9 - El Krigeaje Simple y Ordinario

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Ing. Roberto Bruno - [email protected] - Consultor Internacional Intercade

GEOESTADISTICA MINERAGEOESTADISTICA MINERAIng. ROBERTO BRUNO - [email protected]

Consultor INTERCADEJunio 2008

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EL KRIGEAJE SIMPLE Y ORDINARIOEL KRIGEAJE SIMPLE Y ORDINARIO

El Krigeaje Ordinario.• El Krigeaje de dominios.

• Las propiedades del Krigeaje.

• El Krigeaje Simple.

• El Krigeaje de la media.

• La práctica del Krigeaje.

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EL KRIGEAJE SIMPLE Y ORDINARIO El Krigeaje Ordinario


Mas una propiedad: La eficiencia

• Un estimador es eficiente si garantiza un error pequeño.

• La varianza de estimación mide la eficiencia.• En el caso de una estimación lineal imparcial, de

una FASt de soporte puntual:

[ ] ( )[ ] ( )[ ]( ) ( )∑ ∑∑

∑−=

=−=−==

β α αββαα αα

α αα

γλλγλ

λεσ

hh

xZxZExZxZEEe

0

20

200

*22

2

)()()()(

4




De qué depende la eficiencia…

Los elementos que influyen en σe2 , de manera

independiente del estimador, son los siguientes:

• La geometria relativa entre los datos y entre datos y punto a estimar (hαβ, hα0)

• El tipo de variabilidad espacial (γ(h))• Los valores de los pesos (λα)

( ))(,,, 0,,22 hhhee γλσσ ααβα=

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EL KRIGEAJE SIMPLE Y ORDINARIOEl Krigeaje Ordinario


La elección de los pesos

• La variabilidad espacial es fija, intrínseca al problema.

• El diseño del muestreo, más sobre todo la elección de los pesos determina la eficiencia, la calidad de la estimación.

• Así se pueden seleccionar los pesos que minimicen la varianza de estimación.

( ) min2 =αλσ e

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La minimización de la σe2

• La función a minimizar es con n incógnitas.

• Matemáticamente se trata de anular las n derivadasparciales.

( ) min,12 == ne αλσ

( ) ne ,102

==∂

∂ αλ

λσ

α

α

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La minimización vinculada

• El estimador tiene que ser sí eficiente, más tambienimparcial, con los pesos que suman 1.

• Matemáticamente, la optimización se consigue con la técnica de Lagrange:

sumase el vínculo en forma implícita, multiplicadopor una nueva variable, el parámetro de Lagrange.

( ) ( ) min,1 2

1

2 ==⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−+ ∑

=

μλσλμλσ αα

αα e

n

e

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El sistema de Krigeaje Ordinario

• El resultado final es un sistema de n+1 ecuaciones en n+1 incógnitas (los n pesos, mas el termino de Lagrange): el sistema de Krigeaje Ordinario o a media incognita.

( ) ( )

1

,1

1

0,1

,

=

==+

∑

∑

=

=

n

n

nhh

αα

αβ

βαβ

λ

αγμγλ

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El estimador Krigeaje Ordinario (KO)

• El estimador del Krigeaje Ordinario es la combinaciónlineal que utiliza los n pesos solución del sistema.

• Se trata del “mejor estimador lineal imparcial”.

∑=

=n

KOKO xZxZ1

0 )()(α

ααλ

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La Varianza de Krigeaje

• La Geoestadística junto al valor estimado proveesiempre la varianza de estimación, o sea la medida de la calidad de la estimación.

• El resultado deriva directamente del sistema de KO.

( ) 20,

2KOe h σμγλσ

α αα =+= ∑

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El sistema de KO explícitamente

μγλγλγλσ

λλλγμγλγλγλ

γμγλγλγλγμγλγλγλ

++++=

=+++

=++++

=++++

=++++

0,0,220,112

21

0,,2,21,1

0,2,22,221,21

0,1,12,121,11

...

1......

......

...

nnko

n

nnnnnn

nn

nn

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El sistema de KO en forma matricial

• N.b. – γαα = γ(0) = 0 si los datos son puntuales.

1

......

01...1110..................1...01...0

0,

0,2

0,1

2

1

2,1,

,21,2

,12,1

nnnn

n

n

γ

γγ

μλ

λλ

γγ

γγγγ

=×

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La varianza de KO en forma vectorial

• Producto del vector de las incognitas por el vector de los términos conocidos.

1

......

0,

0,2

0,1

212

n

nko

γ

γγ

μλλλσ ×=

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Primer análisis del sistema

• Tiene siempre solución, salvo cuándo dos líneas son iguales (muestras isotópicas).

• La solución es independiente de los valores de lasmuestras.

• Cuenta la geometria relativa entre la misma información(matriz coeficientes).

• Cuenta la geometria entre datos y punto a estimar(vector términos conocidos).

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• El Krigeaje Ordinario.

El Krigeaje de dominios.• Las propiedads del Krigeaje.

• El Krigeaje Simple.



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EL KRIGEAJE SIMPLE Y ORDINARIOEl Krigeaje de dominios


La estimación del valor medio de un volumen

• Frecuentemente necesita estimar el valor medio de un dominio.

• En condiciones de estacionaridad la condición de imparcialidad es la misma.

( ) ( )∑∫ ==α ααλ xZxZdxxZ

vxZ ko

vvv 00 )(1)(

[ ] [ ] 10)()( 00 ==−= ∑α αλε xZxZEE vkv

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El KO de un valor medio

• El procedimiento es el mismo: minimización de la varianza de estimación.

• El sistema final:

• La matriz de los coeficientes es la misma.

( ) ( )

1

,1)(,

1

01

,

=

==+

∑

∑

=

=

n

n

nxvxh

αα

αβ

βαβ

λ

αγμγλ

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La varianza de KO de un valor medio

• Aparece un nuevo término sustractivo.

( ) ( ) ),(,00

2 vvvxv xxko γμγλσα αα −+= ∑

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El KO de un valor medio en forma de matriz

1

......

01...1110..................1...01...0

0

0

0

,

,2

,1

2

1

2,1,

,21,2

,12,1

x

x

x

vn

v

v

nnn

n

n

γ

γγ

μλ

λλ

γγ

γγγγ

=×

( )

vv

vn

v

vt

n

ko

x

x

x

,

,

,2

,1

2

1

2

1

......

0

0

0

γ

γ

γγ

μλ

λλ

σ −×=

20




El KO de dominios en práctica

• En teória vale la propiedad de aditividad.

• Entonces se dicretiza el dominio v en puntos

• La varianza de estimación es:

∫=)()(

00

)(1xv

kokoxv dxxZ

vZ

( ) ),()(1 220

vvxn

vi iko

discrxko γσσ −= ∑

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La discretización de los dominios

Es el valor medio del variograma cuándoun extremo del vector h es fijo en xay el otro describe eldominio v

Es el valor medio del variograma cuándolos dos extremos del vector h describen eldominio v

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¿Cual malla seleccionar?

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• El Krigeaje de dominios.

Las propiedads del Krigeaje.• El Krigeaje Simple.



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EL KRIGEAJE SIMPLE Y ORDINARIOLas propiedades del Krigeaje


El KO es exacto

• El KO es un estimador “exacto”, o sea interpolaexactamente los datos: si se estima un punto en quehay un dato el KO restituye el valor verdadero.

• El peso del punto vale 1 en los otros 0, así como el término de Lagrange, la varianza de estimación, correctamente reconoce el punto conocido (ej. x0=x2) y vale 0.

000...010... 2,2,10,0,220,112 =+×++×+×=++++= nnnko γγμγλγλγλσ

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Toma en consideración la geometria de los datos

• Los pesos de dos datos se reducen si los ejes se acercan (propiedad ausente en los estimadorestradicionales).

4,00; 1,00

2,00; 6,00 4,00; 6,00

0

1

2

3

4

5

6

7

0 1 2 3 4 5 6 7

X

Y

Dati

Punto dastimare

4,00; 1,00

1,00; 4,00

4,00; 6,00

0

1

2

3

4

5

6

7

0 1 2 3 4 5 6 7

X

Y

Dati

Punto dastimare

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Las propiedads del KO …

• Los pesos dependen de la forma del volumen a estimar: g(x,v), g(v,v).

• El krigeaje de una combinación lineal es la combinaciónlineal de los krigeajes individuales.

• El sistema de KO es independiente de los valores de los datos.

• El valor estimado es ortogonal a los datos.

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Las propiedades del KO ...

• Si varía la meseta del variograma no varían los pesos, más sólo el parametro de Lagrange, o sea no el valor estimado, sólo la varianza de estimación.

• En efecto, la varianza de KO es directamenteproporcional a la meseta.

( ) ( )( )( )),(,

),(,

0

00

2

vvvxw

vvwwvxwv

x

xxko

γμγλ

γμγλσ

α αα

α αα

−+=

=−+=

∑∑

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El KO y la densidad de muestreo

• La varianza de KO puede ser exprimida en función del lado de la malla del muestreo.

• El incremento de precisiónes importante hasta unarazón entre alcance del variograma y lado de la malla a/d=3÷4

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La relación de “lissage”

• La varianza del valor estimado es menor de la varianza del valor verdadero.

• La diferencia es la varianza de krigeaje.

{ } { } { }{ } { })()(

)()()()(

xZVarxZVarVarxZVarxZVar

xZxZ

ko

ko

ko

≥

+=

+=

ε

ε

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• Las propiedades del Krigeaje.

El Krigeaje Simple (KS).• El Krigeaje de la media.


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EL KRIGEAJE SIMPLE Y ORDINARIOEl Krigeaje Simple (KS)


El Krigeaje a media conocida

• A veces la media, m, de la FA Z(x) es conocida.

• Se puede trabajar con la nueva FA fluctuación en tornode la media Y(x)=Z(x)-m, la que tiene media nula.

• Los valores de los datos son Y(xa)=Z(xa)-m

• El valor estimado es Z*(X0)=Y*(x0)+m

• Entonces es posible estimar directamente Y(x0)

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La FAST fluctuación

• LA FASt Y(x) tiene las mismas propiedads de la FAStZ(x).

• En particular la varianza y el variograma.Z(x) con media 10 e Y(x) con media 0

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

-5 0 5 10 15FASt

Prob

abili

tà

Y(x) Z(x)

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La imparcialidad si la media es conocida

• La media del error de estimación de la fluctuación sera siempre nula.

• No es más necesaria la condición de universalidad paragarantizar la imparcialidad.

• El estimador es imparcial cualquiera sean los valores de los pesos.

[ ] [ ] [ ] ∑∑∑

=−∗=−=

−=−=

α αα αα

α αα

λλε

λε

000)()(

)()()()(

0

000*

xYExYEE

xYxYxYxY

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El sistema de KS

• No es más necesario vincular la minimización de la varianza de estimación.

• El nuevo sistema de nxn ecuaciones/incognitas esexprimido en términos de covarianza.

0,

0,2

0,1

2

1

,2,1,

,22,21,2

,12,11,1

.........

..................

nnnnnn

n

n

C

CC

CCC

CCCCCC

=×

λ

λλ

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La varianza de KS

• La varianza de estimación es siempre el producto de los vectores incognitas y términos conocidos.

• Permanecen las propiedades de exactidud, imparcialidad, existencia de la solución, ortogonalidad, lissage, …

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

×−=

0,

0,2

0,1

212

......)0(

n

nks

C

CC

C λλλσ

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El KS es mas preciso del KO

• La varianza de KS es menor de la varianza de KO.

• En efecto se conoce la media y, además, no hay vínculos.

( ) ( ))()( 02

02 xYxZ koks σσ ≤

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• Las propiedads del Krigeaje.

• El Krigeaje Simple (KS).

El Krigeaje de la media.• La práctica del Krigeaje.

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EL KRIGEAJE SIMPLE Y ORDINARIOEl Krigeaje de la media


La estimación de la media

• La media, m, o la media local, puede ser estimada porKO.

[ ] [ ]( )[ ] ∑ ∑

∑∑∑

=−=

=⇒=−=−

=

β βαα βαε

α αα αα

α αα

λλσ

λλ

λ

)(

10)(

)(

,22 hCmmE

mxZEmmE

xZm

ko

ko

ko

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El KO de la media

• El sistema de KO de la media.

• El parámetro de Lagrange es la medida de la precisiónde la estimación de la media.

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=∀=+

∑∑

1

,10)( ,

α α

βαα α

λ

βμλ nhC

μμλσα αε =∗+∗=→ ∑ 10)(2 mmko

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Ejemplos de krigeaje

• Comparación KS – KO. 6; 13

14; 16

15; 13

6; 6 15; 5

10; 10

0,00

5,00

10,00

15,00

20,00

0,00 5,00 10,00 15,00 20,00

Coordinata X

Coo

rdin

ata

Y

DatiPunto da stimare

laKO 0,34 0,03 0,27 0,21 0,15

laKS 0,30 -0,01 0,24 0,16 0,10

s2ko 0,8209s2ks 0,8085

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• Las propiedads del Krigeaje.

• El Krigeaje Simple (KS).


La práctica del Krigeaje.

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EL KRIGEAJE SIMPLE Y ORDINARIO La practica del krigeaje


La vecindad de búsqueda

• N. min. de datos.

• Número max. muestras, reducción automática de la vecindad.

• Diámetro de la vecindad y alcance.

• Vecindad único o móvil.

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Que hacer si resultan concentraciones negativas

• Los pesos pueden ser negativos (ex. Efecto plantana).

• Declustering de ’información, reducción de la vecindad.

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El krigeaje de control (cross validación)

• Ver si todas las elecciones “funcionan” (hipotesis, modelo variograma, vecindad, …).

• Controlar para diferentes alternativas si los resultadosprácticos (carácteristicas de lo errores) :• Mejoran.• Son coherentes con los teóricos esperados.

• Necesidad de tener valor verdadero y valor estimado.• Técnica: esconder un valor conocido y estimarlo.

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El krigeaje de control: ejemplos

• Fpack.

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