(Séance du 15/04/2020 )

(Séance du 08/04/2020)

CHAPITRE 4 Les Séries Numériques

4.1 Définitions et Propriétés

Soit un, n > 0, une suite réelle. On pose Sn = u0 + u1 + .... + un =n∑k=0

uk, la somme des premiers

termes jusqu’a l’ordre n.

Définition 4.1. On appelle série attachée à la suite un et on la note par∑

un, la suite Sn définie

par Sn =n∑k=0

uk.

un est appelé le terme général de la série.

La série associée à un est notée par∑

un ou bien par u0 + u1 + ....+ un + ....

Définition 4.2. a) La série∑

un est dite convergente si la suite Sn a une limite finie quand n 7→ +∞.

Dans ce cas S = limn7→+∞

Sn est appelée la somme de la série, on la note par S =+∞∑k=0

uk. On dit aussi

que la série∑un converge et sa somme est S.

b) La série∑

un est dite divergente si la suite Sn n’a pas de limite finie (c’est-à dire Sn n’a pas delimite, ou bien admet une limite infinie)

Exemple 4.3. 1) Soit la série de terme général un = 13n , n > 0. On a :

Sn = 13 + 1

32 + ...+ 13n = 1

31− (1

3)n

1− 13

.

Sn = 12(1− 1

3n ), donc limn7→+∞

Sn = 12 .

Donc la série∑ 1

3n est convergente de somme 12 .

2) Série harmonique. C’est la série dont le terme général est de la forme un = 1n, où n ∈ N∗. Cette

série n’est pas convergente.

Définition 4.4. (Nature et Caractère)Déterminer la nature ou le caractère d’une série c’est déterminer si elle est convergente ou divergente

Définition 4.5. (Série déinie à partir d’un certain rang)

33

4.2 Série à termes positifs

4.3 Série à termes réels

4.4 Exercices

4.1 Définitions et Propriétés (Séance du 01/04/2020)

Rq; Vous trouverez d'autres documents dans googleclassroom code: crivr2m

CHAPITRE 4. LES SÉRIES NUMÉRIQUES

Soit (un)n>p une suite définie à partir de p. On pose Sn =n∑k=p

uk. On dit que la série∑n>p

un converge

si et seulement si la suite Sn admet une limite finie.

Définition 4.6. Soit∑

un une série qui converge, et soit S sa somme. On pose Rn = S − Sn où

Sn =n∑k=0

uk et on la note par Rn =+∞∑

p=n+1uk. Rn est appelée le reste d’ordre n de la série

∑un. On

a limn7→+∞

Rn = 0

Proposition 4.7. a) Si la série∑

un converge alors limn7→+∞

un = 0.

b) La réciproque est fausse : La série harmonique∑ 1

ndiverge malgré que lim

n7→+∞

1n

= 0

Preuve. a) On a un = Sn − Sn−1 et limn7→+∞

Sn = S donc

limn7→+∞

un = limn7→+∞

Sn − limn7→+∞

Sn−1 = S − S = 0

b) On pose vn = 1n

et Sn =n∑k=1

vk = 1 + 12 + ...+ 1

n.

S2n − Sn = 1n+ 1 + 1

n+ 2 + ....+ 12n >

12n + 1

2n + ....+ 12n = n

2n = 12

Donc S2n − Sn >12 , d’où la suite Sn ne peut pas converge sinon on obtient 0 >

12 ce qui est absurde.

Donc la série∑ 1

n diverge.

Proposition 4.8. Si les séries∑

un et∑

vn convergent et leurs sommes S et S′, alors on :a) La série

∑(un + vn) converge et sa somme est S + S′.

b) La série∑

(λun) converge et sa somme est λS, ∀λ ∈ R.

Preuve. a) u0 + v0 +u1 + v1 + ...+un + vn = u0 +u1 + ...+un + v0 + v1 + ...+ vn = Sn +S′n → S+S′

qd n→ +∞.b)λu0 + λu1 + ...+ λun = λ(u0 + u1 + ...+ un) = λSn → λS qd n→ +∞.

Remarque 4.9. ∀λ ∈ R∗, les séries∑

un et∑

λun sont de même nature. En effet : si∑

un

converge alors la série∑

λun converge. Réciproquement, si la série∑

λun converge alors la série∑λ−1λun converge, c-à-d la série

∑un converge.

Cas particuliers a) Soit∑

un une série telle que un = an − an+1, ∀n ∈ N, alors :

la série∑

un converge ⇐⇒ la suite an converge.

Dans ce cas, on a+∞∑k=0

uk = a0 − limn→∞

an.

En effet Sn =n∑k=0

uk = a0−a1 +a1−a2 + ...+an1 −an +an−an+1, implique que Sn = a0−an+1 d’où

la série∑un converge ⇐⇒ la suite Sn admet une limite finie ⇐⇒ la suite an admet une limite finie.

Exemple 4.10. un = 1n(n+ 1) on a un = 1

n− 1n+ 1 , ∀n ∈ N∗. On pose an = 1

non a un = an−an+1

limn→+∞

an = 0 donc la série∑

un converge et on a+∞∑k=1

uk = a1 − limn→+∞

1n+ 1 = a1 = 1

b) Série géométrique. Soient a ∈ R∗ et q ∈ R. On appelle série géométrique de premier terme a etde raison q, la série qna, c-à-d, la série : a+ qa+ q2a+ ...+ qna+ ...

La série∑qna converge si et seulement si |q| < 1. Dans ce cas on a :

+∞∑n=0

qna = a

1− q

donc+∞∑n=0

qn =1

1− q si |q| < 1.

En effet : Sn =n∑k=0

qka = a+ qa+ q2a+ ...+ qna = a(1 + q + q2 + ...+ qn)

Si q = 1 on a Sn = (n+ 1)a donc la série diverge.

Si q 6= 1 on a Sn = a1− qn+1

1− q .

Si |q| < 1 alors limn→+∞

qn+1 = 0 donc limn→+∞

Sn = a

1− q .

Si q > 1 limn→+∞

qn+1 = +∞ donc Sn diverge d’où∑

un diverge.

Si q 6 −1 alors Sn n’a pas de limite quand n→ +∞, donc la série∑

qna diverge.

car la série

4.2 Série à termes positifs

Définition 4.11. Une série un est dite à termes positifs si pour tout n ∈ N on a un > 0.

Proposition 4.12. Pour qu’une série∑

un à termes positifs converge, il faut et il suffit que sasomme partielle Sn soit majorée.

Preuve. On pose Sn =n∑k=0

uk, on a Sn+1 = Sn + un+1 > Sn car un+1 > 0 donc Sn+1 > Sn. La suite

Sn est alors croissante, donc pour qu’elle admet une limite finie il faut et il suffit qu’elle soit majorée.

Définition 4.13. (Critère de comparaison des séries)Soient

∑un et

∑vn deux séries à termes positifs, tel que 0 6 un 6 vn ∀n ∈ N, alors on a

1. Si∑

vn converge alors∑

un converge,

2. Si∑

un diverge alors∑

vn diverge.

Preuve. 1) On pose Sn =n∑k=0

uk et S′n =n∑k=0

vk.

0 6 uk 6 vk donc 0 6 Sn 6 S′n∑vn converge implique que la suite S′n converge donc S′n est majorée, or Sn 6 S′n donc Sn est

majorée, ce qui donne Sn converge ce qui implique que la série∑un converge.

2) est simplement la contraposée de (1)

Exemple 4.14. 1) 1n2 6

1n(n− 1) , donc la série

∑ 1n2 converge car la série

∑ 1n(n− 1) est

converge.

2) 1n6

1√n, donc la série

∑ 1√n

est divergente.

Définition 4.15. On dit que les deux séries∑

un et∑

vn sont équivalente et on note un ∼∞ vn

quand n 7→ +∞ si limn7→+∞

unvn

= 1

Proposition 4.16. Soient∑

un et∑

vn deux séries à termes positifs avec un ∼ vn quand n 7→ +∞,alors on a :

∑ 1n

est divergente.

∑un est convergente ⇐⇒

∑vn est convergente.

∑un est convergente ⇐⇒

∑vn est convergente.

(Séance du 08/04/2020)

(Séance du 08/04/2020)

Exemple 2

Exemple 1

Soient les séries(∑

un

)

et(∑

vn

)

tels que un = Log(

1 +12n

)

et vn =12n

. On a limn→+∞

un

vn= 1

et comme(∑

vn

)

est convergente alors, série gémétrique de raison 1/2 < 1;(∑

un

)

l’est aussi.

Soient les séries(∑

un

)

et(∑

vn

)

tels que un =1n

et vn = Log(

1 +1n

)

. On a limn→+∞

un

vn= 1.

La première série étant la série harmonique qui est divergente, donc il en est de même de laseconde.

Proposition 4.17. (Critère de Cauchy)Soit

∑un une série à termes positifs telle que lim

n 7→+∞n√un = l alors :

1. Si l < 1 : la série∑

un converge.

2. Si l > 1 : la série∑

un diverge.

3. Si l = 1 : ce critère ne donne rien.

Exemple 4.18. Pour a > 0 et n ∈ N∗ on pose un = (a+ 1n

)n. Trouver la nature de la série∑un.

• On a n√un = a+ 1

n⇒ lim

n7→+∞n√un = a.

? Si a > 1 alors∑

un diverge.? Si a < 1 alors

∑un converge.

? Si a = 1 alors un = (a+ 1n

)n = en log(1+

1n

), limn7→+∞

un = e 6= 0 donc∑

un diverge.

Proposition 4.19. (Critère de d’Alembert)Soit

∑un une série à termes positifs telle que lim

n 7→+∞

un+1un

= l

1. Si l < 1 : la série∑

un converge ;

2. Si l > 1 : la série∑

un diverge.

4 Si l = 1, ce critère ne donne rien.

Exemple 4.20. a) un = nn

n! on a un+1un

= (n+ 1)n

nn= (n+ 1

n)n = en log(1+ 1

n).

limn7→+∞

un+1un

= e > 1 d’où∑

un diverge.

b) un = bn

n! avec b > 0, un+1un

= b

n+ 1 −→ 0 < 1 donc∑

un converge.

Exemples

Proposition 4.21. (Comparaison avec une intégrale)Soit f : [1,+∞[−→ [0,+∞[ une fonction, positive décroissante et continue. La série

∑f(n) et∫ +∞

1f(x)dx sont de même nature.

Proposition 4.22. (Série de Riemann)Soit α ∈ R, la série

∑ 1nα

converge si α > 1 et diverge si α 6 1.

Preuve. Pour n ∈ N∗ on pose un = 1nα

, α ∈ R.

◦ Si α 6 0 alors un = n−α ne converge pas vers 0 qd n 7→ +∞ donc la série∑ 1

nαdiverge.

◦ Si α > 0 on pose f(x) = 1xα

pour x ∈ [1,+∞[, f ′(x) = − α

xα+1 < 0 donc f est décroisante, positive

et continue d’où∫ +∞

1

1xαdx et

∑ 1nα

sont de même nature, or∫ +∞

1

1xαdx converge si α > 1 et

diverge si α 6 1, d’où le résultat.

1) Considérons l’application f : [1,+∞[ −→ R+ définie par f (x) =1x

.∫ t

1

1x

dx = Log t et limt→+∞

∫ t

1

1x

dx = +∞. Donc(

∑ 1n

)

diverge.

2) Soit la fonction f : [1,+∞[ −→ R+ définie par f (x) =1

x(x + 1). f est continue, décroissante

(à vérifier en étudiant la dérivée par exemple) et positive.∫ t

1f (x) dx = Log

(

t

t + 1

)

− Log(12

)

; et comme limt→+∞

∫ t

1f (x) dx = Log 2 < +∞ ;

la série∑ 1

n(n + 1)

)

est alors convergente.

4.3 Série à termes réels

Définition 4.23. La série∑

un est dite absolument convergente si la série∑|un| est convergente.

Proposition 4.24. Si la série est absolument convergente alors elle est convergente.

Remarque 4.25. i) La réciproque de la proposition précédente est fausse.ii) Ce résulat, permet parfois de ramener le problème à l’étude de série à termes positifs.

Exemple 4.26. a) Soit un = (−1)n

n4 on a |un| = 1n4 , la série

∑ 1n4 converge, donc la série

∑un

absolument convergente donc converge.b) Soit vn = (−1)n√

non a |vn| =

1n

12. La série

∑ 1n

12diverge, donc la série

∑vn n’est pas absolument

convergente.

Définition 4.27. La série∑

un est dite altermée si on a :

un = (−1)nan, ∀n ∈ N avec an > 0 ∀n ∈ N

ou bien si on a :

un = (−1)n+1an avec an > 0 ∀n ∈ N

Théorème 4.28. (de Leibnitz )Soit

∑(−1)nun une série alternée avec un > 0, ∀n ∈ N. Si la suite un est décroissante et si lim

n7→+∞un =

0, alors la série∑

(−1)nun est convergente et on a |Rn| 6 un+1, ∀n ∈ N où Rn =+∞∑

k=n+1(−1)kuk

Exemple 4.29. Etudier la série∑ (−1)n√

n.

C’est une série alternée, on a 1√nest décroissante et lim

n7→+∞

1√n

= 0 donc par le Théorème de Leibnitz,

la série∑ (−1)n√

nest convergente.

Définition 4.30. Une série qui converge sans être absolument convergente est dite semi-convergente.

Ex :∑ (−1)n√

n

(Séance du 15/04/2020 )

Exercice3.

Exercice2.

Exercice 1.

4.4 Exercices

Donner la nature des séries de terme général :

1) un = n

3n+ 1 , 2) un =(3

2

)n, 3) un = e−

1n2 .

4) un = 15n

32, 5) un = 2

n12, 6) un = sin

( 1n2

).

7) un = 1√n(n+ 1)

, 8) un = arcsin( 2n

4n3 − 1

), 9) un = log

(1 + 1

n

).

10) un = log(

1 + 1n2

), 11) un = log(n) log

(1 + 1

n

)log

(1 + 1

n2

), 12) un = n2

n! .

13) un =(

1 + a

n

)−n2

, 14) un = an

nαn! α ∈ R et a > 0, 15) un =(

n

4n− 1

)2n.

16) un = n2

n2 + 1

)n2

, 17) un = (−1)n

2n− 1 sin( 1√

n

), 18) un = (−1)n

n2 + sin(n2) .

19) un = (−1)n

n+ e−n, 20) un = (−1)n log(n)

n+ 1n log(n) .

Donner la nature et calculer la somme des séries de terme général :

1) un = 1n(n+ 1) , «« n > 0,

2) un = arctan( 1

1 + n+ n2

), ( Ind : arctan(a)− arctan(b) = arctan

(a−b1+ab

), ab > −1 ).

1. Donner la nature et la valeur éventuelle de∫ +∞

1

dt

t log(t) .

2. Soit la série de terme général un = (−1)n

n log(n) .

– a)∑un est elle absolument convergente.

– b) Donner la nature de∑un. Conclure.