6-Sttk-1UD (Rev 200512)

Ukuran Dispersi

D:\DATA KERJA\Website FEKON\Fekon Maret 2013 (Sulhan)\Statistika-1 Rev 070313\Statistika-1 Rev 200512\6-Sttk-

1UD (Rev 200512).docx 1

VI. UKURAN DISPERSI A. Pengertian Dispersi

Ukuran dispersi atau ukuran variasi atau ukuran penyimpangan adalah ukuran yang menyatakan seberapa jauh penyimpangan nilai-nilai data dari nilai-nilai pusatnya atau ukuran yang menyatakan seberapa banyak nilai-nilai data yang berbeda dengan nilai-nilai pusatnya.

B. Jenis-Jenis Ukuran Dispersi

1. Rentang Rentang (Jangkauan, Range, R) adalah selisih nilai terbesar data dengan nilai terkecil data.

1.1 Rentang data tunggal

R = Xn – X1 Contoh : Tentukan rentang dari data berikut : 1, 4, 7, 8, 9, 11. Penyelesaian : Xn = X6 = 11 X1 = 1 R = X6 – X1 = 11 – 1 = 10

1.2 Rentang data berkelompok

Dapat dihitung berdasarkan titik tengah kelas dan tepi kelas. Contoh :

Modal Frekuensi

50 – 59 16

60 – 69 32

70 – 79 20

80 – 89 17

90 – 99 15

Jumlah 100

Titik tengah kelas terendah : 54,5 Titik tengah kelas tertinggi : 94,5 Tepi bawah kelas terendah : 49,5 Tepi atas kelas tertinggi : 99,5 Berdasarkan titik tengah kelas : Rentang : 94,5 – 54,5 = 40 Berdasarkan tepi kelas : Rentang : 99,5 – 49,5 = 50

2. Rentang antar Kuartil dan Rentang Semi Interkuartil

Rentang antar kuartil adalah selisih antara nilai kuartil atas (Q3) dan kuartil bawah (Q1).

Ukuran Dispersi


1UD (Rev 200512).docx 2

RK = Q3 – Q1 Simpangan kuartil atau rentang semi interkuartil adalah setengah dari selisih kuartil atas (Q3) dan kuartil bawah (Q1). Qd = 0,5(Q3 – Q1) Contoh data tunggal : Tentukan rentang antar kuartil dan rentang semi interkuartil dari data berikut : 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14. Penyelesaian : Q1 = 4 Q3 = 12 RK = Q3 – Q1 = 12 – 4 = 8 Qd = 0,5 (Q3 – Q1) = 0,5 (12 – 4) = 4 Contoh data berkelompok : Tentukan rentang antar kuartil dan rentang semi interkuartil dari data berikut :

Modal Frekuensi

30 – 39 2

40 - 49 3

50 – 59 5

60 – 69 14

70 – 79 24

80 – 89 20

90 – 99 12

Jumlah 80

Penyelesaian :

Cf

fiin

BiQi

Qi

0)(

4

Dari tabel di atas diketahui : Kelas kuartil ke-1 = kelas ke-4 Kelas kuartil ke-3 = kelas ke-6 B1 = tepi bawah kelas kuartil ke-1 adalah 59,5 B3 = tepi bawah kelas kuartil ke-3 adalah 79,5 Kuartil ke-1 (Q1):

Cf

fn

BQ

Q1

01

1

)(4

1

1

Ukuran Dispersi


1UD (Rev 200512).docx 3

1014

104

80

5,591

Q

1014

10205,591

Q

10)714,0(59,591 Q

14,75,591 Q

64,661 Q

Kuartil ke-3 (Q3):

Cf

fn

BQ

Q 3

03

33

)(4

3

1020

484

240

5,793

Q

1020

48605,79

3

Q

10)60,0(59,793

Q

65,793

Q

5,853Q

Jangkuan antarkuartil (JK): JK = Q3 – Q1 = 85,5 – 66,64 = 18,86 Jangkuan semi interkuartil (Qd): Qd = ½(Q3 – Q2) = ½(85,5 – 66,64) = ½(18,86) = 9,43 JK dapat digunakan untuk menemukan data pencilan yang kurang dari pagar dalam dan lebih dari pagar luar. L = 1,5 JK PD = Q1 – L PL = Q3 + L

Ukuran Dispersi


1UD (Rev 200512).docx 4

Contoh: Selidiki apakah terdapat data pencilan dari data berikut: 15, 33, 42, 50, 51, 51, 53, 55, 62, 64, 65, 68, 79, 85, 97. Penyelesaian: n = 15 Q2 = n8 = 55 Q1 = n4 = 50 Q3 = n12 = 68 JK = 68 – 50 = 18 L = 1,5 JK = 1,5 (18) = 27 PD = 50 – 27 = 23 PL = 68 + 27 = 95

C. Deviasi Rata-Rata (Simpangan Rata-Rata)

Deviasi rata-rata atau deviasi rata-rata atau mean deviation adalah nilai rata-rata

hitung dari harga mutlak simpangan-simpangannya.

1. Deviasi Rat-Rata Data Tunggal

𝐷𝑅 =1

𝑛 𝑋 − 𝑋 =

𝑋 − 𝑋

𝑛

Contoh soal:

Tentukan deviasi rata-rata dari data berikut: 2, 3, 6, 8, 11.

Penyelesaian:

Rata-rata hitung:

𝑋 =2 + 3 + 6 + 8 + 11

5= 6

𝑋𝑖 − 𝑋 = 2 − 6 + 3 − 6 + 6 − 6 + 8 − 6 + 8 − 6 = 14

𝐷𝑅 = 𝑋 − 𝑋

𝑛=

14

5= 2,8

2. Deviasi Rata-Rata Data Berkelompok

𝐷𝑅 =1

𝑛 𝑓 𝑋 − 𝑋 =

𝑓 𝑋 − 𝑋

𝑛

Contoh:

Tentukan deviasi rata-rata dari distribusi frekuensi berikut ini.

Ukuran Dispersi


1UD (Rev 200512).docx 5

Tinggi Badan (cm) F

140 – 144

145 – 149

150 – 154

155 – 159

160 – 164

165 – 169

170 - 174

2

4

10

14

12

5

3

Jumlah 50

Penyelesaian:

Tinggi Badan

(cm)

f X 𝑋 − 𝑋 𝑓 𝑋 − 𝑋

140 – 144

145 – 149

150 – 154

155 – 159

160 – 164

165 – 169

170 – 174

2

4

10

14

12

5

3

142

147

152

157

162

167

172

15,7 31,4

Jumlah 50 - - 282

𝐷𝑅 = 𝑓 𝑋 − 𝑋

𝑛=

282

50= 5,64

D. Varians

Varians adalah nilai tengah kuadrat simpangan dari nilai tengah atau simpangan rata-

rata kuadrat. Untuk sampel, variansnya (varians sampel) disimbulkan dengan s2.

Untuk populasi, variansnya (varians populasi) disimbulkan dengan 2 (sigma

kuadrat).

1. Varians data tunggal

a. Metode biasa

(1) Untuk sampel besar (n 30)

𝑠2 = (𝑋 − 𝑋 )2

𝑛

(2) Untuk sampel kecil (n 30)

Ukuran Dispersi


1UD (Rev 200512).docx 6

𝑠2 = (𝑋 − 𝑋 )2

𝑛 − 1

b. Metode angka kasar


𝑠2 = 𝑋

2

𝑛−

𝑋

𝑛

2


𝑠2 = 𝑋

2

𝑛 − 1−

( 𝑋)2

𝑛(𝑛 − 1)

Contoh soal: Tentukan varians dari data: 2, 3, 6, 8, 11. Penyelesaian: n = 5

𝑋 =2 + 3 + 6 + 8 + 11

5= 6

X 𝑋 − 𝑋 (X -𝑋 )2 X

2

2

3

6

8

11

-4

-3

0

2

5

16

9

0

4

25

4

9

36

64

121

30 - 54 234

𝑠2 = (𝑋 − 𝑋 )2

𝑛 − 1

𝑠2 =54

5 − 1

𝑠2 = 13,5

𝑠2 = 𝑋

2

𝑛 − 1−

( 𝑋)2

𝑛(𝑛 − 1)

Ukuran Dispersi


1UD (Rev 200512).docx 7

𝑠2 =234

5 − 1−

(30)2

5(5 − 1)

𝑠2 =234

4−

900

20

𝑠2 = 58,5 − 45

𝑠2 = 13,5

2. Varians data berkelompok

a. Metode biasa


𝑠2 = 𝑓(𝑋 − 𝑋 )2

𝑛


𝑠2 = 𝑓(𝑋 − 𝑋 )2

𝑛 − 1



𝑠2 = 𝑓𝑋

2

𝑛−

𝑓𝑋

𝑛

2


𝑠2 = 𝑓𝑋

2

𝑛 − 1−

( 𝑓𝑋)2

𝑛(𝑛 − 1)

c. Metode coding


𝑠2 = 𝐶2 𝑓𝑢

2

𝑛−

𝑓𝑢

𝑛

2


Ukuran Dispersi


1UD (Rev 200512).docx 8


2

𝑛 − 1−

𝑓𝑢 2

𝑛(𝑛 − 1)

Dimana: C = panjang interval kelas

𝑢 = 𝑑

𝐶=

𝑋 −𝑀

𝐶

M = rata-rata hitung sementara

Contoh soal:

Tentukan varians dari distribusi frekuensi berikut: Hasil Pengukuran Diameter Pipa

Diameter f

65 – 67 68 – 70 71 – 73 74 – 76 77 – 79 80 – 82

2 5 13 14 4 2

Jumlah 40

Penyelesaian:

(1) Metode biasa

Diketahui: 𝑋 = 73,425

Diameter X f 𝑋 − 𝑋 𝑋 − 𝑋 2 𝑓 𝑋 − 𝑋 2

65 – 67 68 – 70 71 – 73 74 – 76 77 – 79 80 – 82

66 69 72 75 78 81

2 5 13 14 4 2

-7,425 55,131 110,262

Jumlah - 40 - - 467,790

𝑠2 = 𝑓(𝑋 − 𝑋 )2

𝑛

𝑠2 =467,790

40

Ukuran Dispersi


1UD (Rev 200512).docx 9

𝑠2 = 11,694

(2) Metode angka kasar

Diameter X F X2 fX fX2

65 – 67 68 – 70 71 – 73 74 – 76 77 – 79 80 - 82

66 69 72 75 78 81

2 5 13 14 4 2

4.356 4.761 5.184 5.625 6.084 6.561

132 345 936

1.050 312 162

8.712 23.805 67.392 78.750 24.336 13.122

Jumlah - 40 2.937 216.117

𝑠2 = 𝑓𝑋

2

𝑛−

𝑓𝑋

𝑛

2

𝑠2 =216.117

40−

2.937

40

2

𝑠2 = 5.402,925 − 5.391,231 = 11,694

(3) Metode coding

Diameter X f u u2 fu fu2

65 – 67 68 – 70 71 – 73 74 – 76 77 – 79 80 – 82

66 69 72 75 78 81

2 5 13 14 4 2

-3 -2 -1 0 1 2

9 4 1 0 1 4

-6 18

Jumlah - 40 - - -21 63


2

𝑛−

𝑓𝑢

𝑛

2

𝑠2 = 32 63

40−

−21

40

2

𝑠2 = 9 1,575 − 0,5252

Ukuran Dispersi


1UD (Rev 200512).docx 10

𝑠2 = 9 (1,575 − 0,276)

𝑠2 = 9 (1,299)

𝑠2 = 11,694 C. Simpangan Baku (Standar Deviasi)

Simpangan baku adalah akar dari tengah kuadrat simpangan dari nilai tengah atau

akar simpangan rata-rata kuadrat. Untuk sampel, simpangan bakunya (simpangan baku sampel) disimbulkan dengan s. Untuk populasi, simpangan

bakunya (simpangan baku populasi) disimbulkan dengan (sigma). 1. Simpangan baku data tunggal

a. Metode biasa


𝑠 = 𝑋 − 𝑋

2

𝑛

(2) Untuk sampel kecil (n ≤ 30)

𝑠 = 𝑋 − 𝑋

2

𝑛 − 1



𝑠 = 𝑋

2

𝑛−

𝑋

𝑛

2


𝑠 = 𝑋

2

𝑛 − 1−

𝑋 2

𝑛(𝑛 − 1)

Contoh soal:

Ukuran Dispersi


1UD (Rev 200512).docx 11

1. Tentukan simpangan baku dari data: 2, 3, 6, 8, 11. Penyelesaian: Diketahui varians data tersebut adalah: s2 = 13,5

Dengan demikian, simpangan bakunya adalah: s = 𝑠2 = 13,5 = 3,67

2. Berikut ini ada sampel nilai Ujian Tengan Semester Matakuliah Statistika-1

dari sekelompok mahasiswa pada sebuah Perguruan Tinggi. 30, 35, 42, 50, 58, 66, 74, 82, 90, 98. Tentukan simpangan baku dari data tersebut dengan menggunakan metode

biasa dan metode angka kasar. Penyelesaian:

X 𝑋 − 𝑋 𝑋 − 𝑋 2 X2

30 35 42 50 58 66 74 82 90 98

-32,5 -27,5

1.056,25 756,25

900 1.225

625 - 4.950,50 44.013

(1) Metode biasa:

𝑠 = 𝑋 − 𝑋

2

𝑛 − 1

= 4.950,50

10 − 1

= 4.950,50

9

= 550,056

= 23,45

(2) Metode angka kasar:

Ukuran Dispersi


1UD (Rev 200512).docx 12

𝑠 = 𝑋

2

𝑛 − 1−

𝑋 2

𝑛(𝑛 − 1)

= 44.013

10 − 1−

625 2

10(10 − 1)

= 44.013

9−

390.625

90

= 4.890,3333− 4.340,2778

= 550,0555

= 23,45

2. Simpangan baku data berkelompok


𝑠 = 𝑓 𝑋 − 𝑋

2

𝑛


𝑠 = 𝑓 𝑋 − 𝑋

2

𝑛 − 1

c. Metode angka kasar


𝑠 = 𝑓𝑋

2

𝑛−

𝑓𝑋

𝑛

2


𝑠 = 𝑓𝑋

2

𝑛 − 1−

𝑓𝑋 2

𝑛(𝑛 − 1)

Ukuran Dispersi


1UD (Rev 200512).docx 13

d. Metode coding


𝑠 = 𝐶 𝑓𝑢

2

𝑛−

𝑓𝑢

𝑛

2



2

𝑛 − 1−

𝑓𝑢 2

𝑛(𝑛 − 1)

Di mana: C = panjang interval kelas

𝑢 =𝑑

𝐶=𝑋 −𝑀

𝐶

M = rata-rata hitung sementara

Contoh soal:

1. Tentukan simpangan baku dari distribusi frekuensi berikut ini.

Diameter X f

65 – 67 68 – 70 71 – 73 74 – 76 77 – 79 80 – 82

66 69 72 75 78 81

2 5 13 14 4 2

Jumlah - 40

Penyelesaian: Diketahui varians data tersebut adalah: s2 = 11,694

Dengan demikian, simpangan bakunya adalah: s = 𝑠2 = 11,694 = 3,42

2. Tentukan simpangan baku dari distribusi frekuensi berikut dengan menggunakan metode biasa, metode angka kasar, dan metode coding.

Berat Badan (kg) Frekuensi

40 – 44 45 – 49 50 – 54 55 – 59

8 12 19 31

Ukuran Dispersi


1UD (Rev 200512).docx 14

60 – 64 65 – 69 70 – 74

20 6 4

Jumlah 100

Penyelesaian:

a. Menggunakan metode biasa

Berat Badan (kg) F X fX 𝑋 − 𝑋 𝑋 − 𝑋 2 𝑓 𝑋 − 𝑋 2

40 – 44 45 – 49 50 – 54 55 – 59 60 – 64 65 – 69 70 – 74

8 12 19 31 20 6 4

42 47

336 564

-13,85 -8,85

191,8225 78,3225

1.534,58 939,87

Jumlah 100 5.585 5.342,75

𝑋 = 𝑓𝑋

𝑓

=5.585

100

= 55,85

𝑠 = 𝑓 𝑋 − 𝑋

2

𝑛

= 5.342,75

100

= 7,31

b. Menggunakan metode angka kasar

Berat Badan (kg) F X fX 𝑋2 𝑓𝑋2

40 – 44 45 – 49 50 – 54 55 – 59 60 – 64 65 – 69 70 – 74

8 12 19 31 20 6 4

42 47

336 564

1.764 2.209

14.112 26.508

Ukuran Dispersi


1UD (Rev 200512).docx 15

Jumlah 100 - 5.585 - 317.265

𝑠 = 𝑓𝑋

2

𝑛−

𝑓𝑋

𝑛

2

= 317.265

100−

5.585

100

2

= 3.172,65 − 55,85 2

= 3.172,65 − 3.119,22

= 53,43

= 7,31

c. Metode coding

Berat Badan (kg) f X u u2 fu fu2

40 – 44 45 – 49 50 – 54 55 – 59 60 – 64 65 – 69 70 – 74

8 12 19 31 20 6 4

42 47 52 57 62 67 72

-3 -2

9 4

-24 -24

72 48

Jumlah 100 -23 219

C = 5


2

𝑛−

𝑓𝑢

𝑛

2

= 5 219

100−

−23

100

2

= 5 2,19 − −0,23 2

= 5 2,19 − 0,0529

= 5 2,1371

= 5 (1,4619)

Ukuran Dispersi


1UD (Rev 200512).docx 16

= 7,31

PENGGUNAAN KALKULATOR UTK MENGHITUNG STANDAR DEVIASI CASIO FX-3650P ATAU CASIO FX-3950P GUNAKAN KUNCI MODE UTK MASUK MODE SD SD …………………………………… MODE MODE 1 SELALU MENGAWALI PEMASUKAN DATA DGN MODE CLR 1 EXE UNTUK MENGHAPUS MEMORI STATISTIK MASUKKAN DATA DGN MENGGUNAKAN URUTAN SEPERTI YG DITUNJUKKAN DI BAWAH <X-DATA> DT DATA INPUT DIGUNAKAN UTK MENGHITUNG NILAI : N, X, X2, X, n dan n-1, yg mana anda dpt panggil kembali menggunakan pengoperasian kunci seperti yg tercantum di bawah ini.

Utk memanggil kembali tipe nilai ini :

Lakukan pengopperasian kunci ini :

X2

X N X n

n-1

SHIFT S-SUM 1 SHIFT S-SUM 2 SHIFT S-SUM 3 SHIFT S-VAR 1 SHIFT S-VAR 2 SHIFT S-VAR 3

CONTOH : UTK MENGHITUNG n-1, n, X, n, DAN X2 UTK DATA BERIKUT : 55, 54, 51, 55, 53, 53, 54, 52. DLM MODE SD : SHIFT CLR 1 EXE

Ukuran Dispersi


1UD (Rev 200512).docx 17

55 DT TIAP SAAT ANDA MENEKAN DT UNTUK MENCATAT INPUT ANDA, JUMLAH DARI DATA INPUT SAMPAI SAAT ITU DITUNJUKKAN PADA LAYAR (ANGKA n) 51 DT 55 DT 53 DT DT 54 DT 52 DT STANDAR DEVIASI SAMPEL ( n-1) = 1,407885953 SHIFT S-VAR 3 EXE STANDAR DEVIASI SAMPEL ( n) = 1,316956719 SHIFT S-VAR 2 EXE RATA-RATA ARITMATIKA (X) = 53,375 SHIFT S-VAR 1 EXE JUMLAH DATA (n) = 8 SHIFT S-SUM 3 EXE JUMLAH DARI NILAI ( X) = 22805 SHIFT S-SUM 2 EXE JUMLAH DARI KUADRAT NILAI (X2) = 22805 SHIFT S-SUM 1 EXE UNTUK MEMASUKKAN DATA-DATA SAMA LEBIH DARI SATU KALI DENGAN MENENTUKAN FREKUENSI : SHIFT ; <FREKUENSI> DT CONTOH : UTK MEMASUKKAN DATA 110 SEPULUH KALI : 110 SHIFT ; DT

Rata-Rata Harmonik

Rata-rata harmonik data tunggal

RH = n/[(1/X)] = n/[1/X1 + 1/X2 + … + 1/Xn] Contoh soal : (1) Tentukan rata-rata harmonis dari data berikut : 2, 5, 7, 9, 12!. (2) Si A bepergian pegi pulang ke kampus dengan mobil. Rata-rata harmonik data berkelompok

STATISTIKA RATA-RATA HITUNG : A. Berikut adalah data tentang tingkat gaji karyawan pada suatu perusahaan

dinyatakan dalam ribuan rupiah (Rp 1000). 75, 40, 60, 65, 50, 80. Dari data tersebut hitunglah rata-rata hitung gaji karyawan tersebut. B. Pada suatu pasar terdapat 15 orang pedagang beras dengan modal (Rp 100.000)

sebagai berikut : 6, 3, 4, 5, 3, 3, 4, 5, 5, 2, 6, 6, 5, 2, 7.

Ukuran Dispersi


1UD (Rev 200512).docx 18

Dari data tersebut hitunglah rata-rata hitung modal pedagang beras tersebut. C. Tabel berikut menunjukkan jumlah keuntungan/hari dari setiap pedagang kaki

lima di suatu pasar :

Keuntungan (Rp 1000) Jumlah PKL (orang)

30 – 34 35 – 39 40 – 44 45 – 49 50 – 54

6 10 16 8 4

Hitunglah rata-rata hitung keuntungan/hari dari setiap PKL tersebut dengan

menggunakan metode biasa, metode simpangan rata-rata, dan metode coding. Hitunglah rata-rata ukur dari data A Hitunglah rata-rata ukur dari data B Hitunglah rata-rata ukur dari data C Pendapatan nasional suatu Negara pada tahun 1992 adalah US$ 300 M dan pada

tahun 1997 menjadi US$ 500 M. Berapakah besarnya rata-rata tingkat pertumbuhan/tahun PN Negara tersebut selama kurun waktu tersebut ?

Hitunglah rata-rata harmonis dari data A Hitunglah rata-rata harmonis dari data B Hitunglah rata-rata harmonis dari data C

KORELASI Korelasi : Hubungan Analisis Korelasi : Analisis keeratan hubungan antar variabel Korelasi : Positif (+) dan Negatif (-) Koefisien Korelasi : r , -1 <= r <= 1 Korelasi Linear :

1. Korelasi linear sederhana 2. Korelasi linear berganda

Korelasi Linear Sederhana :

1. Koefisien Korelasi Pearson Metode Least Square

Ukuran Dispersi


1UD (Rev 200512).docx 19

Metode Product Moment 2. Koefisien Korelasi Rank Spearman 3. Koefisien Bersyarat (Koefisien Kontingensi) 4. Koefisien Korelasi Data Berkelompok

Metode Least Square:

r =

2222)()( YYnXXn

YXXYn

Metode Product Moment:

r =

22

yx

xy

Di mana : r = Koefisien Korelasi x = Deviasi rata-rata variabel X

= __

XX y = Deviasi rata-rata variabel Y

= __

YY Contoh soal : Berikut ini adalah hasil penelitian mengenai hubungan antara biaya pelatihan (X, Rp 1.000.000) dan tingkat produktivitas karyawan (Y, Rp 1.000.000) untuk lima tahun terakhir pada suatu perusahaan.

X 3 6 9 10 13

Y 12 23 24 26 28

1. Tentukan r dengan metode LS dan PM 2. Jelaskan jenis korelasinya dan bagaimana interpretasinya ?

Penyelesaian:

X Y X2 Y2 XY x =

X - X y =

Y - Y x2 y2 xy

3 12 9 144 36 -5.2 -10.6 27 112.4 55.12

6 23 36 529 138 -2.2 0.4 4.84 0.16 -0.88

9 24 81 576 216 0.8 1.4 0.64 1.96 1.12

10 26 100 676 260 1.8 3.4 3.24 11.56 6.12

13 28 169 784 364 4.8 5.4 23 29.16 25.92

Ukuran Dispersi


1UD (Rev 200512).docx 20

41 113 395 2709 1014 58.8 155.2 87.4

Metode Least Square:

r =

2222)()( YYnXXn

YXXYn

r = 22

)113)(709.2)(5()41()395)(5(

11341014.15

r = 144.228

437 = 0,91

Metode Product Moment:

r =

22

yx

xy

r = )20,155)(80,58(

40,87

r = 76,9126

40,87

r = 0,91 Jadi jenis korelasinya adalah: Korelasi positif dan sangat kuat Artinya : Hubungan antara biaya pelatihan dan tingkat produktivitas karyawan bersifat positif. Artinya: Jika biaya pelatihan bertambah, maka produktivitas karyawan akan meningkat pula. KOEFISIEN KORELASI RANK SPEARMAN (Digunakan untuk data ordinal/ranking)

rs = )1(

61

2

2

nn

d

Di mana: rs = Koefisien Korelasi Rank Spearman

Ukuran Dispersi


1UD (Rev 200512).docx 21

d = Selisih dalam rank n = Banyaknya pasangan rank Contoh soal: Berikut ini data mengenai biaya promosi (X, Rp 1.000) dan nilai penjualan (Y, Rp 100.000)

X 82 75 85 70 77 60 63 66 80 89

Y 79 80 89 65 67 62 61 68 81 84

1. Hitunglah Koefisien Korelasi Ranknya ! 2. Sebutkan jenis korelasinya dan bagaimana interpretasinya ! Penyelesaian :

1. rs = )1(

61

2

2

nn

d

rs = )110(10

)22(61

2

= 1- 0,133 = 0,867

2. Jenis korelasinya adalah positif dan sangat kuat

Artinya: Jika biaya promosi meningkat, maka hasil penjualan akan semakin meningkat pula.

Koefisien Korelasi Bersyarat (Koefisien Korelasi Kontingensi) Digunakan untuk data kualitatif dengan koefisien C : -1 <= C <= 1 Rumus:

nX

XC

2

2

X2 =

n

i

q

j ji

jiij

e

en

1 1

2)(

eij = n

nnji))((

Di mana: C = Koefisien korelasi bersyarat

Ukuran Dispersi


1UD (Rev 200512).docx 22

X2 = Kai kuadrat = Chai Square n = Jumlah semua frekuensi e = Frekuensi harapan Contoh Soal: Suatu penelitian bertujuan untuk mengetahui hubungan yang terjadi antara tingkat pendidikan dan kebiasaan rekreasi. Untuk itu diambil sampel 400 orang untuk diteliti dan datanya adalah sebagai berikut:

Pendidikan Rekreasi

Tidak pernah (1) Jarang (2) Sering (3)

Tidak ada (I) 145 58 8

Menengah (II) 77 13 27

Sarjana (III) 21 32 19

Hitunglah Koefisien Korelasi Bersyaratnya dan bagaimana interpretasinya ? PENYELESAIAN :

(1) (2) (3) JUMLAH

(I) 145 58 8 211

(II) 77 13 27 117

(III) 21 32 19 72

JUMLAH 243 103 54 400

DARI TABEL DI ATAS DIKETAHUI : n1 = 211; n2 = 117; n3 = 72 n.1 = 243; n.2 = 103; n.3 = 54 n = 400

e11 = 2,128400

)243)(211().)((1.1

n

nn

e12 = 3,54400

)103)(211().)((2.1

n

nn

e13 = 5,28400

)54)(211().)((3..1

n

nn

e21 = 1,71400

)243)(117().)((1.2

n

nn

e22 = 1,30400

)103)(117().)((2..2

n

nn

e23 = 81,15400

)54)(117().)((3.2

n

nn

Ukuran Dispersi


1UD (Rev 200512).docx 23

e31 = 7,43400

)243)(72())((1..3

n

nn

e32 = 5,18400

)103)(72().)((2..3

n

nn

e33 = 7,9400

)54)(72())((3...3

n

nn

(1) (2) (3) JUMLAH

(I) 145

(128,2) 58

(54,3) 8

(28,5) 211

(II) 77

(71,1) 13

(30,1) 27

(15,8) 117

(III) 21

(43,7) 32

(18,5) 19

(9,7) 72

JUMLAH 243 103 54 400

X2 =

n

i

q

j ji

jiij

e

en

1 1

2)(

X2 =

3

1

3

1

2)(

i j ji

jiij

e

en

=2,128

)2,128145(2

+ 3,54

)3,5458(2

+ 5,28

)5,288(2

+ 1,71

)1,7177(2

+ 1,30

)1,3013(2

+

8,15

)8,1527(2

+ 7,43

)7,4321(2

+ 5,18

)5,1832(2

+ 7,9

)7,919(2

= 65,9

nX

XC

2

2

38,04009,65

9,65

C

INTERPRETASINYA : ADA HUBUNGAN YANG POSITIF, TETAPI LEMAH ANTARA TINGKAT PENDIDIKAN DAN KEBIASAAN BEREKREASI. ARTINYA, SEMAKIN TINGGI TINGKAT PENDIDIKAN MAKA SEMAKIN TINGGI PULA KEBIASAAN BEREKREASI. KOEFISIEN KORELASI DATA BERKELOMPOK ADA 2 METODE :

Ukuran Dispersi


1UD (Rev 200512).docx 24

1. METODE CODING 2. METODE SIMPANGAN BAKU METODE CODING

2

)(22

)(

))((

yu

yf

yu

yfn

xu

xf

xu

xfn

yu

yf

xu

xf

yu

xu

xfn

r

BERIKUT INI DATA MENGENAI TINGKAT PENGELUARAN (X, Rp 1.000.000) DAN KEUNTUNGAN (Y, Rp 1.000.000) DARI 100 PERUSAHAAN. DARI DATA TSB TENTUKAN KOEFISIEN KORELASINYA.

Y X 41-50 51-60 61-70 71-80 81-90 91-100 JML

91-100 3 5 4 12

81-90 3 6 6 2 17

71-80 1 4 9 5 2 21

61-70 5 10 8 1 24

51-60 1 4 6 5 16

41-50 2 4 4 10

JML 7 15 25 23 20 10 100

PENYELESAIAN :

Y X 41-50

51-60

61-70

71-80

81-90

91-100

fy uy fyuy fyuy2 fyuyux

91-100 3 5 4 12 3 36 108 -33

81-90 3 6 6 2 17 2 34 68 -20

71-80 1 4 9 5 2 21 1 21 21 3

61-70 5 10 8 1 24 0 0 0 0

51-60 1 4 6 5 16 -1 -16 16 -31

41-50 2 4 4 10 -2 -20 40 -44

fx 7 15 25 23 20 10 100 3 55 253 -125

ux -2 -1 0 1 2 3 3

fxux -14 -15 0 23 40 30 64

fxux2 28 15 0 23 80 90 236

Ukuran Dispersi


1UD (Rev 200512).docx 25

fxuxuy -32 -31 0 1 -24 -39 -125

fyuyux :

3(3)(-2) + 5(3)(-1) + 4(3)(0) = -33 3(2)(-2) + 6(2)(-1) + 6(2)(0) + 2(2)(1) = -20 1(1)(-2) + 4(1)(-1) + 9(1)(0) + 5(1)(1) + 2(1)(2) = 3 5(0)(0) + 10(0)(1) + 8(0)(2) + 1(0)(3) = 0 1(-1)(0) + 4(-1)(1) + 6(-1)(2) + 5(-1)(3) = -31 2(-2)(1) + 4(-2)(2) + 4(-2)(3) = -44 fxuxuy :

3(-2)(3) + 3(-2)(2) + 1(-2)(1) = -32 5(-1)(3) + 6(-1)(2) + 4(-1)(1) = -31 4(0)(3) + 6(0)(2) + 9(0)(1) + 5(0)(0) + 1(0)(-1) = 0 2(1)(2) + 5(1)(1) + 10(1)(0) + 4(1)(1) + 2(1)(-2)=1 2(2)(1) + 8(2)(0) + 6(2)(-1) + 4(2)(-2) = -24 1(3)(0) + 5(3)(-1) + 4(3)(-2) = -39

}2

)(2

}{2

)({

))((

yu

yf

yu

yfn

xu

xf

xu

xfn

yu

yf

xu

xf

yu

xu

xfn

r

r=

}2

)55()253)(100}{(2

)64()236(100

)55)(64()125(100

r =

)025.3300.25)(096.4600.23(

520.3500.12

Ukuran Dispersi


1UD (Rev 200512).docx 26

r =

5,843.20

020.16

r = -0,77 METODE SIMPANGAN BAKU

r =

))(( SySx

Sxy

))((n

yu

yf

n

xu

xf

n

yu

xfu

CxCySxy

Sx = Cx2

)(

2

n

uf

n

uf xxxx

Sy = Cy2

)(

2

n

yu

yf

n

fyuy

CONTOH SOAL : DGN MENGGUNAKAN DATA PADA TABEL DI ATAS (METODE CODING), TENTUKAN NILAI r DENGAN METODE SIMPANGAN BAKU : PENYELESAIAN :

Ukuran Dispersi


1UD (Rev 200512).docx 27

DIKETAHUI :

125yxufu

64xxuf

2362xxuf

55yyuf

C = Panjang interval kelas = 10

))((n

yu

yf

n

xu

xf

n

yu

xfu

CxCySxy

= (10)(10)

)100

55)(

100

64(

100

125

= 100 (-1,25 – (0,64)(0,55))

= 100 (-1,25 – 0,352)

= 100 (-1,602)

= -160,2

Sx = Cx2

)(

2

n

yu

yf

n

fyuy

= 102

)100

64(

100

236

= 102

)64,0(36,2

2532yyuf

Ukuran Dispersi


1UD (Rev 200512).docx 28

= 10 4096,036,2

= 10 9504,1

= 10 (1,397)

= 13,97

Sy = Cy2

)(

2

n

yu

yf

n

fyuy

= 102

)100

55(

100

253

= 10 2

55,053,2

= 10 3025,053,2

= 10 2275,2

= 10 (1,4925)

= 14,925

r =

))(( SySx

Sxy

=

)93,14)(97,13(

2,160

=

57,208

2,160

= -0,77

Ukuran Dispersi


1UD (Rev 200512).docx 29

KOEFIFIEN PENENTU (KP) ATAU KOEFISIEN DETERMINASI (R2) KP = R2 = r2 x 100 %

CONTOH SOAL : BERIKUT INI ADALAH HASIL PENELITIAN MENGENAI HUBUNGAN ANTARA BIAYA PELATIHAN (X,Rp 1.000.000) DAN TINGKAT PRODUKTIVITAS KARYAWAN (Y, Rp 1.000.000) UTK 5 TAHUN TERAKHIR PADA SUATU PERUSAHAAN

X 3 6 9 10 13

Y 12 23 24 26 28

TENTUKAN : 1. KOEFISIEN DETERMINASINYA 2. BAGAIMANA INTERPRETASI DARI KOEFISIEN DETERMINASI YANG DIPEROLEH ? DIKETAHUI : DARI PERHITUNGAN DI ATAS r = 0,91 MAKA, 1. r2 = 0,912 x 100 % = 0,8281 x 100 % = 82,81 % 2. PENGARUH VARIABEL X (BIAYA PELATIHAN)TERHADAP NAIK TURUNNYA

(VARIASI) VARIABEL Y (PRODUKTIVITAS KARYAWAN) ADALAH 82,81 %, SELEBIHNYA 17,19 % BERASAL DARI FAKTOR-FAKTOR LAIN, MISALNYA, BESAR KECILNYA GAJI, SUASANA TEMPAT BEKERJA, POLA KEPEMIMPINAN ATASAN, DLL, TTP TDK DIMASUKKAN DALAM PERHITUNGAN/MODEL

REGRESI LINEAR PERSAMAAN GARIS REGRESI : Y = a + bX RUMUS KE-1 :

Ukuran Dispersi


1UD (Rev 200512).docx 30

a =

2)()

2

2

)((

))(())((

XXn

XYXXY

b =

2)()

2)((

))(()((

XXn

YXXYn

RUMUS KE-2 :

b =

2)()

2)((

))(())((

XXn

XYXXYn

a = XbY RUMUS KE-3 :

XbanY

2

XbXaXY

RUMUS KE-4

2XX

Xn

b

a=

XY

Y

a =

A

A

det

det 1

b =

A

A

det

det 2

Ukuran Dispersi


1UD (Rev 200512).docx 31

A =

2XX

Xn A1 =

2XXY

XY

A2 =

XYX

Yn

det A = (n) ))(()(2

XXX

det A1 = ( Y ) ))(()(2

XYXX

det A2 = (n) ))(()( XYXY

CONTOH SOAL :

BERIKUT INI ADALAH DATA MENGENAI PENGALAMAN KERJA (X, TAHUN) DAN PENJUALAN (Y, Rp 1.000.000) PADA SUATU PERUSAHAAN :

X 2 3 2 5 6 1 4 1

Y 5 8 8 7 11 3 10 4

DARI DATA TSB TENTUKANLAH : 1. NILAI a DAN b (GUNAKAN KEEMPAT CARA DI ATAS) 2. BUATLAH PERSAMAAN GARIS REGRESINYA 3. BAGAIMANA INTERPRETASI DARI PERSAMAAN GARIS REGRESI YANG DIPEROLEH ? 4. BERAPA OMZET PENJUALAN DR SEORANG KARYAWAN YG PENGALAMAN

KERJANYA 3,5 TAHUN ? PENYELESAIAN :

NO X Y X2 XY X y xy x2 y2

1 2 5 4 10 -1 -2 2 1 4

2 3 8 9 24 0 1 0 0 1

3 2 8 4 16 -1 1 -1 1 1

4 5 7 25 35 2 0 0 4 0

5 6 11 36 66 3 4 12 9 16

6 1 3 1 3 -2 -4 8 4 16

7 4 10 16 40 1 3 3 1 9

8 1 4 1 4 -2 -3 6 4 9

Total 24 56 96 198 30 24 56

Mean 3 7

1. MENCARI NILAI a DAN b RUMUS KE-1

Ukuran Dispersi


1UD (Rev 200512).docx 32

a =

2)()

2

2

)((

))(())((

XXn

XYXXY

a =

)24)(24()96)(8(

)198)(24()96)(56(

a =

576768

752.4376.5

a = 3,25

b =

2)()

2)((

))(()((

XXn

YXXYn

b =

)24)(24()96)(8(

)56)(124()198)(8(

b =

576768

344.1584.1

b = 1,25

RUMUS KE-2 :

b =

2)()

2)((

))(()((

XXn

YXXYn

b =

)24)(24()96)(8(

)56)(124()198)(8(

b =

576768

344.1584.1

Ukuran Dispersi


1UD (Rev 200512).docx 33

b = 1,25

a = XbY a = 7 – 1,25(3) a = 7 – 3,75 a = 3,25 RUMUS KE-3 :

XbanY

2

XbXaXY

56 = a.8 + b.24 198 = a.24 + b.96 56 = 8a + 24b ..... (1) 198 = 24a + 96b ..... (2) (1) x 3 168 = 24a + 72b (2) x 1 198 = 24a + 96b - -30 = - 24b b = 1,25 (1) 56 = 8a + 24b 56 = 8a + 24(1,25) 56 = 8a + 30 8a = 56 – 30 8a = 26 a = 3,25 RUMUS KE-4

9624

248

b

a=

198

56

A=

9624

248 A1 =

96198

2456 A2 =

19824

568

Ukuran Dispersi


1UD (Rev 200512).docx 34

Det A = (8) (96) – (24) (24) = 192 Det A1 = (56) (96) – (198) (24) = 624 Det A2 = (8)(198) – (24) (56) = 240

a = 25,3192

624

det

det 1

A

A

b = 25,1192

240

det

det 2 A

A

2. MEMBUAT PERSAMAAN GARIS REGRESI Y = a + bX Y = 3,25 + 1,25X

3. INTERPRETASI PERSAMAAN GARIS REGRESI Y = 3,25 + 1,25X

A = 3,25, ARTINYA : JIKA PARA KARYAWAN YANG DIPEKERJA-KAN DALAM PERUSAHAAN TIDAK MEMILIKI PENGALAMAN KERJA (X = 0), MAKA OMZET PENJUALAN PERUSAHAAN MENCAPAI Rp 3.250.000 B = 1,25, ARTINYA : SETIAP PENINGKATAN PENGALAMAN KERJA SEBESAR 1%, AKAN BERPERAN DLM MENINGKATKAN OMZET PENJUALAN PERUSAHAAN SEBESAR 1,25 %. ATAU : SETIAP PENINGKATAN PENGALAMAN KERJA SEBESAR 10%, AKAN BERPERAN DLM MENINGKATKAN OMZET PENJUALAN PERUSAHAAN SEBESAR 12,5 %.

4. OMZET PENJUALAN DR SEORANG KARYAWAN YG PENGALAMAN KERJANYA 3,5 TAHUN

Y = 3,25 + 1,25X Y = 3,25 + 1,25(3,5) Y = 3,25 + 4,375 Y = 7,625 TUGAS PENGGANTI KULIAH : DARI KEDUA DATA BERIKUT, MASING-MASING : 1. HITUNGLAH r DAN r2 SERTA APA INTERPRETASI DARI r DAN r2 TERSEBUT

Ukuran Dispersi


1UD (Rev 200512).docx 35

2. TENTUKAN PERSAMAAN GARIS REGRESINYA DAN APA INTERPRETASI DARI KOEFISIEN YANG DIPEROLEH

3. BERAPAKAH HASIL PENJUALAN YANG AKAN DIPEROLEH JIKA BIAYA IKLAN Rp 100.000.000 (DATA PERTAMA)

4. BERAPAKAH PRODUKSI YG DIPEROLEH JIKA GAJI KARYAWAN Rp 500.000 (DATA KEDUA)

DATA PERTAMA :

NO HASIL PENJUALAN (Rp JUTA) (Y)

BIAYA IKLAN (Rp JUTA)(X)

1 100 15

2 110 27

3 115 32

4 120 35

5 130 40

6 145 46

7 150 55

8 170 60

9 185 65

10 200 80

DATA KEDUA :

NO GAJI KARYAWAN (Rp 10.000) (X)

PRODUKSI (UNIT) (Y)

1 42 38

2 41 37

3 42 35

4 34 32

5 32 30

6 34 30

7 38 34

8 37 32

9 36 34

10 34 32

11 33 32

12 40 36

13 39 35

Ukuran Dispersi


1UD (Rev 200512).docx 36

14 37 34

15 36 32

16 37 33

17 36 30

18 42 36

19 40 37

20 38 36

21 34 31

22 40 38

23 30 29

24 40 35

25 33 31

26 39 36

27 35 32

28 34 30

29 40 33

30 32 31

UNIVERSITAS DAYANU IKHSANUDDIN FAKULTAS EKONOMI PROGRAM STUDI MANAJEMEN PERUSAHAAN UJIAN TENGAH SEMESTER MATA KULIAH : STATISTIKA II HARI/TANGGAL : RABU, 7 DESEMBER 2005 WAKTU : 120 MENIT Diperkirakan terdapat hubungan linear antara volume penjualan (Y) dengan biaya promosi (X1) dan biaya distribusi (X2) pada suatu perusahaan. Untuk menguji pernyataan tersebut dikumpulkan data selama sepuluh tahun. Datanya adalah sebagai berikut :

No. Volume Penjualan (Y) (miliar rupiah)

Biaya Promosi (X1) (jutaan rupiah)

Biaya Distribusi (X2) (jutaan rupiah)

1 3,5 15 2

2 4,3 20 3

3 5,0 30 3

4 6,0 42 4

5 7,0 50 5

6 9,0 54 7

Ukuran Dispersi


1UD (Rev 200512).docx 37

7 8,0 65 7

8 10,0 72 10

9 12,0 85 13

10 14,0 90 16

Hitunglah :

1. Koefisien Korelasi berganda, apa interpretasinya 2. Koefisien determinasi, apa interpretasinya 3. Koefisien korelasi parsial, apa interpretasinya 4. Tentukan persamaan regresi linear bergandanya 5. Apa interpretasi dari a, b1, dan b2. 6. Berapa volume penjualan jika biaya promosi Rp 100 juta dan biaya distribusi

Rp 20 juta. Catatan : Open book, tetapi tidak boleh bekerja sama.

Ukuran Dispersi


1UD (Rev 200512).docx 38

UKURAN DISPERSI

D. Pengertian Dispersi

Ukuran dispersi atau ukuran variasi atau ukuran penyimpangan adalah ukuran yang menyatakan seberapa jauh penyimpangan nilai-nilai data dari nilai-nilai pusatnya atau ukuran yang menyatakan seberapa banyak nilai-nilai data yang berbeda dengan nilai-nilai pusatnya.

E. Jenis-Jenis Ukuran Dispersi

1. Rentang Rentang (Jangkauan, Range, R) adalah selisih nilai terbesar data dengan nilai terkecil data.

1.3 Rentang data tunggal

R = Xn – X1 Contoh : Tentukan rentang dari data berikut : 1, 4, 7, 8, 9, 11. Penyelesaian : Xn = X6 = 11 X1 = 1 R = X6 – X1 = 11 – 1 = 10

1.4 Rentang data berkelompok

Dapat dihitung berdasarkan titik tengah kelas dan tepi kelas. Contoh :

Modal Frekuensi

50 – 59 16

60 - 69 32

70 – 79 20

80 – 89 17

90 – 99 15

Jumlah 100

Titik tengah kelas terendah : 54,5 Titik tengah kelas tertinggi : 94,5 Tepi bawah kelas terendah : 49,5 Tepi atas kelas tertinggi : 99,5 Berdasarkan titik tengah kelas : Rentang : 94,5 – 54,5 = 40 Berdasarkan tepi kelas : Rentang : 99,5 – 49,5 = 50

2. Rentang antar Kuartil dan Rentang Semi Interkuartil Rentang antar kuartil adalah selisih antara nilai kuartil atas (Q3) dan kuartil bawah (Q1).

Ukuran Dispersi


1UD (Rev 200512).docx 39

RK = Q3 – Q1 Simpangan kuartil atau rentang semi interkuartil adalah setengah dari selisih kuartil atas (Q3) dan kuartil bawah (Q1). Qd = 0,5(Q3 – Q1) Contoh data tunggal : Tentukan rentang antar kuartil dan rentang semi interkuartil dari data berikut : 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14. Penyelesaian : Q1 = 4 Q3 = 12 RK = Q3 – Q1 = 12 – 4 = 8 Qd = 0,5 (Q3 – Q1) = 0,5 (12 – 4) = 4 Contoh data berkelompok : Tentukan rentang antar kuartil dan rentang semi interkuartil dari data berikut :

Modal Frekuensi

50 – 59 16

60 - 69 32

70 – 79 20

80 – 89 17

90 – 99 15

Jumlah 100

Penyelesaian :

1

01

1

)(4

1

Qf

fn

BQ

Dari tabel di atas diketahui : B1 =

1

01)(

4

Qf

fn

F. Simpangan Rata-Rata

Simpangan Rata-Rata = Deviasi Rata-Rata = Mean Deviation (

1. Simpangan rata-rata data tunggal

Ukuran Dispersi


1UD (Rev 200512).docx 40

XX Σ

n

1 SR

n

XX

2. Simpangan rata-rata data berkelompok

XX

n

1 SR Σf

n

XX

f

6-Sttk-1UD (Rev 200512)

Documents

Transcript of 6-Sttk-1UD (Rev 200512)