6 Observadores del estado - OpenCourseWare de la...
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U.P.M.-DISAM P. Campoy Control en el espacio de estado 1
Observadores del estado
• Introducción• Definición• Dinámica del sistema con observador• Cálculo de observadores en sistemas
monovariables• Cálculo de observadores en sistemas
multivariables
U.P.M.-DISAM P. Campoy Control en el espacio de estado 2
Introducción
• Concepto: el observador estima el estadodel sistema a partir de la dinamica de suentrada y su salida.
u(t) y(t)
xe(t)
Sistema
observador
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Definición
dado un sistema lineal, invariante y observable:
el siguiente sistema es un observador del sistema anterior:
si cumple las dos condiciones:1.
2.
!
"xe (to), x(to), u(#) para # > to $ limt%&(xe (t) ' x(t)) = 0
!
Si xe (to) = x(to)"#u($ ) $ > to se verifica (xe (t) % x(t)) = 0
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Matrices del observador
la dinámica de xe(t)-x(t) es:
!
G = B
la segunda condición implica:
la primera condición implica que:
!
F = A "HC debe tener todos los polos estables
cuanto más rápidos sean los polos de F,antes tenderá xe(t) a x(t)
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Observadores del estado
• Introducción• Definición• Dinámica del sistema con observador
– en cadena abierta– con realimentación del estado
• Cálculo de observadores en sistemasmonovariables
• Cálculo de observadores en sistemasmultivariables
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Dinámica del sistema conobservador en cadena abierta (1/2)
∫!
H
!
F
!
B
!
B
!
A
∫u(t)
!
C
!
x y(t)
!
xe
•¿cuál es la dimensión delsubespacio controlable?•¿qué variables forman elsubsistema no controlable?
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Dinámica del sistema conobservador en cadena abierta (2/2)
la matriz de controlabilidad:
es de rango n
la matriz de cambio de base para separar los subsistemas es:
la dinámica en la nueva base es:
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Dinámica del sistema conobservador y realimentación (1/2)
•¿cuál es la dimensión delsubespacio controlable?•¿qué variables forman elsubsistema no controlable?
•¿cuál es la dinámica de x?
∫!
H
!
F
!
B
!
B
!
A
∫u(t)
!
C
!
x y(t)
!
xe
r(t)
!
K
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Dinámica del sistema conobservador y realimentación (2/2)la matriz de controlabilidad:
es de rango n
la matriz de cambio de base :
la dinámica en la nueva base:
Principio de separabilidad: el observador y la realimentación delestado se pueden calcular de forma independiente
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Observadores del estado
• Introducción• Definición• Dinámica del sistema con observador• Cálculo de observadores en sistemas
monovariables• Cálculo de observadores en sistemas
multivariables
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Cálculo de observadores ensistemas monovariables (1/2)dado un sistema monovariable:
existe una matriz de cambio de base To tal que:
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Cálculo de observadores ensistemas monovariables (2/2)
la dinámica del observador vale:
igualándolo con la dinámica de F, representada por su polinomiocaracterístico:
se calculan los coeficientes de H como:
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Problema de observador ensistemas monovariables
U s+2s+1
1s+1
Y
•Dibujar la estructura de un observador del estado•Calcular todas las matrices de dicha estructura demanera que la dinámica del observador sea 3 veces másrápida que la del sistema
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Observadores en sistemasmonovariables: cálculo de To
• Cálculo de la matriz de cambio de base To tal que:
!
x = To˜ x
o
donde x son las variables originales y son las variables de fase
!
˜ x o
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Observadores y realimentación:variables de estado involucradas
observador
∫!
˜ H
!
˜ F
!
˜ B
u(t) y(t)r(t)
!
˜ K
sistema
realimentación
!
˜ x eo
!
To
!
Tc
"1
!
xe
!
˜ x ec
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Problema en sistema monovariable:observador y realimentación
U s+2s+1
1s+1
Y
•Dibujar la estructura de un observador y derealimenatción del estado, usando el observadorcalculado anteriormente y la realimentación calculada enel capitulo 5 que coloca ambos polos en -2:
•Comprobar el comportamiento del sistema en Simulink