu dodatnih pretpostavki, dobiva proporcija koja određuje minimalne količine pojedinih sastojaka da bi se uopšte mogla formirati smjesa S!

1 1 2 2 3 3 4 4 1 2 3 4p x p x p x p x p x p x p x p x⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

Vodeći računa da je p – p1 > 0, p – p2 > 0, p3 – p > 0 i p4 – p > 0 prebacivanjem odgovarajućih članova dobit ćemo jednakost

(p – p1) x1 + (p – p2) x2 = (p3 – p) x3 + (p4 – p) x4

Ovdje je moguće uvesti dvije varijante dodatnih pretpostavki. Varijanta 1. (v.1.)

(p – p1) x1 = (p4 – p) x4 i (p – p2) x2 = (p3 – p) x3 Varijanta 2. (v.2.)

(p – p1) x1 = (p3 – p) x3 i (p – p2) x2 = (p4 – p) x4

Iz svake od varijanti (v.1.) i (v.2.) moguće je dobiti po dvije ekvivalentne proporcije koje definišu minimalne količine x1, x2, x3, x4

92

(v.1.) x1 : x4 = (p4 – p) : (p – p1) i x2 : x3 = (p3 – p) : (p – p2) min x1 = p4 – p; min x2 = p3 – p; min x3 = p –p2; min x4 = p – p1 (v.2.) x1 : x3 = (p3 – p) : (p – p1) i x2 : x4 = (p4 – p) : (p – p2) min x1 = p3 – p; min x2 = p4 – p; min x3 = p – p1; min x4 = p – p2

Logika daljnjeg zaključivanja je ista kao u prethodnim slučajevima (određivanje x1, x2, x3, x4 da se dobije količina m smjese S). Tabela rješenja za (v.1.) Prethodno treba obratiti pažnju da su u ovoj varijanti dovedeni u vezu x1 i x4, odnosno x2 i x3.

Stoga se dovode u vezu p1 i p4 odnosno p2 i p3. To će u tabeli biti posebno naznačeno radi lakšeg nalaženja pozitivnih razlika (p – p1) i (p4 – p), odnosno (p – p2) i (p3 – p) i njihovog lociranja u koloni (2).

(1) (2) (3) (4) x1 x2 x3

x4

p1

p2 p

p3

p4

p4 - p

p3 - p

p – p2

p – p1

q1

q2

q3

q4

x1 = k · q1

x2 = k · q2

x3 = k · q3

x3 = k · q4 m k = m : q q = q1 + q2 + q3 + q4 m = x1 + x2 + x3 + x4

Objašnjenje -U ovom slučaju gleda se ukoso od „p1 prema p“ odnosno od „p4 prema p“ i pozitivne razlike se upisuje na dnu kolone (2) u visini x4, odnosno na vrhu kolone (2) u visini x1. Slično tome gleda se od „p2 prema p“ i od „p3 prema p“ pa se pozitivne razlike upisuju u koloni (2) u visini x3 odnosno u visini x2!

93

Tabela za (v.2.) Kako su u ovoj varijanti dovedeni u vezu x1 i x3 i x2 i x4, to je potrebno dovesti u vezu p1 i p3 i p2 i p4 radi nalaženja pozitivnih razlika (p – p1) i (p3 – p), odnosno (p – p2) i (p4 – p) i njihovog lociranja u koloni (2). Stoga su u okviru tabele rješenja posebno naznačene veze između p1 i p3 i između p2 i p4!

(1) (2) (3) (4) x1 x2 x3

x4

p1

p2 p

p3

p4

p3 - p

p4 - p

p – p1

p – p2

q1

q2

q3

q4

x1 = k · q1

x2 = k · q2

x3 = k · q3

x3 = k · q4 m k = m : q q = q1 + q2 + q3 + q4 m = x1 + x2 + x3 + x4

Objašnjenje: -Prvo, gleda se od „p1 prema p“, odnosno od „p3 prema p“, pa se razlike upisuju u visini x3 odnosno x1. -Drugo, gleda se od „p2 prema p“ odnosno od „p4 prema p“, pa se razlike upisuju u visini x4 odnosno u visini x2! PRIMJER 1. Proizvođač rakije raspolaže sa četri vrste rakije sa različitim sadržajem alkohola i to: 25%, 28%, 33% i 35%. On ima ponudu od poznatog ugostitelja da od njega kupi (po povoljnoj cijeni) 4.575 litara rakije jačine 30%. Kako proizvođač treba da napravi mješavinu raspoloživih rakija da bi prihvatio ponudu ugostitelja? Ovdje je

p1 = 25, p2 = 28, p3 = 33, p4 = 35, p = 30, m = 4.575 p1 < p2 < p < p3 < p4

94

(1) Tabela rješenja po (v.1.) Dovode se u vezu p1 i p4, odnosno p2 i p3!

(1) (2) (3) (4) x1 x2 x3

x4

25

28 30

33

35

5

3

2

5

5

3

2

5

x1 = 1.525

x2 = 915

x3 = 610

x3 = 1.525 4.575 k = 4.575 : 15 = 305 q = 15 x1 + x2 + x3 + x4 = 4.575

Tabela rješenja po (v.2.) Dovode se u vezu p1 i p3, odnosno p2 i p4!

(1) (2) (3) (4) x1 x2 x3

x4

25

28 30

33

35

3

5

5

2

3

5

5

2

x1 = 915

x2 = 1.525

x3 = 1.525

x3 = 610 4.575 k = 4.575 : 15 = 305 q = 15 x1 + x2 + x3 + x4 = 4.575

Kao što se vidi proizvođač rakije ima dva rješenja da napravi mješavinu od 4.575 l rakije jačine 30% i prihvati ponudu ugostitelja.

95

10. PROCENTNI RAČUN

10.1. Procentni račun od sto

Posmatramo neku mjerljivu veličinu. Mjerni broj te veličine izražen je u odgovarajućim jedinicama mjere. Na primjer dužina nečega je 600 m (to može biti zemljišna parcela pravougaonog oblika a 600 m je dužina jedne stranice) ili težina nečaga je 300 kg (to može biti predmet oblika kvadra ili drugog oblika). Ovdje su mjerni brojevi izraženi u metrima odnosno u kilogramima. Slično tome mjerni broj neke veličine može biti njena vrijednost izražena u nekoj valuti preko odgovarajuće cijene. Na primjer vrijednost određene količine neke robe (izražene u metrima, kilogramima, litrima,….) je 1.200 KM.

Zamislimo sad da smo posmatranu veličinu idealno podijelili na sto jednakih dijelova. To možemo ilustrovati putem duži:

0 1 2 25 50 75 98 99 100

Dio duži od 0 do 1, koji ćemo označiti sa 01 , pretstavlja jedan stoti dio te veličine. Ako posmatranu veličinu označimo sa v onda je

01= 100

1 ∙ v. Isto tako dio duži 02 ilustruje dva stota dijela veličine v,

dio duži 025 ilustruje 25 stotih dijelova veličine v, dok dio duži 099 ilustruje 99 stotih dijelova veličine v. Konačno, sama duž 100 ilustruje 100 stotih dijelova veličine v.

Po dogovoru duž 01 koja ilustruje stoti dio veličine v označićemo sa 1% - što se čita „jedan od sto“. Piše se 01 = 1% od v, ili samo 01 = 1% v. U skladu s tim vrijedi:

96

02 = 2% v, 025 = 25% v, …., 050 = 50% v, …, 099 = 99% v, 0100 = 100% v

Ako je mjerni broj veličine v izražen u metrima, npr. 600 m, tada je

1% v = 6m, 2% v = 12m, …, 250% v = 25 ∙ 6m = 150m, ….

75% v = 75 ∙ 6m = 450m, …. 99% v = 99 ∙ 6m = 594m, 100% v = 6 ∙ 100m = 600m To znači da je 1% v izražen u istim mjernim jedinicama kao i sama veličina v, što se odnosi i na svaki drugi broj stotih dijelova veličine v koje posmatramo.

Posmatramo sada dio koji sadrži p stotih dijelova veličine v, pri ćemu mora biti

1 ≤ p ≤ 100.

Broj p zovemo procent (ili postotak). Odgovarajući dio veličine, koji sadrži p stotih dijelova, zovemo procentni iznos i za njega se uvodi oznaka P. Posmatrana veličina zove se glavnica i za nju se uvodi oznaka G.

Vratimo se sada našoj ilustraciji. Nakon uvedenih pojmova i uvedenih oznaka jasno je da je G = 600 m. Dijelu glavnice G (posmatrane veličine) koja sadrži npr. 5 stotih dijelova odgovara procent p = 5%. Odgovarajući procentni iznos je

P = 5 ∙ 1% = 5 ∙ 6m = 30m

Ovo možemo pisati na drugi način.

Jedan stoti dio glavnice G pretstavlja broj 6 : 100 = 100

6 , pa za

p = 5% imamo

P = 100

6 ∙ 5 = 100

m600 ∙ 5 = 6 ∙ 5m = 30m

Opisano vrijedi i u opštem slučaju: neka je P procentni iznos koji sadrži p (1≤ p≤ 100) procenata glavnice G, tada vrijedi

97

P = 100

6 ∙ p, (1 ≤ p = 100)

Očigledno je P ≤ G a znak jednakosti vrijedi za p = 100.

Do ove formule dolazi se putem proporcije. Veličine P i p su direktno proporcionalne čiji koeficijent proporcionalnosti je broj k = G : 100. To znači da je P : p = k, odakle slijedi proporcija:

P : p = G : 100 … (*)

Za p = 100 dobije se P : 100 = G : 100 tj. P = G. A za p = 1 dobije se

P : 1 = G : 100 tj.

P = 100

6 . To znači, što je veći procenat p to je veći i procentni iznos

P, a vrijedi i obratno.

Iz proporcije P : p = G : 100 neposredno proizilazi da je

P ∙ 100 = G ∙ p

Nadalje iz ove jednakosti dobivaju se tri jednakosti

P = 100G ∙ p … (1)

G = p100P ⋅ … (2), 1 ≤ p ≤ 100

p = G100P ⋅ … (3)

Jednakosti (1), (2), (3) pretstavljaju osnovne formule procentnog računa. Pomoću njih se izračunava jedna od veličina G, P i p, ako su poznate druge dvije. Procentni račun zasnovan na formulama (1), (2) i (3), sa ograničenjem 1 ≤ p ≤ 100, i P ≤ G, zove se “procentni račun od 100”. To je zato što je ovdje u pitanju “čista” glavnica G koja se upoređuje sa 100 (dijeli se na 100 jednakih dijelova).

98

PRIMJER 1. Prema ugovoru između preduzeća A i preduzeća B, preduzeće A je dužno da preduzeću B plati 6,7% od vrijednosti ostvarenog posla na ime provizije. Ako je vrijednost posla 796.200 KM, kolika je posrednička provizija?

G = 796.200 KM, p = 6,7%, P = ?

P = 100G ∙ p =

100100.796 ∙ 6,7 = 7.962 ∙ 6,7 = 53.345,4

Preduzeće A je dužno da plati 53.345,4 KM na ime provizije. PRIMJER 2. Poznato je da izdvajanje 3% na ime troškova iznosi 540 KM. Odrediti od koje sume su računati troškovi?

P = 540 KM, p = 3%, G = ?

G = p

P100 ⋅ = 3540100 ⋅ = 180 ∙ 100 = 18.000

G = 18.000 KM PRIMJER 3. Vrijednost posla je 16.520 KM. Za njega je plaćena provizija u iznosu 413 KM. Kolika je visina provizije u postotcima?

G = 16.520,

P = 413,

p = ?

p = G

P100 ⋅ = 520.16413100 ⋅ = 2,5 p = 2,5%

99

10.2. Procentni račun više od sto

Za ovaj račun kaže se još procentni račun na uvećanu glavnicu (uvećani iznos). Smisao ovog računa može se objasniti logičkim rasuđivanjem.

Neka je data glavnica G = 5.250 i procenat p = 14%. Odgovarajući procentni iznos je P = 735. Formirajmo novu glavnicu G1 tako da glavnici G dodamo dobiveni procentni iznos P. Znači

G1 = G + P, dobiće se G1 = 5.985

Postavlja se problem: Zna se da glavnica G uvećana za 14% svoje vrijednosti daje novu glavnicu G1 = 5.985. Treba odrediti iznos P i glavnicu G? Budući da glavnica G sadrži 100 svojih stotih dijelova i da je uvećana za 14 svojih stotih dijelova jasno je da novu glavnicu G1 treba podijeliti brojem 100 + 14 = 114 čime se dobiva jedan njen stoti dio. Traženi procentni iznos se dobije množenjem dobivenog stotog dijela sa 14, a glavnica množenjem sa 100.

G1 : 114 = 5.985 : 114 = 52,5 52,5 = 1% G

P = 52,5 ∙ 14 = 735 G = 52,5 ∙ 100 = 5.250

Ovo rasuđivanje može se uopšteno pretstaviti. Iz prethodno posmatrane proporcije P : p = G : 100 izvodi se ekvivalentna proporcija

G : P = 100 : p Nadalje, ovoj proporciji su ekvivalentne proporcije

(G + P) : (100 + p) = P : p = G : 100

1○ (G + P) : (100 + p) = P : p

P = p100

PG+⋅ ∙ p …(*)

100

2○ (G + P) : (100 + p) = G : 100

G = p100

PG++ ∙ 100 … (**)

Dobivene formule (*) i (**) pretstavljaju osnovne formule procentnog računa “više od sto”. Vidljivo je da količnik (G + P) treba podijeliti na više od 100 dijelova, tačnije na (100 + p) dijelova, da bi se dobilo 1% početne glavnice G.

Odavde proizilazi naziv ovog računa!

PRIMJER 1. Sa 15% troškova roba košta 7.360 KM. Kolika je fakturna vrijednost robe I koliki su troškovi?

Pošto su troškovi računati na fakturnu vrijednost robe to u ovom slučaju ona pretstavlja čistu glavnicu G. Iznos troškova je procentni iznos P određen procentom (stopom) p = 15%.

G1 = G + P = 7.360 KM, p = 15%, P = ?, G = ?

P = p100

PG++ ∙ p, G =

p100PG++ ∙ 100

p100PG++ =

115360.7 = 64, 1% G = 64

P = 64 ∙ 15 = 960, G = 64 ∙ 100 = 6.400

Problem se može riješiti i na drugi način: Treba odrediti procentnu stopu p1 koja će se primjeniti na glavnicu G1 pod uslovom da dobiveni iznos P1 bude jednak iznosu P dobivenom primjenjujući procentnu stopu p na glavnicu G.

P = 100

pG ⋅ , P1 = 100

PG 11 ⋅ , P1 = P

101

Uslov P1 = P dovodi do jednakosti G1 ∙ p1 = G ∙ p

Na drugoj strani G1 = G + P, pa kad se ovdje uvrsti izraz za P, tj.

P = 100

pG ⋅ , slijedi

G1 = G + 100

pG ⋅ = G ∙ (1 + 100

p ) = G ∙ 100

p100 ⋅

Sad izraz za G1 treba uvrstiti u gornju jednakost

G ∙ 100

p100 + ∙ p1 = G ∙ p

p1 = p100p100

+⋅ ∙ p

Provjera:

G1 = G + P = 7.360, p = 15

Nova procentna stopa je

P1 = 115

15100 ⋅

P1 = 100G1 ∙ p1 =

11515100

100360.7 ⋅

⋅ = 960 = P

G = G1 – P = 7.360 – 960 = 640

PRIMJER 2. Sa 5% bankarske provizije vrijednost čeka je 16.328,25 KM. Kolika je provizija a kolika je vrijednost čeka?

G + P = 16.328,25 KM,

p = 5%,

P = ?

G = ?

102

P = p100

PG++ ∙ p, G =

p100PG++ ∙ 100

p100PG++ =

10525,328.16 = 155,5

P = 155,5 ∙ 5 G = 155,5 ∙ 100 P = 777,5 G = 15.550

10.3. Procentni račun niže od sto

Za ovaj račun kaže se još procentni račun na umanjenu glavnicu (umanjeni iznos). Suštinu ovog računa možemo objasniti logičkim rasuđivanjem. Neka je G = 3.750 i p = 12. Lako se utvrđuje da je P = 450. Formiramo novu glavnicu G1 = G – P. Dobije se G1 = 3.300.

Problem: Poznata je glavnica G1= G – P = 3.300, gdje je P obračunato prema procentnoj stopi p = 12%. Treba odrediti P i G.

Kako je 100 – p = 88 to glavnica G1 sadrži 88 stotih dijelova glavnice G, to je dovoljno G1 podijeliti sa 88, čime se dobiva 1% glavnice G. Dobiveni broj se množi sa 12 pa se dobiva P, ako se on pomnoži sa 100 dobiće se G.

G1 : 88 = 3.300 : 88 = 37,5 1% G = 37,5 P = 37,5 ∙ 12 G = 37,5 ∙ 100 P = 450 G = 3.750

I u ovom slučaju postoji opšte rješenje. Polazi se od proporcije G : P = 100 : p iz koje se dobiju dvije ekvivalentne proporcije: (G – P) : (100 – p) = P : p = 6 : 100

103

1○ (G – P) – (100 – p) = P : p

P = p-100

P-G ∙ p … (*)

2○ (G – P) : (100 – p) = G : 100

G = p-100

P-G ∙ 100 …(**)

Formule (*) i (**) pretstavljaju osnovne formule procentnog računa “niže od sto”.

Umanjena glavnica G1 = G – P, gdje je P procentni iznos određen stopom p, dijeli se na manje od sto dijelova (100 – p < 100) da bi se dobio 1% od G. Zato se ovaj račun zove procentni račun “niže od sto”.

I u ovom slučaju moguće je na osnovu postojećih uslova odrediti stopu p1 koja, primjenjena na G1 = G – P, daje veličinu P!

(1) Iz G1 = G – P i P = 100

pG ⋅ dobija se

G1 = G ∙ 100

p-100

(2) P1 = 100

PG 11 ⋅ , P = 100

pG ⋅ , uslov P1 = P,

p1 = ?

G1 ∙ p1 = G ∙ p

G · pGp100

p-1001 ⋅=⋅

p1 = p-100p100 ⋅

104

PRIMJER 1. Određenoj količini neke robe smanjena je vrijednost za 15% tako da sada vrijedi 6.206 KM. Za koji iznos je smanjena vrijednost robe i kolika je bila prije smanjenja? Ovdje je

G1 = G – P = 6.205,

p = 15,

P = ?,

G = ?

P = p -100

P -G · p, G = p -100

P -G · 100

p -100P -G =

85205.6 = 73, 1% G = 73%

P = 73 · 15 G = 73 · 100

P = 1.095, G = 7.300

Vrijednost robe smanjena je za 1.095 KM, njena početna vrijednost je 7.300 KM. Problem ćemo riješiti i određujući novu stopu p2, koja primjenjena na

G1 = G – P, daje P1 = P!

P1 = p100p100

−⋅ , p = 15 ⇒p1 =

8515100 ⋅ =

173100 ⋅

P1 = 17

3100100205.6

100pG 11 ⋅

⋅=⋅

= 365 · 3 = 1.095 = P

G = G1 + P = 6.205 + 1.095 = 7.300

105

PRIMJER 2. Neka prodavnica je u toku jedne radne sedmice ostvarila 115.200 KM prometa, što predstavlja 4% podbačaj u odnosu na planirani promet. Odrediti koliki je mjesečni plan prometa ako se zna da planirani sedmični promet predstavlja 32% mjesečnog plana (obzirom na očekivanu konjukturu u toku te sezone)?

(1) Prvo treba odrediti koliki je planirani promet za tu sedmicu. Primjenjuje se procentni račun niže od sto!

G – P = 115.200,

p = 4%,

G = ?,

P = ?

P = p -100

P -G · p, G = p -100

P -G · 100

p -100P -G =

96200.115 = 1.200, 1% G = 1.200

P = 1.200 · 4 = 4.800,

G = 1.200 · 10 = 120.000

Planirani promet: G = 120.000 KM Podbačaj prometa: P = 4.800 KM

(2) G = 120.000 KM, p = 32%

Označimo sa X planirani mjesečni promet prodavnice. Planirani promet prodavnice u iznosu 120.000 KM predstavlja procentni iznod od x, označimo ga sa Px, određen stopom px = 32. Treba odrediti glavnicu X.

X = 100

pG ⋅=

32000.120100 ⋅ = 375.000

Planirani mjesečni promet prodavnice je 375.000 KM.

106

PRIMJER 3. Kupac je kupio robe u iznosu m = ₤ (1.457,, 12,, 9). Kako je kupac platio gotovinom prodavac mu je odobrio 2,25% skonta. Koliki je skonto i koliko je kupac stvarno platio.

Ovdje iznos m treba prevesti u decimalni oblik funte. Zna se da vrijedi

m = ₤ (a, b, c) = (a + 100

b5+

000.10c

3125 ) ₤

U ovom slučaju je a = 1.457, b = 12, c = 9

pa kad se obave potrebni proračuni dobiće se m = 1.457,638 ₤

Imamo: G = 1.457,638 ₤, p = 2,25%, P = ?

P = 8,32100

25,2638,1457100

PG=

⋅=

⋅

Iznos provizije je 32,8 ₤, a kupac je stvarno platio G – P = 1.424,838 ₤.

107

11. KAMATNI RAČUN

Ako neka osoba ili pravno lice (preduzeće, dioničko društvo, ….) pozajmljuje od banke određenu sumu novca koji će vratiti nakon perioda vremena (npr. 2 godine, 22 mjeseca, 83 dana, …) onda je ona dužna da banci (povjeriocu) plati naknadu za cijelo vrijeme korištenja pozajmljenog novca. To znači da će na kraju utvrđenog roka dužnik vratiti povjeriocu iznos pozajmljenog novca uvećan za visinu naknade. Isto se dešava kada neki subjekat ulaže novac u banku. Banka mu odobrava određenu naknadu za svo vrijeme za koje je odgovarajući iznos položen u njoj.

Naknada koju dužnik plaća povjeriocu zove se kamata (interes) – oznaka K. Iznos novca koji se pozajmljuje (ulaže) zove se glavnica (kapital) – oznaka G.

Kamatna stopa p pokazuje koliko se kamate, izraženo u broju novčanih jedinica, plaća za svakih 100 novčanih jedinica glavnice (zajma) za jednu godinu. Ako je npr. P = 4% to znači da na svakih 100 novčanih jedinica (KM) dužnik na ime kamate plaća 4 novčane jedinice (KM) povjeriocu.

Pored glavnice G i kamatne stope p na visinu kamate utiće još i vrijeme – oznaka v, koje može biti izraženo u godinama (g), mjesecima (m) i danima (d).

Dakle visina kamate K je funkcija G, p i v.

K = f (G, p, v)

Pokazuje se da je kamata K direktno proporcionalna veličinama G, p i v – što je veće G, odnosno p, odnosno v to je veća i kamata K, a vrijedi i obratno. Ako su dvije od tri veličine G, p i v konstantne a treća promjenjiva, tada je funkcija f funkcija direktne proporcionalnosti!

Vidljivo je da u okviru kamatnog računa figurišu četri veličine: K, G, p i v. Obićno su poznate tri veličine a treba odrediti četvrtu veličinu.

108

Pored posmatranog moguće su još tri kombinacije: (1) G = ?, poznato K, p, v, (2) p = ?, poznato K, G i v i (3) v = ?, poznato K, G, p!

Obzirom da li je poznata čista, odnosno uvečana ili umanjena glavnica, kamatni račun može biti: kamatni račun od sto, kamatni račun više od sto i kamatni račun niže od sto.

Kamatni račun može biti prost i složen. U prvom slučaju kamata računa se računa uvijek na postojeću glavnicu za cio period ukamaćivanja (vrijeme, predviđeno da se pozajmljeni kapital vrati). U drugom slučaju se nakon svakog perioda vremena (npr. Svake godine ili svkih 6 mjeseci) kamata dodaje postojećoj glavnici, tako da se u narednom periodu vremena kamata obračunava na uvećanu glavnicu G1 (G1 = G + K). Prosti kamatni račun je predmet “Privredne matematike” a složeni kamatni račun je predmet “Finansijske matematike”). U nastavku predmet našeg posmatranja je prosti kamatni račun!.

11.1. Kamatni račun od sto

Ako se radi o jednoj godini, tada kamatna stopa p podrazumjeva da se na svakih 100 novčanih jedinica glavnice G plaća p novćanih jedinica kamate. Postavlja se pitanje – kolika je ukupna kamata K koja se plaća na ime čiste glavnice G?

Logičkim rasuđivanjem postavlja se uslovni i upitni stav:

- uslovni: na 100 n.j. plaća se p n.j. - upitni: na 6 n.j. plaća se K n.j.

Kako se ovdje radi o direktnoj proporcionalnosti formira se proporcija

K : p = G : 100 iz koje neposredno slijedi G pK=100⋅

109

PRIMJER 1. G = 14.400 KM, p = 6%

K = 100

6400.14 ⋅ = 144 · 6 = 864, K = 864 KM

Vidljivo je da se kamatni račun za 1 g podudara sa procentnim računom. 1º Period za koji se kamata obračunava je veći od jedne godine.

Ako se kamata obračunava za n godina

K = 100

np G ⋅⋅ (n – broj godina)

PRIMJER 2.

G = 4.850 KM, p = 8, n = 4 godine

K = 4.850 8 4100⋅ ⋅ = 1.552 KM

Ako se želi kamatni račun za n ≥ 2 godina želi prevesti u procentni račun, tada je potrebno odrediti novu kamatnu stopu p1 koja se odnosi na jednu godinu. Ta stopa je p1 = p · n (n ≥ godinu).

K = 100

pG 1⋅, p1 = p · n (n ≥ 2)

Uzmimo prethodni primjer

G = 4.850 KM, p = 8, n = 4, p1 = 8 · 4 = 32

K = 4.850 32100

⋅ = 1.552, K = 1.552 KM

110

2º Period ukamačivanja izražen u broju mjeseci n.

Označimo sa K1 kamate obračunate na jednu godinu, a sa K kamate obračunate za n mjeseci. Budući da godina ima 12 mjeseci i da se radi o direktnoj proporcionalnosti vrijedi proporcija

K : K1 = n : 12, K1 = 100

p G ⋅

Slijedi:

K = 1200

npG ⋅⋅ , (n ≤ 12 broj mjeseci)

PRIMJER 3.

G = 3.620 KM,

p = 2,4

n = 8 mjeseci

K = 3.620 2,4 81.200⋅ ⋅ = 57,92, K = 57,92 KM

3º Period ukamaćivanja izražen u danima. Obračun kamata zavisi od toga kako se određuje broj dana u godini, i u mjesecu. U praksi se primjenjuju dva koncepta:

- godina ima 360 dana (svaki mjesec po 30 dana) - godina ima 365 dana (svaki mjesec kalendarski).

Istom logikom zaključivanja dobiva se formula za obračun kamate kad je period ukamaćivanja izražen u danima.

K = G p n36.000⋅ ⋅ , (n < 360, broj dana)

Ako se pak računa da godina ima 365 dana

K = G p n36.500⋅ ⋅ ,

111

PRIMJER 4. G = 6.450 KM, p = 2,5%, n = 240 dana

K = 6.450 2,5 24036.000⋅ ⋅ = 107,5, K = 107,5 KM

Vidimo da kamatni račun od sto (na čistu glavnicu) ima četri osnovne formule

K = 100

pG ⋅ za n ≤ 1 godinu

K = 100

npG ⋅⋅ za n ≥ 2 broj godina

K = G p n1.200⋅ ⋅ za n < 12, n broj mjeseci

K = G p n36.000⋅ ⋅ , za n < 360, n broj dana)

Izračunavanje kamata prema ovim formulama pretpostavlja da su G, p i n poznati? Iz njih se jednostavno dobivaju formle za određivanje: glavnice – G, kamatne stope – p i broja godina (mjeseci) dana – n, pretpostavkom da su ostale veličine poznate. - Izračun glavnice:

G = p

K 100 ⋅ , n = 1 godina

G = npK 100

⋅⋅ , n = broj godina

G = 1.200 Kp n

⋅⋅

, n = broj mjeseci

G = 36.000 Kp n

⋅⋅

, n = broj dana

112

- Izračun kamatne stope:

p = G

K 100 ⋅ , n = 1 godina

p = nGK 100


p = 1.200 KG n

⋅⋅

, n = broj mjeseci

p = 36.000 KG n

⋅⋅

, n = broj dana

- Izračun vremena:

n = pGK 100


n = 1.200 KG p

⋅⋅

, n = broj mjeseci

n = 36.000 KG p

⋅⋅

, n = broj dana

U slučaju da se računa da godina ima 365 dana iz početne formule

K = G p n36.500⋅ ⋅

nalaze se formule za G, p i n. Prilikom računanja kamata za period od datuma do datuma treba voditi računa o tome da li se uzima da svaki mjesec ima 30 dana ili se broj dana određuje kalendarski – što se posebno ističe u formulaciji problema.

PRIMJER 5.

G = 24.000 KM,

p = 3%, broj dana od 8.III do 19.VI tekuće godine,

K = ?

113

a) uzima se da svaki mjesec ima 30 dana - mart... 22 dana, (22 = 30 – 8) - april... 30 dana - maj... 30 dana - juni.... 19 dana 101 dan

K = 20236000

10132400036000

npG=

⋅⋅=

⋅⋅ , K = 202 KM

b)Broj dana se određuje kalendarski

- mart.... 23 dana (31 – 8 = 23) - april.... 30 dana - maj.. 31 dan - juni... 19 dana 103 dana

K = G p n 24.000 3 103 203,19,36.500 36.500⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= = K = 203,19 KM

Prema drugom konceptu računanja plaća se veća kamata. Istina razlika je relativno mala (1,19 KM), ali ako se radi o većim iznosima i dužim periodima vremena, razlika može biti znatno veća, pa se pribjegava preciznijem obračunu, naročito ako povjerioc to zahtijeva!

11.2. Kamatni divizor

U slučaju kada se primjenjuje koncept da svaki mjesec ima 30 dana, obračun kamata se može pojednostaviti pomoću kamatnih divizora.

K = G p n36.000⋅ ⋅ , (n – broj dana)

Formula se može napisati u drugom obliku.

K = G n36.000

p

⋅

114

Količnik 36.000 : p zove se kamatni divizor i označava se D = D(p), dakle

K = (p)

G nD⋅ , D(p) =

pK 100 ⋅

Npr. D(10) = 36.000 3,600,10

= D(4,8) = 36.000 5004,8

=

Formira se tabela koja sadrži divizore koji odgovaraju kamatnim stopama za koje je količnik 36.000 : p cio broj ili konačan decimalni broj.

p D(p)

2% 18.000 2,25% 16.000 2,5% 14.000 3% 12.000 4% 9.000

4,5% 8.000 5% 7.200 6% 6.000

7,5% 4.800 8% 4.500 9% 4.000 10% 3.600 12% 3.000

Ova tabela se može proširiti u odnosu na stope za koje je kamatni divizor cio ili konačan decimalan broj – npr. D(5,76) = 6.250, D(9,6) = 3.750, D(2,88) = 12.500, .....

115

PRIMJER 1. G = 4.800 KM,

p = 6,4%

n = 300 dana

K = (p)

G nD⋅ , D(6,4) = 5.625

K = 4.800 300 2565.625

⋅= , K = 256 KM

11.3. Kamatni brojevi

Vidili smo da se kamata u odnosu na broj dana računa primjenom kamatnog divizora

K = (p)

G nD⋅ , D(p) = 36.000

p

Obračun kamata će se pojednostaviti uvođenjem pojma kamatnih brojeva.

Kamatni broj – oznaka N, se definiše kao proizvod glavnice G i broja dana n. Međutim, da bi se dobili što manji brojevi praksa je usvojila da kamatni broj pretstavlja količnik proizvoda (G · n) i broja 100. Dakle kamatni broj je

N = 100

nG ⋅ , G – glavnica, n – broj dana

Na osnovu ovog dobija se formula za obračun kamata

K = (p)

G nD⋅ =

(p)(p)

(G n) :100 N1D :100 D

100

⋅=

⋅

116

K = (p)

N1 D

100⋅

, D(p) = 36.000p

, N = 100

nG ⋅

Napomena: ako se u toku računanja N javi decimalan broj u kojem je prva decimala veća ili jednaka cifri 5, vrši se zaokruživanje na više – što znači da se kamatni broj poveća za jedan. Ako je ta cifra manja od cifre 5, zanemaruje se! Na primjer Ako je

N = 37.489 374,89100

= (prva decimala je 8 > 5) uzima se da je

N = 375.

Ako je

N = 42.532 425,32100

= (prva decimala 3 < 5) uzima se da je N = 425.

11.4. Kamata na više glavnica

Kamatni brojevi omogućavaju brži obračun u slučaju kada se ukupna kamata računa u odnosu na više glavnica sa različitim brojem dana, ali sa istom kamatnom stopom p.

- G1, n1, p ... N1 = 100

nG 11 ⋅

- G2, n2, p ... N2 = 100

nG 22 ⋅ , D(p) = 36.000p

- ... ... ... ... - ... ... ... ...

- Gk, nk, p Nk = 100

nG kk ⋅

____________________________

117

Kako je K = (p)

N1 D

100⋅

K1 = 1

(p)

N1 D

100⋅

, K2 = 2

(p)

N1 D

100⋅

,... K2 = k

(p)

N1 D

100⋅

,

Ukupna kamata je K = K1 + K2 + ... + Kk. Pošto su nazivnici jednaki, slijedi

K = 1 2 k

(p)

N + N + ...N1 D

100⋅

PRIMJER 1. Izračunati ukupnu kamatu na date glavnice G1, G2, G3, G4 uz kamatnu stopu p = 4%.

G1 = 129.464 KM, n1 = 54 dana G2 = 218.630 KM, n2 = 85 dana G3 = 395.500 KM, n3 = 90 dana G4 = 417.000 KM, n4 = 105 dana

Ukupna kamata je

K = 1 2 3 4

(4) (4)

N + N + N + N N1 1D D

100 100

=⋅

, N = N1 + N2 + N3 + N4

D(4) = 9000, 100

1 D(4) = 90

N1 = 1 1G n 129.464 54 (699.910 56) 699.911100 100⋅ ⋅

= = ⋅ =

N2 = 2 2G n 218.630 85 (185.835,5) 185.836100 100⋅ ⋅

= = =

N3 = 3 3G n 395.500 90100 100⋅ ⋅

= = 355.950

118

N4 = 4 4G n 417.000 105 438.850100 100⋅ ⋅

= = 438.850

N = 1.679.547

K = 1.679.54790

= (18.661,633) = 18.661,6

K = 18.661,6 KM

11.5. Interkalarna kamata

Interkalarne kamate (međuvremenske) vezane su za investicioni kredit koji banka odobrava investitoru po stopi p, pri čemu se utvrđuje vremenski period unutar kojeg se kredit realizuje. Kamata na kredit se obračunava unaprijed za pojedine tranše koje investitor aktivira u određenim trenucima (danima) perioda na koji se odnosi kredit. Obračun se vrši prema stopi p za broj dana od trenutka aktiviranja tranše do dana kada banka vrši obračun (30.VI i 31.XII t.g.).

Pretpostavimo da je kredit odobren 1.I tekuće godine (t.g.) a da investitor može koristiti u tranšama (dijelovima) do 31.XII t.g. Investitor može aktivirati pojedine tranše u toku I polugodišta, odnosno II polugodišta tekuće godine. Obračun se vrši za svaku tranšu za broj dana od trenutka aktiviranja tranše do dana obračuna 30.VI t.g., odnosno do 31.XII t.g 1.I t1 30.VI t 31.XII S1 t2, S2 Neka je investitor aktivirao kredit u dvije tranše: prvu u trenutku t1 (iz I polugodišta) – iznos S1 i drugu, u trenutku t2 (iz II polugodišta) – iznos S2. Interkalarne kamate – oznaka (i.k.), obračunavaju se, kako je već rečeno, prema stopi p i broju dana koji se kalendarski računa i to:

119

od trenutka t1 od 30.VI t.g., od 30.VI t.g. do 31.XII t.g. što iznosi 184 dana i od trenutka t2 do 31.XII t.g. Aktiviranje tranše S1 u trenutku t1. Označimo iznos odgovarajućih interkalarnih kamata sa (i.k.)1. Dobivene kamate se pribrajaju iznosu S1 pa se dobije iznos S1 = S1 + (i.k.)1.

Na kraju godine 31.XII, kada se inače vrši obračun, banka obračunava interkalarne kamate na iznos S1 za 184 dana (koliko ih ima od 30.VI do 31.XII). Označimo ih sa (i.k.)1.

Aktiviranje tranše S2 u trenutku t2. Označimo ove interkalarne kamate sa (i.k.)2. Broj dana od trenutka t2 do 31.XII.

Ukupne kamate na investicioni kredit jednake su zbiru interkalarnih kamata obračunatih 31.XII.

(i.k.) = + (i.k.)1 + (i.k.)2

Ukupan iznos iskorištenog kredita koji je investitor koristio jednak je zbiru tranše S1 uvećane za (i.k.)1 i tranše S2, dakle

S = (S1 + (i.k.)1) + S2 = S1 + S2, S/1= S1 + (i k 1)

Ukupan dug koji investitor otplaćuje jednak je zbiru iskorištenog kredita i interkalarnih kamata obračunatih 31.XII.

d = S/1 + S2 + (i.k.)

Kako je

S/1 = S1 + (i.k.)1 to je

d = (S1 + S2) + (i.k.) /1 + (i.k.)2

Ukupan dug je, dakle, jednak zbiru iznosa odobrenog kredita – (S1 +S2) i interkalarnih kamata obračunatih 30.VI i interkalarnih kamata obračunatih 31.XII t.g.

Za obračun kamata na investicioni kredit koristi se procedura zasnovana na kamatnom divizoru i kamatnim brojevima (kamata na više glavnica)!

120

PRIMJER 1. Banka je 1.I.o.g. odobrila investitoru kredit u iznosu 1.000.000 KM uz stopu p = 6%, s tim da investitor počne otplatu 1.I.09. Investitor je koristio kredit prema dinamici:

(1) 15.II.08. – 180.000 KM, (2) 29.IV.08. – 240.000 KM, (3) 24.VII.08. – 300.000 KM i (4) 20.XI.08. – 280.000 KM.

Kolike su interkalarne kamate? 1º Prvo polugodište 2008.god. Koristi se formula

K = (p)

G nD⋅ ,

G – iznos tranši,

n – broj dana,

Dp = 36.000p

= 6.000

Kako je p = 6, to je D4 = 6.000 S1 = 180.000, n1 = 135 (od 15.II do 30.VI) S2 = 240.000, n2 = 62 (od 29.IV do 30.VI)

IK1 = 180.000 1356.000

⋅ = 4.050 KM, IK2 = 240.000 626.000

⋅ =

= 2.480 KM

Ukupne interkalarne kamate obračunate 30.VI.08. su 4.050 KM + 2.480 KM = 6.530 KM = IK (VI).

Uvećani iznos tranši S1 i S2 na koje će se obračunati interkalarna kamata na dan 31.XII.08.

S/1 = S1 + IK1 S/

2 = S2 + 1K2 S/

1 = 184.050 KM S/2 = 242.480 KM

121

2º Drugo polugodište 2080.

Kamate treba obračunati na četri iznosa: S/1, S/

2, S3 i S4. Primjenjuje se obračun kamata na više glavnica. Koristi se formula

K = (p)

N1 D

100

,

N = 100

nG ⋅ ,

n – broj dana.

Kako je za sve glavnice (tranše) Dp : 100 = D6 : 100 = 60, to zbir interkalarnih kamata IK1 + IK2 + IK3 + IK4 može se napisati u obliku jednog razlomka

IK1 + IK2 + IK3 + IK4 = 1 2 3 4N N N N60

+ + +

gdje je N1 = (S/1· n/

1): 100, N2 = (S/2 · n/

2) : 100, N3 = (S3 · n3) : 100, N4 = (S4 · n4) : 100 Ukupan zbir ovih kamata označimo sa IK(XII).

S1 = 184.050, n1 = 184 N1 = 338.652 S2 = 242.480, n2 = 184, N2 = 446.163 S3 = 300.000, n3 = 160, N3 = 480.000 S4 = 280.000, n4 = 41, N4 = 114.800 _____________________________________

N1 + N2 + N3 + N4 = 1.379.615

IK1 + IK2 + IK3 + IK4 = D(p)

1001

Nk = 22.993 KM

Ukupan iznos interkalarnih kamata obračunatih 31.XII.08. IK(XII) = 22.993 KM

122

Konačan obračun - iskorišteni kredit ... S1 + S2 + S3 + S4 = 1.006.530 KM - interkalarne kamate.. IK(XII) = 22.993 KM - Ukupan dug za otplatu d = 1.029.523 KM

(d = S1 + S2 + S3 + S4 + IK(XII)

11.6. Kamatni račun više od sto

U praksi se često javlja problem: poznata je glavnica G1 koja je jednaka zbiru „stare glavnice G i kamate K, dok su ostali elementi kamatnog računa neizmjenjeni – kamatna stopa p1 vrijeme, dakle p = const i n = const. Znači poznato je G1 = G + K, p i n a treba naći K i G? Polazi se od osnovne proporcije

G : K = 100 : p Primjenjuje se osobina proporcija.

a : b = c : d ⇒ (a + b) : (c + d) = a: c = b : d Dobit će se

(G + K) : (100 + p) = K : p (G + K) : (100 + p) = G : 100

Odakle se jednostavno dobiva

K = pp100

K G ⋅

++ i G = 100

p100K G

⋅++ ... (I)

Ovo se odnosi kada se kamata računa za jednu godinu (n = 1).

- Obračun kamata za više od jedne godine (n ≥ 2) Znamo da vrijedi

K = 100

npG ⋅⋅ a osnovna proporcija ima oblik

G : K = 100 : (p n)⋅

123

pa slijedi (G + K) : (100 + p ⋅n) = K : (p n)⋅ (G + K) : (100 + p ⋅n) = G : 100

Odnosno

K = G + K (p n)100 p n

⋅ ⋅+ ⋅

, G = G K 100100 p n

+⋅

+ ⋅ ...(II)

- Obračun se vrši prema broju mjeseci.

Istom logikom zaključivanja dobija se

K = G + K (p n)1.200 p n

⋅ ⋅+ ⋅

, G = G + K 1.2001.200 p n

⋅+ ⋅

... (III)

- Obračun se vrši prema broju dana

Istom logikom zaključivanja dobija se

K = G + K (p n)36.000 p n

⋅ ⋅+ ⋅

, G = G + K 36.00036.000 p n

⋅+ ⋅

... (IV)

Formule (I), (II), (III) i (IV) su osnovne formule kamatnog računa „više od sto“.

11.7. Kamatni račun niže od sto

Poznato je G1 = G – K p i n (n – broj godina, dana, mjeseci) – treba naći K i G?

Primjenjujući istu logiku --- zaključivanja dobiće se osnovne formule kamatnog računa „niže od sto“.

- Za jednu godinu (n = 1)

K = pp100

K-G⋅

−, G = 100

p100K-G

⋅−

- Za više od jedne godine (n ≥ 2)

K = n)p(np100

K-G⋅⋅

⋅−, G = 100

np100K-G

⋅⋅−

124

- Za n mjeseci

K = G K (p n)1.200 p n

−⋅ ⋅

− ⋅, G = G K 1.200

1.200 p n−

⋅− ⋅

- Za n dana

K = G K (p n)36.000 p n

−⋅ ⋅

− ⋅, G = G K 36.000

36.000 p n−

⋅− ⋅

Kamatni računi „više od sto“ i „niže od sto“ imaju slične formule koje se razlikuju samo u predznaku. U slučaju kada se kamata računa prema broju obje formule se mogu pojednostaviti uključivanjem kamatnog divizora.

K = (G K) p n36.000 p n

± ⋅ ⋅± ⋅

, G = (G K) 36.00036.000 p n

±⋅

± ⋅

Dijeljenjem brojnika i nazivnika sa p dobiće se

K = G K n36.000 n

p

± ⋅

±, G = G K n 36.000

36.000 pnp

± ⋅⋅

±

Kamatni divizor je Dp = 36.000p

pa se konačno dobiva

K = (p)

G K nD n

±⋅

±, G = (p)

(p)

G K DD n

±⋅

±

PRIMJER 1. Kredit od 1.800 KM je odobren na 9 mjeseci uz 8% kamata godišnje. Odrediti kamatu i konačnu vrijednost kredita?

K = 1200

np G ⋅⋅ ,

G = 1.800 KM, p = 8%, n = 9 mjeseci

K = 1.800 8 9 1081.200

⋅ ⋅=

125

a) K = 108 KM, b) konačna vrijednost kredita G + K = 1.908 KM

PRIMJER 2. Koliko vremena je potrebno da novčani ulog od 2.400 KM naraste na 2.460 uz stopu p = 6% ako se kamata računa prema broju dana?

Ovdje je G + K = 2.460, G = 2.400, K = 60, p = 6%

K = G p n 36.000 K 36.000 60n 15036.000 G p 2.400 6⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⇒ = = =⋅ ⋅

n = 150 dana PRIMJER 3. Koja glavnica naraste na 5.680 KM uz stopu p = 5,5% za 3 godine i 4 mjeseca.

Ovdje je:

G + K = 5.680 KM, p = 5,5%, n = 40 mjeseci

G = G + K 1.2001.200 p n

⋅+ ⋅

G = 5.680 5.6801.200 1.200 4.8001.200 5,5 40 1.420

⋅ = ⋅ =+ ⋅

G = 4.800 KM, K = 880 KM (5.680 – 4.800 = 880)

PRIMJER 4. Osoba N.T. uzela je kredit u banci. Banka toj osobi, po odbitku kamata računatih po stopi p = 4,5% za 320 dana, stavi na raspolaganje (isplati) iznos 6.912 KM. Koliki je iznos kredita i kolike su kamate?

126

Ovdje se primjenjuje kamatni račun „niže od sto“. Podaci:

G – K = 6.912 KM, p = 4,5%, n = 320 dana.

a) G = G-K 36.00036.000 p n

⋅− ⋅

; K = G-K p n36.000 p n

⋅ ⋅− ⋅

G = G - K 6.912 6.212 0,236.000 p n 36.000 4,5 320 36.000 1.440

= = =− ⋅ − ⋅ −

G = 36.000 · 0,2 = 7.200 KM, K = 1.440 · 0,2 = 288 KM

b) Primjena kamatnog divizora

G = (p)(p)

G - K DD -n

⋅ , K = (p)

G - K nD -n

⋅ , D (4,5) = 8.000

(p)

G - K 6.912 6.912 0,9D n 8.000 320 7.680

= = =− −

G = 0,9 · 8.000 = 7.200 KM, K = 0,9 · 320 = 288 KM

Odobreni kredit je = 7.200 KM, kamata je = 288 KM PRIMJER 5. Kapital od 840.000 KM podijeljen je u odnosu 4 : 3 : 5 i uložen u banku sa različitim kamatnim stopama i to: I-dio uz 3%, II-dio uz 4% i III-dio uz 6%. Ukupne kamate su 26.460 KM. Odrediti na koje vrijeme je kapital bio uložen?

U ovom slučaju treba odrediti broj dana na koji je kapital uložen n=? Neka su dijelovi na koji je kapital podijeljen sa

G1, G2, G3, G = 840.000 KM. G1 + G2 + G3 = 840.000 G1 : G2 : G3 = 4 : 3 : 5 G1 = 4k, G2 = 3k, G3 = 5k 4k + 3k + 5k = 840.000 ⇒k = 70.000 G1 = 280.000, G2 = 210.000, G3 = 350.000

127

Treba naći kamate koje odgovaraju iznosima G1, G2 i G3. Označimo ih sa K1, K2 i K3. Mora biti K1 + K2 + K3 = 26.460 .... (K)

K = G p n36.000⋅ ⋅

⋅ , p1 = 3%, p2 = 4%, p3 = 6%

K1 = 280.000 3 n360.00

⋅⋅ ⇒ K1 ⇒ n

36840

⋅

K2 =210.000 4 n

36.000⋅⋅ ⇒ K2 = n

36840

⋅

K3 = 350.000 6 n36.000

⋅⋅ ⇒ K3 = 2.100 n

36⋅

K1 + K2 + K3 = 3.780 n36

⋅ = 105 · n

K1 + K2 + K3 = 26.460

105 · n = 26.460 ⇒ n = 252 dana

Kapital je bio uložen u banci na 252 dana ili 8 mjeseci i 12 dana! PRIMJER 6. Odrediti kamatnu stopu ako se zna da je kapital od 75.000 KM uložen u banku na vrijeme 3 godine, 7 mjeseci i 23 dana donio kamatu u iznosu 9.574 KM. Ovdje vrijeme treba prevesti u broj dana, uzimajući da godina ima 360 dana a mjesec ima 30 dana. Dobija se

n = 1.313 dana.

p = 36.000 KG n

⋅=

⋅, G = 75.000, K = 9.574, n = 1.313

p = 36.000 9.574 3,575.000 1.313

⋅=

⋅

Kapital je bio uložen uz stopu p = 3,5%.

128

12. ESKONTNI RAČUN

12.1. Uvođenje u problem

Jedan od značajnih primjena kamatnog računa predstavlja obračunavanje vrijednosti mjenice kada se ona upotrebljava kao sredstvo za dobivanje kredita od banke ili se mjenica prodaje. Sam postupak određivanja vrijednosti mjenice zove se eskontovanje a račun kojim on izvodi zove se eskontni račun.

Samu potrebu koja dovodi do utvrđivanja vrijednosti mjenice i svega onog što iza toga slijedi objasnićemo slijedećim rasuđivanjem10:

Posmatraju se dva poslovna subjekta – prodavaoca (PC) i kupca (KC). Prodavaoc, koji raspolaže nekom robom, prodao je kupcu određenu količinu te robe na kredit. Svoje potraživanje prodavaoc će, prema ugovoru) naplatiti u utvrđenom roku od kupca, na osnovu čega je kupcu otpremljena roba. U okviru ovoga kupac je potpisao mjenicu i predao je prodavcu, koja mu služi kao garancija da će svoje potraživanje naplatiti u predviđenom roku. Međutim prodavcu su potrebna novčana sredstva za tekuće poslovanje pa se obraća banci od koje traži kredit na osnovu svoga potraživanja od kupca. U okviru toga prodavaoc vuče na svoga dužnika mjenicu, sa naznačenim iznosom potraživanja i utvrđenim rokom isplate, koju je kupac akceptirao11, i dostavlja je banci. Banka će odobriti prodavcu kredit na osnovu mjenice i pritom će od njega naplatiti kamatu (i eventualno proviziju i sitne troškove posla) koje će odbiti od iznosa kredita. Kamate se računaju na iznos na mjenici, prema odgovarajućoj kamatnoj stopi i za broj dana računat od trenutka (dana – kalendarskih gledano) kada je mjenica podnesena na eskontovanje do trenutka dospijeća tj. – kada mjenica treba biti isplaćena. 10 Prema: Luka Sorajić – „Privredna matematika 2“, Zavod za izdavanje udžbenika,

Sarajevo, 1974. 11 akceptiranje : kupac svojim potpisom na mjenici potvrđuje da će, po nalogu

prodavca, svoj dug isplatiti banci

129

Grafički prikaz nekih elemenata eskontnog računa sa odgovarajućim nazivima

O TČ Te D

te

OD ... iznos naznačen na mjenici zove se nominalna vrijednost

mjenice (mjenični iznos) – tretira se kao glavnica G TeD ... iznos kamate – zove se eskont i označava sa E TčTe ... zbir provizije je i sitnih troškova Ote ... sadašnja vrijednost mjenice – zove se eskontovana

vrijednost i označava sa EV EV = OD – TeD = G – E Otč ... čisti eskont – oznaka ČE ČE = EV – Tč Te ili ČE = G – (E + Tč Te) te ... trenutak eskontovanja, dan kada je mjenica podnesena na

eskontovanje td ... trenutak dospijeća, dan na koji dug treba biti isplaćen

Kamate koje banka obračunava i oduzima od iznosa kredita zovu se eskont (francuski – escompte) ili diskont (engleski – discount). Sam posao zove se eskontni posao. Stopa po kojoj se računaju kamate zove se eskontna stopa. Broj dana za koji se obračunava escont računa se od trenutka eskontovanja do trenutka dospijeća, kalendarski gledano.

Možemo formirati listu veličina značajnih za eskontni račun:

- Nominalna vrijednost mjenice - G - Trenutak dospijeća - td - Trenutak eskontovanja - te - Broj dana od te do td - n - Eskontna stopa - p = pe - Eskont - E - Sadašnja vrijednost mjenice - EV - Iznos provizije - PZ - sitni troškovi posla - Ce - Čisti eskont - ČE

130

Dodatna objašnjenja - Glavnica G se, zavisno od aspekta posmatranja, tretira kao:

(a) čista glavnica i (b) kao uvečana glavnica. - EV = G – E - ČE = EV – (PZ + Ce), ili

ČE = G – (EV + PZ + Ce) - Provizija se računa preko stope provizije p izražene u

postotcima koja se primjenjuje na nominalnu vrijednost mjenice (G).

Praktična primjena eskontnog računa uključuje rješavanje nekoliko specifičnih problema. To pretpostavlja da su za svaki od njih poznate neke od navedenih veličina (to su dati podaci u problemu) a treba odrediti druge veličine i podatke!

12.2. Određivanje eskontnog iznosa, vrste eskonta, čisti eskont

Poznate veličine: nominalna vrijednost – G, eskontna stopa – pe, trenuci te i td ili broj dana n, iznos provizije PZ ili stopa provizije pz i troškovi eskontovanja – te.

Može se odrediti: eskont – E, sadašnja vrijednost – EV i čisti iznos eskonta – ČE. Kako se kamata računa za broj dana primjenjuje se odgovarajuća formula kamatnog računa, a korisno je upotrebiti formule koje uključuju primjenu kamatnog divizara D(p) i kamatnog broja N.

E = G p n36.000⋅ ⋅ , E =

(p)

G nD⋅ , E =

(p)

N1 D

100⋅

... (*)

Formula za sadašnju vrijednost

EV = G – E = G - G p n36.000⋅ ⋅ = G · 36.000 p n

36.000− ⋅

131

Odnosno

EV = G - (p)

G nD⋅ = G · (1-

(p)

nD

= G · (p)

(p)

D nD−

Znači formule za sadašnju vrijednost

EV = G · 36.000 p n36.000

− ⋅ i EV = G · (p)

(p)

D nD−

... (**)

Za probleme opisane vrste primjenjuju se formule (*) i (**).

PRIMJER 1. Prodavaoc je prodao kupcu svoju robu na kredit u iznosu 184.350 KM sa rokom dospijeća 24.VI.2008. godine, za šta je kupac njemu položio mjenicu na isti iznos i istim rokom dospijeća. Prodavac je zatražio od banke kredit na bazi te mjenice, koji je banka odobrila 5.IV.2008. sa kamatnom stopom. Koliki iznos će banka isplatiti podnosiocu zahtjeva u gotovini?

Ovdje je:

G = 184.350 KM, pe = 4,5, n = 80 dana (od 5.IV. do 24.VI.), D4,5 = 8.000. Treba naći E i EV?

D(p) = 36.000p

a) Nominalni iznos mjenice G se tretira kao čista glavnica

E = (p)

G n 184.350 80 1.843,5D 8.000⋅ ⋅

= = , E = 1.843,5 KM

EV = G · (p)

(p)

D n 8.000 80184.350 182.506,5D 8.000− −

= ⋅ =

EV = 182.506,5 KM

(Napomena: može se računati EV = G – E)

132

Banka je isplatila iznos u gotovini EV = 182.506,5 KM, obračunate kamate su E = 1.843,5 KM.

b) Nominalna vrijednost G tretira se kao uvećana vrijednost

Ovaj tretman G vezan je za činjenicu da je prodavac u cijenu svoje robe koju je prodao kupcu vjerovatno već uračunao iznos eskonta. Prema njemu može se uzeti da je G = Go + K, gdje je Go vrijednost robe obračunata po cijeni koja ne uključuje kamate, a K je iznos bančine kamate. Eskont koji se izračunava prema ovom shvatanju zove se racionalni eskont – oznaka Er. Eskont računat prema shvatanju da je G čista glavnica zove se komercijalni eskont oznaka Ek.

Primjenjuje se formula

K = Er = o

(p) (p)

(G K) n G n ,D + n D n+ ⋅ ⋅

=+

Er = (p)

G nD n

⋅+

G = 184.350, n = 80, D4,5 = 8.000

Er = 184.350 80 184.350 1.825,28.080 101

⋅= = Er = 1.825,2 KM

U dijelu pod a) određen je komercijalni eskont Ek = 1.843,5. Vidi se da je racionalni eskont manji od komercijalnog eskonta. Računamo razliku

Ek – Er = 18,25 KM Potražimo razliku Ek – Er teorijski

Ek = (p)

G nD⋅ , Er =

(p)

G nD + n

⋅

Ek – Er = = (p)

(p) (p) (p) (p) (p) (p)

G n G n D n D (G n) n(G n)D D n D (D + n) D (D + n)⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅

− ⋅ ⋅ =+ ⋅ ⋅

Dobiveni rezultat možemo pisati u obliku

Ek – Er = 2(p)rc

(p) (p)

G n n E nD n KD D

⋅⋅

⋅+ = =

133

Konačno dobiveni rezultat za razliku (Ek – Er) ustvari predstavlja kamate na racionalni eskont – oznaka Krc, koja je računata pod uslovima datim u primjeru12.

Provjera: Er = 1.825,2, n = 80, p = 4,5 D4,5 = 8.000

Krc = 2k 2

(p)

E n 1825,2 80 182,25D 8.000

E E⋅ ⋅= = = −

PRIMJER 2. Mjenica čiji nominalni iznos 151.700 KM sa rokom dospijeća 24.III.t.g. predstavlja osnovu za kredit koji je banka odobrila 23.I.t.g. sa kamatnom stopom p = 6,8%. Kolika je vrijednost čistog eskonta ako je banka uračunala 188 KM na ime provizije i 23 KM na ime troškova eskonta.

Podaci:

G = 151.700 KM, pe = 6,8 r = 60 (od 23.I do 24.III) PZ = 188 KM, Ce = 23. Treba naći E i ČE? ČE = G – (E + PZ + Ce)

Formula: E= G p n36.000 p n

⋅ ⋅+ ⋅

E = 151.700 6,8 60 151.700 408 1.70036.000 6,8 60 36.408

⋅ ⋅ ⋅= =

+ ⋅, E = 1.700 KM

ČE = 151.700 – (1.700 + 188 + 23) = 149.789,

ČE = 149.789 KM

12 Zna se da je K=

(p)

G nD⋅

, za G = E2 slijedi Kre = 2

(p)

E nD⋅

134

PRIMJER 3. Banka je 10.V.t.g. primila na eskont četri mjenice čije nominalne vrijednosti i rokovi dospijeća su dati tabelom.

1o 184.620 KM dospijeće 5.VI.t.g. 2o 432.825 KM -„- 12.VI.t.g. 3o 725.342 KM -„- 18.VI.t.g. 4o 364.112 KM -„- 23.VI.t.g.

Odrediti čisti iznos eskonta ako je kamatna stopa p = 7,5%,

stopa provizije na ukupnu sumu pz = %809

i troškovi eskonta

(ukupni) Ce = 25 KM.

Pošto je kamatna stopa za sve mjenice ista, veličinu ukupnog eskonta izračunaćemo pomoću kamatnih brojeva.

E = K = (p)

H1 D

100⋅

, N = n)G(100

1⋅⋅

E = E1 + E2 + E3 + E4, N = N1 + N2 +N3 +N4

Broj dana: n1 = 26 (od 10.V do 5.VI), n2 = 33 (od 10.V – 12.VI), n3 = 39 (od 10.V do 18.VI) i n4 = 44 (od 10.V do 23.VII)

Divizor: p = 7,5%, D 7,5 = 4800, 100

1 D 7,5 = 48

G1 = 184.620, n1 = 26 N1 = 48.001,20 G2 = 432.825, n2 = 33 N2 = 142.855,35 G3 = 725.342, n3 = 39 N3 = 282.883,38 G4 = 364.112, n4 = 44 N4 = 160.209,28 G = 1.706.899 N = 633.949,21

135

Ukupan eskont++

E = 633.949,21 13.207,48

=

E = 13.207,3 KM Stopa provizije

pz = %809 = 0,1122

Iznos provizije računa se u odnosu na ukupnu vrijednost sve četiri mjenice G

PZ = zG p 1.706.899 0,1122 1.920,26100 100⋅ ⋅

= =

PZ = 1.920,26 KM, Ce = 25 KM

E + PZ + Ce = 15.152,56 KM

ČE = G – (E + PZ + Ce) = 1.706.899 – 15.152,56

ČE = 1.691.746,44 KM

12.3. Upoređivanje mjenica, ekvivalentne mjenice

Često je potrebno upoređivati dvije ili više mjenica različitih nominalnih vrijednosti i rokova dospijeća. Kako je u poslovanju više značajna sadašnja – eskontna vrijednost mjenice od njene nominalne vrijednosti to se različite mjenice upoređuju na slijedeći način: mjenice se eskontuju na određeni dan pa se upoređuju njihove eskontne vrijednosti obračunate na taj dan. Time se može zaključiti koja od njih je najvrijednija. Istovremeno se mogu uporediti dvije mjenice i utvrditi koja od njih je vrijednija. Ako se desi da dvije mjenice imaju istu eskontnu vrijednost za taj dan, kaže se da su one ekvivalentne.

136

PRIMJER 1. Određenog dana banka je primila tri mjenice za koje su pored nominalne vrijednosti utvrđeni broj dana računati od tog dana do odgovarajućih rokova dospijeća.

1o G1 = 12.350 KM n1 = 35 dana

2o G2 = 12.450 KM n2 = 68 dana

3o G3 = 12.220 KM n3 = 25 dana

Banka obračunava eskont po stopi p = 8%. Uporediti date mjenice.

E = (p)

G nD⋅ , EV = G – E, D(8) = 4.500

E1 = 12.350 35 96,05KM4.500

⋅= EV1 = 12.253,95 KM

E2 = 12.450 68 188,13KM4.500

⋅= EV2 = 12.261,87 KM

E3 = 12.220 25 68,00KM4.500

⋅= EV3 = 12.152,00

Vidi se da je EV1 < EV2 > EV3

Ovo znači da je na dan eskontovanja prva mjenica najvrjednija. Ako upoređujemo prve dvije mjenice vidi se da je G2 > G1, ali je na dan eskontovanja vrijednija prva mjenica jer je EV1 < EV2. Takvom rezultatu doprinosi činjenica ima veći broj dana za koji se vrši ukamaćivanje. PRIMJER 2. Pokazati da su dvije mjenice ekvivalentne ako je poznato

G1 = 144.000 KM, n1 = 24 dana

G2 = 144.289,16 KM, n2 = 48 dana

pe = 3%

137

Treba pokazati da je EV1 = EV2. Koristićemo formulu za direktno određivanje eskontne vrijednosti.

EV = G · (p)

(p)

D nD= , Dp = D3 = 12.000

EV1 = 144.000 · 11.976 143.71212.000

= , EV1 = 143.712 KM

EV2 = 144.289,16 · 11.952 143.71212.000

= , EV2 = 143.712 KM

Pošto je EV1 = EV2, matrice su ekvivalentne.

12.4. Zamjena više mjenica jednom

U praksi se javlja potreba da se više mjenica sa različitim nominalnim iznosima i rokovima dospjeća zamjene jednom mjenicom a istom eskontnom stopom. To se postiže na slijedeći način:

Neka su nominalni iznosi datih mjenica G1, G2,....,Gk a rokovi dospijeća izraženi u danima su n1, n2, ..., nk. (ovo znači da prva mjenica dospijeva za n1 dana, druga za n2 dana ...., k-ta za nk dana). Nominali iznos opšte mjenice je zbir nominalnih iznosa datih mjenica

G = G1 + G2 + ....+ Gk ...(I)

Treba odrediti rok dospijeća opšte mjenice u danima, označimo ga sa n, tako da njena eskontna vrijednost, u datom trenutku, bude jednaka zbiru eskontnih vrijednosti datih mjenica.

EV = EV1 + EV2 + ... + EVk ...(II) Pokazuje se da je rok – tj broj dana n pretstavlja ponderisanu (složenu) srednju vrijednost rokova datih mjenica n1, n2, ..., nk u odnosu na njihove nominalne vrijednosti, tj.

n = (III)G...GG

Gn...GnGn

k21

kk2211 ⋅⋅⋅+++

⋅++⋅+⋅

138

Dokaz: Koristi se formula

EV = G · (p)

(p) (p)

D n n G nG (1 ) GD d D− ⋅

= ⋅ − = − , Dp = D

Formulu ćemo primjeniti: (a) na nominalnu vrijednost opšte mjenice G i (b) na nominalne vrijednosti datih mjenica G1, G2, ..., Gk – pojedinačno.

Zatim se primjenjuje uslov da je

EV = EV1 + EV2 + ... + EVk

a) G = G1 + G2 + ... + Gk

EV = G - (p)

G nD⋅ ...(a)

b) EV1 = G1 - 1

(p)

G nD⋅

EV2 = G2 - 2 2

(p)

G nD⋅

EVK = Gk -k k

(p)

G nD⋅

EV1 + EV2 + ... + EVK =

= (G1 + G2 + ... + GK) - (p)

nD

· (G1n1 + G2n2 + ... + Gknk)

EV1 + EV2 + ... + EVk = G - 1 1 2 2 k k

(p)

G n G n ... G nD

⋅ + ⋅ + +

... (b)

Kad se izjednače desne strane jednakosti (a) i (b) dobiće se

G - 1 1 2 2 k k

(p)

(p)

G n G n G n ... G nGD D⋅ ⋅ + ⋅ + +

= −

- ( )1 1 2 2 k k

(p) (p)

G n G n ... G nG nD D

+ + +⋅=

n = k21

kk2211

G...GGnG...nGnG

+++⋅++⋅+⋅

139

PRIMJER 1. Date su četri mjenice sa istom eskontnom stopom pe = 7,5%

- G1 = 180 KM dospijeva za n1 = 20 dana - G2 = 240 KM -„- n2 = 25 dana - G3 = 320 KM - „- n3 = 30 dana - G4 = 260 KM -„- n4 = 30 dana

Date mjenice treba zamjeniti opštom mjenicom. Nominalna vrijednost opšte mjenice

G = G1 + G2 + G3 + G4 = 1.000 KM

Rok dospijeća opšte mjenice u danima

n = 1 1 2 2 3 3 4 4G n G n G n G n 180 20 240 25 320 30 260 3G 1.000

⋅⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅=

n = 27 dana

Rok dospijeća opšte mjenice je 27 dana.

Provjera: Treba pokazati da je

EV = EV1 + EV2 + EV3 + EV4

EV = G · D(p)

n-D(p)

a) Za opštu mjenicu G = 1.000 p = 7,2, Dp = D7,2 = 5.000, n = 27

EV = 1.000 · 5.000 27 994,605.000

−=

EV = 99.460 KM

b) EV1 = 180 · 4.9805.000

= 179,28 KM

EV2 = 240 · 4.9755.000

= 238,80 KM

EV3 = 320 · = 318,08 KM

140

EV4 = 260 · 4.9705.000

= 258,44 KM

EV1 + EV2 + EV3 + EV4 = 994,60 KM = EV

12.5. Određivanje nominalne vrijednosti mjenice

Određivanje nominalne vrijednosti je računski problem kojim se na osnovu potrebnih podataka, koristeći odgovarajuće formule kamatnog računa, nalazi tražena vrijednost. Zavisno od raspoloživih podataka navešćemo dvije mogućnosti

1o Poznato: eskont – E, eskontna stopa – pe, broj dana dospijeća – n (ili trenuci te i td).

Formule

G = 36.000 Ep n

⋅⋅

, G = (p) E Dn⋅

2o Poznato: eskontna vrijednost – EV, eskontna stopa – pe, broj dana dospijeća – n (ili te i td). Formule

G = 36.000 EV36.000 p n

⋅− ⋅

, G = (p)

(p)

D - EVD - n

PRIMJER 1. Dana 15.IV.08. banka je primila na eskontovanje mjenicu čiji je rok dospijeća 4.VI.08. Nakon odbitka eskonta obračunatog po stopi p = 5,4 banka je podnosiocu zahtijeva isplatila 71.460 KM. Odrediti nominalnu vrijednost mjenice.

Podaci:

EV = 71.460 KM,

141

p = 5,4%,

n = 50 (od 15.IV do 4.VI)

G = 36.000 EV 71.460 36.000 7.20036.000 p n 36.000 5,4 50

⋅ ⋅= =

− ⋅ − ⋅

G = 72.000, E = 540

PRIMJER 2. Preduzeće „MGM“ predalo je banci akceptiranu mjenicu sa rokom dospijeća 45 dana, na osnovu čega je podnijelo zahtjev za kredit. Banka je nakon odbijanja eskonta E, provizije PZ = 32 KM i troškova eskonta Ce = 10 KM, preduzeću isplatila iznos 17.850 KM. Odrediti nominalnu vrijednost mjenice ako je pe = 4,8%?

Poznato:

ČE = 17.850 KM, PZ = 32 KM, Ce = 10 KM, pe = 4,8%, n = 45 dana Može se naći eskontovana vrijednost

EV = ČE + PZ + Ce = 17.892KM

Pošto smo odredili EV možemo izračunati G

G = (p)

(p)EV DD n−

⋅ , D(4,8) = 7.500

G = 17.892 7.500 17.957,767.455

⋅=

Nominalna vrijednost mjenice G = 17.957,76 KM, E = 108 KM.

142

PRIMJER 3. Naći nominalnu vrijednost mjenice za koju je obračunat eskont u iznosu 1.944 KM po stopi p = 3,6% za 45 dana.

Podaci:

E = 1.944,

p = 3,6,

n = 45,

D (3,6) = 10.000

G = (p)D E 1.944 1.000 432.000KMn 45⋅ ⋅

= =

12.6. Određivanje eskontne stope

Ovdje se radi o problemu kamatnog računa u kojem se na temelju potrebnih podataka određuje eskontna stopa p = pe. Podaci:

G, E, EV, n (ili te i td) Formula

p = 36.000 EG n

⋅⋅

Pored toga eskontna stopa se može odrediti ako se prethodno odredi (ili je poznat) kamatni divizor D(p). Koristi se formula

Dp = E

nG ⋅

Iz nje se dobije Dp = m.

143

Uzimajući u obzir da je

D(p) = 36.000p

imaćemo m = 36.000p

, odnosno

p = 36.000m

, m = Dp

PRIMJER 1. Ako je poznato

G = 4.320 KM,

E = 64,8 KM,

n = 72, naći pe:

a) pe = 36.000 E 36.000 64,8KM 7,5

G n 4.320KM 72⋅ ⋅

= =⋅ ⋅

, pe = 7,5

b) D(p) = G n 4.320KM 72 4.800E 64,8KM⋅ ⋅

= = , Dp = 4.800

pe = (p)

36.000 36.000 7,5D 4.800

= = , pe = 7,5

PRIMJER 2. Naći pe ako je poznato

G = 8.424 KM, EV = 8.377,2 KM, n = 120

Prvo se nalazi E. Vrijedi E = G – EV = 8.424 – 8.377,2 = 46,8

pe = 36.000 46,8 5 218.424 120 3 3

⋅= =

⋅ , pe = 1 %

32

144

PRIMJER 3. Na ukupnu glavnicu duga G = 1.094.850 KM izdate su tri mjenice sa jednakim nominalnim iznosima a različitim rokovima dospijeća i to: prva – 25.XII.08, druga – 10.I.09. i treća – 21.I.09. Mjenice su predate na eskont 10.X.08., a odobreno je 1,076.775 KM. Odrediti eskontnu stopu ako je banka pored kamata (eskonta) uračunala 0,35% provizije na ukupnu glavnicu i 64,7 KM troškova eskonta?

a) Shvatimo da je ukupna glavnica duga G = 1.094.850 KM nominalna vrijednost „opšte“ mjenice koja zamjenjuje tri opisane mjenice. Prema uslovima zadatka odobreni (isplaćeni) iznos predstavlja čisti eskont, tj.

ČE = 1.076.775 KM.

Ako izračunamo iznos provizije, budući da je poznat iznos troškova eskonta Ce = 64,7 KM možemo odrediti iznos ukupnog eskonta i eskontovanu vrijednost opšte mjenice.

EV = ČE + PZ + Ce, E = G – EV

Iznos provizije: G = 1.094.850,

pz = 0,35

IP = zG p 1.094.850 0,35 3.832100 100⋅ ⋅

= = , IP = 3.832 KM

EV = 1.076.775 + 3.832 + 64,7 = 1.080.671,7

EV = 1.080.671,7, E = G – EV

E = 1.094.850 – 1.080.671,7

E = 14.178,3 KM ...(*)

b) Ako su E1, E2, E3 eskonti obračunati u odnosu na opisane tri mjenice, onda mora biti

E1 + E2 + E3 = E, tj. E1 + E2 + E3 = 14.183,3 KM ...(**)

145

Nominalni iznosi opisanih mjenica su, prema uslovu problema, jednaki, tj. kako je

G : 3 = 364.950 KM, biće G1 = G2 = G3 = 364.950 KM.

Treba odrediti broj dana dospijeća za svaku od njih:

n1 = 72 dana, od 14.X – 25.XII.08. n2 = 88 dana, od 14.X.08. – 10.X.09. n3 = 99 dana, od 14.X.08. – 21.I.09.

Iznos eskonta Ei (c = 1, 2, 3) odrediti ćemo pomoću formule

E = (p)

N1 D

100⋅

, N = (G · n) : 100

Koristi se procedura obračuna kamata na više glavnica

E1 + E2 + E3 = 1 2 3

(p)

N + N + N1 D

100⋅

G1 = 36.495, n1 = 72, N1 = 262.764 ; N1 = (G1 ⋅n1) : 100 G2 = 36.495, n2 = 88, N2 = 321.156 ; N2 = (G2 ⋅n2) : 100 G3 = 36.495, n3 = 99, N3 = 361.300 ; N3 = (G3 ⋅n3) : 100 G = 1.094.850 N1 + N2 + N3 = 945.220

E1 + E2 + E3 = (p)

945.2201 D

100⋅

E1 + E2 + E3 = (p)

945.220 100D

⋅ ...(***)

Povezat ćemo jednakosti (**) i (***)

(p)

94,522.000D

= 14.183,3

Dp = 6.666,6667

146

Kako je

Dp = 36.000p

biće

p = (p)

36.000D

p = 36.0006.666,6667

= 5,4

Tražena eskontna stopa je pe = 5,4%.

12.7. Izračunavanje broja dana, roka dospijeća i dana eskontovanja

Izračunavanje broja dana je problem kamatnog računa za koji se koriste postojeće formule, zavisno od raspoloživih podataka.

Podaci: G, E, EV, p = pe, D(p)

Formule

n = 36.000 EG p

⋅⋅

, n = (p)D EG⋅

Da bi se odredili rok dospijeća – td i dan eskontovanja – te, mora biti poznat jedan od njih. Vrijedi

td = te + n, te = td – n, n – broj dana

Koristeći ove jednakosti kalendarskim računanjem se određuje traženi td ili te!

147

PRIMJER 1. Dana 19.VII.08. banci je predata mjenica sa nominalnim iznosom 575.160 KM na eskontovanje. Nakon odbitka eskonta obračunatog po stopi pe = 5,5% banka je odobrila iznos 569.887,70 KM. Odrediti rok dospijeća!

Ovdje je poznato: G, EV, p i te Treba odrediti n i td. Prvo ćemo odrediti iznos eskonta

E = G – EV = 575.160 – 569.887,70

E = 5.272,30

Formula

n = 36.000 E 36.000 5.272,30G p 575.160 5,5

⋅ ⋅=

⋅ ⋅

n = 60 dana

td = te + 60 dana = 19.VII + 60, td = 17.IX.08.

PRIMJER 2. Koga dana je eskontovana mjenica nominalne vrijednosti 765.000 KM sa rokom dospijeća 27.VIII.t.g. ako je, po odbitku 6,25% eskonta, 0,2 provizije (na iznos mjenice) i troškova eskonta 16,875 KM, isplačeno tražiocu kredita 751.500 KM?

Podaci:

G = 765.000,

ČE = 751.500,

pe = 6,25%,

pz = 0,2,

Ce = 16,875

td = 27.VIII

148

Treba naći: n i te

n = 36.000 EG p

⋅⋅

, te = 27.VIII – n, E = ?

Vrijedi:

E = G – (ČE + PZ + Ce),

PZ = ?

PZ = zG p 765.000 0,2 1.530100 100⋅ ⋅

= = , PZ = 1.530 KM

E = (751.500 + 1.530 + 16,875)

E = 11.953,125 KM

36.000 11.953,125 90n ,765.000 6,25

⋅ ⋅=

⋅ n = 90 dana

te = 27.VIII – 90 (računa se kalendarski)

te = 23.V.t.g.

Mjenica je predata na eskontovanje 23.V.t.g.!

149

13. TEKUĆI RAČUNI

13.1. Uvodne napomene

Poslovni subjekti koji obavljaju poslovno – privredne aktivnosti nalaze se u određenom poslovnom odnosu (poslovnoj vezi). U tom odnosu nalaze se dva preduzeća, od kojih je jedno – prodavalac a drugo – kupac, zatim preduzeće i banke, dvije banke itd. U svakom poslu koji povezuje dva subjekta u određenom vremenskom trenutku jedan od njih nešto daje, odnosno prima. Ako jedan subjekat u tom trenutku prima neku vrijednost a istovremeno ništa ne daje, onda on duguje! Obrnuto, ako jedan subjekat daje neku vrijednost a istovremeno ništa ne prima, onda on potražuje. To znači da se dva subjekta međusobno povezana poslovnim aktivnostima nalaze u odnosu duguje – potražuje. Na primjer, ako kupac u jednom trenutku prima robu od prodavca i ne plaća je, onda on duguje prodavcu. Suprotno, ako kupac u jednom trenutku plaća robu prodavcu a istovremeno ne prima robu, onda on potražuje od prodavca. Slično tome, ako banka daje gotov novac preduzeću – onda preduzeće duguje banci. Može se desiti da preduzeće ulaže novac u banku, tada ono potražuje od banke.

Evidencija dugovanja – potraživanja između dva poslovna subjekta, pri ćemu status „duguje“ odnosno „potražuje“ mijenja tokom odgovarajućeg poslovnog perioda, vrši se putem tekućih računa. Tekući račun ima dvije strane, lijevu – dugovnu i desnu – potražnu.

Duguje Potražuje 1 1. 2 2. . . .

.

.

.

Svaki poslovni partner vodi u svom knjigovodstvu račun ili konto poslovnog partnera sa kojim je u vezi. Tako npr. prodavac otvara tekući račun naslovljen na kupca, a to isto čini i kupac u odnosu na prodavca.

150

Na tekućem računu registruju se sve poslovne promjene (što se zove stav ili pozicija) do kojih dolazi tokom vremena. Pozicije na tekućem računu otvaraju se u dinamici koja odgovara dinamici poslovnih promjena.

Na strani duguje knjiže se sve stavke koje duguje stranka na čije ime glasi tekući račun, a na strani potražuje knjiže se stavke koje potražuje dotična stranka.

U toku knjiženja pojedinih poslovnih promjena se (u okviru odgovarajućih stavki) unose značajni podaci za obračun tekućeg računa i to: datum knjiženja, naziv odgovarajućeg dokumenta (faktura, doznaka, …), novčani iznos i datum (rok) dospijeća – pored kojeg se stavlja oznaka Vr ili Va (vrijednost ili valuta), kada obaveza plaćanja treba biti izvršena. Ako se iznos duga ne podmiri na dan dospijeća nego se kasni – onda odgovarajuća strana plaća kamate.

Pojedini poslovi koji proizlaze iz poslovnog odnosa dva partnera ne plaćaju se odmah, niti do naznačenog dana dospijeća, nego se prebijaju u saldu krajem obračunskog perioda. Obračunski period je obično pola godine tj. Od 1.I do 30.VI t.g., odnosno 1.VII do 31.XII t.g. Dan 1.I (1.VII) tretira se kao početak obračunskog perioda, a dan 30.VI (31.XII) tretira se kao kraj poslovnog perioda, odnosno kao dan zaključka tekućeg računa. U skladu sa prethodnom konstatacijom o prebijanju se, na sve pozicije tekućeg računa računaju kamate za broj dana računato od dana dospijeća do dana zaključka računa. Kamate se računaju i za dugovnu i za potražnu stranu.

Istina ima slučajeva da se kamate računaju samo na dugovnu stranu, a ne na potražnu (banke).

Kamata može biti jednostavna ili dvostruka. Jednostavna kamata primjenjuje se u istoj visini na obje strane – dugovnu i potražnu. Dvostruka kamata odnosi se na slučaj kada dugovna strana ima jednu kamatnu stopu, a potražna strana drugu kamatnu stopu. Obično je kamatna stopa primijenjena na dugovnu stranu veća od druge kamatne stope.

151

Kamatna stopa može biti stalna i promjenjiva. Stalna kamatna stopa ostaje nepromjenjiva tokom cijelog poslovnog perioda za koje se vodi tekući račun. Promjenjiva kamatna stopa znači da ona može promijeniti svoju vrijednost tokom tog perioda.

Tehnički gledano samo računanje kamata ne izvodi se pojedinačno za svaku stavku (na obje strane), već se, iz praktičnih razloga, primjenjuje koncept određivanja kamata na više glavnica. Formalno gledano sam način računanja zavisi od metoda koja se primjenjuje, a ima ih tri:

- direktna metoda, - indirektna metoda, - stepenasta metoda.

Pored kamata, na dan zaključka tekućeg računa, računaju se razne vrste provizija (kreditna, na usluge, ….), koje često predstavljaju „sakrivene“ kamate, i sitni troškovi posla. Iznos provizije i troškova se knjiži na dugovnu stranu tekućeg računa!

Na kraju treba napomenuti da, zavisno od toga da li se kamate računaju ili ne, postoje dvije vrste tekućeg računa: tekući račun u užem smislu i tekući račun u širem smislu. Tekući računi u užem smislu obuhvataju samo evidenciju dugovanja i potraživanja, dok oni u širem smislu obuhvataju i obračun kamata, provizije i troškova. Ovdje se posmatraju tekući računi u širem smislu.

13.2. Direktna metoda, jednostruka kamata, sve pozicije dospijevaju

Uzećemo da je poslovni period za koji se vodi tekući račun od 1.I t.g. do 30.VI t.g. Ovaj period ima 181 dan. Sve što bude rečeno za ovaj period vezano za metode obračuna tekućeg računa i utvrđivanja salda, vrijedi za poslovni period od 1.VII t.g. do 31.XII t.g., koji ima 184 dana.

Da su sve pozicije posmatranog računa dospjele znači da je odgovarajući dan dospijeća unutar posmatranog perioda. Osim toga

152

može se desiti da dan dospijeća neke stranke pada, prije početka perioda (npr. 18.XII) – kaže se da pozicija ranije dospijeva, odnosno nakon dana zaključka (npr. 27.VII) – kaže se da ta pozicija kasnije dospijeva.

Tekući račun ima vertikalne rubrike u koje se za svaku stavku, pored naziva, upisuju podaci i veličine koji su značajni za obračun kamata, i to:

- dan dospijeća, oznaka d.d. - broj dana, oznaka b.dn. - kamatni broj, oznaka k.br. - iznos, oznaka izn.

Broj dana za direktnu metodu se računa „od dana dospijeća do dana zaključka“, kalendarski gledano.

Kamatni broj se računa za svaku stavku posebno, na dugovnoj i na potražnoj strani, prema obrascu: k.br. = (izn. ∙ b.dn.) : 100 i dobivena vrijednost se upisuje na odgovarajuće mjesto u vertikalnoj rubrici. Ostali podaci prepisuju se sa odgovarajućeg dokumenta (faktura, doznaka) na „svoja mjesta“ prije izračunavanja kamatnog broja.

Radi formiranja opšteg modela direktne metode uvešćemo oznake za gornje podatke koji su vezani za pojedine dugovne, odnosno potražne stavke:

Podaci Duguje Potražuje - dan dospijeća - broj dana - k. broj - iznos

t1, t2, …. n1, n2, …. k1, k2, …. i1, i2, ….

r1, r2, …. m1, m2, …. q1, q2, …. j1, j2, ….

Koristeći uvedene oznake formiraćemo opšti oblik tekućeg računa pomoću kojeg ćemo opisati direktnu metodu obračuna tekućeg računa.

153

Duguje Preduzeće „KLM“ Potražuje Naziv d.d. b.dn. k.br. izn. Naziv d.d. b.dn. k.br. izn. Faktura 1 t1 n1 k1 i1 Doznaka 1 r1 m1 q1 j1 Faktura 2 t2 n2 k2 i2 Doznaka 2 r2 m2 q2 j2 Faktura 3 t3 n3 k3 i3 Doznaka 3 r3 m3 q3 j3 Kamate na dan 30.VI

K

dkb

Troškovi 30.VI

Cp Saldo 30.VI

dI

sD (S.I)D sD (S.I)D Prijenos Salda 30.VI

dI

Radi jednostavnosti uzeli smo da tekući račun naslovljen na preduzeće „KLM“ ima po tri stavke na obadvije strane. Postupak računanja je isti ako račun ima više od tri stavki.

Stopa po kojoj se računaju kamate je p. Načelno gledano kamate bi mogli računati za svaku stavku lijeve i desne strane pojedinačno i izvršiti odgovarajuća prebijanja. Time bi se došlo do iznosa kamata koji može da pripada jednoj ili drugoj strani.

Međutim, kako je u pitanju jedinstvena kamatna stopa do konačnog rezultata se dolazi brže primjenjujući proceduru računanja kamata na više glavnica.

Postupajući u skladu s tim trebalo bi naći zbir kamatnih brojeva dugovne i potražne strane pa svaki od njih podijeliti brojem (D(p) : 100). Time se dobivaju kamate koje pripadaju dugovnoj odnosno potražnoj strani. Pozitivna razlika ovih kamata, koju zovemo saldo, određuje ukupnu visinu kamata za protekli period vremena koji jedna strana potražuje a druge duguje. Međutim, stvar se može pojednostaviti: dovoljno je naći pozitivni saldo kamatnih brojeva (od većeg zbira oduzima se manji) – označimo ga sa dKB, i podijeliti ga brojem (D(p) : 100). Time se dobiva ukupan iznos kamata K. Znači:

K = KB

(p)

d1 D

100⋅

154

Procedura primjene direktne metode 1. Izračunavanje kamatnih brojeva 2. Izračunavanje zbira kamatnih na dugovnoj i na potražnoj strani –

oznaka SD i SP SD = k1 + k2 + k3 , SD = q1 + q2 + q3

3. Izračunavanje pozitivne razlike (salda) zbireva kamatnih brojeva SP i SP.

Između ovih zbireva vrijedi odnos SD > SP ili SP > SD. Imamo

dKB = SD – SP , za SD > SP dKB = SP – SD , za SP > SD

4. Izračunavanje kamatnog divizora

Dp = 36.000p

i broja Dp : 100

5. Izračunavanje kamata

K = KB

(p)

dD :100

6. Upisivanje iznosa kamata i salda kamatni brojeva. Za dobivene kamate otvara se posebno stavka u tekućem računu. Kamate se upisuju u vertikalnu kolonu „iznos“ na dugovnu stranu ako je SD > SP, a na potražnu stranu ako je SP > SD. Saldo kamatnih brojeva upisuje se u kolonu K.br. na onu stranu gdje je zbir kamatnih brojeva manji. Vrijedi pravilo: po direktnoj metodi kamate se upisuju na suprotnu stranu od salda kamatnih brojeva. 7. Upisivanje troškova posla – Cp. Za ove troškove otvara se nova stavka u kojoj se na strani duguje upisuje Cp u koloni „iznos“. 8. Nakon upisivanja Cp u tekući račun izračunavaju se zbirovi novčanih iznosa dugovne i potražne strane. Zatim se nalazi razlika ovih iznosa. Označimo ove zbireve sa (S.I.)D – za dugovnu stranu, odnosno sa (S.I.)P – za potražnu stranu.

155

Pretpostavimo da u ovom opštem primjeru vrijedi SD > SP. To znači da saldo kamatnih brojeva dKB upisujemo na stranu duguje u odgovarajuću rubriku. Iznos kamata K upisuje se na dugovnu stranu u koloni „iznos“. Vrijednost kamata u novčanim jedinicama predstavlja potraživanje subjekta koji je otvorio račun za preduzeće „KLM“.

Na osnovu uvedenih pretpostavki imamo

(S.I.)D = i1 + i2 + i3 + K + CP (S.I.)P = S1 + S2 + S3

Tražimo razliku tj. salda iznosa – oznaka dI (d) = (S.1.)D – (S.I.)P, za (S.1.)D > (S.I.)P dI = (S.I.)P – (S.1.)D, za (S.I.)P > (S.1.)D

Neka je (S.I.)D > (S.1)P

Razliku iznosa dI upisujemo na onu stranu gdje je zbir iznosa manji u rubrici „iznos“ – za nju se otvara nova stavka „saldo“.

Salda kamata i salda iznosa upisuju se na stranu gdje je odgovarajući zbir manji da bi se uravnotežila lijeva i desna strana tekućeg računa. Međutim, realno gledano razlika dI = (S.I.)D – (S.I.)P predstavlja potražni saldo na dan zaključka tekućeg računa kojeg potražuje stranka koja je otvorila tekući račun naslovljen na preduzeće „KLM“.

Razliku dI zovemo saldo tekućeg računa na dan zaključka 30.VI.t.g. Ovaj saldo se ne podmiruje odmah nego se kao stavka prenosi u slijedeći poslovni period!

PRIMJER 1. Preduzeće „Beta“ je u poslovnoj vezi sa preduzećem „Alfa“ u okviru koje mu isporučuje određenu robu. U toku prvog polugodišta 2008.g. preduzeće „Beta“ je registrovala slijedeće poslove sa preduzećem „Alfa“:

156

1) 01.I.08., Prijenos salda (svog potraživanja) iz predhodnog perioda …264.540 KM

2) 24.II.08., Doznaka br. 1, preduzeća „Alfa“ putem banke, vr. 25.II.08. …200.000 KM 3) 10.III.08., Faktura br. 1, vr. 10.IV.08. …308.600 KM 4) 20.IV.08., Doznaka br. 2, preduzeća „Alfa“ putem banke, vr. 20.IV.08. …358.200 KM 5) 05.V.08., Faktura br. 2, vr. 5.V.08. …153.260 KM 6) 28.V.08., Doznaka br. 3, preduzeća „Alfa“ putem banke, v.r. 28.V.08. … 95.800 KM 7) 18.VI.08., Doznaka br. 4, preduzeća „Alfa“ putem banke, vr. 18.VI.08. …400.000 KM 8) 20.VI.08., Faktura br. 3, vr. 20.VI.08. …532.750 KM Otvoriti tekući račun naslovljen na preduzeće „Alfa“ i zaključiti ga 30.VI.08. ako je kamatna stopa p = 6,0% a troškovi posla su Cp = 47,53 KM.

Iz raspoloživih dokumenata u tekući račun se unose dan dospijeća (označen sa vr.) i odgovarajući novčani iznos. Za preneseni saldo iz prethodnog perioda uzima se da je rok dospijeća 31.XII.2007. tako da je broj dana do dana zaključka – 181. Za ostale stavke treba izračunati odgovarajući broj dana kalendarski, kao i pripadne kamatne brojeve. U nastavku se postupa prema opisanoj proceduri.

Duguje Preduzeće „ALFA“ Potražuje

Naziv d.d. b.dn. k.br. izn. Naziv d.d. b.dn. k.br. izn. Predhodni saldo

1.I.

181

478.817

264.540

Doznaka oznaka br.1

25.II

125

250.000

200.000

Faktura br.1 10.IV 81 249.966 308.600 Doznaka oznaka br.2

20.IV 71 254.332 358.200

Faktura br.2 Faktura br.3 6% kamata 30.VI

5.V

20.VI

56

10

85.826

53.275

153.260

532.750 4.732,47

Doznaka oznaka br.3 Doznaka oznaka br.4

28.V

18.VI

33

12

31.614

48.000 283.948

95.800

400.000

Troškovi 30.VI

47,53 Saldo 30.VI

209.930

867.884 1.263.930 867.884 1.263.930 Saldo 30.VI

209.930

157

Zbir kamatnih brojeva Duguje Potražuje SD = 867.884 SP = 583.936 SD > SP

Saldo kamatnih brojeva

dKB = SD – SP = 867.884 – 583.936 dKB = 283.948

Kamatni divizor

p = 6%, D(p) = 6.000, D(p) : 100 = 60

Izračunavanje kamata

K = KB

(p)

d 283.948 4.732,471 60D100

= =⋅

Zbirovi iznosa

Duguje Potražuje (S.I.)D = 1.263.930 (S.I.)P = 1.054.000,

(S.I.)D > (S.I.)P

Saldo tekućeg računa dI = 209.930 dI = (S.I.)D - (S.I.)P = 1.263.930 – 1.050.000 dI = 209.930

Preduzeće „Beta“ potražuje, po osnovu poslovanja u periodu 1.I.08. do 30.VI.08., od preduzeća „Alfa“ iznos 209.930 KM. Ovaj iznos se prenosi u slijedeći period i stapa se sa novim poslovima.

13.3. Indirektna metoda

Predpostavlja se da se obračun vrši po jedinstvenoj kamatnoj stopi p i da su sve pozicije tekućeg računa dospjele.

Posmatra se poslovni period od 1.I.t.g. do 30.VI.t.g. Za indirektnu metodu početak perioda za koji se vodi tekući račun zove se epoha. Za

158

posmatrani period epoha je dan 1.I.t.g. Ako se radi o periodu od 1.VII.t.g. do 31.XII.t.g. epoha je dan 1.XII.t.g.

E a dana d.d. (181 – a) dana d.z.

1.I. 30.VI

E – epoha, d.d. – dan dospjeća, d.z. – dan zaključka Računanje kamatnih brojeva (i kamata) sastoji se u tome da se kamatni brojevi za pojedine iznose, prvo računaju za cijeli period (181 dan) i od tako dobivenog iznosa kamatnih brojeva oduzmu kamatni brojevi za broj dana od epohe do dana dospijeća (a dana). Dobivena razlika predstavlja kamatne brojeve računate od dana dospijeća do dana zaključka (181-a dana) – što je jednako kamatnim brojevima računatim po direktnoj metodi. Pošto kamatne brojeve računate od epohe do dana dospijeća oduzimamo, to se ovi kamatni brojevi zovu „negativni kamatni brojevi“!

Na opisanom pravilu računanja kamatnih brojeva zasnovana je indirektna metoda.

Procedura primjene ove metode sastoji se iz nekoliko koraka. U njihovom opisivanju koristićemo termine i oznake uvedene za direktnu metodu.

1° Izračunavanje broja dana od epohe do dana dospijeća po svakoj stavci, izuzev za preneseni saldo. 2° Za svaku stavku računaju se (negativni) kamatni brojevi. 3° Izračunavanje zbira iznosa dugovne i potražne strane

(S.I.)D i (S.I.)P , (S.I.)D <> (S.I.)P 4° Određivanje pozitivne razlike zbira iznosa

dI = (S.I.)D – (S.I.)P , za (S.I.)D > (S.I.)P ili dI = (S.I.)P – (S.I.)D , za (S.I.)P > (S.I.)D

Razlika dI zove se bruto saldo ili privremeni saldo. 5° Iznos bruto salda upisuje se na onu stranu tekućeg računa gdje je zbir iznosa manji i to u rubriku „naziv“ sa naznakom bruto saldo.

159

6° Za bruto saldo izračunava se odgovarajući kamatni broj za broj dana od epohe do dana zaključka (181). Dobiveni kamatni broj upisuje se na istu stranu na kojoj je upisan bruto saldo u rubrici „kamatni brojevi“. Oznaka za ovaj kamatni broj:

- kBS ako se upisuje na stranu duguje - qBS ako se upisuje na stranu potražuje

7° Nalaženje zbira kamatnih brojeva SD i sP , SD <> SP

8° Određivanje salda kamatnih brojeva dKB dKB = SD – SP , za SD > SP ili dKB = SP – SD , za SP > SD

Saldo kamatnih brojeva upisuje se na onu stranu gdje je manji zbir kamatnih brojeva. Za saldo kamatnih brojeva otvara se nova stavka! 9° Za saldo kamatnih brojeva dKB nalazi se odgovarajuća kamata K.

K = KB

(p)

dD :100

Dobivena kamata upisuje se na istu stranu gdje je upisan saldo kamatnih brojeva u rubrici „iznos“, a u rubrici „naziv“ upisuje se „p% kamata, 30.VI“. 10° Za troškove posla (i/ili provizije) otvara se nova stavka na dugovnoj strani i upisuje iznos troškova u rubrici „iznos“. 11° Izračunava se „novi zbir iznosa“ dugovne i potražne strane oznaka D(SI) i P(SI) 12° Određuje se pozitivna razlika „novih zbirova iznosa“ – oznaka 1d

1d = D(SI) - P(SI) , za D(SI) > P(SI) ili

cd = D(SI) - P(SI) za (SI)P > (SI)D Dobivena razlika predstavlja saldo tekućeg računa na dan zaključka. Saldo tekućeg računa upisuje se na onu stranu gdje je „novi zbir iznosa“ manji i to u rubrici „iznos“, dok se u rubrici „naziv“ upisuje – saldo.

160

Nakon upisanog salda sabiraju se svi kamatni brojevi i svi iznosi, mora biti

- zbir kamatnih brojeva na lijevoj strani jednak je zbiru kamatnih brojeva na desnoj strani,

- zbir iznosa na lijevoj strani jednak je zbiru iznosa na desnoj strani.

Napomena:

- Kod indirektne metode kamate se unose na istu stranu nakojoj je upisan saldo kamatnih brojeva.

- Kod direktne metode kamate se unose na suprotnu stranu od one na kojoj je upisan saldo kamatnih brojeva.

PRIMJER 1. Indirektnu metodu interpretirat ćemo na istom primjeru koji smo koristili za predstavljanje direktne metode.

Ovdje ćemo prepisati samo osnovne podatke tog primjera:

- Preneseni saldo … 264.540 KM - Doznaka 1, vr. 25.II.08. … 200.000 KM - Faktura 1, vr. 10.IV.08. … 308.600 KM - Doznaka 2, vr. 20.IV.08. … 358.200 KM - Faktura 2, vr. 5.V.08. … 153.260 KM - Doznaka 3, vr. 28.V.08. … 95.800 KM - Doznaka 4, vr. 18.VI.08. … 400.000 KM - Daktura 3, vr. 20.VI.08. … 532.750 KM

Kamatna stopa p = 6,0% Troškovi posla Cp = 47,53 KM

161

Otvoriti tekući račun za preduzeće „Alfa“ i zaključiti ga 30.VI.08.! Naziv d.d. b.dn K.br IZNOS Naziv d.d. b.dn K.br IZNOS Saldo 31.XII.07. Epoha 264.540 D1 25.II. 56 112.000 200.000 F1 10.IV. 100 308.600 308.600 D2 20.IV. 110 394.020 358.200 F2 5.V. 125 191.575 153.260 D3 28.V. 148 141.784 95.000 F3 20.VI. 171 911.003 532.750 D4 18.VI. 169 676.000 400.000 Saldo

iznosa 30.VI. 205.150

30.VI.

371.322

6% kam 30.VI.

283.948

4.732,47

Trošk. 30.VI.

47,53

Saldo 30.VI.

209.930

1.695.126 1.263.930 1.695.126 1.263.930 Saldo 30.VI.08. 209.930

1° Broj dana od epohe (1.I.08.) do dana zaključka Posebno se računa za svaku stavku i upisuje se u odgovarajuću rubriku. Na primjer za Doznaku 4 broj dana se računa od 1.I.08. do 18.VI.08.:

b.dn = 31 + 28 + 31 + 30 + 31 + 18 = 169 2° Izračunavanje kamatnih brojeva – provjerite! 3° Izračunavanje zbira iznosa – treba sabrati prve četiri stavke, odvojena na obje strane

(S.I.)D = 1.259.150, (S.I.)P = 1.054.000, (S.I.)D > (S.I.)P 4º Nalaženje bruto salda

dI = (SI)D – (SI)P = 1.259.150 – 1.054.000 dI = 205.150

Bruto saldo se upisuje na desnu stranu jer je (SI)P < (SI)D. Za njega se otvara nova stavka, iznos se upisuje u rubrici „naziv“. 5º Izračunavanje kamatnog broja koji odgovara bruto saldu. U ovom slučaju broj dana se računa od epohe do dana zaključka – 181 dan.

K.br = (205.150 · 181) : 100 = 371.322 Ovaj kamatni broj upisuje se na istu stranu gdje je upisan bruto saldo (desno).

162

6º Nalaženje zbira kamatnih brojeva dugovne i potražne strane SD = 1.411.178, SP = 1.695.126, SP > SD

7º Saldo kamatnih brojeva dKB = SP – SD = 1.695.126 – 1.411.178 = 283.948 dKB = 283.948

Saldo kamatnih brojeva upisuje se na lijevu stranu jer je SD < SP

8º Računanje kamata za sald kamatnih brojeva

K = KB

(p)

dD :100

, p = G, D(p) = 6.000, dKB = 283.948

K = 283.948 4.732,4760

=

K = 4.732,47 Dobivena kamata se upisuje na istu stranu gdje je upisan saldo kamatnih brojeva – lijevo.

9º Upisivanje troškova na stranu duguje

10º Izračunavanje „novog salda iznosa“ i salda tekućeg računa: SI)( D = 1.263.930, SI)( P = 1.054.000, SI)( D > SI)( P

Id = SI)( D - SI)( P = 1.263.930 – 1.054.000 = 209.930

Id = 209.930 KM

Saldo tekućeg računa iznosi 209.930 KM. On se upisuje na potražnu stranu jer je SI)( P < SI)( D. Saldo tekućeg računa predstavlja potraživanje preduzeća „Beta“.

163

13.4. Stepenasta metoda, sve stavke dospjele, jedinstvena kamatna stopa

Uopšteno gledano prilikom računanja kamata vrijedi pravilo: kamate se računaju na iznos koji neko duguje (potražuje) i to za ono vrijeme koliko taj dug (potraživanje) traje.

Primjena metoda obračuna kamata na tekući račun koje su obrađene (direktna, indirektna) dovodi do odstupanja od tog pravila. Naime u toku primjene ovih metoda ne dolazi se do saznanja koliko neko duguje (potražuje) i kolike su kamate. Tek na dan zaključka saznaje se da li nosilac računa duguje ili potražuje i kolike su kamate po tom osnovu. Nasuprot njima stepenasta metoda je u skladu sa navedenim pravilom jer ona podrazumjeva da se ukamaćivanje, a samim tim i utvrđivanje veličine dugovanja (potraživanja), vrši postepeno od jednog knjiženja do drugog. Sem toga ova metoda je posmatrano sa formalno računske procedure je lakša jer operiše sa manjim brojem dana, sa manjim iznosima i manjim kamatnim brojevima.

Stepenasta metoda podrazumjeva otvaranje posebnog kamatnog lista na kojem se efikasno utvrđuju pojedinačni iznosi dugovanja (potraživanja), broj dana i kamatni brojevi – da bi se na kraju utvrdio iznos kamata sa naznakom koja strana ih duguje odnosno potražuje. Poslije toga se dobiveni podaci unose u tekući račun i donosi zaključak.

Procedura otvaranja kamatnog lista i obračuna 1º Svi knjiženi iznosi se poredaju hronološki sa naznakom duguje (D) i potražuje (P). 2º Zatim se unose u kamatni list prema hronološkom redosljedu i za svaku slijedeću stavku, počev od prve, izračunava broj dana do slijedećeg knjiženja. 3º Kad se poslije prve stavke unese druga (slijedeća) stavka vrši se sabiranje odnosno oduzimanje zavisno od toga da li su istovrsne ili raznovrsne – oduzimanje ako se radi o D – P, sabiranje ako se radi o D – D ili P – P. Uslijed toga korisno je u kamatnom listu otvoriti vertikalnu rubriku u kojoj se upisuju znakovi (-) ili (+) zavisno od toga da li je knjižena na strani duguje ili potražuje.

164

4º Nakon toga se izračunavaju kamatni brojevi i upisuju u vertikalnu rubriku duguje ili potražuje. Kamatni list ima horizontalne i vertikalne rubrike. U horizontalne rubrike upisuju se po dvije stavke. U prvu od njih upisuju se prve dvije stavke sa kronološke liste i računa broj dana i odgovarajući kamatni broj. U drugu horizontalnu stavku unosi se rezultat oduzimanja ili sabiranja a zatim, ispod njega treća stavka sa hronološke liste. Postupak se zatim nastavlja na isti način sve dok se ne upiše zadnja stavka sa hronološke liste. Kamatni list ima vertikalne rubrike za znak (+) ili (-), iznos, dan dospijeća, broj dana i kamatni broj.

Primjenu stepenaste metode interpretiraćemo na istom primjeru koji je korišten za prethodne dvije metode.

U toku prvog polugodišta 2008. godine registrovani su slijedeći poslovi između preduzeća „Alfa“ i „Beta“ – za koje je otvoren tekući račun naslovljen na preduzeće „Alfa“.

1º Prenos salda vr. 31.XII.07. .......... 264.540 KM 2º Doznaka 1 vr. 25. II.08. .......... 200.000 KM 3º Faktura 1 vr.10.IV.08. .......... 308.600 KM 4º Doznaka 2 vr. 20VI.08. .......... 353.200 KM 5º Faktura 2 vr. 05.V.08. .......... 153.260 KM 6º Doznaka 3 vr. 28.V.08. .......... 96.800 KM 7º Doznaka 4 vr. 18.VI.08. .......... 400.000 KM 8º Faktura 3 vr. 20.VI.08. .......... 532.750 KM

Kamata p = 6%, troškovi posla Cp = 47,53 KM. Zaključiti tekući račun na dan 30.VI.08.

Kako su stavke već hronološki poredane, u prvu rubriku kamatnog lista unijet ćemo prve dvije stavke – odnosno odgovarajuće podatke.

Najraniji dan poćev od kojeg se mogu računati kamate je 31.XII.07., kada je utvrđen saldo prethodnog perioda. Odgovarajući iznos od

165

264.540 KM upisuje se u kamatni list sa znakom minus tj. (-). Slijedeća promjena je uslijedila 25.II.08. Iznos uplate od 200.000 KM unosi se u kamatni list sa znakom plus tj. (+) zatim se vrši obračun upisanih iznosa :

265.540 + 200.000 = - 64.500.

Ovaj iznos pretstavlja dugovanje, pa se upisuje u drugu rubriku – „gore“ kamatnog lista sa znakom minus tj. (-). Broj dana na koji se ukamačuje preneseni saldo računa se od 31.XII.07. do 25.II.08. Dobije se 56 dana. Kamatni list – preduzeća „Alfa“ Znak Iznos Dan

Dospijeća Broj dana

Kamatni brojevi Duguje Potražuje

- +

264.540 200.000

31.XII.07

56

148.142

- -

64.540 308.600

25.II.08.

44

28.398

- +

373.140 358.200

10.IV.08.

10

37.314

- -

14.940 153.260

20.IV.08.

15

2.241

- +

168.200 95.800

5.V.08. 23 38.686

- +

72.000 400.000

28.V.08. 21 15.204

+ -

327.600 352.750

18.VI.08 2 6.552

- -

205.150 4.732

47

20.VI.08. do 30.VI.

6% kamata

10 20.515 283.948

- 209.882 47

47 53

181 290.500 290.500

209.930 Saldo 30.VI.08.

166

U drugu rubriku kamatnog lista – „dolje“, upisuje se iznos 308.600 sa znakom minus (jer predstavlja ) dugovanje. Zatim se obavlja operacija oduzimanja negativnih brojeva: (- 64.540) + (- 308600) = - 373.140. Rezultat se upisuje u treću rubriku – „gore“. U istu rubriku – „dolje“ upisuje se slijedeći iznos: + 358.200, koji predstavlja potraživanje. Kad se obavi računska operacija: - 373.140 + 358.200 = - 14.940, rezultat se upisuje u četvrtu rubriku – „gore“. Zatim se u istu rubriku – „dolje“ upisuje slijedeći iznos (- 153.260) i vrši obračun: (- 14.940) + (- 153.260) = - 168.200 koji se upisuje u petu rubriku – „gore“. Ova procedura se na isti način obavlja sve do upisa posljednjeg iznosa (- 352.750) u odgovarajućoj rubrici – „dolje“. Kad se obavi obračun u ovoj rubrici dobit će se iznos (- 205.150) koji pretstavlja saldo dugovanja – potraživanja poslova u periodu 1.I.08. – 30.VI.08., za koji treba izračunati kamatu.

Dan dospijeća, nakon prvog, koji hronološki slijedi upisuje se u drugoj, trećoj, ... rubrici – „gore“ pored rezultata obračuna prethodne rubrike.

Broj dana računa se od prethodnog dana dospjeća do slijedećeg i upisuje u rubrici „slijedećeg dana dospijeća – „gore“. Na primjer u drugoj rubrici – „gore“ upisan je iznos (- 64.540) koji se ukamačuje za broj dana od 31.X.07. do 25.II.08. – što iznosi 44 dana. Ovaj podatak se upisuje u drugoj rubrici – „gore“. U nastavku utvrđivanja broja dana postupa se na isti način sve do zadnje stavke.

Broj dana za saldo dugovanja – potraživanja računa se od zadnjeg dana dospijeća do dana zaklljučka.

Nakon određivanja broja dana računaju se kamatni brojevi za sve iznose koji se ukamaćuju i unose u rubriku kamatnih brojeva duguje/potražuje zavisno od toga da li su dugovni ili potražni. Ovo se odnosi i na saldo dugovanja – potraživanja. Kamatni broj za njega je

(205.150 · 10) : 100 = 20.515

Ovaj kamatni broj upisuje se u rubrici „dugovni“ jer iznos (- 205.150) predstavlja dugovanje.

167

U nastavku treba naći prvo zbir kamatnih brojeva dugovne i potražne strane a zatim saldo kamatnih brojeva. Dobit će se

SD = 290.500, SP = 6.552, SD > SP dKB = SD – SP = 290.500 – 6.552 dKB = 283.948

Saldo kamatnih brojeva upisuje se radi izravnavanja u rubriku potražnih kamatnih brojeva jer ih je manje.

Sad treba izračunati kamate koje odgovaraju saldu kamatnih brojeva dKB po stopi p = 6%.

K = KB

(p)

dD :100

, D(p) = D(6) = 6.000

K = 283.94860

= 4.732,47

K = 4.732,47 KM

Iznos kamata upisuje se u rubrici kamatnog lista u kojoj je već zapisan saldo dugovanje – potraživanje – „dolje“ sa naznakom 6% kamata. Kad se obavi obračun ove rubrike

(- 205.150) + (- 4.732,47) = - 209.882,47 otvara se nova rubrika u koju se upisuje dobiveni rezultat – „gore“.

U istu rubriku – „dolje“ upisuju se troškovi posla Cp = 47,53 sa znakom minus tj. (-) jer predstavljaju dugovanje! Konačno vršimo obračun za ovu – posljednju rubriku kamatnog lista

(- 209.882,47) + (- 47,53) = 209.930

Dobiveni iznos predstavlja saldo tekućeg računa na dan zaključka 30.VI.08.

Paralelno sa ovim obračunom vrši se obračun broja dana i kamatnih brojeva čiji se rezultat upisuje kako je prikazano.

Sada se kamate, troškovi posla i dobiveni saldo upisuje u tekući račun i zaključuje se!

168

14. RAČUN DEVIZA

Pojam devize vezan je za međunarodni platni promet kada se poslovni partneri nalaze u dvije različite države. U okviru poslovnog procesa koji povezuje partnere nastaju dugovanja i potraživanja. Na primjer domaće preduzeće koje je izvezlo neku robu u drugu državu ima potraživanje u toj državi, dok njegov partner ima dugovanje. U sličnoj situaciji nalazi se domaće preduzeće koje je uvezlo neku robu u drugoj državi.

Nastala dugovanja (potraživanja) podmiruju se u valuti države u kojoj su nastala.

Tokom razvoja međunarodnog platnog prometa za podmirivanje nastalih dugovanja i potraživanja u praksu su uvedena, pored strane valute – gotovog novca, i različita druga sredstva plaćanja. Primjenom drugih sredstava plaćanja izbjegava se potreba transfera velikih količina strane valute (gotovog novca) čime se obezbjeđuje sigurnost i ubrzanje platnog prometa i odgovarajućih poslovnih procesa.

U širem smislu gledano pojam devize možemo shvatiti kao instrument plaćanja u međunarodnom prometu koje nastaju na osnovu potraživanja u inostranstvu. Devize možemo shvatiti kao svako strano platežno sredstvo.

U užem smislu gledano devize kao sredstvo plaćanja mogu imati oblik mjenice, čeka, kreditnog pisma, uputnice, naloga i tako dalje. Pored njih devize predstavljaju i sve strane konvertibilne valute.

Devize, pored sredstava plaćanja, predstavljaju predmet kupovine i prodaje.

Kupovina i prodaja deviza obavlja se u Centralnoj banci pojedinih država i u poslovnim bankama koje imaju takvo ovlaštenje, kao i na berzama u sredinama u kojima su one organizovane. Promet deviza obavlja se na osnovu kursa koji se sedmično objavljuje.

169

Kurs ili tečaj deviza je vrijednost devize izražena u domaćem novcu (valuti).

Kurs devize zavisi od više faktora i to:

- Valutni paritet, - Rok plaćanja. Devize sa ranijim dospijećem imaju veću

vrijednost – skuplje su od onih sa kasnijim rokom plaćanja. Razlog tome su kamate koje se obračunavaju po određenoj stopi za cio period kašnjenja a koje se odbijaju od nominalne vrijednosti devize.

- Mjesto plaćanja: U velikim poslovnim centrima devize su skuplje (Munhen, Pariz, London,....), dok su u manjim mjestima jeftinije.

- Kamatna stopa zemlje u kojoj se deviza realizuje. - Ponuda i tražnja. - Sigurnost dužnika: Ako dužnik u stranoj zemlji ima

reputaciju slabije sigurnosti, kurs devize biće manji. Ako se za devizu objavljuje kurs na listi koju objavljuje Centralna banka, kao i poslovna banka, onda se kaže da je deviza notirana. Zapravo, notiranje devize znači objavljivanje njene vrijednosti na kursnoj listi u odnosu na domaću valutu. Kurs devize objavljen na kursnoj listi se prvenstveno odnosi na vrijednost strane valute. Međutim, u širem smislu, on se odnosi na druga sredstva plaćanja (ček, mjenica, kreditno pismo,...) jer njihova nominalna vrijednost predstavlja određeni iznos strane valute.

Obzirom na način iskazivanja notiranje može biti direktno i indirektno.

U slučaju direktnog notiranja kurs devize određuje koliko jedinica domaće valute treba dati za 1 ili 100 jedinica strane valute.

Na primjer, prema kursnoj listi od 09.01.10.

- za 1 EURO treba dati 1,95583 KM, (srednji kurs) - za 1 ₤ treba dati 2,189199 KM, (srednji kurs) - za 100 mađar.forinti treba dati 0,726076 KM, (srednji

kurs) - za 100 jena treba dati 1,466579 KM, (srednji kurs)

170

Kod ovakvog notiranja broj jedinica strane valute (1 ili 100) je fiksan a broj jedinica domaće valute je promjenjiv.

Direktno notiranje primjenjuje se u glavnom u svim državama svijeta.

U slučaju indirektnog notiranja kurs devize pokazuje koliko se jedinica strane valute dobije za jednu jedinicu domaće valute. Indirektno notiranje primjenjuje se u Velikoj Britaniji, Evropskoj uniji i SAD.

Na primjer, prema kursnoj listi od 09.01.10., srednji kurs

- za 1 funtu sterlinga dobije se 2,189199 KM - za 1 funtu sterlinga dobije se 1,119319 € - za 1 funtu sterlinga dobije se 1,597605 $ - za 1 funtu sterlinga dobije se 9,144296 norveških kruna - za 1 funtu sterlinga dobije se 8,141736 kuna

Kod indirektnog notiranja broj jedinica domaće valute (jedna) je fiksan a broj jedinica strane valute je promjenjiv.

Prema roku plaćanja (dospjeća) notiranje deviza može biti „a vista“ – oznaka a.v. ili terminski – oznaka ter. (rok dospijeća).

Notiranje „a vista“ znači da je deviza plativa odmah. Ako se radi o drugim sredstvima plaćanja to znači da se za njih odmah dobija odgovarajući iznos strane valute. Za sve valute iznesene na kursnoj listi podrazumjeva se da je notiranje „a vista“ – što znači da se u slučaju prometa (kupovina, prodaja) plaćanje vrši odmah.

Terminsko notiranje znači da je deviza plativa ne odmah već nakon određenog ugovorenog roka (broj mjeseci, dana, određeni datum u narednom periodu). Ovo se u glavnom odnosi na druga sredstva plaćanja čija će sadašnja nominalna vrijednost opasti zbog odgode plaćanja za određeni period vremena na koji se računa kamata koja će se oduzeti od odgovarajuće naznačene vrijednosti u stranoj valuti. Stepen opadanja vrijednosti devize u slučaju terminskog plaćanja je veći ako je period od odgode duži. Razumljivo, stepen opadanja će se smanjiti ako dođe do skraćivanja perioda odgode plaćanja.

171

U okviru računa deviza javlja se problem reduciranja kurseva deviza. Ovaj problem nastaje kada treba odrediti kurs jedne devize sa poznatim rokom dospijeća prema kursu druge devize koja ima drugi kurs plaćanja! PRIMJER 1.13 Kupuje se deviza Štokholm u Sarajevu. Kurs devize a vista je 0,191270 KM za jednu švedsku krunu (šv.k.). Koliki će biti kurs te devize valuta 4 mjeseca ako je kamatna stopa p = 2,5?

Ovdje se radi o direktnom notiranju. Treba izračunati kamate na kurs a vista za n = 4 mjeseca po stopi p = 2,5 i oduzeti ga od njega.

K = KM 015939,012005,24191270,0

1200npG

=⋅⋅

=⋅⋅

Kurs šv.k. val. 4 mjeseca = 0,191270 – 0,015939 Kurs šk.k. val. 4 mjeseca = 0,175231 KM

Ako želimo kupiti 25.000 šv.k. val. 4 mjeseca onda za njih treba platiti 0,175231 · 25.000 KM = 4.380,775 KM

PRIMJER 2. Oslo valuta tri mjeseca notira u Zirihu 1,466684. Koliko će notirati Oslo a vista ako je p = 4? Iskaz „Oslo valuta tri mjeseca notira u Zirihu 1,466684“ znači da će za tri mjeseca kurs norveške krune (n.k.) u Zirihu biti 0,179531 šv.f. (šv.f. – švajcarski franak). Treba odrediti kurs te devize a vista – u sadašnjem trenutku. Ovdje se radi o direktnom notiranju. Treba izračunati kamate na kurs val tri mjeseca (n = 3) po stopi p = 4 i dodati ih tom kursu – jer se skraćuje period dospijeća!

K = G n p 1,466684 3 4 0,0146661.200 1.200⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= =

13 Ovaj i slijedeći primjeri su hipotetički primjeri.

172

Kurs (n.k.) a vista = 1,466684 + 0,014666 = 1,481350 šv.f. Vrijedi pravilo: Pri reduciranju kurseva od kraćeg na dulji rok kamate za oduzimanje od postojećeg kursa. Pri reduciranju kurseva od duljeg na kraći rok kamate se pribrajaju (dodaju) postojećem kursu! PRIMJER 3. Kako će notirati deviza Tokio val 2 mjeseca ako je deviza Tokio a vista u Frankfurtu 132,410 a p = 4?

Izraz „deviza Tokio a vista u Frankfurtu je 132,410“ znači da se za 1 EURO u Frankfurtu dobije 132,410 jena. Po tome ovdje se radi o indirektnom notiranju.

Treba izračunati kamate na postojeći kurs a vista za n = 2 mjeseca po stopi p = 4 i pribrati ih tom kursu. To je zbog toga što će 1 EURO u Frankfurtu za dva mjeseca biti skuplji nego danas, pa za njega treba dati više jena (jen gubi na vrijednosti)!

K = G n p 132,41 2 4 0,8831.200 1.200⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= =

Jedan EURO val 2 mjeseca = 132,410 + 0,883 = 133,293 Za dva mjeseca kurs EURA prema jenu će biti

1€ = 133,293 jena

PRIMJER 4. Koliko u Londonu stoji 6.000 američkih dolara ($) val 5 mjeseci ako deviza Njujork val 9 mjeseci notira u Londonu 1,567650 a p = 25%?

Ovdje se radi o indirektnom notiranju. Iskaz „Njujork val 9 mjeseci notira u Londonu 1,567650 znači da se u Londonu nakon 9 mjeseci za jednu funtu sterlinga dobije 1,567650 američkih dolara, tj. 1₤ = 1,567650 $.

Prvo ćemo odrediti kurs dolara u Londonu val 5 mjeseci. Vidljivo je, da je period plaćanja skraćen za 4 mjeseca. Treba izračunati kamate na kurs val 9 mjeseci – tj. 1,567650 za period n = 4 mjeseca po stopi

173

p = 25. Izračunati kamate zatim se oduzimaju od kursa val 9 mjeseci jer je vrijednost funte opala a dolara porasla!

K = G n p 1,567650 4 25 0,1306371.200 1.200⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= =

Kurs dolara val 5 mjeseci = 1,567650 – 0,130637 Kurs dolara val 5 mjeseci = 1,437010 Ovo znači da u Londonu val 5 mjeseci vrijedi 1₤ = 1,437010 $

Sad treba izračunati koliko u Londonu stoji (košta) 6.000 američkih dolara. Iz dobivenog kursa se jednostavno dobiva da je

1$ = 437010,11 ₤

Slijedi:

6.000 $ = 6.000 · 437010,11 ₤

6.000 $ = 4.175,337 014666,0120043466684,1

1200pnG

=⋅⋅

=⋅⋅

Zaključak: 6.000 američkih dolara val 5 mjeseci u Londonu stoji 4.175,337 funti.

Do ovog zaključka može se doći i putem verižnika. Označimo sa x vrijednost 6.000 dolara u Londonu val 5 mjeseci

x 1,437010

6.000 $ 1₤

x 6.000$*1£ 4.175,337£1,437010$

= =

Vrijedi pravilo: Pri indirektnom notiranju – kad se kurs reducira sa kraćeg na dulji rok kamate se sabiraju, a pri reduciranju od duljeg na kraći rok kamate se odbijaju od postojećeg kursa.

174

PRIMJER 5. U Sarajevu je 6.I.t.g. kupljena deviza nominalne vrijednosti 385.600 šv.f. sa dospijećem 15.II.t.g. Koliko treba platiti konvertibilnih maraka (KM) za tu devizu ako deviza Sarajevo val. 60 dana notira u Zirihu 0,757478 šv.f. – a kamatna stopa je p = 0,5%.

Prema uslovu problema kurs KM val. 60 dana u Zirihu je 0,757478 šv.f., tj.1 KM = 0,757478 šv.f. pa se radi o indirektnom notiranju.

Treba odrediti kurs KM na dan 15.II.t.g.! Kako od 6.I.t.g. do 15.II.t.g. ima 40 dana to kurs KM treba reducirati za 60 – 40 = 20 dana.

Znači, potrebno je izračunati kamate na kurs 0,757478 za n = 20 dana po stopi p = 0,5. Dobiveni iznos kamata se dodaje datom kursu jer se period plaćanja skraćuje, tj.KM dobiva na vrijednosti a šv.f. gubi.

K = G n p 0,757478 0,5 20 0,00021036.000 36.000⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= =

Kako je: 0,757478 + 0,000210 = 0,757688 to je kurs KM prema šv.f. na dan 15.II.

1 KM = 0,757688 šv.f. Odavde slijedi

1 šv.f. = 757688,01 KM

1 šv.f. = 1,319804 KM Vrijednost kupljene devize na dan 15.II.t.g. je

x = 385.600 · 1,319804 KM = 508.916,42 KM

Određivanje vrijednosti deviza pomoću verižnika. Neka je x vrijednost devize.

x 1 šv.f.

385.600 šv.f. 1,319804

175

x = 385.600šv.f 1,319804KM1šv.f .⋅

x = 508.916,42 KM

Izvršit ćemo poređenje: neka je y vrijednost kupljene devize val 60

dana. Slijedi

y = 385.600 · 1,320170 KM

y = 509.057,55 KM

Vidi se da je y > x jer je vrijednost devize izražena u KM porasla zbog skraćenja roka plaćanja – usljed kojeg je opao kurs šv.f. prema KM. Napomena: prema uslovu zadatka kurs KM u Zirihu je: 1 KM = 0,757478 šv.f. odakle slijedi da je 1 šv.f. = 1,320170 KM. PRIMJER 6. Poznato je slijedeće: (a) Pariz val 3 mjeseca notira u Zirihu 1,4743, p = 4 i (b) Pariz val 2 mjeseca notira u Zagrebu 7,5775, p = 5. Odrediti kurs devize nominalne vrijednosti 12.860 šv.f. u Zagrebu val 4 mjeseca ako je p = 3.

Ovdje, prvo, za slučajeve a) i b) treba odrediti kurs deviza a vista. Kako se skraćuje rok plaćanja, a u pitanju je direktno notiranje, izračunate kamate treba pribrati datom kursu.

a) U Zirihu

1€ val 3 mjeseca = 1,4743 šv.f., p = 4

K = 1,4743šv.f. 4 3 0,014743 šv.f .1.200

⋅ ⋅=

176

Kako je:

1,4743 + 0,014743 = 1,489043 biće

1€ a.v. = 1,489043 šv.f. ...(1)

b) U Zagrebu

1€ val 2 mjeseca = 7,5775 KN, p = 5

K = 7,5775KN 2 5 0,063146KN1.200

⋅ ⋅=

Kako je: 7,5775 + 0,063146 = 7,640646

1€ a.v. = 7,640646 KN ...(2)

Da bi odredili kurs devize date nominalne vrijednosti u Zagrebu prethodno odrediti kurs šv.f. a.v. u Zagrebu.

Iz jednakosti (1) i (2) dobiva se

1,489043 šv.f. = 7,640646 KN

1 šv.f. = 5,131246 KN

Odredit ćemo kurs šv.f. u Zagrebu pomoću verižnika. Posmatramo

jednakosti

1€ = 1,489043 šv.f.

1€ = 7,640646 KN

1 šv.f. = x KN

x 1,489043 šv.f. 1€

1 šv.f. 1€

7,640646 KN

177

x = 1 šv.f . 1euro 7,640646KN1,489043 šv.f . 1euro

⋅ ⋅⋅

x = 5,131246 KN

Dobili smo da je

1 šv.f. a.v. u Zagrebu = 5,131246 KN

Treba odrediti kurs val 4 mjeseca ako je p = 3. Ovdje se dobivene

kamate odbijaju od kursa a viza!

K = KN 051312,0120043131246,5=

⋅⋅

Kako je: 5,131246 – 0,051312 = 5,079934 biće

1 šv.f. val. 4 mj. = 5,079934 KN

Vrijednost date devize u Zagrebu izražena u kunama (KN)

y = 12.860 šv.f. = 12.860 · 5,079934 KN

y = 65.327,951 KN

178

15. RAČUN ZLATA I SREBRA

U plemenite metale ubrajaju se zlato, srebro i platina. Zlato i srebro dolaze u trgovački promet u nekovano u obliku poluga ili kao kovano u obliku kovanog novca.

Upotreba plemenitih metala je raznovrsna. Najviše zlata i srebra (kovanog i nekovanog) kupuju emisione banke i služi im kao podloga za izdate novčanice. Pored toga kovanim i nekovanim zlatom vrše se plaćanja i međunarodnom prometu. Sem navedenog zlato i srebro se koriste za izradu raznih ukrasnih predmeta i nakita.

Čisto zlato i srebro nisu pogodni za izradu raznih predmeta jer su relativno mekani, pa se tokom vremena oni istroše i time gube na vrijednosti. Zato se za izradu predmeta zlato i srebro mješaju (legiraju) sa drugim tvrdim metalima a najčešće sa bakrom.

Težina zlata i srebra zajedno sa primjesom zove se bruto težina (težina legure). Sadržina čistog zlata i srebra u odgovarajućim legurama čini neto težinu (čista težina). Isto se odnosi i na predmete izrađene od zlata i srebra.

Odnos između neto i bruto težine zlatnih/srebrenih predmeta zove se finoća zlata odnosno srebra. Drugim riječima finoća je omjer težine legure i težine čistog plemenitog metala u jednom zlatnom ili srebrenom predmetu.

Finoća se mjeri (izražava) u promilima i u karatima. Finoća u promilima izražava (pokazuje) koliko jedinica čistog zlata (srebra) ima u 1.000 jedinica smjese (legure). Na primjer finoća zlata 935 znači da u 1000 težinskih jedinica smjesa ima 925 težinskih jedinica iste vrste čistog zlata. Vezano za ovaj primjer kažemo „finoća je 935 promila“ i pišemo – 935 %o.

Pored ovog metričkog izražavanja finoća zlata se izražava i u karatima.

179

Finoća zlata izražena u karatima pokazuje koliko težinskih jedinica čistog zlata ima u 24 težinskih jedinica iste vrste smjese.

Ako npr. u 24 jedinice smjese ima 18 odnosno 22 jedinice čistog zlata onda to zlato ima finoću 18 karata, odnosno 22 karata.

Analogno engleskoj mjeri za težinu jedinica finoće od 1 karata se dijeli na 4 grejna. Dakle, 1 karat = 4 grejna, 1 grejn = 0,25 karata.

Finoća srebra se izražava u penivejtima. Finoća srebra u penivejtima pokazuje koliko težinskih jedinica čistog srebra ima u 240 težinskih jedinica smjese. Na primjer, finoća srebra od 210 penivejta znači da se u 240 jedinica smjese nalazi 210 jedinica čistog srebra. Finoća srebra od 1 penivejta dijeli se na 24 grejna.

Dakle, 1 penivejt = 24 grejna, 1 grejn = 241 penivejta.

Finoća zlata (srebra) izražena u promilima može se pretvoriti u finoću izraženu u karatima, odnosno penivejtima. To se postiže računom proporcija. PRIMJER 1. Finoća zlata je 750 %o. Kolika je finoća izražena u karatima. Označimo sa x finoću u foratima.

Obzirom na definiciju finoća izražena u promilima, odnosno u karatima, može se postaviti proporcija.

750 : 1.000 = x : 24

x = karata 1810024750

=⋅

Finoći zlata od 750 %o odgovara finoća od 18 karata.

180

PRIMJER 2. Finoća zlata je 20 karata. Izrazite tu finoću u promilima. Neka je x finoća zlata u promilima

x : 1.000 = 20 : 24

x= 1.000 2024⋅ = 833⅓ %o

Finoća zlata od 20 karata odgovara finoća od 833⅓ %o. U slučaju srebra prevođenje finoće iz jednog u drugi oblik obavlja se na isti način!. PRIMJER 3. Finoća srebra je 900 %o. Kolika je finoća izražena u penivejtima. Neka je x finoća u penivejtima

x : 240 = 900 : 1.000

x = 240 9001.000⋅

= 216 penivejta

Na isti način se pokazuje da je finoća srebra od 144 penivejtima ekvivalentna finoći 600 %o. U Velikoj Britaniji zlato finoće 22 karata se tretira kao standardno zlato, a srebro finiće 222 penivejta tretira se kao standardno srebro. Radi jednostavnosti izlaganje možemo skraćeno kazati: standardna finoća zlata je 22 karata, a standardna finoća srebra je 222 penivejta.

Standardna finoća zlata od 24 karata ekvivalentna je finoći 916⅔ %o. Standardna finoća srebra od 222 penivejta je ekvivalentna finoći 920 %.

U Velikoj Britaniji standardno zlato se koristi za izradu kovanog novca. Ako je finoća zlata, odnosno srebra, veća od standardne finoće (22 karata odnosno 222 penivejta) za takvo zlato (srebro) uvedena je oznaka B (better = bolji).

181

U slučaju kad je finoća zlata odnosno srebra manja od standardne finoće za takvo zlato (srebro) uvedena je oznaka W (vorse = lošiji).

Ove oznake utiskuju se na odgovarajuće komade zlata (srebra), a takođe i na ukrasne predmete i nakit izrađen od takve vrste zlata (srebra). Zajedno sa oznakama B ili W na predmetu se utiskuje i podatak za koliko karata odnosno penivejta je finića korištenog zlata (srebra) veća odnosno manja od standardne finoće. PRIMJER 4. Objasniti značenje oznaka (B 1,,3) i (W 2,,2) utisnutih na nekom ukrasnom predmetu!

(1) Oznaka (B 1,,3) znaći da korišteno zlato ima finoću koja je za 1 karat i 3 grejna veća od standardne finoće zlata od 22 karata - K

Korišteno zlato ima finoću 22 K + (1 K + 3 grejna) = 22 K – 1 K + 3 ∙ 0,25 K = 23,75 K

Lako se pokazuje da finoća ovog zlata izražena u promilima iznosi 989,58 %o > 916⅔ %o.

(2) Oznaka (W 2,,2) kazuje da upotrebljeno zlato ima finoću koja je za 2 karata i 2 grejna manja od standardne finoće.

Korišteno zlato ima finoću 22 K – (2 K + 2 grejna) = 22 K – 2 K – 2 ∙ 0,25 K = 19,5 K

Izraženo u promilima korišteno zlato ima finoću 821,5 %o < 916⅔ %o! PRIMJER 5. Srebreni predmet ima oznaku (W 7,,18). Objasniti njeno značenje. Oznaka (W 7,,18) kazuje da upotrebljeno srebro ima finoću koja je za 7 penivejta i 18 grejna manja od standardne finoće srebra od 222 penivejta – pwt.

182

Upotrebljeno srebro ima finoću

222 pwt – (7 pwt + 18 grejna) = 222 pwt – 7 pwt – 18 ∙ 241 pwt =

= 215 pwt - 43 pwt = 214,25 pet

Izraženo u promilima upotrebljeno srebro ima finoću 892,7 %o < 920 %o!

Ako je poznata ukupna (bruto) težina komada zlata ili zlatnog predmeta i odgovarajuća finoća tada se može odrediti težina čistog zlata sadržanog u njemu! Označit ćemo sa x težinu čistog zlata

(1) Finoća izražena u promilima

Neka je q ukupna težina i finoća a %o Vrijedi proporcija x : q = a : 1.000

a = q a1.000⋅ težinskih jedinica

Problem se rješava i putem verižnika x 1.000 tež.j.

q tež.j. a tež.j.

x = q a1.000⋅ tež.j.

(2) Finoća izražena u karatima

Neka je finoća b karata Proporcija x : q = b : 24

x = 24bq ⋅ karata

Može se koristiti i verižnik

183

PRIMJER 6. Koliko čistog zlata izraženo u trojlibrima (trlb) sadrži predmet čija je težina 900 grama ako je njegova finoća izražena oznakom (B 1,,1)

Ovdje je

q = 900 grama. Zna se da je

1 trlb = 373,242 grama. Finoća zlata upotrebljenog zlata je

22 K + (1 K + 1 grejn) = 22 K + 1 K + 1 ∙ 0,25 K = 23,25 K

Proporcija x : 900 grama = 23,25 K : 24 K

x = =⋅

K24K 23,25grama 900 290,625 grama

Težina čistog zlata u gramima je

x = 290,625 grama. Treba je izraziti u trlb! Verižnik:

x 373,242 grama

290,625 grama 1 trlb

x = =⋅

grama 290,625 trlb1grama 242,373 0,77865 trlb

PRIMJER 7. Centralna banka je kupila 4,5 kg zlata finoće 840 K. Koliko konvertibilnih maraka je plaženo za to zlato ako je poznato slijedeće: cijena 1 kg čistog zlata je c = 20.769 KM, stopa provizije je 1,2 %o i administrativni troškovi posla su 120 KM:

Treba izračunati trošak kupovine 4,5 kg zlata a zatim u odnosu na dobiveni iznos odrediti proviziju obračunatu po stopi 1,2 %o. Sabiranjem troškova kupovine zlata, iznosa provizije i administrativnih troškova posla dobit će se ukupna suma KM kojom je plaćeno nabavljeno zlato.

184

(1) Težina čistog zlata x : 4,5 = 840 : 1.000 x = 3,78 kg Trošak kupovine zlata = c ∙ 3,78 kg Trošak kupovine = 20.769 KM/kg ∙ 3,78 kg Trošak kupovine = 78.506,82 KM

(2) Iznos provizije Stopu provizije izraženu u promilima treba prevesti u procente.

Pravilo: Promili se prevode u procente dijeljenjem sa 10, obrnuto – procenti se prevode u promile množenjem sa 10!

Dakle st.pz = 1,2 %o = (1,2 : 10)% = 0,12%

Iznos provizije

Ppz = 78.506,82 0,12100

⋅ = 94,21 KM

Za kupovinu 4,5 kg zlata finoće 840 Centralna banka je ukupno platila 78.506,82 KM + 94,21 KM + 120 KM = 78.621,03 KM

PRIMJER 8. Kolika je bruto težina u gramima zlatnog predmeta finoće (W 2,,2) ako neto težina izražena u trojunzima (troz) iznosi (2,, 15,, 12)! - Finoća zlata od kojeg je izrađen predmet je : 22 K – (2 K + 2 grosna) = (22 – 2 – 2 ∙ 0,25) K = 19,5 K - Neto težina predmeta koje predstavlja težinu čistog zlata treba izraziti u gramima.

Ovdje treba znati da je

1 trojlimbra = 12 trojnuzi = 240 penivejta = 5.760 grena = 373,242 grama

1 penivejt = 201 unzi; 1 grent = 480

1 unzi

1 unza = 31,1035 grama

185

Označimo težinu čistog zlata sa q a bruto težinu predmeta sa Q q = troz (2,, 15,, 12) q = 2 unze + 15 penivejta + 12 grejna

q = (2 + 15 ∙ 201 + 12 ∙ 480

1 ) unzi = 40111unzi

q = 40111 ∙ 31,1035 grama

q = 86,3122 grama

Bruto težina određuje se iz proporcije

q : Q = 19,5 : 24

Q = 5,1924grama 3122,86

5,1924q ⋅

=⋅

Q = 106,23 grama

Bruto težina se može odrediti i pomoću verižnika

Q 19,5

86,3122 grama 24 K

Q = 86,3122 grama 24 K19,5 K

⋅ = 106,23 grama

PRIMJER 9. Koliko treba platiti za 10 zlatnika ako je poznato slijedeće: bruto težina jednog zlatnika je Q = 15,24 grama, finoća zlata je c = 50.300 KM/kg?

Težina čistog zlata u jednom zlatniku - x

x : Q = 900 : 1.000 x = 13,716 grama čistog zlata

U 10 zlatnika koji su predmet kupovine sadržano je čistog zlata q = 10 ∙ x, tj. q = 137,16 grama čistog zlata

186

Kako je cijena čistog zlata c = 50.300KM/1kg to je 1.000 grama = 50.300 KM, slijedi 1 gr = 50,300 KM.

Za 10 zlatnika treba ukupno platiti 137,16 ∙ 50,3 KM = 6.899,148 KM

Verižnik: x iznos plaćanja za 10 zlatnika x

1.000 grama

137,16 grama

50.300 KM

x = 137,16 50.300KM1.000⋅

=6.899,148 KM

187

16. RAČUN AMORTIZACIJE I BONITETA SREDSTVA

16.1. Pojam i značaj amortizacije Trošenje stalnih poslovnih sredstava u procesu obavljanja djelatnosti vrši se postupno i dugotrajno (dulje od jedne godine). Obezvrijeđivanje stalnih poslovnih sredstava nastaje kao posljedica tehničkog korištenja stalnog poslovnog sredstva. Tehničko trošenje građevnih objekata (prodavaonica, robnih kuća, skladišta i sl.) vrši se polagano dok će se, na primjer, tehničko trošenje vozila za prijevoz robe vršiti znatno brže. Brzina tehničkog trošenja stalnih poslovnih sredstava zavisi od vrste stalnog poslovnog sredstva, ali i od stupnja korištenja, intenziteta korištenja, načina održavanja, kvalitete uporabe sredstava itd. Amortizacija stalnih poslovnih sredstava ima naročito dvije zadaće:

a) osigurati nova sredstva za obnavljanje amortiziranih sredstava, i b) prenijeti dio sredstava kroz amortizaciju na troškove poslovanja, a time iskazati trošenje sredstava i smanjenje njegovih vrijednosti.

Pored tehničkog trošenja (fizičkog trošenja) stalnih poslovnih sredstava moguće je i ekonomsko trošenje. Ono se očitava u zastarjelosti stalnog poslovnog sredstva radi napretka znanosti i tehnike, a što je posljedica zahtjeva kupaca. To je naročito prisutno kod opreme, mašina, prodavaonica, robnih kuća, samoposluga, trgovačkih centara i sl. gdje je vijek trajanja dosta dug i u tom duljem razdoblju dolazi do promjena u organizaciji i načinu prodaje što zahtjeva dodatna investicijska ulaganja iako postojeći prodajni kapacitet nije tehnički amortiziran. Amortizacija predstavlja kalkulacijski dio trošenja stalnih poslovnih sredstava. S obzirom da amortizacija čini dosta visok trošak u poslovanju, ona zauzima i značajno mjesto u vođenju politike cijena i kalkulacijama. Kako nema preciznog mjerenja trošenja stalnih poslovnih sredstava i kako je teško utvrditi vezu između kretanja

188

obima proizvodnje, prodaje i obima amortizacije, time se dobiva dosta prostora za vođenje aktivne politike cijena s gledišta troškova amortizacije. Amortizacijom se nadoknađuje prenesena ili umanjena vrijednost stvari ili materijalnih prava koja čine stalna poslovna sredstva sukladno fizičkim odnosno ekonomskim trošenjem tih stvari i prava. Iako zakonodavatelj okvirno regulira ovu problematiku, poduzećima ostaje dosta prostora u vođenju politike amortizacije, kao npr.:

- koje će koristiti metode za obračun amortizacije, - koje će načine obračunavanja i nadoknađivanja amortizacije primijeniti, - hoće li primjenjivati propisane zakonske stope ili će koristiti povećane stope, - hoće li obračun amortizacije za određena sredstva vršiti pomoću degresivnih ili progresivnih stopa, - hoće li amortizaciju sredstava vršiti učinkom koji se upotrebom tog sredstva ostvaruje, - hoće li amortizaciju vršiti pojedinačno za svako sredstvo ili po skupinama sredstava itd.

16.2. Osnovica za obračun amortizacije Osnovica za obračun amortizacije je nabavna vrijednost koja se pojedinačno utvrđuje za svako stalno poslovno sredstvo. Za građevne objekte (prodavaonice, robne kuće, skladišta, upravne zgrade i sl.) osnovicu za obračun amortizacije čine izdaci za njihovu kupovinu, izgradnju ili dogradnju, s tim što se uključuju i sljedeći izdaci:

- izdaci za projektnu i drugu dokumentaciju, - izdaci za pripremu terena za radnju (čišćenje, iskopi, drenaža itd.), -izdaci za uređenje terena i priključenje na vodovod, PTT instalacije, kanalizaciju, elektroinstalaciju itd.

189

Za opremu i mašine osnovicu za obračunavanje amortizacije čine izdaci za njenu kupovinu ili izradu, s tim da se dodaju izdaci:

- izdaci za projektnu dokumentaciju, - izdaci za prijevoz opreme, kao i troškove za njezin utovar,

istovar i osiguranje transporta, - izdaci za montažu opreme, - izdaci vezani uz nabavku opreme (carina, uvozne pristojbe,

PDV i sl.), - izdaci za rezervne dijelove (ako rezervni dijelovi ne opterećuju

redovne troškove poslovanja) itd. Za nematerijalna ulaganja osnovicu za otpis čine svi izdaci koji se mogu pripisati tom nematerijalnom stalnom sredstvu. Osnovica za obračun amortizacije se povećava na više načina, a naročito:

- povećanjem osnovice za obračun amortizacije po osnovi revalorizacije vrijednosti, i

- povećanjem osnovice za obračun amortizacije po osnovi rekonstrukcije, adaptacije, modernizacije i druge dogradnje.

Nakon izmjene osnovice vrijednosti stalnog poslovnog sredstva, obračun amortizacije se vrši primjenom propisane stope amortizacije na novu osnovicu, odnosno novu vrijednost poslovnog sredstva. Pored termina nabavna vrijednost i amortizacija, koristi se i termin sadašnja vrijednost stalnog poslovnog sredstva. Sadašnja vrijednost se dobije kada se nabavna vrijednost umanji za amortizaciju (redovnu i revaloriziranu) i poveća za revalorizaciju. U stabilnim uvjetima poslovanja (bez inflacije i primjene revalorizacije) sadašnja vrijednost se dobije kad od nabavne vrijednosti odbijemo amortizaciju.

190

16.3. Način obračuna amortizacije Način obračuna amortizacije treba što više odražavati intenzitet trošenja stalnih poslovnih sredstava. Na taj način postižemo:

- adekvatno opterećenje troškova poslovanja stvarnim trošenjem sredstava, i - realno osiguranje sredstava za blagovremeno nabavljanje novog sredstva.

Ostvariti ove principe je dosta teško i složeno jer je duljina otpisa sredstava je dosta velika, pa je teško procijeniti i planirati amortizaciju u duljem vremenskom razdoblju. Postoje tri moguća načina obračuna amortizacije:

a) proporcionalna metoda, b) degresivna metoda, i c) funkcionalna metoda.

a) Proporcionalna metoda polazi od jednakih godišnjih kvota u procijenjenom vijeku trajanja sredstva.

PRIMJER 1. Nabavna vrijednost = 600 KM Stopa amortizacije = 5% Izračunaj: vijek trajanja i godišnju amortizaciju

Vijek trajanja = 100Stopa amortizacije 5

godina= =100 20

Godišnja amortizacija

= Nabavna vrijednost Stopa amortizacije KM×=

×=

100600 5

10030

ili

Godišnja amortizacija = Nabavna vrijednostVijek trajanja

KM= =60020

30

191

Proporcionalna metoda obračuna amortizacije polazi od pretpostavke da se sredstvo troši ravnomjerno u cijelom vijeku trajanja neovisno od intenziteta korištenja ili obima prometa. b) Degresivna metoda obračuna amortizacije polazi od toga da se u prvoj godini korištenja sredstva, obračuna najveća amortizacija i da se ona smanjuje do kraja vijeka trajanja sredstva. Ova metoda polazi od pretpostavke da je sredstvo u prvoj godini korištenja najbolje i da daje najbolji efekt upotrebe, njegova efikasnost s duljinom korištenja opada. c) Funkcionalna metoda obračuna amortizacije polazi od trošenja sredstva sukladno obimu korištenja. U poduzećima ovu metodu je moguće primjenjivati naročito kod amortizacije transportnih sredstava - kamiona. Ona polazi od toga da se amortizacija veže uz pređene kilometre.

PRIMJER 2. Nabavna vrijednost vozila = 500.000 KM Vijek trajanja u km = 100.000 km Obračun amortizacije za 1 km:

Nabavna vrijednostVijek trajanja u km

KM za 1 km= =500 000100 000

5..

Amortizacija za vozilo iznosit će 5 KM po jednom pređenom kilometru. Svaka od navedenih metoda ima određene prednosti ali i nedostatke. Moguće je u jednom poduzeću primjenjivati istovremeno jednu, dvije ili sve tri metode obračuna amortizacije, s tim da se odrede sredstva na koja će se primjeniti jedna metoda. Nemoguće je istovremeno na jednom poslovnom sredstvu koristiti dvije metode obračuna amortizacije.

192

Bez obzira koja se metoda obračuna amortizacije koristila, postoji i metoda ubrzane amortizacije. Prema njemu koriste se veće stope amortizacije od zakonski propisanih, što dovodi do:

- ubrzanog otpisa sredstava kroz brže amortiziranje, - brže obnavljanje poslovnih sredstava, - povećanje troškova poslovanja, radi povećanja amortizacije, - smanjenja dobiti i profita preduzeća čime se smanjuju

troškovi poreza i doprinosa u korist države i društva, i - smanjenja dijela dobiti za raspodjelu (dio za dividende

akcionarima - što može biti i negativno u akcionarskim poduzećima).

Ubrzana amortizacija u poduzećima postaje vrlo efikasno sredstvo vođenja ukupne poslovne politike. U svakom slučaju povoljnije je koristiti ubrzanu amortizaciju u uvjetima gdje je to s gledišta troškova i prodajnih cijena, odnosno razlike u cijeni, moguće. Prihvatljivije je kroz ubrzanu amortizaciju povećavati sredstva preduzeća, jer se na troškove poslovanja (a time i amortizaciju) ne plaćaju državi ili društvu nikakvi porezi i doprinosi. Do povećanja sredstava moguće bi bilo doći i manjom amortizacijom što bi povećalo dobit i profit preduzeća, ali bi na ista sredstva morali platiti odgovarajuću razinu poreza. U svakom slučaju ubrzana amortizacija postaje interesantno i efikasno sredstvo u vođenju ekonomike preduzeća. 16.4. Stopa amortizacije i vijek trajanja Stopa amortizacije predstavlja procent gubljenja vrijednosti stalnog sredstva. Vijek trajanja predstavlja broj godina korištenja stalnog poslovnog sredstva do njegovog amortiziranja. Stvarni vijek trajanja sredstva može biti dulji, isti ili kraći od planiranog vijeka trajanja, a što ovisi od kvalitete sredstva, intenziteta korištenja, kvalitete održavanja, načina upotrebe itd. Ukoliko sredstvo traje i koristi se isti broj godina koliko je i planirano, tada imamo osigurana sredstva amortizacije za nabavku novog

193

sredstva, s tim da se korišteno sredstvo otpisuje, jer je tehnički više neupotrebljivo a i vrijednosno je amortizirano. U slučaju da sredstvo služi i nakon amortizacije jer je još tehnički upotrebljivo, tada se ono i dalje normalno koristi, u knjigovodstvenoj evidenciji se vodi kao jedna novčana jedinica, ali se na isto više ne obračunava amortizacija. Ako je sredstvo više neupotrebljivo (iz tehničke ili ekonomske zastarjelosti) i stavljeno izvan upotrebe, tada se sva preostala neotpisana vrijednost sredstva (sadašnja vrijednost) prenosi na izvanredne troškove u tekućoj godini. Na ovaj način, u stvari, se vrši jednokratan otpis preostale vrijednosti stalnog poslovnog sredstva. Ukoliko je poznata godišnja stopa amortizacije, vijek trajanja se izračunava na sljedeći način:

Vijek trajanja = 100Godišnja stopa amortizacije

Ukoliko je poznat vijek trajanja, godišnja stopa amortizacije se izračunava na sljedeći način:

Godišnja stopa amortizacije = 100Vijek trajanja

Zakonskim propisima regulira se način obračuna amortizacije kao i godišnja stopa amortizacije za pojedina stalna poslovna sredstva, s tim da se dopušta poduzećima da svojim općim aktima predvide i ubrzanu amortizaciju od zakonom predviđene.

194

16.5.Bonitet sredstava za rad Za poduzeće važan je pokazatelj boniteta sredstava za rad koji nam

ukazuje na:

- otpisanost sredstava za rad i

- funkcionalnost sredstava za rad.

Otpisanost sredstava za rad, odnosno tehničku i ekonomsku zastarjelost sredstava za rad. Ponekad amortiziranosti sredstava za rad ne odgovara i stvarnoj zastarjelosti sredstava za rad. U slučaju ubrzane amortizacije moguće je imati potpuno amortizirano sredstvo za rad iako je njegova uporabna vrijednost još uvijek na zadovoljavajućoj razini. Često su prisutne i obratne varijante po kojima je sredstvo dosta tehnički istrošeno, ali ne i knjigovodstveno amortizirano. Za ekonomimju sredstava za rad pozitivnija je prva varijanta gdje je primjenjena ubrzana stopa amortizacije. Funkcionalnost sredstava za rad odnosno sposobnost sredstava za rad je da uspješno obavljaju radne zadaće.

195

17. MJERENJE TRAJANJA OBRTA KAPITALA

17.1. Pojavni oblici obrtnih sredstava Pored stalnih poslovnih sredstava (mašine, zgrade, oprema kamioni i sl.) svako poduzeće mora raspolagati sa obrtnim sredstvima koji su ustvari predmet rada (sirovine, repro materijal i sl.) kao i novac i potraživanje i dr. Proizvodna poduzeća kupuju sirovine i prerađuju ih u finalne proizvode koje prodaju na tržištu. one realiziraju slijedeći reprodukcijski ciklus NOVAC SIROVINE PROIZVODNJA GOTOVA ROBA NOVAC Trgovinske firme kupuju već gotove proizvode da bi ih dolje prodali. Reprodukcijski ciklus u trgovini je sljedeći: NOVAC GOTOVA ROBA NOVAC Osnovni cilj svake firme je da dobijeni novac na kraju reprodukcijskog procesa bude veći od uloženog novca. U tom slučajupokriveni su svi troškovi poslovanja, a višak se iskazuje u obliku dobiti iz poslovanja. Za razliku od stalnih poslovnih sredstava koja se troše postupno i višekratno, obrtna sredstva se u procesu proizvodnje i prometa troše u cijelosti i jednokratno. Obrtna sredstva u poduzeću su sredstva koja neposredno sudjeluju i utječu na uspješnost u poslovanju, dok stalna poslovna sredstva pomažu da obrt kapitala bude uspješniji. Posjedovati prodavaonice bez robe je isto što imati i mrtvi kapital, ali isto tako prodavaonice (stalno poslovno sredstvo) može značajno doprinijeti uspješnosti prodaje. Veza između obrtnih i stalnih sredstava postoji i značajan je međusobni utjecaj. Pomoću obrtnih sredstava stvaramo dobit koju djelomice ulažemo u nova stalna poslovna sredstva, koja povratno djeluju na povećanje prometa. Prema tome, nema prometa i obrta bez

196

stalnih poslovnih sredstava, ali isto tako nema novih stalnih sredstava bez obavljanja prometa. Koji odnos između obrtnih i stalnih sredstava je optimalan? Na to pitanje nema trajnog odgovora. Odnos se mijenja a zavisi od niza faktora: vrste preduzeća, veličine preduzeća, poslovne politike, asortimana, djelatnosti itd. Uvjeti u kojima se obavlja poslovanje stalno se mijenjaju, pa će se i odnosi morati prilagoditi novonastaloj situaciji. Obrtna sredstva iako se stalno transformiraju u pojedinim trenucima moguimati sljedeće pojavne oblike:

1. u zalihama (sirovine, poluproizvodi, gotovi proizvodi i dr.) 2. u kratkoročnim potraživanjima (od kupaca, od radnika, od

države, dati krediti) 3. u novčanom obliku (novac u blagajni, na žiro-računu,

deviznim računima i sl.) 4. u papirima od vrijednosti (čekovi, mjenice i sl.) 5. u procesu proizvodnje, dorade i sl.

17.2. Mjerenje trajanja obrta Za poduzeće je vrlo značajno mjerenje trajanja obrta. Taj pokazatelj ukazuje na uspješnost poslovanja. Što je obrt kapitala od početne do završne faze vremenski kraći, ukazuje na uspješniji rad, odnosno ukazuje da se roba brzo nabavlja, brzo prerađuje, brzo prodaje, kratko zadržava na zalihama i brzo naplaćuje. Time se stvaraju pretpostavke, uz ostale neizmijenjene okolnosti, za ekonomičnije poslovanje. Produženje vremena trajanja obrta ukazuje na pogoršanje poslovanja u onim fazama gdje se produžava vrijeme vezivanja obrtnih sredstava. Mjerenje trajanja obrta vršimo pomoću:

a) vremenskog trajanja obrta, i b) koeficijenta obrta.

Vremensko trajanje obrta ukazuje koliko vremenski traje jedan ciklus obrtanja sredstava. On se obično mjeri brojem dana angažiranja sredstava. Vremensko trajanje obrta moguće je pratiti ne samo za

197

ukupno poduzeće nego i za pojedine dijelove preduzeća kao i po vrstama robe. Vremensko trajanje obrta (V) možemo izračunati ako poznamo koeficijenta (K) obrta na slijedeći način:

V =K

360

PRIMJER 1. Koliko je vrijeme trajanja obrta (V) ako je koeficijenta obrta (K) jednak 5.

V= dana 725

360K

360==

Vremensko trajanje obrta u našem primjeru iznosi 72 dana. Koeficijent obrta predstavlja broj kojim se iskazuje koliko se puta obrnu obrtna sredstva u jednoj godini. Koeficijent obrta (K) možemo izračunati ako poznamo vremensko trajanje obrta (V). PRIMJER 2. Koliki je koeficijent obrta ako je vrijeme trajanja obrta 72?

K= 572

360V

360==

Koeficijent obrta u našem primjeru je 5, što ukazuje da se u jednoj godini obrtna sredstva mogu obrnuti 5 puta. Prilikom analiziranja trajanja obrta interesiraju nas veličine: vrijeme trajanja obrta (V), potrebna obrtna sredstva (OS) i ukupan prihod (UP) ostvaren po angažiranju tih obrtnih sredstava. Ukoliko su poznate dvije veličine, moguće je izračunati treću veličinu koristeći sljedeću formulu:

V× UP = OS× 360

198

PRIMJER 3. - vrijeme trajanja obrta (V) = 72 dana - obrtna sredstva (OS) = 800 KM - ukupan prihod (UP) = 4.000 KM a) ako su poznata obrtna sredstva i ukupan prihod, a ne i vrijeme trajanja obrta, ono se računa:

V= OSx360 800x360 72danaUP 4.000

= =

b) ako su poznati ukupan prihod i vrijeme trajanja obrta, pitamo se kolika nam u tom slučaju trebaju obrtna sredstva:

OS= VxUP 72x4.000 800 KM 360 360

= =

c) ako su poznata obrtna sredstva i broj dana vezivanja pitamo se koliki ćemo ostvariti ukupan prihod:

UP= OSx360 800x360 4.000KMV 72

= =

d) koeficijent obrta možemo izračunati za naš primjer na dva načina:

K= 572

360V

360== ili

K= UP 4.000 5OS 800

= =

Vrijeme trajanja obrta i koeficijent obrta su isto mjerilo iskazano na dva načina i u funkcionalnoj su vezi. Što je vrijeme trajanja obrta kraće, koeficijent obrta je veći i obratno koeficijent obrta će biti manji što se vrijeme trajanja obrta produžava. Za svako poduzeće je pozitivno da se vrijeme trajanja obrta smanjuje i time povećava koeficijent obrta uz uvijet da su drugi uvjeti poslovanja ostali nepromijenjeni.

199

18. MJERENJE LIKVIDNOSTI Problematika likvidnosti preduzeća dobiva sve veći značaj u tekućem poslovanju. Likvidnost preduzeća se ogleda u tome da ona raspolaže istim ili većim obimom novčanih sredstava od visine dospjelih obveza. Poduzeće izračunava koeficijent likvidnosti (K) pomoću formule:

K = obveze dospjele

novac

Koeficijent likvidnosti može biti veći od 1, manji od 1 ili ravan 1. Ako je koeficijent likvidnosti veći od 1, to ukazuje da poduzeće raspolaže s više novčanih sredstava nego što su dospjele obveze. Što je koeficijent veći, to je likvidnost bolja. Ako je koeficijent likvidnosti manji od 1, to ukazuje da poduzeće ima veće dospjele obveze od novčanih sredstava. U tom slučaju govorimo o nelikvidnosti preduzeća. Što je koeficijent manji, to je veća nelikvidnost, odnosno dospjele obveze su znatno veće od novčanih sredstava. Ako je koeficijent likvidnosti ravan 1, to ukazuje da su dospjele obveze iste visine kao i novčana sredstva, te da se ostvaruje likvidnost preduzeća. Iako se likvidnost obično povezuje s kratkoročnim obvezama i novčanim sredstvima, potrebno je ukazati da je likvidnost složen pojam i radi brze preobrazbe obrtnih sredstava iz jednog pojavnog oblika u drugi, problematika likvidnosti se mora promatrati sa šireg gledišta. Pojedini pojavni oblici obrtnih sredstava mogu neplanirano značajno pomutiti likvidnost, naglom preobrazbom iz jednog pojavnog oblika u drugi. Značajan utjecaj na likvidnost mogu imati i stalna poslovna sredstva i njihovi izvori kao, npr. odljev novčanih sredstava u investicije, ulaganje u dugoročne osnivačke fondove itd.

200

Radi održavanja likvidnosti preduzeća, potrebno je znati:

a) da je likvidnost vrlo dinamična pojava i da je pod utjecajem faktora koji se mogu kontrolirati (rokovi naplate, rokovi plaćanja, obim nabavke i prodaje i sl.), ali i nizom faktora koji nisu pod kontrolom (prodaja, naplata potraživanja i sl.), b) da je nedovoljna likvidnost štetna za poduzeće (nemogućnost novih nabavki, povećane kamate, sudski troškovi i sl.), c) da je prevelika likvidnost također štetna za poduzeće (nedovoljne nabavke, usporen prometni obrt, smanjenost uposlenosti i iskorištenosti kapaciteta i sl.), d) da je samo optimalna likvidnost opravdana jer osigurava izmirenje svih dospjelih obveza uz osiguranje rizika prikupljanja novčanih sredstava. Ovaj zirik treba biti stručna ocjena, u konkretnoj situaciji, koliki je rizik da se neće unovčiti pojedini pojavni oblici planiranih potraživanja u roku njihovog dospjeća za naplatu (potraživanja od kupaca, unovčavanje papira od vrijednosti, naplata danih kredita i drugih potraživanja itd.).

Planiranje likvidnosti treba biti dio stalnih aktivnosti, a naročito između funkcije nabave, prodaje i financija. Planiranje likvidnosti se može vršiti dnevno, tjedno, desetodnevno, mjesečno, dvomjesečno, tromjesečno itd. Plan likvidnosti treba sadržati za isto vremensko razdoblje:

a) plan novčanih priliva, i b) plan novčanih odljeva.

U poduzeću obično plan novčanih priliva sadrži:

- početno stanje novčanih sredstava, - naplatu od kupaca, - naplatu kredita, - naplatu drugih potraživanja, - naplatu pozajmljenih sredstava, - prijenos novčanih sredstava iz novčanih sredstava fonda

zajedničke potrošnje - naplatu pogrješno uplaćenih iznosa,

201

- naplatu papira od vrijednosti, - povrat neutrošenih izdvojenih novčanih sredstava i

akreditiva itd. Plan novčanih odljeva sadrži:

- plaćanje prema dobavljačima, - plaćanje obveza po izdanim papirima od vrijednosti, - plaćanje avansa, depozita i kaucija, - plaćanje financijskih obveza (kredita i sl.), - plaćanje poreza i doprinosa, - plaćanje plaća radnicima, - vraćanje dospjelih kredita, - plaćanje unaprijed troškova, - prijenos novčanih sredstava na novčana sredstva zajedničke

potrošnje, - povrat pogrješno naplaćenih sredstava, - uplatu novčanih sredstava na izdvojena novčana sredstva i

akreditive, - plaćanje osnivačkih ulaganja, - kupovinu i plaćanje tuđih papira od vrijednosti itd.

Planiranje likvidnosti, ustvari predstavlja planiranje priliva i odljeva novčanih sredstava za razdoblje koje planiramo. U poduzeću najznačajnije stavke u priljevu i odljevu novčanih sredstava su: a) kod priliva novčanih sredstava:

- naplata od kupaca, i b) kod odljeva novčanih sredstava:

- plaćanje prema dobavljačima, - plaćanje poreza na promet, - plaćanje plaća radnicima, i - plaćanje poreza i doprinosa na osnovi isplate plaće.

Kontrola ostvarenja plana likvidnosti vrši se praćenjem i analiziranjem ostvarenja plana s gledišta kvantitativnih i kvalitativnih pokazatelja. Kvantitativni pokazatelji ukazuju na odstupanje ostvarenja od plana po strukturi plana. Kvalitativni pokazatelji su analitički pokazatelji koji trebaju ukazati na uzroke u odstupanju plana od ostvarenja, kao i posljedice tog odstupanja.

202

Pokazatelj likvidnosti I stupnja = Novac + kratkoročna potraživanja x 100Kratkoročne obaveze

Pokazatelj likvidnosti II stupnja = Ktarkoročna obrtna sredstva x 100Kratkoročne obveze

Dnevna likvidnost= Raspoloživi novacDospjele obveze

Tjedna likvidnost= (Novac + Kratkoročna potraživanja naplativa u 7 dana umanjena za rizik) x 100

Obveze koje dospijevaju u okviru 7 dana

Mjesečna likvidnost= (Novac + Kratkoročna potraživanja naplativa u 30 dana - rizik nenaplativosti) x 100

Obveze koje dospijevaju u okviru 30 dana

203

19. MJERENJE STRUKTURE, STATIKE I DINAMIKE SREDSTAVA

19.1. Mjerenje rada kod stalnih poslovnih sredstava Mjerenje kod structure poslovnih sredstava mogu biti sa gledišta:

- strukture, - kapaciteta, - iskorištenosti kapaciteta, i - troškova eksploatacije stalnih poslovnih sredstava.

Analiza strukture stalnih poslovnih sredstava podrazumijeva ispitivanje kvantitativnih odnosa i kvalitativnog sastava stalnih poslovnih sredstava. Kvantitativni odnosi između pojavnih oblika stalnih poslovnih sredstava moraju biti primjereni vrsti i predmetu djelatnosti preduzeća. Normalno je očekivati da će poduzeće na malo u svojoj strukturi stalnih poslovnih sredstava imati najviše zastupljeno prodavaonica, odnosno građevnih objekata, a trgovina na veliko skladišnih prostora, a poslovno preduzeće mašine, hale i sl. Kvalitativni sastav stalnih poslovnih sredstava podrazumijeva analitičku ocjenu da li je struktura stalnih poslovnih sredstava po kvaliteti primjerena planu i potrebama preduzeća. To se prije svega odnosi na:

- funkcionalnost, - tehničku opremljenost, i - istrošenost sredstava (amortiziranost).

Struktura stalnih poslovnih sredstava se može promatrati:

- statički, i - dinamički.

Statički aspekt promatranja strukture stalnih poslovnih sredstava polazi od analize u određenom vremenskom trenutku (na jedan dan).

204

Dinamički aspekt polazi s gledišta kretanja stalnih poslovnih sredstava. Ono se mjeri upoređujući stanje u dva različita vremenska intervala. Dinamika se manifestira kroz povećanje, odnosno smanjenje stalnih poslovnih sredstava. Povećanje, odnosno smanjenje stalnih poslovnih sredstava može biti stvarno i prividno. Stvarno povećanje ili smanjenje imamo u slučajevima kada dolazi do stvarne fizičke promjene. Fizičko povećanje se manifestira kroz otvaranje novih prodavaonica, skladišta, mašina i sl. Posebnim oblikom fizičkog povećanja možemo smatrati i izvršene rekonstrukcije, adaptacije i modernizacije poslovnih kapaciteta. Fizičko smanjenje se manifestira kroz stvarno smanjenje poslovnih kapaciteta (ukidanje prodavaonica i sl.). Prividno povećanje, odnosno smanjenje stalnih poslovnih sredstava izražava se kroz vrijednosne promjene (amortizacija, revalorizacija i sl.), a u suštini nije došlo do stvarne fizičke promjene sredstava. Dinamika stalnih poslovnih sredstava se treba upoređivati s dinamikom prometa jer u tu svrhu i postoje stalna poslovna sredstva. Upoređivanje strukture stalnih poslovnih sredstava, kao i ostvarenih rezultata poslovanja, moguće je uspoređivati i analizirati sa:

- planskim pokazateljima, - ostvarenim pokazateljima u istom poduzeću u prethodnom

razdoblju, - pokazateljima najboljih preduzeća u istoj oblasti poslovanja, - pokazateljima prosjeka privredne grupacije kojoj pripada

poduzeće, itd. Za poslovanje preduzeća važno je poznavati kapacitet sredstava za rad. Ovo je dosta složen i ponekad nemjerljiv pokazatelj. Za ekonomiju sredstava za rad potrebno je ustvrditi kapacitet kako bi se mogao iznalaziti stupanj korištenja kapaciteta. Kapaciteti sredstava za rad se iskazuju kroz sljedeće veličine:

- potencijalni kapacitet, - optimalni kapacitet, - planirani kapacitet, i - ostvareni kapacitet.

205

Potencijalni kapacitet predstavlja maksimalno moguće korištenje sredstava za rad. Posebno je složeno i teško pitanje ustvrđivanja potencijalnog kapaciteta prodavaonica, skladišta, kancelarija i sl. Potencijalni kapacitet za potrebe trgovinskih preduzeća (maloprodaja, veleprodaja, izvoz i uvoz) moguće je ustvrditi analitičkim i iskustvenim pristupom gdje bi se potencijalni kapacitet iskazivao s najvećim ostvarenim pokazateljem kapaciteta u najboljem istom ili sličnom poduzeću. Optimalni kapacitet je onaj stupanj korištenja kapaciteta koji daje najveću pozitivnu razliku između prihoda i troškova. Planirani kapacitet je planom postavljeni kapacitet sredstava za rad. Planirani kapacitet može biti ravan optimalnom kapacitetu, može biti i niži, ali viši ne bi trebao biti jer se pogoršava ekonomičnost i rentabilnost poslovanja. Ostvareni kapacitet je onaj kapacitet koji je ostvaren. Ostvareni kapacitet u odnosu na planirani kapacitet može biti: manji, isti ili veći. Poseban oblik analize kapaciteta sredstava za rad može biti s gledišta:

- potrebnih kapaciteta, i - raspoloživih kapaciteta.

Za poboljšanje kvaliteta ekonomije sredstava za rad neophodno je raspoložive kapacitete usklađivati do maksimuma s potrebnim kapacitetima. U slučaju manje raspoloživih kapaciteta od potrebnih, neophodno je nadoknaditi nedostajući dio sredstava (kupovinom, zakupom, posudbom i sl.). U slučaju više raspoloživih kapaciteta od potrebnih neophodno ih je privremeno ili trajno otuđiti (prodati, dati u zakup, rashodovati i sl.). Poduzeće je posebno zainteresirano za iskorištenje sredstava za rad jer se time povećava proizvodnja, promet i smanjuju troškovi sredstava za rad (fiksni troškovi) po jedinici mjere. Iskorištenost sredstava za rad utvrđuje se po:

- mjestima (prodavaonica, odjel, sektor, skladište, izvoz, uvoz, i sl.),

206

- nositeljima (proizvodima, grupama proizvoda i sl.), i - vremenu (godišnje, mjesečno, dnevno i po satima tijekom

jednog radnog dana). Stupanj iskorištenosti kapaciteta predstavlja odnos između utvrđenog mjerila kapaciteta (potencijalni, optimalni ili planirani) s ostvarenim učinkom. Pri analiziranju korištenja kapaciteta sredstava za rad moguće je računati sljedeće pokazatelje na primjeru:

- potencijalni kapacitet 900 - optimalni kapacitet 800 - planirani kapacitet 750 - ostvareni kapacitet 740

Odnos optimalnog i potencijalnog kapaciteta

Optimalni kapacitet 100Potencijalni kapacitet

×=

×=

800 100900

88 8%,

Ovaj pokazatelj nam kazuje da optimalni kapacitet iznosi 88,8% od potencijalnog kapaciteta. Odnos planskog i potencijalnog kapaciteta

Planski kapacitet 100Potencijalni kapacitet

×=

×=

750 100900

83 3%,

Ovaj pokazatelj nam kazuje da smo planirali kapacitet u iznosu od 83,3% od potencijalnog. Odnos ostvarenog kapaciteta u odnosu na potencijalni kapacitet

Ostvareni kapacitet 100Potencijalni kapacitet

×=

×=

740 100900

82 2%,

Ovaj pokazatelj nam kazuje da smo ostvarili kapacitet od 82,2% od potencijalnog. Odnos planiranog kapaciteta u odnosu na optimalni kapacitet

Planirani kapacitet 100Optimalni kapacitet

×=

×=

750 100800

93 7%,

207

Ovaj pokazatelj nam kazuje da smo planirali kapacitet od 93,7% od optimalnog kapaciteta. Odnos ostvarenog kapaciteta u odnosu na optimalni kapacitet

Ostvareni kapacitet 100Optimalni kapacitet

×=

×=

740 100800

92 5%,

Ovaj pokazatelj nam kazuje da je ostvaren kapacitet u visini od 92,5% od optimalnog kapaciteta. Odnos ostvarenog kapaciteta u odnosu na planirani kapacitet

Ostvareni kapacitet 100Planirani kapacitet

×=

×=

740 100750

98 6%,

Ovaj pokazatelj nam kazuje da smo ostvarili kapacitet u iznosu od 98,6% od planiranog kapaciteta. Svi ovi pokazatelji dosta govore o iskorištenju kapaciteta, ali će se kvaliteta informacija povećati ukoliko se izvrši upoređivanje ovih pokazatelja s:

- pokazateljima jedne organizacijske jedinice s drugom u istom poduzeću,

- pokazateljima za razna vremenska razdoblja iste organizacijske jedinice ili preduzeća,

- pokazateljima istih ili sličnih preduzeća za isto vremensko razdoblje, i

- pokazateljima jednog preduzeća s prosječnim pokazateljima privredne grane.

Sami pokazatelji mogu ukazati da je došlo do određenih odstupanja ali oni ne ukazuju i zašto je došlo do toga. Zato trebamo provesti ispitivanje uzroka koji su doveli do odstupanja. Uzroci odstupanja mogu biti mnogobrojni, i utvrđivanjem pravih uzroka, koji utječu na ostvarenje planiranih kapaciteta, stvaramo preduvjet da svjesnom akcijom utječemo na njihovu eliminaciju. Posljedice nedovoljnog korištenja kapaciteta mogu biti dosta negativne za rezultate poslovanja preduzeća, pa je iz tih razloga potrebno poduzimati blagovremeno mjere da se planirani kapacitet što

208

bolje ostvari. S povećanjem korištenja kapaciteta raste realizacija i promet, a fiksni troškovi sredstava za rad po jedinici prometa opadaju što vodi ka ekonomičnijem poslovanju. 19.2.Mjerenje kod obrtnih sredstava – predmeta

rada Ekonomija predmeta rada, koji obuhvaćaju najveći i najznačajniji dio obrtnih sredstava, može se promatrati i analizirati pomoću sljedećih pokazatelja:

- strukture predmeta rada, - statike predmeta rada, - dinamike predmeta rada.

Struktura predmeta rada. Za poduzeće potrebno je ustvrditi strukturu predmeta rada po pojavnim oblicima. Značajno je za svaki pojavni oblik ustvrditi:

- duljinu vezivanja, i - visinu.

Ustvrđivanje duljine vezivanja predmeta rada u pojedinim pojavnim oblicima može analitičaru ukazati na kvalitetu obrtnog ciklusa predmeta rada. Cilj svake organizacije je da se duljina vezivanja što više skraćuje i da se što brže transformiraju iz jednog u drugi oblik predmeta rada. Visina vrijednosti pojedinih pojavnih oblika predmeta rada pokazuje u kojem pojavnom obliku se pojavljuju što može analitičaru, uz pokazatelje duljine vezivanja, ukazati na kvalitetu obrta predmeta rada. Statika predmeta rada Za poduzeće potrebno je izvršiti analizu statike predmeta rada u određenim trenucima da bi se došlo do određenih konstatacija. Moguće je statiku računati na datume kada se prave periodični ili godišnji obračuni poslovanja kao i u drugim kraćim vremenskim razdobljima (mjesečno, tjedno i sl.). Analizu statike predmeta rada

209

moguće je raditi za svaki pojavni oblik predmeta rada, kao i za ukupnost predmeta rada. Dinamika predmeta rada. Analiza dinamike predmeta rada je ocjena kretanja predmeta rada iz jednog pojavnog oblika u drugi. Analitičkom ocjenom se ustvrđuje:

- duljina zadržavanja predmeta rada u jednom pojavnom obliku i ukupno, i

- promjene u smjeru povećanja ili smanjenja pojedinih pojavnih oblika predmeta rada i ukupno predmeta rada.

Iako smo već ukazali da je duljina (vrijeme) zadržavanja predmeta rada statička mjera, kao i koeficijent obrta, jer se mjere i izračunavaju u jednom trenutku, ova dva pokazatelja, promatrana s gledišta procesa, mogu se tretirati kao pokazatelji dinamike kretanja predmeta rada. Mjerenje pokazatelja obrtnih sredstava – predmeta rada moguće je vršiti pomoću formula:

Pokazatelj učešća obrtnih sredstava u ukupnim sredstvima =

=sredstavaukupnih Vrijednost

100sredstva Obrtna ×

Pokazatelj strukture obrtnih sredstava =

=sredstva obrtna Ukupna

100oblik Pojavni ×

Pojavni oblici obrtnih sredstava mogu biti:

a) u zalihama, b) u kratkoročnom potraživanju, c) u kratkoročnim pozajmicama, d) u novčanom obliku, e) u papirima od vrijednosti, f) u unaprijed plaćenim troškovima.

210

Pokazatelj strukture zaliha =

=zalihe Ukupne

100zalihaoblik Pojavni ×

Pojavni oblici zaliha mogu biti:

a) po dobavljačima, b) po vrstama robe, c) po vrstama materijala, d) po starosti zaliha, e) po drugim obilježjima zaliha robe.

Pokazatelj strukture kratkoročnih potraživanja =

= Pojavni oblik x 100Ukupna kratkoročna poraživanja

Pojavni oblici kratkoročnih potraživanja mogu biti:

a) po kupcima, b) po vrstama potraživanja, c) po naplativosti, d) po starosti potraživanja, e) po utuženosti i sl.

Pokazatelji strukture kratkoročnih pozajmica =

= Pojavni oblik x 100Ukupna kratkoročna pozajmice

Pojavni oblici kratkoročnih pozajmica mogu biti:

a) potrošački krediti, b) kratkoročni robni krediti, c) krediti bankama, d) krediti drugim poduzećima, e) krediti inozemstvu itd.

Pokazatelji strukture obrtnih sredstava u novčanom obliku =

= Pojavni oblik x 100Ukupna novčana sredstva

211

Pojavni oblici novčanih sredstava mogu biti: a) na žiro-računu, b) u blagajni, c) izdvojena novčana sredstva, d) novčana sredstva na deviznim računima, e) sredstva rezervi, f) sredstva zajedničke potrošnje itd.

Pokazatelji strukture papira od vrijednosti =

=ti vrijednosod papirat vrijednosUkupna

100oblik Pojavni ×

Pojavni oblici papira od vrijednosti mogu biti:

a) čekovi, b) mjenice, c) ostali papiri od vrijednosti.

Prosječno godišnje stanje zaliha =

= 1 12 2početnog stanja 11 mjesečnih stanja konačnog stanja

12+ +

212

20. MJERENJE ELASTIČNOSTI POTRAŽNJE 20.1. Pojam, vrsta i zakonitosti potražnje Potražnja za nekom robom u izvjesnom razdoblju i na određenom tržištu predstavlja onu količinu robe koju su kupci, odnosno potrošači spremni kupiti po različitim cijenama. Potražnja je spremnost kupaca, odnosno potrošača da kupe određene robe po odgovarajućim cijenama. Kupci su spremni kupiti veću količinu robe ako su cijene niže i obratno, ako su cijene više, kupci će kupiti manju količinu robe uz pretpostavku da svi ostali faktori koji utječu na potražnju ostanu nepromijenjeni. Na osnovi ovih zakonitosti u kretanju potražnje u odnosu na cijene, formuliran je opći zakon potražnje po kojem povećanje tržnih cijena smanjuje potražnju i sniženje tržnih cijena povećava potražnju. Odnos između tržne cijene i tražene količine iskazuje se tabelarno, grafički i putem funkcije. Primjer tabelarnog i grafičkog prikazivanja odnosa tržne cijene i tražene količine:

Tabelarni prikaz: Grafički prikaz:

CIJENA KOLIČINA 5 14

10 8

15 6

20 4

25 2

Iskazivanje zakona potražnje putem funkcije:

K = f (C) K = količina tražene robe

213

C = cijena robe f = funkcija

Ovakav pristup formulaciji potražnje ima ograničavajući značaj jer polazi od pretpostavke da na potražnju utječe samo cijena. Uočeno je da na potražnju utječu i brojni drugi faktori (cijena drugih roba, dohodak kupaca, cijene supstituta ili konkurentnih roba, demografijski faktor, kreditiranje prodaje itd.). Na potražnju utječe i niz ostalih faktora kao npr.: navika u kupovini, običaji, moda, kretanje inflacije, ekonomska propaganda i sl. Uvođenjem u funkciju potražnje faktora vremena, dobivamo konačni oblik funkcije potražnje po kojoj potražnja ovisi od korisnosti robe u zadovoljenju određene potrebe kupca, dohotka kupca, cijene tražene robe, cijena drugih roba i niza drugih faktora u određenom vremenskom razdoblju. Najčešće se u marketingu koristi podjela potražnje prema namjeni potrošnje na:

- potražnju potrošnih roba koje su namijenjene tržištu osobne potrošnje, i - potražnju proizvodnih roba koje su namijenjene tržištu proizvodno-uslužne potrošnje.

Potražnja potrošnih roba Potrošne robe su namijenjene zadovoljenju osobnih potreba čovjeka. To je krajnja potrošnja (konačna, finalna) i zadovoljava razne biologijske ili psihologijske potrebe. Potrošne robe dijelimo po raznim osnovama, a sa aspekta prirode potreba dijelimo ih na:

a) nužne robe, b) luksuzne robe, i c) trajne robe.

Nužne robe su one koje su nužne za reprodukciju čovjekove radne snage. To su robe široke potrošnje koje su neophodne u životu jednog čovjeka. To su npr. šećer, brašno, sol, ulje, sapun, kruh, mlijeko, duvan, krumpir, i sl. Koeficijent dohodovne i cijenovne elastičnosti ovih roba je nizak jer porast dohotka ili cijena neće promijeniti potražnju za ovim robama jer se one svakodnevno troše.

214

Luksuzne robe su one koje prelaze granice normalnog zadovoljenja potreba ljudi. Dosta je teško definirati pojam normalnog zadovoljenja potreba jer to ovisi od razvoja društva, razvoja životnog standarda i navika i običaja kupaca. Neka roba može imati status luksuzne robe u jednoj zemlji dok je to za drugu zemlju već područje normalnih potreba. Slično je sa shvaćanjima pojedinih kategorija kupaca. Ekonomski jače kategorije kupaca pojedine robe će smatrati normalnom potražnjom, dok će siromašniji kupci te robe tretirati kao luksuzne robe. Promjena cijena ovih roba ne utječe u većoj mjeri na potražnju i elastičnost potražnje u odnosu na cijenu i bit će manja od jedan. Kupovinom ovih roba ne zadovoljavaju se neophodne potrebe nego psihološke potrebe. U luksuzne robe spada nakit, bunde, skupi automobili, skupa kozmetika i sl. Trajne robe su one koje traju dulje i čija kupovina predstavlja viši životni standard. To su sljedeće robe: namještaj, televizori, razni kućanski strojevi, automobili, modna konfekcija, obuća i sl. Potražnja za ovim robama uvjetovana je višim razinama kupovne moći stanovništva. Cijene ovim robama su visoke i svaka promjena cijena i dohotka utječe na povećanje ili smanjenje potražnje. Potražnja za ovim robama je vrlo elastična kako pri promjeni cijena tako i pri promjeni dohotka kupaca. Preduzeća imaju širok asortiman roba u svojoj ponudi, pa je interesantan osvrt na kretanje potražnje za robama koje imaju status:

a) nezavisne robe, b) supstituta i c) komplementarne robe.

Nezavisne robe su one robe koje se ne mogu zamijeniti ni s jednom drugom robom. Na njihovu potražnju utječe opći zakon potražnje i ovisi isključivo od kretanja njihovih cijena. U praksi je vrlo teško naći nezavisne robe jer skoro svaka roba ima moguću zamjenu, odnosno supstitut. Supstituti su one robe koje imaju zamjenu, pa tako promjena cijena jedne robe može utjecati na promjenu potražnje druge robe. Povećanje cijena jedne robe ne samo da utječe na smanjenje prodaje te robe, nego povećava prodaju supstituta iako se nije mijenjala cijena

215

supstituta. Preduzeća u svom asortimanu imaju veliki broj supstituta, te je pri promjeni cijena jednog artikla potrebno analizirati potražnju ne samo za tim artiklom nego i za supstitutima. Komplementarne robe su one koje nadopunjavaju i povezuju potražnju između dvije i više roba. Stupanj komplementarnosti može biti različit a ovisi od vrsta roba. Viši stupanj komplementarnosti utječe da obim potražnje bude usklađen, i u slučaju visokog rasta cijena jedne robe utječe ne samo na pad potražnje za tom robom nego djeluje na pad potražnje i za komplementarnom robom. U odnosu na opći zakon potražnje postoje i tri izuzetka. Izuzeci se odnose na neprihvaćanje zakonitosti potražnje da s padom cijena raste potražnja, i da s rastom cijena pada potražnja. Prvi slučaj, naziva se Veblenov slučaj ili efekt snobizma, a temelji se na visokom dohotku koji omogućava takvo ponašanje po kojem se s povećanjem cijena povećava potražnja i sa sniženjem cijena smanjuje potražnja. To se odnosi na manji broj luksuznih roba kao što je nakit, krzno, visoko modna roba i sl. Drugi slučaj, naziva se Giffenov slučaj, i po njemu se povećanje cijene kruha održava na povećanje potražnje za kruhom jer se ova potražnja povećava pošto su izdaci za kruh niži od alternativnih izdataka za druge vrste hrane. Ovaj paradoks u kretanju potražnje temelji se na niskoj kupovnoj moći kupaca i potražnji roba koje su neophodne za preživljavanje. Treći slučaj naziva se špekulativni slučaj po kojem se iz špekulativnih razloga pri povećanju cijena povećava potražnja. Npr., ako u razdoblju inflacije rastu cijene, kupci procjenjuju da će cijene i dalje rasti, pa se povećava potražnja. Suprotno, ako pada cijena, smanjuje se potražnja, jer kupci odgađaju potražnju za kasnije zato što očekuju daljnje sniženje cijena. Potražnja proizvodnih roba Proizvodne robe su namijenjene za daljnju proizvodnu potrošnju. Potražnja za proizvodnim robama predstavlja potražnju za robama koje se troše u procesu proizvodnje kao i potražnja za sredstvima za

216

rad. Ova potražnja je u osnovi izvedena potražnja iz potražnje za nekom drugom robom. Npr. potražnja za tkaninama je izvedena iz potražnje za konfekcijom. Svako proizvodno poduzeće za svoj proces proizvodnje ima potražnju za proizvodnim robama koje nazivamo sirovine, poluproizvodi ili reprodukcijski materijal. To je vrlo veliki broj raznih roba kao npr. proizvodi crne metalurgije, obojene metalurgije, graditeljski materijali, nemetali, proizvodi metalne industrije, kemijske industrije, tekstilne industrije, drvne industrije itd. Druga skupina proizvodnih roba su sredstva za rad koja služe za obavljanje proizvodne i uslužne djelatnosti. To su razna oprema, objekti, alati, rezervni dijelovi itd. Potražnja za proizvodnim robama je izvedena potražnja i uvjetovana je raznim faktorima, a naročito planiranim obimom proizvodnje, odnosno potrebama kupaca za određenom robom. Elastičnost potražnje Potražnja roba se obično razmatra sa stanovišta promjena:

a) cijena te robe, b) cijena drugih roba i c) dohotka kupaca.

Svaka promjena navedenih elemenata i potreba kupaca izaziva manju ili veću promjenu potražnje. Elastičnost potražnje ukazuje da li i koliko promjena elemenata potražnje utječe na promjenu količine tražene robe. Prema tome, elastičnost potražnje možemo definirati kao pokazatelj koji ukazuje da li se i koliko mijenja potražnja za nekom robom ako joj se promijeni cijena, ili ako se promijene cijene drugim robama, ili ako se promijeni dohodak kupca. Elastičnost potražnje se temelji na međuzavisnosti pojedinih ekonomskih kategorija i utjecaj pojedinih faktora potražnje na kretanje potražnje. Pojam elastičnosti potražnje pokazuje odnos između tražene količine robe iskazan u procentima i procentualne promjene cijene te robe, ili procenta promjene cijene druge robe, ili procenta promjene dohotka kupca.

217

Elastičnost potražnje iskazujemo formulom:

ET= proceduralna promjena u količini tražene robeproceduralna promjena jednog faktora

Elastičnot potražnje možemo mjeriti u odnosu na sljedeće promjene faktora potražnje:

a) cijenu te robe iskazane kao cijenovna elastičnost potražnje, b) cijena drugih roba iskazana kao unakrsna elastičnost potražnje, i c) dohotka kupca iskazanog kao dohodovna elastičnost potražnje.

20.2. Mjerenje cijenovne elastičnosti potražnje Cijenovna elastičnost potražnje pokazuje odnos između procentualne promjene potražnje za nekom robom i procentualne promjene cijene te robe. Poznato je da se potražnja i cijene kreću u suprotnim pravcima uz neke izuzetke:

- povećanje cijene umanjuje potražnju, - sniženje cijene povećava potražnju.

Cijenovna elastičnost potražnje (CET) se iskazuje kao:

CET= % promjena u količini tražene robe% promjena u cijeni iste robe

Koeficijent cijenovne elastičnosti potražnje pokazuje koliko se u procentima mijenja potražnja neke robe ako joj se cijena mijenja za 1%. PRIMJER 1. Kolika je cijenovna elastičnost potražnje ako jednu robu po cijeni od 50 KM možemo prodati 20 kom i ukoliko cijenu povećamo na 60 KM a prodaja opadne na 15 komada? Cijenovnu elastičnost potražnje (CET) možemo izračunati na dva načina:

218

Prvi način:

CET= % promjena u količini tražene robe% promjena u cijeni iste robe

K1 - količina robe po prvoj cijeni = 20 kom K2 - količina robe po novoj cijeni = 15 kom PK - promjena količine nakon nove cijene = 5 kom C1 - cijena robe na početku = 50 KM C2 - cijena robe nakon povećanja = 60 KM PC - promjena cijene = 10 KM

% promjena u količini prodane robe = PK 100K1

×=

×=

5 10020

25%

% promjena u cijeni iste robe = PC 100C1

×=

×=

10 10050

20%

CET= 25%20%

1 25%= ,

Koeficijent od 1,25% pokazuje da promjena cijene za 1% izaziva promjenu količine od 1,25%. Drugi način:

CET= K KK

C CC

PKK

PCC

1 2

1

1 2

1 1 1

− −=: :

CET= 20 1520

50 6050

520

1050

5 5020 10

250200

1 25− −=

−=

×× −

=−

= −: : ,

Prema ovoj formuli koeficijent elastičnosti potražnje ima uvijek negativan predznak minus koji se zanemaruje. Rezultat po prvom i drugom načinu izračunavanja koeficijenta elastičnosti je isti. Intenzitet cijenovne elastičnosti potražnje može biti vrlo različit. Veći koeficijent cijenovne elastičnosti potražnje ukazuje na veći utjecaj

219

cijene na kretanje potražnje što omogućava da cijena bude značajan instrument u kreiranju potražnje i obima prodaje. Intenzitet cijenovne elastičnosti potražnje može imati pet stupnjeva cijenovne elastičnosti potražnje:

1. savršeno elastičnu potražnju, (CET =∞ ), 2. relativno elastičnu potražnju, (CET >1), 3. jedinačno elastičnu potražnju, (CET = 1), 4. relativno neelastičnu potražnju, (CET < 1), i 5. savršeno neelastičnu potražnju, (CET = 0).

Savršena elastičnost potražnje nastaje:

- ako povećamo cijenu, prekida se svaka potražnja, i - ako snizimo cijenu, potražnja se beskonačno povećava.

Relativna elastičnost potražnje nastaje:

- ako povećamo cijenu dolazi do većeg pada potražnje od povećanja cijene, i

- ako snizimo cijenu, dolazi do većeg povećanja potražnje od sniženja cijena.

Jedinačno elastična potražnja nastaje:

- ako povećamo cijenu, dolazi do pada potražnje za isti procent koliko je povećana cijena, - ako snizimo cijenu, dolazi do povećanja potražnje za isti procenst koliko je snižena cijena.

Kretanje cijena i potražnje kod jedinačno elastične potražnje je obrnuto proporcionalno. Relativno neelastična potražnja nastaje:

- ako povećamo cijenu, dolazi do pada potražnje, ali manje od povećanja cijene, i

- ako snizimo cijenu, dolazi do povećanja potražnje, ali manje od sniženja cijene.

Savršeno neelastična potražnja nastaje kada promjena u cijeni ne utječe na obim tražene robe:

- ako povećamo cijenu, obim potražnje ostaje isti, i - ako snizimo cijenu, obim potražnje ostaje isti.

220

20.3. Mjerenje unakrsnea elastičnosti potražnje Unakrsna elastičnost pokazuje koliko utiče promjena cijene jedne robe na promjenu potražnje za drugom robom. Unakrsna elastičnost potražnje (UET) se iskazuje formulom:

UET= % promjene u količini robe A% promjene u cijeni robe B

Unakrsna elastičnost potražnje se može izračunati i pomoću formule:

UET= PKAKA

PCBCB

:

Pri čemu je: PKA = promjena količine potražnje robe A nastale promjenom cijene robe B, KA = količina robe A koja je tražena prije promjene cijene robe B, PCB = promjena cijene robe B koja utječe na promjenu potražnje robe A, i CB = cijena robe B prije promjene.

Koeficijent unakrsne elastičnosti potražnje može imati predznak plus (veći od nule) ili minus (manji od nule) što ukazuje na vrstu povezanosti među robama. a) Predznak plus kod koeficijenta unakrsne elastičnosti potražnje ukazuje da su robe međusobno supstituti ili konkurentske. Za njih je karakteristično:

- da pad cijene, jedne robe, izaziva pad potražnje druge robe, jer se povećava potražnja prve robe, i obratno,

- da rast cijene jedne robe, izaziva rast potražnje druge robe, jer se smanjuje potražnja prve robe.

Supstituti su robe koje mogu zadovoljiti istu potrebu kao: mast i ulje, pamučne i vunene tkanine, goveđe i janjeće meso itd. b) Predznak minus kod koeficijenta unakrsne elastičnosti potražnje ukazuje da su robe međusobno komplementarne. Povećanje potražnje za jednom robom izaziva povećanje potražnje za drugom robom koja je komplementarna i obratno. Za ove robe je karakteristično:

221

- da pad cijene jedne robe izaziva povećanje njene potražnje, ali i povećanje potražnje druge robe, i obratno,

- da rast cijena jedne robe, izaziva pad njene potražnje, ali i pad potražnje druge robe.

Visina koeficijenta unakrsne elastičnosti potražnje (bilo da je pozitivan ili negativan) pokazuje stupanj međusobne ovisnosti između roba. Što je koeficijent manji broj (bliži nuli), ukazuje na manju ovisnost u ptražnji između roba. Ako je koeficijent jednak nuli, onda imamo slučaj potpune neovisnosti u potražnji između roba, jer promjena cijene jedne robe nema nikakvog utjecaja na promjenu tražene količine druge robe. Sa gledišta organizacije značajno je za osnovne robe iz asortimana poznavati unakrsnu elastičnost potražnje za vođenje politike cijena, jer obično u svom asortimanu ponude imaju niz roba koje imaju status supstituta i status komplementarne robe. Politiku cijena moramo voditi cjelovito, a ne cijene pojedinih roba promatrati izolirano bez utjecaja cijena jedne robe na obim potražnje i prodaje druge robe. 20.4. Mjerenje dohodovne elastičnosti potražnje Dohodovna elastičnost potražnje pokazuje koliko promjena dohotka kupaca utječe na promjenu potražnje određene robe. Koeficijent dohodovne elastičnosti potražnje pokazuje odnos između procentualne promjene potražnje za nekom robom i procentualne promjene dohotka kupca. Koeficijent dohodovne elastičnosti potražnje (DET) se iskazuje kao:

DET= % promjena u količini tražene robe% promjena u dohotku kupca

Koeficijent dohodovne elastičnosti potražnje pokazuje koliko se u procentima mijenja potražnja neke robe ako se dohodak kupca mijenja za 1%.

222

Izračunavanje koeficijenta dohodovne elastičnosti potražnje vršimo na istom načelu kao izračunavanje koeficijenta cijenovne elastičnosti potražnje, s tim da se u formulu umjesto cijene robe uvodi dohodak kupca. Formula za izračunavanje koeficijenta dohodovne elastičnosti potražnje je:

DET= K KK

D DD

PKK

PDD

1 2

1

1 2

1 1 1

− −=: :

Pri čemu je: K1 - količina tražene robe pri dohotku prije povećanja (D1), K2 - količina tražene robe nakon povećanja dohotka (D2), PK - promjena količine tražene robe (K1-K2), D1 - dohodak kupca na početku, D2 - dohodak kupca nakon povećanja, PD - promjena dohotka.

Koeficijent dohodovne elastičnosti potražnje se kreće od nule na više i ima pozitivan predznak. Intenzitet koeficijenta dohodovne elastičnosti pokazuje utjecaj kretanja dohotka na potražnju za nekom robom. Ako je koeficijent dohodovne elastičnosti potražnje nula (DET=0), to ukazuje da je promjena potražnje na dohodak neelastična. Postoji mogućnost da koeficijent dohodovne elastičnosti potražnje ipak bude negativan (manji od nule) što bi ukazivalo da opada potražnja za određenom robom ako dohodak kupca raste. To se može objašnjavati prelaskom kupovine na kvalitetnije robe. Ako je koeficijent dohodovne elastičnosti potražnje veći od nule, a manji od 1, kažemo da je potražnja relativno neelastična. Ako je koeficijent jednak 1, onda kažemo da je potražnja jedinačno elastična na promjene dohotka. Ako je koeficijent veći od 1, potražnja je relativno elastična. Što je koeficijent dohodovne elastičnosti potražnje veći, ukazuje nam na visok utjecaj promjene dohotka kupca na potražnju za određenom robom.

223

Koeficijent dohodovne elastičnosti može ukazati na vrste robe s gledišta životnog standarda:

- inferiorne robe imaju koeficijent manji od nule, - robe nužne za život imaju koeficijent između 0 i 1, i - robe višeg standarda imaju koeficijent veći od 1.

Utjecaj dohotka kupaca na potražnju za pojedinim robama je dugo predmet pozornosti ekonomista. Njemački statističar Ernst Engel je još u prošlom stoljeću postavio četiri zakona u kojima definira odnos potražnje za pojedinim skupinama roba prema promjenama dohotka kupaca. Četiri Engelova zakona ukazuju da sa porastom dohotka domaćinstva:

1. opada relativno učešće izdataka za hranu, 2. relativni udjel izdataka za odjeću i obuću ostaje nepromijenjen, 3. relativni udjel izdataka za opremu i održavanje doma ostaje

nepromijenjen, i 4. relativni udjel izdataka za ostalu potrošnju (za higijenu,

kulturu, razonodu, šport, putovanja i sl.), se povećava.

224

21. MJERENJE ELASTIČNOST PONUDE 21.1. Pojam, vrsta i zakonitosti ponude Ponuda neke robe u izvjesnom razdoblju i na određenom tržištu predstavlja onu količinu robe koju su prodavci spremni prodati po odgovarajućim cijenama. Ponuda je spremnost proizvođača, trgovinskih preduzeća i drugih ponuđača da prodaju određene robe po odgovarajućim cijenama. Ako su cijene veće, prodavci su spremni ponuditi veće količine robe i obratno, ako su cijene niže, prodavci će ponuditi manju količinu. Ponuda se definira cijenama i postoji određena funkcionalna veza između kretanja ponude i kretanja cijena. Kretanje ponude i cijena ima istosmjernu vezu:

- viša cijena omogućava veću ponudu, i - niža cijena smanjuje ponudu.

Kod potražnje imamo obrnuto proporcionalnu vezu jer viša cijena smanjuje potražnju i niža cijena povećava potražnju. Odnos kretanja ponude i cijena ima određenu zakonitost i formulirana je u općem zakonu ponude po kojem su ponuđači spremni ponuditi veću količinu robe uz više cijene i obratno, ako su cijene neke robe niže, doći će do smanjenja ponude. Odnos između ponude i cijena iskazuje se tabelarno, grafički i putem funkcije.

225

Primjer tabelarnog i grafičkog prikazivanja odnosa ponuđene količine i cijena po kojim se roba može prodati: Tabelarni prikaz: Grafički prikaz:

CIJENA PONUĐENA KOLIČINA

12 15 9 12 6 8 3 0

Iskazivanje zakona ponude putem funkcije:

K = f (C) pri čemu je:

K - količina ponuđene robe, C - cijena robe, f - funkcija.

Ovakav pristup ponudi ima ograničavajući značaj jer je uočeno da na obim ponude ne utječe samo cijena nego i niz drugih faktora kao npr. otvorenost tržišta, odnosno uvoz i izvoz, dostupnost roba, mogućnost povećanja proizvodnje, kreditiranje, mogućnost napuštanja proizvodnje itd. Polazna pretpostavka općeg zakona ponude osniva se samo na promjeni ponuđenih količina i razine prodajnih cijena uz sve ostale neizmijenjene faktore što je i najveća slabost ove teze. Pored promjene cijene stalno se mijenjaju i ostali elementi poslovanja ponuđača koji djeluju na kretanje ponude. U praksi se često, i pored porasta prodajnih cijena, smanjuje obim ponude, jer troškovi proizvodnje, odnosno troškovi nabavne cijene robe rastu beže od porasta prodajnih cijena. U ovom slučaju

226

rentabilnost poslovanja ponuđača opada što utječe na pad ponude iako prodajne cijene rastu. Opći zakon ponude za pojedinačne ponuđače može imati primjenu u slučajevima: a) da se uz promjenu cijene ne mijenjaju drugi uvjeti poslovanja na strani ponuđača, odnosno da mu povećanje cijene povećava dobit, odnosno rentabilnost poslovanja jer mu se troškovi poslovanja ne mijenjaju, i b) da se uz promjenu cijena i uz promjenu ostalih faktora poslovanja zadržava željena rentabilnost poslovanja, što ukazuje da presudan utjecaj na ponudu ima željeni obim dobiti, a ne razina prodajne cijene u slučaju kada se mijenjaju faktori poslovanja. S marketing gledišta, preduzećaponudu najčešće dijele na: - ponudu potrošnih roba koje su namijenjene tržištu osobne potrošnje, i - ponudu proizvodnih roba koje su namijenjene tržištu proizvodno-

uslužne potrošnje. 21.2. Mjerenje elastičnosti ponude Elastičnost ponude ukazuje da li se i koliko mijenja ponuda neke robe ako joj se mijenja cijena. Koeficijent elastičnosti (EP) predstavlja odnos procentualne promjene količine ponude i procentualne promjene cijene te robe.

EP= % promjene količine ponude% promjene cijene robe

Koeficijent elastičnosti ponude pokazuje koliko se u procentima mijenja količina ponude neke robe ako joj se cijena mijenja za 1%. Postupak računanja koeficijenta elastičnosti ponude je:

a) % promjena u količini ponude = 1K100PK×

227

Pri čemu je: K1 - količina ponude na početku, K2 - količina ponude nakon promjene cijene, PK - promjena količine ponude nakon promjene cijene (K1 - K2),

b) % promjena cijene ponuđene robe = 1C100PC×

Pri čemu je: C1 - cijena ponuđene robe na početku, C2 - cijena robe nakon izmjene, PS - promjena cijene (C1 - C2). Koeficijent elastičnosti ponude možemo izračunati i pomoću druge formule, s tim da je dobiveni koeficijent isti kao i kod prve formule:

EP= K KK

C CC

PKK

PCC

1 2

1

1 2

1 1 1

− −=: :

Koeficijent elastičnosti ponude je obično pozitivan jer su kretanje cijene i ponuđene količine neke robe istosmjerni. Intenzitet koeficijenta elastičnosti ponude ukazuje na stupanj utjecaja cijena na ponudu. Veći koeficijent elastičnosti ponude znači da je viliki utjecaj cijena na ponudu što daje mogućnost ponuđača da cijena bude značajan instrument u vođenju politike prodaje. Intenzitet elastičnosti ponude može imati pet stupnjeva:

1. savršeno elastična ponude (EP =∞ ), 2. relativno elastična ponuda (EP > 1), 3. jedinačno elastična ponuda (EP = 1), 4. relativno neelastična ponuda (EP < 1), 5. savršeno neelastična ponuda (EP = 0).

Savršeno elastična ponuda ukazuje da malo povećanje cijene izaziva beskonačno veliku ponudu ili da malo smanjenje cijene ukida ponudu i svodi je na nulu. Relativno elastična ponuda nastaje kada manje pomjeranje cijene izaziva veće pomjeranje ponude.

228

Jedinačno elastična ponuda nastaje kada se proporcionalno mijenja ponuda i cijena, odnosno gdje je promjena količine ponude razmjerna promjeni cijene. Relativno neelastična ponuda nastaje kada veće pomjeranje cijene izaziva manje promjene ponude. Savršeno neelastična ponuda nastaje kada ma kakva promjena cijene ne izaziva nikakvu promjenu ponude. Poduzeće svoju ponudu kroz asrotiman roba koje nudi u prodaji prilagođava promjeni cijena. Što je dulje vremensko razdoblje, postoji veća mogućnost prilagođavanja obima ponude promjeni cijena. Prilagođavanje ponude poduzeće može vršiti u trenutačnom, kratkom i dugom roku. U trenutačnom roku poduzeće može ponuditi robe koje ima na zalihi ili robe koje se mogu nabaviti od proizvođača ili drugih trgovinskih preduzeća odmah, i ponuditi ih tržištu. To su robe koje se nalaze na zalihi kod g preduzeća ili drugih preduzeća. U kratkom roku poduzeće može planirati promjenu obima ponude u skladu s mogućnošću nabavke robe od proizvođača u okviru njegovih proizvodnih kapaciteta ili uvozom robe iz inozemstva. U dugom roku poduzeće može planirati povećanje ponude u skladu s planom povećanja proizvodnje na osnovi povećanja kapaciteta proizvodnje ili uvozom robe iz inozemstva. Poduzeće može svoju ponudu vrlo brzo prilagođavati kretanju cijena koristeći svoje zalihe, zalihe roba kod proizvođača, kod drugih trgovinskih preduzeća i iz uvoza uz uvjet otvorenosti privrede jedne države prema svjetskom tržištu. I zato ponuda preduzeća ovisi:

- od obima proizvodnje, i - od obima uvoza.

229

Ako je cijena jedne robe visoka i omogućava ostvarenje dobiti, poduzeće a i proizvođači bit će stimulirani za povećanje ponude, koja se može osigurati povećanjem proizvodnje, ali i povećanjem uvoza. 21.3. Mjerenje odnosa ponude i potražnje Ponuda i potražnja određuje: a) tržnu cijenu, b) uravnoteženu količinu robe. Visinu tržne cijene određuje spremnost kupaca da na određenoj cijeni neke robe svoju potražnju pretvore u kupovinu i spremnost ponuđača da na istoj razini cijene prihvate prodaju. Tržna cijena se utvrđuje na razini na kojoj je ponuđena i tražena količina jednaka, odnosno dolazi do ravnotežne količine robe. Primjer tabelarnog i grafičkog prikazivanja kretanja ponude i potražnje gdje se vidi tržna cijena i ravnotežna količina robe: Tabelarni prikaz: Grafički prikaz: CIJENA TRAŽENA

KOLIČINA PONUĐENA KOLIČINA

TENDENCIJA CIJENE

4 25 5 RAST 8 18 10 RAST 10 15 15 RAVNO-TEŽA 12 10 20 PAD 14 8 25 PAD

Odnos ponude i potražnje uspostavlja tržnu cijenu od 10 i ravnotežnu količinu od 15. Zakon ponude i zakon potražnje djeluje na kretanje tržne cijene ovisno od odnosa ova dva zakona. Moguće je djelovanjem zakonitosti tržišta (zakon ponude i zakon potražnje) djelovati na:

230

a) razinu cijena pomoću ponuđenih i traženih količina neke robe, i b) razinu količine robe (tražene i ponuđene) pomoću cijena.

Razina cijena određuje obim ponuđenih i traženih količina robe. U našem primjeru niska cijena (C=4) stimulira visoku potražnju (25 kom.) i vrlo nisku ponudu (5 kom.). Povećanje cijene stimulira ulazak dodatne ponude ali i smanjenje potražnje. Rast cijena dovodi do ravnotežne cijene kao tržne cijene pri kojoj su kupci spremni kupiti 15 kom. ali i prodavci prodati 15 kom. Novo povećanje cijena (C=12 ili C=14) uključuje nove ponude (20 i 25 kom.) ali smanjuje potražnju (10 i 8 kom.), što dovodi do formiranja zaliha radi nemogućnosti prodaje po visokim cijenama. Povećana ponuđena količina može se prodati uz sniženje cijene što dovodi do povratka na ravnotežnu cijenu i ravnotežnu količinu. Na ovaj način se uspostavlja uzajamni utjecaj cijena na količinu i obratno količina na cijenu. Odnosi kretanja ponude i potražnje mogu biti raznovrsni:

a) potražnja se mijenja, a ponuda ostaje ista, b) ponuda se mijenja, a potražnja ostaje ista, i c) potražnja i ponuda se istovremeno mijenjaju.

231

22. KALKULACIJE 22.1. Pojam i značaj kalkulacije Kalkulacija14 poduzeću je računski postupak kojim se utvrđuju cijena. Cijene koje se koriste u poduzećima su: a) proizvođačka cijena b) fakturna cijena dobavljača (proizvođač, veletrgovina ili drugi

isporučitelj robe) je neto prodajna cijena dobavljača iskazana u fakturi.

c) Nabavna cijena podrazumijeva fakturnu cijenu dobavljača uvećanu za zavisne troškove nabavke.

d) Uvozna nabavna cijena podrazumijeva fakturnu cijenu inozemnog isporučitelja uvećanu za sve zavisne troškove nabave i uvoza.

e) Prodajna cijena bez poreza (PDV-a) je cijena koja pored nabavne cijene sadrži i maržu poduzeća (na veliko ili na malo i zajedno obje).

f) Prodajna cijena s porezom (sa PDV-om) je maloprodajna cijena koju plaća krajnji kupac, a sadrži nabavnu cijenu uvećanu za maržu i PDV.

g) Izvozna cijena podrazumijeva cijenu koja se fakturira inozemnom kupcu, a obuhvaća fakturnu cijenu proizvođača uvećanu za maržu izvoznika.

Moguće je da dobavljač (obično proizvođač) odredi maloprodajnu cijenu sa PDV-om i onda u svojoj fakturi iskazuje:

1. maloprodajnu cijenu, 2. PDV, 3. prodajnu cijenu bez PDV-a (1-2), 4. rabat, 5. neto fakturnu cijenu (3-4).

Kalkulacija u poduzeću ima zadaću da:

- formira cijene, - planira i kontrolira troškove,

14Riječ kalkulacija nastaje od latinske imenice calculus koja znači: kamičak,

kamičak za računanje. Glagol calculare znači računati, izračunati.

232

- kontrolira ekonomičnost, i - kontrolira rentabilnost poslovanja.

Pored kalkulacija cijena govorimo i o kalkulaciji troškova. U poduzeću kalkulacija troškova obuhvaća sve troškove koji se odnose na izvršenje jednog posla po nositelju ili mjestu nastajanja troškova. Kalkulacije cijena u poduzećima imaju izuzetan značaj u vođenju politike cijena i određivanju razine nabavnih i prodajnih cijena. Na osnovi kalkulacija cijena moguće je ustvrditi ekonomičnost posla i donijeti odluku o prihvaćanju ili neprihvaćanju određenog posla. Značaj kalkulacije se očituje i u fazi pripreme zaključivanja posla kao i u fazi kontrole realizacije posla, te u analiziranju ostvarenih cijena i troškova u odnosu na planirane cijene i troškove. Da bi kalkulacija odgovorila svojim zadacima, mora biti urađena na sljedećim načelima: a) potpuna, odnosno da obuhvati sve troškove koji se odnose na

poslove koji se kalkuliraju, b) točna, odnosno da odgovara svim činjenicama o nastajanju troškova

i elemenatakalkulacije, c) dokumentirana, odnosno da za svaku stavku u kalkulaciji postoji

odgovarajući dokument, d) pregledna, odnosno da jasno i pregledno iskazuje pojedine pozicije

u kalkulaciji, e) uporediva, odnosno da omogućuje upoređivanje s planom,

ostvarenjem ili drugim podacima dobivenim iz knjigovodstva i drugih službi, i

f) blagovremena, odnosno da se radi u razdoblju kada je upotrebljiva za donošenje odluka ili sagledavanje stanja i izvršenja posla.

Kalkulacija izrađena na ovim načelima daje jamstvo i pouzdanje da će i realizacija posla dati očekivani i ukalkulirani rezultat.

233

22.2. Podjela kalkulacija Ovisno od cilja kalkulacija kao i zadatka koji se postavlja prilikom izrade kalkulacija, one se mogu dijeliti na:

a) kalkulacije troškova, b) kalkulacije cijena, i c) kalkulacije poslovnog rezultata.

Kalkulacija troškova predstavlja kalkuliranje svih troškova jednog posla. Ova kalkulacija obuhvaća sve troškove po prirodnim vrstama podijeljenim po mjestima ili nositeljima. Na ovaj način planiramo, raspoređujemo i kontroliramo ostvarenje troškova na određenom poslu. Kalkulacija cijena se najčešće koristi u poduzećima i ima za cilj utvrditi elemente cijene. Na osnovi toga moguće je donijeti optimalne odluke iz oblasti cijena, kao i donijeti odluke o prihvaćanju nabavke, odnosno prodaje. Kalkulacija poslovnog rezultata omogućuje uvid u očekivani poslovni rezultat iz određenog posla. Rasporedom ostvarenih troškova putem kalkulacija moguće je sagledavati ekonomičnost i rentabilnost svakog posla. Svaku od navedenih vrsta kalkulacija moguće je dalje dijeliti po raznim vrstama ovisno od gledišta promatranja i namjene posla, odnosno cilja kalkulacije. Kalkulacije je moguće dijeliti sa sljedećih gledišta prema:

a) vrsti poduzeća na: - proizvođačke kalkulacije, i - prometne kalkulacije,

b) planu na: - planske kalkulacije, i - ostvarene kalkulacije,

c) vremenu na: - predkalkulaciju, i - konačnu kalkulaciju,

234

d) vrsti prometa na: - nabavne kalkulacije, i - prodajne kalkulacije,

e) lokaciji tržišta na: - kalkulacije na domaćem tržištu, i - spoljnotrgovinske kalkulacije,

f) vrsti g poduzeća na: - kalkulacije u veleprodaji, i - kalkulacije u maloprodaji,

g) vrsti spoljnog posla na: - izvozne kalkulacije, - uvozne kalkulacije, - kalkulacije kompenzacijskog posla, - reeksportne kalkulacije, - kalkulacije barter posla, - kalkulacije svič posla, - kalkulacije dorade i sl.

h) broju roba u poslu na: - proste kalkulacije (s jednom robom), i - složene kalkulacije (s dvije i više roba).

22.3. Metode kalkulacije Metode kalkulacije predstavljaju način i proces izrade kalkulacije. Metode i načini izrade kalkulacije mogu biti:

1) progresivna metoda, 2) retrogradna metoda, i 3) kombinacija progresivne i retrogradne metode.

1) Progresivna metoda predstavlja postepeno kalkuliranje od nižih ka višim vrijednostima. Obično se polazi od fakture cijene dobavljača i dodajući zavisne troškove nabave, dobivamo nabavnu cijenu. Na nju dodajemo maržu i dobivamo prodajnu cijenu na koju dalje dodajemo PDV i dobivamo maloprodajnu cijenu. Ovaj sustav građenja (zidanja) kalkulacije je najčešće prisutan u poduzećima. Formiranje prodajnih cijena po sustavu marži zasniva se na progresivnoj metodi izrade kalkulacije.

235

Na sljedećem shematskom prikazu dajemo način izrade kalkulacije cijena na domaćem tržištu od proizvođačke do maloprodajne cijene po progresivnoj metodi: Proizvođač Veletrgovina Maloprodaja Struktura Prodaja Nabava Prodaja Nabava Prodaja učešće

Dob

it

Prod

ajna

cije

na p

roiz

vođa

ča

Zavi

sni

Mar

ža

Prod

ajna

cije

na v

elet

rgov

ine

Zavi

. Tr.

Mar

ža

PDV

Prod

ajna

cije

na m

alop

roda

je sa

por

ezom

na

prom

et

PDV

Dio maloprodaje

Dio veletrgovine

Dio proizvođaču

Cije

na k

ošta

nja

Fakt

urna

cije

na p

roiz

vođa

ča

Nab

avna

cije

na v

elet

rgov

ine

Fakt

urna

cije

na v

elet

rgov

ine

Nab

avna

cije

na m

alop

roda

je

Prod

ajna

cije

na m

alop

roda

je b

ez P

DV

2) Retrogradna metoda ima suprotan tok kalkuliranja u odnosu na progresivnu metodu. Ona polazi u kalkuliranju od viših ka nižim vrijednostima. Obično je poznata prodajna cijena i retrogradnim (inverznim) postupkom dolazi se do nabavne i fakturne cijene. Sustav rabata u formiranju cijena zasniva se na retrogradnoj metodi.

236

3) Metodom kombinacije progresivne i retrogradne metode istovremeno se koriste obje metode. U slučaju da je poznata proizvođačka i maloprodajna cijena, dio koji pripada maloprodaji možemo izračunati pomoću rabata, a istovremeno, zavisne troškove nabave dodati da bi izračunali nabavnu cijenu. Ova metoda se u cijelosti zasniva na primjeru izrade kalkulacije, na istovremenoj primjeni progresivne metode (u jednoj fazi izrade kalkulacije) i retrogradne metode (u drugoj fazi izrade kalkulacije). 22.4. Važniji pojavni oblici kalkulacije Važniji oblici kalkulacije su: 1. Kalkulacija prodajne cijene gotovog proizvoda kod proizvođača, 2. Kalkulacija pri nabavkama robe 3. Prodajna kalkulacija na domaćem tržištu u trgovini, 4. Izvozna kalkulacija. Sadržaj, oblik i metode kalkulacije samostalno određuje poduzeće i prilagođava ih svojim potrebama i mogučnostima. 1. Kalkulacija prodajne cijene gotovog proizvoda kod proizvođača:

1. Materijalni troškovi izrade 2. Nematerijalni troškovi izrade 3. Amortizacija 4. Ukalkulirane neto plaće 5. Doprinosi i porezi iz plaća 6. Rashodi financiranja

A. Cijena koštanja (1+2+3+4+5+6) B. Dobit C. Prodajna cijena (A+B)

Ova kalkulacija koji pravi proizvođač rađena je prema proizvodnim vrstama troškova, s tim da se pojedine vrste troškova mogu detaljnije kalkulirati kao npr. materijalni troškovi:

237

1. Utrošeni materijal za proizvod, 2. Ostali utrošeni materijal, 3. Utrošena energija, 4. Trošeni rezervni dijelovi, 5. Otpis sitnog inventara, 6. Transportne usluge, 7. Usluge na izradi proizvoda, 8. Usluge održavanja, i 9. Ostale usluge.

Proizvodna organizacija može praviti kalkulaciju svoje prodajne cijene i prema drugim metodama grupiranja i podjele troškova kao npr. podjela troškova na fiksne i varijabilne troškove u cijeni koštanja ili podjelom na direktne i indirektne troškove itd.

2. Kalkulacije pri nabavkama robe Nabavke robe trgovinska poduzeća pretežno vrše iz dva izvora:

a) od dobavljača u zemlji (proizvođači, veletrgovina i sl.), i b) iz uvoza iz inozemstva.

Zavisno od vrste nabavke robe pravimo kalkulaciju za nabavku robe u zemlji ili kalkulaciju za uvoznu robu. Osnovno načelo pravljenja kalkulacija nabavne cijene pri nabavkama je isto. Na fakturnu cijenu dobavljača dodaju se zavisni troškovi i dobijamo nabavnu cijenu:

1. Fakturna cijena dobavljača 2. Zavisni troškovi 3. Nabavna cijena (1+2)

a) Primjer kalkulacije nabavne cijene ako je roba kupljena na

domaćem tržištu: 1. Fakturna vrijednost dobavljača 2. Zavisni troškovi (a+b+c+d)

a) troškovi transporta, b) transportno osiguranje, c) troškovi istovara, i d) transportni kalo i lom

238

3. Nabavna vrijednost (1+2) 4. Nabavljena količina 5. Nabavna cijena (3:4)

Nabavna vrijednost podrazumijeva ukupne vrijednosti, dok nabavna cijena podrazumijeva cijenu po jedinici mjere (nabavna vrijednost podijeljena s nabavljenom količinom). Zavisni troškovi nabave robe su oni troškovi koji su vezani uz nabavku robe (troškovi utovara, pretovara, transporta, osiguranja, carina, špediterski troškovi is l.) b) Primjer kalkulacije nabavne cijene ako je roba kupljena u

inozemstvu (uvoz robe): 1. Fakturna cijena robe (u valuti) 2. Zavisni troškovi u inozemstvu - do naše granice (u valuti)

a) transportni troškovi (u valuti) b) osiguranje (u valuti) c) provizija uvoznika (u valuti)

3. Cijena robe franko granica u valuti (1+2) 4. Preračun po važećem kursu u domaću valutu 5. Zavisni troškovi u zemlji (u domaćoj valuti)

a) carina b) uvozne pristojbe c) troškovi prijevoza od granice d) osiguranje robe e) špedicijski troškovi f) troškovi kontrole kvaliteta g) bankarski troškovi h) provizija uvoznika

6. Ukupna nabavna (uvozna) vrijednost (4+5) 7. Uvezena količina 8. Nabavna (uvozna) cijena (6:7)

Ukoliko se nabavlja jedan proizvod, dosta je jednostavno izraditi kalkulaciju nabavne cijene. Računica se nešto komplicira kada se zajedno nabavlja više različitih proizvoda, pa im se zavisni troškovi pojavljuju zajednički. Za svaku robu koja se nabavlja poznate su

239

veličine: fakturna cijena, količina i fakturirana vrijednost. Poznate veličine služe da se pomoću njih izvrši raspored zavisnih troškova na svaku vrstu robe. Za raspored zavisnih troškova možemo koristiti ključeve: po količini robe, po vrijednosti, po zapremini i po težini. Raspored zavisnih troškova možemo vršiti po jednom ključu za sve troškove ili po različitim ključevima za svaki trošak zavisno od toga koji faktor utječe na pojedini trošak i tako razlikujemo:

- količina robe utječe na troškove transporta, pakiranja, skladištenja, utovara, pretovaranja, istovara i sl., - vrijednost robe utječe na troškove osiguranja, carinu, pristojbe, špedicijske usluge i sl., - zapremina robe utječe na troškove prijevoza, skladištenja, ambalažu i sl., i - težina robe utječe na troškove transporta, pretovara, utovara, istovara, skladištenja i sl.

U svakoj varijanti rasporeda zavisnih troškova, po vrstama robe koje se nabavljaju, potrebno je maksimalno rasporediti troškove razmjerno stupnju nastajanja tih troškova na svakog nositelja zavisnog troška kako bi dobili što točniju nabavnu vrijednost i nabavnu cijenu. 3. Prodajne kalkulacije na domaćem tržištu Način pravljenja prodajne kalkulacije u maloprodaji i veleprodaji je identičan, pa ih nećemo odvojeno prikazivati. Postoje dva osnovna načina pravljenja prodajne kalkulacije robe na domaćem tržištu:

a) sustav marži, i b) sustav rabata.

a) Prodajna kalkulacija po sustavu marži (bez PDV-a):

1. Nabavna cijena - NC 2. + Marža - M 3. Prodajna cijena (1+2) - PC PC = NC + M

240

b) Prodajna kalkulacija po sustavu rabata (bez PDV-a): 1. Prodajna cijena - PC 2. Rabat - R 3. Nabavna cijena (1-2) - NC NC = PC - R

c) Prodajna kalkulacija s PDV-om 1. Po sustavu marži 1. Nabavna cijena - NC 2. Marža - M 3. Prodajna cijena bez PDV-a (1+2) - PC bez PDV-a 4. PDV - PDV 5. Maloprodajna cijena s PDV-om (3+4) - MC MC = NC + M + PDV MC = PC bez PDV + PDV

Marža je dio koji se dodaje na nabavnu cijenu da bi se dobila prodajna cijena. Rabat je dio koji se umanjuje da bi se dobila nabavna cijena (popust na cijenu). d). Po sustavu rabata

1. Prodajna cijena bez PDV-a - PC bez PDV-a 2. Rabat - R 3. Nabavna cijena (1-2) - NC 4. PDV - PDV 5. Maloprodajna cijena s PDV-OM (1+4) - MC MC = PC bez Pp + Pp NC = PC - R

4. Izvozna kalkulacije Izvozna kalkulacija se pravi pri izvozu robe bilo da spoljno poduzeće pruža samo usluge izvoza (poslovi posredovanja pri izvozu) ili izvozu robe kojoj je ona vlasnik. Suštinske razlike u pravljenju izvozne kalkulacije u jednom ili drugom slučaju nema, izuzev što se u prvom

241

slučaju polazi od fakturne cijene proizvođača, a u drugom slučaju od nabavne cijene robe. Primjer izvozne kalkulacije:

1. Fakturna cijena proizvođača

2. Marža izvoznika

3. Izvozna cijena (1+2)

4. Preračun u valutu po važećem kursu.

Kod izvozne kalkulacije moguće je predvidjeti da se pojedini značajniji troškovi izvoza posebno kalkuliraju (transport, osiguranje, špedicijske usluge, bankarski troškovi i sl.). Inače se ugovorom o izvozu precizira koji sudionik u izvozu snosi pojedine troškove. Ukoliko neke troškove izvoza snosi spoljnotrgovinska organizacija, ugovorom se odredi da li će ih spoljnotrgovinska organizacija posebno iskazivati i pokriti iz priljeva po izvozu ili će ih pokriti iz svoje marže. 22.5. Primjeri kalkulacije Navest ćemo sljedeće primjere kalkulacije:

• Kalkulacija prodajne cijene odijela,

• Kalkulacija nabavne cijene,

• Kalkulacija maloprodajne cijene sa maržom,

• Kalkulacija prodajne cijene sa rabatom,

• Kalkulacija prodajne cijene u izvozu i

• Kalkulacija prodajne cijene pri uvozu.

242

PRIMJER 1. KALKULACIJA PRODAJNE CIJENE ODIJELA Proizvodna tekstilna firma pravi kalkulaciju prodajne cijene odijela na bazi troškovi plus dobit. R.b. O P I S za 500 kom

odijela za 1 kom odijela

1. Direktni troškovi - ukupno od čega: 62.500 KM 125,00 KM a) materijal izrade 47.500 KM 95,00 KM b) bruto plaće izrade 15.000 KM 30,00 KM 2. Režija proizvodnog pogona - ukupno od čega:

40.000 KM

80,00 KM a) razni troškovi 30.000 KM 60,00 KM b) bruto plaće režije pogona 10.000 KM 20,00 KM 3. Režija uprave i marketinga - ukupno od čega:

32.500 KM

65,00 KM a) razni troškovi 20.000 KM 40,00 KM b) bruto plaće uprave i marketinga 12.500 KM 25,00 KM 4. Ukupni trokovi (1+2+3) 135.000 KM 270,00 KM 5. Dobit (10% od 4) 13.500 KM 27,00 KM 6. Prodajna cijena odijela proizvođača (4+5)

148.500 KM

297,00 KM Pri utvrđivanju direktnih troškova polazi se od točnih pokazatelja i normativa utroška sa nabavnim cijenama materijala. Npr. za jedno odijelo direktni troškovi su: a) Materijalni troškovi:

- 3,10 m štofa po 20 KM = 62,00 KM - 2,00 m postave po 7 KM = 14,00 KM - 0,80 m fiksir po 5 KM = 4,00 KM - 4 kom veće dugmadi po 1 KM = 4,00 KM - 6 kom manje dugmadi po 0,50 KM = 3,00 KM - 1 kom rajfešlus po 2,00 KM = 2,00 KM - 1 kom vješalica po 1,5 KM = 1,50 KM - 1 kom najlon kesa po 0,80 KM = 0,80 KM - 1 kom kopča po 0,20 KM = 0,20 KM - ostali razni pribor = 3,50 KM Ukupno materijalni troškovi 95,00 KM

243

b) Direktne bruto plaće - krojenje 30 min po 0,15 KM = 4,50 KM - šivanje 150 min po 0,15 KM = 22,50 KM - peglanje i dorada 20 min po 0,15 KM = 3,00 KM

Ukupno direktne bruto plaće = 30,00 KM Ukupno direktni troškovi (a+b) = 125,00 KM

Direktne bruto plaće izračunavaju se na bazi normativa rada za svaku operaciju pri krojenju i šivanju odijela sa planiranim plaćama uvećanim za doprinose i poreze na plaće. Primjer kalkulacije u našem slučaju je dosta pojednostavljen jer u praksi imamo u jednom poduzeću više pogona, a u svakom pogonu više linija sa nizom vrsta proizvoda. U slučaju prisustva više pogona i više linija postoji mogućnost da pojedini proizvodi imaju vrlo uspješno kreativno rješenje i da se može postići znatno viša prodajna cijena od principa troškovi plus dobit, koja je procentualno unaprijed utvrđena za sve proizvode ista (na primjer 10% na ukupne troškove i bruto plaće). U tom slučaju procenat dobiti može biti i znatno veći. Zato je prihvatljivije u ovom slučaju procenat dobiti utvrđivati od proizvoda do proizvoda, zavisno od njegove ukupne uspješnosti (kvaliteta, boje, modnosti, aktuelnosti i sl.). PRIMJER 2. KALKULACIJA NABAVNE CIJENE Firma je kupila 8.000 kg šećera po cijeni od 0,90 KM za 1 kg i 4.000 kg brašna po cijeni od 0,50 KM za 1 kg. Troškovi transporta iznose 1.200 KM, osiguranje robe 300 KM i troškovi pretovara 600 KM. Napravite kalkulaciju nabavne cijene za svaki artikal s tim da troškove transporta podjelite prema težini a ostale zavisne troškove prema vrijednosti robe.

244

Rješenje zadatka: izrada kalkulacije nabavne cijene R.br. O p i s Ukupno Šećer Brašno 1. Fakturna vrijednost dobavljača 9.200 KM 7.200 KM 2.000 KM 2. Zavisni troškovi

a) transport b) osiguranje c) pretovar

1.200 KM

300 KM 600 KM

800 KM 235 KM 470 KM

400 KM

65 KM 130 KM

3. Nabavna vrijednost – ukupno 11.300 KM 8.705 KM 2.595 KM 4. Nabavljena količina 12.000 KM 8.000 kg 4.000 kg 5. Nabavna cijena za 1 kg (3:4) - 1,088 KM 0,648 KM a) Fakturna vrijednost dobavljača - šećer 8.000 kg x 0,90 KM = 7.200 KM - brašno 4.000 kg x 0,50 KM = 2.000 KM

Ukupno 9.200 KM b) Podjela transportnih troškova prema težini: - šećer 8.000 kg - brašno 4.000 kg Ukupno 12.000 kg Troškovi transporta 1.200 KM : 12.000 kg = 0,10 KM po 1 kg - troškovi transporta šećera (8.000 x 0,10) = 800 KM - troškovi transporta brašan (4.000 x 0,10) = 400 KM c) Podjela troškova osiguranja prema vrijednosti robe: Ukupna fakturna vrijednost robe je 9.200 KM Troškovi osiguranja iznose 300 KM : 9.200 KM = 0,0326 KM po 1 KM vrijednosti. - troškovi osiguranja šećera 7.200 KM x 0,0326 = 235 KM - troškovi osiguranja brašna 2.000 KM x 0,0326 = 65 KM

Ukupno osiguranje 300 KM d) Podjela troškova pretovara prema vrijednosti robe: Ukupna fakturna vrijednost robe je 9.200 KM Troškovi pretovara 600 KM : 9.200 KM = 0,0652 KM - troškovi pretovara šećera 7.200 KM x 0,0652 = 470 KM - troškovi pretovara brašna 2.000 KM x 0,0652 = 130 KM

Ukupno pretovar 600 KM

245

PRIMJER 3. KALKULACIJA MALOPRODAJNE CIJENE SA MARŽOM Napravite kalkulaciju maloprodajne cijene sa porezom na promet za 1 komad, te za ukupnu količinu, na temelju sljedećih informacija: - troškovi prevoza 3.000 KM - kupljeno robe od dobavljača 800 kom - fakturna cijena dobavljača za 1 kom 55 KM - troškovi carine 2.000 KM - marža 10% - PDV 15% - rabat koji daje dobavljač 10% Rješenje zadatka: R.br. O p i s Ukupno 800 kom za 1 kom 1. Fakturna cijena dobavljača 44.000 55 2. Rabat dobavljača 10% (na l.) 4.000 5 3. Neto fakturna cijena dobavljača (1-2) 40.000 50 4. Zavisni troškovi : (a+b)

a) troškovi prevoza b) troškovi carine

5.000 3.000 2.000

6,25 3,75 2,50

5. Nabavna vrijednost (3+4) 45.000 56,25 6. Marža 10% (od 5.) 4.500 5,625 7. Prodajna cijena bez PDVa (5+6) 49.500 61,875 8. PDV npr. 15% (od 7.) 7.425 9,281 9. Maloprodajna cijena sa PDV-om (7+8) 56.925 71,156

PRIMJER 4. KALKULACIJA PRODAJNE CIJENE SA RABATOM Proizvođač je utvrdio jedinstvenu prodajnu cijenu za svoj proizvod od 650 KM. Daje ukupni rabat veletrgovini od 15% s tim da veletrgovina od tog ukupnog rabata 10% rabata ustupa maloprodaji za pokrivanje njihovih troškova. Porez na promet iznosi 20%. Napravite maloprodajnu cijenu i izračunajte učešće veletrgovine i malotrgovine u rabatu. Rješenje zadatka: 1. Prodajna cijena bez poreza 650,00 2. Rabat 15% (od 1.) - ukupno 97,50 a) rabat 5% veletrgovini (od 1.) 32,50 b) rabat 10% maloprodaji (od 1.) 65,00

246

3. Nabavna cijena za veletrgovinu (1-2) 552,50 4. Nabavna cijena za maloprodaju (1-2b) 585,00 5. Porez na promet 20% (od 1.) 130,00 6. Maloprodajna cijena sa porezom (1+5) 780,00

Napomena: 1. Maloprodaja će od maloprodajne cijene kada proizvod proda i

naplati prihod rasporediti: a) Veletrgovini 585 b) PDV 130 c) Ostaje maloprodaji 65 Prodajna cijena 780

2. Veletrgovina će naplatiti od maloprodaje 585 KM i svoj prihod će

rasporediti: a) Proizvođaču 552,50 b) Ostaje veletrgovini 32,50 Prodajna cijena veletrgovine 585,00

PRIMJER 5. KALKULACIJA CIJENA U IZVOZU Proizvođač tekstila izvozi konfekciju u Njemačku i osigurao je izvoz 350 kom odijela po cijeni koju plaća strani kupac 70 DM franko Frankfurt. Provizija izvoznika iznosi 5% od izvozne cijene. Troškove vezane za izvoz do Frankfurta snosi izvoznik i posebno ih fakturira proizvođaču. Troškovi su: transport 3.000 KM, osiguranje 500 KM i špedicijske usluge 200 KM. Rješenje zadatka: R.br. O p i s za 350 kom za 1 kom 1. Fakturna cijena stranom kupcu 24.500 DM 70 DM 2. Preračun u domaću valutu 1:1 24.500 KM 70 KM 3. Provizija izvozniku 5% (od 2.) 1.225 KM 3,5 KM 4. Troškovi izvoza (a+b+c)

a) transport b) osiguranje c) špedicijske usluge

3.700 KM 3.000 KM

500 KM 200 KM

10,57 KM 8,57 KM 1,43 KM 0,57 KM

5. Ukupno na teret proizvođača (3+4) 4.925 KM 14,07 KM 6. Za isplatu proizvođaču (1-5) 19.575 KM 55,93 KM 7. Ukupna vrijednost izvoza (isto 1.)(5+6) 24.500 KM 70,00 KM

247

PRIMJER 6. KALKULACIJA CIJENE PRI UVOZU Ugovoren je uvoz 15.000 kg šećera iz Barcelone za domaćeg kupca u Sarajevu. Napravite uvoznu kalkulaciju ako su vam poznati sljedeći podaci: - fakturna cijena dobavljača u Barceloni za 1 kg šećera 0,40 američkih

dolara, - troškovi utovara na brod ukupno 3.000 dolara, - troškovi brodskog prevoza do luke Ploče 0,10 dolara po 1 kg, - osiguranje morskog prevoza 0,05 dolara po 1 kg, - troškovi prevoza od Ploča do Sarajeva 800 KM ukupno (prevoz

željeznicom), - osiguranje na relaciji Ploče - Sarajevo 0,03 KM po 1 kg, - troškovi prevoza od željezničke stanice Sarajevo do skladišta kupca

300 KM ukupno, - špediterski troškovi 0,5% na vrijednost ukupnog uvoza, - bankarski troškovi 1% na vrijednost plaćanja svih troškova do granice, - troškovi carine 12%, - provizija uvoznika 5% na ukupnu uvoznu vrijednost, - kurs 1 američki dolar = 1,60 KM. Rješenje zadatka: R.br. O p i s za 1 kg za 15.000 kg 1. Fakturna cijena dobavljača 0,40$ 6.000 $ 2. Troškovi utovara 0,20$ 3.000 $ 3. Troškovi morskog prevoza 0,10$ 1.500 $ 4. Osiguranje morskog prevoza 0,05$ 750 $ 5. Ukupni troškovi do granice 0,75$ 11.250$ 6. Preračun u KM (1:1,60) 1,20 KM 18.000 KM 7. Troškovi carine 12% (od 6.) 0,14 KM 2.160 KM 8. Vrijednost ocarinjene robe (6+7) 1,34 KM 20.160 KM 9. Zavisni troškovi u zemlji (a+b+c)

a) troškovi željezničkog prevoza b) osiguranje Ploče - Sarajevo c) prevoz željeznička stanica-skladište

0,103 KM 0,053 KM 0,030 KM 0,020 KM

1.550 KM 800 KM 450 KM 300 KM

10. Vrijednost uvoza (8+9) 1,443 KM 21.710 KM 11. Špediterski troškovi 0,5% (od 10.) 0,0072 KM 108 KM 12. Bankarski troškovi 1% (od 5.) 0,0075 KM 112 KM 13. Ukupan uvoz (10+11+12) 1,4577 KM 21.930 KM 14. Provizija uvoznika 5% (od 13.) 0,0730 KM 1.096 KM 15. Ukupna vrijednost uvoza 1,5307 KM 22.026 KM Manja odstupanja su nastala radi zaokruživanja.

248

22.6. Tehnika izračunavanja marže

Marža se može definirati na sljedeće načine: a) marža je razlika između nabavne i prodajne cijene (M = PC -

NC), b) marža je razlika u cijeni (M = RUC), c) marža je dio koji se dodaje na nabavnu cijenu da bi se dobila

prodajna cijena, (PC = NC + M) d) marža je cijena rada g poduzeća.

Sve četiri definicije marže se mogu uzeti kao točne jer ukazuju na istu stvar promatrano s raznih gledišta. U tržišnim uvjetima poslovanja marža postaje sredstvo pomoću kojeg iskazujemo razliku u cijeni. Dodavanjem marže na nabavnu cijenu dobivamo prodajnu cijenu. Marža je razlika u cijeni iz koje pokrivamo sve troškove poslovanja i dio dobiti. Praktično, marža i razlika u cijeni su isti pojam iskazan drukčije, pa sve što je istaknuto za razliku u cijeni važi i za maržu. Visina marže se određuje zavisno od visine nabavne cijene pri čemu se procjenjuje prihvatljivost prodajne cijene od kupaca Na nekoliko primjera pokazat ćemo tehniku izračunavanja marže. PRIMJER 1. Najjednostavniji slučaj izračunavanja marže je u varijanti kada je poznata nabavna cijena i procenat marže. Potrebno je izračunati apsolutnu maržu i prodajnu cijenu. U primjeru gdje je nabavna cijena 140 KM i procenat marže 15% treba izračunati apsolutnu maržu i prodajnu cijenu.

Marža = KM 21100

%15140100

15%NC=

×=

×

1. Nabavna cijena 140 KM 2. Marža 15% 21 KM 3. Prodajna cijena (1+2) 161 KM

249

PRIMJER 2. Evo slučaja, kada nam je poznata procentualna marža u nabavnoj cijeni i poznata prodajna cijena, kako ćemo izračunati apsolutnu maržu i nabavnu cijenu. Primjer: Marža je 15% od nabavne cijene a prodajna cijena je 161. Kolika je apsolutna marža i kolika je nabavna cijena? Prvo vršimo preračun marže od nabavne cijene na procentualno učešće marže u prodajnoj cijeni.

Preračunati % marže u PC = %043,13115

1500100%15100%15

==+×

Apsolutna marža od PC = 21100

161%043,13=

× KM

1. Prodajna cijena 161 KM 2. Marža 13,043% 21 KM 3. Nabavna cijena (1-2) 140 KM

Marža u prodajnoj cijeni od 13,043% je isto što i marža od 15% od nabavne cijene. Isti rezultat smo mogli dobiti i jednostavnije putem sljedeće formule:

Nabavna cijena = 140115

100161%15100

100PC=

×=

+× KM

1. Prodajna cijena 161 KM 2. Nabavna cijena 140 KM

3. Marža (1-2) 21KM

250

23. MJERENJE USPJEŠNOSTI POSLOVANJA 23.1.Pojam i značaj finansijskog rezultata Svako poduzeće osnovni smisao svog postojanja i poslovanja nalazi u ostvarivanju dobiti iz poslovanja. Dobit nastaje kao pozitivna razlika između prihoda i rashoda. Ukoliko su rashodi veći od prihoda, nastaje gubitak u poslovanju. Poduzeće u svom poslovanju vrši ulaganja u poslovni ciklus: predmete rada, rad i sredstva za rad, a potrošeni dio uloženih sredstava iskazuje u obliku troškova i rashoda poslovanja. Ulaganja u poslovni ciklus vrše se s namjerom obavljanja poslovnog reprodukcijskog ciklusa, odnosno, stvaranja prihoda po osnovi prodaje roba i usluga. Prihodi nam pokazuju što je poduzeće dobilo svojim poslovanjem, a rashodi nam pokazuju što je poduzeće potrošilo od sredstava u ostvarivanju prihoda. Financijski rezultat predstavlja razliku između prihoda i rashoda, a on može biti dobit (ako je veći prihod od rashoda) ili gubitak (ako su rashodi veći od prihoda). Osnovni cilj poslovanja poduzeća je ostvarivanje dobiti iz poslovanja, odnosno ostvarenje pozitivnog financijskog rezultata. Rezultat ciklusa se iskazuje financijskim rezultatom koji može imati tri pojavna oblika: 1. ukupan prihod je veći od ukupnih rashoda (UP>UR), a

ekonomičnost poslovanja je veća od 1 (E>1) i ostvaruje se dobit, 2. ukupan prihod je manji od ukupnih rashoda (UP<UR), a

ekonomičnost poslovanja je manja od 1 (E<1) i ostvaruje se gubitak, i

3. ukupan prihod je jednak ukupnim rashodima (UP=UR), a ekonomičnost poslovanja je jednaka 1 (E=1) i ne ostvaruju se ni dobit, niti gubitak.

Financijski rezultat je značajan za poduzeće jer samo pozitivan financijski rezultat u dugom roku omogućava poslovanje, razvoj i rast poduzeća, odnosno ostvarivanje postavljenih ciljeva poslovanja.

251

Ocjenjivanje rezultata poslovanja i ocjenjivanje ostvarenja postavljenih ciljeva poslovanja vrši se pomoću financijskog rezultata. Upoređivanje ostvarenog financijskog rezultata vrši se sa:

- planiranim financijskim rezultatom, - ostvarenim financijskim rezultatom u prethodnom razdoblju, i - ostvarenim financijskim rezultatom istog ili sličnog drugog

poduzeća. Vrijeme za koje se vrši obračun financijskog rezultata može biti: godina, pola godine, kvartal ili mjesec. Razine u poduzeću za koje se vrši obračun financijskog rezultata mogu biti:

- ukupno poduzeće, - organizacijski dijelovi poduzeća, - funkcije u poduzeću, - pojedine robe ili grupe roba, itd.

Zakonskim propisima se regulira, najčešće, da je poduzeće obvezno praviti financijski obračun poslovanja samo za razinu poduzeća i dostavljati ga ovlaštenom organu, dok odlučivanje za koje ostale razine u poduzeću će se praviti financijski obračun poslovanja se prepušta internim odlukama svakog poduzeća. Financijski rezultat poslovanja iskazuje se putem dva računovodstvena iskaza:

1. bilanca uspjeha, i 2. bilanca stanja.

Bilanca uspjeha iskazuje ukupan prihod, ukupne rashode i rezultat poslovanja - dobit ili gubitak, u poslovnoj godini do dana bilanciranja. Bilanca stanja iskazuje stanje sredstava i izvora sredstava na dan bilanciranja. Pored balance uspjeha i balance stanja za poslovanje preduzeće potrebno je mjerenje uspješnosti poslovanja kroz produktivnost, ekonomičnost i rentabilnost, kao i utvrđivanje praga rentabilnosti.

252

23.2.Pojam i značaj produktivnosti Produktivnost možemo definirati kao odnos između proizvedene količine ili prometa i količine bilo kojeg činioca koji je sudjelovao u prometu. Najčešće se koristi produktivnost kao:

a) produktivnost rada, kao odnos između količine prometa i količine uloženog ljudskog rada, i

b) produktivnost sredstava, kao odnos između proizvedene proizvedene količine ili prometa i uloženih sredstava.

U upotrebi se ipak najviše koristi pojam produktivnosti rada (P) po kojem se mjeri odnos između proizvedene količine ili prometa (K) i količine uloženog ljudskog rada (R).

P = K Koli čina prometa i proizvodnjeR Uloženi ljudski rad=

Kod iskazivanja produktivnosti rada moguće je i obrnuti odnose, pri čemu dobivamo odnos koliko na jedinicu prometa trebamo uložiti ljudskog rada.

P = R Uloženi ljudski radK Koli čina prometa ili proizvodnje=

Ukoliko želimo iskazati produktivnost sredstava, koristimo formulu:

P = K Koli čina proizvodnje ili prometa iliS Uložena sredstva=

Uložena sredstva KKoličina proizvodnje ili prometa S

=

Na ovaj način iskazana produktivnost pokazuje koliko na jedinicu uloženih sredstava ostvarujemo prometa ili proizvodnje.

S obzirom da je produktivnost dosta širok pojam, potrebno je utvrditi koju produktivnost želimo mjeriti i na osnovi toga utvrditi mjeru produktivnosti. Polazna osnova mjerenja produktivnosti u poduzećima je odnos proizvodnje ili prometa prema nekom od činitelja uloženom u promet ili proizvodnju.

253

Produktivnost= Pojavni oblik učinka prometa ili proizvodnjePojavni oblik činitelja koji učestvuje u prometu ili proizvodnji

a) Pojavni oblik učinka proizvodnje ili prometa može biti:

1. Fizički obim prometa ili proizvodnje, 2. Vrijednosni obim po stvarnim cijenama, 3. Vrijednosni obim po planskim cijenama, 4. Vrijednosni obim po stalnim cijenama, 5. Vrijednost obima po nabavnim cijenama, 6. Ukupan prihod, i 7. Dobit.

Učinak prometa iskazan u fizičkom obimu je najbolja veličina za mjerenje produktivnosti. b) Pojavni oblik faktora koji sudjeluju u prometu mogu biti:

- za mjerenje produktivnosti rada, i - za mjerenje sredstava.

Ako želimo mjeriti produktivnost rada, pojavni oblici mogu biti:

1. prosječan broj uposlenih po spisku, 2. prosječan broj uposlenih na temelju ukalkuliranih sati rada, 3. ukalkulirani sati rada, 4. prosječan broj izravnih djelatnika, 5. ukalkulirani sati rada izravnih djelatnika, 6. ukalkulirane ukupne plaće, i 7. ukalkulirane plaće izravnih djelatnika.

Ako želimo mjeriti produktivnost sredstava, pojavni oblici mogu biti:

1. Vrijednost ukupnih sredstava, 2. Vrijednost stalnih poslovnih sredstava, 3. Vrijednost obrtnih sredstava, 4. Vrijednost sredstava za rad, i 5. Poslovna površina u m2.

Koji će se pojavni oblici koristiti u brojniku a koji u nazivniku, zavisi od niza faktora (obim prometa, širina asortimana, izmjena cijena i sl.)

254

kao i ciljeva mjerenja produktivnosti. Broj alternativa u računanju produktivnosti je dosta velik i omogućava izbor najbolje varijante. 23.3. Mjerenje ekonomičnosti Ekonomičnost predstavlja odnos prihoda i rashoda pa se iskazuje po formuli:

E =RP

RashodPrihod

=

koji pokazuje koliko je na 1 KM rashoda ostvareno prihoda. Ako je odnos 1 i veći od 1, poslovanje je ekonomično, a ako je odnos manji od 1, poslovanje je neekonomično. Za mjerenje ekonomičnosti rada možemo koristiti i obrnuti izraz:

E =Prihod

Rashodi

koji pokazuje koliko je za 1 KM prihoda potrebno utrošiti rashoda. Ako je odnos 1 i veći od 1, poslovanje je neekonomično, a ako je odnos manji od 1 poslovanje je ekonomično. U praksi se pretežno koristi prvi izraz kao mjerilo ekonomičnosti, pa ćemo se u daljnjem izlaganju zadržati na tom izrazu ekonomičnosti. U poduzećima mjerenje ekonomičnosti utvrđuje se odnosom prihoda i rashoda. Prihod u sebi sadrži ostvareni promet po prodajnim cijenama a što je dosta podudarno ukupnom prihodu, pa se i ta veličina koristi za izračunavanje ukupne ekonomičnosti na razini poduzeća. Rashodi sadrže u sebi sve troškove i rashode poslovanja, pa se ukupni rashodi koriste pri izračunavanju ukupne ekonomičnosti.

255

Obrazac za izračunavanje ekonomičnosti u poduzećima je:

E =rashodi UkupniprihodUkupan

RashodiPrihod

=

Ekonomičnost poslovanja može imati tri osnovne značajke:

a) ekonomičnost je veća od 1 (E>1) ako su prihodi veći od rashoda i u tom slučaju poduzeće posluje ekonomično i sa dobiti,

b) ekonomičnost je ravna 1 (E=1) ako su prihodi isti rashodima i u tom slučaju poduzeće posluje ekonomično ali na granici i bez dobiti i gubitka,

c) ekonomičnost je manja od 1 (E<1) ako su prihodi manji od rashoda i u tom slučaju poduzeće posluje neekonomično i s gubitkom.

23.4. Mjerenje rentabilnosti Rentabilnost predstavlja najreprezentativniji pokazatelj uspješnosti poslovanja poduzeća. Za iskazivanje rentabilnosti koristi se sljedeća formula:

R = Dobit x 100 Dobit x 100ili RUložena sredstva Utrošena sredstva

=

Rentabilnost se iskazuje u procentima i pokazuje koliko je u procentima od uloženih ili utrošenih sredstava ostvareno dobiti. Pojam rentabilnosti je sveobuhvatniji od pojma ekonomičnosti jer pored prihoda i rashoda iskazanih u vidu dobiti, uključuje uložena sredstva koja su bila angažirana u stvaranju dobiti, odnosno ukupnog prihoda i ukupnih rashoda. Prema prvoj formuli rentabilnost se računa prema uloženim poslovnim sredstvima - stalnim i obrtnim. Prema drugoj formuli rentabilnost se računa prema utrošenim sredstvima, odnosno troškovima uloženih poslovnih sredstava

256

(amortizacija, troškovi predmeta rada i troškovi plaća, kao i ostali opći i zajednički troškovi poslovanja). Iako prividno postoji dosta sličnosti između ekonomičnosti i rentabilnosti, ipak su značajne razlike. Ekonomičnost predstavlja odnos između prihoda i rashoda dok rentabilnost predstavlja odnos između dobiti i uloženih ili utrošenih sredstava. Povezanost između pokazatelja ekonomičnosti i rentabilnosti u poduzećima je funkcionalna jer se oba pokazatelja izražavaju vrijednosno. Svako povećanje ekonomičnosti povećava i rentabilnost i obratno. Princip povećanja rentabilnosti se zasniva na želji da se ostvari što veća dobit uz minimalno angažiranje sredstava u proces poslovanja. Iz toga proizlaze zadaci u smjeru povećanja rentabilnosti:

a) povećanje dobiti kroz povećanje prometa i ukupnog prihoda uz smanjenje ukupnih troškova poslovanja ili njihov sporiji rast od rasta ukupnog prihoda, i b) smanjenje angažiranih prosječnih poslovnih sredstava.

23.5. Mjerenje praga rentabilnosti Prag rentabilnosti je obim prometa na kojem se ukupan prihod izjednačava s ukupnim troškovima. Iznad tog obima prometa ostvaruje se rentabilno poslovanje, odnosno dobit. U ekonomskoj literaturi ovaj pojam se često iskazuje i kao prag ekonomičnosti, točka pokrića, mrtva točka i sl. Obim prometa do praga rentabilnosti ostvaruje poslovanje s gubitkom jer su ukupni troškovi veći od ukupnog prihoda. Grafikon rentabilnosti pokazuje odnos prihoda i troškova za razne stupnjeve obima prometa. U njemu se iskazuje odnos prihoda, odnosno realizacije, troškova i financijskog rezultata po stupnjevima obima prometa. Grafikon rentabilnosti se ne upušta u analizu rentabilnosti nego samo pokazuje grafički ili tabelarno kretanje troškova i realizacije.

257

Obim prometa je uvjetovan kretanjem troškova i cijena, ali istovremeno uvjetuje njihovo kretanje. Za poduzeće je značajno ustanoviti uzajamno djelovanje obima prometa, cijena i troškova, kao i njihov utjecaj na kretanje dobiti iz poslovanja. Grafikon rentabilnosti ima značajnu primjenu u vođenju politike cijena. Na osnovi njega mogu se donositi racionalne odluke o cijenama i obimu prometa. Grafikon rentabilnosti ima značajnu grafičku primjenu jer prikazuje utjecaj obima prodaje na troškove, realizaciju i dobit za razne stupnjeve obima prometa. Jedan od najvažnijih pokazatelja iz grafikona rentabilnosti je prag rentabilnosti. Grafikon rentabilnosti se zasniva na poznavanju fiksnih i varijabilnih troškova po jedinici prometa i ukupno. Varijabilni troškovi imaju karakter proporcionalnih i po jedinici prometa su stalno isti. Ukupan prihod je umnožak obima prodaje u fizičkim jedinicama i cijenom po jedinici. Pretpostavlja se da se sav obim prometa može realizirati po istim prodajnim cijenama, s tim da se grafikon rentabilnosti može raditi za razne razine cijena. Već smo istaknuli da je prag rentabilnosti točka kada je ukupan prihod jednak ukupnim troškovima. Za utvrđivanje praga rentabilnosti koriste se sljedeće veličine: a) Ukupan prihod (UP) je umnožak stalne prodajne cijene (Pc) i obima prodaje (K),

UP = K× Pc

b) Ukupni troškovi (UT) su zbir ukupnih fiksnih troškova (UFT) i umnoškom varijabilnih proporcionalnih troškova (Vt) po jedinici prometa s obimom prodaje (K),

UT = UFT + Vt × K

c) Prag rentabilnosti je ona količina prometa na kojoj je ukupan prihod (UP) jednak ukupnim troškovima (UT),

UP = UT ili Pc× K = UFT + Vt× K

258

Prag rentabilnosti za obim prometa je:

K =Vt-Pc

UFT

Prag rentabilnosti u vrijednosti (visina ukupnog prihoda) je:

UP = UFTVt1Pc

−

Grafikon rentabilnosti (tabelarni i grafički) i izračunavanje praga rentabilnosti ilustrovat ćemo sljedećim primjerom:

- prodajna cijena (Pc) je 800 KM, - obim prodaje fizički raste po 500 jedinica, - ukupni fiksni troškovi su 600.000 KM i - varijabilni proporcionalni troškovi po jedinici su 500 KM.

Izračunaj:

- prag rentabilnosti, - ukupan prihod i ukupne troškove za svaki stupanj obima prometa, i - dobit, odnosno gubitak za svaki stupanj obima prometa.

Prag rentabilnosti (za količinu prodaje), možemo izračunati izravno pomoću navedenih formula:

K= komada 000.2500800

000.600Vt-Pc

UFT=

−=

Prag rentabilnosti ostvarujemo na obimu prodaje od 2.000 komada. Prag rentabilnosti u vrijednosti (UP=UT) je:

UP= KM 000.600,1375,0

000.600625,01000.600

1000.600

1UFT

800500

PcVt

==−

=−

=−

Prag rentabilnosti ostvarujemo pri ukupnom prihodu od 1,600.000 KM. Obim prodaje je ako ukupan prihod podijelimo s prodajnom cijenom:

K=UP : Pc K=1,600.000 : 800 = 2.000 komada

259

Dobijemo prag rentabilnosti na obim prodaje od 2.000 komada, kao i po prvoj formuli. Prag rentabilnosti se postiže na obim prodaje kada je ukupan prihod jednak ukupnim troškovima. UP = UT na obim prometa od 2.000 komada i kada je UP = 1,600.000 KM, odnosno UT = 1,600.000 KM. Do praga rentabilnosti ostvarujemo gubitak u poslovanju, a nakon praga rentabilnosti ostvarujemo pozitivan financijski rezultat (dobit).

Iz grafičkog prikaza vidimo da se prag rentabilnosti ostvaruje na obimu prometa u količinama od 2.000 komada kada je ukupan prihod jednak ukupnom trošku. Sve do praga rentabilnosti ukupan prihod je manji od ukupnih troškova i poslujemo s gubitkom. Od praga rentabilnosti i uz povećanje obima prodaje prelazi se u rentabilno poslovanje kada je ukupan prihod veći od ukupnih troškova.

260

24. MJERENJE ZALIHA SIROVINA I GOTOVIH PROIZVODA

24.1. Pojam i značaj zaliha Zalihe u preduzeću predstavljaju zalihe sirovina, poluproizvoda i raznog reprodukcijskog materijala koji služi za process proizvodnje kao i zalihe gotovih proizvoda bilo kod proizvođača ili trgovine radi dalje prodaje. Politika asortimana neposredno utječe na vrstu, strukturu i visinu zaliha robe u poduzećima. Osnovni razlog formiranja i držanja zaliha je osiguranje robe radi njene daljnje prodaje. Pomoću zaliha robe vrši se usuglašavanje prostornog i vremenskog nesklada između proizvodnje i potrošnje. Zalihe nastaju u razdoblju nabavljanja i preuzimanja robe od dobavljača do trenutka prodaje i isporuke robe kupcu. Zalihe se pojavljuju u sljedećim fazama:

a) kod proizvođača: - zalihe sirovina i drugog reprodukcijskog materijala, - zalihe poluproizvoda, i - zalihe gotovih proizvoda,

b) kod g poduzeća: - zalihe robe.

Razlozi držanja zaliha sirovina i drugog reprodukcijskog materijala su kontinuirano osiguranje procesa proizvodnje. Ukoliko bi sirovine dolazile kontinuirano i kada su potrebne u procesu proizvodnje, mogli bi poslovati bez stvaranja zaliha sirovina i drugog reprodukcijskog materijala. U praksi nastaju razni razlozi koji dovode do neophodnosti stvaranja zaliha sirovina i reprodukcijskog materijala kao što su:

- nedovoljna ponuda po količini i vremenu, - reprodukcijski materijal se proizvodi povremeno, - cijene reprodukcijskog materijala variraju, pa kupac želi kupiti

reprodukcijski materijal u trenutku najpovoljnije cijene,

261

- dobavljač reprodukcijskog materijala uvjetuje prodaju veće količine,

- udaljenost transporta zahtijeva stvaranje sigurnosnih zaliha kod korisnika reprodukcijskog materijala.

Stvaranje zaliha poluproizvoda kod korisnika ovisi od toga da li ih korisnik kupuje od drugog proizvođača ili ih sam proizvodi. Ako ih nabavlja od drugog proizvođača, razlozi formiranja zaliha poluproizvoda mogu biti isti kao i kod stvaranja zaliha sirovina i drugog reprodukcijskog materijala. Ukoliko isti proizvođač proizvodi poluproizvode i sam ih koristi u daljnjem procesu proizvodnje, razlog stvaranja zaliha poluproizvoda leži u neskladu proizvodnih kapaciteta između faze proizvodnje poluproizvoda i sljedeće faze proizvodnje. Razlozi držanja zaliha gotovih proizvoda kod proizvođača su:

- nemogućnost prodaje gotovih proizvoda, - namjerno zaustavljanje prodaje radi čekanja povoljnijih

prodajnih cijena, - proizvodnja modnih i sezonskih proizvoda koji čekaju početak

sezone, i - čuvanje zaliha proizvoda kao dodatnu fazu procesa

proizvodnje (sazrijevanje proizvoda – voće, sir, odležavanje proizvoda – piće, meso itd.).

Trgovinska poduzeća nabavljaju robu od proizvođača ili drugih dobavljača i radi nesklada između trenutka nabavke i trenutka prodaje, formiraju zalihe robe. Da bi imali kontinuiranu prodaju, formiraju se zalihe robe iz sljedećih razloga:

a) pojedine robe se proizvode povremeno (poljoprivredni proizvodi),

b) pojedine robe se proizvode kontinuirano, a prodaja se vrši povremeno (sezonski i modni proizvodi),

c) očekuje se nestašica robe, d) očekuje se skok nabavnih cijena, e) očekuje se skok prodajnih cijena, f) nabavka veće količine robe je ekonomičnija od češćih i manjih

nabavki, g) udaljenost transporta i nesigurnost u dostavi robe zahtijeva

stvaranje sigurnosnih zaliha, i

262

h) transport robe zahtijeva specijalni transport, pa se u razdoblju kada je moguć transport obavlja nabavka robe.

Zalihe robe u poduzećima moraju biti u funkciji prodaje. Širina i dubina asortimana su bitan faktor vrsta roba na zalihi kao i njihova struktura i veličina. Visina i struktura zaliha mora osiguravati:

- maksimalni obim prodaje ili obim proizvodnje, - minimalne troškove zaliha.

Optimum zaliha treba osigurati optimalni odnos između osiguranja maksimalnog obima prodaje i minimuma troškova zaliha. Minimum troškova zaliha se ne postiže kada su troškovi zaliha najniži, jer bi se oni postigli na najnižoj razini zaliha što bi dovelo do smanjenja obima prodaje ili ugrožavanja procesa proizvodnje. Uštede na troškovima zaliha izazvale bi veće štete na padu proizvodnje ili prometa nego što bi imali korist od takvih ušteda. Pri iznalaženju optimalnog obima zaliha treba izračunati, pomoću načela ekonomičnosti, koristi i štete od uvećanja, odnosno smanjenja zaliha, pri čemu treba imati u vidu osnovne tendencije pri uvećanju zaliha:

- uvećava se obim proizvodnje ili prodaje, - uvećavaju se troškovi zaliha, skladištenja, obrtnih sredstava i sl.

Ukupne zalihe se izračunavaju pomoću formule:

UZ=PZ+UR – IZ

UZ= ukupne zalihe

PZ= početne zalihe

UR= ulaz robe

IZ= izlaz robe

263

24.2. Troškovi zaliha i troškovi nabave robe Troškovi zaliha obuhvaćaju:

a) troškove robe na zalihi: - kamate na obrtna sredstva u zalihama, i - troškovi rastura, loma i kvara robe na zalihi;

b) troškove skladištenja: - amortizacija skladišta, - kirija ili zakupnina skladišta, - troškovi svjetla i ogrjeva, i - troškovi održavanja skladišta;

c) troškovi manipuliranja robom: - troškovi internog transporta u skladištu, - troškovi slaganja, pakiranja, prepakiranja i sl., - troškovi istovara i pretovara, i - troškovi utovara i isporuke robe;

d) troškovi osiguranja robe na zalihi, e) troškovi plaća uposlenih u skladištu (prijem robe, evidencija, čuvanje robe, interni transport, utovar i istovar robe, isporuka robe).

Pored troškova zaliha, pri razmatranju ekonomičnosti nabave i zaliha, analiziraju se i troškovi nabave robe koji sadrže:

a) troškove nabave robe: - izdavanje narudžbi, - prikupljanje ponuda, - troškove putovanja pri nabavljanju, - plaće uposlenih u nabavnoj službi;

b) troškovi dopreme robe: - transportni troškovi dovoza robe, - utovar, pretovar i istovar robe, - osiguranje robe u transportu, - kalo, lom i kvar u transportu robe;

c) troškovi uvoza robe (ako se uvozi roba): - carinski troškovi, - uvozne pristojebe, i - ostali uvozni troškovi.

264

Troškovi nabavke robe i zaliha robe u odnosu na obim nabavke i učestalost nabavki imaju sljedeće tendencije: - nabavka veće količine smanjuje broj narudžbi, ali uvećava obim

zaliha, odnosno smanjuje troškove nabavke i prijevoza robe, a uvećava troškove zaliha robe. Nabavka veće količine robe omogućava bolje kondicije nabavki;

- nabavka manje količine uvećava broj manjih nabavki i smanjuje troškove lagerovanja robe, kamata na obrtna sredstva, troškove održavanja zaliha, ali uvećava troškove nabavki robe, dovoza robe i gubljenje efekta raznih kondicija koje se mogu dobiti uz velike nabavke.

Troškovi zaliha robe i nabavke robe trebaju biti tako iskombinirani da omogućavaju takvu razinu zaliha koja će donijeti maksimalnu ekonomičnost. Prevelike zalihe izazivaju visoke troškove i mogu imati negativan efekt kao i nedovoljne zalihe. Jedino optimalne zalihe omogućavaju najveću pozitivnu razliku između prihoda po osnovi nabave zaliha i troškova po osnovi formiranja i državanja zaliha.

24.3. Vrste zaliha Zalihe robe s gledišta funkcije i visine dijele se na:

- minimalne, - maksimalne, - zaštitne, - prosječne, i - optimalne.

a) Minimalne zalihe su one koje se utvrđuju na određenom obimu ispod kojeg bi došlo do zastoja u redovnom poslovanju. Pad zaliha ispod minimalnih zaliha kod proizvodnih poduzeća dovodi do zastoja u proizvodnji, a kod trgovinskih poduzeća do pada prometa. Nedostatak robe na zalihi odvodi kupca do drugih dobavljača i smanjuje promet ne samo robe koja nedostaje nego i drugih roba. Minimalne zalihe se izračunaju pomoću formule:

MZ=DP×V MZ= minimalne zalihe,

265

DP= dnevna prodaja u količini, V = vrijeme isporuke u danima od narudžbe.

poduzeće minimalne zalihe izračunava na temelju umnoška dnevne prodaje brojem dana koji su potrebni za prijem robe u skladištu od dana narudžbe. Vrijeme potrebno za nabavku i prijem nove robe ovisi od uvjeta na tržištu nabavke određene robe: blizina dobavljača, obim ponude, vrsta robe, brzina dovoza robe i sl. b) Maksimalne zalihe su one koje predstavljaju gornju granicu zaliha i kada se moraju obustaviti nove nabavke, jer postojeće zalihe uvećavaju troškove zaliha i dovode do opasnosti pojave nekurentnih zaliha. Maksimalne zalihe ukazuju na usporavanje proizvodnje ili prodaje, smanjenje koeficijenta obrta i uvećanje vezivanja obrtnih sredstava u zalihama. Pojava maksimalnih zaliha ukazuje na pojavu problema u proizvodnji ili prodaji uz uvjet da su nabavke robe izvršene sukladno planu prodaje ili proizvodnje. U nekim slučajevima maksimalne zalihe se pojavljuju ukoliko se nabavke robe vrše samoinicijativno iz službe nabave a ne sukladno planu prodaje ili proizvodnje. Maksimalne zalihe mogu imati opravdanje ukoliko su u skladu s planom nabavki, a koji je usklađen s planom prodaje. To se odnosi na robe koje se kupuju kao sezonske i modne, kao i robe koje se povremeno proizvode, a kontinuirano prodaju. Maksimalne zalihe su u funkciji blagovremenog osiguranja roba s namjerom da se u idućem razdoblju maksimalne zalihe prodaju ili potroše u proizvodnji. c) Zaštitne zalihe su veće od minimalnih za stupanj sigurnosti u nabavci robe. Povremeni poremećaji u nabavci robe mogu nastati kao posljedica raznih neočekivanih događaja (zastoj u proizvodnji, zastoj u isporuci i transportu i sl.). Poremećaji mogu nastati i u smjeru uvećanja tekuće prodaje što brže smanjuje postojeće zalihe. Zaštitne zalihe se izračunavaju pomoću formule:

266

ZZ=(DP+k)× (V+t) ZZ= zaštitne zalihe, DP= dnevna prodaja ili proizvodnja k= odstupanja od dnevne prodaje ili proizvodnje, V= vrijeme isporuke u danima od narudžbe, t= odstupanje u danima od ugovorenog roka isporuke (procjenjeno odstupanje).

Zaštitne zalihe osiguravaju tpoduzeće od raznih neplaniranih događaja u nabavci robe radi toga da se razina zaliha zadrži na razini gdje manji poremećaji u opskrbi neće negativno utjecati na asortiman roba na zalihi, odnosno na obim prodaje ili proizvodnje. d) Prosječne zalihe su one zalihe koje su bile prosječno, tijekom jednog razdoblja, raspoložive. Prosječne zalihe se izračunavaju tako što se početne zalihe uvećavaju za svaki ulaz robe i umanjuju za svaki izlaz robe, a dobiveni rezultat dijeli brojem dana u razdoblju. To se iskazuje pomoću formule:

PZ=BD

IR-URZ +

PZ= prosječne zalihe,

Z = početne zalihe,

UR= ulaz robe,

IR= izlaz robe,

BD= broj dana u razdoblju.

Ovaj proces izračunavanja zaliha je dosta obiman, ali je moguć ukoliko se zalihe robe vode na kompjutoru. Jednostavniji proces izračunavanja prosječnih zaliha tijekom godine (ili u kraćim intervalima) može se vršiti na osnovi sljedeće formule, ali s manjom preciznošću u odnosu na prethodnu formulu:

267

PZ= 1/2 počet. stanja zali. + 11 mjes. stanja zali. + 1/2 konač. stanja zali.12

Prosječno stanje zalihe služi za analitičke, planske i kontrolne svrhe. Pomoću prosječnog stanja zaliha (ukupnih ili po vrstama robe), izračunavamo koeficijent obrta potrebnih obrtnih sredstava, ptimalne razine zaliha i plana nabave. e) Optimalne zalihe su one koje omogućavaju najveću pozitivnu razliku između prihoda i zbira troškova nabavki i troškova zaliha. Na optimalnoj razini zaliha postiže se najveći obim prodaje pri čemu obično troškovi (nabavke i zaliha) nisu na najnižoj razini. Najniža razina troškova zaliha i nabavke robe se postiže na niskoj razini zaliha što ugrožava obim prodaje. Optimalna razina zaliha računa se na principu ekonomičnosti gdje se u prihode uzima obim prodaje, a u rashode troškovi nabavke i troškovi zaliha. Obim zaliha koji omogućava najveću pozitivnu razliku između prihoda i rashoda su ujedno i optimalne zalihe. Ako bi u razmatranje uzeli samo prihod od prodaje zaliha, ne bi imali mogućnost uporedbe prihoda s troškovima, jer je moguće da na većem obimu prometa imamo progresivan rast troškova zaliha i troškova nabavki što smanjuje ekonomičnost poslovanja. Ako bi u razmatranje uzeli samo troškove nabavke, došli bi do pogrešne računice da su maksimalne nabavke optimalne jer smanjuju troškove nabavke po jedinici kupljene robe, a time bi došli i do pogrješne ocjene da su maksimalne zalihe i optimalne zalihe. Ako bi u razmatranje uzeli samo troškove zaliha, došli bi do minimalnih zaliha kao optimalnih zaliha, jer su troškovi zaliha po jedinici najniži na minimalnim zalihama. Jedini pravi pristup izračunavanju optimalnih zaliha je kroz razmatranje sva tri faktora koji utječu na visinu optimalnih zaliha: prihod od prodaje, troškovi nabave i troškovi zaliha.

268

24.4. Računanje broja narudžbi i količina nabavke

Uvijek je prisutno pitanje da li je ekonomičnije češće naručivati robu i imati nižu razinu zaliha robe, ili imati manji broj narudžbi s većim obimom nabavki što stvara višu razinu zaliha. Odgovor na ovo pitanje dobivamo na osnovi kretanja:

- troškova nabavke robe, i - troškova zaliha robe.

Već smo istaknuli strukturu i sadržaj troškova nabavke i troškova zalihe robe. Troškovi nabavke robe imaju pretežno proporcionalni karakter u odnosu na broj nabavki, dok ukupni troškovi zaliha robe imaju fiksni karakter, ali po jedinici nabave dobivaju degresivni karakter. Za izračunavanje optimalnog broja narudžbi i optimalne količine nabave po jednoj narudžbi, koristimo sljedeću formulu:

OBN=TN2100TZUN

×

×

Pri čemu je: OBN= optimalni broj narudžbi, UN= ukupna godišnja nabavna vrijednost, UN= K×NC K = planirana godišnja količina nabave, NC= nabavna cijena po 1 kom., TZ= troškovi zaliha robe iskazani u procentu od prosječne vrijednosti zaliha, TN= troškovi nabavke robe po jednoj narudžbi.

Ovaj način izračunavanja optimalnog broja narudžbi i optimalne količine nabavke je primjenljiv uz sljedeće pretpostavke:

a) da se nabava vrši ravnomjerno tijekom godine (ne odnosi se na sezonsku i modnu robu), b) da se nabavna cijena ne mijenja,

269

c) da se nabava robe i dostava robe vrši bez ikakvih smetnji i zakašnjenja, d) da troškovi nabave imaju proporcionalni karakter, i e) da ukupni troškovi zaliha robe imaju fiksni karakter.

PRIMJER 1. Koji je optimalni broj narudžbi i kolika je optimalna količina nabavka po jednoj narudžbi za jedan artikl sa sljedećim planskim vrijednostima: K= planirana godišnja količina nabave = 50.000 kom NC= nabavna cijena za 1 kom = 40 KM UN= ukupna godišnja nabavna vrijednost (5o.ooo×40) = 2.000.000 KM P= prosječna vrijednost zaliha (2.000.000 : 2) = 1.000.000 KM TZ= troškovi zaliha iskazani u procentu = 20% (TZ= 20% od 1.000.000 = 200.000) TN= troškovi nabavke robe po jednoj narudžbi = 222 KM

Izračunaj: OBN = optimalni broj narudžbi =? OKN = optimalna količina nabave =?

OBN= 30900400

2,0000.000.22222

10020000.000.2

TN2100TZUN

==×

=×

×=

×

×

Optimalni broj narudžbi u godini je 30. Nabava će se vršiti svakih 12 dana (360 : 30) Optimalna količina nabave po jednoj narudžbi je:

OKN= kom 666.130000.50

OBNK

==

Do istih rezultata mogli smo doći i na drukčiji način pri čemu bi prvo izračunali optimalnu količinu nabave, a zatim optimalni broj narudžbi.

270

Za izračunavanje oprimalne količine nabave (OKN) koristimo sljedeću formulu:

OKN=GTZ

TNK ×

Pri čemu je: K= planirana godišnja količina nabave = 50.000 kom TN= troškovi nabavke robe po jednoj narudžbi = 222 KM GTZ= godišnji troškovi zaliha za 1 kom = 4 KM

(200.000 : 50.000 kom)

OKN= kom 666.1000.775.24

11.100.0004

222000.50===

×

Optimalna količina nabave iznosi 1.666 kom i pomoću nje izračunavamo optimalni broj narudžbi:

OBN= 30666.1000.50

OKNK

==

Optimalni broj narudžbi iznosi 30. Do istih podataka došli smo kao i u prvom slučaju. 24.5. Politika obnavljanja zaliha Politika obnavljanja zaliha robe uvjetovana je:

a) visinom zaliha, b) obimom prodaje ili proizvodnje, c) nabavkom robe.

Obnavljanje zaliha vrši se nabavkom robe. Potreban je planski sklad između veličina: zaliha – nabave i prodaje. Dobra politika obnavljanja zaliha ima cilj stalnog održavanja optimalne razine zaliha. Postoji tri vrste roba sa stanovišta njihovog odnosa između prodaje i proizvodnje:

271

a) roba koja se kontinuirano troši ili prodaje i kontinuirano proizvodi, b) roba koja se kontinuirano troši ili prodaje ali povremeno proizvodi (poljoprivredni proizvodi i sl.), i c) roba koja se povremeno troši ili prodaje, ali kontinuirano proizvodi.

Na osnovi kontinuiteta proizvodnje ili prodaje, moguće je obnavljati zalihe na dva načina:

1) obnavljanje zaliha ravnomjerno (u istim vremenskim razdobljima i istim količinama) za robe koje se kontinuirano troše ili prodaju i kontinuirano proizvode, i 2) obnavljanje zaliha povremeno u optimalnim količinama za robe koje se:

- kontinuirano troše ili prodaju, ali se povremeno proizvode (poljoprivredni proizvodi i sl.), i - povremeno troše ili prodaju, ali se kontinuirano proizvode (modna i sezonska roba).

1. Za obnavljanje zaliha ravnomjerno koristimo sljedeću formulu za izračunavanje količine robe koju treba naručiti:

K = OP (V + R + S) – Z – N + ZP Pri čemu je:

K = količina robe koju treba naručiti, OP = obim proizvodnje ili prodaje mjesečno u količini, V = vrijeme povremenog naručivanja, R = rok isporuke od dane narudžbe, S = sigurnosne zalihe, Z = zaliha robe u količini, N = nabava robe koja je ranije poručena, ZP = zaliha robe u prodajnom objektu.

U formuli prvi dio predstavlja potrebnu količinu robe = OP (V + R + S), dok drugi dio formule predstavlja obim robe koji je raspoloživ = Z – N + ZP.

272

PRIMJER 1. Koji obim robe trebamo nabaviti (K = ?) ako su ostale veličine poznate:

OP = 5.000 kg V = svaka 2 mj. R = 1 mj. S = u visini 1 mje. prodaje Z = 3.000 kg N = 5.000 kg ZP = 6.000 kg K = OP (V+R+S)-Z-N+ZP=5.000 (2+1+1) – 3.000 – 5.000 + 6.000 K = 18.000 kg

Rezultat kazuje da treba nabaviti 18.000 kg robe, pri mjesečnom obimu proizvodnje ili prodaje od 5.000 kg vodeći računa da:

- robu poručujemo svaka 2 mj., - rok isporuke od dana narudžbe je 1 mj., - želimo imati sigurnosnu zalihu u visini jednomjesečne prodaje, - u skladištu imamo na zalihi 3.000 kg, - u tijeku je dolazak ranije poručenih 5.000 kg., - u prodajnom objektu imamo 6.000 kg. robe.

Svaka izmjena bilo kojeg elementa dala bi drugu veličinu koju treba nabaviti. 2. Obnavljanje zaliha povremeno u optimalnim količinama (poljoprivredni proizvodi, modna i sezonska roba i sl.) vrši se na osnovi plana proizvodnje ili prodaje po vrsti robe, količini, vrijednosti i dobavljačima. Rokovi i obim nabave mora biti u skladu s planom prodaje i potrebne količine za nabavu uzimaju se iz plana prodaje. Ukoliko se na zalihi nalazi ova vrsta robe, obim nabavke se dobiva kada se od planiranog obima proizvodnje ili prodaje umanje količine na zalihi. Između plana prodaje i nabavke mora postojati puna koordinacija i sinhronizacija aktivnosti.

273

25. METODE FORMIRANJA CIJENA 25.1. Formiranje cijena u proizvodnji i prometu Postoje razne metode formiranja prodajne cijene u poduzećima. Obično se koristi jedna od sljedećih metoda:

1. Troškovi plus dobit, 2. Nabavna cijena plus marža, 3. Granični troškovi, 4. Ponuda i potražnja, i 5. Praćenje konkurencije.

Bilo koju metodu formiranja cijena koristili, uvijek se razina prodajne cijene mora promatrati sa aspekta:

- troškova koji uvjetuju ponudu i donju granicu prodajne cijene, - kupca koji definira potražnju za robama po tim cijenama, i - konkurencije koja utječe na odnos ponude i potražnje i razinu

cijena. A).Metoda troškovi plus dobit osniva se na tome da se za svaku robu utvrde troškovi i dodaje planirana dobit. Troškovi se utvrđuju na principu evidentiranja troškova po nositeljima. Utvrđivanje izravnih troškova robe je relativno lakši dio zadatka. Utvrđivanje zajedničkih troškova i njihova raspodjela po robama je dosta složeniji dio zadatka jer je teško utvrditi koji dio općih i zajedničkih troškova i koliko iznos pripada po svakoj robi radi širokog asortimana prodaje. Utvrđivanje cijene na temelju troškovi plus dobit ukazuje na veliki utjecaj troškova na formiranje cijena. Iz ovoga proizilazi da troškovi utječu na visinu cijene, ali je ne definiraju. U dosta slučajeva i radi velikog utjecaja konkurencije, cijena definira troškove, jer su cijene na tržištu približno određene, te je poduzeće prisiljeno da iskombinuje tako troškove da se uklope u razinu cijena. Visinu dobiti iznad troškova do razine prodajne cijene poduzeće samostalno određuje, uzimajući u obzir sve elemente koji utječu na određivanje konačne prodajne cijene.

274

U varijanti da su troškovi visoki i tržna cijena niska, moguće je prodajnu cijenu formirati i bez dobiti, da bi se pokrili svi uloženi troškovi. Izuzetno je moguće za pojedine robe imati i nižu prodajnu cijenu od troškova, pri čemu ostvarujemo gubitak u poslovanju s tom robom. Iz određene dobiti na drugim robama pokriva se gubitak na robama gdje je prodajna cijena niža od troškova. a).Kalkulacija prodajne cijene po metodi troškovi plus dobit je sljedeća za trgovinska preduzeća:

1. Nabavna cijena, 2. Opći troškovi prodaje, 3. Opći troškovi uprave, 4. Ukupni troškovi (1+2+3), 5. Dobit, 6. Prodajna cijena (4+5).

b). Kalkulacije prodajne cijene u proizvodnji po metodi troškovi plus dobit je sljedeća:

1.Materijalni troškovi izrade, 2.Nematerijalni troškovi izrade 3.Amortizacija 4.Ukalkulisane neto plaće 5.Doprinosi i porezi iz plaća 6.Rashodi finansiranja 7.Ukupno (1-6) cijena koštanja 8.Dobit 9. Prodajna cijena bez PDV-a (8+9) 10.PDV 11.Prodajna cijena sa PDV-om (9+10)

Promjene prodajne cijene nastaju kao posljedica promjene troškova, ali i visine dobiti. Dobit se obično određuje procentom na ukupne troškove. Ukoliko pri određivanju cijena po metodi troškovi plus dobit u značajnijoj mjeri uvažavamo razinu tržnih cijena, odnosno cijena konkurencije, primjenjivat ćemo promjenljivu stopu dobiti, a prodajna cijena se određuje intuicijom (subjektivnom procjenom). Na ovaj način dobivamo poseban oblik formiranja cijena koji se naziva

275

intuitivna metoda, a osniva se na kombinaciji metode-troškovi plus promjenljiva dobit. Osnovni problem primjene metode troškovi plus dobit je u poduzećima radi vrlo širokog asortimana i alociranja općih troškova prodaje i uprave na pojedine robe. B. Iz metode troškovi plus dobit izgrađena je posebna metoda formiranja prodajnih cijena na temelju nabavnih cijena plus marža. Ova metoda je općeprihvaćena u formiranju cijena kod trgovinskih poduzeća. Polazi od činjenice da je trošak nabavne cijene najveći trošak u strukturi cijene koštanja i da se dodavanjem marže može utvrditi prodajna cijena. Marža u sebi sadrži sve opće troškove prodaje, nabave, skladištenja i uprave, kao i planiranu dobit. Kalkulacija prodajne cijene po metodi nabavne cijene plus marža je sljedeća: 1. Nabavna cijena, 2. Marža, 3. Prodajna cijena (1+2). Prodajne cijene formirane ovom metodom osjetljive su na promjenu nabavne cijene kao temelja za formiranje prodajne cijene ali i na potražnju i tržnu cijenu kroz određivanje visine marže. C.Metoda formiranja cijena na temelju graničnih troškova zasniva se na koncepciji graničnih troškova. Pošli smo od pretpostavke da granični troškovi u poduzećima i na višem stupnju obima prometa mogu biti direktni troškovi. Ova metoda se osniva na činjenici da su izravni troškovi proporcionalni, a svi ostali troškovi imaju fiksni karakter, što u mnogome odgovara stanju u poduzećima. Metoda formiranja cijena po metodi graničnih troškova naziva se i direct costing jer se zasniva na podjeli troškova na direktne i indirektne. U cijenu koštanja se uključuju direktni troškovi, a svi ostali troškovi se pokrivaju iz stope koja se dodaje na direktne troškove.

276

Kalkulacija cijene pomoću metode graničnih troškova računa se samo na varijabilnim troškovima prometa, u slučaju trgovinskih poduzeća samo na nabavnoj cijeni robe i dodajući željenu stopu iz koje će se pokriti fiksni i ostali troškovi kao i u nekim varijantama dobit.

Kalkulacija prodajne cijene pomoću metode graničnih troškova ima sljedeću strukturu:

1. Direktni troškovi, 2. Stopa pokrića fiksnih troškova i dobiti, 3. Prodajna cijena (1+2).

Osnovni problem ove metode formiranja cijena je, kod niskog obima prometa, što ostaje znatan dio fiksnih troškova nepokriven. Tek na visokom stupnju obima prometa, kada su svi fiksni troškovi pokriveni, moguće je prodajnu cijenu formirati samo na temelju direktnih troškova i svaki veći iznos prodajne cijene od direktnih troškova povećava dobit. Primjena ove metode je moguća u određenim slučajevima. D. Metoda određivanja prodajne cijene na temelju ponude i potražnje polazi od postojeće tržne cijene. Poduzeće određuje svoju prodajnu cijenu u skladu i s visinom postojećih tržnih cijena i onda retrogradnom metodom utvrđuje da li može proizvesti robu po nižoj cijeni i ostvariti odgovarajuću maržu (razliku u cijeni) iz koje će pokriti sve svoje troškove poslovanja i ostvariti dobit. U primjeni ove metode polazi se od već formiranih prodajnih cijena na tržištu, a troškovi imaju samo kontrolni značaj i na osnovi njihove visine u odnosu na prodajnu cijenu ovisi da li ćemo realizovati proizvodnju i prodaju određene robe. E. Metoda određivanja cijena na temelju praćenja konkurencije je dosta slična metodi određivanja cijena na temelju ponude i potražnje. I u ovom slučaju polazi se od već formiranih cijena kod konkurencije. Troškovi služe samo kao kontrolna funkcija prema kojima se ocjenjuje da li se može prihvatiti nabavka i prodaja određene robe.

277

Prodajne cijene u odnosu na konkurenciju mogu biti: - iste kao kod konkurencije, - više nego kod konkurencije, i - niže nego kod konkurencije.

Koju ćemo politiku cijena voditi na tržištu, ovisi od ukupnog marketinga poduzeća i politike cijena. 25.2. Pojam i značaj diferenciranja cijena Diferenciranje cijena podrazumijeva različite prodajne cijene za iste proizvode. Osnovna svrha i cilj politike diferenciranja cijena je stimuliranje dodatne prodaje. Cijene se diferenciraju po visinama kako bi stimulirali potražnju. Kod politike diferenciranja cijena želja je g poduzeća da adekvatnom visinom cijena stimulira potencijalne kupce na kupovinu. Pretpostavka diferenciranju cijena je:

- segmentacija tržišta, odnosno kupaca, - poznavanje elastičnosti potražnje, i - utvrditi način diferenciranja cijena.

Segmentacija tržišta, odnosno kupaca vrši se po raznim osnovama radi dobivanja homogenih skupina. Obično se diferenciranje cijena provodi po odvojenim tržištima tako da kupci s tog tržišta, po pravilu, ne mogu izbjeći kupovinu robe na tom tržištu, odnosno kupujući na drugom tržištu gdje je određena niža prodajna cijena. Diferenciranje cijena može biti sastavni dio redovne politike cijena i koristi se kao stalna metoda stimulacijske prodaje ili se koristi samo povremeno i u određenim situacijama. Trgovinsko poduzeće ekonomsko opravdanje u diferenciranju cijena ima kroz:

- povećanje obima prodaje, - povećanje ukupnog prihoda,

278

- snižavanje troškova po jedinici prometa što pozitivno utječe na visinu prodajnih cijena, i

- povećanje dobiti a time ekonomičnosti i rentabilnosti u poslovanju.

Ekonomska suština diferenciranja cijena osniva se na nejednakoj raspodjeli općih troškova poslovanja g poduzeća, odnosno da jedno tržište (ili jedne robe) osigura pokrivanje iz prodajne cijene većeg obima općih troškova i dobiti od drugog tržišta. Mjerenje učinaka diferenciranja cijena podrazumijeva iznalaženje cijena koje će dati najveći obim prodaje uz planiranu dobit. Značaj i efekte diferenciranja cijena za jednu robu na više tržišta objasnit ćemo na sljedećem primjeru.

TRŽIŠTE

MOGUĆE PRODATI KOMADA

PRODAJNA CIJENA

ZA 1 KOM

UKUPAN PRIHOD

NABAVNA CIJENA

ZA 1 KOM

UKUPNI TROŠKOVI

DOBIT

A 40 22 880 20 800 80 B 80 26 2.080 20 1.600 480 C 70 27 1.890 20 1.400 490 D 60 30 1.800 20 1.200 600 E 50 29 1.450 20 1.000 450 UKUPNO 300 27 8.100 20 6.000 2.100

Ako bi prodajnu cijenu formirali na temelju prosječnih troškova (nabavna cijena) plus dobit, ona bi iznosila 27 KM po 1 kom. (8.100 : 300). Prema tabeli vidi se da bi po cijeni od 27 KM po 1 kom. prodali robu na tržištima C, D i E ali ne i tržištu A i B, radi previsoke cijene. Diferenciranjem cijena, snižena je prodajna cijena za tržište A i B što je stimuliralo prodaju. Na ovim tržištima pokrivena je nabavna cijena i jedan dio fiksnih troškova što omogućava nešto niže cijene na tržištima C, D i E i time stimulira potražnju i na tim tržištima.

279

25.3. Učinci promjene cijene na obim prodaje Promjena prodajne cijene utječe na obim prodaje pri čemu sniženje cijena utječe na uvećanje obima prodaje i uvećanje cijena na smanjenje obima prodaje. Postoje razne tehnike mjerenja učinaka promjene cijene na obim prodaje. Navest ćemo samo neka moguća rješenja. A. SNIŽENJE CIJENA 1. Za koliko procenata treba uvećati obim prodaje uz određeni procent sniženja cijene, da bi se ostvario isti ukupan prihod? PRIMJER 1. Imamo 20 komada neke robe po prodajnoj cijeni od 30 KM. Želimo sniziti prodajnu cijenu za 15%. Koliko trebamo uvećati fizički obim prodaje da bi ostvarili isti ukupan prihod? Rješenje možemo izračunati na tri načina. Prvo pomoću formule A.

%K = SNIŽENJA

SNIŽENJA

% x 100 15x100 1.500 17,6%100 % 100 15 85

= = =− −

%K = procent uvećanja obima prodaje. Obim prodaje trebamo uvećati za 17,6% da bi ostvarili isti ukupan prihod uz sniženje cijene od 15%. Novi obim prodaje (K) je 23,52 komada (20+17,6%). Nova snižena prodajna cijena je 25,5 KM (30-15%). Kontrola:

Prije sniženja: UP = Pc× K = 30× 20 = 600 Nakon sniženja: UP = Pc× K = 25,52 × 23,52 = 600

280

Drugo, pomoću formule B.

Novi obim prodaje = Ukupan prihod 600 23,52 komPc % SNIŽENJA 30 15%

= =− −

Treće, pomoću formule C.

Novi obim prodaje = K + kom 52,235,4305,42020

ASC-PcASCK

=−×

+=×

ASC = Apsolutno sniženje cijene

ASC= 30 15% PRODAJNA CIJENE x %SNIŽENJA4,5 ASC=1.000 100

x=

2. Koliko treba uvećati obim prodaje uz određeni procent sniženja cijene da bi ostvarili istu ukupnu maržu (nabavna cijena po jedinici prometa ostaje ista)? Rješenje nalazimo pomoću formule

K = UM(Pc - %SNIŽENJA) - NC

UM = Ukupna apsolutna marža

Pc = Prodajna cijena prije sniženja

NC = Nabavna cijena za 1 kom

PRIMJER 2. Imamo 15 kom neke robe po prodajnoj cijeni od 150 KM. Želimo sniziti prodajnu cijenu za 10% (Pc=135). Za koliko trebamo uvećati obim prodaje da bi ostvarili istu ukupnu maržu u apsolutnom iznosu (UM=300). Struktura cijene prije sniženja je:

1. Nabavna cijena (Nc) = 130× 15 kom = 1.950 2. Marža 15,4% = 20 × 15 kom = 300 3. Prodajna cijena (Pc) = 150× 15 kom = 2.250

281

Rješenje:

K= UM 300 300 60 kom(Pc - %SNIŽENJA) - NC (150 10%) 130 135 130

= = =− − −

Da bi ostvarili istu ukupnu maržu u apsolutnom iznosu (UM=300) potrebno je obim prodaje uvećati s 15 kom na 60 kom ili za 400% uz uvećanje cijene 10%. Kontrola:

Nabavna cijena: 130 × 60 kom = 7.800 Marža: 5× 60 kom = 300 Prodajna cijena: 135 × 60 kom = 8.100

B. UVEĆANJE CIJENA

1. Za koliko treba smanjiti obim prodaje uz određeni procent uvećanja cijene da bi se ostvario isti ukupan prihod. PRIMJER 3. Imamo 40 komada neke robe po prodajnoj cijeni od 60 KM. Želimo uvećati prodajnu cijenu za 15%. Nova prodajna cijena je 69 KM (60+15%). Koliko trebamo smanjiti fizički obim prodaje da bi ostvarili isti ukupan prihod? Rješenje je moguće pomoću tri formule: Formula A (prvi način):

%K = %UVEĆANJAx100100+%UVEĆANJA

%K = procent smanjenja obima prodaje

%K = %13115500.1

1510010015

==+×

282

Novi obim prodaje trebamo smanjiti za 13% da bi ostvarili isti ukupan prihod uz uvećanje cijene od 15%. Novi obim prodaje (K) je 34,8 komada (40-13%). Kontrola:

Prije poskupljenja: UP = Pc× K = 60 × 40 = 2.400 Poslije poskupljenja: UP = Pc× K = 69× 34,8 = 2.400

Formula B (drugi način):

NOVI OBIM PRODAJE = UP 2.400 34,8 komPc + %SNIŽENJA) 60 15%

= =+

Formula C (treći način):

NOVI OBIM PRODAJE = K – kom 8,3496094040

APC+PcAPCK

=+×

−=×

APC = Apsolutno uvećanje cijene

APC =16 x 15% PRODAJNA CIJENA x %UVEĆANJA= 9 APC = 100 100

2. Koliko treba smanjiti obim prodaje uz određeni procent uvećanja cijene da bi ostvarili istu ukupnu maržu, s tim da se nabavna cijena po jedinici prometa nemijenja. Rješenje nalazimo pomoću formule

K = UM(Pc+%UVEĆANJA)-NC

UM = Ukupna apsolutna marža,

Pc = Prodajna cijena,

NC = Nabavna cijena.

283

PRIMJER 4. Imamo 70 kom neke robe po prodajnoj cijeni od 96 KM. Želimo uvećati prodajnu cijenu za 25% (Nova prodajna cijena je 120 = 96 + 25%). Za koliko trebamo smanjiti obim prodaje da bi ostvarili istu ukupnu maržu u apsolutnom iznosu (UM = 1.120). Struktura cijene prije uvećanja cijene je:

1. Nabavna cijena (NC) = 80× 70 = 5.600 2. Marža (20%) = 16 × 70 = 1.120 3. Prodajna cijena (Pc) = 96× 70 = 6.720

Rješenje zadatka:

K= UM 1.120 28kom(Pc+%UVEĆANJA)-NC (96 25%) 80

=+ −

Da bi ostvarili istu maržu u apsolutnom iznosu (UM = 1.120), potrebno je obim prodaje smanjiti sa 70 kom na 28 kom ili za 60% uz uvećanje cijene od 25%.

Kontrola po novom obimu prodaje: Nabavna cijena 80 × 28 kom = 2.240 Marža 40× 28 kom = 1.120 Prodajna cijena 120 × 28 kom = 3.360

25.4. Odnos troškova i prodajne cijene Formiranje prodajnih cijena u poduzećima obično se osniva na temelju nabavne cijene plus marža što je dosta slično načelu na temelju prosječnih troškova. Ova metoda je dosta prihvaćena i jednostavna je. Ona polazi od toga da se na nabavnu cijenu doda prosječna marža koja treba pokriti prosječne troškove i planiranu dobit. Ovakav sustav u sebi krije niz nedostataka i mogućnosti za omašku. Najozbiljniji problem je alokacije svih općih i zajedničkih troškova poslovanja. Ukoliko se koristi marža u obliku procenta na nabavnu cijenu, a što je najčešći slučaj u praksi, alokacija općih i zajedničkih troškova na nabavnu cijenu (po svakom artiklu) vrši se u razmjeri prema visini nabavne cijene. Veći broj općih i zajedničkih

284

troškova nije uvjetovan visinom nabavne cijene, pa se na taj način neopravdano pripisuju pojedinim nositeljima. Mnogi opći i zajednički troškovi uvjetovani su nekim drugim faktorima (težina, zapremina, koeficijent obrta, rok upotrebe i sl.), ali se oni zanemaruju pri raspodjeli općih i zajedničkih troškova kao i dobiti. Posebne teškoće kod određivanja prodajne cijene na temelju prosječnih troškova je način njihovog računanja. Oni se dijele ravnomjerno na planirani broj prodanih komada nekog artikla. Iz toga proizlazi da će prosječni troškovi:

- kod niskog obima prometa biti visoki, - kod visokog obima prometa biti niski, i - kod optimalnog obima prometa biti normalni (realni).

Na ovakvo kretanje prosječnih troškova veliki utjecaj ima karakter fiksnih troškova pri čemu su ukupni fiksni troškovi na svakom obimu prometa isti, ali po jedinici prometa naglo opadaju kada obim prometa raste. Radi ilustracije problema formiranja prodajnih cijena na načelu prosječnih troškova dat ćemo primjer. Poduzeće ima ukupne fiksne troškove od 4.000 KM, varijabilne troškove 10 KM po 1 kom robe i planiranu dobit od 10% na prosječne troškove. Kakav je efekt ovog načina formiranja cijena u varijantama obima prometa od 200, 250 i 300 komada. Red. br.

O P I S

Nizak obim prometa

Optimalan obim

prometa

Visoki obim

prometa 1. Obim prometa u komadima 200 250 300 2. Ukupni fiksni troškovi 4.000 4.000 4.000 3. Varijabilni troškovi po 1 kom 10 10 10 4. Ukupni varijabilni troškovi 2.000 2.500 3.000 5. Ukupni troškovi (2+4) 6.000 6.500 7.000 6. Prosječni troškovi (5 : 1) 30 26 23,3 7. Dobit 10% 3 2,6 2,3 8. Prodajna cijena 33 28,6 25,6

285

U našem primjeru prosječni troškovi znatno variraju po stupnjevima obima prometa, iako se radi o istom artiklu. Kod niskog stupnja obima prometa prosječni troškovi su visoki, a time i prodajna cijena. Visoke prodajne cijene utječu na daljnje smanjenje potražnje, iako je već potražnja dosta slaba. Kada je potražnja visoka i obim prodaje visok, imamo niske prosječne troškove, a time i nisku prodajnu cijenu što utječe na smanjenje rentabilnosti i dobiti. Pri formiranju cijena na temelju prosječnih troškova trebamo voditi računa o sljedećem:

- kada opada potražnja, ovaj način formiranja cijena utječe na daljnje opadanje potražnje radi visokih cijena, - kada je potražnja i prodaja vrlo visoka, ovaj način formiranja cijena utječe na daljnje uvećanje potražnje radi niskih cijena, ali utječe i na nisku rentabilnost.

U praksi se javlja i problem kako unaprijed pretpostaviti koliki će obim prodaje biti tijekom godine, kako bi se mogli ukupni fiksni troškovi raspodijeliti na očekivani obim prometa. Rješenje ovog problema nalazimo kroz planiranje optimalnog obima prometa kako bi realno raspodijelili ukupne fiksne troškove i utvrdili što preciznije prosječne troškove.

286

26. MJERENJE EFEKATA ULAGANJA U EKONOMSKU PROPAGANDU Mjerenje efekata ulaganja u ekonomsku propagandu podrazumijeva mjerenje odnosa između troškova i rezultata ekonomske propagande. Mjerilo efekta ekonomske propagande treba odgovoriti na pitanje da li je korist veća, manja ili ravna uloženim troškovima. Samo u varijanti da je učinak ekonomske propagande veći od uloženih troškova u propagandu, može ekonomskoj propagandi dati uspješnu ocjenu. Svaka ekonomska propaganda koja ima veće troškove od efekata ekonomske propagande ocjenjuje se kao neuspješna ekonomska propaganda. Ulaganje i troškovi ekonomske propagande su mjerljivi i izražavaju se kroz razne troškove propagande (sredstva propagande, medije, izrade poruka, oglase, filmove i sl.). Mjerenje učinaka ekonomske propagande je dosta složen i kompliciran proces. Prilikom mjerenja efekata ekonomske propagande treba imati u vidu sljedeće: a) da na prodaju ne djeluje izolirano od ostalih utjecaja samo

ekonomska propaganda jer je teško razdvojiti utjecaje ekonomske propagande od ostalih utjecaja na prodaju,

b) da mjerenje učinaka propagande mogu biti njezini utjecaji na stvaranje sklonosti prema prodavcu ili robi što je teško kvantificirati,

c) da prodaja robe može biti posljedica ranijih propagandnih poruka i sl. Mjerenje učinaka ekonomske propagande provodi se na:

- obim prodaje, i - komunikacijske (propagandne) učinke.

a) Mjerenje obima prodaje kao posljedica realizirane ekonomske propagande osniva se na predpostavci da na obim prodaje djeluje ekonomska propaganda uz nepromjenjene ostale faktore koji utječu na obim prodaje( cijena, ponuda, potražnja, konkurencija, kupovna moć i sl.). Ulaganja u ekonomsku propagandu obično se vrše na dva načina:

1) po jedinici prometa, i 2) ukupnim iznosom.

287

Uz svako ulaganje u propagandu postavlja se pitanje koliko treba povećati obim prodaje da bi se pokrili troškovi ulaganja u ekonomsku propagandu uz nemijenjanje ostalih elemenata (prodajne cijene, nabavne cijene, dobit, fiksni troškovi i dr.). Tek povećanje obima prodaje iznad te granice, pokazuje uspješnost učinaka ekonomske propagande. Što je obim prodaje veći, iznad utvrđene granice, učinak ekonomske propagande je veći i obratno. 1. Mjerenje učinaka ulaganja u ekonomsku propagandu ako ulaganje vršimo po jedinici prometa, vrši se pomoću formule:

K=pcc TNP

D+UFT−−

pri čemu je: K= količina (obim) prodaje, UFT= ukupni fiksni troškovi, D= dobit, Pc= prodajna cijena, Nc= nabavna cijena, Tp= troškovi propagande po jedinici prometa.

PRIMJER 1. Ako je obim prodaje (K) 130, prodajna cijena (Pc) je 17 KM, nabavna cijena (Nc) je 9 KM, ukupni fiksni troškovi 900 KM i pri tom obimu prodaje ostvarujemo dobit (D) od 140 KM. Želimo uložiti 2 KM u troškove ekonomske propagande i pitamo se koliko trebamo povećati obim prodaje da bi pokrili troškove ekonomske propagande uz uvjet da svi ostali elementi ostaju isti.

K= komada 3,1736040.1

2917140900

TNPD+UFT

pcc

==−−

+=

−−

Obim prodaje sa sadašnjih 130 KM treba uvećati na 173,3 kom. da bi pokrili ulaganja u ekonomsku propagandu (2 novčane jedinice po ukupnom obimu prodaje) uz ostale neizmijenjene elemente. Ukupna ulaganja u troškove propagande iznose 347 KM (2× 173,3 kom.).

288

Kontrola: R.b.

OPIS Bez troškova propagande

Sa troškovima propagande

1. Ukupni fiksni troškovi 900 900 2. Nabavna cijena po 1 kom. 9 9 3. Prodajna cijena po 1 kom. 17 17 4. Troškovi propagande po 1 kom. - 2 5. Prodajna količina 130 173,3 6. Ukupni troškovi nabave (2× 5) 1.170 1.559 7. Ukupni propagandni troškovi (4× 5) - 347 8. Ukupni troškovi (1+6+7) 2.070 2.806 9. Ukupan prihod (3× 5) 2.210 2.946 10. Dobit (9 - 8) 140 140 2. Mjerenje učinaka ulaganja u ekonomsku propagandu, ako ulaganje vršimo u ukupnom iznosu, vrši se pomoću formule:

K=cc NPUTP+D+UFT

−

pri čemu je: K= količina (obim) prodaje, UFT= ukupni fiksni troškovi, UTP= ukupni troškovi propagande (koji se ulažu), Pc= prodajna cijena po jedinici, Nc= nabavna cijena po jedinici, D= dobit.

PRIMJER 2. Ako je obim prodaje (K) 130, prodajna cijena (Pc) 17 KM, nabavna cijena (Nc) je 9 KM, ukupni fiksni troškovi 900 i pri tom obimu prodaje ostvarujemo dobit (D) od 140 KM. Planom ulaganja u propagandu želimo ukupno uložiti 200 KM i postavlja se pitanje koliko treba povećati obim prodaje da bi se pokrili ovi dodatni troškovi ekonomske propagande uz uvjet da ostali elementi ostaju isti.

K= komada 155917

140200900NP

UTP+D+UFT

cc

=−++

=−

289

Obim prodaje sa sadašnjih 130 kom. treba povećati na 155 kom. da bi se pokrila ulaganja u ekonomsku propagandu uz neizmjenjene ostale uvjete. Prodaja iznad 155 kom. opravdala bi ulaganja u ekonomsku propagandu sa aspekta ekonomičnosti, na tom obimu prodaje korist od ekonomske propagande bila bi ravna troškovima. Manji obim prodaje od 155 kom. pokazao bi neuspješnost tako sprovedene ekonomske propagande. Kontrola:

R.b. OPIS Bez troškova propagande

Sa troškovima propagande

1. Ukupni fiksni troškovi 900 900 2. Nabavna cijena po 1 kom 9 9 3. Prodajna cijena po 1 kom 17 17 4. Ukupni troškovi propagande - 200 5. Prodajna količina 130 155 6. Ukupni troškovi nabave (2× 5) 1.170 1.395 7. Ukupni troškovi (1+4+6) 2.070 2.495 8. Ukupan prihod (3× 5) 2.210 2.635 9. Dobit (8 - 7) 140 140 b) Mjerenje komunikacijskih (propagandnih) učinaka je mjerenje mišljenja, stavova, sjećanja i drugih utjecaja koji objašnjavaju ponašanje i reakciju na upućene propagandne poruke. Ovi oblici mjerenja se obično nazivaju testiranje učinaka propagandne poruke. Testiranje se može vršiti:

- prije propagandne akcije, i - nakon propagandne akcije.

Testiranje prije propagandne akcije (predtest) provodi se u cilju ustvrđivanja najbolje propagandne poruke koja će se koristiti u propagandnoj akciji. Predtestiranje se vrši na manjem broju kupaca ili užem broju stručnih osoba, koji uz relativno niske troškove dobivaju rezultat pomoću primjene statističke metode uzorka, uz očekivanje da će se ostvariti očekivani rezultat u procesu stvarne realizacije propagandne akcije.

290

Testiranje nakon provedene propagandne akcije (posttest) ukazuje kako su potencijalni kupci prihvatili, zapazili, zapamtili ili reagirali na upućene propagandne poruke. Postoje razna područja testiranja kao što su:

- testiranje mišljenja, - testiranje stajališta, - testiranje prepoznavanja, - testiranje sjećanja, - analiza slike, i - testiranje putem upita.

Kod bilo kojeg oblika testiranja teško je utvrditi uzročnost između ekonomske propagande i prodaje radi utjecaja i niza drugih faktora na prodaju. Testiranje se može provoditi radi dobivanja odgovora na pitanja uspješnosti po pojedinim medijima, sredstvima, pojedinim dijelovima propagandne poruke i ukupne uspješnosti propagandne akcije.

291

27. OBRAČUN PLAĆE I DRUGIH PRIMANJA Trošenje rada, odnosno energije u ekonomskom mjerilu iskazuje se kroz plaću radnika. Međutim, odnos između plaće i trošenja radne energije nije i ne može biti u funkcionalnoj vezi. Sposobnost radnika u velikoj mjeri utječe s kolikim trošenjem energije i vremena će obaviti jedan posao. Sigurno je da će manje sposobni radnici s više trošenja energije i truda obaviti posao od drugih dobro osposobljenih radnika, a dobit će istu plaću. Prema tome, plaća se vezuje uz ostvareni rezultat, a manje za uloženi trud i trošenje energije zato je pravičnije plaću vezati uz vrijednost učinka, s tim da je mjerenje i praćenje vrijednosti učinka po svakom radniku dosta složen i kompliciran posao. Učinci nastaju na svakom radnom mjestu, ali se njihova vrijednost ne utvrđuje pojedinačno nego prodajom zajedničkog učinka. Složenost nastaje pokušajem da se ustanovi koliki je doprinos svakog pojedinca na ukupni učinak. Ovo mjerenje se još više komplicira utjecajem tržišta i drugih faktora na vrijednost ukupnog učinka neovisno od utjecaja radnika, skupine ili cijelog poduzeća. Na visinu plaće može utjecati:

a) polazna (startna) osnova, b) stimulacijski dio za pojedinačni rad, c) stimulacijski dio za skupni rad, d) stimulacijski dio za rezultate rada organizacijske jedinice, i e) stimulacijski dio za uspješan rad ukupnog poduzeća.

Prilikom utvrđivanja sustava nagrađivanja polazi se od preciznog utvrđivanja kako se evidentiraju i mjere rezultati rada. Uspješnost u radu se iskazuje usporedbom temeljnih (polaznih) zadataka s ostvarenim rezultatima. Uspješnost rada bit će veća što je rezultat rada veći od temeljnih (polaznih) zadataka i obratno. Sustav nagrađivanja uposlenih u trgovini polazi od startne osnove svakog radnika koja se uvećava ili umanjuje zavisno od ostvarenih rezultata rada pojedinačnog radnika i njegove uže ili šire radne grupe, gdje je njihov rad uzajamno povezan i uvjetovan.

292

Stimulacijski dio plaće treba osigurati: a) pravičnost nagrade, koja se ogleda u tome da radnik shvati da je

razmjerno nagrađen svome doprinosu uspješnom radu ili da je srazmjerno kažnjen za neuspješan rad,

b) da nagrađivanje djeluje stimulativno za daljnje zalaganje, a time dobivanje veće plaće, kao i mogućnost napredovanja,

c) da među plaćama i nagradama postoje takvi odnosi i rasponi koji neće negativno djelovati i stvarati osjećaj nepravičnosti, i

d) da nagrađivanje bude učinkovito i u kratkom roku kako bi radnik osjetio prednosti i stimulans nagrađivanja. Raspodjela i nagrađivanje po završnom računu poduzeća nema veći efekt u stimuliranju radnika jer je to dugo razdoblje da bi se znalo zašto je nagrađen.

Utvrđivanje polazne (startne) osnove za radnike u poduzeću je vrlo složena faza rada u kojoj se razne vrste rada (po obimu, značaju i složenosti) dovode u odnose njihovog kvantitativnog uspoređivanja. Jednostavnije rečeno, potrebno je uspostaviti odnose između prostog rada (najjednostavnijeg rada) i svih ostalih složenijih oblika rada. 27.1. OBRAČUN PLAĆE Sva primanja koja zaposlenik ostvari iz osnova rada, po bilo kom osnovu, smatra se njegovim oporezivim dohodkom odnosno plaćom. Plaća se sastoji iz slijedećih pojmova:

1. Bruto plaća (2 + 3) 2. Doprinosi (za penzioni fond, zdravstveni fond i sl.) 3. Neto plaća I (1 – 2) 4. Porez na dohodak (plaće) 5. Neto plaća II (3 – 4)

U praksi poduzeća snose troškove bruto plaće pri ćemu je moguće da porez na dohodak (plaću) snosi poduzeće ili zaposlenik. 1) U prvom slučaju da zaposlenik prima neto plaću (na ruke), porez na

dohodak (plaću) izmiruje poduzeće i koristi se formula da neto plaću preračuna u bruto plaću na slijedeći način i na slijedećem primjeru:

293

a) Neto plaća radnika na ruke = 900 KM b) Porez na plaću je 10% c) Zbirni dopri8nosi 31% d) Napravi obračun plaće (bruto)

Obračuni su slijedeći:

a) Porez na plaću je 10% i preračun stope je slijedeći

%1111,1190000.1

10100100 10

poreza stopa 100100 poreza Stopa

==−⋅

=−

⋅

Obračun poreza je: - 900 KM ∙ 11,1111 = 1.000 KM

- 10% poreza na 1.000 KM = 100 KM

- 10% poreza iznosi 100 KM

b) Zbirna stopa doprinosa iznosi 31% na bruto iznos i potrebno je

preračunati stopu na neto iznos. Preračun stope je slijedeći:

%9275,4469100.3

31100100 31

doprinosa stopa zbirna 100100 doprinosa stopa Zbirna

==−⋅

=−

⋅

Iznos zbirnih doprinosa se iz neta obračunava tako što se neto plaća uveća za 44,9275% - Neto plaća 900 KM ∙ 44,9275% = 404,35 KM - Zbirni doprinosi iznose 404,35 KM

c) Obračun isplate plaće od neta do bruta je: - Neto plaća (na ruke) radnika - 900 KM - Zbirni doprinosi - 404,35 KM - Porez na plaću - 100,00 KM - Bruto plaća (zbir) - 1.404,35 KM

294

2) U drugom slučaju ako radnik plaća porez na plaću njegova neto plaća bit će umanjena za porez na plaću i taj iznos se isplaćuje u odgovarajući budžet (države, kantona i sl.). Radi upoređivanja obračuna plaće koristit ćemo isti slučaj kao i u prošlom primjeru s tim da porez na plaću plaća radnik.

a) Porez na plaću iznosi 10% s tim da se on plaća na osnovicu od 900

KM i iznosi 90 KM te će radnik dobiti na ruke neto iznos od 810 KM (900 KM – porez).

b) Zbirna stopa doprinosa iznosi 31% i preračun stope na neto iznos je

isti i nova preračunata stopa zbirnih doprinosa iznosi 44,9275%. Međutim, sada nastaje razlika u odnosu na prvi slučaj jer je sada osnovica za obračun doprinosa manja i iznosi 900 KM. Zbirni doprinos je 900 KM ∙ 44,9275% = 404,35 KM Bruto plaća je neto plaća plus zbirni doprinosi = 810 KM + 404,35 KM = 1.214,35 KM Kontrola zbirnog doprinosa je 1.304,35 KM ∙ 31% = 404,35 KM U ovom drugom slučaju bruto plaća na teret poduzeća je niža za porez na plaću ali je i niža osnovica za obračun zbirnih stopa doprinosa. Po prvom slučaju bruto plaća na teret poduzeća iznosi 1.404,35 KM a po drugom slučaju bruto plaća na teret poduzeća iznosi 1.214,35 KM.

295

27.2. OBRAČUN DRUGIH PRIMANJA U poduzećima se najčešće kao ostale isplate tretiraju isplate po osnovu ugovora o djelu i po osnovu autorskih honorara. A. Obračun isplate po osnovu ugovora o djelu je slijedeći:

1. Ugovoreni iznos za isplatu = 700,00 KM 2. Bruto iznos naknade (stavka 1 ∙ 1,12208) = 785,45 KM 3. Zakonom priznati rashodi 20% (od stavke 2) = 157,09 KM 4. Osnovica za obračun doprinosa (2 – 3) = 628,36 KM 5. Doprinosi za penzioni fond 6% (od 4) = 37,70 KM 6. Doprinos za zdravstvo 4% (od 4) = 25,13 KM 7. Osnovica za obračun poreza (4 – 6) = 603,23 KM 8. Porez na dohodak 10% (od 7) = 60,32 KM

Na osnovu predhodnog obračuna na teret poduzeća padaju troškovi:

- Ugovoreni iznos za isplatu (stavka 1) = 700,00 KM - Doprinos za penzioni fond (stavka 5) = 37,70 KM - Doprinos za zdravstvo (stavka 6) = 25,13 KM - Porez na dohodak (stavka 8) = 60,32 KM

Ukupno na teret poduzeća = 823,15 KM Ukupni troškovi na teret poduzeća (823,15 KM) iznose u odnosu na ugovoreni iznos za isplatu (700,00 KM) uvečani za 17,59%.

296

B. Obračun isplate po osnovu autorskih honorara je slijedeći:

1. Ugovoreni iznos za isplatu = 800,00 KM 2. Bruto iznos naknade (stavka 1 ∙ 1,10522) = 884,17 KM 3. Zakonski priznati rashodi 30% (od stavke 2) = 265,25 KM 4. Osnovica za obračun doprinosa (2 – 3) = 618,92 KM 5. Doprinos za penzioni fond 6% (od 4) = 37,14 KM 6. Doprinos za zdravstvo 4% (od 4) = 24,76 KM 7. Osnovica za obračun poreza (4 – 6) = 594,16 KM 8. Porez na dohodak 10% (od 7) = 59,42 KM

Na osnovu predhodnog obračuna autorskog honorara na teret poduzeća padaju troškovi: - Ugovoreni iznos za isplatu (stavka 1) = 800,00 KM - Doprinos za penzioni fond (stavka 5) = 37,14 KM - Doprinos za zdravstvo (stavka 6) = 24,76 KM - Porez na dohodak (stavka 8) = 59,42 KM

Ukupno na teret poduzeća = 921,32 KM Prema tome ukupni troškovi na teret poduzeća iznose 921,32 KM a isplaćeni iznos autoru u neto iznosi 800,00 KM. Na ovaj način dodatni troškovi na neto iznos uvečava se za 15,16% (921,32 : 800,00).

297

Literatura

1. Alfier D. "Ekonomika unutrašnje trgovine", Informator, Zagreb,

1967 2. Böher F. i dr. "Erfogskontrolle in Marketing", Duncker und

Humboldt, Berlin, 1975 3. Babić M. "Osnovi organizacije", Svjetlost, Sarajevo, 1990 4. Babić Š. »Uvod u ekonomiku poduzeća«, školska knjiga, Zagreb,

1967. god. 5. Bajat A. "Osnovi ekonomike", Informator, Zagreb, 1967 6. Bakalar J. "Teorija i politika cijena", Svjetlost, Sarajevo, 1988 7. Bakija I. "Osiguranje kvaliteta", Privredni vjesnik, Zagreb, 1991 8. Bakija I. »Osiguranje kvaliteta«, Privredni vjesnik, Zagreb, 1991.

god. 9. Baralić Ž. "Položaj i poslovanje unutrašnje trgovine sa posebnim

osvrtom na troškove prometa" I i II dio, Beograd, 1978 10. Bašić Š. "Uvod u ekonomiku poduzeća", Školska knjiga, Zagreb,

1967 11. Bazala A. "Istraživanje tržišta u funkciji udruženog rada",

Progres, Zagreb, 1978 12. Begtić R. "Ekonomika prometnih organizacija" I dio, Ekonomski

fakultet, Sarajevo, 1982 13. Begtić R. "Razvoj male privrede", Svjetlost, 1980 14. Benić Dj. »Trgovina i politika cijena«, Zagreb, 1990. god. 15. Blažić i dr. "Opšta statistika", Savremena administracija,

Beograd, 1988 16. Branko Trklja, Milivoje Krčmar: Metodička „Zbirka zadataka iz

privredne3 matematike“, Svjetlost – Zavod za udžbenike i nastavna srestva, Sarajevo, 1990 g.

17. Buble M. "Sistem raspodjele sredstava za osobne dohotke", Informator, Zagreb, 1984

18. Crosby P. "Kvaliteta je besplatna", Privredni vjesnik, Zagreb, 1991

19. Crosby P. "Vječno uspješna organizacija", Privredni vjesnik, Zagreb, 1991

20. Čečez M. "Privredni sistem i privredni razvoj Jugoslavije" Svjetlost, Sarajevo, 1987

298

21. Čolanović B. i dr. "Emisija hartija od vrijednosti u funkciji razvoja", Ekonomski institut, Beograd, 1989

22. Dinter Č. "Utvrđivanje djelotvornosti ekonomske propagande", Vjesnik, 1974

23. Dobrenić S. i dr. "Informacijski sistem", Savremena administracija, Beograd, 1982

24. Dostić M. »Savremena trgovina na veliko«, Veselin Masleša, Sarajevo, 1985. god.

25. dr Vidoje Veselinović: „Privredna matematika“, prva knjiga, peto izdanje, Građevinska knjiga – Beograd, 1960 g.

26. dr Vladimir Vranić, dr Ljubomir Martić, „Matematika za ekonomiste“, I svezak, Školska knjiga Zagreb, 1967 g.

27. Dujmović I. "Marketing", Školska knjiga, Zagreb, 1975 28. Đurović R. "Međunarodno privredno pravo", Savremena

administracija, Beograd, 1974 29. Fischer G. "Allgemeine Betriebswirtschaftslegre", Heidelberg,

1951 30. Galogaža M. "Međunarodni megamarketing Jugoslavije", Zagreb,

1987 31. Gojanović J. "Komercijalno poslovanje", Školska knjiga, Zagreb,

1964 32. Grabovac N. "Analiza faktora potrošnje u tekstilnoj konfekciji

kao osnov segmentiranja tržišta" - doktorska disertacija, 1987 33. Grabovac N. "Dohodovna elastičnost, Engelov zakon i njegova

aktuelnost u oblasti odjevanja", časopis "Tekstilna industrija", Beograd, broj 1-2, 1991

34. Grabovac N. "Ekonomika trgovinskih poduzeća", Naša riječ, Sarajevo, 1995

35. Grabovac N. "Marketing tekstilne industrije", ABC Fabulas, Sarajevo, 1998

36. Grabovac N. "Marketing tekstilne industrije", časopis "Tekstilna industrija", 1990 brojevi 1-12, Beograd

37. Grabovac N. "Zbirka zadataka sa rješenjima iz ekonomike trgovinskih poduzeća", ABC Fabulas, Sarajevo, 1998

38. Grabovac N. »Analiza faktora potrošnje u tekstilnoj konfekciji kao osnov za segmentiranje tržišta – doktorska disertacija, Sarajevo, 1987. god.

39. Grabovac N. »Ekonomika trgovinskih poduzeća«, Naša riječ, Sarajevo, 1995. god.

299

40. Grabovac N. »Marketing tekstilne industrije«, ABC, Fabulas, Sarajevo, 1998. god.

41. Grupa autora – redaktor Tihi B. »Osnovi marketinga«, Ekonomski fakultet, Sarajevo, 1996. god.

42. Gutenberg E. "Einfurung in die Betriebswirtschaftslehre", Gabler, Wiesbaden, 1958

43. Hanić H. »Marketinški informacioni sistem«, Ekonomski fakultet, Beograd, 1991. god.

44. Hercog R. "Politika plasmana trgovinskog poduzeća", Privredni pregled, Beograd, 1970

45. Hercog R. i dr. "Ekonomika unutrašnjeg robnog prometa", I i II dio, Savremena administracija, Beograd, 1976

46. Humble J. "Poboljšavanje rezultata poslovanja", Informator, Zagreb, 1971

47. Ivanović B. i dr. "Komentar zakona o poduzećima", Poslovna politika, Beograd, 1989

48. Jovanović D. "Analiza poslovanja organizacija udruženog rada", Savremena administracija", Beograd, 1974

49. Jovašević V. "Savremeni kapitalizam", Naučna knjiga, Beograd, 1987

50. Jurin S. i dr. »Teorija tržišta i cijena«, Globus, Zagreb, 1990. god. 51. Kegan W. »Globalni marketing menadžment«, - prijevod,

Sarajevo, 1990. god. 52. Kegen W. "Globalni marketing menadžment" (prijevod),

Sarajevo, 1990 53. Klobučar J. i dr. "Računovodstvo I", Svjetlost, Sarajevo, 1972 54. Kostić Ž. i dr. "Organizacija prometa", Beograd, 1972 55. Kotler P. »Marketing menagement«, Informator, Zagreb, 1994.

god. 56. Kotnik D. "Prodajna politika", Informator, Zagreb, 1971 57. Kotnik D. »Prodajna politika«, Informator, Zagreb, 1971. god. 58. Kovačević M. "Sistem obračuna troškova", Privredna štampa,

Beograd, 1982 59. Krajčević F. "Analiza poslovanja", Informator, Zagreb, 1975 60. Kralj J. "Poslovna politika", Informator, Zagreb, 1972 61. Krsmanović S. "Poslovna informatika", Savremena

administracija, Beograd, 1991 62. Kukoleča S. "Ekonomika organizacije udruženog rada", I i II dio,

Beograd, 1978

300

63. Lazarević A. "Ekonomika i organizacija trgovinskih poduzeća", Savremena administracija, 1968

64. Lazarević A. "Organizacija robnog prometa", Savremena administracija, Beograd, 1975

65. Lovreta S. "Savremena maloprodaja", Savremena administracija, Beograd, 1979

66. Lovreta S. »Marketing u trgovini«, Ekonomski fakultet, Beograd, 1998. god.

67. Lovreta S. »Savremena maloprodaja«, Savremena administracija, Beograd, 1979. god.

68. Luka Sarajić: „Privredna matematika“, I knjiga, VIII izdanje, Zavod za izdavanje udžbenika – Sarajevo, 1974 g.

69. Luka Sarajić: „Privredna matematika“, II knjiga, VI izdanje, Zavod za izdavanje udžbenika – Sarajevo, 1974 g.

70. Majcen Ž. "Ekonomika organizacije udruženog rada", Informator, Zagreb, 1974

71. Markovski S. "Troškovi u poslovnom odlučivanju", Informator, Zagreb, 1983

72. Mellerovich "Kosten und Kostenrechnung" I-II, Berlin, 1968 73. Milanović R. »Osnovi marketinga«, Svjetlost, Sarajevo, 1985.

god. 74. Milisavljević M. "Politika cijena preduzeća", Savremena

administracija, Beograd, 1971 75. Milisavljević M. »Marketing«, Savremena administracija,

Beograd, 1990. god. 76. Milisavljević M. i Todorović J. »Marketing strategija«,

Ekonomski fakultet, Beograd, 1975. god. 77. Nenadić K. "Organizacija i raspodjela u OOUR trgovine",

Privredni pregled, Beograd, 1974 78. Nikolić M. "Ekonomika industrije SFRJ", Savremena

administracija, Beograd, 1978 79. Novak M. "Organizacija rada u socijalizmu", Informator, Zagreb,

1989 80. Obraz R. "Organizacija i funkcionisanje službe marketinga u

udruženom radu", Informator, Zagreb, 1981 81. Obraz R. "Planiranje, razvoj i lansiranje proizvoda za tržište",

Zagreb, 1971 82. Obraz R. "Politika proizvoda", Informator, Zagreb, 1975 83. Obraz R. "Suvremena prodaja", Informator, Zagreb, 1975

301

84. Obraz R. »Politika proizvoda«, Informator, Zagreb, 1975. god. 85. Obraz R. »Suvremena prodaja«, Informator, Zagreb, 1975. god. 86. Oldcorn R. "Menagement" - prevod 87. Perišin I. i dr. "Monetarno-kreditna politika", Informator, Zagreb,

1988 88. Pjanić Z. "Teorija cena", Savremena administracija, Beograd,

1988 89. Popović Ž. "Ekonomska analiza poslovanja", Informator, Zagreb,

1979 90. Praljak T. "Modeli kupovine na tržištu lične i proizvodno-uslužne

proizvodnje", Savremena administracija, Beograd, 1982 91. Praljak T. »Modeli kupovine na tržištu lične i proizvodno –

uslužne potrošnje«, Savremena administracija, Beograd, 1982. god.

92. Radunović D. i dr. "Ekonomika trgovine", Savremena administracija, Beograd, 1991

93. Renko F. "Ekonomika robnog prometa", Zagreb, 1966 94. Renko F. "Trgovinsko poslovanje", Školska knjiga, Zagreb, 1975 95. Ristić I. "Poznavanje robe", Savremena administracija, Beograd,

1982 96. Rocco F. "Osnove tržišnog poslovanja", Informator, Zagreb, 1979 97. Rocco F. "Strategija plasmana", Informator, Zagreb, 1964 98. Rocco F. »Osnove tržišnog položaja«, Informator, Zagreb, 1979.

god. 99. Rocco F. i dr. (redakcija) "Poduzeća i tržišta", Informator,

Zagreb, 1970 100. Rocco F. i dr. (redakcija) "Tržište i marketing", Informator,

Zagreb, 1968 101. Samuelson P. "Ekonomija" (prijevod), XIV izdanje, "Mate",

Zagreb, 1992 102. Schmalenbach E. "Kostenrechnung und Preispolitik" Köln und

Oplanden, 1963 103. Schneider J. "Die Kostenrechnung im Einzelhandel", Freiburg,

1968 104. Seüffert R. "Wirtschaftslehre des Handels" Westdeutscher Verlag,

Köln und Oplanden, 1961 105. Senić R. "Osnovi savremene maloprodaje", Naučna knjiga,

Beograd, 1978 106. Serdar V. "Udžbenik statistike", Školska knjiga, Zagreb, 1970

302

107. Sredović J. "Priručnik o amortizaciji i revalorizaciji", Institut za unapređenje organizacije rada, Beograd, 1984

108. Stanić G. "Statut dioničarskog društva", Sveučilište "E. Kardelj", Ljubljana, 1990

109. Stavrić B. "Troškovi i poslovna politika preduzeća", Ekonomski fakultet, Banja Luka, 1990

110. Stavrić B. i dr. "Ekonomika organizacije udruženog rada", Informator, Zagreb, 1987

111. Stavrić B. i dr. "Teorija ekonomike preduzeća", Ekonomski fakultet Sarajevo i Ekonomski fakultet Banja Luka, 1991

112. Stevanović J. "Evropska ekonomska zajednica", Svjetlost, Sarajevo, 1989

113. Stojanov D. "Međunarodne finansije", Svjetlost, Sarajevo, 1988 114. Stojiljković D. "Kvalitativna i kvantitativna analiza tražnje",

Savremena administracija, Beograd, 1981 115. Sudar J. »Promotivne aktivnosti«, Informator, Zagreb, 1979. god. 116. Sultanović A. i dr. "Privredno pravo" I dio, Ekonomski fakultet,

Sarajevo, 1991 117. Tepšić R. "Obrtna sredstva", Informator, Zagreb, 1974 118. Tepšić R. (redakcija) "Poslovne financije" - zbornik radova,

Informator, Zagreb, 1974 119. Tešić M. "Spoljnotrgovinske kalkulacije sa teorijom troškova

spoljnotrgovinskog prometa", Savremena administracija, 1988 120. Tešić M. "Spoljnotrgovinsko poslovanje", Savremena

administracija, Beograd, 1987 121. Tihi B. "Istraživanje tržišta organizacije udruženog rada", Veselin

Masleša, Sarajevo, 1987 122. Tihi B. »Istraživanje marketinga«, ABC, Fabulas, Sarajevo, 1995.

god. 123. Tomljanović D. "Financijska teorija i politika", Savremena

administracija, Beograd, 1990 124. Tričković V. "Istraživanje tržišta-teorija, mjerenje i predviđanje

tražnje", Savremena administracija, Beograd, 1983 125. Trklja B. "Kalkulacije u trgovini", Prosperitet, Sarajevo, 1967 126. Turk I. "Ekonomika poduzeća", Informator, Zagreb, 1970 127. Turk I. "Iskazivanje i ocjenjivanje rezultata poslovanja

organizacija udruženog rada", Informator, Zagreb, 1982 128. Turk I. "Računovodstvene informacije", Informator, Zagreb, 1971 129. Vajner Z. "Komercijalno poslovanje", Zagreb, 1953

303

130. Vasiljević K. "Teorija i analiza bilansa", Savremena administracija, Beograd, 1970

131. Vezjak D. "Međunarodni marketing", Savremena administracija, 1980

132. Vezjak D. »Međunarodni marketing«, Savremena administracija, Beograd, 1980. god.

133. Vila A. i dr. "Računovodstvo II", Svjetlost, Sarajevo, 1984 134. Vračar D. "Privredna propaganda", Ekonomski fakultet, Skopje,

1974 135. Vukmirica V. "Kapital i socijalizam", Naučna knjiga, Beograd,

1988 136. Welzel K. "Marketing im Einzelhandel", Betriebwirtschaftlicher

Verlag dr. Th. Gabler, Wiesbaden, 1974 137. Zebić M. "O trgovini i o savršenom trgovcu", Udruženje

knjigovođa, Crna Gora, 1963 138. Zlatković Ž. "Ekonomika trgovine", Privredni pregled, Beograd,

1980 139. Zubčević L. "Ekonomika OUR", Svjetlost, 1981

Dr. MIODRAG JOVIČEVIĆDr. SAŠA VUJIĆ


KVAN

TITA

TIVN

I ASP

EKTI

EKON

OMIJE

I BIZN

ISA

Dr.

MIO

DR

AG

JO

VIČ

EV

IĆ

D

r. S

AŠ

A V

UJI

Ć

Trav

nik,

201

2.go

d.

9 789958 641053

A KVANTITATIVNI ASPEKTI EKONOMIJE - unvi.edu.ba · „Zbirka zadataka sa rješenjima iz...

Documents

Transcript of A KVANTITATIVNI ASPEKTI EKONOMIJE - unvi.edu.ba · „Zbirka zadataka sa rješenjima iz...