78135_MATERIALDEESTUDIOPARTEIDiap1-76

1INTERCADECONSULTANCY & TRAINING

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CARACTERIZACION Y CORRELACION ESTADISTICA

DE DATOS GEOLOGICOS

MSc. Samuel Canchaya MoyaConsultor Intercade

MSc. Samuel Canchaya Moya - [email protected] - Consultor Intercade

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CONTENIDO GENERAL TEORIA:

Caracterizacin estadstica. Distribuciones log-normales con efecto proporcional Correlacin entre dos variables y Anlisis de regresin lineal y sus aplicaciones. Tratamiento de valores errticos. Secciones longitudinales contornadas (SLC) y de cociente metlicos. Su aplicacin en

vetas y en bancos de cuerpos tridimensionales. Anlisis multivariable y sus aplicaciones en exploracin. Relaciones Tonelaje-Ley. Clasificacin de recursos y reservas.

PARTE PRACTICA: Ejemplo 1.- Tratamiento de poblaciones log-normales, con efecto proporcional. Ejemplo 2.- Correlacin lineal entre dos variables. Efecto de los valores errticos. Ejemplo 3.- SLC de cocientes metlicos; determinacin de flujos mineralizantes. Ejemplo 4.- Anlisis multivariable aplicado a data de exploracin.


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CONTENIDO PARTE I

Caracterizacin estadstica. Distribuciones log-normales con efecto proporcional Correlacin entre dos variables. Tratamiento de valores errticos.


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CARACTERIZACION ESTADISTICA


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CARACTERIZACION ESTADISTICA

Se entiende por CARACTERIZACION ESTADISTICA (CE), la determinacin e interpretacin de los principales parmetros y tipos de distribucin de un determinado conjunto de datos o data.

Bsicamente de cada data se calcula: media, valor mximo, valor mnimo, mediana, moda, varianza, desviacin estndar, sesgo y kurtosis.

Estos datos se pueden entregar en forma de cuadros o grficamente por medio del denominado box plot

Tambin se plotea el respectivo histograma y curva de acumulacin de frecuencias.

La interpretacin de toda esta informacin constituye la CE Cualquier aplicacin geomatemtica o geoestadstica debe estar

siempre precedida de una CE.


6

ESTADISTICOS PRINCIPALESMedia

Desviacin estndar

Sesgo.- Mide el grado de asimetra de una distribucin.Cola ms larga a la derecha: sesgo positivo; al revsnegativo.

Kurtosis.- Es el grado de espigamiento de una distribucin.Leptocrtica si es muy apuntada; Planocrtica si es muyaplanada; y Mesocrtica si se trata de una situacinintermedia.

Estadstico ValorMedia 1.966

Mediana 1.94Moda 1.92

Desviacin estndar

0.192

Varianza 0.03698Kurtosis -0.45Sesgo 0.28Rango 0.86Mnimo 1.57Mximo 2.43

n 124

Moda.- El intervalo de clase con la mayor frecuencia

Mediana.- La mitad de toda la distribucin de frecuencias

Varianza

Mediana

x - mods

ModaMedianaMediana

1


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7QUARTILES

Q1 Q2 Q3

1.500.0

25.0

50.0

75.0

100.0

1.75 2.00 2.25 2.50

Cum

ula

tive

Pc

tAcum. Frecs. mmt


8

HISTOGRAMAS TIPICOS Y SUS CURVAS DE ACUMULACION DE

FRECUENCIAS (CAF)

Histogramas Curvas de acumulac. de frecuencias


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PRESENTACION SUMARIA DE ESTADISTICOS: BOX-PLOT (DIAGRAMA DE CAJA)

Swelling clays

3.2

3.0

2.8

2.6

2.4

2.2

2.0

1.8

1.6

Boxplot of Swelling clays

Valor mnimo

Primer Quartil

Mediana

TercerQuartil

Valor mximo


10PRESENTACION SUMARIA DE LA CARACTERIZACIN ESTADISTICA

6005004003002001000

Median

Mean

5045403530

A nderson-Darling Normality Test

V ariance 2122.025

Skewness 4.6149

Kurtosis 42.6063

N 724

Minimum 3.000

A -Squared

1st Q uartile 15.200

Median 31.450

3rd Q uartile 57.625

Maximum 632.000

95% C onfidence Interv al for Mean

40.771

41.60

47.493

95% C onfidence Interv al for Median

29.070 34.000

95% C onfidence Interv al for StDev

43.809 48.569

P-V alue < 0.005

Mean 44.132

StDev 46.065

95% Confidence Intervals

Summary for Cu_ppm


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EJEMPLO DE DISTRIBUCION NORMAL

424140393837

Median

Mean

39.239.139.038.938.8

Anderson-Darling Normality Test

V ariance 1.005

Skewness 0.152379

Kurtosis -0.253495

N 180

Minimum 36.600

A -Squared


Median 39.100


Maximum 41.900


38.911

0.29

39.206


38.800 39.200


0.909 1.118

P-V alue 0.600

Mean 39.059

StDev 1.003


Summary for Cu gpl


12

VERIFICACION DE LA NORMALIDAD DE LA DISTRIBUCION

424140393837

Median

Mean

39.239.139.038.938.8


V ariance 1.005

Skewness 0.152379

Kurtosis -0.253495

N 180

Minimum 36.600

A -Squared


Median 39.100


Maximum 41.900


38.911

0.29

39.206


38.800 39.200


0.909 1.118

P-V alue 0.600

Mean 39.059

StDev 1.003


Summary for Cu gpl

p > Distribuc. normal


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TEST DE NORMALIDADBuen ajuste a recta

p > Distribuc. normal

Cu gpl

Percent

4342414039383736

99.9

99

95

90

80

7060504030

20

10

5

1

0.1

Mean

0.600

39.06

StDev 1.003

N 180

AD 0.293

P-Value

Probability Plot of Cu gplNormal


14

DISTRIBUCION NORMALDE LOS ERRORES:

Si no existe sesgo, en general los errores siguenuna distribucin normal como la mostrada en elgrfico

donde: e es error y s2 su varianza

P [-2 +2] = 0.95


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EL CONCEPTO DE SIX SIGMA

VARIAS DENOMINACIONES:Six sigma6 s6 sigma6 s

DPMO: Defectos por milln de oportunidades

Ms all de los dgitos, six sigma es una filosofa de negocios enfocada en laMEJORA CONTINUA, optimizando procesos a partir de las necesidades de losclientes.

Es como plantearse un intervalo deconfianza de : 99.99966 %Lo cual significa que se aspira a tener unporcentaje de 99.99966 libre de defectos;o slo 3.4 DPMO.

Si furamos menos exigentes; v.gr. slo 99.9%; esto significaracatstrofes como:

96 accidentes areos por cada 100,000 vuelos. Por lo menos 20,000 prescripciones mdicas errneas por ao. Corte de servicio de celular por 10 minutos cada semana.


16

EXACTITUD Y PRECISION

Exactitud: Cuando la media es insesgada Precisin: La varianza del error debe ser pequea

Exactitudsin Precisin

Precisinsin Exactitud

Exactitudy Precisin

Ninguno


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MUESTRA IDEAL: EQUIPROBABLE Y DE VARIANZA PEQUEA

Exactitud: Cuando la media es insesgada

Precisin: La varianza del error debe ser pequea

Media

MediaMedia

Media

SesgadoVarianza grande

InsesgadoVarianza grande

InsesgadoVarianza pequea

SesgadoVarianza pequea


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DISTRIBUCIONES LOG-NORMALES Y EL EFECTO PROPORCIONAL

10

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TIPICA DISTRIBUCION LOG-NORMAL DEL AUEN UN YACIMIENTO EPITERMAL DE HS

Moda

Mediana

Media

Valores bajos no significativos

Altos errticos

1102

882

661

Freq

uen

cy Co

unt

441

220

0 250.000 600.000 750.000 000.000 250.000

Au ppb

750.000500.000 200.000


20

VERIFICACION PRACTICA DE LA LOG-NORMALIDAD

Obviamente se rechaza la hiptesis de normalidad:

p-value

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21

COMPROBACION GRAFICA DEL EFECTO PROPORCIONAL

0

250

500

750

1000

1250

1500

0 250 500 750 1000 1250 1500 1750 2000 2250 2500

Ley m

edi

a de

l oro

(p

pb)

Desviacin estndar


22

EJEMPLO DE DISTRIBUCIONES LOG-NORMALES CON EFECTO PROPORCIONAL:

CASO DEL CU

1390

9

19

28

37

3213 6286 9360 12433

Freq

uen

cy

Histograma Cu DDH 107

Cuppm

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23

EJEMPLO DE DISTRIBUCIONES LOG-NORMALES CON EFECTO PROPORCIONAL:

CASO DEL CU

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

0 2000 4000 6000Media

GRAFICO MEDIA VS DESVIACION ESTANDAR CUT

Desv

. es

tn

dar

1390

9

19

28

37

3213 6286 9360 12433

Fre

que

ncy

Histograma Cu DDH 107

Cuppm


24

EJEMPLO DE DISTRIBUCIONES LOG-NORMALES CON EFECTO

PROPORCIONAL: CASO DEL MO

800

11

22

33

44

224 369 513 657

Fre

que

ncy

Histograma Mo ppm DDH 108

Mo ppm

13


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25

EJEMPLO DE DISTRIBUCIONES LOG-NORMALES CON EFECTO

PROPORCIONAL: CASO DEL MO

050

100150200250300

Media

Grfico Media vs Desv. Estndar MoDe

sv. es

tn

dar

800

11

22

33

44

224 369 513 657

Fre

que

ncy

Histograma Mo ppm DDH 108

Mo ppm


26

COMO SE REFLEJA EL EFECTO PROPORCIONAL EN LOS VARIOGRAMAS

0

500000

1000000

1500000

2000000

2500000

6 20 35 50 60 75 90 105

120

130

145

160

175

Paso (h)

A67A86A22A129

Tomado de Canchaya (2004)

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27DISCUSION

En la bibliografa se encuentra recomendaciones controversiales para tratar estetipo de distribuciones. Por ejemplo se recomienda dividir los valores gamma, decada variograma, por su respectiva media al cuadrado; as se obtiene el llamadovariograma relativo.

Hay que hacer notar que al dividir los gamma por la media al cuadrado, los valoresresultantes son adimensionales (no tienen unidades). Para convertirlos en dgitossignificativos nuevamente debern ser multiplicados por el cuadrado de larespectiva media.

David (1977; pg. 173) y otros autores muestran ejemplos donde los variogramasrelativos llegan a coincidir, haciendo desaparecer el efecto proporcional, lo cualno siempre ocurre; incluso recomiendan reemplazar todos los variogramas por unopromedio para poder modelar todo el depsito.

Adems esta forma de trabajo es cuestionable, ya que cuando se trata decomprobar localmente los valores que reproducen el modelo variogrficorelativo, se encuentra valores errneos.


28VARIOGRAMAS RELATIVOS EN DISTRIBUCIONES CON EFECTO

PROPORCIONAL

0.000.200.400.600.801.001.201.401.60

Paso (h)

A67

A86

A22

A129

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RECOMENDACIONES

Lo ms recomendable es tratar de sub-dividir el dominio total de datosen sub-dominios de alta, intermedia y baja ley o por percentiles; ytratar cada sub-dominio por separado.

En el caso de oro en vetas, donde tambin es frecuente el efectoproporcional, es recomendable comparar sub-dominios por niveles osubniveles.

Hay que estar atento a la ocurrencia del efecto proporcional an enotros tipos de variables, por ejemplo Cu y Mo en yacimientosporfirticos.


30

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

Canchaya S. (2004) Log-normalidad y efecto proporcional.Caractersticasfrecuentes en los yacimientos de oro.- XII Congr. Peruano Geol.; 4p.

David, M. (1977) Geostatistical Ore Reserve Estimation.- ElsevierScientificPublishing Co.; 364 p.

Journel, A. G. & Huijbregths Ch. J. (1978) Mining Geostatistics.-Academic Press;600 p.

Krige, D. G. (1981) Lognormal-de Wijsian Geostatistcs for OreEvaluation.- SouthAfrican Inst. Min. Metall; 51.

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31

CORRELACION ENTRE DOS VARIABLES Y ANALISIS DE REGRESION LINEAL Y

SUS APLICACIONES


32

CORRELACION ENTRE DOS VARIABLES

yx SS

yxCovr

*

),(=

La correlacin entre dos variables puede ser definida como lafuerza de asociacin entre dos variables; la misma que escuantificada por el Coeficiente de Correlacin r:

yx SyS

]1,1[ +r

Tambin se usa r2 que se relaciona con la varianza total de x y y. Por ejemplo: para r = 0.88; entonces r2 = 0.77; lo cual significa que el 77 % de la varianza total se puede explicar por una relacin lineal.

=

=

n

i

yyixxinyxCov

1

))(()/1(),(

Donde: Cov es la covarianza Las desviaciones estndar

de x y y respectivamente

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33

EJEMPLOS DE NUBES DE CORRELACION

]1,1[ +rx

yx

y

x

y

x

y

r = 0.94 r = 0.54

r = 0.09

r = - 0.94


34

EJEMPLO DE USO DE LA CORRELACION LINEAL: COMPROBACION GRAFICA DEL

EFECTO PROPORCIONAL

0

250

500

750

1000

1250

1500

0 250 500 750 1000 1250 1500 1750 2000 2250 2500

Ley m

edi

a de

l oro

(p

pb)

Desviacin estndar

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35

prf

kao

43210

8

7

6

5

4

3

2

1

Scatterplot of kao vs prf

EJEMPLO DE NUBES DE CORRELACION ENTRE FILOSILICATOS

r = 0.61

prf = -0.022 + 0.506 kao


36

RESIDUALES EN LA REGRESION LINEAL

y = b + m xY

X

residual 6

residual 1

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37

ANALISIS DE RESIDUALES

Residual

Percent

10-1-2

99.9

99

90

50

10

1

0.1

Fitted Value

Residual

4321

1

0

-1

-2

Residual

Frequency

1.00.50.0-0.5-1.0-1.5

80

60

40

20

0

Observation OrderResidual

140

130

120

110

1009080706050403020101

1

0

-1

-2

Normal Probability Plot of the Residuals Residuals Versus the Fitted Values

Histogram of the Residuals Residuals Versus the Order of the Data

Residual Plots for prf


38

FILOSILICATOS EN CHANCADORA TERCIARIA

y = 1.612x + 0.5r = 0.918r = 0.96

0.000.501.001.502.002.503.003.504.00

0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50

Cao

linita

Pirofilita

Nube de correlacin kao vs. prfy = -0.646x + 2.687

r = 0.769r = 0.88

0.000.501.001.502.002.50

0.00 1.00 2.00 3.00 4.00

Piro

filita

Montmorillonita

Nube de correlacin prf vs mmt

1.75

3.32y = m x + b

kao = 1.612 (prf) + 0.5

kao = 1.612 (1.75) + 0.5

kao = 3.32

Nubes de correlacin con regresin lineal

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TRATAMIENTO DE VALORES ERRATICOS


40

DEFINICION DE VALORES ALTOS ERRATICOS

La ocurrencia aislada devalores altos merece atencin yun tratamiento especial.

Lo ms crtico es definir si setrata de valores altosERRATICOS.

Estos valores son fcilmenteidentificables en loshistogramas y grficos defrecuencia acumulada.

Estos casos son especialmentefrecuentes en los yacimientosde baja ley y/o de mineralespreciosos.

Por lo general representan menos del 5% del total de lapoblacin, y por ende del tonelaje; sin embargo, debidoa su alto valor, aportan sensiblemente en el valormetlico global, en proporciones entre 20 y 40%.

Por lo tanto, influyen y juegan un rol crucial en laeconoma del yacimiento.

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41

6005004003002001000

Median

Mean

5045403530


V ariance 2122.025

Skewness 4.6149

Kurtosis 42.6063

N 724

M inimum 3.000

A -Squared


Median 31.450


Maximum 632.000


40.771

41.60

47.493

95% Confidence Interval for Median

29.070 34.000


43.809 48.569

P-V alue < 0.005

Mean 44.132

StDev 46.065


Summary for Cu_ppm

1801501209060300

Median

Mean

45.042.540.037.535.032.530.0


V ariance 1198.994

Skewness 1.45774

Kurtosis 2.12815

N 718

M inimum 3.000

A -Squared


Median 31.200


Maximum 187.000


39.023

27.43

44.097


29.000 33.675

95% C onfidence Interv al for S tDev

32.923 36.517

P-V alue < 0.005

Mean 41.560

StDev 34.626


Summary for Cu_ppm

Con todos los datos

Eliminando los altos errticos:

> 200 ppm Cu EN AMBOS CASOS SE RECHAZA LA HIPTESIS DE NORMALIDAD

PORQUE: P < @

IDENTIFICACION DE VALORES ALTOSERRATICOS


42

DIAGRAMAS DE CAJA PARA VISUALIZAR VALORES ERRATICOSFILOSILICATOS COMPOSITOS DIARIOS CHANCADORA TERCIARIA

9

8

7

6

5

Data

4*4.15*4*3.12

*2.94

*0.12

*9.03

*7.18*6.94

*5.52*5.23*5.17

3

2

1

0

prf mmt kao

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43

MONITOREO DE LA DATA PARA DEFINIR VERDADEROS ALTOS ERRATICOS

Da kao27 2.8428 3.3929 3.5430 3.5831 2.6732 9.0333 2.7734 2.2735 2.6336 3.4337 3.54

Estadsticos de kao:x = 2.88s = 1.18


44


Da kao27 2.8428 3.3929 3.5430 3.5831 2.6732 9.0333 2.7734 2.2735 2.6336 3.4337 3.54

Da kao27 2.8428 3.3929 3.5430 3.5831 2.6732 5.2433 2.7734 2.2735 2.6336 3.4337 3.54

x + 2s = 2.88 + 2.36

ALTO ERRATICO


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45


Da kao27 2.8428 3.3929 3.5430 3.5831 2.6732 9.0333 2.7734 2.2735 2.6336 3.4337 3.54

Da kao116 2.58117 2.40118 3.54119 5.17120 4.28121 7.18122 5.52123 2.80124 2.75125 1.47126 1.79

Da kao27 2.8428 3.3929 3.5430 3.5831 2.6732 5.2433 2.7734 2.2735 2.6336 3.4337 3.54


x + 2s = 2.88 + 2.36

ALTO ERRATICO


46


Da kao27 2.8428 3.3929 3.5430 3.5831 2.6732 9.0333 2.7734 2.2735 2.6336 3.4337 3.54

Da kao116 2.58117 2.40118 3.54119 5.17120 4.28121 7.18122 5.52123 2.80124 2.75125 1.47126 1.79

Da kao27 2.8428 3.3929 3.5430 3.5831 2.6732 5.2433 2.7734 2.2735 2.6336 3.4337 3.54


Da kao116 2.58117 2.40118 3.54119 5.17120 4.28121 7.18122 5.52123 2.80124 2.75125 1.47126 1.79

x + 2s = 2.88 + 2.36

ALTO ERRATICO

ALTO NO ERRATICO

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47

prf

kao

543210

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0


prf

kao

43210

8

7

6

5

4

3

2

1


COMPARACION DE NUBES DE CORRELACION CON Y SIN ALTOS ERRATICOS

r = 0.54

r = 0.61

prf = 0.134 + 0.452 kao

prf = -0.022 + 0.506 kao


48

COMPARACION DE RESIDUALES DE LA DATA CON Y SIN ALTOS ERRATICOS

Residual

Percent

3.01.50.0-1.5-3.0

99.9

99

90

50

10

1

0.1

Fitted Value

Residual

4321

3.0

1.5

0.0

-1.5

-3.0

Residual

Frequency

3210-1-2

100

75

50

25

0

Observation Order

Residual

140

130

120

110

1009080706050403020101

3.0

1.5

0.0

-1.5

-3.0




Residual

Percent

10-1-2

99.9

99

90

50

10

1

0.1

Fitted Value

Residual

4321

1

0

-1

-2

Residual

Frequency

1.00.50.0-0.5-1.0-1.5

80

60

40

20

0

Observation Order

Residual

140

130

120

110

1009080706050403020101

1

0

-1

-2




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49

EFECTO DE ALTOS ERRATICOS EN EL COEFICIENTE DE REGRESION LINEAL

y = 0.069x + 1.204r = 0.182r = 0.427

0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

2.50

3.00

3.50

0.00 5.00 10.00 15.00 20.00

prf

mmt

Nube de correlacin prf vs mmtMayo


50


y = 0.069x + 1.204r = 0.182r = 0.427

0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

2.50

3.00

3.50

0.00 5.00 10.00 15.00 20.00

Nube de Correlacin prf vs mmtMayo

0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

2.50

0.00 1.00 2.00 3.00 4.00

prf vs mmt Sin Altos ErrticosMayo

prf

mmt mmt

y = -0.646x + 2.687r = 0.769r = 0.877

26


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51


y = 0.073x + 1.013r = 0.716r = 0.846

0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

2.50

0.00 5.00 10.00 15.00 20.00

prf

mmt

Nube de Correlacin mmt vs prfJunio


52


y = 0.073x + 1.013r = 0.716r = 0.846

0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

2.50

0.00 5.00 10.00 15.00 20.00

prf

Nube de Correlacin mmt vs prfJunio

y = -0.017x + 1.199r = 0.006r = 0.077

0.000.200.400.600.801.001.201.401.60

0.00 1.00 2.00 3.00 4.00

prf

mmt

mmt vs. prf Sin Altos ErrticosJunio

mmt

27


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53

TRATAMIENTO DE VALORES ALTOS ERRATICOS

CORTES (CUTTINGS) EMPIRICOS.- Cut off alto fijo.- V. gr. todos los outliers se reducen

a 1 oz/t Au. Cut off alto variable: regla del 1/3 1/3.- V. gr. 1.5

oz/t Au se reduce a:0.33 + 0.33*(1.5 - 0.33) = 0.72 oz/t Au


54


CORTES (CUTTINGS) EMPIRICOS.- Cut off alto fijo.- V. gr. todos los outliers se reducen a 1

oz/t Au. Cut off alto variable: regla del 1/3 1/3.- V. gr. 1.5 oz/t

Au se reduce a:0.33 + 0.33*(1.5 - 0.33) = 0.72 oz/t Au

CORTES ESTADISTICOS.- Utilizando grficos probabilsticos de frecuencia

acumulada, donde los altos errticos se discriminanfcilmente, para luego ser reducidos a un valordeterminado.

Usando Control charts (ver diapositivas siguientes).

28


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55

VALORES ERRATICOS EN CONTROL CHARTS

9.07.56.04.53.01.5

% kao

Median

Mean

3.13.02.92.82.72.6


Variance 1.3913

Skewness 2.12283

Kurtosis 7.40478

N 144

Minimum 1.0700

A-Squared

1st Quartile 2.2550

Median 2.6500

3rd Quartile 3.2450

Maximum 9.0300

95% Confidence Interval for Mean

2.6813

5.43

3.0699

P-Value < 0.005

Mean 2.8756

StDev 1.1795


Caracterizac. estadstica kao (%)

Observation

Individual Value

141127113998571574329151

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

_X=2.876

UCL=4.730

LCL=1.021

1

1

111

1

11

1

Control Chart of kao (%)


56


9.07.56.04.53.01.5

% kao

Median

Mean

3.13.02.92.82.72.6


Variance 1.3913

Skewness 2.12283

Kurtosis 7.40478

N 144

Minimum 1.0700

A-Squared

1st Quartile 2.2550

Median 2.6500

3rd Quartile 3.2450

Maximum 9.0300


2.6813

5.43

3.0699

P-Value < 0.005

Mean 2.8756

StDev 1.1795



Observation

Individual Value

141127113998571574329151

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

_X=2.876

UCL=4.730

LCL=1.021

1

1

111

1

11

1


Tpico Alto Errtico

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57


9.07.56.04.53.01.5

% kao

Median

Mean

3.13.02.92.82.72.6


Variance 1.3913

Skewness 2.12283

Kurtosis 7.40478

N 144

Minimum 1.0700

A-Squared

1st Quartile 2.2550

Median 2.6500

3rd Quartile 3.2450

Maximum 9.0300


2.6813

5.43

3.0699

P-Value < 0.005

Mean 2.8756

StDev 1.1795



Observation

Individual Value

141127113998571574329151

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

_X=2.876

UCL=4.730

LCL=1.021

1

1

111

1

11

1


Tpico Alto Errtico

x s x + s2.876 1.18 4.055

4.055


58VALORES ERRATICOS EN CONTROL

CHARTS

9.07.56.04.53.01.5

% kao

Median

Mean

3.13.02.92.82.72.6


Variance 1.3913

Skewness 2.12283

Kurtosis 7.40478

N 144

Minimum 1.0700

A-Squared

1st Quartile 2.2550

Median 2.6500

3rd Quartile 3.2450

Maximum 9.0300


2.6813

5.43

3.0699

P-Value < 0.005

Mean 2.8756

StDev 1.1795



Observation

Individual Value

141127113998571574329151

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

_X=2.876

UCL=4.730

LCL=1.021

1

1

111

1

11

1


Tpico Alto Errticox s x + s x+2s

2.876 1.18 4.055 5.235

4.055

5.235

30


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59VALORES ERRATICOS EN CONTROL CHARTS

9.07.56.04.53.01.5

% kao

Median

Mean

3.13.02.92.82.72.6


Variance 1.3913

Skewness 2.12283

Kurtosis 7.40478

N 144

Minimum 1.0700

A-Squared

1st Quartile 2.2550

Median 2.6500

3rd Quartile 3.2450

Maximum 9.0300


2.6813

5.43

3.0699

P-Value < 0.005

Mean 2.8756

StDev 1.1795



Observation

Individual Value

141127113998571574329151

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

_X=2.876

UCL=4.730

LCL=1.021

1

1

111

1

11

1


Tpico Alto Errtico

x s x + s x+2s x+3s2.876 1.18 4.055 5.235 6.414

4.055

5.235

6.414


60


9.07.56.04.53.01.5

% kao

Median

Mean

3.13.02.92.82.72.6


Variance 1.3913

Skewness 2.12283

Kurtosis 7.40478

N 144

Minimum 1.0700

A-Squared

1st Quartile 2.2550

Median 2.6500

3rd Quartile 3.2450

Maximum 9.0300


2.6813

5.43

3.0699

P-Value < 0.005

Mean 2.8756

StDev 1.1795



Observation

Individual Value

141127113998571574329151

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

_X=2.876

UCL=4.730

LCL=1.021

1

1

111

1

11

1


Tpico Alto Errticox s x + s x+2s x+3s

2.876 1.18 4.055 5.235 6.414

4.055

5.235

6.414

ALTERNATIVAS MAS USADAS: Eliminar el alto errtico. Reemplazarlo por la media ms 1s, o 2s o 3s. Reduccin por la regla del tercio menos tercio.

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61


CORTES (CUTTINGS) EMPIRICOS.- Cut off alto fijo.- V. gr. todos los outliers se reducen a 1 oz/t Au Cut off alto variable: regla del 1/3 1/3.- V. gr. 1.5 oz/t Au se reduce a:

0.33 + 0.33*(1.5 - 0.33) = 0.72 oz/t Au

CORTES ESTADISTICOS.- Utilizando grficos probabilsticos de frecuenciaacumulada, donde los altos errticos se discriminan fcilmente, para luego ser reducidosa un valor determinado.Usando Control charts (ver diapositivas siguientes)

CORRECCION LOGNORMAL O DE SICHEL (1952).- Se reemplaza el alto errtico porel exponencial de la media de los logaritmos de los valores adyacentes multiplicados porun factor de correccin que se obtiene en las tablas de Sichel, el cual es una funcin dellog de la varianza y del nmero de muestras; ver tambin DAVID (1982).(Ejemplo en las diapositivas sub-siguientes).


62

EJEMPLO DE CORRECCION LOG-NORMAL O DE SICHEL

Prof. m Aug/t321.29 1.02325.18 2.40327.89 1.54329.90 1.00331.35 1.50333.15 35.3335.12 2.70337.66 4.30339.26 1.05341.18 1.47343.29 1.08

Alto errtico: 35.3

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63


Prof. m Aug/t321.29 1.02325.18 2.40327.89 1.54329.90 1.00331.35 1.50333.15 35.3335.12 2.70337.66 4.30339.26 1.05341.18 1.47343.29 1.08

Alto errtico: 35.3 Seleccin de dos valores contiguos

a ambos lados n = 5 Media aritmtica = 8.96


64


Prof. m Aug/t Log Au321.29 1.02325.18 2.40327.89 1.54329.90 1.00 0.00331.35 1.50 0.41333.15 35.3 3.56335.12 2.70 0.99337.66 4.30 1.46339.26 1.05341.18 1.47343.29 1.08


a ambos lados n = 5 Media aritmtica = 8.96 Clculo del log de los valores

33


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65


Prof. m Aug/t log Au321.29 1.02325.18 2.40327.89 1.54329.90 1.00 0.00331.35 1.50 0.18333.15 35.3 1.55335.12 2.70 0.43337.66 4.30 0.63339.26 1.05341.18 1.47343.29 1.08


a ambos lados n = 5 Media aritmtica = 8.96 Clculo del log de los n valores Media de los logs = 0.56 e media logs = 3.63 Log de la varianza = 2.34

media 8.96 0.56

var. 218.4 2.34


66

2,124 2,177 2,214 2,243 2,2652,201 2,260 2,303 2,336 2,3612,280 2,347 2,395 2,431 2,460

2,360 2,435 2,489 2,530 2,5632,442 2,526 2,586 2,632 2,6692,526 2,618 2,686 2,737 2,7782,612 2,714 2,788 2,846 2,8912,699 2,812 2,894 2,957 3,008

2,789 2,912 3,003 3,073 3,1282,880 3,015 3,114 3,191 3,2532,973 3,120 3,229 3,314 3,3823,068 3,228 3,347 3,440 3,514

TABLA PARA LA ESTIMACION DEL FACTOR DE SICHEL (FCS)

nV

2.34 2.727

34


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67


Prof. m Aug/t Log Au Au g/t321.29 1.02325.18 2.40327.89 1.54329.90 1.00 0.00331.35 1.50 0.18333.15 35.3 1.55 9.899335.12 2.70 0.43337.66 4.30 0.63339.26 1.05341.18 1.47343.29 1.08


a ambos lados n = 5 Media aritmtica = 8.96 Clculo del log de los n valores Media de los logs = 0.56 e media logs = 3.63 Log de la varianza = 2.34 Factor de correccin (fcS)

de la tabla de Sichel = 2.727 Media de Sichel = fcS * e media logs = 9.899

media 8.96 0.56var. 218.4 2.34


68


Prof. m Aug/t Log Au Au g/t321.29 1.02 1.02325.18 2.40 2.40327.89 1.54 1.54329.90 1.00 0.00 1.00331.35 1.50 0.18 1.50333.15 35.3 1.55 9.90335.12 2.70 0.43 2.70337.66 4.30 0.63 4.30339.26 1.05 1.05341.18 1.47 1.47343.29 1.08 1.08

media 8.96 0.56var. 218.4 2.34


a ambos lados n = 5 Media aritmtica = 8.96 Clculo del log de los n valores Media de los logs = 0.56 e media logs = 3.63 Log de la varianza = 2.34 Factor de correccin (fcS)

de la tabla de Sichel = 2.727 Media de Sichel = fcS * e media logs = 9.899

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69

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

David M. (1977) Geostatistical Ore Reserve Estimation.- Elsevier New York; 364 p.

Rendu J. M. (1981) An Introduction to Geostatistical Methods of Mineral Evaluation.- South Afr. Inst. Min. Metall.; Johannesburg; 84 p.

Sichel H. S. (1952) New methods in the statistical evaluation of mine sampling data.- Trans. I. M. M., London; 61: 261-288.

Sichel H. S. (1966) The estimation of means and associated confidence limits for smalls samples from lognormal populations.- Symposium on Mathematical Statistics and Computer Applications I Ore Valuation: 106-122; South Afr. Inst. Min. Metall.; Johannesburg. Citado por Rendu (1981).


70

PLANOS DE CURVAS ISOVALORICAS (CI) SECCIONES LONGITUDINALES

CONTORNEADAS (SLC) Y DE COCIENTES METALICOS.

SU APLICACION EN VETAS Y BANCOS

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71

INTRODUCCION:

El uso de Secciones y Planos de CurvasIsovalricas de Leyes (SCI) tiene comopioneros a CONOLLY (1936) yMcKINSTRY & SVENDSEN (1942).

A pesar de un uso muy extendido, sobretodo a mediados del siglo pasado, hanperdido un poco de vigencia, debidofundamentalmente a varios desaciertos.

El mtodo SCI es una poderosaherramienta, cuando es correctamenteaplicado


72

INTRODUCCION:

Principales causas de los desaciertos en su uso : El uso indiscriminado del mtodo, sin la

caracterizacin estadstica previa de lasvariables.

El empleo de variable no aditivas El uso de tcnicas empricas de interpolacin No considerar la heterogeneidad geolgica

de la zona de estudio, ni la natural anisotropade la distribucin de las variables.

Falta de soporte geolgico y mineralgico losuficientemente detallado de la zona de

estudio.

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73

DEFINICIONES PRELIMINARES:

Dominio.- Volumen, rea o zona,seleccionada o independizada de lascontiguos, para efectos de estudio.Ejemplos: Zona de mineral primario,zona de endoskarn, zona de alteracinarglica avanzada, volumen queengloba las leyes mayores a 5 g/t Au,etc.

V

dv

Soporte.- Volumen, peso o cantidad de datosque sustenta el valor de una variable. Ejemplos:La potencia de una veta, la longitud del tramo deun DDH, los m3 de una muestra de morrenas, etc.


74

DEFINICIONES PRELIMINARES:

Variable aditiva.- Toda variable que tiene un sentido fsicointrnseco o que est ponderada con algn soporte fsico.Ejemplos: Densidad, potencia de una veta, ley ponderada por lapotencia (acumulacin), o por la longitud del tramo muestreado.

Muestra: Parte o porcin representativa de un poblacin o dominio;resultado de un procedimiento de muestreo equiprobable: cuando todoslos componentes tienen la misma probabilidad de ser elegidos.Cuando el muestreo no cumple la condicin de equiprobabilidad slo seobtiene un especmen.

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75

TIPOS DE CURVAS ISOVALORICAS (CI):

C. I. de variables cuantitativas: C. I. de leyes. C. I. de acumulac. o contenido metlico. C. I. de potencias. C. I. de valores en US$. C. I. de cociente metlicos. C. I. de contornos estructurales. C. I. especiales.

C. I. de variables semi-cuantitativas: C. I. mineralgicas. C. I. litolgicas. C. I. de alteraciones. C. I. de densidades. C. I. de densidad de fracturamiento. C. I. especiales.

Cualquier plano o seccinque muestre puntos o zonasisovalricas unidos porcurvas continuas constituyeun plano o seccin de curvasisovalricas.


76

Teniendo la data convenientemente tabulada, con sus coordenadas y valores; es fcil plotear todos los puntos en un plano o seccin 2D

Al costado de cada punto ploteado se puede anotar el valor respectivo

Generalmente entre punto y punto muestreado hay vacos sin valores.

Justamente las tcnicas de INTERPOLACION sirven para llenar estos espacios vacos.

Finalmente se unen los isovalores por lneas ms o menos continuas.

Este m.

Cotam.

Auppm

Asppm

276980 4520 762 345276682 4454 1377 564276695 4788 4938 11000276710 4775 1517 13543276720 4722 4798 12000276720 4740 4655 9998279002 4794 449 589279000 4595 98 715279068 4562 1921 2334279020 4510 822 341

PREPARACION DE UNA SECCION O PLANO DE CURVAS ISOVALORICAS

xxx

x

x

x

x

x

x

x

xx x

x

x

x

xx

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

xx

x

x4700

277

276

4600

4500

EW

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