56666852 Curs General de Mecanica Fluidelor

8/12/2019 56666852 Curs General de Mecanica Fluidelor

1/132

1

1. INTRODUCERE

Dupa cum si denumirea sugereaza, mecanica fluidelor este una din cele trei ramuri ale

Mecanicii, cea mai veche dintre stiintele fundamentale ale naturii:

1. Mecanica generala studiaza legile universale ale mecanicii si aplicatiile lor la studiul

corpurilor solide rigide;

2. Mecanica solidelor

deformabile

studiaza legile universale ale deformatiilor pe care le sufera corpurile

solide datorita fortelor care actioneaza asupra lor;

3. Mecanica fluidelor are ca obiect studiul fluidelor, precum si interactiunea dintre acestea si

solidele cu care vin n contact.

La rndul ei, mecanica fluidelor se mparte, conventional, n trei mari parti, dupa cum

urmeaza:

3.1 Statica fluidelor studiaza repausul fluidelor si actiunile exercitate de acestea asupra

corpurilor solide cu care vin n contact.

3.2 Cinematica

fluidelor

studiaza miscarea fluidelor, fara a lua n considerare fortele care

determina, sau modifica, starea de miscare.

3.3 Dinamica fluidelor studiaza miscare fluidelor lund n considerare si fortele care

determina sau modifica starea de miscare, precum si transformarile

energetice produse n timpul miscarii.

2. APLICATII ALE MECANICII FLUIDELOR

Principalele aplicatii ale staticii fluidelorconstau n:

studierea instrumentelor de masurare a presiunii fluidelor;

studierea fortelor hidrostatice cu care fluidele actioneaza asupra corpurilor solide cu

care vin n contact;

studiul corpurilor plutitoare; studiul atmosferei, considerata n repaus.

n general, aplicatiile dinamicii fluidelor se clasifica dupa conditiile la frontiera impuse

miscarii. Astfel, se disting doua mari categorii de aplicatii:

Dinamica fluidelor, externa: studiul curgerii fluidelor n jurul unor corpuri solide, considerate

izolate n interiorul fluidului. Din aceasta categorie fac parte:

studiul constructiilor supuse actiunii vntului;

curgerea aerului n jurul vehiculelor aflate n miscare

(trenuri, automobile, avioane etc.);

- Fenomene aerodinamice


2/132

MECANICA FLUIDELOR

2

curgerea apei n jurul vehiculelor aflate n miscare n

interiorul acesteia (submarine, vehicule amfibii etc.);- Fenomene hidrodinamice

La aceste fenomene se studiaza puterea necesara nvingerii fortelor de rezistenta la

naintare, iar n cazul fenomenelor aerodinamice si forta de sustentatie generata, precum n

exemplul urmator:

G forta de greutate;

P forta de sustentatie (de portan-ta)

generata de aripa avionului;

T forta de tractiune;

R forta de rezistenta la naintare.

Fig. 1 Principalele forte care actioneaza asupra unui avion n timpul zborului

n cazul miscarilor uniforme, puterea consumata pentru nvingerea fortei de rezistenta la

naintare se poate calcula cu relatia:

aerR vRt

xR

t

LP =

== (1.1)

Dinamica fluidelor, interna: miscarea fluidelor este delimitata de frontiere solide: canalizari

nchise, conducte, ai caror pereti sunt n general imobili. Se disting:

miscarea gazelor n canalizari, conducte;

miscarea gazelor n masini pneumatice; - Fenomene gazodinamice

miscarea lichidelor n canalizari, conducte;

miscarea lichidelor n masini hidraulice;- Fenomene hidraulice

Fig. 2 Aspectul curgerii printr-o conducta de sectiune variabila

Observatie: Pentru toate aceste cazuri se studiaza, nu numai transportul propriu-zis al fluidelor,

ci n special transportul de energie:

- hidraulica, n cazul lichidelor,

- pneumatica, n cazul gazelor,


3/132

3

deoarece, exceptie facnd

energia nucleara, aproape toata energia utilizata de omenire este, la un moment

dat, transportata de fluide n miscare:

energia mecanica a apei, a aerului comprimat sau a vaporilor;

energia termica a apei calde sau a aburului; energia chimica a petrolului (si a derivatelor sale), sau a gazelor combustibile

etc.

3. DEFINITIA FLUIDULUI. PARTICULA FLUIDA

Fizica distinge pentru corpurile materiale, n conditii obisnuite, trei stari, numite si stari de

agregare: solida, lichida, gazoasa.

Observatie: n conditi i special e exista si o a patra stare, numita plasma. Plasma este o substanta

gazoasa, putern ic sau complet ionizata, ale carei propri etati sunt determinate de existenta

ionil or si electronil or n stare li bera.

Mecanica distinge doua mari categorii de corpuri:

Solide - rigide;

- deformabile;

Fluide - lichide;- gaze.

Daca un corp solid, n conditii obisnuite, are forma si volum fix, adica distantele dintre

punctele sale puncte ramn constante (sau se modifica foarte putin) sub actiunea unei forte

exterioare, fluidele(lichidele si gazele) pot capata deformatii orict de mari sub actiunea unor forte

relativ mici. Acest lucru este posibil datorita fortelor mici de coeziune dintre moleculele fluidelor.

Astfel:

- lichidele iau forma vaselor care le contin(ca si gazele de altfel), deci nu au forma

proprie, dar au volum constant, ctVlichide= deci si densitate constanta ctlichide = ;datorita acestui faptlichidele se considera ca fiind fluide incompresibile;

- gazele ocupa ntregul volum al recipientelor ce le contin, deci nu au un volum constant,

ctVgaze , n consecinta si densitatea lor este variabila ctgaze . Asadar pot fi

comprimate. Astfel, gazele se considera ca fiind fluide compresibile.

Aceste proprietati, enuntate anterior, definesc fluiditatea lichidelor si gazelor, adica usurinta

de deplasare a particulelor din care sunt formate, de unde si denumirea generala de fluide.


4/132

MECANICA FLUIDELOR

4

3.1 CONCEPTUL DE MEDIU CONTINUU

n mecanica fluidele sunt considerate si analizate ca fiind medii continue, adica ocupa un

spatiu n care distributia marimilor fizice ce le caracterizeaza (presiune, densitate, temperatura

etc.) este continua, cu exceptia unor puncte, linii sau suprafete, numite si de discontinuitate.

Un astfel de exemplu, de suprafata de discontinuitate, este prezentat n exemplul urmator:

formarea undelor de soc pe aripa unui avion care zboara cu o viteza mai mica dect cea a

sunetului, dar apropiata de aceasta.

Pe suprafata undei de soc viteza particulelor de aer

atinge viteza sunetului: cvaer = (celeritate);

Fenomenul se numeste de trecere a barierei

sonice.

km/h1228c= (341.1 m/s) la nivelul marii( mmHg760paer = ) si temperatura C15taer = .

Fig. 3 Formarea undei de soc (suprafata de discontinuitate) pe o aripa de avion

Ipoteza generala a continuitatii unui fluid se exprima prin faptul ca n fiecare punct

apartinnd fluidului )z,y,x(P , la orice moment dat t, se pot determina:- presiune p definita de functia )t,z,y,x(pp= ,

- densitate definita de functia )t,z,y,x(= ,

- temperatura Tdefinita de functia )t,z,y,x(TT= ,

- viteza vdefinita de functia )t,z,y,x(vv=

si aceste functii sunt continue, deci derivabile.

Practic, cu ct liberul parcurs al moleculelor ce formeaza un fluid (distanta medie dintre

doua ciocniri consecutive intre particulele mediului) este mai mic (numar ct mai mare de molecule

n unitatea de volum), cu att fluidul poate fi considerat un mediu continuu.


5/132

5

Exemplu: Marimea liberului parcurs al moleculelor de aer n functie de altitudine:

Tab. 1.1

H- Altitudine [km] 0 50 100 120 160 180 220

- Liberul parcurs [m] 8,610-8 7,810-5 9,510-2 1.3 36 100 870

Pentru a aprecia daca un mediu fluid poate fi considerat continuu se calculeaza numarul

Knudsen, Kn (dupa numele fizicianului danez Martin Knudsen, 18711949):

x

P

PLKn

== , (1.2)

unde: liberul parcurs al particulelor mediului;

L o dimensiune caracteristica fenomenului studiat;

P parametru caracteristic fenomenului studiat;

x

1

P

P

variatia relativa a parametrului studiat pe unitatea de lungime.

Astfel, se considera ca pentru:

1kn> mediul este considerat rarefiat; se folosete teoria cinetico-

moleculara.

1kn mediul mai pastreaza din caracteristicile mediului continuu, nsa n

anumite regiuni propietatea se pierde (zone de discontinuitate).

Exemplu:

La curgerea aerului atmosferic n jurul unei aripi de avion, vezi figura 4, lungimea

caracteristica L depinde de viteza cu care se deplaseaza avionul (sau viteza aerului, relativa la

aeronava):

t

t

xtvL aer

== (1.3)

unde: t intervalul (mediu) de timp n care aripa ntlneste particule de aer, la o viteza

de zbor data; n acest caz treprezinta parametrul caracteristic fenomenului

de curgere a aerului peste o structura aeromecanica.

Astfel, pentru o aripa de coarda m1c= (distanta dintre punctele extreme ale profilului aripii), care

se deplaseaza cu viteza s/m50vavion= , n functie de lungimea caracteristica pe unitatea de timp,

aerul poate fi considerat: mediu omogen daca altitudinea de zbor este km100H< ;


6/132

MECANICA FLUIDELOR

6

mediu neomogen pentru altitudini km100H> (vezi tabelul 1.1).

Fig. 4 Curgerea aerului n jurul unei aripi de avion

3.2 CONCEPTUL DE MEDIU OMOGEN

Un mediu fluid continuu este considerat si omogen daca la o temperatura si presiune,

constante, densitatea sa este constanta.

ctctT,p == .

3.2 CONCEPTUL DE MEDIU IZOTROP

Un mediu fluid este considerat izotrop daca prezinta aceleasi proprietati n toate directiile

din jurul unui punct.

Sintetiznd cele enuntate anterior, se poate da urmatoarea definitie pentru fluide:

Definitie: Fluidul se considera ca fiind un mediu continuu, omogen si izotrop, lipsit de forma

proprie, n care, n stare de repaus, pe suprafetele de contact ale diferitelor

particule, se exercita numai eforturi normale*.

* Asupra starii de eforturi ce actioneaza asupra fluidelor se va reveni ulterior (vezi Proprietatile

fluidelor Vscozitatea).

Definitie: Particula fluida este o portiune de fluid, de forma oarecare si de dimensiuni arbitrar

de mici, care pastreaza caracteristicile de mediu continuu si n raport cu care se

studiaza repausul sau miscarea fluidului.

Limita inferioara a dimensiunilor particulei este impusa de conditia neglijarii influentei

miscarilor proprii ale moleculelor, sau a miscarii brown-iene.

Aceasta trebuie sa fie mai mare dect lungimea liberului parcurs molecular.

Limita superioara este determinata de conditiile aplicarii calculului infinitezimal.

Observatie: Omogenitatea si izotropia unui fluid permit ca relatiile stabilite pentru o particula sa

fie valabile pentru ntregul fluid .


7/132

7

4. MODELE DE FLUID

Definitie: Prin model de fluid se ntelege o schema simplificata de fluid, acesta fiind

considerat un mediu continuu, caruia i se atribuie principalele proprietati

macroscopice (masurabile) ale fluidului real (compresibil si vscos).

Necesitatea elaborarii unor modele simplificate de studiu ale fenomenelor naturale (reale)

se datoreaza complexitatii miscarii fluidelor. Neglijnd anumite procese secundare fenomenului

real, deci simplificndu-l, devine posibila construirea unui model. Astfel, se pot acceptat modele de

fluid, precum:

- fluid usor: se neglijeaza greutatea proprie; este valabil pentru gaze;

- fluid ideal: lipsit de vscozitate; se neglijeaza efectul fortelor de frecare ce apar

ntre straturile de fluid modelul Euler;- fluid incompresibil: modelul de fluid la care volumul unei mase determinate nu se

modifica odata cu variatia presiunii; valabil pentru lichide modelul

Pascal;

- fluid newtonian: fluide care se supun legilor mecanicii clasice, newtoniene;

- fluid ne-newtonian: fluide a caror comportament nu se supune legilor mecanicii

newtoniene, precum solutiile coloidale (uleiul de ungere recirculat n

masini contine impuritati n stare de suspensie), materialele

plastice macromoleculare n stare lichida etc.Comportamentul fluidelor ne-newtoniene constituie obiectul de studiu al stiintei reologiei.

5. METODE DE STUDIU N MECANICA FLUIDELOR

Fiind o stiinta a naturii, mecanica fluidelor foloseste n cercetare att metode teoretice, ct

si metode experimentale, de cele mai multe ori in strnsa colaborare.

Metodele teoretice constau n aplicarea principiilor, legilor si teoremelor mecanicii generale

la studiul repausului si miscarii fluidelor. Acest lucru este posibil prin reprezentarea fluidului camediu continuu.

Metodele experimentale se aplica, fie n scopul stabilirii unor legi generale ale unor

fenomene, a verificarii unor concluzii teoretice, fie ca metoda de rezolvare directa a unor probleme

complexe, ce nu pot fi solutionate pe cale teoretica.

Metodele mixte rezulta prin mbinarea primelor doua.


8/132

MECANICA FLUIDELOR

8

2. PARAMETRII SI PROPRIETATILE CARE DEFINESCSTAREA UNUI FLUID

2.1 Proprietat i f iz ice comune l ich idelor si gazelor

2.2 Prop rietati fizice spec ifice lichid elor

2.3 Prop rietati fizice specific e gazelor

O propri etate este o caracteristica a unei materi i care este invar ianta (constanta) atunci cnd

respectiva materie se afl a intr-o anumi ta stare de echi l ibru . Conditi i le care determina aceasta

stare sunt unice si descri se (caracterizate) de proprietati le materiei .

2.1 PROPRIETATI FIZICE COMUNE LICHIDELOR SI GAZELOR

2.1.1 Presiunea, p

Presiunea este unul din cei mai importanti parametri ce caracterizeaza starea unui fluid.

Prin definitie, presiunea ntr-un fluid n repaus este raportul dintre forta normala si aria suprafetei

pe care se exercita aceasta forta.

ntr-un punct dintr-un fluid n repaus, se defineste ca fiind limita reportului dintre forta

normala si aria suprafetei pe care se exercita aceasta forta, cnd aria tinde catre zero, n jurul

punctului respectiv. Matematic se exprima conform relatiei:

dA

dF

A

Flimp

0A==

, (2.1)

n forma diferentiala, sau simplu:

A

Fp= (2.2)

Observatie: Daca forta nu ar fi normala (perpendiculara) pe suprafata pe care actioneaza, ar

trebui sa admitem ipoteza existentei unor eforturi tangentiale n fluid, ceea ce ar

contrazice faptul ca acesta este considerat n repaus. De asemenea, ntr-un fluid n

echilibru, presiunea este functie de punctul n care se determina, )z,y,x(MM= , cu

alte cuvinte este o marime scalara.

)t,z,y,x(fp)z,y,x(MM

)t,M(fpM

M =

==

Totodata, pentru un fluid, presiunea poate fi interpretata ca o masura a energiei acestuia pe

unitatea de volum:

Volum(Energie)mecanicLucruL

dAdF

AF

p ====

V (2.3)


9/132

9

Unitatea de masura n Sistemul International este 2m/N , denumita ncepnd cu 1971 si

Pascal Pa , dupa numele omului de stiinta Blaise Pascal, matematician, fizician, filozof, de origine

franceza (1623 1662).

2m

N1Pa1 = . (2.4)

Deoarece aceasta este o unitate foarte mica n comparatie cu presiunile uzuale ntlnite n

instalatiile industriale, sau chiar cu presiunea atmosferica din zonele locuite ale Pamntului, se

folosesc multiplii pascalului:

kilopascalul, Pa10kPa1 3= , denumit sipiezsi

megapascalul, Pa10MPa1 6= .

Des utilizat, cu precadere n aplicatiile tehnice, este barul, prescurtat bar. Aceasta unitate,

desi nu apartine Sistemului International, este tolerata datorita utilizarii ei ntr-un numar nsemnat

de tari, printre care si a noastra: Pa10bar1 5= .

O alta unitate de masura utilizata n tehnica este atmosfera tehnica, prescurtata at, definita

de raportul:

Pa1080665.9cm

fkg1at1 4

2 == (2.5)

Pentru definirea starii fizice normale se utilizeaza atmosfera fizica, prescurtata At, sau

atm . A fost pusa n evidenta si calculata pentru prima data de E. Torricelli, vezi figura 1 (presiuneahidrostatica exercitata de coloana de mercur la baza ei pe aria sectiunii S este egala cu presiunea

atmosferica de pe suprafata libera a mercurului).

(torr)mmHgAt 7601 =

Presiunea atmosferica este n acelasi loc o marime variabila n timp. De

asemenea variaza de la un loc la altul, functie si de valoarea acceleratiei

gravitationale locale. Astfel se defineste:

presiunea fizica normala 0p ca fiind cea exercitata de o coloana de

mercur de 760 mm la nivelul marii.

Rezolutia 4 a celei de a X-a Conferinte Generale de Masuri si Unitati,

1954, stabileste ca, valoric, presiunea fizica normala este egala cu:

(torr)mmHgPaAt 7601013251 ==

n practica, pentru masurarea unor presiuni mici se utilizeaza aparate a caror functionare

se bazeaza pe principiul determinarii presiunii hidrostatice exercitate de o coloana de lichid (vezi


10/132

MECANICA FLUIDELOR

10

figura 2). Astfel, se utilizeaza frecvent unitati de masura ce reprezinta naltimi

ale unor coloane de lichid, precum:

23

233

2m

N81.9m10

s

m81.9

m

kg10OmmH1 ==

23

23 m

N875.7m10

s

m81.9

m

kg803alcmm1

]lp[mmhgpp lp0 = , (2.6)

unde: lp densitatea lichidului piezometric.

Cele mentionate anterior, referitor la unitatile de masura utilizate si a bazei lor de calcul, ne

dau posibilitatea definirii a doua tipuri de presiuni. Astfel, n functie de valoarea presiunii utilizata ca

baza de masurare (de referinta), se disting:

presiunea absoluta: presiunea care are ca nivel de referinta presiunea vidului absolut,

zero ; astfel, ca marime absoluta presiunea este o marime ntotdeauna pozitiva;

presiunea relativa: presiunea care are ca nivel de referinta pe cea atmosferica n locul n

care se efectueaza masurarea.

Relatia de legatura dintre cele doua presiuni este:

rel0abs ppp += (2.7)

n cazul n care 0abs pp < presiunea relativa se mai numeste si vacuummetrica, dupa

numele aparatului utilizat la masurarea ei. Se mai numeste si depresiune iar ca valoare este

negativa, fapt evidentiat si de aparatul de masura (vacuummetru).

n cazul n care 0abs pp presiunea relativa se mai numeste si manometrica, caz n care

este o suprapresiune si are o valoare pozitiva. Manometrele industriale se gradeaza avnd ca zero

presiunea atmosferica normala.

Observatie: Deoarece n problemele tehnice curente fortele care se dezvolta in instalatiile

hidraulice (pneumatice) sunt rezultatul diferentei dintre presiunea (absoluta) din

interiorul instalatiei si presiunea atmosferica exterioara, n Mecanica Fluidelor se

utilizeaza, n general, presiunea relativa.

Pentru un curent de fluid, presiunea ntr-un punct din interiorul acestuia este rezultatul

actiunii presiunii statice si a presiunii dinamice:

dinsttot ppp += (2.8)

unde: totp presiunea totala;stp presiunea statica (presiunea care se exercita n planul de separatie a doua mase de


11/132

11

fluid); n general, presiunea statica nu variaza n sectiunea unui curent, exceptie

facnd cazurile n care liniile de curent sunt curbate;

dinp presiunea dinamica; se calculeaza cu relatia:

2

vp

2

din

= (2.9)

unde: v viteza curentului de fluid (n punctul de masurare).

densitatea fluidului.

2.1.2 Densitatea,

Densitatea ntr-un punct din interiorul unui fluid se defineste ca fiind limita raportului

dintre masa m a unui element de volum din jurul punctului considerat si volumul elementului V

, cnd acesta tinde catre zero:

VVV d

dmmlim

0P ==

(2.10)

n cazul unui fluid omogen, densitatea este egala raportul dintre masa unui volum

determinat de fluid si respectivul volum (masa unitatii de volum) si are aceeasi valoare n orice

punct al fluidului:

V

m= (2.11)

Relatia anterioara este utilizata si n cazul definirii densitatii medii a unui fluid. Termenii

sinonimi ai densitatii sunt: masa specifica, sau masa volumica. Unitatea de masura n Sistemul

International este:

3SI m

kg

][

]m[][ ==

V

Inversul densitatii, volumul ocupat de unitatea de masa, se numeste volum specific:

1=v

kgm3

(2.12)

Observatie: n general, densitatea unui fluid este functie de pozitia punctului de masurare, depresiunea p si de temperatura t[C] la momentul efectuarii masuratorii.

Aceasta observatie este valabila cu precadere n cazul gazelor (fluide compresibile), a

caror densitate depinde de temperatura si presiune; se poate determina din ecuatia de stare,

aplicata pentru doua stari, dintre care una cunoscuta:

T

T

p

p 0

00= , (2.13)

unde: termenii cu indice "0" sunt parametrii gazului n starea de referinta.


12/132


13/132

13

Dupa cum se observa din figura 3, variatia de volum V a fluidului din cilindru este

proportionala cu variatia p a presiunii acestuia. Relatia care exprima aceasta dependenta este:

Fig. 3 - Variatia presiunii ntr-un cilindru la modificarea volumului

p=

V

V (2.18)

unde: V volumul initial al fluidului;

VV variatia relativa a volumului;

coeficientul de evaluare cantitativa a compresibilitatii fluidului; poarta

denumirea de modul de compresibilitate izoterma, notat si cu k.

Observatie: Semnul ,,- din relatia anterioara arata faptul ca unei cresteri de presiune i

corespunde o scadere de volum.

Pentru variatii infinitezimale, relatia anterioara se rescrie astfel:

dpd

=V

V (2.19)

Unitatea de masura n Sistemul International pentru modulul de compresibilitate este:

N

m

]p[

1][

2

SI ==

Inversul modulului de compresibilitate este modulul de elasticitate, notat cu .

1= [N/m2] (2.20)

Ca si n cazul densitatii, valorile si depind de temperatura si nu depind practic de

valoarea presiunii. Tinnd cont ca masa unui fluid este constanta, prin diferentierea relatiei

ctm == V obtinem:

dddd0dddm ===+=

V

VVVVV (2.21)

Din relatiile (2.19) si (2.21) rezulta ca:


14/132

MECANICA FLUIDELOR

14

=

==

d

dp

dp

d1

ddp (2.22)

Pentru fluidele grele (lichidele) raportul 0)dpd( , asadar 0 (sunt practicincompresibile). Pentru gazele comune, precum oxigenul, modulul de elasticitate depinde de

natura procesului. Astfel:

p= , pentru procese izotermice; (2.23)

p= pentru procese adiabatice; (2.24)

unde:

vp c/c= exponentul adiabatic; raportul dintre caldurile specifice la presiune

constanta si la volum constant;

p presiunea absoluta.

Legat de acesti doi parametri care definesc starea unui fluid se poate defini un altul si

anume celeritatea.

2.1.5 Celeritatea, c

Celeritatea sau viteza de propagare a sunetului reprezinta unul dintre parametrii care

descriu propagarea sunetului printr-un mediu. Aceasta viteza depinde de proprietatile mediului de

propagare, n particular de elasticitatea si densitatea acestuia. ntr-un mediu fluid este definita de

relatia lui Newton:

=== 1

d

dpc [m/s]. (2.25)

n aer si alte gaze viteza sunetului depinde n primul rnd de temperatura. Presiunea are un

efect mic, iar umiditatea nu are aproape nici un efect asupra vitezei. De exemplu:

la C0t = m/s331,5c=

la C02t = m/s343,4c=

n lichide viteza de propagare a sunetului este mai mare dect n gaze, pentru ca, desi

densitatea este mai mare (ceea ce ar nsemna o inertie mai mare, deci o viteza inferioara),

compresibilitatea lichidelor este mult mai mica dect a gazelor, ceea ce face ca o perturbatie a

presiunii ntr-un punct sa se propage rapid la punctele vecine. Astfel, n apa viteza de propagare a

sunetului este de 1400-1500 m/s. Cunoasterea precisa a vitezei sunetului n apa este importanta

ntr-o serie de domenii precum cartografierea acustica a fundului oceanic, aplicatii ale sonaruluisubacvatic, comunicatii etc.


15/132

15

2.1.6 Numarul Mach, M

Numarul Mach (dupa numele fizicianului austriac Ernst Mach) este o unitate de masura

folosita pentru a exprima viteza unui corp care se deplaseaza ntr-un fluid.

cvMa= [-] (2.26)

unde: v viteza (relativa) de miscare a fluidului.

Astfel, numarul lui Mach este o marime adimensionala care arata de cte ori este mai mare

viteza unui mobil dect viteza sunetului n acel mediu. Pentru Mach 1, viteza este egala cu viteza

sunetului n fluidul respectiv. n conditiile atmosferei standard, pentru Mach 1, viteza (relativa) a

aerului este egala cu 1228 km/h. Valorile subunitare ale numarului lui Mach nseamna viteze

subsonice (mai mici dect viteza sunetului), iar valorile supraunitare nseamna viteze supersonice.O clasificare mai detaliata defineste urmatoarele regimuri de miscare a fluidelor:

- pentru 25.0Ma< : miscarea este subsonica, incompresibila;

- pentru 8.0Ma25.0


16/132

MECANICA FLUIDELOR

16

2.1.8 Vscozit atea - , .

Vscozitatea reprezinta proprietatea fluidelor de a se opune deformatiilor atunci cnd sunt

supuse la lunecare relativa a straturilor suprapuse (de a opune rezistenta la schimbarea formei).

Aceasta proprietate se manifesta numai la fluidele n miscare prin aparitia unor eforturi tangentiale

datorita frecarii dintre straturile alaturate de fluid care se deplaseaza unele fata de altele.

Sta la baza mecanismului de transmitere a miscarii ntr-un fluid.

Constatarea a fost facuta de Newton (1687), pornind de la modelarea curgerii unui fluid

ntre doua placi plane, paralele, dupa cum este ilustrat n figura 5. Tot el a stabilit si expresia

efortului tangential unitar de vscozitate.

Fig. 5 Descrierea mecanismului de curgere a unui fluid ntre doua placi plane

Astfel, miscarea unui lichid ntre doua placi plane, paralele, dintre care una fixa si cealalta

mobila poate fi descrisa conform urmatorului mecanism. Presupunem ca volumul de lichid dintre

cele doua placi este format din mai multe straturi paralele; Astfel, primul strat (aderent la placa

mobila) se va deplasa cu aceeasi viteza ca a placii, v . Dupa un interval scurt de timp se pune n

miscare si cel de al doilea strat, dar cu o viteza mai mica, dvv , , descresterea vitezei avnd

loc pna la ultimul strat de fluid (aderent la placa fixa) care va avea viteza egala cu zero.

Variatia vitezei pe directia normala curgerii se datoreaza eforturilor tangentiale care se

exercita ntre straturile alaturate de fluid. Conform ipotezei lui Newton, valoarea acestor eforturi

este direct proportionala cu variatia vitezei pe directia normala curgerii (gradientul vitezei), prin

intermediul unui coeficient de proportionalitate, ,

y

=v

[N/m2], (2.27)

unde

yv

gradientul vitezei dupa directia y (variatia vitezei pe directia normala la cea de

miscare a fluidului).

Marimea caracterizeaza proprietatea de vscozitate a fluidului. Se numeste coeficient de

vscozitate dinami ca, sau vscozitate dinami ca.


17/132

17

Daca variatia vitezei este constanta (liniara) pe directia normala curgerii, atunci relatia

(2.27) devine

hy

v

d

dv == , Legea lui Newton. (2.28)

Asadar, eforturile tangentiale sunt direct proportionale cu viteza de deplasare a placii

mobile si invers proportionale cu distanta dintre placi. De asemenea, petru cazul ilustrat anterior

A

F= ,

unde: A aria placii mobile;

F forta care actioneaza asupra placii mobile.

Unitatea de masura a vscozitatii dinamice n sistemul international este [Ns/m2] sau

[kg/ms], iar sensul fizic al acestei marimi este acela de tensiune tangentiala care se dezvolta n

interiorul unui fluid omogen cnd gradientul vitezei este unitar.

Pentru a lega vscozitatea de natura fluidului s-a introdus notiunea de vscozitate

cinematica, , definita de relatia:

= , (2.29)

unde: densitatea fluidului.

Unitatea de masura a vscozitatii cinematice n sistemul international este [m2/s]. n

sistemul tehnic, unitatile de masura ale celor doua tipuri de vscozitate se exprima astfel:

)poise(P1]scm[

]gram[1][ ST =

= ,

(Stokes)St1][

][][ ==

s

cmST

2

1 .

Vscozitatile dinamica si cinematica depind de parametrii de stare ai mediului. Astfel,

vscozitatea dinamica depind numai de temperatura si nu depinde de presiune, n timp ce

vscozitatea cinematica depinde si de presiune. La cresterea temperaturii se mareste vscozitateagazelor si vaporilor, iar vscozitatea lichidelor se micsoreaza.

Dependenta vscozitatii gazelor de temperatura poate fi exprimata cu o buna aproximatie

utiliznd formula lui Sutherland:

++

=2

3

0

00 T

T

CT

CT

smkg

, (2.30)

unde: 0 vscozitatea dinamica n conditii fizice normale de presiune si temperatura:

0p , respectiv 0T ;

C constanta de variatie a vscozitatii dinamice cu temperatura pentru gaze.


18/132


19/132

19

2.2 PROPRIETATI FIZICE SPECIFICE LICHIDELOR

Principalele proprietati fizice specifice lichidelor sunt: tensiunea superficiala, capilaritatea,

absortia sau degajarea gazelor (desorbtia) si cavitatia.

2.2.1 Tensiunea superficiala, Tensiunea superficiala a unui lichid este o marime definita prin forta care se exercita

tangential pe unitatea de lungime de pe suprafata lichidului, datorita interactiunii dintre moleculele

de lichid din stratul superficial si moleculele de lichid din interior.

l

F= [N/m] (2.33)

Tensiunea tangentiala intervine n calculul diferentei de presiune ntr-un punct al unei

suprafete curbe de contact dintre doua lichide imiscibile (sau un lichid si un gaz).

Daca se noteaza cu 1R si 2R razele de curbura principale ale suprafetei de contact (vezi figura 7),

atunci diferenta de presiune dintre cele doua parti ale suprafetei de contact este data de formula lui Laplace:

==

2121 R

1

R

1ppp ][N/m2 (2.34)

Fig. 7

2.2.2 Capilaritatea

Capilaritatea este proprietatea care rezulta ca o consecinta a fenomenului de adeziune si a

tensiunii superficiale si care consta n aparitia unei denivelari a suprafetei libere a lichidului n

tuburile capilare si anume o ascensiune pentru un lichid care uda tubul si o coborre pentru un

lichid care nu uda tubul (vezi figura 8).


20/132

MECANICA FLUIDELOR

20

Fig. 8

Denivelarea h este data n prima aproximatie de legea lui Jurin:

gr

2h

= [m] (2.35)

unde: tensiunea superficiala a lichidului; densitatea lichidului.

2.2.3 Absortia (sau degajarea) gazelor

Absortia gazelor este fenomenul prin care gazele si vaporii, care alcatuiesc faza absorbanta, patrund

prin difuziune n masa unui lichid, prin suprafata de separatie dintre cele doua faze. Se produce cnd

concentratia componentelor n stare gazoasa este mai mare ca cea corespunzatoare echilibrului fazelor.

Creste odata cu presiunea. Degajarea gazelor este procesul invers absortiei.

De exemplu, n conditii obisnuite de temperatura si presiune, apa contine un volum de aerce reprezinta aproximativ 2% din volumul sau. De asemenea, n contact cu aerul, apa absoarbe

mai mult oxigen si mai putin azot ( 2O%34 si 2N%66 ) fata de raportul n care aceste gaze se

gasesc n aer ( 2O%21 si 2N%79 ).

2.2.4 Cavitatia

Cavitatia este un fenomen complex, foarte periculos pentru masinile si instalatiile hidraulice

ce apare pe portiunile n care presiunea scade sub cea de vaporizare, la temperatura

corespunzatoare functionarii si consta si consta n formarea unor bule de vapori si gaz careajungnd n zone de presiuni mare se recondenseaza, respectiv se redizolva.

Fenomenul e marcat prin aparitia unor zgomote puternice, temperaturi ridicate, coroziune

chimica, ce conduc la distrugerea rapida a instalatiilor.

2.3 PROPRIETATI FIZICE SPECIFICE GAZELOR

Proprietatile fizice specifice gazelor se pot clasifica n proprietati mecanice si proprietati

termice. Cele mecanice sunt legate de comportarea acestora ca fluide usoare si compresibile.

Gazele si vaporii sunt denumite si fluide usoare deoarece n majoritatea cazurilor greutatea


21/132

21

acestora poate fi neglijata n raport cu fortele uzuale de presiune cu care acestea actioneaza

asupra solidelor cu care vin n contact. De asemenea, variatiile de volum pe care le sufera acestea

sub actiunea fortelor de presiune sunt nsemnate valoric.

De mare importanta n studiul fluidelor usoare sunt proprietatile termodinamice, acestea

tinnd cont de faptul ca miscarea gazelor este nsotita inevitabil de procese termice. Marimile destare ale unui gaz: presiunea p , densitatea , si temperatura Tsunt interdependente. Ecuatia

care defineste aceasta interdependenta, pentru gazele perfecte, este Ecuatia de stare denumita si

Ecuatia Clapeyron-Mendeleev:

TM

RpTR

pTRmVp M===

(2.36)

unde: [J/kgK]R constanta caracteristica a gazului studiat;

J/kmolK8314.3RM= constanta universala a gazelor;

]kg[m masa gazului;

[kg/kmol]M masa molara a gazului.

n studiul repausului sau miscarii unui gaz perfect (fara frecari sau soc) se deosebesc

urmatoarele legi de variatie a densitatii n functie de presiune:

2.3.1 Variatie izocora(la volum constant):

0ct == . (2.37)

2.3.2 Variatie izoterma(la temperatura constanta):

0

0pctp

== . (2.38)

2.3.3 Variatie adiabatica(fara schimb de caldura cu mediul exterior):

k0

0pctp

== . (2.39)

unde: exponentul transformarii adiabatice (exponentul adiabatic).

2.3.4 Variatie politropica(transformare generala):

n0

n0

n

pct

p

== (2.40)

unde: n exponentul transformarii politropice (exponentul politropic).

Principalele proprietati termodinamice ale gazelor sunt:


22/132

MECANICA FLUIDELOR

22

2.3.5 Caldura specifica, c

Pentru o substanta (omogena) caldura specifica reprezinta caldura necesara unitatii de masa din

acea substanta pentru a-si mari temperatura cu un grad, fara modificarea starii fizice sau chimice.

Se determina experimental sau poate fi calculata utiliznd teoria cinetico-moleculara (n cazul

gazelor).

=

dT

dQ

m

1c [J/kg K]. (2.41)

Pentru gaze si vapori, caldura specifica depinde natura procesului termodinamic. Astfel se definesc:

Vc caldura specifica la volum constant (proces izocor, sau izodens)

pc caldura specifica la presiune constanta (proces izobar)

Legatura dintre Vc si pc este data relatia (R. Mayer):

Rcc vp += [J/kg K]. (2.42)

unde:R[J/kg K]: constanta caracteristica a gazului studiat;

Raportul dintre pc si Vc defineste exponentul adiabatic :

=

v

p

c

c. (2.43)

Astfel:

R1

cp =

;

1

Rcv

=

. (2.44)

2.3.6 Energia interna specifica, u

Energia interna specifica este energia termica a unui substante, raportata la unitatea de masa.

Pentru gazele perfecte se calculeaza cu relatia:

dTcdu v= [J/kg]. (2.45)2.3.7 Entalpia specifica, h

Reprezinta suma dintre energia interna specifica si energia potentiala de presiune specifica

(unitatii de masa):

puh += [J/kg]. (2.46)

Pentru un gaz perfect entalpia depinde doar de temperatura si se calculeaza cu relatia:

dTcpuddh p=

+=

. (2.47)


23/132

23

Aplicatii

PARAMETRII SI PROPRIETATILE CARE DEFINESCSTAREA UNUI FLUID

PROBLEME REZOLVATE

Problema 1 Victor BENCHE s.a., Mecanica fluidelor si masini hidropneumatice, Culegere de

probleme, Universitatea Transilvania din Brasov, 1989, pb. 1.1, pag. 5

Pentru verificarea (sau etalonarea) manometrelor se poate utiliza o instalatie cu pompa cu

surub ca cea din figura 1. Aceasta se compune din corpul cilindric 1n care se deplaseaza pistonul

2prin rotirea tijei (surubului) 3n corpul filetat 4. Pistonul este articulat pe tija astfel nct rotirea

tijei nu se transmite pistonului, acesta avnd numai o miscare de translatie. Tija se roteste manual

cu ajutorul volantului 5. Pompa se umple cu lichidul de lucru (ulei) aflat n rezervorul 6. Manometrul

de verificat MV si manometrul etalon ME se fixeaza etans la doua racorduri ale conductei de

refulare 7 prin intermediul robinetelor 8 si 9. Cunoscnd diametrul cilindrului cm1d= , pasul

surubului mm2h= , volumul initial de ulei cm200 3=V la presiune atmosferica normala si

coeficientul de compresibilitate izoterma al uleiului /Nm1085.4 210= , sa se determine

numarul n de rotatii necesare pentru ca indicatia manometrului etalon sa fie at200pm = .

Fig. 1

Solutie:

Se trec datele problemei n Sistemul International (daca e cazul):

m101cm1d 2== diametrul cilindrului;

m102mm2h -3== pasul surubului;


24/132

MECANICA FLUIDELOR

24

363 m10200cm200 ==V volumul initial de ulei;

/Nm1085.4 210= coeficientul de compresibilitate izoterma al uleiului;

24m N/m109.81200at200p == presiunea indicata de manometrul etalon.

Observatie: Prin rotirea tijei, pistonul 2se va deplasa pe o distanta hnl = , astfel nct va avea

loc o comprimare a uleiului n spatiul ramas liber n cilindru 1si conducta de refulare

7, datorita cresterii de presiune p .

Din relatia de definitie a compresibilitatii izoterme a fluidelor:

p

=

V

V (1)

si tinnd cont de faptul ca manometrele industriale indica suprapresiuni - se gradeaza avnd ca

zero presiunea atmosferica normala, rezulta ca indicatia manometrului este tocmai cresterea depresiune:

mpp= (2)

De asemenea:

4d

hnAl2

P

== V (3)

unde: hnl = distanta parcursa de piston, egala cu produsul dintre numarul de rotatii n si

distanta parcursa la o rotatie (pasul filetului h );

4d

A2

P= aria pistonului, egala cu cea a cilindrului.

nlocuind expresiile (2) si (3) n (1) obtinem:

2m

m

2

dh

p4np

4

dhn

V

V == (4)

rot.122.121014.3102

1062.191085.4102004n

43

6106

=

=

Problema 2 Julieta FLOREA s.a., Mecanica fluidelor si masini hidropneumatice, Probleme,

Editura Didactica si Pedagogica, 1982, pb. 1.11, pag. 15

O placa plana de arie 2m8.0S= si masa kg2m= aluneca pe un plan nclinat, cu unghiul

= 30 , acoperit cu o pelicula de ulei de grosime mm2= (vezi figura 2). Densitatea uleiului

este 3kg/dm9.0= , iar vscozitatea cinematica stokes4.0= . Sa se determine viteza de

alunecare a placii n miscare uniforma.


25/132

25

Fig. 2

Solutie:

Se trec datele problemei n Sistemul International:

2m8.0S= aria placii;

kg0.2m= masa placii;

= 30 unghiul de nclinare al placii;

m102mm2 -3== grosimea peliculei de ulei;

333 m/kg109,0kg/dm9,0 == densitatea uleiului;

s/m1040,0s/cm0,40stokes40,0 242 === vscozitatea cinematica a uleiului.

Observatie: Sub actiunea componentei tangentiale a greutatii placii

sinGGT = , placa ncepe sa se miste uniform accelerat.

Pe masura ce viteza creste, creste si forta de frecare

vscoasa care se opune miscarii placii. La un moment dat

cele doua forte se echilibreaza dinamic, si miscarea placii

devine uniforma.

Pentru cazul studiat, relatia lui Newton de calcul a efortului tangential este:

v

S

GT == (1)

unde: v viteza de deplasare a placii n miscare uniforma;

= vscozitatea dinamica a uleiului (2)

nlocuind relatia (2) n (1) obtinem:

S

singmv

v

S

singm

== (3)

m/s681.00.8104.0109.0

30sin10281.92v

43

3

=

=

.


26/132

MECANICA FLUIDELOR

26

Problema 3 Victor BENCHE s.a., Mecanica fluidelor si masini hidropneumatice, Culegere de

probleme, Universitatea Transilvania din Brasov, 1989, pb. 1.3, pag. 6

Sa se determine dependenta de temperatura a vitezei de propagare a sunetului n apa

avnd densitatea si modulul de elasticitate:

3aap kg/m1000= si

29apa N/m10914.1 = la temperatura C4tapa = ;

3apa kg/m26.999= si

29apa N/m10020.2 = la temperatura C20tapa = .

Solutie:

Utiliznd relatia lui Newton de calcul a vitezei de propagare a sunetului ntr-un mediu fluid:

== ddpc (1)

se calculeaza:

m/s13881000

10914.1c

9

apa =

= la temperatura C4tapa = ;

m/s142226.999

10020.2c

9

apa =

= la temperatura C20tapa = .

Asadar, viteza de propagare a sunetului creste cu temperatura.

Problema 4

Distributia de viteze ntr-un lichid vscos ce curge peste o placa fixa este data de relatia:

2yy68.0v = ,

unde:

v viteza [m/s]

y distanta pe verticala de la suprafata placii [m].

Care este valoarea tensiunii tangentiale la nivelul placii si pentru m0.34y= , daca vscozitatea

dinamica a lichidului este 2msN1= . Reprezentati grafic dependenta )y( = pentru intervalul

m0.34)0(y = .

Solutie:

Conform I. Newton, expresia tensiunii tangentiale care se manifesta ntre straturile

alaturate de fluid este:

y

v

=

unde:


27/132

27

vscozitatea dinamica a fluidului;

y

v

gradientul vitezei dupa directia y (variatia vitezei pe unitatea de lungime a normalei la

directia de miscare a fluidului); n acest caz:

yy

yyyv

2680680 2 =

=

.).( .

Astfel, pentru

m0y= (la nivelul placii)2m

N68.068.01 == ;

m34.0y= 2m

N0)34.0268.0(1 == .

Pentru reprezentarea grafica a variatiei )y( = se observa ca dependenta este una

liniara, sau se aleg cteva puncte ydin intervalul 0.34)0( si se calculeaza .

PROBLEME PROPUSE

Problema 1

Un piston se deplaseaza cu viteza constanta s/cm1.0v= , ntr-un cilindru avnd

diametrul mm50D= si lungimea cm10l= , plin cu lichid cu modulul de elasticitate

24 cm/daN102e = .

Sa se calculeze deplasarea x [mm] a pistonului daca presiunea n cilindru creste de la

zero la bar200p= si timpul necesar deplasarii. Sa se ntocmeasca o schita.

Problema 2

Viteza ntr-un fluid ce curge peste o placa plana, masurata la o distanta de mm05 de

suprafata placii, este m/s1v= . Fluidul are vscozitatea dinamica Pas2 si densitatea relativa

0.8(la cea a apei). Ce valori au gradientul vitezei si tensiunea tangentiala de frecare vscoasa la


28/132

MECANICA FLUIDELOR

28

nivelul placii plane, considernd o distributie liniara a vitezei pe directia normala curgerii. Sa se

calculeze valoarea vscozitatii cinematice a fluidului si sa se ntocmeasca o schita.

Problema 3

Sa se determine viteza de propagare a sunetului n aer la o temperatura C20t = ,admitnd ca legea de variatie a densitatii aerului n functie de presiune este izotermica. Masa

kilomolara a aerului este kg/kmol29M= iar exponentul politropic 3.1n= . Constanta universala a

gazelor este [J/kmolK]8314.3=MR .

Problema 4

Explicati de ce vscozitatea lichidelor scade odata cu cresterea temperaturii, iar

vscozitatea gazelor creste cu temperatura.


29/132

29

Fig. 3.1

STATICA FLUIDELOR

3. RELATIA FUNDAMENTALA A STATICII FLUIDELOR

1. Fortele care action eaza asup ra fluid elor

2. Ecuatia de repaus a fluid elor

3. Relatia fun damentala a statici i fluid elor

4. Form e partic ulare ale relatiei fun damentale a statici i fluidelor

Statica fluidelor are ca obiect de studiu fluidele aflate n stare de echilibru precum si fortele

pe care acestea le exercita asupra solidelor cu care vin n contact.Dupa cum s-a demonstrat anterior, starea de echilibru a unui fluid este caracterizata doar

de existenta eforturilor normale n interiorul acestuia, eforturile tangentiale datorate frecarii

vscoase dintre straturile alaturate de fluid fiind nule. Din acest motiv fluidele reale aflate n repaus

pot fi tratate ca fluide ideale (lipsite de vscozitate)

3.1. FORTELE CARE ACTIONEAZA ASUPRA FLUIDELOR

Principale forte care actioneaza asupra unei mase m de fluid (vezi figura 3.1), care la unmoment tocupa un volum V, limitat de suprafata S , se pot grupa

n:

forte masicesi

forte de suprafata.

Deoarece fortele interioare, de legatura, se anuleaza doua

cte doua, conform principiului egalitatii actiunii si reactiunii, n cele

ce urmeaza va fi analizata actiunea pe care o exercita fortele

exterioare.

Fortele masice exterioare se datoreaza actiunii unor cmpuri de forte exterioare, precum

cel gravitational, sau cmpuri de natura electrica, magnetica. Acestea exercita asupra particulelor

de fluide actiuni proportionale cu elementele de masa dm ale acestora.

Observatie: n mod obisnuit, n mecanica fluidelor se iau n considerare doar fortele de greutate,

care sunt predominante, dupa caz si fortele de inertie. n magneto-hidrodinamica

sau dinamica plasmei, fortele care intervin preponderent sunt de natura magneticasau electrica.


30/132

MECANICA FLUIDELOR

30

Forta masica elementara care actioneaza asupra unei particule de fluid este data de relatia:

Vddd mmm fmfFrrr

== (3.1)

unde: mfr

este forta masica unitara, sau forta raportata la unitatea de masa; are dimensiunea

unei acceleratii (n mod obisnuit, n cmp gravitational gfm

= : acceleratia

gravitationala).

Astfel, rezultanta fortelor masice exterioare va fi egala cu:

=V

Vdmm fFrr

(3.2)

Fortele de suprafata exterioare provin din interactiunea fluidului cu alte corpuri (pereti solizi

sau alte fluide), prin intermediul suprafetei S . Se mai numesc si forte de contact si reprezinta

efectul de legatura al masei de fluid cu mediul nconjurator. Similar ca n cazul fortelor masice,

forta elementara de suprafata se defineste ca fiind:

SfF SS dd rr

= (3.3)

unde: Sfr

este forta unitara de suprafata, sau forta raportata la unitatea de suprafata; depinde,

n general, de vectorul de pozitie rr

al punctului n care se considera elementul de

suprafata Sd , de versorul normalei nr

la respectiva suprafata, corespunzator fetei n

contact cu fluidul (orientat nspre interiorul suprafetei, figura 3.1).

Pentru cazul general n care ntre normala la suprafata si forta de suprafata este un unghi , aceasta din urma se va descompune n doua componente, dintre care una normala pe Sd ,

cealalta tangenta la Sd : nFr

d , respectiv Fr

d .

SfSfFF nSSn dddd rrrr

=== coscos (3.4)

SfSfFF SS dddd rrrr

=== sinsin (3.5)

unde: nfr

este forta unitara de suprafata dupa directia normalei nr

.

fr

este forta unitara de suprafata dupa directia tangentei la suprafata Sd .

Componenta normala se numeste efort de presiunesi este orientata n sensul compresiunii

(nspre fluid), deoarece n conditii obisnuite fluidele nu pot prelua forte de ntindere (tractiune).

Scalarul p se numestepresiune, saupresiune statican punctul n care se considera elementul de

suprafata Sd :

npfnr

r

= (3.6)

Componenta tangentiala se numeste efort de suprafata tangentiala. n general, defineste

efortul tangential unitar de vscozitate n punctul n care se considera elementul de suprafata.


31/132

31

3.2. ECUATIA DE REPAUS A FLUIDELOR

Ecuatia echilibrului fluidelor se obtin din conditia ca rezultanta fortelor exterioare ce

actioneaza asupra unei mase de fluid sa fie nula

0=+ pm FF rr

(3.7)

n conditiile n care n fluidele aflate n repaus fata de mediul exterior se manifesta doar

eforturi normale, rezulta ca fortele de suprafata coincid cu cele de presiune. ntr-un fluid vscos n

repaus nu se manifesta eforturi tangentiale, aparitia acestora fiind determinata doar de deplasarea

relativa a particulelor de fluid.

Astfel, rezultanta fortelor exterioare, de presiune pFr

va fi egala cu

= S dSnpFpr

r

(3.8)

Tinnd cont de relatiile (3.2) si (3.8), conditia enuntata anterior se scrie astfel:

00 =+=+ S

dd SnpfFF mpmr

rrr

V

V (3.9)

Trecerea de la integrala de suprafata la cea de volum se face conform teoremei Green-

Gauss-Ostrogradski:

= V VdS pdSnp r

, sau = V Vd(gradS )pdSnp r

, (3.10)

unde semnul - se datoreaza orientarii versorului la suprafata (corespunzator fetei interioare);

este operatorul nabla (a lui Hamilton); n sistemul de referinta cartezian xOyz are

expresia:

zk

yj

xi

+

+

= rrr

unde k,j,irrr

sunt versorii corespunzatori axelor Ox , Oy si Oz .

Observatie Din punct de vedere formal, are proprietatile unui vector, deoarece componentele sale

sunt derivatele partiale n raport cu cele trei directii.

Asadar, din relatiile (3.9) si (3.10) rezulta ca:

0=VV

VV dd pfm r

(3.11)

Pentru un volum care tinde catre zero, 0V , relatia (3.11) se poate scrie sub forma:

010 == pfpf mm

rr

, sau 0grad1 = pfm

r

(3.12)


32/132

MECANICA FLUIDELOR

32

Relatia (3.12) reprezinta ecuatia vectoriala de repaus a fluidelor p erfecte, cunoscuta si

sub numele de ecuatia lui Euler (de repaus a fluidelor perfecte). Este valabila att pentru fluidele

incompresibile ct si pentru cele compresibile, ideale sau reale (vscoase).

n coordonate carteziene, corespunzator celor trei directii Ox , Oy si Oz , relatia vectoriala

(3.12) se scrie sub forma sistemului de ecuatii:

=

=

=

,mz

my

mx

fz

p

fy

p

fx

p

1

1

1

(3.13)

unde mxf , myf , mzf sunt componentele fortei masice unitare dupa directiile sistemului de referinta.

Observatii: Sistemul de ecuatii (3.13) este unul liniar cu derivate partiale de ordinul nti, n care ,

si z sunt variabile independente, iar presiunea p este variabila dependenta (functia

necunoscuta). De asemenea, densitatea si componentele fortei masice unitare sunt funtii

cunoscute.

Rezolvarea acestui sistem se face pe baza stabilirii conditiilor pe care trebuie sa le satisfaca

forta masica unitara astfel nct fluidul sa ramna n echilibru.

3. RELATIA FUNDAMENTALA A STATICII FLUIDELOR

Ecuatiile lui Euler pentru repausul fluidelor din sistemul (3.13) se pot pune si sub forma

urmatoare, iar prin nmultirea cu xd , yd , respectiv cu zd (componentele scalare ale rr

d )

=

=

=

mz

my

mx

fz

p

fyp

fx

p

1

1

1

z

y

x

d

d

d

. (3.14)

si adunare pe coloana se obtine

zfyfxfzz

py

y

px

x

pmzmymx dddddd ++=

+

+

1. (3.15)

Dupa cum se observa, paranteza din primul membru al relatiei anterioare reprezinta

diferentiala totala a presiunii, (x, y, z)pp = ,


33/132

33

zz

py

y

px

x

pp dddd

+

+

= . (3.16)

De asemenea, daca densitatea este constanta, constant= (fluide incompresibile), sau o

functie cunoscuta de presiune, ppp dd )(')( == (fluide barotrope), primul membru al

ecuatiei (3.15) se poate determina calculnd integrala ( ) pd . Rezulta asadar ca pentru a putea

rezolva ecuatia (3.15), al doilea termen trebuie sa reprezinte la rndul sau diferentiala totala a unei

functii scalare, z)yU (x ,, , continua pe un interval dat,

kz

Uj

y

Ui

x

UkfjfifUfUrf mzmymxmm

rrrrrrr

r

r

+

+

=++== dd . (3.17)

fiind astfel ndeplinita si conditia

0== )( Ufmr

, sau 0)(gradrotrot == Ufmr

, (3.18)

ceea ce nseamna ca fortele masice exterioare deriva dintr-un potential. Functia )(x, y, zU se mai

numeste si potent ialul fortelor masice. Este o marime de stare a fluidului si pentru un punct din

interiorul fluidului reprezinta energia potentiala masica a acestuia.

Asadar, componentele fortei masice unitare sunt

Ufmx

= ,y

Ufmy

= ,

z

Ufmz

= , (3.19)

iar cnd acestea sunt cunoscute, )(x, y, zU se determina prin integrare conform relatiei

++= zfyfxfzyxU mzmymx ddd),,( . (3.20)

n aceste conditii, relatia (3.15) capata forma

Up dd =

1, (3.21)

de unde prin integrare se obtine

ct+= Udp . (3.22)

Relatia (3.22) este ecuatia fundamentala a stat ic i i f luidelor si reprezinta principiul

conservarii energiei aplicat unei mase de fluid n repaus. Constanta de integrare ct are

dimensiunea unei energii masice unitare si se determina din conditii la limita cunoscute. Prin

analogie cu U, marimea ( ) pd se numeste potent ialul fortelor de presiune.

Observatie: Suprafetele pentr u care ctU= se numesc echipotenti ale. Pentr u f lu idele incompresibi le

si f lu idele barotr ope, a caror densitate este o functie cunoscuta de presiune )(p= ,

afl ate n repaus, se remarca urmatoarele propr ietati ale suprafetelor echipotenti ale.


34/132

MECANICA FLUIDELOR

34

Din conditia ctU= rezulta ca ctp= , deci ntr-un fluid n repaus, suprafetele echipotentiale

sunt izobare, implicit izodense si izoterme.

Din ecuatia (3.17) rezulta ca forta masica unitara este perpendiculara pe suprafetele

echipotentiale, rfrfrfUctU mmmr

r

r

r

r

r

dd,dd ==== 00 )cos( ; n mod natural esteorientata n sensul scaderii potentialului, deci al cresterii presiunii.

Suprafetele echipotentiale nu se intersecteaza, deoarece n cazul contrar n punctele de

intersectie presiunea ar avea mai multe valori diferite; astfel, suprafetele de separatie dintre

fluide (precum suprafata libera a unui lichid) sunt echipotentiale.

Daca fortele masice care actioneaza asupra unui fluid sunt foarte mici n comparatie cu

fortele de presiune, se poate considera ca potentialul fortelor masice unitare este neglijabil,

0U , iar relatia (3.21) capata forma

.ctpp == 01

d

(3.23)

Astfel, dupa caz, n interiorul unui volum finit (masurabil) de fluid se poate considera ca

presiunea este constanta, iar variatiile acesteia se transmit n toata masa fluidului. Aceasta

consecinta este cunoscuta sub numele de princip iul lui Pascalpe baza caruia se

construiesc amplificatoarele de forta (elevatorul hidraulic, presa hidraulica etc.), sau de

presiune (acumulatoarele hidraulice), utilizate n actionarile hidraulice si pneumatice.

Fig. 3.2 Schema de principiu al elevatorului hidraulic

n figura 3.2 este prezentata schema de principiu a unui multiplicator de forta, utilizat ca

elevator hidraulic. Astfel, forta 1F care se exercita asupra pistonului de diametru 1d genereaza o

suprapresiune mp care se transmite n toata masa lichidului, inclusiv la nivelul suprafetei pistonului

de diametru 2d , rezultnd forta 2F , cu ajutorul carei se ridica automobilul,

1

2

1

222

2

221

1

44F

d

dF

d

F

d

Fctpm

====

. (3.24)


35/132

35

Fig. 3.4

4. FORME PARTICULARE ALE RELATIEI FUNDAMENTALE

A STATICII FLUIDELOR

4.1 Repausul fluidelor incompresibile (lichidelor) n cmp gravitational

Dupa cum am mai enuntat anterior, principale forte masice care

actioneaza asupra unui fluid sunt cele gravitationale. Adoptnd un sistem

cartezian n care axa Oz reprezinta verticala, n sensul cresterii altitudinii

(natural n studiul atmosferei n repaus, vezi figura 3.3), obtinem

+==

=

==ctzgzgU

gf

ff

mz

mymxd

0. (3.25)

Asadar, pentru fluide incompresibile, ct= , relatia (3.22) devine:

ctg zpctzgp

ctzgp =+=+=+ d

1 (3.26)

Constanta de integrare se determina din conditii la limita cunoscute. De exemplu, n cazul

unui lichid de greutate specifica g = , continut ntr-un vas precum n figura 3.4, raportat la un

sistem de referinta ca n figura 3.3, pentru

cthgphz 0 =+= . (3.27)

nlocuind (3.26) n relatia (3.25) obtinem

)zhgpphgpzgp =+=+ ( 00 . (3.28)

Relatia (3.28) reprezinta legea de variatie a presiunii n interiorul

unui lichid, unde )( zh este cota de adncime si reprezinta ecuatia

fundamen tala a hidrostat ic i i.

Observatii:

n studiul lichidelor, orientarea naturala a sistemului de referinta este cea pentru care axa

Oz este n sensul cresterii adncimii, precum n figura 3.5.

Presiunea hidrostatica este o suprapresiune, 0pppS = , notata n mod curent cu p .

Astfel, relatia anterioara se poate scrie si sub forma (simplificata)

hgp = , (3.29)

unde h este cota de adncime.

Fig. 3.3


36/132


37/132

37

n stare de repaus absolut, nivelul lichidului n rezervor este h , caz n care forta masica

unitara are componenta doar dupa directia Oz , egala cu valoarea acceleratiei gravitationale.

Planele orizontale, perpendiculare pe directia fortei masice unitare sunt plane izobare (de presiune

constanta).

Fig. 3.6 Repausul relativ al lichidelor n miscare de translatie uniforma

n cazul n care rezervorul se deplaseaza uniform accelerat dupa directia axei Ox , cu

acceleratia .cta=r

, forta masica unitara mf are componente dupa directiile axelor:

Ox: acceleratia inertiala, afmx = , egala n modul dar de sens contrar acceleratiei miscarii;

Oz: acceleratia gravitationala gfmz = .

Sub actiunea rezultantei acestor forte masice unitare, suprafetele izobare (deci si suprafata

libera) se deplaseaza astfel nct sa fie perpendiculare pe directia mfr

sub un unghi fata de

orizontala:

g

atgarc= (3.33)

Raportat la sistemul de referinta xOyz considerat, potentialul fortelor masice unitare este,

conform relatiei (3.20)

( ) ( ) ctgzaxzgxazfxfzyxU mzmx +=+=+= dddd),,( (3.34)

De asemenea, pentru lichide, .ct= , potentialul fortelor de presiune este

ctp

pp

+==

dd 1

(3.35)

Asadar, relatia ecuatia fundamentala a staticii fluidelor (3.22) n cazul repausului relativ al

lichidelor n miscare de translatie uniforma devine


38/132

MECANICA FLUIDELOR

38

ctzgxap

ctUp

=+++= d

. (3.36)

Constanta de integrare se determina din conditii cunoscute. Astfel, pentru

02 pphz

lx =

== ,

deci, ecuatia (3.36) devine

cthgl

ap

=++ 2

0

(3.37)

nlocuind relatia (3.37) n (3.36) se obtine (n termeni de presiune relativa)

)zhgxl

ap

+

= (2

(3.38)

Valoarea presiunii maxime se obtine pentru 0=x si 0=z :

+= hglap

2max (3.39)

Variatia distributiei de presiuni pe peretii vasului este prezentata n figura 3.7.

Fig. 3.7

4.2.2 Repausul relativ al lichidelor n miscare de rotatie

Pentru studiul repausului relativ al lichidelor n miscare de rotatie se considera cazul unui

lichid de greutate specifica , continut ntr-un rezervor cilindric care se roteste cu viteza

unghiulara n jurul axei proprii, ca n figura 3.8. n stare de repaus absolut, nivelul lichidului nrezervor este 0h .


39/132

39

n acest caz, forta masica unitara are componente dupa toate cele trei directii dupa cum urmeaza:

Ox : acceleratia inertiala (centrifuga) 2xfmx = ;

Oy : acceleratia inertiala (centrifuga) 2yfmy= ;

Oz : acceleratia gravitationala gfmz = .

Fig. 3.8 Repausul relativ al lichidelor n miscare de rotatie

Raportat la sistemul de referinta xOyz considerat, potentialul fortelor masice unitare este,

conform relatiei (3.20):

( ) ( )

ctgzr

ctgzyx

gyxfffzyxU mzmxmx

+=++

=

=++=++= 2

22

22

22

dzdydxdzdxdx 22),,( (3.40)

Asadar, relatia ecuatia fundamentala a staticii fluidelor (3.22) n cazul repausului relativ al

lichidelor n miscare de rotatie devine:

.ctzgrp

=+ 22

2

(3.41)

Constanta de integrare se determina din conditii cunoscute. Astfel, pentru acest caz, la

nivelul suprafetei libere care este un paraboloid de rotatie, presiunea (relativa) este nula. Din

conditia de egalitate a volumului initial cu cel final = finalinitial VV

minmaxminmaxmax )( hhhhhhh +== RRR222 2

2

1 (3.42)

De asemenea, 0=p pentru:


40/132

MECANICA FLUIDELOR

40

cthgR

hz

Rr=+

==

maxmax

22

2 (3.43)

cthghz

r=

==

minmax

0

(3.44)

Din sistemul de ecuatii (3.42), (3.43) si (3.44) rezulta ca valoarea constantei este:

hgR

ct += 22

4 (3.45)

nlocuind (3.45) n (3.41) se obtine relatia de calcul a presiunii n interiorul fluidului, pentru

acest caz:

)()( 222

24

rRzhp g = (3.46)

Valoarea presiunii maxime se obtine pentru Rr= si 0=z :

4R

hgp22

max

+= . (3.47)

Variatia distributiei de presiuni pe peretii vasului este prezentata n figura 3.9

Fig. 3.9

4.3 Repausul fluidelor compresibile ct

n cazul n care densitatea fluidului nu e constanta, pentru a putea calcula potentialul

fortelor de presiune trebuie cunoscutalegea de variatie a densitatii n functie de presiune (tipul

transformarii pe care o sufera fluidul).

n cazul unui proces izotermic, ctT= :


41/132


42/132

MECANICA FLUIDELOR

42

4. FORTE DE ACTIUNE ALE FLUIDELOR N

REPAUS ASUPRA UNOR PERETI SOLIZI

Forte de act iune pe peret i plani

Forte de act iune pe peret i curbi

Fluidele exercita asupra peretilor solizi cu care vin n contact forte de presiune.

Determinarea acestora este necesara n practica n vederea dimensionarii rezervoarelor, barajelor

etc. din punct de vedere al rezistentei.

Forta elementara de presiune pFdr

ce actioneaza pe o suprafata elementara Sd (vezi

figura 4.1) este data de relatia:

Fig. 4.1 Forta de presiune pe o suprafata elementara

SnpFp

dd r

r

= (4.1)

unde nr

este versorul normalei la suprafata, orientat dinspre fluid spre perete, n sensul de

actiune al fortei.

Forta rezultanta se calculeaza nsumnd fortele elementare, asadar

=S

p SnpF dr

r

(4.2)

n cazul n care suprafata este una oarecare, curba spatial, atunci si fortele elementare vor

fi oarecare n spatiu, iar actiunea lor asupra peretelui plan va fi descrisa de torsorul format din:

forta rezultanta pFr

;

momentul rezultantei in raport cu originea sistemului de referinta ales, OMr

=S

O dSnprM vr

r

(4.3)

unde rr

este vectorul de pozitie al punctului de aplicatie al fortei elementare pFdr

pe

suprafata dS , n sistemul de referinta xOyz .

Observatie: Pentru calculul integralelor (4.2) si (4.3) trebuie sa se cunoasca distributia presiunii

p n interiorul fluidului (din legea fundamentala a staticii fluidelor).


43/132

43

4.1 FORTE DE ACTIUNE PE PERETI PLANI

n cazul peretilor plani, versorul normalei la suprafata este constant, ctn=r

, iar relatiile (4.2)

si (4.3) devin:

=

Sp SpnF d

r

r

(4.4)

==SS

O SprnSpnrM ddrvvr

r

(4.5)

Punctul de aplicatie al fortei pFr

se noteaza cu C (sau CP) si se numeste centru de

pres iune. Raportat la sistemul de referinta considerat, vectorul de pozitie al centrului de presiune

se obtine din teorema lui Varignonaplicata sistemului de forte elementare, conform careia suma

momentelor for telor elementare este egala cu momentul rezultantei:

== S

CPS

pCPS

SprnSprnFrSprn dddrvrv

r

rrv

=

S

SCP

Sp

Spr

rd

dr

r

(4.6)

4.1.1 Cazul fluidelor usoare (gaze, vapori)

Avnd n vedere ca presiunea n interiorul unui volum finit de gaz poate fi considerata

constanta n toata masa acestuia, ctp= , deci avnd aceeasi valoare n orice punct al suprafetei

S, relatiile (4.4) si (4.6) se pot rescrie astfel:

SpFSpnSpnSpnF pSS

p dd ==== rrr

r

(4.7)

GG

S

S

S

SCP r

S

Sr

Sp

Srp

Sp

Spr

r r

r

rr

r

====

d

d

d

d

(4.8)

unde Grr

este cota centrului de greutate al peretelui de suprafata S ;

Asadar, forta cu care un fluid usor, n repaus, actioneaza asupra unui perete plan este

egala cu produsul dintre presiunea fluidului si aria suprafetei peretelui, avnd punctul de aplicatie

(centrul de presiune) n centrul de greutate al peretelui GCP rr rr

= .

4.1.2 Cazul fluidelor grele (lichide)

Pentru determinarea actiunii exercitate de un fluid greu pe un perete plan consideram cazul

general n care peretele este nclinat cu un unghi fata de suprafata libera a lichidului pe care seexercita presiunea manometrica mp . Raportndu-ne la sistemul de referinta n care )(yOz este


44/132

MECANICA FLUIDELOR

44

planul suprafetei nclinate (vezi figura 4.2), iar conform legii fundamentale a hidrostaticii, valoarea

presiunii la o adncime h este data de relatia:

sinz=== hhgp (4.9)

Fig. 4.2 Forta de presiune pe o suprafata plana nclinata

Tinnd cont de (4.9), relatia (4.4) devine:

====SSSS

SznSznShnSpnF dsindsindd )()( rrrr

r

, (4.10)

unde S

Sz d este momentul de inertie de ordinul 1 al suprafetei nclinate fata de axa oy :

SzSz CGS

d = , (4.11)

unde: S este aria suprafetei nclinate;

CGz este cota centrului de greutate al suprafetei nclinate pe axa Oz . Astfel:

ShzF CGCG sin == )(S , (4.12)

unde CGh este cota de adncime a centrului de greutate al suprafetei nclinate.

Asadar, forta cu care un lichid, n repaus, actioneaza asupra unui perete plan este egala cu

greutatea unei coloane din respectivul lichid avnd ca baza suprafata peretelui iar ca naltime

distanta de la centrul de greutate al suprafetei la planul de referinta (planul manometric).

Din relatia (4.8) se obtine urmatoarea expresie a vectorului de pozitie al punctului de

aplicatie al fortei F:

Sz

Szr

Sz

Szr

Sh

Shr

Sp

Spr

rCG

S

S

S

S

S

S

SCP

d

d

d

d

d

d

d

====

rrrr

r

, (4.13)

Corespunzator sistemului de referinta, coordonatele centrului de presiune n planul oz

sunt:

SzI

Sz

Szy

yCGyz

CGSCP == d

;Sz

IAz

Sz

zCG

yCG

SCP == d2

; (4.14)


45/132

45

unde: yzI este momentul de inertie centrifugal al suprafetei n raport cu Oysi Oz;

yI este momentul inertial de ordinul doi al suprafetei fata de axa Oz.

Observatie:

Daca yOz este plan de simetrie, atunci 0=yzI si 0=CPy .

ntr-un sistem de coordonate ce are ca origine centrul de greutate al suprafetei, ecuatiile

(4.14) devin (conform teoremei lui Steiner):

Sz

Iy

Sz

SzyI

Sz

Iy

CG

yzCG

CG

CGCGyz

CG

yzCP

''+=

+== ;

Sz

Iz

Sz

SzI

Sz

Iz

CG

yCG

CG

CGy

CG

yCP

''+=

+==

2

;

(4.15)

unde yz'I este momentul de inertie centrifugal al suprafetei n raport cu CGysi CGz;

y'I este momentul inertial de ordinul doi al suprafetei fata de axa CGz.

Deoarece 0'Iy> , conform ecuatiei (4.15), centrul de presiune este situat ntotdeauna sub

cel de greutate.De asemenea, pozitia centrului de presiune este independenta de unghiul .

4.2 FORTE DE ACTIUNE PE PERETI CURBI

Pentru a usura calculul relatiilor (4.2) si (4.3), torsorul format din forta rezultanta pFr

si

momentulO

Mr

se nlocuieste cu un sistem de trei forte paralele cu axele sistemului de referinta (n

general aceste forte nu sunt concurente). Astfel, componentele fortei pFr

sunt:

=yOzS

yOzxp SpF d (4.16)

=xOzS

xOzyp SpF d (4.17)

=xOyS

xOyzp SpF d (4.18)

unde xOyS , yOzS , xOzS sunt proiectiile algebrice ale suprafetei S pe care actioneaza fluidul pe

planele xOy, yOz, respectiv xOz ale sistemului de referinta, precum n cazul din figura 4.3

pentru suprafata curba (BC). Punctul de aplicatie al componentei dupa axa Oxeste dat de relatia:

=

yOz

yOz

x

SyOz

SyOz

FC Sp

Spr

rd

d

r

r

(4.19)

Similar se calculeaza si centrele de presiune ale celorlalte doua componente.


46/132

MECANICA FLUIDELOR

46

Fig. 4.3 Proiectiile unei suprafete curbe pe planele sistemului de referinta

4.2.1 Forte de actiune ale gazelor pe pereti curbi, deschisi

n cazul fluidelor usoare putem considera ca ctp= , astfel nct relatiile (4.16), , (4.19)

devin:

yOzxp SpF = ; xOzyp SpF = ; xOyzp SpF = (4.20)

yOzS

d

GyOz

SyOz

FC rS

Sr

r yOzxp

r

r

r

==

;

xOzSGFC rr yprr

= ;xOySGFC rr zp

rr

= (4.21)

4.2.2 Forte de actiune ale lichidelor pe pereti curbi, deschisi

Alegnd un sistem de referinta n care planul xOy este plan manometric, iar axa Ozeste

orientata n sensul cresterii adncimii, pentru variatii ale presiunii n interiorul lichidului zp = ,

relatiile (5.16), , (5.19) devin:

yOzS

yOzxp SSzF

yOz

zdyOzSG

== ; xOzyp SF z xOzSG= ; Vd == xOyS

xOyzp SzF (4.22)

yOzG

SyOz

FC Sz

Szr

r yOzxp

d

yOz

S

=

r

r

;xOzG

SxOz

FC Sz

Szr

r xOzyp

d

xOz

S

=

r

r

; VGFC rr zrr

= (4.23)

unde V este volumul de l ich id cu prins ntre sup rafata udata de l ichid si pro iect ia ei peplanul manometric (de referinta), f igura 4.3.


47/132

47

4.2.3 Forte de actiune ale fluidelor usoare pe pereti curbi, nchisi

Cnd actioneaza pe suprafetele curbe nchise, ale rezervoarelor ce le contin, fluidelor

usoare dezvolta eforturi unitare de tensiune n peretii acestora. Calculul acestor eforturi este util la

dimensionarea grosimii peretilor rezervoarelor.

Astfel, n cazul unui rezervor cilindric (sau o conducta) de diametru D si lungime L cecontine un fluid la presiunea constanta , actiunea acestuia asupra unei jumatati de cilindru este,

conform relatiilor (4.20):

LDpF xp = ; 0== zpyp FF ; (4.24)

Notnd efortul unitar admisibil cu a si grosimea peretelui cu forta de reactiune ce se

dezvolta n peretele sectionat este La 2 . Din egalitatea fortelor se obtine:

a

aDp

LLDp

2

2 = (4.25)

Fig. 4.4 Forta de actiune ale fluidelor usoare pe pereti curbi, nchisi

Pentru alte tipuri de suprafete se obtin relatii de calcul a grosimii minime n mod similar.

Relatia anterioara este valabila si n cazul lichidelor cnd variatia presiunii pe verticala este

neglijabila.

4.2.4 Forte de actiune ale fluidelor grele pe pereti curbi, nchisi

Este cazul corpurilor, partial sau total imerse ntr-un lichid. n aceasta situatie asupra

corpului actioneaza si forta arhimedica, AF .

Fig. 4.5Actiunea fortei arhimedice asupra unui plutitor


48/132

MECANICA FLUIDELOR

48

dislocatfluidAF V= , VsolidGG =

pentru AFG> corpul se scufunda;

AFG= corpul pluteste submers;

AFG< corpul pluteste (plutitor)

n cazul unui plutitor, volumul dislocat se mai numeste si volum de carenasi se noteaza

cu CV . Distanta dintre punctul de aplicatie al fortei arhimedice si punctul de aplicatie al fortei de

greutate se numeste excentr ic i tate si se noteaza cu e .

Conditia de stabilitate a plutirii este data de relatia;

Echilibru stabil:

0> e

I

df

y

V (4.26)

Echilibru indiferent:

0= eI

df

y

V (4.27)

Echilibru instabil:

0


49/132

49

5. INSTRUMENTE PENTRU MASURAREA PRESIUNILOR

Aparatele cu ajutorul carora se masoara presiunea se numesc manometre. Dupa principiul

de functionare, acestea se pot clasifica n doua categorii principale:

manometre cu lichid:functionarea acestora se bazeaza pe legea de variatie a presiunii nlichidele aflate n repaus; se mai si numesc piezometre;

manometre cu element elastic: functionarea acestora se bazeaza pe dependenta dintre

valoarea presiunii si marimea deformatiei elementului elastic.

Masurarea presiunii se poate face si cu aparate ce functioneaza pe baza altor principii,

precum cele ce utilizeaza traductoare electrice sau pneumatice. Indiferent de natura instrumentului

de masura, fluidul a carui presiune se masoara este dirijat spre instrument prin intermediul unei

prize de presiune:

statica, cnd axa prizei este normala pe directia curentului (pentru fluide n miscare), vezi

figura 1.1;

totala, cnd axa prizei este pe directia curentului (pentru fluide n miscare), vezi figura 1.2.

1. PIEZOMETRE

Sunt manometre cu lichid si masoara ntotdeauna presiuni relative, exprimate n coloana de

lichid. Cnd determina presiunea ntr-un punct se numescpiezometre simple, iar daca masoara

diferenta de presiune ntre doua punctepiezometre diferentiale. Daca lichidul piezometric (lichidul

utilizat pentru determinarea presiunii) este cel a carui presiune se masoara se numescpiezometre

directe, n caz contrarpiezometre indirecte. Cele mai utilizate sunt:

1.1 Tubul piezometric

Este cel mai simplu manometru si este constituit dintr-un tub, deschis la

capatul superior, celalalt fiind conectat la un recipient ce contine un

lichid sub presiune, superioara celei atmosferice, precum este ilustrat n

figura 2. Presiunile masurate sunt relative la cea atmosferica (locala),

deci suprapresiuni. Acest instrument poate fi utilizat doar n cazul

lichidelor, cnd naltimea de lichid pe tubul piezometric este suficient de

mare, astfel nct sa fie sesizabile si masurabile variatiile de presiune.

Presiunea n punctul A, exercitata de coloana de lichid este: Fig. 2 - Tubul piezometric

lichid]decoloan[mhgp AfA = . (1)

Fig. 1.1

pv

Fig. 1.2

p

v

tot

st


50/132


51/132

51

hg)()hh(gpp flp12fBA += . (4)

De asemenea, daca flp >> , termenii ce contin f pot fi neglijati, deci:

hgpp lpBA = . (5)

1.4 Variante mbunatatite ale manometrului U

Pentru a evita calculul presiunii prin citirea naltimii de lichid piezometric pe ambele brate

ale tubului manometric U, se utilizeaza varianta n care unul dintre brate are diametrul mult mai

mare n comparatie cu celalalt, precum n figura 5. n acest caz, deplasarea de lichid piezometric

pe bratul de diametru mai mare devine nesemnificativa. Planul de referinta indica nivelul lichidului

piezometric pentru o diferenta nula de presiune.

Fig. 5 Varianta mbunatatita a manometrului U

Volumul de lichid piezometric transferat de pe un brat pe celalalt este:

4d

h4D

h2

2

2

1 ==V .

Astfel, caderea de nivel pe bratul cu diametru mai mare este:

2

21 D

dhh

= .

Diferenta de presiune 21 pp este data de diferenta de nivel pe cele doua brate:

+=

+= 22lp

222lp21 D

d1hgDdhhgpp . (6)

Deoarece D este mult mai mare ca d ( dD>> ), raportul 2)D/d( este neglijabil

( )1)D/d( 2


52/132

MECANICA FLUIDELOR

52

sinlghgpp 21 == . (4.51)

Precizia de masurare poate fi crescuta prin nclinarea bratului micromanometrului.

Fig. 6 Micromanometru cu brat nclinat

Utilizarea mai multor tuburi piezometrice, ca n figura 7, permite masurarea presiunii

simultan n mai multe puncte. Tuburile formeaza unpiezometrul multiplu, sau baterie piezometrica.

Fig. 7 Piezometru multiplu

1.5 Alegerea piezometrului adecvat

La alegerea piezometrului adecvat unei masuratori trebuie avute n vedere avantajele si/sau

dezavantajele pe care le prezinta acestea.

Avantaje sunt foarte simple din punct de vedere constructiv;

nu necesita calibrare, presiunile masurate fiind determinate conform principiului fundamental

al hidrostaticii.

Dezavantaje

nu pot nregistra variatii rapide de presiune;

n cazul tuburilor manometrice U, trebuie efectuate simultan doua masuratori pentru a

calcula presiunea diferentiala; acest dezavantaj poate fi eliminat prin utilizarea variantei n

care unul dintre brate are diametrul mult mai mare;

este dificila determinarea unor diferente mici de presiune.


53/132

53

2 Manometre cu element elastic

Sunt manometre a caror constructie se bazeaza pe principiul deformarii unui element

elastic sub actiunea unei presiuni. Deformatia este amplificata prin intermediul unui mecanism,

astfel nct presiunea sa poata fi determinata cu o precizie suficient de buna. Sunt simple, usor de

montat si utilizat si pot masura presiuni ntr-un domeniu extins. Principalele dezavantaje sunt

legate de mecanismul de amplificare, ce nu permite realizarea unei precizii mari si de deformatiile

remanente ale elementelor elastice, aceste aparate necesitnd reetalonari periodice. Principalele

tipuri constructive sunt prezentate n figura 8: cu tub elastic (figura 8.1), cu membrana elastica

(figura 8.2) si cu burduf (figura 8.3).

Fig 8 - Tipuri constructive de manometre cu element elastic

Manometru cu tub elastic (Bourdon) Manometru cu membrana elastica

Fig. 8.1

p

p

p

Fig. 8.2 Fig. 8.3


54/132

MECANICA FLUIDELOR

54

APLICATII - STATICA FLUIDELOR

Pb. 1: Sa se determine presiunea n punctul A (Pa si OHmm 2 ), daca presiunea n punctul B

este atpB 1.0= si m2.01=h , m1.02=h , m4.03=h ,3kg/m10000= ,

3kg/m8001= .

Fig. 1Pasul 1:Se trec datele problemei n Sistemul International (daca este necesar)

)OmmH10(Pa1081.9Pa1081.91.0at1.0p 2334

B ====

Pa81.91081.91000OmmH1 32 ==

Pasul 2:++=+++= 3021B3210AC hghgp)hh(hgpp

++= )h(hghgpp 31130BA

=++= Pa2.9025)4.02.0(81.98004.081.910001081.9p 3A

OmmH920p 2A=

Pb. 2: ntr-un rezervor nchis, avnd forma precum n figura 2.1, se afla apa sub presiunea mp .

Fig. 2.1

Sunt cunoscute: m5.1H= adncimea apei n rezervor


55/132

55

m5.0R= raza de curbura a rezervorului

m0.1L= latimea rezervorului

3mkg/1000= densitatea apei

at1.0pm = presiunea indicata de manometru.

Sa se calculeze si sa se reprezinte distributia de presiuni pe peretii vasului.

Determinati valoarea fortei de presiune pe peretele )AB(

Determinati valoarea fortei de presiune pe peretele )BC( .

Solutie:Pasul 1:Se trec datele problemei n Sistemul International (daca este necesar)

Pa1081.91.0at1.0p 4m == Pasul 2:Se calculeaza naltimea manometrica mh corespunzatoare pozitiei planului manometric, fata de

suprafata de separatie a apei (vezi figura 2.2). Deoarece la nivelul planului manometric presiunea

absoluta este cea atmosferica locala, deci suprapresiunea este nula 0p= :

= mm hgp

m181.91000

1081.91.0

g

ph

4m

m =

==

Se alege sistemul de referinta xOyz, astfel nct:

xoy este n planul manometric;oz n sensul cresterii adncimii.

Fig. 2.2Pasul 3:


56/132

MECANICA FLUIDELOR

56

Se calculeaza presiunea (relativa) n punctele caracteristice ale geometriei rezervorului. Astfel:

Pa1081.9phghgp 3mmAA ==== (presiunea este constanta n interiorul unui gaz);

+=+== )RH(gp)]RH([hghgp mmBB

Pa1062.190.5)-(1.581.910001081.9p 33B =+=

+=+== Hgp)H(hghgp mmCC

Pa1053.241.581.910001081.9p 33C =+=

Se reprezinta variatia presiunii pe peretii rezervorului, ca n figura 2.3.

Fig. 2.3

Pasul 4:Se calculeaza forta pe peretele plan )AB( , )AB(F . Pentru calcule convenabile, se noteaza

hRH = (vezi figura 2.4).

4.1 Cu ajutorul relatiei integrale:

+=+=+== AA

mAA

mA

mA

)AB( dAzgdApdAzgdApdAz)gp(dApF

+=

+=+= dx2

hgLhhgdx

2z

gLhhgdxdzzgApFL

0

2

m

L

0

h

0

2

m

L

0

h

0(AB)m)AB(

Lh2h

hL2h

gLhhgF m2

m)AB(

+=+=

4.2 Cu relatia (4.12) (din curs):

( ) N.h LhhAhF m(AB)CG (AB)(AB) 147151150198102

=+=

+==


57/132

57

Observatie: Ca valoare, forta de presiune este egala cu volumul distributiei de presiuni si

actioneaza n centrul de greutate al acestei distributii.

Pasul 5:

Se determina forta pe peretele curb )BC( : )BC(F , prin calculul celor doua componente n sistemul

de referinta considerat:

componenta orizontala )BC(yF

componenta verticala )BC(zF (vezi figura 2.4).

Conform sistemului de ecuatii (4.22) (din curs):

N..).-.(R LR

HhShF mxozGy xoz 251103615025051198102=+=

+==

N..p

Lhhp R

VF mz 19215461114

5098104

22

=

++=

++==

unde: xozS este aria proiectiei suprafetei curbe )BC( pe planul xoz;

LRSxoz =

V este volumul de lichid cuprins ntre suprafata curba (udata de lichid) si

proiectia ei pe planul manometric xoy(unde suprapresiunea este nula).

LR)hh(4

RV m

2

++

= .

n final:

N.FFF zy 202420822 =+= .

Fig. 2.4


58/132

MECANICA FLUIDELOR

58

Fig. 3

Pb. 3

Densitatea lichidelor poate fi determinata experimental cu ajutorul unui densimetru, ca n figura 3.

Acesta este compus dintr-un plutitor lestat, avnd la

partea inferioara o cavitate cu bile de plumb, iar la partea

superioara un tub calibrat (de diametru constant). Sa se

calculeze densitatea unui fluid f daca partea calibrata a

densimetrului se scufunda cu mm50h= relativ la

pozitia de echilibru n apa.

Sunt cunoscute:

gf20G= : greutatea densimetrului;

mm8d= : diametrul sectiunii calibrate;

30 kg/m1000= : densitatea apei

Solutie:

Pasul 1

Se trec datele problemei n Sistemul International (daca este necesar)

N1962.0kg0.02s

m9.81gf20G

2 === ;

m108mm8d -3== .

Pasul 2

Principiul de masurare se bazeaza pe legea lui Arhimede. Ecuatiile de echilibru pentru cele doua

situatii de plutire sunt:

n apa: d00A VgGFG 0 ==

n alt

56666852 Curs General de Mecanica Fluidelor

Documents

Transcript of 56666852 Curs General de Mecanica Fluidelor