SERIE DE COMPENDIOS SCHAUM

TEORIA y PROBLEMAS

DE

MECANICA DEL MEDIO CONTINUO

GEORGE E. MASE, Pb. D.Professor of Mechanics

Michigan State University

TRADUCCiÓN Y ADAPTACiÓN

CARLOS NUÑEZ AL V AREZProf. Agregado de Metalurgia (Metalurgia Mecánica)

Universidad Complutense de Madrid

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LIBROS McGRAW-HILL

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TOKIO TORONTO

MECANICA DEL MEDIOCONTII\!UO

MECANiCA DEL MEDiO CONTINUO

Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra,por cualquier medio, sin au tor iz ación escrita del editor.

DERECHOS RESERVADOS

Copvr iqht © 1977, respecto a í a edición en español porI ISf'¡OS iVicGRAIN-HILL DE IV!EXICO. S A. de C. V.

Attacornulco 499- 501, Naucalpan de Juárez, Eco de MéxicoMiembro de la Cámara Naciona! de la Ind. Editorial. Reg. núm. 465

0-07-091668-3Traducido de la primera edición en ing;és de

THEORY AND PROBLEMS OF CONYINUUM MECHAr~ICSCopyright © 1970, by IV1cGRAW-HiLL BOOK, cc.. Ine., U.S.A.

1234567890 LlNSA-78 7123456098

Impreso en rviéxico Printed in i'v1exico

Esta obra se terminó en enero de 1978en Litográfica lnqrarnex , S. A.,Centeno 162. Col. Granjas Esmeralda,(\f,éx:::o 13, D. F.

Sr i-iraron G 000 ejemplares&-..;;:,,- •••~~_.

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Prólogo

La Mecánica del Medio Continuo desempeña un papel muy importante en la ingeniería y la tecno-logía modernas, ya que sus principios básicos tienen un amplio campo de aplicación. El conceptodel medio continuo está bien instituido en los planes de estudio actuales, y diversas materias utilizan susnrincipios básicos. En los programas de Mecánica y sus áreas asociadas, se ha reconocido ampliamente elvalor de un conocimiento sólido sobre el tema. Este libro ha sido escrito con la intención de ayudar a losestudiantes de licenciatura y los graduados de primer año, a comprender los principios fundamentales dela teoría del medio continuo. Al incluir un número de problemas resueltos en cada capítulo del libro, seespera que, más adelante, el estudiante sea capaz de resolver los problemas de la teoría del medio con-tinuo y de sus aplicaciones en otros campos.

En la distri bución y desarrollo de la materia que se trata, se ha previsto un grado de continuidadsuficiente para que el libro pueda servir como texto para un curso de introducción él laMecánica del Medio Continuo. Por otra parte, el libro resultará especialmente útil como una obra deconsulta suplementaria para todo un número de cursos en los que los métodos del medio continuoproporcionan una estructura básica. Así, cursos sobre Resistencia de Materiales, Mecánica deFluidos, Elasticidad, Plasticidad y Viscoelasticidad se relacionan estrechamente con la esencia de estelibro y pueden muy bien incluirse en este material.

A lo largo de la mayor parte del libro, las ecuaciones importantes y las relaciones fundamentales sepresentan en ambas notaciones, la indicial o "tensorial" y la simbólica clásica o "vectorial". Estoproporciona al estudiante la oportunidad de comparar las expresiones equivalentes y adquirir ciertafamiliaridad con cada notación. En el texto, solamente se emplean tensores Cartesianos, debido a que seproyectó como un volumen introductorio y puesto que la esencia de buena parte de la teoría se puede ad-quirir en este contexto.

La obra está esencialmente dividida en dos partes. Los primeros cinco capítulos tratan la teoríabásica de! medio continuo mientras que los cuatro últimos abarcan ciertas partes de áreas de aplicaciónespecíficas. Después de un capítulo inicial sobre las matemáticas propias de la materia en estudio, la partede teoría contiene capítulos adicionales sobre Análisis de Tensiones, Análisis de Deformaciones, Mo-vimiento y Flujo, y las Leyes Fundamentales del Medio Continuo. En los cuatro capítulos finales se tratan lasaplicaciones a la Elasticidad, Fluidos, Plasticidad y Viscoelasticidad. Al final de cada capítulo, una colec-ción de problemas resueltos, junto con varios ejercicios para el estudiante, sirven para aclarar y reforzarlas ideas presentadas en el texto.

El autor agradece la colaboración de numerosas personas y desea expresar a todas su gratitud por suayuda. Debo hacer mención especial de mis colegas los Profesores W.A. Bradley, L.E. Malvern, D.H.Y.Yen, J.F. Foss y G. LaPalm, quienes leyeron varios capítulos del texto e hicieron valiosas sugerenciaspara su perfeccionamiento; agradezco al Profesor D.J. Montgornery su apoyo y ayuda en todomomento; al Dr. Richard Hartung del Lockheed Research Laboratory, Palo Alto, California, quien leyóla versión preliminar dei manuscrito e hizo muchas indicaciones provechosas; al Profesor M.C. Stippes,Universidad de Illinois, por sus inestimables comentarios y observaciones; a Mrs. Thelma Liszewski, por elcuidado y la paciencia que tuvo con los símbolos del manuscrito; a Mr. Daniel Schaurn y Mr. Nicola

5

6 PROLOGO

Monti por su continuo interés y dirección a través de toda la obra. El autor también desea expresar suagradecimiento a su esposa e hijos por su estímulo durante la redacción de la obra.

Michigan State UniversityJunio 1970

GEORGE E. MASE

Contenido

1 FUNDAMENTOS MATEMATlCOS 11

1.1 Tensores y mecánica del medio continuo, 111.2 Tensores generales. Tensores cartesianos. Orden de un tensor, 111.3 Vectores y escalares, 121.4 Adición vectorial. Multiplicación de un vector por un escalar, 121.5 Producto escalar y vectorial, 131.6 Diadas y diádicas, 141.7 Sistemas de coordenadas. Vectores base. Triadas de vectores unitarios, 161.8 Funciones vectoriales lineales. Diádicas como operadores vectoriales lineales, 181.9 Notación indicial. Convenios de rango y suma, 191.10 Convenio de suma usado en la notación simbólica, 211.11 Transformaciones de coordenadas. Tensores generales, 2.11.12 El tensor métrico. Tensores cartesianos, 231.13 Leyes de transformación de los tensores cartesianos. La delta de Kronecker. Condiciones de orto-

gonalidad, 241.14 Adición de tenso res cartesianos. Multiplicación por un escalar, 261.15 Multiplicación de tensores, 261.16 Producto vectorial. Símbolo depermutación. Vectores duales, 271.17 Matrices. Representación matricial de los tensores cartesianos, 281.18 Simetría de diádicas , matrices Y tensores, 301.19 Valores y direcciones principales de los tenso res simétricos de segundo orden, 311.20 Potencias de tensores de segundo orden. Ecuación de Hamilton-Cayley, 321.21 Campos tensoriales, Derivadas de tensores, 331.22 Integrales curvilíneas. Teorema de Stokes, 341.23 Teorema de la divergencia de Gauss, 34

2 ANALISIS DE TENSIONES

2.1 El concepto de medio continuo, 572.2 Homogeneidad. lsotropía. Masa especifica, 572.3 Fuerzas másicas. Fuerzas superficiales, 582.4 Principio de tensión de Cauchy. El vector tensión, 582.5 Estado de tensión en un punto. Tensor de tensión, 592.6 Relación entre el vector tensión y el tensar de tensión, 612.7 Equilibrio de fuerzas y momentos. Simetría del tensar de tensión, 622.8 Leyes de transformación de tensiones, 632.9 Cuádrica de tensiones de Cauchy, 642.10 Tensiones principales. Invariantes de tensión. Elipsoide de tensiones, 642.11 Valores de tensión cortante máximos y mínimos, 662.12 Círculos de tensiones de Mohr, 672.13 Tensión plana, 702.14 Tensores de tensión, esférico y desviador, 71

57

8 CONTENIDO

3 ANALISIS DE DEFORMACIONES

3.1 Partículas y puntos, 913.2 Configuración del medio continuo. Conceptos de deformación y flujo, 913.3 Vector de posición. Vector desplazamiento, 913.4 Descripciones lagrangiana y euleriana, 933.5 Gradientes de deformación. Gradientes de desplazamiento, 943.6 Tensores de deformación. Tensores de deformaciones finitas, 953.7 Teoría de las deformaciones pequeñas. Tensores de deformaciones infinitesirnales, 973.8 Desplazamientos relativos. Tensor de rotación lineal. Vector rotación, 983.9 Interpretación de los tensores de deformación lineales, 993.10 Relación de extensión. Interpretación de las deformaciones finitas, 1013.11 Tensores de extensión. Tensor de rotación, 1023.12 Propiedades de transformación de los tensores de deformación, 1023.13 Deformaciones principales. Invariantes de deformación. Dilatación cúbica, 1043.14 Tensores de deformación esférico y desviador, 1053.15 Deformación plana. Círculos de Mohr de deformaciones, 1063. I6 Ecuaciones de compatibilidad para deformaciones lineales, 107

91

4 MOVIMIENTO Y FLUJO

4.1 Movimiento. Flujo. Derivada material, 1264.2 Velocidad. Aceleración. Campo de velocidad instantánea, 1274.3 Trayectorias. Líneas de corriente. Movimiento estacionario, 1284.4 Velocidad de deformación. Verticidad. Incrementos de deformación natural, 1284.5 Interpretación física de los tensores de velocidad de deformación y vorticidad, 129.4.6 Derivadas materiales de elementos de volumen, área y línea, 1304.7 Derivadas materiales de integrales de volumen, s uperficie y línea, 132

126

5 LEYES FUNDAMENTALES DE LA MECANICA DEL MEDIO CONTINUO 143

5.1 Conservación de la masa. Ecuación de continuidad, 1435.2 Principio de la cantidad de movimiento lineal. Ecuaciones de movimiento. Ecuaciones de equilibrio, 1445.3 Principio del momento de la cantidad de movimiento (cantidad de movimiento angular), 1455.4 Conservación de la energía. Primer principio de la termodinámica. Ecuación de la energía, 1465.5 Ecuaciones de estado. Entrapía. Segundo principio de la termodinámica, 1475.6 Desigualdad de Clausius-Duhern. Función de disipación, 148.5.7 Ecuaciones constitutivas. Medios continuos termomecánicos y mecánicos, 149

6 ELASTICIDAD LINEAL 158

6.1 Ley de Hooke generalizada. Función de la energía de deformación, 1586.2 Isotropía. Anisotropia. Simetría elástica, 1606.3 Medios isótropos. Constantes elásticas, 1616.4 Problemas elastostáticos. Problemas elastodinámicos, 1626.5 'Teorema de superposición. Unicidad de las soluciones. Principio de St. Venant, 1646.6 Elasticidad bidimensional. Tensión plana y deformación plana, 1646.7 Función de tensión de Airy, 1666.8 Problemas elastostáticos bidimensionales en coordenadas polares, 1676.9 Hi perelasticidad. Hipoelasticidad, 1676.10 Termoelasticidadlineal, 168

7 FLUIDOS 180

7.1 Presión de un Fluido.Tensor de tensión viscoso. Flujo barotrópico, 1807.2 Ecuaciones constitutivas. Fluidos stokesianos. Fluidos newtonianos, 181

CONTENIDO 9

7.3 Ecuaciones básicas de los fluidos newtonianos. Ecuaciones de Navier-Stokes-Duhem, 1827.4 Flujo estacionario. Hidrostática. Flujo irrotacional, 1837.5 Fuidos perfectos. Ecuación de Bernoulli. Circulación, 1847.6 Flujo potencial. Flujo potencial plano, 186

8 PLASTICIDAD 196

8.1 Conceptos básicos y definiciones, 1968.2 Comportamiento plástico idealizado, 1978.3 Condiciones de plasticidad. Criterios de Tresca y von Mises, 1998.4 Espacio de Tensiones. El plano -11. Superficies de fluencia, 2008.5 Comportamiento post-elástico. Endurecimiento isotrópico y cinemática, 2018.6 Ecuaciones plásticas tensión-deformación. Teoría del potencial plástico, 2028.7 Tensión equivalente. Incremento de deformación plástica equivalente, 2038.8 Trabajo plástico. Hipótesis de endurecimiento por deformación, 2048.9 Teoría de la deformación total, 2058.10 Problemas elastoplásticos, 2058.11 Teoría elemental de las líneas de deslizamiento en deformación plástica plana, 206

9 V!SCOELASTICIDAD LINEAL 219

9.1 Comportamiento viscoelástico lineal,2199.2· Modelos viscoelásticos sencillos, 2199.3 Modelos generalizados. Ecuación del operador diferencial lineal, 2219.4 Fluencia lenta y relajación, 2229.5 Función de fluencia lenta. Función de relajación. Integrales hereditarias, 2249.6 Módulos complejos y acomodaciones, 2269.7 Teoría tridimensional, 2279.8 Análisis de tensiones viscoelásticas. Principio de correspondencia, 228

INDICE ANAUTICO 243

Capitulo I

Fundamentos matemáticos

1.1 TENSORES y MECANiCA DEL MEDIO CONTINUOLa mecánica del medio continuo trata con cantidades físicas que son independientes de cualquier sis-

tema particular de coordenadas que pueda ser usado para describirlas. Al mismo tiempo, estas cantidadesfísicas se especifican a menudo más convenientemente refiriéndolas a un sistema de coordenadas apro-piado. Matemáticamente, tales cantidades se representan mediante tensores.

Como una entidad matemática, un tensar tiene una existencia independiente de cualquier sistema decoordenadas. Además puede ser especificado en un sistema particular de coordenadas mediante un ciertoconjunto de cantidades, conocidas como sus componentes. Al especificar las componentes de un tensoren un sistema de coordenadas, sus componentes quedan determinadas en cualquier otro sistema. Porsupuesto, la ley de transformación de las componentes de un tensar se usa aquí como un medio paradefinirlo. Los enunciados precisos de las definiciones de varias clases de tensores se dan en el momento desu introducción en el tema correspondiente.

Las leyes físicas de la mecánica del medio continuo son expresadas por ecuaciones tensoriales.Debido a que las transformaciones tensoriales son lineales y homogéneas, si tales ecuaciones tensorialesson válidas en un sistema de coordenadas, también lo son en cualquier otro sistema. Esta invariancia delas ecuaciones tensoriales bajo una transformación de coordenadas, es una de las razones principales queexplican la utilidad de los métodos tensoriales en la mecánica del medio continuo.

1.2 TENSORES GENERALES. TENSORES CARTESIANOS.ORDEN DE UN TEN SOR

Cuando se trata de transformaciones de coordenadas generales, entre sistemas de coordenadas cur-vilíneas arbitrarias, los tensores definidos son conocidos como tensores generales. Cuando nuestra aten-ción se restringe a transformaciones de un sistema de coordenadas homogéneas a otro, los tensores que in-tervienen son denominados tensores cartesianos. Puesto que gran parte de la teoría de la mecánica delmedio continuo se puede desarrollar en términos de tensores cartesianos, la palabra "ten sor" , en estelibro significa "tensor cartesiano" a menos que específica mente se establezca lo contrario.

Los tensores se pueden clasificar por su orden, según la forma particular de la ley de transformaciónque obedezcan. Esta misma clasificación también se refleja en el número de componentes que posee untensar dado en un espacio n-dimensional. Así, en un espacio euclidiano tridirnensional tal como un e:i-

11

12 FUNDAMENTOS MATEMATICOS CAP.1

pacio físico ordinario, el número de componentes de un tensar es 3"', donde N es el orden del tensar.Según esto, un tensar de orden cero queda especificado en cualquier sistema de coordenadas de un es-pacio tridimensional por una componente. Los tensores de orden cero se denominan escalares. Las can-tidades físicas que únicamente tienen magnitud se representan por escalares. Los tensores de orden unotienen {res componentes coordenadas en el espacio físico y se conocen como vectores. Las cantidades queposeen magnitud y dirección se representan por 'lectores. Los tensores de segundo orden corresponden adiádicas. Numerosas cantidades importantes en la mecánica del medio continuo están representadas portensores de segundo orden. También se definen tensores de orden superior, tales como triádicas o ten-sores de tercer orden, tetrádicas o tensores de cuarto orden, los que con frecuencia aparecen en lasmatemáticas de la mecánica del medio continuo.

1.3 VECTORES y ESCALARES

Ciertas cantidades físicas, tales como fuerza y velocidad, que poseen magnitud y dirección, se puedenrepresentar en un espacio tridimensional mediante segmentos de línea dirigidos, que obedecen a la ley deadición del paralelogramo, Tales segmentos dirigidos son las representaciones geométricas de los tensoresde primer orden y se denominan vectores. Gráficamente, un vector es sencillamente una flecha que apun-ta en la dirección apropiada y que tiene una longitud proporcional a la magnitud del vector. Los vec-lores iguales tienen la misma dirección y magnitud. Un vector unitario es un vector cuya longitud es launidad. El vector nulo o cero es un vector que tiene una longitud cero y una dirección no especificada. Elvector negativo de un vector es el que tiene la misma magnitud y dirección, pero sentido opuesto.

Las cantidades físicas, tales como masa y energía, que únicamente poseen magnitud, se representanpor tcnsorcs de orden cero y se denominan escalares,

En la notación simbólica o de Gibbs, los vectores se designan por letras negrillas, tales como a, b,ete. Los esca!ares se denotan por letras bastardillas, tales como a, b. A, etc. Los vectores unitarios se dis-tinguen por un signo de intercalación situado encima de la letra en negrilla. En la Fig. 1-1, se representanlos vectores a y b junto con el vector unitario e y el par de vectores iguales e y d.

a+b=b+a=c (1.1)

//Fig-. 1-1

La magnitud de un vector arbitrario a, se escribe sencillamente como a, o bien, cuando se desee des-tacar, por el símbolo de vector entre barras verticales.l a l.

1.4 ADICION VECTORIAL. MULTIPLICAC!ONDE UN VECTOR POR UN ESCAl",AR

La suma de vectores obedece a la ley del paralelogramo, la cual define al vector suma de dos vectoresCOIllO la diagonal de un paralelogramo que tiene los vectores sumandos como lados adyacentes. Esta ieypara la suma de vectores es equivalente a la regla del triángulo que define la suma de dos vectores como elvcctor que se extiende desde la cola del primero hasta la punta del segundo, cuando los vectores suman-do'> están unidos. En la Fig, 1-2 (a), se representa la construcción gráfica de la suma de a y b según la leycid paralclogramo. Algebraicamente, la operación se indica por la ecuación vectoriaI

CAP. 1 FUNDAMENTOS MATEMATICOS 13

La susiraccion de vectores está caracterizada por la adición del vector negativo como se indica, por ejem-plo, L')) la Fig. 1-2 (b) en la que se ha empleado la regla del triángulo. Así,

a - b = -b -+- a = d (1.2)

I.a-, operaciones de adición y sustracción de vectores son conmutativas y asociativas como se observa enla Iig. 1-2(c), para las cuales las ecuaciones adecuadas son

(a-+-b)-+-g = a-+-(b-+-g) = h (1.3)

-b

h

(a) (b) (e)

Fig-.1-2

En general, la multiplicación de un vector por un escalar produce un nuevo vector que tiene la mismadirección que el vector original pero una magnitud diferente. Como excepciones, se tienen la multipli-cación por cero que produce un vector nulo y la multiplicación por la unidad que no altera al vector. Dela multiplicación del vector b por el escalar ni, resulta alguno de los tres casos posibles indicados en laFig. 1-3, Y que dependen del valor numérico de In.

?/lb b b

m > 1 o < m < 1 1n < O

Fig.I-3

La multiplicación de un vector por un escalar es asociativa y distributiva. Así,

I

III En el caso importante de la multiplicación de un vector por el recíproco de su magnitud, resulta un'\ vector unitario que tiene la dirección del vector Original~ Esta relación se expresa por la ecuación

b = b/b (1.7)

11.5·1 El producto simbolizado por un punto o producto escalar de dos vectores a y b es el escalar

m(nb) = (mn)b = n(mb)

(m + n)b = (n + m)b = mb + nb

(Ln

(1.5)

m(a + b) = 1n(b + a) = 111,a -+- mh (1.6)

PRODUCTO ESCALAR Y VECTORIAL

A = a·b = b'a = abcosG (1.8)

14 FUNDAMENTOS MA TEMA TICOS CAP. 1

en el que (j es el ángulo más pequeño que forman ambos vectores como se indica en la Fig. 1-4(a). Elproducto escalar de a por un vector unitario e ,nos da la proyección de a en L: dirección de e.

a

'"e

(a) (b)

Fig.I-4

El producto simbolizado por una aspa o vectorial de a por b es el 'lector v dado por

v = a x b = - b x a = (al) sen B) e (1.9)

en el que O, es el ángulo menor que 1800, que forman los vectores a y b, y e, es un vector unitario per-

pendicular a ellos tal que, mediante una rotación positiva alrededor de e, un ángulo () se pasa de a a b. Lamagnitud de v es igual al área del paralelogramo que tiene a a y b como lados adyacentes, y que aparecesombreado en la Fig, 1-4(b). El producto vectorial no es conmutativo.

El triple producto escalar es un producto escalar de dos vectores, uno de los cuales es un productovectorial.

a' (b X e) = (a X b)· e = a' b X e = ,\ (1.10)

Tal como se indica en (1.10) las operaciones escalar y vcctorial en este producto se pueden intercambiar.Además, una vez que se lleve a cabo la operación vectorial primero, los paréntesis son innecesarios ypueden suprimirse tal como se indica. Este producto se escribe algunas veces, rabel. La magnitud ,\ deltriple producto escalar es igual al volumen del paralelepipedo que tiene a los vectores a, b, e como ladosvecinos.

El triple producto vectorial es un producto vectorial de dos vectores, uno de los cuales es a su vez unproducto vectorial. Con frecuencia resulta útil la siguiente identidad para expresar el producto vectorialde a por b x c.

a x íb x c) = (a vcjb > (a+ h)« = w (1.11)

De (1.11), se ve que el vector producto w, yace en el plano de b y c.

1.6 DIADAS y DIAD!CAS

Al producto indeterminado de los vectores a y b, que se define escribiendo los vectores en yuxta-posición ab, se le denomina una diada. El producto indeterminado en general no es conmutativo, esdecir, ab ~ ha. Al primer vector de una diada se le denomina antecedente y al segundo consecuente. Unadiádica D equivale a un tensar de segundo orden y siempre puede ser representada por una suma finita dediadas

(1.12)

la que nunca es única. En notación simbólica, las diádicas se denotan por letras de tipo negrilla como sehizo anteriormente.

Si en cada diada de (1.12) se intercarnbian los antecedentes y consecuentes, la diádica resultante sedenomina diádica conjugada de O y se escribe

CAP. 1 FUNDAMENTOS MATEMA TICOS 15

(1.13)

Si cada diada de O en (1.12) se reemplaza por un producto escalar de los dos vectores resulta un escalarque se conoce como el escalar de la diádica O y se escribe

(1.14)

Si cada diada de D en (1.12) se sustituye por un producto vectoria1 de los dos vectores, el resultado sedenomina, vector de la diádica O y se escribe

(1.15)

Se puede poner de manifiesto que De,Os Y Ov son independientes de la forma (1.12).El producto indeterminado de vectores obedece las leyes distributivas

a(b + e)

(a + b)e

ab + ac

ac + be

(1.16)

(1.17)

(1.18)(a + b)(e + d) = ae + ad + be + bd

y si A y ,11 son escalares cualesquiera,(A + l.t)ab = Xab + ,uab

(Aa)b = a(Ab) = Aab

(1.19)

(1.20)

Si v es un vector cualquiera, los productos escalares v· O Y o· v son los vectores definidos respecti-vamente por

v,O (v'ai)bl + (v'a2)b2 + .,. + (v'aN)bN - u

a¡(bl • v) + az(b2' v) + ... + a.V(bN·v) 'W

(1.21 )

(1.22)D'v

En (1.21) O se denomina postfactor, y en (1.22) prefactor. Dos diádicas D y E son iguales, si y solamentesi para cada vector v, se cumple

v'O = v·E o D'v = E·v (1.23)

La diádica unidad, o jactar idéntico 1, es una diádicaque se puede representar por

(1.24)

donde el, eQ, e3 constituyen cualquier base ortonormal de un espacio Euclidiano tridimensional (ver Sec-ción 1.7). La diádica I se caracteriza por la propiedad

J'v=v'l=v (1.25)

para todo vector v.

Los productos vectoriales v x D YO x v son diádicas definidas respectivamente porv x O (v X a¡)b¡ + (v X a2)b2 + ... + (v X aN)bN F

~xv a¡(b¡Xv)+a2(b2xv)+"'+aN(bNXv) G

El producto escalar de dos diadas ab y cd es la diada definida por

ab· cd = (b- c)ad

De (1.28), el producto escalar de dos diádicas cualesquiera D y E es la diádica

(1.26)

(1.27)

(1.28)

D' E (a.h, + a2h2 + ... + aNbN). (c.d, + c2d2 + ... + cNdN)

(b¡ . c¡)a¡d¡ + (b, . c2)a1dz + ... + (bN' c,v)aNdN = G (1.29)

16 FUNDAMENTOS MATEMA TICOS CAP.1

Se dice que las diádicas O y E son recíprocas la una de la otra, si

E'O=O'E= (1.30)

Con frecuencia se usa para las diádicas recíprocas la notación E= 0-1 Y 0= E-¡

Los dobles productos escalares y vectoriales se definen también para las diadas ab y cd como sigue,

ab : cd (a'c)(b'd) A, un escalar (1.31)

ab ~ ed (axe)(b·d) h, un vector (1.32)

ab ~ ed (a'c)(bxd) g, un vector (1.33)

ab ~ ed (a X e)(b X d) uw, una diada (1.34)

De estas definiciones se pueden desarrollar fácilmente los dobles productos escalares o vectoriales dediádicas. Algunos autores también usan el doble producto escalar definido por

ab .. cd = (b : el(a' d) = le, un escalar (1.35)

Se dice que una diádica O es autoconjugada o simétrica, si

O = De (1.36)'

y anfi-autoconjugada O antisimétrica, si(1.37)

Cada diádica puede ser expresada únicamente como la suma de una diádica simétrica y otra antisimétrica.Para la diádica arbitraria O la descomposición es

G+H (1.38)

y

Gc = }(Oc + (Oe)e) =~(Oc + O) = G (simétrica)

He =HDc - (Oe)!') = ~(Oc - O) = -H (antisimétrica) (1.40)

para la que

La unicidad se establece suponiendo una segunda descomposición, O = G* + H~. Entonces

G* -:-H* G+H (1.41)

y la ecuación conjugada de ésta esG* - H* = G - H

Sumacdo y restando (1.41) y (1.42) sucesivamente se obtienen las respectivas igualdades,

(1.42)

G* = G Y H* = H.

1.7 SISTEMAS DE COORDENADAS. VECTORES BASE.TRIADAS DE VECTORES UNITARIOS

Un veetor se puede definir, respecto a un sistema particular de coordenadas, cuando se especificanlas componentes del vector en ese sistema. La elección del sistema de coordenadas es arbitraria, pero enciertas ocasiones puede ser ventajosa una elección particular. El sistema de referencia de ejes coordenadasproporciona las unidades para la medida de las magnitudes vectoriales y precisa las direcciones del es-pacio en las que están determinadas las orientaciones de los vectores.

CAP. 1 FUNDAMENTOS MATEMA TICOS 17

En la Fig. 1-5 se muestra un sistema de coordenadascartesianas rectangulares representado por los ejes, OXYZ,perpendiculares entre sí. Cualquier vector v puede ser ex-presado en este sistema por una combinación lineal de tresvectores arbitrarios del sistema, no nulos ni coplanares,que son denominados vectores base. Para los vectores basea, b, e y los coeficientes escalares ,\,!-'-, v elegidos convenien-temente, el vcctor v esta dado por

v = Aa + p.b + ve (1.43) y

Los vectorcs base son por hipótesis !inealmente indepen-dientes, es decir, la ecuación

Aa + p.b + ve = O (1.44)

se satisface solamente si A = It = v = O. Se dice que un con-junto de vectores base en un sistema de coordenadas dado, Fig. 1-5constituye una base para ese sistema.

La elección más frecuente para los vectores base de un sistema Cartesiano rectangular es el conjunto devectores unitarios i,j, k a lo largo de los ejes coordenadas, como se representa en la Fig. 1-5. Estos vec-tores base constituyen una triada de vectores unitarios de rotación positiva, para la que

i x j = k, j x k = i, k x i = j (1.45)

y A A

i .i

(1.46)":' "i' --:- A A--:--1") = )·k = k'l = O

A tal conjunto de vectores base se le llama con frecuencia una base ortonormal.En términos de la triada unitaria i,1,k, el vector v de la Fig. 1-6, se puede expresar por

v = vr1 + v3 + vzk

= (cos a)i + (cos (3) j + (cos y)k (1..~8)

Puesto que v es arbitrario, se infiere que cualquier vectorunitario tendrá los cosenos directores de ese vector como suscomponentes cartesianas.

En la forma de componentes Cartesianas el productoescalar de a y b está dado por

a+b = (axi+ayj+azk)o(bxi+byj+bzk)

= axbx + ayby + azbz (1.49)

Para los mismos vectores, el producto vectorial a X b es

a X b = (aybz - azby) i + (azbx - axbz) j + (axby - aybx) kEste resultado se presenta frecuentemente en la forma de determinante

en el que las componentes cartesianas.•..

Vx = v- i.•..

Vy v· j.•..

Vz v·kv cos f3

V COSa

v cos y

son las proyecciones de v en los ejes coordenadas. Según la(1.7), el vector unitario en la dirección de v, está dado por

cv v/v

(1.47)

Fig.1-6

(1.50)

18 FUNDAMENTOS MATEMATICOS CAP. 1

axb

" " "i j k(1.51)

en el que los elementos se consideran como números ordinarios. El triple producto escalar tambiénsé puede representar en la forma de componentes por el determinante

rabel (1.52)

En la forma de componentes cartesianas, la diada ab está dada por

ab (aS + a3 + azk)(bxi + b3 + bzk)AA AA AA

axbxi i + axbyi j + axbzi k

+ aybxji + ayb3j + ayb.'jkAA AA AA

+ azbxk i + azbyk j + azbzkk (1.53)

Debido a los nueve términos que se originan, (1.53) es conocida como la forma nonion de la diada ab.Cualquier diádica se puede expresar en la forma nonion. La forma nonion del factor idéntico en funciónde la triada unitaria i,1,k está dada por

(1.54)

Además del sistema de coordenadas cartesianas rectangular ya comentado, también se usan am-pliamente los sistemas de coordenadas curvilíneas tales como las cilíndricas (R, e, z)y las esféricasír. 8, <1»

representadas en la Fig , 1-7. Las triadas unitarias de vectores base (~R, ee, ez) y (er, ea, e<t» indicadas en lafigura están asociadas a estos sistemas. Sin embargo, no todos los vectores base tienen direcciones fijadasaquí, y por 10 tanto son en general funciones de posición.

z z

y

(a) Cilíndricas Fig. 1-7 (b) Esféricas

1.8 FUNCIONES VECTORIALES LINEALES. DIADICAS COMOOPERADORES VECTORIALES LINEALES

Se dice que un vector a es función de un segundo vector b, si a queda determinado siempre que se déb. Esta relación funcional se expresa por la ecuación

CAP.l FUNDAMENTOS MATEMATICOS 19

a = f(b)

Se dice que la función f es lineal cuando se satisfacen las condiciones

(1.55)

f(b + e) = f(b) + f(c)

f(Ab) = Af(b)

para todos los vectores b y e, y para cualquier escalar A.

Escribiendo b en la forma de componentes cartesianas, la ecuación (1.55) se convierte en

a = f(bxi + byj + bzÍ~)

(1.56)

(1.57)

(1.58)

la que, si f es lineal, se puede escribirA A A

a = bxf(i) + byf(j) + bzf(k)

Sea en (1.59) f(i) = u, f(j) = v, f(k) = w, entonces,

(1.59)

a = u(i-b) + v(j <b) + w(k-b) (ui+vj+wk)-b (1.60)

que es un producto escalar vector-diádico y que puede ser escrito

a = O-b (1.61)

donde O = u i+ v j + w k. Esto demuestra que cualquier función vectorial lineal f puede ser expresadacomo un producto vector-diádico. En (1.61) la diádica D sirve corno un operador vectorial lineal que ac-túa sobre el argumento del vector b para producir el vector imagen a.

1.9 :\OTACIO:\ I:\DICIAL. CO:\VE!\IOS DE RANGO Y SUMALas componentes de un tensor de cualquier orden, y el tensor mismo, pueden ser representados clara

y concisamente mediante el uso de la notación indicial. En esta notación, se añaden letras como subín-dices o superíndices a la letra genérica, que representa a la cantidad tensorial deseada. Los símbolos ten-soriales siguientes son ejemplos típicos que ilustran el uso de índices.

En la forma "mixta", en la que aparecen subíndices y superíndices, un punto indica que j es el segundoÍndice.

Bajo las reglas de la notación indicial, un índice puede aparecer una vez o dos veces en un términodado. Cuando un índice no aparece repetido en un término, se entiende que este Índice toma los valores1,2, ... , N donde N es un número entero especificado que determina el rango del índice. Los Índices norepetidos se conocen como Índices libres. El orden tensorial de un término dado es igual al número de Ín-dices libres que aparecen en este término. Además, las ecuaciones tensoriales correctamente escritas tienenlas mismas letras así como los mismos índices libres en cada término.

Cuando un Índice aparece dos veces en un término se ha de entender que ese Índice tomará todos losvalores 'de su rango y que los términos resultantes se suman. En este convenio de suma, a losíndices repetidos se les denomina con frecuencia seudoindices, ya que su sustitución por cualquier otraletra que ~o figure como índice libre no cambia el significado del término en el que aparecen. En general,ningún índice aparece más de dos veces en un término correctamente escrito. Si es absolutamente nece-sario escribir un índice más de dos veces para expresar satisfactoriamente cierta cantidad, el conveniode suma ya no es válido.

El número y situación de los índices libres, revela directamente el carácter tensorial exacto de la can-tidad expresada por la notación indicial. Los tenso res de primer orden se denotan por un letra cursiva que

20 FUNDAMENTOS MATEMA TICOS CAP.l

tiene un índice libre. Así, el vector arbitrario a se representa por un símbolo que tiene un sub o superin-dice sencillo, es decir, en una u otra de las dos formas,

Los términos siguientes, que tienen solamente un índice libre, se consideran también como cantidadestensoriales de primer orden:

Los tensores de segundo orden se denotan por símbolos que tienen dos subíndices libres. Así, la diádicaarbitrariaO,aparecerá en una de las tres formas posibles

En la forma "mixta", el punto indica que j es el segundo índice. Las cantidades tensoriales de segundoorden pueden aparecer también en varias formas, como por ejemplo,

Por una generalización lógica, los tensores de tercer orden se expresarán por símbolos con tres índiceslibres. Un símbolo como ..\ que no lleva asociado ningún índice, representa un escalar o tensar de ordencero.

En el espacio físico ordinario una base está formada por tres vectores no coplanares, y aSÍ, en esteespacio, cualquier vector queda completamente especificado por sus tres componentes. Por lo tanto, elrango en el índice de tu, que representa a un vector en un espacio físico, es 1,2,3. Según esto, el símboloai , se entiende que representa a las tres componentes al, az, a3. También se interpreta algunas veces queai representa a la i-ésima componente del vector y por supuesto también representa al vector mismo.

'Para un rango de tres en ambos índices, el símbolo Aij representa a nueve componentes (del tensar desegundo orden (diádica) A). Frecuentemente, el tensar A¡¡ se representa explícitamente agrupando a susnueve componentes en una disposición cuadrada encerrada entre dos grandes paréntesis, como

(1.62)

o

De la misma forma, las componentes de un tensor de primer orden (vector) en un espacio tridimensionalse presentan explícitamente agrupadas en una fila o columna, en la forma

(1.63)

En general, para un rango de Índice N, un tensar de orden n-ésimo tendrá N" componer/tesoLa utilidad de la notación indicial para representar sistemas de ecuaciones en una forma reducida se

pone de manifiesto mediante los ejemplos típicos siguientes. Para un rango de índice tres en ambos ín-dices i y j la ecuación indicial

(1.64)

representa en forma desarrollada las tres ecuaciones

(1.65)

CAP. 1 FUNDAMENTOS MATEMA TlCOS

Para un rango de dos en iy i. la ecuación indicial

Aij = B¡pCjqDpqrepresenta en forma desarrollada, las cuatro ecuaciones

Al! e.e.o; + BllCI2DI2 + B12Cl!D21 + B12CI2D22

BllCZlDll + BllCZ2Dl2 + BIZCZ1D2I + B12CnD22

B2lCllDll + B21C1ZDI2 + B22CllD21 + B22C12D22

21

(1.66)

(1.67)

Para un rango de tres en ambos índices i y j, la (1.66) representa a nueve ecuaciones que tienen cada unanueve términos en el segundo miembro.

1.10 CONVENIO DE SUMA USADO EN LA NOTACION SIMBOLICA

El convenio de suma se usa muchas veces en relación conla representación de vectores y tensores con vectores baseafectados de índices escritos en notación simbólica. Así, si losejes cartesianos rectangulares y los vectores base unitarios dela Fig. 1-5, se escriben de nuevo como se indica en la Fig. 1-8,el vector arbitrario v se puede escribir

(1.68)en la que VI, 'V2, 'li3 son las componentes cartesianas rectan-gulares de v. Aplicando el convenio de suma a (l. 68), estaecuación se puede escribir en la forma abreviada

A

V = V¡C¡ (1.69)

donde i es un índice de suma. Aquí, la notación es esencial-mente simbólica, pero con la característica adicional del con-venio de suma. En tal "combinación" del estilo de nota-ción, el carácter de tensor no está dado por la regla de los ín-dices libres, como ocurre con la notación indicial.

Fig. ~-8

"-

Los tensores de segundo orden también se pueden representar por la suma de vectores base con ín-dices. Según esto, la diada ab dada en la forma nonion por (1.53) se puede escribir

(1.70)

En esta expresión, es esencial que se mantenga la secuencia de los vectores base. De igual manera, la for-ma nonion de la diádica arbitraria O se puede expresar en notación abreviada por

(1.71)

1.11 TRANSFORMACIONES DE COORDENADAS. TENSORES GENERALES

Representemos por Xi el sistema arbitrario de coordenadas Xl, x2, x:l en un espacio euclidiano tridi-mensional, y por Oi cualquier otro sistema de coordenadas el, 02, (j3 en el mismo espacio. Aquí, los su-perindices numéricos son indicativos y no exponentes. Las potencias de x se pueden expresar usandoparéntesis como en (X)20(X)3. Los superíndices son pues, índices como ya se ha advertido. Las ecuacionesde transformación de coordenadas

22 FUNDAMENTOS MA TEMA TICOS CAP. 1

(1.72)

asignan a un punto cualquiera (Xl, X2, x3) en el sistema Xi, un nuevo conjunto de coordenadas ((¡t, ()2, e:!) enel sistema ()i. Se supone que las funciones ei que relacionan los dos conjuntos de variables (coordenadas)son funciones de valor único, continuas y diferenciables. El determinante

aal ao! a()l

axl a::t;2 ax3

Jaa2 ao~ a(J2axl ax2 ax3

aa3 a(P a03

axl ax2 ax3

(1.73)

o, en forma abreviada,

J I aei II axi I

(1.74)

se denomina eljacobiano de la transformación. Si el jacobiano no se anula, la (1. 72) tiene un conjunto in-verso único de la forma

(1.75)

Los sistemas de coordenadas representados por Xi y el en (1.72) Y (1.75) son completamente generales ypueden ser cualquier sistema curvilíneo o cartesiano.

De la (1. 72) el vector diferencial dOi está dado por

e« .-,d:r'ax'

(1.76)

Esta ecuación es un prototipo de la que define la clase de tensores conocidos como vectores contravarian-teso Se dice, en general, que un conjunto de cantidades asociadas a un punto P son las componentes de untensar contravariante de orden uno si se transforman bajo una transformación de coordenadas dada porla ecuación

(1.77)

donde las derivadas parciales se calculan en P. En (1.77), b' son las componentes del tensor en el sistemade coordenadas Xi, mientras que b" son las componentes en el sistema O'. En la teoría general de tensores,los tensores contravariantes se reconocen por el empleo de índices escritos como superíndices. Por estarazón, aquí se señalan las coordenadas como Xi en vez de Xi, pero ha de tenerse en cuenta que esto sola-mente es así para las diferenciales dx', y no para las coordenadas mismas que tienen carácter de tensor.

Por una generalización lógica del concepto de tensor expresado en (1.77), la definición de tensorescontravariantes de orden dos requiere que las componentes del tensor obedezcan a la ley de transfor-mación

aG' éJ8i--E"SaxT axs (1.78)

Los tensores contravariantes de tercero, cuarto y de órdenes más altos se definen de forma similar.

La palabra contravariante se usó para distinguir a esta clase de tensores de otra clase de tensoresconocida como tensores covariantes. En la teoría general de los tensores, los tensores covariantes sereconocen por el empleo de subíndices. El protopipo de vector covariante es la derivada parcial de unafunción escalar de las coordenadas. Así, si cp = <t>(xl, x2, xJ) es una función tal,

acp axiaxi a()i (1.79)

•......

CAP.! FUNDAMENTOS MATEMATICOS 23

En general, se dice de un conjunto de cantidades b, que son las componentes de un tensor covariante deorden uno si se transforman según la ecuación

(1.80)

En (1.80), i; son las componentes covariantes en el sistema (}i, Y b. las componentes en el sistema Xi. Lostensores covariantes de segundo orden obedecen a la ley de transformación

(1.81)

Los tensores covariantes de orden más alto y los tensores mixtos, tales como

T'~SP (1.82)

se definen de forma obvia.

1.12 EL TEN SOR METRICO. TENSORES CARTESIANOS

Representemos por Xi a un sistema de coordenadas Cartesianas rectangulares en un espacio eucli-diano tridimensional, y por (}i, a cualquier sistema de coordenadas curvilíneas o rectangulares (es decir,coordenadas cilíndricas o esféricas) en el mismo espacio. El vector x que tiene las componentes CartesianasXi se denomina vector de posición del punto arbitrario Ptx', x2, x3} referido a los ejes Cartcsianos rectan-gulares. El cuadrado del elemento diferencial de la distancia entre dos puntos muy próximos P(x) y Q(x-+dx) será

(dS)2 (1.83)

De la transformación de coordenadas(1.84)

que relaciona los sistemas, la distancia diferencial es

(1.85)

y por lo tanto (1.83) se convierte en

(1.86)

donde el tensor de segundo orden gpq = (axi/aOP)(axi/ao~) se denomina el tensor métrico o tensor fundamen-ta/ del espacio. Si Oi representa un sistema cartesiano rectangular, digamos el sistema X'i, entonces

axi axi--ax'p ax'q (1.87)

donde Opq es la delta de Kronecker (ver Sección 1.13) definida por Opq = O si p # q Y Opq = 1 si p = q.Cualquier sistema de coordenadas para el cual el elemento diferencial de distancia al cuadrado toma

la forma de (1.83) se denomina un sistema de coordenadas homogéneas. Las transformaciones de coor-denadas entre sistemas homogéneos son transformaciones ortogonales, y cuando consideramos talestrans-formaciones, los tensores así definidos se denominan tensores cartesianos. En particular, éste es el caso

. de las leyes de transformación entre sistemas de coordenadas cortesianas rectangulares con un origen

. común. Para los tensores cartesianos no hay ninguna distinción entre las componentes covariantes y con-, travariantes y por lo tanto es habitual emplear exclusivamente subíndices en las expresiones que represen-tan a los tensores cartesianos. Como se verá en seguida en las leyes de transformación que definen a los

24 FUNDAMENTOS MATEMA TICOS CAP.l

tensores cartesianos las derivadas parciales que aparecen en las definiciones de los tensores generales talescomo (1.80) y (1.81), se sustituyen por constantes.

1.13 LEYES DE TRANSFORMACION DE LOS TENSORES CARTESIANOS.LA DELTA DE KRONECKER. CONDICIONES DE ORTOGONALIDAD

Sean los ejes OX1X2X3 y Ox~x2x5 que representan a dos sis-temas de coordenadas cartesianas rectangulares con el origencomún en un punto arbitrario O como se representa en la Fig,1-9. Se puede imaginar, que el sistema con primas se obtienedel anterior ya sea por una rotación de los ejes alrededor delorigen, o por una reflexión de los ejes en un plano ccorde-nado, o por una combinación de ambos. Si el símbolo aij

denota los cosenos de los ángulos entre los i-ésimos ejes coor-denados con primas y los j-ésimos sin ellas, es decir, aij = cos(x[, Xj), la orientación relativa de los ejes individuales de cadasistema respecto al otro está dada convenientemente por latabla

XI X2 X3

f

al2XI Q'11 Q-13

fX2 a21 a22 a23

X3 Q31 a32 a33

o alternativamente por el ten sor de transformación

( u" a1~ un)A a'21 0.22 ao';

a:31 a3~ a:33

Fig.1-9

De esta definición de aij, el vector unitario e~a 10 largo del eje x{ está dado según la (l.48) Y el conve-nio de suma por

(1.88)

De una generalización obvia de esta ecuación se tienen los vectores base unitarios arbitrarios e; según

(1.89)

En la forma de componentes, el vector arbitrario v indicado en la Fig. 1-9 puede ser expresado en elsistema sin primas por la ecuación

y en el sistema con primas por"V

V = v¡e¡

(1.90)

Sustituyendo e; en (1.91) por su forma equivalente (1.89) da como resultado

(1.91)

(1.92) :II

La comparación de (1.92) con (1.90) revela que las componeotes del vector en los sistemas con primas y [

CAP.) FUNDAMENTOS MA TEMA TICOS 25

sin ellas están relacionados por las ecuacionesI

v, = aijVi (1.93)

La expresión (1.93) es la ley de transformación de los tensores Cartesianos de primer orden y, como tal,se ve que es un caso especial de la forma general de las transformaciones de los tensores de primer orden,expresada por (1.80) y (1.77). Si en el desarrollo precedente se intercambian los vectores base con primaspor los que no las tienen, se encuentra la inversa de (1.93) que es

I

Vi = aijv¡ (1.94)

Es importante poner de manifiesto que en (1.93) el índice libre en ai¡ aparece como segundo índice. En(1.94), no obstante, el índice libre aparece como primer índice.

Mediante una elección adecuada de los seudoíndices, (1.93) y (1.94) se pueden combinar para obtenerla ecuación

(1.95)

Puesto que el vector v es arbitrario, (1.95) tiene que reducirse a la identidad Vj = Vj. Por lo tanto, elcoeficiente aijaik, cuyo valor depende de los subíndices j y k, tiene que ser igual a 1 o O según si los valoresnuméricos de j y k son iguales o diferentes. La delta de Kronecker, definida por

{l parai = j

8ij (1.96)O para i oF j

se puede usar para representar cantidades tales como aijaik. Así, con la ayuda de la delta de Kronecker lascondiciones implícitas en el coeficiente de (1.95)" se pueden escribir

(1.97)

En forma desarrollada, (1.97) consta de nueve ecuaciones que son conocidas como condiciones de or-togonalidad u ortonormalidad de los cosenos directores a.; Finalmente, (1.93) y (1.94) también se puedencombinar para obtener Vi = aijUkjV~ en la que las condiciones de ortogonalidad aparecen en la forma alter-.nativa

v Con la ayuda de las condiciones de ortogonalidad, resulta un cálculo sencillo invertir (1.102), dando así la

(1.98)

Una transformación lineal tal como (1.93) o (1.94), cuyos coeficientes satisfacen (1.97) o (1.98), se diceque es una transformación ortonormal. Las rotaciones de los ejes coordenadas y las reflexiones de losejes en un plano coordenada conducen ambas a transformaciones ortogonales.

La delta de Kronecker se denomina algunas veces operador de sustitución puesto que, por ejemplo,

(1.99)e igualmente,

(1.100)

De esta propiedad está claro que la delta de Kroneckcr es la parte correspondiente en notación indicial alfactor idéntico I simbólico, que se dio en (1.54).

Según la ley de transformación (1.94), la diada U¡Vj tiene componentes, en el sistema de coordenadascon primas, dadas por

(1.101)

Por una generalización obvia de (1.101), cualquier tensar Cartesiano de segundo orden T¡j obedece a laley de transformación

(1.102)

26 FUNDAMENTOS MATEMA TICOS CAP.)

regla de transformación de las componentes con primas a las componentes sin ellas:

(1.103)

Las leyes de transformación para tensores cartesianos de primer y segundo orden se generalizan para untensor de orden N-ésimo, según

ITijk.. = aipajqakm .•. Tpqm .. (1.104)

1.14 ADICION DE TENSORES CARTESIANOS.MULTIPLICACION POR UN ESCALAR

Los tensores cartesianos del mismo orden se pueden sumar (o restar) componente a componentesegún la regla

Aijk ... ± Bijk ... = Tijk .. (1.105)

La suma da lugar a un tensor del mismo orden que los tensores sumandos. Obsérvese que los índicesiguales aparecen en la misma secuencia en cada término.

La multiplicación de cada componente de un tensor por un escalar dado origina un nuevo tensor delmismo orden. Para el factor escalar A, son ejemplos típicos en ambas notaciones indicial y simbólica, lossiguientes

b, = Aai o

Bi, = "-Aií o

b = Aa

B = AA(1.106)

(1.107)

1.15 MULTIPLICACION DE TENSORES

El producto externo de dos tensores de un orden arbitrario es un tensor cuyas componentes se for-man multiplicando cada componente de uno de los tensores por todos los componentes del otro. Estaoperación origina un tensor cuyo orden es la suma de los órdenes de los tensores factores. Son ejemplostípicos de productos externos

(a) aibj = t; ( e) tu.r«; = iPijkm

(b) ».r; = (tijk (d) tijkVm = 0ijkm

Como se indica en los ejemplos anteriores, los productos externos se forman escribiendo sencillamente lostensores factores en yuxtaposición. (Nótese que una diada se forma por este procedimiento con dos vec-tores).

La contraccion de un tensor respecto a dos índices libres es la operación que consiste en asignar aambos índices, una misma letra como subíndices, cambiando de esta manera estos índices por seudoin-dices. La contracción origina un tensor que tiene un orden dos veces menor que el original. Ejemplostípicos de contracción son los siguientes:

(a) Contracciones de Tij y uni,

t; Tu + Tn + T33

(b) Contracciones de Eijak

EijUj b¡

e,«e,»,

j

CAP. 1 FUNDAMENTOS MATEMA TICOS 27

(c) Contracciones de EijFkm

EíjFím c;EíjFki ti;EiiFkm Kkm

EijFkk r;EijFjm o:EijFkj u;

El producto interno de dos tensores es el resultado de una contracción, que da lugar a un índice porcada tensar, realizando después el producto externo de los dos tensores. A continuación se resumen comoreferencia varios productos internos importantes en la mecánica del medio continuo en ambas notaciones,la indicial y la simbólica.

Producto Externo Producto InternoNotación lndicial Notación Simbólica

l. aibj aibi a'b2. aiEjk aíEik h a'E f

aiEji hj E'a h

3. e-r.; EijFjm a; E'F G

4. EijEkm EijEjm e.; E'E (E)2

Las contracciones múltiples de tensores de cuarto orden u órdenes superiores son, algunas veces, degran utilidad. Dos de tales ejemplos son

1. EíjFkm

2. EijEkmEpq

contraído a EijFij, o

contraído a EijEjmEmq, o

E:F(E)3

1.16 PRODUCTO VECTORIAL. SIMBOLO DEPERMUT ACION. VECTORES DUALES

Con objeto de expresar el producto vectorial a X b en la notación indicial, tiene que introducirse eltensar de tercer orden (ijk' conocido como símbolo de permutación o tensor alternante. Este útil tensar sedefine por .

1 si los valores de i, i. k son una permutación par de 1, 2, 3 (esdecir, si aparecen en la secuencia 1 231 2).

-1 si los valores de i, i. k son una permutación impar de 1, 2, 3 (esdecir, si aparecen en la secuencia 3 2 1 3 2).

O si los valores de i, i. k no son una permutación de 1, 2, 3 (esdecir, si dos o más de los índices tienen el mismo valor).

De esta definición, el producto vectorial a X b = e se escribe en notación indicial como

(1.108)I'Usando esta relación, el triple producto escalar a X b . e = x.se puede escribir

I ,\. = € ijkaíb jek (1.10f1)

~uesto que este triple producto escalar su puede expresar en la forma de un determinante, según (1.52),~o es sorprendente que el símbolo de permutación se use frecuentemente para expresar el valor de unI '

~etcrm inante de 3 X 3 com ponen tes.¡

I

28 FUNDAMENTOS MATEMA TICOS CAP.]

Conviene poner de manifiesto que lUk obedece a la ley de trasformación de los tensores cartesiano.de tercer orden mientras que la transformación sea una transformación propia (det aij = lt tal comeaparece en una rotación de ejes. Si la transformación es impropia (det tu¡ = -1), es decir, una reflexión el:uno de los planos coordenadas, hace que un sistema de coordenadas positivo se transforme en otronegativo y se tiene que introducir un signo menos en la ley de transformación de l¡¡f:' Tales tensores sedenominan seudo-tensores.

El vector dual de un tensor cartesiano de segundo orden arbitrario Tij se define por

(1.1101

que se considera como el equivalente indicial de TVI el "vector de la diádica T", tal como se definió en(1.15).

1.17 MATRICES. REPRESENTACION MATRICIALDE LOS TENSORES CARTESIANOS

Un agrupamiento rectangular de elementos contenidos entre dos corchetes grandes y que depende deciertas leyes de transformación, se denomina una matriz, Una matriz M x N es la que tiene M filas (ho-rizontales) y N columnas (verticales) de elementos. En el símbolo Aij, usado para representar a un ele-mento típico de la matriz, el primer sub índice indica la fila y el segundo la columna ocupada por elelemento. La matriz misma se representa encerrando el símbolo típico de un elemento entre corchetes, otambién por la letra cursiva de la matriz. Por ejemplo, la matriz M x N, eA, o [Aij] es el agrupamiento in-dicado por

eA (1.111)

Una matriz para la que M = N, se denomina matriz cuadrada. Una matriz 1 x N,escrita (alk], se llama!una matriz fila. Una matriz M x 1 escriba [CLkl] , se llama una matriz columna. Una matriz que solamente:tiene ceros como elementos se llama matriz nula. Una matriz cuadrada con todos sus elementos nulos ex-!cepto los de la diagonal principal (desde AIl hasta ANN ) se denomina una matriz diagonal. Si los elernen-]tos no nulos de una matriz diagonal son todos la unidad, la matriz se denomina matriz identidad 01unidad. La matriz N x M, cAJ'formada cambiando las filas por columnas de la matriz M x N,c4 se denomi-¡na la matriz transpuesta de eA. :

Las matrices que tiene el mismo número de filas y columnas se pueden sumar (o restar) elementoa elemento. En la multiplicación de la matriz [Ai¡] por un escalar .\ resulta la matriz [,\Au]. El producto de:dos matrices, cA'13, está definido únicamente si las matrices son conformes, es decir, si la matriz prefactor,eAtiene el mismo número de columnas que la matriz posfactor '13 tiene de filas. El producto de unamatriz M x P por otra matriz P x N es una matriz M x N:La multiplicación de matrices se .indica mediantela sencilla colocación de los dos símbolos de las matrices en yuxtaposición, como en

cA'13 = e o (1.112

En general, la multiplicación de matrices no es conmutativa: cA'13 ,,¡: '13cA.

Una matriz cuadrada eA cuyo determinante IAijl es cero se denomina matriz singular. El cojactor deielemento Aij de la matriz cuadrada eA, denotado aquí por A~j, se define por

(1.113f

CAP. 1 FUNDAMENTOS MATEMA TICOS 29

en la que M« es el menor de Aij; es decir, el determinante de la matriz cuadrada que queda después deeliminar la fila y la columna en las que se encuentra Aij• La matriz adjunta de04 se obtiene sustituyendocada elemento por su cofactor intercambiando después filas por columnas. Si una matriz cuadrada 04 =[Aii] es no-singular posee una matriz inversa eA -1 única, que se define como la matriz adjunta de eAdividida por el determinante de 04. Así,

eA-¡ (1.114)

De la definición de matriz inversa (1.114) se puede ver que

(1.115)

donde ¿j es la matriz identidad, que tiene unos en la diagonal principal y nulos los demás elementos, yque se denomina así por la propiedad

,1eA = eA/J = eA (1.116)

Está claro que ,1 es la representación matricial de la delta de Kronecker 8., y que 1, lo es de la diádica- IJ

unidad. Una matriz 04 que satisface la condición 04T = eA-1 se llama matriz ortogonal. Según esto, si eAcs ortogonal,

(1.117)

De acuerdo al hecho de que cualquier diádica se puede expresar en la forma nonion (1.53) y, equi-valentemente, puesto que las componentes de un tensar de segundo orden se pueden ordenar en dis-posición cuadrada (1.62), resulta en extremo útil representar a los tensores de segundo orden (diádicas)por matrices cuadradas de 3 x 3. Un tensor de primer orden (vector) se puede representar ya sea por unamatriz fila 1 x 3 o por una matriz columna 3 x 1. Aunque cada tensar cartesiano de orden dos o menor(diádicas, vectores, escalares) se puede representar por una matriz, no toda matriz representa a un tensar.

Si ambas matrices, en el producto eA'13 = e son matrices 3 x 3 que representan a tensores de segundoorden, la multiplicación es equivalente al producto interno expresado en la notación indicial por

(1.118)

donde el rango del índice es tres. El desarrollo de (1.118) reproduce la multiplicación de "filas por colum-nas" de matrices donde los elementos de la i-ésima fila de la matriz prefactor son multiplicados a su vezpor los elementos de la k-ésima columna de la matriz pos factor y estos productos sumados dan el elemen-to de la i-ésima fila y k-ésima columna de la matriz producto. Varios productos de estos aparecen re-petidamente en la mecánica del medio continuo los cuales son indicados aquí en varias notaciones comoreferencia y comparación.

(a) Producto escalara·b b·a A [a1i][bi¡J = [A]

[a" a" a,] G:J ~ [a,b, + a,b, + a,b,] (1.119)

(b) Producto escalar vector-diádico.a' E = b ac = <J3

[aIE!1 + a2E21 + a3E31,

a1El2 + a2E22 + a3E32,

. a1E13 + a2E23 + aoE33]

(1.120)

30 FUNDAMENTOS MATEMA TICOS CAP.!

(c) Producto escalar diádico- vectorialE"a = e Ea = c

[Eij][aj¡) = [CiI]

[

alEll + aZEl2 + a3El3

J1

alE21 + azE22 + a3E2;1alE3l + a2E3Z + a3E33

(1.121)

1.18 SIMETRIA DE DIADICAS, MATRICES y TENSORES

Según (1.36) (o (1.37», se dice que una diádica D es simétrica (anti-simétrica) si es igual a (la negativade) su conjugada De. Análogamente, el tensar de segundo orden Di; es simétrico si

(1.122)

y es an tisimétrico, si(1.123)

Por lo tanto la descomposición de D» análoga a (1.38) es

Dij = {(Dij + Dji) + {(Dij - Dji)

o, en una forma equivalente abreviada, empleada con frecuencia,

(1.1.'24 )

(1.125)

donde el paréntesis que abarca a los índices denota la parte simétrica de Dii. y los índices entre corchetesindican la parte antisimétrica.

Puesto que el intercambio de índices en un tensor de segundo orden es equivalente al intercambio defilas por columnas en su representación matricial, una matriz cuadrada eA será simétrica si es igual a sutranspuesta O/lT. En consecuencia, una matriz simétrica 3 x 3 tiene solamente seis componentes indepen-dientes como se indica en

eA eAT[

AIl

A12

AI3

(1.126)

Una matriz antisimétrica es igual a la negativa de su transpuesta. Por consiguiente, una matriz 3 x 3 an-tisimétrica 'B, tiene ceros en la diagonal principal y, por lo tanto, solamente tres componentes indepen- .dientes, como se ve en

[-B~2-B13

BI2

O-B23

(1.127)

Las propiedades de simetría se pueden extender a tensores de un orden mayor que dos. En general, se.dice que un tensar arbitrario es simétrico con respecto a un par de índices, si el valor de la componentetípica permanece invariable al intercambiar estos dos índices. Un tensor es antisimétrico respecto a un parde índices si el intercambio de éstos conduce a un cambio de signo sin un cambio en el valor absoluto de!la componente. Ejemplos de las propiedades de simetría en tensores de orden superior son

(a) Rijkm = Rikjm

(b) (ijk = -(kji

(simétrico en k y j)

(antisimétrico en k e 1)

CAP. 1 FUNDAMENTOS MATEMATICOS 31

(c) Gijkm = Gjimk (simétrico en ¡y i: k Y m)

(d) j3ijk = j3ikj = j3kji = j3jik (simétrico en todos los índices)

1. 19 VALORES y DIRECCIONES PRINCIPALES DE LOSTENSORES SIMETRICOS DE SEGUNDO ORDEN

En el análisis que sigue, solamente se consideran tensores simétricos con componentes reales. Esto sim-plifica un poco los tratamientos matemáticos, y puesto que los tensores importantes en la mecánica delmedio continuo son normalmente simétricos, esta restricción solamente supone una pequeña pérdida degeneralidad.

Para cada tensor simétrico Ti; definido en algún punto del espacio, hay un vector dado por elproducto interno que está asociado a cada dirección (especificada por un vector normal unitario ni) enese punto

(1.128)

Aquí, Tij se puede considerar como un operador vectorial lineal que origina el vector Vi asociado a ladirección ni. Si la dirección es tal que Vi es paralelo a 1/,;, el producto interno se puede expresar como unmúltiple escalar de 1/,;. En este caso,

(1.129)

y la dirección de 1t¡ se denomina dirección principal o eje principal de Tij• Con la ayuda de la identidadni == Sijnj, (1.129) se puede poner en la forma

(1.130)

que representa un sistema de tres ecuaciones para las cuatro incógnitas, 1/,; y A, asociadas a cada direcciónprincipal. El sistema que se ha de resolver, expuesto en forma desarrollada es

(Tu - A)n¡ + TI2n2 + T13n3 O

T21nl +(T22 - A)n2 + TZ3n3 O (1.131)

T31 nI + T32nZ + (T33 - ~\)n3 O

Nótese ~ue para cualquier valor de A, la solución trivial ni = O, satisface a las ecuaciones. No obstante, setrata de obtener soluciones no triviales. También, de la homogeneidad del sistema (1.131), no se incurreen ninguna pérdida de generalidad limitándonos a las soluciones para las que 1/,;ni = 1, imponiéndose estacondición a partir de ahora.

Para que (1.130) o, sus equivalentes, (1.131) tengan una solución no trivial, el determinante de loscoeficientes tiene que ser nulo,esto es

ITij-ASijl = O

El desarrollo de este determinante conduce a un polinomio cúbico en A,

.>.a - lT.\.2+ lIr.\. - IIIr = O

que es conocido como la ecuación característica de T;j, Y para el que los coeficientes escalares,

(1.132)

(1.133)

(1.134)

(1.13.5)

IIlr detTij (1.136)

32 FUNDAMENTOS MATEMA TICOS CAP.!

se llaman el primer, segundo y tercer in varia n tes, respectivamente, de Ti; Las tres raíces de la cúbica(l. 133), denotadas por A(I), 1\(2), A(3), se llaman, los valores principales de Tij• Para un tensar simétrico decomponentes reales, los valores principales son reales; y si estos valores son distintos, las tres direccionesprincipales son mutuamente ortogonales. Cuando se refieren a sus ejes principales, tanto el tensar comosu matriz aparecen en la forma diagonal. Así,

oo '[ (1.137)T (T o

Si A(l) = A(2), el tensar tiene una forma diagonal que es independiente de la elección de los ejes de AC]) YA(2) ,una vez que se haya establecido el eje principal asociado con A(3). Si todos los valores principales songuales, cualquier dirección es una dirección principal. Cuando se ordenan los valores principales, es cos-urnbre escribirlos como Am, A(m, Am[) Yestablecer el orden A(I) > Acm > AmI)'

Para los ejes principales señalados por Oa;;:t~~'x~, la transformación a partir de los ejes OXI~r2~r3 estádada por los elementos de la tabla

XI Xl X:l

x* Ull = n(O a-12 = n~1) a'I3 = nCll1 I 3

x* a21 = n(2) an = n(Z)a23 = n~2)2 1 2

x* a':J\ = ni3) a32 = n~3) a3:3 = n~3)3

en la que n¡ilson los cosenos directores de laj-ésima dirección principal.

1.20 POTENCIAS DE TENSORES DE SEGUNDOORDEN. ECUACION DE HAMILTON-CAYLEY

Mediante una multiplicación directa de matrices, el cuadrado del tensar Tij está dado por el produc-III interno Tik Tk¡; el cubo por Tik Tkm Tm¡; etc. Por lo tanto cuando T;¡ está escrito en la forma diagonal ¡U. 137), la n-ésima potencia del tensar será

(T)n (/\~\) 1\~2) ~) o rt= lA~O A~2) ~] (,.,381O O A~3) , O O ,\73) ¡

La comparación de (1.138) Y (1.137) indica que Tij y todas sus potencias de números enteros, tienen lo~mismos ejes principales. ¡

Puesto que cada uno de los valores principales satisface (1.133) y debido a la forma diagonal de lematriz n» dada por (1.138), el tensor mismo satisfará (1.133). Entonces,

'[3 - IrT2 + IIrT - IIId = O (1.13[)

en la que /J es la matriz identidad. Esta ecuación se conoce como ecuación de Hamilton-Cayley: La rnul-rmlicación de las matrices de cada término de (1.139) por T origina la ecuación,

(1.140) ¡•••

CAP. I FUNDAMENTOS MATEMATICOS 33

Combinando (I .140) Y (1.139) por sustitución directa,

T" = (I~ - IIT)'P + (IIIT - IrlIT)'T + ITIIITc.IJ (l.Hl)Continuando de esta manera obtenemos las potencias positivas de 'T como combinaciones lineales de 'T2, 'T

e/J.

1.21 CAMPOS TENSORIALES. DERIVADAS DE TENSORES

LJn campo tensorial asocia un tensor T(x, t) a cada par (x, t), donde el vector de posición x varía enuna región particular del espacio y ( varía en un intervalo particular de tiempo. Se dice que un campo ten-sorial es continuo (o diferenciable) si las componentes de T(x, t) son funciones continuas (o diferenciables)de x y t. Si las componentes son funciones de x solamente, se dice que el campo tensorial es estacionario.

Respecto a un sistema' de coordenadas cartesianas rectangulares, para el que el vector de posición deun punto arbitrario es

(1.H2)

los campos tensoriales de varios órdenes se representan en notación simbólica e indicial por(a) campo escalar: </> = </>(Xi, t) o q) </>(x, t)

(b) campo vectorial: 1.'; = v¡(x, t) o v = v(x, t)(e) campo tensorial de segundo orden:

T¿ = Tij(x, t) o T = T(x, t)

(1.H3)(1.H4)

(1.145)

La diferenciación de las componentes de un tensor respecto a las coordenadas Xi, se expresa por eloperador diferencial iJ/éJ;?;;, o brevemente en la forma indicial por i}¡, que representa a un operador ten-sorial de orden uno. En la notación simbólica, el símbolo correspondiente es el operador vectorial bienconocido 'V, pronunciado nabla y escrito explícitamente

A dCi

aXi(1.H6)

Con frecuencia, la diferenciación parcial respecto a la variable Xi se representa, por el convenio de subfn-dices, con una coma, tal como se representa en los ejemplos siguientes.

(a) d.p (d) a2Vi.p. -- = Vi,jkaa:; ,t aXjaXk

(lJ) dVi (e)aTij

Ti). kV .. =sx. t •• dXk

(e) s», (1) »t;TiJ•ltmV .. =dXj t,J dXkdXm

ln estos ejemplos se ve que el operador él¡ da lugar a un tensor de un orden más alto si i permanece como.ndice libre (véase (a) y (c) ), y un tensor de un orden inferior en uno si i se convierte en un seudoindice, \ case (b) ) en la deri vada.

A menudo aparecen varios operadores diferenciales importantes en la mecánica del medio continuolos que se presentan a continuación como referencia.

grad </> = "Y</> a.p A

o ai.p = cp. I (1.H7)-e¡éJx¡

divv'= "Y. v o aiv¡ =. v¡,¡ (1.H8)

rol v = "Y x v o (I)k aj v" = (i}Ie V",j (1.H9)

'\]21> = "Y. "Y</> odu'"

= "'.u (1.150)

34 FUNDAMENTOS MATEMA TICOS CAP. ~

1.22 INTEGRALES CURVILINEAS. TEOREMA DE STOKES

Dada una región del espacio, se define la función vectorial de posición, F = F(x), en cada punto de lacurva e indicada en la Fig. 1-10. Si dx es el vector tangente diferencial a la curva en el punto arbitrario P,la integral

i F'dx fxn

F· dxXA

(1.151)

tomada a lo largo de la curva desde A hasta B, se conoce como la integral curvilinea de F a lo largo de C.En la notación indicial, (J .151) se convierte en ,

Fig.1-10

(1.152)

Fig. 1-11,

El teorema de Stokes dice que la integral curvilínea de F tomada alrededor de la curva cerrada C, tal Icomo se representa en la Fig. 1-11, puede ser expresada como la integral extendida a una superficie S dedos caras, que tiene a la curva e como contorno. Explícitamente, .

f F· dx Ss n' (\7 x F) dS (1.153):

en la que ñ es el vector normal unitario del lado positivo de S y dS el elemento diferencial de superficie, ,:tal como se ve en la figura. En la notación indicial, (1.153) se escribe

rf Fid~;i Ss n¡€ijkFk.jdS (1.154)1i

1.23 TEOREMA DE LA DIVERGENCIA DE GAUSSI

El teorema de la divergencia de Gauss relaciona una integral de volumen con una integral de super- 'ficic. En su forma tradicional el teorema dice que para el campo vectorial v = v(x),

Iv divvdV 1: ñ· v dS (1.155)

donde íi es el vector normal unitario y exterior a la superficie S que contiene el volumen Ven el que estádefinido el campo vectorial. En la notación indicial, (1.155) se escribe

Iv v¡.¡dV

~

(1.156

CAP. l FUNDAMENTOS MA TEMA TI COS 35

El teorema de la divergencia de Gauss tal como se expresa por (1.156) puede ser generalizado a uncampo tensorial de cualquier orden. Así, para el campo tensorial arbitrario Tijk el teorema se escribe

(1.157)

Problemas Resueltos

ALGEBRA DE VECTORES y DIADICAS (Sec. 1.1-1.8)

1.1 Determinar en forma cartesiana rectangular, elvector unitario (a) que es paralelo al vector v =21 + 3 j -- 6k, (b) a lo largo de la línea que unelos puntos PO, 0, 3) Y Q(O, 2, 1).

(a) 'v] = 'C' :c:: V(2y:i:¡:(3)2 + (_-6)2 = 7

v = v/v == (2/7) i + (3/7) j - (6/7)k

(b) El vector que va de P a Q es

u - (O- 1)i + (2- O)j + (1 - 3)k-i+2j-2k

U y(-1)2 + (2)2+ (-2)2 cee 3

Así,A

U -(1/3) i + (2/3) j - (2/3) k(1/.3) i - (2/.3) j + (2/3) ko

A

U

.,....-...,.----''''' Q(O, 2, 1)

y

dirigido de P a QFig. 1-12

dirigido de Q a P

1.2 Probar que el vector v = ai+ b j + ek es perpendicular al planode ecuación ax ..¡ by + cz = A.

Sean 1'(x1, y¡, ;~¡) y Q(X2' 1Iz, "2) dos puntos cualesquiera en el plano. Entoncesr; "1 + (¡VI 1-C'I := x y aX2 + bY2 + CZ2 = ~ y el vector que une estos puntos es u;xz - Xl) i + (112 - 11¡) j + (Z2 - Z¡) k. La proyección de v en la dirección de u es

u'vu

1 A A

-; [(x2 - Xl) i + (112 - y¡) j

-1- (z2-z¡)kl' [ni + bj + ck]1- (ax" + by., -t- cz., - a:c¡ - by¡ - cZ¡)u - - -

Puesto que u es un vector cualquiera en el plano, Ves ..L al plano.

y

Fig. 1-13

1.3 Si r = xi + y j + zk es el vector que va desde el origen a un punto arbitrario P(x, y, z) y d == ai+ b j+ ck es un vector constante, probar que (r - d) . r = O, es la ecuación vectorial de la esfera.

[)l'sarl"Ollando el producto escalar indicado

(r-d)'r = [(x-Cl)i+(y-b)j+(z-c)kj'[xi+yj'+zkj

= X2 + y2 + Z2 - ClX - by - cz = O

Añadiendo d2/4 = (a2 + b2 + c2)/4 a cada miembro de esta ecuación, resulta

(x -- a/2)2 + (y -- b/2)2 + (z - c/2)2 = (cl/2)2

que es la ecuación de la esfera con centro en dl2 y radio dl2.

36 FUNDAMENTOS MATEMA TI COS CAP. 1

1.4 Probar que [a- b x c]r = (a' r)b x e + (b· r)c X a + (e- r)a X b.Consideremos el producto a X [(b X e) X r]. Desarrollando directamente el producto vectorial entre corchetes,

a X [lb X e) X rl = a X [(b' r)e - (e' rjb] = -(b' r)e X a - (c : r)a X b

Además, haciendo b X e = v,

a X [(b X e) X rl = a X (v X r) = (a· r)b X e - (a· b X e)r

Así, -(b' r)e X a (e' r)a X b = (a· r)b X e _. (a· h X e)r y

(a· b X e)r = (a· r)b X e + (b : r)e x a + (e' r)a X b

Esta identidad es útil para especificar el desplazamiento de un cuerpo rígido en función de tres puntos arbitrarios delcuerpo.

1.5 Demostrar que si los vectores a, b y e son lineal mente dependientes, a' b X e::::: O. Comprobar la in-dependencia o dependencia lineal de la base

3i + j - 2k4i - j - ki -2j + k

u

v

w

Los vectores a. b, y e son linealmente dependientes si existen las constantes ;l., }1 y v, no todas nulas, tales que xa + I'b+ ve = O. Las ecuaciones de las componentes escalares de esta ecuación vectorial son

A(J,x + pbx + ,·ex O

Aay + }1by + =. O

},az + I,bz + vez O

Este conjunto tiene una solución no nula para A, }1 Y l' , si el determinante de los coeficientes se anula

a·x b¡ex I

ay by cy O

az bz e, ¡que es equivalente a a' b X e = O. Para la base propuesta u, v, w,

3

4

1

1 -2-1 -1

-2 1

o

Entonces los vectores u. v, w son linealmente dependientes, y por supuesto v u + w.

1.6 Demostrar que una diádica cualquiera de N términos puede ser reducida a una diádica de tres tér-minos en una forma que tiene a los vectores base el, ez, e:l como (a) antecedentes, (b) consecuen-tes.

Sea o = a.b¡ + a2bZ + ... + 3NbN = a.b, (i = 1,2, ... , N).

(a) En función de los vcctores base, 3¡ = (J,¡¡e¡ + aZ¡e2 + u:Jie3 := aj¡~j y así D = aj¡ejb¡ = ej(aj¡b;l = ejej conj = 1,2,.3.

(h) De igual modo haciendo b, = bj¡ej se sigue que o::::: a¡bj¡ej = (bj¡a¡)ej = gjej donde i= 1,2,.3.

1.7 Probar para la diádica arbitraria D y el vector v, que D • v :::::v· De.

Sea, D = a.b¡ + 32bz + ... + 3NbN. Entonces

CAP. I FUNDAMENTOS MATEMATICOS 37

1.8. Probar que (De' O)c = De' O.

De (1.71). o = D¡je¡ej y De = Dj¡e¡e¡. Por lo tanto,

y

1.9. Probar que (O x v), = -v X De.

O X V = al(b¡ X V) + a2(b~ X v) + ... + a",(b,y X v)

(O X v)¿ (b[ X v)al + (bz X v)a2 + + (b", X v)aN

-(V X bl)a¡ - (V X bZ)a2 - - (v X bN)aN

1.10. Si O = a1i+bjj+ckk yreselvectordeposiciónr = xi+yj+zk,demostrarquer'D'r=lrepresenta el elipsoide ax2 + by2 + cz2 = 1.

(xi + yj + zk)' (aii + bjj + ckk)' (xi + yj + zk)

(x i + y j + z k) . (ax i+ by j + czk) = ax2 + by2 + cz2 1

1.11. Dadas las diádicas D = 311' + 2jj - jk + 5kk Y Fparar los dobles productos escalares D: F y D·· F.

4ik + 6 jj - 3kj + kk, calcular y corn-

De la definición ab: cd = (a· c)(b' d) se ve que D: F = 12 + 5 = 17. También, de ab > • cd = (b : c)(a • d) se sigue-queO•• F = 12 + ::l+ 5 = 20.

1.12. Determinar las diádicas G = D' F Y H = F' O si D y F son las diádicas dadas en el Problema 1.11.De la definición de ab > cd = (b· c)ad,

G (úi + 2jj - jí? + 5kk). (4ií? + 61"j - 3kj + kk)AA AA AA AA A.A AA

12 i k + 12 j j + 3 j j - j k - 15 k j + 5k k

Análogamente, H 4ik + 6jj - 3kj + kk) . (3ii + 21"1"- jk + 5kk)20ik + 121"j - 6jí? - 6kj + 8kk

1.13. Probar directamente a partir de la forma nonion de la diádica O que O(O' k)k y también que i·D· i = u.; i· D' j = o.; ete.

Escribiendo O en la forma nonion y reagrupando términos,

O = (Dx) + Dyxj + Dak)i + (Dxui' + Dy3 + Dzyk)j + (DxJ + DyJ' + Dzzk)k

Y ahora

A A

j • o· í = Dyx. DJi~' etc.

38 FUNDAMENTOS MA TEMATICOS CAP. 1

1.14. Para una diádica antisimétrica A y el vector arbitrario b,demostrar que 2b· A

Del Problema 1.6(a), A = ~¡el + ~2C2 + ~3C3; y puesto que es antisimétrica, 2A = (A - Ac)

o2A (~lel + ~2C2 + e3c:! - cle¡ - e2e2 - C3e.1)

(elc¡ - c¡el + e2c2 - C2e2 + e3c3 - C;:e3)

yasi, 2b· A [(b' e¡)c¡ - (h > c¡)e¡] + [(b' ez)cz - (b : c2)e2] + [(b' e3)c3 - (b : C3) e31

¡( ~l X el) X b + (e2 X c2) X b + (e;l X C:3)X b] = (Au X b)

1.15. SiD=6if+3ij+4kkYu(O X u)· v.

2i + k, VA

5 j, demostrar por cálculo directo que O' (u X v)

Puesto que u X v (2i + k) x 51' lOk - 51,

D' (u X v) = (611 + 311'+ 4kk)' (-51 + lOk) -30i + 40kAA AA AA A A AA AA AA AA

Acontinuación DXu = (6ii+3ij+4kk)x(2i+k) = -6ik+f;kj-6ij+3iiy AA AA AA AA A A A

(O X u)· v = (3 i i - 6 i j - 6 i k + 8 k j) • 5 j = -30 i + 40k

1.16. Considerando la diádicaAA AA AA AA AA

O = 3 i i - 4 i j + 2 j i + j j + kk

l2i + 81' - si + 21' + 5k4i + 101' + 5k

y

como un operador vectorial lineal, determinar el vector r'que resulta cuando O actúa sobre

4i + 2j + 5k.r

r' D' r

Fig. 1-14

1.17. Determinar la diadica O que sirve como operador vectorial lineal para la función vectorial a f(b) = b + b X r donde r = xi + yj + zk y b es un vector constante.

Según (1.59) y (1.60) se escriben los vectoresA A A A A A

U f( i ) i + i Xr i - z j + ykA A A A A A

V - f( j ) j + j Xr zi .• j - xkA A A A A A

w f(k) k + k Xr -yi + xj +k

y

A A A A A AA A A AA A A AA

o = ui + vj + wk = (i - zj + yk)i + (zi +- j - xk)j + (-yi +xj + k)k

a = D' b = (bx + buz - b,y)l + (-bl"z -t- by + box)j + (bxY - byx + bz)k

Entonces

Como comprobación se puede obtener el mismo resultado desarrollando directamente la función vectorial.

a = b+bxr = bJ+buÍ··¡ b,k+(byz-b,y)i+ (b,x-bA1'+(b,y-byx)k

1.18. Expresar la triada unitaria eq,' eo' eT

en función de 1,1, k y comprobar que la triada c~rvilínea es digiro positivo probando que e,!> x ea = e,.

Por una proyección directa, Fig. 1·15,

A A A A

e~, = (cos e eos IJ) i + (cos 1> sen IJ) j - (sen cf» k

CAP. 1 FUNDAMENTOS MATEMATICOS 39

e-e = (- sen 0)1 + (cos e) j"- "- "-(sen e cos o) i + (sen e sen o) j + (cos e) k

"-i "-j "-k

y

y además

cos.p cos o cos <p sen o - sen <p

-sen o cos o °"- A[(cos20 +sen20) cos ej k = e,.

Fig. 1-15

1.19. Descomponer la diádica Dti simétrica.

Sea o = E + F donde E = r, y F = -Fe' Entonces

AA AA AA A_ A.A "''''

3 i i + 4 i k + 6 j i + 7 j j + 10 k i + 2 k j en sus partes simétrica yan-

AA AA AA AA A.A: AA.

(112)(6 i i + 4 i k + 4 k i + 6 j i + 6 i j + 14 j jAA AA AA AA

+ 10 k i + 10 i k + 2 k j + 2 j k)AA AA AA A. A. A.A AA AA AA

.=: 3 í i + 3 i j + 7 i k + 3 j i + 7 j j + j k + 7 k i + k j = fe

F (1/2)(0 - DelAA AA A,A.. AA AA AA AA. AA

(1/2)(4 i k - 4 k i + 6 j i - 6 i j + 10 k i - 10 i k + 2 k j - 2 j k)AA AA AA AA A,¡I'>.. AA

-3 i j - 3 i k + 3 j i - j k + 3 k i + k j = -Fe

1.20. Respecto a un conjunto de vectores base al, az, a3 (no necesariamente unitarios) se dice que el con-junto al, a2, a3 es una base recíproca si a¡' a' = 8ij. Determinar las relaciones necesarias para iaconstrucción de los vectores base recíprocos y llevar a cabo el cálculo para la base

a2/'general.

.ión , a¡ • al = 1, a2 • al = 0, a3 • al = O. Entonces al es perpendicular a a2 Y a3' Por lo tanto será paralelo a, ~k,jr al = A(a2 X a3)' Puesto que a¡ • a¡ = 1, al' Aa2 X a3 = 1 Y A = 1I(a1 • a2 X a3) = 1/[a1a2a3]. Así, en

a? X aaal = ----

[a1a2a3J'a3

Para la base b¡. b2, b3, l/A = b¡ • b2 X b3 = 12 y

b1 = (b2 X b3l!12

b2 (ba X b¡)/12

b3 (bl X b2)112

"- .•... .•...- i/3 + j /4 + k/12

"- "- "-2 i/3 - j/2 + 5k/6

NOTACION INDICIAL-TENSORES CARTESIANOS (Sec. 1.9-1.16)

1.21. Para índices de orden tres, dar el significado de los siguientes símbolos tensoriales cartesianos:Aii, B;jj, R¡j, a¡r.; a¡bjSij.

Aii representa la suma sencilIa Aj¡ = All + A22 + A33'

BUj representa a tres sumas: (1) Para i = 1, B 111 + B¡22 + B133'

(2) Para i = 2, B211 + B222 + B233.

(3) Para i = 3, Ball + B322 + B333'

40 FUNDAMENTOS MATEMATICOS CAP.!

R¡j, representa a las nueve componentes: Rll, R¡2' R¡3' R2¡, R22, R23, R31, R32, R33'

a¡Ti.j representa a tres sumas: (1) Para j = 1, al Tll + aZT2¡ + aST3¡.

(2) Para j = 2, a¡T¡z + a2T22 + a3T3Z'

(3) Para j = 3, a¡T¡3 + aZTZ3 + a3T33'

a¡bjSij representa una suma sencilla de nueve términos. Sumando primero respecto a i, a¡bjS¡j = a¡bjS¡j + aZbjS2j +a3bjSSj' Sumando ahora cada uno de estos tres términos respecto a)

a¡bjSij = a¡b¡Sll + a¡b2S¡2 + a¡bSS¡3 + a2b¡S21 + a2b2SZ2

-/- aZb3S23 + a'3blSS1 + a3b2S32 + a3b3S33

1.22. Calcular las expresiones siguientes en las que interviene la delta de Kronecker 8ij para índices deorden tres.

(a) 0ii = 011 + 022 + 833 = 3

(b) OijOij = o¡jll¡j + 02j82j + 03j1l3j = 3

(e) 0ijOikOjk = O¡jOlkOjk + 02jo2klljk + 03jll3kOjk 3

(d) 8ijojk = 0ilolk + 8i282k + lli31l3k = Ilik

(e) 0ijAik = 0101k + 02jA2k + 03jA3k = Ajk

1.23. Para el símbolo de permutación Eijk, probar mediante un desarrollo directo que (a) EiikEkij 6,(b) Eijkaja" = O.

(a) Primero se suma en i,

A continuación, se suma en). Los términos no nulos son

Sumando finalmente en K, los términos no nulos son

~ijk'kij == '123'312 + '132'213 + ~213'3Z1 + '231'123 + '312'231 + ~321~132

= (1)(1)+ (-1)(-1) + (-1)(-1) + (1)(1)+ (1)(1)+ (-1)(-1) 6

(b) Sumando a su vez en) y k,

~ijkaja" = ~ilkal ak + Ei2kQ.ZQ." + ~i3ka3ak

<ilZalaZ + f¡lSQ.IQ.3 + 'iZla'Zal + 'iZ3aZa'3 + 'i31a3al + 'i32a3a2

De esta expresión,

cuando i 1, fljkap" a2a3 - a3az O

cuando 2, E2jkaja" ala3 - a3al O

cuando i = 3, <3jkaPk alaz - a2a¡ O

Obsérvese que '¡jkajak es la forma indicial del vector a multiplicado vectorialmente por sí mismo, o sea a X a = O.

1.24. Determinar la componente 12 para las expresiones vectoriales dadas a continuación.

(a) ti =/2

<;j"Tjk

<ZjkTjk = fZ13T13 + '231T31

(b) tit2

C' .b, - e, ·b·~d J 1,1. 1

c2.1 b1 + cz.zb2 + CZ.3b3 - CI.2b¡ - c2.zbz - C3.Zb3

(CZ.I - c¡.2)b¡ + (C2.3 - c3.z)b3

CAP, 1 FUNDAMENTOS MA TEMATI COS 4i

(e) I¡12

Bi¡l/B2¡/~ + B2zf; + B23fJ

1.25. Desarrollar y simplificar en lo posible la expresión D;íx¡x; para (a) Di,

Desarrollando, D;jx¡xj = D1;x¡xj + D2jXZXj + D3;X3Xj

DlIx¡x¡ + D¡2x¡xZ + D¡3X¡Xa + DZ¡xZx¡ + D22XZX2

+ D23xzxa + Dalxax¡ + D32x3X,z + D33x3x3

(a) DijXiXj

(b) DijXiXj

Dl1(X¡)2 + Dzz(xZ)2 + D3a(X3r~ + 2D12X¡x2 + 2D23xZXS + 2D13X¡x3

O puesto que Dll = -Dll' D12 = -D2V ete.

1.26. Probar que fijk'kpq = 8ip8j'j - 8;q8jp para (a) i = 1, j = q = 2. p = 3 Ypara (b) i = q = 1, j = p = 2.(En el Problema 1.59 se indica que esta identidad se mantiene para cada elección de índices.)

(a) Introdúzcase i = 1, j = 2, p = 3, q = 2 Y nótese que como k es un índice de suma tomará todos los valores.Entonces,

O

(b) Introducir i = 1, j = 2, P = 2, q = 1. Entonces €¡ík'kpQ = €123€321 = -1 Y ll;pll;Q -Iliqll;p = 1l121l21 -1l111l22

= -1.

1.27. Probar que el tensor Bi; = '¡ílea; es antisimétrico.A partir de la definición de 'ijle el intercambio de dos índices origina un cambio de signo,

Bu" = Eijkaj = -(Ek;iaj) = -(Bki) = -Bki

1.28. Si Bi, es un tensor cartesiano antisimétrico para el que el vector b,-;»..

Multiplicando la ecuación dada por 'pqi y usando la identidad dada en el Problema 1.26.

1.29. Determinar directamente las componentes del tensormétrico en coordenadas polares esféricas, como se in-dica en la Fig. 1-7(b).

Entonces X 1. I/¡ sen 1/2 COS 1/3

iJX' iJx·Escribir (/.87) como Upq = -' -' y señalar las coordenadas

aop iJOq

como se indica en la Fig. 1-16 (r = °1• <P= °2, e = o;¡).

X2 e¡ sen °2 sen °3

De aquí, Fig. 1-16

1/1 cos e2 ros l/a -e 1 sen 1/2 scn e.1

42 FUNDAMENTOS MATEMATICOS CAP. I

iJx2 aX2171cos 172 sen 17:] - 171sen 172 cos 173iJ172 iJ/73

,h'3 aX3

°a172-91 sen 17~

de3

de las cuales U 11 sen 2 172 cos? 17;¡ -;-- sen 2 172sen 217;; + COS2 172 1

iJxi OXi

0172 0172

iJxi iJxi

0173 éJ173

También, Upq = ° para p ~ q. Por ejemplo,

g¡2 = iJXi aXi

a171 aoz(sen 172 COS 173)(17¡ cos 17~ cos e;¡)

+ (sen s, sen 173)(8¡ cos 172 sen e;¡) - (eos 172)(81 sen 82)

°Así, para coordenadas esféricas, (ds)2

1.30. Probar que la longitud de un elemento de línea ds queresulta del incremento de la coordenada curvilínea de¡está dada por ds = ,¡g;;dei (sin suma). Aplique esteresultado al sistema de coordenadas esféricas delProblema 1.29.

Escríbase (1.86) como (ds)2 = Upq d8p dl7(/" Así, para elelemento de línea (dI71, O. O), se sigue que (dS)2 = gll(dl7¡)2 Y ds =V~ del' Análogamente, para (O, d17z, O), ds == .¡¡¡;;dl7z; y para(0, 0, d173), ds = ~d83' Por lo tanto (Fig. 1-17),

(1) Para (de¡, 0, O), ds a», = dr

(2) Para (O, dl7z, O), ds = 17¡ d172 = rd",

(3) Para (0,0, dI73), ds 171 sen 172 de3 = r sen '" dl7

Fig. 1-17

1.31. Si el ángulo entre los elementos de línea representados por (del, 0, O) y (O, de2, O) se denota por (3¡2'

d t a .012emos rar que 1-'¡2 = ,-- ra:;:;V g¡¡ \ .022

Sea ds¡ = .,,¡¡¡;¡ de¡ la longitud del elemento de línea representado por(dl7¡, 0, O:·y dsz == yg;; do¿ el de (O, d172, O).Es-iJxi

cribase (l.85) como d.x¡ == -él dlJ¡,. Y puesto que (ds)2 == cos /312 ds¡ clsz•I7k

(ds)2 dx¡ tlx¡ = Ilil dx¡ =,iJxl ax¡ aX2 aX2 ax;¡ aX3-a -a d81 d172 + -;- -a a», d172 + - - d81 e»,

8, 172 vOl 172 ae1 0172 -

Usando ahora el resultado del Problema 1.30, COS /3¡2

CAP. 1 FUNDAMENTOS MATEMATICOS 43

1.32. Mediante una rotación de un ángulo 9 alrededor del eje X:3 se obtiene un conjunto de ejes carte-sianos con primas O:r~:r~xf. Determine los coeficientes de transformación aij que relacionan los ejesentre sí y dé las componentes con primas del vector v = V1Cl + V2CZ + V3C;1.

De la definición de aij = COS(Xi'X) (ver Seco 1.13) yla Fig. 1-18, la tabla de los cosenos directores es

Xl X2 X3

,COS o sen o OXl

,-senO COS O OX2

X~ O O 1

Así, el tensar de transformación es

Según la ley de transformación de vectores (1.94), Fig. 1-18

v; a¡jvj V¡ cos e + 'L'2 sen s

IaZjvj -vi scn e + Vz cos oV2

v' a3jVj V33

1.33. En el cuadro de la derecha, se da parcialmentela tabla de cosenos directores que relaciona dosconjuntos de ejes cartesianos rectangulares.Determine los valores de la última fila de latabla de forma que Ox~x~:r; sea un sistema degiro positivo.

X¡ X2 X3

I 3/5 -4/5 OX¡

x' O O 12

I

X3

El vector unitario -;;; a lo largo del eje x~ está dado por la primera fila de la tabla como -;;; = (3/5) -;;1 - (4/5) -;;2'Igualmente se ve que -;;; = e,1'Para un sistema de giro positivo con primas -e; -e; x -e; o "e; =[(3/5) e¡ .- (.1/5) ezJ

x ¡;-:J =- (-a/5) e2 - (4/5) el y la tercera fila es W --4/51-3/5 I~

1.34. Sean dados, por la tabla de la derecha, los án-gulos entre las direcciones coordenadas conprimas y sin ellas. Determine los coeficientesde transformación aiJ Y probar que se cumplenlas condiciones de ortogonalidad.

Los coefi-ientes dij son los eosenos directores y sepueden calcular directamente de la tabla. Entonces

Xl X2 X3

x~ 135° 60° 1200

:r' 90° 45° 45°2

x!¡ 45° 60° 1200

li2 -1/2 )1//2

-1/2(

-1/~

1//21Iv'z112

44 FUNDAMENTOS MATEMATICOS CAP.!

Las condiciones de ortogonalidad o.¡/Lik:= s jk requieren:

1. Para j = k == 1que o.¡¡ol1 + o.~¡o.2¡ + 0.310.31 = 1 lo cual es la suma de los cuadrados de los elementos de la primer¿columna.

2. Para j = 2, le = 3 Que o.12a13 + a22o.23 + a:32a3:3= O que es la suma de los productos de los elementos correspondiente;de la segunda y tercera columnas.

3. Dos columnas cualesquiera en las que se "multiplican elemento a elemento y los productos se suman", el resultado e'cero. La suma de los cuadrados de los elementos de cualquier columna es la unidad.

Para las condiciones de ortogonalidad en la forma .ajiaki = Iljk, se multiplican las filas en lugar de las columnas.Todas estas condiciones se satisfacen en la solución dada anteriormente.

1.35. Probar que la suma AA.ij + ¡'lBij representa a las componentes de un tensar de segundo arden si A¡j

y B; son tensores de segundo orden conocidos.

quc demuestra que la suma se transforma como un tensar cartesiano de segundo orden.

1.36. Probar que (p¡¡¡,+. Pi/e; + Pii/,) 2'¡XiXk = 3P¡ikX;XjXk.

Puesto que todos los índices son seudoíndices y el orden de las variables Xi carece de importancia, cada término dela suma es equivalente a los otros. Esto se puede probar rápidamente introduciendo nuevos seudoíndices variables. Así,sustituyendo i, i. k en el segundo y tercer terminas por p, q, r, la suma se convierte en

Ahora, cambiando de nuevo los seudoíndices en estos mismos términos resulta la forma

1.37. Si E¡) es antisimétrico y A¡j es simétrico, probar que A.¡jBij = O.

Puesto que A¡¡ = Aj¡ Y B¡i = -Bi¡, A¡iB¡j = -Aj¡Bj¡ o A¡iB¡j + AjíBj¡

son seudoíndices, Á¡>QBj)Q== A¡jB¡j y ZA¡jB¡j = O o A¡jBíj = O.

1.38. Probar que la forma cuadrática Di.x,», es invariable si Di; es sustituido por su parte simétrica D(ij\.

Descomponiendo D¡j en sus partes simétricas yantisimétricas,

Entonces

1.39. Usar la notación indicial para probar las identidades vectoriales

(1) a X (b X e) = (a· e)b - (a· b)c, (2) a X b· a o(1) Sea v = b X c. Entonces Vi = <ijkbjCk; y si a ~<v e" W, entonces

(ver Problema 1.26)

= ar¡bpcq - aqbr¡cp

(af/cf/)bp - (a."b,¡lcJ)

._~.

CAP. l FUNDAMENTOS MATEMATICOS 45

Trasladando esta expresión a la notación simbólica,

w = a X (b X el = (a' e)b - (a • b)c

(2) Sea a X b = v. Así, Vi = E¡jkGjbk; y si A = v· a, entonces" = <¡,iI,,(ajQjbk)· Pero €Uk es antisimétrico en t v j, mientrasque (ajujbk) es simétrica en i y j. Entonces el producto <jjkQ¡Qjbk se anula, como también se puede probar por undesarrollo directo.

" <íj¡ap'jb¡ + €ijZa¡ajb2 + <ij:¡(l¡a¡b:¡

«32¡a3a2 + <Z3¡(l2a3)b¡ + '"

1.40. Probar que el determinante

det A¿

Se puede expresar en la forma ~¡jkAliA2jA3k.

De (1.52) y (1.109) el triple producto [abc] se puede escribir

1:: Q2 a3

A a' b X e [abe] EijkQ¡bFk b2 b3

I el e2 e3

Si ahora se introducen las sustituciones a¡ = Al¡, b, = At, Y e¡ :- A~¡

También se puede obtener este resultado desarrollando directamente el determinante. Una expresión equivalente para eldeterminante es €ijkA¡¡Aj2Ak3'

1.41. Si el vector Vi está dado en términos de los vectores base a, b, e por Vi aa¡ + f3bi + yC¡, probar

que a<¡jkvibjCk

<pqrf1pbqcT'

V¡ = ",al + ¡3b¡ + yc¡

Vz o'a2 + f3bt + yCz

1,';\ ",a:\ + f3b3 + YC3

Por la regla de Cramer

i t'l b¡ C¡

Vi b2 e2

I V3 b3 e3Eijk vib jek

a: - y de (1.52) y (1.109), a=al b¡ el EpqrapbqCr ~

Q~ b2 C2

a3 b:) C3

De igual modo

46 FUNDAMENTOS MATEMATICOS CAP. 1

MATRICES Y METODOS MATRICIALES (Sec. 1.17-1.20)

1.42. Dados los vectores a = 3i + 4k, b = 2j - 6k Yla diádica D = 3il + 2lk -4jj - 5kj, calcular

por multiplicación de matrices los productos a' D, D' b ya' D' b.

Sea a' D = v; entonces [VI' t'2' v31[

3 O

[3, O,4] O -4

O -5:] •. [9, -20, 'J.

Sea D· b = w;11V1]

entonces ¡W2L7(!3

O

-4-5~][~l [-~:l.O -6J -10

[-76].

1.43. Determinar los valores y las direcciones principales del tensor Cartesiano de segundo orden T , cuya Irepresentación matricial es

3 -1 O 1[Tij] -1 3 O

O O 1De la (l. J 32), para los valores principales A,

o oo

1- A

(1 - A)[(3 - A)2 - 1] o3- A -1 °-1 3 - A

que da lugar a la ecuación cúbica A3 - 7A2 + 14A - 8 = (x - l)(A - 2)(A - 4) = O cuyos valores principales son A(¡) = I1, \(2) = 2, A(3) = 4.

A continuación sea n¡lJ las componentes del normal unitario en la dirección principal asociada con \(1) = 1. En-

tonces las dos primeras ecuaciones de (l. /31) nos dan 2n;u - n~ll = O Y -ni 1) + 2n~1) =- o, de las que n~l) = n rn -.2 -,

IO; Y de

Para A(2) = 2, (1.131) nos da n;2) - n~2) = 0,

puesto que n¡n¡ = 1 Y n;2l = O.

Para \(:3) = 4, (/.13/) nos da _n;3) - n~3) = 0, _n;3) - n~3l = O, Y 3n~3) = O. Así, n~3) = O, n ~:l> =+1/12.

(2)O, Y -n3 O. Así, ±1/Y2 :

¡

!X¡ X2 X:l

x* O O ±1• 1

xi ±1/12 ±1/V2 O

x* +1/12 ±1/Y2 O3

¡[¡

-n~' ¡I¡!

Los ejes principales x'r se pueden referir a los ejes x¡ a través de la tabla de los cosenos directores.

CAP. I FUNDAMENTOS MATEMA TICOS 47

de la que la matriz (tensor) de transformación es:

l OO

±:J C,:v. O

±:jeA = ±1/V2 ±l/Vz o aij =1/12+1/V2 ±1/V2 +1/V2 ±1/V2

1.44. Probar que los ejes principales determinados en el problema 1.43 forman un conjunto de ejes or-togonales de giro positivo.

La ortogonalidad requiere que sean satisfechas las condiciones iLijaik = Oj¡,. Puesto que se usó la condición n¡n¡ = 1para determinar los a'ij' la ortogonalidad se satisface automáticamente para j = k. Multiplicando los elementos corres-pondientes de cualquier fila (o columna) por los de cualquier otra fila (o columna) y sumando estos productos se de-muestra que las condiciones son satisfechas para j # k según la solución del problema 1.43.

Finalmente para que el sistema sea de giro positivo, i;(2) X n (3) == nO). Así,

A '"

:31el ez

1/V2 1/V2 (-~+ -!)~:l '"

!e3

-1/V2 1/V2 O IComo se indicó por los valores positivos o negativos de aij en el problema1.43, hay dos conjuntos de ejes principales, xi y xi"'. Como se ve en lafigura, ambos conjuntos coinciden con las direcciones principales, siendox7 un sistema de giro positivo y ~;T* negativo.

Fig. 1-19

1.45. Probar que la matriz del tensar Tu del problema 1.43 se puede expresar en la forma diagonal (prin-

cipal) por la ley de transformación T:; = aipajqTpq, (o en símbolos matriciales 'T* = cA'TcAT).

o o

:1-:-1

:1:l/v. -l/v.

J[Ti)] l l/v. 1!-12 3 1/12 l/Vz

-1/-12 1/-12 o o o

o O 1: 1/V2 -l/v.

J l:o

:J[v. V2 1/V2 1/V2 = 2

-2V2 2V2 O O o

1.46. Probar que si los valores principales '\(1), '\(2),'\(3) de un tensor de segundo orden simétrico son todosdistintos, las direcciones principales son mutuamente ortogonales.

La demostración se hace pata :\(2) y :\(3)' Para cada valor de éstos la (J .129) se satisface, de tal manera que Tíjn j2)= :\(2) n~2) y Tijnj3) = :\(3) n{3). Multiplicando la primera de estas ecuaciones por n¡3) y la segunda por n¡Z),

Puesto que Tij es simétrica, se pueden intercambiar los seudoíndices i y j en el primer miembro de la segunda de estasecuaciones y esa ecuación restada de la primera da

48 FUNDAMENTOS MATEMA TICOS CAP. 1

(A(2) - A(3»)n;2)n;3) = O

Puesto que A(2) """ "(3), su diferencia no es nula. Entonces ni2)n;3) = O, que es la condición para que dos direccionessean perpendiculares.

1.47. Calcular los valores principales de (T)2 del Problema 1.43 y verificar que sus ejes principales I

coinciden con los de T.

IT,]' [-; -¡ ;][-: .• [~:~: nLa ecuación característica de esta matriz es

10 - " -6 O-6 10 - A O

O O 1 -"

(1 - A)[(10 - ,,)2 - 36] (1 - A)(;I. - 4)(;" - 16) O

de la que A(U = 1, A(2) = 4, A(3) = 16. Sustituyendo estos valores en (1.131) y usando la condición n¡n¡ = 1,

II

I

I

-1 4 O !-1 O 4 I

IEn primer lugar se determinan los valores y las direcciones principales de T. Siguiendo el procedimiento del Pro- i

blema 1.43, la forma diagonal de T esJ

Para AC]) =-e 1,917.;ll - 6niIJ

-6ni1) + 917.~1)

Para

6ni2) - 6ná2)

-6n;2) -1- 6n;2)

-3n;2)

Para "(3) = 16,

-6ni3) - 6ni3)

-6ni3) - 6ná3)

-15nm3

o n(Ü = n(1) "" O n(1) = ±11 2 '3

o

o

que son las mismas direcciones principales que las de T.

1.48. Considerar queVT cuando

siendo la matriz de transformación

T

[

l/Va

-2/~

l/Va l/v3

J1/V2 -1/V21/-/6 1/{6

CAP. 1 FUNDAMENTOS MATEMATICOS 49

Por lo tanto, Vr* (v3: o: .~:)v o y usando [aij] para relacionar a ésta con los ejes originales por la transfor-

mación -.JT = Ac Vr* A, la ecuación matrieial es

lY2+ 4

J:.. V2-2y'6

V2 - 2

Y2 - 2 ly2-V6+1-/2 + V6 -1- 1

y2 - 2

y2+-/6+1y'2 - -/6 + 1

l/V?> 1/v31l/y2 -l/y211'./6 1/-/6

l5414 -0.586

.402 -0:586 4.863

-0.586 -0.035

-0.586l

-0.035

4.863

CALCULO TENSORIAL CARTESIANO (Sec. 1.21-1.23)

1.49. Probar, para la función ti. = Aijx¡xj donde Aij es constante, que a>JaXi = (Aij + Aj¡)xj Y a2>Jax¡aXj =Aij = Aji. Simplificar estas derivadas para el caso Aij + Aií.

Xj' Continuando la diferenciación,

1.50. Usar la notación indicial para probar las identidades vectoriales (a) " X "<P = O, (b) \7 • " X a = O(al De (1.147), "<1> se escribe <1>,i y así, v = \l X "<1> tiene las componentes Vi = <ijkdj1>,k = <jjk1>,kj' Pero <ijk es antisi-

métrico en j y k, en tanto que <1>.kj es simétrico en j y k; entonces el producto <¡jk<1>,kj se anula. Se puede hallar elmismo resultado calculando individualmente las componenes de v. Por ejemplo, desarrollando VI <123 <1> 23 +<132<1>,32 = (<1>,23 -1>,32) = O. '

1.51. Determinar la derivada de la función x .= (X¡)2 + 2XIX2 - (X3)2 en la dirección del vector normal

unitario n = (217)el - (317)ez - (617)e3 o íi = (2el - 3e2 - 6e3)17.

La derivada buscada es OA A

fJn = \lA' n = A,¡n¡. Así,

dAdn

1.52. Si A;j es un tensor cartesiano de segundo orden, probar que su derivada con respecto a Xk, a saberAij,k, es un tensor cartesiano de tercer orden.

50 FUNDAMENTOS MA TEMATICOS

1CAP.l

Para los sistemas de coordenadas Cartesianas Xi y X;, Xi = ajiX; Y éJx/éJx; = aji' Entonces

que es la ley de transformación de un tensor cartesiano de tercer orden.

1.53. Si r2 = XiX; Y f(r) es una función arbitraria de r, probar que (a) V'(f(r) = f'(r)xlr, y (b) '\r(f(r»)f"(r) + 2f' Ir, donde las primas denotan las derivadas respecto a r.

, al ar a(r2) a1' .(a) Las componentes de vf son sencillamente f.i• ASI, f.i = ar ax.; y puesto que -a- = 21'- = 28ijx¡ se SIgue que

I ~ a~

!1I

oijV IFig. 1-20 I

Si un vector es b = V' x v, probar que i sbm; dS = .{ A.,b, dV donde A = A(Xi) es una función e~calar de las coordenadas. s v :

!

A ' f - a¡ Br - f' /SI, .i - ar ax. - Xi r .•

x·x· (3 x.x.) 2f'(b) \]2f = f .. = U'x.fr) . = f" _-'---..:+ f' - - -'-' = f" + - .• 11 !. 1 r2 r. r3 r

1.54. Usar el teorema de la divergencia de Gauss para

probar que i x;nj dS = VOij donde n, dS representa a

un elemento de la superficie S, que es la superficielímite que contiene al volumen V indicado en la Fig,1-20. Xi es el vector de posición de n,dS, y ni su nor-mal extrerior.

De (1.157),

f x, .zv1,]

v

f oij dVv

1.55.

Puesto que b = V X v, b¡ = 'ijkVk,j y así,

de (1.157)

¡f x .s.ev como x•..•.v .... = O~t 1. 1)1'\. n.,Jl

V

CAP. 1 FUNDAMENTOS MATEMATICOS 51

PROBLEMAS DIVERSOS1.56. Probar para los vectores arbitrarios a y b, que

A = (a X b) • (a X b) + (a· b)2 = (ab)2

lntercambiando el producto escalar y vectorial en el primer término. Entonces,

;.. a' b X (a X b) + (a· b)(a • b)

a' ¡(b' b)a - (b· a)b] + (a· b)(a· b)

(a· a)(b' b) - (b· alta • b) + (a· b)(a • b)

(ab)2

puesto que el segundo y tercer términos se anulan.

1.57. Si Ü = (ti X u y -ir = (ti X v, probar que :t (u X v)

(a) En notación simbólica,

(ti X (u X v).

ddi, (u X v) ü X v + u X V = (OJ X u) X v + u X (., X v)

(v - ••)u (v - u)« + (u· v)., - (u· ••)v

(v· ",)u (u' .,)v •• X (u X v)

(b) En notación indicial, sea w. Entonces

W¡

y usando el resultado del Problema 1.59 (a) de más adelante,

que es la forma indicial de •• X (u X v).

1.58. Establecer la identidad

Sea el determinante Aij que está dado por det Aorigina un cambio de signo. Así,

Al! A!2 Al3

A2! AZ2 A23 • Un intercambio de filas o columnas

As! AS2 A33

52 FUNDAMENTOS MATEMA TICOS CAP. 1

A21 A22 A23 Al2 A1l AI3

AIl AI2 AI3 A22 A21 A23 -detA

A31 A32 A33 A32 A3¡ A33

Y para un número arbitrario de cambios de filas,

Ami Am2 Am3

Anl An2 An3 = fmnr detA

ATI Ar2 Ar3

o cambios de columnas,

AIP Alq AIs

A2p A~q Azs fpqs det A

A~p A;Jq A;IS I

Entonces para una secuencia de intercambio de filas y columnas arbitrarias,

Amp A",q A 111S

A"p A"q Ans fmnT'pr¡s det A

Arp Arq Ars

Donde Aij s= o¡j' det A = 1 Y queda establecída la identidad.

1.59. Usar los resultados del Problema 1.58 para probar (a.) €pqs€"" = S¡",Sqr - 3prSqn, (b) €¡¡qs€sqr == -2op,·.

Desarrollando el determinante de la identidad del Problema 1.58,

(a) Identificando s con m resulta,

0sp(OnqOrs - 8"so"l) + 0sq(onso,p - o"1'o,·s) + 0ss(ll"porq - 0llqO,p)

OTpOnq - o¡",Orq + Oq¡¡OTP - O"pOqr + 30"po,.q - 3onqoTP

(b) Identificando q con n en (a),

1.60. Si la diádica B es antisimétrica B == -BeJ probar que B. x a = 2a' B.

Escribiendo B

y (b¡ X el) X a + (b2 X e2) X a + (ba X (3) X a

= (a· b.) e¡ - (a· e¡)bl + (a· b2) ez - (a' (2)bz + (a· b3) e3 - (a· e~)b3

a • B - a' Be :::: 2a' B

CAP.! FUNDAMENTOS MATEMA TICOS 53

1.61. Usar la ecuacion de Harnilton-Cayley para obtener (B)1 con el tensar Bprobar directamente el resultado elevando al cuadrado (B)2.

~ -~). Corn-

O -2La ecuación característica de B está dada por

1 - A O -1

O 3 -- A O-1 O -2 - Al

Según el teorema de Hamilton-Cayley el tensor satisface su propia ecuación característica. Entonces (8)3 - 2(8)2 - 68 +91 = (), Y multiplicando esta ecuación por 8 da (B)4 = 2(8)3 + 6(B)2 - 98 o (8)4 = 10(8)2 + 38 - 181. Entonces

(B)1

O

9

O

1) (3 O -3) (18 O O) (5 O 7)O + \ O 9 O O 18 O O 81 O5 \ -3 O -6 O O 18 7 O 26

Comprobándolo por multiplicación matricial directa de (8)2,

('B)~

1.62. Probar que (a) Au, (b) AijAij, (e) <ijk<kjpA¡p son invariantes bajo la transformación de coordenadasrepresentada por (1.103), es decir, mostrar que A¡i = A;i, etc.

f"ijkEkjpa'mia'lpA~!n = (OijOjP -. OipOjj)amia'llpA~ln

(úmn - omnoj)A;nn == (omi>nj - OmnOj)A;1Ut = !mjf,:EkjnA;,w

1.63. Probar que el vector dual del tensar arbitrario Tíj depende solamente de Tu« pero que el productoTijSij de Tij por el tensar simétrico Sij es independiente de TtijJ•

De (l. lID) el vcctor dual de Tíj es Vi = 'ijk Tj" o Vi = fijk(TCikJ + Tljk):= fijk Ttjk), puesto que fijkT(jkJ = O (Eijk

es anusirnétrico en j y k, Y T(jIcJ simétrico en j y k).

Para el producto TijSij = T(ij)S;j + Trij]Sij. Aquí, TlijJS¡¡ = O Y TijSU = T(jj)S¡j.

1.64. Probar que D : E es igual a D" E si E es una diádica simétrica.

Escríbase o = Dij~iej y E = Epq~peq- De (.' .31) o: E = DijEpq (e¡ . ep)( ej . eq). De (l.35), o .. E = D¡jEpq (C; • ep)( e¡ .eql = D¡jEqp (ej' ~)(e¡ • e,/) puesto que· Epq = F:qv- Ahora, intercambiando el papel de los seudoíndices p y q en esta

última expresión, D" E = DíjEpq (C; • eq)( e¡ . ep).

1.65. Usar la notación indicial para probar la identidad vectorial \l x (a X b) = b· \la - b(\l . a) + a( \l .b) - a' \lb.

54 FUNDAMÉNTOS MATEMA TICOS CAP.!

Sea V X (a X b) = v; entonces vp = 'pqifij"aqajb" o'!Ip == 'Pqifijdajbk),q = fpqifijk(aj,qbk + ajbk,q)

= (8p/lqk - 8pk8qj)(aj,qbk + ajbk,q) == ap,qbq - aq,qbp + apbq,q - aqbp.q

Entonces v = b· Va - b(V • a) + a(V • b) - a· Vb.

1.66. Por medio del teorema de la divergencia de Gauss probar que íix (a X x) dS = 2aV

donde Ves el volumen encerrado en la superficie S que tiene como normal exterior al vector n. Elvector de posición de cualquier punto de Ves x, y a es un vector constante arbitrario.

En notación indicia! la integral de superficie es f fqpinp fijk ajx" dS. De (1.157) ésta se convierte en la integral des

y puesto que a es constante la última expresión se convierte en

f (OqjOpk - Oqk o»j)ajXk,JJ dV = f (aqxp,p - apxq,p) dVv v

f (aq opp - ap Oqp) dl' = f (3aq - aq) dV = 2uq VV \.

1.67. Probar que para la reflexión de ejes indicada en la Fig. 1-21, la transformación es ortogonal.De la figura, la matriz de transformación es

Las condiciones de ortogonalidad a¡¡a¡k = Ojl<' o Ujiaki =o jk se satisfacen evidentemente. En la forma de matriz,según (1.117),

Fig.I-21

1.68. Demostrar que (1 x v) . O v x D.

AA AA;Ao.A A A A.

I X v (i i + j j + kk) x ('!Ixi + vyj + vzk)A A A A A A. A A A.i ('!Iyk - '!Izj) + j (-vxk + vzi) + k(vxj - vyi)

AA AA. AA

(v Xi) i + (v X j) j + (v x k)k == v X I

Entonces (1 X v) • O v XI· O == v X D.

CAP. 1 FUNDAMENTOS MA TEMA TICOS 55

Problemas propuestos

1.69.AAA AA . . A. A

Comprobar que u = i + j - k Y v = i - j son perpendiculares. Determinar w , de tal manera que u, v, w formen una

triada de giro positivo. Sol. w = (-1/VG)(i + j + 2k)

1.70. Determinar la matriz de transformación entre los ejes u, v, w del Problema 1.69 y las direcciones coordenadas.

Sol. [au]

f1/Y3 1/v3 -1/Y3

J1/fi -1/..[2 °

-1/..[6 -1/..[6 -2/..[6

1.71. Usar la notación indicial para probar (a) V' x = 3, (b) V X x = 0, (e) a· Vx = a donde x es el vector de posición y aes un vector constante.

1.72. Determinar los valores principales de la parte simétrica del ten sor

Sol. A(I) = -15, A(2) = 5, A(3) = 10( : =~-:)-3 -18 1

1.73. Determinar para el tensar simétrico Ti¡

Sol. h(!) = 2, h(Z) = 7, h(3) = 12,

~rl Xz :ra

x* -3/5fi 1/..[2 -4/5V21

* 4/5 ° -3/5x2

x; 3/5..[2 1/V2 4/5V2

1.74. Dado un vector arbitrario v y cualquier vector unitario e, demostrar que v se puede descomponer en una componenteparalela y en otra perpendicular a e, es decir, v = (v· e) e + e X (v X e).

1.75. Si V'V = 0, V X v = W y V x w = -v, probar que V2v = ,:.

1.76. Comprobar el resultado del Problema 1.48 por multiplicación directa y probar que Vr Vr = T.

1.77. Hallar la raíz cuadrada del tensar B ~ ~)O \lj

Sol.(

l(y'5 + 1)

~(y'5-1)

°

J(/5 -1)

~(y'5+ 1)

°

r--"

56 FUNDAMENTOS MATEMA TICOS CAP.}

1.78. Usar el resultado del Problema 1.40, det A == 'ij¡,AliA2jA~k' para comprobar que Jet IÁB) det A det B.

1.80. Sean los ejes OX~ X~X~3 que están relacionados con los OXI'C2.T;¡ por la tabla

/

Xl ;r2 ! :l' :~

I

/ 3/5y2 ! 1/y2 i 4/5y2Xl I/ 4/5 O -3/5~C2

--t------/ -3/5y2 1//2 -4/5Vz~;3

(a) Probar que se satisfacen las condiciones de ortogonalidad aip,k = 8)1' Y a¡¡rla.,~= 5"s .

(b) ¿Cuáles son las coordenadas con primas del punto que tiene como vector de posición x

(e) ¿Cuál es la ecuación del plano xl - X2 .i, 3:"3 = 1 en el sistema con primas?

Sol. (b) (2/5,[2, 11/5, -2/5y2) (e),[2 x~ - :1:; - 2V2x; ::;;1

1.81. Mostrar quc el volumen. V encerrado en la superficie S se puede expresar por V O'C ~ f \l (x - x) . n dS donde x es e• s

vecror de posición y n el normal unitario a la superficie. Sugerencia: Escribir V -:': (1/6) r !Xi:t:,).¡l1j e/S .y usar (1./57)., s

Capítulo 2

Análisis de tensiones

2.1 EL CONCEPTO DE MEDIO CONTINUOLa naturaleza molecular de la estructura de la materia está bien establecida. No obstante, en nu-

merosas investigaciones sobre el comportamiento de un material, no tiene ningún interés la consideraciónindividual de las moléculas, y únicamente se considera de importancia el comportamiento del materialcomo un todo. En estos casos el comportamiento macroscópico observado se explica frecuentementeprescindiendo de toda consideración molecular y, en su lugar, se da por hecho que la materia se halla dis-tribuida en forma continua en todo su volumen, llenando por completo el espacio que ocupa. Este con-cepto de medio continuo de la materia es el postulado fundamental de la Mecánica del Medio Continuo.Dentro de las limitaciones para las que es válida la suposición de medio continuo, este concepto propor-ciona la base para estudiar de manera semejante el comportamiento de sólidos, líquidos y gases.

La adopción del punto de vista de medio continuo, como base para la descripción matemática delcomportamiento de un material significa que cantidades de campo, tales como tensión y desplazamiento,se expresan como funciones continuas para intervalos de las coordenadas del espacio y tiempo.

i2.2 HOMOGENEIDAD. ISOTROPIA.

MASA ESPECIFICASe dice que un medio material es homogéneo cuando

tiene las mismas propiedades en todos sus puntos. Res-pecto a alguna propiedad, un material es isátropo cuandoesa propiedad es la misma en todas las direcciones en unpunto. Se dice que un material es anisátropo cuandopresenta propiedades direccionales en algún punto delmedio.

El concepto de densidad en las proximidades de ununto de un medio continuo se desarrolla a partir de la

57

X2

Fíg. 2-1

58 ANALISIS DE TENSIONES CAP. 2

relación masa-volumen. En la Fig. 2-1 se denota por 6.M. a la masa contenida en el elemento de volumen6.V La densidad media del material dentro de 6.Ves por lo tanto

..'1111p(o,,) -:iV (2.1)

La densidad en algún punto interior P del elemento de volumen ..'l Vestá dada matemáticamente, según elconcepto de medio continuo, por el límite, .

p

La masa específica p es una cantidad escalar.

di'}!dV (2.2)

2.3 FUERZAS MASICAS. FUERZAS SUPERFICIALESLas fuerzas son cantidades vectoriales que se describen mejor mediante conceptos intuitivos tales

como empujar o tirar. Las fuerzas que actúan en todos los elementos de volumen de un medio continuose conocen como fuerzas másicas. De éstas son ejemplos las fuerzas gravitacionales e inerciales. Estasfuerzas se representan por el símbolo b, (fuerza por unidad de masa), o como p, (fuerza por unidad devolumen), las que están relacionadas a través de la densidad por la ecuación

pb = p (2.3)Las fuerzas que actúan en un elemento de superficie, ya sea una porción de la superficie límite del

medio continuo o quizás una superficie interna arbitraria, son conocidas como fuerzas superficiales. Es-tas se designan por ti (fuerza por unidad de área). Las fuerzas de contacto entre sólidos son un tipo defuerzas superficiales.

2.4 PRINCIPIO DE TENSION DE CAUCHY. EL VECTOR TENSION

Fig.2-2 Fig.2-3

En la Fig. 2-2, se representa un medio continuo que ocupa la región R del espacio, y está sometido afuerzas superficiales ti y fuerzas másicas b., Debido a que las fuerzas son transmitidas de una regióndel medio continuo a otra, la materia de un volumen arbitrario V contenida en la superficie cerrada Sinteractúa con la materia exterior a este volumen. Tomando a ni como el normal unitario exterioren el punto P de un pequeño elemento de superficie 6.S de S, sea 6.[i la fuerza resultante ejercida através de 6.S en la materia interior a V por la materia exterior a V. El elemento de fuerza st. evidente-

CAP.2 ANALISIS DE TENSIONES 59

mente dependerá de la elección de f:::.Sy n¡.Se ha de tener presente que la distribución de fuerza en f:::.Snoes necesariamente uniforme. Por supuesto la distribución de la fuerza es, en general, equipolente a unafuerza y un momento en P, corno se indica en la Fig. 2-2 por los vectores f:::.fie f:::.M¡.

La fuerza media por unidad de área enf:::.S está dada por MJf:::.S. El principio de tensión de Cauchyafirma que esta relación MJf:::.s tiende a un límite definido df;/dS cuando f:::.Stiende a cero en el punto P,mientras que al mismo tiempo el momento de f:::.fi respecto al punto P se anula al tornar el límite. El vec-tor.resultante df;/dS (fuerza por unidad de área) se denomina vector tensión t~~)y se representa en la Fig.2-3. Si el momento en P no fuera nulo, al tornar el límite, habría también que definir en el punto, un vec-lar par-tensión, tal corno se indica en la Fig. 2-3 por una flecha de dos puntas. En una rama de la teoríade la elasticidad se consideran tales vectores, pero nosotros no los consideraremos en este texto.

Matemáticamente, el vector tensión se define por

t (~) lim M~ df; t<~) lim M_ df (2.4)t ,",5-0 f:::.S dS o :'5-0 f:::.S dS

La notación ti~) (O t(~») se usa para realzar el hecho de que el vector tensión en un punto P dado del mediocontinuo, depende explícitamente del elemento de superficie particular f:::.S elegido y representado por elnormal unitario n¡ (o n). Para un elemento de superficie orientado distintamente, que tiene un normalunitario diferente, el vector tensión asociado a P, también será diferente. El vector tensión que aparecepor la acción de la materia que está dentro de Va través de AS en P, y sobre la materia exterior es el vec-tor -t¡~).Entonces por la ley de la acción y reacción de Newton,

o

Al vector tensión, se le da con mucha frecuencia el nombre de vector tracción.

(2.5)

2.5 ESTADO DE TENSION EN UN PUNTO. TENSOR DE TENSION

En un punto arbitrario P de un medio continuo, el principio de tensión de Cauchy asocia un vectortensión ti~) a cada vector normal unitario n;, el cual representa la orientación de un elemento de superficieinfinitesimal que contiene a P como un punto interior. Véase la Fig. 2-3. La totalidad de todos los paresposibles de tales vectores ti~) y ni en P, define el estado de tensión en este punto. Afortunadamente, no esnecesario especificar cada· par de vectores, tensión y normal al plano, para describir completamente el

, estado de tensión en un punto dado. Esto se puede conseguir especificando el vector tensión en cada unode tres planos perpendiculares entre sí que se cortan en P. Entonces, las ecuaciones de transformación decoordenadas sirven para relacionar al vector tensión de cualquier otro plano que pase por el punto, conlos tres planos dados.

Eligiendo planos perpendiculares a los tres ejes coordenadas con el propósito de especificar el es-tado de tensión en un punto, los vectores tensión y normal adecuados se representan en la Fig. 2-4.

Fig.2-4

60 ANALISIS DE TENSIONES CAP. 2

Por comodidad, los tres diagramas separados de la Fig. 2-4, se suelen combinar con frecuencia enuna representación esquemática sencilla como se indica en la Fig. 2-5.

Cada uno de los tres vectores tensión asociados a los planos coordenados se pueden escribir según(1.69) en, función de sus componentes cartesianas, como

t (~l) t(~l) " + t(~l)'" + t(~l) " t(~l) "1 el 2 ea ,1 es 'j e,

t<~,) t(~2) e + t(~,) e + t(~,) e t(~2) " (2.6)l l "2 :2 .'3 :3 'j e,

t (~,;l tC;:3) " + t(~3)e + t(~:l)" tC~,,) "1 el 2 2 :3 e8 j ej

Xl Xl

Fig.2-5 Fig.2-6

Las nueve componentes del vector tensión,

(2.7)

son las componentes de un tensor cartesiano de segunfo orden conocido como el tensor de tensión. Ladiádica de tensión equivalente se designa por L, de tal manera que las representaciones de componentes ymatricial explícitas del tensor, toman respectivamente la forma,

C'a 12 a13 \ [""

0"12 O'']L aOl U22U23 )

O [u;J a21 0"22 a.}"> (2.8)-"

a:¡¡ (132 a33 a:) 1 {T;~:2 u~;~

Respecto a los tres planos coordenados, las componentes del tensor de tensión se pueden presentargráficamente como se indica en la Fig. 2-6. Las componentes perpendiculares a los planos (a11, a22, a;¡:J sedenominan tensiones norma/es. Aquellas componentes que actúan en (tangentes a) los planos (aI2, a13, a21'

a23, a31, a:12) se denominan tensiones cortantes o cisiones. Una componente de tensión es positiva cuandoactúa en el sentido positivo de los ejes coordenados, y en un plano cuya normal exterior apunta hacia unode los sentidos positivos de los ejes de coordenadas. La componente a, actúa en un plano cuya normal

. lJ

es paralela al eje de coordenadas i-ésimo y en la dirección delj-esimo eje de coordenadas. Las componen-tes representadas en la Fig. 2-6 son todas positivas.

AP.2 ANALISIS DE TENSIONES 61

2.6 RELACION ENTRE EL VECTOR TENSION y EL TENSOR DE TENSION

La relación entre el !ensor de tensión (Tu en un puntoP y el vector tensión tin

) en un plano de orientación ar-bitraria que contiene a este punto se puede deducir a par-tir del equilibrio de fuerzas 0 de un balance de momentosen un tetraedro elemental del medio continuo que tiene suvértice en el punto P. La base del tetraedro se toma per-pendicular a ni, y las tres caras perpendiculares a los ejescoordenados como se observa en la Fig. 2-7. Denotandopor dS al área de la base ABC las áreas de las demáscaras son áreas proyectadas, d.S, = dS nI para la cara CP-B, dS2 = dS n2 para la cara APC,dS3 = dS n3 para la caraBPA o X¡

Fig.2-7

d.S, =dS (n' ei) = dS cos (n, e¡) = dS n¡ (2.9)

Tanto los vectores tracción medios -tf~';l en las caras y tr~) en la base, como las fuerzas másicas medias(incluyendo las fuerzas inerciales, si las hubiera) que actúan en el tetraedro, están representados en lafigura. El equilibrio estático de estas fuerzas exige que

(2.10)

Ahora bien, si las dimensiones lineales del tetraedro se reducen todas en una misma proporción cons-tante, siendo las fuerzas másicas un infinitésimo de un orden más alto que las fuerzas superficiales, ten-derán a cero más rápidamente. Al mismo tiempo los vectores tensión medios se acercarán más a losvalores específicos adecuados para las direcciones especificadas en P. Por lo tanto, después de esteproceso de tomar el límite y la sustitución de (2.9) en (2.10) ésta se reduce a

(2.n.)

Eliminando el factor común dS y emplenado la identidad ti;;) ;: a, la (2.11) se convierte en)1

(l.12)

La ecuación (2.12) con frecuencia se expresa en la forma matricial

[tih = [n¡kl [O'k¡l

que escrita explícitamente es

(2.13)

(2.14)

La forma de la matriz (2.14) es equivalente a las ecuaciones

t(~) + +1 = n¡(TlI n2(T21 n3('31

n (j...... , + n3

(T331 ¡3 -____..

62 ANALISIS DE TENSIONES

2.7 EQUILIBRIO DE FUERZAS Y MOMENTOS.SIMETRIA DEL TENSOR DE TENSION

El equilibrio de un volumen arbitrario V de un mediocontinuo, sometido a un sistema de fuerzas superficialest;~) y fuerzas másicas b, (incluyendo las fuerzas inerciales,si las hubiera) tal como se indica en la Fig. 2-8 requiereque la fuerza y el momento resultantes que actúan en elvol umen sean cero.

La suma de las fuerzas másicas y superficiales dalugar a la relación integralSs t ¡~)dS + Iv pbi dV O

o (2.16)Ss t(~) dS + Sv pbdV O

Sustituyendo aquí t;~) por (Tjin¡ y convirtiendo la integralde superficie resultante en una integral de volumen por elteorema de la divergencia de Gauss (1.157), la ecuación(2.16) se convierte en

r k. + pb.) dV)\f )1,) 1O o

CAP~

..

Fig.2-8

S,C'V·¿+pb)dV O (2.1/.

Puesto que el volumen Ves arbitrario, el integrando de la ecuación (2.17) tiene que anularse, de formé.que

que son llamadas, ecuaciones de equilibrio.

'V' ¿ + pb = O (2.U

EIi ausencia de momentos distribuidos, el equilibrio de los momentos respecto al origen requiere que"\

or x x t<~) dS + r x x pb dVJs Jv

O

(2.19)

o

en las que :t~ies el vector de posición de los elérx.. .uperficiales y de volumen. Haciendo de nuevo lasustitución t~~) = (Tjillj' aplicando el teorema de Ga~ss-y usando el resultado (2.18), las integrales de (2.19-se combinan y reducen a

Para el volumen arbitrario V, (2.20) exige que

= O

o f ¿vdV = Ov

(2.20

o (2.21

La ecuación (2.21) representa a las ecuaciones (T12 = (T21' (T23 = (T32' (Tl~ = {T31' o en conjunto

{T.. = (T.. (2.221) Jt

que prueban que el tensar de tensión es simétrico. Debido a (2.22) las ecuaciones de equilibrio (2.18) seescriben a menudo como

que en forma desarrollada son

(2.23

C\P.2 ANALISIS DE TENSIONES 63

oU21 +élu22 +

cJu2:J + pb201'1 dXz. OX3

O (2.24)

oa:l1 +oa:l2 +

oa33 pb3élx¡ 0:1:2 dX3 + O

2.8 LEYES DE TRANSFORMACION DE TENSIONESRelacionemos en el punto P los sistemas de coordenadas

PX¡X2X3 Y PX{X~X3 de la Fig. 2-9, por medio de la tabla decosenos directores

,X¡ X2 X3

,X¡ C;11 Q 12 al3

,x~ Q:!l a22 a23

x:~ a:l¡ a:~~ a3a

Hg. 2-9

o por las alternativas equivalentes de la matriz de transformación [a¡j]' o por la diádica de transformación

A = aije¡ej (2.25)

Según la ley de transformación de los tensores cartesianos de orden uno (1.93), las ct~ponentes delvector tensión t ~~)referidas al sistema sin primas están relacionadas con las componentes del otro sistemat;(~)por la ecuación

t'(~) - a··t (~)i - l} j o (2.26)

De igual modo, por la ley de transformación (1.102) de los tenso res cartesianos de segundo orden, lascomponentes del tensor de tensión en los dos sistemas .Óc r: - rpl 'lcionadas por

ai~ = a¡pajqUpq -''0 . L' = A' L' Ac (2.27).En forma matricial, la transformación del vector tensión se escribe

[t;~~)l = [ctij][t~h (2.28)

y la transformación del tensor de tensión como

[a¡J = [a¡p)[apq][ct(J

Explícitamente, las multiplicaciones de las matrices (2.28) y (2.29) son respectivamente

(2.29)

lt"~>-I [a"a¡2

a"r¡:>~11

t~(~) a21 a:?2 ctZ:l t~~) (2.$0)t;(~) ct31 a32 a33 Lt~n)

[' ,

'J la"a12

al"" "la" a21

a"lall U12 a13 (T 12

Y a:1 a;2 a~aa21 a22 a23 a21 0"22 a03 a1" a22 a32 (2.31)

,a31 a32 a3:1 _ a31 a33 a13 a2:1 a.33uJ1 an a3.3 (T 3:?

64 ANALISIS DE TENSIONES

2.9 CUADRICA DE TENSIONES DE CAUCHYSupongamos que el tensar de tensión toma en un punto P de

un medio continuo, los valores aij referidos a direcciones pa-ralelas a los ejes cartesianos locales P¿l ¿/;:l como se representaen la Fig. 2-10. La ecuación

a tí:. = ±k2 (una constante) (2.32)1)-1-)

representa geométricamente las superficies cuádricas similares,que tienen un centro común en P. La elección del signo más omenos garantiza que las superficies sean reales.

El vector de posición r de un punto arbitrario que yace en lasuperficie de la cuádrica tiene las componentes ~¡ = rn, donde n,es el normal unitario en la dirección de r. La componente normal<'.,JI-¡ del vector tensión ti;:) en el punto P tiene una magnitud

(2.33)

Si la constante k2 de (2.32) se hace igual a aNr2, la cuádrica que resulta

,.,. - -1- 1'2O"U'=-iS j - -O"N

Fig.2-10

se denomina cuádrica de tensiones de Cauchy . De esta definición se sigue que la magnitud de as de lacomponente de tensión normal en el elemento de superficie dS perpendicualr al vector de posición r de ur.punto situado en la cuádrica de tensiones de Cauchy, es inversamente proporcional a 1'2, es decir, a" = ==k,2jr~: Además, se puede probar que el vector tensión ti~) que actúa en dS, en el punto P, es paralelo a ladel plano tangente a la cuádrica de Cauchy en el punto fijado por r.

2.10 TENSIONES PRINCIPALES. INVARIANTES DE TENSION.ELIPSOIDE DE TENSIONES

En el punto P, para el cual las componentes del tensar detensión son a, la ecuación (2. 12), t(~) = an, asocia a cada direc-

I} /', ,- .1'. ) H

ción ni un vector tensión t;"i. Las direcciones para las que tin) y no

son colineales, como se ve en la Fig. 2-11, se denominan direc-ciones de tensión principales. Para una dirección principal,

t(~) - .,. o'i - O'ft.f (2.35)

en la que a, la magnitud del vector tensión, se llama valor de ten-sión principal. Sustituyendo (2.35) en (2.12) y haciendo uso de lasidentidades n = on. y u = a, resulta

I 1.1 J 1) }I

(L - la) . íi = ° (2.36) Fig.2-11

En las tres ecuaciones (2.36), hay cuatro cantidades desconocidas, que son, los tres cosenos directores tu yel valor de tensión principal u.

Para las soluciones de (2.36) que no sean triviales como n, = 0, el determinante de los coeficientes,la .. - o ..al, debe ser nulo. Explícitamente,

1) /1

I all - a CT 12 a1J I!aU - °ijal = O O I

U21 CT22 - (T a~:1

¡ (J:> 1 (J32 u:¡:¡- a

o (2.37)

----......--

CAP.2 ANALISIS DE TENSIONES

que desarrollado da un polinomio cúbico en a,

65

~..Ji

a3 - Ira2 + IIra - IIIr O (2.38)

donde Ir U¡¡ = tr í: (2.39)

IIr ~.( <7j¡O"jj - O'¡jO'¡) (2.40)

IIIr la) = det í: (2.41)

son conocidos respectivamente como el primer, segundo y tercer invariantes de tensión.

Las tres raíces de (2.38), a(t)' a(2)' a(:l) son los valores de las tres tensiones principales. Asociada a cadatensión principal aikl' hay una dirección de tensión principal para la cual los cosenos directores nik) sonsoluciones de las ecuaciones

(í: - a . 1) • ñ (k) = O( k) (2.42)(k = 1,2,3)

En (2.42) los subindices o superíndices encerrados en paréntesis, son sencillamente distintivos y como.alcs no participan en ninguna operación de suma. La forma desarrollada de (2.42) para la segunda direc-ción principal, por ejemplo, es

(2.43)

Debido a que el tensar de tensión es real y simétrico, los valores de las tensiones principales son tambiénreales.

Cuando nos referimos a las direcciones de tensión prir . . .es, la matriz de las tensiones [aij] es unamatriz diagonal.

O O l¡

O

o

en la segunda forma se usan sub índices con números ro-manos para señalar que las tensiones principales están or-denadas, es decir, al > al! > am. Puesto que las direccionesde tensión principales coinciden con los ejes principales dela cuádrica de tensiones de Cauchy, los valores de las ten-siones principales contienen a las componentes normalesmáxima y mínima en el punto.

En un espacio de tensiones principales, es decir, un es-pacio cuyos ejes están en las direcciones de tensión prin-cipales y cuyas coordenadas unitarias de medida son las ten-siones (t~~), t~~), t~~») como se representa en la Fig. 2-12, elvector tensión arbitrario t(~) tiene las componentes,

o

O

(2.44)

Fig.2-12

(2.45)

66 ANALIsrs DE TENSIONES CAP.

según (2.12). Pero como (11,1)2 + (11,2)2 + (1h)2 = 1, para el vector unitario 11", (2.45) exige que el vector tensión t;~) satisfaga la ecuación

1 (2.4t

en el espacio de tensiones. Esta ecuación es un elipsoide conocido como el elipsoide de tensiones de Lamé.

2.11 VALORES DE TENSION CORTANTE MAXIMOS y MINIMOS

Si el vector tensión t¡~) se descompone en sus componentes ortogonales, normales y tangenciales, alelemento de superficie dS sobre el que actúa, la magnitud de una componente normal se puede deter-minar de (2_33) y la magnitud de una componente cortante o tangencial esta dada por

Esta descomposición se presenta en la Fig. 2-13 donde losejes se han elegido en las direcciones de tensión principales yse supone que las tensiones principales están ordenadassegún U¡ > Un > Um. Entonces en (2.12), las componentes det(~) son

1

t(~) u[nl1

t(~) ulln2 (2.48)2

t (~) aIl¡n33

y de (2.33), la magnitud de la componente normal es

(2.49)

Sustituyendo (2.48) Y (2.49) en (2.47), la magnitud alcuadrado de la tensión cortante como una función de loscosenos directores ni está dada por

(2.47

Fig.2-13

(2.5(,·

Los valores máximas y mínimos de as se pueden obtener de (2.50) por el método de los multiplica-dores Lagrangianos. El procedimiento consiste en construir la función

(2.51

en la que el escalar ,\ se denomina, multiplicador lagrangiano. La ecuación (2.51) es evidentemente un-función de los cosenos directores ni, de tal manera que las condiciones para los valores estacionarios(máximo o mínimo) de F son aF/ani = o. Haciendo estas parciales iguales a cero, resultan las ecuaciones

que, j un to con la condición nm¡ = 1, se pueden resolver para x y los cosenos directores nI, 11,2, 11,3, asociadosa los valores extremos de la tensión cortante.

Un conjunto de soluciones para (2.52) y las tensiones cortantes asociadas, de (2.50), son

'\

CAP. 2 ANALISIS DE TENSIONES 67

=1, ¡¡.~ 0, }/:; O; para el que (J's = °0, 1l~ :::':::1, iI :¡ ° para el queas = °

111 0, '1/.2 :+=1/V2, 1/:1 :::':::1/V2; para el que as = (all - alll)/2 (9 ~!. )__ o zo sc:

ni - :::':::l/v'2, 1/2 0, n:) :+=IIV!2 ; parae1 que as = (alll - a¡)/2 (2.54b)

1/1 :+=1~\/2, 1/~ :+=1/V2, 11;1 O; ~rael que O's= (al - all)/2 (2.54c)

La ecuación (2.54b) da el valor de la cisión máxima, que es igual a la sernidiferencia de las tensiones prin-cipales más grande y más pequeña. También de (2.54b), la componente de cisión máxima que actúa en elplano que bisecta al ángulo recto formado por las direcciones de las tensiones principales máxima ymínima.

2.12 CIRCULOS DE TENSIONES DE MOHR

Una representacion gráfica bidimensional adecuada delestado de tensión tridimensional en un punto, la propor-cionan los conocidos circulos de tensión de Mohr. Para veresto, de nuevo se eligen los ejes coordenados en las direc-ciones de las tensiones principales en el punto P, como in-dica la Fig. 2-14. Se supone que las tensiones principales sondi ferentes y se ordenan según

(2.55)

Según esta disposición el vector tensiónt~;'jtiene componen-tes normal y cortante, cuyas magnitudes satisfacen lasecuaciones

Fig.2-14

(2.56)

(2.57)

Combinando estas dos expresiones con la identidad nm; = 1 Y despejando los cosenos directores ni, resul-tan las ecuaciones

(a.v - an)(a,,, - alll) + (a"y

(al - ~ll)(al - alll)

(a"-alll)(a,,,-a¡) + (as)2(al) - alll)(an- a¡)

(O'v-a¡)(a,,-c-an) + (TsF(O'm- a¡)(vlll - Un)

Estas ecuaciones son la base de los círculos de tensión de Mohr, representados en el "plano de tensiones"de la Fig. 2-15, en la que el eje a.\ es el eje de las abscisas y el eje Us es el de las ordenadas.

En (2. 58a), puesto que UI - (TlI > ° y al -- UlIl > 6 según (2.55) y ya que (1h)2 es no negativo, el nu-merador del segundo miembro satisface la relación

(2.58a)

(2.58b)

(2.58c)

68 ANALISIS DE TENSIONES CAPr(aN - u,,)(as - a,,¡) + (u,s)2 === O (2.5.~

la cual representa a los puntos de tensión en el plano (a". a,J que están en o en el exterior del círculo

[a.\. - (ull + ulI/)/2P + (a.,y = [(aIl·- am)/2j2 (2.60

En la Fig. 2-15, este círculo se señala por el.

Fig.2-15

Análogarnente, para (2.58b), como aIl - am > O Yan - al < O según (2.55), y puesto que (n2)2 es nonegativo, el numerador del segundo miembro satisface

(2.61:

que representa a puntos situados en o en el interior del círculo

(2.62)

que se denomina Cs en la Fig. 2-15. Finalmente, para (2. 58c) , ya que am-al < O Y (Tm-(Tn < O según(2.55), y como (n3)2 es no negativo,

(as - aI)(aN - an) + (CTs)2 === O

que representa a los puntos en o en el exterior del círculo

(2.631

(2.64)

denominado e3 en la Fig. 2-15.

Puesto que cada "punto de tensión" (par de valores UN y "s) en el plano (au, as) representa a un vec-tor tensión particular ti':), el estado de tensión en P expresado por (2.58) está representado en la Fig. 2-15por el área sombreada limitada por los círculos de tensión de Mohr. El diagrama confirma la existenciade una cisión máxima de (al - alIJ)/2 que se determinó analíticamente en la Sección 2.11. Frecuentemente,debido a que el signo de la cisión no es de una importancia crítica, solamente se dibuja la mitad superiorde este diagrama simétrico.

La relación entre el diagr a ma de tensión de Mohr y la realidad física del estado de tensión se puedevisualizar a través de la Fig. 2-16, la que representa al primer actante de una esfera de un medio continuocon centro en el punto P. La normal ni en el punto arbitrario Q de la superficie esférica ABe simula lanormal del elemento de superficie dS en el punto P. Debido a las propiedades de simetría del tensar detensión y al hecho de que en la Fig. 2-16 se adoptan las direcciones de las tensiones principales, el estadode tensión en P queda completamente determinado a través de la totalidad de las posiciones que Q puedaocupar en la superficie ABe. En la figura, los arcos de circunferencia KD, DE, Y FH son Iugare:

,CAP. 2 ANALlSIS DE TENSIONES 69

geométricos de las posiciones de Q a lo largo de las cuales un coseno director de ni tiene un valor cons-tante. Específicamente,

Fig.2-16

n¡ = cos cp en KD, cos f) en FH~V.j ¡J en~ J tu, n:¡1/·2

y, en los arcos de circunferencia límites BC, CA y AB,

n¡ = cos rr/2 = O en BC, nz =-= cos "/2 O en CA, cos -;;/2 o en AB

Fig.2-17

70 ANALISIS DE TENSIONES CAP. 2

Según la primera de éstas y la ecuación (2.58a), los vectores tensión en Q situados enBCtendráncom-ponentes cuyos puntos de tensión estarán en el CÍrculo CI de la Fig. 2-15. De igual modo el arco CA de laFig. 2-16, se corresponde con el CÍrculo C2, y AB con el C2 en la Fig. 2-15.

Las componentes del vector tensión a.\. Y as para una posición arbitraria de Q se pueden determinarmediante la construcción representada en la Fig. 2-17. ASÍ, el punto e se sitúa en C3 dibujando la rectaradial desde el centro de C3 a un ángulo 2(3. Nótese que los ángulos en el espacio físico de la Fig. 2-16,aparecen dobles en el plano de tensiones de la Fig. 2-17 (el arco AB abarca 90° en la Fig. 2- 16, mientrasque los puntos de tensión correspondientes al y al! están separados enCa por 180°). De la misma formalos puntos g, h Y f están situados en la Fig. 2-17 Ylos pares adecuados unidos por arcos de circunferenciaque tienen sus centros en el eje de las abscisas a.\ • La intersección de los arcos de circunferencia ge y hf dacomo abscisa y ordenada las componentes as y as del vector tensión t~~) en el plano cuya dirección normales n, en Q, Fig. 2-16.

2.13 TENSION PLANAEn el caso de que una y solamente una de las tensiones principales sea cero, se dice que existe un es-

tado de tensión plano. Tal estado se da en un punto sin carga de una superficie libre que limita a un cuer-po. Si las tensiones principales están ordenadas, los círculos de tensión de Mohr tendrán alguna de las for-mas siguientes

tJIlI 0'111

0'11I = o O'JI = o 0'1 = oFig.2-18

Si las tensiones principales no están ordenadas y se toma la dirección X3 como la dirección principalde tensión nula, el estado de tensión se denomina tensión plana, paralela al plano XIX2. Para una elecciónarbitraria de la orientación, en este caso, de los ejes ortogonales Xl y X2, la matriz de tensión toma la for-ma

[a;]. 1,

(2.65)

La cuádrica de tensiones para esta tensión plana es un cilindro cuya base yace en el plano X¡;1:2 y tiene laecuación

(2.66)

Con frecuencia en los libros elementales de Resistencia de Materiales un estado de tensión plano serepresenta por un círculo de Mohr sencillo. Como se ha visto en la Fig. 2-18, esta representación es ne-cesariamente incompleta puesto que son necesarios los tres círculos para mostrar la imagen completa delestado de tensión. En particular el valor de la cisión máxima en un punto no estará dado en el único CÍr-culo representado, porque es uno de los círculos interiores de la Fig , 2-18. No obstante, un círculo deMohr sencillo es capaz de poner de manifiesto los puntos de tensión de todos aquellos planos que pasanpor P y que contienen al eje de tensión principal cero. Para tales planos, si los ejes de coordenadas se

, CAP. 2 ANALISIS DE TENSIONES 7\

eligen de acuerdo con la representación del estado de tensión dado en (2.65), el CÍrculo de Mohr sencillopara un estado plano tiene la ecuación

(2.67)

Los aspectos esenciales de la construcción de este círculo se presentan en la Fig. 2-19. El círculo se dibuja

situando su centro e en lIS = (all + a22)/2 y usando el radio R = ~ - a22)/2j2 + (aI2

)2 dado en (2.67).

El punto A de la circunferencia representa el estado de tensión en el elemento de superficie cuya normales nI (la cara derecha del paralelepipedo rectangular indicado en la Fig. 2-19). El punto M-de la circun-ferencia representa el estado de tensión en la superficie superior del paralelepípedo con $normal n2. Lospuntos de las tensiones principales se señalan por sus símbolos al y al!' y los puntos E y D son los quecorresponden a las cisiones de valor máximo.

E

al¡ al

D

Fig.2-19

2.14 TENSORES DE TENSION ESFERICO y DESVIADORCon frecuencia resulta muy útil desdoblar el tensar de tensión aij en dos tensores componentes, uno

de los cuales (el tensor de tensión hidrostático o esférico) tiene la forma

o(2.68)

o

donde aM = -p = akk/3 es la tensión normal media, y el segundo (el tensor de tensión desviadort tiene laforma

••a¡2 a¡3 e Sl2 S,")LD a21 a22 - aM ." ) - S21 S'22 S23

a31 0'32 a33 - aM S31 S32 S33

(2.69)

Esta descomposición se expresa por las ecuaciones

(2.70)

Las direcciones principales del tensar de tensión desviador 8ij son las mismas que las del tensar detensión aij• Los valores de las tensiones desviadoras principales son

72 ANAUSIS DE TENSIONES CAP. 2

i(2.71)

La ecuación característica del tensar de tensión desviador, comparable a la del tensor de tensión (2.38), esla cúbica

S3 + (s[S/I + SnS¡¡¡ + S/I[!;¡)'" - S¡S¡¡Sm = O (2.72)

Se puede probar fácilmente que el primer invariante del tensor de tensión desviador hD es idénticamentenulo, por ello falta el término cuadrático en (2.72).

Problemas resueltos

ESTADO DE TENSION EN UN PUNTO. VECTOR TENSION.TEN SOR DE TENSION (Sec. 2.1-2.6)

2.1 En el punto P actúan los vectores tensión ti~) y t[~*)en los elementos de superficie respectivos n; e.S yni fl.S*. Demostrar que la componente de t:~) en ladirección de ni es igual a la componente de t~~*)enla dirección de n;.

Se trata de demostrar que

t:~*)ni ti~)nrDe (2. 12) ti~*)ni =: O'jin7 ni' y de (2.22) v» =: O'ij, de donde

Fig.2-20

2.2 El tensor de tensión en un punto p está dado por

¡ (~~ -~)-2 O 4

\

Determinar el vector tracción (tensión) en un plano que contiene a P y cuyo normal unitario es n =(2/3)e¡ - (2/3)e2 + (l/3)e3.

De (2.1 2) t(~) =: ~ • ¿. La multiplicación se puede llevar a cabo mejor, en la forma matricial de (2.13):

[14 - ~ =-:!,.Q -4 + !]3 3' 3 ' 3 3

CAP. 2 ANALISIS DE TENSIONES 73

2.3 Para el vector tracción del Problema 2.2 determinar (a) la componente perpendicular al plano, (b) lamagnitud de ti~), (c) el ángulo entre t¡~) y n.

44/9

(b) Iti~)l = y'16 + 100/9 = 5.2

(e) Puesto que cos e = (44/9)/5.2 = 0.94 y

2.4 Los vectores tensión que actúan en los tres planos coordenadas son t;~ll, t;~2) Y t;~3). Probar que lasuma de los cuadrados de las magnitudes de estos vectores es independiente de la orientación de losplanos coordenadas.

Sea S la suma buscada. Entonces

s =la que de (2.7) se convierte en S = O"¡;O"li + 0"2;0"2; + 0"3¡0"3; = 0");0");, un invariante.

2.5 El estado de tensión en un punto está dado por el tensar de tensión

(a aa ba)ao a 'Ca

ba Ca adonde a, b, e son constantes y a es un valor de tensión. Determinar las constantes a, b y e de tal

manera que el vector tensión se anule en un plano octaédrico iii = (l/V3)e¡ + (V/3 )e2 + (l/V13 )e3)

En forma matricial t(~) = O"··n· tiene que ser cero para el tensar de tensión y vector normal dados.'t 1) )

[

O" ao bO"] [1/Vs~ rolaa u cu l/Vs = obo eO" u lIVs LoJ

a+b -1

-1

-1

entonces a + e

b + e

Resolviendo estas ecuaciones, a = b = e = -1/2. Por lo tanto, el tensar solución es

-u/2 -U/2)u -u/2

-a/2 a

(~, -D

\ O

-531

B

2.6 El tensor de tensión en el punto P es

Calcular el vector tensión en el plano que pasa por P y es paraleloal plano ABC indicado en la Fig, 2-21.

La ecuación del plano ABe es 3x¡ + 6xz + 2x3 = 12, Y el normal

unitario al plano es por lo tanto ~ = t ~¡ + ~~2 + t ~3 (ver Problema 1.2).

De (2.14), el vector tensión se puede determinar por la multiplicación matricial

AXl

Fig.2·21

74 ANALISIS DE TENSIONES

[3/7, 6/7, 2/7] [-:

-5' Ol3 ~J 1"7 [-9, 5, 10]

1

De donde t(~) -9A 5A IDA= Tel + 7ez + 7e3'

CAP. 2

2.7 El estado de tensión a través de un medio continuo está dado respecto a los ejes cartesianos OX¡XZX3

por

Determinar el vector tensión que actúa en el punto P(2, 1, V3) de un plano que es tangente en P a lasuperficie cilíndrica x~ + x~ = 4.

Las componentes de tensión en P son

El normal unitario a la superficie en P se calcula del grad q, \l q,= \l(x~ + x; - 4). Entonces \lq, = 2xzez + 2X3~3 yasí,

.. ..••• ~2 Va .....E biPor lo tanto el normal unuano en P es n = "2 + 2"e3' sto tam ien

se puede ver en la Fig. 2-22. Finalmente el vector tensión en P y en elplano .1..a Íi es

o

Fig.2-22

ECUACIONES DE EQUILIBRIO (Sec. 2.7)

. 2.8 Para el estado de tensión dado en el Problema 2.7, averiguar la forma que han de tener las com-ponentes de las fuerzas másicas si en cualquier punto se han de satisfacer las ecuaciones de equi-librio (2.24).

Calculando (2.24) directamente de ¡ dado en el Problema 2.7,

3x2 + 10xz + O + pb1 O

O + O + 2 + pbz = O

O + O + O + pb3 = O

Estas ecuaciones se satisfacen cuando b¡ = -13x2/p, bz = -2/p, b3 = O.

ANALISIS DE TENSIONES 75

2.9. Deducir (2.20) a partir de (2.19), página 62.

Comenzando con la ecuación (2. /9),

f <ijkXjt~~) dS + f €ijkxjpbk dV = Os ' v

sustituyendo en la integral de superficie ti~) = Ujinj y convirtiendo el resultado en una integral de volumen por (1./57):

f «ijkxjCTpk)np dS = f «UkXjCTpk),p dVs v

Llevando a cabo la diferenciación indicada en esta integral de volumen y combinándola con la primera integral de vo-lumen se tiene

Pero de las ecuaciones de equilibrio, Upk,p + pb" = O; Y puesto que Xj,p = 8 u» esta integral de volumen se reduce a

(2.20), .( <ijkuj1c dV = O.

TRANSFORMACIONES DE TENSION (Sec. 2.8)

2.10. El estado de tensión en un punto está dado respecto a los ejes cartesianos OX1X2X3 por

Determinar el tensor de tensión ¿' para un sistema de ejes girado Ox~xfx(¡ relacionado con el sistemaoriginal por el tensor de trans formación

A (1/~ ~~~-~~~)-1/V2 1/2 -1/2

La ley de transformación de tensiones está dada por (2.27) según aú = a¡pajqapq o r' = A· r .Ac-El cálculo detalladose lleva mejor a cabo mediante la multiplicación de matrices [u[j] = [a¡p][upq][aqj] dada en (2.29). De esta manera[, l/V' l/V'] [ 2

-2 '][' l/V' -1!V'][a;]] 1/12 1/2 -112 -2 12 O 1/..;2 1/2 1/2

-1//2 1/2 -1/2 O O -12 1/12 -1/2 -1/2

[:O

1:~]1-/2-1

2.11. Probar que la ley de transformación de tensiones se puede deducir de (2.33)<Tx = <Tijninj ,ecuaciónque expresa el valor de la tensión normal en un plano arbitrario que tiene el vector normal unitarioni.

Puesto que aN es un tensar de orden cero, está dado respecto a un conjunto arbitrario de ejes coordenadas conprimas o sin primas por

76

y PU¡'SIO que de (1.94) n; = aijnj,

ANALISIS DE TENSIONES CAP. 2

donde se han introducido nuevos seudoíndices en el último término. Por lo tanto,

y puesto que las direcciones de los ejes sin primas son arbitrarias

2.12. Para los ejes sin primas de la Fig. 2-23 el tensar de tensiónvale

", (~~~)Determinar el tensar de tensión respecto a los ejes deno-tados con primas, tal como se indica en la figura.

En primer lugar es necesario determinar completamente la matrizde transformación A. Como ~;; forma los mismos ángulos con los ejesXi se conoce la primera fila y el término a33 de la tabla indicada a con-tinuación. O sea,

Xl ';2 X3

xi 1/V3 1IV3 1IV3X2

X3 1/1./2

Fig.2-23

Usando las condiciones de ortogonalidad aijuik = 8 ik:» se determina la matriz de transformación calculando los términosque faltan en la tabla. Se deja al estudiante, como ejercicio, la prueba de que

[

1/-/3 11-/3-2/V6 1/V6

O -1/Vz

Por lo tanto [<T[J[

1/V3-2/~

1/-/31/V6

-1/-/2

1Ivf3] 1" T O 0l ~1/V3 -2/V6 O l1/V6 lo T O 1/-/3 1/% -l/V2J1/V2 O O TJ 1/-/3 ]!V6 1//2

TII3] [1/V3 -2/1(6 O ITh/6 1/13 11V6 -lh12JIT/V2 1/V3 1/V6 1/V2

El resultado no es sorprendente si se consideran ·Ios círculos de Mohr para un estado de tensión que tiene valores igualespara las tensiones principales.

CAP.2 ANALISIS DE TENSIONES 77

CUADRICA DE TENSIONES DE CAUCHY (Sec. 2.9)

2.13 Determinar la cuádrica de tensiones de Cauchy en el punto P para los estados de tensión siguientes:

(a) tensión uniforme 0"11 = 0"22 = 0"33 = 0"; 0"12 = 0"13 = 0"2:3 = O(b) tensión uniaxial 0"11 = 0"; 0"22 = 0"33 = 0"12 = 0"13 = 0"23 = O(e) cisión simple 0"12 = 0"21 = T; 0"11 = 0"22 = 0"33 = 0"13 = 0"23 = O(el) tensión plana con 0"11 = O" = 0"22; 0"12 = 0"21 = T; 0"33 = 0"31 = 0"23 = O.

De (2.32), la cuádrica está dada en notación simbólica por la ecuación r' L • r = ±k2•

Usando la forma matricial,

±k2

Entonces la cuádrica para una tensión uniforme es la esfera ~~ + I~ + r; ±k2/".

(b)

La cuádrica para una tensión uniaxial es un cilindro circular a lo largo del eje de la tensión.

(e)

y la cuádrica para cisión simple es un cilindro hiperbólico paralelo al eje Ss .

(d) ±k2

donde la cuádrica para tensión plana es en general un cilindro cónico paralelo al eje principal nulo.

2.14. Probar que la cuádrica de tensiones de Cauchy para un estado de tensión representado por

es un elipsoide (el elipsoide de tensiones) cuando a, b y e son todas del mismo signo.

La ecuación de la cuádrica está dada por

[

a O 0] [11][\1' \z, 13] O b O ~2

O O e \3

±k2

\2 \2 \2Por lo tanto la cuádrica es el elipsoide ~ + ~ + -ª-be ae ab

±k2

abc .

78 ANALISIS DE TENSIONES CAP. :

TENSIONES PRINCIPALES (Sec. 2.10-2.11)

2.15. El tensar de tensión en un pun to P está dado respecto a los ejes OXIX2X3 por los valores

a ..1)

1

O

2~)O/

Calcular los valores de las tensiones principales y las direcciones de tensión principales represen-tadas por los ejesOx;x~':r;'.

De (2.37) los valores de las tensiones principales a, se calculan según

3-a 1 1

1 +-o 2

1 2 '-a

o o, desarrollando, (a + 2)(a - 4)(.,- - 1) = O

Las raíces son los valores de las tensiones principales aClJ = -2, a(2) = 1, a(3) = 4. Sea el eje xr la dirección de aO), ynrll los cosenos directores de este eje. Entonces de (2.42),

(3 + 2)n~1l + nill + n~1) O

n~j) -1- 2nilJ + 2n~1) O

ni!) + 2n~1) + 2n11) O

De donde n~I) = O; n~!) = -n~l) y puesto que n¡n¡ = 1, (nill)2 = 1/2. Por lo tanto, n¡1) = O, n~j) = 1/Y2, n~]) =

-1/V2.De igual modo, asociando x~ a a(2) y de (2.42)

2n;2) + n~2) + n12) O

n~2) - ná2) + 2n~2) O

ni2) + 2ná2) - n~2) O

de forma que n;2) = l/V3, n~2) = -l/V3, n~2) = -1/-/3 .

Finalmente, asociando x; con a(3) y de (2.42),

-n¡3) + ná3) + ni3) O

n(S) - 4n(3) + 2n(3) O123

niS) + 2n~3) - 4n~3) O

2.16. Probar que el tensor de transformación de los coseno s directores del Problema 2.15 transforma eltensar de tensión original en el tensar de tensión diagonal referido a los ejes principales.

Según (2.29), [a7j] = [a¡p][apq][aqj], que para este problema se convierte' l'1'

ol:J

CAP. 2 ANALlSIS DE TENSIONES 79

2.17. Hallar los valores de las tensiones principales, así como sus direcciones principales para el tensarde tensión

De

T-a

T-a l' l'

O.(2.37), l' l'

l' l'

Entonces, aO) = O, a(Z) = e, 0"(3) = 31'. Para 0"(3) = 31', (2.42) da

y por lo tanto, ni3) = n~3) = ni~) = 1/-/3. Para a(l) = a(Z) = O, (2.42) da

que junto con ni?ti = 1 son insuficientes para determinar únicamente las direcciones para el primer y segundo ejes. Entoncescualquier par de ejes perpendiculares a la dirección de ni3) y perpendiculares entre sí son vali.l» .v-rno ejes principales.Por ejemplo, consideremos los ejes determinados en el Problema 2.12, para los cuales la marnz de transformación es

[

1/..[3 1/..[3

-21-1[6 1/16O -1/..;2

Según la ley de transformación (2.29), la matriz de las tensiones principales [a7jje,údada por

[

1/-/3 1/-/3 1//3] [1' r 1'] [11..[3 -2/-16 O][a~l -2/V6 1/V6 1/~ l' l' -r 1/-/3 1/V6 -1/..;2

O -1/..;2 1/)2 l' l' l' 1/-/3 11V6 1/..;2

[~03-r ~ l' ~ 1'] [:;is -~;~ -1/~] [:01' ~O~O]O O 1/-/3 1/'16 l/Vi

2.18. Probar que los ejes Oxixix¿, (donde xi, X3 Y xjes-tán en el mismo plano vertical y xi, Xl Y X2 están en elmismo plano horizontal) son también ejes principalesdel tensar de tensión del Problema 2.17.

La matriz de transformación [a¡j) que relaciona los dos con-juntos de ejes, evidentemente tiene los elementos conocidos si-guientes

1/-/3

como se ve en la Fig. 2-24. De las condiciones de ortogonalidádaijaik = ¡¡jk, los cuatro elementos restantes se determinan de talmanera quc Fig.2-24

80 ANALISIS DE TENSIONES CAP. 2

[

-1/-.f2 1/y'2-1/y6 -1/y6

1/"/3 l/Vs

Como antes,

1/V3]1/V3

l/V3

2.19. Probar que las tensiones principales <kl y las componentes de tensión uij para un conjunto de ejesarbitrarios referidos a las direcciones principales por medio de los coeficientes de transformación aij

3

están relacionadas por Uij = L ap¡apjup'p=1

De la ley de transformación de tensiones (2.27), <1ij = up¡uqi";q; pero puesto que <1;q son tensiones principales,solamente hay tres términos en el segundo miembro de esta ecuación, y en cada uno p = q. Por lo tanto el segundo

3

miembro se puede escribir en la forma <1;j = ~ ap¡upj<1;.p=1

2.20. Probar que uijuikukj es un invariante del tensar de tensión.

De la ley de transformación (2.27),

aipajQC1pQajraksl1 rsakmajn(1mn

. (u¡pair)(UjqUjn)( a·ksUkm)<1pQ<1 rs<11lln

5prllqnll sm<1pq<1rs<1mn

(5pr<1pq)( sqn<1mn} (5sm<1rs)

2.21. Calcular directamente los invariantes h,Ih, IIh del tensar de tensión

Calcular las tensiones principales de este estado de tensión y probar que la forma diagonal del ten-sor de tensión da los mismos valores para los invariantes de tensión.

De (2.39), II = <1;; = 6 + 6 + 8 = 20.

De (2.40), III = (l/2)(<7ii<1jj - <1¡i"¡j)

= <111<122 + <722<733 + <133<111 - <112<712 - <123<723 - <131<131

= 36 + 48 + 48 - 9 = 123.

De (2.41), IIII = 1<1;;1 = 6(48} :+- 3(-24) = 216.

Las tensiones principales de <1ij son <1{ = 3, <1JI = 8, <1m = 9. En función de los valores principales,

CAP. 2 ANALISIS DE TENSIONES

II al + <n + am = 3 + 8 + 9 = 20

aIan + analIr + amar = 24 + 72 + 27

IIrI - a¡alIam = (24)9 = 216

81

123

2.22. Un plano octaédrico es un plano cuya normal forma ángulos iguales con las tres direcciones prin-cipales. Probar que la cisión en este plano, denominada tensión cortante octaédrica, está dada por

Respecto a los ejes principales, la normal al plano octaédrico es

A _ 1 '" A!,A"

n - Va ( el + e2 T e3)

Entonces de (2.12), el vector tensión en el plano octaédrico es

y su componente normal es

Por lo tanto, la componente cortante es Fig.2-25

5 OO -6

O -12el plano que bisecta a

2.23. El tensar de tensión en un punto está dado por uij

xima en el punto y probar que actúa enmínima.

De (2.38), el lector ha de comprobar que las tensiones prin-cipales son (TI = 10, <n == 5, vm = -15. De (2.54b) el valor de lacisión máxima es as = «(Tm- ar)!2 = -12.0; Los ejes principalesOx~ x; x; están relacionados con los ejes de cisión máxima Ox~ x~x~por la tabla de transformación que sigue y están situados como se in-dica en la Fig. 2·26.

x* ~;; x*1 3

x' 1//2 O 11/2¡

,O 1 OX2

I -1//2 O 1/V2X3

O

-12 . Determinar la cisión má-

1los planos de tensión máxima y

x* alI2

Fig.2-26

82 ANALISIS DE TENSIONES CAP. 2

El tensar de tensión referido a los ejes con primas está dado por

[ 1/v2 O 1/~1: O '][1/v2 O -1/v2] [-25 O -1:5][u!i]

-1/~

1 5

-1~ 1/~

1 O O 5

O 1/12 O O O 1/v2 -12.5 O -2.5

Estos resultados pueden ser aclarados posteriormente representando a las tensiones en cubos infinitesimales en elpunto y cuyos lados son perpendiculares a los ejes de coordenadas (ver Fig. 2-27).

x*2

Fig.2-27

CIRCULOS DE MOHR (Sec.2.12-2.13)

X'2

2.24. Dibujar los círculos de Mohr del estado de tensión discutido en el Problema 2.23. Señalar los pun-tos importantes. Relacionar los ejes OX¡X2XS (asociados a O"u) con los ejes principales Ox~ x~ x~ ysituar en el diagrama de Mohr los puntos que dan los estados de tensión que actúan en los planoscoordenadas de OX¡X2X3.

En la Fig. 2-28 se representa la mitad superior de los circulas de Mohr, con el punto P de cisión máxima y las ten-siones principales señaladas por sus símbolos. La tabla de transformación de los cosenos directores es

* x~ "X¡ Xs

Xl O 1 O

:cz -3/5 O 4/5

x.3 4/5 O 3/5

con la cual se hace una representación de la orientación relativa de los ejes como se ve en la Fig. 2-29. Los ejes Xl yx~coinciden.· X2 Y x,¡ están en el plano de x~ xicomo se ve. De los valores indicados de a = 36.8°y fJ = 53.2° se sitúan en eldiagrama los puntos A(-6, 12) en el plano J. a x2 y B(l, 12) en el plano J. a x:¡ . El punto C(5, O} representa al estadode tensión en el plano 1. a Xl.

"s

Fig.2-28 Fig.2-29

ANALlSlS DE TENSlONES 83

2.25. El estado de tensión en un punto referido a los ejes OX¡X2X3 está dado por

(-5 O 0)° -6 -12° -12 1Determinar analíticamente las componentes del vector tensión en el plano cuyo vector normalunitario es ñ = (2/3)c¡ + (1I3)e~ + (2/3)el.Comprobar los resultados mediante el diagrama de Mohrpara este problema.

a..I)

De (2.13) Y de la propiedad de simetría del tensar de tensión, el vecror tensión en el plano de n está dado por elproducto de las matrices

[-~ -: -l~Jl:;:] ::=: [=~~/3lO -12 1 2/3 -10/3 ~

A A A A AA /Así, t(nl -10 e[/3 - 10 ez - 10 e3/3; Y de (2.33) «» ::=: t(n) • n ::=: -70/9. De (2.47) as = 70.7 9.Las tensiones principales de aij son al = 10, «n = -5, vrn = -15; Y los ejes principales están relacionados con

0:°12:22:3 por la tabla

Xl Xz X3

X~ O -3/5 4/5i

x~ 1 O O

~}"* O 4/5 3/5'"3

la Fig. 2-16 serán (J = (3 = eos --1 2/5 = 48.2"17 es el que se presenta en la Fig. 2-30.

[

O -3/5 4!i5~ [2/3~ [1/3~1 O O 1/3 = 2/3 . En efecto, los ángulos de

O 4/5 3/5 2/3 2/3

Y <p = cos -[ 1/3 = 70.5°, Y un diagrama de Mohr comparable a la Fig. 2-

Así, en el marco de los ejes principales nt = uij?1.j o

----~L------L---L----------JL__~~ __L_~--~--~L------------L----~aNUn ==-5

Fig.2-30

84 ANALISIS DE TENSIONES CAP.2

2.26. Representar los círculos de Mohr para los tres casos de tensión plana descritos por las tensiones delos cubos elementales orientados a lo largo de los ejes coordenadas, tal como se presentan en la Fig,2.31. Determinar la cisión máxima en cada caso.

XI XI

(a) (b)

Fig.2-31

(e)

Los círculos de Mohr se representan en la Fig. 2-32.

-1----- _0,-' =_O=-=-"_-T_

(a) (b)

Fig.2-32

(e)

TENSORES ESFERICOS y DESVIADOR (Sec. 2.14)

2.27. Descomponer el tensor de tensión "" = e: : -~)en sus partes esférica y desviadora y probar\ O -2 31

que el primer invariante del tensar desviador es nulo.

0'.\1 = O'kkl3 = (12 + 9 + 3)/3 = 8. Así,

(~ ~ ~) + (1: : _~)O O 8 O -2 -5

y S¡¿ 4 + 1 - 5 = O.

2.28. Probar que el tensar de tensión desviador es equivalente a la superposición de cinco estados décisión pura.

La descomposición es

CAP.2 ANALISIS DE TENSIONES 85

('" S12 ,,,) (,;, SI2 n (,:, O

'"\ (' O

,~)S21 822 S2.3 O + O O ) + O O

8:n 8:12 S:l~ O O O O 832

('" O ~)(~O

D+ O -SIl,

-S~~T

O O O

donde los dos últimos tensores son equivalentes a estados de cisión pura si se comparan con los casos (a) y (b) del Pro-blema 2.26. Nótese también que como Si; = O, -Sl1 - S33 = S22'

2.29. Calcular las tensiones desviadoras principales del tensar de tensión

(Jij (

10 ~6 O)-6 10 O

O O 1

El desviador de aij es 8ij

(

3 -6-6 3

O O~) y sus tensiones principales se calculan del determinante

-6

3-s -6 O

-6 3-s O

O O -6 - s

(-6 - s)(s + 3)(s- 9) O

Así, SI = 9, s¡¡ = -:1, SIl! = -ti. Calculando primero las tensiones principales de aíj y usando entonces (2.71) se ob-tiene el mismo resultado. Para aij, como el lector puede comprobar, a¡ = 16, <u = 4,aIll = 1 yentonces SI = 16-7= 9, Sil = -1 -7 = -3, SllI = 1 -- 7 = -6.

2.30. Probar que el segundo invariante del tensar desviador está dado en función de las tensiones prin-cipales por Ihv = (SISn + SIISIII + SIllS¡), o también por la forma Ihv = -t(ST + sil + sin).

En función de las tensiones desviadoras principales la ecuación característica del tensar de tensión desviador estád.ula por el determinante

SI - S O O

O 8[1- S O

O O Sil! - S

(S¡ - S)(811 - S)(SIlI - S) O

S3 + (SISII + SIISm + SllIS1)S - s¡slIsm

Lmonccs de (2.72), II¡v.= (SlslI + SlIsIIl + smsl)' Puesto que, SI + sn + SIII = O,

Problemas diversos2.31. Probar que para cualquier tensar simétrico, tal como el tensar de tensión O-¡i' el tensar transfor-

mado 0-'. en cualquier otro sistema de coordenadas también es simétrico.u

Oe (2.27), aD = u¡pujqapq = ajqa¡paqp = ají'

86 ANALISIS DE TENSIONES CAP.2

2.32. En el punto P las tensiones principales son tales que 2a]] = al + aU¡' Determinar el vector normalunitario ni del plano en el que ay = (TII Y as = ((T¡ -- CT¡II)/4.

De (2.33), UN = niu]+ni(uI+uIII)/2',-n~uIII = (U¡+'T¡I¡)/2; y puesto que n;+n~+n~ :=:1, estas ecuacionespueden ser combinadas para dar 1/¡ = ll:r.Ahora, de (2.47).

Sustituyendo n¡ = ?l;¡ Y n~- 1 = -ni - -; -2ni en estas ccuaciones y resolviéndolas para 11], se hallan los cosenos

directores n] = 1/2,12, n2 cee V312, n3 = 112,12. El lector puede aplicar estos resultados al tensar de tensión

(:O 0\

Uij --- 5 O IO 6/

2.33. Probar que el tensar de tensión CT¡j se puede descomponer en una parte esférica y otra desviadora deuna y solamente una forma.

Supongamos dos descomposiciones, Uij = OijA +- sij = ;SijA'" +- s7j con SLi = O Y s;~ = O. Entonces Uii = 3A = 3A*,

de este modo A = A*; Y de A;Sij + sij = AOi) + s7j se sigue que sij = s'ri.

2.34. Probar que las tensiones principales son reales si L es real y simétrico.

Para los valores reales de las componentes de tensión los invariantes de tensión son reales y entonces los coeficien-tes de (2.38) son todos reales. Así, según la teoría de las ecuaciones una raíz (tensión principal) será real. Sea U(3J estaraíz y consideremos un conjunto de ejes xi de los cuales x~ está en la dirección de U(3)' Respecto a tales ejes la ecuación

característica está dada por el determinante /UZ2 - (J

oO

,Ull - u

O o U(3J - u

Puesto que el discriminante de la ecuación cuadrada entre corchetes, D+ 4u;~ > 0, las raíces restantes tienen que ser reales.

2.35. Usar el método de los multiplicadores lagrangianos para probar que los valores extremos (máximoy mínimo) de la tensión normal CTN corresponden a los valores principales.

De (2.33), UN = u¡jninj con n¡ni ==1. ASÍ, por analogía con (2.51), construir la función HaHlani = O. Entonces

UN - Anini para la que

que es equivalente a la ecuación (2.36) que define a las direcciones de las tensiones principales.

2.36. Suponer que las componentes de tensión a son derivables de un campo tensoríal simétrico 1>1) 1)

mediante la relación rTij = fipqfjn¡n 1>Qll,pm' Probar que en ausencia de fuerzas másicas se satisfacen lasecuaciones de equilibrio (2.23).

Usando los resultados del Problema 1.58, las componentes de tensión están dadas por

\

CAP. 2 ANALISIS DE TENSIONES 87

o explícitamente Ull 4>33,22 + 4>22,33

4>11,33 + <P33,1l

<P22,11 + <P11,22

U12

Sustituyendo estos valores en Uij,j = O,

ull,1 + u12,2 + U13,3

U21,1 + u22,2 + u23,3

933,221 + 922,331 - 4>33,212 - <P22,133

-4>33,211 + 4>11,332 + '933,112 - 911,233

-922,131 - 911,232 + 922,113 + 0;611,223

O

O

O

2.37. Probar que, como se afirma en la Sección 2.9, la normal a la cuádrica de tensión de Cauchy en elpunto cuyo vector de posición es r es paralela al vector tensión t~~)

Dada la cuádrica en la forma 4> = uijr¡rj:±: k2 = O. La normal en cualquier punto es entonces V 0;6 o a4>/asi = <P,i'

Ahora, como 9.p = UijOiprj + UjjliOjp = 20'pi1i' ri = rn;, ésta se convierte en 20'¡J¡Tni o 21'(O'pini) = 2t~~).

2.38. En un punto P el tensar de tensión referido a los ejes OX¡X2X3 está dado por

a ..1) (

15

-1~

-105O

Si elegimos unos nuevos ejes Ox;x~x; mediante una rotación respecto al origen, para la cual la

l3/5 O -4/5

1

matriz de transformación es [aij] = O 1 O ,determinar los vectores tracción de cada uno

4/5 O 3/5

de los planos coordenados girados por la proyección de los vectores tracción de los ejes originalesen las nuevas direcciones con primas. Determinar aú' Comprobar el resultado por la fórmula detransformación (2.27).

De (2.6) y la identidad tfi) = O'ij(2.7),los vectores tracción en los ejes de coordenadas originales SOIl t(~I) = 15e¡ -10~ t(~2) = -10 ~ + 5"'e t (~3) = 20~ que corresponden a las filas del ten sor de tensión. Proyectando estos vec-

2' 1 2' 3lores en el sistema de ejes girado mediante la forma vecrorial de (2. ¡2), t(~) = nlt<~l) + n2t(~2) + n3t(~3), da

(/\') a A A A A A. A

t e, = 1¡-(15el - 10 e2) - !(20 e3) = 9 el - 6 e2 - 16 e3

la que por la transformación de los veciores unitarios se convierte en

t(~;) 9(~e; + !e;> - 6e~ - 16(-'5 e; + ~e;) = 91e; /5 - 6e; - 12e;/5

De igual modo t(~;) = 6"" + 5.•..' 8""- e¡ e2 e3

t<~3) -12e;/5 - 8'" + 84e;/5y ez

( 91/5 -6 -12/5)de forma que , -6 5 -8Uij

-12/5 -8 84/5

88 ANALISIS DE TENSIONES CAP. 2

[";5 O -'/5][ 15 -10'][ 3/5

O ';5]De (2.27),, 1 O -10 5

2~ -4~5

1uij

4/5 O 3/5 O O O 3/5

[-1: -6 -1:][ 3;5 O ';5] [91/5 -6 -1215]5 1 -6 5 -8

12 -8 12 -4/5 O 3/5 -12/5 -8 84/5

2.39. Demostrar que el segundo invariante del tensar de tensión desviador IhD está relacionado con lacisión octaédrica por la ecuación UOCT = V-%IhD•

Del Problema 2.22, aOCT = }V(a¡ - all)~ + (a" - aIlI)2 -+- (am - a¡)2, y debido a que a¡ = aM + SI'

<n = aM + S", etc.,aOCT ;\ V(s¡ - slIF + (sIl - SlJl)2 + (Slll- S¡)2

l..,J 2(s; + sil + silI) - 2(s¡slI + SlISlll + sms¡)

También, SI + S¡I + SII¡ = O y así, (s¡ + Sil + sm)2 = O oo o .')

SI + SI] + SII¡ = -2(s¡s¡¡ + S1l8111 + 8mS¡)

Entonces

2.40. El estado de tensión en todo un cuerpo está dado por el tensar de tensión

(

O C:.t-3 O )

(Tij C

O

X3 O -COx¡

-C:rl

donde e es una constante arbitraria. (a) Probar que las ecuacioncs de equilibrio se satisfacen si lasfuerzas másicas son nulas. (b) Calcular el vector tensión en el punto P (4, -4, 7) del plano 2x¡ +

2X2 - X3 = -7, Y en la esfera (X¡)2 + (X2)2 + (X3)2 = (9)2. (e) Determinar las tensiones principales, lascisiones máximas ylas tensiones principales desviadoras en el punto P. (d) Representar los círculosde Mohr del estado de tensión en P.

(a) Sustituyendo directamente en (2.24) las componentes de aij' se satisfacen idéruicamente las ecuaciones de equilibrio.

(b) Del Problema (1.2) el vector normal unitario al plano 2x¡ + 2x2 - X3 = -7 es ~ = J el + §e! -!s ~ y de (2.12) elvector tensión en el punto P del plano es

La normal a la esfera XiX, = (9)2 en el punto P es ni = <P,i con <P = XiX¡ - 81, o nOla matricial de (2.14) el vector tensión en P es

+ ..... _4 ...•.+7 ...•.!l el 1J e2 1J ej. En la for-

[

O 7C

[4/9,-4/9,7/9] 7C O

O -4C

[-28C/9, O, 16C/9]

CAP.2 ANALlSIS DE TENSIONES-a 7 O;

89

(e) De (2.37), las tensiones principales u, 7 -u

° -4

- 65) O; entonces (11 y65, u]] = 0, U¡]]

El valor de la cisión máxima está dado por (2.54b) comoUs = (UT]] - 0"¡)/2 = ±y'65. Puesto que la tensión normalmedia en P es U;If = (U¡ + UIl + U¡¡¡ )/3 = 0, las tensiones des-viadoras principales son las mismas que las tensiones prin-cipales

al = Yii5

(d) Los círculos de Mohr se presentan en la Fig. 2-33. Fig.2-33

Problemas propuestos

2.41. En un punto P el tensar de tensión es Uij

/14I 7\ --7

7 -'(\

21 o) .Determinar el vector tensión en un plano que contiene a

o 35/

P y es paralelo al plano (a) BGE, (b) BGFC del pequeño paralelepipedo de la Fig. 2-34.

Xl

Fig.2-34

Sol. (a) t (~)

2.42. Determinar las componentes de tensión normal y con ante en el plano BGFC del Problema 2.41.

Sol. Ux = 63/5, Us = 37.7/5

2.43. Las tensiones principales en el punto P son al =- 12, U¡ [ :=: el, "¡¡¡::= -13. Determinar el vector tensión y su componentenormal en el plano octaédrico que pasa por P.

I (~) -- A • /.. ....•...-, ~So. t - (12 e¡ + .3 e~ -' G c:l,h/3 , o-; =.- 3

2.44. Calcular las tensiones principales de

/0 1 1\ n :): \(a) °ij ! 1 O 1 I y (b) (Tij 2

\ 1I \1\ 0/ 1 2/

90 ANALISIS DE TENSIONES CAP. 2

y probar que ambas tienen las mismas direcciones principales.

Sol. (a) (11 = 2, (111 = (111( = -1, (b) (11 = 4, (111 = GIIT =: 1

2.45. Descomponer el tensor de tensión (1ij H -10

O

30

0\30 I en sus partes esférica y desviadora y calcular las tensiones

I-27/desviadoras principales. Sol. S( = 31, Sil = 8, sJ1I = -39

2.46. Probar que la componente normal del vector tensión en un plano octaédrico es igual a un tercio del primer invariante deltensor de tensión.

2.47. El tensor de tensión en un punto está dado por (1ij

1

1

~) con (122 no especificada. Calcular (122 de forma

o/que el vector tensión en algún plano que contiene al punto sea cero. Dar el vector normal unitario para este plano libre detensión.

50/. '"1, n

2.48. Representar los CÍrculos de Mohr y determinar la cisión máxima en cada uno de los estados de tensión siguientes:

(b) Ujj

Sol. (a) (1S = T, (b) as = 3T/2

2.49. Usar el resultado obtenido en el Problema 1.58, página S 1, junto con la ley de transformación de tensiones (2.27), página63, para probar que 'ijl;f1,qm(1jp(1jq"km es un in variante.

2.50. En un medio continuo, el campo de tensiones está dado por el tensar

( xix: (1- x;)x¡ ,:;)Uij \ (1- ;2)X¡ (x~ - 3X2)/3

°Determinar (a) la distribución de fuerzas másicas si a través de todo el campo se satisfacen las ecuaciones de equilibrio,(b) las tensiones principales en el punto Pea, 0, 2Va), (e) la cisión máxima en P, (d) las tensiones desviadoras principalesen P.

Sol. (a) b., o· ":t";l' (b) (1, -'0, 8a, (e) ±4.5a, (d) -lla/3, -5a/3, 16a./3

Capítulo 3

Análisis de deformaciones

3.1 PARTICULAS y PUNTOS

En la cinemática de medios continuos, es necesario comprender claramente el significado de la pa-labra "punto", ya que se puede interpretar que nos referimos ya sea a un "punto" en el espacio o a un"punto" de un medio continuo. Para evitar falsos conceptos, el término "punto" se usará exclusivamen-te para designar una posición en un espacio fijo. La palabra "partícula" denotará un pequeño elementode volumen o "punto material", de un medio continuo. En resumen, un punto es un lugar en el espacio,una partícula es una parte pequeña de un medio continuo material.

3.2 CONFIGURACION DEL MEDIO CONTINUO. CONCEPTOSDE DEFORMACION y FLUJO

En un instante de tiempo t, un medio continuo que tiene un volumen V y una superficie límite Socupará una cierta región R del espacio físico. La identificación de las partículas del medio continuo conlos puntos del espacio que ocupan en el instante t respecto a un conjunto adecuado de ejes coordenados,se dice que especifica la configuración del medio continuo en ese instante.

El término deformación se refiere a un cambio en la forma del medio continuo, entre una confi-guración inicial (no deformada) y una configuración subsiguiente (deformada). En los estudios de defor-mación se pone un significado especial en las configuraciones inicial y final. No se presta ninguna aten-ción a las configuraciones intermedias o a una secuencia particular de configuraciones a través de lascuales tiene lugar la deformación. Por el contrario, la palabra flujo se usa para designar el estado con-tinuo de movimiento de un medio continuo. Por supuesto, una configuración previa es inherente a las in-vestigaciones de flujo para las que se especifica un campo de velocidades dependiente del tiempo.

3.3 VECTOR DE POSICION. VECTOR DESPLAZAMIENTO

En la Fig. 3-1 se representa la configuración no deformada de un medio continuo material en el ins-tante t = O junto con la configuración deformada del mismo medio continuo en un instante de tiempoposterior t = t. Para el presen te desarrollo resulta conveniente referir las configuraciones inicial y final aejes coordenadas separados como se ve en la figura.

91

92 ANALISIS DE DEFORMACIONES CAP. 3

t = t

Fig.3-1

Según esto, en la configuración inicial una partícula representativa del medio continuo ocupa unpunto Po en el espacio y tiene un vector de posición

A

-_.-XKh (3.1)

con respecto a los ejes cartesianos rectangulares OX¡X~X:l. En (3.1) se usan letras mayúsculas como ín-dices y como tales aparecerán en varias ecuaciones que siguen, pero su uso como índices de suma se res-tri ngc solamente a esta sección. En el resto del libro los subíndices o superíndices en mayúsculas solamen-te sirven como distintivos. Aquí se usan para resaltar la conexión de ciertas expresiones con las coor-denadas (X¡X2X:l), las que se denominan coordenadas materiales. En la configuración deformada la par-tícula originalmente situada en Po aparece ahora en el punto P y tiene el vector de posición

(3.2)

cuando está referido a los ejes cartesianos rectangulares (J;T¡:1:2:r:;. Aquí se usan letras minúsculas comosubíndices para indicar su conexión con las coordenadas (:rl:C2~:J)que dan la posición actual de la partícuiay son denominadas con frecuencia coordenadas espaciales.

l.a orientación relativa de los ejes materiales OX1){~X:iy de los ejes espaciales oa:¡X1X:l se especificamediante los cosenos directores "u, Y o.KI:.' los cuales se definen por los productos escalares de los vectoresunitarios según

(t 1":'!: (8 ..1)

En estas expresiones no va implícita ninguna suma debida a los índices ya que k y K son índices distin-tivos. Puesto que como las deltas de Kronecker se designan por las ecuaciones },.:. I¡. :=. 81>1' y Ck' cp = 81:)-.,

las condiciones de ortogonalidad entre los ejes espaciales y materiales toman la forma

(t(1 =0:(\' =0'J{k x» 1>'1\ 'tK kl' '

_. :;V!\.',; ( q ~).) •. -'1-

En la Fig. 3-1, el vector u que une los puntos 'P; y P (posiciones inicial y final de la partícula, respec-tivamente), se conoce como el vector desplazamiento. Este vector puede ser expresado como

(S.S)

o también como

(S.r,)

CAP.3 ANALISIS DE DEFORMACIONES 93

en el que las componentes V¡.: y u« están relacionadas a través de los cosenos directores C!kK' De (1.89) elvector unitario Ck se expresa en función de los vectores base materiales IK como

(3.7)

Por lo tanto sustituyendo (3.7) en (3.5),

lT (3.8)

de la que (3.9)

Dado que los cosenos directores "Id; son constantes, las componentes del vector desplazamiento según(3.9) obedecen a la ley de transformación de los tensores cartesianos de primer orden, como debe ser.

El vector b de la Fig. 3-1 sirve para situar el origen o con respecto al O. De la geometría de la figura,

ti = b+x-X (3.10)

Muy a menudo en la mecánica del medio continuo es posible considerar superpuestos los sistemas OX¡X2

X3 y OXIX2X3, con b == O, de forma que (3.10) se convierte en

ti = x-x (3.11 )

En la forma de componentes cartesianas esta ecuación está dada por la expresión general

(3.12)

Sin embargo, para ejes su perpuestos, las triadas unitarias de vectores base para los dos sistemas son idén-ticas, debido a que los símbolos de los cosenos directores Cil", se convienen en deltas de Kronecker. Segúnesto (3.12) se reduce a

(3.13)

en la que sólo aparecen subíndices minúsculos. En el resto del libro, a menos que se especifique otra cosa,se supone que los ejes espaciales y materiales están superpuestos y entonces solamente se usarán Índicesminúsculos.

3.4 DESCRIPCIONES LAGRANGIANA Y EULERIANA

Cuando un medio continuo sufre una deformación (o flujo), las partículas del medio continuo semueven a lo largo de varios caminos en el espacio. Este movimiento puede ser expresado por ecuacionesde la forma

x = x(X, t) (3.14)

las que dan la posición actual de la partícula Xi que ocupaba el punto (X¡XzX3), en el tiempo t = O. Tam-bién (3.14) puede interpretarsc como la forma que adquiere una distribución detallada de una configu-ración inicial en una con figuración final. Se supone que tal distribución detallada es biunívoca y conti-nua, con derivadas parciales continuas hasta las de cualquier orden deseado. La descripción del movi-miento o deformación expresada por (3.14) se conoce como formulación Lagrangiana.

Si, por otra parte, el movimiento o la deformación se dan por ecuaciones de la forma

x = X(x, t) (8.1.1)

en la que las variables independientes son las coordenadas Xi y l, la descripción es conocida como for-mulación euleriana. Esta descripción puede interpretarse como la que proporciona una reproducción de laposición original de la partícula que ahora ocupa la posición (Xl, :r2, ;¡:;¡). Si (3.15) es una distribuciónbiunivoca y continua con derivadas parciales continuas, como también se supuso para (3.14), las dos, dis-

94 ANALISIS DE DEFORMACIONES CAP.3

tribuciónes son las inversas únicas de la una con respecto a la otra. La condición necesaria y suficientepara que exista una función in versa es que el J acobiano

J I :;j [ (3.16)

no se anule.

Como un ejemplo sencillo, la descripción lagrangiana dada por las ecuaciones

Xl Xl + X2(et -1)

XI(e-t -1) + X2

X3

(3.17)

tienen la formulación euleriana inversa,-:r. + xz(et -1)

1- et - e t

xl(e-t -1) - x~-'1 - el - ~e-=-t (3.18)

3.5 GRADIENTES DE DEFORMACION. GRADIENTES DE DESPLAZAMIENTO

La diferenciación parcial de (3.14) con respecto a X, produce el tensar dX;/aX¡ que se denominagradiente de deformación material. En notación simbólica, DJ.';/aX) , se representa por la diádica

F XV'x ux A ÚX A UX A--v el +- . v e~ + ~v'e'ldAl (J.'l.~ iJL\:J

(3.19)

en la que el operador diferencial V'x = ;:&;e¡ se aplica a la derecha (como se indica explícitamente enla

ecuación). La forma matricial de F sirve posteriormente para aclarar esta propiedad del operador V' xcuando aparece como el consecuente de una diada. Así,

[

éJ;rdaXI

fJX2/aX¡aJ.:~/aXI

a;CI/aX2 • éiXdDX:l]aX2/aX2 élJ.:2/aXléJx3/aX2 éJ".",¡/aXl

(3.20)

La diferenciación parcial de (3.15) con respecto a ~~j origina el tensar aX;/D;'f¡ que se denomina gra-diente de deformación espacia/o Este tensar está representado por la diádica

H

que tiene la forma matricial

(3.21)

[JXdaX' óXdax'J. Jx,¡nx]= aX2/a;!;1 aX2/D;'f2 aX'J./a;¡;'J

aX3/a""'1 éJX3/éJ:c'J. éJX3/aX:l

(3.22)

Los tensores de deformación material y espacial están relacionados por medio de la conocida regla de lacadena de la diferenciación parcial,

éJ;¡'i éJXj

ax~éJXkex, Da.')ax¡ 7¡x;,~' (3.23)

La diferenciación parcial del vector desplazamiento U¡ respecto a ambas coordenadas origina ya seael gradiente de desplazamiento material éJnJaXj, o el gradiente de desplazamiento espacial (Ju;/ax¡. De

CAP. 3 ANALISIS DE DEFORMACIONES 95

(3.13), que expresa a U¡ como una diferencia de coordenadas, estos tensores se pueden dar en función delos gradientes de deformación como el gradiente material, según

ax¡--- - o·aXj lJo J == u\7x F-I (3.24)

o el gradiente espacial

iJu¡s», o K==u\7x=I-H (3.25)

Habitualmente, las formas matriciales de J y K son respectivamente

/JiJudaX2

iJU,2/iJX2

aU3/aX2

(3.26)

y

'l( [nI] iJ a a'U2 - .• , -. ,-.[aXt a:12 axJ?l:l

[

aUd aJ.~liJ'Uz/axl

iJU3/0;1:1

audax~iJU2/ iJ;1'2

iJuj iJX2

au,l/a,r:J]

iJuz/ a,r:1éiu:Jéi,c¡

(3.27)

3.6 TENSORES DE DEFORMACION. TENSORES DE DEFORMACIONES FINITASEn la Fig. 3-2 las configu raciones inicial (no deformada) y final (deformada) de un medio continuo

están referidas a los ejes coordenados cartesianos OX1X2X3 y OXIX2X:¡ superpuestos. En el proceso dedeformación, dos partículas muy próximas que ocupan los puntos Po Y Qo antes de la deformación, sedesplazan a los puntos P y Q, respectivamente, en la configuración deformada.

Fig.3-2

El cuadrado del elemento diferencial de longitud entre Po Y Qo es

(dX)2 = dX· dX = «s. as, = Oij «x, dXj

De (3.15), la distancia diferencial áX, será

(3.28)

o dX = H'dx (3.29)

con lo que la longitud al cuadrado (dX)2 de (3.28) se puede escribir

96 ANALISIS DE DEFORMACIONES CAP. 3

dX) ex, ¡j}':"( 2 = ------- a»; dx,

a:r, aXj

en la que el tensar de segundo orden

o (dX)2 dx· c-a« (3.30)

o C Hc·H (3.31)

se conoce como el tensar de deformación de Cauchy,En la configuración deformada, el cuadrado del elemento diferencial de longitud entre P y Q es

(" "9)u.u .....

De (3.14) la distancia diferencial es aquí

dx, = ~XX¡-ax,él ¡

o dx = F· dX (3.33)

de tal manera que la longitud al cuadrado (d;1;)2de (3.32) se puede escribir

(dX)2 = ~~~fg~ax, as, = e; ax. as, o (dx)2

en la que el tensar de segundo arden

dX·G·dX (3.34)

o G Fe· F (3.35)

es conocido como el tensar de deformación de Creen.La diferencia (áa;)2 - (clX)2 entre dos partículas muy próximas de un medio continuo, se usa como

una medida de la deformación que tiene lugar en los alrededores de las partícuías, cuando se pasa de unaconfiguración inicial a otra final. Si esta diferencia es idénticamente nula para todas las partículas vecinasde un medio continuo se dice que ha tenido lugar un desplazamiento rígido. Usando (3.34) y (3.28), estadiferencia se puede expresar en la forma

(d .)2 - (lX)2 - (a::rk a:'Ck - ~ .. ) as. ix, - 2L .. IX· ax,x a. - --X -X 0,) • .o: ) - ,)(, 1o i o j

o (dx)2 - (dX)2 = dX· (Fc· F - 1)· dX = dX· 2lG • dX (3.36)

en la que el tensar d (.sundo arden

u, = ~GI~:~)-Sij) o le = }(Fc· F - 1) (3.37)

se denomina tensor de deformación finita lagrangiano (o de Green).

Usando (3.32) Y (3.30), la misma diferencia se puede expresar en la forma

o (d:C)2 - (dX)2 ::::::dx· (1 - He· H)· dx = dx· 2EA• dx (3.38)

en la que el tensor de segundo orden

s; = .!. (Sij_ O~k ~3k)2 0:1:¡ OXj

o E,I -}(I - He· H) (3.39)

se denomina tensor de deformación finita euleriano (o de Almansi).

CAP, 3 ANALISIS DE DEFORMACIONES 97

Una forma especialmente útil de los tensores de deformación finita lagrangiano y euleriano esaquélla en la que estos tensores aparecen como funciones de los gradientes de desplazamiento. Entonces,si a),:/aXj de la (3.24) se sustituye en (3.37), el resultado después de algunas operaciones algebraicas sen-cillas es el tensar de deformación finita lagrangiano en la forma

o LG = }(J + J, + Jc' .1) (3.40)

De la misma manera, si aX/aXj de (3.25) se sustituye en (3.39) resulta el tensar de deformación finitaeuleriano en la forma

o EA = -HK + Kc - Kc' 1<) (3.41)

Las representaciones matriciales de (3.40) y (3.41) se pueden escribir directamente de (3.26) y (3.27) res-pectivamente.

3.7 TEORIA DE LAS DEFORMACIONES PEQUEÑAS. TENSORES DEDEFORMACIONES INFINITESIMALES

La teoría de la mecánica del medio continuo, denominada de las deformaciones pequeñas tiene comocondición básica el requisito de que los gradientes de desplazamiento son pequeños comparados con launidad. La medida fundamental de la deformación es la diferencia (dX)2 - (dX)2, la que se puede expresaren función de los gradientes de desplazamiento introduciendo (3.40) y (3.41) en (3.36) y (3.38) respec-tivamente. Si los gradientes de desplazamiento son pequeños, los tensores de deformaciones finitas de(3.36) y (3.38) se reducen a tensores de deformaciones infinitesimales y las ecnaciones que resultan, re-presentan a deformaciones pequeñas.

En (3.40), si cada una de las componentes de los gradientes de desplazamiento a1t¡/aXj son pequeñascomparadas con la unidad, los productos entre ellas son despreciables y pueden ser eliminados. Entonces,el tensar que resulta es el tensor de deformación infinítesirnai lagrangiano, que se denota por

o (3.42)

De igual modo, para auJaXj <{ 1 en (3.41), los términos de los productos pueden ser despreciados parallegar al tensor de deformación infinicesimal euleriano, que se denota por

o (3.43)

Si ambos, los gradientes de desplazamiento y los desplazamientos mismos son pequeños, hay una diferen-cia muy pequeña entre las coordenadas espaciales y materiales de una partícula de un medio continuo.Según esto las componentes del gradiente material EJ1~JaXj y las del espacial auJa;r.:j son casi iguales, de talmanera que los tensores de deformaciones infinitesimales lagrangiano y euleriano se pueden considerariguales. Entonces

L, = e..1) 1)

o L = E (3.44)

si los desplazamientos y los gradientes del desplazamiento son ambos suficientemente pequeños.

98 ANALlSIS DE DEFORMACIONES CAP. 3

3.8 DESPLAZAMIENTOS RELATIVOS. TEN SOR DE ROTACION LINEAL.VECTOR ROTACION

En la Fig. 3-3 los desplazamientos de dos partículas vecinas es-tán representados por los vectores 1~¡PO) y u;Qo) (véase también Fig.3- 2). El vector

(3.4.5)o

se denomina vector desplazamiento relativo de la partícula queoriginalmente está en Qo respecto a la que originalmente está en Po.Suponiendo condiciones de continuidad adecuadas en el campo dedesplazamientos, se puede hacer un desarrollo en' serie de Taylorpara 'l~i¡>o) en las proximidades de Po. Despreciando los términos deorden superior en este desarrollo, el vector desplazamiento relativose puede expresar por

Fig.3-3

du, = (au¡/aXjh tiX, o du = (u"Vx)po' dX (3.46)

Aquí se emplea el paréntesis en las derivadas parciales para resaltar el requisito de que las derivadas sonestimadas en el punto Po. Estas derivadas son de hecho las componentes del gradiente de desplazamientomaterial. La ecuación (3.46) es la forma Lagrangiana del vector desplazamiento relativo.

También resulta de interés definir el vector desplazamiento relativo unitario duJdX en el que dX es lamagnitud del vector d.X, de distancia diferencial. Por lo tanto si Vi es un vector unitario en la dirección ded.X, de forma que d.X, = Vi dX, entonces

ou: ax,a-x~dX --fiudXo = u"Vx';; = J.; (3.47)

Puesto que el gradiente de desplazamiento material au¡/aXj puede ser descompuesto únicamente enuna parte simétrica y otra antisimétrica, el vector desplazamiento relativo du.s« puede expresar como

[1(aHi + !!2{L) + ~ (UU¡. - P¡~L)Jas,2 aXj ex. 2 aX¡ aX¡ J

o du (3.48)

Al primer término del corchete de (3.48) se le conoce como el tensor de deformación lagrangiano lineall.; y al segundo término se le conoce como el tensor de rotación lagrangiano lineal y se denota por

Wj

= ~ (5!.1!''. - ~¡(j) o. 2 aXj aX¡ (3.49)

En un desplazamiento para el cual el tensor de deformación lij es idénticamente nulo en las proximidadesdel punto Po, el desplazamiento relativo en aquel punto será una rotación infinitesimal de cuerpo rígido.Esta rotación infinitesimal se expresa por el vector rotación

1U - 1 W" i - ~fijk kj o w = t"Vx x II

en función del cual el desplazamiento relativo está dado por la expresión

o fiu = w x dX

(3.50)

(3.51)

El desarrollo de la descripción lagrangiana del vector desplazamiento relativo, del tensor de rotaciónlineal y del vector de rotación lineal es completamente paralelo al desarrollo para las correspondientes

CAP. 3 ANALISIS DE DEFORMACIONES 99

cantidades eulerianas. Según esto, la descripción euleriana del vector desplazamiento relativo es

o du = K'dx (3.52)

y del vector desplazamiento relativo unitario

d iiu, dx, bu, du A A

U¡ = --- = -'~. o -- = u\7 . ¡.¿ = K'/L (3.53)aXj tl» BXj' .1 dx x

La descomposición del gradiente de desplazamientos euleriano BuJaxj da lugar a la expresión

du, [1 ((fUi + B1~j) +1. (!!~~¡- ~'¡~)Jd;tj'cFe 2 BXj Bx, 2 a.éj a::t.;

o du

EU' El segundo ter-

(3.54)

El primer término del corchete de (3.54) es el tensar de deformación lineal eulerianomino es el tensor de rotación euleriano lineal y se denota por

,,).. = l. (au~_ (-)Uj) o n .f(u\7. - \7 u)1) 2 cJ;rj cJ~ri - x x

De (3.55), el vector de rotación euleriano lineal se define según

(3.55)

o (3.56)

en función del cual el desplazamiento relativo está dado por la expresión

o du = w x dx (3.57)

3.9 INTERPRETACION DE LOS TENSORES DE DEFORMACION LINEALES

Para la teoría de las deformaciones pequeñas, el tensor Lagrangiano de deformación finita Li, de(3.36) se puede sustituir por el tensar de deformación Lagrangiano lineal l». y aquella expresión se puedeescribir ahora

o

(CLlY - (dXF

(d:rr - (clXy

(dx - elX)(d.>: + dX)

(d;( - dX)(elx + clX)

zi; (LY.¡ ax,clX· 2L' dX (3 ..58)

Ya que para deformaciones pequeñas clx ~~ elX, esta ecuación se puede escribir en la forma

d« - d.X dX, d.X¡-------- = l ---Oo·. -' - = l l' l'dX ij elX dX ij i j

o

El primer miembro de la ecuacion (3.59) se interpreta como elcambio de longitud por unidad de longitud original del elementodiferencial y se denomina deformación normal para el elementode línea que originalmente tiene los cosenos directores elXJclX.

Cuando se aplica (3.59) al elemento diferencial de linea PoQo, situado en Po respecto a un conjunto local de ejes como serepresenta en la Fig , 3-4, resultará la deformación normal de eseelemento. Debido a que PoQo yace en este caso a lo largo del ejeX2,

dX2/dX = 1

y por lo tanto la (3.59) se convierte endx - elX=us: (3.60)

(3.59)

:','?--"'--~'---X2

Fig.3-4

100 ANALlSIS DE DEFORMACIONES CAP. 3

De esta manera, la deformación normal de un elemento que originalmente está a lo largo del eje X« cons-tituye la componente l22. De igual modo para los elementos situados originalmente a lo largo de los ejesX¡ y X3, la (3.59) da los valores de las deformaciones, normales ll1 y l.« respectivamente. Por lo tanto, engeneral, los términos diagonales del tensor de deformación lineal representan deformaciones normales enlas direcciones coordenadas.

Fig.3-5

La interpretación física de los términos que no ocupan la diagonal de lij', se puede obtener por con-sideración de los elementos de línea originalmente situados a lo largo de dos de los ejes coordenados. Enla Fig. 3-5, los elementos de línea PoQo y Po1Ho que originalmente están a lo largo de los ejes X2 y X~,respectivamente, se convierten después de la defor.mación en los elementos de línea PQ y PM respecto alconjunto paralelo de ejes locales con origen en P. El ángulo recto original entre los elementos de línea seconvierte en el ángulo e. De (3.46) y la hipótesis de la teoría de las deformaciones pequeñas, unaaproximación de primer orden da para el vector unitario en P y en la dirección de Q,

(3.61)

y, para el vector unitario en P en la dirección de M,

(3.62)

-" A ag¡ a~~l inc« aU3Por lo tanto cos O = n2· ns = - - + -- + -.aX3 sx, ex, aX2

o, despreciando el producto que es de orden superior,

(J - éJU2 + aU3 - 2lo_3COS - aX3

ax2-

(3.63)

(3.64)

Posteriormente, tomando el cambio del ángulo recto original entre los elementos como Y23 = 70/2 - e, yrecordando que para la teoría lineal Y23 es muy pequeño, se sigue que

(3.65)

Por lo tanto las componentes que no ocupan la diagonal del tensor de deformación lineal representan lamitad del cambio de ángulo recto original que formaban un elemento con otro. Estas componentes dedeformación se denominan deformaciones cortantes o distorsiones, y, debido al factor 2 de (3.65), estascomponentes del tensor son iguales a la mitad de las deformaciones cortantes familiares en "ingeniería".

CAP. 3 ANALISIS DE DEFORMACIONES 101

También se puede hacer un desarrollo esencialmente paralelo e igual al presentado para la inter-pretación de las componentes de l.; con el tensor de deformación euleriano lineal ( .. La diferencia esen-

!)

cial en las deducciones estriba en la elección de los elementos de línea que en la descripción euleriana hande yacer a lo largo de los ejes coordenados en el estado deformado. Los términos diagonales de {¡¡ son lasdeformaciones normales y los demás son las deformaciones cortantes. En las deformaciones para las quese admite como válido lij = €¡P no se hace ninguna distinción entre las interpretaciones euleriana y lagran-grana.

3.10 RELACION DE EXTENSION. INTERPRETACION DE LASDKFORMACIONES FINITAS

Una medida importante de la deformación debida al aumento de longitud de un elemento de líneadiferencial es la relación dxf.dX, conocida como relación de extensión. Esta cantidad puede ser definida yasea en un punto Po de la configuración no deformada o en el punto P de la configuración deformada.Entonces de la (3.34) la relación de extensión al cuadrado en el punto Po para un elemento de línea a lolargo del vector unitario m = dX/dX, está dada por

o (3.66)

Análoga mente, de (3.30) el recíproco de la relación de extensión al cuadrado para un elemento de líneasituado en P a lo largo del vector unitario Íi == dx/dx está dado por

(clX)2 __ ~1~ _ e..~x¡ ~lxj o 1 = "'n' e- n'"- - '} - 1) ~2~dx l' A7~) d.x dx A(~)

Para un elemento que originalmente está a lo largo del eje local X« como indica la Fig. 3-4, íñ == e2 ypor lo tanto dXJdX = dXJ/dX = 0, dXz/dX = 1 de forma que (3.66) nos da para este elemento

(3.67)

(3.68)

Análogamente se pueden obtener resultados similares para A~~l) y "\~~")'Para un elemento paralelo al eje Xz en el estado deformado, la (3.67) nos da

1 - 2E22 (3.69)

con expresiones similares para las cantidades l/A~~l) Y l/A:~;¡).En general, A(~2) no es igual a A(~2) puestoque el elemento situado originalmente a lo largo del eje X2 no estará situado de igual manera a lo largodel eje Xz después de la deformación.

La relación de extensión proporciona la base para la interpretación de los tenso res de deformacionesfinitas. El cambio de longitud por unidad de longitud original es

dx - dX=sx: dx- - 1dX A(~) - 1 (3.70)

y para un elemento PoQo a lo largo del ejeXz (de la Fig. 3-4), el alargamiento unitario es por lo tanto

(3.71)

Este resultado también se puede deducir directamente de (3.36). Según la teoría de las deformacionespequeñas, (3.71) se reduce a (3.60). También, los alargamientos unitarios Li-, Y L(3) están dados porecuaciones análogas en función de LIl y L33 respectivamente.

Para los dos elementos de línea diferenciales indicados en la Fig , 3-5, el cambio de ángulo Y23 = rr/2-() se expresará en función de A(~2) y A(~3) por

102 ANALISIS DE DEFORMACIONES CAP. 3

2L23(3.72)

Cuando las deformaciones son pequeñas, (3.72) se reduce a (3.65).

3.11 TENSORES DE EXTENSION. TEN SOR DE ROTACIONLa llamada descomposición polar de un tensar de segundo orden, no singular y arbitrario, se expresa

por el producto de un tensar de segundo orden simétrico y positivo con un tensor de segundo orden or-togonal. Cuando se aplica dicha descomposición multiplicativa al gradiente de deformación F, se puedeescribir el resultado como

o F=R'S=T'R (3.73)

en el que R es el tensor de rotación ortogonal, y S Y T son tensores simétricos positivos conocidos comotensor de extensión positiva y tensor de extensión negativa, respectivamente.

La interpretación de (3.73) la proporciona la relación dx, = (ax;/aXj) d.X, dada por (3.33). Introdu-ciendo los productos internos de (3.73) en (3.33) resultan las ecuaciones

o dx = R' S • clX = T' R • dX (3.74)

De estas expresiones, a la deformación de d.X, en dx, como se ve en la Fig. 3-2, se le pueden dar dos inter-pretaciones físicas. En la primera forma del segundo miembro de la (3.74), la deformación consiste en unalargamiento secuencial (dado por S) y una rotación positiva, seguidos de un desplazamiento de cuerporígido hasta el punto P. En la segunda interpretación, la traslación de cuerpo rígido a P va seguida deuna rotación negativa y finalmente de un alargamiento (dado por T). La traslación, desde luego, no alteralas componentes vectoriales relativas a los ejes Xi y Xi.

3.12 PROPIEDADES DE TRANSFORMACION DE LOS TENSORES DEDEFORMACION

Los diversos tensores de deformación Lj, Eij, lij Y €ij definidos respectivamente en (3.37), (3.39),(3.42) Y (3.43) son todos tensores cartesianos de segundo orden como se indicó por los dos índices libresde cada uno. Según esto, para un conjunto de ejes girados X' que tienen la matriz de transformación [bu]respecto al conjunto de ejes locales sin primas X, en el punto Po como se representa en la Fig: 3-6 (a), lascomponentes de i; y l~ están dadas por ' e; = b 1;:bqLpq

y

a) Fig.3-6

o L~ B' Le' Be (3.75)

(3.76)o L' B' L' Be

b)

CAP. 3 ANALISIS DE DEfORMACIONES 103

De igual modo, para los ejes girados x[ que tienen la matriz de transformación [aúl'en la Fig. 3-6(b), lascomponentes de E~ y e!j son

E:. = a. a. E o E~ - A' EA' Ac (3.77)') e1»{J pq

-

y €D = (t¡paj(/p(! o E' = A' E' Ac (3.78)

Por analogía con la cuádrica de tensiones descrita en la Sección 2.9, página 64, se pueden dar lascuádricas de deformación lineallagrangiana y euleriana respecto a las coordenadas cartesianas locales 'Ii y~; en los puntos Po y P respectivamente como se indica en la Fig. 3-7. Así, la ecuación de la cuádrica dedeformación lagrangiana está dada por

o n L'n = ±h2 (3.79)

Fig.3-7

y la ecuación de la cuádrica de deformación Euleriana es

o (3.80)

Dos propiedades importantes de la cuádrica de deformación lineal Lagrangiana {Euleriana} son lassiguientes:

l. La deformación normal respecto a la longitud original lfinal} de un elemento de línea es inver-samente proporcional a la distancia al cuadrado desde el origen de la cuádricaPo {P} a un puntode su superficie.

2. El desplazamiento relativo de una partícula vecina situada en Qo {Q} por unidad de longitudoriginal {final} es paralelo a la normal de la superficie de la cuádrica en el punto de interseccióncon la línea PoQo {PQ}.

Una percepción adicional de la naturaleza de las deformaciones locales en las proximidades de Po laproporciona la definición del elipsoide de deformación en aquel punto. De esta manera para un mediocontinuo no deformado, la ecuación de la superficie límite de una esfera infinitesimal de radio Rse da enfunción de las coordenadas materiales locales por (3.28) según

(dX)2 = Sij as; ax, = R2 o (dX)2 = dX· I.dX :::: R2 (3.81)

Después de la deformación, la ecuación de la superficie de las mismas partículas materiales, está dada por(3.30) según

o (dX)2 = dx :e . dx = R2 (3.82)

104 ANALISIS DE DEFORMACIONES CAP. 3

la que representa a un elipsoide conocido como el elipsoide de deformación material. Por lo tanto unvolumen esférico de un medio continuo en un estado no deformado se transforma por la deformación enun elipsoide en Po. Análogamente, un volumen esférico infinitesimal en P en el medio continuo defor-mado se originó a expensas de un elemento de volumen elipsoidal en el estado no deformado. Para unaesfera de radio r situada en P, las ecuaciones de estas superficies en función de las coordenadas locales es-tán dadas por (3.32) para la esfera, según

o (dx)2 = dx : t- dx = 1.2 (3.83)

y por (3.34) para el elipsoide

(dX)2 = GUdXidXj = 1"2 o (dX)2 = dX· G • dX = 1'~ (3.84)

El elipsoide de (3.84) se denomina elipsoide de deformación espacial. Estos elipsoides de deformación talcomo aquí se han descrito se conocen habitualmente como elipsoides de deformación de Cauchy,

3.13 DEFORMACIONES PRINCIPALES. INVARIANTES DEDEFORMACION. DILATACION CUBICA.

Los tensores de deformaciones lineales, lagrangiano y euleriano son tensores cartesianos de segundoorden simétricos y por lo tan to para la determinación de sus deformaciones y direcciones principales sesigue el procedimiento de cálculo ya presentado en la Sección 1.19, página 31. Físicamente, una direcciónprincipal de un tensar de deformación, es una dirección para la cual la orientación de un elemento si-tuado en un punto dado no se altera por una deformación pura. El valor de una deformación principal essencillamente el desplazamiento relativo unitario (deformación normal) que tiene lugar en una direcciónprincipal.

Para el tensar de deformación lagrangiano lu, el vector desplazamiento relativo unitario está dadopor (3.47), la que se puede escribir

~~ = (lij + Wijh o ~X = (L + W)·~ (3.85)

Llamando l~~) a la deformación normal en la dirección del vector unitario ni, la (3.85) da para una defor-mación pura (W¡j == O) la relación

o (3.86)

Si la dirección ni es una dirección principal con una deformación principal l , entonces

o (3.87)

Igualando los segundos miembros de (3.86) y (3.87) se llega a la relación

(lij - (Jijl)nj = O o (L -Il)· n = O (3.88)

que junto con la condición n¡11., = 1 de los vectores unitarios ni proporcionan las ecuaciones necesariaspara la determinación de la deformación principal 1 y sus cosenos directores ni. No existen solucionestriviales de (3.88) si y solo si el determinante de los coeficientes se anula. Por lo tanto

o IL - 111 = O (3.89)

que desarrollada da la ecuación característica de lij,'o sea la cúbica

O (3.90)

donde tr L, detL (3.91;

CAP. 3 ANALISIS DE DEFORMACIONES 105

son respectivamente el primero, segundo y tercer invariantes de deformación lagrangianos. Las raíces de(3.90) son las deformaciones principales denotadas por l(J), l(2) y·l(3).

El primer invariante del tensor de deformación lagrangiano puede expresarse en función de lasdeformaciones principales como

(3.92)

y tiene una interpretación física importante. Para verla, consideremos un paralelepípedo rectangulardiferencial cuyas aristas sean paralelas a las direcciones de deformación .principales, tal como se re-presenta en la Fig, 3-8. El cambio de volumen por unidad de volumen original de este elemento parale-pipédico se denomina dilatación cúbica y se expresa

Do = 6.Vo = dX¡(l + l(u) dX2(1 + l(2)) dX3(1 + l(3)) - dX¡ dX2 ax,v, as, dX2dX3

(3.93)

En la teoría de las deformaciones pequeñas, la aproximación de primer orden de esta relación es la suma

(3.94)

Fig.3-8

Cuando se considera el tensor de deformación euleriano €ij y su vector desplazamiento relativounitario <~l asociado, las direcciones y deformaciones principales €(l)' '(2)' '(~) se determinan exactamentedel mismo modo que sus homólogas lagrangianas. Los invariantes de deformación eulerianos se puedenexpresar en función de las deformaciones principales como

(3.95)

La dilatación cúbica correspondiente a la descripción euleriana es

6.V/V = D = €Ol + €(2) + €(~) (3.96)

3.14 TENSORES DE DEFORMACION ESFERICO y DESVIADOR

Cada uno de los tensores de deformaciones lineales lagrangiano y euleriano, pueden desdoblarse enun tensor esférico y otro desviador de la misma forma en la que se llevó a cabo la descomposición del

106 ANALISIS DE DEFORMACIONES CAP. 3

tensar de tensión en el Capítulo 2. Como entonces, si las componentes de los tensores desviadores lagran-giano y euleriano se denotan por dij y eij respectivamente, las expresiones que resultan son

lkk I(tr L)dij + 8ij 3 o L = LD + -3-l.

l)(3.97)

y o E = ED+ I(tr E)

3 (3.98)

Los tensores desviadores están asociados con la deformación cortante, por lo que la dilatación cúbica esnula. Por lo tanto no es sorprendente que los primeros invariantes da Y eii de los tensores de deformacióndesviadores sean idénticamente nulos.

3.15 DEFORMACION PLANA. CIRCULOS DE MOHR DE DEFORMACIONES

Cuando solamente una de las deformaciones principales en un punto de un medio continuo es cero,se dice que existe un estado de deformación plana en aquel punto. En la descripción euleriana (la descrip-ción lagrangiana sigue exactamente el mismo esquema), si se toma X3 como la dirección de deformaciónprincipal nula, tiene lugar un estado de deformación plana paralelo al plano XIXZ y el tensar de defor-mación está dado por

o (3.99)

Cuando Xl Y X2 son además direcciones principales, el tensar de deformación tiene la forma

o ~)o (3.100)

o oEn muchos libros sobre "Resistencia de Materiales" y "Elasticidad", se refieren a un estado de

deformación plano como un cambio de forma plana puesto que el campo de deformación es idéntico entodos los planos perpendiculares a la dirección de la deformación principal nula. Para una deformaciónplana perpendicular al eje X3, el vector desplazamiento se puede tomar solamente como una función de Xl

y X2. Las componentes de desplazamiento apropiadas para este caso de deformación plana se designanpor

(3.101)

U3 C (una constante, frecuentemente se toma cero)

Introduciendo estas expresiones en la definición de Ejj dada por (3.43) se obtiene el tensor de deformaciónplana de la misma forma que la indicada en (3.99).

Una descripción gráfica del estado de deformación en un punto la proporcionan los círculos de Mohrde deformaciones de una manera exactamente igual a la presentada en el Capítulo 2 para los círculos deMohr de tensiones. Con esta finalidad el tensar de deformación se presenta con frecuencia en la forma

C"iY12 ~y,,)

E .. J~i f22 (3.102)1) 2 Y12 '~[Y2.3

tr13 h23 E33

Aquí las Yij (para i ~j) son denominadas componentes de deformación cortante de "ingeniería", que sonel doble de las componentes de deformación cortante tensoria!.

El estado de deformación en un punto exento de cargas en lasuperficie límite de un cuerpo de un medio continuo es localmen-te un estado de deformación plana. Frecuentemente en estudiosexperimentales que suponen medidas de deformaciones en unpunto de una superficie límite, los círculos de deformaciones deMohr resultan útiles para informar acerca de los estados obser-vados. Frecuentemente se miden tres deformaciones en un puntodado mediante una roseta, y se construyen los círculos de Mohr apartir de estos datos. En la Fig. 3-9 se representa un diagramapara un caso típico de deformación plana, que se correspondecon los círculos de Mohr para una tensión plana. Las defor-maciones principales se señalan tal como aparecen en el diagrama,y los valores máximos de la deformación cortante están represen-tados por los puntos D y E.

CAP. 3 ANALISIS DE DEFORMACIONES

"1/2

Fig.3-9

107

D

'1

E

3.16 ECUACIONES DE COMPATIBILIDAD PARA DEFORMACIONES LINEALES

Si las componentes de deformación e.. se dan explícitamente como funciones de las coordenadas, lasL)

seis ecuaciones independientes (3.43)

se pueden considerar como u n sistema de seis ecuaciones diferenciales parciales para determinar las trescomponentes de desplazamiento uc El sistema está indeterminado y, en general, no poseerá una soluciónpara una elección arbitraria de las componentes de deformación fij" Por lo tanto, si las componentes dedesplazamiento u. tienen valores únicos y continuos, han de imponerse algunas condiciones a las com-ponentes de deformación. Las condiciones necesarias y suficientes para un campo de desplazamientossemejante son expresadas por las ecuaciones

Uifik

éJXj dX",o (3.103)

En total hay ochenta y una ecuaciones en (3.103), pero solamente seis son independientes. Estas-seis, es-critas en forma explícita y simbólica aparecen como

U2f!J

,oa~{l'~lo + cr€22

ux~ uxi2--~-

u:1:¡ dX2

2.éJ2f2? a2

f:l:l iJ2f'''l--i-- +dX~

?---'-éJx:í ~ dX2 dX3

3. éi2f33+

a2E11 d2E31

U;¡;i ? 2~-dX;¡ u::r:j a::t:¡

\ o \7x x E X \7" OiJ ( af23 Qf:l1 , rÍf12) éPE II4. +-~-éiJJ¡ éi;¡;¡ UXi ' U::t:3 éJ:G2 dX3

5. d (ék", dE:l¡ + ~E~2)éJ2

f.'.2:2

d:rz d:(:¡ d~1'2 d:t3 éJ:C3 cix¡

6. d ( éJf2:l + df~l ~f12) él2f:13- ~dX3 éJx¡ élXi dX3 élX¡dX2

(3.104)

108 ANALlSIS DE DEFORMACIONES CAP. 3

Las ecuaciones de compatibilidad dadas en términos del tensor de deformación lineal lagrangiano L,también se escriben como una correspondencia obvia para la forma euleriana empleada anteriormente.Para una deformación plana paralela al plano X¡;C2, las seis ecuaciones de (3.104) se reducen a la ecuaciónsencilla

a2(1l [';2(22

-+éJx~ axi

donde E es de la forma dada en (3.99) .

o ° (3.105)

Problemas resueltos

DESPLAZAMIENTO Y DEFORMACION (Sec.3.1-3.5)

3.1. Respecto a un conj unto de ejes materiales X, y espaciales Xi superpuestos, el campo de despla-zamientos de un cuerpo continuo está dado por X¡ = Xl, X2 = X« + AX3, X3 = X3 + A X¿ enlas que A es una constante. Hallar las componentes del vector desplazamiento en las formasmaterial y espacial.

De (3.13) directamente, las componentes del desplazamiento en forma material son ti, = Xl - x; = 0, tl2 = X2 - x2

= AX3, tl3 = X;l- x~= AXz. Invirtiendo las expresiones de los desplazamientos se obtiene Xl = Xv X~ = !~ 4

xa)/(l - A2), X3 = (X3 - Axz)/(l- A2), las componentes espaciales de u son tll = 0, 1~Z = A(xa - Axz)/(l- A2), U3

= A(X2 - AX3)/(1. - A2).

De esros resultados se aprecia que la línea recta original de las partículas materiales expresada por Xl = 0, Xz + X3

= 1/(1 + A) ocupa la posición Xl = 0, Xz + X3 = 1 después del desplazamiento. De igual modo la línea de partículas

Xl = 0, Xz = X3 se convierte después del desplazamiento en Xl = 0, Xz = X3' (lnterprétese el significado físico de es-

to).

3.2. Para el campo de desplazamientos del Problema 3.1 hallar la posición desplazada de las partículasmateriales que originalmente están comprendidas en (a) una superficie circular plana Xl = 0, X~ +X~ = 1/(1 - A 2), (b) un cubo infinitesimal con sus aristas de longitud dXi = dX coincidiendo con losejes coor denados. Dibujar las configuraciones desplazadas de (a) y (b) si A = t.

x*3 x*2

------t--T----~----~~~2-/v3~3~-X2

Fig.3-l0 Fig.3.11

CAP. 3 ANALISIS DE DEFORMACIONES 109

(a) Sustituyendo directamente X2 = (xz - Ax3)/(1 - A.2) Y X3 = (X3 - Ax2r/(1- AZ), la superficie circular se transforma

en una superficie elíptica (1+ A2)X; - 4AxzX3 + (1+ A2)X~ = (1- A2). Para A = i, la superficie está limitada

por la elipse 5x~ - 8X2X3 + 5x~ = 3 que cuando se refiere a sus ejes principales x7 (a 45° con Xi> i = 2,3) tiene la

ecuación X~2 + 9X;2 = 3. La Fig. 3-10 representa este tipo de desplazamiento.(b) Del Problema 3.1, se calculan fácilmente los desplazamientos de las aristas del cubo. Para la arista X¡ = Xl' Xz =

X3 = O, té¡ = U2 = U3 = O. Para la arista X¡ = O = Xz, X3 = X3, U¡ = 113 = O, Uz = AX3 y las partículas de

esta arista se desplazan en la dirección de Xz proporcionalmente a su distancia al origen. Para la arista Xl = X3 = O,

X2 = X2• 1i¡ = U2 = Ó. 1(3 = AX2• Las posiciones inicial y desplazada del cubo se representan en la Fig. 3-11.

3.3. Para un conjunto de ejes materiales y espaciales superpuestos, el vector desplazamiento de un cuer-po está dado por u = 4Xie¡ + X2X~e2 + XIX~e:l. Determinar la posición desplazada de una par-tícula que originalmente está en (1,0,2,).

El vector de posición original de la partícula es X = ~¡ + 2 ~:l' Su desplazamiento es u = 4 ~¡ + 4 ~3 Y puesto que

x =c X + u, su vector de posición final es .x = 5 ~¡ + 6 ~3'

3.4. Para el sistema de coordenadas materiales cartesianas rec-tangulares Xi,'un campo de desplazamientos está dado porU¡ = -AX2X3, U2 = AX¡X3, U« = O donde A es una cons-tante. Hallar las componentes del desplazamiento paraunas coordenadas espaciales cilíndricas ;ri si los dos sis-temas tienen el mismo origen.

De la geometría de los ejes (Fig. 3-12) el tensor de transformaciónA A

O:pK = ep • IK es

(

COS X2 sen X2 O

O:pK -sen ;02 COS X2 O

O O 1

y de la inversa de (3.9), "» = O:pKUK.Como las coordenadas cartesianasy cilíndricas están relacionadas por las ecuaciones X¡ = Xl COS X2, X2 =X¡ sen X2, X3 = X3, la ecuación (3.9) da, Fil~. 3-12

U¡ (-COS xz)AXZX:l + (sen;J;2)AX¡X3

(-cosx2)Ax3x¡ senx2 + (senxZ)Ax3X¡ COSX2 O

(sen xZ)AXZX3 + (cos x2)AX¡X3(sen2 x2)Ax¡X3 + (cos? x2)Ax¡X3

Este desplazamiento corresponde a la torsión de un eje de sección cir-cular.

3.5. La descripción lagrangiana de una deformación está dada por X¡ = Xl + X3(e2 -1), :1', = X2 + X3

(e2 - r2), Xa = e2X3 donde e es una constante. Probar que el jacobiano J no se anula y da lugar alas ecuaciones eulerianas que describen este movimiento.

De (3.16) e2 # O.

1 O (e2-1)

O 1 (e2 - e-2)

O O (e2)

J

Invirtiendo las ecuaciones,

110 ANALISIS DE DEFORMACIONES CAP. 3

3.6. Sea el campo de desplazamientosgradiente de deformación materialJ=F-I.Del vector desplazamiento dado u, J se encuentra

u = XIX; el + XiXZe2 + X~X3e3. Hallar independientemente ely el gradiente de desplazamiento material J y comprobar (3.24),

o 2XIX3

xi o2X2X3 x~

Puesto que x = u + x, el campo de desplazamientos también se puede describir por las ecuacioncs X¡ = XI(l + X~), X2

= X2(1 + Xi), X3 = X3(1 + X~) de las que F se halla fácilmente según

1+X2 O 2X¡X:;3

dXi/aXj 2X¡X2 1+ xi O

O 2X2X:3 1+ X~

Una sustitución directa de los tensores calculados F y J en (3.24) demuestra que la ecuación se satisface.

3.7. Un cuerpo continuo sufre el desplazamiento u = (3X2-4X3)el+(2X¡-X3)e,~+ (4X2 -X¡)e3.Hallar la posición desplazada del vector que une las partículas A(l, 0, 3) Y B(3, 6, 6), supo-niendo que los ejes materiales y espaciales están superpuestos.

De (3.13) las coordenadas espaciales de este desplazamiento son X¡ ~ Xl + 3Xz - 4X3, x2 = 2XI + Xz - X3, x3 =-Xl + 4X2 + X3• La posición desplazada de la partícula A será Xl = -11,x2 = -1, X3 = 2 Yla de la partícula B, Xl=-3, x2 = 6, x3 ooc 27. Por lo tanto, la posición desplazada del vector que une a A con B se puede escribir V = 8 ~¡ +7e2 + 25e3'

3.8. Para el campo de desplazamientos del Problema 3.7, hallar la posición desplazada del vector deposición de la partícula C(2, 6, 3) que es paralelo al vector que une a las partículas A y B. Probarque los dos vectores permanecen paralelos después de la deformación.

Según el análisis del Problema 3.7, el vector de posición de e es U = 8~¡ + 7e2 + 25~3 el cual evidentemente esparalelo a V. Esto es un ejemplo de lo que se denomina deformación homogénea.

3.9. La formulación general de la deformación homogénea se da por el campo de desplazamientos 'ni =AijXj donde Aij son constantes o a lo sumo funciones del tiempo. Probar que esta deformación estal que (a) las secciones planas permanecen planas, (b) las líneas rectas permanecen rectas.

(a) de (3.13), Xi = Xi + Ui = Xi + AijXj = (oij + Aij)Xj

Según (3.16), existen las ccuaciones inversas Xi = (oij + B;)xj suponiendo que el determinante lo;) + Aul no se anule.En este caso, el plano material f3;X; + (t :::: O se convierte en f3¡(oij + Bij)xj + (t = O que puede escribirse en la formanormal como el plano Ajx) + ex = ü donde los coeficientes Aj = f3i(Oij + Bij)'

(b) Una línea recta se puede considerar como la intersección de dos planos. En la geometría deformada, los planos per-manecen como tales, tal como se ha probado, y por lo tanto la intersección de dos de ellos sigue siendo una línea recta.

3.10. Una deformación homogénea injinitesimal 'U¡ = AijXj es una deformación para la que los coeficientesAij son tan pequeños que sus productos pueden ser despreciados en comparación con los mismos

CAP.3 ANALISIS DE DEFORMACIONES III

coeficientes. Probar que la deformación resultante total de dos deformaciones homogéneas infi-nitesimales sucesivas puede ser considerada como la suma de las dos deformaciones individuales yque el orden de aplicación de los desplazamientos no altera la configuración final.

Sean X¡ = (Ilij + A¡)Xj y xi = (oij + B¡)xj dos desplazamientos homogéneos e infinitesimales sucesivos. Entoncesxi = (oij + E!.i)(Ojk + Ajk)Xk = (oik + Bik + A¡k + BijAjk)Xk' Despreciando los términos de orden superior BijAjk> setiene xi = Ulik + Bik + A¡k)Xk = (Oik + Cik)Xk que representa la deformación homogénea infinitesimal

DEFORMACION y TENSORES DE DEFORMACION (Sec. 3.6-3.9)

3.11. Un cuerpo continuo sufre la deformación Xl = XI, X2 = X« + AX3, X3 = X3 + AXz en dondeA es una constante. Calcular el tensar de deformación G' y emplear éste para determinar el tensarde deformación finita lagrangiano Le,

De (3.35), G = Fe' F Y de (3.20) F está dado en forma matricial por

[: O ~l I~:O

O J[ih;¡/aXj] = 1 de forma que [Gij] 1 +Az 2A

A lJ 2A 1+ A2_

~(:O 2:\Por lo tanto de {s.n), LI; = t(G '-'1) = A2

2A A2)

3.12. Calcular para el campo de desplazamientos del Problema 3.11, la longitud al cuadrado (dx)2 de loslados OA y GE, Y la diagonal oe después de la deformación en el pequeño rectángulo indicado enla Fig. 3-13.

Usando G tal como se determinó en el Problema 3,11 en

(3.34), la longitud al cuadrado de la diagonal OC está dada en

forma matricial por

(dx)2 = [O,dX2.' dX:llILo~ 1 +0A2 2:] [d:"]2A. 1 + A2 dX~

= (1 + A2)(dXz)2 -i- 4A «x, dX:J + (1 + AZ)(dX3)2

.,Xs

Análoga para OA, (d.,-)2 = (1 + A2)(dXY;Fig.3-13

y para OB, (dx)2 = (1 + A2)(dXy.

3.13. Calcular la variación en el cuadrado de la longitud de los elementos de línea del Problema 3.12 ycomprobar el resultado mediante la (3.36) y el tensor de deformación Le; hallado en el Problema3.11.Directamente de los resultados del Problema 3.12, las variaciones son:

(a) para OC, (dx)2 - (dX)2 (1 + A2)(dX~ + dX~) + 4A dXz dX3 - (dX~ + dX~)

A2(dX~ + dX~) + 4A dX2 dX3

(b) para OB, «([;,;)2 - (dX)2 (1 + A2) dX~ - dX;

(e) para OA, (dX)2 - (dX)2 - (1 + A2) dX~ - dX~

A2dX~

A2dX~.

112 ANALISIS DE DEFORMACIONES CAP. 3

De la ecuación (3.36), para oe

Los cambios de OA y OB se pueden verificar también de la misma manera.

3.14. Calcular para el campo de desplazamientos del Problema 3.11, el gradiente de desplazamientomaterial J y usar este tensor para determinar el tensor de deformación finita lagrangiano Le;. Com-parar el resultado con el del Problema 3.11.Del Problema 3.11 las componentes del vector desplazamiento son 1(¡ = O, 1{2 = AX:¡, 11:] = AX~ de forma que

J = (~ ~~) y Jc' J = (~ :2 ~ \O A O \ O O A2)

G : ~) + G ~ :) + G :' lJ G ~ :~)Entonces de (3.40)

resultado idéntico al obtenido en el Problema 3.11.

3.15. Un campo de desplazamientos está dado por X¡ = X¡ + AX2, ::[:2 = X2 +AX:l, :C8 = X~ + AX¡ dondeA es una constante. Calcular el tensor de deformación lineal lagrangiano L y el euleriano corres-pondiente E.Comparar l y E en el caso en que A sea muy pequeña.

De (3.42),

2L

Invirtiendo las ecuaciones de los desplazamientos resulta

te¡ A(A2x¡ ~ Xz - AX.j)/(l + A3), U2 = A(-Ax¡ + A2x2 + x.3)/(1 + A3),

ti3 = A(x¡ - A;c2 + A2x3)/(1 + A3)de las que según (3.43)

2E _A_ (_:2 ~21 + A3

1 -A

(

2A2 1- A

A 1 A 2A21 + A3 -

1-A l-A

-A ) ( A21 + 1: A3 1

A2 -A

l-A\

l-A I2Az /

Cuando A es muy pequeña, A2 y las potencias superiores son despreciables con lo que E se reduce a L.

3.16. Un campo de desplazamientos está especificado por u = xi X2e¡ + (X2 - x; )ez + X~ X3e3. Deter-minar el vector desplazamiento relativo du en la dirección del eje -X2 y en el punto P(l, 2, -1).Determinar los desplazamientos relativos uQ¡ - UP para Q¡(l, 1, -1), Qz(l,3/2, -1), Q3(1, 7/4, -1) YQ.¡(l, 1fí/8,-1) Y comparar sus direcciones con la dirección de duo

'::AP.3 ANALISIS DE DEFORMACIONES

Para el udado, el gradiente de desplazamiento J en forma matricial es

y de (3.46) en P y en la dirección de -Xz

113

A continuación mediante un cálculo directo a partir de u, up = 2 ~¡ + ~2 - 4 ~3 Y uo! == í?¡ _. í?3' EntoncesA A + 3 A D' 1 d A A A )1 A" A /UQ¡-up==-e¡-eZ e3' e igua moo,uQ2-up=(-e¡-e2+3.5e3 2, UQ3-up=(-e¡-e2+3.75e;l)4,

UQ4- UI' = (- í?¡ - í?2 + 3.875 í?3)/8. Está claro que a medida que Q¡ se aproxima a P la dirección del desplazamien-to relativo de las dos partículas se aproxima a la dirección limite de duo

3.17. Para el campo de desplazamientos del Problema 3.16, hallar el vector desplazamiento relativounitario en P(1, 2, -1) Yen la dirección de Q(4, 2, 3).

En P, el vector unitario en la dirección de Q. es ~ = 3 -e¡/5 + 4 -ea/5, de forma que (3.47) Y la matriz de J tal comose calculó en el Problema 3.16,

[du¡/dX] 1; ~ ~][3~5]

I O -4 4 4/5L

r12/5]I 8/5L16/5

3.18. Bajo la restricción de la teoría de las deformaciones pequeñas, L = E. Según esto, para un campo dedesplazamientos dado por u = (Xl - X3)2~¡ + (X2 + X3)2~2 - X¡X2e3, determinar el tensor de defor-mación lineal, el tensor de rotación lineal y el vector de rotación en el punto P(O, 2,.-1).Aquí el gradiente de desplazamiento está dado en la forma matricial por

que para el punto P resulta

[ ~ ~ -:]-2 O O

Descomponiendo esta matriz en sus componentes sirnétricay antisimétrica resulta

l'~~-:]+ [~ ~ o~Jl-2 1 O O -1

Por lo tanto, de (3.56) el vector rotación W¡ tiene las componentes W¡ ==-1, Wz = W3 = O.

3.19. Determinar para el campo de desplazam,ientos del Problema 3.18 la variación de longitud porunidad de longitud (deformación normal) en la dirección de ~ == (8~1 - C2 + 4~3)/9 en el punto P(O,2, -1).

114 ANALISIS DE DEFORMACIONES CAP. 3

De (3.59fy el tensor de deformación en P tal como se calculó enel Problema 3.18, la deformación normal en P yen la dirección de p es el producto de las matrices

[8/9. -1/9. 4/9]I:L-2

~ -:][-~~~]1 O 4/9

-6/81

3.20. Probar que el cambio en el ángulo recto formado por dos vectores unitarios ortogonales p y í? en laconfiguración no deformada está dado por p' 2L' íL según la reo ría de las deformaciones pequeñas.

Suponiendo gradientes . de desplazamiento pequeños, los vectores unitarios en las direcciones deformadas de p y -;Lestán dadas según (3.47) por ·Cv-+ J •p) y (;L -+ J • íL) respectivamente. (El estudiante debería comprobar las ecuaciones(3.61) Y (3.62) por este método). Escribiendo J.p en la forma equivalente p' Jc Y multiplicando escalarmente los dosvectores unitarios desplazados se obtiene (como en (3.63) ), cos B = sen (7T/2 - B) = sen YVJJ. = YV/l o Yv¡, = [v + v' Jei •

[íl + J • íl J = v·;L + p. (J + Jc) • íl + v· Jc • J • -;L. Aquí, Jc' J es de orden superior para gradientes de deformación peque-ños y puesto que v ~;L, v·;L = O finalmente de (3.42), YV/l = v· 2L·;L.

3.21. Usar los resultados del Problema 3.20 para calcular el cambio en el ángulo recto formado porv = (8~1 - ez + 4~.N9 Y íL = (4~1 + 4~2 -7C:l)/9 en el punto P(O, 2, -1) para el campo de desplaza-mientos del Problema 3.18.

Puesto que L = E para la teoría de deformaciones pequeñas, el tensar de deformación <'i .;= lij Yasí, en P

[8/9, -1/9, 4/9] [ ~

-4

EXTENSION y ROTACION (Sec. 3.10-3.11)

: .•:~:]2 OJ -7/9

3.22. Para la deformación cortante Xl = Xl, Xz = X2 + AX3, X3 = X3

+AX2 del Problema 3.11 probar que la relación de extensión i\ (;;,)

es la unidad (deformación normal nula) para los elementosde línea paralelos al eje Xl. Calcular Al;;') para las direccionesdiagonales OC y DB del cuadrado infinitesimal OBCD (Fig.3-14) Y comprobar los resultados mediante cálculo directo a partirdel campo de desplazamientos.

De,(3.66) y la matriz G tal como se halló en el Problema 3.11, la relaciónde extensión al cuadrado para ID = el es

De igual modo para oc, ~

O

1+A2

2A

O

1+A2

2A

318/81

Fig.3-14

1

(1 + A,)2

,\

\

CAP. 3 ANALISIS DE DEFORMACIONES 115

De las ecuaciones de desplazamiento, la posición deformada de e es Xl = 0, X2 = dL + AdL, X3 = dL + AdL.Entonces «L1:)2 = 2(1 + A)2(dL)2 Y puesto que dX = V2 dL, la relación de extensión al cuadrado (dx/dX)2 es (1 -7-A)2como se calculó de (3.66).

Análogamente, para DE, m = (-ez+ e;¡)/V2 y así ¡\~~) = (1- A)2.

Las relaciones de extensión A(í~l) y ,\,(~) solamente son iguales si ñ es la dirección deformada de m.Para el campo de desplazamientos del Problema 3.22, calcular ,\(~) para ñ= (C2 + e:>.)//2 y probarque coincide con _\2.;:,) para la diagonal oe del Problema 3.22.

Invirtiendo las ecuaeiones de desplazamiento del Problema 3.22 se obtiene

XI = XI' X2 = (x2-Ax:))/(1-A2), X3 = (x3-AxJl(1-A2)

de las cuales se puede calcular el tensor de deformación de Cauchy, c. Entonces, usando (3.67),

(1 _. A)2/(1 - A2)2

Con lo que A~~) = (1 - A2)2/(1 - A)2 = (1 + A)2 que es idéntica a ¡\(21~l) calculada para oe. El elemento diagonal oeno cambia de dirección bajo la deformación cortante dada.

3.24. Mediante una descomposición polar del gradiente de deformación F para la deformación cortantex, = XI, X2 = X2 + AX:>., X3 = Xl + AXz, determinar el tensor de extensión positiva 5 junto con eltensor de rol ación R. Probar que los valores principales de S son las relaciones de extensión de lasdiagonales oe y DB determinadas en el Problema 3.22.

En la descomposición polar de. F, el tensor cle extensión S = vG; y de (3.73), R = FS-l.

O O I

De (3.35), G = Fe' F O aquí fGijJ ,: O 1 + ",12 2A J' Los ejes ~rincipales de G están dados por

O 2A 1 + A2 11 O O 1una rotación de 45° alrededor de Xl con el icnsor en su forma principal [G;Il O (1 - A)2 O l.

O O (l+A)~J

Por lo tanto =O

(l-A)

O

. O 1O

(l+AU

Respecto a los ejes coordenados X;, la descomposición es

En este ejemplo, el gradiente de deformación .F. es su propio tensor de extensión s y R = 1. Este es el resultado de lacoincidencia de tos ejes principales de le y fA para la deformación cortante dada.

3.25. Una rotación infinitesimal de un cuerpo rígido está dada por 1/[ ::c: -ex!. + BXl, U2 = eXI - AX:l, 113

= --BXI + AX~ donde A, B, e son constantes muy pequeñas. Probar que la relación de extensiónes cero (5 = J) si los términos que comprenden cuadrados y productos de las constantes son des-preciados.

116 ANALISIS DE DEFORMACIONES CAP. :

Para este desplazamiento,

r1 + C'"+ B" -AS

- A B 1 .L A ~ -l- ('2

-AC -BC

-AC I--BC jl

1 + A" + B"

Despreciando términos de orden superior, tenemos

[vc;¡]

TRANSFORMACIONES DE DEFORMACIONES Y DEFORMACIONESPRINCIPALES (Sec. 3.12-3.14)

3.26. Para la deformación cortante Xl = Xl, X2 = Xz + V2 X3, X3 = X3 + V2 X2 probar que las direccionesprincipales de Le Y EA coinciden como se afirmó en el Problema 3.24.

[:o ~JDe (3.37), [L;¡] 1 la que para los ejes principales dados por la matriz de

V2

[:O O 1

r:O

1+:"Jtransformación [aij] 111.12 liV2 I se convierte en [L;j] 1- V2-1/V2 liV2J O

De igual modo de (3.39),[~ - ~ ~ ¡la que para la misma matriz de transformación [aij]

O V2 -1

se convierte en la forma relativa a los ejes principales [E;;]probar estos cálculos. [:

0 O

-1-V2O

El estudiante debe com-

3.27. Usando la definición (3.37), se compueba que el tensor de deformación finita lagrangiano L; setransforma como un ten sor cartesiano de segundo orden bajo las transformaciones de coordenadasXi = bjix; y X: = b;¡Xj.

De (3.37), 1 (ox10 clXk )2 clL~¡ ax¡ - oij la que, por la transformación establecida, se convierte en

CAP. 3 ANALISIS DE DEFORMACIONES 117

3.28. Un cierto campo de deformación homogénea da lugar a un tensor de deformación finita

IL;;l ~ r ~ ~~~lDeterminar para este campo de deformación las deformacionesL-2 -2 6J

principales y sus direcciones.

Siendo un tensor cartesiano de segundo orden y simétrico, las deformaciones principales son las raíces de

1-L3

-2

3

1-L-2

-2-26-L

v - 8U - 4L + 32 o

Así, L(!) == -2, L(2l == 2, L(3l ==, La matriz de transformación para las direcciones príncipales es

[aij] r ~~~-~~~ l/~]L-1/16 -l/V6 2//6

3.29. Determinar para la deformación homogénea Xl = V3 X«, X2 = 2X2, X3 = v'3 X3 - X2 el elipsoide dedeformación material que resulta de la deformación de la superficie esférica xi + X~ + X~ = loProbar que este elipsoide tiene la forma xilAZll + X~lAl2l + xUAf3) = 1.

De (3.82), o también invirtiendo las ecuaciones de desplazamiento y sustituyendolas en XiX¡ == 1, el elipsoide dedeformación material es xi + x~ + x~ + X2X3 = 3. Esta ecuación se pone en la forma que la refiere a los ejes prin-cipales xi /3 + xU6 + x;/2 == 1 por la transformación

[

1 O

O l/V2O -11V2

1/~]1/V2

De las ecuaciones de deformación, el tensor de extensión S == VG está dado (el cálculo es similar al del Problema3.24) por

"/3 O O

[S¡j] 3V3+ 1 y'3- 3

[:O

-1~2lO 2/2 2V2 que por la transformación [aij] y'3/2O

y'3 - 3 +V3 + 3 1/2 y'3/2J2/2 2V2

ry~O jJse pone en la forma principal [S;~] V6

L O O

con las relaciones de extensión principales .\tll == 3, A12) == G, A~1) == 2. Nótese también que las relaciones de exten-sión principales se pueden calcular directamente de (3.66) usando [ajj] como anteriormente.

3.30. Para la deformación del Problema 3.29, hallar el elipsoide de deformación espacial y probar que esde la forma Azllxi + Af~)X~ + Al1)X; = 1.

De (3.48) la esfera XiX¡ == 1 resultaba del elipsoide X • G • X == 1, o

1

118 ANALISIS DE DEFORMACIONES CAP.

Este elipsoide se pone en la forma referida a los ejes principales 3X~ + 6X~ -+- 2X~ = 1 por la transformación

[Uij]

11 O

Lo V312O -1/2

O l112

/3/2_

3.31. Compruebe por un desarrollo directo, que el segundo invariante Ih del tensar de deformaciónpuede ser expresado por

-+-• I

~:: IEl d~sarrollo de estos determinantes conduce a III = 1,,122 + i2~133+ 133111 - (l.i2+ l~:¡ + l:i,). La comparación

con el desarrollo directo de la segunda ecuación de (3.9/) da

IIL~ [(ll! + 122 + idl)j - (ld'j + /2h) + {:¡hj)I~l(lll+ /.22 + /d(lll + /22 + i;¡;;} - (llll,¡ + i'21'2 + 1¡31¡3

+ /2,121 + 122122 + 12:/23 + l:l!l:l! + i:12/:12 + 133133)]

l1ll22 + /2213:1+ 1;l:¡!1I - (l~2 + l~:l + 1:~1)

3.32. Para la deformación homogénea finita dada por 1(¡ = A¡jXj donde Aij son constantes, determinar unaexpresión para el cambio de volumen por unidad de volumen original. Si las componentes de-A¿son muy pequeñas, probar que el resultado conduce a una dilatación cúbica.

Consideremos un elemento de volumen rectangular (paralelepipédico) que tiene las dimensiones originales dX¡, dXz.dX:¡ a lo largo de los ejes coordenadas. Para la deformación dada, X¡ .,- (Aij + 0¡j)Xj, Entonces de (3.33) el volumenoriginal dVo se convierte en un paralelepípedo oblicuo que tiene unas longitudes de arista dx¡ -: (AUn) + D¡(n) dXCn), ?1.

=-= 1,2,3. De (1.109) este elemento deformado tiene el volumcnrét/ = <¡ji;(A¡¡ + 0¡¡)(Aj2 + 0j2)(A'k3 + ('¡,,:¡) dX¡ dX2 dX:1·

EntoncesdVdVo

Si las componentes de Ajj son muy pequeñas y se desprecian sus productos,

j.V/dVo = €ij,,(A¡¡0jZOk:J + 0¡,Aj20k3 + Oi¡Oj2Ak:l + 0i,8j28"1) - 1 = AII + AZ2 + A;¡3

Para la teoría lineal la dilatación cúbica l¡¡ = éJn/éJX¡, que para n¡ = A¡jXj es l¡¡ = A,¡ -+- A22 + A33'

3.33. U!1a deformación lineal (deformación pequeña) está especificada por u., = 4x¡ - :rz+ 3X.1, Uz = X¡ +7X2, U:I = -3x¡ + 4:rz+ 4x;¡. Calcular las deformaciones principales ,2(11): y las deformaciones des-viadoras principales e(1I) para esta deformación.

Puesto que 'ij es la parte simétrica del gradiente de desplazamiento rJuja:oj, aquí vendrá dado por

(~4 ;0 402)o en la forma relativa a los ejes principales por .;j(~ ~ ~). También, 'k¡j3 = 5 yel ten sor

O O 3

e: O

-:J/3 O ~)desviador es Cij = 2 Y referido a ejes principales c'i; ( O -1 Nótese que

\ O 2 \0 O -2e(1lI) =:: E(m)- fkk/3.

CAP. 3 ANALISIS DE DEFORMACIONES 119

DEFORMACION PLANA Y COMPATIBILIDAD (Sec.3.15-3.16)

3.34. Una roseta a 45° mide las deformaciones longitudinales a lo largo de losejes indicados en la Fig. 3-15. En un punto P, <11 = 5 x 10-4, <1 = 4 x10-4, <.," = 7 X 10-4 cm! cm. Determinar la deformación cortante c.. en

-- 12

el punto P. -De (3.59), con ~ = (el + ez)h/2 como vector unitario en la dirección x;

X2,

Xl

45°45°

P Xl

Fig.3-15

15 X 10-4

[1Iv2, 1/v2, O] I '¡2

L OPor lo tanto

12 X 10-4 + 2'12---::---- = 4 X 10-4 o <¡2 == -2 X 10-4.2

3.35. Construir los círculos de Mohr del estado de defor-mación plana

o5

visJ'i' (3,3)

's

Con el estado de deformación dado referido a los ejes Xi

los puntos B('22 = 5, '23 = ,/3 ) y D quedan determinados porel diámetro del círculo interior más grande en la Fig. 3-16.Puesto que '<ll = O es un valor principal en el estado de defor-mación plana, los demás círculos se dibujan como se indica enla figura.

----+--r-~=---r.-~=-~__4---~6 'N

y hallar la deformación cortante máxima. Com-probar el resultado analíticamente.

E

Una rotación de 30° alrededor del eje x¡ (equivalente a 60°en el diagrama de Mohr) da lugar a los ejes de deformaciónprincípales con el ten sor de deformación principal .t dado por Fig.3-16

[:O O l-o O '][1 O -:/2] [:

O :]...;3/21/2 J O

5...;3 O /3/2 = 6

-1/2 ...;3í2 LO -[3 3 O 1/2 /3/2 O

X3,

x* x* X33 3

30° x*2

~;

X2

45°

x*¡ ,

/ Xl x* x¡1Fíg.3-17 Fíg.3-}8

120 ANALISIS DE DEFORMACIONES CAP. 3

A continuación una rotación de 45° alrededor del eje x~ (90° en el diagrama de Mohr) da lugar a los ejes < y alten sor de deformación asociado <ii dado por

[1/12

1-1/12i... O

1/121/12

O

Las dos primeras filas representan el estado de deformación especificado por el punto F de la Fig. 3-16. Nótese que unarotación de - 45° alrededor de ;,::;daría lugar al punto E en la Fig. 3-16.

3.36. El estado de deformación a través de un medio continuo está especificado poro ?

;t:¡ X-X'~")2

( X'fU • ? X3 ;r~? 5X¡X8 :1:3

¿Se satisfacen las ecuaciones de compatibilidad?

Sustituyendo directamente en (3.104), todas las ecuaciones son idénticamente satisfechas. Se deja a merced del es-tudiante la comprobación detallada.

Problemas diversos

3.37. Deducir la forma indicial del tensorde deformación finita lagrangiano Le de (3.40) a partir de sudefinición de (3.37).

Según (3.24), ax¡/aXj = 0ij + auJaxj• Entonces (3.37) se puede expresar

Lii ~ [( 0ki + :~~) (Ski + ~~) - oij ]

3.38. Un campo de desplazamientos está definido por X¡ = XI - eX2 + BX3, X2 = ex¡ + X2 - AX3,

X3 = -EX¡ + AXz + X3• Probar que este desplazamiento representa la rotación de un cuerpo rígi-do solamente- si las constantes A,B, e son muy pequeñas. Determinar el vector rotación w para unarotación infinitesimal de un cuerpo rígido.

De los desplazamientos dados, F(

~ -~ -;) y de (3.37),

-B A 1

(

B2+ C2

!. -AB2 -AC

-AB

A2+ C2-AC)-BC

A2+B2-BC

Si se desprecian los productos de las constantes, este tensor de deformación es nulo y el desplazamiento se reduce a unarotación de un cuerpo rígido. De (3.50), el vector rotación es .

CAP. 3 ANALlSIS DE DEFORMACIONES 121

w

.".., ".., "'-e¡ ez e.31 a/ax¡ a/ax2 a/ax32

-CX2 +EX3 CX¡ -AX3 -EX¡ +AXz

3.39. Para la rotación de un cuerpo rígido representada por U¡ = O.02X3, U2 = -O.03X3, U3

-O.02X¡ + O.03Xz, hallar el desplazamiento relativo de Q(3,O.1 ,4) con respecto a P(3,O,4).

De las ecuaciones de desplazamiento, uQ = .08 ~¡ - .12~2 - .057~3 y Up = .08 ~1 - .12 ~2 - .06 ~:l' Entonces du =Ua - Up = -,003 ~3' Se obtiene el mismo resultado de (3.51), con W = .03 ~¡ + .02 ~2:

.03 .02 O

O .1 O

3.40. Para un estado de deformación plana paralelo a los ejes X2X3 hallar las expresiones para la defor-mación normal (;2 y cortante <;3 cuando los ejes con primas y sin ellas están orientados como se in-dica en la Fig. 3-19.

du -.003 ~3

De la ecuación (3.59)

[O, cos e, sen eJ [~. O

<22 cos- 8 + 2E2:3 sen H cos 8 + E33 sen 28

€22 + €~;)

+€:!2 - E;3:1

cos 28 + €za sen 202 2

Análogamente a (3.65) y al Problema (3.20),

e;, [O, cos s, sen ,{ :

O ,:,] O lf22 -sene I

€23 E:33 cos e J-E22 sen ecos 8 + E23 cos- 8 - Ensen 2 IJ + Ea:3 sen J cos IJ

<23 cos 2e -

B

Fig.3-19 Fig.3-20

122 ANALlSIS DE DEFORMACIONES CAP. 3

3.41. Para una deformación homogénea, el tensar de las deformaciones pequeñas está dado por

[

0.01 -0.005-0.005 0.02

O 0.01

O lI

O.Olj'-0.03

¿Cuál será el cambio del ángulo de 90° ADC representado en el pequeño tetraedro OABC de la Fig.3-20 si OA.= UB = oe y D es el punto medio deAB?

L . . A A D _A A 'l' r; A (A A A I r: D lId d I P blos vectores unuanos v y /l en son .• = (el - e2) V z Y /l = 2 e3 - ez - e.) V 6 . e res u ta o e ro ema3.20,

Y;.Lll.=

r .02

[l/v'z, -l/v'z, Oll-·~l -.OllV3

/5-1-1\3.42. El ten sor de deformación en un punto está dado por €ij = 1-1 4 o) Y en su forma principal

por ':~ (~~~). Calcular los invariantes de defor~~~ón :ar: ~da uno de estos tensores\0 O 3/

Y comprobar su equivalencia.De (3.95), y del Problema 3.31, rE = 5 + 4 + 4 = 13, rE' = 6 + 4 + 3 = 13. De igual modo HE = 19 + 19 +

16 = 54, IIp = 24 + 18 + 12 = 54. Finalmente, IIlE = 5(16) - 4 -- 4 = 72, lIle' = (6)(4)(3) = 72. Elestudiante debería comprobar estos cálculos.

3.43. Para el campo de desplazamientos ;C¡ = Xl + AX3, X2 = X2 - AX3, :r3 = X3 -- AX1 -'- AX2, hallarel tensor de deformación finita Le. Probar que si A es muy pequeña, el desplazamiento representauna rotación de un cuerpo rígido.Puesto que 11¡ = AX3, H~ =-11X8, 11;) = -AX¡ +: AX2, de (3.40),

o A \

O - ...1) +A O (: O -~) C' -A2 O \ !A~ -A2 2:,)O -. -A2 A~ O i .... I ·-A~ A2

¡ i-A O O 2A2 ! \ O O

I \

Si A es tan pequeña que A2 puede ser despreciada, Le == O; Y de (3.50) el vector rotación es w = A e, ..!.. A e2'

3.44. Probar que el campo de desplazamientos ni = Ax¡ -+- 3:r2, ~!2= 3;¡:¡ - B;¡:2, U3 = 5 da un estado dedeformación plana y determinar la relación entre A y B para la cual la deformación es isocora(cambio de forma a volumen constante).

De las ecuaciones de desplazamiento, según (3.43), fi.i

rA ~l OII 3 -B O el cual es de la forma (3.99).I

Lo O O

De (3.96), la dilatación cúbica es D == fií = A - E, que se anula si A = E.

CAP. 3 ANALlSIS DE DEFORMACIONES 123

3.45. Una roseta en delta para la medida de deformaciones longitudi-nales en una superficie tiene la forma de un triángulo equilátero D

y registra las deformaciones normales El!' t{I' E;'I en las direccionesindicadas en la Fig. 3-21. Si en un punto :ll = a, E{I:= b, e;; = e,calcular (12 y (22

. De (3.59) y L = E, para la dirección x;

x"1 x{

~--~---------XI

Fig.3-21

la €1~ 'lf 1/2'[1/2, 1312, O] I '12 t'22 O . 13/2 I = b o 2V3 '12 + 3~22 4b - a

Lo O °_ L O JPara la dirección xi'

[-1/2,13/2, O] 1'~2 E12 011-1/2 i

e~2 O j! ';3/2 I = e o --213<12 + 3'n - 4c - a;

0_ L O J¡ O O'-

Despejando simultáneamente '12 y <22 se obtiene <!2 = (b - c)/Vs y '22 = (-a + 2b + 2c)/3.

3.46. Deducir la ecuación (3.72) que expresa el cambio de ángulo entre las' direcciones coordenadas Xz yX3 bajo una deformación finita. Probar que (3.72) se reduce a (3.65) cuando los gradientes de des-plazamiento son pequeños.

Sea Y2~:c: •../2 - o el cambio de ángulo indicado en la Fig. 3-5. Entonces, sen Y~~ = cos (tr /2 - 0)= ii~·ii:;, o de(3.33) y (3.34)

senh:¡dX2 dx:¡._-_._-

Idx~ d:>:zl

dXz • Fe • F • dX3

VdXz' G' dX2 ydX:¡' G' dX3

Dividiendo. ahora el numerador y denominador de esta ecuación por :dX21 y ¡ldX31 y usando (3.35) y (3.66), se tiene

sen ')'23

A continuación de (3.37) ez' G' e3 == .ez· (2Lc + 1)'e3 = e2' 2Lc 'e3 + ez' r- e3 = 2Lz3 ya que C2' e3 = O. Tambiénde (3.68) .\ A = -/1 + 2Loo etc., y así,

(e:2) V -~ ,

VI + 2Lz2 /1+ 2L33

dU2/ÚX3 + au;¡/aX2 + (dU¡j"X2)(cíu¡jaX3)

3.47. Hallar para el desplazamiento cortante sencillo XI = Xl, X2 = X2, X3 = X3 + 2Xz/V3, la direccióndel elemento de línea en el plano XzXo para el cual la deformación normal es nula.

Sea íii. = 1ilz Cz + '!il3e:¡ el normal unitario en la dirección de la deformación nula. Entonces de (3.66), como A~(~l = 1,

1 O O lr O l[0,1112' m3] O 7/3 2/,;3t' I - 1

~ O 2/13 1 1113 !

124 ANALisIS DE DEFORMACIONES CAP. 3

o 71n~ + 4V3m2m3 + 3m; = 3. También m~ + m~ = 1, Y resolviendo este sistema de dos ecuaciones, 1Jt2 = ±V3/2,m3. = +112, o rn2 = O, 1n3 = ±1. Así, hay una deformación nula a lo largo del eje X3 y para el elemento a 60° del ejeX3 El estudiante debería comprobar este resultado usando la relación íii.. 2lc' íii. = O deducida de (3.36).

Problemas propuestos

3.48. Para el desplazamiento cortante del Problema 3.47, hallar la ecuación de la elipse en la que se deforma el círculo X~ +X~ = 1 Sol. x; + 9x~ = 3

3.49. Determinar la deformación cortante :2~j para el estado de deformación del Problema3.47 (Fig. 3-22). S% Y~3 = sen -1 2/17

Sol.

~23

3.50. Dado el campo de desplazamientos Xl = Xl + 2X3, Xz = X2 - 2X3• x:¡ = X3 - 2X¡.L 2X2, hallar los tenso res de deformaciones finitas Lagrangiano yEuleriano Le y EA-

Fig.3-22

3.51. Hallar la forma principal de los dos tensores del Problema (3.50).

Sol.:):

le

3.52. Hallar para el campo de desplazamientos del Problema (3.50) el gradiente de deformación f, y por una descomposiciónpolar de f hallar el tensor de rotación R yel tensor de extensión positiva s.

S% R i (~ ~-~), S = (- ~ - ~ ~), F = (~ ~ -:)-2 2 1 O O 3 -2 2 1

3.53. Probar que el primer invariante de le se puede escribir en función de las relaciones de extensión princípales según 1Le[(A2A -1) + (AzA -1) + (A2A -1)]12. Sugerencia: Véase la ecuación (3.68).

(e,) (e2) (e,)'

3.54. El tensor de deformación en un punto está dado por <ti = (-~ -: -~). Hallar la deformación normal en la

{2 -{2 4

dirección ~ = e¡/2 - e)2 + e3/v:. y la deformación cortante entre ~y íL = -eJ2 + e2/2 + e3/V2.Sol. «;) = 6, Y,.jJ.= Q.

3.55. Hallar la forma principal de <ij dado en el Problema 3.54 y tener en cuenta 'que ~ y íL en ese problema son direccionesprincipales (por lo que Y"v = 01.

Sol. (~ ~ ~)O 0-2

3.56. Dibujar los círculos de Mohr para el estado de deformación dado en el Problema 3.54 y determina.r el valor de la máximadistorsión. Comprobar analíticamente este resultado. Sol. Ymax = 4

CAP. 3 ANALISIS DE DEFORMACIONES 125

3.57. Calcular los tres invariantes de deformación usando cada uno de los tensores fij y f7j dados en los Problemas 3.54 y 3.55 Ycomparar los resultados. Sol. lE = 6, IIe = -4, lIlE = -24.

3.58. Para el fij del Problema 3.54, hallar el tensar desviador eij y calcular sus valores principales.

(-1

\~-3 Y2\-1 -Y2 1,

-Y2 2)

o 0\O O)O -4

3.59. Un campo de desplazamientos está dado por ni = 3xlx;, U2 = 2x3xl' u3 = x; - x1xZ' Calcular el tensar de deforma-ción Eij y comprobar si se cumplen o no las condiciones de compatibilidad.

-1- .,. 3x2

1

3~;IXZ + Xa

_ -X2/2

Sí.

Sol. E22 = 1 X 10-4, <12 = -0.2885 X 10-4

3.60. Para una roseta en delta se encontraron las deformaciones quese indican en la Fig. 3-23. Calcular E¡2 y '22 en la región quecubre la roseta.

3.61. Para el campo de desplazamientos XI = XI + AX:l, X,) = X2•

X3 = X3 - AX¡, calcular el cambio de volumen y probar que esnulo si A es una constante muy pequeña. -

600 600

'11 = 2 x 10--4

Fig.3-23

Capítulo 4

Movimiento y flujo

4.1 MOVIMIENTO. FLUJO. DERIVADA MATERIALMovimiento y flujo son términos usados para describir el cambio continuo o instantáneo en la con-

figuración de un medio continuo. Flujo algunas veces encierra la idea de un movimiento que conduce auna deformación permanente como, por ejemplo, en los estudios de plasticidad. No obstante, en el flujode fluidos la palabra denota un movimiento continuo. Como se indicó en (3.14) Y (3.15), el movimientode un medio continuo se puede expresar ya sea en términos de coordenadas materiales (descripción la-grangiana) según

o x = x(X, t) (4.1)

o por la inversa de estas ecuaciones en términos de coordenadas espaciales (descripción euleriana) según

X, = Xi(:);I, :1:2, :1::¡, t) = X, (x, t) o X = X(x, t) (4.2)

La condición necesaria y suficiente para la existencia de las funciones inversas (4.2) es que el determinantejacobiano

(4.3)

no se anule. Físicamente, la descripción lagrangiana centra su atención en las partículas específicas delmedio continuo, mientras que la descripción euleriana se interesa por una región particular del espacioocupada por el medio continuo.

Puesto que (4.1) y (4.2) son inversas entre' sí, cualquier propiedad física del medio continuo que seexprese respecto a una partícula específica (descripción meterial o lagrangiana) también se puede expresarrespecto a la posición particular del espacio ocupado por la partícula (descripción espacial o euleriana).Por ejemplo, si la descripción material de la densidad P se da por

p = p(Xi, t) o p = p(X, t) (4.4)la descripción espacial se obtiene sustituyendo X en esta ecuación por la función dada en (4.2). De estamanera la descripción espacial de la densidad es

p = p(X¡(x, t), t) == p*(x¡, t) o = (X(x t) t) = *(x t)PP." P. , (4.5)donde el símbolo p* se usa aquí para resaltar que la forma funcional de la descripción euleriana no esnecesariamente la misma que la forma lagrangiana.

126

CAP. 4 MOVIMIENTO Y FLUJO 127

La relación respecto al tiempo de la variación de cualquier propiedad de un medio continuoreferida alas partículas específicas del medio continuo en movimiento se denomina la derivada material de talpropiedad. La derivada material (también conocida como derivada sustancia! o convectiva) puede serconsiderada como un cambio respecto al tiempo que sería medido por un observador que viajara con laspartículas específicas objeto de estudio. La posición instantánea Xi de una partícula es por sí misma unapropiedad de la partícula. La derivada material de la posición de una partícula es la velocidad instantáneade la partícula. Por lo tanto, adoptando el símbolo d/dt o el punto superpuesto (.) para representar a laoperación de derivación material (algunos libros usan D/Dt), el vector velocidad se define como

Vi = dxJdt = Xi o V = dx/dt: = X (4.6)En general, si Fij .. es una propiedad escalar, vectorialo tensorial de un medio continuo que puede

ser expresada como una función de posición de las coordenadas del punto y si la descripción lagrangianaestá dada por

p ..t) .. = Pij(X, t) (4.7)

la derivada material de la propiedad se expresa por

dPi¡ . aPij .. (X, t)dt at (4.8)

El segundo miembro de (4.8) se escribe algunas veces [aP!L-'-'(~2.EIJ para resaltar que las coordenadas Xat x

se mantienen constantes, es decir, al tomar la derivada están involucradas las mismas partículas. Cuandola propiedad Pi, .. se expresa mediante la descripción espacial en la forma

Pi, = Pi, . (x, t) (4.fJ)

la derivada material está dada por

dP¡¡ .. (x, t)dt (4.10)

donde el último término del segundo miembro aparece debido a que las partículas específicas están cam-biando de posición en el espacio. El primer término del segundo miembro de (4.10) da la relación de cam-bio en una posición particular y por ello se conviene en denominarla variación local. Este término se es-

cribe algunas veces rap¡~\x, tll para resaltar que x se mantiene constante en esta derivación. El.. at .lxsegundo término de la derecha de (4.10) se llama variación convectiva ya que expresa la contribucióndebida al movimiento de las partículas en el campo variable de la propiedad.

De (4.6), la derivada material (4.10) se puede expresar

dPij . (x, t)dt

aPi¡ . (x, t) aPij . (x, t)at + Vk ax" (4.11)

que sugiere inmediatamente la introducción del operador de derivación material

ddt o d a

dt = at + v· V'x (4.12)

que se usa para tomar las derivadas materiales de cantidades expresadas en coordenadas espaciales.

4.2 VELOCIDAD. ACELERACION. CAMPO DE VELOCIDAD INSTANTANEO

En (4.6) se da una definición del vector velocidad, según Vi = dxJdt (o v = dx/dt). Otra forma dedefinir el mismo vector se obtiene de (3.11) que da Xi = 1(,;+ X, (o X = U + X). De esta manera se puede

128 MOVIMIENTO Y FLUJO CAP. 4

definir la velocidad pord(ui + Xi) _ du,

dt dI odx _ d(u+X) _ du

v = dt dt di (4.13)

puesto que X es independiente del tiempo. En (4.13), si el desplazamiento se expresa en la forma lagran-giana u, = Ui(X, t), entonces

. du¡(X, t) au¡(X, t) du(X, t)Vi ~ U; = dt = at o v = u dt

Si, por otra parte, el desplazamiento está en la forma euleriana lt¡ = Ui(X, t), entonces

au(X, t)at (4.14)

Vi(X, t) ili(X, t)dUi(X, t) CJUi(X, t) + 1',,(X t) aUi(X, t)- -

dt at ' iJXk

o v(x, t) - il(X, t)du(x, t) au~J2 + v(x, t) . 'Vx u(x, t) (4.15)- dt at

En (4.15) la velocidad está dada implícitamente puesto que aparece como un factor del segundo términode la derecha. La función

o v = v(x, t) (4.16)

se dice que especifica el campo de "Velocidadinstantáneo.La derivada material de la velocidad es la aceleración. Si la velocidad está dada en la forma lagran-

giana (4.14), entonces

. dVi(X, t) av¡(X, t)ai ~ 'Vi ~ dt = at o a - v -

dv(X, t)dt

(4,17)

Si la velocidad se da en la forma euleriana (4.15), entonces

o,¡(X, t)dv¡(x, t) aVi(X, t) + ( t) aVi(X, t)

-dt at Vk x, iJ

Xk

o a(x, t)dv(x, t) av(x, t) + v(x, t) . 'Vx v(x, t) (4.18)-

dt iJt

4.3 TRAYECTORIAS. LINEAS DE CORRIENTE. MOVIMIENTO ESTACIONARIO

Una trayectoria es la curva o camino recorrido por una partícula en un flujo o movimiento. Unalínea de corriente es una curva cuya tangente en cualquier punto está en la dirección de la velocidad de esepunto. El movimiento de un medio continuo se denomina movimiento estacionario si el campo de ve-locidad es independiente del tiempo, de forma que iJvdat = O. Para un movimiento estacionario, lastrayectorias y las lineas de corriente coinciden.

4.4 VELOCIDAD DE DEFORMACION. VORTICIDAD. INCREMENTOS DEDEFORMACION NATURAL

El gradiente espacial del campo de velocidad instantáneo define el tensor gradiente de velocidad avdaXj(o Yij). Este tensor puede descomponerse en sus partes simétrica y antisimétrica según

o (4.19)

Esta descomposición es válida aun si Vi y iJvdaxj son cantidades finitas. El tensor simétrico

D. - D - !(avi + av~)1) ~ jz - 2 a::Cj aXi o (4.20)

se denomina tensor de velocidad de deformación. Para este tensar se usan otros muchos nombres; entreellos tensar de rapidez de deformación, de velocidad de extensión y de velocidad de deformación espe-cífica. El tensar antisimétrico (_ \

V - _V _ 1 dV¡ a'Uj1) - )1 - 2 \ax~- ¡¡-;:¡)

se denomina tensar de giro, vorticidad o velocidad de rotación.Se puede probar fácilmente que el tensar de velocidad de deformación es la derivada material del

tensar de deformación lineal euleriano. Así, si en la ecuacióndE,; _ 1 d (dU¡ au¡ \- --\-+-¡ odt - 2 dt a;('j uj.'¡/

las derivaciones respecto a las coordenadas y el tiempo se intercambian, es decir, si !L (~.~~~)\se sustituye pordt ,rlXj

d (dll¡ \ I . , . 1 f=-:¡:-: -Z-t) , a ecuacion antenor toma a arma .(J •.. ) (

dEi) 1(a'Vi a'Vi)en = 2 )Jx¡ + d;1:i = Di,

CAP. 4 MOVIMIENTO Y FLUJO

o

129

o (4.21)

dEdt

(4.22)

dE _ 1( ) _dt - :r v'Vx + 'Vx v - o (4.23)

'vlediante el mismo procedimiento se puede probar que el tensar de varticidad es igual a la derivadamaterial del tensar de rotación lineal euleriano. El resultado se expresa por la ecuación

-; 1 (av¡ aVj ')rU =--= 2 a:rj- d;¡;i = Vij o dO _ 1 ( ) _dI - .~V'Vx - 'Vx v - V (4.24)

maSe puede atribuir una interpretación interesante a (4.23) cuando esta ecuación se reescribe en la for-

o dE = o dt (4.25)

El primer miembro de (4.25) representa las componentes conocidas como incrementos de deformaciónnatural que se usan ampliamente en los problemas de flujo y en la teoría de la plasticidad (ver Cap. 8).

4.5 INTERPRETACION FISICA DE LOS TENSORES DE VELOCIDAD DEDEFORMACION y VORTICIDAD

En la Fig. 4-1 las velocidades de dos partículas próximasen los puntos P y Q de un medio continuo en movimiento estándadas por Vi y Vi + d/o, respectivamente. La velocidad relativade la partícula situada en Q respecto a la de Pes por lo tanto

o dv = v'Vx • dx (4.26)

en la cual las derivadas parciales se han de estimar en P. Enfunción de D¡j y Vij, (4.26) se convierte en

o dv = (O + V) . dx (4.27)

Si el tenssor de velocidad de deformación es idénticamentenulo (Dij = O),

dv V'dx (4.28)o

Fig.4-1

130 MOVIMIENTO Y FLUJO CAP.4

y el movimiento en los alrededores de P es la rotación de cuerpo rígido. Por esta razón se dice que uncampo de velocidad es irrotacional si el tensor de vorticidad se anula en cualquier punto del campo.

El vector, asociado con el tensor de vorticidad, definido por

o (4.29)

se conoce como vector vorticidad o torbellino. La forma simbólica de (4.29) indica que el vector tor-bellino es el rotacional del campo de velocidad. El vector definido como la mitad del vector torbellino,

o n = ~q = -v, x v (4.30)

se denomina vector velocidad de rotación. Para la rotación de un cuerpo rígido, tal como la descritapor (4.28), la velocidad relativa de una partícula vecina separada de P por dx.; está dada por

o dv = n x dx (4.31)

Las componentes del tensor de velocidad de deformación tienen las interpretaciones físicas siguientes.Los elementos de la diagonal del tensor Dij son conocidos como las componentes de velocidad de exten-sión o alargamiento. Para una deformación pura, de (4.27),

o dv = D· dx (4.32

y puesto que la velocidad con la que cambia la longitud de un elemento de línea tix, por unidad de lon-gitud instantánea está dada por

de") = dv¡ = D d::ej = D! dx ij dx ij vj o (4.33

la velocidad de deformación en la dirección del vector unitario Vi es

o d (4.34

De (4.34), si V¡ está en la dirección de un eje coordenado, digamos e2,d = d22 o (4.3.5

Los elementos restantes de Di¡ son velocidades de deformación cortantes o velocidades de distorsión queson una medida de la velocidad del cambio de dos direcciones que originalmente forman un ángulo rectc(Ver Problema 4.18).

Puesto que Di, es un tensor de segundo orden simétrico, van asociados a él los conceptos de ejes prin-cipales, valores principales, in variantes, una cuádrica de velocidad de deformacián y un tensor des-viador de velocidad de deformación. También se pueden desarrollar ecuaciones de compatibilidad para la;componentes del tensor de velocidad de deformación, análogas a las presentadas en el Capítulo 3 para lo;tensores de deformación lineales.

4.6 DERIVADAS MATERIALES DE ELEMENTOS DEVOLUMEN, AREA Y LINEA

Durante el movimiento desde una configuración inicial en el instante t = O hasta una configuraciónpresente en el instante t, las partículas del medio continuo que ocupaban el elemento de volumen diferen-cial dVo en el estado inicial ocupan ahora el elemento de volumen diferencial dV. Si se toma el parale-lepípedo rectangular indicado en la Fig. 4.2, como elemento de volumen inicial, entonces según (J .10)

dV dX¡c¡ x dX2e2·dX3e3

dX¡dX2dX3

(4.36)

Debido al movimiento, este paralelepípedo se traslada y además se distorsiona, pero debido a que elmovimiento se supone continuo el elemento de volumen no se subdivide. En efecto, debido a la relación(3.33) dx, = (iJx;/aXj) d.X¡ entre los elementos de línea espacial y material, la "Iinea de partículas"

CAP. 4 MOVIMIENTO Y FLUJO 131

f armada por dX 1 forma ahora el segmento de línea diferencialdx;j) = (ox;/ax¡) d.X«. Análogamente d.X¿ se convierte en dX~2)= (axJaX2) dX2 y dX3 en dx::n = (axJaX~) dX3• Por lo tantoel elemento de volumen diferencial dV es un paralelepípedoque ha girado y tiene las aristas dx;' " dxiZ

!, d:r¡;!) y un vol u -men dado por el triple producto escalar

(4.37)t= o

Pero como se ve (4.37) es igual a

dV r):~_~:E.!.. r);rk «x 'ZX. ax,f ..,. av aX aX ·'l.1 t, 2 ··'l.o

1) ~ ..t\. 1 2 ;)J dVo (4.38)

donde J = lax;/aXjl es el jacobiano definido por (4.3).Usando (4.38), es posible obtener ahora la derivada

material de dV como Fig.4-2

ddt (dV)

ddt (J dVo)

dJdt dVo (4.39)

puesto que dVo es independiente del tiempo, de forma que ¿fé (elFo) := O.

biano J se puede probar que es (ver Problema 4.28)elJ'dI

La derivada material del jaco-

J J\l . vx (4.40)

y entonces (4.39) se puede escribir en la forma

~ (dV) = dVi dVdt dX¡

o %t (dV) = \lx . vdV (4.41)

Para la configuración inicial de un medio continuo, un elemento diferencial de área que tiene la mag-nitud dSo se puede representar en términos de su vector normal unitario ni por la expresión dSon;. Parala configuración presente del medio continuo en movimiento, las partículas que inicialmente forman elárea dSo ni ahora ocupan un elemento de área representado por el vector dS n; o d.S; Se puede probar que

o dS = J dX . X \lx (4.42)

de la que la derivada material del elemento de área es

!l, (J élX¡) sx.dt aXi J

(4.43)

La derivada material de la longitud al cuadrado del elemento de línea diferencial dx, se puede cal-cular como sigue

2 d(dxi) d .dt x, (4,44)

No obstante, puesto que dx, = (axJaX¡) dXj,

132 MOVIMIENTO Y FLUJO CAP.4

ddt (dXi) (4.45)

y (4.44) se convierte en

2 dx . \7x v· dx (4.46)

La expresión del segundo miembro de (4.46) en la forma indicial es simétrica en i y k, Y según esto sepuede escribir

(4.47)

0, de (4.20),

2dx· o·dx (4.48)

4.7 DERIVADAS MATERIALES DE INTEGRALES DE VOLUMEN,SUPERFICIE Y LIN EA

No todas las propiedades de' un medio continuo puden ser definidas para una partícula específicacomo funciones de las coordenadas tales como las dadas por (4.7) Y (4.9). Algunas propiedades se de-finen como integrales sobre una región finita de un medio continuo. En particular, representemos a cual-quier propiedad escalar, vectorial o tensorial por la integral de volumen

Pij ... (t) Iv P~ .. (x, t) dV (4.49)

donde V es el volumen que ocupa la parte considerada del medio continuo en el instante T: La derivadamaterial de Pi, .. (t): es

d I·p ()]- .. tdt . 'J ... :t Iv p~~. (x, t) dV (4.50)

y puesto que la derivación es con respecto a una parte definida del medio continuo (es decir, un sis-tema de masa específico), se pueden intercambiar las operaciones de derivación e integración. Por lotanto

el r *dt J" Pi, ... (x, t) dV Iv :t [P~ .. (x, t) dV] (4.51)

que, después de realizar la derivación y usando (4.41), resulta

d r *dt J" Pi, .. (x, t) dV - f [dP~ .(x, t) P'~(x, t) aVpJ dV- 11 dt + 1J axp

(4.52)

Puesto que el operador de derivación material está dado por (4.12) como d/dt = a/at + Vp a/axp, la (4.52)se puede poner en la forma

:t i p~ ..(x, t)dV i [ap~.. (x, t) a * ]-~-'-'--"- + -3 (vpPij .. (x, t)) dVv at oXp

(4.53)

Usando el teorema de Gauss (1.157), el segundo término de la integral del segundo miembro de (4.53) sepuede convertir en una integral de superficie y expresar la derivada material como

a r *dt Jv Pl, ... (x, t) dV f ap~~... (x, t) dV r [p* ( t)] dSv at + Js Vpij ... x, ., p (4.5.~)

· CAP.4 MOVIMIENTO Y FLUJO 133

Esta ecuación establece que el ritmo de crecimiento de la propiedad J-lij . (t) en aquella parte del mediocontinuo que ocupa instantáneamente el volumen V I es igual a la suma de la cantidad de la propiedadcreada dentro de V más el flujo vp[P~ .. (x, t)] a través de la superficie límite S de V.

El procedimiento para determinar las derivadas materiales de las integrales de superficie y de línea esesencialmente el mismo que el empleado anteriormente para la integral de volumen. Entonces para cual-quier propiedad tensarial de un medio continuo representada por la integral de superficie

r Q¡~.. (x, t) as,Js(4.55)

donde S es la superficie ocupada par la parte considerada del medio continuo en el instante t, entonces,como antes di *dt QÚ ... (x, t) d.S;

s

y, de (4.43), la diferenciación de (4.56) da

dQíj ,(t) r [dQ~j_ ,(x, t) + dVq Q:~di Js dt dXq

(4.56)

(4.57)

Para las propiedades expresadas en la forma de integrales de línea tales como

R;j(t) i R;; .. (x,t)elxpe

- (4.58)

la derivada material está dada por

d f .,di r: Rij ,. (x, t) dxp (4.59)

Derivando la integral del segundo miembro como se indicó en (4.59) y haciendo uso de (4.45), resultapara la derivada material

eldt [Rij(t)J f drR~ ,(x, t)] d . f e»; * .--dCO-

t--- :l.p + -. [Rij, ,(x, t)] d~tq

e e dXq(4.60)

Problemas resueltos

DERIVADAS MATERIALES. VELOCIDAD. ACELERACION (Sec. 4.1-4.3)

4.1. La descripción espacial (euleriana) del movimiento de un medio continuo está dada por e. = X¡e' +X3(et - 1). X2 = X3(et - e-t) + Xz, :r3 = X;" Probar que el jacobiano J no se anula para estemovimiento y deducir la descripción material (lagrangiana) hallando las ecuaciones inversas deldesplazamiento.

De (4,3) el determinante jacobiano es

I e' O

J = liJx¡/aXjl = I O 1

O O

et -1 i

1

Invirtiendo las ecuaciones del movimiento X¡ = x¡e-t + x~(e-t -1), X2 = Xz - x3(et - e-tj, X3 = Xo'Obsérvese que para cada descripción cuando t = O, Xi = Xi'

134 MOVIMIENTO Y FLUJO CAP.4

4.2. El movimiento de un medio continuo está dado por x¡ = Xl, Xz = et(XZ + X3)/2 + C-'(X2 - X:J)/2,X3 = et(X2 + XN2 - e-t(X2 - XN2. )Hallar las componentes de la velocidad en las formas material yespacial.

A partir de la segunda y tercera ecuaciones X2 + X3 = c-t(xz + X3) y X2 - X3 = et(xz - X3)' Resolvie~do este sis-tema, las ecuaciones inversas son X¡ = Xl> XZ = e-t(x2 + x3)/Z + et(x2 - x3)/Z, X3 = e-/(x2 + X3)/Z - et(x2 - :t'3)

/Z. Según esto, las componentes del desplazamiento u¡ = Xi - Xi , se pueden escribir en su forma lagrangiana U¡ = O, Uz

= et(Xz + X3)/2 + e-I(Xz - X3)/2 - X2, U3 = et(X2 + X3)/Z - e-I(X2 - X3)/Z - X3, o en la forma euleriana u¡ = O,U2 = X2 - e-t(x2 + x3)/Z - et(x2 - X3)/Z, u3 = X3 - e-t(x2 + x3)/2 + ct(x2 - x3)/2.

De (4.14), Vi = auJat = aX;liJt y las componentes de velocidad en la forma lagrangiana son VI = O, V2 = et(X2 + X3)

/2 - e-t(X2 - X3)/Z, v3 = et(X2 + X3)/Z + e-t(Xz - X3)/2. Usando las relaciones X2 + X3 = e-t(x2 + x3) y Xz-X3 = et(x2 - x3)estas componentes se reducen a V¡ = O, V2 = X3' V3 = X2'También de (4.15), para la descripción euleriana,

dUz/dt Vz e-'I(:cz + x3)/2 - el(x2 - x)/2 + 1'2(Z - e=! - el)/2 + v:l(-c--t + et)/2

dU3/dt = tI, ;:.:: e'- t(X2 + x3)/2 + e'(:cz - x:J)/2 + 1'z(-e-t + ct)/2 + 1'3(2 - c- t - el)/2

Resolviendo este sistema de ecuaciones para Vz y V:}, el resultado es como antes Vz = X:¡, v:J = x2·

4.3. Un campo de velocidad está descrito por VI = :rd(l + t), vz = 2xz/(1 + t), V3 = 3x3/(1 + t).Estimar las componentes de la aceleración en este movimiento.

De (4.18), dv¡/dt a.¡

dVz/dt - a2

dv31dt a3

-Xl/el + t)2 + ~c[/(l + 1)2 = O

-2xz/(1 + t)2 + 4x~/(1 + tF-3x3/(1 + t)2 + ~hj(l+ 1)2

2xi(1 + Iy6xi(1 -1- 1.)2

4.4. Integrar las ecuaciones de velocidad del Problema 4.3 para obtener las relaciones de desplazamientoXi = Xi(X, t) y a partir de éstas estimar las componentes de la aceleración en la forma lagrangianadel movimiento.

De (4.13) VI = dx¡/dt = xl/(l + t); separando variables, ti.G¡/:>:¡ == dt/(l -1- tl e integrando resultan X¡ = In (1 + t) ..;..

In e en la que e es una constante de integración. Puesto que X¡ = X ¡ cuando t = O, e = Xl Y entonces ~;¡ = Xl (1 .,t). Un procedimiento análogo da X2 = Xz(l + t)2 Y X3 = X3(1 + t)3.

Entonces de (4.14) y (4.17), VI = Xl' Vz:::: 2Xz(1 + t), 1):1 = 3X3(1 + t)~ y a, = O, a2 = 2X2, y a3 = 6X3(1 + t).

4.5. El movimiento de un medio continuo se da por x, = A + (rG"/>..) seo A(A + últ), X2 = -B - (e-B"/A)cos .\(A + (,¡t), :ea = X3• Probar que las trayectorias de las partículas son circunferencias y que lamagnitud de la velocidad es constante. Determinar además, la relación entre Xl y X2 y las constan-tes A y B.

Escribiendo Xl - A = (e-l1VA) sen A(A + wí), X2 + B = (-e-BX/A) cos "VI -1-wt), elevándolas al cuadrado ysumándolas, y eliminando t resulta para las trayectorias las circunferencias (x¡ - A)~ -1- (x:! + B)2 = e-2BX/". De (4.6) ~I¡

=..: wr.-BX cos A(A + wt), v;¡ = we-BII sen ,,(A + wt), V;¡ == O Y V2 == v~ + -¡;~ + v; = w2e-2BX• Finalmente, cuando t:.=O, ;1:, == Xi y así X¡ = A + (e-BX/A) sen AA, X2 = -B - (fJ-BA/,,) cos "A.

4.6. Un campo de velocidad está especificado por el vector v = x~ te¡ + X2t2e2 + x¡:l:::¡te:l. Determinar lavelocidad y la aceleración de una partícula situada en P(l, 3,2) en el instante t = 1.

Sustituyendo directamente, vj, = e¡ + 3 e2 + 2 e3' Usando la forma vectorial de (4.18) el campo de aceleración estádado por

a xie¡ + 2x2teZ + X¡X3e:¡ + (xite¡ -1- X2t2e2 + x¡x:¡te:3)

• (2x,te¡e, -1- x:Jte;e3 + t2e2e2 + x1te3e3)o a = (x~ + 2x~t2) el + (2x2t + x2t4) e2 + (XIX~ + 2x xst2)e:J

3e, + ge2 + 6e3'Así,

CAP.4 MOVIMIENTO Y FLUJO 135

4.7. Para el campo de velocidad del Problema 4.3, determinar las líneas de corriente y las trayectoriasdel flujo y probar que ambas coinciden.

En cada punto de una línea de corriente la tangente está en la dirección de la velocidad. Entonces para el vector tan-gente diferencial dx a lo largo de la línea de corriente, v X dx = ° y, según esto, las ecuaciones diferenciales de las líneasde corriente se convierten en (/):¡lv¡ =' dX2/v2 := dx:/v;¡. Para el flujo dado estas ecuaciones son dx¡/x¡ =: dX2/2'"2 = dX8/3:r3' Integrando y teniendo en cuenta las condiciones Xi c= Xi cuando t = O, las ecuaciones de las líneas de corriente son(x¡/X1)z:= X2/X2' (:r¡/X¡)3 = ,,-,:/X:1, (X2/X2)~ = (:r~/X:¡V

Integrando las expresiones de la velocidad dx/dl = 'V¡ como se realizó en el Problema 4.4 se obtienen las ecuacionesde desplazamiento XI = XI(l + 0, Xz = X~(l + tF, X:j = X3(1 + t)3. Eliminando ( en estas ecuaciones obtenemos lastrayectorias que son idénticas a las líneas de corriente halladas anteriormente.

4.8. La fuerza del campo magnético de un medio continuo electromagnético está dada por ,\ = (O'"

/r donde 1'2 = xi + x~ + x~ y A es una constante. Si el campo de velocidad del medio continuo es-tá dado por v¡ = Bx¡x3t, V2 = Bx~ t2, V3 = BX:1;C2, determinar la variación de la intensidad mag-nética para una partícula situada en P(2, -1, 2) cuando t = lo

Puesto que iJ(T-J)/iJX¡ = -X¡/l~j, la ecuación (4.11) da

~ = -Ae-At/T - e-At(Bxi~;3t + Bx~ t2 + BX~X2)h-3

y para P a t = 1, ·Ap= -e-A(3A + B)/9.

4.9. Un campo de velocidad está dado por VI = 4:1;3 - 3:1:2, Vz = 3~c¡, 'u" = -4:1;1. Determinar las com-ponentes de la aceleración en Ptb, 0, O) y Q(O, 4b, 3b) y poner de manifiesto que el campo de velo-cidad corresponde a una rotación de cuerpo rígido de velocidad angular 5 alrededor del eje e = (4ez + 3C:l)/5.

De (4.18) a¡ = -25x¡, az = -9x2 + 12x:j, a'3 = 12x2 -lGx:;. Entonces en P(b, O,O), a = -25bí?\ que es una com-ponente normal de la aceleración. También, en Q(O, 4b, 3b) que está en el eje de rotación, a = O. Nótese que v = w X x'- \-1 t?~-+ ~ e) x (Xl el + ~f2e2+ '-~~e:~)== (4x~ - 3x2)'Cl -i .. 3x1 e.~-- .1:-(; '~:\.

VELOCIDAD DE DEFORMACION, VORTICIDAD (Sec. 4.4-4.5)

4.10. Un cierto flujo está dado par 'u, =, 0. 1'.~:.. A(,c¡x~ - x~)eBt, V3 = A(x~ - x¡:t:;¡)rUl donde A y B sonconstantes. Estimar el gradiente de velocidad éJvJéJXj en este movimiento y de él calcular el tensorde velocidad de deformación D y el tensar de giro V para el punto P(l, 0, 3) cuando t = O.

De (4.19), iJv;liJxj :¡ -2:~) Ae-Rt que puede ser estimado en P cuando t = O2x2 -XJ

y descompuesto según (4.20) y (4.21) como

y D + V ( ~ : -6:) (~-3A ° -A \-1.5A

O -1.5A) I ° O 1.5AI

A -3A + \O-l.~A ° -3A

-3A -A / 3A O

4.11. Calcular para el movimiento X¡ XI, :(:2 = X2 + X¡(e- 2t - 1), X;J = X3 + X¡(e-31 - 1) el tensor develocidad de deformación O y de vorticidad V. Comparar O con dc.Jdt, el tensor de velocidad de

'Jdeformación euleriano de deformaciones pequeñas c.

Aquí las componentes del desplazamiento son 1/¡ == 0, 1(2 = XI (c-2t - 1), U:1"" "'1 ir- ;;¡ ..- }) y de(4. /4) las componentesde velocidad son 1'1 = 0, v2 = -2x¡e-2/, v3 = -3xJe-3t. La descomposición del gradiente de velocidad éil'¡/éJxj daAt';léJx¡ = Dij + V;¡. De esta forma

136 MOVIMIENTO Y FLUJO CAP. 4

( O0\ -c-~t -3':'</2) / e--2f

\

O O O3':"/2 ~

dv/Bxj -2c-2t O O ( -,-" O + \~'~:;2 O-3e-;¡t O O -3C-31/2 O O

De igual modo, la descomposición del gradiente de desplazamiento da Da;!fJxj c= Eíj + W¡j y

e O

:) e e-2t '~"') ~(,,0, -e--2t '~H)auJaXj e-2t O ! e-2f O + Oe-3t O 2 c-;lt O e -.ll O

Comparando D con dE/elt,

dEL/clt O

O

Dij

El estudiante puede comprobar que clwi/clt = Vij•

4.12. Una línea de torbellino es una línea cuya tangente en cada punto de un medio continuo en movi-miento está en la dirección del vector torbellino q. Probar que las ecuaciones para las líneas de tor-bellino son dx-Jq, = dXZ/q2 = dX;¡!q3.

Sea dx un vector de distancia diferencial en la dirección de q. Entonces q X dx: == O, o

(q2 d:r3 - q3 dX2) e¡ + (q;¡ dx¡ - q¡ d~'3) e2 + (q¡ d:rz - q2 dx¡) e'l == O

de la que (ü¡/q¡ = dXZ/q2 = d,rjq,j'

4.13. Probar que para el campo de velocidad v = (AX3 - Exz)'e¡ + (Ex¡ - CX3)CZ + (CXz - A1:¡)C3 las líneasde torbellino son líneas rectas y determinar sus ecuaciones.

De (4.29) q == Vx x v = 2(Ce¡ + A eo + Be'l), y del Problema (4.12) las ecuaciones diferenciales de las líneas detorbellino son A dX3 = B clxz, B dXI = C clX3, e dxz = A dx¡. Integrando estas ecuaciones se obtienen las ecuacionesde las líneas de torbellino X3 = B:rz/A + K¡, X¡ ~ CX3/B + Kz, X2 = Ax¡/C + K;¡ donde las K¡ son constantes de in-tegración.

4.14. Probar que el campo de velocidad del Problema 4.13 representa la rotación de un cuerpo rígidodemostrando que O = O.

Calculando el gradiente de velocidad a1'/OXj, se encuentra que es antisimétrico. Entonces avJa:Cjl'ij y Dij == O.

= ( ;

-A

-B A \

O -CC o .

I

4.15. Determinar para la rotación de un cuerpo rígido v = 3X3C¡ - 4X3CZ + (4X2 - 3X¡)C3, el vector ve-locidad de rotación n y probar que v = n x x.

De (4.30) 2n = q, o n = 4 e¡+ 3 c2. Este vector está a lo largo del eje de rotación. Así,

4.16. Un campo de velocidad estacionario está dado por v = (xl - x¡X~)C¡ + (xi X2 + xz)cz. Hallar lavelocidad relativa unitaria respecto a PO, 1,3) de las partículas situadas en QI(l, 0, 3), Q2(1, 3/4, 3),

CAP.4 MOVIMIENTO Y FLUJO 137

Q3(1, 7/8, 3) Y probar que estos valores se aproximan a la velocidad relativa dada por (4.26).Mediante un cálculo directo VI' - vQ, == -el + 2 e2, 4(vp - vQz) == -7e¡/4 + 2ez y 8(vp - vQ) == -15 e¡/8 + 2

~"_ La matriz gradiente de velocidad es

l' · -2x¡xZ n3x¡ - xi

2'"C¡X2 xi + 1

L O O

yen P(l, 1, 3) en la dirección negativa de "x2

(clv¡/clx) A

e, :J[-:] [:;]Así, idvf d»¡ - - --2 e¡ + 2e2 que es el valor al que se aproximan las velocidades unitarias relativas Vp - va;,

C:.;

4.17. Determinar para el campo de velocidad estacionario v = 3x~x2e¡ + 2X~X3C2 + x¡x2x~e3, la velocidadde extensión en P(l, 1, 1) Y en la dirección ~ = (3c¡ - 4e3)/5.

r6 1.5 o.51

J'

es, [Dij] == 1.5 4 l.5 .0.5 1.5 2~

y su parte simétrica en PAquí el gradiente de velocidad es

el1.5 0.5] [ 3/5]4 1.5 O

1.5 2 -4/5

74/25

De (4.34), para

4.18. Hallar, para el movimiento del Problema 4.17, la velocidad de distorsión en P entre las direccionesortogonales ~ = (3e¡ - 4C3)/5 y ~ = (4c¡ + 3C3)/5.

Análogamente a los resultados del Problema 3.20 la velocidad de deformación cortante Y1". está dada por Y¡J.u == íL·20 .;, o en forma matricial por

112 3 1] ~ 3/5][4/5,0, 3/5]L 3 8 3 O

1 3 4 -4/5

89/25

4.19. Un campo de velocidad estacionario está dado por v¡ = 2X3, Vz = 2X3, V3 = O. Hallar los valoresy las direcciones principales (velocidades de extensión) del tensor de velocidad de deformaciónpara este movimiento.

°oo

2l,2 :oJ

oo1:l+ .: ~ -. y para los valoresOJ -1 -1 O

principales )..de Dij'

-).. O 1O -A 11 1-)..

O

138 MOVIMIENTO Y FLUJO

De donde /..r = +v'2, /..rr = 0, /..rrr = -v'2.La matriz de transformación para las direcciones de los ejes principales es

[

-1/2 --1/2

1/v'2 -1/y21/2 1/2

con la matriz de velocidad de deformación en su forma principal

CAP. 4

l/v'2l

° I1/V2J

[+: O O

[D;;] = O O

O -V24.20. Determinar la velocidad de distorsión máxima Ymáx para el movimiento del Problema 4.19.

Análogamente a las deformaciones cortantes máximas del Capítulo 3, lavelocidad de la distorsión máxima es )'m3x = (I\r - /..m)/2 = Yz .

Este resultado también se obtiene teniendo en cuenta que el movimientoes una deformación cortante paralela al plano X¡J]2 en la dirección del vectorunitario ~ = (el --:-e2J/vIz. Como se vio

Ym., Y" [0,0, 1{: : m:;~] V2

También es notorio que la velocidad de extensión máxima en este mo-vimiento tiene lugar en la dirección ;¡ ccc (el + e2 + y2 c3)/2 tal como se hallóen el Problema 4.19. Entonces

[O O[1/2, 112, V2/2 J O O

1 1

X2

Fig.4-3

i 1/::

112 y2LV2/2

DERIVADAS MATERIALES DE VOLUMENES, AREAS, INTEGRALES, ETC. (Sec. 4.6-4.7)

4.21. Calcular la segunda derivada material del producto escalar de dos elementos de línea, es decir,hallar d2(dx2)/dr'.

en la (4.48) se indica que d(c1:r2)---'-. = 2Dij dx¡ d",]. Por lo tantodt

d2(d,;:2) [dDi¡ éll'i (¡v¡ ].u: 2 -lt d x¡ d», + Di; ~ clxk =. + Dij dx¡ -1-:- a«;

.- ( . rh:k ( "le

Y mediante una sencilla manipulación de los seudoíndices,

d2(.(.I.:1:2) _ [clDu rÍ1}k AV,](lt2 - 2 dt + Dk) ~ + Di}; -:;-:- dx, dx ,

éJ:ri o";

4.22. Hallar la derivada material _d_ j~}J¡ as. del flujo de la propiedad vectorial }J¡ a través deja super-dt s

ficie S.Según (4.57),

:t f p¡dS¡, s f [dPi' élVk]-- T ]J'-- dS. s dt ¡ rÍXk i.

CAP.4 MOVIMIENTO y FLUJO 139

4.23. Probar que el teorema del transprote deducido en el Problema 4.22 se puede escribir en la notaciónsimbólica como

d r A- J~p r n dSdt si [~~+ v(V" p) + V' x (p x v) ] . ñ dS

Mediante una transcripción directa del resultado del Problema 4.22 a la notación simbólica

~f p'ndS = ,( [~ + p(V·v) - (p'V)v] 'ndSs

~ [(~~+ (v· V)p + p(V • v) - (p > V)vJ • n dS

Usando ahora la identidad vectorial V x (p x v) = p(V' v) - v(V • p) + (v· V)p -:::-(p' V)v (ver Problema 1.65) seobtiene

4.24. Expresar el teorema del transporte de Reynold tal como se da en (4.53) y (4.54) en la notación sim-bólica.

Sea P~(x, t) una función tensorial cualquiera de las coordenadas eulerianas y del tiempo. Entonces (4.53) es

d f f [iJP* ]dt P*(x, t) dV = --;¡¡: + v- (P*v) dVv v

y según el teorema de la divergencia de Gauss ésta se convierte en (4.54),

:t f P*(x, t) dV = f a~* dV + e P?v : ñ dSv v •.Js

4.25. Si la función P"'(x, t) del Problema 4.24 es el escalar 1, la integral del primer miembro es senci-llamente el volumen instantáneo de una parte del medio continuo. Hallar la derivada material deeste volumen.

Usando la forma vectorial de (4.53), tal como se da en el Problema (4.24), ~ f dV = f V· v clV. Aquí, V' vv v

<IV representa la variación de dV, y así, V • v es conocida como la velocidad de dilatación cúbica. Esta relación tam-bién se puede establecer mediante una diferenciación directa de (4.38). Ver Problema 4.43.

Problemas diversos

4.26. De la definición de vector torbellino (4.29), q = rot v, probar que q¡ = f¡jk Vkj y que 2Vij = {jik qk'

De (4.29), qi = 'ijkvk.j = <ijk(V¡¡,.j] +VCk.j) y puesto que <ijkv(k.j) = O (ver por ejemplo el Problema 1.50), qi =<ijk v¡k.j] = <ijk Vkj· De este resultado 'irs qi = <irs'i.j" V kj = (Sriósk - Ork "'sj) V kj = 211"r'

4.27. Probar que la aceleración a se puede escribir como a uv 1?at + q X v + '2 V' '0-.

De (4.18), ai

a¡

la que, como debería comprobar el estudiante, es la forma indicial de la ecuación pedida.

140 MOVIMIENTO Y FLUJO CAP. 4

4.28. Probar que d(ln J)/dt = div v.

Escribamos aquí iJx¡liJXp como XLP de forma que J = EY(lRXI.PXZ,QX3,R y J se convierte en la suma de los tresdeterminantes, j = fPQR(Xl,pX2,QX3.R + X¡.pX2,QX3,R + X¡,?>;2,QX3,R)' Ahora x¡,p = v¡,sxs,P, etc., y así, j == EI'QR(1.'¡,

sXs,px2,Qx3,R + x¡,pv2,sxs,Qx3,R + x¡,pX2,Qv3,sxs,R)' De los nueve determinantes 3 X 3 que resultan de la suma en sde esta expresión, los tres no nulos danj = 'L'¡,¡J+v2,ZJ+V3,3J == vs,J. Entonces j = JV'·v yasí d(lnJ)/dt ==divv.

4.29. Probar que para el movimiento estacionario (avJat = O) de un medio continuo las trayectorias y laslíneas de corriente coinciden.

Como se vio en el Problema 4.7, en un instante dado t las líneas de corriente son las soluciones de las ecuacionesdiferenciales dx¡/v¡ = dX2/V2 = dX3/v3' Las trayectorias son las soluciones de las ecuaciones diferenciales dxf d: == v/x,

t). Si Vi = v¡(x), estas ecuaciones se convierten en dt = clx¡/v¡ = dX2/VZ == dX3/'L'3 que coinciden con las ecuacionesdiferenciales de las lineas de corriente.

4.30. Dado el campo de velocidad estacionario V¡ = XiX2 + ~:~, v·} = -:c~ - x¡x;;, V3 = O hallar las ex-presiones de los valores principales del tensar de velocidad de deformación O en un punto arbitrarioP(Xl, X2, X3).

De (1,.1.9) avJaXj '-" Di¡ + Vii' o

( 2x,x, ;ri + 3x~ n ( 2x,x, -xi + ~;~

~~(-2(X~~ ,')

2(xi + x~) n-3xi - x~ -2X¡X2o e

-2~;lX2 O-xio+ X;¡ T ¡ , "2

O O O O O

Los valores principales d(i) son las soluciones de

2~;¡X2 - d -xi + x~ O

I-xi + x~ -2X¡X2 - el OI

O O -« IDe donde el(¡) = 0, d(2) = -(xi + x~), d(3) = (xi + x~). Nótese que aquí dI:= (xi + l;~), elIl = o,

elm = -(xi + x~).

4.31. Demostrar la ecuacion (4.43) tomando la derivada material de d.S, en la forma de producto vec-. l dS, - l· (2) d (:3)ton a t - ~i.ik ex; x".

J ex, dX3• Por lo tanto,

(ePik ~l ax, iJx" dX3) iJv<)

'axz aX:J iJxq

(iJvqlaxq) elSp - (avq/ilx,,) dS'I

Usando (3.33),

4.32. U sar los resultados de los Problemas (4.27) y (4.23), para probar que la variación material del flujo de:torbellino _cl_ ( q. Íi dS es igual al flujo del rotacional de la aceleración a..u J.,

CAP.4 MOVIMIENTO Y FLUJO 141

Tomando el rotacional de la aceleración tal como se da en el Problema 4.27,

V x a V' X ~; + V' X (q X v) + V' X V'(v2/2)

o V' X a = iJq/at..;... V X (q X v) dq/dt + q(V" v) - (q' V)v

puesto que q = V' X v y

d f A- q' n d.Sdt s

V X V' (0.2/2) = O. Por lo tanto si q se sustituye por P en el Problema 4.23,

== 1: [~¡+ q(V" v) - «r- V')vJ .;; as = J~(V' X a) • ;; as

4.33. Probar para el torbellino a. que dt (qdV= ([E··kClr.+q·V.-q.v.]dS ..a. J\. 1 J3 IJ \. ) 1 1 J )

Del Problema 4.32., se puede escribir la identidad V' x a = iJq/dt + V' X (q X v) en la forma indicial como aqJat =f¡j!, ak.¡ - f¡Sp(fpT7lTQm vT). s' Por lo tanto

f aQ¡ clV

v aty según el teorema de la divergencia de Gauss (1.157),

f iJq¡ f f- dV == Eijkak d.S¡ - (OimOsT - OiTOs711)(qmvT) dSsv at s s

Problemas propuestos

4.34. El movimiento de un medio continuo está dado por Xl = X¡et + X3(et -1), Xz = X2 + X3(et - e-ti, '';3 A".Probar que J no se anula para este movimiento y hallar las componentes de la velocidad.

Sol. 1]1 = (Xl + X3)et, v2 == X3(et + e-t), v3 == O o 0'1 = Xl - :t'3' v2 = x3(et + e..!.'), v3 = O

4.35. En forma lagrangiana un campo de velocidad está especificado por 1)1 == -X2c-t, v2 == -X3, V3 == 21. Hallar las com-ponentes de la aceleración en forma euleriana.Sol. al == e-t(xz + tX3 - t3), Uz == O, U3 = :2

4.36. Probar que el campo de velocidad Vi = f¡.ikbjXk -:- C¡ donde b¡ y Ci son vectores constantes, representa la rotación deun cuerpo rígido y determinar el vector torbellino de este movimiento.Sol. q¡ = b¡x;. j - b¡ = 2b¡

4.37. Probar que para el flujo Vi. == x;l(l + t) las líneas de corriente y las trayectorias coinciden.

4.38. La intensidad del campo eléctrico en una región que contiene el flujo de un fluido está dada por A == (A cos 3t)/T donde1.2 = xi + x~ y A es una constante. El campo de velocidad del fluido es VI == x~ Xz + x:1 .. 1'., = ,:,,:r~l - ~·1;l'2. 1':1 = O.Determinar dA/dt en el punto P(x¡, x2, X3.1.

Sol. dA/dt = (-3A sen 3t).',·

4.39. Probar que para el campo de velocidad t'¡ - X~;1;2 + X~, v2

culares.-x:l - XiX~, V3 = O las Iineas de corriente son cir-

4.40. Demostrar para el movimiento de un medio continuo dado por Xl = XI' Xz = et(X2 + X3)/2 + e-t(X2 - X3)/2, X3

et(Xz + X3)/2 - e-t(X2 - X3)/2, que Dij = dfij/clt para t == O. Comparar estos tenso res para t ::::0.5.

4.41. Determinar para el campo de velocidad v.principales de D en P(l, 2, 3).

X~X2 + xL V2 == -(x~ + x¡xD, V3 = o, los valores y las direcciones

Sol. D~ (~ ~ ~);O 0-5

«, (

3/vÍO l/vÍÜ

O O

\ l/vÍÜ -3/vÍÜ

142 MOVIMIENTO Y FLUJO CAP. 4

4.42. Hallar para el campo de velocidad del Problema 4.41, la velocidad de extensión en la dirección -; =: ('el - 2 é2 + 2 e3)/U enP(l, 2, 3). ¿Cuál es la velocidad cortante máxima en P?

Sol. d di) =: -24/9· =: 5,Ymáx e

4.43. Probar que d(Bx/aXj)/dt =: Vi,k Xk,j Y usarla para deducir la (4.41) del texto, directamente a partir de (4.38).

4.44. Probar la identidad 'pqr(vsvr,s),q =: qpvq•q + vqqP.G - qqVp,q donde Vi es la velocidad y q¡ el torbellino. Probar tambiénque v¡,jVj,i =: DijDij - q¡qJ2.

4.45. Demostrar que la derivada material del torbellino total está dada por

Capítulo 5

Leyes fundamentales dela mecánica del medio continuo

5.1 CONSERV ACION DE LA MASA. ECUACION DE CONTINUIDADCon cada medio continuo material hay asociada una propiedad que se conoce como masa. La can-

tidad de masa de una parte del medio continuo que ocupa el volumen espacial Ven el instante t está dadapor la integral i p(x, t) dV (5.1)

en la que p(x, t) es una función continua de las coordenadas que se denomina densidad de masa. La ley dela conservación de la masa establece que la masa de una parte específica del medio continuo permanececonstante y, por lo tanto, que la derivada material de (5.1) es nula. Entonces, de (4.52) y pi; ... (x, t) == p(x,t), la variación de m en (5.1) es

dm d J.dt = dt v p(x, t) dV f [dp + p aVk] dVjT dt aXk

arbitrario V cualquiera, el integrando ha de ser

o (5.2)

Puesto que esta ecuación se mantiene para un volumennulo, o

dp .L Odt I pVk,k = o (5.3)

Esta ecuación se denomina ecuación de continuidad; usando el operador de derivación material tambiénse puede escribir en la forma

é!pat + (pVJ.k = O o (5.4)

Para un medio continuo incompresible la densidad de masa de cada partícula es independiente deltiempo, de tal manera que dpld.t = OY (5.3) da lugar a

o divv = O (5.5)

El campo de velocidad v(x, t) de un medio continuo incompresible se puede expresar por lo tanto por laecuación

v = V x s (5.6)

143

144 LEYES FUNDAMENTALES DE LA MECANICA DEL MEDIO CONTINUO CAP.5

en la que s(x, t) se denomina el potencial vectorial de v.La ecuación de continuidad también se puede expresar en la forma lagrangiana o material. La con-

servación de la masa exige que

i p(x, t) dV (5.7)

en donde las integrales se extienden a las mismas partículas, es decir, V es el volumen que ahora ocupa lamateria que en el tiempo t = O ocupaba el volumen Vo. Usando (4.1) y (4.38), la integral del segundomiembro de (5.7) se puede transformar en

lo Po (X, O) dVo 1'0 p(x(X, t), t)J dVo 5.'0 p(X, t)J -v, (5.8)

Puesto que esta relación es válida para cualquier volumen Va, se sigue que

Po = pJ

la que implica que el producto pJ es independiente del tiempo puesto que Ves arbitrario, o que

(5.9)

ddt (pJ) = O

La ecuación (5.10) es la forma diferencial lagrangiana de la ecuación de continuidad.

(5.10)

5.2 PRINCIPIO DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO LINEAL.ECUACIONES DE MOVIMIENTO. ECUACIONES DE EQUILIBRIO

En la Fig. 5-1 se representa un medio con-tinuo en movimiento que ocupa un volumen Venel instante t. Supongamos que son conocidas lasfuerzas másicas J); por unidad de masa. Que elvector tensión t;~) actúa en el elemento diferencialdS de la superficie límite. Que el campo de ve-locidades Vi =..dsuids; está prescrito en toda laregión ocupada por el medio continuo. En estecaso, la cantidad de movimiento lineal total delsistema másico contenido en V está dada por

( pvdVJ; 1(5.11)

v

X2

Fig.5-1

El principio de la cantidad de movimiento lineal, basado en la segunda ley de Newton establece quela variación por unidad de tiempo de una parte arbitraria de un medio continuo es igual a la fuerza resul-tante que actúa sobre esa parte considerada. Por lo tanto, si las fuerzas internas entre las partículas delmedio continuo de la Fig. 5-1 obedecen a la tercera ley de Newton de la acción y reacción, el principio dela cantidad de movimiento para este sistema másico se expresa por

i t:~) dS + f pbdV :t i pV,dVs v ¡

o (5.12)i e;:)dS + Iv pbdV -~-i pvdVdt v

Sustituyendo ti~) = Uj,nj en la primera integral de (5.12) y transformando esta integral de superficiepor el teorema de la divergencia de Gauss, (5.12) se convierte en

CAP.5 LEYES FUNDAMENTALES DE LA MECA ICA DEL MEDIO CONTINUO 145

.!l r pV dVdt Jv t

od .,

= di J pvdV (.5.13)

Calculando la derivada material de (5.13), la ecuación de continuidad se puede usar en la forma dada por(5.10). Entonces

:t Iv pv¡dV = r [ d(pJ) + J dv¡l dVJvo Vi dt p dtJ . o (5.14)

Sustituyendo el segundo miembro de (5.13) por el correspondiente de (5.14) y reagrupando términosresulta el principo de la cantidad de movimiento lineal en su forma integral,

r (O" .. + l> -pv) dV = O o r (\7 . I + pb - p~') dV = OJv )t.J 1 • VV .x

Puesto que el volumen Ves arbitrario, el integrando de (5.15) tiene que ser nulo. Entonces las ecuacionesque quedan

\~15'(;;. ,

G (5.16)

son conocidas como las ecuaciones de movimiento.En el caso importante de equilibrio estático en el que las componentes de la aceleración se anulan,

estas ecuaciones están dadas de (5.16) por,,;;.;+(,U; = O o \7x'¿ + {lb = O

Estas son las ecuaciones de equilibrio que se emplean extensivamente en la mecánica de sólidos.

(5.17)

5.3 PRINCIPIO DEL MOMENTO DE LA CANTIDAD DEMOVIMIENTO (CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANGULÁR)

El momento de la cantidad de movimiento es como su nombre indica sencillamente, el momento dela cantidad de movimiento lineal respecto a algún punto. Así, para el medio continuo indicado en la Fig.5-1, ~l momento total de la cantidad de movimiento o cantidad de movimiento angular como se denominacon frecuencia, respecto al origen, es

o N = J,. (x X pv) crv (5.18)

en la que :"('¡ es el 'lector de posición del elemento de volumen dV. El principio del momento de la cantidadde movimiento establece que la variación de la cantidad de movimiento angular por unidad de tiempo, decualquier parte de un medio continuo y respecto a un punto arbitrario, es igual al momento resultante(con respecto a ese punto) de las fuerzas masicas y superficiales que actúan en la parte considerada delcontinuo. Según esto, para el medio continuo de la Fig. 5-1, elprincipo del momento de la cantidad demovimiento se expresa en la forma integral por

r €k:rt~;') as + f E..,XpU/ .. dVJs 1) ) v rj. J ..

o%t .(. (x x pv) av

(5.1.9)

La ecuación (5.19) es válida para aquellos medios continuos en los que las fuerzas entre partícuias soniguales, opuestas y colineales, yen los que no existen momentos distribuidos.

El principio del momento de la cantidad de movimiento no proporciona ninguna nueva ecuacióndiferencial del movimiento. Si en (5.19) se hace la sustitución t~~) = O"Jl"n¡¡,y se admite la simetría del ten-sor de tensión, la ecuación se satisface idénticamente usando la relación dada en (5.16). Si no se supone lasimetría de tensiones, se puede probar que tal simetría se sigue directamente de (5.19), que por sustituciónde t (~)= n se reduce a

'k lTpk 11'

146 LEYES FUNDAMENTALES DE LA MECANICA DEL MEDIO CONTINUO CAP. 5

o (5.20)

Puesto que el volumen Ves arbitrario,o o (5.21)

que desarrollada demuestra que (J¡k = O'kj'

S.4 CONSERVACION DE LA ENERGIA. PRIMER PRINCIPIODE LA'TERMODINAMICA. ECUACION DE LA ENERGIA

Si solamente se consideran cantidades mecániéas, el principio de la conservaciou de la energía delmedio continuo de la Fig. 5-1, se puede deducir directamente de la ecuación del movimiento dada en(5.16). Para efectuar esto, se calcula primero el producto escalar entre (5.16) y la velocidad Vi y el resul-tado se integra en el volumen V. Entonces

( p1J.i·.dVJll "t ¡r V.O" ... dV + f fJvb. .zvJv t J1,) V I t

Peror pv.vdVJv t ~

d f pv2

- -dVdt Ir 2

dl(dt

que representa la variación por unidad de tiempo de la energia cinética K en el medio continuo. Además,V,oji.i = (V'O"j;) i - 'vi,j O"ji y de (4.19)' vi,i = D¿ + Vii,de forma que (5.22) se puede escribir

~~ -t Iv D¡jO"j¡ dV Iv (v¡O"Jj dV + Iv pV¡ o¡ av (5.24)

puesto que Vij'Tji = O. Finalmente, transformando la primera integral del segundo miembro de (5.24) enuna integral de superficie mediante el teorema de la divergencia de Gauss y haciendo uso de la identidadt;~) = <T.nj> la ecuación de la energia aparece en la forma

r v. t¡~J dS + J" pbv,dVJ~ ' v "(5.:¿S)

Esta ecuación relaciona la variación de la energía mecánica total por unidad de tiempo del medio con-tinuo, en el primer miembro; con la variación de la cantidad de trabajo realizado por las fuerzas másicasy superficiales en el segundo miembro de la ecuación. La integral del primer miembro es conocida comola variación de la energía mecánica interna por unidad de tiempo y se escribe dU/dt. Por lo tanto ,(5.25) sepuede escribir brevemente como

dKdI

dU+-dt

ctliVrlt,

(5.26)

donde dW/dt representa la variación de la cantidad de trabajo, y el símbolo especial d se usa para indi-car que esta cantidad no es una diferencial exacta.

Si se van a considerar ambas energías, la mecánica y la no mecánica, se tiene que usar el principio dela conservación de la energía en su forma más general. En esta forma el principio de la conservación es-tablece que la variación de la energía cinética más la energía interna por unidad de tiempo es igual a lasuma de la variación del trabajo más cualquier otra energía suministrada, o extraída por unidad de tiem-po. Se pueden incluir en tales energías suministradas.a la energía térmica, química o electromagnética. Enlo sucesivo, solamente serán consideradas las energías mecánica y térmica y el principio de la energía tomala forma de la bien conocida primera ley de la termodinámica.

Para un medio continuo termomecánico es costumbre expresar la variación de la energía interna porunidad de tiempo como la expresión integral

CAP. 5 LEYES FUNDAMENTALES DE LA MECANICA DEL MEDIO CONTINUO 147

dUdt

!i S pudVdt v

•.( püdV (5.27)

donde u se denomina energía interna especifica. (El símbolo u de la energía específica está bien esta-blecido en la literatura y por ello se usa en las ecuaciones de la energía de este capítulo y la posibilidad deque sea confundido en lo que sigue con la magnitud del vector desplazamiento 'Uj , no se toma en consi-deración). De igual modo, si el vector Cj se define como el flujo de calor por unidad de área y tiempo enla conducción calorífica, y z se toma como constante de radiación de calor por unidad de masa y tiempo,el ritmo de crecimiento de la cantidad de calor en el medio continuo está dada por

ctQdt: - ( c,n¡dS + ( pzdVJs Jv

(5.28)

Por lo tanto, el principio de la energía para un medio continuo termomecánico es

dW dQ-+-dt dt (5.29)

o en términos de las integrales de energía, como

el (1'¡1'; (.di J\l (J-2clV + Jv pudV - r ti;')viclS + f pvbdV + (' pzdV - f c.ti.d.SJs \r I I J1/ Sil (5.30)

Transformando las integrales de superficie de (5.30) en integrales de volumen según el teorema de ladivergencia de Gauss, y usando de nuevo el hecho de que Ves arbitrario se llega a la forma local dela ecuación de la energía

1- (0-.1).) . + b.».pUl ,J z ¡

1- c .. + zP "1

o (5.31)1 1-LD - -\i"c + b'v + z(J P

Dentro del elemento de volumen arbitrariamente pequeño para el cual es válida la ecuación de laenergía local (5.31), también se ha de cumplir el balance de la cantidad de movimiento dado por (5.16).Por lo tanto, tomando el producto escalar de (5.16) por la velocidad pv;vi = VilJ'ji,j + pv;bi y, después desencillas operaciones, restando este producto de (5.31), resulta la forma tan reducida como extraordi-nariamente útil de la ecuación de la energía local,

du 1 1-dt - a.D. - - c .. + z (.5.32)p 1) 1) P 1.1

Esta ecuación expresa la variación de la energía interna por unidad de tiempo como la suma del trabajopor unidad de tiempo debido a las tensiones o potencia de tensión más el calor añadido al medio con-tinuo.

5.5 ECUACIONES DE ESTADO. ENTROPIA. SEGUNDOPRINCIPIO DE LA TERMODINAMICA

Se dice que la completa caracterización de un sistema termodinámico (en nuestro caso, de un mediocontinuo) permite describir el estado del sistema. Esta descripción se especifica, en general, mediantevarias cantidades termodinámicas y cinemáticas denominadas variables de estado. Un proceso termo-dinámico está caracterizado por un cambio de estas variables en el tiempo. Frecuentemente no todas lasvariables de estado empleadas para describir el comportamiento de un sistema son independientes. Exis-ten relaciones funcionales entre las variables de estado y estas relaciones se expresan mediante las de-nominadas ecuaciones de estado. Cualquier variable de estado que se pueda expresar como una fun-ción uniforme, de un conjunto de otras variables de estado, se conoce como una función de estado.

Tal como se formuló en la sección anterior, el primer principio de la termodinámica postula la inter-cambiabilidad de las energías térmica y mecánica. En la ecuación de la energía se pone de manifiesto la

148 LEYES FUNDAMENTALES DE LA MECANICA DEL MEDIO CONTINUO CAP. 5

relación que expresa la conversión de calor y trabajo en energías cinética e interna durante un proceso ter-modinámico. No obstante, el primer principio deja sin respuesta la cuestión de la medida en que elproceso es reversible o irreversible. Todos los procesos reales son irreversibles, sin embargo los procesosreversibles constituyen una hipótesis muy útil ya que la energía disipada puede considerarse despreciableen numerosas situaciones. El criterio básico de la irreversibilidad está dado por el segundo principio de /atermodinámica, a través de su enunciado sobre las limitaciones de producción de entropia.

El segundo principio de la termodinámica postula la existencia de dos funciones de estado distintas; latemperatura absoluta T, y la entropia S con las siguientes propiedades. T es una cantidad positiva que esuna función solamente de la temperatura empírica B. La entropía es una propiedad extensiva, es decir, laentropía total de un sistema es la suma de las entropías de sus partes. En la mecánica del medio continuo, laentropia especifica (por unidad de masa), o densidad de entropia se denota por s, de tal manera que la en-

tropía total L está dada por L = S. pS dV. La entropía de un sistema puede cambiar ya sea por interac-

ciones que tienen lugar con los alrededores del sistema o por cambios que tienen lugar dentro del mismo. O sea

ds = ds(e) + ds(i) (:7 ..'33)

donde ds es el aumento de entropía específica, ds(e) el aumento debido a la interacción del sistema con elexterior, y dS(il el aumento interno. El cambio ds(í) nunca es negativo. Es nulo para un proceso reversible,y positivo para un proceso irreversible. Por lo tanto

ds(i) > O (proceso irreversible) (5.34)

ds(i) O (proceso reversible) (5.35)

En un proceso reversible, si dq(Rl denota el calor suministrado al sistema por unidad de masa, el cambiods(e) está dado por

(proceso reversible) (5.36)

5.6 DESIGUALDAD DE CLAUSIUS-DUHEM. FUNCION DE DISIPACIONDe acuerdo con el segundo principio, la variación de la entropía total L por unidad de tiempo en un

medio continuo que ocupa un volumen V nunca es menor que la suma del flujo de entr opia que entra através de la superficie del medio continuo más la entropía creada interiormente a causa del propio cuerpo.Matemáticamente, este principio de la entropía se puede expresar en la forma integral como la desigual-dad de C/ausius-Duhem,

dSdt \ pS dV f i c·n·pe dV - ~.-.: dSv s T (.5 .37)

donde e es el manantial de entropía local por unidad de masa. En (5.37) se mantiene la igualdad para losprocesos reversibles y la desigualdad se aplica a los irreversibles.

La desigualdad de Clausius-Duhem es válida para una elección arbitraria del volumen V, de talmanera que transformando la integral de superficie en (5.37) por el teorema de la divergencia de Gauss, laforma local de la velocidad de producción de entropía interna y, por unidad de masa, está dada por

o (5.38)

Esta desigualdad se tiene que satisfacer en cada proceso y para cada valor asignado a las variables de es-tado. Por esta razón, juega un importante papel al imponer determinadas restricciones a las denominadasecuaciones constitutivas que se discuten en la sección siguiente.

CAP. 5 LEYES FUNDAMENTALES DE LA MECANICA DEL MEDIO CONTINUO 149

En la mayor parte de la mecánica del medio continuo, se supone con frecuencia (basado en la me-cánica estadística de los procesos irreversibles) que el tensar de tensión se puede desdoblar en dos partessegún el esquema,

(5.39)

donde agl es un tensar de tensión conservativo, y a~tI lo es disipativo. Suponiendo esto, la ecuación de laenergía (5.32) se puede escribir con la ayuda de (4.25) como

duelt (5.40)

En esta ecuación, !0;/" <jj es la relación de energía disipada debida a la tensión y por unidad de masa, yp

dq/dt es la velocidad de entrada de calor en el medio continuo por unidad de masa. Si el medio continuosu fre un proceso reversible, no habrá ninguna disipación de energía, y posteriormente dq/dt = dq(RJ/dt, deforma que se pueden combinar (5.40) y (5.36) obteniendo

q?¿ ~ a") ( + T ds (5.41)dt p ij ij dt

Por lo tanto en el proceso irreversible descrito por (5.40) la velocidad de producción de en tropía se puedeexpresar introduciendo (5.41). O sea

d8dt

ldr¡ 1.'J)._.._- + "-a ,T dt: [>T ij i]

(5.42)

El escalar a;r' {jj se denomina función de disipación. Según el segundo principio, en un proceso irrever-sible y adiabático (dq = O), tlsl dt > O y de (5.42) se sigue que la función de disipación se define positivaya que f' y T son siempre positivas.

5.7 ECUACIONES CONSTITUTIVAS. MEDIOS CONTINUOSTERMOMECANICOS y MECANICOS

En las secciones precedentes de este capítulo, se han desarrollado varias ecuaciones que se han decumplir para cada proceso o movimiento que pueda sufrir un medio continuo. Para un medio continuotermomecánico en el que los fenómenos térmicos y mecánicos van asociados, las ecuaciones básicas son

(a) la ecuación de continuidad, (5.4)

o o úp- + V· (pv)at o (5.4.1)

(b) la ecuación del movimiento, (5.16)

o pV (5.44)

(c) la ecuación de la energía, (5.32)

du 1 1'd-¡ ~ p ajjDi¡ - p ej,i + z e

du 1iN = pL:D-pV·c+z (:).4:))

Suponiendo que se conocen las fuerzas másicas Vi y los manantiales de calor distribuidos z , (5.43),(5.44) y (5.45) son cinco ecuaciones independientes que dan lugar a catorce funciones de posición y deltiempo desconocidas. Las incógnitas son la densidad p, las tres componentes de la velocidad Vi, (o bien lascomponentes del desplazamiento 'ni), las seis componentes de tensión independientes aií, las tres com-ponentes del vector de flujo calorifico c., y la energía interna específica n. Además ha de cumplirse ladesigualdad de CJausius-Duhem (5.38)

150 LEYES FUNDAMENTALES DE LA MECANICA DEL MEDIO CONTINUO CAP. 5

cls _ e _ !(~i.)dt o T .í

o (5.46)

la que gobierna la producción de entropía. Esta introduce dos incógnitas adicionales: la densidad de en-tropia s, y T la temperatura absoluta. Por lo tanto son necesarias once ecuaciones adicionales para que elsistema esté determinado. De éstas, seis estarán en la forma conocida como ecuaciones constitutivas, quecaracterizan la propiedades físicas particulares del medio continuo objeto de estudio. De las cinco restan-tes, tres estarán en la forma de relaciones de conducción de calor-temperatura, y dos aparecerán comoecuaciones termodinámicas de estado; por ejemplo, quizás como la ecuación calórica de estado y la en-trópica de estado. La formulación específica de los problemas del medio continuo termomecánico se daráen un capítulo posterior.

Se debe poner de manifiesto que la función de las ecuaciones constitutivas es establecer una relaciónmatemática entre las variables estáticas, cinemáticas y térmicas que describan el comportamiento de unmaterial cuando está sometido a fuerzas aplicadas mecánicas o térmicas. Puesto que los materiales realesbajo varias cargas responden de una manera extremadamente complicada, las ecuaciones constitutivas nointentan abarcar todos los fenómenos observados relativos a un material particular sino, más bien, definirciertos materiales ideales tales como el sólido elástico ideal o el fluido viscoso ideal. Tales idealizaciones omodelos materiales como algunas veces se les denomina, son muy útiles ya que reflejan razonablementebien, dentro de un campo de cargas y temperaturas definido, el comportamiento de las sustancias reales.

En muchas ocasiones se puede despreciar la interacción entre los procesos mecánicos y térmicos. Enestos casos el análisis que resulta se conoce como teoría termoelástica no acoplada de los medios conti-nuos. Bajo tal suposición, los procesos puramente mecánicos están regidos por (5.43) y (5.44) ya que laecuación de la energía (5.45) para este caso es esencialmente la primera integral de la ecuación del mo-vimiento. El sistema de ecuaciones formado por (5.43) y (5.44) consiste de cuatro ecuaciones en las queintervienen diez incógnitas. Para que el sistema quede determinado son necesarias seis ecuaciones cons-titutivas. En la teoría no acoplada, las ecuaciones constitutivas solamente contienen las variables estáticas(tensiones) y cinemáticas (velocidades, desplazamientos, deformaciones) y con frecuencia se denominanrelaciones tensión-deformación. Además, en la teoría no acoplada, el campo de temperaturas normal-mente se considera conocido, o a 10 sumo el problema de la conducción de calor tiene que resolverse porseparado e independientemente del problema mecánico. En problemas isotérmicos se supone que la tem-peratura es uniforme y el problema es puramente mecánico.

Problemas resueltos

ECUACION DE CONTINUIDAD (Sec, 5.1)

5.1. En el Capítulo 4 se describió el movimiento irrotacional de un medio continuo como un movimien-to para el cual se anula el torbellino. Determinar la forma de la ecuación de continuidad para talesmovimientos.

De (4.29), rot v = Ocuando q == O, Y así, V se convierte en el gradiente de un campo escalar <,/>(x¡, t) (ver Problema1.50). Entonces Vi = <'/>,i Y (5.3) es ahora clp/clt + P<'/>,kk = O o dp/dt + p\12<,/> = O.

5.2. Si pi;*(x, t) representa alguna propiedad escalar, vectorial o tensorial cualquiera por unidad demasa de un medio continuo de forma que p;~ . (x, t) = pP;~*(x, t) probar que

CAP. 5 LEYES FUNDAMENTALES DE LA MECANICA DEL MEDIO CONTINUO 151

.E. r r: (x t) dYdt Jv p '}... , f p dP;~*(x, t) dY\/ dt

De (4.52),

;~ .( pp;'/ dY f [!!... (p:"* ) + p*"' il1>k] dYdt p 1}", P 1)", ')'"• v (""k

f [ dP*,~ ( clV.)] f en:_'_J,_" + p** clp + _k dV == _'_}'_ dVl' P dt lJ, , 'dt P ilXk V P dt

ya que de (5.3), dp/dt + P1>k,k = O.

5.3. Probar que la forma material d(pJ)/dt = O de la ecuación de continuidad y la forma espacial de/dt+ pVk•k = Oson equivalentes.

Diferenciando d(pJ)/dt = (dp/dt)J + p dJ/dt = O Y del Problema 4.28, dJ/dt = JVk,k de donde d(pJ)/dt = J(dp/dt,+ pVk,k) == O.

5.4. Probar que el campo de velocidades Vi = Ax;/1-1, donde XiX, = r2 y A es una constante arbitraria,satisface la ecuación de continuidad para un flujo incompresible.

De (5.5) 't'k.k = Opara un flujo incompresible. Aquí,

y así, 't'k, k = (3 - 3)/1-3 = O que satisface la ecuación de continuidad.

5.5. Probar para el campo de velocidad Vi = xJ(l + t), que pX¡XZx;¡ = POX¡X2X3.

Aquí, 1>k,k = 3/(1 + t) e integrando (5.3) resulta In p == -In (l + t):1 + In e donde e es una constante de integración,Puesto que p = Po cuando t = 0, esta ecuación se convierte en p = po/el + tJ3. Integrando a continuación el campo develocidad dxf »¡ = dt/(l + t) (sin suma en 1), Xi = X/el + t) Y entonces px¡x2x3 == POX¡X2X3.

CANTIDAD DE MOVIMIENTO LINEAL Y ANGULAR.ECUACIONES DE MOVIMIENTO (Sec. 5.2-5.3)

5.6. Probar mediante un desarrollo directo de cada miembro que la identidad E;jkajkC, = ¿v usada en(5.20) y (5.21) es válida.

De (l.15) Y (2.8)¿v = ane¡ X el + (1¡Ze¡ X e2 + (1l3el X e3 + .,. + (133e3 X e3

También da idéntico resultado el desarrollo de 'ijk(1jk (a23 - (132) para i == 1, «(131- ad para i = 2, (<T¡2 - (12¡), i == 3.

5.7. Si a través de un medio continuo actúan los momentos másicos distribuidos mi por unidad devolumen, probar que las ecuaciones de movimiento (5.16) conservan su validez pero que no sepuede suponer que el ten sor de tensión sea simétrico.

Puesto que (5.16) se dedujo sobre la base de un equilibrio de fuerzas, ésta no se altera. No obstante, ahora (5./9) ad-quiere un término adicional tal que

152 LEYES FUNDAMENTALES DE LA MECANICA DEL MEDIO CONTINUO CAP. 5

la que se reduce a f ('ijkajk + mi) dV = 0, (ver Problema 2.9) y debido a que Y es arbitrario, 'ijkCJjk + mi

caso. vo para este

5.8. El principio de la cantidad de movimiento en forma diferencial (denominado en forma local o"reducida") se expresa por la ecuación o(pv)/at = pbi + (O"ij - pvivJj' Probar que de esta ecuaciónse sigue la ecuación del movimiento (5.16).Llevando a cabo la diferenciación indicada y reagrupando términos en la ecuación que resulta, se tiene

De (5.4) el primer término de la izquierda es nulo y el segundo es pai' De esta manera pai pb¡ + aij,i que es (5.16).

5.9. Probar que (5.19) se reduce a (5.20).Sustituyendo CJpknp por t~;;) en (5.19) y aplicando el teorema de la divergencia (1.157) a la integral de superficie que

resulta, se tiene

Usando los resultados del Problema (5.2), las diferenciaciones indicadas conducen aquí a

f "j,,{Xj.l'CJpk + Xj(apk,p + pbk - púk) - pvJvd!lV = °Según (5.16) el término e~:re paréntesis es nulo, además Xj p = 8jn y 'iik Vjl'k = 0, de forma que finalmente f 'ijkUjk!lV

, I • t '

= O.

5.10. Para una rotación de cuerpo rígido alrededor de un puntov". = ',il;('trk' Probar que para esta ve-locidad la (5.19) se reduce al conocido principio de la cantidad de movimiento en la dinámica decuerpos rígidos.

El primer miembro de (5.19) es el momento total Mi de todas las fuerzas másicas y de superficie respecto al origen.Así, para ,', = 'ijkwP:k'

dV

donde Ti)) = f p(O;pét'r¡X'I - x¡;x¡) dV es el tensar del momento de inercia .. \.

ENERGIA. ENTROPIA. FUNCION DE DISIPACION (Sec. 5.4-5.6)

5.11. Comprobar que para un movimiento de un cuerpo rígido con Vi = fijkWjXk, la integral de la energíacinética de (5.23) se reduce a la forma conocida dada en la dinámica de cuerpos rígidos.

De (5.23)K

En la notación simbólica, nótese que K2

CAP. 5 LEYES FUNDAMENTALES DE LA MECANICA DEL MEDIO CONTINUO 153

5.12. En un cierto punto de un medio continuo los tenso res de velocidad de deformación y tensión son

Du y (f ..

<.1

I 4 O -1)! O -2 7\-1 7 8

Determinar el valor de ,\ del trabajo por unidad de tiempo debido a las tensiones D ..a en eliJ 1)

punto.Multiplicando cada elemento de Dij por sus equivalentes de (Tij y sumando A 4 + O - 4 + 0-6 -7- 14 - 4 + 14 + 40= 58.

5.13. Si o .. = -po. donde p es una constante posrtiva, probar que el trabajo por unidad de tiempo de-l) 1)

bido a las tensiones se puede expresar por la ecuación D.a. = E. ddPt.1] l} P'

De (4.19), Dij = l\j - Vij; y puesto que l' ijuij = 0, se sigue que DiPij = V¡,j(-POij) = -pv¡,i' De la ecuación decontinuidad (5.3) Vi,i = -(l/p)(dp/dt) y así, D¡p¡j = (p/p)(dp/dt) para (Tij = -poij'

5.14. Determinar la forma de la ecuación de la energía sia,;de calor: obedece a la ley de Fourier ei = -kT,i'

De {5.3:!),

(-p + A*Dkk)í3¡jD¡j + 2.u*D¡p¡j + kT.¡¡ + z

P:ir:. + (A* + 2/,*)(1 )2 - 4¡<*II + k T .. + zp dt o o, I!

donde ID Y IIo son el primer y segundo invariantes respectivamente, del tensor de velocidad de deformación.

5.15. Determinar una ecuación para la variación de la entropía específica por unidad de tiempo de unproceso termodinámicamente reversible si a.. = -po ..,

iJ 1)

. (e) ds drc P dp . 3Aquí (Tij = ai;' y (5.41) da T dt = dt + ;;.di en virtud del resultado del Problema 5.\ .

5.16. Para un estado de tensión en el que (J"U)) = (3D¡kDki' hallar la función de disipación en términos delos invariantes del tensor de la velocidad de deformación D.. ([). -

Aquí, de (4.25), ai; <ij - fJDikDkP¡j que es la traza de 03 (ver la página 27) y puede ser calculada usando losvalores principales DO)' D(2)' D(3)' Entonces de (1.138) la traza

'3 ') '1Di!) + D(z) + Di:))

(D(]) + D(2) + D(3))3 - 3(DIl) + D(2) + D(3»)(D(J)D(2) + D(2)D(:l) -"- D(3)D(I))

+ 3D(!)D(2)D(;j)

Por lo tanto a;t) fij = f3 [I~ - 3IoIIo + 3IIID].

ECUACIONES CONSTITUTIVAS (Sec. 5.7)

5.17. Probar para las ecuaciones constitutivas e., = KijpqDl)Q que debido a la simetría de los tensores detensión y velocidad de deformación, el tensor de cuarto ordenKijpq tiene a lo sumo 36 componentesdistintas. Escribir las componentes en un agrupamiento de 6 filas x 6 columnas.

154 LEYES FUNDAMENTALES DE LA MECANICA DEL MEDIO CONTINUO CAP. 5

Puesto que ai¡ = aji> Kijpq = K¡;jJq; Y ya que Dij = Dji> K¡jpq = Kijqp' Si Kijpq se considera como el producto ex-terno de dos tensores simétricos AijBpq = K¡lPq, está claro que como A¡j y Bi} tienen ambos seis componentes indepen-dientes, Kijpq tendrá a lo sumo 36 componentes distintas.

El agrupamiento habitual seguido en la presentación de Kijpq es

I Kn11 1(1l22 KI133 K1123 K1131 K1112

K2211 K2222 K2233 K2223 1(2231 K2212

KijpqK3311 K3322 [(3333 K3323 K3331 K3312

K2..311 K2322 K2333 K2323 [(2331 K2.312

K3111 K3122 K3133 K3123 K3131 K3112

K1211 K1222 K1233 K1223 K1231 K1212

5.18. Si el medio continuo que tiene las relaciones constitutivas o.. = K'J

jjpqD o« del Problema 5.17, se supone isátropo de tal manera que Kijpq

tiene el mismo agrupamiento de componentes en cualquier sis-tema de ejes cartesianos rectangulares, probar que mediante unaseñalización periódica de los ejes coordenadas las 36 componentesse pueden reducir a 26.

Las direcciones coordenadas se pueden señalar en las seis formas diferentes

que se indican en la Fig. 5-2. La isotropía de K¡jpq exige que KI122 = K113:1!==

K2233 = K2211 = K:1311 = K3322 Y que K1212 = K1313 = K2323 = K2121 =1(3131 = 1(3232 lo que reduce las 36 componentes a 26. Mediante reflexiones

y rotaciones adecuadas de los ejes coordenados estas 26 componentes sepueden reducir a 2 en el caso de isotropía. Fig.5-2

5.19. En caso de isotropía K¡jl'e¡ se puede representar por K¡¡pe¡ .\ *o)3pq + ¡.t*(o¡pOjq + o¡qOj,,). Hacer uso deesto para desarrollar la ecuación constitutiva o.. = K Dpq en función de .\* Y ¡.t *.

1) IJP<I

aij A*8ijopqDpq + 1"'(OipOjG + o¡qojp)DpG

A*oijDpp + ,u*(D¡j + Dj¡) = A*O¡jDl'P + 2¡;.*Dij

5.20. Probar que la ecuacion constitutiva del Problema 5.19 se puede desdoblar en las ecuacionesequivalentes, (Iu. = (3.\* + 2¡.t*)D¡; YSij = 2,u*D~ donde sij y D¡~ son los tensores desviadores de tensióny velocidad de deformación, respectivamente.

Sustituyendo a¡j = Sij -1-O¡Pkk/3 Y Dij = D:j + O¡Pkk/3 en aij = A*8¡¡Dkk + 2¡;.*Dij del Problema 5.19 resulta laecuación sij + 8¡Pkk/3 = ).."8¡pkk + 2¡;.*(D;j + O¡jDkk/3). En ésta, cuando i.,.. i, si¡ = 2¡L*Di¡ y entonces akk = (3)..*+2¡;.*)Dkk·

Problemas diversos

5.21. Probar que ~.t~(q¡) = k,.a¡ . + «». )lp donde p es la densidad a¡ü p 1)," e) ) 1,)

bellino.Mediante una diferenciación directa .i (~) = ~ - qiP. Pero q

dt p p p2 '

según la ecuación de continuidad (5.3), P = -pv¡,¡. Entonces

la aceleración y a. el vector tor-

<¡¡/eak.i + q¡v¡,j - q¡'Uj. j (ver Problema 4.32); y

CAP. 5 LEYES FUNDAMENTALES DE LA MECANICA DEL MEDIO CONTINUO 155

5.22. Un flujo incompresible bidimensional está dado por VI =:: A(xi - ;c~ )/r-l,ü2 = A(2x¡X2)/r4, V3 = 0,donde 1'2 = xi + x~. Probar que la ecuación de continuidad se satisface en este movimiento.

De (5.5), vi.i = O para un flujo incompresible. Aquí, vj.¡ = A[-4x¡(xi -x~)/r6 + 2XI/14] y V2,2 = A [2x¡/r4 -8x¡x~/T6]. Sumanda.vi.¡ + v2,2 = o.

5.23. Probar que el flujo del problema 5.22 es irrotacional.

De (4.29), rot v = O para un flujo irrotacional. Entonces

rol v a/ax¡ a/ax2 a/aX3

A(xi - X~)h-4 2Ax¡X2/r4 O

A [2x2h..j - 8xi X2/r6 + 2X2/r4 + 4X2(x7 - x~ )/r6] e3 O

5.24. En un flujo bidimensional incompresible y estacionario VI = -AX2/T2 donde 1'2 = xi + x~. Deter-minar V2 para todos los valores de X2, si Vz = ° para X¡ = O Probar que el movimiento es irrota-cional y que las líneas de corriente son circulares.

De (5.5), 'Vi.i = O o VI, 1 = -v2.2 = 2Ax¡x2f.r para este flujo incompresible. Integrando respecto a x2 e imponiendolas condiciones dadas para V2 resulta V2 = Ax¡/r2.

Para un movimiento irrotacional, rot v = O. Aquí,

Del Problema 4.7, página 135, las ecuaciones de las líneas de corriente son dx¡/v¡ = dX2/VZ' Aquí, estas ecuacionesson Xl dx¡ + X2 d'1:2 = O que al integrar dan directamente las circunferencias xi + x~ = constante.

5.25. Para u n medio continuo cuyas ecuaciones constitutivas son <Tij = (-p + A * Dkk)8ij + 2,u *D ii' hallar lasecuaciones del movimiento en términos de la velocidad Vi.

De (5.16),pv¡ = pbi + Uij.jO aquí, pv¡ = pb¡ - P,jOij + X*Dkk,jOij + 2fL*D¡j,j' Por definición, 2Dij

de forma que Dkk = ¡;k,k Y 2D¡j,j = "i.» + Vj. í¡» Por lo tantov· . + v··1,1 1.1

En la notación simbólica esta ecuación se escribe

5.26. Si el medio continuo del Problema 5.25 se considera incompresible, probar que la divergencia deltorbellino se anula y proporciona la forma de las ecuaciones del movimiento para este caso.

De (4.29), qi = <ijk1'k.j; Y div q = <¡.iI;t'!.:.ii = O ya que fijl.: es antisimétrico YVk.ji es simétrico eni y j. Así, para V' • v= O las ecuaciones del movimiento se convierten enp'v¡ = pb¡ - P.i +- 1,"'7.:; • .ij o en la notación de Gibbs ov = pb - V'p+ f1"v~v.

5.27. Determinar la variación material de la energía cinética por unidad de tiempo del medio continuoque ocupa el volumen Vy dar el significado de las integrales que resultan.

De (5.23), dK!dt = f pV(v¡ dV. Además el trabajo total por unidad de tiempo debido a las tensiones de las fuerzas. v

superficiales es i viu¡jnjdsque se puede escribir i v¡t~~)dS y según el teorema de la divergencia (1.157) y lass s

156 LEYES FUNDAMENTALES DE LA MECANICA DEL MEDIO CONTINUO CAP. 5

e~uaciones de movimiento (5.16) se pueden expresar como integrales de volumen J~I,G,;"; dS

J P(ViVí - b¡v¡) dl/. Así,v

J aj¡l'¡.j dV +• l'

Esta suma de integrales representa la variación de la cantidad de trabajo dada por las fuerzas másicas, las tensiones in-ternas y las tensiones superficiales, respectivamente.

5.28. Un medio continuo para el que u;J)j = ,\*DI:.Ji;i + 2!,'¡'Dj,sufre un flujo irrotacional e incompresiblecon un potencial de velocidad <p tal que v = grad 1)· Hallár la función de disipación a;jO) (ij'

Aquí, aU)) fíj = O";tlDij = (\*Du:ojj + 2,u"'D¡¡)Dij = 2,<*DijDij ya que Dkk = Vli•k . O para un flujo incompresible.Además, puesto que», = <P.i. el escalar DijDij = <P,U<P,ij y así, a;/')lJij = 2¡<':'<P,i.i9,;j·

Debido a que el movimiento es irrotacional e incompresible, <P.ii = O Y 2q"ii'p,íj ~o (q",'!',;),j) =:;V~(V'i))2·

Es interesante observar que

5.29. En un medio continuo en el que uij = .-po¡j' la entalpia especifica es h = u.+ plp. Probar que laecuación de la energía se puede escribir h. = plp + Ti; empleando así esta definición de entalpía.

De (5.41), ir := -POi Dij/p + Ti; para la tensión dada; y según el resultado del Problema 5.13 y la definición deh, iL =- í, - p/p - pp/p2 =) -pp/p~ + ri. Simplificando y reagrupando, ;1 = ¡l/I' + TÍ;.

5.30. Si el medio continuo del Problema 5.25 sufre un flujo incompresible, hallar la ecuación del mo-vimiento en función del torbellino q en ausencia de fuerzas másicas y suponiendo una densidadconstante.

Para un flujo incompresible, V' . v = O; Y si b == 0, la ecuación del movimiento del Problema 5.25 se reduce a I'{'¡ =-c

-P, i + 1":' 1';. ú : Tomando el producto vectorial de V' x por esta ecuación con l' = constante, se tiene fl'./J';. <l cee -';.,;]). ;.,/1'

+ ("''1,0)'1',,([0,.)),,. Pero <])'1;P.;</ =::; O Y de (4.29) el resultado es (;" = (,,*/p)q.))' En notación simbólica, dq/dt = (/1/I')V~q.

Problemas propuestos

5.31. Probar que para el vector velocidad de rotación rj !i. \(U) = U· V'v, dt pp.

5.32. Comprobar que el flujo representado por 'L'1 = -2Xl~;2X3/r4, v2 = (xi - :¡;~)x3h"¡, 1'3 = xz/1·2 donde 1'2 xi +xL satisface las condiciones de un flujo incompresible. ¿Es éste un movimiento inotacional?

5.33. En términos de las coordenadas cartesianas x, y, z la ecuación de continuidad es

Probar que en coordenadas cilíndricas T, O,:: esta ecuación se escribe

5.34. Comprobar que el flujo 1JT = (1 -- 1.2) COS oh2, Ve = (1 + 1'2)senoh·2, vz:c:; O satisface la ecuación de continuidad encoordenadas cilíndricas cuando la densidad p es constante.

CAP. 5 LEYES FUNDAMENTALES DE LA MECANICA DEL MEDIO CONTINUO 157

5.35. Si Fi¡ ...(x, t) es una función escalar, vectorial o tensoríal arbitraria, demostrar que

5.36. Si un medio continuo está sometido a un momento másico por unidad de masa h además de una fuerza másica b y un parde tensión g(~' además de la tensión t(~>, el balance de la cantidad de movimiento angular se puede escribir

dfTI p(m + x X v) dVa.t. \'

donde m es la cantidad de movimiento angular distribuida por unidad dc masa. Si~· G = g(;;j,probar que la forma localde esta relación es p dmldt = h -1- Y • G + ¿ü.

5.37. Si un medio continuo tiene la ecuación constitutiva (Tij

Suponer incompresibilidad, Dii = o.3(-p - 2aIIo/3).

5.38. Para un medio continuo en el que <Ti¡ = -po¡j demostrar que du. -- T ds - P d» donde v = l/p, en este problema es elvolumen específico.

5.39. Si T ds/dt = -vi,;!" y la energía libre específica se define por ,¡r

puede escribir p d+idt + pS dT/dt =-" (TijDij.

l' - Ts, comprobar que la ecuación de la energía se

5.40, Para un medio continuo termornccánico que tiene la ecuación constitutiva

donde 'I'¿ es una temperatura de referencia, comprobar que 'kk = 3a(T - To) cuando (Tij

Capítulo 6

Elasticidad lineal

6.1 LEY DE HOOKE GENERALIZADA. FUNCIONDE LA ENERGIA DE DEFORMACION

En la teoría clásica de la elasticidad lineal, se supone que los desplazamientos y los gradientes de des-plazamiento son suficientemente pequeños, de tal manera que no es necesaria ninguna distinción entre lasdescripciones lagrangiana y euleriana. Según esto, en función del vector desplazamiento u-, el tensar dedeformación lineal está dado por las expresiones equivalentes

o~(-u.. +u .. )- i- ) ).1

(6.1)

En lo que sigue se supone que los procesos de deformación son adiabáticos (sin pérdida o ganancia decalor) e isotérmicos (a temperatura constante) a menos que específicamente se establezca lo contrario.

Las ecuaciones constitutivas para un sólido elástico lineal relacionan los tensores de tensión y defor-mación a través de la expresión

o (6.2)

que es conocida como la ley de Hooke generalizada. En (6.2) el tensor de las constantes elásticas C;jkm

tiene 81 componentes. No obstante, debido a la simetría de los tensores de tensión y deformación, hayalo sumo 36 constantes elásticas distintas. Con objeto de escribir la ley de Hooke mediante estas 36 cons-tantes, el sistema de doble asignación de índices a las componentes de tensión y deformación se sustituyecon frecuencia por un sistema de notación sencilla con un Índice de rango 6. Así, con la notación

all al aZ3 U:3:2 al

a2~ a~ o1~ a:l1 U_

"fT:;;; a3 a12 0"21 Ur.

y

E 11 i] 2<2:1 z.; i4

(22 (-2 2il~ 2<31 Le

(:~3 LJ 2<12 2<21 <6

158

(6.3)

(6.4)

./

CAP. 6 ELASTIClDAD LINEAL 159

la ley de Hooke se puede escribir

aK == CK.\lf\[ (K,M=1,2,3,4,5,6) (6.5)en la que GKM representa a las 36 constantes alásticas, y donde los subíndices en mayúsculas latinas se usanpara resaltar que el rango de estos índices es 6.

Cuando se desprecian los efectos térmicos, la ecuación del balance de energía (5. 32) se puede escribir

dudI

1-aD ..p 1) 1J (6.6)

En este caso, la energía interna es puramente mecánica y se denomina energía de deformación (por unidadde masa). De (6.6),

(6.7)

y si u se considera como una función de las nueve componentes de deformación, u == u«¡), su diferencialserá

du au-0- d< ..0<.. "

1)

(6.8)

Comparando (6. 7) Y(6.8), se observa que

1=sr.,p 'J

(6.9)

La densidad de energía de deformación u*(por unidad de volumen) se define como

u* == pu (6.10)

y puesto que p se puede considerar constante en la teoría de las pequeñas deformaciones, u* tiene lapropiedad

(6.11)

Además, se puede elegir arbitrariamente un estado de energía de deformación nulo; y puesto que la ten-sión tiene que anularse con las deformaciones, la forma más sencilla de la función de la energía de defor-mación que conduce a una relación tensión-deformación lineal es la forma cuadrática

(6.12)

De (6.2), esta ecuación se puede escribir

o u* = -}¿::E (6.13)

En el sistema de asignación de índices sencillos, (6.12) se convierte en

(6.14)

en la que GKM = G~1K. Debido a esta simetría de GKM, el número de constantes elásticas independientes es alo sumo 21 si existe una función para la energía de deformación.

160 ELASTICIDAD LINEAL CAP. 6

6.2 ISOTROPIA. ANISOTROPIA. SIMETRIA ELASTICA

Si las propiedades elásticas son independientes del sistema de referencia usado para describirlas, sedice que tal material es elásticamente isótrapo. Un material que no es isótropo se denomina anisótropo.Puesto que las propiedades elásticas de un sólido hookiano se expresan a través de los coeficientes CKM, uncuerpo anisótropo general tendrá una matriz de constantes elásticas de la forma

¡Cn C12 Cl3 C14 Cl5 C16lC21 CZ2 Cz.3 C24 CZ5 C26

[CKM]lC"'

C3Z C33 C3,¡ C35 C36(6.15)

C4! C42 C43 C44 C45 C46

c.. C5z C53 C.51 CS5 C56

CS! CS2 C6:3 CG4 CS5 C66

Cuando existe una función de energía de deformación para un cuerpo, CKM = CMK, y las 36 constantes de(6.15) se reducen a 2L

En un punto existe U!! plano de simetría elásticacuando las constantes elásticas tienen los mismos valorespara cada par de sistemas coordenadas que son eluno del otro como las imágenes reflejadas respecto al plano.Se alude a los ejes de tales sistemas coordenadas como"direcciones elásticas equivalentes". Si el plano X1X2 es unode simetría elástica, las constantes CKM son in variantes bajola transformación de coordenadas

(6.16)

como se indica en la Fig. 6-1. La matriz de transformaciónde (6.16) está dada por

'1

O

O

(6.17) Fig. 6-1

Introduciendo los valores de (6.17) en las leyes de transformación de los tensores lineales de tensión ydeformación, (2.27) y (3.78) respectivamente, la matriz elástica de un material que tiene X¡X2 como planode simetría es

Cn C!2 C10 O O C¡S

C21 C22 C2:1 O O C26

[CKM]C3! C:JZ C3:J O O C:1G

(6.18)O O O c.. C.!5 O

O O O C54 C;5.5 O

Cn! CGZ CG:1 O O C6G

Las 20 constantes de (6.18) se reducen a 13 cuando existe una función de energía de deformación.

CAP. 6 ELASTICIDAD LINEAL 161

Si un material posee tres planos de simetría elástica mutuamente perpendiculares, el material sedenomina ortotrápico y su matriz elástica es de la forma

Cll C12 C13 O O 0-1C21 C22 C23 O O O

C31 C;¡z C33 O O O[CKM] (6.19)

O O O C44 O O

O O O O C55 O

O O O O O C66~

que tiene 12 constantes independientes, o 9 si CK~1= CMK.

Se dice que en un punto existe un eje de simetrfa elástica de orden N cuando hay un conjunto dedirecciones elásticas equivalentes que pueden superponerse mediante una rotación de un ángulo 2"INalr vledor del eje. Ciertos casos de simetría elástica plana y axial son equivalentes.

6.3 MEDIOS ISOTROPOS. CONSTANTES ELASTICASLos cuerpos que son elásticamente equivalentes en todas las direcciones poseen una simetría com-

pleta y se denominan isotropos. En este caso cada plano y cada eje tienen simetría elástica.En caso de isotropia, el número de constantes elásticas independientes se reduce a 2, y la matriz elás-

tica es simétrica independientemente de la existencia de una función de energía de deformación. Eligiendolas dos constantes independientes como las conocidas constantes de Lamé. A y p., la matriz (6.19) sereduce a la forma elástica e isótropa

A + 2/L A A O O olA A+2/L A O O O

[C¡\M]A A A + 2/.~ O O O

(6.20)O O O /L O O

O O O O /1 OO O O O O ~LJ

En términos de A y ,1)., la ley de Hooke (6.2) se escribe para un cuerpo isótropo

ai¡ = AOi¡(kk + 2~t(i¡ o I = ,\I( + 2/-tE (6.21)

donde ( = (kk = lE. Esta ecuación se puede invertir fácilmente para expresar las deformaciones en funciónde las tensiones según

-A 12 (3 2) o.akk + 2-a ..

/1 A + p. IJ {L 'Jo (6.22)

donde 0 = akk = II' que es el símbolo tradicionalmente usado en elasticidad para denotar al primer in-variante de tensión.

Para un estado de tensión uniaxial sencillo en la dirección XI, se pueden introducir las constantes deingeniería E y v a través de las relaciones al! = ECIl y (22 = (33 = -V(ll' La constante E es conocida como

162 ELASTICIDAD LINEAL CAP. 6

módulo de Young, y v se llama coeficiente de Poisson. En función de estas constantes elásticas la ley deHooke para cuerpos isótropos se convierte en

E ( v ) ! E ( 1') (6.23)(Tij -1- (..+128(kk o -- E+--I(+1' 1) - l' 1) 1+ v 1- 21'

o invertida1+ v v

E 1+ v! - ..':'.-10 (6.24){ij ---¡;¡- O'ij - E 8;jO'kk o = E E

Si consideramos el estado de tensión originado por una presión hidrastática uniforme, es posibledefinir el módulo volumétrico,

K = E3(1-21')

o K = 3.\ + 2,u.3

(6.25)

que relaciona la presión con la dilatación cúbica de un cuerpo así cargado. Para el estado denominadode cisión pura, el módulo de rigidez G relaciona las componentes cortantes de tensión y deformación. Ges de hecho igual a IJ. y la expresión

GE

(6.26)2(1+1')

puede ser probada sin dificultad.

6.4 PROBLEMAS ELASTOSTATICOS. PROBLEMAS ELASTODINAMICOSEn un problema elastostático de un cuerpo isótropo homogéneo, existen ciertas relaciones deno-

minadas,

(a) Ecuaciones de equilibrio,

o o '1' ¿ + pb o (6.27)

(b) Ley de Hooke,

o (6.28)

(c) Relaciones desplazamiento-deformación,

f·· = t(u .. + u. ,)IJ !,J ].t

o (6.29)

que tienen que ser satisfechas en todos los puntos del cuerpo. Además, tienen que satisfacerse determi-nadas condiciones de tensión y/o de desplazamientos en la superficie límite del cuerpo.

En elasticidad los problemas con valores de contorno se clasifican según las condiciones de contornoen problemas para los que

(1) se dan los desplazamientos en todas las partes del contorno,

(2) se dan las tensiones (tracciones superficiales) en todas las partes del contorno,

(3) se dan los desplazamientos en una parte del contorno y las tensiones en las partes restantes.

Para todos estos casos se supone que son conocidas las fuerzas másicas en todas las partes del medio con-tinuo.

CAP.6 ELASTICIDAD LINEAL 163

Para aquellos problemas en los que se dan las componentes de los desplazamientos en todas las partesdel contorno por una ecuación de la forma

o u = g(X) (6.30)

las relaciones desplazamiento-deformación (6.29) se pueden sustituir en la ley de Hooke (6.28) y el resul-tado a su vez en (6.27) obteniéndose así las ecuaciones que resuelven estos problemas,

o (6.31)

que son denominadas ecuaciones de Navier-Cauchy . La solución a este tipo de problemas se da por lotanto en la forma del vector desplazamiento Ui, que satisface (6.31) en todas las partes del medio continuoy cumple las condiciones (6.30) del contorno.

Para aquellos problemas en los que se aplican tracciones superficiales en todas las partes del contor-no, dadas por ecuaciones de la forma

o (6.32)

se pueden combinar las ecuaciones de compatibilidad (3.104) con la ley de Hooke (6.24) y la ecuación deequilibrio (6.27) para obtener las ecuaciones que resuelven estos problemas.

+ -1 1 Clkk .. + p(b .. + b .. ) + -1 v 8.pb¡. k+ v . ,1J l,} J,t - V IJ \..,o

o,\j72¿ + _1_'V'V8 + p('Vb+b'V) + 1_

Vv'P'V'b1+ v

o (6.33)

que son llamadas ecuaciones de compatibilidad de Beltrami-Michell. La solución de este tipo de pro-blemas se obtiene especificando el tensor de tensión que satisface (6.33) en todas las partes del medio con-tinuo y cumple las condiciones de contorno (6.32).

Para los problemas en los que se dan condiciones de contorno" mixtas" se tiene que resolver el sis-tema de ecuaciones formado por (6.27), (6.28) y (6.29). La solución da los campos de tensión y de des-plazamientos en todas las partes del medio continuo. Las componentes de tensión tienen que satisfacer(6.32) en alguna parte del contorno, mientras que los desplazamientos satisfacen (6.30) en las restantespartes del contorno.

En la formulación de problemas elastodinámicos, las ecuaciones de equilibrio (6.27) tienen que sersustituidas por las ecuaciones de movimiento (5.16)

o 'V' L + pb = pV (6.34)

y se tienen que especificar no sólo las condiciones de contorno sino también las condiciones iniciales.En términos del campo de desplazamientos Ui, la ecuación que aquí, resuelve el problema, análoga a (6.31)en el caso elastostático es

«u.... + (A + IJ.)U ... + pb. = pU,_I I,J) Jdt l

o (6.35)

Las soluciones de (6.35) aparecen en la forma u, = Ui(X, t) y tienen que satisfacer no solamente las con-diciones iniciales del movimiento, frecuentemente expresadas por ecuaciones tales como

y (6.36)

sino también las condiciones de contorno, O los desplazamientos'

164 ELASTICIDAD LINEAL CAP.6

t,,¿ = gi(X, t) O u g(x, t) r 'J . .r: )

O bien en las tracciones superficiales

t<~) t;~) (x, t) o t(~) t(~) (x, t) (6.38)¡

6.5 TEOREMA DE SUPERPOSICION. UNICIDAD DE LASSOLUCIONES. PRINCIPIO DE STo VENANT

Debido a que las ecuaciones de la elasticidad lineal son ecuaciones lineales, se puede usar el principiode superposición para obtener soluciones adicionales a partir de las que se han obtenido previamente. Si,por ejemplo, (T(l) ,u(l) representan una solución del sistema (6.27), (6.28) Y(6.29) con fuerzas másicas b())

tJ t I

Y (T:).~l, 'u¡~~) representan otra solución con fuerzas másicas b,(2) , entonces (F .. = (F(l) + oJ?), u. = ull) +"-) IJ 11 t 1

U,(2) representan una solución del sistema para las fuerzas másicas b, = bí'! + b(2) •1 ¡ t

La unicidad de una solución al problema elastostático general en elasticidad se puede establecermediante el uso del principio de superposición, junto con la ley de la conservación de la energía. En losejercicios presentados más adelante se incluye una prueba de la unicidad.

El principio de Sto Venant es un enunciado que considera ras diferencias de tensiones y deformacionesque tienen lugar en alguna posición interior de un cuerpo elástico, debidas a dos sistemas de traccionessuperficiales separados pero estáticamente equivalentes, que se aplican a alguna parte del contorno. Elprincipio afirma que, para posiciones suficientemente alejadas del área de aplicación de las cargas, lasdiferencias son despreciables. Esta hipótesis a menudo es de gran ayuda en la resolución de problemasprácticos.

6.6 ELASTICIDAD BIDIMENSIONAL. TENSION PLANAy DEFORMACION PLANA

Muchos problemas de la elasticidad se pueden tratar satisfactoriamente mediante una teoría plana dela elasticidad o teoría bidimensional. Hay dos tipos generales de problemas involucrados en este análisisplano. Aunque estos dos tipos se pueden definir atribuyendo ciertas restricciones y suposiciones a loscampos de tensiones y desplazamientos, con frecuencia se introducen de una manera descriptiva en tér-minos de sus prototipos físicos. En los problemas de tensión plana, la geometría del cuerpo es esencial-mente la de una lámina con una dimensión mucho más pequeña que las otras dos. Las cargas se aplicanuniformemente sobre el espesor de la lámina y actúan en el plano de la misma, como se indica en la Fig.6-2(a). En los problemas de deformación plana, la geometría del cuerpo es esencialmente la de un cilindroprismático con una dimensión mucho más grande que las otras dos. Las cargas están uniformemente dis-tribuidas con respecto a la dimensión mayor y actúan perpendicularmente a ella, como se indica en la Fig.6-2(b).

Xz

(a) Fig.6-2

CAP. 6 ELASTICIDAD LINEAL 165

En el problema de tensión plana de la Fig. 6-2(a) las componentes de tensión 0"33' 0"13' a23 se considerannulas en cualquier parte, y las componentes restantes se toman como funciones de Xl y X2 únicamente

(a, (3 = 1,2) (6.39)

Según esto, las ecuaciones de campo para tensión plana son

(a) o "? • ¿ + pb = O (6.40)

(b) o(6.41)

(e) €ctll i(u".1l + ull,,,) o E -Hu,,? + ,,?u)

en las que a "- a "-"? - -el + -e? yaXl axz-

("', (T 12

D· e €l2 .~J¿ a12 a22 E '12 '22

O o O O

(6.42)

(6.43)

Debido a la forma particular del tensor de deformación en el caso de tensión plana, las seis ecuaciones decompatibilidad (3.104) se pueden reducir para láminas muy delgadas y con una exactitud razonable, a laecuación sencilla

(6.44)

En términos de las componentes del desplazamiento U", las ecuaciones de campo se pueden com binar paraobtener la ecuación que resuelve estos problemas según

o E ? E2(1 +v) y-u + 2(1- v) ,,?,,?' u + pb ~:- O

(6.4.5)

Para el problema de deformación plana de la Fig. 6-2(b) la componente del desplazamiento 1(:1 setoma como cero, y las restantes componentes se consideran como funciones de XI y x2solamente.

14> = 1(,,(XI, X2)

En este caso, las ecuaciones de campo se pueden escribir así

(6.46)

(a) o "? • ¿ + pb = O (6.47)

(b) o

V<TQa 2(,\ + 1') a "o:

(e) 'et/l Hu",{3 + 1t¡l.o:) O E

C"(T 12 .:)en las que ¿

a~2(T22 y E

O

Hu"? + ,,?u)

('" { 1~

Df 12 E22

O O

're

8!BLJOTECAFi\CULT;\D

CS. E:(C'" "::;>i~q 'f /"G:':.¡'·,., ,•.• r ..•

166 ELASTICIDAD LINEAL CAP. 6

De (6.47), (6.48) Y (6.49), la ecuación de Navier adecuada para deformación plana es

o (6.51 )

Como en el caso de tensión plana, las ecuaciones de compatibilidad para deformación plana se reducen ala ecuación sencilla (6.44).

Si las fuerzas aplicadas en las aristas de la lámina de la Fig. 6-2(a) no son uniformes a través de suespesor, pero son simétricas respecto al plano medio de la lámina, se dice que existe un estado de tensiónplana generalizado. En la formulación de problemas de este tipo, las variables de campo U,,¡j, €"/l y u" setienen que sustituir por tensiones, deformaciones y desplazamientos variables promediados a través delespesor de la lámina. En función de tales variables de campo promediadas, la formulación de tensiónplana generalizada es esencialmente la misma que para el tipo de deformación plana si ,\ se sustituye por

2,\¡.1. vE,\+ 2ft 1 - •.~,\' (6.52)

Algunas veces se menciona en los libros de elasticidad un tipo de deformación plana generalizadacuando (3:¡ se toma como una constante distinta de cero en (6.50).

6.7 FUNCION DE TENSION DE AIRY

Si no existen fuerzas másicas o son constantes, la solución de los problemas elastostáticos planos(problemas de tensión o deformación plana generalizada) se consigue frecuentemente haciendo uso de lafunción de tensión de Airy. Aunque haya que tener en cuenta las fuerzas másicas, el principio de super-posición permite que sea introducida su contribución a la solución como una integral particular de lasecuaciones diferenciales lineales de campo.

En los problemas elastostáticos planos y en ausencia de fuerzas másicas, las ecuaciones de equili-brio se reducen a

o (6.53)

y la ecuación de compatibilidad (6.44) se puede expresar en función de las componentes de tensión según

(6.54)

Ahora se dan las componentes de tensión como las derivadas parciales de la [unción de tensión deAiry 4>= "'(Xl, :r2) de acuerdo con las ecuaciones

(6.55)

Las ecuaciones de equilibrio (6.53) se satisfacen idénticamente y la condición de compatibilidad (6.54) seconvierte en la ecuación biarmánica .

(6.56)

Las funciones que satisfacen (6.56) se denominan funciones biarmónicas. Mediante la consideración defunciones biarmónicas con segundas derivadas parciales uniformes, se pueden preparar numerosas so-luciones para los problemas elastostáticos planos, que satisfacen automáticamente ambas condiciones, deequilibrio y compatibilidad. Desde luego estas soluciones tienen que ser adaptadas para ajustarse a todolo que imponen las condiciones de contorno.

CAP.6 ELASTICIDAD LINEAL 167

6.8 PROBLEMAS ELASTOSTATICOS BIDIMENSIONALESEN COORDENADAS POLARES

La geometría de un cuerpo con frecuencia aconseja la conveniencia de formular los problemas elas-tostáticos bidimensionales en función de las coordenadas polares r y e. Entonces para las ecuaciones detransformación

Xl = r cos e, Xz = r sen e (6.57)

las componentes de tensión indicadas en la Fig. 6-3 nos llevan a establecer las ecuaciones de equilibrio enla forma

~a(rr) + ! oa(ro) +01' r 00

a - a(TT) (00) +R o (6.58)

! daC9.) + oa(TO) + 2a(r9) + Qr ae or r

o (6.59)

en las que R y Q representan las fuerzas másicas por unidad de volumen en las direcciones indicadas.

~~~-----L--------------------------~Xl

Fig.6-3

Tomando ahora la función de tensión de Airy corno e = <1>(1', O),las componentes de tensión estándadas por

10cf> 1 a2q,(6.60)uCrr) -- +--r dr 1.2 d (J2

(1(01)) a2cf>/or2 (6.61 )

Giro) -~(!?~) (6.62)01' r aeLa condición de compatibilidad conduce de nuevo a la ecuación biarmónica

pero, en forma polar, '\F =

(6.63)

6.9 HIPERELASTICIDAD. HIPOELASTICIDAD

Los recientes estudios del medio continuo conducen a ecuaciones constitutivas que definen materialesque son elásticos en un sentido especial. Bajo este punto de vista se dice que un material es hiperelástico si

168 ELASTICIDAD LINEAL CAP.6

posee una función de energía de deformación U tal que la derivada material de esta función es igual altrabajo debido a las tensiones por unidad de tiempo y de volumen. Entonces la ecuación constitutiva esde la forma

ddt (U) (6.64)

en la que Dues el tensor de velocidad de deformación. En una segunda clasificación, se dice que unmaterial es hipoelástico si la variación de la tensión por unidad de tiempo es una función lineal homo-génea de la velocidad de deformación. En este caso la ecuación constitutiva se escribe

(6.65)

en la que la variación de tensión por unidad de tiempo CT~ se define como

(6.66)

donde Vij es el tensor torbellino.

6.10 TERMOELASTICIDAD LINEAL

Si se toman en consideración los efectos térmicos, las componentes del tensor de deformación linealfij se pueden considerar como la suma

(6.67)

en la que l(!') es la contribución del campo de tensiones y (~T) es la contribución del campo de tempera-u u

turas. Debido a un cambio desde una temperatura de referencia 1'0 hasta la temperatura 1', las compo-nentes de deformación de un volumen elemental en un cuerpo isótrapo no forzado, se dan por

(TJ = 0'(1' - T )13ij o 1]

(6.68)

donde O' es el coeficiente lineal de dilatación térmica. Introduciendo (6.68), junto con la ley de Hooke(6.22), en (6.67) se tiene

(6.69)

la que es conocida como las relaciones de Duhamel-Neumann. La ecuación (6.69) se puede invertir paraobtener las ecuaciones constitutivas termoelásticas

(6.70)

La conducción de calor en un sólido elástico isótropo está regida por la conocida ley de Fourier de laconducción calorífica.

c. = =k/I".t .t (6.71)

donde el escalar k, es la conductividad térmica del cuerpo, que ha de ser positiva para garantizar unavariación positiva de producción de entropía. Si ahora se introduce el calor especifico a deformación cons-tante c(v) por medio de la ecuación

CAP.6 ELASTICIDAD LINEAL 169

-e .. = e(t'Jj'l.' p (6.7'2)

y se supone que la energia interna es una función de las componentes de deformación (ij y la temperaturaT, la ecuación de la energía (5.45) se puede expresar en la forma

.kT,ii = pe(v) T + (3'\ + 2p.)a:To{ii (6.73)

que es conocida como la ecuación de calor acoplada.

El sistema de ecuaciones que formulan el problema termoelástico general para un cuerpo isótropoconsiste en

(a) ecuaciones de movimiento.u o \,7. ¿ + pb ..

u (6.74)

(b) ecuaciones termo elásticas constitutivas

o (6.75)

(c) relaciones desplazamiento-deformación

o E t(u\,7 + \,7u) (6.76)

(d) ecuación de calor acoplada

kT,ü = pe(o) T + (3'\ + 2f,)aToekk o

Este sistema se tiene que resolver para los campos de tensión, desplazamiento y temperatura sometidos alas condiciones iniciales y de contorno adecuadas.

Hay una gran colección de problemas en los que se pueden despreciar los efectos de acoplamiento einercia. En estos casos, el problema termoelástico general se descompone en dos problemas separados quedeben ser resueltos sucesiva e independientemente. Entonces para el problema termoelástico, cuasi es-tático, no acoplado las ecuaciones básicas son

(a) ecuación de conducción de calor

kT ..,11 o (6.78)

(b) ecuaciones de equilibrioo \,7' ¿ + pb o (6.79)

(c) ecuaciones termoelásticas tensión-deformación

(Jij '\0ij(kk + 2,UEij - (3'\ + 2p.)aoij(T - To)

o (6.80)

(d) relaciones desplazamiento-deformación

e.. = t(u .. + u..)t) l,J). 1

o E t(\1u + u\,7) (6.81)

170 ELASTICIDAD LINEAL CAP. 6

Problemas resueltosLEY DE HOOKE. ENERGIA DE DEFORMACION . ISOTROPIA (Sec. 6.1-6.3)

6.1. Probar que la densidad de energía de deformación u,*. para un sólido hookiano isótropo se puedeexpresar en términos del tensor de deformación por u" = A(tr EY/2 + ¡.tE: E, y en términos del tensorde tensión por U/' = [(1 + I'):~:: ¿ - I'(tr ¿r]/2E.

Introduciendo (6. 2/) en (6.13) 1/.'" = \AOij<kk + 2¡Lf¡) Ej2 = AE¡iEi/2 + ,UEijéijque en notación simbólica es u* =A(tr E)2/2 + !,E : E.

Introduciendo (6.24) en (6.13), n* = a¡¡[(1 + ¡'la,! - ¡'oijakk]/2E = [(1 + ¡')a¡p¡j - Vaiiajj]/2E que en notación simbólicaes n* = [.(1 + l')! : ¿ - »(t.r !)2J12E.

6.2. Desdoblando los tensores de tensión y deformación en sus componentes esféricos y desviadores, ex-presar la densidad de energía de deformación n* como la suma de una densidad de energía dedilatación 'Il;:'S) y una energía de distorsión ut!)).

Introduciendo (3.98 y (2.70) en (6.13),

y puesto que e¡¡ = Si; = O ésta se reduce a ti':' = 71tSl .;- 1/';'1» = "¡¡éj6 + s¡/'¡/2.

6.3. Suponiendo un estado de cornpresion uniforme (T. = -po .., desarrollar las fórmulas para el1) 1)

módulo volumétrico (relación entre la presión y el cambio de volumen) dadas en (6.25).

Para aij = -poij' (6.24) se convierte en tij = [(1 + ¡,)(-po;) + v8ij(3p)]/E y así, '¡i = [-3p(1 + v) + 9p¡o]/E.Entonces K = -p/'¡¡ =~ E/3(1 - 21')' De igual modo, de (6.21), a¡¡ = (3A + 2/L).¡i = -3p de forma que K == (3A + 2¡N3.

6.4. Expresar U;~ly U;D) del Problema 6.2 en términos de las constantes de ingeniería K y G y las com-ponentes de deformación.

Del resultado parcial del Problema 6.3, ",¡ - oj1l..; Y

De (6.21) y (2.70), a¡j = AOijEkk+ 2¡lfij == s¡j+au,8;/3 y puesto que e., = (3A+2¡l)'iisesiguequesij=2¡l(fij-'kkO;/3). Así,

Nótese que la densidad de energía de dilatación ll~S) aparece solamente como una función de K, mientras que la energíade distorsión UiD) está en función del módulo de rigidez ¡l (o G).

6.5. En general, u* puede ser expresada en la forma cuadrática u* = C;,\1iKiM en la que e::.! no es ne-cesariamente simétrica. Probar que esta ecuación puede ser escrita en la forma de (6.14) y que au*/aiK = aJ{O

Escribir la forma cuaclrática como

u*

donde CKM = CMK.

Así, la derivada au* /a'R es ahora

iJu*/iJeR == tCK~!(€K,RfM + <K'M.R)

CAP.6 ELASTICIDAD LINEAL 171

6.6. Probar que para un medio continuo elástico y ortotrópico(tres planos ortogonales de simetría elástica) la matriz delos coeficientes elásticos es tal como se da en (6.19), pág. 161.

/:¡;~'. /,/

/,r ../ .. ;

/.;/r :

Sea el. plano XI X2 (o equivalentemente , X; x~) un plano de simetríaelástica (Fig. 6-4). Entonces I1K== CKMEM y además 11~ == CKME,~1' .Lamatriz de transformación entre xi y x[ es

"',1II11 x~

Fig.6-4

y de (2.27) y (3.78), ulí == O'K,

ejemplo, de 11{ == CIME~1'

.~ == 'K para K == 1,2,3,6 mien tras para K == 4,5. Así, por

Pero de

estas dos expresiones para 11~ == 111 solamente son iguales si C¡4 ~ CI5 == O. De igual modo, para 11~ == 112' 11~ - 113' u~ ==-11.t, 115 == -115,11¿ = 116 se halla que C24 == C25 = C34,== C3S= CM = (;65 == C41 == G42 == C43== C~1 == C~2 == C53 == CS6 == O.

Si x2x3 (o X~X3) es un segundo plano de simetría elástica tal que I1K = CKMf.~f, la matriz de transformación es

y ahora de (2.27) y (3. 78), 11~ = I1K' EK == -F'. para-K == 1,2,2,4 mientras que 11~ == -I1K, Eí¡ == -EK para K == 5,6.Ahora C16 == CZ6 == C36 == C45 = C54 = C61 == C62 = C63 == O Y la matriz de los coeficientes elásticos adquiere laforma (6.19). El estudiante debería comprobar que la simetría elástica respecto al (tercer) plano x¡x3 se satisfaceidénticamente en esta matriz.

6.7. Dar los detalles de la reducción de la matriz elástica ortotrópica (6.19) a la matriz isotrópica (6.20).

En caso de isotropía, las propiedades elásticas son las mismas respecto a todos los ejes coordenados cartesianos. Enparticular, para los ejes girados x; indicados en la Fig. 6-5, el método del Problema 6.6 da lugar a la matriz (6.19) sim-plificándose posteriormente por las condiciones Gil == C22 = C33, CH == CS5 = Co6• y GI2 == CZ\ == C¡3 == C3l := C23 ==

C32•

X2

"" x")

Fig.6-5 Fig.6-6

172 ELASTICIDAD LINEAL CAP.6

Finalmente, para los ejes x;' obtenidos por una rotación de 45° alrededor de X3 como se indica en la Fig. 6-6, la matriz detransformación es

de forma que (J~' = «J2 - (J¡)/2 = (CIl - CI2)(EZ - El)/2 Y E~' = E2 - El' Pero (J~' = C14E~' y entonces 2C44 = CIl - C12• ydefiniendo p. = C44 y A = C12' se obtiene la (6.20).

6.8. Dar los detalles de la inversión de (6.21) para obtener (6.22).

6.9. Expresar las constantes de ingeniería v y E en términos de las constantes de Lamé >.. y /L.

De (6.25), E/(l - 2v) = 3A + 2¡t; Y de (6.26), E/(l + v) = 2¡t. Entonces (3A + 2¡t)(1- 2v) = 2¡t(1 + v} de la que v =A/2("A + p.). Ahora, de (6.26), E = 2p.(1 + v} = ¡t(3A + 2p.)/(A + ¡t).

6.10. Determinar la matriz de los coeficientes elásticos para un medio continuo que tiene un eje de si-metría elástica de orden N = 4. Suponer CKM = CMK.

Sea X3 el eje de simetría elástica. Una rotación 8 = 2;r/4 = ."./2del eje alrededor de X3 produce direcciones elásticas equivalentespara N = 4. La matriz de transformación es

y de (2.27) y (3. 78), u~ == (12' O'~ == al' 0'3 == 0'3' O'~ == -0'5' O'~ == 0'4J

O'~ == -0'6 Y f~ = f2t f2 == El' fS == E3' f~ - -ES, ES == f4' f~:::: -f6.

Así, por ejemplo, de (J~ = <73' C34 = C35 = C36 = O, C31 = C32• Deigual modo, de las cinco restantes relaciones de tensión, la matrizelástica se convierte en

Cl! Cl2 Cl3 O O Cl6

Cl2 Cll C13 O O -C¡6

C¡3 C¡3 C33 O O O[CKMl

O O O C44 O OO O O O C44 O

C¡6 -C¡6 O O O C66

con siete constantes independientes.

ELASTOSTATICA. ELASTODINAMICA. (Sec. 6.4-6.5)

6.11. Deducir las ecuaciones de Navier (6.31).

t'ig.6-7

Sustituyendo en (6.38) las componentes de deformación por sus expresiones equivalentes de los campos de des-

CAP. 6 ELASTICIDAD LINEAL 173

plazamientos resulta 0ij = AOijuk.k + p(u¡.j + u¡.¡l. Entonces, 0ij.i = AUk.k¡ + p(u¡.j¡ + Uj.ij)' Sustituyendo ésta en lasecuaciones de equilibrio (6.27) y reagrupando términos se tiene pUioji + (A + ¡L)Ujoii + pb¡ = O.

6.12. Probar que si \J4F¡ = O, el desplazamiento "U¡ = (A + 2p.)F¡od/J.(A + v) - F¡oj'//J. es una solución de laecuación de Navier (6.31) para fuerzas másicas nulas.

Diferenciando la solución supuesta, los términos p.u¡ojj = (A + 2p.)Fi.kkj/(A + Jl) - F\ok¡jj y. (A + Jl)Uj.ji = (A + 2Jl)

Fj. kki/ p - (A + Jl)Fko kjj/ Jl son fácilmente calculados. Introduciéndolos en (6.31) resulta

(A + 2¡L)Fíokkj/(A + p.) - [p. - (A + 2p) + (A + p.)]Fj•jkk¡ = O

supuesto que Fíokkjj = \J4F¡ = O.

6.13. Probar, si se pueden despreciar las fuerzas másicas, que la (6.35) se satisface por e, = 1>.i + lijk.pk.j

suponiendo que cada una, 1> y r. satisfacen la familiar ecuación de onda tridimensional.

Sustituyendo la supuesta U¡ en (6.35) resulta

Puesto que <jpq y,qopj¡ = O,esta ecuación se puede escribir

6.14. Escribiendo C2\J21> = ~ para la ecuación de onda deducida en el Problema (6.13) donde c2 = (A + 2p.)

I b (/(1" + ct) + h(1' - en 1 . o 1 J funci b" dp, pro ar que 1> = . T . es una so ucion en a que g y z son unciones ar itranas esus argumentos y 1'2 = XiX¡.

Aquí es conveniente usar la forma esférica \J2 == ~,..!!.-. ( r2 ~)' ,ya que <p= <p(r, t). Entonces r2(a<p/ar) = r(g' + h')r- a" \ ar

- (g + h) donde las primas denotan las derivadas con respecto a los argumentos de g y h. Entonces \J2,¡, = (g" + h")/r.Además, ~ = (g'e - h'e)/r y ;¡ = e2(g" + h")/r. Por lo tanto e2\J2<p = ;¡para el </> dado.

6.15. Deducir las ecuaciones de Beltrami-Michell (6.33) y determinar la forma que toman cuando lasfuerzas másicas son conservativas, es decir, cuando pb¡ = </>.¡.

Sustituyendo (6.24) en (3.103) resulta

donde El = 11: = 0íí' De las ochenta y una ecuaciones aquí representadas solamente seis son independientes. Así, colocan-do », = k y usando (6.27) se tiene

0ij.kk + (-).ii + p(b¡.i + b¡o,í = v(ú¡¡H.kk + ('l.ijl/(l + lO)

de la que (-1, kk = -(1 + 10)f1bk. kl(l - •.l. Introduciendo esta expresión de H I.k en las ecuaciones previas, se llega a (6.33).Si pb¡ = <P.i' entonces p(b¡.j + bj,¡) = 2<P.ij Y pbk.k = <P.kk =\J"</. de forma que (6.33) se convierte en .

ELASTICIDAD BIDIMENSIONAL (Sec, 6.6-6.8)6.16. Desarrollar para una tensión plana paralela al plano :(:,:1,:2, las relaciones tensión-deformación en

términos de A y fL Probar que estas ecuaciones corresponden con las dadas en (6.41).

174 ELASTICIDAD LINEAL CAP. 6

Aqui, a:l:l = al:¡ = an = O, o sea que (6.21) da 'la = '2:¡ = ( y "33 = -A('l! + <22)/(A + 21')' Entonces (6.21) se re-oduce a aa/3 = 2"t.¡i8"IJ€YY/(A + 21')+ 21l€aS con a, f3, y = 1,2 de la que a,xc. = 2."\3A + 2¡t)€yy/("t. + 2ft) e invirtiendo laecuación que resulta se tiene

Además,

6.17. Desarrollar, para una deformación plana paralela al plano xlxz;las relaciones tensión-deformaciónen términos de l' y E. Probar que estas ecuaciones corresponden con las dadas en (6.48).

Aquí, U3 == o de forma que '33 = O Y (6.24) da a33 = ,,(a11 + (22) = Aa",,,,/2(A + Il)' Entonces (6.24) se convierte en'a{l (1 + ,,)aa('jE - v(l + v)8aSayy/E de la que 'era = (1 + v)(l- 2,,)aaaíE. Finalmente, invirtiendo

6.18. Desarrollar la ecuacion de Navier para tensión plana (6.45) y probar que es equivalente a laecuación correspondiente para deformación plana (6.51) si se sustituye -\' = 2-\1-'-/(-\ + 2l-t) por -\.

Invirtiendo (6.4/) Y usando (6.42) nos conduce a (]",{3 = E(ua.{3 + 1(s,a)/2(l + v) + 2"E8a13uy,,'/2(1 - "2). Diferen-ciando con respecto X{3 y sustituyendo en (6.40) resulta

puesto que 1l(3A + 21')/(A + 2,u) = (2AI'/ (A + 2¡L) + 1') = (A' + /1-), (6.45) y (6.51) tienen la misma forma para la sustituciónpropuesta.

6.19. Hallar la relación necesaria entre las constantes A y B si cp = Axix~ + Bx~ es una función de ten-sión de Airy.

De (6.56), '" tiene que ser biarmónica o "'.1111 + 2"'.1122 + "'.2222 = O + 24Ax2 + l20Exzcuando A = -5E.

O, la que se satisface

6.20. Probar que cp = ~~[ XIX2 - ~¡;~J+ fc x~ es una función adecuada para ser usada como una fun-

ción de tensión de Airy y hallar las componentes de tensión en la región Xl> O, -e < Xz < c.

Puesto que 'V-l'Í' es idénticamente nula, '" es una función de tensión válida. Las componentes de tensión dadas por(6.55) son al! = "'.22 = -3FxIX2/2c3 + P/2c, a¡2 = -"',12 = -3F(c2 - x~)/4c3, (]22 = "',lI = O. Estas tensionesson las de una viga en voladizo sometida a una carga transversal en su extremo F y una tracción axil P(Fig. 6-8) .

•P X¡

Fig.6-8

CAP.6 ELASTICIDAD LINEAL 175

6.21. En el Problema 2.36 se probó que las ecuaciones de equilibrio se satisfacían en ausencia de fuerzasmásicas por <Tu = (¡pq(jm"cf>r¡1l.pm· Probar que la función de tensión de Airy está representada por <P:n =cf>(x1, x2) con 911 = 922 = </>12 = </>13 = 1>2:; == O.

Puesto que 4>33 es la única componente no nula, aij = f¡jlqfj¡nn<1>q1l,pm se convierte en a¡j = f¡)J3fj",~4>33,pm la que se!pucde escribir aa~ = <<xy3<jl,:1 933, y<, Puesto que 93:; = 9, aaa = (8,,08y( - O",Oya)9"" = 0aIl9,yy - 9,ao' las com-ponentes de tensión son por lo tanto a11 = "',11 + 9,22 - 9,11 = ~>.22, a12 = -</>,12, "22 9,11 + <1>,22 - <1>,22 = <1>,11'

De (6.60) Y (6.61), (ICrr) = a(88) = 0, De (6, 62) "'(TO) = B/r2, El equilibrio

de momentos alrededor del centro del disco exige que M = j21T(ICTO)a2 de =

fb oB de = 2tt B, De donde B = M/2 .••,

o

6.22. En coordenadas polares (1', e) la función de tensión de Airy 1> =Be se usa en la solución de un disco de radio a sometido a unmomento central M. Determinar las componentes de tensión yel valor de la constante B.

TERMOELASTICIDAD LINEAL (Sec. 6.10)

6.23. Llevar a cabo la inversión de (6,69) para obtener las ecuaciones constitutivas termoelásticas (6.70).

De (6. 69) con i = i, a;; = (3A, 2,1L)(f,¡ - 3a:(T - To)). Resolviendo (6.69) para "ij resulta

ai) 2,llfij + AO¡l'kJj(3A + 2J.L) - 2J.Laou(T - Ta)

21'<¡j+ AIlij«kk - 3a(T - To)) - 2J.La:oij(T - To)

2,Ufij + AO;jEkk - (31\+ 2f.')o:oij(T - To)

6.24. Desarrollar la ecuación de la energía termoelástica (6. 73) usando la energía libre f = u - Ts,

Suponiendo que la energía libre es una función de las deformaciones y la temperatura, f = f(E;j, T) Y sustituyendoen (5.41) pli ~ aij: + pTs donde los puntos indican las derivadas respecto al tiempo, el resultado es «(Tij - paflaEij) :¡j -pis + af/aT)T = 0, Puesto que los términos del paréntesis son independientes de las variaciones de temperatura ydeformación, se sigue que aij = paila,,, y "-::: -af/aT, De (5.38) para un proceso isotérmico reversible -e¡,¡ = pTs

= pT(~ 'ij + ~- r) , A deformación constante, ;ij = ° y comparando esta ecuación con (6.72) resulta e(v) = T(as/aT)afij aT

o como antes, puesto que Bs/aT = -a2flaT2, eC") = -a2fIBT2, También, anteriormente, p(a2f/Bf¡jBT) = aa;/BT y así,

(aaij. ecv).)combinando (5.38) con (6.71), =ci.. = kT,¡¡ = pT ?f<ij + T T , Finalmente de (6.70), aa;/aT = (31\+21')

aO;jTO de forma que kT,ii = peCvlT + (3A + 2J.L)aTofii que es (6.73).

6.25. Usar (6.13) y (6.70) para desarrollar la densidad de energía de deformación de un sólido termoelás-tico.

Sustituyendo (6.70) directamente en (6.13)

Problemas diversos6.26. Probar que la densidad de energía de distorsión u¿J) se puede expresar en términos de las tensiones

176 ELASTICIDAD LINEAL CAP. 6

Del Problema 6.2, UrDl = sije;/2 = sijsuf4G que en términos de las componentes de tensión se convierte en

En función de las tensiones principales ésta resulta

urm ki + u~ + u5 - (uJ + Uz + u3)(U1 + Uz + u3)/3]/4G

[2(u~ + u~ + u~ - O"J0"2 - 0"20"3 - u:lO"¡)/3]14G

= [(0"1 - 0"2)2 + (0"2 - 0"3)2 + (O":l - uJ)2]112G

6.27. Emplear los resultados del Problema 6.1 para probar que para un material elástico an*/afij = "» Yau*/a<T;J = fij"

Del problema 6.1, u* = AEiiEi/2 + }lEi/ij y así,

;>J2[E;¡(ilEi/ilEpq) + fjj(ilEiJ<3Epq)] + Z}lEij(il€ij/<3€pq)

A/2[Eii8jp8jq + €jj8¡pll¡Q] + 2.iL<ijll¡pojq = A/2[€iillpq + EnOpq] + 2.iL€pq

A€¡¡llpq + 2J1<pq O"pq

De igual modo del Problema 6.1, u* [(1+ V)O"ijO"ij- VO"jiO"iJ/ZE y

ou':-¡oO"pq = [2(1 + V)O"ij8iplljq - V(UiiOpq + ujjllpq]/2E = [(1 + v)upq - vllpqO";¡]/E €pq

6.28. Expresar la densidad de energía de deformación por u* como una función de los invariantes dedeformación.

Del Problema 6.1, u* = A€ii€nfZ + }l€ij€;j; Ycomparando con (3.91), rE = <ii Y He = (€fiEjj - €ijEij)/2, se sigue que

6.29. Cuando un eje de sección circular, de longitud L y radio a.está sometido a pares extremos como se indica en la Fig. 6-10 las componentes de tensión no nulas son <T¡3 = -Gax2,

<T23 = GaXl' donde a es el ángulo de torsión por unidad delongitud. Determinar las expresiones para la energía dedeformación por unidad de volumen y la energía de defor-mación total del eje.

Del problema 6.1 u" = [(1 + v)I: I - »(tr I)2]/2E. Aquí I == OY I: I = ZG2a2r2 donde r2 =xi + xi. Entonces u* = GaZr2/Z. Laenergía de deformación total está dada por

X2

Hg. 6-10

f G o (a (2"il-U = u*dV = ~ J, J_ r3drdodx3

·v 2 O O O

f2"faNótese que como T = Ga(x; + x~)r dr do = Gaa4,,/Z, U = TaL/2, es el trabajo exterior.o o

6.30. Probar que para un medio continuo que tiene un eje de simetría elástica de orden N = 2, las pro-piedades elásticas (ley de Hooke y energía de deformación por unidad de volumen) son de la mismaforma que las de un medio continuo que tiene un plano de simetría elástica.

CAP.6 ELASTICIDAD LINEAL 177

Aquí una rotación de ejes e =-= 2dN = 2•../2 = tr produce direcciones eláticas equivalentes. Pero éste es precisa-mente el caso de una reflexión en un plano de simetría elástica.

6.31. Probar que (6.19) con CI1 = C22 = C33, C44 = CS5 = C66 y C12

=C13 = C23' se puede reducir a (6.20) mediante una rotación ar-bitraria e de los ejes alrededor de X3 (Fig. 6-11).

La transformación entre los ejes Xi y X; es

y de (2.27),

(-sene cos e)O'll + (cos? e - sen- e)o-I2 + (sene cos e)0'2" Fig.6-11

o en notación de índices sencillos,

O'~ = (-seno cos e)O'I + (cos- 0- sen- 0)0'6 + (sen s cos 8)0'2

De igual modo, de (3.78) Y (6.4),

<G = (-2 sene cos e)'1 + (COS28 - scn? 0)<6 + (2 sen o cos 0)'2

Pero, como O'¿ = C.¡¡f~ para un cuerpo isótropo 0'2 - 0'1 = 2C1¡«~ - '1 l. Finalmente de (6.19) con las condiciones dadasal = Cllfl + CI2(€Z + (1) Y 0'2 = Cll<2 + CI~h + (2) 'y así, 0'2 .- 0'; ::,c(C11 - CIZ)«Z - (1)' Por lo tanto, (GIl - C1Z) =2G.l,; y con ('l.; ·C ,I!, eJ" = A, CIl = A', 21' como se dan en (6.20).

6.J2. Probar que en un cuerpo elástico en equilibrio bajo las fuerzas másicas b, y las superficiales t:~), laenergía de deformación total es igual a la mitad del trabajo dado por las fuerzas externas que ac-túan con unos desplazamientos U¡.

Es necesario probar que J pb¡u¡ dV + f t:~)Ui as = 2 f u* dV. Consideremos primero la integral de super-• v s ¡'

ficie con t:;") = O'j¡1{j que la transformamos según el teorema de Gauss. Entonces

f t;~)U¡ dS = - f pb¡u¡ dV + 2 .f 0'¡j<;/2 dVs v

con io que se prueba el teorema.

6.33. Usar el resultado del Problema 6.32 para establecer la unicidad de la solución elastostática de uncuerpo elástico lineal suponiendo las dos soluciones f1;t, U¡l) y f1¡r, U¡Z).

En elasticidad lineal, la superposición es válida; así, a,·; = 0'(1) - 0'(2) u· = u(l) .: U'.2) también sería una so-~ t) 1)' 1 l t

lución para la que b¡ = O. Entonces para esta solución obtenida por la mencionada "diferencia" f ~~~)Ui dS = 2 f.s ~

178 ELASTICIDAD LINEAL CAP. 6

u* dV del Problema 6.32. Puesto que las dos soluciones supuestas satisfacen las condiciones de contorno, la integral de

la izquierda aquí es nula ya que en el contorno t;~) = t: 1) - t\2) para la ecuación (6.32) y ?ti = u~ 1I - U\2i en el con-

torno para la ecuación (6.30). ASí,f u* dV = O Y puesto que g" es positiva, esto puede ocurrir solamente si 'ii =l'

/I) - /2) == O, o ,;)I) = «2) . Si las deformaciones son iguales para las dos soluciones supuestas, las tensiones también1) 1} 1)

son iguales según la ley de Hcoke y los desplazamientos son iguales al caso de un desplazamiento de un cuerpo rígido.Con lo que la unicidad está establecida.

6.34. Las ecuaciones de Navier (6.31) se pueden expresar en la forma ",-Ui,ij + 1 ~.~.2v 'Uj.ji + r/)j = Oque,para el caso de incompresibilidad (v =1) están evidentemente indeterminadas. Emplear lasecuaciones de equilibrio en este caso para probar ~tUi,ij + (~).J3 + pbi = J.

De la ecuación (6.24), Eii = (1 - 2v)cr¡¡/E; y para v =}, Eii == 1Ii,i = O. Así, de (6.24),

Pero "i.» = O Y E = 3G cuando v = }, de forma que "i.» = -(lb¡lG - akl<., J3G o JiV2Ui + H, /3 + pb¡ = O.

Problemas propuestos

6.35. Probar que los ejes principales de los tensores de tensión y deformación coinciden para un cuerpo elástico, homogéneo eisótropo.

6.36. Desarrollar la expresión de la energía de deformación por unidad de volumen u" en un medio elástico ortotrópico. Usarlas ecuaciones (6.14) y (6.19).

Sol. g* = (CIIEI + 2C¡2f2 + ZC¡:¡fS)f¡/2 + (C22'2 + 2CnE4)E212 -1- C;¡;¡E~ -1- CHf~ -1- C5;;tF. + CC6'i.

b.37. Determinar la forma de la energía de deformación por unidad de volumen en el caso de (a) tensión plana, (b) deforma-ción plana.

Sol. (a) u*

(b) u*

[a;1 + a~2 - 2val1a22 + 2(1 + v)aiz]/2E

(Ji + A/2)(Eil + E~2) + AEllE22 + 2Ji<f2

6.38. Hallar el valor de e para el que U¡ = A sen T (XI ± ct), U2 = U3 = O es una solución de la ecuación (6.35) cuando las

fuerzas másicas son nulas. Sol. e = V(A + 2Ji)/p

6.39. Probar que la energía de distorsión por unidad de volumen utDJ = (<1;p;j - a¡¡cri/3)/4G y la energía de dilatación específicaes ut~)= a¡iajj/18K.

6.40. Demostrar que 1/(1 + v) = 2(A + Ji)/(3A + 21') Y v/(l - v) = A/(A + 21')'

6.41. Probar que para una deformación plana paralela a x¡xZ, b3 == O y que b¡ y b2 son funciones dere¡ y X2 solamenre.

6.42. Usar las leyes de transformación de tensiones y deformaciones para probar que las constantes elásticas C;jkm son las com-ponentes de un ten sor cartesiano de cuarto orden de forma que C;Jkm = a;pajqakra.mSCpqrs·

6.43. Comprobar que la función de tensión de Airy </> = 2x; + 12xix~ - 6x~ satisface la ecuación biarmónica '9.19 = O Ydeterminar las componentes de tensión suponiendo deformación plana.

Sol. (-3X; -2x¡X2O )(Tu 24 -2~¡X2 xi + x; O

O? ?2,,(x¡ - x2)

ELASTICIDAD LINEAL 179

6.44. Determinar las deformaciones asociadas con las tensiones del Problema 6.43 y probar que se satisface la ecuación decompatibilidad (6.44).

Sol. ( xi - 3x~ - 2v(xi - X~) -2X¡X2 0)_ (1 + v) 2 2 2 2f¡j - 24 ---¡¡¡- -2x¡x2 XI + x2 - 2v(x¡ - x2) °° ° °

6.45. Probar que en un cuerpo elástico que tiene un eje de simetría elástica de orden N = 6, CZ2 = ClI,C55 = C44, C66 = 2(Cll

- C12) y que C¡3 y C33 son los únicos coeficientes restantes no nulos.

6.46. Comprobar que para un medio continuo elástico con fuerzas másicas conservativas tales que pba = V", = "'.ex, la con-dición de compatibilidad (6.44) se puede escribir como 920'"" = 92",/(1 - v) para deformación plana, o 920'aa = (1+ p)

92", para tensión plana.

6.47. Si \J4F¡ = 0, probar que tli = 2(1- v)\J2F;lG - Fj,j;lG es una solución de la ecuación (6.31)de Navier cuando b¡ == °(ver Problema 6.12). Si F = B(X2 el - XI e2)lr donde r2 = XiX;, determinar las componentes de tensión.

Sol. 0'11 = -0'22 = 6QGXlx21r5, 0'33 = 0, 0'12 = 3QG(x~ - xi)/r5, 0'13 = -0'22 = 3QGx2x31r5 dondeQ = 4B(1 - v)/G.

6.48. Una función de tensión de Airy está dada en coordenadas polares por <I> = Cr2(cos 211 - cos 2a) donde e s « son constan-tes. Determinar e si 0'88 = 0, O'r8 = T cuando (J = a, y 0'88 = 0, O'r8 = -T cuando (J = -a.

Sol. C = T/(2 sen 2a)

6.49. Probar que en los problemas dc deformación plana termoelástica 0'33 = V(O'II + 0'22) - aE(T - To) y que O'af3

2¡tfal3 - 8al3(3~ + 2/l)a(T - To).IProbar que en termoclasticidad bajo tensión plana

y

6.50. En términos de la función de tensión de Airy <{> = 4>(xI, X2), comprobar que en termoelasticidad bajo deformación plana laecuación de compatibilidad (6. 44)se puede expresar como 94<{> = -aEV2(T - To)j(l - v) y para tensión plana como 944> =

-aE92(T - To)'

Capítulo 7

Fluidos

7.1 PRESION DE UN FLUIDO. TENSOR DE TENSION VISCOSO.FLUJO BAROTROPICO

En cualquier fluido en reposo, el vector tensión ti;;) .que actúa en un elemento de superficie arbitrarioes colineal con la normal n a la superficie e igual en magnitud para cada dirección que pase por un puntodado. De esta manera,

e (7.1)

en la que Po es la magnitud de la tensión, o presión hidrostática. El signo negativo, indica una tensión decompresión para un valor positivo de la presión. Aquí cada dirección es una dirección principal, y de(7.1)

o (7.2)

que representa un estado de tensión esférico que con frecuencia se denomina presión hidrostática. De(7.2), las componentes de tensión cortante de un fluido en reposo son nulas.

Para un fluido en movimiento, las componentes de tensión cortante no son normalmente nulas, yeneste caso se acostumbra desdoblar el tensor de tensión según la ecuación,

o ~ = -pl + r (7.3)

donde Tij se denomina, tensar de tensión viscoso y p es la presión.

Todos los fluidos reales son compresibles y viscosos. No obstante, estas características varían am-pliamente para diferentes fluidos de forma que con frecuencia es posible despreciar sus efectos en deter-minados casos sin pérdida de exactitud en los cálculos que se basan en tales suposiciones. Según esto, unfluido no viscoso, o como se denomina, un fluido perfecto; es un fluido para el que Tij es cero aun en es-tado de movimiento. Por otra parte, los fluidos viscosos son aquellos en los que se tiene que considerarTij• Para un fluido compresible, la presión p es esencialmente la misma que la presión manejada en la ter-modinámica clásica. De (7.3), la tensión normal media está dada por

180

CAP. 7 FLUIDOS 181

o (7.4)Para un fluido en reposo, Tij se anula y p se reduce a Po que en este caso es igual a la tensión normalmedia corl. signo negativo. Para un fluido incompresible, la presión termodinámica no se define sepa-radamente de las condiciones mecánicas de tal manera que p se tiene que considerar como una variablemecánica independiente en tales fluidos.

En un fluido compresible, la presión p , la densidad p y la temperatura absoluta T están relacionadas através de una ecuación de estado cinética que tiene la forma

p = p(p, T) (7.5)

Un ejemplo de tal ecuación de estado es la conocida ley de los gases ideales

p = pRT (7.6)

donde R es la constante de los gases. Si los cambios de estado de un fluido obedecen a una ecuación deestado en la que no interviene la temperatura, es decir, p = p(p), tales cambios se denominan barotró-picos. Un proceso isotérmico de un gas perfecto es un ejemplo de un caso especial que obedece a un com-portamiento barotrópico.

7.2 ECUACIONES CONSTITUTIVAS. FLUIDOS STOKESIANOS.FLUIDOS NEWTONIANOS

Las componentes de tensión viscosas del tensar de tensión de un fluido están asociadas con la disi-pación de energía. En el desarrollo de las relaciones constitutivas para los fluidos, generalmente se suponeque el tensor de tensión viscoso Tjj es una función del tensar de velocidad de deformación Dij' Si la re-lación funcional no es lineal, tal como se expresa simbólicamente por

o r = f(D) (7.7)

el fluido se denomina fluido stokesiano, Cuando la función es lineal de la forma,

o r = K:D (7.8)

donde las constantes Kijpq se denominan coeficientes de viscosidad, el fluido se conoce como un fluidonewtoniano. Algunos autores clasifican a los fluidos sencillamente como newtonianos y no-newtonianos.

Siguiendo un procedimiento muy parecido al llevado a cabo en el Capítulo 6 para la ley de Hookegeneralizada de un medio elástico, las ecuaciones constitutivas de un fluido homogéneo, isótropo y new-toniano se pueden determinar a partir de (7.7) y (7.3). La forma final es

o I = -pl + .\*I(trD) + 2J-L*D (7.9)

donde .\* Y fL * son coeficientes de viscosidad del fluido. De (7.9), la tensión normal media está dada por,

(7.10)t(tr I) = -p + 1-(3.\* + 2,u*)(tr D) = -p + K*(tr D)

donde K* = t(3.\ * + 2¡L *) se denomina coeficiente de viscosidad volumétrica. La condición

(7.11)

182 FLUIDOS CAP. 7

se conoce como condición de Stokes, y garantiza que la presión p se define como el promedio de las ten-siones normales de un fluido compresible en reposo. De esta forma la presión termodinámica se define entérminos de las tensiones mecánicas.

En función de las componentes desviadoras Sij = (Tij - Bij(TkJ3 Y D¿ = D¿ - BijDkk/3, la ecuación(7.9) se puede reescribir en la forma

(7.12)s + fl(tr I) = -pl + 1('\* + ¡¡.t*)(tr D) + 2¡.t*0'

Por lo tanto, a la vista de la relación (7.10), la ecuación (7.12) se puede expresar por el par de ecuaciones

- 2 *D'Sij - IL ij o S

trI -3p + 3K*(tr D)

(7.13)

(7.14)

la primera de las cuales relaciona los efectos cortantes en el fluido y la segunda da la relación volumé-trica.

7.3 ECUACIONES BASICAS DE LOS FLUIDOS NEWTONIANOS.ECUACIONESDE NAVIER-STOKES-DUHEM

En la forma euleriana, las ecuaciones básicas necesarias para formular el problema del movimiento deun fluido newtoniano son

(a) la ecuación de continuidad (5.3),

p + rv., = O o p + P('V'x ·v) o (7.15)

(b) las ecuaciones del movimiento (5.16),

Vx• I + pb pv (7.16)

(c) la ecuación de energía (5.32),

Ú. = l(T ..D -le. + zp t) t] P t,'o u

1 1- I: D - - Vx • e + zp p

(7.17)

(d) las ecuaciones constitutivas (7.9),

-pl + ,\*I(tr D) + 2¡.t*D (7.18)

(e) la ecuación cinética de estado (7.5),p = p(p, T) (7.19)

Si se consideran efectos térmicos, como muy a menudo tienen lugar en los problemas de fluidos, sonnecesarias además, las ecuaciones adicionales

(f) la ley de Fourier de conducción de calor (6.71),

e = -kVT (7.20)

(g) la ecuación calórica de estadou u(p, T) (7.21)

CAP. 7 FLUIDOS 183

El sistema de ecuaciones (7.15) a (7.21) representa un conjunto de dieciséis ecuaciones con dieciséis incóg-nitas y, por lo tanto, es un sistema determinado.

Si se sustituye (7.18) en (7.16) y se usa la definición de 2D .. = (v .. + v .. ) las ecuaciones que resultan det} l.J ),1

esta combinación son las ecuaciones del movimiento de Navier-Stokes-Duhem,

• - b (* *) *pV. - P . - p . + A + p. V'i + p. v; J')'1 t , ~ ). J .,

(7.22)

Cuando el flujo es incompresible (v .. = O), (7.22) se reduce a las ecuaciones de Navier-Stokes para un),J

flujo incompresible,

pV. = pb. - p . + 0*V ...1. t ,1 1,]J

o (7.23)

Si se admite la condición de Stokes (A * = -!p.*), (7.22) se reduce a las ecuaciones de Navier-Stokes paraun flujo compresible

pV = pb. - p . + ip.*v ... + p.*v ...1 1,1 J,]1. Id)

(7.24)

Las ecuaciones de Navier-Stokes (7.23), junto con la ecuación de continuidad (7.15) forman un con-junto completo de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas: la presión p y las tres componentes de lavelocidad Vi' Para cualquier problema dado, las soluciones a este conjunto de ecuaciones tienen que satis-facer las condiciones iniciales y de contorno de las componentes de velocidad y tracción. En un fluido vis-coso, las condiciones de contorno adecuadas en una superficie determinada, requieren que ambas com-ponentes de velocidad, la normal y la tangencial se anulen. Esta condición es una consecuencia del hechoexperimentalmente establecido de que un fluido se adhiere y alcanza la velocidad del contorno. Para unfluido no viscoso, solamente se requiere la anulación de la componente de velocidad normal en unasuperficie fijada.

Si las ecuaciones de Navier-Stokes se expresan en forma adimensional, aparecen varias relaciones deparámetros normalizados. Una de las relaciones más significativas y comúnmente usadas es el número deReynolds NCRJ que expresa la relación entre las fuerzas inerciales y las viscosas. Así, si un flujo se carac-teriza por una cierta longitud L, velocidad V y densidad p, el número de Reynolds es

VL/v (7.2.5)

donde v = p.*/p se denomina viscosidad cinemática. Para números de Reynolds muy grandes la contri-bución viscosa a los términos de tensión cortante de las ecuaciones de la cantidad de movimiento sepueden despreciar. En un flujo turbulento las tensiones aparentes actúan en el flujo pro mediado en eltiempo de una manera análoga a los efectos de la tensión viscosa en un flujo laminar. Si no existe tur-bulencia, los efectos inerciales predominan sobre los efectos viscosos y el fluido se comporta como sifuera no viscoso. La facilidad de un fluido para adoptar movimientos turbulentos está relacionada con elnúmero de Reynolds. Solamente en el caso de un flujo laminar es cuando las ecuaciones constitutivas(7.18) se aplican a los fluidos reales.

7.4 FLUJO ESTACIONARIO. HIDROSTATICA. FLUJO IRROTACIONALSe dice que el movimiento de un fluido constituye un flujo estacionario cuando las componentes de

velocidad son independientes del tiempo. En este caso, la derivada én)éJt es cero, y entonces la derivada

184 FLUIDOS CAP. 7

material de la velocidad

s»,-- + vv ..at } '.) odvdE - (7.26)

se reduce a la forma sencilla

'v. = v.v ..I J l.)

o v = v : Vxv (7.27)

Un flujo estacionario en el que la velocidad es nula en cualquier punto, da lugar a que las ecuacionesde Navier-Stokes (7.22) se reduzcan a

o (7.28)

que describe la situación de equilibrio hidrostático, Si se supone la condición barotrópica p = p(p) sepuede definir una función de presión

P(p) 51> d]]

Po P(7.29)

Posteriormente, si las fuerzas másicas se pueden especificar por una función potencial

-0.1

o b = -V0 (7.30)

las ecuaciones (7.28) toman la forma

(O + P).i = O o V(o + P) o (7.81)

Un flujo en el que el tensar de giro o varticidad (4.21),

v. = 1. (UVi _ dVj) o1) 2 iJ:rj d:l.\ v = ~(vV - Vv) (7.32)

se anula en cualquier punto, se denomina flujo irrotacional. El vector torbellino qi está relacionado conel tensar de velocidad de rotación por la ecuación

o (7.33)

y por lo tanto también se anula para un flujo irrotacional. Posteriormente,

o q = \7xv (7.34)

y puesto que '\7 x v = O es la condición necesaria y suficiente para que exista un potencial de velocidad 1>el vector velocidad de un flujo irrotacional se puede expresar por

Vi = =»: o v = -Vr:f> (7.35)

7.5 FLUIDOS PERFECTOS. ECUACION DE BERNOULLI. CIRCULACION

Si los coeficientes de viscosidad A * Y p." son nulos, el fluido así considerado se denomina no viscoso ofluido perfecto (sin fricción) y las ecuaciones de Navier-Stokes-Duhem (7.22) se reducen a la forma,

CAP. 7 FLUIDOS 185

pV.¡ = pb¡ - P,; o pV = pb - \1p (7.36)

que es conocida como la ecuación del movimiento de Euler. Para un fluido barotrópico con fuerzasmásicas conservativas se pueden introducir (7.29) y (7.30) de forma que (7.36) se convierte en

v = -(o +P) ., ,1 o v = -\1(0 + P) (7.37)

Para un flujo estacionario (7.37) se puede escribir

vv ..)1.,)

(o+P) ..' o v'\1v = -\1(o+P) (7.38)

Si la ecuación de Euler (7.37) se integra a lo largo de una línea de corriente, el resultado es la co-nocida ecuación de Bernoulli en la forma (ver Problema 7.17)

f e».n + P + 'v"/2 ~ aidx¡ = C(t) (7.39)

Para un movimiento estacionario ovJéJt = O Y CU) se convierte en la constante de Bernoulli C que es, en,general, diferente a lo largo de diferentes líneas de corriente. Si el flujo es irrotacional también se conser-va una constante sencilla C en todo el campo del flujo.

Cuando la única fuerza másica presente es debida a la gravedad, el potencial es n = gh , donde g esla aceleración de la gravedad y h es la altura respecto a algún nivel de referencia. Entonces para hp = P/gdefinida como la altura o carga debida a la presión, y v2j2g = h.;como la altura debida a la velocidad, laecuación de Bernoulli establece que la altura total a lo largo de una línea de corriente es constante. Parafluidos incornpresibles (líquidos), la ecuación toma la forma

h + \, - h" = h + p/ pg + v2/2g = constante (7.40)

Por definición, la circulación de la velocidad alrededor de una curva cerrada de partículas de unfluido está dada por la integral curvilínea.

o (7.41)

Del teorema de Stokes (1.153) o (1.154), página 34, la integral curvilínea (7.41) se puede transformar enuna integral de superficie

o re = r n' (\1 xv) dSJs(7.42)

donde n es el normal unitario a la superficie S contenida en la línea cerrada. Si el flujo es irrotacional,\1 x v = O Y la circulación es cero. En este caso el integrando de (7.41) es la diferencial exacta d1> = -v'dx siendo 1> el potencial de velocidad.

La derivada material drc/dt de la circulación se puede determinar usando (4.60) la que aplicada a(7.41) da

o re = .f (v- dx + v- dv) (7.43)

Para un fluido barotrópico no viscoso, con fuerzas másicas conservativas se puede probar que la cir-culación es constante. Esto se conoce como teorema de Kelvin de la circulación constante.

186 FLUIDOS CAP. 7

7.6 FLUJO POTENCIAL. FLUJO POTENCIAL PLANO

El término flujo potencial se usa con frecuencia para señalar a un flujo irrotacional ya que la con-dición de irrotacionalidad, V x v = O, es la necesaria y suficiente para la existencia del potencial de ve-locidad 1> de (7.35). Para un flujo irrotacional compresible, las ecuaciones de Euler y de continuidad sepueden linealizar y combinar tal como se hace en acústica para llegar a la ecuación de onda

o (7.44)

donde e es la velocidad del sonido en el fluido. Para un flujo irrotacional estacionario de un fluido ba-rotrópico compresible se pueden combinar las ecuaciones de continuidad y de Euler y obtener

o c2V . V - v' (v· Vv) = O (7.45)

que es la denominada ecuación dinámica de los gases.

Para un flujo potencial incompresible la ecuación de continuidad adquiere la forma

1>,ií = O o (7.46)

y las soluciones de esta ecuación de Laplace proporcionan las componentes de velocidad según su defi-nición de (7.35). Las condiciones de contorno de la velocidad también han de ser satisfechas. En un con-torno fijo, por ejemplo, a1>/an = O. Un aspecto importante de esta formulación reside en el hecho de quela ecuación de Laplace es lineal de manera que es posible la superposición de soluciones.

En un flujo incompresible bidimensional y paralelo al plano x¡x2' v3 = O, Y la ecuación de conti-nuidad se convierte en

Va,a = O o "9"v = O (7.47)

donde, como es normal en este libro, los subíndices griegos tienen un rango de dos. De (7.47), tanto si elflujo es irrotacional como si no lo es, es posible introducir la función de corriente '" = "'(X¡, X2) tal que

(7.48)

Si el flujo plano es irrotacional de forma que

o v = -'91> (7.49)

entonces de (7.48) y (7.49) la función de corriente y el potencial de velocidad satisfacen las condiciones deCauchy-Riemann

1>,¡ = "',2 y (7.50)

Eliminando 1> y '" sucesivamente en (7.50) se prueba fácilmente que

1>,aa o o O (7.51)

(7.52)tf;,aa O o O

De esta manera, 1> y '" son funciones armónicas cuando el flujo es irrotacional. Posteriormente, el poten-cial complejo

(7.53)

CAP.7 FLUIDOS 187

es una función analítica de la variable compleja z = Xl + iX2 de forma que su derivada d'Ir/dz define lavelocidad compleja

d'Ir/ dz (7.54)

Problemas resueltos

FUNDAMENTOS DE FLUIDOS. FLUIDOS NEWTONIANOS(Sec. 7.1-7.3)

7.1. Probar que el desviador 8¡j del tensor de tensión Uij de (7.3) es igual a tij' el desviador de "» de(7.3).

De (7.3), aji = -3p + Ti[ y aquí,

7.2. Determinar la tensión normal media uj3 de un fluido stokesiano incompresible (no lineal) para elque Tij = aD¡j + f3Di"Dkj donde a y f3 son constantes

De (7.3), aij = -POij + aDij + [3D¡kDki y así, aii = -3p + «D¿ + .8DikDki' Pero Dik =Dki Y Di, = vi,; = O paraun fluido incompresible de forma que

donde lID es el segundo invariante del tensor de velocidad de deformación.

7.3. Un flujo isoentrópico, o adiabático sin fricción de un gas ideal, constituye un flujo barotrópico parael cual p = cp" donde e y K, son constantes y k = c(p) / c(v>, es la relación de los calores específicos apresión y a volumen constante. Determinar para este flujo las relaciones densidad-temperatura ypresión-temperatura.

Introduciendo P = Cp" en la ecuación (7.6), la relación densidad-temperatura es p"-IIT = RIC, una constante.También, puesto que p = (pIC)1!k aquí (7.6) proporciona la relación presión-temperatura según p(k-l)/kIT = RICI/k,que es otra constante.

7.4. Hallar la ecuación constitutiva para un fluido newtoniano con una viscosidad volumétrica nula, esdecir, con K* == O.

Si K* == 0, 1\* =, -'2¡L*/3 de (7.11) y (7.9) se convierte en aij = -poij - (2¡L*/3)Il¡jDkk + 2¡L*Djj que se expresa entérminos del desviador de la velocidad de deformación por

Si se introduce el desviador de tensión s¡j esta relación constitutiva está dada por las dos ecuaciones sij = 2¡L*D¡j Y aj¡= -3p.

7.5. Hallar una expresión para el "trabajo por unidad de tiempo debido a las tensiones" u.D. de un11 t)

188 FLUIDOS

fluido newtoriano que tiene por relación constitutiva la (7.9).

De (7.9) Y la definición del trabajo por unidad de tiempo de las tensiones,

CAP. 7

En notación simbólica, esta expresión se escribe

I:o = -p(trO) + i\*(trO)2+ 2,éo:o

En términos de D(j la expresión es

En notación simbólica,

I : o = -p(tr o) + K*(tr0)2 -+- 21'* o' : o'

7.6. Determinar las condiciones bajo las que la presión normal media PCml = -aj3 es igual a la presióntermodinámicap, para un fluido newtoniano.

Con las ecuaciones constitutivas en la forma (7.13) Y (7.14) la última ecuación da Pcm) -- p = -K* Dii' Así, PCm) = P

cuando K* = O (de (7,11) cuando 11.*= -¡I'*) o cuando Dii := O.

7.7. Comprobar las ecuaciones del movimiento de Navier-Stokes-Duhem (7.22) para un fluido new-toniano y determinar la forma de la ecuación de la energía (7.17) para este fluido si la conducciónde calor sigue la ley de Fourier (7.20).

Puesto que D¡; = V¡,i' la ecuación (7.18) se puede escribir (Jij = -poij + i\*OijVk,k + ¡¡*(Vi,j + Vj,i)' Entonces

e introduciendo esta expresión en (7,16), se consigue la identificación directa de (7.22).Sustituyendo la ecuación de (Jij anterior, junto con la (7.20) en la ecuación de la energía (7.17), resulta

que se reduce a

p1i = -pv¡,¡ + i\*V¡,iVj,j + I'*(v¡,j + Vj,¡)(vi,; + vj,;)/2 - kT,¡¡ + pZ

7.8. Hallar la fuerza de tracción Ti que actúa en la superficiecerrada S que contiene al volumen V de un fluido new-toniano para el que la viscosidad volumétrica es nula.

El elemento de tracción es d'I', = ti~) dS y la fuerza de trac-

ción total es Ti = r ti~) dS que debido al principio de tensión es.Js

Ti = f (Jj¡nj dS. Del Problema 7.4, ésta se convierte ens

T¡ = f (-poij + 2f1*D;j)nj ass

para un fluido de módulo volumétrico nulo, y aplicando el teoremade Gauss,

T· = f (2,,*D; . - p .) dV1 '.j,) ,!

v

dS

X2

Xl

Fig. 7-1

CAP. 7 FLUIDOS 189

7.9. En un flujo asimétrico a lo largo del eje X3 la velocidad se considera una función de :r3 Y r, donde1'2 = xi + x ~. Si la velocidad se expresa por v = qer + v3e3 donde ~r es el vector unitario radial,determinar la forma de la ecuación de continuidad.

La ecuación (5.4) da la ecuación de continuidad en notación simbólica como ap/at + \i' • (ov) = O. Aquí se puede

_ 1a(rpq) a(pv3)usar la for ma cilíndrica del operador \i' obteniendo \i'. (ov) - - -- + --. Introduciendo ésta en la (5.4) y

T éJ1' éix"simplificando, resulta la ecuación de continuidad

7.10. En un flujo bidimensional paralelo al plano XIX2.; V3 Y a/aX3 son cero. Determinar las ecuaciones deNavier-Stokes para un fluido incompresible y la forma de la ecuación de continuidad para estecaso.

De (7.23) con i = 3, pb3 = P,3 Y cuando i = 1,2, pVa = pba - P,a + I'*v", BIl' La ecuación de continuidad (7.15)se reduce a va, a = O.

Si las fuerzas másicas fueran nulas y pVI = -éip/éixI + I'*(a~vl/axi + éi2vJax~) las ecuaciones necesarias serían VI =vl(J;I, Xz, t), Vz = 0, P = p(xl> XZ, t) y éiVI/aXI = O.

HIDROSTATICA. FLUJO ESTACIONARIO E IRROTACIONAL

7.11. Suponiendo que el aire es un gas ideal cuya temperatura varía linealmente con la altitud según T ='I'« - aX3 donde To es la temperatura al nivel del suelo y X3 mide la altura desde la tierra, deter-minar la presión del aire en la atmósfera como una función de X3 bajo condiciones hidrostáticas.

De (7.6) en este caso P = pR(To - ax:¡); y de (7.28) con la fuerza másica b3 = =s, la aceleración de la gravedaddp/dx:¡ = -pg = -pu/R(To - aX3). Separando variables e integrando In P = (g/Ra) In (To - aX3) + In C donde e es unaconstante de integración. Así p - C(To - aX3)glRa y si p = Po cuando X3 = 0, C = Po To -gIRa y p = Po(l - aX3/TO)giRa.

7.12. Un fluido barotrópico que tiene la ecuación de estado P = Al donde A y k son constantes, estáen reposo en un campo gravitatorio cuya dirección es X3. Determinar la presión en el fluido en fun-ción de X3 Y Po, Yla presión a X3 = o.

De (7.28) dp/dx3 = -pu, dp/dxl = dp/dx2 = O. Nótese que la presión en las direcciones Xl y X2 es constante enausencia de fuerzas másicas b] y b2• Puesto que aquí p = (p/A)lIk, p-I/kdp = -gA -l/kclx3 integrando (k/(k-l))p(k-ll/k = -gA -l/kx3 + C. Pero p = f!o cuando X3 = ° de forma que C = (k/(k -1))P6k-lJlk. Por lo tanto X3 =(kpo/(k -l)gpo)(l - (p/PO)(k-ll/f<) donde Po = (PO/A)l/k.

7.13 .. Un recipiente grande lleno de un líquido incompresible esacelerado a un ritmo constante a = azez + a3e3 en un campogravitatorio que es paralelo a la dirección X3. Determinar lapendiente de la superficie libre del líquido.

De (7.28) dpl d» ; = 0, dp/clx2 = pa2 y dpld~;:J = -p(g - a3)· Integrando,p = pa2x2 + f(x3) y p = -p(g - a3)x3 + h(X2) donde f y h son funcionesarbitrarias de sus argumentos. En general, P = pa2x2 - p(g - a3)x3 + Po dondePo es la presión en el origen de coordenadas de la superficie libre. Puesto quep = Po en cualquier parte de la superficie libre, la ecuación de esta superficiees xz/x:¡ = (g - a3)!aZ'

"

Fig. 7-2

7.14. Si el movimiento de un fluido es muy lento de tal manera que los términos de orden superior de lavelocidad son despreciables, tiene lugar un caso límite conocido como flujo deslizante. En este casoprobar que un flujo incompresible y estacionario con fuerzas másicas nulas la presión es una fun-ción armónica, es decir, \l2p = O.

190 FLUIDOS CAP. 7

Para un flujo incompresible las ecuaciones de Navier-Stokes (7.23) son

y para un flujo deslizante éstas se linealizan a la forma

p(aV/at) = pbi - P,i + ¡L*v¡,jj

Entonces para un flujo estacionario con fuerzas másicas nulas, P,; = ¡L*v;,jj' Tomando la divergencia de esta ecuaciónP,li = ¡L*vi, ijj; Y puesto que la ecuación de continuidad para un flujo incompresible es Vi, i = 0, se sigue que aquí P, ii =\l2p = O.

7.15. Expresar la ecuacion de continuidad y las ecuaciones de Navier-Stokes-Duhem en términos de;potencial de velocidad <p para un movimiento irrotacional.

De (7.35), Vi = -</>,i de forma que (7.15) la ecuación de continuidad se convierte en lo - p\l2</> = O. Además de vi =-</>.i' (7.22) se convierte en

-P<P.i = pb; - P.i - (A* + P.*)</>,jji - P.*</>.ijj

o -P(éJq"i/at + </>,k</>.ik) = pbi - P.i - (A* + 2p.*)c,t>,jji

En notación simbólica esta ecuación se escribe

7.16. Hallar la función de presión P(P) para un fluido barotrópico que tiene la ecuación de estado P=Apkdonde A y k son constantes.

De la definición dc (7.29),

P(p) fp dp fP= (p/A) -l/k dp =Po P Po

kAlIk fp<k-ll/k]P =k - 1~ Po

k (p po)k - 1 p Po

Además, puesto que dp = Akpk-l dp, el mismo resultado se puede conseguir de

Ak [k-l]P _ k (p po)k - 1 p Po - k - 1 P - Po

FLUIDOS PERFECTOS. ECUACION DE BERNOULLI. CIRCULACION

7.17. Deducir la ecuación (7.39) integrando la ecuación de Euler (7.37) a lo largo de una línea de corriente.

Sea dx¡ un desplazamiento infinitesimal ala largo de una línea de corriente. Tomando el producto escalar de

este desplazamiento con (7.37) e integrado

f ::idx¡ + f VjVi,j dx, + f n,i dx¡ + f r, dx¡ = C(t)

Puesto que n,i dx¡ = dn y P,i dx¡ = dP los últimos dos términos son de integración inmediata. También, a lo largo deuna línea de corriente, dx¡ = (v/v) ds donde ds. es el aumento de distancia. En la segunda integral,

Vjv¡,jdx¡ = Vjvi.j(v/v)ds = ·v¡v¡,j(v/v)ds = viv¡,jdxj = vidv¡

Por lo tanto, f Vjv¡,j dx; = f V¡ dVi = tV¡Vi = tv2, y se llega a (7.39).

CAP. 7 FLUIDOS 191

7.18. El fluido barotrópico del Problema 7.16 fluye desde un gran tanque cerrado a través de un tuboliso y delgado. Si la presión en el tanque es N veces la presión atmosférica, determinar la velocidad delfluido a la salida .

.Aplicando la ecuación de Bernoulli para un flujo estacionario entre el punto A, en reposo en el fluido del tanque yel punto B, en la corriente libre de salida, (7.39) sugiere la forma !lA + PA + 1,-V; = !!B + Pn + ~~v~.Pero 1'/\ = 0, ysi se supone despreciable la gravedad esta ecuación se convierte en (ver Problema 7 .16). ~

_k_, _ (P'1 _ pn) = ~liV~k - 1 n.\ Pn -

o 2 _ 2k »» (NPE )1-'8-------1k - 1 PR PA

y como PElp" = (p¡¡lp,\)-L'I::= X-l/k el resultado se puede escribir

.,1';¡ =

~)¡. PR--:-_.~ -- (Nl1<-I)/I, - 1)k - 1 PIl

7.19. Probar que para un fluido barotrópico y no viscoso en presencia de fuerzas másicas conservativasla variación de la circulación por unidad de tiempo es nula (Teorema de Kelvin).

De (7.43) j,. ~ <~' (¡', d .c : - (', di':) Y de (7.37),i·i = -in + P).i para este caso. Así,

¡ -r-; f' (-l~¡ d»¡ -- P,i d.c¡ + 'l'i !lv;)- - .~. (<In -:- d I? - cl(1l2/2)) = - j d(!! + P - v2/2) = O. siendo el integrando una

diferencial exacta.

7.20. Hallar la circulación alrededor del cuadrado Xl = =1, :\'2 == :!:1, :r;1

== O (ver Fig. 7-3) para el flujo bidimensional v = (:1.:1+ x2)el + (x;- X2)C2_

-1Usando la forma simbólica de (7.42) con;) = e-:l y \1 x v = (2x¡ - 1) ~;l'

----T---+-----~~! 1 Xl

-4 ~-_-:l;-t--~A

El mismo resultado se obtendría de (7.41) donde re := <f v' clx Fig.7-3

J'I (1-x2)cI".~ + J'-I (xI+l)cI.l·¡ + S-I(1-XJclX2 + SI (",¡-l)dx¡ -4-¡ 1 ¡ -1

procediendo a la integración desde A con un sentido antihorario.

FLUJO POTENCIAL. FLUJO POTENCIAL PLANO (Sec. 7.6)

7.21. Dar la deducción de la ecuación dinámica de los gases (7.45) y expresar esta ecuación en términosdel potencial de velocidad <¡~.

Para un flujo estacionario la ecuación de continuidad (5.4) es o.iv, -+ PVi.i = ° y la ecuación de Euler (7.36) es 1'1Jj

vi.} -'- P. i r-; O si se desprecian las fuerzas másicas. Para un fluido barotrópico P = p(p) y así, (1) = (r7p/rJx-;)(a.>:;!rlp)cl/J;reagrupando », = (dpldp)P.i == C~P.i donde e es la velocidad local del sonido. Introduciendo ésta en la ecuación deEuler y multiplicando por Vi da p'V,vj1ij,¡ + C~v¡P.i = O. De la ecuación de continuidad C~l'iI'., = -C~l·i.i = -C~"ij'Vi.¡ yasí (C~.si¡ - 'ViV)1'i.¡ = O. En términos de </>,¡ = -Vi ésta es ((!~Úij -- ~'>,i9,-¡h'.j¡ = O.

7.22. Probar que la función (,)= A (-xi - x~ + 2;i'~)satisface la ecuación de Laplace y determinar las com-ponentes de velocidad resultantes.

Sustituyendo ¿ en (7.46) da 2A - 2A + 4A == O. De (7.35), 'VI = 2Axl• 'V~ = 2Axz, 'U3 o:: --4Ax:1. También,

192 FLUIDOS CAP. 7

analizando el Problema 4.7 las líneas de corriente en el plano X¡ están representadas por X~X:l = constante; en el planoX2 por ~'i:C3 -r- contante. Así, el flujo tiene lugar a lo largo del eje x:¡ y contra el plano x¡x2 (pared fija).

7.23. Probar que la función de corriente ,¡;(:r¡,X2) es constante a lo largo de cualquier línea de corriente.

De (7.48) y la ecuación diferencial de una línea de corriente dx¡/v¡ ::::dX2/v2 (ver Problema 4.7), -elx¡/';',2 = &r2/~, ¡

Y,¡d;c¡ T Y,2c!X2 = el,;,::::O. Por lo tanto, ,;, :::: constante a lo largo de cualquier línea de corriente.

7.24. Comprobar que 1>= A(x~ - X~) es un potencial de velo-cidad válido, y describir el campo de flujo.

Para la <p dada, (7.46) se satisface idénticamente según 2A - 2A =O; Y de (7.49) V¡ = -2itx¡, 'l!2:::: +2Ax2' Las líneas de corriente sedeterminan integrando dx¡/x¡ :::: -dx2h2 lo que conduce a hipérbolasrectangulares X1)"Z= C (Fig. 7-4). Las líneas equipotenciales A(x¡-x~) :::: C¡ forman un conjunto ortogonal de hipérbolas rectangularescon las líneas de corriente. Finalmente de (7.50), ~ :::: -2A.x¡x2, + Co yse ve que es constante a lo largo de las líneas de corriente como se afir-mó en el Problema 7.23.

"

7.25. Un potencial de velocidad está dado por 1>función de corriente .¡; de este flujo.

~~~ líneas cquipotcnciales

líneas ejecorriente

Fig. í"4

x:i + x~. Determinar la

De (7.50), ';',1 = -0,2:::: 2Bx1x2h4 e integrando, Ir = -Re:!! ,':! + l(x2) donde ¡(x2) es una función arbitraria dex2· Diferenciando -f,z :::: -B(xi - x~)h·1 + f'(X2)' Pero de (7.50), ';',2= 1>,¡ :::: A + B(-xi + x~)ll'l. Así l/(X2) = A Yf(:c2) = Axz + C. Finalmente, ,;, = Axz - BX2h2 + C.

7.26. Diferenciar el potencial complejo 1)(z) = Alz para obtener las componentes de velocidad.

Aquí d<t>/dz :::: -A/Z2 :::: -A/(:c¡+ Ü2)2 que después de algunas manipulaciones algebraicas dad<t>/dz = -A(x~- x~)/'r4 + i2Ax¡X2/r4. Así, 1'1 = A(x~ - X;)14 YV2' = 2Ax¡X2/r'l.,

Nótese que como el> = A/z ::::,A(x¡ - ix2)h2, ",-= Ax¡h·2 y ,;, = -Axz!-r". También que

y

Problemas diversos

7.27. Deducir la ecuación unidimensional de continuidad para el flujo de un fluido incompresible no vis-coso a través de un tubo.

Sea V el volumen comprendido entre dos secciones transversalesarbitrarias A y B de una corrientetubular como se indica en la Fig. 7-5.

En forma integral, (5.2) se convierte para este volumen en Iv v- v dV

= O puesto que r aquí es constante. Aplicando el teorema de Gauss,

r ;}.v clS = O donde ;} es el normal unitario que se aleja de laJssuperficie S que encierra al volumen V. Puesto que ;} 1. v en la super-ficie lateral, la integración se reduce a

A

Fig.7-5

La velocidad se supone uniforme y perpendicular a SA y Sil; y puesto que Vn :::: -Vn ñB, VA f as - Vn j' as OvASA :::: vRSB = una constante. 5" SR

CAP. 7 FLUIDOS 193

7.28. El tensar' de tensión en un punto dado de un fluido newtoniano con una viscosidad volumétrica

(-26 2 -1 \

nula es uij -9 4 l. Determinar 'ij"

\--14-3)

De (7.14), para este fluido p = -a¡J3 = G. Entonces de (7.3),

CTij + 6o¡j o

o6

O

7.29. Probar que (Tij y 'u de (7.3) tienen los mismos ejes principales.

Igualando componentes en (7.3), a11 = -p + T11, a22 = -p + '22, a33 = -p + 7"33' a12 = 712' a23 = 72.3, a13

= TI:)' Para las direcciones principales x;' de C7ij, a;'2 = a~3 = CT'i3 = O Y las tres últimas ecuacioncs de (7.3)~ CT7j = Ti; = Opara i #- j. Así, x7 son también ejes principales de Tij .

7.30. Con frecuencia se define para un fluido newtoniano un potencial de disipación q'D dado por la rela-ción <PD ::.:: (d2)D.D + 1,."IJ'D1

• Probar que cJcI>v/aD ="c.,i JJ IJ 1) t) 1)

,Aquí, a'¡'Il/aDpq = (Kj2)[D¡¡(aDulaDpQ) + (fJD)riDp,)Dj;) + 2~rD;;(a.D¿jilDpq)]. Pero aD¡¡/aDpCj = Il¡pll;q OpqaD;/aDpq = o¡pOjq - o¡jopql3 de forma que

finalmente K =-, :-" + 21' '"13,

7.31. Hallar la relación densidad-presión para el gas ideal discutido en el Problema 7.11

Para x;l = O, p = Po Y 1) = Po' La ley de los gases ideales (7.6) aquí es p = pR(To - aX3) y Po = poRTo; y de larelación p = Po(l- ax/To)gIRa altura presión del Problema 7.11 pIpo = (TITo)(gmo.- 0. Escribiendo p = Po(l - aX3/

To)oiRa en la forma pipo = (TITo)gfRfY, se ve que 1'/1'" :-:: (p/]>(I)+Ro¡g y así, pipo = (plpo)(!-Rafg).

7.32. Probar para un fluido barotrópico no viscoso en presencia de fuerzas másicas conservativas, que la

derivada material de la vorticidad total, ·dr!.- ( q. dV = ( v», dS ..t J1' 1 Js 1) )

De (4.54) y del Problema 4.33, dd f' q¡ dV = f ('¡jka" + q¡v¡) as; Pero aquí, ak = -(n + P).k de (7.37), yt • \' • s

según el teorema de la divergencia (1.157),

ya que el integrando es nulo (producto de un tensar simétrico por otro antisimétrico). Entonces

7.33. Probar que en un fluido newtoniano incompresible que se mueve en el interior de un recipiente rígidocerrado y qu~eto, la ~ariació~ .de la energía cinética ~or unidad de tiempo del fluido es +p." iq2 dV suponiendo fuerzas rnasicas nulas. q es la magnitud del vector torbellino. v

194 FLUIDOS CAP. 7

Del Problema 5.27, la variación de la energía cinética por unidad de tiempo de un medio continuo es

dKlit

En este problema la primera y tercera integrales son nulas; y para un fluido newtoniano de (7.18),

dKdt

-f (-poii + A*Oi¡Dkk + 2Jl*Dij)vi,j dVv

Pero la incomprensibilidad significa que vi,i = Di; = O y así,

dKdt

-,,* f (v ·+v)v ·dVr- 1,) ),1 1,)V

7.34. Demostrar que para un fluido perfecto en presencia de fuerzas másicas despreciables la variaciónde la circulación por unidad de tiempo r está dada por - r f·k(l/p) .p k dS..e J~ t) .J. 1.

De (7.43), re = .f Vi dx¡ + .f Vi dv¡; y como .f d(tv2) = O, la se~unda integral es nula. De (7.36) con bi = O,

Vi = -p.Jp y ahora

- ( '''k(P klp) ·n dSJ ... 1} , ,J tS

en la que se usó (7.42) para transformar la integral de superficie. Diferenciando.

-f '''k(l/p) P k as,1) ,1 J t

S

Problemas propuestos7.35. La ecuación constitutiva de un fluido isotrópico es aij = -PO¡i + Ki,ipqDpq con Kijpq constantes independientes de las

coordenadas. Probar que los ejes principales de tensión coinciden con los de velocidad de deformación.

7.36. Probar que (l/p)(dp/dt) = O es una condición para que -(1i;/3 = P en un fluido newtoniano.

7.37. Probar que las relaciones constitutivas de un fluido newtoniano con una viscosidad volumétrica nula se pueden ex-presar por el par de ecuaciones 8ij = 2¡;.* Dij . Y -aií = 3p.

7.38. Probar que las ecuaciones de Navier-Stokes en términos del vector torbellino q se pueden escribir v = b - Vp/p - v*VX q donde v* = ¡;.*/p es la viscosidad cinemática. Probar que para un movimiento irrotacional esta ecuación se reduce a(7.36).

7.39. Si un fluido se mueve radialmente con una velocidad v ~ v(r, t) donde r2 = XiXi. demostrar que la ecuación de conti-nuidad es ~e. + v ap + 1'. .i.. (r2v) = o.at ar r2 ar

!

7.40. Un líquido gira como un cuerpo rígido con una velocidad angular constante '" alrededor de un eje vertical X3' Si lagravedad es la única fuerza másica, probar que p/p - ",zr2/2 + gX3 = constante.

7.4 t. Demostrar para un gas ideal bajo condiciones isotérrnicas (temperatura constante = To), que pipo = pipo = e -(gIRTox,l

donde (lo YPo son la densidad y presión a "'3 = o.

CAP. 7 FLUIDOS 195

7.42. Probar que si las fuerzas másicas son conservativas b¡ = -n,i, las ecuaciones de Navier-Stokes-Duhem para el movimien-to irrotacional de un fluido barotrópico pueden integrarse obteniendo -p(éJ</>/éJt + (\]<;6)2/2)+ pn + P + (>-.* + 2,u*)\]2</>= f(t). (ver Problema 7.15).

7.43. Demostrar que la velocidad y vorticidad de un flujo no viscoso en presencia de fuerzas másicas conservativas y una den-sidad constante satisfacen la relación q¡ - qjVi,j O. Probar que para un flujo estacionario del mismo fluido Vj q¡, i =qjvi,j'

7.44. Probar para un fluido barotrópico definido por (7.29) con p = p(p) y P(P), que grad P = grad p/ p.

7.45. Probar que para un movimiento estacionario de un gas ideal la ecuación de Bernoulli (7.39) toma la forma (a) n + p In(p/ p) + v2/2 = constante, para un flujo isotérmico y (b) n + (k/k - l)(p/p) + v2/2 = constante, para un flujo isoen-trópico.

7.46. Probar que el campo de velocidad VI = -2X¡X2X3h4, V2 = (xi - x~)x:¡/r4,flujo posible para un fluido incompresible. ¿El movimiento es irrotacional?

V3 = x2h·2 donde r2 = xi + x~ + xg es unSol. Sí.

7.47. Si el potencial de velocidad <I>(z) = '" + i.p es una función analítica de variable compleja zl éJ</> 1 éJ.p / 1 éJ", éJ.pen coordenadas po ares - = - ._.-y - - - -

Br l' éJfJ r ee ar

7.48. Si las fuerzas másicas son nulas, probar que para un flujo potencial irrotacional .p,ii= pO' = ¡;.*/p es la viscosidad ci-nemática.

rei9 probar que

Plasticidad

8.1. CONCEPTOS BASICOS y DEFINICIONES

Capitulo 8

Las deformaciones elásticas, consideradas en el Capítulo 6, se caracterizaban por una recuperacióncompleta en la configuración no deformada, una vez que se retiran las cargas aplicadas. Además, lasdeformaciones elásticas solamente dependen de la magnitud de la tensión y no de la historia de tensioneso deformaciones previas. Cualquier cambio de forma como respuesta de un medio continuo a las cargasaplicadas, o a condiciones ambientales, que no obedezca a las leyes constitutivas de la elasticidad clásica,se considera como una deformación inelástica. En particular, las deformaciones irreversibles que resultande mecanismos de deslizamiento, o de dislocaciones a una escala atómica, y que por lo tanto conducen acambios dimensionales: permanentes, son conocidas como deformaciones plásticas. Tales deformacionesúnicamente tienen lugar a intensidades de tensión por encima de un cierto valor umbral conocido comolímite elástico o tensión de fluencia, que aquí se denota por O"y-

En la teoría de la plasticidad, la cuestión fundamental consiste en la formulación matemática de lasrelaciones tensión-deformación adecuadas para la descripción fenomenológica de las deformaciones plás-ticas, y en la adopción de un criterio de fluencia apropiado para predecir el comienzo del comportamientoplástico. Por el contrario, el estudio de la deformación plástica desde un punto de vista microscópico per-tenece al dominio de la física del estado sólido.

La frase flujo plástico se usa ampliamente enplasticidad para designar a una deformación plásticacontinua. No obstante, a diferencia del flujo de unfluido, un flujo plástico continuo se puede referir auna cantidad de deformación, como a una velocidad dedeformación. Desde luego, un sólido en estado "plás-tico" puede soportar tensiones cortantes aun estandoen reposo.

Muchos de los conceptos básicos de la plasticidadse pueden introducir de una forma elemental consi-derando el diagrama tensión-deformación de un ensayode tensión (o compresión) uniaxial correspondiente a

196

ay

B

J j

Fig.8-1

CAP. 8 PLASTICIDAD 197

un material hipotético como se indica en la Fig, 8-1. En este diagrama, a es la tensión nominal (fuer-za/sección original), mientras que la deformación € se puede representar ya sea por la deformación (de in-genieria) convencional definida aquí por

e = (L - Lo)/Lo (8.1)

donde L es la longitud instantánea de la probeta y Lo la longitud original, o por la deformación natural(logarítmica) o real definida por

€ = In (L/Lo) = In (1 + e) = e - e2/2 + O(e3) (8.2)

Para deformaciones pequeñas, estas dos medidas de la deformación son casi iguales como se ve en (8.2) ya menudo se puede despreciar la diferencia.

El punto límite P, correspondiente al límite elástico ay, separa a la curva tensión-deformación de laFig. 8-1 en un campo elástico y un campo plástico. Desafortunadamente, este punto no siempre se en-cuentra bien definido. Algunas veces se toma en el límite de proporcionalidad que está situado en el ex-tremo superior de la parte inicial recta de la curva. En ocasiones se puede también elegir un punto J,conocido como límite elástico aparente de Johnson que se define como la tensión correspondiente al pun-to en el que la pendiente de la curva alcanza un 50070 de su valor inicial. También se usan varios métodosequivalentes para definir este punto límite, uno de los cuales es la tensión que produce una deformaciónpermanente del 0.2070.

En el campo elástico inicial, que puede ser lineal o no lineal, un aumento de la tensión da lugar a queel punto representativo del estado de tensión-deformación se desplace hacia arriba a lo largo de la curva,y una disminución de la tensión o una descarga da lugar a que dicho punto se desplace hacia abajo a lolargo del mismo camino. Por lo tanto, en el campo elástico existe una relación biunívoca tensión-deformación.

En el campo 'plástico, la descarga a partir de un punto tal como el B de la Fig. 8-1, da lugar a que elpunto representativo de la tensión siga el camino Be que esencialmente es paralelo a la recta elásticainicial de la curva. En e, cuando la tensión es nula, queda una deformación plástica permanente ,l'. Ladeformación elástica recuperable desde B se señala por fE en la Fig. 8-]. Si se vuelve a cargar desde evolviendo hacia B seguiría muy estrechamente el camino Be pero con una curvatura en B, y con unpequeño anillo de histéresis debido a la pérdida de energía en el ciclo de carga y descarga. Después de vol-ver a B es necesario un aumento de carga para originar una deformación posterior, condición que seconoce como endurecimiento por trabajo o endurecimiento por deformación. Está claro, por lo tanto,que en el campo plástico las tensiones dependen de las cargas aplicadas o de la historia de deformacióndel material.

Aunque se reconoce que la temperatura tiene una influencia definitiva en el comportamiento plásticode un material real, es constumbre en la mayor parte de la plasticidad suponer condiciones isotérmicas yconsiderar a la temperatura como un parámetro. De igual modo, es una práctica común en la plasticidadtradicional despreciar cualquier efecto que tuviera la velocidad de deformación en la curva tensión-deformación. Según esto, se supone que las deformaciones plásticas son independientes del tiempo yseparadas de fenómenos tales como la fluencia y relajación.

8.2. COMPORTAMIENTO PLASTICO IDEALIZADO

Gran parte de la teoría tridimensional que analiza el comportamiento plástico se puede considerarcomo una generalización de ciertas idealizaciones de la curva de tensión-deformación unidimensional dela Fig. 8-1. Los cuatro diagramas tensión-deformación idealizados más comunmente usados se presentanen la Fig. 8-2, acompañados cada uno de un modelo mecánico sencillo. En los modelos, el desplazmientode la masa representa a la deformación plástica y la fuerza F a la tensión.

198 PLASTICIDAD CAP. 8

En la Fig. 8-2(0), la respuesta elástica y el endurecimiento por deformación se han omitido, mientrasque en (b) se incluye la respuesta elástica, previa al limite elástico, pero no así el endurecimiento pordeformación. En ausencia del endurecimiento por deformación la respuesta plástica se denomina perfec-tamente plástica. Las representaciones (a) y (b) son especialmente útiles para el estudio de la deformaciónplástica restringida en la que no son posibles deformaciones grandes. En la Fig. 8-2(c) se ha omitido larespuesta elástica y se ha supuesto que el endurecimiento por deformación es lineal. Esta representación,así como la (a), se ha usado ampliamente para analizar el flujo plástico no restringido.

Las curvas tensión-deformación de la Fig. 8-2 aparecen en el contexto de las curvas de tensión. Lacurva de compresión para una probeta no deformada previamente (sin historia de deformación plástica)se toma como la imagen de la curva de tensión respecto al origen. No obstante, si se aplica una tensiónreversible (tensión a compresión o viceversa) a un material real, que ha sido endurecido por deformación,se observa una disminución definida del límite elástico. Este fenómeno se conoce como efecto Bauschin-ger y en este libro no se tendrá en cuenta.

C1y f-----------'-----

~ ;'F. ~//ffff/ff;~//,?////.Rugoso

C1

(a) Rígido-perfectamenteplástico

Uy

~------------_~E~F

~Rugoso

(b) Elástico-Perfectamente plástico

C1y

~'VVEvvv----'C1

M

Rugoso

(e) Rígido-Endurecimiento por deformación lineal

.C1

Rugoso

(d) Elástico-Endurecimiento por deformación lineal

Fig.8-2

CAP. 8. PLASTICIDAD 199

8.3. CONDICIONES DE PLASTICIDAD. CRITERIOS DE TRESCA y VON MISES

Una condición de plasticidad es en esencia una generalización a un estado de tensión tridimensionaldel concepto de límite elástico bajo carga en una dimensión. Fundamentalmente, un criterio de plasti-cidad es una relación matemática entre las componentes del estado de tensión en un punto, la que se hade satisfacer para que comience en el punto el comportamiento plástico. En general, un criterio de plas-ticidad se expresa poi la ecuación

f(CJ) = C;

donde C; es conocida como la constante de fluencia, o como se da algunas veces por la ecuación

(8.3)

(8.4)

en la que t, (CJi) se denomina la función de fluencia.Para un material isótropo, la condición de plasticidad tiene que ser independiente de cualquier direc-

ción y por lo tanto puede expresarse como una función de los invariantes de tensión, o, de otro modo,como una función simétrica de las tensiones principales. Así, (8.3) puede aparecer como

(8.5)

Además, la experimentación indica que la incipiencia de plasticidad no está afectada por tensiones hi-drostáticas moderadas, de tal manera que es posible presentar la condición de plasticidad como una fun-ción de los invariantes desviadores de tensión en la forma

(8.6)

De las numerosas condiciones de plasticidad que han sido propuestas, dos de ellas son razonable-mente sencillas y aun lo suficientemente exactas como para que sean de gran utilidad en la fluencia inicialde los materiales isótropos. Estas son:

(1) Criterio de Tresca (Teoría de la cisión máxima)

Esta condición afirma que el comportamiento plástico comienza cuando la cisión máxima alcanzaun valor crítico eT Matemáticamente, la condición se expresa en su forma más sencilla cuando se daen función de las tensiones principales. Así, para CJ > a > a el criterio de Tresca está dado por

1 II 111'

(2.54b) como~-(a[ - am) = ey (una constante) (8.7)

Para relacionar a la constante el' con el límite elástico a tracción uniaxial ay, la cisión máxima a ten-sión uniaxial es ay/2 (como se observa en los círculos de Mohr de la Fig. 8-3(a), por ejemplo). Por lotanto, cuando el criterio de Tresca se relaciona con el limite elástico a tracción uniaxial se convierte en

(8.8)

El límite elástico correspondiente a un estado de tensión que se denomina de cisián pura también sepuede usar como una tensión de referencia para determinar la constante ey• Así, si el valor del límiteelástico a cisión pura es k, la constante el' es igual a k (de nuevo los círculos de Mohr prueban cla-ramente este hecho, en la Fig. 8-3 (b», y el criterio de Tresca se escribe en la forma

(SJJ)

200 PLASTICIDAD

<7\·/2

(a) Tensión uniaxial

Fil{. 8-3

CAP. 8

O'¡ =- k------~------~~-----+~--~~0'1I1 :....:-k (j.",

(b) Cisión pura

(2) Criterio de van Mises Crearía de la Energía de Distorsión)Esta condición afirma que la deformación plástica comienza cuando el segundo invariante de ten-

sión desviador alcanza un valor crítico. Matemáticamente, la condición plástica de von Mises esta-blece que

-IhJ) = Cv

que escrita en función de las tensiones principales es

(8.10)

(8.11)

Respecto al límite elástico a tracción uniaxial, se prueba fácilmente que (8.11) da lugar a

(al - a¡y + (alI - am)2 + (aIII - aJ2 = 2,,;. (8.12)

También, en relación con el valor del límite elástico a cisión pura K, la condición de van Mises (8.1 J)aparece en la forma

(U¡_-UJI)2+ (alI-umF+ (um-u¡f = 6k2 (8.13)

Existen varias modificaciones para presentar (8.12) y (8.13) cuando se emplean otras componentes detensión distintas de las tensiones principales.

8.4. ESPACIO DE TENSIONES. EL PLANO-TI. SUPERFICIES DE FLUENCIASe puede establecer un espacio de tensiones usan-

do la magnitud de las tensiones como una distancia quese lleva en los ejes coordenados. En el espacio de ten-siones de Haigh- Westergaard de la Fig. 8-4 los ejes decoordenadas se asocian con las tensiones principales.Entonces a cada punto de este espacio le correspondeun estado de tensión y el vector de posición de un pun-to cualquiera P(up Ull' um) de éstos, se puede descom-poner en una componente OA a lo largo de la línea02, que forma el mismo ángulo con los tres ejes coor-denadas y una componente OB que yace en el plano(conocido como plano- TI) que es perpendicular a 02 ypasa a través del origen. La componente a lo largo de02, para la que e. =UII = Ulll' representa a un estado detensión hidrostático, mientras que la componente queestá en el plano- TI representa la parte desviadora delestado de tensión. Se comprueba fácilmente que laecuación del plano- Il es

"Ill

"1Fig.8-4

CAP. 8 PLASTICIDAD 201

(8.14)

En el espacio de tensiones, la condición de plasticidad (8.5), f2(aI' al!' (Tm) = CYJ define una superficiedenominada superficie de fluencia. Puesto que los criterios de plasticidad son independientes de la tensiónhidrostática, tales superficies son generalmente cilindros que tienen sus generatrices paralelas a 02. Lospuntos que yacen en el interior de la superficie cilíndrica representan estados de tensión elásticos, y los queyacen en la superficie misma representan estados de tensión plástica incipiente. La intersección de lasuperficie de fluencia con el plano- 11 se denomina curva de fluencia.

En una vista real del plano- n- mirándolo en la dirección 02 y hacia el origen 0, los ejes de las ten-siones principales aparecen simétricamente separados a 1200 como se indica en la Fig. 8-5(a). Las curvasde fluencia para los criterios de van Mises y Tresca aparecen en el plano-rr tal como se representan en laFig. 8-5(b) y (c). En la Fig. 8-5(b), estas curvas se han dibujado según (8.7) y (8.11), tomando como baseel límite elástico a tracción uniaxial. En estas condiciones, el círculo de van Mises de radio V273 Uy cir-cunscribe el hexágono regular de Tresca. En la Fig. 8-5(c), las dos curvas de fluencia están basadas en ellímite elástico a cisión pura k. Aquí, el círculo de van Mises está inscrito en el hexágono de Tresca.

aIl! a'I' I UIII

~ radio: v7.ay/./ .1 ~ radio: kV2

O

/

a, aIl a, aIl "'"(;1 GIl

(al (b) (e)

Fig.8-5

La posicion en el plano- TI de la proyección de un punto de tensión arbitrario P(uI' (Tn' (T1lI) estáaumentada linealmente puesto que cada uno de los ejes del espacio de tensiones forman. coa " /213 conel plano- 1I- Así, las componentes desviadoras proyectadas son (V2íJ (J"¡> y2/3 "n' V2/3 (TnJ El problemainverso de la determinación de las componentes de tensión de un punto arbitrario del plano- n- no tienesolución única ya que las componentes hidrostáticas de tensión pueden tener un valor cualquiera.

8.5. COMPORTAMIENTO POST-ELASTICO. ENDURECIMIENTOISOTROPICOY CINEMATICO

El aumento de la carga después de llegar al límite elástico conduce a una deformación plástica quepuede ir acompañada de alteraciones en la superficie de fluencia. Para un material que se supone perfec-tamente plástico la superficie de fluencia no cambia durante la deformación plástica y continúa comoválida la condición inicial de comienzo de plasticidad, caso representado en la Fig. 8-2(a) para un com-portamiento perfectamente plástico unidimensional. Para un material con endurecimiento por defor-mación, la deformación plástica va generalmente acompañada de cambios en la superficie de fluencia.Para tener en cuenta tales cambios, es necesario que la función de f1uencia 1,(<ltj) de (8.4) sea generalizadapara definir las superficies de f1uencia subsiguientes a la inicial. La generalización se efectúa introducien-do una función de carga

o (8.15)

202 PLASTICIDAD CAP. 8

que no solamente depende de las tensiones, sino también de las deformaciones plásticas (1: y de las carac-terísticas de endurecimiento por deformación representadas por el parámetro K. La ecuación (8.15) defineuna superficie de carga en el sentido de que r: = O es la superficie de f1uencia, 1;< O es una superficieinterior (elástica) y 17> 0, otra que al ser exterior a la superficie de fluencia no tiene ningún significado.

Diferenciando (8.15) según la regla de la cadena

(8.16)

Así, para t; = ° y (af;/Ba) 9,aij < 0, se dice que tiene lugar una descarga; para f~' = O Y (at;/Ba;j) da;j =0, una carga neutra; y para T= O-y (Bt;/Ba) da;; » O una carga.' La forma en la que entran las defor-maciones plásticas €i~ en la funciórí(8.15) cuando se aplica una carga está definida por las reglas de en-durecimiento, y en lo que sigue se describen dos casos especialmente sencillos.

La hipótesis de un endurecimiento isotropico bajo condiciones de carga postula que la superficielímite simplemente aumenta de tamaño y mantiene su forma original. Por esto, en el plano-rr las curvaslímites para los criterios de von Mises y Tresca son círculos concéntricos y hexágonos regulares como seve en la Fig. 8-6.

Curvas de fluencia originales _

(a) Círculos de Mises (b) Hexágonos de TrescaFig.8-6

En el endurecimiento cinemático, la superficie de f1uencia inicial se traslada a una nueva posición enel espacio de tensiones sin cambio de tamaño o forma. Así, (8.4) que define una superficie de fluenciainicial se sustituye por

(8.17)

(8.18)

pdonde las (X;j son las coordenadas del centro de la nueva super-ficie límite. Si se supone un endurecimiento lineal,

donde e es una constante. Para un caso uni-dirnensional, elhexágono de Tresca podría trasladarse como se indica en la Fig.8-7.

Fig.8-7

8.6. ECUACIONES PLASTICAS TENSION-DEFORMACION. TEORIA DELPOTENCIAL PLASTICO

U na vez que comienza la deformación plástica, las ecuaciones constitutivas de la elasticidad ya noson válidas. Debido a que las deformaciones plásticas dependen de la historia completa de las cargas

CAP. 8 PLASTICIDAD 203

previamente aplicadas al material, las relaciones plásticas tensión-deformación se presentan con frecuen-cia en términos de incrementos de deformación, en forma de las denominadas teorías incrementales. Des-preciando la región elástica y suponiendo que los ejes principales de los incrementos de deformacióncoinciden con los ejes de tensión principales, las ecuaciones de Levy-Mises relacionan los incrementos dedeformación totales con las componentes desviadoras de tensión a través de las ecuaciones

(8.19)

Aquí el factor de proporcionalidad d): 'aparece en forma diferencial para resaltar que las deformacionesincrementales se están relacionando con las componentes de tensión finitas. El factor dA puede cambiardurante la carga y es, por lo tanto, un multiplicador escalar y no Una constante fijada. Las ecuaciones(8.19) representan la regla de flujo de un material perfectamente rígido-plástico.

Si el incremento de deformación se desdobla en sus partes elástica y plástica según

(8.20)

y los incrementos de deformación plástica se relacionan con las componentes del tensor desviador según

(8.21)

las ecuaciones que resultan se conocen como ecuaciones de Prandtl-Reuss. Las ecuaciones (8.21) re-presentan la regla de flujo de un material perfectamente elasto-plástico. Estas ecuaciones proporcionanuna relación entre los incrementos de deformación plástica y las tensiones desviadoras instantáneas, pero.no especifican las magnitudes de tales incrementos de deformación.

Se da el nombre de función potencial plástico a una función de las componentes de tensión g(ui)

para la que(8.22)

Para un material denominado plásticamente estable, existe esta [unción y es idéntica a la función defluencia. Además, cuando la función de fluencia I1 (ui) = IIrD, la (8.22) da lugar a las ecuaciones dePrandtl-Reuss (8.21).

8.7 TENSION EQUIVALENTE. INCREMENTO DE DEFORMACION PLASTICAEQUIV ALENTE

En relación con la formulación matemática de las reglas de endurecimiento por deformación, es deutilidad definir la tensión eficaz o equivalente UEQ como

- 1 {[( )2 ( )2 ( )2" 6( 2 2 + 2)} ¡/2 (8 23)uEa - V2 ull - u22 + u22 - U33 + u33 - uII J + UJ2 + 0"23 U31 .

Esta expresión se puede escribir abreviadarnente como

(8.24)

De manera análoga, se define el incremento de deformación plástica eficaz o equivalente dffQ por

(8.25)

204 PLASTICIDAD CAP. S

que abreviadamente es

(8.26)

En términos de los incrementos de deformación y tensión equivalentes definidos en (8.25) y (8.24)respectivamente, dA de (8.21) será

dA3 dEfo2 e1':0

(8.27)

8.8 TRABAJO PLASTICO. HIPOTESIS DE ENDURECIMIENTO PORDEFORMACION

La velocidad a la que las tensiones realizan un trabajo, o la potencia de tensión como se denomina,se ha dado en (5.32) como cr¡jDii por unidad de volumen. De (4.25) diU = Du clt de tal manera que el in-cremento de trabajo por unidad de volumen se puede expresar por

clW = crdc1) 1)

(8.28)

y usando (8.20), ésta se puede desdoblar en

(8.2,9)

Para un material plásticamente incompresible el trabajo plástico incremento! se convierte en

(8.30)

y si el material obedece a las ecuaciones de Prandtl-Reuss (8.21), el incremento de trabajo plástico sepuede expresar por

dlP' (8.31)

y (8.21) reescrita en la forma

(8.32)

Se han propuesto dos hipótesis ampliamente consideradas para el cálculo del límite elástico instan-táneo, bajo un flujo plástico de endurecimiento por deformación isotrópica. Una de ellas, conocidacomo la hipótesis de endurecimiento por trabajo, supone que la superficie de fluencia instantáneadepende solamente del trabajo plástico total dado. Así, cuando el trabajo plástico total se expresa por laintegral

Wp- f u:- (Tu (,t:ij (8.33)

el criterio de plasticidad se puede expresar simbólicamente por la ecuación

(8.3.4)

para la cual se ha de determinar experimentalmente la forma funcional precisa. Una segunda hipótesis,conocida como hipótesis de endurecimiento por deformación, supone que el endurecimiento es una fun-ción de la cantidad de deformación plástica. En términos de la deformación equivalente total

CAP. 8 PLASTICIDAD 205

(8.35)

esta regla de endurecimiento se expresa simbólicamente por la ecuación

(8.36)

en la cual la forma funcional se determina en un ensayo de tensión-deformación uniaxial del material. Seruede comprobar que para el criterio de von Mises, las reglas de endurecimiento (8.34) y (8.36) son

iuivalentes.

8.9 TEORIA DE LA DEFORMACION TOTAL

En contraste con la teoría incremental de la deformación plástica tal como se presentó en lasecuaciones tensión-deformación incrementales (8.19) y (8.21), la teoría de la deformación total de Henckyrelaciona la tensión con la deformación total. Estas ecuaciones son

(8.37)

(8.38)

En términos de la tensión y deformación equivalentes, el parámetro rl-> se expresa por

3 Era_.

2 "Ea(8.39)

donde aquí, EEPQ = y2fP. EP./3 de modo que;. u 1)

(8 ..4.0)

8.10 PROBLEMAS ELASTOPLASTICOS

Las situaciones en las que en un cuerpo existen deformaciones elásticas y plásticas aproximadamentedel mismo orden bajo una carga se denominan problemas elasto-plásticos. Un número de ejemplos detales problemas 'bien conocidos tiene lugar en la teoría de vigas, torsión de ejes y tubos de pared gruesa yesferas sometidas a presión. En general, las ecuaciones que resuelven el problema de la región elástica, laregión plástica y la interfase elasto-plástica son éstas:

(a) Región elástica1. Ecuaciones de equilibrio (2.23), página 622. Relaciones tensión-deformación (6.23) o (6.24), página 1623. Condiciones de contorno de tensión o desplazamiento4. Condiciones de compatibilidad

(b) Región plástical. Ecuaciones de equilibrio (2.23), página 622. Relaciones de tensión-incremento de deformación (8.21)3. Criterios de plasticidad (8.8) u (8.11)4. Condiciones de contorno en el contorno plástico cuando existan

(c) Interfase elasto-plástical. Condiciones de continuidad de tensión y desplazamiento

206 PLASTICIDAD CAP. 8

8.11 TEORIA ELEMENTAL DE LAS LINEAS DE DESLIZAMIENTO ENDEFORMACION PLASTICA PLANA

En un flujo plástico no restringido tal como el que tiene lugar en las operaciones de hechura do delos metales, es posible despreciar las deformaciones elásticas y considerar que el material es perfectamenterígido-plástico. Si además, se considera que este flujo constituye un caso de deformación plana, el cam-po de velocidad resultante se puede estudiar mediante la teoria de las líneas de deslizamiento.

Tomando el plano XIXZ como el del flujo, el tensor de tensión es de la forma

17ij

o(8.41)

y como se desprecian las deformaciones elásticas el tensar de velocidad de deformación plástica aplicableen estas condiciones es

(8.42)

En (8.41) y (8.42) las variables solamente son funciones de Xl y X2 y además

(8.43)

donde Vi son las componentes de velocidad.

Para las condiciones supuestas de deformación plana, d€33 = O; y así, de las ecuaciones de Prandtl-Reuss (8.21), la tensión 1733 es

(8.44)

Adoptando la notación característica de las líneas de deslizamiento 0'33 = -p, Y V(O'l1 - (722)2/4 + (0'12)2 =k, los valores que resultan para las tensiones principales de (8.41) son

0'(1) -p + k

17(2) -p (8.45)

0'(3) -p - k

Las direcciones de tensión principales están dadas respec-to a los ejes X¡X2 como se indica en la Fig. 8-8, dondetan 2e = 20'1/(1711 - (722),

Tal como se vió en la Sección 2.11, las direcciones dela cisión máxima están a 45° respecto a las direccionesprincipales. En la Fig. 8-8, las direcciones de cisiónmáxima se designan como las direcciones a y f3. De lageometría de este diagrama, O = ."./4 + q, de forma que

~~--L-J------------Xl

Fig.8·8

1tan 2q, = - tan 28

y para un campo de tensiones dado en un flujo plástico, se pueden establecer dos familias de curvas a lolargo de las direcciones de máxima cisión en cada punto. Estas curvas se llaman líneas de deslizamiento.

(8.46)

CAP. 8 PLASTICIDAD 207

Considerando un pequeño elemento curvilíneo limitado por dos pares de líneas de deslizamiento,como se indica en la Fig. 8-9.

0"11 -p - k sen 2cp

-p + k sen2cp (8.47)

O"12 le COS 2cp

y de la ecuaciones de quilibrio se puede comprobar quep + 2kcp CI una constante a lo largo de una línea ap - 2k~ = C2 una constante a lo largo de una línea (3

(8.48)

f3

Xz

f3

XI

Hg. 8-9 Fig.8-10

Respecto a las componentes de velocidad, la Fig. 8-10 muestra que en relación con las líneas a y (3

(8.49)

Para un material isótropo, los ejes principales de tensión y velocidad de deformación plástica coin-ciden. Por lo tanto, si x¡ y x2 son direcciones de líneas de deslizamiento, f¡¡ y fS2 serán nulas a lo largode estas líneas de tal manera que

r el 1'l-a' (Va cos cp - V~ sen cp)J''. :tI <1>=0

o (8.50)

o (8.51)

Estas ecuaciones conducen a las relaciones

o en líneas et (8.52)

o en líneas (3 (8.53)

Finalmente, para problemas estáticamente determinados, el campo de líneas de deslizamiento sepuede hallar de (8.48), y usando este campo de líneas se puede determinar el campo de velocidades por(8.52) y (8.53).

1208 PLASTICIDAD CAP. 8

Problemas resueltosCONCEPTOS BASICOS. FENOMENOS DE FLUENCIA rs«. 8.1-8-4)

8.1. Haciendo uso de las definiciones (8.1) y (8.2), deducir la relación que hay entre las deformacionesnatural y de ingeniería. ¿Cómo están relacionados los incrementos de deformación de estas can-tidades?

De (8.1), LILa = e + 1 Y (8.2) se convierte en e = In (e + 1). Derivando esta ecuación, de/de = l/(e + 1) = Lo/Lya que dL = L de = Lo de.

8.2. En un ensayo unidimensional bajo una carga P la tensión real es CT = PIA, mientras que la de in-geniería es S = PIAo donde Ao es el área original y A el area instantánea. Determinar para unadeformación plástica a volumen constante (AoLo = AL), la condición de la carga máxima.

Aquí, S = P/Ao = (P/A)(A/Ao) = a(Lo/L) = a/(l + e), y en un diagrama S-e la carga máxima tiene lugar cuando la00 pendiente d.Sl de = O. Una derivación da dS/de == (da/de - a)/(l + e)2 y ésta es nula cuando da/de = a. Del Problema

8.1, esta condición se puede expresar por da/de = a/(l + e).

8.3. Como una medida de la influencia de la tensión principal intermedia en el comienzo de la defor-mación plástica se usa con frecuencia el parámetro de Lode, /'.= (2uIl - U¡ - "ur )/(,,] - "m)' Probarque en términos de las tensiones principales desviad oras éste sc expresa por [L = 3srJ(s] - sm)'

De (2.71), a¡ 81 + aM, etc., con uM - a¡,l3. Así,

jl [2(sn -1- a;\¡) -- (SI+- a;\j) - (sJIl -1-a;\¡)l/[(s] + ao\¡) - (sm + aM)]

[3sIl - (SI -+- Sn -1-SlII J:/(s¡ - SIl¡)

8.4. Deducir para el estado de tensión Uu = c, CT2Z = U33 = O, "12 = T, "23 = (T13 = Oproducido en un ensayode tensión-torsión de un tubo de pared delgada, las curvas límites en el plano U-T .con las condi-ciones de Tresca y van Mises si el límite elástico a tracción uniaxial es Uy.

Para el estado de? tensión dado, las tensiones princiaples valen al = (a + -J472 + a2 )/2, an = O,alll =(a - -J472 + (2)

/2 como se indica en el diagrama de Mohr de la Fig. 8-11. Así, de (8.8) la curva límite de Tresca es -J 472 -+- a2 = ay,

a2 + 472 = a~, una elipse en el plano c=r . De igual modo, de (8.12) la curva límite de Mises es la elipse a2 + 372 = a~-,Las elipses límites de Tresca y Mises se comparan para este caso en la representación de la Fig. 8-12.

UI]¡

0.57 r----==--------------,0.5~- __

'I'resca >:"

Mises

oU/Uy

1.0

Fig.8-11 Fig.8-12

CAP. 8 PLASTICIDAD 209

8.5. Convertir el criterio de van Mises (8.10) en la forma (8.11) expresada en función de las tensionesprincipales.

De (2.72), -IlrD = -(SIS¡¡ + SIl Sm + sJII SI); Y de (2.71), s¡ = o¡ - 0iV/, etc., donde UM = (u¡ + U¡¡ + <nr l/3. En-tonces,

-(UIOII + UnUm + UIII (1) + (u¡ + 011+ um )2/3

Así,

8.6. Con el sistema coordenada rectangular OXYZ orientado de forma que el plano XY coincide con elplano -TI y el eje<Tm que yace en el plano YOZ (ver Fig. 8-13 Y 8-4), probar que la superficie defluencia de Mises corta al plano-rt en el círculo de Mises de la Fig. 8-5(b).

U¡ Uu O¡¡¡

X -1/V2 1/12 oy -1//6 -V{6 2//6

--z 1fY3 1/Y3 1/Y3

!

Fig.8-13La tabla de los coeficientes de transformación entr e los dos conjuntos de ejes se determina fácilmente y es la que se

indica arriba. Por io tanto,

U¡ = -xl12 -- Ytl6 + Z/Y3, UIII = 2Y/V6 + Z/V3y (8.12) se convierte en

(-V2 X)2 + (X/V2 - 3Y /16)2 + (X/V2 + 3YIV6)2 = 2u~

la que se simplifica al círculo de fluencia de Mises 3X2 + 3Y2 = 20~ de la Fig. 8-5(b).

8.7. Usando las ecuaciones de transformación del Problema 8.6, probar que (8.14), <T¡+ <Tn+ <Tm= 0, esla ecuación del plano-rr

Sustituyendo las u del Problema 8.6 en (8.14), U¡ + Un + uII!

XY (plano-rI).

8.8. Para un estado de tensión biaxial con <Tn= O, determinar ellugar geométrico de las curvas de fluencia de las condi-ciones de Mises y Tresca y compararlas en una represen-tación en el espacio bidimensional de <T/<Ty frente a <Tm!<Ty•

De (8.12) Y Un = O, la condición de Mises se reduce aui - U¡U¡II + uin = o~

que es la elipse

{:r¡luy)2 - (CTluII!/CT~) + (OIlI/uy)2 1

y3 Z = O, o Z = O la que es el plano

Fig.8-14

PLASTICIDAD210 CAP. 8

con sus ejes a 45° en la representación. De igual modo, de (8.8) Y las ecuaciones vur - al! Uy, Un - U¡ = Uy, la con-dición de Tresca da lugar a los segmentos de línea AB y ED con ecuaciones (u¡/uy) - (O"IlJ/uy) = :!:1, DC y FA con

ecuaciones O"llJ/uy = :!:1, Y BC y EF con ecuaciones (I¡/O"Y = :;:1, respectivamente.

8.9. En la Sección 8.3 se ha hecho referencia a la condición de plasticidad de von Mises como la Teoríade la Energía de Distorsión. Probar que si la energía de distorsion por unidad de volumen ntD) sehace igual a la constante de fluencia C; el resultado es el criterio de Mises tal como se dio en (8.12).

Del Problema 6.26, UtD) está dada en términos de las tensiones principales por

y para el caso de una tracción uniaxial en la que C11 = C1y, C1I! = (1m = O, u(D) = u~/6G. Así" Cy = uy/6G y, comoantes, la condición de Mises se expresa por (8.12).

DEFORMACION PLASTICA. ENDURECIMIENTO POR DEFORMACION (Sec. 8.4-8.8)

8.10. Probar que las ecuaciones de Prandtl-Reuss(8.21) implican una coaxialidad entre los ejes principalesde tensión y los de los incrementos de deformación plástica y expresar las ecuaciones en función delas tensiones principales.

De la forma de (8.21) cuando se refiere a un sistema de coordenadas en el que las cisiones son nulas, los incremen-tos de deformación plástica cortante son también nulos. En el sistema de ejes princiaples, (8.21) se convierte en dE; /S¡ =dE~/SII = dE~¡/SIII == dx; Así, dE; == (uI - uM) dA, dE~ == (UI! - UM) dil, etc., y restando,

dEi - d,~al - un

el,;¡ - d,in0"11 - u¡n

dE~I - d,i<m - uI

8.11. Para un caso de deformación plástica plana, con '33 = 0, d'33 = O Y UZ2 = 0, probar que las ecua-ciones de Levy-Mises (8.19) conducen a la conclusión de que las condiciones de Tresca y Mises sonidénticas (cuando se relacionan con la cisión elástica límite K).

Aquí, (8.19) se convierte en dfll = (2ull - (33) dA/3, dfZ2 = -(U11 + O"d dA/'J, O = 2u33'- uu. Y en ausencia decisiones UI = Ull, Un = "33 == O"u/2. "m == O = "22' Entonces de (8.9) la condición de Tresca es O"¡ - "1II == "11 == 2k.Además, de (8.13) para este caso, la condición de Mises es (ull/2)2 + (-uU/2)2 + (-"1l)Z == 6k2 o 0"~1 = 4k2 Y0"11 == 2k.

8.12. Probar que las ecuaciones de Prandtl-Reuss implican la igualdad entre la variable de Lode p. (verProblema 8.3) y v = (2d'i¡ - d'i - d,~¡)/(d,;' - d,i~¡).

De las ecuaciones (8.21),

v - (2slI-s¡-Sm)elA/(S,-sJI[)dil

(2(0"1l - "M) - ('" - uM) - (UllI - ",\1»/«(u¡ - UM) - (aJI[ - aM»

(2un - u, - UIll )/(0", - C1m) = !1

8.13. Escribiendo IhD = s ..s ../2., probar que alh la(J".. = s ...IJ IJ D 1) l)

CAP. 8 PLASTICIDAD 211

Aquí, alIria"pq == (aSulaCIpq)sij donde aSij/aCIpq == u(a;j - 0ipkk/3)/aCIpq == 0i¡,1ljq - OijOpq/i3. Así, aIIrD/aO"pq ==(o;pOjq - oijopq/3)s;j == Spq puesto que Sii == lID == O.

8.14. Probar que cuando la función potencial plástico g(aij) = IhD, las ecuaciones del potencial plástico(8.22) se transforman en las ecuaciones de Prandtl-Reuss.

La prueba se obtiene directamente del resultado del Problema 8.13, puesto que ag/a"ij == Sij en este caso la (8.22)se reduce a (8.21).

8.15. Desarrollar (8.24) para probar que la tensión equivalente aEQ se puede escribir en la forma de(8.23).

De la ecuación (8.24),

y desarrollándola

[3(O"i1 + 0"~2 + 0"~3) + 6(O"i2 + "~3 + "~1) - (0"11 + 0"22 + "33)2]12

[2(O"i1 + 0"~2 + O"i3 - 0"110"22 - 0"220"33 - "33"11) + 6("i2 + "ª3 + "~1 )]/2

[(0"11 - 0"22)2 + ("22 - "d2 + ("33 - "11)2 + 6(O"i2 + "ª3 + "51 )J/2

que confirma la (8.23).

8.16. En la teoría del potencial plástico el vector incremento de deformación plástica es normal a lasuperficie de carga (fluencia) en un punto regular. Si lNl, N2, N31 son los valores de los cosenosdirectores de la normal a la superficie de fluencia t.(aij)' probar que dEi/SI = d€ir1sn = dEir/sm bajola condición de plasticidad de van Mises y la ley de flujo plástico.

La condición de normalidad se expresa por N == grad 11que exige que Nl/(a/l/a"r) == N2/(a/l/aCIn) == N3/(a/l/aCIm)para el caso de Mises donde 1, == (ar - O"n)2 + (O"n - O"m)2 + (O"m' - 0"¡)2 - 2,,~ == O. Entonces al ¡laO"¡ = 2(20"¡ - "n- am) = 68¡, etc., y puesto que el vector incremento de deformación plástica está a lo largo de la normal, se sigue que

d.i /s¡ = d.ir/8n == d.t¡/sm'

8.17. Determinar las proporciones de los incrementos de deformación plástica para (a) tensión simple con

a11 = ay, (b) tensión biaxial con a11 = -ayll/3, a22 = ayll/3, a33 = a12 = a23 = a13 = 0, (e) cisión pura

con a12 = ayll/3.

(a) Aquí CI11== "r = O"y, "n == "m == O Y S¡ == 2"y/3, sn = sm == -"y/3. Así, del Problema 8.16, dei/2 = -d'i/1 ==

-d.ir¡ /l.

(b) Aquí, a¡ == "y/V3, O"n == O, "m = -"y/V3 y Sr = "y/V3, SIl = O, Sm = -"y/V3 .Así, d'i /1 == -d.ir/1 Y el

tercer término se omite puesto que se entiende normalmente en la teoría que si el denominador es nulo también lo esel numerador.

(e) Aquí, vr = CIy/V3, Un = O, "m = -uy/V3 y de nuevo d.i /1 == -d.in/l.

212 PLASTICIDAD CAP. 8

8.18. Determinar el incremento de trabajo plástico dWP y el incremento de deformación plástica equi-valente d(~Q para el estado de tensión biaxial 0"11 = -O"yiV3, 0"22 = O"y/V3, 0"33 = 0"12 = 0"23 =0"31 = O sila deformación plástica es controlada de forma que dfi = e, una constante.

En la forma relativa a los ejes principales, (8.30) es dWP = 001 d.f + Un d.-ir + Um deirr; y para el estado de ten-sión dado, el Problema 8.17 prueba que def = -deirI' deir = O; entonces

de (8.25),de~Q {2[(d.f - deir)2 + (deir - deirr)2 + (d.irr - d.f)2)} 112/3

{2[C2 + C2 + 4C2]} 1/2/3 = 2C/V3

8.19. Verificar (8.32), comprobando que para un material que obedece a las ecuaciones de Prandtl-Reussel incremento de trabajo plástico es dWP = «TEa dE~Q como se da en (8.31).

De (8.30), dWP = 8ij8ij dA para un material de Prandtl-Reuss que satisface (8.21). Pero de (8.27), dA = 3 d€~Q/2uEQpara tal material y así dWP = (3sijsd2)(d'iQ/oEo) que debido a la definición (8.24) da dWP = UEO d,fQ' Así, d.io = dWP/UEQ y (8.32) se sigue directamente de (8.21).

8.20. Para un material que responde a la condición de plasticidad de von Mises, la tensión equivalenteQ'EQ se puede tomar como la función de fluencia en las reglas de endurecimiento (8.34) y (8.36).Probar que en este caso Q'E~F' = H' donde F' y H' son las derivadas de las funciones de endure-cimiento con respecto a sus argumentos respectivos.

Aquí, (8.34) se convierte en UEO = F(WP) yasí, riuEQ = F' dWP. De igual modo (8.36) está dada aquí por UEQ =H ('~Q) Y dUEO = H' d.~Q' Así, F' dWP = H' d'~Q'.y puesto que de (8.31) (o Problema 8.19) dWP = uEod'~Q'

se sigue de una vez que uEoF' = H'.

TEORIA DE LA DEFORMACION TOTAL (Sec. 8.9)

8.21. La teoría de la deformación total de Hencky se puede representar por medio de las ecuaciones E;j

El> + ¿: siendo E!' = eE. + 8.(Ek'kI3 = (s/2)G + 8..(1 - 2v)ukk/3E y fP. = </;s... Probar que estasl) 11 tJ 1] IJ U ~J tJt)

ecuaciones son equivalentes a (8.37) y (8.38).

L .. p - . l' P - o P - P - - E P .' _ Ea ecuacion 'u - 1>8ij irnp tea 'u - o sea que 'ii - ei; - 1>Si;,1 y ';j - eij + E;; Y aqui se sigue que 'jj - 'w De lamisma ecuación, eij + 0ii'kk/3 = eiJ + oije~J3 + ef; que se reduce a eij ef; + e;; = (1) + tG)s¡j. (8.37). También de'ii = ,¡¡. '¡¡ = (1 - 2V)Ukk/E. (8.38).

8.22. Comprobar que el parámetro </; de Hencky se puede expresar tal como se da en (8.39).

Elevando al cuadrado y sumando las componentes de la ecuación e:; = cp8¡j del Problema (8.21) se tiene

1>2sijs;j o 1>= ..J 3,:; ,~12/UEQ que multiplicada en cada miembro por 2/3 resulta

1> = 3..J 2,:; E:; /3 /2uEQ = 3'~Q /2UEQ

PROBLEMAS ELASTOPLASTICOS (Sec. 8.10)

8.23. Una viga rectangular elástica y perfectamente plástica se carga a flexión pura. Usando la teoría sen-cilla de las vigas, determinar los momentos extremos M para los que se extiende un núcleo elásticoresidual desde -a hasta a, como se indica en la Fig. 8-15.

CAP. 8 PLASTICIDAD 213

Fig.8-15

Aqui, la única tensión no nula es la tensión de flexión "11' En la región elástica de la viga, (-a < Xz < a), "11 = E'tl= Ex.JR donde R es el radio de curvatura y E el módulo de Young. En la región plástica, "11 = "y. Así,

(aE feM = 2 J A R(X2)2b dX2 + 2 X9.CTvbdX2 = b"y(e2 - a2/3)

O

donde ha sido usada CTy= Ea/R, la condición de tensión en la interfase elasto-plástica. Del resultado obtenido, M = 2bc2"y/3 para el comienzo de plasticidad (cuando a == e), y M == be2"y para la viga completamente plástica cuando

a = O).

8.24. Hallar el momento de una viga cargada como en el Problema 8-23 si el material se comporta con unendurecimiento lineal por deformación que obedece a la ecuación post-elástica all = ay + A(€l1 -ay/E)

La distribución de tensiones en esta viga se indica en la Fig. 8-16. De nuevo

'a = x2/R y

M (aE(X2)2b fC[ (X2 CTY)]2 Jo -R-- dX2 + 2 a CTy+ A Ti - E x2b dX2

= 2Eba3 + 2b {CTY (1 _~) (eZ _ a2) + A(e3- a3

)}3R 2 E 3R

<1JI

o usando <1y = Ea!R como en el Problema 8.23,

M = e2b"y(1 - A/E) + 2c3bA/3R + bCT~R2(A/E -1)/3E2Fig.8-16

8.25. Un eje circular elástico y perfectamente plástico de radio e estásometido en sus extremos a los pares de torsión T como se indicaen la Fig. 8-17. Determinar el par para el que queda un núcleoelástico interior de radio a.

ia fe 2-kT = 21T (k?.:J/a) dr + 21T k?-2 dr = T(c3 - a3/4)O • a

XILa cisión "12 está dada aquí por <112 = krlo. para O "" r "" a, y de CT¡2= kpara a "" r "" e donde K es la cisión elástica límite del material. Entonces,

Por lo tanto, el par al comienzo de la deformación plástica es T¡ = 1Tkc3/2 cuan-do a = e; y para un estado completamente plástico, T2 = 21Tkc3/3 = 4T¡/3cuando a = O.

Fig.8-17

214 PLASTICIDAD

8.26. Un esfera hueca de pared gruesa de dimensiones indicadas en laFig. g, 18 está sometida a una presión interior creciente Po. Usar elcriterio de van Mises y hallar la presión a la que tiene lugar elcomienzo de la deformación plástica.

Debido a la simetría de la carga, las tensiones principales son las componen-tes esféricas U(88) = U¡ = U!I, U(TT) = UIJI. Entonces, la condición de von Mises

-(8.12) da lugar a U(80) - U(TT) = «v- Las componentes de tensión elásticas son

U(rr) = -Po (b3h-3 - 1)/(b3/a3 - 1)

U(88) = u(<I><I» = Po (b3/21-3 + 1)/(b3/a3 - 1)

Por lo tanto, Uy = 3b3po/2r3(b3/a3 - 1) Y Po = 2uy(1 -:- a3/b3)/3 para el comienzode plasticidad que tiene lugar en la superficie de radio interior, a.

CAP. 8

fig.8-18

TEORIA DE LAS LINEAS DE DESLIZAMIENTO (Sec. 8.11)

8.27. Comprobar directamente los valores de las tensiones principales (8.45) para el tensor de tensión(8.41) con a

33= (a¡¡ + an)í2 como se da en (8.44).

Ull - u U¡2

Los valores de las tensiones principales se hallan, resolviendo la ecuación (2.37) que aquí es

-P-U

ooOU22 - u

O O

Desarrollando por la tercera columna,

(-p - U)¡(CT¡1 - 0')(0'22 - a) - ai2] = (-p - 0')[0'2 - (0'11 + a22}a - aizl = O

¡ . ··'-'0_"'-_-

Las raíces de esta ecuación son 0'== -P y 0'= t(al¡ + (22) :±: Vi(a¡l + ad2 -1-ai2 = -]1 :±: k.

8.28. Hacer uso de que la cisión elástica límite k es constante, y combinar (8.47) con las ecuaciones deequilibrio para que integrando se pruebe la ecuación (8.48).

daDe las ecuaciones de equilibrio éJa¡¡/élx¡ + (JaIZ/¡kcZ = O Y oa¡?!aa:¡ + aa22/a';;2 = O que aquí son válidas,(8.47)

y

Si Xl está a lo largo de una línea a y X2 a lo largo de una linea s , O = if; y de estas ecuaciones -ap/ax¡ - 2k(iJ",féJx¡) = O alo largo de una línea a,-éJp/éJx2 + 2k(éJif;/éJx2) = O a lo largo de una línea f3. Integrando directamente, p + 2k</> = CI enuna línea a, p - 2kcf> ~ C2 en una línea f3.

8.29. En una extrusión sin fricción con una matriz de abertura cuadrada que origina una reducción delcincuenta por ciento, la región en abanico centrada en A está formada por líneas rectas radiales (3y circulares (t como se indica en la Fig. 8-19. Hallar las componentes; de velocidad a lo largo de es-tas líneas de deslizamiento en términos de la velocidad de entrada U y las coordenadas-polares r y (j.

CAP. 8 PLASTICIDAD 215

u=s-«2U --+

-ct-

Fig.8-19

A lo largo de las líneas rectas (3, de,,.. O; Y de (8.53), dV2 = O o V2 =: constante. De la continuidad de la velo-

cidad normal a lo largo de. BC, aquí la constante es U cos o y V2 =-: U cos o. A lo largo de los arcos de circunferencia«. d</J= do; y de (8.52),

~'1 fO Ucoso(/e-'ir!'4

U(seno + 1/V2)

Problemas diversos8.30. Probar que la condición de plasticidad de von Mises se puede expresar en términos de la cisión oc-

taédrica U"el por UDet = y2uy/3. (ver Problema 2.22).

En función de las tensiones principales 3uDet = V(UI - ull)2 + (uIl - aIIl)2 + (alH - al)2 (Problema 2.22) y !)a~ct

(Ul- all)2 + (aIl - uIIl)2 + (UIl! - Ul)2 = 2u~: de acuerdo con la (8.12).

8.31. Comprobar que la ecuación (8.13) para la condición de plasticidad de von Mises se puede escribirsegún

De (2.71), UI SI +- u!\I, etc., Y así, (8.13) se convierte en

Desarrollando y reagrupando, se puede escribir s~ + s7! + SilI - (s! + SIl + Sil! )2/3

== O de lo que resulta la ecuación del enunciado.2k2 Pero SI + SIl + slll

8.32. ¿Para qué valor del parámetro de Lode .tL = (2(T1I - UI - UIII )/(aI - uIII) son idénticas las condicionesde plasticidad de Tresca y Mises?

De la definición de I", UIl = (<TI + Uln )/2 + I,{a¡ - alil )/2 que al sustituir en la condición de Mises (8.12), da, des-

pués de algunas operaciones al - alll = 2ay/..[3 +- .u2 (ver Problema 8.42). La condición de Tresca, ecuación (8.8), esal - alll = ay. Cuando f1.= 1 las dos son idénticas. Cuando al! = a" Jl = 1 que a veces se denomina estado detensión cilíndrico.

8.3J. Determinar para el estado de tensión (7 .. = (:<!

\0

T

donde a y T son constantes, la condicióna

o

de plasticidad según los criterios de Tresca y von Mises.

216 PLASTICIDAD CAP. 8

Se ve fácilmente que aquí las tensiones princiaples son G¡ == U + T, Un - u, Um - U-T. Entonces, de (8.8), lacondición de Tresca U¡ - vm = Uy da 2:" = O"y. De (8.12) la condición de Mises da T = uy/V3. Nótese que en cadacaso el comienzo de la deformación plástica depende de T, no de a, es decir, dicho, comienzo es independiente de la ten-sión hidrostática.

8.34. Probar que las ecuaciones de Prandtl-Reuss implican una deformación plástica incompresible y es-cribir las ecuaciones en términos de las tensiones reales.

De (8.21), dE~; = Sii dA= O ya que Si; = IrD == O y se llega a la condición de incompresibilidad dE;; = O. En fun-ción de las tensiones, clE~; :=c-(~ij - 0ij Ul<k/3) d»: Así, dEil = (2/3)[ Ul1 - (U22 + (33)/2] ds; etc., para las componentes nor-males y dE;'2 = U12 dA, etc., para las componentes cortantes.

8.35. Usando la condición de von Mises, probar que en el plano -n las componentes desviado ras de ten-sión en el comienzo del comportamiento plástico son

S¡ == [-20"ycos(ti-,,/6)]I3, SIl == [20"yCOS(ti+7T/6)]I3,

donde ti == tan :" Y/X en la notación del Problema 8.6.

(20"y sen ti)/3

El radio del círculo de Mises es \1273 Uy y por definición X = ...,12/3 Uy cos 8, Y = V273 ay sen 8 para el comienzode la plasticidad. De la tabla de transformación dada en el Problema 8.6 junto con a¡ == SI + aM, etc., se obtienen lasecuaciones S¡ - SIl = --12 X = -(2/V3 )ay cos 8 y SI + SIl ~~"JII ==-y6 Y = -2ay sen eAdemás, en el plano -TI

SI + SIl + Sm == O. Resolviendo estas tres ecuaciones simultáneamente se obtienen las expresiones deseadas, tal como elestudiante debe comprobar.

8.36. Un material elástico, perfectamente plástico e incom-presible se carga en condiciones de deformación plana en-tre dos láminas rígidas de tal manera que 0"22 == O Y E33 == O(Fig. 8.20). Usar la condición de Mises para determinar latensión de carga 0"11 de comienzo de plasticidad y la corres-pondiente deformación Ell'

La ecuación tensión-deformación elástica

se reduce aquí a a33 == pall' De esta manera, las tensiones principales sona¡ == O, <n cee -pall' am == -an; y de (8.12) tenemos

Xl

de la que an == -ay/VI - v - ,,2 (compresiva) en el comienzo de plasti-cidad. De igual modo, de EEll = all - l'(aZ2 .L, a3o) vemos que aquíE11 = -ay(l - ,,2) /EyI - ,,- "s para la incipiencia de plasticidad.

Fil~.8-20

8.37. Una viga rectangular elástica y perfectamenteplástica es cargada a flexión pura hasta plas-ticidad total. Hallar la tensión residual de laviga después de la retirada del momento flec-tor M.

ID1-- b --1

Fig.8-2I

CAP. 8 PLASTICIDAD 217

Para un estado completamente plástico, el momento es M = be2ay (ver Problema 8.23). Este momento originauna tensión elástica que da lugar a a = M e/I = 3ay/2 en las fibras externas, ya que 1 = 2be3/3. La retirada de M esequivalente a la aplicación de una tensión elástica negativa correspondiente que da lugar a la tensión residual indicada en la

Fig. 8.22.

3ay/2 ay/2ay

+

completamenteplástica

elásticanegativa

tensiónresidual

Fig.8-22

8.38. Un tubo cilíndrico de pared gruesa de dimensiones indicadas en la Fig. 8-23 está sometido a unapresión interna p¡. Determinar el valor de P; para incipiencia de plasticidad si los extremos deltubo están cerrados. Suponer las condiciones de plasticidad (a) de van Mises y (b) de Tresca.

Fig.8-23 Fig.8-24

Las componentes de tensión cilíndricas (Fig , 8-24) son tensiones principales y según un análisis elástico se puede verque aCTT)= -p;(b2h·2 - l)IQ, acee) = p;(b2/r2 + 1)/Q, aCzz) = p¡/Q donde Q = (b2/a2 - 1).

(a) Aquí, la condición de Mises es

o

La tensión máxima está a r = a, y para la incipiencia de plasticidad p¡ = (ay/V3)(l - a2/b2).

(b) Para la condición de Tresca, aceo) - (JCTT) = ay ya que (Jzz es la tensión principal intermedia. Así, 2p¡b2/r2 = Qayahora a r = a, Pi = (ay/2)(1 - a2/b2) para incipiencia de plasticidad.

218 PLASTICIDAD CAP. 8

Problemas propuestos

8.39. Una función tensión-deformación unidimensional está dada por a = K,II , donde K y n son constantes y e es la defor-mación real. Demostrar que la carga máxima tiene lugar para ,= n.

8.40. Resolver el Problema 8.4 usando el límite elástico cortantex en lugar de ay en las condiciones de plasticidad de Mises y

Tresca. Sol. Mises.: (a/l/S k)2 + (T/k)2 = 1; Tresca: (a/2k)2 + (T/k)2 = 1.

8.41. Haciendo uso del material presentado en el Problema 8.6, comprobar la geometría de la Fig. 8-5(c) ..

8.42. De la definición de! parámetro de Lode /1 (ver Problema 8.3) y la condición de plasticidad de Mises, probar que al - aIII

= 2ayh/3 + /12 •

8.43. Probar que /t = -Ys tan O , en el plano-rr donde o = tan -1 Y/X con X e Y tal como se definieron en el Problema 8.6.

8.44. Probar que los invariantes del tensor desviador IIrD = sijsij/2 y IIIrD = SijSjkSk/3 se pueden escribir IIrD = (si + sil +sill)/2 y HILD = (s~ + S~I + s;lI)/~ respectivamente.

8.45. Probar que la condición de plasticidad de von Mises se puede escribir en la forma

8.46. Siguiendo el procedimiento del Problema 8.17, determinar las relaciones que hay entre los incrementos de deformaciónplastica para (a) tensión biaxial con u" = U22 = Uy, (b) tensión-torsión con all = uy/2, U'2 = uy/2.

Sol.

8.47. Comprobar las expresiones equivalentes que siguen para el incremento de deformación plástica eficaz d'~Q y poner demanifiesto en cada caso que d<~Q = d';1 para tensión uniaxial U11'

(a) d'~Q = V2i3 [{d';1)2 + (d';2)2 + (d.f.1)2 + 2(d<~'2)2 + 2(d,f3)2 + 2(d.fl V 1/2

(b) l' - 10/ [d P d P )" (d P 1 P )2 + (l l' - l P )2 + 6( 1 P )2 -l- 6( 1 P )2 + 6( 1 P )2J1/2d'EQ - (y2,3) ( <11 - ·'22 - + <22 -«33 «33 «l! ('12 ('23 «31

8.48. Un tubo de pared delgada, elástico y perfectamente plástico se carga a tensión-torsión combinadas. Primero se aplica unatensión axial u = u1'/2 y se mantiene constante mientras que la cisión T se aumenta continuamente desde cero. ¿A quévalor de T tendrá lugar la incipiencia de plasticidad según la condición de Mises?Sol. T = uy/2.

8.49. La viga de sección transversal triangular de la Fig. 8-25 está sometida aflexión pura. Determinar la posición del eje neutro (distancia b desde elvértice superior) de la viga cuando está en condiciones de plasticidadcompleta. Sol. b = h/V2.Probar que el tensar de tensión (8.4l) se convierte en

(-~ -~ ~

O O-p

h

I-~

1-1 .>------ 2h --' .. - .. ~45-

8.50.

Fig.8-25

cuando se refiere a unos ejes girados alrededor de :<':3 un ángulo e, en la Fig.

8-8.e

8.51. Un abanico centrado de arcos de circunferencia a y radios J3.abarca un ángu-lo de 30° como se indica en la Fig. 8.26. La presión en AB esk. Determinar lapresión en AC. Sol. p = k(1 -:- ::-/3). Fig.8-26

Capítulo 9

Viscoelasticidad lineal

9.1 COMPORTAMIENTO VISCOELASTICO LINEAL

Los sólidos elásticos y los fluidos viscosos difieren ampliamente en sus características de deforma-ción. Los cuerpos deformados elásticamente vuelven a su estado natural o no deformado una vez que seretiran las cargas aplicadas. Los fluidos viscosos, no presentan en absoluto ninguna tendencia a unarecuperación de su deformación. Además, las tensiones elásticas están directamente relacionadas con lasdeformaciones, mientras que, en un fluido viscoso, las tensiones (excepto para las componentes hidros-táticas) están relacionadas con la velocidad de deformación.

El comportamiento de un material que presenta una combinación de ambas características, elásticasy viscosas, se denomina comportamiento viscoelástico, El sólido elástico hookiano y el fluido viscosonewtoniano representan comportamientos opuestos y extremos de un amplio espectro de comportamien-tos viscoelásticos. Aunque los materiales viscoelásticos son sensibles a la tempertatura, la discusión quesigue se restringe a condiciones isotérmicas y la temperatura interviene en las ecuaciones solamente comoun parámetro.

9.2 MODELOS VISCOELASTICOS SENCILLOS

La viscoelasticidad lineal se puede introducir convenientemente mediante un punto de vista unidi-mensional ya través de una discusión con modelos mecánicos que reflejan la respuesta de deformación devarios materiales viscoelásticos. Los elementos mecánicos de tales modelos son un muelle lineal sin masacon una constante elástica de respuesta G, y un pistón viscoso cuya fricción simula una viscosidad cons-tante 'l. Como se representa en la Fig. 9-1, la fuerza del muelle a está relacionada con su alargamiento <

por

(9.1)y la ecuación análoga para el pistón

(J - 7)< (9.2)donde: = dddi, A los modelos se les da una mayor generalidad prescindiendo de los efectos dimensionalesy considerando a (J como una tensión y a ( como una deformación, tornando estas cantidades sobre unabase unitaria.

ZÍ9

220 VISCOELASTICIDAD LINEAL CAP. ~

o

G

1

G

~o--'WNWWWWI/WlV',---o-o -~ •. o

(a) Muelle lineal (b) Pistón viscosoFig.9-1

El modelo de Maxwelf en viscoelasticidad es la combinación de un muelle y un pistón en serie comose indica en la Fig. 9-2(a). El modelo de Kelvin o Voigt es el agrupamiento en paralelo indicado en la Fig.9-2(b). La relación tensión-deformación para el modelo de Maxwell es

a + ~ .= (G r¡(9.3)

y para el modelo de Kelvin es(9.4)

Estas son esencialmente ecuaciones constitutivas viscoelásticas unidimensionales. Resulta provechoso es-cribirlas en forma de operadores usando el operador diferencial lineal at == a/at. Así, (9.3) resulta

(9,5)

y (9.4)(9.6)

encerrando los operadores adecuados en paréntesis

G

G 7J"~~~~~~~~~[]l----~c~.~,,,,----0---1

'/

\---0-_"

(a) Maxwell (b) KelvinFig.9-2

Los sencillos modelos de Maxwell y Kelvin no son adecuados para representar completamente elcomportamiento de los materiales reales. Otros modelos más complicados ofrecen una flexibilidad másgrande para imaginar la respuesta de los materiales reales. En la Fig. 9-3 (a),se representa un modelo detres parámetros construido con dos muelles y un pistón conocido como sólido lineal estándar. En la Fig,9-3(b) se representa un modelo viscoso de tres parámetros que consiste en dos pistones y un muelle. Sedebe reparar en que desde el punto de vista de la forma de sus ecuaciones constitutivas, una unidad Max-well en paralelo con un muelle es análoga al sólido lineal estándar de la Fig. 9-3(a), y una unidad de Max-well en paralelo con Ul1 pistón es análoga al modelo viscoso de la Fig. 9-3(b).

CAP. 9 VISCOELASTlCIDAD LINEAL 221

7]¡u _-0--;

(a) Sólido lineal estándar (b) Modelo viscoso de tres parámetrosFig.9-3

Un modelo de cuatro parámetros que consiste en dos muelles y dos pistones se puede considerarcomo una unidad de Maxwell en serie con una unidad de Kelvin como se representa en la Fig. 9-4. Existenvarias formas equivalentes de este modelo. El modelo de cuatro parámetros es capaz de incluir los tresmodelos de respuesta viscoelástica básicos. O sea, incorpora la "respuesta instantánea elástica" debido almuelle libre G¡, un "flujo viscoso" debido al pistón libre.v., y finalmente una "respuesta elástica retar-dada" de la unidad de Kelvin.

'11

Fig.9-4

La ecuación tensión-deformación para cualquiera de los modelos de tres o cuatro parámetros es de laforma general

(9.7~

donde las Pi' y q/ son coeficientes formados por combinaciones de G y '7 Y dependen del agrupamientoespecífico de los elementos en el modelo. En la forma de operador, (9.7) se escribe

(9.8)

9.3 MODELOS GENERALIZADOS. ECUACION DEL OPERADORDIFERENCIAL LINEAL

El modelo de Kelvin generalizado consiste en una secuencia de unidades de Kelvin agrupadas en serietal como se presentan en la Fig. 9-5. La deformación total de este modelo es igual a la suma de las defor-maciones de las unidades individuales de Kelvin. En la forma de operador la ecuación constitutiva es, de(9.6),

(9.9)

'7¡

Fig.9-5

222 VISCOELASTICIDAD LINEAL CAP. 9

Análogamente, una secuencia de unidades de Maxwell en paralelo, como se representa en la Fig. 9-6, sedenomina modelo de Maxwell generalizado. Aquí, la tensión total es la resultante de las tensiones de cadaunidad de forma que (9.5),

(9.10)

_--------'j>------6---- - - - - - - -- --~

'71

().......-------<>-----9---- - - - - - - - - --~

Fig.9-6

Para modelos específicos, (9.9) y (9.10) dan lugar a ecuaciones de la forma

(9.11)

la que se puede expresar abreviadamente por

(9.12)

Esta ecuación del operador diferencial lineal se puede escribir simbólicamente según

{P}(1 = {Q}f (9.13)

donde los operadores {P} y {Q} se definen por

{P} {Q} (9.14)

9.4 FLUENCIA LENTA y RELAJACIONLos dos experimentos básicos de la viscoelasticidad son los ensayos de fluencia lenta y relajación.

Estos ensayos se pueden realizar bajo una tensión (compresión) unidimensional o bajo una cisión simple.El experimento de fluencia lenta consiste en la aplicación instantánea de una tensión (10 a una probeta vis-coelástica y manteniendo la tensión constante se mide a continuación la deformación (respuesta de fluen-cia lenta) como una función del tiempo. En el experimento de relajación se impone una deformación ins-tantánea fO y se mantiene en la probeta mientras que se mide la tensión (relajación) como una función deltiempo. Matemáticamente, las cargas de fluencia lenta y relajación se expresan en términos de la funciónescalonada unitaria [U(t - t,)J., definida por'

(9.15)1 -----------------------{~ f(t)

y representada en la Fig. 9-7.

Para la carga de fluencia lenta

(9.16) Fig.9-7

CAP. 9 VISCOELASTlCIDAD LINEAL 223

donde ,U~t)J representa la función escalonada unitaria aplicada en el instante t, =0. La respuesta de~encia lenta para un material de Kelvin se determina resolviendo la ecuación diferencial

~ + ~ =T

CTO[U(t)]r¡

(9.17)

que resulta de introducir (9.16) en (9.4). Aquí, T = r¡IG se denomina tiempo de retardo. Para cualquierfunción continua del tiempo f(t), se puede probar que para t' como variabledeintegración,

[U(t - tI)] r" f(t') dt's; (9.18)

por medio de la cual se puede integrar la (9.17) para obtener la respuesta a la fluencia lenta de Kelvin

CT€(t) = cJ (1- e-t/T)[U(t)] (9.19)

La carga de fluencia lenta, junto con la respuesta para los modelos (materiales) de Kelvin y Maxwell serepresenta en la Fig. 9-8.

ao~--------------------------

(a) Carga en fluencia lenta (b) Repuesta de fluencia lenta

Fig.9-8

( = EO[U(t)]

La relajación de tensión que tiene lugar en un material de Maxwell al establecer una deformación

(9.20)

está dada por la solución de la ecuación diferencial

(9.21)

que se obtiene introduciendo la derivada con respecto al tiempo de (9.20) en (9.3). Aquí, [Il(t)] = d[U(t)]1dt es una función de una singularidad, denominada función de impulso unidad, o funcián delta de Dirac.Por definición,

(9.22a)

(9.22b)

Esta función es nula en cualquier parte excepto para t = tI donde se dice que tiene un pico indetermi-nado. Para una función continua f(t), se puede probar que cuando t > t;

224 VISCOELASTICIDAD LINEAL CAP. 9

(9.23)

con ayuda de la cual la (9.21) se puede integrar para obtener la relajación de tensión de Maxwell

(9.24)

La relajación de tensión para un material de Kelvin se obtiene directamente introduciendo ~== €o[a(t)]en (9.4), resultando

(9.2.5)

La función delta en (9.25) indica que sería necesaria una tensión infinita para producir una deformaciónfinita instantánea en un cuerpo de Kelvin.

9.5 FUNCION DE FLUENCIA LENTA. FUNCION DE RELAJACION.INTEGRALES HEREDITARIAS

La respuesta a la fluencia lenta de cualquier material (modelo) a una carga de fluencia lenta (T == (To[U(t)] se puede escribir en la forma

(9.26)

donde ~(t) se conoce como función de fluencia lenta. Por ejemplo, esta función para el modelo de Kelvingeneralizado de la Fig. 9-5, está determinada por (9.19), siendo

~'

'l'(t) == L J.(1- e-tf~¡)[U(t)]i=l

(9.27)

donde J. == lIG se denomina, acomodación. Si el número de unidades de Kelvin aumenta indefinidamen-1 1

te, o sea N --)oc de tal manera que el conjunto finito de constantes h,J) puede ser sustituido por la fU11-ción de acomodación continua J(,),la función de fluencia lenta de Kelvin resulta

~(t) (9.28)

La función J(.) se conoce como "distribución de los tiempos de retardo" o espectro de retardo.

Por analogía con la respuesta de fluencia lenta, la relajación de tensión para cualquier modelo so-metido a la deformación e == €o[U(t)] sepuede escribir en la forma

(9.29)

donde <j>(t) se llama función de relajación. Para el modelo de Maxwell generalizado de la Fig. 9-6, la fun-ción de relajación se determina de (9.24) según

N

rp(t) == L G¡e-UT¡[U(t)]i=l

(9.30)

Aquí, cuando N --)00 la función G(T) reemplaza al conjunto de constantes (Gil';) Yla función de relajaciónse define por

CAP. 9 VISCOELASTICIDAD LINEAL 225

(9.31)

La función G(r) se conoce como" distribución de los tiempos de relajación" o espectro de relajación.

En la viscoelasticidad lineal, es válido el principio de superposición. Así, el "efecto" total de unasuma de "causas" es igual a la suma de los "efectos" de cada una de las "causas". Según esto, si la his-toria escalonada de tensiones de la Fig. 9-9(a) se aplica a una material para el que la función de tluenciaes 'fr(t), la respuesta de fluencia lenta será

~e(t) = uo'lr(t) + u1'fr(t - tI) + u2'fr(t - t2) + u3'lr(t - t3) = L ai'lr(t - t)

i=O(9.32)

Por lo tanto, la historia de tensiones arbitraria u = u(t) de la Fig. 9-9(b) se puede analizar como una in-finidad de cargas escalonadas cada una de magnitud da y la respuesta de fluencia está dada por la integralde superposición

St du(~') 'lt(t - t') dt'-00 dt (9.33)

Tales integrales se conocen como integrales hereditarias ya que la deformación en cualquier instante detiempo se considera que depende de la historia de tensiones completa.

j-----------Iu

u+';'dt' -------:.>:::/:u -7::

I II I, I

t' t' + di'

II--,- -- - -- -----I---------------II

(a) (b)

Fig.9-9

Para un material inicialmente "virgen o recocido", es decir, completamente libre de tensiones ydeformaciones en un instante cero, el límite inferior de (9.33) se puede sustituir por cero y expresar la res-puesta de fluencia lenta como

itd~~~') 'fr(t - t') dt: (9.34)

A continuación, si la carga de tensión origina una discontinuidad escalonada de magnitud ao a t = 0,(9.34) se escribirá en la forma

u 'Ht) + e: da(~') -iJr(t- t') di'o Jo dt

(.9.35)

ISiguiendo argumentos análogos a los anteriores, la tensión como una función del tiempo se puede

representar por una integral de superposición que incluye la historia de deformación e(t) y la función derelajación 9(t). Por analogía con (9.33) la tensión se da por

226 VISCOELASTICIDAD LINEAL CAP. 9

u(t) ft elEU,') q,(t _ t') di'-,; dt (9.86)

y considerando un material virgen o recocido a t = 0, las integrales comparables a (9.34) y (9.35) son res-pectivamente

u(t) r d~~:) <j>(t _ t') di' (9.37)

y u(t) 'ocp(t) + it

d~~:) cp(t - t') dt' (9.38)

Puesto que la integral de fluencia (9.34) o la de relajación (9.37) se pueden usar para espe-cificar las características viscoelásticas de un material dado, se sigue que tiene que existir alguna relaciónentre la función de fluencia 'Ir(t) y la de relajación q,(t). Tal relación no es fácil de hallar generalmente,pero usando la definición de transformada de Laplace

f (8) In'" f(t)e-st dt (9.89)

es posible probar que las transformadas ~ (8) Y 1> (t) están relacionadas por la ecuación

~(8);¡;(S) (9.40)

donde s es el parámetro de la transformada.

9.6 MODULOS COMPLEJOS y ACOMODACIONES

Si una probeta de ensayo linealmente viscoelástica está sometida a una tensión unidimensional (detracción o cortante) u = 0'0 sen ())t, el estado de deformación estacionario resultante será e = 'o sen ('ut - 8),una respuesta sinusoidal de la misma frecuencia O> pero desfasada con la tensión en un ángulo de retrasoo" La tensión y deformación en este caso se pueden representar gráficamente por las proyecciones ver-ticales de vectores de magnitud constante que giran con una velocidad angular constante co como se in-dica en la Fig. 9-10.

Las relaciones de las amplitudes de la tensión y deformación definen el módulo dinámico absoluto- '0/0'0' Y la acomodación dinámica absoluta U/EO' Además, las componentes de los vectores de tensión odeformación en fase o desfasados de la Fig. 9-1O(a) se usan para definir

(a) el módulo de acumulación Gl = 0'0 COS o

'o

(b) el módulo de disipación G2

0'0 senoEO

(e) el coeficiente de acumulación J1

f.(J COS o0'0

(d) el coeficiente de disipación J2

fO sen [)--

0'0

CAP. 9 VISCOELASTICIDAD LINEAL 227

a,' ~<I = <Io sen ",t

. e = fO sen (wt - 8)

(a) (b)

Fig.9-10

Una generalización de la descripción anterior del comportamiento viscoelástico se consigue expresan-do la tensión en forma compleja según

(9.41)

y también la deformación resultante en la forma compleja como(9.42)

De (9.41) y (9.42) se define el módulo complejo G'¡'(io» como la cantidad compleja

u*h* = G*('i'd) = (Jof€Jé\ = Gl~- iG-:. (9.43)

cuya parte real es el módulo de acumulación y cuya parte imaginaria es el módulo de disipaciónAnálogamente, la acomodación compleja está definida por

«/(Jo)e-ii5

J1 - iJ2

(9.44)

~

Jl

J.,J*

donde la parte real es el coeficiente de acumulación y laparte imaginaria la negativa del coeficiente de disi-pación. En la Fig. 9-11 se representa la descomposiciónde los dos vectores G* y J* . Nótese que G* = 1/J*. Fig.9-11

9.7 TEORIA TRIDIMENSIONAL

Al desarrollar la teoría tridimensional de la viscoelasticidad lineal, es costumbre considerar porseparado el comportamiento viscoelástico bajo condiciones denominadas de cisión pura y de dilataciónpura. Así, los efectos de cambio de forma o de distorsión y los de volumen se prescriben independien-temente y a continuación se combinan paré! obtener una teoría general. Matemáticamente, esto se realizadescomponiendo los tenso res de tensión y deformación en sus sumandos esférico y desviador, y entoncesse establecen las relaciones constitutivas para cada uno de ellos. La descomposición del tensor de tensiónestá dada por (2.70) según

(9.45)

y el tensor de pequeñas deformaciones (3.98) según

(9.46)

Usando la notación de estas ecuaciones, la generalización tridimensional de la ecuación constitutiva vis-coelástica (9.13) en forma de operador diferencial se escribe mediante la combinación

228 VISCOELASTIClDAD LINEAL CAP. 9

y

{P}Sij = 2{Q}e;j

{Mh¡ = 3{N}f¡¡

(9.47a)

(9.47b)

donde {P}, {Q}, {M} Y {N} son operadores de la forma (9.14) y los factores numéricos se introducen porconveniencia. Puesto que prácticamente todos los materiales responden elásticamente a cargas hidros-táticas moderadas, los operadores de dilatación {M} y {N} se toman realmente como constantes y las(9.47) se modifican a

(9.l¡.8a)

(9.l¡.8b)

donde K es el módulo volumétrico elástico.

Siguiendo la misma regla general de separacion para el comportamiento de cambio de forma yvolumen, las relaciones constitutivas viscoelásticas y tridimensionales están dadas en la forma de la in-tegral de fluencia lenta

rr 'li" (t _ t') as¡! dt/.J, s. at'

e r 'lr (t _ t') aaii di'Jo l' at'

fe (t - t') aeij cWcf>s at'

O

St rJE..i. (t - t') -~ di:

O ~'" at'

y en la forma de la integral de relajación por

U ..11

(9.49a)

(9.49b)

(9.50a)

(9.50b)

La extensión a tres dimensiones de la formulación de módulos complejos del comportamiento vis-coelástico requiere la introdución de un módulo complejo volumétrico K*. De nuevo, escribiendo se-paradamente las ecuaciones para el cambio de forma y volumen, las ecuaciones adecuadas son de la for-ma

s*:1)

2G*(iw)e~

3K*(i(")E~

2(G¡ + iG,,)e:':- 1)

(9.51a)

(9.51b)u:J'lt

9.8 ANALISIS DE TENSIONES VISCOELASTI-CASo PRINCIPIO DE CORRESPONDENCIA

El problema del análisis de tensiones para un cuerpode un medio continuo isótropo y viscoe1ástico queocupa un volumen V y tiene la superficie de contorno Scomo se indica en la Fig. 9-12, se formula de la manerasiguiente: Sean /¡ las fuerzas másicas a través de V y lastracciones de contorno prescritas por t:~)(Xk' t) sobre laregión SI de S, y prescritos también los desplazamientos.rJ¡(.r". t) en la porción S~ de la superficie S. Entonces lasecuaciones de campo que resuelven el problema toman laforma de: ¡;jg.9-12

CAP. 9 VISCOELASTICIDAD LINEAL 229

l. Ecuaciones de movimiento (o de equilibrio)

(9.52)

2. Ecuaciones desplazamiento-deformación(u + u)

1,) ),1(9.53)

o ecuaciones de velocidad de deformación,2E.. = (v .. + v.)lJ t.) J.I

(9.54)

3. Condiciones de contorno(T¡j(xk,t)ni(x/) = t;~)(Xk,t)

u¡ (xk' t) = g¡ (xk' t)

en SI

en S2

(9.55)

(9.56)

4. Condiciones inicialesU¡(Xk,O) = Uo

Vi(Xk, O) Vo

(9.57)

(9.58)

5. Ecuaciones constitutivas

(a) en la forma de operador diferencial lineal (9.48)

o

(b) en la forma de integral hereditaria (9.49) 0(9.50)

o

(c) en la forma de módulo complejo (9.51)

Si la geometría del cuerpo y las condiciones de carga son suficientemente sencillas, y si el compor-tamiento del material se puede representar por uno de los modelos más simples las ecuaciones de campoanteriores se pueden integrar directamente (ver Problema 9.22). Para condiciones más generales, se acos-tumbra buscar Una solución a través del uso del principio de correspondencia. Este principio surge de for-ma análoga entre las ecuaciones de campo que rigen los problemas de la elasticidad y de las transfor-madas de Laplace con respecto al tiempo de las ecuaciones básicas de campo viscoelásticas dadas arriba.Una comparación de las ecuaciones pertinentes para problemas cuasi estáticos e isotérmicos se propor-ciona en la tabla siguiente en la que las cantidades con una barra superior indican transformadas deLaplace según la definición

(9.59)

Elásticas Viscoelásticas transformadas

1. (T .. + b. = °1).] 1

2.2E=(U .. +U .. )IJ t,] ),1

3. (Tn = t(~)EJ J t 3 - - - -t(~). (T¡jnj - i

e, = Oi

(T ..

"

4. F(s)s¡j = 2Q(s)e¡j

a. 3Ki"11 u

4. s ..1)

230 VISCOELASTICIDAD LINEAL CAP. 9

De esta tabla se observa que cuando G en las ecuaciones elásticas se reemplaza por Q/ P, los dos conjun-tos de ecuaciones tienen la misma forma. Según esto, si en la solución del "problema elástico correspon-diente" G se sustituye por Q/ p para el material viscoelástico involucrado, el resultado es la transformadade Laplace de la solución viscoelástica. La inversión de la solución transformada da la solución viscoelás-tica.

El principio de correspondencia se puede también establecer para otros problemas además de loscuasiestáticos. Posteriormente, la forma de las ecuaciones constitutivas no ha de ser necesariamente la deloperador diferencial lineal sino que pueden aparecer como en (9.49), (9.50) o (9.51). El problema par-ticular que se estudie aconsejará la forma adecuada en la que se debe usar el mencionado principio.

Problemas resueltos

MODELOS VISCOELASTICOS (Sec. 9.1-9.3)

9.1. Comprobar las relaciones tensión-deformación para los modelos de Maxwell y Kelvin dados en(9.3) y (9.4) respectivamente.

En el modelo de Maxwell de la Fig. 9-2(0) la deformación total es la suma de la deformación en el muelle más la delpistón. Entonces, € = ES + ED Y también ; = <5 + ;D· Puesto que la tensión a través de cada elemento es 0", se puedenusar (9.1) y (9.2) para obtener E = (¡/G + O"/TJ.

En el modelo de Kelvin de la Fig. 9-2(b), a = as + aD Y directamente de (9.1) y (9.2), a = 71; + GL

9.2. Usar la forma operacional de la relación tensión-deformación del modelo de Kelvin para obtener larelación tensión-deformación del sólido lineal estándar de la Fig. 9-3(a).

Aquí, la deformación total es la suma de la deformación en el muelle más la de la unidad de Kelvin. Entonces, E = ES

+ El( o en forma de operador e = a/G1 -1- a/{Gz + 7)2r7,}. De ésta,

G¡{G2 -+ 7)2iJ,}. =.., {Gz + TJzu¡}a .1- G1a

y G¡GZE + G1TJZ€ = (G1 + G)a + 7)2".

9.3. Determinar la ecuación tensión-deformación para el modelo de cuatro parámetros de la Fig. 9-4.Suponer que 1]1 --;. 00 comparar con el resultado del Problema 9.2.

Aquí, la deformación total es € = El( + ',\1 Y en forma de operador

Desarrollando y reagrupando términos se tiene

Cuando '11 -> co se convierte en ii + (Gl + GZ)Ü/7)2 = Gl', + G¡G~f/TJ2 la que es equivalente al resultado del Problema9.2.

9.4. Tratando el modelo de la Fig. 9-13 como un casoespecial del modelo de Maxwell generalizado, hallarsu ecuación tensión-deformación.

7]1

aEscribiendo (9.10) para N = 2 en la forma G"2

a

u = G¡f!{cI¡ + 1/T1} -1- G2f/{cl, -1- 1hz}

Yoperando como se indica, resulta Fig.9-13

CAP.9 VISCOELASTICIDAD LINEAL 231

la que desarrollada y reagrupando da

9.5. El modelo indicado en la Fig. 9-14 se puede considerar como unaforma degenerada del modelo de Maxwell generalizado con G1 .:::: r¡2

CIJ para el caso N = 3. Usando estos valores en (9.10), desarrollar laecuación tensión-deformación de este modelo.

Aquí, (9.10) da lugar a (J = '11' + GzU{éJt} + U{OI/G3 + 1/'13} o

{éJ/G3 + 1/1J:¡}';' = {aJG3 + 1/'13}('11'<' + Gzf) + f

La aplicación de los operadores da

"i/G3 + a/7):l = 7)1·.·/G:3 + (1 + GiG3+ '11/'1)'<'+ GZ/7):l€

la que también se puede escribir

o

C/

7)1

Fig.9-14

FLUENCIA LENTA Y RELAJACION (Sec. 9.4)

9.6. Hallar las ecuaciones de respuesta a la fluencia lenta de Kelvin y Maxwell por integración directa de(9.17) y (9.21) respectivamente.

Usando el factor de integración eu=, (9.17) se convierte en cctlT = a~ el e' .....: G(l')] dt' la que según (9.18) da1] .J11

o e = (00/G)(1 - (j-t/T)[U(t)]

jo!

El uso de etlT como factor de integración en (9.21) da oet/T = Geo Ct'/T[ 8(t')] cU'; Y según la fórmula (9.23).o

oet/r = G<o[U(t)] o

9.7. Determinar la respuesta a la fluencia lenta del sólido lineal estándar de la Fig. 9-3(a).

c(t) = [l/GI + (1/G2) (1 - e-tlTz)]oo[U(f)]

Puesto que e = es + <x la respuesta a la f1uencia lenta para este modelo es de (9.1) y (9.19) sencillamente

2

Se obtiene el mismo resultado haciendo '12 = co en la respuesta generalizada de Kelvin (N = 2) < = ~ J, (1 - e-tITi)aoi=l

[U(t)] o integrando directamente la relación tensión-deformación del sólido estándar.

El estudiante deberá comprobar los detalles.

9.8. El experimento de recuperación de fluencia lenta consiste enuna carga de fluencia lenta que se mantiene durante unperíodo de tiempo y entonces se retira instantáneamente.Hallar la respuesta de recuperación de fluencia lenta delsólido estándar (Fig. 9-3(a» para la carga indicada en laFig. 9-15.

Del Problema 9.7 la respuesta, mientras que la carga es (t

< 272)' será

C/

Fig.9-15

232 VISCOELASTICIDAD LINEAL CAP. 9

Para. t = 2r2 la carga se retira y a es cero al mismo tiempo que se recupera la deformación "elástica" "0/G1• Para t >272 la respuesta está regida por la ecuación, : + <lr2 = O que es la relación tensión-deformación del modelo con' u = O

(ver Problema 9.2). La solución de esta ecuación diferencial es e = Ce-T/T2 donde e es una constante y T = t - 2ro. EnT = O, ,= C = uo(1 - e-2)/G2 y así, -

9.9. El modelo especial indicado en la Fig. 9-16 se alarga a una velocidad constante; = Ea/tI como se in-dica en la Fig. 9-17. Determinar la tensión en el modelo sometido a esta deformación.

G

G 11.¡. '0 ---------

a aI1

11 II ~ ttI

Fig.9-16 Fig.9-17

Del Problema 9.5 la relación tensión-deformación para el modelo es .;.+ u/r = 11·; + 3G; + Gdr y aquí,'; + al-r =3G'0/tl + G'ot/rt¡. Integrando se tiene u = '0(311 + Gt - 11) + Ce-I/T donde e es la constante de integración. Cuan-do t = O, a = 11'o/tl Y C = -11<o/tl• Entonces u = <0(211+ Gt - 11e-t!T)/t¡. Nótese que se obtiene el mismo resultado in-tegrando ,

e SI f ft Gt' t'ITuet!T = ~ 3Get'/T dt' + ~ __e_ dt'tI a tI o r

9.10. Determinar por integración directa de la relación tensión-deformación del sólido lineal estándar, surelajación de tensión bajo la deformación E = EO[U(t)).

Escribiendo la relación tensión-deformación (ver Problema 9.2) según'; + (G¡ + G2)U/112 = <oG¡([8(t») + G¡G2[U(t)]I112) para este caso y empleando. el factor integrante eCG, + G2lt/112 se ve que

ueCG, +G2lt!n2 = <oG¡ fl [8(t')]e(G, +G2)t1lnz dt' + 'oG¡Gz f t [U(t'»)eCG, +G2W/n2 dt'o '12 a .

Integrando esta ecuación con la ayuda de (9.18) y (9.23),

a = <oGI(G. + G¡e-CG,+G2ltln2)[U(t»)/(G¡ + G2)

FUNCIONES DE FLUENCIA LENTA y RELAJACIQN. INTEGRALES HEREDITARIAS (Sec. 9.5)

9.11. Determinar la función de relajación <{>(t) para el modelo de GI

tres parámetros de la Fig, 9-18.

La relación tensión-deformación de este modelo es

u + a/rz = (G¡ + G2): + G¡G.<!r¡2

y con. = 'a[U(t)] y É = 'a[o(t)] y el uso del factor integrante el/T2da

a

Fig.9-18

aet/T2 = 'o(G¡ + G2) etet'/r2[o(t')] dt' + <OGIG2 r Ct'/T2[U(t'») dt'Jo 112 O

Empleando (9.18) y (9.23), u = <o(G¡ + GZe-t/T2) = <o<t>(t).Nótese que este resultado también se puede obtener haciendo'I¡ -+ co en (9.30) para el modelo de Maxwell generalizado.

CAP. 9 VISCOELASTICIDAD LINEAL 233

9.12. Usando la función de relajación </>(f) .en el modelo del Problema 9.11. hallar la función de fluencialenta mediante (9.40).

La transformada de Laplace de q,(t) == G¡ + GZC--th2 es ¡(s)

de transformadas de Laplace). Entonces de (9.40).

li¡/S + G2/(s r J..!T2) (ver cualquier tabla estándar

que puede ser invertida fácilmente con una tabla de transformadas de Laplace, obteniendo.

Este resultado se puede verificar rápidamente por integración de la ecuación tensión-deformación del modelo bajo un"carga de f1uencia lenta.

9.13. Si a un material de Kelvin se le aplica una tensión queaumenta linealmente y luego se mantiene constante a"'¡ (Fig. 9-19), hallar la deformación resultante.Supóngase que a¡ft¡ = x.

u = At[U(t.)] - A(t - t¡)[U(t - ti)]

La tensión se puede expresar como

que al introducirla en (9.4) conduce a

.et/,. = ~[~t t'etl/T[U(t')] dt'

Fig.9·19

Integrando con ayuda de (9.18) se obtiene

• = (A/G){(t + r(e-tIT - 1»[U(t)] - «t - ti) + ,.(e<t1-tl/,. - l»[U(t - tI)]}

que cuando t -7 OC) se reduce a • = At¡/G = ",¡IG.

9.14. Usando la integral de fluencia lenta (9.34) junto con la función de fluencia de Kelvin, comprobar elresultado del Problema 9.13.

Para un cuerpo de Kelvin,y,(t) = (1- e-tlT)/G y (9.34) da

SI A.(t) = G ([U(t')] + t'[I>(t')] - [U(t' - tI)] - (t' - tl)[Il(t' - t¡)])(1- e-(t-I')!T) dt'

-00

que con (9.18) y (9.23) se reduce a

Una evaluación directa de estas integrales confirma el resultado del Problema 9.13.

9.15. Por una aplicación directa del principio de superposición, determinar la respuesta de un material deKelvin a la tensión indicada en la Fig. 9-20.

234 VISCOELASTICIDAD LINEAL CAP.9

t~

Fig.9-20 Fig.9-21

La tensión se puede representar por una secuencia de variaciones de tensión inclinadas como indica la Fig. 9-21.Del Problema 9.13, .. co (A/G)! t + r(e-1iT - 1)IIU(t); para esta tensión. En este caso, por lo tanto

E(t) '-'o (A/GH(t + r(e-t/T- l))[U(t)] - «t - ti) + T(c-ct-t¡l!T-1))[U(t - ti)]

-«t - 2t¡) + r(e-Ct-2t¡)!T -l))[U(t - 2t¡)] + «t - 3t1) + r(e-(t-3t¡)/T -l))[U(t - 3t1)]]

Nótese que cuando t ...• "', €..." o.

MODULOS COMPLEJOS Y ACOMODACIONES (Sec. 9.6)

9.16. Determinar el módulo complejo G* y el ángulo de retraso 8 del material de Maxwell de la Fig. 9-2.

Escribiendo (9.3) como ~ + alr = G ~ e introduciendo (9.41) y (9.42) da i",aoei"'! + aoci"¡!/r = Giw<oCi(wt-li) de la queaoci5/EO = G* = Giwr/(l + l",r) , o en la forma estándar

De la Fig. 9-11,8 = GzlG¡ = GwT/Gw2,2 = l/",r,

9.17. Probar que el resultado del Problema 9.16 también se puede obtener sustituyendo sencillamente eloperador e, por iw en la ecuación (9.5) y definiendo U/E = G*.

Después de la sustitución indicada, (9.5) se convierte en (iw/G + 1/7))a = i'OE de la que

9.18. Usar la ecuación (9.10) del modeJo de Maxwell generalizado para poner de manifiesto la regla deque "para modelos en paralelo, los módulos complejos se suman".

Del Problema 9.17 los módulos complejos del modelo de Maxwell se pueden escribir G* = al< = Gi",r/(l + i",.,.).Escribiendo (9.10) como .

el módulo complejo del modelo de Maxwell generalizado es

9.19. Comprobar la relación J1

= l/G¡(l + tan" 8) entre el módulo de acumulación y la acomodación.

De (9.43) Y (9.44),J*= 1/G*yasí,J¡-iJ2 = 1/(G¡+iG2) = (G¡-iG2)/(Gf+G~),Así,

J1 = G¡/(Gi + G~) = l/G¡(l + (Gz/G¡)2) = l/G¡(l + tan2 o)

CAP. 9 VISCOELASTICIDAD LINEAL 235

9.20. Probar que la energía disipada por ciclo está relacionada directamente con el coeficiente de disi-

pación J2 calculando la integral f u a. en un ciclo.

La integración de los vectores de tensión y deformación de la Fig. 9.10, f o de a lo largo de un ciclo es

f2rr

'w d, _

o dt dt -o

f 2;;/0 ("O sen wt),ow cos (wt - o) dto .

r"o'oW sen wt (eos wt eos Ii + sen wt sens) dto

"~W[Jl~2"'/W sen22wtdt + J2~2;;/W(Sen2wt)dtJ =

TEORIA TRIDIMENSIONAL. ANALISIS DE TENSIONES VISCOELASTICAS (Sec. 9.7-9.8)

9.21. Combínese (9.48a) y (9.48b) para obtener la relación constitutiva viscoelástica Uij = llij{R}(kk + {S J<jj Y determinar la forma de los operadores {R} y {S}.

Escribiendo (9.48a) como {P}("ij - Oji"kl)3) =- 2{Q}«;¡ - Úij<kk/3} Y sustituyendo "kk por el segundo miembro de(9.48b), después de unas operaciones sencillas, resulta

"jj = ojj{(3KP - 2Q)/3Phkk + {2Q/P}'jj

9.22. Una barra hecha de un material de Kelvin es estirada a tensión de forma que Ull = uo[U(t)], U22 =u:l:! = U12 = a~:l ::-: U:11 = O 'donde Uo es constante. Hallar la deformación <11 para esta carga.

De (9.48b), 3,¡¡= "o[U(t)J/K para este caso; y de (9.48a) con i =:: j = 1, lP}(aIJ'- all/3) = {2Q}(,u - ,;/3). Perode (9.6) {P} = 1Y {Q}= {Ci+ "dt} para un material de Kelvin; y ahora,

2"o[U(t)]I3 = 2{G + >¡dt}«ll - ao[U(t)]!9K)

o O'o[U(t)](3K + G)/9"K + "o[ú(t)]/9K

Resolviendo esta ecuación diferencial

'11 = 0'0(3K + G)(l- e-l/Tí [U(t)]/9KG + aoc-u'¡U(tl]/9K

Cuando t -> 00, <lt -> (3K + G)O'o/9KG == ao/E.

9.23. Un bloque de un material de Kelvin se mantiene en un re-cipiente de paredes rígidas de forma que <22 = (33 = O cuandose aplica la tensión Ul1 = -alJ[U(t)]. Determinar (11 y las com-ponentes de tensión Un y U33 que impiden las otras defor-maciones.

Aquí, 'ü = '11 Y 0'22 - 0'33 de forma que (9.48b) es O'¡¡ + 20'22 == 3K'I'(9.48a) da 2(a11 - O'd/3 == 2G{1 + Ti)t} (2<11/3) para un cuerpo de Kelvin,Combinando estas relaciones se obtiene la ecuación diferencial Fig.9-22

236 VISCOELASTICIDAD LINEAL

fJl + (4G + 3K)EJl/4GT = -3uo[U(t)]/4Gr

que integrada da

CAP. 9

El! = -3uo[U(t)](1- e-(4G + 3Klt/1Grl/(4G + 3K)

Introduciendo este resultado en (9. 48a) para i = j = 2 da

U~2 = (+uo/2 - 9Kuo(l- e-(4G+3K)t¡~Gr)/(8G + 6K\lfU!f\1

9.24. La componente de tensión radial en un semi-espacio elásticosometido a una carga concentrada en el origen se puede ex-presar por

U(rr) = (P/27r)[(1- 2v)t.Y(r, z) - ,6'(r, z)]

donde t.Y Y f3 son funciones conocidas. Determinar la tensiónradial de un semi-espacio viscoelástico de Kelvin por mediode} principio de correspondencia cuando P -- Po[U(t)]. Fig.9-23

El operador viscoelástico para el término (1 - 21') is {3Q}/{3KP + Q} de forma que para un cuerpo de Kelvin lasolución viscoelástica transformada es

3Po [ G + ns ]ü(rrl = 2r.s 3K + G + 'lS a(r, z) - {l(r, z)

que se puede invertir con la ayuda de fracciones parciales y las tablas de transformadas que dan la tensión viscoelástica.

- 3Po [( G + 3K -(3K + Glt/n) (. l + {l( l]U(Tr) - 217" 3K + G 3K + G e a 1, Z r, Z

9.25. El principio de correspondencia se puede usar para obtener tanto desplazamientos como tensiones.El desplazamiento z de la superficie del semi-espacio del Problema 9.24 está dado por wez=OJ = P(l- v2)/E7rr. Determinar el desplazamiento viscoe1ástico de la superficie para el material viscoelásticode aquel problema.

El operador viscoelástico correspondiente a (1 - p2)/E is {3K + 4Q}/4Q(3K + Q) que para el cuerpo de Kelvinorigina que el desplazamiento transformado sea

Después de considerables operaciones e invirtiendo, resulta,

W(Z=OJ = Po(3K + 4(G + 1/s»/4r.rs(3K + G + 'ls)(G + 1/s)

_ ~.o!3~ + 4G~ [..!. _ 1l_e-:-(3K+clt!TI 3K + G ]Wez=Ol - 4r,y2(3K + G) G 3K + 4G - G(3K + 4G) e-tlT

Nótese que cuando t = 0, w(z=OJ = ° y cuando t --> "', w(FOl --> Po (1 - ¡,2)/E11"T, que es el desplazamiento elástico ..

9.26. Una viga simplemente apoyada y cargada uniformemente, sesupone hecha de un material de MaxweIl. Determinar la ten-sión de flexión Ull y la flecha w(x¡, t) si la carga es p =. p [U(t)].

CAP. 9 VISCOELASTICIDAD LINEAL 237

La tensión de flexión de una viga elástica simplemente apoyada en sus extremos no depende de las propiedades delmaterial por lo que aquí la tensión de flexión elástica y viscoelástica son las mismas. La flecha elástica .de la viga esw(x¡) = poa(x¡)/24E1 donde a(x¡) es una función conocida. Para un cuerpo de Maxwell, {P} = {at + liT} Y {Q} ={Gat},de forma que la flecha transformada es

poa(x¡) (3KIT + (3K + GlS)241 9KGs2

que integrada da

Probar que cuando t -+ co la tensión (7.,., del Problema 9.23 se aproxima a (70 (el material se com-porta como un fluido) si el material se considera incompresible (v = 1/2).

Dei problema (9.23)

Cuando t = O, w(x¡, O) = poa(x¡)/24E1, que es la flecha elástica.

9.27.

= -ao(9K - (4G + 3K»/2(4G + 3K)

que puede ser escrita en términos de l' cuando a:!" t->oo = -I'a(,!(l- ,.). Así, para p = 1/2, a:!2It~", = -au·

= -ao(3K - 2G)/(3K + 4G)

Problemas diversos

9.28. Determinar la relación constitutiva para el modelo tipoKelvin-Maxwell representado en la Fig. 9-25 Y reducirlaa partir de los resultados de las relaciones tensión-deformación de Kelvin y Maxwell.

Aquí,

aplicando los operadores de tiempo, se llega a

Fig.9-25

En esta ecuación si 'Iz = O (muelle en paralelo con modelo de Maxwell), a + alr¡ (G¡ + GZ)E + (G2fT¡) e, A conti-nuación, si Gz = O, resulta la relación de Maxwell ü + a/T¡ = G¡ ~ De igual modo, si G2 se toma nulo (pistón en paralelocon modelo de Maxwell), ü + alr¡ = 'I?" + (G¡ + 'I2fT¡);; y cuando '12 = O, este también se reduce a la relación deMaxwell.

Si se reescribe la relación constitutiva de cuatro parámetros

'Ila + G¡a = '71'72"c' + (GI'7¡ + G2'1¡ + G¡'1z); + G1GZ•

y '7¡ se hace nulo, resulta la relación de Kelvin (J = '1:; E + G2€. De igual modo, si G¡ = O la ecuación reducida es a'72" + G2 <, representando de nuevo el modelo de Kelvin.

9.29. Usar el principio de superposición para obtener la res-puesta de recuperación de fluencia lenta para el sólidolineal están dar de la Fig. 9-3(a) y comparar el resultadocon el del Problema 9.8.

Con una carga de tensión expresada por

(J = (Jo[U(t)] - (Jo[U(t - 2T2)]

(ver Fig. 9-26), la deformación se puede escribir inmediatamente apartir del resultado del Problema 9.7, según

"'r-------f--·----~27,)

--a() ---------------

Fig.9-26

238 VISCOELASTICIDAD LINEAL CAP.9

En su instante t > 2"2 ambas funciones escalonadas valen la unidad y

que coincide con el resultado del Problema 9.8.

9.30. Determinar la tensión en el modelo del Problema 9.9sometido a la historia de deformación indicada en laFig, 9-27. Probar que con el tiempo el muelle "libre"del modelo soporta la totalidad de la tensión.

Del Problema 9.9 y el principio de superposición la tensión será

..

Fig.9-27

Para tiempos t > tIla tensión es a = f(l,¡(rr¡i, _. 1)e-- i t r /t I + Gf¡b cuando t> cc ésta se reduce a (J ::-: Gc.;

9.31. El "espectro de retardo Iogaritrnico " L se define en términos del espectro de retardo J por L(ln T)= d(T). Determinar a partir de esta definición la función de fluencia lenta ¡f¡(t) en términos de L(lnT) .

Sea l» T::-: A de forma que e: = T Y así d+Id»: = eh = 1', o dT == 1'd(ln T). De ésta, la (9.28) que define a y(t! resulta

y(t) ~ f >. L(ln 1')(1 - c-tlT)d(In ,). De la misma forma, si H(ln 1') = 1'GH define el espectro de relajación toga-• r)

rítmico, r¡,(tl de (9.31) se puede escribir

1>(t) i" H(In ,)e-UTd(ln T)o

9.32. Para el modelo de Maxwell de la Fig.9-2(a), determinarlos módulos de acumulación y disipación, G l YG2' comofunciones de In ".1' y representar en una gráfica la formade estas funciones.

Del Problema 9.16,

para un material de Maxwell. Entonces,

donde x = In WT. Para \ = O, GI = G/2; para A = oo, GI == G; Y paraA == -w, GI = O. De igual modo, G2 == (]('·\/(l + e2.\) y para A = O,G2 = G/2; para t.. = ::':0'0, G~ 0-:: O. La forma de las curvas de estasfunciones es la indicada en la Fig , 9-28.

f(w)

G -----_-_---

A = ln er

Fig.9-28

CAP. 9 VISCOELASTICIDAD LINEAL 239

9.33. Determinar la forma del operador viscoelástico de la constante elástica v (coeficiente de Poisson) em-pleando las relaciones constitutivas (9.48).

Bajo una tensión uniaxial 0'11 = 0"0' (9.48b) da ,¡¡/3 = O"o/9Kde forma que (9.48a) para i = j .:::1 da '11 = {3KP+ Q}"o!(9KQ}. De la misma forma (9.48a) para i = j = 2 da '22 ={2Q - 3PK}"(l/{18KQ:.Entonces, en forma deoperador, /' = -€~2;'11 = {3PK - 2Q}/{6KP + 2Q}.

9.34. Un cuerpo viscoelástico cilíndrico, se inserta en un recipientebien ajustado y rígido (Fig. 9-29) de forma que (TT) = O (defor-mación radial nula). El cuerpo es elástico a dilatación y tiene lafunción de fluencia lenta e = A + Bt + Ce" donde A, E, e, A, .,son constantes, Si (;11 = {u[U(t)], determinar (T;jt).

Aquí, «u = 3K€ü y de la simetría del problema, Zy¡ ¡ +- U;l:J =: 31(.:13'

Además, de (9.50a) con f' d •.,~. i = j = 1, O"I¡ - "3;1 ::-= - -'I~C;' ",,(t - t') dt',

C'o .uDespejando U3:1 de estas dos relaciones se obtiene

La función de relajación 1>., se puede hallar con la ayuda de (9.40).

Tk

~

Fig.9-29

El resultado es 'Í's = [(-T¡ - A)eT¡t - (1'2 - A)cr,t]/(1'¡ - 1'2)

donde 1'1.2 = [A>- - D :;: \/(A>- ~- IJ)2¡- 4JJC>- ]/2(!1";" e). Asi, finalmente

2 J't [(1' - ,,)eT1(t-t» - (r.) - ,,)eT1<t-U)]o = K E t + -- fo ¡ ~ f (7(t')l dt'

33 o 3 o (1'¡ - 1'2) .

que integrando da

9.35. El "pandeo de fluencia lenta" de una columna viscoelástica se puede analizar dentro de la teoríalineal a través del principio de correspondencia, Determinar por este método la flecha w(x¡, t)de una columna de Kelvin apoyada en dos puntos extremos,

..--.-~~~--=--Po

Fig.9-30

La fórmula de la columna elástica es ([2-w/d:ci + Pou'/EI = 0, y para un material de Kelvin E se puede reemplazar

por el operador {E + 'Id,} de forma que para una columna viscoelástica {E + ~dt} (d2w/dxi) + Po iot I = O. Suponien-

do la flecha en forma de un producto w(x¡, t) = W(x¡)e(t), el operador conduce a la ecuación diferencial

240 VISCOELASTICIDAD LINEAL CAP. 9

de la que

donde r = 7J/E. Pero como la carga de pandeo elástico es Pn -EI(d2W/dxi)!wentonces;' + (1- Po/Pn)e/r =O que se integra fácilmente para dar e = e(Po/Pn-lJtIT. Finalmente la flecha en el "pandeo de fluencia lenta" esW = weePO/PB-¡JtIT.

9.36. Plantear el problema de una vibración en estado estacionario en una viga viscoelástica, suponiendoque las relaciones constitutivas son las dadas por (9.48).

Las vibraciones libres de una viga elástica obedecen a la ecuación EI(a4w/ax~) + pA(a2w/at2) = O. De (9.48) el

operador viscoelástico para E es {9KQ/(3KP + Q)}, y si la flecha es w(x¡, t),"" W(x¡)o(t) la ecuación diferencialviscoelástica que resulta se puede desdoblar en la ecuación de espacio d4 W/d.' i-k4W = O Y en la de tiempo {3KP +Q}(d2e/dt2) + (k4l/pA){9KQ }(o) = O. La solución W¡ de la ecuación de espacio representa la i-ésima, y de la ecuación

.'ide tiempo para k = k¡ la solución es e, = ~ Aije'4 donde N depende del grado del operador. La solución total,

;=1oz !\'

por lo tanto, es w(x¡, t) = ~ ~ Wi\x¡)AijeAijt en la que Aij son complejos.i=¡ ;=¡

Problemas propuestos

9.37. Determinar la ecuación constitutiva del modelo de cuatro parámetros indicado en la Fig. 9-31.

Sol. a + (G¡/7J2 + G2/1}z + G¡/7J¡)ü + (G¡G211}¡1}2)a = G¡'" + (G¡GZ/1}2):

G2

a

Fig.9-31

9.38. Determinar la respuesta de fluencia lenta del sólido lineal estándar por integración directa de ; + dr2/G¡7J2 + ao[8(t)]lG¡. (ver Problema 9.7)

9.39. Deducir las relaciones tensión-deformación de Kelvin y Maxwell a partir de los resultados establecidos- en el Problema 9.5para el modelo de cuatro parámerros de aquel problema. (Sugerencia. Tómese G3 = 0, etc.)

9.40. Usar la ecuación (9.40) para obtener ",(t) si .p(t) = a(b/t)'" conm < 1. (Sugerencia. Tomar ?n = 1 - k; entonces q,(t) =

Sol. ..¡,(t) = sen "m (!.) m

am" b a u

9.41. Determinar las funciones de fluencia y relajación del modelo in-dicado en la Fig. 9-32.

Sol . ..¡,(t) l/Gz - G¡e-G2t/(G,+G2)T,/G2(G¡ + G2)

<;t>(t) = G2 + G¡e-tIT¡Fig.9-32

CAP. 9 VISCOELASTICIDAD LINEAL 241

9.42. Determinar G* en el modelo indicado en la Fig. 9-33.

Sol. G*G¡(1 t T~w2) + G2w2Ti

+1+ w2T~

Gl

Fig.9-33 Fig.9-34

9.43. En el modelo del Problema 9-42 sea G¡ = G2 = G Y 7]2 = 7]3 = 7] y determine la historia de tensión del modelo resultantecuando está sometido a la secuencia de deformación representada en la Fig. 9-34.

Sol. u = ~ (G(2t - ti) + 7](4 - (1 + et¡/T)e-tIT» para t¡ < t < 2t¡t¡

9.44. Un bloque viscoelástico que tiene la ecuación constitutiva a + aa = 13; + y, donde 0'.,13, y son constantes, se carga bajocondiciones tales que Ull = -uo[U(t)], U22 ~ O, '33 = O (ver Fig. 9-35). Suponiendo Ui; = 3K'i;' determinar U33(t), U33(O)

y U33( 00).

Sol. U331 3O'.K - 2y ( 3K - 213 3aK - 2Y) - At] d d

-0"0L2(3aK + y)A + 2(3K + 13) - 2(3O'.K + Y)A e . on e A (3O'.K + y)/(3K + 13).

Fig.9-36

9.45. Una columna apoyada en dos puntos extremos es de un material de Maxwell para el que a + alr = E ;.La forma inicialde la columna es w = Wo sen (1T'x/l) cuando se aplica la cargapc[U(t)] (ver Fig. 9-36). Determinar la flechasubsiguiente w(x¡, t) como una función de PB, la carga elástica de pandeo.

Sol. w(x¡, t) = Wo sen (-;rx¡/l)e- tlO- PBIPo)T

Indice analíticoAceleración, 127Acomodación, 224

dinámica absoluta, 226Adición y sustracción,

de matrices, 28de tensores (cartesianos), 26de vectores, 12

Análisis de tensiones viscoelásticas, 228-229Anisotropía, 57, 160Antisimétrica,

diádica, 16matriz, 30tensor, 30

para tensiones, 67-70Cisión pura, 199Coeficiente dePoisson, 162Complejo,

módulo, 226potencial, 186

Componente, 11, 18normales de tensión, 60

Comportamiento postelástíco, 201Concepto de medio continuo, 57Condiciones,

de contorno, 163de plasticidad, 199de Stokes, 182de ortogonalidad, 24, 25iniciales, 163

Configuración, 91Conservación de la,

energía, 146masa, 143

Constantes de Lamé, 161Contracción, 26Convectiva,

derivada, 127variación, 127

Convención,de suma, 19,21de rango, 19

Coordenadas,cartesianas rectangulares, 17cilíndricas, 18curvilineas, 18esféricas, 18espaciales, 92

Cortantes,componentes de deformación, 101componentes de tensión, 65

Cosenos directores, 17Criterio de,

von Mises, 200Tresca, 199

Cuádrica de,deformación, 103, 104tensión, 64

Curvas,de tensión-deformación idealizadas, 199de f1uencia, 201

Bases, 9, 16ortonormal, 17recíprocas, 39

___ Calor,ecuación acoplada de, 169ley de conducción del, 168flujo de, 147radiante, 147

Cambio,barotrópico, 181de ángulo, 100

Campos,tensoriales, 33vectoriales, 33

Cartesianas (os),coordenadas, 17tensores, 11, 23, 24

Cauchy,cuádrica de tensión de, 64elipsoides de deformación de, 104principio de tensión de, 58tensar de deformación de, 95

Cauchy-Riernann,condiciones de, 186

Cero,matriz, 28orden de un tensor, 12vector, 12

Cinemático,endurecimiento, 202viscosidad, 183

Cinética,energía, 146

Circulación, 184teorema de Kelvin de la, 185

Círculos de Mohr,para deformaciones, 106

Delta de Kronecker, 24Deformación, 91

cortante, 101desviador de, 105

243

--'

244

Deformación,elipsoide de, 103energía de, 159endurecimiento por, 197esférico de, 105gradiente de, 94inelástica, 196infinitesimal, 97leyes de transformación de la, 102natural, 197plana, 106plástica, 196tensores de, 95teoría de la (deformación) total, 205total, 205velocidad de, 129

Densidad, 57, 143de energía de deformación, 159de entropía, 147

erivada,de tensores, 33de vectores, 33material, 126, 130

Descomposición,del gradiente de velocidad, 128polar, 102

Desigualdad de Clausius-Duhem, 148Desplazamiento, 92, 98

gradiente de, 94relativo, 98rígido, 96

Desviador,tensor de deformación, 105tensor de tensión, 71

Diadas, 14forma nonion de las, 18

Diádicas, 12, 14antisimétrica, 16conjugada, 14simétrica, 16

Dilatación, 105cúbica, 105

Ecuaciones,de Beltrami-Michell, 163biarmónica, 166calórica de estado, 147constitutivas, 149de Bernoulli, 184de compatibilidad, 107, 130de continuidad, 143de equilibrio, 62, 145de estado, 147de Hamilton-Cayley, 32de Hencky, 205de movimiento, 145de Levy-Mises, 203de Navier-Cauchy, 163de Navier-Stokes-Duhern , 183de Prandtl-Reuss, 203

Ecuaciones de campo,elásti- 161, 166viscc., ' 229

Efecto Bauschinger, 198~fica3,

'''----..-'

INI ICE ANALITICO

incremento de deformación plástico, 204tensión, 203

Eje de simetría elástica, 161Elasticidad, 158Elástico,

constantes, 160límite, 196simetría, 160

Elastodinámica, 162Elastostática bidimensional,

en forma polar, 167en forma rectangular, 164

Endurecimiento,cinemática, 202isotrópico, 202por deformación, 197,204por trabajo, 197, 204

Energía,cinética, 146de deformación, 159interna, 146térmica, 146

Ensayo de tracción, 196Entropía, 148

especifica, 148Equivalente,

incremento de deformación plástico, 204tensión, 203

Escalar, 12campo, 33de una diádica, 15triple producto, 14

Espacio euclidiano, 21Especí fico,

calor, 168entropía, 148

Estado de tensión, 59Euleriano,

coordenadas, 93descripción, 93tensor de deformación finita, 96tensar de deformación lineal, 98

Extensión,relación de, 101tensor de, 102

Factor idéntico, 15Fluencia lenta,

función de, 224ensayo de, 222

Fluido,compresible, 186no viscoso, 180perfecto, 180, 184presi ón de un, 180stokesiano, 181viscoso newtoniano, 181,219

Flujo, 91,126de fluencia lenta, 189estacionario, 183irrotacional,184plástico, 196potencial, 186regla de, 203

v":"dón, 219

INDICE ANALI1!,CO 245

Fuerzas,de inercia, 62másicas, 58superficiales, 58

Funciones,armónicas, 186de corriente, 186de disipación, 149de tensión de Airy, 166

momento de la cantidad de movimiento, 144operador vectorial, 18ensor de rotación, 98

termoelasticidad, 168úscoelasticidad,219

Líneas de corriente, 128logarítmica,

deformación, 197

Hidrostática, 183Histéresis, 197Homogéneo,

deformación, 110material, 57

.Masa, 143Material,

coordenadas, 92derivada, 147, 127-168«escripción del movimiento, 93hiperelásticos, 167hipoelásticos, 167

Matrices, 28, 30columna, 28conformes, 28

Matrices,diagonal, 28identidad, 29

Máxima,tensión cortante, 66, 67tensión normal, 65

Modele,(material) de Kelvin, 220(material) de Maxwell, 220de Vc;gt, 220

Momento.angular, )45de la c.ir.tidad de movimiento, 145

Módulo,cornptejo, 227de acumu Iación, 226de disipación, 226de rigidez, 162dinámico absoluto, 226dinámicos, 226de Young, 162volumétrico, 162

Movimiento, 126estacionario, 128

Multiplicación de,matrices, 28tensores, 26vectores, 13

Gas,ecuación dinámíca, 186ley de los, 181

Gauss,teorema de, 34

Generalizado,deformación plana, 166ley de Hooke, 158modelo de Kelvin, 221modelo de Maxwell, 222tensión plana, 166

Gradiente,de deformación, 95de desplazamiento, 94

Green,tensor de deformación de, 96tensor de deformación finito, 96

Ideal,gas, 181materiales, 150

Indices, 19Integrales,

curvilíneas, 34hereditarias, 225

Invariantes, 32de deformación, 104, 105de tensión, 64de velocidad de deformación, 130

1rrotacional,flujo, )30, 184

Isotropía, 57, 161

Jacobiano, 22, 94Notación,

de Gibss, 12indicial, 19simbólica, 12,21Lagrangiana,

descripción, 93tensor de deformación finita, 96tensor de deformacion infinitesimal, 97

Laplace,ecuación, 186transformada de, 226, 229

Ley de,adición del paralelogramo, 12la conducción de Fourier, 168

Límite,de proporcionalidad, 197elástico aparente de Johnson, 197

Lineal,

Octaédrico,plano,73tensión cortante, 214

Ortogonal,tensor , 102transformación; 23

Ortotrópico, 161 -

Partícula, 91Perfectamente plástico, 198Plana,

deformación, 106

246 INDICE ANALlTICO

deformaci ón especifica, 106, 164elasticidad, 164 'Tensión, 70-71, 164

Plano tt , 200Plástico,

campo, 197deformación, 196flujo, 196incremento de deformación, 204teoría del potencial, 202

Polar,descomposición, 102ecuaciones de equilibrio, 167

Potencial,flujo, 186plástico, 204

Presión,de un fluido, 180función de, 184hidrostática, 180

Primer principio de la termodinámica, 146Principales,

ejes, 31valores de deformación, 104valores de tensión, 64, 71

Principio,de correspondencia, 229

Principio,de la cantidad de movimiento, 144de SI. Venant, 164

Problema,cuasiestático viscoelástico, 229elastoplásticos, 205

Procesos,adiabáticos, 158irreversible, 148isotérmico, 158reversible, 148termodinámico, 150

Producto,escalar de diadas, 16escalar de vectores, 13externo, 26interno, 27veetorial, 13, 15,27veetorial indeterminado, 14

Punto, 91

Sólido lineal estándar , 220Superficie de f1uencia, 200

Regla del triángulo, 12Relaciones de Duhamel-Neumann, 168Relajación,

ensayo, 222función de, 224espectro de, 225

Retardo,espectro de, 224tiempo de, 223

Temperatura, 148Tensión,

circulos de Mohr de, 67 -70componentes de, 60conservativa, 149cortante, 60, 66cuádrica de, 64desviador de, 71elipsoide de, 66eficaz, 203

_esférica, 71función de, 166invariantes de, 64leyes de transformación de, 63normal,60plana, 70principio de, 64simetría de, 62tensar de, 59potencia de, 147vector, 58

Tensión y deformaciónconvencionales, 197de ingeniería, 197

Tensor,cartesiano, 11, 23, 24componente de un, 11contravariante, 22covariante, 22de deformación, 95de deformación de Almansi, 96

Tensor,de deformación finita, 95, 96de extensión, 102de extensión negativa, 102de extensión positiva, 102de rotación finita, 102de rotación infinitesimal, 97, 98de tensión disipativa, 148de tensión viscosa, 180de velocidad de rotación, 128derivada de un, 33esférico, 71,105general, 11,21leyes de transformación de un, IImétrico, 23métrico fundamental, 23multiplicación, 26orden, 12potencias de un. 32velocidad de deformación, 128

Teorema,del transporte de Reynolds, 139de integrales, 34de la divergencia (de Gauss), 34de Stokes, 34de superposición, 164de unicidad, 164, 177

Teoría,de la energía de distorsión, 197de las líneas de deslizamiento, 206de las pequeñas deformaciones, 97

Segundo principio de la termodinámica, 147Símbolo de perrnutación, 27Simetría,

de tensores, 30Simetría,

elástica, 160Sólido hookiano , 219

----_.-------'::;:---- -.- -~,-_.

in cremen tal, 203Termoelasticidad, 150, 168

no acoplada, 150, 169Tetraedro de tensión, 61Trabajo,

endurecimiento por, 198plástico, 204

Transformación,de coordenadas, 21de tensores, 11leyes de, 24, 102ortogonal, 23, 25propia, 28

Trayectorias, 128Triple producto vectorial, 14

Unitaria,diádica, 15desplazamientos relativos, 98triadas, 18vector, 13

Variación,local, 127convectiva, 127

Vectorbase, 16

INDICE ANALITICO 247

de posición, 23, 91de rotación, 98de una diádica, 15desplazamiento, 92dual,27leyes de transformación, 25par-tensión, 59potencial, 144productos de, 14, 15, 27rotación, 98suma de, 12

Vector,tracción, 59torbellino, 130

Velocidad, 127compleja, 187de deformación, 128potencial, 184

Viscoelasticidad,219Verticidad,

tensor, 129vector, 130

Volumétrico,módulo, 162viscosidad, 181