47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

279

description

Fundamental Approach to Discrete Mathematics

Transcript of 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

Page 1: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics
Page 2: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics
Page 3: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

THIS PAGE ISBLANK

Page 4: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

New Delhi · Bangalore · Chennai · Cochin · Guwahati · HyderabadJalandhar · Kolkata · Lucknow · Mumbai · RanchiVisit us at www.newagepublishers.comPUBLISHING FOR ONE WORLD

NEW AGE INTERNATIONAL (P) LIMITED, PUBLISHERS

Page 5: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

Copyright © 2005, New Age International (P) Ltd., PublishersPublished by New Age International (P) Ltd., Publishers

All rights reserved.No part of this ebook may be reproduced in any form, by photostat, microfilm,xerography, or any other means, or incorporated into any information retrievalsystem, electronic or mechanical, without the written permission of thepublisher. All inquiries should be emailed to [email protected]

ISBN (10) : 81-224-2304-3ISBN (13) : 978-81-224-2304-4

PUBLISHING FOR ONE WORLD

NEW AGE INTERNATIONAL (P) LIMITED, PUBLISHERS4835/24, Ansari Road, Daryaganj, New Delhi - 110002Visit us at www.newagepublishers.com

Page 6: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics
Page 7: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

THIS PAGE ISBLANK

Page 8: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics
Page 9: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics
Page 10: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics
Page 11: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics
Page 12: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics
Page 13: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics
Page 14: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics
Page 15: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

THIS PAGE ISBLANK

Page 16: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

���� ���������

��������������� ��� ����� � ������������������������������������������

��������������������������� ������������

��������������� ����������������� ���������� ������������ ������� ��

����������������������� �������������!�"#� �$����� $�����%���&� �������

���������&�������"������� ��� � � ��������������������������� ����������

��������&���������&�"��������������������������'�&�����������������

(����� �������� ������ ������� ��� ���������� ��� �������������������������

�������� ������ ��������������������������&����� ���������� ��������

������ ������� ��� ���������� ��� �������������������������"������������

����������������������%�������� ��������� ���������� �� ����� ��� ���������

���������������&��������������������� ��� ���� ������ ��������� ������ �������

������������������&���� �

%�&�� ����������������������)*�������� ������ �&�+�����������������

�� ����������������%���� �����������������������������,����� ��� ��

���������������������������,����$"���&�"������&����������������������

�� �������������������&�����

-�����������������&�������������������� &������� ����������"�����

� ���������������-���������&��������&������������.����������� � �������

���� ������������� �����

����������� �����������������&�������������������������������� ����������

�������&������������� ������������ ����� '������ ����� �"���"�����

�� �����������"��������������� ����� �"��� ��&�������� ��������� �

��� ����������� ���� �����"�&������������������&���������&�/����� �����

����/����� ������

���� ����������&����������

0�1 �����������

������������� ��

Page 17: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

� ������������� ���������� ��������������

0�1 ���������������

0�1 &�������������

0�1 ��"2� ���"��3

0�1 ����4���

0�1 5��������������

01 -�������� �� �"�

01 6�����������������

'������������������������"���������0�1� 0�1� 0�1�� 01���������������"

������� ����������������� ��'� ��������������0�1�0�1�0�1��� 01��������������

����" ���� ��������"���������� ��'�

���� ������������777877977:777778

��������������������������������������� ���� �������������-�&����/

� ����������"������"���������������� ���0 1����� ������������"������

���������'���0'1�

���� ����������������

�������������������������������������������������������������������������/

������������������������������������� ����������� ��� �����������������

���;�������������������� 4�<��������

����� ��������

-�������� �����������������������������������������������������������

��� ���������=����" ��� �������� ��� ����� �" ����� ������>�?�# ���� -� > �� �

��������������������������>� ����� ���>�

���� ������������������������

>� �����������������-� ���

��>� ��������������������-� ���

�&�������&����;�&4�����������������-� ������������������������������>

�'���0'1�� ��>� ���0 1�������������������������>�� ��>��������������

��������>��������&�������

��>� -������������������������������-� ���

������-�>� ����������>�'����� ��>������������>� ����

����������� ���������

� ���

'

'

����� ���� �!����

�����<����������&���������>�� ?������������� ����� �"0>�?1��������

��������������������<��������

���� ������������&����>�� ?����&����������

Page 18: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

���������������� �

>�@9A :B

?� B�����������������

���0>�?1� @9A:B�� B�����������������

�����������������>��� ���&����������������� ?�� ���&�������������������

0>�?1��� ����� � ���&����������������

-�����������0>�?1��� ���>�� ?�-��� ��������0>�?1�����>�� ?��������

�����������"�����

�����0>�?1�����������>�� ?�������������&�������

����������� �����������

� ����� �

' '

' '

' ' '

����" �#� �!����

�� �<����������&���������>�� ?������������� ����� �"0>�?1��������

����������!����� �<������������ ������������&����>�� ?����&���������

>� @9A�����+�����B

?� B�������������

���0>�?1�@9A�����+�����B��B��������������

-� ������� ���� 0> �?1 � ����&���>��"��������?��"�������� ������

����� �������&������������������������������������������������������

�������������������������������������������������������������������

������0>�?1�������������>��?������� �������&�������>�� ?��������

������ ����� �"�#��������

� ����� �

' '

' ' '

���" ��������

*��>�� ?����"�&���������� ��������������>�?������ ���� �����������/

����� ��������������"�������������&��������

0�1 -�>�����? 0�1 >���"��?

0�1 >������? 0�1 ?��>

-��������������>�?�>������ ��������� ���0�"������1�� ?������ �������/

+����0���������1� �������������� �������������������� ������������

Page 19: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

� ������������� ���������� ��������������

���"�����������C-&�������"�������������� �"���������������D�

;�&����������������������"&��� ����� ���� ��������������������� ����"

&��� �� ���� �����������������������"&������������������ �����" � ���

�������������������������� �"�

*������������������� �����������������"�����������

>� -������������

?� -&�������"�������������� �"

��������������������� �����>�?�

'����������� ��������������������>���������>�?������&������������

������������?� ����� �������>�?�������>������� ?������

������������������0��� �������1>�?�'������"&�������"������0>1�������

���������0?1�����������&�� ����

����������� �����������

� ����� �

' '

' ' '

���$ %�&��������

*��>�� ?����"�&���������� ��������������>�? ������ ���/��� �������

��������� ��>�?������������"�������������&��������

0�1 >���� ���"��? 0�1 >�������"�� �����������?

0�1 >�������"�� ������������? 0�1 >��������� ������ �"?

����/��� �������0 ����������������1>�?� ����� �

����� �������� ����� �����

'���������������� ���� ����&������������>�?��������������� &�������

����>�� ?����� ������������������

����������� �$�%����������

� ���� ���� ����� �

' ' '

' ' '

' '

������0>�?1� ������"&�������>�� ?����� ������������E����������&�������

Page 20: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

���������������� �

���' ����� �

*��>�� ?����"�&���������� ������������������������� �������>�?������

�?�>�

���� ������������C������������������������������D� ���������������������

��&�������C�������������������������������"���������D�

*�� > � ��������������������

? � ����������������

��������������������>�?� ����������������� �������C�� �����������

��������������"�������������D���������������������������������

���( ����� �

*�� > �� ? �� ��" �&� ��������� �� ������ �������� �� ��� ��� �������

0>�?1�������0��>���?1�

���� ������������C������������������������������D� ���������������������

��&�������C�������������������������������"���������D�

*�� > � ��������������������

? � ����������������

��������������������>�?� �����������������������C����������������

������������������"������������D�

���) ������� �����

*�� > �� ? �� ��" �&� ��������� �� ������ ������� �������� �� ��� ��� �������

0>�?1�������0��?���>1����� ������������C������������������������������D�

�����������������������&�������C�������������������������������"������/

���D�

*�� > � ����������������������

? � ����������������

��������������������>�?� ������������������������������C����������

��������������������"����������������D�

����������� ��������#���&��

� ���� �� �� � ��� �������

' '

' ' ' '

' '

' '

'��� ��� ����� ����� �� � ������ ���� ���� ��� ������� 0> �?1 �� ������ �������

0��?���>1������������������

Page 21: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

� ������������� ���������� ��������������

���* �+��� �����

*��>�� ?����"�&���������� ����������F#���&���������>�� ?� �����

�"0>� ?1������������������GF#�����������F#� ����������F#0>� ?1�������

������>��?� �������������� ����������F#��������� ��������� �<��������

���� �� ��� �������&����> �� ?�� �&� �������� ��� ����> � @ 9 A : B ��

?�BHA:@�%�������������������������� ��������0>� ?1������

�������0>� ?1�������������>��?� �������������������&�������

����������� �'(���#�&��!��

� ��� � � �

'

'

'

' ' '

���, ���

�� &�� ;�;4 ��� ��� ;F �� �;4� �� ���������� ;�;4 � ����� �" ���

"������-�>�� ?���&��������������;�;4��>�� ?�������0>�?1 ����� �"

0>�?1 ���0>�?1�

������0>�?1� �����������>��?�����������&��'����

����������� ����"�

� ����� �

'

'

'

' '

����� ��

��&�� ;F#��� ���;F �� F#� ������������;F#� ����� �"���"�����-�>

�� ?���&��������������;F#��>�� ?�������0>?1 ����� �"

0>?1 ���0>�?1

������0>?1� ������"&�������>�� ?�������������&�������

����������� ��!��

� ����� �

'

' '

' '' '

Page 22: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

���������������� �

����� ������-

-��������������������������������������&�"��������������������������������

���������0�� ��� ���1��������������������� ���������"�

'����������������������������0>�0>�?11�?����������"� ������"��� ��&

�������������&��������������������0>�0>�?11�?

����������

� ����� � ��������� � ���������� �����

' ' '

' '

' ' '

���0>�0>�?11�?����������"�

����� ����������

-��������������������������������������&�"������������������������������

�������������������������������� ������� ��������������������

'������������������������������0>�0?�0>�?111�������� �������

������"��� ��&�����������������0>�0?�0>�?111�*��#�>�0?�0>�?11

����������

� ����� � �������� � ������ �������� �� ����

'

' ' '

' ' ' '

' ' ' '

�����#���0>�0?�0>�?111�������� �������

����" ��� .��%��

-� ��� ����� ����� �� � �������� �������� ��� ��� ���� ���� �� ��� ���� ����

���������������������������������������������������������� �����������

���� ���������������������0>�?1�0?�>1� ������"��� ��&���������������

0>�?1�0?�>1�

����������

� ���� ���� ����� ����� �����

' ' ' ' '

' '

����������������������0>�?1�0?�>1�����������

Page 23: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

� ������������� ���������� ��������������

����$ �����-���/

&���������>�� >I����� ���� ������������������������������������� �������

������"���������������"��� ��"�� ���&�������������� ��������� ���������

������

���� �������������>�0>�?1�#�� >I�0>�?1�#&������� ���������������

����' ����%���.���� ����

-�>�?�� #����������������������������&�����&��� ��� �

0�1 �����������*�&� >�? �?�>��

>�? �?�>

0�1 ���������*�&� >�0?��#1 �0>�?1�#��

>�0?��#1 �0>�?1�#

0�1 4����������*�&� >�0?��#1 �0>�?1�0>�#1��

>�0?��#1 �0>�?1�0>�#1

0�1 - ��������*�&� >�> �>��

>�> �>

0�1 ���������*�&� >�0>�?1 �>��

>�0>�?1 �>

���'�� ����0���1#���2#

-�>�� ?���&��������������

0�1 ��0>�?10��>1�0��?1��

0��1 ��0>�?10��>1�0��?1

����( ���3����������������

2�������" ���������� ���� ���� ������������������� ����������������������

��� ���������� �� ������������������������ ��� ������� �����������������

�� ����������� ������0�1����� ����������������0��1����� �������� �������� 0���1

����� ���� ������� ������� ���� ������������&�����&���������������� �������

����������������������������F����������&���������������>0�1���������

�����������"�� �������&����������� ���������������� �������

7� ����������>0�1������������

@� ���&����>071�� >0@1������������>0�1���������:7�� �:@�

A� ��������>0 1����������>0�1���������: �

J� ���&����>0 971�����&����>0 1�

���� �����������79@9A9�9�:� �� 7

@

� �

����������>0�1�79@9A9�9�:� �� 7

@

� �

��� >071 �7:7 7 7

@

�� �

Page 24: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

���������������� �

�� >0@1 �79@:A:@ @ 7

@

�� �

���>071�� >0@1��������

��������>0 1���������

79@9A9�9 : �7

@

� �

��� >0 971 �79@9A9�9 90 971

: �7

@

� �90 971 K� >0 1������L

:

��

����� �7

@@� �:

� �7 @

@

� � � �

�������&����>0 971���������%����>0�1�������������

� �����+����� �

Example�1 �������������������������

Solution � >�?��+���������"&�������0��>�?1

������������� >�? ���0��>�?1

���0��>1�0��?1�0$"4�/������,*�&1

�>�0��?1

%�����������������>�?�>�0��?1�

Example�2 ������������������������������������������������

Solution : �������������� ���������0>�?1�0��>�?1&����>�� ?����&�

���������������

� �� � ��� ���� �� ����� ����������� �

'

' ' ' '

'

' '

Example�3 ��������������������������������������������

Solution : �������������� ���������>�0?�>�?1�&����>�� ?����&�������

���������

� ���� ������� ����� ������� �

' '

' ' '

' ' '

Page 25: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

������������� ���������� ��������������

Example 4 ���������������������������������������������������������������������������

�����������

Solution : *��>���&������&

? ����&������������

2������������ �-���&������&�������&������������ �

��>�?

���������������������>�0��?1������&������&�� ���&��������������� �

Example�5 �����������������������������������������

%�������� ������"�

Solution : *��> �%������

? �%��������"

2�������������%�������� ������"

�>�?

$"4�/������M��&��0>�?1 ���>���?

�%����������������������"�

Example�6 ��� ���!�����������������������

� �������"�������������������"�

Solution : F������������>�0?�#1�0>�?1�0>�#1

*��>�?�� #����������������������

� � ���� ����� ����� ���� ����� ����� ���

�������

' ' ' ' ' ' '

' '

' '

'

' '

' '

' ' ' '

'����������������������������>�0?�#1�0>�?1�0>�#1�

Example�7 �������������������������

Solution : >�?��+���������"&�������0>�?1�0?�>1

��� ��0>�?1 ���00>�?1�0?�>11

���0>�?1���0?�>1!04�/������,��&1

���0��>�?1���0��?�>1

�0>���?1�0?���>1!04�/������,*�&1

%���� ��0>�?1 �0>���?1�0?���>1�

Example�8 #��������$���������������$�� ������������������������������

Solution : F����������0>�?1���>���?�

Page 26: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

����������������

*��>�� ?���&����������������

� ���� �� ���� � �� � �� ���� ����

' ' ' '

' ' '

' ' '

' ' '

'������������������������������0>�?1���>���?�

Example�9 %���������������������������������������!�

Solution : *��>�� ?���&����������������F����������&0>�?1�0��>�?1�

���������"�

� ���� �� � ���� �� ����� ����������� �

' ' ' ' '

'

' '

%����0>�?1�0��>�?1����������"�

Example�10 %�����������������������������������&�� ������

%�������� ' (�)�������������������$

%�������� * (����$�����������������

Solution : *�� > �'�� ���� �� ?�'�� ������

��������� 7 �2�� ��� ���������

���� > ���?

��������� @ ��������� �������

���� ? ���>

����������

� �� � �� ������ ������

' ' ' '

' '

' '

' '

'�����������������������������������������+���������

Example�11 +�$�������������������������!�

Solution : >�? ���>�?

���>���0��?1

���0>���?1�>���?

�>�0��?���?1

�>���0?�?1�>�0?�?1

���� >�? �>�0?�?1

Page 27: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

� ������������� ���������� ��������������

Example�12 ��� ���������������������������������������������

Solution : ������������0>�?1���0>�?1

� ����� � ����� � �� ��� �� � ����� ����������� �

' '

' ' ' '

' ' ' '

' ' ' ' '

%����0>�?1���0>�?1�������� �������

Example�13 +�$�������������������������!�

Solution >�? �0>�?1�0?�>1

�0��>�?1�0>���?1

�00��>�?1�>1�00��>�?1���?1

���0��00��>�?1�>1��00��>�?1���?11

��00��>�?1��>1��00��>�?1��?1

�00��>�?1�>1�00��>�?1���?1

�0��0>����?1�>1�0��0>���?1���?1

�00>���?1�>1�00>���?1���?1

�00>�0��?���?1�>1�00>��0��?���?11�0��?���?11

�00>���0?�?1�>1�00>����0?�?11���0?�?11

�00>�0?�?1�>1�00>��0?�?11�0?�?11

����� ��������������������+���

���������&��Solution� > �?�0>�?1�0?�>1

�0��>�?1�0>���?1

�00��>�?1�>1�00��>�?1���?1

�00��>�>1�0?�>11�00��>����?1�0?���?11

�0?�>1�0��>���?1

���0��0?�>11���0>�?1

���0��0?�>1�0>�?11

���0?�>1�0>�?1

�0?�>1���0��0>�?11

�0?�>1���0��>���?11

�0?�>1�0��>���?1

�0?�>1�00��>���>1�0��?���?11

�0?�>1�0��0>�>1���0?�?11

�0?�>1�00>�>1�0?�?11

Example�14 ��� �����������,�'��������� ������������������

Solution : ����������>0�1��0��971������

��� >071 �707971:@�&�����������

>0@1 �@0@971:6�&�������������

%����>071�� >0@1��������

Page 28: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

���������������� �

�������� >0 1 � 0 �971�����

��� 0 971 :@�!� ;

��� >0 �971 �0 9710 9@1: 0 �9719@0 971

:@�9@0 �971 K� >0 1������L

:@0�9 971�&���������

�������&����>0 �971���������

���>0�1�������������

Example�15 %����!����������������������������������������&�� ������

%�������� ' (�"��������������$$!�

%�������� * (�-����������$$!����$����

Solution : *�� > �������#����� ?�������������"�

��������� 7 �#���������������"�

����-������������������"���������"�

���� > �?�

��������� @ �������������"�������

��� ? ����>!0%��������� ������������1

� ���� �� � � � �����

'

' ' ' '

'

' '

�������������������������������+��������

Example�16 .���!�$������������������������ ��!���$�� ����-����!�����������������������#��

�����!��������������������� ����� ������$��������+�$��������������$���������������

Solution *�� > �-&�������"����������� �"

? �-����������

2������������ �-&�������"����������� �"���������������

���� > ����?

���� ��? �>

����������

� �� �� ����

'

'

' '

' ' '

-��� ��������������?������� >���������������"� ���� ��������������

������������������������������ �����" ��������������������� �"� ������

��"� ���� ���������������������

Page 29: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

� ������������� ���������� ��������������

Example�17 ��� ���!�������������������

'/�,�*/�,�//�,�0���,��/ 1�� � '

*

*��

�����

� �

Solution : ����������>0�1�7A9@A9AA9N�9��A:� � ����

���

7

@

@� �

��� >071 :7A:7:7 7 7

@

@��

�����

� �

�� >0@1 :7A9@A:O:@ @ 7

@

@��

�����

� �

%����>071�� >0@1��������

��������>0 1�������

>0 1 �7A9@A9AA9N��9 A: ����

���

7

@

@� �

>0 971 �7A9@A9AA9N��9 A90 �971A

: ����

���

7

@

@� �

90 �971A K� >0 1������L

:0 �971@0 @9J0 �9711PJ

: � ����

���

7 @

@

@� � � �

�������&����>0 �971���������

���>0�1�������������

Example�18 %����!�������������������

'

' 2 *

'

*2 /

'

/ 2 3���

'

� 2 � '� � � �

�� �:

� '�

Solution : ����������

>0�1 �7

7 @

7

@ A

7

A J

7

7I I I���

I� � � �

�� �� �:

� � 7

��� >071 �7

7 @

7

@

7

7 7I� �

���

>0@1 �7

7 @

7

@ A

7

@

7

6

@

A

@

@ 7I I� � � � �

Page 30: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

���������������� �

��������>0 1���������

>0 1 �7

7 @

7

@ A

7

A J

7

7 7I I I���

I� � � �

��

� �

� >0 �971 �7

7 @

7

@ A

7

A J

7

7

7

7 @I I I���

I I� � � �

��

� � � � � � � �

:

��

� �7

7

7 @� � � �I! K� >0 1�����L

:7

7

7

@

��

���

���� � � �

:7

7

@ 7

@

@

� �

���

���� � � �

I

:

� �

7

7 @

@� �� � � �

:

7

@

�������&����>0 �971���������

���>0�1�������������

��+���� � �

�� '�� ���������������������&������������

0�1 � �"���� �"����� �"�

0�1 -�-������ �� ��"�����-�������� "�

0�1 ���������������������������������&�����

0�1 ��������������&���

0�1 ��������������+����������������"�� ������������������+���� ��

0�1 @9A�7Q�

) >������������&����"���������������

0�1 >�0?�#1�0>�?1�0>�#1 0�1 >�0?�#1�0>�?1�0>�#1

0�1 ��0>�?1���>���? 0�1 >�0?�#1�0>�?1�0>�#1

0�1 0>�?1�#�>�0?�#1 0�1 >�?���0��>���?1

01 >� ?�0>�?1���0>�?1 01 0>?10>?1�>�?

0�1 >�?�0>>10??1 041 ��0>�?1�0��>�?1���>

* '�������� ��� �����&��� ������� ����&������ �� � 0�1 ��������"� 0��1 ���������� ��

0���1������ �������

0�1 0>�0?�#11�00>�?1�0>�#11 0�1 0>�0?�#11�00>�?1�#1

0�1 >���? 0�1 0>�?1�>

0�1 ��0>�?1�0>���?1 0�1 0>�?1�0?�>1

01 00>�?1�?1�> 01 ��>�0>�?1�>

0�1 >�0>�?1 041 >�0?�0>�?11

0 1 0>�?1�0?�>1 0�1 0>�0?�0>�?111�>

Page 31: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

� ������������� ���������� ��������������

�+ >�����"���� ����������&�

0�1 ��0>�?1�0��>�?1���> 0�1 >�0>�?1�>

0�1 0>�?1���>���>�?

�, �������������������&�����"�����������"�� ����������������

0�1 #��������� ������"�

0�1 �� ���������������F��"��

0�1 -�������"�� -����� "�

0�1 -������ ���� ���"��-&������ �

0�1 -�$������&�������"��������������������F����

0�1 B9@:R��R�@:B�

�- ����������������������������������&������������

0�1 ����������������

0�1 �����������

0�1 4�����������������-� ���

0�1 -������� ����������������+��������������+������������������

0�1 0777871@9071@:0777781@0�1 077787178907178:07777817801 0777771@9071@:07888881@�� 07771@:0R17801 0@R81Q90B1Q:07QJ178��0777871@907771@:07887871@0�1 @@:O���� ���"��@�A

041 07771@908781@:078871@���� ���"��078871@H08781@:07771@�

. ������������������������ �����������������������&������������"�� �������

������ ����������������

0�1 -������"������"���797:78�

0�1 2�� ��� ������������

0�1 -�O�9A6:O������7R�

0�1 -���0�1:7�����:8�

0�1 &�����������������"��������+�������������������

/ >�����"��������� ���� �������

0�1 7@9@@9A@9NN9�@:� � �� �7 @ 7

6

� � � �

0�1 79�9�@9N��9��H70�7

7

!���7

0�1 79�9�@9N��9��:7

7

7�

��

!���7

0�1 �9��9��@9N��9���:� �

�7

7

7�

� !��7

0�1 �90��9�190�9@�19N�90�90��H71�1:� � � �@ 7

@

� �� �� �

Page 32: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

���������������� �

0�1 A9R9779N90J�H71:�0@�971

01 @9J969N�9@�:�0��971

01 7@9J@9R@9N�90A�H@1@:� � �6 A 7

@

@ � �

0�1 AI696IO9N9A�0A��9A1:A�0��9710��9@1

041 7I@9@IA9AIJ9N�9�0��971:� � �� �7 @

A

� � � �

0 1 7I@IA9@IAIJ9N�9�0��9710��9@1:� � � �� � �7 @ A

J

� � � � � �

0�1 79@IA9AIB9N9�0@�H71:� � �� �7 J 7

6

� � � �

0�1 7IAIB9AIBIR9N�90@��H710@��9710@��9A1:�0�9@1 0@�@9J�H71�

0�1 7@907@9@@1907@9@@9A@19N�907@9@@9N9�@1:� � �� �7 @

7@

@� � � �

0�1 7I@@9@IA@9N9�0��971@:� � � �� � �7 @ A B

7@

� � � � � �

0$1 AIQ96I779N9A�0A�9B1:A�0�9710�9A1

0&1 79079J19079J9R19N�9079J9R9N90A��H@11:� �@ 7

@

�� �

0�1 @9697@9@89N��9� � � � �@ @

@

7 @

A

��

� �� � � � � �

0�1 797

@

7

J

7

@

@ 7

@7 7� � � �

�� �

����

0�1 7IJ9@IR9AI789N�9�0A�971:�0�971@

Page 33: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

���������

���� ���������

����������������� �������������� ������������ ������������ ������������ �������������������������������� ���� ������������������������������� ����������������������� �������� �������������� �������������������������������� ��

��� ���� ����� �� ���!������"� ���� ������!������#�� �����$������� ��� ���������� � �������������������� ��������� ���� ���������������������������� ���������� ��� ����� ��%�������$������� ������������� ������ ���������������� �� ��� ������ �� ��������&' ���� ��(�� �����)�������������$��������������������������� ���*������������� '+����� � ��������� ���������� ��,�� ����� ������ �������������"� ���� ������������������� ������� ���������� ���� ������ ����������$������� -'�� �� ������� ���� �����������$��������� ������������� �������� ���� ���������� ��� �.���

��� �������� ������ �� ������� �������� ��������� ��������������� �� �������������������� �������������� �������� ������ ���������������� � �������������������(� �������������� ��������������� � ��������������� ������� ����������� �������� ���������� ���/���������������#�� ����������� ������ ������� ��������� �����

��� ����

#����� ������������������������� ���������������� ������������������������ ��� �������� �������������0�������� ���������������������� ����� ����� ��0��������������������� ��������� �������� ������� ����� �� ����� ��������������������� �������� �������$� ����������� ����� � ������%���������

�� 1�2����������3�����(�1�2����������3������4����� ��

0������������ ���������5�������� �6���������������������������� ���� ����� ����� ���������$�� �� ������������� ������������������ �� ������ �������������������� ��� ��� ���!���������� ��������� ��������� ����� �������(��#������ ��

#�������� ����������������� 7

� 1�2&��-��8��9���'���&���-���8���93

Page 34: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

��������� ��

( 1�2������������� 3

, 1�2���&��+��:�3

� 1�2:�;�&��;����'�����&��+��:�3

����������� ����� ��������������������� �������������0�������� ����<)�� ����� ���=����>� ���������� ����<>�������� ������ ���=�

�� � ��������������

?���������� ��������� ��������� ��� ����������� ������������ ��������� ������������ ����������������������� �������� �������� ����� ��������� ��������� �������

#�������� ����������

� 1�2���+��@��A�� �������+���@3

�� �� ������������������

?���������� ��������� ��������� ��������������������������������� ���������� ��������������� ������ ��������� ��������� ��������"� ���� �����

> 1�2��B�C�<�=3

������C<�=���� ��������� � �� ����������� ��������� ����� ����� ��0���������B�� ��������D���� �� 6��� ������ ���������� ����� ���$����� ���� ������������#������������������

> 1�2��B���������� �����3

0������$���� �>������� ����������������� ��������������� ��������������� ����� ������ �������#�������� �����������

� 1�2��B���1�&��E��F�'�������AF������3

1�2���+��@��A�� �������+���@3

��� �( 1�2��B���1�����1������1�(�������1�C��3

1�2������(�����C��3

%���� ��������������������$������$��� ���������� �� � ��������� ��������� ������ ���$����������������� ������

���� ������������

�*������������������� ����������� � ��������� ��

���� �� �������

���� ���������� ��������� ����������������� ������������������ ���� ��#�������� ����������������� ���� ���

� 1�2�������������3

����� � !� �������

���� ���������� ����������� ����������������� �������������������� ���� ��#�������� ��������������������� ���� ���

, 1�2���&��+��-��:3

� 1�2:�;�+��;�&��;����'�����&��+��:�3

Page 35: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

�� �� ����������������������������������������

����" �� #���� ����

���� ���������� ������������������� ��������������������� ����� ��#�������� ����������

> 1�2 3

����$ ��������

���� ���������� ��������� ��������� ����������������������� ��#�������� �����������

> 1�2����3

> 1�22�3��2���+��@33

����% �&'�(����

���� ���������� �������������� ���������������� ��� ��0������ ��� ������������������$����� ���������� ��!������������ ��������#�������� �����������

<�= ��1�2���������3<��= ��1�2��7����������� ����� ���������� �������+89����3

����) �����!����*

���� ���������� ������� ���������������� ������ ���#�������� ����������

� 1�22����3��2�3��2���&��+��-3��2����3��2(�����C��33

����+ � �,��*������

���� ���������������� �������� ����� ���������������� ���������� �����������������������������$�������� ��!������������ �����G����?������

!��������� �����$�������� ������������������� ���������������������� �������������� ������������������������#�������� ����������

H� � 1�2�������3

( 1�2�������������3

# 1�2����������3

>���������� ���� �����$�������� �G����2���������:���3

���� G 1�2���������������:���3

���" �-���-.������-����

���>�������� �� ���� ������������������ �������� ���� ����� �>���������������������� ����>����������� �����B>B��"� ���� ���������>�1�2�����&���+��:������3�� ����B>B�1��F�����,�

#�������� ����������

H� � 1�2&��-��9���8��+&��8-���&9��&@83

>�� B�B 1�9

��"� �/��,��� �����*

0����� ��������(���������� ������4�$���� ���� ������ ������4������������������ ������� ���������������(���������� ������4�$���� ���� �����$���������������� �� ����B�B�1�B(B��0���4�$���� ��� ������������������������������ ���������� ���������(�

Page 36: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

��������� ��

#�������� �������������� ����� ��

� 1�2�������������3

( 1�2A�� �������+���@3

*�����B�B�1�@�1�B(B��0���������(�������������

���$ �������-����������

>� ����������� ����������� ����(������ �(��������� ����� ��������� �������������������� ���������������������� ���� ����� �(�������� ������(�

���������(��2�����������(F��������3

#�������� �����������

<�= H� � 1�2���&��+��-��@��83( 1�2���&��+��-��@��8��A��93

>������(��<��= H� �� 1�2�������3

( 1�2�������3��������(�����(�����

<���= H� � 1�2�3����(�1�2���&��+3>�������(�

��$� �/�������*

0����� ��������(���������� ������4������������������$��������� ������������(������$�������� ����(�������������������(������(������"� ���� �����

� 1�(��2�����(�����(����3

���� � 1�(��2������������(3

#�������� ����������7�H� ���1�2��������������3

�( 1�2��������������3

>���(�������������(��0�����1�(�

��$�� ���'������*��

>� ����������� ������������������ ����(��������������� ����������������������� ����(������� �(����� ����� ����������� ������������ ���������� ������ ���������� ������(�

"� ���� �����

����( �2�����������(���������� ����� ��������(������3�

#������������������

H� � 1�2����������3

( 1�2�������������������3

*�������������������$������(������1�����(����� �� ��1��������0�������(�

����

�� ?$����� ���������� ����� �����������������&� ?�� ��� ���������� �����$����� �������������

Page 37: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

�� �� ����������������������������������������

���%�����-�-��.����������

0����� ��������(���������� ����������������������������� ����������������� ����������

���� <�= ����(��� <��= (������� <���= ��1�(�#�������� ��������������� �

� 1�2�������������3F�(�1�2&��+��@3�����#�1�2�������3�

� ���������� �� ��� �(��(� �����������(��>���������(������� ������������

>��������(� �#��#� �(����#���(��>���(�����#������������ ����������������������#������ ��������#����������������

���) �0������

������������ �� ���� ����� ������������ ��������������������������� �������������������� ����C<�=�

"� ���� �������C<�=�1�2I�7�I����3

#�������� ����������

H� � 1�2�3

� C<�= 1�2����2�33

H� � 1�2�� ��3

� C<�= 1�22�3��2�3��2����3���3

H� � 1�2�������3

� C<�= 1�22�3��2�3��2�3��2�� ��3��2�� ��3��2�� ��3��2�� ��� ��3���3

%���� ������$������������ ���������� �� �������� ������ ������������� �� ���� ����������� ����������C<�=���� �����&�������� ��

���� B�B 1�����BC<�=B�&��

���+ ���-�����������

*���������������������� ��������� �������������������� ����� ���������������������������� ���$��������������������� ��

��+� � ��

����������(���� ����� ��� ���� ��������<����(=������������������� �������� ����������� ������������� ���������������(��������� ��

>����������

����( 1�2��7��������������(3

/�����������

Page 38: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

��������� ��

#�������� ����������

H� � 1�2�������������3

( 1�2�������������3

0��������� <����(= 1�2����������������������3

��+�� � ���*�1���

���������(���� ����� ��� ���� ����� ����� ����<����(=������������������� �������� ����������� ������������������ ���� �� ����� ���>���������

�<����(= 1�2��7���������������(3

/�����������

#�������� ����������

H� � 1�2�������������3

( 1�2�������������3

0���������<����(=�1�2����3

��+�" �!!��� 1�

���������(���� ����� ��� ���� ��������������<��;�(=������������������� �������� ����������� ������������������ ����(��>�����������<��;�(=�1�2��B���������������(3

/�����������

Page 39: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

�� �� ����������������������������������������

#�������� ����������

H� � 1�2���������������� 3

( 1�2����������������3

0�������� <��;�(= 1�2���������� 3

��+�$ �(&&����1��!!��� 1�

���������(���� ����� ��� ���� ������� ���������������<����(=����<����(=������������������� ������� ����������� �������������� ���������������(�� ��� ������ ��

>����������

<����(= 1�<��;�(=���<(�;��=

/�����������

#�������� ����������

H� � 1�2����������������������3

( 1�2�������������������3

>�� <��;�(= 1�2�������������3

��� �<(�;��= 1�2����������3

0��������� <����(= 1�<��;�(=���<(�;��=

�1�2�������������������������3

��+�% ��&'��&� ���!������

������������ �� ���� ������������ �����������$���������������������������������������� �������� ���������� ����� �����$�������� �G������������� �������>����������

�� 1�2��B�����G����������3

/�����������

#�������� ����������7

H� � 1�2����������������������������3

>���������� ���� �����$�������� �G�1�2���������:�������3�

0�������� �� 1�G�;��

1�2������������������������������������ �������3

Page 40: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

��������� ��

��+�) ������&

H� ����(�����#�������� ����� �����$�������� �G��0���� ������������������ �� �����������

<�= #��� � �$������7�<����(=�1�<(����= F <����(= 1�<(����=

<�= ������� �$������7����<(���#=�1�<����(=���#�F ����<(���#= 1�<����(=���#

<�= ������ �� �����7<�����=�1�� �F <�����= 1��

<�= ���� � �����7<����� =�1�� �F <����G= 1��

<�= (��������7<����G=�1�G �F <����� = 1��

<�= ������ ��������7����<���(=�1�� F ����<����(= 1��

<�= #�������� �����7<������=�1�G ��F <������= 1��

<�= ��$�� �������7<��=��1��

<�= J�� ��� �$�������7<�= ����<(���#=�1�<����(=���<����#=<��= ����<(���#=�1�<����(=���<����#=

�������C���������<�=��<�=��<�=��<�=��<�=��<� =��<�=�����<�=������������ �������4��������� ���������� ������������$������ ������ ��� �$�������

<�= �� ��� ��<(���#=� � �����������<(���#=� � �������<����(���������#=� <� �����������(=�����<�������������#=� � ��<����(=���������<����#=� � ��<����(=���<����#=>���������<(���#=�1�<����(=���<����#=

�<��= ��������<(���#=

� � ������������<(���#=

� � ��������<����(��������#=

� <� ������������(=����<��������������#=

� � ��<����(=��������<����#=

� � ��<����(=���<����#=

>�� ����<(���#=�1�<����(=���<����#=

��+�+ ������&

H� ����(�����#�������� ����� �����$�������� �G��0���� ������������������� ���������

<�= <�����=�1�� <�= <����(=�1�<(����=<�= ����<(���#=�1�<����(=���<����#= <�= <����(=�1�<����(=�;�<����(=������ �C��������� <�=�����<�=����� ������� �������4��������������� ������*����������$�

<�=�����<�=�

Page 41: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

�� �� ����������������������������������������

<�= � ������<(���#=

� � ������������<(���#=

� � ������������<<(�;�#=���<#�;�(==

� � ��������<����<(�;�#=��������<#�;�(==

� <� ������������<(�;�#==���<��������������<#�;�(==

� <� ��������<����(���������#==

�� <� ��������<����#���������(==

� <<� ������������(=�����<��������������#==

�� <<� ������������#=�����<��������������(==

� <� ��<����(=���������<����#==���

<� ��<����#=���������<����(==

� � ��<<����(=�;�<����#==��������<<����#=�;�<����(==

� � ��<<����(=�;�<����#==���<<����#=�;�<����(==

� � ��<����(=���<����#=

>�������<(���#=�1�<����(=���<����#=�

<�= � ��<����(=�;�<����(=

� � ��<����(=���������<����(=

� � ��<����(=�����<�������������(=

� <� ��<����(=����������=����<����<����(=���������(=

� <<� �����������(=����������=

�� �<<� �����������(=���������(=

� <<� �������������=����<����(����������==

�� <<� ������������(=����<����(���������(==

� <� �����������<(�;��==����<����<��;�(=���������=

� � ��<����<(�;��==��������<<��;�(=����=

� � ��<(�;��=���<��;�(= K(����� � ����L

� � ��<(����=

� � ��<����(= K(�#��� � �$�����L

>���<����(=�1�<����(=�;�<����(=

��+�2 �3���#� 4*�.�5

H� �������(�������� ����� �����$�������� �G��0���

<�= <����(=��1�<�����(�=<�= <����(=��1�<�����(�=

������<�=�����<����(=�

� �� ��<����(=

� � ������������(

� � �������������(�

� � �������(�

>���<����(=��1�<�����(�=

Page 42: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

��������� �

<�= � ��<����(=�

� � ��<����(=

� � �����������(

� � ������������(�

� � �������(�

�>���<����(=��1�<�����(�=

���2 ��6��������

0����� ��������(������������������� ���������$��������������� ���� ����$������������������ �"� ���� �������<����(=�1���

/�����������

���7 -��.��-�����������8���

H� �������(�������� ���� ���H� ��<�=���� ��������������� ��� ������� ����� ����� ����0���

�<����(= 1���<�=�E��<(=�;��<����(=�

%� �������������(������������ �� ���

��<����(= 1���<�=�E��<(=

������������(�������� ���� �������<�=��������� � ��������������� ��� ������� ����� ����� ���

G

%���� ������$��/������������� ���������� ��

�<�= 1��<��;�(=�E��<����(=

��� ��<(= 1��<(�;��=�E��<����(=

��� ��<����(= 1��<��;�(=�E��<����(=�E��<(�;��=

1��<�=�;��<����(=�E��<����(=�E��<(=�;��<����(=

1��<�=�E��<(=�;��<����(=

���� �<����(= 1��<�=�E��<(=�;��<����(=

Page 43: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

� �� ����������������������������������������

���������(������������ �� ����<����(=�1���������<����(=�1�'

0�����������<����(=�1��<�=�E��<(=�

��� � ������������

0�������� ������ ��������������� �� ���������������������������������������������������� ����<���=����� �� �<���=���<���=������$���������0�������� ���� ����� ��������(���� ����� ������� ��������������������������� ��������� �������������� ���������� ������������������ ������������� ����(��0����� �������� �����<����(=��"� ���� ������

<����(= 1�2<���=�B���������������(3

#�������� ����������

H� ��1�2���&��+��@��A3

(�1�2-�� ��&@3

>���<����(=�1�2<��-=��<��� =��<���&@=��<&��-=��<&�� =��<&��&@=��<+��-=��<+�� =��<+��&@=��<@��-=��<@�� =��<@��&@=�<A��-=��<A�� =��<A��&@=3

������0�������� ������ ����������� ���������������� �������&���+���������������0���������&

���+���:������������������������

������&����+����:�������1�2<�����&���+��:�����=�B��������������&����&������+����+�����:�����������3������<�����&���+��:�����=���������������� ������������&���+��:�������0���������� ������������� ���������������������1�2�������3F�(�1�2���&3�����#�1�2����3��0��������

����(���#�1�2<�������=��<�������=��<���&���=��<���&���=��<�������=��<�������=��<���&���=��<���&���=��<�������=�<�������=��<���&���=��<���&���=3�

%���� ������$����������� ����$��������� �� �B����(���#B�1�B��B���B(�B���#B�������������B������&����+���:������B1�B��B���B�&B��B�+B������B��B�

�� �� ������&

H� ����(�����#���� ��������� ����� �����$�������� �G��0���

<�= ����<(���#=�1�<����(=���<����#=<�= �����(���#=�1�<����(=���<����#=

������<�=�<���=�������<(���#=� ��� ���������<(���#=� ��� � ����<���(�������#=� <��� ���������(=����<�������������#=�<���=���<����(=����<���=���<����#=�<���=���<����(=���<����#=0��������������<(���#=�1�<����(=���<����#=�

<�= <���=�������<(���#=� ����� ���������<(���#=� ��� �������<���(��������#=� <��� ���������(=�����<�������������#=�<���=�� <����(=�����<���=���<����#=�<���=�� <����(=���<����#=0�������������<(���#=�1�<����(=���<����#=�

Page 44: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

��������� ��

��� ���-����-.�������

H� ������&���+��:������������� ������������ �������� ���� ��������� ���������������������� �������<(����(&���(+���������(�=�������(������� ����������� �

��

#��������������������� �� ������� �����(�����#��0���������� �������� ����� ����� ������ ���������������������������&+����������

���� ����(���#F �����(���#F ����(����#F ����(���#��F

�����(����#F ����(����#�F �����(���#�F �����(����#��

��.9���:-��.��

Example 1 ���� ��!�����"������������������������������������������#��$��������������

%�& '%!���"&�(�% '!&���% '"&%�& '%!���"&�(�% '!&�'�"%�& % ���!&�'�"�(� ���%!�'�"&

Solution:�<�=�������;�<(���#=� � ������������<(���#=� � ��������<����(���������#=� <� ������������(=�����<��������������#=� � ��<��;�(=���������<��;�#=� � ��<��;�(=���<��;�#=0�����������;�<(���#=�1�<��;�(=���<��;�#=

<�= �������;�<(���#=� � ������������<(���#=� � ��������<����(���������#=� <� ������������(=���������#� � ��<��;�(=���������#� � ��<��;�(=�;�#0�����������;�<(���#=�1�<��;�(=�;�#

<�= ����<����(=�;�#� <� ������������(=���������#� � ��������<����(���������#=� � ������������<(�;�#=� � ������<(�;�#=0���������<����(=�;�#�1�����<(�;�#=

Example 2 )�� ������ �'� !�� *

� �(�� !�� *

� ��

Solution : ������;�� (�

� �

� � ������������ (�

� �

� � ������������<(����(&���(+���:���(�=

� � ��������<����(����������(&���������(+�����:���������(�=

Page 45: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

�� �� ����������������������������������������

� <� ������������(�=�����<��������������(&=�����:������<��������������(�=

� � ��<��;�(�=���������<��;�(&=�����:���������<��;�(�=

� � ��<��;�(�=���<��;�(&=���:�������<��;�(�=

� � �� � (��

� ��

0�����������;�� (�

� �

� �1�� � (��

� ��

Example 3 +�� �����!������������������������������#���������� �����

%�& % �&��(� %�& �'�!�(� ���!�

%�& % �'�!&���!�(��Solution :�<�=����<��=�

�� �� ����

�� �� ���

>�� <��=� 1��

<�= � ��<��;�(=

� � �����������(

� � ������������(�

� � ��<����(�=

>���<��;�(=�1�<����(�=

<�= ����<��;�(=���(

� �� ��<��;�(=���������(

� <� ������������(=���������(

� � ��������<����(���������(=

� � �������������

� � ��<�����=

� � ���

>���<��;�(=���(�1��

Example 4 ���� ��!�������������������������������������#�����������������

%�& �'�% ���!&�(� ���!�

%�& % ���!�&��(� ����!

Solution :�<�= � ����;�<����(=

� � ������������<����(=

� � ��������<�������������(=

� <� �������������=����<��������������(=

� � �������<��������������(�=

� � �����������<����(�=

� � ������<����(�=

� � ��<����(�=

>�����;�<����(=�1�����(�

Page 46: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

��������� ��

<�= � ��<����(�=�

� � ��<����(�=

� � �����������(�

� � ������������(

� � ��<�����(=

>���<����(�=��1�<�����(=

Example 5 ���� ��!�����"���������������������������������������#��$������� �����

��% ���!���"&�(��% &�,��%!&�,��%"&�'��% ���!&�'��%!���"&�'��%"��� &�,��% ���!���"&

Solution : H� �<(���#=�1�J��>��������$�

�<����(���#= 1��<����J=

1��<�=�E��<J=�;��<����J=

1��<�=�E��<(���#=�;��<����<(���#==

1��<�=�E��<(=�E��<#=�;��<(���#=�;��<<����(=���<����#==

1��<�=�E��<(=�E��<#=�;��<(���#=�;��<����(=�;��<����#=�E��<����(���#=

0�������� �<����(���#= 1��<�=�E��<(=�E��<#=�;��<����(=�;��<(���#=�;��<#����=�E��<����(���#=�

Example 6 +������")+��������������������-������.//���������������������0//������������������������1./�����������������������*/������������������������������������$������� ������������ �������������

%�& 2� ����������������������������������%�& 2� �������������������������%�& 2� �������������������������

Solution : H� 0 7�>� ���������������� ���� ���

# 7�>� ���������������� �����������

G 7�0� ������������������ ���

*����������$���<G=�1�@''F��<0=�1�&''F��<#=�1�+@'

,�������������� ��������� � ������ �������������� ���1��'

0������������������������ ������� ������ �������������� ���1�@''�;�'�1�- '

�������<0���#=�1�- '

���� ��<0=�E��<#=�;��<0���#=�1�- '

���� �<0���#=�1��<0=�E��<#=�;�- '�1�&''�E�+@'�;�- '�1�8'

>��� ������������������������ ������ ������������� ���1��<0���#=�1�8'

,���������������� ���� �������1��<0=�;��<0���#=�1��-'

,���������������� ���������������1��<#=�;��<0���#=�1�& '�

Example 7 +��3.4������������� ������������ �����5.4������������� ����� ������������������������������������������������������6

Solution : �H� ��<>= 7�0� ������������� ��� ��1��''

��<�= 7��0� ������������� ��� ������������������1�8@

���<(= 7�0� ������������� ��� ������������������1�A@

0�������� �<>=�1��<����(= 1��<�=�E��<(=�;��<����(=

���� �'' 1�8@�E�A@�;��<����(=

���� �<����(= 1�-'

>���-'M����� ��� ��������� ��������������������

Page 47: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

�� �� ����������������������������������������

Example 8 +�� �(�70��1��8��.��39��!�(�71��8��.��3��59�����"�(�78��.��3��5��:9�������������������� �����

%�& % ���!&���% ���"& %��& % ���!&���% ���"&%���& �'�%!�'�"&���� %��& % ���!&�

Solution : !�$�����1�2&��+��-��@��83��(�1�2+��-��@��8��A3�����#�1�2-��@��8��A��93<�= <����(=�1�2&��+��-��@��8��A3

<����#=�1�2&��+��-��@��8��A��93

0���������<����(=���<����#=�1�2&��+��-��@��8��A3

<��= <����(=�1�2+��-��@��83

<����#=�1�2-��@��83

0���������<����(=���<����#=�1�2+��-��@��83

<���= �<(�;�#=�1�2+3

0�����������;�<(�;�#=�1�2&��-��@��83

<��= <����(=�1�2&��+��-��@��8��A3

<����(=�1�2+��-��@��83

0���������<����(=�1�<����(=�;�<����(=�1�2&��A3

Example 9 ;���������� �������������������� ���������

%�& 7/9%��& 7*��7*��099����%���& 78��*��:9�

Solution : <�=�H� ���1�2'30���������C<�=�1�22'3���3

<��= H� ��1�2���2���&33>���C<�=�1�22�3��22���&33������3

<���= H� ��1�2-�����93>���C<�=�1�22-3��2�3��293��2-���3��2-��93��2���93������3�

Example 10 +�� �(�78��.9��!�(�75��:9�����"�(�7<��*/9�������������������� �����

%�& % ���!&���%!���"&�����%�&� ���%!���"&�

Solution :�!�$�����1�2-��@3��(�1�2A��93�����#�1�2 ���'3<�= <����(=�1�2<-��A=��<-��9=��<@��A=��<@�9=3

<(���#=�1�2<A�� =��<A���'=��<9�� =��<9���'=3>���<����(=���<(���#=�12<-��A=��<-��9=��<@��A=��<@�9=��<A�� =��<A���'=��<9�� =��<9���'=3

<�= <(���#=�1�2A��9�� ���'3>�������<(���#=�1�2<-��A=��<-��9=��<-�� =��<-��'=��<@�A=��<@��9=��<@�� =��<@���'=3�

Example 11 +�� �(�7*��0��19��!�(�70��1��89�����"�(�71��8��.9��������������������������� ��

Solution :�!�$�����1�2���&��+3��(�1�2&��+��-3�����#�1�2+��-��@30���������<(���#=�1�2&��+��-��@3����

����<(���#= 1�2<���&=��<���+=��<���-=��<���@=��<&��&=��<&��+=��<&��-=��<&��@=��<+��&=��<+��+=��<+��-=��<+��@=3

<����(= 1�2<���&=��<���+=��<���-=��<&��&=��<&��+=��<&��-=��<+��&=��<+��+=��<+��-=3

<����#= 1�2<���+=��<���-=��<���@=��<&��+=��<&��-=��<&��@=��<+��+=��<+��-=��<+��@=3

0���<����(=����<����#=�1�2<���&=��<���+=��<���-=��<���@=��<&��&=��<&��+=��<&��-=��<&��@=��<+��&=��<+��+=��<+��-=��<+��@=3

1�����<(���#=

>�������� ��������������� ���������<(���#=�1�<����(=���<����#=��������$��������

Page 48: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

��������� ��

Example 12 +��=�(�7�������9��>�(7*//��*/*��*/09�����?�(�7���������*/*9�"�������%%>���=&�'�%=���>&&��?��@�����������'����������� ������� ���������������������������������

��Solution :�!�$�� C 1�2�������3F�N�1�2�''���'����'&3�����)�1�2����������'�3�

>�� <N���C= 1�2�''���'����'&���������3�����<C���N=�1��

0�������� <<N���C=�;�<C���N==�1�2�''���'����'&���������3

0���<<N���C=�;�<C���N==���)�1�2<�''���=��<�''�� �=��<�''�� �=��<�''���'�=��<�'����=��<�'��� �=�<�'����=��<�'����'�=��<�'&���=��<�'&���=��<�'&���=��<�'&���'�=��<����=��<����=��<����=��<����'�=��<����=��<����=�<����=��<����'�=��<����=��<����=��<����=��<����'�=3

Example 13 )�� ���������� �����������A������������

(a) (A – B)c (b) Ac ��B (c) A ��B ��CSolution :

<�=

<�= <���;�(=�1�<(�;��=

<�= ����(���#

Example 14 +�������������38����������03�����������2����������*8�����������B�����������2� ��������������������2���������B�������

Solution : H� *�7 >� ����� ��� ����������������*�����

Page 49: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

�� �� ����������������������������������������

�?�7 >� ����� ��� ����������������?�������

H� ��<>=�7 0� ������������� ��� ��1�8-

���� �<>= 1��<*���?=�1�8-

!�$����<*�;�?=7�,��������� ��� ��������*���������1�&8

�����<?�;�*=7�,��������� ��� ��������?�����������1��-

0����������<*���?=�1��<*�;�?=�E��<?�;�*=�E��<*���?=

���� �<*���?= 1�8-�;�&8�;��-�1�&-

>���&-�� ��� �������������� ��*���������?�������

Example 15 -�� ���A���������������������������������� �����������������������=��>��?�����)�%=���>&������)���>���?�����%=���)&�(���

Solution : !�$�������� ���������<C���N=������>���N���)�����<C���>=�1����0���/��������������� ������$����� �������$���������

Example 16 +�����������3/4����������������������������!�����������./4�����������C�������@�������������������������������������������������������������0/4������������������������������������� �����������6

Solution : H� ��<>= 7�0� ������������������� ��1��''

�<(= 7�0� ������������������� ������������(�������1�8'

�<O= 7�0� ������������������� ������������O�������1�@'

�<(���O=��7 0� ������������������� ����������� ������������� ����� ������������1�&'

>�� �<(���O=�1 �<>=�;��<(���O=��1��''�;�&'�1�9'

���� �<(=�E��<O=�;��<(���O=�1�9'

���� �<(���O=�1 8'�E�@'�;�9'�1�+'

0���������+'M���� ���������� �������������� �� ������������(�����������O�������

Example 17 +�� �� ������ ������ ������� ���� ��������� ��� ��� ������ ����� �������� ��� �������������������������������������������������������������������?����D���������!�����;������1/4�������?��E�8/4�������D���������./4�������!�����;�������*/4�������������������?������D������.4������������D���������!��������*/4������������?�������!�����;���������������������������������������� ������������������������

�Solution :H� )�7 >� ��������������������)��������

!�7 >� ��������������������!����������

(�7 �>� ��������������������(��������

��� >�7 >� �������������������������$����

Page 50: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

��������� ��

0����������<>=�1��''F �<)=�1�+'F��<!=�1�-'F��<(=�1�@'F��<)���!=�1��'F��<!���(=�1�@F��<)��(=�1��'�

0�� �<>=�1 �<)���!���(=�1��''

���� �<)=�E��<!=�E��<(=�;��<)���!=�;��<!���(=�;��<)���(=�E��<)���!���(=

�1 �''

���� �<)���!���(=�1 �''�;�+'�;�-'�;�@'�E��'�E�@�E��'�1�@

>���@M���� �����$�������������������� ����������������)����!���������(���

Example 18 +�� ��!�����!��"���������� ������ ��"�

Solution : !�$���(���#����������(�������#

����� �����(������� ����������( �������

���� � ����������(�������#

���� � ����������#

0�������������#�

Example 19 ;������������ �����!������������ ! !� � � �

�Solution : <���= ��� (�

� <���= ������(

� � �����������(

� � ��� ��������(

� <���= ��� (�

>�� <���= ��� (� ���<���=���� (�

0�������� � (� 1�� (�

Example 20 ;������������ ��!�����"������������ ���%!�'�"&�(�% ���!&�'�% ���"&�

�Solution : <���=�������<(�;�#=

� � �����������<(�;�#=

� � ��������<���(��������#=

� <� �����������(=�����<�������������#=

� <���= ��<����(=�����<���=���<����#=

� <���= ��<����(=�;�<����#=

0�������������<(�;�#=�1�<����(=�;�<����#=�

Example 21 +�������������*<*�����������*/������������B��������"��������)�����������F����E13������������B�����������"��������)������E�0/������������B�����������F����E�*:�����������"��������)�����������F����E�3.������������B������E�53������������"��������)�����������31�����������F������$������� ������������ ����

%�& 2� ����������������B�����������F�������������"��������)�������%�& 2� ����������������"��������)�����������F�������������B�������%�& 2� ����������������"��������)�������������������B�����������F�����%�& 2� �������������������������������������������

��Solution :�H� > 7�>� ����� ��� �

? 7�>� ����� ��� �� ������?������

�# 7�>� ����� ��� �� ������#��� ���>������

�" 7�>� ����� ��� �� ������"����

Page 51: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

�� �� ����������������������������������������

!�$��� �� ��<>=�1�� �F��<?=�1�8@F��<#=�1�A8F��<"=�1�8+F��<?���#���"=�1��'F��<?���#=�1�+8F��<?���"=�1�&'F��<#���"=�1��9

<�= ,��������� ��� �� ������?�����������"����� ��� �#��� ���>������1��<?���"=�;��<?���#���"=�1�&'�;��'�1��'

<�= ,��������� ��� �� ������#��� ���>�����������"����� ��� �?������1��<#���"=�;��<?���#���"=�1��9�;��'�1�9

<�= ,��������� ��� �� ������#��� ���>�������������� ����?�����������"����1��<#=;��<?���#=�;��<#���"=�E��<?���#���"=��1�A8�;�+8�;��9�E��'�1�+&

<�= ,��������� ��� �� �������������� ��� ���������� �1��<?���#���"=�

1��<>=�;��<?���#���"=

1��<>=�;�2�<?=�E��<#=�E��<"=�;��<?���#=�;��<#���"=�;��<?���"=�E��<?���#���"=3

1�� ��;�<8@�E�8+�E�A8�;�&'�;�+8�;��9�E��'=

1�@��

Example 22 B������� ���������������� �������������������������������

%�& �(�7���G��0�'�5��,�*0�(�/E����H9 %�& !�(�7��G���(���������(��9%�& "�(�7�������������9 %�& -�(�7��G��0�'�8�(�/E����+9

Solution : !�$��� �� ���1�2��B��&�;�A��E��&�1�'F�����,3

0�������� � 1�2+��-3

���� B�B 1�&

>������� ( 1�2�B��1���������1��3

1�2�� ��3

���� �B(B 1�&

���� # 1�2�������������3

���� �B#B 1�@

����� J 1�2�B�&�;�-�1�'F������3�1�2&��;�&3

���� �BJB 1�&

0���������B�B�1�B(B�1�BJB�1�&���B#B�1�@F�>�����(�����J������4�$���� �

Example 23 ;�������)���� �����!������������% ���!&���%!�'� &�(�!�

Solution : <����(=���<(�;��= 1�<����(=���<(�����=

1�<<���(=���(=���<<����(=�����= KJ�� ��� �$�����L

1�(���<<����(=�����= K������ �������L

1�(���<<������=���<(�����== KJ�� ��� �$�����L

1�(���<G���<(�����== K#�������� ����L

1�(���<(�����=

1�( K������� �������L

Example 24 !���������������������������������������% �'�!&���%!�'� &�(���������������� �����!�

��Solution : <��;�(=���<(�;��= 1�<����(�=���<(�����=

1�����<(����<(�����== K�������� �$�����L

1�����<<(����(=�����= K�������� �$�����L

1�����<������= K�#�������� ����L

1�<�����= K(�������L

1�� K(�������L

Page 52: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

��������� �

Example 25 ;������������I��J�����K������������I���%J�'�K&�(�%I���J&�'�%I���K&�

Solution : � ��I���<P�;�Q=

� � ��I���������<P�;�Q=

� � ��I�����<����P���������Q=

� <� ��I���������P=�����<����I���������Q=

� � ��<I���P=���������<I���Q=

� � ��<I���P=�;�<I���Q=

0�������� �I���<P�;�Q= 1�<I���P=�;�<I���Q=

Example 26 ;������������I��J�����K������������I�'�%J���K&�(�%I�'�J&���K��

Solution : � ��I�;�<P���Q=

� � ��I���������<P���Q=

� � ��I�����<����P���������Q=

� <� ��I���������P=���������Q

� � ��<I�;�P=���������Q�

� � ��<I�;�P=���Q�

0���������I�;�<P���Q=�1�<I�;�P=���Q��

Example 27 -���������������������������������� �����������������

�(�7*��0��19�����!�(�7�G���HE��1�'�3��0�,�**���'�3�(�/9

Solution :�!�$�����1�2���&��+3����( 1�2�B����,F��+�;�8��&�E������;�8�1�'3

1�2�B����,F�<��;��=<��;�&=<��;�+=�1'3

1�2���&��+3

0����������� ��������(������4����������(�����(�����

Example 28 B������� ���%!�'�"&��������������������������������������

Solution : 0�����������$����������������� �� ���/��������������������<(�;�#=��%���� ����� ��������� �� �����<(�;�#=������� ����� �����$����������� ���/�������������������������� �� ��������� �������� ��<����(���#=��<����(���#�=��<����(����#=��<�����(���#�=�����<����(����#�=�

����<(�;�#=����������

0�� ����<(�;�#=�1�<����(���#=���<����(���#�=���<����(����#=����<�����(���#�=����<����(����#�=�

Page 53: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

� �� ����������������������������������������

��:��������

� ?������� ��������������� ����� �����������<�= ��1�2�B���������� ������ ��������"�0*?"�0�#>3<�= (�1�2�B���1�&��E��F�������R�@F�����,3<�= #�1�2�B���1�(����������1���������1���������1����3<�= J�1�2�B����������$����� ������������������@3<�= ?�1�2�B������������&�E���;�&'�1�'3

�� ?������� ��������������� ������� �������������<�= ��1�2���9��&A��8-���&@3 <�= (�1�2�������������3<�= #�1�2&�� ��&9��8@���&83 <�= J�1�2������&��-��8��(���3<�= ?�1�2���&��+��-��@��8��A��::3 <�= %�1�2���+3

� %���� ����������� ����� ��������������� ��<�= 2�3 <�= 2����������3<�= 2�B�����,������&�;�-��E�+�1�'3 <�= 2���2���&3��2���&��+33<�= 2�B���������� ������ ������������3

�� H� � �����$�������� �G�1�2���&��+��-��@��8��A��9�� ���'3��H� ���1�2���&��+��-��@3��(�1�2&��-��8��93����#�1�2���-��A���'3�� ��������� ��������������<�= <����(= �<��= <����(=���#

<���= <����(=���<����#= �<��= <����(=���<����#=<�= ��;�<(���#= �<��= <����(=�;�#

<���= (��;�<#�;��= �<����= �����(�

<��= �( �<�= ��

<��= #�;�( �<���= <����(=�;�<#�;�(=�� J���� ���/���������������������� �� �������������� �����$����� ��

<�= ����<(���#= �<�= ����<(���#=<�= ���;�( �<�= <����(=�;�(<�= <�����(=���<#��;��= <�= (���<#����=�

<�= <(���#=�;�� �<�= <����(���#=�

�� ��������������'''��������� ���������9''����������������������?�����������@''���������������������!�������?���� ��''����������� ����������������������������� ����� �������?�����������!�������%������������������������������� ��?�����������!������

�� ���C�1�2�������3��N�1�2�''���'����'&3�����)�1�2����������'�3�� �������� ��<<C���)=�;�<C���)==����N�

�� ���!�1�2�������3��*�1�2&'��A'�� '3�����O�1�2���A'���3�� �������� ��<!�;�O=���<O�;�*=�

�� H� �I�1�2�������3�����P�1�2���&3�� �������� �� ��������������

<�= I���P �<�= P���I<�= P���P �<�= I���I<�= <I���P=���P

�� ���(���(&��:����(�������������� ��� �������$�� �� �A B A B� �� �

ii

n

ii

n

1 1� �( –

� ���(���(&��:����(�������� ��� �������$�� �������������J��"�����5�������

<�= �i

n

ii

n

� �

���

��

� �1 1� �B <�= � Bi

i

n

ii

n

B� �

���

��

� �1 1� �

�� H� �I��P�����Q���� ������� ���>���� �� �I�;�<P���Q=�1�<I�;�P=���<I�;�Q=�

Page 54: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

��������� ��

� ���������������&'�� ��� ���9'�� ��� ��� ��"� ���� �����-@�� ����� �������&'�� ���� ����� ����� ��*�� �������� ��"� ���� �������� ���� ������������� ��� ������ ���� ��"� ���� ��������*�� ���

�� H� ���1�2���&3��(�1�2�3�����#�1�2����3� �������� �� ��������������<�= ����(���# �<�= ����(���(<�= (�������# �<�= ���������<�= <��;�(=���#�

�� ?������� �������������� ��� �� ��������������� ��<�= ��1�2�������3 <��= (�1�2�������������3

<���= #�1�2����������3 <��= J�1�2����������������3�

�� �������������� ��������''�� ��� ���+'����� �����F�-'����������� F�-'����� ��� ���F�8���� ���������������� F��&����������� ��������� ��� ���F������'����� ������������� ��� ���F��������-�������������������� ��� ����� ������*����������������� �� ������������� ��� ����

�� ���������� �A'M���� ���������� ������������0���������@'M�����������O����������� ������ �������������� �������������� �� �����������������'M�������� ������� ������������ ����� �����������S

�� H� �I��P��Q�����0���������� ���0����C��$�� �� �<I���Q=���<P���0=�1�<I���P=���<Q���0=

�� ��� �� ��������������� ����� ������������������ �������� ��

<�= ����<(���#= �<�= �����<(���#=<�= ����<(���#= �<�= ����<(�;�#=�

��� ���� ��� ���������� ��� �I���� ������� ����� ��2(�����C��3F�2C����C�������(��3F�2(�����(����(���3�

�� T����������� ��� ���������������� ���� ������� ��������������������� ��� ��������� ���"� ���� �����#��� ��� >������� ���� ������� ����0���������� 0��� ���� ��������$����������-@����� �����"� ���� ���F��9����� �����"� ���� ��������#��� ��>������F�+9����� �����#��� ���>������F�&������ ������������ ����0��������F� ���� �����"� ���� ��������������� ����0���������F�-����� �����#��� ���>����������������� ����0�������������&+����� ������������������������ �������� ���J�����/������������ �� ����������� ������� ����� �����$��

Page 55: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

�������������

���� ���������

��������������� ������������������������������������������������������������������������������������������������������ �������� ���������� ���� ����������������������������������� ����������������������� ��������������������������������������������������� ����������� ��������������������������� !���������������� !�������������������� !������"����� !����������

���������

�������� ��� ��� ����� ����

����� �� ������ ������������� ����� �����#���� �� ������ �������������� $� ��� %��������������� ������������ ��� ����� ���������� ����� �����

���������������������������������������������������������&�'�(�������������������������������� �������������������������� ��������������������� �������������������)��������������������������*�� �������������������������������������������� ����������������������+� �����!�#����������������� ���������������������������������������� ��������������������������������������������������,������������������������������������������������

������������������������ ����������������������������������������,���������������������������������������� �����������

� �� ��������������

#���������-������������������������������%��������������������������.����-/�������������.��������������/���� ����������������������-���� �������%���.����-/�

���� % 0�1.�!��/�2���������������-3

Page 56: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

������������� ��

���.�!��/���%!�����������������%�������������������������������������.�!��/���%!��������������

���4 �������������������������������������������0�-!������%��������������.��������������/������

��������������5� �����0�1(!�6!�&!�7!�83�����-�0�18!�9!�:!�;!�<3��������������������%���� ���������������������-���

% 0�1.�!��/�2�������������0�6��=�&���-3

���� % 0�1.(!�8/!�.6!�:/!�.&!�</!�.7!�((/!�.8!�(&/3

���� % ������-

�� � �������������������

#���%����������������� ����������������������-����������������������������������������������������������������������������������%��������������� �������%���>������������ ��%����>.%/������ ������!

>.%/ 0�1�2�.�!��/���%!����������3

���� >.%/ ����

�� �� �������������������

#���%����������������� ����������������������-�����������������������������������������������������������������������������������%����������������������%��>��������������%����%.%/������ ������!

%.%/�0 1�2�.�!��/���%!���������-3

���� %.%/���-�

��������������5� ��?�#�����0�1�! �! �! ��3�����-�0�18!�9!�:3��#�����������������������%���� ���������������������-���������

% 0�1.�!�8/!�.�!�9/!�.!�9/!�.�!�9/3

��! >.%/ 0�1�!�!��3�����%.%/�0�18!�93

� ��� ���������������

#���%����������������� ����������������������-���������������������������������%���������������� ���������-���������������,�������������������%@(�����������������

%@( 0�1.�!��/�2�.�!��/���%3

��������������5� ��? �#����� 0�1(!�6!�&!�7!�83

��� �- 0�17!�<!�(9!�(:!�683

#���������������������������%���� ����������������������-����%�0�1.6!�7/!�.&!�</!�.7!�(9/!�.&!�(:/3�

�����������%�@(0�1.7!�6/!�.<!�&/!�.(9!�7/!�.(:!�&/3�

���� � ��!��

���%����������������� ����������������������-!������.�/�>.%/�0�%.%@(/�����.��/�%.%/�0�>.%@(/�

�� ���A���������%����������������� ����������������������-�������%���.����-/������

% 0�1.�!��/�2���������������-3

#�������>.%/��������������5�������������������-����������

Page 57: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

�� ��������������������������������������

.�!��/ ��%

������ �����.�!��/���%@(

���� � ��%�.%@(/

��! � ��>�.%/�������%�.%@(/

����! >.%/ ��%.%@(/ ���.(/

�������������%�.%@(/��������������5�������������������-�����������.�!��/���%@(�

������ ���� .�!��/ ��%

���� � ��>.%/

��! � ��%.%@(�/�������>.%/

���� %�.%@(/ ��>.%/ ��.6/

������������� ��"��������.(/�����.6/�����������������>.%/�0�%�.%@(/

�� ����!��������%.%/!�������������5�������������������-�����������.�!��/���%

������ �����.�!��/���%@(

���� � ��>.%@(/

��! � ��%.%/�������>.%@(/

���� %.%/ ��>.%@(/ ��.&/

�������������>�.%@(/!�������������5�������������������-�����������.�!��/���%@(

������ �����.�!��/���%

���� � ��%.%/�

��! � ��>.%@(/�������%.%/

���� >.%@(/ ��%.%/ ��.7/

������������� ��"��������.&/�����.7/�����������������%.%/�0�>.%@(�/�

� ����#���%����������������� ����������������������-��������.%@(/�@(�0�%�

�� ���A���������%����������������� ����������������������-�������%���.����-/�

#�� �.�!��/ ��.%@(/�@(

� .�!��/ ��%@(

� .�!��/ ��%

��! .�!��/ ��.%@(/�@(���.�!��/���%

����������.%@(/�@(�0�%

���� "��#$�%��������

#���%����������������� ����������������������-B���������%����������������.����-/��������.����-/���������������������������������������������������������������� ����.����-/!����������������%���� �����C��������������������������������������������%��������������������������������������������%������������������������� ����.����-/����������������������������������

��������������5� ��?�#�����0�1�@�&!�@�6!�@�(!�(!�6!�&�3�����-�0�1(!�6!�&!�7!�8!�9!�:!�;!�<3������%���������������0��6��������������

% 0�1.@�(!�(/!�.(!�(/!�.@�6!�7/!�.6!�7/!�.@�&!�</!�.&!</3�

��!��������������%���������������������������������������� ����.�� ��-/�����������������������������(�

Page 58: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

������������� ��

–4 –2 0 2 4

A

������������������5� ��?�#�����0�1�2�������������� ���3�������%�������������6��=�&���9�

������������%�0�1.�!��/�2�6��=�&���9������!������3��

��!��������������%���������������������������������������� ����.�� ���/������������������������*����6�

–2

–3

���& '����%��������

����������%���� ������������������-� ��������������������

.�/ D���@�D�� ./ D���@�����

./ �����@�D�� .�/ �����@�������������������%���� ����������������������-���������������D���@�D������������� �.�(!��(/���%!

.�6!��6/���%�������(�0��6����(�0��6�

�������������%���� ����������������������-���������������D���@�����������������.�(!��(/���%!.�(!��6/���%������� ���(����������(�!��6���-�������(���6�

������������%���� ����������������������-��������������������@�D���������������.�(!��(/���%!.�6!��(/���%������� ���(���-������(�!��6�����������(���6�

������������%���� ����������������������-��������������������@������������������.�(!��(/���%!.�(!��6/���%!�.�6����(/���%!�����.�6!��6/���%������� ���(!��6����������(!��6���-�������(���6������(���6�

Administrator
Typewritten Text
Administrator
Typewritten Text
Page 59: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

�� ��������������������������������������

���( ���)���"��*

,������������������ �������������������������,���������������� ��������������������������� ����� ��� ���� ����-� ��� �������)����� ����!� ���� ������������� ������ ��� � ���� ����� ���� -���������%��

��������������5� ��?�#�����0�1(!�6!�&!�7!�83�����-�0�16!�7!�9!�;3��#���������������������������� ����������������������-���

%( 0�1.(!�6/!�.&!�9/!�.7!�;/3

%6 0�1.6!�7/!�.6!�9/!�.6!�;/!�.(!�6/3

%& 0�1.(!�7/!�.6!�7/!�.&!7/!�.8!�;/3

��� �%7 0�1.(!�7/!�.6!�7/!�.(!�;/!�.6!�;/!�.8!�6/3

���������������� ���������������������������������������*�� ���������������� �����������������%(!�%6!�%&�����%7�����D��@D��!�D��@����!�����@D�����������@������������������������

���+ ����������

����������%���� ������������������-��������������������������������� ���������������%�0�����������������5� ��?�#�����0�1&!�8!�:3B�-�0�16!�7!�;3B�%�������-�������%���2�����������B������!

����-��$��������������������%�0���������-��������������������� ����������������������-�

���, ���������������

#���%������������������������B���������%����������������.�����/�������������������%�������������������������������������.�!��/���%��A��������������������������� ������!

��� 0�1.�!��/�2������3

Page 60: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

������������� ��

��������������5� ��?�#�����0�1�!�!�3���������������������������������������0�1.�!��/!�.!�/!.!�/3�����������������������������������

���- �����������������

����������%���� ������������������-�������������������������������������%�����"������.����-/���������%�0�.����-/�

#�����0�1(!�6!�&3�����-�0�1�!�3��������������������������������%���� ���������������������-�����������

% 0�1.(!��/!�.(!�/!�.6!��/!�.6!�/!�.&!��/!�.&!�/3

���. ��������*����/�0*����/�%��$���������1

�� ����5�������������������������������������������%������������������������������������������ �������������C��������������

#�� �� 0�1�(!��6!��&!�E��!���!�E���!�� �3

��� �- 0�1(!�6!�&!�E��!��!�E��!���3

�����������������������%����������������� ����������������������-����������� ����5���������������%!�������.%/��������������

�.%/ 0�F��)G����������. ����/

����� ���) 0�(

'

B

B

�� %

�� %

� �

� ��

���

��������������������������������������������������������� ��������������������� ����������� ��������-��H����������������������������������������������� �.���/����'�.C���/�������������������������������������������������-����������������5� ��

#�����0�1(!�6!�&3B�-�0�1�!�!�!��!��3�����%���.����-/�����������%�0�1.(!��/!�.(!��/!�.6!�/!�.&!�/!�.&!��/3�

������� ����5���������������������%�����������

��.%/ 0�

� � �

(

6

&

( ' ' ( '

' ( ' ' '

' ' ( ( '

���

��� � �*#������%���������

#���%(����������������� ����������������������-�����%6����������������� ���������-����������������������%(����������������.����-/�����%6����������������.-����/������������� ������������%(����%6������������%(%6������������������

�%(%6�0�1.�!��/���.�����/�2������� ������-!�.�!��/���%(�����.�!��/���%63

��������������5� ��?�#�����0�1(!�6!�7!�8!�:3B

- 0�1�!�!�!��!��3

��� �� 0�1(!�7!�(9!�683�

����������������������%(?�����-�����%6?�-�������

Page 61: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

�� ��������������������������������������

%(�0�1.(!��/!�.(!�/!�.6!��/!�.6!��/!�.8!��/3�����%6�0�1.!�(/!�.�!�7/!�.�!�68/3������������������ ����������

��! %(%6 0�1.(!�(/!�.6!�7/!�.6!�68/!�.8!�7/3

�� �� ���2�3�����������������3���4����������*��!�5

#���%(����������������� ����������������������-�����%6����������������� ���������-����������������������%(����������������.����-/�����%6����������������.-����/������������� ������������%(����%6������������%(%6��������� ����5���������� ���������%(%6��������������

�.%(%6/ 0��.%(/��.%6/

����������������C���������������(������.%(%6/���������.%(/�������� ����5���������������%(�������.%6/�������� ����5����������������%6�

��������������� ���5� ��������������B�������

��.%(/ 0�

( ' ( ' '' ' ' ( (' ' ' ' '' ' ' ( '' ' ' ' '

����

�������.%6/�0�

' ' ' '' ' ' '( ' ' '' ( ' '' ' ' (

����

��! �.%(%6/ 0���.%(/���.%6/

0�

( ' ( ' '' ' ' ( (' ' ' ' '' ' ' ( '' ' ' ' '

����

' ' ' '' ' ' '( ' ' '' ( ' '' ' ' (

����

�0�

( ' ' '' ( ' (' ' ' '' ( ' '' ' ' '

����

����������%(%6�0�1.(!�(/!�.6!�7/!�.6!�68/!�.8!�7/3�

�� ��� � ��!��

#���%(�����%6����������������� ����������������������-��#���%&�����%7����������������� ��������-������������������%(���%6�����%&���%7������%(%&���%6%7�

�� ���A����%(�����%6����������������� ����������������������-��%&�����%7����������������� ��������-��������������

�������������%(���%6�����%&���%7��

#���.�!��/���%(�%&

����������� ������-!��������.�!��/���%(�����.�!��/���%&������������������� .�!� �/� �� %(��

%6�����.�!��/���%&���%7�

Page 62: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

������������� ��

���� .�!��/ ��%6�����.�!��/���%7�

������ ���� .�! ��/ ��%6�%7�

$���� .�! ��/ ��%(%&���.�!��/���%6�%7

���� %(%& ��%6%7�

�� ��� � ��!��

#���%(��������������� ����������������������-�����%6����������������� ���������-�������������������

% %( 6(

��

0�%6@(%(

@(�

�� ���#���%(����������������� ����������������������-�����%6����������������� ���������-�������������

D������ ? % %( 6(

��

0�%6@(%(

@(�

���� % %( 6(

��

��%6@(%(

@(�����%6@(%(

@(��� % %( 6(

��

#�� .�! ��/ �� % %( 6(

��

������ �����.�!��/���%(%6������������� ������-�������

.�! ��/ ��%(������.�!��/���%6

� .�!��/���%(@(�����.�!��/���%6

@(

���� .�!��/ ��%6@(�����.�!��/���%(

@(

������ ���� .�! ��/ ��%6@(%(

@(

��������� .�! ��/ �� % %( 6(

��

���.�! ��/���%6@(%(

@(

���� % %( 6(

��

��%6@(%(

@( ������.�/

���������.�!��/���%6@(%(

@(������������� ������-�������

.�!��/ ��%6@(�����.�!��/����%(

@(

� .�!��/���%6�����.�!��/���%(

���� �.�!��/ ��%(�����.�!��/���%6

������ ���� .�! ��/ ��%(%6

���� .�! ��/ ��.%(%6/�@�(

��������� .�! ��/ ��%6@(%(

@(���.�!��/��� % %( 6(

��

���� �%6@(%(

@( ��� % %( 6(

��

��.��/

�������� ��"��������.�/�����.��/�������� % %( 6(

��

�0�%6@(%(

@(�

��� ��#���%���������

��������������������������� ������������������ �������������������������������������

�� � �����5�6����������3

����������%��������������������������������������5������.�!��/���%������������ ����������

���� ��%� ��������

�������������������������������������������0�1(!�&!�8!�:3

%( 0�1.(!�(/!�.(!�&/!�.(!�8/!�.8!�8/!�.8!�:/3

Page 63: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

�� ��������������������������������������

%6 0�1.(!�&/!�.(!�8/!�.8!�:/!�.&!�:/3

%& 0�1.(!�(/!�.(!�&/!�.&!�&/!�.8!�8/!�.8!�:/!�.(!�:/!�.:!�:/3

*�� ������������������� ��� �������������%&� ���������5������������%(� �������������5�������������.&!�&/���%(�����.:!�:/���%(���� �����%6����������������5���

�� �� �7����!�8���������3

����������%������������������������������������ ���������.�!��/���%������.�!��/���%�

���� ��%�� ����%���

�������������������������������������������0�1(!�&!�8!�:3

%( 0�1.(!�(/!�.(!�&/!�.&!�8/!�.&!�(/!�.8!�&/!�.8!�8/3

%6 0�1.(!�(/!�.(!�&/!�.&!�(/!�.&!�8/!�.8!�&/!�.8!�:/!�.:!�:/3

*�� �����������������������������������%(�������� �������������!�����%6������������ ��+���������������.8!�:/���%6���.:!�8/���%6�

�� �� �!��3���6����������3

����������%�����������������������������������������������.�!��/���%�����.�!��/���%������.�!��/���%�

���� ��%���������%�������%��

�������������������������������������������0�1(!�&!�8!�:3�

%( 0�1.(!�(/!�.(!�&/!�.(!�8/!�.(!�:/!�.&!�&/!�.&!�8/!�.&!�:/!�.8!�&/!�.8!�8/!�.8!�:/3

%6 0�1.(!�(/!�.(!�&/!�.&!�8/!�.8!�8/!�.:!�:/3

*�� �����������������������������������%(�������������������������������������%6��������������������.(!&/���%6!�.&!�8/���%6���.(!8/���%6�

�� �& ����9�����5�6����������3

����������%��������������������������������������+����5������������5������.�!��/���%����������� ����������

������� �% ��� �������

�������������������������������������������0�1(!�&!�8!�:3

%( 0�1.(!�(/!�.(!�&/!�.(!�:/!�.&!�&/!�.8!�8/!�.8!�:/!�.:!�:/3

%6 0�1.(!�&/!�.(!�8/!�.8!�:/!�.&!�:/3

%& 0�1.(!�(/!�.(!�&/!�.(!�8/!�.:!�:/3

*�� �����������������������������������%6�����������+����5������������%&�������������������5��������������.(!�(/���%&�����.:!�:/���%&���� �����%(������������+����5�����������

�� �( �37����!�8���������3

����������%������������������������������������� ���������.�!��/���%������.�!��/���%�

���� ��%������� �% ��

�������������������������������������������0�1(!�&!�8!�:3

%( 0�1.(!�&/!�.&!�8/!�.&!�:/!�.8!�:/3

%6 0�1.(!�&/!�.&!�8/!�.&!�:/!�.8!�&/!�.8!�:/3

*�� �����������������������������������%(���������� ���������������%6�������������� ��+���������������.&!�8/���%6���.8!�&/���%6�

Page 64: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

������������� �

�� �+ ����9�7����!�8���������3

����������%��������������������������������������+�� �����������������.�!��/���%�����.�!��/���%!�������0���

���� ��%���������%�������0���

�������������������������������������������0�1(!�&!�8!�:3

%( 0�1.(!(/!�.(!�&/!�.&!�8/!�.8!�8/!�.8!�:/3

%6 0�1.(!�(/!�.&!�&/!�.:!�:/3%& 0�1.&!�&/!�.&!�8/!�.8!�&/!�.8!�:/!�.:!�8/!�.:!�:/3

*�� �����������������������������������%(�����%6���������+�� �������%&���������������+�� �����������������.&!�8/���%�����.8!�&/���%!�����&��8���� �����.8!�:/���%�����.:!�8/���%!����8��:�

��� � ��#���%���������������������*����/

#�����0�1�(!��6!�E�!���!�E��!���!�EE�!����3���������+� ������������%�����������������������������������$��������� ����5����������������%�������������������������(!��6!�E�!���!�E��!���!�EE�!����������������

�.%/ 0�F�����G�����

����� ��� 0�( �� %

' �� %

� �

� �� �

� �����

�� �� �����5�6����������3

������������%�������������������5����������0�(���(������

��������� ������������ ����������������������� ����5��.%/�����(�

�� ��� �7����!�8���������3

������������%����������������� �������������0�������(������ ����(�������

���������������������������%����������������� ����������.%/�0�F��.%/G���������F�.%/G�

���������������������������������������� ����5��.%/�

�� ��� �!��3���6����������

������������%��������������������������������0�(������� �0�(!�������� �0�(�����(�������B�(����������(�� ����

���������������������������%���������������������������������������%6���%�� �����,������

�������!������F�.%/G6�������+C���!��������!�������.%/�����������+C����

#���%�������������������������������%��������������

#�� �.�!��/���%6 0�%�%�

��!��������5���������������������.�!��/���%�����.�!��/���%

�����.�!��/���% F�� %�������������G

���� .�! ��/ ��%6���.�!��/���%

��������� %6 ��%�

Page 65: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

� ��������������������������������������

��������!�������������%6���%�

#�� .�!��/���%�����.�!��/ ��%

������ ���� .�! ��/ ��%��%�0�%6

���� .�! ��/ ��%6���%

���� .�! ��/ ��%

����������%��������������

�� ��& ����9�����5�6����������3

������������%�������������������+����5����������0�'���(������

��������� ������������ ����������������������� ����5��.%/�����'�.C���/�

�� ��( �37����!�8���������3

������������%������������������ �������� ����0�(!����������0�'���������0�'�

�� ��+ ����9�7����!�8���������3

������������%�������������������+�� ��������������������������������0�'��������0�'���������0�(0������ ��������0����

�������������������������������������������0�1(!�&!�8!�:3

%( 0�1.(!�(/!�.(!�&/!�.(!�:/!�.&!�&/!�.&!�:/!�.8!�8/!�.8!�:/!�.:!�:/3

%6 0�1.(!�(/!�.(!�8/!�.(!�:/!�.&!�8/!�.&!�:/!�.8!�(/!�.8!�&/!�.:!�(/!�.:!�&/3

%& 0�1.(!�(/!�.(!�&/!�.(!�8/!�.(!�:/!�.&!�(/!�.&!�&/!�.&!�8/!�.&!�:/!�.8!�:/3

%7 0�1.(!�&/!�.(!�:/!�.&!�:/!�.8!�:/!�.:!�(/3

%8 0�1.(!�&/!�.&!�8/!�.8!�:/!�.:!�(/!�.:!�&/3

%9 0�1.(!(/!�.(!�:/!�.:!�8/!�.:!�&/!�.8!�&/3

%����������������������(!�&!�8!�:�������

�.%(/ 0�

( ( ' (' ( ' (' ' ( (' ' ' (

���

B �.%6/�0�

( ' ( (' ' ( (( ( ' '( ( ' '

���

B

�.%&/ 0�

( ( ( (( ( ( (' ' ' (' ' ' '

���

B �.%7/�0�

' ( ' (' ' ' (' ' ' (( ' ' '

���

B

�.%8/ 0�

' ( ' '' ' ( '' ' ' (( ( ' '

���

B �.%9/�0�

( ' ' (' ' ' '' ( ' '' ( ( '

���

B

*�� ���������� ����������������������������0�(�����.%(/���������0�'�����.%7/������.%8/������������������%(��������5�������������������������%7�����%8���������+����5���������

Page 66: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

������������� ��

F�.%6/G� 0�

( ' ( (' ' ( (( ( ' '( ( ' '

���

0��.%6/

��!�������������%6������ �����������F�.%(/G����.%(/!�����������������������%(�������

�� ��������� ���������������������������������������%&!�%7!�%8�����%9����������� ������

I�������.%(/!��.%6/!��.%&/������.%9/!������������������'!�����������������%(!�%6!�%&�����%9

����������� �����������.%7/�����������������0�'!������(7�0�(�0��7(��������������������������������� ��������������������������� ����������������������������������.%8/!�����0�'B��(6

0�(!��6(�0�'B��6&�0�(!��&6�0�'B��&7�0�(!��7&�0�'B��7(�0�(!��(7�0�'������76�0�(!��67�0�'������������������%8������� ������������

F�.%&/G6 0�

( ( ( (( ( ( (' ' ' (' ' ' '

( ( ( (( ( ( (' ' ' (' ' ' '

���

���

0�

6 6 6 &6 6 6 &' ' ' '' ' ' '

���

,��������������������!������F�.%&/G6�������+C���!��������!�������.%&/�����������+C�����������

��������%&�������������������������������������F�.%�/G6� �� �.%�/�������0�(!�6!�7!�8!�9����������

���������%(!�%6!�%7!�%8�����%9���������������������������������������������������������%9�������+�� ������

� �� � �:���������� �������

����������%��������������������������������������"�����������������������������������%�������5��!��� ��������������������

���������������������%�������������� ������������������0��!��������%���?���0��

%���5��?�*���� ��� %

��0 �5

���� ��� %��

�����%��������5���

�� �����?�����������%��

���� � 0��

���� � 0��

���� � %��

�����%������ ������

���������?�����������%���������%��

���� � 0���������0��

������ �������0��

���� � %��

�����%��������������

��!�������������%�������������� ������������������0����������"����������������

�� �� � ��!��

���%��������"����������������������������������!������%@(������������"����������������������������

Page 67: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

�� ��������������������������������������

�� ����#���%��������"�����������������������������������������%��������5��!��� �������������������

������������%�@�(��������"�����������������������������

%���5���? *����������

.�!��/ ��% F� %��������5��G

� .�!��/ ��%�@�(

��! .�!��/ ��%�@�(��������

�� �����?�������� .�!��/ ��%�@�(

� .�!��/ ��%

� .�!��/ ��% F�� %������ �����G

� .�!��/ ��%�@�(

���� %�@�(������ ������

���������?�������� .�!��/ ��%�@�(�����.�!��/���%�@�(

� .�!��/ ��%������.�!��/���%

���� .�!��/���%�����.�!��/ ��%

� .�! ��/ ��% F���%�������������G

� .�! ��/ ��%�@�(

���� %�@�(��������������

���������!�%�@�(��������"�����������������������������

� �� & #������������������

#���%���������������������������������������������������%���������������������������������������������%��������5��!�������������������+�� ������

���������������������%�������������� �����������������������������%���?�����

%���5��?�*���������%!�����

���� � %��

���� %��������5���

���������?����������������%���������%��

���� �������������

������ ���� ����

���� ��%��

�����%��������������

����+�� �����?����������������%���������%��

���� �������������

������ ���� ��0��

�����%��������+�� ������

��!�������������%�������������� �����������������������������������������������

�� &� � ��!��

#������������������%��������������������������������������%@(�����������������������������������

Page 68: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

������������� ��

�� ����#���%���������������������������������������������������������%��������5��!������������������+�� ������

D������ ? %@(���������������������������

%���5��? *����������

.�!��/ ��% F� %��������5��G

������ ���� .�!��/ ��%�@�(

�����%�@�(��������5���

���������?��������������.�!��/���%�@�(�����.��!��/���%�@�(

������ ����.�!��/���%�����.�!��/���%

���� .�! ��/ ��%�����.�!��/���%

������ ���� .�! ��/ ��% F� %�������������G

���� .�! ��/ ��%�@�(

���� %�@�(��������������

����+�� �����?��������������.�!��/���%�@�(�����.�!��/���%�@�(

������ ����.�!��/���%�����.�!��/���%

������ ���� � 0�� ��F� %��������+�� �����G

���� %�@�(��������+�� ������

����������%�@�(����������������������������������������

� �� ( ����������������

#���%���������������������������������������������������%�������������������������������������������%��������������������������������������������� ������!�����������������J��!���0��������K�������

���������������������%����>.9/����������������!�������>.9/�����������������������������������9�

��������� >.9/ 0�1(!�6!�&!�93��������%���?�����

���� �% 0�1.(!�(/!�.(!�6/!�.(!�&/!�.(!�9/!�.6!�6/!�.6!�&/!�.6!�9/!�.&!�&/!�.&!�9/!�.9!�9/3

��!�%��������5��!�������������������+�� ������������%������������������������������>.9/�

-�������������������������� ������!����������>.9/!��������������������������������������������������������%����>.9/�����������������������������������������

�������������������������%������0�1(!�6!�&!�E��!�('3������������������� �����������

���� ��%���? ������� ����������

%���5��? *����������

������� ����������

���� ��%��

�����%��������5���

���������?����������%���������%��

����������� ���������������������� ����������

� � 0�L(���������0�L6�C�����L(!�L6����B�L(!�L6��'

� � 0�L(L6��B�L(!�L6����B��L(L6��'

Page 69: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

�� ��������������������������������������

������������ ����������

�������%��

������%��������������

����+�� �����?�����������%���������%��

����������� ���������������������� ����������

� � 0�L(���������0�L6�������L(!�L6����B�L(!�L6��'

� � 0�L(L6��

� L(L6 0�(

� L( 0�L6�0�( F� L(!�L6��'�����L(!�L6����G

��!���0��!������%��������+�� ���������������������������������������������������� ������������������������������������

I���%�0�1.(!�(/!�.(!�6/!�.(!�&/!�.(!�7/!�.(!�8/!�.(!�9/!�.(!�:/!�.(!�;/!�.(!�</!�.(!�('/!�.6!�6/!�.6!�7/!�.6!�9/!.6!�;/!�.6!�('/!�.&!�&/!�.&!�9/!�.&!�</!�.7!�;/!�.8!�('/3

����������6�����8������������������������������������6��8����6���8��������������������6��������� ���������8������������%�����������������������������

��� + ��������%���������

���%��������������������������!��������������������������������%��������� �������������%�����������������������������%���������������������"�������������������������������

�� +� �����5�6�����3;!�

#���%�������������������������������������������������5�����������.%/��������������

.�/ ���.�!��/���%������.�!��/����.%/.��/ ��������!������.�!��/����.%/.���/ I��������������.%/������������������������� �.�/�����.��/�������������������������������������������0�16!�7!�9!�;3

% 0�1.6!�6/!�.6!�7/!�.9!�;/!�.9!�9/!�.9!�7/3

��������� �.%/ 0�1.6!�6/!�.6!�7/!�.9!�;/!�.9!�9/!�.9!�7/!�.7!�7/!�.;!�;/3

�� +��� �7����!�8����3;!�

#���%����������������������������������������������� ��������������.%/��������������

.�/ ���.�!��/���%������.�!��/����.%/.��/ ���.�!��/���%!������.�!��/����.%/.���/ I��������������.%/������������������������� �.�/�����.��/�������������������������������������������0�16!�7!�9!�;3

% 0�1.6!�6/!�.6!�7/!�.6!�9/!�.7!�6/!�.7!�9/!�.9!�7/!�.9!�;/!�.;!�6/3

�����������.%/�0�1.6!�6/!�.6!�7/!�.6!�9/!�.7!�6/!�.7!�9/!�.9!�7/!�.9!�;/!�.;!�6/!�.9!�6/!�.;!�9/!�.6!�;/3

�� +�� �!��3���6�����3;!�

#���%���������������������������������������������������������������.%/��������������

.�/ ���.�!��/���%������.�!��/����.%/

Page 70: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

������������� ��

.��/ ���.�!��/���%!�.�!��/���%������.�!��/����.%/.���/ I��������������.%/������������������������� �.�/�����.��/�������������������������������������������0�16!�7!�9!�;3

% 0�1.6!�6/!�.6!�7/!�.7!�9/!�.7!�;/!�.6!�;/3

�����������.%/�0�1.6!�6/!�.6!�7/!�.7!�9/!�.7!�;/!�.6!�;/!�.6!�9/3

��� , �:�����������������

#��������������� ���������%��������"����������������������*�������������!����������F�G����������"����������������������������������������%�����������

F�G 0�1������2���%��3

��������������"����������������%����������������������0�1(!�&!�8!�:!�<3���

%�0�1.(!�(/!�.(!�&/!�.(!�8/!�.&!�(/!�.&!�&/!�.&!�8/!�.8!�(/!�.8!�&/!�.8!�8/!�.:!�:/!�.:!�</!�.<!�:/!�.<!�</3

��!������"��������������������������

F(G 0�F&G�0�F8G�0�1(!�&!�83

F:G 0�F<G�0�1:!�<3

�� ,� � ��!��

#���%��������"��������������������������������+� ���������������!������������������ ��������������

.�/ ����F�G�����.��/��������F�G!������F�G�0�F�G�� ���#���%��������"��������������������������������+� ����������

.�/ #��������������������F�G�0�1������2���%��3���%��������5�������!����������%�������������F�G

.��/������������� � ��F�G

� � %�� F�������������G

� � %�� F� %������ �����G

#�������F�GB������� �������%��

��! ��%���������%��

������ �������%�� F� %�������������G

���� � ��F�G

��������� � ��F�G�������F�G������F�G���F�G ��.�/

�� ����!�#������F�G

������ ������%�� F�������������G

��! �%���������%���

� %�� F� %�������������G

���� ��F�G�

�������������F�G������F�G������F�G���F�G ��.��/

������������� ��"��������.�/�����.��/��������F�G�0�F�G�

Page 71: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

�� ��������������������������������������

�� ,�� � ��!��

#�������������+� ������������%��������"�������� ���������������� ������#��� �!� �� ��� ��������������� ����������������F�G�0�F�G�����������������%���

�� ���#���%��������"����������������������������!���������!������������ �������F�G�0�F�G�

D������ ������%���

���%��������5��!����������%��

���� � ��F�G

� � ��F�G�0�F�G

� � ���F�G

���� � %��

��������!����������������%��!

���� � %�� F� %������ �����G

D������ ��� F�G 0�F�G

#�������F�G������� ���� ��� %��

���� � %���������%��

������ ���� � %�� F� %�������������G

���� � ��F�G

��������������F�G�� ���������F�G!������F�G���F�G ��.�/

����� ����F�G������� ���� ��%��

���� ��%���������%��

������ ���� � %�� F� %�������������G

���� � ��F�G

��������������F�G�� ���������F�G������F�G���F�G ��.��/�������� ��"��������.�/�����.��/��������F�G�0�F�G�

�� ,�� � ��!��

#�������������+� ���� ��������%��������"�������� �������� ����!�#��� �!� ������������ ����"���������������F�G�����F�G�������������"���������)�����

�� ���#��������������� ������������%��������"������������������������������#����!������

���� ������������"���������������F�G�����F�G������������)����!������F�G���F�G���

������������5������������������� ���������F�G���F�G��

���� � ��F�G���F�G

���� � %���������%��

���� � %���������%�� F� %������ �����G

������ ���� � %�� F�� %�������������G

$���������������������� �&�(:�6�����������������F�G�0�F�G�����������������������������������"���������������F5G�����F�G���������������)���������"���

��� - #��������

#�������������+� ���������������������M��������������������1��3�������+� ������������������������������������������������

Page 72: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

������������� ��

.�/ ��

� �0������

.��/ ��������0�� ��� ������

��� ������������������������ ����� ��� �� ��������� ������+� �������)����� ������� ���������������������

���������������������������. ���&/����������������������������������������������������������"����������������������������������������"�������������������F'G!�F(G�����F6G��,����

F'G 0�1E�!�@�9!�@�&!�'!�&!�9!�<!�EE�3

F(G 0�1�E��!�@�8!�@�6!�(!�7!�:!�('!�E�3

F6G 0�1E��!�@�7!�@�(!�6!�8!�;!�((!�E��3

����������������F'G!�F(G�����F6G���������� ����������������������F'G���F(G���F6G�0��!�����F'G!�F(G����F6G���������+��������)�����������1F'G!�F(G!�F6G3���������������������

�������/�*#����

Example 1 ����������������������������������������������������������������������������� !�"�#

��������������

Solution : A������������������������������. ���8/

���� .��@��/���������������8

���� .��@��/ 0�8 B� ����

���� ��%���?�.��@��/ 0�8 B� ����

%���5��?�*������������������.��@��/�0�'

���� .��@��/ 0�8 B� �0�'����

���� ��%��

���� %��������5���

�� �����?����������������%��

���� .��@��/ 0�8

� .��@��/ 0�@�8

���� .��@��/ 0�8.@� /

���� � %��

��!���%���� �������%���

���� %������ ������

���������?����������������%���������%��

���� .��@��/ 0�8 (�����.��@��/�0�8 6�B� (!� 6����

� �.��@��/�=�.��@��/ 0�8�. (�=� 6/B�. (=� 6/����

� .��@��/ 0�8�. (�=� 6/

���� � %��

�����%��������������

��!�������������%�����������������������. ���8/��������"����������������

Example 2 ����"������������������������������������������"�����������$����������������"�%

&��������������%

Page 73: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

�� ��������������������������������������

Solution : #���%�������� ���������������������������������

#�� �!�� ��%�������%��

���%������ �����! ��%�� ����%��

��������%���������%�������%�� F� %�������������G

����������%��������5��!������������� ����������������

�������������5� ��?���0�1(!�6!�&!�7!�83

#���%������������������������������������

% 0�1.6!�&/!�.&!�7/!�.6!�7/!�.&!�6/!�.7!�&/!�.7!�6/!�.6!�6/!�.&!�&/!�.7!�7/3

,����� ��� �� ������ ���� ������������������ ����5�������������� ����� �������������� ���� ������������������������������������������������5���

Example 3 '�����������������������$�(�)*��+��,��-�����./�����������0������������������"��1����2�

3���������������������������������������������������������$���$��

Solution: A������0�1(!�6!�&!�7!�8!�93�����%���.�����/��������������%���?���������������������� ��

�����%�0�1.(!�(/!�.(!�6/!�.(!�&/!�.(!�7/!�.(!�8/!�.(!�9/!�.6!�(/!�.6!�&/!�.6!�8/!�.&!�(/!�.&!�6/!�.&!�7/!�.&!�8/!.7!�(/!�.7!�&/!�.7!�8/!�.8!�(/!�.8!�6/!�.8!�&/!�.8!�7/!�.8!�9/!�.9!�(/!�.9!�8/3

��������������������� �������������������

Example 4 4��"�����������������������������$������������������������������5�*�(���

Solution: �����������������������%����������������� �������D������ ����%�@�(�0�%�

#�� .�!��/ ��%�@�(

� .�!��/ ��%

� .�!��/ ��% F� %������ �����G

���� .�!��/ ��%�@�(���.�!��/���%

���� %�@�( ��% ����.�/

����� ���.�!��/ ��%

� .�!��/ ��% F� %������ �����G

� .�!��/ ��%�@�(

���� .�!��/ ��%���.�!��/���%�@�(

���� % ��%�@�( ���.��/

Page 74: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

������������� �

$����������� % 0�%�@�(

��������!��������������%0�%�@�(��

D������ ���%����������� ������

#���.�!��/���%���.�!��/���%�@�(�0�%

�����%������ ������

Example 5 '���6���������������������!�����!������������������������6�����������������������

����������7�,��(�*+��8�����������������������������������"�����������������������������������"��

Solution: #���%�����������������I�����������

��%��?���=�&� 0�(6

%���5��?����� ���������=�&��0�(6�������0���

������ ���� �7� 0�(6

���� � 0�&

�������%���������0�&�����

���� �� �%������ ��I

$�����%������������5���

�� �����?����� ������ ��%��

���� ��=�&� 0�(6

������=�&�� ������ ��������"������(6�

���� �� �% ���

$�����%���������� ������

���������?����� ���������%���������%���

���� ��=�&� 0�(6�������=�&��0�(6

���������������������0���0���0�&���I

���� ��=�&� 0�(6

���� � %��

��!�%��������������

Example 6 3�������������������������$�(�)*��+��,��-���/���"�������(�)�*��,����*��+����+��+����,��-�/�

������������"�����!����������������!���������������"�����!�����������������"�������$�

Solution: A������0�1(!�6!�&!�7!�83����������������

% 0�1.(!�&/!�.(!�6/!�.6!�6/!�.&!�7/3�

��������� ��.%/ 0�1.(!�&/!.(!�6/!�.(!�(/!�.6!�6/!�.&!�&/!.&!�7/!�.7!�7/!.8!�8/3

�.%/ 0�1.(!�&/!.(!�6/!�.6!�6/!.&!�7/!�.&!�(/!�.6!�(/!.7!�&/3

�.%/ 0�1.(!�&/!.(!�6/!�.6!�6/!�.&!�7/!�.(!�7/3

Example 7 �'���6���������������������!�����!������������������������6�����������������������

����������7���(�*9��������������������������!�����������������"��������������"��

Solution: #���%�����������������I�����������

��%���?���=�� 0�(;

%���5��?����� ���������=���0�(;�������0��

� 6� 0�(;

� � 0�<

�������%���������0�<��������!�%������������5���

Page 75: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

� ��������������������������������������

�� �����?����������������%��

���� ��=�� 0�(;

� ��=�� 0�(;

���� ���%��� �����%������ ������

���������?����� ���������%���������%��

���� ���=�� 0�(;�������=���0�(;

������.��=��/� ������ ��������"������(;�

*����5� ��������0�7!���0�(7�������0�7��$������������.��=��/�0�(;�����.��=��/�0�(;!����.��=��/�0�;��(;

������������ �% ��!������%������������������

Example 8 $����������������������� ���� ���� ������!�����!�����6��������� ������������ ��

��������:�;������������6�������� !�"���������������

Solution: A����%�����������������I�����������

��%���?�.����/ K�'������!�����I

%���5��?�*���������I�������

.����/�0��6 K�'

�������%��� �����%��������5���

�� �����?����������������%��

� .����/ �K�'

� .����/ K�'

���� � %��

�����%������ ������

���������?����������������%���������%��

���� .����/�K�'�����.����/ K�'

������ ���� .����/�.����/ K�'

���� �.����/��6 K�'

����6�K�'�����������I��������.����/�K�'�

���� � %��

$�������%���������%�������%��

�����%��������������

���������!�������������%����I������������.����/�K�'��������"����������������

Example 9 '���$�(�)+��-��.��9/<�=�(�)*�����>��?/�����'�����������������������$����=�����������

����������������������������3����������������������������"�����������������������

Solution: A�����������0�16!�7!�9!�;3B�-�0�1(!�8!�:!�<3�����%����������������� ������-�������������%����������������������

���������!�%�0�1.6!�8/!�.6!�:/!�.6!�</!�.7!�8/!�.7!�:/!�.7!�</!�.9!�:/!�.9!�</!�.;!�</3

����!�>.%/�0�16!�7!�9!�;3B�%.%/�0�18!�:!�<3�����%@(�0�1.8!�6/!�.:!�6/!�.<!�6/!�.8!�7/!�.:!�7/!�.<!�7/!�.:!9/!�.<!�9/!�.<!�;/3

Example 10 '����������������������������������������������������������������!���������������

�����������������������������������������"�����������"��!���������������

Page 76: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

������������� ��

Solution: ���������������� �����������������

��������� ����� ���������

������������ ����������������

� ���

���� � ����

�������������������

������������� ���������������������

���� � ������������

������������ � ���

���� � ���

�������������������

�������������� ������������

���� � ���

��������������� �� ��

���� � ��������������� �����������

����� ���������� ������������������������������������������������ �����������

Example 11 ���� �� ������ ������ �� ������������ ��������� ��������� ��� �� ��� ��������� ����

Solution: ������������� �����������������

��������� ����� ���������

������������ ����������������

� ���

���� �������

�������������������

�������������� ���������������������

���� � ������������

������������ � ���

���� � ���

�������������������

!���"�������������� ���������������������

���� ����� ��������

���������������#��

�������������"���������

����� ���������� �� ������������������� ����������������������������"����������� ���������������� ������� ��

Example 12 ��������������� ��������������������������� ����������������!���"����#� ��������$�����%��&����������������

$ % ����������������� ��� $�% ����������������� ����&�'

$'% ( ���� ��� $�% ��)�� ���$�% ��)�� ����&�' $�% ( ���� ����&�'

*���+������ ���� ��������,���� ��)�� ����&�'�����)�� ��������,���� �� ���� ����&�'�

Page 77: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

�� ��������������������������������������

Solution:� ���!�#�-'��.��/��0��12������#�-$����%�����3���4�����5�6��������!2$ % ��#�-$'��'%��$'��.%��$'��/%��$'��0%��$'��1%��$.��'%��$.��.%��$.��/%��$.��0%��$/��'%��$/��.%��$/��/%��$0��'%��$0�

.%��$1��'%2$�% ��&�'�#�-$'��'%��$.��'%��$/��'%��$0��'%��$1��'%��$'��.%��$.��.%��$/��.%��$0��.%��$'��/%��$.��/%��$/��/%��$'��0%�

$.��0%��$'��1%2$'% ( ���� ��� ���� ($�% #�-'��.��/��0��12$�% ��)�� ��� ���� �$�% #�-'��.��/��0��12$�% ��)�� ����&�' ���� �$��&�'% #�-'��.��/��0��12$�% ( ���� ����&�' ���� ($��&�'% #�-'��.��/��0��12

� ���������������������($��%�#��$��&�'%�����$�%�#�($��&�'%�

Example 13 (������� ���� ������������������� � ����)��"����#��"����#��"����#��"����#��"����# �*� +���������� ��������������,�����++����'� ����� �����,������������������ ����+ �����

Solution: ������ ���� ���� ���� ����#� -$'�� /%�� $'�� 0%�� $.�� .%�� $/�� /%�� $0�� '%2���������� � � ��� ����)�'��.��/��0����)��

7$�% #�

8 8 ' '8 ' 8 88 8 ' 8' 8 8 8

���

���

� ������� ����������������������+''���'����+00���'��� ���������� �������� �����������!)��������� �����������������

97$�%:� #�

8 8 8 '8 ' 8 8' 8 ' 8' 8 8 8

���

���

��7$�%

!�� �������

97$�%:. #�

8 8 ' '8 ' 8 88 8 ' 8' 8 8 8

���

���

8 8 ' '8 ' 8 88 8 ' 8' 8 8 8

���

���

#�

' 8 ' 88 ' 8 88 8 ' 88 8 ' '

���

���

� �������������������������'��� �����'���� �������������97$�%:.����� �";� �����������'��� �����'���� �������������7$�%����;� ������� ���������� �������� �����������<������������� ������������������������ ����������������������

Example 14 ����-�)��������������� .�/�)�� �����'��� � ���(�)��������0���%���� ��(������������ ����������+�-���/� ��������+�/���(� �����)��"��� #��"����#��"���'#��"����#��"����#��"����# � �����)��" ���#��"����#��"���0#��"�����# ��&�������'+���������������������������� ����+ �����

Solution:� ���!�#�-'��.��/��0��126�=�#�- �����'���2����*�#�-'��0��>��'5��.12���������'���$!���=%����.���$=���*%�����

�' #�-$'�� %��$'���%��$.��'%��$.���%��$/���%��$1���%2

�� ����. #�-$ ��'%��$���0%��$���>%��$���.1%2�

����� �����)��

7$�'% #�

' ' 8 88 8 ' '8 ' 8 88 8 8 88 8 8 '

����

����

���7$�.%�#�

' 8 8 8 88 8 ' 8 88 8 8 8 88 ' 8 8 '

���

���

� � 7$�'�.% #�7$�'%7$�.%

Page 78: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

������������� ��

#��

' ' 8 88 8 ' '8 ' 8 88 8 8 88 8 8 '

����

����

' 8 8 8 88 8 ' 8 88 8 8 8 88 ' 8 8 '

���

���

#�

' 8 ' 8 88 ' 8 8 '8 8 ' 8 88 8 8 8 88 ' 8 8 '

����

����

������'�.�#�-$'��'%��$'��>%��$.��0%��$.��.1%��$/��>%��$1��0%��$1��.1%2

Example 15 ������� ��������������� ������������������ ���,��������)�"����#��"����#��"����#�"����# ������)��"����#��"����#��"����#��"����#��"����# ������������+������������ ������������� �������������

Solution: �������'�����.�������� ��� ��-'��.��/��02��

�'�#�-$'��'%��$'��.%��$/��0%��$0��.%2�����.�#-$'��'%��$.��'%��$/��'%��$0��0%��$.��.%2���������� ���� ����)�-'��.��/��02�������

7$�'% #�

' ' 8 88 8 8 88 8 8 '8 ' 8 8

���

���

���7$�.%�#�

' 8 8 8' ' 8 8' 8 8 88 8 8 '

���

���

����� ��7$�'�.%�#�7$�'%�7$�.%

#�

' ' 8 88 8 8 88 8 8 '8 ' 8 8

���

���

' 8 8 8' ' 8 8' 8 8 88 8 8 '

���

���

#�

. ' 8 88 8 8 88 8 8 '' ' 8 8

���

���

�������)����� �";� �����������'����7$�'�.%��������7$�'�.%�#�

' ' 8 88 8 8 88 8 8 '' ' 8 8

���

���

���� �'�. #�-$'��'%��$'��.%��$/��0%��$0��'%��$0��.%2

�������� 7$�.�'% #�7$�.%�7$�'%

#�

' 8 8 8' ' 8 8' 8 8 88 8 8 '

���

���

' ' 8 88 8 8 88 8 8 '8 ' 8 8

���

���

#�

' ' 8 8' ' 8 8' ' 8 88 ' 8 8

���

���

���� �.�' #�-$'��'%��$'��.%��$.��'%��$.��.%��$/��'%��$/��.%��$0��.%2

����� � �'�. ���.�'Example 16 ��������������� ��������������������������� ����������������!���"����#� ��������)���1����&������������+������� ����+ ������(�'2������� �����������++����'� ������������,��

Solution:� �� ! #�-'��.��/��0��12

�� �� #�-$����%����#���&�'��������!2

���� � #�-$'��.%��$.��/%��$/��0%��$0��1%2

��������� ����� ����)�-'��.��/��0��12�������

7$�% #�

8 ' 8 8 88 8 ' 8 88 8 8 ' 88 8 8 8 '8 8 8 8 8

����

����

Page 79: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

�� ��������������������������������������

? �� 97$�%:� #�

8 8 8 8 8' 8 8 8 88 ' 8 8 88 8 ' 8 88 8 8 ' 8

����

����

���7$�%

� �������� �������������������������������������������+���#�8�� ����'�����#�1������� ���������������������� �����������

Example 17 ������ ���������������������� �������-�)�����������% ����)��"����#��"����#��"���%#�"����#��"����# � �����)��"����#��"����#��"���%#��"%���#��"%���# ��&����"�����#'� ������

Solution: ��������#�-$.��0%��$.��1%��$.��5%��$0��.%��$0��0%2������#�-$1��0%��$1��1%��$1��5%��$5��.%��$5��0%2

$�% $����%�#�-$.��0%��$.��1%��$.��5%��$0��.%��$0��0%��$1��0%��$1��1%��$1��5%��$5��.%��$5��0%2�������������$����%'�#�-$.��.%��$0��1%��$0��5%��$1��.%��$5��1%��$5��5%2

$��% ��������� ����� ����)�.��0��1��5�������

7$�% #�

8 ' ' '' ' 8 88 8 8 88 8 8 8

���

���

� � �7$�.% #�7$�%�7$�%

#�

8 ' ' '' ' 8 88 8 8 88 8 8 8

���

���

8 ' ' '' ' 8 88 8 8 88 8 8 8

���

���

#�

' ' 8 8' . ' '8 8 8 88 8 8 8

���

���

�������)����� �";� �����������'����7$�.%����)��

7$�.% #�

' ' 8 8' ' ' '8 8 8 88 8 8 8

���

���

� � �. #�-$.��.%��$.��0%��$0��.%��$0��0%��$0��1%��$0��5%2

Example 18 ��������������� ��������������������������% ����������������!���"����#� ��������$����������&���������� �������-������������������,�����++����'� ����� �����,��'��!�������

Solution:� ���!�#�-.��/��0��1��52������#�-$����%����������4�.����'.6��������!2�������#�-$.��.%��$.��/%��$.��0%��$.��1%��$/��.%��$/��/%��$/��0%��$0��.%��$0��/%��$0��0%��$1��.%��$1��/%��$5��.%��$5��/%2

��������������� ���� ����������$�%�#�-$.��.%��$.��/%��$.��0%��$.��1%��$/��.%��$/��/%��$/��0%��$0��.%��$0��/%�$0��0%��$1��.%��$1��/%��$1��1%��$5��.%��$5��/%��$5��5%2

��������������� ���� ����������"�%�#�-$.��.%��$.��/%��$.��0%��$.��1%��$.��5%��$/��.%��$/��/%��$/��0%�$/��1%��$/��5%��$0��.%��$0��/%��$0��0%��$1��.%��$1��/%��$5��.%��$5��/%2

��������������� ���� ����������$�%�#�-$.��.%��$.��/%��$.��0%��$.��1%��$/��.%��$/��/%��$/��0%��$0��.%�$0��/%��$0��0%��$1��.%��$1��/%��$5��.%��$5��/%��$/��1%��$0��1%��$1��0%��$1��1%��$5��0%��$5��1%2

Example 19 ��������������� �������������������3������������"��1��#���� ���,������������4�,�� ������� ���5!�, ���'����� ���� ��������������6�����5!�, ���'��'� �����

Solution: ���������������� �������������)����������������$��&� �%���������������)��� ����$��&��%�����������������.�

������������ �����������������$��&��%�#�8

���� $��&��% #�.26�2�#�8����

���� ����� ������

Page 80: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

������������� ��

�������������������

�������������� ������������

�����$��&��%�����������������.

���� $��&��% #�.26�2����

� $��&��% #�.$�&�2%6�&�2���

���� �����

�������������������

�������������� ���������������������

����$��&��%����$��&��%������������)��

���� $��&��% #�.2'����$��&��%�#�.2. 6�2'��2.������

� $��&��%�4�$��&��% #�.$2'�4�2.%6�$2'�4�2.%����

���� $��&��%���������������)��

���� �����

�������������������

����� ���������� ���� ���������������$��&��%�������������)��������,������������� ���������@ �����,�����������������

98: #�-A�����&�0��&�.��8��.��0��5��A��2

9': #�-A�����&�/��&�'��'��/��1��B��A���2

Example 20 ���������� ���� ���������������-�)��������������7��0 � ����)��"����#��"����#��"����#��"��7#��"����#��"����#��"����#��"���7#��"����#��"����#��"����#��"���7#��"7���#��"7���#��"7���#��"7��7#��"0��0#��"����# ��&������� ����������-�� ����������5!�, ���'����� ������

Solution: ������!�#�-'��.��/��1��B��>2���

��#�-$'��'%��$'��/%��$'��1%��$'��B%��$/��'%��$/��/%��$/��1%��$/��B%��$1��'%��$1��/%��$1��1%��$1��B%��$B��'%��$B��/%�$B��1%��$B��B%��$>��>%��$.��.%2

�������@ �����,�����������������

9': #�-'��/��1��B26�9>:�#�->2����9.:�#�-.2�

C��� ����

$�% ���������9':��9.:����9>:���� �"�����$��% 9':���9.:�#� 6�9':��9>:�#� ����9.:��9>:�#� $���% 9':��9.:��9>:�#�!<�����-�9':��9.:��9>:2���������� �� ��!�

Example 21 &��������!+��������� �������+��������-����������/����8-8)�+� ��8/8)���

Solution:�������3!3�#�+����3=3#��

����� ��3!���=3�#�+��

!����� ����� ����������!�� ���������=������������ ��$!���=%��� ������������ ���������� �$!���=%�����,���� �.�+�������� ��� ��������� ������ ���� ����������!�� ���������=����.�+��

�����������

�� ���!�#�-���5������2����������������������� �� ��!��D����� ����������� ��������� �������������������)����������� ������������������ ��������������,������������ ��

Page 81: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

�� ��������������������������������������

�� ���!�#�-'��.��/��0��12����=�#�-'��.��0��5��B2��������������� ��� ��!�� �=�����������$ % ��������� $�% ��������$'% �����������,���� $�% ����������,���� $�% E,���� �

�� � ������ ���? ��.���������������� ���������)��� ������ �������������� � ������ ���? ��.�������������������������� ��������� ������� ���������� F ��������������� ��������� �$/%� ���������� ������)���G�������,������������� ���� �������������� ������� ����������

$ % ������������������������� �����������$�% ������������������������� �����������$'% ������������������������ ������������$�% ��������������� �����������������������$�% �������������� ������������������������$�% �������������� ������������������������$�% ?����������������� ����������������������$% ��������������������������������$�% ������������!���"���������$6% !���"�������������� ������������

�� F ��������������� �� ���������� ��������������?�������������������������� ��������������������������������������������� �����������

� * �������������� ����'�����.� ��- �����'������2����'�#�-$ ���%��$ ��'%��$����%��$'���%��$'��'%�$'���%2�����.�#�-$ �� %��$ ���%��$����%��$����%��$����%��$���'%2������������������������������������������� ����� ���'�����.�

D��������� �� ���)����� ����������$ % �'�#�-$'��'%��$.��0%��$/��>%��$0��'5%��$5��/5%��$B��0>%2$�% �.�#�-$.��1%��$1��H%��$H��''%��$''��'0%2$'% �/�#�-$H���%��$'���%��$0��%��$'��,%��$0���%��$8��!%2$�% �0�#�-$=���* �������%��$7�)���7��%��$������7��%2

��� ���������������� ���������������������?������������$ �&��%�����������������H���� �������������,������������� ��

��� ��� ������������ ���������������E��������������������������������� ����� ������������'����.������� ��������'����������� ��.���� ��������������,������������� ��

��� D��������� �� ���)����� ���������� �� �������

$ %

(��9 ���� �

4��'�����!����

* �� � 11����� � 58D ��� 18���� 01

$�%

: +�� (!����!���� * ������������� 7�������� * �������!��� *�������!���� E� � ����

$'%

:!+��� �5! ���

1 .1

0 '5

/ >

. 0

' '

$�%

-�� ��� :!+���

'

+

'

/

1

.5

'/

Page 82: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

������������� ��

��� ���!�#�-1��5��B��H��>26�=�#�-������������5���26�*�#�-1��B��.1��/5��H'2���������'�#�-$1���%��$1���%�$5���%��$B���%��$>���%��$>���%2�����.�#�-�$���.1%��$���H'%��$���/5%��$���B%��$���1%2������������ �� ��"�� ���'�.��������������� ������ �������

���� � ��������� ���� ����������-1��5��B���H��>2��������������������$����%������4�.�����.8����������� �� ���)��$ % E�������� ��� $�% E�������� ����&�'

$'% ( ���� ��� $�% ��)�� ������ �����#�-'��.��/��0��12������������������ ������������������$����%����$��&��%����������

���������������������� �� ���)��$ % E�������� ��� $�% ����������� �� ���$'% ( ���� ��� $�% ��)�� ����&�'�

��� ������������� ���������� ������������#�-'��.��/��0��12���������$����%�����.�4��.���'5������������������������������������������� ����� ����

��� ������������� �� ��- �����'���2�������������#�-$ �� %��$ ���%��$ ��'%��$��� %��$����%��$���'%�$'�� %�� $'�� �%�� $'�� '%�� $��� �%2���� �������������� ���� ������,������������� ������)���� �������

�� ���?������������ ������������������(����������� �������?���������������� ������$��&��%�#�/0���� ��������������"���������

�� ������������� ������������������!���=������� �������!���=���� ���������������� ������� ��

��� ����� ���� � �� ���)� ���� ��� ��?� � � ����)� ���������� ��������� ��� ���������� ���������?�

�$ % ��4���������� $�%�

������� ��� ��.�

$'% ��4�����.8��� E����������� �� ���)����� ��� ���������� ������)������ ������ ������� ���� ��

$����%����������� ������$ % ��#�� $�% �����$'% ��#��. $�% ��I���

��� ����'�����.�������� ��� ��������������� ������$�'���.%����������������� ����'�����.�����������

���� ����'���������"������������� �� �������������F ��������&'������ ������"������"

������� �� ���������������� �� ����������'�����.����������������� ��� �������!�������$�'���.%����� �����������

��������� ��!����� ����������,����������������������������������,������������� ���� ��G�����������

����������� ������� ������ ��$1%�� � ������G����� �+��������� ������� �� ���)����� ��� ����

$ % �.�4��.�I�.1 $�% �.�4�0�.�#�'5$'% �.�&�0�.�#�'5 $�% /��4�.����5

��� ������������� ��������������������?������������ ����������� �������; ������������� ���J�� � ������?��E����������� ������� ��� ������������������������"������������������������"���������

Page 83: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

�� ��������������������������������������

�� ������������� ��������������������?������������������������ �������K�.�#��.J�� �������?��E����������� ������� ��� ������������������������"�������������������������� ���

�� ���!������������ ��� ��;� �����)���������������� �����!������������$ ���%���$'���%������ ������� �4���#���4�'��F ���������������,������������� ��

��� ���!������������ ��� �";� �����)���������������� �����!������������$ ���%���$'���%������ ������� ��#��'���� ��������������,������������� ��

Page 84: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

���� ���������

����������������� ������������������������������������������������������������������� ������������������������ ��������������������� �������������

�� ���������������������� ������ �������������� ����������!"#$#�%"&"#'��(����� ������)��������� ���� ������������������������*����� �+����������������������������������������,�����������������������������

*����� ����������������������������������� �������� )����������������-���������.���������� �����)���������������������

!*��������/����'

���������������")��������������������0�����������������"

-)�������������������$����������������

"1)��������������������!"1���-�2�.'�3�-.��(������� �������������������������������)�����4)�������������������!-��2�.'������ ���������������������������� ��������������������4���!�)�-��2�.'������������������� �� ���������(����������������������������

��� �������

����������5����������������������� �������� ��� ���������������������5����������������������������������������������������������������

!�' /! � '�3�� ���!��' ���!�")��"'���������!�6)��6'�����������"�3��6�

��������

Page 85: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

�� ������������� ���������� ��������������

������� ��� ���� ����������� ���������������������5����������������������������� ������������ �� �������� ���7������8���������� �� ���5���� ��������� � �������5� �� ������������������9�����5�

*����� ��������������� ��������� �����������3�:")�6)�.)�$;�����������5�3�:")�$)�#)�<)�"#)�"0;�

�" 3�:!")�"')�!6)�#')�!$)�<')�!$)�"0';

�6 3�:!")�"')�!6)�#')�!.)�<')�!$)�<')�!$)�"#';

�. 3�:!")�"')�!6)�$')�!.)�<')�!$)�"#';

��� �$ 3�:!")�"')�!6)�$')�!.)�<')�!$)�<';=��)�/!�"'�3�:")�6)�$;������(�� ��� ���"������������������� ���������������������5��>� ���

/!�6'�3�:")�6)�.)�$;�3��?�����!$)�<'����6�����!$)�"#'����6������<���"#��(����������6����������������������� ���������������������5�

������/!�.'�3�:")�6)�.)�$;�3��������� ���� ������������������ ���7������8�������5��(�� ��� ��.��������������� ���������������������5��+���� ����$�������������������(���� ������� �� ��������������

������> ����������������������������� ����������������������������� ��������� ��������������

1

Page 86: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

�������� ��

�� � ���������������������������������

+���������������������������� ���������������������5��(����������������������������������������������� �����������5�����������������������������������������

*����� ����������������� �����������3�:�)��)��)��;�����������5�3�:")�6)�.)�$;��

� 3�:!��"')�!�)�6')�!�)�6')�!�)�$';

(�� ��� �)������������3�:�)��)��)��;�������������������3�:")�6)�.)�$;������/!�'�3�:�)��)��)��;����*����������3�:")�6)�.)�$;�

�� �� �������������������

���� �� ��� �� ��������� � �� ���� ����� ��� ���� ���5�� (��� ������� ���� 5������� ���� ������������������������������������������������������������� ������������������������������� ���> �������������������������������������� ��������������������������������8�����������5�(�� ��� ������ ���������������������9�����5���������������������������������������������������)

4�!�'�� � ���!�' 3�:��3�� !�'�9������;

��������� ������4�!�'���5�

*����� �������������� ��� ����3�:�)��)��;����5�3�:")�.)�-)�&)�<;��� ��3�:!�)�.')�!�)�-')�!�)�-';�(�� ��� ��4!�'�3�:.)�-;�

��� ���� ��!����������"

������������ ������������ �������5)������������ �������������8�����������3����������������������������������

!�' /!�'�3�/!�' �!�' 4!�'�3�4!�'!�' �!�'����!�'����������*����� ��!�'�3�.�6�2�#�9�4���4������!�'�3�.�6�2�#�9�*���*)���� ��4�����*�� ������������ ���

���� � ���� �����7� ���� � ������������=��� ��� �� ���� � �����/! � '� ��/!�'�� (�� ��� ��!�'����!�'�

������������ ���3�:")�6)�.)�$;?�5�3�:")�6)�&)�0)�"&)�"0)�.")�.6;��������������������9�����5�������������3�:!")�6')�!6)�0')�!.)�"0')�!$)�.6';��*����� ������� ������������9�����=�������������!�'�3�6�6�=������������ ������/!� '�3�:")�6)�.)�$;�������!"'�3�6)��!6'�3�0)��!.'�3�"0)��!$'�3�.6��+���� ���/!�'3���3�:")�6)�.)�$;�������!"'�3�6)��!6'�3�0)��!.'�3�"0)��!$'�3�.6��(�� ��� �)�������

!�' /!�'�3�:")�6)�.)�$;�3�/!�' !�' 4! �'�3�:6)�0)�"0)�.6;�3�4!�'����!�' �!�'�3��!�'�������:")�6)�.)�$;�(������������������ ���8������������3���

��# �!$�"����������

�������������������������������� ���������������������

��#� ��������������

�������������9�����5�������������������%�������������� ���@�����������!�"'�3��!�6 )�������"�3��6�� ��")��6�����������"����6����!�"'����!�6'

*����� ��������������9�A���A�������������!�'�3�$��2�.?�����A�

Page 87: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

�� ������������� ���������� ��������������

+������������!�"'�3��!�6'��� ��")��6���A�

� $�"�2�. 3�$�6�2�.

� $�" 3�$�6� �" 3��6

�� �!�"'�3��!�6'����"�3��6���+�)��!�'�3�!$��2�.'�9�A���A�����������

*����� ������� ������������9�4���4�������������!�'�3��6?�����4��+������������!�"'�3��!�6'

� �"6 3��6

6

� �" 3����6� �" ���6

�����!�"'�3��!�6'����"����6��������������� �������!"'�3�"�3��!%�"'?�����"���%�"��(�� ��� ���!�'�3��6�9

4���4?�����4���������������

��#�� ������������

������������9�����5������������������������������� �+� @������������ ���� ������5���� ���7�������������������������������������!�'�3���

������� ��� ���������������9�����5����������������������������������!�'�3�5������ ������������8���������������������

*����� ������������� 9�A���A�������������!�'�3�$��2�.)�����A��(������ ���� �����������������

A���� ���7�����3�� � .

$��������������������A��(�� ��� ���!�'�3�$��2�.��������������������

��#�# ������������������

�������������9�����5��������������������������������������� �5�@��������������������������������������������

*����� ��������������9�A���A�������������!�'�3�$��2�.)�����A��> ���������������������������� �������!�'�3�$��2�.)�����A����������������������������

��#�� �������������

����������� ��9�����5����������������������������������� ������������� ����5���� ���7����������������������������!�'�3����������� ��� �

�������������9�����5����������������������������������!�'�5)������ ��������������� ��� ����������������������

*����� ��������������9�A���4�������������!�'�3���2�$)�����A��,�������������� �������� ���3� . ���4

��� ���7���������������3� . �%�$���A��(�� ��� �)��!�'�3���2�$�9�A���4��������������������

���� %��$&����������

��������������������� �������5)������� ���� ����������� ���7������8�������5������������3��!�'�>� ��� ���������������������������������������)�����������7� �����

� �3�:!�)��!�''�9������;�

(��� �� ������������������������� �����������������������

*����� ���������������"�9�4���4�������������"!�'�3���2�"?����

Page 88: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

�������� ��

�6�9�4���:%�6)�6;�������������6!�'�3�% 6 ��

��

���

1

6 1

(���� ����������������������� ��������������

=��������� ����� ���������"�9�B%�$)�$�C���B�%�$)�$C������������B�"!�'C6�3�"#�%��6?�����B%�$)�$C����

�6�9�4���4������������B�6!�'C6�3�"#�?�����4��(���� ������������� ��������� ��������������

(����� ������������������ ���������� ������ ������������D�� ��������� ��%�")���3��"!�'����������� ��%�6)���3��6!�'�

> ������� ������������� �������� �������������������������������������������������������� ���������,���������� ��������� ���������������

Page 89: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

�� ������������� ���������� ��������������

���' �($"��������������"

��������������������� ���������������������5���������������������� ���������5�����������*�(����������������������������������������������������!������'�� �����(����������������� ��������������������*����������������������������������������8���������������������

������������������ ���������������������5)�������� ���� ����������� ���7������8�������5�����������3��!�'��+���� ������������������� ���������5�����������*)�������� ���� ������5��� ���7������8�������*������������3��!�'��������!�������'��������������� ���������������������*)��������� !�����'�!�' 3����� �����������

��� !�����'�!�' 3��!�'

��� !�����'�!�' 3���!�!�''

*����� ��������������� !�'�3�6��2�-������!�'�3�.��

(�� ��� ��!�����'�!�'�3���!�!�''

3���!6��2�-'

3�.�!6��2�-'

��� !�����'�!�' 3�#��2�"-

+���� ��) !�����'�!�' 3���!�!�''

3���!.�'

Page 90: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

�������� ��

3�6!.�'�2�-

��� !�����'�!�' 3�#��2�-

��'� �)��*��

������9�����5�������9�5���*������������������(����!������'���������������������������� �������������!������'������������������������� �������

�������������9�����5�������9�5���*������������������+��������������������� ��������������������5)�������� ���� ����������� ���7������8�������5������������3��!�'��+���� ������������������ ���������5�����������*)�������� ���� ������5���� ���7������8�������*������������3��!�'�

+������������������� ������������������ ��������!�����'������������+�������9�����5������9�5���*���������!�����'�9�����*�

�����")��6���������!�����'�!�"'�3�!�����'�!�6'

(�������� �!���!�"'�' 3���!��!�6''

��� ��!�"' 3��!�6' B� �����������C

��� �" 3��6 B�������������C

(�� ��� ���!��!�"''�3��!��!�6''��������"�3��6��+��!�����'�����������

+���������������� ��������� ��������+�������������)��� ���� ������*���� �������������������5������������!�'�3��������������������)��� ���� ������5���� ���7������������������������������!�'�3���

���� ������� ���� ������*���� �������������������������������!������'�!�'�3����(�� ��� �!������'��������

��'�� �)��*��

�����9�����5?���9�5���*�������9�*���/)����������!������'�3�!������'����)��������������������������������������������������

����������� ��9�����5)���9�5���*�������9�*���/������ �������������+�)�!�� ����'�9�����*�(�� ��� ������!������'�9�����/�

>� ��� �!�����'�9�5���/��+�)�!������'�����9�����/��(�� ��� �����������!������'�����!������'������ ����������� ������/�

+�������9�����5)�������� ���� ����������� ���7������8�������5�����������!�'�3����>� ��� ��9�5���*)�������� ���� ������5���� ���7������8�������*�����������!�'�3������������9�*���/)������� ���� ������*���� ���7������8�������/�����������!�'�3���

(��� �����!�����'�!�' 3���!������!�''

3���!��!��!�'�''

3���!��!�'�'�3���!�'�3���

>� ��� ) !�����'�����!�' 3�!������'!��!�''

3�!�����'�!�'

3���!��!�'�'�3���!�'�3���

(�� ��� ���� �������������������!�����'��!�'�3�!�����'�����!�'��� �������������������!�����'�3�!�����'�����

Page 91: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

�� ������������� ���������� ��������������

���+ ��,��"���������

������9�����5��������@�����������������(������������ ������)�������%�"���������������� ��5������+��������������������� �������5)��� ���� �������)���� ���7������8�������5������������!�'�3���

+�������%�"�9�5������� ���� ������5���� ���7������8��������������������%�"!�'�3��) ������%��"!��!�''3���

��+� �)��*��

�����9�����5�����@������)����������������������������� ���������

�������+�������������9�����5���������@���������������������� ��������)�����!�'��������������������������!��'��������������������������� �!���'����������� ����������� ������

*���!�'�+������������������������������������

�� ��������)����� ���� ���"���5���� ���7��������������� �"�������������� �!�"'�3� �"����4!�'�3�5�����������������������������������"����6)��"�)��6������������"�3��!�"'�3��!�6'�3��6�

+�������%�"�9�5����)���/!��%�"'�3�4�!� '�3�5)����/!��%�"'�3�5�������!�")��"')�!�6)��6'����������!�")��"')�!�6)��6'�����%�"�������"����6����"�3��6��,�������%�"�����������������������

*���!��'+������������������������������������

��������������)����� ��������������"���5���� ���7�������"���������������!�"'�3��"�������!�'��5��+����)���%�"�9�5����)��

/!��%�"'�3�4!�'���5)�����/!��%�"'���5��,�������%�"�����������������������

*���!���'�+���� �������������� ������������%�"������������������������������������ �������� ��������

(�� ��� �)� ��� ���� ���� ����������+���� � ���������� ��� �����,����� �� 9�5� �����������@�������������������� ���������

��+�� �)��*��

������9�����5�������9�5���*����������������������������������� ������ �����)������!������'%�"�3���%�"

����%�"�

�������+������������������������� ������ �������(������������������������������� ����@����������������+��������� ��$�-�")�!�����'���������@��������������������� ������

����9�����5�������9�5���*���������!������'�9�����*������!������'�%�"�9�*����������� %�"�9�5��������

�%�"�9�*���5�����������%�"�����%�"�9�*�����

,������� ��������������������������������!������'%�"�� ����%�"�����

%�"�� ������������ ��������*�����������������!������'

%�"!�'�3����� �����*�����������

Page 92: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

�������� ��

������ ��%�"�9�*� ��5)����� ���� �� ����*���� ���7������8��� ����5���������� �� %�"!�'�3� ��+���� �����%�"�9�5����)����� ���� ������5���� ���7��������������������%�"!�'�3����>� ���

��%�"�����%�"!�' 3���%�"�!��%�"!�''�3���%�"!�'�3���

���� ��%�"�����%�"!�' 3���3�!�����'

%�"!�'��(�� ��� ��!�����'%�"�3���%�"�����

%�"�

��+�# �)��*��

�����9�����5�������@���������������)��������%�"�9�5���������������@����������������

�������������9�����5�������@���������������)���� ��������������������������������+�������������������������)��� ���� ������5���� ���7������8�������������������!�'�3������������%�"�9�5���������������%�"!�'�3���

�����")��6���5��������%�"!�"'�3���%�"!�6'

(�������� �" 3��6��� �!�"' 3��!�6' B� �����������C

��� �" 3��6������%�"!�"'�3���

%�"!�6'����"�3��6��(�����%�"������������5���������4!��%�"'�3�/!�'�3��������4!��%�"'

3����(�������������������%�"���������(�� ��� ����%�"���������������������������������%�"�����@�������

���- "(���($�������������"

��������������������������������� ��������������

��-� �������.���������

���������������(��������������9��������������������������������������������� ���� �������)��!�'3�������������������!�'�3�����������

��-�� ���/�������������

(��������������9�����5������������������������������������� ���� ����������� ���7������8������5�����������!�'�3�����������������)

�!�' 3�����������

Page 93: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

� ������������� ���������� ��������������

�*����� ��������������9�4�����������������!�'�3�6��� �����4��D��������������������������

��-�# �0/�1������������

(��������������������� �������������������������!�'�3�B�C������������

E�E 3�� �� �??

����

� ����

11

(���� ���������3�:!�)�E�E'�9�����4;����������������������������� ��

��-�� %*����/��������*���������

(���� ������������ �����������!�'�3�B�C������������������ ������������ ���������� ��8���������(�������������!�'�3�B�C����8������������������F�!��2�"'?�����G�

*����� ������7�����B-C�3�-?�B-�&C�3�-?�B%�.�<C�3�%�$?�B%�6�6C�3�%�.�����B#�"C�3�#�

��-�' �1��*��������1������������

(������� ���������� �!�'�3� � ������������������ ������������ ���������� ��8������� ���(��

������������������!�'�3� � ���������������������������� �� ���� ������� ��8���������

������������� �������� )������������������������������ ������������ �����������������������

*����� ����������������7������ . -� �3�.?� - �3�-?� %&�6 �3�%�0?� . -� �3�$?� - �3�-?� %&�6

3�%�&�

������ > �� ���� ������ �������� ��� �� ���� � ����� � �3� � � 2�"� ��� �� �� ���� ��� ������

���� ���� � �3� � �

��-�+ �2������������������/

�� ���������������3��!�'����������������������!%��'�3��!�'�������������!%��'�3�%��!�'�

*����� ���������������!�'�3�-�#�2�6�$�%��6�

(�� ��� �� �!%��'��3�-!%��'#�2�6!%��'$�%�!%��'6�3�-�#�2�6��$�%��6�3� �!�'��,����� �!�'�3�-�#�2�6�$

%��6��������������������

+���� ��������� ������� �����������!�'�3������%�-�.��(�� ��� ���!%��'�3����!%��'�%�-!%��'.

3�%������2�-�.�3�%�!�����%�-�.'�3�%��!�'�

,������!�'�3������%�-�.�������������������

������������������������������������������������� ����������� ������*����� ������7�����!�'�3��$�2��.�2��6�%����

(�� ��� �� �!%� �'�3�!%� �'$�2�!%� �'.�2�!%� �'6�%�!%� �'�3� �$�%� �.�2� �6�2� ���(��� ������������ � !%��'�3��!�'��� ��!%��'�3�%��!�'�

(�� ��� �)��!�'�3��$�2��.�2��6�%����������� �������� ��������������

Page 94: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

�������� �

��-�- �)�*����*�/������������

+�������������������������������� ������H��(������ ���� ����������������������� �������� ����������������������9�H���:1)�";�����������

��!�' 3�"1??

�� ��� ���

����

*����� ������7�������� ����3�:6)�-)�&;�����H�3�:")�6)�.)�$)�-)&;��(��������������!"'�3�1)���!6'�3�")���!.'�3�1)���!$'�3�1)���!-'�3�")���!&'�3�"��(���� ������� ����������������

7

��-�3 ��������*���������

������������������������������ �������������������������� ��D����������������� �4�!�'���������� ������ ������������������������(���4������������������G�

*����� ����������������7����

0����6�3�1) �"-����$�3�.) 6-"����6�3�") "&&����.�3�1

����46�!0'�3�1) �4$�!"-'�3�.) 46�!6-"'�3�") 4.�!"&&'�3�1�

��-�4 "��������������

(�������������������!�'����4������������

���!�' 3�

1 �� 3 1

�� 1

��

��

E E�

���

��

(��� �����������������������:%")�1)�";�

��3 &�"&��������

+����������������������������������� ��� ������7���� ��1����"#��(������������������������������� ��

Page 95: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

� ������������� ���������� ��������������

D����������� ������ �� ������ ��� � ���������������� ������������������������������������������������������������������������������������������ ���� � �� ���������������������� ����������� �������������� ��������������������� �������

,!�' 3��������

D�� �������������������!���� '��������� ���� � �� ���������������� ��������������� �� ��!� ��� ������ ��'����������� ����������� ���������������� �������������)���������������������������������� ����(�����������������)������������ ������������������ �8�� �����������������������������������7�������������������������

������������������������� ����������)����������3�,!�'�����������������������������������������������������������)������� �� �����������7�������������������������������7��������������������� �����������������5������������ ��� ����� ������� �������������������������)�������������������������������5����

*����� �����7���������������������������"-)�60#)�&&)�"0)�-)�-&6)�"16)�6-&�����--�� ��������� ������� �� ������������ ��� ������7���� ��1����"#��,� ����3�"&����������� �����

,!"-'�3�"-����"&�3�"-)�,!60#'�3�60#����"&�3�"$��+���� ���,!&&'�3�<)�,!"0'�3�")�,!-'�3�-),!-&6'�3�"")�,!"16'�3�1)�,!6-&'�3�6)�,!--'�3�$��(������������������������������� ��� ������������������������������ ��

"16 "0 6-& -- - 0< && -&6 60# "-

1 " 6 . $ - # & 0 < "1 "" "6 ". "$ "- "#

=���������������������� ��0<��+�����,!0<'�3�0<����"&�3�$)�0<������������ ��������������$?��������������������� ������������������������������������� �������������������������� ��� )������������ ��0<�������������#)��������������������������������� ��

�" ,���5�($ �"�

Example 1 ������������������������������� ��!����"�����#�������$$�"����%&�%��%����'����� �#���&������%��#���������

'� �(����'��� �'��� �'��� �'�� �)����'��� �'��� �'�� �'�� �'�� �'��� �*����'��� �'��� �'�� �'�� �'�+ �,����'��� �'��� �'�� �'��� �

Solution: �������������3�:�)��)��)��;�����5�3�:&)�0)�<;�

!�' ����� ��"�3�:!�)�&')�!�)�0')�!�)�0';(���������/!�"'�3�:�)��)��;������,������"�����������������������

!�� �������6�3�:!�)�&')�!�)�0')�!�)�<')�!�)�<')�!�)�<';(���������/!�6'�3�:�)��)��)��;�3�������!�)�&'����6�)�!�)�0'����6������&���0��(����6����������������������

!���' ����� �.�3�:!�)�&')�!�)�0')�!�)�<')�!�)�<';(���������/!�.'�3�:�)��)��)��;�3���������� ������������ �� ���� �!�)��'����.�)�!���'����.�����������3����+���.��������������

!�+' ����� �$�3�:!�)�&')�!�)�&')�!�)�<')�!�)�0';(���������/!�$'�3�:�)��)��)��;�3���������� ������������ �� ���� �!�)��'����$�)�!�)��'����$�����������3����+���$��������������

Page 96: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

�������� �

Example 2 -�+���������.$��������&�������"������%

'� /�0����+���&������%&#0����+� '� 1&#0����+���&������/�0����+�'� ��0����+� '� 2�����#�/�0����+����#�1&#0����+�'� 3��%����4�.$����"����������$.�����##�"�����#��%

Solution:�!�'�������3�:�)��)��)��)��;����5�3�:")�6)�.)�$)�-)�#;��*����� �������������"�� �������5��

�" 3�:!�)�"')�!�)�6')�!�)�.')�!�)�$')�!�)�-';

=���4�!�"'�3�:")�6)�.)�$)�-;���5��,����� �"���������� @����������������������@��������(��� ������� ����������������

!�' ������3�:�)��)��)��)��;�����5�3�:")�6)�.;*����� �������������6�� �������5����6�3�:!�)�"')�!�)�6')�!�)�.')�!�)�.')�!�)�.';,� ��4!�6'�3�:")�6)�.;�3�5�����!�)�.'����6)�!�)�.'����6)�!�)�.'����6���������������������(����6��� @�����������������@��������(���� ������� ����������������

!�' ��� ��3�:�)��)��;�����5�3�:")�6)�.;*����� �������������.�� �������5����.�3�:!�)�6')�!�)�.')�!�)�"';��,� ��4�!�.'�3�:")�6)�.;�3�5�(�� ��� ���.�����@��������(���� ������� ����������������

!�' ��� ��3�:�)��)��)��;�����5�3�:")�6)�.)�$)�-;�*����� �������������$�� �������5����$�3�:!�)�6')�!�)�.')�!�)�$')�!�)�$';��,� ��4!�$'�3�:6)�.)�$;��5� ���� !�)�$'� �� �$)� !�)�$'� �� �$� ���� ����� �������(�� ��� �� �$� �� ������ � ��@��������� � @��������(���� ������� ����������������

!�' ������3�:�)��)��)��;�����5�3�:")�6)�.;*����� �������������-�� �������5����-�3�:!�)�6')�!�)�6')�!�)�6')�!�)�6';��(����������-�!�'3�6��� ���� ���������(�� ��� ���-������������(���� ������� ����������������

Page 97: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

� ������������� ���������� ��������������

Example 3 /����5�����)�6���5������)�������5�����'��7�( �����������'����� ������������'����� �1��"�����'����� ����������'�����

Solution:�������9�����6�?���9������6�������9�����!��2�"'�

��� �!�' 3�6�)��!�'�3��6������!�'�3���2�"�

+�) !�����'!�' 3��!�!�''

3��!�6'�3�6�6

(�� ��� �) !�����'���!�' 3�!�����'!�!�''�3�!�����'�!��2�"'�3�6�!��2�"'6�

����� !�����'!�' 3��!�!�''

3��!��2�"'�3�!��2�"'6

(�� ��� � ����!�����'!�' 3���!��2�"'6�3�6�!��2�"'6�

,���� !�����'���� 3�����!�����'�

Example 4 ���� �'� ��������#��$� �&�������1��"�������('� ����'� �' �

)

� �� �%��$"��%�����+��

�&�������"��#���%��)'� ����'� �' �

)

� ��%��$"��%���������&������

�Solution:���� �"!�' 3�� � � �! ' ! '� �

6

(�� ��� � �"!%���' 3�� � � �! ' ! '� �

6�3��"!�')�������"!%���'�3��"!�'�

������� �6!�' 3��� � � �! ' ! '� �

6�

(�� ��� �� �6!%� �'�3�� � � �! ' ! '� �

6�3� �

� �� � � �! ' ! '

6�3�%� �6!�'��(��� ������ �"!�'� ���������

������������ �����6!�'�������������������

Example 5 !�����������.�%������'����� �����'����� ����������$$�"������%�%

'� �'� ���%��)�� ��� �'� ����)�7�('�� �'� ����� ��� �'� ����*

'��� �'� ���)�)�7�� ��� �'� ����)�7�(8�����%��"������'����� ���'�����

Solution: !�'������!�'�3���6�������!�'�3��6�2�"

(�� ��� � !������' !�' 3���!��!�''

3��!��6�2�"'�3���6�!�6�2�"'

Page 98: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

�������� �

+���� �� !�����'!�' 3���!��!�''�3���!���6��'�3���$���2�"

�+�) !�����' ��!����� '�

�!��' ��� �!�' 3���������!�'�3��.

(�� ��� � !�����'!�' 3��!��!�''�3���!�.�'�3���

.

+���� �� !�����'!�' 3��!��!�''�3��!��'�3�!���'.�3��.��

+�)�!������'���!�����'�

!���' ��� �!�' 3�6�6�2��������!�'�3��6�2�"

(�� ��� � !�����'!�' 3��!�!�''�3��!�6�2�"'

3�6!�6�2�"'6�2�!�6�2�"'�3�6�$�2�-�6�2�.

!�����'!�' 3��!�!�''�3��!6�6�2��'�3�!6�6�2��'6�2�"

3�$�$�2�$�.�2��6�2�"

+�) !�����'!�' ��!�����'�!�'�

Example 6 9���#�����"�����#�������+����&������%��#�����:����������#���0����+�

'� ��5��7����7�������������'� ���;�;�'� �5�/����7�������������'� ���)��7���'� �5�������������������'� ���;�;

Solution:�!�'���������9�42���42�������������!�'�3�E�E�

+���������� �!�"' 3��!�6'

��E�"E�3�E�6E?���� �" 3��6+�)���9�42���42�������������!�'�3�E�E�������������������!�'�3�E�E�?������42

(�����������3�E�E�3���B������42C��(������������������� ���� ������42���� ���7�������42

�����������3��!�'�3�E�E��,����)���9�42���42�������������!�'�3�E�E��������(�� ��� �)���@�������

!�'��9�����42�������������!�'�3�6��2�&

����������!�"'�3��!�6'

(�������� �6�"�2�& 3�6�6�2�&?������"�3��6�

+�) �!�' 3�6��2�&?������)�����������

����� �!�' 3�6��2�&?������

� � 3�6��2�& B����3��!�'C

� � 3�� � &

6��������� �������� ���3�-����������3�%"�����!+�������������������� '��,������!�'�3�6��2�&������

������(����!�'�3�6��2�&����������������

!�' �������9�4���4�������������!�'�3�E�E

+������������!�"'�3��!�6'

� E�"E 3��E�6E

� �I��" 3��6� �" ���6�

+�)��9�4���4�������������!�'�3�E�E������������������������ ��!�'�3���3�%�-�����������������4��� ���7����������������������������4��,�������9�4���4�������������!�'�3�E�E��������� ���������� ������

Example 7 ���������(�)�*�,��������������������3����)�,� �����������'(�� �')�� �'*�� �',�� ����������'��) �'��) �'��, �'�� ������"���&������%��#�����������������3�#�%.����+�$��!����������.�%������'�����

Page 99: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

� ������������� ���������� ��������������

Solution:�������3�:")�6)�.)�$;)�5�3�:�) ��) ��) ��;�����*�3�:6)�$)�<;��������3�:!")��')�!6)��')�!.)��')�!$)��';����

� 3�:!��6')�!�)�6')�!�)�$')�!�)�<';

(�� ��� ���� ����3�:!")�6')�!.)�6')�!6)�$')�!$)�<';��D������������������� ������*���(���� ������ ����������������

Example 8 ����<��������%������#������$��&���#%�1��"�����������&���������5�<���<������������'� ���)��7�������<��%�����0����+���&�������!�����=�('> ��=�('( ������=(')

Solution: �9�A���A�������������!�'�3�6��2�&?�����A

�����")��6���A�����������!�"'�3��!�6'

� 6�"�2�& �3�6�6�2�&� �" 3��6�

��� �!�"'�3��!�6'����"�3��6��+�)��!�'�3�6��2�&?�����A�������������������� ���� ������A�!��������

��'���� ���7�����3�� � &

6�����������������A������������3��!�'�3�6��2�&��,������!�'�3�6��2�&��

������(�� ��� ���!�'�3�6��2�&)�����A�������@����������������(����������������� �����������%�"!�'�3��

��� �%�"!�' 3�� � &

6

������� ����%�"!�'�3�� � &

6�?�����A��,��������������%�"!1'�3�

�&

6)��%�"!"'�3�%�.������ %�"!6'�3�

�-

6�

Example 9 ����������=��*������������=��(��"��#�����%�����%������#��$��&���#%�������5������

������������'� ���� )

� *

��������1��"���������%�?��:?������������!����������+�#%���&�����������

Solution: ������3�4�%�:.;�����5�3�4�%�:";)���� ��4������������� �������� ��������9�����5

������������!�'�3��

6

.)�������������")��6������������� �!�"'�3��!�6'

� ��

�"

"

6

.

�3�

�6

6

6

.

%

� �"�6�%�6�6�%�.�"�2�# 3��"�6�%�.�6�%�6�"�2�#

� %�6�6�%�.�" 3�%�.�6�%�6�"� �" 3��6

��� �!�"' 3��!�6'

� �" 3��6�

Page 100: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

�������� �

+�)��!�'�����������

������ �� � ��� �� ���� 5)� ��� �� �7��� ��3�. 6

"

������ ���� ����� ��3� �!�'�3�

6

.��,����

�!�'�3��

6

.��������

(�� ��� ���!�'�3��

6

.)�������������@�����������������(������������� ����������� %�"!�'�3���

��� �� %�"!�'�3�. 6

"

���������� ���� %�"!�'�3�

. 6

"

�?�����5�

Example 10 ��� �����(�)�,�@�6������*�A��� ��3����(�)�,�@��������5��� �������������������'(�* �')�A �',�� �'@� �6���5�����3�����������������'A�@ �'*�) �'��( �' �, ������"���&������%!�����������.�%�����%�'����� �����'����� �1��"������'����� ���'�����

Solution: ������3�:")�6)�$)�#;?�5�3�:.)�-)�&)�<;����*�3�:")�6)�$)�#;��������������3�:!")�.')�!6)�-')!$)�&')�!#)�<';��������3�:!-)�#')�!.)�6')�!&)�"')�!<)�$';��*����� ������ ������� ������������!�����'�

(�� ��� �)�!�����'�3�:!")�6')�!6)�#')�!$)�"')�!#)�$';�

+���� ��)�����������!�����'������ ������� �������

(�� ��� �)�!�����'�3�:!-)�<')�!.)�-')�!&)�.')�!<)�&';��,����)���������� ������!�����'���!�����'�

Page 101: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

� ������������� ���������� ��������������

Example 11 ������5�����'=�(�( ������������ �'� ����

( �)��������!����������+�#%��������+�

�&�������������%�%�"��#�����%�����%������#��$��&���#%

Solution: ������9�4���!%�")�"'�������������!�'�3��

�" 6�) �����4�������")��6���4�����������!�"'�3��!�6'

� ��

"

"6" �3�

6

66" �

� ��"�2��"�66�%��6�%��6�"

6 3�1� �!�"�%��6'!"�%��"�6' 3�1� ��" 3��6�� �!"J��6'

+�)� �!�'�3��

�" 6�)� ����4� �������������)�������������@��������(�� ��� �� ���� ���������

�7���Example 12 !�����������#����#�%�����&���������#�����%�����B��#������C��+�#%�$�%���C����(�)*�,�A�@���������������(�,�����Solution: ������H���� ������H�3�:")�6)�.)�$)�-)�#)�&)�0;�������3�:")�$)�&)�0;��(������ ���� ��������������� �����������������������!"'�3�")����!6'�3�1)����!.'�3�1)����!$'�3�")����!-'�3�1)����!#'�3�1)���!&'�3�")����!0'�3�"��(���� ������� ����������������

Example 13 /���'� ������'� ��#��������+����#���������������.#�+��������'� ��'� ��%��+��

Solution: +������������!�'������!�'�� ������������

���� �!%��' 3��!�'������!– �'�3��!�'���� �!�' 3��!�'��!�'

(�� ��� � �!%��' 3��!%��'��!%��'�3��!�'�!�'�3��!�'�

(������������������!�'��!�'���������+���� �������������� �������������������!�'������!�'�� ����)�������!�'��!�'��������

Example 14 1�����������#�.����

��!�' 3�(

�6 �� � >

>6 �� � >

���

��

Page 102: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

�������� �

Solution:�������������!�'�3�"

��

? �� 1

1? �� 1

���

��?

��������� ��������������� ���� ��)�������!�'������ ����8�������1������!�'����� ���� �������������� ����8������� � ���(���� ������������������

Example 15 �����'� ������'� ��#��������+����&������%�D#�+�������'����� ��%��$%������+����&��:����

Solution: +������������!�'������!�'�� ������������

��� �!%��' 3��!�'������!%��'�3��!�'�

=�� !�����'!�%��' 3��!�!%��''�3��!�!�''�3�!�����'!�'

���� !�����'!�%��' 3�!�����'!�'��(�� ��� ��!�����'!�'��������������������

Example 16 D#�+�������'����� '� ��%���������&����������������'� ������'� ��#�������&������%

Solution: +������������!�'������!�'�� ���������������

��� �!%��' 3�%��!�'������!%��'�3�%��!�'

=�� !�����'!�%��' 3��!�!%��''

3��!%��!�'' B� �!�'������������������C

3�%��!�!�'' B���!�'������������������C

3�%�!�����'!�'

��� !����� !�%��'�3�%�!�����'�!�'��(�� ��� ��!�����'!�'�������������������

Example 17 /���'� ����������'����� ��%��������������&�������.#�+��������'� ���$���

Solution: �����!�'�3��������!�����'���������������������������� !�����'�!�'�3��

��� �!�!�'' 3��

��� �!����' 3���3����!��'

(�� ��� ��������� ����!�'�3������

Page 103: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

������������� ���������� ��������������

Example 18 �����'� ���)��7�(������'� ����)�7�)�!��������+�$&�%����'����� �', �����'����� �', �1��"�����������#�������E&�$

Solution: ���������� �!�' 3�6��2�"�������!�'�3��6�2�6

(�� ��� � !�����'!$' 3��!�!$''�3��!<' B� �!$'�3�6!$'�2�"�3�<C

3�0. B� �!<'�3�<6�2�6�3�0.C

����� !�����'!$' 3��!�!$''�3��!"0' B� �!$'�3�$6�2�6�3�"0C

3�.& B� �!"0'�3�6!"0'�2�"�3�.&C

(�� ��� � !�����'!$' ��!�����'!$'

Example 19 ������5�������������������%��'� ����)�=�*�������F�)�������7�)��������)�!�����'A ��') �'> ������'=�)�

Solution:

���������� �!�' 3� � �

� �

6 .� �

���

��

? �� 6

2 6? �� 6

+�) �!-' 3�-�2�6�3�&

�!1' 3�1�%�1�3�1

�!%�6' 3�!%�6'6�%�.!%�6'�3�"1

�!6' 3�6�2�6�3�$�

Example 20 !���������������9'� ������������������$$�"�����&������%�'� ��'� ��� (@ �)� 6

'�� �'� ���"

$� �6��'��� �'� ����)�=�A��7�@

Solution:�!�'��������!�'�3� "# 6� � ?���������� �������!�'����������������� �"#�%��6���1�����%�$������

$��+�)��!�'����������������� �����B%�$)�$C��(�� ��� ��/!�'�3�4�%�B%�$)�$C�

!�� ��������!�'�3�"

$! % '�?���������� �������!�'����������������� �!��%�$'�3�1)���� �!�'����������

�����������3�$��(�� ��� ��/!�'�3�4�%�:$;�

!���'����� �!�'�3��6�%�-��2�#����������� �������!�'������������� ���� �� �������� �4��(�� ��� �/�!�'�3�4�

Example 21 !���������#�.�����������$$�"�����&������%

!�' �!�'�3�

. "

6 6 .6 . 6

6

� �

� �� �

� � � �

� � �

���

��

�� K .

����

!�' �!�'�3�� �

� �

� � �

� � �

���

# "

- "

��

��

Solution:�!�'�����������

�!�' 3�

. "

6 6 .6 . 6

6

� �

� �� �

� � � �

� � �

���

��

�� K .

����

(���� ������������������������������������

Page 104: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

��������

�!�' ������������!�'�3�� �

� �� � �

� � ����

# "- "

����

(���� ������������������

��5����"�"�

"� ������3�:")�6)�.)�$)�-)�#;�����5�3�:�)��)��)��)��)��;��/��� ���������� ������ ��������������������������������� �������5��������������������)�����������)� ������/ �������� ������ ���������� ��������

Page 105: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

� ������������� ���������� ��������������

!�' :!")��')�!")��')�!6)��')�!.)��')�!$)��')�!-)��')�!#)��';!�' :!.)��')�!$)��')�!-)��';!�' :!")��')�!6)��')�!.)��')�!$)��')�!-)��')�!#)��';!�' :!")��')�!6)��')�!.)��')�!$)��')�!-)��')�!#)��';!�' :!")��')�!6)��')�!.)��')�!$)��')�!-)��')�!#)��';!�' :!")��')�!6)��')�!.)��')�!.)��')�!.��';!�' :!")��')�!$)��')�!-)��')�!#)��';

6� ��������������������� ���������4�����������4)���� ��4����������� �������� ��/��� ����������� ���������������� ���������)������� ������!�' �!�'�3���!�' !�' �!�'�3�&��2�.!�' �!�'�3��.�2�6& !�' �!�'�3�.�6�%�.��2�"!�' �!�'�3�.��2�6 !�' �!�'�3����%�$

!�' �!�'�3�6 .

6 $

.� ���� ������ ��������������� ��������)���� ���� �������������������� ������ ��>�����������������!�����'�����!�����'�!�' �!�'�3�6��2&?��!�'�3���!�' !�' �!�'�3��6�2�6?��!�'�3�.��2�-!�' �!�'�3�����!�'?��!�'�3�-��2�6 �' �!�'�3���7�$?��!�'�3�E�E!�' �!�'�3�6��2�6?��!�'�3��6

$� ������3�:�)��)��)��;)�5�3�:")�6)�.;)�*�3�:$)�-)�#;�������9�����5��������������3�:!�)�"')�!�)�"')!�)�6')�!�)�6';?��9�5���*��������������3�:!")�$')�!6)�-')�!.)�#';������������������>����!�����'���!�����'��������L

-� ������3� :")�0)�6&)�#$;?�5�3� :�)� �)� �)� �)� �;?�*�3�:")�0)�6&)�#$;����� �� 9��� ��5�������������3�:!")��')�!0)��')�!6&)��')�!#$)��';?���9�5���*��������������3�:!�)�"')�!�)�#$')�!�)�0')�!�)�6&')�!�)�0';�����������������>���������!�����'�����!�����'��+���������!�����'���!�����'�

#� ����H�3�:�)��)��)��)�&;������������� �������>����������� ���� ���������������� ���������3�:�)��)�&;�

&� +����������������������������������4���4�!�' �!�'�3�B�C?�%�6�������. !�' �!�'�3�.�

!�' �!�'�3�.��2�6 !�' �!�'�3�� �

6 1

# 1

��

��

���

��

!�' �!�'�3�

6 " 1 6

1

$ 6

� �

� �

� � �

��

��

��

��

��

%6

0� >������������������������������������������������

!�' �!�'�3�"

6 .� �� �� � � �!�' �!�'�3�

"

& "66� �� �

!�' �!�'�3��6�%�&��2"6 !�' �!�'�3��6�?�1�������6

!�' �!�'�3� .# 6� �

<� ������9�4���4�������������!�'�3��6�2���%�#��>������%�"!"$'�������%�"!%�0'�"1� / �������� ��������������������������

!�' �!�'�3��.�%�.��2�6 !�' �!�'�3��$�%�"1�6�2�<

!�' �!�'�3��

6�2�"

Page 106: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

�������� �

""� ����!�'�3�6��%�.������!�'�3��6�2�.��2�-)������!����� !-'�����!�����'!-'��+��������������� ������8����

�"6� ����!�'�3�6��%�.������!�'�3��6�2�6��2�"��>������������������!�����'�����!�����'��>����!�����'!6'����!�����'!6'�

�".� ����!�'�3�-��2�"��>�������� ������ ������������������������� .���B������.�3�!���������'�C"$� ������3�:�)� �)� �;�����5�3�:6)�$)�#)�0;��+����������� �� �������������� �������������

������������������� ���������5�

"-� ������9�4���4�������������!�'�3�6��2�-��+����������!�'������� �������>�������������������%�"!6')��%�"!$'�������%�"!-�'�

"#� ������������������������� �������������������� ���������������������� �������������!�'3�.��2�")������!�'�3�6��2�"��>������������������!�����')�!�����')�!�����'�����!�����'�

"&� ������3�4�%�:6;�����5�3�4�%�.

-

�����)���� ��4������������� �������� ��������9�����5��������

����!�'�3�. <

- "1

�?�����4��+���������������@������������������������������ �������

"0� >� ������,��� ��������)��������������������������� ��� ���� �������� �� ������� �����������������������H����������� ������������������� �8�� ���!�' �!�'�3������""?����������7���1����"1?������--)�"-)�60-)�&$.)�.&-)�66)�"1)�011�!�' �!�'�3������".?����������7���1����"6?������&"$)�#.-)�6#)�&&-)�$6)�.1)�"1)�".#)�-1<�

Page 107: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

� ������������� ���������� ��������������

"<� +����������������� ������!�'�3��6�%�"����������7���������� ��)�������9�B�1)��'���B%")��'���

������� �������������%�"!�'�3� � � " �������%�"�9�B%�")��'���B�1)��'�

61� ��������������������� ��M���M?�M�3�:")�6)�.)�$)�-)�#;�������������!�'�3�.�����-��D ��������������������� �������� ������� ��

6"� ������9�M���M?�M�3�:1)�")�6)�.)�$)�-)�#;�������������!�'�3�$�����-��D ����������������������������� �� ���� ��D����������������� ������� �������������� �� �������������������� ������

66� ������9�����5�����������������+���������������@������������������������%�"!���!M''�3�M��� ����M����

6.� ������9�4�%�:1;���4�%�:1;�������������!�'�3�"

���+���������������@������������������ ���������

�����%�"!�'�3�"

��

6$� +�����������������������!�'�3��

�6 "�9�4���4��������� ����������� ������

Page 108: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

����������

���� ���������

�������������� �� ����������������������������������� ��������� ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ����� �������������� ����������������������������������������������������������� � ������������������������������������������������������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������������������

��� ����������������������

� ������������!���������������������������������"�����#������������������������������������������������������������������������������������������������ ����� ���������������������������������������"����#����������$���������������"����#����"�����#�����������������������������������������������������%����������������������������

��������� ������������������&�����'�������������������������������������������������������� �������������������������������������������

"�# "�����#���� ����������"�# "�����#�������(���)�� �������������������"�#���������������������������������������������������������

�����������"�� ��#����"�����#���������������������������������������������������������*����+�������

�������������������������������������������������,�������������,�

����� �����,%����� ������������ �����������������*��� ����� ���������������� ���������������������������������������������(���������"��&��#���,���������������,��-�����&������������������

���� �������������������

�����!���������������� ��������������������������������������������������������������� ����� ������������� ����.��� ������������������ ����� "��� �#� ������������������������������������/�����������������������������",��&#��"0��1#����"���&#�

Page 109: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

�� ������������� ���������� ��������������

���� ����������

��������������������"����#����������������������������������������������"�#�����������$������

���� ����"�����# 2�"�����#������������������

�������������������������������������",���#�� ������������������������)����� �����������������������������������������,�� ���$������"�����#�2�"�����#�������������������������$����,��3���������������",���#���������������

������ �����

��������������������"����#�������������������������������������������"�#�����������$������ ������������������������������

���� ����"�����#�2�"�����#��������������2�������2������������������ ������������������������������������

�������������������������������������"4��&#�� �����4��������������������$������������������������������������������������ ����������������������������/����������������������������4���������

���&�� 2���������4

3�����������������2�5������5���4��-�����"4��&#����������������

���! ����

�������������������������������������������������������������������������� ���������������������������������������������������������������������� �������������������

"�# �������� 6�7���������������%�"�����#����"�# ��������$�� 6�7�����������������������"�����#�2�"�����#����"�# ��������6�7������ ������� �������/������� ����������������� ��������������� "�� �� �#�2� �

2�"�����#�� �������������������������������������"# ��$����6�7��������������������/�����������������8�9��������������"������

89#�2���2�"��8�9����#�

��!� �����"#"�$�������

�������������������������������$������������������������������������$��� ������������

"�����# 2�"�����#�����������

��!�� %���"��#� ���&���"�������

�������������������������������������������������������������������������������+���� �������������������������������

��!�! � ����&�#������

3���������������������������������������������������������������������������������������+"�#�

��������������������������2:����;�������+"�#2�<���������������������������<�

��!�' � ����&�#���(����"

�����������������������������������������������������������������������$�����������������������2��������������/���������������������������������������������������=����

Page 110: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

� ������� � ��

������������������������������������� ������������������������������

"�# ������������)����� ����������������� �������������������������������� "��&��# ���������������"�# �����������������)����� ���������������������������������������$��

���� ��&�"��&��# 2�"��&��#�&���������������"�# ����������������������7����$�������������������������/����������������������5���������

���

��&�5 2�5�&���2��

"# ����������������������7����$��������������������������/�������$�������������8�������������� ���&�"8��#�2�"8��#�&���2�5������$���������������������������$����$�����

3���������������������������������������������� ������������������������������"&#���������

����

9� �������������������������������������$�������"��&��#�2�"��&��#���������������������������������

�����������������$�������

�<� ���������������������������������������������������$�������������������������

��!�� �)�����

�������������������

"�# 3��������������������������(���"�# >$������������������(�����$����������"�# 7����$���������%�"�8�9#8�9�2��"# 7��������������%�"�����#

8�9�2��8�9����8�9

������ "�#�������������������������� ����� ���������� �������������������������������3��� ���$�

����� 2���"3�����������������#

�� ������ 2���"3�����������������#�

,� �"����� #���������(������������������������������3�����������2�������������������������������(���

"�# ��������������������������������������������������������������������������9��������<��������� ����$����������������3��������

"�����9# 2�"�9����#�2������"�����<#�2�"�<����#�2���

,� % �<���"�����9# 2��<�����2��< ?�"�#

��� "�<����#����9 2������9�2��9 ?�"��#

���������������$����������<���"�����9#�2�"�<����#����9��3���������������(�������"�#�������# �������9�2��<���3���������������������$������������������������(���

"�# ��$������������������� �����������������������8�9��������������"��8�9#8�9������ ����������������������������������-����� ���$��"��8�9���#�2��

� �"��8�9#8�9��"��8�9

���# 2�"��8�9#8�9����

� �""��8�9#8�9����8�9#���� 2�"��

8�9#8�9 @A������������$��������������� B

� ������ 2�"��8�9#8�9 @A��������������� B

� � 2�"��8�9#8�9 @A�������$������ B

��� "��8�9#8�9 2���

Page 111: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

�� ������������� ���������� ��������������

"#���$������������������� �����������

,� "�����#"�8�9

���8�9# 2�""�����#��

8�9#����8�9 �@��������$��� B

2�"����"�����8�9##����

8�9 �@��������$��� B

2�"�����#������9 @��$������ B

2������8�9 �@���������� B

2�� �@��$������ B

��� �"�����#"�8�9

���8�9# 2��

��������������������� ������"�8�9���8�9#"�����#�2���

3�������������������"�8�9���8�9#����������$��������"�����#�

���� "�����#8�9 2��8�9���

8�9��

��!�* �)�����

�����������������������������������

�"�#����"�����#�2�"�����#��������2�� @ ���������������� B

"�������"�����#�2�"�����#��������2�� @0����������������� B

������"�#� ����������������������������

���������� "�����# 2�"�����#

� ��8�9��"�����# 2���8�9

��"�����#

� "��8�9���#���� 2�"��8�9

���#���� @��������$��� B

� ����� 2������ @>/�������������$����B

� � 2�� @>/�������������������B

�������"�����#�2�"�����#��������2����3���������������������������������� �

"��#� ����������������������������

���������� "�����# 2�"�����#

� "�����#�����8�9 2�"�����#�����

8�9

� ����"������8�9# 2�����"������

8�9# @��������$��� B

� ����� 2������ @>/�������������$����B

� � 2�� @>/�������������������B

������"�����#�2�"�����#��������2����3����������������������������������� �

��!�+ �)�����

������������������������������������������������

"�# 3����(���������2���������(�����������������

"��� 3����(���������2���������(�����������������

������"�#� ������������������������������

���������������������� �"�8�9��#���������8�9��������������� �����2��8�9����,�

�� 2��"�8�9��#�2�"�����8�9#���2�������2��

3�����������2��8�9���������������������������(���������2���

�����������������9�����<����� ��������������������(���������2����-����� ���$�

��9 2��������<�2���

Page 112: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

� ������� � ��

3�����������������9�2���<��3����������������������������� ��9�2��<��-�����������������������(���

"��#� ������������������������������

���������������������� �"��8�9#���������8�9��������������� �����2���8�9��,�

�� 2�"��8�9#���2���"�8�9���#�2�������2��

3�����������2����8�9�������������������������(���������2���

�����������������9�����<����� ��������������������(���������2����-����� ���$�

�9� 2�������<��2���

3����������������9��2��<���3������������������������������ ��9�2��<��-������������������������(���

��!�, �)�����

3�������������������������������������������������������������������������(���������������������������

������� ����������������������������������������������������������

�� � ����

3���������� "��'��# 2��<�����

� �"��'��<# 2��C�����

� "��'��C# 2��D��������������

���� ����<���C���D���E��?������������������������3�����������������������������������

*�����������$��������������������������������������������/����� ���������������� ����������� 2�� �������F� �

� �����8� 2��� ���8� �2��

� ����8� 2��

� �� 2���%�)�������2�"��8� #����&�"������������$����������#

,� ��������������������������$��������������������������2��� �����$������������������!������!�2���

3���������+"�#������������ ���+"�#�2���

,� � ���$�������� ���� +"�#���+"�#�����������+"�#�����������������������������������������F�+"�#�

����������3��������������������������� ���$������<���C���D���E��?���������������������������������������������/������ ������������������������������2���� 9�����G������

� ���8�� 2���

3��� +"�#�2�"��8��#���"��8��#�G���

3������������������������������+"�#�2����-���������������������� ���������������������������������������F�+"�#�

3���������+"�#���+"�#�

��!�- �)�����

3������������������������ ��������������������������/��������������������

Page 113: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

�� ������������� ���������� ��������������

������� ������������������������ �����������������������������������������������������+"�#�2����3������������������2���� ������������������������������������

�����������!����������������� ��������

���� �� 2��

� "��#! 2��!�2��

� "���!# 2��

� "�!#� 2��

3�����������������������������������������!���������/��������������������������+"�!#�����

��!� � �)�����

3������������������������������������������������������������������8�9� ����������������������������������+"�#�2�+"�8�9#�

������� ������������������������������������������!������������8�9������ ������+"�#�2�!���+"�8�9#�2���

,� �+"�# 2�!�

3�������������� ��! 2���

� �"�!#8�9 2��

� "�8�9#�! 2��

3�������������������8�9�����������������(������!�������+"�8�9#���!��3���� ���$������!�? "�#

���� +"�8�9# 2��

3�������������� "�8�9#��2��

� "��#8�9 2��

� "��# 2�� @� ��8�9�2������������2���B

3������������������������������������(�����������������+"��#��3���� ���$��!������?� "��#

-�����������(�������"�#����"��#����������������!�2����3�����������������������������������������������������������������������������$������8�9�

� ��' �������

�����!������������-�����������������������������������������-����������������������������������������������������

����$���������������������������������������������������������������������������������

��'� �)�����

������������������-���������������������������������������������������

"�# �������-��������"�����#���- @�������� B���"��# ����-���������8�9���- @��$����� B������� ���-�������������������3���������-��������������������������������3���

��������� �����/�������������$�����������

���$�����������������

"�# �������-��������"�����#���- @�������� B���"��# ����-���������8�9���- @��$����� B

Page 114: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

� ������� � ��

,� � ���$�������� �����-������������������������>/������������������������������$��� ���������-�

��������$�� �6� ��� ��� ��� ����-��3��������������� ������ ��������-�����3���� ���������"�����#�2�"�����#������3����������������$��� ����������-�

>/�������������������6���$�����������-���������8�9���-������������������ �"�����8�9#���-������

����-��3���������������������������/��������-��3����-������������������

��'�� �)�����

������������������-����������������������������������������������"�����8�9#���-������������-�

������� ���-�������������������3���������-����������������������������������3������������ �����/�������������$�����������

����������-�����������/�������������$����� ���$���8�9���-��3��������������������������"�����

8�9#���-�������-���8�9���-�

���$������������������"�����8�9#���-������������-�

,� � ���$�������� �����-������������������������-��������������������������������������������

��$�������"�����8�9#���-������������-��-����� ���$��"�����

8�9#���-��3�������������������-������������������������/��������-�����������-��������-������������"�����

8�9#���-��������8�9���-�3������$������������������$�������������/�������-�

���������-���8�9���-������������"����"�8�9#8�9#���-�������"�����#���-��������������� ����������-�

���-������������������������������������������$��� ��������������-�

3���������-������������������

��'�! �)�����

����������������� �������������������������������������������

������� ���-����H����� ��������������������������-�������H�����3��������������"-��H#���������������������

,� ������������������� �����"-��H#��������������������������������� �����/������������$��������������"-��H#�

�������� 6 �� �������"-��H#

� �� �� ��-�����������H

� "�����# ��-����"�����#���H @��-����H������������B

� "�����# ��"-��H#�

>/�������������$����6 ���� ��"-��H#�

� � ��-��������H�

� �8�9 ��-�����8�9���H @��-����H������������B

� �8�9 ��"-��H#

3���������"-��H#������������������������ ������$�����/�����-�����"-��H#�����������������

��'�' �)�����

���-���������������������������������������������-��������������������������������-�����������������������������

Page 115: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

��� ������������� ���������� ��������������

�������",��������I��#�� ���-���������������$������������������������

���-����������������������������������������������������������������������������������

���� �� �� ��-��������"�����#���-�

"�����������I��#� ���-�������!��������������������������������-������������������������!������

���� �� �� ��-��������"�����#���-�

,� � ���$�������� ������$���������������-������ ��$������������� ���-�� ����� ����-��������8�9���-�

�������-��3���������������"�����#�2��<���-������������C�2�"�<����#���-�����������3��������

�����

- 2�:����<���C���D��?�����!��?��;

3�����������������-��������������������*������������$�������-���������������������������������������-����������$�������������������3�����������/������ ���������������� ������������2�� �������F� �F�5�

3�������������� �����8� 2�� ���8� �2��

���� ���8� 2���?� ?��"�#

,� �����F� �F�5����� �������$����������� ���$��"��8� #���9�������"��8� �8�9#���5�

�����"��8� �8�9#���-����-��������������������������!�

���� � ��-�����"��8� �8�9#���-�����������

"�����"��8� ���9## ��- @*����������� B

���� ���8� 2�����-�

3�������� "�����"��8� �8�9##�2�� �?�"��#7�����(�����������������������"��8� �8�9#����������$��������������������������8�9�2���"��8� �8�9#�����

��$��������������/��������-��3���������-������������������

��'�� �&���"���

�����������������-������������������,� �������������� ������������������������������-� �������������������-�������8� ���-�

��'�* �)�����

��������� ��������-� ��� � ��������������3���� ��� � ���� �������� ����������-� ��� ��(��$��������������

���������$�����������������-�������������������)���$�������� ��������������������������-�������(��$��������������

0����/�$��6� �������-��3����������������8�9���-�

-����������������/���� ���$��"�����8�9#���-�

���� ����������-�

����������6 ��������������������-�

3�������������� ��8�9 ��-

� "��8�9#�8�9 ��- @*��>/�������������$����B

� "�8�9#�8�9��8�9 ��- @*��3������B

Page 116: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

� ������� � ���

� ��8�9 ��-

� � ��������-�

3������$�6 ����������� ��������-��������������-

3�������������� ��8�9 ��-�������8�9���-

� "��8�9#�"���8�9# ��- @*����������� B

� �"�8�9��#��8�9 ��- @*����������$��� B

� "��#��8�9 ��- @*��>/�������������$����B

� ��8�9 ��- @*��>/�������������������B

���� � ��������-

3���������������������������������-�������(��$��������������

���� �����������

���������������������������������������������������������������������������������� ���������������������J�K�����������������������������������������������$��������������������!����������������������������������"�#��3�������������������������������������

� 2�:��L���2����%����������������;

3��������������������������������?�����8�C����8�<���8�9���5�2��������<���C��?

���� �)�����

>$��������������������������������

������� ��������������������� ���������������� ����!����������� ��������������������� ��!��������

,� �"�!�����# 2��!�&���2�����&�!�2�"������

!#�

3���������������������������

����� �)�����

������������������ ����������������������8�9���������������������

������� ��������������������� ���������������������������� �����������������������

,� ��� 2�"�8�9#�8���%�8������

3������������������$�������������������/��������������� ���������8�9��3�����������8�9�������������������������

����! �)�����

3�����������������������������������������������������������

������ ��������������������� ���������������������������������������������������2���

,� � �� �$�� ��� ��� � ���� ���� ������ ��� ������� ������� ��� ��� ������� �������� �/����� ����������

���!�������������%�!�F�������!�����

���!�F���� ���$�������$���������������!�2�� �&���%�5�����G����

3����������!�2��� �&���2��� ����2�"��# ����2�� ����2������3����������������!�2�����������!�������������������������������<���C��?��������3�������������������$����������������������

Page 117: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

�� ������������� ���������� ��������������

,� � ���$�������� ������������/���������������������������������������� ��<���C��?�����������������

����������������������������������������������������!�2����%�5�G���G�!��3���� ���$�

��!���8�� 2�������8���2�����������!�8���2��� ����5�G�"!�8��#�G���

3������������������������������������������������������������������������ ������-�����������������������������3��������������������/����������������

����' �)�����

�������������������������������������������������������������������������

������� ��������������������������������������������� ����������������������� ������������

3��������������

�� 2���

�������������������������������9� ����������������3���� ���$���9�2�:����<���C��?�������2��;

*��� ����� ����������������������������������������������������3��������������+"�9# 2�+"�#�2�+"�#�

���� +"�9# 2�+"�#

�������� � ���9

� �� ���9

� �� ���

3����������������9���%�����+"�9#�2�+"�#��3�����������2��9��-�����������������������

����� �)�����

�����������������������������������������������

������� ��������������������� ����������������������-���������������������

,� ���-�����������������������������������-���������������� �� ���!������������������$�����������������

�! ��-

���� ���-�� ����� �������������������������!������� �F�!�

3�������������� 2�!��&��%�5�������!��8!� ����"�#

*��� ����� � ���� ���� ��������� ���-���� ��� ���� �������� ��������� ��� ��� ���3���������!����-��3�����������������8�!����-�

,� �� ���-������8�!����-����������������������� ���$��� �����8�!����-

� � �8�!� ��-

� �!��&���8�!� ��-

� ��� ��-

3�����������������������������������!������������������$�������������� ������!���-���������-����������������������2�5��3���� ���$��������(������"�#� �2�!��

3��� � 2��!��2�"�!#��

3���������-����������������� ��������������!�

Page 118: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

� ������� � ��

���* �����

���������� ������������������������� ������������������������������������������ ����������������-����������������������������������3�����������������-������������������-���$����

�- 2�:��L���2��"����"���-;

3���0��������������-�����������������-����$�����

-� 2�:��L���2�"�����"���-;

3��������������������������������������������������������������������������������������-����������(�������������������������-������

��*� �)�����

���-��������������������������"���-�������-"�2�-�2�"-�

���������$�������-��������������������������"���-�

+�����������-"�2�-�������-"��-����-��-"�

���"9���-�������"9���-����"���-������������""9�"#���-�

*��� ����� ���������������������������""9�"#���-"�

3��� �""9�"# ��-"���""9�"#���-�

3�������� -" �- ?"�#

,� "9 ��-

�� �"9 2�"9�

2�"9""�8�9�"# @*���/�������������������B

2�""9�"�8�9#�" @*���������$��� B

3��������� "9 2�""9�"8�9#�"���-"

-������ ������"9���-���"9���-"��3���� �����

- �-" ?�"��#

3�����������������������(�������"�#����"��#� ������-"�2�-�

��������������������� ������"-�2�-�

3��������� ���$� -" 2�-�2�"-�

���+ .����.���

�����������������������������9� ������������������"�#��������������<� �����������������"'#����������������������������

��"�����# 2��"�#�'��"�#�����������9

��+� �)�����

�����������������������������������9�����<������

�"�# ��"�9#�2��<�%��9�����������������������������9�����<�����������������������������<�

"��# ��"��8�9#�2�"��"�##8�9�%��������9

������"�#���$�������������������������������9�����<���������$��������9����������������������������9�����<�����������������������������<�

��������9��3�����������������"�#����<��,� ��9����9�������������9�2���

3�������� ��"�# 2���"���9#

Page 119: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

��� ������������� ���������� ��������������

2���"�#���"�9# @� �����������������B

���� ��"�# 2���"�#���"�9# �?"�#

��������<�����������������������������<� ���$�

��"�# 2���"�#��< ?"��#

-�����������(�������"�#����"��#���������������

���"�#���"�9# 2���"�#�2���"�#��<� ��"�9# 2��< @ ���������������� B

"��#���$�������������������������������9�����<���������$��������9����������������������������9�����<�����������������������������<�

�� � ���9����������"����8�9#�2��9

� ��""����8�9## 2���"�9#

� ��"�#��"��8�9# 2���"�9# @�����������������B

� ��"�#��"��8�9# �2��<-���������������������"��8�9#����������$������������������"�#�

3���� ���$� ��"��8�9# 2�"��"�##8�9�%��������9

�������$���������������������������������$�������������

��+�� �)�����

�����6��9����<�������������������������"�9#�����������������<�

���������$�����6��9����<������������������3���������� ������9� ���$����"���#�2���"�#���"�#�

���� ��"�# ����"�9#����"�#�����"�9#���������

��"�#���"�# 2���"���#�����"�9#�

3����������������������������������������

����������9����������8�9����9����������"����

8�9#�2��9�� ������9�����������������������������9�3���� ���$�

��"����8�9# 2���"�9#

� ��"�#���"��8�9# 2���"�9# @�������������������B

� ��"�#���"��8�9# 2��<�%� ������<�����������������������"�9#�

3��������� "��"�##8�9 2���"��8�9#�

3����������������������$��������������"�#�����"�9#��������/������$���������������"��8�9#���

��"�9#�

-�������"�9#�����������������<�

���/���0�������

Example 1 #"$���"����"�����������$������$�����������$%�����$��$���"������$������������!�����&�

Solution: )����� ������� �������������������������,���������������"�����#���,����������,���"�����#�������(����-������������������������������������"8#����������������������������,�"�����#�������������������������,�� ������������2�E������2�95�����"��8��#�2�8�E���,��-�����������������������������������������

Example 2 '"��$%�����$��$�����������"��������$�����$����(��

������$�����������$%�����$������"�

����$���������!����)�

Page 120: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

� ������� � ���

Solution: )����� ������� �������������������������0���������������"�����#���0����������0���

"�����#�������(����-�����������������������������������������������"�����#�2��

�����������������

�����������������������2�5�� ������������2�E������2�5������

E

5�����������������-����������������

�������������������������"�����#�2��

���������������������������0�

Example 3 ����"���$��$���*���������������$��$���������$%�����$��

��� ���$����(�����+�,��$��)

��� ���$����(����$���+

��� ���$����(�-����������$��)

Solution: "�#� ����������0

� "���# ��0 @I����������� ��������������������������������B

���� � ��0������������<����0�

)����� ����������������� �������������������������������������"���&�<�#���0������������(����-�����������������"�����#�2�����&�<�����0������������������������������������������

"�# ������������&�"������������$����������#

��$�������"�����#�2�����)����� �����������$������������������������ ������������$�

�������� ����� �������������������$����������������������(�������

3�������������������������(��������$�����������-�����"�����#�2����������������������

"# ����������0�"������������������#

��$�������"�����#�2�M���"����#��)���������(����������������������0��3���������������"�����#2�M���"����#����������������������0�

Example 4 ������(�./��01���"����������"���������$%�����$����$������������$������

Solution: ��$���������2�:5��9;��3�������������������������"�#�������"�#������$��������� �

� 9 5 � 9 5

9 9 9 9 9 5

5 9 5 5 5 5

Example 5 $!%������"���$��$���*��������$��"����"���������$%�����$���$������$!!��������

� � � �

� �

� � � �

� � �

Solution: ���������$%�����$���$���������2���������$�����$!!��������������$����(����$�����#����

�������$%�����$���$������$!!�����������"�����"���$��$���*��

"�����# 2�"�����#�2��

"�����# 2�"�����#�2��

"�����# 2�"�����#�2��

Page 121: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

��� ������������� ���������� ��������������

����������������� ������������������

� � �

� � � �

� � � �

� � � �

Example 6 ������������ ��������������������� ���������

�������������������������������

������ ������ ����� ������ ��������������������������� !� �� ���������

Solution: �������� ����� ���������������������������������

��������� ��������������

!� ��������� �����������������

����������������������������������

��������������������������������

"� �� ��������� �����������������

�������������������������������������������������������������������

#� ��������� ��������������������������������������������������� ����������� ���������

$��%���&��'����� ������ ����� ������������������������%���������� ���������� �%�� � ���%�����(���������&��� ��� ��� %(�������� ����������� ����������

�����������(������%����������������������������� ������������� �� ������������

� ������)����� ���

� ��)����� ����������*

� ��*

�������������������*��+�����,���������

#�� ����� ��������� �%��������� ������������������������

!���������������������� �%������������������������������������� ��������������������������� �����

Example 7 "��������#����������$����� ������ ��� ����������� ����� ���� �������������� ��

� ������ ����������� ����

��� ���

�����������

���

��� %��� ������ ��� ��������������� !�

��� %��� ������ ��� ������������ �� !�

� � � �

� � � � �

� � � � �

� � � � �

� � � � �

Page 122: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

� ������� � ���

Solution: �������� ������-����������.��������� �(���� ���������������������%�����%��(�������������������

� � � �

� � � � �

� � � � �

� � � � �

� � � � �

��� ����������� �%�������������� "���������������������������� �(���� ���� ��%�����%���������� �������� !� ����������������������� �%

��������� ����������

�� ��������� ������������

�������������� ��������� �(���� ����%�����%� ���������� ���� �����

Example 8 � !���������� ��������������������� �������������� ������������������� �

���� ����� ������ ������� ������� �������

� � �

� � � �

� � � �

� � � �

Solution: ���������� ����� ��������������������%�����%��(�������������� ���� �

� � �

� � � �

� � � �

� � � �

���������� ��������������

!� ��������� ����������� �%���������������������

��������� ����������� �%���������������������

��������� ����������� �%���������������������

�������������� ����� ���������������������� ����������

$��%��&��'����� ������ ����� ������������������������%���������� ���������� �%�� � ���%�����(��������

&��� ��� ��� %(�������� ����������� ����������

�����������(������%�����������������������/��������(���� ���������� ������ �

������ ������������

������ ������������� �%

������ ������������

��������������%�����(����������������� �������

��������� ����� ���������������������� ���%�

Example 9 ������� ��������������&����&������������������ � ��� ����'�����������

������������ !����� ���������(�

Solution: ����� ����-)���).� �%�������� �(���� ������������������ �����0��� ������������������� ����

Page 123: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

��� ������������� ���������� ��������������

0 ) �)

) ) �)

�) �) )

�)������*��+�1�� ���� ���� � ���� ��� ��� ��� �� �� �� ������� �(���� ��������� �(� ������������������������)����)���������������������(����� ������%�

"���� �� !�*��+�1������ ����� ������������� ���� ������ ���� �����������(���� ���� ������%�

,- ��������%��� ��+�1������ ����� ������������� ���� �������%�����(�����������)�����

,- ��������%�!��+�1������ ����� ���� ��� ������ ���� ���)�0�)����)� �%���)�0��)����)����������)� �%���)� ���������������������

)������� !�*��+�1������ � ���� ��� ��� ��� �� �� ��)�0� ��)���� ��)�� 0�)����� ��� ����������(���� ���� ������%�

�������������� �� ���� ����������%���2�

Example 10 �������� ��������� #&�� ��� �(

$� �������� �� �� �� ��� ���� ������ ��� ��

���� � ��� ��������� ������������������ ���

Solution: �����������������������������(����������� ����3���)� �%�)��������2���*��/����� ���������� ��������� �(���� ���������� ��� ��������� ����� �������������������� ����

0 ) � �2

) ) � �2

� � �2 )

�2 �2 ) �

)������*���+�"��������������� ���� ��������������������������������������#������� ����� ������%�

"���� �� !�*��� +� ���� �������� ���� ��� ����,�������� �%����'��� �� �� ����,�������������� ������� ���� ����������� ���� ������ ������ ������%�

,- ��������%��� ��+�1������� ������������� ���� ��)�������������%�����(��������,- ��������%�!��+�1������� ���������� ������ ���� ��)�0�)���)4���0��2����3���)� �%��2�0��

���3���)�5�������������� ���� �����������������������������2���2��������������������������� �%�)���

���������������������)���������(������������� ����������������������������������������-)������2�.��� ������������������������ �(���� ������������ ����

Example 11 � !����-�� ����������� �����������������������!�������� �� ������

�!���

Solution: ����������%���������������-)���).� �%�������� �(���� ������������������ �����0�� �������������������� ����

0 ) �)

) ) �)

�) �) )

#������ ���1������ ����� ������������� ���� ��������� �(���� ��������� �(�������6�������������������)�����)���������������������(����� ������%�

"���� ����� ���1������ ����� ������������� ���� ������ ���� �����������(���� ���� ������%�

7,����������/%�����(��1������ ����� ������������� ���� �������%�����(�����������)�����

7,����������/��������1������ ����� ������������� ���� ���)�0�)����)� �%����)�0���)����)����������)� �%���)� ���������������������

��������������� ������������%��%���� ���8������2�

Page 124: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

� ������� � ���

Example 12 �� �����������������./������������������������

������

��

(

����������������� ����

��� ������� �

Solution: �������� ������� ��������� ���������

#������ ��� ����� ��������&��'����� ����%������ �(������ ������������ ��� ��������

�������������� ���������������� ��(���

2��������������������������

"���� ����� ��� ���������������

!�������������������

2

���������

���

9� �%�������������

��

2

������������

���

9��������������������������������

7,����������/%�����(� ��������� �%��������������%�����(��������������� � ����������

����

2�������������������� �����2������������(������������� ��2� �������%�����(��������

7,����������/������� ��������� �%����)�������������������������������

��������� ����������)�������2���������������� �����)���

9

����� ��9������������ �%�� �������

���:����� ����������� ��� ��������

#�� ����� ���!�� ��� �������� ��

2 2� ��� ��� � ��������� ������� �� �� ��� ������ ��� � ���

������������ ������ �� �����%�������

�������������� �� ���� �������

Example 13 *�������������������(���(���������� ���

� �

� �

���

�������������������0� ������� ����

�������1��!������������������� ���������� � ��� ���

Solution: ����������%������������������ ����2���2���� �� �������� �

� �

���

����������������������*���

�� ��� ��������

#������ ��� �� "��;������ ���"� �%�;� ������ ����������%����2���2����������������� ��"���;����� ��� ��� �� ���,����%����2���2��

1������%������������������ ���� �<"<��*� �%������*��5�����<"���;<��<"<���<;<���*�������"���;����� � ���,����%����2���2�� �%�<"���;<���*������"���;������������������������ ����� ������%�

"���� ����� ���&��'����� �� ���,��������� ������� ���� ������������"��;��#�������� ���"����;���#�����"���;����#����������� ���� ������ ������ ������%�

7,����������/������������ ���,�/���) ** )���

���

�����������</<��)���*������� ��� �������%�����(

������������

�� �

� �

� �

� �

���

������

���

����

���

) ** )

7,����������/��������1������(�"�������������,�������������"�)������������ ���"���"��)����/������

Page 125: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

��� ������������� ���������� ��������������

"��)���"%= "

" "

� �< < < <

����

���

) )) )2

2) 22

� �

� �

�4�� 2

���������� ������� 2

��

��������������� ��������%����������� ����

Example 14 *�����������#�

0

����

&

����

(

���3�����

4

�$�'�� ������ ��� ������� ���� �����������

)�5������������ �������� ��������

��

���2� ��� � � 2� 6

� � 2 6

2

2 � 6

�� � �

Solution: �������-�*����)����2���>�����?�.��������� �(���� ����������%�����%� �

��

���2� ��� 2

� 2

2

2

��

��

��

� �

7

77 � �

; ��%���������� �(���� ����%�����%� �������� ��

��*���*� ���*�4���*���)�����)4���@���)�����?4

��@���2������A���A����*�4��?���3������B���A����24� �%��������������� ���������������� ����

* �* �) �2 �3 �9 �@ �?

�* �* �) �2 �3 �9 �@ �?

�) �) �2 �3 �9 �@ �? �*

�2 �2 �3 �9 �@ �? �* �)

�3 �3 �9 �@ �? �* �) �2

�9 �9 �@ �? �* �) �2 �3

�@ �@ �? �* �) �2 �3 �9

�? �? �* �) �2 �3 �9 �@

#������ ���1������� ������������� ���� �� ��������������� �������������������������(���� ������%�

"���� ����� ��� ����

���2

����5

������!�����������%������������ ������ �

��2

��

5

� ��

� 2 5

� 2 5

� 2 5

2 5

2 5

2 5

� �

� � �

� � �

� �

� �

� �

� �

��

���

��

��

��

A

A )9

)9

A

)9

� ��%�����������%�������

���2�����5������ ���� �����������(����� ������%�

7,����������/%�����(��1���������������������� ������������� ���� ���*�������������%�����(������� ����*���2�����2���� ���2���*��)��2��3��9��@��?�

7,����������/��������1������� ������������� ���� �� �*������������������ �*� �%� �2� ��������������������������A���2�����C���)��2��3��9��@��?���������(��������� �������������������

��������������� ��������%���������� �(���� ����%�����%� ����

Example 15 %���� �������� ����!�������������- ��������������������������(����

Solution: ����������� ��������������%���

���������������������� �%��������������������������� ��������������� ���2������������������"� �����������2��������������������������� ���%�����(������������� �%����)����

����������������� �����2����)������������������������������������� ���������������%���� �����������,���� �6�� �������������������������������������

Page 126: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

� ������� � ���

�� ����� � �

��) ���

� �������)� ��������

� ���2

���� �

2 ���

Example 16 �� ��������� �������� ������

(

�������������1��!����������

Solution: �������� � �

2����

� ������ �������������(������� ����� ����� �������

Example 17 %��!����������������� ��� �� ������� �!������� �� �������� ������� �

Solution: ����������(�����������������������������������

��������������������� �����)����� �%����)�����

"� ����(��������� �������������������� ������������� �%���������)�����������

� ����)�����)� �������� D;(������E

� ������ �������� D���)����� �%����)����E

�������������� �� ���� �������

Example 18 %���� �������� �� �����

���

�����

��

��������������� !� ������������ ����

��� ������� �

Solution: ����������� ������ �%�����������������������������������������������

��������������������������������������������)�� �%������2�������(�%������������� ��

������� ���������4 ������

����)��������)������)� �%

����������2 �������2������2

!� ����������2 ��������

����)�������

� �

����2������2 ��������)������)��������

� ������)���������2 ���������)��������)������

� ������)����������2� ���������)��������)������

� �������2� ��������)������ D ����� ����� ����� �E

� �������)��� ��������)������

� �������)� ��������)��� DF������ ����� ����� �E

� �

���������)� �����������)���

� ������)������)� ����������������

� �����������) ��������

��������

� �������������� ��������

��������

� ������ �������� D ����� ����� ����� �E

�������������� ������� �� ���� �������

Example 19 �� �������������� ������������� ������ ��� ������� ���� ���������

�����

�������'��������� �������� �

Solution: �������� ����������������� ������������ �%�������� �(���� ����������%�����%��(��� ������������

#������ ����&��'����� ��%��������������������������� ������������������������������� ������������������������������������������������� ������ ������%�

"���� ����� �� �� ������������

!� ����������� �����������

� �����������

� ��������� >�� �

"� �� ����������� ����������

Page 127: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

��� ������������� ���������� ��������������

� �����������

� ��������� >�� �

1�������G� ������ �� �%�� ����������� ���� ���������������������������������� ���� ������ �������� ������%��5������������� ������

Example 20 *������#&����&�� ���� �$��������� ��������� ������ ��� ������� � ��� ����� ��

����������������

Solution: ����������-)����)�� ���� �.���� ��������%���������� �(���� ������������ ������������������%�����(�����������)�

!� 8�)����) D� ��)�)���)E

8��)����2 D� ��)�2���)E

�8� ����9 D� �� �9���� 2��2�����)�2���)�E

8��� ����9 D� ���� �9���� �9���� �2�2�����)�2���)�E

Example 21 �� ���������� �� � !� ������������� ������ ��� ������� ���� ���������

�����

����'��������� �������� �

Solution: �������������������������������� �%�������� �(���� ����������%�����%��(

������ ��������

#������ ���&��'��� �� ����%���� �� ����������� ��������� ��� ��������� ������������ ���������������� ������������������������������

������������������ ������ ������%�

"���� ����� ��� ���������������

!�������������������������������������������� ���� ������ ������ ������%�

7,�������� �� /%�����(���� ��� ���� ���� �� �������� �������������� ������� �� ��)� ���� �%� �)� ��������)���� ���� �������������������)���������%�����(������������

7,����������/��������� ��������� �%������������������������������������ ������������)������

��������� �����)

�����������)

������� ������������������������������������%�������,������

��

������������������ ������

Example 22 *������#����

(

���

7

���

8

���

9

���

4

����$��������� ��������� ������ ��� ������� � .

��� ����� �������������������

Solution: �������-����2���3���9���@���?����.���� ��������%���������� �(���� ������������ 6����

!� 8��� ��? D���?���E

8��2� ��3 D����2�3����?����E

8��3� ��2 D����3�2����?����E

8��9� ��3 D����9�3����)2�����?��2����E

8��@� ���? D����@�?����3*�����?��@����E

8��?� ��) D����?�)����E

Example 23 *������#0��&��(��7��8��9$��������� ��������� ������ ��� ������ � ����������4�

� ���������������������������� �

Solution: ����������-*��)��2��3��9��@.���� ��������%���������� �(���� ���� %%�����%���?�5���������%�����(�����������*��+����� ���8�*����)� ��*)���*�� ������������%���������%�����)�

)) ��)

)2 ��)���?�)���2

)3 ��)��?�)2���)��?�2���3

Page 128: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

� ������� � ���

)9 ��)��?�)3���)��?�3���9

)@ ��)��?�)9���)��?�9���@

)? ��)��?�)@���)��?�@���*

�������� 8�)� ��?

���� ��( 8�2� ��34�8�3����24�8�9����34�8�@����?�

Example 24 *���� �������� �������������!���������������������� ��� ��������������

�� �������� ������� �

Solution: ����������� ������ �%��%���������(��������������������������������

������������������������ ��8������2�� ����2���

� ������ ��

� ������������) ������

��)�������) D7,����������/%�����(E

� �����������)� ������) D"���� ����� �E

� ��� ������) D7,����������/������E

� � ������) D7,����������/%�����(E

�������(������������������������������� ���1��������������� �����������)� �%���������)�

"� ����(��������� ������������� �%���������)������������������������� �����

��)������)����������

�� ������ ���������

��������������� �� ���� �������

Example 25 �������� ������� � !����� ���� ������������������!��������-� �

0��/���� �� �� � ��

Solution: ��������������� %%����������������������������%�����(������������ ����� %%������������������������*��:������������������� ��8�*����)� ��*)���*�� ����������%���������,��������)�

!� )) ��)

)2 ��)���)���2

)3 ��)���)���)���3

�%�����>����1���������������� ���� ���������,�����������������������)����*��������������� ���%�����)������������������� �� ������� �����%�������������������

Example 26 *������������ ���������������������������

��������������������� ����

��� ������� �

Solution: ����������� ������ �%������%����� ��� �� �%� ��� ����������� ��� �2��� 4� �2���

�%�������2����

!� ������2 ��

� �������������� ��

� �������������� ��������2���

2

� ������������� ����������������

� ������������� �������������� D"���� ����� �E

� ������� �������� D# ����� ���� �E

��������������� �� ���� �������

Example 27 %���� ����������������� ����������� ��� ����������� �����:�%��������- �� ��� �

��� �������������-�� ��

Page 129: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

�� ������������� ���������� ��������������

Solution: ������������������������� �������������� �������������

����������%����������������->���3����2����)��*��)��2��3��>.������������� �(���� ��� %%������ ������%������������������5)� �%�52����� �

5)���-*��H�2��H�9��H�?��>��.� �%�52���-*��H�3��H�?��H�B��>.��5���� �5)���52����-*��H2��H3��H9�H?��>.��1���������������� ���� ��2��3����5)���52����������� ���2���3����@����5)���52������������������� ��������� ������%�

5�������5)���52�������� �������������

Example 28 �� �������#3���(�

��7

��(�

��(

��(�

��&

��&��(��(

(

��(

7

��3�$� �������� � ��� !����� ��*�

;���#&��(��(

(

��(

7

��3$�����������������'�������;� ����������� �������������

Solution: ����������->���2���3��2��2��2��)��)��2��22��23��>�.���������������� ���������� ���5���-)��2��22��23��>.��������������(������������ �%��������5���������� �����������5����5��������%���%����������� ����"� ���2���5��������2���)���5��������������� ,��������� ������%�����������5����������

������������Example 29 *������������ ���� �������������� � �������;� ������������������� �� �����

�������� ����������<����������;� ����������� �����!���!���������

Solution: ����������� �������������������%��� %%����� �%�5������������������������������ ������������������!� �� ��������5���������������� ���� �%��� ����������������������������������������� ��� ��������

���������������������������5��"� �������5��������������5�����������5���� �������������Example 30 �� ����������������������������� � �������������=���������������0��'

� ������ ��� ������� ���� �������������

��������������������������������������� ����������� ��

���� ��*��;��������������������� � ��������������������&������>���;� ����������� ������

Solution: ��������������������� ����%���%�� ������� ���4��� �����F������*��������� �(���� ������%�����%� ��������������������������������&��� ����������� ������� ������� ������ �������� ��������������������������������

#������ ��� ���������������������4��������������� ������*� �%�����*�!� �������������� ������������������ D�����*4��������������FE"���� ����� �� ����������������������� ������!� ��������D������������ �E ������������������� �

���������������� � >�� �"� ���D��������������E������ � �������������������� �

����������������� � �>�� ��������G� ������ �� �%�� ������ ��

��������D������������ �E ��D��������������E������ �7,����������/%�����(�� ��������������� �������!����������%�����(������������������ ��

������������!� ����� ��� �� ����������!� ����� �������� ������� �� �� ����� �� �%� ����� !��� ��� ��� ����)� �%� !���*����� ���� �%�����(�������

����!�����)��*������7,����������/�������� ������ �������� �%�������� �!����������������������������� ��������������� ��

������������!� ���)��*� D� �)��*����������%�����(�������E �� ����������!� ���)��*�

�������������� �������)� �%������!���*� �������)

� �%�!�����

�������������������������

����������)

���

�����

������������� �������� ���������������������������� �%������������ ������

Page 130: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

� ������� � ��

#�� ����� ��� ����������������������

��������� �� �������������� ��������������� �%

�������������� ���������������

5�������������� ���� ���������������������������������������������������� �� ���� �������

���5���� ��������������� ������������������������)������!������ �������'��������5�����������������

����)�������)�������5��������� ���)�������)��������)�����������5��5������������� ����%�����5�

����)�������5�����������������)���������)���������5��5���������(����������5�� �� ����������������

���������5���� �������������

Example 31 '����������� �������������� � ��� �������� ������ �� ����������&�

Solution: ������������������ ������������

!� )*���* D� )*������*E�))���)4�)2���)���)���24�)3���)���)���)���3� �%�����>����)���)�����)4)���2����)2����)�����24�)���3����)3����)�����3� �%����>������� �������������������� ������,������% �������������)�

Example 32 *������#0��&��(��7��8��9$������������ �������� ������ �� ����������&�����

��� � ����������4�

Solution: �������� � ����-*��)��2��3��9��@.��5������������� ������)��"� ���))���)

)2 ��)��?�)���2

)3 ��)��?�)2���)��?�2���3

)9 ��)��?�)3���)��?�3���9

)@ ��)��?�)9���)��?�9���@

)? ��)��?�)@���)��?�@���*

)A ��)��?�)?���)��?�*���)

��������������������-)��)2��)3��)9��)@��)?���*.���������%�� ������ ������������(������������������� ���)�

Example 33 1��!������������� ���������7� ������ ��

Solution: ����������� ���������%���3��������� ����3��������� �%��������������������������� �������������� ���%���������������� �������%������������������������� �%���

�� � ��-������.

!���(��������������(����������������������������������"����� ����(������������������� ����������������������������

� � �����������4�� ������������� � � �������������

��������� �������������

� ������� ������

� � �� D ����� ����� ����� �E

��������� � ������� ���

� ������� ������������ D7,�����������%�����(E

� � �� DF������ ����� ����� �E

&��� ���� '����� ���� �%��� ������%����������������������������5�������������������� �%������������� ���������������������������� ��������������

���� ��(���������������2������5����������� ������������� ����� ���� ���2���4�� ���2�������� ��

2 ����

��������� � �

2 ��

� �

2 ��������� D����������E

Page 131: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

��� ������������� ���������� ��������������

�������������� ���������������������������� ���� �%��� ���%��������

��������� � �

2 ���� ������� ������

�������������� ���������������� �������������� �������������� ����5������������� ���

2�����������������

� ��-������.���-������2.

��������������� ��(�������������������� ��� �

Example 34 *����������� � !����� ���� ������� �������#3����7����(����&��0��&��(��7��3$��*�

;������������ ������� !�����;���#�3�����?����4���7��0��7��4��?��3�$���������� ������������

����������

Solution: �������� ������->�����3����2����)��*��)��2��3��>.�

5 ��-�>�����B����?����3��*��3��?��B��>�.

����������������F�����������

!��*�������

5 ��5���*���-�>�����B���*����?���*���3���*��*���*��3���*��?��*��>�.

��-�>�����B����?����3��*��3��?��B��>�.

"� ���)�������

5���) ��-�>�����B���)����?���)����3���)��*���)��3���)��?���)��>�.

��-�>�����I����@����2��)��9��A��)*��>�.

���� ��(�2�������

�5���2 ��-�>�����B���2����?���2����3���2��*���2��3���2��?���2��>�.

��-�>�����A����9����)��2��@��I��))��>�.

Example 35 *����+��������� ���������-��������������-���������� ���� ��� ��������

���������� ���������� ���

Solution: �������� ������������%�����%��(����-�������-���������������������%�����(��������

�� -��� ���

� ���-� ��� �%���������

!��-����������������� ���-�������

�������� ���-��� ��

����������-�������

�� ���-��� �����-�������

5���������� ��������

/�������� (����� ��������������������� �%����������������

Example 36 *����+��&

����

(

��� ���������-����(�-

������

&

� �������� ����=��������������

��� � ��������

(

� �������� �������./���=������������������� � ��� �������������� ���

������ ���

���������������� ���)���� ��������F� �����������%��� %%����� �%��2���� ����������6:��F� �����������%����������� ����� ���-�������)

����������� ���-� ��2�-����2� �%���������2������2

!��-�������)���������� ��-���������)

�������� ���-����� ��2-����

��2�-�2��������-�������

�� ���-����� �����-�������

5���������� ��������

Page 132: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

� ������� � ���

�����������

��� J������������� �(���� ����������� ��������� �(���� ������������ �����������%����������"���-)����).�

�� ������ ������ %%����� �%��������� ���� ��� ���� �������� �(���� ����������������� ��� ���������

�� ������ ���/����� �%��F����� �������������� ������ ��������������������� �%��� ��������� ��� ���� ���������%����%�� �(� %%�6

�������������� ��������%����%�� �(��������� ������ ������ ������->���3��3��3��2��3��)��)��3��32��33��>�.���� ����������� ���� ���������%��

�%�� �(��������� ����� � /������������ ��������� ��� ������������� �����

� � ��%��� %%���� � � ��%����������� ������ J������������������� ���� �� �%���6 ���� ��������7,�� ��������������������, ������� �������� ���������� �%���� �(���������4��2������������2�������� ������� �� ���� �

�������� J������������������������%����� ����������� ������ �%��%����������������� ������ ������(����������������%���������� ����,��?��������� ���� ����� /������� ��(�������������%���)*����������%������� �(������ ���� ����������������� ������ �� ��(������������� ���� ��������(� ���, ������ ��������������������������� ����� �������� ����� �����������%��� %%����� �%�5�������������� �����������������

������ ��5���� ���������������� # �� �� ���� �������� �����6 ���� ���������K��� # �� ���6 ���� �������� ��� �� ���� ���������K� � # �� ���6 ���� �������� ��� ���6 ���� ���������K��� ������ ���������� ����� �� ���� ���������� ���� ����� ������ ������-)������2.���������(������������%����������� �������������������������

���������(���� ������ ������-)����)�� ���� �.���������(������������%����������� ����������� �������

� ��� �(�G� ����(�������� �� �2�����)��� 1������(���������������� ��(��������������-��� �2���3��>��� �I��� . �%���� �(

����� ���� ���������������� ����)���� �����������:���F� �����������%����������� ���� �%��2���-��)���).���

�������%����������� ����� ��������)����2�%�����%��(

���-� ��) �� *

) �� *

-

-

� �

������ ������� ���������� �������)����2�%�����%��(����-������)*��-����������)���� ����������������F� ��������

��%����������� ���� �%��2���� �������� ���F� �����������%��� %%������������ �������������

� �������)����2�%�����%��(��� �

� �

���

����������������������)���� �������� ����2���2�� ���,

� �

� �

���

���������� �����*���%��� ���,��������� ���� �%��2���� �����������:���F� �

���������%����������� ����������� ������� ���������� ������ ���������� ����� �� ���� ���������� ���� ��

Page 133: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

�������������������

���� ���������

������������������������ ������������������������ ��������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

�������� �������������������������������� ����������������������������������� �����������������

������������������������������������������ ������������������ ����������������������������!"��#$�����������������������

���������� �������������������������������� ��������� ������������������������������������������������������� ��������������������������������� ���������������� ������������������������������������������ ��������� ���������������� ����������������������������������������������������������������%������������

Channel DecoderTransmitted

Noise

Code Word

ReceiverEncoderMessage

Source

&�����������&������������'��

� �� �����������

��������������������� �������������������

������(������������������������������������������������������

������&������������������������������������������������ ��

����������(����������������������������������������������

Page 134: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

������������������� ���

��� �������(����������� ������������������������� ������������)��%������*��������������� ������� �����)��%�&������������������������������

� ��� ����� ��������

��������������������� ����������������������������������������������������������������������������������������� ������ ��������������������������#+�����������������������������",��������������",�������������������#+�� ����������������� ����������������������������� ���'������������������������������������������ ��������������������� ������������������������������

���� ��������

-���(�������� ����������������������������� ������-����������������������������������(���������.��/���(��������0.���/$���(���������������������� �����������

0.���/�$ 1�#

"

�� .� /����������������

���.� �/�����������������

���

�������(�� ��������������������������������������0(���$�������2���������������2��(�������������� �����������02���$������� ������0(���$�-������������.�1�#�"�"�#�"�"�#�����/�1�"�#�"�#�"�"�#�������������������0.���/$�1�#�#�"�"

"�"�"�

���� ��������������

-���(������������������������������������� ������-���.�����������������(��������� �����.�����������0.$����������������#+����.�

-������������������������.�1�#"#"#�����/�1�"""##���������������#+�����������.�������������������������������#+�����������/��������� ��������� �����.���3������������ ����/���4�

����� ��0.$ 1�3 ��� ��0/$�1�4�

���� ��������������������������

-���(������������������������������������� ������-���.�����/������������������(���������������������.�����/�������������0.��/$������������������������ �������0.���/$�

����� �0.��/$ 1���0.���/$

�������������������� ���� ��� �������� ���� ����������� �� ������ ��������� �����������

-��������������������.�1�"#"##�����/�1�#"#"#��'����������������������.�����/��������������0.���/$��'�

. 1�"#"##

/ 1�#"#"#�

0.���/$ 1�####"

Page 135: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

��� �����������������������������������������

��������� �0.��/$ 1���0.���/$�1�5

���� ���� �!

-���(������������������������������������� �������������������������������������.����/������������������ ����������

0�$ &������������� ������0.��/$�1��0/��.$0�$ ����� ��,�����������������0.��/$�����0.��6$�7��06��/$�

��������0�$�-���(������������������������������������� ������-���.�����/�����������������(�

�������� .���/ 1�/���.��������������� ��0.���/$ 1���0/���.$���� �0.��/$ 1��0/��.$

0�$ -���(������������������������������������� ������-���.��/�����6���������������������(�

��� %��� ����� �� 0.$� �� ���� ������� �� #+� ��� .� ���� 0.� �� .$� 1� "�� ���� ������� ������08���9$�����08$�7���09$ :�0#$

'�� ��0.���/$�1 ��0.���6���6���/$ �;� 06���6$�1�"<� ��0.���6$�7���06���/$ ;)��=�������0#$<

�����������0.��/$���0.��6$�7��06��/$�

���� ��������������������"���

���%�����������%������������������� ������������������������� ��������������� ������ ����%������������������������������������

-���2������)��%��������������������2����������������������������������������������������������������������2����������������)��%������������������������������������������

-��������������������������������������������������/�0��$��'��������������%���������������������������� ����������'������������%�������������������������������������� ��������������������/�

�������������������� ���������������%������������ ������������������������������������� ����������

���� �#$%!&!��%'�(%���)�� %*� %�+

-���.#��.4��������:����.��������������������2��*������������������������������������������������������/��������������������������������������������������������������������������������������������%�������������������������������������������������������>0.#��/$��>0.4��/$��:�>0.���/$��������>0.���/$��������������������������.���������������������������������������/��-��

>0.�?�/$ 1���� >0. /$�

�? @� � ��1�#��4���������������

�����.����������������������

Page 136: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

������������������� ���

����� �%+%!&!�%,*#+-���-�)%+.�� %*� %�+

A���������������������������� ����������������������0.#��/$����0.4��/$����0.3��/$������������0.���/$��-�����������

�0.��/$ 1���� . /�

�� � @� �� ��1�#��4��3��������������

������.�����%��������������������������������������������������

���/ �����

-���02���$������ ���������-�������������������������������������������������������������02����$������������

02����$ 1�!.������?�.����2������'B( �����0.����/$�1���0.�����$�� �������� ������������������������02����$����������������

�����������������������2�������

���������� ���������������������������� C

#� D�������������������2�4� ������������������������������������������������������������ ���3� �����������������������0�����$����������������������

���0���1�������

Example 1 �� ��������������������������������

Solution: 2����������.�1�"#"#"##�����/�1�#"#"#"#

'� . 1�"#"#"##

/ 1�#"#"#"#�

0.���/$ 1�######"

����������0.���/$�1�######"�Example 2 ������ ������������������������� ��! �� � ��"�����#������$�

Solution: 2������������������������������������������� ������������������������������%��������� ��������E�

&�����-��C -���. 1�"#"##�����/�1�#"#"#

'� �.���/ 1�"#"##���#"#"#�1�####"

������� ������������������� ���E�

����������.��/���(��������0.���/$���(�� ����������������(��������-��C -���. 1�#"#"#��/�1�#""""�����6�1�"#"#"

'� 0/���6$ 1�#""""���"#"#"�1�##"#"��������� .���0/���6$ 1�#"#"#���##"#"�1�"#### � �.���0/���6$ 1�"#### �����0#$

( ��� 0.���/$ 1�#"#"#���#""""�1�""#"#��������� 0.���/$���6 1�""#"#���"#"#"�1�"#### � 0.���/$���6 1�"#### �����04$

Page 137: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

��� �����������������������������������������

���������������������0#$�����04$���� ���0.���/$���6�1�.���0/���6$�� ������������������

=����������A�������C�(������������������F����������������� ����������������������������������

-�� .�1 #"#"#�����/�1���1�"""""���������

.���/��1 #"#"#���"""""�1�#"#"#�1�.����������0.���/$�1�. � /�1 """""���(���������������������������

=����������A�����C�(��������������������������������

-���.�1�#"#"#����������0.���.$�1�#"#"#���#"#"#�1�"""""�1��������������0.���.$�1������������������������������������������������ ��0(���$��������������������������� �������������������� ��������

Example 3 %���� �� ����&�#$����� �������� ����� ������ ���##� � �'���� �������(�

�������� ��

��������� &����������-��C -���.�1�#"#"#"�����/�1�"#"#"#

� 0.���/$ 1�#"#"#"���"#"#"#�1�######

��������� �0.��/$ 1���0.���/$�1�G :��0�$

( ���� 0/���.$ 1�"#"#"#���#"#"#"�1�######

��������� �0/��.$ 1���0/���.$�1�G :�0��$

��������������0�$�����0��$�������������������0.��/$�1��0/��.$�

����� ��,�����������C�-�������%��.�1�#"#"#"��/�1�#"""#"�����6�1�#"#"""��'�

0.���/$ 1�#"#"#"���#"""#"�1�""#"""0.���6$ 1�#"#"#"���#"#"""�1�""""#"

06���/$ 1�#"#"""���#"""#"�1�""#"#"��������� �0.��/$ 1���0.���/$�1�#

��0.��6$ 1���0.���6$�1�#

��06��/$ 1���06���/$�1�4����������� �0.��6$�7��06��/$ 1�#�7�4�1�3�����0.��/$�1�#���� ��0.��/$ ���0.��6$�7��06��/$

Example 4 %� �#���#�#��� ������� �����"���������� �����) *����������� ��

����� ����#�������������

Solution: -���.���������������������������/���������������������

'����� ������������������������������������ ��������������������������

�0.��/$ �� :�0�$

'���������������������04 �7�#$������������������.#��������

�0.��.#$ ��4� �7�# :�0��$

�����������������������������������������������������������������������������( ������������� ��,�������������������

��0.��.#$ ����0.��/$�7���0/��.#$

Page 138: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

������������������� ���

� 4 �7�# ���0.��.#$��� �7���0/��.#$

� 4 �7�# �� �7���0/��.#$� �0/��.#$ ��0 �7�#$ :�0���$

��������� �0.��/$ �� ������0/��.#$���0 �7�#$������������������������������ ����������.��������������������������������������

��1��������

�� -���.�����/���������������������0.���/$��������������������� �����0�$ .�1�##### ��� / 1�#####0�$ .�1�##### ��� / 1�"""""0�$ .�1�#"#"#"# ��� / 1�"#"#"#"0�$ .�1�""#"##"# ��� / 1�###"##""0�$ .�1�##""##" ��� / 1�""###"#

��� ������������ ��������������� ���������

0�$ .�1�##### �0�$ .�1�#####0�$ .�1�#"#"#"# �0�$ .�1�""#"##"#0�$ .�1�##""##"

�� ��������������������������������������������������������� �����0�$ .�1�#""## ��� / 1�"""""

0�$ .�1�"##"# ��� / 1�#"##"

0�$ .�1�""###"# ��� / 1�"#"#"#"

0�$ .�1�###"##"# ��� / 1�#""###"#

0�$ .�1�##""##" ��� / 1�###"##"

��� A��������������������������������������������������������������������� ��+�������������

��� A��������������������0(���$������� �����������(��������������������������������� ���H�

Page 139: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

���������

���� ���������

������������������ ������������� ���������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ �!���� ��������������������������������������������������"������������������������������������

��� ����

�����������������������������������������������#$%����������������# %�������������������������������� ������������������������ ����������

�������������

#�% &��������"��' (�� �� �� ��������$������#�% �����������"��' (�� ������� �����#��$��%�$���)���$�#��$��%#�% *"����������!�����'�(�������������������������������"��������������������+����

���������

��$�+ )�+�$���)����������

#�% *"����������!������'�(������������������������������"���������������������,���������������

��$�#,��% )�+

#�% &�����������"��'�(�������������#��$��%�)�#��$��%

������� ���������

#�% &��������"�� ' (�� �� �� �����#�� ��%����#�% �����������"�� ' (�� ������� �����#�� ��%� ���)��� �#�� ��%#�% -����������"�� ' (�� ������� �����������

#�% �� �#��$��%�)��� ���$��� �� ./�������������/��0#��% #��$��%� ���)��� ���$��� �� .� ������������/��0

�� � �������

!���������� ��������������������������

Page 140: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

��������� ���

#�% �� �+ )�+� ���)�+#��% ��#���% )�#���%���)���#��%

#���% #���%�#���% )����

#��% ����#�����% )��������������#�% #�����%���� )�����������������������1��2���������+�)�+�$�+

3������������� ��� �+ )��� �#+�$�+%

)��� �+�$��� �+ .-���������/��0

4�� ��� �+ )��� �+�$��� �+ 5�#6%

� ��� ��� �+ )��� �+�$�+ 5�#7% .�����!������/��0

3�����������������������#6%����#7%��������

����+�$�+ )�����+�$�����+� �+ )�����+ ./����&��������������0

3���� ����+ )�+ 5 #8%

4������ �+ )�+�$�+

3������������� �+���� )�#+�$�+%����)�+�����$�+���� .-���������/��0

4�� +���� )�+�����$�+���� 5#9%

� ��� +�����$�+ )�+���� 5#:%�.�����!������/��0

3�����������������������#9%����#:%��������

+�����$�+ )�+�����$�+����� �+ )�+���� 5#;%�./����&�����������/��0

&����� ����������#8%����#;%���� ��

�����+ )�+�����)�+

�#��% �������������������"����������������������#���%�������������� ��$�#���%�)�+

� �����#��$�#���%% )�����+� �������$�����#���% )�+ .<����������#�%0

� �����#���% )���#���% 5#6%

� �������������������������������������

���$�#���% )�+

� #��$�#���%%���� )�+����� ������$�#���%���� )�+ .<����������#�%0

� #���%���� )���#���% 5#7%

&����� ����������#6%����#7%���� ��

����#,��% )�,�#�� ��%�)�#,��%����#���%��������������������������,����,������

=��� �#���%�#���% )�#���%���� �)����

)���#����% .<����������#��%0

)���#����#���%%

)���#��#�����%% .<����������#��%0

Page 141: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

��� � ��������������������������������������

)������3��������� �#���%���#���% )������#��% ����#�����% )�����#��$�#���%%

)�������$�����#���% ./�������������/��0

)�������$�#��#�����%%)��������������

3��������� ����#�����% )��������������#�% #�����%���� )�#��$�#���%%����

)�������$�#���%���� .� ������������/��0

)�������$�#��#�����%)��������������

3��������� #�����%���� )��������������

�� �� �������

!���������� ���������������������

#�% #��6%���� )����#��% #��6%�#��6% )�6

�����#�%�������������� ����������������������6����

=�� + )�+����)�#6�$�#��6%%����)�6�����$�#��6%�����)���$�#��6%����

���� ��$�#��6%���� )�+

3��������� �#��6%���� )����

#��%�!���������������������������������#��6% ���)����

/�� �� )���6

4�� #��6%�#��6% )���#�6%�)�6

3��������� #��6%�#��6% )�6

��� ��������������������

!��������������������������������������������

���� ��������� ����!"

���� ��������������������������� �������������������

#�����% )�#�����%������������

����� ��!"�#�����!����$���!�

���� ���������������� ��������������������������"��������������6��������������

#6���% )�#����6%�)����������

Page 142: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

��������� ���

����% ��$$���!"

3����� ����������>+?��������������������$���� ��������

+�$�+ )�+ ��� +� �+�)�+

����������=������ �����������

����& '��$��!���!"

���� ��������������<��������� ����7�)����������������

����( � �)��!���!"

���� ��������������������� �������������������������������������� ����������������@�����

����* +����� �)��

/����������������������� ����������������+�����������������������������������"��������+���������

#�����% )�+�� ��������

����� �!��"��$�����!

������ �������������������������� �����������������������

/��������������������������� ��� �(���������������� ������������������������������������������� ����������������

A��������

#�% &��������"��'�1��2���������������������������� ������ ��������� ��

���� �������� ��#��$��%����

#��% �����������"��'�1��2�������������������� ���������������

���� ���$�#��$��% )�#��$��%�$���� �� �����������

#���% *"����������!������'�(���������������������"����+��������������

#��$�+% )�#+�$��%�)��

#��% *"����������!������'�(����������������������"���������������������

��$�#���% )�#���%�$���)�+

#�% &�����������"��' �(�������������������2������������������������ ���������@�������

���� #��$��% )�#��$��%

A����B����������

#�% &��������"��'�1��2������������������������������� ������� ��������� ��

���� #�����% ���� � ���������

#��% �����������"��'�1��2������������ ��������������������������

���� ����#�����% )�#�����%����� �� �����������

#���% -���������/���'�4������ ��� ���������������������������������� �������������������

Page 143: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

��� � ��������������������������������������

���� ����#��$��% )�#�����%�$�#�����%�� �#��$��%���� )�#�����%�$�#�����% �������������

#��% &����������/��'�1��2��������������������������� �����������������

���� #�����% )�#�����%�����������������

#�% A���*������'����������������� ��������6����

� �� #����6% )�#6����%�)����������

3����������������������������� ����������������

���% �����,��-���+����.���

��������������� ���������������������������������������������

����� )�+���������)�+������)�+������������������������

4��������� ����!������� ���������������������������������� ���������������������������������������

��%� �������

��������������� ����������������������������������������������������������

�����#���� ��������%�/�������������������� �������������������������

�/�� �������������� ��+�������)���

� �������� )�+

� ��#�����% )�+

�������+����������������������������������������������#�����%�)�+ �3����������������)��

C������������������������������

4���������������������������� ������������������������

#���������������%� /������������������������������������ �� �1�������������������������������������

!���������� ����#�����% )�+����� ����+��������+

� #�����% )�#����+% . ����+�)�+0

C���������������������������)�+ �3����������������������������������+

3������������������ �����������������

���& ���������/���

��������������� ��������������������������� ��������

4��������� ������������ ������������������������������������� ���������������������������

���( �.���������

!���������@��������������������� ���������� ��������������������������������� ����������������������

Page 144: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

��������� ���

��* ����

���� �(���������������������������@���������������������������������������� ���� �!������������������������������������ �<������������������������������+���������� ������������������������������������6�������������� �������������������������

��*� �������

*����������������� ��������

���� 4������������(��������� �3���������������(�����������������������

��� �3������@�����������������(��������� ���������������������

D������������������(��������� �������� ���� �(���������������������������

/�� �������(����� ��+����������

����� )�+

� ���6��#�����% )�����6 �+� .�������������6���(0

� #���6���%���� )�+ .����������/��0

� 6���� )�+

� � )�+

3�������� �� #�� ��% )�+������+�����)�+

4������������������������#�����%�)�+������+�����)�+

4�����������(������������������������� �C������(��������� ��������

��*�� �������

���������� ����������������

����� /������������������ ��������

/�� � )�>6��7��55���?�����������������������������������

���� ������������������������������)�6��7��5 ���

=������������������ �������������������������������� ������������������

D���������������������������� ������!����������������������������������������������������������������@�����������������������������������

#�� ��������������% /�������+����

=��� �6���7���8���5 ���������������������������������������� �!������

��� �� )����� ���� �����

� #���������% )�+

� ���#�����% )�+

� #�����% )�+ .������+������������!�����0

� �� )��3������������������������������6��7��5�����������������

4���������6���7���8��5��������������������� �3�����������������������������������������������E�F�����������

/�� � )���

��� �� )���)��� .��������������0

Page 145: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

�� � ��������������������������������������

/��������2������������������� �=����������������������#���%����������������������6��������

��� � ��� )���)�����=��� ������ )���#���%

)�#�� ��%� �� .����������/��0

)�������)��4�� ������)����3��������������E�F�����������������������������������6��3�������

������������������������

#�������������������� �%

1������������������6��� �4��6������������������E��F�����������

���� �� )�6 �3�������������������������������������

����� )�6�)������C�������������������������������������������@��������������

��*�% �������

3���������������� �G��)�>+��6��7��5 �����6?������������������������� ��������������������������������������

���� �����G��)�>+��6��7��5 �����6?������������������ ����������������������@�����������

4�����������������������������

/�� ����� ��G���������+������+��������#�����%���+�����

3��������������� �������������������� �3������������� ��

� ��+������ �������+�����

3������������������������������������������ �C������G�������������������������

3����������G����������

&�����������4������������G��������� �1�������������������������������������

4���������������������������������

� �� )������� #6�H������H��%

� ����� ��+����� �#6%

=�� � )�6���������

)�#���6���%������� .�����6����)�60

)����6�#���%�����

)����6��+�)�+

3�������� �����)�+ �3�����������������

3���������������������������

���� �-�������-������������

!������I������������������������������������#��J��%�������������������������������������������I���� �4��������I���������������������������������������������������������������������������������I���������������������������������"������������I��� �3�������������2�������K ���������������

Page 146: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

��������� ���

���0 �-����������������������

/���#���$��� %�������� �����+���������������� �!���������"��������������� ���E�F����������

�� �� )���$���$���$�5�$���#������%�)�+��������

3���������������������������� ���E�F� ���������������������������������� �3���������������������������� ������������

&�#�%�)�4������������������ ��� ����������� � � ) �+� �

+ ��������

� � � �� ����

!����������E�F��"�������������� ��������������������������������������������

/������������������� �!;�)�>+��6��7��8��9��:?��������������������������;��� ;� �3����������������������������� ����������;������;�����)�+�������������!;�

��0� �������

3����������������������� ������������+������J�+������ ���������������������������� �������������������������� ������������������+����E�F������������

���� /������������ ����������6 �C���������������������������

&����6�' !��������������6�������������������������������������������� �������

&����7�' !��������������6�����#����%������

6 6 6 6� � ��

� ����� ��� ���

)�+ �������

� ���6 )�+

=���������� � �����������

�� )���$���$�@@@@@@@@�$���#�������%

)�6�������6�����$�@@@@@@@@�$�6���� .� 6�����������0

�)�#6�$�6�$�@@@@@@�$6%����

)�#����6%�����)�#+����%�)�+

���� ��� )�+

3�����������������������������������

��0�� �������

3������������������������� �����������������+�����������������

����� /�������������� �������� �1������������������������������������������� ��� &��#�%���������+�����������������

/�� &��#�% )��

/�����������������������������+��������������������� �3������������)��6����7������6���7

�����������

=�������������������������������������������������������������������������E�F ������+#�%�)��

� ������ )�+

� �#�6����7%�� )�+

Page 147: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

��� � ��������������������������������������

� ��6� �#�7� ��% )�+ .����������/��0

� �#�6����%�#�7����% )�+ �.��#�6����%�)��60

��������������������������������6� ���)�+�����7�����)�+ �3��������������������������������������������E�6F����E�7F

3������������������������������������������������������������E�F �4������������������������ �3����������E�F������������������������

���1 ��'�����

(������� �#���$���%��������������������4���������������������� ��������#4�$���%����������� ���������������������������������

(��������� �#!��$���%����������������������� ��������������

��1� �������

3������������������������������������#4��$�� %��������������� ���������� �#���$�� %��

#�% ��������4 � ��������4#��% ��������4 � �������4

1�����4�������������������

����� �#���� ��������% 4������������#4��$���%�������������� ���������� �#���$���% �3�������������4����� ������������������������

=��� ��������4���������#���%���4

� ��������4�����������������������#��$�#,��%%���4���������4�����#,��%���4 ���� �#��,��%���4

4������������4���������������������������������

� ��4������4

�� ����� ��4

#���������������%�4�����������

#�%���������4 � �������4���

#��% ��������4 � �� �����4

=�� �� ��4������4

� #�����% ��4

� �+ ��4 5�#�%

� ��� �+ ��4������4

� #+����% ��4

���� ��� ��4

� ��� � ��4��������4

� ����#���% ��4

��� #��$��% ��4

3�����������������������"�������������������������������������4 �3����@������#4��$�� %������������� ���� �3��������� ����������������������4����������������

Page 148: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

��������� ���

��� � -//��-��/

/����6�����7���������� �����������������

�'��6����7����������������������������������������������� ��������

#�% �#��$��% )��#�%�$��#�%#�% �#�����% )��#�%����#�% � ��������

�� �� �������

!������������������������� ��6������� ��7�����

#�% �#+% )�+#��% �#���% )����#�%

����� #�%�/��������6 �3�����������"���������������������+����6�����������#��$�+%�)��

� �#��$�+% )��#�%

� �#�%�$��#+% )��#�% .�����������������0

� �#�%�$��#+% )��#�%�$�+ .+������������������70

� �#+% )�+ ./����������������/��0

#��%�(��������� ��6� � ���6��������������6

=��� ���$�#���%�)�+

� ��#��$�#���%% )��#+%

� �#�%�$��#���% )�+ .����#+%�)�+0

3�����������������#���%������������������������#�%����7

3����������� #���%�)�,��#�%

�� ��� �������

/����6������� �����������������6��������������������������6������7���������#6%����������������������7

������������������������� ������������������������ ��6������7

��� ��'���6 ���7��������������

/���6���6�������������������#6%����7

=���������� �6 ���7�����������6�)��#�%���������������6

3��������� �#6%����6 )��#6%����#�%

)��#6����% .�����������������0

)��#�% .*"����������!�����0

)��6

3������������#6%����6�)��6��C�������#6%�����������������������7

�� ��% �������

*������������������ �������������������� �������������

����� /����������������������� �������������������������� �������������� ���� ���������������������� ���������������������� ��

D�������������������������

Page 149: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

�� � ��������������������������������������

/�� ����������� �C������������"����������������������

�� )��#�%� �� ���)��#�%�

=��� ������� )��#�%����#�%

)�� #�� ��% .�����������������0

)�� #�� ��% .��������������0

)�� #�%� ��#�% .�����������������0

3��������� ��� ��� )�� #�%� ��#�%�)���� ���C���������������������� �����������������

��� 2��������-//��-��/�������

!��������������������������� ��������������������2�������������������������������������!�#�%�������� �������������������������������������������������������������

���� �!�#�% )�>�����L��#%�)�+��+�����?

�� � �������

!������������������������������������2������!#�%�����

#�% !�#�%�������� �������������������#��% !������!#�%���������������#����%����#����%���!#�%

�����#�%����������������������������������������2������!#�%

D����������!#�%�������� ������������������� ������!#�%�������������������������������"��

/�� ����� ��!#�%

3������������� �#�% )�+�����#�%�)�+

=��� �#��$��% )�� #�%�$�� #�%�)�+�$�+�)�+

C����� �#��$��% )�+

3��������� #��$��% ��!#�%

� �� ��#���% )����#�%�)�+

C����� ��#���% )�+

3��������� ��� ��!�#�%

3��������������!�#�%������ ��������������

#��% 4����������������!�#�%��������

=��� � #����% )�� #�%�����#% .�����������������0

)�+� ��#% .����!�#�%�����#�%�)�+0

)�+

4�� � #����% )�+

3������������� #����% ��!#�%

4���������������������������#����%���!#�%

Page 150: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

��������� ���

��� � ��/��-��/

������� ���������� ��������������������������������

#�% ���������������#��% ��������@���

��� ����������������������������������������������������������@��@���������

�� �� �������

3��������������������������������� �������������������������������������!#�%�)�#+%

����� #���� ��������% /����'����������������������

3��������������������������������������@���

/�� ����!#�%����#�% )�+

� ��#�% )��#+% .�������������������#+%�)�+0

� � )�+ .�������@���0

4�� ����!#�%���� )�+� �������

3��������� !#�% )�#+%

#���������������% /�� !#�% )�#+%

/�� ������������#% )��#�%

=��� �#% )��#�%

� ��#%����#�% )�+

� ��#����% )�+

� #����%���!#�% )�#+%

3��������� ���� )�+���������)��

4�� �#% )�� #�%����)��

3����������������������@���������������������������

���.���3�/�����

Example 1 ��� ���������� ���������� !��������������������"����������������������������#

���� ������������������������������ ����������������������$�

Solution /��������������������������������������������#�����%

1���������������������������� ����� �������������������� ������������������

A��������

&�������/���'�/��������<�������������������������������#�����%

4���#��$�<%���������������������"���������#�����%

3�������� �#��$�<% ���

��� ���< ���� �� #��$�<%����

����������/���'�1��2�������������"����������������� ���� ����<��&���������������

��$�#<�$�&% )�#��$�<%�$�&

*"����������!�����'�(��������������������"���������������"�������������"�.+0������������������

Page 151: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

��� � ��������������������������������������

��$�+ )�+�$���)��

*"����������!�������'�(����������������������"������������������#���%��������������

��$�#���% )�+

&����������/��'�1��2�������������"����������������������� �(������<������������

�#��$�<% )�#<�$��%

A����B����������

&�������/���'��/������<���� � ��� ������<��������������������������������#�����% �=���������� ������<�������� ���������"���������#����%

���� ����< ���

����������/���'�1��2�������������"������������������������

���� �����#<���&% )�#����<%���& �� ���<��&����

-���������/����'�/������<��&���� ���� ����<����&����������������������������������#����% ��������2��������

����#<�$�&% )�����<�$�����&3��������� ��������������������������������� �C�������������

Example 2 ���%�� ���&����������$�����������������

"� ��'���(�) � ����%

"�� ��'���(�)������� ���(���� �������%

"��� %�� ������������������$�

Solution ��������������<���������

���� �7 )�� � �����

#�% /�� ����������������������#��$��%����

� #��$��%7 )�#��$��% .���7�)��0

� #��$��%���#��$��% )���$��

� ����#��$��%�$�����#��$��% )���$�� .-���������/��0

� �#������$������%�$�#������$������% )���$�� .-���������/��0

� #�7�$��7�$��7�$��7% )���$��

� ��$���$���$�� )���$��

� ��$�� )�+ .&�����������/��0

#��%�4����������� ��$�� )�+�����������

� �������������������������$���)�+

3����������� ��$�� )���$��

3������������� �� )�� .&�����������/��0

#���%/����������������������������#��$��%���� ����������<��������� �������������#��$��%7�)���$���� #��$��%���#��$��% )���$��

� ����#��$��%�$�����#��$��% )���$�� .-���������/��0

� #������$������%�$�#������$������% )���$�� .-���������/��0

� �7�$�������$�������$��7 )���$��

� ��$�������$�������$�� )�#��$��%

� �������$������ )�+� ����� )��� �� .��$���)�+���������)��0

3����������������������������

Page 152: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

�������� � ���

Example 3 ������������������������ ����!���������������������� ��������

Solution 1��������������,� ��������6�������#��������

+� ��6��������������/����.������,�����������������������

/��������$ � ��7�8

0�� ����������,������� ���������������%

Example 4 "������������������� ������������������������#��������������������#���

��$���$$������������������������ ��������������������������������

Solution 1����������������������,��������)��)�����������,��� �)���� ����������������#����##����%

���� ���� ������

��������,���������� ����������������$������6����

�� $ �� �������)����������������� 3��������� 4

�,���$ 6���� ���6���6�����+� $ ����������6���6� ������6���6���������6���6� 3-���.������� 4

�����6������6�������6������6 3-���.������� 4

����������������� 99���

�,���$ ����������6��6� �����������6������������6 3-���.������� 4

����������������� 99����

���.����,��*������������#������ ��,�

��������������� �����������������

� ���7����������8 �����7����������8 3�� �������� 4

� ���������� ������������ 3��� ���������� 4

� ���������� ������������ 3�� �������� 4

� ������ �������� 3��� ���������� 4

/��������$����������,%

Example 5 "����������������� �%����������������$����&���&���'������������(����$������

Solution ����� ���#��� ��*��������� ������#�&����������,����

� ��: �

� �

���

�����#�&��

� �

: �

���

���

0������������#�&����$�.�

�����&� ��: �

� �

� �

: �

���

������

����� �

� �

���

�������

/��������$����������,� ���;����#�����%

Example 6 "����� ��������������������$� �#� �� ��&���#&� ���&���#���� �����'���������� ��

����������������

Solution 1��������������,� �������$����%�6����%�����,���������#�����2���#2����2���#$������%�,���$������6����������������#�6����

/��������$ �#��������6��2 ��#2��������6�2

Page 153: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

��� ������������� ���������� ��������������

� ��#�����#�2 ��#2�%���2���2����6�

� ��#�����#�����#�����#� ��#2�����2���2����6�� #�����#�����#�����#���#���#�����#2 ��#2�2���2#2����#2

� ��#���2���#�����#���#���#�����#2 ��#2�2���2#2����#2

� �#2��2����#�����#���#���#������#2 ��#2�2���2#2����#2

� �#���#���#�#�� ��2#2�� �3������#���,����� ���������� 4

� �#���#���#2�� ��#2�����#2��

� �#���# ��#2�� �3��� ���������� 4

+� ������)�� ��,�#�.���#��6�� ������

�#��6�����#���6� ���#���6�2��

� ��#���������#���6� ���#2���2#���6���

� �#���#���#�������#���� ��#2�����2�#������

� #2�����#�������#���� ��#�����2�#������ 3��#��#���#2��4

� #�������# ��2#� 3������#���,����� ���������� 4

� ��# ��#��

/��������$����� ������������,%

Example 7 "�������)��� ��&��*��+��,-������������$�������������������.��$��.���'�������

���������������(����$������

Solution 1������������7�$�6$�2$�<$�=$�:8�.�������,���#���.�������)�������>���#��>�%

0����2�������#�<��������� ������;������������ ����

�2���< ���/��������$����������,� ���;����#�����%

Example 8 ������������������������$�/���$���$$�������$��� ��� ���������$�/��'�������

�������������������������������� ������

Solution 1��������������������,�����#�?���#����##�������#�����)�� �������#�?%�/���)���������#�����#��

��� ��������� ������������������#����������� ����#���#�#�.��?%���� ��������� ������������������#����������� ����#���#�#�.��?%5�$����� ���������� ������?�������%����%�����7�$�6$�2$�<$�=$�:$�>8%

�������������� ��������

� � 6 2 < = : >

� � 6 2 < = : >

6 6 2 < = : > �

2 2 < = : > � 6

< < = : > � 6 2

= = : > � 6 2 <

: : > � 6 2 < =

> > � 6 2 < = :

Page 154: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

�������� � ���

����������������������� ��������

% � 6 2 < = : >

� � � � � � � �

6 � 6 2 < = : >

2 � 2 = > 6 < :

< � < > 2 : 6 =

= � = 6 : 2 > <

: � : < 6 > = 2

> � > : = < 2 6

'�#����##����

��������� ������������.��������##�������#����?����� ���������������

$������ �������������� �������� ������������.��������##�������#����?����� ���������������

���������� ������������ � $��$������%�� ��6$�����<$�����:%

/��������$� ������

����������� ��6����<���:����6���6���2

��# ����������� ���6���<����:���=���:���2

/��������$% ���������� ������������

����� ������#������������������ ��������.��������##�������#����?����� �������������������#�����������%

���� ���� ��� �� ��������� ����� ������� ���������� �.��� �����##�������#����?� �� �� ����� ��� ��� ������

��������� �$�6$�2$�<$�=$�:$�>������$�>$�:$�=$�<$�2$�6�������)� �����%�/��������������������<��=�.� ����<���=����%

������������������������������������������ ����������������%������������ ������������.��������##�������#����?����� �������

���� ������� �� $������'�#���(���)�� ����

��������� ������������.�����������)�� �������#����?����� ���������������

$������ ������������ �������� ������������.�����������)�� �������#����?����� �������

��������� ������������ � $��$�������� ��<$�����=$�����>%

/��������� ������

���������� ��<����=���>����<���<���2���#���������� ���<���=����>���:���>���2

/��������$� ��,� ���������� ������������-���.������� ��

Page 155: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

��� ������������� ���������� ��������������

������6$�����=$�����2%

0�� �� ������

���������� ��6����=���2����6���>���>����#��������������� ���6���=�����6���2����>

/��������$� ��,� ���������� ������������������������� ������������.�����������)�� �������#����?����� �������

���� ������ �� $������'���������������������.�����������)�� �������#����?$����2�#��� ���� ��������#� ��

���6�����������#���������������������������������%�0�� ������������������������������������6������ ����

�6���� �� � ����%/��������$����� ������������,� �������������%

Example 9 '��������������������������������������������(����� ������������� ��� ������

�������������������������(����$������

Solution 1�����������������,� �������%

����������#�����%�,������������)������6���5�))����������������� ������������

� ���6��������� �����6����� ����6������ ���� �� ��� 3���6%�����64

/������� ����#� ���%�/��� ����#� �������� ���������%�/�����#� ��������������;����#�����%

Example 10 0����������������1&���&����������������������'�$�����$�

' ����

#

# �

# �

#

��

�� 2�#�������

����������������

Solution 1���������(2���2����.�������,���#

5 ����

#

# �

# �

#

��

�� ���#$������

���

@���, # �������� ������

�� �

� �

��

�� ��5�����5������A��)�%������5����%

/��)�����5������.����,� ����������� ����5������� �������

��� ����&���5� ��$�&���5���� ����&���5� ��$�&���5

�� � ��#

# �

# �

#

��

�� ��#�&��

� �

� �

��

�� �� �$��$�#$������

+� $ ����& ��# �

# � � �

# � � �

# �

� �

��

� �

�� ��5

Page 156: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

�������� � ���

��# �����& �#

# �

# �

#

��

��

� �

� �

��

��

��#� # � � � # � � # � �

# � � # � � # � � � #�

��

��

� �� � � �� � � �� � � � � �� �

��5

/�����)������������������������������ �������&����#��%&��������,��%�/��������$�5�����.����,%

Example 11 "�������)��� ��&��*��+-������������������������������������������������������

��,��$���,��'�������������������� �$�����

Solution 1������������ 7�$�6$�2$�<$�=8�.���� ������������,� �����)� � �� ���.������)��������:���#���:%�������� ������������������� �����;�������������������� �� ������������%�0�� ��������

���,����#�����%

Example 12 "�������)��� ��&��*��+��,��.��/-�����������������������$���������������������

��3��$���3���'������������������������ �$�����

Solution 1������������7�$�6$�2$�<$�=$�:$�>$�?8�.���� ������������,���#������.�������)���A�����B���#���B+� � 2 ������#�=������ �����2���B�=����/��������$��������������,����#�����%

Example 13 ����)����������-�$����������������������$���������������������� ����������

� � � � � � � � � �

�� � � � � � � � � �

� � � � � � � �

� � � � � � � � �

� � � � � � � �

�� '��,������ ��������#�#���.������� �#�����������������������.���"�)� �%��� ������ ������������,�C��� -���������������C������$����#��������������%�$� ��������,�������,����#���������������#%

Solution ����+� $���������������������� 3� �����������4

��������������� 3-���.������� 4

�����������

/��������$ ����� ����,���$ ������� ������������� 3� �����������4

��������������� 3-���.������� 4

�����������

/��������$ ����� ����,���$ ������� ������������� 3� �����������4

���������������� 3-���.������� 4

Page 157: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

�� ������������� ���������� ��������������

�����������

/��������$ ������� ���5��������$ ������� ������������� 3� �����������4

��������������� 3-���.������� 4

�����������

/��������$ ������� �����# ����� ������������� 3� �����������4

��������������� 3-���.������� 4

�����������

5�$���� ��)�����.�����,������

� � � � �

� � � � �

� � � � �

� � � � �

� � � � �

��� ���������.�����.������� �����������%����������#����%�������%�/�����)�������%���������%���%/��$���������� ������������,%

��� ������ ��������������.��$�������,�#������ �������������#���� ��#��������������������%

�$� 5�� ��������� ��������$�����������������,����#��������������#%Example 14 �����������$������$������������������ ����������������$��

Solution 1��������������,���#�$��$��$�$����

+� $ ��������������$� �����������$�� 3�����������4

��������������$ 3-���.������� 4

������������������������$��������������������$�������$ 3-���.������� 4

Example 15 ��������������$��#�����&���#&���&#�����&�����������������������������������

#��������

Solution 1��������������,���#��#�����2���#2���2#�����2�����#$������%

� ��#�������#����� ��#2���2#�����2

� #��#�����������#����� ��#2���2#�����2

� �##���#�������#������ ��#2���2#�����2

� �#2���#�������#����2 ��#2���2#�����2

� #�������# ��2#� 3��� ���������� 4

� �#�������# ��#�����#��

� ���# ��#�� 3��� ���������� 4

/��������$����� ������������,%

Example 16 0���������������������������������������&��������

������2 ��2����2���������2 �� $������

Page 158: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

�������� � ���

Solution �����.���� ������������,� ��� ���� ���� �2%�/�����#� �������2��������������������%

+� $ ������2 ������������������������������������

��2��������������2 3���� ��������4

��2���2�����2

��2��������2 32����4

��2����2

� �������2 ��2����2

5��������$ ������2 ��2���2�����2

��2��������2���2����2

� �������2 ��2����2

/��������$ ������2 ��2����2���������2

Example 17 '������������ ����������������������������������������������&�

Solution 1�����������&����������,%�/�����)����2����������������%

�� $ �� ���

� ������� ���� �������2 �������� 3��2���4

� ��������������� ��������� ����������������� ������

� 2��������������2 ������������

� �������������� ������������

� ������������������ ������������ 3�� �������� 4

� ������� ���

� �� ���� 3�����&����������,������������������4/��������$������� ������������,%

�,���$ �����2 �������

� �2���2���2���2 �����

� ������������� �����������

� ��� ��� 3������� ���������� 4

� 2 ���

0�� �$������� ������������,� ��� ���� ���� �2%

Example 18 0������������������� ����������������������$�����$��#�������#����� �� ��$

#� �����#�������#��������������������'���� ��$$��������������������

Solution 5�))������5�.���������������##����,��%����$�����5%�/�����)�������#�������##����,��%

+� $ ���� ��������6�,���������������������������##�������%

� ������6����##� ������6���5

Page 159: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

��� ������������� ���������� ��������������

� ������55��������$� � ����� ��� ��D� ��%�0� ����$� ��"�� �������� ��� ���������#������ ���##%

/������������������������##%

� � �����5�������5$���������##����������������� �� �����##���� ��.����,���5$�����������5%/��������$�5������.����,%

Example 19 '���������������������������$��������������$������������

Solution �����.����#����������,%�/��������$��������;�����������������������,���)���#������)�� ����%

�����.���������)����#�����#�������������������%����������%����������������6��������%�����������)���$�����������%�!����������� ���������6���������6%�,���$ ����������6� �����������6�������6����6������

� ����������6� ��6�/��������� ��,� ����6� ��������6%/�����#� ���������������A;�����������������������������%�/����������#����������,%

Example 20 5�� ������������)�� ����,�����������,����#��������������,����#�����%

Solution �����.��������,����#��������#���.���������)�����������������$����������������%5�� ������������,����#�����$����� ���� ������������,� �����;����#�����%���� $

�����$��������#�������� ���������������%

� �������� ���� ��������� ��� �������� ��������� ��� ���5�� ��������������)���$�����$���������)���������������$����������%/��������� ��,������������#�� ����������)�������������������%�0�� ������� �����;����#�����%�,���� ��"�� ���������)�� ����,������� ������������,����� ������������,%

/�����#� ������������� ������������,� �����;����#�����$������������,����#�A����%

�����������

�� @������������������������.���������������,���#�����#�������##���������)�� �A���%

��� 5�� �����������������������.���E�������� ������������,� ���������������#�����#�������##�������#�����)�� ����%

�� ���5���7�����2�F����#����������,��8�����������,���#����##�������#�����)�� ����%��� /���������7�$�6$�2$�<$�=$�:8����� ������������,� ����������������#����>���#��>�%

��� /����)���������������������6����#�����������������������#�����#��������������,��%�5�� ������������� ������������,���#�������)�������#�����#%�-�������������������C

��� 5�� �����������������.����������)���������2����$���������������,����#�����%�� 5�� �������,�������,�����$������������,����#������.���������#%

�� �@���7�$�6$�2$�9�$�@���68$� �����@�����)����%�5�� �����@���������,����#�����%

Page 160: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

�������� � ��

��� 5�� ���������������.���,�����.��7������2G�$�����8��������,���#�����#�������##������#�����)�� ����%

��� �������7$��$��$�$$��8��/����)�����������#����������#�����#��

� � � $ � � � � $ �

� � $ �

� � � $ � � � � $ �

� � $ � � � � � � $

$ $ � � � $ $ � � �

� � � � $ � � $ � �

�� 5�� ������$��$�%������ ������������,%��� !���������##������#�������#������C

��� !���������������������������$��$��$�$�C

��� 5�� ������������������������.������� ������������,� ����������#�����#������##�������#�����)�� ����%

��� -���������� ��,��������������,����#������ �����)� �����#�������##�������#����)�� ����%������$������� ������������������#%

�� ��� 2� ����7#�F�#���� 2 ��������������8

��� 5�������������,��

��� 5�����)���������,��%

��� 5�� ������$��$�%�������.����,�����E$��$�%�� �� �������.����,������$��$�%�� �� �������.����,�����$��$�%�%�!����

��� 5��������,��E�� 5����������������.����� 5�������������.����� 5����� ��)�������.��

���� 1�����������)�������� ������������� ��,%

�� �����A ������������, ��� ���,� �����;����#�������� -����������, �$� �����,� �� �������������,����#�����%

��� 5�� �������������*����������������#������������������A ������������,� ���������#�������������##�������#�����)�� ����%

��� 5�� �����������������,�����#�����#�������##�������#�����)�� ��������� �����A�������,� ���������������%

��� /�������������������.�����#���������##�������#�����)�� �������������#%

��� �����.�������,%�@����������������������������������������$���������#��$������%���� 1�����������)�����������,� �� �� ���������������������� �����<����%�������

���,����#�����%

���� 1�����$���.�� ������������������#��� ��� ���� ���� �<%�5�� ����������<���<����<%

���% @������������������#

��

$$ ��� � � ����� �������6���������6�

���

$

$ ��

�$� �

��$� �

��

��� ���������,� ��������������6���#��������������)��������������6%�/����)����������6����������������������6%

Page 161: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

�������������

���� ���������

������������� ���� �� ��������������� �� �������������������� ���� ���� ��������

���������������������������������������������������������������������������������

����������� ������� �� ����� ������� ��������������� ���!"������������� ������ ���� ��

��������������������������������� ���� �� ����������������# ���$ � ����������� �

����� �� ���������������$ ���%��������� �����&���"�"���������������'��� ��� ����� �� ����

���$�������"��������

������ ����� � ���������������(�������� ��� �������$������)�#��*� ����� ���+,��� �� �

����� �� ����� ���������������� � ��-��������� ���������&���� ����$���"������*� ����

�������� � ��-�������"����������������������� ������*� ����.������������������� �'

-����� ������� �� ����� ��������� ""�������)��"���������������

&����� "���� �������������� ����)���� ��� ��)����������� ��#!"������������� �

����� ������� ���������� ���/ ����0��� ��������

��� �����

������������ $���������� ������������ ���������$��������� ������&����������$����� ����

� ��������������� �������������������������� ���" � ��������"���$����� �������������

���������"����� �����������������"����� ���������� �� �� ����� ���� ������ �������

��� �������"�� �����"����� ��������� ���������������������� ���� ��� ����� ��������� �

��������� ��������� ����� � ��-������������ �� ����� � ���� ����� ���� �������$��� � ��� �

��� �� ���� ��������������� ���� �������� ���� �� ���1� ���"���$�����&���������� �� ��� ���

���������� ���� �����������������

�� � ���������

�02&�� �������$����"��������������� ����3�� ������4� ���"���������"����������

�� 5�� � 5

6 � 5

6

���

Page 162: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

������������� ���

&�����"���� ����� �� ��������""�������������"���� ����&�����"�������������� ����

�������"���������������"��� �02&�� ������� ��� ����������������������������

�� �� ����������

�� 07�� �������$����"������� ����8����������� ����8� �������� ���"���������"��3������84�

�����

3������84 5�� � 5

6 2�������

� �� 8 �����

�� 07�� ���� ��� $��������"��� �������������"���� �� �������� �� 07�� ����

�� ��� ����������������������������

(2 input AND gate) (3 input AND gate)

�� �� ���������

��29�� �������$����"������� �����8����������� ����8� �������� ���"���������"��3������84�

�����

3������84 5�� � 5 ��

6 2�������

� �� 8� �����

��29�� ���� ��� $��������"��� �������������"���� �� �������� ��29�� ������� ��� �

��������������������������

38��"��29�� ��4 3,��"��29�� ��4

&��������� �������������� ��� 07��29� ���02&�� ���� �����$���������

�� �8 3�����84 �� �8 3�����84 � ��

� � � � � � � 6

� 6 6 � 6 � 6 �

� 6 6 6 � �

6 6 6 6 6 6

Page 163: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

��� � ������������������������������������������

���� ��������������

&����� ����������������"������� ��������� �������� ������:������������)��"����*�'

������&����� ���� �����0 07��029��;29� ���;029�� ����

&���������� �� ����������������������� ���� ����$���������

���� �������

��029�� �������$����"������� �����8���������� �����8� �������� ���"���������"���3������84��

�����

3������84��5�� � 5

6 2�������

� �� 8 6����

�029�� ���� ��� $��������"��� ��������������"���� �� ��������� �029�� ������� ��

����������������������������

(x x )1 2

� �

(2 input NOR gate)

�����������7��<��� �.������������������� $�

3������84�� 5���������8�� ���� 3���1��84���5���������8�

����� ��������

�0 07�� �������$����"�������� ����8����������� ����8� �������� ���"���������"��3������84��

�����

3������84� 5�� � 5 ��

6 2�������

� �� 86 6����

��0 07�� ���� ��� $��������"��� ��������������"���� �� �������� �0 07�� ����

�� ��� ����������������������������

���������������7��<��� �.��������������������� $�

3�������84� 5������1��8�� ���� 3�����84��5������1��8�

����� �������������� !"��������#

�;29�� �������$����"������ ����8����������� ����8� �������� ���"���������"��3���� ��84

���3������84�������

3������84 5�� � 5 �� �� ��� ����

6 2�������

� �� 8� �����

Page 164: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

������������� ���

������������������������� ���� �������#!���$��29�� ���������;29�� ���"����������� �

� $�� ����������������.��� �;29�� ���� ��� $��������"��� ��������������"���� �� ��

����� �;29�� ������� ��� ����������������������������

����$ ��������������� !"���������#

�;029�� �������$����"������ ����8����������� ����8� �������� ���"���������"�����;029

�8�������

���;029��8 5�� � �� �� � �� ���

6 2�������

� �� 8���

;029�� ���� ��� $��������"��� ��������������"���� �� ���������������� ����������'

�-����$��'" �����������#$���" ������ ��� ������� �� ���$�������������.��������! �"��

���66����� ���$���" ������� ��������� ����!��.���2���" ������ ��� ������� �� �����

����������.��������! �"�����6��� ������" ������� ��������� ����������.��

�;029�� ������� ��� ����������������������������

&��������� ������������� ��$��029��0 07��;29� ���;029�� ���� ����$���������

1

0

1

x1 x2 (x1 ∧ x2) ′

0

1

1

1

1

1

0

0 0

1

0

1

x1 x2 (x1 ∨ x2) ′

0

0

0

1

1

1

0

0 0

� � � � � � � �

Page 165: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

��� � ������������������������������������������

1

0

1

x1 x2 (x1 ⊕ x2)

0

1

1

0

1

1

0

0 0

1

0

1

x1 x2 (x1 XNOR x2)

1

0

0

1

1

1

0

0 0

���� ��%����������������

������ �����"���������������������� ������������"���������������6� ���������������� ������

��$�������=�����&�����6� ����� ��������� ���� ��������3��4�� ����������" ������ �����

���� ����������� �������" ��������������� �� �$��� ����&�������$��� �����$���� ����������

���������$��� �����$��� �������$��� �����$���� �����$��� �����$��������� ������������ ��

����$��� �����$��������� ����6�

������ ��� ��������� �����������"������� ���:����"�������$��������� ���

����"���� ������ ��� �������� �������������"��$����"��� ��������� ����������������

������� ������������"����� ������ ��� ��������&������������ �������������������

� ������������� $�� ��� �����������

>���������������������

�� �� ��

� � � 6

� � 6 �

6 � � 6

� 6 � 6

6 6 � �

6 � 6 �

� 6 6 �

6 6 6 �

&��������� ������������ ��$����������$�������������� ��������������� ����������� ���

�� ��������"��������:���������������� �������� ��������"��������8�� �����,��&���������

����������� ������ ��� �������

�������5��� ����8�5���������������"�����29�� ��������0��������"������ 07�� ������� ���6�

���������"����� 07�� �����6��*���������"���������0���� �����6��������"����5���

� � � � � �� �

Page 166: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

������������� ���

)������� ������������ �

&��� ��$������������� ������ ��� �������� ��������"�������������������:�������

�$��������� ��������"���������8�� �����,��

� ��$ %����� ��&������

����!"�����������"����������$ � ����������������8��8��8��?���� ""����������"�� ����������

����� �������������������������;�� ���;8� �������� ���!"��������������3;�4��;8���3;����;84

���3;����;84� ��� ��������� ���!"���������&�����"����� ������ ��� ��������� ����

����� ���!"�������

>���������������������� ��� ������� �

&�������� ���!"�������������� ��$����������$��� ��33������84��3�,�����44���

��$� �'�()�*

��������� ����� ����������$����������� ������������������������"��"�����������

3�4 ���� �$��> ��% ���� ���������� ��@6���A

3�����4��� 5������3���� 4�� ��

3�����4��� 5������3���� 4

3��4 ��������> ��%����� �������@6���A

3����4 5�� �� 3����64�5��

3���4 )���� �$��> ��%����� ����������@6���A

�3�����4 5�3�����4 ��

3�����4 5�3�����4

3��4 )��"�������> ��%����� �������@6���A

3������4 5�6 ��

�3������4 5��

3�4 7�����$��> ���%����� ���������� ��@6���A

����3���� 4 5�3�����4���3���� 4 ��

����3���� 4 5�3�����4���3���� 4

Page 167: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

��� � ������������������������������������������

�������B����������3�4��3��4��3���4� ���3��4� ������� ��������:�����������������������C�

"��$����������������������$��� ���D���������"����$ � ����������������� ������ ���"������

$ �������������� ��@6���A� ���$������� ����� ���� ��������� ������� ���������

C������������� � ����3���� 4�5�3�����4���3���� 4

� � ����� � ��������� � ������� ����� � ��������������� �

� � � � � � � �

6 6 � 6 6 6 � 6

6 � 6 6 6 � 6 6

� 6 6 6 � � � �

� � 6 6 � � � �

� 6 � 6 � � � �

6 � � � � � � �

6 6 6 6 6 6 6 6

&��������� ����3���� 4�5�3�����4���3���� 4

��$�� �+�(),��- ���.

���������8� ������������������8�@6���A������

3�4 3������84���5��������8�

3��4 3������84���5��������8�

������ C��"��$����������������7�'<��� �.��> ��

���� 3������84�� 5��������8�

)���������������� ��� ����

�� �� ���������� ��� ��� ���������

� � 6 6 6 6

� 6 � 6 � �

6 � � � 6 �

6 6 � � � �

&��������� 3������84���5��������8��

���/ �0��1��������%�����������������

&�������� ��� ���������� ���� $����"���������8��?������� ���� ���������:$ �����������

"����������� �����"�������� ����"����������������"������������������������ ���� ��

����������������$��� ����"���

)������������������������� ��� ��������

Page 168: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

������������� ��

1

2

Figure 1 Figure 2

&��������� ������������������������ ����$��������������� �������� ��

� � � 8 �

� � 6

� 6 �

6 � �

6 6 �

� � � 8 8

� � 6

� 6 �

6 � �

6 6 �

��������������� ������������ ���� ���������������� ��� �������� ����:$ �����

� ��2 %���������%��

������ �� ����� �������������� �����*�������������������� ����"�� ������� ��������*��

���� ���"�� ���������*� ��������"��������������6� ��������*������� ���������������� ��

������C���������5�@*�����������6���A�

3�4 ���� �$��> ��% ���� ���������� ��*

3�����4��� 5�����3���� 4

�� 3�����4��� 5�����3���� 4

3�4 )���� �$��> ��%����� ���������*

3�����4 5�3�����4

�� 3�����4 5�3�����4

3 4 7�����$��> ��%����� ���������� ��*

����3���� 4 5�3�����4���3���� 4�

�� ����3���� 4 5�3�����4���3���� 4

3�4 ��������> ��%����� �������*

3�����4 5�� �� 3����64�5�

3�4 )��"�������> ��%����� �� ���*

3����� �4 5�6 �� 3����� �4�5��

��2� �'�()�*

��� ������ �� ����� E���3�����4�5��� ���3�����4�5�6����������5������������������"����������:��

������ *""������ ��3�����4�5��� ���3�����4�5�6

0�� � 5�3����64 F��������> �G

5�����3������4 F)��"�������> �G

Page 169: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

��� � ������������������������������������������

5�3������4���3�������4 F7�����$��> �G

5�3������4���3�������4 F)���� �$��> �G

5����3�����4 F�$����������G

5�3��������4 F��������> �G

&����"��� � 5��3�������4 �?3�4

� ����� 5�3�����64 F��������> �G

5������3�����4 F�$����������G

5�3������4���3�������4 F7�����$��> �G

5�����3������4 F)��"�������> �G

5�3������4 F��������> �G

5�3������4 F)���� �$��� �G

&����"��� ��� 5�3������4�5�� F#: �����G

��2�� �'�()�*

��� ������ �� ����� ���5�3*������������6���4����������������"��"�����������

3�4 ����"������> ��% ���� ������*

3�����4 5�� ��� 3�����4�5��

3�4 �����> ��%����� ������*

3�����4 5�� ��� 3����64�5�6

3 4 ����"����> ��% ���� ��������*

����3����4 5�� �� ����3����4�5��

3�4 ��$������> ��% ���� �������*

3��4�� 5��

3�4�6� �����> ��%�6���5�� �� ���5�6

3�4 7��<��� �.��> ��%����� ��������*

3����4� 5������

�� 3����4� 5�������

������ 3�4 � 5�����6 F��������> �G

5�����3������4 F)��"�������> �G

5�3�����4���3������4 F7�����$��> �G

5�3�����4���� F)��"�������> �G

5�3�����4 F��������> �G

&��������� 3�����4 5��

� � � 5������� F��������> �G

5�����3������4 F)��"�������> �G

5�3�����4���3������4 F7�����$��> �G

5�3�����4���6 F)��"�������> �G

5�3�����4 F��������> �G

&��������� 3�����4 5��

�3�4 3�����4 5�3�����4���� F��������> �G

5�3�����4���3������4 F)��"�������> �G

Page 170: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

������������� ���

5�33�����4����4���33�����4�����4 F7�����$��> �G

5�33�����4���3�����44���33������4���3�����44

5�3����3�����44���33������4���3�����44 F����"������> �G

5�3�����4���33������4�����44 F��������> �G

5�3�����4���36�����4 F)��"�������> �G

5�����36���!�4 F����"������> �G

5�3������4 F��������> �G

5�� F)��"�������> �G

&��������� 3�����4 5��

� �� 3����64 5�3����64���6 F��������> �G

5�3����64���3������4 F)��"�������> �G

5�33����64����4���33����64�����4 F7�����$��> �G

5�33�����4���36����44���33������4���36�����44

5�33�����4����4���33������4�����4 F��������> �G

5�3�����4���33������4�����4 F����"������> �G

5�3�����4���33������4��3������44 F7�����$��> �G

5�����33������4��3������44 F����"������> �G

5�����36���3������44 F)��"�������> �G

5�����36�����4 F����"������> �G

5������ F��������> �G

5�6 F)��"�������� �G

&��������� 3����64 5�6

3 4 ����3����4 5�3����64��3����4 F��������> �G

5�����36���4 F7�����$��> �G

5�����3���64 F)���� �$��> �G

5�����6 F�����> �G

5�� F��������> �G

&��������� ����3����4 5��

� �� ����3����4 5�3�����4���3����4 F��������> �G

5�����3���4 F7�����$��> �G

5�����3����4 F)���� �$��> �G

5������ F�����> �G

5�� F��������> �G

&��������� ����3����4 5��

3�4 ������ 5�������� F)���� �$��> �G

5�� F)��"�������> �G

���� ������ 5��

���� ������ 5������ F)���� �$��> �G

5�6 F)��"�������> �G

����� ������ 5�6

&������� $� ������ 5��� �����������5�6

Page 171: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

�� � ������������������������������������������

&��������� � 5�3��4� ���� 3��4��5��

3�4�C��������� � 36����4 5�3���64�5��

���� 36����4 5��

� �����&������ 36����4 5�3����64�5�6

&������� $� 36����4 5��� ���36����4�5�6

&��������� � 5�6� �� 6��5��

*�� ������� ����� $�3���64�5��� �� 3����64�5�6

&��������� 6 5��� �� ���5�6

3�4�>�� � 5�3����4� �����5�3�����4

0�� 3�����4 5�3����4����

5�3������4���3�����4 F7�����$��> �G

5�3����3������44����3���3�����44

5�33������4����4����3���3�����44 F ���� �$��> �G

5�3�����4����3���3�����44 F)��"�������> �G

5�3�����4����3���3������44 F)���� �$��> �G

5�3������4����33����4�����4 F ���� �$��> �G

5�3�����4���3�����4 F)��"�������> �G

5������ F�����> �G

5�� F����"������> �G

� �� 3�����4 5�3����4���3�����4

5�33����4�����4���33����4����4 F7�����$��> �G

5�33���4�����4���33����4����4 F)���� �$��> �G

5�3���3������44���3����3����44 F ���� �$��> �G

5�3���64���3����64 F)��"�������> �G

5�6���6 F�����> �G

5�6 F����"������> �G

&��������� 3�����4 5�� ��� 3�����4�5�6

&����"������ � � 5��� ���� ���5��

���� 3����4� 5�3�����4

*�� ��������������7��<��� �(��� ��3���4���5�3������4�� �����"��$���

���3 ����4������������

&���� ����� ��� ��������$��$�������� ���!"������������� ���������"� ����6������������6�

�������� �����������&�������� ���!"�������� ���� ��������� ������ ����������������!"������

����� ��������������������"� ����6������������6���������� ����������

)������������� �������3����4��5��������&���� ����� ��$���� ���������3����4��5��������

*�� ������������� ���!"��������3�����4�5��� ���3����64�5��� ���� ������ ���������

��3� �'�()�*

�������� �� ����� ������� ����� ����������� ���� ���������

Page 172: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

������������� ���

�������*""������ �� �&��� ���������������� �� ����� ��&������������ �"����� �B���� �&

�$��$��������������� ������ �� ����� ��>����B�����������:���������� ����������� ������

��"� �����6������������6��������� �����������&�����B���� �"������������� ������&�

� ��� %����� 4������

>��� ���5� 3*�� ���� ��� ���6���4���� ������ �� ����� � ��� ����;� 3���� �8�� �,��?��� ��4���� ������ �

�!"����������(�(�$ � ������ �����������%����� ������ ����� ������ ����������������������������

��3������8����,��?������4 5�;�3�����8����,��?������4

>������������������! �"������ ������ �����������%��,� �������5�@6���A����������

��3������8���,4 5������3��8���,4

&����"��� �����"��� ����$������������������� ����

�� �� � �� � �� 3������ �����4

� � � �

� � 6 �

� 6 � 6

6 � � 6

� 6 6 �

6 � 6 6

6 6 � 6

6 6 6 6

���� ��5)� �����!(� �(6�%((�����4����!(�

C��� $��������� ������� ���������� ������������������$ � ���� ���������������� �

�!"�������������� ������������������ ����������� ���!"���������$�������������� ����$ � '

������������� ��������������� ����:$ ������&������������������� ������ ������������

�����������:$ ���������� ���!"����������������$ � ������������$�����

&����$��� ���� ��� ���� ��"������ ������� ������ �� ��������&����� ��� ��$�� ��� ��� ���

��"�������������� �����������&����� ��

3�4 & �� ��9�"������ ���

3�4 ���*" ���9�"������ ���

3 4 )���9�"������ ���

D����������������������� �� ����"������ ����

������� �� � ����������C��������� ��� ������ ��������������"�������������������

��� �$ � �����$��� �������� �� ����� �� ��� � �� �� ��"������ ����� ����"�������� �� $���

��� ���C���������� �����9��������� ����������������"�������C��������������������� ���

3������8����,����?�����4� ���"� ��� �� ���$���� �������������$ �����6�������9��&�������� ���

������������� ��������������� $������$ �����$���������9��C������29����������������� �����

����� ���!"�������

&����� ������"������������������������������� ����������$�������������������� ����

Page 173: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

��� � ������������������������������������������

�� �� �� ��������������

� � � ����9����

� � 6 6

� 6 � ����9���,

6 � � 6

� 6 6 6

6 � 6 ����9���H

6 6 � 6

6 6 6 6

���������� ����������� ���� ���������"����������������������,� ���H��)�������������������

�������� ���� ������������ ������3�����8�����,4� ������5��8�5��,�5����*�� �������������������

����� �������� �������������������� ����3 4� � �� 8 ,� � � �����5����8�5�6���,�5����&��������!��

������������� ������ 3 4� � �� 8 ,� � �

&������������������� �����������3�����8���,4����$��� �

��3������8����,4 5�3������8����,4����3 4� � �� 8 ,� � ���3 4� � �� 8 ,� � �

���7 1������������4���

��� ���� �������������� ������ ���� �������� �� ������� �����7�=���$������ �� ����� ��

)��=���$������ �������

��7� ! 8����!"���()*���4()*

������ ��������� ��%���� ������������������� �������������� ���"���������� ��������

��=���$������ ���������������$������������

>�����%���� ������ ������� ���������������������������� ����-��������� ��� 8�� ,��?���� ��

�������������������� ������8� ��������������3 �4�5���

����� � 5�3����8��������� 4�

����� ��� ������ �� 5�3�����8��,���?�����4

������ � 5�� �

� �

� �

� �

� �

���

6

&����� ��3���� �8���,��?�����4�5�������8���,���?������� ��&�����"������ ������� ������ �

���������� �����������=���$������ �������

>���������������������� ���������3������84��&��������� ����������������������$��

������

�� �� ���������

� � 6

�� 6 �

6 � �

6 6 6

Page 174: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

������������� ���

&�����=���$������ ������������������������$��� �

3������84 5�3 4 3 4� � � �� 8 � 8� � �

��7�� �(�8����!"���()*���4()*

������ �����������%���� ��������������������� �"���������������� ���������� ��������

���=���$������ ���������������$������������

>�����%���� ������ ������� �������������������������� ������������� ��� 8�� ,��?���� ��������

������������� ������8� ��������������3 �4�5�6�

����� � 5�3�����8���,����������4�

����� ��� ������

<� 5�3����8�������?�����4

������ � 5�� �

� �

� �

� �

� �

���

6

&����� ��3�����8���,��?������4�5�<����<8���<,���?����<����&�����"������ ������� ������ �

���������� ������������=���$������ �������

>���������������������� ���������3������84��&��������� ����������������������$��

������

�� �� ���������

� � 6

� 6 �

6 � �

6 6 6

���������� ����������� ���� ���������"����6���������������� ������)����������������������

����� ���� ������������ ������ 3 4� �� 8� ��*�� ������������������������������� �����

3������84��*���������=���$������ �������������������������$��� �

3������84 5�3 4� �� 8� ���3������84

��� �� ������������������3�����8���,���?�����4��������� ���������������������� ���� ����

�������������� �� ������������������3����8���,���?������4��������� ������������������������ ����� �� !�����

���1������&����

����� �� ������� ��������� �������� ��!�����"#� �����

�������� &�����"����� �� 07�� �����3����4���������"��� ������ �����&�����"�����

029�� ����� � �� � ���������"��� ������ ������&���� ���������������$���������

Page 175: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

�� � ������������������������������������������

���������� �� ���$��� ��$��������� ���� ��������"��������������029�� ����� � ��� ��5����

*�� ����������"����������������029�� ����� �� ��5� ���&���������������"����������� �029�� �����3����4�

����� �� ������� �����"#� �������� ��!��������� �����

�������� &�����"����� ��29�� �����3����4���������"��� ����� �����&�����"����� �

0 07�� ����� � �� � ���������"��� ����� �����&���� ���������������$��� ��������

����� �� ��� ������� ���� ����$���� �����%����� �����!�������������������&�������&��������

������� �$����� ���������3����4�1�3���4�1�3����4��&���� ���������������$��� �

����� ������� ������� ���� ����$���� �����%����� �����!�����������

� � � �� � �� � � � � � � �� �

������� �$����� ��������� � � � �� � �� � � � � � � �� � ��&���� ���������������$��� �

������

Page 176: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

������������� ���

�������� ������������� ������������������������������

��� ���� � �������� �� � ��� ������ ����� ����� ��� ���� � �� ���� � ���

������������� �

� � �� � �� � � � �� �� � � �� � � �� � �� � ������� ���� ��

� � ��� � � �� ������� ���� ��

� � ������

��������� ����������������������������� ������������������������� ��������� �

�������������� �!������� �!������� �

��� ����� ����� �!���������������������������� ������������������"���

Page 177: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

��� � ������������������������������������������

��������� "�����������������#��������� ����������������������������$�%&���$�%�������$�'�

�� �� �� � ��� � � � � � � � � � � �

��� ����� ����� ��� "���#������� ����$%��$ ����&�'��%�� � "�� �#

��� � ���&

���� "���#������ � ����$

���� "���#��������� � �����$

(�!�" �")%��� "���#��� �� �� ��&

���� "���#���� � ��� �� �� ���&

(�%��� "���#��*��"� ��+��������

��������� � �������� � ��� �� �� ���$�

��������� �����������()�����������������������������)��������

��� ����� ,���� �-'�� �������������%�#������� ��� ������������

',.� ���� �� �� %�#������� ��� �������� ������������������"���

��������� *������#��������� ������������ ����������������������������&�������

������������������������ ��������������������������

Page 178: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

������������� ���

��� ���� ������� ��������� ���"���

���*��"� ��+��������� �����������/�!��� ��� "/��/������������ �����"���/ �"�������� ���"���

� � � ������ ������ �� �

$ $ $ $ $

$ $ & $ $

$ & $ & &

& $ $ & &

$ & & & $

& $ & & $

& & $ & &

& & & & $

���������� +�����!�� �$����!�� ��������!�� �$�����!�� &������$���

��� ����� ����� ����������� ���� �����������

-�� ������ ������� ���� �������������

'��% � ���& �0����)� ��

��������� ���!�"�!��� ��

������������� ������������ ��

������������� ���!!� ���� ��

�����������1� � �������������

��1���������� ���!!� ���� ��

��������� ������������ ��

����& ���!�"�!��� ��

�� �0����)� ��

�����#���% � ���

���������� ,�������#����������������&�������������������-�������������������

Page 179: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

��� � ������������������������������������������

� � � ���&� �&� �

$ $ $ $

$ $ & $

$ & $ &

& $ $ &

$ & & &

& $ & $

& & $ &

& & & $

��� ��� 2��!�� �"��������"�����/"� �� %��������$#��������$%3%4 ��

5�2����#��������/�!��� �������������(�!�" �")#������3%4 ��5��/�!��� 6

���� ���������%� �� � �� � ��� �� � �� � �����/���")�

����%�����7��/������! "#��!��� ����#��/����������� �

���%�%�� ������������������� ���� ��� � � � �� �

� � � ���&� �&� �

$ $ $ $�.��$

$ $ & $�.��3

$ & $ &

& $ $ &

$ & & &

& $ & $�.��4

& & $ &

& & & $�.��5

������������.������������������������������ ������� ������/��������

���y

1

���

y2

��� ���� ����/�!��� ��� "/��/��� ��

���y

1

Page 180: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

������������� ���

���

y2

��������$#��/�!��� ��� "/��/������������ �

�$ �� � � � � � � � �$ 3 8 $ 3 8 $ 3 8� � � � � � � �� � � � � �

���������3#��/�!��� ��� "/��/������������ ��3� � � �$ 3 8� �� � �9��/�%��/�!��6

� ��� "/��/������ ����� ���:��� "���

���������� �������������������#������� ��������������'����������������� ������

��� ����� ���������

��� ����� ��� ����� ������ ���!!� ���� ��

�&�� ���!�"�!��� ��

�& �*����� ��

���� ����� �&

��� ������ �������� ���!!� ���� ��

������� �0��!����� ��

������ ���!!� ���� ��

������ ���!!� ���� ��

����� �0��!����" ��

���� ������ �����

���������� ,�������#����������������&�����������������-�������������������

� � � ���&� �&� �

$ $ $ $

$ $ & $

$ & $ &

& $ $ &

$ & & &

& $ & $

& & $ &

& & & $

��� ��� ������*��"� �#��/���� ���"���

� � � ���&� �&� �

$ $ $ $

$ $ & $

$ & $ &�.��8

& $ $ &�.��;

$ & & &�.��<

& $ & $

& & $ &�.��=

& & & $

Page 181: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

��� � ������������������������������������������

2��!�� �"����/"� �� %��������&#��������8%;%< ��=�2�����������

��/�!��� ����� � �� � �� � �(�!�" �")#������;%< ��=��/�!��� ���� �� � �� � �� � %

� �� � �� � ��� �� � �� � �����/���")�

����%��/��7��/������! "#��!��� ����#��/���������� �

���%�%�� �� � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �

��������� ���������������������������������� ����������������0�1�����������������

��� ����� ������������>,.� ���� �������"���/ �"�#��>,.� ��������

��"���

� � �����

$ $ &

$ & $

& $ $

& & &

(�%�����7��/������! "#��!�#���#��/���������� �

��� ��������������

���/�!��� ��� "/��/��/���������������������������"���

���������� "���������-��������������-�����������������������������������������

��������������������������������� ��������������-�������������������

� � � ���&� �&� �

$ $ $ &

$ $ & &

$ & $ &

& $ $ $

$ & & $

& $ & $

& & $ $

& & & &

��� ��� ����*��"� �#��/�����

Page 182: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

������������� ���

� � � ���&� �&� �

$ $ $ &

$ $ & &

$ & $ &

$ & & $��.��;

& $ $ $�.��<

& $ & $�.��4

& & $ $�.��=

& & & &

2��!�� �"����/"� �� ��������$#������;%<%4 ��=�2����#���������

/�!��� �����������1���(�!�" �")��/�!��� ������������%���������% ������������

��#������<%4 ��=�����/���")�(�%�����7��/������! "#��!��� ����#��/�����

����� �

���%�%�� ��������������������������1�������������

(�!�" �")%/�������������������&#������$%3%8 ��5%��/��7��/������! "#��!

��� ����#��/���������� �

���%�%��� ����������������������������������������

���/�!��� ��� "/��/��/������������������7��/������! "#��!���������"���

���������� "���������-����������������������������������������������������/���

���&�� $�������� ����������

��� ����� ���% �� ��������������

����������������������� ������������ ��

���������������������������� ������������ ��

�&���������������& ���!�"�!��� ��

�������������� �0����)� ��

���� ���%�� ��������������

?��/��������7��/������! "#��!�#��#��/�������%���

���������� "���������-�������������������������������������������������������

Page 183: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

��� � ������������������������������������������

��� ��� ����� ��/�!��� ��� "/��/�� �

��������#�� ����/�!��� ��� "/��/��������� ����%�%�������������������

"���/ �"�#���� �����+�����������������"���2��!�� �"����/"� �� ��#��/���

� �����$#������$ ��3�2����#��������/�!��� ����������������� �#��

��/��������/�!��� ������������������%�����7��/������! "#��!#���� ����

#��/���������� �

���%�%�� �����������������

� � � ������ ������ ������ ���������

$ $ $ $ $ $

$ $ & $ $ $

$ & $ & $ &

& $ $ & $ &

$ & & & & &

& $ & & $ &

& & $ & $ &

& & & & & &

�����������

�� 2��������7��/������! "#��!�#� /�#��/�������� "���� �/�/���:���

��� ���%����������

��� ���%�%�������������

��� ���%�%�������������������

�� .���/���#�""�����*��"� ������/�������&�� #��� !�� "�����/�

��� ���� ��� ��������� ��� ������� ��� ������

��� ��������

�� ?�����"���/ �"�#����/��/���������"���

Page 184: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

������������� ��

�� 2��������7��/������! "#��!�# *��"� ��+��������� ���� "���/ �"���� !�

�������� �"� ���� ���/�!��� ��� "/��/��/������������������7��/���

���! "#��!�

� � � �

$ $ $ $

$ $ & $

$ & $ &

& $ $ &

$ & & $

& $ & &

& & $ $

& & & &

� -����/�!��� ��� "/��/����:��� "��@A+�" ���

���

( )a

( )b

����

( )a

( )b

Page 185: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

�� � ������������������������������������������

�����

( )a

( )b

�� 2�����*��"� ��+�������������7��/������! "#��!#����/��/���������"���

�� 2��� �� ���7��/��� ���! " #��! �# � /� #��/��� /������������ � �� "���/ �"��

�������"���

���

� � �� ��&��

$ $ $

$ & &

& $ $

& & $

��� � � �� ��&��

$ $ &

$ & $

& $ &

& & $

Page 186: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

������������� ���

��� � � � ���&� �&� �

$ $ $ $

$ $ & &

$ & $ $

& $ $ $

$ & & &

& $ & &

& & $ &

& & & $

��� � � � ���&� �&� �

$ $ $ &

$ $ & &

$ & $ $

& $ $ &

$ & & $

& $ & $

& & $ $

& & & $

�� 2�����/��7��/������! "#��!�#� /�#��/����������:������=�

�� �� ���"���//��/�����!��� ��� "/��/����������� �% �% � ������B���/�

/������������ /�*��"� ��+���������

��� B����������������

���� B�������������

��� ������/ /�!��� ��� "/��/��� �����������#�""�����*��"� �#��/����

� � � ���&� �&� �

$ $ $ &

$ $ & $

$ & $ $

& $ $ $

$ & & $

& $ & $

& & $ $

& & & &

��� ?������� "�#� /�*��"� ��:� ����

��� ���$���&�����&

��� ������������

��� ������������

��� ���$�����&���

��� ����������&���

Page 187: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

��� � ������������������������������������������

��� �������������������

���� ����� ������ "�:� ���%����/� ����� ���% ������/� ���& ��$�

��� ���/��� >,.� ����#���������%�%� ���

��� A+�������#�""�����*��"� ��+�����������%�%�� � ��!�#�����/� ���������

/�!�"����!6�#6�����/�#��!�

��� ���%�%�����������������

��� ���%�%��������������

��� ���%�%����������������

��� A+�����������B � *��"� ��+������������������%�%�% ���#����"���/

/��/����������"���

���

���

���

Y

Page 188: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

������������������ �

���� ���������

������������� ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ���� ����������� �������������������� �!�������������� �"������������������������������������������������

��� ��������

������������������������������������������������#������������������#������$��������������������%�!����������$������������������������&���!����������������������������� �������������#�����������'� ��(��������������������������������������������)����

��%�!��'� ��(� *������ �+��������������

&���!��'�� ��(� *������ ����������������

��������������������������, ���-�������,�������������������������������������������������� ���� ��� �$��� ��� ��������� .�� ����� �,� � ��� ��� � ������ � ��� ��� ����������� ��� ������� �����%�!����&���!�����,�

,�� ������ �����,

��%�!���'� ��(� *���������*�/0��� ������

&���!���'� ��(� *���������*�/����� ���

.�������� ��, ���������������

�� � �������

1������������!� ���-��� �����!

� �������������������������

������� &�#����!� �������������������� �����!

,�� ������� *���%�!���'� ��(�

��������������������������������������������

Page 189: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

��� ������������� ���������� ��������������

.���������������������������

���� ������� *�&���!���'� ��(�

���� ������������������������������������������

.���������������������������

���� ������������

���������� ��������������������������������������������������������������������������������! ��������������������������������������!������2�������������������������������������� �����!�&�#��������������������! �3�4�������������#���3�4������5��������������������������34����!�����������2������2���

�����������������������! ������������������������������������������������������������������������! ����������������������������������������������������������#������#���� ��

����������������!�*���67�-����������������#����#���������67��.�������� �!�*�'6 �7 �8 �9 �: �67(�����������������������������2����������������#��������������� �����!��.����������

2�*�'�6 �7� ��6 �8� ��6 9� ��6 �:� ��6 �67� ��7 �9� ��7 �:� ��7 �67� ��8 �:� ��8 �67� ��9 �67� ��: �67�(

1����������#�������������������������9������������#���6���������������0�����7���������6�2�7����7�2�9��;��������:������������#���6 �67������������#���6 �67������������#���7����67�����������#���8��������������������������7���#����6 �8���#����6 �:���#���������7����8����67��#���������9����:��.�������� ���������������������#���������

���� )���������������������������������������������������������!���������������������

�#����������������������������������������� ����������������������������������������

��������������������������������������������������������������������������������������#�

������������������������������������������������������������

"���������������������������������

Page 190: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

��� ������������������ ���

�������� ���������

.�����#���������������������� ������������6����������������#��������������������������������������������������7������������

���� ������������������

&�#����#��������������������������������������������#������������������������������������������� �+���������������������������+�������������.������������������������ �������������������������

���� �������

����!������������������ �� ����! �������������������������������

� � ���������������

�� ������� *��

��� ���������*��

�� �������������������

��� ������� *��������

��� ������� *��������

�� �������������������

��� �����������*�����������

��� �����������*�����������

�� �������������������

��� ������������*��

��� ������������*�

�������

� � ���������������

��� )�������������������*���%�!���'�� ��(�.�������������� � ��������� <����

���� � ���

.���������� ������� ��� <�����

"��������������������������������

������� *��

��� ���������������������������� �����#�

������� *��

Page 191: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

��� ������������� ���������� ��������������

�� �������������������

��� )���������� ���������*���%�!���'� ��(�

�� ������� *���%�!���'� ��(�

*���%�!���'�� ��(�

*��������

.�������� ������� *��������

��� ���������������������������� �����#�

������� *��������

�� �������������������

��� ��� ���������� *��

�� ���������� *��

.���������������������������������� =�������������-������������>

� ��� ������ �����

������� �����������

���������� ���

���� � ��� <����

���� ���������� *��

������� ��� �����

� ��� ������ �����

� ��� �����������

���������� ���

����� <�����

.���������������$�����������������������#����*��

���� ���������� *�����������

�������������������������������� �����#�

���������� *�����������

�� �������������������

��� )�����������������������*���%�!���'� ������(�

.�������������� � ������������� <����

���� �� ��� �� ����������� =� ��������*�&���!���'� ��(�>

����������� ����������*��

����������� ��� <�����

"����������$�������������������������

� *������������

��� ���������������������������� �����#�

����������� *��

Page 192: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

��� ������������������ ���

����� �������

�����! ����������������1������� �� � �������������!����������������� ������������������������������������������

������� &�#����! ������������������� �� � �����!�

;�������� � �����������

)���������� ������� *���%�!���'� ��(�

.�������������� � ������������������������

� ����������������������� =� �������������>

;� �����������������������������������������������������������������������������.��������

������ ���������

���� ������������ ������ *�&���!���'� �(�

.�������������� ������ ����������������

������ ����������������� =� �������������>

.�������� ��������������������������������������������������������������������������������������������� �������

������ ���������

����� �������

�����! ����������������1������� �� ����!�����#�

��� �� � ��� �����

���� � ����������������������

��� �� � ��� �����

���� � ����������������������

���������� &�#��������! ������������������� �� ����!�

;�������������� �������.��������������������������������������'� �(�

.�������� � ��&���!���'� �(��*�������

���� � ��������

���� ������ *���%�!���'� �(�

.�������������� � ���������

����������������� � ����

.�������� �����#� � �������������

���� � ���������

���� �� ��� �����

� �����������������������

��� ?��������������������������������������#�������������� �����

���� � �����������������������

���� ����� ���!���������

���������!������������������������#����������������� ��� ����!�����#�

Page 193: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

��� ������������� ���������� ��������������

��� ���������� *�����������������

��� ���������� *�����������������

����������������������������#�������������������@��������������#�A��������

���� �������

���������������������������������#���#�������+���������������������� ����������+������� ����������������������#���#�����������������������#����#����

������� �����! ������������������������������������������������#���#�������+�������� �����

��� ���������� *�����������������-��� ��� ����!

,�� ���������������� *�=������������>���=����������>

*�����=����������> =������������>

*�����=���������������>

*�=����������>��������� =��������#����>

*����������� =������������>

.�������� ���������� *�����������������

����� �������

����������������#����������! ��� �����+�������������������������

���� �� ������� *�������������������*�������

���� � *��

������ ;�����������������*�������������������*�������

,�� � *������������ =������������>

*����������� =���������>

*����������������� =����������#����>

*����������������� ="�������#����>

*���������������� =���������>

*����������� =����������#����>

*���������� =���������>

*� =������������>

.�������� � *��

����� �������

������������������������! �������������������$�������������������� �� ����!

������������������������� *��������������������������

������ ;���������!���������������#��������������� �� ����!�

,�� ������������������������ *�='�����������(���'����������(>��������

*�=����'����������(>��������� =������������>

Page 194: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

��� ������������������ ���

*�=�����'���������������(>��������� =����������#����>

*�=���������'����������(>��������� =��������#����>

*�=����������>��������� =������������>

*�'���������������(��'����������( =����������#����>

*�������������������������� =����������#����>

*��������������������������

.��������

������������������������� *��������������������������

���" �����������

���������!������������������������������������������������������������.������#��������������������������#�����������������������������B����6��������#����

��"� �#$%��&'(���)��� �*#+

�����! �������������������������������!�����������������#�������������������

����� �����!�

��"�� �#$%��&'(��,,��� �*#+

�����! �������������������������������!�����������������#�����������������

����� �����!�

��"�� �������

.������#���������������������������#���������������������$���

������ �����������������������������#�����������������������$����;���������������� ������������0������������#���������������������������������������! ����

.�������� � �� ��!�

,�����3�4�����������#���������������������#�

� ��� <����

;������� ���3�4�����������#���������������������#�

� ���� ��������

����� �������$�������������������������

� *��

.�������� �������������������������.��� ��������#�����������������������$���

;������� ���������������������������#�������������������������$���

��"�� �������

��������������������! ��� ��������#�������������������������6����B������������������������������������������������!�

��� ����6�*�6 ���� ����6�*������� ����B�*�� �� � ����B�*�B

Page 195: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

��� ������������� ���������� ��������������

������ ��� )��������������������������!� ���

� ���������������� �����!

;� 6 �������6� <����

���� �������6�����������#��������������

�����6� ��6 <�����

"���������������������������������6��*�6

�����)��������������������������! ���

������� ��������� �����!

;� �����6� ��� <���

���� � ������6� ��� �������#�������������������#�� ���� 6��������������� ���� �� ����.��������

������� �������6�

���� � �������6� ��������

"���������������������������������6��*��

;������� ������������ ����������#���

� ��- ����������� �������

����������! ����������������������������������������#����������������������������������� �����

��-� ���,(���#.��/�'#��(���#.

�����! ��������������������B����6����������#�������������������������������������#�����������������������������������������������!���

������� *�6������������*�B

1����������������#�������� ����3�4�����������������3�4������3�4���������������������3�4�

��-�� �������

����������������������#�������� ����������������0�������������������$���

�������������! ��������������������������#���������

��������!���� �6 ��7�������������������������������������������������#�

�����6 *�6� �����7 *�6

�����6 *�B�� �����7 *�B

,�� �6 *���6���B��*��6��������7� =��������7��*�B>

*���6����������6����7� =����������#����>

*�6�����6����7�

*���6����7�

;� �6 *���6����7� <����

;������� �7 *���7���B��*��7���������6� =��������6��*�B>

�*���7����������7����6� =����������#����>

Page 196: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

��� ������������������ ���

*�������7������6����7�

*�6�����6����7�

*���6����7�

;� �7 *���6����7� <�����

.�������� �������$�������������������������

�6 *��7

.��� �����������������������#�������� ����������������0�������������������$���

���0 ��������������������

�����������������������������������������������

��0� ��(�'#��'..$1�

���������������������������#�������������������!�������������

��0�� �*2('..$1�

�����! ����������������.���������������������������!�������������������������!���

������� ���������������������� ������

���������������������������������������#������ ����������������������������

��0�� �&����,�$1��'..$1�&

�����!6 ��������!7 ������������������ ��������C�!6� �!7�������������������

�������� *�������������������������*��������������������� ������

�����������������������������������������������������������������������������

���!���3�������

������� ����� ����� ��� ��� �� ����� ������� �������� �� ��� ���� ���� ��������� �� ������������� ���������������������������������������������������� �������

��������� .��������� �D����������� �����������������#���������������� D����������������������������������������

��2�� C ��D���- � ������

���� ��2�� C ����#������

2����0�#�C���������������������#��������� �����#������ �������D��������#����������

�����;��������C�;�����������2��������2���

���� ����#������ �� ����#�������

.�������������� � *���

�������2��������2����������������*���

.������#�C�;�����������2��������2�

���� ����#������ �� ����#������

.���������� � *����6�����*����7�-��6�����7����

Page 197: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

�� ������������� ���������� ��������������

,�� *����7�*�����6��7��

.���������������������#������

���� ��2�� �� ��2� ������ ���2��

.�������� ��� �D������������.�������������������� ����������������������������������%�!����&���!�������

,�� ����� �����

��%�!���'�� ��(� *���������*���"�/����� ������

&���!���'�� ��(� *���������*�&�"������� ���

.�������� ��� D�������������

�������� �����!������"�����������"���� ���������������

��# ������#�$��������������������������# ������#�$���������������������������# ������#�$������������������������#�$��

������� &�#���!���������������� �����!

��� ;�����������������*���

?�������������� � ����

,�� ������� *���%�!���'�� ��(�

���� � ��������

���� � ��� =����*���������>

"��#������ ���������� � ����

?�������������� ������� *��

&�#������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ ���

�������� ��� <��6�

���������������������������������������������;�

� ��������� <��7�

����� �������$��������6������7��������

������� *���

�����;�������� ������� *��

?���������� � ���

)���������� ������� *�&���!���'� ��(�

���� �������� ���

.�������������� � ��� =�����������*���>

"��#������ �;�������� � ���

?���"������ �������� *���

&�#�������� ������������������������

���������������������3�4���������������������������������������������������������&���!�����������������.��������

� ���������� <����

Page 198: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

��� ������������������ ��

���� ����������������������������������������.�������� �������� ��� <�����

"�������������������������������������*���������?����������������������������������������������

�������� *�������������������������*���������� !���"�����������������������$�%&��'��()������"���#�����������������������*���+����*��+�����*��+���"��,��������-���������������������������"���#� ��������� &�#�������!��������������������;�*�'6 �7 �8(�

.�������� ! *�'� �'6( �'7( �'8( �'6 �7( �'6 �8( �'7 �8( �'6 �7 �8((�&�#��������! ��������������)�������������������������������E2F C E���F ����E �F���!.�������� ���������������������#����

�������� ����������������� ���� ���������(.������,�(.#����������������/��������������������������������� ������������������,�(.#��,��������-������������� ��������� ��8B��* '6 �7 �8 �G �: �6B �6G �8B(�

����������������������������2����������������#��������������� �������8B���.����������2�* '�6 �7� ��6 �8� ��6 �G� ��6 �:� ��6 �6B� ��6 �6G� ��6 �8B� ��7 �:� ��7 �6B� �7 �8B�

�8 �:� ��8 �6G� ��8 �8B� ��G �6B� ��G �6G� ��G �8B� ��: �8B� ��6B ��8B� ��6G �8B�(1����������#�������������������������:������������#���6���������������0�����7���������

6�2�7����7�2�:��;��������6B������������#���6 �6G������������#���6����8B������������#���6 �7 8 �G��������������������������7���#����6 �8���#����6 �G���#����6����������

.�������� ���������������������#���������

Page 199: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

��� ������������� ���������� ��������������

�������! ,����-������������������������������������/�����������

�������� ��������������������������������������������������#���������

�������" ���"�$�,�'0#���������������������������������/������������,�'0#��1������������-�������������

��������� &�#�������!�*���79��������������)�������79������������������������#����#��������79��.��������

��79� *�'6 �7 �8 �9 �: �H �67 �79(

.������������������������#��������������#���������

.�������������������79�������:��*� '6 �7 �8 �:( � '7 �9 �: �67(���� '9 �H �67 �79(������������������������67��*�'6 �7 �8 �9 �: �67(���67���#�����79�

��3��������

6� ������������������#����������������������������������������#����#��������� �����������������������������������������������������#����������

7� ������*�'6 �7 �8 �9 �G �:(��)�����������2������������������#���������������������������������������� ����

8� �����������������������I��� �����)�������*�'6 �7(����I�������������������������9� �����������������������I��� �����)�������*�'B �6 �7 �8(����I�������������������������G� ��������������������������� ���������*�: �6: �79 �87 �6BB�

Page 200: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

��� ������������������ ���

:� �������������������������������������#�����������J� ;�����������������������#����#���������6BG��������6BG� ������������������������������

���������������#������������ �������6BG����������������������H� ;���������������������������������������#������������������������

K� I��#�������������� �� �������������!

=������� ��������>���=����������������>

6B� ���!�*���8B������ ������ ����������������������������������8B��������������������������

Page 201: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

����������

��

����� ���������

������ ����� ���� ���� ��� ��� �� ���� ������ � ��� �������� ���� �������� �� �����

��� ���� ��������� ��� ���� �������������� �������������� ��������������� ������

������������� �������������������� �� �������������������������� ���������������� ����

���������� ���� �������� � ���� �������� ������������� ����� ����������!�������� ��"#$%

� ����������� ��� ���������&������ ��������'� �������(� ������������)��"*$%��+����

'� �� ����� ���� � ���� ��� �� ������ ������ ,��� ��-�� ��!��������� �� ������ ����

���������������!������ ��� ��������������������� ��������� ��������� ��� ��������

�����

.������/���� ���� ���������� ��������� 0���� ���������1���������������������������

�������������. ��-���� �����+���� ���2��-����� � !������ �� ���,"��,3��,$��,4��,5��. ��-� �

���������������� ���������� �� ���,"��,3��,$���� ���� �� ���������������� ���������� �� ��

,3��,$��+���� �� �� ���������������� ���������� �� ���,"��,4��,5����������2��-� �� ���������

����������� �� ���,$��,4��,5��,� �� ���1��� ���� ���������� ���� ������,� �� ����� ��������

������������������ �����������������������1���� !���

)���� ��������������� ��������������� ������������������������

����� ����

2������������ ��������� � ���������!��� ����6�������� � �������������������������� �����

Page 202: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

���������� ���

� 7�86���9

:����� � 7�;8������9�����������6<

=��������� ��� 6 7�;"��3��$��4��5<

��� � 7�;8"��39��8"��$9��83��$9��83��49��8$��49<�

>�������������� � 7�86���9�������

������� �������������

,������������!��� ���� �����������86���9� ��������� �������������������������������� �� ��

� ?���,���� ��������������� ���6������� ���� ?��������� ������������ ����������

,���������������� ��6� 7�4

,���� ?���������� ���� 7�@

������� �����������������

,��!��� �������������������� ���������-������ ���������1 ������������8������9� �������������86���9�

��� ������������������

G :

>��������!��� ����"�����3�������-�������� � ����������!��� ����"�����$�����������-������

������� ���� � ���!��

)�������� �������������������������������������� ����!��� ������������������������������

���������������������� ������������������

Page 203: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

��� �� ���� ����������������������������������

>���������������"������5��������������������

������" #$$%

2����������������� ���������� ���!����1���������� ������������ ������������ ����

��7�8�������9����� ������������������

A�������������� �� �����������������������"� �������

����� &����'� ����

)���� ������ ������� ���� ������� ��������� ������������

������� ��(% �� ��%)

2��������86���9����������������B�������������������� ������������ ��������������� �������

��������"������3���

,����������"� �������� ��������������������������1 �������������������������������!��� B

����"�����3��������������������3� ����� �����������

������� *+ ��� ��%)

2��������86���9� ���������������� ������� �� ������ ��������������������������������������

������������ ����!��� �����)�� ������������������!���� ����������� �������� ��������������

��!����� �������������� ������������������

Page 204: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

���������� ���

v

,�����!�������� �������� ����������������������������������������������������!��� ������

�����������

������� ���+�$� ��%)

2��������86��9� ������������������������ ��������������������������������������)�� ���

��������������!���� ������������������� ���������������������������������!����� ����

�����

��� ������������������

v

����� � ����

2��������86���9�������6� �� �����������������!��� ���������� �� ������������������! ��

� ���� ���)��8���� ��9� ���������������������� ������������������!����1� ���������!����1� ����2

� ������ ���������������� ��������������=��������� ���

6 7�;"��3��$��4��5<�������7�;8"��39��8"��$9��83��$9��83��49��8$��49��84��59<

>����������� ��������������

����" ,-� ��-� ����

2�������8��� �����9� �������������� ������������8��� �����9� ���������������������������

������ ������=��������� ���

6 7�;"��3��$��4��5<�������7�;�"���3���$���4���5<

:���� �" 7�8"��39��3�7�8"��$9���$�7�83��49���4�7�8$��49���5�7�84��59

��� 8�"9 7�5��8�39�7�%��8�$9�7�"��8�49�7�%��8�59�7�$

Page 205: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

��� �� ���� ����������������������������������

>������������ ��������������������

6

����. - �--�'����-��-/

,���������������������������������!����1�C�&� �������������������!����1�C�&����������

����������������8�9��)������������ ��������������������������������� ���������������������

,�������������������� ����� ����!����1� C�&� ���������� ���������� C�&���������� ���

��������������������� �����������!����1�C�&� ���������������������C�&���������������

�������� ����������� ��������8�9������������������ ��������������������8�9�

������)��������������� ������ ������3������������������!����1�

����.�� ��$ ����������0

2�!����1� ���� ���������� �������!����1� �������� ������������������������������!����1��

����!����1�

)��������������!����1� ���� ���������� �������!����1� ��������������������!����1� ��?���

�����)�������� 8�9 7�D��������� �� �������

��� ������������������

v

.�� �������8�9�7�3E �������8�9�7�4E �������8�9�7�"

�������8�9�7�DE �������8�9�7�$E �������89�7�3

,��������� �� �������������C�&� ����� �������!����1�

����1 ����

2������ ���������� ������/�������"���3��F�������!��� �����������-��������������1����������� ��

�����������������������C��&���C��G�"&��������������� ���������������������

��� ������������������

>������������ � �"��3��"��$��4��5��

Page 206: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

���������� ���

����2 �*�#-�-� ����

2�������8� �����9��� ���� ��������������� �������!����1�C�&� ����-���������!��������!����1

C�&� ����

)������������������������������������!����1������������!��� �������� ���������������

��

,�����!���������� ������������������

� ���3 �- �#��� ����

2���������86���9� ���� ��������������� ����������������!���!����1������/������������� �����

�� �������������������� �

�������8��9 7��������8��9��������

:����� ������ ����86���9�

��� ������������������

)��������!����������������8�"9�7��������8�39�7��������8�$9�7�3��,��������������������� �

��������83��������9��,�����!�������� ��������������

��� ������������1�������"���

>������������������!���!����1� ��$�����������!�������� ��$B�����������������������

����4 �5�#-

)�������� ������������� � �������������������� ����������������!����1�C�&��������� �����

������������!����1���������������� ��������������������� ������������������

Page 207: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

��� �� ���� ����������������������������������

)��������!������������������� ���"�3��$��"��� � ������������������ ���"��3��$��4��"�

������ �-������-��-/

2�!����1�C�&� ������������ ���� �����������������!����1� �������������8�9�7"��)������������ ������

��!����1�C�&� ���� �����������������!����1� ������ ��������8�9�7�"��������������8�9�7�D��)�����

������C�8� �����"9&�� !��������� ��������������!��� �����4����5����%������#� ���/������"��������

��������� �� �/���� �� D��,��������� ������ !��� ���� ���� �������� !��� ����� � � ������ �� ���

������H�8� �����39�� !������������!��� �����"���5������%�������������!��� ����

8A �����"9 8A �����39

������ ��5�#��� ����

2�������8� �����9��� ������������!���������� ����������������� ��������8� �����9�

��� ������������������

>������� ��������� ��������

Page 208: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

���������� ���

������ *����/��-��-�-�������'� �����

2����� 1� ������!�� ����������������������������2���������������?�������������������

������������� ��

�������� ��������6�*����0

,���������������������������� ������������ ���������� 1������������ ���)�� �����/����

���� 1��������8 ��� 9������� � ���������������!��� ���� ��������������������������������

2�I���J����������� ������������������������������������,�������������������-���������� 1

��� !�����������

2 7�

� � � �

� � � �

� � � �

� � � �

"" "3 "$ "

3" 33 3$ 3

$" $3 $$ $

" 3 $

� � �

� � �

� � �

� � � � � � �

� � � � � � �

� � � � � � �

� � �

���������

���������

������ ��� 7�"

D

E C & C &

E

� ����� � �� ���� ��� �

������ ��

� �� ���

,� ������ 1� �� ������� ��� ��-���������� 1�� �������� ��� ����� ������ ���� ������ �

�����������!��� ����������-������������,� �� ��������������� ������ 1���(��������� 1

������������� ��� �����"���D�

������� )��������-���������� 1� �������� ��� �������������������?������������������� �

�� ���������� �����������

3� )��������������� �������������-���������� 1����������������� ������������ ��

��� 7� � �� �E C & C &

E

�� ��������� � ����� ��� �

������ ��D

��

$� )������������� ������������������-���������� 1����������������� ������������ �

��� 7� � �� �E C & C &

E

� ����� ��� � ��� ����� ��� �

������ ��D

��

��� ������������������

>������������-���������� 1� ��� !�����

Page 209: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

��� �� ���� ����������������������������������

�" �3 �$ �4 �5 �%

�������

��������

�" D " " D D "

�3 " D " D D D

�$ " " D " D D2 7

�4 D D " D " D

�5 D D D " D D

�% " D D D D D

��� ������������������

8

,�����-���������� 1���������!��������� ��������������������� ���2��(��������+� �

� !��������

2 7�

D D $ D

5 D " #

3 D D 4

D % @ D

����

����

��� ������������������

,�����-���������� 1���������!��������� ��������������������� ���2��(��������+� �

� !��������

2 7�

D " 3 D

" D " 3

3 " D 3

D 3 3 D

����

����

�������� ����������*����0

�������������������� �������� �������������� �����!��� �������� ����������������� �� �����

���� 1� �������� 1��������8���� 9����������������������� ����� ������

Page 210: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

���������� ��

��� 7�"

D

E �

E

)� !����1 ������ � �����

������ ��

� ���

��� ������������������

e7

>���������� �� ���������� 1��������������� ���������85���#9��,��� �� ���������� 1�����B

� !������������ ����"���3���$���4���5������"���3���$���4���5���%���#� ��� !�����������

) 7�

" D D D " D "

" " D D D " D

D " " D D D D

D D " " " " D

D D D " D D "

������

������

�������� ���)�*����0

������������������ ������������ ��� B!��� �����,��������8 ��� 9����� 1�K�7�IK��� J8 ��� 9

��� �����

K�� �"

D

E

E

� ����� � � ���� ��� �

������ ��

� �� ���

����������������������� 1���������� � ������ 1�

��� ������������������

v5

,���������������������� 1���������!������������� !������������ ����"���3��$����4����5� �

� !�����

K 7�

D " D " "

" D D " "

D D D D D

" " D D "

" " D " D

������

������

Page 211: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

�� �� ���� ����������������������������������

������ ���-��-� ����

2�������8���� �����9���86���9� ���� ���������������� ������!����� ����� �� ����!��� ����C�&

����C�&� ����������� ����������2�� ������������� ���� ����������������������� ������!����� �

��� �� ����!��� ����C�&�����C�&� ����������� ����� ����������������C�&���C�&�������������C�&���C�&�

2�� ������������� ���� ���������������������� ������!����� ����� �� ����!��� ����������� �

�������� �������� �������� ���� ��

��� ������������ ���������

A���������!���������� �� ������������

�"�L����������������E �3L�:�������������

�$�L���������E �4L�+ ���������

�������� �)�$��(

�������������������������� ��� B!��� �����"���3��������� ���������2����������-���������� 1�����

=��������� ���(�7�I���J����������

( 7�2�G�23�G�2$�G��������������G�2 �M�"�

)������!����� ����� �� ���� �� �������������������D����������������� ���� ����������������

,���������������!��������� �������������������� �����

��� ������������������

Page 212: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

���������� ���

>������������-���������� 1�2� ��� !�����

2 7�

D " " D

" D " D

" " D "

D D " D

����

>��������������!��� ����8 9�7�4��,���������(�7�2�G�23�G�2$

.�� 23 7�

3 " " "

" 3 " "

" " $ D

" " D "

����

�E�2$�7�23�2�7�

3 $ 4 "

$ 3 4 "

4 4 3 $

" " $ D

����

,�������� ( 7�2�G�23�G�2$�7�

4 5 % 3

5 4 % 3

% % 5 4

3 3 4 "

����

� ��������� ������ D� ��� ���� �E� ���� �������� �� ����������2��� ��������� �1����� ���� � �����

��������������������?���������������������

�����" �������*�����*

��������"�L�86"���"9������3�L�863���39���������������,�������������������"������3������� �

����� ����� �� �������� ������������������������������������������"����"������3����3

�� ��� �� ����������� ��8�"���"9����"������8�"���"9����3�

��������� ����������������� ���������������� ����� ����,���� ������������������B

���� ������������������ ���������������� ����� ������� �����������"������3���

,���������������������"������3����� ����� ��������������

�����. 7�������-� ����

�������������L�86���9���������������)������!����1�����6������������ � ���� �������������

� �- ��������6"�����63���������������������������������������������� ��6"�������������� �

63����������������� ���� �������� ���� ���������

��� ������������������

Page 213: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

��� �� ���� ����������������������������������

v5

v6

v7v

8

=�� 6" 7�;�"���$����5����#<�����63�7�;�4���3���%���@<

.�� 86"���639 7���������������������������!����1� ��6"����������!����1

���63�������� ���� ���������� ���� ���������

�����.�� �$(% ����7�%������� ��%)

�������������L�86���9���������������)������!����1�����6�7�86"��639�����6"��63�����86"���639�7����������������������������������������������� ��6"�������������� ��63�������������������

������������� ���� ���

)���!���!����1���6"� ��- �������!���!����1���63������������������� �������������������

� ���� ������������� ������������������

=�� 6" 7�;�"���$<�����63�7;�3���4<�

,�������� 6 7�86"��639E�6"��63���������86"���639�7��

2�����!���!����1���6"� ��- �������!���!����1���63������� ������������� ���� ���������

�����1 ��7 ����

������������������>��������������� ���!����1������68�9�����68>9��=���������������������8�9

�����8>9��.��>� ���� �������������������� �

68>9 ��68�9������8>9����8�9

��� ��������������������>���

,��������� �� �������������68>����68�9������8>9����8�9�����>� �����������������

Page 214: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

���������� ���

�����1�� �����0�� ������+8!��%)

�������������86����9�������������)���������������������N�����������6���������������������� ��

��!����!����1� ��N������������������������������������� ������������!����1�����������������

�������� ������������������

�������� �������!����1��"������!����1������������������>� ��� !�����

�����1�� -�!��� ������+8!��%)

�������������L�86���9�������������)�����������A����������������������� �����������������

���������������������������������� �������������������������������� ������������������

�������� ��������������"������3���������������������������� ��� !�����

�����2 ,�#&�

=�����������������������������:� ������������ ����� � �����/������:�7��D��"��"�3��3��$�FFFF

���M�"�������FF����M�"��������:�������������������������!��� ���������������������������"� ��� ���

�����������������������M�"������"���,�������� ���!����1���� ������� � ��������������!����1���� �

�������� ���������������:��,���!��� �����"���3��FF������M�"������������� ��������!��� ����

,�������� ���������������M���������

Page 215: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

��� �� ���� ����������������������������������

,�������������������������� �����������:� ����������������������������:��.��

����� ���������:������������������ � ����!��� ���������������)����� ������������������

:�7��D�"��"�3FFFF�������� �������� ����������/��������!��� �����D��"��3�FFF�����M�"��

��������������� ����!��� �������M�"���������������������!��� ���������� ������ ������������

�������� �����������������/��������!��� �����D��"��3�FF����M�"�������������������� !�

!��� ����������-������

������ "� 2���������� � ����������� �������������� ! ��������

3� 2���������� � �������������������� ����������������� ��

$� 2���������� � ��������������!��� ���� ��������������������:� ��� �� ����������� �

������/��������!��� �����D��"��3�FF����M�"��������������:�7��D��"�"��3��3�FFF���M"������

����� �� ������������������� ���������

4� �!�������� ������� ������������!����� ����������������

��� ������������������

e10

��� ������������ ��������

:" 7��"�"��3�3��"�%��5�#��$�"D��$�@��4

:3 7��"�"��3�"��"�"��3�3��"�"��3

:$ 7��$�"D��$�*��"�"��3�3��"

:4 7��"�3��3�5��$�#��5

,������������:"� ��%��� � ����������������������������������������������>����:"����

:3����������E�:$� ����� ������:4� ���������

�����2�� %�������� $����,� 9

��������������������������!��� ���������������2���M�������� ���� ������������������

����� ���������������7���������� !����)������������������� �������� ����������� ���!����1

8�9������������� ����8�9��������������� ��� �� ������

�����3 �-��������� �����

)���� ������ ������ ���� ����������� ������������� ������������

����3�� ���$�

)���"������3����������������������� ���� ��8�"���39� ����������� ���6�8�"���39�7�6�8�"9��6�8�39

������8�"���39�7���8�"9����8�39�

Page 216: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

���������� ���

�����3�� ����������$�

)���"������3��������������� ���������������!����1� ���������������� �� �������� ��8�"����39

����������� ��

6�8�"����39 7�6�8�"9���6�8�39

���� ��8�"����39 7���8�"9�����8�39

�����3�� �$(% �(���

�������������������� ������������ ��� B!��� �����,���������������������� ��� !���������� ����� �������������� ������������ ������������!��� ���������������������!��� ����8����9

������-������ ����� �������������������-������ �����)���������������������������������

������ ��������������������������' �������� ������������������������� ���������������

��

,���� ������������������������������������������������ ������������!��� �������

�������������������������������������,����������������������������� � ��� !��������

�����3�" ��$�+���$:� ��%)�

�������������"L�86"���"9������3L�863���39���������������,�������������������������"������3

��� !������8�"����39����� ����� �������8�"����39L�86���9��:�����6�7�86"���639�������������������

��������������������������� �������� ��

)��8�"���39�����8�"��39�������!��� ������8�"����39��,���������� ����������������������� �

8�9 8�"�7��"������3� ����-���������39��

8��9 8�"� ����-���������"������3�7��39�

Page 217: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

��� �� ���� ����������������������������������

��� ����������������"������3���

�����3�. �$(%$����$�

�������������"L�86"���"9������3L�863���39���������������,������������ � �����"I�3J����

����� ������

�"I�3J L�86���9

:������6�7�86"���639����������������������������������������������� �������� ���)�

8�"���39�����8�"���39�������!��� �������"I�3J������������� ����������������������� �

8�9 �"� ����-���������"��

8��9 8�"�7��"������3� ����-���������39

��� ����������������"������3���

,������� � ���"I�3J� ����� ������

�����4 '�����'� �����

=��������������� �� ����!��� ����������������������������������������������"������ ������

���!��� �����,� ���������������� ������������� ���������!����1�C�&������������!�������

��������� �� ������ ���� �����C�&���C�&� ����� �� ������ �����

Page 218: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

���������� ���

��� ������������������

e1

������ �������!��� ����C�&�����C�&�����������������

�����4�� ��������6�*����0�;�:����:+��$��$:��<$����������=�������>

,������� ��������������������� �������������-���������� 1���������� ���������-�����!��� ����C�&�����C�&�

������ O�������������������������������������������������� � ���������������������

������������������������������������������

������ +������������������������������� ���������!����1����,��������� ������� 1� �

����������-���������� 1�

��� ������������������

2�������� ����"������4������!�����������������"���

Page 219: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

��� �� ���� ����������������������������������

O���� !������������ ����"���3���$������4������!��28�9�7�

D D " "

D D " D

" " D 3

" D 3 D

����

.���������� ���O��8�"9���O��8�"9�G�O��8�49��������8�"9������8�"9�G����8�49�������

2�8�9 7�

" D $ "

D D " D

$ " D 3

" D 3 D

����

�������� ���������������������������� ������4�������-���������� 1����"� ��� !�����

2�8�"9 7�

" D $

D D "

$ " D

��

�����4�� '+��$��� !$���)(�;�$�����������>

,������� �������������������������������������������������������

������ O��������������������� ��������� ���� ������������,�����-���������� 1�������

��� ������������ ����������?������� ����������� ��������"������������� ��������

� ��������D�

������ A����!����1��"�������� ����������!��� �����3���$�������� �� ����� ��� �� ����-�������

� !���������������+����� ������ ���� �����������!����1� ����������������"�

���� � ������������"�������������������

������ �������������3��������$������������ ����"���� ���"� �������-����������������

�����!��� ����

������ �������� ������3� ��4� �� ����!����1� �3� �� ���� ������� ���������� ����������� ���

���� � ���!��� ���������������� ���������� ��������,���� ���������� ��������������

��������� ��� �������!��� ���� ��������������������������������������� � � ��

��������

��� ������������ �����������

,�����-���������� 1�2�8�9������ !������������ ����"���3���$������4�������

Page 220: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

���������� ��

2�8�9 7�

D D " "

D " D 3

" D D "

" 3 " D

����

,��������� ���� ��������������� ��� !�����

,�����-���������� 1�������

2�8�D9 7�

D D " "

D D D "

" D D "

" " " D

����

������ ����"�� ����$������!����������������

,����������������� ���O��8�"9���O��8�"9�G�O��8�$9E����8�"9�������8�"9�G�����8�$9������

���! ���������������������������� ������$�������-���������� 1������ !������������B

����"���3������4�������

2�8�9 7�

" D 3

D D "

3 " D

��

,��������� ���� ��������������� ��� !�����

,�����-���������� 1�������

2�8�D9 7�

D D "

D D "

" " D

��

������ ����"�� ����4������!����������������

Page 221: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

��� ������������� ���������� ��������������

����������������� �����������������������������������������������������������������������

������������������� ����� ����������������������� � � !������"����������������������#

����������$�%� ����

&��'� (�� �

� )

���

���

���������!����������������'�����������

������ � � !������"�%� ����

&��')� (�) �

� )

���

���

*����������������$������������������'���

����������������� �������������������������������$�������������������������������$������

������������������� ����� ��������������$�������� � � !������"������������� ���%�#

����

&��'� (����

���������!����������������'�����������

������ � � !������"�%� ����

&��')� (��)�

&����������������������!�������� ���������������+����������%���������������������

����,�����������������������%�� �� ����

���������������

�������� ����������������� ����������� �������������������� ���������

� � � �

� � � �

� � � �

� � � �

����

����

��� ����� '��������������� � � !������"���

) � $ -

� ) - $

$ - ) �

- $ � )

����

����

������������������� � � !������"�������������,������������'��������������� ������!������$���-

�������������������������������������$���-����������������'���������%�����

Page 222: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

� ������� � ���

��������� �������� ����������������������������� ������

��� ����� '��������������������

�������������"������������������������������$���-�������.�����/�����������

0�'� (�

) ) � ) � )

) ) ) � ) �

� ) ) ) � )

) � ) ) ) �

� ) � ) ) )

) � ) � ) )

�������

�������

��������� ������������� ����������������������� ������

��� ����� ����'�����������

������ � � !������"������������������������������$���-�����������������

Page 223: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

��� ������������� ���������� ��������������

&��'� (�

) � � �

� ) � �

� � ) )

� � ) )

����

����

��� '�����������

������ � � !������"������������������������������$���-�������.�����/�����������

&��'� (�

) ) ) ) � �

) ) � � ) )

) � ) � ) )

) � � ) ) )

� ) ) ) ) �

� ) ) ) � )

�������

�������

��������� ������������� ����������������������� ������������

��� ����� ��������������������

������ � � !������"������������������������������$���-�������.�����/�����������

Page 224: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

� ������� � ���

&�'� (�

) $ ) � ) 1

$ ) . ) - )

) . ) 2 ) -

� ) 2 ) $ )

) - ) $ ) /

1 ) - ) / )

�������

�������

��������� �������� ����� ��� ���������������������� ��������

��� ����� 3������%���������'�4�(�5�����$���-����6����7�(�5���$��-�����.��/��26�����������

�������������� ��� �������"���������2������������������������������4����7������� ��� �

�����"�����������

3�'� (�

� ) � ) � � )

) � � � ) ) )

) � ) ) ) � �

) ) ) � � ) �

����

����

��������� � �����! �� �������������� �������

��� ����� +���� 4�'���( 5�����$���-����6

�� 4�'$��( 5�����$���-�������.6�

���������� 4�'����'$��( 5�����$���-�������.6�

,�������!� 7�'����'$��( 5������$�����$���-�����-�����������������������-�����$���������-���.�����.���.�6�

���������������������'����'$��%� ����

��������� ������������� ����������������������� ������������������

Page 225: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

��� ������������� ���������� ��������������

3

3

��� ����� 3������%�������� ������������������������������%����������� ����������,������

�� � � !������"���������������������������� � � !������"������������������������������$���-

�����������������%�����

&�'� (�

) � ) -

$ ) $ )

) / ) .

� ) - )

����

����

��������� � ������ ������� �������������� �������

��� ��� +���� 4�'�� (�5�����$���-�������.6

�� 4�'$� (�5�����$���-�������.6�

���������� 4�'����'$� (5�����$���-�������.6�

,�������!��7�'����'$�

(�5����������������-�����-���$�����$���.�����.�����6�

�������������� ������'����'$��%� ����

��������� � ����������� ��������������� �������

Page 226: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

� ������� � ���

��� ��� ��������%�������� �����������'���������� �������������������������������#

�����������������%�����

*����������������������'������ ��������'����'���������%�����

��� ����%�������� �����������'���������� ������������������������������� �����������

�����%�����

*����������������������'������ ��������'����'���������%�����

��������� "������ ������������������� �����#��� ��� ���������!������������$�������%�

���

��� ����� +��� 4�'���( 5�����$���-6

�� 4�'$��( 5!���!$��!-��!�6�

Page 227: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

��� ������������� ���������� ��������������

���������� 4�'����'$��( 5�����!���������!$��������!-��������!������$��!������$��!$�����$��!-��

��$��!������-��!������-��!$�����-��!-�����-��!��6

�������� ��� ����� ������������������ � ��������������� ���&��'����

��� ����� 3������%��������

4�'�� (�5�����$6

�� 4�'$� (�5!���!$��!-6�

��������������������"��������'�8'$9����5�����!���������!$��������!-�����$��!������$��!$�����$��!-�6������

���� ��������������'�8'$9���������%�����

��������� (���������������� ������

e15

��� � ����)�*+ ��� * ,�-��#���#��.#��/0

Page 228: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

� ������� � ���

$�% � ���$*%+ ��� * ,�-��#���#��1#��20

$�% � ����)�3+ ��� 3 ,�-�#�.#�4#���#��1#��#�5#��4#�1#��2#���0

$�% � ���$3%+ ��� 3 ,�-�#�5#�/#���#��.0

��� ��� ����'��� : (�5�����-���.���26�

�����������'�;�:�%� ����

��� '����:�(�5�����-�������<6�������������'�:��%� ����

��� '����4�(�5$��.��1���$���������/���1������<��$)6�������������'�;�4�%� ����

��� '����4�(�5���/��2�������.6�������������'�4��%� ����

��������� ����� ����������������� ������������������ ��������������� ���

��� ���

Page 229: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

�� ������������� ���������� ��������������

� � � �

� � � �

� � � �

� � � �

����

����

��� ����� ������ � � !������"�&�����������

& (�

) � � �

� ) � )

� � ) �

� ) � )

����

����

+�����������%����������� ���� ��(����=���>�(�&���&$���&-

?��� &$ (�

) � � �

� ) � )

� � ) �

� ) � )

) � � �

� ) � )

� � ) �

� ) � )

- � $ �

� $ � $

$ � - �

� $ � $

����

����

����

����

����

����

&���� &- (�&$&�(�

- � $ �

� $ � $

$ � - �

� $ � $

) � � �

� ) � )

� � ) �

� ) � )

� . . .

. $ . $

. . � .

. $ . $

����

����

����

����

����

����

���������� > (�&���&$���&-�(�

2 2 1 2

2 � 2 �

1 2 2 2

2 � 2 �

����

����

&������������)���������������������'���� �� ����

��������� ����������������������������� ������ ����!���������

��� ����� ��������%�������������������� ������������������������������"�������

�������������������4�����4$����������� ������ ������� �����!��'������!���������%!�@� �

���� �������%�������������������������������� ���������������������������������

��������� *������!��� ������������������ ����������������� ������������

����� ��������������� ������� ���

Page 230: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

� ������� � ��

) $ � ) ) )

$ ) ) � ) )

� ) ) $ ) )

) � $ ) ) )

) ) ) ) ) -

) ) ) ) - )

�������

�������

��� ����� ������ � � !������"�������������'�����������

&�'� (�

) $ � ) ) )

$ ) ) � ) )

� ) ) $ ) )

) � $ ) ) )

) ) ) ) ) -

) ) ) ) - )

�������

�������

��������������������'�%� ����

���������!�����������������'�����������

������ � � !������"�����������

&�')� (�

) � � ) ) )

� ) ) � ) )

� ) ) � ) )

) � � ) ) )

) ) ) ) ) �

) ) ) ) � )

�������

�������

*������������"����������$������������������'���

Page 231: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

��� ������������� ���������� ��������������

,��������� ������������ �������������������$������� ����� ������ ����������� ��$������

������������������� ����� ��������������$������� � � !������"�%� ����

&�'� (�

� � � ) )

� ) � ) )

� � ) ) )

) ) ) ) �

) ) ) � )

������

������

���������!�����������������'�����������

������ � � !������"�%� ����

&�')� (�

) � � ) )

� ) � ) )

� � ) ) )

) ) ) ) �

) ) ) � )

������

������

*����������������-������������������'���

,��������� ������������ �������������������-������� ����� ������ ����������� ��-������

������������������� ����� ��������������-������� � � !������"�%� ����

&�'� (�

� $ ) )

$ ) ) )

) ) ) �

) ) � )

����

����

���������!�����������������'�����������

Page 232: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

� ������� � ���

������ � � !������"�%� ����

&�')� (�

) � ) )

� ) ) )

) ) ) �

) ) � )

����

����

*�����������������������������������'���

,��������� ������������ ��������������������������� ����� ������ ����������� ���������

������������������� ����� ���������������������� � � !������"�%� ����

&�'� (�

� ) )

) ) �

) � )

��

��

���������!�����������������'�����������

������ � � !������"�%� ����

&�')� (�

) ) )

) ) �

) � )

��

��

*��������.�������/������������������'���

,��������� ���������.�� ��������.����������/������� ��.�� ������ ��.�������� ��/������

������������������� ����� ��������������/������� � � !������"�%� ����

&�'� (�) )

) �

���

���

���������!�����������������'�����������

������ � � !������"�%� ����

&�')� (�) )

) )

���

���

&����������������������!�������� ���������������������%��������������������������

������������������"����������,������������������ �� ����

Page 233: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

��� ������������� ���������� ��������������

��������� ��������������� �������

$�% ���!�����!�� ���������

$��% ���!����� ��������

$���% 1��!�����!�� ���������

$��% ���!�����!�� ����������

��� �����

��� 3���������������%������������������������!������"����-�%������������ ����������/������

�����������+� ��������������-���������%������ �������

���� 3���������������%������������������������!������"����-���������!���������� ��������

��������������������+� ��������������-������������ �������

����� 3���������������%������������������������!������"���������������������� ����$�����.

�������"�������������+� ������������������������%������ �������

���� 3���������������%������������������������!������"����$����������������� ����$�����.

�������"�������������+� ��������������$���������%������ �������

���������� � ������������������ ����������� ������� ���

Page 234: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

� ������� � ���

��� ����� ������ � � !������"�&�'����������%��������������������������������������$���-�

�������.�����������

&�'� (�

) � ) ) $

� ) ) ) $

) ) ) $ )

) ) $ � )

$ $ ) ) )

������

������

+�����������%����������� ���� ��(�.��=���>�(�&���&$���&-���&��������������������

&$ (�&&�(�

. � ) ) $

� . ) ) $

) ) � $ )

) ) $ . )

$ $ ) ) 1

������

������

���&-�(�&$�&�(�

1 < ) ) �1

< 1 ) ) �1

) ) � �) )

) ) �) < )

�1�1 ) ) 1

������

������

&� (�&-&�(�

�. �� ) ) -�

�� �. ) ) -�

) ) $) �1 )

) ) �1 $< )

-� -� ) ) 2$

������

������

���������� > (�&���&$���&-���&�

(�

.1 .1 ) ) ./

.1 .1 ) ) ./

) ) $1 -$ )

) ) -$ �� )

./ ./ ) ) 11

������

������

&�����������(�)���������������������'������� �� ����

��������� � ����������� �������������������� �������#����

Page 235: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

��� ������������� ���������� ��������������

��� ����� *� ��������������%���������'�� ����� ������ �������������������������

����� ������'�������������������%�����

*�������������������������������'������ ��������'����'���������%�����

����� �����

� :���������������������������������������������������%�������� �� ����������

�� ,������������������'������%!������� � � !������"���� �� ����%!����������������#

������

&�'� (�

) � ) �

� ) ) $

) ) � �

� $ � )

����

����

�� A������� ������������������������������

Page 236: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

� ������� � ���

�� A����������� �������������'�����'$����������%�����

�� ������ ������������������.������������� �������������������$��$��-�������B����������

��C��������������D

�� ������ ����-#�������������'��E������������ �����������'��,��������� '��������

��������

�� B����������������� ��������� �������������������������������'�����'$�

�� A��������������������������������� � � !������"�

Page 237: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

��� ������������� ���������� ��������������

�� A����������������"�����������������������

�� B���������� ��� �������"�����������������������

e8

Page 238: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

� ������� � ���

� =������������'���������%������A�����������������

��� '�;�4�� ����� 4� (�5���-��.��/��2��16

��� '�;�7�� ����� 7� (�5����������������������� ��6������6

��� '�;�4$� ����� 4$ (�5���-��.��2��<�������-6

��� '�;�7$� ����� 7$ (�5������ ��7��������������6

�� '�:�� ����� : (�5���$��-���6

��� '�4�� ����� 4 (�5���������������6

p

�� B���������������������� ��������������������������

�� =���'�%������������������������,���������������������F����������� G�������H������ �

������������������'�

�� A���������������������!������"������������������������

Page 239: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

�� ������������� ���������� ��������������

�� E�������������������������������� ��������3�(����$��-�����.����/�������������'�����

%������������� � ���

� �� ��:��������������������������C�����'�

�� E����������� ��������������������'���'$����'-������������� �

�� A�������������������%�����������!

��� ��������'����

���� ����������������

����� ?������������������ �������������

Page 240: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

� ������� � ��

�� E��������������������������'�����'$������%����������������� �

�� E�������������������������'������%��������������!� �� ����������I�!� �� ����

��� 3������������'������%������������������������������������������!������"�

Page 241: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

����

��

����� ���������

������������� ��������� ������������������������� �������������� ��������������������

��������������������������������������������������������������������������������������������

������������������������������������ ��������������������������������������������������������

���������������������������� �������������� ����������� ��������������������������� ������

���� ��� ���� ������ ����� !������� ��������� ��� ���� ������ ���� ���� �������� ���� ��� �����

�� ��������������������������������������"�������������#���������#���������������#�����

������������"��������#�����������������������#���������������"����������#���������� �

��� ���������������������������������

� ���� ��

�������������������������$������������������������������������������������������ ��������������

����

%�& ����������������������������������������������������

%��& "� ���������������������������������������'�����������(���)���������������*�+��!���������

���������,�(��)����������������������(���)��-��������������������������������������

.��������� ������������������������������(/��� ��������������!�������������������������

������������(���)������0��������������������������

Page 242: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

���� ���

� ���� ����� ����� � ������� �

������������������������������ ��������� ����������

������ ����

���� ������ ��������������������������������������������������������������������������������

�����

������ �����

������������������������ �����������������������������������������������������������������������

����������������������������������������������������������������������������

������ �����

1������������������������ �����������������������������

.������������������������2�3������������������2�3�����2�3��!������2�3�����������������������2�3���

�������������������2�3�

�����! ���

�������������������������������� ����������������������������.������������������2�3������� ��

������������

�����" ���#

�������������������������������������������������������������������������������������������

����������� ��������� ����������������������������

Page 243: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

��� ���������� ��������������������������

�����$ ��%��

��������������������������������������������������������������� �����������+��.�����������

��������������������������������������%��4�(&����������������������%��5�(&�

�����& '��(�

��������������������������������������� ��� � ��� ��������������������������������������

������������ ����������������������������������������������������������� ��������������������

6���� ��������

� ,�6��� � ������5�(

���������������� �������������

7����������������� ,�6��� � ������5�(�,�0�5�(�,�/�

�����) ��*���(

��������������������������� ����������������� ����������������.�������������������������

��������������#� �������������������������

����� +����,���

�������������������������������������������������

%�& ������ �� ��

%��& ������������������������������������������������������������������� �����������������

��� ��������'������������������(������)�������� ������������������������������������

����� ��������� �����������������

������������������������� �������������������

Page 244: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

���� ���

������ �-���+����.�����

�������������������������������������������������������������� ��� � ������������ ������

�����������������������������������������������������2�3���������������� ������������)���� ������

������

������ ��/0�� ��+����.�����

��������������������������������� �������������������������������� ��� � ������������ ���

�������������������������������������������

�������������������������� ������.�������������������������(������������������������������

�)�������� �����������������

%8����9���������& %�� ������9���������&

����! +���

�������������������$�%:��;&�������������������������������� ��������������� �����������$������

����������$����� ���������������� ����������������������������$���

<���� ���������������=���� ����������������$�������������������������������� �������

�������

7����������������=������������������������.�������������������>������(+����������������������

���������������������������������

Page 245: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

��� ���������� ��������������������������

���!�� ������/

���������������������������%��4�(&�

��������!������������������ �������������������

8�� � ,�(�����������������������������������������+�

8�� � ,�)����������������������������������������������(�

7������������������������������,�(�����)������ ������������������������������������������������

����������������������������������������,�����������������������������������������

!������������������������������������������������������%��4��&�������������������������

�� �����������%��4��&������(������)���������������������������������������������������,�(�����)�

�������?���������,�(�����)������������(�,�%�(�4�(&������)�,�%�)�4�(&��#��������,�%�(5��)&����

��,�%�(�5��)�5�(&�������

� ,�%�(�4�(&�5�%�)�4�(&�5�(�,�%�(�5��)&�4�(�,�%��4�(&

���������������������������������������������%��4�(&��� � �������������������������

���!�� ������/

;����������������������������������������������������

��������#����������������������������������������������������(���)�-�����������������������

���������������������������������(����)����0���-�������#����������������������������������������(

����������@�(���������

���� ���������������������������������A���������7������(���(����������)�����)���������������

��

�(

,��(�5��)�5��0�5�-��5������(�5�)%��4�(&�,�)��4�( -�%�&

9���������� ��

�(

,�)��,�)�%��4�(&�,�)��4�)

��������������������B������%�&��#���������� ����������������7�����������������������������

���A��������

����" ������

����������������������������������������$���������������������������������������������%�� ��&

���������������������������������������������4���������.����������������������������������������

��%����&�,���

����$ �� �������,

����:���������������������$����������:��������������������������������������%�&���������������

��

�%�& ,�6���C��%����&D�����:����������E

Page 246: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

���� ���

����& �����

����$����������������������������������$�������������������%$&������������������

����%$& ,�6���C�%�&D�����:E�

����) ��� � �

����:�������������������������������$��������� ��������$������������������ �%$&���������������

��

��� �%$& ,�6���C�%�&D�����:�E�

����1 � ��������������� ���

����:�������������������������������$�����������:�����������������������������������%�&�,�����%$&�

���������������������������������$�����������������������$�

�����������������������������$������������������������������(�

7��� : ,�C�(���)���0��-����(=E��F����������

�%�(���)& ,�(@ ��%�(���0& ,�)@ ��%�(���/& ,�/@ ��%�(���>& ,�/@ ��%�(���=& ,�0@

�%�(���G& ,�)@ ��%�(���H& ,�0@ ��%�(���I& ,�/@ ��%�(���(+& ,�/@ �%�(���((& ,�/@

�%�(���()& ,�0@ ��%�(���(0& ,�>@ �%�(���(/& ,�/@ �%�(���(>& ,�>@ �%�(���(=& ,�0�

���������� �%�(&�,�6���C(��)��0��/��>E�,�>�

�%�)���(& ,�(@ ��%�)���0& ,�(@ ��%�)���/& ,�0@ ��%�)���>& ,�0@ ��%�)���=& ,�)@ �%�)���G& ,�(@

�%�)���H& ,�)@ ��%�)���I& ,�0@ ��%�)���(+& ,�0@ �%�)���((& ,�0@ �%�)���()& ,�)@ ��%�)���(0& ,�/@

��%�)���(/& ,�0@ �%�)���(>& ,�/@ �%�)���(=& ,�/�

���������� �%�)&�,�6���C(��)��0��/E�,�/��1������������������ ������������������

�%�0& ,�>@ �%�/& ,�>@ �%�>& ,�>@ �%�=& ,�/@ �%�G& ,�0@

�%�H& ,�/@ �%�I& ,�>@ �%�(+& ,�>@ �%�((& ,�/@ �%�()& ,�0@

�%�(0& ,�>@ �%�(/& ,�/@ �%�(>& ,�>@ �%�(=& ,�>�

F��� ������ ,�����%$&�,�6���C��%�&������:E�,�6���C>��/��0E

,�0�������� �����,���� �%$&�,�6���C��%�&������:E

,�6���C>��/��0E�,�>�

�����������������������������������G������()������������,�C�G���()E�

Page 247: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

��� ���������� ��������������������������

������ �����������

#�������$�,�%:��;&�������������������������7����$���������������������������������������$���

�����7�����$������� ����������������������������������������$������������������������������

�������������$��.������������������������������������������� �������������� ��� � ���������������

������� ���/23���(��� �/

��������������������������������1�� 3���������� ��������������� ��� � �������������������

������$������ �����������������$���������������

(� �����������������(����$

)� ����������������(,��(��)����$������������(����)������(������ ��������������� �������

���������$����������������(�

0� .�������� �(�� �)� ���������������� ������������������� ���������������� �(�� �)�� ���� �� ��5(�� ����

�����������������5(�,��������������C�(���)�����������5(E��������C�(���)�����������5(E�������������5(

����� ��������������� �����������������$�

/� ���������0��������������������������������������������������%��4�(&�������

������������������������������������������������$��7���������� �����������������,�G

%:(,���@�<���������������� %�(�,��9��#��������)�,�9&

�����������&

%�)�,�9$�@�#��������0�,�$�@��� %�0�,�$J�@�#��������/�,�J@�F�

����������������������$& ������������������&

Page 248: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

���� ���

%�/�,��8�@�#��������/�,�8�@�F� %��>�,�8;�@�#��������>�,�;�@���

���������������& ���������������������$�&

T :

%�=�,�$��@�#��������=�,��@�F� �%�&�,�0)

�����������������&

#�������������������������=�,�%G�4�(&����������������� ��������7���������� ��� � �����A

������������������������������������������������

������� 4�-35��23���(��� �/

��������������������������������K������3���������� ��������������� ��� � �����������������

��������$������ �����������������$���������������

(� ����������������(����$��������������� ���������������������(� ������������������

)� #������������������(���)�������������������������������������������5(�%�����������������&

�����������������������

%�& ����������������������$LC�(���)������������������5(EM��������������

%��& !�����������5(�������� ����������������

0� ���������)��������������������������������������������������%��4�(&�������

������������������������������������������������$��7���������� �����������������,�>��<�

��������K������3���������� �����������������������������

Page 249: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

��� ���������� ��������������������������

%�(�,�9J�@���%�(&�,�(�@�F�

�����������������&

%�)�,�J;�@���%�)&�,�)@��� %�0�,�9�@���%�0&�,�)�@�F�

���������������������9�& ������������������&

%�/�,���@���%�/&�,�0�@����������� ��%�&�,�(�5�)�5�)�5�0�,�H

�������������;������J&

#�������������������������/�,�%>�4�(&����������������� ��������7���������� ��� � �����A

������������������������������������������������

������ � ���'����������'��

���������������������� ����������������������������������� ��������� �����������������

������������������������������������������������������������������������������������������� �

������������ ������������������������������������7��������������������������� ��������

���������������������������������������.���������������������������������������������������������

�����������������

Page 250: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

���� ��

������� +���� �����3 �����6�

9������������������������������������ �������������� �������������������������$�����������

$%:��;&�������������������������������������������������������������� ��������������������

���������$������������������������������������������� ����.���� �������������������%�������

�� ������������&� ��� � �� ������� ������������������������9������� ������ ������� ��� ����� ��

�������� ��������������� ���������������������������������������������������������� �

������������������������������������.����������������������������������������������������������

�������������������������������������

#��������������� ���������������������������������$��!���������������������� ����������������

���������� ��������������������������������� ��������������#�������������������������������

������������������������ ���������������������+��(��)��-�������������������$������������������

9�������8�����#������%98#&�������B��������98#��������� ���������������������������������

(� ������������������������+��#�����,�+

)� 8������������������������������$��������������'�����������������������������.�����������

�������������������������������������������������������������� ���%��5�(&�

0� .���������������������������/�������������������%��5�(&����������������)�

/� ������������������������������� �������������%��5�(&�����������

�����������������������������$��F������������������������������������������� �����������

������������������������<������������98#�������B��������������������������������

%������%�&�,�+�����������,�+&

.������������������������'�������������������������������������������������������%�&�,���5�(

,�+�5�(�,�(�����������%�&�,� �� 5�(�,�+�5�(�,�(��#� ���������'����������������� ������ ������ ��

�����������������%�&�,���5�(�,�(�5�(�,�)���� ������%�&�,���5�(�,�(�5�(�,�)�

Page 251: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

�� ���������� ��������������������������

.������������������������'������������������������������������������������%�&�,���5�(�,�(�5�(

,�)��#� ���������'�������������������������������������������������%�&�,���5�(�,�)�5�(�,�0����������

%�&�,���5�(�,�)�5�(�,�0��7����������������������������������� ��

������� +�657���65��(���(��� �/

�����������������������������������A����������������� �

(� #����%�&�,�����������������,����������2�3����������� �������������

)� 8������������2�3������������'����������������������%�&�,�%��4�(&��#������4�(�,���

0� .����,�(�����������������������������%��4�(&����������������)�

�����������������������������$��F������������������������������������������� �����������

������2�3��������������2�3��<������������98#�������B�����������

<������������A����������������� �������

(� #�����,�%�&�,�0�����������0�,��

)� ������'����������0�,�������������%�&�,�%��4�(&�,�)��#����)�,���

0� �����,�0���(�������,�%��4�(&�,�)��$����������)�

)� ������'����������)�,�������������%�&�,�%��4�(&�,�(��#����(�,���

0� �����,�)���(�������,�%��4�(&�,�(��$����������)�

)� ������'����������(�,�������������%�&�,�%��4�(&�,�+��#����+�,���

0� �����,�(�������������������� �������

�������������������������������� �2�3�����������������2�������3��9���������������������������

���������������� �2�3����2�3�

������� �0 �����3 �����6�

9���������������������������������������������������������������������������� �����������2�3

����������������������������������������������������.����������������������������������������

����������� ����������������������������2�3��������������������������������������������!���

��������3�������������������������������������������N����������O����������������������������

��������� �������2�3�����������������������������������������������������������������A

������������������������������������������� ����������������������������.����������������

Page 252: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

���� ���

�������� �� ����� ����� ���� ��� ��� � ��� ��������� ��� �� ���� ������� ������ ���� ���� ������� ��

�������������������������������������������������������������������

�������������������$�����������������������������������������������2�3��<������������J8#

������B���� ���������� �������������������������������������� ���������������������������A

B����������������

�������������������������������������������������9����������������������������������������

��������������� ������� ��������2�3�����������������������������������������������������B���

Page 253: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

��� ���������� ��������������������������

������ �'�� ������'�������'��

���������������������� ������������������������������������ ������������������������ �������

�����������������$������������� ���������������������� ������������������������������������

������������������������������������������������������������������������������������������

7��������������������������� ��J�'������3���������� �����8���A!���������������� �

������� �853 ��93���(��� �/

.���������������$%:��;&������������������������������������� ���������������������2����:3���

���� ������ 2�� �� :3�� ����� ��� ���������� ������ ��� ������� ������� ��������� ����� ������ �

J�'������3���������� ��������������������������������������������� ��������������������

�����������A����������������������������������� ��������%��&���+���������������%��&���;�

(� #����%��&�,�+������������������������������%��&�,����#�����,�:@�������:����������������������

���$���������������������������������������

)� �����������������������������������%�&���� ��� � �

0� .����,����%��� ������������&�������������;����������������/�

/� 8��������������,����������������������������������������������%�&������6���C�%�&���%�&�5

��%��&E�

� � �%�& ,�6���C�%�&���%�&�5���%��&E

>� �������������4�C�E����������������)�

�����������������������������$��������������������������������������������������� �������

������������!��������������������������������������������������������������������

.�����������������$�������������������������,����������,�����#���%�&�,�+�����%�&�,�%�&�,�%�&

,�%�&�,�%�&�,������,�:�,�C����������������E��7��������������������������������

:����� � � � � � �

%�& + � � � � �

� � � � � � �

F������,������%�&�,�%�&�,�+���������� ��� � ��������������������������,�����������������

����������

%�& ,�6���L%�&��%�&�5��%��&M

,�6���L���(HM�,�(H�

�%�& ,�6���L%�&��%�&�5��%��&M

,�6���L���(>�M�,�(>�

������ � ,���4�C��,��E�,�C���������������E����������������������������������

:����� � � � � � �

%�& + (H � (> � �

� � � � � �

Page 254: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

���� ���

F������,������%�&�,�%�&�,�(>���������� ��� � ����������������������������,�������������

������������������

%�& ,�6���L%�&��%�&�5��%��&M

,�6���L(H��)(M�,�(H�

%�& ,�6���L%�&��%�&�5��%��&M

,�6���L���)IM�,�)I�

%�& ,�6���L%�&��%�&�5��%��&M

,�6���L���))M�,�))�

������ � ,���4�C��,��E�,C�����������E����������������������������������

:����� � � � � � �

%�& + (H )I (> )) �

� � � � �

F������,������%�&�,� %�&�,�(H���������� ��� � ����������������������������,� ����� ���

����������

%�& ,�6���L%�&��%�&�5��%��&M

,�6���L)I��)GM�,�)G�

������ � ,���4�C��,��E�,C�������E����������������������������������

:����� � � � � � �

%�& + (H )G (> )) �

� � � �

F������,������%�&�,�%�&�,�))���������� ��� � ����������������������������,�������������

��������������

%�& ,�6���L%�&��%�&�5��%��&M

,�6���L)G��0)M�,�)G�

%�& ,�6���L%�&��%�&�5��%��&M

,�6���L���>HM�,�>H�

������ � ,���4�C��,��E�,�C����E�����������������������������������

:����� � � � � � �

%�& + (H )G (> )) >H

� � �

F���� ��,� ����� %�&�,� %�&�,�)G���������� ��� � �������������������������� ��,� ����� ���

����������

%�& ,�6���L%�&����&�5��%��&M

,�6���L>H��>>�M�,�>>�

������ � ,���4�C��,��E�,C�E����������������������������������

:����� � � � � � �

%�& + (H )G (> )) >>

� �

Page 255: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

��� ���������� ��������������������������

F������,� ������ ������������ �������������������������������� ��������7�����������������

������������� ���������������������������(H��)G��(>��))��>>����������������������������������

������������������������������������������������

������� ���.�7:��3�������(��� �/

8���A!���������������� ����������A������ ��������������������� �����������������������

������$�,�%:��;&��������������������� �����������������������������������������������A

�� �� ����� ������ ���� ��� �������� ������� ������� .�� ����� �������� �� ��� ���� ���� ��'�����

��������������������������������������������������������������������������������

#������������$%:��;&�����������������!����������'������ ������������������������������

������$�������������� �������������������������

(� ��,�"����L!M

)� J%+&�,�!

0� 8����,�(�����

/� J��������,�(�����

>� J��������,�(�����

=� ���

�� ��,�6��� � � ���

��

��

�� � �

( ( (� � � � � �� ��

G� !�����J%�&

!������J%�&�,� ����� ��

������ ����; ���� �

#������������$%:��;&�����������������������2�3������������$��������������������������$�������

�� ��������� ����������%$�4��&����������������������� ��������� �����������$��� �����%$�4��&

*��%�&���������%$&�������������� ��������� ����������$�

�������������������$�����������.������������$��2�/3��������������������%$�4��/&�,�0�*��%$&�,�(�

V5

v4

G :

V5

Page 256: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

���� ���

������ ���������

��������������� �������������������� ��������� �������������������������������������

���� �������������������� ��������� ��������������������������������� ��������������

�����������������������������������������

��� ����� �������� ��� ����� ������ ���� ���������� ����� ������ �� ��������� � � !������"�� �

����������������������������������������������

������� ����������������

#������������������������� ������� �����������������������������������������#���������$

���������������� ������������������

%� &�����������������'���������������������� �����('�)��'�

*� ������������(��)��'��%��%��*��*����������������������������������������������������� �����+%

���������������%���*������������������

,�- ��+%������� �������������

,��- ������� ������ ��� ��� ����������� ��+%� ��� ���� � ��� ��� ��� ���� � ��� ����� � �������

��.�/�%���*�������������0

1� 2������������������������ �������3����������������������*�

&���� �������������������������������(������������ �������������������������������� �

������������������������������

%� 4�������������'�)��%�� �2����'�)��%

*� &������� ����%�)��%���������(%�)��'��%�)��%��%��*

1� ���(%������������������ ������������������*�

*� &������� ����*�)��5���������(*�)��%��%��*��5��6

1� ���(*��������*�� �������������������*�

*� &������� ����1�)��%'���������(1�)��%��%��*��5��6��%'��7

1� ���(1��������1�� �������������������*�

*� &������� ����8�)��9���������(8�)��%��%��*��5��6��%'��7��9��8

1� ���(8��������8�� �������������������*�

*� &������� ����6�)��6���������(6�)��%��%��*��5��6��%'��7��9��8��6��*

1� ���(6��������6�� �������������������*�

:���� ������������������������������

�(%*�)��%��%��*��5��6��%'��7��9��8��6��*��8��7��%*��;��;��1��*��%��1��;��%%��5��7��%

��� (%*� ������� ��� ���� %*� � ���� ����� ��� ���� ������� ����������� #���� ���� ������ ����

��� �� �����������

��%��%��*��5��6��%'��7��9��8��6��*��8��7��%*��;��;��1��*��%��1��;��%%��5��7��%

Page 257: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

��� ���������� ��������������������������

������� ���������������������

4���� ������ �� ���������� ����� ��������� ��� ���� ������� � ��� �������� �� ������ ����� ���

������������#������������������������� ������������������

%� &������������������������ �������������� ������('�������2�����)�'�

*� �����,(�-�)��,�-������������� �(����������������������3�������������������������(������

������ ������������ �������������������(���&����������� ������(�<�����������������$

�,(�-���������������������������(�����(�<�������� �����������

1� 4��� (�+%� ��� ���� ���� � ����� ���������� ��� ���� � ���� ��� ����� (�� � � (�<� ������ � ��

�������������������������������������������(������������������ ��������������������

���� ������(�<�� ��������������������������������������������������(���=����� ����

,��+�%-�� ������������*�

&���� ���������������(������������ ��������������������������!������"�� ��������������

�����������������

%� 4�����)��%��������������� ������('���('�)��%��%��*��6��8��9��7��%*��;��1��%��2�����)�'�

*� ����,('-����,�-���������*����('���� ����������5��������('��&������('<)��*��5��6��%'��7

�8��*3�����������������.��,('-3���)�5��8��%'�

1� >�����������(%�)�('+%�)��%��%��*��5��6��%'��7��8��*��6��8��9��7��%*��;��1��%�� ���)�,��+�%-

)�'�+�%�)�%�������������*�

*� ����,(%-����,�-���������%����(%���� ����������*��������(%��&������(%<)��%��*��1��;��;

�%%��5��7��%3�����������������.��,(%-3���)�*��;��%%��7�

1� >�����������(*�)�(%+%�)��%��*��1��;��;��%%��5��7��%��%��*��5��6��%'��7��8��*��6��8��9��7��%*��;

�1�%� � � �� )� ,�� +� %-� )� *�� ��� ��� ����� *�� 2����� �,(*-� )� �,�-3� ���� ������� ����������

#�����������������������������������

�%��*��1��;��;��%%��5��7��%��%��*��5��6��%'��7��8��*��6��8��9��7��%*��;��1��%�

������� �����������

2������������������������������������������� ���������������������������������������� ��

����������������2��������������������������� �������#����

&���� �����������������������?��������������������������������������

�%��%��*��*��6��1��8��8��*��6��1��5��8��7��5��;��6��9��%��%'��5��

&���� ������������������������������������������������ ����������������������

�%��%��*��*��6��1��8��5�1��6��*��8��8��7��5��;��6��9��%��%'��5��%%��7��%*��%�

Page 258: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

���� ���

#�����������������������#����

e7

����� �!"��#$"$����

�� ���� ��� � ����� �,@�� �-� ����� ������� ������ ������� ��� �� ������ ���� ��� ������ �

!��������������&���� ����������������������

G :2

#���������%�������!����������������������*�����!������������������

�%��%��*��1��1��8��8��

���� �� �������%��%���&�

����������������������������������������������������������������������!��������

��������������������� �������������������������������� �������������������������������

������������������������������������������� �������!�������������������!��������

�����&���� ���������������

#���!��������������� �%��%��*��*��1��8��8��6��%��#�������������������������!��������

�����

�����' (�#)����# �����

4��� �� ��� � ������� ������ ��� ������ ��� ���� ���$ A���� �������� %�� � �%� ��� �� ���� ���

�,%-�+��,�%-����,����������������������-������A����%�� ��%������� ������������������������

�%�������&�������������������������������A������������������$ A������������������ �����

�����������������������������������������#������������������������������ ������� ����

������������ ����� ����&,�-�

Page 259: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

��� ���������� ��������������������������

&���� ���������������

!�����@�)�/��%���*���1���8�0�� ��)�8�,�����������������-��>��������������$ A�����������

�%�� ��1�������

�,�%-�+��,�1- )�*�+�*�)�8����)�8�

#�������������������������� ������������%�� ��1��2��������������������� A�����������

�*�� ��8���������,�*-�+��,�8-�)�*�+�*�)�8���8�)���2������������������� ������������*�� ��8�

#�������������������������������������������#�����������������������������������������&,�-�

� ����* ��+���"$� )��)!$���#,��!

#���A������������������������������������������������������ �������� �������������

�����������!���������������������������������������������������������������� �����

������� ����������������������������

������������������ �������� �����������A���� ������������ �� ������� �����������

����������������� ��������������������������������������������������������������

������������������������������������!��������������#��������������������������$

�� ����������!�������������������������������������� ������

,�- #������������������� �

,��- &��������������������������

����*�� �-��#&��������������

2������������,@���-�������������������� �������(�����@/�%���*����������0��!������������

�!�������������&�� ������������B���������� ������������&������� ����������������

#������������������������� ������������������������

%� 4���&�)��%�*����������%�����!����������������������������������� ���������&��$

��������������������&���������������

� )��,�%���*-�+��,�*���1-�+����������+��,����%-�

(�������,������-� ������������������������� ���A����������� ����

*� 2�����)�%

1� 2�����)���+�*

8� 4���&��� ����������!��������������

&�� )��%�*�1������������.�%����.�*��������+%���+%��������%�

&�������������&��������������)���.��,�����+%-�.��,�����+%-�+��,�����-�+��,��+%���+%-�

6� �������C���������������&����&���� ���������������������������������������&������������ ��

�%�*�1���������%3�����������������5�

5� 2�����)�,��+�%-����������������������8������������)�,��+�%-�

7� �������,�.�*-�������������1�����������

Page 260: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

���� ���

����*�� ����(�������"%������%���������

���������������������� ��������� �������B������������������������������������������

� ��������������������������������������������������������������������������������$

����� ���������������������������������������������#��� �������������������� ��������

�����������������������������(��#������������������������� ������������������

%� &�����������������%�������������������

*� &����������*� ���������*��������������������%����������,�.�%-�������������������������

4����*�)��%�*�%� ��������������

1� &����������1� ���������1����������������������������*�)��%�*�%����������,�.�*-��������

�����������������4����1�)��%�*�1�%� ��������������

8� &������ ���� 8��� ������� �8� ����� ��� ������� ��� ���� �����1�)� �%�*�1�%� ����� ���� ,� .� 1-

���������������������������� ���������������������������������%��*��1��8��%3��%��*��8��1

�%3��%��8��*��1��%��4����8� ������������������������=���������������������%��*��1��8��%���

��������

6� &����������6�����������6����������������������������8����������,�.�8-������������

���������������� ���������������������������������%��*��1��8��6��%3��%��*��1��6��8��%3��%

�*��6��1��8��%3��%��6��*��1��8��%��4����6� ������������������������=���������������������%

�*��1��8��6��%������������

5� #������������������������� ����������������������������� � �������������#��������

�����������������!���������������������������

������ � D���� ���� ���������� ����� #��� ������� ��������� � � &������� ���������� ��������� ����� �

������������ ������������#�������������������������������������

�)#�+�.��/!���)�

Example 1 � ����������������������������� ���������������������������������������������

Solution : 2��������������������������������#�������������.���������4���������������

���������.�����������E�� �2�

2����E�� �2���� ����������.�������������������������������������������������������E

� �2������������������������ ���������������������E���� ����������������������������� �$

��������������������2��#����������������� ����� ��������������������������������

4���������������� �������������������������E����������� �����������������������2��#���

�������������������������������.������������������������ ��������������������������

������������������ �����������#��#������������ �������#�������� ����������������

#����������

#������������������������������������!�����#��������������.�������

Example 2 �������� ������������������������������������������������������ ���� ������

��������������!�������������� � � ������������!�� �����������"������� ������ ��� ��������� �

��������

Page 261: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

��� ���������� ��������������������������

Solution : #��� A����������(���������������������� ���!���������

� �������������

' * 7 6

' 7 5

1 '

% 5 '

6 '

� �

� �

� � �

� � �

� � �

������

������

!���� )�=��F(G�)�6

H,'- )� dij0� � �)�

' * 7 6

' 7 5

1 '

% 5 '

6 '

� �

� �

� � �

� � �

� � �

������

������

��� # )�%����)�%�� ���)�%����6�������

� � � �

� � � �

� � � �

� � � �

� � � �

%%%

%%'

%%'

%%'

%*%

%*'

%%'

%*'

%1%

%1'

%%'

%1'

%8%

%8'

%%'

%8'

%6%

%6'

%%'

%6'

' ' ' '

* ' * *

7 ' 7 7

'

6 ' 6 6

� � � � �

� � � � �

� � � � �

� � � � � � � �

� � � � � � �

I�� I��

I�� I��

I�� I��

I�� I��

I�� I��

, � - , � -

, � - , � -

, � - , � -

, � - , � -

, � - , � -

��� # )�%����)�*�� ���)�%����6�������

� � � �

� � � �

� � � �

� � � �

� � � �

*%%

*%'

*%'

%%'

**%

**'

*%'

%*'

*1%

*1'

*%'

%1'

*8%

*8'

*%'

%8'

*6%

*6'

*%'

%6'

'

' * '

7

7 7

5 6 5

� � � � � � � �

� � � � � �

� � � � � � � �

� � � � � � �

� � � � � �

I�� I��

I�� I��

I�� I��

I�� I��

I�� I��

, � - , � -

, � - , � -

, � - , � -

, � - , � -

, � - , � -

Page 262: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

���� ���

��� # )%����)�1�� ���)�%����6�������

� � � �

� � � �

� � � �

� � � �

� � � �

1%%

1%'

1%'

%%'

1*%

1*'

1%'

%*'

11%

11'

1%'

%1'

18%

18'

1%'

%8'

16%

16'

1%'

%6'

'

1 * 1

' 7 '

6

� � � � � � � �

� � � � � �

� � � � � �

� � � � � � � � �

� � � � � � � �

I�� I��

I�� I��

I�� I��

I�� I��

I�� I��

, � - , � -

, � - , � -

, � - , � -

, � - , � -

, � - , � -

��� # )�%����)�8�� ���)�%����6�������

� � � �

� � � �

� � � �

� � � �

� � � �

8%%

8%'

8%'

%%'

8*%

8*'

8%'

%*'

81%

81'

8%'

%1'

88%

88'

8%'

%8'

86%

86'

8%'

%6'

% % ' %

% * 1

5 % 7 5

' % '

% 6 8

� � � � �

� � � � � �

� � � � � � �

� � � � � �

� � � � � � �

I�� I��

I�� I��

I�� I��

I�� I��

I�� I��

, � - , � -

, � - , � -

, � - , � -

, � - , � -

, � - , � -

��� # )�%����)�6�� ���)�%����6�������

� � � �

� � � �

� � � �

� � � �

6%%

6%'

6%'

%%'

6*%

6*'

6%'

%*'

61%

61'

6%'

%1'

68%

68'

6%'

%8'

'

*

7

6 6

� � � � � � � �

� � � � � � � �

� � � � � � � �

� � � � � � �

I�� I��

I�� I��

I�� I��

I�� I��

, � - , � -

, � - , � -

, � - , � -

, � - , � -

� � � �66%

66'

6%'

%6' ' 6 '� � � � � �I�� I��, � - , � -

#���������������� H,%- )�

' * 7 6

' 7 5

1 '

% 1 5 ' 8

6 '

� �

� �

� � �

� �

� � �

������

������

2����������� # )�*����)�%����6�� ���)�%����6�������

H,*- )�

' * 7 9 6

' 7 5

1 ' %' 9

% 1 5 ' 8

6 '

� �

� �

� � �

������

������

2����������� # )�1����)�%����6�� ���)�%����6�������

H,1- )�

' * 7 9 6

' 7 5

1 ' %' 9

% 1 5 ' 8

6 '

� �

� � �

� � �

������

������

Page 263: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

��� ���������� ��������������������������

2����������� # )�8����)�%����6�� ���)�%����6�������

H,8- )�

' * 1 9 6

; ' % 7 1

%% 1 ' %' 5

% 1 5 ' 8

5 * % 6 '

� � �

������

������

2����������� # )�6����)�%����6�� ���)�%����6�������

H,6- )�

' 1 5 ' 6

; ' % 7 1

%% 1 ' %' 5

% 1 5 ' 8

5 * % 6 '

� � �

� � �

������

������

���������������������������������� ������������������������������������� �����

Example 3 ���������������� ������������������

Solution : ��������������������������@�)�/�%���*���1���8���6���50�� ������������������

,-�)�5��>��������������� A�������������%�� ��8�������

�,�%-�+��,�8- )�8�+�*�)�5����)�5�

#�������������������������� ������������%�� ��8��4�������������������%���

�����������$ A�������������*�� ��8���������,�*-�+��,�8-�)�1�+�1�)�5������#���������

���������������� ������������*�� ��8���4�������������������*���

Page 264: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

���� ��

�������*�� ��6�������$ A�������������,�*-�+��,�6-�)�8�+�1�)�7����)�5��#���������������

���������� ������������*�� ��6��4�������������������1���

�����������$ A�������������1�� ��6���������,�1-�+��,�6-�)�1�+�8�)�7�����#���������

���������������� ������������1�� ��6��4�������������������8���

�����������$ A�������������1�� ��5���������,�1-�+��,�5-�)�8�+�1�)�7�����#���������

���������������� ������������1�� ��5���4�������������������6����

�����������$ A�������������8�� ��5���������,�8-�+��,�5-�)�8�+�8�)�;�����#���������

���������������� ������������8�� ��5���4����������������������5��������������������������

�������������$ A�������������#������5�������������������������#�����������������������

���������������������

Page 265: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

�� ���������� ��������������������������

Example 4 �������� ����������������������� �����!�� ������������������������������

�������� �

Solution : ����������������������������� ���������

%� &������������������%

*� &������������������*���������������������%��2����*�)��%��*��%

1� &������������������1�������������������*��2����1�)��%��*��1��%

8� &������������������8�������������������1��!������������������������������

�8 )��%��*��1��8��%���

)��%��*��8��1��%���

)��%��8��*��1��%

>������������ �%��*��1��8��% )�%'�+�8'�+�1'�+�*'�)�%''

4�������� �%��*��8��1��% )�%'�+�86�+�1'�+�%6�)�%''

4�������� �%��8��*��1��% )�*'�+�86�+�8'�+�%6�)�%*'

#��������� �8 )��%��*��1��8��%������������

6� &������ ���� ������� �6�� ����� ��� ����� ��� �8�� !����� ��� ���� ���� ���������� ����� #��

������������������������������������������

�%��*��1��8��6��% )�%'�+�8'�+�1'�+�66�+�*6�)�%5'

�%��*��1��6��8��% )�%'�+�8'�+�16�+�66�+�*'�)�%5'

�%��*��6��1��8��% )�%'�+�6'�+�16�+�1'�+�*'�)�%86

�%��6��*��1��8��% )�*6�+�6'�+�8'�+�1'�+�*'�)�%56

������������������������� � ��������������������������������������!���������������$

����!�������������������������%��*��6��1��8��%�

Page 266: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

���� ���

Example 5 ����������������������� �����!�� ����������� ����$������������������������

����������� �

Solution : ����������������������� ������������������������������������������,-�)�6�

��� ����������������������������������������������������������

%��4�� & )��%���*���1���8���6���%�����!�������������

#����������������

� )��,�%�*-�+��,�*�1-�+��,�1�8-�+��,�8�6-�+��,�6�%-

)�%'�+�8'�+�1'�+�66�+�*6�)�%5'

*� 2���� )�%

1� 2���� )���+�*�)�1

8� 2���&�� )�&%1�)��%��1��*��8��6��%

�%1 )���.��,�%�*-�.��,�1�8-�+��,�%�1-�+��,�*�8-

)�%5'�.�%'�.�1'�+�%6�+�86�)�%;'

6������%1�J ��3������������5�

5� 2���� )�,��+�%-�)�8�� �8����)�6�������������8�

8� 2���&�� )�&%8�)��%��8��1��*��6��%

�%8 )���.��,�%�*-�.��,�8�6-�+��,�%�8-�+��,�*�6-�)�%56

6���� �%8 )�%56�J �%5'�)��3������������5�

5� 2���� )�,��+�%-�)�6�� �6����)�6�������������8�

8� 2���&�� )�&%6�)��%��6��8��1��*��%

�%6 )���.��,�%�*-����,�6�%-�+��,�%�6-�+��,�*�%-�)�%5'

6���� �%6 )�%5'�J �%5'�)��3������������5

5� 2���� )�,��+�%-�)�5�� �5�J ��)�6�������������7��������)�,��+�%-�)�*�

7���� � )�*���,�.�*-�)�1�������������1�

1� 2���� )�,��+�*-�)�*�+�*�)�8

8� 2���&�� )�&*8�)��%��*��8��1��6��%

(*8 )���.��,�*��1-�.��,�8��6-�+��,�*��8-�+��,�1��6-�)�%86

6���� �*8 )�%86�C�%5'�)��3������������%

%� & )�&*8�)��%��*��8��1��6��%��������)��*8�)�%86�

��������$��������������������������

& )�&*8�)��%��*��1��8��6��%�

Page 267: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

��� ���������� ��������������������������

*� 2���� )�%

1� 2���� )�,��+�*-�)�1

8� 2���&�� )�&%1�)��%��1��*��8��6��%

�%1 )���.��,�%��*-�.��,�1��8-�+��,�%��1-�+��,�*��8-�)�%56

6���� �%1 )�%56�J �%86�)��3������������5

5� 2���� )�,��+�%-�)�8�� �8����)�6�������������8

8� 2���&�� )�&%8�)��%��8��1��*��6��%

�%8 )���.��,�%��*-�.��,�8��6-�+��,�%��8-�+��,�*��6-�)�%56

6���� �%8 )�%56�J �%86�)��3������������5

5� 2���� )�,��+�%-�)�6�� �6����)�6�������������8

8� 2���&�� )�&%6�)��%��6��8��1��*��%

�%6 )���.��,�%��*-�.��,�6��%-�+��,�%��6-�+��,�*��%-�)�%86

6���� �%6 )�%86�J �%86�)��3������������5

5� 2���� )�,��+�%-�)�5�J ��)�6��������)�,��+�%-�)�*�

7���� � )�*���,�.�*-�)�1�������������1

1� 2���� )�,��+�*-�)�*�+�*�)�8

8� 2���&�� )�&*8�)��%��*��8��1��6��%

�*8 )���.��,�*��1-�.��,�8��6-�+��,�*��8-�+��,�1��6-�)�%5'

6���� �*8 )�%5'�J �%86�)��3������������5

5� 2���� )�,��+�%-�)�6���6�)��������������8

8� 2���&�� )�&*6�)��%��*��6��8��1��%

�*6 )���.��,�*��1-�.��,�6��%-�+��,�*��6-�+��,�1��%-�)�%86

6���� �*6 )�%86�J �%86�)��3������������5

5� 2���� )�,��+�%-�)�5�J ��)�6��������)�,��+�%-�)�1�������������7

7���� � )�1���,�.�*-�)�1�������������1

1� 2���� )�,��+�*-�)�6

8� 2���&�� )�&16�)��%��*��1��6��8��%

�16 )���.��,�1��8-�.��,�6��%-�+��,�1��6-�+��,�8��%-�)�%5'

6���� �16 )�%5'�J �%86�)��3������������5

5� 2���� )�,��+�%-�)�5�J ��)�6��������)�,��+�%-���8�������������7

7� ���� )� 8� J � ,� .� *-� )� 1�� ���������� ���� ������� ����������� !����� ���� �������

!�������������������������%��*��1��8��6��%��#������������������������������������

������

Page 268: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

���� ���

Example 6 ��������������������� ������������������������� ��������������� � ���������

�����!����������������������������������!���������������������������������%�

Solution : �����������������������@�)�/�%���*���1���8���6���5���70����������������������������

������� ������%��>���

�,�%���*- )�%3 �,�%���1- )�*3 �,�%���8- )�13

�,�%���6- )�*3 �,�%���5- )�13 �,�%���7- )�13

#��������� �,�%- )�I��/%��*��10�)�1�

2���������������

�,�*���%- )�%3 �,�*���1- )�%3 �,�*���8- )�*3

�,�*���6- )�%3 �,�*���5- )�*3 �,�*���7- )�*3

#��������� �,�*- )�I��/%��*0�)�*�

:���� ���������������������

�,�1- )�13��,�8-�)�13 �,�6-�)�*3� �,�5-�)�13 �,�7-�)�1�

>��� � ��� )�� �,�-�)�I���/�,�-K�����@0�)�I���,*��1-�)�*�

H������ )� ���,�-�)�I��/�,�-K�����@0�)�I��,*��1-�)�1�

2������������������������*���6�� �������/�*���60�

Example 7 &�����!���������� ��������������'��(�������������������� ����������)��*�%��+��,��-�.�

4�� ���

)���� � ����

)�*(�)�*,��.�%-�

2������� �% )��1�+�*�8�+�1�6�+�8�5�+�����+�*� ��

Solution : ����������#��������������� ������ ���"��(���������������������

���

)���� � ����

)�*,��.�%-

���� �%�+�*�*�+�1�1�+�8�8�+�����*,��.�%- )�*��.�*

���� �%�+�*�*�+1�1�+�8�8�+���� )��* ���

�.�*

Page 269: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

��� ���������� ��������������������������

���� ��%�+�*�*�+�1�1�+�8�8�+���� )�*,�%�+��*�+��1�+����-�.�*

���� �% )��1�+�*�8�+�1�6�+�8�5�+�����+�*�

Example 8 � ��������!����������� �������������������������

,��+�%- ������*,��+�%-�.�%

Solution : 4����#� �������������������������������#���������#�����'���#�����

#����������������

� �##

'

)��

2�����#���%��������#��� ��#���*�,#�.�%-�����%���#�������������������� ��������������#���*#�

�����

*

'

#

#

)�%�+�*�+�**�+�*1�+�����+�*��)�*�+�%�.�%

����� � �##

#

#

��

*

''

)�*�+%�.�%

���� �� ��*�+%�.�% L�,�-

����� %

''

��

�##

#

)��

���� ,��+�%- ��� L�,��-

?������������B�������,�-�� �,��-�������

,��+�%- ������*�+%�.�%�

Example 9 /�����������!���������� ������������ ��������������

,�,D�.�&--J,,H�.��-,��+���.�!--�

Solution : ����������������������������

,�,D�.�&--J,,H�.��-,��+���.�!--�

#���������������������� ������������������������������������������

Page 270: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

���� ���

Example 10 ���������������������!���������0��#����1���������� ������ ����������������

�����!����������� �

Solution : ���������������������������������������

�� )���� ����)� ��2����,�-�)�'

� �,!- )��,�-�)��,�-�)��,�-�)��, -�)����#�)�@�)�/���!����������� 0�

!������������������������������

@����� � ! � � �

�,�- ' � � � � �

# � ! � � �

>��� )������,-�)��,�-�)�'

����������������

#���� ������� ������ )�������!�� ����

#��������� �,!- )�I���F�,!-���,�-�+��,�!-G

)�I���F���*'G�)�*'�

��,�- )�I���F�,�-���,�-�+��,��-G

)�I���F���1'G�)�1'�

����� # )�#.�/�)��0�)�/!����������� 0�

#�����������������������������������

@����� � ! � � �

�,�- ' *' 1' � � �

# ! � � �

>��� )�!����,-�)��,!-�)�*'

����������������

#���� ������� �������� )�!����!��� �!���#���������

�,�- )�I���F�,�-���,!-�+��,!�-G

)�I���F1'��81G�)�1'�

�,�- )�I���F�,�-���,!-�+��,!�-G

)�I���F���17G�)�17�

����� # )�#�.�/�)�!0�)/��������� 0�

#������������������������������

Page 271: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

��� ���������� ��������������������������

@����� � ! � � �

�,�- ' *' 1' � 17 �

# � � �

>��� )������,-�)��,�-�)�1'�����������������

#���� ������� �������� )���������

#��������� �,�- )�I���F�,�-���,�-�+��,��-G

)�I���F���86G�)�86�

����� # )�#�.�/�)��0�)/������ 0�

#������������������������������

@����� � ! � � �

�,�- ' *' 1' 86 17 �

# � �

>��� )������,-�)��,�-�)�17�����������������

#���� ������� �������� )���������� �� �

#��������� �,�- )�I���F�,�-���,�-�+��,��-G

)�I���F86��57G�)�86�

�, - )�I���F�, -���,�-�+��,� -G

)�I���F���7'G�)�7'�

����� # )�#�.�/�)��0�)�/��� 0�

#������������������������������

@����� � ! � � �

�,�- ' *' 1' 86 17 7'

# �

>��� )������,-�)��,�-�)�86�����������������

#���� ������� �������� )������� ��#���������

�, - )�I���F�, -���,�-�+��,� -G

)�I���F7'��5;G�)�5;�

����� # )�#�.�/�)��0�)/ 0�

#������������������������������

@����� � ! � � �

�,�- ' *' 1' 86 17 5;

#

>��� �)� �� � ��������������������� ���������������������������

!����������������� �����������������!� ���������� � ����*'��1'��86��17��5;��������������#��

��������� ����������������� � ������������������������������

Page 272: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

���� ���

f

Example 11 /����������� ��������������

)�. 2������!�����3� ������ �)!. 3� �������!�����2�����

)�. 4�������2���������3� ������ )�. 2���������3� ������

Solution : #��� ������������������������������

���������������!�������� !������������������������

>������������������!�������� �!���������� ��������

Example 12 ���������������������!������ ������������� ������������ ������

Page 273: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

��� ���������� ��������������������������

Solution : 4���������� ����������������������M� ���������������������?������������H�2

�����B���� ���� �� ��� ��� ����� ���� �������� ��� ������ ������ � ��� ������ � ������ ��� ���� ��$

B��������������

Page 274: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

���� ��

#�������������� ���� ������������������������ ������������������#����������������D��� ��

������������� ����������� ��������������������������������������M� ��#������ ������������

����������������������������B���

Example 13 ���������������������!������ �������!������� �����������������

Solution : &���� ��������������������������>���������������� ���������������������

����������������������������������������?������������D�2������B������������������������

������

���,4����,�-�)�'�� �������)�'�-

����������������������� A��������������������!����� ����#��������������������

�����,!- )���+�%�)�'�+�%�)�%3

�����,�- )���+�%�)�'�+�%�)�%�� ������,�-�)���+�%�)�'�+�%�)�%�

2������������� A���������������������

#�������������������� ,�- )���+�%�)�%�+�%�)�*�

#����������������

2

h

������������������������ A������������������� ��#���������������

�����, - )���+�%�)�*�+�%�)�1�

2������������� A�������������� �������2��

������,�- )���+�%�)�1�+�%�)�8�

Page 275: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

�� ���������� ��������������������������

A

B C D

E F G H I J

K L M N O

T:

#����������������� ������������������������������������

��/��(")�)�

� (�������������������������������#���� ����������������

,�- !�����������������

,!- H�����������������

,�- 4����������������������

,�- 4�����,4-3�4�����,!-3�4�����,>-

,�- :�����,I-3�2�������,D-3�&��� �,H-

,�- H����������������� ���6

,!- H����������������� ���7�� ��,#-���8���������,#-������������������� ��������

����� #�

� ��������������������������������������������*��.�%������� ���

� ���#����������������������������� ��� �������������� �� �,, - J -% * ��#����B��������� �

���#��������� ��������������������

��� ������������������������������� ����� �������� ��������������������������

��������������������������� ��������������������� A���������������%�

� &����������������������������

,�- ����������������!��������

,!- !������������������������

,�- >�������������������!��������

,�- ��������� �!���������

� ������������������������������� ����� ����$����������������

Page 276: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

���� ���

h

� �����������������������>���7����� �������� �������������������

� 2��������������������������������������������������������� �������������������

��������

,�- &���������������������������

,!- #�������������������

�� 4��� �� ��� ���� ������� � ����� ������ ������� N��� H�A���� �� ��������� ��� ������� ���

��������� ���������������� ���

�� H��������� ����� ��� ���� ������ ������ ������ ��� ������ ����� ��� ������ ���� ���������

����������

,�- ������ ������������ ,!- !������"��O����������

Page 277: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

��� ���������� ��������������������������

� ��� �����������������&,�-���������������������������

�� ��� ������������������������������������������������

,�- ,8��+�*-,*��+���- ,!- ,��+�1�-�.�,,6��+��-J8-

�� 4��������������� �������� �������N���H�A���� ������������������ ��������������

����������������������������������������������������������

Page 278: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

���� ���

� ������H�A���� ������������������������� �������������������� �������������� �����

��������������������������������������

�� N������� $(����������������������������� �� ����� �������������������������� ����

����������������������������������������2��������������H,#-������������������������$

�����

�� ��� �����������������������������������������������������������

,�- :��� ������������ ,!- P����� �����������

Page 279: 47240477 Fundamental Approach to Discrete Mathematics

��� ���������� ��������������������������

�� ��� � � ������ �������� ����� ���� ��� ��� ���� ������ ��� >�� %7�� ������ ������� :���O�

������������P����� ������������F������#��������������������������������������

�������������� ������������������I�.��,�-��������I����������������������������

������� �,�.� ��� ������ � ��� �� ��� ���� ������ #���� ����� :��� �� ��������� ��� P����� �

����������#����������� ��������������������������������������� ���������������

�������������G

�� ��� �����������������&,�-������������������������

� 4��������������� �������� �������N������� $(��������������������� �����������

������������������������������������������

14